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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2019-2

Segundo Semestre de 2019 - 7 de Maio de 2019 (CBPF)

LEIA COM ATENCAO.(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:Bloco 1: Mecanica ClassicaBloco 2: Ondas, Oscilacoes, Fluidos e TermodinamicaBloco 3: EletromagnetismoBloco 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica ModernaBloco 5: Mecanica Quantica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutoradodevem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecanica Quantica).

• A escolha do bloco que NAO sera corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto docaderno de respostas.

• Cada bloco contem 3 questoes de multipla escolha (45% da nota) e uma questao discursiva (55%da nota).

• Dentro do universo de 12 questoes de multipla escolha (dos 4 blocos escolhidos) 4 respostas erradasanulam uma resposta correta.

• Respostas em branco nao tem nenhum efeito sobre a correcao das outras questoes.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

1

BLOCO 1: Mecanica Classica

Multipla escolha

Problema 1: Dois blocos, A e B, sao soltos a partir do repouso e caem de uma altura H. Antesde atingir o chao, cada bloco colide com uma mola ideal de massa desprezıvel, conforme ilustrado nafigura abaixo. O bloco A atinge uma mola muito menos rıgida que a atingida pelo bloco B (ou seja, asconstantes elasticas das molas satisfazem kA ⌧ kB). Suponha que efeitos de atrito e resistencia do arpossam ser desprezados. Apos os blocos colidirem e serem novamente lancados pelas molas:

(a) O bloco B atinge uma altura maximamaior que o bloco A.

(b) O bloco B atinge uma altura maximamenor que o bloco A.

(c) Ambos os blocos atingem a mesma alturamaxima.

(d) Os blocos atingem a mesma alturamaxima somente se tiverem a mesmamassa.

Problema 2: Um navio de batalha lanca, simultaneamente, dois projeteis em dois navios inimigos(denominados A e B). Considerando que os projeteis seguem as trajetorias parabolicas conforme a figuraabaixo, e correto afirmar que:

(a) Ambos os navios sao atingidos ao mesmo tempo.

(b) O navio A e atingido pelo projetil antes do navio B.

(c) O navio B e atingido pelo projetil antes do navio A.

(d) Nao e possıvel determinar qual navio e atingido primeiro sem especificar a velocidade inicial de cadaprojetil.

2

Problema 3: A figura mostra tres discos de mesmo raio e massa que podem girar em torno de umeixo fixo que passa por seu centro de massa. Cada disco e composto dos mesmos dois materiais, ummenos denso (cor solida) e um mais denso (cor hachurada), sendo que cada material ocupa a metade daarea do disco. Forcas de mesmo modulo sao aplicadas tangencialmente aos discos em sua borda externaou na interface entre os dois materiais, como mostra a figura. Ordene os discos A, B e C, de acordo comsua aceleracao angular, indicada respectivamente por ↵A, ↵B e ↵C , supondo que eles estao sob o efeitoapenas da forca ~F indicada e da forca que mantem o eixo fixo.

(a) ↵C < ↵A < ↵B

(b) ↵A < ↵C < ↵B

(c) ↵A < ↵B < ↵C

(d) ↵B < ↵A < ↵C

Discursiva

Problema 4: Um disco de massa m se move em um cırculo, conforme a figura abaixo, sobre umamesa horizontal sem atrito. Ele esta ligado a um cilindro de massa M suspenso por uma corda quepassa atraves de um orifıcio na mesa. Considere a aceleracao da gravidade como sendo g.

(a) Indique, atraves de diagramas de forcas, todas as forcas agindo sobre o disco e o cilindro.

(b) Encontre o modulo da velocidade com a qual o disco deve se mover em um cırculo de raio R paraque o cilindro permaneca em repouso.

(c) Imagine que o cilindro seja puxado lentamente para baixo. O que acontece com o modulo davelocidade do disco? Justifique a sua resposta.

3

BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinamica

Multipla escolha

Problema 5: Considere ondas em uma corda.

• Para duas ondas no mesmo sentido, a intensidade resultante nao depende da diferenca de faseentre elas.

• Uma combinacao linear de ondas qualquer nao e uma onda possıvel na corda.

• Para duas ondas de mesmas frequencia e amplitude que se propagam no mesmo sentido, teremoso fenomeno de batimento.

• Ondas estacionarias nao sao permitidas.

(a) Todas as afirmativas sao verdadeiras.

(b) Todas as afirmativas sao falsas.

(c) Apenas uma afirmativa e verdadeira

(d) Apenas uma afirmativa e falsa.

Problema 6: Um tubo em forma de U com os extremos abertos, de secao reta uniforme, contem agua(densidade de 1,0 g/cm3) inicialmente a uma altura de 10,0 cm desde a parte inferior de cada braco.Um lıquido imiscıvel de densidade 2,0 g/cm3 e adicionado a um dos bracos ate que forme uma camadade 4,0 cm de altura como indicado na figura. Qual e a relacao das alturas h1/h2 de lıquido nos doisbracos?

(a) 2/3

(b) 1/2

(c) 5/7

(d) 2/5

4

Problema 7: Um sistema massa-mola e colocado em movimento em uma dimensao, na presenca deuma forca de atrito dependente da velocidade, ~F = �b~v, sendo esta a unica forca externa atuante.

• A energia total e constante.

• O movimento do sistema e sempre oscilatorio.

• A amplitude de oscilacao decai linearmente com o tempo.

• O movimento do sistema sera sempre harmonico.

Assinale a opcao correta:

(a) Todas as afirmativas sao verdadeiras.

(b) Todas as afirmativas sao falsas.

(c) Apenas uma afirmativa e verdadeira.

(d) Apenas uma afirmativa e falsa.

Discursiva

Problema 8: Um mol de um gas ideal com capacidade termica molar a volume constante CV = (3R)/2e levado, em um diagrama P ⇥ V , do ponto A (pressao P0 e volume V0) ao ponto C por um processoreversıvel, em duas etapas:

(i) de A a B por uma expansao isotermica ate triplicar seu volume inicial; (ii) de B ate C por umavariacao isovolumetrica. A e C estao sobre uma mesma curva adiabatica.

(a) Faca o diagrama P ⇥ V do processo, identificando os valores de pressao e volume nos eixos.

(b) Determine o trabalho realizado pelo gas para ir de A para C.

(c) A partir da relacao dS = d0Q/T , determine a variacao da entropia do gas para cada um dos percursosque compoem o processo.

5

BLOCO 3: Eletromagnetismo

Multipla escolha

Problema 9: No circuito da figura 1, a chave S e fechada em t = 0, com o capacitor descarregado.Assinale a opcao que apresenta os graficos que melhor descrevem as diferencas de potencial (V1 e V2)nos resistores R1 e R2, respectivamente.

(a)

(b)

(c)

(d)

6

Problema 10: Seja uma corrente i1 atravessando um fio infinito e uma corrente i2 atravessando umaespira circular. O fio infinito esta localizado no centro da espira, perpendicularmente ao seu plano(ilustrado na figura abaixo). Assinale a opcao que descreve a direcao e o sentido da forca magneticaresultante na espira devido ao fio infinito.

(a) Na direcao do raio da espira para fora;

(b) Na direcao do raio da espira para den-tro;

(c) Paralela ao fio infinito para cima;

(d) Nao ha forca resultante;

Problema 11: Sejam tres cargas pontuais com carga q distribuıdas de forma equidistante em umacircunferencia de raio R. Assinale a opcao correta para os valores do modulo do campo eletrico (E) edo potencial (V ), no centro da circunferencia. Dado: k = 1

4⇡✏0.

(a) E = 3kqR2 e V = 0;

(b) E = 2kqR2 cos

�⇡3

�e V = 2kq

R cos�⇡3

�;

(c) E = 0 e V = 3kqR ;

(d) E = 0 e V = 2kqR cos

�⇡3

�;

7

Discursiva

Problema 12: Uma espira circular com raio a e mantida perpendicular a um campo magneticodependente do tempo, B(t), como mostra a figura. A partir do instante t = 0, a intensidade do campomagnetico obedece a relacao B(t) = Ct+Dt2, onde C e D sao constantes positivas. Determine:

Determine na espira

(a) o sentido da corrente induzida. Justifique;

(b) o fluxo do campo magnetico em funcao do tempo;

(c) a corrente eletrica total em funcao do tempo.

8

BLOCO 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica Moderna

Multipla escolha

Problema 13: Uma fonte luminosa emite dois feixes paralelos, monocromaticos e incoerentes de luz:um feixe e azul e o outro, vermelho. A fonte esta dentro de uma piscina de agua emitindo os feixespara a superfıcie (interface com o ar) de tal forma que a direcao dos feixes vai mudando paulatinamente,comecando de um angulo de incidencia normal a superfıcie. Durante esse processo, um observador forada piscina vera:

(a) os dois feixes desaparecendo simultaneamente, a partir de um certo angulo de incidencia.

(b) somente o feixe vermelho, a partir de um certo angulo de incidencia.

(c) somente o feixe azul, a partir de um certo angulo de incidencia.

(d) franjas vermelhas e azuis pela interferencia dos feixes entre si.

Problema 14: Um foguete, viajando em direcao a Terra com uma velocidade constante proxima ada luz, e observado por dois observadores: um dentro dele, outro na Terra. Analise as sentencas abaixoe marque a alternativa correta.

I. Para o observador terrestre, o foguete parece mais comprido.

II. Para o observador terrestre, uma sequencia de eventos no foguete parecem acontecer mais lentamente.

III. Para o observador no foguete, uma sequencia de eventos na Terra parecem acontecer mais lentamente.

(a) Somente as afirmacoes I e II sao verdadeiras.

(b) Somente as afirmacoes I e III sao verdadeiras.

(c) Somente as afirmacoes II e III sao verdadeiras.

(d) Todas as afirmacoes sao verdadeiras.

9

Problema 15: Na teoria do atomo de Bohr, eletrons giram em certas orbitas circulares em tornodo nucleo. Os raios das orbitas permitidas tem valores definidos como consequencia dos postulados deBohr, que estabeleceu a quantizacao:

(a) da velocidade do eletron.

(b) da energia total do eletron.

(c) do momento angular orbital do eletron.

(d) da carga do eletron.

Discursiva

Problema 16: Um foton de energia E1 e espalhado por um eletron de massa m, inicialmente emrepouso, transformando-se em outro foton com energia E2 que se propaga na mesma direcao do fotonincidente, mas em sentido oposto.

(a) Ache o modulo do momento (pe) e energia total (Ee) do eletron apos o espalhamento, em funcao deE1 e E2.

(b) Qual e o valor da energia final do foton E2 apos o espalhamento, em funcao de E1?

(c) Qual e a variacao no comprimento de onda do foton? Mostre que esta variacao independe de E1

e/ou E2.

10

BLOCO 5: Mecanica Quantica(OBRIGATORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

Multipla escolha

Problema 17: Considere uma partıcula livre de spin s, massa m e momento linear p. Avalie asseguintes afirmacoes:

I) o sub-espaco de Hilbert associado ao spin tem dimensao 2s+ 1.

II) as possıveis energias do sistema sao dadas por p2

2m .

III) e impossıvel obter a componente de spin Sz = 0 (na direcao z), apos uma unica medida, se apartıcula for um fermion.

Marque a alternativa correta

(a) Apenas as afirmativas I e III sao verdadeiras.

(b) Apenas as afirmativas II e III sao verdadeiras.

(c) Apenas as afirmativas I e II sao verdadeiras.

(d) Todas as afirmacoes estao corretas.

Problema 18: Considere um espaco de Hilbert tridimensional com base ortonormal {|u0i, |u1i, |u2i} ,e os dois seguintes observaveis escritos nessa base:

A =

0

@1 0 00 �1 00 0 1

1

A , B =

0

@2 0 00 2 00 0 �1

1

A .

Marque a alternativa correta:

(a) E impossıvel preparar um estado | i com os observaveis A e B simultaneamente bem definidos.

(b) Apos uma medicao do observavel B que retorna valor 2, o estado do sistema esta completamentedefinido.

(c) A medicao sequencial de A e B define completamente o estado do sistema para quaisquer resultadosobtidos.

(d) Nenhuma das afirmacoes acima e verdadeira.

11

Problema 19: Uma partıcula de energia constante E viaja em uma dimensao sob a influencia de umpotencial V . A densidade de probabilidade da partıcula ser medida entre a posicao x e x + dx, dadapor | (x)|2, e mostrada na figura abaixo. Qual das afirmativas abaixo e verdadeira?

x < 0 0 x < a x � a

(a) V (x) < E V (x) > E V (x) > E

(b) V (x) > E V (x) < E V (x) > E

(c) V (x) < E V (x) > E V (x) < E

(d) V (x) < E V (x) < E V (x) < E

Discursiva

Problema 20: Seja {|0i, |1i, . . . , |d� 1i} uma base ortonormal para um espaco d-dimensional. Nessabase, a dinamica de um sistema quantico e determinada pelo operador Hamiltoniano:

H |ni = n" |ni,

onde " e uma constante real com unidade de energia. No tempo t = 0, o estado do sistema e dado por:

| (0)i = 1pd

d�1X

n=0

|ni.

(a) Calcule a energia media do sistema, hHi, para o estado | (0)i .

(b) Ache o estado | (t)i para um tempo t � 0.

(c) Seja ⌧ o menor tempo para o qual h (t)| (0)i = 0, i.e., ⌧ e o tempo que o sistema leva para evoluirpara um estado ortogonal ao estado inicial. Determine ⌧ .

Formulario:N�1X

j=0

j =(N � 1)N

2

N�1X

j=0

rj =1� rN

1� r

12


Segundo Semestre de 2019 - 7 de maio de 2019 (CBPF)

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome Completo:

Assinatura:

Indique qual e o bloco que NAO sera corrigido:

Indique o numero de paginas utilizadas (incluindo essa folha de rosto):

Nota Final (para ser preenchido pela comissao da UNIPOSRIO):

Multipla escolha DiscursivaNota FinalQuestoes Questoes Questoes

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20corretas incorretas p/ pontuacao

Multipla escolha

Marque com um X as suas respostas das questoes de multipla escolha para cada bloco na seguinte tabelade acordo com os blocos escolhidos para resolver.

a) b) c) d)

Bloco 1Prob. 1Prob. 2Prob. 3





1




Nome completo:

2




Nome completo:

3




Nome completo:

4




Nome completo:

5




Nome completo:

6




Nome completo:

7




Nome completo:

8




Nome completo:

9




Nome completo:

10


Second Semester 2019 - May 7th, 2019 (CBPF)

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS:Block 1: Classical MechanicsBlock 2: Waves, Oscillations, Fluids and ThermodynamicsBlock 3: ElectromagnetismBlock 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern PhysicsBlock 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose theblock 5 (Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answerbook.

• Each block consists of 3 multiple-choice questions (45% of grade) and a discursive question (55%of the grade).

• Four wrong answers to multiple-choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no e↵ect on the correction of other questions.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.

1

BLOCK 1: Classical Mechanics

Multiple-choice

Problem 1: Two blocks, A and B, are released from rest and drop from a height H. Before hittingthe ground, each block collides with an ideal massless spring, as shown in the figure below. Block Acollides with a spring that is much less rigid than that with which block B collides (in other words, thesprings’ elastic constants satisfy kA ⌧ kB). Assume that friction and air resistance are negligible. Afterthe collisions are over and the blocks are once again launched into the air:

(a) Block B reaches a maximum heightabove that of block A.

(b) Block B reaches a maximum height be-low that of block A.

(c) Both blocks reach the same maximumheight.

(d) Both blocks reach the same maximumheight only if their masses are the same.

Problem 2: A battleship launches two projectiles, at the same time, in order to hit two enemy ships(denoted by A and B). Assuming the projectiles follow the parabolic trajectories, as described in thefigure, it would be correct to say that:

(a) Both ships are hit at the same time.

(b) Ship A is hit before ship B.

(c) Ship B is hit before ship A.

(d) It is impossible to figure out which ship is hit first without knowing the initial speed of each projectile.

2

Problem 3: The figure shows three disks of same radius and mass that are free to spin around a fixedaxis passing through their center of mass. Each disk is composed of the same two materials, a less dense(solid gray) and a denser (striped gray) one. Each material corresponds to half of the area in each disk.Equal forces are applied tangentially to the disks, either at their outer edge or at the interface betweenthe materials, as shown in the figure. Order the disks A, B and C by their angular accelerations, denotedrespectively by ↵A, ↵B and ↵C , assuming that they are subject only to force ~F and the force keepingthe axis in place.

(a) ↵C < ↵A < ↵B

(b) ↵A < ↵C < ↵B

(c) ↵A < ↵B < ↵C

(d) ↵B < ↵A < ↵C

Discursive

Problem 4: A disk of mass m moves in a circle on a frictionless horizontal table, as shown in thefigure. It is connected to a suspended cylinder of mass M by a string passing through a hole in thetable. Assume that the acceleration of gravity is g.

(a) Indicate, using force diagrams, all forces acting on the disk and on the cylinder.

(b) Find the velocity that the disk must have to move in a circle of radius R in order for the cylinderto remain at rest.

(c) Suppose that the cylinder is slowly pulled downwards. What happens to the velocity of the disk?Explain your answer.

3

BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics

Multiple-choice

Problem 5: Consider waves on a string.

• For two waves propagating in the same direction, the resulting intensity does not depend on thephase di↵erence between them.

• Any linear combination is not a possible wave on the string.

• For two waves with the same frequency and amplitude that propagate in the same direction, therewill be the beat phenomenon.

• Stationary waves are not allowed.

Mark the correct option:

(a) All statements are true.

(b) All statements are false.

(c) Only one statement is true.

(d) Only one statement is false.

Problem 6: A U-shaped tube with open ends, with an uniform cross section, contains water (1.0g/cm3 density) initially at a height of 10.0 cm from the bottom of each arm. An immiscible liquid, with2.0 g/cm3 density, is added to one of the arms until forming a 4.0 cm layer as indicated in the figure.What is the ratio of heights h1/h2 of liquid in the two arms?

(a) 2/3

(b) 1/2

(c) 5/7

(d) 2/5

4

Problem 7: A mass-spring system is set in motion in one dimension under the action of a velocitydependent friction force, ~F = �b~v, being the only external force present.

• The total energy is constant.

• The resulting movement will always be oscillatory.

• The oscillation amplitude decays linearly with time.

• The resulting movement will always be harmonic.

Mark the correct option:

(a) All statements are true.

(b) All statements are false.

(c) Only one statement is true.

(d) Only one statement is false.

Discursive

Problem 8: One mole of an ideal gas with molar heat capacity at constant volume CV = (3/2)R istaken in a P ⇥V diagram from point A (pressure P0 and volume V0) to point C by a reversible process,in two steps:

(i) from A to B by an isothermal expansion until tripling its initial volume; (ii) from B to C by anisovolumetric process. A and C are on the same adiabatic curve.

(a) Draw the P ⇥ V diagram of the process, identifying the pressure and volume values in the axes.

(b) Determine the work done by the gas to go from A to C.

(c) From the relation dS = d0Q/T , determine the entropy change of the gas for each of the pathwaysthat make up the process.

5

BLOCK 3: Electromagnetism

Multiple-choice

Problem 9: In the eletrical circuit in the figure shown below the switch S is closed in t = 0, withan uncharged capacitor. Choose the option presenting the graphics that better describe the electricpotential di↵erence (V1 and V2) on resistors R1 and R2, respectively.

(a)

(b)

(c)

(d)

6

Problem 10: Consider an infinite straight wire and a circular loop carrying currents i1 and i2,respectively. The wire passes through the center of the loop perpendicular to its plane. Choose theoption which describes the net magnetic force direction on the circular loop due to the wire.

(a) Outward, along a radius of the loop;

(b) Inward, along a radius of the loop;

(c) Upward, parallel to the wire;

(d) There is no net magnetic force in theloop.

Problem 11: Three identical point charges q are equally spaced around a circumference of radius R.Choose the option which gives the modulus of the electric field (E) and potential (V ), respectively, inthe center of the circumference. Given: k = 1

4⇡✏0.

(a) E =3kq

R2and V = 0;

(b) E =2kq

R2cos

�⇡3

�and V =

2kq

Rcos

�⇡3

�;

(c) E = 0 and V =3kq

R;

(d) E = 0 and V =2kq

Rcos

⇣⇡3

⌘;

7

Discursive

Problem 12: A circular loop of radius a is perpendicular to the direction of a time dependent magneticfield, as shown in the figure. From t = 0 the magnetic field intensity varies according to the followingrelation: B(t) = Ct+Dt2, where C e D are positive constants.

Determine:

(a) the direction of the induced current on the loop. Justify;

(b) the magnetic field flux on the loop as a function of time;

(c) the total electric current in the loop as a function of time.

8

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and ModernPhysicsMultiple-choice

Problem 13: A light source emits two parallel, monochromatic and incoherent beams of light:one is blue and the other, red. The source is inside a pool of water emitting the two beams tothe air-water interface in such a way that their incident angle changes gradually, starting from anormal angle of incidence to the surface. During this process, an observer outside the pool sees:

(a) the two beams disappearing simultaneously, when the angle of incidence reaches a certainvalue.

(b) only the red beam, for angles of incidence above a certain value.

(c) only the blue beam, for angles of incidence above a certain value.

(d) red and blue fringes caused by the interference of the beams with each other.

Problem 14: A rocket, traveling towards the Earth at a constant velocity close to the speedof light, is seen by two observers: one inside the rocket, another on Earth. Review the sentencesbelow and mark the correct alternative.

I. For the terrestrial observer, the rocket seems longer.

II. For the terrestrial observer, a sequence of events in the rocket seem to happen slower.

III. For the observer in the rocket, a sequence of events on Earth seem to happen slower.

(a) Only statements I and II are true.

(b) Only statements I and III are true.

(c) Only statements II and III are true.

(d) All statements are true.

Problem 15: In Bohr’s model for the atom, electrons rotate in certain circular orbits around thenucleus. The radii of the allowed orbits have values defined by Bohr’s postulates, which establishedthe quantization of:

(a) the velocity of the electron.

(b) the total energy of the electron.

(c) the orbital angular momentum of the electron.

(d) the charge of the electron.

9

Discursive

Problem 16: A photon with energy E1 is scattered by an electron of mass m, initially at rest,transforming into another photon with energy E2 that propagates in the opposite direction of theincident photon.

(a) After the photon scattering, determine the momentum (pe) and the total energy (Ee) of theelectron, as a function of E1 and E2.

(b) What is the value of the final energy of photon E2 after scattering, as a function of E1?

(c) What is the variation of the photon wavelength? Show that this variation is independent ofE1 and/or E2.

10

BLOCK 5: Quantum Mechanics(MANDATORY FOR DOCTOR DEGREE CANDIDATES)

Multiple-choice

Problem 17: Consider a free particle with spin s, mass m, and linear momentum p. Considerthe following statements:

I) the Hilbert sub-space associated with the spin has dimension 2s+ 1.

II) the possible energies of the system are given by p2/2m.

III) it is impossible to obtain the spin component Sz = 0 (along the z direction), after a singlemeasurement, if the particle is a fermion.

Mark the correct alternative.

(a) Only statements I and III are true.

(b) Only statements II and III are true.

(c) Only statements I and II are true.

(d) All statements are correct.

Problem 18: Consider a three-dimensional Hilbert space with orthonormal basis {|u0i, |u1i, |u2i},and the following two observables written on this basis:

A =

0

@1 0 00 �1 00 0 1

1

A , B =

0

@2 0 00 2 00 0 �1

1

A .

Mark the correct alternative.

(a) It is impossible to prepare a state | i with the observables A and B being simultaneouslywell-defined.

(b) After a measurement of the observable B which returns the value 2, the state of the systemis completely defined.

(c) A sequential measurement of A and B completely defines the state of the system for any setof results obtained.

(d) None of the above statements are true.

11

Problem 19: A particle of constant energy E travels in one dimension under the influence of apotential V . The probability density to find the particle between positions x and x+ dx, given by| (x)|2, is shown in the figure below. Which of the following statements is true?

x < 0 0 x < a x � a

(a) V (x) < E V (x) > E V (x) > E

(b) V (x) > E V (x) < E V (x) > E

(c) V (x) < E V (x) > E V (x) < E

(d) V (x) < E V (x) < E V (x) < E

Discursive

Problem 20: Let {|0i, |1i, . . . , |d � 1i} be an orthonormal basis for a d-dimensional space. Inthis basis, the dynamics of a quantum system is determined by the Hamiltonian operator:

H|ni = n"|ni,

where " is a real constant in energy units. At time t = 0, the state of the system is given by:

| (0)i = 1pd

d�1X

n=0

|ni.

(a) Evaluate the average energy of the system, hHi, for the state | (0)i.(b) Find the state | (t)i for a time t � 0.

(c) Let ⌧ be the shortest time for which h (t)| (0)i = 0, i.e., ⌧ is the time the system takes toevolve to an orthogonal state to the initial state. Determine ⌧ .

Formulae:N�1X

j=0

j =(N � 1)N

2

N�1X

j=0

rj =1� rN

1� r

12



ANSWERS

Full Name:

Signature:

Indicate which block will NOT be corrected:

Indicate the total number of pages filled in (including this first one):

Final grade (to be filled by the UNIPOSRIO committee):

Multiple choice DiscursiveFinal gradeCorrect Wrong Grading

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20answers answers answers

Multiple choice

Mark with an X your answers to the multiple-choice questions in the table below, according to the blocksyou have chosen to answer.

a) b) c) d)

Block 1Prob. 1Prob. 2Prob. 3





1



ANSWERS

Full name:

2



ANSWERS

Full name:

3



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