Cuprins

Introducere 3

1 Medii anizotrope birefringente liniar 51.1 Relatia dintre vectorii D si E . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Structura undei electromagnetice . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Studiul vitezelor de faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Ecuatia lui Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Axele optice. Medii uniaxe si biaxe . . . . . . . . . . 14

1.4 Suprafata de unda si elipsoidul indicilor . . . . . . . . . . . 161.4.1 Ecuatia suprafetei de unda în cazul general . . . . . 171.4.2 Elipsoidul indicilor de refractie . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Propagarea luminii în cristalele uniaxe . . . . . . . . . . . . 241.5.1 Suprafata de unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Elipsoidul indicilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.3 Razele refractate de un dioptru mediu izotrop - mediu

anizotrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.4 Polarizori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.6 Propagarea luminii în cristalele biaxe . . . . . . . . . . . . . 521.6.1 Suprafata de unda si elipsoidul indicilor . . . . . . . 521.6.2 Refractia conica interna . . . . . . . . . . . . . . . . 571.6.3 Refractia conica externa . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.7 Propagarea starilor de polarizare în dispozitivele optice . . 651.7.1 Stari de polarizare ale undelor . . . . . . . . . . . . 65

1

1.7.2 Reprezentarea Jones a starilor de polarizare . . . . . 701.7.3 Formalismul matricelor Jones . . . . . . . . . . . . . 72

1.8 Interferenta undelor transmise de lame transparente taiatedin cristale anizotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.8.1 Fenomene care apar în lumina monocromatica si la

incidenta normala pe lame transparente, anizotrope,cu fete plan-paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.8.2 Fenomene care apar în lumina alba, la incidenta nor-mala, pe lame cu fete plan-paralele . . . . . . . . . . 101

1.9 Anizotropia provocata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.9.1 Birefringenta mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.9.2 Birefringenta dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.9.3 Birefringenta electrica. Efectul Kerr. Efectul Pockels 1071.9.4 Birefringenta magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2 Medii anizotrope birefringente circular 1162.1 Rotirea planului de polarizare al undei electromagnetice . . 116

2.1.1 Legile experimentale ale activitatii optice (birefrin-gentei circulare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.1.2 Teoria electromagnetica a birefringentei circulare nat-urale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.1.3 Masurarea birefringentei circulare . . . . . . . . . . 1262.2 Birefringenta circulara magnetica . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.1 Descrierea macroscopica a efectului Faraday . . . . . 1322.2.2 Explicarea microscopica a efectului Faraday pe baza

modelului electronului clasic . . . . . . . . . . . . . . 134

Bibliografie 139

2

IntroducereExista multe substante pentru care proprietatile fizice nu depind de

directia în care sunt considerate. Aceste substante se numesc izotrope. Deexemplu, un gaz, un lichid, un mediu cristalin cu simetrie cubica prezintapentru orice directie acelasi coeficient de elasticitate, acelasi coeficient dedilatare liniara, aceeasi viteza de propagare a luminii, etc.

Spre deosebire de acestea, în natura exista unele substante (de exem-plu cele cristaline cu un sistem de cristalizare diferit de cel cubic) pentrucare proprietatile fizice depind de directie. Aceste substante sunt denu-mite anizotrope. Pe lânga substantele anizotrope în mod natural exista simulte substante nativ izotrope la care anizotropia este indusa sub actiuneaunor constrângeri externe (elastice, electrice sau magnetice). Indiferent denatura sa, anizotropia este o consecinta directa a distributiei regulate aatomilor sau ionilor în substanta respectiva.

Din punct de vedere optic, un mediu este anizotrop daca proprietatilesale optice (viteza de faza, indicele de refractie) pentru o unda electromag-netica plana ce se propaga prin acesta, depind de directia de propagare aundei. Chiar mai mult, în cazul mediilor anizotrope, pentru o directie depropagare data, exista, în general, doi indici de refractie posibili. Acestedoua valori ale indicelui de refractie corespund la doua unde electromagnet-ice care se propaga pe directia respectiva, au starile de polarizare reciprocortogonale si îsi pastreaza aceste stari de polarizare în timpul propagariiprin mediul anizotrop. Aceste stari de polarizare particulare sunt denumitestari proprii pentru directia de propagare considerata.

Se disting doua tipuri de anizotropie optica:- anizotropia liniara pentru care starile proprii de propagare sunt starile

polarizate liniar;- anizotropia circulara în care starile proprii de propagare sunt starile

polarizate circular.Aceste doua tipuri de anizotropie pot exista în acelasi timp într-un

material, caz în care starile proprii de propagare sunt polarizate eliptic.Anizotropia liniara

Medii dielectrice anizotrope liniar exista în stare naturala. În stare

3

solida, mediile cristaline, exceptându-le pe cele cu simetrie cubica care suntizotrope, au aceasta proprietate. Dintre materialele anizotrope cele maiutilizate pentru realizarea de dispozitive care functioneaza în domeniul opticamintim cuartul, calcitul, niobatul de litiu.

Lichidele, gazele si solidele amorfe (exemplu sticla, plexiglasul) nu prez-inta anizotropie optica liniara deoarece au o structura dezordonata. Cristalelelichide, într-un anumit interval de temperatura, au un anumit grad de or-donare care le permite sa se comporte ca un mediu anizotrop, cu foartemulte aplicatii practice.

Mediile initial izotrope îsi pierd izotropia iar mediile anizotrope îsi mod-ifica anizotropia sub actiunea unor constrângeri externe.

Aceste constrângeri pot fi de natura:- elastica obtinute prin exercitarea unei presiuni. Apare astfel efectul

fotoelastic.- electrica, prin aplicarea unui câmp electric. În functie de natura ma-

terialului apare efectul Pockels sau efectul Kerr.- magnetica, prin aplicarea unui câmp magnetic. Acest efect este cunos-

cut sub denumirea de efectul Cotton-Mouton.Materialele a caror anizotropie poate fi variata ca urmare a unei actiuni

externe au o mare importanta în practica deoarece anizotropia lor poate ficontrolata.

Anizotropia circulara

Mediile prezentând anizotropie circulara exista în stare naturala. Cuartulare anizotropie circulara, desi prezinta si anizotropie liniara. Cloratul desodiu NaClO3 cristalizeaza cubic, nu are deci anizotropie liniara dar areanizotropie circulara. Mediile cristaline care au un centru de inversiunenu prezinta anizotropie circulara. Unele substante organice în stare lichida(sulfura de carbon CS2, benzenul C6H6, etc.) sau unele solutii (zaharoza înapa, de exemplu) au anizotropie circulara. În plus, sub actiunea unui câmpmagnetic (efectul Faraday) unele substante (sticlele, substantele amorfe)devin anizotrope circular.

4

Capitolul 1

Medii anizotropebirefringente liniar

1.1 Relatia dintre vectorii D si E

În cazul mediilor izotrope, relatia dintre inductia electrica D si intensitateacâmpului electric E este

D = ε E, (1.1)

unde ε este un scalar si reprezinta permitivitatea electrica a mediuluirespectiv. Datorita caracterului scalar al lui ε în cazul mediilor izotrope,vectorul D are aceeasi directie ca si vectorul E, fiind deci paraleli. Prinurmare, între componentele acestor vectori, exista relatiille

Dx = ε Ex ; Dy = ε Ey ; Dz = ε Ez. (1.2)

Pentru mediile anizotrope, permitivitatea electrica este o marime tenso-riala, notata [ε] si descrisa prin matricea tensorului permitivitate electrica

[ε] =

⎛⎝ εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

⎞⎠ (1.3)

5

Relatia dintre D si E, în cazul mediilor anizotrope, are forma

D = [ε] E, (1.4)

care poate fi explicitata în scriere matriceala astfel⎛⎝ Dx

Dy

Dz

⎞⎠ =

⎛⎝ εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

⎞⎠⎛⎝ Ex

Ey

Ez

⎞⎠ (1.5)

Datorita caracterului tensorial al lui [ε], din relatia (1.5), se deduce ca,în general, D nu mai este paralel cu E pentru mediile anizotrope.

Se poate demonstra ca, pentru medii fara absorbtie, omogene si izotropedin punct de vedere magnetic (permeabilitatea magnetica μ este un scalar)tensorul permitivitate electrica [ε] este simetric si real, adica

εxy = εyx ; εxz = εzx ; εyz = εzy (1.6)

Prin intermediul unei schimbari corespunzatoare de sistem de coordo-nate tensorul [ε], real si simetric, poate fi adus la forma diagonala, ale careielemente sunt tot reale

[ε] =

⎛⎝ εx 0 00 εy 00 0 εz

⎞⎠ (1.7)

Sistemul de coordonate carteziene în care tensorul [ε] este diagonal senumeste sistemul propriu mediului material sau sistemul axelor principale.Axele de coordonate ale acestui sistem sunt denumite axele proprii sau axeleprincipale ale mediului. Cele trei elemente diagonale εx, εy, εz se numescpermitivitatile electrice principale.

În sistemul axelor principale, relatia (1.5) se poate scrie sub forma

Dx = εx Ex; Dy = εy Ey; Dz = εz Ez. (1.8)

Din ultima relatie se deduce ca daca vectorul E este orientat de-a lungulunei axe principale atunci vectorul D este paralel cu E, în toate celelaltecazuri vectorul D are o directie diferita de cea a lui E.

6

1.2 Structura undei electromagnetice

În cazul unui mediu material fara sarcini electrice libere (ρlib = 0) si faracurenti de conductie (

−→j cond = 0), în care permeabilitatea magnetica μ este

un scalar, ecuatiile Maxwell au urmatoarea forma

∇ ·D = 0 (1.9)

∇ ·H = 0 (1.10)

∇×E = −μ∂H∂t

(1.11)

∇×H =∂D

∂t(1.12)

Am notat cu H intensitatea câmpului mgnetic iar t semnifica timpul.Pentru un mediu omogen si izotrop, combinând relatiile (1.2) si (1.9),

deducem

0 = ∇ ·D = ε(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z) = ε ∇ ·E (1.13)

de unde rezulta ca ∇ ·E = 0.Pentru un mediu omogen dar anizotrop, în sistemul axelor principale,

pe baza relatiilor (1.8) si (1.9) obtinem

0 = ∇ ·D = εx∂Ex

∂x+ εy

∂Ey

∂y+ εz

∂Ez

∂z(1.14)

Deoarece pentru un mediu anizotrop cele trei permitivitati electriceprincipale (εx, εy si εz) nu pot fi toate trei egale între ele (mediul ar fiizotrop în acest caz), deducem din ultima relatie ca, în general, la un mediuanizotrop ∇ ·E 6= 0.

Consideram o unda plana monocromatica, armonica, ce se propaga de-alungul directiei definite prin versorul un = (α, β, γ). Am notat cu α, β siγ cosinusurile unghiurilor formate de un cu axele principale. Toti vectoriicaracteristici acestei unde (E, D, H si B) se pot scrie sub forma

7

A = A0 exp[iω(t−un · rv

)] (1.15)

unde A0 este amplitudinea, ω este pulsatia, r = (x, y, z) este vectorulde pozitie al punctului în care a ajuns unda la momentul de timp t, iar veste viteza de faza.

Vectorul A este transversal (perpendicular pe un) daca un ·A = 0. Pebaza relatiei (1.15) obtinem componentele carteziene Ax, Ay si Az ale luiA

Ax = A0x exp[iω(t−αx+ βy + γz

v)]

Ay = A0y exp[iω(t−αx+ βy + γz

v)] (1.16)

Az = A0z exp[iω(t−αx+ βy + γz

v)]

pe baza carora stabilim urmatoarele relatii

∂Ax

∂x= −iω

vαAx;

∂Ay

∂y= −iω

vβAy;

∂Az

∂z= −iω

vγAz. (1.17)

∇ ·A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z= − iω

vun ·A (1.18)

Relatia (1.18) conduce la concluzia ca daca ∇ ·A = 0, atunci un ·A = 0,deci vectorul A este transversal.

Deducem astfel ca pentru un mediu anizotrop sunt transversale câm-purile D, H si B iar E nu este transversal. Pentru mediile izotrope D, H,B si E sunt transversale.

Sa determinam orientarea relativa a vectorilor un, D, H si E.Folosind relatia (1.15) obtinem

∂A

∂t= iωA; ∇×A = −iω

vun ×A (1.19)

8

Pe baza relatiilor (1.11), (1.12) si (1.19) deducem

−iωvun ×E = −iμωH; −

iω

vun ×H = iωD (1.20)

de unde rezulta

un ×E = μvH; (1.21)

un ×H = −vD (1.22)

Ultimele relatii ne arata ca H ⊥ un, H ⊥ E, D ⊥ un si D ⊥ H. Con-cluzionam ca H este perpendicular pe vectorii un, D si E, ceea ce arataca cei trei vectori un, D si E sunt coplanari. Acest plan este denumitplanul de oscilatie electrica si este notat (un, D, E). În acest plan, D esteperpendicular pe versorul un al directiei de propagare a undei.

Sa eliminam vectorul H combinând relatiile (1.21) si (1.22). Din (1.21)rezulta H = 1

μvun × E. Introducând aceasta expresie a lui H în (1.22),dupa mici calcule, obtinem μv2D = un × (E× un). Folosind identitateaa × (b× c) = b(a · c) − c(a · b) si faptul ca un este versor un · un = 1,obtinem în final

μv2D = E− un(un ·E) (1.23)

Notam cu ur versorul directiei vectorului Poynting S = E×H. Esteclar ca ur ⊥ E si ur ⊥ H. Deoarece H este perpendicular pe planul (un,D, E), rezulta ca ur apartine acestui plan. Orientarea relativa a acestorvectori este prezentata în Fig. 1.1.

Directia definita de un se numeste directia undei (este directia de propa-gare a undei) iar cea definita de ur este directia razei (fiind directia detransmitere a energiei electromagnetice).

9

Figura 1.1: Orientarea relativa a vectorilor H, un, D, E si ur.

Pentru a gasi relatia dintre viteza de faza v (de propagare a undei de-alungul lui un) si viteza razei luminoase vr (de transmitere a energiei de-alungul lui ur), consideram o unda ce se propaga pe directia lui un si areplanele de faza constanta la momentele de timp t si t0 notate cu P respectivP 0 (Fig. 1.2).

Figura 1.2: Planele de faza la momentele de timp t si t0.

10

Viteza de faza v este egala cu v = AB/∆t, iar viteza razei vr = AC/∆t,unde ∆t = t0 − t. Din triunghiul ABC deducem cosα = AB/AC. Pe bazaacestor relatii obtinem

vr =v

cosα(1.24)

1.3 Studiul vitezelor de faza

1.3.1 Ecuatia lui Fresnel

În sistemul axelor principale scriem ecuatia (1.23) pe componente

μv2Dx = Ex − α(un ·E)μv2Dy = Ey − β(un ·E) (1.25)

μv2Dz = Ez − γ(un ·E)

Conform relatiei (1.8), în acest sistem de coordonate, Dx = εx Ex; Dy =εy Ey; Dz = εz Ez. Notam v2x = 1/μεx, v

2y = 1/μεy si v

2z = 1/μεz. Vitezele

vx, vy si vz astfel definite sunt numite vitezele principale si corespund un-delor plane ce se propaga de-a lungul axelor principale. Obtinem astfel

Ex = μv2xDx; Ey = μv2yDy; Ez = μv2zDz. (1.26)

Introducând expresia lui Ex din relatia (1.26) în prima ecuatie (1.25),dupa mici calcule, rezulta

Dx =α(un ·E)μ(v2x − v2)

(1.27)

Procedând analog, pentru Dy si Dz se obtin expresiile

Dy =β(un ·E)μ(v2y − v2)

(1.28)

Dz =γ(un ·E)μ(v2z − v2)

(1.29)

11

Stim ca D este transversal, deci un ⊥ D. Putem scrie astfel ca un ·D =αDx+βDy+γDz = 0. Înmultim relatiile (1.27 - 1.29) cu α, β respectivγ, apoi adunam si folosim transversalitatea lui D. Rezulta astfel

un ·Eμ

(α2

v2 − v2x+

β2

v2 − v2y+

γ2

v2 − v2z) = 0 (1.30)

Deoarece un ·E 6= 0, în general, putem rescrie ultima relatie sub forma

α2

v2 − v2x+

β2

v2 − v2y+

γ2

v2 − v2z= 0, (1.31)

care este ecuatia lui Fresnel pentru vitezele de faza.Aceasta ecuatie permite calcularea vitezei de faza v pentru directia de

propagare un = (α, β, γ) în functie de cosinusii directori α, β, γ ai directieide propagare un si de vitezele principale vx, vy si vz, care sunt parametriiai mediului.

Ecuatia lui Fresnel este o ecuatie de ordinul 2 în v2. Pentru fiecaredirectie de propagare un exista doua viteze distincte v0 si v00 (de fapt suntpatru solutii ±v0 si ±v00, ceea ce arata ca sunt posibile ambele sensuri depropagare). Fiecarei viteze v0 si v00 îi corespunde, prin intermediul relatiilor(1.27 - 1.29), un vector D0 respectiv D00, deci si un plan de polarizare.

Afirmatie Pentru un dat, vectorii D0 si D00 sunt ortogonali.Demonstratie Sa verificam faptul ca D0 ·D00 = D0

xD00x+D0

yD00y+D0

zD00z =

0. Notam E0 si E00 câmpurile electrice ale undelor ce se propaga pe directiaun si au inductiile electrice D0 respectiv D00. Folosind relatiile (1.27 - 1.29),particularizate pentru aceste câmpuri, exprimam produsul scalar D0 · D00

astfel

D0 ·D00 =(un ·E0) (un ·E00)

μ2× (1.32)⎡⎣ α2

(v2x−v02)(v2x−v002)+ β2

(v2y−v02)(v2y−v002)

+ γ2

(v2z−v02)(v2z−v002)

⎤⎦

12

Descompunând în fractii simple se stabilesc urmatoarele relatii

α2

(v2x − v02)(v2x − v002)=

1

(v02 − v002)

µα2

v2x − v02− α2

v2x − v002

¶(1.33)

β2

(v2y − v02)(v2y − v002)=

1

(v02 − v002)

µβ2

v2y − v02− β2

v2y − v002

¶(1.34)

γ2

(v2z − v02)(v2z − v002)=

1

(v02 − v002)

µγ2

v2z − v02− γ2

v2z − v002

¶(1.35)

Adunând ultimele trei relatii membru cu membru si grupând termeniidupa semnul lor, paranteza dreapta din membrul drept al relatiei (1.32)devine

µα2

v2x − v02+

β2

v2y − v02+

γ2

v2z − v02

¶−µ

α2

v2x − v002+

β2

v2y − v002+

γ2

v2z − v002

¶(1.36)

Deorece v0 si v00 sunt solutiile ecuatiei lui Fresnel (1.31) pentru directiade propagare un, rezulta ca ele verifica ecuatia (1.31), adica

α2

v2x − v02+

β2

v2y − v02+

γ2

v2z − v02= 0 (1.37)

α2

v2x − v02+

β2

v2y − v02+

γ2

v2z − v02= 0 (1.38)

Prin urmare, membrul drept al relatiei (1.32) este egal cu zero si astfelD0 ·D00 = 0.

Daca în sistemul axelor principale figuram, pentru fiecare directie un înparte, punctele situate fata de originea O la distantele v0 si v00 corespun-zatoare lui un, obtinem o suprafata dubla, numita suprafata vitezelor defaza.

13

Folosind relatia de definitie a indicelui de refractie n = c/v si indicii derefractie principali nx = c/vx, ny = c/vy si nz = c/vz, ecuatia (1.31) poatefi scrisa în functie de indicii de refractie astfel

α2n2xn2 − n2x

+β2n2y

n2 − n2y+

γ2n2zn2 − n2z

= 0. (1.39)

Aceasta este ecuatia lui Fresnel pentru indicii de refractie si permitecalcularea indicelui de refractie n, pentru o unda ce se propaga pe directiaun = (α, β, γ), în functie de cosinusii directori α, β, γ si indicii de refractieprincipali nx, ny si nz. Este o ecuatie de ordinul 2 în n2, prin rezolvareacareia se obtin, în general, pentru fiecare directie un, doua solutii distincten0 si n00, care evident verifica relatiile n0 = c/v0 si n00 = c/v00. Când unparcurge toate orientarile posibile, punctele situate la distantele n0 si n00

fata de originea O a sistemului axelor principale genereaza o suprafatadubla, numita suprafata de indici de refractie.

1.3.2 Axele optice. Medii uniaxe si biaxe

Consideram ecuatia lui Fresnel pentru vitezele de faza (1.31) si un mediuanizotrop pentru care cele trei viteze principale vx, vy si vz sunt diferiteîntre ele. Pâna la o eventuala reindiciere putem presupune ca vx > vy > vz.Alegem vectorul de propagare un continut în planul xOz. În acest cazparticular β = 0 si un = (α, 0, γ). Cea de-a doua relatie (1.25) devineμv2Dy = Ey. În sistemul axelor principale însa este adevarata relatiaμv2Dy = Ey. Din ultimele doua egalitati, prin eliminarea lui Ey, se obtine(v2 − v2y)Dy = 0. Daca Dy 6= 0, rezulta

v2 = v2y. (1.40)

În planul xOz, ultima relatie descrie un cerc cu centrul în O si raza vy(Fig. 1.3).

Pentru versorul un, cu alegerea β = 0, deducem γ2 = 1 − α2. Ecuatia(1.31) devine astfel

14

α2

v2 − v2x+1− α2

v2 − v2z= 0, (1.41)

de unde obtinem apoi relatia

v2 = v2x + α2(v2z − v2x) (1.42)

care defineste în planul xOz o elipsa cu semiaxele vz si vx de-a lungulaxelor Ox respectiv Oz (Fig. 1.3)

Figura 1.3: Intersectia suprafetei vitezelor de faza cu planul xOz.

Se verifica destul de simplu ca pentru α = 1 (propagare de-a lungul luiOx) v = vz iar pentru α = 0 (propagare de-a lungul lui Oz) v = vx.

Datorita alegerii facute vx > vy > vz, se constata ca cercul si elipsadescrise de relatiile (1.40), respectiv (1.42) se intersecteaza în patru puncte.

15

Pentru a identifica aceste puncte trebuie sa eliminam pe v2 între acesteecuatii. Obtinem astfel

α2 =v2x − v2yv2x − v2z

(1.43)

Evident ca

γ2 = 1− α2 =v2y − v2zv2x − v2z

(1.44)

Daca notam α = (v2x−v2yv2x−v2z

)1/2 si γ = (v2y−v2zv2x−v2z

)1/2 solutiile pozitive, atuncipunctele A, B, C si D de intersectie a cercului cu elipsa corespund versorilor(α, 0, γ), (−α, 0, γ), (−α, 0,−γ) respectiv (α, 0,−γ). Se verifica simplu capunctele A, O si C sunt coliniare. De asemenea, punctele B, O si D suntcoliniare. Cele doua directii definite de A, O si C, respectiv B, O si Dse numesc axele optice ale mediului. Ele sunt dispuse simetric în raportcu axele principale. Axele optice au proprietatea ca sunt singurele directiipentru care cele doua solutii v0 si v00 ale ecuatiei lui Fresnel pentru vitezelede faza coincid. Pentru orice alta directie de propagare a undei existadoua valori distincte ale vitezei de faza. Mediile care au doua axe optice senumesc biaxe.

Consideram cazul particular în care doua viteze principale sunt egale,de exemplu vx = vy 6= vz. Din relatiile (1.43) si (1.44) deducem α = 0 siγ = 1, ceea ce ne arata ca A coincide cu B si C coincide cu D, fiind situatepe axa Oz. Cele doua axe optice se confunda între ele si coincid chiar cuaxa principala Oz, care este în acest caz singura axa optica a mediului. Unastfel de mediu se numeste uniax.

1.4 Suprafata de unda si elipsoidul indicilor

Daca se considera o sursa punctiforma O care emite radiatii electromagnet-ice la momentul de timp t = 0 în toate directiile posibile, locul geometrical punctelor ce oscileaza în faza la momentul de timp t reprezinta suprafatade unda la acel moment de timp. Suprafata de unda se construieste astfel.Din punctul O, în care se afla sursa, se deseneaza pentru fiecare directie

16

ur, vectorul OR, paralel si în sensul lui ur, cu lungimea egala cu viteza depropagare a energiei vr pe directia respectiva. Locul geometric al punctelorR este suprafata de unda la momentul t = 1.

1.4.1 Ecuatia suprafetei de unda în cazul general

Sa stabilim mai întâi ecuatia lui Fresnel pentru viteza vr de propagare aenergiei luminoase. Pornim de la ecuatia (1.23), o înmultim scalar cu ur siobtinem

μv2D · ur = E · ur − (un·ur)(un ·E) (1.45)

Deoarece ur ⊥ E, E · ur = 0. Notând α unghiul dintre versorii un siur, obtinem un·ur = cosα. Relatia (1.45) devine astfel

μv2D · ur = −(un ·E) cosα (1.46)

Deoarece ur, D si E sunt coplanari, putem exprima ur în functie de Dsi E prin intermediul unei combinatii liniare

ur = aD+ bE (1.47)

Înmultim scalar relatia (1.47) cu ur, folosim E · ur = 0 si ur · ur = 1 siobtinem

a =1

D · ur(1.48)

Daca înmultim scalar cu un aceeasi relatie si utilizam ur ·un = cosα siD · un = 0 deducem

b =cosα

un ·E(1.49)

Introducând expresiile lui a si b în relatia (1.47) rezulta ca

E =urb− aD

b=un ·Ecosα

(ur −D

D · ur) (1.50)

17

Din relatia (1.46) reiese ca un·E = −μv2D · ur/ cosα. Combinând acestrezultat cu relatia (1.50) expresia lui E devine

E =μv2D · urcos2 α

(D

D · ur− ur) =

μv2

cos2 α[D− ur(D · ur)] (1.51)

Tinând cont ca vr = v/ cosα ultima relatie poate fi scrisa sub forma

E =μv2r [D− ur(D · ur)] (1.52)

Versorul razei luminoase ur se exprima prin intermediul cosinusilor di-rectori αr, βr si γr astfel ur = (αr, βr, γr). În sistemul axelor principaleDx = Ex/μv

2x, Dy = Ey/μv

2y si Dz = Ez/μv

2z . Din relatia (1.52), pentru

componenta x, obtinem

Ex=μv2r [Dx − αr(D · ur)] (1.53)

Introducând expresia lui Dx în ultima relatie, deducem ca

Ex=μv2rv

2xαr

v2r − v2x(D · ur) (1.54)

Procedând analog pentru componentele y si z obtinem

Ey =μv2rv

2yβr

v2r − v2y(D · ur) (1.55)

Ez =μv2rv

2zαr

v2r − v2z(D · ur) (1.56)

Stim ca ur ·E = 0, adica

αrEx + βrEy + γrEz = 0 (1.57)

Înmultim relatiile (1.54 - 1.56) cu αr, βr respectiv γr, le adunam, folosimecuatia (1.57), tinem cont de faptul ca μv2r(D · ur) 6= 0 si obtinem în finalecuatia lui Fresnel pentru vitezele de raza

18

v2xα2r

v2r − v2x+

v2yβ2r

v2r − v2y+

v2zγ2r

v2r − v2z= 0 (1.58)

Aceasta ecuatie permite calcularea valorilor vitezei de raza vr pentrufiecare directie a razei luminoase ur = (αr, βr, γr) în functie de vitezeleprincipale vx, vy si vz.

Sa gasim ecuatia suprafetei de unda în coordonate carteziene. Ex-primam cosinusii directori αr, βr si γr prin intermediul coordonatelor carteziene(x, y, z) ale unui punct atins de unda la momentul t

α2r =x2

x2 + y2 + z2; β2r =

y2

x2 + y2 + z2; γ2r =

z2

x2 + y2 + z2(1.59)

Deoarece x2 + y2 + z2 = v2r t2, deducem ca

αr =x

vrt; βr =

y

vrt; γr =

z

vrt(1.60)

Introducând ultimele expresii ale cosinusilor directori în relatia (1.58)obtinem ecuatia suprafetei de unda într-un mediu anizotrop

x2v2x(v2r − v2y)(v

2r − v2z)+ y2v2y(v

2r − v2x)(v

2r − v2z)+ z2v2z(v

2r − v2x)(v

2r − v2y) = 0

(1.61)

1.4.2 Elipsoidul indicilor de refractie

Sa stabilim dependenta indicelui de refractie n de directia de oscilatie alui D. În sistemul axelor principale Oxyz consideram o directie arbitrarade oscilatie a vectorului D si punctul M de coordonate (x, y, z) astfel încâtvectorul

−−→OM este paralel cuD (Fig. 1.4) si are lungimea OM = n. Evident

ca x2 + y2 + z2 = n2.

19

Figura 1.4: Construirea elipsoidului de indici de refractie pornind de lavectorul D.

Sa determinam ecuatia suprafetei descrise de punctul M când D par-curge toate orientarile. Stim ca în sistemul axelor principale Dx =

α(un·E)μ(v2x−v2)

.

Utilizând expresiile indicilor de refractie n = c/v si nx = c/vx în cea a luiDx deducem

α = μc2Dx(1

n2x− 1

n2)

1

un ·E(1.62)

Procedând analog obtinem

β = μc2Dy(1

n2y− 1

n2)

1

un ·E(1.63)

γ = μc2Dz(1

n2z− 1

n2)

1

un ·E(1.64)

Înmultim relatiile (1.62 - 1.64) cu Dx, Dy respectiv Dz, le adunam,folosim transversalitatea lui D, adica αDx + βDy + γDz = 0, si deducem

20

D2x

n2x+

D2y

n2y+

D2z

n2z=

D2x +D2

y +D2z

n2≡ D2

n2, (1.65)

unde D2 este patratul modulului vectorului D.VectoriiD si

−−→OM fiind paraleli, rezulta ca au componentele proportionale,

adica

x

Dx=

y

Dy=

z

Dz=

n

D(1.66)

Prin exprimarea luiDx, Dy siDz în functie deD, pe baza ultimei relatii,si înlocuirea acestora în relatia (1.65) obtinem

x2

n2x+

y2

n2y+

z2

n2z= 1, (1.67)

care este ecuatia unui elipsoid cu semiaxele nx, ny si nz, denumit elip-soidul indicilor de refractie.

Aceasta ecuatie permite calcularea indicelui de refractie n2 = x2+y2+z2

în functie de directia de oscilatie a lui D într-un mediu anizotrop.Afirmatie Vectorul E corespunzator lui D este normal la elipsoidul de

indici de refractie în punctul M.Demonstratie Consideram suprafata elipsoidului de indici de refractie

descrisa prin intermediul functiei

f(x, y, z) =x2

n2x+

y2

n2y+

z2

n2z− 1 (1.68)

Normala la aceasta suprafata este data de gradientul functiei f

∇f = (∂f∂x

,∂f

∂y,∂f

∂z) = (

2x

n2x,2y

n2y,2z

n2z) (1.69)

Modulul gradientului este

|∇f | = 2s

x2

n4x+

y2

n4y+

z2

n4z(1.70)

21

Folosind relatiile (1.26) si (1.66) obtinem

x

n2x=

nEx

μc2D;

y

n2y=

nEy

μc2D;

z

n2z=

nEz

μc2D, (1.71)

cu ajutorul carora calculam |∇f | si componentele lui ∇f

|∇f | = 2 nE

μc2D, (1.72)

(∇f)x =2x

n2x=2nEx

μc2D; (∇f)y =

2nEy

μc2D; (∇f)z =

2nEz

μc2D(1.73)

Notam ν = ∇f|∇f | versorul gradientului. Din relatiile (1.72) si (1.73)

deducem ca

ν = (Ex

E,Ey

E,Ez

E) ≡ E

E, (1.74)

ceea ce ne arata ca versorul vectorului E, asociat lui D, este perpen-dicular pe elipsoidul de indici de refractie în punctul M în care vectorul Dînteapa elipsoidul de indici de refractie.

Folosind acest rezultat putem deduce care sunt directiile vectorilor un,ur si H. Planul format de E si D este normal la elipsoid în punctul M simai contine vectorii un si ur. În plus, un ⊥ D si ur ⊥ E. Cum E estenormal la elipsoid în punctul M, rezulta ca ur este tangent la elipsoid în M.Deoarece H este perpendicular pe E, deducem ca H este situat în planultangent în M la elipsoid, chiar mai mult este perpendicular pe planul cecontine vectorii D, E, un si ur.

Sa demonstram ca utilizând elipsoidul de indici de refractie putem de-termina pentru orice directie de propagare a undei un = (α, β, γ) cele douadirectii de oscilatie posibile pentru vectorii D0 si D00.

Deoarece vectorul D ⊥ un, rezulta ca D apartine planului ce treceprin originea O a sistemului axelor principale si este perpendicular pe un.Ecuatia acestui plan este

αx+ βy + γz = 0 (1.75)

22

Intersectia acestui plan cu elipsoidul de indici de refractie descris deecuatia (1.67) este o elipsa. Sa determinam directiile semiaxelor acesteielipse. Pentru un punct curent M de coordonate (x, y, z) apartinând elipsei,patratul distantei de la M la O este n2 = x2+y2+z2. Pentru semiaxa marea elipsei n2 are valoarea maxima iar pentru semiaxa mica n2 are valoareaminima. Deoarece punctul M apartine intersectiei elipsoidului de indici cuplanul descris de relatia (1.75) trebuie sa cautam extremele lui x2+ y2+ z2

supusa la legaturile (1.67) si (1.75). Folosim metoda multiplicatorilor luiLagrange pentru a gasi extremele functiei

F (x, y, z) = x2+y2+z2+2λ1(αx+βy+γz)+λ2(x2

n2x+y2

n2y+z2

n2z−1), (1.76)

unde λ1 si λ2 sunt multiplicatorii lui Lagrange.Trebuie sa anulam derivatele partiale ale lui F . Pentru variabila x

obtinem

∂F

∂x= 2x+ 2λ1α+ 2λ2

x

n2x= 0, (1.77)

din care apoi prin împartirea cu 2 rezulta

x+ λ1α+ λ2x

n2x= 0 (1.78)

Procedând analog pentru celelalte doua variabile deducem

y + λ1β + λ2y

n2y= 0, (1.79)

z + λ1γ + λ2z

n2z= 0 (1.80)

Înmultim ultimele trei relatii cu x, y respectiv z, le adunam, folosimlegaturile si obtinem

λ2 = −n2 (1.81)

23

Pentru a determina λ1, înmultim relatiile (1.78 - 1.80) cu α, β respectivγ, le adunam, folosim legaturile si relatia (1.81). Deducem astfel ca

λ1 = n2(αx

n2x+

βy

n2y+

γz

n2z) (1.82)

Introducând expresiile lui λ1 si λ2 în ecuatia (1.78) aceasta capata forma

x+ n2[α2x

n2x+

αβy

n2y+

αγz

n2z− x

n2x] = 0 (1.83)

Dupa înmultirea ultimei ecuatii cuD/n si folosirea relatiei (1.66) obtinem

Dx + n2[α2Dx

n2x+

αβDy

n2y+

αγDz

n2z− Dx

n2x] = 0 (1.84)

În sistemul axelor principale sunt valabile relatiile Dxn2x= Ex

μc2 ,Dy

n2y=

Eyμc2

si Dzn2z= Ez

μc2, care folosite în ecuatia (1.84) conduc la urmatorul rezultat

μv2Dx = Ex − α(un ·E) (1.85)

Pornind de la ecuatiile (1.79) si (1.80) si procedând analog se obtinrezultate similare cu cel anterior stabilit, astfel ca se ajunge în final larelatia vectoriala μv2D = E−un(un ·E), care este chiar relatia (1.23) carestabilea legatura dintre directia de propagare a undei un si vectorii E si Dasociati.

Concluzionam astfel ca pentru un dat, cele doua directii posibile de vi-bratie ale lui D sunt directiile semiaxelor elipsei de intersectie a elipsoiduluide indici de refractie cu planul ce trece prin O si este perpendicular pe un.

1.5 Propagarea luminii în cristalele uniaxe

Cristalele apartinând sistemelor cristalografice trigonal, tetragonal si hexag-onal au o axa cristalografica de ordinul 3, 4 respectiv 6. Din acest motiv,elipsoidul de indici de refractie este un elipsoid de revolutie, având axa derevolutie paralela cu aceasta axa cristalografica care este si axa optica.

24

1.5.1 Suprafata de unda

Pentru mediile anizotrope uniaxe doua permitivitati electrice principalesunt egale între ele, dar diferite de a treia. Presupunem ca εy = εz 6= εx.Prin urmare, vy = 1/

√μεy = 1/

√μεz = vz 6= 1/

√μεx = vx. Ecuatia

suprafetei de unda (1.61) devine în acest caz

(v2r − v2y)[x2v2x(v

2r − v2y) + y2v2y(v

2r − v2x) + z2v2y(v

2r − v2x)] = 0, (1.86)

unde x2 + y2 + z2 = v2r t2.

Din relatia (1.86) deducem ca sunt doua posibilitati

v2r − v2y = 0 sau (1.87)

x2v2x(v2r − v2y) + y2v2y(v

2r − v2x) + z2v2y(v

2r − v2x) = 0 (1.88)

Prin înmultirea ecuatiei (1.87) cu t2 obtinem

x2 + y2 + z2 = v2yt2, (1.89)

care este ecuatia unei sfere de raza vyt.În ecuatia (1.88) desfacem parantezele, grupam termenii dupa semnul

lor si deducem v2r(x2v2x + y2v2y + z2v2y)− v2xv

2y(x

2 + y2 + z2) = 0. Înlocuindx2+ y2+ z2 cu v2r t

2 în ultima relatie obtinuta rezulta x2v2x+ (y2+ z2)v2y =

v2xv2yt2, care dupa împartirea cu v2xv

2yt2 conduce la expresia

x2

v2yt2+(y2 + z2)

v2xt2

= 1, (1.90)

care este ecuatia unui elipsoid de revolutie în jurul axei Ox. Semiaxeleacestui elipsoid sunt vyt de-a lungul lui Ox si vxt de-a lungul lui Oy si Oz.

Concluzionam ca pentru un mediu anizotrop uniax suprafata de undaeste o suprafata dubla, formata dintr-o sfera si un elipsoid de revolutie.Pentru exemplificare figuram portiunea din suprafata de unda, la momentult = 1, continuta în primul octant (Fig. 1.5), în ipoteza vx < vy. De-a

25

lungul directiei Ox cele doua viteze radiale sunt egale cu viteza principalavy. Directia Ox este directia axei optice a mediului anizotrop uniax.

Figura 1.5: Cele doua foi ale suprafetei de unda pentru un mediu anizotropuniax.

Intersectiile suprafetei de unda cu planele xOy si xOz sunt un cerc deraza vy si o elipsa cu semiaxele vy si vx. Planul yOz intersecteaza suprafatade unda dupa cercurile de raza vy si vx.

Suprafata sferica este denumita ordinara iar cea elipsoidala extraordi-nara. Pentru cele doua viteze principale egale (în cazul ales vy = vz) seutilizeaza notatia vo, care se numeste viteza ordinara. Cealalta viteza prin-cipala vx se noteaza vE si se numeste viteza extraordinara principala. Indiciide refractie asociati acestor viteze sunt:

no = c/vo - indicele de refractie ordinar ;

26

nE = c/vE - indicele de refractie extraordinar principal.Un mediu anizotrop uniax se numeste pozitiv daca no < nE (ceea ce

este echivalent cu vo > vE) si negativ daca no > nE, adica vo < vE.În figurile 1.6 si 1.7 sunt prezentate intersectiile suprafetei de unda cu

planul xOy pentru un mediu anizotrop uniax pozitiv, respectiv negativ.Se observa ca elipsa si cercul sunt tangente în cele doua puncte de pe

axa optica Ox. Având în vedere faptul ca axa optica este axa de revolutiepentru elipsoid, deducem ca aceste puncte sunt singurele puncte în carecele doua foi ale suprafetei de unda (sfera si elipsoidul) se intersecteaza.

Figura 1.6: Intersectia suprafetei de unda cu planul xOy pentru un mediuuniax pozitiv.

27

Figura 1.7: Intersectia suprafetei de unda cu planul xOy pentru un mediuuniax negativ.

1.5.2 Elipsoidul indicilor

Pentru a deduce ecuatia elipsoidului de indici de refractie în cazul particularal unui mediu anizotrop uniax pentru care ny = nz = no si nx = nE , folosimecuatia generala (1.67) în care introducem aceste particularizari. Obtinemastfel ecuatia

x2

n2E+

y2 + z2

n2o= 1, (1.91)

care descrie un elipsoid de revolutie în jurul axei optice Ox. Semiaxele

28

acestui elipsoid sunt nE de-a lungul lui Ox si no de-a lungul axelor Oy siOz.

Consideram o directie un de propagare a undei, ce formeaza unghiul θ cuaxa optica Ox. Ne intereseaza indicii de refractie corespunzatori acestei di-rectii de propagare. Stim ca cele doua directii de oscilatie ale luiD, asociatelui un, sunt directiile semiaxelor elipsei de intersectie a elipsoidului de in-dici de refractie cu planul ce trece prin O si este perpendicular pe un, iarlungimile acestor semiaxe sunt chiar indicii de refractie ai mediului pen-tru undele ce se propaga de-a lungul lui un. Datorita faptului ca pentrumediul uniax elipsoidul indicilor de refractie este un elipsoid de revolutie înjurul axei optice, putem, fara a restrânge din generalitate, sa presupunemca un apartine planului xOy. În acest caz, elipsa are o semiaxa OA pedirectia axei Oz iar cealalta semiaxa OB este continuta în planul xOy sieste perpendiculara pe un (Fig. 1.8).

Figura 1.8: Directiile de vibratie ale lui D pentru un mediu uniax si deter-minarea indicelui extraordinar.

29

Semiaxa paralela cu Oz are lungimea no astfel ca unda ce se propagape directia un si are directia de vibratie a lui D paralela cu Oz este undaordinara. Planul format de axa optica si directia de propagare a undei senumeste planul principal. Concluzionam ca unda ordinara are vectorul Dperpendicular pe planul sectiunii principale.

Unda care se propaga pe directia un si are vectorul D pe directiasemiaxei OB este unda extraordinara. Indicele de refractie al mediuluipentru aceasta unda este egal cu lungimea semiaxei OB si depinde deunghiul θ. Notam n (θ) = OB indicele de refractie extraordinar. Pen-tru un mediu uniax pozitiv no < n (θ) < nE , iar pentru un mediu uniaxnegativ no > n (θ) > nE.

Sa deducem dependenta lui n (θ) de no, nE si θ. Punctul B are coordo-natele (xB, yB) date de relatiile

xB = n (θ) cos(π

2+ θ) = −n (θ) sin θ, (1.92)

yB = n(θ) sin(π

2+ θ) = n (θ) cos θ (1.93)

si apartine elipsei date de intersectia elipsoidului de indici (1.91) cuplanul xOy. Aceasta elipsa are ecuatia

x2

n2E+

y2

n2o= 1 (1.94)

Deoarece xB si yB verifica ecuatia (1.94), deducem ca n2 (θ) ( sin2 θ

n2E+

cos2 θn2o) = 1, de unde, dupa utilizarea relatiei sin2 θ = 1 − cos2 θ, obtinem

expresia indicelui de refractie extraordinar

n (θ) =nE · noq

n2o + (n2E − n2o) cos

2 θ(1.95)

Cazuri particulare1) pentru θ = 0 (un paralel cu axa optica) rezulta n (θ = 0) = no. În

acest caz, planul perpendicular pe un si trece prin O intersecteaza elip-soidul de indici dupa cercul de raza no, continut în planul yOz. Elipsa din

30

cazul general a degenerat într-un cerc, pentru care nu se mai pot identificasemiaxele mica si mare, prin urmare orice directie de vibratie a lui D înplanul yOz este permisa.

2) pentru θ = π/2 (un perpendicular cu axa optica) rezulta n (θ = π/2) =nE. Mai precis, daca directia de propagare este Oy, elipsa perpendicularape Oy este continuta în planul xOz si are semiaxele no de-a lungul lui Oz,respectiv nE de-a lungul lui Ox. Unda ce se propaga de-a lungul lui Oysi are vectorul D paralel cu Oz este unda ordinara iar indicele de refractiecorespunzator este no. Pentru unda ce se propaga tot de-a lungul lui Oydar are vectorul D paralel cu Ox indicele de refractie corespunzator estenE.

1.5.3 Razele refractate de un dioptru mediu izotrop - mediuanizotrop

Consideram un dioptru ce separa un mediu izotrop cu indicele de refractien de un mediu anizotrop. O unda plana ce se propaga prin mediul izotropajunge la acest dioptru unde se realizeaza reflexia si refractia undei. FieIO directia razei luminoase în mediul izotrop. Evident ca aceasta este sidirectia de propagare a undei în acest mediu. Punctul O apartine dioptru-lui. Consideram originea timpului, t = 0, ca fiind momentul la care razaIO ajunge la dioptru, iar punctul O devine sursa si emite în toate directiile.Suprafata de unda într-un mediu anizotrop este o suprafata dubla si dinacest motiv prin refractie apar, în general, doua unde refractate în mediulanizotrop. Acesta este fenomenul de dubla refractie. Vom arata cum se de-termina directiile razelor refractate în mediul anizotrop folosind suprafatavitezelor de raza si principiul Huygens.

Cu centrul în O construim în mediul anizotrop o semisfera (S) cu razaegala cu viteza v = c/n de propagare a undei în mediul izotrop. Daca înlocul mediului anizotrop am fi avut acelasi mediu izotrop ca cel de incidenta,la momentul t = 1, planul undei (P) ar fi fost tangent la aceasta semisferaîn punctul T aflat la intersectia prelungirii razei IO cu semisfera (Fig. 1.9).

31

Figura 1.9: Constructia Huygens în cazul refractiei la suprafata de separaremediu izotrop - mediu anizotrop.

Punctul J reprezinta intersectia planului (P) cu planul de incidentacare a fost ales chiar planul figurii. Dreapta (D) ce trece prin J si esteperpendiculara pe planul figurii reprezinta intersectia planului undei dinmediul izotrop cu suprafata de separare dintre cele doua medii, la momentulde timp t = 1. Planul unei unde refractate trebuie sa treaca la t = 1prin drepta (D) si sa fie tangent la una din cele doua foi (S’) sau (S”) alesuprafetei vitezelor de raza din mediul anizotrop. Fie T0 si T00 punctele detangenta astfel obtinute iar (P’) si (P”) planele undelor refractate. Razelerefractate sunt OT0 respectiv OT00. Daca axele principale ale mediuluianizotrop sunt orientate arbitrar în raport cu planul de incidenta, puncteleT0 si T00 nu se afla, în general, în planul de incidenta si prin urmare nicirazele refractate OT0 si OT00 nu mai sunt situate în planul de incidenta.

Aceasta metoda de constructie a razelor refractate, în cazul general almediilor biaxe, este destul de dificila deoarece implica un desen în spatiu,

32

greu de realizat. Cum mediile uniaxe au o mare importanta în aplicati-ile practice si construirea razelor refractate este mai simpla în cazul lor,în continuare vom exemplifica aceasta metoda doar pentru medii uniaxe.Chiar mai mult, pentru ca T0 si T00 sa fie în planul figurii vom aborda doarcazurile simple în care axa optica este continuta în planul de incidenta sauperpendiculara pe acesta. Suprafata de unda în mediul anizotrop este osuprafata dubla, formata din semisfera de raza egala cu viteza ordinara vosi elipsoidul de revolutie în jurul axei optice având semiaxele vo de-a lungulaxei optice si vE perpendicular pe axa optica. Semisfera si elipsoidul sunttangente în punctele de pe axa optica.

Planul de incidenta paralel cu sectiunea principala

În acest caz, axa optica (A. O.) este situata în planul de incidenta, care estedefinit de raza incidenta IO si normala ON la suprafata de separare a celordoua medii. Consideram planul figurii ca fiind planul de incidenta. Axaoptica poate fi paralela, perpendiculara sau oblica în raport cu suprafatade separare. Evident ca putem avea incidenta normala sau oblica. Vomanaliza pe rând aceste cazuri posibile.

Axa optica oblica si incidenta oblicaÎn Fig. 1.10 este prezentata deducerea directiilor razelor refractate

folosind procedeul descris anterior, pentru un mediu anizotrop uniax pozitiv(vo > vE).

Pentru a nu avea probleme legate de eventuala reflexie totala, pre-supunem ca viteza v de propagare în mediul izotrop este mai mare decât vo.Intersectia planului de incidenta cu suprafata de unda din mediul anizotropeste reprezentata prin semicercul cu centrul în O si raza vo si o portiunedin elipsa de semiaxe vo si vE. Deoarece planul de incidenta este plan desimetrie pentru suprafata de unda în acest caz, punctele în care planele cetrec prin dreapta (D) sunt tangente la suprafata de unda sunt situate înplanul de incidenta. Notam To punctul de tangenta la semisfera (suprafataordinara) si TE punctul de tangenta la elipsoid (suprafata extraordinara).Directiile OTo si OTE sunt directiile razelor ordinara, respectiv extraordi-nara refractate. Se observa ca razele refractate sunt în planul de incidenta.

33

Unda ordinara este polarizata perpendicular pe planul figurii (planul secti-unii principale) iar unda extraordinara este polarizata în planul sectiuniiprincipale.

Figura 1.10: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidentaoblica, axa optica în planul de incidenta dar oblica fata de normala ladioptru.

Axa optica oblica si incidenta normalaÎn acest caz, punctul T apartine normalei NO iar tangenta în T la cercul

de raza v este paralela cu suprafata de separare dintre cele doua medii. Prinurmare, punctul J si dreapta (D) sunt practic situate la infinit iar planelece trec prin (D) si sunt tangente la cele doua foi ale suprafetei de unda suntparalele cu suprafata de separare. Punctul To de tangenta la suprafata or-dinara apartine normalei NO si prin urmare raza ordinara refractata OTo

34

este pe directia normalei (Fig. 1.11). Unda ordinara refractata este polar-izata perpendicular pe planul de incidenta.

Figura 1.11: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidenta nor-mala, axa optica în planul de incidenta dar oblica fata de normala la diop-tru.

Punctul TE de tangenta la elipsoid nu apartine normalei NO, astfel ca,raza extraordinara refractata OTE nu este pe directia normalei (Fig. 1.11).Se constata ca, pentru unda extraordinara, legea a doua a refractiei nueste respectata în acest caz. Unda extraordinara este polarizata în planulsectiunii principale.

Axa optica paralela cu suprafata de separare si incidenta oblicaDeoarece axa optica este paralela cu suprafata de separare, cele doua foi

ale suprafetei de unda din mediul anizotrop sunt tangente în doua punctede pe suprafata de separare (Fig. 1.12). Intersectia planului de incidenta

35

cu suprafata de unda este constituita dintr-un semicerc de raza vo si ojumatate de elipsa cu semiaxele vo si vE . Folosind constructia Huygens seconstata ca punctele To si TE apartin planului de incidenta si prin urmarerazele refractate OTo si OTE respecta prima lege a refractiei.

Figura 1.12: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidentaoblica, axa optica paralela cu suprafata de separare.

Axa optica paralela cu suprafata de separare si incidenta normalaPunctul J este situat la infinit astfel ca To si TE sunt pe directia nor-

malei (Fig. 1.13). Razele refractate OTo si OTE se propaga pe aceeasidirectie, cea a normalei, legile refractiei sunt respectate în acest caz. Celedoua unde refractate desi se propaga pe aceeasi directie, au stari de po-larizare si viteze de propagare diferite.

36

Figura 1.13: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidenta nor-mala, axa optica paralela cu suprafata de separare.

Axa optica perpendiculara pe suprafata de separare si incidenta oblicaÎn acest caz semicercul de raza vo si semielipsa cu semiaxele vo si vE sunt

tangente într-un punct de pe directia normalei. Datorita simetriei de rotatiea suprafetei de unda în raport cu axa optica, rezulta ca punctele To si TE

apartin planului de incidenta (Fig. 1.14). Raza ordinara refractata OTo

este polarizata perpendicular pe planul de incidenta iar raza extraordinararefractata OTE este polarizata în planul de incidenta.

37

Figura 1.14: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidentaoblica, axa optica perpendiculara pe suprafata de separare.

Axa optica perpendiculara pe suprafata de separare si incidenta normalaPunctul J este la infinit si prin urmare punctele To si TE coincid,

apartinând normalei. Razele refractate OTo si OTE se propaga pe di-rectia normalei, deci paralel cu axa optica (Fig. 1.15). Datorita propagariirazelor refractate paralel cu axa optica, viteza de faza pentru aceste undeeste aceeasi, si anume vo. Orice directie de polarizare perpendiculara pedirectia normalei este posibila pentru undele refractate ce se propaga de-alungul axei optice.

38

Figura 1.15: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax; incidenta nor-mala, axa optica perpendiculara pe suprafata de separare.

Planul de incidenta perpendicular pe sectiunea principala

În acest caz, axa optica este paralela cu suprafata de separare si raza inci-denta este perpendiculara pe axa optica. Consideram doar incidenta oblica,cazul incidentei normale a fost deja analizat pe baza Fig. 1.13. Presupunemmediul anizotrop uniax pozitiv vE < vo. Intersectia suprafetei de unda dinmediul anizotrop cu planul de incidenta este reprezentata în Fig. 1.16 prinsemicercurile de raze vo si vE. Unda ordinara refractata este polarizata înplanul de incidenta iar unda extraordinara este polarizata paralel cu axaoptica.

39

Figura 1.16: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax pozitiv; inci-denta oblica, axa optica perpendiculara pe planul de incidenta.

Cazul mediilor anizotrope uniax negative (vE > vo, nE < no) se trateazaanalog. Spre exemplificare, consideram cazul anterior (planul de incidentaperpendicular pe sectiunea principala) si deducem directiile razelor refrac-tate în cazul unui mediu uniax negativ. De data aceasta semicercul de razavE este mai mare decât cel cu raza vo si, prin urmare, unghiul de refractiepentru raza extraordinara OTE este mai mare decât cel corespunzator razeiordinare OTo (Fig. 1.17).

40

Figura 1.17: Razele refractate de un mediu anizotrop uniax negativ; inci-denta oblica, axa optica perpendiculara pe planul de incidenta.

1.5.4 Polarizori

Un polarizor liniar este un dispozitiv optic care transmite (sau reflecta)o stare de polarizare liniara si suprima transmisia (sau reflexia) starii depolarizare liniare ortogonale. Aceasta este definitia unui polarizor ideal, înrealitate prin orice polarizor trece o fractiune din starea ortogonala. Di-rectia de polarizare a luminii transmise (sau reflectate) de polarizor depindede constructia acestuia si se numeste axa polarizorului. Pentru un polarizorcare functioneaza prin transmisie, aceasta directie este numeste adesea axade transmisie (directia de transmisie).

41

Caracteristicile polarizorului

Caracteristicile principale ale unui polarizor sunt: gradul de extinctie, fac-torul de polarizare, deschiderea unghiulara, transparenta pentru stareatransmisa si raspunsul spectral. Aceste caracteristici sunt analizate în con-tinuare.

Gradul de extinctie Consideram o unda liniar polarizata de-a lungulaxei Ox, de intensitate egala cu unitatea, ce se propaga pe directia Ozsi este incidenta pe un polarizor liniar a carui directie de transmisie estesituata în planul xOy. Polarizorul se roteste în planul xOy. Notam θunghiul format de Ox cu directia de transmisie a polarizorului. În timpulrotirii polarizorului, transmitanta T a acestuia variaza între valorile extremeTmax si Tmin conform relatiei

T = (Tmax − Tmin) cos2 θ + Tmin (1.96)

În cazul unui polarizor ideal, Tmin = 0 si Tmax = 1, în concordanta culegea lui Malus. Imperfectiunea dispozitivului si prezenta luminii paraziteface ca legea lui Malus sa fie partial verificata. În general Tmin << Tmax.

Gradul de extinctie τ se defineste prin relatia

τ =TmaxTmin

, (1.97)

iar factorul de polarizare π al luminii transmise de polarizor pe bazaraportului

π =Tmax − TminTmax + Tmin

(1.98)

Pe baza ultimelor doua relatii se deduce legatura dintre π si τ

π =τ − 1τ + 1

; τ =1− π

1 + π(1.99)

Aceste constante (π si τ) se refera doar la capacitatea dispozitivului dea polariza lumina. Calitatea polarizorului este dependenta si de valoarea

42

Tmax, care trebuie sa fie cât mai mare. Aceasta depinde de natura mate-rialului (prin absorbtie, difuzie, etc.) si de fenomenul fizic folosit pentrupolarizare.

Deschiderea unghiulara Adesea, fasciculele optice ce trebuie polarizateau o anumita deschidere unghiulara. Chiar daca starea de polarizare a fostdefinita doar pentru o unda plana, si prin urmare pentru o directie data arazei luminoase, notiunea de stare de polarizare poate fi extinsa în cazulunui fascicul conic. Spunem ca un fascicul conic este polarizat liniar dacatoate razele acestui fascicul au starea de polarizare liniara continuta într-un plan, paralel cu planul meridian care contine axa fasciculului si directiade polarizare a razei ce coincide cu axa fasciculului. Cu alte cuvinte, seconsidera ca fasciculul este format dintr-un numar mare de raze, asociateundelor plane polarizate liniar în acelasi plan. Anumiti polarizori au odeschidere unghiulara mare, altii au deschideri foarte mici, dependente defenomenele fizice utilizate în fiecare caz.

Raspunsul spectral al polarizorului Efectele utilizate pentru a realizapolarizori liniari sunt reflexia, refractia, atenuarea selectiva a unei stari depolarizare si difractia. Toate aceste efecte depind de natura materialuluiprin intermediul proprietatilor sale optice (indice de refractie, factor deabsorbtie). În general acesti parametrii depind de lungimea de unda aluminii si performantele polarizorilor sunt astfel dependente de lungimeade unda. Materialele optice folosite la construirea polarizorilor se aleg nudoar în functie de efectele polarizante ci si de domeniul lor de transparenta.

Prisme polarizante si polarizori cu reflexie totala

Pe baza fenomenului de birefringenta într-un mediu anizotrop liniar, celedoua unde luminoase obtinute prin dubla refractie la dioptrul mediu izotrop- mediu anizotrop sunt separate spatial, în general, si polarizate liniar pedirectii ortogonale ce depind de orientarea relativa a axelor cristalografice sia vectorului de unda al undei incidente. O separare unghiulara importanta

43

a razelor refractate se realizeaza cu ajutorul prismelor polarizante. În unelecazuri se elimina una din razele refractate, de exemplu prin reflexie totala.Un astfel de dispozitiv se numeste polarizor cu reflexie totala.

Materialele birefringente utilizate cel mai des sunt cele uniaxe. Eletrebuie sa aiba o transparenta buna în banda spectrala în care sunt utilizatesi sa nu aiba incluziuni. Majoritatea polarizorilor sunt din calcit sau cuart.Calcitul este anizotrop uniax negativ si are o transmisie buna din ultravioletpâna în infrarosul apropiat. Pentru lungimi de unda sub 2000 Ao absorbtiasa este puternica iar peste 2,8 μm începe sa prezinte fenomenul de dicroism(absorbtie selectiva a diferitelor stari de polarizare). Cuartul este uniaxpozitiv si prezinta o birefringenta mai mica decât cea a calcitului. Din acestmotiv este preferat pentru construirea defazorilor deoarece grosimile unordefazori din calcit necesare pentru acest scop ar fi prea mici si astfel greude realizat. Cuartul poate fi folosit între 1900 Ao si 4 μm. Alte materialefolosite pentru realizarea polarizorilor sunt: mica, nitratul de sodiu, florurade magneziu, spatul de Islanda.

Prisme polarizante Prisma Rochon este constituita din doua prisme dinacelasi material uniax dar taiate diferit în raport cu axa optica. În primaprisma axa optica este perpendiculara pe fata de intrare (de incidenta),iar în cea de-a doua prisma este paralela cu muchia prismei (Fig. 1.18).Cele doua prisme sunt în contact una cu cealalta, nefiind nevoie de unliant. Presupunem ca pe prima prisma vine, din aer, la incidenta normalao unda nepolarizata. O astfel de unda poate fi considerata o suprapunere deunde liniar polarizate pe toate directiile ortogonale pe directia de propagare,toate undele având aceeasi probabilitate. În prima prisma undele se propagape directia axei optice si din acest motiv indicele de refractie este acelasi, no,indiferent de starea de polarizare. În punctul I, de incidenta pe suprafataseparatoare a celor doua prisme, se realizeaza separarea undelor în functiede starea de polarizare. Unda ce se propaga prin prima prisma si estepolarizata în planul figurii (perpendicular pe axa optica a celei de-a douaprisme) este pentru a doua prisma o unda ordinara, indicele de refractieal acestei prisme fiind no pentru aceasta stare de polarizare. Prin urmare,

44

în punctul I nu se modifica directia de propagare a undei polarizate înplanul figurii, astfel ca unda ordinara iese din prisma Rochon pe directiaundei incidente. Unda ce se propaga prin prima prisma si este polarizataperpendicular pe planul figurii (paralel cu axa optica a celei de-a douaprisme) este o unda extraordinara pentru a doua prisma, astfel ca în punctulI pentru aceasta unda exista o discontinuitate a indicelui de refractie. Înstânga punctului I indicele de refractie este no iar în dreapta (în a douaprisma) este nE. Pentru un mediu uniax pozitiv, nE > no (de exemplucuart), raza extraordinara refractata se apropie de normala (deviere în josîn Fig. 1.8).

Figura 1.18: Functionarea unei prisme Rochon din cuart.

La iesirea din a doua prisma în aer, se realizeaza din nou refractia astfelca unda este deviata în jos si mai mult. Daca prismele sunt din calcit (uniaxnegativ) unda extraordinara refractata se departeaza de normala (deviereîn sus). Orice unda liniar polarizata pe o directie ce nu este paralela dar niciperpendiculara în raport cu planul figurii poate fi descompusa în doua unde,unda polarizata în planul figurii si cealalta polarizata perpendicular. Pentruaceste componente se aplica rationamentul mai sus expus. În concluzie dinprisma Rochon ies doua unde:

- unda ordinara (O) polarizata în planul figurii se propaga pe directia

45

undei incidente;- unda extraordinara (E) polarizata perpendicular pe planul figurii se

propaga oblic fata de directia undei incidente.Unghiul de deviere al razei extraordinare este de câteva grade pentru

o prisma de cuart si poate ajunge la 150 pentru una din calcit, printr-oalegere corespunzatoare a unghiului prismelor.

Prisma Senarmont se deosebeste de prisma Rochon prin faptul ca adoua prisma are axa optica perpendiculara pe baza prismei (Fig. 1.19). Saexplicam functionarea unei prisme construite din calcit (no > nE). Oriceunda ce se propaga în prima prisma de-a lungul axei optice este o undaordinara, indicele de refractie asociat fiind no. Unda polarizata perpendic-ular pe planul figurii este unda ordinara pentru a doua prisma, astfel ca,în punctul I aceasta unda nu este deviata prin refractie. Unda ordinaraiese din prisma Senarmont nedeviata. Unda polarizata în planul figurii esteunda extraordinara pentru a doua prisma astfel ca, în urma refractiei în I,se departeaza de normala, find deviata în sus în Fig. 1.19.

Figura 1.19: Functionarea unei prisme Senarmont din calcit.

Prisma Wollaston este construita din doua prisme din acelasi materialuniax, taiate în raport cu axa optica dupa cum este ilustrat în Fig. 1.20.

46

Sa explicam modul de functionare al unei astfel de prisme construite dincuart.

Figura 1.20: Functionarea unei prisme Wollaston din cuart.

Consideram ca fasciculul incident normal pe prima prisma este nepo-larizat. Unda ce se propaga în prima prisma si este polarizata liniar paralelcu axa optica a acesteia este o unda extraordinara, indicele de refractie înprima prisma fiind nE pentru aceasta unda. Pentru a doua prisma aceastaunda este polarizata perpendicular pe axa optica si prin urmare indicele derefractie asociat este no. Deoarece pentru cuart nE > no, refractia în punc-tul I se face cu departare de normala (deviere în sus). Unda care în primaprisma este polarizata perpendicular pe axa optica este unda ordinara, in-dicele de refractie asociat este no. Pentru a doua prisma, aceasta unda estepolarizata paralel cu axa optica si deci indicele de refractie asociat este nE .În urma refractiei în punctul I se obtine o apropiere de normala (deviereîn jos). Observam ca prisma Wollaston permite o separare unghiulara maimare a fasciculelor emergente decât prisma Rochon deoarece aceste fasci-cule sunt deviate de o parte si de cealalta a fasciculului incident. În cazulprismelor din cuart separarea unghiulara este mica, aproximativ 1, 5o, însapentru cele din calcit se poate ajunge chiar la 30o.

47

Polarizori cu reflexie totala În aceste prisme una din starile de po-larizare este eliminata prin intermediul reflexiei totale care permite scoaterealaterala a acestei stari. Prezentam câteva tipuri de polarizori ce utilizeazareflexia totala.

Prisma Nicol este primul dispozitiv de acest tip. Materialul birefringentutilizat este spatul de Islanda sau calcitul. Acest polarizor are lungimeacam de trei ori mai mare decât latimea. Daca se foloseste calcitul, celedoua prisme componente sunt taiate astfel încât axa optica face un unghide 45o cu fetele AB si A’B’, iar unghiul A’ al primei prisme este 22o (Fig.1.21). Cele doua prisme sunt lipite cu balsam de Canada, care este unmaterial izotrop, cu indicele de refractie n = 1, 55.

Figura 1.21: Prisma Nicol.

Consideram o unda plana, nepolarizata, incidenta prin fata AB. Dublarefractie în C genereaza doua raze: raza ordinara CD, polarizata perpendic-ular pe planul sectiunii principale (planul figurii) si raza extraordinara CE,polarizata în planul figurii. Pentru calcit indicii de refractie verifica relatianE < 1, 55 < no. Prin modul de constructie al prismei Nicol, unghiul deincidenta al razei ordinare pe dioptrul calcit - balsam de Canada depasesteunghiul limita astfel ca raza ordinara CD se reflecta total în punctul D, fiindscoasa lateral si absorbita prin intermediul unui absorbant adecvat. Razaextraordinara se refracta în punctul E, trece prin balsamul de Canada sia doua prisma pastrându-si starea de polarizare. Directia razei emergentedin prisma Nicol este paralela cu cea a razei incidente, dar exista o mica

48

deplasare laterala datorata propagarii undei extraordinare prin cele douaprisme si balsamul de Canada. Daca rotim polarizorul în jurul directieifasciculului incident, raza emergenta descrie un cilindru, spunem ca apare”bataia laterala”.

În cazul unui fascicul cu o anumita deschidere unghiulara nu toate razelesunt polarizate la fel. În functie de unghiul de incidenta pe fata de intrarese poate ca:

- raza ordinara sa nu mai sufere reflexie totala pe fata AA’ si luminatransmisa de polarizor sa nu mai fie liniar polarizata ci eliptic polarizata.

- raza extraordinara sa efectueze reflexie totala pe fata A’B’ si dispozi-tivul sa nu transmita lumina.

Prisma Nicol, desi este foarte performanta, are dezavantajul ca estedificil de realizat pentru ca necesita cristale mari si nu poate fi folosita laputeri mari (fascicule intense) din cauza absorbtiei balsamului de Canada.Se prefera folosirea unor prisme în care mediul intermediar izotrop este unstrat de aer. Astfel de prisme sunt analizate în continuare.

Prisma Foucault este asemanatoare cu prisma Nicol, diferenta constândîn înlocuirea balsamului de Canada cu un strat subtire de aer. LungimeaAB’ este putin mai mica decât latimea AB. Prisma Foucault prezinta douaavantaje fata de prisma Nicol:

- se utilizeaza mai putin material la constructia sa;- absenta liantului absorbant (balsamul de Canada) permite utilizarea

acestei prisme si în cazul laserilor de putere.În cazul prismelor Nicol si Foucault, fasciculul ce trebuie polarizat nu

este incident normal pe fata de intrare, ceea ce induce erori în determinareadirectiei de polarizare, când aceste prisme sunt utilizate în montaje polari-metrice. Din acest motiv se prefera, în general, polarizorii cu câmp normal(incidenta normala) care nu au acest inconvenient.

Prismele Glan - Thompson si Glan - Foucault sunt fabricate din calcit.Axa optica este paralela cu fata de intrare si cu muchiile prismelor compo-nente. La prisma Glan - Thompson cele doua semiprisme ce o alcatuiescsunt lipite cu un liant izotrop iar la prisma Glan - Foucault un strat de aersepara aceste semiprisme. Unghiul prismelor este ales astfel încât raza or-dinara sufera reflexie totala pe dioptrul cristal - liant (Fig. 1.22), respectiv

49

cristal - aer (Fig. 1.23).

Figura 1.22: Prisma Glan -Thompson.

Figura 1.23: Prisma Glan- Foucault.

50

Polarizori dicroici

Acest tip de polarizori se bazeaza pe absorbtia selectiva a starilor de po-larizare în unele materiale, fenomen numit dicroism. Mediile dicroice suntmateriale birefringente în care coeficientii de absorbtie pentru cele douastari proprii de polarizare sunt foarte diferiti. În prezent se cunosc sub-stante pentru care coeficientul de absorbtie corespunzator unei directii depolarizare este foarte mare pentru toate lungimile de unda din spectrulvizibil, în timp ce pentru directia de polarizare ortogonala, coeficientul deabsorbtie este foarte mic si practic independent de lungimea de unda. Dacalumina alba traverseaza o astfel de substanta si apoi un cristal birefringent,fasciculele emergente vor fi unul ”alb” si celalalt ”negru”, pentru ca auintensitate nenula, respectiv nula, independent de lungimea de unda. Unastfel de material se numeste dicromofor. Substanta denumita turmalinaeste un exempu de dicromofor.

Dicroismul este folosit pentru producerea celor mai raspânditi polar-izori, numiti polaroizi. Acestia se obtin prin includerea într-un materialplastic sau film polimeric a cristalelor dicroice aliniate toate în acelasi mod.Acesti polarizori, din cauza principiului lor de functionare (absorbtia uneistari de polarizare) nu pot fi folositi în cazul fasciculelor foarte intense. Potavea dimensiune transversala mare, deschidere unghiulara mare si un gradde extinctie de ordinul 104 pentru lumina alba. În schimb, transmisia stariide polarizare emergente nu este prea buna. Un astfel de polarizor are un co-eficient de transmisie în jur de 35% pentru lumina naturala. Performanteleacestor polarizori depind foarte mult de lungimea de unda, ceea ce limiteazadomeniul lor de aplicatie. Desi au transmisie mica, polaroizii sunt foartemult utilizati în practica datorita simplitatii lor si mai ales pretului miccomparativ cu cel al prismelor polarizante sau al polarizorilor cu reflexietotala.

51

1.6 Propagarea luminii în cristalele biaxe

1.6.1 Suprafata de unda si elipsoidul indicilor

În cazul mediilor anizotrope biaxe cele trei permitivitati electrice principalesunt diferite, εx 6= εy 6= εz, si prin urmare si vitezele principale vx =1/√μεx 6= vy = 1/

√μεy 6= vz = 1/

√μεz. Pâna la o eventuala renotare,

putem presupune ca vx > vy > vz. Pentru a determina intersectia suprafeteide unda (descrisa prin relatia 1.61) cu planul xOz (caracterizat prin y =0) se introduce aceasta valoare a lui y în ecuatia 1.61. Obtinem astfelegalitatea

(v2r − v2y)[x2v2x(v

2r − v2z) + z2v2z(v

2r − v2x)] = 0, (1.100)

care conduce la urmatoarele ecuatii

v2r − v2y = 0 (1.101)

x2v2x(v2r − v2z) + z2v2z(v

2r − v2x) = 0 (1.102)

Stim ca x2+y2+z2 = v2r t2. Ecuatia (1.101) combinata cu acest rezultat,

pentru t = 1 si y = 0 devine

x2 + z2 = v2y , (1.103)

care este ecuatia unui cerc cu centrul în O si raza vy.Prelucram ecuatia (1.102) desfacând parantezele si grupând termenii

dupa semnul lor. Deducem ca

v2r(x2v2x + z2v2z)− v2xv

2z(x

2 + z2) = 0 (1.104)

Folosind faptul ca pentru t = 1 si y = 0 este valabil rezultatul generalx2 + z2 = v2r , pâna la factorul v

2r neesential, ultima ecuatie devine x

2v2x +z2v2z = v2xv

2z . Prin împartirea cu v2xv

2z , deducem

x2

v2z+

z2

v2x= 1, (1.105)

52

care este ecuatia unei elipse de semiaxe vz si vx de-a lungul lui Ox, respectivOz.

Intersectia suprafetei de unda cu planul xOz este prezentata în Fig.1.24.

Figura 1.24: Intersectia suprafetei de unda cu planul xOz.

Constatam ca cercul si elipsa din planul xOz se intersecteaza în patrupuncte R, R’, R” si R”’. Pe baza simetriei în raport cu punctul O si axeleOx si Oz se deduce ca R, O si R’ sunt coliniare. De asemenea, R”, O siR”’ sunt coliniare. Directiile RR’ si R”R”’ definesc axele radiale. De-alungul acestor directii viteza razei luminoase are o singura valoare si anumevy. Pentru orice alta directie sunt posibile doua valori distincte ale vitezeide raza. Sa determinam unghiul θr format de axele radiale cu axa Oz.Pentru aceasta trebuie sa deducem coordonatele (xR, yR) ale punctului R.

53

Rezolvând sistemul format din ecuatiile (1.103) si (1.105) obtinem

x2R =1− v2y

v2x1v2z− 1

v2x

; z2R =

v2yv2z− 1

1v2z− 1

v2x

, (1.106)

de unde deducem

tg2θr =x2Rz2R

=1− v2y

v2xv2yv2z− 1

=

1v2y− 1

v2x1v2z− 1

v2y

=εy − εxεz − εy

(1.107)

Sa determinam directiile axelor optice pentru un mediu anizotrop biax.Consideram cazul în care vx > vy > vz. Evident ca indicii principali derefractie verifica relatia nx < ny < nz. Elipsoidul de indici de refractie estedescris prin ecuatia generala (1.67). Intersectia acestuia cu planul xOz esteelipsa de ecuatie

x2

n2x+

z2

n2z= 1, (1.108)

reprezentata în Fig. 1.25.

Figura 1.25: Intersectia elipsoidului de indici de refractie cu planul xOz.

54

Presupunem ca versorul directiei de propagare un este continut în planulxOz si notam cu θ unghiul format de un cu axa Oz. Planul ce trece prinO si este perpendicular pe un contine axa Oy. Prin urmare, una din celedoua directii de vibratie ale lui D, asociate lui un, este chiar cea a axei Oy.Indicele de refractie corespunzator acestei unde este ny. Cealalta directiede vibratie (OM) este continuta în planul xOz si perpendiculara pe un.Notam (xM , zM) coordonatele punctului M. Stim ca indicele de refractiepentru aceasta directie de polarizare este egal cu lungimea segmentului OM.Deoarece n = OM rezulta ca xM = n cos θ si zM = −n sin θ. Introducândaceste expresii ale lui xM si zM în relatia (1.108) obtinem

cos2 θ

n2x+sin2 θ

n2z=1

n2(1.109)

Pe baza ultimei ecuatii sau a figurii 1.25 se constata ca daca θ iatoate valorile posibile, indicele de refractie n parcurge intervalul [nx, ny].Deoarece nx < ny < nz rezulta ca exista o valoare a lui θ, notata θo, pentrucare n = ny. Revenim la ultima ecuatie, din care, pentru n = ny, obtinem

sin2 θo =

1

n2x− 1

n2y1

n2x− 1

n2z

si cos2 θo =1

n2y− 1

n2z1

n2x− 1

n2z

. De aici deducem

tg2θo =sin2 θocos2 θo

=

1n2x− 1

n2y1n2y− 1

n2z

=

1εx− 1

εy1εy− 1

εz

=εy − εxεz − εy

· εzεx=

εzεx· tg2θr (1.110)

Ultima relatie ne arata ca pentru un mediu biax, axele optice nu coincidcu axele radiale.

Determinarea directiilor axelor optice cunoscând suprafata de undaConsideram cazul unui mediu biax pentru care vx > vy > vz. Intersectia

suprafetei de unda la t = 1 cu planul xOz este data de cercul si elipsadescrise de ecuatiile (1.103), respectiv (1.105).

Afirmatie O dreapta ce trece prin O si este perpendiculara pe o tan-genta comuna la cerc si elipsa este axa optica.

Demonstratie Având în vedere simetria cercului si elipsei din Fig.1.26 în raport cu originea O si axele Ox si Oz, este clar ca cercul si elipsa

55

au patru tangente comune. Sa analizam ce se întâmpla în primul cadran,rezultatul fiind apoi extins si pentru celelalte cadrane.

Figura 1.26: Determinarea axelor optice pentru un mediu biax folosindsuprafata de unda.

Fie punctul A(xo, zo) ce apartine cercului si tangentei comune la cercsi elipsa. Acest punct fiind pe cercul de raza vy, verifica ecuatia (1.103),astfel ca

x2o + z2o = v2y . (1.111)

Tangenta la cerc în punctul A are ecuatia

xxo + zzo − v2y = 0, (1.112)

din care explicitam

56

z = −xozo· x+

v2yzo. (1.113)

Ecuatia unei tangente la elipsa este de forma

z = m · x+pm2v2z + v2x (1.114)

Cele doua tangente coincid daca

m = −xozo

siv2yzo=pm2v2z + v2x (1.115)

Eliminând parametrul m în ultima relatie obtinemv4yz2o= x2o

z2ov2z +v2x, care

împreuna cu ecuatia (1.111) formeaza un sistem în necunoscutele x2o si z2o .

Rezolvarea sistemului conduce la solutiile

x2o =v2y(v

2x − v2y)

v2x − v2z; z2o =

v2y(v2y − v2z)

v2x − v2z(1.116)

care permit determinarea unghiului θ format de OA cu Oz pe bazarelatiei

tg2θ =x2oz2o=

v2x − v2yv2y − v2z

=

1n2x− 1

n2y1n2y− 1

n2z

(1.117)

Comparând ultima relatie cu (1.110) constatam ca θ ≡ θo, ceea ceîncheie demonstratia.

1.6.2 Refractia conica interna

Consideram o unda plana, monocromatica, nepolarizata, incidenta dintr-un mediu izotrop pe un mediu anizotrop biax. Presupunem ca viteza depropagare a undei în mediul izotrop, notata v, si vitezele principale verificarelatia v > vx > vy > vz. Am aratat ca pentru un mediu biax cu o astfel deordonare a vitezelor principale, cele doua axe optice sunt continute în planulxOz. Una dintre aceste axe optice este OA, perpendiculara pe tangenta

57

comuna la cercul si elipsa de intersectie a suprafetei de unda cu planul xOz(Fig. 1.27).

Figura 1.27: Configuratia ce permite obtinerea refractiei conice interne.

Alegem directia de propagare a undei în mediul izotrop (IO) continutaîn planul xOz. Directiile razelor refractate în mediul biax se pot determinafolosind constructia Huygens. Cu originea în O (punctul de incidenta pesuprafata de separare a celor doua medii, aleasa ca fiind planul xOy) seconstruieste, în mediul anizotrop, semisfera de raza v. Se prelungeste IOpâna intersecteaza semisfera într-un punct T, care apartine planului xOz.Se duce planul (P) tangent la semisfera în T. Acest plan intersecteaza planulxOy dupa o dreapta (D), care este paralela cu Oy. Se duc planele ce trecprin dreapta (D) si sunt tangente la cele doua foi ale suprafetei de unda.În general sunt doua plane distincte (P’) si (P”) ce corespund celor douapuncte de tangenta (T’) si (T”). Razele refractate sunt OT’ si OT”. În cazulîn care directia razei incidente IO este astfel încât dreapta (D) apartineplanului (P1), tangent la cele doua foi ale suprafetei de unda, cele douaplane (P’) si (P”) coincid cu planul (P1) (Fig. 1.27). Evident ca planul (P1)este perpendicular pe axa optica în punctul A si este tangent la suprafatade unda în toate punctele unei cerc (C) (Fig. 1.28). Unind punctul O

58

Figura 1.28: Obtinerea conului luminos în mediul biax.

cu un punct curent B al cercului (C) se obtine o raza refractata OB. Prinurmare, razei incidente IO îi corespund în interiorul cristalului o infinitatede raze refractate OB ce formeaza un con cu vârful în O. Acest fenomeneste denumit refractia conica interna.

Planul undei (P1), fiind normal pe axa optica, corespunde directiei depropagare a undei un de-a lungul axei optice OA, ceea ce permite ca oricedirectie de vibratie a lui D perpendiculara pe axa optica sa fie posibila.Fiecarei raze refractate OB îi corespunde o directie de vibratie a lui D binedefinita, care este chiar proiectia lui OB pe planul (P1). Cum proiectia luiO pe acest plan este punctul A, rezulta ca directia lui D pentru raza OBeste chiar AB. Pentru raza refractata OA vectorul D este paralel cu Oy iarpentru raza OF (F fiind punctul diametral opus lui A pe cercul C) D estecontinut în planul xOz.

Fenomenul de refractie conica interna a fost prevazut teoretic în anul

59

1832 de catre W. Hamilton si a fost pus în evidenta experimental de catreLloyd în anul 1833. Pentru aragonit, unghiul de deschidere al conului deraze luminoase este în jur de 2 grade. Se utilizeaza o lama groasa dintr-unmaterial anizotrop biax (exemplu aragonit) si se ilumineaza cu un fasciculluminos îngust, obtinut cu ajutorul fantelor I si O, suficient de mici încâtrazele extreme ale fasciculului incident pe lama sa faca între ele un unghimult mai mic decât 2 grade (Fig. 1.29).

Figura 1.29: Schema experimentala de punere în evidenta a refractiei coniceinterne.

Razele refractate în cristal formeaza în interiorul acestuia un con gol. Laiesirea din lama, fiecare raza apartinând acestui con se refracta si genereazao raza emergenta, paralela cu IO. Se obtine astfel un cilindru de raze lu-minoase, gol pe interior, a carui urma pe un ecran este o elipsa luminoasa.Pentru o grosime a lamei de aproximativ 1 cm se obtine o elipsa cu di-ametrul în jur de 1/3 mm. Observarea acestei elipse se face cu o lupa,este preferabil a se pune la punct nu ecranul ci imaginea punctului O prinlama; diferitele raze dau o serie de imagini ale lui O, obtinând astfel un inelluminos O’O”. Masurarea diametrului acestui inel luminos permite deter-minarea unghiului de la vârful conului de raze refractate. Pentru aragonits-a determinat experimental un unghi de 1o500, într-o foarte buna concor-danta cu valoarea teoretica 1o550 obtinuta prin calcul pornind de la valorileindicilor principali de refractie.

60

Daca se polarizeaza liniar raza incidenta IO, se constata ”stingerea”razei refractate a carei directie de vibratie pentru vectorul D este per-pendiculara pe cea furnizata de polarizor. Se observa pe inelul luminos opata neagra, de la care începe sa creasca intensitatea, devenind maximaîn punctul diametral opus petei negre. Daca se roteste polarizorul, pataneagra se deplaseaza de-a lungul inelului si face un tur complet la o rotirea polarizorului cu 180o.

1.6.3 Refractia conica externa

Un alt fenomen important care se poate evidentia în cristalele biaxe esterefractia conica externa. El a fost descoperit teoretic tot de catre W. Hamil-ton si se produce atunci când o raza de lumina, ce strabate un cristal biaxpe directia unui ax radial, se refracta într-un mediu izotrop.

Consideram un mediu anizotrop biax pentru care vitezele principalesatisfac relatia vx > vy > vz. Evident ca, pentru aceasta alegere, indiciide refractie principali verifica inegalitatea nx < ny < nz. Suprafata deseparare (S) dintre acest mediu anizotrop si un mediu izotrop (cu indicelede refractie n) este paralela cu planul xOy. Raza luminoasa IO, incidentadin mediul anizotrop, se refracta în O si trece în mediul izotrop. Pentru adetermina directiile razelor refractate trebuie construita, în mediul izotrop,suprafata de unda pentru mediul anizotrop si suprafata de unda pentrumediul izotrop. Se prelungeste raza incidenta IO pâna intersecteaza celedoua foi ale suprafetei de unda corespunzatoare mediului anizotrop în douapuncte, notate R’ si R”. Prin aceste puncte se duc apoi planele (P’) si (P”)tangente la foile suprafetei de unda si se determina dreptele (D’) si (D”)de intersectie cu planul xOy. Prin aceste drepte se duc planele tangentela semisfera de raza v = c/n si se obtin punctele de tangenta (T’) si (T”).Se uneste O cu (T’) si (T”) si rezulta astfel razele refractate OT’ si OT”.Daca raza incidenta IO este pe directia unui ax radial (OR) atunci R’ siR” coincid cu punctul ”conic” R (Fig. 1.30) pentru care planul tangent lasuprafata de unda este nedeterminat.

61

Figura 1.30: Configuratia ce permite obtinerea refractiei conice externe.

Se poate demonstra ca planul (PR), normal pe OR si tangent în punctulR1 la suprafata de indici de refractie este de fapt tangent în toate puncteleunui cerc (C1). Raza IO corespunde în cristal la o infinitate de unde plane,ale caror normale (ON) formeaza un con cu vârful în O si se ”sprijina” pecercul (C1). Fiecarei unde îi corespunde în mediul izotrop o directie a razeiperfect definita, determinata în modul urmator. Consideram de exempluunda ce se propaga în mediul anizotrop pe directia ON, adica versoruldirectiei de propagare un este pe directia ON (Fig. 1.31).

62

Figura 1.31: Obtinerea conului luminos emergent din mediul biax.

Indicele de refractie în mediul anizotrop pentru aceasta unda este egalcu marimea segmentului ON. Fie M piciorul perpendicularei din N pe planulxOy. Notam N’ punctul de intersectie al dreptei NM cu semisfera de centruO si raza n. Evident ca ON 0 = n. Notam i = ^(zON) ≡ ^(ONM) sir = ^(zON 0) ≡ ^(ON 0M). Din triunghiurile ONM si ON’M se deduce caOM = ON · sin i = ON 0 · sin r, ceea ce ne arata ca legea a doua a refractieieste verificata, de unde deducem ca ON’ este raza refractata corespunza-toare razei incidente ON. Se procedeaza analog cu toate razele de tipul ON.Când punctul N parcurge cercul (C1), punctul N’ genereaza cercul (C2) careeste chiar intersectia semisferei de raza n cu cilindrul format de segmentelede tipul NM. Concluzionam ca razei luminoase dirijate în cristal de-a lungulaxului radial îi corespunde în exterior (în mediul izotrop) un con luminos

63

de raze refractate, gol pe interior, cu vârful în O si ale carui generatoarese sprijina pe cercul (C2). Acest fenomen este denumit refractia conicaexterna.

Câmpul electric E al undei ce are versorul directiei de propagare unpe directia ON este orientat de-a lungul proiectiei lui ON pe planul (PR),adica de-a lungul lui R1N. Pentru unda care are un paralel cu OR1 (deci sicu OR) câmpul electric E este paralel cu Oy, iar pentru cea cu un paralelcu OR01 vectorul E este continut în planul xOz.

Pentru a observa acest fenomen, se utilizeaza o lama dintr-un cristalbiax (exemplu aragonit) pozitionata între doua diafragme strâmte, situatefoarte aproape de fetele lamei (Fig. 1.32).

Figura 1.32: Schema experimentala de punere în evidenta a refractiei coniceexterne.

Raza IO definita de aceste diafragme coincide cu axul radial OR. Lamatrebuie sa fie suficient de groasa pentru ca fasciculul îngust, definit de celedoua diafragme, sa contina doar raze foarte putin înclinate fata de axulradial. Cu ajutorul lentilei convergente L, se trimite în I un fascicul luminosconvergent de deschidere unghiulara suficient de mare pentru ca acesta sacontina raza AI care se refracta în I pe directia IO. Diafragma din jurulpunctului O lasa sa treaca doar razele care s-au propagat în cristal pedirectia IO, obtinând astfel în exterior un fascicul luminos conic, gol pe

64

interior, de raze extreme OT si OT’. Pe un ecran pe care cade conul luminosse poate observa inelul luminos corespunzator.

Daca se polarizeaza liniar fasciculul incident se observa ca inelul lumi-nos este întrerupt de o pata neagra, de la care iluminarea creste si devinemaxima în punctul diametral opus. Pata neagra face un tur complet alinelului la o rotire a polarizorului cu 180o.

1.7 Propagarea starilor de polarizare în dispozi-tivele optice

1.7.1 Stari de polarizare ale undelor

În mediile infinite si în cazul undelor plane omogene, ecuatia ∇ · D =0 impune ortogonalitatea vectorilor D si un. Câmpul D este situat înplanul undei. Daca directia de propagare a undei este Oz, vectorul inductieelectrica D se exprima în notatie complexa sub forma

D(z, t) = D0 exp[i(ωt− kz)], (1.118)

unde k = nω/c este modulul vectorului de propagare, n este indicele derefractie pentru aceasta directie de propagare iarD0 este un vector complex,situat în planul undei, ce caracterizeaza starea de polarizare a undei.

În sistemul cartezian de coordonate Oxy de versori x si y vectorul D0

este de forma

D0 = Axeiφxx+Aye

iφyy, (1.119)

unde Ax si Ay sunt constante reale pozitive iar fazele φx si φy suntdefinite pâna la 2π.

Intensitatea I0 a câmpului electromagnetic asociat acestei unde esteI0 = D

†0 ·D0 = A2x +A2y.

Componentele carteziene reale ale vectorului D(z, t) se pot scrie subforma

65

Dx(z, t) = Ax cos(ωt− kz − φx)

Dy(z, t) = Ay cos(ωt− kz − φy) (1.120)

Daca asociem un punct N la extremitatea vectoruluiD(z, t), acest punctdescrie, în general, o elipsa situata în planul undei. Starea de polarizarefiind asociata, prin definitie, evolutiei temporale a vectorului inductie elec-trica, putem spune ca starea de polarizare cea mai generala a unei undeplane monocromatice într-un mediu omogen este o stare de polarizare elip-tica.

Sa examinam caracteristicile acestei stari de polarizare eliptica în planulz = 0. Pentru a simplifica scrierea, notam X = Dx si Y = Dy. Eliminareatermenului temporal între cele doua ecuatii din sistemul (1.120) conduce laurmatoarea relatie

X2

A2x+

Y 2

A2y− 2XY cosφ

AxAy= sin2 φ, (1.121)

în care φ = φy − φx este defazajul între vibratiile ortogonale Dx(t) siDy(t).

Prin conventie acest defazaj se considera în intervalul [-π,π].În general axele Ox’ si Oy’ ale acestei elipse nu coincid cu axele Ox si

Oy din cauza termenului ce contine XY în relatia (1.121). Din sistemul(1.120) se observa ca elipsa este înscrisa într-un dreptunghi cu laturile 2Ax

si 2Ay.Sensul de rotire pe elipsa se determina examinând ecuatiile parametrice

(1.120) într-un plan al undei, de exemplu planul undei pentru care z = 0.În acest plan ecuatiile (1.120) devin

X(t) = Ax cosωt

Y (t) = Ay cos(ωt− φ) (1.122)

Sensul de rotire a punctului curent N pe elipsa depinde de semnul de-fazajului φ. Conventia de sens utilizata este legata de directia de observare,

66

care se considera în general ca fiind sensul negativ al axei Oz. Mai precis, seconsidera ca unda se propaga în sensul pozitiv al axei Oz, iar observatorulpriveste unda ce se propaga catre el.

Daca φ este cuprins între 0 si π sensul de rotire este spre stânga obser-vatorului (sensul trigonometric, sensul invers acelor de ceasornic).

Daca φ este cuprins între -π si 0 sensul de rotire este spre dreaptaobservatorului (sensul invers trigonometric, sensul acelor de ceasornic).

În sistemul Oxy se pot determina axele elipsei efectuând o schimbarede coordonate printr-o rotatie de unghi α = (Ox,Ox0) în jurul axei Oz,aducând relatia (1.121) la forma patratica. Utilizând schimbarea de bazacaracterizata prin matricea de rotatie

R(α) =

µcosα sinα− sinα cosα

¶(1.123)

trecând apoi de la coordonatele (X,Y) la (X’,Y’) în relatia (1.121) siimpunând anularea termenului mixt se deduce expresia unghiului α core-spunzator

tg2α =2AxAy

A2x −A2ycosφ. (1.124)

Ecuatia elipsei în noul sistem de coordonate Ox’y’ este

X02

a2+

Y02

b2= 1, (1.125)

unde a si b sunt lungimile semiaxelor elipsei.Se demonstreaza usor ca a si b verifica relatiile urmatoare

a2 = A2x cos2 α+A2y sin

2 α+ 2AxAy cosα sinα cosφ

b2 = A2x sin2 α+A2y cos

2 α− 2AxAy cosα sinα cosφ (1.126)

ab = ±AxAy sinφ

Semnul ± în ultima egalitate tine cont de semnul defazajului φ, deoarecea, b, Ax si Ay sunt pozitive. Adunând membru cu membru primele doua

67

relatii (1.126) deducem ca a2 + b2 = A2x +A2y, ceea ce arata ca intensitateacâmpului asociat undei electromagnetice se conserva la schimbarea axelor.

În functie de valorile relative ale amplitudinilor Ax si Ay si de valoareadefazajului φ, elipsa poate degenera într-un segment de dreapta sau un cerc,conducând la o stare de polarizare liniara, respectiv circulara.

Daca φ = 0, forma patratica (1.121) devine ( XAx −YAy)2 = 0. Deducem

ca

Y =Ay

AxX, (1.127)

ceea ce ne arata ca elipsa degenereaza în segmentul de dreapta situatîn cadranele I si III în planul Oxy (Fig. 1.33).

Figura 1.33: Polarizarea liniara pentru φ = 0.

Daca φ = π, relatia (1.121) se reduce la ( XAx+ Y

Ay)2 = 0, de unde

obtinem

Y = −Ay

AxX. (1.128)

Elipsa se reduce în acest caz la segmentul de dreapta din cadranele IIsi IV (Fig. 1.34).

68

Figura 1.34: Polarizarea liniara pentru φ = π.

Constatam ca pentru φ = 0 si φ = π raportul Y (t)/X(t) este indepen-dent de timp. Cele doua componente carteziene Dx si Dy ale lui D sunt înfaza pentru φ = 0 si în opozitie de faza pentru φ = π. Putem scrie ca

X(t) = Ax cosωt; Y (t) = ±Ay cosωt, (1.129)

semnul ”+” corespunde lui φ = 0 iar semnul ”-” lui φ = π. Pentruaceste defazaje se obtine o stare liniar polarizata.

Consideram cazul particular în care amplitudinile Ax si Ay sunt egaleiar defazajul φ = ±π/2. Folosind relatia (1.121) se deduce imediat ca elipsadegenereaza în cercul de raza Ax = Ay. Din relatiile (1.126) obtinem a =b = Ax. S-a obtinut astfel o stare circular polarizata. Sensul de rotire pecerc este dat de semnul defazajului φ. Utilizam conventia folosita în cazulundei polarizate eliptic. Daca φ = −π/2 rotirea se face în sensul acelorde ceasornic iar unda este polarizata circular dreapta (fig. 1.35). Pentruφ = π/2 rotirea este în sens trigonometric si spunem ca unda este polarizatacircular stânga.

69

Figura 1.35: Stari circular polarizate.

1.7.2 Reprezentarea Jones a starilor de polarizare

Natura vectoriala a starii de polarizare sugereaza utilizarea unei reprezen-tari matriceale pentru starea de polarizare. R. C. Jones a introdus o abor-dare matriceala în rezolvarea problemelor legate de polarizarea luminii.Acesta a descris starea de polarizare printr-un vector coloana V , cu doualinii, numit vector Jones:

V =

µAxe

iΦx

AyeiΦy

¶(1.130)

Intensitatea I0 a undei cu aceasta stare de polarizare se exprima prinprodusul scalar hermitic:

I0 = V † · V (1.131)

Deoarece multiplicarea vectorului Jones cu o constanta complexa arbi-trara nu modifica starea de polarizare, adesea este mai comod sa se lucreze

70

cu vectori Jones normati. Notatia utilizata pentru astfel de vectori contine

simbolul ˆ deasupra literei ce indica vectorul Jones (exempluˆV ).

Stari de polarizare liniara

O stare polarizata liniar pe directia ce formeaza unghiul θ, cuprins între 0si π, cu axa Ox este descrisa de vectorul Jones normat:

ˆV =

µcos θsin θ

¶(1.132)

Acestei stari i se poate asocia o stare ortogonala în sens hermitic, de-

scrisa prin vectorul normatˆ

V 0, care este liniar polarizata pe directia ceformeaza unghiul θ + π/2 cu axa Ox. Vectorul starii ortogonale este:

ˆ

V 0 =

µ− sin θcos θ

¶(1.133)

si satisface relatia de ortogonalitate:

ˆ

V 0†

·ˆV =

ˆV†·ˆ

V 0 = 0 (1.134)

Starile de polarizare liniara asociate axelor Ox si Oy (polarizate liniarde-a lungul axelor Ox, respectiv Oy) sunt descrise de vectorii normati:

ˆX =

µ10

¶si

ˆY =

µ01

¶(1.135)

Stari de polarizare circulara

Vectorii Jones normati corespunzatori starilor circular polarizate stânga,respectiv dreapta sunt:

ˆG =

1√2

µ1+i

¶si

ˆD =

1√2

µ1−i

¶(1.136)

71

StarileˆG si

ˆD sunt ortogonale deoarece

ˆD†·ˆG =

ˆG†·ˆD = 0 (1.137)

Stari de polarizare eliptica

În cazul general, o stare de polarizare eliptica poate fi reprezentata printr-un vector Jones normat dependent de doi parametri, unghiul χ si defazajulφ între componentele carteziene:

ˆJ (χ, φ) =

µcosχsinχeiφ

¶(1.138)

Fiecarei stariˆJ (χ, φ) i se poate asocia starea sa ortogonala

ˆ

J 0 (χ, φ)descrisa prin:

ˆ

J 0 (χ, φ) =ˆJ (χ+ π/2, φ) (1.139)

Se poate verifica prin calcul direct ca:

ˆ

J 0†

(χ, φ) ·ˆJ (χ, φ) =

ˆJ†(χ, φ) ·

ˆ

J 0 (χ, φ) = 0 (1.140)

Uneori este util sa se reprezinte o stare eliptic polarizata arbitrara uti-lizând directia α a axei mari a elipsei si unghiul ε caracteristic elipticitatii.În sistemul propriu elipsei, vectorul Jones are forma:

ˆJpr =

µcos εi sin ε

¶(1.141)

1.7.3 Formalismul matricelor Jones

Vectorul Jones ce descrie starea de polarizare a unei unde plane monocro-matice poate fi raportat la baze ortonormate particulare, ca de exemplu

72

baza starilor liniar polarizate½ˆX,

ˆY

¾sau baza starilor circular polarizate½

ˆG,

ˆD

¾.

Dispozitivele optice care modifica starea de polarizare (polarizori, defa-zori, rotatori, etc.) sunt reprezentate prin operatori liniari ce au doi vectoriproprii ortogonali V1 si V2 asociati la doua valori proprii λ1 si λ2. În sis-temul ortonormat Oxy, operatorul liniar poate fi reprezentat prin matriceaM , numita matricea Jones a dispozitivului. Cunoscând vectorii proprii sivalorile proprii se poate determina expresia matricei Jones corespunzatoare.

Componentele vectorilor proprii V1 si V2 sunt în general marimi com-plexe si sunt date prin:

V1 =

µuv

¶si V2 =

µ−v∗u∗

¶(1.142)

Daca starile sunt normate, componentele lor satisfac relatia:

uu∗ + vv∗ = 1 (1.143)

Determinarea matricelor Jones

Matricea Jones M a unui element optic ai carui vectori proprii sunt V1 siV2 este o matrice 2× 2 de forma:

M =

µA BC D

¶(1.144)

Matricea M satisface urmatoarele doua ecuatii matriceale:

MV1 = λ1V1

MV2 = λ2V2 (1.145)

care arata ca λ1 si λ2 sunt valorile sale proprii. Determinarea compo-nentelor matricei M se obtine rezolvând sistemul liniar (1.145).

73

În cazul general, în care vectorii proprii nu sunt normati, se obtine:

M =1

uu∗ + vv∗

µλ1 uu

∗ + λ2vv∗ (λ1 − λ2)uv

∗

(λ1 − λ2)vu∗ λ2 uu

∗ + λ1vv∗

¶(1.146)

Daca vectorii proprii sunt normati, expresia matricei M devine:

M =

µλ1 uu

∗ + λ2vv∗ (λ1 − λ2)uv

∗

(λ1 − λ2)vu∗ λ2 uu

∗ + λ1vv∗

¶(1.147)

Determinarea matricei Jones a unui element optic oarecare necesita doarcunoasterea vectorilor sai proprii si a valorilor proprii asociate într-o bazaoarecare.

Proprietati ale matricelor Jones

Matricele Jones au proprietati intrinseci care pot fi interpretate din punctde vedere fizic. Este vorba despre proprietati ale determinantului precumsi de unele simetrii ale matricei M .

Determinantul matricei M Calculul determinatului matricei M con-duce la valoarea:

det(M) = λ1λ2 (1.148)

În cazul în care cele doua valori proprii sunt de modul egal cu uni-tatea (medii fara pierderi si fara amplificare), cum este cazul defazorilor sial rotatorilor, determinantul are modulul egal cu unu. Operatorul liniarreprezentat prin matricea M este unitar si este valabila relatia:

M†M =MM† = I (1.149)

în care M† este matricea conjugata hermitic matricei M , iar I estematricea unitate 2×2. Este evident ca matricea inversa M−1 este egala cumatricea M† .

74

Cele patru elemente ale matricei M satisfac în acest caz relatiile urma-toare:

A = D∗

B = −C∗ (1.150)

|A|2 + |C|2 = 1

Dintre proprietatile transformarilor unitare, conservarea normei si ceaa ortogonalitatii vectorilor sunt fundamentale:

P1) Doua stari de polarizare ortogonale, incidente pe un element opticdescris de o matrice Jones unitara, vor fi ortogonale si dupa traversareaacelui element optic.

Demonstratie: Fie S1 si S2 doua stari de polarizare ortogonale incidentepe un element optic descris de matricea Jones M unitara. Evident caS†1 ·S2 = S†2 ·S1 = 0 siM†M =MM† = I. Fie S01 si S

02 starile emergente din

elementul optic corespunzatoare starilor incidente S1 si S2. Prin urmare:

S01 = MS1

S02 = MS2 (1.151)

Trebuie sa demonstram ca S0†1 · S02 = S

0†2 · S01 = 0. Din relatia (1.151)

rezulta ca S0†1 = (MS1)

† = S†1M† si S

0†2 = (MS2)

† = S†2M†.

S0†1 · S02 = S†1M

† ·MS2 = S†1IS2 = S†1 · S2 = 0.S0†2 · S01 = S†2M

† ·MS1 = S†2IS1 = S†2 · S1 = 0.P2) Intensitatea starii de polarizare emergenta este egala cu intensitatea

starii de polarizare incidenta pe un element optic pentru care matricea Joneseste unitara. Cu alte cuvinte, pentru un element optic reprezentat printr-omatrice Jones unitara, intensitatea se conserva.

Demonstratie: Fie Iinc intensitatea starii de polarizare Vinc incidentape elementul optic cu matricea Jones M unitara. Iinc = V †incVinc. Fie Vemstarea de polarizare emergenta. Atunci Vem = MVinc. Intensitatea stariiemergente Iem este Iem = V †em · Vem = (MVinc)

† ·MVinc = V †incM† ·MVinc.

Deoarece M† ·M = I (matricea unitate) rezulta ca Iem = V †incVinc = Iinc.

75

Simetrii ale matricei M Desi expresia generala a matricei M (1.146)nu prezinta simetrii, în anumite cazuri particulare, importante în practica,matricea Jones are unele simetrii care pot fi interpretate fizic.

Stari proprii liniare În acest caz, componentele u si v ale vecto-rilor proprii au aceeasi faza (pot fi prin urmare alese reale) si matricea Meste simetrica. Dispozitivele ce intra în aceasta categorie sunt defazorii sipolarizorii liniari.

Valori proprii egale Indiferent de sistemul Oxy în care este reprezen-tata matricea M cu valori proprii egale (λ1 = λ2), aceasta este simetrica sidiagonala. Elementul optic asociat este un dispozitiv izotrop.

Stari proprii circulare Componentele u si v ale vectorilor propriisunt defazate cu π/2 si matriceaM este antisimetrica. Acest caz corespunderotatorului.

Matricea Jones a polarizorilor liniari

Dupa cum stim, un polarizor liniar este un dispozitiv optic, birefringentsau nu, care transmite doar o stare de polarizare liniara orientata dupao directie fixa, numita directia de transmisie a polarizorului. Un astfelde dispozitiv este caracterizat printr-o matrice Jones P , exprimata într-unreper fix Oxy. Matricele Jones Px si Py ale polarizorilor cu directiile detransmisie Ox respectiv Oy sunt:

Px =

µ1 00 0

¶; Py =

µ0 00 1

¶(1.152)

Din punct de vedere matematic, matricele Jones ale polarizorilor suntmatricele asociate operatorilor de proiectie (P 2 = P ) ale caror valori propriisunt 1 si 0.

În sistemul laboratorului Oxy, matricea Pθ a unui polarizor a caruidirectie de transmisie face unghiul θ cu axa Ox se obtine prin relatia:

76

Pθ = R(−θ)PxR(θ) (1.153)

în care matricea R(θ) este matricea de schimbare de baza între sistemullaboratorului si cel al polarizorului. Se obtine în final:

Pθ =

µcos θ − sin θsin θ cos θ

¶µ1 00 0

¶µcos θ sin θ− sin θ cos θ

¶= (1.154)

=

µcos2 θ sin θ cos θ

sin θ cos θ sin2 θ

¶Matricele Jones ale polarizorilor liniari nu sunt asociate transformarilor

unitare deoarece det(P)=0. O consecinta importanta a operatiei de proiectieeste ca intensitatea transmisa de un polarizor este inferioara sau cel multegala cu intensitatea incidenta pe polarizor.

Intensitatea transmisa de un polarizor

Lumina incidenta naturala Fie un fascicul de lumina naturala (nepo-larizata), de intensitate I0, incident pe un polarizor a carui directie detransmisie este Ox. Lumina naturala poate fi considerata ca superpozitia adoua stari de polarizare liniare ortogonale dar incoerente între ele. Fiecaredin cele doua stari are intensitatea I0/2. Lumina emergenta din polarizoreste polarizata liniar de-a lungul directiei de transmisie a dispozitivului siintensitatea acesteia este jumatate din intensitatea incidenta. Indiferent deorientarea polarizorului fata de lumina naturala transmitanta este aceeasi,anume 1/2.

Lumina incidenta liniar polarizata Consideram o stare liniar po-larizata pe directia θ fata de axa Ox, aleasa ca directie de transmisie a unuipolarizor. Vectorul Jones normat al starii incidente pe polarizor este:

ˆV =

µcos θsin θ

¶(1.155)

77

Starea de polarizare emergenta V 0 se obtine pe baza produsului ma-triceal urmator:

V 0 =

µ1 00 0

¶µcos θsin θ

¶=

µcos θ0

¶(1.156)

din care se constata ca este liniar polarizata de-a lungul lui Ox si areamplitudinea cosθ.

Intensitatea I a starii emergente este data de patratul normei vectoruluiV 0, adica

I = V 0†V 0 = cos2 θ (1.157)

Aceasta lege de transmisie este cunoscuta ca legea lui Malus.Una din consecintele legii lui Malus este urmatoarea: daca un analizor

liniar se roteste, cu viteza constanta, în fata unei stari liniar polarizate (gen-erate adesea de un polarizor liniar), intensitatea transmisa este modulatasinusoidal în functie de unghiul de rotatie. Frecventa unghiulara de modu-lare este dublul frecventei unghiulare de rotatie a analizorului. Aceasta esteo metoda practica de modulare, în general la frecventa mica, a intensitatiiunui fascicul luminos.

Lumina incidenta circular polarizata Consideram o unda circularpolarizata, stânga sau dreapta, de intensitate I. O astfel de unda estedescrisa de vectorul Jones V+, respectiv V−:

V± =

rI

2

µ1±i

¶(1.158)

Aceasta unda traverseaza un polarizor liniar a carui directie de trans-misie face unghiul θ cu axa Ox. Polarizorul este descris de matricea Pθdescrisa prin relatia (1.154). Starea emergenta din polarizor este caracter-izata de vectorul Jones V 0±:

V 0± = PθV± =

rI

2e±iθ

µcos θsin θ

¶(1.159)

78

care descrie o stare liniar polarizata pe directia θ fata de Ox.Intensitatea transmisa de polarizor este:

I 0± = V 0†± · V 0± = I/2 (1.160)

ceea ce arata ca un polarizor liniar iluminat cu lumina circular polar-izata, stânga sau dreapta, transmite jumatate din intensitatea incidenta peel, indiferent de orientarea polarizorului.

Lumina incidenta eliptic polarizata Consideram o stare elipticpolarizata cu axele elipsei orientate de-a lungul lui Ox respectiv Oy. Dacaa si b sunt valorile semiaxelor, atunci vectorul Jones normat corespunzatoreste:

ˆV ± =

1√a2 + b2

µa±ib

¶(1.161)

Semnul ± traduce sensul de rotatie pe elipsa. Actiunea unui polarizorcu directia de transmisie sub unghiul θ fata de Ox asupra starii descrise prinrelatia (1.161) conduce la starea de polarizare caracterizata prin vectorul

Jonesˆ

V 0±:

ˆ

V 0± =1√

a2 + b2(a cos θ ± ib sin θ)

µcos θsin θ

¶(1.162)

Intensitatea transmisa de polarizor este:

I± =ˆ

V 0†

± ·ˆ

V 0± =a2 cos2 θ + b2 sin2 θ

a2 + b2(1.163)

Observam ca intensitatea transmisa nu depinde de tipul de polarizareeliptica (stânga sau dreapta) dar depinde de unghiul θ.

Daca se roteste polarizorul, intensitatea transmisa oscileaza între douavalori extreme Imax si Imin dependente de a si b. Pentru a > b se obtine

Imax =a2

a2 + b2si Imin =

b2

a2 + b2(1.164)

79

valori atinse atunci când polarizorul este orientat de-a lungul axei mari,respectiv mici, a elipsei.

Matricea Jones a unui defazor

Consideram o lama cu fete plane si paralele L, taiata dintr-un materialanizotrop liniar (uniax sau biax). Orientarea axelor proprii ale materialuluiîn raport cu fetele lamei este arbitrara. Daca o unda plana monocromaticailumineaza lama la incidenta normala, atunci în lama se vor propaga douaunde (stari proprii) liniar polarizate si ortogonale între ele. Aceste undese propaga cu viteze de faza diferite v0 si v” corespunzatoare indicilor derefractie n0 si n”, pentru care presupunem ca n0 > n”.

Se numesc liniile neutre sau axele proprii ale lamei, directiile de po-larizare OX si OY ale starilor proprii. Axa asociata vitezei mai mari (core-spunzatoare indicelui de refractie mai mic) se numeste axa rapida iar ceaasociata vitezei mai mici este denumita axa lenta. Prin conventie, axa lentaeste de-a lungul axei OX a lamei.

Determinarea experimentala a liniilor neutre ale unei lame este sim-pla. Daca se plaseaza lama între un polarizor si un analizor încrucisati (ceau directiile de transmisie ortogonale) si se roteste lama în jurul normaleisale, se vor identifica patru pozitii separate unghiular prin 90o pentru caretransmisia sistemului este nula. Aceste patru pozitii determina în modunic liniile neutre. Precizam ca aceasta metoda nu permite distingerea axeirapide de cea lenta.

Lama anizotropa este presupusa suficient de subtire iar fasciculele deiluminare suficient de largi astfel încât eventualul decalaj transversal alfasciculelor transmise sa fie neglijabil.

Birefringenta lamei este ∆n = n0−n”. În cazul mediilor uniaxe, aceastabirefringenta este maxima când axa optica a lamei este paralela cu fetelelamei (lama taiata paralel cu axa optica) caz în care ∆n = |nE − no|.

Defazajul φ introdus de lama de grosime e între cele doua stari depolarizare proprii lamei în cazul iluminarii cu o unda plana monocromaticade lungime de unda λ este:

80

φ =2π ·∆n · e

λ(1.165)

Determinarea matricei Jones a unui defazor Fie Oxyz sistemul lab-oratorului iar Oz directia de propagare a unei unde ce are lungimea de undaλ în vid. Lama L, de grosime e, este plasata perpendicular pe axa Oz iaraxa lenta OX a lamei formeaza unghiul θ cu axa Ox.

Starile proprii asociate acestei lame sunt starile liniare ale caror vectori

JonesˆV 1si

ˆV 2se exprima în sistemul Oxy astfel:

ˆV 1 =

µcos θsin θ

¶;

ˆV 2 =

µ− sin θcos θ

¶(1.166)

Valorile proprii asociate λ1 si λ2 sunt de forma:

λ1 = ein0k0e

λ2 = ein”k0e (1.167)

unde k0 = 2π/λ.Utilizând expresia generala a matricei M data de relatia (1.147) si

utilizând notatiile φ0 = n0k0e si φ” = n”k0e rezulta:

M =

Ãcos2 θeiφ

0+ sin2 θeiφ” (eiφ

0 − eiφ”) sin θ cos θ

(eiφ0 − eiφ

”) sin θ cos θ cos2 θeiφ

”+ sin2 θeiφ

0

!(1.168)

Introducând faza medie ψ si diferenta de faza φ, definite prin expresiileurmatoare:

ψ =φ0 + φ”

2; φ0 = ψ +

φ

2

φ = φ0 − φ”; φ” = ψ − φ

2(1.169)

81

dupa regruparea termenilor se obtine:

M (ψ, φ, θ) = eiψµcos φ2 + i cos 2θ sin φ

2 i sin 2θ sin φ2

i sin 2θ sin φ2 cos φ2 − i cos 2θ sin φ

2

¶(1.170)

Factorul de faza eiψ traduce propagarea într-un mediu material de indicede refractie mediu n = (n0 + n”)/2 si nu are o importanta fundamentalaîn determinarea starilor de polarizare emergente. Pâna la acest factor defaza, în sistemul laboratorului Oxy, matricea Jones M (φ, θ) a unui defazoral carui defazaj între starea proprie lenta, polarizata de-a lungul lui OX,si starea proprie rapida, polarizata pe directie OY, este φ si a carui axaproprie lenta face unghiul θ cu axa fixa Ox se exprima prin:

M (φ, θ) =

µcos φ2 + i cos 2θ sin φ

2 i sin 2θ sin φ2

i sin 2θ sin φ2 cos φ2 − i cos 2θ sin φ

2

¶(1.171)

Daca axa lenta a defazorului coincide cu axa fixa Ox sau daca se poatealege axa fixa de-a lungul axei lente (sau axei rapide), matricea Jones sesimplifica si are forma:

M (φ, 0) =M (φ) =

µeiφ/2 0

0 e−iφ/2

¶= eiφ/2

µ1 00 e−iφ

¶(1.172)

Deoarece factorul eiφ/2 nu este esential în privinta starii de polarizare,matricea Jones poate fi considerata de forma:

M (φ) =

µ1 00 e−iφ

¶(1.173)

Matricele Jones ale defazorilor sunt matrice unitare M †M = I. Dinpunct de vedere matematic, transformarea unei stari de polarizare printraversarea unui defazor este o transformare unitara. Norma si ortogonal-itatea vectorilor reprezentând starile de polarizare incidente se conserva latraversarea dispozitivului.

82

Determinarea starii de polarizare emergenteˆ

V 0 dintr-un defazor pe care

este incidenta o stare de polarizare dataˆV se realizeaza calculând produsul

matricealˆ

V 0 =MˆV , matricea si vectorul fiind exprimate în acelasi reper.

Actiunea defazorului asupra starilor de polarizare În toatecazurile analizate în cele ce urmeaza, axa lenta OX a lamei va fi plasatade-a lungul axei fixe Ox iar starea de polarizare incidenta este variabila.

Lama undaDaca defazajul introdus de lama anizotropa este de forma φ = 2kπ

(k numar întreg) atunci diferenta de drum optic corespunzatoare δ esteδ = φ

2πλ = kλ. O astfel de lama se numeste lama unda întrucât un defazajde 2π este echivalent cu un drum optic egal cu lungimea de unda λ.

Deoarece e−i2kπ = 1, rezulta ca matricea Jones a lamei unda are forma:

M (φ = 2kπ) =

µ1 00 1

¶(1.174)

adica este chiar matricea unitate I2×2.

Starea de polarizareˆV incidenta pe lama unda se mentine dupa traver-

sarea lamei întrucâtˆ

V 0 = I2×2ˆV =

ˆV . Astfel, lama unda nu are nici un

efect asupra starilor de polarizare.Lama semiundaConsideram o lama anizotropa L, de grosime e, iluminata cu o unda

plana monocromatica de lungime de unda λ. Daca defazajul introdus delama este de forma φ = (2k+1)π (k numar întreg) atunci lama se numestelama semiunda. Diferenta de drum optic în cazul unei astfel de lame estede forma δ = (2k + 1)λ/2. Denumirea lamei provine din faptul ca undefazaj de π este echivalent cu un drum optic δ = λ/2. În cazul uneilame anizotrope uniax taiata paralel cu axa optica si la incidenta normalabirefringenta optica a lamei este maxima ∆n = nE − no iar diferenta dedrum optic introdusa de lama între undele extraordinara si ordinara esteδ = ∆n · e. Grosimea unei lame semiunda este data de relatia:

83

e =(2k + 1)λ

2∆n; k=0, 1, 2, ... (1.175)

Deoarece birefringenta ∆n depinde de λ, rezulta ca trebuie sa se tinacont de dispersia birefringentei atunci când se realizeaza o lama semiundapentru o anumita lungime de unda.

Grosimea minima a unei lame semiunda, pentru λ dat, se obtine pentruk = 0:

emin =λ

2∆n(1.176)

În acest caz se spune ca lama semiunda este în ordinul zero. Lamelesemiunda de ordin superior (k ≥ 1) au grosimile ek = (2k + 1)emin. Dinpunct de vedere al aplicatiilor practice cele mai bune sunt lamele în ordinulzero, care însa sunt mai scumpe decât cele de ordin superior, din cauzadificultatilor de realizare a lor cauzate de grosimea foarte mica.

Din relatia (1.173) se deduce expresia matricei Jones a lamei semiundaMλ/2. Deoarece e−i(2k+1)π = −1 rezulta ca:

Mλ/2 =

µ1 00 −1

¶(1.177)

Sa examinam efectul unei lame semiunda asupra starilor fundamentalede polarizare.

- Stare incidenta liniar polarizata

Consideram o stare liniar polarizataˆV incidenta pe o lama semiunda.

Directia de polarizare a undei incidente formeaza unghiul θ cu axa OX a

lamei. Starea de polarizare emergentaˆ

V 0 este data de produsul matricealurmator:

ˆ

V 0 =Mλ/2

ˆV =

µ1 00 −1

¶µcos θsin θ

¶=

µcos θ− sin θ

¶(1.178)

84

Astfel, starea emergenta este o stare liniar polarizata sub unghiul −θfata de axa OX. Lama semiunda transforma o stare de polarizare liniaratot într-o stare liniar polarizata dar pe directia simetrica celei incidente, înraport cu liniile neutre ale lamei.

Aplicatia foarte importanta a acestei proprietati este posibilitatea de aroti o stare de polarizare liniara cu un unghi arbitrar α în urma traversariilamei semiunda pozitionata astfel încât una din axele sale sa fie orientatasub unghiul α/2 fata de directia de polarizare a undei incidente. În partic-ular daca o lama semiunda, pe care este incidenta o stare liniar polarizata,se roteste cu o viteza unghiulara constanta Ω, starea de polarizare emer-genta este liniara si se roteste cu o viteza unghiulara dubla 2Ω. Aceastaproprietate este o modalitate comoda de a obtine o modulatie a orientariistarii liniar polarizate.

- Stare incidenta circular polarizataConsideram o lama semiunda pe care cade o unda circular polarizata

stânga (sau dreapta) reprezentata prin vectorul Jones normatˆV +(respectiv

ˆV −). Starea emergenta

ˆ

V 0 se deduce din starea incidenta calculând pro-

dusul matriceal Mλ/2

ˆV ±, ceea ce conduce la:

ˆ

V 0 =Mλ/2

ˆV ± =

1√2

µ1 00 −1

¶µ1±i

¶=

1√2

µ1∓i

¶=

ˆV ∓ (1.179)

Observam ca lama semiunda transforma o stare circular polarizatastânga într-o stare circular polarizata dreapta si invers. Starile incidentasi emergenta sunt în acest caz ortogonale. Remarcam de asemenea ca ori-entarea lamei este arbitrara având în vedere invarianta la rotatie a uneistari circulare.

- Stare incidenta eliptic polarizataPresupunem ca unda incidenta este eliptic polarizata, are axele pro-

prii de-a lungul axelor Ox si Oy din reperul laboratorului si semiaxele arespectiv b. Vectorul Jones normat este:

85

ˆV ± =

1√a2 + b2

µa±ib

¶(1.180)

unde semnele "+" si "-" corespund starilor eliptic polarizate stângarespectiv dreapta.

Starea emergentaˆ

V 0 va fi:

ˆ

V 0 =Mλ/2

ˆV ± =

1√a2 + b2

µ1 00 −1

¶µa±ib

¶=

1√a2 + b2

µa∓ib

¶=

ˆV ∓

(1.181)Starea emergenta este eliptic polarizata, are aceleasi axe si semiaxe,

dar sensul de rotatie schimbat. Astfel o unda incidenta eliptic polarizatadreapta este transformata într-o unda eliptic polarizata stânga si invers.

Lama sfert de undaConsideram o lama anizotropa ce introduce un defazaj de forma φ =

kπ + π/2 (k numar întreg). Diferenta de drum optic corespunzatoare estede forma δ = kλ/2 + λ/4. Denumirea de lama "sfert de unda" pentru oastfel de lama provine din faptul ca un defazaj π/2 corespunde unui drumoptic egal cu un sfert de lungime de unda δ = λ/4.

Matricea Jones a unei lame sfert de unda, de ordinul k, este de forma:

Mλ/4,k =

µ1 00 i(−1)k+1

¶(1.182)

În continuare vom analiza doar cazul lamei sfert de unda de ordinulzero, k = 0, aceasta fiind cea mai buna pentru aplicatii practice. Analog sepoate studia si cazul lamelor de ordin superior.

Din relatia (1.182) deducem ca matricea Jones ce descrie o lama sfertde unda de ordin zero este:

Mλ/4 =

µ1 00 −i

¶(1.183)

86

Sa analizam actiunea acestei lame asupra starilor de polarizare.- Stare incidenta liniar polarizataFie o stare incidenta polarizata liniar pe directia ce formeaza unghiul θ

(cuprins între -π/2 si π/2) cu axa lenta OX a lamei. Vectorul Jones normat

ce descrie starea incidenta esteˆV =

µcos θsin θ

¶. Starea de polarizare emer-

gentaˆ

V 0 se deduce prin calcularea actiunii matriceiMλ/4 asupra vectoruluiˆV :

ˆ

V 0 =Mλ/4

ˆV =

µ1 00 −i

¶µcos θsin θ

¶=

µcos θ−i sin θ

¶(1.184)

Se obtine o stare eliptic polarizata, axele elipsei fiind axele lamei, semi-axele elipsei sunt cosθ respectiv sinθ, sensul de rotatie este stânga pentruθ < 0 si dreapta pentru θ > 0.

Un caz particular important este cel în care θ = ±45o. Pentru θ = +45o

expresia (1.184) devineˆ

V 0 = 1√2

µ1−i

¶,ceea ce indica o stare circular

polarizata dreapta. Daca θ = −45o,ˆ

V 0 = 1√2

µ1+i

¶si se genereaza o

unda emergenta circular polarizata stânga.Constatam ca o lama sfert de unda permite, daca axele sale proprii

sunt orientate la 45o fata de o stare liniar polarizata incidenta, generareaunei stari circular polarizate. Aceasta proprietate foarte importanta esteutilizata în multe aplicatii practice (polarizori si analizori circulari, analizastarilor de polarizare, izolatori optici, etc.).

- Stare incidenta circular polarizataConsideram o lama sfert de unda iluminata de o unda plana circular

polarizata, reprezentata prin vectorulˆV , în reperul fix, care este acelasi

si pentru lama. Starea emergentaˆ

V 0 se deduce din starea incidenta prin

produsul matriceal Mλ/4

ˆV care conduce la:

87

ˆ

V 0 =Mλ/4

ˆV =

1√2

µ1 00 −i

¶µ1±i

¶=

1√2

µ1±1

¶(1.185)

Este evident ca starea de polarizare emergenta este o stare liniar po-larizata , orientata dupa prima bisectoare a axelor proprii daca starea in-cidenta este circular polarizata stânga si dupa a doua bisectoare în cazcontrar. Trebuie remarcat ca orientarea axelor lamei este arbitrara.

- Stare incidenta eliptic polarizataConsideram o stare de polarizare eliptica oarecare, reprezentata în repe-

rul fix prin parametrii χ si φ. Consideram reperul fix aliniat cu axele lamei

sfert de unda. Vectorul Jones normat esteˆV =

µcosχsinχeiφ

¶. În reperul

lamei sfert de unda, vectorul Jones emergentˆ

V 0 este dat de relatia ma-triceala:

ˆ

V 0 =Mλ/4

ˆV =

µ1 00 −i

¶µcosχsinχeiφ

¶=

µcosχ

−i sinχeiφ¶

(1.186)

În cazul general, starea emergenta este o alta stare eliptica. Exista douacazuri importante corespunzând lui φ = ±π/2. Axele elipsei sunt atuncialiniate cu axele fixe si deci cu cele ale lamei sfert de unda. Obtinem înacest caz o stare de polarizare liniara orientata în directiile ±χ. Acestecazuri particulare stau la baza determinarii experimentale a parametrilorunei stari de polarizare eliptica oarecare cu ajutorul unei lame sfert de unda.

Determinarea matricei Jones a unui rotator Vom considera doarlamele care introduc doar birefringenta circulara pura. În cele mai multecazuri, aceste lame sunt:

- lame izotrope constituite dintr-un material ce prezinta anizotropiecirculara (de exemplu lichide organice),

- lame cristaline taiate dintr-un material uniax, perpendicular pe axaoptica, propagarea facânduse de-a lungul acesteia.

88

Fie Oxyz reperul laboratorului, Oz fiind directia de propagare a undeide lungime de unda λ în vid. Lama de grosime e este dispusa perpendicularpe axa Oz. Cu scopul de a determina matricea Jones a acestui element,trebuie cunoscute cele doua stari proprii si cele doua valori proprii asociate.În cazul prezent, studiul propagarii într-un mediu care prezinta anizotropiecirculara a aratat ca doar starile de polarizare circulara stânga si dreapta,

reprezentate prin vectoriiˆG si

ˆD, pot sa se propage fara deformare. În

reperul fix Oxy acestea sunt:

ˆG =

1√2

µ1+i

¶ˆD =

1√2

µ1−i

¶(1.187)

Valorile proprii asociate sunt λg si λd astfel ca:

λg = eingkoe λd = eindkoe (1.188)

Introducând faza medie ψ si diferenta de faza φ = φd − φg, se obtinerezultatul urmator:

M = eiψµcosφ/2 − sinφ/2sinφ/2 cosφ/2

¶(1.189)

Constatam ca matricea Jones M este o matrice de rotatie cu unghiulα = φ/2. Tinând cont de actiunea sa asupra unei stari oarecare de po-larizare, o lama optic activa este denumita rotator de unghi α si este car-acterizata, într-un reper arbitrar prin matricea Jones:

R (α) =

µcosα − sinαsinα cosα

¶(1.190)

Unghiul caracteristic de rotatie α depinde de diferenta de faza φ siare semnul birefringentei circulare ∆nc. Acesta poate fi pozitiv sau negativ(mediu levogir sau dextrogir) si poate fi superior lui 2π pentru medii cu put-ere rotatorie mare sau suficient de groase. Defazajul φ depinde de lungimeade unda si prin urmare si unghiul α depinde de asemenea de λ. Aceasta

89

dependenta va conduce la observarea, în lumina alba, a fenomenelor inter-ferentiale particulare când rotatorul va fi plasat între un polarizor si unanalizor liniar.

Actiunea unui rotator asupra starilor de polarizare Tinândcont de forma matricei Jones a unui rotator de unghi α, rezultatele privindstarea de polarizare transmisa, pentru o stare arbitrara sunt foarte simple.

Daca starea de polarizare incidentaˆV este o stare liniara, starea emer-

gentaˆ

V 0 este tot o stare liniar polarizata dar cu azimutul crescut, în valoarealgebrica, cu cantitatea algebrica α.

Daca starea de polarizare incidentaˆV este o stare circulara, starea emer-

gentaˆ

V 0 este de asemenea circulara deoarece starile circulare sunt, prindefinitie, starile proprii de propagare.

În cazul unei stari de polarizare eliptica oarecare, este evident ca stareaemergenta este tot eliptica, de aceeasi elipticitate, cu acelasi sens de rotatiedar cu axele rotite cu unghiul algebric α. Acest rezultat se explica foartesimplu daca consideram ca o stare de polarizare eliptica este suma a douastari liniare ortogonale defazate cu ±π/2 si ca rotatorul se comporta ca unoperator liniar.

1.8 Interferenta undelor transmise de lame trans-parente taiate din cristale anizotrope

Orice fenomen de interferenta a luminii implica divizarea fasciculului emisde o sursa în doua sau mai multe fascicule coerente. Aceasta divizare sepoate face atât prin divizarea frontului de unda (dispozitive de tip Young)cât si prin divizarea amplitudinii undei ceea ce se întâmpla în cazul uneilame transparente, cu fete plan-paralele. În ambele cazuri fasciculele careinterfera au faze diferite, deoarece parcurg drumuri diferite. Fenomenele seproduc indiferent de starea de polarizare a luminii, daca mediile traversatesunt izotrope.

90

În mediile anizotrope, fiecarei unde incidente îi corespund doua underefractate (în mediile uniaxe) cu directiile de oscilatie perpendiculare întreele si care se propaga cu viteze diferite. Aceasta separare a directiilor deoscilatie reprezinta o divizare a intensitatii undei incidente asemanatoarecu cea realizata de o lama semireflectatoare. Dupa divizare, razele parcurgîn general traiectorii diferite, care ramân aproape confundate, diferenta dedrum rezultând din vitezele de propagare diferite (indici de refractie diferiti)corespunzatoare celor doua directii de oscilatie perpendiculare între ele.Diferenta de drum ∆ = e(n1−n2) (în cazul incidentei normale), unde e estegrosimea lamei anizotrope, care poate fi considerata aproximativ aceeasipentru ambele fascicule, iar diferenta dintre cei doi indici de refractie fiindfoarte mica, este necesara o lama cu o grosime apreciabila pentru a realizaacelasi ordin de interferenta k = ∆/λ ca într-un mediu izotrop în care ∆este de ordinul de marime a lui e.

Dupa traversarea mediului anizotrop, cele doua fascicule rezultate prindivizarea amplitudinii undei incidente pot interfera. Dar, în general, fasci-culele rezultante contin unde cu directiile de oscilatie ale vectorilor D1 siD2 perpendiculare între ele, care nu pot interfera. Pentru a obtine fasci-cule ce contin oscilatii paralele, care pot interfera, trebuie asezat un anali-zor A dupa iesirea din mediul anizotrop, care va transmite doar oscilatiileD01 = D1 cosα si D0

2 = D2 sinα, paralele cu directia de oscilatie a anali-zorului A. (fig. 1.36). Se observa ca daca A este paralel fie cu D1, fie cuD2, una din oscilatii, D0

1 sau D02 este nula si nu apare interferenta, iar in-

terferenta distructiva totala apare doar dacaD1 = D2, ceea ce se realizeazadoar daca D0

1 = D02, adica α = π/4.

Conditia de a aseza un analizor dupa lama cristalina anizotropa nueste suficienta pentru a obtine interferenta daca oscilatiile D1 si D2 suntnecoerente, ceea ce se întâmpla daca ele provin din descompunerea luminiinaturale. Interferenta este posibila doar daca lumina incidenta are o starede polarizare bine definita (liniara sau eliptica) si când D1 si D2 sunt os-cilatii coerente.

91

Figura 1.36: Descompunerea de catre analizor a oscilatiilor incidente.

În concluzie, se poate observa fenomenul de interferenta în lame ani-zotrope doar daca acestea sunt asezate între un polarizor si un analizor.

Indiferent de dispozitiv, prin rotatia analizorului cu un unghi π/2,fenomenul observat trece în complementarul sau, În realitate, daca se supra-pune fenomenul observat cu analizorul în pozitia α peste fenomenul obser-vat cu analizorul în pozitia α+ π/2 , suma celor doua fenomene trebuie sereprezinte fenomenul observat fara analizor.

1.8.1 Fenomene care apar în lumina monocromatica si laincidenta normala pe lame transparente, anizotrope,cu fete plan-paralele

a) Liniile neutre ale unei lame birefringente.

Consideram o lama cu fete plan-paralele, taiata dintr-un mediu anizotrop(uniax sau biax) dupa o directie oarecare si un fascicul normal pe fata planaa lamei, care este incident dintr-un mediu izotrop. Se stie ca, pentru undelecare se propaga dupa o directie normala pe lama, exista doua directii deoscilatie perpendiculare D1 si D2, care se propaga fara deformare. Daca

92

mediul este uniax, una din aceste directii este proiectia directiei axei opticepe fata de intrare a lamei (oscilatia extraordinara), iar cealalta, perpendicu-lara pe prima, corespunde oscilatiei ordinare. Daca mediul este biax relatiaeste mai complexa, nu exista o oscilatie ordinara, iar directiile de oscilatieD1 si D2 exista întotdeauna si sunt perpendiculare. Aceste doua directiipoarta numele de liniile neutre sau, impropriu, axele lamei. Celor douadirectii le corespund indici de refractie diferiti: linia cu indicele de refractiemai mare poarta numele de axa lenta, iar linia cu indicele de refractie maimic poarta numele de axa rapida.

Punerea experimentala în evidenta a liniilor neutre si determinarea di-rectiilor lor este simpla. Se aseaza lama L între doi polarizori P1 si P2încrucisati (fig. 1.37) reglati pentru extinctie. Rotind lama L în jurul di-rectiei fasciculului, se gasesc doua directii care sunt perpendiculare întreele, pentru care apare extinctia.

Figura 1.37: Evidentierea liniilor neutre.

Daca se cunoaste directia de oscilatie transmisa de polarizorul P1, estesuficient sa se marcheze pe fata lamei directia lui P1 pentru fiecare din celedoua pozitii în care apare extinctia, obtinându-se astfel liniile neutre.

93

b) Indicii de refractie n1 si n2.

În cazul general (mediu biax, axe principale orientate arbitrar fata de fataplana a cristalului), n1 si n2 sunt solutiile ecuatiei lui Fresnel.

În cazul mediilor uniaxe, unul din indici este indicele ordinar no = n1iar celalalt, n2, depinde de orientarea axei în raport cu fetele plane.Pentruo lama taiata cu fetele paralelecu axa optica, n2 este indiceleprincipal ex-traordinar nE, iar daca lama este taiata perpendicular pe axa optica, n2 seconfunda cu no, iar lama se comporta ca lama izotropa si liniile neutre nuse mai pot defini. Daca axa optica face un unghi θ cu normala, se poatedetermina n2 din ecuatia lui Fresnel (1.39) în care

cosθ = γ, β = 0, α2 = 1− γ2, nx = ny = no si nz = nE adica

n2o¡1− γ2

¢n2 − n2o

+n2Eγ

2

n2 − n2E= 0 (1.191)

de unde rezulta ca

n2 = n =nEnoq

n2o + (n2E − n2o) cos

2 θ(1.192)

Se constata ca pentru θ = π/2 (lama taiata paralel cu axa optica),n2 = nE, iar pentru θ = 0, n2 = no (lama taiata perpendicular pe axaoptica).

c) Diferenta de drum si starea de polarizare a undei emergente

Oscilatia incidenta D se descompune în oscilatiile D1 si D2 pentru care-drumurile optice sunt egale cu en1 respectiv en2, unde e este grosimea lamei(fig 1.38)

94

Figura 1.38: Descompunerea vectorului→D

La iesirea din lama, întârzierea de drum a oscilatiei D2 fata de oscilatiaD1 este egala cu

∆ = e(n2 − n1) (1.193)

iar diferenta de faza este

∆φ =2πe

λ(n2 − n1) (1.194)

La iesirea din lama cele doua oscilatii D1 si D2 se recompun, dândnastere la o oscilatie rezultanta ale carei ecuatii parametrice se pot scriesub forma:

Re D1 = D0 cosα cosωt (1.195)

Re D2 = D0 sinα cos(ωt−∆φ)Eliminând timpul îmtre cele doua ecuatii (1.195), rezulta ecuatia unei

elipse:

95

|ReD1|2

|D0|2 cos2 α+

|ReD2|2

|D0|2 sin2 α− 4ReD1ReD2 cos∆φ

|D0|2 sin 2α= sin2∆φ (1.196)

În cazul general, ecuatia (1.196) reprezinta o elipsa înscrisa într-un drep-tunghi ale carui semiaxe sunt |D0| cosα si |D0| sinα. În functie de diferentade faza ∆φ elipsa degenereaza într-un segment de dreapta (∆φ = 0, π), sauare înclinatii diferite fata de axele de coordonate.

Sensul de parcurgere al elipsei se obtine tinând cont ca la momentulinitial t = 0:

D1 = D0 cosα, D2 = D0 sinα cos∆φ si (1.197)dD2

dt= D0ω sinα sin∆φ

Rezulta ca elipsa este descrisa în sens trigonometric (oscilatie stânga)pentru 0 < ∆φ < π si în sens invers trigonometric (oscilatie dreapta) pentruπ < ∆φ < 2π.

Se observa ca toate elipsele (pentru valori diferite ale lui ∆φ) sunt în-scrise în patrate daca D0 cosα = D0 sinα, adica daca polarizorul este ori-entat la π/4 fata de liniile neutre.

d) Lama unda, semiunda si sfert de unda

Cazurile particulare în care ∆φ = 2kπ, (2k + 1)π sau (2k + 1)π/2 au oimportanta practica deosebita. Aceste defazaje corespund la diferente dedrum egale cu ∆ = kλ, (2k + 1)λ/2 respectiv (2k + 1)λ/4.

Cazul ∆ = kλ se obtine atunci când

e (n2 − n1) = kλ, (1.198)

lama numindu-se lama unda. O astfel de lama nu are nici o actiuneasupra luminii polarizate. Pentru o lama de mica obtinuta prin clivaj,n2 − n1 = 5 · 10−3 pentru radiatia galbena a sodiului cu λ = 589 nm. În

96

acest caz, pentru k = 1, grosimea lamei este egala cu 118 μm. Diferentaindicilor de refractie (n2 − n1) se modifica cu lungimea de unda (dispersiabirefringentei).

Cazul lamei semiunda este cel mai important. În acest caz,

e (n2 − n1) = (2k + 1)λ/2, (1.199)

Întârzierea de faza introdusa de o astfel de lama este egala cu (2k + 1)π,astfel oscilatiile care intra în faza în lama, parasesc lama în opozitie defaza. Compunerea acestor oscilatii duce la obtinerea unei oscilatii rectilinii,simetrica fata de oscilatia incidenta în raport cu liniile neutre. O lamasemiunda transforma o oscilatie liniara în alta oscilatie liniara, care suferao rotatie de 2α (fig 1.39, unde α este unghiul directia de oscilatie incidentasi una din liniile neutre.

Figura 1.39: Actiunea lamei semiunda asupra unei stari liniar polarizate.

Lamele semiunda se utilizeaza pentru producerea acestor rotatii ale di-rectiei de oscilatie.

Lamele unda si semiunda nu modifica starea de polarizare liniara a uneioscilatii incidente, adica oscilatia liniara dupa propagarea printr-o astfel delama poate fi stinsa cu un polarizor.

Daca

97

e (n2 − n1) = (2k + 1)λ/4 (1.200)

diferenta de faza introdusa este (2k + 1)π/2, lama numindu-se lamasfert de unda. Oscilatia emergenta se afla în starea de polarizare elipticaavând ca axe liniile neutre ale lamei. Daca α = π/4, oscilatia emergentaeste polarizata circular. Astfel, un polarizor însotit de o lama sfert de undaale carei linii neutre fac un unghi de π/4 cu directia incidenta de oscilatieformeaza un polarizor circular, adica transforma lumina naturala în luminapolarizata circular.

Un analizor simplu nu are nici o actiune asupra luminii polarizate circu-lar, care nu este caracterizata prin nici un azimut, ci doar printr-un sens derotatie. Se poate transforma un polarizor circular stâng într-un polarizorcircular drept rotind cu π/2 lama sfert de unda în raport cu polarizorul.

Reciproc, o lama sfert de unda transforma o oscilatie polarizata elipticîntr-o oscilatie polarizata liniar, cu conditia ca liniile neutre ale lamei sa fieparalele cu axele elipsei.

Daca oscilatia incidenta este polarizata circular, transformarea stariide polarizare circulara în stare de polarizare liniara cu ajutorul unei lamesfert de unda are loc indiferent de orientarea liniilor neutre, în asa fel încâtdirectia de oscilatie emergenta polarizata liniar face un unghi de π/4 culiniile neutre.

Astfel, o lama sfert de unda urmata de un analizor liniar, orientat cuπ/4 fata de liniile neutre, reprezinta un analizor circular. Acesta este defapt un polarizor circular folosit în sens invers. Dupa orientarea cu ±π/4 aaxei lente în raport cu analizorul liniar, se obtine un analizor circular dreptsau stâng.

Un astfel de analizor sau polarizor circular se poate obtine simplu, lipindo lama sfert de unda pe o foita de polaroid.

98

e) Compensatoare

Compensatorul Bravais. Acest compensator se compune din doua prisme decuart cu unghiul θ mic si montate în opozitie, cu axele paralele. Cele douaprisme pot aluneca una în raport cu cealalta, în asa fel încât ansamblulcelor doua prisme formeaza o lama cu fete plan-paralele Q cu grosimeavariabila (fig. 1.40), introducând un defazaj

∆φ0 =2π

λe(nE − no) (1.201)

între oscilatiile D1 si D2 (paralela, respectiv perpendiculara pe axaoptica). Pentru a putea regla semnul lui φ se aseaza dupa lama Q, o altalama Q0, cu fetele plan-paralele, din cuart, a carei axa optica, paralela cufetele plane, este perpendiculara pe axa lui Q. Grosimea e0 a lamei Q0este egala cu valoarea medie a grosimii lamei Q, adica e. Axele lamelorQ si Q0 sunt încrucisate, axa lenta a uneia fiind axa rapida a celeilalte,compensându-se întârzierile de faza.

Defazajul rezultant va fi egal cu ∆φ = 2πλ (e− e0)(nE − no).

În general, unghiul θ este ales în asa fel încât, la o deplasare a prismeloruna prin fata celeilalte cu 0,5 mm, sa apara un defazaj ∆φ = 2π pentruradiatia utilizata. Daca surubul micrometric cu care se asigura deplasareaprismelor se deplaseaza cu 0,5 mm la o rotatie, se poate pune în evidentao diferenta de drum de ordinul lui λ

200 , care este aceeasi în toata sectiuneafasciculului. Daca compensatorul este asezat între polarizori încrucisati,cu liniile neutre orientate la π/4, se observa o plaja uniform luminata pesuprafata compensatorului. Apare o extinctie de câte ori ∆ = kλ. Acestlucru permite si etalonarea surubului micrometric.

99

Figura 1.40: Compensatorul Bravais

Compensatorul Babinet. Acest compensator este format din doua prismecu unghi mic, din cuart, ale caror axe, paralele cu fata de intrare, sunt per-pendiculare(fig. 1.41).

Figura 1.41: Compensatorul Babinet.

100

Astfel, defazajele introduse de cele doua prisme se compenseaza, iardefazajul este nul pentru zona în care grosimile prismelor sunt egale. Încelelalte puncte, aflate la distanta x de sectiunea de egala grosime a pris-melor, diferenta de drum introdusa este:

∆ = 2xtgθ(nE − no) (1.202)

Aceasta diferenta de drum nu este aceeasi în toata sectiunea fascicul-ului. Daca se aseaza compensatorul Babinet între polarizori încrucisati culiniile neutre orientate la π/4, se observa franje de interferenta liniare cuintensitatea repartizata dupa legea sin2(2π∆/λ), franjele negre corespun-zând punctelor în care diferenta de drum introdusa de compensator întreoscilatiile D1 si D2 este egala cu kλ.

1.8.2 Fenomene care apar în lumina alba, la incidenta nor-mala, pe lame cu fete plan-paralele

Se aseaza o lama cu fete plan-paralele între doi polarizori si se ilumineazasistemul optic cu lumina alba. Ceea ce se observa la iesirea din sistemuloptic este interferenta componentelor D0

1 si D02 dupa directia analizorului

(fig. 1.42). Între aceste componente exista diferenta de faza

∆φ =2π

λe(n2 − n1). (1.203)

Apare un fenomen de interferenta a doua unde, care are toate carac-teristicile fenomenelor din lumina policromatica. Fenomenul prezinta unmaxim de contrast (adica prezinta minime nule) când amplitudinile os-cilatiilor D0

1 si D02 sunt egale si dispare când una din amplitudini este

nula, adica atunci când analizorul este paralel cu una din liniile neutre alelamei. Amplitudinile oscilatiilor D0

1 si D02 sunt, respectiv:

a1 = a cosα cosβ (1.204)

a2 = a sinα sinβ

101

Figura 1.42: Interferenta componentelor D01 si D

02.

Conditia de maxim a contrastului este ca a1 = ±a2, adica

cos(α± β) = 0 (1.205)

Apar doua posibilitati:a) α− β = π/2 (conditia ca polarizorii sa fie încrucisati). În acest caz,

a1 = −a2 = a cosα cos(α− π

2) =

a

2sin 2α (1.206)

Amplitudinile sunt maxime, adica fenomenul rezultant are luminozi-tatea maxima posibila daca sin 2α = 1, adica atunci când liniile neutre alelamei fac un unghi de π/4 cu azimutul polarizorului.

Amplitudinea rezultanta va fi egala cu

A = 2a1 sinφ

2(1.207)

102

iar intensitatea va fi

I = I0 sin2 φ

2, (1.208)

unde φ depinde de lungimea de unda λ în acelasi mod ca în cazul inter-ferentei de tipul oglinzilor lui Fresnel, adica se obtin culorile pure. Acesteculori se pot obtine simplu, mai usor chiar decât în cazul interferentei înmedii izotrope. Examinarea la spectroscop a imaginii pune în evidentaspectrele de linii, ca si în cazul general.

b) α + β = π/2 (azimuturile polarizorului si analizorului sunt simet-rice în raport cu bisectoarea unghiului format de liniile neutre ale lamei).Amplitudinile oscilatiilor D1 si D2 vor fi:

a1 = +a2 = a cosα cos(π

2− α) =

a

2sin 2α (1.209)

Din nou maximul de intensitate se obtine daca α = π/4, În acest cazα = β = π/4, ceea ce înseamna ca experienta are loc cu polarizorii paralelisi orientati la π/4 fata de liniile neutre. Amplitudinea rezultanta va fi egalacu:

A = 2a1 cosφ

2= a cos

φ

2(1.210)

iar intensitatea va fi

I = I0 cos2 φ

2(1.211)

Este cazul complementar celui anterior, obtinându-se culorile care lipsescîn cazul anterior.

În situatia în care nu se realizeaza nici unul din cazurile prezentate, seobtine un fenomen de interferenta cu un contrast mai slab, iar culorile suntmai putin nete. Intensitatea va fi data de relatia generala:

I = a21+a22+2a1a2 cosφ = a2∙cos2(α+ β) + sin 2α sin 2β cos2

φ

2

¸(1.212)

103

unde, primul termen care nu depinde de φ (deci de λ) este "termenulalb", iar al doilea termen este "termenul colorat".

1.9 Anizotropia provocata

Proprietatea de anizotropie a substantei este una din conditiile necesare,dar nu si suficienta, pentru aparitia birefringentei liniare. Mediile în carenu exista o directie privilegiata nu pot fi birefringente liniar. Este cazulsubstantelor sub forma gazoasa, lichida sau amorfa în absenta unei cauzeexterioare de anizotropie. Dar aceste substante, izotrope în stare naturala,pot deveni birefringente liniar sub actiunea unei cauze fizice exterioare ori-entata, care creaza o directie privilegiata. Apare o birefringenta liniaraprovocata (artificiala), numita uneori si birefringenta accidentala. Mediuldevine uniax, axa sa fiind paralela cu directia de actiune exterioara si bire-fringenta liniara nE − no creste proportional cu cauza.

1.9.1 Birefringenta mecanica

În 1816 Brewster a descoperit ca un solid amorf poate deveni birefringentsub efectul unei compresii mecanice. Efectul se poate pune în evidentarelativ simplu, cu ajutorul dispozitivului din fig. 1.43, în care planul deobservatie E este conjugat cu lama L, taiata din sticla sau plexiglas siasezata între polarizori încrucisati.

Daca lama este comprimata pe directia verticala, pe ecranul E aparspoturi luminoase în punctele conjugate (imagini în lentila) celor din lamaL în care se manifesta birefringenta liniara. Daca compresia lamei esteuniforma, ecranul apare luminat uniform. Punctele luminoase nu apar peecran daca directia de compresie este paralela sau perpendiculara pe directiapolarizorilor. Aceasta confirma faptul ca una din liniile neutre ale lameieste paralela cu directia de aplicare a efortului. Daca compresia nu esteuniforma, pe ecran vor aparea linii luminoase din care se pot deduce liniilede egala compresie.

104

Figura 1.43: Schema experimentala pentru birefringenta mecanica.

Sticla obisnuita comprimata se comporta ca un cristal uniax negativ(no > nE),cu axa optica paralela cu directia de compresie. Daca presiuneaexercitata este p = F

S , unde S = el este sectiunea lamei pe care actioneazaforta F , birefringenta este data de :

no − nE = kF

el(1.213)

unde k este o constanta determinata experimental, iar diferenta de drumoptic ce apare la traversarea lamei va fi:

∆ = (no − nE) e = kF

l(1.214)

si nu depinde de grosimea lamei traversate. Pentru sticla, k este deordinul (10−14− 10−13)N/m, iar în cazul materialelor plastice transparenteajunge de zeci de ori mai mare.

Acest fenomen are aplicatii importante în industrie, în cadrul fotoelas-ticimetriei. Taind din sticla sau material plastic o macheta a obiectului îninteriorul caruia se studiaza tensiunile prin compresie si examinând aceastamacheta asezata între polarizori încrucisati, se pot masura în fiecare punctdirectia si modulul tensiunilor. Se pot observa liniile izocromate, care leaga

105

punctele de egala valoare a diferentei dintre doua tensiuni principale (per-pendiculare) si liniile izoclinice (analoage liniilor izocromate) care leagapunctele în care directiile tensiunilor sunt paralele cu o anumita directie.Doua izocline se pot intersecta în puncte numite puncte izotrope, în caretensiunile sunt egale.

1.9.2 Birefringenta dinamica

Acest efect de birefringenta, descoperit de Maxwell, apare într-un lichid su-pus la un gradient de viteze. Efectul poate fi pus în evidenta într-un spatiutubular cuprins între doi cilindri din care unul este fix si altul în rotatieuniforma cu viteza mare, directia de propagare a luminii fiind paralela cuaxa de rotatie (fig. 1.44).

Figura 1.44: Schema experimentala pentru studiul birefringentei dinamice.

Se observa ca liniile neutre ale lichidului fac un unghi de π4 cu directia

vitezei lichidului, adica sunt dirijate dupa directiile de efort create de fortelede vâscozitate ale lichidului. Birefringenta liniara nE−no este proportionalacu valoarea gradientului vitezei ∂v

∂r care poate fi mare daca spatiul tubulareste foarte subtire.

106

Fenomenul este apreciabil pentru moleculele cu lanturi lungi sau mole-culele foarte alungite. Se atribuie acest fenomen unei orientri a moleculeloroptic anizotrope sub influenta gradientului de vitez.

Masurarea birefringentei liniare dinamice este foarte utila în studiulstructurii si proprietatilor macromoleculelor.

1.9.3 Birefringenta electrica. Efectul Kerr. Efectul Pockels

Efectul Kerr a fost descoperit în 1876. Majoritatea lichidelor sau solidelorizotrope supuse unui câmp electric (fig. 1.45) devin anizotrope uniaxe,directia axei optice fiind paralela cu cea a intensitatii câmpului electric.

Figura 1.45: Schema experimentala pentru efectul Kerr.

Din determinari experimentale rezulta ca birefringenta este proportion-ala cu modulul patrat al vectorului intensitate al câmpului electric E (nudepinde de sensul vectorului E), adica

nE − no = BλE2 (1.215)

107

unde B este constanta Kerr, care depinde de temperatura si lungimeade unda. Constanta Kerr poate fi pozitiva sau negativa.

Efectul este relativ mic (B este de ordinul 10−14 − 10−12 mV 2

în cazullichidelor si 10−19 − 10−16 m

V 2 în cazul gazelor, la temperatura camerei silungimea de unda λ = 589nm).

Aparitia anizotropiei optice poate fi interpretata ca rezultatul unei vari-atii a permitivitatii electrice a substantei sub actiunea câmpului electric.

Notând cu ε0 permitivitatea unui mediu izotrop în absenta câmpuluielectric exterior, marimea scalara ε0 se transforma în tensorul εik în prezentacâmpului electric exterior E :

εik = ε0δik + βEiEk (1.216)

unde β este o constanta caracteristica mediului. Mediul capata pro-prietatile unui cristal uniax, elipsoidul indicilor devenind un elipsoid derevolutie. Apar doua suprafete de unda: o sfera corespunzatoare undeiordinare si un elipsoid de revolutie pentru unda extraordinara. Valorileprincipale ale tensorului permitivitate electrica au expresiile:

n2o = εo = ε0 si n2E = εE = ε0 + βE2 (1.217)

Se observa ca nE este lungimea semiaxei principale a elipsoidului indi-cilor dupa directia axei optice, care coincide cu directia vectorului E. Dacase tine cont ca βE2 << ε0, rezulta pentru indicii de refractie principaliexpresiile:

no =√ε0 si nE ∼= no +

β

2noE2 (1.218)

Unda ordinara se confunda cu unda care se propaga prin mediu înaintede aplicarea câmpului electric E, cu viteza vo =

c√ε0= c

no. Prin aplicarea

unui câmp electric exterior apare si unda extraordinara, ce se propaga cuviteza

vE =c

nE=

cpε0 + βE2

(1.219)

108

Defazajul care apare între undele extraordinara si ordinara dupa par-curgerea distantei e este egal cu:

∆φ =2πec

λ

µ1

vE− 1

vo

¶=2πe

λ

³pε0 + βE2 −

√ε0´∼= (1.220)

∼=2π

λ

β

2√ε0eE2 =

2πeβ

2noλE2 = 2πeBE2

unde B = β2noλ

este constanta Kerr.În cazul solidelor si al lichidelor polare vâscoase, efectul apare dupa

aplicarea unui câmp electric cu o întârziere masurabila (mai multe secundepentru sticla). În cazul lichidelor nepolare cu molecule mici, întârzierea,prea mica pentru a putea fi masurata, este probabil mai mica decât 10−11s.Aceasta inertie foarte mica a fenomenului este utila în realizarea modu-latoarelor de intensitate luminoasa la frecventa mare, sau de obturatoarefoarte rapide.

Un obturator Kerr se obtine de exemplu aplicând impulsuri de tensi-une unei celule Kerr cu nitrobenzen (valoare mare a lui B), asezata întrepolarizori încrucisati orientati la π

4 fata de directia lui E. O serie de impul-suri electrice dreptunghiulare sectioneaza fasciculul luminos ca si o roatadintata care se roteste cu o viteza mare, efectul putând fi utilizat pentrua masura cu precizie viteza luminii printr-o metoda analoaga aceleia luiFizeau.

Aplicarea efectului Kerr ca modulator liniar (intensitatea luminoasa Ieste functie liniara de tensiunea aplicata) impune unele precautii. Daca ocelula Kerr este asezata între polarizori încrucisati, diferenta de drum opticîntre razele ordinara si extraordinara este data de:

∆ = e(nE − no) = eBλE2 (1.221)

iar intensitatea emergenta :

I = I0 sin2 φ

2= I0 sin

2(πeBE2) (1.222)

109

nu este o functie liniara de intensitatea câmpului electric, ci variazaconform curbei din fig.1.46 având o comportare parabolica în apropierealui E = 0.

Figura 1.46: Modulator liniar pe baza efectului Kerr.

Este util sa se foloseasca intervalul de variatie a lui E din jurul valoriiE0, care este abscisa punctului de inflexiune al curbei. Acest lucru seobtine aplicând o tensiune auxiliara U0 tensiunii variabile U care comandamodulatia.

Construirea obturatoarelor optice fara timp de inertie a permis punereabazei fizicii proceselor ultrarapide din gama nanosecundelor. În ultimiiani aceasta tehnica a capatat o dezvoltare deosebita, odata cu aparitiafluxului luminos de foarte mare putere generat de laseri. Astfel a fostposibila obtinerea unor impulsuri cu puteri de ordinul gigawatilor, care auproprietati fizice noi, cu aplicatii în optica neliniara si multe alte domenii.

Efectul Kerr se datoreste actiunii de orientare a câmpului electric asupramoleculelor anizotrope din punct de vedere electric. Apare o competitie în-tre actiunea câmpului electric si agitatia termica ce tinde sa restabileasca

110

dezordinea. Moleculele nepolare (care nu au moment de dipol electric per-manent) tind sa se orienteze în asa fel încât axa lor cu susceptibilitateaelectrica cea mai mare sa devina paralela cu intensitatea câmpului elec-tric. Moleculele polare tind sa-si plaseze momentul de dipol electric dupadirectia câmpului electric. Aceasta orientare, partial datorata competitieiagitatiei termice se manifesta optic daca moleculele prezinta anizotropieoptica. Studiul efectului Kerr prezinta un mare interes pentru cunoastereastructurii moleculare.

În cristalele fara centru de simetrie, numite cristale piezoelectrice,. apareun efect de birefringenta liniara în intensitatea câmpului electric numit efectPockels.Sub actiunea unui câmp electric exterior, cristalul uniax devine

biax, iar cristalul cubic, optic izotrop, devine uniax, optic anizotrop.Notând cu ε0ik tensorul permitivitate electrica a cristalului în absenta

câmpului exterior, prin aplicarea unui câmp electric exterior acesta devine:

εik = ε0ik +X

βikjEj

j

(1.223)

unde βikj este un tensor de rang 3 simetric în raport cu indicii i si k(βikj = βkij).

Efectul Pockels este mult utilizat îm cristalele uniaxe de tipul cristaluluide dihidrofosfat de potasiu (PO4H2K) numit în general cristal KDP.

În absenta câmpului electric exterior, elipsoidul indicilor unui cristalKDP este un elipsoid de revolutie cu semiaxele principale având lungimilenE de-a lungul axei optice (axa Oz în fig. 1.47) si no de-a lungul celorlaltedoua axe perpendiculare (Ox si Oy).

Câmpul electric exterior se aplica de-a lungul axei optice a cristalului.Rezulta o deformare a elipsoidului de revolutie, acesta devenind un elipsoidcu trei axe (axa Oz ramânând axa optica a cristalului) si o rotatie a axelorprincipale Ox si Oy cu un unghi de π

4 în planul xOy.

111

Figura 1.47:

În figura 1.47 sunt prezentate aceste modificari ale elipsoidului indicilor.Sectiunea circulara, punctata, apare în absenta câmpului electric, iar ceaelipsoidala, continua, apare în prezenta câmpului electric.

Daca în absenta câmpului electric cristalul se caracterizeaza prin doiindici de refractie principali (nE si no), aplicarea câmpului electric introducetrei valori pentru indicii de refractie principali: nE, n1, n2. Ca si în cazulefectului Kerr,

n1 ∼= no +β

2noE; n2 ∼= no −

β

2noE (1.224)

unde β este una din componentele tensorului βikj . Notând cu r = βn2o

(constanta electrooptica a mediului), se poate scrie ca:

112

n1 ∼= no +n3or

2E; n2 ∼= no −

n3or

2E (1.225)

În practica apar doua cazuri distincte: lumina se propaga de-a lunguldirectiei câmpului electric exterior (efectul Pockels longitudinal) si luminase propaga dupa o directie perpendiculara pe directia câmpului electricexterior (efectul Pockels transversal).

În cazul efectului longitudinal apar doua unde polarizate liniar de-alungul axei Ox0 cu viteza v1 =

cn1

si respectiv de-a lungul axei Oy0 cuviteza v2 = c

n2, adica

v1 =c

no

1

1 + n2orE/2si v2 =

c

no

1

1− n2orE/2(1.226)

Diferenta de faza dintre undele care au parcurs grosimea e a cristaluluiva fi egala cu:

∆φ =2πc

λe

µ1

v1− 1

v2

¶∼=2πn3orEe

λ=2π

λn3orU, (1.227)

unde U = eE este tensiunea electrica aplicata cristalului.În cazul efectului transversal, daca lumina se propaga de-a lungul axei

Oy0, apar doua unde polarizate de-a lungul axelor Ox0, cu viteza v1 sirespectiv Oz, cu viteza v3 = c

nE. Dupa parcurgerea grosimii e a cristalului,

diferenta de faza va fi:

∆φ =2πc

λe

µ1

v3− 1

v1

¶=2πe

λnE −

2πe

λno

µ1 +

n2orE

2

¶∼=(1.228)

∼=2πe

λ(nE − no)−

π

λn3oreE.

Primul termen este determinat de anizotropia naturala a cristalului iaral doilea termen de anizotropia artificiala indusa de câmpul electric exte-rior. Efectul Pockels, ca si efectul Kerr, apare rapid dupa aplicarea câm-pului electric exterior (aproximativ 10−8 s), dar dupa anularea câmpului

113

electric exterior caracteristicile optice ale substantei se restabilesc foartelent. Astfel, comanda electrooptica a caracteristicilor mediului se face înregim de comutare cu memorie de tip relaxare. Daca se folosesc materialeferoelectrice se poate realiza o memorie de lunga durata.

1.9.4 Birefringenta magnetica

Efectul Cotton-Mouton al birefringentei magnetice a fost descoperit în 1906.Sub actiunea unui câmp magnetic de inductie B, aproape toate lichideledevin mai mult sau mai putin birefringente. Fenomenul se observa dupa odirectie perpendiculara pe directia câmpului magnetic (fig. 1.48)

Figura 1.48: Schema experimentala pentru studiul birefringentei magnetice.

Sub actiunea câmpului magnetic lichidul se comporta ca un mediuuniax, cu axa optica dirijata dupa directia câmpului magnetic. Legea can-titativa de dependenta a birefringentei de inductia câmpului magnetic este:

nE − no = CλB2, (1.229)

unde C este constanta Cotton-Mouton, care depinde de natura sub-stantei, temperatura si lungimea de unda. Efectul este mult mai slab

114

decât efectul Kerr (cu câteva ordine de marime). Pentru nitrobenzen,C = 2, 5 · 10−2m−1T−2. Birefringenta nu îsi schimba sensul odata cu in-ductie magnetica.

Interpretarea moleculara a fenomenului este asemanator aceleia a efec-tului Kerr, prin actiunea de orientare a câmpului magnetic asupra mole-culelor cu moment de dipol magnetic. Studiul efectului Cotton-Mouton esteimportant pentru evidentierea proprietatilor moleculare. Datorita valorilormici ale birefringentei magnetice, acest efect nu are aplicatii tehnice.

115

Capitolul 2

Medii anizotropebirefringente circular

2.1 Rotirea planului de polarizare al undei elec-tromagnetice

Unele medii izotrope prezinta proprietatea de birefringenta circulara (activ-itate optica), adica de rotire a planului de polarizare al unei unde polarizateliniar, care traverseaza mediul. Aceeasi proprietate o prezinta unele cristalecubice, cum este clorura de sodiu (NaCl) si bromura de potasiu (NaBr), un-ele cristale uniaxe (cuart, cinabru, benzil) si cristale biaxe (zaharul, sareaRochelle), de-a lungul directiilor axelor lor optice.

Fenomenul de activitate optica a fost descoperit de Arago în cuart înanul 1811 si ulterior, în anul 1817, observat de Biot în lichide si gaze.

O teorie a birefringentei circulare în medii izotrope a fost data initialde Fresnel în anul 1822. El presupune ca unda incidenta polarizata liniar sedescompune în decursul propagarii prin mediu în doua unde polarizate cir-cular în sensuri opuse, care se propaga cu viteze diferite. La emergenta elese recompun, având planul de polarizare rotit în raport cu cel incident, da-torita diferentei de faza între cele doua unde, introdusa de mediu. Aceastateorie este fenomenologic corecta si corespunde propagarii prin medii optic

116

active.Prima încercare de a explica birefringenta circulara în cadrul teoriei

dispersiei se datoreste lui Drude (1892). Interpretarea cuantica a birefrin-gentei circulare a fost data în 1958 de Rosenfeld si dezvoltata în 1937 deCondon.

2.1.1 Legile experimentale ale activitatii optice (birefrin-gentei circulare)

Se aseaza un cristal de clorat de sodiu (NaClO3), care cristalizeaza în sis-temul cubic, deci izotrop din punct de vedere optic, sau o solutie de zaharaflata într-o cuva cu grosimea de câtiva cm, sau un cristal de cuart, tra-versat de lumina exact dupa axa optica (directie dupa care birefringentaliniara este nula) între doi polarizori încrucisati, iar lumina monocromaticatraverseaza sistemul optic Se constata urmatoarele:

a) Daca se roteste lama în jurul axei fasciculului (directia de propa-gare), imaginea fasciculului emergent nu se modifica, adica nu exista odirectie privilegiata a fenomenului în sensul axei optice din cazul birefrin-gentei liniare.

b) Rotind analizorul cu un anumit unghi se poate restabili extinctia.Astfel lama conserva natura liniara a oscilatiei incidente si doar rotesteaceasta directie. Acest fapt nu poate fi confundat cu efectul unei lamesemiunda, deoarece aici are loc o rotatie indiferent de grosimea lamei, iarunghiul de rotatie este independent de azimutul directiei de oscilatie inci-denta.

c) Unghiul de rotatie este proportional cu grosimea lamei l. Se definesteputerea rotatorie ρ ca fiind raportul ρ = α

l , unde α este unghiul de rotatieprodus de mediul optic activ de grosime l. Constanta ρ este caracteristicasubstantei si depinde puternic de lungimea de unda.

În cazul unui lichid, ρ = αld , unde d este densitatea lichidului; în cazul

unei solutii, puterea rotatorie este definita ca ρ = αlc , unde c este concen-

tratia substantei active, care exprima masa de substanta activa din unitateade volum de solutie.

Pentru un amestec de substante optic active unghiul de rotatie este egal

117

cu suma unghiurilor de rotatie produse de fiecare component al amesteculuidaca ar actiona singur. În practica se foloseste si marimea putere rotatoriemolara definita prin ρM = M

100ρ, unde M este masa molara a substanteioptic active.

d) Unele substante rotesc planul de polarizare spre dreapta (dextrogire)daca observatorul priveste spre sursa, iar altele spre stânga (levogire). Celemai multe substante exista în ambele forme. De exemplu, exista cuartdextrogir si cuart levogir. Sensul de rotatie nu se modifica daca se rotestelama cu cealalta fata, adica daca se schimba sensul de propagare prin lama.

2.1.2 Teoria electromagnetica a birefringentei circulare nat-urale

a) Legile de material. Într-un mediu care prezinta o proprietate legata de oaxa de rotatie, vectorul inductie electrica D trebuie sa depinda în afara devectorul intensitate câmp electric E din acel punct si de variatia spatialaa lui E din imediata apropiere. Tinând cont de acest lucru, Drude a alespentru vectorul D expresia:

D = εE+ f rotE (2.1)

Conform legii inductiei electromagnetice,

rotE = −∂B∂t,

(2.2)

iar pentru o unda electromagnetica plana,

B =1

cun ×E (2.3)

un fiind versorul directiei de propagare a undei.Înlocuind relatiile (2.2) si (2.3) în relatia (2.1) rezulta:

D = εE+iωf

c(un ×E) (2.4)

Notând cu

118

G =ωf

cun, (2.5)

relatia (2.4) se rescrie sub forma:

D = εE+ iG×E (2.6)

Expresia (2.6) conduce la rezultate în concordanta cu experienta, încazul unui mediu izotrop. În cazul unui mediu anizotrop, este necesar sa setina cont de faptul ca permitivitatea electrica ε are proprietati de tensor,adica

D =[ε]E+ iG×E (2.7)

unde G va purta numele de vector de giratie.Acest vector de giratie, depinzând de variatia spatiala a vectorului E

în vecinatatea punctului, va depinde în general, într-un mediu anizotrop,de directia de propagare. Se poate considera ca G este o functie vectorialaliniara de versorul normalei la suprafata undei, un, adica

G = [g]un (2.8)

unde tensorul de giratie [g] nu este în mod necesar simetric, dar trebuiementionat ca daca observabila rotatie depinde doar de (gij + gji) este sufi-cient, pentru o teorie fenomenologica, sa se admita ca tensorul giratie estesimetric.

Se admite ca ecuatiile (2.7) si (2.8) reprezinta legile de material pentruun mediu transparent optic activ (evident împreuna cu B = μH).

Daca se face ipoteza ca toate componentele tensorului care leaga vectoriiE siD în legea de material sunt reale, se poate scrie relatia (2.7) sub forma:

D = [ε]E+ i [ρ]E (2.9)

care permite sa se arate ca prin rotirea planului de polarizare nu are locnici o disipare de energie în mediu.

119

Expresia (2.9) indica faptul ca vectorul D nu depinde doar de vectorulE, ci si de derivata sa în raport cu timpul ∂E

∂t (deoarece∂∂t = iω), adica

D =[ε]E− 1ω[ρ]

·E (2.10)

Pentru o variatie infinitezimala, expresia (2.10) se scrie:

dD =[ε] dE− 1ω[ρ]

··Edt (2.11)

Prin înmultirea scalara a relatiei (2.11) cu E obtinem:

EdD = E [ε] dE−ωE [ρ]··Edt (2.12)

Din ultima relatie, care dupa integrare reprezinta energia disipata deunda prin mediu, se observa ca activitatea optica are loc fara disipare deenergie doar daca termenul al doilea din membrul drept al ecuatiei (2.12)este identic nul. Acest lucru se întâmpla daca [ρ] este antisimetric, adicaρij = −ρji. Un tensor antisimetric poate fi înlocuit cu produsul vectorialcu un vector. O astfel de înlocuire conduce la relatia (2.7).

Facând înlocuirile,

G1 = ωρ23 = −ωρ32; G1 = ωρ31 = −ωρ13; G3 = ωρ12 = −ωρ21;(2.13)

si integrând relatia (2.12), rezulta ca densitatea de energie electrica vafi egala cu:

we =1

2E [ε]E (2.14)

tensorul antisimetric [ρ] necontribuind la densitatea de energie, caretrebuie sa fie o functie de E. Astfel, nu este necesar ca tensorul [ρ] saaiba componentele egale, indiferent de directia de propagare, ca în cazultensorului [ε] . Deoarece vectorul giratie G depinde de variatia spatialaa lui E în vecinatatea punctului, el va depinde în general de directia depropagare într-un cristal anizotrop.

120

b) Indicele de refractie al unui mediu optic activ. Din ecuatia (2.6) siexpresia vectorului inductie electrica al unei unde electromagnetice

D =1

μv2[E− un(Eun)]

egalând membrii din dreapta si notând cu n2 = 1ε0μv2

, rezulta ecuatia:

Ex

£n2x − n2

¡1− α2

¢¤+Ey

µn2αβ + i

Gz

μv2

¶+Ez

µn2αγ − i

Gy

μv2

¶= 0

(2.15)pentru proiectia pe axa Ox si doua ecuatii analoage pentru proiectiile

pe celelalte doua axe. În ecuatia (2.15) α, β si γ sunt cosinusii directori aidirectiei un iar n2x = εx etc.

Eliminând componentele Ex, Ey si Ez între cele trei ecuatii rezulta:

n4¡n2xα

2 + n2yβ2 + n2zγ

2¢−

−n2£n2yn

2z

¡β2 + γ2

¢+ n2zn

2x

¡γ2 + α2

¢+ n2xn

2y

¡α2 + β2

¢¤+ (2.16)

+n2µun ×

G

μv2

¶2+ n2xn

2yn2z −

Ãn2x

G2xμ2v4

+ n2yG2yμ2v4

+ n2zG2zμ2v4

!= 0

Ecuatia de ordinul doi în n2 are o solutie exacta, dar aceasta se simplificamult daca se tine cont ca G are componentele mici în raport cu ale lui [ε] sica proprietatea de activitate optica nu depinde de birefringenta, chiar dacamediul este birefringent.

Se noteaza cu n00 si n000 solutiile ecuatiei (2.15) când G→ 0, astfel ca se

poate scrie ca ¡n2 − n020

¢ ¡n2 − n0020

¢= g2 (2.17)

121

unde

g2 =n2xG

2x + n2yG

2y + n2zG

2z − n2 (unG)

2

(n2xα2 + n2yβ

2 + n2zγ2)μ2v4

(2.18)

Radacinile ecuatiei (2.17) sunt:

n02 =1

2

µn020 + n0020 +

q¡n020 + n0020

¢2+ 4g2

¶(2.19)

n002 =

1

2

µn020 + n0020 −

q¡n020 + n0020

¢2+ 4g2

¶unde s-a facut ipoteza ca n00 > n000. Rezulta ca

n02 + n002 = n020 + n0020 (2.20)

Cu ajutorul relatiei (2.20) se poate arata ca cele doua unde care sepropaga prin mediu si carora le corespund indicii de refractie principali n0

si n00, descriu doua elipse în sensuri opuse cu raportul axelor ba = c egal cu

c1 =n02 − n020

gsi c2 =

g

n002 − n0020. (2.21)

Din relatia (2.20) rezulta ca

n002 − n0020 = −(n02 − n020 ) (2.22)

astfel ca c1 = −1/c2, indicând ca cele doua oscilatii corespund unorstari eliptic polarizate în sensuri opuse.

Aproximatiile facute în gasirea radacinilor (2.19) pot fi evitate folosindîn locul tensorului dielectric [ε] tensorul invers, adica tensorul indicilor derefractie [a] introdus prin scrierea legii de material sub forma: E = [a]D sidefinit astfel:

[a] = [ε]−1 cu aij =εij

|ε| (2.23)

εij fiind minorul lui εij în determinantul |ε| .

122

Atunci legea de material pentru mediile optic active se scrie sub forma:

E = [a]D− iΓ×D (2.24)

unde Γ este vectorul activitate optica. Ca si vectorul de giratie G,vectorul Γ va depinde de directia de propagare, adica:

Γ = [γ]un (2.25)

unde [γ] este un tensor cu noua componente numit tensorul activitateoptica.

Alegând axele de coordonate de-a lungul axelor electrice principale alemediului anizotrop si neglijând termenii în patratele componentelor lui G,rezulta relatiile:

ax =1

εxetc., (2.26)

Γx =εxGx

εxεyεzetc., (2.27)

γxy =εxgxyεxεyεz

etc.

Într-un mod analog cu cazul în care s-a introdus vectorul G, se poatearata ca nici în cazul exprimarii legii de material cu ajutorul vectorului Γ(2.24) nu apare disipare de energie prin fenomenul de activitate optica.

Ambele formulari ale legii de material (2.7) si (2.24) sunt echivalente,conducând la aceleasi rezultate, dar formularea cu ajutorul tensorului indi-cilor [a] este mai des folosita.

Daca se aleg axele de coordonate astfel ca axa Oz sa fie de-a lunguldirectiei normale la suprafata de unda, atunci Dz = 0. Relatiile între com-ponentele lui E si D vor fi:

Ex = μv2Dx, Ey = μv2Dy, Dz = 0 (2.28)

Înlocuind Dz = 0 în (2.24) rezulta pe componente:

123

Ex = a11Dx + a12Dy + iΓ3Dy, (2.29)

Ey = a21Dx + a22Dy − iΓ3Dx

Eliminând componentele Ex si Ey între relatiile (2.28) si (2.29) rezulta:

Dx(a11 − μv2) + (a12 + iΓ3)Dy = 0, (2.30)

Dx(a21 − iΓ3) +¡a22 − μv2

¢Dy = 0

Daca axele Ox si Oy sunt alese paralele cu directiile principale de os-cilatie în absenta activitatii optice, atunci

a12 = 0, a11 = μv21, a22 = μv22 (2.31)

nde v1 si v2 sunt vitezele dupa directiile particulare de propagare înabsenta activitatii optice (adica Γ = 0).

Înlocuind (2.31) în (2.30) rezulta:

v2 − v21 =iΓ3μ

Dy

Dx, (2.32)

v2 − v22 =−iΓ3μ

Dx

Dy

Aceste ecuatii pot fi rezolvate pentru a obtine atât indicii de refractiecât si starile de polarizare ale celor doua unde.

Tipul de oscilatie care se propaga de-a lungul axei Oz este definit de ra-portul Dy/Dx si se poate obtine eliminând v2 între ecuatiile (2.32). Rezulta

Dy

Dx+

Dx

Dy= − iμ

Γ3

¡v22 − v21

¢= − iμ

unΓ

¡v22 − v21

¢= −

i¡v22 − v21

¢μ

γ(2.33)

Cele doua solutii pentru raportul Dy/Dx sunt reciproce una fata dealta, ambele fiind imaginare.

124

Scriind ca µDy

Dx

¶1

= itgθ siµDy

Dx

¶2

= −ictgθ (2.34)

si înlocuind în (2.33) rezulta

tg2θ =2γ

(v22 − v21)μ(2.35)

Oscilatiile descrise de relatiile (2.34) sunt ortogonale si corespund unorunde cu stari de polarizare eliptica în sensuri opuse. Elipsele au axele mariîn cele doua plane principale.

Daca se elimina raportul Dy/Dx din ecuatiile (2.32), rezulta ecuatiapentru viteza v a undelor ce se propaga de-a lungul axei Oz:

(v2 − v21)(v2 − v22) =

γ2

μ2. (2.36)

Cele doua radacini ale ecuatiei (2.36) în v2 sunt cele doua viteze prin-cipale v0 si v00 date de relatiile:

v02

=1

2(v21 + v22)−

1

2

s(v21 + v22)

2 +4γ2

μ2, (2.37)

v002

=1

2(v21 + v22) +

1

2

s(v21 + v22)

2 +4γ2

μ2

Unda cu viteza v0 se va afla în starea de polarizare³Dy

Dx

´1, iar viteza

v00 corespunde starii de polarizare³Dy

Dx

´2.

Daca γ = 0, din (2.35) rezulta ca θ = 0, ceea ce corespunde unor oscilatiipolarizate liniar dupa directii perpendiculare cu vitezele v1 si v2, ca în cazulunui mediu fara activitate optica.

Proprietatea parametrului γ este evidenta daca se face ipoteza absenteibirefringentei mediului anizotrop si se pune v1 = v2 = vm. Înlocuind în

125

ecuatia (2.35), rezulta ca θ = π/4, adica cele doua unde vor fi polarizatecircular în sensuri opuse, confirmând ipoteza lui Fresnel. Astfel, daca nuexista birefringenta liniara, diferenta dintre indicii de refractie ai celor douaunde polarizate circular va fi egala cu:

∆

µ1

n2

¶=2

n3(nr − nl) =

2γ

μv2. (2.38)

Puterea rotatorie ρ este legata de diferenta nr − nl prin relatia:

ρ =π

λn3m

γ

μv2(2.39)

Puterea rotatorie ρ are acelasi semn cu γ.Propagarea a doua unde polarizate circular apare, de exemplu, într-un

mediu izotrop sau într-un cristal cubic, pentru toate directiile de propagaresi într-un cristal birefringent liniar, pentru propagarea de-a lungul axeioptice.

În aceste cazuri, mediul va prezenta o adevarata dubla refractie. Acestlucru a fost pus în evidenta pentru prima data de Fresnel, folosind o com-binatie de prisme de cuart. Ulterior experienta a fost repetata cu cristalecubice de clorura de sodiu de Meslin.

2.1.3 Masurarea birefringentei circulare

a) PolarimetreMasurarea birefringentei circulare (a activitatii optice sau a puterii ro-

tatorii) a unei substante optic active se face cu ajutorul polarimetrelor,compuse în principal dintr-un polarizor si un analizor. Lumina incidentadevine plan polarizata dupa traversarea polarizorului si este analizata dupatraversarea mediului optic activ cu ajutorul analizorului. Polarizorul sianalizorul se pot roti unul în raport cu celalalt. Daca planele lor principalesunt paralele, intensitatea luminii emergente este maxima, iar daca planeleprincipale sunt perpendiculare (polarizorul si analizorul sunt încrucisati)intensitatea emergenta este minima, tinzând la zero (are loc extinctia).Din practica se stie ca pozitia cu intensitate minima poate fi detectata mai

126

usor decât pozitia cu intensitatea maxima. Daca se aseaza între polari-zorul si analizorul aflati la extinctie o substanta optic activa, intensitateaemergenta nu va mai fi minima. Rotind analizorul în raport cu polarizorulpentru a obtine din nou extinctia si masurând unghiul de rotatie, se deter-mina unghiul cu care substanta optic activa a rotit planul de polarizare alradiatiei emergente din polarizor.

Polarimetrul Laurent. Daca o unda plan polarizata cu directia de os-cilatie AP (fig. 2.1) traverseaza o lama de cuart, taiata paralel cu axaoptica Ax, atunci componenta AE a oscilatiei incidente, paralela cu axa(corespunzând razei extraordinare din cuart) va suferi întârziere de fazaîn raport cu cealalta componenta AO, corespunzatoare razei ordinare dincuart. Întârzierea de faza este proportionala cu grosimea placii.

Figura 2.1: Introducerea unui defazaj de catre o lama de cuart.

Daca lama introduce un defazaj de π (lama semiunda), componentaincidenta AE devine la emergenta AE0, în timp ce componenta AO ramânenemodificata ca faza. Astfel, oscilatia rezultanta emergenta va avea loc de-

127

a lungul directiei AP 0. Daca directia oscilatiei incidente face un unghi α cuaxa optica a lamei, planul de oscilatie emergent din lama va fi înclinat cuunghiul 2α fata de directia sa incidenta.

Acesta este principiul folosit de Laurent ín construirea primului po-larimetru cu unghi de penumbra variabil, polarimetru utilizat si azi. Înfig.2.2 este prezentata o sectiune longitudinala prin partea optica a po-larimetrului Laurent.

Figura 2.2: Polarimetrul Laurent.

În fata prismei polarizoare P este asezata o placa subtire de sticla careiaîi este atasata o lama semiunda Q ce acopera doar jumatate din câmpulpolarizorului. Diafragma D serveste la obtinerea unui câmp vizual circular,care este împartit vertical în doua parti de lama semiunda si pe care estefocalizat obiectivul telescopic T . Daca planul principal al polarizoruluieste paralel cu axa optica a lamei semiunda, unda incidenta traverseazanemodificata placa, iar cele doua jumatati ale câmpului vizual vor apareailuminate la fel, indiferent de pozitia analizorului A. Daca planul principalal polarizorului este înclinat cu un unghi α fata de directia axei opticea lamei semiunda, planul de polarizare al radiatiei emergente din lamasemiunda este înclinat cu un unghi 2α fata de cel al radiatiei ce traverseaza

128

cealalta jumatate a câmpului vizual. Unghiul de penumbra θ poate fi variatmodificând orientarea prismei polarizoare. Analizorul A, cu scala gradataC, foloseste la stabilirea pozitiilor în care cele doua jumatati ale câmpuluivizual sunt la fel iluminate, în absenta si în prezenta mediului optic activS.

Avantajul principal al polarimetrului Laurent este faptul ca unghiul depenumbra θ este variabil. Cu cât este mai mic acest unghi, cu atât este maimare precizia cu care se poate stabili pozitia analizorului, în care cele douajumatati ale câmpului vizual sunt egal iluminate, deoarece diferenta întreunghiurile ce definesc cele doua pozitii ale analizorului este egala cu unghiulde penumbra, adica, pentru un unghi de penumbra mic, un unghi de rotatiefoarte mic al analizorului produce o diferenta foarte mare a iluminarii celordoua jumatati a câmpului vizual. Astfel, pentru un mediu transparent si osursa de lumina intensa, se obtin rezultatele cele mai precise cu un unghide penumbra de 2, 5o, iar daca mediul nu este complet transparent, estenecesara cresterea unghiului de penumbra la 5o sau chiar la 10o , pentru amai obtine înca lumina în pozitia de extinctie.

Principalul dezavantaj al polarimetrului Laurent cu unghi de penumbravariabil este acela ca poate fi utilizat doar cu lumina monocromatica culungimea de unda pentru care lama de cuart actioneaza ca o lama semiunda.Pentru fiecare lungime de unda particulara trebuie folosita o lama de cuartcu grosimea corespunzatoare unui defazaj de π.

b) Zaharimetre. Polarimetrele construite pentru a determina concen-tratia de zahar dintr-o solutie prin masurarea puterii lor rotatorii poartanumele de zaharimetre.

În cazul solutiei de zahar, puterea rotatorie scade monoton cu crestereaconcentratiei de zahar din solutie. Acest lucru impune unele corectii pentruobtinerea unor masuratori precise.

Evident ar fi posibil sa se determine concentratia de zahar dintr-o solutiemasurând puterea rotatorie cu un polarimetru si sa se compare rotatia ma-surata cu aceea a unei solutii standard. Pentru a usura masuratorile, s-auconstruit zaharimetre speciale. Acestea difera de polarimetrele obisnuiteprin aceea ca, în locul unui polarizor sau analizor rotitor, se foloseste pen-tru masurarea unghiului de rotatie al planului de polarizare un compen-

129

sator, care are atasata o scala longitudinala pe care se poate citi directconcentratia solutiei de zahar.

Printr-o întâmplare, dispersia rotatorie a cuartului în spectrul vizibileste identica cu cea a zaharului. Din acest motiv, daca rotatia unei solutiide zahar pentru o anumita lungime de unda este compensata exact decompensatorul cu cuart, acest lucru se întâmpla pentru orice lungime deunda. Astfel este posibil sa se lucreze cu surse de lumina alba, care se obtinmai usor, evitându-se folosirea unui monocromator.

Pentru solutii concentrate (concentratii mai mari de 40%), cele douajumatati ale câmpului vizual al polarizorului nu arata chiar aceeasi culoare,una având o nuanta roscata iar cealalta o nuanta albastra. Acest efectse datoreste inegalitatii dispersiilor rotatorii ale zaharului si cuartului înregiunea albastra a spectrului. Pentru a evita acest neajuns, se introduce încalea fasciculului un filtru care sa absoarba radiatia albastra. Se obisnuiestesa se foloseasca drept un astfel de filtru o celula de sticla groasa de 1,5 cm,umpluta cu solutie 6% de bicromat de potasiu.

Pentru a putea citi direct concentratia de zahar din solutie, zaharime-trele sunt gradate în raport cu concentratia unei solutii standard de zahar.Solutia standard de zahar acceptata este de 26 g zahar de dizolvat în apa,obtinându-se un volum de 100 cm3 la temperatura de 20oC. Rotatia plan-ului de polarizare data de aceasta solutie introdusa într-un tub lung de20 cm, la temperatura de 20oC, este notata cu diviziunea 100, diviziunea0 obtinându-se când în tub se afla doar apa la 20oC. Scala gradata areatasat un vernier cu 10 diviziuni, ceea ce permite citirea cu precizie a uneideplasari cu 0,1 diviziuni. O deplasare cu 0,1 diviziuni corespunde la orotatie a planului de polarizare al luminii incidente de 0,034657o, preciziaunui zaharimetru fiind deosebit de buna. Pentru a determina concentratiaunei solutii de zahar, se înmulteste diviziunea citita cu 1,26. În situatii încare este necesara o precizie si mai mare, trebuie facute corectiile pentruvariatia rotatiei specifice cu temperatura, concentratia etc.

Zaharimetrul Soleil consta în principiu dintr-un polarimetru Soleil culama bi-cuart pentru producerea celor doua vârfuri vizuale, în care esteîncorporat un compensator cu prisme de cuart, având atasata o scala za-harimetrica. În fig. 2.3 este reprezentata partea optica a unui astfel de

130

zaharimetru.

Figura 2.3: Zaharimetrul Soleil.

Lumina alba emisa de sursa L traverseaza regulatorul R compus dintr-oprisma Nicol si o lama subtire de cuart taiata perpendicular pe axa optica,polarizorul P , lama Soleil din cuart Q, tubul cu solutie S, compensatorulcu prisma de cuart C, analizorul A si ocularul telescopic T . Polarizorulsi analizorul sunt fixati pe pozitii cu planele principale paralele. Ignorândpentru moment regulatorul R, compensatorul este acordat ca, în absentasolutiei de zahar, cele doua jumatati ale lamei bi-cuart sa fie luminate înmod egal. În aceasta pozitie compensatorul trebuie sa indice diviziuneazero pe scala zaharimetrului. Solutia de zahar continuta într-un tub lungde 20 cm este introdusa în calea fasciculului luminos, ceea ce determinaca iluminarile celor doua jumatati sa nu mai fie egale. Acordând din noucompensatorul, pâna se obtine egalarea iluminarilor celor doua jumatatidin câmpul vizual, se citeste concentratia pe scala zaharimetrului. Rolulregulatorului R este de a asigura o linie de demarcatie neta între cele douajumatati ale câmpului vizual. Rotind prisma Nicol a regulatorului în raportcu polarizorul, o parte din razele colorate produse de dispersia în lama decuart sunt stinse sau reduse în intensitate, la traversarea polarizorului.

Astfel, linia de demarcatie a celor doua jumatati ale câmpului vizualpoate fi restabilita rotind prisma Nicol a regulatorului. Scala zaharimetruluieste corectata pentru variatia puterii rotatorii cu concentratia.

Zaharimetrul Soleil este echivalent în principiu cu un polarimetru cuunghi de penumbra fix, ceea ce este un dezavantaj în cazul masurarii con-

131

centratiei de zahar din solutii colorate, când ar fi necesara cresterea inten-sitatii fasciculului luminos prin cresterea unghiului de penumbra.

2.2 Birefringenta circulara magnetica

2.2.1 Descrierea macroscopica a efectului Faraday

În anul 1846 Faraday a descoperit ca daca un mediu transparent este asezatîntr-un câmp magnetic intens si o unda plana liniar polarizata traverseazamediul dupa directia câmpului magnetic exterior, planul de polarizare alundei este rotit cu un unghi θ proportional cu inductia B a câmpului mag-netic si cu distanta l parcursa de unda prin mediul asezat în câmp magnetic,adica

θ = V lB (2.40)

unde V este constanta Verdet ce caracterizeaza mediul din punct devedere magnetooptic.

Fenomenul poate fi explicat în cadrul teoriei clasice electromagnetice aluminii, pe baza faptului ca o unda polarizata liniar poate fi reprezentataprintr-o suprapunere de doua unde polarizate circular stânga si dreapta.În fig. 2.4 vectorii E1 si E2 corespund celor doua unde polarizate circularstânga respectiv dreapta, în absenta câmpului magnetic exterior.

Undele se propaga dupa directia perpendiculara pe planul figurii. Înfiecare moment de timp, suma vectorilor E1 + E2 se mentine de-a lunguldirectiei AA. Din suprapunerea celor doua unde polarizate circular stângasi dreapta, rezulta o unda polarizata liniar într-un plan ce trece prin AA.Prezenta câmpului magnetic are ca efect aparitia unei anizotropii în propa-garea celor doua unde polarizate circular stânga si dreapta, în sensul unorviteze de propagare diferite (indici de refractie ns si nd diferiti).

132

Figura 2.4: Birefringenta circulara magnetica.

Dupa parcurgerea unei distante l, defazajul dintre cele doua unde va fiegal cu :

∆ϕ =2πl

λ(ns − nd) (2.41)

Din fig. (2.4) se vede ca vectorul rezultant E1 + E2, orientat dupadirectia BB în prezenta câmpului magnetic exterior, face un unghi

θ = ∆ϕ/2 (2.42)

cu directia AA a vectorului rezultant în absenta câmpului magneticexterior.

133

Din compararea relatiilor (2.40) - (2.42) rezulta ca unghiul de rotatie alplanului de poalrizare este egal cu

θ =∆ϕ

2=

πl

λ(ns − nd) (2.43)

unde birefringenta (ns−nd) depinde de intensitatea câmpului magnetic.

2.2.2 Explicarea microscopica a efectului Faraday pe bazamodelului electronului clasic

Pentru a descrie interactia electronilor din substanta cu unda electromag-netica, se face ipoteza ca electronul legat este descris de modelul clasic allui Thompson, adica miscarea sa este descrisa de ecuatia clasica a unuioscilator armonic cu pulsatia proprie ω0.

Daca substanta este asezata într-un câmp magnetic constant exterior deinductie B, iar unda electromagnetica are câmpul electric E si se propagadupa directia lui B, ecuatia de miscare a electronului - oscilator clasic sescrie:

d2r

dt2+ ω20r = −

e

m(E+

dr

dt×B) (2.44)

unde s-a neglijat disiparea de energie în mediu (amortizarea oscilatiilor).Daca vectorul B este orientat de-a lungul axei Oz, atunci vectorii E, r,

dr/dt, si d2r/dt2 se vor afla în planul xOy.Proiectând ecuatia vectoriala (2.44) pe axe, rezulta ecuatiile scalare:

d2x

dt2+ ω20x+

e

m

dy

dtB = − e

mEx, (2.45)

d2y

dt2+ ω20y −

e

m

dx

dtB = − e

mEy, (2.46)

d2z

dt2+ ω20z = 0

Este evident ca sunt interesante doar primele doua ecuatii, care pot fiscrise împreuna sub forma:

134

d2

dt2(x+ iy) + i

eB

m

d

dt(x+ iy) + ω20(x+ iy) = − e

m(Ex + iEy) (2.47)

Daca prin mediu se propaga doua unde polarizate circular: a) una polar-izata circular dreapta cu componentele câmpului electric: Ex = Eω cosωt,Ey = Eω sinωt, adica Ex + iEy = Eω exp(iωt) si b) una polarizata circularstânga cu componentele câmpului electricEx = Eω cosωt, Ey = −Eω sinωt,adica Ex + iEy = Eω exp(−iωt), înlocuind în ecuatia (2.47) pe rând celedoua expresii ale sumei Ex + iEy, rezulta pentru r solutiile

rω exp(iωt) = − e

m

Eω exp(iωt)

ω20 − ω2 − eωBm

(2.48)

rω exp(−iωt) = − e

m

Eω exp(−iωt)ω20 − ω2 + eωB

m

Daca în mediul considerat se afla în unitatea de volum un numar ne deastfel de electroni care interactioneaza cu unda electromagnetica, polariza-tia electrica a mediului este data de

Pω = χ(ω)ε0Eω = nedω (2.49)

unde χ(ω) este susceptibilitatea electrica a mediului, iar d = −er estemomentul de dipol electric al electronului. Din relatia (2.49) rezulta

χ(ω) = εr − 1 = n2 − 1 = nedωε0Eω

(2.50)

unde n este indicele de refractie al mediului la pulsatia ω a undei.Înlocuind solutiile (2.48) si (2.50) rezulta, pentru indicii de refractie ai

celor doua unde polarizate circular stânga si dreapta la propagarea prinmediul aflat în câmpul magnetic exterior de inductie B , expresiile:

135

n2s = 1 +e2ne

m(ω20 − ω2 + eωBm )ε0

(2.51)

n2d = 1 +e2ne

m(ω20 − ω2 − eωBm )ε0

Unghiul θ de rotatie a planului de polarizare al undei incidente este datde:

θ =πl

λ(ns − nd) =

πl

λ

n2s − n2dns + nd

(2.52)

unde se noteaza cu n = ns+nd2 indicele de refractie al mediului în absenta

câmpului magnetic exterior.Astfel, tinând cont ca λ = 2πv

ω = 2πcnω , rezulta:

θ =le3neω

2B

2cm2ε0[¡ω20 − ω2

¢2 − e2B2

m2 ω2](2.53)

Comparând expresia (2.53) cu relatia experimentala (2.40), rezulta pen-tru constanta Verdet expresia:

V =e3neω

2

2cm2ε0[¡ω20 − ω2

¢2 − e2B2

m2 ω2](2.54)

În general, eBm ω << ω20 − ω2, astfel ca pentru constanta Verdet rezulta

expresia aproximativa:

V ∼= e3neω2

2cm2ε0¡ω20 − ω2

¢2 (2.55)

Pentru ω << ω0 (benzile de absorbtie se afla în ultraviolet), se poateneglija termenul ω2 la numitorul relatiei (2.55), obtinând un rezultat înacord cu experienta al dependentei constantei Verdet de frecventa:

136

V ∼ ω2 ∼ 1

λ2(2.56)

Este interesanta studierea rotatiei planului de polarizare când mediulstudiat este traversat de o radiatie cu frecventa apropiata de cea de ab-sorbtie. În acest caz nu se poate neglija amortizarea oscilatiilor si trebuietinut cont si de influenta câmpului magnetic asupra liniilor de absorbtie.

În anul 1896 Zeeman a stabilit ca în aceste conditii liniile de absorbtiese descompun în mai multe componente (efectul Zeeman). Numarul decomponente, pozitiile lor si intensitatile lor relative depind de structuranivelelor energetice participante la trazitiile responsabile de aparitia liniilorde absorbtie considerate si de intensitatea câmpului magnetic aplicat. Efec-tul Zeeman este un fenomen ce prezinta un mare interes în spectroscopie siîn fizica atomica, a carui interpretare este posibila doar în cadrul mecaniciicuantice.

Daca structura nivelor atomice este simpla se observa efectul Zeemannormal. În cazul acestui efect, linia de absorbtie se despica în doua compo-nente pentru un câmp magnetic longitudinal si în trei componente pentruun câmp magnetic transversal, în raport cu directia de propagare a fasci-culului luminos. Experienta arata ca cele doua componente decalate fatade linia initiala sunt polarizate circular dreapta, respectiv stânga (compo-nentele σ+ si σ−), linia initiala (componenta π) fiind polarizata liniar.

Din teoria cuantica rezulta ca cele doua componente σ+ si σ− sunt de-plasate în frecventa fata de componenta π cu ∆ω = e

2mB, ceea ce înseamnaca în relatiile (2.51), ω → ω ±∆ω.

Pentru a gasi în acest caz birefringenta (ns−nd) este util sa se reprezintegrafic curba de variatie a indicelui de refractie cu pulsatia ω, în apropiereaabsorbtiei (fig. ??).

Translatând aceasta curba la stânga si la dreapta cu ∆ω = eB2m , se

obtin curbele de dispersie ns = f(ω2) si nd = f(ω2), iar prin scaderea lorrezulta curba ns − nd = f(ω2) caracteristica variatiei unghiului de rotatieal planului de polarizare în cazul efectului Faraday, în apropierea unei liniide absorbtie.

137

Figura 2.5: Variatia indicelui de refractie cu pulatia.

Se observa ca, într-un interval de frecvente centrat pe frecventa deabsorbtie ω0, semnul unghiului Faraday se schimba de doua ori si ca înapropierea rezonantei unghiul creste foarte mult.

Rotatia planului de polarizare în medii devenite anizotrope în câmpmagnetic este mult folosita în fizica atomica pentru determinarea constan-telor atomice.

138

Bibliografie

[1] M. Born, E. Wolf, ”Principles of optics”, Pergamon Press, Oxford-London-New York, 1970.

[2] G. Bruhat, ”Cours d’optique”, Ed. Masson, Paris, 1942.

[3] G. Cone, ”Optica electromagnetica a mediilor anizotrope”, Ed. Tehnica,Bucuresti, 1990.

[4] S. Huard, ”Polarisation de la lumière”, Ed. Masson, Paris, 1994.

[5] P. Jacquinot, Optique electromagnetique des milieux anizotropes, Ed.Claude Hermant, Paris,1964.

[6] N. Kalitéevski, ”Optique ondulatoire”, Ed. Mir, Moscou, 1980.

[7] I.M. Popescu, ”Teoria electromagnetica macroscopica a luminii’, Ed.stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1986.

[8] D. Sivoukhine, ”Optique”, Ed. Mir, Moscou, 1984.

[9] F. Uliu, ”Optica ondulatorie”, Reprografia Universitatii din Craiova,1976.

139