geometrical transformation

8/7/2019 geometrical transformation

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C h a p t e r 5

T R A N S F O R M A T I O N S ,

C L I P P I N G A N D

P R O J E C T I O N

5 . 1 G e o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n s

T h r e e - d i m e n s i o n a l g r a p h i c s a i m s a t p r o d u c i n g a n i m a g e o f 3 D o b j e c t s . T h i s

m e a n s t h a t t h e g e o m e t r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m a g e i s g e n e r a t e d f r o m

t h e g e o m e t r i c a l d a t a o f t h e o b j e c t s . T h i s c h a n g e o f g e o m e t r i c a l d e s c r i p t i o n

i s c a l l e d t h e g e o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n . I n c o m p u t e r s t h e w o r l d i s r e p r e -

s e n t e d b y n u m b e r s ; t h u s g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s a n d t r a n s f o r m a t i o n s m u s t

a l s o b e g i v e n b y n u m b e r s i n c o m p u t e r g r a p h i c s . C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s p r o -

v i d e t h i s a l g e b r a i c e s t a b l i s h m e n t f o r t h e E u c l i d e a n g e o m e t r y , w h i c h d e n e

a 3 D p o i n t b y t h r e e c o m p o n e n t d i s t a n c e s a l o n g t h r e e , n o n - c o p l a n a r a x e s

f r o m t h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m .

T h e s e l e c t i o n o f t h e o r i g i n a n d t h e a x e s o f t h i s c o o r d i n a t e s y s t e m m a y

h a v e a s i g n i c a n t e e c t o n t h e c o m p l e x i t y o f t h e d e n i t i o n a n d v a r i o u s c a l -

c u l a t i o n s . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e w o r l d c o o r d i n a t e s y s t e m i s u s u a l l y n o t

s u i t a b l e f o r t h e d e n i t i o n o f a l l o b j e c t s , b e c a u s e h e r e w e a r e n o t o n l y c o n -

c e r n e d w i t h t h e g e o m e t r y o f t h e o b j e c t s , b u t a l s o w i t h t h e i r r e l a t i v e p o s i t i o n

a n d o r i e n t a t i o n . A b r i c k , f o r e x a m p l e , c a n b e s i m p l i s t i c a l l y d e n e d i n a c o -

o r d i n a t e s y s t e m h a v i n g a x e s p a r a l l e l t o i t s e d g e s , b u t t h e d e s c r i p t i o n o f t h e

b o x i s q u i t e c o m p l i c a t e d i f a r b i t r a r y o r i e n t a t i o n i s r e q u i r e d . T h i s c o n s i d -

9 9


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1 0 0 5 . T R A N S F O R M A T I O N S , C L I P P I N G A N D P R O J E C T I O N

e r a t i o n n e c e s s i t a t e d t h e a p p l i c a t i o n o f l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m s . V i e w i n g

a n d v i s i b i l i t y c a l c u l a t i o n s , o n t h e o t h e r h a n d , h a v e s p e c i a l r e q u i r e m e n t s

f r o m a c o o r d i n a t e s y s t e m w h e r e t h e o b j e c t s a r e r e p r e s e n t e d , t o f a c i l i t a t e

s i m p l e o p e r a t i o n s . T h i s m e a n s t h a t t h e d e n i t i o n a n d t h e p h o t o g r a p h i n g

o f t h e o b j e c t s m a y i n v o l v e s e v e r a l d i e r e n t c o o r d i n a t e s y s t e m s s u i t a b l e f o r

t h e d i e r e n t s p e c i c o p e r a t i o n s . T h e t r a n s p o r t a t i o n o f o b j e c t s f r o m o n e

c o o r d i n a t e s y s t e m t o a n o t h e r a l s o r e q u i r e s g e o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n s .

W o r k i n g i n s e v e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s c a n s i m p l i f y t h e v a r i o u s p h a s e s

o f m o d e l i n g a n d i m a g e s y n t h e s i s , b u t i t r e q u i r e s a d d i t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

s t e p s . T h u s , t h i s a p p r o a c h i s a d v a n t a g e o u s o n l y i f t h e c o m p u t a t i o n n e e d e d

f o r g e o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n s i s l e s s t h a n t h e d e c r e a s e o f t h e c o m p u t a t i o n

o f t h e v a r i o u s s t e p s d u e t o t h e s p e c i c a l l y s e l e c t e d c o o r d i n a t e s y s t e m s . R e p -

r e s e n t a t i o n s i n v a r i a n t o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s a r e t h e p r i m a r y c a n d i d a t e s f o r

m e t h o d s w o r k i n g i n s e v e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s , s i n c e t h e y c a n e a s i l y b e

t r a n s f o r m e d b y t r a n s f o r m i n g t h e c o n t r o l o r d e n i t i o n p o i n t s . P o l y g o n m e s h

m o d e l s , B e z i e r a n d B - s p l i n e s u r f a c e s a r e i n v a r i a n t f o r l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ,

s i n c e t h e i r t r a n s f o r m a t i o n w i l l a l s o b e p o l y g o n m e s h e s , B e z i e r o r B - s p l i n e

s u r f a c e s , a n d t h e v e r t i c e s o r t h e c o n t r o l p o i n t s o f t h e t r a n s f o r m e d s u r f a c e

w i l l b e t h o s e c o m i n g f r o m t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e o r i g i n a l v e r t i c e s a n d

c o n t r o l p o i n t s .

O t h e r r e p r e s e n t a t i o n s , s u s t a i n i n g n o n - p l a n a r g e o m e t r y , a n d c o n t a i n i n g ,

f o r e x a m p l e , s p h e r e s , a r e n o t e a s i l y t r a n s f o r m a b l e , t h u s t h e y r e q u i r e a l l t h e

c a l c u l a t i o n s t o b e d o n e i n a s i n g l e c o o r d i n a t e s y s t e m .

S i n c e c o m p u t e r g r a p h i c s g e n e r a t e s 2 D i m a g e s o f 3 D o b j e c t s , s o m e k i n d

o f p r o j e c t i o n i s a l w a y s i n v o l v e d i n i m a g e s y n t h e s i s . C e n t r a l p r o j e c t i o n ,

h o w e v e r , c r e a t e s p r o b l e m s ( s i n g u l a r i t i e s ) i n E u c l i d e a n g e o m e t r y , i t i s t h u s

w o r t h w h i l e c o n s i d e r i n g a n o t h e r g e o m e t r y , n a m e l y t h e p r o j e c t i v e g e o m e -

t r y , t o b e u s e d f o r s o m e p h a s e s o f i m a g e g e n e r a t i o n . P r o j e c t i v e g e o m e t r y i s

a c l a s s i c a l b r a n c h o f m a t h e m a t i c s w h i c h c a n n o t b e d i s c u s s e d h e r e i n d e t a i l .

A s h o r t i n t r o d u c t i o n , h o w e v e r , i s g i v e n t o h i g h l i g h t t h o s e f e a t u r e s t h a t a r e

w i d e l y u s e d i n c o m p u t e r g r a p h i c s . B e y o n d t h i s e l e m e n t a r y i n t r o d u c t i o n ,

t h e i n t e r e s t e d r e a d e r i s r e f e r r e d t o [ H e r 9 1 ] [ C o x 7 4 ] .

P r o j e c t i v e g e o m e t r y c a n b e a p p r o a c h e d f r o m t h e a n a l y s i s o f c e n t r a l p r o -

j e c t i o n a s s h o w n i n g u r e 5 . 1 .

F o r t h o s e p o i n t s t o w h i c h t h e p r o j e c t o r s a r e p a r a l l e l w i t h t h e i m a g e p l a n e

n o p r o j e c t e d i m a g e c a n b e d e n e d i n E u c l i d e a n g e o m e t r y . I n t u i t i v e l y s p e a k -

i n g t h e s e i m a g e p o i n t s w o u l d b e a t \ i n n i t y " w h i c h i s n o t p a r t o f t h e E u -


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5 . 1 . G E O M E T R I C T R A N S F O R M A T I O N S 1 0 1

center of projection"ideal points"

vanishing line

affine lines

projection plane

F i g u r e 5 . 1 : C e n t r a l p r o j e c t i o n o f o b j e c t s o n a p l a n e

c l i d e a n s p a c e . P r o j e c t i v e g e o m e t r y l l s t h e s e h o l e s b y e x t e n d i n g t h e E u -

c l i d e a n s p a c e b y n e w p o i n t s , c a l l e d i d e a l p o i n t s , t h a t c a n s e r v e a s t h e

i m a g e o f p o i n t s c a u s i n g s i n g u l a r i t i e s i n E u c l i d e a n s p a c e . T h e s e i d e a l p o i n t s

c a n b e r e g a r d e d a s \ i n t e r s e c t i o n s " o f p a r a l l e l l i n e s a n d p l a n e s , w h i c h a r e a t

\ i n n i t y " . T h e s e i d e a l p o i n t s f o r m a p l a n e o f t h e p r o j e c t i v e s p a c e , w h i c h i s

c a l l e d t h e i d e a l p l a n e .

S i n c e t h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e p o i n t s o f E u -

c l i d e a n s p a c e a n d t h e c o o r d i n a t e t r i p l e s o f a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m ,

t h e n e w e l e m e n t s o b v i o u s l y c a n n o t b e r e p r e s e n t e d i n t h i s c o o r d i n a t e s y s t e m ,

b u t a n e w a l g e b r a i c e s t a b l i s h m e n t i s n e e d e d f o r p r o j e c t i v e g e o m e t r y . T h i s

e s t a b l i s h m e n t i s b a s e d o n h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s .

F o r e x a m p l e , b y t h e m e t h o d o f h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s a p o i n t o f s p a c e

c a n b e s p e c i e d a s t h e c e n t e r o f g r a v i t y o f t h e s t r u c t u r e c o n t a i n i n g m a s s

X

h

a t r e f e r e n c e p o i n t p

1

, m a s s Y

h

a t p o i n t p

2

, m a s s Z

h

a t p o i n t p

3

a n d m a s s

wa t p o i n t

p

4

. W e i g h t s a r e n o t r e q u i r e d t o b e p o s i t i v e , t h u s t h e c e n t e r o f

g r a v i t y c a n r e a l l y b e a n y p o i n t o f t h e s p a c e i f t h e f o u r r e f e r e n c e p o i n t s a r e

n o t c o - p l a n a r . A l t e r n a t i v e l y , i f t h e t o t a l m a s s , t h a t i s h = X

h

+ Y

h

+ Z

h

+ w ,

i s n o t z e r o a n d t h e r e f e r e n c e p o i n t s a r e i n E u c l i d e a n s p a c e , t h e n t h e c e n t e r

o f g r a v i t y w i l l a l s o b e i n t h e E u c l i d e a n s p a c e .

L e t u s c a l l t h e q u a d r u p l e ( X

h

; Y

h

; Z

h

; h ) , w h e r e h = X

h

+ Y

h

+ Z

h

+ w ,

t h e h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t e r o f g r a v i t y .

N o t e t h a t i f a l l w e i g h t s a r e m u l t i p l i e d b y t h e s a m e ( n o n - z e r o ) f a c t o r ,

t h e c e n t e r o f g r a v i t y , t h a t i s t h e p o i n t d e n e d b y t h e h o m o g e n e o u s c o o r d i -


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n a t e s , d o e s n o t c h a n g e . T h u s a p o i n t ( X

h

; Y

h

; Z

h

; h ) i s e q u i v a l e n t t o p o i n t s

( X

h

; Y

h

; Z

h

; h ) , w h e r e

i s a n o n - z e r o n u m b e r .

T h e c e n t e r o f g r a v i t y a n a l o g y u s e d t o i l l u s t r a t e t h e h o m o g e n e o u s c o o r -

d i n a t e s i s n o t r e a l l y i m p o r t a n t f r o m a m a t h e m a t i c a l p o i n t o f v i e w . W h a t

s h o u l d b e r e m e m b e r e d , h o w e v e r , i s t h a t a 3 D p o i n t r e p r e s e n t e d b y h o m o g e -

n e o u s c o o r d i n a t e s i s a f o u r - v e c t o r o f r e a l n u m b e r s a n d a l l s c a l a r m u l t i p l e s

o f t h e s e v e c t o r s a r e e q u i v a l e n t .

P o i n t s o f t h e p r o j e c t i v e s p a c e , t h a t i s t h e p o i n t s o f t h e E u c l i d e a n s p a c e

( a l s o c a l l e d a n e p o i n t s ) p l u s t h e i d e a l p o i n t s , c a n b e r e p r e s e n t e d b y

h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s . F i r s t t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a n e p o i n t s w h i c h

c a n e s t a b l i s h a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e C a r t e s i a n a n d t h e h o m o g e n e o u s

c o o r d i n a t e s y s t e m s i s d i s c u s s e d . L e t u s d e n e t h e f o u r r e f e r e n c e p o i n t s o f

t h e h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s y s t e m i n p o i n t s [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 ] a n d i n

[ 0 , 0 , 0 ] r e s p e c t i v e l y . I f h = X

h

+ Y

h

+ Z

h

+ wi s n o t z e r o , t h e n t h e c e n t e r o f

g r a v i t y i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m d e n e d b y a x e s i ; j ; k

i s :

r ( X

h

; Y

h

; Z

h

; h ) =

1

h

( X

h

[ 1

; 0 ;0 ] +

Y

h

[ 0

; 1 ;0 ] +

Z

h

[ 0

; 0 ;1 ] +

w [ 0

; 0 ;0 ] ) =

X

h

h

i +

Y

h

h

j +

Z

h

h

k :( 5

:1 )

T h u s w i t h t h e a b o v e s e l e c t i o n o f r e f e r e n c e p o i n t s t h e c o r r e s p o n d e n c e b e -

t w e e n t h e h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s ( X

h

; Y

h

; Z

h

; h ) a n d C a r t e s i a n c o o r d i -

n a t e s ( x ; y ; z ) o f a n e p o i n t s ( h 6

= 0 ) i s :

x =

X

h

h

; y=

Y

h

h

; z=

Z

h

h

:( 5

:2 )

H o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s c a n a l s o b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e p l a n e s . I n t h e

C a r t e s i a n s y s t e m a p l a n e i s d e n e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

a x + b y + c z + d= 0 ( 5

:3 )

A p p l y i n g t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e h o m o g e n e o u s a n d C a r t e s i a n c o -

o r d i n a t e s , w e g e t :

a X

h

+ b Y

h

+ c Z

h

+ d h= 0 ( 5

:4 )

N o t e t h a t t h e s e t o f p o i n t s t h a t s a t i s f y t h i s p l a n e e q u a t i o n r e m a i n s t h e s a m e

i f t h i s e q u a t i o n i s m u l t i p l i e d b y a s c a l a r f a c t o r . T h u s a q u a d r u p l e [ a ; b ; c ; d ]


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o f h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s c a n r e p r e s e n t n o t o n l y s i n g l e p o i n t s b u t p l a n e s

a s w e l l . I n f a c t a l l t h e o r e m s v a l i d f o r p o i n t s c a n b e f o r m u l a t e d f o r p l a n e s

a s w e l l i n 3 D p r o j e c t i v e s p a c e . T h i s s y m m e t r y i s o f t e n r e f e r r e d t o a s t h e

d u a l i t y p r i n c i p l e . T h e i n t e r s e c t i o n o f t w o p l a n e s ( w h i c h i s a l i n e ) c a n b e

c a l c u l a t e d a s t h e s o l u t i o n o f t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s . S u p p o s e t h a t

w e h a v e t w o p a r a l l e l p l a n e s g i v e n b y q u a d r u p l e s [ a ; b ; c ; d ] a n d [ a ; b ; c ; d

0

]

( d 6= d

0

) a n d l e t u s c a l c u l a t e t h e i r i n t e r s e c t i o n . F o r m a l l y a l l p o i n t s s a t i s f y

t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s f o r w h i c h

a X

h

+ b Y

h

+ c Z

h

= 0 a n d h

= 0 ( 5 :

5 )

I n E u c l i d e a n g e o m e t r y p a r a l l e l p l a n e s d o n o t h a v e i n t e r s e c t i o n , t h u s t h e

p o i n t s c a l c u l a t e d i n t h i s w a y c a n n o t b e i n E u c l i d e a n s p a c e , b u t f o r m a s u b s e t

o f t h e i d e a l p o i n t s o f t h e p r o j e c t i v e s p a c e . T h i s m e a n s t h a t i d e a l p o i n t s

c o r r e s p o n d t o t h o s e h o m o g e n e o u s q u a d r u p l e s w h e r e h

= 0 . A s m e n t i o n e d ,

t h e s e i d e a l p o i n t s r e p r e s e n t t h e i n n i t y , b u t t h e y m a k e a c l e a r d i s t i n c t i o n

b e t w e e n t h e \ i n n i t i e s " i n d i e r e n t d i r e c t i o n s t h a t a r e r e p r e s e n t e d b y t h e

r s t t h r e e c o o r d i n a t e s o f t h e h o m o g e n e o u s f o r m .

R e t u r n i n g t o t h e e q u a t i o n o f a p r o j e c t i v e p l a n e o r c o n s i d e r i n g t h e e q u a -

t i o n o f a p r o j e c t i v e l i n e , w e c a n r e a l i z e t h a t i d e a l p o i n t s m a y a l s o s a t i s f y

t h e s e e q u a t i o n s . T h e r e f o r e , p r o j e c t i v e p l a n e s a n d l i n e s a r e a l i t t l e b i t m o r e

t h a n t h e i r E u c l i d e a n c o u n t e r p a r t s . I n a d d i t i o n t o a l l E u c l i d e a n p o i n t s , t h e y

a l s o i n c l u d e s o m e i d e a l p o i n t s . T h i s m a y c a u s e p r o b l e m s w h e n w e w a n t t o

r e t u r n t o E u c l i d e a n s p a c e b e c a u s e t h e s e i d e a l p o i n t s h a v e n o c o u n t e r p a r t s .

H o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s c a n b e v i s u a l i z e d b y r e g a r d i n g t h e m a s C a r t e -

s i a n c o o r d i n a t e s o f a h i g h e r d i m e n s i o n a l s p a c e ( n o t e t h a t 3 D p o i n t s a r e

d e n e d b y 4 h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s ) . T h i s p r o c e d u r e i s c a l l e d t h e e m -

b e d d i n g o f t h e 3 D p r o j e c t i v e s p a c e i n t o t h e 4 D E u c l i d e a n s p a c e o r t h e

s t r a i g h t m o d e l [ H e r 9 1 ] ( g u r e 5 . 2 ) . S i n c e i t i s i m p o s s i b l e t o c r e a t e 4 D

d r a w i n g s , t h i s v i s u a l i z a t i o n u s e s a t r i c k o f r e d u c i n g t h e d i m e n s i o n a l i t y a n d

d i s p l a y s t h e 4 D s p a c e a s a 3 D o n e , t h e r e a l 3 D s u b s p a c e a s a 2 D p l a n e a n d

r e l i e s o n t h e r e a d e r ' s i m a g i n a t i o n t o i n t e r p r e t t h e r e s u l t i n g i m a g e .

A h o m o g e n e o u s p o i n t i s r e p r e s e n t e d b y a s e t o f e q u i v a l e n t q u a d r u p l e s

f ( X

h

; Y

h

; Z

h

; h) j 6

= 0g ;

t h u s a p o i n t i s d e s c r i b e d a s a 4 D l i n e c r o s s i n g t h e o r i g i n , [ 0 , 0 , 0 , 0 ] , i n t h e

s t r a i g h t m o d e l . I d e a l p o i n t s a r e i n t h e h

= 0 p l a n e a n d a n e p o i n t s a r e

r e p r e s e n t e d b y t h o s e l i n e s t h a t a r e n o t p a r a l l e l t o t h e h

= 0 p l a n e .


6/44


h

h

z

affine points

ideal point

embedded Euclidean space

h

=1 plane

=0 plane

F i g u r e 5 . 2 : E m b e d d i n g o f p r o j e c t i v e s p a c e i n t o a h i g h e r d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n

s p a c e

S i n c e p o i n t s a r e r e p r e s e n t e d b y a s e t o f q u a d r u p l e s t h a t a r e e q u i v a l e n t

i n h o m o g e n e o u s t e r m s , a p o i n t m a y b e r e p r e s e n t e d b y a n y o f t h e m . S t i l l ,

i t i s w o r t h s e l e c t i n g a s i n g l e r e p r e s e n t a t i v e f r o m t h i s s e t t o i d e n t i f y p o i n t s

u n a m b i g u o u s l y . F o r a n e p o i n t s , t h i s r e p r e s e n t a t i v e q u a d r u p l e i s f o u n d

b y m a k i n g t h e f o u r t h ( h

) c o o r d i n a t e e q u a l t o 1 , w h i c h h a s a n i c e p r o p e r t y

t h a t t h e r s t t h r e e h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s a r e e q u a l t o t h e C a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s o f t h e s a m e p o i n t t a k i n g e q u a t i o n 5 . 2 i n t o a c c o u n t , t h a t i s :

(

X

h

h

;

Y

h

h

;

Z

h

h

;1 ) = ( x ; y ; z ; 1 )

:( 5

:6 )

I n t h e s t r a i g h t m o d e l t h u s t h e r e p r e s e n t a t i v e s o f a n e p o i n t s c o r r e s p o n d

t o t h e h

= 1 h y p e r p l a n e ( a 3 D s e t o f t h e 4 D s p a c e ) , w h e r e t h e y c a n b e

i d e n t i e d b y C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . T h i s c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e 3 D

E u c l i d e a n s p a c e a n d f o r a n e p o i n t s t h e h o m o g e n e o u s t o C a r t e s i a n c o n v e r -

s i o n o f c o o r d i n a t e s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y p r o j e c t i n g t h e 4 D p o i n t o n t o

t h eh

= 1 h y p e r p l a n e u s i n g t h e o r i g i n a s t h e c e n t e r o f p r o j e c t i o n . T h i s

p r o j e c t i o n m e a n s t h e d i v i s i o n o f t h e r s t t h r e e c o o r d i n a t e s b y t h e f o u r t h

a n d i s u s u a l l y c a l l e d h o m o g e n e o u s d i v i s i o n .

U s i n g t h e a l g e b r a i c e s t a b l i s h m e n t o f E u c l i d e a n a n d p r o j e c t i v e g e o m e t r i e s ,

t h a t i s t h e s y s t e m o f C a r t e s i a n a n d h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s , g e o m e t r i c

t r a n s f o r m a t i o n s c a n b e r e g a r d e d a s f u n c t i o n s t h a t m a p t u p l e s o f c o o r d i -

n a t e s o n t o t u p l e s o f c o o r d i n a t e s . I n c o m p u t e r g r a p h i c s l i n e a r f u n c t i o n s a r e


7/44


8/44


a n d t h e i n v e r s e o f a h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a s t h e i n v e r s e o f i t s t r a n s -

f o r m a t i o n m a t r i x i f i t e x i s t s , i . e . i t s d e t e r m i n a n t i s n o t z e r o . T a k i n g i n t o

a c c o u n t t h e p r o p e r t i e s o f m a t r i x o p e r a t i o n s w e c a n s e e t h a t t h e c o n c a t e n a -

t i o n o f h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n s i s a l s o a h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n

a n d t h e i n v e r s e o f a h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n i s a l s o a h o m o g e n e o u s

t r a n s f o r m a t i o n i f t h e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x i s i n v e r t i b l e . S i n c e m a t r i x m u l -

t i p l i c a t i o n i s a n a s s o c i a t i v e o p e r a t i o n , c o n s e c u t i v e t r a n s f o r m a t i o n s c a n a l -

w a y s b e r e p l a c e d b y a s i n g l e t r a n s f o r m a t i o n b y c o m p u t i n g t h e p r o d u c t o f

t h e m a t r i c e s o f d i e r e n t t r a n s f o r m a t i o n s t e p s . T h u s , a n y n u m b e r o f l i n e a r

t r a n s f o r m a t i o n s c a n b e e x p r e s s e d b y a s i n g l e 4

4 m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .

T h e t r a n s f o r m a t i o n o f a s i n g l e p o i n t o f t h e p r o j e c t i v e s p a c e r e q u i r e s 1 6

m u l t i p l i c a t i o n s a n d 1 2 a d d i t i o n s . I f t h e p o i n t m u s t b e m a p p e d b a c k t o t h e

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e n 3 d i v i s i o n s b y t h e f o u r t h h o m o g e n e o u s

c o o r d i n a t e m a y b e n e c e s s a r y i n a d d i t i o n t o t h e m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n . S i n c e

l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s o f E u c l i d e a n s p a c e h a v e a [ 0 ; 0 ; 0 ;

1 ] f o u r t h c o l u m n

i n t h e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x , w h i c h i s p r e s e r v e d b y m u l t i p l i c a t i o n s w i t h

m a t r i c e s o f t h e s a m e p r o p e r t y , a n y l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n c a n b e c a l c u l a t e d

b y 9 m u l t i p l i c a t i o n s a n d 9 a d d i t i o n s .

A c c o r d i n g t o t h e t h e o r y o f p r o j e c t i v e g e o m e t r y , t r a n s f o r m a t i o n s d e n e d

b y 4

4 m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n m a p p o i n t s o n t o p o i n t s , l i n e s o n t o l i n e s ,

p l a n e s o n t o p l a n e s a n d i n t e r s e c t i o n p o i n t s o n t o i n t e r s e c t i o n p o i n t s , a n d

t h e r e f o r e a r e c a l l e d c o l l i n e a r i t i e s [ H e r 9 1 ] . T h e r e v e r s e o f t h i s s t a t e m e n t

i s a l s o t r u e ; e a c h c o l l i n e a r i t y c o r r e s p o n d s t o a h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n

m a t r i x . I n s t e a d o f p r o v i n g t h i s s t a t e m e n t i n p r o j e c t i v e s p a c e , a s p e c i a l

c a s e t h a t h a s i m p o r t a n c e i n c o m p u t e r g r a p h i c s i s i n v e s t i g a t e d i n d e t a i l . I n

c o m p u t e r g r a p h i c s t h e g e o m e t r y i s g i v e n i n 3 D E u c l i d e a n s p a c e a n d h a v i n g

a p p l i e d s o m e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n t h e r e s u l t s a r e a l s o r e q u i r e d i n

E u c l i d e a n s p a c e . F r o m t h i s p o i n t o f v i e w , t h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n

o f a 3 D p o i n t i n v o l v e s :

1 . A 4

4 m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s e x t e n d e d b y a f o u r t h

c o o r d i n a t e o f v a l u e 1 .

2 . A h o m o g e n e o u s d i v i s i o n o f a l l c o o r d i n a t e s i n t h e r e s u l t b y t h e f o u r t h

c o o r d i n a t e i f i t i s d i e r e n t f r o m 1 , m e a n i n g t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

f o r c e d t h e p o i n t o u t o f 3 D s p a c e .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a c l e a r d i s t i n c t i o n m u s t b e m a d e b e t w e e n t h e


9/44


c e n t r a l o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n d e n e d e a r l i e r w h i c h m a p s 3 D p o i n t s o n t o 2 D

p o i n t s o n a p l a n e a n d p r o j e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h m a p p r o j e c t i v e s p a c e

o n t o p r o j e c t i v e s p a c e . N o w l e t u s s t a r t t h e d i s c u s s i o n o f t h e h o m o g e n e o u s

t r a n s f o r m a t i o n o f a s p e c i a l s e t o f g e o m e t r i c p r i m i t i v e s . A E u c l i d e a n l i n e

c a n b e d e n e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

~r ( t) =

~r

0

+ ~v t ; w h e r e

ti s a r e a l p a r a m e t e r . ( 5

:1 0 )

A s s u m i n g t h a t v e c t o r s ~v

1

a n d~v

2

a r e n o t p a r a l l e l , a E u c l i d e a n p l a n e , o n t h e

o t h e r h a n d , c a n b e d e n e d a s f o l l o w s :

~r ( t

1

; t

2

) =~r

0

+ ~v

1

t

1

+ ~v

2

t

2

;w h e r e

t

1

; t

2

a r e r e a l p a r a m e t e r s . ( 5 :

1 1 )

G e n e r a l l y , l i n e s a n d p l a n e s a r e s p e c i a l c a s e s o f a w i d e r r a n g e o f g e o m e t r i c

s t r u c t u r e s c a l l e d l i n e a r s e t s . B y d e n i t i o n , a l i n e a r s e t i s d e n e d b y a

p o s i t i o n v e c t o r ~r

0

a n d s o m e a x e s ~v

1

; ~v

2

; : : : ; ~ v

n

b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

~r ( t

1

; : : : ; t

n

) =~r

0

+

n

X

i= 1

t

i

~v

i

:( 5

:1 2 )

F i r s t o f a l l , t h e a b o v e d e n i t i o n i s c o n v e r t e d t o a d i e r e n t o n e t h a t u s e s

h o m o g e n e o u s - l i k e c o o r d i n a t e s . L e t u s d e n e t h e s o - c a l l e d s p a n n i n g v e c t o r s

~p

0

; : : : ; ~ p

n

o f t h e l i n e a r s e t a s :

~p

0

= ~r

0

;

~p

1

= ~r

0

+ ~v

1

;

.

.

.

~p

n

= ~r

0

+ ~v

n

:

( 5:

1 3 )

T h e e q u a t i o n o f t h e l i n e a r s e t i s t h e n :

~r ( t

1

; : : : ; t

n

) = ( 1 t

1

: : :

t

n

) ~p

0

+

n

X

i= 1

t

i

~p

i

:( 5

:1 4 )

I n t r o d u c i n g t h e n e w c o o r d i n a t e s a s

0

= 1 t

1

: : :

t

n

;

1

= t

1

;

2

= t

2

; : : : ;

n

= t

n

;( 5

:1 5 )

t h e l i n e a r s e t c a n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

S = f ~p j ~p =

n

X

i= 0

i

~p

i

n

X

i= 0

i

= 1g :

( 5:

1 6 )


10/44


T h e w e i g h t s (

i

) a r e a l s o c a l l e d t h e b a r i c e n t r i c c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t

~pw i t h r e s p e c t t o

~p

0

, ~p

1

,: : :

, ~p

n

. T h i s n a m e r e e c t s t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t ~p

w o u l d b e t h e c e n t e r o f g r a v i t y o f a s t r u c t u r e o f w e i g h t s (

0

;

1

; : : : ;

n

) a t

p o i n t s ~p

0

; ~p

1

; : : : ; ~ p

n

.

T h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n o f s u c h a p o i n t ~p

i s :

[ ~p ; 1 ]

T= [

n

X

i= 0

i

~p

i

;1 ]

T= [

n

X

i= 0

i

~p

i

;

n

X

i= 0

i

] T =

(

n

X

i= 0

i

[ ~p

i

;1 ] )

T =

n

X

i= 0

i

( [

~p

i

;1 ]

T) ( 5

:1 7 )

s i n c e

P

n

i= 0

i

= 1 . D e n o t i n g [ ~p

i

;1 ]

Tb y [

~

P

i

; h

i

] w e g e t :

[ ~p ; 1 ]

T =

n

X

i= 0

i

[

~

P

i

; h

i

] = [

n

X

i= 0

i

~

P

i

;

n

X

i= 0

i

h

i

] :( 5

:1 8 )

I f t h e r e s u l t i n g f o u r t h c o o r d i n a t e

P

n

i= 0

i

h

i

i s z e r o , t h e n t h e p o i n t ~p

i s

m a p p e d o n t o a n i d e a l p o i n t , t h e r e f o r e i t c a n n o t b e c o n v e r t e d b a c k t o E u -

c l i d e a n s p a c e . T h e s e i d e a l p o i n t s m u s t b e e l i m i n a t e d b e f o r e t h e h o m o g e -

n e o u s d i v i s i o n ( s e e s e c t i o n 5 . 5 o n c l i p p i n g ) .

A f t e r h o m o g e n e o u s d i v i s i o n w e a r e l e f t w i t h :

[

n

X

i= 0

i

h

i

P

n

j= 1

j

h

j

~

P

i

h

i

;1 ] = [

n

X

i= 0

i

~p

i

;1 ] ( 5

:1 9 )

w h e r e ~p

i

i s t h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n o f ~p

i

. T h e d e r i v a t i o n o f

i

g u a r a n t e e s t h a t

P

n

i= 0

i

= 1 . T h u s , t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e l i n e a r s e t i s

a l s o l i n e a r . E x a m i n i n g t h e e x p r e s s i o n o f t h e w e i g h t s (

i

) , w e c a n c o n c l u d e

t h a t g e n e r a l l y

i

6=

i

m e a n i n g t h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a y d e -

s t r o y e q u a l s p a c i n g . I n o t h e r w o r d s t h e d i v i s i o n r a t i o i s n o t p r o j e c t i v e

i n v a r i a n t . I n t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e t r a n s f o r m a t i o n i s a n e , c o o r d i n a t e s

h

i

w i l l b e 1 , t h u s

i

=

i

, w h i c h m e a n s t h a t e q u a l s p a c i n g ( o r d i v i s i o n

r a t i o ) i s a n e i n v a r i a n t .

A s p e c i a l t y p e o f l i n e a r s e t i s t h e c o n v e x h u l l . T h e c o n v e x h u l l i s d e n e d

b y e q u a t i o n 5 . 1 6 w i t h t h e p r o v i s i o n t h a t t h e b a r i c e n t r i c c o o r d i n a t e s m u s t

b e n o n - n e g a t i v e .


11/44


T o a v o i d t h e p r o b l e m s o f m a p p i n g o n t o i d e a l p o i n t s , l e t u s a s s u m e t h e

s p a n n i n g v e c t o r s t o b e m a p p e d o n t o t h e s a m e s i d e o f t h e h

= 0 h y p e r -

p l a n e , m e a n i n g t h a t t h e h

i

- s m u s t h a v e t h e s a m e s i g n . T h i s , w i t h

i

0 ,

g u a r a n t e e s t h a t n o p o i n t s a r e m a p p e d o n t o i d e a l p o i n t s a n d

i

=

n

X

i= 0

i

h

i

P

n

i= 0

i

h

i

0 ( 5

:2 0 )

T h u s , b a r i c e n t r i c c o o r d i n a t e s o f t h e i m a g e w i l l a l s o b e n o n - n e g a t i v e , t h a t

i s , c o n v e x h u l l s a r e a l s o m a p p e d o n t o c o n v e x h u l l s b y h o m o g e n e o u s t r a n s -

f o r m a t i o n s i f t h e i r t r a n s f o r m e d i m a g e d o e s n o t c o n t a i n i d e a l p o i n t s . A n

a r b i t r a r y p l a n a r p o l y g o n c a n b e b r o k e n d o w n i n t o t r i a n g l e s t h a t a r e c o n v e x

h u l l s o f t h r e e s p a n n i n g v e c t o r s . T h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h i s p o l y g o n w i l l

b e t h e c o m p o s i t i o n o f t h e t r a n s f o r m e d t r i a n g l e s . T h i s m e a n s t h a t a p l a n a r

p o l y g o n w i l l a l s o b e p r e s e r v e d b y h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n s i f i t s i m a g e

d o e s n o t i n t e r s e c t w i t h t h e h

= 0 p l a n e .

A s m e n t i o n e d e a r l i e r , i n c o m p u t e r g r a p h i c s t h e o b j e c t s a r e d e n e d i n

E u c l i d e a n s p a c e b y C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a n d t h e i m a g e i s r e q u i r e d i n a 2 D

p i x e l s p a c e t h a t i s a l s o E u c l i d e a n w i t h i t s c o o r d i n a t e s w h i c h c o r r e s p o n d t o

t h e p h y s i c a l p i x e l s o f t h e f r a m e b u e r . P r o j e c t i v e g e o m e t r y m a y b e n e e d e d

o n l y f o r s p e c i c s t a g e s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m m o d e l i n g t o p i x e l s p a c e .

S i n c e p r o j e c t i v e s p a c e c a n b e r e g a r d e d a s a n e x t e n s i o n o f t h e E u c l i d e a n

s p a c e , t h e t h e o r y o f t r a n s f o r m a t i o n s c o u l d b e d i s c u s s e d g e n e r a l l y o n l y i n

p r o j e c t i v e s p a c e . F o r p e d a g o g i c a l r e a s o n s , h o w e v e r , w e w i l l u s e t h e m o r e

c o m p l i c a t e d h o m o g e n e o u s r e p r e s e n t a t i o n s i f t h e y a r e r e a l l y n e c e s s a r y f o r

c o m p u t e r g r a p h i c s a l g o r i t h m s , a n d d e a l w i t h t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s i n

s i m p l e r c a s e s . T h i s c o m b i n e d v i e w o f E u c l i d e a n a n d p r o j e c t i v e g e o m e t r i e s

m a y b e q u e s t i o n a b l e f r o m a p u r e l y m a t h e m a t i c a l p o i n t o f v i e w , b u t i t i s

a c c e p t e d b y t h e c o m p u t e r g r a p h i c s c o m m u n i t y b e c a u s e o f i t s c l a r i t y a n d i t s

e l i m i n a t i o n o f u n n e c e s s a r y a b s t r a c t i o n s .

W e s h a l l c o n s i d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n o f p o i n t s i n t h i s s e c t i o n , w h i c h w i l l

l e a d o n t o t h e t r a n s f o r m a t i o n o f p l a n a r p o l y g o n s a s w e l l .


12/44


5 . 1 . 1 E l e m e n t a r y t r a n s f o r m a t i o n s

T r a n s l a t i o n

T r a n s l a t i o n i s a v e r y s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n t h a t a d d s t h e t r a n s l a t i o n v e c t o r

~pt o t h e p o s i t i o n v e c t o r

~ro f t h e p o i n t t o b e t r a n s f o r m e d :

~r

0

= ~r + ~p : ( 5

:2 1 )

S c a l i n g a l o n g t h e c o o r d i n a t e a x e s

S c a l i n g m o d i e s t h e d i s t a n c e s a n d t h e s i z e o f t h e o b j e c t i n d e p e n d e n t l y a l o n g

t h e t h r e e c o o r d i n a t e a x e s . I f a p o i n t o r i g i n a l l y h a s [ x ; y ; z ] c o o r d i n a t e s , f o r

e x a m p l e , a f t e r s c a l i n g t h e r e s p e c t i v e c o o r d i n a t e s a r e :

x

0

= S

x

x ; y

0

= S

y

y ; z

0

= S

z

z : ( 5

:2 2 )

T h i s t r a n s f o r m a t i o n c a n a l s o b e e x p r e s s e d b y a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n :

~r

0

= ~r

2

6

4

S

x

0 0

0 S

y

0

0 0S

z

3

7

5

:( 5

:2 3 )

R o t a t i o n a r o u n d t h e c o o r d i n a t e a x e s

R o t a t i n g a r o u n d t h e z

a x i s b y a n a n g l e , t h e x

a n dy

c o o r d i n a t e s o f a p o i n t

a r e t r a n s f o r m e d a c c o r d i n g t o g u r e 5 . 3 , l e a v i n g c o o r d i n a t e z

u n a e c t e d .

y

(x,y)

(x,y)

xz

F i g u r e 5 . 3 : R o t a t i o n a r o u n d t h e z

a x i s

B y g e o m e t r i c c o n s i d e r a t i o n s , t h e n e w x ; y c o o r d i n a t e s c a n b e e x p r e s s e d

a s :

x

0

= x c o s

y s i n ; y

0

= x s i n

+ y c o s : ( 5

:2 4 )


13/44


R o t a t i o n s a r o u n d t h e y

a n dx

a x e s h a v e s i m i l a r f o r m , j u s t t h e r o l e s o f x ; y

a n dz

m u s t b e e x c h a n g e d . T h e s e f o r m u l a e c a n a l s o b e e x p r e s s e d i n m a t r i x

f o r m :

~r

0

(x ; ) =

~r

2

6

4

1 0 0

0 c o s

s i n

0 s i n

c o s

3

7

5

~r

0

(y ; ) =

~r

2

6

4

c o s 0

s i n

0 1 0

s i n

0 c o s

3

7

5

~r

0

(z ; ) =

~r

2

6

4

c o s

s i n 0

s i n

c o s

0

0 0 1

3

7

5

:

( 5:

2 5 )

T h e s e r o t a t i o n s c a n b e u s e d t o e x p r e s s a n y o r i e n t a t i o n [ L a n 9 1 ] . S u p p o s e

t h a t K

a n dK

0 0 0

a r e t w o C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m s s h a r i n g a c o m m o n

o r i g i n b u t h a v i n g d i e r e n t o r i e n t a t i o n s . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h r e e s p e c i a l

r o t a t i o n s a r o u n d t h e c o o r d i n a t e a x e s w h i c h t r a n s f o r m K

i n t o K

0 0 0

, l e t u s

d e n e a n e w C a r t e s i a n s y s t e m K

0

s u c h t h a t i t s z

0

a x i s i s c o i n c i d e n t w i t h z

a n d i t s y

0

a x i s i s o n t h e i n t e r s e c t i o n l i n e o f p l a n e s [ x ; y ] a n d [ x

0 0 0

; y

0 0 0

] . T o

t r a n s f o r m a x i s y

o n t o a x i s y

0

a r o t a t i o n i s n e e d e d a r o u n d z

b y a n g l e

. T h e n

a n e w r o t a t i o n a r o u n d y

0

b y a n g l e

h a s t o b e a p p l i e d t h a t t r a n s f o r m s x

0

i n t o x

0 0 0

r e s u l t i n g i n a c o o r d i n a t e s y s t e m K

0 0

. F i n a l l y t h e c o o r d i n a t e s y s t e m

K

0 0

i s r o t a t e d a r o u n d a x i s x

0 0

= x

0 0 0

b y a n a n g l e

t o t r a n s f o r m y

0 0

i n t o y

0 0 0

.

T h e t h r e e a n g l e s , d e n i n g t h e n a l o r i e n t a t i o n , a r e c a l l e d r o l l , p i t c h a n d

y a w a n g l e s . I f t h e r o l l , p i t c h a n d y a w a n g l e s a r e ,

a n d

r e s p e c t i v e l y ,

t h e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e n e w o r i e n t a t i o n i s :

~r

0

= ~r

2

6

4

c o s

s i n 0

s i n

c o s

0

0 0 1

3

7

5

2

6

4

c o s 0

s i n

0 1 0

s i n

0 c o s

3

7

5

2

6

4

1 0 0

0 c o s

s i n

0 s i n

c o s

3

7

5

:

( 5:

2 6 )

R o t a t i o n a r o u n d a n a r b i t r a r y a x i s

L e t u s e x a m i n e a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h a t c o r r e s p o n d s t o a r o t a t i o n b y

a n g l e

a r o u n d a n a r b i t r a r y u n i t a x i s

~

tg o i n g t h r o u g h t h e o r i g i n . T h e o r i g i -

n a l a n d t h e t r a n s f o r m e d p o i n t s a r e d e n o t e d b y v e c t o r s ~u

a n d~v

r e s p e c t i v e l y .


14/44


L e t u s d e c o m p o s e v e c t o r s ~u

a n d~v

i n t o p e r p e n d i c u l a r ( ~u

?

; ~v

?

) a n d p a r a l l e l

( ~u

k

; ~v

k

) c o m p o n e n t s w i t h r e s p e c t t o

~

t. B y g e o m e t r i c a l c o n s i d e r a t i o n s w e c a n

w r i t e :

~u

k

=

~

t (

~

t ~u )

~u

?

= ~u ~u

k

= ~u

~

t (

~

t ~u) ( 5 . 2 7 )

S i n c e t h e r o t a t i o n d o e s n o t a e c t t h e p a r a l l e l c o m p o n e n t , ~v

k

= ~u

k

.

u

t

t

||u ||

u

v

v

=v

x u

F i g u r e 5 . 4 : R o t a t i n g a r o u n d

~

tb y a n g l e

S i n c e v e c t o r s ~u

?

; ~v

?

a n d

~

t ~u

?

=

~

t ~ua r e i n t h e p l a n e p e r p e n d i c u l a r

t o

~

t, a n d

~u

?

a n d

~

t ~u

?

a r e p e r p e n d i c u l a r v e c t o r s ( g u r e 5 . 4 ) , ~v

?

c a n b e

e x p r e s s e d a s :

~v

?

= ~u

?

c o s

+

~

t ~u

?

s i n : ( 5

:2 8 )

V e c t o r ~v

, t h a t i s t h e r o t a t i o n o f ~u

, c a n t h e n b e e x p r e s s e d a s f o l l o w s :

~v = ~v

k

+ ~v

?

= ~u c o s

+

~

t ~u s i n

+

~

t (

~

t ~u) ( 1

c o s

) :( 5

:2 9 )

T h i s e q u a t i o n , a l s o c a l l e d t h e R o d r i g u e s f o r m u l a , c a n a l s o b e e x p r e s s e d

i n m a t r i x f o r m . D e n o t i n g c o s

a n d s i n

b yC

a n dS

r e s p e c t i v e l y a n d

a s s u m i n g

~

tt o b e a u n i t v e c t o r , w e g e t :

~v = ~u

2

6

4

C

( 1 t

2

x

) +t

2

x

t

x

t

y

( 1 C

) +S

t

z

t

x

t

z

( 1 C

) S

t

y

t

y

t

x

( 1 C

) S

t

z

C

( 1 t

2

y

) +t

2

y

t

x

t

z

( 1 C

) +S

t

x

t

z

t

x

( 1 C

) +S

t

y

t

z

t

y

( 1 C

) S

t

x

C

( 1 t

2

z

) +t

2

z

3

7

5

:

( 5:

3 0 )


15/44

5 . 2 . T R A N S F O R M A T I O N T O C H A N G E T H E C O O R D I N A T E S Y S T E M 1 1 3

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a n y o r i e n t a t i o n c a n a l s o b e e x p r e s s e d a s

a r o t a t i o n a r o u n d a n a p p r o p r i a t e a x i s . T h u s , t h e r e i s a c o r r e s p o n d e n c e

b e t w e e n r o l l - p i t c h - y a w a n g l e s a n d t h e a x i s a n d a n g l e o f n a l r o t a t i o n , w h i c h

c a n b e g i v e n b y m a k i n g t h e t w o t r a n s f o r m a t i o n m a t r i c e s d e n e d i n e q u a t i o n s

5 . 2 6 a n d 5 . 3 0 e q u a l a n d s o l v i n g t h e e q u a t i o n f o r u n k n o w n p a r a m e t e r s .

S h e a r i n g

S u p p o s e a s h e a r i n g s t r e s s a c t s o n a b l o c k x e d o n t h e x y f a c e o f g u r e 5 . 5 ,

d e f o r m i n g t h e b l o c k t o a p a r a l l e p i p e d . T h e t r a n s f o r m a t i o n r e p r e s e n t i n g t h e

d i s t o r t i o n o f t h e b l o c k l e a v e s t h e z

c o o r d i n a t e u n a e c t e d , a n d m o d i e s t h e

xa n d

yc o o r d i n a t e s p r o p o r t i o n a l l y t o t h e

zc o o r d i n a t e .

x

y

z

F i g u r e 5 . 5 : S h e a r i n g o f a b l o c k

I n m a t r i x f o r m t h e s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n i s :

~r

0

= ~r

2

6

4

1 0 0

0 1 0

a b1

3

7

5

:( 5

:3 1 )

5 . 2 T r a n s f o r m a t i o n t o c h a n g e t h e

c o o r d i n a t e s y s t e m

O b j e c t s d e n e d i n o n e c o o r d i n a t e s y s t e m a r e o f t e n n e e d e d i n a n o t h e r c o -

o r d i n a t e s y s t e m . W h e n w e d e c i d e t o w o r k i n s e v e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s

a n d t o m a k e e v e r y c a l c u l a t i o n i n t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i n w h i c h i t i s t h e


16/44


s i m p l e s t , t h e c o o r d i n a t e s y s t e m m u s t b e c h a n g e d f o r e a c h d i e r e n t p h a s e o f

t h e c a l c u l a t i o n .

S u p p o s e u n i t c o o r d i n a t e v e c t o r s ~u , ~v

a n d~w

a n d t h e o r i g i n ~o

o f t h e n e w

c o o r d i n a t e s y s t e m a r e d e n e d i n t h e o r i g i n a l x ; y ; z c o o r d i n a t e s y s t e m :

~u= [

u

x

; u

y

; u

z

]; ~v = [

v

x

; v

y

; v

z

]; ~

w= [

w

x

; w

y

; w

z

]; ~o = [

o

x

; o

y

; o

z

] :( 5

:3 2 )

L e t a p o i n t ~p h a v e

x ; y ; z a n d ; ; c o o r d i n a t e s i n t h e x ; y ; z a n d i n t h e

u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m s r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e c o o r d i n a t e v e c t o r s ~u ; ~ v ; ~

w

a s w e l l a s t h e i r o r i g i n , ~o

, a r e k n o w n i n t h e x ; y ; z c o o r d i n a t e s y s t e m , ~p

c a n

b e e x p r e s s e d i n t w o d i e r e n t f o r m s :

~p = ~u + ~v + ~w + ~o= [ x ; y ; z

] :( 5

:3 3 )

T h i s e q u a t i o n c a n a l s o b e w r i t t e n i n h o m o g e n e o u s m a t r i x f o r m , h a v i n g

i n t r o d u c e d t h e m a t r i x f o r m e d b y t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e c t o r s d e n i n g t h e

u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m :

T

c

=

2

6

6

6

4

u

x

u

y

u

z

0

v

x

v

y

v

z

0

w

x

w

y

w

z

0

o

x

o

y

o

z

1

3

7

7

7

5

;( 5

:3 4 )

[x ; y ; z ; 1 ] = [ ; ; ; 1 ]

T

c

:( 5

:3 5 )

S i n c e T

c

i s a l w a y s i n v e r t i b l e , t h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t o f t h e x ; y ; z

c o o r d i n a t e s y s t e m c a n b e e x p r e s s e d i n t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m a s w e l l :

[ ; ; ; 1 ] = [ x ; y ; z ; 1 ]

T

c

1

:( 5

:3 6 )

N o t e t h a t t h e i n v e r s i o n o f m a t r i x T

c

c a n b e c a l c u l a t e d q u i t e e e c t i v e l y s i n c e

i t s u p p e r - l e f t m i n o r m a t r i x i s o r t h o n o r m a l , t h a t i s , i t s i n v e r s e i s g i v e n b y

m i r r o r i n g t h e m a t r i x e l e m e n t s o n t o t h e d i a g o n a l o f t h e m a t r i x , t h u s :

T

1

c

=

2

6

6

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

o

x

o

y

o

z

1

3

7

7

7

5

2

6

6

6

4

u

x

v

x

w

x

0

u

y

v

y

w

y

0

u

z

v

z

w

z

0

0 0 0 1

3

7

7

7

5

:( 5

:3 7 )


17/44


18/44


n o t i n d e p e n d e n t , b e c a u s e e a c h o f t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e o t h e r

t w o , t h u s t h a t d e p e n d e n c e h a s a l s o t o b e t a k e n c a r e o f d u r i n g t h e

s e t t i n g o f c a m e r a p a r a m e t e r s . T o e a s e t h e p a r a m e t e r s e t t i n g p h a s e ,

i n s t e a d o f s p e c i f y i n g t h e c o o r d i n a t e v e c t o r t r i p l e , t w o a l m o s t i n d e -

p e n d e n t v e c t o r s a r e u s e d f o r t h e d e n i t i o n o f t h e o r i e n t a t i o n , w h i c h

a r e t h e n o r m a l v e c t o r t o t h e p l a n e o f t h e w i n d o w , c a l l e d t h e v i e w

p l a n e n o r m a l , o r~

v p n f o r s h o r t , a n d a s o - c a l l e d v i e w u p v e c t o r , o r

~v u p , w h o s e c o m p o n e n t t h a t i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e n o r m a l a n d i s i n

t h e p l a n e o f ~

v p n a n d~

v u p d e n e s t h e d i r e c t i o n o f t h e v e r t i c a l e d g e o f

t h e w i n d o w . T h e r e i s a s l i g h t d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e m , s i n c e t h e y

s h o u l d n o t b e p a r a l l e l , t h a t i s , i t m u s t a l w a y s h o l d t h a t ~

v u p ~

v p n6= 0 .

T h e~u ; ~ v ; ~

wc o o r d i n a t e v e c t o r s c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d f r o m t h e v i e w

p l a n e n o r m a l a n d t h e v i e w u p v e c t o r s :

~w =

~v p n

j ~v p n

j

; ~u=

~w ~v u p

j ~w ~v u p

j

; ~v= ~u ~

w : ( 5:

3 8 )

N o t e t h a t u n l i k e t h e x ; y ; z w o r l d c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e u ; v ; w s y s t e m

h a s b e e n d e n e d l e f t h a n d e d t o m e e t t h e u s e r ' s e x p e c t a t i o n s t h a t ~u

p o i n t s t o t h e r i g h t , ~v

p o i n t s u p w a r d s a n d ~w

p o i n t s a w a y f r o m t h e

c a m e r a l o c a t e d b e h i n d t h e w i n d o w .

S i z e o f t h e w i n d o w . T h e l e n g t h o f t h e e d g e s o f t h e w i n d o w r e c t a n g l e

a r e d e n e d b y t w o p o s i t i v e n u m b e r s , t h e w i d t h b y w w i d t h , t h e h e i g h t

b y w h e i g h t . P h o t o g r a p h i c o p e r a t i o n s , s u c h a s z o o m i n g i n a n d o u t ,

c a n b e r e a l i z e d b y p r o p e r c o n t r o l o f t h e s i z e o f t h e w i n d o w . T o a v o i d

d i s t o r t i o n s , t h e w i d t h / h e i g h t r a t i o h a s t o b e e q u a l t o w i d t h / h e i g h t

r a t i o o f t h e v i e w p o r t o n t h e s c r e e n .

T y p e o f p r o j e c t i o n . T h e i m a g e i s t h e p r o j e c t i o n o f t h e v i r t u a l w o r l d

o n t o t h e w i n d o w . T w o d i e r e n t t y p e s o f p r o j e c t i o n a r e u s u a l l y u s e d

i n c o m p u t e r g r a p h i c s , t h e p a r a l l e l p r o j e c t i o n ( i f t h e p r o j e c t o r s a r e

p a r a l l e l ) , a n d t h e p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n ( i f a l l t h e p r o j e c t o r s g o

t h r o u g h a g i v e n p o i n t , c a l l e d t h e c e n t e r o f p r o j e c t i o n ) . P a r a l l e l p r o -

j e c t i o n s a r e f u r t h e r c l a s s i e d i n t o o r t h o g r a p h i c a n d o b l i q u e p r o j e c -

t i o n s d e p e n d i n g o n w h e t h e r o r n o t t h e p r o j e c t o r s a r e p e r p e n d i c u l a r t o

t h e p l a n e o f p r o j e c t i o n ( w i n d o w p l a n e ) . T h e a t t r i b u t e \ o b l i q u e " m a y

a l s o r e f e r t o p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n i f t h e p r o j e c t o r f r o m t h e c e n t e r o f


19/44

5 . 3 . D E F I N I T I O N O F T H E C A M E R A 1 1 7

t h e w i n d o w i s n o t p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e w i n d o w . O b l i q u e

p r o j e c t i o n s m a y c a u s e d i s t o r t i o n o f t h e i m a g e .

L o c a t i o n o f t h e c a m e r a o r e y e . T h e c a m e r a i s p l a c e d b e h i n d

t h e w i n d o w i n o u r c o n c e p t u a l m o d e l . F o r p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n , t h e

c a m e r a p o s i t i o n i s , i n f a c t , t h e c e n t e r o f p r o j e c t i o n , w h i c h c a n b e

d e n e d b y a p o i n t ~

e y e i n t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m . F o r p a r a l l e l

p r o j e c t i o n , t h e d i r e c t i o n o f t h e p r o j e c t o r s h a s t o b e g i v e n b y t h e u ; v ; w

c o o r d i n a t e s o f t h e d i r e c t i o n v e c t o r . B o t h i n p a r a l l e l a n d p e r s p e c t i v e

p r o j e c t i o n s t h e d e p t h c o o r d i n a t e w

i s r e q u i r e d t o b e n e g a t i v e i n o r d e r

t o p l a c e t h e c a m e r a \ b e h i n d " t h e w i n d o w . I t a l s o m a k e s s e n s e t o

c o n s i d e r p a r a l l e l p r o j e c t i o n a s a s p e c i a l p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n , w h e n

t h e c a m e r a i s a t a n i n n i t e d i s t a n c e f r o m t h e w i n d o w .

F r o n t a n d b a c k c l i p p i n g p l a n e s . A c c o r d i n g t o t h e c o n c e p t u a l

m o d e l o f t a k i n g p h o t o s o f t h e v i r t u a l w o r l d , i t i s o b v i o u s t h a t o n l y

t h o s e p o r t i o n s o f t h e m o d e l w h i c h l i e i n t h e i n n i t e p y r a m i d d e n e d

b y t h e c a m e r a a s t h e a p e x , a n d t h e s i d e s o f t h e 3 D w i n d o w ( f o r p e r -

s p e c t i v e p r o j e c t i o n ) , a n d i n a h a l f - o p e n , i n n i t e p a r a l l e l e p i p e d ( f o r

p a r a l l e l p r o j e c t i o n ) c a n a e c t t h e p h o t o . T h e s e i n n i t e r e g i o n s a r e

u s u a l l y l i m i t e d t o a n i t e f r u s t u m o f a p y r a m i d , o r t o a n i t e p a r -

a l l e l e p i p e d r e s p e c t i v e l y , t o a v o i d o v e r o w s a n d a l s o t o e a s e t h e p r o -

j e c t i o n t a s k b y e l i m i n a t i n g t h e p a r t s l o c a t e d b e h i n d t h e c a m e r a , b y

d e n i n g t w o c l i p p i n g p l a n e s c a l l e d t h e f r o n t c l i p p i n g p l a n e a n d t h e

b a c k c l i p p i n g p l a n e . T h e s e p l a n e s a r e p a r a l l e l w i t h t h e w i n d o w

a n d t h u s h a v e c o n s t a n t w

c o o r d i n a t e s a p p r o p r i a t e f o r t h e d e n i t i o n .

T h u s t h e f r o n t p l a n e i s s p e c i e d b y a n f p v a l u e , m e a n i n g t h e p l a n e

w =f p , a n d t h e b a c k p l a n e i s d e n e d b y a b p v a l u e . C o n s i d e r i n g

t h e o b j e c t i v e s o f t h e c l i p p i n g p l a n e s , t h e i r w

c o o r d i n a t e s h a v e t o b e

g r e a t e r t h a n t h e w

c o o r d i n a t e o f t h e e y e , a n d f p < b p s h o u l d a l s o

h o l d .


20/44


5 . 4 V i e w i n g t r a n s f o r m a t i o n

I m a g e g e n e r a t i o n i n v o l v e s :

1 . t h e p r o j e c t i o n o f t h e v i r t u a l w o r l d o n t o t h e w i n d o w r e c t a n g l e ,

2 . t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c l o s e s t s u r f a c e a t e a c h p o i n t ( v i s i b i l i t y c a l c u -

l a t i o n ) b y d e p t h c o m p a r i s o n s i f m o r e t h a n o n e s u r f a c e c a n b e p r o j e c t e d

o n t o t h e s a m e p o i n t i n t h e w i n d o w , a n d

3 . t h e p l a c e m e n t o f t h e r e s u l t i n t h e v i e w p o r t r e c t a n g l e o f t h e s c r e e n .

O b v i o u s l y , t h e v i s i b i l i t y c a l c u l a t i o n h a s t o b e d o n e p r i o r t o t h e p r o j e c t i o n o f

t h e 3 D s p a c e o n t o t h e 2 D w i n d o w r e c t a n g l e , s i n c e t h i s p r o j e c t i o n d e s t r o y s

t h e d e p t h i n f o r m a t i o n .

T h e s e c a l c u l a t i o n s c o u l d a l s o b e d o n e i n t h e w o r l d c o o r d i n a t e s y s t e m ,

b u t e a c h p r o j e c t i o n w o u l d r e q u i r e t h e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e r s e c t i o n o f a n

a r b i t r a r y l i n e a n d r e c t a n g l e ( w i n d o w ) , a n d t h e v i s i b i l i t y p r o b l e m w o u l d

r e q u i r e t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e d i s t a n c e o f t h e s u r f a c e p o i n t s a l o n g t h e

p r o j e c t o r s . T h e l a r g e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s a n d d i v i s i o n s r e q u i r e d b y

s u c h g e o m e t r i c c o m p u t a t i o n s m a k e s t h e s e l e c t i o n o f t h e w o r l d c o o r d i n a t e

s y s t e m d i s a d v a n t a g e o u s e v e n i f t h e r e q u i r e d c a l c u l a t i o n s c a n b e r e d u c e d b y

t h e a p p l i c a t i o n o f t h e i n c r e m e n t a l c o n c e p t , a n d f o r c e s u s t o l o o k f o r o t h e r

c o o r d i n a t e s y s t e m s w h e r e t h e s e c o m p u t a t i o n s a r e s i m p l e a n d e e c t i v e t o

p e r f o r m .

I n t h e o p t i m a l c a s e t h e p o i n t s s h o u l d b e t r a n s f o r m e d t o a c o o r d i n a t e

s y s t e m w h e r e X ; Y c o o r d i n a t e s w o u l d r e p r e s e n t t h e p i x e l l o c a t i o n t h r o u g h

w h i c h t h e g i v e n p o i n t i s v i s i b l e , a n d a t h i r d Z

c o o r d i n a t e c o u l d b e u s e d t o

d e c i d e w h i c h p o i n t i s v i s i b l e , i . e . c l o s e s t t o t h e e y e , i f s e v e r a l p o i n t s c o u l d

b e t r a n s f o r m e d t o t h e s a m e X ; Y p i x e l . N o t e t h a t Z

i s n o t n e c e s s a r i l y p r o -

p o r t i o n a l t o t h e d i s t a n c e f r o m t h e e y e , i t s h o u l d o n l y b e a m o n o t o n o u s l y

i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e d i s t a n c e . T h e a p p r o p r i a t e t r a n s f o r m a t i o n i s a l s o

e x p e c t e d t o m a p l i n e s o n t o l i n e s a n d p l a n e s o n t o p l a n e s , a l l o w i n g s i m p l e

r e p r e s e n t a t i o n s a n d l i n e a r i n t e r p o l a t i o n s d u r i n g c l i p p i n g a n d v i s i b i l i t y c a l -

c u l a t i o n s . C o o r d i n a t e s y s t e m s m e e t i n g a l l t h e a b o v e r e q u i r e m e n t s a r e c a l l e d

s c r e e n c o o r d i n a t e s y s t e m s . I n a c o o r d i n a t e s y s t e m o f t h i s t y p e , t h e v i s i -

b i l i t y c a l c u l a t i o n s a r e s i m p l e , s i n c e s h o u l d t w o o r m o r e p o i n t s h a v e t h e s a m e

X ; Y p i x e l c o o r d i n a t e s , t h e n t h e v i s i b l e o n e h a s t h e s m a l l e s t Z

c o o r d i n a t e .


21/44

5 . 4 . V I E W I N G T R A N S F O R M A T I O N 1 1 9

F r o m a d i e r e n t p e r s p e c t i v e , i f i t h a s t o b e d e c i d e d w h e t h e r o n e p o i n t w i l l

h i d e a n o t h e r , t w o c o m p a r i s o n s a r e n e e d e d t o c h e c k w h e t h e r t h e y p r o j e c t

o n t o t h e s a m e p i x e l , t h a t i s , w h e t h e r t h e y h a v e t h e s a m e X ; Y c o o r d i n a t e s ,

a n d a t h i r d c o m p a r i s o n m u s t b e u s e d t o s e l e c t t h e c l o s e s t . T h e p r o j e c t i o n

i s v e r y s i m p l e , b e c a u s e t h e p r o j e c t e d p o i n t h a s , i n f a c t , X ; Y c o o r d i n a t e s

d u e t o t h e d e n i t i o n o f t h e s c r e e n s p a c e .

F o r p e d a g o g i c a l r e a s o n s , t h e c o m p l e t e t r a n s f o r m a t i o n i s d e n e d t h r o u g h

s e v e r a l i n t e r m e d i a t e c o o r d i n a t e s y s t e m s , a l t h o u g h e v e n t u a l l y i t c a n b e a c -

c o m p l i s h e d b y a s i n g l e m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n . F o r b o t h p a r a l l e l a n d p e r s p e c -

t i v e c a s e s , t h e r s t s t e p o f t h e t r a n s f o r m a t i o n i s t o c h a n g e t h e c o o r d i n a t e

s y s t e m t o u ; v ; w f r o m x ; y ; z , b u t a f t e r t h a t t h e r e w i l l b e d i e r e n c e s d e -

p e n d i n g o n t h e p r o j e c t i o n t y p e .

5 . 4 . 1 W o r l d t o w i n d o w c o o r d i n a t e s y s t e m

t r a n s f o r m a t i o n

F i r s t , t h e w o r l d i s t r a n s f o r m e d t o t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m x e d t o t h e

c e n t e r o f t h e w i n d o w . S i n c e t h e c o o r d i n a t e v e c t o r s ~u , ~v , ~w

a n d t h e o r i g i n

~v r p a r e d e n e d i n t h e x ; y ; z c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e n e c e s s a r y t r a n s f o r m a -

t i o n c a n b e d e v e l o p e d b a s e d o n t h e r e s u l t s o f s e c t i o n 5 . 2 o f t h i s c h a p t e r .

T h e m a t r i x f o r m e d b y t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e c t o r s d e n i n g t h e u ; v ; w

c o o r d i n a t e s y s t e m i s :

T

u v w

=

2

6

6

6

4

u

x

u

y

u

z

0

v

x

v

y

v

z

0

w

x

w

y

w

z

0

v r p

x

v r p

y

v r p

z

1

3

7

7

7

5

;( 5

:3 9 )

[x ; y ; z ; 1 ] = [ ; ; ; 1 ]

T

u v w

:( 5

:4 0 )

S i n c e ~u , ~v , ~w

a r e p e r p e n d i c u l a r v e c t o r s , T

u v w

i s a l w a y s i n v e r t i b l e . T h u s ,

t h e c o o r d i n a t e s o f a n a r b i t r a r y p o i n t o f t h e w o r l d c o o r d i n a t e s y s t e m c a n b e

e x p r e s s e d i n t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m a s w e l l :

[ ; ; ; 1 ] = [ x ; y ; z ; 1 ]

T

1

u v w

:( 5

:4 1 )


22/44


5 . 4 . 2 W i n d o w t o s c r e e n c o o r d i n a t e s y s t e m

t r a n s f o r m a t i o n f o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n

S h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n

F o r o b l i q u e t r a n s f o r m a t i o n s , t h a t i s w h e n e y e

u

o r e y e

v

i s n o t z e r o , t h e p r o -

j e c t o r s a r e n o t p e r p e n d i c u l a r t o t h e w i n d o w p l a n e , t h u s c o m p l i c a t i n g v i s i -

b i l i t y c a l c u l a t i o n s a n d p r o j e c t i o n ( g u r e 5 . 7 ) . T h i s p r o b l e m c a n b e s o l v e d

b y d i s t o r t i o n o f t h e o b j e c t s p a c e , a p p l y i n g a s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n i n

s u c h a w a y t h a t t h e n o n - o b l i q u e p r o j e c t i o n o f t h e d i s t o r t e d o b j e c t s s h o u l d

p r o v i d e t h e s a m e i m a g e s a s t h e o b l i q u e p r o j e c t i o n o f t h e o r i g i n a l s c e n e ,

a n d t h e d e p t h c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t s s h o u l d n o t b e a e c t e d . A g e n e r a l

w

(0,0,eye )w

P=eyewindow

F i g u r e 5 . 7 : S h e a r i n g

s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n w h i c h d o e s n o t a e c t t h e w

c o o r d i n a t e i s :

T

s h e a r

=

2

6

6

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

s

u

s

v

1 0

0 0 0 1

3

7

7

7

5

:( 5

:4 2 )

T h e u n k n o w n e l e m e n t s , s

u

a n ds

v

, c a n b e d e t e r m i n e d b y e x a m i n i n g t h e

t r a n s f o r m a t i o n o f t h e p r o j e c t o r

~

P= [ e y e

u

; e y e

v

; e y e

w

;1 ] . T h e t r a n s f o r m e d

p r o j e c t o r i s e x p e c t e d t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e w i n d o w a n d t o h a v e d e p t h

c o o r d i n a t e e y e

w

, t h a t i s :

~

P T

s h e a r

= [ 0; 0 ; e y e

w

;1 ]

:( 5

:4 3 )


23/44


U s i n g t h e d e n i t i o n o f t h e s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n , w e g e t :

s

u

=

e y e

u

e y e

w

; s

v

=

e y e

v

e y e

w

:( 5

:4 4 )

N o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n

H a v i n g a c c o m p l i s h e d t h e s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n , t h e o b j e c t s f o r p a r a l l e l

p r o j e c t i o n a r e i n a s p a c e s h o w n i n g u r e 5 . 8 . T h e s u b s p a c e w h i c h c a n b e

p r o j e c t e d o n t o t h e w i n d o w i s a r e c t a n g u l a r b o x b e t w e e n t h e f r o n t a n d b a c k

c l i p p i n g p l a n e , h a v i n g s i d e f a c e s c o i n c i d e n t t o t h e e d g e s o f t h e w i n d o w .

T o a l l o w u n i f o r m t r e a t m e n t , a n o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n c a n b e a p p l i e d ,

w h i c h m a p s t h e b o x o n t o a n o r m a l i z e d b l o c k , c a l l e d t h e c a n o n i c a l v i e w

v o l u m e , m o v i n g t h e f r o n t c l i p p i n g p l a n e t o 0 , t h e b a c k c l i p p i n g p l a n e t o

1 , t h e o t h e r b o u n d a r i e s t o x

= 1 ,y

= 1 ,x =

1 a n d y =

1 p l a n e s

r e s p e c t i v e l y .

fp

window

bp

w 1

-1

1v

F i g u r e 5 . 8 : N o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n f o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n

T h e n o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n c a n a l s o b e e x p r e s s e d i n m a t r i x f o r m :

T

n o r m

=

2

6

6

6

4

2= w w i d t h 0 0 0

0 2 = w h e i g h t 0 0

0 0 1= (

b p

f p ) 0

0 0

f p =(

b p

f p ) 1

3

7

7

7

5

:( 5

:4 5 )

T h e p r o j e c t i o n i n t h e c a n o n i c a l v i e w v o l u m e i s v e r y s i m p l e , s i n c e t h e

p r o j e c t i o n d o e s n o t a e c t t h e ( X ; Y ) c o o r d i n a t e s o f a n a r b i t r a r y p o i n t , b u t

o n l y i t s d e p t h c o o r d i n a t e .


24/44


V i e w p o r t t r a n s f o r m a t i o n

T h e s p a c e i n s i d e t h e c l i p p i n g v o l u m e h a s b e e n p r o j e c t e d o n t o a 2

2 r e c t -

a n g l e . F i n a l l y , t h e i m a g e h a s t o b e p l a c e d i n t o t h e s p e c i e d v i e w p o r t o f

t h e s c r e e n , d e n e d b y t h e c e n t e r p o i n t , ( V

x

; V

y

) a n d b y t h e h o r i z o n t a l a n d

v e r t i c a l s i z e s , V

s x

a n dV

s y

. F o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n , t h e n e c e s s a r y v i e w p o r t

t r a n s f o r m a t i o n i s :

T

v i e w p o r t

=

2

6

6

6

4

V

s x

=2 0 0 0

0 V

s y

=2 0 0

0 0 1 0

V

x

V

y

0 1

3

7

7

7

5

:( 5

:4 6 )

S u m m a r i z i n g t h e r e s u l t s , t h e c o m p l e t e v i e w i n g t r a n s f o r m a t i o n f o r p a r a l l e l

p r o j e c t i o n c a n b e g e n e r a t e d . T h e s c r e e n s p a c e c o o r d i n a t e s f o r m e d b y t h e

(X ; Y ) p i x e l a d d r e s s e s a n d t h e

Zd e p t h v a l u e m a p p e d i n t o t h e r a n g e o f

[ 0 : : 1 ] c a n b e d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n :

T

V

= T

1

u v w

T

s h e a r

T

n o r m

T

v i e w p o r t

;

[X ; Y ; Z ; 1 ] = [ x ; y ; z ; 1 ]

T

V

:( 5 . 4 7 )

M a t r i x T

V

, c a l l e d t h e v i e w i n g t r a n s f o r m a t i o n , i s t h e c o n c a t e n a t i o n o f

t h e t r a n s f o r m a t i o n s r e p r e s e n t i n g t h e d i e r e n t s t e p s t o w a r d s t h e s c r e e n c o -

o r d i n a t e s y s t e m . S i n c e T

V

i s a n e , i t o b v i o u s l y m e e t s t h e r e q u i r e m e n t s o f

p r e s e r v i n g l i n e s a n d p l a n e s , m a k i n g b o t h t h e v i s i b i l i t y c a l c u l a t i o n a n d t h e

p r o j e c t i o n e a s y t o a c c o m p l i s h .

5 . 4 . 3 W i n d o w t o s c r e e n c o o r d i n a t e s y s t e m

t r a n s f o r m a t i o n f o r p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n

A s i n t h e c a s e o f p a r a l l e l p r o j e c t i o n , o b j e c t s a r e r s t t r a n s f o r m e d f r o m t h e

w o r l d c o o r d i n a t e s y s t e m t o t h e w i n d o w , t h a t i s u ; v ; w , c o o r d i n a t e s y s t e m

b y a p p l y i n g T

1

u v w

.

V i e w - e y e t r a n s f o r m a t i o n

F o r p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n , t h e c e n t e r o f t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m i s

t r a n s l a t e d t o t h e c a m e r a p o s i t i o n w i t h o u t a l t e r i n g t h e d i r e c t i o n o f t h e a x e s .


25/44


S i n c e t h e c a m e r a i s d e n e d i n t h e u ; v ; w c o o r d i n a t e s y s t e m b y a v e c t o r

~e y e , t h i s t r a n s f o r m a t i o n i s a t r a n s l a t i o n b y v e c t o r

~e y e , w h i c h c a n a l s o b e

e x p r e s s e d b y a h o m o g e n e o u s m a t r i x :

T

e y e

=

2

6

6

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

e y e

u

e y e

v

e y e

w

1

3

7

7

7

5

:( 5

:4 8 )

S h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n

A s f o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n , i f e y e

u

o r e y e

v

i s n o t z e r o , t h e p r o j e c t o r f r o m t h e

c e n t e r o f t h e w i n d o w i s n o t p e r p e n d i c u l a r t o t h e w i n d o w p l a n e , r e q u i r i n g

t h e d i s t o r t i o n o f t h e o b j e c t s p a c e b y a s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n i n s u c h

a w a y t h a t t h e n o n - o b l i q u e p r o j e c t i o n o f t h e d i s t o r t e d o b j e c t s p r o v i d e s t h e

s a m e i m a g e s a s t h e o b l i q u e p r o j e c t i o n o f t h e o r i g i n a l s c e n e a n d t h e d e p t h

c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t s i s n o t a e c t e d . S i n c e t h e p r o j e c t o r f r o m t h e c e n t e r

o f t h e w i n d o w (

~

P= [ e y e

u

; e y e

v

; e y e

w

;1 ] ) i s t h e s a m e a s a l l t h e p r o j e c t o r s

f o r p a r a l l e l t r a n s f o r m a t i o n , t h e s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x w i l l h a v e

t h e s a m e f o r m , i n d e p e n d e n t l y o f t h e p r o j e c t i o n t y p e :

T

s h e a r

=

2

6

6

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

e y e

u

= e y e

w

e y e

v

= e y e

w

1 0

0 0 0 1

3

7

7

7

5

:( 5

:4 9 )

N o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n

A f t e r s h e a r i n g t r a n s f o r m a t i o n t h e r e g i o n w h i c h c a n b e p r o j e c t e d o n t o t h e

w i n d o w i s a s y m m e t r i c a l , n i t e f r u s t u m o f t h e p y r a m i d i n g u r e 5 . 9 . B y

n o r m a l i z i n g t h i s p y r a m i d , t h e b a c k c l i p p i n g p l a n e i s m o v e d t o 1 , a n d t h e

a n g l e a t i t s a p e x i s s e t t o 9 0 d e g r e e s . T h i s i s a s i m p l e s c a l i n g t r a n s f o r m a t i o n ,

w i t h s c a l e s S

u

, S

v

a n dS

w

d e t e r m i n e d b y t h e c o n s i d e r a t i o n t h a t t h e b a c k

c l i p p i n g p l a n e g o e s t o w

= 1 , a n d t h e w i n d o w g o e s t o t h e p o s i t i o n d

w h i c h

i s e q u a l t o h a l f t h e h e i g h t a n d h a l f t h e w i d t h o f t h e n o r m a l i z e d w i n d o w :

S

u

w w i d t h = 2 = d ; S

v

w h e i g h t = 2 = d ; e y e

w

S

w

=d ; S

w

b p = 1 ( 5

:5 0 )


26/44


fp window bp

w

1

bpfp

window

d

w

F i g u r e 5 . 9 : N o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n f o r p e r s p e c t i v e p r o j e c t i o n

S o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s a n d e x p r e s s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n i n a h o m o g e -

n e o u s m a t r i x f o r m , w e g e t :

T

n o r m

=

2

6

6

6

4

2 e y e

w

= (w w i d t h

b p ) 0 0 0

0 2

e y e

w

= (w h e i g h t

b p ) 0 0

0 0 1 = b p0

0 0 0 1

3

7

7

7

5

:

( 5:

5 1 )

I n t h e c a n o n i c a l v i e w v o l u m e , t h e c e n t r a l p r o j e c t i o n o f a p o i n t X

c

; Y

c

; Z

c

o n t o t h e w i n d o w p l a n e i s :

X

p

= d

X

c

Z

c

; Y

p

= d

Y

c

Z

c

:( 5

:5 2 )

P e r s p e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n

T h e p r o j e c t i o n a n d t h e v i s i b i l i t y c a l c u l a t i o n s a r e m o r e d i c u l t i n t h e c a n o n -

i c a l v i e w v o l u m e f o r c e n t r a l p r o j e c t i o n t h a n t h e y a r e f o r p a r a l l e l p r o j e c t i o n

b e c a u s e o f t h e d i v i s i o n r e q u i r e d b y t h e p r o j e c t i o n . W h e n c a l c u l a t i n g v i s -

i b i l i t y , i t h a s t o b e d e c i d e d i f o n e p o i n t ( X

1

c

; Y

1

c

; Z

1

c

) h i d e s a n o t h e r p o i n t

( X

2

c

; Y

2

c

; Z

2

c

) . T h i s i n v o l v e s t h e c h e c k f o r r e l a t i o n s

[ X

1

c

= Z

1

c

; Y

1

c

= Z

1

c

] = [X

2

c

= Z

2

c

; Y

2

c

= Z

2

c

] a n d Z

1

c

< Z

2

c

w h i c h r e q u i r e s d i v i s i o n i n a w a y t h a t t h e v i s i b i l i t y c h e c k f o r p a r a l l e l p r o j e c -

t i o n d o e s n o t . T o a v o i d d i v i s i o n d u r i n g t h e v i s i b i l i t y c a l c u l a t i o n , a t r a n s f o r -

m a t i o n i s n e e d e d w h i c h t r a n s f o r m s t h e c a n o n i c a l v i e w v o l u m e t o m e e t t h e


27/44


r e q u i r e m e n t s o f t h e s c r e e n c o o r d i n a t e s y s t e m s , t h a t i s , X

a n dY

c o o r d i n a t e s

a r e t h e p i x e l a d d r e s s e s i n w h i c h t h e p o i n t i s v i s i b l e , a n d Z

i s a m o n o t o n o u s

f u n c t i o n o f t h e o r i g i n a l d i s t a n c e f r o m t h e c a m e r a ( s e e g u r e 5 . 1 0 ) .

1

1

V ,Vx yV ,Vsx sy

canonical view volume screen coordinate system

eye

F i g u r e 5 . 1 0 : C a n o n i c a l v i e w v o l u m e t o s c r e e n c o o r d i n a t e s y s t e m t r a n s f o r m a t i o n

C o n s i d e r i n g t h e e x p e c t a t i o n s f o r t h e X

a n dY

c o o r d i n a t e s :

X =

X

c

Z

c

V

s x

2

+ V

x

; Y=

Y

c

Z

c

V

s y

2

+ V

y

:( 5

:5 3 )

T h e u n k n o w n f u n c t i o n Z ( Z

c

) c a n b e d e t e r m i n e d b y f o r c i n g t h e t r a n s f o r m a -

t i o n t o p r e s e r v e p l a n e s a n d l i n e s . S u p p o s e a s e t o f p o i n t s o f t h e c a n o n i c a l

v i e w v o l u m e a r e o n a p l a n e w i t h t h e e q u a t i o n :

a X

c

+ b Y

c

+ c Z

c

+ d= 0 ( 5

:5 4 )

T h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h i s s e t i s a l s o e x p e c t e d t o l i e i n a p l a n e , t h a t i s , t h e r e

a r e p a r a m e t e r s a

0

; b ;

0

c ;

0

d

0

s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n o f t h e p l a n e f o r t r a n s -

f o r m e d p o i n t s :

a

0

X + b

0

Y + c

0

Z + d

0

= 0 ( 5 :

5 5 )

I n s e r t i n g f o r m u l a 5 . 5 3 i n t o t h i s p l a n e e q u a t i o n a n d m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s

b yZ

c

, w e g e t :

a

0

V

s x

2

X

c

+ b

0

V

s y

2

Y

c

+ c

0

Z ( Z

c

) Z

c

+ (a

0

V

x

+ b

0

V

y

+ d

0

) Z

c

= 0 ( 5 :

5 6 )


28/44


C o m p a r i n g t h i s w i t h e q u a t i o n 5 . 5 4 , w e c a n c o n c l u d e t h a t b o t h Z ( Z

c

) Z

c

a n dZ

c

a r e l i n e a r f u n c t i o n s o f X

c

a n dY

c

, r e q u i r i n g Z ( Z

c

) Z

c

t o b e a l i n e a r

f u n c t i o n o f Z

c

a l s o . C o n s e q u e n t l y :

Z ( Z

c

) Z

c

= Z

c

+ = ) Z ( Z

c

) = +

Z

c

:( 5

:5 7 )

U n k n o w n p a r a m e t e r s

a n d

a r e s e t t o m a p t h e f r o n t c l i p p i n g p l a n e o f

t h e c a n o n i c a l v i e w v o l u m e ( f p

0

=f p = b p ) t o 0 a n d t h e b a c k c l i p p i n g p l a n e

( 1 ) t o 1 :

f p

0

+ = 0 ;

1 +

= 1

+

=b p =

(b p

f p

);

= f p =

(b p

f p

)

( 5:

5 8 )

T h e c o m p l e t e t r a n s f o r m a t i o n , c a l l e d t h e p e r s p e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n ,

i s :

X =

X

c

Z

c

V

s x

2

+ V

x

; Y=

Y

c

Z

c

V

s y

2

+ V

y

; Z=

Z

c

b p

f p

(b p

f p

) Z

c

:( 5

:5 9 )

E x a m i n i n g e q u a t i o n 5 . 5 9 , w e c a n s e e t h a t X Z

c

, Y Z

c

a n dZ Z

c

c a n b e

e x p r e s s e d a s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f X

c

; Y

c

; Z

c

, t h a t i s , i n h o m o g e n e o u s

c o o r d i n a t e s [ X

h

; Y

h

; Z

h

; h ] = [X Z

c

; Y Z

c

, Z Z

c

; Z

c

] c a n b e c a l c u l a t e d w i t h

a s i n g l e m a t r i x p r o d u c t b y T

p e r s p

:

T

p e r s p

=

2

6

6

6

4

V

s x

=2 0 0 0

0 V

s y

=2 0 0

V

x

V

y

b p =(

b p

f p ) 1

0 0

f p =(

b p

f p ) 0

3

7

7

7

5

:( 5

:6 0 )

T h e c o m p l e t e p e r s p e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n , i n v o l v i n g h o m o g e n e o u s d i v i -

s i o n t o g e t r e a l 3 D c o o r d i n a t e s , i s :

[ X

h

; Y

h

; Z

h

; h ] = [X

c

; Y

c

; Z

c

;1 ]

T

p e r s p

;

[X ; Y ; Z ; 1 ] = [

X

h

h

;

Y

h

h

;

Z

h

h

;1 ]

:( 5

:6 1 )

T h e d i v i s i o n b y c o o r d i n a t e h

i s m e a n i n g f u l o n l y i f h 6

= 0 . N o t e t h a t t h e

c o m p l e t e t r a n s f o r m a t i o n i s a h o m o g e n e o u s l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n w h i c h c o n -

s i s t s o f a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n a n d a h o m o g e n e o u s d i v i s i o n t o c o n v e r t t h e

h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s b a c k t o C a r t e s i a n o n e s .


29/44


T h i s i s n o t a t a l l s u r p r i s i n g , s i n c e o n e r e a s o n f o r t h e e m e r g e n c e o f p r o j e c -

t i v e g e o m e t r y h a s b e e n t h e n e e d t o h a n d l e c e n t r a l p r o j e c t i o n s o m e h o w b y

l i n e a r m e a n s . I n f a c t , t h e r e s u l t o f e q u a t i o n 5 . 6 1 c o u l d h a v e b e e n d e r i v e d

e a s i l y i f i t h a d b e e n r e a l i z e d r s t t h a t a h o m o g e n e o u s l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n

w o u l d s o l v e t h e p r o b l e m ( g u r e 5 . 1 0 ) . T h i s t r a n s f o r m a t i o n w o u l d t r a n s f o r m

t h e e y e o n t o a n i d e a l p o i n t a n d m a k e t h e s i d e f a c e s o f t h e v i e w i n g p y r a m i d

p a r a l l e l . U s i n g h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s t h i s t r a n s f o r m a t i o n m e a n s t h a t :

T: [ 0

; 0 ; 0 ;1 ]

7!

1

[ 0; 0 ; 1 ;

0 ]:

( 5:

6 2 )

M u l t i p l i c a t i v e f a c t o r

1

i n d i c a t e s t h a t a l l h o m o g e n e o u s p o i n t s d i e r i n g b y

a s c a l a r f a c t o r a r e e q u i v a l e n t . I n a d d i t i o n , t h e c o r n e r p o i n t s w h e r e t h e s i d e

f a c e s a n d t h e b a c k c l i p p i n g p l a n e m e e t s h o u l d b e m a p p e d o n t o t h e c o r n e r

p o i n t s o f t h e v i e w p o r t r e c t a n g l e o n t h e Z

= 1 p l a n e a n d t h e f r o n t c l i p p i n g

p l a n e m u s t b e m o v e d t o t h e o r i g i n , t h u s :

T: [ 1

; 1 ; 1 ;1 ]

7!

2

[ V

x

+ V

s x

= 2; V

y

+ V

s y

= 2 ; 1 ;1 ]

;

T: [ 1

; 1 ; 1 ;1 ]

7!

3

[ V

x

+ V

s x

= 2; V

y

V

s y

= 2 ; 1 ;1 ]

;

T: [

1 ; 1 ; 1 ;1 ]

7!

4

[ V

x

V

s x

= 2; V

y

+ V

s y

= 2 ; 1 ;1 ]

;

T: [ 0

; 0; f p

0

;1 ]

7!

5

[ V

x

geometrical transformation

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