HISTORIA DE LA PROBABILIDAD, ASPECTO

BÁSICOS, TEOREMAS PRINCIPALES

JUAN CARLOS SALAS SANCHEZ

C.I. 17527362

4TO SEMESTRE DE INFORMATICA

ESTADISTICA PROBABILISTICA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERA SEDE SAN CRISTÓBAL

Historia de la Probabilidad

En cuanto al concepto en sí, la probabilidad y el azar siempre ha estado en la mente del

ser humano. Por ejemplo:

Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos

o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro

posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados.

En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los

faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados.

Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos

del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las

que jugaban. Uno de estos juegos, denominado "hazard", palabra que en inglés y francés

significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces

etimológicas del término provienen de la palabra árabe "al-azar", que significa "dado".

Posteriormente, en el "Purgatorio" de Dante el término aparece ya como "azar".

En la actualidad, ruletas, máquinas tragaperras, loterías, quinielas,..., nos indican que

dichafascinación del hombre por el juego, continúa.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise

Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar.

Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió

sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo

después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría

aceptable sobre los juegos.

La probabilidad se distingue de la estadística. Aunque la estadística se refiere a los datos y

conclusiones de la misma, (estocástico) y la probabilidad con los procesos estocásticos

(aleatorios) que se encuentran detrás de los datos o resultados.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat

suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de

ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in

Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se

aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad

de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar,

el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior

definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución

binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema

central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en

1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de

esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que

expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de

la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de

diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras

aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una

rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como

para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el

matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las

bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una

teoría más amplia como es la teoría de la medida.

Etimologia

Probable y probabilidad y sus cognados en otras lenguas modernas derivan de eruditos

medievales latinas probabilis y, derivando de Cicerón y generalmente aplicada a una

opinión en el sentido de plausibles o general aprobado. El sentido matemático del

término es a partir de 1718. En la 18 ª siglo, el término oportunidad también fue utilizado

en el sentido matemático de la "probabilidad" (y la teoría de probabilidades se llamó

Doctrina de posibilidades). Esta palabra es en última instancia de cadentia latín, es decir,

"una caída, caso". El adjetivo Inglés probable es de origen germánico, muy probablemente

del antiguo nórdico likligr (Inglés Antiguo tenía geliclic con el mismo sentido), que

originalmente significaba "tener la apariencia de ser fuerte o capaz" "tener la apariencia o

cualidades similares, con un sentido de "Probablemente", grabado de finales del siglo 14.

Del mismo modo, la probabilidad sustantivo derivado tenía un significado de "similitud,

parecido", pero adquirió un significado de "probabilidad" de mediados del siglo 15.

Origenes

Antigua y Medieval derecho de la prueba se desarrolló una clasificación de los grados de la

prueba, las probabilidades, las presunciones y medio a prueba para hacer frente a las

incertidumbres de la prueba en los tribunales. En el Renacimiento veces, las apuestas se

discute en términos de probabilidades, como "diez a uno " y marítima de seguros las

primas se calcularon sobre la base de los riesgos intuitivas, pero no había ninguna teoría

sobre la forma de calcular estas cuotas o primas.

Los métodos matemáticos de probabilidad surgieron en la correspondencia de Pierre de

Fermat y Blaise Pascal (1654) sobre cuestiones tales como el reparto equitativo de la

participación en un juego interrumpido de azar. Christiaan Huygens (1657) le dio un

tratamiento integral del tema.

Aspectos Básicos de la Probabilidad

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente.

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Veamos cuales son estos teoremas, pero previamente vamos a enunciar a modo de recopilación, una serie de resultados elementales cuya demostración se deja como ejercicio para el lector (algunos ya han sido demostrados anteriormente):

Proposición

Sean no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes

propiedades:

Probabilidad de la unión de sucesos:

Probabilidad de la intersección de sucesos:

Probabilidad del suceso contrario:

Probabilidad condicionada del suceso contrario:

Ejemplo

En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?

Solución

Sea A el suceso hablar inglés: .

Sea B el suceso hablar francés: .

El suceso hablar francés e inglés es : .

Así:

Ejemplo

En una estación de esquí, para navidad-es, la experiencia indica que hay un tiempo

soleado sólo el de los días. Por otro lado, se ha calculado que cuando un día es

soleado, hay una probabilidad del 20% de que el día posterior también lo sea. Calcular la

probabilidad de que, en navidades, un fin de semana completo sea soleado.

Solución

Llamemos S al suceso sábado soleado y D al suceso domingo soleado. La única manera en que un fin de semana completo sea soleado es que lo sea en primer lugar el sábado, y que el domingo posterior también. Es decir:

Luego sólo el de los fines de semana son soleados.

El primero de los teoremas que vamos a enunciar es una generalización de la probabilidad de la intersección de dos sucesos, a la de un número cualquiera pero finito de ellos:

Teorema (Probabilidad compuesta)

Sea una colección de sucesos aleatorios. Entonces:

Demostración

Los teoremas que restan nos dicen como calcular las probabilidades de sucesos cuando tenemos que el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos su probabilidad. Para ello necesitamos introducir un nuevo

concepto: Se dice que la colección es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las relaciones (véase la figura 4.5):

Figura: A1,A2,A3,A4 forman un sistema

exhaustivo y excluyente se sucesos.

Teorema (Probabilidad total)

Sea un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces

Demostración

Obsérvese la Figura 4.6. De ahí realizamos las siguientes operaciones:

Figura: Si A1,A2,A3,A4 forma un sistema

exhaustivo y excluyente se sucesos,

podemos calcular la probabilidad de B a

partir de las cantidades , o lo que

es lo mismo,

Ejemplo

Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y

rojas:

Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz

de la segunda.

¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Solución

La situación que tenemos puede ser esquematizada como

U1

U2

Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que

Teorema (Bayes)

Sea un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea un

suceso del que conocemos todas las cantidades , , a las que

denominamos verosimilitudes. entonces se verifica:

Demostración

Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la

intersección, y del teorema de la probabilidad total:

Ejemplo

Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y

rojas:

Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas; Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.

Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.

Solución

Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:

U1

U2

U3

En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes:

Con respecto a las demás urnas hacemos lo mismo:

Observación

Obsérvese que en el ejemplo anterior, antes de realizar el experimento aleatorio de

extraer una bola para ver su resultado, teníamos que la probabilidad de elegir una urna i

cualquiera es . Estas probabilidades se denominan probabilidades a priori. Sin

embargo, después de realizar el experimento, y observar que el resultado del mismo ha

sido la extracción de una bola blanca, las probabilidades de cada urna han cambiado a

. Estas cantidades se denominan probabilidades a posteriori. Vamos a

representar en una tabla la diferencia entre ambas:

a priori a posteriori

1 1

Las probabilidades a priori

cambian de tal modo de las a

posteriori que una vez

observado el resultado del

experimento aleatorio, se

puede afirmar con certeza que

no fue elegida la tercera urna.

Esta fenómeno tiene aplicaciones fundamentales en Ciencia: Cuando se tienen dos teorías científicas diferentes, T1 y T2, que pretenden explicar cierto fenómeno, y a las que asociamos unas probabilidades a priori de ser ciertas,

podemos llevar a cabo la experimentación que se considere más conveniente, para una

vez obtenido el cuerpo de evidencia, B, calcular como se modifican las probabilidades de

verosimilitud de cada teoría mediante el teorema de Bayes:

Así la experimentación puede hacer que una teoría sea descartada si o

reforzada si . Una aplicación básica de esta técnica la tenemos en Medicina

para decidir si un paciente padece cierta enfermedad o no, en función de los resultados de

un test diagnóstico.