GUIA_3_DEFORMACIÓN SIMPLE
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2008-2009
Ing. Ramón E. Vilchez G.
e-mail:
Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”.
U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. GUÍA N 3. DEFORMACIÓN SIMPLE
Web: http://resistenciadelosmaterialesunefm.blogspot.com
U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. TEMA N° 2. DEFORMACIÓN SIMPLE
Prof. Ing. Ramón E. Vilchez G. e-mail: [email protected]
Web: http://resistenciadelosmaterialesunefm.blogspot.com Página 2
Contenido Propiedades Mecánica de los Materiales: .................................................................................... 3
Deformación Simple (δ): ............................................................................................................... 5
Deformación Unitaria (ε): ........................................................................................................... 6
Diagrama Esfuerzo- Deformación. ................................................................................................ 6
La ley Hooke ................................................................................................................................. 8
Deformación Axial: ........................................................................................................................ 8
Elementos estáticamente indeterminados: ................................................................................... 9
Deformación que Causan los Cambios de Temperatura ............................................................ 10
Coeficiente de Expansión Térmico (α): ................................................................................... 10
Expansión Térmica:................................................................................................................. 10
Esfuerzo Térmico: ................................................................................................................... 11
Problemas Propuestos................................................................................................................ 12
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Propiedades Mecánica de los Materiales:
a) Resistencia mecánica: la resistencia mecánica de un material es su capacidad de resistir
fuerzas o esfuerzos. Los tres esfuerzos básicos son:
Esfuerzo de Tensión: es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material.
Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y
sentidos opuestos hacia fuera del material. Como se muestra en la siguiente figura. Y
viene dado por la siguiente fórmula:
TA
T
elemtodelltransversaÁrea
elemetodelltransversaáreaallarperpendicuFuerza
.___
______
Esfuerzo de compresión: es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga
y acortar al miembro en sí. Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la
misma dirección, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material. Como se
muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente fórmula:
TA
C
elemtodelltransversaÁrea
elemetodelltransversaáreaallarperpendicuFuerza
.___
______
T T
Lo
T T
Lf
Figura N° 1. Elemento sometido a Tensión
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Esfuerzo cortante: este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza actúa de
forma tangencial al área de corte. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado
por la siguiente fórmula:
cA
V
elemtocortedeÁrea
elemetodelltransversaáreaalgencialFuerza
.___
_____tan_
b) Rigidez: la rigidez de un material es la propiedad que le permite resistir deformación.
c) Elasticidad: es la propiedad de un material que le permite regresar a su tamaño y formas
originales, al suprimir la carga a la que estaba sometido. Esta propiedad varía mucho en los
diferentes materiales que existen. Para ciertos materiales existe un esfuerzo unitario más
allá del cual, el material no recupera sus dimensiones originales al suprimir la carga. A este
esfuerzo unitario se le conoce como Límite Elástico.
Plasticidad: esto todo lo contrario a la elasticidad. Un material completamente plástico es
aquel que no regresa a sus dimensiones originales al suprimir la carga que ocasionó la
deformación.
d) Ductilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones
plásticas al ser sometido a una fuerza de tensión.
e) Maleabilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones
plásticas al ser sometido a una fuerza de compresión.
V
V
Área de corte
Figura N° 2. Elemento sometido a Cortante Simple
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f) Deformación: son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento,
cuando se le somete a la acción de una fuerza. Todo material cambia de tamaño y de forma
al ser sometido a carga
Deformación Simple (δ):
Se refiere a los cambios en las dimensiones de un miembro estructural cuando este se
encuentra sometido a cargas externas.
Estas deformaciones serán analizadas en elementos estructurales cargados axialmente; es
decir, las cargas estudiadas estarán comprendidas las de tensión y compresión.
Figura N° 3. Deformación Simple
Un ejemplo de ellos:
Los miembros de una armadura.
Las bielas de los motores de los automóviles.
Los rayos de las ruedas de bicicletas.
Todo miembro sometido a cargas externas se deforma debido a la acción de esas fuerzas.
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Deformación Unitaria (ε):
Se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del
elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de
tensión o compresión axial.
Entonces, la formula de la deformación unitaria es:
L
En donde:
ε: Deformación Unitaria
δ: Deformación Total
L: Longitud inicial.
Diagrama Esfuerzo- Deformación.
a
b c
d
e
Figura N° 4. Diagrama Esfuerzo Vs. Deformación
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a) Límite de proporcionalidad: se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado
límite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilíneo, de donde se deduce la tan
conocida relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación enunciada en el año
1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja de ser proporcional
a la tensión.
b) Limite de elasticidad o limite elástico: es la tensión más allá del cual el material no
recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una
deformación residual llamada deformación permanente.
c) Punto de fluencia: es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia
del material sin el correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras
dura la fluencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es característico del acero al
carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales
diversos, en los que no manifiesta.
d) Esfuerzo máximo o esfuerzo de Rotura: es la máxima ordenada en la curva esfuerzo-
deformación.
e) Esfuerzo de Rotura: en el acero al carbono es algo menor que la tensión de rotura, debido
a que la tensión este punto de rotura se mide dividiendo la carga por área inicial de la
sección de la barra, lo que es más cómodo, es incorrecto.
El error es debido al fenómeno denominado estricción. Próximo a tener lugar la rotura, el
material se alarga muy rápidamente y al mismo tiempo se estrecha, en una parte muy
localizada de la probeta, de forma que la carga, en el instante de rotura, se distribuye
realmente sobre una sección mucho más pequeña.
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La ley Hooke
Expresa que la deformación que experimenta un elemento sometido a carga externa es
proporcional a esta.
En el año 1678 por Robert Hooke enuncia la ley de que el esfuerzo es proporcional a la
deformación. Pero fue Thomas Young, en el año 1807, quien introdujo la expresión matemática
con una constante de proporcionalidad que se llama Módulo de Young
E
En donde:
ζ: es el esfuerzo.
ε: es la deformación unitaria.
E: módulo de elasticidad
Deformación Axial:
Recordando que la deformación unitaria es la relación que existe entre la deformación total con
respecto a su longitud inicial:
L
a
Y la Ley de Hooke es:
Fenómeno de Estricción
Falla de la Probeta
Estado inicial sin carga
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Igualando la ec. (a) y la (b) se obtiene:
Esta expresión es válida bajo las siguientes hipótesis:
La carga debe ser axial.
La barra debe ser homogénea y de sección constante.
El esfuerzo no debe sobre pasar el límite de proporcionalidad.
Elementos estáticamente indeterminados:
Son aquellos elementos cargados axialmente en los que las ecuaciones de equilibrio estático
no son suficientes para determinar las fuerzas, que actúan en cada sección. Lo que da por
resultados que las reacciones o fuerzas resistivas excedan en número al de ecuaciones
independientes de equilibrio que pueden establecerse. Estos casos se llaman estáticamente
indeterminados.
A continuación se presentan unos principios generales para enfrentar estos tipos de problemas:
1. En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o parte de ella, aplicar las ecuaciones del
equilibrio estático.
2. Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener nuevas
ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas
producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas
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Deformación que Causan los Cambios de Temperatura
Los elementos de máquinas cuando están en funcionamiento sufren cambios de temperatura
que provocan deformaciones en estos productos de estos diferenciales de temperatura.
Algunos ejemplos de ellos son: las piezas de los motores, hornos, máquinas herramientas
(fresadoras, tornos, cortadoras), equipos de moldeo y extrusión de plástico.
Los diferentes materiales cambian de dimensiones a diferentes tasas cuando se exponen a
cambios de temperaturas.
La mayoría de los metales se dilatan al aumentar la temperatura, aunque algunos se contraen y
otros permanecen del mismo tamaño. Estos cambios de dimensiones está determinado por el
coeficiente de expansión térmica.
Coeficiente de Expansión Térmico (α):
Es la propiedad de un material que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un
cambio unitario de temperatura.
Las unidades en que se exprese el coeficiente de expansión térmica son:
Expansión Térmica:
Son las variaciones de dimensión en un material producto de los cambios de temperatura en el
mismo. Y la ecuación es la siguiente:
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TLT ..
En donde:
Esfuerzo Térmico:
Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento sometido a cambios de temperaturas se le
sujetan de tal modo que impiden la deformación del mismo, esto genera que aparezcan
esfuerzos la pieza.
Recordando que: TL
TL
L
T
...
Por la Ley de Hooke:
En donde:
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Problemas Propuestos
1) Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P= 6000 kgf, como se indica en la figura la
sección AB es 4 cm2 y la de BC es 6 cm2. si E= 2x106 kgf/cm2, determinar el desplazamiento
horizontal y vertical del punto B. cmcm vH 397,1;267,0
Figura N° 5. Problema # 1.
2) Una barra prismática de longitud L, sección recta A y peso W se suspende verticalmente de
uno de sus extremos. Demostrar que su alargamiento total es AEW L
2 . Llamando w a su
peso específico demostrar también EwL
2
2
3) Una varilla de acero que tiene una sección constante de 3 cm2 y una longitud de 200 m se
suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 2500 kgf que pende de
su extremo inferior. Si el acero pesa 790 kgf/m3 y E= 2,1x106 kgf/m2. determinar el alargamiento
de la varilla.
cm69,8
4) Una barra de aluminio de sección constante de 2 cm2 soporta unas fuerzas axiales aplicada
en los puntos que indica la figura P-208. Si E= 7x105 kgf/m2. Determinar el alargamiento, o
acortamiento total de la barra.
cm43,1
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5) Un tubo de aluminio está firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce como
muestra la figura P-108. se aplican cargas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el
valor de P con las siguientes condiciones: la deformación total no ha exceder de 0,18 cm, ni
las tensiones ha de sobrepasar 1400 kgf/cm2 en el acero, 850 kgf/cm2 en el aluminio ni 1250
kgf/cm2 en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente arriostrado para evitar
la flexión lateral y que los módulos de elasticidad son E=2x106 kgf/cm2 para el acero 7 x105
kgf/cm2 para el aluminio y 8x106 kgf/cm2 para el bronce.
Figura N° 6. Problema # 5.
6) Un bloque prismático de hormigón de peso W ha de ser suspendido de dos varillas cuyos
extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la Fig 7. Determinar la relación
de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.
Figura N° 7. Problema # 6.
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7) Un pilar de hormigón de poca altura se refuerza axialmente con seis barras de acero de 6
cm2 de sección colocada simétricamente en círculo alrededor del eje del pilar, como se indica
en la figura N° 8. Se le aplica una carga de 120 000 kgf. Determinar las tensiones en el
hormigón y el acero teniendo en cuenta los módulos elásticos Ea=2,1x106 kgf/cm2 y Eh =1,4x105
kgf/cm2.
2250,282.1;5,85
cm
kgf
cm
kgfah
8) En el problema anterior y suponiendo que las tensiones admisibles son 1300 kgf/cm2 en el
acero y 60 kgf/cm2 en el hormigón, determinar la máxima carga axial P que se puede aplicar.
kgfP 240.84
9) Una cuadrada soporta una serie de cargas como se muestran en la figura N° 9. calcule el
esfuerzo y la deformación en cada segmento de la barra. Todas las cargas actúan a lo largo del
eje central de la barra.
30 cm
30 cm
120 ton
Fig. A Placa de apoyo
Figura N° 8. Problema # 7.
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Figura N° 9. Problema # 9.
10) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N° 10.
Figura N° 10. Problema # 10 y 11.
11) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N° 10. el tubo es de acero
cédula 40 de 1½ plg.
12) Un tubo de acero como se muestra en la figura, utiliza dos cables por el cual se soporta un
equipo. Sabiendo que el tubo es de acero cédula 40 de 1 ½. Determine el alargamiento del en
punto C y los esfuerzos en sección A-B y B-C.
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Figura N° 11. Problema 12.
13) Una varilla de aleación de aluminio 2014-T6 de una máquina se sujeta por sus extremos
mientras se enfría a partir de 95º C. ¿A qué temperatura el esfuerzo de tensión en la varilla
seria igual a la mitad de la resistencia a la cadencia del aluminio si al principio se encuentra
libre de esfuerzo?
14) Una barra de acero con su extremo superior fijo se somete a tres cargas axiales, como se
muestra en la figura. El área de su sección circular es de 0.50 in2. determine la deflexión en
el extrema libre.
Figura N° 12. Problema # 8.
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15) Una barra prismática AD está sometida a las cargas P1, P2 y P3 que actúan en los puntos B,
C y D, respectivamente, como se ve en la figura. Cada segmento de la barra tiene 20 in de
largo. La barra tiene un área transversal de 1.40 in2 y está hecha de cobre con E= 17 000
ksi. a) determine el desplazamiento D en el extremo libre de la barra. b) ¿Cuál debe ser la
carga P3 si se desea reducir el desplazamiento en el extremo D a la mitad de su valor
original?
16) Una placa de acero perfectamente rígida tiene una masa de 6000 kg, pende tres varillas
simétricamente colocadas, como se muestra en la figura. Antes de colocar la placa las
varillas en su parte inferior se encontraban en el mismo nivel. Determinar el esfuerzo en
cada varilla después de suspender la placa y una elevación de temperatura de 55ºC
Placa Rigida
Acero
L = 600 mm
L = 30 cm Bronce
W
20
in
20
in
20
in
P1: 3K P2: 3K P3:11 kN
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Sabiendo que: área del acero es 5 cm2 y del bronce 10 cm2, el modulo del elasticidad del acero
Eac= 2,1x106 kgf/cm2 y el modulo del elasticidad del bronce Ebr= 8,4x105 kgf/cm2, el coeficiente
de expansión del acero αac=1,17x10-5 ºC-1 y del bronce αac=1,8x10-5 ºC-1
17) Con los datos del problema anterior determine la elevación de temperatura necesaria para
que la carga aplicada sea soportada únicamente por las varillas de acero.
18) Para el sistema mostrado en la figura. Demuestre que el esfuerzo en la varilla 1 y la varilla
dos es el siguiente:
21
21
2
*
LLA
LP
21
12
2
*
LLA
LP
, respectivamente.
19) Una viga perfectamente rígida está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas
de igual sección, pero de distinta longitud, como se indica en la figura Fig. P-251. Determinar
la fuerza de tracción en cada varilla si W= 3300 kgf.
20) La viga horizontal ABCD está soportada por barras verticales BE y CF y está cargada por
fuerzas verticales P1=100 k y P2=90 k que actúan en los puntos A y D, respectivamente
(vea la figura). Las barras BE y CF son de acero (E=29,5x106 psi) y tienen áreas
1
2
1
P
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transversales ABE=22,1 in2 y ACF=18,3 in2 . Las distancias entre puntos se muestran en la
figura. Determine los desplazamientos verticales δA, δD de los puntos A y D,
respectivamente.
21) Un alambre de acero y un alambre de cobre tienen iguales longitudes y soportan iguales
cargas P (vea la figura). Los módulos de elasticidad para el acero y cobre son Es= 29 x 106
psi y Ec= 18 x 106 psi, respectivamente. A) si los alambres tienen los mismos diámetros,
¿Cuál es la razón de alargamiento del alambre de cobre al alargamiento del alambre de
acero? B) si los alambres se alargan la misma cantidad, ¿Cuál es la razón del diámetro del
alambre de cobre al diámetro del alambre de acero?
22) Una barra de acero de diámetro 0,375 in es sometida entre paredes rígidas (pero sin
esfuerzos iniciales) con el dispositivo mostrado en la figura. Calcule la caída de temperatura
ΔT (grados Fahrenheit) para que el esfuerzo cortante promedio en el perno de 0,25 in de
diámetro es de 7500 psi. (Para el acero use αs= 6,5 x 10-6/°F y Es= 30 x 106 psi).
23) Se tienen que montar un anillo de acero inoxidable AISI 301 en una flecha que está a una
temperatura de 20 °C y cuyo diámetro es de 55,2 mm. El diámetro interno del anillo es de
6 ft 6 ft 8 ft
P1 P2
9 ft
3 ft
A B C
D
E
F
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55,1 mm. ¿A que temperatura se debe calentar el anillo para que su diámetro sea de 55,3
mm y se pueda deslizar en la flecha?
24) Una barra larga rectangular de cobre sometida a una carga de tensión P, cuelga un pasador
que sostiene dos postes de acero (vea la figura). La barra de cobre tiene una longitud de 26
ft, un área transversal de 6,5 in2 y un módulo de elasticidad Ec= 15 x 106 psi. cada poste
tiene una altura de 35 in, un área transversal de 8,4 in y un módulo de elasticidad Es= 29 x
106 psi. Determine el desplazamiento δ hacia abajo del extremo inferior de la barra de cobre
debido a una carga P= 85 k. b) ¿Cuál es la carga permisible máxima Pmáx si el
desplazamiento δ está limitado a 0,30 in?.
25) Una barra ABC de longitud L consiste en dos partes de igual longitud pero de diferentes
diámetros (vea la figura). El segmento AB tiene un diámetro d1= 100 mm y el segmento BC
tiene un diámetro d2= 60 mm. Ambos segmentos tienden longitud L/2 = 0.6 m. se perfora un
agujero longitudinal de d a través del segmento AB a lo largo de la mitad de su longitud. La
barra es de plástico con un modulo de elasticidad E= 4 GPa. Las fuerzas de compresión P=
110 kN actúan en los extremos de la barra. Si el acortamiento está limitado a 8.0 mm, ¿Cuál
es el diámetro permisible máximo para el agujero?
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26) Un cilindro de acero S se coloca dentro de un tubo de cobre C de la misma longitud (vea la
figura). El coeficiente de expansión térmica c del cobre es mayor que el coeficiente s del
acero. Después de ensamblado, el cilindro y el tubo se comprimen entre placas rígidas por
fuerzas P. obtenga una fórmula para el incremento de ΔT que hará que el tubo de cobre soporte
toda la carga.
P
S
C
C
P
"El éxito es lo que nos da confianza para poner en práctica lo que el
fracaso nos ha enseñado."