1.

2

2

P 28H : r 5 : 2V ?H 5kr 2kP 2r r H

28 4k 7k

28 28k

k 1 k 1

2

H 5k 5r 2k 2

B r 4V BH 4 5 20

2 2

2

20 102r 20 r

2100 100

B r 31,85cm

За дно је потребно парче лима површине

31,85см2.

3 3V BH

V 31,85 20 637cm 0,637dm 0,637L

Запремина лонца је 0,637 литара.

2OPP 120cm

D 17cmP,V ?

2 2

2

2

3

151 r

2H 23 2r 8

225B r cm

4M 2rH 120 cm

465P 2B M cm

2V BH 450 cm

OPP 2rH120 2rHrH 60

2 2 2

2 2D 4r H

289 4r H

2 2

2

2

3

2 r 4H 23 2r 15

B r 16 cm

M 2rH 120 cm

P 2B M 152 cm

V BH 240 cm

2.

3.

2 2

2 2

2 2

2

1/2

1/2

1 2

rH 60

4r H 289

4r 4rH H 289 4 60

2r H 529 232r H 23 H 23 2r

rH 60r 23 2r 60

2r 23r 60 0

23 529 480r

423 7

r4

15r ;r 4

2

T

2r 8 r 4cm

a 6cm

2vode

vode

HV r

2H

V 16 8 H2

тетраедар

пирамида-задатак 83T

Т

3Т

a 2V

12216 2

V 18 2cm12

1 2

2 1

1 2

1 2

1 2 1 2

r H

r H

P P 50

V V 30

P ,P ,V ,V ?

21 1 1 1

21 1 1 2

22 2 2 2

22 2 2 1

1 22 21 1 2 2 2 1

2 21 1 2 2 1 22 21 1 2 2

2

1 2

1 2

P 2r 2r H

P 2r 2r r

P 2r 2r H

P 2r 2r r

P P 50

2r 2r r 2r 2r r 50 : 2

r r r r r r 25

r 2r r r 25

r r 25

r r 5

21 1 1

21 1 2

22 2 2

22 2 1

1 22 21 2 2 12 21 2 2 1

1 2 1 2

1 2

1 2

V r H

V r r

V r H

V r r

V V 30

r r r r 30 :

r r r r 30

r r r r 30

r r 5 30

r r 6

1 2

1 2

1 2

2 1

1 2

2 1

r r 5

r r 6

1 r 2 H

r 3 H

2 r 3 H

r 2 H

1 1

1 1 1 1

22

1 1 1

2

1 r 2;H 3

P 2r r H 20

P 50 20 30

V r H 12

V 30 12 18

1 1

1 1 1 1

22

1 1 1

2

2 r 3;H 2

P 2r r H 30

P 50 30 20

V r H 18

V 30 18 12

prosute _ vode valjka r 1,H 2

2 3prosute _ vode

1V V V

21

V 1 2 cm2

4.

2vode T

d ?

V V V r x

8 H 18 2 16 x

8 H 18 2x

168 H 18 2

x16 16H 9 2

x2 8

H 9 2d x cm

2 8

5.

6.

2P 96 cms 10cmV ?

2

1

2

P r r s

96 r r 10

r 10r 96 0

r 16

r 6 r 6

2 2 2

2

2

s r H

100 36 H

H 64 H 8

2

3

1V r H

31

V 36 8 96 cm3

Потребан је круг полупречника 3см.

r

H s

7.

8. 2

2 2 2

120 1M s 225 75

360 3M sr75 15r

75r 5

15H s r 225 25 200

H 200 10 2

2

2

3

B r 25P B M 25 75

P 100 cm

1 1V BH 25 10 2cm

3 3250

V 23

9. 2135 3

M s 64 24360 8

M sr24 8r

24r 3

8

10.

2 2 2SD 20 12 256

SD 16

Троуглови ACD и CDSсу слични( ACD CSD- углови са нормалним крацима)CD : SD AD : CD

12 :16 AD :1212 12

AD 916

h AD SD 16 9 25

2 22

2

AC h CS

AC 625 400 225

AC 15

пресека

аhP

2

2

opP 110cm

H 1,5cms 2,5cmP,V ?

1 2

s 5cm

r r 3cm1

M P P 2M2

V ?

22 2

2

2пресека

a25 AC 625 225 400

2

a a400 20

2 2a 40

4025P 500cm

2

1 2op 1 2

1 2

1 2

22 2

1 2

2

1 2

2

1 2

1 2

2r 2rP H r r H

2110 r r 1,5

110 220r r

1,5 3

s r r H

6,25 r r 2,25

r r 4

r r 2

1 2

1 2

1 1

2

220r r

3r r 2

226 1132r r

3 3220 113 107

r3 3 3

22 2

1 1

22 2

2 2

21 2

21 2

2 21 1 2 2

2 2

3

226B r 5675,11 cm

9107

B r 1272,11 cm9

327M r r s 2,5 272,5 cm

3P B B M 7219,72 cm

HV r r r r

31,5 113 113107 107

V3 9 9 9

V 2017,17 cm

11.

12.

22 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1 22 2

1 2 1 2

2 21 2 1 2

s H r r

25 H 9 H 16H 4

P B B M

2M B B M

M B B

r r s r r

5 r r r r

1 2 1 22

22 2 2 2

2 22 2 2 2

22 2

22 2

2

2

1 2

r r 3 r r 3

5 r 3 r r 3 r

10r 15 r 6r 9 r

2r 4r 6 0

r 2r 3 0

r 1

r 3

r r 3 6

2 21 1 2 2

3

HV r r r r

34

V 36 18 93

V 84 cm

1 2 2

2 2

2 2

2 2

22

3 из сличности :

r : r s : s

9 : r 15 : s

9s 15r / : 3

3s 5r

5rs

3

1 2 zk

2 zk

zk 2

zk 2

2zk

zk 2

zk 2

из сличности троуглова:

r : r s : s s

4 : r 4 10 : 4 10 s

4 4 10 s 4 10r

16 10 4s 4 10r

16 10 4 10rs

4s 4 10 10r

s 10 4 r

2 2 21

2

s H r

s 144 16 160

s 4 10

zk 1 2 zk

2 2

2 22 2

2

M r r s

15 10 4 r 10 4 r

15 16 r r 1

r 1

13.

1 2

из сличности троуглова:

r : r H : H x

4 :1 12 : 12 x

4 12 x 1248 4x 124x 36x 9cmРаван је од основе удаљена 9см.

зарубљене _купе горње _купе

целе _купе зарубљене _купе горње _купе

целе _купе горње _купе

1 М :М 8 :1

М М М

М :М 9 :1

14.

2 2 21

2

2 s H r

s 144 81 225s 15

целе _купе горње _купе

1 2 2

2 2

2 2

2 2

4 М :М 9 :1

r s : r s 9 :1

9 15 : r s 9 :1

9r s 9 15

r s 15

22

2 222

22 2

5r5 s

3r s 15

5r15

3r 9 r 3

1 2

6 из сличности троуглова:

r : r H : H x

9 : 3 12 : 12 x

9 12 x 3612 x 4x 8Висина зарубљене купе је 8см.

2 2zк 1 1 2 2

zk

3zk

HV r r r r

38

V 81 27 93

V 312 cm

Односи:

1

22

12

2

2b a bP b

2a a b aP

V ab b

aV ba

Око странице а:

Ваљак:

1

1

21

21

r bH a

P 2r r H

P 2b a b

V BH r H

V ab

15.

Око странице b:

Ваљак:

2

2

22

22

r aH b

P 2r r H

P 2a a b

V BH r H

V ba

16.

2tela kupe

2 3tela kupe

Две исте купе спојене заједничком основом:површина је збир два иста омотача

-запремина је збир запремина две исте купе

d 12r 6

2 2d

H 62

s a 6 2

P 2M 2rs 72 2cm

1V 2V 2 r H 144 cm

3

2kvadrata

2

P a

72 a a 6 2

d a 2 12

a 15,b 13,c 4

Око најмање странице:

c

cc

15 13 4s 16

2P 16 16 15 16 13 16 4

P 16 1 3 12 24

chP

24h

24 h 122

Око праве која садржи теме најмањег угла (угао наспрам најмање странице) и паралелна је

наспрамној страници:

Око праве која садржи теме најмањег угла и паралелна је наспрамној страници:

1

2

1

2

P 336 7

432 9P

V 192 1

384 2V

17.

-купа из које је издубљена мања купа

-површина= збир омотача обе купа

-запремина=запремина веће-запремина мање купе

Већа купа: Мања купа:

c

1

1

kv 1

r h 12

s a 15

H H

M s r 180

c

2

2

km 2

r h 12

s b 13

H H

M s r 156

1 kv km

2 21 kv km 1 2

2 21 1 2

1

P M M 3361 1

V V V r H r H3 3

1 1 1V r H H r c 144 4

3 3 3V 192

-ваљак и мања купа из којих је издубљена већа купа

-површина= збир омотача 2 купе и ваљка

-запремина=V ваљка+V мање купе-V веће купе

Ваљак: Већа купа: Мања купа:

c

1

v

r h 12

H H c 4

M 2rH 96

c

2

1 2

kv 2

r h 12

s a 15

H H H

M s r 180

c

3

2

km 3

r h 12

s b 13

H H

M s r 156

2 v kv km

2 2 22 v km kv 1 2 1 2

2 2 2 22 1 2 1 2

2 32 1

P M M M 4321 1

V V V V r H r H r H H3 3

1 1 1V r H r H r H r H

3 3 32 2

V r H 144 4 384 cm3 3

Зарубљена купа из које је издубљена купа:

-површина=омотач зарубљене купе+омотач купе+горња база зарубљене купе +доња база

зарубљене купе – база купе

-запремина=запремина зарубљене купе –запремина купе

Зарубљена купа Купа

1

2

zk 1 2

zk

zk

zk

21 1

1

22 2

2 2zk 1 1 2 2

zk

zk

s a 3

3 3 2H h

223 2 6 3 2

r a x 32 2

r a 3

M r r s

12 3 2M 3

2

3 4 2M 3

29 4 2

M236 36 2 18

B r4

9 2 2 3B

2B r 9

HV r r r r

33 2

36 36 2 18 18 9 22V 93 4 2

2V

zk

zk

36 36 2 18 36 18 2 36

2 42 126 54 2 2 63 27 2

V2 4 2 263 2 54

V4

18.

2 2 2

2 2 2

2

a 3

h x a

h x h h a3

2h 9 h x2

k

k k

k

2k k

2k k

k

k

s a 3

3 3 2H h

223 2

r x2

M r s

9 2M

29

B r2

1V r H

31 3 2

V 93 29 2

V2

tela zk k 2 1 k

tela

tela

tela

tela zk k

3tela

P M M B B B

9 4 2 9 2 2 39 2 9P 9

2 2 2 236 9 2 9 2 18 18 2 27 9

P2

72 36 2P 36 18 2

2

63 2 54 9 2V V V

4 254 2 54 27 2 1

V cm4 2

Око крака:

tela K1 ZK K2

tela K1 ZK K2

P M M M 16 3

V V V V 14

19.

Тело:Купа1+Зарубљена купа – Купа2

Површина=МК1+Мzk+МК2

Запремина=VK1+VZK-VK2

Купа1:

1

K1

2K1

r r 2 3H 2s 4

M rs 8 31

V r H 83

Зарубљена купа:

1

2

ZK 1 2

2 2ZK 1 1 2 2

r 2 3

r 3H 1s 2

M r r s 6 3

HV r r r r 7

3

Купа2:

2

K2

2K2

r r 3H 1s 2

M rs 2 31

V r H3

Око мање основице:

tela V K

tela V K

P M 2M 12 3

V V 2V 10

Око веће основице:

tela V K

tela V K

P M 2M 8 3

V V 2V 8

Тело:Ваљак из којег су издубљене две подударне купе

Површина=МV+2MK

Запремина=VV-2VK

Ваљак:

V2

V

r h 3H 4

M 2rH 8 3

V r H 12

Купа:

K

2K

r h 3H 1s 2

M rs 2 31

V r H3

Тело:Ваљак + две подударне купе

Површина=МV+2MK

Запремина=VV+2VK

Ваљак:

V2

V

r h 3H 2

M 2rH 4 3

V r H 6

Купа:

K

2K

r h 3H 1s 2

M rs 2 31

V r H3

2 2 2

2 2

c a b

c a b

tela Zk K1 K22 2

2 2tela

2 2 2 2tela

P M M M

a b 2 a 2 b 2P a b

2 2 22

P a b a b a b2

tela ZK K1 K23 3

2 2tela

2 2 3 3tela

2 2tela

V V V V

a b 2 a 2 b 2V a ab b

12 12 122

v a b a ab b a b12

2 2ab 2 ab 2V 2a b 2ab a b a b

12 12 6

Тело: Зарубљена купа- две различите купе

Површина=МZK+MK1 +MK2

Запремина=VZK-VK1 –VK2

Зарубљена купа:

1 2

1 2

2 2

ZK 1 2

2 2ZK

2 2ZK 1 1 2 2

2 2ZK

a 2 b 2r ;r

2 2a b 2a 2 b 2

H r r2 2 2

s c a b

M r r s

a b 2M a b

2H

V r r r r3a b 2

V a ab b12

Купа1:

1

1

K12

K2

2K1

2 3

K1

a 2r r

2a 2

H r2

s a

M rs

a 2 a 2M a

2 21

V r H31 a a 2 a 2

V3 2 2 12

Купа1:

2

2

K22

K2

2K2

2 3

K2

b 2r r

2b 2

H r2

s b

M rs

b 2 b 2M b

2 21

V r H31 b b 2 b 2

V3 2 2 12

20.

2

š

2 22

3a 3P 24 3

23a 3 3a

24 3 24 a 162 2

a 4

tela V ZK K

tela V ZK K

P M 2M 2M 96 3

V V 2 V V 288

Тело: Ваљак+ две подударне зарубљене купе-две подударне купе

Површина=МV+2MZK +2MK

Запремина=VV+2VZK-2VK

Ваљак:

1

V2

V

r r 4 3H 4

M 2rH 32 3

V r H 192

Зарубљена купа:

1 2

ZK 1 2

2 2ZK 1 1 2 2

r 4 3;r 2 3H 2s 4

M r r s 24 3

HV r r r r 56

3

Купа:

2

K

2K

r r 2 3H 2s 4

M rs 8 31

V r H 83

21.

tela ZK ZK1 ZK2 V V

tela

tela ZK V

P M B B M 2B

P 342

V V V 688

22.

Тело: Зарубљена купа – ваљак

Површина=МZK+MV +BZK1+BZK2-2BV

Запремина=VZK-VV

Зарубљена купа:

1 2

ZK 1 2

2ZK1 1

2ZK2 2

2 2ZK 1 1 2 2

r 10;r 5H 12s 13

M r r s 195

B r 100

B r 25H

V r r r r 7003

Ваљак:

V2

V2

V

r 1H 12

M 2rH 24

B r

V r H 12