IC 507 Hormigón Armado II Universidad Central 2006

8/18/2019 IC 507 Hormigón Armado II Universidad Central 2006

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Universidad CentralFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasEscuela de Ingeniería Civil en Obras CivilesIC-507 “Hormigón Armado II”

Profesor: José Luis Seguel R.Cátedra Año 2006

Doc: 2005 Hormigon 09 - IC507

AP P U U N N T T E E S S DDE E C C LL A AS S E E S S

H H O O R R M M I I G G Ó Ó N N A AR R M M A ADO O II

Profesor:

Ing. José Luis Seguel Ramírez

Año 2006


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Doc: 2005 Hormigon 09 - IC507

2006 José Luis Seguel - [email protected]

Universidad Central de Chile

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expresa del autor.


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Universidad CentralFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasEscuela de Ingeniería Civil en Obras CivilesIC-507 “Hormigón Armado II” Profesor: José Luis Seguel R.

Cátedra Año 2006

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IX. CORTE POR FRICCION


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CONTENIDO

IX. CORTE POR FRICCION ..................................................................................................... 236

9.1 BASES DE DI SEÑO............................................................................................................. 236

9.1.2 RESISTENCI A AL CORTE NOMINAL V n : ............................................................................... 238

9.1.2.1 COEFICIENTE DE FRICCIÓN, µ.........................................................................................................239

9.1.2.2 APROXIMACIONES ............................................................................................................................. 240

9.1.3 LIM I TACI ONES PARA LOS MATERI ALES ............................................................................ 240

9.1.4 RECOMENDACIONES PRÁCTICAS ........................................................................................ 241

9.1.5 FUERZA NORMAL .................................................................................................................... 241

9.2 DI SPOSICIONES ESPECIALES PARA MENSULAS Y CARTELAS................................ 243

9.2.1 REQUISITOS PARA EL DI SEÑO DE CARTELAS................................................................... 244

9.2.2 DI SEÑO SECCIÓN CARA DE APOYO ..................................................................................... 245

9.3 VI GAS ALTAS...................................................................................................................... 249

9.3.1 DI SPOCISIONES CODIGO 318-02............................................................................................ 249

9.3.1.1 RESISTENCIA NOMINAL AL CORTE, V n .............................................................................................249

9.3.1.2 ARMADURAS MÍNIMAS.......................................................................................................................249

9.3.2 DISPOSICIONES ESPECIALES DE CORTE PARA ELEMENTOS DE GRAN ALTURA

SOMETI DOS A FLEXIÓN, SEGÚN ACI 318-99 ............................................................................... 251

9.3.2.1 DISEÑO AL CORTE ............................................................................................................................. 251

9.3.2.2 RESISTENCIA AL CORTE V n................................................................................................................252

9.3.2.3 RESISTENCIA AL CORTE V c................................................................................................................252

9.3.2.4 SECCIÓN CRITICA.............................................................................................................................. 253

9.3.2.5 ARMADURA AL CORTE....................................................................................................................... 253

9.3.2.6 ARMADURA MÍNIMA .......................................................................................................................... 253

9.3.3 ELEM ENTOS DE GRAN AL TURA SOMETIDOS A FLEXIÓN............................................... 255

9.3.3.1 DISPOSICIONES ACI 318-02............................................................................................................... 255

9.3.3.2 DISPOSICIONES ACI 318-99............................................................................................................... 255

9.3.4 OTRAS D ISPOSICIONES PARA VIGAS ALTAS...................................................................... 256

9.3.4.1 OTROS REQUISITOS DE DISEÑO....................................................................................................... 257


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IX. CORTE POR FRICCIÓN

9.1 BASES DE DISEÑO

9.1.1 INTRODUCCIÓN

El corte por fricción proporciona una herramienta de diseño de elementos para corte

directo donde es inadecuado diseñar para tensión diagonal, donde se considera la transferencia de

corte a través de un plano dado (ubicación donde se espera que se produzca la falla o grieta) en

vez de evitar las fallas por tracción diagonal en el elemento de hormigón. Este concepto es simple

de aplicar y permite visualizar la acción estructural con el elemento o unión.

Fig. “Distintas aplicaciones de corte por fricción, y ubicación de fisuras potenciales para esas

aplicaciones””

http://www.pdffactory.com/


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Algunos ejemplos de elementos de hormigón armado diseñados por corte por

fricción corresponden a los siguientes elementos:

- uniones de hormigones de distintas edades.

- uniones entre elementos de hormigón y de acero.

- detalles de armaduras para estructuras prefabricadas.

- uniones de materiales distintos.

- apoyos (parte superior de columnas o muros).

- losa colaborante, etc.

La ecuación principal para el diseño de elementos de hormigón armado por corte

por fricción, según el Método de Rotura, esta dada por la siguiente expresión:un V V ≥φ

El procedimiento supone que se produce una grieta (existente o potencial) en el

hormigón a lo largo del plano de corte considerado; luego, se proporciona armadura a través de la

grieta supuesta, la cual trabaja por tracción e induce fuerzas friccionales, tal que resistan los

desplazamientos relativos a lo largo de la misma.

Fig. “Idealización del concepto de corte por fricción, a través de una grieta supuesta; se observan

las fuerzas internas que se producen”

No olvidar que cuando existen esfuerzos de corte en una grieta, se produce un

desplazamiento de una cara con respecto a la otra cara. Si estas caras son ásperas e irregulares,

se produce un desplazamiento y una separación de las caras. En condiciones ultimas, esta

separación lleva a la armadura colocada a su fluencia; por lo tanto, la armadura proporciona una



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fuerza de sujeción Avf f y , a través de la cara de la grieta. Luego, el corte aplicado es resistido

principalmente por la fricción entre las caras de la grieta (plano de corte), por resistencia al corte

de las protuberancias y por traspaso a la armadura que cruza la grieta.

9.1.2 RESISTENCIA AL CORTE NOMINAL V n:

La resistencia nominal al corte esta dado en función de la ubicación de la armadura

de refuerzo, para el cual se tiene:

i. Cuando la armadura de corte por fricción es perpendicular al plano de corte, la

resistencia al corte V n debe calcularse mediante la siguiente expresión:

µ yvf n f AV =

De esta expresión y de la ecuación principal de diseño un V V ≥φ , se deduce la

expresión general para la armadura por corte por fricción, Avf , la cual corresponde a

la siguiente:

µφ y

uvf f

V A =

ii. Cuando la armadura de corte por fricción esta inclinada con respecto al plano de

corte, tal que el esfuerzo de corte produce tracción en la armadura de corte, la

resistencia al corte V n debe calcularse mediante la siguiente expresión:

)cossen( f f yvf n a f AV += αµ

Fig. “Idealización de una sección sometida a corte por fricción inclinado; se observa como la fuerza

en la armadura se descompone en una componente vertical y horizontal”



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Luego, despejando de la expresión anterior, la armadura por corte por fricción, Avf ,

se determina por la expresión siguiente:

)cossen( f f y

uvf a f

V A

+=

αµφ

donde : V n: Resistencia nominal del hormigón.

V u: Esfuerzo de corte último (o mayorado).

Avf : armadura de corte por fricción.

αf : ángulo entre la armadura de corte por fricción y el plano de corte supuesto, valor

comprendido entre 0º y 90º.

µ: coeficiente de fricción (ver tabla siguiente), que depende del tipo colocación delhormigón y de la densidad de este.

9.1.2.1 COEFICIENTE DE FRICCIÓN,µ

Según las características de la interfase del plano supuesto de corte, que depende

de cómo se coloca el hormigón y del tipo que se use, se tendrán distintos valores del coeficiente

de fricción, el cual se adopta según las siguientes tablas:

Colocación del hormigón: µ

- Hormigón colocado monolíticamente 1.4 λ - Hormigón colocado sobre hormigón endurecido con la superficie

intencionalmente rugosa

1.0 λ

- Hormigón colocado sobre hormigón endurecido con la superficie

no intencionalmente rugosa

0.6 λ

- Hormigón anclado a acero estructural, mediante pasadores con

cabeza o mediante barras de refuerzo.

0.7 λ

donde el parámetro λ vale:

Tipo de hormigón: λ

- Hormigón normal 1.00

- Hormigón liviano con arena de peso normal 0.85

- Hormigón liviano en todos sus componentes 0.75



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9.1.2.2 APROXIMACIONES

No obstante las expresiones anteriores, se puede aceptar cualquier otro método dediseño de transferencia de corte para calcular el área de corte por fricción, siempre y cuando que

sea concordante con los resultados de ensayos experimentales representativos.

Las siguientes expresiones permite obtener una estimación mas aproximada de la

resistencia a la transferencia de corte:

i. Armadura de corte por fricción perpendicular al plano de corte;

18.0 K A f AV c yvf n +=

ii. Armadura de corte por fricción inclinada al plano de corte;

f c f f yvf n sen K A sen f AV ααα 2

1)cos8.0(8.0 ++=

Finalmente, se destaca que en las expresiones anteriores, el primer término

representa la fricción a la resistencia por corte, y el segundo término representa la resistencia al

corte de las protuberancias en la cara de la grieta y la acción de la trabazón de la armadura.

donde : V n, Avf , f y ,: definidos anteriormente.

Ac : Área de la sección de hormigón, que resiste la transmisión de corte, medido en

[mm2 ].

K 1: Parámetro de valar 2.8 [MPa] para hormigón de densidad normal, 1.5 [MPa] parahormigón liviano en todos sus componentes; y 1.7 [MPa] para hormigón liviano

con arena de peso normal.

αf : ángulo entre la armadura de corte por fricción y el plano de corte supuesto.

9.1.3 LIMITACIONES PARA LOS MATERIALES

En todos los casos anteriores, la resistencia nominal del hormigón V n debe limitarse

a los siguientes valores (expresiones que limitan el máximo refuerzo de acero):

] N [ AV

] N [ A f V

cn

ccnr

5.5

'20.0

≤

≤

donde: Ac : en [mm2 ].

f’ c en [MPa].

Además, el acero utilizado para el refuerzo por corte por fricción debe cumplir con la

siguiente restricción:

][MPa f y 420≤



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9.1.4 RECOMENDACIONES PRÁCTICAS

En el diseño de estos elementos, se deberán tener en cuenta las siguientesrecomendaciones:

1. La tracción neta a través del plano de corte debe ser resistida mediante armadura

adicional, es decir, existe armadura para tracción superpuesta a la armadura por

corte por fricción. Ejemplo: cartelas.

2. La armadura de corte por fricción debe colocarse adecuadamente a lo largo de

todo el plano de corte; si no hay momento actuante, colocar una distribución

uniforme de las barras, y si existe momento, esta armadura debe distribuirse en la

zona traccionada por flexión.3. Adicionalmente, esta armadura debe estar anclada a ambos lados del plano de

corte, para desarrollar la tensión de fluencia de las barras. A veces, es necesario

diseñar detalles especiales de anclajes (placas soldadas, perfiles, o barras

transversales). El hormigón donde se ancla la armadura debe estar confinado, el

cual es provisto por estribos de vigas o columnas, hormigón externo o armadura

especialmente dispuesta para ello.

4. Cuando se hormigona sobre hormigón endurecido previamente, la interfaz donde

se produce la transferencia de corte debe estar limpia y libre de lechada (seguir las

recomendaciones para tratamientos de juntas frías). Además, cuando se utiliza un

hormigón con µ = 1.0 λ, la interfaz debe ser rugosa, ± 5 [mm] (por ejemplo,

trabajando el hormigón cuando esta fraguando y en estado plástico).

5. Cuando existe una interfaz entre acero y hormigón, el acero debe colocarse limpio

y libre de pintura, debido a que se experimento con acero sin pintura.

9.1.5 FUERZA NORMAL

Las ecuaciones para la resistencia nominal del hormigón V n, tanto para armadura

perpendicular como para inclinada, asumen que no hay otras fuerzas de corte actuando en el

mismo plano de corte. Sin embargo, una cierta cantidad de momento esta casi siempre presente

en cartelas y otras conexiones debido a la excentricidad de las cargas o momentos aplicados a

estas conexiones. Cuando el momento actúa en un plano de corte, la tensión de tracción por

flexión y la tensión de compresión por flexión se encuentran en equilibrio; no hay cambios en la

resultante de compresión Avf f y que actúa a través del plano de corte y la resistencia a la

transferencia de corte no cambia; por lo tanto, no es necesario proveer armadura adicional para

resistir las tensiones de tracción debido a la flexión, a menos que el refuerzo por tracción por



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flexión exceda la cantidad de acero provista para la transmisión del corte en las zonas de tracción

por flexión.

Se recomienda, aunque no es generalmente requerido, que el elemento sea

diseñado para una tracción mínima de N uc = 0.2V u en adición al corte, a no ser que la fuerza actual

sea conocida.

Finalmente, el refuerzo de tracción requerido debido a la excentricidad de las cargas,

es determinado de manera normal.

Luego, el área de acero y el esfuerzo normal se determinara mediante las siguientes

expresiones:

uuc

y

ucn

ucn

ynn

V N

f

N A

N N f A N

2.0

)(

≥

=

≥

=

φ

φφφ

donde: N n: Resistencia nominal de tracción.

N uc : Fuerza de tracción mayorada que actúa simultáneamente con V u sobre la

ménsula o cartela. Para esfuerzos de tracción, considerar N uc >0

An: Área de la armadura no pretensada en tracción.



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9.2 DISPOSICIONES ESPECIALES PARA MENSULAS Y CARTELAS

Las ménsulas y cartelas corresponden a voladizos, los cuales tienen una razón de

luz de corte a altura útil, 1.0 ≤d a / . Estos elementos actúan como enrejados simples o vigas de

gran altura, más que como elementos a flexión sometidos a corte. Se utilizan generalmente en

naves industriales, soportes de puentes-grúas, o en la construcción de elementos prefabricados.

Las cartelas de hormigón armado pueden fallar por uno de los siguientes

mecanismos:

(1) falla por corte en la unión columna y cartela (shear plane).

(2) fluencia de la armadura a tracción (tensión tie).(3) aplastamiento o hendimiento del “puntal” de compresión (compresión strut).

(4) falla localizada de aplastamiento o corte bajo la placa de apoyo o de carga (localized

bearing).

Fig. “Cartela: Fuerzas actuantes y brazos de aplicación de estas fuerzas. Identificación de las

posibles fallas”



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9.2.1 REQUISITOS PARA EL DISEÑO DE CARTELAS

Los requisitos geométricos y de fuerzas para una cartea o ménsula corresponden a

los siguientes:

i. Relación a/d ≤ 1.0

Se utiliza como valor limite la relación a/d ≤ 1.0, debido que para otras

dimensiones las grietas diagonales de tracción están menos inclinadas, y el uso

de armadura horizontal para corte puede no ser suficiente. El ACI 318-99 ha

validado experimentalmente estas expresiones para relaciones de a/d ≤ 1.0.

Sin embargo, para relaciones de a/d ≤ 2.0, la nueva norma ACI 318-02 permite

utilizar los requisitos establecidos por el método de Modelos de Bielas y Tirantes

(ver apéndice A).

Finalmente, si la relación a/d > 2.0, las cartelas se deben diseñar como si fueran

voladizos, aplicando los criterios para flexión y corte.

ii. 0.2 Vu N uc ≤ V u

Metodología validada experimentalmente para esta relación, y considerada para

tomar en cuenta el comportamiento incierto de las uniones deslizantes y/o

apoyos flexibles.iii. hbe ≥ 0.5 d

Evita la ocurrencia de una falla prematura, debido a una grieta de tracción

diagonal que se propaga desde el área de apoyo hacia la cara exterior inclinada

de la cartela o ménsula

donde: a: distancia entre la cara de apoyo y la carga aplicada sobre la cartela.

d: altura útil de la sección, medido en la cara de apoyo

N uc : esfuerzo horizontal de tracción

hbe: altura en el borde exterior del área de apoyo.



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Fotografía “Detalle de columna con cartelas en varias direcciones, que soporta vigas prefabricadas

de hormigón. Nótese la Union de estos elementos en segunda fase”.

9.2.2 DISEÑO SECCIÓN CARA DE APOYO

Para el diseño de una cartela de hormigón, el procedimiento que se debe seguir es

el siguiente:

1. SECCION CRÍTICA

La sección critica para el diseño de una cartela o ménsula es tomada en la cara del

apoyo de ella.

2. SOLICITACIONES

La sección de la cara de apoyo de la cartela se encuentra sometida a las siguientes

solicitaciones de corte, momento y tracción y debe ser diseñado para resistir estos esfuerzos

simultáneamente:

i. Corte: V u (área Avf )

ii. Momento: V u a + N uc (h - d) (área Af )

iii. Tracción: N uc (área An )

3. COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DE LA RESISTENCIA

Para el diseño de la cartela y ménsulas, según se utiliza un solo factor de reducción

para todas las solicitaciones presentes, debido a que el comportamiento esta controlado

principalmente por corte.

Para el ACI 318-99 se debe considerar un coeficiente igual a φ = 0.85; y para el ACI

318-02, el coeficienteφ cambia a un valor de 0.75.



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4. ARMADURA POR CORTE POR FRICCIÓN, Avf

:

El diseño de la armadura al corte por fricción Avf para resistir el esfuerzo de corte V u

debe cumplir con los requisitos dados por Corte por fricción (ver 9.1.2).

Las limitaciones para la resistencia nominal del hormigón V n es función del tipo de

hormigón a usar:

i. Hormigón normal:

] N d[ b.V

] N d[ b f' .V

wn

wcnr

55

200

≤

≤

ii. Hormigón liviano, en todos sus componentes o con arena normal:

] N d[ )bd

a..( V

] N d[ b )f' d

a..( V

wn

wcn

r

r

9155

070200

−≤

−≤

donde: f’c en [MPa];

bw , d, y a en [mm]

5. ARMADURA PARA FLEXIÓN, Af :

El diseño por flexión se debe realizar según el método de rotura (flexión), para unmomento de diseño de Momento = V u a + N uc (h - d); encontrando el área de flexión Af para la

ménsula. No olvidar usar φ = 0.85 si se usa el ACI 318-99.

6. ARMADURA PARA TRACCIÓN, An:

Se utiliza la siguiente relación para encontrar el área a tracción (ver punto 9.1.4):

ynuc f A N φ≤

Además, se debe cumplir la relación uuc V N 2.0≥ , a menos que se tomen

disposiciones especiales para evitar los esfuerzos de tracción.La fuerza N uc se debe considerar como sobrecarga, y para mayorar estas cargas,

usar coeficiente de 1.7, según el ACI 318-99.

7. ARMADURA DISPUESTA, As:

Una vez calculados todas las áreas necesarias, la armadura de tracción primaria As

dispuesta en la cartela debe ser el máximo valor de:



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y

c s

nvf

n f

s

f

f

bd

A

A A

A A A

'04.0

3

2 maximo

minimo ≥=

+

+

=

ρ

Nótese que al limitar el valor de ρminimo, se tiende a evitar una falla súbita, en caso de

que la cartela se agriete bajo la acción del momento de flexión y la fuerza externa de tracción (se

asegura el comportamiento dúctil bajo los efectos de M u y N u ).

Fig. “Armaduras de refuerzo en una cartela, y principales disposiciones de diseño”

8. ARMADURA REPARTICIÓN, Ah:

En una distancia de 2/3d medido desde el borde superior de la sección de la cartela,

se deben colocar estribos cerrados o amarras paralelas a la armadura principal As, donde lacuantía de la armadura horizontal Ah debe cumplir con la expresión siguiente:

)(5.0 n sh A A A −≥

donde: Ah: área de la armadura por corte paralela a la armadura de tracción.

Como comentario final a las armaduras de la cartela, se destaca que los ensayes

realizados establecen que la cantidad total de armadura )( h s A A + que debe cruzar la cara de

apoyo de la cartela debe cumplir con la siguiente expresión:



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)5.1()(

)()(

n f h s

nvf h s

A A A A

A A A A

+≥+

+≥+

9. ANCLAJE DE LA ARMADURA:

En la cara frontal de la cartela, la armadura principal As debe anclarse por alguna de

las siguientes formas:

i. por soldadura estructural a una barra transversal, de igual o mayor diámetro.

ii. por doblado de las barras principales de tracción, para formar un lazo horizontal.

iii. por anclaje activo.



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9.3 VIGAS ALTAS

9.3.1 DISPOCISIONES CODIGO 318-02

Las vigas de gran altura son elementos cargados en una cara y apoyados en su

cara opuesta, de manera tal que se pueden desarrollar puntales entre las cargas y los soportes, y

que cumplan:

i. luz libre , l n, 4 altura total elemento.

ii. regiones cargadas con cargas concentradas a menos de 2 altura del elemento

medido desde la sección de apoyo.

Si las cargas se aplican a los lados o por la parte inferior de cualquier elemento, el

diseño por corte debe ser igual que para vigas corrientes (tracción diagonal).

Se destaca el hecho de que en la versiones anteriores del ACI 318-02, existía una

diferencia entre la definición para la clasificación de vigas altas sometidas a flexión (articulo 10.7.1)

y sometidas a corte (articulo 11.8.1), debido a que se basaban en publicaciones de los años 1946

y 1953. Este conflicto es solucionado en la nueva versión de la norma ACI 318-02, la cual esta

basado en el comportamiento de la región-D (ver método de bielas y tirantes, en el Apéndice A).

Estas vigas deben ser diseñadas considerando la distribución no lineal de lasdeformaciones unitarias, o a través del método de bielas y tirantes (ver Anexo A del código de

diseño). Además, a través de este ultimo método, se pueden diseñas las vigas altas

independientemente de la forma en que son cargadas y apoyadas

9.3.1.1 RESISTENCIA NOMINAL AL CORTE, V n

La resistencia nominal al corte V n de estos elementos no debe ser mayor que la

siguiente expresión:

d w

bc

f n

V '6

5≤

Este valor cambio con relación a las ediciones anteriores, debido la revisión de esta

parámetro, a partir de nuevos ensayos.

9.3.1.2 ARMADURAS MÍNIMAS

En las vigas altas para corte, la armadura al corte debe cumplir con los siguientes

requisitos:

i. Armadura mínima perpendicular a la luz:

La armadura de corte perpendicular a la luz (o vertical) Av , debe cumplir con:

Av ≥ 0.0025 bw s;



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y el espaciamiento de esta armadura debe satisfacer:

cm305/d s ≤

ii. Armadura mínima paralela a la luz:

La armadura horizontal paralela a la luz (u horizontal), Avh, debe cumplir con:

Avh ≥ 0.0015 bw s2


cm30

5/2

d s ≤

donde: Av : Armadura por corte perpendicular a la armadura de tracción por flexión, dentrode una distancia s.

Avh: Armadura por corte paralela a la armadura de tracción por flexión, dentro de una

distancia s2 .

Con respecto a la versión de la norma ACI 318-99, estas expresiones de armaduras

mínimas horizontales y verticales han sido intercambiadas, a partir de resultados de ensayos

donde se han demostrado que la armadura vertical para corte es más efectiva que la armadura

horizontal para corte. Además, se ha modificado y reducido el espaciamiento de ambas armaduras

a 300 [mm], con el fin de restringir el ancho de las grietas.

Fotografía “Ejemplo de una viga de amarre perteneciente a una cepa de un puente carretero,

diseñada como viga alta”



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9.3.2 DISPOSICIONES ESPECIALES DE CORTE PARA ELEMENTOS DE GRAN

ALTURA SOMETIDOS A FLEXIÓN, SEGÚN ACI 318-99Las disposiciones especiales de corte para elementos de gran altura sometidos a

flexión, contenidas en ACI 318-99 Capitulo 11.8 son válidas para las siguientes condiciones6 :

iii. 5≤d

l n

iv. Elementos cargados en una de sus caras y soportados en su cara opuesta, tal que,

se producen puntales de compresión entre cargas y apoyos. Si las cargas se aplican

a los lados o por la parte inferior de cualquier elemento, el diseño por corte debe ser

igual que para vigas corrientes (tracción diagonal).

donde l n: luz libre, medida entre cara y cara de los apoyos.

d: altura libre de la viga

.

La armadura longitudinal deberá prolongarse a los apoyos y anclarse

adecuadamente por medio de una longitud embebida, ganchos o soldaduras a dispositivos

especiales. No se recomienda utilizar barras diagonales.

Si el termino d

l n disminuye, la resistencia al corte del hormigón V c aumenta por

sobre el corte que provoca el agrietamiento diagonal de tracción (inclinación del agrietamiento

diagonal > 45º); por lo tanto, en vigas altas se debe colocar armadura para tomar tanto el corte

horizontal como el corte vertical.

9.3.2.1 DISEÑO AL CORTE

El diseño por corte de elementos de gran altura simplemente apoyados, sujetos a

flexión, debe basarse en las siguientes expresiones:

scn

un

V V V

V V

+=≥φ

El diseño por corte de elementos continuos de gran altura, sujetos a flexión, se

realiza de acuerdo a los procedimientos regulares de diseño de vigas, excepto en la definición de

la zona critica.

6 Para elementos de gran altura a flexión, ver ACI 10.7.1



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9.3.2.2 RESISTENCIA AL CORTE V n

La resistencia nominal al corte V n, esta dada por las siguientes expresiones:

i. d wbc f

nV 3

'2 ≤≤ 2

d nl

ii. d wbc' f )( nV d nl 5

d nl +≤≤< 10

18

12

donde: V n medido en [MPa]

(equivalentemente en [kg] y [cm], se tiene: d wbc f nV ')10(18.0 d nl +≤ )

9.3.2.3 RESISTENCIA AL CORTE V c

La resistencia al corte proporcionado por el hormigón V c , esta dada por las

siguientes expresiones:

i. Calculo Normal:

d wbc' f

cV 6

=

ii. Calculo Detallado:

d wbu M

d uV wc' f

)d uV

u M ..( cV 7

120

5253

ρ+

−=

(Equivalentemente en [kg] y [cm], se tiene: d b M

d V f

d V

M V w

u

uwc

u

uc )176'5.0)(5.25.3( ρ+−= )

donde: 5.25.25.3 ≤−d V

M

u

u

d b f V wc

c2'≤

(Equivalentemente en [kg] y [cm], se tiene: d b f V wcc '6.1≤ )

M u: Momento mayorado producido con V u en sección crítica.

d b

A

w

sw =ρ

f’ c en [MPa]; bw y d en [mm], y V c en [N].



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9.3.2.4 SECCIÓN CRITICA

Las secciones críticas para el corte medida desde la cara del apoyo, corresponden alas siguientes:

i. Vigas con carga uniforme: 0.15 l n

ii. Vigas con cargas concentradas a una distancia “a”: 0.50 a ≤ d

donde: a: luz de corte, distancia entre la carga concentrada y la cara de apoyo.

Cabe destacar que la armadura por corte requerida por la sección crítica es válida

en toda la viga.

9.3.2.5 ARMADURA AL CORTE

Si se cumple la relación V u ≥ φ V c , debe armarse la viga para tomar los esfuerzos de

corte. La resistencia proporcionada por el acero para tomar estos esfuerzos de corte, debe

evaluarse por la siguiente expresión7 :

d f d

l

s

Ad

l

s

AVs y

n

vh

n

v

−

+

+

=12

11

12

1

2

donde: Av , s, Avh, y s2 . y definidos con anterioridad.

9.3.2.6 ARMADURA MÍNIMA

En las vigas altas para corte, la armadura al corte debe cumplir con los siguientes

requisitos:

i. Armadura mínima vertical:

La armadura vertical por corte por cara Av, debe cumplir con:

Av ≥ 0.0015 bw s;


cm

/ d s

50

5≤

ii. Armadura mínima horizontal:

La armadura horizontal por corte por cara, Avh, debe cumplir con:

Avh ≥ 0.0025 bw s2

7 No olvidar que se trata de vigas simplemente apoyadas



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cm / d s

5032 ≤

iii. Resistencia al corte, utilizando armaduras mínimas:

La resistencia proporcionada por el acero para tomar los esfuerzos de corte (ver

punto 9.3.5), reemplazando los valores de acero horizontal y vertical por los valores

para las armaduras mínimas horizontal y vertical definidas anteriormente (ver punto

9.3.6), se reduce a la siguiente expresión, medida en [kg] y [cm]:

( )12

001.0029.0 yw

n s

f bl d V −=

Fig. “Vigas altas: Principales detalles de diseño para vigas altas”



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9.3.3 ELEMENTOS DE GRAN ALTURA SOMETIDOS A FLEXIÓN

9.3.3.1 DISPOSICIONES ACI 318-02

Las vigas de gran altura son elementos cargados en una cara y apoyados en su

cara opuesta, de manera tal que se pueden desarrollar puntales entre las cargas y los soportes, y

que cumplan:

v. luz libre , l n, 4 altura total elemento

vi. regiones cargadas con cargas concentradas a menos de 2 altura del elemento

medido desde la sección de apoyo

Estas vigas deben ser diseñadas considerando la distribución no lineal de lasdeformaciones unitarias, o a través del método de bielas y tirantes (Anexo A). Además, no olvidar

las consideraciones de pandeo lateral.

En la versiones anteriores del ACI 318-02, existía una diferencia entre la definición

para la clasificación de vigas altas sometidas a flexión (articulo 10.7.1) y sometidas a corte (articulo

11.8.1), debido a que se basaban en publicaciones de los años 1946 y 1953. Este conflicto es

solucionado en la nueva versión de la norma ACI 318-02, la cual esta basado en el

comportamiento de la región-D (ver método de bielas y tirantes).

9.3.3.2 DISPOSICIONES ACI 318-99

Los elementos sometidos a flexión cuya razón entre altura total y luz libre es mayor

de 2/5 para tramos continuos, ó de 4/5 para tramos simplemente apoyados, deben diseñarse

como elementos de gran altura sometidos a flexión, tomando en cuenta la distribución no lineal de

las deformaciones y el pandeo lateral. (nota: dependiendo de los valores de l n /d, existen casos en

que una viga puede ser considerada como viga alta para corte pero no como viga alta para

flexión).

La resistencia al corte de elementos de gran altura debe estar de acuerdo con la

sección 11.8 del ACI 318-99, vista anteriormente en este capitulo.

La armadura mínima de tracción por flexión debe cumplir con la

expresión: d b f

d b f

f A w

y

w

y

c

s

4.1

4

'min,

≥= .

Ffinalmente, las armaduras mínimas horizontales y verticales de las caras laterales

de estas vigas, debe también cumplir con los requisitos para vigas altas sometidas a corte.

Cabe destacar que el código de diseño ACI 318 no contiene requisitos detallados

para diseñar por flexión vigas de gran altura, excepto que debe considerarse la variación no lineal



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Doc: 2005 Hormigon 09 - IC 507 256

de la distribución de deformaciones y el pandeo lateral.

Para el diseño propiamente tal, se puede revisar la metodología propuesta en

“Concreto Reforzado”, Edward G. Nawy, o las referencias indicadas en la ACI 318.

9.3.4 OTRAS DISPOSICIONES PARA VIGAS ALTAS

Si la altura útil de una viga mide más de 1.00 [m] (ó 3 [feet]), según unidades

americanas), debe distribuirse uniformemente armadura superficial longitudinal (o armadura de

piel) en ambas caras laterales del elemento en una distancia d/2 cerca de la armadura de tracción

por flexión; la razón de esta recomendación es que experimentalmente se ha visto que en la mitad

de la altura de las vigas altas o cerca de esta zona, el ancho máximo de fisuras por flexión puede

ser 2 o 3 veces más grande que el ancho de la misma fisura en la fibra en tensión donde se origina

dicha fisura.

Según el código ACI 318-99, el área necesaria de armadura longitudinal Ask por

metro de altura en cada cara lateral debe satisfacer la siguiente expresión:

Ask ≥ 1.0 (d - 750 )

donde: d medido en [mm]

Ask medido en [mm2 ]

Fig. “Armadura de piel para vigas altas, sometidas a momentos positivos: ancho de

fisuras y ubicación de armadura”



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9.3.4.1 OTROS REQUISITOS DE DISEÑO

1. El espaciamiento máximo de la armadura superficial debe ser menor que losvalores d/6 ó 300 [mm].

2. Se destaca que el código ACI 318-02 agrega una condición al espaciamiento:

)762(

1000

−d

Ab , del cual sale expresión indicada anteriormente para la armadura lateral

Ask .

3. El área total de armadura superficial longitudinal en ambas caras no necesita

exceder la mitad de la armadura de tracción por flexión requerida.

4. Si se requiere más armadura para vigas altas o muros, sus disposiciones de

cuantía y espaciamiento prevalecen por encima de estas.

No olvidar que el objetivo de esta armadura es controlar el agrietamiento en el alma

(superficie exterior); si no se coloca dicho acero auxiliar, el ancho de las grietas dentro del alma

puede exceder en gran medida el ancho de las grietas al nivel de la armadura de tracción por

flexión.



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9.4 DISPOSICIONES ESPECIALES DE CORTE PARA MUROS

Todos los muros requieren armadura por corte, horizontal y vertical. Los muros con

una relación altura / longitud pequeña están controlados principalmente por el corte en el plano del

muro (donde es mas efectiva la armadura vertical que la horizontal); en cambio, en los muros altos,

en particular con armadura uniformemente distribuida, es mas importante los esfuerzos de flexión.

Para esfuerzos de corte perpendiculares a la cara del muro, se debe diseñar según

las disposiciones para losas (ver punto 9.5).

Para esfuerzos de corte horizontal en el plano del muro se diseña de acuerdo a lo

establecido en este punto.

Adicionalmente, el código ACI 318-02 permite diseñar los muros con una altura

máxima ≤ 2 veces el largo del muro a través del método de bielas y tirantes (apéndice A, ACi 318-

02) y las restricciones y los valores para cuantía y espaciamiento para armadura horizontal y

vertical para corte, dados en este capitulo.

Para el diseño a flexión de los muros, se deben seguir las recomendaciones

establecidas en el capitulo 14 del código ACI 318.

9.4.1 RESISTENCIA AL CORTE V n

Las ecuaciones de diseño para los esfuerzos de corte horizontal en el plano del

muro, según el método de rotura, esta dadas por las expresiones siguientes:

scn

un

V V V

V V

+=

≥φ

La resistencia nominal al corte en cualquier sección horizontal para corte, V n, esta

dada por la expresión:

hd

f

V

c

n 6

'5

≤

donde: h: espesor total del muro

d = 0.8 l w para el diseño de corte horizontal en el plano del muro. Si se realiza un

análisis de compatibilidad de deformaciones, se puede utilizar igual a la

distancia de la fibra extrema en compresión a la resultante de las fuerzas de

todas las armaduras en tracción.

l w : longitud horizontal del muro.


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Fig. “Geometría de un muro sometido a corte”

9.4.2 RESISTENCIA AL CORTE V c

1. La resistencia al corte dada por el hormigón, V c , debe cumplir con:

i. Muros sujetos a N u en compresión:

hd f

V c

c6

'≤

ii. Muros sujetos a N u en tracción:

06

')

3.01( ≥+= hd

f

A

N V

c

g

uc

2. Por otro lado, V c también se puede calcular como el menor valor dado por:

w

uc

cl

d N hd

f V

44

'+=

hd l

V

M

hl

N f l

f V

w

u

u

w

ucw

c

c

÷

−

+

+= 10

2

)2'(

2

'

donde: N u es negativo para tracción.


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Si 02


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9.4.4.2 ARMADURA VERTICAL

La cuantía de armadura vertical de corte referida al área total del hormigón de una

sección horizontal, ρ n, debe cumplir que:

hn

h

w

wn . ). )(

l

h.( ..

ρ ρ

ρ ρ

≤

≥−−+≥ 0025000250525000250

donde: hw : altura total de un muro, medido desde la base del muro hasta su parte superior.

El espaciamiento de la armadura vertical por corte s1 no debe exceder:

≤

cm

h

/ l

s

w

50

3

3

1

Los muros requieren armadura al corte, tanto vertical como horizontal. En los muros

bajos, la armadura horizontal se vuelve menos efectiva, haciéndose más efectiva la armadura

vertical.


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9.5 DISPOSICIONES ESPECIALES PARA LOSAS Y ZAPATAS

Una carga muy grande aplicada a una losa o a una fundación dentro de un área

muy pequeña puede causar una falla por corte por punzonamiento. Las áreas circulares cargadas

producen superficies cónicas de fallas y las áreas rectangulares producen superficies de forma

piramidal. Esta plano de falla es producido por la tensión diagonal de tracción creada por la tensión

de corte en el elemento adyacente a la carga, la cual se origina como una combinación de la

tensión vertical de compresión debido a la carga externa, fisuramiento del hormigón traccionado de

la losa por el momento, y compresión biaxial debido a la flexión en 2 direcciones.

Fig. “Forma de la falla por punzamiento en una fundación”

Fig. “Superficies de falla por punzonamiento teórica (izquierda) y superficie asumida (derecha)”

Basado en experimentación, el Código del ACI especifica un procedimiento de

diseño empírico para evaluar la resistencia al corte por punzonamiento, el cual establece que la

falla ocurre en una superficie vertical ficticia ubicada a una distancia d/2 de las caras de las

columnas. Además, el perímetro de la superficie de falla es similar en forma a la columna o área

cargada.


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espesor efectivo de la losa, pero se puede simplificar e independizarse de esta relación si se

considera una sección seudocritica, localizada en una distancia d/2 a partir de la periferia de la

carga concentrada.

Para las columnas cuadradas o rectangulares, cargas concentradas, o áreas de

reacción, se permiten secciones críticas con cuatro lados rectos, a una distancia d/2 de los bordes

de área de carga. Para las columnas de borde, en donde la losa se extienda en voladizo más allá

de la columna, el perímetro crítico será o bien de tres o bien de cuatro lados.

Para losas de espesor uniforme es suficiente verificar el corte en una sección, y

cuando se tiene espesores distintos (bordes de ábacos) se verifica el corte en varias secciones.

9.5.2 RESISTENCIA AL CORTE DEL HORMIGON

El diseño de una losa o una zapata con comportamiento en dos direcciones está

basado en las ecuaciones básicas del método de rotura:

un V V ≥φ

scn V V V +=

Por otra parte, el valor de la resistencia al corte del hormigón para losas y zapatas

no pretensadas debe ser evaluado como el menor valor de:

i.

d b f

V oc

c

c6

21

')(

β +=

Esta ecuación tiene en cuenta la variación que se produce en el esfuerzo de corte

en la sección critica cuando la relación β c es mayor que 2.0, donde la falla de falla de corte por

punzonamiento varía desde 3

c f '

hasta 6

c f '

o menos.

ii.d b

f

b

d

V oc

o

s

c122

'

)( +=

α

Esta ecuación muestra como el valor de V c disminuye a medida que se incrementa

la relación bo /d.

iii.d b

f V o

c

c3

'=

donde: bo: perímetro de la sección critica para losas y zapata, en [mm].

β c : razón del lado largo al lado corto de la columna, la carga concentrada, o el área

de reacción.


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α s: constante que tiene un valor de 40 para columnas interiores (4 lados), 30 para

columnas de borde (3 lados), y 20 para columnas en esquina (2 lados).d: profundidad efectiva de la losa o fundación.

Para formas distintas de la rectangular, el valor de β c se toma como la razón entre la

dimensión más larga del área cargada y la mayor dimensión del área cargada medida

perpendicularmente a la primera. El área efectiva cargada es aquélla que encierra totalmente el

área real, y para la cual el perímetro es mínimo.

Fig. “Valor de β c para área de carga no rectangular”

9.5.3 RESISTENCIA NOMINAL V n y RESISTENCIA DEL ACERO V s

La resistencia nominal al corte V n se debe calcular de manera habitual, es decir,

con la expresión scn V V V += , y se debe cumplir las siguientes restricciones para V n y V c

respectivamente:

i. d b f V ocn '5.0≤

ii. d b f

V oc

c6

'=


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Doc: 2006 Hormigon 09 - IC 507 266

El valor de la resistencia al corte proporcionado por el acero V s y el área de la

armadura requerida Av debe ser calculado de manera habitual, es decir, se tiene:

s

d f AV V V V

yv

c scu

φ φ φ φ +=+≤

ó alternativamente, se tiene:

d f

V V A

y

cuv

φ

φ −≥

donde: φ : 0.85 (valor valido solo para el código ACI 318-99), por tratarse de esfuerzos de

corte

Av : área requerida al corte por punzonamiento. Para columnas interiores, el área

requerida por lado es Av /4; para columnas de borde es Av /3; y para columnas en

esquinas es Av /2. Esta armadura debe ser colocada simétricamente con respecto

a la columna en ubicación, número y espaciamiento, las cuales deberán estar

bien ancladas.

Fig. “Detalle típico de estribos en losa: usados solo si son cerrados y encierran una barralongitudinal en cada esquina (ver anclajes en estribos en ACI318 12.3”


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Fig. “Detalle típico de estribos de corte en una columna interior”


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X. PANDEO O COLUMNAS ESBELTAS


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CONTENIDO

X. PANDEO O COLUMNAS ESBELTAS .....................................................................................272

10.1 INTRODUCCION....................................................................................................................272

10.2 EVALUACIÓN APROXIMADO EFECTOS DE ESBELTEZ..............................................276

10.2.1 LONGITUD NO APOYADA l u .......................................................................................................276

10.2.2 FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA DE ELEMENTOS EN COMPRESION .......................277

10.2.2.1 CASO GENERAL....................................................... ............................................................ ................... 277

10.2.2.2 GRÁFICOS DE JACKSON Y MORELAND.................... .................................................................... ...... 278

10.2.2.3 EXPRESIONES APROXIMADAS PARA k................................................................................. ............... 281

10.2.3 RADIO DE GIRO............................................................................................................................281

10.2.4 RIGIDEZ .........................................................................................................................................282

10.2.5 INDICE DE ESTABILIDAD DE UN PISO ..................................................................................284

10.2.6 AMPLIFICADOR DE MOMENTOS PARA FLEXION BIAXIAL..............................................285 10.3 LIMITES PARA CONSIDERAR EFECTOS DE ESBELTEZ.............................................286

10.3.1 LIMITE INFERIOR .......................................................................................................................286

10.3.1.2 COLUMNA ARRIOSTRADA................................................................................................... .................. 286

10.3.1.2 COLUMNA NO ARRIOSTRADA.............................................................. ................................................ 287

10.3.2 LIMITE SUPERIOR.......................................................................................................................287

10.4 METODO DE AMPLIFICACIÓN O MAYORACION DE MOMENTOS...........................288

10.4.1 MOMENTOS AMPLIFICADOS PARA MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL

(ARRIOSTRADO) ......................................................................................................................................288

10.4.1.1.EXCENTRICIDAD MINIMA ....................................................... ............................................................. 289


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10.4.2 MOMENTOS AMPLIFICADOS PARA MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL (NO

ARRIOSTRADO)........................................................................................................................................290

10.4.2.1 PROCEDIMIENTO DE CALCULO.................................................................................. ........................ 290

10.4.2.2 MOMENTOS EXTREMOS............................................................. ........................................................... 291

10.4.2.3 CALCULO DE δ S M S .................................................. ........................................................... .................... 291

10.4.2.4 UBICACIÓN DEL MAXIMO MOMENTO ............................................................. .................................. 292

10.4.2.5 ESTABILIDAD ESTRUCTURAL BAJO CARGAS GRAVITACIONALES ................................................ 293

10.4.2.6 AMPLIFICADOR DE MOMENTOS PARA ELEMENTOS EN FLEXION ............................................... 294


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X. PANDEO O COLUMNAS ESBELTAS

10.1 INTRODUCCION

El objetivo principal del diseño de una columna es seleccionar una sección

transversal con refuerzo para una combinación específica de una carga axial mayorada P u y un

momento mayorado M u (momento primario), incluyendo consideración de esbeltez (momento

secundario).

El ACI 318 establece que el diseño de los elementos en compresión, vigas de

arriostramientos y otros elementos de apoyo, deben hacerse con las fuerzas y momentos

mayoradas, resultantes de un análisis de 2do orden, que considera la no linealidad del material, el

agrietamiento, efectos de la curvatura del elemento, desplazamiento lateral, duración de las

cargas, retracción y fluencia lenta, excepto cuando se ocupe algún método aproximado de diseño.

Para límites moderados de pandeo, el método aproximado de Mayoración de

Momento es propuesto por la norma ACI 318, cuyo origen data de la versión del ACI 318–71. La

idea central de este método es mayoral los momentos con el fin de incluir los efectos del pandeo

en el diseño; si se supera un valor de pandeo moderado, esto implica un análisis de 2º orden.Las columnas se pueden clasificar en función de su esbeltez, por lo cual se tiene la

siguiente clasificación:

i. Columna corta:

Columna donde la resistencia es igual a la calculada para la sección transversal,

usando las fuerzas y momentos obtenidos de un análisis para momento M y

esfuerzo axial P (no hay reducción de su resistencia).

ii. Columna esbelta:

Una columna se dice esbelta (slender) si las dimensiones de su sección transversalson pequeñas en comparación con su longitud, y su resistencia es reducida por

deformaciones de 2º orden (momentos secundarios).

Los grados de pandeo de una columna (slenderness), son expresados en términos

de la razón:

r

kl u


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 273

donde: k: factor de longitud efectiva, función de las condiciones de apoyo y de sus

arriostramientos (restricciones rotacionales y laterales en los extremos de la

columna).

l u: longitud sin apoyo lateral de un elemento en compresión.

r: radio de giro de la sección transversal

g

g

A

I r =

La carga axial P provoca una deformación ∆ en la columna, lo cual hace aparecer

un momento secundario.

Fig. “Columnas esbeltas: deformación lateral y diagrama de interacción, al

considerar los efectos de pandeo”

Una columna corta puede fallar para una combinación de esfuerzos M y P, que

exceda la resistencia de la sección transversal del elemento en compresión; si se excede esta

resistencia, ocurre falla del material.La falla en una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva

de interacción de resistencia; dependiendo de los valores que toman las solicitaciones M y P; se

tiene:

Falla material:

Los valores de P y M = P (e + ∆ ) interceptan la curva de interacción.

Falla de estabilidad:

Si la columna es muy esbelta, las deflexiones aumentan indefinidamente con

incrementos de P.


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 274

Falla por Pandeo:

La Falla por Pandeo es un concepto básico desarrollado por Euler en 1800. Se dice

que un elemento falla por pandeo cuando este alcanza el valor de carga crítica, P c ,

definido por:

( )22

u

ckl

EI P π =

donde: P c : Carga critica de Euler.

E: Módulo de elasticidad de la columna.

I: Momento de inercia de la sección transversal de la columna.

Según el valor de la resistencia del elemento e compresión, se tiene la siguiente

clasificación:

- Columna corta ó robusta

Columna tal que P c > Resistencia directa al aplastamiento (falla del material)

- Columna esbelta

Columna cuya falla se produce por efectos de pandeo; en este caso, se supera

el valor de P c .

Fig. “Carga de Falla en función de la esbeltez de una columna. Se distingue la falla

por aplastamiento y por pandeo del elemento en compresión”

(aplastamiento) (pandeo)


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 275

Se puede representar los efectos de esbeltez y el momento amplificado con

diagramas de interacción, en función de la esbeltez de la columna, tal como se muestra en la

siguiente figura:

Fig. “Diagrama de Interacción, para columnas esbeltas. Se observa como a mediad

que aumenta la esbeltez, el diagrama de interacción se hace mas pequeño”

Finalmente, la resistencia del diagrama de interacción para una esbeltez de 0r ukl =

corresponde a la combinación de M y P, donde la resistencia del elemento en compresión no es

afectada por miembros esbeltos (columna corta).


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 276

10.2 EVALUACIÓN APROXIMADO EFECTOS DE ESBELTEZEl método de Amplificación ó Mayoración de Momentos utiliza un factor de

amplificación de momentos δ para amplificar el momento primario, y así tomar en cuenta

momentos incrementados debido a la curvatura de los elementos y el desplazamiento lateral.

El factor de amplificación ó mayoración δ depende principalmente de:

- relación entre P / P c .

- relación entre M 1 /M 2 , donde M 1 y M 2 son los momentos en los extremos de la

columna.

- forma flexionada de la columna.

- arriostramientos de la columna.

- longitud libre de la columna.

- razón de esbeltezr ukl

10.2.1 LONGITUD NO APOYADA l u

La longitud no apoyada l u de un elemento en compresión es igual a la distancia libre

entre losas de piso, vigas u otros elementos capaces de proporcionar apoyo lateral en la dirección

que se esté considerando.

Fig. “Longitud no apoyada en columnas, l u”

Dirección

de análisis


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 277

10.2.2 FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA DE ELEMENTOS EN COMPRESION

La longitud efectiva (kl u ) considera las restricciones que existen en los extremos de

las columnas y el arriostramiento para estimar el desplazamiento lateral y corresponde a la

longitud entre extremos articulados (entre puntos de inflexión o momentos nulos).

Este valor puede ser estimado de muchas maneras, según se trata de columnas

arriostradas o no arriostradas:

- caso general (gráficos).

- gráficos de Jackson y Moreland (arriostrado y no arriostrado).

- expresiones aproximadas.

10.2.2.1 CASO GENERAL

De acuerdo a lo anterior, se tiene los siguientes casos en las columnas para el

cálculo de la longitud efectiva:

Columna Arriostrada:

Fig. “Longitud efectiva, l e, para elementos arriostrados (braced against sidesway)”

En resumen, el valor del factor de longitud efectiva k para elementos arriostrados

varia entre 0.5 y 1.0.


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 278

Columna No Arriostrada:

Fig. “Longitud efectiva, l e, para elementos no arriostrados (not braced against sidesway)”

En resumen, el valor del factor de longitud efectiva k para elementos no arriostrados

será siempre mayor que 1.0.

10.2.2.2 GRÁFICOS DE JACKSON Y MORELAND

Existen monogramas para determinar el valor de k para marcos arriostrados y no

arriostrados de manera mucho mas precisa, denominados Gráficos de Jackson y Moreland, y

que tienen en cuenta la influencia de la rigidez a flexión de las vigas en la longitud efectiva de las

columnas. La intersección de la línea recta que une los 2 valores de ψ, calculado en cada extremo

de la columna, con la línea vertical de k, determina el valor del factor de longitud efectiva de dicha

columna.

Se define el parámetro ψ como la razón entre ∑cl

EI para elementos en

compresión, y de ∑vl

EI para elementos en flexión, en un plano ubicado en uno de los extremos

de un elemento en compresión, es decir, se tiene la expresión:

∑

∑=

v

c

l

EI l

EI

ψ


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 279

donde: l v : longitud de luz de un elemento en flexión, medido de centro a centro de los

nudos.

l c : luz de la columna, medido de centro a centro de nudos.

Situaciones especiales:

- para una columna con un extremo empotrado, considerar un valor de ψ = 0;

- para una columna con un extremo rotulado considerar un valor de ψ = ∞ .

- Columna Arriostrada:

Fig. “Grafico para factores de longitud efectiva en columnas arriostradas”


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 280

- Columna No Arriostrada:

Fig. “Grafico para factores de longitud efectiva en columnas no arriostradas”

Notas:

i. Cuando se calcula el valor del término EI, no se debe considerar el efecto del

parámetro β d .

ii. Para las vigas, se recomienda utilizar un valor para el momento de inercia un valor

de2

g cr

I I = .


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 281

10.2.2.3 EXPRESIONES APROXIMADAS PARA k

Otro método adecuado para determinar los valores de la longitud efectiva k es

calcular estos factores de la longitud a través de las siguientes expresiones, dadas por la norma

ACI 318:

i. Elementos en compresión perteneciente a marcos arriostrados:

Para marcos arriostrados, el valor de k será el más pequeño de las siguientes

expresiones:

01050850

01050700

. )( ..k

. )( ..k

min

ba

≤+=

≤++=

ψ

ii. Elementos no arriostrados en compresión empotrado ambos extremos:

mm

mm

m

.k

k

ψ ψ

ψ ψ

+=⇒≥

+−

=⇒<

19002

120

202

iii. Para elementos en compresión no arriostrados rotulados en un extremo:

3002 ..k +=

donde: ψ a y ψ b valores de ψ al final de la columna.

ψ min: valor mínimo de ψ a y ψ b

ψ m = ( ψ a + ψ b )/2

ψ = valor en el extremo empotrado.

10.2.3 RADIO DE GIRO

El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del centro de

gravedad es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin

cambiar su momento de inercia; el radio de giro es siempre medido desde el centro de gravedad

de la sección.

Según la sección transversal de la columna, el radio de giro también se define por la

expresión:

- Sección genérica: g

g

A

I r =

- Sección rectangular: r = 0.3 h

- Sección Circular: r = 0.25 φ,


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 282

Fig. “Determinación del radio de giro de una sección transversal”

Ejemplo de aplicación:Para una sección rectangular, es desarrollo del radio de giro se tiene:

hr

hhr

bh x

bh

A

I r

3.0

1212

1

12

2

3

≈

==

==

10.2.4 RIGIDEZ

Para consideraciones del comportamiento que tiene el fenómeno de pandeo, el

termino que refleja la rigidez de estos elementos sometidos a compresión se ven afectados, debido

a que las zonas traccionadas de las columnas podrían fisurarse, y por consiguiente, pierden su

capacidad resistente, y deben calcularse tomando en cuenta este efecto, de una de las siguientes

formas:4

i. La rigidez de las vigas o losas, EI, debe ser calculada con base al momento de

inercia de la sección transformada agrietada.

ii. Alternativamente, se puede utilizar para la rigidez de estos elementos lossiguientes valores:

Elemento I

Vigas 0.35 I g

Columnas 0.70 I g

Muros no agrietados 0.70 I g

Muros agrietados 0.35 I g

Placas planas y losas planas 0.25 I g


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 283

iii. Además, la norma ACI 318 permite utilizar las siguientes expresiones para el

término EI:

d

g c

d

se s g c

I E EI

ó

I E I E EI

β

β

+=

+

+=

1

4.0

1

2.0

La primera expresión se encuentra asociadas a pequeñas razones de excentricidad

y altos niveles de carga axial. Si se calculan ambas expresiones, se recomienda

utilizar la que muestre un valor mayor.

El termino (1+ β d ) refleja en las expresiones anteriores la fluencia prematura del

acero en las columnas sometidas a cargas sostenidas.

donde: I g : Inercia de la sección total de hormigón (sin armadura) con respecto a la línea

neutra.

I se: Inercia de la armadura con respecto a la línea neutra de la sección.

E c : Módulo de elasticidad del hormigón.E s: Módulo de elasticidad del acero.

β d : Según el caso, se tiene lo siguiente:

i. Marcos sin desplazamiento lateral;

β d : razón entre la máxima carga axial permanente mayorada y la

carga axial total mayorada

ii. Marcos con desplazamiento lateral:

β d : razón entre el corte permanente mayorado máximo y el corte total

mayorado.

iii. Chequeos de estabilidad con desplazamiento lateral.

β d : razón entre la máxima carga axial permanente mayorada y la

carga axial total mayorada.


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 284

10.2.5 INDICE DE ESTABILIDAD DE UN PISO

En términos prácticos y sencillos, es muy difícil determinar si un marco determinado

(y al cual pertenecen las columnas que se debe verificar para pandeo) se encuentra arriostrado o

no. Una columna arriostrada para evitar el desplazamiento lateral, es un elemento que forma parte

de un entrepiso, donde los desplazamientos horizontales no afectan significativamente los

momentos de la estructura.

Se dice que una estructura se encuentra arriostrada (sin desplazamiento lateral para

una columna) si se satisface algunas de las siguientes relaciones:

i. P ∆ < 0.05 M u ii. Q < 0.05 (este chequeo no es aplicable si V u = 0)

donde: P ∆: Incremento en los momentos extremos de la columna debido a los efectos de

segundo orden.

M u: Momento extremos de 1er orden.

Q: Índice de estabilidad para un piso, definido por la expresión:

cu

ou

l V

P Q

∆Σ=

Σ P u: Carga vertical total factorizada, correspondiente a la carga lateral para el cual

Σ P u es más grande.

∆o: Deformación lateral relativa de 1er orden elástica, debido a V u entre la parte

superior e inferior del piso.

V u: Fuerza total de corte factorizada en el piso

l c : longitud del elemento en compresión en un marco, medida de centro a centro

entre los nudos del marco


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 285

10.2.6 AMPLIFICADOR DE MOMENTOS PARA FLEXION BIAXIAL

Cuando existe flexión biaxial o esviada en una columna sometida a compresión, los

momentos calculados en cada eje de este elemento deben ser amplificados independientemente;

es decir, este factor δ debe ser evaluado considerando la carga de pandeo critica P c en cada eje

de la columna separadamente, y tomando en cuenta la longitud efectiva según el plano

considerado, y la relación de rigidez de la columna sobre la viga.

De esta manera, las diferentes capacidades para el pandeo en los 2 ejes a la que

pertenece dicha columna se encuentran reflejados en los diferentes factores de amplificación de

los momentos Es decir, se tiene la siguiente expresión de carácter general:

y y x x y x M M M M P M M P δ δ ++⇒ ,,,,

Los momentos calculados en cada uno de los 2 ejes son amplificados

separadamente, y la sección transversal es luego diseñada para resistir la carga axial P u y los

momentos biaxiales amplificados.


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 286

10.3 LIMITES PARA CONSIDERAR EFECTOS DE ESBELTEZ

10.3.1 LIMITE INFERIOR

El Método de Mayoración de Momentos, propuesto por el ACI 318, puede usarse

cuando se exceden el límite inferior, definido tanto para columnas arriostradas como para

columnas no arriostradas.

10.3.1.2 COLUMNA ARRIOSTRADA

El Pandeo de las columnas arriostradas se desprecia si se cumple la siguiente

relación:

2

1

M

M 1234

r

kl u −≤

donde: 4012342

1 ≤− M

M

M 1: el menor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en

compresión, positivo si el elemento presenta curvatura simple, y negativo si

tiene curvatura doble.M 2 : el mayor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en

compresión, siempre positivo.

No olvidar que M 1, M 2 corresponden a los momentos extremos mayorados obtenidos

por un análisis de marco elástico.

Fig. “Curvatura simple y doble en un elemento en flexión”


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 287

10.3.1.2 COLUMNA NO ARRIOSTRADA

El pandeo de las columnas no arriostradas se desprecia si se cumple que la

esbeltez no supere el siguiente límite:

22≤r

kl u

10.3.2 LIMITE SUPERIOR

El límite superior de esbeltez para las columnas por método de amplificación de

momento es:

100≤r

kl u

Si se supera este límite, se debe realizar un análisis de 2 do orden, que tome en

cuenta la influencia de las cargas axiales y de la Inercia variable en la rigidez del elemento y en los

Momentos de empotramiento, efecto de deflexiones en Momentos y Fuerzas, u efectos de

duración de la carga.


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Doc: 2006 Hormigon 10 - IC 507 288

10.4 METODO DE AMPLIFICACIÓN O MAYORACION DE MOMENTOSEl diseño de las columnas esbeltas (o elementos en compresión) consiste en

encontrar un factor de amplificación del momento, δ , que incremente artificialmente los momentos

de dicha columna para tomar en cuenta el efecto de la carga axial sobre los momentos de la

columna. Consecuentemente, el diseño final de una columna se realiza con la carga axial P u y el

momento am

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