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Metodie
Modelli Matematici
Revised: 6 marzo 2013 9h : 38min Ottavio Caligaris
Indice
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Caratteristichedi un modello matematico• Identificazione dei meccanismi e delle leggi che regolano il pro-
blema da modellizzare.• Formulazione delle ipotesi a partire dalle quali il modello va co-
struito.• Costruzione del modello attraverso il linguaggio matematico.• Analisi del modello.• Interpretazione del modello.• Validazione del modello.• Implementazione del modello.
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Modelli Differenziali- O.D.E. -(OrdinaryDifferentialEquations)
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Caduta di un grave
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P0 = h0
Un punto di massa m e posto adun’altezza hSul punto agisce solo la forza digravita F = mg
Trascuriamo la resistenza dell’aria
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P0 = h0
P = x(t)
Assumiamo un sistema di riferi-mento che coincide con la rettache il punto percorre cadendoAssumiamo l’origine in corrispon-denza del suoloConsideriamo positive le altezzemisurate dal suolo
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x(t) posizione (altezza) del punto P all’istante tv(t) = x(t) velocita del punto Pa(t) = x(t) accelerazione del puntoPer le leggi di Newton
ma(t) = −mg
(1) x(t) = g
Il moto inizia all’istante t0 = 0
(2) x(t) = −gt+ c1
(3) x(t) = −1
2gt2 + c1t+ c0
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Il moto e determinato univocamente se si conoscono posizione evelocita iniziale.
v0 = x(0) = c1 h0 = x(0) = c0
Il punto P si muove sull’asse x seguendo la legge
(4) x(t) = −1
2gt2 + v0t+ h0
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Modello alternativoEnergia potenziale del punto P
U(t) = mgx(t)
Energia cinetica del punto P
1
2mx2(t)
Energia totale del punto P
E(t) =1
2mx2(t) +mgx(t)
Per il principio di conservazione dell’energia.
E(t) = costante
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(5)1
2mx2(t) +mgx(t) = mk
mk =1
2mv20 +mgh0 ⇐⇒ v0 = ±
√2k− 2gh0
(6)1
2x2(t) = k− gx(t)
k− gx(t) ≥ 0 ⇐⇒ x(t) ≤ kg
x(t) = kg
e una soluzione costante dell’equazione 6
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Per le soluzioni non costanti
(7) x(t) = ±√2k− 2gx(t)
x(t)√2k− 2gx(t)
= ±1
gx(t)√2k− 2gx(t)
= ±g∫ t0
gx(s)√2k− 2gx(s)
ds = ±gt
u = x(s) , du = x(s)ds
Per s = 0 e s = t avremo x(s) = x(0) = h0 e x(s) = x(t),∫x(t)x0
gdu√2k− 2gu
= ±gt
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√2k− 2gx(t) −
√2k− 2gx0 = ±gt√
2k− 2gx(t) = ±gt+ v02k− 2gx(t) = (±gt+ v0)2
x(t) =k
g−1
2g(±gt+ v0)2
Il segno ± di ±gt si puo determinare dalla 7: per continuita.La scelta del segno puo essere mantenuta fino a che
x(t) 6= 0
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Se v0 < 0allora
x(t) = −gt+ v0 < 0 ∀t ≥ 0
mentre se v0 > 0
x(t) = −gt+ v0 = 0 ⇐⇒ t0 =v0
g
Le condizioni iniziali
x(t0) =k
gx(t0) = 0
non determinano il segno della radice in 7.
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(1) useremo
(8) x(t) = +√2k− 2gx(t)
se ipotizziamo che la velocita del punto sia positiva per t > t0(2) useremo
x(t) = −√2k− 2gx(t)
se ipotizziamo che la velocita del punto sia negativa per t > t0(3) anche la soluzione x(t) ≡ k
ge accettabile
La soluzione costante risolve il problema della conservazione dell’e-nergia, non quello del moto.
Ci sono configurazioni diverse con la stessa energia:
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Per v0 > 0 la 8 descrive il moto del punto P se t < t0.
Poiche deve essere x(t) ≤k
g= x(t0)
x non puo crescere per t > t0, quindi
x(t) ≤ 0 per t > t0
x(t) = −
√2k− 2gx(t)
x(t0) = kg
La soluzione costantex(t0) =
k
g
non e fisicamente improponibile
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Crescita di una Popolazione
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Il Modello Esponenziale di Malthus (1798)Prevede che la crescita di una popolazione sia proporzionale al numerodi individui;
Sian(t)
il numero di individui di una popolazione al tempo tn(t) = cn(t)
n(t0) = n0
c e il tasso di crescita
si ottiene
(9) n(t) = n0ec(t−t0)
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Per determinare c bastano due valori
n0 = n(t0) n1 = n(t1)
dalla 9 per t = t1
n1 = n0ec(t1−t0) e c =
ln(n1n0)
t1 − t0
Per n1 = 2n0 si parla di tempo di raddoppioPer n1 = 1
2n0 si parla di tempo di dimezzamento
c e il tasso di crescita istantaneo
c =n(t)
n(t)
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Tabella dei valori della popolazione mondiale 1950 - 2002.
1950 2,556,517,1371951 2,594,315,2971952 2,636,388,2591953 2,681,738,4561954 2,729,717,9081955 2,781,183,6481956 2,834,158,5181957 2,890,001,4001958 2,946,524,1671959 2,998,875,9351960 3,040,966,4661961 3,081,748,6621962 3,137,743,6921963 3,207,262,725
1964 3,278,382,1111965 3,347,361,9271966 3,417,544,5281967 3,487,234,4051968 3,559,028,9821969 3,633,608,8461970 3,708,751,3601971 3,786,142,4621972 3,862,618,8591973 3,938,589,4151974 4,013,474,6251975 4,086,472,8221976 4,157,989,2361977 4,230,087,505
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1978 4,302,112,8961979 4,376,940,5881980 4,452,645,5621981 4,528,683,5711982 4,608,405,9791983 4,689,846,9981984 4,770,104,4431985 4,851,854,5181986 4,935,217,4451987 5,021,240,7201988 5,107,965,5881989 5,194,724,0981990 5,282,765,8271991 5,366,815,9011992 5,450,861,7231993 5,532,578,0161994 5,613,424,524
1995 5,694,418,4601996 5,773,464,4481997 5,852,360,7681998 5,929,735,9771999 6,006,163,0192000 6,081,527,8962001 6,155,942,5262002 6,229,629,1682003 6,303,112,4532004 6,376,863,1182005 6,451,058,7902006 6,525,486,6032007 6,600,115,8102008 6,675,056,3422009 6,750,284,3852010 6,825,750,4562011 6,901,439,322
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Per t0 = 1960 n(t0) = n0 = 3× 109Per t1 = 1970 n(t1) = n1 = 3.7× 109Pertanto
c =ln(n1
n0)
t1 − t0= ln 1.02 ≈ .0198
e
n(t) = 3× 109eln(1.02)(t−1960)
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Tabella dei valori previsti dal Modello di Malthus a fronte dei valorieffettivi.
Anno Valore previsto Valore vero1950 414,207,711 2,555,360,9722000 8,255,313,138,000 6,079,006,9822001 10,062,916,260,000 6,154,325,8432002 12,266,316,500,000 6,228,641,3032003 14,952,178,520,000 6,302,486,6932004 18,226,143,320,000 —–
Il modello Malthusiano sottostima il dato per il 1950sovrastima i valori degli anni 2000 - 2003.
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Una curiosita.La superficie delle terre emerse e di
S = 1.48 ∗ 1014 m2
Il valore previsto per il 2003 e
n(2003) = 14, 952, 178, 520, 000
Se fosse stato attendibile, ogni abitante della terra avrebbe a dispo-sizione solo
9.9m2
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Il modello esponenziale e adatto a rappresentare il decadimento dimateriale radioattivo
Ogni elemento radioattivo decade in maniera proporzionale alla pro-pria massa.
Ad esempio il torio ha un tempo di dimezzamento di 1.65×1010 anni;Pertanto il torio decade seguendo la legge
q = q0ect
dove c si puo ricavare dalla
c =ln(1
2)
1.65× 1010= −1.33× 10−18
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La discretizzazione del modello esponenzialeNel modello differenziale c e il tasso di crescita istantaneo
Nel periodo T avremo una crescita pari a
γ = cT
tasso di crescita nel periodo TPertanto
n(t0 + T) = n(t0) + cTn(t0) = n(t0) + γn(t0)
n(t0) = n0
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Si consideri il caso di una popolazione con tasso di accrescimentomedio su un periodo T uguale a γ.
e pertanto n(t0 + T) = n(t0) + γn(t0)
n(t0) = n0
Se T e grande la popolazione, dopo un tempo T , sara cresciutaanche per opera degli individui nati nei periodi[
t0 + hT
k, t0 + (h+ 1)
T
k
], h = 0, 1, .., k− 1
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Il tasso di accrescimento medio su[t0 + h
Tk, t0 + (h+ 1)T
k
]e
γ
k=cT
k
Postonh = n
(t0 + h
T
k
)h = 0..k
Avremo n0 = n(t0)
nh = nh−1 +cTknh−1
1 ≤ h ≤ k
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Si ha
nh =
(1+
cT
k
)nh−1 =(10)
=
(1+
cT
k
)2nh−2 =(11)
=
(1+
cT
k
)hn(t0) =(12)
=
(1+
cT
k
)hn0(13)
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Confrontando le soluzioni della 9 e della 13, avremo, dopo un tempoT
n(t0 + T) = n0ecT oppure n(t0 + T) = n0
(1+
cT
k
)kSi rileva che per k → +∞(
1+cT
k
)k → ecT
La soluzione del modello discreto tende alla soluzione del modellocontinuo.
n(t0 + T) = n0ecT oppure n(t0 + T) = n0
(1+
cT
k
)k
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Con lo stesso procedimento si puo calcolare il rendimento sul periodoT di un capitale al tasso c se si contabilizzano gli interessi su ognunodei sottoperiodi di lunghezza T
k(interesse composto),
n(t0 + T) = n0
(1+
cT
k
)kE il valore maturato al tempo T partendo da un capitale n0 con un
tasso di interesse c sul periodo T contabilizzato su k− 1 sottoperiodi.
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Modello di crescita logisticaUna popolazione per svilupparsi consuma le risorse dall’ambiente.Le risorse non sono illimitate, condizionano lo sviluppo.Un modello che tenga conto anche di queste condizioni fu proposto
da Verhulst (1846)Si assume che il tasso di accrescimento c diminuisca linearmente
con il numero degli individui.
c(n) = a− bn a, b > 0
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Poichec(n) = a− bn = 0 ⇐⇒ n =
a
b
e evidente che la presenza di un numero n di individui annulla il tassodi crescita ed impedisce una ulteriore crescitan assume pertanto il significato di massimo numero di individui so-
stenibili dall’ambiente.Possiamo definire un modello mediante il problema di Cauchy
n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a− bn(t))
n(t0) = n0
L’equazione differenziale e nota come equazione logistica
La sua soluzione si chiama funzione logistica.
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L’equazione Logistica• ha due punti di equilibrio (soluzioni costanti) per
n(t) = 0 n(t) =a
b= nmax
corrispondono, rispettivamente, al caso in cui– la popolazione si e estinta– la popolazione ha saturato l’ambiente
• poichean− bn2 > 0 per 0 < n <
a
bla soluzione e
– crescente se n0 < ab– decrescente se n0 > ab
• poichen(t) = (a− 2bn(t))n(t)
– la soluzione e convessa ( n crescente), se n(t) < a2b
– concava ( n decrescente), per ab> n(t) > a
2b.
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Si puo congetturare che n tendead un valore asintotico nmax• crescendo se n0 < nmax• decrescendo se n0 > nmax• (rimane costante se n0 =
nmax)per
n(t) =a
2b=nmax
2
c’e un punto di flessoLa crescita e molto rapida fino ache n(t) = a
2b= nmax
2rallenta
avvicinandosi all’asintoto.
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Possiamo integrare l’equazione
n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a− bn(t))
n(t0) = n0
Vale il teorema di esistenza ed unicita
e ci sono due soluzioni costanti
n(t) = 0 , n(t) =a
b
(soluzioni di equilibrio del modello)
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n(t)
n(t)(a− bn(t))= 1
∫ tt0
n(s)
n(s)(a− bn(s))ds = t− t0
∫n(t)n(t0)
dx
x(a− bx)= t− t0
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39
1
x(a− bx)=1
a
(1
x+
b
a− bx
)da cui∫n(t)
n0
dx
x(a− bx)dx =
1
a
(ln |x| − ln |a− bx|
)n(t)n0
=
=1
aln(
n(t)
a− bn(t)
)(a− bn0
n0
)Ne viene
t− t0 =1
aln c
(n(t)
a− bn(t)
)dove n(t)
a−bn(t)ha lo stesso segno di c = n0
a−bn0in ciascuno degli intervalli
in cui e definitaSi ricava
(14) n(t) =a
b+ ce−a(t−t0)=
1
β+ γe−a(t−t0)
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dove β = ba
e γ = ca
Le costanti a, β e γ possono essere determinate se si conoscono
n(t0 − h) = p0
n(t0) = p1
n(t0 + h) = p2
infatti si ha1
n(t)= β+ γe−a(t−t0)
ed e sufficiente risolvere il sistema1p0
= β+ γeah
1p1
= β+ γ1p2
= β+ γe−ah
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Posto H = e−ah otteniamo
(15)
1p0
= β+ γ 1H
1p1
= β+ γ1p2
= β+ γH
e pertanto
(16)
1p0
− 1p1
= γ(1H− 1
)= γ1−H
H1p1
− 1p2
= γ(1−H)
1p0
− 1p1
1p1
− 1p2
=1
H
Se ne deduce che1
H=p1p2(p1 − p0)
p0p1(p2 − p1)H =
p0p1(p2 − p1)
p1p2(p1 − p0)
ed e infine facile ricavare γ e β dalle 15,16.
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Per t0 = 1960 h = 10
n(t0 − h) = n0 = 2, 555, 360, 972
n(t0) = n0 = 3, 039, 669, 330
n(t0 + h) = n0 = 3, 708, 067, 105
Pertanto
n(t) =109
−.88+ 1.21 ∗ e−.005t+9.8
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43
Tabella dei valori previsti dal Modello di Verhulst a fronte dei valorieffettivi.
Anno Valore previsto Valore vero1950 2.555.360.977 2,555,360,9722000 9.206.029.384 6,079,006,9822001 9.206.029.384 6,154,325,8432002 10.129.192.320 6,228,641,3032003 10.659.649370 6,302,486,6932004 11.245.626.720 —–
Il modello di Verhulst sottostima il dato per il 1950sovrastima i valori degli anni 2000 - 2003.
¼
½
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ALO
GIS
TIC
AC
ON
PR
ELI
EV
O
44
Modello di crescita logistica conprelievo costante
E il caso di una popolazione il cui sviluppo e influenzato da un prelie-vo ad opera di agenti esterni;
Ad esempio• un allevamento ittico, da cui viene pescata una quantita fissa di
pesce• una specie in ambiente protetto e senza antagonisti il cui svilup-
po deve essere controllato mediante un prelievo periodico permantenere il numero di esemplari stabile.
¼
½
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CIT
ALO
GIS
TIC
AC
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ELI
EV
O
45
Se la popolazione si sviluppa con tasso di crescita a − bn ed esottoposta ad prelievo costante pari ad una quantita c avremo
n(t) = an(t) − bn2(t) − c
n(t0) = n0
a, b, c > 0
Il valore di c e critico e puo portare all’estinzione della popolazione.E utile determinare il massimo prelievo che non causa l’estinzione
della popolazione.Vale il teorema di esistenza ed unicitaL’equazione ha soluzioni costanti se
−bx2 + ax− c = 0
ha soluzioni reali.
¼
½
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I
CR
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CIT
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GIS
TIC
AC
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PR
ELI
EV
O
46
Possiamo pertanto distinguere tre casia2 − 4bc < 0
Non ci sono soluzioni costanti e si ha
n(t)
an(t) − bn2(t) − c= 1∫ t
t0
n(s)
an(s) − bn2(s) − cds = t− t0∫n(t)
n(t0)
dx
ax− bx2 − c= t− t0
¼
½
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PR
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O
47
L’integranda puo essere decomposta in fratti semplici mediante la
1
ax− bx2 − c= −
1
b
1(x− a
2b
)2− a2
4b2+ c
b
=
= −1
b
1(x− a
2b
)2+ δ
=
= −1
bδ
1(1√δ
(x− a
2b
))2+ 1
=
dove si e posto
δ =4bc− a2
4b2
Pertanto∫dx
ax− bx2 − c= −
1
b√δ
arctan1√δ
(x−
a
2b
)+ cost.
¼
½
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PR
ELI
EV
O
48
e
−1
b√δ
arctan1√δ
(n(t) −
a
2b
)+
+1
b√δ
arctan1√δ
(n0 −
a
2b
)= t− t0
Inoltre
n(t) =a
2b+√δ tan
(t0 +
1
b√δ
arctan1√δ
(n0 −
a
2b
)− t
)
¼
½
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CR
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CIT
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GIS
TIC
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PR
ELI
EV
O
49
Popolazione nel caso di crescitalogistica con prelievo costante per
a = 2
b = 1
c = 4
a2 − 4bc = −12 < 0
¼
½
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TIC
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O
50
a2 − 4bc = 0
−bx2 + ax− c = 0 per x = a2b
n(t) = α =a
2be una soluzione costante dell’equazione differenziale
Si ha inoltre
1
ax− bx2 − c= −
1
b
1(x− a
2b
)2da cui∫n(t)
n0
dx
ax− bx2 − c=1
b
1(n(t) − a
2b
) − 1
b
1(n0 −
a2b
) = t− t0
e
n(t) =1
2b
(a+
2bn0 − a
1+ (n0b− a2)(t− t0)
)
¼
½
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GIS
TIC
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ON
PR
ELI
EV
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51
Popolazione nel caso di crescitalogistica con prelievo costante per
a = 2
b = 1
c = 1
a2 − 4bc = 0
¼
½
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I
CR
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GIS
TIC
AC
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PR
ELI
EV
O
52
a2 − 4bc > 0
In questo caso l’equazione
−bx2 + ax− c = 0
ammette due soluzioni reali e distinte
α =a
2b+
√a2 − 4bc
4b2, β =
a
2b−
√a2 − 4bc
4b2
e quindi possiamo trovare due soluzioni costanti di equilibrio per il si-stema.
Si ha−bx2 + ax− c = −b(x− α)(x− β)
e1
−bx2 + ax− c=
1
b(β− α)
(1
x− α−
1
x− β
)
¼
½
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TIC
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PR
ELI
EV
O
53
da cui∫1
−bx2 + ax− cdx = =
1
b(β− α)(ln |x− α| − ln |x− β|) + ϕ(x)
e ϕ e una funzione costante a tratti∫n(t)n0
1
−bx2 + ax− cdx = =
1
b(β− α)ln[(n(t) − α
n(t) − β
)(n0 − β
n0 − α
)]= t−t0
da cui
n(t) =α− βn0−α
n0−βe−b(β−α)(t−t0)
1− n0−αn0−β
e−b(β−α)(t−t0)
¼
½
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CIT
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GIS
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AC
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PR
ELI
EV
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54
Popolazione nel caso di crescitalogistica con prelievo costante per
a = 5
b = 1
c = 4
a2 − 4bc = 9 > 0
¼
½
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CIT
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ELI
EV
O
55
Andamento della popolazione conprelievo costante nei casi in cui
a = 3
b = 1
c = 2
a2 − 4bc = 1 > 0
¼
½
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PR
ELI
EV
O
56
Come si puo facilmente osservare dai grafici della soluzione n(t) ilmodello rende ragione dei seguenti fatti
(1) se a2 − 4bc < 0 la popolazione si estingue in un tempo finito(2) se a2 − 4bc = 0
• la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < a2b
• mentre tende a stabilizzarsi sul valore a2b
asintoticamente sen0 >
a2b
(3) se a2 − 4bc > 0• la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < β• mentre tende a stabilizzarsi sul valore β asintoticamente sen0 > β
¼
½
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O
57
Pertanto, pur di partire con un sufficiente numero di individui, non siha estinzione della popolazione per
c ≤a2
4b
c = a2
4be la piu alta quantita che si puo prelevare senza causare
l’estinzione della popolazione in un tempo finitoE la rendita massima dell’allevamento.Nel caso la popolazione non si estingua, essa si assesta su un valore
di regime pari a
α =a
2b+
√a2 − 4bc
4b2<a
b
dove ab
e il valore a regime della popolazione in assenza di prelievo.
¼
½
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DIF
FU
SIO
NE
DI
UN
’EP
IDE
MIA
58
Diffusione di un’epidemia di ti-po SIS o SIR
La diffusione di una epidemia puo essere descritta mediante un mo-dello simile a quello descritto nella sezione precedente.
Possiamo distinguere tra due diversi modelli:• Il modello SIS:• Il modello SIR
¼
½
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FU
SIO
NE
DI
UN
’EP
IDE
MIA
59
• Il modello SIS:prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili al-
l’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti che,a loro volta, guariscono e tornano Suscettibili.• Il modello SIR
prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili al-l’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti.
Gli infetti non rientrano piu nella categoria dei suscettibili, (l’e-sito della malattia e fatale oppure genera immunita’).
Dopo la malattia gli individui vengono Rimossi dalla popolazio-ne
¼
½
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OS
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60
Epidemia di tipo SISx e il numero di individui infettiy e il numero di individui suscettibili.La malattia si diffonde tra i suscettibili in ragione del numero di incon-
tri tra infetti e suscettibili secondo un coefficiente di proporzionalita a iltasso di infettivita.
In altre parole
a =infettatiincontri
¼
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TIP
OS
IS
61
Gli infettiaumenteranno in ragione del termine
axy
diminuiranno della parte di infetti bx che guariscono, (b e il tasso diguarigione)
b =guaritiinfetti
I suscettibilidiminuiranno della parte che si infettaaumenteranno della parte che guarisce
¼
½
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TIP
OS
IS
62
L’accrescimento degli infetti e dato da axy− by
L’accrescimento dei suscettibili e dato da −axy+ by.Possiamo scrivere il sistema differenziale.
(17) (SIS)
x(t) = ax(t)y(t) − bx(t)
y(t) = −ax(t)y(t) + bx(t)
x(t0) = x0
y(t0) = y0
Assumiamo che il numero degli infetti ed il numero dei suscettibiliabbia somma costante uguale ad N
Poiche y = N− x si ha
x(t) = ax(t)(N− x(t)) − bx(t)
ci si riduce allo studio della solita equazione logistica.
¼
½
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OS
IR
63
Epidemia di tipo SIRNel caso (SIR) il sistema differenziale e simile a quello precedente;
la sola differenza e nel termine che reintroduce i guariti tra i suscetti-bili ( che in questo caso non c’e).
Il sistema pertanto sara
(18) (SIR)
x(t) = ax(t)y(t) − bx(t)
y(t) = −ax(t)y(t)
x(t0) = x0
y(t0) = y0
¼
½
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TIP
OS
IR
64
Non e immediato risolvere il sistema, ma possiamo ottenere informa-zioni sulle sue soluzioni.
Dividendo la prima equazione per x, la seconda per y ed integrando,si ottiene
(19)
x(t) = x0e∫tt0(ay(s)−b)ds
y(t) = y0e∫tt0
−ax(s)ds
e quindix, y > 0
Poiche y(t) = −ax(t)y(t) < 0 la funzione t 7→ y(t) e decrescentee quindi ammette limite a +∞.
Inoltre sommando membro a membro in 18 si ottiene che
(20) x(t) + y(t) = −bx(t) ≤ 0
e quindi t 7→ x(t) + y(t) e decrescente e risulta limitata da x(t0) +
y(t0) = N ed ammette limite a +∞
¼
½
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TIP
OS
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65
Quindi x, y sono limitate ed il teorema di prolungabilita consente diaffermare l’esistenza in grande della soluzione del sistema differenzia-le.
Integrando la 20 e ricordando che x, y > 0, si ha
b
∫ tt0
x(s)ds ≤ N− x(t) − y(t) ≤ N
l’integrale a primo membro esiste in senso improprio per t → +∞ed e convergente in quanto l’integranda e positiva e quindi la funzione∫tt0x(s)ds e crescente ed ammette limite all’infinito. ne deduciamo che,
poiche x(t) = (x(t)+y(t))−y(t) ammette limite per t → +∞, allorax(t) → 0.
¼
½
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EP
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TIP
OS
IR
66
Possiamo rappresentare le soluzioni del sistema (SIR) nel piano (x, y),che e detto piano delle fasi.
Al variare di t la soluzione (x(t), y(t)) descrive nel piano (x, y) unacurva che si chiama orbita del sistema
Se ϕ rappresenta localmente l’orbita
x(t) = ϕ(y(t)) = 0
allorax(t) = ϕ′(y(t))y(t)
da cuiϕ′(y) =
axy− bx
−axy= −1+
b
ay
Se ne ricavax = −y+
b
alny+ cost
e cio consente di disegnare facilmente le orbite del sistema (SIR) nelpiano delle fasi.
¼
½
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EP
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MIA
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TIP
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IR
67
¼
½
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RV
ED
IIN
SE
GU
IME
NT
O
68
Curve di inseguimentoSia T un bersaglio che si muove su una curva nota Γ a velocita
costante.
Vogliamo determinare la curva che deve percorrere un punto P cheinsegue T a velocita costante se si dirige in ogni istante verso il puntoT .
La curva che descritta da P si chiama curva di inseguimento.
¼
½
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ED
IIN
SE
GU
IME
NT
O
69
Consideriamo alcuni esempi.Il bersaglio T si muove sulla retta x = a > 0 a velocita costante wΓ puo essere parametrizzata mediante le
γ(t) =
x(t) = a
y(t) = wtt ≥ 0
Siano (x(t), y(t)) le equazioni parametriche della curva di insegui-mento
(x(t), y(t)) e il vettore velocita:deve essere parallelo alla direzione (a − x(t), wt − y(t)) dovra
aversi
(21)
x(t) = K(a− x(t))
y(t) = K(wt− y(t))
(x(t))2 + (y(t))2 = v2
¼
½
¶
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I
CU
RV
ED
IIN
SE
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IME
NT
O
70
Supponiamo che la soluzione sia una funzione y(x) allora
y(t) = y(x(t))
e
y(t) = y′(x(t))x(t)(22)
da cui, tenendo conto della 21
wt− y(t) = y′(x(t))(a− x(t))(23)
Derivando rispetto t
w− y(t) = y′′(x(t))x(t)(a− x(t)) − y′(x(t))x(t)(24)
Per la 22
w = y′′(x(t))x(t)(a− x(t))(25)
¼
½
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I
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IIN
SE
GU
IME
NT
O
71
Dalla seconda delle 21 possiamo ricavare che
(26)(dx
dt
)2+
(dy
dt
)2=
(dx
dt
)2 [1+
(dy
dx
)2]= v2
Ricavando x(t) dalla 25 e sostituendo nella 26 otteniamo
1+ (y′(x))2=
(v
w
)2(a− x)2 (y′′)
2
Se poniamo p = y′ e chiamiamo k = vw
possiamo ricondurci ad unaequazione a variabili separabili della forma
1+ p2 = k2(a− x)2 (p′)2
¼
½
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NT
O
72
Se assumiamo X < a, separando le variabili ed integrando otteniamo
p′√1+ p2
=1
k(a− x)
e
(sinh)−1(p) = −1
kln(a− x) + c
da cui
p = sinh(ln(γ(a− x))−1k )
ed infine
p =1
2
[(γ(a− x))
−1k − (γ(a− x))
1k
]La costante γ puo essere ricavata imponendo che p(0) = y′(0)) = 0
(l’inseguitore comincia a muoversi con direzione orizzontale)
¼
½
¶
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ED
IIN
SE
GU
IME
NT
O
73
Si ottiene che γ = 1a
e possiamo scrivere che
p =1
2
[((1−
x
a))
−1k − ((1−
x
a))
1k
]Integrando nuovamente si puo ottenere la y,Se k 6= 1
y =1
2
[ka
1− k((1−
x
a))1−
1k −
ka
1+ k((1−
x
a))1+
1k
]+ d
Imponendo y(0) = 0 (l’inseguitore parte dall’origine) possiamo rica-vare d = − ka
1−k2e
(27) y =ka
k2 − 1
(1+
1
2
((k− 1)
(1−
x
a
)1+1k
−
−(k+ 1)
(1−
x
a
)1−1k
))
¼
½
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IIN
SE
GU
IME
NT
O
74
Se k = 1
p =1
2
[1
γ(a− x)− γ(a− x)
]Imponendo y(0) = p(0) = y′(0) = 0 si ottiene γ = 1
ae
p =1
2
[1
1− xa
− (1−x
a)
]Integrando
y =a
4
((1−
x
a
)2− ln
(1−
x
a
)2− 1
)
¼
½
¶
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ED
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SE
GU
IME
NT
O
75
Se k > 1 ( v > w) dala 27 per x → a y(x) → kak2−1
che il punto in cuiil bersaglio viene raggiunto dall’inseguitore.
¼
½
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IP
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INA
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NT
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76
Curva di pedinamentoModifichiamo il problema richiedendo che si mantenga costante la
distanza tra inseguitore P e bersaglio T ,x(t) = K(a− x(t))
y(t) = K(wt− y(t))
(wt− y(t))2 + (a− x(t))2 = a2
Day(t) = y′(x(t))x(t)
otteniamo(wt− y(t)) = y′(x(t))(a− x(t))
per cui(y′(x(t))(a− x(t)))2 + (a− x(t))2 = a2
¼
½
¶
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IP
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INA
ME
NT
O
77
((y′(x(t)))2 + 1)(a− x(t))2 = a2
e
(28) (y′(x))2=
a2
(a− x)2− 1
¼
½
¶
·
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¹
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AD
IP
ED
INA
ME
NT
O
78
(y′(x))2=
a2
(a− x)2− 1 =
2ax− x2
(a− x)2
da cui
y′(x) =a2
(a− x)2− 1 =
√2ax− x2
(a− x)
y(x) =
∫ √2ax− x2
(a− x)dx+ c
Integriamo per sostituzione ponendo√2ax− x2 = xt
2ax− x2 = x2t2
x =2a
1+ t2
dx = −2a
(1+ t2)22tdt
¼
½
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AD
IP
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INA
ME
NT
O
79
∫ √2ax− x2
(a− x)dx =
=
∫xt
a− x
(−
2a
(1+ t2)2
)2tdt =
=
∫2at
(1+ t2)21
a− 2a1+t2
(−
2a
(1+ t2)2
)2tdt =
=
∫−8a2t2
(1+ t2)2a1+t2−2
1+t2
1
(1+ t2)2dt =
=
∫−8at2
(t2 − 1)(1+ t2)2dt
Poiche
−8at2
(t2 − 1)(1+ t2)2= −
4a
(1+ t2)2+
2a
1+ t2−
2a
t2 − 1
¼
½
¶
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IP
ED
INA
ME
NT
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80
Si ha ∫−
1
t2 − 1dt =
∫1/2
t− 1dt−
∫1/2
t+ 1dt =
1
2lnt− 1
t+ 1
∫−
2
(1+ t2)2+
1
1+ t2dt =
∫1
(1+ t2)−2
[1
1+ t2−
t2
(1+ t2)2
]dt =∫
−1
(1+ t2)+ t
2t
(1+ t2)2dt =∫
−1
(1+ t2)+
[t
(1+ t2)+
∫1
(1+ t2)
]= −
t
(1+ t2)
Quindi
∫−8at2
(t2 − 1)(1+ t2)2dt = 2a
[−
t
1+ t2+1
2ln(t− 1
t+ 1
)]
¼
½
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RV
AD
IP
ED
INA
ME
NT
O
81
e poiche
t =
√2ax− x2
x, t2 =
2ax− x2
x2
∫ √2ax− x2
(a− x)dx = 2a
[−
t
1+ t2+1
2ln(t− 1
t+ 1
)]=
= −2a
√2ax−x2
x
1+ 2ax−x2
x2
+ a ln√2ax− x2 − x√2ax− x2 + x
= −√2ax− x2 + a ln
√2ax− x2 − x√2ax− x2 + x
=
= −√2ax− x2 + a ln
a−√2ax− x2
a− x=
= −√a2 − (a− x)2 + a ln
a+√a2 − (a− x)2
a− x=
¼
½
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´
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CU
RV
AD
IP
ED
INA
ME
NT
O
82
la soluzione e data da
(29) y = −√a2 − (a− x)2+
+ a ln
(a+
√a2 − (a− x)2
a− x
)+ c
Per la 28 la distanza tra inseguitore ed inseguito rimane costantel’inseguitore segue, ma non vuole intercettare, cioe pedina, il bersaglio.La stessa equazione vale se l’inseguito traina l’inseguitore; la curvadescritta dalla 29 si chiama trattrice.
¼
½
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¹
I
INS
EG
UIM
EN
TO
-SO
LUZ
ION
EN
UM
ER
ICA
83
Curva di inseguimento in gene-rale
Se in generale il bersaglio T si muove lungo una traiettoria γ diequazioni
(30) γ(t) = (a(t), b(t))
E se P e l’inseguitore che procede a velocita costante v lungo lacurva di equazioni parametriche
(x(t), y(t))
¼
½
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INS
EG
UIM
EN
TO
-SO
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ION
EN
UM
ER
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84
dovra aversi
(31)
x(t) = k(t)(a(t) − x(t))
y(t) = k(t)(b(t) − y(t))
(x(t))2 + (y(t))2 = v2
Dalla 31 si ricava che
k(t) =v√
(a(t) − x(t))2 + (b(t) − y(t))2
e otteniamo per sostituzionex(t) = v a(t)−x(t)√(a(t)−x(t))2+(b(t)−y(t))2
y(t) = v b(t)−y(t)√(a(t)−x(t))2+(b(t)−y(t))2
Il sistema puo essere integrato numericamente.
¼
½
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85
Curva di pedinamento in gene-rale
Per il pedinamento, se T percorre γ di equazioni
γ(t) = (a(t), b(t))
e P e il punto inseguitore, si muove lungo la curva
(x(t), y(t))
Si avra
(32)
x(t) = k(t)(a(t) − x(t))
y(t) = k(t)(b(t) − y(t))
(a(t) − x(t))2 + (b(t) − y(t))2 = d2
¼
½
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ICA
86
Dalla 32 si ricava che
2[(a(t) − x(t)][a(t) − x(t)] + [b(t) − y(t)][b(t) − y(t)] = 0
e quindi
[a(t) − x(t)][a(t) − k(t)(a(t) − x(t))]+
+ [b(t) − y(t)][b(t) − k(b(t) − y(t))] = 0
e ancora
a(t)[a(t) − x(t)] − k(t)[a(t) − x(t)]2+
+ b(t)[b(t) − y(t)] − k(t)[b(t) − y(t)]2 = 0
¼
½
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87
Infine
a(t)[a(t) − x(t)] + b(t)[b(t) − y(t)] − k(t)d2 = 0
k(t) =a(t)(a(t) − x(t) + b(t)[b(t) − y(t)]
d2
e x(t) = a(t)(a(t)−x(t)+b(t)[b(t)−y(t)]
d2(a(t) − x(t))
y(t) = a(t)(a(t)−x(t)+b(t)[b(t)−y(t)]
d2(b(t) − y(t))
Il sistema puo essere integrato numericamente.
¼
½
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TO
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88
La curva di inseguimento nel caso in cui il bersaglio si muova di motocircolare
¼
½
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EN
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ICA
89
La trattrice.si tratta della curva di pedinamen-to nel caso in cui il bersaglio simuova di moto rettilineo
¼
½
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EN
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ICA
90
La curva di pedinamento nel casoin cui il bersaglio si muova di motocircolare uniforme
¼
½
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ALE
LOG
AR
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91
La spirale logaritmicaStabiliamo un riferimento polarenel piano;O e il polo di tale sistemaρ e il raggio vettoreθ e l’angolo formato dal raggio vet-tore con il semiasse positivo dellex.
(x, y)
θ
ρρ sin θ
ρ cos θO
¼
½
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92
Un punto e individuato dalle coordinatex = ρ cosθy = ρ sinθ
Se e data ρ = ρ(θ) si individua nel piano una curva di equazioniparametriche
x = ρ(θ) cosθy = ρ(θ) sinθ
Si definisce spirale logaritmica una curva nel piano tale che in ogni puntoil raggio vettore della curva ed il vettore tangente alla curva formino unangolo fissato α
¼
½
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93
Poiche il prodotto scalare dei vettori (x, y) e (x, y) e uguale al pro-dotto delle norme dei vettori stessi e del coseno dell’angolo compreso.una curva che soddisfi la proprieta richiesta deve soddisfare
x(θ)x(θ) + y(θ)y(θ) = ‖(x(θ), y(θ))‖‖(x(θ), y(θ))‖(cosα)
Se teniamo conto chex(θ) = ρ(θ) cosθy(θ) = ρ(θ) sinθ
e che x(θ)x(θ) + y(θ)y(θ) = d
dθ12ρ2(θ) = ρ(θ)ρ(θ)
‖(x(θ), y(θ))‖2 = ρ2(θ)‖(x(θ), y(θ))‖2 = ρ2(θ) + ρ2(θ)
Otteniamo
ρ2(θ)ρ2(θ) = (cos2 α)ρ2(θ)(ρ2(θ) + ρ2(θ))
¼
½
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94
Pertanto
ρ2(θ) = (cos2)α(ρ2(θ) + ρ2(θ))
ρ2(θ) =cos2 α
1− cos2 αρ2(θ)
ed infineρ(θ) = (cotα)ρ(θ)
eρ(θ) = ke(θ cotα)
L’ultima equazione descrive la forma della spirale logaritmica ma nondice nulla riguardo al modo in cui essa viene percorsa.
Descrive le proprieta geometriche della spirale logaritmica ma non lesue proprieta cinematiche.
¼
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95
Se teniamo conto chex(t) = ρ(θ(t)) cosθ(t)y(t) = ρ(θ(t)) sinθ(t)
da cui x(t)x(t) + y(t)y(t) = d
dt12ρ2(t) = ρ(t)ρ(t)θ(t)
‖(x(t), y(t))‖2 = ρ2(t)‖(x(t), y(t))‖2 = (ρ2(t) + ρ2(t))θ2(t)
Avremo
ρ2(t)ρ2(t)θ2(t) = (cos2 α)ρ2(t)θ2(t)(ρ2(t)ρ2(t))
Pertanto
ρ2(t) = (cos2)α(ρ2(t) + ρ2(t))
ρ2(t) =cos2 α
1− cos2 αρ2(t)
¼
½
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ALE
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AR
ITM
ICA
96
ed infineρ(t) = (cotα)ρ(t)
da cuiρ(t) = ke−t cotα
La velocita e descritta dal vettore (x(t), y(t)) la cui norma e
‖(x(t), y(t))‖2 = x2(t) + y2(t) = (ρ2(t) + ρ2(t))θ2(t)
possiamo imporre che la spirale venga percorsa con velocita costantein modulo chiedendo che
(ρ2(t) + ρ2(t))θ2(t) = |v|
da cui si puo ricavare θ(t).
¼
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TE
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AU
S
97
Un esempio d’autoreIl seguente problema e dovuto a Hugo Steinhaus:
Quattro cani si trovano ai quattro verticiA,B, C,D di un prato quadrato.I cani cominciano a correre con velocita costante puntando ciascuno ilcane che si trova nel vertice successivo. Dopo quanto tempo i quattro canisi incontrano e quanta strada hanno percorso? Quale percorso hannocompiuto?
¼
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S
98
In un istante successivo a quello iniziale i cani saranno, rispettiva-mente nelle posizioni A′, B′, C′,D′ e, per simmetria, i vettoriAA′, BB′,CC′, DD′, avranno la stessa lunghezza ed inclinazione rispetto ai lati.
Pertanto A′B′C′D′ e unquadrato rimpicciolito eruotato rispetto al centrocomune O.
A
D
B
C
A′
D′
B′
C ′
O
¼
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99
I cani si muovono seguendo una traiettoria che si mantiene tangentead uno dei lati dei quadrati
A
B
D
C
A′
B′
D′
C ′
θO
Cioe il vettore tangente alla curva percorsa (vettore velocita) giacesu un lato del quadrato.
¼
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100
Pertanto il vettore tangente ed il raggio vettore rispetto al centro Oformano un angolo costante ed uguale a π
4.
¼
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101
A
B
D
C
A′
B′
D′
C ′
O
π4
π4
ρρ
Poiche l’angolo tra raggio vettore e vettore tangente si mantiene co-stante, la traiettoria percorsa e una spirale logaritmica centrata in O.
¼
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S
102
ρ
ρθ
vπ4
π4
Le componenti radiale ρ(t) e tangenziale ρ(t)θ(t) della velocita vformeranno quindi un angolo costante pari a π
4e quindi
¼
½
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103
ρ(t) = −
√2
2|v| , ρ(t)θ(t) = −
√2
2|v|
Ne deduciamo che
ρ(t) =
√2
2(`− |v|t) , θ(t) = −
|v|
`− |v|t=
|v|
|v|t− `
e
θ(t) = ln(`−|v|t)+3
4π−ln(`) = ln
(`− |v|t
`
)+3
4π = ln
(1−
|v|t
`
)+3
4π
e possiamo ricavare
(`− |v|t) = eθ−34π
da cui
ρ(θ) =
√2
2eθ−
34π
¼
½
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104
Consideriamo un riferimento polare (ρ, θ) con origine nel centro deiquadrati O.
Siano(xa(t), ya(t)) (xb(t), yb(t)) (xc(t), yc(t)) (xd(t), yd(t))
le equazioni parametriche delle curve descritte dai cani in A,B, C,D
Sia xa(t) = ρ(t) cosθ(t)ya(t) = ρ(t) sinθ(t)
doveρ(t) = ρ(θ(t))
A
B
D
C
A′
B′
D′
C ′
θO
¼
½
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105
Per simmetriaxa(t) = ρ(t) cosθ(t)ya(t) = ρ(t) sinθ(t)xd(t) = ρ(t) sinθ(t)yd(t) = −ρ(t) cosθ(t)xc(t) = −ρ(t) cosθ(t)yc(t) = −ρ(t) sinθ(t)xb(t) = −ρ(t) sinθ(t)yb(t) = ρ(t) cosθ(t)
A
B
D
C
A′
B′
D′
C ′
θO
¼
½
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S
106
La traiettoria dei cani sara quindi definita da
(ρ, θ)
Possiamo considerare ρ e θ come funzione del tempo t ed avremouna descrizione completa (geometrica e cinematica) delle traiettorie.
Possiamo anche considerare ρ come funzione di θ, nel qual casoavremo soltanto una descrizione geometrica della traiettoria.
Ovviamenteρ(t) = ρ(θ(t))
dove ρ a primo membro e funzione di t mentre a secondo membro efunzione di θ. Denotiamo
ρ =dρ
dte ρ′ =
dρ
dθ
¼
½
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S
107
Il vettore tangente alla curva descritta dal cane in un generico puntoA(t) e dato da
T(t) =
xa(t) = (ρ′(θ(t)) cosθ(t) − ρ(t) sinθ(t))θ(t)ya(t) = (ρ′(θ(t)) sinθ(t) + ρ(t) cosθ(t))θ(t)
Il vettore che indica la direzione che il cane deve seguire e
D(t) − A(t) =
ρ(θ(t)) sinθ(t) − ρ(θ(t)) cosθ(t)−ρ(θ(t)) cosθ(t) − ρ(θ(t)) sinθ(t)
Dovra aversiT(t) = k[D(t) − A(t)]
dove k e una costante di proporzionalita.
¼
½
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108
Avremo(ρ′(θ(t)) cosθ(t) − ρ(t) sinθ(t))θ(t) =
= k(ρ(θ(t)) sinθ(t) − ρ(θ(t)) cosθ(t))(ρ′(θ(t)) sinθ(t) + ρ(t) cosθ(t))θ(t) =
= k(−ρ(θ(t)) cosθ(t) − ρ(θ(t)) sinθ(t))
ed dividendo membro a membroρ′ cosθ− ρ sinθρ′ sinθ+ ρ cosθ
=ρ sinθ− ρ cosθ−ρ cosθ− ρ sinθ
da cui
− ρρ cos2 θ+ ρ2 sinθ cosθ− ρρ cosθ sinθ+ ρ2 sin2 θ =
ρρ sin2 θ− ρρ sinθ cosθ+ ρ2 sinθ cosθ− ρ2 cos2 θ
ed infine
ρ(θ(t))ρ′(θ(t)) − ρ2(θ(t)) = 0 e ρ′(θ(t)) = ρ(θ(t))
¼
½
¶
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S
109
Pertanto la geometria della traiettoria e definita dall’equazione
ρ′(θ) = ρ(θ)
e quindi daρ(θ) = ceθ
Se teniamo conto che, detto ` il lato del quadrato,
ρ
(3
4π
)=
√2
2`
avremo
ρ(θ) = `
√2
2eθ−
34π
Per ottenerne la legge oraria occorre tenere anche conto del fattoche la curva e percorsa con velocita costante in modulo.
In altre parole √x2(t) + y2(t) = |v|
¼
½
¶
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S
110
da cuiρ2(t) + ρ2(t)θ2(t) = |v|2
e
(33) ((ρ′)2(t) + ρ2(t))θ2(t) = |v|2
Se ne deduce che`2e2θ(t)θ2(t) = |v|2
eθ(t)θ(t) = ±|v|
`e quindi, dal momento che all’istante iniziale t = 0, il cane si trova adesempio in A, e che θ diminuisce col tempo.
eθ(t) =3
4π−
|v|
`t
Infine
¼
½
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S
111
ρ(t) = ρ(θ(t)) = eθ(t) = e34π−
|v|` t
θ(t) = ln(e34π−
|v|` t)
¼
½
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A
112
Il Modello Preda-Predatoredi Lotka-Volterra
Il modello preda-predatore descrive le interazioni di due specie unadelle quali si nutre dell’altra.
Fu introdotto attorno al 1925 indipendentemente da Vito Volterra edAlfred Lotka.
¼
½
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A
113
• x(t) numero delle prede al tempo t• y(t) numero dei predatori al tempo t• In assenza di predatori le prede crescono secondo un modello
malthusianox(t) = ax(t)
• Il tasso di crescita a delle prede diminuisce in proporzione alnumero di predatori
a− αy(t)
• In assenza di prede i predatori si estinguono seguendo un mo-dello malthusiano
y(t) = −by(t)
• Il tasso di accrescimento b dei predatori aumenta in manieraproporzionale al numero di prede
−b+ βx(t)
¼
½
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A
114
La dinamica delle due popolazioni puo essere descritta dal seguentesistema differenziale (Equazioni di Lotka-Volterra)
(34)
x(t) = ax(t) − αy(t)x(t)
y(t) = −by(t) + βx(t)y(t)
con i dati iniziali x(t0) = x0
y(t0) = y0
Il sistema differenziale da studiare e semplice ma non si puo integrareesplicitamente
¼
½
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A
115
Si puo dimostrare che:
(1) Il sistema ammette due punti stazionari (bβ, aα), (0, 0)
(2) Le orbite che giacciono nel primo quadrante sono curve chiuse(3) Le soluzioni del sistema sono periodiche(4) Vale per le soluzioni del sistema un principio di conservazione delle
medie in quanto si vede che
1
T
∫T0
x(s)ds =b
β,1
T
∫T0
y(s)ds =a
α
¼
½
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116
Il sistema 34 ha soluzioni costanti
Infatti
(x(t), y(t)) = (ξ, η)
sono soluzioni del sistema se0 = aξ− αηξ
0 = −bη+ βηξ
e cioe quando
ξ = 0, η = 0
oppure quando
ξ =b
β, η =
a
α
¼
½
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117
Le orbite del sistema sono curve chiuse nel I quadrante del piano dellefasi.
Le orbite del sistema, sono descritte dax = x(t)
y = y(t)
Il sistema si puo porre nella forma
(35)
x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) = φ(x(t), y(t))
y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) = ψ(x(t), y(t))
Se l’orbita del sistema puo essere rappresentata localmente da unafunzione y = y(x), si avra
x(t) = x
y(t) = y(x(t)) = y(x)
¼
½
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118
e si potra ricavarey(t) = y′(x(t))x(t)
per cui, sostituendo nella 35, si ottiene
y′(x) =φ(x, y(x))
ψ(x, y(x))=−by(x) + βxy(x)
ax− αxy(x)
Separando le variabili avremo
y′(x)
(a
y(x)− α
)=
(−b
x+ β
)ed integrando con i dati iniziali
x(t0) = x
y(t0) = y
cioe per
y(x) = y
¼
½
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119
a lny(x) − αy(x) − a ln y+ αy = −b ln x+ βx+ b ln x− βx
Ora se poniamo
g(y) = a lny− αy f(x) = −b ln x+ βx
G(y) = g(y) − g(y) F(x) = f(x) − f(x)
possiamo riscrivere la 14 come
(36) g(y) = f(x) + g(y) − f(x)
ovvero comeG(y) = F(x)
¼
½
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120
Nella figura e rappresentato ilgrafico della funzione
G(y) = g(y) − g(y)
y0 =a
α
g0 = G(y0) = a lna
α− α
a
α=
= a
(lna
α− 1
)> 0
¼
½
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121
Nella figura e rappresentato ilgrafico della funzione
F(x) = f(x) − f(x)
x0 =b
β
f0 = f(x0) = −b lnb
β+ β
b
β=
= −b
(lnb
β− 1
)> 0
¼
½
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122
Se G−1 e l’inversa di una opportuna restrizione di G dalla 36 allora
y(x) = G−1(F(x))
e possiamo osservare y e definita se e solo se
[f0, g0] = (−∞, g0] ∩ [f0,+∞) 6= ∅
e che
F(xm) = F(xM) = g0 G(ym) = G(yM) = f0
¼
½
¶
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123
Possiamo disegnare un’orbita del sistema G−1(F(x)) componendograficamente G−1 ed F,
¼
½
¶
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124
Osserviamo che• F e decrescente per x ∈ [xm, x0]
• F e crescente per x ∈ [x0, xM]
• F assume tutti i valori in [f0, g0],• G e crescente ed invertibile su [ym, y0]
• G assume tutti i valori in [f0, g0]
• G e crescente ed invertibile su [y0, yM]
• G assume tutti i valori in [f0, g0]
Pertanto• G−1 e definita da [f0, g0] a valori in [ym, y0] oppure in [y0, yM]
• G−1(F(·)) e definita e decrescente su [xm, x0]
¼
½
¶
·
´
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A
125
L’andamento della curva definita dalla 36 si puo osservare nella figurache segue
¼
½
¶
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126
La figura mostra le orbite del sistema.
¼
½
¶
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A
127
La funzione
U(x, y) = a lny− αy+ b ln x− βx
nella 14, si chiama integrale primo del sistemaLe orbite del sistema costituiscono le sue curve di livello:Dalla 14 si ha,
U(x, y(x)) = c = f(x) − g(y)
Viceversa se
U(x(t), y(t)) = c
allora
Ux(x(t), y(t))x(t) +Uy(x(t), y(t))y(t) = 0
da cuiφ(x(t), y(t))
ψ(x(t), y(t))=x(t)
y(t)= −
Ux(x(t), y(t))
Uy(x(t), y(t))(37)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
128
Dalla 37 il gradiente di U e proporzionale al secondo membro delsistema differenziale
Il campo di direzioni definito dal sistema ed il campo di direzionidefinito dal gradiente di un integrale primo coincidono.
Piu precisamente coincidono le direzioni, non i vettori: il fattore diproporzionalita non solo puo non essere 1ma puo non essere costante.
Lo studio delle orbite del sistema ci consente anche di affermare che
• Le orbite del sistema sono chiuse• Le orbite contengono al loro interno il punto stazionario (x0, y0)
• Le orbite sono contenute nel primo quadrante cioe
xm, xM, ym, yM > 0
• le orbite non passano per nessun punto stazionario (gli unici puntistazionari diversi da (x0, y0) sono sugli assi)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
129
Il sistema e autonomo quindi le traslate di una soluzione sono a loro voltasoluzioni
Se(x(t), y(t)) risolve il sistema differenziale
allora(x(t+ T), y(t+ T)) e soluzione.
infatti x(t+ T) = ax(t+ T) − αy(t+ T)x(t+ T)
y(t+ T) = −by(t+ T) + βx(t+ T)y(t+ T)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
130
Per ogni punto del piano delle fasi passa una ed una sola orbita. å
Se (x(t), y(t)) e (ξ(t), η(t)) sono orbite del sistema tali chex(t0) = x
y(t0) = y
ξ(τ0) = x
η(τ0) = ye se
ξ1(t) = x(t− τ0 + t0)
η1(t) = y(t− τ0 + t0)
allora (ξ1, η1) e soluzione del sistema e soddisfa la condizioneξ1(τ0) = x
η1(τ0) = y
Ne deduciamo cheξ(t) = ξ1(t) = x(t− τ0 + t0)
η(t) = η1(t) = y(t− τ0 + t0)
e quindi (ξ, η) ed (x, y) percorrono la stessa orbita a meno di unatraslazione nel tempo.
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
131
Possiamo quindi anche provare che
Le soluzioni del sistema sono periodiche;
La curva e costituita di due tratti che possono essere rappresentaticome funzioni su un intervallo limitato quindi la sua lunghezza ` e finita,
x2(t) + y2(t) = φ2(x, y) + ψ2(x, y) ≥≥ min
(x− x0)2 + (y− y0)
2 > ε
xm ≤ x ≤ xM , ym ≤ y ≤ yM
φ2(x, y) + ψ2(x, y) ≥ m > 0
(φ,ψ si annullano contemporaneamente solo nei punti (0, 0) e (x, y)
che abbiamo gia visto non appartenere all’orbita.)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
132
Ne segue che ∫+∞0
√x2(t) + y2(t)dt = +∞
e pertanto esiste T > 0 tale che∫T0
√x2(t) + y2(t)dt = `
Ma allora trascorso il tempo T la soluzione deve ripassare per il puntoiniziale (x, y) e , dal momento che per ogni punto passa una sola orbita,da li’ e costretta a ripercorrere quell’orbita stessa.
Ne viene che la soluzione e periodica.
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
133
I valori medi si mantengono costanti, cioe
(38)1
T
∫T0
x(s)ds =b
β,1
T
∫T0
y(s)ds =a
α
Dal sistema, dividendo la prima equazione per x e la seconda per y,otteniamo
(39)
x(t)
x(t)= a− αy(t)
y(t)
y(t)= −b+ βx(t)
e per la periodicita delle soluzioni, integrando sul periodo,0 = ln x(T)
x(0)=∫T0a− αy(s)ds = aT − α
∫T0y(s)ds
0 = ln y(T)
y(0)=∫T0−b+ βyxs)ds = bT − β
∫T0x(s)ds
da cui si puo ricavare la 38
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILM
OD
ELL
OD
ILO
TK
A-V
OLT
ER
A
134
Modelli Preda Predatore con Prelievo costantePer studiare un sistema preda predatore nel quale si intervenga con unprelievo costante h sulle prede e k sui predatori possiamo scrivere
(40)
x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) − hx(t)
y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) − ky(t)
x(t0) = x0
y(t0) = y0
Se a − h e b + k sono positivi, ci riconduce immediatamente al casosenza prelievo.
Viene modificata la sola condizione di equilibrio ed il valore medio
x =b+ k
βy =
a− h
α
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
135
Modelli di crescita di due speciein competizione
Due specie x e y condividono le risorse di uno stesso territorioCiascuna specie avrebbe un tasso di crescita di tipo logistico se
vivesse in un ambiente isolato,x(t) = (a− Ax(t))x(t)
y(t) = (b− By(t))y(t)
x(t0) = x0
y(t0) = y0
A causa dei mutui effetti il tasso di crescita; della popolazione x e
a− Ax− αy
(diminuisce proporzionalmente a y)
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
136
Analogamente il tasso di crescita della popolazione y e
b− By− βx
(diminuisce proporzionalmente a x)
Ciascuna specie si sviluppa sottraendo risorse all’altra.
Il sistema che descrive lo sviluppo delle due popolazioni e
(41)
x(t) = (a− Ax(t) − αy(t))x(t)
y(t) = (b− By(t) − βx(t))y(t)
ove a, b, A, B, α, β > 0, con i dati inizialix(t0) = x0
y(t0) = y0
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
137
Dalla prima equazione, dividendo per x ed integrando otteniamo che
x(t)
x(t)= (a− Ax(t) − αy(t))
∫x(t)x0
ds
s=
∫ tt0
(a− Ax(s) − αy(s))ds
lnx(t)
x0=
∫ tt0
(a− Ax(s) − αy(s))ds
e
x(t) = x0e∫tt0(a−Ax(s)−αy(s))ds
In maniera simile otteniamo che
y(t) = y0e∫tt0(b−By(s)−βx(s))ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
138
Da cuix(t), y(t) > 0
Dal sistema 41, per k = maxa, b si ha
(x+ y)′ = (a− Ax(t) − αy(t))x(t)+
+ (b− By(t) − βx(t))y(t) ≤ k(x+ y)
Quindi x ed y sono limitate, in quanto
0 ≤ (x+ y) ≤ ekt ≤ ekT
e quindi esistono in ogni intervallo [0, T ].Il sistema 41 ammette soluzioni costanti che si ottengono risolvendo
il sistema algebrico 0 = (a− Ax− αy)x
0 = (b− By− βx)y
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
139
Le soluzioni costanti sono individuate dai punti di intersezione degliassi con le rette
R1 : (a− Ax− αy) = 0
R2 : (b− By− βx) = 0
La retta R1 interseca gli assi nei punti
(ξ, 0) , (0, η#)
doveξ =
a
Aη# =
a
α
La retta R2 interseca gli assi nei punti
(ξ#, 0) , (0, η)
doveξ# =
b
βη =
b
B
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
140
Le rette R1 ed R2 si intersecano nel punto
(x, y)
dovex =
aB− αb
AB− αβ, y =
Ab− aβ
AB− αβ
Pertanto le soluzioni costanti sono individuate dai punti
(0, 0) , (0, η) , (ξ, 0) , (x, y)
L’ultimo punto si considera solo nel caso in cui(1) R1 ed R2 non siano parallele (AB− αβ 6= 0)(2) si trovi nel primo quadrante (x > 0 , y > 0).
Possiamo disegnare il campo di vettori associato al sistema e studia-re le orbite.
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
141
Si presentano quattro casi nei quali(1) Prevale la popolazione x(2) Prevale la popolazione y(3) A seconda dei valori iniziali prevale x oppure y(4) Comunque si scelgano i valori iniziali, la situazione tende ad un
unico punto di equilibrio
Nel primo, secondo e quarto caso c’e un punto asintoticamente sta-bile
Nel terzo ci sono due punti asintoticamente stabili ed un punto insta-bile
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
142
Andamento del numero di individuidi due popolazioni in competizio-ne nel caso in cui la popolazioneprevalente dipenda dai dati iniziali
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
143
Andamento del numero di individuidi due popolazioni in competizio-ne nel caso in cui la popolazioneprevalente sia la seconda
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
144
Andamento del numero di indivi-dui di due popolazioni in competi-zione nel caso in cui le due popo-lazioni tendano a raggiungere unequilibrio stabile
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET
IZIO
NE
145
Andamento del numero di individuidi due popolazioni in competizio-ne nel caso in cui la popolazioneprevalente sia la prima
¼
½
¶
·
´
¹
I
SP
EC
IEIN
CO
OP
ER
AZ
ION
E
146
Modello di crescita di due popo-lazioni in cooperazione
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
OP
ER
AZ
ION
EO
BB
LIG
ATO
RIA
147
Cooperazione obbligatoria(1) La popolazione x, isolata, decrescerebbe secondo la legge
x(t) = −ax(t)
(2) La popolazione y, isolata, decrescerebbe secondo la legge
y(t) = −by(t)
(3) Il tasso di crescita della x aumenta proporzionalmente ad y, cosıche
x(t) = (−a+ βy(t))x(t)
(4) Il tasso di crescita della y aumenta proporzionalmente ad x, cosıche
y(t) = (−b+ αx(t))y(t)
ne consegue che x(t) = (−a+ βy(t))x(t)
y(t) = (−b+ αx(t))y(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
OP
ER
AZ
ION
EO
BB
LIG
ATO
RIA
148
Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici)
(0, 0) , (a
β,b
α)
ne consegue chex(t) = (−a+ βy(t))x(t)
y(t) = (−b+ αx(t))y(t)
Il sistema ammette come soluzionicostanti (punti critici)
(0, 0) , (a
β,b
α)
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
OP
ER
AZ
ION
EFA
CO
LTAT
IVA
149
Cooperazione facoltativa(1) La x, in assenza della y, crescerebbe secondo la legge logistica
x(t) = (a− b(x(t))x(t)
(2) La y, in assenza della x, crescerebbe secondo la legge logistica
y(t) = (c− dy(t))y(t)
(3) La presenza della y aumenta il tasso di crescita della x propor-zionalmente ad x, cosı che
x(t) = (a− b(x(t) + γy(t))x(t)
(4) La presenza della x aumenta il tasso di crescita della y propor-zionalmente ad x, cosı che
y(t) = (c− dy(t) + δx(t))y(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
OP
ER
AZ
ION
EFA
CO
LTAT
IVA
150
ne consegue chex(t) = (a− b(x(t) + γy(t))x(t)
y(t) = (c− dy(t) + δx(t))y(t)
Che ammette come punti critici
E1 = (0, 0) , E4 = (A
D,B
D)
E2 = (a
b, 0) , E3 = (0,
c
d)
dove
A = cγ+ ad
B = cb+ aδ
D = bd− γδ
¼
½
¶
·
´
¹
I
O.D
.E.
151
Qualche risultato sulle O.D.E.
¼
½
¶
·
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¹
I
VA
RIA
BIL
IS
EPA
RA
BIL
I
152
Equazioni differenziali a variabili separabiliIl problema e trovare una funzione y, derivabile per cui si abbia
y ′(x) = f(x)g(y(x))
con f, g assegnate.Piu precisamente per
I, J ⊂ Rintervalli aperti e non vuoti ed
f : I → R , g : J → R
funzioni continue, y(x) risolve l’equazione
(42) y ′(x) = f(x)g(y(x))
se la 42 e soddisfatta da y(x) su un intervallo aperto I ′ ⊂ I.Se y e tale che
g(y) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
VA
RIA
BIL
IS
EPA
RA
BIL
I
153
y(x) = y
e soluzione costante, mentre se g 6≡ 0, per la continuita, possiamosupporre
g(x) 6= 0 ∀x ∈ J
e riscrivere la 42 come
(43)y ′(x)
g(y(x))= f(x)
Se F′ = f in I J e G′ = 1/g in J otteniamo
(44) G(y(x)) = F(x) + c , c ∈ R
G e invertibile in J in quanto G ′ = 1/g 6= 0si puo sempre scegliere c in modo che
(45) R(G) ∩ R(F+ c) = D(G−1) ∩ R(F+ c) 6= ∅
(cio e necessario affinche la 44 abbia soluzione).
¼
½
¶
·
´
¹
I
VA
RIA
BIL
IS
EPA
RA
BIL
I
154
Infatti se x0 ∈ I ed y0 ∈ J e c = G(y0) − F(x0), per la continuita diF+ c e G,
R(F+ c) e R(G) sono intervalli aperti contenenti il punto
G(y0) = F(x0) + c
QuindiR(G) ∩ R(F+ c) = D(G−1) ∩ R(F+ c)
e a sua volta un intervallo aperto non vuoto (contiene G(y0)).Se I ′ e l’intervallo degli x tali che la
G(y(x)) = F(x) + c , c ∈ R
e veray(x) = G−1(F(x) + c) ∀x ∈ I ′
¼
½
¶
·
´
¹
I
VA
RIA
BIL
IS
EPA
RA
BIL
I
155
Due primitive F e G possono essere ottenute nella forma:
G(y) =
∫yy0
ds
g(s)F(x) =
∫xx0
f(t)dt
nel qual caso si haG(y0) = F(x0) = c = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
GR
ON
WA
LL
156
Il Lemma di GronwallIl lemma di Gronwall consente stime a priori per le soluzioni di equazionidifferenziali.
Sianoy, f : I → R
continue e positive su un intervallo I, tali che
(46) y(x) ≤∣∣∣∣∫xx0
f(t)y(t)dt
∣∣∣∣+ c ∀x ∈ I, c > 0
allora0 ≤ y(x) ≤ ce|
∫xxof(t)dt| ∀x ∈ I
Sia x ≥ x0; dividendo ambo i membri per il secondo e moltiplicandopoi per f(x) si ottiene
y(x)f(x)
c+∫xx0f(t)y(t)dt
≤ f(x)
¼
½
¶
·
´
¹
I
GR
ON
WA
LL
157
da cuid
dx
[ln(c+
∫xx0
f(t)y(t)dt
)]≤ f(x).
integrando
ln(c+
∫xx0
f(t)y(t)dt
)− ln c ≤
∫xx0
f(t)dt
onde
c+
∫xx0
f(t)y(t)dt ≤ ce∫xxof(t)dt
e dalla 46
y(x) ≤ c+∫xx0
f(t)y(t)dt ≤ ce∫xxof(t)dt
Osserviamo anche che se
y(x) ≤∣∣∣∣∫xx0
f(t)y(t)dt
∣∣∣∣ ∀x ∈ I
¼
½
¶
·
´
¹
I
EQ
UA
ZIO
NIA
UT
ON
OM
E
158
si ha
y(x) ≤∣∣∣∣∫xx0
f(t)y(t)dt
∣∣∣∣+ c ∀c > 0
e pertanto0 ≤ y(x) ≤ ce|
∫xxof(t)dt| ∀c > 0
per cui, al limite per c → 0+, si ha y(x) ≡ 0.
Le equazioni autonome del primo ordineSi dicono autonome le equazioni il cui secondo membro non dipendeesplicitamente dalla variabile indipendente.
(47) y′(x) = f(y(x))
Spesso la variabile indipendente rappresenta il tempo; in tal caso unaequazione autonoma modellizza fenomeni il cui svolgimento e indipen-dente dal momento in cui si svolgono.
¼
½
¶
·
´
¹
I
EQ
UA
ZIO
NIA
UT
ON
OM
E
159
(Un pendolo oscillera nello stesso modo oggi come domani e al-trettanto indipendente dal momento del lancio e il moto di una pietralasciata cadere da una certa altezza).
Per le equazioni autonome le traslate di una soluzione sono essestesse soluzioni.
Se y(x) risolve la 47 allora, definito z(x) = y(x− α), avremo che
z′(x) = y′(x− α) = f(y(x− α)) = f(z(x))
e quindi z risolve 47.
Se f si annulla cioe se f(y) = 0,
y(x) = y
e una soluzione (costante dell’equazione 47.
Le soluzioni costanti sono, nel caso delle equazioni autonome, parti-colarmente significative.
¼
½
¶
·
´
¹
I
EQ
UA
ZIO
NIA
UT
ON
OM
E
160
Un problema di Cauchy autonomo si formula come
(48)
y′(x) = f(y(x))
y(x0) = y0
Le traslate di una soluzione sono esse stesse soluzioniquindi non e restrittivo supporre che x0 = 0. le soluzioni trascurate
si ottengono semplicemente per traslazione nel tempo delle soluzionitrovate.
Si ha ∫y(x)y0
1
f(s)ds = x
si possono ottenere informazioni su y(x) studiando la sua inversax(y) definita dalla
(49)∫yy0
1
f(s)ds = x(y)
¼
½
¶
·
´
¹
I
EQ
UA
ZIO
NIA
UT
ON
OM
E
161
• tranne che nelle vicinanze delle soluzioni costanti, f(y) 6= 0
e quindi 1f
ha segno costante ed il primo membro della 49 ecertamente invertibile almeno localmente.• Quando y = y l’integrale che figura a primo membro della 49
deve essere considerato in senso improprio e quindi sara neces-sario studiarne la convergenza.• Se l’integrale in questione e convergente la funzione integrale
assume valore x finito in y e la sua derivata 1f(y)
tende a +∞ o a−∞.• in x la soluzione puo essere attaccata alla soluzione costantey(x) = y e si possono (non pero si debbono) verificare fenomenidi non unicita della soluzione.• Se l’integrale e divergente la soluzione e definita almeno su una
semiretta (non limitata a destra o a sinistra) e risulta asintoticaalla soluzione costante.• Se f ∈ C1 la soluzione esiste ed e unica, inoltre l’integrale in
¼
½
¶
·
´
¹
I
y(x
)=f(y
′ (x))
162
questione e divergente e ogni soluzione e asintotica ad una so-luzione costante.• gli eventuali zeri della funzione f (soluzioni costanti) dividono il
piano (x, y) in strisce in cui f e di conseguenza y′ ha segnocostante.
Due equazioni in forma non normaleå å å
Equazioni della forma y(x) = f(y′(x))
Consideriamo una equazione nella forma
(50) y(x) = f(y′(x))
ove f e una funzione sufficientemente regolare (ad esempio di classeC1. Cerchiamo soluzioni derivabili due volte e deriviamo ambo i membridell’equazione. Avremo
y′(x) = f′(y′(x))y′′(x)
¼
½
¶
·
´
¹
I
y(x
)=f(y
′ (x))
163
cioe
1 =f′(y′(x))y′′(x)
y′(x)
da cui, integrando,
x = x0 +
∫xx0
f′(y′(t))y′′(t)
y′(t)dt =
∫y′(x)y′(x0)
f′(s)
sds
Posto y′(x) = p possiamo allora concludere chex = x0 +
∫pp0
f′(s)sds
y = f(p)
Alternativamente possiamo cercare soluzioni parametriche dell’equa-zione nella forma
(51)
x = x(t)
y = y(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
x=f(y
′ (x))
164
Se poniamoφ(t) = y′(x(t))
avremo dalla 50
y(t) = y(x(t)) = f(y′(x(t))) = f(φ(t))
ed anche, poiche y(t) = y(x(t))
y(t) = y′(x(t))x(t)
da cui
x(t) =y(t)
y′(x(t))=f′(φ(t))
φ(t)φ′(t)
Ne viene che la soluzione del problema puo essere individuata para-metricamente dalle
x(t) =∫tt0
f′(φ(s))
φ(s)φ′(s)ds
y(t) = f(φ(t))
¼
½
¶
·
´
¹
I
x=f(y
′ (x))
165
Equazioni della forma x = f(y′(x))Consideriamo una equazione nella forma
(52) x = f(y′(x))
dove f e una funzione sufficientemente regolare (ad esempio di classeC1).
Cerchiamo soluzioni derivabili due volte e deriviamo ambo i membridell’equazione. Avremo
1 = f′(y′(x))y′′(x)
da cui,moltiplicando per y′(x)
y′(x) = y′(x)f′(y′(x))y′′(x)
ed integrando,
y(x) − y0 =
∫y′(x)y′(x0)
f′(s)sds
¼
½
¶
·
´
¹
I
x=f(y
′ (x))
166
Posto y′(x) = p possiamo allora concludere chex = f(p)
y = y0 +∫pp0sf′(s)ds
Alternativamente cerchiamo soluzioni parametriche della 52 nella for-ma
x = x(t)
y = y(t)
Postoφ(t) = y′(x(t))
Avremo dalla 52
x(t) = f(y′(x(t))) = f(φ(t))
e dalla 17y(t) = y(x(t)) e y(t) = y′(x(t))x(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
x=f(y
′ (x))
167
da cuiy(t) = x(t)y′(x(t)) = f′(φ(t))φ(t)φ′(t)
La soluzione del problema puo essere individuata parametricamentedalle
x(t) = f(φ(t))
y(t) =∫tt0f′(φ(s))φ(s)φ′(s)ds
¼
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I
SIS
TE
MILI
NE
AR
I
168
Stabilita dei sistemi lineari
¼
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GE
NE
RA
LIT
A
169
Richiami sui sistemi differenziali lineariI ⊂ R intervallo aperto non vuoto, (non necessariamente limitato)
A : I →Mn
funzione a valori matrici n× n
B : I → Rn
A = (aij) B = (bj) bj, aij : I → Rai,j e bj continue.
Risolvere il sistema differenziale lineare del primo ordine
(53) u′(x) = A(x)u(x) + B(x)
significa trovare u : I → Rn derivabile, tale che la 53 e verificata.
¼
½
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NE
RA
LIT
A
170
L’insieme T di tutte le soluzioni di 53 si chiama integrale generale delsistema
Il sistema puo essere riscritto come
u′1(x)
u′2(x)...u′n(x)
=
a11(x) a12(x) . . . a1n(x)
a21(x) a22(x) . . . a2n(x)... ... . . . ...
an1(x) an2(x) . . . ann(x)
u1(x)
u2(x)...
un(x)
+
b1(x)
b2(x)...
bn(x)
ed anche, in forma piu compatta,
u′i(x) =
n∑j=1
aij(x)uj(x) + bi(x) , i = 1, ..., n.
Se B ≡ 0 il sistema si dice omogeneo e assume la forma
(54) u′(x) = A(x)u(x)
¼
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A
171
Se n = 1 si riduce ad una sola equazione differenziale lineare delprimo ordine che, posto A = (a11) = a e B = b1 = b, si scrive nellaforma
y′(x) = a(x)y(x) + b(x)
Nel caso sia assegnato un dato iniziale
(55)
u′(x) = A(x)u(x) + B(x) , ∀x ∈ Iu(x0) = u0
si parla di problema di CauchyNel caso di una equazione, (n = 1), avremo
(56)
y′(x) = a(x)y(x) + b(x)
y(x0) = y0
E possibile trovare esplicitamente la soluzione nella forma
(57) y(x) = e∫xxoa(t)dt
(y0 +
∫xx0
b(t)e−∫txoa(s)ds dt
)
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LIT
A
172
Possiamo riscrivere la 57 nella forma
y(x) = y0e∫xxoa(t)dt + e
∫xxoa(t)dt
∫xx0
b(t)e−∫txoa(s)dsdt
Tutte le soluzioni dell’equazione omogenea (b = 0) si ottengono alvariare della costante moltiplicativa y0,
Tutte le soluzioni dell’equazione completa si ottengono aggiungendoun termine che non dipende da costanti arbitrarie.
L’insieme delle soluzioni di 56 e uno spazio lineare affine, cioe unospazio vettoriale traslato.
Si puo dimostrare che, se i coefficienti del sistema sono continui alloraesiste una ed una sola soluzione del problema di Cauchy 55
Facendo uso di tale risultato possiamo provare che
¼
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NE
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LIT
A
173
L’integrale generale di un sistema differenziale omogeneo del primo ordi-ne e uno spazio vettoriale avente dimensione uguale al numero di equazio-ni del sistema stesso. mentre l’integrale generale del sistema completo euno spazio lineare affine
Piu precisamente se
(58) S = u : u′ = Au T = u : u′ = Au+ B
si ha che
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174
S e uno spazio vettoriale di dimensione n (uguale all’ordine del sistema)mentre T e uno spazio lineare affine di dimensione n. Inoltre se u euna soluzione del sistema completo, ogni soluzione del sistema completoe descritta dalla
T = u+ S
La verifica di tali fatti e basata sulla possibilita di stabilire un isomor-fismo
Γ : S → Rn
definendo
Γ(u) = u(x0), x0 ∈ I
A proposito di Γ si puo ricordare che
(1) e banale verificare la linearita di Γ
¼
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A
175
(2) la surgettivita di Γ dipende dal teorema di esistenza della solu-zione del problema di Cauchy 55
(3) l’iniettivita di Γ dipende dal teorema di unicita della soluzione delproblema di Cauchy 55
Ogni soluzione di un sistema omogeneo di ordine n puo essere espres-sa mediante una combinazione di n soluzioni linearmente indipendentidel sistema stesso.
Siano esse u1, ..., un e sia (ui)j la componente j-esima della i-esimasoluzione.
Possiamo costruire la matrice
G =
(u1)1 (u2)1 . . . (un)1(u1)2 (u2)2 . . . (un)2
... ... . . . ...(u1)n (u2)n . . . (un)n
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176
che indicheremo spesso come
G =(u1, u2, ....., un
)considerando gli ui come vettori colonna G si chiama matrice fonda-mentale del sistema assegnato. Ogni soluzione del sistema potra alloraessere scritta nella forma
u(x) = G(x)C =
n∑j=1
cjuj , C = (cj) ∈ Rn
ovvero, considerando le componenti,
ui(x) =
n∑j=1
(uj)icj.
Siano u1, u2, ....., un n soluzioni del sistema omogeneo
u′(x) = A(x)u(x)
¼
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177
Chiamiamo wronskiano associato alle n soluzioni assegnate il determi-nante della matrice
(u1, u2, ....., un).
In altri termini
W(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(u1)1 (u2)1 . . . (un)1(u1)2 (u2)2 . . . (un)2
... ... . . . ...(u1)n (u2)n . . . (un)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Siano u1,u2,...,un n soluzioni del sistema 53. Sono fatti equivalenti:
(1) u1, ..., un sono linearmente indipendenti;(2) W(x) 6= 0 ∀x ∈ I ;(3) ∃x0 ∈ I tale cheW(x0) 6= 0
Se si conosce la soluzione del sistema omogeneo
u′(x) = A(x)u(x) , x0 ∈ I
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A
178
si puo trovare una soluzione del sistema non omogeneo
u′(x) = A(x)u(x) + B(x)
nella formaZ(x) = G(x)λ(x)
Dovra aversiZ′(x) = A(x)Z(x) + B(x)
Pertanto, poiche
Z′(x) = G′(x)λ(x) + G(x)λ′(x) ,
deve essere
G′(x)λ(x) + G(x)λ′(x) = A(x)G(x)λ(x) + B(x)
essendo G una matrice fondamentale G e invertibile e
G(x)λ′(x) = B(x) e λ′(x) = G−1(x)B(x).
¼
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I
GE
NE
RA
LIT
A
179
Se ne deduce che se
λ(x) =
∫xx0
G−1(t)B(t)dt
Z e soluzione.Possiamo cosı concludere che se G e una matrice fondamentale del
sistema omogeneou′(x) = A(x)u(x)
Allora l’integrale generale del sistema completo
u′(x) = A(x)u(x) + B(x)
e dato da
u(x) = G(x)
(C+
∫xx0
G−1(t)B(t)dt
), C ∈ Rn ,
mentre la soluzione del problema di Cauchy e data da
u(x) = G(x)
(G−1(x0)u0 +
∫xx0
G−1(t)B(t)dt
)
¼
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I
STA
BIL
ITA
180
Stabilita di un sistema autono-mo
¼
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I
STA
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ITA
181
Lo studio della stabilita di una soluzione riguarda il comportamentoper x → +∞
Nasce nell’ambito dei sistemi lineari.
Si estende al caso di sistemi di equazioni differenziali.
E particolarmente significativa nel caso dei sistemi autonomi; ( chenon dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente)
Se interpretiamo la variabile indipendente come tempo, sono siste-mi che caratterizzano fenomeni la cui evoluzione non dipende dal mo-mento in cui iniziano. (un sasso cade allo stesso modo oggi, ieri odomani)
¼
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I
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BIL
ITA
182
Sia dato il sistema
u ′(x) = F(u(x))
Poiche il sistema e autonomo possiamo sempre assumere che x0 = 0e, a meno di un cambiamento di variabili, possiamo limitarci a studiarela stabilita della soluzione u(x) = 0
Supporremo pertanto
F(0) = 0
ed assumeremo verificate condizioni che assicurino che le soluzioniu(x) siano definite per x ≥ x0 = 0
¼
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I
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ITA
183
SiaF : Rn → Rn
lipschitziana di costante L cioe
‖F(y1) − F(y2)‖ ≤ L‖y1 − y2‖
allora la soluzione del problema di Cauchyu ′(x) = F(u(x))
u(0) = u0
e definita per x ∈ R+ per ogni u0 ∈ Rn per i teoremi di esistenza edunicita in grande.Sia inoltre
F(0) = 0
in modo che la soluzione nulla u(x) = 0 risolva il sistema
¼
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ITA
DE
IS
IST
EM
ILI
NE
AR
I2×2
184
Possiamo allora definire
La soluzione nulla e stabile per il sistema se ∀ε > 0 ∃δε > 0 tale che se‖u0‖ < δ si ha
‖u(x)‖ < ε ∀x ≥ 0
Inoltre
La soluzione nulla e asintoticamente stabile se e stabile e se esiste δ > 0tale che per ‖u0‖ < δ ,
limx→+∞ u(x) = 0.
¼
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ITA
DE
IS
IST
EM
ILI
NE
AR
I2×2
185
Stabilita dei sistemi lineari 2× 2Consideriamo un sistema lineare 2× 2 a coefficienti costanti.
Cominciamo ad esaminare la stabilita dei sistemi differenziali lineariomogenei a coefficienti costanti di due equazioni in due incognite.
(59)
x(t) = ax(t) + by(t)
y(t) = cx(t) + dy(t)a, b, c, d ∈ R
Possiamo scrivere il sistema anche usando notazioni vettoriali come
(60) u(t) = Au(t)
con
u(t) =
(x(t)
y(t)
)ed A =
(a b
c d
)
¼
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ITA
DE
IS
IST
EM
ILI
NE
AR
I2×2
186
Se u(t) = (x(t), y(t)) e la soluzione di un sistema,
Chiamiamo orbita del sistema la curva descritta parametricamente dalleequazioni
x = x(t)
y = y(t)
Le orbite (o traiettorie) si rappresentano nel piano (x, y) (Piano delleFasi)
La definizione resta valida anche nel caso in cui il sistema non sialineare.
Come visto precedentemente nello studio del sistema Preda-Predatore
Se il sistema e autonomo per ogni punto del piano delle fasi passa una eduna sola orbita.
¼
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I
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STA
BIL
ITA
187
Autovalori e StabilitaOgni matrice 2 × 2 puo essere trasformata mediante una matrice dipassaggio P, non singolare in una matrice canonica C (forma canonicadi Jordan)
In altre parole
¼
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I
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LOR
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STA
BIL
ITA
188
e possibile trovare P matrice non singolare tale che
C = P−1AP
sia una delle seguenti matrici, dove λ1, λ2 sono gli autovalori di A.(1) Nel caso di autovalori reali e distinti λ1, λ2,(
λ1 0
0 λ2
)(2) Nel caso di autovalori complessi e coniugati λ1 = α + iβ, λ2 =
α− iβ, (α β
−β α
)(3) Nel caso di autovalori reali e coincidenti λ1 = λ2 = λ,(
λ 0
0 λ
)oppure
(λ 0
γ λ
)
¼
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I
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ITA
189
Il sistema dato puo essere trasformato in un sistema piu semplicela cui matrice dei coefficienti rientra in uno dei casi appena elencati,mediante la trasformazione
u = Pv o equivalentemente v = P−1u
Infatti si ottiene
Pv = u = Au = APv
da cui
v = P−1APv = Cv
¼
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BIL
ITA
190
Se siamo in grado di studiare le orbite del sistema v = Cv, otteniamoanche informazioni sul sistema di partenza.
La trasformazione u = Pv e lineare e non degenere e provoca quindisolo una deformazione delle orbite.
Diventa importante studiare il comportamento delle orbite dei sistemiassociati alle matrici canoniche che abbiamo appena elencato.
Di seguito sono riportate le immagini degli assi coordinati e del cer-chio unitario mediante la trasformazione lineare
ξ = ax+ by
η = cx+ dyovvero
(ξ
η
)=
(a b
c d
)(x
y
)per diversi casi dei coefficienti
¼
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ITA
191
¼
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192
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ITA
193
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ITA
194
¼
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BIL
ITA
195
Caso 1: autovalori reali e distintiIn tal caso il sistema diventa
ξ = λ1ξ
η = λ2η
possiamo allora determinare le soluzioni nella formaξ(t) = c1e
λ1t
η(t) = c2eλ2t
Entrambi gli autovalori sono non nulli
Le traiettorie sono date da y = xλ2λ1 e a seconda del segno di λ1 e λ2 e
del fatto che λ2λ1R 1 si possono avere i seguenti casi:
¼
½
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I
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TO
VA
LOR
IE
STA
BIL
ITA
196
Autovalori reali e distinti |λ2| > |λ1|
λ1, λ2 > 0 λ1, λ2 < 0
¼
½
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TO
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BIL
ITA
197
Autovalori reali e distinti |λ2| < |λ1|
λ1, λ2 > 0 λ1, λ2 < 0
¼
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ITA
198
Autovalori reali e distinti |λ2| > |λ1|
λ1 > 0, λ2 < 0 λ1 < 0, λ2 > 0
¼
½
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BIL
ITA
199
Se uno degli autovalori e nullo allora il sistema diventaξ = λ1ξ
η = 0oppure
ξ = 0
η = λ2η
e le traiettorie sono semirette parallele ad uno degli assi il cui verso dipercorrenza dipende dal segno dell’autovalore non nullo.
¼
½
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ITA
200
Autovalori reali e distinti
λ1 = 0, λ2 < 0 λ1 = 0, λ2 > 0
¼
½
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¹
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BIL
ITA
201
Autovalori reali e distinti
λ1 < 0, λ2 = 0 λ1 > 0, λ2 = 0
¼
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BIL
ITA
202
Caso 2: autovalori reali e coincidentiIn tal caso il sistema diventa uno dei due seguenti
ξ = λξ
η = ληoppure
ξ = λξ
η = γξ+ λη
Supponiamo che λ 6= 0 Nel primo caso la soluzione del sistema eξ(t) = c1e
λt
η(t) = c2eλt
e le orbite sono semirette che passano per l’origine, hanno coefficienteangolare c2
c1e sono percorse con verso che si avvicina o si allontana
dall’origine a seconda del segno di λ.
¼
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BIL
ITA
203
Autovalori reali e coincidenti non nulli
λ1, λ2 > 0 λ1, λ2 < 0
¼
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AU
TO
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BIL
ITA
204
Nel secondo caso la soluzione del sistema eξ(t) = c1e
λt
η(t) = (γc1t+ c2)eλt
da cui si ricava t =1λ
ln(ξc1
)η = η(t) = (γ1
λln(ξc1
)+ c2
c1)ξ
e si possono disegnare le curve che rappresentano le orbite del siste-ma.
¼
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ITA
205
Autovalori reali e coincidenti non nulli
λ1, λ2 > 0 λ1, λ2 < 0
¼
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VA
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BIL
ITA
206
Se infine λ = 0 otteniamo che, nel primo caso, ogni punto e un puntosingolare, mentre nel secondo caso le soluzioni sono date da
ξ(t) = c1
η(t) = γc1t+ c2
e le orbite sono ancora rette parallele ad un’asse.
¼
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BIL
ITA
207
Autovalori reali e coincidenti nulli
A =
(0 0
0 0
)A =
(0 0
1 0
)
¼
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BIL
ITA
208
Caso 3: autovalori complessi e coniugatiIn tal caso il sistema diventa
ξ = αξ− βη
η = βξ+ αη
e puo essere studiato mediante un ulteriore cambio di variabili.Infatti se poniamo
ξ = ρ cosθη = ρ sinθ
possiamo ricavare che
ρ2(t) = ξ2(t) + η2(t) tanθ(t) =η(t)
ξ(t)
da cui, derivando si ottiene
2ρ(t)ρ(t) = 2ξ(t)ξ(t) + 2η(t)η(t)
¼
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I
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BIL
ITA
209
e
(1+ tan2 θ(t))θ(t) =ξ(t)η(t) − η(t)ξ(t)
ξ2(t)
e tenendo conto del sistema si deduce cheρ = αρ
θ = β
da cui si ricava che ρ(t) = C1e
αt
θ(t) = βt+ C2
Le traiettorie sono spirali o, nel caso in cui α = 0, cerchi. Il verso dipercorrenza e determinato dal segno di β, mentre le spirali che tendonoall’origine si distinguono dalle spirali che se ne allontanano mediante ilsegno di α (negativo o positivo rispettivamente)
¼
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BIL
ITA
210
Autovalori complessi e coniugati con parte reale non nulla
Parte reale negativa Parte reale positiva
¼
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BIL
ITA
211
Autovalori complessi e coniugati con parte reale nulla
λ1, λ2 > 0 λ1, λ2 < 0
¼
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I
CR
ITE
RI
DI
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BIL
ITA
212
Criteri di stabilita
Sia A(t) una funzione a valori matrici n × n, continua su [t0,+∞) econsideriamo il sistema lineare
x(t) = A(t)x(t)
Sia G una matrice fondamentale del sistema; allora la soluzioneidenticamente nulla e stabile se e solo se
‖G(t)‖ ≤ K , ∀t ≥ t0
Inoltre la soluzione nulla e asintoticamente stabile se e solo se
limt→+∞ ‖G(t)‖ = 0
¼
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
213
Infatti la soluzione x(t) del problema di Cauchyx(t) = A(t)x(t))
x(t0) = x0
si puo esprimere nella forma
(61) x(t) = G(t)G−1(t0)x0
e‖x(t)‖ ≤ ‖G(t)‖ ‖G−1(t0)‖ ‖x0‖.
Cio permette di concludere che le condizioni proposte per la stabilitae l’asintotica stabilita della soluzione nulla sono sufficienti.
¼
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
214
Viceversa sia la soluzione nulla stabile; per ‖x0‖ < δ si ha ‖x(t)‖ < 1Sia D = δei, i = 1..n; D e una base di Rn,Ogni soluzione xδei che corrisponde al dato iniziale x0 = δei, e
limitata in norma;xδei sono le colonne di una matrice fondamentale che risulta pertanto
limitata.Analogamente, se la soluzione nulla e asintoticamente stabile
limt→+∞ ‖xδei(t)‖ = 0.
e quindilimt→+∞ ‖G(t)‖ = 0
¼
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CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
215
Se la matrice dei coefficienti e costante le soluzioni sono combina-zioni lineari di funzioni del tipo
tγeαt cos(βt) , tγeαt sin(βt)
in corrispondenza degli autovalori α± ıβ, con molteplicita γ della ma-trice dei coefficienti.
Esaminando il comportamento di tali funzioni si deduce subito che
¼
½
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
216
(1) se A ha tutti gli autovalori con parte reale negativa, allora lasoluzione nulla e asintoticamente stabile
(2) se A ha qualche autovalore con parte reale positiva, allorala soluzione nulla non e stabile (ne’ asintoticamente stabile,ovviamente)
(3) se A ha tutti gli autovalori con parte reale negativa o nulla, e gliautovalori con parte reale nulla sono semplici, allora la soluzione estabile ma non asintoticamente stabile
(4) se A ha autovalori con parte reale negativa o nulla, e gli autovaloricon parte reale nulla hanno molteplicita superiore 1, allora la so-luzione non e asintoticamente stabile ma puo essere sia stabile cheinstabile a seconda della forma che assumono le soluzioni.
¼
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
217
Se il sistema non e lineare, la stabilita e una questione piu delicata
Si puo, ad esempio, risolvere utilizzando il metodo delle funzioni diLyapunov;
Talvolta e possibile studiare la stabilita di un sistema non lineare uti-lizzando informazioni sulla stabilita del sistema lineare ottenuto usandolo sviluppo di Taylor del primo ordine della funzione che compare asecondo membro. (Sistema Linearizzato) .
E interessante conoscere sotto quali condizioni la stabilita del siste-ma linearizzato e sufficiente per la stabilita del sistema originario.
(stabilita in prima approssimazione)
A questo proposito possiamo provare che se
¼
½
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
218
(62) x(t) = Ax(t) + f(x(t))
dove A e una matrice n × n, S = y ∈ Rn : ‖y‖ < a ed f : S → R, econtinua e tale che f(0) = 0 e
limx→0
f(x)
‖x‖= 0
Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa, allora la soluzionenulla e asintoticamente stabile per il sistema 62 se invece la soluzione nullanon e stabile per il sistema lineare
(63) x(t) = Ax(t)
allora non e stabile neanche per il sistema 62
¼
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I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
219
Dimostrazione. SiaG la matrice fondamentale principale del sistemalinearizzato x = Ax e sia x la soluzione di 62 definita in un intervallomassimale [t0, b); poiche gli autovalori di A hanno parte reale negativaesiste α > 0 tale che
‖G(t)‖ ≤ Ke−αt
Se ‖x‖ < σ si ha
‖f(x)‖ ≤α
2K‖x‖;
e possiamo supporre che a < σ.
Poniamo
z(t) = G(t− t0)x0 +
∫ tt0
G(t− s)f(x(s))ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
220
si ha
z ′(t) = G ′(t− t0)x0 +
∫ tt0
G ′(t− s)f(x(s))ds+ G(0)f(x(t)) =
= A
(G(t− t0)x0 +
∫ tt0
G(t− s)f(x(s))ds
)+ f(x(t)) =
= Az(t) + f(x(t))
ez(t0) = x0.
Tenuto conto del fatto che
x(t) = Ax(t) + f(x(t)) , x(t0) = x0
si ha(z− x) ′(t) = A(z− x)(t) , (z− x)(t0) = 0
da cuiz(t) ≡ x(t).
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
221
Pertanto
x(t) = G(t− t0)x0 +
∫ tt0
G(t− s)f(x(s))ds
Allora
‖x(t)‖ ≤ Ke−α(t−t0)‖x0‖+∫ tt0
α
2e−α(t−s)‖x(s)‖ds
da cui
eα(t−t0)‖x(t)‖ ≤ K‖x0‖+∫ tt0
α
2eα(s−t0)‖x(s)‖ds
e per il lemma di Gronwall
eα(t−t0)‖x(t)‖ ≤ K‖x0‖eα(t−t0)/2
e
(64) ‖x(t)‖ ≤ K‖x0‖e−α(t−t0) ≤ K‖x0‖ , ∀t ≥ t0
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ITE
RI
DI
STA
BIL
ITA
222
Pertanto si ha, se 0 < ε < σ e ‖x0‖ < ε/K,
‖x(t)‖ < ε , ∀t ∈ [t0, b)
e poiche la soluzione e prolungabile, deve essere b = +∞.Passando al limite per t → +∞ nella 64 si conclude anche l’asinto-
tica stabilita.
Per verificare la seconda affermazione si puo provare che se G haqualche autovalore positivo si puo scegliere una soluzione x in modoche x(t) → +∞ quando t → +∞, scegliendo opportunamente i datiiniziali.
¼
½
¶
·
´
¹
I
AU
TO
VA
LOR
IN
EL
CA
SO2×2
223
Qualche osservazione sul segno degli autovalori nelcaso 2× 2Consideriamo una matrice
A =
(a b
c d
)Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione
(65) det(a− λ b
c d− λ
)= λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc)
Se T = a + d e la traccia e D = ad − bc e il determinante dellamatrice possiamo riscrivere la 65 come
λ2 − Tλ+D
e gli autovalori sono
(66) λ =T
2±
√T 2
4−D
¼
½
¶
·
´
¹
I
AU
TO
VA
LOR
IN
EL
CA
SO2×2
224
• Se D > 0T 2
4>T 2
4−D
e– Nel caso in cui T
2
4−D ≥ 0∣∣∣∣T2∣∣∣∣ >√T 2
4−D
Gli autovalori λ1, λ2 hanno il segno di T– Nel caso in cui T
2
4−D < 0
Gli autovalori sono complessi e coniugati la loro parte reale<λ1, <λ2 ha lo stesso segno di T
• Se D = 0
λ1 = 0 , λ2 = T
• Se D < 0Si ha T2
4−D > T
2
4
Gli autovalori hanno uno segno positivo e l’altro negativo.
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ
225
Il criterio di Hurwitz
Serve a determinare il segno della parte reale delle radici di un polino-mio.
Si puo quindi usare per determinare il segno delle parti reali degliautovalori di una matrice.
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ
226
Consideriamo un polinomio a coefficienti reali
P(z) = zn + a1zn−1 + a2z
n−2 + · · ·+ an
e la corrispondente matrice di Hurwitz definita da
H =
a1 1 0 0 · · · 0a3 a2 a1 1 · · · 0a5 a4 a3 a2 · · · 0a7 a6 a5 a4 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 · · · an
Condizione necessaria e sufficiente affinche P(z) abbia radici tuttecon parte reale negativa e che H abbia tutti i minori principali condeterminante positivo.
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ
227
Per costruire la matrice di Hurwitz si puo osservare che sulla diago-nale sono presenti i coefficienti del polinomio.
Se chiamiamo ∆k il minore principale di ordine k cioe se
∆1 =(a1)
∆2 =
(a1 1
a3 a2
)∆3 =
a1 1 0
a3 a2 a1a5 a4 a3
∆n =
a1 1 0 0 · · · 0a3 a2 a1 1 · · · 0a5 a4 a3 a2 · · · 0a7 a6 a5 a4 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 · · · an
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ,S
EC
ON
DO
GR
AD
O
228
Il criterio di Hurwitz per i polinomi di secondo grado
P(z) = z2 + a1z+ a2
ha radici tutte con parte reale negativa se
a1 > 0 , a2 > 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ,T
ER
ZO
GR
AD
O
229
Il criterio di Hurwitz per i polinomi di terzo grado
P(z) = z3 + a1z2 + a2z+ a3
ha radici tutte con parte reale negativa se
a1 > 0 , a1a2 − a3 > 0 , a3 > 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ,Q
UA
RT
OG
RA
DO
230
Il criterio di Hurwitz per i polinomi di quarto grado
P(z) = z4 + a1z3 + a2z
2 + a3z+ a4
ha radici tutte con parte reale negativa se
a1 > 0 , a1a2 − a3 > 0 , (a1a2 − a3)a3 − a21a4 > 0 , a3 > 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
HU
RW
ITZ,Q
UA
RT
OG
RA
DO
231
Applicazionideicriteri di stabilita
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
232
Modelli di crescita di due specie in competizioneLo sviluppo di due specie x e y che condividono le risorse di uno stessoambiente e descritto dal sistema
(67)
x(t) = (a− Ax(t) − αy(t))x(t)
y(t) = (b− By(t) − βx(t))y(t)
con x(t0) = x0
y(t0) = y0
Ove a, b, A, B, α, β sono positivi.
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
233
x ed y sono limitate,
0 ≤ (x+ y) ≤ ekt ≤ ekT
e quindi esistono in ogni intervallo [0, T ].Le soluzioni costanti sono individuate dai punti di intersezione degli
assi con le rette
R1 : (a− Ax− αy) = 0
R2 : (b− By− βx) = 0
La retta R1 interseca gli assi nei punti
(ξ, 0) , (0, η#)
doveξ =
a
Aη# =
a
αLa retta R2 interseca gli assi nei punti
(ξ#, 0) , (0, η)
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
234
doveξ# =
b
βη =
b
B
Le rette R1 ed R2 si intersecano nel punto
(x, y)
dovex =
aB− αb
AB− αβ, y =
Ab− aβ
AB− αβ
Pertanto le soluzioni costanti sono individuate dai punti
(0, 0) , (0, η) , (ξ, 0) , (x, y)
L’ultimo punto si considera solo nel caso in cui(1) R1 ed R2 non siano parallele (AB− αβ 6= 0)(2) si trovi nel primo quadrante (x > 0 , y > 0).
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
235
Per studiare la stabilita delle soluzioni costanti possiamo considerareil sistema linearizzato relativamente ad ognuna delle soluzioni costanti(x, y).
Il sistema linearizzato in (x, y) e associato alla matrice
M =
(a− 2Ax− αy −αx
−βy b− 2By− βx
)
Per (x, y) = (0, 0)
M =
(a 0
0 b
)M ha autovalori positivi e quindi la relativa soluzione e instabile.
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
236
Per (x, y) = (ξ, 0)
M =
(a− 2Aa
A−αa
A
0 b− βaA
)=
(−a −αa
A
0 β(bβ− a
A
)) =
(−a −αa
A
0 β(ξ− ξ#)
)M ha autovalori −a e β(ξ − ξ#), la stabilita dipende dalla mutuaposizione di ξ# e ξ.
Per (x, y) = (0, η)
M =
(a− αb
B0
−βbB
b− 2BbB
)=
(α(aα− b
B
)0
−βbB
−b
)=
(α(η− η#) 0
−βbB
−b
)M ha autovalori −b e α(η − η#), la stabilita dipende dalla mutuaposizione di η# e η.
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
237
Per (x, y) = (x, y)
M =
(−Ax −αx
−βy −By
)se indichiamo con D il determinante di M e con T la traccia di M,avremo che
D = xy(AB− αβ) 6= 0 T = −(Ax+ By)(< 0)
Se D > 0 si ha
T 2
4−D = (xA− yB)2 + 4xyαβ > 0
dal momento che x > 0, y > 0, gli autovalori di M sono sempre reali edistinti. hanno lo stesso segno di T (soluzione stabile)
Se D < 0 M ha due autovalori reali di segno opposto. (soluzioneinstabile)
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
238
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
239
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
MP
ET.
240
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
OP
ER
.
241
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
SP
EC
IEIN
CO
OP
ER
.
242
Modello di crescita di due popolazioni in coopera-zione
• Crescita in Cooperazione Obbligatoria
• Crescita in Cooperazione Facoltativa
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.O
BB
L.
243
Cooperazione obbligatoriaIl sistema che descrive il fenomeno e
x(t) = (−a+ βy(t))x(t)
y(t) = (−b+ αx(t))y(t)
Ammette come soluzioni costanti (punti critici)
(0, 0) ,
(a
β,b
α
)La stabilita puo essere studiata linearizzando
∇((−a+ βy)x
(−b+ αx)y
)=
(−a+ βy βx
αy −b+ βx
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.O
BB
L.
244
Per x = 0, y = 0
la matrice del sistema linearizzato e(−a 0
0 −b
)La matrice ha autovalori entrambi negativi La soluzione nulla e asinto-ticamente stabile.
Per x = aβ, y = b
α
La matrice del sistema linearizzato e(0 bβ
α
bαβ0
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.O
BB
L.
245
La matrice ha autovalori√ab , −
√ab
La soluzione nulla e instabile.
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.FA
CO
LT.
246
Cooperazione facoltativaIl sistema che descrive la situazione e
x(t) = (a− b(x(t) + γy(t))x(t)
y(t) = (c− dy(t) + δx(t))y(t)
che ammette come punti critici
E1 = (0, 0) , E4 =
(A
D,B
D
)E2 =
(a
b, 0
), E3 =
(0,c
d
)dove
A = cγ+ ad
B = cb+ aδ
D = bd− γδ
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.FA
CO
LT.
247
La matrice Jacobiana per E = (x, y) e
M =
(a− 2bx+ γy γx
δy c− 2dy+ δx
)
Per (x, y) = E1 = (0, 0)
M =
(a 0
0 c
)Gli autovalori sono a, b > 0
Il punto E1 = (0, 0) e instabile
Per (x, y) = E2 = (ab, 0)
la matrice del sistema linearizzato e
M =
(−a γa
b
0 c+ δab
)− a < 0 c+ δ
a
b> 0
Gli autovalori sono −a < 0, c+ δab> 0
Il punto E2 = E2 = (ab, 0) e un un punto sella .
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.FA
CO
LT.
248
Per (x, y) = E3 = (0, cd)
la matrice del sistema linearizzato e
M =
(a+ γc
d0
γcd
−c
)Gli autovalori sono a+ γc
d> 0, −c < 0
Il punto E3 = (0, cd) e un punto sella
Per (x, y) = E4 = (AD, BD)
Il punto E4 = (AD, BD) appartiene al primo quadrante solo se D > 0
perche il modello abbia senso questa condizione deve essere soddi-sfatta.
In tal caso la matrice del sistema linearizzatoe
M =
(−bA
D−γA
D
δBD
−dBD
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
STA
B.
CO
OP
ER
.FA
CO
LT.
249
detM = (bd−γδ)AB = DAB > 0
mentre la traccia di M e negativa.Quindi il punto e stabile
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LO
250
Il Pendoloeil Pendolo Rovesciato
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOS
EM
PLI
CE
251
Il Pendolo semplice
mg cos θmg sin θ
mg
θ
θ
θ
P
Una pallina P di massa m eattaccata all’estremita di un’astadi massa trascurabile imperniatanell’altra estremita.
• ` e la lunghezza dell’asta• θ(t) e l’angolo che l’asta forma con la verticale nell’istante t• s(t) = `θ(t) e la distanza, sull’arco di circonferenza descritto
dalla pallina, dalla posizione allineata con la verticale
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOS
EM
PLI
CE
252
si ha
s(t) = `θ(t)
s(t) = `θ(t)
s(t) = `θ(t)
La pallina si suppone sottoposta• alla forza peso• ad una forza che si oppone alla direzione del moto proporzionale
alla velocita (resistenza del mezzo).
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOS
EM
PLI
CE
253
L’equazione che governa il sistema sara data da
m`θ(t) = −k`θ(t) −mg sinθ(t)
A meno di ridenominare le costanti in gioco si ottiene
θ(t) = −Rθ(t) − P sinθ(t)
Posto x(t) = θ(t)
y(t) = θ(t)
otteniamo che il sistema e governato dalle equazioni
(68)
x(t) = y(t)
y(t) = −Ry(t) − P sin x(t)
Ci sono due punti di equilibrio
(x, y) = (0, 0) e (x, y) = (π, 0)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOS
EM
PLI
CE
254
La stabilita si puo studiare usando il sistema linearizzato:
• Per (x, y) = (0, 0)x(t) = y(t)
y(t) = −Ry(t) − Px(t)
• Per (x, y) = (0, π)(x(t) − π)′ = y(t)
y(t) = −Ry(t) + P(x(t) − π)
Lo studio degli autovalori delle matrici dei coefficienti mostra che peril primo sistema (0, 0) e un punto di equilibrio stabile mentre per ilsecondo sistema (π, 0) e un punto di equilibrio instabile.
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOR
OV
ES
CIA
TO
255
Il pendolo rovesciato
P
mw cos θ
mw
mg sin θ
mg
θ
θ
θ
Una pallina P di massa m eattaccata all’estremita di un’astadi massa trascurabile imperniatanell’altra estremita.Consideriamo la variabile θ mi-surata a partire dalla posizioneverticale.
La posizione di equilibrio (x, y) = (0, 0) e instabile (corrisponde allaprecedente (π, 0)) e possiamo porci il seguente problema
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOR
OV
ES
CIA
TO
256
E possibile, applicando una opportuna forza sul perno dell’asta,mantenere la pallina in equilibrio?
Applichiamo sul perno una forza v = −mw(t) rivolta in modo dacontrastare la caduta della pallina; la forza applicata si puo rappresen-tare agente in P.
L’equazione che governa il sistema e data da
m`θ(t) = −k`θ(t) +mg sinθ(t) −mw(t) cosθ(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOR
OV
ES
CIA
TO
257
Dalla
m`θ(t) = −k`θ(t) +mg sinθ(t) −mw(t) cosθ(t)
si ha
θ(t) = −k
m`θ(t) +
g
`sinθ(t) −
w(t)
`cosθ(t)
Posto x(t) = θ(t)
y(t) = θ(t)
Il sistema e governato dalle equazionix(t) = y(t)
y(t) = −k
m`y(t) +
g
`sin x(t) −
w(t)
`cos x(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOR
OV
ES
CIA
TO
258
e ancora, a meno di ridenominare le costanti,x(t) = y(t)
y(t) = −Ry(t) + P sin x(t) −w(t)
`cos x(t)
Supponiamo che la forza riequilibrante il sistema sia lineare in θ e θ,
w(t)
`= aθ(t) + bθ(t) = ax(t) + by(t)
Il sistema diventax(t) = y(t)
y(t) = −Ry(t) + P sin x(t) − (ax(t) + by(t)) cos x(t)
e linearizzando in (0, 0)x(t) = y(t)
y(t) = (−b− R)y(t) + (−a+ P)x(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
EN
DO
LOR
OV
ES
CIA
TO
259
Possiamo scegliere a e b in modo che il sistema sia stabilePosto
b+ R = µ
P− a = η
Il sistema si scrive x(t) = y(t)
y(t) = ηx(t) − µy(t)
Gli autovalori del sistema sono dati da
−µ±√µ2 + 4η
2
ed e facile determinare µ e η in modo che il sistema sia stabile.Ad esempio µ > 0 e η < 0, ma non solo.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NS
ER
VA
ZIO
NE
DE
LLA
MA
SS
AO
DE
260
Conservazione della massa
Sono basati sulla seguente semplice osservazione:
in un sistema isolato il bilancio tra la quantita di materia che entra,quella che esce e quella che che rimane deve essere in pareggio.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CA
PAC
ITA
DI
UN
LAG
O
261
Capacita di un lagoIpotizziamo che
L’acqua entra in un lago con un flusso costante di K litri al minuto e dallago ne evapora una quantita proporzionale secondo una costanteH a v2/3
dove con v si indica il volume di acqua presente nel lago
v(t) il volume di acqua nel lago all’istante t;Avremo
lim∆t→0
v(t+ ∆t) − v(t)
∆t= v(t)
e quindi, in assenza di evaporazione,
v(t) = K
ondev(t) = v(0) + Kt
¼
½
¶
·
´
¹
I
CA
PAC
ITA
DI
UN
LAG
O
262
L’evaporazione e proporzionale alla superficie del lago
Vol = `3 Surf = `2
quindi possiamo stimare che la superficie del lago sia proporzionale av2/3(t).
Ne concludiamo che l’evaporazione e data da
−Hv2/3(t)
avremov(t) = K−Hv2/3(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
CA
PAC
ITA
DI
UN
LAG
O
263
L’equazione 22 ammette una solu-zione costante
v(t) =
(K
H
)3/2se v(t) <
(KH
)3/2allora v(t) > 0
quindi v(t) e crescentese v(t) >
(KH
)3/2allora v(t) < 0 e
v(t) e decrescente.La soluzione costante e stabile
¼
½
¶
·
´
¹
I
INQ
UIN
AM
EN
TO
INU
NLA
GO
264
Grado di inquinamento di un lago
Un inquinante entra in un lago con flusso costante σ, p(t)e la massa di in-quinante al tempo t; esso viene metabolizzato dai batteri presenti nel lagoin quantita proporzionale alla sua massa secondo una costante k In questoprocesso viene consumata una quantita dell’ossigeno disciolto nelle acquedel lago pari alla massa di inquinante decomposto. Il livello o(t) di ossi-geno nel lago tuttavia e reintegrato attraverso il contatto tra la superficiedell’acqua e l’aria in maniera proporzionale alla differenza om−o(t) trail valore di saturazione dell’ossigeno om e la quantita di ossigeno presenteo(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
INQ
UIN
AM
EN
TO
INU
NLA
GO
265
Le equazioni che descrivono questo fenomeno possono pertanto es-sere scritte nella seguente maniera
(69)
p(t) = σ− kp(t)
o(t) = −kp(t) + h(om − o(t))
Le soluzioni di equilibrio della 69 sono
p =σ
ko = om −
σ
h
Linearizzando il sistema in (p, o) (e gia lineare ma non omogeneo)p = −k(p− σ
k) = −k(p− p)
o = −k(p− σk+ σ
k) + h(om − (o− (om − σ
h) + (om − σ
h)))
¼
½
¶
·
´
¹
I
INQ
UIN
AM
EN
TO
INU
NLA
GO
266
da cuip = −k(p− p)
o = −k(p− p) − σ+ h(om − (o− o) − om + σh)
ed ancora p = −k(p− p)
o = −k(p− p) − h(o− o)
la matrice dei coefficienti del sistema e
A =
(−k 0
−k −h
)
ha autovalori −k, −h, negativiLa soluzione del sistema e stabile.
¼
½
¶
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I
INQ
UIN
AM
EN
TO
INU
NLA
GO
267
¼
½
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I
MO
DE
LLIP
DE
268
Modelli differenziali P.D.E.(PartialDifferentialEquations)
¼
½
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I
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PO
RT
O
269
Modelli di Trasporto
Una massa di sostanza si muove lungo l’asse x nel tempo t.In un sistema isolato il bilancio tra la quantita di materia che entra,
quella che esce e quella che che rimane deve essere in pareggio.Siano• ρ(x, t) la densita della sostanza che intendiamo studiare,• x la coordinata relativa all’asse su cui avviene il movimento• t la variabile di tempo.
¼
½
¶
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PO
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O
270
Le dimensioni di ρ sonounita di massa
unita di lunghezza=∂m
∂x
la massa compresa in I = [x, x+ ∆x] e
m(t, x, x+ ∆x) =
∫x+∆xx
ρ(t, s)ds
φ(x, t) e il flusso attraverso x al tempo t,(φ(x, t) e la quantita di massa che transita per il punto x nell’istante
t)Le dimensioni di φ sono
unita di massaunita di tempo
=∂m
∂t
La massa che transita attraverso il punto x nel tempo T = [t, t+ ∆t]
e
m(t, t+ ∆t, x) =
∫ t+∆tt
φ(s, x)ds
¼
½
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I
TR
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O
271
Sia m(t, x) la massa presente all’istante t nel punto xOsserviamo che:• La massa in [x, x+ ∆x] all’istante t e∫x+∆x
x
ρ(t, s)ds = ρ(t, x)∆x x ≤ x ≤ x+ ∆x
• La massa che transita attraverso il punto x nel tempo [t, t+ ∆t]
e ∫ t+∆tt
φ(s, x)ds = φ(t, x)∆t t ≤ t ≤ t+ ∆t
¼
½
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O
272
Avremo che(1) la massa in I all’istante t e ρ(t, x)∆x(2) la massa in I all’istante t+ ∆t e ρ(t+ ∆t, x)∆x(3) la massa che transita in x nel tempo tra t e t+ ∆t e φ(t, x)∆t
(4) la massa che transita in x + ∆x nel tempo tra t e t + ∆t eφ(t, x+ ∆x)∆t
La variazione della massa contenuta in I nel tempo T e uguale alladifferenza tra quanto e entrato in I e quanto e uscito da I, nel tempo T
(ρ(t+ ∆t, x) − ρ(t, x)
)∆x =
(φ(t, x) −φ(t, x+ ∆x)
)∆t
¼
½
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RT
O
273
Dividendo per ∆t∆x
(70)ρ(t+ ∆t, x) − ρ(t, x)
∆t=φ(t, x) −φ(t, x+ ∆x)
∆x
e passando al limite per ∆x → 0 e ∆t → 0 poiche
x ≤ x, x ≤ x+ ∆x t ≤ t, t ≤ t+ ∆t
si ha
(71)∂ρ(x, t)
∂t= −
∂φ(x, t)
∂x
¼
½
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O
274
Alternativamente: Siaµ(t, x)
la massa che e fluita attraverso il punto x fino all’istante t, se definiamoil flusso istantaneo mediante la
φ(t, x) = lim∆t→0
µ(t, x) − µ(t+ ∆t, x)
∆t= −
∂µ
∂t(t, x)
avremo che
(72)φ(t, x) −φ(t, x+ ∆x)
∆x= −
1
∆x
∂
∂t(µ(t, x) − µ(t, x+ ∆x)) =
=1
∆x
∂
∂t
∫x+∆xx
ρ(t, s)ds
Cioe la differenza tra massa entrante ed uscente e pari alla massapresente in [x, x+ ∆x] e scambiando derivata ed integrale
φ(t, x) −φ(t, x+ ∆x)
∆x=1
∆x
∫x+∆xx
(∂
∂tρ(t, s)
)ds
Passando al limite per ∆x → 0 si ottiene l’equazione 71.
¼
½
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O
275
Possiamo tenere conto di apporto o sottrazione di massa medianteun termine k(x, t) a secondo membro
(73)∂ρ(x, t)
∂t= −
∂φ(x, t)
∂x+ k(x, t)
L’equazione 73 contiene troppe incognite (ρ e φ); occorre ipotizzareuna dipendenza tra ρ e φ. Ad esempio
φ = φ(ρ)
cosı che∂φ
∂x=
(dφ
dρ
)(∂ρ
∂x
)l’equazione 73 diventa allora
(74)∂ρ(x, t)
∂t= −
(∂φ(ρ(x, t))
∂ρ
)(∂ρ(x, t)
∂x
)+ k(x, t)
¼
½
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I
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O
276
Due casi significativi di dipendenza di φ da ρ:
Si hanno per
• φ(ρ) = v(x, t)ρ (advezione).v(x, t) ha dimensione
unita di lunghezzaunita di tempo
cioe ha le dimensioni di una velocita; rappresenta la velocita concui la materia si muove lungo l’asse x; infatti
v =φ
ρ=
unita di massaunita di tempo
unita di lunghezzaunita di massa
Il caso piu semplice si incontra quando v(x, t) = c.
¼
½
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O
277
• φ(ρ) = −ν∂ρ∂x(x, t) (diffusione).
Caratteristico della propagazione del calore. Il calore tende afluire, proporzionalmente al gradiente di temperatura (la densitadi calore), dalla temperatura piu alta verso la piu bassa.
La tipica equazione di advezione prende la forma
(75)∂ρ(x, t))
∂t= −
∂(ρ(x, t)v(x, t))
∂x+ k(x, t)
¼
½
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O
278
La tipica equazione di diffusione e
(76)∂ρ(x, t)
∂t= ν∂2ρ(x, t)
∂x2+ k(x, t)
Piu in generale gli effetti di advezione e di diffusione possono sovrap-porsi ed in tal caso l’equazione diventa
(77)∂ρ(x, t)
∂t= ν∂2ρ(x, t)
∂x2−∂(ρ(x, t)v(x, t))
∂x+ k(x, t)
¼
½
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279
Modello di trasporto di un in-quinante in un fiumeUn inquinante organico e mescolato alle acque di un fiume, che scorrecon velocita costante c lungo l’asse x; vogliamo conoscere la concentra-zione ρ(x, t), che supponiamo omogenea in ciascuna sezione del fiume,dell’inquinante nota la distribuzione iniziale ρ(x, 0) dell’inquinante stes-so, tenendo conto che l’inquinante viene degradato dall’azione batteri-ca proporzionalmente alla concentrazione di inquinante e trascurando ifenomeni diffusivi.
Si tratta di advezione: la velocita con cui si muove la massa e c.
¼
½
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280
Puo essere modellizzata utilizzando l’equazione
(78)∂
∂tρ(x, t) = −c
∂
∂xρ(x, t) − µρ(x, t)
µρ(x, t) descrive la metabolizzazione dell’inquinante da parte deibatteri presenti nel fiume.
Riscriviamo la 78 nella forma
∂
∂tρ(x, t) + c
∂
∂xρ(x, t) = −µρ(x, t)
Il primo membro e la derivata rispetto a t della funzione
R(x, t) = ρ(x+ ct, t)
¼
½
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UN
FIU
ME
281
e quindi
d
dtR(x, t) =
d
dtρ(x+ ct, t) =
=∂
∂tρ(x+ ct, t) + c
∂
∂xρ(x+ ct, t) =
= −µρ(x+ ct, t) = −µR(x, t)
Integrando l’equazione differenziale lineare
ρ(x+ ct, t) = h(x)e−µt
poiche ρ(x, 0) = ρ0(x) (e nota la densita iniziale lungo il fiume)
ρ0(x) = ρ(x, 0) = h(x)
da cuiρ(x+ ct, t) = ρ0(x)e
−µt
eρ(x, t) = ρ0(x− ct)e
−µt
¼
½
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282
Consideriamo la situazione in cui
Si verifichi in una locazione x = 0 che possiamo supporre coincidente conl’origine una immissione di inquinante con flusso costanteγ. (Supponendoche il fiume sia in precedenza pulito)
Allo scopo, posto
γ(t) =
0 t < 0
γ0 t ≥ 0possiamo imporre nella 24 che
γ(t) = ρ(0, t) = ρ0(−ct)e−µt
Se x = −ct da cui t = −xc
si ha
γ(−x
c) = ρ0(x)e
µx/c ρ0(x) = γ(−x
c)e−µx/c
¼
½
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ME
283
Quindi
ρ(x, t) = ρ0(x− ct)e−µt = γ(
ct− x
c)e−µ(x−ct)/ce−µt
Infineρ(x, t) = γ(t−
x
c)e−µx/c
pert−
x
c< 0 cioe per x > ct
l’inquinante ha densita ρ nulla.(L’inquinante, in quel momento non ha ancora raggiunto quel punto delfiume).
L’equazione si puo integrare numericamente, ad esempio con MA-PLE
¼
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284
> restart;> with(plots);> with(linalg);> tot:=100:> a:=matrix(tot,tot):> for m from 1 to tot do> a[1,m]:=1> od:> for n from 2 to tot do> a[n,1]:=0> od:> c:=.8: mu:=1: h:=.05: k:=.05:> alpha:=1-c*h/k-h*mu: beta:=c*h/k:> for m from 1 to tot-1 do> for n from 2 to tot do> a[n,m+1]:=alpha*a[n,m]+beta*a[n-1,m]> od;> od;> plotsetup(window);
> matrixplot(a,orientation=[-70,65]);
¼
½
¶
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285
Anche il livello δ dell’ossigeno disciolto nel fiume, deve soddisfareuna equazione di trasporto del tipo
(79)∂
∂tδ(x, t) + c
∂
∂xδ(x, t) = −µρ(x, t) + µ1(δm − δ(x, t))
• −µρ(x, t) esprime che il livello di ossigeno diminuisce in manie-ra proporzionale all’inquinante metabolizzato,• µ1δ(x, t) e il reintegro mediante scambio con l’atmosfera, pro-
porzionale alla differenza tra il livello δm di saturazione ed il livelloattuale δ(x, t).
¼
½
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286
L’equazione 79 puo essere integrata come le precedenti.
Posto D(t) = δ(x+ ct, t) dalla 79 si ricava
D′(t) =∂
∂tδ(x+ ct, t) + c
∂
∂xδ(x+ ct, t) =
= −µρ(x+ ct, t) + µ1(δm − δ(x+ ct, t)) =
= −µ1D(t) + µ1δm − µρ0(x)e−µt
ed infineD′(t) = −µ1D(t) + µ1δm − µρ0(x)e
−µt
Si tratta di una equazione lineare la cui soluzione e
(80) D(t) = k(x)e−µ1t + δm +µρ0(x)
µ− µ1e−µt
¼
½
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287
Tenuto conto che il fiume all’istante iniziale e pulito, si ha
δ(0, t) = δm
quindi si puo ricavare k(x) e la 80 diventa
D(t) =µρ0(x)
µ− µ1(e−µt − e−µ1t) + δm
Poiche D(t) = δ(x+ ct, t)
δ(x+ ct, t) =µρ0(x)
µ− µ1(e−µt − e−µ1t) + δm
da cui
δ(x+ ct, t) = =µγ(−x
c)e−µx/c
µ− µ1(e−µt − e−µ1t) + δm
e
δ(x, t) =µγ(t− x
c)e−µ(x−ct)/c
µ− µ1(e−µt − e−µ1t) + δm
¼
½
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INA
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UN
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288
Infine
δ(x, t) = δm +µγ(t− x
c)e−µx/c
µ− µ1(1− e(µ−µ1)t)
Grafici di ρ e di δ.
¼
½
¶
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I
PD
E
289
Qualche risultato sulle P.D.E.
¼
½
¶
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I
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NI
LIN
EA
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IN3
VA
RIA
BIL
I
290
Equazioni lineari in 3 variabiliConsideriamo l’equazione differenziale alle derivate parziali
(81)
P(x, y, z)∂u
∂x(x, y, z)+Q(x, y, z)
∂u
∂y(x, y, z)+R(x, y, z)
∂u
∂z(x, y, z) =
= Pux +Quy + Ruz = 0
Risolvere la 81 significa trovare una funzione u(x, y, z) tale che
Pux +Quy + Ruz
Possiamo riscrivere la 81 dividendo per uz( 6= 0) per ottenere
(82) Pux
uz+Q
uy
uz+ R = 0
¼
½
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I
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BIL
I
291
Poiche supponiamo uz 6= 0, l’equazione
u(x, y, z) = 0
definisce localmentez = φ(x, y)
cioeu(x, y, z) = c ⇐⇒ z = φ(x, y)
e risultaφx = −
ux
uz, φy = −
uy
uz
Quindi u risolve la 81
Pux +Quy + Ruz = 0
se e solo se la corrispondente φ risolve la 82
Pφx +Qφy = R
¼
½
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I
292
u(x, y, z) = 0, cosı come z = φ(x, y), definisce una superficie S inR3
Una parametrizzazione locale della superficie S e data da
(83) S(x, y) =
x = x
y = y
z = φ(x, y)
Avremo
∇S(x, y) =
(1 0 φx0 1 φy
)e quindi il vettore normale ad S e
N = (−φx,−φy, 1) =
(ux
uz,uy
uz, 1
)
¼
½
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IN3
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I
293
Quindi, a meno di un eventuale fattore di proporzionalita,
N = (φx, φy,−1) oppure N = (ux, uy, uz)
Se definiamo il campo vettoriale
F(x, y, z) =(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
)La 81 oppure, equivalentemente, la 82 puo essere messa nella forma
(84) 〈N, F〉 = 0
Pertanto la soluzione u(x, y, z) di 81, o la soluzione φ(x, y) della82, definiscono una superficie S mediante l’equazione u(x, y, z) = 0
oppure z = φ(x, y) la cui normale deve risultare perpendicolare inogni punto al campo vettoriale F.
¼
½
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294
Una linea che in ogni punto abbia tangente parallela al campo F sidice linea di campo o linea di forza.
Poiche la normale alla superficie S soluzione e perpendicolare alcampo F, le linee di forza devono giacere sulla superficie soluzione S.
Pertanto possiamo descrivere la superficie soluzione mediante lelinee di forza del campo che si possono trovare nella forma
(x(t), y(t), z(t))
ed in tal caso saranno definite da
(85)
x(t) = λP(x(t), y(t), z(t))
y(t) = λQ(x(t), y(t), z(t))
z(t) = λR(x(t), y(t), z(t))
¼
½
¶
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I
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I
295
Possiamo anche esprimere y = y(x) e z = z(x) per cui
y(t) = y′(x)x(t) , z(t) = z′(x)x(t)
e le 85
(86)
x(t) = λP(x(t), y(t), z(t))
y(t) = λQ(x(t), y(t), z(t))
z(t) = λR(x(t), y(t), z(t))
possono essere riscritte come
(87)
y′(x) =
Q(x, y(x), z(x))
P(x, y(x), z(x))
z′(x) =R(x, y(x), z(x))
P(x, y(x), z(x))
¼
½
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I
296
Se siamo in grado di trovare due funzioni α e β tali cheα(x, y, z) = c1
β(x, y, z) = c2
che forniscano la soluzione di 87 allora avremo
αx + αyy′ + αzz
′ = 0
cuiαx + αy
Q
P+ αz
R
P= 0
QuindiPαx +Qαy + Rαz = 0
In modo similePβx +Qβy + Rβz = 0
Pertanto α, β sono soluzioni di 81.
¼
½
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RI
IN3
VA
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BIL
I
297
Si verifica subito cheu = Φ(α, β)
e soluzione della stessa 81Infatti
ux = Φααx +Φββx
uy = Φααy +Φββy
uz = Φααz +Φββz
Da cui
Pux +Quy + Ruz =
= Φα(Pαx +Qαy + Rαz) +Φβ(Pβx +Qβy + Rβz) = 0
¼
½
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VA
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I
298
Se viceversa u = u(x, y, z) risolve la 81 allora
(88)
Pux +Quy + Ruz = 0
Pαx +Qαy + Rαz = 0
Pβx +Qβy + Rβz = 0
Il sistema 88 ammette una soluzione (P,Q, R) non identicamentenulla e pertanto deve risultare
det
ux uy uzαx αy αzβx βy βz
= 0
Quindi si puo dimostrare (Stampacchia Analisi 2) che esiste unafunzione Ψ tale che u = Ψ(α, β).
¼
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I
299
Equazioni lineari in 2 variabili
Consideriamo l’equazione
(89) a(x, y)ux(x, y) + b(x, y)uy(x, y) = 0
u(x, y) e soluzione della 89 se se solo se
a(x, y)ux(x, y) + b(x, y)uy(x, y) = 0
Se supponiamo che uy(x, y) 6= 0 avremo che
¼
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VA
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I
300
u(x, y) = u0(90) mux(x, y(x)) + uy(x, y(x))y
′(x) = 0my′(x) = −
ux(x, y(x))
uy(x, y(x))my′(x) = −
a(x, y(x))
b(x, y(x))mg(x, y) = k
¼
½
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IN2
VA
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I
301
Quindi u0 e k sono legati da una dipendenza funzionale; u0 = φ(k)
e si hau(x, y) = u0 = φ(k) = φ(g(x, y))
La soluzione dell’equazione differenziale data puo essere espressamediante la soluzione g(x, y) = k della 90 e di una funzione arbitrariaφ
Eventuali dati iniziali, ad esempio u(x, 0) = u0(x) possono esseresoddisfatti imponendo condizioni su φ.
Ad esempiou0(x) = u(x, 0) = φ(g(x, 0))
da cui si ricava φ.
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NE
AR
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VA
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302
Equazioni Quasi Lineari in 2 variabiliSono equazioni del tipo
P(x, y,φ)∂φ
∂x+Q(x, y,φ)
∂φ
∂y= R(x, y,φ)
Sono equivalenti all’equazione lineare in 3 variabili
P(x, y, z)∂u
∂x(x, y, z)+Q(x, y, z)
∂u
∂y(x, y, z)+R(x, y, z)
∂u
∂z(x, y, z) = 0
nell’incognita u(x, y, z) che risulta legata a φ mediante la
u(x, u, z) = c ⇐⇒ z = φ(x, y)
¼
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NIQ
UA
SILI
NE
AR
IIN2
VA
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I
303
Risulta inoltre
φx = −ux
uz, φy = −
uy
uz
Quindi φ risolve l’equazione quasi lineare
Pφx +Qφy = R
se e solo se la corrispondente u risolve l’equazione lineare
Pux +Quy + Ruz = 0
¼
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ST
RA
DA
LE
304
Modelli differenziali di TrafficoAutostradale
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ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
305
Il traffico lungo un’autostrada puo essere descritto mediante un mo-dello di trasporto in cui il flusso dipende dalla densita delle auto.
La natura del modello e discreta
Se consideriamo la situazione da molto distante possiamo ritenere ilflusso delle auto come il flusso di una massa continua con densita ρ.
x, variabile di spazio, identifica un punto sulla retta che descrivel’autostradat, variabile di tempo.
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I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
306
L’equazione che governa il flusso delle auto e di tipo advettivo, ditrasporto;
Non prevediamo che nel tratto in esame esistano ingressi od uscite.
Occorre ipotizzare il comportamento del flussoφ rispetto alla densitaρ delle auto.
Possiamo fare riferimento a dati che si possono facilmente verificareosservando il traffico.
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
307
Supponiamo che(1) La velocita delle auto e compresa tra 0 e vm.(2) La velocita delle auto dipende dalla densita.
Se ρm e la massima densita possibile, supponiamo che
(91) v(ρ) = vm
(1−
ρ
ρm
)
Dalla 91 si ricava• se ρ = 0 allora v = vm• se ρ = ρm allora v = 0.
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
308
L’equazione che ne risulta sara del tipo 74
∂ρ(x, t))
∂t= −
∂(ρ(x, t)v(x, t))
∂x+ k(x, t)
Tenuto conto che
(92) φ(ρ) = v(ρ)ρ = vm
(ρ−
ρ2
ρm
),
d
dρφ(ρ) = vm
(1−
2ρ
ρm
)si ottiene
(93)∂ρ(x, t)
∂t= −vm
(1−
2ρ(x, t)
ρm
)∂ρ(x, t)
∂x
o piu brevemente
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
309
(94) ρt = −vm
(1−
2ρ
ρm
)ρx = −φ′(ρ)ρx
Studiamo la soluzione individuandone le curve di livello;Cerchiamo cioe di trovare le curve descritte dalle equazioni (x(t), t)
sulle quali risulta
(95) ρ(x(t), t) = costante = ρ0
In tal caso avremo che
φ′(ρ) = φ′(ρ0) = φ′0
e esso pure costante. Pertanto possiamo riscrivere la 94 come
(96) ρt = −φ′0ρx
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
310
Derivando la 95
ρ(x(t), t) = costante = ρ0
si ha
(97) ρt + x(t)ρx = 0
Da 97 e 96 si ricava
x(t) = φ′o
da cui, ricordando che φ′0 = φ′(ρ0),
x(t) = φ′0t+ x0
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
311
Alle stesse conclusioni si puo pervenire usando i risultati enunciatiper le P.D.E. lineari in 3 variabili ??.
Nel nostro caso le 87 diventanox(t) = vm
(1− 2ρ(t)
ρm
)ρ(t) = 0
da cui si ricava x(t) = vm
(1− 2ρo
ρm
)= φ′0
ρ(t) = ρ0
ed anche
x(t) = x(t) = φ′0t+ x0
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
312
Le curve di livello (x(t), t) della soluzione ρ(x, t) sono rette di equa-zione x = φ′0t+ x0. Se ρ(x, 0) = ρ0(x) si ha
(98) ρ(φ′0t+ x0, t) = ρ(x0, 0) = ρ0(x0)
E se supponiamo nota la densita iniziale ρ0(x)
ρ(x, t) = ρ(x−φ′(ρ0)t, 0) = ρ0(x−φ′0t)
Esaminiamo qualche esempio
Le auto sono incolonnate ad un semaforo prima del quale la densita emassima e dopo il quale la densita e nulla.
¼
½
¶
·
´
¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
313
Indichiamo con 0 l’istante in cui il semaforo diventa verde
Il flusso di traffico successivo puo essere descritto dall’equazione 93
(99) ρt = −vm
(1−
2ρ
ρm
)ρx = −φ′(ρ)ρx
con la condizione iniziale
(100) ρ(x, 0) = ρ0(x) =
ρm x < 0
0 x > 0
In corrispondenza di tali dati iniziali avremo che
φ′0 = φ′0(ρ(x, 0)) = φ′0(ρ0(x)) = =
vm x > 0 (ρ0 = 0)
−vm x < 0 (ρ0 = ρm)
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
314
Le rette su cui risulta costantela densita, (linee caratteristichedell’equazione), sono
x =
vmt+ x0 x0 > 0
−vmt+ x0 x0 < 0
Su ognuna di tali rette la densita eρ0 ed il flusso corrispondente e
φ′0 = φ′(ρ(x, 0)) = φ′(ρ0)
Tali rette coprono solo una partedel semipiano t > 0Non forniscono nessuna informa-zione su quanto accade nella zonadi tale semipiano che e compresatra le rette x = ±vmt
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
315
La zona non coperta corrisponde al caso x0 = 0; non e possibile dareun valore della densita per x0 = 0; infatti• a destra di zero la densita e nulla• a sinistra e massima
e quindi la densita presenta in zero una discontinuita di tipo salto.In tale zona vogliamo definire ρ(x, t) in modo di raccordare ρm con
0.
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
316
Per x0 = 0 le curve di livello della densita ρ sono
(101) x = φ′(ρ(0, 0))t = φ′(ρ0(0))t
ma la densita iniziale ρ0(0) non e definita, possiamo soltanto affermareche
ρ0(0) ∈ [0, ρm]
Quindi
φ′(ρ0(0)) = vm
(1−
2ρ0(0)
ρm
)∈ [−vm, vm]
Pertanto per x0 = 0 possiamo considerare non una ma infinite rettesulle quali ρ e costante.
Se in t = 0 assumiamo un valore della densita ρ, tale valore simanterra costante sulla retta
x = φ′(ρ)t = vm
(1−
2ρ
ρm
)t
¼
½
¶
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I
TR
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TO
ST
RA
DA
LE
317
Ricavando ρ si ottiene
(102) ρ =1
2ρm
(1−
x
vmt
)Osserviamo che per t = 0 la 102 non e definita.
La 102 soddisfa l’equazione 93; infatti si ha
ρt =x
2vmt2, ρx =
−1
2vmt
Per cui, trascurando la costante 12ρm,
x
vmt2+ vm
(1−
2ρ
ρm
)(−1
vmt
)=
x
vmt2−1
t+2ρ
ρmt=
=x
vmt2−1
t+ρm
(1− x
vmt
)ρmt
= 0
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
318
La soluzione cosı definita ha linee di livello che sono rette per l’origineEsse corrispondono ai diversi valori di densita assunti nell’origine;• da ρm, in corrispondenza del quale x = −vmt,• a 0 caso in cui x = vmt
Infatti
ρ =1
2ρm
(1−
x
vmt
)= k ⇐⇒ x = vm
(1−
2k
ρm
)
¼
½
¶
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I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
319
Le rette (al variare di k ∈ [0, ρm] hanno pendenza crescente da −vma vm e coprono la zona lasciata scoperta dalle precedenti considera-zioni. Sono le caratteristiche che passano per l’origine.
I punti della retta x = −vmt caratterizzano i tempi ed i luoghi in cuiinizia il movimento di un’auto in coda al semaforo.
Al tempo t iniziano a muoversi le auto che per t = 0 si trovano allaposizione x = −vmt mentre al tempo t l’auto che si trova in x = 0 pert = 0 avra raggiunto la posizione x = vmt.
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
320
La velocita con cui le auto si muovono nella zona in esame, sara
(103) v = vm
(1−
ρ
ρm
)e quindi dalla soluzione 102 trovata per ρ,
v = vm
(1−
1
2
(1−
x
vmt
))per cui
v = vm
(1
2+
x
2vmt
)e
v =vm
2+x
2t
Se x(t) e la posizione di un’auto avremo che x(t) = v.Ne viene che
x(t) =vm
2+x
2t
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
321
Si e in questo modo trovata una equazione differenziale che definisceil movimento dell’auto alla partenza dopo il verde.
Una condizione iniziale puo essere dedotta tenendo conto che l’autocomincia a muoversi da x0 al tempo t0 = −x0/vm;
Ne viene x(t) = x(t)
2t+ vm
2
x(− x0vm
) = x0
L’integrale generale dell’equazione e
x(t) = C1√t+ vmt
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
322
Imponendo che
x0 = x(−x0
vm) = C1
√−x0
vm+ vm
(−x0
vm
)si ricava
C1 = −2√−x0vm
per cui la cui soluzione del problema di Cauchy e
x(t) = −2√−x0vm
√t+ vmt
√t√vm
(√vm√t− 2
√−x0
)
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
323
Si calcola che l’auto raggiungera il semaforo al tempo t tale chex(t) = 0; si ricava
t = −4x0
vm
La figura seguente mostra come si muove un’auto in coda al sema-foro dopo che il semaforo e diventato verde.
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
324
Una situazione opposta si verifica quando la densita di traffico au-menta. In tal caso il metodo delle caratteristiche presenta inconvenientie si rendono necessari degli aggiustamenti.
La densita iniziale sia data da
(104) ρ(x, 0) = ρ0(x) =
ρm4
x < 0
ρm x > 0
Avremo che
φ′0 = φ′0(ρ(x, 0)) = φ′0(ρ0(x)) = =
vm2
x < 0 (ρ0 =ρm4)
−vm x > 0 (ρ0 = ρm)
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
325
Le caratteristiche su cui risulta costante la densita dell’equazione,saranno date da
x =
vm2t+ x0 x0 < 0
−vmt+ x0 x0 > 0
come si vede nella figura seguente.
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
326
Dalla figura si vede che la situazione non e affatto chiara:esiste una zona del piano in cui le caratteristiche si sovrappongono
Cio causa la mancanza di unicita della soluzione, o meglio la suaindeterminatezza.
Questo e dovuto alla discontinuita del dato iniziale Dobbiamo pertan-to operare una scelta tra le due soluzioni.
Poiche la densita e discontinua la 71 puo causare problemi.Ad esempio puo non essere lecito lo scambio tra derivata ed integrale
in 72.
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
327
La 72 afferma
φ(t, x) −φ(t, x+ ∆x) =
=d
dt
∫x+∆xx
ρ(t, s)ds
Se σ(t) ∈ [x, x+∆x] e un punto incui si verifica la discontinuita la 72applicata agli intervalli [x, σ+(t)] e[σ−(t), x+ ∆x] assicura
d
dt
∫σ(t)x
ρ(s, t)ds+d
dt
∫x+∆xσ(t)
ρ(s, t)ds =
= φ(σ−(t), t)−φ(x+∆x, t)−φ(σ+(t), t)+φ(x, t)
x+ ∆xx
σ(t)
σ+σ−
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
328
D’altro canto per le solite regole di derivazione si ha
d
dt
∫σ(t)x
ρ(s, t)ds+d
dt
∫x+∆xσ(t)
ρ(s, t)ds =
= σ(t)ρ(σ−(t), t) +
∫σ(t)x
∂ρ(s, t)
∂tds− σ(t)ρ(σ+(t), t)+
+
∫x+∆xσ(t)
∂ρ(s, t)
∂tds
Quindi se x → σ(t)− e x+ ∆x → σ(t)+ otteniamo
σ(t)ρ(σ−(t), t) − σ(t)ρ(σ+(t), t) = −φ(σ+(t), t) +φ(σ−(t), t)
¼
½
¶
·
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
329
Piu brevemente
σ(t)ρ− − σ(t)ρ+ = −φ+ +φ−
ovvero
σ(t) =φ+ −φ−
ρ+ − ρ−=ρ+v+ − ρ−v−
ρ+ − ρ−
Nel nostro caso si verifica subito che
ρ+ = ρm , ρ− =ρm
4
v+ = 0 , v− =3vm
4
¼
½
¶
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¹
I
TR
AFF
ICO
AU
TO
ST
RA
DA
LE
330
Per cui
(105) σ(t) = −vm
4e σ(t) = −
vm
4t
La 105 rappresenta l’equazione della curva lungo la quale si passada velocita v− = 3vm
4a velocita v+ = 0 ed ivi si riscontra una brusca
interruzione del traffico; quindi σ(t) individua il punto in cui in trafficosubisce uno shock e ne descrive l’andamento nel tempo; solitamenteσ(t) viene indicata come shock wave (onda d’urto).
¼
½
¶
·
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¹
I
CA
LCO
LOD
ELL
EV
AR
IAZ
ION
I
331
Qualche risultatodiCalcolo delle Variazioni
¼
½
¶
·
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¹
I
CA
LCO
LOD
ELL
EV
AR
IAZ
ION
I
332
Il problema classico di calcolo delle variazioni consiste nel minimiz-zare un funzionale integrale che dipende da una funzione e dalla suaderivata.
Piu precisamente sef : R2 → R
e abbastanza regolare e se C1 e lo spazio delle funzioni
x : [a, b] → R
continue con la loro derivata, possiamo porci il problema di trovare
minx∈C1,x(a)=α,x(b)=β
∫ba
f(x(t), x(t))dt
¼
½
¶
·
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¹
I
MIN
IMA
DIS
TAN
ZA
333
La curva di lunghezza minima per due punti fissati
Determinare la curva y(x), nel piano (x, y), che passa per due punti
P0 = (a, y0) e P1 = (b, y1)
mediante la quale si passa dal punto P0 al punto P1 percorrendo laminima distanza.
La lunghezza di una curva si calcola mediante la∫ba
√1+ (y′(x))2dx
Il problema si riduce a trovare
miny∈C1,y(a)=y0,y(b)=y1
∫ba
√1+ (y′(x))2dx
¼
½
¶
·
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¹
I
LAB
RA
CH
IST
OC
RO
NA
334
La brachistocrona
Trovare la curva da seguire per minimizzare il tempo di percorrenzanecessario perche un punto materiale soggetto alla sola forza di gravitasi sposti da un punto A = (a, h), h > 0 ad un punto B = (b, 0).
Indichiamo con y(x) la funzione il cui grafico e percorso per passaredal punto A al punto B.
Il punto materiale descrivera una traiettoria rispetto alla quale la lun-ghezza d’arco e data da
s(x) =
∫xa
√1+ (y′(x))2dx
¼
½
¶
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¹
I
LAB
RA
CH
IST
OC
RO
NA
335
Se consideriamo una partizione dell’intervallo [a, b]
a = x0 < x1 < x2 < .... < xn = b
la lunghezza percorsa relativa all’intervallo [xk, xk+1] e∫xk+1xk
√1+ (y′(x))2dx =
√1+ (y′(ck))2(xk+1 − xk)
dove ck ∈ [xk, xk+1]
La velocita di caduta dipende solo dalla quota per il principio di con-servazione dell’energia e si ha
1
2mv2 = mgy e v =
√2gy(x)
Nell’intervallo [xk, xk+1] possiamo considerare che
y(x) = y(dk) con dk ∈ [xk, xk+1]
per cuiv =
√2gy(dk)
¼
½
¶
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¹
I
LAB
RA
CH
IST
OC
RO
NA
336
Il tempo tk necessario per percorrere la parte di curva relativa all’in-tervallo [xk, xk+1] sara
tk =
√1+ (y′(ck))2√2gy(dk)
(xk+1 − xk) , ck, dk ∈ [xk, xk+1]
Sommando su k e passando al limite, si ottiene
(106) t =
∫ba
√1+ (y′(x))2√2gy(x)
dx
Il problema e ridotto a minimizzare il funzionale definito nella 106sulle funzioni y di classe C1 tali che y(a) = h e y(b) = 0.
miny∈C1,y(a)=h,y(b)=0
∫ba
√1+ (y′(x))2√2gy(x)
dx
¼
½
¶
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¹
I
SU
PE
RFI
CIE
MIN
IMA
337
Il solido di rotazione avente minima superficieDeterminare il solido di rotazione che ha minima superficie.
In un riferimento cartesiano ortogonale (x, y, z) consideriamo unacurva y(x), x ∈ [a, b] tale che
y(a) = α e y(b) = β
e la superficie da essa generata dalla rotazione attorno all’asse xPossiamo parametrizzare la superficie nella forma
x = x
y = y(x) cosθz = y(x) sinθ
x ∈ [a, b]
¼
½
¶
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¹
I
SU
PE
RFI
CIE
MIN
IMA
338
si ha∂x, y, z
∂x, ρ, θ=
(1 y′(x) cosθ y′(x) sinθ0 −y(x) sinθ y(x) cosθ
)per cui l’area della superficie si puo calcolare mediante la∫b
a
y(x)√1+ (y′(x))2dx
Il problema si riduce a quello di trovare il minimo del funzionale
2π
∫ba
y(x)√1+ (y′(x))2dx
sotto le condizioniy(a) = α y(b) = β
In altre parole occorre trovare
miny∈C1,y(a)=α,y(b)=β
∫ba
y(x)√1+ (y′(x))2dx
¼
½
¶
·
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
339
Il solido di rotazione avente minima resistenza al-l’avanzamento
Determinare il solido di rotazione che offre minima resistenza all’avanza-mento nell’aria.
La resistenza all’avanzamento in un gas, di densita tale da consentirel’ipotesi che le molecole si riflettano liberamente, puo essere calcolataconsiderando la forza generata dagli urti delle molecole sulla superficiestessa.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
340
S e una porzione di superficie piana e forma un angolo θ con ladirezione di avanzamento.
Su S agisce una forza F tale che F∆t e uguale alla variazione diquantita di moto delle molecole che urtano la superficie.
F∆t = ∆Q
vi
vr
v cos 2θ
v sin 2θ
N
S
θ
θθ
Una particella di massa µ che urtala superficie S con velocita
vi = (v, 0, 0)
uguale alla velocita di avanzamen-to si allontana con una velocita vruguale in modulo a v, nel pianoindividuato da v e dalla normaleN alla superficie e forma con es-sa un angolo uguale all’angolo diincidenza.
¼
½
¶
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
341
vi
vr
v cos 2θ
v sin 2θ
N
S
θ
θθ
Pertantovr = (v cos 2θ, v sin 2θ, 0)
mentre la differenza tra le quantita di moto iniziale e finale e
∆Q = µvi − µvr = µ(v(1− cos 2θ),−v sin 2θ, 0)
Nel tempo ∆t sulla superficie S agisce una forza F tale che
F∆t = ∆Q
¼
½
¶
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
342
Osserviamo che F ha una com-ponente opposta alla direzione delmoto ed una componente ad essaperpendicolare. Quest’ultima nonsortisce effetto in quanto il solidoe di rotazione e la somma di talicomponenti e pertanto nulla.
vi
vr
v cos 2θ
v sin 2θ
N
S
θ
θθ
Sulla superficie S agisce quindi complessivamente una forza frenan-te
F =1
∆tm(v(1− cos 2θ), 0, 0)
dove m e la massa totale delle particelle di gas che collidono con lasuperficie S nel tempo ∆t.
¼
½
¶
·
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
343
Avremo che m = ρS sin(θ)v∆t in quanto
θ
θ
S
N
θ
θ
` = v∆t
• nel tempo ∆t collidono con la superficie S le particelle contenutenel volume di un cilindro di altezza ` = v∆t e di base S• se ρ e la densita del gas e V e il volume considerato
m = ρV
• Il fattore sinθ rende conto dell’inclinazione di S
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
344
Pertanto su una superficie S inclinata di un angolo θ agisce una forzapari a
1
∆tv(1− cos(2θ))ρS sin(θ)v∆t = 2ρv2S sin3(θ)
Supponiamo che il solido di rotazione sia definito in un riferimentocartesiano ortogonale (x, y, z) mediante la rotazione attorno all’asse xdella curva
x = x x ∈ [a, b]
y = y(x)
con y(0) = 0 e y(a) = R.
¼
½
¶
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
345
Una parametrizzazione s di S e data da
s(x, t) =
x = x
y = y(x) cos tz = y(x) sin t
x ∈[0, a]t ∈[0, 2π]
Si ha
∇s(x, t) =
(1 y′(x) cos t y′(x) sin t0 −y(x) sin t y(x) cos t
)e
N = (y(x)y′(x),−y(x) cos t,−y(x) sin t)
da cuidσ = y(x)
√(1+ y′(x))2
¼
½
¶
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
346
La forza agente su un elemento ∆Sdi superficie sara
2ρv2∆S sin3(θ)
per cui la resistenza si puo calcolare mediante la∫S
2ρv2 sin3(θ)dσ =
=
∫a0
∫2π0
2ρv2 sin3(θ)y(x)√1+ (y′(x))2dxdt =
= 4πρv2∫a0
sin3(θ)y(x)√1+ (y′(x))2dx
¼
½
¶
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¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A
347
Poiche
sinθ =y′(x)√
1+ (y′(x))2
la forza resistente sara
4πρv2∫a0
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2dx
Il problema si riduce a trovare il minimo del funzionale
4πρv2∫a0
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2dx
sulle funzioni y ∈ C1 tali che , y(0) = 0 e y(a) = R cioe a trovare
miny∈C1,y(0)=0,y(a)=R
4πρv2∫a0
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2dx
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
348
Le condizioni necessarieperil minimo di un funzionale
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
349
Siaf : R2 → R
continua con la sua derivata e C1 lo spazio delle funzioni
x : [a, b] → R
continue con la loro derivata.Consideriamo il problema di trovare
minx∈C1,x(a)=α,x(b)=β
∫ba
f(x(t), x(t))dt
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
350
Supponiamo che
x0 ∈ C1 , x0(a) = α , x0(b) = β
sia tale che∫ba
f(x0(t), x0(t))dt = minx∈C1,x(a)=α,x(b)=β
∫ba
f(x(t), x(t))dt
Sia h ∈ C1 tale che h(a) = h(b) = 0; la funzione
φ(λ) =
∫ba
f(x0(t) + λh(t), x0(t) + λh(t))dt
ammette minimo in λ = 0 per cui dovra aversi
φ′(0) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
351
D’altro canto
φ′(0) =
limλ→0
1
λ
∫ba
(f(x0(t) + λh(t), x0(t) + λh(t)) − f(x0(t), x0(t)
)dt =
=
∫ba
(fx(x0(t), x0(t))h(t) + fv(x0(t), x0(t))h(t)
)dt =
=
∫ba
fx(x0(t), x0(t))h(t)dt+ fv(x0(t), x0(t))h(t)∣∣∣ba−
−
∫ba
(d
dtfv(x0(t), x0(t))
)h(t)dt =
=
∫ba
(fx(x0(t), x0(t)) −
d
dtfv(x0(t), x0(t))
)h(t))dt = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
352
Si puo dedurre che deve essere
(107) fx(x0(t), x0(t)) −d
dtfv(x0(t), x0(t)) = 0
La 107 e l’ equazione di Eulero o euleriana del problema Se l’integranda
f e autonoma, la 107 puo essere ulteriormente elaborata come segue
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
353
fx(x(t), x(t)) −d
dtfv(x(t), x(t)) =
fx(x(t), x(t)) − fv,x(x(t), x(t))x(t)−
− fv,v(x(t), x(t))x(t)
e moltiplicando per x(t)
fx(x(t), x(t))x(t) − fv,x(x(t), x(t))x2(t)−
− fv,v(x(t), x(t))x(t)x(t) =
= fx(x(t), x(t))x(t) + fv(x(t), x(t))x(t) − fv(x(t), x(t))x(t)−
− fv,x(x(t), x(t))x2(t) − fv,v(x(t), x(t))x(t)x(t) =
=d
dt
(f(x(t), x(t)) − x(t)fv(x(t), x(t))
)= 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
ND
IZIO
NIN
EC
ES
SA
RIE
PE
RIL
MIN
IMO
354
Perche la 107 sia soddisfatta e necessario e sufficiente che
(108) f(x(t), x(t)) − x(t)fv(x(t), x(t)) = costante
L’ultima equazione si chiama integrale primo della euleriana e spessoe piu facilmente risolubile della euleriana originale.
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAS
OLU
ZIO
NE
DE
IP
RO
BLE
MI
355
La soluzione dei problemi
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
DIS
TAN
ZA
(SO
L.)
356
La curva di lunghezza minima per due punti fissati
Avremof(y, v) =
√1+ v2
e pertantofy(y, v) = 0 fv(y, v) =
v√1+ v2
e la 107 puo essere scritta nella forma
d
dx
(y′(x)√
1+ (y′(x))2
)= 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
DIS
TAN
ZA
(SO
L.)
357
Ne viene
y′′(x)√1+ (y′(x))2 − y′(x) y′(x)y′′(x)√
1+(y′(t))2
1+ (y′(x))2=
= y′′(x)1
(1+ (y′(x))2)√1+ (y′(x))2
= 0
e pertanto se ne ricavay′′(x) = 0
ey(x) = ax+ b
Le costanti a, b si determinano imponendo il passaggio per i puntiassegnati.
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAB
RA
CH
IST
OC
RO
NA
(SO
L.)
358
La brachistocronaAvremo
f(y, v) =
√1+ v2√y
e dalle 108 possiamo ricavare che deve essere√1+ (y′(x))2√
y(x)− y′(x)
y′(x)√y(x)
√1+ (y′(x))2
= c
Se ne ricava che1√
y(x)√1+ (y′(x))2
= c
ed elevando al quadrato,
y(x) =k
(1+ (y′(x))2)
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAB
RA
CH
IST
OC
RO
NA
(SO
L.)
359
Procedendo come indicato nel paragrafo dedicato alle equazioni dif-ferenziali di tipo particolare e tenendo conto che nel nostro caso
f(p) =k
1+ p2
avremo una soluzione definita dalle seguenti equazioni parametrichex(t) = x0 + k∫tt0
−2(1+φ2(s))2
ds
y(t) = k1+φ2(t)
Si ottiene una notevole semplificazione dei calcoli se si sceglie
φ(t) = tan t
in tal caso infattix(t) = x0 − k
∫ tt0
2 cos2 sds = x0 − k∫ tt0
(1− cos 2s)ds =
= x0 − k(t− 2 sin 2t)y(t) = cos2 t = 1−cos(2t)
2
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
SU
PE
RFI
CIE
(SO
L.)
360
Il solido di rotazione avente minima superficieAvremo
f(y, v) = y√1+ v2
e dalle 108 possiamo ricavare che deve essere
y(x)√1+ (y′(x))2 − y′(x)
y(x)y′(x)√1+ (y′(x))2
= c
da cuiy(x)(1+ (y′(x))2 − (y′(x))2y(x)√
1+ (y′(x))2= c
ey(x)√
1+ (y′(x))2= c
da cuiy(x) = c
√1+ (y′(x))2
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
SU
PE
RFI
CIE
(SO
L.)
361
Procedendo come indicato nel paragrafo dedicato alle equazioni dif-ferenziali di tipo particolare e tenendo conto che nel nostro caso
f(p) = c√1+ p2
avremo una soluzione definita dalle seguenti equazioni parametrichex(t) =∫tt0
cφ′(s)√1+φ2(s)
ds
y(t) = c√1+φ2(t)
ed e evidente che si ottiene una notevole semplificazione dei calcoli sesi sceglie
φ(t) = sinh t
in tal caso infattix(t) =
∫tt0
c cosh(s)cosh(s) ds =
∫tt0cds = ct− ct0
y(t) = sinh(t)
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A(S
OL.
)
362
Il solido di rotazione avente minima resistenza al-l’avanzamentoAvremo
f(y, v) =v3y
1+ v2
e dalle 108 possiamo ricavare che deve essere
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2− y(x)
(y′(x))3(3+ (y′(x))2)
(1+ (y′(x))2)2=
=(y′(x))3y(x)
(1+ (y′(x))2)2(−2) = Costante
Se ne ricava che deve essere
(y′(x))3y(x)
(1+ (y′(x))2)2(−2) = C
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A(S
OL.
)
363
ed anche
y(x) = C(1+ (y′(x))2)2
(y′(x))3
Possiamo pertanto procedere come indicato nel paragrafo dedicatoalle equazioni differenziali di tipo particolare ed ottenere una soluzionein forma parametrica.
In questo caso si ha
f(p) =(1+ p2)2
p3
e possiamo concludere chex(t) = C∫tt0
(1s− 2
s3− 3
s5
)ds
y(t) = C(1+s2)2
s3
Poiche si verifica subito che y(t) non puo mai assumere il valorenullo, si vede che il problema nella sua formulazione completa nonammette soluzione.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A(S
OL.
)
364
Procediamo ad alcune approssimazioni.Nel caso in cui y′ sia molto grande, possiamo supporre che
f(y, v) =v3y
1+ v2= vy
v2
1+ v2≈ vy
ed in tal caso∫a0
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2dx ≈
∫a0
y′(x)y(x)dx =
=(y′(a))2
2= R2
e quindi il funzionale e indipendente dalla scelta della funzione.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A(S
OL.
)
365
Nel caso in cui y′ sia trascurabile possiamo supporre che
f(y, v) =v3y
1+ v2= y(v3 − v5 + v7 + ...) ≈ v3y
ed in tal caso∫a0
(y′(x))3y(x)
1+ (y′(x))2dx ≈
∫a0
(y′(x))3y(x)dx
Dalle 108 possiamo ricavare che deve essere
(y′(x))3y(x) − y′(x)(3(y′(x))2) =
= −2(y′(x))3y(x) = C
Ne viene chey′(x)) =
C3√y(x)
la cui soluzione e data da
y(x) = (αx+ β)34
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMA
RE
SIS
TE
NZ
A(S
OL.
)
366
Imponendo le condizioni al contorno si ricava che
y(x) = R
(x
a
)34
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
367
Qualche risultatodiTeoria del Controllo
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
368
Consideriamo una navicella, in discesa verso la superficie della lunada una quota iniziale h0 con velocita iniziale v0.
La navicella• e soggetta alla forza di gravita lunare g• ha massa M e porta una quantita di carburante F, quindi la sua
massa iniziale e m0 =M+ F
• puo frenare utilizzando un motore che fornisce una forza frenanteu ≤ α consumando una quantita di carburante ku• La quota della navicella all’istante t si indica con h(t)• La velocita della navicella all’istante t si indica con v(t)• La massa della navicella all’istante t si indica con m(t)
Il problema consiste nel far giungere la navicella a quota 0 con ve-locita nulla utilizzando i motori in modo da minimizzare il consumo dicarburante.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
369
Il moto del modulo sara governato dal sistemah(t) = v(t)
v(t) = −g+ u(t)
m(t)
m(t) = −ku(t)
h(0) = h0
v(0) = v0
m(0) = m0 =M+ F
e sara nostro scopo trovare T ,(h, v,m) ed u in modo da
Minimizzare∫T0
u(t)dt
sotto i vincoli h(T) = 0
v(T) = 00 ≤ u(t) ≤ α
Per risolvere il problema occorre il principio del massimo di Pontrya-gin
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
370
Il problema di controlloSia
f0 : Rn × Rk → R
sufficientemente regolare (almeno di classe C1) e sia
F : Rn × Rk → Rn
una funzione vettoriale sufficientemente regolare.Siano
x : [0, T ] → Rn
di classe C1 a tratti eu : [0, T ] → Rk
di classe C0 a tratti.Sia U ⊂ Rk un insieme chiuso
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
371
Consideriamo il problema di
Determinare il minimo del funzionale∫T0
f0(x(t), u(t))dt
al variare di T , tempo finale, di x (C1 a tratti) , e di u (C0 a tratti), tali che:
x(t) = F(x(t), u(t))
x(0) = x0 , x(T) = x1
u(t) ∈ U
¼
½
¶
·
´
¹
I
CO
NT
RO
LLO
OT
TIM
O
372
Il problema enunciato e un tipico problema di controllo ottimo. x e la
funzione di stato
u e la funzione di controllo
U e l’insieme dei possibili controlli.
Pontryagin ha dato condizioni necessarie per la soluzione del proble-ma di controllo.
Tali risultati sono noti come
Principio del massimodi
Pontryagin
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
373
Principio del massimo di Pontryagin
Se (x∗, u∗) e una soluzione del problema di controllo allora esistonoλ0 ∈ R , λ : R → Rn tali che, posto
H(x, u) = λ0f0(x, u) + 〈λ, F(x, u)〉 = λ0f0(x, u) +n∑i=1
λiFi(x, u)
si abbia
x∗(t) = F(x∗(t), u∗(t)) x∗(0) = x0 x∗(T) = x1
λ(t) = −∇xH(x∗(t), u∗(t))
H(x∗(t), u∗(t)) = max|u|≤α
H(x∗(t), u)
λ0 = −1 H(x∗(t), u∗(t)) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
374
Una Prova euristicadelPrincipio del Massimo
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
375
Ci limitiamo al caso in cui si minimizza il funzionale
I(u) =
∫10
f0(x(t), u(t))dt
sotto le condizioni
x(t) = F(x(t), u(t))
x(0) = x0
x(1) = x1
u ∈ U
essendo F una funzione a valori reali(x(t) = F(x(t), u(t)) e un’equazione differenziale.)
Consideriamo un incremento per il controllo u∗ in corrispondenza delquale si ottiene il minimo di I
uλ = u∗ + λw
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
376
ed il corrispondente statoxλ(t) = F(xλ(t), uλ(t))
xλ(0) = x0
xλ(1) = x1
Avremo che
0 =d
dλI(uλ) =
∫10
((f0)x
d
dλxλ + (f0)u
d
dλuλ
)dt =
=
∫10
((f0)xδλ + (f0)uw)dt
doveδλ =
d
dλxλ
Poiche
xλ = x0 +
∫ t0
F(xλ, uλ)dt
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
377
si ha
d
dλxλ =
∫ t0
d
dλF(xλ, uλ)dt =
∫ t0
(Fxdxλ
dλ+ Fuw
)dt
Pertanto δλ = Fxδλ + Fuw
δλ(0) = 0
δλ(1) = 0
(x(0) = xλ(0) = x0, x(0) = xλ(1) = x1)Quindi
w =δλ − Fxδλ
Fu
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
378
e
0 =
∫10
((f0)xδλ + (f0)uw)dt =
∫10
((f0)xδλ + (f0)u
(δλ
Fu−Fxδλ
Fu
))dt =
=
∫10
(((f0)x − (f0)u
Fx
Fu
)δλ + (f0)u
δλ
Fu
)dt =
=
∫10
(((f0)x − (f0)u
Fx
Fu
)δλ
)dt+ (f0)u
δλ
Fu
∣∣∣10−
∫10
(d
dt
(f0)u
Fuδλ
)dt =
=
∫10
[((f0)x − (f0)u
Fx
Fu−d
dt
(f0)u
Fu
)]δλdt = 0
Sfruttando l’arbitrarieta dell’incremento
d
dt
(f0)u
Fu= (f0)x − (f0)u
Fx
Fu
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OV
AD
EL
PR
INC
IPIO
DE
LM
AS
SIM
O
379
e, posto η = (f0)uFu
si ha η = −(f0)x + ηFx
ηFu − (f0)u = 0
Se infine poniamo
H(x, u) = −f0(x, u) + ηF(x, u)
abbiamo che η = ∇xH(x, u)
∇uH(x, u) = 0
La seconda condizione afferma che u e un punto stazionario (gra-diente nullo) in realta si puo dimostrare che u minimizza H(x, ·)
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OB
LEM
ID
IC
ON
TR
OLL
O
380
Qualche esempiodiProblema di Controllo
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
381
Il problema del minimo tempoPossiamo enunciare il problema come segue
Consideriamo una particella, che si muove su una retta,x(t) e la distanza della particella da un punto fisso O, della retta, dettoorigineIl moto della particella e governato dall’equazione differenziale
(109) x(t) = u(t) |u(t)| ≤ 1
dove u(t) rappresenta una forza applicata alla particella.Vogliamo trovare u(t) in modo che la particella che parte con velocita eposizione iniziale nota, raggiunga l’origine con velocita nulla nel minimotempo possibile.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
382
Possiamo porre il problema in termini di controllo come segue
(110) Minimizzare∫T0
dt
Sugli archi che soddisfano l’equazione di controllox(t) = y(t)
y(t) = u(t)
x(0) = x0
y(0) = v0
ed i vincoli
(111)
x(T) = 0
y(T) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
383
Con riferimento all’enunciato del principio del massimo avremo che
f0((x, y), u) = 1 F((x, y), u) =
(y
u
)per cui
(112) H(x, u) = λ0 + λy+ µu
Per il principio del massimo dovra essere(λ
µ
)= −
(0
λ
)=
(HxHy
)da cui si ricava che
λ(t) = h
µ(t) = −ht+ k
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
384
Poiche H e lineare in u, assumera il suo massimo per u = ±1 e ilsegno di u deve essere scelto in dipendenza del segno di µ.
Piu precisamente dovra essere• u = 1 nel caso in cui µ > 0• u = −1 nel caso in cui µ < 0
Dal momento cheµ(t) = −ht+ k
si annulla una ed una sola volta, in t, anche u potra avere un solocambiamento di segno.
Pertanto assumera valore costante
±1 per t ∈ [0, t]
e∓1 per t ∈ [t, T ]
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
385
Quando u = 1 avremo chex(t) = y(t)
y(t) = 1
e x(t) = t2/2+ at+ b
y(t) = t+ a
x(t) = (t+a)2
2+ b− a2
2
y(t) = t+ a
Le traiettorie per u = 1 sono comein figura
y = v
x
x = y2
2 + (b− a2
2 )
u = 1
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
386
Per u = −1 avremo chex(t) = y(t)
y(t) = −1
ex(t) = −t2/2+ at+ b
y(t) = −t+ a = −(t− a)x(t) = −(t−a)2
2+ b+ a2
2
y(t) = −t+ a = −(t− a)
Le traiettorie per u = −1 sonocome in figura
y = v
x
x = −y2
2 + (b+ a2
2 )
u = −1
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
387
y = v
x
In ogni caso si avra
x = ±y2 + (b∓a2
2)
La figura mostra le traiettorie del sistema per u = ±1 nel piano(x, y). In tale riferimento x(t) individua posizione e y(t) la velocitadella particella.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
388
y = v
x
x(t) = t2/2 + at+ b = (t+a)2
2 + b− a2
2y(t) = t+ a
x(t) = −t2/2 + at+ b = −(t−a)2
2 + b+ a2
2y(t) = −t+ a = −(t− a)
Per raggiungere l’origine, occorrera allora percorrere una delle duetraiettorie che passano per (0, 0) avendo cura di scegliere il verso di-retto all’origine e non quello dall’origine.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
389
La traiettoria γ che passa per l’o-rigine e corrisponde a y positive epercorsa per u = 1 concordemen-te al verso positivo di y ( su di essay = t+a), la traiettoria δ che pas-sa per l’origine e corrisponde a ynegative e percorsa per u = −1 insenso opposto al verso positivo diy (su di essa y = −t+ a).Quindi per raggiungere l’origineabbiamo a disposizione soltanto idue archi di traiettoria che abbia-mo descritto e che sono illustratinella figura seguente
y = v
x
δ
γ
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
390
Se (x0, v0) = (x0, y0) giace suγ o su δ possiamo allora trova-re una soluzione del problema,semplicemente tenendo fisso u =
±1.Altrimenti, partendo dal punto ini-ziale assegnato e percorrendo unadelle altre traiettorie,
x = ±y2 + (b∓a2
2)
dovremo raggiungere γ o δ e poil’origine, imponendo che
x0 = ±y20 + (b∓a2
2)
Le traiettorie ottimali sono riporta-te nella figura.
y = v
x
δ
γ
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
391
Il Problema del modulo lunareConsideriamo una navicella, in discesa verso la superficie della luna dauna quota iniziale h0 con velocita iniziale v0.
La navicella
• e soggetta alla forza di gravita lunare g• ha massa M e porta una quantita di carburante F, quindi la sua
massa iniziale e m0 =M+ F
• puo frenare utilizzando un motore che fornisce una forza frenanteu ≤ α consumando una quantita di carburante ku
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
392
• La quota della navicella al-l’istante t si indica conh(t)
• La velocita della navicellaall’istante t si indica conv(t)
• La massa della navicellaall’istante t si indica conm(t)
La navicella e soggetta all’accele-razione di gravita g ed e frenatadai motori con forza uI motori consumano carburante inquantita ku e la massa diminuiscedel carburante consumato.
Quindi evidentemente• h(0) = h0• v(0) = v0•m(0) = m0 =M+ F
m(t)h(t) = −m(t)g+ u(t)
m(t) = −ku(t)
0 ≤ u(t) ≤ αIl consumo di carburante nell’inter-vallo di tempo [0, t] e
k
∫ t0
u(s)ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
393
Il problema consiste nel far giungere la navicella a quota 0 con ve-locita nulla utilizzando i motori in modo da minimizzare il consumo dicarburante.
Il moto del modulo sara governato dal sistema
(113)
h(t) = v(t)
v(t) = −g+ u(t)
m(t)
m(t) = −ku(t)
h(0) = h0
v(0) = v0
m(0) = m0 =M+ F
e sara nostro scopo trovare T ,(h, v,m) ed u in modo da
(114) Minimizzare∫T0
u(t)dt
sotto i vincoli h(T) = 0
v(T) = 00 ≤ u(t) ≤ α
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
394
Con riferimento all’enunciato del principio del massimo avremo che
f0((h, v,m), u) = u F((h, v,m), u) =
v
−g+ um
−ku
per cui
(115) H((h, v,m), u) = λ0u+ λv+ η(−g+u
m) + µ(−ku) =
= (λ0 +η
m− kµ)u+ λv− ηg
eHh = 0 Hv = λ Hm = −
ηu
m2
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
395
Per il principio del massimo dovra essereλ(t) = 0
η(t) = −λ(t)
µ(t) = η(t)u(t)
m2(t)
Inoltre u deve essere scelto in modo da realizzare
maxu∈[0,α]
H((h, v,m), u) = maxu∈[0,α]
= (λ0 +η
m− kµ)u+ λv− ηg
Poiche H e lineare in u, il suo massimo e assunto per u = 0 oppureu = α; a seconda del segno di
λ0 +η
m− kµ
Piu precisamente si avra• u = 0 nel caso in cui λ0 + η
m− kµ < 0
• u = α nel caso in cui λ0 + ηm
− kµ > 0.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
396
Per u = 0 la traiettoria e di caduta libera.
Se si applica il controllo u = 0 scegliendo come tempo iniziale t = 0alla quota
h
con velocita inizialev
e massa inizialem
dovra essereh(t) = v(t)
v(t) = −g
m(t) = 0
da cui
h(t) = −1
2gt2 + vt+ h
v(t) = v− gt
m(t) = m
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
397
Sostituendo t = v−vg
in h =
−12gt2 + vt + h otteniamo la
traiettoria nel piano (h, v).
h = −1
2gv2 +
(h+
1
2gv2)
(v(t) e decrescente e negativa h >0, v < 0 per cui la traiettoria giacenel quadrante con h > 0 e v < 0)
h
v
u = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
398
Se il controllo u = α e applicato a partire da t = 0 alla quota h convelocita iniziale v e massa iniziale m, da
h(t) = v(t)
v(t) = −g+ αm(t)
m(t) = −kα
segue che
m(t) = m− kαt
m
t
M + F
M
m(t) = M + F − kαt
m(t) = m− kαt
La massa iniziale m ≤M+ F si puo ridurre al piu ad M, per cui
M+ F− kαt ≥ m− kαt ≥M =⇒ 0 ≤ t ≤F
kα
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
399
Inoltre
v(t) = v+
∫ t0
(−g+
α
m− kαs
)ds
Affinche il modulo possa frenareoccorre che
v(0) ≥ −g+α
m= −g+
α
M+ F≥ 0
per cui
α
M+ F≥ g
v
t
v
t
Poiche m− kαs e decrescente,
v(s) = −g+α
m− kαs
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
400
e crescente e , da v(0) > 0 segue che v(t) e crescente, convessa.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
401
Infine
h(t) = h+
∫ t0
v(s)ds
quindi conoscendo che
v(t)
e crescente e convessa, possiamodosegnare il grafico di
h(t)
h
t
h
t
Il grafico della traiettoria nel piano (h, v) e simile ad un ramo diparabola convessa.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
402
v
t
v
t
h
t
h
t
h
v
u = α
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
403
Si possono scegliere i dati iniziali in modo che la traiettoria corri-spondente ad u = α passi, per qualche valore t = T , per il punto(h, v) = (0, 0)
Mentre non ci sono traiettorie che permettano di raggiungere il suolocon velocita nulla senza frenare (u = 0),
Pertanto per raggiungere l’origine abbiamo a disposizione soltanto latraiettoria γ corrispondente a u = α che passa per l’origine nel piano(h, v).
Se le condizioni di partenza (h0, v0) giacciono sull’arco di curva γ lasoluzione del problema, consiste nell’applicare il controllo u = α, cioefrenare al massimo per l’intera discesa.
In caso contrario sara necessario, partendo dal punto iniziale as-segnato, raggiungere un punto dell’arco γ e da lı proseguire sull’arcoγ.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
404
Per raggiungere un punto di γ possiamo alternare controlli u = 0 edu = α,
Ma occorre ricordare che affinche il controllo sia ottimo la sceltadipende dal segno di
λ0 +η
m− kµ
Si ha(λ0 +
η
m− kµ
)′=ηm− ηm
m2− kµ =
η
m+ηku
m2−kηu
m2=η
m
Ma
η = −λ, λ = 0 =⇒ η = costante
inoltrem(t) = m− kαt > 0
quindi ηm
ha segno costante ,(λ0 +
ηm
− kµ)
e monotona e cambiasegno al piu una sola volta.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
405
Si puo concludere che il controllo ottimo si realizza utilizzando
• u = 0 per t ∈ [0, t]
• u = α per t ∈ [t, T ]
con T ≤ Fkα
Una ulteriore condizione necessaria afferma che deve essere
H((h, v,m), u) = 0
per la scelta di u fissata.
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
406
Poiche u e costante a tratti e λ = λ e a sua volta costante si ha
dH
dt=
(λ0 +
η
m− kµ
)′u+ λv− ηg =
=
(ηm− ηm
m2− kµ
)u+ λ
(−g+
u
m
)+ λg =
=
(η
m+ηku
m2−kηu
m2
)+λu
m=ηu
m+λu
m= 0
quindiH((h, v,m), u) e costante
Si puo infine verificare che si possono determinare λ, η, µ in modoche
H((h, v,m), u) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
407
Ricordiamo che
H((h, v,m), u) =
(λ0 +
η
m− kµ
)u+ λv+ ηg
λ = 0
η = −λ
µ = ηu
m2
h = v
v = −g+ um
m = −ku
u(t) =
0 t ∈ [0, t]
α t ∈ [t, T ] T ≤ Fkα
h(0) = h0 , v(0) = v0 , m(0) = m0 =M+ F , v(T) = 0 , h(T) = 0
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
408
Dal momento cheH((h, v,m), u)
e costante basta verificare che e nulla in t = 0.Per t ∈ [0, t]
λ = λ
η = η− λt
µ = µ
H((h, v,m), u) = λ(v0 − gt) − (η− λt) =
= λv0 − λtg− η+ λtg = λv0 − ηg = 0
per cui basta scegliere
η =λv0
g
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
409
Per t ∈ [t, t0] λ = λ
η = λ(v0gt)
µ = µ
H((h, v,m), u) =
(λ0 + λ
(v0
g
)− kµ
)α+λ(v0−gt)−λ(v0−gt) =
=
(λ0 + λ
(v0
g
)− kµ
)α = 0
per cui basta scegliere µ di conseguenza
¼
½
¶
·
´
¹
I
MIN
IMO
TE
MP
O
410
La traiettoria ottimale e riportata nella figura seguente
h
v
γ
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
411
Le equazioni di discesa del Modulo Lunare
Il Modulo per allunare deve scendere in caduta libera fino ad un certoistante t e di lı innanzi frenare con la massima spinta possibile.
Esaminiamo la traiettoria che deve seguire
Troviamo innanzi tutto le traiettorie di caduta libera e di caduta frena-ta.
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
412
La traiettoria di caduta liberaSi ha per u = 0
Se
t = 0 , h(0) = h0 , v(0) = v0 , m(0) = m0
avremo
h(t) = v(t)
v(t) = −g
m(t) = 0
da cui
h(t) = −1
2gt2 + v0t+ h0
v(t) = v0 − gt
m(t) = m0
eh = −
1
2gv2 +
(h+
1
2gv2
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
413
la traiettoria di caduta libera
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
414
La traiettoria di caduta frenataSi ha per u = α e deve risultare
h(t) = v(t)
v(t) = −g+ αm(t)
m(t) = −kα
Sia t = 0 l’istante in cui il modulo tocca la superficie lunare.L’istante iniziale quindi sara t < 0.Le condizioni finali saranno
h(0) = 0
v(0) = 0
m(0) =M
ed integreremo per t < 0.
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
415
Avremo che
m(t) =M− kαt t < 0
mentre
v(0) − v(t) =
∫0t
−g+α
M− kαsds
da cui
v(t) =
∫ t0
−g+α
M− kαsds =
= −gt−α
kαln(M− kαs)
∣∣∣t0=
= −gt−1
kln(M− kαt
M
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
416
h(t) − h(0) =
∫ t0
(−gt−
1
kln(M− kαs
M
))ds
h(t) = −1
2gt2 −
1
k
∫ t0
ln(M− kαs
M
)ds
= −1
2gt2 −
1
k
[s ln
(M− kαs
M
) ∣∣∣t0
]−
∫ t0
sM
M− kαs
−kα
Mds
= −1
2gt2 −
1
kt ln
(M− kαt
M
)−1
k
kα
M
∫ t0
sM
M− kαsds
= −1
2gt2 −
1
kt ln
(M− kαt
M
)+1
k
∫ t0
−skα
M− kαsds
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
417
Poiche
−skα
M− kαs=M− skα
M− kαs−
M
M− kαs= 1−
M
M− kαssi ha
∫ t0
−skα
M− kαsds =
∫ t0
(1−
M
M− kαs
)ds
=
[s+
M
kαln(M− kαs
M
) ∣∣∣t0
]da cui
h(t) = −1
2gt2 −
t
kln(M− kαt
M
)+t
k+M
k2αln(M− kαt
M
)
h(t) = −1
2gt2 +
t
k+M− kαt
k2αln(M− kαt
M
)
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
418
La traiettoria di caduta frenata
¼
½
¶
·
´
¹
I
LAD
ISC
ES
AD
EL
LM
419
La traiettoria ottimale
¼
½
¶
·
´
¹
I
ST
RU
ME
NT
IP
ER
L’A
NA
LIS
IFI
NA
NZ
IAR
IA
420
Strumentiperl’analisi finanziaria
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
421
Variabili aleatorie e Processi StocasticiSia
(Ω,F , P)uno spazio di probabilita.
• Ω , spazio dei campioni;• F , σ−algebra di sottoinsiemi di Ω
( Famiglia di sottoinsiemi diΩ chiusa rispetto a complementa-zione, unione ed intersezione numerabili)• P misura di probabilita su (Ω,F)
( P : F → R, P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F , σ−additiva)
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
422
ESEMPIO 33.1. Consideriamo gli eventi che si presentano quando si lancia-no due dadi: possiamo identificare l’esito del lancio con la coppia di numeri(i, j) (punteggio) che si leggono sulla faccia superiore dei dadi.
ogni evento e equiprobabile e
P(Ai,j) =1
36
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
423
Ω = insieme delle coppie di valori (i, j) con i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6F = famiglia di tutti i sottoinsiemi di ΩP(A) = 1
36(numero degli elementi di A)
Chiamiamo Variabile Aleatoria una funzione
X : Ω → R
ESEMPIO 33.2.X(i, j) = i+ j
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
424
X definisce su R una misura di probabilita ξ mediante la
ξ((α, β)) = P(α ≤ X ≤ β) =
= P(ω ∈ Ω : α ≤ X(ω) ≤ β) =
= P(X−1((α, β)))
Naturalmente deve risultare che
X−1((α, β)) ∈ F
L’ultima condizione si esprime dicendo cheX : Ω → R e misurabile
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
425
Si puo verificare che, sotto ipotesi non restrittive, esiste una funzioneϕ : R → R tale che
P(α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) =
∫βα
ϕ(s)ds
ϕ e la densita di probabilita di X
Abbiamo anche che∫Ω
X(ω)dω ≈∑αP(X−1(α, β)) ≈
∑∫βα
sϕ(s)ds =
∫ba
sϕ(s)ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
426
P(α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) =∫βαϕ(s)ds∫
ΩX(ω)dω ≈
∑αP(X−1(α, β)) ≈
∑∫βαsϕ(s)ds =
∫basϕ(s)ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
427
ESEMPIO 33.3. Nel caso del punteggio ottenuto con i dadi la funzione den-sita ha il grafico in figura.
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
428
P(α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) =
∫βα
ϕ(s)ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
PR
OC
ES
SIS
TO
CA
ST
ICI
429
Chiamiamo Processo Stocastico una funzione
R 3 t 7→ X(t)
dove X(t) e una variabile aleatoria su ΩAvremo
X = X(t,ω) (t,ω) ∈ R×Ω
R×Ω 3 (t,ω) 7→ X(t,ω)
Per ogni t fissato X(t,ω) ha una densita di probabilita ϕ(t, s)
P(α ≤ X(t) ≤ β) =
∫βα
ϕ(t, s)ds
E(X(t)) =
∫+∞−∞ sϕ(t, s)ds
¼
½
¶
·
´
¹
I
ILP
RO
CE
SS
OD
IW
IEN
ER
430
Il Processo di WienerE un processo stocastico W con le seguenti caratteristiche:•W(0) = 0
•W(t) −W(s) ha una densita di probabilita Gaussiana normaledi media 0 e varianza (t− s), N(0,
√t− s).
•W ha incrementi indipendenti: cioeW(t1) − W(s1) e W(t2) − W(s2) sono variabili aleatorie
indipendenti.E possibile costruire un processo stocastico con le caratteristiche
indicate.Si ha
P(α ≤W(t) −W(s) ≤ β) =1√
2π(t− s)
∫βα
e− 12(t−s)
τ2dτ
La funzione t 7→W(t,ω) e continua per quasi ogni ω ∈ Ω e non ederivabile con probabilita 1.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
431
Modelli di Crescita AleatoriaSe x e una quantita scalare che cresce nel tempo con tasso costante a
Allorax(t+ h) − x(t)
h= a
La precedente uguaglianza puo essere espressa in diversi modi
x(t) = a ,dx
dt= a dx = adt ,
∫ t0
dx =
∫ t0
ads
x(t+ h) = x(t) +
∫ t+ht
ads = x(t) + ah
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
432
Se x cresce con tasso proporzionale alla sua consistenzaAllora
x(t) − x(s)
t− s= µx(t)
La precedente uguaglianza puo essere espressa da
x(t) = µx(t) ,dx
dt= µx , dx = µxdt ,
∫ t0
dx =
∫ t0
µx(s)ds
Non si puo procedere esplicitamente con l’integrazione,
Si puo usare la definizione di integrale per ottenere una formula di-screta che approssima x (Metodo di Eulero).
x(t+ h) = x(t) +
∫ t+ht
x(s)ds = x(t) + x(s)h
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
433
se una crescita con tasso costante e alterata da un fattore di incer-tezza W.
Avremo
x(t) + σW(t) − (x(s) + σW(s)) = µ(t− s)
da cuix(t) − x(s) = µ(t− s) + σ(W(t) −W(s))
edx = µdt+ σdW
Possiamo integrare numericamente∫ t+ht
dx =
∫ t+ht
µdt+
∫ t+ht
σdW
se siamo in grado di dare una definizione di∫ t+ht
σdW
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
434
Nel caso in cui σ sia costante possiamo usare l’idea di integrale diRiemann:
∫ t0
σdW ≈n−1∑i=1
σ(W(ti+1) −W(ti) = σ(W(t) −W(0)) = σW(t)
Osserviamo che
E
(n−1∑i=1
σ(W(ti+1) −W(ti)
)= 0
Var
(n−1∑i=1
σ(W(ti+1) −W(ti))
)=
n−1∑i=1
σ2(ti+1−ti) = σ2(t−0) = σ2t
Ne viene che ∫ t0
σ2dW
e una variabile aleatoria di media 0 e di varianza σ2t
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
435
Nel caso in cui σ sia funzione della sola t possiamo approssimare∫ t0
σ(s)dW(s)
mediante le somme di Riemann - Stieltjes
n−1∑i=1
σ(si)(W(ti+1) −W(ti))
Paley e Wiener hanno dimostrato che le somme di Riemann, in questocaso, convergono ad un processo stocastico nel caso in cui
σ ∈ C1
Non e difficile estendere la definizione a funzioni della sola t menoregolari.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
436
Il caso in cui σ = σ(t,W) e necessario per poter considerare equa-zioni del tipo
dX = µ(t, X(t))dt+ σ(t, X(t))dW
Per questo scopo e necessario definire∫ t0
σ(s, X(s))dW
dove X e un processo stocastico.
Calcoliamo ad esempio il piu semplice di questi integrali:
∫ t0
WdW
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
437
Procedendo come per gli integrali di Riemann-Stieltjes
Consideriamo una partizione dell’intervallo [0, t]
0 = t0 < t1 < t2 < ...... < tn−1 < tn = t
ed una scelta di punti si
ti ≤ si ≤ ti−1
Le corrispondenti somme di Riemann Stieltjes sono
RSn =
n−1∑i=1
W(si)(W(ti) −W(ti−1))
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
438
Si ha
W(si)(W(ti) −W(ti−1)) =
=W(ti−1)(W(ti)−W(ti−1))+(W(si)−W(ti−1))(W(ti)−W(ti−1)) =
1
2W(ti−1)(W(ti) −W(ti−1)) +
1
2W(ti−1)(W(ti) −W(ti−1))+
+ (W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(ti−1)) =
1
2(W(ti) +W(ti−1))(W(ti) −W(ti−1))−
−1
2(W(ti) −W(ti−1))(W(ti) −W(ti−1))+
+ (W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(ti−1))
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
439
Inoltre
(W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(ti−1)) =
= (W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(si))+
+ (W(si) −W(ti−1))(W(si) −W(ti−1))
per cui
W(si)(W(ti) −W(ti−1)) =
=1
2
((W2(ti) −W
2(ti−1)) − (W(ti) −W(ti−1))2)+
(W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(si))+
+ (W(si) −W(ti−1))(W(si) −W(ti−1))
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
440
Ne deduciamo che
RSn =
n∑i=1
W(si)(W(ti) −W(ti−1)) =
1
2
(W2(t) −W2(0)
)−1
2
n∑i=1
(W(ti) −W(ti−1))2+
+
n∑i=1
(W(si) −W(ti−1))2+
+
n∑i=1
(W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(si))
¼
½
¶
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¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
441
Se si = (1− θ)ti−1 + θti si ha
E
(1
2
n∑i=1
(W(ti) −W(ti−1))2
)=
n∑i=1
(ti − ti−1) =1
2(t− 0)
E
(n∑i=1
(W(si) −W(ti−1))2
)=
n∑i=1
(si − ti−1) = θ(t− 0)
E
(n∑i=1
(W(si) −W(ti−1))(W(ti) −W(si))
)= 0
Si dimostra che
RSn → 1
2
(W2(t) −W2(t0)
)+
(θ−
1
2
)(t− 0)
Il limite dipende dalla scelta di punti si attraverso θ.
¼
½
¶
·
´
¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
442
Stratonovich propose di scegliere θ = 12: continua a valere la formula
di integrazione per parti.
Ito propose di scegliere θ = 0:• non vale l’integrazione per parti• ma la variabile aleatoria
X(t) =
∫ t0
WdW
che si ottiene e non anticipativa.cioe dipende solo dagli avvenimenti passati.
¼
½
¶
·
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¹
I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
443
Con metodi simili si prova chen∑i=1
(W(ti) −W(ti−1))2 → (t− 0) = t
piu precisamenten∑i=1
(W(ti) −W(ti−1))2
tende ad una variabile aleatoria di media t e di varianza 0.Si esprime questo fatto dicendo che∫ t
t0
(dW)2 =
∫ tt0
dt
ed introducendo la regola formale
(dW)2 = dt
¼
½
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I
CR
ES
CIT
AA
LEAT
OR
IA
444
Analogamente si prova che e ragionevole introdurre anche le se-guenti regole formali
dtdW = dWdt = 0
Usando le precedenti informazioni possiamo farci un’idea su come sideriva la formula di Ito.
Si tratta essenzialmente di stabilire una formula di derivazione difunzione composta.
¼
½
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I
LAF
OR
MU
LAD
IIT
O
445
La Formula di Ito
SiaX un processo stocastico tale che
dX = a(t, X(t))dt+ b(t, X(t))dW(t)
g : R× R → R
Consideriamoy(t) = g(t, X(t))
e studiamo il problema di derivare la funzione ottenuta
¼
½
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I
LAF
OR
MU
LAD
IIT
O
446
Ito ha dimostrato che
dy(t) =
=
(gt(t, X(t)) + a(t, X(t))gx(t, X(t)) +
b2(t, X(t))
2gxx(t, X(t))
)dt+
+ b(t, X(t))gx(t, X(t))dW(t)
La formula si dimostra in forma integrale:
y(t) − y(t0) = g(t, X(t)) − g(t0, X(t0)) =
=
∫ tt0
(gt(t, X(t)) + a(t, X(t))gx(t, X(t)) +
b2(t, X(t))
2gxx(t, X(t))
)dt
+
∫ tt0
b(t, X(t))gx(t, X(t))dW(t)
Si puo ricavare formalmente usando la Formula di Taylor e le regoleformali di moltiplicazione di dt e dW
¼
½
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CIT
AD
EL
PR
EZ
ZO
DI
UN
BE
NE
447
Equazione di crescita per il prezzo di un bene
Il prezzo S(t) di un bene si puo descrivere mediante l’equazione
dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dW(t)
S(t) = S(t,ω) e un processo stocasticoSe consideriamo
g(t) = ln(S(t))
usando la formula di Ito si ottiene
dg(t) = d ln(S(t)) =dS(t)
S(t)−1
2
(σ2S2(t)
S2(t)
)dt = rdt−
σ2
2dt+σdW(t)
¼
½
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CIT
AD
EL
PR
EZ
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BE
NE
448
Si ha
g(t) − g(0) = ln(S(t)
S(0)
)= rt−
tσ2
2+ σW(t)
e di conseguenza
S(t) = S(0)ert−tσ2
2 +σW(t)
Le figure che seguono riportano i grafici di una soluzione, il graficodella soluzione senza rumore e le bande di confidenza corrispondentia σ, 2σ e 3σ.
¼
½
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CIT
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BE
NE
449
¼
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450
¼
½
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451
¼
½
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QU
AZ
ION
ED
IB
LAC
K-S
CH
OLE
S
452
L’equazione di Black-Scholes
Il possesso di una opzione di acquisto o di vendita conferisce il dirittodi acquistare o vendere una unita’ del bene S al tempo stabilito T ad unprezzo stabilito K.
Il prezzo di una opzione deve essere tale che sia possibile trovareuna combinazione di quote del bene e quote di investimento privo dirischio che garantiscano un rendimento pari a quello privo di rischio.
¼
½
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·
´
¹
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ION
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K-S
CH
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S
453
Consideriamo il problema di stimare il prezzo f di un’opzione di ac-quisto o di vendita di un bene• il cui valore S cresce con tasso µ• e affetto da un fattore casuale gaussiano con media 0 e varianzaσ con riferimento ad un tasso di investimento senza rischio r.
¼
½
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ION
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K-S
CH
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454
Il valore del bene S cresce seguendo la legge
dS = µSdt+ σSdW
Il valore dell’investimento privo di rischio B cresce seguendo la legge
dB = rBdt
Il prezzo dell’opzione e funzione del tempo t e del prezzo S del benesottostante
f(t, S(t))
I e un portafoglio composto da beni S, opzioni f ed investimenti B atasso r privo di rischio
I = −f+ αS+ βB
¼
½
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K-S
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S
455
In ipotesi di autofinanziamento ed usando la formula di Ito si ottiene
dI =((−ft + µSfS +
1
2σ2S2fSS)+
+ (αµS+ βrB))dt+ (−fS + α)σSdW
Per eliminare il rischio si richiede che
−fS + α = 0 =⇒ α = fS
Supponendo impossibile l’arbitraggio
dI = rIdt = r(−f+ αS+ βB)dt = r(−f+ fSS+ βB)dt
¼
½
¶
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K-S
CH
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S
456
Combinando le due espressioni di dI si ottiene l’equazione di Black-Scholes
ft + rSfS +1
2σ2S2fSS = rf t < T
alla quale si associa (nel caso di una opzione di vendita, tipo PUT) lacondizione
f(T, S) = max(K− S, 0)
che si puo usare per determinare f(t, S(t)).
Per le opzioni di tipo CALL di acquisto si usa la condzione
f(T, S) = max(S− K, 0)
¼
½
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AZ
ION
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S
457
L’equazione di Black-ScholesSia
f(t, S(t))
il prezzo dell’opzione di vendita di un bene S e sia B un investimentoprivo di rischio con rendimento r;
consideriamo un portafoglio
I = −f+ αS+ βB
La variazione di I puo essere calcolata mediante la
dI = −df+ αdS+ βdB
¼
½
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ION
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K-S
CH
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S
458
df puo essere calcolato mediante la formula di Ito.
per cui
dI = (−ft+µSfS+1
2σ2S2fSS)dt+fSσdW+α(µSdt+σSdW)+βrB =
=
((−ft + µSfS +
1
2σ2S2fSS) + (αµS+ βrB)
)dt+(−fS+α)σSdW
¼
½
¶
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459
Per eliminare la componente di incertezza occorre imporre che
α = fs
ed in tal caso
dI =((−ft + µSfS +
1
2σ2S2fSS)+
+ (fSµS+ βrB))dt+ (−fS + fS)σSdW =
=((−ft + µSfS +
1
2σ2S2fSS)+
+ (fSµS+ βrB))dt =
¼
½
¶
·
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I
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460
In condizioni di non arbitraggio si ha
dI = rIdt
per cui
dI = r(−f+ αS+ βB)dt = r(−f+ fSS+ βB)dt
e
r(−f+ αS+ βB)dt = r(−f+ fSS+ βB)dt = dI =
= rI = r(f+ αS+ βB)dt = r(f− fSS− βB)dt
¼
½
¶
·
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I
L’E
QU
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ION
ED
IB
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K-S
CH
OLE
S
461
Si ottiene infine che
ft + rsfs +1
2σ2S2fSS = rf t < T
con la condizione
f(s, T) = max(K− s, 0)
¼
½
¶
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I
ES
EM
PIO
NU
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RIC
O
462
Un esempio numericoIl seguente e un programma scritto in Matlab che integra l’equazione
stocastica dX = λ ∗ Xdt+ σ ∗ (X)dWX(0) = Xzero.
¼
½
¶
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I
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O
463
clfrandn(’state’,1)T = 1; N = 28; Delta = T/N;lambda = 0.05; sigma = 0.8; Xzero = 1;Xem = zeros(1,N+1);Xem(1) = Xzero;for j = 1:NWinc = sqrt(Delta)*randn;Xem(j+1) = Xem(j) + Delta*lambda*Xem(j)
+ sigma*Xem(j)*Winc;end
plot([0:Delta:T],Xem,’r--’)
¼
½
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PIO
NU
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RIC
O
464
Questo e il grafico che si ottiene
Indice analitico
101Caratteristiche , 2102I Modelli Differenziali , 3103Mod. Diff. - Caduta di un grave , 5104Crescita di una Popolazione , 18105Il Modello di Malthus , 19106 Il Modello Esponenziale Discreto ,
27107Crescita Logistica , 33108crescita Logistica con Prelievo , 44109Diffusione di un’Epidemia , 58110Epidemia di tipo SIS , 60111Epidemia di tipo SIR , 63112Curve di inseguimento , 68113 Curva di pedinamento , 76114Inseguimento-Soluzione Numerica ,
83115Pedinamento-Soluzione numerica , 85116La Spirale Logaritmica , 91117I quattro cani di Hugo Steinhaus , 97
118Il Modello di Lotka-Voltera , 112119Specie in Competizione , 135120Specie in Cooperazione , 146121Cooperazione Obbligatoria , 147122Cooperazione Facoltativa , 149123O.D.E. , 151124Variabili Separabili , 152125Gronwall , 156126Equazioni Autonome , 158127y(x) = f(y′(x)) , 162127Equazioni non normali , 162128x = f(y′(x)) , 165129Sistemi Lineari , 168130Generalita , 169131Stabilita , 180132Stabilita dei sistemi lineari 2×2 , 185133Autovalori e Stabilita , 187134Criteri di stabilita , 212135Autovalori nel caso 2× 2 , 223
136Hurwitz , 225137Hurwitz, secondo grado , 228138Hurwitz, terzo grado , 229139Hurwitz, quarto grado , 230140Stab. Specie in Compet. , 232141Stab. Specie in Cooper. , 242142Stab. Cooper. Obbl. , 243143Stab. Cooper. Facolt. , 246144Il Pendolo , 250145Il Pendolo semplice , 251146Il Pendolo Rovesciato , 255147Conservazione della Massa ODE , 260148Capacita di un lago , 261149Inquinamento in un lago , 264150Modelli PDE , 268151Trasporto , 269152Trasporto di inquinante in un fiume ,
279153PDE , 289154Equazioni lineari in 3 variabili , 290
155Equazioni lineari in 2 variabili , 299156Equazioni Quasi Lineari in 2variabili
, 302157Traffico Autostradale , 304158Calcolo delle Variazioni , 331159Minima distanza , 333160La Brachistocrona , 334161Superficie Minima , 337162Minima resistenza , 339163Condizioni Necessarie per il Minimo
, 348164La soluzione dei problemi , 355165Minima distanza (Sol.) , 356166La Brachistocrona (Sol.) , 358167Minima Superficie (Sol.) , 360168Minima Resistenza (Sol.) , 362169Controllo Ottimo , 367170Principio del Massimo , 373171Prova del Principio del massimo , 374172Problemi di Controllo , 380
173Minimo tempo , 381174La discesa del LM , 410175Strumenti per l’analisi finanziaria , 419176Processi Stocastici , 420177Il Processo di Wiener , 429178Crescita Aleatoria , 430179La Formula di Ito , 444180Crescita del prezzo di un bene , 446181L’equazione di Black-Scholes , 451182Esempio Numerico , 461
