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Geometrische Draht– und Gipsmodelle
Jaap Top
IWI-RuG & DIAMANT
19. November 2008
(Oldenburg math. Kolloquium)
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Juli 1890, American Journal of Mathematics
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Juli 1893, American Journal of Mathematics
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Groningen, 2007, ehemaliges mathematische Institut
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Pieter Hendrik Schoute (1842–1910)
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Gebrauch dieser Modelle:
David van Dantzig, Technische Hochschule Delft, 1938
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‘zwei’ Serien aus dem Schilling-Katalog:
Serie VII (Carl Rodenberg)
Serie XVII 2a and 2b (Alexander von Brill)
and Serie XXV (Hermann Wiener)
(merk auf: die 1890 Anzeige im American Journal of Math
erwahnt nur 16 Serien)
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Hersteller Serie XXV:
Hermann Wiener (1857–1939)
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Hersteller Serie XVII 2a und 2b:
Alexander Wilhelm von Brill (1842–1935)
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Hersteller Serie VII:
Carl Rodenberg (1851–1933)
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Thema in Serie XVII 2a, 2b und Serie XXV: ebene kubischen
Kurven
Auch heute beschaftigen viele Wissenschaftler sich mit solchen
Kurven. Moderne theoretische und praktische Anwendungen:
Kryptographie, Fehler korrigierende Koden, Primalitatstests und
Faktorisierungsmethoden, Diophantine Probleme, Zahlentheorie,
Teilchen in Physik, . . . . . .
klassische Frage: welche Arten reeller kubischen Kurven gibt es?
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equivalentes Problem:
fur reelle Konstanten a, b, c, hat man die Funktion x 7→ y =√x3 + ax2 + bx + c.
Beschreib die moglichen Graphiken.
Auch die gespiegelte Graphik dabei: alle Punkte (x, y) mit
y2 = x3 + ax2 + bx + c
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das Punkt (x, y) entspricht die Linie ` in R3 durch (0,0,0) und
(x, y,1)
Vereinigung dieser Linien ist die Kegel in R3 mit Gleichung
y2z = x3 + ax2z + bxz2 + cz3.
mogliche Formen dieser Kegeln sind ausgebildet in Drahtmodelle
(Serie XXV: Seidenfaden), und die Durchschnitt der Kegel mit
einem Kugel um (0,0,0) wurde auf einem Gipskugel gezeichnet
(Serie XVII 2ab)
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Anfang der Theorie: Sir Isaac Newton (1643–1727)
Appendix Enumeratio Linearum Tertii Ordinis
seines Buches Opticks (1704)
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Newton: 5 Typen, die reelle Nullstellen von
p(x) := x3 + ax2 + bx + c
entsprechend (funf Newton’sche Parabeln):
• dreifache Nullstelle. Graphik von ±√
p(x):
parabola cuspidata
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• doppelte Nullstelle und noch eine großere. Graphik:
parabola punctata
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• doppelte Nullstelle und noch eine kleinere. Graphik:
parabola nodata
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• nur eine reelle Nullstelle, ohne Multiplizitat. Graphik:
parabola pura
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• drei reelle Nullstellen. Graphik:
parabola campaniformis cum ovali
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Mobius: Ueber die Grundformen der Linien der dritten Ordnung
(82 Seiten, 1852).
Satz. die Graphik von√
x3 + ax2 + bx + c enthalt:
• kein Wendepunkt, fur die parabola cuspidata und die nodata;
• genau 1 Wendepunkt in alle anderen Falle.
.
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Beweis: d2y
dx2 = 2p′′(x)p(x)− (p′(x))2
4yp(x)= F (x)
4yp(x)und F ′(x) =
12p(x).
Nun F (x) = 3x4 + kleinere Ordnung, also limx→±∞
F (x) = +∞.
Lokale Extremen von F (x) in Punkt(e) α mit p(α) = 0, alsoF (α) = −(p′(α))2. Hat p(x) nur einfache Nullstellen, dann ha-ben p(x) und p′(x) keine gemeinsame Nullstellen, also F (α) < 0.Deshalb hat F (x) genau zwei Nullstellen, und p(x) < 0 fur diekleinere, bzw. p(x) > 0 fur die großere.
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August Ferdinand Mobius (1790–1868)
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Satz [Mobius, 1852]
• fur die parabola nodata und cuspidata, hat die Graphik von√p(x) keine Wendepunkte
• fur die parabola punctata und campaniformis cum ovali, hat
die Tangente am Wendepunkt eine positive Richtung
• es gibt drei Arten der parabola pura, namlich mit positie-
ve/horizontale/negatieve Richtung der Tangente am Wen-
depunkt
und deswegen, 7 unterschiedene Graphiken!
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Mobius benutzte eine andere, equivalente Definition:
man nimmt wie oben die Durchschnitt der Kegel mit einer Kugel.
Die Tangenten an Wendepunkte und die vertikale Linie durch
die Wendepunkte und auch die Ebene z = 0 entsprechen große
Zirkeln auf die Kugel, und deswegen eine Partition der Kugel in
Dreiecken und Vierecken.
abhangich dieser Partition und wie die Kurve Dreiecken oder
Vierecken passiert, hat man die 7 Moglichkeiten.
diese Definition ist invariant unter reelle projektieve Transforma-
tionen!
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Gattung 1 (pura–a)
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Gattung 2 (punctata)
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Gattung 3 (campanif. cum ovali)
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Gattung 4 (pura–c)
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Gattung 5 (pura–b)
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Gattung 6 (nodata)
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Gattung 7 (cuspidata)
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Gattung 3 (Groningen campaniformis cum ovali)
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jetzt Serie VII, die Rodenberg Serie: kubische Flachen
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Theorie der kubischen Flachen betrachtet man als Anfang der
algebraische Geometrie
1849, Arthur Cayley & George Salmon
Satz. jede (glatte, projektive) kubische Flache uber C enthalt
genau 27 Linien
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beruhmtes Beispiel: die ‘Diagonalflache’
introduziert von Alfred Clebsch (1872)
{v3 + w3 + x3 + y3 + z3 = 0
v + w + x + y + z = 0
enthalt 27 reelle Linien, 10 Eckardtpunkte, Symmetriegruppe S5,
. . .
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Alfred Clebsch (1833–1872)41
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Heinrich Heine Universitat, Dusseldorf
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1866, Alfred Clebsch
Satz. jede glatte kubische Flache uber C ist die Abschließung inP3 von ϕ(P2(C)− {p1, . . . , p6}) fur bestimmte p1, . . . , p6 ∈ P2,wobei ϕ : p 7→ (f1(p) : f2(p) : f3(p) : f4(p)) injektiv, und∑
Cfj = {f ∈ C[x, y, z] homog. Grad 3 & f(pn) = 0, n = 1, . . . ,6} .
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Beispiel: Clebsch Diagonalflache
v = (b− c)(ab + ac− c2)w = ac2 + bc2 − a3 − c3
x = a(c2 − ac− b2)y = c(a2 − ac + bc− b2)z = −v − w − x− y.
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Beweis mittels moderner Geometrie: wahle nicht schneidende
Linien `, m ⊂ S
betrachte S → `×m: P 7→ (Q, R) wobei P, Q, R kollinear
er gibt genau 5 Linien in S die ` und m beide schneiden, diese
haben als Bild einen Punkt
wahle eine von diesen Linien; diese hat als Bildpunkt (Q, R) ∈ell × m. ‘blow up’ ` × m in (Q, R) und ‘blow down’ die Linien
Q × m und ` × R. Resultat: P2, und Inverse ist P2 → S mit
kubischen Vieltermen beschrieben.
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Satz: es ist moglich uber R dann und nur dann als die reelle
Flache die die kubische Gleichung entspricht, zusammenhangend
ist.
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klassisches Beispiel: x3 + y3 + z3 + w3 = 0 definiert eine glatte
Kubik, zusammenhangend uber R.
Leonhard Euler (1707-1783) parametrisierte diese, aber mittels
Vielterme der Grad 4 statt 3:
x = c4 − c(a− 3b)(a2 + 3b2)y = c(a + 3b)(a2 + 3b2)− c4
z = (a2 + 3b2)2 − c3(a + 3b)w = (a− 3b)c3 − (a2 + 3b2)2
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Parametrisierungen mittels Vielterme vom Grad 3 sind neulich
entdeckt von Noam Elkies und (mittels das moderne Beweis des
Satzes von Clebsch) von mir:
x = −a3 − 2a2c + 3a2b + 12abc− 3ab2 − 4ac2 + 6b2c + 12bc2 + 9b3
y = a3 + 2a2c + 3a2b + 12abc + 3ab2 + 4ac2 − 6b2c + 12bc2 + 9b3
z = −8c3 − 8ac2 − 9b3 − a3 − 3a2b− 3ab2 − 4a2c− 12b2c
w = 8c3 + 8ac2 − 9b3 + a3 − 3a2b + 3ab2 + 4a2c + 12b2c.
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auch im 21. Jahrhundert sind Anwendungen der (Parametrisie-
rung) Kubischer Flachen entdeckt und erforscht:
besonders in Informatik, computer aided geometric design (CAGD)
neuliche Arbeiten von C.L. Bajaj, T.G. Berry, R.L. Holt, S. Lod-
ha, A.N. Netravali, M. Paluszny, R.R. Patterson, T. Sederberg,
J. Warren, usw.
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einige Referenzen
www.math.leidenuniv.nl/~naw/serie5/deel07/jun2006/maanen.pdf
(ber die Mbius Klassifikation, auf Hollndisch)
journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/viewprepub/polo8721.prepub
(ber die Klassifikation reeller kubischen Flchen)
dissertations.ub.rug.nl/faculties/science/2007/i.polo.blanco/
(Dissertation von Irene Polo-Blanco)
www.math.rug.nl/~top/lectures/Oldenburg.pdf
(dieser Vortrag)
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