MAPEAMENTO DE SUPERELEMENTOS NA

OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA EM TRÊS DIMENSÕES

(EMBEDDING OF SUPERELEMENTS FOR THREE-DIMENSIONAL TOPOLOGYOPTIMIZATION)

Glaucio H. Paulino, Anderson Pereira,Cameron Talischi, Ivan Menezes e Waldemar Celes

XXIX CILAMCEMaceió, 5 de novembro de 2008

Motivação

deslocamento densidade (variável de projeto)

• A Otimização Toplógica (OT) utiliza uma combinação entre métodos de otimização e o método de Elementos Finitos (EF) a fim de se obter a distribuição ótima de material em um domínio predefinido.

• O esquema de tradicional de OT consiste em se discretizar o domínio em elementos finitos e se assumir uma variável de projeto (densidade) para cada elemento, chamado de “element-based”.

Motivação

tabuleiro de xadrez“checkerboard”

“one-node hinges”

• Na discretização do campo de deslocamentos, elementos com funções de interpolação bi-lineares, tais como Q4 e T3, são comumente usados.

• Com estas escolhas, diversas instabilidades númericas podem aparecer, entre elas o problema do tabuleiro de xadrez e as conexões entre elementos atrávés de apenas um nó.

Motivação: exemplo• Resolução da solução

malha de deslocamentosQ4

malha de densidadeQ4 rotacionada

Q4/Q4 Q4/Q4M

Q4/Q4M

Paulino, G. H. & Le, C., 2008. A modified Q4/Q4 element for topology optmization.

Objetivos• Desenvolver um metodologia unificada para usar duas discretizações distintas:

uma para os deslocamentos e outra para a densidade.

• Investigar e comparar a performance de diferentes tipos de superelementos.

• Resolver a otmização toplógica evitando o uso de artifícios (filtros , controle de perímetro, etc).

Superelementos

• Neste trabalho assumimos que a malha de elementos finitos está mapeada na malha de densidade.

malha de deslocamentos (FE) malha de densidade (M) superelementos (SE)

• A malha de densidade pode ser considerada como um sub-conjunto da malha de deslocamentos (no sentido geométrico).

Problema de Otimização Topológica• O problema clássico de otimização topológica pode ser definido como:

• SIMP (Solid Isotropic Material Penalization):

• Para se evitar a convergência em um mínimo local adotou-se a continuação do parâmetro p de penalidade, de 1,0 a 4,0 incrementando-se em 0,5.

• Sensibilidade

Mapeamento entre as duas discretizações

• Considere o elemento FE na malha de elementos finitos. A matriz de rigidez para este elemento é dada por:

• Se FE está mapeado dentro do elemento m da malha de densidade, então:

onde

• O conjunto de elementos finitos que fazem parte do elemento de densidade m pode ser definido como:

• A sensibilidade da flexibilidade pode ser obtida com a seguinte expressão:

Resultados• 2D – Viga de Messerschmitt-Bolkow-Blohm (MBB)

F

1.0

3.0

SoluçãoAnalítica

Lewinski T, Zhou M, RozvanyGIN (1994) IntJ MechSci

Mapeamento (Mapping) 2D

deslocamento densidade ambas

T3/U T6/U T3/SE

Q4/U Q8/U Q4/SE

2D - Viga MBB

T3/U

T6/U

T3/SE

cfinal = 176,5

cfinal = 188,7

cfinal = 186,0

2D - Viga MBB

Q4/U

Q8/U

Q4/SE

cfinal = 183,6

cfinal = 195,6

cfinal = 193,8

3D – Viga engastada

B8/U

B20/U

B8/SE

3D – Viga engastada

B8/U

B20/U

B8/SE

cfinal = 365,0

cfinal = 403,7

cfinal = 420,4

Conclusões• A mapeamento das malhas proposto neste trabalho é uma técnica promissora

para a otimização topológica. A malha de elementos finitos é mapeada dentro da malha de densidade. Em outras palavras, a malha de densidade pode ser considerada como um sub-conjunto da malha de deslocamentos (no sentido geométrico).

• Trabalhos futuros:– aplicar o método a malhas não coincidentes; – representar os dois níveis das malhas através de uma estrutura de dados topológica;– fazer uma adaptatividade independente para as duas malhas.