Getaran(Vibrations)

gerak periodik, gerak harmonik, osilasi, ataugetaran

periodic motion, harmonic motion, oscillation, or vibration

1

Ariyanto, ST., MT.

Universitas Gunadarma

2

benda di ujung pegas

Mobil berosilasi naik-turun

ketika melewati lubang

Getaran adalah gerakan bolak balik yang dialami suatu

benda terhadap titik kesetimbangan.

Bandul jam dinding

3

Suatu balok diikat pada ujung pegas,

m : massa balok (kg)

k : tetapan pegas (N/m)

O : adalah titik kesetimbangan (posisi pegas tidak tertarik atau tertekan)

Dimanapun balok berada dari posisi setimbang maka balok cendrung kembali

ke posisi setimbang oleh gaya F. Gaya yang memiliki sifat seperti ini disebut

gaya pemulih (restoring force).

4

Amplitudo ( A ) : simpangan maksimum atau terjauh (meter)

Perioda ( T ) : waktu untuk menempuh satu getaran (sekon)

Frekuensi ( f ) : jumlah getaran yang terjadi dalam satu satuan

waktu (Hertz)

Bila bandul ditarik ke posisi P, lalu

dilepaskan maka bandul akan bergerak

bolak balik secara teratur dalam lintasan

P – O - Q – O – P – O – Q - ...

demikian seterusnya.

Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran:

Satu getaran adalah gerak balok dalam lintasan P – O - Q – O – P

5

Gerak harmonik sederhana

k = konstanta pegas (N/m)

m = massa beban (kg)

Perhatikan sistem balok pegas di atas permukaan

horizontal tanpa gesekan. Bila pegas tidak ditarik

atau ditekan balok berada pada posisi O (posisi

kesetimbangan). Bila balok ditarik ke kanan, maka

pegas akan menarik balok ke kiri dengan gaya:

Percepatan (a) ~ perpindahan (x)kxF

kx ma

xm

ka

F ma

Bila pada benda bekerja gaya yang arahnya

selalu berlawanan dengan arah perpindahan

maka benda akan mengalami gerak harmonik

sederhana (GHS).

Arah a berlawanan dengan perpindahan.

6

Jika (k/m) ditulis dengan ω2 maka persamaan menjadi

xm

ka x

m

k

dt

xd

2

2

2

2

2 ... (1)

d xx

dt

( ) cos ... (2)x t A t

tAtAdt

d

dt

dxsincos

Persamaan (1) disebut persamaan getaran. Salah satu fungsi yang memenuhi

persamaan ini adalah fungsi sinusoidal (sinus-cosinus).

Solusi Persamaan Getaran

Substitusi persamaan (2) ke (1)

7

x : simpangan setiap saat (posisi terhadap titik setimbang) dlm meter.

A : Amplutudo atau simpangan maksimum dalam meter.

: frekuensi sudut dalam radian/sekon

: tetapan fasa atau sudut fasa dalam derjat atau radian

2

2

2

d xx

dt

2

2

2sin cos

d x dA t A t

dt dt

Persamaan (2) memenuhi persamaan getaran dan disebut solusi

persamaan getaran.

( ) cosx t A t

fasa : t

x(t)

t

A

-A

T

8

Persamanan getaran adalah fungsi trigonometri. Diketahui bahwa

fungsi triginometri periodik dan berulang terhadap waktu dalam 2π

rad. Perioda (T) adalah waktu untuk benda menempuh satu siklus.

Maka nilai x pada t akan sama dengan nilai x pada ( t + T ).

Sedangkan fasa naik 2π dalam waktu T sehingga,

2

2

2 /

2 / 2

t t T

T

T

T f

( ) cosx t A t

9

Perioda gerak balok pada ujung pegas

k

mT 2

2

2

d x kx

dt m

2

2

2

d xx

dt

m

k

ω disebut frekuensi sudut

f 2

fT

1

1

2

kf

m

2f

10

Alat eksperimen untuk menunjukkan gerak harmonik sederhana.

)(waktu t

)(simpangan x

11

cosx A t

x

t

T

A

- A

22 f

T

Kurva simpangan (x) terhadap waktu (t)

12

Amplitudo

Tiga getaran dengan fasa dan frekuensi yang sama tapi dengan amplitudo

berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah

seperti gambar di bawah.

x

t

A3

A2

A1

13

Frekuensi dan Perioda

Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan frekuensi yang

berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah

seperti gambar di bawah.

t

xGetaran1

Getaran2

122 ff

121

2TT

T2

T1

14

Tetapan Fasa

Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan tetapan fasa yang

berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah

seperti gambar di bawah.

t

x

15

1. Sebuah bandul melakukan 20 getaran dalam waktu 10 detik,

berapa periode and frekuensi getaran bandul tersebut ?

waktu total 10Perioda( ) = 0,5

jumlah getaran 20

tT

N

1 12 Hz

0.5f

T

16

Sebuah pegas dengan konstanta gaya pegas sebesar 20 N/m diberi beban 5

kg. Dari keadaan setimbang, pegas ditarik dengan gaya sebesar 20 N.

Tentukanlah:

a. simpangan maksimum

b. periode getarannya

c. frekuensi getarannya

20a. 1 m

20

FF kx x

k

5b. 2 2 3,14 sekon

20

mT

k

1 1c. Hzf

T

17

g

LT

g

LT 22 42

2

2 2

40 m

4

T gL

Perioda sebuah bandul 4 sekon. Hitung panjang tali penggantung bandul itu

jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s2.

18

Posisi, Kecepatan dan Percepatan Getaran

( ) cosx t A t

tAdt

dxtv sin)(

x

t

v

t

19

2 2( ) cos ( )dv

a t A t x tdt

a

t

x

t

( ) cosx t A t

20

x

t

v

t

a

t

P O Q O P

Perhatikan, pada simpangan terjauh

kelajuan adalah nol sedangkan besar

percepatan maksimum. Kelajuan

maksimum di titik kesetimbangan dan

percepatan nol di posisi ini.

21

Suatu mesin piston berputar pada 4000 rpm (rotation per minute)

dengan amplitude 5 cm:

2 1 2 2

MAX 0,05 m (419 s ) 8770 m/s a x

1

4000 2 /60 radians/sekon

419 sekon

(5,00 cm)cosx t

22

2 21 1

2 2E EK EP mv kx

Energi Getaran Osilator

23

1) What happens to the maximum speed?

a) Doubles

b) 4 x Larger

c) Doesn’t change

2) What happens to the maximum acceleration?

a) Doubles

b) 4 x Larger

c) Doesn’t change

3) What happens to the the total energy?

a) Doubles

b) 4 x Larger

c) Doesn’t change

Suppose you double the amplitude of the motion:

24

L

m

Getaran Bandul

Bola bermassa m tergantung pada sebuah tali

yang panjang L. Bandul ditarik dengan sudut

kecil kemudian dilepas dan akibat tarikan gaya

gravitasi maka bandul akan berayun (osilasi)

25

Bola di tarik oleh gaya tegangan tali

(T ) dan gaya gravitasi mg.

Komponen tangensial gaya gravitasi

adalah mgsinθ.Arahnya selalu menuju θ = 0 atau

titik kesetimbangan dan

berlawanan dengan perpindahan

(berfungsi sebagai gaya pemulih).

Terapkan Hukum II Newton untuk arah tangesial:

Dimana s adalah perpindahan bola sepanjang lengkungan. Karena s = Lθ dan Lnilainya tetap maka persamaan menjadi:

2

2

sindt

sdmmgF

t

sin2

2

L

g

dt

d

26

Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, sehingga

persamaan dapat ditulis menjadi

Sekarang kita punya ekspresi yang sama dengan

persamaan sebelumnya yang merupakan persamaan

untuk gerak harmonik (balok di ujung pegas), yaitu

Dapat disimpulkan bahwa gerak bandul untuk perpindahan kecil adalah gerak

harmonik sederhana. Dengan frekuensi angular:

Dengan perioda gerak:

L

g

dt

d

2

2

xdt

xd 2

2

2

L

g

g

LT

2

2

27

Jika suatu objek menggantung berosilasi pada

titik tetap yang tidak melewati titik massa dan

tidak dapat dianggap sebagai titik massa, maka

sistem tidak bisa diberlakukan sebagai bandul

sederhana. Kasus ini disebut bandul fisis.

Perhatikan benda tegar yang berputar pada titik O sehingga

mempunyai jarak d dari pusat massa. Gaya gravitasi

melakukan torsi pada sumbu melewati O, dan besar torsi

adalah mgd sinθ,

Bandul Fisis

Gunakan hukum gerak: I

dimana I adalah momen inersia terhadap O: 2

2

sindt

dImgd

28

Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, persamaan menjadi

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan untuk

bandul sederhana, gerak bandul fisis juga GHS. Dengan solusi:

2mdI Bila:

Yaitu bila semua massa terpusat pada

pusat massa (CM) maka persamaan

menjadi sama dengan persamaan untuk

bandul sederhana.

2

2

2

I

mgd

dt

d

I

mgd

mgd

IT

2

2

29

Gerak osilasi yang dipelajari selama ini adalah

untuk sistem ideal (gaya pemulih linier).

Dalam banyak sistem nyata, gaya seperti

gesekan, menghalangi gerak. Sehingga, energi

mekanik sistem berkurang dengan waktu, dan

gerak dikatakan teredam (damped).

OSILATOR TEREDAM

Salah satu contohnya adalah bila gaya penghalang sebanding dengan

kelajuan objek dan dalam arah yang berlawanan dengan gerak. Misalnya

terjadi pada benda yang bergerak pada udara.

30

Bila gaya penghalang kecil dibanding gaya

pemulih maksimum, yaitu bila b kecil,

maka solusi persamaan di atas

Gaya penghalang dapat dinyatakan sebagai R = - bv (dimana b adalah

konstanta yang disebut koefisien redaman) dan gaya pemulih adalah F = -

kx maka Hukum II Newton dapat ditulis sebagai

xx

mabvkxF

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx

tAext

m

b

cos2

31

Frekuensi angular osilasi adalah

ωo adalah frekuensi angular bila tidak ada

gaya penghalang (osillator tidak teredam)

dan disebut frekuensi natural sistem.

m

ko

sistem dikatakan underdamped.

kAbvR maksBila magnitudo dari gaya penahan maksimum

2 2

2

2 2

k b b

m m m

Saat nilai R mendekati nilai kA maka nilai amplitudo turun semakin cepat

(Kurva biru gambar 13.29.)

32

oc mb 2/Bila nilai b mencapai nilai kritis bc sehingga

Sistem tidak berosilasi dan dikatakan critically damped. Dalam kasus ini,

sekali dilepas dari pada posisi tidak setimbang, kembali ke keadaan setimbang

dan diam di posisi itu. (Kurva merah gambar 13.20)

33

Bila medium kental sehingga gaya penahan lebih besar daripada gaya

pemulih, danomb 2/

Sistem dikatakan overdamped. Sistem tidak berosilasi, tetapi kembali ke

posisi setimbang. Ketika redaman naik, waktu yang diperlukan untuk

mencapai kesetimbangan juga naik (Kurva hitam gambar 13.29).

maksmaks bvR