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High Voltage Transmission Lines

CC© Carlos Kleber da Costa Arruda1

May 24, 2014

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Contents

1 Introduction 51.1 Uma ideia sobre as grandezas envolvidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Transmission line studies 92.1 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelagem básica . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Desempenho elétrico de uma linha de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Limites de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Modelo do quadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Modelo de uxo de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Compensação de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Estudo detalhado de um sistema de transmissão através de matriz Ybarra . . . . . 53

3 Mechanical properties 553.1 Aspectos construtivos de linhas de transmissão aéreas . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Requisitos de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Comportamento mecânico de cabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Introdução ao projeto executivo de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Elementos construtivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Construção e manutenção de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A Requisitos elétricos de projeto de linhas de transmissão 95A.1 Comportamento não-linear em sistemas de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B Final remarks 103

A Tabela comparativa de parâmetros 109A.1 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo simplicado . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B Advanced topics 111

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4 CONTENTS

Chapter 1

Introduction

1.0.1 A very rst note

The book is a continual translation from my previous lectures, in Portuguese, with some sectionsstill pasted from the originals. I ask to wait, with patience, the complete translation, meanwhileyou can ask me for hurry in some specic subjects.

Also some languages mistakes should occur, besides obviously technical misunderstandings.Please send your critics.

1.0.2 About this book

Este material tem como objetivo subsidiar a disciplina de cálculo elétrico de linhas de transmissão,lecionada no CEFET-RJ. Para o assunto, existe uma literatura muito vasta, incluindo artigos,normas, teses e dissertações. Partiu-se da ideia de resumir alguns conceitos, considerados básicos,deixando partes de maior profundidade para capítulos seguintes, formando assim uma espiral queretorna ao ângulo inicial mas com profundidade.

Devido a disciplina não abranger o cálculo mecânico, cuja interação com a parte elétrica émuito íntima, aborda-se somente alguns conceitos nesta parte, como echa e ampacidade, candoao aluno consultar livros como [16], e a apostila da parte mecânica [4].

Procurou-se incluir referências adicionais, que apesar de estarem fora do escopo da graduação,são inspiração para pontos de partida para estudos subsequentes.

1.0.3 Nota sobre unidades de medida e convenções

Todas as unidades são no sistema métrico, exceto quando a unidade é referência usual (comopor exemplo a especicação de cabos usa-se MCM ou kcmil1), mas mesmo estas tendem a seremsubstituídas.

Em todas as fórmulas e equações supõe-se que as grandezas estejam sem múltiplos e submúlti-plos, ou seja, recomenda-se atenção ao omitir mili, micro, quilo, mega; em várias tabelas, utiliza-semúltiplos e submúltiplos para deixar o texto mais legível, evitando as potências de 10.

O estudo de linhas de transmissão envolve as equações do eletromagnetismo, aonde aplica-se, novácuo, as constantes de permissividade, ε0 = 8, 8541878·10−12 F/m, e a permeabilidade magnética,µ0 = 4π 10−7 H/m.

1.0.4 Sobre o uso de ferramentas de programação

Ao longo do texto aborda-se cálculos práticos, feitos com auxílio de programação. Não se tratade rotinas para uso comercial, compiladas, mas sim contas realizadas de forma ordenada. Algunsprogramas que permitem esta praticidade são o Matlab, Scilab, Octave e Mathematica. Cada umtem suas vantagens, e óbvio seu custo, sendo o Scliab e o Octave de livre distribuição e perfeitamentecapazes de se realizar os estudos, inclusive muito mais avançados que se propõe aqui.

1cmil: circular mil, área de um círculo com diâmetro de um milésimo de polegada, sendo MCM igual a 1000circular mil. 1 MCM ∼= 0, 5 mm2.

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6 CHAPTER 1. INTRODUCTION

1.1 Uma ideia sobre as grandezas envolvidas

Somente vendo esta apostila, ou até em sala de aula, não temos noção da grandeza que é umalinha de transmissão. Qual a capacidade de uma linha de 500 kV? Qual é a corrente típica decurto-circuito? Quanto pesa um cabo? A tabela 1.1 dá um ideia destes valores, obtida a partir dediversas fontes. São valores médios, somente para uma ordem de grandeza.

Table 1.1: Ordem de grandeza em linhas de transmissão.Potência transmitida 230 kV: 200 MW

345 kV: 500 MW500 kV: 1 GW750 kV: 2 GW

Comprimentos Vão típico: 300-500 mVão de travessia: 1000-2000 mLT curta: < 100 kmComprimento máximo sem subestação intermediária: 300 kmLinha de meia-onda: 2250 km

Altura de torre Linha de transmissão: 30-50 mVão de travessia: 100-300 m

Temperatura no cabo Limite nominal: 70-90Limite de emergência: 100-130Limite para cabos especiais: 200

Distâncias deisolamento (ecaz,fase-neutro)

500 kV: 2 m500 kV (com considerações usuais de projeto): 5-8 m

Peso linear de cabos ACSR Linnet (336 MCM): 688 kg/kmACSR Rail (954 MCM): 1600 kg/kmACSR Thrasher (2312 MCM): 3760 kg/km

Campo elétrico Máximo no solo (limite da faixa): 4,2 kV/mMáximo no solo (ocupacional): 8,33 kV/mSuperfície do cabo: 20 kV/cmDisruptiva: 30 kV/cm

Chapter 2

Transmission line studies

Uma linha de transmissão é um elemento fundamental em um sistema de potência, ligando fontesde geração com cargas consumidoras.

O projeto de uma linha de transmissão inicia-se com a necessidade de transportar uma quan-tidade de energia entre dois pontos. Após estudar a distribuição de carga nas linhas existentes,observa-se o efeito de uma nova linha no sistema, chegando a um novo ponto de equilíbrio.

2.0.1 Why transmit?

Pode-se abrir esta questão em alguns pronomes: o quê, quando, como, onde e quanto.

O quê transmitir a interligação entre centros de geração e consumo, quando invevitavelmente afonte de energia é interessante, mesmo com o custo da linha.

Quando transmitir a necessidade futura surgir, ou seja, projetando o crescimento do consumoe incluindo o tempo de construção, tanto das usinas quanto da própria linha.

Como transmitir a tecnologia a ser usada, denindo se a linha será em CA ou CC, e os níveisde tensão.

Onde passa eventualmente existe a opção de quais centros de geração irão interligar quais centrosde carga (ex. Belo Monte liga com Sudeste ou Nordeste) e denição do traçado da linha.

Quanto custa transmitir o custo está envolvido desde a primeira questão, dependendo aindada economia e da política de comercialização (ex. ganho em escala na fabricação dos cabos,ou regras tarifárias).

Estima-se que esta energia obtida seja distribuída, ao longo da vida útil da linha, em um perlde demanda, resultando na linha transmitindo uma potência média, com eventuais necessidadesde sobrecarga. Para um estudo mais didático, podemos assumir uma potência constante.

A distância entre os dois pontos está sujeita ao traçado da linha, aonde observa-se desde atopograa até a viabilidade de aquisição dos terrenos. A distância real pode variar não mais doque 10% de um traçado em linha reta.

Assumindo assim a potência e o comprimento da linha, chega-se aos critérios de escolha do tipo(CA ou CC) e nível de tensão.

2.1 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelagem básica

Nesta parte será apresentado o modelo básico de linha de transmissão para estudo em regimepermanente. Assume-se que a linha é trifásica, fazendo-se uma aproximação monofásica, que deacordo com o sistema de componentes simétricas é aplicável para sistemas equilibrados ou não.

Inicialmente demonstra-se a relação de parâmetros entre fases, aonde existem componentespróprias (que afetam somente a fase em questão) e componentes mútuas (que afetam as fasesvizinhas). Por reciprocidade, as componentes mútuas são simétricas, ou seja, o efeito que a fase acausa na fase b é igual ao efeito da fase b na fase a.

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8 CHAPTER 2. TRANSMISSION LINE STUDIES

Figure 2.1: Exemplo ilustrativo de seleção de nível de tensão, a partir de premissas de projetoconservadoras [14]

Sabe-se pela teoria de circuitos que impedância e admitância são grandezas recíprocas. Porconvenção em linhas de transmissão, nomeia-se como impedância a componente longitudinal porunidade de comprimento, sendo em geral um elemento RL em série1.

Nomeia-se como admitância a componente transversal (paralela ou shunt) por unidade decomprimento, sendo em geral um elemento RC em paralelo, sendo a resistência R, representativada corrente de fuga, desprezível2. Desta forma pode-se estimar a impedância e admitância totalde uma linha multiplicando-se diretamente seus respectivos valores pelo comprimento.

Da mesma forma que a impedância, a admitância é denida pelo número complexo Y = G+jB,sendo G a condutância e B a susceptância.

Na seção B.0.1 apresenta-se o desenvolvimento das equações de linhas de transmissão, tambémchamadas de equações do telegrasta.

Na prática aproxima-se o circuito ladder para elementos discretos, sendo o mais simples oequivalente pi (uma impedância em série e duas admitâncias em paralelo nas extremidades).

2.1.1 Resistência

A resistência, como tradicionalmente é ensinada, é determinada pela resistividade do material, aseção transversal e o comprimento:

R = ρl

S(2.1.1)

sendo ρ a resistividade e a condutividade o seu inverso: σ = 1/ρ, l o comprimento e S a seçãotransversal.

Em corrente alternada, o efeito pelicular distorce a resistência efetiva do cabo: o efeito derepulsão das linhas de corrente provoca um subaproveitamento da seção transversal do cabo. Esteefeito é mais evidente em bitolas maiores, pois ele não é proporcional ao diâmetro, logo sendopouco percebido por exemplo em instalações residenciais.

1Em linhas CC, a indutância não se aplica em regime permanente, mas em estudos transitórios, como por exemplona propagação de surtos, ele é determinante.

2Em linhas CC, pela falta da corrente pelo efeito capacitivo, a resistência shunt R torna-se novamente relevante,por exemplo, no cálculo de coordenação de isolamento.

2.1. CÁLCULO DOS PARÂMETROS ELÉTRICOS - MODELAGEM BÁSICA 9

Os cabos usuais em CA são compostos por dois materiais, geralmente um núcleo com os maisresistente à tração e uma coroa com os de boa condutividade, e ao mesmo tempo leve e econômico.Este conjunto aumenta a complexidade do estudo, por exemplo no cálculo mecânico, mas no cálculoda resistência possuirá baixa inuência, pois o efeito pelicular irá posicionar a corrente na regiãoda coroa, evitando o material do núcleo.

Outro efeito importante é a variação da resistência pela temperatura. Em geral a resistênciaem catálogos é tabelada para alguns valores típicos, como 75, mas o valor exato depende daprópria corrente, entre outros fatores ambientais.

Na seção 2.7.1 apresenta-se uma fórmula para o cálculo da impedância própria, incluindo oefeito pelicular. O valor calculado será próximo aos valores encontrados em catálogos3.

Observa-se que a maioria dos cabos é composta por os entrelaçados, havendo então lacunas nointerior do cabo. Outra característica comum é a presença de dois materiais no mesmo cabo, comoalumínio e aço. Estas e outras características acrescentam uma complexidade no cálculo exato daresistência, particularmente ao se considerar os efeitos da temperatura.

Em geral as resistências são tabeladas, incluindo o efeito pelicular (resistência CA). Tambémé usual tabelar a resistência para algumas faixas de temperatura.

Para um cálculo iterativo, é prudente iniciar o cálculo da resistência com um valor de temper-atura próximo do nominal, e após determinar a temperatura real do condutor, realizar a correção.

Para uma conguração de feixe de condutores, a resistência será dividida pelo número de cabosem cada fase.

A tabela 3.1 exemplica a resistividade dos materiais usados em linhas de transmissão, bemcomo outros parâmetros relevantes para o projeto.

Table 2.1: Características físicas de alguns materiais.CondutividadeIACS (%)

Resistividade(W·mm2/m)

Coeciente de variação daresistência (−1)

Massaespecíca(g/cm3)

Alumínio 1350 61,0 0,028264 0,00403 2,705Alumínio liga 6201 52,5 0,032840 0,00347 2,690Cobre duro comercial 97,0 0,017775 0,00381 8,89Cobre padrão IACS 100,0 0,017241 0,00393 8,89Aço - 0,17 - 7,9

Observa-se que apesar do cobre possuir uma condutividade mais favorável, sua massa e preço(da ordem de 4× mais caro) inviabilizam a aplicação em linhas de transmissão.

2.1.1.1 Variação com a temperatura

Para o uso preciso da resistência, particularmente no cálculo das perdas, deve-se realizar a correçãopela temperatura. Este cálculo pode se tornar complicado, considerando que a resistência iráinuenciar a corrente, que por sua vez irá ditar a temperatura do condutor, juntamente comoutros fatores, alem dos cabos geralmente serem compostos por dois materiais.

Em geral os fabricantes fornecem os valores de resistência (CA ou CC) para alguns valores detemperatura. Atente em utilizar uma resistência para uma temperatura próxima às condições deoperação.

A tabela 3.2 ilustra alguns valores de resistência CA e CC para alguns cabos.

Table 2.2: Exemplos de alguns cabos comerciaisTipo Denominação Bitola

(MCM)Seção transversal

total (mm²)Diâmetro(mm)

Resistência CC(W/km 20)

Resistência CA(W/km 75)

ACSR Hawk 477 280,85 21,78 0,1196 0,1435ACSR Grosbeak 636 322,3 25,16 0,0896 0,1075ACSR Rail 954 526,8 29,59 0,0597 0,0733ACSR Bittern 1272 726,4 34,16 0,0448 0,0558ACSR Thrasher 2312 1235,2 45,78 0,0248 0,0327AAC Sagebrusch 2250 1139,5 43,9 0,0255 0,034AAAC 1000 506,7 29,2 0,0661 0,0802

3Existem ainda outros fatores que inuenciam no cálculo da resistência, como por exemplo o efeito transfor-mador do núcleo de aço e o comprimento adicional devido à helicoidal dos os.


2.1.2 Indutância

A indutância é o efeito do campo magnético sobre um circuito, representado por exemplo pelalei de Faraday. Pode-se ter indutância própria, quando uma linha de corrente no condutor induzpotencial em outra seção do próprio condutor, ou indutância mútua, quando uma corrente em umcondutor externo induz este potencial.

Assim como as cargas elétricas, todas as correntes que não sejam constantes induzem potencialem qualquer elemento condutor, e se esse elemento fechar um circuito, surge a corrente induzida.Logo, uma linha pode induzir em cercas metálicas, cabos aterrados, encanamentos, etc.

A indução também dependerá se os elementos estiverem paralelos, então a indução será mínimase os condutores estiverem perpendiculares.

2.1.2.1 Premissas

Uma consideração, geralmente pouco evidenciada, é sobre a corrente: para que haja uma correnteelétrica em regime permanente, supõe-se que ela retorna para a sua fonte de energia (ou fecha osomatório, no caso de várias fontes, seguindo as Leis de Kirchho). Este retorno pode ser por umsegundo condutor ou pelo solo, fechando um laço de corrente.

O entendimento de laço de corrente é fundamental para a validade da lei de Ampére, quenos fornecerá a propriedade da indutância do circuito. Então, não faz sentido pensar em umcondutor singelo com uma corrente, pois a equação só fecha com uma corrente retornando emsentido contrário.

O cálculo da indutância em um condutor é dividido na sua parte interna e na parte externa.Em ambos, parte-se da lei de Ampére.

Para a indutância interna, como primeira aproximação um condutor com uma seção circular,com raio r, aonde atravessa uma corrente I distribuída uniformemente, obtém-se um valor con-stante de 0, 5 · 10−7 H/m [27]. A parcela da indutância externa é relacionada ao raio e a altura,unindo as parcelas:

Lii =µ0

2π

(1

4+ ln

2h

r

)(2.1.2)

sendo Lii a indutância própria do condutor i, com a soma do uxo magnético interno e externo, ro raio do condutor, h a altura e a permeabilidade magnética do ar µ0 = 4π · 10−7 H/m.

Observando que o cabo não possui altura constante, contendo a forma de uma catenária. Pode-se usar sem problemas uma altura média hm, calculada de duas formas:

hm = ht −2

3f = hv +

1

3f (2.1.3)

sendo aqui ht a altura do cabo na torre, hv a altura do cabo no meio do vão e f a echa, sendoessa fórmula relativa a um vão nivelado [4].

Usualmente a equação (2.1.2) é manipulada da forma:

Lii =µ0

2π

(ln e

14 + ln

2h

r

)(2.1.4)

Lii =µ0

2πln

2h

r e14

(2.1.5)

Lii =µ0

2πln

2h

r′(2.1.6)

A variável r′ corresponde ao raio equivalente do condutor ao se considerar a parte interna douxo [27, p. 52], para um cabo de alumínio, a permeabilidade é igual ao do ar, no qual µ = µ0,r′ = r e−1/4 ∼= 0, 7788r. Para cabos com permeabilidade superior a µ0, como o aço4, r′ = r e−

µr4 ,

no qual µr a permeabilidade relativa do condutor, µr = µ/µ0.O uxo externo será inuenciado pela permeabilidade do ar, igual a µ0.

4Na referência [19] obtém-se para aço usado no núcleo de cabos ACSR valores da ordem de µr ∼= 50, sendoplausível considerar essa valor para cabos para-raios.


2.1.3 Impedância mútua

A impedância mútua entre dois condutores é essencialmente a indutância, denida pelas distânciase a característica magnética do ar (as propriedades do condutor inuencia somente na indutânciainterna):

Lij =µ0

2πlnDij

dij(2.1.7)

sendo Dij a distância do condutor i a imagem do condutor j, e dij a distância do condutor i parao condutor j.

O exemplo de um cabo Rail (∅29, 59 mm, composto essencialmente de alumínio, µ = µ0),a uma altura de 20 m, sua indutância própria será

Laa =µ0

2πln

2h

r′= 2 · 10−7 ln

2 · 200,02959/2 · 0, 7788

= 1, 6305 · 10−6 H/m

A indutância mútua entre dois cabos, dispostos na horizontal a uma distância de 8 m, será

Lab =µ0

2πlnDab

dab= 2 · 10−7 ln

√402 + 82

8= 1, 981 · 10−7 H/m

Dois cabos de alumínio, com 1 cm de raio, 30 m de altura e separados a 10 m, possuemuma impedância mútua Zm. Calcule a variação percentual de Zm ao (a) aproximar os cabospara 5 m, (b) abaixar os cabos para 10 m de altura.

A impedância mútua é proporcional às distâncias, real e imagem, e o raio não inuenciano resultado:

Zm ∝ lnDij

dij

Fazendo a conta somente com o logaritmo, na condição inicial:

Dij =√

102 + 602 = 60, 8

dij = 10

Zm ∝ 1, 8055

Na condição (a), Zm(a) ∝ ln√52+602

5 = 2, 4884, um aumento de 1− 2,48841,8055 = 37, 8%.

Na condição (b), Zm(b) ∝ ln√102+202

10 = 0, 8047, uma redução de 1− 0,80471,8055 = 55, 4%.

2.1.4 Distância média geométrica e raio médio geométrico

Chama-se DMG a distancia média geométria, que neste caso será aplicado às distâncias entrecondutores. Quando trata-se de condutores de uma mesma fase, ou feixe de condutores, também échamado de raio médio geométrico (RMG ou GMR), que neste caso irá representar um condutorequivalente para aspectos de indutância e capacitância.

Para n condutores arrumados em posições genéricas, o RMG será igual a

RMG = n2

√√√√ n∏i=1

n∏j=1

dij = n2√

(d11 d12 · · · d1n)(d21 d22 . . . d2n) · · · (dn1 dn2 · · · dnn) (2.1.8)

sendo dii o raio do condutor i, com a correção da impedância interna, r′i, e dij a distância entre oscondutores i e j.

Para feixes regulares, ou seja, condutores formados em polígonos de lado d, o RMG do feixeserá

RMG2 =√r′ d (2.1.9a)

RMG3 =3√r′ d2 (2.1.9b)

RMG4 = 1, 094√r′ d3 (2.1.9c)


no qual RMG2, RMG3 e RMG4 são os RMGs para feixes de 2, 3 e 4 condutores em feixes regulares.A equação para um feixe de N condutores, espaçados igualmente em uma circunferência de raio Ré denida por

RMG =N√r N RN−1 (2.1.10)

Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporado na impedância. Logoteremos um RMG para o cálculo da impedância e um RMG para a admitância. Por exemplo, paraum feixe de 4 condutores, teremos

RMGZ4 = 1, 094√r′ d3 (2.1.11a)

RMGY4 = 1, 094√r d3 (2.1.11b)

Denindo como M a matriz característica da geometria da linha, também chamada de matrizde coeciente de potenciais:

L =µ

2πMZ (2.1.12)

sendo

MZii = ln2hir′i

(2.1.13a)

MZij = lnDij

dij(2.1.13b)

E a matriz impedância será

Z = R I + j ωL = R I + j ωµ

2πMZ (2.1.14)

abrindo os termos das matrizes:

Z =

R 0 00 R 00 0 R

+ j ωµ

2π

ln 2har′a

ln Dabdab

ln Dacdac

ln Dbadba

ln 2hbr′b

ln Dbcdbc

ln Dcadca

ln Dcbdcb

ln 2hcr′c

(2.1.15)

Sendo R a resistência de cada condutor, considerando iguais, e I a matriz identidade (nãohaverá resistência mútua). Observar que, para feixes de condutores, dividir a resistência individualpelo número de condutores e trocar ri por RMGi.

Seguindo como exemplo completo a linha de 500 kV raquete, cujo perl é ilustrado nagura 2.2, este exemplo faremos o cálculo completo dos parâmetros, começando pela impedân-cia conforme acabou de se mostrar neste capítulo.

A LT possui feixes de 4 cabos Rail, cujos parâmetros relevantes já foram levantados noexemplos anteriores, com echa de 16 m, e o feixe é um quadrado de 45,7 cm, correspondenteao padrão comercial de 18. Os cabos pára-raios também estão ilustrados na gura, mas porora não serão considerados.

A resistência do feixe (considerando temperatura de operação de 75) será 0,07334 =

0, 018325 W/km. Para a indutância, primeiramente calcula-se o RMG:

RMG = 1, 09 4

√(0, 02959

2· 0, 7788

)0, 4573 = 0, 1985 m

Utiliza-se também as altura médias dos cabos: a fase central está a 34− 2·163 = 23, 33 m, e as

fases laterais estão a 28− 2·163 = 17, 33 m.

Calculando agora as parcelas geométricas referentes às indutâncias próprias para cada fase,usando a convenção de (a,b,c) para enumerar as fases, sendo (b) a fase central:

Maa = ln2 · 17, 33

0, 1985= 5, 16277

Mbb = ln2 · 23, 33

0, 1985= 5, 46002

Mcc = Maa


fazendo agora as parcelas referentes às indutâncias mútuas,

Mab = ln

√52 + (23, 33 + 17, 33)2√52 + (23, 33− 17, 33)2

= 1, 65731

Mbc = Mab

Mac = ln

√(2 · 5)2 + (2 · 17, 33)2

2 · 5= 1, 28298

Podendo ser diretamente inseridos em um programa, provendo um vetor de co-ordenadas x e h, implementa-se na forma dij = sqrt[(xi − xj)

2 + (hi + hj)2],

Dij = sqrt[(xi − xj)2 + (hi − hj)

2] e Mij = log[Dij/dij], lembrando da convenção dafunção log[x] em geral ser o logaritmo natural, ln(x).

A matriz M será então

M =

5, 1627716 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 4600231 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1627716

obtém-se a matriz indutãncia L multiplicando M por µ0

2π , e na sequência a matriz Z multipli-cando L por j ω e somando a matriz R, que é uma matriz diagonal com as resistências dosfeixes. Resumindo, tem-se:

Z =R + j ωµ0

2πM

=

0, 018325 + j0, 3892730 j0, 1249613 j0, 0967367j0, 1249613 0, 018325 + j0, 4116857 j0, 1249613j0, 0967367 j0, 1249613 0, 018325 + j0, 3892730

W/km

observando atentamente ao expressar ou calcular os valores em W/m ou W/km.

34

28

5

4 × RAIL (Ø 29,59 mm)

0,457

Figure 2.2: Exemplo de perl de LT.


2.1.5 Capacitância e admitância transversal

A capacitância da linha também será denida a partir de sua geometria5. Partindo do exemploteórico de um cabo singelo polarizado com um potencial V em relação ao solo, este cabo terá umacapacitância em função do seu raio e da sua altura:

V =q

2πε0ln

2h

r(2.1.16)

C =q

V= 2π ε0

(ln

2h

r

)−1(2.1.17)

generalizando para uma linha com n condutores, desenvolve-se um relação geométrica descritapor uma matriz MY, similar a MZ:

C = 2π ε0 MY−1 (2.1.18)

No qual ε0 a permissividade do ar, igual a 8, 85 · 10−12 F/m. Aqui não há capacitância interna,logo não há correção do raio dos condutores, como visto na equação 2.1.6, mas o termo referenteà mútua é rigorosamente igual:

MY ii = ln2hiri

(2.1.19a)

MY ij = lnDij

dij(2.1.19b)

Ao inverter-se a matrizMY, observa-se a formação de termos negativos fora da diagonal, devidoao processo de polarização: uma carga de polaridade positiva em uma fase irá provocar cargas depolaridade negativa nas outras fases.

A admitância é denida por:Y = G + j ωC (2.1.20)

Desconsiderando a parcela de condutância, obtém-se a forma usual da admitância para linhas CA:

Y = j ωC (2.1.21)

Seguindo o exemplo anterior, para o cálculo da admitância, pode-se aproveitar parcialmentea matriz M, recalculando a diagonal considerando o raio real dos cabos. Primeiramente, oRMG:

RMG = 1, 09 4

√(0, 02959

2

)0, 4573 = 0, 2113 m

e os elementos próprios da matriz:

Maa = ln2 · 17, 33

0, 2113= 5, 10027

Mbb = ln2 · 23, 33

0, 2113= 5, 39752

Mcc = Maa

tem-se assim a matriz M e a sua inversa:

M =

5, 1002713 1, 6573122 1, 28298041, 6573122 5, 3975229 1, 65731221, 2829804 1, 6573122 5, 1002713

M−1 =

0, 224171 −0, 0572269 −0, 0377949−0, 0572269 0, 2204133 −0, 0572269−0, 0377949 −0, 0572269 0, 224171

5Em [27, p. 72] desenvolve-se a teoria da capacitância em LTs, mas com a aproximação em unir todas as fases

em uma distância média geométrica.


obtendo-se a matriz de capacitância C multiplicando por 2π ε0, e a admitância multiplicandopor j ω, calculando diretamente:

Y = j ω 2π ε0 M−1

=

j4, 6994162 −j1, 1996776 −j0, 7923144−j1, 1996776 j4, 6206408 −j1, 1996776−j0, 7923144 −j1, 1996776 j4, 6994162

µS/km

Aqui novamente para evitar o uso de um expoente, no caso 10−9 [S/m], optou-se emexpressar os valores utilizando múltiplos e submúltiplos das unidades.

2.1.6 Efeito da transposição

Para obter um equilíbrio nos parâmetros da linha, as fases são trocadas de posição em algunspontos da linha. Matematicamente, sera equivalente a trocar linhas nas matrizes Z e Y. Seja asmatrizes Z(1), Z(2) e Z(3) referentes a três trechos:

Z(1) =

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

(2.1.22)

Z(2) =

Zbb Zbc ZbaZcb Zcc ZcaZab Zac Zaa

(2.1.23)

Z(3) =

Zcc Zca ZcbZac Zaa ZabZbc Zba Zbb

(2.1.24)

Sendo uma transposição ideal (no caso de uma linha de circuito simples, dividida em trêstrechos de mesmo comprimento), pode-se supor um desempenho equivalente da linha em umamatriz média6:

Z =1

3

(Z(1) + Z(2) + Z(3)

)=

1

3

Zaa + Zbb + Zcc Zab + Zbc + Zca Zac + Zba + ZcbZba + Zcb + Zac Zbb + Zcc + Zaa Zbc + Zca + ZabZca + Zab + Zbc Zcb + Zac + Zba Zcc + Zaa + Zbb

(2.1.25)

Podemos denir um termo de impedância própria:

Zp =1

3(Zaa + Zbb + Zcc) (2.1.26a)

e considerando que temos uma simetria do tipo Zij = Zji, um termo de impedância mútua

Zm =1

3(Zab + Zbc + Zca) (2.1.26b)

a matriz de uma linha idealmente transposta é igual a

Z =

Zp Zm ZmZm Zp ZmZm Zm Zp

(2.1.27)

Para a matriz admitância, segue-se a mesma metodologia:

Y =

Yp Ym YmYm Yp YmYm Ym Yp

(2.1.28)

6Aqui cabe uma observação, no qual a maioria dos estudos acaba equivocando-se: uma linha transposta pode serconsiderar com parâmetros médios quando sendo tratada "por inteira". Estudos como de faltas no meio da linhaacaba dividindo o problema em duas linhas parcialmente transpostas! O erro adquirido, de uma linha ser assumidacomo transposta, é pequeno, mas atenta-se que um cálculo mais preciso merece um modelo não transposto.


sendo

Yp =1

3(Yaa + Ybb + Ycc) (2.1.29a)

Ym =1

3(Yab + Ybc + Yca) (2.1.29b)

Continuando nosso exemplo, obtém-se:

Zp = 0, 018325 + j0, 3967439 W/km

Zm = j0, 115553 W/km

Yp = j4, 6731578 µS/km

Ym = −j1, 0638899 µS/km

2.2 Desempenho elétrico de uma linha de transmissão

2.2.1 Representação em componentes simétricas

O método de componentes simétricas é utilizado em sistemas trifásicos equilibrados ou desequi-librados, de forma a decompor o estudo em três circuitos monofásicos, no qual seus equivalentesThévenin podem ser combinados no estudo de regime permanente, faltas e defeitos em geral. Nestaseção apresenta-se como representar uma linha de transmissão neste sistema. Maiores detalhes so-bre esta metodologia podem ser encontrado, por exemplo, em [11, 27].

Para a transformação linear da matriz Z, dita em coordenadas de fase, para o sistema decoordenadas de modo, ou componentes simétricas, utiliza-se a matriz A, denida por

A =

1 1 11 a2 a1 a a2

(2.2.1)

no qual a = 1 120° e a2 = 1 −120°, obtem-se a matriz de impedâncias em coordenadas de modo,Z012. Se as matrizes Z e Y corresponderem a uma linha de transmissão idealmente transposta,obtem-se as matrizes Z012 e Y012 somente com termos na diagonal:

Z012 = A−1 ZA =

Z0 0 00 Z1 00 0 Z2

=

Zp + 2Zm 0 00 Zp − Zm 00 0 Zp − Zm

(2.2.2)

Y012 = A−1 YA =

Y0 0 00 Y1 00 0 Y2

=

Ys + 2Ym 0 00 Ys − Ym 00 0 Ys − Ym

(2.2.3)

Para estudos de uxo de potência em regime permanente, ou estudo de faltas simétricas, utiliza-se somente os parâmetros de sequência positiva:

Z1 = Zp − Zm (2.2.4a)

Y1 = Yp − Ym (2.2.4b)

correspondentes ao elemento na posição (2,2) da matriz. Destes parâmetros que se obtém aimpedância característica Zc e a constante de propagação γ, vistos a seguir.

2.2. DESEMPENHO ELÉTRICO DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO 17

2.2.2 Impedância característica

A impedância característica7 é denida como o balanço entre os campos elétrico e magnético dalinha, no qual uma carga resistiva neste valor terá a maior eciência de absorção de um pulso,também dito como casamento de impedância. É um parâmetro em comum como outros tipos delinha de transmissão (em RF, microondas, coaxial ou microstrip, etc).

É calculada pelos parâmetros de sequência positiva Z1 e Y1, simplicados aqui em diante comoZ e Y :

Zc =

√Z

Y(2.2.5)

sendo

Z = R+ j Xl = R+ j ω L (2.2.6a)

Y = j Bc = j ω C (2.2.6b)

os equivalentes monofásicos para um estudo em regime permanente8, cuja premissa é detalhada naseção 2.7.2.

Usualmente representa-se somente a parte real de Zc, correspondendo então a uma linha semperdas. Porém, deve-se usar o cálculo preciso de Zc ao se aplicar às fórmulas de linha longa, naseção 2.2.6.

Ao considerar a linha com perda desprezível (retirando R), a impedância característica seráaproximadamente

Zc ∼=√Xl

Bc∼=√L

C(2.2.7)

sendo assim um número real e, aproximadamente, independente da frequência.

2.2.3 Parâmetros de propagação

A constante de propagação demonstra a deformação da onda ao longo da linha. É denida como

γ =√Y Z =

√(R+ j ω L)j ωC (2.2.8)

sendo sua unidade em m−1. A constante de propagação pode ser desmembrada na forma γ =α + j β, sendo α a constante de atenuação (em Neper/m) e β a constante de fase (em rad/m).Pode-se então obter o comprimento de onda da linha λ:

λ =2π

β(2.2.9)

Considerando a linha aproximadamente sem perdas, γ possuirá somente a constante de fase β:

γ ∼=√j ω L j ω C = j ω

√LC (2.2.10a)

β ∼= ω√LC (2.2.10b)

e este parâmetro, para linhas aéreas, independente do nível de tensão, será aproximadamente iguala 0,0013 rad/km. Para cabos, este valor pode variar entre 0,0046 a 0,0091 rad/km.

Outro parâmetro representativo da linha é o seu comprimento elétrico, ou ângulo de linha:

θ = β l (2.2.11)

que indica a defasagem natural que ocorrerá na transmissão, mesmo que se considere a linha comosem perdas. Este fato é devido ao princípio de circuito distribuído, ou que a energia transmitidapossui velocidade nita de propagação. Por exemplo, uma linha aérea de 300 km terá um ângulode 0,39 rad, ou 22,34°.

A velocidade de propagação na linha para um onda de frequência f é calculada por v = λ f , econsiderando a aproximação de linha sem perdas, torna-se

v =1√LC

(2.2.12)

sendo assim independente da frequência, e é muito importante no estudo de surtos rápidos (entre100 kHz e 1 MHz). Observa-se que a velocidade de propagação é da ordem, mas nunca igual ousuperior, a velocidade da luz no vácuo.

O estudo de propagação de ondas viajantes é abordado por exemplo em [11, p. 222] e [27, p.120]

7Em inglês referenciado como surge impedance, ou impedância de surto.8Para estudos em componentes simétricas, pode-se deduzir os equivalentes para sequência negativa e zero, Zc2 e

Zc0 respectivamente, que são aplicáveis em estudos de transitórios.


2.2.4 Potência característica

A potência característica Pc é a potência entregue pela linha para um carga resistiva, com valorigual à impedância característica. Para linhas longas, é um critério adequado para estimar a suacapacidade de transmissão. É denida por:

Pc =U20

Zc(2.2.13)

sendo U0 a tensão média ao longo da linha, ou seja, consegue-se elevar a capacidade de transmissão,mas sacricando a conabilidade (incluindo sobretensões) e elevando perdas corona.

Mantendo a consideração de linha sem perdas, a potência característica será um número real,ou seja, expresso em W. Mesmo para uma linha com perdas, é usual expressar somente a partereal.

Para nosso exemplo, para sequência positiva,

Z1 = 0, 018325 + j0, 2811908 W/km

Y1 = j5, 7370477 µS/km

e em seguida

Zc = 221, 506− j7, 2100622 W

γ = (0, 0413645 + j1, 2707934) · 10−6 Np/m

Quando a LT é calculada sem perdas (sem considerar a resistência), Zc será um númeroreal e γ um número imaginário.

Considerando como uma LT de 500 kV, considerando somente a parte real de Zc, a potênciacaracterística será 1129 MW. Se apertar a tensão média para 525 kV, a potência eleva-separa 1244 MW.

2.2.5 Reativo transversal de linha

Um parâmetro relevante é o reativo capacitivo que uma linha possui, também chamado de line

charging. Pode ser calculado aproximadamente multiplicando a susceptância pelo quadrado datensão de operação:

Qc = V 2Bc (2.2.14)

Sendo usualmente representado em Mvar/km.

Para nosso exemplo, sendo Bc = 5, 7370477 · 10−9 S/m, obtém-se 1,4343 kvar/m, queequivale a 1,4343 Mvar/km.

Observe que esta premissa supõe que o perl de tensão ao longo da linha é constante, oque não é realista - observe por exemplo o efeito Ferranti, que eleva a tensão na extremidadeem aberto, fora outras condições operacionais no qual o ponto de tensão mais elevada podeser no meio da linha!

2.2.6 Modelo de circuito

O equivalente monofásico (modelo π) será composto pela impedância Z1 em série e a admitânciaY1 dividida em duas, em cada extremidade. Para linhas curtas (até 200 km), multiplica-se aimpedância pelo comprimento da linha:

Ze = Z l (2.2.15)

Ye2 =Y l

2(2.2.16)

2.2. DESEMPENHO ELÉTRICO DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO 19

Acima de 200 km, o efeito da propagação torna-se mais evidente, necessitando realizar umacorreção hiperbólica:

Ze = Zc sinh γ l (2.2.17)

Ye2 =1

Zctanh

γ l

2(2.2.18)

no qual Ye2 já é a metade da admitância da linha. Naturalmente pode-se usar a formulação delinha longa direto para linhas curtas. Observa-se também que Zc e γ devem ser os valores precisos,considerando as perdas, para obter-se os valores corretos de Ze e Ye2.

Ze

Ye2 Ye2

I1

V1

I2

V2

Figure 2.3: Representação por equivalente pi, com as convenções de tensões e correntes.

Não confunda modelo de linha com a própria linha.O modelo de linha longo serve pra calcular linhas curtas e linhas longas, ou seja, existe

uma mal interpretação que cada comprimento possui um modelo! Somente o modelo de linhacurta que não se adequa a linhas longas.

Os parâmetros Ze e Ye2 são os valores a serem usados para um estudo de redes em equivalentemonofásico, utilizando por exemplo equivalente Thévenin e matriz Ybarra.

Eventualmente, para diferenciar dentro de um mesmo problema, pode-se usar a convençãode letras minúsculas para parâmetros por unidade de comprimento (z em W/m, y em S/m)e letras maiúsculas para parâmetros totais (Z em W e Y em S). Novamente, mesmo sendonúmeros complexos, suprimiu-se o ponto (sendo correto Z).

Para o nosso exemplo, supondo uma linha de 300 km, obtém-se

Ze = 5, 2343219 + j82, 339206 W

Ye2 = 0, 6986822 + j871, 12182 µS

Se usarmos a consideração da LT sem perdas, as correção hiperbólica pode ser feita commaior facilidade:

Ze = 221, 5 sinh(j1, 2707936 · 10−6 · 300 · 103

)= 221, 5j sin(0, 381238) = j82, 415911 W

Ye2 =1

221, 5tanh

(j1, 2707936 · 10−6

300 · 103

2

)=

1

221, 5j tan(0, 190619) = j871, 13386 µS


As guras 2.4 e 2.5 demonstram a diferença da correção hiperbólica para o modelo linearpara este exemplo, até o comprimento de 2500 km. Observa-se que para um cero comprimentoa reatância se anula e a admitância tende ao innito, ou seja a linha torna-se auto-compensada!

500 1000 1500 2000l @kmD

100

200

300

400

500

600

XL @WD

Figure 2.4: Modelo linear e correção hiperbólica da parte imaginária de Ze

500 1000 1500 2000l @kmD

5

10

15

BC @mSD

Figure 2.5: Modelo linear e correção hiperbólica da parte imaginária de Ye2

2.3 Limites de transmissão

Como todo equipamento, uma linha tem limites operativos, que podem ser considerados pararegime permanente ou transitório. Por exemplo, para uma situação hipotética de curto-circuito,a linha pode suportar o dobro de corrente nominal, ou no caso de um surto originado por umadescarga atmosférica, o isolamento tolera mais que o dobro de tensão nominal9.

9O estudo de sobretensões trata pelo valor de crista (ou pico) e fase-neutro, em vez do valor ecaz (RMS)

fase-fase, ou seja, uma diferença de√

2√3

2.3. LIMITES DE TRANSMISSÃO 21

Nesta apostila primeiramente será tratado os limites para condição nominal. Uma relaçãoconhecida por Curva de St. Clair é ilustrada na gura 2.6, o que indica a capacidade de transmissãoda linha igual a potência característica (SIL) para um comprimento de 300 milhas.

Figure 2.6: Curvas de St. Clair [25]

Os limites da linha que norteam este gráco, são divididos em três critérios, cada um válidopara um comprimento.

2.3.1 Limite térmico

O limite térmico é determinante para linhas curtas (até 40 km). Consiste em dois efeitos: oaumento da echa nos cabos, reduzindo as distâncias de segurança com o solo ou outros objetos; ea degradação do metal. Em ambos os casos, os limites praticados podem ser encontrados na norma[2], e os estudos são tratados na apostila de cálculo mecânico [4] ou em livros como [16].

2.3.2 Limite de regulação

Vs = 1 pu

Srl

Vr

Figure 2.7: Exemplo sobre limite de transmissão.


2.3.3 Limite de estabilidade

2.4 Modelo do quadripolo

Um quadripolo relaciona dois pares de grandezas elétricas, tensões e correntes, associados a doisbipolos, um de entrada e outro de saída. O quadripolo é uma alternativa aos modelos convencionaisde circuitos, aonde pela aproximação que duas grandezas são variantes, determina-se o outro parde grandezas.

O modelo de quadripolo de parâmetros generalizados, ou ABCD, relaciona tensão e correntede entrada, V1 e I1, com tensão e corrente de saída, V2 e I2, em um modelo monofásico, no qualas tensões aplicadas são as fase-neutro. A gura 2.3 mostra a convenção de tensões e correntes.Usando a convenção da corrente I1 entrando no quadripolo e a corrente I2 saindo:

V1 = AV2 +B I2 (2.4.1a)

I1 = C V2 +D I2 (2.4.1b)[V1I1

]= T

[V2I2

]=

[A BC D

] [V2I2

](2.4.2)

2.4.1 Modelo de linha curta

Desenvolvendo a relação entre entrada e saída, para linhas curtas, teremos

V1 =

(V2Y

2+ I2

)Z + V2 (2.4.3a)

V1 =

(Z Y

2+ 1

)V2 + Z I2 (2.4.3b)

I1 = V1Y

2+ V2

Y

2+ I2 (2.4.4a)

I1 = V2 Y

(1 +

Z Y

4

)+

(Z Y

2+ 1

)I2 (2.4.4b)

Comparando com as equações (2.4.1), temos como parâmetros

A =Z Y

2+ 1 (2.4.5a)

B = Z (2.4.5b)

C = Y

(1 +

Z Y

4

)(2.4.5c)

D = A (2.4.5d)

sendo a propriedade AD −BC = 1, representativa de um quadripolo simétrico.

2.4.2 Modelo de linha longa

Para linhas longas, desenvolve-se as equações a partir da teoria do eletromagnetismo [11, p. 211],chegando na forma:

V1 = V2 cosh(γ l) + I2 Zc sinh(γ l) (2.4.6a)

I1 = I2 cosh(γ l) +V2Zc

sinh(γ l) (2.4.6b)

sendo então os parâmetros do quadripolo:

A = cosh(γ l) (2.4.7a)

B = Zc sinh(γ l) (2.4.7b)

C =1

Zcsinh(γ l) (2.4.7c)

D = A (2.4.7d)

2.4. MODELO DO QUADRIPOLO 23

sendo o modelo de linhas longas também é válido para o cálculo de linhas curtas.Do modelo do quadripolo é que pode-se calcular o circuito π equivalente da linha longa. Con-

siderando o mesmo circuito da gura 2.3, a partir das equações (2.4.3), trocando Z por Ze e Y porYe:

V1 =

(Ze Ye

2+ 1

)V2 + Ze I2 (2.4.8)

Obtemos aqui

Ze = Zc sinh(γ l) (2.4.9)

para a admitância

Ze Ye2

+ 1 = cosh(γ l) (2.4.10)

Ye Zc sinh(γ l)

2+ 1 = cosh(γ l) (2.4.11)

Ye2

=1

Zc

cosh(γ l)− 1

sinh(γ l)(2.4.12)

aproveitando-se de uma relação hiperbólica:

tanhx

2=

coshx− 1

sinhx(2.4.13)

chegamos à relação apresentada na equação (2.2.17):

Ye2

=1

Zctanh

γ l

2(2.4.14)

O modelo por quadripolo ABCD é apropriado quando se fornece a tensão e a corrente noreceptor (V2 e I2). Para uma potência aparente trifásica S2 = S φ, pode se arbitrar uma tensãodesejada U0 e calcular a corrente:

V2 =U0√

3(2.4.15a)

I2 =S2

U0

√3−φ (2.4.15b)

podendo por exemplo escolher U0 a tensão nominal da linha, sendo que no quadripolo a tensãodeve ser fase-terra, e S2 = Pc, a potência característica. Outras opções são arbitrar uma condiçãode sobrecarga, curto-circuito (V2 = 0) ou circuito aberto (I2 = 0).

Exemplo: seja o quadripolo representativo de uma linha de transmissão, denido por

A = D = 0, 9672 0, 23°

B = 75, 15 83, 2° W

C = j8, 633 · 10−4 S

Calcule as perdas na linha para uma saída com 400 MW, 345 kV.Solução:

V2 =345√

3kV I2 = 669, 39 A

Fazendo a operação matricial, os valores em módulo são

V1 = 204, 98√

3 = 355, 04 kV I1 = 670, 55 A

A potência aparente será S1 = (412, 32 − j5, 48) MVA, subtraindo as partes reais, ∆P =12, 32 MW.


Algumas relações trigonométricas úteis:

sinh jβ = j sinβ

cosh jβ = cosβ

tanh jβ = j tanβ

sinhα = −j sin jα

coshα = cos jα

tanhα = −j tan jα

sinh(α+ jβ) = sinhα cosβ + j coshα sinβ

cosh(α+ jβ) = coshα cosβ + j sinhα sinβ

Lembrando sempre de considerar os valores em radianos.

2.4.3 Associação em cascata

Através da teoria dos quadripolos, pode-se estudar a associação de linhas em cascata. Sendo doisquadripolos Q1 e Q2, a associação em série será igual a Q = Q1 ·Q2, ou:[

V1I1

]=

[A1 B1

C1 D1

]·[A2 B2

C2 D2

] [V2I2

]= (2.4.16)

=

[A1A2 +B1C2 A1B2 +B1D2

C1A2 +D1C2 C1B2 +D1D2

] [V2I2

]sendo que a ordem dos circuitos é relevante, logo a associação Q′ = Q2 · Q1. De maneira geral,Q 6= Q′.

A associação em cascata pode ser usada para calcular o quadripolo equivalente de uma LT comcompensação.

Ex. seja uma linha com parâmetros por unidade de comprimento de z = j0, 34 W/km,y = j4, 8 µS/km, (a) calcule o quadripolo para um comprimento de 600 km, obtendo osparâmetros de entrada para uma saida de 750 kV, 2 GW, (b) divida a linha em dois quadripolosde 300 km, obtendo o quadripolo equivalente, vericando com a resposta em (a), (c) calculeos parâmetros no meio da linha a partir dos calculos em (b). (d) divida agora a linha em 10segmentos e levante o perl de tensão para diversas condições operacionais (em vazio, carganominal, em sobrecarga).

Solução: para todas as etapas, será necessário calcular a impedância característica e aconstante de propagação:

Zc = 266, 1453W

γ = j1, 2775 · 10−3 Np/km

(a) para 600 km, o quadripolo será

A = 0, 7203

B = j184, 6W

C = j2, 606 · 10−3 S

(b) para 300 km, obtém-se

A = 0, 9275

B = j99, 52W

C = j1, 405 · 10−3 S

(c) resolvendo pelo Matlab, tendo previamente os valores de (b) na memória:

>> q300 = [a b; c a]

2.4. MODELO DO QUADRIPOLO 25

q300 =

0.9275 + 0.0000i 0.0000 +99.5213i

0.0000 + 0.0014i 0.9275 + 0.0000i

>> q600 = q300 * q300

q600 =

1.0e+02 *

0.0072 + 0.0000i 0.0000 + 1.8460i

0.0000 + 0.0000i 0.0072 + 0.0000i

Pelo Matlab pode-se elevar ao quadrado, obtendo o mesmo resultado (Sempre consulte omanual do programa para constatar se uma dada função é por elemento ou é uma operaçãomatricial, por exemplo, pelo Matlab há uma diferença entre ^ e .^ (com ponto).):

>> q300 ^ 2

ans =

1.0e+02 *

0.0072 + 0.0000i 0.0000 + 1.8460i

0.0000 + 0.0000i 0.0072 + 0.0000i

Extraindo cada elemento da matriz, A na posição (1,1), B na posição (1,2), C na posição (2,1):

>> q600(1,1)

ans =

0.7203

>> q600(1,2)

ans =

0.0000e+00 + 1.8460e+02i

>> q600(2,1)*1e3

ans =

0.0000 + 2.6062i

Calculando a tensão no meio da linha, a partir da saída:

V2 =750 · 103√

3= 433, 0 kV

I2 =2 · 109

750 · 103√

3= 1539, 6 A

Aplicando o quadripolo de 300 km, encontra-se no meio da linha Vm = 744, 5 20, 88° kV,Im = 1552, 1 23, 07° A. Aplicando mais uma vez o quadripolo, encontra-se no início da linhaV1 = 730, 9 42, 34° kV, I1 = 1582, 2 45, 50° A.

(d) Calculando o quadripolo de uma seção de 60 km:

A = 0, 9971

B = j20, 38W

C = j2, 8772 · 10−4 S


Pode-se aplicar o seguinte script no Matlab:

z = 1i*0.34;

y = 1i*4.8e-6;

l = 60; % comprimento de uma secao

zc = sqrt(z / y);

gama = sqrt(z * y);

a = cosh(gama * l);

b = zc * sinh(gama * l);

c = 1/zc * sinh(gama * l);

q = [a b; c a];

v = zeros(11,1);

v(end) = 750e3 / sqrt(3);

i2 = 2e9/750e3/sqrt(3);

tmp = [v(end); i2];

for i1 = 10:-1:1,

tmp = q * tmp; % aproveita a variavel de entrada para a proxima iteracao

v(i1) = tmp(1); % pode-se extrair tambem a corrente, que esta em tmp(2)

end

plot(abs(v).*1e-3.*sqrt(3)); % dividindo por 1000 para achar em kV

ylabel('Tensao [kV]');

A gura 2.8 ilustra alguns exemplo de pers de tensão, em módulo, supondo a tensão desaída em 750 kV. Observa-se para uma condição de sobrecarga (4 GW) uma queda de tensãosignicante, e o efeito Ferranti para uma saída em vazio.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11500

600

700

800

900

1000

1100

1200

Ten

sao

[kV

]

P = 0P = 2 GWP = 4 GW

Figure 2.8: Exemplo de perl de tensão ao longo da linha, dividida em 10 seções, para uma saídaxa de 750 kV e diversas condições de carga.

2.5. MODELO DE FLUXO DE POTÊNCIA 27

2.4.4 Associação em paralelo

O quadripolo equivalente será dado por[V1I1

]=

[A1B2+A2B1

B1+B2

B1B2

B1+B2

C1 + C2 + (A1−A2)(D2−D1)B1+B2

B2D1+B1D2

B1+B2

] [V2I2

](2.4.17)

Se tratar de duas linhas idênticas,[V1I1

]=

[A B

22C+ D

] [V2I2

](2.4.18)

2.5 Modelo de uxo de potência

Para um estudo mais apurado, seria necessário inserir o modelo da LT no contexto de um sistemade transmissão, com barras geradoras e cargas, interagindo entre si. De forma simplicada, pode-searbitrar duas barras, aonde no modelo do quadripolo assume-se uma barra passiva, com tensão ecorrente conhecidos. Outra forma prática de estudar é assumir duas barras fortes´´, com tensõesdenidas, calculando-se as correntes e potências.

Seja uma linha conectando duas barras com tensões denidas, V1 e V2, cujo módulos e ângulosnão sejam alterados pela inserção da linha, a corrente entre as barras será determinada basicamentepela impedância longitudinal (usando tensão de fase), arbitrando o uxo da barra 1 para 2:

I =V1 − V2Z√

3(2.5.1)

sendo esta corrente que determinará as perdas e parte do reativo. Outra parte signicante do reativoestará na admitância, supondo esta concentrada em cada barra, obtém-se a corrente efetiva queentra ou sai de cada, I1 e I2:

I1 = I + IY 2 (2.5.2a)

I2 = I − IY 2 (2.5.2b)

Exemplo: Calcule a potência transmitida e perdas em uma LT, 345 kV, impedância totalde 6 + j50 W, as barras com tensões (fase-fase) V1 = 345 0° kV e V2 = 320 −10° kV.

Solução: Lembrando em converter V1 e V2 para tensões fase-neutro, ou convertendo diretona equação:

I =V1 − V2Z√

3= 723, 32 −21, 4° A

Pode-se calcular a perda como ∆P = 3RI2 = 9, 4 MW.A potência transmitida pode ser calculada por S2 = 3 V2 I

∗ = (392, 93 + j79, 30) MVA.(sendo esse reativo somente pela parte do L da linha). Ou fazendo pela fórmula aproximada,

P =|V1| · |V2|

Xsin δ ∼= 383, 4 MW

2.6 Compensação de linhas

A compensação de reativo em uma linha consiste em balançar a impedância ou a admitância comcapacitores em série ou reatores em paralelo, respectivamente. No ponto de vista elétrico, o efeitoserá de encurtar a linha.

Cada tipo de compensação é especíca para uma condição da LT: a compensação série é es-pecíca para a condição de plena carga e a compensação shunt para a linha em vazio. Fora destascondições, a compensação torna-se um excesso de reativo, mas o seu chaveamento raramente éapropriado.

A solução é o uso de elementos de compensação ativa, seja reatores ou capacitores chaveadospor eletrônica, ou até elementos eletrônicos que controlam diretamente os reativos. Devido aocusto elevado destas soluções, pode-se também utilizar congurações mistas de elementos passivose ativos. Maiores detalhes podem ser encontrados em [15, p. 627].

Para linhas muito longas, a compensação é distribuída ao longo da linha, criando-se subestaçõesintermediárias.


2.6.1 Compensação série

Consiste em reduzir a reatância longitudinal da linha utilizando-se capacitores série, reduzindo aimpedância equivalente. O efeito será equivalente a um encurtamento elétrico, elevando a capaci-dade de transmissão.

Seja uma LT com uma impedância característica Zc no qual

Zc ∼=√L

C=

√Xl

Bc(2.6.1)

a compensação série será proporcional à reatância longitudinal, na forma

Xc = nsXl (2.6.2)

sendo ns o percentual de compensação série. Desenvolvendo, pode-se descrever a nova impedânciacaracterística na forma

Z ′c∼=√Xl −Xc

Bc= Zc

√1− ns (2.6.3)

juntamente com a constante de propagação

β′ ∼= β√

1− ns (2.6.4)

O uso de capacitores série deve ser feito cuidadosamente na proximidade de usinas, devido aoefeito de ressonância subsíncrona (ou SSR - subsynchronous ressonance).

Vantagens e desvantagens:

Aumenta a capacidade de transmissão

Compensa a indutância da linha (XL −XC)

Aproxima eletricamente as barras, aumentando a estabilidade

Eleva a tensão de uma linha carregada

Pode originar em ressonâncias sub-síncronas (SSR) com as máquinas geradoras, em geral emmáquinas térmicas.

Origina sobretensões violentas, sendo necessário uma proteção especíca (centelhadores, dis-juntor de bypass, pára-raios)

Equipamento pesado que encontra-se no potencial da linha, sendo necessário uma estruturagrande de sustentação.

Um desenvolvimento da tecnologia é o TCSC (Tyristor controlled Series Capacitor) no qual suacapacitância variável pode minimizar os problemas, principalmente de SSR.

Figure 2.9: Conguração de compensação série e TCSC

2.6.2 Compensação paralela (shunt)

A compensação em geral é especicada em um percentual relativo à impedância ou admitância dalinha. Pode-se, a grosso modo, subtrair as reatâncias da linha com a da compensação para obter oequivalente. Na prática, os módulos de compensação serão instalados nas extremidades da linha,dentro das subestações.

2.6. COMPENSAÇÃO DE LINHAS 29

2.6.3 Modelo de compensação por quadripolos

Um módulo de compensação série/ paralelo também pode ser modelado como circuito um comoum quadripolo. Um capacitor série Cs teria como parâmetros ABCD:

A = 1 (2.6.5a)

B =1

j ω Cs= −j nsXl (2.6.5b)

C = 0 (2.6.5c)

D = 1 (2.6.5d)

Um reator shunt Lp seria

A = 1 (2.6.6a)

B = 0 (2.6.6b)

C =1

j ω Lp= −j npBc (2.6.6c)

D = 1 (2.6.6d)

sendo np o percentual de compensação paralela.

Ze = R + j Xl

Ye = j Bc

I1

V1

I2

V2

- j Xc - j Xc

- j Bl- j Bl

Figure 2.10: Representação por quadripolo de compensação série e paralelo em cada extremidade.

Vendo como exemplo a gura 2.10, usando ambas as compensações, sendoQLT o quadripolooriginal da linha, Qc o quadripolo do capacitor série e Ql o quadripolo do reator shunt, oquadripolo equivalente será

Q = Qc ·Ql ·QLT ·Ql ·Qcrespeitando-se a ordem dos elementos do circuito.

Exemplo: Especique o banco de reatores (quantidade, tensão, potência, indutância eligação delta ou estrela), para uma compensação shunt de 30%, para uma linha de 345 kVcom equivalente de Z = 10 + j250 W, Y = j10 mS. Assuma que as unidades são monofásicas.

2.6.4 Compensação dinâmica

O projeto da compensação nunca contemplará todas as possibilidades operacionais, ou seja, osequipamentos estarão calibrados somente para uma condição, em geral na média. O uso de com-pensação variável permite elevar a eciência.

O chaveamento mecânico de elementos de compensação sempre é problemático, devido ao surg-imento de sobretensões. O uso de eletrônica de potência permite um chaveamento suave. Algumastecnologias são:


Static Var Compensator (SVC): Composto por um reator e um banco de capacitores, ambosem paralelo, controlados por tiristores.

Thyristor Controlled Series Capacitor (TCSC): Banco de capacitores série em paralelo comum reator, chaveado por tiristores.

Static Compensator (STATCOM):

Static Synchronous Series Compensator (SSSC)

A compensação dinâmica pode ser perfeitamente combinada com um banco de compensaçãoxa, otimizando os custos.

2.7 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo detalhado

Nesta seção apresenta-se um modelo que incorpora elementos adicionais, cuja inuência pode serdeterminante em certas condições e estudos.

2.7.1 Modelo de impedância própria, considerando efeito pelicular

A premissa de corrente uniforme na equação 2.1.6 é uma aproximação usual, porém pouco usada naprática. Para incorporar o efeito pelicular no cálculo da impedância interna, é necessário resolveruma equação diferencial [17], cujo resultado é igual a

Zi =j ω µ

2π ρ

I0(ρ)

I1(ρ)(2.7.1)

ρ = r√−j ω σ µ (2.7.2)

sendo I0 e I1 as funções de Bessel de primeira e segunda espécie10, σ a condutividade do material,e µ a permeabilidade magnética. Esta fórmula é válida para condutores de seção circular, e jáfornece diretamente a resistência e a reatância.

Para cabos compostos, pode-se desprezar o efeito do material do núcleo, considerando somenteo material da coroa. Um cálculo mais preciso considera o condutor como um tubo, conformedescrito no anexo B.0.3. O valor real da impedância própria será aproximadamente igual aosvalores encontrados em tabela.

Para a correção da resistência pela temperatura, ajusta-se a condutividade do material, sendonecessário conhecer o coeciente de variação α (não confundir com o coeciente de dilatação):

σf = σ0[1 + α(θ0 − θ)] (2.7.3)

sendo σ0 a condutividade de referência e θ0 a temperatura no qual a condutividade inicial se refere.O cálculo da matriz impedância será

Z =

Zia 0 00 Zib 00 0 Zic

+ j ωµ

2πM (2.7.4)

M =

ln 2hara

ln Dabdab

ln Dacdac

ln Dbadba

ln 2hbrb

ln Dbcdbc

ln Dcadca

ln Dcbdcb

ln 2hcrc

(2.7.5)

e não é mais necessário usar o raio corrigido r′, pois seu efeito está incluso nos elementos Zi, e amatriz M torna-se única para o cálculo da impedância e da admitância.

Para uma linha com feixe de condutores, a matriz impedância será formada por cada subcon-dutor. Por exemplo, uma linha trifásica com fases a, b e c, com cada feixe com n subcondutores:

Z =

Za11 Za12 Za1n Za1b1 · · · Za1c1 Za1cn

Za21 Za22 Za2n · · ·...

Zan1 Zan2 Zann

Zb1a1... Zb11 Zb1cn

.... . .

Zc1a1 Zc11Zcna1 · · · Zcnn

(2.7.6)

10Implementado no Matlab e Scilab como besseli(0,x) e besseli(1,x), respectivamente.

2.7. CÁLCULO DOS PARÂMETROS ELÉTRICOS - MODELO DETALHADO 31

observa-se que é considerado o efeito entre cada subcondutor, individualmente. Pode-se particionara matriz pelas fases, sendo cada submatriz com n× n elementos11:

Z =

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

(2.7.7)

no nal queremos reduzir esta matriz para um equivalente por fase, 3× 3.

2.7.2 Resistência, indutância e capacitância equivalente

O equivalente monofásico de sequência positiva pressupõe um circuito com resistência, indutânciae capacitância, que podem ser obtidos pela decomposição da impedância e da admitância:

Z1 = R1 + j ω L1 (2.7.8)

Y1 = j ω C1 (2.7.9)

sendo R1, L1 e C1 os equivalentes monofásicos - lembre-se que a linha é trifásica, com elementospróprios e mútuas.

A extração dos elementos de circuito pressupõe também que sua aplicação para outras faixasde frequência é linear - o que deve ser usado com precaução. Para uma gama de frequênciasdas primeiras harmônicas, o resultado é bem aceitável, porém para frequências acima de 10 kHza resistência terá um desvio considerável devido ao efeito pelicular, tornando-se comparável àreatância da linha12. A gura 2.11 ilustra um exemplo de linha com variação da resistência, parasequência positiva e zero, até 1 MHz.

O efeito é mais intenso quando se modela o circuito de sequência zero - particularmente com osparâmetros do solo. Este efeito irá se reetir na impedância característica, conforme gura 2.13.

Somente a capacitância equivalente, tanto em sequência positiva quanto zero, possui compor-tamento linear em uma ampla faixa de frequência (até 1 MHz).

10−2

10−1

100

101

102

103

104

105

106

10−1

100

101

102

Frequencia (Hz)

Res

iste

ncia

(Ω

/km

)

R0

R1

Figure 2.11: Exemplo de variação da resistência equivalente pela frequência.

11Não necessariamente cada fase tem que ter a mesma quantidade de subcondutores, por este método pode-se terqualquer possibilidade, só não é exposta uma forma totalmente genérica porque seria inovação em excesso...

12Alguns modelos, como do Matlab SimPowerSystems, a representação da linha é fundamentada na resistência eindutância equivalente, como dito em [18]: This model does not represent accurately the frequency dependence ofRLC parameters of real power lines. Indeed, because of the skin eects in the conductors and ground, the R andL matrices exhibit strong frequency dependence, causing an attenuation of the high frequencies. Um artigo [24]propõe um modelo mais completo.


10−2

10−1

100

101

102

103

104

105

106

0

1

2

3

4

5

6

7

Frequencia (Hz)

Indu

tanc

ia (

mH

/km

)

L0

L1

Figure 2.12: Exemplo de variação da indutância equivalente pela frequência.

2.7.3 Efeito do solo

As equações 2.1.6 e seguintes assumem que o solo é ideal, ou seja possui condutividade innitaou resistividade zero, no qual desta forma comportará como um espelho no método das imagens.

Ao se considerar o solo com uma resistividade diferente de zero, e de fato podemos ter valoresde 10 a 10.000 W·m, o efeito do espelho será distorcido. Algumas teorias usuais são a aproximaçãode Pollaczek [21], Carson [5] e Deri [6], esta última conhecida como profundidade complexa: oefeito do solo é embutido nas equações existentes como um número complexo, ou seja, a parcela hserá igual a:

h′ = h+ d (2.7.10)

d =1√

σ j ω µ=

√ρ

j ω µ(2.7.11)

sendo σ a condutividade do solo, ω a frequencia angular do sistema e µ a permeabilidade magnéticado solo, em geral próximo a µ0.

Pensamento: na prática, os parâmetros do solo variam bastante, ao longo da linha, e até aolongo do tempo, mas sempre realizam-se estudos com parâmetros determinísticos. Considerepor exemplo uma transposição, supostamente ideal, aonde um trecho passa por uma regiãocom resistividade ρ1, o segundo trecho passa por uma resistividade ρ2... qual será o efeito dese assumir um valor xo?

Qual será o desvio nos cálculos ao se considerar um valor de resistividade diferente? Nãohá um método prático para resolver isso, somente um tratamento estatístico pode avaliar oerro.

O efeito do solo real é mais relevante no cálculo nos parâmetros de sequência zero, afetandoparticularmente os estudos de faltas monofásicas, e seus meios de mitigação (ex. religamentomonopolar).

Este modelo não se aplica para o cálculo da admitância, pois o solo não afeta signicativamentea capacitância da linha.

Ex.: para um solo de 100 W·, a distância complexa para 60 Hz será

d =1√

1/100j 2π 60 · 4π10−7= 324, 87− j324, 87 m


10−2

10−1

100

101

102

103

104

105

106

300

400

500

600

700

800

900

Frequencia (Hz)

Impe

danc

ia c

arac

teris

tica

(Ω)

Zc0

Zc1

Figure 2.13: Exemplo de variação da impedância característica pela frequência.

para um solo de 10 W·, d = 102, 73− j102, 73 m. Para o solo de 10 W·, com uma frequência de1 kHz, d = 25, 16− 25, 16 m.

Calculando a indutância própria de um cabo, com 1 cm de raio e uma altura média de10 m, primeiro com o solo ideal:

L =µ0

2πln

2 · 10

0, 01= 1, 5202 · 10−6 H/m

com o solo de 100 W·:

L =µ0

2πln

2 · (10 + 324, 87− j324, 87)

0, 01= (2, 2887− j0, 1541) · 10−6 H/m

essa indutância complexa irá se converter em uma resistência adicional. Desprezando aresistência do cabo, obtém-se

ZL = j ω L = (0, 0581 + j0, 8629) · 10−3 W/m

com o solo de 10 W·

L =µ0

2πln

2 · (10 + 102, 73− j102, 73)

0, 01= (2, 0651− j0, 1478) · 10−6 H/m

essa diferença tende a se anular quando calcula-se a impedância de sequência positiva (Zp −Zm), porém o efeito se amplia na sequência zero (Zp + 2Zm).

2.7.4 Efeito dos cabos para-raios

Os cabos para-raios protegem as fases ou polos contra descargas atmosféricas diretas. Mas suaproximidade provoca uma interação eletromagnética. Em nosso modelo o cabo será uma faseadicional, acrescentando mais uma linha e uma coluna na matriz.

Neste ponto é determinante o tipo de ligação dos para-raios, que podem ser aterrados ouisolados13. O para-raio aterrado terá potencial zero (Vg = 0) e terá corrente induzida, enquantoque isolado não haverá corrente (Ig = 0), mas terá potencial induzido. Cada ligação tem vantagense desvantagens. Para qualquer opção, a matriz impedância será na forma, por exemplo com dois

13Na verdade a isolação do para-raio é mínima, somente para não circular corrente em condições normais, poisna incidência de uma descarga ele deve escoar para o solo


cabos pára-raios: vavbvcvg1vg2

=

zaa zab zac zag1 zag2zba zbb zbc zbg1 zbg2zca zcb zcc zcg1 zcg2zg1a zg1b zg1c zg1g1 zg1g2zg2a zg2b zg2c zg2g1 zg2g2

iaibicig1ig2

(2.7.12)

Para cabos para-raios continuamente aterrados, divide-se a matriz impedância (ou particiona-mento) em quatro partes [7, p. 4-15]:[

vu

vg

]=

[Zuu Zug

Zgu Zgg

] [iuig

](2.7.13)

no qual a matriz reduzida serávu = Zred · iu (2.7.14)

Zred = Zuu − Zug · Zgg−1 · Zgu (2.7.15)

o mesmo método pode ser aplicado na matriz M antes de determinar a admitância14:

MY =

[Muu Mug

Mgu Mgg

](2.7.16)

MYred = Muu −Mug ·Mgg−1 ·Mgu (2.7.17)

C = 2π ε0MY−1red (2.7.18)

Lembrando que os cabos para-raios geralmente são de aço, com valores de permeabilidaderelativa acima de 1. Não existe referências exatas quanto a permeabilidade deste tipo de aço,sendo aceitável considerar valores entre 50 e 100 µ0.

Por exemplo, para µr = 100, o raio equivalente será

r′ = r e−1004 = 1, 3888 · 10−11 r

ou seja, bem diferente de 0,7788!

Exemplo: uma LT com cabos Falcon (Rca = 0, 0448 W/km, 39,23 mm), 3 cabos por fase,espaçamento 80 cm, disposição em nabla, fase central a 15 m de altura média, fases laterais a8 m de distância horizontal do centro, 20 m de altura média, com 2 cabos guarda (EHS 3/8,Rca = 4, 2324 W/km, 9,14 mm, µ = 100µ0) a 6 m de distância horizontal do centro, 35 mde altura média. Obtém-se como matriz impedância primitiva:

Z =

0.01493j0.10077 j0.07468 j0.09735 j0.07671

+j0.33657

j0.100770.01493

j0.10077 j0.06638 j0.06638+j0.33657

j0.07468 j0.100770.01493

j0.07671 j0.09735+j0.33657

j0.09735 j0.06638 j0.076714.2324

j0.13406+j2.61155

j0.07671 j0.06638 j0.09735 j0.134064.2324

+j2.61155

W/km

aplicando a equação 2.7.17, obtém-se (em W/km):

Zred =

0.0123768 + j0.3382288 −0.0019213 + j0.1020155 −0.0024816 + j0.0762942−0.0019213 + j0.1020155 0.0134680 + j0.3158326 −0.0019213 + j0.1020155−0.0024816 + j0.0762942 −0.0019213 + j0.1020155 0.0123768 + j0.3382288

observa-se agora a presença de parte real nas mútuas, devido ao retorno pelo para-raios. Para

programar em Maltab ou Scilab, o comando será:zred = z(1:3,1:3) + z(1:3,4:5)/z(4:5,4:5)*z(4:5,1:3)

14Para a impedância deve-se aplicar a redução após somar a resistência, incluindo dos cabos para-raios.


2.7.5 Modelo genérico de redução de feixes de condutores

Um método geral é apresentado em [7], e pode ser aplicado em qualquer tipo de feixe. Partindoda premissa que a soma das correntes no feixe é igual a corrente da fase, e a queda de tensão dV/dxé aproximadamente igual no feixe, ou seja, para um feixe de n subcondutores:

I1 + I2 + · · ·+ In = If (2.7.19)

dv1dx

=dv2dx

= . . . =dvndx

(2.7.20)

procede-se com a seguinte manipulação matricial:

1. Desloca-se as linhas e as colunas dos subcondutores 2, 3, . . . , n para a extremidade da matriz;

2. Subtrair a coluna do subcondutor 1 das colunas dos subcondutores 2, 3, . . . , n;

3. Subtrair a linha do subcondutor 2 das linhas dos subcondutores 2, 3, . . . , n;

4. Pela operação matricial feita, equivale-se a zerar as correntes nos subcondutores 2, 3, . . . ,n, procede-se em eliminar estes subcondutores, usando o mesmo procedimento dos cabospára-raios (equação 2.7.15);

5. O subcondutor 1 agora representa o equivalente do feixe.

Exemplo: uma LT sem perdas é composta por feixes de três cabos por fase, cuja matrizcom cada subcondutor é assim representada:

Z = j

0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 4444 0, 4419 0, 3874 0, 3898 0, 38860, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 4397 0, 4374 0, 3852 0, 3874 0, 38630, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 4419 0, 4397 0, 3863 0, 3886 0, 38740, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 4444 0, 44190, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 4397 0, 43740, 4419 0, 4374 0, 4397 0, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 4419 0, 43970, 3874 0, 3852 0, 3863 0, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 0, 6513 0, 65130, 3898 0, 3874 0, 3886 0, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 9381 0, 65130, 3886 0, 3863 0, 3874 0, 4419 0, 4374 0, 4397 0, 6513 0, 6513 0, 9381

W/km

Será aplicado o procedimento na última fase, referente as linhas e colunas 7, 8 e 9, por já estarposicionada. Subtraindo a coluna 7 de 8 e 9, obtém-se

0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 4444 0, 4419 0, 3874 0, 0023 0, 00110, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 4397 0, 4374 0, 3852 0, 0022 0, 00110, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 4419 0, 4397 0, 3863 0, 0023 0, 00110, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 0047 0, 00220, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 0044 0, 00210, 4419 0, 4374 0, 4397 0, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 0045 0, 0023

0, 3874 0, 3852 0, 3863 0, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 −0, 2868 −0, 2868

0, 3898 0, 3874 0, 3886 0, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 2868 0, 00000, 3886 0, 3863 0, 3874 0, 4419 0, 4374 0, 4397 0, 6513 0, 0000 0, 2868

Subtraindo agora a linha 7 das linhas 8 e 9,

0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 4444 0, 4419 0, 3874 0, 0023 0, 00110, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 4397 0, 4374 0, 3852 0, 0022 0, 00110, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 4419 0, 4397 0, 3863 0, 0023 0, 00110, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 0047 0, 00220, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 0044 0, 00210, 4419 0, 4374 0, 4397 0, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4374 0, 0045 0, 0023

0, 3874 0, 3852 0, 3863 0, 4397 0, 4353 0, 4374 0, 9381 −0, 2868 −0, 2868

0, 0023 0, 0022 0, 0023 0, 0047 0, 0044 0, 0045 −0, 2868 0, 5736 0, 28680, 0011 0, 0011 0, 0011 0, 0022 0, 0021 0, 0023 −0, 2868 0, 2868 0, 5736

Reduzindo a matriz usando (2.7.17), tornando-se provisoriamente como 7× 7:

0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 4397 0, 4444 0, 4419 0, 38860, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 4353 0, 4397 0, 4373 0, 38630, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4373 0, 4419 0, 4397 0, 38740, 4397 0, 4353 0, 4373 0, 9381 0, 6513 0, 6513 0, 44200, 4444 0, 4397 0, 4419 0, 6513 0, 9381 0, 6513 0, 43750, 4419 0, 4373 0, 4397 0, 6513 0, 6513 0, 9381 0, 4397

0, 3886 0, 3863 0, 3874 0, 4420 0, 4375 0, 4397 0, 7469


Repetindo o procedimento para as outras duas fases, deve-se chegar a seguinte matriz equivalente:

Zred = j

0, 7469 0, 4397 0, 38750, 4397 0, 7468 0, 43970, 3875 0, 4397 0, 7469

W/km

2.7.6 Modelo de circuito duplo

Pode-se modelar uma linha com dois (ou mais) circuitos unindo a fase de cada circuito. Porém, ouso do RMG deixa de ter validade para distâncias muito longas. Será necessário um tratamentomatricial.

Seja uma linha de seis condutores genéricos, com uma relação entre tensão e corrente porunidade de comprimento representada abaixo:

V1V2V3V4V5V6

=

z11 z12 z13 z14 z15 z16z21 z22 z23 z24 z25 z26z31 z32 z33 z34 z35 z36z41 z42 z43 z44 z45 z46z51 z52 z53 z54 z55 z56z61 z62 z63 z64 z65 z66

I1I2I3I4I5I6

(2.7.21)

Sendo agora esse sistema ligado como um circuito duplo, no qual Va = V1 = V4, Vb = V2 = V5e Vc = V3 = V6. Por sua vez, as correntes serão somadas, Ia = I1 + I4, Ib = I2 + I5 e Ic = I3 + I6.

Esse procedimento pode ser encontrado em [3, p. 108], podendo inclusive ser usada para ocálculo preciso da impedância de feixe de condutores. Na mesma referência [3, p. 137] estuda-se odesbalanço entre os circuitos, que pode causar por exemplo correntes circulantes. Um procedimentomais completo é abordado em [7].

Pensamento: para modelar uma linha hexafásica, pode-se partir da equação 2.7.21, assu-mindo os valores V1 a V6 fasores simétricos defasados em 60°, e seguindo a mesma metodologiado capítulo 2.1. Como chegar ao equivalente monofásico?

2.7.7 Cálculo das componentes de sequência zero

Como visto nas equações 2.2.2 e 2.2.3, a impedância e a admitância de sequência zero é muitoinuenciada pela componente mútua (Zm e Ym). Neste ponto a modelagem correta do solo serádeterminante, e a aproximação de solo ideal deixa de ser desprezível.

Da mesma forma que na sequência positiva, podemos deduzir uma impedância característica

de sequência zero, Zc0 =√

Z0

Y0, que determinará a propagação de componentes homopolares.

Conforme é mostrado em estudos de uxo de potência e componentes simétricas, a componentede sequência zero é inuente no cálculo de falhas de curto-circuito, especicamente em curtomonofásico, sendo este o tipo mais comum de ocorrência em linhas de transmissão.

Estudos recentes buscam otimizar a recuperação da linha frente a defeitos monofásicos, real-izando o religamento monopolar.

2.8 Estudo detalhado de um sistema de transmissão através

de matriz Ybarra

Nesta seção apresenta-se um sistema completo, composto por um tronco com 2 LTs, suas respectivascompensações, e duas barras de um sistema ctício, representadas por seus equivalente Thevenín.

Será estudado o estado do sistema em três condições: uxo com potência nominal das LTs, osistema em vazio, energizado por uma das barras, e o efeito de curto-circuito em uma das LTs.

Novamente será usado o exemplo da LT raquete, para um comprimento de 300 km e compen-sada em 50%, tanto série quanto paralelo.

Na gura 2.14 apresenta-se uma compensação paralela com reator de neutro, um elementousado para controle de arco secundário. Por ora, sera observado seu efeito no curto monofásico,sem questões de desligamento e religamento.

2.8. ESTUDODETALHADODE UM SISTEMADE TRANSMISSÃO ATRAVÉS DEMATRIZYBARRA37

Xeq1

ZLT

V1 = 1 /0° pu

XT1

Xeq2

XT2

Xn

XRS

XCS

Figure 2.14: Sistema de transmissão com compensação série e paralela, com hipótese de curtomonofásico no meio de uma das linhas.

Chapter 3

Mechanical properties

3.1 Aspectos construtivos de linhas de transmissão aéreas

Esta disciplina concentra-se no estudo de linhas aéreas, visto que o domínio dos cabos isolados éuma realidade completamente distinta, mas que cada vez mais é uma realidade nos centros urbanos.Mas fora das cidades, a linha aérea é a opção mais vantajosa no aspecto econômico, que incluidesde o custo dos materiais quanto perdas elétricas e manutenção dos mesmos, apesar da exposiçãodos cabos às intempéries.

A LT divide-se em dois elementos, o cabo e a torre, e desta forma a apostila está dividida emtrês: aspectos dos cabos, das torres e o projeto do conjunto da LT.

3.1.1 Torres

A torre sustenta os cabos a distâncias seguras, possibilitando vencer distâncias ao longo de umterreno, em geral desocupado. Logo a torre deve resistir ao seu peso próprio e ao peso dos cabos,sendo que este peso pode variar - não que a massa se altere, mas na verdade é a tração noscabos, e que depende de diversos fatores.

A torre é composta pela fundação, que permite que que estabilizada sobre o terreno e resistaa esforços de tração e compressão; a estrutura em si, em geral metálica, mas podendo ser porexemplo de concreto, madeira ou bra; isoladores para separar a estrutura das partes vivas, oscabos energizados; e o aterramento, que também é chamado de cabo contrapeso.

3.1.2 Cabos

Os cabos são a guia para transmitir a energia elétrica, sendo sua escolha correta fundamental paraum bom desempenho.

Primeiramente a escolha depende se a linha é de corrente contínua (CC, nos polos) ou correntealternada (CA, nas fases). Em CA, o efeito pelicular provoca a repulsão das linhas de corrente,concentrando-a na periferia do cabo. Utiliza-se cabos compostos, com o núcleo de material maisresistente e menos condutor, e na coroa os de alumínio. Em CC a corrente é distribuída, fato queem alguns projetos os cabos totalmente de alumínio sejam vantajosos.

Também utiliza-se cabos como pára-raios, em torres estaiadas e no aterramento, cada umpossuindo características bem distintas dos cabos de fase ou polo.

As ferragens são elementos complementares importantes, e incluem os pontos de xação com osisoladores, os espaçadores no caso de feixe de condutores, amortecedores para reduzir as vibrações,centelhadores para dissipar surtos de tensão, e anéis anti-corona para distribuir o campo elétricoem pontos especícos. Todos estes elementos devem ser de alta conabilidade e estarem previstospara manutenção em linha viva.

Por nal, alguns elementos não metálicos utilizados são as esferas sinalizadoras e cabos de braóptica, ambos instalados nos cabos pára-raios.

3.1.3 Outros elementos

O terreno no qual a LT está localizada, denominada faixa de passagem, exige atenção tanto noprojeto quanto na operação. A faixa deve ser desocupada de moradores, e sua largura é determinadapor níveis de campo eletromagnético, determinados por norma. Eventualmente é necessário a a

39

40 CHAPTER 3. MECHANICAL PROPERTIES

instalação de estradas e cercas, e até estas deve ser vistas com atenção, por exemplo na hipótesede indução e choque elétrico.

3.2 Requisitos de projeto

Uma LT passará por diversas solicitações, elétricas e mecânicas, cujo conjunto mostra um númeroinnito de possibilidades. Por um lado, não é prudente um projeto sem qualquer folga de segurança,mas por outro lado não é factível projetar a LT para os esforços máximos e simultâneos, pois apossibilidade de ocorrência é praticamente nula.

3.2.1 Aspectos mecânicos envolvidos (revisão)

Para o estudo de linhas de transmissão, será usado a teoria da mecânica newtoniana, basicamenteestática, mas mencionando alguns conceitos de cinemática e dinâmica. Nesta seção será feita umabreve revisão.

Na mecânica temos diversas grandezas vetoriais, sendo necessário a percepção tridimensionalde seus efeitos. Eventualmente poderemos aproximar os estudos em duas dimensões. Para estática,a soma das forças aplicadas deve ser igual a zero, e a falta desta condição indica que o corpo estaráem movimento. ∑

~F = 0 (3.2.1)

Estas forças podem ser gravitacionais, eletromagnéticas e decorrentes de um escoamento de u-ido, no caso o ar. Também pode-se classicar estas forças como permanentes (o peso próprio),transitórias (por exemplo, vento) ou especícas na construção (como no lançamento dos cabos).

O momento de força é a magnitude da força aplicada em um corpo, referida a um eixo derotação. O momento também será uma grandeza vetorial, obtida pelo rotacional entre a distânciae a força:

~M = ~r × ~F (3.2.2)

e também em condição de estática, a soma dos momentos deve ser igual a zero:∑~M = 0 (3.2.3)

3.2.2 Requisitos elétricos

As principais dimensões da linha são denidas pela seus potenciais de operação. Primeiramente, opotencial nominal, em CA é referenciada pela tensão de linha (valor ecaz, entre fases).

Em CC, os requisitos de segurança serão os mesmos necessários a uma linha CA com potencialde crista (ou pico) fase-terra numericamente igual à da linha CC [2]. Sendo assim, uma linha CA765 kV será equivalente a

Vcc = 765

√2√3∼= 625 kV (3.2.4)

sendo esse valor para cada polo, acompanhado pelo indicador de polaridade (±).O potencial de operação é um valor nominal, no qual trabalha-se dentro de uma folga, tanto

que a própria LT possui uma queda de potencial ao longo de seu comprimento. A NBR classica asLTs pelo seu valor nominal máximo, por exemplo uma LT de 230 kV é referenciada como 242 kV.

Outros potenciais envolvidos são os decorrentes de surtos de manobra, proporcionais ao po-tencial da LT e inuenciado pela rede, e surtos atmosféricos, dependentes do sistema de proteçãoinstalado, no qual prevê o risco de falha de blindagem ou indução indireta.

A norma [2] apresenta o cálculo das distâncias recomendadas, partindo de Du como o valornumérico em kV da tensão nominal de linha. Na seção 3.4 será demonstrado o cálculo destasdistâncias.

3.3 Comportamento mecânico de cabos

3.3.1 Aspectos construtivos

Um cabo aéreo dispensa o uso de isolamento, sendo quase sempre nus para a melhor dissipação decalor. Em geral o elemento condutor principal é de alumínio, devido ao menor massa em relaçãoao cobre. A tabela 3.1 ilustra alguns valores comparativos. Observa-se que mesmo com melhorcondutividade, o cobre não é a solução mais econômica.

3.3. COMPORTAMENTO MECÂNICO DE CABOS 41

Table 3.1: Características físicas de alguns materiais.CondutividadeIACS (%)

Resistividade(W·mm2/m)

Coeciente de variação daresistência (−1)

Massaespecíca(g/cm3)

Alumínio 1350 61,0 0,028264 0,00403 2,705Alumínio liga 6201 52,5 0,032840 0,00347 2,690Cobre duro comercial 97,0 0,017775 0,00381 8,89Cobre padrão IACS 100,0 0,017241 0,00393 8,89Aço - 0,17 - 7,9

O cabo é composto por os, que podem ser de materiais diferentes, agregados por um encor-doamento. Atualmente estes os não necessariamente são cilíndricos, existindo por exemplo osde seção trapezoidal, que permitem uma melhor acomodação.

Alguns padrões de dimensões de cabos são o padrão AWG (Americam Wire Gauge), usado paradiâmetros até 1 cm, e o CM (circular mil), usados para bitolas superiores. Entretanto, para cadabitola, é possível qualquer combinação de os, sendo adotado algumas congurações padronizadas,para cada tipo de cabo. Por exemplo, para cabos CAA (ou ACSR), cada combinação de bitola eos recebe um código referente a um nome de pássaro. Cabos CA (puramente de alumínio), porsua vez, são designados com nomes de ores.

3.3.2 Equilíbrio térmico do cabo

O limite de corrente em um cabo é determinado pela temperatura máxima aceitável. Este limitedepende do tempo, quanto mais curto aceita-se um maior nível. Para qualquer duração, este limiteé empírico, variando de acordo com as práticas em cada país ou empresa.

Pode-se dividir os limites para regime permanente, regime de emergência e regime de curto-circuito. Para curto-circuito haverá um transitório térmico muito interessante, mas que foge daproposta do curso. Para as outras duas condições, pode-se assumir que serão aproximadamenteum regime permanente. A equação de descreve este limiar é

I2r(θ) + qs = qr + qc (3.3.1)

sendo r(θ) a resistência do cabo em função da temperatura. Isolando o termo da corrente, obtém-sea capacidade do cabo, ou ampacidade, para uma determinada temperatura [? , p. 3-19], [16, p.35]:

I(θ) =

√qr + qc − qs

r(θ)(3.3.2)

nesta condição há um equilíbrio de fontes e dissipação de energia. Além da corrente, tem-se a fontede calor devido a radiação solar1:

qs = 204 d (3.3.3)

e como formas de dissipação tem-se por irradiação:

qr = 179, 2 · 103ε d

[(T

1000

)4

−(

T01000

)4]

(3.3.4)

e por convecção forcada:

qc = 945, 6 · 10−4∆θ[0, 32 + 0, 43(45946, 8 d V )0,52] (3.3.5)

sendo d o diâmetro do cabo, T a temperatura nal em K, θ a mesma temperatura em , T0 ouθ0 a temperatura ambiente, ∆θ = θ − θ0, V a velocidade do vento transversal e ε a emissividade(usualmente considerado 0,5 para condição de cabo moderadamente envelhecido). Cada termo daequação é expresso em W/m.

Estas formulas são uma proposta do Cigré, desenvolvidas de forma empírica, baseadas em .Outras propostas são os modelos do IEEE e de Morgan. Cada um destes modelos possui um limiteda validade, procure sempre saber quais são os limites de um modelo antes de aplicar cegamente.

Independente do tipo de modelo adotado, a ampacidade e percebida por cada um destes fatores:para operar no limite de uma determinada temperatura, pode-se elevar a corrente caso exista umvento favorável e baixas temperaturas, mas e reduzida para um dia de verão com sol.

1Neste modelo simplicado assume-se uma radiação solar media, outros modelos mais precisos incorporam aposição do sol ao longo do dia, por exemplo.


Table3.2:

Exemplos

dealguns

cabos

comerciais

Tipo

Denom

inação

Bitola

(MCM)

N°

os

Seçãotransversaltotal

(mm²)

Diâmetro

(mm)

Pesolin

ear

(kg/km

)Tensãoruptura

(kgf)

RCC(W/k

m@

20)

RCA(W/k

m@

75)

ACSR

Haw

k477

26/7

280,85

21,78

977,9

8718

0,1199

0,1435

AAC

Syringa

477

37241,03

20,16

664,5

3860

0,1196

AAAC

500

19253,30

20,60

696,90

7580

0,1818

ACAR

500

15/4

253,00

20,60

696,0

4620

0,1170

ACSR

Grosbeak

636

26/7

322,3

25,16

1301,7

11187

0,1075

ACSR

Rail

954

45/7

517,4

29,59

1605,8

11563

0,0612

0,0733

TACSR

T-Rail

954

45/7

517,4

29,61

1602,8

11254

0,06088

0,08400

AAC

Magnolia

954

37483,74

28,56

1333,7

7263

AAAC

1000

506,7

29,2

0,0802

ACAR

1000

33/4

507,00

29,23

1394,0

8390

0,0580

ACAR

1000

33/28

507,00

29,23

1411,0

12210

0,0610

ACSR

Bittern

1272

45/7

689,06

34,16

2138,5

15163

0,0451

0,0558

AAAC

Bittern

1582

861,3

34,16

2331

17530

0,0352

0,0444

ACSR

Thrasher

2312

76/19

1235,2

45,78

3761,8

25186

0,0249

0,0327

AAC

Sagebrusch

2250

911139,5

43,9

3167,82

17687

0,02559

0,034

Aço

HS

3/8

-7

66,0

9,14

3985,8

4805,9

4,046

-Aço

EHS

3/8

-7

66,0

9,14

4022,1

6852,3

4,189

-


0 200 400 600 800 1000 120020

40

60

80

100

120

140

160

180

Corrente [A]

Tem

pera

tura

[o C]

Figure 3.1: Relação típica entre corrente e temperatura para um cabo aéreo

3.3.2.1 Ampacidade de cabos para-raios

As equações abaixo são um exemplo de cálculo aproximado de elevação de temperatura em cabospara efeito de curto-circuito [? ], sendo θm a temperatura máxima admissível de projeto do cabo,A a seção do cabo em cm² e t o tempo de atuação do curto (da ordem de 0,5 s).

IEHS = 8, 88 · 103A

√1

tln[1 + 0, 0031(θm − θ0)] (3.3.6)

IEHS = 1, 03 · 104A

√1

tln[1 + 0, 0036(θm − θ0)] (3.3.7)

IEHS = 1, 50 · 104A

√1

tln[1 + 0, 0040(θm − θ0)] (3.3.8)

Temperatura usuais de projeto, para regime de curto-circuito, são 170 para ACSR e 370para cabos de aço EHS e Alumoweld [? ].

3.3.3 Geometria do cabo em um vão isolado e nivelado

Seja um cabo engastado em dois suportes, em primeiro caso supondo os suportes nivelados, ouseja a mesma altura, só exista um vão (não há inuência de forças a jusante ou a montante) e nãoexista qualquer força transversal, como por exemplo do vento. O cabo em condição estática irádescrever a forma de uma catenária, e depende basicamente do comprimento do vão, do peso e datração.

O esforço em cada suporte será igual a T , podendo ser decomposto por uma componentehorizontal, T0, e uma componente vertical, V .

T =T0

cosα(3.3.9)

α = tan−1p l

2T0(3.3.10)


Figure 3.2: Vão nivelado [16, p. 154]

Figure 3.3: Forças atuantes no suporte em um vão nivelado [16, p. 156]

A echa da catenária é expressa pela equação:

f =T0p

[cosh

(Ap

2T0

)− 1

](3.3.11)

sendo usual aproximar para a equação da parábola:

f =pA2

8T0(3.3.12)

Esta equação contém um desvio que é aceitável para vãos até 1000 m. Faça as contas paracomprovar.

Pode-se calcular o comprimento real do cabo pelas equações:

l =2T0p

sinhAp

2T0(3.3.13)

l = A+A3 p2

24T 20

(3.3.14)

o comprimento desenvolvido pelo cabo sera ligeiramente maior que o comprimento do vão, nova-mente a primeira equação e a mais precisa mas ambas possuem pouca diferença pratica. O próprio


comprimento do cabo so sera visivelmente superior ao comprimento do vão somente para echasmuito elevadas.

E usual aplicar o parâmetro C = pT0, em metros, relacionando tração com o peso linear do

cabo. Nesta forma, a equação da echa torna-se

f =A2

8C(3.3.15)

Observa-se que a catenária depende da tração imposta ao cabo. A questão é: qual tensãoaplicar?

A norma [2] recomenda alguns valores para o regime de trabalho de maior duração, baseadosna carga de ruptura, sem considerar qualquer elemento de amortecimento. Este percentual éusualmente denominado EDS (everyday stress).

Table 3.3: Recomendação de carga máxima para alguns cabos [2].Cabo EDS (% de carga de ruptura)Aço AR (HS) 16Aço EAR (EHS) 14CA (AAC) 21CAA (ACSR) 20CAL 18CALA 16

3.3.4 Geometria do cabo em um vão desnivelado

Em um desnível, o cabo irá tender para o lado mais baixo, desequilibrando os esforços. Mas aforma da catenária será a mesma: projetando a curva além do ponto inferior até a altura do pontosuperior, obtém-se a catenária equivalente para um vão nivelado.

Sendo h a diferença em altura entre os pontos PA e PB , o vão com comprimento A, sendohA > hB , se prolongarmos o ponto PB até P ′B , o vão equivalente será Ae = A + A′, e o ponto dealtura mínima:

hmin =Ae2

=A+A′

2(3.3.16)

desenvolvendo, obtém-se

Ae = A+2hT0Ap

(3.3.17)

e a partir do vão equivalente calcula-se os outros aspectos do cabo. As cargas verticais são calcu-ladas na forma

VA =Ap

2+hT0A

(3.3.18)

VB =Ap

2− hT0

A(3.3.19)

sendo o somatório igual ao peso total. O comprimento total de cabo será igual a

l =

√h2 +A2

(1 +

A2 p2

12T 120

)(3.3.20)

Observe que o vão equivalente irá depender de T0, logo qualquer alteração na tração irá mexerprimeiro no vão, ou seja, o ponto de altura mínima irá deslocar-se horizontalmente!

3.3.5 Efeito da variação de temperatura

Os cabos são fortemente inuenciados pela temperatura. Qualquer objeto homogêneo possui vari-ação de comprimento na forma

l2 = l1(1 + αl∆θ) (3.3.21)

sendo αl o coeciente de dilatação térmica linear.No caso dos cabos em catenária, a variação do comprimento implica em uma echa maior,

proporcionando um alívio na tração. Esta variação, supostamente elástica, obedece a Lei de


Hooke, aonde considera-se o módulo de elasticidade E, juntamente com a seção transversal docabo S. A variação total será

l2 − l1 = l1αl ∆θ + l1T02 − T01E S

(3.3.22)

Desenvolvendo, obtém-se a equação de mudança de estado do cabo [16, p. 202]:

∆θ = θ2 − θ1 =1

αl

[C2 sinh A

2C2

C1 sinh A2C1

− 1− 1

E S(T02 − T01)

](3.3.23)

sendo θ1 e T01 as condições originais de instalação do cabo, C1 = T01

p e C2 = T02

p .Esta equação é resolvida de forma iterativa: sabendo-se de antemão ∆θ, que pode ser positiva

ou negativa, arbitra-se valores de T02 até obter o valor desejado em ∆θ. Este procedimento podeser feito automaticamente com programação ou o uso de solver de planilhas como Excel.

Calculando-se a nova tração T02, basta utilizá-la nas equações anteriores, de acordo com o tipode vão, para obter a echa e o comprimento real de cabo.

Uma variante importante nestes cálculos é a variação do módulo de elasticidade dos cabos, noqual em cabos compostos seu comportamento não é linear. Atenta-se para a leitura [16, p.122]descrevendo o problema, e em [16, p. 148] apresenta-se os dados usuais de se encontrar em catálogos,como o módulo de elasticidade inicial (2 valores) e módulo de elasticidade nal, e o coeciente dedilatação linear αl, inicial e nal.

Table 3.4: Características de tensão e deformação de alguns cabos.

Módulo de elasticidade (kgf/mm2) αl (10−6−1)

Inicial inferior Inicial superior Final Inicial Final

CA 7 4711 3586 6117 23CA 61 4008 2672 5625 23CAA 6/1 6890 4640 8156 18,4 19,1CAA 26/7 6539 4781 7593 18,4 18,9CAA 54/19 5836 4359 7172 18,4 19,6ACAR 24/13 4992 3516 5976 23CAL 61 5273 4359 5976 23ACCR 54/19 7453 17,5ACCC Bittern 5980 20,1Aço (HS e EHS) 1900 11,0Alumoweld 1590 12,9

As guras 3.4 e 3.5 relacionam a temperatura nal com a tração e a echa. Sendo a temper-atura diretamente inuenciada pela corrente no cabo, pode-se relacionar diretamente, como vistonas guras 3.6 e 3.7, sendo a última uma informação importante para a operação de uma linha:sabendo-se o risco em ocorrer uma sobrecarga no sistema, pode-se relacionar este risco aos vãosmais críticos, no qual observa-se o risco de falha pelas alturas de segurança, incluindo nesta contaos dados climáticos.

Exemplo: um cabo CAA codinome Hawk (477 MCM, 26/ 7 os, seção 280, 8 mm2,21, 8 mm, 976,4 kgf/km, carga de ruptura 8878 kgf) é instalado em um vão de 500 m nivelado(e supondo isolado) utilizando EDS de 20%, em um dia com temperatura ambiente de 30.Calcule (a) a echa desenvolvida pelo cabo, (b) o estado do cabo, ou seja echa e tração, parauma temperatura de operação de 100. Utilize características de tração/ deformação nais.

Solução: (a) a echa é calculada utilizando T0 = 0, 2 · 8878 = 1775, 6 kgf:

f =0, 9764 · 5002

8 · 1775, 6= 17, 1843 m

(b) a equação de estado será congurada com C1 = 1775,60,9764 = 1818, 5 e C2 = T02

0,9764 , devendo


−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

Temperatura [oC]

Tra

cao

[kgf

]

300 m500 m1000 m

Figure 3.4: Relação típica entre tração e temperatura em um cabo aéreo, para alguns comprimentosde vão

chegar a ∆t = 100− 30 = 70. A equação nal será:

70 =1

18, 9 · 10−6

[T02

0,9764 sinh 500·0,97642T02

1818, 5 sinh 5002·1818,5

−1− 1

7593 · 106 · 280, 8 · 10−6(T02 − 1775, 6)

]programado o lado direito da equação, pode-se começar com T02 = T01 e ir diminuindo (quandomaior a temperatura, menor a tração), tentando chegar aos 70. No Matlab ou Scilab, a linhaca na forma:

1/18.9e-6 * ((t02 / 0.9764 * sinh(500*0.9764/(2 * t02))) /

(1818.5*sinh(500/(2*1818.5))) - 1 - 1/(7593 * 280.8) * (t02-1775.6))

Por tentativa e erro, chegando em T02 = 1511 kgf, obteve-se a temperatura de 69,9866,um boa aproximação.

Quando se procura calcular somente um estado, o método iterativo calcula corretamente,mas quando se está realizando um cálculo de diversos valores, por exemplo para traçar umgráco, não há necessidade de fazer esse processo para cada valor. Basta arbitrar um alcancede trações T02 e calcular diretamente um vetor de ∆t. No nal, arbitra ∆t como eixo dasabscissas e T02 no eixo das ordenadas.

No Matlab ou Scilab, com ∆t e T02 calculados como vetores, consegue-se obter outrosvalores através da função interp1.


−100 −50 0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temperatura [oC]

Fle

cha

[m]

300 m500 m1000 m

Figure 3.5: Relação típica entre echa e temperatura em um cabo aéreo, para alguns comprimentosde vão

0 200 400 600 800 1000 1200400

500

600

700

800

900

1000

1100

Corrente [A]

Tra

cao

[kgf

]

300 m500 m1000 m

Figure 3.6: Relação típica entre tração e corrente em um cabo aéreo, para alguns comprimentosde vão


0 200 400 600 800 1000 12000

10

20

30

40

50

60

70

Corrente [A]

Fle

cha

[m]

300 m500 m1000 m

Figure 3.7: Relação típica entre echa e corrente em um cabo aéreo, para alguns comprimentos devão


3.3.6 Feixes de condutores

O uso de feixes de condutores é necessário em extra-alta tensão (EAT) para obter a redução doefeito corona, controlando o campo elétrico supercial. Adicionalmente, o uso de vários cabos emvez de um cabo singelo de bitola equivalente pode signicar um melhor desempenho para instalaçãoe manutenção. O efeito pelicular também será menos expressivo, pois a superfície de vários cabosserá maior do que um cabo singelo. Costuma-se chamar cada cabo do feixe como subcondutor.

Para questões mecânicas básicas vários cabos em paralelo atuarão de forma uniforme. Osesforços na estrutura serão somados, e as echas serão praticamente iguais. Para distâncias desegurança, observa-se o cabo que estiver na parte inferior do feixe.

Utiliza-se espaçadores para manter a geometria do feixe constante, evitando oscilações individ-uais devido ao vento. A distância entre dois espaçadores dene um sub-vão.

Um aspecto relevante são os esforços eletromagnéticos na condição de curto-circuito: a corrente,distribuída pelos subcondutores, irá provocar uma força de atração signicativa, podendo provocaro choque entre cabos, chamado de bundle clash. A força, por comprimento de cabo, será igual a

F =µ0 I

2

2π r(3.3.24)

sendo I a corrente em cada subcondutor. Para feixes de 3 ou mais subcondutores, os esforços serãoa soma vetorial da interação entre cada par de subcondutores.

Exemplo: calcule a força entre dois cabos de um feixe com espaçamento de 45 cm, naocorrência de um curto-circuito de 10 kA.

nalizando, observe que, na ocorrência da atração entre os cabos, a distância irá diminuir,aumentando ainda mais as forças atuantes.

3.3.7 Efeito do vento

O vento atuará como uma carga adicional, compondo com o peso próprio do cabo, supondo umesforço constante, horizontal e perpendicular a linha:

fv = q CxA =1

2ρACx V

2 (3.3.25)

sendo Q a força linear, q a pressão, ρ é a densidade do ar, V a velocidade do vento, A a área expostaprojetada (sendo um esforço por comprimento, usa-se o diâmetro do cabo) e Cx o coeciente dearrasto (aproximadamente 1).

É usual acrescentar a esta equação fatores representativos dos efeitos transitórios, tais comorajada e ressonância estrutural.

A própria velocidade do vento V é um valor bastante discutível: o que considerar como ventomáximo?

Para auxiliar na escolha dos valores de vento, a tabela 3.5 descreve resumidamente a escalaBeaufort2, para uma ordem de grandeza dos valores de vento.

Table 3.5: Escala de Beaufort (resumida).Grau Designação m/s km/h Aspecto0 Calmo < 0,3 < 1 Fumaça sobe na vertical2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 Folhas das árvores se movem4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 Ondas de 1 m6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 Diculdade em andar de guarda-chuva8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 Diculdade de andar contra o vento10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 Árvores arrancadas12 Furacão > 32,7 > 118 Estrago generalizado

O vento de projeto irá depender também da altura a se considerar (do cabo), o fator derugosidade do terreno, além da premissa anterior de que o vento sempre será perpendicular aocabo.

2http://en.wikipedia.org/wiki/Beaufort_scale


Figure 3.8: Força do vento e balanço de cadeia [16, p. 195]

A força total seráfeq =

√p2 + f2v (3.3.26)

sendo agora feq o peso virtual a ser usado no cálculo da echa. Outro aspecto é que agora acatenária não estará mais na vertical, assumindo um ângulo igual a

γ = tan−1fvp

(3.3.27)

e os suportes agora terão esforços transversais, sendo basicamente a força do vento multiplicadapelo comprimento, dividida pelos dois suportes.

A gura 3.9 relaciona o vento com a tração nal, desconsiderando o eventual resfriamento docabo pela ação do vento, solucionado pela equação de estado pelo peso virtual correspondente.Observa-se que o comprimento do vão será determinante para a elevação da tração.

O balanço do condutor é parâmetro importante para determinação da faixa de passagem.Observa-se a echa que o cabo desenvolve e pode-se observar até onde o cabo pode alcançaras laterais do terreno. Acrescenta-se ao balanço o comprimento da cadeia de isoladores, se estasforem em suspensão simples (cadeia em I).

Exemplo: calcular a variação da echa e tração em um cabo CAA codinome Bluejay(1113 MCM, 32 mm 1867,6 kg/km, carga de ruptura 13552 kgf), instalado em um vãoisolado de 600 m, na ocorrência de um vento transversal de 10 m/s. Calcular também obalanco desenvolvido pelo cabo.

Solução: primeiramente, na condição sem vento, a echa sera (considerando 20% EDS,T0 = 0, 2 · 13552 = 2710, 4 kgf)

f =1, 8766 · 6002

8 · 2710, 4= 31, 16 m

Um vento de 10 m/s será equivalente a uma forca de

fv =1

20, 032 · 102 = 1, 6 kgf/m

ou seja, da mesma ordem de grandeza do peso próprio. O balanco sera

γ = tan−11, 6

1, 8766= 40, 45°

a forca equivalente sera feq =√

1, 87662 + 1, 62 = 2, 4661 kgf/m, e a echa na diagonal seráde 40,94 m.

O esforço lateral em cada suporte será igual a fv A2 = 480 kgf.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Vento [m/s]

Tra

cao

[kgf

]

300 m500 m1000 m

Figure 3.9: Relação típica entre vento e tração em um cabo aéreo, para alguns comprimentos devão

3.3.8 Efeito simultâneo da variação de temperatura e do vento

Para o cálculo da equação de estado, utiliza-se o peso virtual, ou seja, os parâmetros serão

C1 =T01p

(3.3.28)

C2 =T02feq

(3.3.29)

cuja variação de temperatura pelo vento deve ser avaliada pela equação 3.3.2, além de incluir outrosfatores que diferem o estado nal do estado de instalação.

Exemplo: calcular a variação de temperatura imposta pelo vento, descrito no exemploanterior.

Solução: Pela equação 3.3.5, obtém-se o efeito da convecção forçada:

qc = 945, 6 · 10−4∆θ[0, 32 + 0, 43(45946, 8 d V )0,52]

= 945, 6 · 10−4∆θ[0, 32 + 0, 43(45946, 8 · 0, 032 · 10)0,52]

= 6, 0037 ∆θ W/m

mas que por sua vez depende da própria variação de temperatura. este termo deve-se equilibrarcom as outras fontes de calor, por exemplo se estivermos somente com a corrente, sem sol edesprezando a irradiação, pode-se calcular a potência, mas primeiro arbitrando uma resistênciaa uma temperatura arbitrária (por catálogo, rCA = 0, 063 W/km @ 75), e supondo umacorrente de 1000 A::

qi = r(θ)I2 = 0, 063 · 10−3 · 10002 = 63 W/m

Equilibrando, qi = qc temperatura nal será

6, 0037 ∆θ = 63

∆θ = 10, 49


Aqui o ideal seria refazer a conta da corrente, acertando a resistência para 10,49, eencontrar a nova temperatura em um processo convergente.

3.3.9 Vãos contínuos

Vão contínuos é uma sequência de vãos aonde ocorre transmissão de esforços. Em geral uma linhaé totalmente contínua, terminando somente nos pórticos das subestações.

Na prática utiliza-se cadeias de suspensão na maioria das estruturas. Neste caso, espera-se queos vãos a montante e a jusante estejam em equilíbrio na maioria do tempo (com a variação detemperatura, os dois vãos irão dilatar proporcionalmente).

V = pai + aj

2(3.3.30)

Ti =T0

cosα(3.3.31)

α = arctanp ai2T0

(3.3.32)

fi =p a2i8T0

(3.3.33)

3.3.10 Vãos desiguais

V = ±p(mi ± nj) (3.3.34)

TBA = T0 +A2e p

2

8T0(3.3.35)

Ae =2hBA T0aBA p

(3.3.36)

TAB = T0 + p

(A2e p

8T0− hAB

)(3.3.37)

Ae = aAB +2hAB T0aAB p

(3.3.38)

3.3.11 Estrutura em ângulo

A mudança de direção de uma linha implica em um esforço transversal na torre

Fa = 2T0 sinα

2(3.3.39)

3.3.12 Fluência de cabos

Todo material após sua fabricação sofre um efeito de acomodação, cedendo de forma inelástica aosesforços ao longo do tempo. Em cabos denomina-se uência, ou creep, que dependerá da tração noqual está instalado e da temperatura média. A seguir apresenta-se algumas fórmulas empíricas.

O alongamento ε ao longo de sua vida útil, para cabos CAA, é determinado pela equação

ε = K exp(θ φ)σαtµ

σδ[mm/km] (3.3.40)

Para cabos CA, CAL e CALA a equação é

ε = K θφ σα tµ [mm/km] (3.3.41)

sendo θ a temperatura, m a proporção de alumínio por área da seção (m = SAl

Sliga) e σ a tensão,

conforme lei de Hooke:

σ = E ε (3.3.42)

E os coecientes são determinados pelo tipo de cabo, e para cabos compostos varia pela pro-porção entre os dois materiais.


Table 3.6: Coecientes de uência para cabos CAA fabricados por extrusão.Cabo K φ α µ δCAA 54/7 1,60 0,017 1,42 0,38 0,190CAA 48/7 3,00 0,010 1,89 0,17 0,110CAA 30/7 2,20 0,011 1,38 0,18 0,037CAA 26/7 1,90 0,024 1,38 0,23 0,030CAA 24/7 1,60 0,024 1,88 0,19 0,077CAA 18/1 1,20 0,023 1,50 0,33 0,130CAA 12/7 0,66 0,012 1,88 0,27 0,160

Table 3.7: Coecientes de uência para cabos CA, CAL, e CALA fabricados por extrusão.Cabo K φ α µCA 7 0,18

1,4 1,3 0,16CA 19 0,18CA 37 0,16CA 61 0,15CALA 0, 04 + 0, 24 m

m+1

3.4 Introdução ao projeto executivo de linhas

3.4.1 Roteiro simplicado

3.4.1.1 Denição das trações de projeto

A condição inicial de projeto é atribuir uma tração EDS proporcional a tração de ruptura do cabo(ex. 20 % para ACSR). Com o regime de operação ao longo da sua vida útil, outras condiçõesdevem ser atendidas:

1. Temperatura média, sem vento: 20% Trup ou de acordo com o cabo,

2. Vento máximo, temperatura coincidente: 33% Trup,

3. Temperatura mínima, sem vento: 33% Trup (curva fria),

4. Temperatura máxima, sem vento (curva quente).

A última condição não considera a tração como limitante, mas sim a altura de segurança docabo com o solo, por ser a condição de maior echa possível. a partir desta condição será denidaa curva quente do cabo.

A condição de temperatura mínima irá descrever a curva fria do cabo, que será usada paratestar a hipótese de arrancamento nos suportes.

3.4.1.2 Construção da curva a partir de um valor de echa calculado

Para um vão a1 com echa f1, para uma determinada tração e temperatura, pode-se extrapolar osvalores de um vão a2 para as echas f2:

f2 = f1

(a2a1

)2

(3.4.1)

O problema na prática é que a dinâmica de cada vão é diferente, como visto na gura 3.4,aplicada para vãos isolados, mas que em vãos contínuos surgirá diferenças entre os vãos: logo estemétodo é aplicável para vãos semelhantes.

3.4.1.3 Construção do gabarito

O traçado no perl do terreno será correspondente ao condutor mais baixo, supondo que todas asoutra fases/ polos sejam iguais (um exceção seria no compartilhamento da torre de circuitos declasses de tensão distintas).

Supõe-se também que as condições sejam governadas pelos cabos energizados, que sofrem maiorvariação com a temperatura, e os cabos para-raios acomodem-se à locação das torres, visto que nocaso destes cada vão pode ser considerado como isolado (não haverá cadeia de isoladores).

3.4. INTRODUÇÃO AO PROJETO EXECUTIVO DE LINHAS 55

A echa dos cabos para-raios deve ser razoavelmente menor que a echa dos cabos en-ergizados, para melhor desempenho contra descargas atmosféricas no meio do vão. Porém,para vãos muito longos, uma diferença excessiva entre echas pode representar uma falha deblindagem! Para um melhor entendimento, procure saber sobre modelo eletrogeométrico.

A altura de segurança é determinada pela fórmula [2]

hs = a+ 0, 01

(U√

3− 50

)(3.4.2)

sendo U a classe de tensão (valor máximo de tensão de linha, em kV) e a a distância básica, deacordo com a natureza de utilização do terreno, conforme tabela 3.8. Sendo que para U < 87 kV,hs = a.

Table 3.8: Distâncias básicas de segurança [2].Natureza Distância básica aLocais acessíveis apenas a pedestres 6,0Máquinas agrícolas 6,5Rodovias, ruas e avenidas 8,0Ferrovias não eletricadas 9,0Ferrovias eletricadas 12,0Suporte de linha pertencente à ferrovia 4,0Águas navegáveis H + 2,0Águas não navegáveis 6,0Linhas de energia elétrica 1,2Linhas de telecomunicações 1,8Telhados 4,0Paredes 3,0Instalações transportadoras 3,0Veículos rodoviários e ferroviários 3,0

Observa-se que uma linha pode conter outros critérios para a altura mínima, tais como níveisde campo elétrico ou radiointerferência. O critério mais crítico é que irá determinar as linhas deterra e de pé.

3.4.1.4 Linha de terra

Possui a distância básica de segurança hs (sem os adicionais referentes a travessias por obstáculos),determinado pelo nível de tensão máximo da linha. Deve, no máximo, tangenciar a linha do terreno.

3.4.1.5 Linha de pé

Descreve, para uma altura especíca de torre, a locação destas no terreno. O ponto que a linha depé cruza o perl do terreno será a localização da torre. Na prática, utiliza-se torres com diversasalturas padronizadas, ou seja, deve-se dispor de diversas linhas de pé, paralelas, de acordo comcada torre.

3.4.1.6 Cruzamento de obstáculos

A norma recomenda distâncias mínimas adicionais ao transpor vãos que contenham obstáculos, ouregiões com utilização especíca (ex. passagem de pedestres, rodovias, etc). recomenda-se nestecaso marcar no perl estas alturas, como guia para as linhas de terra.

3.4.2 Projeto de estruturas

Um projeto de uma torre parte do levantamento dos esforços estáticos e dinâmicos. Estes es-forços possuem uma parcela estatística, como a carga de vento e o risco de rompimento de cabos.Apresenta-se a seguir dois estudos:

Gráco de aplicação usado para torres previamente projetadas, no qual um diagrama especi-ca os limites de carregamento;


Árvore de carregamento usado para novos projetos de torres, ou em estruturas especiais.

3.4.2.1 Gráco de aplicação

A aplicação de uma estrutura é regida basicamente por três fatores:

Ângulo de deexão,

Vão de peso (ou vão gravante),

Vão de vento (ou vão médio).

que são referenciadas em um gráco de aplicação. Este gráco é um resumo do desempenhoestático da torre, ou seja, é especíco de cada modelo padronizado. As guras 3.10 e 3.11 sãoalguns exemplos. Repare que a torre é considerada aplicável caso os valores estejam na parteinterna do gráco (área aplicável na gura 3.11).

Figure 3.10: Exemplo de gráco de aplicação [16, p. 347]

Equações de reta limite do gráco de aplicação [? ]:

VVmax(γ) =VVmax(γ = 0°)

cos γ/2− fa 2TV tan γ/2

ft pV dc(3.4.3)

Vp(γ) =pV dc cos γ/2

p tanαmaxVV +

2TV sin γ/2

p tanαmax(3.4.4)

3.4. INTRODUÇÃO AO PROJETO EXECUTIVO DE LINHAS 57

Figure 3.11: Exemplo de gráco de aplicação [? , p. 180]

sendo γ a deexão da linha, TV a tensão no condutor na condição de vento máximo, dc o diâmetrodo condutor, fa e ft fatores de sobrecarga, pV a pressão do vento e αmax o ângulo máximo debalanço da cadeia.

3.4.2.2 Árvore de carregamento

Hipóteses de solicitações de estrutura:

1. Cabos intactos, vento máximo;

2. Um cabo para-raios rompido, vento médio;

3. Um cabo de fase rompido, vento médio;

4. Desbalanceamento vertical de montagem (uma fase lateral montada), sem vento;

5. Carga vertical de montagem, sem vento.

Sendo que na previsão da torre prever ângulo de deexão, estudar os esforços com e semdeexão. Representa-se os esforços decompostos por suas componentes, incluindo a diferença entrevãos desnivelados. Utiliza-se a temperatura mínima por ser a condição mais crítica.

O cálculo estrutural consiste em separar os esforços nos pontos de xação da estrutura, alémdo peso próprio, em uma árvore de carregamento. A árvore é um estudo importante, no qual épossível calcular os momentos de cada esforço sobre cada nó e montante, chegando até aos esforçosnas fundações.

O estudo na árvore de carregamento pode ser considerado como uma analogia ao circuito elétrico(que pode-se estudar de forma estática - corrente continua, ou dinâmica - corrente alternada).

Os esforços podem ser divididos pelo eixos cartesianos:

1. Esforços verticais:

(a) Peso dos cabos,

(b) Peso próprio da torre,

(c) Peso da cadeia de isoladores.

2. Esforços transversais:

(a) Carga de vento nos cabos,

(b) Carga de vento na torre,


Figure 3.12: Exemplo de árvore de carregamento em uma torre de circuito duplo, incluindo esforçostransversais, longitudinais e verticais [14, p. 430]

(c) Carga de vento nas cadeias de isoladores,

(d) Esforço por deexão da linha.

3. Esforços longitudinais:

(a) Assimetria entre vãos,

(b) Rompimento de cabo,

(c) Esforço de montagem,

3.5 Elementos construtivos

Nas seções anteriores foram apresentadas dois elementos fundamentais de uma linha de transmissão:cabos e torres. Nesta seção são listados os demais elementos, mas cuja importância é relevante:pensando na linha como uma corrente, no qual rompe-se no elo mais fraco, percebe-se a importânciade que todos os equipamentos sejam bem projetados e especicados.

3.5.1 Isolador

3.5.1.1 Vidro

3.5.1.2 Porcelana

3.5.1.3 Polimérico

Material a base de borracha de silicone com núcleo em bra de vidro, sendo na verdade uma cadeiaem geral uma peça única e extremamente leve.

Seu uso no Brasil ainda é restrito a subestações e linhas curtas, devido ao desempenho opera-cional e as diversas culturas das empresas.

3.5.2 Espaçador

Ferragem utilizada para manter os cabos de uma mesma fase a uma distância denida, de formaa equilibrar o campo elétrico e resistir as oscilações.

3.5. ELEMENTOS CONSTRUTIVOS 59

3.5.3 Amortecedor

Ferragem instalada em cada cabo de forma a atenuar vibrações eólicas, com amplitude da ordemde centímetros e frequência entre 3 a 150 Hz. O amortecedor é instalado nos prováveis pontos demáximo, sendo estes pontos calculados de acordo com a tração, material e comprimento do vão.

O modelo mais usual de amortecedor é o tipo Stockbridge. Algumas variantes permitem cobrirmais de um modo de oscilação, aumentando a eciência.

Figure 3.13: Esquemático de um amortecedor Stockbridge (fonte: http://

www.hubbellpowersystems.com).

3.5.4 Anel de potencial e anel anti-corona

Os anéis anti-corona são utilizados para balancear o campo elétrico em diversas ferragens, em geralnos elementos vivos, mas é possível haver campos elétricos elevados em partes aterradas.

Os anéis de potencial são distribuídos ao longo da cadeia de isoladores, de forma a uniformizara distribuição de potenciais na cadeia, que não necessariamente é linear. Desta forma cada isoladorserá solicitado uniformemente.

3.5.5 Fundação

3.5.6 Cabo estai

Cabos de aço com função estrutural, utilizados para estabilizar estruturas delgadas, conhecidascomo torres estaiadas. Geralmente usam-se 4 cabos estais, em forma de X, a uma distânciasegura dos cabos energizados.

Algumas congurações usam ainda cabos de aço para suspensão de cadeias, chamadas de torrestrapézio or crossrope, por lembrar a atração de circo.

3.5.7 Centelhador ou supressor de surto (gap)

Composto por hastes metálicas alinhadas, em paralelo a cadeia de isoladores, permite a disrupçãodo ar em um ponto especíco, para um nível de tensão predeterminado, sem que haja dano sobrea cadeia.

3.5.8 Para-raio de linha

O equipamento para-raios (em inglês surge arrester), ao contrário dos cabos para-raios, são umaresistência não-linear, que comporta-se como circuito aberto para tensão nominal, e como umcurto-circuito para tensões acima de um valor crítico. É um elemento vital, instalado na entradade subestações para suprir qualquer entrada de surto de tensão, escoando para o terra.

Em linhas com alta incidência de descargas atmosféricas, ou problemas localizados devidoa sobretensões de manobra, é possível instalar para-raios em paralelo com algumas cadeias deisoladores, não necessariamente todas.


Figure 3.14: Detalhe de ancoragem de torre crossrope.

Possui função similar ao centelhador, mas com custo mais elevado e comportamento maisdenido.

3.5.9 Esfera de sinalização

3.5.10 Jumper

Segmentos de cabo que interliga duas extremidades de cadeias de ancoragem. Caso a ligação é feitapela fase externa, ou por motivo de balanço do próprio jumper, instala-se uma cadeia de suspensãono meio.

3.5.11 Caixa de emenda (OPGW)

Em cabos OPGW, a emenda da bra óptica é um elemento delicado, devendo ser acomodada emuma caixa especial. Normalmente a bra desce para um ponto inferior da torre, aonde esta caixaé instalada, juntamente com uma sobra de cabo para eventual manobra.

3.5. ELEMENTOS CONSTRUTIVOS 61

Figure 3.15: Torre crossrope estaiada.

Figure 3.16: Supressores de surto protegendo uma cadeia de ancoragem (fonte:http://en.wikipedia.org/ wiki/Arcing_horns).

Figure 3.17: Manutenção em para-raios de linha (fonte: http://en.wikipedia.org/

wiki/Lightning_arrester).


Figure 3.18: Exemplo de instalação de caixa de emenda (fonte: http://www.plp.com.br).

3.6. CONSTRUÇÃO E MANUTENÇÃO DE LINHAS 63

3.6 Construção e manutenção de linhas

3.6.1 Fundações

3.6.2 Montagem da torre

A maioria das torres são compostas por perl metálicos, devido à facilidade de transporte a locaisremotos. Outros tipos construtivos podem ser usados, conforme houver vantagem econômica, taiscomo pers tubulares, concreto e madeira.

3.6.2.1 Montagem com auxílio de mastros (falcão)

É o método mais econômico, e para um equipe treinada possui uma rapidez impressionante. Aspeças são previamente montadas em solo, e com o auxílio de mastros são içados manualmente.

É interessante notar que nesta etapa, os parafusos não são totalmente apertados, havendo umaoperação de aperto (com uso de torquímetro) somente com a torre completa, por outra equipe, deforma a acomodar todos os elementos na posição.

3.6.2.2 Montagem com guindastes

O uso de guindastes permite a montagem de grandes elementos no solo, como um mastro completo,ou até a torre completa no caso da estaiada. seu uso depende muito dos acessos à praça demontagem, como linhas paralelas a rodovias.

3.6.2.3 Montagem com helicóptero

O helicóptero permite que as torres sejam montadas no canteiro, havendo necessidade de trabalhoem campo somente nas fundações e estais. Obviamente o custo será elevado, mas podendo seequilibrar pela diculdade do terreno se fossem utilizados métodos convencionais.

3.6.3 Lançamento de cabos

O lançamento consiste em passar os cabos das fases, polos e para-raios em um tramo. O tramo éuma sequência de torres de suspensão, terminadas por torres de ancoragem.

Os cabos são lançados com o auxílio de um cabo piloto, previamente lançado. Deve-se tomarcuidado para os cabos não abrirem (engaiolamento), logo as pontas são devidamente encapadas.Também utiliza-se de um mecanismo anti-torção. No caso de um feixe de condutores, todos sãopuxados simultaneamente, com o auxílio de uma peça chamada balancim, ou popularmente, arraia.

Nas torres, instala-se previamente as cadeias de isoladores com roldanas revestidas, para nãodanicar os cabos. as roldanas devem estar bem lubricadas para que não haja esforço excessivonem risco de travamento.

O cabo piloto é puxado por um guincho, chamado puller. Na outra extremidade estarão asbobinas dos cabos e um guincho de freio, para controlar o tensionamento.

A arraia deve passar cuidadosamente pelas roldanas, que contém um sulco para cada cabo,respeitando uma ordem estabelecida para não haver troca de posição.

Os cabos são lançados aterrados em ambas as extremidades, em especial quando houver linhasem operação correndo paralelamente.

Os tramos em geral são muito maiores que o comprimento dos cabos da bobina, logo sãorealizadas emendas conforme os cabos sejam esticados. Apesar de serem relativamente seguras, asnormas das empresas estipulam que as emendas quem localizadas em certos pontos do tramo, porexemplo não é permitido que a emenda que posicionada sobre uma rodovia. Os cabos OPGWnecessitam que as emendas sejam realizadas nas torres, devido à particularidade da bra óptica.

3.6.4 Flechamento

Consiste no acerto das echas no tramo. Aqui todos os vãos são alinhados simultaneamente, peloprojeto conter a mesma tração.

3.6.4.1 Linha de visada paralela

Neste método, a luneta e o alvo são xados nas torres, na altura desejada. Ajusta-se a tensão nocabo até que o cabo tangencie a linha de visada.


Figure 3.19: Métodos de ajuste óptico da echa (a) linha de visada paralela, (b) linha de visadaqualquer [16, p. 252]

Este método na teoria é bem intuitivo, mas na prática demanda que o topógrafo e o assistentesubam nas torres, e nem sempre se acomodando em algum posição prática.

3.6.4.2 Linha de visada qualquer

Neste método a luneta está no solo, mirando em algum ponto de suspensão conhecido. Sendo D eE distâncias conhecidas, e sendo E/D < 2, aproxima-se para [16, p. 253]:

f =

(√D +

√E

2

)2

(3.6.1)

3.6.5 Grampeamento

Bibliography

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65

66 BIBLIOGRAPHY

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[27] Stevenson, W. Elementos de análise de sistemas de potência, 2a ed. em português ed.McGraw Hill, 1986.

Appendix A

Requisitos elétricos de projeto de

linhas de transmissão

Nesta seção serão listados os requisitos elétricos, a parte do cálculo dos parâmetros básicos, fun-damentais para avaliar o desempenho ou segurança do projeto. Basicamente os requisitos sãorelacionados ao desempenho e a segurança.

Entende-se como desempenho os aspectos que descreveram o efeito da linha sob diversascondições, como em regime permanente e em regime transitório, como ao manobrar uma chaveou ao incidir uma descarga atmosférica.

Os requisitos de segurança traduzem o efeito da linha no ambiente, em pessoas ou outros seresvivos, na forma de radiação não-ionizante, ruído e até riscos de queda e poluição visual. Para estesefeitos, a distância é elemento determinante, e o que vai estipular a faixa de passagem da linha,sendo parcela importante no custo nal.

Sobre o critério elétrico, podemos também dividir os efeitos na origem: seja na tensão, comoem linhas EHV, ou na corrente, mais evidente em linhas de distribuição.

A.0.6 Efeitos originados pela tensão

A.0.6.1 Efeito corona

O efeito corona é a causa de diversos fenômenos presentes particularmente em linhas de extra-altatensão (345 kV e superior), mas pode ocorrer em níveis de tensão mais baixos, de acordo com ainstalação.

O efeito coroa é uma descarga parcial que ocorre em um meio gasoso, na presença de umgradiente de campo elétrico intenso, geralmente presente em condutores com pequeno raio decurvatura, mas no qual não provoca a disrupção completa do gás. A geometria do condutorprovocará uma deformação no campo, tornando a descarga autossustentada e com a ionizaçãoconnada próxima ao condutor.

Deste fenômeno origina-se principalmente perdas elétricas, interferência eletromagnética, eruído audível. Outros aspectos são a geração de ozônio, degradação de materiais e surgimentode um brilho violeta.

Como exemplo teórico, o campo elétrico em uma geometria coaxial é obtido pela fórmula:

E =1

4π ε0

λ

r2(A.0.1)

sendo λ a carga por comprimento da linha, obtida pela relação com a capacitância linear e a tensãona linha: λ = C V .

Tomando como r o raio equivalente do condutor1, E será o campo elétrico supercial, no qualnão poderá, em condições normais, ultrapassar o valor crítico de corona. Por exemplo, pela lei dePeek [20], este limite será igual a

Ec = 3, 0 · 106mδ

(1 +

0, 0308√δ r

)(A.0.2)

sendo δ a densidade relativa do ar e m um fator empírico relativo à superfície do cabo.

1equivalente devido aos cabos possuírem uma geometria de os que não exatamente o torna perfeitamentecircular.

67

68APPENDIX A. REQUISITOS ELÉTRICOS DE PROJETO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

A.0.6.2 Radio-interferência

O efeito corona produz ruído eletromagnético em uma ampla faixa de frequência, que estende-sepelas ondas de rádio e de TV. Atualmente não existe consenso (normatização atualizada) quantoaos limites a serem impostos, especicamente quanto a medição da interferência. Isto deve-se aosequipamentos, que usualmente medem somente uma frequência, ex. 500 kHz ou 1 MHz, mas ainterferência nem sempre se concentra em um valor usual.

A.0.6.3 Ruído audível

O efeito mais perceptível nas linhas de transmissão em condições normais é o ruído acústico. Oruído de alta frequência assemelha-se a um som de fritadeira, característico do efeito corona emcabos e ferragens de linhas, enquanto que o ruído de 120 Hz, é mais grave, originado na vibração dosnúcleos de transformadores, e eventualmente também nas linhas. Novamente, temos dois efeitosoriginados da tensão (corona) e da corrente (vibração magnética).

A.0.7 Campo elétrico

A linha emitirá campo elétrico em toda a sua vizinhança, sendo proporcional a sua tensão. Esteefeito é atenuado se as três fases (ou os dois polos) estarem mais próximas entre si, fazendo comque o campo elétrico distante de cada fase ou polo se anule. Por razões óbvias há um limite práticona aproximação das fases. Os cabos para-raios também interagem com o campo elétrico, podendoatenuá-lo como uma blindagem. Inclusive já se utiliza cabos aterrados abaixo das linhas paraatenuar o campo elétrico em áreas críticas.

O efeito que o campo elétrico provoca em pessoas e objetos é a indução de corrente por polar-ização. Este efeito é amplicado devido à distorção do campo provocada pela presença da pessoa,ou seja, o campo tende a se concentrar de 10 a 20 vezes na cabeça [8], comparado ao campo naausência de objetos. Portanto, o campo elétrico calculado ou medido (de 1 a 10 kV/m) aparentaser relativamente baixo, mas na prática ele eleva-se para 20 a 200 kV/m.

Um experimento artístico (http://www.richardbox.com) demonstrou a indução em lâmpadasuorescentes devido ao campo elétrico.

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP [12], no qual limita a exposição ocupacional (ouseja, por pessoal qualicado) em 10 kV/m a 50 Hz, ou 8,33 kV/m a 60 Hz, e exposição do públicoem geral em 5 kV/m a 50 Hz, ou 4,2 kV/m a 60 Hz.

A.0.7.1 Polarização e indução em cabos próximos

O campo elétrico também provoca polarização em objetos, incluindo circuitos, cercas e canaliza-ções. Se os objetos estiverem isolados, a tensão induzida tende a se descarregar ao realizar ocontato com o terra, que pode ser por exemplo uma pessoa abrindo uma cerca, ou uma manobrade manutenção em um gasoduto...

Pode-se simular o efeito da polarização em outros condutores (cabos telefônicos, linha de dis-tribuição ou rede de dados, cercas e encanamentos) através de uma matriz: cada cabo paraleloentra como uma linha e uma coluna adicional na matriz impedância e admitância. Pode-se in-clusive assumir uma simulação em alta frequência, supondo um sinal originado do efeito corona,induzindo interferência em uma rede de dados, entre outras possibilidades.

A.0.7.2 Corrente iônica (CC)

Na presença de efeito corona, ocorre a geração de íons da mesma polaridade do eletrodo, que serãorepelidos. No caso da corrente alternada, a inversão de polaridade provoca uma atração destesíons no ciclo seguinte, porém em CC sempre haverá produção e repulsão de íons, preenchendo oambiente em torno do condutor.

A propagação dos íons no espaço é a corrente iônica, que provoca um aumento do campo elétricono solo, aumentando ainda mais os efeitos sobre seres vivos.

Adicionalmente, os íons tendem a atrair partículas no ar, como poluição, provocando o acúmuloanormal, por exemplo, em cadeias de isoladores, motivo pelo qual o isolamento em linhas de CC éum ponto crítico de projeto.

O limite de projeto usual, no limite da faixa, é de 5 nA/m2.

69

A.0.8 Efeitos originados pela corrente

A.0.8.1 Ampacidade

A capacidade de corrente de um cabo depende simultaneamente de três fatores: resistência elétrica,temperatura máxima e echa. O equilíbrio destes três fatores indica a melhor aplicação do cabo.

A resistência elétrica traduz diretamente para perdas, logo em linhas longas este fator serádeterminante. Eventualmente um cabo com maior resistência pode ser usado em trechos especícos,tais como uma travessia, aonde a echa será crítica.

A echa do condutor é denida pela temperatura atual no condutor, e a tração mecânica noqual o cabo está solicitado. Atualmente estuda-se a elevação da tração de projeto, com o adventoda monitoração on-line da linha pode-se acompanhar o desempenho.

A temperatura do cabo é inuenciada pela corrente e radiação solar como elementos de entradade energia, e a dissipação por convecção natural, convecção forçada (vento) e radiação. O conjuntodestes elementos produz um alcance estatistico da capacidade do cabo, que por sua vez inuencianos dois fatores anteriores.

Um aspecto mais complexo é o cálculo da ampacidade em condições transitórias, como em curto-circuito. Nesta modelagem o cabo recebe um pulso de energia térmica, no qual sua dissipação érelativamente lenta, e o entendimento desta dinâmica é fundamental para condições de emergência.

A.0.8.2 Campo magnético

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP, no qual limita a exposição ocupacional em 500 µT a50 Hz, ou 420 µT a 60 Hz, e exposição do público em geral em 100 µT a 50 Hz, ou 83 µT a 60 Hz.

A.0.8.3 Indução

Da mesma forma que a polarização pelo campo elétrico, na seção A.0.7, a indução magnéticaserá provida pela indutância mútua entre circuitos. Neste caso, a matriz impedância expandida(incorporando os condutores externos) é que determinará o efeito, ao contrário da polarização queé vista pela matriz admitância.

A.0.9 Manutenção em linha viva

Em sistemas como do Brasil, com pouca tolerância à saída de linhas, é necessária a prática demanutenção em linha viva. Para o projeto de linhas, não há uma metodologia denida, sendonecessário adotar a prática de cada empresa.

A.0.10 Desempenho em sobretensões

O estudo de sobretensões pode ser realizado, por exemplo, com estudo de propagação de ondas. Anoção básica é demonstrada na seção B.0.5.

Uma sobretensão é qualquer tensão transitória entre fase e terra, ou entre fases, cujo valor depico seja superior ao valor da tensão máxima do sistema (Vm

√2√3para fase-terra, Vm

√2 entre fases)

No estudo de sobretensão entende-se um risco de falha, por manobra, do dielétrico romper-se. Em geral assume-se um valor de 10−3 para risco de falha entre fase-terra em manobra deenergização, ou seja, chance de 1 manobra em 1000 de falhar.

Em linhas de CC, o risco típico é na ocorrência de curto-circuito em um dos polos, havendosobretensão no polo remanescente.

A.0.11 Sobretensões transitórias de frente rápida (surtos atmosféricos)

Sobretensões originadas em linhas de transmissão, no qual ondas viajantes poderão chegar nasubestação e danicar os equipamentos.

Ordem de 1 a 10 µs de tempo de frente, 50 a 100 µs de tempo de cauda. O tempo de norma é1,2/ 50 µs.

Parâmetro signicante em sistemas de tensão até 230 kV.


Figure A.1: Sobretensões de energização devido a indutância da fonte e pelo comprimento da linha[10]

A.0.12 Sobretensões transitórias de frente lenta (surtos de manobra)

Parâmetro signicante em sistemas de tensão acima de 230 kV.Ordem de 100 a 500 µs de tempo de frente, 1 a 5 ms de tempo de cauda. O tempo de norma é

250/ 2500 µs.OrigensProcura-se estudar as sobretensões no terminal da origem do surto e no terminal oposto, este

segundo em geral apresentará a maior sobretensão.

A.0.12.1 Energização de linha

Energização de uma linha em vazio, podendo conter uma carga no nal ou não.Surtos de 2,5 a 3 pu, podendo cair para 1,5 a 2,1 pu caso sejam utilizados disjuntores com

resistores de pré-inserção, ou 1,5 a 1,7 pu com sincronização de polos do disjuntor.

A.0.12.2 Religamento de linha

Energização de uma linha logo após o seu desligamento (em torno de 1 s), no qual a linha possaconter uma carga residual devido a sua capacitância. A sobretensão do religamento dependerá dádiferença entre as polaridades.

Surtos de 2,5 a 4 pu, podendo cair para 1,7 a 2,5 pu caso sejam utilizados disjuntores com resis-tores de pré-inserção, ou 1,2 a 1,7 pu com resistores de abertura, ou 1,3 a 1,6 pu com sincronizaçãode polos do disjuntor.

A.1. COMPORTAMENTO NÃO-LINEAR EM SISTEMAS DE TRANSMISSÃO 71

A.0.12.3 Ocorrência de falta

A.0.12.4 Chaveamento de corrente capacitiva

Queda de linha

Chaveamento de banco de capacitores (energização 1,5 a 3 pu, religamento 2 a 3,5 pu)

A.0.12.5 Chaveamento de corrente indutiva

Corrente de magnetização de transformador: a característica não-linear do transformador podelevar a sobretensões indesejáveis.

O laço de histerese apresenta um joelho no qual abaixo deste valor é o estado operativo normaldo transformador, de forma aproximadamente linear. Para valores acima deste ponto de joelho, acorrente de excitação aumenta bruscamente para um aumento gradual de uxo magnético. Estacorrente de excitação transitória é conhecida como corrente de inrush.

Nos primeiro ciclos após a energização, a corrente de inrush possui picos muito superiores àcorrente nominal. O valor inicial da corrente depende basicamente do ponto de onda de tensão noqual ocorreu a energização e do uxo residual no núcleo. Com um uxo residual de 1 pu, o uxomáximo pode chegar a três vezes o uxo nominal.

Chaveamento de reatores (1 a 1,5 pu)

A.0.12.6 Chaveamentos especiais

Capacitores em série

Circuitos ressonantes e ferroressonantes

Chaveamento secundário

A.0.13 Aterramento

O aterramento das torres de uma linha de transmissão é vital para a segurança de pessoal e deoperação, em condições nominais e particularmente na presença de faltas e surtos, aonde correntesdescendentes podem produzir elevação de potencial nas redondezas. Esta elevação (em inglês,ground potential rise - GPR) é representado por três valores: tensão de toque, tensão de passso etensão de transferência.

Normalmente o aterramento na torre é realizado por cabos nus enterrados horizontalmente,chamados de cabos contrapeso. Estes cabos devem assegurar uma resistência de aterramentomínima (da ordem de 5W) para toda a vida útil da linha.

As diculdades inerentes no projeto e implantação do aterramento são a medição dos parâmetrosdo solo, basicamente resistividade, que pode variar de 10 a 10.000Wm, e sendo o solo heterogêneoesses valores variam bastante ao longo do trajeto, e ainda ao longo do ano. Outro aspecto é acorrosão do aterramento e da própria torre, que irá degradar a resistência.

A.1 Comportamento não-linear em sistemas de transmissão

Até então apresentou-se modelos relacionados a linhas de transmissão aonde, quase todos, tratamde circuitos lineares. Infelizmente ao longo da vida útil da instalação, diversos fenômenos não-lineares ocorrem, alguns sendo possíveis de serem tratados de forma linearizada, outros nem tanto.Lista-se alguns exemplos:

Núcleo saturado de transformadores e reatores,

Efeito corona,

Efeito pelicular,

Arco de potência na falta,

Arco de potência na abertura de disjuntor,

Descargas atmosféricas.


Considerando ainda as linhas CC, existe ainda as interações com os circuitos eletrônicos, alémde alguns fenômenos acima terem uma caracterização bem diferente (ex. efeito corona).

Cabe ressaltar algumas premissas adotadas anteriormente que não serão válidas:

A consideração de linha idealmente transposta, por exemplo, o efeito de uma falta ocorrendoem um trecho de transposição, tornando o problema assimétrico, e provocando interaçoesentre as componentes de sequencia;

O efeito do solo, considerando a maioria dos fenômenos com retorno pelo solo, pois a com-ponente de sequência zero possui desvio considerável ao modelar o solo real;

A variação de alguns valores, como a resistividade do solo, ou o risco de falha no isolamentocom sobretensões, impondo um tratamento estatístico nos cálculos.

Não se pretende nesta seção explicar a totalidade destes problemas, cando como inspiraçãopara trabalhos futuros.

Appendix B

Final remarks

Esta apostila apresenta um resumo muito breve do assunto, que possui aspectos muito relevantestanto para prática quanto para pesquisa e desenvolvimento. Fica como sugestão um artigo [22]que aborda de forma geral mas com alguns detalhes que, apesar da aparente complexidade, inspiracuriosidade. O livro [7] também é uma fonte importante, aonde descreve com profundidade váriosaspectos de simulação de LTs.

B.0.1 Bibliograa comentada

Antes de apresentar a bibliograa completa, queria comentar as referências mais importantes paraesta apostila.

Stevenson, seja o original [26], a versão em português [27] ou a reedição póstuma por Grainger[11] são obras muito conhecidas entre os estudantes, pois é um livro aplicado em diversasdisciplinas, incluindo linhas de transmissão.

O Livro vermelho do EPRI [23, 8], com três edições, é um livro de cabeceira do prossionalde linhas, mas ele não apresenta uma introdução teórica - é necessário partir do Stevensonpara depois chegar nos assuntos com mais embasamento. O EPRI almejou na primeira versãolinhas de extra e ultra-alta tensão, em na sua terceira versão deu uma "recaida" para 200 kV.O livro mostra questões práticas de projeto, como cálculo de campos eletromagnéticos, ra-diointerferência e coordenação de isolamento.

A norma brasileira [2], com certeza é o parâmetro para o projeto de uma linha, mas é longede ser um texto didático. A norma até o momento encontra-se em revisão, e enquanto nãoentra em vigor é prática adotar algumas diretrizes de normas estrangeiras, como da IEC (ex.[13]).

O livro de Kiessling et al [14] é relativamente recente e trata de diversos tópicos, incluindoparte mecânica, aspectos de contrução e manutenção, e conta com a contribuição de J.Noslasco, que incorporou a experiência brasileira no livro.

O manual do EMTP [7] é uma fonte importante sobre simulações numéricas, envolvendoinclusive linhas de transmissão, tratando de toda a teoria e limitações encontradas. O textoé importantíssimo para compreender programas modernos como o ATP, o Matlab SimPow-erSystems e o PSCAD.

73

74 APPENDIX B. FINAL REMARKS

Bibliography

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[26] Stevenson, W. Elements of Power System Analysis, 4th ed. McGraw-Hill, 1982.

[27] Stevenson, W. Elementos de análise de sistemas de potência, 2a ed. em português ed.McGraw Hill, 1986.

Appendix A

Tabela comparativa de parâmetros

A tabela A.1 ilustra alguns valores de parâmetros para algumas congurações de linhas de trans-missão, incluindo impedância e admitância, mais a impedância em pu (Z1) na base da potênciacaracterística da linha.

Table A.1: Exemplos de parâmetros para algumas congurações.Vff [kV] Condutor PC [MW] Z1 [W/km] Y1 [µS/km] Zc [W] Z1 [pu/100 km]138 1× Linnet 47,8 0,205 + j0,490 j3,370 390 0,050 + j0,121345 1× Drake 403 0,045 + j0,377 j4,397 295 0,015 + j0,128500 4× Rail 1075 0,018 + j0,295 j5,484 232 0,008 + j0,127765 4× Bittern 2024 0,016 + j0.371 j4,474 289 0,006 + j0,1281000 6× Bluebird 4195 0,007 + j0,305 j5,441 238 0,003 + j0,128

A.1 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo simplicado

Atenção: o cálculo apresentado abaixo é uma aproximação, usualmente encontrada naliteratura. Recomenda-se realizar os cálculos como demonstrado nas seções anteriores.

Para um cálculo expedito, utiliza-se o DMG entre as fases, Deq = 3√dab dbc dac, obtendo-se os

parâmetros de sequência positiva:

Z = R+ j ωµ

2πlnDeq

r′(A.1.1)

Y = j 2π ω ε0

(lnDeq

r

)−1(A.1.2)

Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporado na impedância, valendoa regra de aplicar um RMG para impedância e outro para a admitância.

77

78 APPENDIX A. TABELA COMPARATIVA DE PARÂMETROS

Appendix B

Advanced topics

Lista de tópicos para pesquisa ou simples curiosidade.

B.0.1 Teoria eletromagnética de linhas de transmissão

Para compreender totalmente a relação entre impedância e admitância, é necessário abordar ateoria eletromagnética das linhas de transmissão.

Para uma linha relativamente longa em relação ao seu comprimento de onda, o modelo de cir-cuito concentrado perde a validade, sendo necessário a modelagem por circuito distribuído. Sejauma linha como descrita na gura B.1, ao longo do eixo x, e sendo z e y as relações entre correntelongitudinal il e tensão transversal vt, sendo expressas aqui somente como i e v respectivamente,as relações para cada trecho innitesimal é ditado pelo sistema:

dv

dx= i z (B.0.1a)

di

dx= v y (B.0.1b)

A gura B.1 ilustra o modelo básico de linha de transmissão, em aproximação monofásica, sendoo eixo x referente ao comprimento da linha, aonde divide-se a linha em elementos innitesimaisde comprimento dx, de impedância dz e admitância dy, formando um circuito escada (ou ladder).Com isso obtém-se, por exemplo, o perl de tensões transversais vt(x) e correntes longitudinaisil(x) em qualquer ponto da linha..

dz

dy

il(x)

vt(x)

dx

Figure B.1: Modelo de linha de transmissão

79

80 APPENDIX B. ADVANCED TOPICS

Desenvolvendo,

d2v

dx2= z

di

dx(B.0.2a)

d2i

dx2= y

dv

dx(B.0.2b)

Sendo a solução na forma exponencial,

v = A1 exp(x√y z) +A2 exp(−x√y z) (B.0.3)

no qual exp a é equivalente a ea. Derivando,

d2v

dx2= y z [A1 exp(x

√y z) +A2 exp(−x√y z)] (B.0.4)

substituindoi =

1√z/yA1 exp(x

√y z)− 1√

z/yA2 exp(−x√y z) (B.0.5)

sendo nesse ponto em diante assumimos z e y constantes ao longo da linha, e convencionandoZc ≡

√z/y e γ ≡ √y z, que serão discutidos em seguida. Usando como condição de contorno a

barra receptora, x = 0, v = VR e i = IR:

VR = A1 +A2 (B.0.6a)

IR =1

Zc(A1 −A2) (B.0.6b)

resolvendo,

A1 =VR + IR Zc

2(B.0.7a)

A2 =VR − IR Zc

2(B.0.7b)

nalmente,

v(x) =VR + IR Zc

2exp(γ x) +

VR − IR Zc2

exp(−γ x) (B.0.8a)

i(x) =VR/Zc + IR

2exp(γ x) +

VR/Zc − IR2

exp(−γ x) (B.0.8b)

sendo assim possível obter v e i em qualquer ponto da linha, sabendo-se os valores na barrareceptora.

Pode-se também obter a energia na linha [9], no campo magnético:

dEm =i2Ldx

2(B.0.9)

e no campo elétrico

dEe =v2Cdx

2(B.0.10)

no total

v i dt =i2Ldx

2+v2Cdx

2(B.0.11)

sendo aproximadamente uma linha sem perda, u = i Zc = i√

LC ,

dEe =

(i

√L

C

)2Cdx

2=i2Ldx

2= dEm (B.0.12)

sendo assim a energia do campo elétrico igual ao do campo magnético.

B.0.2 Impedância de condutores compostos

Para cabos de construção composto, ex. múltiplo os ou diferentes materiais, o raio interno serádado pelo RMG, em geral tabelado.

81

B.0.3 Impedância de condutores tubulares

O efeito pelicular em condutores compostos (como no caso do ASCR, alumínio com alma de aço)provoca uma nova formulação da impedância interna. Considerando que o material da alma possuicondutividade razoavelmente inferior ao da coroa, podemos considerar o cabo como sendo umcondutor tubular, com raio interno r0 e raio externo r1. Sua impedância interna será

Zi =j ω µ

2π r0

K1(ρ0)I0(ρ1) +K0(ρ1) I1(ρ0)

I1(ρ1)K1(ρ0)− I1(ρ0)K1(ρ1)(B.0.13)

ρ0 = r0√−j ω σ µ (B.0.14)

ρ1 = r1√−j ω σ µ (B.0.15)

sendo I0, I1, K0 e K1 funções de Bessel.

B.0.4 Modelagem de cabos subterrâneos e submarinos

O modelo elétrico de um cabo é análogo às linhas aéreas, mas a sua obtenção é bem mais com-plexa, devido à variedade de materiais envolvidos, comparado aos cabos nus. Estes materiais irãoimpor uma variação dos parâmetros elétricos (ε e µ), que podem variar com diversos fatores comotemperatura e pressão, além da existência, não mais desprezível, da condutância transversal G.

O uso de cabos tripolares também elevará as componentes mútuas entre as fases, e este é oprincipal parâmetro que reduz a aplicação de cabos em alta tensão CA. Em CC, outro fatoresregem o projeto, como a possibilidade de migração de íons no isolamento.

No momento sugere-se a leitura de referências, como [1, cap. 4], com modelos preliminares dediversos tipos de cabos.

B.0.5 Propagação de ondas

Uma linha de transmissão usualmente encontra-se em uma dimensão de circuito distribuído, ouseja, possui dimensões comparáveis, ou superiores, ao comprimento de onda elétrico. Desta forma,por exemplo, ao se ligar uma fonte em uma extremidade da LT, a outra extremidade não serásentida até um tempo especíco. Ou seja, em um tempo t = 0, a fonte enxerga somente o inícioda LT, injetando energia que percorrerá o circuito até o nal, que então percebe-se uma impedância(ou um curto ou circuito aberto), que por sua vez provocará uma reação, ou reexão. Uma ondairá retornar até a fonte, que então enxergará a totalidade do circuito, e rebaterá com uma novaonda! Haverá então algumas interações entre as extremidades, até que nalmente correntes etensões entrem em convergência para um sistema em regime permanente. Esta dinâmica, quepode ser muita rápida para a percepção humana, implicará em sobretensões importantes, e queeventualmente não deverão ser desprezadas.

Estes fenômenos podem ser estudados com a teoria da onda viajante.

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