Graphes k -partis et conception de circuits VLSI
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Graphes k-partis et conception de circuits VLSI
Pierre FouilhouxMaitre de ConférencesUniversité Pierre et Marie Curie - LIP6
Directeur: A. Ridha MahjoubUniversité Blaise Pascal - LIMOS
Ecole Doctorale Sciences pour l’Ingénieur
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Trouverun meilleur élément
dans un ensemble fini valué
Optimisation Combinatoire
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Optimisation Combinatoire
Placement d’émetteurs hertziens
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Optimisation Combinatoire
Placement d’émetteurs hertziens
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Optimisation Combinatoire
Problème du Voyageur de commerce
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Optimisation Combinatoire
Problème du Voyageur de commerce
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Optimisation Combinatoire
Conception de circuits intégrés (VLSI)
ComposantRéseau Points terminaux
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Optimisation Combinatoire
Conception de circuits intégrés (VLSI)
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Optimisation Combinatoire
Reconstruction du génome
T
TC
AG
T
TC
AG
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T
TC
AG
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle Théorie des Graphes
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
Stable dans un graphe = Sommets isolés
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
Stable dans un graphe
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
k-partition dans un graphe
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
bipartition dans un graphe (k=2)
C
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T
TC
AG
Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
bipartition dans un graphe (k=2)
C
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T
TC
AG
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle Théorie des Graphes
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PB(G)=conv { xW | W V, (W,E(W)) est biparti }nIR
,,1)(0 Vvvx
,),(,1)( impaircycleTWquetelETVWWuxWu
.,)( Vventiervx
Vv
vxvcMax )()(
T
TC
AG
Optimisation Combinatoire
RechercheOpérationnelle
Programmation mathématiqueApproches polyédralesThéorie des Graphes
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T
TC
AG
T
TC
AG
Polymorphisme génétique
SNP : Single Nucleotide Polymorphism
Reconstituerles 2 haplotypeset les SNP
ATCGATGCATGAATGCATGCAATCGATGGATGTATGCAAGCA
Organismes diploïdes T
A
Assemblage SNP d’haplotypes
Molécule d’ADN
2 haplotypes
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f1 ATCGATGCATGAf2 TCGATGGATGAATf3 ATGCATGTATGCAAf4 ATGAATGCATGCAf5 CATGCA
Fragments fi
f1 ATCGATGCATGAf2 TCGATGGATGAATf3 ATGCATGTATGCAAf4 ATGAATGCATGCAf5 CATGCA
Détection des SNP
f1 ATCGATGCATGAf2 TCGATGGATGAATf3 ATGCATGTATGCAAf4 ATGAATGCATGCAf5 CATGCA
SNP sj
S1S2 S3
Assemblage SNP d’haplotypes
Objectif
Reconstituer
les deux haplotypes
f1f2
f5
f4
f3
H1H2
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Enlèvement minimal de fragments
f1
f2
f5
f4
f3
Problème de bipartisation de graphe
Lippert, Schwartz, Lancia, Istrail (2001)
Assemblage SNP d’haplotypes
est équivalent au
f3
f1 ATCGATGCATGAf2 TCGATGGATGAATf3 ATGCATGTATGCAAf4 ATGAATGCATGCAf5 CATGCA
S1S2 S3
f2
f1
f4
f5
fj
fiHaplotype 1
Haplotype 2
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Résolution informatiquedu problème de bipartisation
v1
v2
v3
v4
v5
v7
v8
v9
v1
0 v6
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v1
v2
v3
v4
v5
v7
v8
v9
v1
0 v6
Résolution informatiquedu problème de bipartisation
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v1
v2
v3
v4
v5
v7
v8
v9
v1
0 v6
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Résolution informatiquedu problème de bipartisation
vi
conservé
ôté
1
0
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v1
v2
v3
v4
v5
v7
v8
v9
v1
0 v6
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10
1 1 1 0 1 1 1 1 0 1
Résolution informatiquedu problème de bipartisation
Ce n’est pas une solution
vi
conservé
ôté
1
0
C
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v1
v2
v3
v4
v5
v7
v8
v9
v1
0 v6
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Résolution informatiquedu problème de bipartisation
C’est une solution
vi
conservé
ôté
1
0
![Page 27: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/27.jpg)
Résolution informatiquedu problème de bipartisation
Une première idée: Enumération de toutes les solutions
n 2n Temps de calculBlue Gene
Ordinateurdu futur
10 1024 0,00000…1 seconde
…
20 1 048 576 1 milliardième de sec
…
50 1,26 million de milliards
16 minutes quelques sec
100 1 267 milliards de milliards de milliards
1,1 milliardd’années
1 milliard d’années
1000
10301 … …
n sommets 2n=2x2x…x2 solutions à énumérer
n fois
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Soit G=(V,E) un graphe c un vecteur-poids sur les sommets de V.
Pour B V, on pose
.0
,1)(
sinon
BvsivxB
Formulation en un programme linéaire en nombres entiers
,,1)(0 Vvvx
,),(,1)( impaircycleTWquetelETVWWuxWu
.,)( Vventiervx
Vv
vxvcMax )()(
Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
![Page 29: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/29.jpg)
Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
v1
v2
v3
(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
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Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
,,1)(0 Vvvx
,),(,1)( impaircycleTWquetelETVWWvxWu
.,)( Vventiervx
Vv
vxvcMax )()(
2321 vvv xxx
(0,1,0) (1,1,0)
(1,0,0)
(1,0,1)(0,0,1)
(0,1,1)
(0,0,0)
(1,1,1)
v1
v2
v3
On associe à chaque solution un point saillantd’un (hyper)-cube
![Page 31: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/31.jpg)
Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
,,1)(0 Vvvx
,),(,1)( impaircycleTWquetelETVWWvxWu
.,)( Vventiervx
Vv
vxvcMax )()(
2321 vvv xxx
(0,1,0) (1,1,0)
(1,0,0)
(1,0,1)(0,0,1)
(0,1,1)
v1
v2
v3
On associe à chaque solution un point saillantd’un (hyper)-cube
(0,0,0)
(1,1,1)
![Page 32: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/32.jpg)
Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
,,1)(0 Vvvx
,),(,1)( impaircycleTWquetelETVWWvxWu
.,)( Vventiervx
Vv
vxvcMax )()(
2321 vvv xxx
(0,1,0) (1,1,0)
(1,0,0)
(1,0,1)(0,0,1)
(0,1,1)
v1
v2
v3
On associe à chaque solution un point saillantd’un (hyper)-cube
(0,0,0)
![Page 33: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/33.jpg)
Formulation mathématique:Approche polyèdrale et algorithme de coupes
PB(G)=conv { xW | W V, (W,E(W)) est biparti }nIR
![Page 34: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/34.jpg)
Complexité des problèmes
On dit que ces problèmes sont faciles ou polynomiaux dans P et les autres problèmes sont donc dans Non-P
On ne sait pas dire si de nombreux problèmes célèbres
sont dans P ou dans Non-P
P=NP ?
Est-ce que ce problème de bipartisation est difficile ou non?
C’est la classe des problèmes dont on peut facilement savoir si une solution quelconque est valide ou non valide.
La classe de problème la plus célèbre est la Classe NP (Non-Deterministic Polynomial)
![Page 35: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/35.jpg)
Croisement
Circuit électronique Ensemble de composants avec un ou plusieurs points terminaux reliés par des pistes rassemblées en réseaux.Croisement Deux pistes de réseaux différents qui se
croisent doivent être affectées à des couches différentes dans le but d’éviter les connexions interdites.
Problème de Via Minimization
![Page 36: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/36.jpg)
Fil sur couche A B
Une affectation valide est une affectation des pistes sur les couches de manière à ce que deux pistes de réseaux différents qui se croisent, soient sur des couches différentes.Via Trou à percer pour connecter deux pistes
d’un même réseau.
Problème de Via Minimization
![Page 37: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/37.jpg)
Le problème de Via Minimization contraint
Déterminer une affectation valide des segments de pistes sur les couches avec un nombre minimum de
viassans déplacer les pistes.
Problème de Via Minimization
![Page 38: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/38.jpg)
Pour tout cycle impair C de G.Un via doit être percé à l’emplacementcorrespondant à un des sommetsdu cycle impair C.
C
Problème de Via Minimization
![Page 39: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/39.jpg)
Pour tout cycle impair C de G.Un via doit être percé à l’emplacementcorrespondant à un des sommetsdu cycle impair C.
C
Problème de Via Minimization
![Page 40: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/40.jpg)
Pour tout cycle impair C de G.Un via doit être percé à l’emplacementcorrespondant à un des sommetsdu cycle impair C.
C
Problème de Via Minimization
![Page 41: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/41.jpg)
Le problème de Via Minimization sur 2 couches
Le problème du sous-graphe biparti induit
Problème de Via Minimization
est équivalent au
![Page 42: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/42.jpg)
328 vias
88 réseaux1695 croisements
Temps de calcul 7min50
nb coupes 7551
nb sommets 6579
Problème de Via Minimization
![Page 43: Graphes k -partis et conception de circuits VLSI](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022062517/5681373e550346895d9ece48/html5/thumbnails/43.jpg)
729 réseaux73166 croisements
nb sommets 291993
nb coupes 10481
Temps de calcul 4h05
2089 vias
Problème de Via Minimization
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Conclusion
Modélisation d’un problème de séquençage des génomes diploïdesModélisation du problème de Via Minimization
Etude polyédrale du problème de bipartisation de graphe
Elaboration de logiciels de résolution pour le problème de génomiqueet d’électronique.