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Guía para el cálculo de incertidumbre

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Guía para el cálculo de incertidumbre

• IRAM 35050 – Procedimientos para la evaluación de la incertidumbre de la medición – Argentina- 2001

Antecedentes• Guide to the expression of Uncertainty in

measurements – 1981 – BIPM – France • Guidelines for Evaluating and Expressing the

Uncertainty of NIST Measurement Results – 1994 – NIST – EE.UU

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Guía para el cálculo de incertidumbre

Este procedimiento se aplica para la información del resultado de todas las mediciones.

- Comparaciones internacionales de patrones- Investigación y Desarrollo- Calibraciones y mediciones- Certificación de materiales de referencia- Generación de normas de referencia

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Importancia de la incertidumbre

- El resultado de una medición es solo una aproximación o estimación del valor de una cantidad especifica de una magnitud.

- El resultado es COMPLETO cuando es asociado a un valor de incertidumbre.

-Da un grado de confianza de la medición-Permite realizar comparación entre distintos resultados

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Definición de incertidumbre

• Parámetro asociado con el resultado de una medición que caracteriza la dispersión de los valores que podrían razonablemente ser atribuidos al mensurando.

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Clasificación de las componentes de incertidumbre

La incertidumbre en los resultados de una medición esta integrada por varios componentes que son agrupados en dos categorías de acuerdo a como se estime su valor numérico.

• TIPO A• TIPO B

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Clasificación de las componentes de incertidumbre

• TIPO AAquellos que se evalúen por métodos estadísticos

• TIPO B Aquellos que se evalúen por otros métodos

- Datos de mediciones previas- Experiencia, conocimiento de materiales de referencia o instrumentos- Especificaciones del fabricante- Datos obtenidos de reportes de calibración

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Clasificación de las componentes de incertidumbre

• TIPO A Se caracterizan por :

- La ESTIMACION ESTADISTICA DEL DESVIO ESTANDAR si que es igual a raíz cuadrada de la varianza s2

i

si = ui

- El número de grados de libertad vi.

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Clasificación de las componentes de incertidumbre

•TIPO B

La componente de incertidumbre tipo B es representada por uj.

Es una aproximación del desvío estándar igual a la raíz cuadrada de la varianza uj que es obtenida de una función de distribución asumida de la información disponible

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Modelo matemático de una medición• En la mayoría de los casos el mensurando Y no se mide

directamente, sino que se determina a partir de otras N magnitudes de entrada X1, X2, X3.... XN

Y = f (X1, X2, X3.... XN ) (1)

• X1, X2, X3.... XN pueden a su vez depender de otras magnitudes, incluyendo factores de corrección por errores sistemáticos etc.

• f podría determinarse experimentalmente !!!. f representa en sentido amplio la función que contiene a todas las variables de entrada.

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Modelo matemático de una medición

• Una estimación del mensurando Y denominado y se obtiene de (1) usando como magnitudes de entrada x1, x2, x3.... xn para los valores de las N magnitudes X1, X2, X3.... XN

• y se toma como media aritmética de n determinaciones de independientes de Y (2)

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Modelo matemático de una medición

La desviación estándar estimada, asociada con la estimación del resultado de la medición se denomina INCERTIDUMBRE ESTANDAR COMBINADA u2c(y).

1º Taylor !!

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Modelo matemático de una medición

Tipo A

Tipo B

Cuando hay dos variables aleatorias correlacionadas.

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Modelo matemático de una medición

Tipo A

Tipo B

La incertidumbre combinada uc representa la desviación estándar del resultado de la medición.Es obtenida combinando la ui obtenida de la evaluación tipo A y la uj de la evaluación tipo B utilizando la “Ley de la propagación de la incertidumbre”

u2(xi) = u2i(xi)+u2

j(xi)

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INCERTIDUMBRE

SABEMOS QUE :

-SIEMPRE DEBE SER CACULA E INFORMADA

-HAY DOS TIPOS : TIPO A y TIPO B

-LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LA MEDICION DE LA MAGNITUD “Y” SE OBTIENE CON EL 1º TAYLOR

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Evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar

El mejor estimador disponible de la esperanza o valor esperado de una magnitud Xi que varia aleatoriamente para la cual se toman n observaciones independientes, bajo las mismas condiciones es la MEDIA ARITMETICA o PROMEDIO

(3)

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Evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar

Las observaciones individuales Xi difieren en valor debido a variaciones aleatorias.La varianza experimental de las observaciones, que estima la varianza de la distribución de probabilidad de Xi esta dada por.

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Evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar

La varianza experimental de la media s2 ( ) cuantifica que bien estima la esperanza de Xi y puede ser usada como una medida de la incertidumbre de

Grados de libertad v = n-1

donde n es el numero de observaciones independientes

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Evaluación de Tipo AMedición de la corriente de anillo

Medicion de corriente de anilloValores medidos

N° de mediciones Valores tomados[mA]1 11,3312 11,3523 11,3524 11,3415 11,3536 11,3377 11,3428 11,3439 11,334

10 11,338

I Promedio 11,3423 [mA]

s(Ik) Desvio Estandar 0,0078 [mA]

u(I) incertidumbre Estandar 0,0025 [mA]v=9

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

-Especificaciones del fabricante

-Resultado de calibraciones

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Especificaciones

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Estadistica

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

Un poco de probabilidad y estadística: Distribución rectangular

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

I = 11.342 mA

Especificación

0.2% 2 conteos = 2 .100 = 0.017% Total = 0.217% 11342

PrecisiónI %I =mAI

-A A

Las especificaciones se asumen de distribución rectangular si el manual del fabricante no explicita lo contrario.

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

-0.025mA 0.025mA

Precisión = +mA

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

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Evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar

La incertidumbre estándar queda definida por la precisión de la variable de entrada dividido un número asociado a la función de distribución asumida.

Distribución divisorNormal 1Normal (k=2) 2RectangularTriangularU

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Volviendo a nuestra fórmula

u2(xi) = u2i(xi)+u2

j(xi)

Incertidumbre combinada

Coeficiente de sensibilidad.

En el caso de mediciones directas:

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Incertidumbre combinadade nuestro ejemplo

uc2(xi) = u2

i(xi)+u2j(xi)

En nuestro Ejemplo

uc2(I) = 0.00252+0.0142 mA2

uc2(I)= 0.00017 mA2

uc (I)= 0.013 mA

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uc2(xi) = u2

i(xi)+u2j(xi)

Tipo A Tipo Bui(xi) uj(xi)

=

-uc +uc

Incertidumbre combinada

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Incertidumbre combinada Que distribución de probabilidad tiene uc ?

Si se conocen las funciones de distribución de probabilidad de las magnitudes de entrada X1,X2,….Xn del mensurando Y , y ademas Y es una funcion lineal

Y=c1.X1+c2.X2+…cn.Xn

La distribución de probabilidad de la incertidumbre combinada resulta de la convolucion de las distribuciones de probabilidad de las variables X1,X2,..Xn.

IRAM 35050, Anexo G

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Incertidumbre combinada Que distribución de probabilidad tiene uc ?

Debido a las complicación practicas que existen - Y no es función lineal de X1,X2…Xn. - Desconocimiento de las funciones de distribución de las variables de entrada.Rara vez se usa la convolución para obtener la función de distribución de uc, en su lugar se utiliza el teorema central del límite.

IRAM 35050, Anexo G

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Incertidumbre combinadaTEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

No importa la distribución de probabilidad, a medida que aumenta el número de magnitudes de entrada que contribuyen con la uc(Y) y cuanto mas próximos sean los valores de ci.ui, la distribución converge mas rápido a la normal o Gausseana.

Ejemplo: La distribucion rectangular es un caso extremo de distribución “No normal” pero la convolucion de tres distribuciones rectangulares ya es con un buen grado de aproximacion NORMAL.

IRAM 35050, Anexo G

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Incertidumbre combinada

-uc +uc

- Con que grado de “confianza” cae el valor de la medición dentro del intervalo + uc ??

- Que probabilidad existe que el valor de la media caiga fuera de +uc ??

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Factor de confianzaCuando la incertidumbre combinada uc cumple con el teorema central del limite, es decir cuando puede asumirse que la distribución de probabilidad de la uc tiende a la normal o Gausseana, uc representa un sigma de dicha distribución.De aquí que la probabilidad de que la variable aleatoria Y caiga dentro del intervalo –uc +uc esta dada por el área bajo la curva normal entre –uc a +uc.Recordando que la incertidumbre combinada es un desvío estándar, el área bajo la curva normal es del 68.5%.

Que sucede si la distribución de uc no se ajusta a la normal?

Tipo A Tipo Bui(xi) uj(xi)

=

-uc +uc

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Factor de confianzaQue sucede si la distribución de uc no se ajusta a la normal?

Tipo A Tipo Bui(xi) uj(xi)

=

-uc +uc

Cuando esto sucede?- Cuando la contribución de la incertidumbre Tipo A es mucho mayor a la tipo B.- Cuando la muestra no es suficientemente representativa.

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Grados efectivos de libertadEstimar el valor del factor de cobertura k nos obliga tener en cuenta que tan bien estimamos la desviación estándar asociada a uc .asociada con el resultado de la medición.Para una estimación de la desviación estándar de una distribución normal, los grados de libertad de la estimación, que dependen del tamaño de a muestra.

Para obtener los grados de libertad efectivos Veff de uc utilizamos la formula de Welch-Satterthwaite:

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Grados efectivos de libertadcon

y

- Veff > 30-Es lógico asumir como infinito los grados de libertad obtenidos de una evaluación TIPO B.-Típicamente, Veff no es un entero, se debe asumir el entero menor al valor calculado.

UKAS M3003

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Con el valor de Veff ingresamos a la tabla de la distribución t-student para extraer el valor del coeficiente k de cobertura.Cada columna indica el grado de confianza.

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Grados efectivos de libertaden nuestro ejemplo

uc (I)= 0.013 mA

uc4(I) = 2.85 .10-8 mA2

u4i(xi)= 0.00254 = 3.90 .10-11

ci = 1vi =9

Veff > 6500 La distribución de uc es prácticamente la normal

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Incertidumbre Expandida6.12 de la IRAM 35050

Aunque uc pueda ser utilizada para la expresión de la incertidumbre de un resultado de medición; en ciertas aplicaciones es necesario informar entre que valores se encontraría la mayoría de los resultados atribuibles al mensurando con un grado determinado de confianza.

U = k . uc(xi)

La incertidumbre expandida de obtiene de multiplicar la incertidumbre estándar combinada por un factor de cobertura k

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Incertidumbre Expandida

Se obtienen directamente del área bajo la curva normal

k grados de cobertura

1 68.26%2 95.44%3 99.74%

U = k . uc(xi)

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Incertidumbre Expandida de nuestro ejemplo

uc2(xi) = u2

i(xi)+u2j(xi)

En nuestro Ejemplo

uc2(I) = 0.00252+0.0132 mA2

uc2(I)= 0.00017 mA2

uc (I)= 0.013 mA

U (I)= k. uc (I)U (I)= 2 . 0.013 mAU (I)= 0.026 mA

Para calibraciones eléctricas y electrónicas que no incluyan aviónica y electromedicina k=2

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Información del resultado

El valor de la corriente de anillo es de

11.342 mA + 0.026 mA

Con un grado de confianza de aproximadamente 95%

La incertidumbre expandida debe ser informada con no más de 2 cifras significativas. La incertidumbre se redondea para arriba.

El valor numérico del resultado debe ser redondeado para que tenga la misma cantidad de decimales que la incertidumbre informada. Se redondea al numero mas próximo.