I.E.S. Seritium

Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 ◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 ◦ El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0

A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación

Cuando deben satisfacerse simultáneamente más de una inecuación estamos ante un sistema de inecuaciones lineales.

El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por la intersección de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones.

A dicha región se le llama región factible del sistema.

Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para obtener la mayor cantidad de dinero por su venta?

Caja tipo A

Caja tipo B

Disponible

Chocolate

3 2 500

Almendras

1 1,5 100

Frutas 1 1 85

Precio en € 13 13,50

Caja tipo A

Caja tipo B

Disponible

Chocolate

3 2 500

Almendras

1 1,5 100

Frutas 1 1 85

Precio en € 13 13,50

x = nº de cajas de tipo Ay = nº de cajas de tipo B

Tenemos maximizar los ingresos obtenidos por las ventasI(x, y) = 13 x + 13,50 yEsta función se llama función objetivo

Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones

Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles

3 2 500

1,5 100

85

0

0

x y

x y

x y

x

y

Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días debería emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana?

FM AMDisponible

Música rock 12 5 120

Música clásica 6 8 180

Información general

5 10 100

Costes en € 5000 4000

x = nº de días en FMy = nº de días en AM

Tenemos minimizar los costes por los días de emisiónC(x, y) = 5000 x + 4000 yEsta función se llama función objetivo

Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones

Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles

FM AMDisponible

Música rock 12 5 120

Música clásica 6 8 180

Información general

5 10 100

Costes en € 5000 4000

12 5 120

6 8 180

5 10 100

7

, 0

x y

x y

x y

x y

x y

Dada una función lineal

y una región R convexa y acotada:◦ La función f tiene un valor máximo y mínimo en R.

◦ Esos valores extremos se alcanzan en un vértice o en un lado de dicha región.

,f x y ax by c

Representamos la región factible

Se dibujan las rectas de nivel

todas ellas paralelas a la función objetivo

Se observa el valor de k que proporciona la solución.

Región factible Solución gráfica

Representamos la región factible Calculamos los vértices de la región factible Evaluamos la función objetivo en cada uno de

sus vértices

obviamente El ingreso máximo se produce en el punto B, es

decir, se deberán producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.

0I D

Solución gráfica Solución analítica

Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices C(A) = 5000·0 + 4000·7 = 28000 € C(B) = 5000·0 + 4000·10 = 40000 € C(C) = 5000·7,37 + 4000·6,32 = 62130 € C(D) = 5000·10 + 4000·0 = 50000 € C(E) = 5000·7 + 4000·0 = 35000 €

El coste mínimo se produce en el punto A. Se deberá emitir 7 días en AM y ningún día en FM.

¿Todos los problemas de programación lineal tienen solución?

Solución única Solución de arista:infinitas soluciones

No hay máximo

Solución única Solución de arista:infinitas soluciones

No hay mínimo

Un problema de PL consiste en optimizar una función lineal de la forma

que llamaremos función objetivo, sujeta a unas restricciones

Solución posible: es cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas las restricciones. Al conjunto de todas las soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.

Óptimo: es un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo.

Un problema de PL puede: Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución.

,f x y ax by c