GEOMETRIADIFERENCIAL:UNTRATADODECURVASYSUPERFICIESPorMalonMendozaTRABAJODEASCENSOPRESENTADOPARAOPTARALACATEGORIADEASOCIADOENELESCALAFONDELPERSONALDOCENTEYDEINVESTIGACIONUNIVERSIDADCENTROCCIDENTALLISANDROALVARADOU.C.L.ABARQUISIMETO,Julio,2007.MendozaMal onRafael ii Julio2007Trabajo AprobadoPorJuradoCalicador:Coordinador : Dr. Angel MastromartinoPrincipal : Dr. Jorge SaenzPrincipal : Magister Eibar HernandezDEPARTAMENTODEMATEMATICASDECANATODECIENCIASYTECNOLOGIAGeometraDiferencial:UnTratadodeCurvasySuperciesporMendoza, MalonRafael,20deJuliode2007.M.R. M.MendozaMal onRafael iii Julio2007Jam asdeberaunhombreabandonarsuservicio, aunquenopudieraacometerloensutotalidad, onopudieraacabarloalaperfecci on. Puesentodaobrahumanahayimperfecciones, del mismomodoqueel humoacompa nasiempreal fuego.Bhavad-Gita XVII-48.MendozaMal onRafael iv Julio2007MendozaMal onRafael v Julio2007EnprimerainstancialedoygraciasaDiosel motivadorinterno.NopuedodejardenombraraloscolegasAbelardoyMiguel,porquesiempreestabanall paraquenodesmayara;insistentesyvayaquesi!.Otrofueron, R omuloyBernal quenodudaronenprestarmesuayuda, alahoradelasdudasconel Latex; aqutambiendebonombraraJavier,quienrecienllegadomehabrindadosuapoyo.AEibaryKathy, aCarmelaporayudarmeengranpartedelatranscripci on; quegrandes!Diossiemprelosbendiga!Enn, atodoslosquedeunauotramaneradieronsugranitoparaqueestetrabajosediera. Dioslesbendigadetodocoraz on...MendozaMal onRafael vi Julio2007IntroduccionUnTratadodeCurvasySupercies estahechodelaexperienciadevariosa nosenel cursodeIntroduccionalaGeometraDiferencial, dirigidos alos estudiantes delos ultimossemestresdelaLicenciaturaenMatematica. Porsupuesto, esparaayudaraquecomprendanlostemas, lasideasqueentra nanlasdeniciones, losteoremasetc.,quesonpresentadosenel DoCarmo; librotextodel cursoyporel cual estapresentadoel Pro-gramaCurricular enquesefundamenta. Lejosdeserunatraduccion,aunquehaytemasquesonobligadospresentarlosdeformassimilares, sepretendeincentivaral estudianteamotivarseporlaGeometra,lacual ultimamente,ennuestroambito,sehadisminuidosusimpataporlosmismos;quizasporloabstracto, porlaconjuncionyhabilidadesquetienenquehacerdelosconocimientosprevios, queensumayorasonpresentadosanteellos, sinlavisiongeometricasqueenvuelven, llevandolosalaunidireccionalidaddeen-foqueyal enclaustromental. Peroesteesel trabajo, quedeberaenfrentarel estudianteal estudiaresteTratadodecurvasysupercies. Pues, porunaparte, tienequeaplicarlosconocimientosprevios, comosonelAlgebraLineal, elAnalisisMatematico,laTopo-loga, el Algebra Abstracta, las Ecuaciones Diferenciales,etc., y por la otra, fundamentareincentivarel caracterdeinvestigacioncientcaquetodomatematicoalolargodesucarreradebeabordar. Poreso, sehatratadoqueencadatema,estenpresentelosejem-plosoportunos,quedeberanserestudiadosconespecial detalle;parautilizarlastecnicaspresentadosenlosmismos, yresolverlosEjercicios,quesehanpuestosal nal decadacaptulo.Hemos colocado, hasta donde fue posible,la representacion o el enfoque geometrico ,a nadien-dogracosparalacomprensiondelostemas.Podemosdeciraqu, queestasgracasal-gunas fueronhechas amanoalzadautilizandoPower Point,otras conMATLAB, yungrangrupoconelpaqueteMATHEMATICA. Invitoalestudianteoallector,utilizares-te ultimopaquete, puespermiteverlosgracosdecurvasysupercies, yconjugarconestos,el analisiscorrespondiente;inclusivecalcularelementosparticularesde los mismos,comosonel aparatodeFrenet,lacurvatura,latorsion, lacurvaturadeGauss,curvaturasprincipales,las geodesicas, etc.(la portada de este trabajo se ha realizado, de manera origi-nal, con la ayuda de este paquete). Noquitamos aqu, meritos para utilizar otros softwarematematicos, comoel MAPLE, el DERIVE; dehecho,al nal hacemosreferenciaaotrospaquetesparahaceryanalizargracosdecurvasysupercies.En el Capitulo 1, hacemos referenciasa algunos preliminares;pero se puedenobviar paraempezar en el Captulo 2,que trata sobre curvas parametrizadas que se estudian canonica-mente,conociendo su aparato de Frenet , su curvatura, su torsion y dando algunos metodospara plasmar sus gracas. Por ejemplo, para las curvas planas,se conjugan los criterios parahallar puntos crticos de funciones reales, con las ecuaciones parametricas que representantalescurvas. Sepresentael teoremafundamental decurvas, tantoparacurvasplanasyviiCaptulo0. Introducci oncurvasenelespacio. Tambienelestudioglobal decurvasplanas,dondelosteoremasdelaDesigualdadIsoperimetrica, elTeoremadeCuatroVerticesjuntoconlaIndicatrizTan-gente,completan tal estudio. En el captulo 3,comenzamos con supercies regulares,dandodosmanerasequivalentesdedenirlasy, enfocandolascomovariedadesdedimension2;porsupuesto, el objetivoprimordial, esel estudiointrnsecodelasmismas. Poresosedene lo que es diferenciabilidad sobre supercies y entre supercies, el plano tangente, ladiferencialoaplicaciontangente,laorientabilidadqueseestudiaenelCaptulo4. Todoesto, preparael terrenoparadenirlametricadeReimann, dadaporlaPrimeraformaFundamental. As, entramos en el Captulo 5 para estudiar la aplicacion de Gauss, que nosllevara a traves de su diferencial, al punto central del estudio de la geometra intrnseca delas supercies: la Curvatura de Gauss. Se estudia con ella, la forma que tienen la superciesen cada uno de sus puntos; descrita por dos n umeros, llamados las curvaturas principales,quenopertenecenalageometraintrnseca,peroqueGaussdescubrioquesuproductosi loes. Aparecelacurvaturamediagaussianaquenospermitiraconocerlassuperciesminimales.Los ejemplosal respecto,sedan sinlautilizaciondelasparametrizaciones.Sepresentael calculodelacurvaturadeGausss, lacurvaturamediaylascurvaturasprin-cipales,enlascartascoordenadas;obteniendoseas, loscoecientesdelaSegundaFormaFundamental,quenospermitiraverlas, enterminos deestos ydeloscoecientes delaPrimeraFormaFundamental. Enel Captulo6, abordaremoslosCamposdevectores,queutilizaremosenelcaptulo7pararesolverlasecuacionesdiferencialesquesatisfacenciertascurvas queminimizandistancias.Ejemplosde, superciesminimalesde curvaturamedia gaussiana nula y de las supercies regladas generadas por una recta que se mueve alo largo de una curva sobre la que se apoya, son expuestos con algunas caracterizaciones deestas ultimas. Bien, nalizamos con el Captulo 7, donde se estudia la geometra intrnsecadesupercies; aparecenlosinvariantesdeestasmediantelasisometras, lossmbolosdeChristoel,las formulas de Gauss-Codazzi, el famoso Teorema de Egregium de Gauss,y lasEcuacionesdeMainardi-Codazzi queconformanlasecuacionesdecompatibilidad,dandoas, el TeoremaFundamental deSupercies deBonnet. AparecelaDiferenciacionCo-variante,quepermiteladerivaciondecampostangentessobresuperciesyladeniciondel transporteparalelo, paracaracterizarlascurvasqueminimizandistanciassobrelassupercies:las geodesicas. Cerramos, con la aplicacion exponencial y con un esbozode lassuperciesgeodesicamentecompletasdadoporelteoremadeHopf-Rinow.MendozaMal onRafael viii Julio2007IndicegeneralIntroduccion VII1. Preliminares 31.1. ElEspacioRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. ElProductoInteriorenRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. ElProductoVectorialenR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. TeoradeCurvas 92.1. CurvasParametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1. Curvasregulares.Longituddearco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. TeoraLocaldeCurvasParametrizadasporLongituddeArco. . . . . . . . 262.2.1. CurvaturayTorsiondeCurvas Parametrizadas por LongituddeArco. SistemadeReferenciadeFrenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2. LasformulasdeFrenet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3. LaformacanonicalocaldeunacurvarespectoalsistemadeFrenet. 382.2.4. Existencia y unicidad de una Curva en el Espacio para k (s) y (s)dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria. . 432.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1. DesigualdadIsoperimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.2.Indicederotacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.3. Teoremadeloscuatrovertices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643. SuperciesenR3733.1. SuperciesRegulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2. Gracas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3. SuperciedeTraslacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4. Superciesdenidasimplcitamente(denivel). . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5. SuperciesdeRevolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6. CambiodeParametro.FuncionesDiferenciablessobresupercies. . . . . . 883.7. ElPlanoTangente;ladiferencialdeunaaplicacion. . . . . . . . . . . . . . 963.7.1. LaPrimeraFormulaFundamental.Area . . . . . . . . . . . . . . . 1063.8. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151IndicegeneralIndicegeneral4. SuperciesOrientables. 1194.1. IdenticacionTopologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.1.1. LabandadeM obius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2. UnacaracterizaciondeSuperciesOrientablesCompactas. . . . . . . . . . 1274.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295. AplicaciondeGauss 1315.1. LaSegundaFormaFundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.1.1. Curvaturas Principales.Lneas de Curvatura. Curvatura de Gauss yCurvaturaMediagaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.1.2. Puntos Umbilicales.Lneas Asintoticas.Indicatriz de Dupin.LneasConjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2. Tecnicadecalculoutilizandoparametrizaciones. . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.1. Interpretaciongeometricadelacurvaturagaussiana. . . . . . . . . 1545.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576. Camposyvectores 1636.1. Presentacion Geometrica.Curva integral de un Campo de Vectores.Flujo deunCampodeVectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.1.1. CampodeDirecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2. Camposdevectoressobresuperciesregulares. . . . . . . . . . . . . . . . 1686.3. SuperciesMinimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.3.1. Supercies minimales caracterizada por parametrizaciones armonicas.1766.3.2. Ejemplosdesuperciesminimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.4. SuperciesRegladas,AlabeadasyDoblementeRegladas. . . . . . . . . . . . 1786.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827. LaGeometraIntrnsicadeSupercie 1857.1. MetricassobreSupercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2. TeoremadeGauss.EcuacionesdeCompatibilidad . . . . . . . . . . . . . . 1937.2.1. FormulasintrnsecasparalacurvaturadeGauss. . . . . . . . . . . 1967.3. Transporteparalelo.Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.3.1. LaAplicacionExponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.3.2. CompletitudyelteoremadeHopf-Rinow. . . . . . . . . . . . . . . 2247.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.5. Paquetesmatematicosparageometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.6. EnlacesInteresantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Bibliografa 237MendozaMal onRafael 2 Julio2007Captulo1PreliminaresLosmatem aticospuedenusardibujosyrazonarsobreellos, perosabiendoquenoest anpensandoenesosdibujosenconcreto, sinoenloqueellosrepresentan;as,sonel cuadradoabsolutoyel di ametroabsolutolosobjetosdesurazonamiento, noeldi ametroqueellosdibujaron.Plat onEnGeometraDiferencial haydosinstrumentos basicosdemuchautilidad: UnoenAlgebraLineal yel otroenCalculo. Porsupuesto, yaparacuandoestemosleyendoestetrabajo,el lector, tendraelconocimientosucienteparaencararlasdiversassituacionesque se le presentaran mas adelante. Para lo que sigue, un repaso de algunos hechos basicosnovendramal.1.1. ElEspacioRnYaquesevanaestudiarcurvasysuperciesenlosespaciosRn(aqu trataremosloscasosn=2yn=3), sepresentanenestaseccion, deformaresumida, algunadesuspropiedadesalgebraicas.Denicion1.1.1El espacioRnesel conjuntodetodaslasn-adasden umerosreales:Rn= (x1, x2, . . . , xn)/ xi R i = 1, . . . , n.A los elementos de Rnse le llaman vectores n-dimensionales. Para x = (x1, x2, . . . , xn) Rn, los xiconi =1, . . . , nse les llamalai-esimacomponente del vector x. Si x=(x1, x2, . . . , xn) yy=(y1, y2, . . . , yn) sondoselementos deRny Res unescalar,entoncesdenimoslasumavectorialylamultiplicacionporunescalarmediantex +y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),x = (x1, x2, . . . , xn).Rncon esas dos operaciones es un espacio vectorial sobre R. Con esto se da por entendidoque las propiedades estudiadas en algebra lineal sobre espacios vectoriales estan presentesenRn31.1. ElEspacioRnCaptulo1. Preliminares1.1.1. ElProductoInteriorenRnLa estructura lineal de Rnno es suciente para medir distancias, area, angulos, vol ume-nes, longitudes, etc. As que necesitamosuna metrica: ElProductoInteriordenotado por , )oelpunto(),estaasociadaalametricadeRn.Esteesunafuncionbilineal,_: RnRnRqueasignaacadapardevectoresx=(x1, x2, . . . , xn)yy=(y1, y2, . . . , yn)el n umerorealx y =x, y_=n

i=1xiyi(1.1)Conel productointerior, podemos denir lanorma olongitudde unvector yladistanciaentredospuntoscomo|x| =_x, x_y d(x, y) = |x y|respectivamente,paracadax, y Rn.Estasfuncionestienenlassiguientespropiedades:Proposicion1.1.1LadistanciaenRntienelassiguientespropiedades:(i) d(x, y) 0conigualdadsiysolosix = y(ii) d(x, y) = d(y, x)(Simetra)(iii) d(x, y) + d(y, z) d(x, z)(DesigualdadTriangular)DemostracionEn(iii)bastatomarlosvectoresw = y zyu = z yyobtenemos| w | + | u || w+u |o| w |2+ | u |2+2 | w || u | w w+uu + 2w uAs| w || u | 2w u (Cauchy Schwarz)Peroesto ultimoseobtienedelhechodequeelpolinomioenlavariable,P() = (w+ u)2= 2|u|2+ 2w u +|w|2,siendopositivoP() 0paratodo,nopuedetenerdiscriminantepositivo,estoes0 4(w u)24|w|2|u|2Lasdemaspropiedadessedejancomoejercicio. Lametricaobtenidanospermitemediranguloentrevectores = cos1_ x, y)|x||y|_(1.2)loquepermitedecirque:MendozaMal onRafael 4 Julio2007Captulo1. Preliminares 1.1. ElEspacioRn1. xesortogonal aysi x, y) = 02. Siendoy ,=0,laproyecciondexalolargodey,dadapor x, y)= |x||y| cos()esTy(x) = x, y)|y|2yTxyllxllcosTFigura1.1:Elproductoescalardevectores3.x, y_=y, x_4. x, y_=x, y_=x, y_, R.1.1.2. ElProductoVectorialenR3Otro tipo de producto que involucraa dos vectoresy de muchautilidad es el productovectorial,elcualsedeneparan = 3:Elproductovectorialdexyyesunnuevovectorzdenidocomox y = z = (|x||y|sen) u, (1.3)en el cual u es un vector unitario ortogonal a x e y, tomados de tal manera que x, y, uformanunsistemadelamanoderecha(vergura1.2).Txxu yy7uGFigura1.2:ElproductovectorialMendozaMal onRafael 5 Julio20071.1. ElEspacioRnCaptulo1. PreliminaresSiendox=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3), i =(1, 0, 0), j =(0, 1, 0)yk=(0, 0, 1), elproductovectorialocruzdexconyesx y =i j kx1x2x3y1y2y3= (x2y3x3y2, x3y1x1y3, x1y2x2y1)Dejamoslassiguientespropiedadescomoejercicio:(P1) x x = 0(P2) x y = (y x)(P3) x (y z) = x y +x zy(y z) x = y x +z x(P4) Para R,setiene,(x) y = (x y) = x (y)(P5) (x y) z = x, z)y y, z)x(P6) x (y z) +z (x y) +y (z x) = 0,(IdentidaddeJacobi )(P7) (x y)2= x, x)y, y) x, y)2.Si = (x, y),obtenemosque|x y| = |x||y|[sen[conloque |xy|dalamedidadel areadel paralelogramoconunaorientaciondeterminadaporx y y,(vergura1.3)Txxu yy7uGFigura1.3: |x y|eselareaorientadadelparalelogramodadoporx y yPor ultimo,podemosdenirotrotipoespecialdeproductoqueinvolucraatresvectores,x =( x1,x2,x3 ),y =( y1,y2,y3 ),z =( z1,z2,z3 ), el productomixtootriplepro-ductoescalar,denotadopor x y, z),ydenidocomox y, z) =x1x2x3y1y2y3z1z2z3(1.4)MendozaMal onRafael 6 Julio2007Captulo1. Preliminares 1.2. Ejercicios.Lassiguientespropiedadessededucenfacilmenteutilizando(1.4):(TP1) x y, z) = y z, x) = z x, z)(TP2) y x, z) = x y, z)(TP3) x, x y) = 0Geometricamente, xy, z) es el volumen del paraleppedo espandidopor x,y,z. [vealagura1.4]xyzFigura1.4:Eltripleproductoescalar1.2. Ejercicios.1.1 Probarqueel conjuntodepolinomiosdegradon formanunespaciovectorialreal.Cual essudimension? Lospolinomioscuyogradoesexactamentenformanunespaciovectorial?1.2 RepresenteelproductointeriorestandarenR3conrespectoalabase ( 1,0,1 ),( 0,1,1 ) ( 1, 2,3 ) .1.3 Sean u1,u2,u3,v1,v2,v3seisvectoresenR3. Seaaij= ui,vj). Pruebequedet( aij ) = ( u1 u2),u3, ) ( v1 v2 ),v3)MendozaMal onRafael 7 Julio20071.2. Ejercicios. Captulo1. PreliminaresMendozaMal onRafael 8 Julio2007Captulo2TeoradeCurvasLageometrailuminael intelectoytemplalamente. Todassuspruebassonclarasyordenadas. Apenascabenerroresenel razonamientogeometrico, puesest abiendispuestoyordenado. As,noesprobablequelamentequeseaplicaalageometraconregularidadcometaerrores. Deestemodo, quiensabegeometraadquiereinteligencia.IbnKhaldunDe aqu en adelante vamos a restringir nuestraatencion a los casos particulares n = 2yn = 3;esdecir,alplanoR2yalespaciotridimensionalR3;elcasogeneralsobreRnseestudiadeformasimilar.2.1. CurvasParametrizadasEnestaseccionvamos acaracterizar ciertos subconjuntos deR3, que denominare-mos, curvas, quecomoveremosmasadelante, enciertosentidosonunidimensionales, yqueelcalculodiferencial nospermitiradenirlos,medianteunafunciondiferenciable(losucientementediferenciable;porlomenoshastaorden4).Denicion2.1.1Unacurvadiferenciableparametrizadaesunaaplicacion : I R3deunintervaloabiertoI= (a, b)delarectareal RenR3.Estoessi (t)=(1(t), 2(t), 3(t)), i: R R, (i =1, 2, 3)esunafunciondife-renciabledetodoorden;diremosqueesunaaplicacionsuave. Lodeparametrizadasedebealavariablet,quellamaremoselparametrodelacurva.Laimagen( I ) R3selellamatrazadelacurva. Sedebedistinguirunacurvaparametrizada,comoelrangodeuna funcion vectorial continua, de una variable real t a valores vectoriales (x(t), y(t), z(t))en R3; la recta, una circunferencia, una parabola, una elipse y una rama de una hiperbolason ejemplos de curva. Toma importancia para nosotros la traza o curva geometrica, masquelafuncionqueladescribe; puesnosencontraremosquetal curvasepodradescribiratravesdedistintasfunciones. Porejemplo, lacircunferenciaCformadaportodoslospuntos (x, y, z) tales quex2+ y2=1yz =0es unacurvageometricaquesepuedeexpresarcomolaimagendelafuncion : R R3t (t) = (cos(t), sen(t), 0),(2.1)92.1. CurvasParametrizadas Captulo2. TeoradeCurvasocomolaimagendelafuncion: (3, 3) R3t (t) = (sen(t21), cos(t21), 0),(2.2)otambiencomolaimagende: (0, 2) R3t (t) = (cos(2t), sen(2t), 0).(2.3)Enlagura2.1estanlas gracas de(t) y(t); esta ultimarecorrelatrazacon eldobledelavelocidadque(t).E (t)D (t)XYFigura2.1:Circunferenciaparametrizada.El vector (t) =(1(t), 2(t), 3(t)) R3selellamavector tangente ovectorvelocidaddeport.Geometricamenteestevectorse nalaenladireccionenlaquecreceelparametrotoenlacual,sedespliegalacurva(vergura2.2).Si t yt +hestan en el Dom(), entonces1h((t +h) (t))) es un vector paraleloala cuerda que une (t) con (t +h). Si (t) ,= 0 entonces la direccion1h((t +h) (t))),seaproximaaladireccionde(t)cuandoh 0;pueslmh0(t + h) (t))h;as obtenemosunvectortangente (ApendiceA)alacurvaenel punto(t)comolomuestralagura2.2PodemosdenirlarectaLdadaenlagura2.2para(t) ,= 0,comoL = (t) + r (t) : r R,lacualeslarectatangentealacurvapor(t).Enel ejemploanterior, lasgracasdelasdiferentesfuncionesesunacircunferencia,perodeacuerdoalestudiodesusderivadas, setienendossentidosenloscualessehaceeltrazadodelacurva:Para(2.1),(t) = (cos(t), sen(t), 0) (t) = sen(t)e1 + cos(t)e2= sen(t)(1, 0, 0) + cos(t)(0, 1, 0).MendozaMal onRafael 10 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.1. CurvasParametrizadasD(t) D(t+h)D(t+h) - D(t)0D'(t)Figura2.2:(t)vectortangentealacurvapor(t).Bastasumarestosvectores, deacuerdoalosvaloresqueel parametro t tome, paraverla direccion(esestecaso antihoraria), en que se hace el trazado de la curva o en la que elparametrotcrece(vergura2.3).Figura2.3:(t)trazadaenelsentidoantihorario.Para(2.2),(t) = (sen(t21), cos(t21), 0) (t) = (2t cos(t21), 2tsen(t21), 0)= 2t(cos(t21), sen(t21), 0);aqu,elrecorridoesenelsentidohorariocomolomuestralagura2.4Para(2.3),(t) = (cos(2t), sen(2t), 0);esta curva tiene el mismo sentido que la gura 2.1, pero duplica el recorrido de esta, comodijimosanteriormente.Si imaginamos queun movilse estamoviendoalo largode la trayectoriadada por ,entonces(t)deneelvectorvelocidadv(t)delamismaconrapideziguala|v(t)| =_(t), (t))MendozaMal onRafael 11 Julio20072.1. CurvasParametrizadas Captulo2. TeoradeCurvasFigura2.4:(t)trazadaenelsentidohorario.;laaceleraciona(t),vienedadapora(t) = (t).Veremos mas adelante algunas aplicaciones sobre este ultimo comentario. Por ahora, vea-mosalgunastecnicasqueseutilizanparatrazarlagracadecurvas,especialmenteparalascurvasplanas;quetendranmasadelanteuntratamientointrnsecoespecial.Ejemplo2.1.1Dibujelacurvadadapor(t) = (t34t, t24)SolucionComo 1(t) = t34t es una funcion impar y 2(t) = t24 es una funcion par, la curvaessimetricarespectoal ejeY ; si (t0)=(x0, y0)entonces(t0)=(x0, y0). Podemospuesrestringirnuestraatencionavaloresnonegativosdet.Aqu(t) = (3t24, 2t)esun vector tangente a la curva en cada punto (t). Al dibujar la curva , los puntos donde(t)eshorizontal (consegundacomponentecero)overtical (conprimeracomponentecero), sondeinteresparticular. En(0)=(0, 4)tieneunvectortangentehorizontal(0) =(4, 0)yen(2/3) =(16/93, 8/3), lacurvatieneunvector tangentevertical (2/3)=(0, 4/33). Considerando, ademas, laexpresiongeneral del vectortangente(t) = (3t24, 2t)tenemos:Si t [0, 2/33], entonces(t)apuntahacialaizquierdayhaciaarribapuestoque3t24esnegativay2tespositiva.Si t [2/33, +), entonces(t)apuntaaladerechayhaciaarribapuestoque3t24y2tsonpositivos.Marcando ahora algunos puntos (entre los que deben incluirse todas las interseccionesconlosejescoordenados)podemosdibujar(ver gura2.5). El punto(0, 0)sellamapuntodoblede:con(2) = (2) = (0, 0).Notesequetienedosvectorestangentesenesepunto(2) = (8, 4) (2) = (8, 4)(0) = (0, 4) (2) = (0, 0)_233_= (3,07; 2,6) _52_= (5,62; 2,25)MendozaMal onRafael 12 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.1. CurvasParametrizadasYD (-5/2) D (5/2)XFigura2.5:Gracade(t) = (t34t, t24).Nose denening un vector tangenteen el punto (t) si (t) = 0. En tal puntopuedesucederquelacurvatengauncambiodedireccionabrupto.Veamoselsiguienteejemplo.Ejemplo2.1.2Dibujelacurvadadapor(t) =_t21 +t2,t31 +t2_, t RSolucionComo1(t)esunafuncionpary2(t)esunafuncionimpar,essimetricarespectoalejeX;estoes,si(t0) = (x0, y0)entonces(t0) = (x0, y0).Considerandoelvectortangente(t) =_2t(1 +t2)2,t4+ 3t2(1 +t2)2_,vemosquenotienetangenteshorizontalesni verticales. Sinembargo(0)= 0 . En(0) = (0, 0), setienelosiguiente:(t) =t(1 +t2)2(2, t3+ 3t);vemosque, para t0,(t) tienelamismadireccionque(2, t3+ 3t).Comolmt0(2, t3+ 3t) = (2, 0) y lmt0+(2, t3+ 3t) = (2, 0),lacurvatieneunsaltoocambiodedireccionen(0).Atalpuntoselellamac uspideopuntocuspidal.Larectax = 1esunaasntotaverticalde:lmtt21 +t2= 1 y lmtt31 +t2= +,MendozaMal onRafael 13 Julio20072.1. CurvasParametrizadas Captulo2. TeoradeCurvasD (1)D (-1) Yx =1XFigura2.6:GracadelaParabolaC ubicaPodemosvalernosderesultadosyaconocidosencalculo, parafacilitarel trazadodecurvasplanas,utilizandolasecuacionesparametricascorrespondientes.Sea(t) = (x(t), y(t)).Aquyesfunciondetytesfuncion(inversa)dex,asquealderivar:dydx=dydtdtdx=dydt1dxdt, odydx=dydtdxdt=y(t)x(t)Sidenotamos y=dydxresultaque yesunafunciondet, y= h(t) con h(t) =y(t)x(t).Pero,MendozaMal onRafael 14 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.1. CurvasParametrizadasd2ydx2= y=d ydx=d ydtdxdt=h(t)x(t)=y(t)x(t) y(t)x(t)(x(t))2x(t)=y(t)x(t) y(t)x(t)(x(t))3Conloanteriorestamosescribiendoenformaimplcitaaycomofunciondex,yconello, saber en terminos de la primera derivada y, donde crece o decrece la curva, sus puntoscrticos, susmaximosymnimosrelativos. Ademas, lasegundaderivada ynospermitehacerelestudiodelaconcavidadde.Ejemplo2.1.3Estudiarlacurvadadaporlasecuaciones___x = a cos3(t)a > 0y = asen3(t)(2.4)SolucionLos valoresde x e yestan determinadosparatodos los valores de t. Siendope-riodicas las funciones cos3(t) y sen3(t) de perodo 2, sera suciente considerar la variaciondel parametro t en el intervalo[0, 2]. El intervalo[a, a] es el dominiode denicion tan-toparaxcomoparay.Porconsiguiente,lacurvaestudiadanotieneasntotas.Hallemosahora: ___dxdt= 3a cos2(t)sen(t)a > 0dydt= 3asen2(t) cos(t)(2.5)Estasderivadasseanulanparat = 0, /2, , 3/2, 2. Determinemos: y=3asen2(t) cos(t)3a cos2(t)sen(t)= tan(t) (2.6)teniendoencuentalasecuaciones(2.5)y(2.6)componemoslatablasiguiente:Dominiode Dominiode Dominiode Signode Caracterdelavariaciondet variaciondex variaciondey dy/dx variaciondey= f(x)0 < t < /2 a > x > 0 0 < y< a - Decrece/2 < t < 0 > x > a a > y> 0 + Crece < t < 3/2 a < x < 0 0 > y > a - Decrece3/2 < t < 2 0 < x < a a < y < 0 + CreceDelatablasededucequelasecuaciones(2.4)denedosfuncionescontinuasdetipoy=f(x);para0 t tenemosquey 0(veaselosprimerosrenglonesdelatabla),MendozaMal onRafael 15 Julio20072.1. CurvasParametrizadas Captulo2. TeoradeCurvaspara0 si ( s ) ,=0 paratodos ; casocontrario, k( s ) seraun n umero nonegativo.Aqu, vamosa detenernosun poco,paraestudiarlacurvaturaenelcasoplano[Ver[10]]:Considere : [ a, b ] R2parametrizada por longitud de arco s ; as que, |( s )| = 1 y( s ) =( cos (s), sin (s) ) , (2.17)donde , (s) , esel angulodeinclinacionqueexperimentael vectorvelocidad( s ),to-madoenelsentidoantihorario,dentrodelacircunferenciaunitariaS1= ( x, y ) R2:x2+ y2=1ydeniendounafunciondiferenciabledes, verFigura2.19.. Obviamente,quelavariacionde(s)dadaporsuderivada,(s) ,enmodulo,midecuantosealejalacurva, desurectatangente, porel punto( s ) ;esdecir, dalarazondepandeodelacurva,quenoesotracosaquelacurvatura.x2+ y2= 1D (s0)D (s)T (s)D (s0)D (s)DFigura2.19:Lacurvaturaplanacomolavariacionde.Denicion2.2.2Lacurvaturadeunacurvaplana: [ a, b ] R2,parametrizadaporlongituddearco,porel punto( s0),denotadapork2(s0),sedenecomok2(s0) =lm(s) (s0)s s0=( s0). (2.18)Perok2essignada,pues,si( s )> 0( orientacionpositivade), k2(s)> 0; si( s )0; por tanto, t (s),w(s)esunabasedeorientacionpositivadeR2yparanalizar,bastatomarw(s) =n(s). Observacion:Una curva plana : I R2de rapidez unitaria se puede considerar como una curva enelespacioR3haciendosu ultimacomponentenula,estoesz =0 .Asque,lasformulasdeFrenetparaelcasotridimensionalsepuedenutilizarysetiene,paratodosquek(s) = [ k2(s) [ (2.31)n(s) = k2 (s) t (s) (2.32)De estas ultimas ecuaciones, podemos ver que, el signo de k2 cambia cuando se reviertelaorientacion; esdecir, elsignodek2indicasi sedoblaendireccionden( k2>0 )osisealejaden( k2 0n(s)t(s)n(s)t(s)t(s) k2D(s) < 0Figura2.24:Signodek2seg unlaorientacionde.2.2.3. LaformacanonicalocaldeunacurvarespectoalsistemadeFrenet.Aqu se pretende dar, el comportamiento aproximado de una curva, en las inmediacio-nesdeunpuntoarbitrariodelamisma.Tambiencomolacurvaturaylatorsioninuyenenlaformadelacurva.Paratal n, utilizaremoslaaproximaciondeTaylordelacurvaporelpuntodado.Consideremos pues, : I R3unacurvade rapidez unitariade unintervaloI R enR3, tal que s0=0 I y ( s0 ) =( 1 (s0),2 (s0),3 (s0) ) el puntosobreel cual escribiremoslaecuacionde =( 1,2,3 ), usandoel sistemadeFre-net t ( s0 ),n( s0),b( s0 ), enunavecindaddes0. Si el valor deses peque no, cadacoordenadai(s) se puedeaproximar(nita),por el terminoinicial de suseriede Taylor:i (s) i (0)+s dids(0)+d2ids2(0) s22+d3ids3(0) s36+R,dondelms oRs3= 0.As,(s) (0)+s (0)+s22(0)+s36(0)+R,Pero (0) =t0y (0) =k0 n0,dondeelsubndicenosindicalaevaluacionens=0ysuponemosquek0 ,=0. Porotraparte,=(kn)=dkdsn+kn.DelasformulasdeFrenetparan,obtenemos,(0) = k20t0+dkds(0) n0+k0 0b0.MendozaMal onRafael 38 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.2. TeoraLocaldeCurvasParametrizadasporLongituddeArco.Al sustituir los valores de (0), (0) y(0) enlaaproximacionde(s) quehemosdadoarriba;conservandosoloelterminodominantedecadacomponente ( eldelamenorpotenciades ),elresultadoes,(s) (0)+s t0+k0s22n0+k0 0s36b0+R, (2.33)Si denotamosel miembroderechode(2.33)por (s), obtenemoslacurva quesella-mara laaproximacion deFrenetde por s=0. Mas, si consideramos el sistema de coor-denadas Oxyzde tal manera que el origen Ocoincidacon (0) y que t=( 1,0,0 ), n=( 0,1,0 ), b=( 0,0,1 )ycon(s) =( x(s),y (s),z (s) ),resultaque,x(s) = s k20s36+Rx,y (s) =k02s2+k0s36+Ry,z (s) = k0 06s3+Rz,(2.34)dondeR=( Rx,Ry,Rz ). Lasecuacionesdadasen(2.34)selellamalaformacanonicalocal de , en una vecindad de s=0. En las guras 2.25. y 2.26. se dan las proyeccionesdeparaspeque no,seg un(2.34),sobrelosplanostn,tbynb.ntbbProyeccintFigura2.25:ProyeccionsobreelplanotbnbntProyeccin sobre t nProyeccin sobre n bMendozaMal onRafael 39 Julio20072.2. TeoraLocaldeCurvasParametrizadasporLongituddeArco. Captulo2. TeoradeCurvasFigura2.26:Proyeccionsobrelosplanostny nb.Deesto, podemosobservar quelacurvapasaatraves del planoosculador enladirecciondel vectorbinormalb, si espositiva. Tambien, podemosdecir, quelacurvapors=0estacontenidaenteramenteaunladodelplanorecticable,enladireccionenlaquese nalael vectornormal n; enrealidad porquesetienequek0>0. Por ultimo, laformacanonicapermitedecir,queelplanoosculador,esel unicoplanoquecontienealalatangentealacurvapors =0. Estoes,elplanoosculador,engenerallopodemosvercomoel planoquecontienealarectatangentepor( s )yal punto(s+h)cuandoh 0. (Ver[3]).2.2.4. ExistenciayunicidaddeunaCurvaenel Espacioparak (s) y (s)dados.El siguienteteoremamuestra, quedadaslasfuncionesdecurvaturaydetorsiondeunacurvade rapidezunitaria, as comoladisposiciondel sistemade referenciade Frenetenunpuntodedichacurva, entonces lacurva (salvounmovimientorgidooeucldeoenR3;ver[Apendice 1]), estatotalmente determinada. Esto, se debe alosiguiente: Elsistemade Frenet (2.28) es una sistema de nueveecuacionesdiferenciales en las funcionesincognitat, n, b. Si lasfuncionesdecurvaturak (s) y detorsion (s)tienenderivadascontinuasyespecicamosvaloresinicialest (s0), n(s0), b(s0), entoncesporel Teoremadeexistenciayunicidad de ecuacionesdiferencialesconcondicioninicial, existeuna unicasoluciont (s), n(s), b(s) parael sistemadeFrenetenunintervalo, digamosJ,alrededor del punto s0quesatisfacelascondiciones inicialesimpuestas. Si ademas| t (s0) | = | n(s0) | = | b(s0) | = 1, y t (s0) n(s0) =t (s0)b(s0) =n(s0)b(s0) =0, entonces el mismoteoremadeunicidadnosdaque | t (s) | = | n(s) | = | b(s) | =1, y t (s) n(s) =t (s)b(s) =n(s)b(s) = 0, paratodas J, ; mas a un, b(s) =n(s) b(s) sJ. As sepuedeobtener, (s) =v0+_s0t (u) duparametrizadaporlongituddearcos concurvaturak(s)ytorsion (s).Teorema2.2.5(Teoremafundamental delateoralocal decurvas.) Dadaslasfuncionesk(s) >0, (s)con s J, existeunacurvaparametrizadaregular :J R3tal queseslalongituddearco, k (s) eslacurvaturay (s) eslatorsionde. Mas a un, cualquierotracurva satisfaciendolasmismascondiciones, dieredeporunmovimientorgido;esdecir,existeunaaplicacionlineal ortogonal deR3, condeterminantepositivo,yunvector c tal que = + c .Demostracion:(Ver[3]).Precauci on:La birregularidad es una hipotesis esencial. De otra manera, no solamente latorsionnoexiste,sinoquelograndoextenderlacontinuamente,laconclusiondeunicidadfallara. Considere las curvas dadas en la gura (2.19) con las misma k (s) y (s) =0. Noexiste un movimiento rgido que lleve una dentro de la otra(Pruebelo) a pesar de que tienenlamismacurvaturacomofunciondelalongituddearco.MendozaMal onRafael 40 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.2. TeoraLocaldeCurvasParametrizadasporLongituddeArco.Figura2.27:Curvasnocongruentespormovimientorgido.Laguraanteriornosdapieparapresentarel casoparacurvasplanasendondelacurvaturaessignada:Teorema2.2.6Seak : ( a,b) Runafuncioncontinuaatrozos. Entonces, unacurvaconvelocidadunitaria: ( a,b) R2concurvatura k estadadapor (s) = (_cos (s) ds+c1,_sen (s) ds+c1 ),con (s) =_k (s) ds+0.(2.35)Demostracion:Sisedeneycomoen(2.35),resultaque,___(s) = ( cos (s),sen (s) )(s) = k (s).(2.36)As, tienevelocidadunitariayk (s)essucurvatura. Engeneral,dadas kyesmuydifcilresolverlasecuacionesdeFrenetyencontrarlacurva correspondiente. Sinembargo, estopuede(casi)serhechoenel casodeunaHelice.Denicion2.2.5En general, una Helice es una curva regulartal que para alg un vectorunitariojo u, t,u) esconstante. Auselallamael ejedelaHelice.Intuitivamente,laHelicecrecelinealmenteenladirecciondadaporel eje.Ejemplo2.2.2CualquiercurvaplanaesunaHeliceyaque b esconstanteypuedeto-marsecomou.Corolario2.2.7( Lancret,1802) Una curva de rapidez unitaria(s) conk ,=0 es unaHelicesiysolosiexisteunaconstante c tal que =c k.Demostracion: Supongaque es una Helice. Ya que, t,u) es constante, podemosescribir t,u) =cos ( ),donde es un angulo jo (llamado la inclinacionde). Ahora, si es un m ultiplo enterode , entonces u=t o u= t ; lo que implica que k=0 (Por que?), obteniendoMendozaMal onRafael 41 Julio20072.2. TeoraLocaldeCurvasParametrizadasporLongituddeArco. Captulo2. TeoradeCurvasunacontradiccion. Bien, supongamosque noesunm ultiploenterode . El siguientecalculomuestraque nesortogonalau :0= t,u)= t,u) =k n,u) .Envirtuddeestoy,yaque u= u,t ) t+ u,n) n+ u,b) b,resultaque,u=cos ( ) t+sen ( ) b,donde sen ( ) = u,b). Entonces,0=u=cos ()kn sen () ny kcos () =sen (). Como noesm ultiploenterode , setieneque =c k,donde c=cot ().Supongamosahoraque =c ky mostremosque esunaHelice. Enefecto,siguiendoel procedimientodelaprimeraparte, denimos por c =cot () con 0 0 implicaque t (s) es 1 1y ademas, t (s) ys (t) son diferenciables. Ahora, como =c k , lasecuacionesdeFrenetsont=kn, n= kt+c kb, b = c kn.Enterminosdelparametro t ellassondtdt=n,dndt= t+c b,dbdt= c n.As que,d2ndt2=n c2n =w2n, donde w=1+c2. Pero nessolu-cionde estaecuaciondiferencial,porloque n=cos (wt) u+sen (wt) v paraalgunosvectores jos u y v. Por otraparte, de dtdt= n obtenemosque t =( sen (wt) u cos (wt) v)/ w. Enconsecuencias,(s) =1w (_s0sen[wt()] d u _s0cos[wt()] d v+s c+z ).MendozaMal onRafael 42 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas2.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria.Sinembargo,lasconstantesdeintegracionu, v, cyznosonarbitrarias. Pues,dndt= wsen(wt) u+wcos (wt) v,loqueimplicaque0= n, dndt )=[ w[u[2+w[v[2] sen(wt) cos (wt)+w u, v) [cos2(wt) sen2(wt) ].Sievaluamoslaecuacionanteriorpor t =0 setieneque u, v) =0. Entonces,12 [ w[u[2+w[v[2] sen2(wt) =0implicaque [u[2= [v[2.Siendo1= [n[2= [u[2cos2(wt)+ [v[2sen2(wt),resultaque [u[ = [v[. Asque, uy vsonortonormales.Similarmente,de 0 = t, n) setieneque u, c ) = 0conloque v, c ) = 0. Y1= [t[2da [c[ = [c[ ;as c= c ( uv). Porotraparte,dndt= t+c bimplicaque c b=dndt+t. Portanto,cw ( sen(wt) u cos (wt) v+c ) =c t=n c b=[ cos (wt) u+sen(wt) v] [ ( 1w w) sin(wt) u cos (wt) v+1w c ]=1w [ cos (wt) ( u v)+sen(wt) ( v c )+c2( u v) ].As quec=+c ( uv ). En terminos de la base ortonormal u,v,( uv) tendremos,(s) =1w (_s0sen[wt()] d, _s0cos[wt()] d,c s )+z1,donde t() =_s0kds yz1=(0).Notesequeenlasoluciondadaarriba,senecesitadelcalculodealgunasintegralesnotriviales;loquedicultaencontrarlacurva .2.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconveloci-dadarbitraria.Aunquecadacurvaregularadmiteunareparametrizacionconvelocidadunitaria, enlapracticaconfrecuenciasucedequeesmuydifcildeterminarlo.Porejemplo,considerelacurva (t) =( ett,et,2 t ) cuyalongituddearcoess (t) =_t0_e4 t( 1+t )2+2 e2 t+1dt;MendozaMal onRafael 43 Julio20072.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria.Captulo2. TeoradeCurvassuinversaesdifcil dedeterminar. As que, debemosbuscar, alternativasdetecnicasdecalculos, quepermitanconseguirel sistemadereferenciadeFrenetdeunamaneramassencilla. Empezamosconlasiguientedenicion:Denicion2.3.1Sea : ( a ,b ) R3unacurvaregular, ysea : ( a ,b ) R3unareparametrizacionunitariade ;entonces, (t) = ( s (t) ), siendo s (t) lafuncionlongitud de arco. Representamos por kb y la curvatura y la torsion de , respectivamente,ysea t, n, b el sistemadereferenciadeFrenetasociadoa .Entoncesdenimosk (t) = kb ( s (t) ), (t) = ( s (t) ),t (t) = t ( s (t) ), n (t) = n( s (t) ), b (t) = b ( s (t) )Enotras palabras, lacurvatura, latorsiony elsistemadereferenciade Frenetde unacurvaconvelocidadarbitrariacoincidenconlasdesureparametrizacionconvelocidadunitaria,salvoelcambiodeparametrodadaporlafuncionlongituddearco.El siguiente teorema nos permitira tener las formulas de Frenet para curvas de rapidezarbitraria:Teorema2.3.1Sea : ( a ,b ) R3unacurvaregularconvelocidadv= | (t) |=s(t).Severicanentonceslassiguientesgeneralidadesdelasf ormulasdeFrenet:___t= v kn,n= v kt+v bb= v n,Demostracion:Utilizandolaregladelacadena,seobtieneque:t= s(t)t( s (t) ) =v (t)t( s (t) )n= s(t) n( s (t) ) =v (t) n( s (t) )b= s(t) b( s (t) ) =v (t) b( s (t) )Ahora,utilizandolasformulasdeFrenetpara sesiguequet= v (t) kb ( s (t) ) n( s (t) ) =v (t) k (t) t( s (t) )Lasotrasformulassedemuestrandemaneraanaloga. MendozaMal onRafael 44 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas2.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria.Lema2.3.2El campovector velocidad ( oel campodevectores tangentes) y laaceleracion deunacurvaregular estandadospor=v t(2.37)=dvdtt+v2kn, (2.38)donde v representalavelocidadde .Demostracion:Consideremos (t) = ( s (t) ), donde esunareparametriza-cionconvelocidadunitariade . Entonces,porlaregladelacadena,severica(t) = ( s (t) )s(t) =v (t)t ( s (t) ) =v (t)t (t)loquedemuestra(2.37). Porotraparte,siderivamos(2.37),resultaque=dvdt t+v t=dvdt t+v2kn. El teoremaquesiguepermiteel computodelacurvaturaylatorsiondeunacurvaderapidezarbitraria.Teorema2.3.3Sea : ( a ,b ) R3unacurvaregularconcurvaturadistintadeceroencadapunto. Entonces:t=| |, (2.39)n=b t(2.40)b= | |(2.41)k=| || |3(2.42)= | |2(2.43)Demostracion: Es claro que (2.39) es equivalente a (2.37) del lema 2.3.2, y que (2.40) esconsecuencia algebraica de la denicion del producto vectorial. Ademas, de (2.37) y (2.38)dellema2.3.2,sesigueque = ( v t ) ( dvdtt+v2kn )= v dvdt t t+v3kn= v3kb(2.44)MendozaMal onRafael 45 Julio20072.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria.Captulo2. TeoradeCurvasTomandonormaen(2.44),seobtiene| |= | v3kb|=v3k, (2.45)loqueimplica(2.42). Ademas,de(2.44)y(2.45),sededucequeb= v3k= | |,lo que prueba (2.41). Para demostrar (2.43) se necesita una expresion de analoga a(2.37) y (2.38) del lema 2.3.2. En realidad, tan solo necesitamos conocer la componente deen la direccion de b, ya que haremos el producto de por . Haciendoelcalculodirectamenteseobtiene= ( dvdt t+v2k )= k v2n+ . . .= k v3b+. . .(2.46)Lostrespuntossuspensivos(. . .),en(2.46), sustituyenlosterminosirrelevante.De(2.44)y(2.46)resultaque =k2 v6(2.47)Ahora(2.43) sesiguede(2.47) y(2.45). Ejemplo2.3.1Sea (t) =( 1 +t2,t ,t3). Entonces (t) =( 2t,1 ,3t2), (t) =( 2,0 ,6t ) y (t) =( 0,0 ,6 ). Enconsecuencia(t) (t) =6t, 6t2, 2 ) y(t) (t)(t) = 12.Asque,k=( 36t2+36t4+4)1/2( 4t2+1+9t4)3/2,=1236t2+36t4+4,t=( 2t,1, 3t2)( 36t2+36t4+4)1/2,b=( 6t, 6t2, 2 )( 36t2+36t4+4)1/2yn=( 18t2+2, 4t 18t3,6t+12t3)( 4t2+1+9t4)3/2( 36t2+36t4+4)1/2.MendozaMal onRafael 46 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas2.3. ElSistemadeReferenciadeFrenetparacurvasconvelocidadarbitraria.Ejemplo2.3.2La curva (t) =( t,1+t1,t1t ) parat >0 es plana. En efecto,(t) =( 1, t2, t21 ), (t) =( 0,2 t3,2 t3), y(t) =( 0, 6 t4, 6 t4).Claramente, (t) (t) =0 ; as que, (t) (t)(t) =0 . Porel teo-rema2.3.3, =0 y seraplana si k,=0; pero (t) (t) =( 2t3, 2t3,2t3) ,= 0 . Ejemplo2.3.3Lacurva (t) =( 3t t3,3t2,3t + t3) tienecurvaturaytorsionigualesentodossuspuntos.Demostracion:Enefecto,(t) =( 3 3t2,6t,3 + 3t2), (t) =( 6t,6,6t ), (t) =( 6, 0,6 ).Dedonde,(t) (t) =18 ( t21, 2t,t2+ 1 ) | (t) (t) |=182 ( t2+ 1)Asque,k=| (t) (t) || (t) |3/2=182 ( t2+ 1)27 ( 2t4+ 4t2+ 2 )3/2=182 ( t2+ 1)54 ( t2+ 1)3=13 ( t2+ 1)2y=( (t) (t)(t))| (t) (t) |2=6 (18) (2)(18)2(2) ( t2+ 1)2=13 ( t2+ 1)2Ejemplo2.3.4Determine unas ecuaciones parametricas de la recta tangente y del planoosculadoralacurvaCdescritapor (t) =( cos (3t),sen(3t),3t ) enel punto (0).Solucion:Loscalculosrequeridosson: (t) =( cos (3t),sen(3t),3t ); (0) =( 1,0,0 )(t) =( 3 sen(3t),3 cos (3t),3 ); (0) =( 0,3,3 )(t) =( 9 cos (3t), 3 sen(3t),0 ); (0) =( 9,0,0 )(t) (t) =( 27 sen(3t), 27 cos (3t),27 ); (0) (0) =( 0, 27, 27 )Laecuacionvectorialdelarectatangentees: =( 1,0,0 )+s ( 0,1,1 ).Susecuacionesparametricascorrespondientesson:x = 1y = s con s Rz = sLaecuacionrectangulardelplanoosculadores:MendozaMal onRafael 47 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvas( (0) )b(0) =0( x 1,y ,z )( 0, 1,1 ) =0y z =0Unasecuacionesparametricasson:x = uy = v con u, v Rz = v2.4. TeoraGlobal deCurvasPlanas.En esta seccion vamos a presentar ciertos resultados que son de la geometra diferencialglobal de curvas; a un cuando estemos estudiando el caso plano, ofrece ejemplos de teoremasnotriviales yde cuestiones interesantes. Supondremos aqu, algunos hechos que yasehantratados enotros cursos sinlas pruebas correspondientes,yotros quizas, paraserinvestigadoporel lector; recordandoqueestagua, noquieredejardeladoel esprituinvestigativo,quedebetenerelestudianteaestasalturadesucarrera.Bien, trataremos en esta seccion tres aspectos:La Desigualdad Isoperimetrica, El IndicederotaciondeunacurvayEl Teoremadecuatrovertice; aunqueelmundodelascurvases muy denso en ciertos aspectos, pero en los ejercicios, apareceran otras propiedades quenoabordamosaqu.Denicion2.4.1Una curvaplanacerrada esunacurvaparametrizadaregular : [ a, b ] R2tal que ytodassusderivadascoincidenpor a y b ;esdecir,(a) =(b) (a) =(b) (a) =(b)(k)(a) =(k)(b) , k N.Tambien, se puede decir equivalentemente que: es cerrada si es peri odica;es decir,existeunaconstante a >0 con (t) =(t + a) paratodot. Aqu el perodode esel menordeesosn umeros a.Noteseque(0) =( a).Lema2.4.1Si (t) escerradaconperodo a y (s) esunareparametrizacionporlongituddearcode , entonces escerradaconperodo_ a0|ddt| dt.Demostracion:Quedadeejercicio.Denicion2.4.2Unacurvaregular (t) es simple sies1-1[ notieneautointer-secciones ; es decir, si t1, t2 [ a, b ), t1,= t2, entonces (t1) ,=(t2) ] osi escerradaconperodo a con(t1) =(t2) siysolosi t1 t2=n a paraalg unenteron.[vergura2.28]SupondremosqueunacurvacerradasimpleCenel plano, acotaunaregiondeesteplanoquellamaremoselinterior deC ,vergura2.29.EstoformapartedelasllamadoTeoremadeJordanparacurvas:MendozaMal onRafael 48 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas.Simple No SimpleFigura2.28:Curvassimpleynosimple.mCmInterior de CFigura2.29:Cestapositivamenteorientada.MendozaMal onRafael 49 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvasSea : [ 0, l ] R2una curva plana regular cerrada simple. Entonces R2([ 0, l ])tieneexactamentedoscomponentesconexas, y([ 0, l ])essufronteraencom un.Unejemplo en donde no se cumple este teorema, es tomar una curva simple en el Toro, comosemuestraenlagura2.30.El area de una curva cerradasimple C, signicarael area del interior de C. Supongamosqueel parametropuedeserescogido, detal formaque, si unosedesplazaalolargodelacurvaenladireccionenlaqueel parametrocrece, entonces el interior delacurvapermanecealaizquierda; esdecir, lacurvaestaorientadapositivamente [veasedenuevolagura2.29].TCUna curva cerrada simple C sobre el toro TFigura2.30:CnoacotaunaregionenT.MendozaMal onRafael 50 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas.2.4.1. DesigualdadIsoperimetricaDetodaslascurvascerradassimplesenel planoconlongitudl dada, Concual seacotaraelareamasgrande?Respuesta:Elcrculo.Lapruebarequiereelsiguienteresultado:Lema2.4.2Si esunacurvaplanacerradasimple, cuyaimagenlimitaoacotaunaregionRylacualesrecorridaensentidoantihorario,entonces elareade ResA,donde:A =_xdy= _ydxdonde xe y sonlas coordenadas del plano. Es decir: Si : [a, b] R2es sim-ple,cerrada,orientadapositivamenteyacotandounaregionRdeA,entonceselareadeResA =_bax(t)y(t)dt = _bay(t)x(t)dtDemostracion:Sea(t) = (x(t), y(t)),consideremoslaregionRdadacomoenlagura2.31:D(t1)D(t2)D(t0) = D(a) = D(b) = D(t4)f1f2R[ a, b ]D(t3)x1x0Figura2.31:Regionencerradaporunacurvaplana.Consideremosf1, f2: [x0, x1], donde f1 (x(t)) >f2 (x(t)) y fi(x(t)) = y(t), t [t2, t3] para i =1, 2.Luego:A(R) =_x1x0f1(x(t))dx _x1x0f2(x(t))dxComoestaorientadapositivamenteentoncesA(R) = _t1t0y(t)x(t)dt _t3t2y(t)x(t)dtMendozaMal onRafael 51 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvasperox(t) = 0alolargodelintervalo[t1, t2]y[t3, t4],as:A(R) = _t1t0y(t)x(t)dt _t2t1y(t)x(t)dt _t3t2y(t)x(t)dt _t4t3y(t)x(t)dt= __t1t0y(t)x(t)d +_t2t1y(t)x(t)dt +_t3t2y(t)x(t)dt +_t4t3y(t)x(t)dt_= _t4t0y(t)x(t)dt= _bay(t)x(t)dtPorotrolado:0 =_ba(xy)(t)dt=_ba(x(t)y(t) + x(t)y(t))dt=_ba(x(t)y(t)dt +_bax(t)y(t))dtpues:_ba(xy)(t)dt = (xy)(t)[ba= x(b)y(b) x(a)y(a) = 0yaqueescerrada,esdecir(a) = (b)luego:_ba(x(t)y(t)dt = _bax(t)y(t))dtTeorema2.4.3(DesigualdadIsoperimetrica)Sea una curva plana cerrada simple de longitud (permetro) l. Sea A el area de la regionacotadapor.Entoncesl2 4Aconigualdadsiysolosiesuncirculo.As,detodaslascurvasdelongitudjal,elcirculoacotael areamasgrande.Demostracion:Seanl1, l2dos rectas paralelas tangentes aacotadaentre ellas. Sea el circulotangenteal1yl2el cual nointerceptaaysearsuradio. Escojamosel sistemadecoordenadasxeyparaformarel planoconorigenenel centrodel circulodetal formaque el eje yseaparaleloa la recta l1. Seal1tangente a por A = (0) y l2por c = (s2)(vergura2.32).Laideaclavedelapruebaescompararelareadelaregionacotadaporconelareadel circulo de radio r. Ya que la longitud y el area encerrada por son independientes de laparametrizacion podemos suponer que es de rapidez unitaria. As que puede ser escritaenlascoordenadas(x, y)como(s)=(x(s), y(s)), donde(x(s))2+ (y(s))2=1(puesesderapidezunitaria). Lacurvapuedeserparametrizadapor(s) = (z(s), w(s))dondez(s) = x(s)MendozaMal onRafael 52 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas.A = D (0) l1Bl2l3l4DC = D (s2)OO 'yx

xFigura2.32:Elareaencerradaporcomparadaconladeuncrculo.W(s) =___r2x2si 0 s s2r2x2si s2 s l, (2.48)pues,laecuaciondelacircunferenciaesx2+ w2= r2conloquew = r2x2.Noteseque, ses lalongituddearcodedesdeAhasta(s) ( pues es derapidezunitaria ) pero no de . En realidad con esta parametrizacion puede que no sea regularperoporlomenosdeclaseC1.PorelLema2.4.1elareaacotadapores:A =_xdy=_l0xydsPorotrolado,elareaacotadapores:r2= _ydx = _l0wzds = _l0wxdsAs,A+ r2=_l0xyds _l0wxds=_l0(xywx)ds_l0|xywx|ds=_l0|(x, y), (w, x))|dsMendozaMal onRafael 53 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvasLa desigualdad de Cauchy-Schwarzjunto con el hecho de que es de rapidez unitaria nospermitearmarque:|(x, y), (w, x))| |(x, y)||(w, x)| = |(w, x)| =w2+ x2= r(Verecuacion2.48)luego:A+ r2_l0|(x, y), (w, x))|ds _l0rds = rlPorloquesetienequeA+ r2rl. (2.49)DelaspropiedadesdeRtenemosque:ab 12(a + b), (2.50)conigualdadsi a=b yclaramente a,b0. Luego tomando: a = A y b = r2obtenemos,Ar212(A+ r2) 12rl, (2.51)dondelasegundadesigualdadvienede(2.50). Portanto, Ar2r2l4/4 ol2 4A,queesladesigualdadisoperimetrica.Ahora supongamos que l2= 4A. Mostremos que es un circulo. Primero mostremosque:x = ry.Yaque l2= 4Aladesigualdad(2.51) llegaaserunaigualdad,enefecto:Ar2=rl2 Ar2=r2l24 4A = l2Ahora, si aplicamos (2.50) resulta queAr212(A+r2) con igualdad si a = b, es decirsiA = r2;deigual forma, ladesigualdad(2.49) debesertambienunaigualdad, esdecirA + r2=rl.Ahoraconsiderandolaobtencionde(2.49)debemostenerigualdaddondeladesigualdaddeCauchy-Schwarzseuso,estoes:existeunn umerorealctalque:(w, x) = c(x, y)(vectoresl.d) (2.52)Estoporque|(x, y), (w, x))| = |(x, y)||(w, x)|[ cos [ = |(w, x)| cos = 1 (w, x) = c(x, y) (|(s)| = 1 s).Tomandonormaenambosladosde(2.52)setieneque:|(w, x)| = |c(x, y)| w2+ x2= [c[|(x, y)| = [c[MendozaMal onRafael 54 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas.yas(2.48)implicaquec = r.Porotrolado(2.52)dicequec = (x, y), (w, x))enefecto:(x, y), (w, x)) = (x, y), c(x, y)) = c(x, y), (x, y)) = c||2= cAdemasc 0 yaque laprimeradesigualdad de dondese obtuvo(2.49) tambien debeserunaigualdad,0 A+ r2=_l0(xywx)ds =_l0|xywx|ds =_l0|(x, y), (w, x))|ds_l0(xywx)ds =_l0cds = c.l 0c 0Portantor = cy(2.52)muestraque:x = ry,enefecto:(w, x) = r(x, y) = (rx, ry) x = ryPor otrolado: A=r2implicaquerdependedeAynodelaelecciondel1. As, sil3yl4ortogonalesal1yl2sonintroducidas, uncrculoderadiorestangenteaellas.Si utilizamos, lascoordenadas xe yconorigenoenel centrodeestecrculo, comolomuestralagura2.32obtendramosque x = r y.Ya que el eje yes paralelo al eje x y en el mismosentido,el eje x es paralelo al eje yperoconsentidosopuestos,entoncesexistencomponentesdyetalque: x = y d, y = e xluego:y d = x = r y= r x( y= (e x)= x)yx2+ (y d)2= (r y)2+ (r x)2= r2((y)2+ (x)2) = r2Portantoescrculoderadiorconcentro(0, d) ensistemadecoordenadas(x,y).2.4.2.Indicederotacion.Sea : [ 0, l ] R2unacurvacerradaplanadadapor (s) =( x(s),y (s) ) dondeseslalongituddearco; as quet (s) =( x(s),y(s) )tienenormaigual a1. sabemosqueel campodevectorestangentes[ queenestecontextoser alalafuncionIndicatriztangencial ]t : [ 0, l ] R2dadoport (s) =( x(s),y(s) )esdiferenciable, ysutrazaestacontenidaenuncrculounitario.Comolacurvaesdiferenciable,laIndicatriztangencial cumplecont(s) =( x(s),y(s) ) =k2 (s) n(s),donden(s)eselvectornormal,orientadoseg unlabaseusualdeR2yelrecorridode;k2 (s) lacurvaturasignadade.MendozaMal onRafael 55 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvasAhora bien, tiene sentido preguntarse, para una curva plana cerrada Cuanto giraelvectorunitariot,almomentoenque daunavueltacompleta,enladireccionenlaqueelparametrocrece?. Bien,estegiroorotacion,esdescritoporunangulo,elcual, acausadeque t (0) =t (l), debeserm ultiploenterode2 . Enel ordendeconseguiresteangulo,podemosdenir,demaneralocal,a (s), 0 0 kDcAB,< 0 a c D ,> 0 a c D AFigura2.39:Lospuntos AyBdeinterseccionde conlarecta.Portantok2(s)(s) a, c) , = 0paratodoslosvaloresdediferentesdeAyB,as0 ,=_l0k2(s)(s) a, c) ds= k2(s)(s) a, c) [l0 _l0k2 (s)(s), c) ds= _l0k2 (s)(s), c) ds=_l0k2 (s)t(s), c) ds=_l0n(s), c) ds= n(s), c) [l0= 0 ()estacontradiccionimplicaquehaymasdedosvertices.Pero como k2cambia de signo por cada vertice por donde pasa, as el numero de verticesdebeserpar,portantoexisteporlomenoscuatrovertices.Veamosahoraotrademostraciondeestemismoteoremaenlacual seusalatecnicadereduccionalabsurdo.(Ver[1])Teorema2.4.8[deloscuatrovertices]Unacurvacerrada,simpleconvexaenR2tieneporlomenos4-vertices.Demostracion:[La convexidad no es necesaria, sin embargo la prueba es mas difcil en el caso general]Sabemos que : [a, b]Rtiene al menos 2vertices yque k2: [a, b]Resdiferenciable.Supongamosporreduccionalabsurdoquetienesolamente2o3verticesdigamos m1, m2 y m3. Ahora

k2, la derivada de la curvatura, solo puede cambiar de signoMendozaMal onRafael 61 Julio20072.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas. Captulo2. TeoradeCurvasporunodelosmi; as podemossuponerqueestaespositivadesdem1am2ynegativadesdem2am3 y dem3am1. Tomamoslarecta m1m2comoelejex, y e1,e2 labaseortonormalasociada.[vergura2.40]m1m3m3 De1e2Figura2.40:Sea una parametrizacion de por longitud de arco y periodicade periodo L, dondeLeslalongituddeyseak2lacurvaturade , sabemosquek2= k2 . Introducimos,t k2(t) (t)lafuncionavaloresvectorialesylaintegralvectorial_L0k(t) (t) dtlacualpuedeserintegradaporpartescomo:_L0

k2(t) (t) dt =_

k2(t) (t)_L0_L0

k2 (t) (t) dt= _L0

k2 (t) (t) dtyaque yk2sonperiodicas. Como | | = 1tenemos (s) = t(s)y(It)= It= I (s)= Ik2(s)n(s)= k2 (s)(t(s))= k2 (s)t(s)tambiensabemosquen= k2 (s)t(s)asn= (It)= k2 (s)t(s)porlotanto_L0k2(t) (t) dt =_L0It(t) dt = I(t(L) t(0)) = 0MendozaMal onRafael 62 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.4. TeoraGlobaldeCurvasPlanas.enparticularenlasegundacomponente_L0n2(t) dt = (n2(L) n2(0)) = 0_L0k2(t) (t) dt ,e2) =_L0k2(t) (t), e2) dt =_L0n2(t) dt = 0porlaconvexidad, partedelacurvaentrem1ym2estadebajodel ejexyall k2>0; as , e2) =| | cos ycomo/2 0siysolosiseverica1(s)2+(s)2(s)4(s)2= r2Ejercicio2.61Sea: I R R3unacurva. Pruebequeexisteunacurva: I R R3talquelasecuacionesdeFrenetdesepuedenescribirdelasiguienteformats = (s) t(s), n(s) = (s) n(s), b(s) = (s) b(s),a (s) se le llama la velocidad angular de en s. Pruebe ademas que la velocidad angularesconstantesiysolosilacurvaesunahelicecircular.Ejercicio2.62CalculeloselementosdeFrenetdelassiguientescurvas:1. 1: R R2, 1(t) = (t, t2, t3).parat > 02. 2: R R2, 2(t) = (cosh(t), sen h(t), t)paratodot R.3. 3: R R2, 3(t) = (t cos(t), sen(t), t)paratodot R.4. 4: R R2, 4(t) = (etcos(t), etsen(t), et)paratodot R.Ejercicio2.63Calculelarelacionexistenteentrelacurvaturadeunahelice(general)yladelacurvaqueseobtienealproyectarlasobreunplanoortogonal asuejeEjercicio2.64Sea : I R R3, unacurvap.p.a.,con curvaturay torsionpositivas.Sedenelacurva(s) =_ss0b(u)du.Pruebequeestap.p.a.ycalculesuscurvaturas.Ejercicio2.65Sea : I R R3una curva p.p.a., con curvatura positiva y contenidaenunaesferaderadior > 0.Pruebeque(s0) = 0siysolosi(s0) =1ro(s0) = 0.Ejercicio2.66Sea: I R R2unacurvap.p.a., concurvatura (s),=0 paratodo s I. Sea n(s) elvectornormal. Lacurva (s) =(s)+1(s) n(s), s Ieslaevolutade (lugargeometricosdeloscentrosdecurvatura)a)Demuestrequelarectatangenteen s delaevolutade esrectanormalaens.b) Demuestrese que el punto de interseccionde las rectas normales a en (s) y(s+s) convergenaunpuntodelaevolutade cuando s 0.MendozaMal onRafael 70 Julio2007Captulo2. TeoradeCurvas 2.5. Ejercicios.Ejercicio2.67Determinar curvas p.p.a. denidas en(1,1)que tengan respectivamen-tecomocurvaturas (t) =k (constante) y (t) =(1 t2)1/2, consiguiendoademasquepasenporelorigenparat =0ytenganenesepunto, y =0 porrectatangente.Ejercicio2.68SeaF : R2Runafunciondiferenciable. Demostrar quelacurvaturaenunpuntodelacurva C= (x, y) : F (x, y) =0vienedadaporFxxF2y2FxyFxFy+Fyy F2x(_F2x+F2y)3Determinarlospuntosdelaelipse x2+4y2=1 quetiene (envalorabsoluto) mayorcurvatura.Cuantovaleestacurvatura?.Ejercicio2.69Sea unacurvap.p.a. birregular. Apartirdeellaseconstruye T, lacurvaconvaloresenlaesferadecentro 0 y radio 1, dadaporsutangenteunitaria(notesequelacurva T yanoesnecesariamentep.p.a.). Sepideprobarquelasformulasde TyTestandadasporT=_1+q2, T=q (_1+q2),siendoq = / , elcocientedelacurvaturaylatorsionde .Ejercicio2.70Sea unacurvabirregularcuyatrazaestasobreunaesferaderadior. Pruebesequesucurvaturacumplecon 1/r.Ejercicio2.71Demostrar que lacurva (t) =(t, t2, t3) es birregular, ydeterminarparat =1 eltriedrodeFrenetylasecuacionesdelosplanos (anes) osculador,normalyrecticante. Demostrar que este planoosculador es lmite del planoque pasapor(1 t), (1), (1 +t) cuando t 0.Ejercicio2.72Considereselaaplicacion:(t) =___(t, 0, e1/t2) si t > 0(t, e1/t2, 0) si t < 0(0, 0, 0) si t = 0(2.56)Probarque esunacurvaregulardiferenciable, Esbirregular?. Probarquesutorsionescero,perosinembargolacurvanoesplana.Ejercicio2.73Cualquiercurva cerrada planaadmite una parametrizacion por longi-tuddearcoperiodica.Ejercicio2.74Seauna curva plana cerrada simple con curvatura no nula.Suponga queesotracurvaquesatisfacelamismapropiedadesde , ysupongaque,paracualquierpar de puntos m , m , existe unmovimientorgido f tal que f(m) =m, f(tm ) =tmy f(m) C. Pruebequelong() long() 2 (area(int())area(int()))MendozaMal onRafael 71 Julio20072.5. Ejercicios. Captulo2. TeoradeCurvasEjercicio2.75Si (s) esunovalo, pruebeque t(s) esparaleloa t enporlomenoscuatropuntos.Ejercicio2.76Probarqueelconceptodeverticenodependedelaparametrizacion.Ejercicio2.77Elteoremadecuatroverticeesfalsosilahipotesisdecerradoesomiti-da;utiliceparaellolaparabola(t) =(t, t2) .MendozaMal onRafael 72 Julio2007Captulo3SuperficiesenR3LaMatem atica, vistacorrectamente, poseenosolamenteverdadsinotambienextremabelleza, unabellezafrayausteracomoladeunaescultura, sinapelaraningunapartedenuestranaturalezam asdebil, sinlosaspectosm ashermososdelapinturaolam usica, perosinembargo, sublimementepuraycapazdeunaperfecci onrgidacomosolopuedemostrarel artem asgrande.BertrandRusellEn este captulo, iniciamos el estudio de Supercies que en un contexto mas general,sonvariedadesdedimension2; esdecir, unsubconjuntoMdepuntosdeR3, quetienelapropiedaddequecadap M, tieneunentornodifeomorfoaunabiertodeR2. Estopor supuesto, llevaimplcito, laexistenciaencadap M, deaplicaciones: |R2V MR3, que seranhomeomorsmos diferenciables de orden2llamadosparametrizaciones ocartas. Conesto. loquesequierees tratardedotar aMdeunaestructuradiferenciableyconsiderarla, intrnsecamente, comounnuevoconjunto, enelcual, se pueda denir aplicaciones diferenciables, que permitan calcular sobre ella o dentrode ella, longitudes, areas, angulos entre vectores tangentes, etc., en n, tener la geometradiferencialintrnsecasobreM,aisladadelespacioR3sobrelacualestainmersa.3.1. SuperciesRegulares.Denicion3.1.1M R3esunasuperciesi:(a)M=_=1V,dondeVesabiertoenR3(b)Paracada, existe: |R2V R3, con |abiertoenR2yesunhomeomorsmodiferenciabledeorden2.Enestadenicion[Ver [5]], diferenciabilidaddeorden2signicaqueesdeclaseCyd(x,y):R2R3esunaaplicacionlineal deorden2,paratodo(x, y) |.Lossonllamadosparametrizacionesocartas; los1sistemasdecoordenadasylosVvecindadescoordenadas.Otradenicion(laquevamosautilizar)eslasiguiente:Denicion3.1.2M R3essupercieregular,siparacadap MexisteunavecindadVdeR3yunaaplicacion : | R2V M R3,tal que:733.1. SuperficiesRegulares. Captulo3. SuperficiesenR3(i) esdiferenciableparacada;esdecir,si(x, y) = (1(x, y),2(x, y),3(x, y)), entonces las funcionescomponentes1, 2, 3: | R2R tienenderivadasparcialescontinuasdetodoordenenel abierto | R2.(ii)homeomorsmoesequivalenteacontinuaconinversa1: V M |continua.Enestecaso 1eslarestricciondeunafuncionF: W R3R2continuasobreunabiertoWdeR3tal queW V M.(iii)(Condici ondeRegularidad)Paracadaq |, ladiferencial dq: R2R3es1-1: estoes, considerandolasbasescanonicas e1, e2deR2y f1, f2, f3deR3concoordenadas (u, v) y (x,y,z), respectivamente; siendoq0=(u0, v0), se tiene que e1estangentealacurva:u (u, v0) [(u)=e1], cuyaimagenpor eslacurva :u (1(u, v0),2(u, v0),3(u, v0))comolomuestralagura3.1.yMMD(q0)MD(E)dq0MD( e1)xz-2 2EMDOEe1q0u0v0uDMDFigura3.1:Ladiferencialde alolargodee1.La curva imagen (llamada curva coordenada v = v0) cae en My tiene por (q0)elvectortangenteu(q0) =_1u(q0),2u(q0),3u(q0)_;esdecir,u(q0) = dq0: R2R3yestalquedq0(e1) =1u(q0)f1 +2u(q0)f2 +3u(q0)f3=_1u(q0),2u(q0),3u(q0)_.MendozaMal onRafael 74 Julio2007Captulo3. SuperficiesenR33.1. SuperficiesRegulares.Similarmente,usandolacurvacoordenadau = u0, (imagenpor delacurva : v (u0, v)con((v) = e2)),obtenemoselvector,v(q0) =dq0(e2) =_1v(q0),2v(q0),3v(q0)_; el cual se muestraenlaguraabajo.q0u0v0UD( )0 -HHMMDxzDDo 2( ) evwwDMe2yFigura3.2:Ladiferencialde alolargodee2.Luego, la matriz de la aplicacion lineal [ apendice[A2]] dq0en las bases referidas es:dq0=__________1u(q0)1v(q0)2u(q0)2v(q0)3u(q0)3v(q0)__________As que, dq01-1, signicaqueu(q0) v(q0),=0 oequivalentementeaqueunodelosmenoresdeorden2delamatrizdq0, esnonulo; esdecir, unodelosdeterminantesJacobianos(1, 2)(u, v)=1u2v1u2v,(1, 3)(u, v),(2, 3)(u, v),MendozaMal onRafael 75 Julio20073.2. Gr aficas. Captulo3. SuperficiesenR3seanonuloporq0.Notesequeesto ultimo, nos permitedenir el planotangenteencadapuntodelasupercie Msinautointersecciones; as comohacer buenas deniciones enlas que laindependenciadelasparametrizacionesesclave.q0uxz01( )qd eDM02( )qd eDM0qdDMUMD(U)Mve2e1yFigura3.3:Ladiferencialdq0alolargodee1.Tiposdesupercieslocales:3.2. Gracas.Cadaconjuntoabierto | R2ycadaf C(|; R)daunasupercieregularenR3viasugraca.(x, y, f(x, y)) : (x, y) |.Pues, basta denir (u, v) = (u, v, f(u, v)), con (u, v) |= |, y ver que las condiciones(i), (ii)y(iii)deladenicion(3.1.2)desuperciesecumplen. Podemosaqu demostrarquelaesferaunitariaS(2)essupercieregular:NotesequeelhemisferionorteS(2)+= (x, y, z) S(2): z> 0sepuededescribirconla aplicacion z= f(x, y) =_1 x2y2sobre el abierto |= (x, y) R2: x2+y2< 1.Enestecaso,laparametrizacion ,vienedadapor:(u, v)=(u, v,1 u2v2)con(u, v) |= (u, v) R2/u2+ v2 0.5)Deunelipsoideconsemiejes a,b y c.6)De M= f1(a) enR3preimagendeunvalorregular.7)Deunasuperciederevolucion.Ejercicio3.20Sea f : M Runafunciondiferenciablesobreunasupercieconexaytal quesudiferencial esidenticamentenula(ceroencadapunto). Pruebaquedichafuncionesconstante.Ejercicio3.21Sea : UR2V Munaparametrizaciondeunasuperciesregular, M. Seconsideralaaplicacionentresuperciesregulares = 1: V U R2.Pruebaqueesunaaplicaciondiferenciableycalculasudiferencialenunpuntogenerico,p M.Ejercicio3.22Se considera la curva (Catenaria) (u) = ( coshu,0,u ), parau R, enel planodeecuacion y=0. Segiraalrededordel eje z paraobtenerunasuperciederevolucion, M, (Catenoide)1. Calculaunrecubrimientodeparametrizacionesparael catenoidedemaneraquelascurvascoordenadasseanmeridianosyparalelos,respectivamente.2. Enunadelasparametrizacionesanteriores, seaesta : (0, 2)R R2Mseconsideralacurva (t) = (4t, et), calculalascoordenadasde (t) respectodelabaseasociadaconlaparametrizacionanterior.3.Pruebaqueestecatenoideesdifeomorfoauncilindrocircularectoderadiouno.Sugr: Considere (x, y, z) = (xcoshz,y coshz,z )Ejercicio3.23SeaM= (x, y, z) R3: xy z =0. Pruebaqueesunasupercieregulardifeomorfaalplano.CalcularsuPrimeraFormaFundamental.MendozaMal onRafael 117 Julio20073.8. Ejercicios. Captulo3. SuperficiesenR3Ejercicio3.24Calcula la Primera Forma Fundamental de una supercie regular denidacomoelgrafodeunafunciondiferenciable, h : U R2R.Ejercicio3.25Calculaelareadeunaesferaderadior,S2(r).Ejercicio3.26Calculaunaformulaparaexpresarelareadeuntrozodetubo,deradior, sobreunacurvaregular, : I R R3. Aplicalaformulaobtenidaparaelareadeltuboderadio r sobreelsiguientetrozodehelice(s) = (a cos s,a sens,bs), 0 s 2.Ejercicio3.27Calculael areadel trozodesuperciederevolucionobtenidoal girar,alrededordeleje z elsiguientesegmentodecurva(s) =22(s, 0, s), 1 s 4.Ejercicio3.28Pruebe que, si las curvas coordenadas formanunaredde Chebyshef,es posible reparametrizar lavecindadcoordenadade tal modoque laPrimeraFormaFundamentaltengaporcoecientes:E= 1, F= cos w, G = 1donde weselanguloentrelascurvascoordenadas.Ejercicio3.29CalculaloscoecientesdelaPrimeraFormaFundamental de S2, conrespectoalaProyeccionEstereogracaT yutilzalosparacalcular lalongituddelascurvas (R: [0, 2]S2, denidas por (R(t) = T ( Rcos t,Rsent ). Estas curvassonlasimagenespor Tdecircunferencias Dequecurvassetrata?DibujalacurvaconR = 1/2.Ejercicio3.30Siendo T laProyeccionEstereogracade S2, demuestraque,paratodoq R2, laaplicaciondpTconservaangulos.Ejercicio3.31Muestreque(u, v) = ( u sencos v,u sensenv,u cos )0 < u < , 0 < v < 2, = ctte.es una parametrizacion del cono con2como el angulo del vertice. En la correspondientevecindadcoordenada,pruebequelacurva( c e(v sencot), v), c = ctte., = ctte.,intersecanlosgeneradoresdelcono (v=ctte.) bajoelanguloconstante .MendozaMal onRafael 118 Julio2007Captulo4SuperficiesOrientables.Lainteligenciaconsistenos oloenel conocimiento, sinotambienenladestrezadeaplicarlosconocimientosenlapr actica.PoincareHablandogeometricamente, diramosque:Unasupercieesorientablecuandoquedaperfectamente denido un volumen que encierra dicha supercie, que llamaremos interior.Usualmente, seutilizandosconceptosdeorientabilidadenel planoR2: uno, intrnseco,estoes, que nohace usodel hecho de que R2estacontenido enR3yel otroque silohace. El primeroconsisteenorientarel crculounitario (dondeseconvienequelaorientacionpositivaesantihoraria), encuantoqueel segundo, tomamosel planocomoz=0 y, decimosqueunaorientacionpositivadel plano, esdadaporlaescogenciadelvector(0, 0, 1)perpendicularal plano. Unarelacionentrelosdosconceptosesdadaporlaregladelamanoderecha.Masprecisamente,seaSL(2, R) elconjuntodelasmatrices 2 2 ortogonales dedeterminante1; esdecir, si A SL(2, R)entonces A =_cos sensen cos _, R.DenotemosporBelconjuntodetodas lasbasesortonormalesdelplano.Dos detalesbases e1, e2y f1, f2sonequivalentessi existe A SL(2, R) tal queAe1=f1,Ae2=f2, estoes, si es posiblehacerlas coincidir por unarotacion. Estarelacion deequivalenciadivideaBendosclasesdeequivalencia.Esusualllamarlapositivaaquellaquecontienelabasecanonica(osea, escogemoscomopositivael sentidoanti-horario).Siendo el origen de R2completamente arbitrario, podemos denir una orientacion en cadapuntodelplano.Tomandotodaslasbasespositivas,decimosqueelplano estaorientadopositivamente.Demanerageneral, estasrotacionesenR2correspondenalaestructuracomplejaj:R2R2dadapor j(p1, p2) =(p2, p1) lacual es unarotacionde2enel sentidoantihorario, ademas j2= I, (jp).(jq) =p q y (jp).p =0, p, q R2. Tambienhemos observado, que cadaespaciotangentedeR2posee unaestructuracompleja: esdecir, para vp R2pse tiene que jvp= (jv)p R2py jvp.jwp= vp wp. Ahora, puesto quetodos los espacios vectoriales de dimension 2 son isomorfos, cada espacio tangente TpMdeunasupercieregularMposeeunaestructuracomplejaJp: TpM TpM.Sinembargo,puedesucederquelacorrespondenciap Jpseaunaaplicacioncontinuacomofunciondep oquenolosea. Lacontinuidaddep Jpsignicaquelaaplicacionp JpXescontinuaparacadacampodevectorestangente(continuos) XaM porp.Detodoesto:119Captulo4. SuperficiesOrientables.Denicion4.0.1UnasupercieregularM R3sediceorientablesicadaespaciotan-genteaTpMposeeunaestructuracomplejaJptal quelacorrespondenciap Jpesunaaplicacioncontinua.Bien,perosiconsideramoselplanocomosubespaciodeR3, darunaorientacionposi-tivaalplanoesdarunafuncion : R2R3(x, y) (x, y) = (0, 0, 1)Unarelacionentreelconceptointrnsecoyesto ultimoesdadaporelproductovectorialdeR3.Conladenicion4.0.1 podemostenerelsiguiente:Teorema4.0.1Unasupercieregular es orientablesi ysolosi existeunaaplicacioncontinuap ^(p) que asignaacadap Munvector normal yunitario ^(p) (TpM).Demostracion: Supongamosdadap ^(p). Entonces, paracadap MdenimosJp: TpM TpM por Jpvp= ^(p) vp. Esfacil probar queJpaplicaTpMen TpMynosimplementeenR3p,yquelacorrespondenciap Jpescontinua.Ademas,sesiguequeJp2vp= ^(p) (^(p) vp)= (^(p)vp) ^(p) (^(p)^(p)) vp= vpRecprocamente,dadaunasupercieregularM R3dotadadeunaestructuracom-plejacontinuap Jpdenidaglobalmente,denimos ^(p) R3ppor:^(p) =vp Jpvp|vp Jpvp|, (4.1)para vp TpMno nulo arbitrario. Entonces ^(p) es perpendicular a ambos vectoresvpyJpvp. Puesto que vp y Jpvp forman una base de TpM, se sigue que ^(p) es perpendicular aTpM. Para comprobar que ^(p) en 4.1 es independiente de la eleccion de vp, consideremoswpotrovectortangenteenTpMnonulo.EntonceswpesunacombinacionlinealdevpyJpvp:wp= a vp + b JpvpPortanto,wp Jpwp= (a vp+b Jpvp) (b vp+a Jpvp)= (a2+ b2)(vp Jpvp)ywp Jpwp|wp Jpwp|=a2+b2(vp Jpvp)|a2+b2(vp Jpvp)|=vp Jpvp|vp Jpvp|Conloque ^(p)en4.1esbiendenido. Puestoquep Jpescontinua, tambienloesp ^(p). Portantop ^(p)esunanormal unitariadelasupercieM, denidaglobalmentecontinua.Bien, este teorema establece una descripcion mas intuitiva del signicado de orientabilidadsobre supercies en R3. As que, podramos decir, que orientabilidad de M R3, permiteescoger una orientacion de Mcomo una eleccion de un campo de vectores normal y unitarioMendozaMal onRafael 120 Julio2007Captulo4. SuperficiesOrientables.denido globalmente sobre M. Ahora, con la idea de establecer esto ultimo referente a lascaractersticasintrnsecasdeM,hacemoslassiguientesdeniciones, queenelfondosonequivalentes:Denicion4.0.2UnasupercieM R3esorientablesiesposiblecubrirMconvecin-dades coordenadas Vii=1talesqueel conjuntodelas parametrizaciones T=i: |i Vi, , i =1, ..., +satisfacenlassiguientescondiciones:Si i: |i Vi, yj: |j Vj, pertenecena T con |j Vj ,= entonces det [d(u,v)(i1 j)] > 0paratodo (u, v) j1(|j Vj).[Lascartassedicenqueestanorientadascoherentemente]Fijado Ten esta denicion decimos que Mes orientable y que Tes una orientacion de M.Sean i: |i Viy j: |j Vjtales que i(x, y) = j(x, y) = p. Entonces i(u), i(v)y j(u), j(v) sonbasesde TpM yportanto,j(u)= a11i(u) + a12i(v)j(v)= a21i(u) + a22i(v).Usandolaregladelacadenatenemosque:(i1 j)(u)(i1 j)(u)= a11e1 + a12e2(i1 j)(v)= a21e1 + a22e2,yentoncesdet [d(u,v)(i1 j)] = det_a11a12a21a22_.Enconsecuenciael conceptodeorientacionarribadenidoesunageneralizaciondelahechaenelplano,yaque_a11a12a21a22_esunamatrizdecambiodebase.Ejemplo4.0.1Laesfera S2(1) esunasupercieorientable.ConsideremoslaProyeccionEstereogracadesdedosangulos:1: S2(1) PN R2,dadapor1(p) = (x1 z,y1 z )y,2: S2(1) PS R2,dadapor2(p) = (xz 1,yz 1 ).MendozaMal onRafael 121 Julio2007Captulo4. SuperficiesOrientables.De esta forma la esfera puede ser cubierta por dos vecindadescoordenadas de parametros( u,v ) y ( u, v) demodoquelainterseccion Wdeesasvecindades(esferamenosdospuntos) es unsubconjuntoconexo. Fijamos unpunto p W. Ahoraconsideremos lainversade 1quellamaremos = 11: R2S2(1) PN lacualen ( u,v ) es( u,v ) = (2uu2+ v2+ 1,2vu2+ v2+ 1, u2+ v21u2+ v2+ 1); asqueenp, 1(p) = ( u,v ) y,(2 ) ( u,v ) = 2(( u,v )) == 2(2uu2+ v2+ 1,2vu2+ v2+ 1, u2+ v21u2+ v2+ 1 ) ==__2uu2+ v2+ 1u2+ v21u2+ v2+ 112vu2+ v2+ 1u2+ v21u2+ v2+ 11__= ( u, v ).Luego,eldeterminantejacobianodecambiodecoordenadas( u, v)(u, v)=1 00 1= 1 > 0Como el jacobiano es diferente de cero enWy positivo enp W, se sigue por la conexi-dad deWque el jacobiano es positivo en todos los puntosW. As S2= 11(R2)12(R2)y(11(R2), 1), (12(R2), 12) es unatlas compatible para S2por loque S2esorientable.Ahora, haciendo uso del espacio exterior R3: por un campo de vectores unitarios sobreun conjuntoabierto | M, signicarauna aplicaciondiferenciable ^: | R3el cualasocia a cadaq |un vector normal unitario ^(q) R3aMporq; en otras palabras,talque < ^(q), vq>= 0, vq TpMytodoq M.Proposicion1UnasupercieM R3es orientablesi ysolos, existeuncampodevectoresnormalesunitariosaMynonulos.Demostracion:SeaMorientable. Consideremos TunaorientaciondeM.Sip Myi: |i Vi, con i(u, v) = p,esunaparametrizaciondep,denimos^(p) =i(u) i(v)|i(u) i(v)|,donde esel productovectorial deR3. Veamosque ^(p)esindependientede ienp.Sea j: |j Vjotraparametrizacion de Ten j(u, v) = p. Tenemosque j(u)j(v)= (i(u) i(v))donde=det [d(u,v)(i1 j)].Como>0sesigueque ^(p)esbiendenido.Supongamosahoraque ^(p)esuncampodevectoresnormalesunitariosaMyno-nulos. Construimos Tcomoelconjuntodelasparametrizaciones : | V cuyaunionMendozaMal onRafael 122 Julio2007Captulo4. SuperficiesOrientables. 4.1. Identificaci onTopol ogicadeloscontradominioscubreaM, |esconexoy det[u, v, ^(p)] >0, (u, v)=p,para todo (u, v) |. Tal Tsepuedesiempreconstruir;pues,si : | vnoestaen T,denimos (u, v) = (u, v) que si esta en T. Veamos ahora que en realidad Tdene unaorientacionenM.Si : |1 V1y: |2 V2estanen Tcon (u, v) = (u, v) =p,resultaque,siu= a11u+ a12vv= a21u+ a22v,entonces,det[u, v, ^(p)] = det[u, v, ^(p)]. det__a11a120a21a2200 0 1__= det[u, v, ^(p)].det [d(u,v)(1 )]; yportanto det [d(u,v)(1 )] > 0, loqueterminalademostracion. Corolario4.0.1SeaM= (x, y, z) R3/f(x, y, z)=a, dondef : | R3Resdiferenciabley a esunvalorregulardef,entoncesMesorientable.Demostracion:Dadounpunto(x0, y0, z0)=p M, consideremoslacurvaparametri-zada(x(t), y(t), z(t)), t IsobreMquepasaatravesdepparat=t0.YaquelacurvaestasobreM,tendremosf(x(t), y(t), z(t)) = a, t I.Alderivaresto ultimoconrespectoat,tendremospor t = t0,fx(p)x(t0) + fy(p)y(t0) + fz(p)z(t0) = 0.Lo que muestraque el vector tangente a la curva por t = t0es perpendicular a (fx, fy, fz)porp.Yaquelacurvayelpuntosonarbitrarios,tendremosque:N(x, y, z) = (fx_fx2+ fy2+ fz2,fy_fx2+ fy2+ fz2,fz_fx2+ fy2+ fz2)esuncampodevectoresnormalesunitariossobreM.AsqueMesorientable.(Prop.2)Ejemplo4.0.2Vimos que laesferaS2(1) es orientable atraves de unaltlas de car-tas,perobastadenir:N(x, y, z)=(x, y, z) o N(x, y, z)=(x, y, z), uncampodevectoresnormalesaS2nonulos,parademostrarlodenuevo.4.1. SuperciesnoorientablesdescritasporidenticacionesTo-pologicas.Ejemplo4.1.1SeaI= [0, 1]ydenalarelaciondeequivalencia:(a)six, x ,= 0, 1, x xsiysolos x = x;(b) 1 0.Unmodelode I/ en R2esdadoporel crculodelagura4.1abajo.MendozaMal onRafael 123 Julio20074.1. Identificaci onTopol ogica Captulo4. SuperficiesOrientables.0 1I

I /~Figura4.1:IdenticaciontopologicadeI=[0,1]conelcirculounitario.QQ/aFigura4.2:Identicaciontopologicadelcilindro.Ejemplo4.1.2EnQ = [0, 1] [0, 1]denalasiguienterelaciondeequivalencia:(a) Si x ,= 0 y x ,= 1 dena (x, y) (x, y) siysolos x = xy y= y.(b) (0, y) (1, y) siysolos y= y. Verlagura4.2abajo.Ejemplo4.1.3EnQ = [0, 1] [0, 1]denaotrarelaciondeequivalencia:(a) Si x ,= 0 y x ,= 1 entonces (x, y) (x, y) siysolosi x = xy y = y.(b) (0, y) (1, y) si ysolos y +y= 1. Osealaclasedeequivalenciadelospuntosinterioresde Q, quecontieneel propiopuntoylospuntosdelaforma (0, y) quesonidenticados con(1, 1y). El modelo de Q/ enR3es laCintade Moebius.Ver gura4.3.Q(1,1-y)(0,0)(1,1) (0,1)(0, y)(1,0)Q / ~Figura4.3:IdenticaciontopologicadelaCintadeMoebius.Ejemplo4.1.4EnQ = [0, 1] [0, 1] denalasiguienterelaciondeequivalencia:(a) Si x, x ,= 0, 1yy, y ,= 0, 1 denimos (x, y) (x, y) si y solo si x = xy y = y;(b)(x, 0) (x, 1);(c) (0, y) (1, y).El modelode Q/ en R3esel toro T1. Vergura4.4.MendozaMal onRafael 124 Julio2007Captulo4. SuperficiesOrientables. 4.1. Identificaci onTopol ogicaQ

Figura4.4:IdenticaciontopologicadelToro.Ejemplo4.1.5NuevamenteenQ = [0, 1] [0, 1]larelaciondeequivalenciaesdenidapor:(a) Six, x ,= 0, 1 y y, y ,= 0, 1 entonces (x, y) (x, y) si x = xy y= y;(b) (x, 0) (x, 1) si x = x;(c) (0, y) (1, y) si y + y= 1. Unmodelode Q/ esdadaabajoenlagura4.5.AQ/ lollamamoslabotelladeKlein.Figura4.5:IdenticaciontopologicadelabotelladeKlein.Ejemplo4.1.6EnS2(1)dena(x, y, z) (x, y, z)si ysolosi x=x, y=y, z=zox= x, y = y, z = zosea, larelaciondeequivalenciaconsisteenidenticarpuntosantpodosdeS2(1). Geometricamente, enlaguraabajo(a), (b), (c)y(d)danlassucesivastransformacionesdeS2(1) paraunmodelodeS2/ esllamadoel planoproyectivo.abcdeFigura4.6:IdenticaciontopologicadelPlanoProyectivo.MendozaMal onRafael 125 Julio20074.1. Identificaci onTopol ogica Captulo4. SuperficiesOrientables.Hemos descritoas topologicamente la banda de Mobius, la botella de Klein y elplanoproyectivo real[Ver [5]]. Todas estas supercies(la de Klein no es supercie regular;sin em-bargoesparametrizada)resultansernoorientables. EncontrarparametrizacioneslocalesaestassuperciesenR3es,sinembargo,unproblemaquesepuederesolver:4.1.1. LabandadeM obius.Como un ejemplo de una supercie no orientable tenemos a la famosa banda de M obius.Topologicamente,labandadeM obiusseobtieneapartirdelrectangulo[0, 2][12,12]identicandolospuntos(0, t)y(2, t), donde0 0nohaydireccionesasintoticasenp.(2) SiK(p) < 0, hayentonces exactamente dos direcciones asintoticas enp, quequedanbisecada por las direcciones principales a un angulotal quetan2 = k1(p)k2(p).(3) Si K(p)=0, entoncestodadireccionesasintoticasi pespuntodeplanicie; delocontrario,hayexactamenteunadireccionasintotica,queestambienprincipal.MendozaMal onRafael 142 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.1. LaSegundaFormaFundamentalDemostracion:TodosestoscasossededucendelaFormuladeEulerkn(v) = k1(p) cos2 + k2(p) sen2(1) Puestoquek1(p)yk2(p)tienenelmismosigno,kn(v)nuncaesnula.(2) Aqu k1(p) y k2(p) tienen signos opuestos.Y para obtener las dos direcciones asintoti-cas,vamosaresolverlaecuacion0 = k1(p) cos2 + k2(p) sen2.Bien, pararesolvery llegar a tal ecuacion vamos adenir parap M,la IndicatrizdeDupin:elconjuntodevectoreswdeTp(M)talquep(w) = 1.ParaescribirlaecuaciondelaIndicatrizdeDupinenunaformamasconveniente,sea(x, y)las coordenadas cartesianas de Tp(M) en la base ortogonal e1, e2, dondee1 y e2sonautovectoresde dpN. Dado w Tp(M), sean y lascoordenadaspolaresdenidasporw= v, con |v| = 1 yv= e1 cos + e2 sen , si ,= 0. PorlaformuladeEuler,1 = p(w) = 2p(v)= k1(p)2cos2 + k2(p)2sen2= k1(p)x2+ k2(p)y2dondew=xe1+y e2.As,lascoordenadas(x, y)deunpuntodelaIndicatrizdeDupinsatisfacelaecuacionk1x2+ k2y2= 1.Por tanto, la Indicatriz de Dupin es union de conicas en Tp(M). Ademas, la curvaturanormalalolargodeladirecciondeterminadaporweskn(v) = p(v) = _1/2_Para un punto elptico, la Indicatriz de Dupin es una elipse (k1y k2tienen el mismosigno); estocorroboraa(1); mas,estaelipsedegeneraenuncrculosi el puntoesumbilicalnoplanar(k1= k2= 0).Paraunpuntohiperbolico,k1yk2tienensignoopuesto. LaIndicatrizdeDupinestacompuestadedoshiperbolasconunpardeasntotas en com un. A lo largo de estas asntotas kn es cero; por tanto, son direccionesasintoticas.Estojusticalaterminologaymuestraqueunpuntohiperbolicotieneexactamentedosdireccionesasintoticas.(3) Si p es un punto llano, entonces k1(p) =k2(p) =0, en consecuencia, kn(v)esnula. Si solamentek2(p)=0, entonceskn(v)=k1(p) cos2seracerosolamentecuandocos =0, esdecir, enladireccionprincipal v=e1. Aqu laIndicatrizdeDupnsetransformaendoslneas.[Vergura5.11]Conestopodemosreforzarel hechodequelasegundaformafundamental dalaformadelasupercie Men R3. OtramaneradeobtenerlaIndicatrizdeDupingeometrica-mentees, cortando Mconplanosparalelosa Tp(M), redimensionandolaescaladelascurvas de interseccion,y tomamos el limite cuandolos planos se aproximan aTp(M) [Vergura(5.12)abajo]. Si ptienerangodos, obtenemos unacurvalimite, enestecasolasconicasdadaspor 1 = p(w) = k1(p)x2+ k2(p)y2MendozaMal onRafael 143 Julio20075.1. LaSegundaFormaFundamental Captulo5. Aplicaci ondeGausse2e1Uppe2e1UTTPunto ElpticoPunto HiperblicoFigura5.11:IndicatrizdeDupin.pmH mH1MTpM3p(w) = 1Figura5.12:IndicatrizdeDupinatravesdelaconica p(w) = 1.Denicion5.1.9: UnasupercieM R3esllanacuandosucurvaturagaussianaescero,yesmnimacuandosucurvaturagaussianamediaescero.Ejemplo5.1.2Losplanosyloscilindros.Las supercies mnimas tienen curvatura gaussianaK 0,puestoqueH =(k1 + k2)2,entonces k1= k2y, enconsecuencia, K=k1k2 0.Tambien, unasupercieM R3es mnima si y solo si existen dos direcciones asintoticas en cada uno de sus puntos (parte(2)dellemaanterior,K < 0con = /4;lasdosdireccionessonortogonales).Denicion5.1.10: Seapunpuntosobreunasupercie M. Dos vectores nonulosw1, w2 Tp(M)sonconjugadossi dpN(w1), w2)= w1, dpN(w2))=0. Dosdirecciones1, 2por psonconjugadas si unpar devectores nonulos w1, w2paralelos a1y2,respectivamente,sonconjugados.Estadenicionnodepende dew1yw2, ni de 1y2(vericarlo!). Sesigue quelasdireccionesprincipalessonconjugadasyqueunadireccionasintoticaesconjugadaaellamisma. Ademas, porunpuntoumbilical noplanar, cadapardedireccionesortogonalesesunparconjugadodedirecciones, yporunpuntoumbilical planarcadadireccionesconjugadaacualquierotradireccion.MendozaMal onRafael 144 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones.Supongamos que p Mnoes umbilical, ysea e1, e2base ortogonal de Tp(M)determinadapor,dpN(e1)= k1e1y dpN(e2)= k2e2. Sean y losangulos queun par de direcciones 1y2hacencone1. Asque, 1y2sonconjugadassiik1cos cos = k2 sen sen . (5.6)Enrealidad, 1y 2sonconjugadas sii los vectores w1=e1 cos +e2 sen yw2= e1 cos + e2 sen sonconjugados.As,0 = dpN(w1), w2) = k1 cos cos k2sen sen ; deaquque(5.6)sesigue.Cuandoambask1yk2sonnonulas ( p eselpticoohiperbolico),lacondicion(5.6)per-miteconstruirgeometricamentelasdireccionesconjugadasenterminosdelaIndicatrizdeDupinpor p. Porunpuntoelptico; sea larectaatravesdel origende Tp(M) yconsiderelospuntos q1, q2de conlaIndicatrizdeDupin(Fig. 1). LasrectasdelaIndicatrizdeDupinporq1yq2sonparalelas, ysudireccioncom unesconjugadaa[verejercicio12,pag.DoCarmo].5.2. Tecnicadecalculoutilizandoparametrizaciones.Lasdenicionesdadashastahorahan evitadoelusodelas cartas,puessehaqueridoresaltar la geometra intrnsecade los objetos introducidos; por su puesto, esto no es facilcuando la supercie sea complicada, por eso veamos la ayuda que se nos presta al trabajarconvecindadescoordenadas.Si : U MesunacartadentrodeM R3,yahemosempleadolastresfuncionesdevaloresrealesE= u, u), F= u, v), G = v, v)denidasenU. Aqu E>0,G>0sonloscuadradosdelasrapidecesdelascurvasuyv,parametrosde ,yFmideelangulodecoordenadaqueforman uy u, puestoqueF= u, v) = |u| |v| cos =EGcos , comolomuestralagura5.13abajo.TGEMuMvFigura5.13:anguloentre uyv.E, FyGsonlafuncionesdedistorsiondelacarta : midenlamaneraenquedistorsionalaregionplanaUenR3parapoderaplicarlaalaregioncurva(U)enM.MendozaMal onRafael 145 Julio20075.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones. Captulo5. Aplicaci ondeGaussEstas funciones determinan completamente el producto vectorial de los vectores tangentesenpuntosde (U),sisetienequev = v1u+ v2vy w = w1u+ w2v,entonces v,w) = Ev1w1 + F(v1w2 + v2w1) + Gv2w2dondeseeval uanlasfuncionesen(u, v), y(u, v) eselpuntodeaplicacionde v yw.Ya que uves ortogonal a uy a v, resulta que |uv| = EGF2y N(p) =uv|uv|, es normal aMpor(u, v). Ahora,siendo(u, v)una parametrizacion sobreM, con(t) =(u(t), v(t))curvaparametrizadasobreM, con(0) =p, resultaque(0) = uu+vv y que dN() = N(u(t), v(t)) = Nuu+Nvv, pues Nu y NvpertenecenaTp(M);as,Nu= a11u+ a21vNv= a12u+ a22v(1)yportanto,dN() = (a11u + a12v)u+ (a21u + a22v)v,enconsecuenciadN_uv _=_a11a21a12a22__uv _As, se demuestra que dNen la base u, v es dada por la matriz (aij),i, j= 1, 2. Estamatriznoesnecesariamentesimetrica,almenosque u, vseabaseortonormal.Porotraparte,enlabase u, vresultaquep() = dN(), ) = Nuu + Nvv , uu +vv)= e(u)2+fv u+g(v )2,donde,yaque N, u) = N, v) = 0,e = N, uu) = Nu, u)f= Nv, u) = N, uv) = N, vu) = Nu, v)g= Nv, v) = N, vv)Aque, fygsonloscoecientesdelaSegundaFormaFundamental.Ahora obtendremos los valores de aijen terminos de los coecientese, fy g. De la ec.(1)tendremosf= Nu, v) = 911F+ a21G, f= Nv, u) = a12E + a12F,e = Nu, u) = a11E + a12F, g= Nv, v) = a12F+ a22e2,MendozaMal onRafael 146 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones.donde E, F y Gsonlos coecientes de la Primera FormaFundamental enla baseu, v.Larelacionpreviatienesuexpresionmatricialdelaforma_e ff g_=_a11a21a12a22__E FF G_(5.7)enconsecuencia_a11a21a12a22_= _e ff g__E FF G_1donde ()1signica la matriz inversa de (). Es facil chequear que_E FF G_1=1EGF2_G FF E_,yqueloscoecientesde (aij) dedNenlabase u, v :a11=fF eGEGF2, a12=gF fGEGF2, a21=eF fEEGF2, a22=fF gEEGF2. (5.8)Mencionamosquelasrelacionesen(1),conlosvaloresdearriba,sonconocidascomolasEcuacionesdeWeingarten.De(5.7)inmediatamenteobtenemosque K = det(aij) =eg f2EGF2.Para computar la curvatura media, recordemos que k1, k2son los autovalores dedN.Enconsecuencia, k1y k2satisfacenlaecuacion dN(v) = kv = kIv paraalg unv Tp(S), v ,= 0, donde I eslaidentidad.Sesiguequelaaplicacionlineal dN+kI noesinvertible;enconsecuencia,tienedeterminantenulo.As,det_a11 + k a12a12a22 + k_= 0ok2+ k(a11 + a22)+a11a22a21a12= 0. (5.9)Yaquek1yk2sonlasracesdelaecuacioncuadratica(5.9),concluimosqueH=12(k1 + k2) = 12(a11 + a22) =12eG2fE + gEEGF2; (5.10)portanto,k22Hk +K = 0,conloquek= HH2K (5.11)De (5.11), si escogemos k1(q) k2(q),q M, entonces las funciones k1y k2soncontinuasenM. Mas, k1y k2sondiferenciablesen M, excepto, quizas, enlospuntosumbilicales (H2=K) deM.Recordemosquelacurvaturanormalvienedadapor kn(v) = dNp(v), v) para v vectortangenteunitariopor p, peroengeneral paracualquiervectornonulowp, estase puededenir como kn(wp) =dNp(wp), wp)|wp|2. Deestaforma, para wp TpMsetienequewp= ua +vb donde : | R3esunaparametrizacionenp de M ykn(wp) = dNp(wp), wp)|wp|2=e(a)2+fb a+g(b)2E(a)2+Fb a+G(b)2=IIp(wp)Ip(wp).Ejemplos:MendozaMal onRafael 147 Julio20075.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones. Captulo5. Aplicaci ondeGauss1. Helicoide: EstasupercieH, queseveenlaguraquedacubiertaporunasolacarta(u, v) =(u cos v, u senv, bv), b ,=0, paralocual u=(cos v, sen v, o),v= (u sen v, u cos v, b), E= 1,F= 0yG = b2+u2. En consecuencia,resultaqueuv= (b senv, b cosv, u).ParaencontrarsolamenteK, nohacefaltacalcularE, FyG, pero, decualquierformaesprudentehacerlo, puestoquelaidentidad |u v|=_EGf2noscomprueba, entonces, lalongituddeu v. Si denotamos |u v|por w,entoncestendremosque,enelhelicoide, w=b2+u2,demaneraqueN(p) =uvW=(b sen v, b cos v, u)b2+ u2.Acontinuacion,encontramos:uu= 0, uv= (sen v, cos v, 0) y vv= (u cos v, u sen v, 0)Figura5.14:ElHelicoide.Es obvio queuu= 0, puesto que las curvas u-parametricas son rectas. Las curvasv-parametricassonhelices,yyahabamosencontradoestaformula.Ahorabiene = N(p), uu) = 0; f= N(p), uv) = bW ; g= N, vv) = 0;portanto,K =eg f2EGF2= (b/w)2w2= b2w4=b2(b2+ u2)2y H =Ge + Eg 2Ff2(EGF2)= 0As,elhelicoideesunasuperciemnimaconcurvaturagaussiana 1 K < 0.El valormnimoK= 1ocurreenel ejecentral (u=0)del helicoide, yK 0amedidaqueladistancia [u[alejeseincrementaainnito.MendozaMal onRafael 148 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones.2. Lasillademontar:M: z=xy. Emplearemos la carta (u, v)=(u, v, uv)y, dentrodel mismoformatodeantescalculamosu=(1, 0, v); v=(0, 1, u);E= 1 +v2; F= uvyG = 1 +u2.Aqu,entoncessesigueque:N= (v, u, 1)/w, w =1 +u2+ v2; uu= 0; uv= (0, 0, 1)vv= 0; e = 0, f= 1/w y g= 0.EnconsecuenciaK =1(1 +u2+ v2)2, H =uv(1 +u2+ v2)3/2En sentidoestricto, estas funcionessonK() yH() denidasen el dominioR2de.PeroresultafacilexpresardirectamenteKyHcomofuncionesenMpormediodelasfuncionescoordenadascilndricasr=_x2+ y2yz. Observeseenlagura5.15abajo,quer((u, v))=u2+ v2yquez((u, v))=uv, enconsecuencia, enMK =1(1 +r2)2, H =z(1 +y2)3/2Porconsiguiente, lacurvaturagaussianadeMdependesolamentedeladistanciaalejez, puesseempiezaaelevardesdeK= 1(enel origen)yasciendeaceroamedidaquer +,mientrasqueloscambiosdeHsonmasradicales.Puestoqueelhelicoideesmnimok1, k2 =b(b2+ u2).Enlasillademontark1, k2 = z 1 +r2+ z2(1 +r2)3/2.Elcalculodelosauto-vectoresquedadeejercicio.-yzx(u, v, 0)z(p)r(p)p = M (u,v)Figura5.15:LaSilla.3. Considere la supercie(u, v) = (u cos v, u senv, a v), dondeaes una constante. Sepide:a)Hallarsuscurvaturasprincipalesenunpuntogenerico.b)HallarsuscurvaturasmediaydeGauss.MendozaMal onRafael 149 Julio20075.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones. Captulo5. Aplicaci ondeGaussc)Hallarsucurvaturanormal.Demostracion: Los coecientes de la Primera y Segunda Forma Fundamental son:Yaqueu= (cos v, senv, 0); v= (u senv, u cos v, a)uu= (0, 0, 0); uv= (senv, cos v, 0); vv= (u cos v, u senv, 0);resultaque,E= u u= 1; F= u v= 0; G = v v= u2+ a2.DeaqusetienequeEGF2=u2+ a2; e = 0; f= au2+ a2; g= 0AslasFormasFundamentalesson:I= du2+ (u2+ a2) dv2y II=2 au2+ a2du dva)CurvaturasPrincipales.dv2du dv du21 0 u2+ a20au2+ a2o= 0 (u2+ a2) dv2= du2dv = au2+ a2duSi dv =1u2+ a2 duentonces1n=III=2au2+ a21u2+ a2du2_1 + (u2+ a2)1u2+ a2_=au2+ a2Si dv =1u2+ a2 duentonces2n=III=2au2+ a21u2+ a2du2_1 + (u2+ a2)1u2+ a2_=au2+ a2b)CurvaturasmediaydeGauss.H =12_1n + 2n_= 0K = 1n2n= au2+ a2c)CurvaturaNormal.n=III=2au2+ a2du dvdu2+ (u2+ a2) dv2MendozaMal onRafael 150 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones.4. Dadalasupercie (u, v) = (lnu, u + v, v2u), conu > 0y v R,. Sepide:a)Hallarlastrayectoriasortogonalesalascurvas v= C .b)Clasicarlospuntosdelasupercie.c)Hallarsuslneasasintoticas,teniendoencuentatodosloscasosposibles.Demostracion:Procediendodemanerasimilaraelejemploanteriortenemos:u= (1u, 1, 1); v= (0, u 1, 2 v)uu= (1u2, 0, 0); uv= (0, 0, 0); vv= (0, u 0, 2);YE= u u=1u2+ 2; F= u v= 1 2 v; G = v v= 1 + 4 v2.ConloqueEGF2=_=_1u2+ 2_(1 + 4 v2) (1 2 v)2.As,e =1__1u2_(1 + 2 v); f= 0; g=2_1ua)Trayectoriasortogonalesalascurvas v=C. Diferenciando,setieneque v=C dv=0, porloqueel vectortangentealascurvas v=C tienendireccion(du, dv) =(du, 0) (1, 0). Luego, si denotamos por (du, dv) aladirecciondelvectortangentealastrayectoriasbuscadas,sehadevericarlaecuacion_1 0__1u2+ 2 1 2 v1 2 v 1 + 4 v2_ _dudu_As,deloanteriorsetieneque,_1u2+ 2_du + (1 2 v) dv = 0Alintegrarseobtienelafamiliadecurvas1u+ 2 u + v v2= C.b) Clasicaciondelospuntosdelasupercie. Partimosdesig_eg f2_= sig_11u3_(1 + 2 v)__= sig_(1 + 2 v)_yaque y usonpositivos. Portanto (1 +2 v) >0 v < frac12. Luego, si v < frac12yu > 0los puntos sonelpticos,conlocual,nohaylneasasintoticas.MendozaMal onRafael 151 Julio20075.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones. Captulo5. Aplicaci ondeGauss (1 +2 v) frac12. Luego, si v > frac12yu > 0los puntos sonHiperbolicos,conlocual,haydoslneasasintoticas. (1 +2 v) =0 v = frac12. Luego, si v = frac12yu > 0los puntos sonparabolicos,conlocual,hayunasolalneasasintoticas.c)LneasAsintoticas. LaslneasasintoticassecalculanresolviendolaecuacionII= 0 1 + 2 vu2du2+2u dv2= 0 du2u=2 dv21 + 2 v Paralospuntoshiperbolicos,sabemosque v > frac12yu > 0. Luego,du2u=2 dv21 + 2 v duu=21 + 2 vdvconloquenosqueda2u =21 + 2 v + C u=121 + 2 v + C. Paralospuntosparabolicos,sabemosque v = frac12 yu > 0. Luego,du2u=2 dv21 + 2 v du2u= 0conloquenosquedadu = 0 u = C.5. De ejercicio: Clasiquelos puntos de la supercie dada en la portada de este trabajogeometricamente.Hallarlaslneasasintoticas.Proposicion5.2.1: Sea p Mun punto elptico de una supercie M. Entonces existeunavecindadV depenMtal quetodopuntodeV perteneceal mismoladodel planotangente. Seap Munpuntohiperbolico. Entonces paracadavecindaddepexistenpuntosdeMenambosladosdeTp(M).Demostracion: Sea(u, v) unaparametrizacionenp, con(0, 0) =p. Ladistanciaddesdeunpuntoq =(u, v) al planotangenteTp(M) es dadapor (ver gura) d=(u, v) (0, 0), N(p)), yaque (u, v) esdiferenciableporlaFormuladeTaylor(u, v) = (0, 0) +uu +vv +12(vuu2+ 2uvuv +vvv2) +R;dondelasderivadassecalculanpor(0, 0)yelresto Rsatisfacelacondicionlm(u,v)(0,0)Ru2+ v2= 0.MendozaMal onRafael 152 Julio2007Captulo5. Aplicaci ondeGauss 5.2. Tecnicadec alculoutilizandoparametrizaciones.Sesigueque:d = (u, v) (0, 0), N(p))=12uu, N(p))u2+ 2uv, N(p))uv +vv, N(p))v2 + R=12(eu2+ 2fuv + gv2) + R=12p(w) + R, donde w = uu +vv,R = R, N(p)), y lmw0_R[[w[[_= 0Paraunpuntoelpticop, p(w) tieneunsignojo. Por tanto, paratodo(u, v) suciente-mente cerca de p, d tiene el mismo signo de p(w); i.e, todos estos puntos (u, v) pertenecenalmismoladodeTp(M).Para un punto hiperbolico p, en cada vecindad de p existen puntos(u, v)y(u, v)talesquep_w[[w[[_yp_w[[w[[_tienesignosopuestos(aqu w= uu + vv); talespuntospertenecenportantoadistintosladosdeTp(S).DebemosincluiraqulasdenicionesdeCurvasAsintoticasyLneasdeCurvaturas:1. Una curva regular conexa (, en una vecindadcoordenada de es una curvaasintoticasi y solo si para cualquier pa