UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICA PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

MÓDULO ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

SEMESTRE V Y VI

DOCENTECARMELO II. PEREZ YANCE

DEPARTAMENTO DEL CESARUNIVERSIDAD POPULAR DEL CEASR

SECCIONAL AGUACHICAFACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS

PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y DE SISTEMASAguachica, 20011

MÓDULO ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

ESTADISTICA

GENERALIDADES

INTRODUCCION

1

CASI TODOS LOS SERES HUMANOS, EN CUALQUIER CLASE DE ACTIVIDAD A QUE SE DEDIQUEN EN SU DIARIO DISCURRIR, EXPERIMENTAMOS SENSACIONES Y EN UNA U OTRA MEDIDA PONDERAMOS Y LE DAMOS MUCHO SIGNIFICADO A NUESTRAS EXPERIENCIAS. DE AHÍ QUE ESTA INQUIETUD SEA EL MOTOR DE DESARROLLO DE LA HUMANIDAD Y DE NUESTRA VIDA EN PARTICULAR. TENEMOS CAPACIDAD PARA CAPTAR LOS SUCESOS, LAS PERSONAS, LOS ACONTECIMIENTOS NOTABLES Y TRASCENDENTALES. ADEMAS, PODEMOS DETECTAR SUS SIMILITUDES Y SUS DIFERENCIAS; SU REGULARIDAD, SU PATROÓN DE CONDUCTA Y DEMÁS CARACTERÍSTICAS GENERALES.

TODO ESTO, HA LLEVADO AL HOMBRE A CONTAR, MEDIR, CUALIFICAR, ESTOS ACONTECIMIENTOS NATURALES QUE LO RODEAN, Y AL HACERLO, SE DA EL HECHO INEVITABLE DE CUANTIFICAR, YA SEA EN FORMA BURDA, REFINADA O INCONCIENTEMENTE. Y CON BASE EN ESTA FORMA DE OBSERVACIONES Y DE COMPARACIONES, NOS PREGUNTAMOS, CUÁNTO?, CON QUÉ FRECUENCIA?, QUÉ TAN RAPIDO, QUÉ TAN BIEN, QUÉ TAN GRANDE, QUÉ TAN LEJOS, ETC., SOBRE LOS HECHOS O EXPERIENCIAS.

HISTORIA

LA PRESENCIA DEL HUESO ASTRÁGALO DE OVEJA EN LAS EXCAVACIONES ARQUOLÓGICAS MAS ANTIGUAS, PARECE CONFIRMAR QUE LOS JUEGOS DE AZAR TIENEN UNA ANTIGÜEDAD DE MÁS DE 40000 AÑOS, Y LA UTILIZACIÓN DEL ASTRÁGALO EN CULTURAS MAS RECIENTES, HA SIDO AMPLIAMENTE DOCUMENTADA. EXISTEN EN LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO PINTURAS QUE MUESTRAN JUEGOS DE AZAR QUE DATAN DEL AÑO 3500 a.C, Y HEREDOTO SE REFIERE A LA POPULARIDAD Y DIFUSIÓN EN SU ÉPOCA DE LOS JUEGOS DE AZAR, ESPECIALMENTE LA TIRADA DE ASTRÁGALO Y DADOS. LOS DADOS MÁS ANTIGUOS SE REMONTAN A UNOS 3000 AÑOS A.C Y SE UTILIZARON ENE EL JUEGO COMO EN CEREMOMIAS RELIGIOSAS. EL DESARROLLO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LOS JUEGOS DE ZAR SE PRODUCE LENTAMENTE DURANTE LOS SIGLOS XVI Y XVII, Y ALGUNOS AUTORES CONSIDERAN COMO ORIGEN DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOS PUNTOS EN LA CORRESPONDENCIA ENTRE PASCAL Y FERMAT EN 1654. EL CALCULO DE PROBABILIDADES SE CONSOLIDA COMO DISCIPLINA INDEPENDIENTE EN EL PERIODO QUE TRANSCURRE DESDE LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XVII HASTA COMIENZOS DEL SIGLO XVII.

COMO SISTEMA CIENTIFICO QUE ES, LA ESTADISTICA HA SUFRIDO IGUAL PROCESO Y PARA COMPRENDER SU ESTADO ACTUAL Y SU CAMPO DE ACTIVIDAD NECESITAMOS CONOCER ALGO DE SU HISTORIA. SE CONSIDERA FUNDADOR DE LA ESTADISTICA A GODOFREDO ACHENWALL (1719-1772), PROFESOR Y ECONOMISTA ALEMÁN, QUIEN, SIENDO PROFESOR DE LA UNIVERSIDAD DE LEIPZIG, ESCRIBIO SOBRE EL DESCUBRIMIENTO DE UNA NUEVA CIENCIA QUE LLAMÓ ESTADISTICA (PALABRA DERIVADA DE Staat QUE SIGNIFICA GOBIERNO). ANTIGUAMENTE LOS ESTADOS EFECTUABAN INVENTARIOS DE SUS RIQUEZAS, ESTOS INVENTARIOS O CENSO (LATIN censere, QUE SIGNIFICA VALUAR O TASAR. SE SABE QUE 2000 2500 AÑOS A.C, LOS CHINOS Y LOS EGIPCIOS EFECTUARON CENSOS QUE ERAN SIMPLES INVENTARIOS. (LEA LOS DOCUMENTOS PARA CONOCER MÁS DE LA HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA)

CONCEPTOS:

2

ESTADISTICA: SE DEFINE COMO UNA CIENCIA QUE UTLIZA UNA SERIE DE TEORÍAS, MÉTODOS Y TÉCNICAS ESPECIALIZADAS DE RECOLECCIÓN , ORGANIZACIÓN, ORDENAMIENTO, TABULACIÓN, PRESENTACIÓN GRÁFICA, DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS MUESTRALES CON EL OBJETO DE EXTRAER DE ELLOS CONCLUSIONES ÚTILES Y VÁLIDAS APLICABLES A LA POBLACIÓN DE DONDE PROCEDE LA MUESTRA, CON UN ALTO GRADO DE CONFIABILIDAD, Y ENMARCADAS EN UN ESPACIO Y TIEMPO DETERMINADO.

RAMAS DE LA ESTADISTICA:

ESTADISTICA DESCRIPTIVA: CUANDO ALGUNAS PERSONAS ESCUCHAN LA PALABRA “ESTADISTICA” INMEDIATAMENTE PIENSAN EN PROMEDIO DE NOTAS, ÍNDICE DE ACCIDENTES, ÍNDICE DE MORTALIDAD, TASAS DE NACIMIENTO, Y OTROS INDICADORES COMUNES. EN REALIDAD ESA RAMA DE LA ESTADISTICA QUE UTILIZA NÚMEROS PARA DESCRIBIR HECHOS, RECIBE EL NOMBRE DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

BÁSICAMENTE, LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA COMPRENDE PRIMORDIALMENTE DE LA RECOLECCIÓN, RECOPILACIÓN, ORDENAMIENTO , ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN, PRESENTACIÓN, TRATAMIENTO MATEMÁTICO Y ANÁLISIS DE DATOS CON EL OBJETO DE DESCRIBIR SITUACIONES O HECHOS QUE HAN PROPORCIONADO LA INFORMACIÓN RECOLECTADA, QUE A MENUDO ES MUY COMPLEJA. POR LO GENERAL, TOMAN LA FORMA DE TABLAS, CUADROS, GRÁFICOS, ÍNDICES NUMÉRICOS, TASAS, PROPORCIONES, ETC., QUE DESCRIBEN MUY DETALLADAMENTE LO QUE ESTÁ SUCEDIENDO A UNA ACTIVIDAD COMERCIAL, BIÓLOGICA, INDUSTRIAL, DE SALUD, O DE CUALQUIER ÍNDOLE, REFERIDA SIEMBRE EN UNA ENTIDAD DE TIEMPO Y DE ESPACIO.

ESTADISTICA INFERENCIAL: UNA DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LOS DATOS RECOLECTADOS DE UNA ACTIVIDAD EN PARTICULAR, ES A VECES EL OBJETIVO ESOS. Y EN REALIDAD, ESTO ES ASÍ, PUESTO QUE EL OBJETIVO PRIMORDIAL Y ÚLTIMO DE LA LABOR ESTADÍSTICA ES EL DE SACAR CONCLUSIONES ÚTILES Y VALEDERAS SOBRE LA TOTALIDAD DE LAS OBSERVACIONBES O UNIVERSO. ESTO ES, LA ESTADÍSTICA DESCRITIVA NO ES MÁS QUE EL TRABAJO PRELIMINAR PARA LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.

LA ESTADISTICA INFERENCIAL CONSISTE ENE ELANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE UNA MUESTRA DE DATOS. ES UNA TECNICA MEDIANTE LA CUAL SE OBTIENEN CONCLUSIONES O GENERALIZACIONES ACERCA DEL PARÁMETRO O PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN BASÁNDOSE EN EL ESTADÍGRAFO DE UNA MUESTRA DE TAL POBLACION.

CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDADES

POBLACIÓN: ES UNA COLECCIÓN COMPLETA DE INDIVIDUOS, OBJETOS, MEDIDAS QUE POSEEN UNA CARACTERÍSTICAS EN COMÚM.

MUESTRA: ES UN SUBCONJUNTO DE LA POBLACIÓN, ES DECIR, ES UAN COLECCIÓN DE ALGUNOS DE LOS INDIVIDUOS, OBJETOS O MEDIDAS DE LA POBLACIÓN.

PROCESO DE METODOLOGÍA ESTADÍSTICA:

1.- DEFINIR BIEN Y CUIDADOSAMENTE EL PROBLEMA O INVESTIGACIÓN QUE SE DESEA ADELANTAR.

3

2.- FORMULAR UN PLAN O PLANIFICACIÓN DE LAS TAREAS A EJECUTAR.

3.- RECOLECCIÓN, ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN DE LOS DATOS ESTADISTICOS.

4.- ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS.

5.- SACAR CONCLUSIONES UTILES Y VALEDERAS.

FUNDAMENTAL QUE UNO SE PROPONE, SIN EMBARGO, EN LA MAYORÍA DE LOS ANÁLISIS ESTADÍTICOS, EL INVESTIGADOR ESTÁ MÁS AL COMIENZO DE SU LABOR QUE AL TÉRMINO DE LA MISMA CUANDO HA HECHO TODA LA DESCRIPCIÓN DE LOS SUCESOS.

CONSULTAR:

PORQUE ESTUDIAR LA ESTADISTICA?

AREAS DE APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA ESTADISTICA

QUE PUEDE HACERSE CON LA ESTADISTICA?

ABUSOS DE LA ESTADISTICA.

ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADISTICOS:

EL PROCESAMIENTO ESTADÍSTICO TRANSFORMA LOS DATOS EN INFORMACIÓN, ORGANIZÁNDOLOS Y CONDENSANDOLOS EN CUADROS Y GRÁFICAS, O EN UNOS CUANTOS NÚMEROS INDICADORES QUE REVELAN SU ESENCIA.

EL PROPÓSITO PRIMORDIAL DE ORGANIZAR Y CLASIFICAR LOS DATOS ESTADÍSTICOS ES PERMITIR VISUALIZAR REPETIDAMENTE TODAS LAS CARACTERISTICAS POSIBLES EN LOS DATOS QUE SE HAN RECOLECTADO. SE PERSIGUE HACER DESTACAR CARACTERISTICAS TALES COMO EL RANGO (LOS VALORES MAYOR Y MENOR), LAS TENDENCIAS APARENTES HACIA QUÉ VALORES TIENDEN A AGRUPARSE LOS DATOS; LOS DATOS QUE APARECEN CON MAYOR FRECUENCIA, ORCENTAJE DE DATOS EN CADA GRUPO DE VALORES, ETC.

CLASES DE DATOS:

SON LAS AGRUPACIONES DE CUALQUIER NÚMERO DE OBSERVACIONES RELACIONADAS Y, QUE MIDAN UNA CARACTERISTICA COMÚN DE UN SUCESO O EVENTO. ESTOS DATOS DEBEN ESTAR RELACIONADOS EN EL TIEMPO Y EL ESPACIO.

CLASE DE DATOS:

SI UNA CARACTERISTICA SOBRE EL CUAL SE CONCENTRA NUESTRO ÍNTERES PUEDE TOMAR DISTINTOS VALORES O TIENE DIFERENTES RESULTADOS, SE DENOMINA VARIABLE: CUANTITATIVA Y CUALITATIVA.

VARIABLE CUANTITATIVA: ES CUANDO LOS RESULTADOS DE UNA VARIABLE SE EXPRESAN NUMERICAMENTE.

4

POR EJEMPLO: EL PESO DE UN ESTUDIANTE, LOS KILOMETROS RECORRIDOS POR UN AUTOMOVIL, LA EDAD DE UNA PERSONA, EL SALARIO DE UN EMPLEADO, LA ESTATURA DE UNA PERSONA, NÚMERO DE HIJOS..

CUANTITATIVA CONTINUA: ES CUANDO EXPRESA UNA UNIDAD ENTERA Y SUBDIVISIONES DE LA MIMA UNIDAD: LA ESTATURA DE UNA PERSONA, EL PESO, TEMPERATURA, OTRAS.

CUANTITATIVA DISCRETA: ES CUANDO EXPRESA UNA UNIDAD COMPLETA O ENTERA: NÚMERO DE HIJOS, CANTIDAD DE ESTUDIANTES DE UN SALÓN.

VARIABLE CUALITATIVA: ES CUANDO EL RESULTADO ES UNA CUALIDAD O ATRIBULO DE UN EVENTO O SUCESO, SE PUEDE EXPRESAR MEDIANTE CLASES O CATEGORÍAS.POR EJEMPLOS SEXO, , NACIONALIDAD, AFILIACIÓN POLITICA, COLOR DE LOS OJOS, ETC.

TAREA: CONSULTAR CLASE DE VARIABLES CUALITATIVAS.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA:

UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ES UN MÉTODO DE CLASIFICACIÓN DELOS DATOS ESTADISTICOS EN CLASES E INTERVALOS, DE TAL MANERA QUE SE PUEDA RESTABLECER EL NÚMERO O PORCENTAJES ( ES DECIR, LA FRECUENCIA), DE CADA CLASE. ESTA FORMA DE ARREGLAR LOS DATOS DE UNA VARIABLE PROPORCIONA UNA FORMA DE OBSERVAR UN CONJUNTO DE NÚMEROS SIN QUE SE TENGA QUE CONSIDERAR CADA NÚMERO, U PUEDE SER EXTREMADAMENTE ÚTIL AL MANIPULAR GRANDES CANTIDADES DE DATOS. EL NÚMERO O PORCENTAJE EN CADA CLASE, SE DENOMINA “ FRECUENCIA DE CLASE”

A CONTINUACION SE REALIZARA UN EJEMPLO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA, PARA ESTO, SE TIENE EL PUNTAJE DEL COEFICIENTE INTELECTUAL DE 150

ESTUDIANTES DE UNA PRUEBA REALIZADA. TABLA1 :

88 127 113 100 114 108 91 118 100 119119 98 120 102 109 105 121 100 112 11693 104 96 110 91 92 113 100 128 10399 106 108 98 113 101 121 109 111 111

106 114 104 122 112 112 115 97 105 113102 104 116 101 89 93 107 91 98 85108 106 114 120 99 109 126 122 113 109109 124 118 95 124 108 113 97 101 128114 101 115 118 103 115 89 118 108 88108 97 121 122 105 114 104 100 116 11991 121 125 95 104 93 96 I06 94 11891 108 129 96 1

06125 129 115 92 116

89 113 105 129 114 88 107 110 125 113120 105 118 112 124 101 120 99 121 122

106 125 105 117 103 88 115 85 108 126ANALISIS EJEMPLOS DE LA TABLA DE FRECUENCIA:

DATOS SIN AGRUPAR (VER FÓRMULAS EN ANEXO)

5

LLEVAR ESTOS DATOS A EXCEL, ORDENAR Y CALCULAR LOS ESTADISTICOS DRECTAMENTE.

MEDIA ARITMÉTICA:

.

PARA LA MODA, QUE ES EL COEFICIENTE DE MAYOR FRECUENCIA , SE ENCUENTRA EN EL VALOR DE 108. Mo = 108.

CÁLCULO DE LOS CUARTILES, VEAMOS LAS POSICIONES:

DONDE:

CÁLUCLO DE LOS DECILES:

,

POR LO TANTO:

CÁLCULO DE LOS PERCENTILES:

,

DE DONDE:

PARA LA VARIANZA:

POR LO TANTO: S = 11,O8.

6

,

CON LA FÓRMULA DE LA MEDIANA As = 0,08, CON LOS CUARTILES As = 0,015, Y EN EL SOFTWARE ES -0,13, ES DE NOTAR QUE EN TODOS LOS CASOS HAY UNA TENDENCIA A CERO, POR LO TANTO LA CURVA ES SIMETRICA, POR LO TANTO NO EXIXTE SESGO, LO QUE INDICA QUE EXISTE IGUAL REPARTICIÓN DE LOS DALOS DEL COCIENTE TANTO PARA LA DERECHA COMO PARA LA IZQUIERDA DEL PROMEDIO.

PARA LA CURTOSIS, SE TIENE:

K = =

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: CV = * 100%

CV = 11,08/108,36 =x 100%

COMO EL COEFICENTE DE VARIACIÓN ES MENOR QUE EL 30%, SE INTERPRETA QUE LOS COEFICIENTE INTELECTUALES ESTAN MUY CERCANOS AL PROMEDIO DE LA POBLACIÓN, ES DECIR, EXISTE UNA HOMGENEIDAD ENTRE LOS DATOS, LO QUE INDICA QUE EN EL MUESTREO EXISTIÓ UNA PRECISIÓN Y QUE EXISTE CONFIABILIDAD EN LOS RESULTADOS.

DATOS SOBRE EL COEFICIENTE INTELECTUAL:

ES UNA SERIE DE EVALUACIONES UTILIZADAS PARA DETERMINAR LA INTELIGENCIA GENERAL O EL ''COEFICIENTE INTELECTUAL'' (IQ, POR SUS SIGLAS EN INGLÉS) DE UN INDIVIDUO EN RELACIÓN CON OTRA PERSONA DE LA MISMA EDAD.

Información:

EN LA ACTUALIDAD, EXISTEN MUCHAS PRUEBAS PARA MEDIR EL COEFICIENTE INTELECTUAL Y LA CUESTIÓN DE SI REALMENTE MIDEN LA INTELIGENCIA O SIMPLEMENTE MIDEN CIERTAS APTITUDES SIGUE SIENDO CONTROVERSIAL.

LA PRUEBA DE WECHSLER ES EL EXAMEN MÁS ESTANDARIZADO Y EL MÁS AMPLIAMENTE UTILIZADO. LOS RESULTADOS PROMEDIO TIENEN UN RANGO DE 90 A 110:

UN PUNTAJE POR DEBAJO DE 70 INDICA RETARDO MENTAL. UNA PERSONA QUE OBTIENE UN PUNTAJE DE 130 O MAYOR ES

NORMALMENTE CONSIDERADA DOTADA, AUNQUE LOS DIFERENTES PROGRAMAS UTILIZAN DIFERENTES ESCALAS PARA ESTA CLASIFICACIÓN.

7

UNA PERSONA QUE OBTIENE UN PUNTAJE DE 165 O MAYOR ES NORMALMENTE CONSIDERADA GENIO.

LAS PRUEBAS DE COEFICIENTE INTELECTUAL MIDEN UNA APTITUD DE DESEMPEÑO ESPECÍFICA Y ES POSIBLE QUE NO EVALÚEN CON EXACTITUD EL POTENCIAL FUTURO O EL TALENTO DE UNA PERSONA. LOS RESULTADOS DE CUALQUIER PRUEBA DE INTELIGENCIA PUEDEN TENER UN SESGO CULTURAL.

REGLAS GENERALES PARA ORGANIZAR DATOS EN TABLAS DE FRECUENCAS:

1) POR LO GENERAL DEBEN AGRUPARSE DE 5 A 15 INTERVALOS DE CLASE: ESTA ELECCIÓN ES UN BUEN BALANCE ENTRE LA CANTIDAD DE RESUMEN DE LOS DATOS Y LA INFORMACIÓN QUE SE PIERDE CON SU CONDENSACIÓN. AL AUMENTAR EL GRADO DE AMPLITUD DE CADA CLAS, SE PIERDE MÁS DETALLES. PERO CUANTA MÁS CLASE SE ESTABLESCAN, MÁS DIFICIL SE HACE EXTRAER INFORMACIÓN ÚTIL DE LA TABLA DE FRECUENCIA.

2) POR LO GENERAL, DEBEN TOMARSE DE UNA IGUAL AMPLITUD: LOS INTERVALOS DE DESIGUAL AMPLITUD TIENDEN A DISTORSIONAR LAS COMPARACIONES. AL COMPARAR LAS CLASES QUE SE ANOTAN EN LOS HISTOGRAMAS, SE ATIENDE AL ÁREA Y SI LAS CLASES SON DE IGUAL MAGNITUD SE NECESITA SOLO MIRAR LAS ALTURAS DE LOS RECTÁNGULOS PARA COMPARAR LAS CLASES.

HAY UNA RELACIÓN INVERSA ENTRE EL NUMERO DE CLASES DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Y LA AMPLITUD DE CADA CLASE. SI SE TOMAN POCAS CLASES, ENTONCES LA AMPLITUD ES GRANDE. POR EL CONTRARIO SI SE TOMAN BASTANTES CLASES, ENTONCES LA AMPLITUD ES PEQUEÑA.

LA SIGUIENTE ES LA RELACIÓN QUE EXISTE ENTRE ESTOS DOS CONCEPTOS:

EN SIMBOLOS:

PARA EL NÚMERO DE CLASE SE EMPLEA LA FÓRMULA:

m = 1 + 3,33 Log n m = 1 +3.33 Log 150

m = 8, 18

EN EL EJEMPLO DE LA TABLA 1

SE TOMARAN NUEVE INTERVALOS Y UNA AMPLITUD DEL INTERVALO DE CINCO.

8

CON BASE EN ESTA INFORMACIÓN Y REQUERIMIENTOS, CONSTRUYAMOS UNA TABLA DE FRECUENCIA. TABLA 2:

INTERVALO DE CLASE

LIMITES DECLASE

MARCA DE CLASE

Xi

FRECUENCIA ABSOLUTA fi

FRECUENCIA RELATIVA hi

(%)

FRECUENCIA ACUMULADA

Fi Hi

85 - 8990 - 9495 – 99

100 – 104 105 – 109 110 – 114115 – 119120 - 124 125 - 129

84,5 – 89,589,5 – 94,594,5 99,5

99,5–104,5104,5-109,5109,5-114,5114,5-119,5119,5-124,5124,5-129,5

879297

102107112117122127

91114202722191612

0,060,070,090,130,18*0,150,130,110,08

920345481

103122138150

0,060,13**0,220,350,530,680,810,921,00

n=150

MEDIA AGRUPADA O PROMEDIO PONDERADO:

MEDIANA AGRUPADA: Me= Li + I

PARA LA MODA, SE TIENE:

MO= Li + I = 104,5 + 5

VARIANZA:

Y LA DESVIACIÓN TÍPICAS, ES : S = 11,13.

LOS CUARTILES: Q1 =99,5 + 5 = 100,38,

Q2 = 104,5 + 5 = 108,39, Q3 =114,5 + 5 = 117.

9

DECILES:

D1 = 89,5 + 5 = 92,22, D5 = 104,5 + 5 = 108,39,

D10 = 119,5 + 5 = 123,56

PERCENTILES:

P10 = 89,5 + 5 = 92,22, P50 = 104,5 + 5 = 1082,39,

P90 = 119,5 + 5 = 123,56

SE PUEDE APRECIAR QUE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LOS DOS MÉTODOS SON SEMEJANTES, PERO EL INVESTIGADOR, SEGÚN LA CONDICIONES DEBE ESCOGER EL MÁS APROPIADO

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE CUALITATIVA

TOMEMOS COMO EJEMPLOS LOS RESULTADOS OBSERVADOS DE LA SIGUIENTE TABLA: M: MUJERES, H: HOMBRES

M M H H H H M H M MM H H H M H M H M MM H H H M H H H M HH H H H M H M M H MH H M H H M H H H HM H H H H M H H H MM H M H H M H H H MM H H H H H H M M MM H M H H H M H H HM H H H H H M M M MH M M M H M H H M M

10

H M H M H M H H M MH H M M M M H H M HH M H H M H H M H H

M M M H H H H M H H

61 40,7 40,7 40,7

89 59,3 59,3 100,0

150 100,0

MUJER

HOMBRE

Válidos

Total

Frecuencia PorcentajePorcentaje

válidoPorcentajeacumulado

Tabla de frecuencia GENERO

AL REALIZAR LOS CALCULOS DE LAS PROPORCIONES DE MUJERES Y HOMBRES:

ESTOS RESULTADOS INDICAN QUE EN EL ESTUDIO DE LOS ESTUDIANTES EXISTE EL 41% DE MUJERES Y EL 59% SON HOMBRES.

11

GENERO

HOMBREMUJER

Porcentaje

70

60

50

40

30

20

10

0

HOMBRE

MUJER

12

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICA PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

PROBABILIDADDES

CONTENIDO:

HISTORIA GENERALIDADES DEFINICIONES Y CONCEPTOS CLASES DE PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL ÁRBOL. ASIGNACIONES ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y

COMBINACIONES. REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS PROBABILIDAD CONDICIONAL TEOREMA DE BAYES MISCELANEA DE EJERCICIOS.

COMPETENCIAS:

EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTARÁ EN CAPACIDAD DE:

COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD.

CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.

DETERMINAR EL NÚMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR PROBABILIDADES QUE INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI Y A POSTERIORI.

ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA INFERENCIA, PARA REALIZAR ASEVERACIONES SOBRE UN ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.

13

EL ESTUDIO CIENTÍFICO DE LA PROBABILIDAD ES UN DESARROLLO

MODERNO. LOS JUEGOS DE AZAR MUESTRAN QUE HA HABIDO UN INTERÉS

EN CUANTIFICAR LAS IDEAS DE LA PROBABILIDAD DURANTE MILENIOS,

PERO LAS DESCRIPCIONES MATEMÁTICAS EXACTAS DE UTILIDAD EN ESTOS

PROBLEMAS SÓLO SURGIERON MUCHO DESPUÉS.

SEGÚN RICHARD JEFFREY, "ANTES DE LA MITAD DEL SIGLO XVII, EL

TÉRMINO 'PROBABLE' (EN LATÍN PROBABLE) SIGNIFICABA APROBABLE, Y

SE APLICABA EN ESE SENTIDO, UNÍVOCAMENTE, A LA OPINIÓN Y A LA

ACCIÓN. UNA ACCIÓN U OPINIÓN PROBABLE ERA UNA QUE LAS PERSONAS

SENSATAS EMPRENDERÍAN O MANTENDRÍAN, EN LAS CIRCUNSTANCIAS."1

APARTE DE ALGUNAS CONSIDERACIONES ELEMENTALES HECHAS POR

GIROLAMO CARDANO EN EL SIGLO XVI, LA DOCTRINA DE LAS

PROBABILIDADES DATA DE LA CORRESPONDENCIA DE PIERRE DE FERMAT Y

BLAISE PASCAL (1654). CHRISTIAAN HUYGENS (1657) LE DIO EL

TRATAMIENTO CIENTÍFICO CONOCIDO MÁS TEMPRANO AL CONCEPTO. ARS

CONJECTANDI (PÓSTUMO, 1713) DE JAKOB BERNOULLI Y DOCTRINE OF

CHANCES (1718) DE ABRAHAM DE MOIVRE TRATARON EL TEMA COMO UNA

RAMA DE LAS MATEMÁTICAS. VÉASE EL SURGIMIENTO DE LA

PROBABILIDAD (THE EMERGENCE OF PROBABILITY) DE IAN HACKING PARA

UNA HISTORIA DE LOS INICIOS DEL DESARROLLO DEL PROPIO CONCEPTO

DE PROBABILIDAD MATEMÁTICA.

LA TEORÍA DE ERRORES PUEDE TRAZARSE ATRÁS EN EL TIEMPO HASTA

OPERA MISCELLANEA (PÓSTUMO, 1722) DE ROGER COTES, PERO UNA

MEMORIA PREPARADA POR THOMAS SIMPSON EN 1755 (IMPRESA EN 1756)

APLICÓ POR PRIMERA VEZ LA TEORÍA PARA LA DISCUSIÓN DE ERRORES DE

OBSERVACIÓN. LA REIMPRESIÓN (1757) DE ESTA MEMORIA EXPONE LOS

AXIOMAS DE QUE LOS ERRORES POSITIVOS Y NEGATIVOS SON

IGUALMENTE PROBABLES, Y QUE HAY CIERTOS LÍMITES ASIGNABLES

DENTRO DE LOS CUALES SE SUPONE QUE CAEN TODOS LOS ERRORES; SE

DISCUTEN LOS ERRORES CONTINUOS Y SE DA UNA CURVA DE LA

PROBABILIDAD.

PIERRE-SIMON LAPLACE (1774) HIZO EL PRIMER INTENTO PARA DEDUCIR

UNA REGLA PARA LA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES A PARTIR DE LOS

PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES. REPRESENTÓ LA LEY

DE LA PROBABILIDAD DE ERROR CON UNA CURVA Y = Φ(X), SIENDO X

14

CUALQUIER ERROR E Y SU PROBABILIDAD, Y EXPUSO TRES PROPIEDADES

DE ESTA CURVA:

1. ES SIMÉTRICA AL EJE Y;

2. EL EJE X ES UNA ASÍNTOTA, SIENDO LA PROBABILIDAD DEL ERROR

IGUAL A 0;

3. LA SUPERFICIE CERRADA ES 1, HACIENDO CIERTA LA EXISTENCIA DE

UN ERROR.

DEDUJO UNA FÓRMULA PARA LA MEDIA DE TRES OBSERVACIONES.

TAMBIÉN OBTUVO (1781) UNA FÓRMULA PARA LA LEY DE FACILIDAD DE

ERROR (UN TÉRMINO DEBIDO A LAGRANGE, 1774), PERO UNA QUE

LLEVABA A ECUACIONES INMANEJABLES. DANIEL BERNOULLI (1778)

INTRODUJO EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO PRODUCTO DE LAS

PROBABILIDADES DE UN SISTEMA DE ERRORES CONCURRENTES.

EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS SE DEBE A ADRIEN-MARIE LEGENDRE

(1805), QUE LO INTRODUJO EN SU NOUVELLES MÉTHODES POUR LA

DÉTERMINATION DES ORBITES DES COMÈTES (NUEVOS MÉTODOS PARA LA

DETERMINACIÓN DE LAS ÓRBITAS DE LOS COMETAS). IGNORANDO LA

CONTRIBUCIÓN DE LEGENDRE, UN ESCRITOR IRLANDÉS ESTADOUNIDENSE,

ROBERT ADRAIN, EDITOR DE "THE ANALYST" (1808), DEDUJO POR PRIMERA

VEZ LA LEY DE FACILIDAD DE ERROR,

SIENDO C Y H CONSTANTES QUE DEPENDEN DE LA PRECISIÓN DE LA

OBSERVACIÓN. EXPUSO DOS DEMOSTRACIONES, SIENDO LA SEGUNDA

ESENCIALMENTE LA MISMA DE JOHN HERSCHEL (1850). GAUSS EXPUSO LA

PRIMERA DEMOSTRACIÓN QUE PARECE QUE SE CONOCIÓ EN EUROPA (LA

TERCERA DESPUÉS DE LA DE ADRAIN) EN 1809. DEMOSTRACIONES

ADICIONALES SE EXPUSIERON POR LAPLACE (1810, 1812), GAUSS (1823),

JAMES IVORY (1825, 1826), HAGEN (1837), FRIEDRICH BESSEL (1838), W.

F. DONKIN (1844, 1856) Y MORGAN CROFTON (1870). OTROS PERSONAJES

QUE CONTRIBUYERON FUERON ELLIS (1844), DE MORGAN (1864),

GLAISHER (1872) Y GIOVANNI SCHIAPARELLI (1875). LA FÓRMULA DE

PETERS (1856) PARA R, EL ERROR PROBABLE DE UNA ÚNICA

OBSERVACIÓN, ES BIEN CONOCIDA.

15

EN EL SIGLO XIX, LOS AUTORES DE LA TEORÍA GENERAL INCLUÍAN A

LAPLACE, SYLVESTRE LACROIX (1816), LITTROW (1833), ADOLPHE

QUETELET (1853), RICHARD DEDEKIND (1860), HELMERT (1872), HERMANN

LAURENT (1873), LIAGRE, DIDION, Y KARL PEARSON. AUGUSTUS DE

MORGAN Y GEORGE BOOLE MEJORARON LA EXPOSICIÓN DE LA TEORÍA.

EN 1930 ANDRÉI KOLMOGOROV DESARROLLÓ LA BASE AXIOMÁTICA DE LA

PROBABILIDAD UTILIZANDO TEORÍA DE LA MEDIDA.

EN LA PARTE GEOMÉTRICA (VÉASE GEOMETRÍA INTEGRAL) LOS

COLABORADORES DE THE EDUCATIONAL TIMES FUERON INFLUYENTES

(MILLER, CROFTON, MCCOLL, WOLSTENHOLME, WATSON Y ARTEMAS

MARTIN).

CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER INTERPRETADO COMO ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA EXPRESAR, DE ALGÚN MODO, UN GRADO DE CREENCIA QUE UNO TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENÓMENO; NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA EXPERIENCIA QUE SE TENGA.

EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA POSIBILIDAD DE GANAR EL CAMPEONATO POR PARTE DE UN EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA LOTERIA, LAS APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.

HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL SIGLO XVII, CUANDO ANTOINE GOMBAULD MÁS CONOCIDO COMO EL CABALLERO DE MERÉ, JUGADOR PROFESIONAL EN LOS JUEGOS DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA BUSCO AYUDA DE BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN FUNDAMENTADAS. TAMBIEN CARDANO FUE UN JUGADOR EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.

EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA ESTRECHA RELACIÓN CON LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA ESTADISTICA DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA TOMA DE DECISIONES.

POSIBILIDAD: COMPARA EL NÚMERO DE RESULTADOS FAVORABLES CON

LOS DESFAVORABLES = .

PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE CASOS

POSIBLES= .

16

FÓRMULA

“TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN NUESTRA VIDA Y SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIÓN, SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA DIFICULTAD DE PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE? ME GANARE EL BALOTO, SI LO

COMPRO? SI LE HABLO A ESA PERSONA ME RESPONDERA? TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS MÁS, TENDRÍAN EN NUESTRA MENTE UNA POSIBLE

RESPUESTA YA QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA INTUICIÓN”.

POSIBLES DEFINICIONES

METODO AXIOMÁTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN SUCESO, COMO UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE QUE VER DIRECTAMENTE CON LA NOCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA, DONDE 0 < hi < 1.

EJEMPLO:

FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES

FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100

PROBABILDAD P= 56% (ÉXITO) q = 44%(FRACASO).

EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS MISMAS CONDICIONES. LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO. EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MÁS PUNTOS MUESTRALES

CLASES DE HECHOS:

CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES, COMO POR EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA Y GANARSELA.

VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD Y MAYOR QUE O,5.

INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y MENOR QUE O,5.

DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LAS MISMAS PROPORCIONES.

IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE SALIR CON ÉXITO, LA PROBABILIDAD ES CERO.

17

MÉTODO EMPÍRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO, COMO AQUEL NÚMERO AL CUAL APRÓXIMA CADA VEZ MÁS A LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA DE UN SUCESO, CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO QUE ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO TIENE ALGO QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET , EN DONDE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO TIENDE A ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NÚMERO DE EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MÁS GRANDE (BUSCAR BIOGRAFÍA).

PROBABILIDAD EMPERÍCA: ,

SE DETERMINA MEDIANTE UNA SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UNA OPERACIÓN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MÉDICO.

SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN CARAS Y 2 SEAN SELLOS, PERO AQUÍ HABLAMOS DE UNA MONEDA TEÓRICA, PERFECTAMENTE EQUILIBRADA CAÉRA EL MISMO NÚMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5 SON CARAS Y 5 SON SELLOS. EN UN DADO TEÓRICO, SE TENDRÁ QUE LA PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA CARA SERÁ 1/6. LA PROBABILIDAD TEÓRICA SE APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS QUE CUANTO MAYOR SEA EL NÚMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MÁS NOS ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NÚMERO DE OBSERVACIONES DEBE SER LO SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA INFERENCIA VÁLIDA PARA ELLA.

MÉTODO CLASICO:

CLASES DE PROBABILIDADES:

A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE ANTEMANO, SIN NECESIDAD DE REALIZAR EL EXPERIMENTO. EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.

A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES DEL EXPERIMENTO.

SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIÓN MUY PERSONAL DE LA OCURRENCIA DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA SELECCIÓN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN EL PRÓXIMO PARTIDO?, SARARÉ MÁS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE ESTADISTICA?

OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVÉS DEM MÉTODO EMPÍRICO Y EL CLÁSICO, SE TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR, DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.

18

EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS, ES DE CARÁCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN UNA OBSERVACIÓN QUE NOS DETERMINA EN QUE MOMENTO OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO, QUE PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A OCURRIR EN EL FUTURO.

EJEMPLOS DE PROBABILIDADES:

ELABORCIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL:

EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA EN LA FACULTAD DE INGENIERÍAS:

SOLUCIÓN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS, BETANCOUR… VILLEGAS}

SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS,..ENTRE OTROS.

EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN CON A: A = {ALCINA, ALMENDRALES…}

LANZAMIENTO DE MONEDAS:

FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NÚMERO DE SUCESOS Y n ES EL TOTAL DE LOS CASOS POSIBLES:

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TEÓRICA.

FÓRMULA: 2^1 =2 SUCSOS.

SOLUCIÓN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE ½ A CADA UNO.

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O LANZAMIENTO DE UNA MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4

SOLUCIÓN: U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/8 = 0,125. FÓRMULA: 2^3 =8

SOLUCIÓN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.

EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS: 2^4 = 16

SOLUCIÓN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS,

CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC,

SCCS}.

19

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.

EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES CARAS ES DEL 4/16. LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE 1/16 Y EL ÉXITO DE DTENER TODAS CARAS ES DEL 1/16.

LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NÚMERO DE SUCESO Y n ES EL TOTAL DE CASOS POSIBLES.

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6.

SOLUCIÓN: S = {1,2,3,4,5,6}

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O LANZAMIENTO DE DOS DADOS: 6^2 = 36.

S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6

2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6

3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6

4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6

5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}

CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36.

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216, CADA SUCESO TENDRÍA P(A) =1/216.

JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:

EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS:

SOLUCIÓN:

COPAS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

OROS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

ESPADAS… AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

BASTOS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES DE 1/10, Y CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.

EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS:

20

SOLUCIÓN:

DIAMANTES … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

CORAZÓN … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

TRÉBOL … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

PICAS … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA ES DE 1/13, Y DE CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.

DIAGRAMA DEL ÁRBOL:

UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS EVENTOS POSIBLES, AL CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO MUESTRALES.

EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C

SOLUCIÓN: C)

1/2 c

B) s

1/2 c

A) 1/2 c

c s s

1/2 1/2 c

c

1/2 s 1/2 1/2 s

s c

s

CCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCC: ½ x ½ x ½ = 1/8

CCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCS: ½ x ½ x ½ = 1/8

CSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSC: ½ x ½ x ½ = 1/8

CSS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSS: ½ x ½ x ½ = 1/8.

21

EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C.

SOLUCIÓN:

B) C)

A) 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

CADA PUNTO MUESTRAL TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/216,

EJEMPLOS:

1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS SEAN ROJAS.

2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZÓ UNA ENCUESTA ACERCA DE LA SATISFACIÓN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU ORGANIZACIÓN FAMILIAR.

FAMILIAR TRABAJO

Progreso familiar

Sin progreso familiar

total

Satisfecho en el trabajo

194 162 356

No satisfecho en el trabajo

14 30 44

Total 208 192 400

HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:

UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA FAMILIAR.

22

UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA FAMILIAR.

UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO EN LA FAMILIA

UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO EN LA FAMILIA.

3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA Y ESTADISTICA REVELÓ LOS SIGUIENTES NÚMEROS DE ESTUDIANTES MATRICULADOS. ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y FISICA 93, ALGEBRA Y ESTADISTICA 217, FÍSICA Y ESTADISTICA 63, LAS TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE ENTONCES DETERMINAR QUE UN ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE MATRICULADO EN:

A) ESTADISTICA, PERO NO EN FÍSICA.B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA.C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.

4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE:

A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NÚMERO?B) AMBOS CAIGAN EN NÚMERO IMPARES?C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6?E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.

5.- PROPUESTO: CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS TRES HIJOS DE UNA FAMILIA?.

ESPERANZA MATEMÁTICA

CONSISTE EN EL NÚMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.

FÓRMULA : E = N x p

EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CÚAL ES LA ESPERANZA DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?

SOLUCIÓN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N = 900.

(1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250

COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE:

E = N x p = 900x(10/36) = 250.

250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA SUMA DE SUS CARAS SEA MENOR A 6.

23

EJEMPLOS:

1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10 CONTIENE $1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACÍO. CÚAL ES LA ESPERANZA AL SACAR UN SOLO SOBRE?

2.- ASEGURO MI AUTOMÓVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE $850000. SI LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN AÑO ES DE 0,04. CÚAL ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AÑUAL QUE DEBO PAGAR.

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICAPROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:

EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS MUESTRALES, QUE TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL PUEDE RESULTAR TEDIOSO, SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES O EL NÚMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA APLICACIÓN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN EN MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDADES TIENEN SOLUCIÓN A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:

EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN DADO. CÚAL ES EL NÚMRO DE PUNTOS MUESTRALES?

SOLUCIÓN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO TANTO LOSEL # DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12

24

EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS MUESTRALES TENDRÁ EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA CARTA?.

B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA ÉSTA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO SE EXTRAE OTRA SEGUNDA CARTA?

SOLUCIÓN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVIÓ EN LA SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL ESPACIO MUESTRAL ES 52 x 52 = 2704.

B) EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN SE TENDRÁ 52 PUNTOS, PERO EN LA SEGUNDA NO SE DEVOLVIÓ LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS MUESTRALES.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ES LA BASE DE DOS FÓRMULAS, QUE NOS PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES.

PERMUTACIONES

ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. TAMBIÉN SE PUEDE CONSIDERAR COMO UN CONJUNTO DE COSAS EXTRAÍDAS EN UN ORDEN ESPECÍFICO Y SIN REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O MAYOR.

FÓRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! Ó nPn = n!, SE LEE “PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE n EN n.

EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NÚMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR CIFRAS DE 4 DIGITOS.

SOLUCIÓN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24

ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132

1243 2143 3124 4123

1324 2314 3214 4213

1342 2341 3241 4231

1432 2413 3412 4312

1423 2431 3421 4321.

EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.

EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE COLOCADOS 10 PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . DÉ CUÁNTAS MANERAS SE PODRÁN COLOCAR?

25

SOLUCIÓN:

10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800 .

EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUÁNTAS PALABRAS PUDEN FORMAR?

SOLUCIÓN:

PALO APLO LPAO OPAL

PAOL APOL LPOA OPLA

PLAO AOPL LOPA OLAP

PLOA AOLP LOAP OLPA

POLA ALOP LAPO OALP

POAL ALPO LAOP OAPL

P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA CASA TIENE LAS PERMUTACIONES :

CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC

CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA

FÓRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NÚMERO DE

REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.

LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE VARIACIONES.

EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3,

r3 = 2. FÓRMULA: Pn (r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :

Pn(r:2,3,2,) = 8!/2!3!2! = 1680.

FÓRMULA GENERAL: .

EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4:

SOLUCIÓN: .

26

EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR GRUPOS DE 5 . CUANTOS SE FORMARÍAN:

COMBINACIONES:

SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE DISPONGAN.

FÓRMULA:

EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS, CUANTAS MANERAS SE DISPONDRÍAN.

SOLUCIÓN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB.

EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS EN DOS, SE TENDRÍA:

AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA, LUEGO : 4C2 V= 6.

PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRÍA : 4C3 = 4.

EJERCICIOS (PÁGINA 251):

55.- CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 DÍGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS DIGITOS 1, 3, 5, 7, 8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MÁS DE UNA VEZ?

59.- DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR UN EXAMEN DE 5 PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA A 3 DE ELLAS?

63.- CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS DE LA PALABRA BARRANQUILLA?

68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUÉS DE SENTARSE ÉL. DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SENTARSE LOS AMIGOS?

72.- DÉ CUÁNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5 HIJOS, SI DESEA QUE DOS SEAN NIÑAS Y TRES NIÑOS?

27

76.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN FORMAR A PARTIR DE UN GRUPO DE 12 PERSONAS?

78.- CUÁNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS?

79.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE ENTRE 7 HOMBRES Y 4 MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A) 3 HOMBRES Y 2 MUJERES

B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER HOMBRES.

ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.

28

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICAPROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTEMAS

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADES.

CLASES DE SUCESOS:

SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA, APARICIÓN DE CARA O SELLO.

SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE COMPLEMENTAN BAÁSICAMENTE.

SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS. SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA CARA

SUPERIOR 8. SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA, APAREZCA

SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN DOS O UN

SEIS. SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN EL

PRIMERO UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS. SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA OCURRENCIA

DEL OTRO.

REGLA DE LA ADICIÓN:

A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE OCURRIR EN UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. SE DENOMINA PROBABILIDAD ADITIVA Y SERÁ IGUAL A LA SUMA DE LAS

PROBABILIDADES DE CADA SUCESO.

FÓRMULA: P = p1 + p2 + P3 + . . . + pn

MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO O EVENTO PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMÁS NO SE PUEDEN PRESENTAR AL MISMO TIEMPO, LA FÓRMULA ANTERIOR SE PUEDE EXPRESAR, ASÍ:

P(A o B) = P(A) + P(B),P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),

P(A U B) = P(A) + P(B),

29

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO UNA SOLA CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS APARECE, QUEDA EXCLUIDO EL OTRO.

SOLUCIÓN:

.

P(A o B) = P(A) + P (B) = +

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO.

SOLUCIÓN:

P(A o B) = P(A) + P (B) = +

EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.

B) SUCESOS COMPATIBLES:

DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO NO IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.

FÓRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B).

EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA PROBABILIDAD QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40.

P(A o B) =

EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL NÚMRO OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE PO 3. CUÁL ES LA PROBABILIDAD QUE UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.SOLUCIÓN: QUE APAREZCA UN NÚMERO PAR : A = {2,4,6},

30

P(A) = 3/6.QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6,

AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:P(AUB) = 376 + 2/6 + 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.

NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA PROBABILIDAD REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y LA PROBABILIDAD DE CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDERÁ A UN VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A 1: 0 ≤ P(A) ≤ Y P(Ac) = 1 – P(A).

NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE CONSIDERA LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES DENOMINA COLECTIVOS EXHAUSTIVOS, POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 ES : 52/52 = 1.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

C) SUCESOS INDEPENDIENTES:

ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIÓN DE NINGUNO DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIÓN DEL OTRO. EN CASO CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.

EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO AFECTA AL OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.

FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn,

P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)

EJEMPLO 1.- QUÉ PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS Reyes SACANDO UNA CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA SEGUNDA BARAJA?

SOLUCIÓN: P(A y B) = P(A) x P(B)

P =

EJEMPLO 2.- AL LANZAR DOS DADOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS CINCO?

p1 = 1/6 ( 5 en el primer dado), p2 = 1/6 ( 5 en segundo dado)

P = 1/6 X 1/6 = 1/ 36.

31

EJEMPLO 3.- SE DISPONEN DE TRES BARAJAS DE 40 CARTAS CADA UNA. SE DESEA EXTRAER TRES CARTAS UNA DE CADA BARAJA. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As Y UN Rey DE OROS Y UN SEIS DE COPAS?

SOLUCIÓN:

EN LA PRIMERA BARAJA SE TIENEN 4 ASES, SIENDO P(A) = 4/40

EN LA SEGUNDA BARAJA SE TIENE UN REY DE OROS P(B) = 1/40

Y EN LA TERCERA BARAJA HAY UN SEIS DE COPAS P© = 1/40.

SE OBSERAV QUE LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES, PUES NINGUNO DE ELLOS SE VE AFECTADO POR LA APARICIÓN DEL OTRO, EN ESTOS CASOS APLICAMOS LA REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIÓN:

P(A y B y C) = 4/40 x 1/40 x 1/40 = 16/16000 = 0,0000625= 0,00625.

DIFERENCIAS ENTRE LOS SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Y LOS INDEPENDIENTES:

EN EL PRIMERO SE TIENE UN SOLO SISTEMA (DADO, MOENA O CARTA) Y EL

SEGUNDO SE TIENE DOS O MÁS SISTEMAS. EN EL PRIMERO SE EXTRAE UN SOLO ELEMENTO, SE ESPERA LA

PRESENTACIÓN DE UN SUCESO, EN EL SEGUNDO SE ESPERA LA PRESENTACIÓN DE DOS O MAS SUCESOS.

EN EL PRIMERO SE UTILIZA LA CONJUCION “O” (UNIÓN) Y EL SEGUNDO SE EMPLEA LA CONJUCIÓN “Y”.

D) SUCESOS DEPENDIENTES:

SUCESOS DEPENDIENTES O EVENTOS COMPUESTOS, ES CUANDO LA OCURRENCIA O NO OCURRENCIA DE UN EVENTO EN CUALQUIER PRUEBA AFECTA LA PROBABILIDAD DE OTROS EVENTOS EN OTRAS PRUEBAS, ES DECIR QUE LA PROBABILIDAD DE SEGUNDO DEPENDE DEL PRIMER SUCSO, EL DEL TERCERO DE LO QUE HAYA SUCEDIDO EN EL PRIMERO Y SEGUNDO Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA (40 cartas), SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN REPETICIÓN), EN EL MONTÓN O MAZO.

SOLUCIÓN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38

P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740

INTERPRETACIÓN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER EXPERIMENTO EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL SEGUNDO EXPERIMENTO SE TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y 38 CARTAS DEL JUEGO.

32

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA ZOTA(ALFIL), SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIÓN, DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS.

SOLUCIÓN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 = 4/40,

EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,

TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38,

DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.

SI EXISTIERA REPOSICIÓN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NÚMERO DE CARTAS DEL JUEGO ES CONSTANTE.

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICAPROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTEMAS

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL EA AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN EVENTO O SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.

LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 Ó MAS EVENTOS EN FORMA SIMULTANEA.

TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA ESTADISTICA. NO HAY QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES MARGINALES, CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A LA PROBABILIDAD DE UN SOLO EVENTO

EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B SE CALCULA MEDIANTE LA FÓRMULA:

P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),

DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FÓRMULA PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE UN EVENTO:

,

33

SIMBOLOGÍA MÁS USADA:

P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.

P(A´) = P(Ac) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.

P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE A DADO B.

P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE B DADO A.

P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B Ó PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE A Y B Ó PROBABILIDAD CONJUNTA DE A Y B.

P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O AMBOS Ó PROBABILIDAD DE LA UNIÓN A Y B.

NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS FÓRMULAS DE LOS SUCESOS ANTES VISTOS.

EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN VEHÍCULO PROPIO, EL 20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?

SOLUCIÓN:

A: PROPIETARIO DE VEHÍCULO

A´ : NO PROPIETARIO DE VEHÍCULO

B : PROPIETARIO DE VIVIENDA

B´: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA.

B B´ TOTALA 0,12 0,06 0,18A´ 0,08 0,74 0,82TOTAL 0,20 0,80 1,00

P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.

LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA SI TIENE VEHÍCULOS PRESENTAN UNA PROBABILIDAD DE 66%

34

AL INTERPRETAR MÁS EL EJERCICIO, SE TIENE, HAGA EL CÁLCULO: 275

NO TIENEN VEHICULO Y NO TIENE VIVIENDA PROPIA: 90%

TIENEN VEHÍCULO Y NO TIENEN VIVIENDA: 33%

NO TIENEN VIVIENDA Y NO TIENEN VEHICULO: 93%

EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL 70% DE LOS ALUMNOS. EL 70% SON MUJERES Y EL 18% SON ESTUDIANTES DE ECONOMÍA. SI ELEGIMOS UN ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTÉ ESTUDIANDO ECONOMÍA? (Hacer la tabla)

SOLUCIÓN

EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIÓN SE ENCONTRÓ QIE EL 10% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI EN LA CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI SON HOMBRES. CÚAL ES LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI AL AZAR, QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA ADEMÁS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS? (Hacer la tabla)

SOLUCIÓN:

35

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICAPROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTEMAS

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES

EL MATEMÁTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763) EN EL SIGLO XVVIII INTENTÓ DESARROLLAR UNA FÓRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA EXISTENCIA DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS ERRENALES. MÁS TARDE FUE LAPLACE QUIEN TERMINÓ SE DESARROLLO DENOMINANDOLO “TEOREMA DE BAYES”

ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA PROBABILIDAD A PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIÓN EN ANÁLISIS RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN DE UNA EMPRESA.

FÓRMULA GENERAL:

36

ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO EVENTO, QUE DEPENDE DE LA OCURRENCIA DE LOS EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN CONJUNTO DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO A CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B) CORRESPONDA AL PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B, DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL EVENTO B CON RESPECTO A CADA UNO DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULÑA GENERAL QUEDARÍA, ASÍ:

EJEMPLO1.- 4 MÁQUINAS A, B, C, Y D, POR ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE LA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA MAQUINA, DURANTE UN DETERMINADO PERÍODO ( 1 HORA) ASÍ: A, UNA PRODUCCIÓN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE 700 UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C EL 15%, Y D EL 35%.

MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA DETECTADO QUE EL PORCENTAJE DE UNIDADES DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS MÁQUINAS ES DE 4%, 3%, 6% Y 5%, RESPECTIVAMNETE.

SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL DEL LOTE DETERMINADO.

A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CÜAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA DEFECTUOSA.

SOLUCIÓN: E“LA PEIEZA DEFECTUOSA” Y N “LA PIEZA NO DEFECTUOSA”: PARA CALCULARLA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE LA FÓRMULA:

37

P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D)

PARA APLICAR LA FÓRMULA SE TIENE:

P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D) = 0,35

P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D) = 0,05,

DE DONDE:

P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) = 0,20*0,03 = 0,006

P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) = 0,35*0,05 = O,O175

LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SERÁ:

=

=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445

LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA ES DE 4,45%

B) CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA A, O POR LA MÁQUINA B, O POR LA MÁQUINA C O POR LA MÁQUINA D.

SOLUCIÓN:

LA FÓRMULA SE PARA LA MÁQUINA ES:

38

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA A ES DE 29,67%.

P(B/E) .

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA B, ES DE 13,48%.

P(C/E) .

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA C, ES DE 20,22%.

P(D/E) .

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA D, ES DE 39,33%.

UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL EN DOS ETAPAS:

0.04 P= 0,30 *0,04 = 0,012

0,96

0,30 0,03

P=0,20 * 0,03 = 0,06

P(A) 0,20 0,20 0,97

P(B) 0,15 0,06

P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 = 0,09

39

P(D) 0,35 0,05

0,95

P=0,35*0,05 =0,0175

EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y 2 ROJAS; LA SEGUNDA 4 AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE RESULTA SER AZUL. CON LO ANTERIOR INFORMACIÓN. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE ESCOGIDO SEA EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.

SOLUCIÓN:

P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3

P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = ½ P(E/C) = 6/6 = 1.

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES:

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES :

40

EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA FOLLETOS PROMOCIONANDO SU LIBRO DE ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE ENSEÑAN LA ASIGNATURA EN LAS UNIVERSIDADES QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIÓN. UN MES DESPUÉS SE CONSTATÓ QUE EL 46% QUE RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL LIBRO Y UN 16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO ADOPTARON. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO DEL FOLLETO DE PROMOCIÓN.

0,46

P(A) = 0,72

0,54

0,16 =0,8809 = 88,09%

P(B) 0 0,28

0,84

LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%.

BIBLIOGRAFIA:

41

MARTINEZ B. Ciro. Estadística y muestreo paginas 231-280.

42