HIDRAULICA EXPERIMENTAL.docx

8/18/2019 HIDRAULICA EXPERIMENTAL.docx

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ÍNDICE

Introducción

3 Modelos hidráulicos

3.1 Similitud geométrica, cinemática dinámica

3.1.! "ees de similitud. Condiciones de #roude, Euler $enolds

%$&'"EM(S

3.1.3 %laneación construcción de modelos hidráulicos

3.! #lu)o en ori*icios, com+uertas ertedores

%$&'"EM(S

3.!.1 Coe*icientes de elocidad, contracción gasto sus a+licaciones

%$&'E"M(S

3.3 Dis+ositios de medición

3.3.1 -uo de %itot

%$&'"EM(S

3.3.! -uo de /enturi

%$&'"EM(S

3.3.3 $otámetro

Conclusión


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0NID(D 3 M&DE"&S ID$20"IC&S

"os modelos hidráulicos han encontrado creciente a+licación +ara controlar modi*icar diseos anal4ticos de estructuras hidráulicas. Mediante el uso demodelos *4sicos es +osile e5+erimentar a costos relatiamente a)os con

econom4as sustanciales de tiem+o, hasta otener condiciones ó+timas.

"o anterior en ning6n caso signi*ica 7ue una técnica sustitua a la otra. Ser4a unerror su+oner 7ue una serie de resultados de reglas sencillas otenidas de lainestigación e5+erimental su+la un tratamiento racional del mismo, +udiendoocurrir 7ue dichos resultados tuieran alide8 solo en el interalo de alores +arael cual se e*ectuaron las mediciones.

(demás, aun cuando *uera +osile hacer un estudio e5haustio del *enómeno,resulta necesario tomar en consideración una serie de *actores de 4ndole

a+reciatia 7ue limitan la e5tra+olación generali8ación de las res+uestas.

"a adecuada cominación del análisis matemático la eri*icación e5+erimental+ermite su+erar esos ostáculos, restringiendo la hi+ótesis a a7uellas cuae5+eriencia ra8onamiento *4sico han mostrado no tener serios e*ectos sore lascaracter4sticas esenciales del *enómeno.

Mientras el tratamiento em+4rico recalca el desarrollo algeraico de una *ormuladeducida de la inestigación e5+erimental, a menudo con +oca )usti*icación *4sica,el análisis racional intenta una solución com+leta +ara la *unción correcta las

constantes numéricas inolucradas. %or otra +arte, la mecánica de *luidos em+lealos +rinci+ios del análisis dimensional +ara incor+orar las ariales, 7ue lae5+eriencia ha demostrado como esenciales, en una e5+resión adimensionalásica, sistemática matemáticamente ordenada9 asimismo, toda e8 7ue sea+osile se desarrolla, al menos a+ro5imadamente, la interrelación *uncional de losdi*erentes miemros de esta e5+resión.


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%or 6ltimo, 1a inestigación e5+erimental suministra las constantes numéricas laeri*icación esencial sore la e5actitud del análisis9 tamién trae consigo el estudiode las caracter4sticas del *lu)o aunadas a las +ro+iedades del *luido a lascondiciones de *rontera o geometr4a del mismo. (s4, +or e)em+lo, el estudioe5+erimental com+leto del em+u)e de un *lu)o sore un cilindro signi*icar4a ariar la

elocidad v0 utili8ar arios *luidos de distintas caracter4sticas, as4 como

cilindros de di*erente diámetro, +ara determinar el coe*iciente de arrastre encual7uier condición imaginale.

0na inestigación en este sentido re+resentar4a un traa)o *ormidale casiim+osile de reali8ar9 sin emargo, una +laneación adecuada de lascominaciones de las diersas ariales 7ue ocurren en cada +rolema +ermitellegar a generali8aciones realmente e5traordinarias con el menor es*uer8o, costo tiem+o9 muchas eces con una +resentación mu sim+le. %ara este caso +articular

es su*iciente estudiar la ariación del coe*iciente de arrastre, mediante la sim+leariación del +arámetro adimensional :llamado de $enolds: 7ue inolucra todosestos *actores, +ara otener una relación sencilla.

"a técnica seguida +ara encontrar las cominaciones +osiles se a+oa en elem+leo de +arámetros dimensionales *ormados con las di*erentes ariales del+rolema, 7ue +ermite la trans+osición de los resultados de un modelo *4sico a laestructura real. "a teor4a de la similitud 7ue satis*ace esta necesidad *ueestalecida +or ;line< =Si dos sistemas oedecen al mismo gru+o de ecuaciones condiciones goernantes, si los alores de todos los +arámetros las

condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas deen de e5hiir com+ortamientos similares con tal de 7ue e5ista una solución 6nica +ara el gru+ode ecuaciones condiciones.=

"os +rinci+ales +arámetros dimensionales de utilidad en la dinámica de *luidos seotienen de las ecuaciones del moimiento de los *luidos. No ostante lo anterior,si se conocen las ariales im+ortantes 7ue interienen en un +rolema, elllamado análisis dimensional un constitue un +rocedimiento sencillo +uramentematemático +ara determinar los +arámetros más a+licales en cada caso.

"a e5+erimentación se asa en la construcción o+eración de un modelo reducidoa escala cuo tamao se su+edita a *actores como es+acio dis+onile, ca+acidadde las instalaciones del costo del modelo, e*ectos de escala, etcétera. %ara lao+eración se re7uieren los a+aratos dis+ositios 7ue midan las caracter4sticashidráulicas del escurrimiento< gastos, elocidades, +resiones, tiem+os, etcétera.


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Laboratorio de hidráulica que contiene modelos hidráulicos a escala

Modelo para el diseño hidráulico

Modelo hidráulico


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3.1 SIMI"I-0D >E&M?-$IC(, CINEM2-IC( @ DIN2MIC(.

Similitud geométrica

Considere dos *lu)os, como los mostrados en la *ig. A. 1, 7ue se designaran comomodelo +rototi+o. Mientras 7ue el +rimero tiene, en general, dimensionesmenores 7ue el segundo es el 7ue se re+roduce en el laoratorio, el segundore+resenta la estructura real +or construir.

Figura 5.1. Similitud dinámica entre dos flujos del modelo y el prototipo (a y b)

"a similitud geométrica im+lica, de un modo estricto, 7ue sea igual la relación detodas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los

*lu)os ciertas dimensiones se seleccionan además, se designan con p al+rototi+o con m al modelo B#ig. A.1, la similitud geométrica signi*icar4a, +or e)em+lo, 7ue

le=S p

Sm


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Donde le es la escala de l4neas 7ue cuanti*ica el tamao relatio de los dos

sistemas.

0na consecuencia de la similitud geométrica e5acta es 7ue la relación de áreas ol6menes en amos sistemas se +uede e5+resar en términos del cuadrado del

cuo de le , esto es<

A e=le2

V c=le2

En algunos casos, es *actile 7ue la similitud geométrica e5ista solo en lo 7ue sere*iere a las dimensiones sore +lanos hori8ontales las dimensiones erticales+ueden 7uedar distorsionadas con otra escala de l4neas Bcomo el caso de losmodelos de r4os o de +uertos donde el conserar las misma escala de l4neas enlas tres direcciones signi*icar4a tener tirantes mu +e7ueos en los modelos. Setendr4an as4, +or e)em+lo, escalas de l4neas de dimensiones erticales hori8ontales, como sigue<

lev= H P

H m=

S p

Sm…

leh= Bv

Bm…

"a similitud geométrica se e5tiende tamién a la rugosidad su+er*icial de las+aredes 7ue limitan al *lu)o, +ues si el modelo tiene un tamao igual a un décimo

del +rototi+o

l

(¿¿ e=10)¿

, entonces la altura de las +roecciones de las

rugosidades dee estar en la misma relación. Esto es di*4cil de lograr en la+ráctica, +or lo 7ue en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en ladimensión longitudinal de la conducción res+ecto a las otras dos dimensiones, cono)eto de lograr la misma relación de +érdidas de energ4a en amas estructuras.

Similitud cinemática y dinámica.


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La similitud cinemática entre dos sistemas de *lu)o se inter+reta como laseme)an8a geométrica entre l4neas de corriente de amos *lu)os, sin distorsión ocon ella. "a similitud dinámica im+lica 7ue haa similitud dinámica im+lica 7uehaa similitud geométrica, o ien, distorsionada, además 7ue sea la mismarelación de las *uer8as dinámicas en +untos homólogos.

En la similitud dinámica al igual 7ue en la similitud geométrica, e5isten escalas deelocidades, iscosas, de *uer8as, tiem+os, densidades, iscosidades, etcétera,7ue miden la relación entre las caracter4sticas de los *lu)os o +ro+iedades de los*luidos utili8ados en los mismos re*eridas a dos +untos $ homólogos, 7ue sedesignaran con el s4molo hasta ahora utili8ados, +ero aadiendo el su4ndice e

(escala).+or e)em+lo pe , μe , ve se re*ieren a los +ro+iedades de los *luidos 7ue

se utilicen en el +rototi+o el modelo.

(demás +or de*inición saemos 7ue<

ve=le

t e

t e= le

ve

Qe= Ae V e

ae=le

t e2

pe= y e

ge

ve= μe

pe

Con las de*iniciones de escala antes dadas, la ecuación e7uialente +ara el+rototi+o es

¿∂(

vm2

2)

∂ sm+( leve t n )

∂ vm

∂ t m


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"os términos entre +aréntesis, de esta ecuación, relacionan las di*erentes escalasutili8adas es igualmente alido utili8ar los rec4+rocos Be5ce+tuando el 6ltimo.+or e)em+lo igualando el +rimero con el 7ue corres+onde al de la aceleraciónconectia Bde alor de 1, +or de*inición de escalas, resulta lo siguiente<

p p v p2

p p= Pm vm

2

pm

Esto es, +ara 7ue haa similitud dinámica, +or lo 7ue res+ecta a la *uer8a de

+resión, es necesario 7ue el +arámetro Eu= pv2/ p sea el mismo en el modelo

en el +rototi+o. En general, p re+resenta la di*erencia de +resiones p, entre dos+untos de *lu)o o entre un +unto la +resión atmos*érica. Este +arámetro esadimensional es la relación entre la *uer8a de inercia la deida al gradiente de+resiones.

3.1.! "E@ES DE SIMI"I-0D. C&NDICI&NES DE #$&0DE, $E@N&"DS @E0"E$

Cuando se diide la *uer8a 7ue act6a en un *enómeno hidráulico +or la *uer8a deinercia Bsiem+re está +resente, se otiene un numero adimensional el cual deeser el mismo en el modelo +rototi+o en +unto homólogos, cuando se cum+la lasimilitud dinámica. "as e5+resiones adimensionales, en el lengua)e hidráulico seles designan como lees de similitud.

%or medio de un ra8onamiento análogo se otuieron cuatro +arámetrosadimensionales a saer<

Eu= fuerzadeinercia

fuerzade presin=

p v2

! p

ℜ=fuerzadeinercia

fuerzaviscsa =

vl

μ/ p=

vl

v

" r2=

fuerzadeinercia

fuerzagravitacinal=

v2

gl


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S=aceleracinlcal

fuerzadeinercia =

l

vt

El +rimer +arámetro de los otenidos arria se llama n6mero de Euler rigea7uellos *enómenos donde son +re+onderantes los camios ! p de las

+resiones. Con p=# / g h=! p/# , se escrie com6nmente as4<

Eu= p v

2

! p =

v2

gh

%arámetro 7ue tiene im+ortancia en *enómenos de *lu)o ocasionados +or unagradiente de +resiones donde la densidad la aceleración del *luido interienen

+rimordialmente en el *enómeno las *uer8as iscosas +ierden im+ortancia.

Es decir, el moimiento de+ende de la *orma del *lu)o, con una con*iguración+rácticamente inariale de las l4neas de corriente. Esto ocurre en +rolemas de*lu)o a +resión como en la tuer4as, ori*icios, álulas, com+uertas, distriuciónlocal de +resiones sore un ostáculo, etcétera.

• El segundo n6mero se llama de Reynolds se acostumrar a escriir<

ℜ=vl

v

Es álido en a7uellos *lu)os a +oca elocidad donde las *uer8as iscosas son lasmás im+ortantes. 0n n6mero de $enolds grande indica una +re+onderanciamarcada de las *uer8as de inercia sore las iscosas, como +or e)em+lo : el *lu)oturulento, en 7ue la iscosidad tiene escasa im+ortancia el *enómeno de+endesolo del n6mero de Euler. Cuando este es +e7ueo de+ende de amos n6meros.

El n6mero de $enolds se usa a menudo como el criterio de seme)an8a en la+ruea de modelos de naes áreas, cuer+os sumergidos en un *lu)o, medidores de

gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las caracter4sticas del*lu)o están su)etas a e*ectos iscosos.

• El tercer n6mero se llama de roude en general se re+resenta como la ra48cuadrada de la relación de *uer8as, es decir


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"r= v

√ gl

El n6mero de #roude tiene im+ortancia en *lu)os con elocidades grandes 7ueocurren +or la acción e5clusia de la graedad9 tal es el caso del *lu)o turulento asu+er*icie lire, donde los e*ectos iscosos son des+reciales. ( medida 7ueaumenta el n6mero de #roude, maor es la reacción inercial de cual7uier *uer8a9en tanto disminue, maor es el e*ecto de la *uer8a graitacional. Cuando el *lu)oes hori8ontal, la acción del +eso desa+arece con ella la in*luencia del n6mero de#roude.

• #inalmente, en a7uellos +rolemas de *lu)o no +ermanente en los 7ue la+eriodicidad del *enómeno es im+ortante, el n6mero llamado de Strouhal caracteri8a su acción. Si se considera 7ue la *recuencia del *enómeno+eriódico es f!"#t, se tiene 7ue

S=fl

v

Donde t re+resenta una dimensión t4+ica del cuer+o ostruendo el *lu)o $ unaelocidad t4+ica dentro del *lu)o. Este n6mero es im+ortante en *lu)os relacionadoscon la *ormación de órtices, moimiento de ondas, e*ectos de iración encuer+os colocados en un *lu)o, etcétera re+resenta la ra48 cuadrada de larelación de una *uer8a hidroaerodinámica B7ue act6a +ara restaurar el e7uilirio enla con*iguración de un *lu)o la *uer8a de inercia de la masa oscilante del *luido.

Como a se ha4a sealado, +ara lograr similitud dinámica es necesario 7ue losn6meros antes de*inidos resulten iguales en el modelo en el +rototi+o. En la+ráctica no se +ueden satis*acer todos los +arámetros de manera simultánea seda +re*erencia a a7uel o a7uellos 7ue tengan maor im+ortancia en el *lu)o.

Sistemas de presi%n& En este caso, los camios de +resión se deen a unacominación de los e*ectos dinámicos +roducidos +or la aceleración, iscosidad

graedad. En el caso com6n de un *lu)o de densidad constante, el e*ecto degraedad es una distriución de +resiones hidrostáticas, su+er+uesta a una+resión ariale deida a otros e*ectos, de ah4 7ue el n6mero de $enolds sea elmás im+ortante dea ser igual en modelo +rototi+o, esto es<

V e le

ve=1


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Donde V e es la escala de elocidad ve de iscosidad cinemática9 resulta

entonces lo siguiente<

V e=V e

le

= μe

pel

e

"a escala de tiem+os es

t e= le

V e=

le2

ve

"a de aceleraciones

ae=V e

t e=

ve2

le3 =

μe2

pe2

le3

"a de las *uer8as iscosas

" e=me a0= pe le3 μe

2

pe2

le3=

μe2

pe

@ +or 6ltimo de+resiones

Pe= " e

A e=

μe2

pe le2

(l utili8ar el criterio de seme)an8a de $enolds +uede demostrarse 7ue las *uer8asgraitacionales se anulan no tiene, +or lo tanto, e*ectos sore las caracter4sticasdel *lu)o. Sin emargo, en la maor4a de los estudios con modelos el n6mero de

$enolds ar4a desde1

$10

6

a20

$10

6

, +or la cual la utili8ación de estecriterio de seme)an8a es +oco usual en la +ráctica.

PROBLEMA 1


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0n dis+ositio de inestigación se encuentra sostenido +or una arra cil4ndrica de.1A m de diámetro, la cual a su e8 está su)eta a una lancha sumergidaerticalmente en aguas +ro*undas a 1AFC, donde la elocidad, +or el moimientode la lancha, alcan8a 3mGseg. Se desea determinar la *uer8a de resistencias en laarra Binducida +or el moimiento con un modelo geométricamente similar, de

.3 m de diámetro, en un t6nel de iento de +resión ariale, donde es +osilelograr elocidades hasta de 3mGseg, a una tem+eratura de 1AFC.

Solución

Su+oniendo 7ue el t6nel de iento se o+era a 3mGseg, se +uede otener ladensidad del aire, re7uerida +or la condición de 7ue el n6mero de $enolds seaigual en los dos sistemas. %ara la tem+eratura de 1AFC las escalas de iscosidadde amos *luidos, de elocidades de l4neas son, res+ectiamente

μe= μ p

μm=1.18 % 10

−4

2.0 % 10−6 =0.59 % 10

2

V e=V p

V m= 3

30=0.1

pe= μe

V e le=(0.59 % 102)

0.1 % 5=118.0

Deido a 7ue la densidad del agua es p=101.87 &g∗seg2/m4 , la de aire dee ser

pm= 101.87

1.18 % 102=0.8633 &g∗seg2/m4

Como la densidad del aire a +resión atmos*érica estándar es .1!A &g∗seg2/m4 ,

el t6nel dee controlarse con una +resión de H atm, a+ro5imadamente, +araalcan8ar la densidad deseada.


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De la ecuación BA.1! la escala de *uer8a es

" e=(0.59 % 102)2

1.18 % 102 =29.5

"a *uer8a de resistencia en +rototi+o será entonces<

" p=29.5 "m

PROBLEMA 1.2

Determinar las escala de elocidad, gasto *uer8as, +ara un modelo construido a

escala le=100 de una ora de e5cedencias 7ue descargara un gasto de

10000 m

3

seg '

Solución

El *enómeno 7ue se +resenta está su)eto a la le de #roude, +or lo 7ue si se a+licala Ec. BA.1 la escala de elocidades resulta<

V e=√ 100=10

& sea, 7ue +ara otener las elocidades del +rototi+o se necesita multi+licar +or 1 las elocidades medidas en el modelo.

De la Ec. BA.1H, la escala de gastos ale<

Qe=1005 /2=100000

Entonces el gasto 7ue deerá *luir en el modelo es

100< ¿

seg

Qm= 10000

100000=0.1

m3

seg=¿

"a escala de *uer8as, +ara # e=1 , de la Ec. BA.1J resulta ser


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" e=1 % 1003=1000000

3.1.3 %"(NE(CIKN @ C&NS-$0CCIKN DE M&DE"&S ID$20"IC&S

El uso de modelos *4sicos a escala reducida, llamados sim+lemente modeloshidráulicos, im+lica 7ue éstos deen ser seme)antes al +rototi+o, +ara lo cual deesatis*acerse las lees de similitud >eométrica, Cinemática Dinámica, 7ue encon)unto relacionan magnitudes *4sicas homólogas de*inidas entre amossistemas.

Cuando se a a reali8ar una com+aración con res+ecto a la similitud geométricase de*inen +untos homólogos sore los cuales se de*inen magnitudes tales comoelocidad, +resión, etc.9 de igual manera se de*inen lados, su+er*icies ol6menes

homólogos. "a similitud geométrica im+lica una relación constante +ara cual7uier longitud ", esta relación es denominada escala de l4neas de longitudes. Cuando lacom+aración entre el +rototi+o modelo es con res+ecto a un moimiento, seestalece entonces la similitud cinemática9 ésta se cum+le cuando los +atrones la*orma de los +atrones de *lu)os homólogos son iguales en cual7uier tiem+o, esdecir, ha similitud en el moimiento de los sistemas. Es +or esto 7ue la relaciónde elocidades entre estos +untos dee ser constante es denominada escala deelocidades. Es un re7uisito 7ue se cum+la con la similitud geométrica +ara 7uese cum+la la similitud cinemática.

El moimiento de un *luido en el modelo el en el +rototi+o, +ara 7ue sea similar en *orma com+leta, no es su*iciente con 7ue se cum+la con las similitudesgeométrica cinemática, tamién es necesario tomar en consideración la acciónde *uer8as sore las +art4culas de un *luido, tales como *ricción, tensión su+er*icial,graedad o +eso, *uer8as de inercia, de Coriolis, etc. "o anterior im+lica 7ue larelación de *uer8as homólogas tamién dee ser constante, estaleciéndose as4 laescala dinámica de *uer8as.

En el diseo de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los*actores t4+icos 7ue goiernan su com+ortamiento +or lo tanto su modelación

diseo. ( continuación se +resentan algunos e)em+los


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Tipo de estructura factores de diseño típicos

1. ESR!"!RAS #E "O$ROL #e%carga ni&ele% de agua.a. -omas /elocidad, +érdidas, +resión.

. Muros de contención B*uer8as, iraciones, inestailidades

c. Com+uertas /órtices, demanda de aire, sedimentos.

d. (tagu4as ielo, caitación, olea)es.

e. Diisoras de aguas %atrones de *lu)o

2. "O$#!""'O$ $i&ele% de agua( )erdida%.a. /ertederos /elocidades, +erdidas, entrada.. Canales De aire, caitación.c. -6neles

*. #'SPARA#ORES #E E$ER+'A $i&ele% de agua( )erdida%.

a. (m+liaciones aru+tas %resión, iración, demanda de aire.. Di*usores Caitación, arasión, olea)e.c. %antallas

3.! #"0L& EN &$I#ICI&S, C&M%0E$-(S @ /E$-ED&$ES

Con el *in de tomar en cuenta los +arámetros no considerados en la *ormulación

teorice de un *enómeno, suelen considerar coe*icientes de corrección a los aloresteóricos otenidos 7ue +ro+orcionen alores reales.

El *lu)o a traés de ori*icios, ertederos com+uertas son e)em+los t4+icos dondeestos coe*icientes encuentran a+licación.

:Coe*iciente de descarga.


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El coe*iciente de descarga Cd es la relación entre el caudal real 7ue +asa atraés de un dis+ositio el caudal real.

CdO caudal realGcaudal ideal

: Coe*iciente de elocidad.

El coe*iciente de elocidad C es la relación entre la elocidad media real en lasección recta de la corriente la elocidad media ideal 7ue se tendr4a sonro8amiento.

CO elocidad media realGelocidad media ideal

:Coe*iciente de contracción.

El coe*iciente de contracción Cc es la relación entre el área de la sección rectacontra4da de una corriente el área del ori*icio a traés del cual *lue el *luido.

Cc O área de *lu)o contra4doGárea de ori*icio

Se cum+le 7ue CdO CPCc

Flu,o en ori-icio%


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Flu,o en com)uerta%.

QOCd Pa R!PgP1

Cd O coe*iciente de descarga


18/36

' O ancho de com+uerta

( O aertura de com+uerta

@1 O +ro*undidad del *lu)o aguas arria de la com+uerta.

Flu,o en &ertedero%

O ancho del ertedero

h O carga de aguas arria del ertedero

Cd O coe*iciente de descarga Ben un ertedero son contracciones laterales +uedeem+learse Cd O .H1 .T hGU.


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PROBLEMAS

Prolema de &ertidor


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3.! C&E#ICIEN-ES DE /E"&CID(D, C&N-$(CCIKN @ >(S-& @ S0S (%"IC(CI&NES

"os coe*icientes de elocidad, en un ori*icio, son ásicamente e5+erimentales. Sinemargo, en teor4a es +osile encontrar la magnitud del coe*iciente de gasto +ara

un ori*icio circular a +artir de moimiento a+licada sore un olumen de controllimitado +or la *rontera del control del chorro en contacto con el aire, la seccióncontra4da , dentro del reci+iente, +or una su+er*icie semies*érica de radio igual aldel ori*icio B*igura3.!.1:1. %ara hacer lo anterior, se designa como 1 la elocidadde una +art4cula sore la semies*era de radio $, tra8ada en la #ig. 3.!.1:1 cuadirecciones radial al centro de la semies*era.

"a su+er*icie de la semies*era ale<

A1=2 ( )2

@ la corres+ondiente a la sección contra4da<

A0=* 0 A=* 0 ( )2

Fig. *.2.1/1 'eri$aci%n del coeficiente de contracci%n para orificio de pared delada&

De la ecuación de continuidad se otiene<

v1=

A0

A1 V

Sustituendo las ecuaciones B3:H B3:J en esta resulta 7ue<

v1=

1

2*

0V


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%ara a+licar la ecuación de la cantidad de moimiento, es necesario conocer laelocidad media sore la semies*era en la dirección del escurrimiento. "a

com+onente +aralela al e)e del ori*icio de las elocidades v1 , sore la su+er*icie

de la semies*era, ale v1cos+ 9 es decir, 7ue la ariación seg6n la le cosenoidal

como se muestra en la #ig. 3.!.1:!. De este modo, la media de las com+onentesde la elocidad, sore la su+er*icie semies*érica, se otiene +or la igualación del

olumen del cilindro V 1 ( )2

con el olumen encerrado +or la su+er*icie de le

cosenoidal9 ósea<

V 1=

v1

( )2∬

A

+

cos+ dA

@, con cos+=√ )2−r2

) , dA=2(r dr entonces<

V 0=

2v1

)3 ∫

0

)

√ )2−r2 rdr

"a integración conduce al estado siguiente<

V 0=−2v

1

3 )3 [ ( )2−r 2)

3

2]

¿− 2 v

1

3 )3 [− )3 ]

#inalmente se tiene 7ue<

V 0=

3

2v1

Sustituendo la Ec. B3:T en la B3:V resulta<

Fig. 3.2.1-2 distribución

de las com onentes de la


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V 0=

* 0

3V

%or tanto, es +osile ealuar los coe*icientes , 7ue interiniera en la ecuación

de la cantidad de moimiento. %or una +arte, el coe*iciente +ara la seccióncontra4da ale 1, +ues se su+one 7ue la distriución de la elocidad coincide con

la media9 sin emargo, el coe*iciente , +ara la semies*era tiene un alor distinto

de 1 resulta al saer<

1=∬ A

+

v12

cos+ dA

A V s2

De la #ig. 3.!.1:!, dA=2(r dr además

sen2

+= r

2

)2

-cos2

+=1− r

2

)2

Con estas e5+resiones considerando la Ec. B3:T el alor de

1

es<

* 02

V 2

3 (1− r2

)2 )2(r dr=¿

1=

1

A V s2∫

0

)

¿

¿ 1

A V s2

* 02

V 2

2 [ ()2

2−

()2

4 ]@ de la Ec. B3:1 resultan entonces 7ue<

1=

9

( )2* c

2V

2* c

2V

2 ()2

8=9

8=1.125


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Es necesario conocer las *uer8as 7ue im+ulsan al olumen de agua limitado +or lasección contra4da las ecuaciones de la es*era9 en un +unto E sore la semies*eraact6ala +resión p. la ecuación de 'ernoulli +ara la l4nea de corriente, a+licada aeste +unto, es<

H = z+ p# + va

2

2g

Si se ace+ta 7ue la carga H es mu grande en com+aración con el radio del

ori*icio, +uede entonces des+reciarse , +or tanto, sore toda la semies*era la+resión será constante de alor<

p=# ( H − v12

2 g )

%or lo cual la com+onente en la dirección del moimiento del em+u)e o *uer8a total,sore la su+er*icie de la semies*era, es <

pA=# ( H − v12

2g ) A

En la sección contra4da act6a la +resión atmos*érica, +or lo 7ue la *uer8a soredicha sección será cero. "a masa del l47uido descargada a traés del ori*icio es

#

g * c AV

"a cual se acelera desde la elocidad media V s sore la semies*era, e5+resada

+or la Ec. B3:1, hasta la elocidad media V en la sección contra4da. (s4, de

acuerdo con las Ecs. B3:T, B3:1, B3:1! B3:13, la ecuación de la cantidad demoimiento se e5+resa como sigue<

# A [ H − 12g ( * c V 2 )2

]= # g A * c V (V −98 * c3 V )%or otra +arte, de la Ec. B3:! se tiene 7ue


25/36

H = 1

* v2+

V 2

2g

Con lo cual resulta<

V 2

2 g [2* c−3

4* c+

1

4*

0

2− 1

* v2 ]=0

& ien eliminando la carga de elocidad, se tiene 7ue<

( 34−14 )* c2−2* 0+ 1* v2=0

%or tanto<

* c2−4* c+

2

* v2=0

Deido a 7ue * 0 dee ser menor 7ue 1, la ra48 alida en estas ecuaciones la

corres+ondiente al signo negatio del radical9 asi, se otiene la ecuación<

* c=2−√4− 2

* 0

2

En la tala 3:1 se +resentan los alores de * v * d calculados de la Ec. B3:

1, +ara di*erentes alores de * v de la de*inición * d .

ABLA */1 "OEF'"'E$ES #E +ASO #E LA E". */10* v 1 .VV .VT .VJ .VH .VA

* c .ATH .H .H1A .H31 .HJ .HH

* d .ATH .AV .H3 .H1! .H!1 .H31


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PROBLEMA.

Mediante un análisis dimensional se com+ruea 7ue los coe*icientes de elocidad,contracción gasto, son *unción e5clusiamente del n6mero de $enolds. Deacuerdo con los resultados de di*erentes inestigadores +ara ori*icios circularessus alores tienen la ariación mostrada en la #ig. 3.!.1:. Se osera 7ue +ara

n6meros de $enolds $eW1A, los coe*icientes * v , * c y * d son inde+endientes

de dicho n6mero ad7uieren los alores constantes siguientes<

* v=0.99

* c=0.605

* d=0.60

De la tala 3:1 se tiene 7ue +ara * v=0.99, la Ec. B3:1 +ro+orcionan los

alores * c=0.60 * d=0.594 7ue coinciden +rácticamente con los

coe*icientes e5+erimentales arria indicados.

%or de*inición de contracción, +ara un ori*icio circular se otiene

.=√ 1

* v . c

@ con * c=0.605 , .=1.285 .c o ien .c=0.778 . .

Cuando se trata de ori*icios rectangulares de +oca altura los coe*icientes* v , * c y * d , son +rácticamente los mismos en la #ig. 3.!.1:. En este caso Ben

lugar de .

en el numero de $enolds se utili8a la misma dimensióna

delori*icio en la ecuación B3:1 corres+ondiente a su área A=a/ B / es la

dimensión del ori*icio.3.3 DIS%&SI-I/&S DE MEDICIKN B-0'& DE /EN-0$I, -0'& DE %I-&-,$&-2ME-$&


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uo de Pitot

El tuo tiene una *orma de " al introducirse en el l47uido en moimiento Bcomolas aguas de un r4o, deido a la +resión, el agua se elea en el tuo hastaalcan8ar cierta altura sore la su+er*icie de la corriente. Conociendo esta altura, la

elocidad del *luido se otiene con el -eorema de -orricelli<

/1O c √ 2 gH

Dónde<

es la carga total 7ue +roduce el *lu)o en m Baltura de l47uido

C es el coe*iciente de descarga, +uede escriirse en relación al coe*iciente deelocidad al de contracción.

PROBLEMAS

1.:0n tuo de %itot, teniendo un coe*iciente de .VT, se em+lea +ara medir laelocidad del agua en el centro de una tuer4a. "a altura de +resión deestancamiento es A.ATm la altura de +resión estática en la tuer4a es de .HAm.XCuál es la elocidadY


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Solucin

Si el tuo se ada+ta +osiciona correctamente, un +unto de elocidad cero B+untode estancamiento se desarrolla en ' en*rente del e5tremo aierto del tuo Béase*igura V:1. (+licando el teorema de 'ernoulli desde ( en el l47uido en re+oso asta

' se tiene

( pA0 + v2 A

2 g +0)=( pB0 +0+0)

Entonces, +ara un *luido ideal des+roisto de *ricción

V 2 A

2 g =

pB

0 −

pA

0 ó / ( O √2g( p/

0 −

pA

0 )

%ara el tuo real dee introducirse un coe*iciente c 7ue de+ende de la *orma deltuo. "a elocidad real +ara el +rolema anterior seria

/ ( O c √2 g( p/

0 −

pA

0 ) O .VT √ 2g (5.58−4.65 ) O .1T mGs

PROBLEMA 2.: ( traés de un conducto *lue aire, el tuo de %itot estático 7uemide la elocidad está conectado a un manómetro di*erencial conteniendo agua.Si la desiación del manómetro es 1 cm, calcular la elocidad del aire,su+oniendo 7ue el +eso es+ec4*ico del aire es constante e igual a 1.!! ZgGcm 3 7ue el alor del coe*iciente del tuo es .VT


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Solucin

%ara el manómetro di*erencial,

B%':%(G U O B1G1 B1G1.!! O T! m aire.

Entonces, / O .VT √ 19.6 (82 ) O 3V.3 mGs

uo de 3enturi

El e*ecto /enturi Btamién conocido tuo de /enturi consiste en 7ue un *luido enmoimiento dentro de un conducto cerrado disminue su +resión al aumentar la

elocidad des+ués de +asar +or una 8ona de sección menor, llamada garganta.Si en esta +arte estrecha se introduce el e5tremo de otro conducto o tuo, se+roduce una as+iración del *luido contenido en él. Este e*ecto, demostrado en1JVJ, recie su nomre del *4sico italiano< >ioanni 'attista /enturi B1JH:1T!!.

Se +uede deducir una e5+resión +ara la ra+ide8 de *lu)o 1 en *unción de las áreastransersales (1 (! la di*erencia de altura h en los tuos erticales, 7uedando


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v2=

√ 2g ! H

(1−( A2 A1)2

)De esta *órmula, +odemos concluir 7ue entre maor sea la di*erencia de alturasentre los dos tuos, maor dee ser la elocidad del *luido en el estrechamiento.-amién +odemos er Bun +oco más di*4cilmente 7ue a maor di*erencia entre lasáreas 1 !, es maor la elocidad en la +arte estrecha.

Se +ueden medir directamente las +resiones en la +arte normal en la +arteangosta del conducto, colocando manómetros en dichas +artes. Se +uededemostrar 7ue a+licando la ecuación de 'ernoulli, la elocidad del l47uido seotiene con la siguiente e5+resión<

(demás de determinar la elocidad de los *luidos en un conducto, el e*ecto /enturitiene otras a+licaciones< el suministro de gasolina de un motor con carurador seconsigue utili8ando un tuo de /enturi9 los rociadores o atomi8adores, como losutili8ados +ara +intar, tamién a+lican este e*ecto.

PROBLEMA 1./ %or un tuo de /enturi, 7ue tiene un diámetro de 1 +ulgada +or la+arte ancha [ +ulgada en la +arte estrecha, circula agua. El /énturi tiene


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\ \ \ \ \ H

Figura ejemplo 1

1

conectados dos tuos manométricos 7ue marcan una di*erencia de alturas delagua O 3 cm. Calcule<

a XCuántos metros c6icos de agua +or segundo circulan +or el tuoY

Solucin. El gasto de agua 7ue circula a traés del tuo de /énturi estáre+resentado +or la ecuación de continuidad<

Q= A1 v1= A2 v2

(1, 1 (!, ! re+resentan las áreas elocidades en la +arte ancha angosta dela tuer4a, res+ectiamente.

%ara conocer el gasto es necesario encontrar el alor de una de las doselocidades en la ecuación anterior, +or lo 7ue es necesario utili8ar una segundaecuación 7ue las contenga, +ara lo cual utili8amos la ecuación de 'ernoulli<

P1− P2=1

2 1 ( v2

2−v12

)

El término corres+ondiente a la di*erencia de alturas no a+arece +or7ue es unatuer4a hori8ontal, +or lo 7ue h1 h! están a la misma altura.-enemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas %1 ] %! se calcula a +artir dela di*erencia de alturas 7ue es dato, entre los dos tuos manométricos


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instalados +ara tal +ro+ósito en el tuo de /énturi, utili8ando +ara ello la ecuaciónre+resentatia +ara un *luido estático, %1 ] %! O !g, como es el caso de los dostuos manométricos midiendo la di*erencia de +resión entre dos +untos +ara un*lu)o en moimiento estacionario.Des+e)ando 1 de la ecuación B1 sustituendo en la B!, otenemos<

v1=

A2

A1v2

%or lo 7ue

v1

2=( A2 A1 )2

' v2

2

@ la ecuación B! 7ueda<

1g ! H =1

2 1 v2

2(1−( A2 A1 )2

)Des+e)ando ! de la ecuación anterior<

v2=

√

2g ! H

(1−( A2

A1 )

2

)=

√

2g ! H

(1−(d2

d1 )

4

)=

√

2 $ 9.8m /s (0.3m)

(1−(3/4 pulg1 pulg )

4

) =2.93m /s

Entonces el gasto, ecuación B1, será<

Q= A2V 2=2.85 $10−4

m2 $2.93m /s=8.35 $ 10−4 m3/s=0.835


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h

Líquido

e

PROBLEMA 2 0na oma manual de rociado asore l47uido de un de+ósito,7ue se encuentra conectado al tramo más angosto de la oma, a traés de un

tuo 7ue tiene una altura, h OT cm, como se muestra en la *igura. El diámetro enla +arte ancha es de !.A cm, el diámetro del tuo en la +arte angosta es de 3 mm el l47uido en el de+ósito tiene una densidad de .JA grGcm 3. Considerando unadensidad de 1.351:3 grGcm3 +ara el aire en la oma, calcular<

a "a di*erencia de +resiones entre las +artes ancha angosta, %, m4nima +araelear el l47uido desde el de+ósito a una altura h.

"as elocidades m4nimas 1 ! entre las +artes ancha estrecha de laoma.

Solucin inci%o a4 "a altura h 7ue sue el l47uido desde el de+ósito estádirectamente relacionada con la di*erencia de +resiones entre la +arte ancha estrecha de la oma.

! P= 1 2 g ! h


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Donde I es la densidad del insecticida l47uido en el de+ósito. Entonces,

! P=750 3g/m3 $ 9.8m/s2 $ 0.08m=588 Pa=0.085 l/ / pulg2

Como +uede oserarse la m4nima di*erencia de +resiones es su*iciente +ara suir el l47uido me8clarse con el *lu)o de aire. %or esa ra8ón uno +uede sacar ell47uido de un re*resco con un +o+ote al hacer un +oco de ac4o con la oca.

Solucin inci%o 4 Si eti7uetamos con el No. 1 a la +arte ancha el ! a laestrecha, la di*erencia de +resiones, de acuerdo con la ecuación de 'ernoulli es<

! P= P1− P

2=

1

2 1 ( v2

2−v1

2 )

Deido a 7ue 1 ! son incógnitas, tenemos 7ue usar otra ecuación 7ue lascontenga esta es la ecuación de continuidad

A1

v1= A

2v2

Des+e)ando 1 de esta 6ltima sustituendo en la anterior B! otenemos<

v1

2= A2

2

A1

2 v

2

2

@

! P=1

2 1 (v22− A2

2

A1

2 v2

2)=12 1 v22(1− A22

A1

2 )Des+e)ando !<

v2=

√ 2! P

1air(1− A22

A1

2 )=

√ 2 $588 Pa

1.3 3g /m3(1−0.0034

0.0254 )=

30m /s

%ara calcular 1 recurramos a la ecuación de continuidad B3


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v1=

A2

A1v2=

0.32

2.5230m /s=0.42m/s=42cm/ s

Como +uede oserarse de los resultados, la elocidad en la +arte estrecha de la

tuer4a, $ * , es tal 7ue la +resión dee ser mu a)a se +resenta el *enómeno decaitación 7ue +ermite 7ue las gotas de l47uido se +ulericen.

Se de)a como e)ercicio +ara el alumno calcular la +resión en % 1 reco+ilar in*ormación sore el *enómeno de caitación deido a la a)a +resión en un tuode /énturi.

rotámetro%

Este instrumento es un medidor de caudal en tuer4as con ca4das de +resiónconstante de área ariale. Consiste de un *lotador 7ue *unciona como indicador se muea liremente en el interior de un tuo ertical cónico, el tuo +osee une5tremo angosto en la +arte in*erior. %or este e5tremo se encuentra la entrada del*luido, cuando el *lu)o se actia, en ese momento el *lotador comien8a a *uncionar hasta 7ue el área anular, entre la +ared del tuo el *lotador, sea tal 7ue la ca4dade +resión dentro del tuo ertical sea su*iciente +ara e7uilirar al *lotador.

Cuando se trata de +resiones a)as, el tuo cónico es de idrio +ara hacer mediciones cuando e5isten +resiones altas, el tuo es de metal, este se encuentragraduado con una escala lineal. De+endiendo de la +osición en la 7ue se indi7ue

7ue se e7uilire el *lotador, el caudal o gasto del *luido en la tuer4a será distinto.

El *undamento sore el *uncionamiento del rotámetro se asa en 7ue el em+u)ereali8ado es directamente +ro+orcional al des+la8amiento del émolo, asándoseen el +rinci+io de (r7u4medes 7ue dice< -odo cuer+o sumergido en un l47uido,e5+erimenta un em+u)e ertical hacia arria al +eso del l47uido, desalo)ándolo."a altura en la 7ue se des+lace el *lotador será e7uialente a un determinado *lu)o.Cuando a+arte del caudal es necesario conocer la elocidad del des+la8amiento,se +uede des+e)ar / en la *órmula de la continuidad, la cual es< QO/(, des+e)andola elocidad, 7ueda< /OQG(9 en esta *órmula, QOcaudal, /Oelocidad, (O2rea delrotámetro.


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