i In - Departamento de...

Grados de Reversibilidad

en

Aut�omatas Celulares Lineales

Genaro Ju�arez Mart��nez

e-mail: [email protected]

Escuela Nacional de Estudios Profesionales Acatl�an

Universidad Nacional Aut�onoma de M�exico

D. F., M�exico

Marzo 30, 1998

i

Introducci�on

Un aut�omata celular, es un sistema din�amico discreto que evolucionaen iteraciones a trav�es de una regla determin��stica, tal como un sistema

din�amico; las variables del sistema cambian como una funci�on de sus valoresactuales. Pueden ser vistos como un proceso de c�omputo en paralelo, donde

los datos son la con�guraci�on inicial. Otra aproximaci�on es que un aut�omatacelular es un \universo l�ogico... con su propia f��sica local". Tal como ununiverso de aut�omata celular; no obstante su construcci�on matem�atica,

son capaces de soportar comportamientos complejos [13].

El estudio de los Aut�omatas Celulares se remonta desde los a~nos 50's, �epoca degrandes aportaciones en materia de conjuntos, expresiones regulares, bases de datos,aut�omatas, neurones, cibern�etica, m�aquinas �nitas, computaci�on, entre otros. Losaut�omatas celulares tambi�en fueron canalizados en un principio bajo �nes b�elicos.Los aut�omatas celulares pueden ser representados en dos dimensiones y en unadimensi�on, a los aut�omatas celulares en dos dimensiones se le encontr�o un juegoecol�ogico llamado Life que hizo muy popular esta teor��a gracias a su presentaci�onque resulto muy llamativa. La teor��a de aut�omatas celulares como tal a tenidoaltibajos a trav�es de la historia, sin embargo se puede decir que ha pasado portres �etapas de alto grado de estudio, la primera de ellas es la etapa de John vonNeumann, la segunda es de John Horton Conway y la �ultima es de StephenWolfram.Aunque se han dado importantes aportaciones en estos per��odos de bajo inter�esque han contribuido de manera relevante al estudio de dicha teor��a, aunque algunasveces de manera indirecta.

Se han encontrado algunas aplicaciones dentro del campo de la biolog��a, laqu��mica, la f��sica, las matem�aticas, la cristalograf��a, la termodin�amica y ciertarelaci�on con la teor��a del caos, la teor��a fractal, vida arti�cial, simulaci�on de procesosy ciencias de la computaci�on.

El estudio de los aut�omatas celulares dentro del campo de la computaci�on es unode los principales focos de inter�es para muchos investigadores. Desde los inicios dela teor��a de aut�omata celular se pretendia realizar la construcci�on de una m�aquinacapaz de soportar comportamientos complejos. Se han hecho estudios sobre si unam�aquina de Turing [22] puede contener un aut�omata celular o viceversa, si esto escierto cuales son las limitaciones y los alcances de cada una de estas m�aquinas. Porotra parte la representaci�on del c�omputo en paralelo es ideal para su representaci�onen aut�omatas celulares.

El tema de como se mani�esta la reversibilidad en los aut�omatas celulares enlos �ultimos a~nos a sido de notable inter�es. Ya que hay algunas personas que tratande buscar aplicaciones bajo estas caracter��sticas, tal como encriptadores de datos,almacenamiento masivo de informaci�on, por mencionar algunos. Sin embargo lateor��a como tal a�un se encuentra en fase de formalizaci�on matem�atica para poste-riormente obtener una explicaci�on real y concisa de tales fen�omenos.

El presente trabajo titulado \Grados de Reversibilidad en Aut�omatas Celulares

Lineales", se encuentra dividido en tres partes principales: la primera consiste en el

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fundamento de la teor��a de aut�omata celular donde se desglosa un poco de historiay se explica como esta constituida la estructura de los aut�omatas celulares en unadimensi�on, la segunda parte lo constituye el problema de explicar como a trav�es delas estructuras part��culares se originan los comportamientos globales que a su vezdeterminan el comportamiento de los mismos aut�omatas, la tercera y �ultima partela constituyen los resultados obtenidos a trav�es de sus propiedades globales paraaut�omatas celulares no reversibles pero que contienen grados de reversibilidad paracon�guraciones de cierto tama~no.

A trav�es de todo el escrito se hizo uso del software NXLCAU1 desarrollado porel Dr. Harold V. McIntosh del Instituto de Ciencias2 de la Universidad Aut�onomade Puebla. Estos programas fueron codi�cados en el lenguaje de programaci�onorientado a objetos C-Object en el sistema operativo NeXTSTEP y son de do-minio p�ublico. Tambi�en existe una versi�on del software (LCAU) compatible parael sitema operativo Ms-DOS.

El escrito fue realizado en LaTEX un derivado del formato TEX sobre el sistemaoperativo NeXTSTEP v3.3 y compatible con la versi�on de OPENSTEP, en lasinstalaciones del CINVESTAV3.

El trabajo fue realizado en com�un acuerdo de los dos departamentos sobre unproyecto de investigaci�on sobre \Aut�omatas Celulares Lineales Reversibles", dondese han dado resultados importantes y buenos avances.

1Web site http://www.cs.cinvestav.mx/mcintosh/cellular.html2Departamento de Aplicaci�on de Microcomputadoras, 49 Poniente 1102, Puebla.3Centro de Investigaci�on y Estudios Avanzados del IPN. Departamento de Ingenier��a El�ectrica,

Secci�on de Computaci�on.

Contenido

1 Marco Te�orico 11.1 Aut�omata celular lineal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41.2 Estructura de los aut�omatas celulares : : : : : : : : : : : : : : : : : 41.3 Clasi�caci�on Wolfram : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 Teor��a de Gr�a�cas en Aut�omatas Celulares 92.1 Topolog��a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92.2 Diagrama de de Bruijn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102.3 Diagrama de subconjuntos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122.4 Diagrama de parejas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142.5 Aut�omata celular binario : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15

3 Mapeo Local induce Mapeo Global 193.1 Que es un mapeo? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 193.2 Mapeo local : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 213.3 Mapeo global : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

3.3.1 Diagrama de transiciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253.4 Ancestros : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 273.5 Clasi�caci�on de los mapeos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

3.5.1 Jard��n del Ed�en implica mapeo inyectivo : : : : : : : : : : : : 273.5.2 Ancestros m�ultiples implica mapeo suryectivo : : : : : : : : : 293.5.3 Ancestros �unicos implica mapeo biyectivo : : : : : : : : : : : 31

4 Grados de Reversibilidad 334.1 Aut�omatas celulares reversibles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 334.2 Algunos algoritmos existentes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35

4.2.1 Algoritmo de Fredkin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 354.2.2 Algoritmo de Hillman : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

4.3 Aut�omatas celulares con grados de reversibilidad : : : : : : : : : : : 364.3.1 Matriz de de Bruijn simb�olica : : : : : : : : : : : : : : : : : : 374.3.2 Con�guraciones de tama~no par e impar : : : : : : : : : : : : 404.3.3 Aut�omata (2,1) regla 45 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 404.3.4 Aut�omata (4,h) regla 0056B9EF : : : : : : : : : : : : : : : : 454.3.5 Aut�omata (4,h) regla 016ED4BB : : : : : : : : : : : : : : : : 524.3.6 Algoritmo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

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iv CONTENIDO

5 Conclusiones 57

A �Arboles Topol�ogicos (4,h) 61A.1 Regla 0056B9EF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62A.2 Regla 0056F9AF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63A.3 Regla 005BADF6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64A.4 Regla 005BBDE6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65A.5 Regla 005BEDB6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66A.6 Regla 00669FF9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67A.7 Regla 00679EF9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68A.8 Regla 0552F8AF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69A.9 Regla 0158AFF6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72A.10 Regla 0156F8AF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73A.11 Regla 016ED4BB : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75A.12 Regla 055BACF2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77A.13 Regla 0196E87F : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79A.14 Regla 05AF14EB : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82A.15 Regla 0156E8BF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84A.16 Regla 0156B8EF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86A.17 Regla 0154BAEF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87A.18 Regla 016AB4DF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90A.19 Regla 0168D6BF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91A.20 Regla 05936CFA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94A.21 Regla 019BEC76 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96A.22 Regla 1BB1E44E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

Cap��tulo 1

Marco Te�orico

Johannes von Neumann [1] de origen h�ungaro era un verdadero genio en su tiempo,el encontro una importante relaci�on entre las computadoras y los organismos natu-rales. Relaciono ambos sistemas encontrando caracter��sticas muy interesantes quedieron origen a una teor��a que pudiera representar dichas propiedades. De estamanera von Neumann llama a su teor��a, la Teor��a de Aut�omata Celular. La teor��ade aut�omata celular esta formada por un conjunto coherente de conceptos y princi-pios enfocados a la estructura y organizaci�on de ambos sistemas, la programaci�ony el control de tales sistemas. Von Neumann trabaj�o en el dise~no de computadoras,programandolas para que reconocieran la l�ogica matem�atica y a su vez tuvieranun importante rendimiento en la nueva teor��a de aut�omata celular, logrando deesta manera que la teor��a de aut�omata celular fuera m�ultidiciplinaria. A grandesrasgos la naturaleza general de la teor��a de aut�omata celular es su estructura, susmateriales, algunos de sus problemas, algunas de sus aplicaciones y la forma de sumatem�atica; adem�as von Neumann comenzo un estudio comparativo de aut�omataarti�cial y natural. Finalmente formul�o un par de preguntas b�asicas en la teor��a deaut�omata celular: >Como puedo construir sistemas con�ables desde componentesno con�ables?, >Qu�e tipo de organizaci�on l�ogica es su�ciente para que un aut�omatasea capaz de auto-reproducirse?.

La idea de von Neumann, es que la matem�atica de la teor��a de aut�omata celu-lar debe empezar con la l�ogica matem�atica y moverse hacia un an�alisis, tal comola teor��a de probabilidad y la termodin�amica y cuando esto sea desarrollado, de-beremos entender la gran complejidad del aut�omata celular, en particular el delsistema nervioso humano. El razonamiento matem�atico es ejecutado por el sistemanervioso humano y el lenguaje natural en que el razonamiento matem�atico tomasu lugar es an�alogo para el lenguaje natural en el c�omputo de la m�aquina. Estoes totalmente posible, en que la teor��a de aut�omata celular debe ejecutar l�ogicay nuestros conceptos fundamentales de matem�aticas. Ahora bien, la l�ogica es labase de las matem�aticas; por lo tanto, si von Neumann dice que esto es verdad, lateor��a de aut�omata celular debe moverse en forma circular, es decir, empezar en losfundamentos de las matem�aticas y terminar ah�� mismo.

Antes del estudio formal acerca de los aut�omatas celulares, surgieron otrasteor��as muy importantes que in uyeron en los estudios de von Neumann, por ejem-

1

2 CAP��TULO 1. MARCO TE�ORICO

plo los estudios de Warren S. McCulloch y Walter Pitts sobre neurones (1943); unainteresante abstracci�on matem�atica sobre expresiones regulares por S. C. Kleene(1951); los fundamentos generales de la cibern�etica introducida por Norbert Wiener(1948); por otra parte Henri Poincar�e enfatiz�o en la cantidad de aspectos de lam�ecanica cl�asica en t�erminos de estabilidad, propiedades erg�odicas y la recurrenciade orbitas, tales temas actualmente constituyen una medida para estudios te�oricos,topol�ogicos y de din�amica simb�olica, todo esto como resultado de las ideas dePoincar�e; la din�amica simb�olica elaborada por George Birkho� y por �ultimo Gus-tav Adolf Hedlund [2] (1969) realiz�o un amplio trabajo que contiene abundantesresultados aplicables a la teor��a de aut�omata celular, aunque este enfoque es to-talmente diferente y la relaci�on entre los dos conceptos no son por lo general bienapreciados [7].

Los aut�omatas celulares son una rama de la teor��a de aut�omatas, la diferenciaque existe entre estos es que los aut�omatas son manejados por se~nales de entradaque a su vez producen se~nales de salida. Los aut�omatas celulares por el contrariodisfrutan de toda una simetr��a; sin embargo los aut�omatas celulares usan los estadosde sus vecinos como se~nales de entrada y generalmente no producen se~nales de sal-ida. La teor��a de aut�omatas por si misma es bastante antigua, por un lado podemosver que los aut�omatas son mecanismos capaces de ejecutar movimientos complejos yla teor��a como tal comienza propiamente con la abstracci�on neuro�siol�ogica de Mc-Culloch y Pitts. Su �neza dentro de la teor��a de expresiones regulares por Kleene,constituye uno de varios puntos de vista, donde t�ermino por incluir semigrupos (omonoides) de mapeos a un conjunto dentro de si mismo, que es justo la teor��a dela gram�atica. La teor��a de semigrupos es m�as compleja que la teor��a de grupos,cuya clasi�caci�on ser��a una de las realizaciones matem�aticas m�as importantes en los�ultimos tiempos y a su vez esta clasi�caci�on ser��a de gran utilidad para el estudiode los aut�omatas celulares. En las decadas de los 50's, 60's y 70's, se dieron grandesaportaciones en el estudio sobre aut�omatas, lenguajes y temas relacionados, pero alos aut�omatas celulares en particular no se les dar��a mucha atenci�on.

El conocimiento p�ublico de los aut�omatas celulares puede ser atribuido enorme-mente a John Horton Conway. Interesado en buscar una simple con�guraci�oncomo la de von Neumann dio como resultado una serie de con�guraciones para unaut�omata en dos dimensiones, que mostraban de manera muy ilustrativa y atrac-tiva sus comportamientos a trav�es del tiempo dentro de una lattice. Algunos de susresultados fueron presentados en 1970 como un juego ecol�ogico llamado Life, porMartin Gardner [3]. El juego de Life, ser��a el resultado de una regla muy particular,para un aut�omata celular en dos dimensiones (dos estados por c�elula), donde lasvecindades estan formadas por una c�elula central y ocho m�as alrededor de esta,como se observa en la Figura 1.1. Conway examin�o diferentes reglas para poderencontrar la regla que dio origen a su juego. Algunos de sus resultados m�as impor-tantes fueron obtenidos en el Laboratorio de Inteligencia Arti�cial (MIT), con laayuda de las facilidades gr�a�cas de su computadora PDP-6.

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xi-1,j+1 x

i,j+1x

i+1,j+1

xi-1,j x

i,jx

i+1,j

xi+1,j-1

xi−1,j-1 x

i,j-1

Figura 1.1: Vecindad de Moore.

En los �ultimos tiempos, la teor��a de aut�omatas celulares recibio un considerableinter�es a trav�es de las investigaciones de Stephen Wolfram [4], que emprendio unestudio computacional a trav�es de las propiedades de los aut�omatas celulares enuna dimensi�on; guiado por algunos conceptos de la din�amica no lineal y t�ecnicasestad��sticas. La idea del aut�omata celular en una dimensi�on es simple y su evoluci�ona trav�es del tiempo es ideal para una presentaci�on en dos dimensiones. Para em-pezar hay una c�elula en una cierta regi�on cada una en un punto dado, representadosde diferentes formas llamados estados. Por conveniencia, estos estados son usual-mente enumerados con peque~nos valores, comenzando con cero hacia adelante. Paralos prop�ositos de la teor��a de aut�omatas celulares la naturaleza de los estados noimporta ya que pueden ser representados de cualquier manera, lo que si es muyimportante es su relaci�on con los otros estados y el comportamiento de estos cam-biando a trav�es del tiempo y su medio ambiente.

Wolfram fue uno de los primeros en comparar las historias de evoluciones deun gr�an n�umero de diferentes reglas para aut�omatas binarios, intentando su clasi-�caci�on a trav�es de su comportamiento en grandes evoluciones, surgiendo de estamanera las clases de Wolfram.


1.1 Aut�omata celular lineal

Para construir un aut�omata celular, crearemos un arreglo lineal �nito de c�elulasdonde supondremos la existencia de que todas las c�elulas tienen el mismo n�umerode estados similares y a su vez se ver�an afectadas por una regla de transici�on; elsegundo elemento para de�nir un aut�omata celular, es la relaci�on entre las c�elulaso m�as bien los tipos de vecindades que llegan a formar estas. Una vecindad debeestar formada por c�elulas o vecinos prede�nidos ubicados alrededor de la c�elulacentral, que se denota como r vecinos de radio, resultando 2r + 1 vecinos totalesque en conjunto forman una vecindad dada. Como podemos ver, si la cadenaes �nita seguramente no se tendran las mismas vecindades a trav�es de todo elarreglo; pero esto puede ser enfocado de manera diferente, el arreglo puede sertratado como un anillo, es decir, cerrando el arreglo en forma circular y de estaforma conservaremos la uniformidad en todas las vecindades, adem�as con esto seestablecen sus condiciones a la frontera. Por lo tanto, es conveniente trabajar convecindades sim�etricas cada una centrada en su propia c�elula y no con vecindadesirregulares.

De esta forma surge la notaci�on Wolfram (k; r) para un aut�omata celular lineal,donde k es el n�umero de estados por cada c�elula y r el n�umero de vecinos queforman la vecindad. Por �ultimo falta de�nir la regla de transici�on, en donde todoslos estados de las c�elulas se ven afectados por la misma en cada generaci�on yasumimos la misma regla para todas las vecindades.

1.2 Estructura de los aut�omatas celulares

célulainicial

célulafinal

transicione

célulacentral

vecinoizquierdo

vecinoderecho

célula deevolución .

.

.

Figura 1.2: Estructura lineal de los aut�omatas celulares.

1.3. CLASIFICACI �ON WOLFRAM 5

Wolfram por su parte describe algunos t�erminos b�asicos para determinar su clasi�-caci�on de aut�omatas de acuerdo a su regla de evoluci�on. Una tabla de transicionesdescribe la funci�on de mapeos en cada vecindad y esta funci�on se denota como '.Para un aut�omata celular su vecindad contiene k2r+1 vecindades por regla, que nosda un total de kk

2r+1

reglas de evoluci�on. Por otra parte uno puede tomar estadosglobales de la tabla de transiciones, es decir, el patr�on de valores a trav�es de losrenglones en el arreglo es el estado global del aut�omata celular en un tiempo dado.Por lo tanto el aut�omata celular evoluciona a trav�es de una sucesi�on de estadosglobales (su trayectoria), adem�as la iteraci�on de su actualizaci�on global produce lafunci�on de transici�on.

Dos tipos de aut�omata celular pueden ser distingidos, ambos determin��sticos: elcaso m�as general puede ser descrito teniendo grados de construcci�on desordenados,donde el diagrama dado y/o la funci�on en cada c�elula pueden ser diferentes, comoun ejemplo existen las redes de trabajo de funciones booleanas de Walker y las redesde trabajo booleanas de Kau�man. El aut�omata celular de construcci�on ordenadaes un caso especial, donde el diagrama y la funci�on son el mismo sobre todo elarreglo. En ocasiones, el orden puede ser con�nado a una vecindad dentro de unazona ininterrumpida de c�elulas, t��picamente centradas sobre la c�elula identi�cadora.

1.3 Clasi�caci�on Wolfram

Para describir la evoluci�on de un aut�omata celular lineal arbitrario de una con�g-uraci�on inicial aleatoria, observemos el diagrama de evoluciones donde en algunoscasos de manera r�apida, llega a ser claro que cada regla y tipos de aut�omatas sondiferentes. Por su parte Wolfram [4] present�o una �util clasi�caci�on dentro de cuatroclases.

� Clase I. Comportamientos uniformes.

Figura 1.3: Aut�omata (3; h) regla 17793.

Como puede verse en el diagrama de evoluciones, un s�olo estado es el que dominaa los demas a trav�es del tiempo y este comportamiento es siempre el mismo concualquier con�guraci�on aleatoria.


� Clase II. Comportamientos c��clicos aislados.


En el diagrama de evoluciones podemos observar como dos estados se compor-tan de manera repetitiva bajo una vecindad dada. Este comportamiento siemprees el mismo a trav�es del tiempo y cualquier con�guraci�on aleatoria.

� Clase III. Comportamientos ca�oticos.


En el diagrama de evoluciones podemos observar como es que el patr�on quese muestra a trav�es del tiempo es totalmente inestable, es decir, no podemos de-terminar a simple vista que tipo de con�guraci�on se presentar�a de generaci�on engeneraci�on.

1.3. CLASIFICACI �ON WOLFRAM 7

� Clase IV. Comportamientos complejos.

Figura 1.6: Aut�omata (4; 1) regla C30E39E50E39E59739E5975EE5975E78.

Sin duda la clase m�as estudiada, esta clase se caracteriza por ser una combi-naci�on de la clase dos con la clase tres, es decir, dentro del diagrama de evolucionespodemos observar regiones uniformes originadas por un estado y regiones ca�oticasoriginadas por los otros tres estados restantes.

Su inter�es ser��a particularmente por los aut�omatas clase IV. Al parecer estasclases son identi�cadas por reglas cuyos diagramas de de Bruijn contienen cier-tos ciclos, donde estos pueden ser detectados con facilidad en per��odos cortos.Esto es seleccionar una regla espec��ca y trabajar su tabla de per��odos (tiempode repetici�on) y ciclos (espacio de repetici�on), en donde un rengl�on dado muestra eln�umero de ciclos de un per��odo dado, en anillos de longitud dada por las columnas.

Para obtener estos ciclos en los aut�omatas celulares, se tomar�an longitudes dearreglos �nitos mayores o iguales a dos, estos arreglos son los estados globales.Primero se tomar�a como semilla un estado global aleatorio, posteriormente se ob-tendran sus evoluciones hasta encontrar un estado global que se repita, esto quieredecir que hemos entrado el ciclo (espacio de repetici�on) de estos mapeos globales.De esta manera cuanti�camos todos los estados globales que pueden resultar dela longitud empleada. Finalmente trazamos una gr�a�ca cuyas ligas son determi-nadas por su evoluci�on. Una buena utilidad puede ser seleccionar un anillo inicialy examinar generaciones sucesivas de su evoluci�on, la nueva generaci�on puede sertotalmente distinta o el mismo punto podemos buscarlo generaciones atr�as. Paraun anillo �nito el numero total de estados globales que se pueden obtener es kl

posibles combinaciones diferentes de estados en un anillo de longitud l.Otro uso del diagrama de transiciones es obtener ancestros de una cadena dada,

una simple aplicaci�on es encontrar los ancestros de cadenas uniformes donde cadaliga representa la evoluci�on de la c�elula central en una vecindad. Todas las ligasque evolucionan en cero determinan las cadenas que deben evolucionar en cero,inversamente los ciclos evolucionan en cero y determinan las reglas para que talevoluci�on sea posible. De manera menos complicada es la determinaci�on de las ca-denas est�aticas o mejor conocida como naturaleza muerta, esto signi�ca vecindadesque evolucionan sobre un valor constante, es decir las vecindades para la c�elula


central evolucionan sobre si misma.Hist�oricamente los diagramas de de Bruijn ser��an creados para resolver el prob-

lema de buscar todas las distintas secuencias de ciertos s��mbolos. Esta idea puedeser aplicada para un diagrama de per��odos, cuestionandose si todas las posiblessecuencias de c�elulas pueden aparecer como posibles evoluciones. Por lo tanto eldiagrama de per��odos es una restricci�on del diagrama de de Bruijn, adem�as puedeser dudoso en el sentido de que �esto no puede ser y a su vez con�rma la existencia delos estados conocidos como \Jard��n del Ed�en". Estas con�guraciones son cadenasde c�elulas que s�olo aparecen como una con�guraci�on inicial en las evoluciones delos aut�omatas por que ellos no tienen ancestros y no pueden surgir durante el cursode la evoluci�on desde otros estados.

Examinar un camino en un diagrama puede ser un proceso tedioso, los diagramasde subconjuntos de Edward F. Moore [5], proveen un camino para sistematizar estetipo de estudio. Este es un nuevo diagrama cuyos nodos son subconjuntos deestados, donde cada subconjunto es ligado para la uni�on de estados y esta ligaque los une se deriva de la evoluci�on de cada uno de los estados que forman elsubconjunto con otro subconjunto dado. Usualmente uno empieza desde el conjuntom�aximo, suponiendo que no importa donde comienza un camino y continuarlo sies posible hasta llegar al subconjunto m��nimo, aunque tambi�en es verdad que aqu��no existen caminos con las mismas caracter��sticas dentro del diagrama original. Undiagrama de subconjuntos m�as elaborado retiene todos los detalles que pueden serconstruidos desde los caminos originales con todas sus m�ultiplicidades que puedenser extraidas.

Cap��tulo 2

Teor��a de Gr�a�cas enAut�omatas Celulares

Desde un punto de vista puramente abstracto, una gr�a�ca es una pareja (N;L)que consiste de N nodos y L ligas. Los nodos son justo un conjunto regularmenteformado por enteros positivos de 0 hasta n � 1 y las ligas son un subconjunto deN �N .

Los nodos son proyectados como puntos frecuentemente etiquetados por losmiembros del conjunto N , las ligas son representadas por echas uniendo los nodos,la echa corre del nodo i hasta el nodo j si (i; j) 2 L. N�otese que no es necesario queambos (i; j) y (j; i) correspondan a L, ni que (i; i) corresponda o no corresponda.Este es un problema cl�asico en teor��a de gr�a�cas para saber si una gr�a�ca puedeser dibujada en dos dimensiones adem�as de que sus ligas no se deben mezclar.

2.1 Topolog��a

Las estructuras de c�elulas y organismos vivos son organizados ampliamante en uncamino que puede ser descrito como topolog��a, caracterizado para especi�car susposiciones como patrones de conectividad [12].

La matriz topol�ogica Mi;j esta de�nida por:

Mi;j =

�1 (i; j) 2 L

0 c:o:c:

La aplicaci�on m�as importante de la matriz topol�ogica consiste en su capacidadpara describir caminos entre nodos conteniendo m�ultiples ligas de acuerdo a suevoluci�on, por lo tanto los elementos de tales matrices son enteros y son �utiles paracontar el n�umero total de caminos, pero no clasi�can los caminos en diferentescategor��as. Los elementos de la diagonal de la matriz cuentan los ciclos; la trazaproduce el n�umero total de ciclos y cuentan cada uno de ellos, una vez por cadanodo que ellos continen.

La teor��a de gr�a�cas como tal juega un papel muy importante dentro de la teor��ade los aut�omatas celulares. Uno consiste en describir la evoluci�on del aut�omata y el

9

10 CAP��TULO 2. TEOR��A DE GR�AFICAS EN AUT�OMATAS CELULARES

otro consiste en relacionar las propiedades locales con las propiedades globales. Laevoluci�on es descrita por reglas locales mapeando vecindades en su estado subsigu-iente y esto es porque las vecindades sucesivas translapan, adem�as es importanteen el sentido de que deben ser capaces de tomar el translape explicando cuandorelacionar el comportamiento de c�elulas sucesivas para algunas otras. Un aut�omatacelular se presta para an�alisis rigurosos, ya que la simetr��a inherente dentro de sulattice del aut�omata individual (las c�elulas) y suponiendo cambios individuales deestados; dependen exclusivamente de los estados de un n�umero limitado de vecinos.

A primera vista el extenso translape entre vecindades de diferentes c�elulas parececonfundir el problema, adem�as esto ser��a buscar ciertas ideas usando teor��a deregistro de corrimientos y var��as t�ecnica m�as, adem�as de que la informaci�on cuidadel translape de una manera muy adecuada.

2.2 Diagrama de de Bruijn

La teor��a de registro de corrimientos es una disciplina basada en el tratamiento desecuencias translapando. Los nodos del diagrama de de Bruijn son secuencias des��mbolos de alg�un alfabeto, justo como una expresi�on regular ya que ellos puedenser secuencias de nodos de una gr�a�ca espec��ca, las ligas del diagrama describencomo tales secuencias pueden translapar. Por consecuencia diferentes grados detranslape conducen a diferentes diagramas.

Cuando los enteros son enteros consecutivos ellos pueden ser tratados comoelementos de un anillo o quiz�as dentro de un campo �nito y nos da la facilidad dediscutir sus propiedades aritm�eticas o algebraicas, adem�as de hacer varias eleccionesvaliosas. La matriz topol�ogica del diagrama de de Bruijn se representa como:

Mi;j =

8>>>>>>><>>>>>>>:

1 si j =

8>>><>>>:

ki

ki+ 1... (mod k2r):ki+ k � 1

0 c:o:c

A trav�es del diagrama de de Bruijn las gr�a�cas pueden representar con�gura-ciones o clases de con�guraciones en los aut�omatas celulares, las ligas del diagramaestan naturalmente asociadas con las vecindades de un aut�omata usando los mis-mos s��mbolos que asocian las ligas en un paso de evoluci�on. Si hay alguna raz�onpara descriminar entre vecindades, la misma descriminaci�on puede de�nir un sub-diagrama del diagrama original. El diagrama de de Bruijn gen�erico [8] para unaut�omata (2; 1), tiene cuatro nodos que corresponden a cuatro vecindades parcialesde dos c�elulas con ocho ligas representando todas las vecindades de tres c�elulas.

La matriz topol�ogica de un diagrama de de Bruijn es totalmente regular aunquees asim�etrica y se diferencia de las matrices circulantes, matrices tridiagonales u otraforma especializada que haya sido extensamente analizada dentro de la literatura.

2.2. DIAGRAMA DE DE BRUIJN 11

001

00

1001

11

000 111

010

110

100

011

101

Figura 2.1: Diagrama de de Bruijn gen�erico para el aut�omata (2,1).

Las matrices de de Bruijn Dk;s �o Ds son caraterizadas por k, el n�umero des��mbolos en que las secuencias pueden ser formadas y s el n�umero de estados quees la longitud de la secuencia.

Dk;s =

2664

1 1 : :

: : 1 11 1 : :

: : 1 1

3775

En estos t�erminos deben existir k ligas de entrada en cada nodo y k ligas desalida en cada nodo, en total deben existir ks nodos con ks+1 ligas uniendolos,correspondiendo a las secuncias de longitud s+ 1.

Un buen ejemplo del uso de subdiagramas es el proceso conocido como natu-

raleza muerta, ya que estas son con�guraciones de c�elulas que no cambian durante laevoluci�on. El diagrama para la naturaleza muerta puede ser extraido del diagramagen�erico removiendo todas las ligas que no conservan su c�elula central durante laevoluci�on. Los ciclos en el subdiagrama contienen ligas que de�nen secuencias queson invariantes en la evoluci�on, de esta manera toda la naturaleza muerta parael aut�omata es determinada autom�aticamente. En general, cualquier combinaci�onbooleana de las c�elulas de la vecindad y la c�elula de evoluci�on pueden determinarel subdiagrama.

00

1001

11

000 111

010

101

0

0

0

0

Figura 2.2: Subdiagrama de de Bruijn para un aut�omata (2,1).

Se hace resaltar de manera muy especial la importancia del uso de los diagramasde de Bruijn, ya que el signi�cado del mismo diagrama no s�olo representa el mapeo


de las vecindades por su estado de evoluci�on, si no que a trav�es de estos diagramasy su respectiva matriz de evoluci�on dan pie a la realizaci�on de otros diagramastal como el diagrama de subconjuntos y el diagrama de parejas. Por otra partesu matriz de conectividad es de vital importancia para obtener una estimaci�on deln�umero de ancestros del mismo aut�omata.

Con esto se hace notar que la importancia de los diagramas de de Bruijn, es queestos contienen en gran parte toda la informaci�on relevante que se quiera obtenerdel aut�omata en estudio.

2.3 Diagrama de subconjuntos

El diagrama de de Bruijn sirve como guia en la descripci�on de secuencias de ciertascadenas de s��mbolos, para saber si alg�un otro conjunto de objetos puede producirla misma secuencia. Un ejemplo trivial puede ser tratar de recuperar los s��mbolosoriginales desde alg�un elemento central de cada cadena, cuando el prop�osito en s��de usar vecindades en los aut�omatas celulares es obtener la secuencia de evoluci�onde las mismas c�elulas. Por el mismo camino, la multiplicaci�on de la matriz dede Bruijn garantiza que los elementos del producto hagan referencia a ciertas se-cuencias de evoluci�on que corresponden al diagrama de de Bruijn. Esto es de gran�utilidad cuando se desea calcular el n�umero promedio de ancestros que pueden tenerdeterminadas secuencias.

El diagrama de subconjuntos tiene 2k2r

nodos, si todas las con�guraciones decierta longitud poseen ancestros entonces todas las con�guraciones con extensionestanto a la izquierda como a la derecha con la misma equivalencia deben tener an-cestros. Si este no es el caso, entonces ellos describen las con�guraciones conocidascomo Jard��n del Ed�en y no es m�as que la descripci�on del camino principal que vadel conjunto m�aximo al conjunto m��nimo dentro del diagrama de subconjuntos.

Los nodos dentro del diagrama de subconjuntos estan formados por la com-binaci�on de todos los subconjuntos que se pueden formar a partir del n�umero deestados que conforman el diagrama de de Bruijn, por ejemplo para un aut�omata(2; 1) tenemos cuatro fracciones de estados en el diagrama de de Bruijn fag, fbg,fcg y fdg, y de ah�� podemos formar todos los subconjuntos posibles: fa; b; c; dg,fa; b; cg, fa; b; dg, fa; c; dg, fb; d; cg, fa; bg, fa; cg, fa; dg, fb; cg, fb; dg,fd; cg, fdg, fcg, fbg, fag y fg. Dentro de estos subconjuntos se pueden distingir demanera clara las cuatro clases unitarias que se forman, la integraci�on del conjuntovacio garantiza que todos los subconjuntos tengan al menos una imagen, aunqueesta no exista en el diagrama original. Para determinar el tipo de uni�on que exis-ten entre los subconjuntos se debe revisar el estado en que evoluciona cada estadoy de esta manera saber hacia que estados (subconjunto que lo formen) se puedeconectar; de esta manera se construye la siguiente relaci�on para la regla 30.

2.3. DIAGRAMA DE SUBCONJUNTOS 13

nodo liga con 0 liga con 1a a b

b � c; d

c b a

d c; d �

Tabla 2.1: Relaci�on entre estados.

De esta manera podemos construir la matriz de subconjuntos donde la dimensi�onde la misma esta de�nida por el n�umero de nodos del diagrama y a su vez puedeser particionada a trav�es de sus clases unitarias. Podemos observar que el elementofundamental para de�nir alguna funci�on es que cada argumento tiene justo unaimagen. Las ligas del diagrama de�nen una funci�on cuando existe una liga de unaclase hacia un nodo; pero si esta condici�on no se cumple, se debe a que existe unacombinaci�on de m�ultiples ligas a una sola liga entre subconjuntos que implica laexistencia de m�as de una entrada al nodo a trav�es del mismo estado o diferentesestados.

Aunque las ligas de una gr�a�ca como tal no de�nen una funci�on las ligas entresubconjuntos son siempre funcionales y esto se debe por la inclusi�on del conjuntovacio de�nido para toda la gr�a�ca. Cada clase de ligas de�nen una funci�on, sea �0

�o �1. El diagrama de subconjuntos describe la uni�on de �0 [�1, que por si mismano es funcional.

Sean a y b nodos, S un subconjunto y jSj la cardinalidad de S; entonces eldiagrama de subconjuntos esta de�nido por,

Xi

(S) =

8<:

� S = �

fb j ligai (a; b)g S = fag:Sa2S �i(a) jSj > 1

De aqu�� se desprenden tres propiedades importantes:

1. Si existe una cadena principal del subconjunto m�aximo al conjunto m��nimo,entonces debe existir una cadena similar que salga de alg�un subconjuntomenor al conjunto vacio. Por el contrario si las clases unitarias carecen deligas al conjunto vacio, aqu�� no existen con�guraciones Jard��n del Ed�en.

2. Existe un cierto residuo del diagrama de de Bruijn, en el sentido de que dadoun origen y un destino, siempre debe haber un subconjunto conteniendo eldestino accesible y otro subconjunto conteniendo el origen, adem�as el destinopuede tener nodos adicionales.

3. El diagrama de subconjuntos puede no estar conectado, si este es el caso esinteresante conocer el subconjunto m�as grande accesible desde alg�un subcon-junto dado, as�� como el subconjunto m�as peque~no.

Cabe recalcar que el diagrama de subconjuntos proporciona informaci�on muyvaliosa con respecto a ciertas secuencias dentro del aut�omata en estudio, el saber siel aut�omata contiene con�guraciones Jard��n del Ed�en, si tiene m�ultiples ancestros


y en un momento dado determina el comportamiento del aut�omata dentro del dia-grama de evoluciones para casos triviales. Los ancestros pueden ser determinadosa trav�es del tipo de mapeo que mani�estan.

2.4 Diagrama de parejas

El diagrama de parejas [8], es un producto carteseano obtenido a trav�es de las ma-trices de conectividad del diagrama de de Bruijn. El diagrama de parejas es �utilpara comparar caminos entre dos diagramas diferentes o dos caminos en el mismodiagrama. Las echas dentro del diagrama de parejas se derivan del hecho de quepara alg�un nodo (formado por una pareja de estados) cualesquiera de la gr�a�ca,evolucione en parejas ordenadas en un mismo estado a otro nodo. Es decir, los��ndices de la matriz topol�ogica del diagrama de parejas estan formadas por todaslas parejas ordenadas que se llegan a formar del n�umero de estados del diagramade de Bruijn y nos da un total de k2r

2

nodos en el diagrama de parejas. Una gran�utilidad que nos brinda el diagrama de parejas es obtener los m�ultiples ancestrosdentro de los aut�omatas celulares, ya que podemos extraer secuencias que formenun ciclo dentro del diagrama y comprobar si estas secuencias por los mismos nodostienen m�as de un ancestro para una vecindad dada. Con esto cabe se~nalar que enel diagrama de parejas se pueden obtener todos los ciclos que pueden existir dentrodel aut�omata en estudio.

Producto carteseano. [17]Sean A y B dos conjuntos y C el conjunto producto que representamos como

AB cuyos elementos van a ser los distintos pares o parejas que se puedan formartomando todos y cada uno de los elementos de A, con todos y cada uno de loselementos de B, de esta manera si a es un elemento de A y b un elemento de Bentonces,

AB = f(a; b)ja 2 A ^ b 2 Bg: (2.1)

Para determinar el orden de la matriz C consideremos las matrices de conectivi-dad por estado del diagrama de de Bruijn de orden n, An y Bn ) AnBn = Cn2.Por lo tanto, el diagrama como tal describe parejas ordenadas y consecuentementela matriz de conectividad C tiene propiedades sim�etricas as�� como re exivas, porlo que nos permite construir un diagrama desordenado en donde la distinci�on entrelos elementos de las parejas (a; b) y (b; a) es practicamente insigni�cante.

2.5. AUT �OMATA CELULAR BINARIO 15

2.5 Aut�omata celular binario

En este caso tomaremos un aut�omata celular con dos estados y un vecino por cadalado, es decir un aut�omata (2; 1). La regla se representa de dos formas ya sea ennotaci�on binaria o en notaci�on decimal. En este caso se tienen ocho vecindades detama~no tres.

000 0001 1010 1011 1100 1101 0 110 0

Regla 30

Notación binaria

célula deevolución

Estado 0:

Estado 1:

Figura 2.3: Regla de evoluci�on del aut�omata (2,1) regla 30.

Consecuentemente k = 2 y s = 2, tenemos 22 = 4 nodos y 22+1 = 8 ligas, quea su vez se pueden identi�car los nodos como el n�umero de estados del aut�omatay las ligas el n�umero de vecindades del aut�omata. Los estados estan formados porlas fracciones de vecindad: 00, 01, 10 y 11, que en notaci�on decimal se representancomo los estados: 0, 1, 2 y 3. Como se hab��a mencionado en la secci�on anterior lanaturaleza de los estados no es muy importante si no m�as bien la regla de evoluci�onque afectan a las vecindades. Para mayor ilustraci�on los estados se representar�ana trav�es de colores. La funci�on de transici�on '(xti�1; x

ti; x

ti+1) ! xt+1i , indica el

mapeo de la vecindad en el tiempo t al nuevo estado de evoluci�on en el tiempot+ 1.

Figura 2.4: Diagrama de de Bruijn para la regla 30.

Para obtener el diagrama de subconjuntos emplearemos la tabla de relaciones de

la Secci�on 2.3, entonces tenemos 222(1)

= 16 nodos en el diagrama de subconjuntos,que son exactamente todos los subconjuntos que se formaron en esa misma secci�on,


ahora bien estos subconjuntos se representaran en notaci�on decimal como se ilustraen el siguiente cuadro:

Subconjunto valor liga con 0 liga con 1

0,1,2,3 15 15 15

1,2,3 14 14 13

0,1,2 7 3 15

0,1,3 11 13 14

0,2,3 13 15 3

0,1 3 1 14

0,2 5 3 3

0,3 9 13 2

1,2 6 2 13

1,3 10 12 12

2,3 12 14 1

3 8 12 �

2 4 2 1

1 2 � 12

0 1 2 2

� 0 � �

Tabla 2.2: Conectando subconjuntos.

en este cuadro podemos observar perfectamente las cuatro clases unitarias queexisten dentro del diagrama empezando por el conjunto m�aximo hasta llegar alconjunto m��nimo, las columnas tres y cuatro muestran a que subconjunto se liga elsubconjunto de la primera columna y con que estado. De esta manera se obtienentodas las ligas en el diagrama de subconjuntos.

0

1 2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Figura 2.5: Diagrama de subconjuntos para la regla 30.

2.5. AUT �OMATA CELULAR BINARIO 17

Para construir el diagrama de parejas efectuaremos el producto carteseano delas matrices de conectividad del diagrama de de Bruijn. En este caso tendremos22(1)

2

= 16 parejas ordenadas que a su vez son el n�umero de nodos del diagramade parejas. Esta matriz recibe el nombre de la matriz T y sus sub��ndices estanformados por todas las parejas posibles (a; b), donde a y b pertenecen a �,

T =

266666666666666666664

1 : : : : 1 : : : : : : : : : :

: : : : : : 1 1 : : : : : : : :

: 1 : : 1 : : : : : : : : : : :

: : 1 1 : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : 1 : : : 1 : :

: : : : : : : : : : 1 1 : : 1 1: : : : : : : : 1 1 : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : :

: 1 : : 1 : : : : : : : : : : :

: : 1 1 : : : : : : : : : : : :

1 : : : : 1 : : : : : : : : : :

: : : : : : 1 1 : : : : : : : :

: : : : : : : : 1 : : : 1 : : :

: : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : 1 : : : 1 : :

: : : : : : : : : : 1 1 : : 1 1

377777777777777777775

es claro notar que los sub��ndices de la primera submatriz son las parejas ordenadas(0,0), (0,1), (0,2) y (0,3). Como ejemplo, el sub��ndice (0,0) contiene un ciclo consigomismo ya que el estado cero evoluciona en el mismo cero y as�� para toda la matriz.A continuaci�on se mostrara el diagrama de parejas completo, cabe se~nalar que deeste diagrama se pueden producir dos diagramas m�as, uno de ellos puede ser eldiagrama ordenado donde la simetr��a mostrada en el diagrama original se pierde yel otro diagrama es el que nos muestra exclusivamente los ciclos que se forman atrav�es de ciertas secuencias dadas. Para estos diagramas los ciclos autocontenidosse representan como un radio dentro del nodo.

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)

(1,0) (1,1) (1,2) (1,3)

(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)

(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

Figura 2.6: Diagrama de parejas para la regla 30.

Cap��tulo 3

Mapeo Local induce MapeoGlobal

3.1 Que es un mapeo?

Sea a 2 A, b 2 B y f es una funci�on. Entonces si (a; b) 2 f decimos que f mapeaa a sobre b y denotamos esto como f(a) = b. Por lo tanto denotamos un mapeo fdel conjunto A al conjunto B por f : A ! B. El t�ermino mapeo se usa como unsin�onimo de funci�on [17].

El mapeo de los estados dentro del diagrama de evoluciones puede ser represen-tado en un diagrama de Venn, como conjuntos. Donde el conjunto A representa lascon�guraciones posibles y el conjunto B los estados de evoluci�on.

A B BA

Figura 3.1: Mapeo de estados representado como conjuntos.

19

20 CAP��TULO 3. MAPEO LOCAL INDUCE MAPEO GLOBAL

En la Figura 3.1 el primer diagrama de Venn ilustra el mapeo entre conjuntos deelementos no de�nidos, partiendo de este punto de referencia podemos representarestos elementos como con�guraciones de tama~no n, mapeando sobre estados quepudiesen ser sus estados de evoluci�on en el siguiente paso. Posteriormente presen-tamos diferentes tama~nos de con�guraciones mapeando a sus respectivos estadosde evoluci�on en la siguiente generaci�on.

N�otese la poca importancia que se les a dado a k y a r; esto es por razonesde informalidad pues el objetivo de los diagramas es s�olo identi�car el mapeo delas mismas con�guraciones en los diagramas de evoluciones. Posteriormente seespeci�car�an en detalle estos tipos de mapeo de tama~no variado.

El primer detalle que vamos a tratar, es el mapeo no sim�etrico dentro del dia-grama de evoluciones. El caso que m�as se ha estudiado hasta estos momentos es elaut�omata (2,1), es decir, dos estados y un vecino por cada lado, pero recordemosque el n�umero de estados puede crecer tal como (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), : : : , y elradio de vecindad tambi�en (2,2), (2,3), (2,4), : : : . Pero tenemos aut�omatas talescomo (2; h), (2; t), (2; f), : : : , donde h = 1

2 , t =32 , f = 5

2 y as�� sucesivamente.Ilustrando para el caso m�as trivial el aut�omata (2; h), la h nos indica medio

vecino por cada lado, pero en lugar de tomar medio vecino por cada lado se tomauno completo ya sea a la izquierda o a la derecha y de esta forma conservamos lasimetr��a dentro del diagrama de evoluciones.

célula deevolució

Figura 3.2: Mapeo para el caso r = h.

3.2. MAPEO LOCAL 21

Una vez identi�cado como se comporta el mapeo en los aut�omatas celularesse analizaran los diferentes tipos de mapeos que pueden originarse, estos tipos demapeos son muy importantes para poder analizar el comportamiento del aut�omatay obtener una buena clasi�caci�on de los mismos mapeos.

3.2 Mapeo local

El mapeo local [16] determina el comportamiento de los aut�omatas celulares den-tro del diagrama de evoluciones en localidades espec��cas. Estas propiedades laspodemos ver en el mismo diagrama de de Bruijn, donde la funci�on de transici�ondetermina el mapeo local para cada una de las vecindades existentes en un estadodado. Ahora formalizaremos estos conceptos para tener una idea m�as clara delmapeo local.

Sea � un conjunto no vacio de s��mbolos llamado alfabeto o estados. La car-dinalidad de � se denota como j�j. Una secuencia de longitud �nita de s��mbolosen � es llamada una cadena sobre �. El conjunto de todas las cadenas sobre � esdenotado por ��. Si n 2 P) �n es el conjunto de todas las cadenas de longitud nsobre �. Sea c una con�guraci�on sobre �. El conjunto de todas las con�guracionessobre � es denotado por C(�). El conjunto de todas las con�guraciones �nitassobre � es denotado por CF (�).

Sea n � 1, k � 1 y el mapeo � : �n ! �, entonces � es llamado un mapeolocal de k-s��mbolos de n-longitud si j�j = k, para � = f0; 1; : : : ; k � 1g. Si estoes verdadero, entonces el conjunto de todos los mapeos locales de k-s��mbolos den-longitud es denotado por Lk

n, por lo que � 2 Lkn.

Masakasu Nasu desarrolla el mapeo local �nito y no �nito de un modo generaly abstracto. Para comprender esta simbolog��a analizaremos un aut�omata celular(2,1) con k = 2 y r = 1. Si � es el conjunto del alfabeto o estados, entonces elconjunto de � para el aut�omata (2,1) esta representado como � = f0; 1g. Adem�ask es el n�umero de estados dentro del aut�omata y el n�umero de estados es dos porlo que k = 2, entonces la cardinalidad de � es igual al valor de k, si esta condici�onse cumple entonces ahora podemos calcular el valor de n.

Como n es la longitud de las cadenas sobre �, este es de�nido como el tama~node cada una de las vecindades, es decir, para este aut�omata (2,1) n = 3, ya quetenemos una c�elula central y un vecino a la izquierda y otro a la derecha tal comose hab��a de�nido en la Secci�on 1.1, por lo tanto el tama~no de cada una de lasvecindades 2r + 1 es igual a n. Consecuentemente �n denota el conjunto de todaslas cadenas de longitud n, este conjunto de cadenas no son m�as que las mismasvecindades que pueden llegarse a formar f(000), (001), (010), (011), (100), (101),(110), (111)g. Para el caso del aut�omata (2,1) tenemos ocho vecindades de tama~notres, compuestas por los estados que pertenecen a �.

Finalmente podemos determinar el mapeo local � : �n ! � para el aut�omata(2,1) de k�s��mbolos y n�longitud y una regla dada. Dado que, si tenemos ochovecindades diferentes de tama~no tres, entonces a cada una de ellas le correspondeun �unico estado de evoluci�on o estado al que mapea cada vecindad. Esto es lafunci�on de transici�on para un aut�omata (2,1) dada por '(xti�1; x

ti; x

ti+1) ! xt+1i

donde las x representan los estados, i la posici�on donde se encuentra cada estado


dentro de la lattice y t representa el tiempo (generaci�on o iteraci�on) de cada unade las celulas en cierta con�guraci�on c, dentro del diagrama de evoluciones.

Sin embargo observemos la cantidad de mapeos que existen para cadenas delongitud n, este valor puede variar considerablemente de acuerdo al n�umero deestados y al radio de vecindad que contenga el aut�omata en estudio. Por lo que lafunci�on de transici�on ' depende de k y r.

Si l 2 P ) cl 2 CF (�), entonces cl es una con�guraci�on �nita de longitud l,por lo que se deduce que c 2 C(F ).

El mapeo local puede efectuarse tanto en con�guraciones �nitas cl como encon�guraciones no �nitas c. Este es un punto importante, una con�guraci�on �nitaes un vector rengl�on que se encuentra dentro de la lattice de longitud l; n puedeestar ubicado dentro de cualquier i��esimo sitio de la con�guraci�on, sea �nita ono �nita. Por lo tanto, un mapeo local puede efectuarse sobre con�guraciones no�nitas.

Aut�omata celular (2,1)

Si � = f0; 1g y k = 2 ) j�j = k. Si r = 1, entonces 2r + 1 = n = 3 por lo quela funci�on de transici�on para este caso es '(xti�1; x

ti; x

ti+1) ! xt+1i . Dada la regla

01111000 (30 en decimal) la funci�on de transici�on denota la siguiente tabla paramapeos locales sobre con�guraciones �nitas y no �nitas:

∑n = ∑3 ={ }

000 =001 =010 =011 =100 =101 =110 =111 =

estado 0 =estado 1 =

Ln = {∑n ∑}k

L3 = { { } { } }2

ϕ

... ...

... ...

... ...

...

...

si l = 14, entonces c14 C(F)∈ c C(F)∈

ϕ(0,0,0) 0ϕ(0,0,1) 1ϕ(0,1,0) 1ϕ(0,1,1) 1ϕ(1,0,0) 1ϕ(1,0,1) 0ϕ(1,1,0) 0ϕ(1,1,1) 0

3.2. MAPEO LOCAL 23

El diagrama de de Bruijn representa adecuadamente los mapeos locales paraaut�omatas celulares de orden (k; r). Para el caso del aut�omata celular (2,1) regla30 los mapeos estan dados por las aristas del diagrama siguiente:

00

1001

110 0

0

01 1

1

1

Figura 3.3: Mapeos locales para la regla 30.

Como podemos ver el mapeo local se deriva de una regla espec��ca para un valordado, a�un as�� Nasu de�ne el conjunto Lk

n como el conjunto de todos los mapeoslocales. Esto quiere decir que si tenemos un at�omata celular (2,1) con n = 3,

tendremos kk2r+1

mapeos locales.

Figura 3.4: Conjuntos de estados, con�guraciones y mapeos.


3.3 Mapeo global

Sea i 2 Z y c 2 C(�) entonces f�;m es llamado un mapeo global [16] inducido por unmapeo local � desde un punto de vista m. Un mapeo f : C(�)! C(�) es llamadoglobal si f�;m = f para alguna m 2 Z. Y sea f un mapeo global de � 2 Lk

n. Si

f̂ : CF (�)! CF (�) es de�nido como f̂ (c) = f para toda c 2 CF (�), entonces f̂ esllamado un mapeo global �nito de �.

Sea x una cadena entonces lg(x) denota la longitud de x. Sea � una secuencia delongitud cero y adem�as es un cadena. Entonces para alguna x 2 ��, denotamos a x̂una con�guraci�on �nita de c 2 CF (�) tal que si x 6= � entonces c0c1 � � � clg(x)�1 = x

por lo tanto ci = 0 para todo i < 0 y para todo i � lg(x). Pero si x = � entoncesci = 0 8 i 2 Z.

Decimos que un mapeo local induce un mapeo global por que el mapeo globalconserva todas las propiedades locales a trav�es de todas las con�guraciones. Estaspropiedades globales representadas por � son las que determinan el comportamientodel mapeo global a trav�es del tiempo. Desarrollando de una manera m�as explicitaejempli�caremos las de�niciones de los p�arrafos anteriores sobre un aut�omata bi-nario.

Como de�nimos en la Secci�on 3.2, � representa los mapeos locales de una regla enparticular. Entonces para una � 2 Lk

n sobre una con�guraci�on c 2 C(�) denotamosun mapeo global desde un punto de vista m y una posici�on i denotado por,

(f�;m(c))i = �(cm+icm+i+1 � � � cm+i+n�1): (3.1)

Si k = 2 y r = 1 entonces n = 3. Si i = 0 y m = 0 entonces el mapeo global(f�;0(c))0 se representa como:

(f�;0(c))0 = �(c0c1c2)

f

..

..

..

..

σ

por lo que se deduce que �(c0c1c2) = x̂, entonces la condici�on i < 0 e i � lg(x)determina los l��mites de lg(x) dentro una con�guraci�on c 2 CF (�).

Si i = 0 y m = �1 entonces el mapeo global (f�;�1(c))0 se representa como:

(f�;�1(c))0 = �(c�1c0c1)

f

..

..

..

..

σ

podemos apreciar que el sub��ndice i indica la posici�on que ocupan cada una delas con�guraciones ci dentro de la cadena x; m indica el punto de vista dondese localizan estas cadenas. Las condiciones establecidas por i denotan un mapeoglobal �nito de � denotado por f̂ : CF (�)! CF (�).

3.3. MAPEO GLOBAL 25

Si f̂ representa el mapeo de las con�guraciones �nitas del conjunto CF (�) en-tonces lg(x) es igual a l, donde l 2 P y denota el tama~no de cualquier con�guraci�oncl 2 CF (�).

cl

f

Figura 3.5: Mapeo global del conjunto CF (�).

Por lo que concluimos que f̂ (cl) = f para un mapeo global �nito. N�otese quese emplea la notaci�on original [16] c 2 CF (�) con la notaci�on propuesta en esteescrito cl 2 CF (�), donde la �nalidad es la misma pero tratando de especi�car conmayor detalle los elementos que pertenecen al conjunto CF (�).

Finalmente desarrollamos el mapeo global para con�guraciones no �nitas. Paraun mapeo global de una con�guraci�on c 2 C(�) la correspondencia esta dada porlas con�guraciones mismas como elementos del conjunto C(�). El mapeo globalf : C(�)! C(�) es el mapeo de las mismas con�guraciones de c 2 C(�).

... ...

... ...

... ...

...

...

c

f

Figura 3.6: Mapeo global del conjunto C(�).

Por lo tanto f�;m = f denota un mapeo global por que las propiedades localesestablecidas por � y la localizaci�on de estas con�guraciones denotadas por m, sonlas mismas para toda con�guraci�on c 2 C(�).

3.3.1 Diagrama de transiciones

Los mapeos globales derivados por los mapeos locales restringidos por una � part��cularofrecen un nuevo enfoque de estudio basado en las mismas con�guraciones cl 2CF (�). Si cl 2 CF (�) es una cadena de longitud lg(x)= l, entonces cl es un estadoglobal.

Con esta de�nici�on podemos contruir un nuevo diagrama, conocido como di-

agrama de transiciones [13]. Estos diagramas de transiciones estan formados por


todos los estados globales del conjunto de CF (�). Si l representa el tama~no deuna con�guraci�on cl, entonces tenemos kl estados globales. Estos diagramas detransiciones tambi�en son conocidos como �arboles top�ologicos [18] donde cada nodorepresenta un estado global y las echas indican la transici�on en un paso. Se tieneuna ra��z c��clica formada por uno o m�as estados globales, de esta ra��z se desprendenramas formadas por las mismas transiciones y �nalmente estas ramas contienenhojas donde estas hojas representan la con�guraci�on inicial (para algunos casos)del diagrama de evoluciones. La funci�on de transici�on que determina un mapeoglobal se representa como:

�(xt0; xt1; : : : ; x

tl�1) ! xt+10 ; xt+11 ; : : : ; xt+1l�1 : (3.2)

hoja

raíz

rama

Figura 3.7: �Arbol top�ologico.

Como se hab��a se~nalado los nodos de tal gr�a�ca son las con�guraciones �ni-tas de tama~no l. Si tenemos un aut�omata con k = 2 y r = 1 podemos formarcon�guraciones de tama~no l � 2 para alguna � 2 Lk

n.

1

2

3

4

6

7

8

9 11

12

13 14

112741811127

= 1(23)+1(22)+0(21)+0(20)

Figura 3.8: Transiciones globales.

Los valores que toman cada uno de los nodos dentro del diagrama de transicionesse obtienen a trav�es de la suma de los valores de cada una de las c�elulas m�ultiplicadaspor su potencia correspondiente a la posici�on que ocupan cada una de ellas. Sitenemos un aut�omata binario con k = 2, r = 1 y l = 4, entonces tenemos kl

posibles con�guraciones formadas por elementos que pertenecen a �. Para estecaso son 16 con�guraciones de tama~no cuatro que pertenencen al conjunto CF (�).

3.4. ANCESTROS 27

3.4 Ancestros

Dentro del diagrama de evoluciones podemos observar el comportamiento de losaut�omatas celulares restringidos por una regla dada, estas son generadas a partirde una con�guraci�on inicial aleatoria o predeterminada. La construcci�on de estasmismas con�guraciones a trav�es del tiempo denotan ancestros [9] de una con�gu-raci�on ct�1l para una con�guraci�on ctl en toda la lattice.

Rule

configuración inicialaleatoria c0

ci−1 es un ancestro de

la configuración ci

configuración final

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c1

Figura 3.9: Ancestros.

Como podemos apreciar los ancestros implican el hecho de que una con�guraci�ontenga al menos un antecesor a trav�es del tiempo. Esto se puede visualizar a trav�esde un mapeo, donde el mapeo determinar�a los tipos de ancestros que podemosobtener en el diagrama de evoluciones o transiciones.

3.5 Clasi�caci�on de los mapeos

3.5.1 Jard��n del Ed�en implica mapeo inyectivo

Un mapeo inyectivo [16] es cuando a lo m�as tenemos un ancestro. Sea A el conjuntode las con�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t� 1 y B el conjunto de las con-�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t. Entonces de�nimos un mapeo inyectivosi existe una correspondencia uno a uno [17] del conjunto A al conjunto B.

BA CF

Figura 3.10: Mapeo inyectivo.


El t�ermino Jard��n del Ed�en signi�ca que existen cadenas que no pueden serconstruidas a partir de otras cadenas. Es decir, si tenemos una con�guraci�on cl 2CF (�) esta con�guraci�on s�olo puede ser la con�guraci�on inicial del conjunto deevoluciones y nunca podremos obtenerla a trav�es del tiempo. Entonces si existe unelemento en el conjunto A que no corresponda con ning�un elemento del conjuntoB, este elemento es un Jard��n del Ed�en.

Dada la naturaleza del surgimiento de este f�enomeno las caracter��sticas quedescriben el origen de estos estados, son a�un m�as complejas y que no desarrollaremosen este escrito. Sin embargo existen art��culos tales como los de S. Amoroso y G.Cooper [14], Moore [6], McIntosh [7] y Sven Skyum [15]. Donde se determina demanera rigurosa y formal el surgimiento de tales con�guraciones.

Una manera de detectar y obtener las con�guraciones pertenecientes al Jard��ndel Ed�en, es construir el diagrama de subconjuntos. Examinemos un aut�omatabinario dado por la regla 18. Si existe alguna secuencia que vaya del conjuntom�aximo al conjunto m��nimo esta cadena es una cadena perteneciente al Jard��n delEd�en.

0

1 2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

1314

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34 35

36

37

38

39

40

41 42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66 67

68

69 70 71

72

73

74 75

76

77 78 79

80

81

82 83 84

85 86 87

88

89 90 91

92

93 94

95

96

97

98 99

100

101 102 103

104

105

106 107

108

109 110 111

112

113

114 115 116

117 118 119

120

121 122 123

124

125 126 127

Figura 3.11: Jard��n del Ed�en.

En la Figura 3.11 tenemos el diagrama de subconjuntos de la regla 18, con todassus clases unitarias y todos los posibles caminos entre ellas. La expresi�on regularformada por la cadena 1110* denota una con�guraci�on perteneciente al Jard��n delEd�en, dado que si tenemos cadenas que empiecen con 111 y concatenen con 0*para cualquier longitud l de cualquier cl 2 CF (�). Entonces todas estas con�gura-ciones pertenecen al Jard��n del Ed�en. El diagrama de transiciones con�rma nuestrade�nici�on, ya que para cualquier anillo de longitud l la con�guraci�on 1110* es unahoja del �arbol top�ologico, por lo tanto se deduce que esta con�guraci�on carece deancestros y presenta un mapeo inyectivo.

3.5. CLASIFICACI �ON DE LOS MAPEOS 29

3.5.2 Ancestros m�ultiples implica mapeo suryectivo

Un mapeo suryectivo [16] es cuando tenemos al menos un ancestro. Sea A el con-junto de las con�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t � 1 y B el conjunto delas con�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t. Entonces de�nimos un mapeosuryectivo si existe una correspondencia sobre [17] del conjunto A al conjunto B.

BA CF

Figura 3.12: Mapeo suryectivo.

Esto quiere decir que siempre existir�a al menos una imagen del conjunto A sobreel conjunto B. Dentro del diagrama de evoluciones implica que una con�guraci�oncl 2 CF (�) tiene uno o m�as ancestros, esto es podemos construir esa misma cadenaa partir de una o m�as cadenas en el tiempo t� 1.

component number 0

90

Figura 3.13: Mapeo suryectivo regla 90.

El mapeo suryectivo tiene la caracter��stica de que no existen con�guracionespertenecientes al Jard��n del Ed�en, esto se debe por que todas las con�guracionestienen uno o m�as ancestros. Si examinamos el aut�omata binario regla 90 en laFigura 3.13 podemos observar dentro el �arbol topol�ogico para las con�guracionescl con l = 8 localizados en una i-�esima posici�on, con�guraciones cl;i 2 CF (�)con Ancestros � 1. El diagrama de transiciones es �util para poder observar lasm�ultiplicidades que existen sobre las mismas transiciones. Sin embargo podemosveri�car esta propiedad apartir del mismo diagrama de de Bruijn y el diagrama de


subconjuntos.De manera informal, el diagrama de de Bruijn nos indica que un mapeo es

suryectivo si el n�umero de ligas dado por alg�un elemento que pertenece a � es iguala cada uno de los dem�as elementos que pertenecen a � para el caso cuando r = h.Si analizamos las matrices de conectividad y el mapeo es suryectivo entonces:

jMi;j(0)j = jMi;j(1)j = : : : = jMi;j(k � 1)j 8 k 2 �.

El diagrama de subconjuntos debe de carecer de secuencias que vayan del con-junto m�aximo al conjunto m��nimo, esto implica que no existen con�guracionespertenecientes al Jard��n del Ed�en. Para veri�car con mayor exactitud todas estasm�ultiplicidades [2] [16] podemos construir el diagrama de parejas y analizar lassecuencias que tienen uno o m�as ancestros. Regresemos al aut�omata binario regla90 cuyo mapeo es un mapeo suryectivo.

0

1

2

3

4

5 6

7

8

910

11

12

13

14

15

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)

(1,0) (1,1) (1,2) (1,3)

(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)

(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

A-matrix (zero-links)

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

B-matrix (one-links)

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0

1 2 2 1

3 3 0

1 1

3

2

0 3

2

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(1,0) (1,1)

(2,1)

(3,1)

(2,0) (2,1) (2,2)

(3,2)(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

Figura 3.14: Propiedades de un mapeo suryectivo.

En la Figura 3.14 tenemos que las matrices de conectividad por estado para laregla 90 cumple con la condici�on de que la cardinalidad de la matriz A es igual a lacardinalidad de la matriz B, esto implica que el diagrama de de Bruijn debe tenerigual n�umero de aristas del estado cero y del estado uno. El diagrama de subconjun-tos nos indica que no existe ruta alguna que vaya del conjunto m�aximo al conjuntom��nimo, adem�as las posibles secuencias que pueden llegarse a formar no excedende cuatro transiciones a lo m�as. Esto nos indica que si construimos sus respec-tivos �arboles topol�ogicos ellos tendran una altura m�axima de cuatro transicionesy adem�as sobre la misma clase unitaria, ya que las clases unitarias se encuentranautocontenidas en ciclos de longitud mayor igual que uno y menor igual que cuatrosin salir de estas. Finalmente el diagrama de parejas con�rma el mapeo suryectivo,pues nos muestra los ciclos que se forman fuera de la diagonal lo que implica queexisten secuencias de cadenas que tienen m�as de un posible ancestro.

3.5. CLASIFICACI �ON DE LOS MAPEOS 31

3.5.3 Ancestros �unicos implica mapeo biyectivo

Un mapeo biyectivo [16] es cuando tenemos un �unico ancestro. Sea A el conjuntode las con�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t� 1 y B el conjunto de las con-�guraciones �nitas CF (�) en el tiempo t. Entonces de�nimos un mapeo biyectivosi existe una correspondencia uno a uno y adem�as sobre [17] del conjunto A alconjunto B.

BA CF

Figura 3.15: Mapeo biyectivo.

Como podemos ver en la Figura 3.15 el mapeo biyectivo implica que por cadaelemento que existe en el conjunto A debe de existir un mapeo �unico para cada unode los elementos del conjunto B.

El mapeo biyectivo es la intersecci�on del mapeo inyectivo y el mapeo suryectivo[19], por lo que el mapeo biyectivo carece de con�guraciones pertenecientes al Jard��ndel Ed�en y con�guraciones con m�ultiples ancestros.

mapeoinyectivo biyectivo

mapeosuryectivo

Esto quiere decir que para toda con�guraci�on cl 2 CF (�) en el tiempo t, estacon�guraci�on tiene un �unico ancestro en el tiempo t � 1 y un �unico sucesor enel tiempo t + 1. El mapeo biyectivo juega un papel muy importante dentro delestudio de los aut�omatas celulares reversibles, las mismas propiedades globales quemani�estan este tipo de mapeo a sido uno de los principales puntos de investigaci�on[20] en los �ultimos a~nos. Es importante se~nalar que el mapeo biyectivo presentapropiedades muy importantes tanto gr�a�cas como matriciales. La determinaci�ony representaci�on adecuada de los aut�omatas reversibles la trataremos con mayordetalle en el cap��tulo siguiente, mencionando algunos algoritmos existentes paraobtener tales aut�omatas, as�� como sus propiedades elementales para una mejoridenti�caci�on de los mismos.


Por �ultimo dentro del diagrama de transiciones el mapeo biyectivo se comportade manera c��clica como se puede observar en la Figura 3.16; su representaci�onde acuerdo a la de�nici�on se~nalada anteriormente ilustra de manera precisa estecomportamiento para cualquier con�guraci�on cl 2 CF (�) 8 l � 2, en este caso elaut�omata celular en estudio es un aut�omata binario regla 15. Los dos primerosdiagramas de transiciones para las con�guraciones globales tienen una longitud del = 2, en el diagrama de cuatro nodos l = 4, en el diagrama de seis nodos l = 6, enel diagrama de ocho nodos l = 8 y en el �ultimo diagrama de diez nodos l = 10.

1

4

16

64

256

511

895

991

1015

1021

1

4

16

64

127 223

247 253

1

4

16 31

55

61

1 4

7

13

0 3

1

Figura 3.16: Transiciones biyectivas.

Cap��tulo 4

Grados de Reversibilidad

Se le denomina \Grados de Reversibilidad" a aquellos aut�omatas celulares que noson reversibles pero que bajo ciertas caracter��sticas estos aut�omatas tienen com-portamientos reversibles. Para comprender mejor este punto de vista, daremosuna peque~na introducci�on sobre los Aut�omatas Celulares Reversibles, mencionare-mos algunos algoritmos y posteriormente describiremos con detalle estos tipos deaut�omatas con grados de reversibilidad.

4.1 Aut�omatas celulares reversibles

El estudio sobre aut�omatas celulares reversibles no ha sido resuelto en su totali-dad hasta nuestros d��as para todos los casos posibles, sin embargo se han logradoavances muy importantes que nos han permitido comprender de una manera m�asclara la explicaci�on de este comportamiento. Mencionaremos de manera general lascaracter��sticas m�as importantes para identi�car aut�omatas celulares reversibles.

Los aut�omatas celulares reversibles se caracterizan por tener un mapeo inyectivoy a la vez suryectivo, es decir tienen un mapeo biyectivo, carecen de con�guracionespertenecientes al Jard��n del Ed�en y tampoco tienen m�ultiples ancestros. Esto sig-ni�ca que los �arboles topol�ogicos estan constituidos s�olo de puras ra��ces c��clicas, noexisten ramas ni hojas. Trabajaremos con un aut�omata (4; h) para tener una ideam�as clara de estos conceptos.

El aut�omata celular de la Figura 4.1 ilustra algunas condiciones b�asicas paradetectar si el aut�omata es reversible o no. Mencionaremos s�olo algunas pues esteestudio se ha desarrollado detalladamente en [21].

Una primera condici�on es que los estados deben existir en igual n�umero en el di-agrama de de Bruijn, esto es, debe de cumplir el teorema deM�ultiplicidad Uniforme

[2] [16] [11] que nos dice; si tenemos un estado con un n�umero de ancestros igualal n�umero de nodos del diagrama de de Bruijn, entonces para toda concatenaci�onque realizemos por la izquierda o por la derecha el n�umero de ancestros debe ser elmismo.

33

34 CAP��TULO 4. GRADOS DE REVERSIBILIDAD

(0,0)

(1,1)

(2,2)

(3,3)

0

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1314

15

0 0 0

1 2

0

2 1 1

0

1 1

3 0 3

1

0

2

0 3

2 2 2

3

1 2 1

3 3

2

3 3

Figura 4.1: Aut�omata reversible (4; h) regla F5A0F5A0.

La segunda implica que en el diagrama de subconjuntos no deben existir cade-nas que vayan del conjunto m�aximo al conjunto m��nimo y adem�as que no existansecuencias de estados que formen ciclos dentro de las mismas clases unitarias, yaque las secuencias deben estacionarse en una clase unitaria del diagrama sin pasar aotra clase unitaria, es decir, estacionarse en un s�olo nivel o en su defecto llegar de uns�olo paso al conjunto m�aximo o al conjunto m��nimo. Esta propiedad va asociada ala primera condici�on ya que si el aut�omata cumple con el teorema de m�ultiplicidaduniforme, tambi�en debe cumplir con el teorema de los �Indices de Welch [2] [16][11] que nos dice; si todas las secuencias posibles que se encuentran dentro de lasclases unitarias que describen los mismos ��ndices de Welch ya sea por la izquierdao por la derecha, forman cadenas de longitud mayor igual que uno y menor igualal n�umero de nodos del diagrama de de Bruijn, esto nos indica que debe existir un�unico ancestro.

La tercera propiedad es analizar el diagrama de parejas que nos ayuda a veri-�car la nula existencia de ciclos fuera de la diagonal principal, es decir no existenm�ultiples ancestros. Los ciclos que existen dentro de la diagonal principal se debepor que los nodos de la diagonal principal no son m�as que los mismos nodos deldiagrama de de Bruijn.

Regresando a la Figura 4.1 podemos identi�car estas propiedades mencionadasen el p�arrafo anterior, las matrices de conectividad derivadas del diagrama de deBruijn por estado, contienen el mismo n�umero de elementos por cada uno de los

4.2. ALGUNOS ALGORITMOS EXISTENTES 35

estados posibles, lo que implica que en el diagrama de de Bruijn deben existirigual n�umero de aristas por cada uno de los estados. El diagrama de subconjuntosmuestra todas las posibles secuencias originadas desde cualquier nodo, es decir consus cuatro clases unitarias construidas. Si seguimos cualquier secuencia podemosveri�car como de la clase unitaria uno sube a la clase unitaria dos o baja al conjuntovacio, la clase unitaria tres s�olo baja a la clase unitaria dos, la clase unitaria cuatrobaja a los nodos 12 y 3 de la clase unitaria dos, a estos nodos tambi�en se lesconoce como nodos atractores. Por lo que deducimos que la clase unitaria niveldos es la clase que contiene las propiedades de los ��ndices de Welch y cumple conla propiedad de que toda secuencia que exista dentro de esta clase debe de sermayor igual a uno y menor igual al n�umero de nodos del diagrama de de Bruijn.Finalmente podemos veri�car que el aut�omata presenta un mapeo biyectivo y carecede m�ultiples ancestros ya que se a gr�a�cado su respectivo diagrama de parejas con laopci�on s�olo ciclos y observamos que no existen ciclos fuera de la diagonal principalcon lo que se determina que el aut�omata celular es reversible.

Existen a�un m�as sutilezas por analizar, pero este no es el �n de esta secci�on.Si se desea un mayor an�alisis de estas propiedades se puede consultar la siguientebibliograf��a [2] [16] [20] [11] [10] [21], donde se desarrolla con gran profundidad yde manera formal la demostraci�on y representaci�on de tales teoremas.

4.2 Algunos algoritmos existentes

Los algoritmos para obtener aut�omatas celulares reversibles que mencionaremos enesta secci�on son dos; el primero fue desarrollado por Edward Fredkin (1990) y elsegundo fue desarrollado por David Hillman (1991).

4.2.1 Algoritmo de Fredkin

Fredkin [10] descubri�o que la paridad o la operaci�on or exclusivo produce replicasde patrones de manera interesante dentro de los aut�omatas celulares, con lo quedesarrolla un algoritmo para obtener reglas reversibles de una regla original dada.

La regla de evoluci�on propuesta es para dos generaciones de c�elulas. Sea xti lac�elula que se encuentra en la i��esima posici�on dentro de la lattice en el tiempo t,entonces si

xt+1i = '(xti�1; xti ; x

ti+1) (4.1)

la regla de evoluci�on para el caso de un aut�omata binario (2,1), la nueva regla estadada por:

xt+1i = '(xti�1; xti; x

ti+1) � xt�1i = �(xt�1i ; xti�1; x

ti ; x

ti+1) (4.2)

adem�as este algoritmo puede ser usado de forma invertida, es decir operar con lac�elula xt+1i para obtener la c�elula xt�1i como se denota a continuaci�on:

xt�1i = '(xti�1; xti; x

ti+1) � xt+1i = ��1(xt+1i ; xti�1; x

ti; x

ti+1): (4.3)


Dadas las propiedades algebraicas del or exclusivo, alguna otra funci�on invertiblede dos variables puede ser usada en lugar de �, para funciones booleanas puede serel caso de la operaci�on del nor exclusivo (equivalencia).

4.2.2 Algoritmo de Hillman

Hillman [20] hace notar que los aut�omatas celulares reversibles no s�olo dependende la regla de evoluci�on, si no que hay otros factores que intervienen en tal procesoy este es el caso del tama~no del anillo de evoluci�on.

Sea C una cadena de x c�elulas en el tiempo t, de este modo C est�a completa-mente determinado por la cadena de c�elulas P de longitud x + d� 1 en el tiempot� 1, donde d es el tama~no de la vecindad del aut�omata.

1. Si � es una con�guraci�on en C, sea P� el conjunto de con�guraciones lascuales de acuerdo a una regla de evoluci�on dada generan �.

2. Sea Bj la j-�esima con�guraci�on presente en P�, entonces formamos una tablaQ� la cual su j-�esimo elemento ser�a igual a (b�(j); e�(j)), donde b�(j) es elconjunto de las primeras d � 1 c�elulas en Bj y e�(j) es el conjunto de las�ultimas d� 1 c�elulas en Bj .

3. Finalmente formamos Rw como el conjunto de todas las tablas posibles Q�

dado un ancho w especi�cado. Si w > 1 entonces Rw se obtiene de la con-catenaci�on de R1 y Rw�1 para cada elemento Q� de Rw�1 y Q� de R1, unoobtiene un elemento Q� de Rw despu�es de comparar cada entrada Q�(i) concada entrada Q�(j), si (e�(i) = b�(j)) entonces a~nadimos a Q� una entradam tal que b� (m) = b�(i) y e� (m) = e�(j). El proceso recursivo empiezacalculando R1 directamente de la regla de evoluci�on.

4. Los elementos Rw contienen tablas Qi con las listas de las primeras y las�ultimas d� 1 c�elulas de cada ancestro de una cadena de longitud w especi�-cada. Las primeras d�1 c�elulas deben ser iguales a las �ultimas d�1 c�elulas siexiste un ancestro, ya que su ancho ser�a de w+ d� 1. As�� el j-�esimo ancestroexistir�a si y s�olo si bi(j) = ei(j). Por lo tanto, si el aut�omata es reversiblecada tabla Qi debe tener una y s�olo una entrada j tal que bi(j) = ei(j).

5. El algoritmo para hasta un ancho w especi�cado.

4.3 Aut�omatas celulares con grados de reversibil-

idad

Como hab��amos se~nalado en el primer p�arrafo del Cap��tulo 4 los grados de reversibil-idad se mani�estan en aut�omatas celulares que no son propiamente reversibles. Hill-man [20] hace un estudio an�alogo de estas caracter��sticas ofreciendo un algoritmopara determinar estas propiedades, aunque el �n de este algoritmo es la determi-naci�on de los aut�omatas celulares reversibles, donde el c�omputo se hace cada vezm�as lento conforme va aumentando el tama~no de w.

4.3. AUT �OMATAS CELULARES CON GRADOS DE REVERSIBILIDAD 37

Dentro de los aut�omatas celulares tenemos con�guraciones �nitas cl 2 CF (�)que pueden ser de tama~no par o impar, donde su evoluci�on es reversible para cier-tas con�guraciones dadas. Esto signi�ca que estas con�guraciones tienen un �unicoancestro, carecen de con�guraciones pertenecientes al Jard��n del Ed�en y m�ultiplesancestros. Nuestro estudio se enfoca en las matrices de conectividad por estadodel diagrama de de Bruijn que determinan las propiedades fundamentales de estascaracter��sticas y representaremos de manera formal. El estudio se realizar�a particu-larmente para el aut�omata (4; h) e intercalando un aut�omata (2,1) para ejempli�carcon mayor rapidez estas propiedades, ofreciendo adem�as una perspectiva para todoslos dem�as casos posibles.

4.3.1 Matriz de de Bruijn simb�olica

El uso del lenguaje de expresiones regulares puede formar expresiones simb�olicassencillas o complejas, cuyas operaciones estan constituidas principalmente por launi�on, concatenaci�on e iteraci�on. Otra operaci�on que es de gran �utilidad es eltranslape entre dos cadenas cuya representaci�on se puede denotar con el s��mbolo �.Si las palabras ax y yb consisten de las letras a y b unidas por las palabras x y y,entonces:

ax � yb =

�axb x = y

� c:o:c

donde � es el conjunto vacio.Con tal notaci�on una matriz de de Bruijn simb�olica [10] puede ser de�nida como:

Di;j = i � j (4.4)

la forma simb�olica de dicha matriz es construida de la siguiente manera para unaut�omata (2,1)

D =

2664

000 001 : :

: : 010 011100 101 : :

: : 110 111

3775 :

Donde los puntos representan el conjunto vacio y los elementos los translapesde los mismos ��ndices de la matriz. Adem�as tales matrices deben ser m�ultiplicadasbajo la operaci�on �, para multiplicar los elementos individuales de la matriz. Por logeneral es poco usual trabajar con la matriz simb�olica totalmente llena, sin embargosirve para obtener una representaci�on muy expl��cita de los bloques de evoluci�on quepodemos generar.

A trav�es de las matrices simb�olicas podemos obtener las matrices de evoluci�ontambi�en originada del diagrama de de Bruijn. Sea la n-�esima potencia de una matriz


M , cuya matriz contiene todas las posibles palabras de longitud n distribuida atrav�es de toda la matriz de acuerdo al translape de los ��ndices que son construidospor las mismas letras de longitud n. Es decir, los elementos de la matriz sonindexados por su vecindad parcial inicial y �nal.

Para obtener la evoluci�on de una con�guraci�on dada consideremos una variantede la Eq. 4.4, que describe la evoluci�on de las vecindades individualmente,

Si;j = '(i � j) (4.5)

que a su vez puede ser descompuesta en la siguiente suma:

S =k�1Xi=0

S(k) (4.6)

para de�nir �nalmente

S(k)i;j =

�k '(i � j) = k

� c:o:c: (4.7)

Entonces la c�elula de evoluci�on es insertada dentro de la matriz simb�olica, estosigni�ca que las cadenas con sus respectivas c�elulas de evoluci�on aparecen comoelementos del producto de las mismas matrices. Por lo tanto denotamos a (i�j)r+1como el estado de la c�elula central de su vecindad delimitada por su radio r.

De esta manera la Eq. 4.4 esta de�nida por

si;j = (i � j)r+1 (4.8)

que es adem�as descompuesta en una suma,

s =k�1Xi=0

s(k) (4.9)

de�niendo

s(k)i;j =

�(i � j)r+1 '(i � j) = k

� c:o:c: (4.10)

Por lo que se deduce que la c�elula central no es precisamente la que de�ne lasmatrices s(i), frecuentemente un ancestro esta en un sitio seleccionado por la mismac�elula de evoluci�on.

A�un podemos obtener una tercera variante sobre las matrice simb�olicas de deBruijn y esta es una matriz num�erica, cuyo prop�osito es meramente contar el n�umerode im�agenes, aunque representandolos de otra forma. La variante �nal de la Eq.4.4 es representada como

Di;j =

�1 '(i � j) 6= �

0 c:o:c; (4.11)


dada esta de�nici�on alternativa de la matriz de de Bruijn todav��a la podemos de-scomponer en una suma

D =

k�1Xi=0

N(k) (4.12)

y �nalmente de�nimos

N(k)i;j =

�1 '(i � j) = k

0 c:o:c: (4.13)

El an�alisis que realizaremos a continuaci�on para algunas reglas en especial escon el �n de detectar el caso m�as sencillo hasta el caso que puede presentar ciertascaracter��sticas un poco enredosas.


4.3.2 Con�guraciones de tama~no par e impar

Cuando nos referimos al tama~no (ancho) de la con�guraci�on par o impar, es por elvalor que toma l para una con�guraci�on cl 2 CF (�).

Sea n 2 P entonces de�nimos una con�guraci�on de tama~no par si l = 2n yde�nimos una con�guraci�on de tama~no impar si l = 2n+ 1.

� Si n = 1) l = 2(1) por lo que la con�guraci�on cl es de tama~no par.

cl =

� Si n = 1) l = 2(1) + 1 por lo que la con�guraci�on cl es de tama~no impar.

cl =

� Si n = 2) l = 2(2) por lo que la con�guraci�on cl es de tama~no par.

cl =

cl =

� Si n = 2) l = 2(2) + 1 por lo que la con�guraci�on cl es de tama~no impar.

Y as�� sucesivamente hasta un n-�esimo n�umero que determinar�a el valor de l parauna con�guraci�on cl 2 CF (�).

4.3.3 Aut�omata (2,1) regla 45

El aut�omata celular (2,1) regla 45 presenta grados de reversibilidad para con�gu-raciones de tama~no impar, tomamos este aut�omata como un ejemplo pr�actico yaque para mostrar de manera detallada estas propiedades para el aut�omata (4; h) eltrabajo es demasiado laborioso y poco pr�actico, siendo que la �nalidad es la mismapara todos los casos.

La matriz de de Bruijn simb�olica para el aut�omata (2,1) presentada en la Secci�on4.3.1, es general para todo aut�omata con estos valores, ya que sus elementos sonlas mismas vecindades que forman la regla de evoluci�on.

111100001100110010101010

regla = 10110100

=) D =

2664

000 001 : :

: : 010 011100 101 : :

: : 110 111

3775

Ahora bien sabemos de antemano que este aut�omata posee un mapeo suryec-tivo, es decir carece de con�guraciones pertenecientes al Jard��n del Ed�en y tienem�ultiples ancestros. Sin embargo lo curioso de esta regla es que tiene comportamien-tos reversibles para con�guraciones de tama~no impar y para que esta propiedad secumpla es necesario que el aut�omata posea un mapeo biyectivo, o sea que tenga un�unico ancestro por cada con�guraci�on.


Si construimos una tabla de vecindades para obtener sus respectivas c�elulas deevoluci�on, estas vecindades estan denotadas por k2r+1 posibles combinaciones, paraobtener con�guraciones de longitud l = 1; 4.

l = 1 l = 2 l = 3 l = 4000! 1 0000! 11 00000! 111 000000! 1111001! 0 0001! 10 00001! 110 000001! 1110010! 1 0010! 01 00010! 101 000010! 1101011! 1 0011! 01 00011! 101 000011! 1101100! 0 0100! 10 00100! 010 000100! 1010101! 1 0101! 11 00101! 011 000101! 1011110! 0 0110! 10 00110! 010 000110! 1010111! 0 0111! 10 00111! 010 000111! 1010

1000! 01 01000! 101 001000! 01011001! 00 01001! 100 001001! 01001010! 11 01010! 111 001010! 01111011! 11 01011! 111 001011! 01111100! 00 01100! 100 001100! 01001101! 01 01101! 101 001101! 01011110! 00 01110! 100 001110! 01001111! 00 01111! 100 001111! 0100

10000! 011 010000! 101110001! 010 010001! 101010010! 001 010010! 100110011! 001 010011! 100110100! 110 010100! 111010101! 111 010101! 111110110! 110 010110! 111010111! 110 010111! 111011000! 001 011000! 100111001! 000 011001! 100011010! 011 011010! 101111011! 011 011011! 101111100! 000 011100! 100011101! 001 011101! 100111110! 000 011110! 100011111! 000 011111! 1000

100000! 0111100001! 0110100010! 0101100011! 0101100100! 0010100101! 0011100110! 0010100111! 0010101000! 1101101001! 1100101010! 1111101011! 1111101100! 1100101101! 1101101110! 1100101111! 1100110000! 0011110001! 0010110010! 0001110011! 0001110100! 0110110101! 0111110110! 0110110111! 0110111000! 0001111001! 0000111010! 0011111011! 0011111100! 0000111101! 0001111110! 0000111111! 0000

Tabla 4.1: Tabla de evoluciones con r = 1; 1:5; 2 y 2:5.

Si r = 1 entonces tenemos 22(1)+1 = 8 posibles bloques de evoluciones, si r = 1:5entonces tenemos 16 posibles bloques y as�� sucesivamente. El crecimiento es pordem�as exponencial, si hubieramos trabajado con el aut�omata (4; h) los valores porcolumna serian 64, 256, 1024 y 4096 respectivamente. Por lo que el estudio hubierasido muy laborioso por realizar.


Para el caso cuando r = 1 tenemos que sus bloques de evoluciones coinciden conlas mismas vecindades del aut�omata y sus respectivas c�elulas de evoluci�on; se puedeobservar que en este caso existen igual n�umero de ceros y de unos en las c�elulasde evoluci�on de estos bloques. A esta propiedad se le conoce como m�ultiplicidaduniforme, esto es cada uno de los estados tiene el mismo n�umero de im�agenes quelos dem�as estados que conforman el aut�omata celular.

En este caso el estado cero tiene cuatro im�agenes y el estado uno tambi�en,

101011010000 1

111110100001 0

Tabla 4.2: Con�guraciones con l = 1.

esto quiere decir que con las cadenas 001, 100, 110 y 111 podemos construir un 0en la siguiente generaci�on. Ahora bien si las dos c�elulas de la izquierda coincidencon las dos c�elulas de la derecha podemos translapar estas c�elulas con la �nalidadde determinar que con�guraci�on es un posible ancestro de las c�elulas de evoluci�onen los estados globales.

Este concepto es m�as visible para con�guraciones de tama~no mayor igual quedos, ya que podemos formar bloques de evoluciones de tama~no cuatro y obtenercon�guraciones de tama~no dos con sus respectivas transiciones.

1011101001010000 11

1111111011001001 00


Como podemos observar en la Tabla 4.3 para las c�elulas de evoluci�on 00 elbloque 1111 cumple con la condici�on de tener la misma pareja de estados en laizquierda como en la derecha, por lo que deducimos que la con�guraci�on 00 tieneun ancestro formado por la cadena 11.

1111

00

11

00 0

3

Figura 4.2: Formando anillos.

Ls Figura 4.2 ilustra paso a paso como formamos las con�guraciones globalesa partir de los bloques de evoluciones; la cadena 00 tiene cuatro im�agenes pero la


imagen 1111 tienen los estados 11 a la izquierda del bloque y 11 a la derecha delmismo bloque, por lo que de�nimos su traslape si

xa � by =

�ab x = y

� c:o:c:

Si analizamos las c�elulas de evoluci�on para la cadena 11 de la Tabla 4.3 podemosnotar que tal con�guraci�on tiene tres bloques de evoluci�on que cumplen con dichacondici�on, estos bloques son 1010, 0101 y 0000. Lo que implicar��a que los estadosglobales 2, 1 y 0 mapean al estado global 3. De esta manera podemos obtener todoslos ancestros de cada uno de los bloques de evoluci�on que podemos formar con r.

Para comprobar nuestros resultados construyamos su respectivo �arbol topol�ogicoy revisemos cada uno de sus mapeos posibles.

0 1

2

3

Figura 4.3: �Arbol topol�ogico con l = 2.

Finalmente podemos comprobar que cuando l = 2 las con�guraciones cl tienenm�as de un ancestro. El estado 0 mapea al estado 3 y el estado 3 mapea al estado0 formando la ra��z c��clica de dicho �arbol topol�ogico. El estado 2 mapeo al estado 3y el estado 1 tambi�en mapea al estado 3, por lo que los estados 1 y 2 forman hojasdentro del �arbol topol�ogico y no tienen ancestros cuando l = 2.

Ahora analizemos el caso cuando l = 3 revisando sus respectivos bloques deevoluci�on calculados en la Tabla 4.1,

11101110001001110010 001

11111111101110011001 000

11011110101000000101 011

10001001110011000100 010

01101010000001100010 101

01111011100110001001 100

10101010110101000000 111

10111101101010000001 110


nuevamente todas las c�elulas de evoluci�on tienen el mismo n�umero de bloques queproducen dichas cadenas. Pero en este caso todas las con�guraciones tienen unasola imagen, estas son: 111! 000, 001! 001, 010! 010, 101! 011, 100! 100,110! 101, 011! 110 y 000! 111 respectivamente.

Esto signi�ca que tenemos ciclos de tama~no uno, dos y tres, dentro de los �arbolestopol�ogicos cuando l = 3. Los ciclos de longitud igual a uno estan formados por losestado globales 1$ 1, 2$ 2 y 4$ 4. El ciclo de longitud igual a dos esta formado


por los estados globales 0 $ 7. El ciclo de longitud igual a tres esta formado porlos estados globales 5! 3, 3! 6 y 6! 5.

0

7

3

5

6

1

2

4

Figura 4.4: �Arboles topol�ogicos con l = 3.

La Figura 4.4 muestra todos los estados globales posibles cuando l = 3, eldiagrama de transiciones con�rma nuestros resultados sobre los ciclos calculadoscon los bloques de evoluciones, donde hab��amos obtenido cinco ciclos en total.Como se~nalamos en la Secci�on 4.1 los aut�omatas celulares reversibles deben detener un mapeo biyectivo que implica que no tengan m�ultiples ancestros y t�ampococon�guraciones pertenecientes al Jard��n del Ed�en. Esta condici�on se cumple paraeste aut�omata cuando la longitud de cl es de tama~no impar.

Para con�rmar nuestra a�rmaci�on realizaremos el c�alculo de los bloques deevoluci�on cuando l es igual a cinco, siete y nueve. Comprobando que tienen gradosde reversibilidad para todos sus �arboles topol�ogicos de este tama~no.

0 31

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18 19

20

21

22

23 24

25

26

27

28 29

30

l = 5 l = 7

1

2

3 4

5

6 7

8

9

10

11

12 13

14

15

16 17 18 19 20 21

22

23 24

25

26

27

28

29

30

31

32 33

34

35

36 37 38

39

40

41 42

43 44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55 56

57

58

59

60

61

62 63

64

65

66

67 68

69

70

71

72

73

74

75

76 77

78

79 80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91 92

93

94 95

96

97 98

99

100

101 102 103

104 105

106 107 108

109

110

111

112

113 114

115

116 117

118

119

120

121

122

123

124 125

126

0 127

l = 9 0 511

219

365

438

1

2

3

4 5

6

7 8

9

10 11 12

13 14

15

16 17

18

19

20

21

22

23

24

25 26

27

28

29

30

31

32

33

34 35

36

37 38

39 40

41 42

43

44

45 46

47

48

49 50

51

52

53

54

55

56

57 58

59

60

61

62 63 64

65 66 67

68

69

70

71

72

74

75

76

77 78

79

80

81 82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92 93

94 95

96

97

98

99

100 101

102

103

104

105

106

107

108

109 110

111

112

113

114

115

116 117

118 119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129 130 131

132

133

134

135

136 137

138 139

140

141

142

143 144

145 147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161 162

163

164

165

166 167

168

169

170 171

172

173

174

175

176

177

178 179

180

181

182

183

184

185 186 187

188 189 190

191 192

193

194 195

196

197 198

199

200 201

202

203

204

205

206

207

208 209

210

211

212

213

214

215

216

217

218 220 221

222

223

224 225

226

227

228

229

230 231 232

233

234

235

236

237

238

239 240

241

242

243 244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264 265

266 267

268

269

270

271 272

273 274

275

276

277

278 279

280 281

282

283

284

285 286

287

288

289 290 291

293 294

295 296

297

298

299 300

301

302 303

304

305

306

307

308 309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319 320 321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334 335

336

337

338

339

340

341

342

343 344

345 346

347

348 349

350

351

352

353 354

355

356

357

358

359

360

361

362

363 364 366

367

368

369 370 371

372 373

374 375

376

377

378

379

380

381

382

383

384

385 386

387

388

389

390 391

392

393 394

395

396

397 398

399

400 401

402

403

404

405

406

407

408 409

410

411 412

413 414

415 416

417 418

419

420

421

422

423

424

425 426 427

428 429

430

431 432

433

434

435

436

437 439

440

441

442

443

444

445 446 447

448 449 450

451

452 453

454 455

456 457

458

459

460

461

462 463 464 465 466

467

468

469

470

471 472 473

474

475

476 477

478 479

480

481 482

483

484 485

486 487

488

489 490

491

492 493 494

495

496

497

498

499

500

501

502

503 504

505

506

507 508 509

510

73 146 292

Figura 4.5: �Arboles topol�ogicos con l = 5; 7 y 9.


Podemos ver que si l = 5 el c�alculo se hace un poco laborioso, si l = 7 el c�alculose hace m�as laborioso y si l = 9 el c�alculo es sumamente complicado. Sin embargotodas estas con�guraciones son reversibles en todos sus �arboles topol�ogicos posibles.

4.3.4 Aut�omata (4,h) regla 0056B9EF

El aut�omata celular (4; h) regla 0056B9EF presenta grados de reversibilidad paracon�guraciones de ancho impar. La notaci�on Wolfram para el caso (4; h) dentro dela regla de evoluci�on se representa de la siguiente manera:

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 03 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 00 0 0 0 1 1 1 2 2 3 2 1 3 2 3 3

4140 4140 4140 4140 4140 4140 4140 4140

0 0 5 6 B 9 E F

Tabla 4.5: Regla de evoluci�on.

las vecindades se agrupan de dos en dos y se m�ultiplican por sus respectivas poten-cias de acuerdo a la posici�on que ocupen sobre la misma regla, �nalmente se sumanestas parejas y se obtiene el n�umero Wolfram.

Para construir los bloques de evoluciones para el aut�omata (2,1) cuando l = 1; 4estos se realizaron de forma manual obteniendo sus c�elulas de evoluci�on de acuerdoa una regla dada. En el caso del aut�omata (4; h) es a�un m�as laborioso construir cadauno de estos bloques conforme r se va incrementando. Para resolver este problemaharemos uso de las matrices de conectividad, con lo que obtendremos los mismosresultados para una l espec��ca.

La matriz simb�olica de de Bruijn para el aut�omata (4; h) se denota de la siguientemanera:

D =

2664

00 01 02 0310 11 12 1320 21 22 2330 31 32 33

3775

y dada su regla de evoluci�on obtenemos su matriz de evoluciones correspondiente

S =

2664

3 3 2 31 2 3 22 1 1 10 0 0 0

3775 :


Si efectuamos el producto tensorial de la matriz S obtendremos las siguientesevoluciones

S2 =

266666666666666666664

33 33 32 33 : : : : : : : : : : : :

: : : : 31 32 33 32 : : : : : : : :

: : : : : : : : 22 21 21 21 : : : :

: : : : : : : : : : : : 30 30 30 3033 33 32 33 : : : : : : : : : : : :

: : : : 21 22 23 22 : : : : : : : :

: : : : : : : : 32 31 31 31 : : : :

: : : : : : : : : : : : 20 20 20 2023 23 22 23 : : : : : : : : : : : :

: : : : 11 12 13 12 : : : : : : : :

: : : : : : : : 12 11 11 11 : : : :

: : : : : : : : : : : : 10 10 10 1003 03 02 03 : : : : : : : : : : : :

: : : : 01 02 03 02 : : : : : : : :

: : : : : : : : 02 01 01 01 : : : :

: : : : : : : : : : : : 00 00 00 00

377777777777777777775

que calcula todos los bloques de evoluciones cuando r = 1. Ahora podemos calcularlos anillos correspondientes para sus respectivas c�elulas de evoluci�on.

Trabajemos con los estado cero y dos, calculando sus bloques de evoluci�on.

333 332 331 330 00

202 113 111 020 22


En la Tabla 4.6 podemos ver que la con�guraci�on 00 tiene un �unico ancestroformado por la con�guraci�on 33, sin embargo la con�guraci�on 22 tiene tres ancestrosformados por las con�guraciones 20, 11 y 02.

0

15

10

28 5

Figura 4.6: Formando anillos.

La Figura 4.6 muestra las con�guraciones por estados globales y su valor decimalpara cada una de ellas. El primer diagrama nos indica que la con�guraci�on 33mapea a la con�guraci�on 00 en un paso, si revisamos la matriz S2 podemos verque el ��ndice (00,00) tiene por elemento la cadena 33 lo que con�rma su mapeoglobal, sin embargo notemos que el ��ndice (33,33) tiene por elemento la cadena 00por lo que deducimos que existe un ciclo de longitud dos entre las cadenas 00 y33. El segundo diagrama nos indica que la con�guraci�on 20, 11 y 02 mapean a


la con�guraci�on 22 en un paso, esto quiere decir que los ��ndices de la matriz S2

(02,20) tienen por elemento la cadena 22, los ��ndices (20,02) tienen por elemento lacadena 22 y el ��ndice (11,11) tiene por elemento la cadena 22.

0

15

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

13

14


Los �arboles topol�ogicos de la Figura 4.7 con�rma nuestros resultados encerrandoen un c��rculo aquellas con�guraciones que calculamos con la matriz S2.

Si deseamos saber especif��camente los ancestros de una con�guraci�on en partic-ular sin calcular toda la matriz S2, podemos obtenerlos a trav�es de un productomatricial dada por la matriz s(k).

s(2)2 =

2664

: : 2 :

: 2 : 22 : : :

: : : :

3775

2664

: : 2 :

: 2 : 22 : : :

: : : :

3775

=

2664

22 : : :

: 22 : 22: : 22 :

: : : :

3775

Analizemos la con�guraci�on 22 calculada anteriormente, donde la matriz s(2)2

determinar�a todas las posibles im�agenes que tiene dicha con�guraci�on, como pode-mos observar la matriz s(2) tiene cuatro im�agenes y esto es por que las con�g-uraciones de tama~no uno son los mismos mapeos de cada una de las vecindadesposibles para la regla en estudio.

Si calculamos la matriz s(2)2 obtendremos todas las im�agenes posibles de lacadena 22 en un s�olo paso, ya que los ��ndices de las matrices que representan dichoproducto, tambi�en determinaran las cadenas de evoluci�on que existen para la cadena22. Como podemos ver el n�umero de im�agenes es el mismo.

Entonces tenemos cuatro im�agenes de tama~no tres y los bloques de evolucionesvan a estar representandos por el valor del rengl�on y la columna de la primeramatriz; con el valor del rengl�on que determine el producto de dicho elemento conla segunda matriz. Por lo que �nalmente podemos decir que para la cadena 22 los


bloques de evoluciones obtenidos en la matriz s(2)2 estan representados por: 020,111, 113 y 202 respectivamente, como hab��amos determinado en la Tabla 4.6.

El diagrama de subconjuntos de este aut�omata celular muestra que cadenastienen m�ultiples ancestros; estas cadenas se identi�can por que forman ciclos delongitud mayor igual que uno en las clases unitarias intermedias.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Figura 4.8: Diagrama de subconjuntos de la regla 0056B9EF.

Notemos en la Figura 4.8 que las cadenas formadas por el estado 2 en los nodos11 $ 14 y 1 $ 4 forman ciclos de longitud dos, el estado dos es el estado queorigina m�ultiples ancestros de forma inmediata como ilustramos en la Figura 4.6,ya que la cadena 22 por si misma tiene tres ancestros esto quiere decir que paratoda expresi�on regular formada por las cadenas 22*, esta cadena tiene m�as de unancestro.

Ahora veamos la cadena de los nodos 4 $ 14 formada por los estados 13 cuyaexpresi�on forma un ciclo que puede ser mayor igual que dos, esto nos indica queesta cadena tiene m�as de un ancestro.

212 103 101 100 13

123 122 121 011 31


La Tabla 4.7 muestra los bloques de evoluci�on para las cadenas 13 y 31, la


cadena 13 tiene dos ancestros formados por las cadenas de 01 y 12, lo que equivaleque la con�guraci�on 7 tiene por ancestos las con�guraciones 1 y 6 como ilustramosen la Figura 4.7. La cadena 31 tambi�en forma un ciclo equivalente al de la cadena13 en los nodos 1$ 11, pues es una permutaci�on de dicha cadena que conserva lasmismas propiedades. Finalmente podemos veri�car todas estas m�ultiplicidades enel diagrama de parejas

(0,0) (0,1) (0,2)

(1,0) (1,1) (1,2)

(2,0) (2,1) (2,2)

(3,3)

Figura 4.9: Diagrama de parejas de la regla 0056B9EF.

Para obtener las con�guraciones que forman los ciclos dentro del diagrama deparejas, analizemos el diagrama de parejas de la Figura 4.9 y apartemos algunoscasos.

La secuencia formada por los nodos (0,2) y (2,0) debe producir un bloque deevoluci�on que tenga m�as de un ancestro, construyamos una secuencia de longitudtres dada de la siguiente manera:

(0; 2) ! (2; 0)! (0; 2)

si tomamos los elementos de la derecha de cada nodo formamos un bloque deevoluci�on dado por

020|{z}22

que a su vez produce las c�elulas de evoluci�on 22. Ahora bien si tomamos loselementos de la derecha obtendremos otro ancestro de la cadena 22 denotado de lasiguiente manera

202|{z}22

por lo que se deduce que la cadena 22 tiene dos ancestros de evoluci�on diferentes,los bloques 020 y 202 construidos manualmente en la Tabla 4.3 y representado enla Figura 4.6. Lo mismo sucede para la secuencia de nodos dada por los ciclos


(0; 1) $ (1; 2) y (1; 0) $ (2; 1). Esto signi�ca que podemos obtener todos losancestros de las secuencias del diagrama de parejas y a su vez estas secuencias laspodemos incrementar de acuerdo al n�umero de c�elulas que queramos analizar enuna con�guraci�on de longitud l.

Las herramientas gr�a�cas tales como el diagrama de subconjuntos y el diagramade parejas son de mucha �utilidad ya que nos ayudan a veri�car nuestros resulta-dos de una manera m�as r�apido y seguro. El diagrama de transiciones rea�rmaestas propiedades revisando que el mapeo global coincida con los mapeos globalesdeterminados anteriormente.

Finalmente proponemos un m�etodo para saber si un aut�omata celular tienegrados de reversibilidad o no. Nuestro m�etodo se basa en el producto matricial delas matrices de conectividad por estado del aut�omata en estudio. Las matrices deconectividad N(k) para este aut�omata se construyen de la siguiente manera:

N(0) =

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775 N(1) =

2664

: : : :

: : : :

1 : : :

: 1 1 1

3775

N(2) =

2664

: : 1 :

: 1 : 11 : : :

: : : :

3775 N(3) =

2664

1 1 : 1: : 1 :

: : : :

: : : :

3775

Si elevamos al cuadrado la matriz N(0) obtendremos el siguiente resultado

N(0)2 =

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775

=

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775 :

Lo que signi�ca que para toda cadena formada por el estado 0 siempre obten-dremos un ancestro �unico. Si la cadena esta formada por 00* entonces su �unicoancestro va a estar formado por la cadena 33*. Notemos que este comportamientoes el mismo para los estados 1 y 3.

N(1)2 =

2664

: : : :

: : : :

1 1 1 1: : : :

3775 N(3)2 =

2664

1 1 1 1: : : :

: : : :

: : : :

3775

Donde el �unico ancestro para la cadena 11* esta formado por la cadena 22*,para la cadena 33* su �unico ancestro esta formada por la cadena 00*. Esto implica


que la traza de la matriz debe ser igual a uno: por lo que la Tr(N(0)) = 1,la Tr(N(1)) = 1 y la Tr(N(3)) = 1. Entonces estas con�guraciones tendrancomportamientos reversibles.

Ahora an�alicemos la matriz N(k) cuando k = 2,

N(2)2 =

2664

1 : : :

: 1 : 1: : 1 :

: : : :

3775

una vez m�as podemos veri�car que el estado 2 por si mismo tiene tres ancestros encon�guraciones de tama~no dos formados por los estados 0, 1 y 2, como lo hab��amosse~nalado en la Tabla 4.6, Figura 4.6 y Figura 4.9. Por lo que deducimos que elestado 2 es el estado que determina los grados de reversibilidad en esta regla.

Para veri�car que esto es verdad s�olo elevemos la matriz N(2) sucesivamente.

N(2)3 =

2664

: : 1 :

: 1 : 11 : : :

: : : :

3775 N(2)4 =

2664

1 : : :

: 1 : 1: : 1 :

: : : :

3775

N(2)5 =

2664

: : 1 :

: 1 : 11 : : :

: : : :

3775 N(2)6 =

2664

1 : : :

: 1 : 1: : 1 :

: : : :

3775


4.3.5 Aut�omata (4,h) regla 016ED4BB

El aut�omata celular (4; h) regla 016ED4BB presenta grados de reversibilidad paracon�guraciones que no sean m�ultiplos de tres. En primer instancia obtengamos losproductos matriciales por estado para determinar si alguno de los cuatro estadosdetermina la reversibilidad para este aut�omata.

Primeramente construyamos sus matrices de conectividad.

N(0) =

2664

: : : :

: : : :

1 : : :

: 1 1 1

3775 N(1) =

2664

: : : :

: 1 1 :

: : : 11 : : :

3775

N(2) =

2664

: 1 : 1: : : :

1 : 1 :

: : : :

3775 N(3) =

2664

1 : 1 :

: : : 1: 1 : :

: : : :

3775

Todas las matrices cumplen con la condici�on de que su traza es igual a uno,lo que signi�ca que las con�guraciones de tama~no uno tienen un �unico ancestro.Ahora analizaremos cada uno de los estados y sus respectivas potencias.

N(0)2 =

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775 N(0)3 =

2664

: : : :

: : : :

: : : :

1 1 1 1

3775

Las matriz N(0) elevada a una n-�esima potencia es idempotente para todan � 2, por lo que para toda cadena formada por el estado 00*, esta cadena va atener un �unico ancestro.

N(1)2 =

2664

: : : :

: 1 1 11 : : :

: : : :

3775 N(1)3 =

2664

: : : :

1 1 1 1: : : :

: : : :

3775

La matriz de conectividad N(1) alcanza la idempotencia cuando n � 3, y con-serva la Tr(N(1)) = 1 para cualquer potencia de N(1)n.

N(2)2 =

2664

: : : :

: : : :

1 1 1 1: : : :

3775

Para el estado 2 su matriz de conectividad alcanza r�apidamente la idempotenciacuando n = 2. Mostrando un �unico ancestro para con�guraciones 22*.

N(3)2 =

2664

1 1 1 :

: : : :

: : : 1: : : :

3775 N(3)3 =

2664

1 1 1 1: : : :

: : : :

: : : :

3775


La matriz N(3) alcanza la idempotencia cuando n � 3 igual que el estado 1 y laTr(N(3)) = 1 lo que con�rma un �unico ancestro para toda con�guraci�on formadapor la cadena 33*.

Todo parece indicar que el aut�omata celular es reversible para todas las con-�guraciones de tama~no par e impar. Sin embargo si an�alizamos su diagrama deparejas veremos que no es reversible.

(0,0) (0,2)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,0) (2,1) (2,2)

(3,1) (3,3)

Figura 4.10: Diagrama de parejas de la regla 016ED4BB.

La Figura 4.10 ilustra la existencia de ciclos fuera de la diagonal, lo que implicaque este aut�omata celular no es reversible. La explicaci�on de este f�enomeno esque los ciclos se forman por cadenas que estan formadas por combinaciones de losmismos estados. Si efectuamos todas las combinaciones posibles cuando l = 2,entonces tenemos dieciseis casos posibles donde la Tr(N(k)i;j ) = 1 8 k 2 �.

0 15

5 10

1

2

11

3

6

7 9

12

13

4

8

14


La Figura 4.11 ilustra todas las con�guraciones c2 donde el mapeo global esbiyectivo y l�ogicamente t�ambien es reversible para este valor. Por que s�olo existeuna con�guraci�on que construye a otra con�guraci�on para todos los estados globalesque podemos formar con l = 2. Los ciclos 5 y 10 son de longitud uno, esto quieredecir que la evoluci�on para este caso va a ser siempre 5 �o 10 en todo el diagramade evoluciones.


Ahora analizemos la secuencia formada por los estados 123 donde sus productosmatriciales los representamos de la siguiente manera:

N(1)N(2)N(3) =

2664

: : : :

1 1 1 :

: : : :

: : : 1

3775

podemos ver que la Tr(N(123)) = 2 lo que implica que la con�guraci�on tiene dosciclos que a su vez indican dos ancestros para dicha cadena. Estas cadenas estanformadas por los bloques de evoluci�on 1221 y 3013, sus ancestros de la cadena 123son los estados 221 y 013 respectivamente.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

22

23

24

25

26

27

28

29 30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

43

44

45

46 47

48

49

50

51

52

53 54

55

56

57

58

59

60

61

62

Figura 4.12: Diagrama de transiciones con l = 3.

La Figura 4.12 ilustra uno de los �arboles topol�ogicos cuando l = 3 y podemosveri�car que la cadena 123 representada por el estado global 27 tiene dos ancestros,los estados globales 41 y 7 representadas por las cadenas 221 y 013 respectivamente.

Por lo que deducimos que para determinar los grados de reversibilidad de unancho espec��co tenemos que efectuar todas las combinaciones posibles determi-nadas por k. Y el orden de n determinar�a el tama~no de l para toda con�guraci�oncl 2 CF (�).


Comprobando los grados de reversibilidad para este aut�omata revisemos la se-cuencia 102303 que debe de tener m�as de un ancestro, ya que l es un m�ultiplo detres en este caso.

N(102303) =

2664

: : : :

: 1 : 11 : 1 :

: : : :

3775

La matriz de conectividad para la cadena representada por los estados 102303presenta una Tr(N(102303)) = 2 lo que implica que dicha con�guraci�on posee dosancestros y no es reversible cuando l = 6.

4.3.6 Algoritmo

El algoritmo esta propuesto para cualquier aut�omata celular lineal de orden (k; r).

1. Obtener las matrices de conectividad N(k)i;j para cualquier aut�omata celularde orden (k; r). Donde la funci�on de transici�on ' determina el translape y eln�umero de elementos para dicha matriz.

2. Efectuar el producto matricial de estas matrices de conectividad, calculandotodas las combinaciones posibles dadas por kl. Donde el valor de l determinael n�umero de combinaciones posibles restringido por el orden de k.

3. Calcular la traza de cada uno de estos productos matriciales y comprobar quela Tr(N(k)li:j ) = 1 8 k 2 �, para determinar la reversibilidad de una l dada.

4. El algoritmo para hasta una l espec��ca.

Evidentemente conforme l se vaya incrementando el c�alculo es cada vez m�aslaborioso. Y si el orden de k tambi�en se incrementa, el c�omputo es muchisimo m�aslento.

Cap��tulo 5

Conclusiones

Los aut�omatas celulares que presentan grados de reversibilidad para ciertas con�g-uraciones cl 2 CF (�), deden tener algunas de las siguientes caracter��sticas:

� El aut�omata celular debe tener un mapeo suryectivo. Esto implica que todaslas con�guraciones del aut�omata celular deben de tener forzozamente al menosun ancestro.

� El diagrama de subconjuntos debe de carecer de rutas principales que vayandel conjunto m�aximo al conjunto m��nimo. Esto implica que el aut�omatacelular debe de carecer de con�guraciones pertenecientes al Jard��n del Ed�en.

� El diagrama de parejas debe presentar ciclos fuera de la diagonal principal.Lo que implica que el aut�omata celular tiene m�ultiples ancestros.

� La matriz de de Bruijn debe de tener el mismo n�umero de elementos porestado en toda la matriz. Lo que implica que todos los estados tienen almenos un ancestro.

� Las matrices de conectividad deben de tener una traza igual a uno por cadauno de los estados posibles que tenga el aut�omata celular. Esto implica queel aut�omata celular debe de cumplir que la traza de Tr(N(k)i;j ) = 1 8 k � 2,efectuando todas las combinaciones posibles determinadas por k dentro delproducto matricial de sus respectivas matrices.

� Los grados de reversibilidad deben ser originados por un estado o por combi-naciones de todos los estados que conforman el aut�omata celular en estudio.Esto implica que no forzozamente un s�olo estado origine estos comportamien-tos, ya que pueden ser originados bajo ciertas combinaciones de los mismosestados o viceversa.

� Los nodos del diagrama de transiciones siempre tendran al menos un ancestro.Esto implica que si los �arboles topol�ogicos cuando l tiene un valor determinadopresentan hojas, estas hojas tendran un ancestro o m�as cuando l sea mayora dicho valor. Aquellas con�guraciones que cumplan con la condici�on cinco,

57

58 CAP��TULO 5. CONCLUSIONES

implica que dichos �arboles topol�ogicos son s�olo ciclos de longitud mayor iguala uno.

El estudio que se llev�o a cabo se enfoco para el caso (4; h), sin embargo para elcaso (2,1) tenemos que la regla 45 muestra grados de reversibilidad para con�gura-ciones de tama~no impar, mientras que la regla 105 muestra grados de reversibilidadpara con�guraciones que no sean m�ultiplos de tres.

Para el caso (3; h) la �unica regla que presenta grados de reversibilidad es laregla 1313, para con�guraciones de tama~no impar. Como hab��amos se~nalado en laSecci�on 4.3.3 el c�alculo se va complicando conforme k; r y l, se van incrementando.

Finalmente presentamos una lista de reglas para el caso (4; h) que muestrangrados de reversibilidad para ciertos valores de l. Esta lista fue revisada manual-mente y ordenada de acuerdo a su cluster m��nimo correspondiente por cada unade las reglas. Para comprobar esta lista se anex�o un ap�endice que ilustra todoslos �arboles topol�ogicos que muestran sus respectivos grados de reversibilidad paratodas las reglas que cumplen con estas condiciones.

Regla de evoluci�on valor de l

0056B9EF 3 50056F9AF 3 5005BADF6 3 5005BBDE6 3 5005BEDB6 3 500669FF9 3 500679EF9 3 50552F8AF 3 50158AFF6 3 50156F8AF 3 5016ED4BB 2 4 5055BACF2 3 50196E87F 3 505AF14EB 3 50156E8BF 3 50156B8EF 3 50154BAEF 3 5016AB4DF 2 4 50168D6BF 3 5019BEC76 3 505936CFA 3 51BB1E44E 2 4 5

Tabla 5.1: Reglas con grados de reversibilidad.

En total existen 685 reglas suryectivas de las cuales 22 reglas tienen grados dereversibilidad para valores de l igual a dos, tres, cuatro y cinco. El c�alculo se efectu�ohasta un valor de l = 6 por eso el valor de l no va m�as alla de cinco.

59

Evidentemente estos c�alculos sugieren un m�etodo computacional para todos losdem�as casos (2; t), (2; 2), (2; f), (2; 3), (2; n), (2; 4), (2; s), (2; 5), (3; 1), (3; t), (3; 2),(4; 1), (4; t), (4; 2), (5; h), (5; t), (6; h), (6; 1), (7; h), (7; 1), (8; h), (8; 1), (9; h) y(9; 1).

El estudio sobre los aut�omatas celulares lineales reversibles ha sido muy impor-tante en los �ultimos tiempos dado por las contribuciones de Hillman, Nasu, Moore,Hedlund, Tommaso To�oli, Norman Margolus, McIntosh, Fredkin, Jarkko Kari, S.Amoroso, Y. N. Patt, Erica Jen, por mencionar algunos. Todos estos estudios hanido formando una mejor idea para explicar el surgimiento y comportamiento detal fen�omeno. Buscando una formalizaci�on matem�atica por dem�as general, aunqueesta todav��a esta por verse.

Los grados de reversibilidad son un derivado de los aut�omatas celulares re-versibles, su estudio es importante por el hecho de que podemos clasi�car unaut�omata reversible aunque este no lo sea. Es importante determiniar con detalleestas relaciones y determinar con claridad sus respectivas caracter��sticas.

A los aut�omatas celulares reversibles se les han encontrado aplicaciones talescomo la simulaci�on de reacciones qu��micas, procesos biol�ogicos, simulaci�on de epi-demias, simulaci�on de incendios forestales, simulaci�on de procesos matem�aticos,simulaci�on de c�omputo en paralelo, simulaci�on del control de tr�a�co y encriptaci�onde datos.

Siendo un poco aventurado la aplicaci�on de encriptaci�on de datos puede serenfocada a los aut�omatas que presentan grados de reversibilidad, di�cultando a�unm�as la descriptaci�on de tal informaci�on ya que ahora intervendr��a un factor m�as yeste factor es l. Esto signi�ca que podriamos trabajar con varias con�guracionesde varias l's di�cultando el proceso para descifrar tal con�guraci�on inicial.

No cabe duda que la teor��a de aut�omata celular a�un tiene varios problemaspor resolver, sin embargo es una teor��a que se presta al uso de otras herramietastales como la estad��stica, la probabilidad, el c�aculo diferencial e integral, ecua-ciones diferenciales, teor��a de gr�a�cas, metodos n�umericos, estructuras algebraicas,geometr��a proyectiva, algebra booleana, algebra lineal, teor��a de conjuntos, expre-siones regulares, procesos estoc�asticos, simulaci�on y ciencias de la computaci�on.Como hab��amos se~nalado desde la Cap��tulo 1 es una teor��a m�ultidiciplinaria.

Finalmente se~nalamos que la teor��a de aut�omata celular tiene un amplio campode estudio y consecuentemente un amplio campo de futuras aplicaciones. Por lo quese siguen obteniendo nuevos e importantes avances as�� como nuevas aplicaciones.

60 CAP��TULO 5. CONCLUSIONES

Ap�endice A

�Arboles Topol�ogicos (4,h)

A continuaci�on ilustramos todos los �arboles topol�ogicos que presentan grados dereversibilidad para el aut�omata celular (4; h). Clasi�cados por su cluster m��nimo,la longitud de las con�guraciones calculadas es de tama~nos dos, tres, cuatro, cincoy seis. Estos diagramas se calcular�on con el programa NXLCAU4h.

Figura A.1: NXLCAU4h con algunas opciones.

61

62 AP�ENDICE A. �ARBOLES TOPOL �OGICOS (4,H)

A.1 Regla 0056B9EF

l = 3

l = 5

0 63 1

2

4

5

6

8

16

17

20

24 30

31 32

33

39

43

46

47

55 57

58

59

61

62

3

12 15

48 51

60 7

14

19

36

37

44

54

9

11

25

35

45

49

52

10

23

26

29

34

38 40

41

53

13

18

22 27

28

50

56

21 42

01023 1

2

4

5

6 8

16

20 24

32

64 80

96

128 256

257

320

384 510

511

512

513

639

703

766

767

895

927

943

959

991 999

1003

1007

10151017

1018

1019

1021

1022

3

12

48

192

255

768

831

975

1011

1020 7

11

23

27

28 44

92 108

112

176

249

250

253

254

318

319

368

432

448

449

574

575 591

655

704

705

769

770 773

774

847

911

915

931

979

995

996

10001012

1016

9 13

14

26

36

52 56

104

127

144 191

208

224

258

259

382 416

447

505

508

515

518 576 607

641

764

765 799

815

832

879

896

919

967

971

987

997

10091010

1014

10

25

29

33

37

39 40

46 49

50 54

66

67

71 74 75

77

78 82

87

89

90

91

93 100

101

102 107

110

113

114

116

117

118

119

122

123

126

131

132

133

135

137

138 139

141

142

146

148 149 150

153

155

156

157

158

160

161

162

163

165

166

167

169

170

171

173 174

175

177

178 181

182

183

184

185

189

196

200 202

209 210

213

215

216 217

221

222

223

225

226 230

233

234

237

238 239 245

262

263

264

265

268

275

278

279

281 284

285

289

290 291

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303 308

309

310 311

312

314

315

317

322

326

327

328

329

330

331 333

335

338

339

342

343

345 346

347

348 349

354

356

357

358

359

360

361

362

363 364

365 369

371

372

373

375 378

379

383

387

390

391

393

394

395

398 400

401

402

403 404

405

406

408 409 410

411

413

414

415

417 421 422

425 426

427

428

429 430

433

434

437

438

439

440

442

443 446

450

452

453

455

456

458

459

461

464

465

466 467

468 469

470 471 472

475

476

477 482

483

486

488 489

491

492

493

495

499

502

504

509

514

523 524

525 528

530 531

532

534

537

539

540

541

542

543

546 547

548

549

551

552

553

554

555 556

557

562 564

567 568

569

570

571 577

581

584

585 586

587

589

590

592

593

594 596

597

598 600

601 602 606

609

610

611

612

613

614

615 617

618 619

620

621

622

623

624

626

628

629

632

633

637

640

644

645

647

648 650 652

654 658

659

660 661

662

663

664 665

666

667

668

674

675 676

677

678

680 681

684 685

689

690

692

693 694

695

696

697

700

708

709

710

711

712

713 714

722

723 724 725

726

727

728

729

730 731

732

733

734

736

737

738

739

740

742

745 749 754

755 756

759 761

777 784

785

786 789

790

794

797

798 800

801

802

806 808

809

810

811 813

821 823

827

833

836 837

840

841

842

843 845

846

849

850

851

852

853

854

857

858

860

861

862

863

864

865 866

868

870

871 874

877

878 881

882

884

885

886

888 890

891

892

898

900

902 903

904

905

906

909

910

914

920

921

922

923

929

932 933 934

936

941 945

948 949

950

952

956 957 970

973 974

978

980

983

985

990

993

998

1013

15

60

63 240

252

771

783 960

963

1008 17

21

22

34

65

68

69

81

84

85

86

88 98

130

134

136

260

261 272

273

276

277

321 324

325

336

337

340

344

352

353

385

389

392 478

479

487

490

503

506

517

520

533

536 544

545

631

634

638

670

671

679

683

686

687

698

699

702

746 747

750

751

762 763

887

889

893 925 935

937 938

939 942

954

955

958

989

1001 1002

1006

18 38

53

70 72

97 129

152 159

212 269

280 288

323

386 388

431

494 498

507

516

521 529

608 635 636

701

735

743

758 807 848

875 894 926

951

953 969 986

1005

19

35

76

83

99 140

193

194

197

198 231

235

247

251

304

305

332 396 462

463

560

561

627

691

718

719

772

776 788

792

825

826

829

830 883 924

940

947

988

1004

30

41

42

45

94

105

106

109

120

121

125

164

168

180 186

190

266

267

282

283

286

287

350

351

366

367

376

377

381

420

424

436

441

445

480

481

484 485

500 501 519

522

535

538

558

559

578

582 583

599 603 642

646

651

656

657

672

673

720

721

741

744

757

760

834

838

839

855 859

897

901 907 913

917

918

930 977

981

982

994

31

47

57

58

61

62

95

111

124 188

228

232

244

248

270

271

380 444

496

497

526

527

579

643

752

753

775

779 791

795

835

899

912

928

961

962

965

966

976

992

43

55

59

79 103

143 172

220

229

236

241

242

246

313

316

334

399

412

451

454

572

573

595

625

688

706

707

778 781

782

787 793

803

867

880

916 944

964 968

984

51

195

204

207

243

780

816

819

828

972 73

115

145 147 151 154 179 187

199

201 203 205

206 211

214

218

219 227 274

292

306

307

355

370

374

397

407

418

419

423

435

457 460

473

474 550

563

565

566

580

588 604

605

616 630

649

653

669

715

716

717

748

796

804 805 812

814

817

818

820

822

824 844

856 869

872 873

876

908

946

341 682

A.2. REGLA 0056F9AF 63

A.2 Regla 0056F9AF

l = 3

l = 5

7

8 15

17 39

58 21 42

0 63 1

3

4 6

9

10

11

12

13

14 16

18

19

22

23 24 25

26

27

29

31

33

34 35

36 37

38 40

41

44

45

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1005 3

95

97

145

231

303

435

520

685 762

851

892 903

937

988

4

98

214

251

290

358 484

654

684 805

827

838

961

976

981

5

58

149

155 173

389 398

405

407

413

479 647

739

748

778 6

36

119

185 218

311

363

378

430

539

622

640

809

9721019

7

120 162

259

308

452 505

553

588

649 720 757

792

943

1020

8 23

53 107

153

314

395

537 632

658

673

759

951

960

1006

9

160 243

302

458

513

566

606 619

667

797

845

858

902

1022

10

96

207

419 440

576

668 693

742

745

881

884

914

933

959

11

56

324

391 460

628 661

671

701 709

738

844

916

930

1015

12

34 189

335

380

388

499 543

580

679

694 717

883

924

1002

13

28

99

166

209

306 480

550

648

703

785

834

982

997

1011

14

81

115

157

211

229

421

431 433

696

744 770

865

935

1021

15

128 182

298

368

402

408

538

689 751

848

891

894

905 932

16

137

151

239

283

392 409

570

690 775

835

855

856

913

1004

17 93

111

179

222

285

318

349 350

362 365

563 813

970

1000

18

66

88

228

253

432

456

564

592

633

680

729

783

942

1009

19

168

204

315

498

534

573 594

631 698

784 879

886

945

999


20 43

232

533

542

569

596

597

605

620

629

692

893

910

946

21 26

41

103

140

181 310

375

443

524

535

635

678

995

1010

22 57

108

114

141 148

170 319

414

438 508

516

528

747

963 24

110

144

167

221

429

442

476 489

514

697

740

819

872

1007

25

46

100

150

184

262

354

393 400

523 549

577

600

736

898

27

37 127

129 132

270

291 517

540

554 615

621

847 954

1008

29 82

116

133

190

263 289

328

464

532

559

760

833

907

994

30

77

113

147

180

198

255

382

394

418

445

552

769 832

1003

31 64

109 234

271

351

355 545

548

583

604

613

714 947

956

32 92

102 212

233

428

482

557 586

612

646

735

771

955

990

33

135

252 265 288

385 411

579

650

750

774

799

840 921

979

35

131

261

266

301

518 589

681

764

793

861 878

901

926

1016

38

152

386

521

608

39

75

85 87

89

101 213

216

225

556

568

617

899 962

983

40

258

384

455

467

587

626

653

663

726

737

767

828

922

934

42

51 196

399

492

636

645

660

686 733

772

846

925

987

1017

44

224

273 307

466

541

595

598

638

651 758

790

817

906

991

45

138 208

275 284

367 448 519

561 607

610 616

804

831

1018

47

62 177

337 339

369

383

387 401

531 593

624

665 712

904

48

126

136

274

317

463

497

529 627

670

730

756

822 939 973

49

123

159

165 193

417 439

487

510

522

683

723 780

8671014

50

84

94

104

164

217

412

477

494

560

666

724

749

911

971

52

71

112

154

201

267

396

546

664

766

836

859 897

919

975

54

139 142

277

278 281

309

312

410

752

777

786

789 992

1013

55

74

161

220

296

446

451

530

623

644 761

781

880

923

998

59

105 236

282

366

420

441

582

603

657 707

741 782

918

944

60

106

169 323

449

495

507

512

551

585

609 659

710

728

958

61

124 134

146

256

286 370

381

397 406

436 719

755

810

936

A.22. REGLA 1BB1E44E 101

63

72

210

264

322

352

486

674

699 705

801 870

912

967

1012

65

203

227

574 662

700

837

849

853

854

882

909 915

917

966

67

76

90 237

246

330

447

475

478

672 711

746

816

927

969

68

117

183 206

249

372

373 377

425 437

444

716

811

888

931

69

91

118 176

199

205

334

346

506

555

558

841

895

896

986

70

73 192

219

245

462

504

544

634

687

823

829

874

965 978

78

188

248

325

326

333

450

453

509 525

547

581

614

708

802 79

241

316

787

964

80

86

122

172

230

338

342

374

434

470

503

571

715 722

928

83

125

143

197 242

287 305

332

500

572 788

803

839

968

977

130 223

247

280

292

427

490

702

768

791

825

843 876

980

993

156

178

226

300

340 348

356

404

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527 779

852

863

864

900

163

202

215

371

415

461 502

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637

652

808

821

860

871

985

174

186

276

295

313

361 364

472

511

515

704

796

820

875

1001

175

272

465

468

469 483 485

655

677

725

732 753

818

824

996

187

257

293

299

353 357

359

526

611

706

806

869

887

929

952

191

254 321 331

403

426

454

471

481

578

641 731

743

776 800

194

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336

376

416

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656 815

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868 885

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268 297

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642 765

798 807

877

889

938 948

984

235 379

423

474

493

630

669

691

718

727 826

862

873 940

949

238

320 329

344

345

473 488

643 688

713 814

842

857 920

989

250

260

279

327

343

347

459

567

591

599 602

754

795

812

908 491

695

734

890

941

341

Lista de Tablas

2.1 Relaci�on entre estados. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132.2 Conectando subconjuntos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

4.1 Tabla de evoluciones con r = 1; 1:5; 2 y 2:5. : : : : : : : : : : : : : : 414.2 Con�guraciones con l = 1. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 424.3 Con�guraciones con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 424.4 Con�guraciones con l = 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 434.5 Regla de evoluci�on. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 454.6 Con�guraciones con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 464.7 Con�guraciones con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

5.1 Reglas con grados de reversibilidad. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58

103

104 LISTA DE TABLAS

Lista de Figuras

1.1 Vecindad de Moore. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31.2 Estructura lineal de los aut�omatas celulares. : : : : : : : : : : : : : : 41.3 Aut�omata (3; h) regla 17793. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51.4 Aut�omata (3; h) regla 14252. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61.5 Aut�omata (3; h) regla 11509. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61.6 Aut�omata (4; 1) regla C30E39E50E39E59739E5975EE5975E78. : : : 7

2.1 Diagrama de de Bruijn gen�erico para el aut�omata (2,1). : : : : : : : 112.2 Subdiagrama de de Bruijn para un aut�omata (2,1). : : : : : : : : : : 112.3 Regla de evoluci�on del aut�omata (2,1) regla 30. : : : : : : : : : : : : 152.4 Diagrama de de Bruijn para la regla 30. : : : : : : : : : : : : : : : : 152.5 Diagrama de subconjuntos para la regla 30. : : : : : : : : : : : : : : 162.6 Diagrama de parejas para la regla 30. : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

3.1 Mapeo de estados representado como conjuntos. : : : : : : : : : : : : 193.2 Mapeo para el caso r = h. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 203.3 Mapeos locales para la regla 30. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 233.4 Conjuntos de estados, con�guraciones y mapeos. : : : : : : : : : : : 233.5 Mapeo global del conjunto CF (�). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253.6 Mapeo global del conjunto C(�). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253.7 �Arbol top�ologico. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 263.8 Transiciones globales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 263.9 Ancestros. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 273.10 Mapeo inyectivo. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 273.11 Jard��n del Ed�en. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 283.12 Mapeo suryectivo. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293.13 Mapeo suryectivo regla 90. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293.14 Propiedades de un mapeo suryectivo. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 303.15 Mapeo biyectivo. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 313.16 Transiciones biyectivas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

4.1 Aut�omata reversible (4; h) regla F5A0F5A0. : : : : : : : : : : : : : : 344.2 Formando anillos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 424.3 �Arbol topol�ogico con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 434.4 �Arboles topol�ogicos con l = 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 444.5 �Arboles topol�ogicos con l = 5; 7 y 9. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

105

106 LISTA DE FIGURAS

4.6 Formando anillos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 464.7 �Arboles topol�ogicos con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 474.8 Diagrama de subconjuntos de la regla 0056B9EF. : : : : : : : : : : : 484.9 Diagrama de parejas de la regla 0056B9EF. : : : : : : : : : : : : : : 494.10 Diagrama de parejas de la regla 016ED4BB. : : : : : : : : : : : : : : 534.11 �Arboles topol�ogicos con l = 2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 534.12 Diagrama de transiciones con l = 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

A.1 NXLCAU4h con algunas opciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

Bibliograf��a

[1] John von Neumann, Theory of Self-reproducing Automata (edited and com-pleted by A. W. Burks), University of Illinois Press, 1966.

[2] Gustav A. Hedlund, Endomorphisms and Automorphisms of the Shift Dynam-

ical System, Mathematical Systems Theory 3 320-375, 1969.

[3] Martin Gardner, Mathematical Games - The fantastic combinations of John

H. Conway's new solitaire game Life, Scienti�c American, October 1969.

[4] Stephen Wolfram, Theory and Aplications of Cellular Automata, World Scien-ti�c Press, Singapore, 1986.

[5] Edward F. Moore, Gedanken Experiments on Secuencial Machines, PrincetonUniversity Press, Princeton, NewJersey, 1956.

[6] Edward F. Moore,Mathematics in the Biological Sciences, Scienti�c American,September 1964.

[7] Harold V. McIntosh, Linear Cellular Automata, Universidad Aut�onoma dePuebla, Puebla, 1990.

[8] Harold V. McIntosh, Linear Cellular Automata via de Bruijn Diagrams, Insti-tuto de Ciencias, Universidad Aut�onoma de Puebla, Puebla, 1991.

[9] Harold V. McIntosh, Commentaries on: The Global Dynamics of Cellular Au-

tomata (by A. Wuensche and M. Lesser), Instituto de Ciencias, UniversidadAut�onoma de Puebla, Puebla, 1993.

[10] Harold V. McIntosh, Reversible Cellular Automata, Physica D 999 100-130,1990.

[11] Harold V. McIntosh, Welch Indices and Welch Diagrams, Pr�oximo a publi-carse.

[12] Christopher G. Langton, J. Doyne Farmer and Steen Rasmussen,Arti�cial LifeII, Proccedings Volume X, Santa Fe Institute in the Sciences of Complexity,1990.

[13] Andrew Wuensche and Mike Lesser, The Global Dynamics of Cellular Au-

tomata, Santa Fe Institute in the Sciences of Complexity, 1992.

107

108 BIBLIOGRAF��A

[14] S. Amoroso and G. Cooper, The Garden-of-Eden theorem for �nite con�gura-

tions, Proceedings of the American Mathematical Society, 1970.

[15] Sven Skyum, Confusion in the Garden of Eden, Proceedings of the AmericanMathematical Society, 50 July 1975.

[16] Masakasu Nasu, Local Maps Inducing Surjective Global Maps of One-

Dimensional Tessellation Automata, Mathematical Systems Theory 11 327-351, 1970.

[17] Harold S. Stone, Discrete Mathematical Structures and their Aplications, Com-puter Science Series, 1973.

[18] Howard Gutowitz y C. Domian, The Topological Skeleton of Cellular Automa-

ton Dynamics, Physica D (submitted), 1995.

[19] Howard Gutowitz, Cellular Automata: Theory and Experiment, MIT Press,Bradford Books, 1991.

[20] David Hillman, The Structure of Reversible One-dimensional Cellular Au-

tomata, Physica D 52 277-292, 1991.

[21] J. Carlos Seck TuohMora,Aut�omatas Celulares Reversibles, Tesis, UniversidadNacional Aut�onoma de M�exico, 1998.

[22] Taylor L. Booth, Sequential Machines and Automata Theory, John Wiley andSons Inc., 1967.

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