Globally Rigid Symmetric Tensegrities by Connelly, Terrell, 1995 Article

8/9/2019 Globally Rigid Symmetric Tensegrities by Connelly, Terrell, 1995 Article

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R Connelly*andM.XmeIlCornell University,Departmentof Mathematics,white Hall, Ithaca, N.Y.14843-7901

* Partially supportedby N.S.F.

Subventionnk, en partie, par leN.S.F.Grant Number MCS-790251(num6m de ubventionMa-790251)French translation:Traduction franpis e :Jean-Luc Raymond

DGlobally RigidSymmetricTensegrities

Abstr;ldf one builds a tensegrity structure with cables and struts,when will it be globally rigid in the sense that there is noIther non-congruent configuration of the pointssatisfy-

ing the cable and strut constraints? We investigate a family ofsuch structures that have dihedral symmetry and we com-pletely characterize those thatareglobally rigid.This usessome stress-energy techniques that inturn require showingthat a certain symmetric matrix is positive semi-definitewith the right rank.1 IntroductionWhen is a collection ofstruts held rigid by a system of ca-bles? Such structures, ntroduced more than30 years ago bysculptor Kenneth Snelson, were used by Buckminster Fulleras examples of a concept he called tensional ntegrityorsimply tensegrity!The tensegrities considered by Snelsonand Fuller were required to have all their strutsdisjoint.Soifone builds such a stmcture, wires can serve as the cables and

Topologie stmcturnle 21 * S t~ ctu m l opology * 1995

DTensegrites symetriquesglobalement rigides

i on construit une structure de tendgrite avec des&les et des etais, quand sera-telle globalement rigide,s u sensou il nexiste aucune autre configuration noncongruente despoints satisfaisant es contraintes des dble s etdes etais?Nous etudions ici une f a d e de ce type de struc-tures qui po&dent une symetried~edret nous caractensonscompletement celles qui sont globalement rigides. Nous utili-sons certaines te ch que s de contrainteCnergiequi requierent

la demonstration quune certaine matrice symetrique est posi-tive semidefinie avec lebon rang.1 lnboductionQuand un ensemble detais est-il tenu de faqon rigide par unsysteme de cables? De telles structures, introduites voila plusde trente ans par le sculpteur Kenneth Snelson, ont ete utili-sees par Buckminster Fuller mmme exemples dun conceptquil nomma ((integrite de tensionH ou plus simplement(( tensegrite D. Dans les tensegrites considerees par Snelson et

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Globally rigid Tensdgritds symetriquessymmetric tensegriaies globalement rigides

Figure 1

WRepresente un cBblequi ne peut saccroitreen longueur.Denotes a cablewhich is not allowedto increase in length.

Denotes a strutwhich is not allowedto decrease in length .Reprksente un Ctaiqui ne pe ut dkcroitreen longueur.

sticks can serve as the struts held in mid-air by the cables.See [12,8]. For us, and in the mathematical literature, there isno need for having disjoint struts.

There is a precise mathematical model for defining theseobjects, and there is a reasonable theory as well that can beapplied to determine their rigidity in many cases. Our mainobject is to demonstrate that theory by applying it to a par-ticular family of tensegrities, called prismic ensigrids.Figure 1 shows one of these rigid tensigrids.Figure 10shows some other examples of prismic tensigrids.

One must be careful about how one proves rigidity.Anatural method is to use what is called infinitesimal igidity!This is the approach in Hinrichs(101.Unfortunately, prismictensigrids are never infinitesimally rigid, and thus the resultsclaimed by Hinrichs must be proved by other techniques.

We will show that certain prismic tensigrids are globallyrigid and therefore rigid. The techniques we apply involvecalculating a self stressand an associated symmetric ma-trix, and checking that thismatrix is positive semi-definitewith the right ullity.

In Section II after we define these concepts and outlinesome of the relevant theory, we define precisely the prismictensigrids and state the main result about when they are glo-bally rigid. section III sets up the notation for studying ourexamples and calculates a certain twist these structures arerequired to have.section IV contains the proof of the maintheorem. In SectionV we present some conjectures andquestions for fbrther study.of Lemma 5.II. BasicDefinitionsa d heoryA tensegrity framework (or simply a fvamaoork) consists of acollection of labeled vertices (or oints) in three-space, calledthe configuration, ogether with certain pairs of vertices (ormembers)calledcables, truts, or bars.

For each cable the pair of vertices is constrained not tomove apart. For each strut the pair of vertices is constrainednot to get closer. For each bar the pair of vertices is con-strainedto stay the same distance. We denote the frameworkby G@), where G is a graph whose vertices correspondto thejoints of the framework and whose edges record which pairsof vertices are cables, bars, or struts. The configuration isdenotedbyp=@ ,,p,, ..,pu), herep, is the i-thjoint oftheframework.

We thank R Errell and L. Wahlbin for help with the proof

Fuller, les etais devaient tous Ctre disjoints. Ainsi, si on cons-truit une telle structure, des fils metalliques peuvent Ctreudises comme cAbles et des tiges comme etais tenus ensus-pens par les cibles. Voir [12,8].Pour nous, et dans la littera-ture mathematique,il nest pas necessaire que les etais soientdisjoints.

11existe un modele mathematique precis pour definirces objets, ainsi quune theorie acceptable permettan t dedeterminer leur rigidite dans plusieurs cas. Notre but prin-cipal est de demontrer cette theorie en lappliquanta unefamille particuliere de tensegrites appelees ( tensegritesprismiques D. La figum 1montre lune de ces tensegritesrigides.A a figum 10, on trouve dau tres exemples detensegrites prismiques.

On doit Ctre tres prudent sur la f apn de demontrer larigidite. Une methode naturelle consistea utiliser le conceptde ((rigidite infinitesimale ).Cest lapproche quutilisaHinrichs [101.Malheureusement, es tensegrites prismiquesne sont jamais infinitesimalement rigides, et ainsi les resul-tatsavancks par Hinrichs doivent &tre emontres pardautres techniques.

Nous demontrerons que certaines tensegrites prismiquessont ((globalement rigides ) et donc rigides. Les techniquesutiliskes font appel au calcul dun e ( autocontrainte ) et dun ematrice symetrique associee, et a la verification que cettematrice est positive semidefinie de la ebonne ) nullite.

Dans la section II,apres avoir defini ces concepts et ex-pose les grandes lignes de la theorie sous-jacente,on definitde f ap n precise les tensegrites prismiques et on enonce leresultat principal concernant leur rigidite globale.A la sec-tion III, on etablit la notation utdisee pour letudede nosexemples et on calcule une certaine torsion que doivent avoirces structures.Lasection IV contient la demonstration dutheoreme principal. Dans laSection V, nous presentonsquelques conjectures et questions pour des etudes futures.

Nous remercionsR lkrrell et L. Wahlbin pour leur aidedans la demonstration dulemme 5 .II. MnitionsdebaseetthhieUne charpente de m g r i t e ou simplement une charpenteconsiste en un ensemble de sommets etiquetes oujoints danslespace tridimensionnel, nomme laconfiguration,accompa-gnee de certaines paires de sommets ou membres nommeesCirbles, tais,ou bawes.Pour chaque dble, les deux sommets


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n vertices k SteDSn sommets k pas

j stepsW

n

Figure2 Figure3In Hinrichs[lo] there is a classification of certain symmet-

ric tensegrity frameworks,aswell as statements and conjec-tures regarding their rigidity. The following is a description ofthese symmetric tensegrity frameworks, which Hinrichscalls prismic tensigrids. Consider two circles in disjoint paral-lel planes whereboth circles have their centers on a lineLperpendicular to the two planes. NoteL is a line of rotationalsymmetry for the two circles. Choosen = 3,4,5,. . Considertwo sets of n points, one set on each of the circles, spacedsothat each set forms the vertices of a regular polygon. Thusthere are 2n vertices in all. SeeF&le 2.

Next choosetwo integers ,k = 1,2 , . p l . On each circleconnect a cable between any pair of vertices that arek stepsapart in cyclic order. Connect a strut between some pair ofvertices on different circles, hen rotate the strut aboutL toobtainn disjoint struts. Each of the struts connects a vertex inone circle to exactly one vertex in the other circle. Wefixsome orientationof the plane. Lastly for each vertex, connectit to that vertex on the other circle which isj steps in a clock-wise direction from the other endpointof the strut. FollowingHinrichs we call such a frameworkP,(j, k) . (See F'igu~.)

Note that in addition to the rotational symmetries aboutLeach of these frameworks has a symmetries which rotate onecircle into the other.Also note we have not mentioned whatthe relative positions are for the twosetsofpoints on thecircles. We wdl see later that in order for there to be anychance that the prismic tensigrid is rigid, there is only one

qui le constituent ne peuvent s'eloigner. Pour chaque etai, lesdeux sommets qui le constituent ne peuvent se rapprocher.Pour chaque barre, les deux sommets qui la constituent doi-vent demeurer a la mCme distance. On designe la charpentepar G@),ou G est un graphe dont les sommets correspon-dent aux joints de la charpente et dont les aretes decriventquelles sont les paires de sommets qui sont des ciibles, desbarres ou des etais. On note la configuration parp = , p 2 , . , p u ) up , est le i+me joint de la charpente.Dans Particle de Hinrichs [lo], on trouve une classificationde certaines charpentes de tensegrite symetriques, de m&meque des affirmations et des conjectures concernant leur rigi-dite. Voici une description de ces charpentes de tenskgritesymetriques qu'Hinrichs nomme tensegrites prismiques.Considerons deux cercles appartenanta deux plans paralle-les disjoints, es deux cercles ayant leur centre sur une droiteL perpendiculaire am deux plans. Remarquons queL est unaxe de symetrie de rotation pour les deux cercles. Posonsn = 3,4,5,. . et considerons deux ensembles den points, unsur chacun des cercles, espaces de telle sorte que chaqueensemble constitue les sommets du n polygone regulier.I1ya ainsi 2n sommets en tout. Voirfigurn 2.

Choisissons ensuite deux entiersj,k = 1,2, . ,n-1 .Surchaque cercle, on lie par un cible toute paire de sommets quise situent a k places l'un de l'autre dans un ordre cyclique.On lie par un etai certaines paires de sommets se situant surdes cercles dflerents ; on effectue alors une rotation de l'etaiautour de L pour obtenirn etais disjoints. Chacun des etais lieun sommet de l'un des cerclesa exactement un sommet del'autre cercle. On determine une certaine orientation duplan. Enfin, on lie chaque sommet au sommet de l'autrecercle qui se situe aj places, dans la direction horaire, del'autre terminaison de l'etai. Selon Hinrichs, on nommeraune telle charpenteP,(j,k). Foir figule 3.)

Remarquons qu'en plus des symetries de rotation autourde L , chacune de ces charpentes possede une symetrie quipivote un cercle sur l'autre. On remarque egalement quenous n'avons pas mentionne les positions relatives des deuxensembles de points sur les cercles. On verra plus loin quepour qu'il y ait une chance que la tensegrite prismique soitrigide, il n'existe qu'une position possible pour l 'etai. Cecidetermine la position relative des deux ensembles den som-mets. Notons egalement queP,(j, k ) est une image-miroir deP,(j,n-k) et que ce sont des charpentes congruentes.

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Tensigritis symetriquesglobalement rigideaGlobally rigidsymmetric tensegrities

possible position for the strut. This determines the relativeposition of thetwo sets of n vertices. Note also thatP,(j, k) is amirror image of P,Cj,n-k), and they are congruent as frame-works.

A general tensegrity framework is said to bengul f theonly continuous motion of the vertices satisfjmg the mem-ber constraints s a rigid motion (i.e. a congruence)of all ofEuclidean space. The techniques we use may be found inConnelly [5].A selfstressfor a tensegrity framework is anassignment of a scalaro, the stress) to each member { i,j}such that at each vertex i the following vector sum, theequi-@mum equation,holds

F 0,@i - P I ) = 0 ,where the sum is taken over all vertices adjacentto i.Theself stress isproper if the stress on each cable is non-negativeand the stress on each strut is non-positive. One reason forthe importance of proper self stresses is the following result.See [4], as well as [13] for a slightly different proof.a Theorem 1.Any ngid tensegrity framemrk with at least one

able or strut hasa non-rn roper selfstresso.We must be carefbl not to read more into this statement

than is there. For instance, it is possible that thestressis zerofor all cables and struts of the framework and is only non-zero on bars.

In light of Theorem1we will require that there be somenon-zero proper self stress forP,(j, k). This linll in turn implythat there is a fixed relative position, called the twist, forallthe vertices on the two circles. We will discuss this centralpoint in Section 111.

A frameworkG@) is said to be infinitesimallyrigd if theonly solution to the following linear equalities and inequali-ties, where thep variables are the unknowns,

2 0 if{i,j}isacable2 0 if {i , j}s a strut,

(pi-pj) . p f - p ; ) = 0 i f { i , j }sabarIre the trivial ones coming from the derivatives of congru-

ences of Euclidean space. Since infinitesimal rigidity impliesrigidity (see Connelly [3]Theorem 3.1 and Remark 4.1, Rothand Whiteley [11]Proposition4.2, or Connelly[SD, t is natu-ral to try o show that a framework is rigid by showing it isinfinitesimally rigid. Thisis in fact the argument attempted

Une charpente de tensegrite generale est diter@& si leseul mouvement continu des sommets satisfaisant es con-traintes des membres est un mouvement rigide (cest-adireune congruence) de tout lespace euclidien. On peut trouverles techniques utilisees ici dans un article de Connelly[5].Une autownfraintepour une charpente de tensegrite est las-signation du n scalairew, (la contrainte)a chaque membre{ }de telle sorte quen chaque sommet i, a somme vecto-rielle suivante, kpation dwilibre, soit verifiee

F 0, @i-pjI = 0 ,ou la somme est prise sur tous les sommets adjacentsa i.

Lautocontrainteestpropre si la contrainte sur chaquecAble est non negative et que la contrainte sur chaque etai estnon positive. Lune des raisons ustifiant limportance dauto-contraintes propres est le resultat suivant. Voir[4], de mCmeque [13] pour une demonstration egerement differente.

Theoreme 1.mute charpente de ensegritenguie ayant aumoins un cdbleou un h i os&de une autocontrainte proprenon nu ko.On doit faire attentiona ne pas lire plus que ce que cette

affirmation ne contient.Par exemple, il est possible que lacontrainte soit nulle pour tous les cAbles et etais de la char-pente et non nulle seulement pour les barres.

A la lumiere du theoreme 1,nous demandemns quil y aitune certaine autocontrainte propre non nulle pourPno, ) .Cela entrainera quil y a une position relative fixe, appelee latorsion, pour tous les sommets sur les deux cercles. Nousaboderons cette question centralea la section 111.seules solutions aux equations et inequations lineaires sui-vantes, ou les variablesp sont les inconnues,

Une charpenteG@) est dite infinitksimlement rigde si les

5 0( p i - p j ) . (pf-pl) = 0 si {i, j}estunebam;2 0

si ( i , j } st un cAble ;si {i , j} st un etai{

sent les solutionstrivlaIes provenant des derivees de con-gruences de lespace euclid ien. Puisque la rigidite infinitesi-male implique la rigidite (voir le theoreme 3.1 et la remarque4.1 de larticle Connelly[3], la proposition4.2 de larticle deRoth et Whiteley[ll],ou [SD, il est nature1 de tenter de mon-trer quune charpente est rigide en demontrant quelle estinfinitesimalement rigide. Cest en fait largument utilise par


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by Hinrichs [lo]. t is shown in [5] hat if a tensegrity frame-work with u vertices and e members (at least one of which isa cable or a strut) is infinitesimally rigid in three-space, then3v-6< e. Now forP,,(j,k) if n 2 3, k # n/2, then v = 2n, e=4nand 3v-6=6n-6 2 4n=e. I f k=n / 2 , then e is even smaller.ThusP,(j, k ) is never infinitesimally rigid. UnfortunatelyHinrichs seems to conhse Theorem1 concerning generalrigidity with the following result of Roth and Whiteley[ll]:

Theorem 2. A tenSegrityffamavork G(p) is infinitesimallyng d if and only if thefillowingtwo wruAtions hold:(i)G(p)is infinitesimallyr i d , where E is thegraph obtainedby rqlaang all members with bars.(ij)GO) hasaproper selfstressw that is non-zevoon all strutsand cables.SinceP,,(j, k ) can never be infinitesimally rigid, Theorem2

can never apply. In fact, condition (i) is never satisfied.With this in mind, we offer the following alternate ap-proach.A tensegrity is calledglobally ngd f every other con-

figuration of the verticessatisfying the member constraints scongruent to the original configuration. (Note that the con-gruence may reverse orientation.) Clearly global rigidity isstronger than just rigidity. Our purpose will be to show thefollowing:Main Theorem. Theprismic tenslgnd P,(j,k), for n =3,4,. .,j,k =1,2,, .,n-1, isglobally ngd f and only if k=1 or k = n-1,We will use some results of Connelly[4], and Connelly

and Whiteley [7] (descnied in [14D that are general methodsfor proving global rigidity. For a frameworkG(p) a properself stress is denoted by w = (. ,w i l l . .)where oil wj i s thestresson member { ,j} From w we define the stress matrixQby defining the (g)-th entryRij o be

- w = -ajfq,={ x,f:w, i f i=j0 otherwise.

ifi#j, { i j } amemberofG

Since R is a symmetricmatrix, it corresponds to a quadraticform

Q@) = ?wilIPi-q l2defined on each coordinate of the space of all configurations.The matrix of Q is precisely the Kronecker productof R andthe d by d identity matrix, i.e.RBId. See SectionIv or a

Topologie sttucturale 21 * StructuralTopology * 1995

Hinrichs[lo].1 est demontre dans [5] que si une charpentede tensegrite de u sommets et e membres (dont au moins unest un db le ou un etai) est infinitesimalement rigide danslespace tridimensionnel, alors3v- 6


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Globally rigid Tensbgritbs symbtriquessymmetric tensegrities globalement igides

Figure 4 discussion of the Kronecker product oftwo matrices.) Thisquadratic form can be thought of as a potentialenergyfunc-tion, and sinceo s a self stress for GO?),t is easy to calculatethat the configurationp represents a critical point for thisenergy hnction. This leads to the question of whether theenergy is at a minimum atp , which is in turn detected bywhether R is positive semidefinite. f R is positive semi-definite, hen any other configuration must violate somemember constraint in order to have a lower energy. Theseare some of the ideas that can be used to show the followingmore precise statement (proved in [4D.

Theorem 3. Let G(p) be any tensegnty f l u w o r k in three-space witha roperselfstresso. uppose the cowespondmgstressmatrix Q ispositive semi-definite of nullity4 . If q is anyconfi@wation satishng the membev constraints of G(p), thenq is an afine imageof p.Note that th~sesult does not always imply thatp and q

are congruent. In order to use this theorem to concludeG@ )is globally rigid, we need the following result concerningaffine maps. See [13]for a more detailed discussion.N Theorem 4. LetG(p) be any tmg rit y i-ameumrk in three-space witha roper selfstress w a d R its stvess matrix as n

Theorem3. Let q be any wnfiguratzon that is the non-congru-ent afine imageofp satis&ng the member constraints ofG(p). Then there is amn-moquadra~orm Qdefined onthree-space such that Q(pi -pj)=0 for all members { i, } of Gsuch thatoij 0.We reinterpret the last condition as follows. For each

member { i,j}of G, regardpI 4 as a vector at the origin andproject itinto any fixed planeA not containing the origin.The condtion says that these points, corresponding to thenon-zero stresses, must all lie on a single conic, i.e. a circle,ellipse, parabola, hyperbola, ortwo lines. See Figurn 4.

In the case ofPJj, k)we will see that it has a proper selfstress, non-zero on each member. Since all the cables in thetwo polygons lie in parallel planes, they all project onto atleast three points in a single line inA. Thus the o dy possibleconic containing these points is a setof two lines. However,the other cables, as well as the struts,do not project into anysingle line. Therefore, all the members ofPn(j,k)do not lie ina single conic, and there canbe no other affine imageq ofp,such that G(q)satisfies the member constraints ofG@).

PuisqueR est une matrice symetrique, elle correspond a laforme quadratique

definie sur chaque coordonnee de lespace de toutes les con-figurations. La matrice de Qest precisement le produit deKronecker de 52 et de la matrice identite dordre d, cest-adireQ @ I d . pair la section IV pour une presentation du produitde Kronecker de deux matrices.) Cette forme quadratiquepeut Ctre consideree comme une fonction d(( nergie poten-tielle ), et puisqueo st une autocontrainte deGO?), il estfacile de calculer que la configurationp represente un pointcritique de cette fonction denerg ie. Ceci mene a la questionde savoir si lenergie atteint un minimum enp , ce qui, a sontour, est decele en sachant siR est positive semidefinie.Si Rest positive semidefinie, alors toute autre configuration doitvioler une certaine contrainte sur lun des membres pouratteindre une energie inferieure. Voila quelques unes desidees qui peuventC t r e utilisees pour montrer lenonce plusprecis suivant (demontredans 4D.N Theoreme 3. Soit G(p) une charpentede tm p te quehn-queclans2qm ndimensionnelet une autocontraintepropreo. upposons ue la matricede wntrainte wwespondanteRest positive semidkjiniede nullite4. Si q est une configurationsatisfaisant leswntraintesdes membres de G(p), abn q estune image afine de p.Remarquons que ce resultat nimpliquepas toujoum quep

et q sont congruents. Dans le but dutiliser ce theoreme pourconclurea la rigidite globale deG@), on a besoin du resultatsuivant concernant les applications affines. Voir[13] pourune discussion plus detaillee.W Theoreme 4. Soit G(p) une charpentede tmgritk quel-

a@) I ~ q l ~ ipjI2

conque clam2qace tndimensionnel,o neautocontraintepropre et SZ samatricede wntrainte wmm e clans le tht%r&ne3 . Soit q une wnfiguration qui est une imageafine non-w-te de p satisfaisant les wntraintesdes membres deG(p). IlWistedors une forme quadratupnon nulle QdkfinieSUY lespace tna?mensionnel telle que Q(pi-pj)= 0pour towlesmembves {i,j}deGtelsqueoij#O.Nous reinterpretons la derniere condition de la faCon sui-

vante. Pour chaque membre {i,j} de G, consideronspLp,comme un vecteura lorigine et projetom-le sur un plan fix6


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Hence, for the frameworksP,(j, k) if R s positive semidefi-nite of nullity 4, then Pn(j,k ) will be globally rigid.

111. The selfStmsandtheTwistWe will show that the existence of a non-zero self stress forP,(j, k) (necessary for rigidity by Theorem1) allows us simul-taneously to calculate the twist and the self stress that existsfor that twist. The results here are essentially equivalent tosimilar (correct) results in Hinrichs[lo],but the treatmenthere is independent of Hinrichs, more explicit, and someproofs are different.?b ease thiscalculation we choose a particular coordinate

system for any vertexp, ofP,(j, k) . The x-axisandy-axis are inthe plane of the circle containingp , and the x-axis is alongthe radiusof the circle containingpl.The z-axis is thus per-pendicular to this horizontal plane. SeeFigure 5.

{a, } hat has its vertices in different circles a luteral memberand any corresponding stresso, a lateral stress. We will callany other member (necessarily a cable) a horizontal cableand its corresponding stresso, a horizontal stress.

Lemma 1.For any P,(j,k) supposeo sa se2fstress. or anyvertex hbeled i let {a,i}, {b,i} orrespondto the uc$ment lut-eralmembers.Thena,,= -ab,,Pruof. The equilibrium vector equation in the definition of aself stress

For any prismic tensegrityP,(j, k) we will call any member

4 , ,@,-P,)=Omust hold for each coordinate, in particular the z-coordinate.The zcoordinates of the vertices adjacent along the horizon-talcables are the same, so we are left witha,, obI 0.

We have found partial information about any possible selfstress for Pn0,), but in order to find the twist wewill use theexistence of a particularly nice self stress. LetH be the groupof isometries that leave the vertices ofP,(j, k ) invariant. ThusH (isomorphic o a dihedral group) permutes the members ofP,(j, ), and there are three transitivity classes, the horizontalcables, the lateral cables, and the lateralstruts.If a self stresso orP,(j,k) has the same value for each member in a transi-tivity class, we sayo s s p m e t n c . Furthermore, fo s anyproper self stress (possibly not symmetric) we define forevery member {a , } and P,(j, k )

Topologie structurale - 21 -Structural Topology 6 1995A quelconque ne contenant pas l'origine.La conditionaf-firme que ces points, correspondant aux contraintes nonnulles, doivent tous se situer sur une conique simple, c'est-a-dire un cercle, une ellipse, une parabole, une hyperboleoudeux droites. Voir figum4.propre, non nulle sur chaque membre. Puisque tous lesdibles dans les deux polygones se situent dans des plansparalleles, ils se projettent tous sur au moins trois points dansune seule droite dansA . Ainsi, la seule conique pouvant con-tenir ces pointsest un ensemble de deux droites. lbutefois,les autres ciibles, de m&meque les etais, ne se projettent pasen une seule droite. Donc, les membres dePn(j, ) ne se si-tuent pas b u s sur une seule conique etil ne peut existeraucune autre image affineq dep , telle que G(q)satisfasse lescontraintes des membres deG(p). Ainsi, pour les charpentesP,(j, k), siR est positive semidefinie de nullite4, alorsP,(j, k)sera globalement rigide.111. L'autocontrainteet latorsionNous montrerons que l'existence dun e autocontrainte nonnulle pourP,(j,k) (necessaire pour la rigidite selon le theo-reme 1)nous permet de calculer de faqon simultanee la tor-sion, et l'autocontrainte qui existe pour cette torsion. Lesresultats presentes ici sont essentiellement equivalents auxresultats (corrects) similaires publies par Hinrichs[lo],maisle traitement qui en est fait ici en est independant, il est plusexplicite et quelques demonstrations sont differentes.

Afln de faciliter ce calcul, on choisit un systeme de coor-donnees particulier pour un sommet arbitrairep , de Pncj,).Eaxe desK et l'axe desy se situent dans le plan du cercle con-tenantpl,et l'axe des x se confondant avec le rayon du cerclecontenantPI.Eaxe desz est ainsi perpendiculairea ce planhorizontal. Voir figum 5.

Pour toute tensegrite prismiquePn(j,k),nous nommeronsmembre hthal tout membre {a , } dont les sommets sontdans des cercles dser en ts etcontrainte lathale, la contraintecorrespondantea,. ?bus les autres membres (necessaire-ment des cAbles) seront nommes ciibles horizontaux et leurscontraintes correspondanteso,, contraintes horizontales.

Lemme 1.Pour tout P,Gj,k), supposonsqueo st une auto-contrainte.Pour tout sommetWmte i, soient {a,i},{b,i} or-respondant a m membres latkram@scents. Alors m,,= -abl ,D6monstmtion :L'equation vectorielle dequilibre de la defi-

Pour P,cj,k), nous verrons qu'il possede une autocontrainte

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Globally rigid Tens6grit6ssym6triquessymmetric tensegrities globalement rigides

Figure6

PI

4

where [HI = the number of elements ofH . We call0 heaverage selfstress. It is clear that0 s always a proper sym-metric self stress for the same frameworkP,(j, k) .axis of some fixed coordmate system say). Let{i ,a}be thestrut at the vertex p, The projectionofpa onto thexy plane(perpendicular o the axis of symmetry ofP,(j, k) is obtainedby a rotation ofp, by 8 radians counterclockwise,say. SeeFigurn 6.

Note that this twist 8 is independentof k. Ifp, is rigidlyrotated to another vertex (even on the other circle) so thatthe two circles are invariant, hen the vertices and membersofPn(j, ) are invariant as well.

We can now descn ie the coordinatesof the vertices adja-cent top, Let {a , } {b,i}be the lateral strut and cable respec-tively. Let {c,i} {d, } be the horizontal cables. Then placingunit radius circles on thez= 0 and z = -1 planes, we get

Let p, be a vertex on the "top"circle (with respect to the z-

mw=7)P, = (1,0, 0)pa = (COS~,ine, -1)p h = ( os ( -- " j ) ,sin( -- " j ) , -1)

I emma 2. If P,(j,k) has a wn-zeroproper selfstress, hene = + + i j

m f . By averaging as discussed above, the existence of anon-zero proper selfstress implies the existence of a non-zero proper symmetric self stressw. Hence at any vertexp,a,, a,,By Lemma 1a,, -a,,By the equilibrium equationfor the ycoordinates and by(*)

mi, sin 8 + w ib in ( --1 ) = 0,a,, ine-sin 8-- = 0.( ( ""1)

nition dune autocontrainte

doit 6tre satisfaite pour chaque coordonnee, en particulier lacoordonneez. es coordonneesz es sommets adjacents lelong des ciibles horizontaux sont les m&mesil nous restedoncma ,+wb ,= 0. I

Nous avons tmuve une information partielle concernanttoute autocontrainte possible pourP,(j, k) , mais afin de trou-ver la torsion, nous ferons appela l'existence dune autocon-trainte particulierement belle. SoitH le groupe des isometriesqui laissent invariants les sommets deP,(j,k). H (isomorpheaun gmupe diedre) permute ainsi les membres deP,(j k ) , et ily a trois classes de transitivite : les &bles horizontaux, lesdbl es ateraux et les etais lateraux. Si une autocontrainteode P,cj ,k ) possede la mCme valeur pour chaque membredansune classe de transitivite, on dira queo est symthque . Deplus,siw est une autocontrainte propre (possiblement nonsymetrique), on definit pour tout membre { a ) } et P,(j,k)

ou , IHI = le nombre delements de H . 0 st appelel'autocontraintemoyenne. 11est clair que0 st toujours uneautocontrainte propre symetrique pour la mCme charpenteP,(j,k).

Soitp , un sommet se situant sur le cercle (( du haut ) (enregard de l'axe desz dun certain systeme de coordonneesfixe). Soit {i,a} 'etai au sommetp,. La projection dep asur leplan xy (perpendiculairea l'axe de symetrie de P,(j,k ) ) estobtenue par une rotation dep , de 8 radians dans le sens anti-horaire. Voir figure 6.

Notons que cette torsion 8 est independante de k. Sioneffectue surp , une rotation rigide vers un au tre sommet(mCme sur l'autre cercle) de telle sorte que les deux cerclesrestent invariants,alorsles sommets et les membres deP,(j, k ) demeurent eux aussi invariants.

adjacentsap , Soient {a, i}et {b,i} l'etai lateral et le cgblelateral, respectivement. Soient {c,i} t {d,i},es ciibles hori-zontaux. En plap nt alors des cercles de rayon unite sur lesplansz= 0 et z= -1, on obtient(figwe 7 )

On peut maintenant decrire les coordonnees des sommets

Topologie structurale * 21 -StructuralTopology * 1995


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Ifo,,0, then all the lateral stresses are 0, and thiswould imply that all the horizontal stress are0 aswell, violating the non-zero hypothesis foro. hus

sine = s i n k -T).Using that 0 I 8 < 2rc we have

Thus 7K A2 n= - + A ~ or e = 3 - + d .nRecall o , b > 0,o, a id 0,mi, < 0.From (.),

01=2o,, cos27K--l < o ."nwhere

From the above analysis and (:),@ia@a-Pi)+ w,b@b-Pi) = oia@u-P&)= P(l,OJo)'

In order for the equilibrium equationto hold atpr we musthave p = -a 0. Now P>0 only if the x-mordinate ofp, ispositive and the xcoordinate ofp ,is negative. Thus the(symmetric) self stressowill not be proper unless8 = n/ 2 + n(j/n).We now know thatpb= (-cos 8,sin 8, -1) and the ycoordi-nates ofpaandpbare equal.Remark.We have determined8and thus the configurationfor P,(j, k ) up to congruence. At this stage it is an easy matterto see that the proper symmetric self stressw forP,(j,k) isunique up to a positive scalar. It is natural to askif there areany non-symmetric proper self stresses forP,(j,k). It followsfrom the next lemma that when Pno,) is connected(as agraph) theonly proper self stress is symmetric. Hinrichsshowed that P,(j, k) is connected precisely when the greatestcommon divisor of n, , k is 1. Thus we will calculate all thestresses for all connected prismic tensigrids.Lemma3. LetP,,(j,k), n=3,4..., j = l , .., n-1, k = l, .., n-1,

be anypvismic tensigndwith the gveatestcommon&visorofn, j, k equal to 1. Thenall non-zero properself stresses of

PI = (1,0,0)pa = (cos 8,sin 8, -1)p, = (cos@-%),sink-+), -1)

Lemme 2. i P,,(j,k)posskde une autocontraintepropremnnu&.a h

konstration.En procedant par la moyenne comme plushaut, l'existence d'une autocontrainte propre non nulle impli-que l'exktence du ne autocontrainte propre non nullesyme-trique w. Ainsi, en tout sommetp,,o,,cold.Par le lemme 1,a,,= w l b . n utilisant l'equation d'equilibre pour les coor-donnees y, et par (:), on a

a,, in 8 + o,,in 8 -- = 0,( 2 ; J )O , sine-sin e--- = 0.( ( " J ) )

Sio, = 0, alors toutes les contraintes laterales sont nulles,et ceci impliquerait que toutes les contraintes horizontalessont nulles egalement, en violation de l'hypothese de non-nullite deo Ainsi.

' s ine = s i n k -En utilisant le fait que 05 8 < 2 ~ ,n a

e + ( --2 : J ) = A ou e +Ainsi, A Ae = - + d ou e = 3 - + A l2 n 2 nRappelons quew,, > 0,o,, o l d > 0,o,, 0. De (*),on tire:

o ~ ~ ( P ~ - P ~ )Wid(Pdd-Pi)OU a = w, cos2a- - 1 < 0 .i n ,

Globally rigid Tensbgritls symdtriques


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symmetric tensegrities globalement dgldes

Pn(j,k) re of thefomzhorizontal stress = y > 0

sin2+ Klateral cablestress = 2 y sint; (* *Isin2X 7tlateral strutstress = - 2y S i n + K

Proof: At any vertexp , , we use the coordinate system(*)discussed above. By Lemma 1 ,o,,-alb.y Lemma 2 ,8= K (12 + 'In). The equilibrium equation for the y-coordi-nates giveso,, o ld .he equilibrium equation for the x-coodnates gives

Hence

This ratio is the same for each vertexi. Chooseany h > 0 forany horizontal stress. The above ratio determines the stressesfor all adjacent members. Since the graph ofP,o, k) is con-nected (by [ l O D all the stresses for all the members are deter-mined and thus are given by(* *). rnIV. RoofoftheMainTheoremThis section contains the proof of the main result, that foranyn=3,4...andj=1,2..., -1, P,(j,k) isgloballyrigidifandonlyifk=lork=n-l.SinceP,(j,l)isequaltoP,,Cj,n-l),itsuffices to show the Main Theorem forPn(j,1).in the following way. We label the n vertices which lie in oneof the xy-planeswith consecutive odd integers 1 ,3,.., n-1 ,and the n vertices in the other plane with consecutive evenintegers 2,4,.. 2n . Then we have:

'Tb facilitate the calculations we index the vertices ofp,,(j, 1)

{ i , i + 2 } are horizontal cables i = 1,2,3...,2 n ;{z , i+l} arelateralcables i = 1,3,5..., n - 1 ;{ i , i + l + 2 j }arelateralstruts i = 1,3,5...,2 n - 1 .

Assume where necessary these are integers mod 2n . Withthis indexing Lemma 3 implies that any non-zero proper selfstresso or Pn(j, )has the form

De l'analyse precedente et de (*),on ao ~ a @ a -PI> + oib(Pb -Pi> = oicz(Pa -Pb) = P(l,O,o> .

M n que l'equation dequilibre soit valide enp , on doitavoir P = - a>0. Maintenant,p > 0 seulement si la coordon-nee x dep best positive et que la coordonneex dep , est nega-tive. Cautocontrainte (symetrique)o e sera pas propre amoins que8= 7t/2 + K ( j /n ) . HOn sait maintenant quep b= (-cos 8, in 8, -1 ) et que les coor-donneesy depa et depb sont egales.Remarque.Nous avons determine q et ainsi la configurationpour P,o, k) a une congruence pres.A ce stade, il est simplede voir que l'autocontrainte propre symetriqueo our P,(j, k)est unique a un scalaire positif pres. I1 est nature1 de deman-der s'il existe des autocontraintespropres non symetriquespour P&, k). Une consequence du lemme suivant veut quelorsque P,(j,k) est connexe (considere comme un graphe), laseule autocontrainte propre est symetrique. Hinrichs a de-montre quePn(j,k) est connexe prec idment lorsque le plusgrand diviseur cornmun den, et k est 1.On calculera ainsitoutes les contraintes pour toutes les tensegrites prismiquesconnexes.rn Lemme3. soitPn(j,k),oiin=3,4..., j = l , ..,n-1, k=l,. ,

n-1, une tm'gr i tepr ismique dont leplus grand diuiseurwm-mun de n, , k est egal a I . Abrs toutes les autocontraintespropves non n u h e P,(j,k) sont de la forme

contraintes horizontales = y > oSin2x 7tcontraintes de cibles lateraux= 2 ySin+ K (**I

contraintes d'etais lateraux = - 2 y sin2+ Ksinf KD&nonst~~tion.n tout sornmetp , on utilise le systeme decoordonnees(* )presente plus haut. Par le lemme 1,o,,-qb.ar le lemme 2 , 8 = K (V 2 + / . ) . Cequation d'equilibrepour les coordonneesy nous donnea,, o,,Cequationdequilibre pour les coordonneesx nous donne

~,,(cos e - 1)- o,,(-COS e - 1) + 20,, n

Topologle structurale 21 * Structural Topology 1996


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Throughout the rest of this section we take y = 1.To sim-pllfy notation we let sin2f

sin fx=2-.The associatedstressmatrix Qbelongs to a very special

classof matrices called block circulant matrices

Q, Q, 5 1 2 ... an-,n1, a , ...where each Q is a 2x2 matrix,

and for any other integer m between 1 and n

We wdl use some of the special properties of circulantmatrices to calculate the eigenvalues of Q .The followingdefinitions and theorems may be found in [9].matrix B is the mr x qs matrixThe Kronecker product of an m x q matrixA and an r x s

a,,B u12B ... a,,Ba2,B a2,B ... a2,B[ i ,B am2B ... urn,].A B B =

The properties of this product that we will use are:1) (A+B)@ C = A 8 +B @ C ; A @ (B+C )= A BB +A @ C2) (A@B)(C@D) AC8BD3) (A@B)*= A*@B*,

whereA* is the conjugate transpose of A and indicatedo p

Donc,- a lb c o s T - ln k -2sin25n:-- -- -2

@I , 0 1 , cos9 sin+ n:Ce ratio est le mCme pour chaque sommet i. On choisit

un quelconqueh > 0 pour n'importe quelle contrainte hori-zontale. Le ratio cidessus determine les contraintes pourtous les membres adjacents. Puisque le graphe de P,(j, k) estconnexe(par l OD , toutes les contraintes pour tous lesmembres sont deteminees et sont ainsi donnees par (**).IV. Wrnonsbabmduth6orbneprincipalCette section contient la demonstration du resultat principal,a l'effet que pour tout n= 3,4 ...et = 1,2..., -1, P,(j,k) estglobalement rigide si et seulement si k = 1ou k = n -1.Puis-que P,(j, 1) est egal a P,(j,n-l), il suffit de demontrer le th eereme principal pour P,(j, 1).de P,(j, 1) de la fapn suivante. On attrilue auxn sommetsqui se situent dans l'un des plans xy les entiers impairs con-secutifk 1,3...,2n-1, et aux n sommets appartenant a l'autreplan les entiers pairs consecutifk2,4,.. ,2n.On a alors :

Afin de simplifier les calculs, nous etiquetons les sommets

{i,i+2}{i,i+l}{i,i +1+ 2j} sont des etais lateraux i = 1,3,5,. ,2n -1.Supposons lorsque cela s'avere necessaire que ce sont des

entiers mod 271 Avec cet etiquetage, e lemme 3 impliqueque toute autocontrainte propre non nulle o our Pn(j,) estde la forme

sont des db les horizontaux i = 1,2,3,. ,2n;sont des dbleslateraux i = 1,3,5,.., n-1;

n u t au long de cette section, on prendray = 1.Pour sim-plifier la notation, on posera sin2f

sinj:x = 2 - .

La matrice de contrainte associee Q appartient a uneclasse tres speciale de matrices nommees matrices a circula-tion de blocs.

Globally rigid Tensbgritb symetriques


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symmetric tensegrlties

0 1 0 ... 00 0 1 o . . . o0 0 0 o . . . 1

-1 0 0 0 ... 0 -n = ; i ,

globalemenl rigides

D =

erations are assumed to be defined. The complex conjugateof a complex number z isZ.

Theorem 5. Let F be then x n matnv with ij-th entry1 -(i-J)Q-l)6 ,where 6 eif is theprimitive i-th root of unity.ThenF is unitay, i.e., FF*= I = F*F.

W Theorem6. LetllundDbethenxnmatni%s1 0 0 ... 00 6 1 ... 00 0 6 2 ... 00 0 ... 0 5" - 1

We now apply these theoremsto proveLemma 4. If P,,(j,1 has non-zeroproper self stress a,heassociated stress matrvs d as elgenvalues

where 2 sin2x = ~.sinj+Proof. By the preceding discussion of52 and by the defini-tion of the Kronecker product,d = :f0 lle 3 d,, Theorem 6impliesQ = IioF * D e F ) 3 d,,,Let I be the 2 x 2 identitymatrix.Then it follows from properties2) and l) ,

n-1= C F * B I ) ( ~ 3 ,,,) ( F 3 I )e = o

From properties 2), 3 ) and Theorem5 it follows thatF* 4 I = (F 3 I ) * et F 3 I isunitary. Hence the eigenvaluesofd re equal o the eigenvalues of the block diagonalmatrixzDe 4 d , This matrix consistsof the 2 x 2 blocks,C,,m=0,1,2,. . n 1, down the main diagonal andzeros every-where else, where

n-l1- 0

ou chaqued, est une matricede format 2 x 2,

0 0 -1 0Q n - 1 + 1 = [ o ]i an = [ 0 -1]

et pour tout autre entier m entre 1et nQ m = [; ;].

Nous utiliseronscertaines des proprietes spk iales desmatrices a circulation pour calculer les valeurs propres deR.On peut trouver les definitions et theoremes suivantsdans191.Le produit de Kronecker du ne matriceA de formatm x qet dune matriceB de format r x s est la matrice de formatmr x qs

a,,B a,$ ... a,,Ba 2 ,B a2,B ... a2,BA 3 B =

[ u i l B a m 2 B ...Les proprietes de ce produit que nous utiliserons sont:

1) (A + B) 3 C = A 3 C+B3C ; A 3 ( B + C )= A 3B+ A 4C2 ) (A 3 B)(C 3 D ) = AC3 B D3) ( A @ B ) * = A * @ B * ,

ou A* est la transpode des conjugues deA et les op6rationsindiquees sont supposees definies.Leconjuguedun nombrecomplexez estZW Theoreme 5. Soit Flumatrice de ormat n x n dontle i j heht& ((i-1)ti-I)OLL k = ei f estki-wracineprimi-tive de ?unite.Alors F est unitaire, c'es tudre, F F*= I = F*F.


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The eigenvalues of C, areh i = (2 sin m+)2 f ( 2 sin mi+). w

n =

rn ~emrna5.Theeigenvahesh~,m=0,1,..,n-1, ofthestressmatrixR associated to thenon-zero proper selfstress o orPn(j,l)arenon-nqptim.n fact

- 0 1 0 ... 00 0 1 o . . . oi i , D =0 0 0 0 ... 1

- 1 0 0 0 ... 0-

A,'= h, = 0,h; = = 0 and hl = hi-]> 0, i f j is odd,h; = hi-]= 0 and h: = hi-] > 0, if j is even,

andh; > O and h; > O fbranyotherintegerI O and h; >O , isequivalent to the statement

(sin m+l2 , sin mj+ 1(sin +) 2 sin +

>1 his inequality would follow fromsin m+ sin mj+sin + sin +

sin rn;Since(* **I

By replacingm by n-m andj by n-j, where necessary, itsufficestoshow (**+)whenK j I + and l I m I + . Usingthe fact that 0I I implies +t I in tI , we conclude that

sin mj+x

s inm+ +m+ 2m 1sin + ---- - and -It

rn Theoreme6. Soientn etD, k matncesde format n x n1 0 0 ... 00 5 1 ... 00 0 5" ... 00 0 ... 0 5"-'

Nous utiliserons maintenant ces theoremes pour demon-trer le lemme suivant.rn Lemme 4. Si P,(j,l)poskde une autmntraintepropm nonnu& a, lors la matrice dewntrainted a les valeurs

P V r a

OU 2 sin25x = sinjD6monsttation. En utilisant ce qu'on a dit deR et la defini-tion du produit de Kronecker,R = : ne@ Re+ l .Le theo-reme 6 impliqueR = :ioF*D e F ) @ R e+ SoitI la matriceidentited'ordre 2. Par les proprietes1)et 2), on obtient

n-1 n-1R = 1 F * D ~ F )L Re,, = ( F * D ~ F ) IRe+lI)e - o e = on-1

= 1 F L @ I ) (D'@ R,+ l ) ( F 8 )e- o

Par l'application des pp ri e te s2), 3) et du theoreme 5, ils'ensuit queF *@ = ( F @ )*, et F @ est unitaire. Les valeurspropres deR sont donc egales aux valeurs propres de lamatrice diagonale en blocs soDe @ Re + Cette matrice estconstitue deblocsde format2x2, C,, m=O,l,Z,..,n-1, lelong de la diagonale principale et de zeros ailleurs,ou

Globally rlgidsymmetrictenssgritles Tens6gritBs sydtriquesglobalement rlgider


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7 i k o m h s we see that (* * *) holds whenever 2 +, .e.,The remaining cases jm 0.Sij est impair, sin (n-1) $ = sinj+ , tandis que sij est pair, sin(n-1) + =-sin j+ . Les casde h', lorsquem =n-1 sont doncverifies.Pour m=2,3, ..,n-2, I'enonck,h; >O et h; >O , estequivalenta l'enonck

(sinmf]' , sin mj f 1(sin f)z sin j+

sin rn+Puisque

(* * *)>1,cette inegalite sera une consequence de

sin mf sin mj"sin f 2 1 sinj; 1 .

En remplaFantm par n-m etj par n-j, ou cela s'averenecessaire, il suffit de demontrer (* * *) lorsque1I j S f tIS n S + En utilisant le fait que 0I t I3 5 sin t I t, on conclut que implique que Topologie structurale * 21 - Structural Topology 1995


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a cycle of n / d vertices and reflect the vertices (and the inci-dent members) about the other horizontal plane. This clearlypreserves all the member lengths, and is a realization of thegraph not congruent to the original one. Thus thisP,(j, k) isnotgloballyrigid.SeeF5gum8,where n=6,j=5,k=2.

Case 2: k is relatively prime to n.Let X=2, ..,n-Zbesuchthat kX=1 (modulon). Wn gi n te -gers modulon we claim that the underlying graph ofP,(j,k)is isomorphic to the graph ofP,, (Xj,l).Tb see this,n eachframework, abel the vertices in one horizontal planeas0,1,2,..,n-1 in counterclockwise cyclic order. Label the verti-ces in the other horizontal plane asO,l, ...,( -1). In P,(j,k)the cables are

{i,i+k},{i,(i+k)}, {i,i}

{i,(i+j)}and the strutsare

In Pn(Fj,l) he cables are{i,i+I},{i,(i+I)}, {i,i}

{i,(i+Tj)} .and the struts areLet f be the bijection from vertices ofP,,(j,k) to vertices ofP,,(Xj,l) given by

i + Xi = f(i)i + Xi) = f(i>SinceXk = 1(mod n),

f @ ) = k%i= (mod n) .

-sinmf L m L 2m 1 sin rnjf2 u - -xn nin f -De la, on voit que(* * *) se verifie du moment que $ 2 8,

cest-adire orsquejm 2 +n.k s as restants ou jm +n se deduisent du fait que

sin t = tEl 1-5)onverge absolument pour toutnombre reel t [l].Donc

00

et

Les quotients parcourent tous les deux les entiers posit&q qui ne sont pas divisibles par m, cest-adire,m f q . Enautant quejm < n, il est clair que pour chaque valeur deq,

(1-5)( l+) 2 0.Ceci nous donne(* * *) pour jm I n


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We check that fis an isomorphism of the graphs by check-ing that members of Pn(j, ) are sent to corresponding mem-bers ofP,,(Xj,l),

{ i , i + k } + { ki , ki+l}- -{i,(i+k)}+ {(xi),Ti+l)}{i,(i+I)}+ {Ti,Ti Icj)}Thus P,(Tj, 1)has the same cable-strut structure as does

P,(j,k). This proves the claim.Let Pn(j, ) have a fixed configuration.We d l ry to find a

configuration forP,,(Xj,l)where asmany of the correspond-ing member lengths are equalas possible. By a dilation in thehorizontal planeof Pn(Tj,l)we can insure that all the corre-sponding horizontal members have the same length. By dilat-ing (increasing or decreasing) in the verticalaxiswe can in-sure that the corresponding ateralstruts all have the samelength. We are left with the lateral cables. We already knowthat Pn(xj,l) s globally rigid,so its lateral cables mustbestrictly shorter than the lateral cablesofPn(j,). But thenP,(j,k) is not globally rigid, finishingCase 2 and the Theorem.

{Z,i}+ { X i ,(Xi)}

V. Remarks,Fu~MandaConjectumWe have used a stress matrix analysisto show thatP,(j,l) isglobally rigid, but some questions remain:1. Can other methods be appliedto show that some of the2. Can it be shown that some of the other prismic tensigrids3. Howoftens Pn(j,k)igid?For question 1,we propose that the methods of Connelly andWhiteley[q re relevant, but this requires a further non-trivial analysis. Instead of showing thatP,(j,k ) isgloballyrigid, it is natural to ask whether it is pre-stress table,which implies that it is rigid.To est whether this is true, onefirst looks at R 63 1 3 ,which we will call a,where I 3 is the 3by 3 identity matrix . For pre-stress stability, tis not neces-sary to show that a s positive semidefinite . Itis only neces-sary thatsubspace given by the infinitesimal flexes ofP,(j,k). Theproblem is to find an explicit expression for those infinitesi-mal flexes. Nevertheless by using these techniques we claim

other prismic tensigrids are rigid?are not rigid?

be positive definite on the particular linear

premier ca8 : k nest pas relativement premiera n.Si on observe les cAbles horizontaux qui se situent dans lundes deux plans paralleles, on remarque que le graphe quilsdeterminent est constitue de d>1 composantes non con-nexes,oh d est le plus grand diviseur commun dek et de n.On choisit lune de ces composantes qui consiste en un cyclede n / d sommets et on effectue une reflexion des sommets(et des membres incidents) par rapporta lautre plan hori-zontal. I1est clair que ceci preserve les longueurs de tous lesmembres, et que cest une realisation du graphe qui nest pascongruentea la realisation originale. Ainsi,ceP,(j,k)nest pasglobalement rigide. Voirfigurn 8,ou n= 6 ,j = 5, k= 2.W e m e as : k est relativement premier a n.Soit k=2,.., -2 tel que k%= 1 (modulon). En prenant desentiers modulo n, on affirme que le graphe sous-jacent deP,(j,k) est isomorphe au graphe deP,(%j,l).Pour nous enassurer, etiquetons dans chaque charpente les sommets dunplan horizontal par0,1 2,. . n-1dansun ordre cyclique anti-horaire, et les sommets de lautre plan horizontal parOJ ...,n-1). Dans P,(j,k), les dble s sontet les etais sont

DansPn(%j,l),es cibles sont

{ i , i + k } ,{i,(i+k)},{i,i}{z,(i+j)}

{i,i+l}, i,(i+ I)}, {i,i}

{i,(i+ kj)) .Soitf la bijection entre les sommets deP&k) et les sommetsde P,,(%j,l) efinie par

i + Tz = f(i>i +(Ti) f(i>

et les etais sont

Puisquex k = 1 (modn),f@ ) = kki = i (mod n) .

On verifie que fest un isomorphisme des graphes en sas-surant que les membres deP,,(j,k) ont envoyes sur les mem-bres correspondantsde P,,(%j,l),- -{i , i+k}+ { ki, ki+l}

{i,(i+k)} + {(Ti),ki+1>} Topologie structurale * 21 StructuralTopology * 1995


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(without proof here) that the following Theorem of Hinrichsis correct:

Theorem (Hinrichs):If the bottomface of a prismic tensigndis replaced by a &polygon, the wnfisuraiion srid.Again Hinrichs proof is incorrect because he misapplies

the theorem of Roth and Whiteley (Theorem2 above), andhe unjustifiably assumes that all members can be replacedby bars.

On the other hand for question2, if ahas some negativedirection determined by the infinitesimal flexes, thenPn(j, )is not rigid, using the second-order theory developed inConnelly and Whiteley [7].It is likely that for all n, , k, theseconsiderationswill decide whether P,,(j,k) s rigid or not. (Forinstance, experimentally itseems hat Ps(l 2) is not rigid.)

In fact for question 3, if the linear subspace is in somesense randomwith respect to the positive and negativeeigen subspaces ofa, hen most hoices of n, , k shouldhave Pn(j,) not rigid.lbbe precise we define r,,as thenumber o fintegersj,k=l, .., -1 where P,,(j,k) is rigid. Wethen have

= o .onjectuE Lim ~ rnn+m (r-1)Aside from these general questions we also mention how

our results fit into other conjectures and results. In Whiteley[14] there is mentioned the conjecture that if one has atensegrity framework whose vertices are the vertices of aconvex polyhedronP whose cables all are edges ofP, andwhose strutsare interior to P, then any proper self stress forthis tensegrity frameworkis positive semidefinite. It turnsout that the prismic tensigridsPn([+],1)where [+] s thegreatest integer less than or equal to +) are in this category,and soverify the conjecture in this very special case. On theother hand, most of the prismic tensigrids do not fall into thiscategory since the cables do not lie on the edges of the con-vex hull of the vertices, and yet we know that the P,(j,l)sare globally rigid anyway.

We mention an easy generalization of our result (thatPn(j,l)s globally rigid). It turns out that if one takes any pro-jective transformation of 3-space that does not take any ver-tex to infinity, then the resulting tensegrity frameworkFn(j,l)will still have a stress with a positive semidefinite stress ma-trixof nullity 4. See Whiteley [13]. f the image of the line

{z,i} + {Ti,Ti)}{i,(i+j)} + { T i , Tz+Tj)} .

Ainsi, Pn(xj,l )possede la mkme structure c2bles-etais quePn(j,k).Cela demontre lassertion.

Considemns quePn(j, ) possede une configuration fkee.Nous tenterons de trouver une configuration pour Pn (%j,l)qui soit telle que le plus grand nombre possible de membrescorrespondants soient degales longueurs. On peut sassurerdavoir tous les membres horizontaux de m6me longueur parune dilatation dans le plan horizontal de Pn(%j,l) .Par uneddatation (m issante ou decroissante) selon laxe vertical, onpeut faire en sorte que les etais lateraux correspondantssoient tous de mkme longueur.I1nous reste les c2bles late-raux. On sait deja que Pn(Tj ,l)est globalement rigide; ses&bles lateraux doivent doncCtre strictement plus petits queles c2bles lateraux de P,(j,k). Mais alors, Pno,k) est pas globa-lement rigide, ce qui termine la demonstration du deuxiemecas et du theoreme.V. Remarques, pmjections de mvaux et une wnjectumOn a utilise une analyse de la matrice de contrainte pourdemontrer quePno,l) st globalement rigide, mais certainesquestions demeurent:1. Peut-on appliquer dautres methodes pour demontrer que

certaines autres tensegrites prismiques sont rigides?2. Peut-on demontrer que certaines des autres tensegrites

prismiques ne sont pas rigides?3. P,(j,k) est-elle ( souvent ) rigide ?Pour la question 1, nous emettons lhypothese que les m et hedes de Connelly et Whiteley [7] sont utiles, mais cela requiertune analyse non triviale plus approfonde. Plut6t que de de-montrer que Pn(j, ) est globalement rigide,il est nature1 de sedemander si elle est ( stable avant contrainte ), ce qui impli-que quelle est rigide. Pour verifier si cela est vrai, on portedabord attention a R C3 13 ,quon appelleraa, u I 3 est lamatrice identite dordre 3. Pour la stabilite avant contrainte, lnest pas necessaire de demontrer que a est positive semi-definie. I1 est seulement necessaire de demontrer que estpositive definie sur le sousespace lineaire particulier definipar les mouvements infinitesimaux de Pnfj,k). Le problemeconsiste a trouver une expression explicite pour ces mouve-ments infinitesimaux. Neanmoins, nous affirmons par lutili-

Globally rigid Tens6grit6o sym6triquessymmetric tensegriUe s globalementrigides


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Fgure9

segment corresponding to a memberofPn(j,l) ntersects thenew plane at infinity hen we reverse the roleof strut andcable in that member. Otherwise it stays the same. With thisin mind then P,,(j,l) s still globally rigid. We show an examplein Figure 9. (Figure 10in Hinrichs[lo]s another example.)

Lastly we mention another point of view of our approach.It turns out that our stressmatrix 2 can be written as a linearcombination of permutation matrices correspondingo thosepermutations on the vertices coming from the dihedral groupof symmetries. These permutations can be regarded as aregular inear representation of the dihedral group! Suchrepresentations are well-known (see for example[2 ,page 1101)to be the direct sum of known degreetwo representations.Thus the same linear combination of the degreetwo repre-sentations gives tweby-twoblocks that can be used to calcu-late the eigenvalues, similarto what was done in section IT?This suggests an analogous approach to some other ten-segrities with other groupsof symmetriesaswell.

Figure 10 shows some further examples of symmetrictensegrities.

sation de ces techniques (sans demonstration ici) que le theo-reme suivant dii a Hinrichs est vrak

Theoreme (Hinrichs) : Si la face du bas dune tensegvitepismique a t remplmk pa r unpolygone rig&, la wnfipra-tion est ngde.Encore ici, la demonstration de Hinrichs est incorrecte car

il fait une mauvaise application du theoreme de RDth etWhiteley (theoreme2, cidessus) , et il assume sans ustifica-tion que tous les membres peuvent &tre emplaces par desbarns.quelconque direction negative determinee par les mouve-ments infinitesimaux,alorsPJj,k) nest pas rigide, selon latheorie du second od re developpee par Connelly etWhiteley [7]. Il est vraisemblable que pour toutes valeurs den, , , esconsiderations puissent permettre de decider de larigidite de P,(j,k). (par exemple, il sembk experimentalementque P5(1,2)nestpus rigide.)Pour la question3, si le sousespace lineaire est en quel-que sorte ( aleatoire ) par rapport aux sousespaces pmprespositifi et negatifs de d,alors la (( plupart )) des choix den,j,auront un P,(j,k) non rigide. Pour plus de precision, on defi-nit r,, comme le nombre dentiersj, = 1 . - pour lesquelsP,(j, k) est rigide. On a alors

Dautre part, en ce qui concerne la question2, si a une

= Oonjecture: Lim-,-+- (r-1)2rrlOutre ces questions generales, nous mentionnons egale-

ment comment nos resultats concordent avec dautres con-jectures et resultats. Whiteley[14] met la conjecture a leffetque si on a une charpente de tendgrite dont les sommetssont les sommets dun polyedre convexeP, dont les dble ssont tous des argtes deP, et dont les etais se situent a linte-rieur deP, alors toute autocontrainte propre pour cette char-pente de tensegrite est positive semidefinie. I1apparait queles tenskgrites prismiquesP,( [+],l) (ou [+] est le plus grandentier plus petit ou egal a + appartiennenta cette categorie,et conf iment la conjecturedans cecas res particulier.Dautre part, la plupart des tensegrit& prismiques nappar-tiennent pas a cette categorie puisque les cAbles ne se situentpas sur les arctes de lenveloppe convexe des sommets, et onsait deja que lesP,(j,l) sont de toute fawn globalementrigide.

Topologie structurale * 21 * StructuralTopology* 1995


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W

Refe-/MfhMe!S[l ] Alfors LarsV. (1966).CompkAnalysis .McGraw-Hill, Inc., New York.[2] Burrow M. (1965).RepresentationT h w y ofFinite Groups. AcademicPress,New York.[3] Connelly R (1980). T h e rigidity of certaincabled frameworks and the second order

rigidity of arbitrarily triangulated convexsurfaces!' Aduam in Math. 37, 272-299.[4] Connelly R (1982). "Rigidity and Energy."Invent. Math. 66, 11-33.

[5] Connelly R (1988). "Basic concepts ofinfinitesimal rigidity." Draft of chapter 2 inTh egwmehy of rpd tructures, d. H.Crapo and W Whiteley, (preprint, CornellUniv., Dept. of Math., White Hall, Ithaca,N.Y. 14853).[6] Connelly R (1988). 'Basic concepts of staticngidity." Draft of ch apter 3 in Th e geometryof rpd tructures, d. H. Crapo and W

Whiteley, (preprint, Cornell Univ., Dept. ofMath., White Hall , Ithaca, N.Y. 14853).[7] Connelly R, Whiteley W (1988). "Pre-stressstability and second-order rigidity fortensegrity frameworks." (in preparation)

Nous signalons ici une generalisation simple de notre re-sultat (quePno,l) st globalement rigide). I1 apparait que sion effectue une quelconque transformation projective del'espace tridimensionnel qui n'amene aucun sommeta l'in-fini, alors la charpente de tensegrite resultante,pn(j,l)uraencore une contrainte avec une matrice de contrainte posi-tive semidefinie de nullite4. Voir [13].Si l'image du segmentde droite correspondanta un membre dePn(j,l) une inter-section avec le nouveau (( plan a l'infini )), on renverse alors ler6le de tai et de d bl e dans ce membre. Autrement,il de-meure le mCme. Ayant cela en t&te,Fn(j,l) st alorsencoreglobalement rigide. On trouve un exemplea la figurn 9.(La figure 10dans le texte de Hinrichs [lo]en est un autreexemple.)proche.Ilapparait que notre matrice de contrainteR peutCtre exprimee c o m e une combinaison lineaire de matricesde permutation correspondant aux permutations des som-mets provenant du p u p edie& des symetries. Ces permu-tations peuvent &tre onsiderees comme une ((representationlineaire reguliere du groupe diedre ). On sait bien que cesrepresentations (voir par exemple[2, page l l O ] ) sont las o m e directe de representations connues de degre deux.Par consequent, la m&me ombinaison lineaire de represen-tations de degre deux nous donne des blocs dordre deuxqu'on peut utiliser dans le calcul des valeurs propres, defaCon similairea cequi a ete fait a la section IV. Cela suggereune approche analogue pour dautre tensegrites avec dautresgroupes de symetries.

Enfin, nous signalons un autre point de vue de notre a p

SGPtIlfOLa figune 10montre dautres exemples de te ns ep Es .psymetriques.

[8] Fuller R. Buckminster (1975).Synmgetu:Explorationsin the Geomehy of Thinking.Macmillan, New York.[9] Davis P.J. (1979). CimlantMat?ica. Wiley,New York.[lo] Hinrichs L.A. (1984). "Prismic Tknsigrids."SmccturalT o p o ~ 9 ,-14.[ll] Roth B., Whiteley W (1981). "Tknsegrityframeworks."Pans.A m ath. Soc. 265,419-446.[121 Snelson K (1 973). lhwgnfy Masts, ShelterPublications, Bolinas, California.

v

[13] Whiteley W (1988). "Tknsegrity." #Fta6:1L'*chapter 10 in Th e Geometry of R i dStructures,ed. H. Crapo and W. Whiteley(preprint, Champlain Regional College, 900Riverside Drive, St. Lambert, Q uebec, J4P3P2 Canada).Order Rigidity of TensegrityFrameworks."Draft of chapter 16 in Th e Gwmetvy ofR g dStructures,ed. H. Crapo and W Whiteley(preprint, Champlain Regional College, 900Riverside Drive, St. Lambert, Q uebec, J4P3P2 Canada).

[14] Whiteley W (1988). "Global and Second-

Globally rigidsymmetric tensegrities Tensdgritds symhtriquesglobalement rigides


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ACKMOMEmMEMS REMERCIEMEMS


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The editors gratefully acknowledge thefinancial and other material supportprovided by the following organizations:Fonds.FCAR, Fonds pour la Formationde Chercheurs et IAide a la Recherche,of the Government of QuebecUnivers i t l du Qulbec 9 M o n t r l a l ,Comite des publicationsDepar tment o f Mathemat ics andComputer Sc ience a t the Univer s i t ldu Qulbec 9 M o n t r l a lQ u l b e cResearch Council of Canada, whichprovides an operating grant in supportof research in structural topology.

Special thanks to the Fonds FCAR for theirgrant of funds for the purchase ofa Macintosh micro-computer. The use ofthis equipment permits us to prepare fullytypeset, illustrated and composed pagesprinted on an imagesetter.

A s s o c i at i o n m a t h l m a t i q u e d uNatura l Sc iences and Engineer ing

Ce numero a BtB rendu possible.qr2ce BIaide financibre et B Iappui desorganisrnes suivant:Fonds FCAR, Fonds pour la Formationde Chercheurs et IAide B la Recherche,du Gouvernernent du QuebecU n i v e r s i t l d u Q u l b e c 9 M o n t r l a l ,Cornit6 des publicationsDlpar tement de math lmat iques etdinformatique de I Universit6 duQ u l b e c 9 M o n t r l a lA s s o c ia t i o n m a t h l m a t i q u e d uQ u l b e cConsei l de recherches en sc iencesnature l leo et gln ie du Canada,lequel subventionne la recherche entopologie structurale.

Un merci bien special au Fonds FCAR pourIoctroi dune subvention destinee a Iachatdun micro-ordinateur Macintosh. Cetappareil nous a permis de rbaliserentibrement la typographie, le montage etplusieurs des illustrations de ce numerodont les pages ont BtB imprimees Iaidedune machine a composition optique.

In terd isc ip l inary journa l on geo metryappl ied to problems of structure andmorphology in des ign, arch i tec ture andengineer ing. arch i tec ture e t en gen ie .

Revue interdiscipl inaire de gbornetrieappiiqube aux problhmes de structureet de morpholog ie en design, enCover page: illustration by Lorraine Lavipneand Richard Geoffrlon.Page couverture : l lu st ra tio n r la l is le p arLorraine Lavigne et Richard Geonrion.

Globally Rigid Symmetric Tensegrities by Connelly, Terrell, 1995 Article

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Transcript of Globally Rigid Symmetric Tensegrities by Connelly, Terrell, 1995 Article