Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics

8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics

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H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s

D e n e s P e t z

A l f r e d R e n y i I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s , H u n g a r i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s , P O B 1 2 7 ,

H - 1 3 6 4 B u d a p e s t , H u n g a r y p e t z @ r e n y i . h u

1 H i l b e r t s p a c e s

T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l f o r m a l i s m i s t h e H i l b e r t

s p a c e . T h e H i l b e r t s p a c e i s a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , i t i s a s p a c e i n t h e s e n s e

t h a t i t i s a c o m p l e x v e c t o r s p a c e w h i c h i s e n d o w e d b y a n i n n e r o r s c a l a r

p r o d u c t h Y . T h e l i n e a r s p a c e C

n

o f a l l n - t u p l e s o f c o m p l e x n u m b e r s b e -

c o m e s a H i l b e r t s p a c e w i t h t h e i n n e r p r o d u c t

h x Y y =

n

i = 1

x

i

y

i

= [ x

1

Y x

2

Y X X X x

n

]

P

T

T

T

T

R

y

1

y

2

X

X

y

n

Q

U

U

U

U

S

Y

w h e r e z d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e c o m p l e x n u m b e r z P C . A n o t h e r

e x a m p l e i s t h e s p a c e o f s q u a r e i n t e g r a b l e c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o n t h e r e a l

E u c l i d e a n s p a c e R

n

. I f a n d g a r e s u c h f u n c t i o n s t h e n

h Y g =

R

n

( x ) g ( x ) x

g i v e s t h e i n n e r p r o d u c t . T h e l a t t e r s p a c e i s d e n o t e d b y v

2

( R

n

) a n d i t i s i n n i t e

d i m e n s i o n a l c o n t r a r y t o t h e n - d i m e n s i o n a l s p a c e C

n

. B e l o w w e a r e m o s t l y

s a t i s e d w i t h n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s . T h e i n n e r p r o d u c t o f t h e v e c t o r s

jx

a n d

jy

w i l l b e o f t e n d e n o t e d a s

hx

jy

, t h i s n o t a t i o n , s o m e t i m e s c a l l e d b r a a n d

k e t , i s p o p u l a r i n p h y s i c s . O n t h e o t h e r h a n d , j x h y j i s a l i n e a r o p e r a t o r w h i c h

a c t s o n t h e v e c t o r j z a s

j x h y j

j z = j x h y j z h y j z j x X

T h e r e f o r e ,


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2 D e n e s P e t z

j x h y j =

P

T

T

T

T

R

x

1

x

2

X

X

x

n

Q

U

U

U

U

S

[ y

1

Y y

2

Y X X X y

n

]

i s c o n j u g a t e l i n e a r i n

jy

, w h i l e

hx

jy

i s l i n e a r .

1 . 1 O r t h o g o n a l e x p a n s i o n s i n a H i l b e r t s p a c e

L e t r b e a c o m p l e x v e c t o r s p a c e . A f u n c t i o n a l h Y : r r 3 C o f t w o

v a r i a b l e s i s c a l l e d i n n e r p r o d u c t i f

( 1 ) h x + y Y z = h x Y z + h y Y z ( x Y y Y z P r ) ,

( 2 ) h ! x Y y = ! h x Y y , ( ! P C Y x Y y P r ) ,

( 3 ) h x Y y = h y Y x ( x Y y P r ) ,

( 4 ) h x Y x ! 0 f o r e v e r y x P r a n d h x Y x = 0 o n l y f o r x = 0 .

T h e s e c o n d i t i o n s i m p l y t h e S c h w a r z i n e q u a l i t y

h x Y y

2

h x Y x h y Y y X ( 1 )

T h e i n n e r p r o d u c t d e t e r m i n e s a n o r m

k x k : =

p

h x Y x ( 2 )

w h i c h h a s t h e p r o p e r t y

kx + y

k kx

k+

ky

kX

kx

ki s i n t e r p r e t e d a s t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r x . A f u r t h e r r e q u i r e m e n t i n t h e

d e n i t i o n o f a H i l b e r t s p a c e t h a t e v e r y C a u c h y s e q u e n c e m u s t b e c o n v e r g e n t ,

t h a t i s , t h e s p a c e i s c o m p l e t e .

E x e r c i s e 1 . 1 S h o w t h a t

k x y k

2

+ k x + y k

2

= 2 k x k

2

+ 2 k y k

2

( 3 )

w h i c h i s c a l l e d p a r a l l e l o g r a m l a w .

I f h x Y y = 0 f o r t h e v e c t o r s x a n d y o f a H i l b e r t s p a c e , t h e n x a n d y a r e

c a l l e d o r t h o g o n a l , i n n o t a t i o n x c y . W h e n r & r , t h e n r

c

: = f x P r :

x c h f o r e v e r y h P r g . F o r a n y s u b s e t r & r t h e o r t h o g o n a l r

c

i s a c l o s e d

s u b s p a c e .

E x a m p l e 1 . 1 L e t v

2

[ Y ] b e t h e s e t o f s q u a r e i n t e g r a b l e ( c o m p l e x - v a l u e d )

f u n c t i o n s o n t h e i n t e r v a l [ Y ] . T h i s i s a H i l b e r t s p a c e w i t h t h e i n n e r p r o d u c t

h Y g : =

b

a

( x ) g ( x ) x


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H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 3

a n d w i t h t h e n o r m

k

k: =

s

b

a

k ( x )

k

2

x X

A f a m i l y

f

x

i

g

o f v e c t o r s i s c a l l e d o r t h o n o r m a l i f

h

x

i

Y x

i

= 1 a n d

h x

i

Y x

j

= 0 i f T= j . A m a x i m a l o r t h o n o r m a l s y s t e m i s c a l l e d b a s i s . T h e

c a r d i n a l i t y o f a b a s i s i s c a l l e d t h e d i m e n s i o n o f t h e H i l b e r t s p a c e . ( T h e c a r d i -

n a l i t y o f a n y t w o b a s e s i s t h e s a m e . )

E x a m p l e 1 . 2 T h e i n n i t e d i m e n s i o n a l a n a l o g u e o f C

n

i s t h e s p a c e

2

( N ) :

2

( N ) ; = f x = ( x

1

Y x

2

Y X X X ) : x

n

P C Y

n

j x

n

j

2

+ I g X

T h e i n n e r p r o d u c t i s

h x Y x

H

: =

n

x

n

x

H

n

X

T h e c a n o n i c a l b a s i s i n t h i s s p a c e s i s t h e s e q u e n c e

n

( n = 1 Y 2 Y X X X ) :

n

= ( 0 Y 0 Y X X X Y 1 Y 0 Y X X X ) ( 1 i s a t t h e n t h p l a c e ) .

T h e o r e m 1 . 1 L e t x

1

Y x

2

Y X X X b e a b a s i s i n a H i l b e r t s p a c e r . T h e n f o r a n y

v e c t o r x P r t h e e x p a n s i o n

x =

n

h x

n

Y x x

n

h o l d s .

E x a m p l e 1 . 3 I n t h e s p a c e v

2

[ 0 Y % ] t h e f u n c t i o n s

n

( x ) =

r

2

%

s i n n x ( 4 )

f o r m a b a s i s . A n y f u n c t i o n g P v

2

[ 0 Y % ] h a s a n e x p a n s i o n g =

n

n

n

. T h e

c o n v e r g e n c e i s i n t h e v

2

- n o r m . ( I t i s k n o w n f r o m t h e t h e o r y o f F o u r i e r s e r i e s

t h a t f o r a c o n t i n u o u s g t h e e x p a n s i o n i s c o n v e r g e n t p o i n t w i s e a s w e l l . )

T h e o r e m 1 . 2 ( P r o j e c t i o n t h e o r e m ) L e t w b e a c l o s e d s u b s p a c e o f a

H i l b e r t s p a c e r . A n y v e c t o r x P r c a n b e w r i t t e n i n a u n i q u e w a y i n t h e

f o r m x = x

0

+ y , w h e r e x

0

P w a n d y c w .

T h e m a p p i n g : x

U3x

0

d e n e d i n t h e c o n t e x t o f t h e p r e v i o u s t h e o r e m i s

c a l l e d o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e w . T h i s m a p p i n g i s l i n e a r :

( ! x + " y ) = ! x + " y


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4 D e n e s P e t z

M o r e o v e r ,

2

= .

L e t e : r 3 r b e a l i n e a r m a p p i n g a n d

1

Y

2

Y X X X Y

n

b e a b a s i s i n t h e

H i l b e r t s p a c e r . T h e m a p p i n g e i s d e t e r m i n e d b y t h e v e c t o r s e

k

, k =

1 Y 2 Y X X X Y n . F u r t h e r m o r e , t h e v e c t o r e

k

i s d e t e r m i n e d b y i t s c o o r d i n a t e s :

e

k

=

1 k

1

+

2 k

2

+ X X X +

n k

n

X

T h e n u m b e r s

i j

f o r a n n n m a t r i x , i t i s c a l l e d t h e m a t r i x o f t h e l i n e a r

t r a n s f o r m a t i o n e i n t h e b a s i s

1

Y

2

Y X X X Y

n

. W h e n f : r 3 r i s a n o t h e r

l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , t h e t h e m a t r i x o f t h e c o m p o s i t i o n e

f i s t h e u s u a l

m a t r i x p r o d u c t o f t h e m a t r i x o f e a n d t h a t o f f . I f a b a s i s i s x e d , t h e n

i t i n d u c e s a 1 - 1 c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e m l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s a n d n

n

m a t r i c e s .

T h e n o r m o f a l i n e a r o p e r a t o r e : r 3 u i s d e n e d a s

k e k : = s u p f k e x k : x P r Y k x k = 1 g Y

E x e r c i s e 1 . 2 S h o w t h a t k e f k k e k k f k .

E x e r c i s e 1 . 3 L e t b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e i n t e r v a l [ Y ] . D e n e a

l i n e a r o p e r a t o r w

f

: v

2

[ Y ] 3 v

2

[ Y ] a s

w

f

g = g X

( T h i s i s t h e m u l t i p l i c a t i o n b y t h e f u n c t i o n . ) S h o w t h a t

k w

f

k = s u p f j ( x ) j : x P [ Y ] g X

1 . 2 T h e a d j o i n t o f a l i n e a r o p e r a t o r

L e t

ra n d

ub e H i l b e r t s p a c e s . I f :

r 3 ui s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r ,

t h e n i t s a d j o i n t

: u 3 r i s d e t e r m i n e d b y t h e f o r m u l a

h x Y y

u

= h

x Y y

r

( x P r Y y P u ) X ( 5 )

Pf (

r) i s c a l l e d s e l f - a d j o i n t i f

= . i s s e l f - a d j o i n t i f a n d o n l y i f

h x Y x i s r e a l f o r e v e r y v e c t o r x P r .

E x e r c i s e 1 . 4 S h o w t h a t a n y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n i s s e l f a d j o i n t .

E x a m p l e 1 . 4 L e t :

2

( N ) 3

2

( N ) b e t h e r i g h t - s h i f t d e n e d a s

n

=

n + 1

i n t h e c a n o n i c a l b a s i s . T h e n

( x

1

Y x

2

Y x

3

Y X X X ) = ( x

2

Y x

3

Y x

4

Y X X X )

I n a n o t h e r w a y ,

1

= 0 Y

n + 1

=

n

X

i s c a l l e d l e f t - s h i f t .


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T h e o r e m 1 . 3 T h e p r o p e r t i e s o f t h e a d j o i n t :

( 1 ) ( e + f )

= e

+ f

, ( ! e )

= ! e

( ! P C ) ,

( 2 ) ( e

)

= e , ( e f )

= f

e

,

( 3 ) ( e

1

)

= ( e

)

1

i f e i s i n v e r t i b l e .

( 4 )

ke

k=

ke

k

E x a m p l e 1 . 5 L e t e : r 3 r b e a l i n e a r m a p p i n g a n d

1

Y

2

Y X X X Y

n

b e a

b a s i s i n t h e H i l b e r t s p a c e r . T h e Y j e l e m e n t o f t h e m a t r i x o f e i s h

i

Y e

j

.

S i n c e

h

i

Y e

j

=

h

j

Y e

i

Y

t h i s i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e j Y e l e m e n t o f t h e m a t r i x o f e

.

E x a m p l e 1 . 6 F o r a n y e P f ( r ) , t h e o p e r a t o r e

e i s s e l f - a d j o i n t .

A n i n v e r t i b l e o p e r a t o r P f ( r ) i s c a l l e d a u n i t a r y i f

1

=

.

E x a m p l e 1 . 7 F o r a n y e = e

P f ( r ) , t h e o p e r a t o r

A

: =

I

n = 0

e

n

n !

i s a u n i t a r y .

E x e r c i s e 1 . 5 S h o w t h a t t h e p r o d u c t o f a n y t w o u n i t a r y o p e r a t o r s i s a u n i t a r y .

1 . 3 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t s p a c e s a n d o p e r a t o r s

L e t

ra n d

ub e H i l b e r t s p a c e s . T h e i r a l g e b r a c t e n s o r p r o d u c t c o s i s t s o f

t h e f o r m a l n t e s u m s

i ; j

x

i

y

j

( x

i

P r Y y

i

P u ) X

C o m p u t i n g w i t h t h e s e s u m s , o n e s h o u l d u s e t h e f o l l o w i n g r u l e s :

( x

1

+ x

2

) y = x

1

y + x

2

y Y ( ! x ) y = ! ( x y ) Y

x ( y

1

+ y

2

) = x y

1

+ x y

2

Y x ( ! y ) = ! ( x y ) X ( 6 )

T h e i n n e r p r o d u c t i s d e n e d a s

h

i ; j

x

i

y

j

Y

k ; l

z

k

l

i

=

i ; j ; k ; l

h x

i

Y z

k

h y

j

Y

l

X

W h e n r a n d u a r e n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s , t h e n w e a r r i v e d a t t h e t e n s o r

p r o d u c t H i l b e r t s p a c e r u , o t h e r w i s e t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t m u s t

b e c o m p l e t e d i n o r d e r t o g e t a B a n a c h s p a c e .


6/26

6 D e n e s P e t z

E x a m p l e 1 . 8 I f P r : = v

2

( Y " ) a n d g P u : = v

2

( Y # ) , t h e n g c a n

b e i n t e r p r e t e d a s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s : ( x ) g ( y ) .

T h e t e n s o r p r o d u c t o f n t e l y m a n y H i l b e r t s p a c e s i s d e n e d s i m i l a r l y .

I f

1

Y

2

Y X X X a n d

1

Y

2

Y X X X a r e b a s e s i n

ra n d

u, r e s p e c t i v e l y , t h e n

f

i

j

:

Y j

gi s a b a s i s i n t h e t e n s o r p r o d u c t s p a c e . T h i s s h o w s t h a t

d i m ( r u ) = d i m ( r ) d i m ( r ) X

E x a m p l e 1 . 9 I n t h e H i l b e r t s p a c e v

2

( R

2

) w e c a n g e t a b a s i s i f t h e s p a c e i s

c o n s i d e r e d a s v

2

( R ) v

2

( R ) . I n t h e s p a c e v

2

( R ) t h e H e r m i t e f u n c t i o n s

9

n

( x ) = e x p ( x

2

a 2 ) r

n

( x )

f o r m a g o o d b a s i s , w h e r e r

n

( x ) i s t h e a p r o p r i a t e l y n o r m a l i z e d H e r m i t e p o l y -

n o m i a l . T h e r e f o r e , t h e t w o v a r i a b l e H e r m i t e f u n c t i o n s

9

n m

( x Y y ) : =

( x

2

+ y

2

) = 2

r

n

( x ) r

m

( y ) ( n Y m = 0 Y 1 Y X X X ) X ( 7 )

f o r a b a s i s i n v

2

( R

2

) .

E x e r c i s e 1 . 6 L e t e P f ( r ) a n d f P f ( r ) b e o p e r a t o r s o n t h e n i t e d i m e n -

s i o n a l s p a c e s r a n d u . S h o w t h a t

d e t ( e f ) = ( d e t e )

m

( d e t f )

n

Y

w h e r e n = d i m r a n d m = d i m u . ( H i n t : T h e d e t e r m i n a n t i s t h e p r o d u c t o f

t h e e i g e n v a l u e s . )

E x e r c i s e 1 . 7 S h o w t h a t

ke

f

k=

ke

k kf

k.

E x a m p l e 1 . 1 0 L e t f

1

Y

2

Y

3

g b e a b a s i s i n r a n d f

1

Y

2

g b e a b a s i s i n u .

I f [ e

i j

] i s t h e m a t r i x o f e P f ( r

1

) a n d [ f

k l

] i s t h e m a t r i x o f f P f ( r

2

) ,

t h e n

( e

f ) (

j

l

) =

i ; k

e

i j

f

k l

i

k

X

I t i s u s e f u l t o o r d e r t h e t e n s o r p r o d u c t b a s e s l e x i c o g r a p h i c a l l y :

1

1

Y

1

2

Y

2

1

Y

2

2

Y

3

1

Y

3

2

. F i x i n g t h i s o r d e r i n g , w e c a n w r i t e d o w n

t h e m a t r i x o f e

f a n d w e h a v e

P

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

R

e

1 1

f

1 1

e

1 1

f

1 2

e

1 2

f

1 1

e

1 2

f

1 2

e

1 3

f

1 1

e

1 3

f

1 2

e

1 1

f

2 1

e

1 1

f

2 2

e

1 2

f

2 1

e

1 2

f

2 2

e

1 3

f

2 1

e

1 3

f

2 2

e

2 1

f

1 1

e

2 1

f

1 2

e

2 2

f

1 1

e

2 2

f

1 2

e

2 3

f

1 1

e

2 3

f

1 2

e

2 1

f

2 1

e

2 1

f

2 2

e

2 2

f

2 1

e

2 2

f

2 2

e

2 3

f

2 1

e

2 3

f

2 2

e

3 1

f

1 1

e

3 1

f

1 2

e

3 2

f

1 1

e

3 2

f

1 2

e

3 3

f

1 1

e

3 3

f

1 2

e

3 1

f

2 1

e

3 1

f

2 2

e

3 2

f

2 1

e

3 2

f

2 2

e

3 3

f

2 1

e

3 3

f

2 2

Q

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

S

X


7/26


L e t r b e a H i l b e r t s p a c e . T h e k - f o l d t e n s o r p r o d u c t r X X X r i s c a l l e d

t h e k t h t e n s o r p o w e r o f r , i n n o t a t i o n r

k

. W h e n e P f ( r ) , t h e n e

( 1 )

e

( 2 )

X X X e

( k )

i s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o n r

k

a n d i t i s d e n i t e d b y e

k

.

r

k

h a s t w o i m p o r t a n t s u b s p a c e s , t h e s y m m e t r i c a n d t h e a n t i s y m m e t r i c

o n e s . I f

1

Y

2

Y X X X Y

k

P ra r e v e c t o r s t h e n t h e i r a n t i s y m m e t r i c t e n s o r p r o d -

u c t i s t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n

1

2

X X X

k

: =

1

p

k !

( 1 )

( )

( 1 )

( 2 )

X X X

( k )

( 8 )

w h e r e t h e s u m m a t i o n i s o v e r a l l p e r m u t a t i o n s % o f t h e s e t

f1 Y 2 Y X X X Y k

ga n d

' ( % ) i s t h e n u m b e r o f i n v e r s i o n s i n % . T h e t e r m i n o l o g y \ a n t i s y m m e t r i c " c o m e s

f r o m t h e p r o p e r t y t h a t a n a n t i s y m m e t r i c t e n s o r c h a n g e s i t s s i g n i f t w o e l e -

m e n t s a r e e x c h a n g e d . I n p a r t i c u l a r l y ,

1

2

X X X

k

i f

i

=

j

f o r d i e r e n t

a n d j .

T h e c o m p u t a t i o n a l r u l e s f o r t h e a n t i s y m m e t r i c t e n s o r s a r e s i m i l a r t o ( 6 ) :

! (

1

2

X X X

k

) =

1

2

X X X

1

( !

)

+ 1

X X X

k

a n d

(

1

2

X X X

1

+ 1

X X X

k

) +

+ (

1

2

X X X

1

H

+ 1

X X X

k

) =

=

1

2

X X X

1

( +

H

)

+ 1

X X X

k

X

T h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e v e c t o r s

1

2

X X X

k

i s c a l l e d t h e k t h

a n t i s y m m e t r i c t e n s o r p o w e r o f r , i n n o t a t i o n

k

r . S o

k

r &

k

r . I f e P

f ( r ) , t h e n t h e t r a n s f o r m a t i o n

k

e l e a v e s t h e s u b s p a c e

k

r i n v a r i a n t . I t s

r e s t r i c t i o n i s d e n t e d b y

k

e w h i c h i s e q u i v a l e n t l y d e n e d a s

k

e (

1

2

X X X

k

) = e

1

e

2

X X X e

k

X ( 9 )

I f

1

Y

2

Y X X X Y

n

i s a b a s i s i n r , t h e n

f

i ( 1 )

i ( 2 )

X X X

i ( k )

: 1 ( 1 ) ` ( 2 ) ` X X X ` ( k ) ) n g ( 1 0 )

i s a b a s i s i n

k

r. I t f o l l o w s t h a t t h e d i m e n s i o n o f

k

ri s

n

k

h a k n Y

o t h e r w i s e f o r k b n t h e p o w e r

k

r h a s d i m e n s i o n 0 . C o n s e q u e n t l y ,

n

r h a s

d i m e n s i o n 1 a n d f o r a n y o p e r a t o r e P f ( r ) , w e h a v e

n

e = ! i d e n t i t y ( 1 1 )

E x e r c i s e 1 . 8 S h o w t h a t ! = d e t e i n ( 1 1 ) . U s e t h i s t o p r o v e t h a t d e t ( e f ) =

d e t e d e t f . ( H i n t : S h o w t h a t

k

( e f ) = (

k

e ) (

k

f ) . )


8/26

8 D e n e s P e t z

T h e s y m m e t r i c t e n s o r p r o d u c t o f t h e v e c t o r s

1

Y

2

Y X X X Y

k

P r i s

1

2

X X X

k

: =

1

p

k !

( 1 )

( 2 )

X X X

( k )

Y

w h e r e t h e s u m m a t i o n i s o v e r a l l p e r m u t a t i o n s % o f t h e s e t

f1 Y 2 Y X X X Y k

ga g a i n .

T h e l i n e a r s p a n o f t h e s y m m e t r i c t e n s o r s i s t h e s y m m e t r i c t e n s o r p o w e r

k

r .

I t h a s t h e b a s i s

f

i ( 1 )

i ( 2 )

X X X

i ( k )

: 1 ( 1 ) ( 2 ) X X X ( k ) n g X ( 1 2 )

E x e r c i s e 1 . 9 G i v e t h e d i m e n s i o n o f

k

r i f d i m ( r ) = n .

1 . 4 P o s i t i v e o p e r a t o r s

P f ( r ) i s c a l l e d p o s i t i v e i f h x Y x ! 0 f o r e v e r y v e c t o r x P r , i n n o t a t i o n

!0 . A p o s i t i v e o p e r a t o r i s s e l f - a d j o i n t .

E x e r c i s e 1 . 1 0 S h o w t h a t a n o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n i s p o s i t i v e .

T h e o r e m 1 . 4 L e t P f ( r ) b e a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r a n d

1

Y

2

Y X X X Y

n

b e

a b a s i s i n t h e H i l b e r t s p a c e r . i s p o s i t i v e i f a n d o n l y i f f o r a n y 1 k n

t h e d e t e r m i n a n t o f t h e k

k m a t r i x

( h

i

Y

j

)

k

i j = 1

i s p o s i t i v e .

T h e s p e c t r u m , i n p a r t i c u l a r t h e e i g e n v a l u e s o f a p o s i t i v e o p e r a t o r , l i e s i n

R

+

. C o n v e r s e l y , i f a l l t h e e i g e n v a l u e s a r e p o s i t i v e f o r a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r

a c t i n g o n a n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e , t h e n i t i s p o s i t i v e . P o s i t i v e m a t r i c e s a r e

a l s o c a l l e d p o s i t i v e s e m i d e n i t e .

L e t e Y f P f ( r ) b e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s . e f i f f e i s p o s i t i v e .

E x a m p l e 1 . 1 1 L e t : R

+

3R b e a s m o o t h f u n c t i o n . i s c a l l e d m a t r i x

m o n o t o n e i f

0

e

f i m p l i e s t h a t ( e )

( f ) X

i s m a t r i x m o n o t o n e i f a n d o n l y f o r e v e r y p o s i t i v e o p e r a t o r e a n d a n d f o r

t h e r e a l p a r a m e t e r ! 0 ,

d

d

h x Y ( e + ) x ! 0

h o l d s f o r e v e r y v e c t o r x w h i c h m e a n s t h a t

d

d

( e + )

!0 X


9/26


W e w a n t t o s h o w t h a t t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n i s m a t r i x m o n o t o n e . L e t

p ( ) : =

p

e + X

I t i s e n o u g h t o s e e t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f p

H

( ) a r e p o s i t i v e . D i e r e n t i a t i n g

t h e e q u a l i t y p ( ) p ( ) = e + , w e g e t

p

H

( ) p ( ) + p ( ) p

H

( ) = X

I f p

H

( ) =

i

!

i

i

i

i s t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n , t h e n

i

!

i

( i

i

p ( ) + p ( ) i

i

) =

a n d a f t e r m u l t i p l i c a t i o n b y i

j

f r o m t h e l e f t a n d f r o m t h e r i g h t , w e h a v e f o r

t h e t r a c e

2 !

j

T r i

j

p ( ) i

j

= T r i

j

i

j

X

S i n c e b o t h t r a c e s a r e p o s i t i v e , !

j

m u s t b e p o s i t i v e a s w e l l .

E x e r c i s e 1 . 1 1 S h o w t h a t t h a t t h e s q u a r e f u n c t i o n i s n o t m a t r i x m o n o t o n e .

( H i n t : C h o o s e e t o b e d i a g o n a l a n d

=

1 1

1 1

!

X

U s e t h e a r g u m e n t o f t h e p r e v i o u s e x a m p l e f o r 2 2 m a t r i c e s . )

1 . 5 T h e s p e c t r a l t h e o r e m

T h e e i g e n v a l u e s o f a s e l f - a d j o i n t m a t r i x a r e r e a l a n d t h e e i g e n v e c t o r s c o r r e -

s p o n d i n g t o d i e r e n t e i g e n v a l u e s a r e o r t h o g o n a l . T h e r e f o r e , t h e m a t r i x ( o r

t h e c o r r e s p o n d i n g H i l b e r t s p a c e o p e r a t o r ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

k

i = 1

!

i

i

i

Y

w h e r e !

1

Y !

2

Y X X X Y !

k

a r e t h e d i e r e n t e i g e n v a l u e s a n d i

i

i s t h e o r t h o g o n a l

p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d g t o t h e

e i g e n v a l u e !

i

, 1 k . T h e s p e c t r a l t h e o r e m e x t e n d s t h i s t o a r b i t r a r y s e l f -

a d j o i n t o p e r a t o r e . T h e n t h e s p e c t r u m i s n o t n e c e s s a r y d i s c r e t e a n d t h e n i t e

s u m i s r e p l a c e d b y a n i n t e g r a l .

L e t b e a c o m p l e t e s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e a n d r b e a H i l b e r t s p a c e .

A s s u m e t h a t f o r e a c h B o r e l s e t f & a p o s i t i v e o p e r a t o r i ( f ) P f ( r ) i s

g i v e n s u c h t h a t

( 1 ) 0 i ( f ) s , i ( Y ) = 0 , i ( C ) = s ,


10/26

1 0 D e n e s P e t z

( 2 ) I f ( f

i

) i s a s e q u e n c e o f p a i r w i s e d i s j o i n t B o r e l s u b s e t o f a n d f =

I

i = 1

f

i

,

t h e n

i ( f ) =

I

i = 1

i ( f

i

)

f o r e v e r y v e c t o r P r .

I n t h i s c a s e i i s c a l l e d a p o s i t i v e o p e r a t o r - v a l u e d m e a s u r e , s h o r t l y

P O V M . I n t h e m o s t i m p o r t a n t e x a m p l e s i s a n i t e s e t , t h e r e a l l i n e R

o r t h e u n i t c i r c l e T .

W e w a n t t o i n t e g r a t e a f u n c t i o n : 3 C w i t h r e s p e c t a n P O V M o n .

W h e n

i s a n i t e s e t , t h e n

( x ) i ( x ) =

x P

( x ) i ( f x g )

i s a n i t e s u m . I n t h e g e n e r a l c a s e , t h e d e n i t i o n o f t h e i n t e g r a l c a n b e r e d u c e d

t o m a n y i n t e g r a l s w i t h r e s p e c t t o c o m m o n m e a s u r e s . G i v e n a v e c t o r P r ,

"

e

( f ) = h Y i ( f )

g i v e s u s a p o s i t i v e m e a s u r e o n t h e B o r e l s e t s o f . W e s a y t h a t t h e i n t e g r a l

( x ) i ( x ) =

Pf (

r) , i f

h Y =

( x ) "

e

( x )

h o l d s f o r e v e r y

P .

A P O V M i i s c a l l e d p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e i f i ( f ) i s a p r o j e c t i o n

o p e r a t o r f o r e v e r y B o r e l s e t f , t h a t i s i ( f ) = i ( f )

2

.

E x e r c i s e 1 . 1 2 L e t i b e a p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e a n d l e t f

1

Y f

2

b e d i s -

j o i n t B o r e l s e t . S h o w t h a t i f a v e c t o r i s i n t h e r a n g e o f i ( f

1

) , t h e n

i ( f

2

) = 0 . ( T h e r e f o r e , i ( f

1

) a n d i ( f

2

) a r e o r t h o g o n a l . )

T h e n e x t t h e o r e m i s t h e s p e c t r a l t h e o r e m f o r a b o u n d e d s e l f - a d j o i n t

o p e r a t o r .

T h e o r e m 1 . 5 L e t e = e

P f ( r ) . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e p r o j e c t i o n -

v a l u e d m e a s u r e o n t h e r e a l l i n e s u c h t h a t

e =

! i ( ! ) X

M o r e o v e r , i f f

&R a n d t h e s p e c t r u n o f e a r e d i s j o i n t , t h e n i ( f ) = 0 a n d

( e ) =

( ! ) i ( ! )

f o r e v e r y c o n t i n u o s f u n c t i o n d e n e d o n t h e s p e c t r u m o f e .


11/26

H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 1

T h e p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e i n t h e t h e o r e m i s c a l l e d t h e s p e c t r a l m e a -

s u r e o f t h e o p e r a t o r e . S i m i l a r r e s u l t h o l d s f o r u n b o u n d e d s e l f - a d j o i n t o p -

e r a t o r e b u t i n t h i s c a s e e a n d ( e ) a r e n o t e v e r y w h e r e d e n e d o p e r a t o r s .

S i m i l a r t h e o r e m h o l d s f o r u n i t a r y o p e r a t o r s , t h e n t h e s p e c t r a l m e a s u r e i s o n

t h e u n i t c i r c l e .

2 P o s t u l a t e s o f q u a n t u m m e c h a n i c s

T h e r s t p o s t u l a t e o f q u a n t u m m e c h a n i c s t e l l s t h a t t o e a c h q u a n t u m m e c h a n -

i c a l s y s t e m a H i l b e r t s p a c e r i s a s s o c i a t e d . T h e ( p u r e ) p h y s i c a l s t a t e s o f t h e

s y s t e m c o r r e s p o n d t o u n i t v e c t o r s o f t h e H i l b e r t s p a c e . T h i s c o r r e s p o n d a n c e

i s n o t 1 - 1 . W h e n

1

a n d

2

a r e u n i t v e c t o r s , t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e s

i d e n t i c a l i f

1

= z

2

f o r a c o m p l e x n u m b e r z o f m o d u l u s 1 . S u c h z i s o f t e n

c a l l e d p h a s e .

2 . 1 n - l e v e l q u a n t u m s y s t e m s

T h e p u r e p h y s i c a l s t a t e o f t h e s y s t e m d e t e r m i n e s a c o r r e s p o n d i n g s t a t e

v e c t o r u p t o a p h a s e .

E x a m p l e 1 . 1 2 T h e 2 d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e C

2

i s u s e d t o d e s c r i b e a 2 -

l e v e l q u a n t u m s y s t e m c a l l e d q u b i t . T h e c a n o n i c a l b a s i s v e c t o r s ( 1 Y 0 ) a n d ( 0 Y 1 )

a r e u s u a l l y d e n o t e d b y j 4 a n d j 5 , r e s p e c t i v e l y . ( A n a l t e r n a t i v e n o t a t i o n i s

j 1 f o r ( 0 Y 1 ) a n d j 0 f o r ( 1 Y 0 ) . ) S i n c e t h e p o l a r i z a t i o n o f a p h o t o n i s a n i m -

p o r t a n t e x a m p l e o f a q u b i t , t h e s t a t e j 4 m a y h a v e t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t t h e

\ p o l a r i z a t i o n i s v e r t i c a l " ) a n d j 5 m e a n s t h a t t h e \ p o l a r i z a t i o n i s h o r i z o n t a l " .

T o s p e c i f y a s t a t e o f a q u b i t w e n e e d t o g i v e a r e a l n u m b e r x

1

a n d a c o m p l e x

n u m b e r z s u c h t h a t x

2

1

+ j z j

2

= 1 . T h e n t h e s t a t e v e c t o r i s

x

1

j 4 + z j 5 X

( I n d e e d , m u l t i p l y i n g a u n i t v e c t o r z

1

j 4 + z

2

j 5 b y a n a p p r o p r i a t e p h a s e , w e

c a n m a k e t h e c o e c i e n t o f j 4 r e a l a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e r e m a i n s t h e

s a m e . )

S p l i t t i n g z i n t o r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a s z = x

2

+ i x

3

, w e h a v e t h e

c o n s t r a i n t x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

= 1 f o r t h e p a r a m e t e r s ( x

1

Y x

2

Y x

3

) P R

3

.

T h e r e f o r e , t h e s p a c e o f a l l p u r e s t a t e s o f a q u b i t i s c o n v e n i e n t l y v i s u a l i z e d

a s t h e s p h e r e i n t h e t h r e e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e , i t i s c a l l e d t h e B l o c h

s p h e r e .

T r a d i t i o n a l q u a n t u m m e c h a n i c s d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n p u r e s t a t e s a n d

m i x e d s t a t e s . M i x e d s t a t e s a r e d e s c r i b e d b y d e n s i t y m a t r i c e s . A d e n s i t y

m a t r i x o r s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i s a p o s i t i v e o p e r a t o r o f t r a c e 1 o n t h e H i l b e r t

s p a c e . T h i s m e a n s t h a t t h e s p a c e h a s a b a s i s c o n s i s t i n g o f e i g e n v e c t o r s o f t h e


12/26


s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a n d t h e s u m o f e i g e n v a l u e s i s 1 . ( I n t h e n i t e d i m e n s i o n a l

c a s e t h e r s t c o n d i t i o n i s a u t o m a t i c a l l y f u l l l e d . ) T h e p u r e s t a t e s r e p r e s e n t e d

b y u n i t v e c t o r s o f t h e H i l b e r t s p a c e a r e a m o n g t h e d e n s i t y m a t r i c e s u n d e r a n

a p p r o p r i a t e i d e n t i c a t i o n . I f x = j x i s a u n i t v e c t o r , t h e n j x h x j i s a d e n s i t y

m a t r i x . G e o m e t r i c a l l y

jx

hx

ji s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e l i n e a r s u b -

s p a c e g e n e r a t e d b y x . N o t e t h a t

jx

hx

j=

jy

hy

ji f t h e v e c t o r s x a n d y d i e r

i n a p h a s e .

( A 1 ) T h e p h y s i c a l s t a t e s o f a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m a r e d e s c r i b e d

b y s t a t i s t i c a l o p e r a t o r s a c t i n g o n t h e H i l b e r t s p a c e .

E x a m p l e 1 . 1 3 A s t a t e o f t h e s p i n ( o f 1 a 2 ) c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e 2 2

m a t r i x

1

2

1 + x

3

x

1

i x

2

x

1

+ i x

2

1

x

3

!

X ( 1 3 )

T h i s i s a d e n s i t y m a t r i x i f a n d o n l y i f x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

1 .

T h e s e c o n d a x i o m i s a b o u t o b s e r v a b l e s .

( A 2 ) T h e o b s e r v a b l e s o f a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m a r e d e s c r i b e d b y

s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s a c t i n g o n t h e H i l b e r t s p a c e .

A s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r e o n a H i l b e r t s p a c e r i s a l i n e a r o p e r a t o r

r 3 r w h i c h s a t i s e s

h e x Y y = h x Y e y

f o r x Y y P r . S e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s o n a n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e

C

n

a r e n n s e l f - a d j o i n t m a t r i c e s . A s e l f - a d j o i n t m a t r i x a d m i t s a s p e c t r a l

d e c o m p o s i t i o n e =

i

!

i

i

i

, w h e r e !

i

a r e t h e d i e r e n t e i g e n v a l u e s o f e a n d

i

i

i s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e e i g e n v e c t o r s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e e i g e n v a l u e !

i

. M u l t i p l i c i t y o f !

i

i s e x a c t l y t h e r a n k o f

i

i

.

E x a m p l e 1 . 1 4 I n c a s e o f a q u a n t u m s p i n ( o f 1 a 2 ) t h e m a t r i c e s

'

1

=

0 1

1 0

!

Y '

2

=

0 i

i 0

!

Y '

3

=

1 0

0 1

!

a r e u s e d t o d e s c r i b e t h e s p i n o f d i r e c t i o n x Y y Y z ( w i t h r e s p e c t t o a c o o r d i n a t e

s y s t e m . ) T h e y a r e c a l l e d P a u l i m a t r i c e s . A n y 2 2 s e l f - a d j o i n t m a t r i x i s o f

t h e f o r m

e

( x

0

; x )

: = x

0

'

0

+ x

1

'

1

+ x

2

'

2

+ x

3

'

3

i f '

0

s t a n d s f o r t h e u n i t m a t r i x s . W e a l s o u s e t h e s h o r t h a n d n o t a t i o n x

0

'

0

+

x ' .

T h e d e n s i t y m a t r i x ( 1 3 ) c a n b e w r i t t e n a s

1

2

( '

0

+ x ' ) Y ( 1 4 )


13/26


w h e r e k x k 1 . F o r m u l a ( 1 4 ) m a k e s a n a n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n 2 2

d e n s i t y m a t r i c e s a n d t h e u n i t b a l l i n t h e E u c l i d e a n 3 - s p a c e . T h e e x t r e m e p o i n t s

o f t h e b a l l c o r r e s p o n d t o p u r e s t a t e a n d a n y m i x e d s t a t e i s t h e c o n v e x c o m b i -

n a t i o n o f p u r e s t a t e s i n i n n i t e l y m a n y d i e r e n t w a y s . I n h i g h e r d i m e n s i o n

t h e s i t u a t i o n i s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d .

A n y d e n s i t y m a t r i x c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

& =

i

!

i

j x

i

h x

i

j ( 1 5 )

b y m e a n s o f u n i t v e c t o r s j x

i

a n d c o e c i e n t s !

i

! 0 ,

i

!

i

= 1 . S i n c e & i s

s e l f - a d j o i n t s u c h a d e c o m p o s i t i o n i s d e d u c e d f r o m t h e s p e c t r a l t h e o r e m a n d

t h e v e c t o r s j x

i

m a y b e c h o s e n p a i r w i s e o r t h o g o n a l e i g e n v e c t o r s a n d !

i

a r e

t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s . U n d e r t h i s c o n d i t i o n ( 1 5 ) i s c a l l e d S c h m i d t

d e c o m p o s i t i o n . I t i s u n i q u e i f t h e s p e c t r u m o f & i s n o n - d e g e n e r a t e , t h a t i s ,

t h e r e i s n o m u l t i p l e e i g e n v a l u e .

2 . 2 M e a s u r e m e n t s

Q u a n t u m m e c h a n i c s i s n o t d e t e r m i n i s t i c . I f w e p r e p a r e t w o i d e n t i c a l s y s t e m s

i n t h e s a m e s t a t e , a n d w e m e a s u r e t h e s a m e o b s e r v a b l e o n e a c h , t h e n t h e

r e s u l t o f t h e m e a s u r e m e n t m a y n o t b e t h e s a m e . T h i s i n d e t e r m i n i s m o r

s t o c h a s t i c f e a t u r e i s f u n d a m e n t a l .

( A 3 ) L e t b e a n i t e s e t a n d f o r x P a n o p e r a t o r

x

P f ( r ) b e g i v e n

s u c h t h a t

x

x

x

= s . S u c h a n i n d e x e d f a m i l y o f o p e r a t o r s i s a m o d e l

o f a m e a s u r e m e n t w i t h v a l u e s i n

. I f t h e m e a s u r e m e n t i s p e r f o r m e d i n a

s t a t e & , t h e n t h e o u t c o m e x

P a p p e a r s w i t h p r o b a b i l i t y T r

x

&

x

a n d

a f t e r t h e m e a s u r e m e n t t h e s t a t e o f t h e s y s t e m i s

x

&

x

T r

x

&

x

X

A p a r t i c u l a r c a s e i s t h e m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e d e s c r i b e d b y a s e l f -

a d j o i n t o p e r a t o r e w i t h s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n

i

!

i

i

i

. I n t h i s c a s e = f !

i

g

i s t h e s e t o f e i g e n v a l u e s a n d

i

= i

i

. O n e c o m p u t e e a s i l y t h a t t h e e x p e c t a t i o n

o f t h e r a n d o m o u t c o m e i s T r & e . T h e f u n c t i o n a l e U3 T r & e i s l i n e a r a n d h a s

t w o i m p o r t a n t p r o p e r t i e s : 1 . I f e ! 0 , t h e n T r & e ! 0 , 2 . T r & s = 1 . T h e s e

p r o p e r t i e s a l l o w t o s e e q u a n t u m s t a t e s i n a d i e r e n t w a y . I f 9 : f (

r)

3C i s

a l i n e a r f u n c t i o n a l s u c h t h a t

9 ( e ) ! 0 i f e ! 0 a n d 9 ( s ) = 1 Y ( 1 6 )

t h e n t h e r e e x i s t s a d e n s i t y m a t r i x &

'

s u c h t h a t

9 ( e ) = T r &

'

e X ( 1 7 )

T h e f u n c t i o n a l 9 a s s o c i a t e s t h e e x p e c t a t i o n v a l u e t o t h e o b s e r v a b l e s e .


14/26


2 . 3 C o m p o s i t e s y s t e m s

A c c o r d i n g t o a x i o m ( A 1 ) , a H i l b e r t s p a c e i s a s s o c i a t e d t o a n y q u a n t u m m e -

c h a n i c a l s y s t e m . A s s u m e t h a t a c o m p o s i t e s y s t e m c o n s i s t s o f t h e s u b s y s -

t e m s ( 1 ) a n d ( 2 ) , t h e y a r e d e s c r i b e d b y t h e H i l b e r t s p a c e s r

1

a n d r

2

. ( E a c h

s u b s y s t e m c o u l d b e a p a r t i c l e o r a s p i n , f o r e x a m p l e . ) T h e n w e h a v e

( A 4 ) T h e c o m p o s i t e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y t h e t e n s o r p r o d u c t H i l b e r t

s p a c e r

1

r

2

.

W h e n f

j

: j P t g i s a b a s i s i n r

1

a n d f

i

: P s g i s a b a s i s i n r

2

, t h e n

f

j

j

: j P t Y P s g i s a b a s i s o f r

1

r

2

. T h e r e f o r e , t h e d i m e n s i o n o f

r

1

r

2

i s d i m

r

1

d i m

r

2

. I f e

i

Pf (

r

i

) ( = 1 Y 2 ) , t h e n t h e a c t i o n o f t h e

t e n s o r p r o d u c t o p e r a t o r e

1

e

2

i s d e t e r m i n e d b y

( e

1

e

2

) (

1

2

) = e

1

1

e

2

2

s i n c e t h e v e c t o r s

1

2

s p a n r

1

r

2

.

W h e n e = e

i s a n o b s e r v a b l e o f t h e r s t s y s t e m , t h e n i t s e x p e c t a t i o n

v a l u e i n t h e v e c t o r s t a t e 2

P r

1

r

2

, i s

h 2 Y ( e s

2

) 2 Y

w h e r e s

2

i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o n r

2

.

E x a m p l e 1 . 1 5 T h e H i l b e r t s p a c e o f a c o m p o s i t e s y s t e m o f t w o s p i n s ( o f 1 a 2 )

i s C

2

C

2

. I n t h i s s p a c e , t h e v e c t o r s

1

: = j 4 j 4 Y

2

: = j 4 j 5 Y

3

: = j 5 j 4 Y

4

: = j 5 j 5

f o r m a b a s i s . T h e v e c t o r s t a t e

0 =

1

p

2

( j 4 j 5 j 5 j 4 ) ( 1 8 )

h a s a s u r p r i s i n g p r o p e r t y . C o n s i d e r t h e o b s e r v a b l e

e : =

4

i = 1

j

i

h

i

j Y

w h i c h h a s e i g e n v a l u e s 1 Y 2 Y 3 Y 4 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e j u s t t h e

b a s i s v e c t o r s . M e a s u r e m e n t o f t h i s o b s e r v a b l e y i e l d s t h e v a l u e s 1 Y 2 Y 3 Y 4 w i t h

p r o b a b i l i t i e s 0 Y 1 a 2 Y 1 a 2 a n d 0 , r e s p e c t i v e l y . T h e 0 p r o b a b i l i t y o c c u r s w h e n b o t h

s p i n s a r e u p o r b o t h a r e d o w n . T h e r e f o r e i n t h e v e c t o r s t a t e 0 t h e s p i n s a r e

a n t i - c o r r e l a t e d .

W e c o n s i d e r n o w t h e c o m p o s i t e s y s t e m r

1

r

2

i n a s t a t e 0 P r

1

r

2

.

L e t e P f ( r

1

) b e a n o b s e r v a b l e w h i c h i s l o c a l i z e d a t t h e r s t s u b s y s t e m . I f

w e w a n t t o c o n s i d e r e a s a n o b s e r v a b l e o f t h e t o t a l s y s t e m , w e h a v e t o d e n e

a n e x t e n s i o n t o t h e s p a c e r

1

r

2

. T h e t e n s o r p r o d u c t o p e r a t o r e s w i l l

d o , s i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o f r

2

.


15/26


L e m m a 1 . 1 A s s u m e t h a t r

1

a n d r

2

a r e n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e s .

L e t f

j

: j P t g b e a b a s i s i n r

1

a n d f

i

: P s g b e a b a s i s i n r

2

. A s s u m e

t h a t

0 =

i ; j

i j

j

i

i s t h e e x p a n s i o n o f a u n i t v e c t o r 0

P r

1

r

2

. S e t f o r t h e m a t r i x w h i c h i s

d e t e r m i n e d b y t h e e n t r i e s

k l

. T h e n

i s a d e n s i t y m a t r i x a n d

h0 Y ( e

s ) 0

= T r e

X

P r o o f . L e t i

k l

b e a n o p e r a t o r o n r

1

w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e r e l a t i o n s

i

k l

j

=

l j

k

( k Y l P s ) . A s a m a t r i x , i

k l

i s c a l l e d m a t r i x u n i t , i t i s a m a t r i x

s u c h t h a t ( k Y l ) e n t r y i s 1 , a l l o t h e r s a r e 0 . T h e n

h 0 Y ( i

k l

s ) 0 =

B

i ; j

i j

j

i

Y ( i

k l

s )

t ; u

t u

u

t

C

=

=

i ; j

t ; u

i j

t u

h

j

Y i

k l

u

h

i

Y

t

=

=

i ; j

t ; u

i j

t u

l u

j k

i t

=

i

i k

i l

X

T h e n w e a r r i v e d a t t h e ( k Y l ) e n t r y o f

. O u r c o m p u t a t i o n m a y b e s u m -

m a r i z e d a s

h 0 Y ( i

k l

s ) 0 = T r i

k l

(

) ( k Y l P s ) X

S i n c e a n y l i n e a r o p e r a t o r e P f ( r

1

) i s o f t h e f o r m e =

k l

i

k l

(

k l

P C ) ,

t a k i n g l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e p r e v i o u s e q u a t i o n s , w e h a v e

h 0 Y ( e s ) 0 = T r e (

) X

i s o b v i o u s l y p o s i t i v e a n d

T r

=

i ; j

j

i j

j

2

= k 0 k

2

= 1 X

T h e r e f o r e i t i s a d e n s i t y m a t r i x .

T h i s l e m m a s h o w s a n a t u r a l w a y f r o m s t a t e v e c t o r s t o d e n s i t y m a t r i c e s .

G i v e n a d e n s i t y m a t r i x & o n

r

1

r

2

t h e r e a r e d e n s i t y m a t r i c e s &

i

Pf (

r

i

)

s u c h t h a t

T r ( e s ) & = T r e &

1

( e P f ( r

1

) ) ( 1 9 )

a n d

T r ( s f ) & = T r f &

2

( f P f ( r

2

) ) X ( 2 0 )

&

1

a n d &

2

a r e c a l l e d r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s . ( T h e y a r e t h e q u a n t u m

a n a l o g u e o f m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s . )


16/26


T h e p r o o f o f L e m m a 1 . 1 c o n t a i n s t h e r e d u c e d d e n s i t y o f j 0 h 0 j o n t h e

r s t s y s t e m , i t i s

. O n e c o m p u t e s s i m i l a r l y t h a t t h e r e d u c e d d e n s i t y o n

t h e s e c o n d s u b s y s t e m , i t i s (

)

t

, w h e r e

t

d e n o t e s t h e t r a n s p o s e o f t h e

m a t r i x . S i n c e

a n d (

)

t

h a v e t h e s a m e n o n - z e r o e i g e n v a l u e s , t h e

t w o s u b s y s t e m s a r e v e r y s t r o n g l y c o n n e c t e d i f t h e t o t a l s y s t e m i s i n a p u r e

s t a t e .

L e t r

1

a n d r

2

b e H i l b e r t s p a c e s a n d l e t d i m r

1

= m a n d d i m r

2

= n . I t i s

w e l l - k n o w n t h a t t h e m a t r i x o f a l i n e a r o p e r a t o r o n r

1

r

2

h a s a b l o c k - m a t r i x

f o r m

= (

i j

)

m

i ; j = 1

=

m

i ; j = 1

i

i j

i j

Y

r e l a t i v e t o t h e l e x i c o g r a p h i c a l l y o r d e r e d p r o d u c t b a s i s , w h e r e

i j

a r e n n

m a t r i c e s . F o r e x a m p l e ,

e s = (

i j

)

m

i ; j = 1

Y w h e r e

i j

= e

i j

s

n

a n d

s f = (

i j

)

m

i ; j = 1

Y w h e r e

i j

=

i j

f X

A s s u m e t h a t

& = ( &

i j

)

m

i ; j = 1

i s a d e n s i t y m a t r i x o f t h e c o m p o s i t e s y s t e m , t h e n

T r ( e s ) & =

i ; j

e

i j

T r s

n

&

i j

=

i ; j

e

i j

T r &

i j

a n d t h i s g i v e s t h a t f o r t h e r s t r e d u c e d d e n s i t y m a t r i x w e h a v e

( &

1

)

i j

= T r &

i j

X ( 2 1 )

W e c a n c o m p u t e s i m i l a r l y t h e s e c o n d r e d u c e d d e n s i t y &

2

. S i n c e

T r ( s f ) & =

i

T r f &

i i

w e o b t a i n

&

2

=

m

i = 1

&

i i

X ( 2 2 )

T h e r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s m i g h t b e e x p r e s s e d b y t h e p a r t i a l t a c e s .

T r

2

: f ( r

1

) f ( r

2

) 3 f ( r

1

) a n d T r

1

: f ( r

1

) f ( r

2

) 3 f ( r

2

) a r e

d e n e d a s

T r

2

( e f ) = e T r f Y T r

1

( e f ) = T r e f X ( 2 3 )

W e h a v e

&

1

= T r

2

& a n d &

2

= T r

1

& X ( 2 4 )


17/26


A x i o m ( A 4 ) t e l l s a b o u t a c o m p o s i t e q u a n t u m s y s t e m c o n s i s t i n g o f t w o

q u a n t u m c o m p o n e n t s . I n c a s e o f m o r e q u a n t u m c o m p o n e n t s , t h e f o r m a l i s m i s

s i m i l a r , m o r e t e n s o r f a c t o r s a p p e a r . I t m a y h a p p e n t h a t t h e q u a n t u m s y s t e m

u n d e r s t u d y h a s a c l a s s i c a l a n d a q u a n t u m c o m p o n e n t , a s s u m e t h a t t h e r s t

c o m p o n e n t i s c l a s s i c a l . T h e n t h e d e s c r i p t i o n b y t e n s o r p r o d u c t H i l b e r t s p a c e

i s s t i l l p o s s i b l e . A b a s i s (

j

i

)

i

o f

r

1

c a n b e x e d a n d t h e p o s s i b l e d e n s i t y

m a t r i c e s o f t h e j o i n t s y s t e m a r e o f t h e f o r m

i

i

j

i

h

i

j &

( 2 )

i

Y ( 2 5 )

w h e r e (

i

)

i

i s a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n a n d &

( 2 )

i

a r e d e n s i t i e s o n r

2

. T h e n t h e

r e d u c e d s t a t e o n t h e r s t c o m p o n e n t i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y (

i

)

i

( w h i c h

m a y b e r e g a r d e d a s a d i a g o n a l d e n s i t y m a t r i x ) a n d

i

i

&

( 2 )

i

i s t h e s e c o n d

r e d u c e d d e n s i t y .

A n o t h e r p o s t u l a t e o f q u a n t u m m e c h a n i c s t e l l s a b o u t t h e t i m e d e v e l o p -

m e n t o f a c l o s e d q u a n t u m s y s t e m . I f t h e s y s t e m i s n o t s u b j e c t t o a n y m e a -

s u r e m e n t i n t h e t i m e i n t e r v a l s & R a n d &

t

d e n o t e s t h e s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a t

t i m e , t h e n

( A 5 ) &

t

= ( Y ) &

s

( Y )

( Y P s ) ,

w h e r e t h e u n i t a r y p r o p a g a t o r ( Y ) i s a f a m i l y o f u n i t a r y o p e r a t o r s s u c h

t h a t

( i ) ( Y ) ( Y ) = ( Y ) ,

( i i ) ( Y ) U3 ( Y ) P f ( r ) i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .

T h e r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n o f t h e u n i t a r y ( Y ) i s t h e H a m i l t o n i a n :

( + Y ) = s

i

~

r ( ) Y

w h e r e r ( ) i s t h e H a m i l t o n i a n a t t i m e . I f t h e H a m i l t o n i a n i s t i m e i n d e p e n -

d e n t , t h e n

( Y ) = e x p

i

~

( ) r

X

I n t h e a p p r o a c h f o l l o w e d h e r e t h e d e n s i t y m a t r i c e s a r e t r a n s f o r m e d i n t i m e ,

t h i s i s t h e s o - c a l l e d S c h r o d i n g e r p i c t u r e o f q u a n t u m m e c h a n i c s . W h e n d i s -

c r e t e t i m e d e v e l o p m e n t i s c o n s i d e r e d , a s i n g l e u n i t a r y g i v e s t h e t r a n s f o r -

m a t i o n o f t h e v e c t o r s t a t e i n t h e f o r m 2

U3 2 , o r i n t h e d e n s i t y m a t r i x

f o r m a l i s m & U3 &

. W h e n t h e u n i t a r y t i m e d e v e l o p m e n t i s v i e w e d a s a

q u a n t u m a l g o r i t h m i n c o n n e c t i o n w i t h q u a n t u m c o m p u t a t i o n , t h e t e r m g a t e

i s u s e d i n s t e a d o f u n i t a r y . S o t h e g a t e s c o n s t i t u t e a n a l g o r i t h m a r e s i m p l y

u n i t a r y o p e r a t o r s .


18/26


2 . 4 S t a t e t r a n s f o r m a t i o n s

A s s u m e t h a t

ri s t h e H i l b e r t s p a c e o f o u r q u a n t u m s y s t e m w h i c h i n i t i a l l y

h a s a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r & ( a c t i n g o n r ) . W h e n t h e q u a n t u m s y s t e m s i s n o t

c l o s e d , i t i s c o u p l e d t o a n o t h e r s y s t e m , c a l l e d e n v i r o n m e n t . T h e e n v i r o n m e n t

h a s a H i l b e r t s p a c e r

e

a n d s t a t i s t i c a l o p e r a t o r &

e

. B e f o r e i n t e r a c t i o n t h e t o t a l

s y s t e m h a s d e n s i t y &

e

& . T h e d y n a m i c a l c h a n g e c a u s e d b y t h e i n t e r a c t i o n i s

i m p l e m e n t e d b y a u n i t a r y a n d ( &

e

& )

i s t h e n e w s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a n d

t h e r e d u c e d d e n s i t y ~ & i s t h e n e w s t a t i s t i c a l o p e r a t o r o f t h e q u a n t u m s y s t e m

w e a r e i n t e r e s t e d i n . T h e a n e c h a n g e & U3 ~& i s t y p i c a l f o r q u a n t u m m e c h a n i c s

a n d c a l l e d s t a t e t r a n s f o r m a t i o n . I n t h i s w a y t h e m a p & U3 ~& i s d e n e d o n

d e n s i t y m a t r i c e s b u t i t c a n b e e x t e n d e d b y l i n e a r i t y t o a l l m a t r i c e s . I n t h i s w a y

w e o b t a i n a t r a c e p r e s e r v i n g a n d p o s i t i v i t y p r e s e r v i n g l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n .

T h e a b o v e d e n e d s t a t e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e d e s c r i b e d i n s e v e r a l o t h e r

f o r m s , r e f e r e n c e t o t h e e n v i r o n m e n t c o u l d b e o m i t t e d c o m p l e t e l y . A s s u m e t h a t

& i s a n n n m a t r i x a n d &

e

i s o f t h e f o r m ( z

k

z

l

)

k l

w h e r e ( z

1

Y z

2

Y X X X Y z

m

) i s a

u n i t v e c t o r i n t h e m d i m e n s i o n a l s p a c e r

e

. ( &

e

i s p u r e s t a t e . ) A l l o p e r a t o r s

a c t i n g o n r

e

r a r e w r i t t e n i n a b l o c k m a t r i x f o r m , t h e y a r e m m m a t r i c e s

w i t h n n m a t r i x e n t r i e s . I n p a r t i c u l a r , = (

i j

)

m

i ; j = 1

a n d

i j

P w

n

. I f i s

a u n i t a r y , t h e n

i s t h e i d e n t i t y a n d t h i s i m p l i e s t h a t

i

i k

i l

=

k l

s

n

( 2 6 )

F o r m u l a ( 2 2 ) f o r t h e r e d u c e d d e n s i t y m a t r i x g i v e s

~& =

i

( ( &

e

& )

)

i i

=

i ; k ; l

i k

( &

e

& )

k l

(

)

l i

=

i ; k ; l

i k

( z

k

z

l

& ) (

i l

)

=

i

k

z

k

i k

&

l

z

l

i l

=

i

e

i

& e

i

w h e r e t h e o p e r a t o r s e

i

: =

k

z

k

i k

s a t i s f y

p

e

p

e

p

= s ( 2 7 )

d u e t o ( 2 6 ) a n d

k

j

z

k

j

2

= 1 .

T h e o r e m 1 . 6 A n y s t a t e t r a n s f o r m a t i o n & U3 i ( & ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m


19/26


i ( & ) =

p

e

p

& e

p

Y

w h e r e t h e o p e r a t o r c o e c i e n t s s a t i s f y ( 2 7 ) . C o n v e r s e l y , a l l l i n e a r m a p p i n g s o f

t h i s f o r m a r e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s .

T h e r s t p a r t o f t h e t h e o r e m w a s o b t a i n e d a b o v e . T o p r o v e t h e c o n v e r s e

p a r t , w e n e e d t o s o l v e t h e e q u a t i o n s

e

i

: =

k

z

k

i k

( = 1 Y 2 Y X X X Y m ) X

C h o o s e s i m p l y z

1

= 1 a n d z

2

= z

3

= X X X = z

m

= 0 a n d t h e e q u a t i o n s r e d u c e

t o

p 1

= e

p

. T h i s m e a n s t h a t t h e r s t c o l u m n i s g i v e n f r o m t h e b l o c k m a t r i x

a n d w e n e e d t o d e t e r m i n e t h e o t h e r c o l u m n s s u c h a w a y t h a t s h o u l d b e

a u n i t a r y . T h a n k s t o t h e c o n d i t i o n ( 2 7 ) t h i s i s p o s s i b l e . C o n d i t i o n ( 2 7 ) t e l l s

u s t h a t t h e r s t c o l u m n o f o u r b l o c k m a t r i x d e t e r m i n e s a n i s o m e t r y w h i c h

e x t e n d s t o a u n i t a r y .

T h e c o e c i e n t s e

p

i n t h e o p e r a t o r - s u m r e p r e s e n t a t i o n a r e c a l l e d t h e

o p e r a t i o n e l e m e n t s o f t h e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n . T h e t e r m s q u a n t u m ( s t a t e )

o p e r a t i o n a n d c h a n n e l i n g t r a n s f o r m a t i o n a r e a l s o o f t e n u s e d i n s t e a d o f s t a t e

t r a n s f o r m a t i o n .

T h e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s f o r m a c o n v e x s u b s e t o f t h e s e t o f a l l p o s i t i v e

t r a c e p r e s e r v i n g l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s . ( I t i s n o t k n o w n w h a t t h e e x t r e m e

p o i n t s o f t h i s s e t a r e . )

i i s c a l l e d c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f i

n

i s p o s i t i v i t y p r e s e r v i n g f o r t h e

i d e n t i c a l m a p p i n g

n

: w

n

( C ) 3 w

n

( C ) o n a n y m a t r i x a l g e b r a .

T h e o r e m 1 . 7 L e t i : w

n

( C ) 3 w

k

( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . T h e n i i s

c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f i t a d m i t s a r e p r e s e n t a t i o n

i ( e ) =

u

u

e

u

( 2 8 )

b y m e a n s o f s o m e l i n e a r o p e r a t o r s

u

: C

n

3C

k

.

T h i s r e s u l t w a s r s t p r o v e n b y K r a u s . I t f o l l o w s t h a t s t o c h a s t i c m a p p i n g s

a r e c o m p l e t e l y p o s i t i v e a n d t h e o p e r a t o r - s u m r e p r e s e n t a t i o n i s a l s o c a l l e d

K r a u s r e p r e s e n t a t i o n . N o t e t h a t t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s n o t u n i q u e .

L e t i : w

n

( C ) 3 w

k

( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . i i s d e t e r m i n e d b y t h e

b l o c k - m a t r i x (

i j

)

1 i ; j k

, w h e r e

i j

= i ( i

i j

) ( 2 9 )

( H e r e i

i j

d e n o t e t h e m a t r i x u n i t s . ) T h i s i s t h e b l o c k - m a t r i x r e p r e s e n t a -

t i o n o f i .


20/26


T h e o r e m 1 . 8 L e t i : w

n

( C ) 3 w

k

( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . T h e n i i s

c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x (

i j

)

1 i ; j k

P

w

k

( C ) w

n

( C ) i s p o s i t i v e .

E x a m p l e 1 . 1 6 C o n s i d e r t h e t r a n s p o s e m a p p i n g e U3 e

t

o n 2 2 m a t r i c e s :

x y

z

!

U3

x z

y

!

X

T h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x i s

=

P

T

R

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

Q

U

S

X

T h i s i s n o t p o s i t i v e , s o t h e t r a n s p o s e m a p p i n g i s n o t c o m p l e t e l y p o s i t i v e .

E x a m p l e 1 . 1 7 C o n s i d e r a p o s i t i v e t r a c e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n

i: w

n

( C )

3

w

m

( C ) s u c h t h a t i t s r a n g e c o n s i s t s o f c o m m u t i n g o p e r a t o r s . W e s h o w t h a t

i

i s a u t o m a t i c a l l y a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n .

S i n c e a c o m m u t a t i v e s u b a l g e b r a o f w

m

( C ) i s t h e l i n e a r s p a n o f s o m e p a i r -

w i s e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s

k

, o n e c a n s e e t h a t i h a s t h e f o r m

i ( e ) =

k

k

T r p

k

e Y ( 3 0 )

w h e r e p

k

i s a p o s i t i v e o p e r a t o r i n w

n

( C ) , i t i n d u c e s t h e c o e c i e n t o f

k

a s

a l i n e a r f u n c t i o n a l o n w

n

( C ) .

W e w a n t t o s h o w t h e p o s i t i v i t y o f t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x :

i j

i

i j

k

k

T r ( p

k

i

i j

)

=

k

i j

i

i j

k

i j

i

i j

T r ( p

k

i

i j

) s

Y

w h e r e d e n o t e s t h e H a d a m a r d ( o r e n t r y - w i s e p r o d u c t ) o f n m n m m a t r i c e s .

R e c a l l t h a t a c c o r d i n g t o S c h u r ' s t h e o r e m t h e H a d a m a r d p r o d u c t o f p o s i t i v e

m a t r i c e s i s p o s i t i v e . T h e r s t f a c t o r i s

[

k

Y

k

Y X X X Y

k

]

[

k

Y

k

Y X X X Y

k

]

a n d t h e s e c o n d f a c t o r i s p

k

s , b o t h a r e p o s i t i v e .

C o n s i d e r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f ( 3 0 ) w h e r e e a c h

k

i s o f r a n k o n e a n d

r

k = 1

p

k

= s . S u c h a f a m i l y o f p

k

' s d e s c r i b e a m e a s u r e m e n t w h i c h a s s o c i a t e s

t h e - t u p l e ( T r & p

1

Y T r & p

2

Y X X X Y T r & p

r

) t o t h e d e n s i t y m a t r i x & . T h e r e f o r e a

m e a s u r e m e n t c a n b e f o r m u l a t e d a s a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n w i t h d i a g o n a l o u t -

p u t s .


21/26


T h e K r a u s r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e b l o c k - m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n a r e c o n -

v e n i e n t w a y s t o d e s c r i b e a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i n a n y n i t e d i m e n s i o n . I n

t h e 2 2 c a s e w e h a v e t h e p o s s i b i l i t y t o e x p a n d t h e m a p p i n g s i n t h e b a s i s

'

0

Y '

1

Y '

2

Y '

3

.

A n y t r a c e p r e s e r v i n g m a p p i n g

i: w

2

( C )

3w

2

( C ) h a s a m a t r i x

=

1 0

3

!

w i t h r e s p e c t t o t h i s b a s i s , w h e r e

3

P w

3

a n d

i (

0

'

0

+ ' ) =

0

'

0

+ ( +

3

) ' X ( 3 1 )

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s o f s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s a r e g i v e n i n t e r m o f t h e

- r e p r e s e n t a t i o n :

E x a m p l e 1 . 1 8 ( P a u l i c h a n n e l s ) = 0 a n d

3

= D i a g ( Y Y ) . D e n s i t y

m a t r i c e s a r e s e n t t o d e n s i t y m a t r i c e s i f a n d o n l y i f

1

Y Y

1

f o r t h e r e a l p a r a m e t e r s Y Y .

I t i s n o t d i c u l t t o c o m p u t e t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x , w e h a v e

=

P

T

T

R

1 +

2

0 0

+

2

0

1

2

2

0

0

2

1

2

0

+

2

0 0

1 +

2

Q

U

U

S

X ( 3 2 )

i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o t h e m a t r i x

P

T

T

R

1 +

2

+

2

0 0

+

2

1 +

2

0 0

0 0

1

2

2

0 0

2

1

2

Q

U

U

S

X

T h i s m a t r i x i s o b v i o u s l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f

j 1 j ! j j X ( 3 3 )

T h i s p o s i t i v i t y c o n d i t i o n h o l d s w h e n = = = b 0 . H e n c e t h e n e x t

e x a m p l e g i v e s a c h a n n e l i n g t r a n s f o r m a t i o n .

3 S o m e a p p l i c a t i o n s

I n t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o q u a n t u m m e c h a n i c s , a p h y s i c a l s y s t e m i s d e -

s c r i b e d i n a H i l b e r t s p a c e : O b s e r v a b l e s c o r r e s p o n d t o s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s

a n d s t a t i s t i c a l o p e r a t o r s a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e s t a t e s . V o n N e u m a n n a s -

s o c i a t e d a n e n t r o p y q u a n t i t y t o a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i n 1 9 2 7 [ 1 5 ] a n d t h e

d i s c u s s i o n w a s e x t e n d e d i n h i s b o o k [ 1 6 ] .


22/26


3 . 1 V o n N e u m a n n e n t r o p y

V o n N e u m a n n ' s a r g u m e n t w a s a g e d a n k e n e x p e r i m e n t o n t h e g r o u n d o f p h e -

n o m e n o l o g i c a l t h e r m o d y n a m i c s w h i c h i s n o t r e p e a t e d h e r e , o n l y h i s c o n c l u -

s i o n . A s s u m e t h a t t h e d e n s i t y & i s t h e m i x t u r e o f o r t h o g o n a l d e n s i t i e s &

1

a n d

&

2

, & = &

1

+ ( 1

) &

2

. T h e n

( &

1

) + ( 1

) ( &

2

) = ( & ) + l o g + ( 1

) l o g ( 1

) Y ( 3 4 )

w h e r e i s a c e r t a i n t h e r m o d y n a m i c a l e n t r o p y q u a n t i t y , r e l a t i v e t o t h e x e d

t e m p e r a t u r e a n d m o l e c u l e d e n s i t y . ( R e m e m b e r t h a t t h e o r t o g o n a l i t y o f s t a t e s

h a s a p a r t i c u l a r m e a n i n g i n q u a n t u m m e c h a n i c s . ) F r o m t h e t w o - c o m p o n e n t

m i x t u r e , w e c a n e a s i l y m o v e t o a n a r b i t r a r y d e n s i t y m a t r i x & =

i

!

i

j 9

i

h 9

i

j

a n d w e h a v e

( & ) =

i

!

i

( j 9

i

h 9

i

j )

i

!

i

l o g !

i

X ( 3 5 )

T h i s f o r m u l a r e d u c e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e ( t h e r m o d y n a m i c a l ) e n t r o p y o f a

m i x e d s t a t e t o t h a t o f p u r e s t a t e s . T h e s o - c a l l e d S c h a t t e n d e c o m p o s i t i o n

i

!

i

j 9

i

h 9

i

j o f a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i s n o t u n i q u e a l t h o u g h h 9

i

Y 9

j

= 0

i s a s s u m e d f o r T= j . W h e n !

i

i s a n e i g e n v a l u e w i t h m u l t i p l i c i t y , t h e n t h e

c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s c a n b e c h o s e n i n m a n y w a y s . I f w e e x p e c t t h e

e n t r o p y ( & ) t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e S c h a t t e n d e c o m p o s i t i o n , t h e n w e a r e

l e d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t (

j9

h9

j) m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e v e c t o r

j 9 . T h i s a r g u m e n t a s s u m e s t h a t t h e r e a r e n o s u p e r - s e l e c t i o n s e c t o r s , t h a t

i s , a n y v e c t o r o f t h e H i l b e r t s p a c e c a n b e a s t a t e v e c t o r . ( V o n N e u m a n n ' s

a r g u m e n t w a s s o m e w h a t d i e r e n t , s e e t h e o r i g i n a l p a p e r [ 1 5 ] o r [ 2 3 ] . ) I f t h e

e n t r o p y o f p u r e s t a t e s i s d e n e d t o b e 0 a s a k i n d o f n o r m a l i z a t i o n , t h e n w e

h a v e t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y f o r m u l a :

( & ) =

i

!

i

l o g !

i

= T r ( & ) ( 3 6 )

i f !

i

a r e t h e e i g e n v a l u e s o f & a n d ( ) = l o g . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y t h e

m u l t i p l i c a t i v e c o n s t a n t w i l l m o s t l y b e o m i t t e d .

I t i s w o r t h w h i l e t o n o t e t h a t i f ( & ) i s i n t e r p r e t e d a s t h e u n c e r t a i n t y c a r r i e d

b y t h e s t a t i s t i c a l o p e r a t o r & , t h e n ( 3 4 ) s e e m s t o b e n a t u r a l ,

( &

1

+ ( 1 ) &

2

) = ( &

1

) + ( 1 ) ( &

2

) + r ( Y 1 ) Y ( 3 7 )

h o l d s f o r a n o r t h o g o n a l m i x t u r e a n d S h a n n o n ' s c l a s s i c a l i n f o r m a t i o n m e a s u r e

i s i n v o l v e d . T h e m i x i n g p r o p e r t y ( 3 7 ) e s s e n t i a l l y d e t e r m i n e s t h e v o n N e u -

m a n n e n t r o p y a n d t e l l s u s t h a t t h e r e l a t i o n o f o r t h o g o n a l q u a n t u m s t a t e s i s

c l a s s i c a l . A d e t a i l e d a x i o m a t i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y

i s T h e o r e m 2 . 1 i n [ 1 9 ] .

T h e o r e m 1 . 9 L e t &

1

a n d &

2

b e d e n s i t y m a t r i c e s a n d 0 ` 1 . T h e f o l l o w i n g

i n e q u a l i t i e s h o l d :


23/26


( &

1

) + ( 1 ) ( &

2

) ( &

1

+ ( 1 ) &

2

)

( &

1

) + ( 1 ) ( &

2

) + r ( Y 1 ) X

P r o o f . T h e r s t i n e q u a l i t y i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e c o n c a v i t y o f t h e

f u n c t i o n ( ) = l o g . I n o r d e r t o o b t a i n t h e s e c o n d i n e q u a l i t y w e b e n e t

f r o m t h e f o r m u l a

T r e

l o g ( e + f )

l o g e

=

I

0

T r e ( e + )

1

f ( e + f + )

1

! 0 ( e Y f ! 0 )

a n d i n f e r

T r &

1

l o g ( &

1

+ ( 1 ) &

2

) ! T r &

1

l o g &

1

a n d

T r ( 1 ) &

2

l o g ( &

1

+ ( 1 ) &

2

) ! T r ( 1 ) &

2

l o g ( 1 ) &

2

X

A d d i n g t h e l a t t e r t w o i n e q u a l i t i e s w e o b t a i n t h e s e c o n d i n e q u a l i t y o f t h e

t h e o r e m .

T h e v o n N e u m a n n e n t r o p y i s t h e t r a c e o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t h e

d e n s i t y m a t r i x , h e n c e i t i s a n o b v i o u s l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l o n t h e s t a t e s .

H o w e v e r , a m o r e p r e c i s e e s t i m a t e f o r t h e c o n t i n u i t y w i l l b e r e q u i r e d i n a p -

p r o x i m a t i o n s . S u c h a n e s t i m a t e i s d u e t o F a n n e s .

T h e o r e m 1 . 1 0 L e t &

1

a n d &

2

b e d e n s i t i e s o n a - d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e .

I f k &

1

&

2

k

1

1

3

, t h e n t h e i n e q u a l i t y

j ( &

1

) ( &

2

) j k &

1

&

2

k

1

l o g + ( k &

1

&

2

k

1

)

h o l d s . ( k k

1

: = T r (

)

1 = 2

) .

T h e p r o o f i s f o u n d i n [ 7 ] o r [ 1 9 ] . N o t e t h a t o n a n i n n i t e d i m e n s i o n a l

H i l b e r t s p a c e t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y i s n o t c o n t i n u o u s ( b u t i t i s s u c h

r e s t r i c t e d t o a s e t f & : ( & ) g ) .

M o s t p r o p e r t i e s o f t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y w i l l b e d e d u c e d f r o m t h e

b e h a v i o r o f t h e r e l a t i v e e n t r o p y , s e e [ 1 9 ] .

3 . 2 F i d e l i t y

H o w c l o s e a r e t w o q u a n t u m s t a t e s ? T h e r e a r e m a n y p o s s i b l e a n s w e r s t o t h i s

q u e s t i o n . R e s t r i c t i n g o u r s e l v e s t o p u r e s t a t e s , w e h a v e t o c o n s i d e r t w o u n i t

v e c t o r s . j 9 a n d j 2 . Q u a n t u m m e c h a n i c s h a s u s e d t h e c o n c e p t o f t r a n s i t i o n

p r o b a b i l i t y j h 9 j 9 j

2

f o r a l o n g t i m e . T h i s q u a n t i t y i s p h a s e i n v a r i a n t , i t l i e s

b e t w e e n 0 a n d 1 . I t e q u a l s t o 1 i f a n d o n l y i f t h e t w o s t a t e s c o i n c i d e t h a t i s ,

j 9 e q u a l s t o j 2 u p t o a p h a s e .


24/26


W e c a l l t h e s q u a r e r o o t o f t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y d e l i t y : p ( j 9 Y j 2 ) : =

j h 9 j 2 j . S h a n n o n u s e d a n o n n e g a t i v e d i s t o r t i o n m e a s u r e , a n d w e m a y r e g a r d

1 p ( j 9 Y j 2 ) a s a d i s t o r t i o n f u n c t i o n o n q u a n t u m s t a t e s .

U n d e r a q u a n t u m o p e r a t i o n p u r e s t a t e s c o u l d b e t r a n s f o r m e d i n t o m i x e d

s t a t e s , h e n c e w e n e e d e x t e n s i o n o f t h e d e l i t y :

p (

j9

h9

jY & ) =

p

h9

j&

j9

Y ( 3 8 )

o r i n f u l l g e n e r a l i t y

p ( &

1

Y &

2

) = T r

q

&

1 = 2

1

&

2

&

1 = 2

1

( 3 9 )

f o r p o s i t i v e m a t r i c e s &

1

a n d &

2

. T h i s q u a n t i t y w a s s t u d i e d b y U h l m a n n i n a

d i e r e n t c o n t e x t [ 2 5 ] a n d h e p r o v e d a v a r i a t i o n a l f o r m u l a :

T h e o r e m 1 . 1 1

p ( &

1

Y &

2

) = i n f

n

p

T r ( &

1

q ) T r ( &

2

q

1

) : 0

q i s i n v e r t i b l e

o

F r o m T h e o r e m 1 . 1 1 t h e s y m m e t r y o f p ( &

1

Y &

2

) i s o b v i o u s a n d w e c a n e a s i l y

d e d u c e t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e d e l i t y u n d e r s t a t e t r a n s f o r m a t i o n :

p ( i ( &

1

) Y i ( &

2

) )

2

! T r i ( &

1

) q T r i ( &

2

) q

1

4

! T r &

1

i

( q ) T r &

2

i

( q

1

) 4 Y

w h e r e i

i s t h e a d j o i n t o f i w i t h r e s p e c t t o t h e H i l b e r t - S c h m i d t i n n e r p r o d u c t ,

4 b 0 i s a r b i t r a r y a n d q i s c h o s e n t o b e a p p r o p r i a t e . I t i s w e l l - k n o w n t h a t i

i s u n i t a l a n d p o s i t i v e , h e n c e i

( q )

1

! i

( q

1

) .

T r &

1

i

( q ) T r &

2

i

( q

1

) ! T r &

1

i

( q ) T r &

2

i

( q )

1

! p ( &

1

Y &

2

)

2

X

I n t h i s w a y t h e m o n o t o n i c i t y i s c o n c l u d e d :

T h e o r e m 1 . 1 2 F o r a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i t h e i n e q u a l i t y

p ( i ( &

1

) Y i ( &

2

) ) ! p ( &

1

Y &

2

)

h o l d s .

A n o t h e r r e m a r k a b l e o p e r a t i o n a l f o r m u l a i s

p ( &

1

Y &

2

) = m a x f j h 2

1

j 2

2

j : i ( j 2

1

h 2

1

j ) = &

1

Y ( 4 0 )

i ( j 2

2

h 2

2

j ) = &

2

f o r s o m e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i g X

T h i s v a r i a t i o n a l e x p r e s s i o n r e d u c e s t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e l i t y o f a r b i -

t r a r y s t a t e s t o t h e c a s e o f p u r e s t a t e s . T h e m o n o t o n i c i t y p r o p e r t y i s i m p l i e d

b y t h i s f o r m u l a e a s i l y .

C o n v e r g e n c e i n d e l i t y i s e q u i v a l e n t w i t h c o n v e r g e n c e i n t r a c e n o r m :

p ( &

n

Y &

H

n

) 3 1 i f a n d o n l y i f T r j &

n

&

H

n

j 3 0 . T h i s p r o p e r t y o f t h e d e l i t y i s

a c o n s e q u e n c e o f t h e i n e q u a l i t i e s

1 p ( &

1

Y &

2

)

1

2

T r j &

1

&

2

j

p

1 p ( &

1

Y &

2

) X ( 4 1 )


25/26


R e f e r e n c e s

1 . P . M . A l b e r t i a n d A . U h l m a n n , S t o c h a s t i c i t y a n d p a r t i a l o r d e r . D o u b l y

s t o c h a s t i c m a p s a n d u n i t a r y m i x i n g , V E B D e u t s c h e r V e r l a g W i s s . , B e r l i n , 1 9 8 1 .

2 . R . A l i c k i a n d M . F a n n e s , C o n t i n u i t y o f t h e q u a n t u m c o n d i t i o n a l i n f o r m a t i o n ,

J . P h y s A : M a t h . G e n .

3 4

( 2 0 0 4 ) , l 5 5 { L 5 7 .

3 . J . B l a n k , P . E x n e r a n d M . H a v l i

c e k , H i l b e r t s p a c e o p e r a t o r s i n q u a n t u m

p h y s i c s , A m e r i c a n I n s t i t u t e o f P h y s i c s , 1 9 9 4 .

4 . R . B h a t i a , M a t r i x A n a l y s i s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 6 .

5 . O . B r a t t e l i a n d D . W . R o b i n s o n , O p e r a t o r A l g e b r a s a n d Q u a n t u m S t a t i s t i c a l

M e c h a n i c s I I , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k - H e i d e l b e r g - B e r l i n , 1 9 8 1

6 . J . L . D o d d a n d M . A . N i e l s e n , A s i m p l e o p e r a t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o f d e l i t y ,

a r X i v e - p r i n t q u a n t - p h / 0 1 1 1 0 5 3

7 . M . F a n n e s , A c o n t i n u i t y p r o p e r t y o f t h e e n t r o p y d e n s i t y f o r s p i n l a t t i c e s y s t e m s ,

C o m m u n . M a t h . P h y s .

3 1

( 1 9 7 3 ) , 2 9 1 { 2 9 4 .

8 . F . H a n s e n a n d G . K . P e d e r s e n , J e n s e n ' s i n e q u a l i t y f o r o p e r a t o r a n d L o w n e r ' s

t h e o r e m , M a t h . A n a l .

2 5 8

( 1 9 8 2 ) , 2 2 9 { 2 4 1

9 . C . W . H e l s t r o m Q u a n t u m d e t e c t i o n a n d e s t i m a t i o n t h e o r y . A c a d e m i c P r e s s ,

N e w Y o r k , 1 9 7 6 .

1 0 . F . H i a i a n d D . P e t z , T h e p r o p e r f o r m u l a f o r r e l a t i v e e n t r o p y a n d i t s a s y m p -

t o t i c s i n q u a n t u m p r o b a b i l i t y , C o m m u n . M a t h . P h y s .

1 4 3

( 1 9 9 1 ) , 9 9 { 1 1 4 .

1 1 . A . S . H o l e v o , P r o b a b i l i s t i c a n d s t a t i s t i c a l a s p e c t s o f q u a n t u m t h e o r y , N o r t h -

H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 8 2 .

1 2 . A . S . H o l e v o , S t a t i s t i c a l s t r u c t u r e o f q u a n t u m t h e o r y , S p r i n g e r , 2 0 0 1 .

1 3 . G . L i n d b l a d , C o m p l e t e l y p o s i t i v e m a p s a n d e n t r o p y i n e q u a l i t i e s , C o m m u n .

M a t h . P h y s .

4 0

( 1 9 7 5 ) , 1 4 7 { 1 5 1 .

1 4 . A . W . M a r s h a l l a n d I . O l k i n , I n e q u a l i t i e s : T h e o r y o f m a j o r i z a t i o n a n d i t s

a p p l i c a t i o n s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 9 .

1 5 . J . v o n N e u m a n n , T h e r m o d y n a m i k q u a n t u m m e c h a n i s c h e r G e s a m h e i t e n , G o t t .

N a c h .

1

( 1 9 2 7 ) , 2 7 3 - 2 9 1 .

1 6 . J . v o n N e u m a n n , M a t h e m a t i s c h e G r u n d l a g e n d e r Q u a n t e n m e c h a n i k , S p r i n g e r ,

B e r l i n , 1 9 3 2 .

1 7 . M . A . N i e l s e n a n d J . K e m p e , S e p a r a b l e s t a t e s a r e m o r e d i s o r d e r e d g l o b a l l y

t h a n l o c a l l y , P h y s . R e v . L e t t . ,

8 6

, 5 1 8 4 - 7 ( 2 0 0 1 ) .

1 8 . M . A . N i e l s e n a n d D . P e t z , A s i m p l e p r o o f o f t h e s t r o n g s u b a d d i t i v i t y , Q u a n -

t u m I n f . C o m p . ,

5

( 2 0 0 5 ) , 5 0 7 { 5 1 3 ,

Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics

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