Geometria Diferencial - Luis Javier Aparicio

GEOMETRIA

DIFERENCIAL

Luis Javier HERNANDEZ PARICIO

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Apuntes de Geometrıa Diferencial

Indice general

INTRODUCCON 11. Breves comentarios historicos 12. Objetivos didacticos 53. Prerequisitos 6

Capıtulo 1. VARIEDADES DIFERENCIALES 91. Nociones previas y notaciones 92. La nocion de variedad diferencial 113. La topologıa de una variedad diferencial 164. Ejemplos de variedades diferenciales 195. Propiedades basicas de la topologıa de una variedad 29

Capıtulo 2. ESPACIO TANGENTE 331. Notaciones previas 332. Derivadas parciales. Propiedades 333. Vectores tangentes 354. Aplicacion tangente 37

Capıtulo 3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE 431. Inmersiones 432. Submersiones 493. Las fibras de una submersion 524. Grupos discontinuos y variedades recubridoras 575. Miscelanea 63

Capıtulo 4. CAMPOS Y FORMAS 691. Fibrado tangente y cotangente 692. Campos y formas 713. Variedades paralelizables 774. Variedades orientables 795. Curvas integrales 836. Miscelanea 86

Capıtulo 5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS 911. Conexiones y derivada covariante 912. Variedades riemannianas 973. Longitudes de curvas y volumenes 1034. Conexiones riemannianas 104

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iv INDICE GENERAL

5. Curvatura 1096. Miscelanea 113

Capıtulo 6. Apendice 1191. Preliminares topologicos 1192. Aplicaciones informaticas para la geometrıa 1193. Enlaces interesantes 119

Indice alfabetico 121

Bibliografıa 123

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INTRODUCCIION]INTRODUCCION

Estos son unos apuntes sobre nociones y tecnicas basicas de Geo-metrıa Diferencial. Unicamente se incluyen las nociones mas importan-tes acompanadas de algunos ejemplos que faciliten la comprension delas mismas y resalten aquellos aspectos mas interesantes. Solo se con-sideran algunos resultados muy basicos y no se prueban muchos de losteoremas considerados como basicos e importantes, no obstante sı quese hace referencia a ellos y se recomienda bibliografıa adecuada parasu estudio. La razon de presentar estos apuntes de este modo es doble,por una parte, queremos que el lector asimile las nociones y resultadosbasicos y por otra se trata de seleccionar unos contenidos que puedanpresentarse en el poco tiempo que los programas actuales de la Li-cenciatura de Matematicas dejan en las universidades espanolas paraimpartir la Geometrıa Diferencial.

La Geometrıa Diferencial es una tecnica que mediante metodos di-ferenciales da respuesta a numerosos problemas matematicos y ademases una teorıa que unifica la geometrıa euclidia, la llamada geometrıaanalıtica, la geometrıa proyectiva y la geometrıa hiperbolica. En estaintroduccion hacemos unos breves comentarios historicos, senalamoslos objetivos que deseamos que el alumno alcance con estos apuntes ycomentamos los prerequisitos que a nuestro juicio debe reunir este paraleer sin dificultad estas notas sobre Geometrıa Diferencial.

1. Breves comentarios historicos

La geometrıa de las culturas griega y egipcia quedo recogida demodo magistral en los Elementos de Euclides. Esta excepcional obra sefecha aproximadamente hacia el 300 a.C. y en ella se establecen fun-damentos de geometrıa y algebra griega que van a tener una influenciadecisiva a lo largo de los dos milenios siguientes.

Los Elementos se construyen a partir de unos postulados basicosque describen las propiedades elementales de los puntos y las rectas delplano. Senalaremos que con este tratado se plantea uno de los proble-mas que mas polemica ha causado y para cuya resolucion completa sehan necesitado mas de dos milenios. Se trata simplemente de averiguarsi los postulados son independientes y si uno de ellos, frecuentemen-te denominado quinto postulado y tambien postulado de las paralelas,

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depende de los demas. En geometrıa euclidia se verifica que por puntoexterior a una recta pasa una unica recta paralela y va a ser esta pro-piedad la que hace que la resolucion del problema anterior se conozcatambien como la ciencia de las paralelas.

Por brevedad y para centrarnos rapidamente en los aspectos dife-renciales de la geometrıa vamos a dar un gran salto en el tiempo parasituarnos en el siglo XVII. Con ello no queremos que se desprenda queen el periodo intermedio no se dieran importantes avances geometricos.Empezamos esta nueva etapa mencionando a Rene Descartes (1586-1650), eminente cientıfico frances, que en su obra “Geometrıa”, aso-ciaba a cada punto del plano dos coordenadas x, y que le permitieronformular analıticamente numerosos problemas geometricos. Tambienel matematico frances P. Fermat (1601-1665) utilizaba en esta epocacoordenadas rectangulares en dimension dos en su obra “Introducciona la teorıa de lugares planos y espaciales”.

Las tecnicas de la perspectiva eran conocidas desde epocas remo-tas y especialmente fueron desarrolladas por artistas y arquitectos enla epoca del Renacimiento. Gerard Desargues (1593-1662) utilizaba en1936 coordenadas para la construccion de perpectividades. A el se debesu celebre teorema de los triangulos coaxiales y copolares que juega unpapel importante en la descripciones axiomaticas y algebraicas de lasgeometrıas. Mencionaremos tambien a Blaise Pascal (1623-1662) y suteorema del hexagrama mıstico. El uso de perspectividades necesitabade puntos infinitamente alejados que poco a poco dieron lugar a la geo-metrıa proyectiva y sus transformaciones denominadas frecuentementecomo proyectividades. Destacaremos que dos siglos mas tarde la geo-metrıa proyectiva ya se habıa desarrollado como se pone de manifiestoen la obra de Jean-Victor Poncelet (1788-1867) “Tratado de las propie-dades proyectivas de las figuras” que fue publicada en Paris en 1822 sibien fue planificada siendo prisionero en Moscu a causa de las guerrasnapoleonicas.

En el siglo XVII se produce un hito matematico importante: el na-cimiento del calculo diferencial, impulsado principalmente por IsaacNewton (1642-1727) en Inglaterra, e independientemente, por G. W.Leibniz (1646-1716) en Alemania. Poco a poco el uso de tecnicas dife-renciales para la resolucion de problemas geometricos iba determinandola disciplina matematica que hoy denominamos como Geometrıa Dife-rencial.

A comienzos del siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) en su obrade 1704 “Enumeracion de las curvas de tercer orden” clasifica curvassegun el grado de su ecuacion y encuentra su interpretacion geometricacomo el maximo numero posible de puntos de interseccion de la curvacon una recta.

1. BREVES COMENTARIOS HISTORICOS 3

El uso sistematico de coordenadas en dimension tres puede verseya en 1731 en el libro de A. Clairaut (1713-1765) “Investigaciones so-bre curvas de doble curvatura”. Clairaut interpretaba correctamenteuna superficie como las soluciones de una ecuacion unica y la curvasen el espacio las consideraba como interseccion de dos superficies; esdecir, mediante dos ecuaciones. Es muy conocido sus resultados sobrelas propiedades que tienen las geodesicas de una superficie de revolu-cion (veanse los problemas del capıtulo V de estos apuntes). A finalesdel siglo XVII S. F. Lacroix (1764-1848) acuno la denominacion deGeometrıa Analıtica.

Leonard Euler (1707-1783) continua con la investigacion de geodesi-cas sobre superficies, dando la ecuacion diferencial de una geodesica enuna superficie (vease seccion 1 del capıtulo 5 de estos apuntes). Ana-lizo tambien la curvatura de las secciones planas de una superficie, dan-do expresiones para el calculo de las curvaturas principales. En 1771,en un artıculo sobre cuerpos cuyas superficies se pueden superponer enun plano, Euler introdujo el concepto de superficie desarrollable.

Gaspard Monge (1746-1818), en el los anos 80 publica dos obras, enlas que estudia propiedades de curvas en el espacio y de las superficies.Introduce nociones y terminologıa todavıa utilizadas en la actualidad,como las de superficies desarrollable y rectificable, arista de retroce-so, lugar geometrico de los centros de curvatura, etc. La traduccion dehechos geometricos en terminos de ecuaciones en derivadas parcialesy ecuaciones diferenciales ordinarias condujo a la geometrıa diferen-cial a una nueva fase en la que se interrelacionaban algunos aspectosgeometricos con la teorıa de ecuaciones diferenciales.

Una nueva etapa de la Geometrıa Diferencial se pone de manifiestocon las investigaciones de Karl Friedrich Gauss (1777-1855) sobre lageometrıa intrınseca de las superficies, es decir, aquellas que son inva-riantes por transformaciones que preservan las longitudes y los angulosque forman las curvas contenidas en las superficie. Citaremos el lla-mado teorema egregio de Gauss que asegura que la curvatura de unasuperficie es intrınseca.

A finales de siglo XVIII y principios del XIX aparecen los tres prin-cipales artıfices en la historia de la geometrıa no euclidiana: Gauss(Grunswick, 1777-Gotinga, 1855), Nikolai Ivanovich Lobachevski (Ba-jo Novgorod, actual Gorki, 1792-1856), Janos Bolyai (Kolozsvar, ac-tual Cluj-Napoca, Rumania, 1802-1860). Aunque la correspondenciade Gauss prueba los grandes avances realizados por este en la cienciasde las paralelas el merito de su descubrimiento se atribuye de modoindependiente a Lobachevki y a Bolyai. Es sus publicaciones ellos de-sarrollan una nueva geometrıa suponiendo que a contrario de lo quesucede en la geometrıa euclidea por un punto exterior a una recta pasamas de una paralela. Esta nueva geometrıa se denomina geometrıa noeuclidiana o hiperbolica.

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A mediados del siglo XIX aparece un nuevo principio general deque es lo que se puede entender por una geometrıa. Esta idea fue ex-puesta por Bernhard Riemann (1826-1886, alumno de Gauss) en el ano1854 en una conferencia titulada “Sobre las hipotesis que yacen en losfundamentos de la Geometrıa”; posteriormente, esta conferencia, quese publica en 1887, ha sido frecuentemente citada. Segun Riemann,para la construccion de una Geometrıa es necesario dar: una variedadde elementos, las coordenadas de estos elementos y la ley que mide ladistancia entre elementos de la variedad infinitamente proximos. Paraello se supone que las partes infinitesimales de la variedad se mideneuclidiamente. Esto significa que hay que expresar en su forma masgeneral el elemento de arco en funcion de las coordenadas. Para ello seda el elemento generico de arco para cada punto a traves de una formacuadratica definida positiva de la forma ds2 =

∑i,j gijdxidxj . Elimi-

nado la condicion de ser defina positiva este modelo tambien se utilizapara formular la teorıa de la relatividad tanto en su version restringidacomo en la generalizada mediante el uso de variedades de dimensioncuatro, tres coordenadas espaciales y una temporal. En estos modelosse consideran como transformaciones aquellas aplicaciones que dejaninvariante el elemento de arco.

Esta forma de concebir el espacio ha evolucionado con el tratamien-to dado a comienzos del siglo XX en los trabajos de los matematicositalianos M. M. G. Ricci (1853-1925) y T. Levi-Civita (1873-1941) hastala nocion que hoy denominamos como variedad riemanniana. La defi-nicion que actualmente utilizamos de variedad diferencial se atribuye aHassler Whitney [36] que en 1936 presentaba una variedad como unaserie de piezas euclidias pegadas con funciones diferenciables.

Aquellos lectores que deseen conocer otros aspectos historicos deldesarrollo de la geometrıa pueden consultar los libros [37] , [38]. Paraaquellos aspectos relacionados con geometrıas euclidias y no euclidiasconsideramos interesante el libro de Bonola [39] y la pagina web 3.1.

En una variedad riemanniana se dispone de una forma bilineal en elespacio tangente de cada punto de la variedad que permite medir longi-tudes de vectores tangentes y el angulo determinado por dos vectores.Utilizando las tecnicas usuales de integracion se pueden determinar laslongitudes de las curvas que se consideren en dicha variedad y se puedecalcular el volumen de adecuadas “regiones medibles” de la variedad.Por otra parte, dados dos puntos de una componente conexa se pue-den considerar todas las curvas que existan en la variedad entre esosdos puntos. Si los dos puntos estan “suficientemente proximos”entoncesexiste una curva especial que es la que realiza el recorrido entre elloscon la menor longitud posible. Estas curvas se denominan geodesicas.

Tambien se introducen la nocion de curvatura riemanniana que aso-cia un escalar a cada plano tangente a cada punto de la variedad y quepara el caso de superficies coincide con la nocion de curvatura de Gauss.

2. OBJETIVOS DIDACTICOS 5

En los casos en que la curvatura sea cero la variedad riemanniana sedice que es parabolica, si es constante y mayor que cero se dice quees elıptica y si es constante y negativa se dice que es una variedad hi-perbolica. Este modelo matematico denominado variedad riemannianacontiene la mayor parte de los modelos geometricos estudiados hastael siglo XX. Por una parte, los espacios euclıdeos se pueden conside-rar como variedades riemannianas con curvatura de Riemann nula, lasesferas y espacios proyectivos tienen estructura de variedades rieman-nianas elıpticas y los espacios no euclidianos son casos particulares devariedades riemannianas hiperbolicas. Ademas, las superficies e hiper-superficies de los espacios euclidianos admiten tambien de modo naturalestructura de variedad riemanniana.

Estas propiedades hacen que la geometrıa riemanniana sea un mar-co adecuado para el estudio de la geometrıa. No obstante, existen otrasformas de abordar el estudio de la geometrıa; por ejemplo, el estudio degrupos discontinuos de transformaciones da una forma de presentar lageometrıa como el estudio de propiedades de grupos de transformacio-nes tal y como la presento Klein en su famoso programa de Erlangen.Hemos de decir que existen modelos mas generales que generalizan si-multaneamente la geometrıa riemanniana y el enfoque de geometrıacomo estudio de las propiedades de los grupos de transformaciones.

2. Objetivos didacticos

Los objetivos mas importantes que se pretenden alcanzar con elprograma de Geometrıa Diferencial son los siguientes:

1) Que se comprenda la nocion de variedad diferencial ası como laimportancia de sus aplicaciones en otras ciencias.

2) Que se adquieran las herramientas basicas de trabajo, aprendien-do nociones fundamentales tales como inmersion, submersion, campos,formas, etc.

3) Que se conozcan variedades importantes tales como esferas, es-pacios proyectivos, variedades de Grassmann, grupos de Lie, hipersu-perficies de espacios euclıdeos, etc.

4) Que se adquieran los procedimientos basicos para construir nue-vas variedades: productos, espacios de orbitas de grupos de transfor-maciones discontinuos, cubiertas, fibrados, etc.

5) Que se comprenda que existen otras estructuras analogas o “proxi-mas” a la nocion de variedad diferenciable, y que muchas de las tecnicasdesarrolladas se pueden trasladar a otros contextos. Por ejemplo, varie-dades de clase Cr, variedades analıticas, variedades con singularidades,variedades con borde, etc.

6) Que se compruebe que la nocion de variedad riemanniana propor-ciona un buen marco para el estudio de muchos aspectos geometricos.

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7) Que se valore positivamente el efecto unificador de la geometrıariemanniana al contener como casos particulares, por un lado, las geo-metrıas elıpticas, parabolicas e hiperbolicas y, por otro, la geometrıade curvas y superficies.

8) Que se conozca la tecnica de conexiones y conexiones riemannia-nas y su utilizacion en el estudio de geodesicas y curvaturas.

9) Que el alumno conozca los hitos historicos mas importantes quehan determinado la aportaciones mutuas y enriquecedoras de la geo-metrıa y el calculo diferencial dando lugar a una disciplina matematicaconsolidada y llamada Geometrıa Diferencial.

Con este programa, ademas de intentar dar una formacion muybasica sobre algunos aspectos geometricos, se ha intentado seleccionarlos temas mas motivadores. Se ha preferido renunciar a enfoques muygenerales, escogiendo aquellos metodos que ilustran mejor las propie-dades geometricas de las variedades.

3. Prerequisitos

Se supone que el alumno ha realizado cursos de analisis en los quese han introducido la derivada lineal de funciones de varias variables,derivadas direccionales, derivadas parciales, teorema de la funcion in-versa y teorema de la funcion implıcita. Es tambien conveniente que elalumno conozca las tecnicas de integracion de funciones de una y variasvariables tanto es sus aspectos teoricos como en los mas practicos.

Tambien supondemos que el alumno esta familiarizado con la reso-lucion de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, especialmentede las de primer y segundo orden y los sistemas de ecuaciones diferen-ciales lineales. En estas notas aplicaremos principalmente estas tecnicasal estudio de geodesicas en una variedad riemanniana y al calculo decurvas integrales de un campo.

Tambien son fundamentales el conocimiento de las nociones y pro-piedades basicas topologicas asi como las tecnicas usuales de construc-cion de espacios topologicos. Respecto nociones, senalaremos principal-mente un buen conocimiento de las propiedades de primero y segundonumerable, conexion y conexion por caminos y las correspondientes co-nexiones locales y tambien la propiedad de compacidad. En cuanto ametodos de construccion senalaremos el uso continuo de subespacios,productos y topologıas cocientes. Estas notas contienen alguna cons-truccion en la que se utliliza la nocion y propiedades de los espaciosrecubridores y particularmente del recubridor universal. Si bien no esnecesario para la lectura de estas notas si consideramos recomendableel conocimiento de las propiedades de los espacios recubridores y surelacion con el grupo fundamental.

Finalmente, aunque tampoco es estrictamente necesario, recomen-damos tambien adquirir una formacion elemental sobre la nocion de

3. PREREQUISITOS 7

grupo, aquı utilizamos algunos grupos de transformaciones unas ve-ces se trata de grupos continuos de Lie y otras grupos discontinuos detransformaciones que se utilizan para expresar una variedad como co-ciente de otra mas conocida. Es tambien de interes el conocimiento dela nocion de modulo que utilizamos para el estudio de todos los campostangentes y formas globales de una variedad sobre el anillo de las fun-ciones globales reales. Tambien mencionamos los espacios vectorialesreales y sus corresponcientes aplicaciones lineales con las nociones aso-ciadas dimension y rango que son herramienas basicas para el analisisde funciones diferenciales.

CAPıTULO 1

VARIEDADES DIFERENCIALES

En este capıtulo, introducimos la nocion de variedad diferencialy funcion diferenciable, tambien vemos que una variedad determinauna topologıa en el correspondiente conjunto soporte y estudiamos laspropiedades basicas de las estructuras diferenciable y topologica de unavariedad.

1. Nociones previas y notaciones

Definicion 1.1. Una funcion ϕ : X → Y con dominio Dom ϕ ⊂ Xes una correspondencia que asocia a cada x ∈ Dom ϕ un unico elementoϕx ∈ Y . El conjunto ϕx|x ∈ Dom ϕ lo llamaremos conjunto imagen,Im ϕ , rango de la funcion o codominio de la funcion, Codom ϕ .Diremos que X es el conjunto inicial y que Y es el conjunto final de ϕ .

Dada una funcion ϕ : X → Y si A es un subconjunto de X denotare-mos por ϕ|A : X → Y la funcion cuyo dominio es Dom (ϕ|A) = A∩Domϕ y para cada x ∈ A ∩ Dom ϕ , ϕ|A(x) = ϕ(x) . Notemos queCodom (ϕ|A) = ϕx|x ∈ A ∩Domϕ .

Dada una funcion ϕ : X → Y si A es un subconjunto de X deno-taremos por ϕ/A : A → Y la funcion cuyo dominio es Dom (ϕ/A) =A∩Dom ϕ y para cada x ∈ A∩Dom ϕ , ϕ/A(x) = ϕ(x) . Notemos queCodom (ϕ|A) = ϕx|x ∈ A ∩ Domϕ . A diferencia de ϕ|A la funcionϕ/A tiene como conjunto inicial A .

Si ϕ : X → Y es una funcion y B es un subconjunto de Y , entoncesdenotaremos por ϕ−1B = x ∈ X|ϕ(x) ∈ B . Dadas dos funcionesϕ : X → Y , ψ : Y → Z se define la funcion composicion ψϕ : X → Zcomo aquella que tiene como dominio Dom (ψϕ) = ϕ−1( Dom ψ)y esta definida por ψϕ(x) = ψ(ϕ(x)) . Notese que Codom(ψϕ) =ψ(Codomϕ) .

Sea ϕ : X → Y una funcion. Se dice que ϕ : X → Y es inyectivacuando se verifica que si ϕ(x) = ϕ(y) , entonces x = y . Dada unafuncion inyectiva ϕ : X → Y , entonces podemos considerar la funcioninversa ϕ−1 : Y → X que tiene por dominio Dom (ϕ−1) = Codom ϕ .Una funcion ϕ : X → Y es suprayectiva o sobreyectiva si Codomϕ =Y . En este caso tambien se dice que ϕ es una funcion de X sobre Y .Diremos que una funcion ϕ : X → Y es global si Domϕ = X .

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10 1. VARIEDADES DIFERENCIALES

Definicion 1.2. Sean X e Y espacios topologicos. Una funcionf : X → Y es continua si la aplicacion f/Dom f : Dom f → Y escontinua donde en Dom f se considera la topologıa relativa.

Definicion 1.3. Se dice que una funcion f : Rn → R es de claseC∞ en un punto r0 ∈Dom f si existe un entorno abierto V de r0 tal queV ⊂Dom f y f tiene en todos los ordenes posibles todas las derivadasparciales y estas son continuas en V . Se dice que f es de clase C∞ si fes de clase C∞ en todos los puntos r0 de Dom f .

Definicion 1.4. Se dice que una funcion f : Rn → Rm es de claseC∞ en un punto r0 ∈Dom f si lo son cada una de sus componentesf1, . . . , fm : Rn → R . Se dice que f es de clase C∞ si f es de clase C∞

en todos los puntos r0 de Dom f .

Si f : Rn → R es una funcion C∞ si i-esima derivada parcial la de-

notaremos por ∂f∂ri

, observemos que Dom(∂f∂ri

)= Dom f . El valor de

la i-esima derivada parcial de f en un punto p ∈ Dom f lo denotaremos

por(∂f∂ri

)p

. Utilizaremos con frecuencia las siguientes propiedades de

las funciones C∞ .

Proposicion 1.1. (i) Si f : Rn → Rm es una funcion C∞ enun punto r0 ∈Dom f , entonces f es continua en r0 .

(ii) Sea f : Rn → Rm una funcion C∞ en un punto r0 ∈Dom f ysea g : Rm → Rl otra funcion C∞ en el punto f(r0) . Entoncesgf es C∞ en el punto r0 .

(iii) Sean f, g : Rn → Rm funciones tales que Dom f ⊂ Dom g yg|Dom f = f . Si r0 ∈ Dom f y f es C∞ en r0 , entonces g esC∞ en r0 .

(iv) Sea f : Rn → Rm una funcion C∞ y supongamos que un abier-to U ⊂ Dom f . Entonces f |U es C∞ .

(v) Si f : Rn → Rm es una funcion C∞ , entonces Dom f es unabierto de Rn .

PROBLEMAS

1.1. Sean f, g : Rn → R funciones. Demostrar que si f y g son C∞ ,entonces f + g , f · g son C∞ .

1.2. Sea g : Rn → R funcion tal que g(r) 6= 0 para r ∈ Dom g.Demostrar que si g es C∞ , entonces 1

g, es C∞ . Probar que si ademas

f : Rn → R es es C∞ , entonces fg

es una funcion C∞ .

1.3. Demostrar que toda funcion racional f : Rn −→ R es una fun-cion C∞.

2. LA NOCION DE VARIEDAD DIFERENCIAL 11

Solucion: Es conocido que las proyecciones ri : Rm → R , parai ∈ 1, · · · , · · · , y las aplicaciones constantes a : Rm → R son C∞ .Aplicando el problema 1.1 se obtiene que las aplicaciones polinomicasson C∞ . Como consecuencia del problema 1.2 se sigue que las funcionesracionales son C∞ .

1.4. Demostrar que la funcion f : R −→ R tal que f(r) = r12 que

tiene como dominio (0,∞) es una funcion C∞.

1.5. Comprobar que las funciones f, g : R −→ R dadas por f(x) =

x13 y g(x) = x3 sirven de ejemplo para demostrar la falsedad de la

siguiente afirmacion: “Dadas dos funciones f y g, tales que gf y g sonde clase C∞ en x y f(x) respectivamente, entonces f es de clase C∞

en x”.

Solucion: Notemos que f no es de clase C1 en el punto x = 0 . Enefecto df

dx= 1

3x−23 ni esta definida ni admite una extension continua

para x = 0 . En este caso se tiene que gf = idR y g es una aplicacionpolinomica, por lo que ambas son de clase C∞ . Luego gf es de claseC∞ en 0 y g es de clase C∞ en f(0) = 0 . Sin embargo f no es de claseC∞ en 0 .

2. La nocion de variedad diferencial

Definicion 2.1. Sea M un conjunto cualquiera, una funcionx : M → Rm inyectiva con rango abierto se llama carta m-dimensional.Si tomamos las proyecciones canonicas ri : Rn → R , a la composicionxi = rix : M → R se le llama la i-esima coordenada de la carta.

Definicion 2.2. Sea M un conjunto cualquiera. Una coleccionA = xα|xα carta n-dimensional sobre el conjunto M es denominadaatlas diferenciable n-dimensional de M si se satisfacen las siguientescondiciones:

(i) La reunion de los dominios de las cartas es M .(ii) Para cada pareja de cartas xα, xβ de A la funcion xβx

−1α es de

clase C∞ .

Definicion 2.3. Sea M un conjunto cualquiera. Dos atlas A , Bdiferenciables y m-dimensionales de M son compatibles si A ∪ B es unatlas diferenciable n-dimensional de M .

Proposicion 2.1. La relacion de compatibilidad en la familia de losaltas diferenciables m-dimensionales de un conjunto M es una relacionde equivalencia.

Demostracion. La propiedades reflexiva y simetrica se verificanfacilmente. Para comprobar la transitividad supongamos que A,B, C


son atlas diferenciables de M de modo que A,B son compatibles y B, Ctambien lo son. Puesto que tanto A como B son atlas se verifica quela reunion de los dominios de A ∪ C es M . Para ver que se verifica lapropiedad (ii), sean xα carta de A y xγ carta de C . Veamos que xγx

−1α

es C∞ en cada uno de los puntos de su dominio. Sea r0 = xα(p0) conp0 ∈ Dom xγ , tomemos una carta xβ en el punto p0 . Notemos que(xγx

−1β )(xβx

−1α ) es C∞ y su dominio U es un abierto tal que r0 ∈ U ⊂

Dom(xγx−1α ) . Entonces (xγx

−1α )|U = (xγx

−1β )(xβx

−1α ) que es C∞ por

ser composicion de funciones C∞ . vease (ii) de la proposicioon 1.1 .Aplicando ahora (iii) de la proposicion 1.1 se tiene que xγx

−1α es C∞ en

r0 , esto para cada r0 de su dominio por lo tanto xγx−1α es C∞ . De

modo analogo se ve que un cambio de la forma xαx−1γ es C∞ .

Definicion 2.4. Una variedad diferencial m-dimensional1 consisteen un conjunto M y en una clase de equivalencia [A] del conjunto deatlas diferenciables n-dimensionales modulo la relacion de compatibili-dad. Llamaremos a M el conjunto soporte de la variedad y la clase [A]diremos que es la estructura diferenciable dada sobre el conjunto M .

Notemos que una variedad queda determinada por unapareja (M,A) donde A es una atlas diferenciable n-dimensional deM . Dos parejas (M,A) (M,B) determinan las misma variedad si A escompatible con B . Cuando el contexto no de lugar a confusion, diremosque A es la estructura diferenciable de la variedad en vez de su clasede equivalencia. Tambien sera frecuente que denotemos directamentepor M a una variedad diferenciable de modo que unas veces M denotael conjunto soporte y otras la pareja formada por el conjunto soportey la estructura diferenciable.

En la familia de los atlas diferenciables m-dimensionales de un con-juntoM , se puede considerar la relacion de contenido⊂ . Los elementosmaximales verifican la siguiente propiedad:

Proposicion 2.2. Las estructuras diferenciables m-dimensionalessobre el conjunto M estan en correspondencia biunıvoca con los ele-mentos maximales del conjunto ordenado de los atlas diferenciablesm-dimensionales de M .

Demostracion. Sea c una clase de equivalencia, y consideremosMc = ∪C∈cC . En primer lugar, comprobaremos que Mc es un atlas.Supongamos que xα ∈ A ∈ c y xβ ∈ B ∈ c . Puesto que A ∪ B es unatlas se tiene que x−1

β xα es C∞ . Ademas es obvio que la reunion delos miembros de Mc es M . Por lo tantoMc es un atlas y tambien setiene que Mc ∈ c . En segundo lugar veremos que Mc es maximal. Si

1La definicion moderna de variedad diferencial se atribuye a Hassler Whitney[36]


Mc ⊂ D , entoncesMc∪D = D es un atlas luego D ∈ c y por lo tantoD ⊂Mc. Por lo que Mc es maximal.

Ahora a cada atlas maximal M le podemos asociar la clase cM =[M] . Sea c = [A] , entonces A ⊂Mc y en consecuencia [Mc] = [A] =c . Por otra parte, si C es maximal, se tiene que C ⊂ M[C] . EntoncesC =M[C] .

Ejemplo 2.1. Sea U un abierto de Rn , consideremos la inclusionx = in: U → Rn que es inyectiva y tiene codominio abierto. Entonces elatlas A = x da una estructura diferenciable n-dimensional al abiertoU . En particular la identidad de Rn induce una estructura canonicade variedad en Rn .

Proposicion 2.3. Sean M y N variedades diferenciales y seaf : M → N una funcion. Sean un punto p ∈ M , cartas x , x deM en p e y , y de N en fp . Entonces yfx−1 es de clase C∞ en x(p) siy solo si yf x−1 es de clase C∞ en x(p) .

Demostracion. Supongamos que yfx−1 es de clase C∞ en x(p) .Como xx−1 es C∞ en x(p) y yy−1 es C∞ en yf(p) si aplicamos (ii) dela proposicion 1.1 se tiene que (yy−1)(yfx−1)(xx−1) es C∞ en x(p) .Ademas Dom(yy−1yfx−1xx−1) ⊂ Dom(yf x−1) . Por lo tanto comoconsecuencia del apartado (iii) de la proposicion 1.1 obtenemos queyf x−1 es de clase C∞ en x(p) .

Definicion 2.5. SeanM yN variedades diferenciales y sea f : M →N una funcion. Se dice que f es diferenciable en un punto p ∈ M siexisten cartas x de M en p e y de N en fp tal que yfx−1 es de claseC∞ en x(p) . Se dice que f es diferenciable si f es diferenciable encada punto de su dominio. Diremos que f es un difeomorfismo si f esinyectiva y f , f−1 son diferenciables. Se dice que una variedad M esdifeomorfa a una variedad N si existe un difeomorfismo global de Msobre N .

Proposicion 2.4. Una funcion F : Rn → Rm es diferenciable si ysolo si F : Rn → Rm es de clase C∞ .

Demostracion. Sea x = idRn e y = idRm , entonces yFx−1 = F .De la definicion de funcion diferenciable se tiene que F es diferenciablesi y solo si F es C∞ .

Notemos que para dar la definicion de variedad diferencial y fun-cion diferenciable hemos utilizado los espacios Rn y las funciones C∞

entre ellos. Si en vez de utilizar estas funciones utilizamos, por ejemplo,funciones de clase Ck , se obtiene la nocion de variedad de clase Ck n-dimensional. En particular, para k = 0 tenemos la nocion de variedadtopologica. Otra familia interesante es la de las variedades analıticas


reales, para definir esta nocion se utilizan funciones analıticas reales. Estambien frecuente utilizar el semiespacio Rn+ = (r1, · · · , rn)|rn ≥ 0para introducir la nocion de variedad con borde. Para definir las varie-dades complejas se usa el espacio Cn . Tambien se consideran espaciosde Banach para introducir variedades de dimension infinita.

PROBLEMAS

2.1. Demostrar que la funcion β : R −→ R definida por β(x) = x3

es una carta que determina una estructura diferenciable en R diferentede la estructura estandar.

Solucion: Supondremos conocido que la funcion β(x) = x3 es globaly biyectiva. Entonces β es un atlas para el conjunto M . Notemosque id−1 β = β es de clase infinito. Sim embargo idβ−1 = β−1 no esde clase C1 ya que no es derivable en el punto x = 0 . Por lo tanto(R, [id]) 6= (R, [β]) .

2.2. Sea N el subconjunto de R2 que es union de los siguientesconjuntos de puntos: N1 = (x1, x2)|x1

2 +x22 = 1 y N2 = (0, x2)|1 <

x2 < 2 . Demostrar que las funciones α, β : N −→ R definidas de lasiguiente manera: α(0, t) = 1− t si 1 < t < 2 y α(sen 2πt, cos 2πt) = tsi 0 ≤ t < 1 y β(0, t) = 1 − t si 1 < t < 2 y β(sen 2πt, cos 2πt) =1 − t si 0 < t ≤ 1, determinan estructuras diferenciables en N . ¿Soncompatibles estas estructuras?

2.3. Consideramos en R las dos siguientes estructuras de varie-dad diferencial: a) la estructura estandar, b) la que le dota la funcionβ : R −→ R definida por β(x) = x3 . Demostrar que estas dos varieda-des diferenciales son difeomorfas.

Solucion: Consideremos la funcion β−1 : (R, [id]) → (R, [β]) .Puesto que β es una biyeccion solo es necesario comprobar que β, β−1

son diferenciables. Notemos que id−1 β−1β = id es de clase C∞ . Tam-bien β−1β id = id es de clase C∞ . Esto implica que β es un difeomorfis-mo global y suprayectivo. Luego la variedades (R, [id]) , (R, [β]) ,que ya hemos visto que son distintas, son difeomorfas.

2.4. Demostrar que las dos variedades distintas que se han definidosobre el conjunto N del ejercicio 2.2 son difeomorfas.

2.5. Sea f : A −→ M una biyeccion definida en un conjunto A yque toma valores en una variedad diferencial M . Demostrar que:

(i) Si α es una carta de M , αf es una carta para A.(ii) La coleccion de todas las cartas definidas en el anterior apar-

tado es un atlas diferenciable para A.(iii) f es un difeomorfismo entre las variedades A y M .


Solucion: (i) Puesto que la composicion de funciones inyectivas eninyectiva, se tiene que αf es inyectiva. Por ser f una biyeccion se ob-tiene que Codom(αf) = Codom(α) es un abierto. Entonces cada αfes una carta diferenciable de la misma dimension que la de M . (ii) Lareunion de los dominio es la siguiente: ∪Dom(αf) = ∪f−1(Dom α) =f−1(∪Dom α) = f−1M = A . Para α, β cartas de M , el cambio decartas viene dado por (αf)(βf)−1 = αff−1β−1 = αβ−1 que es una fun-cion de clase C∞ . (iii) Para cada carta α se tiene que αf(αf)−1 = id y(αf)f−1(α)−1 = id son de clase C∞ . Entonces f es un difeomorfismoglobal y sobre de A en M .

2.6. Sea A un conjunto con cardinalidad del continuo y n un enterono negativo. Probar que A admite al menos un estructura de variedaddiferencial n-dimensional.

Solucion: Para n = 0 , para cada elemento a ∈ A se puede consideraruna carta a : A → R0 tal que Dom a = a y definida por a(a) = 0 .El atlas a|a ∈ A dota a A de una estructura de variedad diferencial0-dimensional. Para cada n > 0 , puesto que cada Rn tambien tiene lacardinalidad del continuo, existen una biyeccion x : A → Rn de modoque (A, [x]) es una variedad diferencial de dimension n .

2.7. Sea ∅ el conjunto vacio y n un entero no negativo. Probarque ∅ admite exactamente un estructura de variedad diferencial n-dimensional para cada n .

2.8. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo4.2 y el atlas determimado al tomar argumentos en el ejemplo 4.3 paraS1 son equivalentes.

2.9. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo4.2 y el atlas estereografico del ejemplo 4.4 para Sn−1 son equivalentes.

2.10. Sea M una variedad diferencial de dimension n. Demostrarque:

(i) Toda carta de M es un difeomorfismo.(ii) Todo difeomorfismo f : M −→ Rm es una carta de M .

Solucion: (i) Hemos de probar que si x : M → Rm es una carta deM , entonces x, x−1 son diferenciables en cada punto de su dominio.Para cada p ∈ Dom x tomemos las cartas x en p e idRm en x(p) .Notemos que idRm xx

−1 = id |Codomx y xx−1 id−1Rm

= id |Codomx son declase C∞ . Por lo tanto x, x−1 son diferenciables.

Para probar (ii) supongamos que f es un difeomorfismo. Para pro-bar que f es una carta hemos de ver que es compatible con todas lascartas de un atlas de M . Si x es una carta de M , entonces aplicado(i) se tiene que fx−1 y xf−1 son diferenciables. Puesto que ademas son


funciones de Rm en Rm se tiene que fx−1 y xf−1 son de clase C∞ .Por lo tanto f es compatible con todas las cartas de un atlas, luego fes una carta de M .

2.11. Sean M y M ′ dos variedades de la misma dimension sobreel mismo conjunto soporte. Demostrar que si la aplicacion identidadid : M −→ M ′ es un difeomorfismo, M y M ′ tienen el mismo atlasmaximal y por lo tanto M = M ′.

2.12. Sea f : M −→ N una funcion entre variedades diferenciales.Demostrar que f es diferenciable en un punto p de su dominio si ysolo si ψf es diferenciable en p para toda funcion ψ : N −→ R que esdiferenciable en f(p).

Solucion: Si f es diferenciable en p , aplicando las propiedades decomposicion de funciones diferenciables, se obtiene que ψf es diferen-ciable en p . Reciprocamente, sea x una carta en p e y una carta enf(p) con componentes yi : N → R . Entonces se tiene que yfx−1 =(y1fx

−1, · · · , ynfx−1) . Teniendo en cuenta que y1f, · · · , ynf son dife-renciables en p , se concluye que f es diferenciable en p .

3. La topologıa de una variedad diferencial

Proposicion 3.1. Sea A una atlas diferenciable m-dimensionalsobre un conjunto M . Sea x una carta de A y supongamos que W ⊂Dom x tal que x(W ) es una abierto de Rn , entonces A ∪ x|W escompatible con A .

Demostracion. Sea y una carta de A . Entonces

y(x|W )−1 = yx−1|x(W )∩Dom(yx−1)

(x|W )y−1 = (xy−1)|(xy−1)−1xW .

Aplicando la proposicion 1.1 se obtiene que estas funciones son C∞ .Ademas la reunion de los dominios de A∪x|W contiene a la reunionde los dominios de A que es M .

Proposicion 3.2. Los dominios de las cartas del atlas maximal deuna variedad diferencial M verifican las condiciones necesarias para serla base de una topologıa en el conjunto M .

Demostracion. En primer lugar, notese que la reunion de losdominios de las cartas de un atlas maximal M es el conjunto M . Ensegundo lugar, si x, y son cartas de M entonces x(Dom x ∩ Dom y) =Dom(yx−1) que es un abierto por ser dominio de una funcion C∞ .Aplicando la proposicion 3.1 se obtiene que x|Domx∩Domy es tambien unacarta del atlas maximal. Consecuentemente Domx∩Dom y es tambienel dominio de una carta del atlas maximal.

3. LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD DIFERENCIAL 17

Proposicion 3.3. Sea una variedad diferencial M con su topo-logıa inducida. Si x es una carta de M , entonces la funcion x es unhomeomorfismo.

Demostracion. Puesto que Dom x es un abierto para ver que xes una funcion abierta es suficiente ver que las imagenes de los abiertosbasicos son abiertos euclıdeos. Sea W ⊂ Dom x un abierto basico quesera el dominio de una carta y . Teniendo en cuenta que el dominiode yx−1 es abierto y que Dom(yx−1) = x(W ) se deduce que x(W ) esabierto. Para ver que x es continua, sea U abierto de Rm, si W =x−1(U) se tiene que x(W ) = Codom x ∩ U es un abierto. Aplicando laproposicion 3.1 obtenemos que x|W es tambien una carta y su dominioW es un abierto basico y por lo tanto abierto. Luego la funcion x esun homeomorfismo.

Proposicion 3.4. Sean M y N variedades diferenciales y seaf : M → N una funcion. Si f es diferenciable en un punto p de M ,entonces la funcion f es continua en p .

Demostracion. Sean x e y cartas de M y N en los puntos py f(p) , respectivamente. Entonces yfx−1 es C∞ en el punto x(p) .Por lo tanto existe un abierto U de Rm tal que U ⊂ Dom(yfx−1) yF = yfx−1|U es C∞ . Ademas podemos suponer que U ⊂ Codom x .Aplicando la proposicion 1.1 tenemos que F es continua en U . Porser la funcion x continua se tiene que x−1U es un abierto. Teniendo encuenta que y es un homeomorfismo se concluye que y−1Fx es continuaen el abierto x−1U ⊂ Dom f . Por otra parte f |x−1U = y−1Fx . Por lotanto f es continua en x−1U y en consecuencia en el punto p .

Proposicion 3.5. Sean M y N variedades diferenciales, f : M →N una funcion y U un abierto de M . Si f es diferenciable, entoncesla funcion f |U es diferenciable. Si f es un difeomorfismo, entonces lafuncion f |U es un difeomorfismo.

Demostracion. Sea p ∈ Dom(f |U ) = Dom f ∩ U . Sean x e ycartas de M y N en los puntos p y f(p) , respectivamente. Notemosque y(f |U)x−1 = yfx−1|x(f−1(Dom y)∩U ) . Por ser f diferenciable, apli-cando la proposicion 3.4, obtenemos que f es continua y por lo tantof−1(Dom y) es un abierto de M . Por la proposicion 3.3 se tiene quex es un homeomorfismo y en consecuencia x(f−1(Dom y) ∩ U) es unabierto. Por ser f diferenciable en el punto p , entonces yfx−1 es C∞ enel punto x(p) ∈ x(f−1(Dom y)∩U) ⊂ x(f−1(Dom y)) = Dom(yfx−1) .Aplicando la proposicion 1.1 se obtiene que y(f |U)x−1 es C∞ en el pun-to x(p) . Luego f |U es diferenciable en cada punto de su dominio, y porlo tanto f |U es diferenciable.

Supongamos ahora que f es un difeomorfismo. Entonces f |U estambien inyectiva y diferenciable por el argumento anterior. Por ser


f−1 continua se tiene que f(U) = (f−1)−1(U) es abierto. Notemos que(f |U )−1 = f−1|f(U ) tambien es diferenciable. Entonces tenemos que f |Ues un difeomorfismo.

Proposicion 3.6. Sean P , Q , R variedades diferenciales, f : P →Q , g : Q → R funciones diferenciables. Si f , g son diferenciables,entonces gf es diferenciable.

Demostracion. Sea a ∈ Dom(gf) y tomemos cartas x, y, z en a ,f(a) y gf(a) , respectivamente. Notemos que Dom((zgy−1)(yfx−1)) ⊂Dom(zgfx−1) . Ademas zgfx−1|Dom((zgy−1)(yfx−1)) = (zgy−1)(yfx−1) .Sabemos que yfx−1 es C∞ en x(a) y que zgy−1 es C∞ en yf(a) .Aplicando la proposicion 1.1 se obtiene que (zgy−1)(yfx−1) es C∞ enx(a) . Por lo tanto zgfx−1 es C∞ en x(a) . De aquı se obtiene que gf esdiferenciable en cada a de su dominio. Luego gf es diferenciable.

PROBLEMAS

3.1. Sea M una variedad diferencial n-dimensional y sea x una cartaen un punto p de M sea Bε(x(p)) una bola de centro x(p) contenida enCodom x . Probar que x−1Bδ(x(p))|δ < ε es una base de entornos dep en la topologıa inducida por la variedad M .

Solucion: Por un resultado obtenido en un ejercio anterior sabemosque la carta x : M → Rm es un homeormorfismo. Sea G un entorno dep en M , entonces existe un abierto U tal que p ∈ U ⊂ G . Notemosque V = U ∩ Dom x es tambien un entorno abierto de p en Dom x .Aplicando que x es un homeoemorfismo se tiene que x(V ) es un entornoabierto de x(p) en Codom x , Puesto que Bδ(x(p))|δ < ε es unabase de entornos de x(p) en Codom x , tenemos que existe δ tal quex(p) ∈ Bδ(x(p)) ⊂ x(V ) . Entonces p ∈ x−1Bδ(x(p)) ⊂ V ⊂ U ⊂ G .Por lo tanto se deduce que x−1Bδ(x(p))|δ < ε es una base de entornosde p en la topologıa inducida por la variedad M .

3.2. Encontrar un espacio topologico que no admita estructura devariedad. Es decir que las estructuras diferenciables que admita el con-junto que soporta a dicho espacio tengan topologıas inducidas distintade la dada.

3.3. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmacion:Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables dis-tintas.

3.4. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmacion:Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables noisomorfas.

3.5. Encontrar una funcion continua entre variedades que no seadiferenciable.

4. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIALES 19

4. Ejemplos de variedades diferenciales

Ejemplo 4.1. Espacios vectoriales reales de dimension finita. Seae1, e2, · · · , en una base de un espacio vectorial real E. Notemos que elisomorfismo f : E −→ Rn que asocia a cada vector de E sus coordena-das en la base anterior, es una carta que define una estructura diferen-ciable en el conjunto E. Tenemos que probar que la estructura diferen-ciqable es independiente de la base elegida. Sea e′1, e

′2, · · · , e′n otra base

de E y sea f ′ : E → R es la correspondiente aplicacion coordenada. Siel cambio de base viene dado por e′i =

∑aijej , i, j ∈ 1, · · · , n , en-

tonces el cambio de cartas esata determinado por f ′f−1(r1, · · · , rn) =(∑riai1, · · · ,

∑riain) . Puesto que cada componente de f ′f−1 es de

clase C∞ , se tiene que los atlas f y f ′ son compatibles. (Es-ta estructura se llama estructura diferenciable estandar de un espaciovectorial real.)

La siguiente notacion facilitara la descripcion y demostracion de al-gunos resultados de esta seccion , dada una n-tupla (r1, · · · , ri, · · · , rn)y un i ∈ 1, · · · , n , la (n − 1)-tupla obtenida al suprimir la com-ponente i-esima, (r1, · · · , ri−1, ri+i · · · , rn) la denotaremos a veces por(r1, · · · , ri, · · · , rn) .

Ejemplo 4.2. Sea Sn−1 = r ∈ Rn|r21 + · · · + r2

n − 1 = 0 . Paracada i ∈ 1, · · · , n sean xi+ , xi− funciones de Sn−1 en Rn−1 condominios Domxi+ = r ∈ Sn−1|ri > 0 , Dom xi− = r ∈ Sn−1|ri < 0y definidas por

xi+(r1, · · · , ri, · · · , rn) = (r1, · · · , ri, · · · , rn),

xi−(r1, · · · , ri, · · · , rn) = (r1, · · · , ri, · · · , rn) .

Entonces el atlas x1+, x1−, x2+, x2−, · · · , xn+, xn− dota a Sn−1 de unaestructura de variedad diferencial (n− 1)-dimensional.

Ejemplo 4.3. Sea S1 = (cos r, sen r) ∈ R2|r ∈ R . ConsideremosU = (cos s, sen s) ∈ R2| − π < s < π y V = (cos t, sen t) ∈ R2|0 <t < 2π . Sean x, y dos funciones de S1 en R con dominios Domx = U, Dom y = V y definidas por x(cos s, sen s) = s , y(cos t, sen t) = t . Elcambio de cartas viene dado por

yx−1)(s) =

2π + s si −π ≤ s ≤ 0,

s si 0 ≤ s ≤ π,

que es una funcion C∞ . Entonces el atlas x, y dota a S1 de unaestructura de variedad diferencial 1-dimensional.

Ejemplo 4.4. El atlas estereografico de la esfera Sn−1 = r ∈Rn|r2

1 + · · · + r2n − 1 = 0 . Sean x , y funciones de Sn−1 en Rn−1

con dominios Domx = Sn−1 \ −N (donde N = (0, · · · , 0, 1) es el


“polo Norte”) y Dom y = Sn−1 \ N definidas por x(r1, · · · , rn) =( r1

1−rn , · · · ,rn−1

1−rn ) , y(r1, · · · , rn) = ( r11+rn

, · · · , rn−1

1+rn) . Entonces el atlas

x, y , que llamaremos estereografico, dota a Sn−1 de una estructurade variedad diferencial (n− 1)-dimensional. Notemos que el cambio decartas viene dado por

yi =xi

(x1)2 + · · · + (xn−1)2

Ejemplo 4.5. En Rn+1\0 definimos la siguiente relacion de equi-valencia (r0, · · · , rn) ∼ (s0, · · · , sn) si existe t 6= 0 tal que (r0, · · · , rn) =(ts0, · · · , tsn) . Denotemos la clase de equivalencia de (r0, · · · , rn) por[r0, · · · , rn] y al conjunto cociente por RP n y lo llamaremos espacioproyectivo real de dimension n . Para cada i ∈ 0, · · · , n sea xi la fun-cion de RP n en Rn con dominio Domxi = [r0, · · · , rn] ∈ RP n|ri 6= 0, y definida por xi[r0, · · · , ri, · · · , rn] = (r0/ri, · · · , ri, · · · , rn/ri) . En-tonces el atlas x0, · · · , xn dota a RP n de una estructura de variedaddiferencial n-dimensional.

Ejemplo 4.6. Sea U un abierto de una variedad diferencial m-dimensional M . Entonces U admite una estructura de variedad di-ferencial m-dimensional de tal modo que la inclusion i : U → M esun difeomorfismo. En efecto supongamos que A es un atlas para M ,entonces consideremos la familia AU = x/U |x ∈ A de cartas delconjunto U son un atlas diferenciablem-dimensional que da estructurade m-variedad a U . Es claro que la reunion de los dominios es U . Loscambios de cartas vienen dados por (y/U)(x/U)−1 = yx−1|x(U) queson funciones C∞ . Por otra parte la inclusion inU →M es inyectiva ytanto ella como su inversa son diferenciables. En efecto para cada cartax de M se tiene que x in(x/U)−1 = id|x(U ) = (x/U) in−1 x−1 .

Ejemplo 4.7. M(n×p,R) matrices reales de orden n×p . Tiene es-tructura de variedal diferencial np-dimensional ya que es un espacio ves-torial real de dimension np . Se puede tomar como atlas el formado porla funcion coordenada asociada a la base E11, · · · , E1p, · · · , En1, · · · , Enpque en esencia asocia a una matrız la tupla obtenida al colocar cadafila a continuacion de anterior. Un caso particular es la variedad dematrices cuadradas M(n,R) = M(n× n,R) que tiene dimension n2 .

Ejemplo 4.8. GL(n,R) matrices cuadradas reales y no singulares,tambien se llama el grupo lineal real n-dimensional. Tiene estructura devariedal diferencial n2-dimensional ya que es un abierto de M(n,R) quetiene dimension n2 . Para ver que es un abierto se puede considar laaplicacion determinante det : M(n,R) → R , que por ser una funcionpolinomica es continua, vease 1.3 .


Recordamos a continuacion el siguiente resultado que se suele deno-minar como el teorema de la funcion implıcita. Aquı utilizaremos unaversion enunciada en terminos de funciones C∞ .

Teorema 4.1. (Funcion implıcita) Sea (a, b) un punto del do-minio de una funcion C∞ f : Rp × Rq → Rp tal que f(a, b) = 0 y

det

((∂fi∂rj

)(a,b)

)6= 0 , i, j = 1, · · · , p . Entonces existen entornos abier-

tos V de a en Rp y W de b en Rq tal que para todo w ∈W existe un uni-co ϕ(w) ∈ V tal que f(ϕ(w), w) = 0 . Ademas la funcion ϕ : Rq → Rpes de clase C∞ .

Este resultado facilita la demostracion de que en buenas condicioneslos ceros de una funcion de varias variables con valores reales tieneestructura de variedad.

Teorema 4.2. Sea f : Rn → R una funcion C∞ y sea S = f−10 .Supongamos que para cada z ∈ S existe un i ∈ 1, . . . , n tal que(∂f∂ri

)z6= 0 . Entonces f induce una estructura de variedad diferencial

(n− 1)-dimensional tal que la topologıa de la variedad S coincide conla topologıa de S como subespacio de Rn .

Demostracion. Sea s ∈ S y sea i = i(s) un entero tal que(∂f∂ri

)s6= 0 . Como consecuencia del teorema de la funcion implıci-

ta, existen entornos abiertos W de (s1, · · · , si, · · · , sn) y V de si talque para cada w = (z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈ W existe un unicoϕi(w) ∈ V tal que

f(z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn), zi+1, · · · , zn) = 0

Ademas la funcion ϕi : W → V es C∞ . Sea ahora

W ×V = (z1, · · · , zi, · · · , zn)|(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈W , zi ∈ V que es un abierto de Rn . Sea θi la funcion de Rn en Rn−1 que tiene comodominio W ×V y que aplica (z1, · · · , zi, · · · , zn) en (z1, · · · , zi, · · · , zn) ,es decir es la restriccion de una proyeccion a un abierto. Considere-mos la funcion x : S → Rn−1 definida por la composicion x = θiin, siendo in : S → Rn la inclusion canonica. Notese que Codom x =θi(S ∩ (W ×V )) ⊂ W . Por el teorema de la funcion implıcita da-do w = (z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈ W existe un unico ϕi(w) ∈ Vtal que u = (z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn), zi+1, · · · , zn) ∈f−1(0) = S . Luego u ∈ (S ∩ (W ×V )) = Domx es tal que x(u) = w .De donde se obtiene que Codom x = W es un abierto de Rn−1 .Sean ahora u = (z1, · · · , zi, · · · , zn) y u′ = (z′1, · · · , z′i, · · · , z′n) pun-tos de Dom x tales que x(u) = x(u′) . Entonces (z1, · · · , zi, · · · , zn) =

(z′1, · · · , z′i, · · · , z′n) aplicando la unicidad del teorema de la funcionimplıcita se obtiene que zi = z′i . Por lo tanto u = u′ y se tiene que xes inyectiva.


Sea ahora otra carta de la forma y = θjin . El dominio de yx−1 esθi(S ∩ Dom θi ∩ Dom θj) = θi(S ∩ Dom θi) ∩ θi(Dom θj) = Codom x ∩θi(Dom θj) que es un abierto por ser x una carta y θi una aplicacionabierta. Ademas si j > i , se tiene que

yx−1(z1, · · · , zi, · · · , zn) = y(z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), · · · , zn)

= (z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), zi+1, · · · , zj, · · · , zn) es una fun-cion C∞ . Analogamente se procede para j < i y en el caso i = j ,yx−1 es la identidad de un abierto. Por lo tanto los cambios de cartasson C∞ . Notemos que para cada s ∈ S hemos construido una carta ens , ası que facilmente se deduce que la reunion de los dominios de lascartas es el propio S .

Para ver que la topologıa de la variedad S es precisamente la to-pologıa traza. Veamos por una parte que la inclusion in : S → Rn esdiferenciable. En efecto sea x una carta de S, entonces

idRninx−1(z1, · · · , zi, · · · , zn) = (z1, · · · , ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), · · · , zn)

que es una funcion C∞ . Por otra parte si U es un entorno abierto de scontenido en el dominio de una carta x se tiene que U = S∩ (x(U)×V )y por lo tanto tambien es un entorno abierto de s en la topologıa traza.

Ejemplo 4.9. Variedades de Grassmann 2 . Sea G(np,R) el espaciode todos los p-planos de de Rn . Una base de un p-plano se puederepresentar por una matriz A de dimension n × p que tenga rango p .Notemos que dos matrices A y B representan el mismo p-plano si y solosi existe una matriz T no singular p×p tal que B = AT . De este modorepresentaremos un p-plano como la clase de equivalencia [A] inducidapor la relacion de equivalencia anterior.

Supongamos que α : 1, · · · , p → 1, · · · , n es una aplicacion cre-ciente e inyectiva. Para cada matriz A denotemos por Aα la submatrizformada por las filas α(1), · · · , α(p) y por Aα la submatriz formada porel resto de las filas de A . Notemos que si B = AT con T no singular, setiene que las filas α de B tienen rango maximo si y solo si se verifica lomismo para las de A . Definamos una carta xα : G(np,R) → R(n−p)p detal modo que Dom xα = [A]|Aα es no singular y que viene dada porla formula xα([A]) = (AA−1

α )α . En primer lugar veamos que esta biendefinida. Si B = AT con T matriz regular, se tiene que (BB−1

α )α =(AT (AT )−1

α )α = (AT (AαTα)−1)α = (ATT−1α Aα)α = (AA−1

α )α .Las funciones xα son inyectivas. En efecto si xα([A]) = (AA−1

α )α =(BB−1

α )α = xα([B]) Entonces AA−1α = BB−1

α . Por lo tanto, B =AA−1

α Bα . En consecuencia, [A] = [B] . Por otra parte dado Z ∈R(n−p)p , podemos suponer que Z es una matriz (n−p)×p para despues

2Las variedades de Grassmann juegan un papel importante en la categorıa delas variedades diferenciales. Se ulilizan para el estudio de transversalidad a varie-dades inmersas en variedades riemannianas. Ademas sus grupos de homotopıa y dehomotopıa estable determinan las clases de cobordismo


contruir una unica matriz αZ de dimensidones n× p tal que al extraerlas filas α-esimas se obtenga la matriz identidad, (αZ)α = I y el restode las filas sean precisamente sea la matriz Z , (αZ)α = Z . Entoncesxα([αZ]) = Z . Es decir que las funciones xα son suprayectivas, o dichode otro modo Codom xα = R(n−p)p .

Puesto que la reunion de los dominios es precisamente G(np,R) ylos cambios de cartas son funciones racionales, que son C∞ , entoncesA = xα|α es inyectiva y creciente es un atlas diferencialble (n−p)p-dimensional.

PROBLEMAS

4.1. Demostrar que en S2 el atlas dado por las 6 cartas como subva-riedad de R3 (hipersuperficie) y el atlas estereografico son equivalentes.

4.2. Demostrar que la funcion f : R3 −→ R dada por

f(r1, r2, r3) = r31 + 2r3

2 + r33 + 6r2

1r2 − 1

determina en f−1(0) la estructura de una variedad diferencial. Veasela figuras 1.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-2

-1

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

Figura 1. r31 + 2r3

2 + r33 + 6r2

1r2 − 1 = 0


4.3. Considerar el conjunto de puntos O = (sen 2s, sen s)|s ∈ R .Probar que la funcion x : O → R definida por x(sen 2s, sen s) = s si0 < s < 2π , es una funcion inyectiva con codominio abierto y dominioO . Notese que esta carta determina una estructura diferenciable en O .Probar tambien que la funcion y : O→ R definida por y(sen 2t, sen t) =t si −π < s < π , es una funcion inyectiva con codominio abierto ydominio O . Probar que estas estructuras diferenciables aunque sondistintas son difeomorfas.

Solucion: Estudiemos el cambio de cartas xy−1 . Se tiene queDom(xy−1) = (−π, π) y su codiminio es Codom(xy−1) = (0, 2π) . Elcambio viene dado por la funcion

xy−1(t) =

t + 2π si −π < t < 0,

π si t = 0,

t si 0 < t < π

que no es continua. Luego las estructuras [x] ,[y] son distintas.Sin embargo, si consideramos el difeomorfismo, φ : (−π, π) → (0, π)definido por φ(t) = t + π , se tiene que x−1φy es un difeomorfismoglobal y suprayectivo de (O, [y]) en (O, [x]) .

4.4. Considerar la funcion f : R2 −→ R dada por

f(r1, r2) = r42 − r2

2 +1

4r2

1

Comprobar que f y sus derivadas parciales se anulan simultaneamenteen algun punto. Demostrar que f−1(0) es la figura Ocho. Vease figura2 .

Solucion: Notemos que ∂f∂r1

= r12

y ∂f∂r2

= 4r32 − 2r2 . Entonces si

0 = r12

y 0 = 4r32 − 2r2 . Tiene como soluciones (0, 0) y (0, 1√

2) .

La primera es tambien solucion de f pero la segunda no es un zerode f . Es facil comprobar que r1 = sen 2s y r2 = sen s satisface laecuacion f(r1, r2) = 0 . Reciprocamente, sea (r1, r2) una pareja tal que

r22(r1

2 − 1) =(r12

)2. Entonces r2

2 ≤ 1 , por lo tanto existe t ∈ R tal quer2 = sen t = sen(π − t) . En consecuencia r2

2(r12 − 1) = (sen t cos t)2 =(

sen 2t2

)2=(r12

)2. De aqui se tiene que r1 = sen 2t o r1 = − sen 2t =

sen 2(π − t) . En cualquier de los casos se tiene que (r1, r2) es de laforma (sen 2s, sen s) para algun s .

4.5. Sea F : Rn −→ R un funcion de clase C∞ homogenea de gradomayor o igual que 1 y con al menos un valor positivo. Demostrar quela funcion f : Rn −→ R dada por f(r) = F (r)− 1 determina en f−1(0)una estructura de variedad diferencial.

Solucion: Si F es homogenea de grado k significa que para cadan-tupla r = (r1, · · · , rn) y cada escalar λ se verifica que F (λr) =


Figura 2. Ocho: r42 − r2

2 + 14r2

1 = 0

λkF (r) . Esta funciones verifican que r1∂F∂r1

+ · · · + rn∂F∂rn

= kF . En

efecto, derivando la expresion F (λx) = λkF (x) respecto λ se tiene que

x1

(∂F∂r1

)λx

+ · · · + xn(∂F∂rn

)λx

= kλk−1F (x) . Teniendo en cuenta que

r = λx , obtenemos que r1λ

(∂F∂r1

)r

+ · · · + rnλ

(∂F∂rn

)r

= kλk−1F ( rλ) =

kλF (x) . Multiplicando por λ se obitene la expresion deseeada. Sea aho-

ra un r tal que f(r) = F (r)−1 = 0 . Entonces ∂f∂ri

= ∂F∂ri

. Si suponemos

que en el punto r es tal que ∂f∂ri

= 0 para i ∈ 1, · · · , n . Entonces

kF (r) = r1

(∂F∂r1

)r+· · ·+rn

(∂F∂rn

)r

= 0 . Pero como F (r) = 1 se tendrıa

que k = 0 . Esta contradiccion viene de suponer que todas las deriva-das parciales se anulan en el punto r . Entonces siempre existe algunaderivada parcial que no anula en cada punto r con f(r) = 0 . En con-secuencia r|f(r) = 0 es un variedad diferencial (n− 1)-dimensional.

Es interesante observar si para un r0 , F (r0) 6= 0 , F

(r0

(F (r0)1k

)= 1 .

Por lo tanto r|f(r) = 0 es no vacia.

4.6. Demostrar que las funciones f, g : R3 −→ R dadas por

f(r1, r2, r3) = r21 + r2

2 − r23 − 1

g(r1, r2, r3) = r21 − r2

2 − r23 − 1

determinan en f−1(0) y en g−1(0) una estructura de variedad diferencial(notar que en el primer caso se trata del hiperboloide de una hoja y enel segundo del de dos hojas,vease figura 3). Dar en cada caso un atlasfinito que defina su estructura diferenciable.

4.7. Sea F : Rn−1 −→ R una funcion cualquiera que es diferenciableen Rn−1.

(a) Demostrar que la funcion f : Rn −→ R dada por

f(r1, · · · , rn) = F (r1, · · · , rn−1)− rn


Figura 3. Hiperboloides de una, r21 + r2

2 − r23 − 1 = 0 ,

y de dos hojas, r21 − r2

2 − r23 − 1 = 0 .

determina en f−1(0) , que es el grafo de F , una estructura devariedad diferencial.

(b) Demostrar que esta variedad de difeomorfa a Rn−1.(c) Considerar como ejemplo las variedades diferenciales en R3

determinadas por las funciones f, g : R3 −→ R , vease 4 , dadaspor:(i) f(r1, r2, r3) = r2

1 + r22 − r3

(ii) g(r1, r2, r3) = r21 − r2

2 − r3.

Figura 4. Paraboloide r21 + r2

2 − r3 = 0 , y silla demontar, r2

1 − r22 − r3 = 0 .

4.8. Sea f : U ⊂ Rn −→ R una funcion C∞ y sea S = f−1(0)una hipersuperficie ((n − 1)−variedad diferencial) en Rn (Df(p) 6=


0, ∀p ∈ S). Definimos g : U ×R −→ R por la formula g(r1, . . . , rn+1) =f(r1, . . . , rn) . Demostrar que g−1(0) es una hipersuperficie en Rn+1

(Esta nueva variedad se llama cilindro sobre S . Vease figura 5)

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.50

0.510

0.25

0.5

0.75

11

0.5

0

0.5

1

0

0

0

Figura 5. Cilindro

4.9. Sea f : R2 −→ R una funcion C∞ yC = f−1(0) una hipersuper-ficie (curva plana) en R2 (Df(p) 6= 0, ∀p ∈ S) situada en el semiplanor2 > 0. Sea S = g−1(c) donde g : R3 −→ R es la funcion definida de lasiguiente manera:

g(r1, r2, r3) = f(r1, (r22 + r2

3)1/2)

Demostrar que S = g−1(0) es una 2-variedad (superficie de revolucionobtenida por rotacion de la curva C alrededor del eje r1 .)

Solucion: Sea la curva de ecuacion f(s1, s2) = 0 de tal modo ques2 > 0 y ademas una de las derivadas paerciales ∂f

∂s1, ∂f∂s2

es no nula.Entonces, se tiene que

∂g

∂r1=∂f

∂s1

∂g

∂r2=

∂f

∂s2

r2

(r2 + r3)12

∂g

∂r3=

∂f

∂s2

r3

(r2 + r3)12

De donde se obtiene que(∂g

∂r2

)2

+

(∂g

∂r3

)2

=

(∂f

∂s2

)2


De las igualdades anteriores se sigue que no se pueden anular si-multaneamente las tres derivadas parciales de la g .

4.10. Aplicar el ejercicio anterior para encontrar la ecuacion en im-pliıcitas del toro generado al girar alrededor del primer eje una circun-ferencia de radio uno.

4.11. Sea f : R3 −→ R3 dadas por:

f(r1, r2, r3) = (r1 cos r3 − r2 sen r3, r1 sen r3 + r2 cos r3, r3)

Demostrar que f |S2 toma valores en S2. Demostrar que la aplicacioninducida de S2 en S2 es un difeomorfismo.

4.12. Consideramos G(1,R3) y G(2,R3). A cada 1-plano en R3 conmatrız A = (a1, a2, a3)

t le hacemos corresponder el 2-plano en R3 que essolucion del sistema homogeneo Atr = 0. Demostrar que esta biyecciones un difeomorfismo.

4.13. Sea Q el cuerpo de los cuaterniones de Hamilton. Definir elespacio proyectivo P n(Q) y demostrar que tiene una estructura dife-renciable de dimension 4n determinada por un atlas de n + 1 cartas.

4.14. Demostrar que la recta proyectiva cuaternionica P 1(Q) es di-feomorfa a la esfera S4.

4.15. El conjunto Mn(C) de las matrices complejas n×n, tiene unaestructura C∞ estandar de dimension 2n2. Tal estructura esta definidapor una carta global:

α : Mn(C) −→ R2n2

dada por α(a+ bi) = (u(a), u(b)), siendo (a) y (b) las correspondientesmatrices reales (parte real y parte imaginaria) y u la carta que definela estructura C∞ de Mn(R). Demostrar que el conjunto GL(n,C) delas matrices regulares complejas puede ser dotado de estructura desubvariedad abierta de Mn(C).

4.16. Demostrar que el conjunto Mp(n× p,R) de las matrices n× preales de rango p es un subconjunto abierto de la variedad M(n×p,R)y tiene por lo tanto una estructura estandar como subvariedad abiertade esta variedad.

4.17. Consideremos un pendulo, que podemos representar por unsegmento de longitud fija situado en un plano y en el que uno de susextremos pasa por un punto fijo. Dar estructura de 1-variedad a lavariedad de todas las posiciones posibles de dicho pendulo.

5. PROPIEDADES BaSICAS DE LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD 29

4.18. Encontrar una variedad que modele todas posiciones posiblesde un solido rıgido.

4.19. ¿ Es adecuada la nocion de variedad modelada sobre abier-tos euclıdeos, que se ha considerado, para modelizar matematicamentetodas las posiciones posibles de un oscilador?

4.20. Consideremos un brazo articulado de un robot formado pordos segmentos articulados en el que uno de los extremos (el hombro)esta fijo en un punto del espacio. ¿Que variedad podemos utilizar pararealizar una programacion de todos los movimientos posibles de estebrazo?

5. Propiedades basicas de la topologıa de una variedad

Proposicion 5.1. Sea M una variedad diferencial. Entonces elespacio topologico subyacente verifica:

(i) M es un espacio T1 .(ii) M es primero contable.(iii) M es localmente conexa.

Demostracion. Sea p un punto de una variedad diferencial M ,consideremos una carta x de M en p . Si q es otro punto de M distintode p pueden ocurrir dos casos, que q 6∈ Dom x o que q ∈ Dom x . En elprimero, Dom x es un entorno abierto de p al cual no pertenece q . Enel segundo, por ser Dom x homeomorfo a un abierto euclıdeo, se tieneque Dom x es T1 , luego existe U abierto de Dom x tal que p ∈ U yq 6∈ U , ademas puesto que Dom x es abierto en M se tiene que U esabierto en M luego U es un entorno abierto de p en M .

Para probar (ii) y (iii), tomemos p ∈ M y una carta x en el puntop . Puesto que Dom x es homeomorfo a un abierto euclıdeo se tieneque existe una base contable de entornos conexos de p en Dom x .Ademas por ser Dom x abierto en M se concluye que tambien es unabase de entornos de p enM . Luego M es primero contable y localmenteconexa.

Un espacio X se dice que es localmente compacto si para x ∈ X ycada entorno N , entonces existe un entorno V tal que x ∈ V ⊂ V ⊂ Ntal que V es compacto.

Proposicion 5.2. Sea M una variedad diferencial. Si M es Haus-dorff, entonces M es locamente compacta.

Demostracion. Sea N un entorno de un punto p de una variedadM . Tomemos una carta x de M en p tal que Domx ⊂ N . Sea B unentorno de x(p) en Codom x tal que clB sea compacto, donde cl denotael operador clausura, y clB ⊂ Codom x . Por ser x−1 continua se tieneque x−1B ⊂ x−1(clB) ⊂clDomx(x

−1B) ⊂clM(x−1B) . Por otra parte


x−1(clB) es un compacto en el espacio Hausdorff M luego es cerradoen M . Entonces clM(x−1B) ⊂ x−1(clB) . En consecuencia x−1B esun entorno abierto de p en M cuya clausura x−1(clB) es un entornocompacto de p contenido en N .

Proposicion 5.3. Sea M una variedad diferencial. Entonces Mtiene un atlas contable si y solo si M es segundo contable.

Demostracion. SeaA un atlas contable, para cada carta x ∈ A setiene que Dom x es homeomorfo a un abierto euclıdeo que es segundocontable. Si Bx

i |i ∈ N es una base contable de Dom x , entoncesBx

i |x ∈ A , i ∈ N es una base contable de M . Recıprocamente, siM es segundo contable y B es una base contable y A un atlas, entoncesla familia B′ = B ∈ B| existe una carta xB ∈ A tal que B ⊂ Dom xBes contable y xB|B ∈ B′ es un atlas de M .

PROBLEMAS

5.1. Demostrar que un espacio topologico discreto no puede serdotado de una estructura diferenciable de dimension ≥ 1 .

5.2. Sea L el subconjunto de R2 que es union de los conjuntosU = (r, 0) | r ∈ R y V = (r, 1) | r ∈ R, r ≥ 0. Sea U1 el subcon-junto obtenido de U reemplazando los puntos (r, 0) por (r, 1) ∀r ≥ 0.Definimos dos cartas α y α1 con dominios U y U1 respectivamentedadas por

α(r, 0) = r

α1(r, 0) = r (r < 0); α1(r, 1) = r (r ≥ 0)

(i) Demostrar que estas cartas forman un atlas diferenciable de Len R. Demostrar que la topologıa inducida no es Hausdorff.

(ii) Definimos otra carta α2 con dominio U2 dada por

α2(r, 0) = r3 (r < 0); α2(r, 1) = r3 (r ≥ 0)

Demostrar que las cartas α y α2 forman un atlas diferenciablede L en R.

(iii) Demostrar que los dos atlas anteriores determinan dos estruc-turas diferenciables diferentes sobre el mismo espacio topologi-co.

5.3. Sea F : Rn −→ R una funcion polinomica homogenea de grador ≥ 1 que toma al menos un valor positivo. Sabemos que la funcionf : Rn −→ R definida por f(r) = F (r) − 1 determina en f−1(0) unaestructura de variedad diferencial. Demostrar que f−1(0) es compactasi y solo si F (r) > 0 ∀r 6= 0.

5. PROPIEDADES BaSICAS DE LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD 31

Solucion: Sea r1 6= 0 un punto tal que F (r1) > 0 . Supongamosque existe un punto r0 6= 0 tal que F (r0) ≤ 0 . Puesto que Rn \ 0es conexo, supondremos que n > 1 , se tiene que existe un camino βen Rn \ 0 tal que β(0) = r0 y β(1) = r1 . La funcion fβ verificaque existe un t0 tal que 0 ≤ t0 < 1 de modo que F (β(t0)) = 0 y para

t0 < t ≤ 1 se tiene que Fβ(t) > 0 . Entonces F

(β(t)

(Fβ(t))1k

)= 1 . Pero sin

embargo lımt−>t0 ‖β(t)

(Fβ(t))1k‖ = ∞ . Esto implica que la variedad no es

acotada. Puesto que su topologıa es la de subespacio de Rn se tiene quesi fuera compacta tambien serıa acotada. Por lo tanto no es compacta.Reciprocamente, si F (r) = 1 , entonces r 6= 0 . Si Z = F−1(1) , entoncesla aplicacion φ : Z → Sn−1 definida por φ(r) = r

‖r‖ esta bien definda y

es continua. Por otro lado, sea r tal que ‖r‖ = 1 , entonces F (r) > 0 yse tiene que r

(F (r))1k∈ Z, luego ψ : Sn−1 → Z dada por ψ(r) = r

(F (r))1k

esta bien definida y es continua. Por lo tanto el espacio subyancentede Z es homoeomorfo a un espacio compacto, luego Z es una variedadcompacta.

5.4. Demostrar que el hiperboloide de dos hojas no es conexo.

5.5. Demostrar que P n(R) es conexo y compacto.

5.6. Sean a, b y c tres nuneros reales no todos nulos. Demostrar quela funcion f : R3 −→ R dada por

f(r1, r2, r3) = ar2r3 + br3r1 + cr1r2 − 1

determina en f−1(0) una estructura de variedad diferencial no compac-ta.

5.7. Demostrar que P n(C) es una variedad conexa y compacta.

5.8. ¿Admite la 2-esfera un atlas con una sola carta? ¿Y el espacioproyectivo?

CAPıTULO 2

ESPACIO TANGENTE

1. Notaciones previas

Dada f : Rn → Rl una funcion C∞ , asociado a cada r ∈Dom fla diferencial de la funcion en dicho punto Df(r) : Rn → Rl es unaaplicacion lineal cuya matriz en la base canonica se denotara por Jf(r) yse denomina matriz jacobiana. Si g : Rn → R es una funcion C∞ ,denotamos sus derivadas parciales por ∂g

∂ri: Rn → R y su valor en un

punto r ∈Dom g se denotara por ∂g∂ri

(r) o bien por(∂g∂ri

)r

.

Si las componentes de f : Rn → Rl funcion C∞ , son f1, . . . , fl : Rn →R entonces la matriz jacobiana es la siguiente:

Jf =

∂f1

∂r1. . . ∂f1

∂rn...

. . ....

∂fl∂r1

. . . ∂fl∂rn

Sea X un conjunto, en la familia de funciones de X en R pode-

mos considerar la suma de funciones, el producto de funciones y elproducto de una funcion por un escalar definidos del modo siguien-te: Dadas f, g : X → R definimos f + g como la funcion cuyo do-minio Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g y definida por (f + g)x =fx+gx , x ∈ Dom(f +g) . Similarmente, Dom(f ·g) = Dom f ∩Dom gy (f · g)x = (fx) · (gx) . Para α ∈ R se define αf como la funcion cuyodominio es Dom(αf) = Dom f y (αf)x = α(fx) , x ∈ Dom(αf) .

PROBLEMAS

1.1. Sea X un conjunto. Probar que el conjunto de aplicaciones deX en R tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad.Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillo de losnumeros reales.

2. Derivadas parciales. Propiedades

Definicion 2.1. Sea x : M → Rm una carta y f : M → R unafuncion C∞ . Entonces la derivada parcial de f con respecto la i-esima

coordenada xi se define como la composicion ∂f∂xi

= ∂(fx−1)∂ri

x . Notemos

que su dominio es Dom(∂f∂xi

)= Dom f∩Dom x . El valor de la derivada

33

34 2. ESPACIO TANGENTE

parcial en un punto p ∈ Dom(∂f∂xi

)se denotara por

(∂f∂xi

)(p) y tambien

por(∂f∂xi

)p

.

Proposicion 2.1. Supongamos que f, g : M → R son funcionesC∞ y α, β ∈ R , entonces

(i) ∂(αf+βg)∂xi

= α ∂f∂xi

+ β ∂g∂xi

,

(ii) ∂(f ·g)∂xi

= ∂f∂xi· g + f · ∂g

∂xi.

Demostracion. Para probar (i), consideremos las igualdades:∂(αf+βg)

∂xi= ∂((αf+βg)x−1)

∂rix = α∂(fx−1)

∂rix+ β ∂(gx−1)

∂rix = α ∂f

∂xi+ β ∂g

∂xi.

Para (ii), tenemos las siguientes:

∂(f ·g)∂xi

= ∂((f ·g)x−1)∂ri

x = ∂(fx−1)∂ri

x · (gx−1)x+ (fx−1)x · ∂(gx−1)∂ri

x

= ∂f∂xi· g + f · ∂g

∂xi

PROBLEMAS

2.1. Si x es una carta en una variedad diferencial demostrar que ∂xi∂xj

es una funcion constante de valor δij (delta de Kroneker).

Solucion: Aplicando la definicion de derivada parcial se tiene

∂xi∂xj

=∂xix

∂rjx =

∂ri∂rj

x = δji |Domx

2.2. Si x es una carta en una varidad M y f : M −→ R es unafuncion definida por f = sen x1 + cosx2, demostrar que ∂f

∂x1= cos x1 y

∂f∂x2

= − sen x2.

Solucion: Utilizaremos la notacion ri para denotar la i-esima coorde-nada de una m-tupla (r1, · · · , rm) y tambien para la i-esima proyecciondel producto ri : Rm → R . Entonces tenemos

f = senx1 + cos x2 = sen r1x+ cos r2x = (sen r1 + cos r2)x

Por lo tanto

∂f∂x1

= ∂fx−1

∂r1x = ∂(senr1+cos r2)xx−1

∂r1x

= ∂(senr1+cos r2)∂r1

x = (cos r1)x = cos x1

∂f∂x2

= ∂fx−1

∂r2x = ∂(senr1+cos r2)xx−1

∂r2x

= ∂(sen r1+cos r2)∂r2

x = (− sen r2)x = − senx2

3. VECTORES TANGENTES 35

3. Vectores tangentes

Sea M una variedad diferencial y p ∈M . Denotemos por C∞(p) =f : M → R|f es diferenciable y p ∈ Dom f . Notemos que si α ∈ R ,f, g ∈ C∞(p) , entonces αf ∈ C∞(p) , f + g ∈ C∞(p) y f · g ∈ C∞(p) .

Definicion 3.1. Un operador Λ: C∞(p)→ R se dice que es linealsi verifica que Λ(αf+βg) = αΛf+βΛg) para α, β ∈ R y f, g ∈ C∞(p) .

Proposicion 3.1. Sea Λ: C∞(p)→ R un operador lineal. Si f, g ∈C∞(p) coinciden en un entorno de p , entonces Λf = Λg .

Demostracion. Supongamos que existe un entorno abierto U dep en M tal que U ⊂ Dom f ∩Dom g y f |U = g|U . Notese que Dom(f −f |U ) = U y que f − f |U = 0|U = 0(0|U ) . Entonces Λ(f − f |U ) =Λ(0|U) = Λ(0(0|U)) = 0Λ(0|U ) = 0 . Por lo tanto Λ(f) = Λ(f |U) .Analogamente se obtiene que Λ(g) = Λ(g|U) . Entonces Λ(f) = Λ(g) .

En C∞(p) podemos definir la siguiente relacion. Dadas f, g ∈ C∞(p) ,diremos que f tiene el mismo germen que g en p si existe un entornoabierto U de p en M tal que U ⊂ Dom f ∩ Dom g y f |U = g|U .El cociente con las operaciones inducidas tiene una estructura natu-ral de R-algebra y sera denotado por C∞p . Notese que un operadorlineal Λ : C∞(p) → R factoriza de modo natural del modo siguiente:Λ : C∞(p) → C∞p → R .

Definicion 3.2. Sea M una variedad. Una derivacion o vectortangente en un punto p ∈M es un operador lineal Λ : C∞(p)→ R queademas verifica que si f, g ∈ C∞(p) , entonces Λ(fg) = f(p)Λ(g) +Λ(f)g(p) .

Ejemplo 3.1. Sea x una carta de una variedad M y p ∈ Dom x

un punto. Entonces podemos definir(

∂∂xi

)p

: C∞(p) → R mediante la

formula(

∂∂xi

)pf =

(∂f∂xi

)p

. Es inmediato comprobar que(

∂∂xi

)p

es un

vector tangente en el punto p de M .

Proposicion 3.2. Sea Λ: C∞(p) → R una derivacion en el puntop . Si f ∈ C∞(p) es constante en un entorno de p , entonces Λf = 0 .

Demostracion. Supongamos que existe un entorno abierto U dep en M tal que U ⊂ Dom f y f |U = c|U , donde c denota la funcionconstante con valor c . Aplicando la proposicion 3.1 se tiene que Λ(f) =Λ(c) = Λ(c · 1) = c · Λ(1) . Por ser Λ una derivacion tenemos lasigualdades Λ(1) = Λ(1 · 1) = 1 · Λ(1) + Λ(1) · 1 = 2Λ(1) . Esto implicaque Λ(1) = 0 . Entonces Λ(f) = c · Λ(1) = 0 .


Si Λ y Λ′ son vectores tangentes en un punto p de una variedadM , entonces la suma Λ + Λ′ definida por la formula (Λ + Λ′)(f) =Λ(f) + Λ′(f) es tambien un vector tangente. Tambien se tiene que siα ∈ R podemos definir αΛ por (αΛ)(f) = α(Λ(f)) . De modo rutinariode comprueba que αΛ es de nuevo un vector tangente en el punto p .El conjunto de los vectores tangentes en un punto p de una variedadM con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorialreal.

Definicion 3.3. Denotaremos por TpM al espacio vectorial real delos vectores tangentes en el punto p de una variedad M . Diremos queTpM es el espacio tangente de la variedad en el punto p de M .

Para estudiar la dimension de este espacio tangente utilizaremos elresultado siguiente:

Lema 3.1. Sea x una carta de una variedad M m-dimensional yp ∈ Dom x un punto tal que x(p) = a . Si f ∈ C∞(p) entonces existenh1, . . . , hm ∈ C∞(p) tal que f tiene el mismo germen que la funcion

f(p) +∑i

(xi − ai)hi

Demostracion. Tomemos la nueva carta y = x − a que veri-fica que y(p) = 0 . Sea B una bola contenida en Dom(fy−1) y decentro y(p) = 0 y sea F = (fy−1)|B . Para r = (r1, · · · , rm) ∈ Baplicando la regla de Barrow se tiene F (r1, · · · , rm) − F (0, · · · , 0) =∫ 1

0dF (sr1,··· ,srm)

dsds =

∫ 1

0

∑ri∂F∂ri

(sr1, · · · , srm)ds =∑riHi(r1, · · · , rm)

donde Hi(r1, · · · , rm) =∫ 1

0∂F∂ri

(sr1, · · · , srm)ds para cada

(r1, · · · , rm) ∈ B . Tomemos hi = Hiy . Para cada q ∈ y−1B se tieneque f(q) − f(p) = fy−1(r) − fy−1(0) = F (r) − F (0) =

∑riHi(r) =∑

yi(q)Hiy(q) = (∑yihi)(q) . De donde se obtiene el resultado desea-

do.

Proposicion 3.3. Sea x una carta de una variedad M y p ∈Dom x . Entonces los vectores

(∂∂xi

)p

para i = 1, . . .m forman una

base de TpM . Un vector tangente v ∈ TpM admite en dicha base la

expresion v =∑

i v(xi)(

∂∂xi

)p

.

Demostracion. Sea Λ una derivacion en el punto p de M . Supon-gamos que f es una funcion real definida en el punto p . Por el lema 3.1 ylas proposiciones 3.1 , 3.2 se tiene que Λ(f) = Λ(f(p)+

∑i(xi−ai)hi) =∑

i Λ(xi)hi(p) . En particular para el vector tangente(

∂∂xi

)p

la formula

anterior determina que(∂f∂xi

)p

=∑(

∂xj∂xi

)phj(p) = hi(p) . Sustituyen-

do en la primera formula obtenemos que Λ(f) =∑

i Λ(xi)(∂f∂xi

)p

=

4. APLICACION TANGENTE 37∑i Λ(xi)

(∂∂xi

)p

(f) . Por lo tanto Λ =∑

i Λ(xi)(

∂∂xi

)p

. Es decir, las

derivadas parciales en el punto p constituyen un sistema generador.

Para ver que son independientes supongamos que 0 =∑λi(

∂∂xi

)p

.

Entonces 0 = 0(xj) =∑λi(∂xj∂xi

)p

= λj para cada j . Luego el sistema

de vectores es independiente. Notemos que si x e y son dos cartas en el punto p , entonces el

cambio de bases viene dado por(∂

∂xi

)p

=∑j

(∂yj∂xi

)p

(∂

∂yj

)p

.

PROBLEMAS

3.1. Consideramos el subconjunto C∞s (p) de C∞(p) dado por lasfunciones f : M −→ R que en algun entorno de p sean de la forma

f = c+∑α

fαgα

donde c es una funcion constante y el segundo termino es una sumafinita de funciones fα, gα de C∞(p) que verifican que fα(p) = gα(p) = 0.Demostrar que un operador lineal Λ : C∞(p) −→ R es una derivacionsi y solo si es cero sobre C∞s (p).

Solucion: Supongamos que Λ: C∞(p) −→ R se anula sobre lasfunciones de la forma indicada. En particular se tiene que la funcion−f(p)g(p) + (f − f(p))(g− g(p)) = fg− f(p)g− g(p)f esta en C∞s (p) .Por lo tanto se tiene que Λ(fg−f(p)g−g(p)f) = 0 . EquivalentementeΛ(fg) = −f(p)Λ(g) + Λ(f)g(p) .

4. Aplicacion tangente

Sea p un punto de una variedad diferencial M que esta en el domi-nio de una funcion diferenciable φ : M → N . Entonces φ induce unaaplicacion lineal φ∗p : TpM → Tφ(p)N del modo siguiente: Si v es unvector tangente en p a M y f : M → R una funcion diferenciable defi-nida en p , entonces φ∗p(v)(f) = v(fφ) . Llamaremos a φ∗p la aplicaciontangente en el punto p y a veces la derivada lineal de φ en el punto p .Ademas de la notacion anterior tambien se utilizara Tpφ = φ∗p .

Notese que si x es una carta en p e y es un carta en φ(p) , entoncesφ∗pv =

∑j φ∗pv(yj)(

∂∂yj

)φ(p)

=∑

j v(yjφ)(∂∂yj

)φ(p)

. En particular para

v =(∂∂xi

)p

se obtiene

φ∗p

(∂

∂xi

)p

=∑j

(∂(yjφ)

∂xi

)p

(∂

∂yj

)φ(p)


Teniendo en cuenta que (∂(yjφ)

∂xi

)p

=(∂(yjφx

−1)

∂ri

)x(p)

se tiene que la matriz

lineal de φ∗p respecto a las bases asociadas a las cartas x e y , quellamaremos matriz jacobiana de φ en el punto p y denotaremos porJy,xφ (p) , es la siguiente

Jy,xφ (p) =

((∂(yjφ)

∂xi

)p

)=

((∂(yjφx

−1)

∂ri

)x(p)

)= Jyφx−1(x(p))

que coincide con la matriz jacobiana de yφx−1 en el punto x(p) .Recordemos que si F : Rn → Rm es diferenciable y r esta en su

dominio, entonces la matriz jacobiana de F en el punto r respecto lascoordenadas canonicas es precisamente la matriz de la aplicacion linealDF (r) .

Proposicion 4.1. La aplicacion tangente verifica las siguientespropiedades:

(i) Si φ : M → N y ψ : N → Q son funciones diferenciables y pesta en el dominio de ψφ , entonces (ψφ)∗p = ψ∗φ(p)φ∗p .

(ii) Sea U un abierto de una variedad M y sea p ∈ U . Entonces(id |U)∗p = idTpM .

Demostracion. Sea v una derivacion en el punto p y f una fun-cion diferenciable real definida en el punto p . Entonces (ψφ)∗p(v)(f) =v(fψφ) = φ∗p(v)(fψ) = (ψ∗φ(p)φ∗p)(v)(f) . De aquı se concluye que(ψφ)∗p = ψ∗φ(p)φ∗p . Para la segunda parte se tiene que (id |U )∗p(v)(f) =v(f id |U) = v(f |U) = v(f) = idTpM(v)(f) .

Ejemplo 4.1. Sea σ : R → M una funcion diferenciable. Si s ∈Dom σ , se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vectortangente en σ(s) a M dado por σ∗s

(ddt

)s

.SiA es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismo

canonico θa : A → TaA del modo siguiente para cada v ∈ A considere-mos la curva σv(t) = a + tv , entonces se toma θa(v) = (σv)∗0

(ddt

)0

.

Recordemos que si φ∗p : TpM → TφpN es una aplicacion lineal, lla-mamos rango de φ∗p a la dimension de la imagen de la aplicacion lineal.

Definicion 4.1. Sea φ : M → N una aplicacion diferenciable y pun punto de su dominio. Llamaremos rango de φ en p precisamente alrango de φ∗p .

Es conveniente tener en cuenta que para la aplicacion linealφ∗p : TpM → TφpN la suma de su rango y la dimension de su nucleo esigual a la dimension del espacio vectorial TpM .

Utilizaremos el siguiente teorema de la funcion inversa para probaruna version similar para variedades.

4. APLICACION TANGENTE 39

Teorema 4.1. Sea r un punto del dominio de una funcion C∞ ,h : Rm → Rm . Entonces la diferencial de h en r , D(h)(r) es un iso-morfismo si y solo si existe un entorno abierto V de r tal que h|V es undifeomorfismo.

Para variedades diferenciables se tiene la siguiente version:

Teorema 4.2. (Funcion inversa) Sea p un punto del dominio deuna funcion diferenciable φ : M → N . La aplicacion tangente φ∗p esun isomorfismo si y solo si existe un entorno abierto U de p tal que φ|Ues un difeomorfismo.

Demostracion. Supongamos que φ|U es un difeomorfismo. En-tonces (φ|U)∗p es un isomorfismo. Ahora bien en facil comprobar que(φ|U)∗p = φ∗p , por lo que φ∗p es un isomorfismo.

Recıprocamente si φ∗p es un isomorfismo, entonces m =dimM =dimN = n . Sean x e y cartas en p y en φ(p) , respectivamente. Lamatriz jacobiana de φ en el punto p , que es la matriz jacobiana deyφx−1 en x(p) , es inversible. Entonces existe un entorno abierto Vde x(p) contenido en el dominio de yφx−1 tal que (yφx−1)|V es undifeomorfismo. Sea U = x−1V y consideremos φ|U . Notese que φ|U =y−1((yφx−1)|V )x , por lo que φ|U es un difeomorfismo.

Definicion 4.2. Sea φ : M → N una aplicacion diferenciable yp un punto de su dominio. Se dice que φ es un difeomorfismo localen el punto p si existe un entorno abierto U de p tal que φ|U es undifeomorfismo. Si φ es un difeomorfismo local en todos los puntos desu dominio diremos que φ es un difeomorfismo local.

Dadas dos variedades M y M ′ de la misma dimension, podemosconstruir la suma disjunta de estas tomando en la reunion disjuntaM tM ′ un altas que sea la reunion disjunta de dos atlas A y A′ de My M ′ , respectivamente. Con una construccion similar se realiza la sumadisjunta de un familia arbitraria de variedades de la misma dimension.En facil ver que una variedad es difeomorfa a la suma disjunta de suscomponentes conexas. Por otro lado, dadas dos variedades M y N dedimensiones m y n , en el producto cartesiano M × N se puede daruna estructura de variedad (m + n)-dimensional tomando como atlasla familia de cartas x× y| donde x es carta de M e y es carta de N .Notese que el cambio de cartas viene dado por (x′ × y′)(x × y)−1 =x′x−1 × y′y−1 , que claramente es una funcion C∞ .

Proposicion 4.2. Sean M y N variedades, φ : M × N → M yψ : M × N → N las proyecciones canonicas. Sea (p, q) un punto deM × N y denotemos por φ∗ = φ∗(p,q) y ψ∗ = ψ∗(p,q) . Entonces la apli-cacion lineal (φ∗, ψ∗) : T(p,q)(M ×N)→ TpM ⊕TqN es un isomorfismo.


Demostracion. Sean iq : M → M × N , ip : N → M × N lasinclusiones definidas por iq(p

′) = (p′, q) , ip(q′) = (p, q′) . Sea la aplica-

cion ξ : TpM ⊕TqN → T(p,q)(M ×N) dada por ξ(u, v) = (iq)∗u+ (ip)∗v. Notese que (φ∗, ψ∗)ξ(u, v) = (φ∗, ψ∗)((iq)∗u + (ip)∗v) = (φ∗((iq)∗u +(ip)∗v), ψ∗((iq)∗u+(ip)∗v)) = (φ∗(iq)∗u+φ∗(ip)∗v, ψ∗(iq)∗u+ψ∗(ip)∗v) =((φiq)∗u+ (φip)∗v, (ψiq)∗u+ (ψip)∗v) = (u, v) , donde hemos utilizadoque la aplicacion tangente en un punto de una aplicacion constantees nula. Consecuentemente, la aplicacion lineal (φ∗, ψ∗) entre espaciosvectoriales de la misma dimension es suprayectiva, lo que implica quees un isomorfismo.

Proposicion 4.3. Sea (p, q) un punto de M ×N y denotemos porφ∗ = φ∗(p,q) y ψ∗ = ψ∗(p,q) . Sean iq : M → M × N , ip : N → M × Nlas inclusiones definidas por iq(p

′) = (p′, q) , ip(q′) = (p, q′) . Si (p, q)

esta en el dominio de una funcion diferenciable f : M × N → L ,entonces para w ∈ T(p,q)(M ×N) se tiene que

f∗(p,q)(w) = (fiq)∗φ∗(w) + (fip)∗ψ∗(w)

Demostracion. Aplicando la proposicion anterior se tiene quew = (ib)∗φ∗(w) + (ia)∗ψ∗(w) . Entonces f∗(p,q)(w) = (fiq)∗φ∗(w) +(fip)∗ψ∗(w) .

PROBLEMAS

4.1. Sean φ, ψ : M −→ N funciones diferenciables que coinciden enalgun entorno de p . Demostrar que Tp(φ) = Tp(ψ).

Solucion: Sabemos que existe un entorno abierto U del punto ptal que f |U = g|U . Entonces, Tp(f |U) = Tp(f id |U ) = Tp(f)Tp(id |U ) =Tp(f) idTpM = Tp(f) y analogamente Tp(g|U) = Tp(g) . Entonces Tp(f) =Tp(g) .

4.2. Si φ : M −→ N es una aplicacion constante en algun entornode un punto p ∈M , demostrar que Tp(φ) es la aplicacion nula.

4.3. Sean A y B dos espacios vectoriales reales de dimension finitay φ : A −→ B una aplicacion lineal. Dado un vector a ∈ A, demostarque ∀v ∈ A se verifica

φ∗(θav) = θφ(a)(φ(v))

Es decir, que salvo isomorfismos canonicos la aplicacion tangente deuna aplicacion lineal es ella misma.

Solucion: Sea σ : R→M una funcion diferenciable. Si s ∈ Dom σ ,se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vector tangenteen σ(s) a M dado por σ∗s

(ddt

)s

.


SiA es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismocanonico θa : A → TaA del modo siguiente para cada v ∈ A considere-mos la curva σv(t) = a + tv , entonces se toma θa(v) = (σv)∗0

(ddt

)0

.Notemos que

φσv(t) = φ(a) + tφ(v) = σφ(v)(t)φ∗(θav) = φ∗(σ

v)∗0(ddt

)0

= (φσv)∗0(ddt

)0

= (σφ(v))∗0(ddt

)0

= θφ(a)(φ(v))

Por lo tanto φ∗θa = θφ(a)φ .

4.4. Si M es el hiperboloide de dos hojas, demostrar que la inyeccionnatural j : M −→ R3 tiene rango dos en todo punto.

Solucion: El hiperboliode de dos hojas tiene por ecuacion. r21 −

r22 − r2

3 − 1 = 0 . Consideremos el atlas dado por x+, x− de modo queDom x+ = (r1, r2, r3) ∈ M |r1 > 0 , Dom x− = (r1, r2, r3) ∈ M |r1 <0 y estan definidas por x+(r1, r2, r3) = (r2, r3) y x−(r1, r2, r3) =(r2, r3) .

Entonces idR2 jx−1+ (a, b) = ((1+a2 + b2)

12 , a, b) que tiene por matrız

jacobiana

J(a, b) =

a

(1+a2+b2)12

b

(1+a2+b2)12

1 00 1

que evidentenete tiene rango dos. Para la otra carta se obtiene la mis-ma matriz salvo que hay que considerar signo negativo en las raicescuadradas.

Nota. Admitiendo probados los resultados del capıtulo 3, la soluciones inmediata. La fibras de una submersion son subvariedades regulares.

4.5. Si f ∈ C∞(p) y v ∈ Tp(M), demostrar que Tp(f)(v) = a( ∂∂t

)f(p),siendo a = v(f).

4.6. Demostrar que dos variedades difeomorfas tienen la misma di-mension.

4.7. Demostrar que la funcion f : −→ RP 2 que asocia a cada puntoz ∈ S2 el 1-plano (la recta) de R3 determinada por z, es un difeomor-fismo local.

Solucion: Utilizando resultados del capıtulo 3 se pueden dar soluci-nes mas elaboradas utilizando tecnicas de secciones locales o de gruposde transformaciones. Sin embargo aquı vamos a calcular directamenela matriz jacobiana y calculremos su rango. Lo haremos respecto unapareja de cartas y de modo analogo se procede en el resto de los ca-sos. Sea p = (r1, r2, r3) ∈ S2 con r1 > 0 y tomemos la carta x en p


tal que x(r1, r2, r3) = (r2, r3) y la carta y en [(r1, r2, r3)] definida pory[(r1, r2, r3)] = ( r2

r1, r3r1

) . Entonces

yfx−1(a, b) = yf((1− a2 − b2)12 , a, b) = y[((1− a2 − b2)

12 , a, b)] =

(a

(1− a2 − b2)12

,b

(1− a2 − b2)12

)

Por tanto la matriz jacobiana sera

J(a, b) =

1−b2

(1−a2−b2)32

ab

(1−a2−b2)32

ab

(1−a2−b2)32

1−b2

(1−a2−b2)32

cuyo determinante es no nulo:

det(J(a, b)) =1

(1− a2 − b2)12

Por lo que f es un difeomorfismo local.

4.8. Demostrar que la funcion

f : R −→ S1

definida porf(s) = (sen 2πs, cos 2πs)

es un difeomorfismo local

4.9. Sea a un numero real mayor que cero. Consideramos el difeo-morfismo

λa : Rn+1 \ 0 −→ Rn+1 \ 0definida por λa(z) = az, que satisface la condicion σλa = σ, siendo

σ : Rn+1 \ 0 −→ Sn

la aplicacion dada por σ(z) = z|z| .

Deducir que σ tiene en todos los puntos rango n.

4.10. Sabemos que las variedades M1 y M2 definidas sobre el su-bespacio H de R2 que consiste de los puntos (x, 0) (x ∈ R), juntocon el punto (0, 1) que vienen definidas por los siguientes atlas: SeanU = (x, 0)|x ∈ R y U1 = (x, 0)|x 6= 0

⋃(0, 1)

El atlas de M1 por las cartas, α : U −→ R definida de la siguien-te manera, α(x, 0) = x y α1 : U1 −→ R definida por, α1((x, 0)) =x; α1(0, 1) = 0 . El atlas de M2 por las cartas: α : U −→ R definida por, α(x, 0) = x y α2 : U1 −→ R definida por α2((x, 0)) = x3; α2(0, 1) =0 .

Demostrar que estas dos variedades no son difeomorfas.

CAPıTULO 3

SUBVARIEDADES Y VARIEDADES

COCIENTE

El rango de una funcion diferenciable tiene especial interes si coin-cide con la dimension de la variedad inicial o de la variedad final. Enel caso que el rango coincida con ambas se trata de un difeomorfismolocal.

1. Inmersiones

Definicion 1.1. Una funcion f : M → N se dice que es una in-mersion en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincidecon la dimension de M . Si f es inmersion en todos los puntos de sudominio diremos que f es una inmersion. Cuando el dominio de f esM se dice que f es una inmersion global. Si f es una inmersion glo-bal inyectiva se dice que f es un encaje. Si f : M → f(M) estambienun homeomorfismo, diremos que f es un encaje regular. En este ulti-mo caso si ademas f es una inclusion se dice que M es subvariedad yrespectivamente subvariedad regular de N .

Lema 1.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Si gtiene rango m en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rn → Rn demodo que la funcion hg coincide con r → (r, 0) en un entorno abiertode a .

Demostracion. Si g tiene rango m en a , entonces existen 1 ≤σ1 < σ2 < · · · < σm ≤ n tal que det

((∂gσi∂rj

)a

)6= 0 , i ∈ 1, · · · , m .

Podemos extender σ : 1, · · · , m → 1, · · · , n a una permutacionσ : 1, · · · , n → 1, · · · , n y definir θ : Rn → Rn mediante la formula

θ(r1, · · · , rn) = (rσ1, · · · , rσn) . Notemos que det((

∂(θg)i∂rj

)a

)=

det((∂gσi

∂rj

)a

)6= 0 .

Consideremos la funcion ϕ : Rm × Rn−m → Rn dada por ϕ(r, s) =

θg(r) + (0, s) . Entonces se tiene que det((

∂ϕi∂rj

)(a,0)

)6= 0 . Aplican-

do el teorema de la funcion inversa podemos asegurar que existe unaf : Rn → Rm × Rn−m tal que Codom f = U × V con U entorno abier-to de a contenido en Dom(θg) y V entorno abierto de 0 y ademasϕ|U×V = f−1 . Tomemos h = fθ . Para r ∈ U tenemos hg(r) =fθg(r) = f(θg(r) + (0, 0)) = fϕ(r, 0) = (r, 0) .

43

44 3. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE

Proposicion 1.1. Si f : M → N es una inmersion en un punto p ,entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente,tal que yfx−1(r) = (r, 0) para r ∈ Dom(yfx−1) .

Demostracion. Sea x una carta de M en p y sea y una cartade N en f(p) , entonces yf x−1 es una inmersion en el punto x(p) .El lema 1.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn talque para cada r ∈ Dom(hyfx−1) se tiene que hyfx−1(r) = (r, 0) .Tomemos y = hy y x = x . Entonces si r ∈ Dom(yfx−1) se obtieneque yfx−1(r) = (r, 0) .

Corolario 1.1. Supongamos que p esta en el dominio de unafuncion diferenciable f : M → N . Entonces f es una inmersion en p siy solo si existe un entorno abierto U de p y una funcion diferenciabler : N → M tal que r(f |U ) =id|U .

Demostracion. Supongamos que f es una inmersion en p . En-tonces por la proposicion anterior, existen cartas x en p e y en f(p)tal que yfx−1(r) = (r, 0) . Consideremos la descomposicion Rn =Rm × Rn−m y sea pr: Rn → Rm la proyeccion natural. Sea U =Dom x∩f−1(Dom y) y r = x−1 pr y . Entonces r(f |U ) = x−1 pr y(f |U ) =x−1 pr y(f |U)x−1x = x−1id|x(f−1(Domy))x =id|U .

Recıprocamente, si r(f |U ) =id|U , entonces r∗f(p)(f |U )∗p =idTpM .Luego r∗p = (f |U)∗p es un monomorfismo. Por lo tanto f es una inmer-sion en p .

Proposicion 1.2. Sea f : M → N una inmersion global y seag : L → M una funcion continua. Entonces si fg es diferenciable setiene que g es diferenciable.

Demostracion. Sea p ∈ Dom g . Por ser f una inmersion eng(p) , aplicando corolario 1.1, existe V entorno abierto de g(p) y exister : M → N tal que r(f |V ) =id|V . Por ser g continua U = g−1V esun entorno abierto de p . Entonces g|U =(id|V )(g|U) = r(f |V )(g|U) =r(fg|U ) . Por ser (fg|U ) diferenciable se obtiene que g|U es diferenciable.Luego g es diferenciable en cada punto de su dominio. Por lo tanto ges diferenciable.

Proposicion 1.3. Sea f : M → N un encaje regular y sea g : L→M una funcion. Entonces si fg es diferenciable se tiene que g es dife-renciable.

Demostracion. Notemos que g = f−1(fg) . Entonces fg es con-tinua por ser diferenciable y f−1 es continua si la consideramos comouna aplicacion de f(M) con la topologıa traza en M con la topologıainducida por su estructura de variedad ya que f es un encaje. Puestoque la composicion de aplicaciones continuas es continua, se tiene que

1. INMERSIONES 45

g es continua. Aplicando la proposicion anterior se concluye que g esdiferenciable.

Observese que un encaje de una variedad compacta en una Haus-dorff es un encaje regular.

Existe un notable teorema de Whitney que asegura que dada unavariedad compacta de dimension n se puede encajar regularmente enR2n .

PROBLEMAS

1.1. Determinar si las funciones globales c1, c2 : R −→ R2 defini-das por c1(s) = (sen 2s, sen s) y c2(s) = (cos 2s, cos s) son inmersiones.Calcular el rango de cada una de ellas en los puntos de sus dominios.Representar graficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones an-teriores.

1.2. Determinar los puntos en los que la funcion ψ : R2 −→ R3

definida por: ψ(r1, r2) = (r2 cos r1, r2 sen r1, r2) es una inmersion. Re-presentar graficamente el conjunto imagen de la aplicacion anterior.Vease figura 1

Figura 1. Cono

Solucion: La matriz jacobiana −r2 sen r1 cos r1

r2 cos r1 sen r1

0 1

tiene rango dos para r2 6= 0 y rango uno para r2 = 0 . Por lo tanto laaplicacion es una inmersion en (r1, r2)|r2 6= 0 .


1.3. Demostrar que la funcion f : R −→ R3 dada por

f(t) = (cos 2πt, sen 2πt, t)

es una inmersion. Representar graficamente el conjunto imagen de laaplicacion anterior.Vease figura 2

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1

-2

-1

0

1

21-0.5

00.5

Figura 2. Helice

Solucion: La matriz jacobiana −2π sen t2π cos t

1

tiene rango uno en todos los puntos . Por lo tanto la aplicacon es unainmersion. Tambien es global e inyectiva; es decir, es un encaje.

1.4. Demostrar que las funciones f, g : (1,∞) −→ R2 definidas por:f(t) = ((1

t) cos 2πt, (1

t) sen 2πt) y g(t) = ( t+1

2tcos 2πt, ( t+1

2t) sen 2πt)

son inmersiones. Representar graficamente los conjuntos imagen de lasaplicaciones anteriores.

Solucion: La matriz jacobiana de f es la siguiente

1

t2

(− cos 2πt− 2πt sen 2πt− sen 2πt + 2πt cos 2πt

)tiene rango uno en todos los puntos . Notemos que la norma del vector

anterior es 1+(2πt)2

t2, que es mayor que cero. Por lo tanto la aplicacion

es una inmersion global e inyectiva; es decir, es un encaje.Denotemos por A(t) = t+1

2tLa matriz jacobiana de g es la siguiente

dA(t)

dt

(cos 2πtsen 2πt

)+ 2πA(t)

(− sen 2πtcos 2πt

)El rango sera uno salvo en los puntos tales que A(t) = 0 y dA(t)

dt= 0 .

Puesto que t ≥ 1 el sistema anterior no tiene solucion se obtiene que laaplicacion g es una inmersion global e inyectiva; es decir, es un encaje.

1. INMERSIONES 47

1.5. Si ψ : M −→ N es una inmersion y ψ′ : M −→ N ′ es unafuncion diferenciable, demostrar que (ψ, ψ′) : M −→ N × N ′ es unainmersion.

1.6. Si ψ : M −→ N y φ : M ′ −→ N ′ son inmersiones, demostrarque ψ × φ : M ×M ′ −→ N ×N ′ es tambien una inmersion.

1.7. Sea M el siguiente subconjunto de R2: M = (R × 0)⋃

(R ×1). Consideramos el atlas sobre M formado por las siguientes cartas:x : M −→ R dada por x(s, 0) = s y x1 : M −→ R dada por x1(s, 1) = s.Sean ahora φ : R −→ M definida por φ(s) = (s, 1) si s 6= 0 y φ(0) =(0, 0) y ψ : M −→ R definida por ψ(s, 1) = ψ(s, 0) = s.

Demostrar que ψ es una inmersion, ψφ es diferenciable pero φ noes diferenciable.

1.8. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de va-riedad diferencial que definimos en el problema 2.2 del capıtulo 1, elconjunto N no es una subvariedad de R2

1.9. Definir una estructura C∞ sobre el conjunto de las matricessimetricas de tal forma que lleguen a ser una subvariedad de Mn(R).¿Forman las matrices simetricas un conjunto abierto de Mn(R)?

Solucion: Denotemos por Sn(R) el conjunto de matrices simetricasque es un subconjunto de Mn(R) . Con el objetivo de dar una estructurade variedad diferenciable a Sn(R) notemos que para cada entero s ≥ 1existen un unico i ≥ 1 y j ≥ 1 tales que s = 1+2+3+ · · ·+(i−1)+j .De modo analogo, para cada entero t ≥ 1 existen unicos enteros k ≥ 1y l ≥ 1 tales que t = (k − 1)n + l . Recordemos que la biyeccion

x : Mn(R)→ Rn2definida por xs((aαβ)) = akl .

Definamos ahora la biyeccion y : Sn(R) → Rn2definida por

ys((aαβ)) = aij . Denotemos por in: Sn(R) → Mn(R) la inclusioncanonica, entonces se tiene que para t = (k − 1)n + l

xt in =

y1+···+(l−1)+k si k ≤ l

y1+···+(k−1)+l si l ≤ k

Por lo tanto x in es diferenciable y tambien lo sera in = x−1x in .De modo analogo se ve que la aplicacion τ : Mn(R) → Sn(R) ,

definida por τ (A) = A+At

2, es diferenciable, donde At denota la matriz

transpuesta. De la igualdad τ in = id se desprende que Sn(R) es unasubvariedad regular. Excepto para n = 1 la dimension de Sn(R) esestrictamente menor que la de Mn(R) , entonces para n > 1 no puedeser un abierto.


1.10. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de varie-dad diferenciable de que se ha dotado a la figura Ocho es una subva-riedad de R2

1.11. Sea M ′′ una subvariedad de M ′ y M ′ una subvariedad de M .Demostrar que M ′′ es subvariedad de M .

1.12. Recordemos que una inyeccion φ : M −→ N induce una es-tructura C∞ en su rango φ(M). Si φ es una inmersion, demostrar queφ(M) es una subvariedad de N difeomorfa a M .

1.13. Encontrar un encaje regular del toro S1 × S1 en R3 . Veasefigura 3

Figura 3. Toro

Solucion: Definamos la aplicacion E : R2 → R3 definida porE(φ, ψ) = (2 cos 2πφ, 2 sen 2πφ, 0)

+ (cos 2πψ cos 2πφ, cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ) == (2 cos 2πφ+cos 2πψ cos 2πφ, 2 sen 2πφ+cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ)

Esta es diferenciable y su matriz jacobiana se comprueba que tienerango dos . Por lo tanto la aplicacion es una inmersion. Si consideramosel difeomorfismo local pr: R2 → (S1)2 se tiene que E factoriza a travesde dicho cociente para determinar el encaje buscado. Notemos que elencaje es regular ya que la aplicacion inducida es una inyeccion continuade una variedad compacta en una variedad Hausdorff.

1.14. La funcion f : R3 −→ R definida por: f(r1, r2, r3) = (r21 +

r22 − 1) determina en f−1(0) una estructura de variedad ecuacionableS (cilindro circular).

Si t es la funcion identidad en R y si j : S1 −→ R2 es la inclusionnatural, demostrar que t×j es una inmersion cuya imagen es S. Deducirque R× S1 es difeomorfa al cilindro circular.

2. SUBMERSIONES 49

1.15. Sea M1 una subvariedad de M que esta contenida en unasubvariedad regular M ′ de M . Demostar que M1 es una subvariedadde M ′.

1.16. W es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensionfinita. Cuando se dan en ambas sus estructuras C∞ estandar, demostrarque W es una subvariedad regular de V .

1.17. Demostrar que una subvariedad conexa de M es necesaria-mente un subconjunto conexo de M .

Encontrar una subvariedad de R2 que no sea conexa y que sin em-bargo sea un subconjunto conexo de R2.

1.18. Demostrar que una subvariedad compacta de M es necesaria-mente un subconjunto compacto de M .

Usar la figura Ocho para dar un ejemplo de una subvariedad de R2

que no es compacto aunque es un subconjunto compacto de R2.

1.19. Demostrar que una componente de una variedad M es unasubvariedad conexa de M .

1.20. Sea f : R2 −→ R3 la aplicacion definida por

f(θ, φ) = (cos φ cos θ, cos φ sen θ, φ)

Encontrar los puntos en los que f es una inmersion.

1.21. Considerar la aplicacion g : S1tR→ R2 de la reunion disjuntade una circunferencia y una recta en el plano, definida por g/S1 =inclusiony g(t) = (1 + et)(cos t, sen t). Contestar razonadamente si g es o no esun encaje regular.

2. Submersiones

Definicion 2.1. Una funcion f : M → N se dice que es una sub-mersion en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincidecon la dimension de N . Si f es una submersion en todos los puntos desu dominio diremos que f es una submersion. Cuando el dominio de fes M diremos que f es una submersion global. Si f es una submersionglobal sobreyectiva diremos que N es un cociente de M .

Lema 2.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Sig tiene rango n en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rm → Rmde modo que la funcion gh coincide con la proyeccion (r1, r2) → r1 enun entorno abierto de h−1a .


Demostracion. Si g tiene rango n en a , entonces existen 1 ≤σ1 < σ2 < · · · < σn ≤ m tal que det

((∂gi∂rσj

)a

)6= 0 . Podemos exten-

der σ : 1, · · · , n → 1, · · · , m a una permutacion σ : 1, · · · , m →1, · · · , m y definir θ : Rm → Rm mediante la formula θ(r1, · · · , rm) =(rσ1, · · · , rσm) .

Notese que det((∂(gθ)i

∂rj

)θ−1a

)= det

((∂gi∂rσj

)a

)6= 0 , i, j ∈ 1, · · · , n .

Consideremos la funcion ϕ : Rm → Rn × Rm−n dada por ϕ(r) =

(gθ(r), pr2(r)) . Entonces se tiene que det((

∂ϕi∂rj

)θ−1a

)6= 0 , i, j ∈

1, · · · , m . Aplicando el teorema de la funcion inversa podemos ase-gurar que existe una f : Rn × Rm−n → Rm tal que Codom f es unentorno abierto de θ−1a contenido en Dom(gθ) y ademas ϕ|Codomf =f−1 . Tomemos h = θf . Para (r1, r2) ∈ Dom f tenemos gh(r1, r2) =gθf(r1, r2) = pr1 ϕf(r1, r2) = r1 .

Proposicion 2.1. Si f : M → N es una submersion en un puntop , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente,tal que yfx−1(r1, r2) = r1 para (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) ⊂ Rn ×Rm−n .

Demostracion. Sea x una carta de M en p y sea y una carta deN en f(p) . Entonces yf x−1 es una submersion en el punto x(p) . Ellema 2.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn tal quepara cada (r1, r2) ∈ Dom(yf x−1h) se tiene que yf x−1h(r1, r2) = r1 .Tomemos y = y y x = h−1x . Entonces si (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) seobtiene que yfx−1(r1, r2) = yf x−1h(r1, r2) = r1 .

Corolario 2.1. Supongamos que p esta en el dominio de unafuncion diferenciable f : M → N . Entonces f es una submersion en psi y solo si existe una funcion diferenciable s : N →M definida en f(p)tal que fs =id|Doms y sf(p) = p .

Demostracion. Si f es una submersion en p , entonces exis-ten cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente, tal queyfx−1(r1, r2) = r1 para (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) ⊂ Rn × Rm−n . Su-pongamos que x(p) = (a, b) y sea pr: Rn × Rm−n → Rn la proyec-cion canonica, denotemos por ib : Rn → Rm la aplicacion ib(r1) =(r1, b) . Sea el entorno abierto de yf(p) = a determinado por W =i−1b (x(Dom f)) ∩ Codom y y sea S = ib|W Tomemos como s = x−1Sy .

Es facil ver que sf(p) = p . Notese tambien que Codom(fx−1Sy) ⊂Dom y . Entonces fs = fx−1Sy = y−1yfx−1Sy = y−1 pr(ibW )y =y−1id|Wy =id|y−1W =id|Dom s .

Recıprocamente, suppongamos que existe dicha seccion local s .Entonces f∗ps∗f(p) = (id |Dom s)∗f(p) = id∗f(p) = idTf(p)N . De la formulaanterior se deduce que f∗p es un epimorfismo. Luego f es una submer-sion en p .

2. SUBMERSIONES 51

Proposicion 2.2. Si f : M → N es una submersion, entonces f esuna funcion abierta.

Demostracion. Si U un abierto de M , se tiene que f |U es tam-bien una submersion. Ademas Im(f |U) = f(U) . Entonces sera sufi-ciente que veamos que la imagen de una submersion es un abierto.Supongamos que f(p) ∈Imf . Por ser f una submersion en el puntop , sabemos por el corolario 2.1 que existe una funcion diferenciables : N → M tal que sf(p) = p y fs =id|Doms . De aquı se concluye queDom s ⊂Imf . Ademas Dom s es un abierto por ser el dominio de unafuncion diferenciable. Luego Imf es entorno de cada uno de sus puntos.Esto implica que Imf es abierto.

Proposicion 2.3. Sea f : M → N una submersion sobreyectiva ysea g : N → L una funcion. Entonces si gf es diferenciable se tiene queg es diferenciable.

Demostracion. Sea q ∈ N . Puesto que f es sobreyectiva existep ∈ M tal que f(p) = q . Por el corolario 2.1 existe s diferenciable talque fs =id|Doms . Entonces g|Doms = (gf)s que es diferenciable por sercomposicion de diferenciables. Por lo tanto g es diferenciable en q paracada q ∈ N . Luego g es diferenciable.

PROBLEMAS

2.1. Demostrar que la proyeccion p1 es una submersion de la varie-dad producto M1 ×M2 sobre M1.

2.2. Demostrar que la funcion ξ : C2 −→ P 1(C) definida enC2 − (0, 0) por ξ(z) = 1 - plano de C2 que contiene a z es unasubmersion.

2.3. Sea M la variedad que hemos definido en el problema 1.7 sobreel conjunto (R×0)

⋃(R×1). Sea M1 la variedad definida en el problema

4.10 del Capıtulo 2 por medio de las cartas α y α1 (definidas en elproblema referido). Consideramos la funcion φ : M −→ M1 definidapor

φ(s, 0) = (s, 0) s ∈ Rφ(s, 1) = (s, 0) s ∈ R− 0 ;φ(0, 1) = (0, 1).

Demostrar que φ es una submersion de M sobre M1.

2.4. ¿Es Hausdorff una variedad cociente de una variedad Haus-dorff?

2.5. Si φ : M −→ M ′ y ψ : N −→ N ′ son submersiones, demostrarque

φ× ψ : M ×N −→ M ′ ×N ′es una submersion.


3. Las fibras de una submersion

Proposicion 3.1. Si f : M → N es una submersion y q ∈ Codom f ,entonces S = f−1(q) es una subvariedad regular de dimension m− n .

Demostracion. En primer lugar, supongamos que dimM = m =n =dimN . Entonces para cada p ∈ f−1(q) , por el teorema 1.1 ,existe un entorno abierto U de p tal que f |U es un difeomorfismo. Enconsecuencia U ∩ f−1(q) = p . Es decir, f−1(q) es un espacio dis-creto que admite de modo natural estructura de variedad diferencial0-dimensional. Es tambien inmediato comprobar que S es una subva-riedad regular de dimension m− n = 0 .

En segundo lugar, supongamos que m > n . Consideremos la des-composicion canonica Rm = Rn × Rm−n . Sea pr2 : Rm → Rm−n lasegunda proyeccion canonica e in2 : Rm−n → Rm la inclusion definidapor in2(r2) = (0, r2) . Notemos que ambas son aplicaciones diferencia-bles.

Para cada p ∈ S = f−1(q) existen cartas u en p y v en f(p) talesque Dom u ⊂ Dom(fv) , v(q) = 0 y vfu−1 = pr1 |Dom(vfu−1) . Seap′ ∈ Dom u ∩ S , y supongamos que u(p′) = (r′1, r

′2) , entonces r′1 =

pr1 u(p′) = vf(p′) = v(q) = 0 . Por lo tanto u(p′) ∈ Codom u ∩ (0 ×Rm−n) . Sea ahora (0, r′2) ∈ Codom u∩(0×Rm−n) , entonces u−1(0, r′2) ∈Dom u ∩ S . Luego u(Domu ∩ S) = Codom u ∩ (0× Rm−n) .

Denotemos por in: S → M la inclusion canonica. Para cada p ∈ Spodemos considerar la carta x = pr2 u in que es inyectiva y tienepor codominio el abierto in−1

2 (Codom u) . Supongamos que tenemosdos cartas del tipo anterior x = pr2 u in , x = pr2 u in . Estudie-mos la composicion xx−1 . Puesto que x−1 = in−1 u−1 in2 , entoncesxx−1 = pr2 u in in−1 u−1 in2 = pr2 uu

−1 in2 que es una funcion diferen-ciable. Ademas es claro que la reunion de los dominios de las cartasası definidas es S . Entonces S admite estructura de variedad (m−n)-dimensional.

Ahora vamos a ver que la inclusion in: S → M es una inmer-sion. Para p ∈ S consideremos las cartas x y u . Entonces u inx−1 =u in in−1 u−1 in2 = uu−1 in2 = in2 que es una inmersion. Luego in esuna inmersion en p para cada p ∈ S . Es decir que in es una inmersion.Para ver que es regular, queda por ver que la topologıa de S es masfina que la topologıa traza. Sea U un entorno abierto de p contenidoen el dominio de una carta x , entonces x(U) = in−1

2 W con W abiertode Rm contenido en codominio de u . Entonces U = S ∩ u−1W . LuegoU es un abierto de la topologıa traza.

Proposicion 3.2. Sea f : M → N diferenciable, q ∈ Codom f yf es submersion en todo punto p ∈ f−1(q) , entonces f−1(q) es unasubvariedad regular de dimension m− n .

3. LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSION 53

Demostracion. Para cada p ∈ f−1(q) se tiene que si tomamoscartas x, y en p, f(p) , respectivamente, entonces detJy,xf es diferenciabley como su valor en p es no nulo tambien lo sera en un entorno abiertoUp de p en M . En consecuencia si U = ∪pUp , p ∈ f−1(q) , entonces f |Ues una submersion luego f−1(q) es una subvariedad regular de M .

Proposicion 3.3. Sea f : M → N una submersion, q ∈ Codom f ,p ∈ f−1(q) = S y j : S → M la inclusion canonica, entonces j∗pTpS =kerf∗p .

Demostracion. Notese que fj es una funcion constante. Enton-ces f∗pj∗p = 0 , de donde se tiene que j∗pTpS ⊂ kerf∗p . Teniendo encuenta que los espacios vectoriales anteriores tienen la misma dimen-sion se sigue que j∗pTpS = ker f∗p .

PROBLEMAS

3.1. Demostrar que la funcion f : R3 −→ R2 definida en R3 por:

f1(r1, r2, r3) = r21 − r2

2 + 2r1r3 + 2r2r3 − 1

f2(r1, r2, r3) = 2r1 + r2 − r3

determina en f−1(0) una estructura de variedad diferenciable.

3.2. a) Demostrar que las funciones f : R3 −→ R y g : R3 −→ Rdefinidas en R3 por:

f(r1, r2, r3) = r21 + r2

2 − r23 − 1

g(r1, r2, r3) = r1 + r2 − r3 − 1

determinan una estructura de variedad diferenciable en f−1(0) y eng−1(0).

b) Demostrar que la funcion

(f, g) : R3 −→ R2

no verifica las condiciones usuales para que (f, g)−1(0) tenga estruturade subvariedad.

3.3. Sea f : R3 −→ R la aplicacion definida por

f(x, y, z) = x2y2 + y2z2 + z2x2

a) Encontrar los puntos en los que f es una submersion.b) Probar que el subconjunto (d > 0)

M = (x, y, z)|x2y2 + y2z2 + z2x2 = 3d4es una subvariedad regular de R3 .


c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Hausdorffque existen son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentesconexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano z = c enfuncion de los valores de c . Probar que M no es compacta.

d) Probar que cada recta que pasa por el origen y no es un eje cortaa M exactamente en dos puntos. Deducir que M es difeomorfa a la2-esfera menos seis puntos. Vease figura 4

Figura 4. Esfera con seis agujeros

Solucion: (a) La matriz jacobiana de f es la siguiente

(2x(y2 + z2), 2y(x2 + z2), 2z(x2 + y2))

Es facil comprobar que el conjunto de soluciones de las expresionesanteriores igualadas a cero son exactamente los puntos de los ejes coor-denados. Entonces f es submersion en R3 menos los ejes coordenados.

(b) Notemos que puesto que d > 0 la interseccion de M con los ejescoordenados es vacia. Entonces se tiene que f es una submersion entodos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular.

(c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (f, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano z = c es la fibra de (3d4, c) .Comprobemos que (f, z) es una submersion, su matriz jacobiana es lasiguiente: (

2x(y2 + z2) 2y(x2 + z2) 2z(x2 + y2)0 0 1

)que tiene en todos los puntos de M rango 2. Entonces la interseccionde M con el plano z = c es una 1-variedad. Para c 6= 0 se tiene quex2 + y2 + c2 < 3d4

c2+ c2 por los que la interseccion es una variedad

compacta. En este caso se comprueba que solo tiene una componenteconexa.

3. LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSION 55

Para c = 0 se tiene que x2y2 = 3d4 . En este caso no es compacta ytiene cuatro componentes cada una de las cuales es homeomorfa a R.Puesto que las subvariedades son regulares y son subconjuntos cerrados,si M fuera compacta entonces toda subvariedad cerrada tambien loserıa. La subvariedad obtenida para c = 0 no es compacta, luego M noes compacta.

3.4. Sea F : R3 −→ R la aplicacion definida por

F (x, y, z) = x3 + y3 + z3

a) Encontrar los puntos en los que F es una submersion.b) Probar que el subconjunto

M = (x, y, z)|x3 + y3 + z3 = 1es una subvariedad regular de R3 .

c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Hausdorff queexisten son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentes conexasde la variedad obtenida a cortar M con el plano π de de ecuacion z = cen funcion de los valores de c . Probar que M no es compacta. Probarque M es homeomorfa a R2 .

d) Probar que cada recta que pasa por el origen o no corta a M o lacorta exactamente en un punto. Vease figura 5

Figura 5. Superficie

Solucion: (a) La matriz jacobiana de F es la siguiente

(3x2, 3y2, 3z2)

Es facil comprobar que el conjunto de soluciones del sistema

3x2 = 0 , 3y2 = 0 , 3z2 = 0


esta formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .(b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈M . Entonces se tiene que F es una sub-

mersion en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedadregular.

(c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (F, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano π de ecuacion z = c es la fibrade (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersion, su matriz jacobiana esla siguiente: (

3x2 3y2 3z2

0 0 1

)que para c 6= 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0y y = 0 , entonces c3 = 1 pero esto es imposible ya que c 6= 1 . Por lotanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2. Entonces lainterseccion de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para z = 1 setiene que x3 + y3 = 0 . Equivalentemente x + y = 0 . En este caso lainterseccion es una recta.

Notemos que puesto que M contiene a una recta, entonces M no escompacta con la topologıa relativa. Aplicando que M es una subvarie-dad regular tambin se tiene que M con su topologıa subyacente es nocompacta.

Para ver que M es homeomorfa a R2 consideremos la aplicacionφ : M → R2 definida por φ(x, y, z) = (x, y) que es continua por serla restriccion de una continua. Su inversa ψR2 → M se define comoψ(x, y) = (x, y, (1− x3 − y3)

13 ) . Notemos que

φψ(x, y) = φ(x, y, (1− x3 − y3)13 ) = (x, y)

Si un punto (x, y, z) ∈M entonces z = (1−x3− y3)13 , por lo tanto

ψφ(x, y, z) = ψ(x, y) = (x, y, (1− x3 − y3)13 ) = (x, y, z)

Luego M es homoeomorfa a R2 .d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector di-

reccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si ademas esta en M se tieneque λ3(a3 + b3 + c3) = 1 cuya unica solucion es λ = 1

(a3+b3+c3)13

en el

caso que (a3 + b3 + c3) 6= 0 . Si (a3 + b3 + c3) = 0 la ecuacion no tienesolucion. Por lo tanto la correspondiente recta no corta a M .

3.5. Considerar la relacion de equivalencia ρ en R2 dada por (z, w) ∈ρ⇐⇒ |z| = |w|.

a) Demostrar que el conjunto cociente no admite la estructura devariedad cociente.

b) Demostrar que cuando la relacion de equivalencia se restringe aR2 − 0 el conjunto cociente admite tal estructura.

3.6. Sea M una variedad diferencial y ρ una relacion de equivalenciaen M . Denotamos por M ′ la estructura de variedad cociente dada al

4. GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS 57

conjunto M/ρ (se supone que admite esta estructura). Sea f : M −→M1 una aplicacion invariante.

a) Demostrar que si f es inmersion tambien es inmersion la aplica-cion f ′ : M ′ −→ M1 inducida por f .

b) Demostrar que si f es submersion tambien es submersion laaplicacion f ′ : M ′ −→M1 inducida por f .

3.7. Sea S(2,R) la variedad de las matrices simetricas reales 2× 2 .

a) Demostrar que el conjunto M de todas las matrices simetricasreales 2 × 2 con valores propios distintos es un subconjuntoabierto de S(2,R) ..

b) Consideramos la siguiente relacion de equivalencia ρ en M :

AρB ⇐⇒ B = T−1AT ; ∃T ∈ GL(2,R).

Demostrar que si a M se le dota de estructura de subvarie-dad abierta de S(2,R) entonces el conjunto cociente admite laestructura de una variedad cociente M ′.

c) Observad que las funciones con valores reales traza y deter-minante son invariantes diferenciables sobre M . Obtener lascorrespondientes funciones inducidas en M ′.

3.8. Sea O(2) el grupo ortogonal real.

a) Probar que O(2) tiene una estructura de 1-variedad compactacon dos componentes conexas.

b) Si M(2) denota las matrices 2×2, probar que la inclusion dei : O(2) → M(2) es una subvariedad regular.

c) Si I denota la matrız identidad, probar que i∗ITIO(2) se puedeidentificar con el espacio de matrices antisimetricas 2×2.

3.9. Sea F : R → R una funcion C∞ y sea q un entero mayor quecero. Definamos la funcion f : R2 → R mediante la formula f(r, s) =F (r) − sq . Consideremos el conjunto de ceros de esta funcion S =(r, s)|f(r, s) = 0 .a) Probar que si en conjunto de soluciones de sistema de ecuacionesF = 0 , dF

dr= 0 es vacio, entonces S es una subvariedad regular de

R2 de dimension uno. Es decir una curva sin singularidades.b) Probar que si F es un polinomio sin raices multiples, entonces S esuna subvariedad regular.c) Estudiar si S es o no es subvariedad regular en los siguientes casos1) Tomar F (r) = r2 y q = 2 .2) Tomar F (r) = r3 y q = 3 .

4. Grupos discontinuos y variedades recubridoras

En esta seccion llamaremos transformacion de una variedad M aun difeomorfismo global y sobreyectivo de M en M . Denotaremos porDif(M) el grupo de todas las transformaciones de M .


Definicion 4.1. Una accion de un grupo G en una variedad M esuna aplicacion φ : G ×M → M tal que φ(1, p) = p , φ(g, φ(h, p)) =φ(gh, p) y ademas φ(g) : M → M , definida por φ(g)(p) = φ(g, p) , esdiferenciable. Si no hay lugar a confusion denotaremos φ(g, p) = g · p ya la transformacion Φ(g) por φg . Se dice que la accion es eficiente sig · p = p para todo p implica que g = 1 . Diremos que es libre cuandoverifica que si para un p ∈ M se tiene que g · p = p , entonces g = 1 .Se dice que una accion es discontinua si para cada p ∈ M existe unentorno abierto U tal que si g · U ∩ U 6= ∅ entonces g = 1 .

Observese que una accion discontinua es libre y una libre es eficien-te. Una accion si no es eficiente se le puede asociar una eficiente divi-diendo el grupo por los elementos no eficientes. Si en G se considera unaestructura de 0-variedad entonces φ : G×M →M es diferenciable. Unaaccion φ : G×M → M determina un homomorfismo φ : G→ Dif(M) yrecıprocamente. Si la accion es eficiente entonces φ es monomorfismo yse puede considerar que G es un subgrupo de Dif(M) . Para las accio-nes eficientes tambien se dice que G es un grupo de transformaciones,o en su caso, que es un grupo de transformaciones discontinuo.

Si un grupo G actua en una variedad M , entonces diremos quep, p′ ∈ M estan en la misma orbita si existe un g ∈ G tal que g · p =p′ . Denotaremos por G\M el espacio de todas las orbitas de M y laproyeccion canonica se denotara por pr: M → G\M . La orbita de pse denotara por pr(p) y tambien por G · p .

Proposicion 4.1. Si G actua discontınuamente en una variedadM , entonces G\M admite una unica estructura de variedad tal quepr : M → G\M es un difeomorfismo local. Ademas la proyeccion canoni-ca es una aplicacion recubridora regular.

Demostracion. Por ser G discontinuo, podemos encontrar un at-lasA tal que si x ∈ A y g ∈ G , g 6= 1 , entonces g(Dom x)∩Dom x = ∅ .Notese que pr |Domx es inyectiva, continua y abierta. Consideremos enG\M la siguiente familia de cartas x(pr |Domx)

−1|x ∈ A que verificaque la reunion de sus dominios es G\M .

Ahora supongamos que x, y ∈ A y veamos si el cambio

y(pr |Dom y)−1(x(pr |Domx)

−1)−1 = y(pr |Dom y)−1(pr |Domx)x

−1

es diferenciable. Sea p ∈ (Dom x) ∩ (∪g∈Gg · Dom y) , entonces existeun unico g ∈ G tal que g · p = (pr |Dom y)

−1 pr(p) . Entonces Domx ∩φ−1g Dom y es un entorno abierto de p tal que

(pr |Domy)−1(pr |Domx)|Domx∩φ−1

g Dom y = φg|Domx∩φ−1g Dom y .

De aquı se obtiene que (pr |Dom y)−1(pr |Domx) es diferenciable. Luego el

cambio de cartas es diferenciable.Dado p ∈ M , sea x una carta de A tal que p ∈ Dom x . En-

tonces se tiene que x(pr |Domx)−1(pr |Domx)x

−1 = id |Codomx . Luego


pr : M → G\M es un difeomorfismo local. La unicidad se deduce demodo inmediato del hecho que la proyeccion sea una submersion.

La ultima parte en un resultado bien conocido en la teorıa de espa-cios recubridores.

Proposicion 4.2. Si la aplicacion f : X → M es un homeomorfis-mo local de un espacio topologico X en una variedad M , entonces Xadmite una unica estructura diferenciable de modo que f : X → M esun difeomorfismo local. Si X es una cubierta conexa regular de Mentonces M se obtiene de X como el espacio de orbitas de la acciondiscontinua del grupo de transformaciones de la aplicacion recubridora.

Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de X tal que f(U)es abierto para cada U ∈ U , f(U) = Dom(xU) , donde xU es una cartade M , y la funcion f |U es un homeomorfismo. La familia de cartasxU(f |U )|U ∈ U verifica que la reunion de sus dominios es X .

Notese que

yV (f |V )(xU(f |U ))−1 = yV (f |V )(f |U )−1x−1U

= yV (id |f(U∩V ))x−1U = (yV xU

−1)

es diferenciable. Luego el cambio de cartas es diferenciable.La unicidad se deduce de modo inmediato del hecho que la proyec-

cion sea una inmersion global.La ultima parte en un resultado bien conocido en la teorıa de espa-

cios recubridores.

Proposicion 4.3. Si G actua discontınuamente en una variedadM y dados p, p′ en orbitas distintas existen entornos abiertos U,U ′ dep y p′ tal que para todo g ∈ G , g · U ∩ U ′ = ∅ , entonces M y G\Mson variedades Hausdorff.

Demostracion. Notemos que si para todo g ∈ G , g ·U ∩U ′ = ∅ ,entonces tambien se tiene que para todo g, g′ ∈ G , g · U ∩ g′ · U ′ = ∅ .Dados dos orbitas distintas G · p 6= G · p′ . Entonces (∪g∈Gg · U) ∩(∪g′∈Gg′ ·U) = ∅ . Ello implica que G · p,G · p′ tienen entornos abiertoscon interseccion vacıa.

Definicion 4.2. Un subconjunto S = F se llama dominio funda-mental si es la clausura de un subconjunto F que tenga exactamenteun representante de cada orbita. Un dominio fundamental F se diceque es normal si cada punto p ∈ M tiene un entorno abierto V talque solo existen un numero finito de elementos g ∈ G de modo queg · V ∩ F 6= ∅ .

Proposicion 4.4. Sea∼ \F el cociente inducido en F por la acciondiscontinua de un grupo G en una variedad M . Entonces la biyeccion∼ \F → G\M es continua. Si ademas F es normal, entonces dichabiyeccion es un homeomorfismo.


Demostracion. De la propiedad universal del cociente se deduceinmediatamente que la biyeccion ∼ \F → G\M es continua. Veamosque tambien es abierta. Sea p ∈ F y sea V un entorno abierto de p enM tal que F ∩ V es saturado respecto la relacion inducida ∼ . Por serel dominio fundamental normal existe un entorno abierto W tal queg ·W ∩ F = ∅ para todo g salvo un conjunto finito. Ello implica queexiste un conjunto finito g1, · · · , gr tal que g1 · p, · · · , gr · p ∈ F y sig 6∈ g1, · · · , gr entonces g · p 6∈ F . Puesto que p esta en el saturadoF ∩ V , se tiene que g1 · p, · · · , gr · p ∈ V . Teniendo en cuenta queφg1, · · · , φgr son continuas y que F es normal se deduce que existe unentorno abierto U de p en M tal que g1 · U ⊂ V, · · · , gr · U ⊂ V y sig 6∈ g1, · · · , gr entonces g ·U ∩F = ∅ . Entonces p ∈ F ∩(∪g∈Gg ·U) =(F ∩ g1 · U) ∪ · · · ∪ (F ∩ gr · U) ⊂ F ∩ V . Luego ∼ \F → G\M esabierta.

Ejemplo 4.1. El grupo aditivo de los enteros Z actua libre y dis-contınuamente como un grupo de transformaciones en R si su accionesta determinada por la funcion:

Φ: Z× R −→ Rdefinida por Φ(n, s) = n + s . En este caso se puede tomar comodominio fundamental el subconjunto compacto [0, 1] , que es la clausurade [0, 1) , subconjunto con un representante de cada orbita.

PROBLEMAS

4.1. Sea G un grupo de transformaciones sobre una variedad M .Si φ(g) denota la transformacion correspondiente al elemento g ∈ G,demostrar que φ(g−1) = (φ(g))−1.

4.2. La funcion Φ: G×M −→ M determina la accion de un grupoG en una variedad M como grupo de transformaciones. Demostrarque G puede considerarse tambien como un grupo de transformacionesque actua a la derecha por la funcion Φ′ : M × G −→ M definida porΦ′(m, g) = Φ(g−1, m).

4.3. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z actua librey discontinuamente como un grupo de transformaciones en R2 si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: Z× R2 −→ R2

definida por Φ(n, (z1, z2)) = (n+ z1, (−1)nz2).

Solucion: Para cada (a, b) consideremos el entorno abierto B × R ,donde B es la bola de centro a y radio 1

2. Supongamos que existe un

elemento en la interseccion de B × R y de Φ(n, (B × R)) . Entonces


existen b, b′ ∈ B tales que b = b′ + n . Entonces |n| ≤ |b− b′| < 1 y nentero implica que n = 0 . Por lo tanto Φ es una accion discontinua.

4.4. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z×Z actua librey discontinuamente como un grupo de transformaciones en R×R si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: (Z× Z)× R2 −→ R2

definida por Φ((n1, n2), (r1, r2)) = (n1 + r1, n2 + r2) .

4.5. Demostrar que el grupo G = 〈a, b|ab = ba−1〉 actua libre ydiscontinuamente como un grupo de transformaciones en R × R si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: G× R2 −→ R2

definida sobre los generadores por

Φ(a, (r1, r2)) = (r1 + 1, r2) ,

Φ(b, (r1, r2)) = (−r1, r2 + 1).

4.6. Sea Z el grupo aditivo de los numeros enteros, demostrar quela funcion:

Φ: Z× Z× R −→ Rdefinida por Φ(m,n, s) = s + αm + βn, siendo α y β numeros realesno nulos cuya razon es irracional, determina una accion de Z × Z enR como grupo de transformaciones. Demostrar que esta accion es librepero no discontinua.

4.7. Demostrar que un grupo finito que actua libremente como gru-po de transformaciones en una variedad Hausdorff M , actua tambiendiscontinuamente. Probar que en este caso la variedad cociente es Haus-dorff.

Solucion: Supongamos que G = g1, · · · gn con g1 = 1 . Sea ahoraun punto p de M . Puesto que la accion es libre se tiene que parai, j ∈ 1, · · · , n , gip 6= gjp . Aplicando que M es Hausdroff porinduccion se obtiene que existen entornos abiertos Ui de gip tal que parai 6= j , Ui∩Uj = ∅ . Teniendo en cuenta que cada Φgi es continua se tieneque existe un entorno U de p tal que para i ∈ 1, · · · , n ,giU ⊂ Ui .Entonces U ∩ giU ⊂ U1 ∩ Ui = ∅ para i ∈ 2, · · · , n . Por lo tanto laaccion es discontinua.

4.8. Sea M1 la variedad sobre el subespacio H de R2, que consistede los puntos (x, 0) (x ∈ R), junto con el punto (0, 1), definida por lascartas α y α1 cuyos dominios respectivos son U = (x, 0)|x ∈ R yU1 = (x, 0)|x 6= 0

⋃(0, 1)α : U −→ R ; α(x, 0) = x


α1 : U1 −→ R ;α1((x, 0)) = x; α1(0, 1) = 0.

a) Demostrar que la funcion:

Φ: M1 −→ M1

definida por:

Φ(s, 0) = (−s, 0) s 6= 0 ; Φ(0, 0) = (0, 1) ;φ(0, 1) = (0, 0)

es una transformacion en M1

b) Demostrar que el grupo G, que consta de la transformacion iden-tidad y de Φ, actua sobre M1 como grupo de transformaciones. Com-probar que este grupo finito actua libremente pero no discontinuamentesobre M1.

Notar que este ejemplo demuestra que un grupo de transformacionesfinito que actua libremente en una variedad que no es Hausdorff, no esnecesariamente discontinuo.

4.9. Demostrar que el conjunto (r1, r2) ∈ R|0 ≤ r1 ≤ 1 es undominio fundamental normal para la relacion de equivalencia en R2

inducida por el grupo de transformaciones del problema 4.3 .

Solucion: Denotemos por E(a) la parte entera de un numero real.Entonces la orbita de (a, b) tiene un unico representante enF = (r1, r2) ∈ B × R|0 ≤ r1 ≤ 1 que es (a− E(a), (−1)E(a)b) .Vea-mos que F es normal. Sea (a,b) y tomemos como entorno abiertouno de la forma B × R , donde B es la bola de centro a y de ra-dio 1. Entonces si (r, s) ∈ B × R se tiene que a − 1 < r < a + 1 .Si para un entero n se verifica que 0 ≤ r + n ≤ 1 , se deduce que−a − 1 < −r ≤ n ≤ −r + 1 ≤ −a + 2 . Por lo tanto solo un numerofinito de enteros n satisface la desigualdad anterior. Ello implica que eldominio fundamental es normal.

4.10. Demostrar que el cuadrado unidad [0, 1]× [0, 1] es un dominiofundamental normal para la relacion de equivalencia en R2 inducidapor el grupo de transformaciones del problema 4.4.

4.11. Demostrar que el cuadrado unidad [−12, 1

2] × [−1

2, 1

2] es un

dominio fundamental normal para la relacion de equivalencia en R2

inducida por el grupo de transformaciones del problema 4.5.

4.12. Considerar las acciones discontinuas:

φ : Z ×R2 → R2, φ(z, (a, b)) = (2z + a, b)

ψ : Z× R2 → R2, ψ(z, (a, b)) = (z + a, (−1)zb)

Denotemos por φ\R2 , ψ\R2 los espacios de orbitas de dichos grupos.

i) Probar que existe f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q dondep : R2 → φ\R2 y q : R2 → ψ\R2 son las proyecciones canonicas.

5. MISCELaNEA 63

ii) Probar que f es un difeomorfismo local y que cada fibra de ftiene dos puntos.

Solucion: De la ecuacion

φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) = ψ(2z, (a, b))

se deduce que la q id: R2 → R2 factoriza a travs de φ\R2 de modo queexiste una unica f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q id . Puesto que pes una submersion se tiene que f es diferenciable. Ademas de que p, qsean difeomorfismos se obtiene que f tambien lo es.

5. Miscelanea


F (x, y, z) = x4 + y4 + z4



c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Hausdorff queexisten son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentes conexasde la interseccion obtenida a cortar M con el plano π de de ecuacionz = c en funcion de los valores de c . Probar que M es compacta.

d) Probar que cada recta que pasa por el origen corta a M exactamenteen dos puntos. Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera. Vease figura6



Solucion: (a) La matriz jacobiana de F es la siguiente

(4x3, 4y3, 4z3)


4x3 = 0 , 4y3 = 0 , 4z3 = 0

esta formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .(b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈M . Entonces se tiene que F es una sub-


(c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (F, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano π de ecuacion z = c es la fibrade (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersion, su matriz jacobiana esla siguiente: (

4x3 4y3 4z3

0 0 1

)que para −1 < c < 1 se tiene que si suponemos que simultaneamentex = 0 y y = 0 , entonces c4 = 1 pero esto es imposible ya que −1 <c < 1 . Por lo tanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2.Entonces la interseccion de M con el plano z = c es una 1-variedad. Eneste caso se tiene que y = (1− c4 − x4)

14 o bien y = −(1− c4 − x4)

14 .

Se trata de una variedad conexa y compacta. Luego es difeomorfa a la1-esfera.

Para c = 1 se tiene que x4 + y4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 .En este caso la interseccion es el punto (0, 0, 1) .

Para c = −1 se tiene que x4+y4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 .En este caso la interseccion es el punto (0, 0,−1) .

Para |c| > 1 la intersecion es el conjunto vacio.d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector di-

reccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si ademas esta en M se tie-ne que λ4(a4 + b4 + c4) = 1 cuyas soluciones son λ = 1

(a4+b4+c4)14

y

λ = − 1

(a4+b4+c4)14

.

Para cada punto de la esfera (x, y, z) le asociamos el punto de Mdeterminado por 1

(x4+y4+c4)14(x, y, z) . Recıprocamente, a cada punto

(x, y, z) de M le corresponde el punto 1

(x2+y2+z2)12

(x, y, z) de la esfe-

ra. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C∞ de R3 en R3 .Ademas adecuadas restricciones a subvariedades regurales son diferen-ciables.

5.2. Para a 6= 0 sea F : R3 −→ R la aplicacion definida por

F (x, y, z) = a ez cos(a x)− cos(a y)

a) Encontrar los puntos en los que F es una submersion.

5. MISCELaNEA 65

b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad regularde R3 . Vease figura 7 . Estudiar la compacidad de M .

c) Tomemos a = π/2 y supongamos que en el punto p = (0, 0,− log a) dela superficie, sea in : M → R3 la inclusion canonica y considermos lacarta (u, v) : M → R2 dada por u = x y v = y . Notemos que

(∂∂u

)p

y(∂∂v

)p

es una base de TpM y(∂∂x

)p,(∂∂y

)p,(∂∂z

)p

es una base de

TpR3 . Calcular in∗p(∂∂u

)p

y in∗p(∂∂u

)p

en terminos de la base del espacio

vectorial tangente a R3 . Calcular la ecuacion del espacio tangente aM en el punto p .

d) Estudiar la interseccion de la superficie M con el plano y = mx , conm 6= 0 . Estudiar el numero de componentes conexas de la interseccion.


Solucion: a) La matrız jacobiana de F es la siguiente

(−(a2 ez sen(a x)

), a sen(a y), a ez cos(a x))

Es facil comprobar que(∂F∂x

)2+(a∂F∂z

)2> 0 , entonces se tiene que

o(∂F∂x

)6= 0 o

(∂F∂z

)6= 0 . Por lo tanto es rango de la matrız jacobiana

es uno y F es submersion en todos los puntos de R3 .b) Por lo que aplicando el teorema 4.2 del capıtulo 1 o la pro-

posicion 3.2 del capıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de laecuacion a ez cos(a x)− cos(a y) = 0 es una subvariedad regular de R3

de dimension dos.Notemos que para cualquier valor de z se tiene que el punto ( π

a2, πa2, z)

esta en la variedad M , en consecuencia el subconjunto M no es acota-do. Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topologıa de Mcomo variedad coincide con la topologıa de M como subespacio de R3 .


Entonces puesto que M no es acotado y los subconjuntos compactos deR3 son cerrados y acotados se sigue que la superficie M no es acotada.

c) Se tiene que

x in = u ,y in = v y z in = log cos(av)a cos(au)

Ademas

∂ log cos(av)a cos(au)

∂u= a tan au

∂ log cos(av)a cos(au)

∂v= −a tan av

in∗p(∂∂u

)p

= in∗p(∂∂u

)px(∂∂x

)p

+ in∗p(∂∂u

)py(∂∂y

)p

+ in∗p(∂∂u

)pz(∂∂z

)p

=(∂x in∂u

)p

(∂∂x

)p

+(∂y in∂u

)p

(∂∂y

)p

+(∂z in∂u

)p

(∂∂z

)p

=(∂∂x

)p

+ (a tan au)p(∂∂z

)p

=(∂∂x

)p

y similarmente se tiene que

in∗p(∂∂v

)p

= in∗p(∂∂v

)px(∂∂x

)p

+ in∗p(∂∂v

)py(∂∂y

)p

+ in∗p(∂∂v

)pz(∂∂z

)p

=(∂x in∂v

)p

(∂∂x

)p

+(∂y in∂v

)p

(∂∂y

)p

+(∂z in∂v

)p

(∂∂z

)p

=(∂∂y

)p− (a tan av)p

(∂∂z

)p

=(∂∂y

)p

donde en las ultimas igualdades hemos particularizado la expresioncorrespondiente en el punto (0, 0,− log a)

La ecuacion del plano tangente a M en el punto p sera

z = − log a

notemos que por los caculos anteriores se trata de un plano perpen-dicular al eje de las zetas.

d) Consideremos la funcion (F,mx − y) : R3 → R2 cuya matrızjacobiana es la siguiente:(

− (a2 ez sen(a x)) a sen(a y) cos(a x)m −1 0

)En los puntos que cos ax 6= 0 la matrız tiene rango dos, sin embargo

si cos ax = 0 y suponemos que (x, y, z) esta en la interseccion, entoncescos amx = 0 . De aquı se desprende que ax = π

2+kπ y max = π

2+lπ =

m(π2

+ kπ) . Lo que implica que m debe ser cociente de impares. En

este caso la interseccion contine a una recta de ecuacion x = π+2kπ2a

,

y = m(π+2k)π2a

. Dependiendo de si k y l tienen o no la misma paridad se

5. MISCELaNEA 67

tiene que existe un punto en la recta anterior tal que la matrız jacobianatiene rango uno. Notemos que si m no es cociente de impares la rectaanterior no corta a la superficie.

En el caso que cos ax 6= 0 , y suponiendo que a > 0, cada inter-valo ( π

2a+ kπ

a, π

2a+ kπ

a+ π

a) contiene al abierto (posiblemente vacio)

x| cosamxa cosax

> 0 que es una reunion finita de intervalos de la forma

(max π2a

+ kπa, π

2am+ lπ

ma,mın π

2a+ kπ

a+ π

a, π

2ma+ lπ

ma+ π

ma)

Cada uno de estos intervalos abiertos es difeomorfo a una compo-nente conexa de la interseccion, que sera no compacta. En definitiva lainterseccion siempre tiene un numero contable de componentes conexasno compactas.

5.3. Sea la aplicacion ψ : (Z×Z)× (R×R)→ (R×R) definida por

ψ((k, l), (r, s)) = (r + 2πk, (−1)kr + 2πl)

a) Probar que ψ es una accion discontinua que tiene por dominiofundamental [0, 2π] × [0, 2π] . La correspondiente variedad de orbitasK = (Z× Z)\(R× R) la denominaremos como botella de Klein. Con-siderar la aplicacion F : R2 → R4 definida por

F (x, y) = ((cos y + 1) cos x, (cos y + 1) sen x, sen y cosx

2, sen y sen

x

2)

b) Comprobar que F (ψ((k, l), (x, y))) = F (x, y) y que por lo tanto exis-te una aplicacion inducida F : K → R4 . Probar que F es diferenciable.c)Probar que F es un encaje de la botella de Klein en R4 .

5.4. Sea RP 2 es cociente obtenido al identificar puntos antıpodasde la esfera unidad.a) Probar que existe un grupo de transformaciones finito y discontinuode la 2-esfera unidad cuyo espacio de orbitas es RP 2 .

Sea F : R3 → R4 dada por

F (x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, yz), x, y, z ∈ R .

Sea S2 ⊂ R3 la esfera unidad y considerar la restriccion φ = F |S2 : S2 →R3 donde S2 es la esfera unidad centrada en el origen.b)Probar que φ es diferenciable y una inmersion. Comprobar que φ(p) =φ(−p) .c) Sea φ : RP 2 → R4 la inducida por la formula φ[p] = φ(p) . Probarque φ es un encaje del plano proyectivo real en R4 .

CAPıTULO 4

CAMPOS Y FORMAS

1. Fibrado tangente y cotangente

SeaM una variedad diferencialm-dimensional, consideremos el con-junto de todos los vectores tangentes TM = tp∈MTpM . Denotemospor π : TM → M la proyeccion que aplica un vector tangente en elpunto de tangencia, π(vp) = p . Para cada carta x de M, conside-ramos una nueva carta x : TM → R2m definida por xi(vp) = xi(p) ,xm+i(vp) = vp(xi) , 1 ≤ i ≤ m . Notemos que Dom x = π−1(Dom x)y Codom x = Codom x × Rm . Si y es otra carta de M el cambio decartas viene dado por

yx−1(a, r) = y(∑

ri

(∂∂xi

)x−1a

)= (y1x

−1a, · · · , ymx−1a,∑ri(∂y1

∂xi

)x−1a

, · · · ,∑ri(∂ym∂xi

)x−1a

)

= (yx−1a, rJTyx−1(a)),

donde JTyx−1 denota la matriz jacobiana transpuesta del cambio de car-

tas. La mencionada proyeccion se denomina fibrado tangente, sin em-bargo, tambien es frecuente llamar fibrado tangente a la variedad TM .

Denotemos por C∞(M) el espacio de todas las funciones diferencia-bles de M en R y el subespacio de las funciones globales por C∞g (M) .Si p ∈ Dom f , f ∈ C∞(M) podemos definir la aplicacion linealdfp : TpM → R mediante la expresion dfp(v) = v(f) para cada v ∈TpM . Una aplicacion lineal de la forma TpM → R diremos que esun vector cotangente en p a M . El espacio vectorial de los vectorescotangentes en p a M se denotara por T ∗pM .

Lema 1.1. Sea p un punto del dominio de una carta x de unavariedad M , entonces (dx1)p, · · · , (dxm)p es una base del espacio T ∗pM .

Demostracion. Sabemos que(

∂∂x1

)p, · · · ,

(∂

∂xm

)p

es una base de

TpM . Los vectores cotangentes anteriores verifican que (dxi)p((

∂∂xj

)p) =(

∂xi∂xj

)p

. Lo que prueba que precisamente se trata de la base dual.

Sea M una variedad diferencial, consideremos el conjunto de todoslos vectores cotangentes T ∗M = tp∈MT ∗pM . Denotemos por ∗π : T ∗M →M la proyeccion que aplica ∗π(wp) = p que se llamara fibrado cotangen-te, si bien como antes se utiliza este nombre para la variedad T ∗M . Si

69

70 4. CAMPOS Y FORMAS

para cada carta x de M, consideramos una nueva carta ∗x : T ∗M → R2m

definida por ∗xi(wp) = xi(p) , ∗xm+i(wp) = wp(

∂∂xi

)p

, 1 ≤ i ≤ m .

Notemos que Dom ∗x = ∗π−1(Dom x) y Codom ∗x = Codom x × Rm .Si y es otra carta de M el cambio de cartas viene dado por∗y∗x−1(a, r) = ∗y (

∑i ri(dxi)x−1a)

= (yx−1a,(∑

i ri

(∂xi∂y1

)x−1a

), · · · ,

(∑i ri

(∂xi∂ym

)x−1a

))

= (yx−1a, r((Jyx−1(a))−1)).

PROBLEMAS

1.1. Demostrar que al espacio tangente TpM en cualquier puntop de M puede dotarsele de la estructura de subvariedad regular deTM . Demostrar tambien que esta estructura coincide con su estructuraestandar como espacio vectorial real.

Solucion: En primer lugar veamos que la proyeccion π : TM → Mes una submersion. Para ello sea vp un vector tangente en el punto pde M . Tomemos una carta x de M en p y sea x la carta inducidaen TM . Entonces la representacion coordenada de π viene dada porxπx−1(r, s) = r . La matriz jacobiana de π respecto las cartas mencio-nadas es de la forma (id, 0) y su rango sera maximo. En consecuenciaπ es una submersion.

Recordemos ahora el teorema que aseguraba que las fibras de unasubmersion eran subvariedades regulares de dimension 2m −m = m .Es de destacar que las cartas x, x inducen una carta y en el punto

vp de TpM = π−1(p) . De modo que y(vp) = y

(∑m1 si

(∂∂xi

)p

)=

(s1, · · · , sm) que es presisamente la carta asociada a la base(

∂∂x1

)p,

· · · ,(

∂∂xm

)p

en la estructura estandar del espacio vectorial TpM .

1.2. Demostrar que si una variedad diferenciable M admite unabase contable para su topologıa (es segundo numerable) el fibrado tan-gente TM tambien admite una base de esas caracterısticas (es tambiensegundo numerable).

Solucion: Sabemos que si una variedad tiene un atlas contable siy solo si es segundo numerable. Entonces puesto que M es segundonumerable se tiene que M tiene un atlas contable A que induce el atlasA = x|x ∈ A de TM que al tener como conjunto de ındices unconjunto contable es tambien contable. Por lo tanto TM es segundocontable.

1.3. Si pr: M ×M ′ −→ M y pr′ : M ×M ′ −→ M ′ son las proyec-ciones canonicas, demostrar que

(pr?, pr′?) : T (M ×M ′) −→ TM × TM ′

2. CAMPOS Y FORMAS 71

es un difeomorfismo.

2. Campos y formas

Un operador lineal sobre un abierto U de M es una aplicacionξ : C∞(M) → C∞(M) tal que Dom ξf = U ∩ Dom f y que verificala propiedad de linealidad siguiente: ξ(αf + βg) = αξf + βξg . Siademas se tiene que ξ(f · g) = (ξf) · g + f · (ξg) , diremos que es unoperador derivacion con dominio U .

Definicion 2.1. Un campo X de vectores tangentes a una variedadM es una seccion diferenciable del fibrado tangente π : TM → M ;es decir, πX = id |DomX . Una 1-forma ω de vectores cotangentes auna variedad M es una seccion diferenciable del fibrado cotangente∗π : T ∗M → M ; es decir, πω = id |Domω .

Lema 2.1. Sea M una variedad diferenciable, X : M → TM ,w : M → T ∗M secciones de los fibrados tangentes y cotangentes, res-pectivamente, y sea x una carta de la variedad.

(i) Si X|Domx =∑m

i=1Ai∂∂xi

, entonces X|Domx es diferenciable siy solo si A1, · · · , Am son diferenciables.

(ii) Si ω|Domx =∑m

i=1Bidxi , entonces ω|Domx es diferenciable si

y solo si B1, · · · , Bm son diferenciables.

Demostracion. Notese que xXp = (x(p), A1(p), · · · , Am(p)) . En-tonces X|Dom x es diferenciable si y solo si A1, · · · , Am son diferencia-bles.

Analogamente para las 1-formas. Dado X un campo tangente a M , podemos definir el siguiente

operador inducido ξ que aplica una funcion diferenciable f de M en Ren la funcion ξf cuyo dominio es DomX ∩ Dom f y esta definida porξf(p) = Xp(f) . Recıprocamente, dado un operador derivacion ξ sobreun abierto U , podemos asociarle la seccion X del fibrado tangentecuyo dominio es U y esta definida por Xp(f) = ξf(p) .

Proposicion 2.1. Si X es un campo tangente a una variedad M ,entonces el operador inducido ξ es un operador derivacion. Recıproca-mente, si ξ es un operador derivacion, entonces la seccion asociada Xes un campo tangente.

Demostracion. Dado un campo X y sea ξ el correspondienteoperador. En primer lugar probaremos que si f es diferenciable enton-ces ξf tambien lo es. Sea x una carta y supongamos que X|Domx =∑m

i=1Ai∂∂xi

. Entonces para p ∈ DomX ∩Dom x se tiene que ξf(p) =

Xp(f) =(∑m

i=1 Ai∂∂xi

)p

(f) =∑m

i=1Ai(p)(∂f∂xi

)p

=(∑m

i=1 Ai∂f∂xi

)(p) .

Entonces ξf |Dom x =∑m

i=1 Ai∂f∂xi

, para cada carta x . Por lo tanto ξf es


diferenciable. Ahora veamos que es lineal. En efecto, (ξ(αf +βg))(p) =Xp(αf + βg) = αXp(f) +βXp(g) = αξf(p) + βξg(p) = (αξf +βξg)(p)para cada p ∈ DomX ∩ Dom f ∩ Dom g , escalares α, β ∈ R y f, g ∈C∞(M) . Para ver que ξ es una derivacion, sean f, g ∈ C∞(M) , en-tonces ξ(f · g)(p) = Xp(f · g) = f(p)Xp(g) +Xp(f)g(p) = f(p)ξg(p) +ξf(p)g(p) = (f(ξg) + (ξf)g)(p) .

Recıprocamente, supongamos que ξ es un operador derivacion condominio el abierto U . Para cada p ∈ U , se tiene que Xp es lineal, eefecto, Xp(αf +βg) = (ξ(αf +βg))(p) = αξf(p) +βξg(p) = αXp(f) +βXp(g) . Ademas cada Xp es una derivacion en el punto p . Seanf, g ∈ C∞(p) , entonces Xp(f · g) = ξ(f · g)(p) = (f(ξg) + (ξf)g)(p) =f(p)Xp(g) + Xp(f)g(p) . Finalmente queda probar que X es diferen-ciable. Sea p ∈ U = DomX y sea x una carta de M en p tal queDom x ⊂ U . Entonces X =

∑m1 X(xi)

∂∂xi

=∑m

1 ξ(xi)∂∂xi

. Puesto que

ξ(xi) es difierenciable para 1 ≤ i ≤ m , aplicando el lema 2.1 se deduceque X es diferenciable en el punto p . Por lo tanto X es una secciondiferenciable.

Notacion: Dada la correspondencia biunıvoca entre campos tangen-

tes y operadores derivacion, utilizaremos la misma letraX para denotarel campo y el operador derivacion inducido. El conjunto de todos loscampos tangentes a una variedad M se denotara por Ξ(M) y los cam-pos tangentes globales por Ξg(M) .

Un espacio vectorial real V provisto de una aplicacion bilineal an-tisimetrica [−,−] : V × V → V que satisfaga la identidad de Jacobi

[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0

se denomina algebra de Lie.

Definicion 2.2. Dados dos campos tangentes X, Y a una variedadM se llama corchete de Lie al campo tangente definido como el ope-rador lineal que aplica la funcion f ∈ C∞(M) en la funcion [X, Y ]f =X(Y f) − Y (Xf) . Notemos que Dom[X, Y ] = DomX ∩Dom Y .

Proposicion 2.2. El corchete de Lie dota al espacio vectorial de loscampos globales tangentes a una variedad M de estructura de algebrade Lie.

Demostracion. No es difıcil comprobar que efectivamente loscampos tangentes globales de una variedad tiene estructura de espaciovectorial real. La identidad de Jacobi se desprende de las siguientesigualdades

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] =

(XY − Y X)Z − Z(XY − Y X) + (Y Z − ZY )X −X(Y Z − ZY )

+(ZX −XZ)Y − Y (ZX −XZ) = 0.


Dada w una 1-forma de M , podemos definir el siguiente operadorlineal inducido ω que aplica un campo X tangente a M en la funcionωX cuyo dominio es Domw ∩ DomX y esta definida por ωX(p) =wp(Xp) . Recıprocamente, dado un operador lineal ω : Ξ(M)→ C∞(M)sobre un abierto U , podemos asociarle la 1-forma w tal que si v ∈TpM y V es un campo tal que Vp = v , entonces wp(v) = ωV (p) .Notemos que el lema siguiente prueba la existencia del campo V y laindependencia del campo V elegido.

Lema 2.2. Si v es un vector tangente en un punto p ∈M , entoncesexiste un campo tangente V definido en p tal que Vp = v. Si ω : Ξ(M)→C∞(M) es un operador lineal sobre un abierto U y si V, V ′ son doscampos tangentes definidos en un punto p ∈ U tales que Vp = V ′p ,entonces ωV (p) = ωV ′(p) .

Demostracion. Sea x una carta en el punto p, entonces v =

λ1

(∂∂x1

)p

+ · · · + λm

(∂

∂xm

)p

. Entonces el campo V = λ1

(∂∂x1

)+

· · ·+ λm(

∂∂xm

)verifica que Vp = v .

Sea X un campo definido en p tal que Xp = 0 , sea x una carta enp . Entonces por ser ω lineal se tiene que ω(X − X|Domx) = ω(0(X −X|Domx)) = 0ω(X−X|Domx) = 0 . Entonces (ωX)|Domx = ω(X|Domx) .En particular se tiene que

(ωX)(p) = (ω(X|Dom x))(p) = ω(∑

i fi(

∂∂xi

))(p) =

∑i fi(p)ω

(∂∂xi

)(p) .

De la condicion Xp = 0 se desprende que f1(p) = 0, · · · , fm(p) = 0,luego (ωX)(p) = 0 .

Tomemos ahora X = V − V ′ , notese que Xp = 0 . Entonces0 = (ω(V − V ′))(p) = (ωV )(p) − (ωV ′)(p) .

Proposicion 2.3. Existe una correspondencia biunıvoca entre ope-radores lineales respecto funciones de la forma ω : Ξ(M) → C∞(M) y1-formas w : M → T ∗M de una variedad M .

Demostracion. En primer lugar, veamos que si w es una 1-forma,el correspondiente operador es ω y X un campo diferenciable, entoncesωX es diferenciable. En el dominio de una carta x se tiene que ω|Domx =∑Aidxi y para el campo X|Domx =

∑Bj

∂∂xj

. Entonces (ωX)|Dom x =∑AiBi que es diferenciable, para cada carta x . Por lo tanto ωX

es diferenciable. Veamos ahora que ω es lineal. En efecto, (ω(αX +βY ))(p) = wp(αXp+βYp) = αwp(Xp)+βwp(Yp) = αωX(p)+βωY (p) =(αωX + βωY )(p) para cada p ∈ Domw ∩DomX ∩ Dom Y , escalaresα, β ∈ R y X, Y ∈ Ξ(M) .

Recıprocamente, supongamos que ω es un operador lineal con domi-nio el abierto U . Para cada p ∈ U , se tiene que wp es lineal, para verlosupongamos que u, v ∈ TpM y que U, V son campos que extienden u yv , entonces wp(αu + βv) = (ω(αU + βV ))(p) = αωU(p) + βωY (p) =


αwp(u)+βwp(v) . Finalmente queda probar que w es diferenciable. Seap ∈ U = Domw y sea x una carta de M en p tal que Domx ⊂ U .

Entonces w =∑m

1 ω(

∂∂xi

)dxi . Puesto que para i ∈ 1, · · · , m se

tiene que ω(

∂∂xi

)es diferenciable, aplicando lema 2.1 se obtiene que w

es diferenciable en p para cada p ∈ Domw . Entonces w es una secciondiferenciable.

Como consecuencia del resultado anterior utilizaremos la misma

letra, digamos ω , para denotar el operador lineal y la seccion.

Definicion 2.3. Una r-forma con dominio un abierto Domω deuna variedad M es una aplicacion multilineal alternada de la formaω : Ξ(M)×. . .(r×Ξ(M)→ C∞(M) verificando que Dom(ω(X1, · · · , Xr)) =Dom ω∩DomX1 ∩· · · ,∩DomXr . Se toman como 0-formas la funcio-nes diferenciables f : M → R . Denotemos por Ωr(M) el espacio de lasr-formas de M .

Dada una r-forma ω de una variedad M se define su diferencialcomo la (r + 1)-forma dω definida por

dω(X0, · · · , Xr) =1

r + 1

r∑0

(−1)iXiω(X0, · · · , Xi, · · · , Xr)

+1

r + 1

∑0≤i<j≤r

(−1)i+jω([Xi, Xj ], · · · , Xi, · · · , Xj, · · · , Xr)

Dada una r-forma θ con dominio Dom θ y un abierto U de la va-riedad se tiene que la restriccion θU se define a traves de la siguienteformula

θ|U(X1, · · · , Xr) = θ(X1, · · · , Xr)|UEs facil ver que la restriccion de r-formas verifica las siguientes

propiedades:

Proposicion 2.4. Sea M una variedad y ω una r-forma,

(i) Si ω|U = 0 para cada abierto U de un cubrimiento de la varie-dad, entonces ω = 0 ,

(ii) Si U es un abierto, entonces (dω)|U = d(ω|U ) .

Proposicion 2.5. El operador d verifica para cualquier r-forma laecuacion ddω = 0 .

Demostracion. Veamos que ddω|Domx = 0 para cada dominio de

carta. Esto implica que ddω = 0 . Notese que si X0 =(

∂∂xi0

), . . . ,

Xr+1 =(

∂∂xir+1

), son los campos coordenados se tiene que el corchete

de Lie de dos de ellos es nulo, entonces


ddω(X0, · · · , Xr+1) = 1r+2

∑r+10 (−1)iXidω(X0, · · · , Xi, · · · , Xr+1) =

1r+1

1r+2

∑r+1i<j (−1)i(−1)j(XjXi−XiXj)ω(X0, · · · , Xi, · · · , Xj , · · ·Xr+1) =

0

Definicion 2.4. Una r-forma ω se dice que es cerrada si dω = 0 .Una r-forma ε se dice que es exacta si existe una (r−1)-forma θ tal quedθ = ε . El r-esimo grupo de cohomologıa de De Rham de la variedadM se define como:

HrDR(M) = ω|ω r-forma global cerrada/ε|ε r-forma global y exacta .

Para cualquier r-forma ω global se tiene que ddω = 0 por lo que seobtiene el complejo de cocadenas siguiente:

0→ Ω0g(M)→ Ω1

g(M) → · · ·Ωrg(M)→ · · ·

donde Ωrg(M) denota las r-formas globales de M , el r-esimo grupo

de cohomologıa de De Rham de la variedad M es el r-esimo grupo decohomologıa del complejo de cocadenas anterior.

PROBLEMAS

2.1. Demostrar que la funcion que aplica cada punto de una va-riedad diferenciable M en el vector tangente nulo en ese punto es uncampo vectorial en M .

2.2. Sean x, y las cartas del atlas estereografico de S2. Si a, b ∈ R,demostrar que los campos vectoriales:

X1 = (ax1 − bx2)∂

∂x1+ (bx1 + ax2)

∂

∂x2

X2 = (−ay1− by2)∂

∂y1+ (by1 − ay2)

∂

∂y2

definen un campo vectorial sobre S2.

Solucion: Recordemos que el cambio de cartas viene dado por

y1 = x1

(x1)2+(x2)2 y2 = x2

(x1)2+(x2)2

x1 = y1

(y1)2+(y2)2 x2 = y2

(y1)2+(y2)2

Entonces la matriz del cambio viene dada por los siguientes coeficientes

∂y1

∂x1= −(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2∂y1

∂x2= −2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

∂y2

∂x1= −2x1x2

((x1)2+(x2)2)2∂y2

∂x2= (x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2


X1|Dom y = (ax1 − bx2) ∂∂x1

+ (bx1 + ax2)∂∂x2

= (ax1 − bx2)((

−(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+(

−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

))+ (bx1 + ax2)

((−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

) (∂∂y1

)+(

(x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

))=

((ax1 − bx2)

(−(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)+ (bx1 + ax2)

(−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

))(∂∂y1

)+

((ax1 − bx2)

(−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

)+ (bx1 + ax2)

((x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

))(∂∂y2

)=

(−ax1(x1)2+ax1(x2)2+bx2(x1)2−bx2(x2)2−2bx2(x1)2−2ax1(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+

(bx1(x1)2−bx1(x2)2+ax2(x1)2−ax2(x2)2−2ax2(x1)2+2bx1(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

)=

((−ax1−bx2)(x1)2+(−ax1−bx2)(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+

((bx1−ax2)(x1)2+(bx1−ax2)(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

)=

((−ax1−bx2)

((x1)2+(x2)2)

)(∂∂y1

)+(

(bx1−ax2)((x1)2+(x2)2)

)(∂∂y2

)= (−ay1− by2)

(∂∂y1

)+ (bx1 − ax2)

(∂∂y2

)= X2|Domx

Puesto que ambos coinciden en la interseccion de los dominios se tieneque efectivamente definen un campo en la esfera.

2.3. Sean w, x, y las cartas del atlas de RP 2. Demostrar que loscampos vectoriales:

X1 = (w1)∂

∂w1− (w2)

∂

∂w2

X2 = (−x1)∂

∂x1− (2x2)

∂

∂x2

X3 = (y1)∂

∂y1+ (2y2)

∂

∂y2

definen un campo vectorial sobre RP 2.

2.4. Si X, Y son campos vectoriales y f, g funciones diferenciablesdefinidas en una variedad diferenciable M con valores en R, demostrarque:

[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X

2.5. Si x es una carta de una variedad diferenciable M con dominioU y X, Y son campos vectoriales en M , demostrar que:

[X, Y ]|U =∑

(X(Y xj)− Y (Xxj))∂

∂xj

2.6. Demostrar que el espacio vectorial de las matrices reales n×ntiene estructura de algebra de Lie cuando se define la siguiente opera-cion:

[A,B] = AB − BA

3. VARIEDADES PARALELIZABLES 77

2.7. Demostrar que si φ : M → N es un difeomorfismo local e Y esun campo tangente a N , entonces existe un unico campo X tangente aM tal que para cada p ∈ Dom f∩f−1 DomY se tiene que φ∗pXp = Yφp .

2.8. Demostrar que si φ : M → N es diferenciable y ω es una 1-forma de N , entonces existe una unica 1-forma φ∗w cotangente a M talque para cada p ∈ Dom f ∩ f−1 Domw se tiene que φ∗p(ωφp) = (φ∗ω)p .

2.9. En la 1-esfera S1 consideramos la aplicacion recubridoraf(t) = (cos 2πt, sen 2πt) que induce el campo Xp = f∗p

ddt s

si p =(cos 2πs, sen 2πs) y la 1-forma w tal que w(X) = 1. Probar que pa-ra cualquier funcion global h de S1 en R se tiene que dh 6= w y deducirque el primer grupo de cohomologıa de De Rham de S1 es no nulo.

Solucion: Supongamos que f∗w = f∗(dh) = d(hf) . Entonces pues-to que hf es una funcion acotada en algun punto s tiene un maximoen el que se anulara la primera derivada. Entonces

d(hf)s

(d

dt

)s

=

(d(hf)

dt

)s

= 0

Sin embargo en el mismo punto se verifica que

(f∗w)s

(d

dt

)s

= wf(s)f∗s

(d

dt

)s

= wf(s)Xf(s) = 1

Lo que implica una contradiccion que viene de suponer que existeh tal que dh = w . Por lo tanto el primer grupo de cohomologıa de DeRham de la S1 es no trivial.

3. Variedades paralelizables

Recordemos que asociado a una variedad M podemos considerar elespacio Ξg(M) de todos los campos globales tangentes a M que tieneuna estructura natural de C∞g (M)-modulo.

Definicion 3.1. Dados X1, · · · , Xr campos globales tangentes aM , diremos que son linealmente independientes si X1

p , · · · , Xrp son in-

dependientes en TpM para cada p ∈M . Una variedad M de dimensionm se dice paralelizable si existen X1, · · · , Xm campos globales e inde-pendientes.

Proposicion 3.1. Sea M una variedad, entonces son equivalentes:(i) M es paralelizable,(ii) Existe un difeomorfismo de TM con M ×Rm que conmuta con

las proyecciones y es lineal en las fibras.


Demostracion. (i) implica (ii): Supongamos que X1, · · · , Xm esuna paralelizacion de M . Entonces podemos considerar lar biyeccionΘ: M × Rm → TM definida por Θ(p, (λ1, · · · , λm)) = λ1X

1p + · · · +

λmXmp , que ademas conmuta con las proyecciones y es lineal en las

fibras. Si x es una carta de M , y Xj =∑aji

(∂∂xi

)la representacion

coordenada de Θ es la siguiente:

xΘ(x−1 × idRm)(r, λ) = (r, (∑

λiai1x−1(r), · · · ,

∑λia

imx−1(r)))

De aquı se deduce que detJx,(x×id)Θ (p, λ) 6= 0 . Por lo tanto la biyeccion

Θ es un difeomorfismo local, ello implica que Θ es un difeomorfismoglobal de M × Rm en TM .

(ii) implica (i): Es facil ver que el fibrado M×Rm tiene m seccionesdiferenciales independientes, basta considerar Si(p) = (p, (0, · · · , 1(i,· · · , 0)) . Entonces si Θ es el difeomorfismo dado, podemos tomar comoparalelizacion ΘS1, · · · ,ΘSm .

Notese que si el fibrado TM y M × Rm son difeomorfos, entoncesΞg(M) es isomorfo al modulo de las secciones diferenciables deM×Rm .Una seccion M ×Rm es de la forma S(p) = (p, (f1(p), · · · , fm(p))) conf1, · · · , fm : M → R diferenciables. Esto implica que la correspondenciaS → (f1, · · · , fm) es un isomorfismo de Ξg(M) en el C∞g (M)-modulolibre de rango m , C∞g (M)m .

PROBLEMAS

3.1. Demostrar que si una variedad diferencial n-dimensional M esparalelizable, su fibrado tangente TM es difeomorfo a M × Rn.

3.2. Probar que los abiertos de Rm y la 1-esfera son variedadesparalelizables.

Solucion: Si U es un abierto en Rm entonces si x es la carta inclusionse tiene que

(∂∂x1, . . . , ∂

∂xm

)es una paralelizacion de U .

En el caso de la 1-esfera S1 podemos considerar sobre R el campoddt

. Este campo es invariante por traslaciones. Supongamos que tene-

mos una traslacion f(s) = s+ z . Entonces f∗s(ddt

)s

=(dfdt

)s

(ddt

)s+z

=(d(s+z)dt

)s

(ddt

)s+z

=(ddt

)s+z

Puesto que el grupo discontinuo de trans-

formaciones generado por la traslacion unidad, preserva este campo.Entonces se induce un campo en la variedad obtenida al dividir por elgrupo de trasformaciones que la 1-esfera. Ademas el campo inducidoes no nulo si tenemos en cuenta que la projeccion es un difeomorfismolocal.

3.3. Probar que una variedad paralelizable es orientable.

4. VARIEDADES ORIENTABLES 79

3.4. Demostrar que el producto de variedades paralelizables es pa-ralelizable. Probar que los toros y cilindros del la forma S1 × · · · × S1

, S1 × · · · × S1 × R · · · × R son paralelizables.

3.5. Probar que un grupo de Lie es paralelizable.

4. Variedades orientables

Dadas dos bases de un espacio vectorial de dimension mayor que unoe = (e1, . . . , em) , e′ = (e′1, . . . , e

′m) tal que el cambio de bases viene dado

por la matriz e′j =∑aijei . Diremos que e′ ∼ e si det(aij) > 0 . Se llama

orientacion del espacio vectorial real a cada una de las dos clases deequivalencia de la relacion anterior θ(e1, e2, . . . , em) , θ(−e1, e2 . . . , em) .

Definicion 4.1. Una orientacion de una variedadM es una seccionque asigna a cada p ∈M una orientacion θp del espacio vectorial TpMde tal modo que para cada p ∈ M existen m campos independientesX1, · · · , Xm definidos en un entorno abierto U de p de modo que θq =θ(X1

q , · · · , Xmq ) para cada q ∈ U . Una variedad se dice orientable si

admite una orientacion. Una variedad provista de una orientacion sedice que es una variedad orientada.

Proposicion 4.1. Sea θ una orientacion en una variedad M y θ′

una orientacion en un abierto conexo U . Entonces θ′ = θ|U o θ′ =−θ|U .

Demostracion. Sean los subconjuntos U+ = p ∈ U |θp = θ′p yU− = p ∈ U |θp = −θ′p . Si p ∈ U+, entonces existen paralelizaciones

X1, · · · , Xm y X ′1, · · · , X ′m que determinan las orientaciones θ y θ′ enun entorno abierto V del punto p contenido en U . Para cada q ∈ V setiene que Xi

q =∑aji (q)X

′jq de modo que cada aji es un funcion diferen-

ciable con dominio V . Notese que det(aji (p)) > 0 , y por ser det(aji)una funcion continua, existe un entorno abierto W de p contenido enV tal que det(aji (q)) > 0 para cada q ∈ W . Entonces p ∈ W ⊂ U+ ,esto sucede para cada punto de U+ . Por lo que U+ es un abierto deM . Similarmente se prueba que U− es abierto. Aplicado que U es co-nexo se tiene que U = U+ o U = U− . Consecuentemente θ′ = θ|U oθ′ = −θ|U .

Corolario 4.1. Una variedad orientable y conexa admite dosorientaciones.

Proposicion 4.2. Sean x, y un atlas de una variedad orientable

M con dominios conexos, entonces det(∂xi∂yj

)tiene signo constante en

Dom x ∩ Dom y .


Demostracion. Teniendo en cuenta que Dom x es conexo y queM es orientable se puede aplicar la proposicion 4.1 para afirmar queexiste una orientacion θ en M compatible con la parametrizacion ∂

∂x1,

· · · , ∂∂xm

. Por otro lado la parametrizacion ∂∂y1, · · · , ∂

∂yminduce una

orientacion θ′ en el dominio de la carta y . Al ser este conexo, dela proposicion 4.1 se infiere que θ′ = θ|Dom y o θ′ = −θ|Dom y , en el

primer caso det(∂xi∂yj

)es positivo en Dom x ∩ Dom y y en el otro caso

negativo.

Corolario 4.2. La banda de Moebius no es orientable.

Demostracion. Consideremos la banda de Moebius como el es-pacio cociente M = R2/(r, s) ∼ (r + z, (−1)zs) con z entero. Seap : R2 → M la proyeccion canonica. Tomemos el atlas de dos cartasx = (p|(0,1)×R)−1 , y = (p|(1/2,3/2)×R)

−1 que tienen dominio conexo. Elcambio de cartas viene dado por

yx−1(r, s) = (r + 1,−s) si 0 < r < 1/2 ,

yx−1(r, s) = (r, s) si 1/2 < r < 1 .

Entonces det(∂yi∂xj

)(r,s)

vale 1 para 0 < r < 1/2 y vale −1 para 1/2 <

r < 1 . Si suponemos que M es orientable, entonces la proposicion

anterior implica que el signo de det(∂yi∂xj

)(r,s)

debe ser constante. En

consecuencia M no es orientable.

Proposicion 4.3. Sea φ : M → N un difeomorfismo local condominio M . Si θ es una orientacion en N , entonces φ induce de modonatural una orientacion φ∗θ en M .

Demostracion. Sea l : V → W un isomorfismo de espacios vec-toriales. Si una orientacion θ de W esta determinada por una base(b1, · · · , bm) , entonces (l−1b1, · · · , l−1bm) es una base de V que deter-mina una orientacion l∗θ en V . Ahora puesto que φ es un difeomorfis-mo local se tiene que para p ∈M , Tpφ determina una una orientacion(Tpφ)∗θφp en TpM . Sea U un entorno abierto de p tal que φ|U es undifeomorfismo. Si Y 1, · · · , Y m es una paralelizacion de θ en φU , en-tonces (Tφ|U)−1Y 1φ|U , · · · , (Tφ|U)−1Y mφ|U es una paralelizacion para(Tpφ)∗θφp con p ∈ U . Luego (φ∗θ)p = (Tpφ)∗θφp , p ∈ M define unaorientacion en M .

Proposicion 4.4. Sean φ : M → N ψ : N → P difeomorfismolocal con dominios M y N , respectivamente. Si θ es una orientacion enP , entonces φ∗ψ∗θ = (ψφ)∗θ .


Demostracion. Para cada punto a ∈ M se tiene que Ta(ψφ) =(Tφ(a)ψ)(Taφ) . Ademas por ser difeomorfismo locales, si w ∈ Tψφ(a)Pentonces obtenemos que (Taφ)−1(Tφ(a)ψ)−1(w) = (Ta(ψφ))−1(w) . Dela definicion de orientacion inducida por un difeomorfismo local inme-diatamente se sigue que φ∗ψ∗θ = (ψφ)∗θ .

Proposicion 4.5. SeaG un grupo discontinuo de transformacionesde M . Entonces G\M es orientable si y solo si existe una orientacionθ en M que es preservada por cada transformacion del grupo.

Demostracion. Sea η : M → G\M la proyeccion canonica que esun difeomorfismo local. Denotaremos por φg la transformacion aso-ciada al elemento g ∈ G . Supongamos que G\M es orientable ysea θ una orientacion. Tomemos en M la orientacion η∗θ . Para ca-da g ∈ G la transformacion φg verifica que ηφg = η . Aplicando laproposicion anterior se tiene que φ∗gη

∗θ = η∗θ . Luego la orientacioninducida es preservada por las transformaciones del grupo. Recıproca-mente, supongamos que en M disponemos de una orientacion ε . Seab ∈ G\M , tomemos a ∈ M tal que η(a) = b . Si la orientacion εaesta determinada por la base (e1, · · · , em) y Taη es la aplicacion tan-gente, que es un isomorfismo, entonces (Taη(e1), · · · , Taη(em)) es unabase que determina una orientacion en Tb(G\M) . Si hubieramos to-mado otro a′ ∈ M verificando η(a′) = b , entonces existirıa un g ∈ Gtal que φg(a) = a′ . Supongamos que εa′ esta determinada por la ba-se (e′1, · · · , e′m) , puesto que φ∗gε = ε , si (Taφg)

−1(e′j) =∑αijei con

det(αij) > 0 . Entonces se tiene que (Ta′η(e′j) =∑αijTaη(ei) . En con-

secuencia (Taη(e1), · · · , Taη(em)) y (Ta′η(e′1), · · · , Taη(e′m)) determinanla misma orientacion en b . Finalmente observemos que existe un entor-no abierto U de a y una paralelizacion X1, · · · , Xm definida en U talque ε es compatible con X1, · · · , Xm , η|U es un difeomorfismo. Enton-ces (η|U)−1X1(T (η|U)), · · · , (η|U)−1Xm(T (η|U)) es un paralelizacion deθ en ηU entorno abierto de b .

Ejemplo 4.1. La 1-esfera S1 se puede obtener como la variedadde las orbitas del grupo de traslaciones enteras φ : Z×R→ R definidopor la accion φ(z, r) = z + r . Notese que la orientacion inducida porla paralelizacion canonica d

dtes invariante por traslaciones. Entonces,

la proposicion anterior implica que S1 es orientable.

Para ver que las demas esferas Sn , n ≥ 2 son orientables, es sufi-ciente aplicar el siguiente resultado al atlas estereografico.

Proposicion 4.6. Si una variedad M admite un atlas de dos cartasx, y de modo que Dom x∩Dom y es conexo, entonces M es orientable.

Demostracion. La carta x induce una orientacion θ en su do-minio, y respectivamente una orientacion τ es inducida por y . En la


interseccion conexa Dom x ∩ Dom Y se tiene que θ|Dom y = τ |Domx oθ|Domx = −τ |Dom y . En el primer caso, θ ∪ τ define una orientacion enM y en el segundo θ ∪−τ .

Corolario 4.3. La espacio proyectivo RP n es orientable si y solosi n es impar.

Demostracion. El espacio proyectivoRP n es el espacio de orbitasde la accion del cıclico de orden dos generado por la aplicacion antıpodaa de Sn+1 . Si θ es una de las dos orientaciones de Sn+1 , entonces por laproposicion 4.1 , se tiene que a∗θ = θ o a∗θ = −θ . Para determinar sese verifica una u otra bastara ver que ocurre en un punto. Si tomamosla carta x de la proyeccion estereografica sucede que el punto E =(1, 0, · · · , 0) y −E estan en Dom x , entonces

x1 =s1

1− sn+1, · · · , xn =

sn1− sn+1

xa(s1, · · · , sn+1) = x(−s1, · · · ,−sn+1) = (−s1

1 + sn+1, · · · , −sn

1 + sn+1) .

Notemos que

(x1)2

+ · · ·+ (xn)2

=1− s2

n+1

(1− sn+1)2=

1 + sn+1

(1− sn+1)=−xiaxi

.

De donde se tiene que

xia =−xi

(x1)2 + · · ·+ (xn)2 .

Calculando las derivadas parciales se obtiene:

∂(xia)

∂xj=−δij((x1)

2 + · · ·+ (xn)2) + 2xixj

((x1)2

+ · · ·+ (xn)2)2

De donde (∂(xia)

∂xj

)E

=

1 if i = j = 1,

−1 if i = j > 1,

0 en otro caso

En consecuencia se tiene que a∗θ = (−1)n−1θ . Luego a preserva laorientacion si y solo si n es impar. Aplicando la proposicion anterior setiene que RP n es orientable si y solo si n es impar.

Proposicion 4.7. Si θ es una orientacion en M , entonces existeun atlas compatible con θ .

Demostracion. Tomemos un atlas con dominios conexos y encaso que una carta no sea compatible se le cambia una coordenada designo.

5. CURVAS INTEGRALES 83

PROBLEMAS

4.1. Demostrar que la banda de Moebius y la botella de Klein sonvariedades no orientables.

4.2. Considerar el toro como el espacio de orbitas de R2 bajo laaccion del grupo discontinuo de traslaciones enteras. Probar que existeuna orientacion en R2 que es preservada por estas traslaciones y deducirque el toro es orientable.

4.3. Demostrar que la variedad producto M ×M ′ es orientable si ysolo si las variedades M y M ′ lo son.

4.4. Demostrar que el fibrado tangente TM de cualquier variedadM es una variedad orientable.

5. Curvas integrales

Una curva es una funcion diferenciable σ : R → M . Sea X uncampo de vectores tangentes. Se dice que σ es una curva integral de Xsi para cada s ∈ σ−1 DomX se tiene que σ∗s

(ddt

)s

= Xσ(s) .Sea x : M → Rm una carta y sea c = xσ . Si σ es una curva integral

de X en el dominio de la carta, entonces para cada s ∈ σ−1 DomX ∩Dom x se tiene que por un lado

σ∗

(d

dt

)=

(σ∗d

dt

)x1

∂

∂x1+ · · ·+

(σ∗d

dt

)xm

∂

∂xm

=

(d(x1σ)

dt

)∂

∂x1

+ · · · +(d(xmσ)

dt

)∂

∂xm

=

(dc1

dt

)∂

∂x1+ · · ·+

(dcmdt

)∂

∂xm

y por otro si suponemos que X =∑m

i fi∂∂xi

. Para cada punto de lacurva se tiene que

Xσ = f1σ∂

∂x1+ · · ·+ fmσ

∂

∂xm= f1x

−1xσ∂

∂x1+ · · ·+ fmx

−1xσ∂

∂xmEntonces σ es curva integral en el dominio de la carta si y solo si

c = xσ y fi = fix−1 satisfacen las ecuaciones

dc1

dt= f1(c1, . . . , cm)

. . .

dcmdt

= fm(c1, . . . , cm)


Es decir si y solo si c : R→ Rm es una solucion de la del sistema deecuaciones diferenciales de primer grado anterior.

Recordemos que

Proposicion 5.1. Sea f : Rm → Rm una funcion C∞ , a ∈ Dom f .Entonces existe un entorno abierto V de a en Dom f y un ε > 0 talesque para cada t0 en R y cada r ∈ V existe una unica curva cr tal queDom cr = (t0 − ε, t0 + ε) , cr(t0) = r y

dcr1dt

= f1(cr1, . . . , crm)

. . .

dcrmdt

= fm(cr1, . . . , crm)

Ademas la funcion (t0 − ε, t0 + ε)× V → Rm , (s, r)→ cr(s) es C∞ .

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad anteriorse obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 5.2. Sea X un campo de vectores tangentes a unavariedad M , p ∈ DomX . Entonces existe un entorno abierto U de pen DomX y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada q ∈ U existeuna unica curva σq tal que Domσq = (t0 − ε, t0 + ε) , σq(t0) = q yσ∗s(ddt

)s

= Xσ(s) . Es decir que σq es una curva integral de X . Ademasla funcion (t0 − ε, t0 + ε)× U → M , (s, q)→ σq(s) es diferenciable.

Definicion 5.1. Una curva integral σ se dice completa si Dom σ =R . Un campo se dice completo si todas sus curvas integrales son com-pletas.

PROBLEMAS

5.1. Encontrar las curvas integrales del siguiente campo definido enR2 :

X = 2x(∂

∂x) + 2y(

∂

∂y)

Solucion: El sistema de ecuaciones diferenciales asociado a este cam-po es el siguiente:

dx

dt= 2x

dy

dt= 2y

equivalentemente:dx

x= 2dt

dy

y= 2dt

que tiene como solucion:

x = ae2t y = be2t

5. CURVAS INTEGRALES 85


X = −2x(∂

∂x)− 2y(

∂

∂y)


dx

dt= −2x

dy

dt= −2y

equivalentemente:dx

x= −2dt

dy

y= −2dt


x = ae−2t y = be−2t

5.3. Si x, y son las cartas del atlas estereografico de §2 . Probar quelos campos

X = −2x1(∂

∂x1) + 2x2(

∂

∂x2)

Y = −2y1(∂

∂y1)− 2y2(

∂

∂y)

determinan un campo sobre la 2-esfera. Representar graficamente lascurvas integrales de dicho campo.

5.4. Encontrar las curvas integrales de los siguiente campos defini-dos en R2 :

x(∂

∂x)

y(∂

∂x)− x(

∂

∂y)

y(∂

∂x)− y3(

∂

∂y)

5.5. Considerar los siguientes campos vectoriales de R2

X = −y ∂∂x

+ y∂

∂y

Y = x∂

∂x+ y

∂

∂y

(i) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] en la base ∂∂x

, ∂∂y

.

(ii) Encontrar las curvas integrales de X y de Y .


Solucion: (i) Calculemos [X, Y ]x y [X, Y ]y

XY x− Y Xx = Xx− Y (−y) = −y − (−y) = 0

XY y − Y Xy = Xy − Y y = −y − y = 0

Si tenemos en cuenta que [X, Y ] = [X, Y ]x ∂∂x

+ [X, Y ]y ∂∂y

se tiene que

[X, Y ] = 0 .(ii) El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo X es

el siguiente:

dx

dt= −y dy

dt= y

equivalentemente:dx

dt= −y dy

y= dt


x = −bet + b+ a y = bet

El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo Y es el si-guiente:

dx

dt= x

dy

dt= y

equivalentemente:dx

x= dt

dy

y= dt


x = aet y = bet

6. Miscelanea

6.1. Considerar los siguientes campos vectoriales en R2

X = x∂

∂x− y ∂

∂y

Y = x∂

∂x+ y

∂

∂y

a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizacion de R2 .b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] .c) Calcular las curvas integrales de los campos X e Y .d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereografico de la 2-

esfera.

u(r1, r2, r3) = (r1

1− r3,

r2

1− r3)

v(r1, r2, r3) = (r1

1 + r3,

r2

1 + r3)

6. MISCELaNEA 87

y considerar los campos

u1∂

∂u1− u2

∂

∂u2

v1∂

∂v1+ v2

∂

∂v2

Estudiar si estos campos coinciden en la interseccion de sus dominios.

6.2. (25 puntos) Considerar los siguientes campos vectorialesen R2

X = y∂

∂x

Y =x2

2

∂

∂y

a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizacion de R2 .b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] .c) Calcular las curvas integrales de los campos X , Y y [X, Y ] .

Decir si son o no completos.d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereografico de la 2-

esfera.

u(r1, r2, r3) = (r1

1− r3,

r2

1− r3)

v(r1, r2, r3) = (r1

1 + r3,

r2

1 + r3)


K = u2∂

∂u1

L =(v1)

2

2

∂

∂v2


Solucion: a) Notemos que si x = 0 o y = 0 se tiene respectivamenteque en los puntos de la foma p = (0, y) el campo X se anula Xp = 0 oen los de la forma p = (x, 0) el campo Y se anula Yp = 0 . Entoncesse tiene que (Xp, Yp) no son linealmente independientes sobre puntosde los ejes coordenados. Por lo tato (X, Y ) no es una paralelizacion deR2 .

b) Notemos que

(6.1) Xx = y∂

∂xx = y

(6.2) Y y =x2

2

∂

∂yy =

x2

2

(6.3) Y x = 0


(6.4) Xy = 0

De la ecuaciones anteriores se tiene que

(6.5) (XY − Y X)x = −x2

2

(6.6) (XY − Y X)y = Xx2

2= yx

Por lo tanto

[X, Y ] = −x2

2

∂

∂x+ yx

∂

∂y

c) Al campo X le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y ,

dy

dt= 0

que obviamente tiene por solucion x = bt + a, y = b. Notemos quecada curva integral esta definida para todo t de donde se concluye queel campo X es completo.

Al campo Y le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= 0 ,

dy

dt=x2

2

que tiene por solucion x = a, y = a2

2t + b. Como antes cada curva

integral esta definida para todo t de donde se concluye que el campoY es completo.

Para el campo [X.Y ] se obtiene el sistema

dx

dt= −x

2

2,

dy

dt= yx

que notemos que la primera ecuacion es equivalente a −dxx2 = dt

2de

donde se obtiene que 1x

= t+C2

; es decir , x = 2t+C

. Si para t = 0

imponemos que x = a la solucion toma la siguiente forma x = 2t+ 2

a

. De

la segunda ecuacion se tiene que dyy

= 2dtt+ 2

a

. Que implica que log y =

2 log(t + 2a) + D o equivalentemente y = eD(t + 2

a)2 . Imponiendo que

para t = 0 , y = b la solucion toma la siguiente forma y = ba2

4(t+ 2

a)2 .

Por lo tanto la curva integral que para t = 0 pasa por el punto (a, b)viene dada por

x =2

t + 2a

, y =ba2

4(t+

2

a)2

Notemos que para t = − 2a

la curva integral no esta definida. Por lotanto el campo [X, Y ] no es completo.

6. MISCELaNEA 89

d) Para el punto p = (1, 0,0) se tiene que u1(p) = 1 , u2(p) = 0 ,v1(p) = 1 , v2(p) = 0 . Entonces Kp = 0 y Lp = 1

2∂∂v2 . Ello implica que

Kp = 0 y Lp 6= 0 . Por lo tanto K,L no coinciden en la interseccion.

CAPıTULO 5

VARIEDADES Y CONEXIONES

RIEMANNIANAS

1. Conexiones y derivada covariante

Sea Ξ(p) el conjunto de todos los campos tangentes de una va-riedad M definidos en el punto p ∈ M . Una conexion lineal en unpunto p es un operador lineal que asocia a cada vector tangente v enp y a cada campo tangente X definido en p un vector tangente enp que se denotara por OvX y que verifica las siguientes propiedades:C1 Ov(αX + βY ) = αOvX + βOvY

α, β ∈ R, v ∈ TpM, X, Y ∈ Ξ(p),C2 Oau+bvX = aOuX + bOvX

a, b ∈ R, u, v ∈ TpM, X ∈ Ξ(p),C3 OvfX = v(f)Xp + f(p)OvX f ∈ C∞p (p), X ∈ Ξ(p).

Proposicion 1.1. Si v ∈ TpM y X, Y ∈ Ξ(p) tal que en un entornoabierto U de p se tiene que X|U = Y |U , entonces OvX = OvY .

Demostracion. Notese que Dom(X−X|U ) = U y queX−X|U =0|U = 0(0|U ) . Entonces Ov(X − X|U) = Ov(0|U ) = Ov(0(0|U )) =0Ov(0|U) = 0 . Por lo tanto Ov(X) = Ov(X|U ) . Analogamente seobtiene que OvY = Ov(Y |U) . Entonces OvX = OvY .

Si tenemos una conexion lineal para cada punto p ∈ M y V,Xson campos tangentes a una variedad M se puede definir la seccion delfibrado tangente OVX cuyo dominio es Dom V ∩DomX y esta definidapor (OVX)p = OVpX .

Definicion 1.1. Llamaremos una conexion lineal sobre una varie-dad M a una familia de conexiones lineales, una en cada punto p deM , de tal modo que si V,X son campos tangentes a M , entonces laseccion del fibrado tangente OVX es diferenciable.

Definicion 1.2. Sea x la carta identidad de Rm. Dados p ∈ Rm ,v ∈ TpRm y un campo X =

∑i fi

∂∂xi

definido en p . Entonces se define

OvX = v(f1)(

∂∂x1

)p

+ · · · + v(fm)(

∂∂xm

)p

. Notese que si tenemos

campos V y X =∑

i fi∂∂xi

, entonces OVX = V f1∂∂x1

+ · · ·+ V fm∂

∂xm.

Proposicion 1.2. El operador O definido en Rm es una conexionlineal.

91

92 5. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS

Demostracion. Dados p ∈ Rm , v ∈ TpRm , campos X =∑

i fi∂∂xi

, Y =∑

i gi∂∂xi

definidos en p y escalares α, β ∈ R . Entonces Ov(αX +

βY ) = v(αf1+βg1)(

∂∂x1

)p+· · ·+v(αfm+βgm)

(∂

∂xm

)p

= αv(f1)(

∂∂x1

)p+

· · ·+αv(fm)(

∂∂xm

)p+βv(g1)

(∂∂x1

)p+· · ·+βv(gm)

(∂

∂xm

)p

= αOv(X)+

βOv(Y ) . Con esto queda verificada la propiedad C1 . El resto de laspropiedades se comprueba rutinariamente del mismo modo.

Observacion 1.1. Notemos que O actua como un operador queasocia a dos campos tangentes V y X el campo tangente OVX , veri-ficando las siguientes propiedades:

C1 OV (αX + βY ) = αOVX + βOVYα, β ∈ R, V,X, Y ∈ Ξ(M),

C2 OaU+bVX = aOUX + bOVXa, b ∈ R, U, V,X ∈ Ξ(M),

C3 OV fX = V fX + fOVX f ∈ C∞(M), V,X ∈ Ξ(M).

Sea σ : R → M una curva (diferenciable). Un campo tangente aM a lo largo de σ es una funcion diferenciable X : R → TM tal queπX = σ . Uno de estos campos es precisamente el campo velocidad dela curva σ que se define del modo siguiente: σ(s) = σ∗s

(ddt

)s

. Noteseque los campos tangentes a M a lo largo de σ tienen estructura natu-ral de espacio vectorial real y de modulo sobre el anillo de funcionesC∞g (Domσ) .

Si M tiene una conexion O entonces para cada s ∈ Dom σ se puededefinir un operador lineal Oσ(s) que a cada campo X tangente a Ma lo largo de σ le asocia un vector tangente a M en el punto σ(s) .Supongamos que X1, . . . , Xm es una paralelizacion definida en un en-torno abierto de σ(s) . El campo X en ese entorno de puede expresarde modo unico como X(t) =

∑iAi(t)X

iσ(t) Entonces definimos

Oσ(s)X =∑i

((dAi

dt

)s

Xiσ(s) + Ai(s)Oσ(s)X

i

)

Lema 1.1. El operador Oσ(s) es independiente de la paralelizacionelegida.

Demostracion. Supongamos que X1, . . . , Xm e Y 1, . . . , Y m sonparalelizaciones definidas en un entorno abierto de σ(s) . El campo Xdentro de ese entorno de puede expresar como X(t) =

∑iAi(t)X

iσ(t) o

bien X(t) =∑

iBi(t)Yiσ(t) . Supongamos que Xi =

∑aijY

j . Entonces

X =∑

iAiXiσ =

∑iAi

∑j(a

ijσ)Yσj =

∑j(∑

iAi(aijσ))Yσj . De aquı se

1. CONEXIONES Y DERIVADA COVARIANTE 93

deduce que Bj =∑

iAi(aijσ) . Entonces se tiene∑

j

((dBjdt

)sY jσ(s) +Bj(s)Oσ(s)Y

j)

=∑

j

((d(PiAi(a

ijσ))

dt

)sY jσ(s) +

∑i Ai(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j)

=∑

j

(∑i(dAidt

(aijσ) + Aid(aijσ)

dt

)sY jσ(s) +

∑j

∑iAi(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j

=∑

i

∑j

[(dAidt

)saij(σ(s))Y j

σ(s) + Ai(s)(d(aijσ)

dt

)sY jσ(s)

]+∑

i

∑j

[Ai(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j]

=∑

i

[(dAidt

)s

∑j a

ij(σ(s))Y j

σ(s) + Ai(s)∑

j

(d(aijσ)

dt

)sY jσ(s)

]+∑

i

[Ai(s)

∑j a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j]

=∑

i

(dAidt

)sXiσ(s) +

∑i Ai(s)Oσ(s)

∑j a

ijY

j

=∑

i

((dAidt

)sXiσ(s) + Ai(s)Oσ(s)X

i)

Notese que si X es un campo tangente a M a lo largo de σ , el

operador anterior permite definir un nuevo campo OσX tangente a Ma lo largo de σ , mediante la formula (OσX)(s) = Oσ(s)X .

Definicion 1.3. Si V e Y son campos tangentes a una variedad Mcon una conexion lineal O diremos que OV Y es la derivada covariantede Y segun el campo V . Si X es un campo tangente a M a lo largo deuna curva σ diremos que OσX es la derivada covariante de X .

Sea x es una carta en σ(s) y consideremos la paralelizacion ∂∂x1,

· · · , ∂∂xm

, entonces si el campo X tangente a M a lo largo de σ se

expresa como X =∑

iAi

(∂∂xi

)σ

se tiene que en el dominio de la carta

OσX =∑i

(dAi

dt

(∂

∂xi

)σ

+ AiOσ∂

∂xi

)Lema 1.2. Sea σ : R → M una curva y sea Y un campo tangente

a M que induce una campo X = Y σ tangente a M a lo largo de M .Entonces OσX = OσY .

Demostracion. Supongamos que Y 1, . . . , Y m es una paraleliza-cion definida en un entorno abierto U de σ(s) . Si el campo Y verificaque Y |U =

∑iAiY

i . El campo X dentro de ese entorno de puedeexpresar como X(t) =

∑i Aiσ(t)Y i

σ(t) . Entonces se tiene

Oσ(s)X =∑

i

((d(Aiσ)dt

)sY iσ(s) + Aiσ(s)Oσ(s)Y

i)

=∑

i

((σ(s)(Ai))Y

iσ(s) + Ai(σ(s))Oσ(s)Y

i)

= Oσ(s) (∑

i AiYi)

= Oσ(s)Y


Corolario 1.1. Sea v un vector tangente a M en un punto p ysean X,X ′ campos definidos en p . Si existe una curva σ que pase porp a velocidad v de modo que Xσ = X ′σ , entonces OvX = OvX ′ .

Demostracion. Por la proposicion anterior se tiene que OvX =Oσ(s)X = Oσ(s)(Xσ) = Oσ(s)(X

′σ) = Oσ(s)X′ = OvX ′ .

Dada x una carta de M , si consideramos la paralelizacion local∂∂x1, . . . , ∂

∂xm, entonces la conexion O determina la funciones Γkij : M →

R mediante la expresion:

O ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkij∂

∂xk

Denotaremos por Γkij = Γkijx−1 la representacion coordenada de Γkij

en la carta x . Ambos tipos de funciones se denominaran como lossımbolos de Christoffel de la conexion respecto de la carta x .

Dada una curva σ y una carta x denotemos por c = xσ la repre-sentacion coordenada de la curva. Si X es una campo tangente a Ma lo largo de la curva σ, supongamos que en el dominio de la carta

x se tiene que X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

. Notemos que σ =∑

dcidt

(∂∂xi

)σ

.

Sustituyendo σ se obtiene

OσX =∑j

(dAj

dt

(∂

∂xj

)σ

+ AjOP dcidt

( ∂∂xi

)σ

∂

∂xj

)

=∑j

(dAj

dt

(∂

∂xj

)σ

+ Aj

∑i

dcidt

(O ∂

∂xi

∂

∂xj

)σ

)

=∑k

dAk

dt

(∂

∂xk

)σ

+∑i,j

Ajdcidt

(O ∂

∂xi

∂

∂xj

)σ

=∑k

dAk

dt

(∂

∂xk

)σ

+∑i,j

Ajdcidt

(∑k

Γkij∂

∂xk

)σ

=∑k

dAk

dt

(∂

∂xk

)σ

+∑k

∑i,j

dcidt

ΓkijσAj

(∂

∂xk

)σ

=∑k

(dAk

dt+∑i,j

dcidt

Γkij(c)Aj

)(∂

∂xk

)σ

Definicion 1.4. Se dice que un campo X tangente a una variedadM sobre una curva σ es paralelo si OσX = 0 .

Teniendo en cuenta los calculos anteriores se tiene que

Proposicion 1.3. Sea X un campo tangente a una variedad Msobre una curva σ y sea x una carta cuyo dominio corte a la curva y


tal que X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

en σ−1(Dom x) . Entonces X es paralelo en

σ−1(Domx) si y solo si se verifican las ecuaciones

dAk

dt+∑i,j

dcidt

Γkij(c)Aj = 0 k = 1 . . . m.

Proposicion 1.4. Sea una variedad M con una conexion linealO , una curva σ con dominio conexo y t0 ∈ Dom σ . Entonces dadoX0 ∈ Tσ(t0)M existe unico campo X tangente a M a lo largo de σ quees paralelo y tal que X(t0) = X0 .

Demostracion. Si la curva σ esta dada, entonces una carta x enσ(t0) determina funciones c = xσ y sus componentes ci = xiσ de talmodo que el sistema anterior es un sistema de ecuaciones diferencia-les de primer orden en las variables A1, · · · , Am . Ademas existe unentorno V (t0) = (t0 − ε, t0 + ε) ⊂ σ−1(Dom x) tal que para cada valo-res iniciales de las variables A1, · · · , Am existen unas unicas funcionesdefinidas en V (t0) , que sean solucion del sistema y que tengan los va-lores iniciales dados. Ahora para cada t ∈ Domσ , si t > t0 se tieneque [t0, t] ⊂ Dom σ por ser el dominio de la curva conexo. Ademasal ser [t0, t] compacto existe una particion t0 < t1 < · · · < tk = tde modo que en cada subintervalo verifica condiciones de existencia yunicidad del correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales. Cada

X0 ∈ Tσ(t0)M determina valores iniciales X0 =∑

j Aj(t0)(

∂∂xj

)σ(t0)

de

funciones A1, · · · , Am definidas en V (t0) y que son unicas verificandoel sistema de ecuaciones y con los valores iniciales dados. Tomemos

entonces el campo X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

. Ahora procedemos de modo

inductivo tomando X1 ∈ Tσ(t1)M hasta obtener el campo X definidoen un entorno de [t0, t] . Analogamente se procede en el caso t < t0 .La unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales anteriores ga-rantizan que el campo X es el unico campo paralelo definido en Dom σcon valores iniciales X0 .

Definicion 1.5. Se dice que una curva σ de una variedad M esuna geodesica respecto O si σ es paralelo; es decir, si Oσσ = 0 .

Proposicion 1.5. Sea una variedad M con una conexion lineal O .Dado un v ∈ TpM , entonces existe una unica geodesica γ que pasa porp a velocidad v. Denotaremos esta geodesica por γ(t, p, v) .

Demostracion. Sea x una carta en el punto p , de manera que

σ =∑

dck

dt

(∂∂xk

)σ

, entonces σ es paralelo a lo largo de σ y en el

dominio de la carta si y solo si se verifica la ecuacion diferencial de


segundo orden siguiente:

d2ckdt

+∑i,j

dcidt

Γkij(c)dcjdt

= 0 , k = 1, · · · , m.

Esta tiene solucion unica bajo las condiciones iniciales correspondien-tes; en este caso que pase por el punto p a velocidad v .

Definicion 1.6. La funcion expp : TpM →M definida por expp(v) =γ(1, p, v) se llama exponencial.

PROBLEMAS

1.1. Probar que el operador lineal que asocia a los campos tangentesV y X el campo tangente OVX , verifica las siguientes propiedades:

C1 OV (αX + βY ) = αOVX + βOVYα, β ∈ R, V,X, Y ∈ Ξ(M),

C2 OaU+bVX = aOUX + bOVXa, b ∈ R, U, V,X ∈ Ξ(M),

C3 OV fX = V fX + fOVX f ∈ C∞(M), V,X ∈ Ξ(M).

Solucion: C1) Para un punto p ∈M que este en el dominio se tiene(OV (αX + βY ))p = OVp(αX + βY ) = αOVpX + βOVpY = (αOVX +βOV Y )p . Por lo tanto OV (αX + βY ) = αOVX + βOV Y α, β ∈R, V,X, Y ∈ Ξ(M) .

C2) Para cada p en el dominio de definicion se tiene que (OaU+bVX)p =OaUp+bVpX = aOUpX + bOVpX = (aOUX + bOVX)p . Por lo tantoOaU+bVX = aOUX + bOVX a, b ∈ R, U, V,X ∈ Ξ(M) .

C3) Para cada p en el dominio de definicion se tiene que (OV fX)p= OVpfX = (Vpf)Xp + f(p)OVpX = (V fX + fOVX)p . Por lo tantoOV fX = V fX + fOVX f ∈ C∞(M), V,X ∈ Ξ(M).

1.2. Sea σ una curva en una variedad M y sea Oσ el operadorderivada covariante que actua sobre los campos X tangentes a M a lolargo de σ . Probar que este operador verifica las siguientes propiedades:

D1: Oσ(αX +βY ) = αOσX +βOσY α, β ∈ R, X, Y tangen-tes a M a lo largo de σ ,

D2: OσφX = dφdtX + φOσX φ ∈ C∞(Dom σ), X tangente a

M a lo largo de σ .

Solucion: D1) Sea (Z1, · · · , Zm) una paralelizacion en un punto dela curva. Supongamos que respecto dicha paralizacion se tiene que X =∑m

i fiZi , Y =

∑mi giZ

i . Entonces

Oσ(αX + βY ) = Oσ(∑m

i (αfi + βgi)Z i)

=∑m

i

(d(αfi+βg

i)dt

Z i + (αfi + βgi)OσZ i)

= α∑m

i

(dfidtZ i + fiOσZ i

)+ β

∑mi

(dgi

dtZ i + giOσZ i

)= αOσX + βOσY

2. VARIEDADES RIEMANNIANAS 97

D2) Con la misma notacion:

OσφX = Oσ(∑m

i φfiZi)

=∑m

i

(d(φfi)dt

Z i + φfiOσZ i)

=∑m

idφdtfiZ

i +∑m

i

(φdfidtZ i + φfiOσZ i

)= dφ

dtX + φOσX

1.3. Sea σ una curva en R3 y sea Oσ el operador derivada cova-riante que actua sobre los campos X tangentes a R3 a lo largo deσ . Sea r : R3 → R3 la carta identidad. Sean

(∂∂r1

)σ,(∂∂r2

)σ,(∂∂r1

)σ

la restriccion de los campos coodenados sobre la curva. Supongamosque un campo X tangente a R3 a lo largo de σ es tal que X =f1(∂∂r1

)σ

+ f2(∂∂r2

)σ

+ f3(∂∂r1

)σ

. Probar que la dedrivada covariantede X coincide con la derivada normal. es decir:

OσX =df1

dt

(∂

∂r1

)σ

+df2

dt

(∂

∂r2

)σ

+df3

dt

(∂

∂r1

)σ

.

1.4. O la conexion riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3 esuna subvariedad. Notese que para cada p ∈ Σ se tiene la desomposicioncanonica TpR3 ∼= TpΣ⊕norTpΣ . Por lo que cada v ∈ TpR3 descomponede modo canonico como v = tanv + norv . Definamos el operador Opara la variedad Σ por la formula OuX = tanOuX donde X es unaextension local de X a R3 . Probar que O es la conexion riemannianade Σ .

1.5. O la conexion riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3

es una subvariedad con la conexion inducida O . Sea σ : R → Σ unacurva y sea X un campo tangente a Σ a lo largo de σ . Probar que Xes paralelo (OσX = 0) si y solo si OσX es normal a Σ .

1.6. Utilizar los problemas anteriores para probar que el unico pa-ralelo de la 2-esfera que es geodesica es el ecuador.

2. Variedades riemannianas

Definicion 2.1. LLamaremos producto interno de un espacio vec-torial real a una aplicacion 〈−,−〉 : V × V → R bilineal simetrica ydefinida positiva. Una metrica riemanniana asocia a cada p de Mun producto interno 〈−,−〉p : TpM × TpM → R de forma diferen-ciable; es decir, si X, Y son campos tangentes entonces la funcion〈X, Y 〉(p) = 〈Xp, Yp〉 , definida para p ∈ DomX ∩ DomY , es dife-renciable. Un variedad M provista de un metrica riemanniana diremosque es una variedad riemanniana. Con las mismas condiciones de dife-renciabilidad anteriores si cada producto 〈−,−〉p : TpM ×TpM → R esbilineal simetrico y no singular se dice que es una metrica pseudorie-manniana y que (M, 〈−,−〉) es una variedad pseudoriemanniana.


Ejemplo 2.1. En Rn podemos considerar la siguiente metrica: Para

cada p ∈ Rn si u =∑

k uk(

∂∂rk

)p

y v =∑

k vk(

∂∂rk

)p

, entonces

〈u, v〉p =∑

k ukvk .

Proposicion 2.1. Sea N una variedad con una metrica 〈−,−〉 .Si f : M → N es un inmersion global, entonces f induce una metricariemanniana en M definida por la formula

〈u, v〉p = 〈f∗pu, f∗pv〉fp.Demostracion. Del hecho de que para cada p ∈ M el producto

interno 〈−,−〉f(p) sea bilineal, simetrico y definido positivo, y teniendoen cuenta que Tpf es monomorfismo, se tiene de modo rutinario que〈−,−〉p es un producto interno. Si f : M → N es un inmersion global,entonces por la proposicion 1.1 para cada p ∈M existen cartas x de Men p e y de N en f(p) tal que Dom x ⊂ Dom(yf) , yif |Domx = xi para1 ≤ i ≤ m y ademas yif |Domx = 0 para m ≤ i ≤ n . De aquı se deduce

que f |Domx es inyectiva y ademas Tpf(

∂∂xi

)p

=(

∂∂yi

)f(p)

para 1 ≤

i ≤ m . Por lo que la funcion 〈 ∂∂xi, ∂∂xj〉 = 〈 ∂

∂yi, ∂∂yj〉f es diferenciable.

Ahora dados dos campos X, Y definidos en un punto p si tomamoscartas x e y como las anteriores se tiene que si X|Domx =

∑i Ai

∂∂xi

,

Y |Domx =∑

j Bj∂∂xj

, entonces 〈X, Y 〉|Domx =∑

i,j AiBj〈 ∂∂xi ,∂∂xj〉 que

es diferenciable. Por lo tanto se tiene que 〈X, Y 〉 es diferenciable.

Definicion 2.2. Se dice que f : M → N es una inmersion isometri-ca si para p ∈ Dom f y u, v ∈ TpM se tiene que 〈u, v〉p = 〈f∗pu, f∗pv〉fp .Si ademas f es un difeomorfismo local diremos que f es una isometrıalocal y si f es un difeomorfismo global de M sobre N diremos que Mes isometrica a N .

Ejemplo 2.2. Si Σk es una subvariedad de Rn entonces la inclusioni : Σk → Rn es una inmersion que induce la siguiente metrica: Para cadap ∈ Σk si u, v ∈ TpΣk , entonces 〈u, v〉p = 〈i∗pu, i∗pv〉ip . Por ejemplo, laesfera unidad Sn−1 tiene estructura natural de variedad riemannianainducida por la inclusion natural Sn−1 → Rn .

Ejemplo 2.3. En Rn+ = (r1, . . . , rn)|rn > 0 podemos conside-rar la siguiente metrica: Para cada p = (r1, . . . , rn) ∈ Rn+ si u =∑

k uk(

∂∂rk

)p

y v =∑

k vk(∂∂rk

)p

, entonces 〈u, v〉p = 1r2n

∑k ukvk . Esta

variedad riemanniana se denomina espacio hiperbolico n-dimensional yse denota por Hn .

Ejemplo 2.4. En Rn = (r1, . . . , rn)|rn > 0 podemos conside-rar la siguiente metrica: Para cada p = (r1, . . . , rn) ∈ Rn+ si u =

2. VARIEDADES RIEMANNIANAS 99∑k uk

(∂∂rk

)p

y v =∑

k vk(

∂∂rk

)p

, entonces 〈u, v〉p = −u1v1+∑n

k=2 ukvk .

Esta variedad psudoriemanniana se denomina espacio de Minkovski n-dimensional y se denota por Hn .

Recordemos que una producto interno en un espacio vectorial Vcon una base (e1, . . . en) queda determinado por la matriz simetrica(〈ei, ej〉) . De modo similar una metrica riemanniana en el dominiode una carta x queda determinado por las funciones definidas porgij = 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj〉 que llamaremos coeficientes de la metrica respecto de

la carta x . A las representaciones coordenadas las denotaremos porgij = gijx

−1 .

PROBLEMAS

2.1. Geometrıa del catenoide y heliciode. Veanse las Figuras 1 2 .

a) Probar que el subconjunto

H = (u cos v, u sen v, v)|u, v ∈ Res una subvariedad regular de dimension dos de R3 . Llamare-mos a H Helicoide, demostrar que el Helicoide es difeomorfoa R2 .

b) Probar que la aplicacion f : R2 → R3 ,

f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z)

es una inmersion no inyectiva y que C =Imf tiene estructurade subvariedad regular de R3 de dimesion dos. Llamaremos aC Catenoide, demostrar que el Cateniode es difeomorfo a uncilindro S1 × R .

c) Probar que la aplicacion del Helicoide en el Catenoide g : H →C definida por

g(u cos v, u senv, v) = (√

1 + u2 cos v,√

1 + u2 sen v, arcsenhu)

es un difeomorfismo local. ¿Es tambien una aplicacion recu-bridora?

d) Sea φ la carta del Helicoide definida por φ(u cos v, u sen v, v) =(u, v) . Calcular los coeficientes de la metrica gHij (u, v) del He-licoide.

e) Sea ψ la carta del Catenoide cuyo dominio es el subconjunto

(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z)|0 < θ < 2πy esta definida por ψ(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (θ, z) . Cacu-lar los coeficientes de la metrica gCij (θ, z) del Catenoide.

f) Probar que la aplicacion del Helicoide en el Catenoide g : H →C definida por


1 + u2 cos v,√


es una isometrıa local.


Figura 1. Helicoide

Solucion: a) Definamos la funcion ϕ : R3 → R mediante la formulaϕ(x, y, z) = x sen z − y cos z . Notemos que un punto del helicoideverifica que

x sen z − y cos z = u cos v sen v − u sen v cos v = 0

y recıprocamente si se verifica que x sen z − y cos z = 0 , entonces sihacemos que v = z y suponemos que cos v 6= 0, se tiene que podemostomar u = x

cosv. Entonces

(u cos v, u senv, v) = (x,x

cos vsen v, z) = (x, y, z)

y de modo similar se procede si sen v 6= 0 . Por lo tanto el heliciode esla fibra del cero de la funcion ϕ .

Si calculamos las derivadas parciale se tiene ∂ϕ∂x

= sen z , ∂ϕ∂y

=

cos z , ∂ϕ∂z

= x cos z + y sen z . Puesto que el seno y el coseno no seanular simultaneamente se tiene que efectivamente el rango es uno y elHelicoide H es una subvariedad regular de R3 .

Para ver que es difeomorfo a R2 consideremos la aplicacion h : R2 →H dada por h(u, v) = (u cos v, u senv, v) . Notemos que inh : R2 → R3


Figura 2. Catenoide

es inyectiva y su matrız jacobiana : cos v −u sen vsen v u cos v

0 1

tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion h es un homeomorfismolocal. Entonces h es un difeomorfismo.

b) Definamos la funcion ψ : R3 → Rmediante la formula ψ(x, y, z) =x2 + y2 − cosh2 z . Notemos que un punto del catenoide verifica que

x2 + y2 − cosh2 z = cos2 θ cosh2 z + sen2 θ cosh2 z − cosh2 z = 0

y recıprocamente si se verifica que = x2 + y2 − cosh2 z , entonces(x

coshz

)2+(

ycoshz

)2= 1 . Por lo tanto existe θ tal que cos θ = x

cosh zy sen θ = y

cosh z. Entonces

(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (x, y, z)

Si calculamos las derivadas parciale se tiene ∂ψ∂x

= 2x , ∂ψ∂y

= 2y ,∂ϕ∂z

= −2 cosh z senh z .Puesto para ningun punto del catenide se anulan todas las derivadas

parciales se tiene que efectivamente el rango es uno y el Catenoide Ces una subvariedad regular de R3 .


Para ver que es difeomorfo a S1 × R consideremos la aplicacionh : R2 → C dada por f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) . Notemosque in f : R2 → R3 es pediodıca en θ y su matrız jacobiana : − sen θ cosh z cos θ senh z

cos θ cosh z sen θ senh z0 1

tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion f es un homoeomorfismolocal que factoriza a un difeomorfismo f : S1 ×R→ C . Entonces f esun difeomorfismo.

c) Definamos la aplicacion g : H → C por la formula

g(u cos v, y sen v, v) = (√

1 + u2 cos v,√

1 + u2 sen v, arcsenhu) .

La representacion coordenada de este cambio viene dado por θ = v yz = arcsenh u . Por lo que g es diferenciable. La matrız jacobiana(

0 1√1+u2

1 0

)tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion g es un homeomorfismolocal.

En este caso efectivametne se trata de una aplicacion recubridora.Un abierto del catenoide de la forma p ∈ C|θ0 < θ(p) < θ0 + 2πtiene como preimagen la reunioon disjunta de abiertos de la formap ∈ H|θ0 +2(k−1)π < v(p) < θ0 +2kπ donde k es un entero ademasla restriccion de g a cada uno de estos abiertos es un homeomorfismo.

d) Sea φ = (u, v) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 .Denotemos por in: H → R3 la inclusion del helicoide en R3 , entoncesse verifica que x in = u cos v y in = u sen v y z in = v . entonces setiene que in∗

∂∂u

= in∗∂∂u

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂u

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂u

(x) ∂∂z

= ∂x in∂u

∂∂x

+∂y in∂u

∂∂y

+ ∂z in∂u

∂∂z

= cos v ∂∂x

+sen v ∂∂x

. Similarmente se tiene que in∗∂∂v

=

in∗∂∂v

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂v

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂v

(x) ∂∂z

= ∂x in∂v

∂∂x

+ ∂y in∂v

∂∂y

+ ∂z in∂v

∂∂z

=

−u sen v ∂∂x

+ u cos v ∂∂x

+ ∂∂z

.Por lo tanto los coeficientes metricos en la carta son los siguientes

gH11(u, v) = 1 gH12(u, v) = 0 gH22(u, v) = 1 + u2

e) Sea ψ = (θ, z) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 .Denotemos por in: C → R3 la inclusion del catenoide en R3 , entoncesse verifica que x in = cos θ cosh z y in = u sen θ cosh z y z in = z . en-tonces se tiene que in∗

∂∂θ

= in∗∂∂θ

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂θ

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂θ

(x) ∂∂z

=∂x in∂θ

∂∂x

+ ∂y in∂θ

∂∂y

+ ∂z in∂θ

∂∂z

= − sen θ cosh z ∂∂x

+ cos θ cosh z ∂∂x

+ . Simi-

larmente se tiene que in∗∂∂z

= in∗∂∂z

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂z

(y) ∂∂y

in∗∂∂z

(x) ∂∂z

=∂x in∂z

∂∂x

+ ∂y in∂z

∂∂y

+ ∂z in∂z

∂∂z

= cos θ senh z ∂∂x

+ sen θ senh z ∂∂x

+ ∂∂z

.

Por lo tanto los coeficientes metricos en la carta son los siguientes

gC11(θ, z) = cosh2 z gH12(θ, z) = 0 gH22(θ, z) = 1 + senh2 z

3. LONGITUDES DE CURVAS Y VOLUMENES 103

f) Para ver que g : H → C definida por


1 + u2 cos v,√


es una isometrıa local. Teniendo en cuenta el apartado c) se tieneg∗

∂∂u

= g∗∂∂u

(θ) ∂∂θ

+ g∗∂∂u

(z) ∂∂z

= ∂θg∂u

∂∂θ

+ ∂zg∂u

∂∂z

= 1√1+u2

∂∂z

g∗∂∂v

= g∗∂∂v

(θ) ∂∂θ

+ g∗∂∂v

(z) ∂∂z

= ∂θg∂v

∂∂θ

+ ∂zg∂v

∂∂z

= ∂∂θ

Ahora facilmente se comprueba que〈g∗ ∂∂u , g∗

∂∂u〉 = 〈 1√

1+u2∂∂z, 1√

1+u2∂∂z〉 = 1

1+u2 〈 ∂∂z ,∂∂z〉

= 11+u2 (1 + senh2 z) = 1

〈g∗ ∂∂v , g∗∂∂v〉 = 〈 ∂

∂θ, ∂∂θ〉 = cosh2 z = 1 + u2

En los demas casos los coeficientes metricos son cero.

3. Longitudes de curvas y volumenes

Definicion 3.1. Sea σ : R → M una curva en una variedad rie-manniana. Sea un intervalo [a, b] ⊂ Dom σ . La longitud de la curvaentre a y b se define como la integral

lba =

∫ b

a

〈σ, σ〉 12dt.

Sea V un espacio vectorial con un producto interno. Si (e1, . . . , em)es una base ortonormal de V , entonces el volumen del paralepıpe-do expandido por v1 =

∑a1jej, . . . , vm =

∑amjej viene dado por

vol(v1, . . . , vm) = det(aij) . Notemos que

gij = 〈vi, vj〉 = 〈∑k

aikek,∑l

ajlel〉 =∑

aikajlδkl =∑k

aikajk

De donde deducimos que vol(v1, . . . , vm) =√

det(gij) donde el signo delvolumen se puede tomar positivo si det(aij) > 0 o negativo si det(aij) <0 .

Recordemos tambien que si respecto una base v1, . . . , vm tenemoslos coeficientes gij = 〈vi, vj〉 y respecto a otra base w1, . . . , wm losnuevos coeficientes hij = 〈wi, wj〉 . Si ws =

∑l cslvl entonces hij =

〈∑

k cikvk,∑

l cjlvl〉 =∑

kl cikgklcjl .Sea R una“region” contenida en el dominio de una carta x donde

los coeficientes metricos son gij = gijx−1 , entonces el volumen de esta

region se define como

vol(R) =

∫xR

√det(gij(r)) dr1 . . . drm .

El volumen es independiente de la carta elegida supongamos que Resta contenido en el dominio de una carta y con coeficientes metricoshij = hijy

−1 y con misma orientacion que x ; es decir, det(∂xi∂yj

) > 0 .


Al realizar el cambio r = xy−1(s) se tiene que∫xR

√det(gkl(r)) dr1 . . . drm

=

∫yR

|det(∂ri∂sj

)|√

det(gkl(xy−1(s))) ds1 . . . dsm

=

∫yR

√det

(∂xi∂yk

)y−1(s)

det(gkl(y−1(s)))det

(∂xl∂yj

)y−1(s)

ds1 . . . dsm

=

∫yR

√det(hij(s)) ds1 . . . dsm .

PROBLEMAS

3.1. Calcular el area de la 2-esfera de radio r > 0 .

3.2. Calcular el area del plano proyectivo obtenido a partir de la2-esfera de radio r > 0 .

4. Conexiones riemannianas

Definicion 4.1. Se dice que una conexion linealO sobre una va-riedad M es simetrica si para X, Y campos tangentes a M se verificaque

OXY − OYX = [X, Y ].

Se dice que una conexion lineal O sobre una variedad riemanniana(M, 〈−,−〉) es compatible con la metrica si para X, Y, Z campos tan-gentes a M se verifica que

X〈Y, Z〉 = 〈OXY, Z〉+ 〈X,OXZ〉.En una variedad riemanniana una conexion riemanniana es una cone-xion simetrica y compatible con la metrica.

Proposicion 4.1. Una conexion O es simetrica si y solo si paracada carta los sımbolos de Christoffel satisfacen que Γkij = Γkji .

Demostracion. Supongamos que

O ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkij∂

∂xk

O ∂∂xj

∂

∂xi=∑k

Γkji∂

∂xk

Entonces por ser la conexion simetrica

O ∂∂xi

∂

∂xj− O ∂

∂xj

∂

∂xi=

[∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

4. CONEXIONES RIEMANNIANAS 105

Se donde se concluye que Γkji = Γkij . El recıproco se prueba sin dificul-tad.

Proposicion 4.2. La metrica de una variedad riemanniana induceun isomorfismo canonico entre el fibrado tangente y el cotangente.

Demostracion. Supongamos que u ∈ TpM Entonces considere-mos la aplicacion lineal θ(u) : T ∗pM → R definida por θ(u)(v) = 〈u, v〉p. Por ser el producto interno no singular, se tiene que θ : TM → T ∗Mes una biyeccion que preserva fibras y es lineal en cada una de ellas.Ademas para x carta de M se tiene que gij = 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj〉 son funcio-

nes diferenciables. Entonces el cambio de cartas ∗xθx−1((r1, · · · , rm),(s1, · · · .sm)) = ((r1, · · · , rm), (

∑sigi1(r), · · · .

∑sigim(r))) es un difeo-

morfismo. Por lo tanto θ es un difeomorfismo global y sobre.

Como consecuencia del resultado anterior en una variedad rieman-niana una 1-forma determina un unico campo y recıprocamente.

Teorema 4.1. (Levi-Civita) Dada una variedad riemanniana Mentonces existe una unica conexion simetrica compatible con su metricadeterminada por la siguiente expresion:

〈Z,OYX〉 = 12(X〈Y, Z〉 + Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉−〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)

Demostracion. Una conexion compatible con la metrica paracampos X, Y, Z debe verificar las formulas:

X〈Y, Z〉 = 〈OXY, Z〉 + 〈Y,OXZ〉(4.1)

Y 〈Z,X〉 = 〈OY Z,X〉 + 〈Z,OYX〉Z〈X, Y 〉 = 〈OZX, Y 〉+ 〈X,OZY 〉

De estas, aplicando que O es simetrica, se infiere queX〈Y, Z〉 + Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉 = 〈[X,Z], Y 〉 + 〈[Y, Z], X〉+ 〈[X, Y ], Z〉

+2〈Z,OYX〉de donde se obtiene que

〈Z,OYX〉 =1

2(X〈Y, Z〉 + Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉(4.2)

− 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)

Entonces cualquier conexion riemanniana debe verificar la formula an-terior. Es importante observar que para cada par de campos X, Y eloperador

ω(Z) = 12(X〈Y, Z〉 + Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉−〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)


es lineal respecto funciones diferenciables con valores reales, en efec-to:

ω(fZ) =1

2(X〈Y, fZ〉 + Y 〈fZ,X〉 − fZ〈X, Y 〉

− 〈[X, fZ], Y 〉 − 〈[Y, fZ], X〉 − 〈[X, Y ], fZ〉)

=1

2(fX〈Y, Z〉 + fY 〈Z,X〉 − fZ〈X, Y 〉+Xf〈Y, Z〉 + Y f〈Z,X〉

− f〈[X,Z], Y 〉 − f〈[Y, Z], X〉 − f〈[X, Y ], Z〉− 〈XfZ, Y 〉 − 〈Y fZ,X〉)= fω(Z)

Si suponemos que O,O′ son conexiones riemannianas, para X, Y cam-pos tangentes se tiene que 〈−,OYX〉 = ω = 〈−,O′YX〉 . De las propo-siciones 2.3 , 4.2 , se sigue que OYX = O′YX .

Para probar la existencia, tenemos que la formula 4.2 , para cada doscampos X, Y determina un nuevo campo OYX . Es inmediato que severifican la propiedades lineales C1, C2 . Para probar C3 consideremos

〈Z,OY fX〉 =1

2(fX〈Y, Z〉 + Y 〈Z, fX〉 − Z〈fX, Y 〉

− 〈[fX, Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], fX〉 − 〈[fX, Y ], Z〉)Teniendo en cuenta que

Y 〈Z, fX〉 = Y f〈Z,X〉 + fY 〈Z,X〉−Z〈fX, Y 〉 = −Zf〈X, Y 〉 − fZ〈X, Y 〉−〈[fX, Z], Y 〉 = Zf〈X, Y 〉+ f〈[Z,X], Y 〉−〈[fX, Y ], Z〉 = Y f〈X,Z〉 + f〈[Y,X], Z〉

se tiene que

〈Z,OY fX〉 = f〈Z,OYX〉 +1

2(2Y f〈Z,X〉)

= 〈Z, fOYX + Y fX〉Por lo tanto OY fX = fOYX + Y fX y se verifica la propiedad C3 .Dejamos como ejercicio para el lector la comprobacion de que esta co-nexion es simetrica y riemanniana.

Si en la expresion anterior tomamos Z = ∂∂xl

, Y = ∂∂xj

y X = ∂∂xi

se obtiene que ∑k

Γkjiglk =1

2

(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj− ∂gij∂xl

)Si denotamos por (glm) la matriz inversa de la matriz (glm) se obtieneque ∑

k,l

Γljigklglm =

1

2

∑l

glm(∂gjl∂xi


)


y por lo tanto:

Γmji =1

2

∑l

glm(∂gjl∂xi


)

PROBLEMAS

Sea x una carta de una superficie con una metrica riemanniannaque sera denotada por E = g1 1x

−1 , F = g1 2x−1 = g2 1x

−1 , G =g2 2x

−1 . Utilizaremos las notaciones Γkij = Γkijx−1 para los sımbolos de

Christoffel. Denotaremos las coordenadas por u = pr1x , v = pr2x. Unacarta se dira que es de Clairaut si se tiene que Eu = Gu = F = 0 .

4.1. Comprobar que para una superficie las geodesicas estan deter-minadas por las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

u′′ + Γ111u′2 + 2Γ1

12u′v′ + Γ1

22v′2 = 0

v′′ + Γ111u′2 + 2Γ2

12u′v′ + Γ2

22v′2 = 0

4.2. Demostrar que para una carta de Clairaut los sımbolos de ch-ristoffel verifican:

Γ111 = 0, Γ2

11 =−Ev2G

,

Γ112 =

Ev2E

, Γ212 = 0,

Γ122 = 0, Γ2

22 =Gv

2G.

Demostracion: Recordemos que los sımbolos de Christoffel vienendados por

Γmij =1

2

∑k

(∂gjk∂xi

+∂gki∂xj− ∂gij∂xk

)gkm

En este caso se tiene que

g11 =1

Eg12 = g21 = 0 g22 =

1

Gde donde se deduce que:

Γ111 =

1

2

(∂g11

∂u

)g11 =

1

2Eug

11 = 0

Γ211 =

1

2

(− ∂g11

∂v

)g22 =

−Ev2G

Γ112 =

1

2

(∂g11

∂v

)g11 =

Ev2G

Γ212 =

1

2

(∂g22

∂u

)g22 =

1

2Gug

22 = 0

Γ122 =

1

2

(− ∂g22

∂u

)g11 = −1

2Gug

22 = 0


Γ222 =

1

2

(∂g22

∂v

)g22 =

Gv

2G

4.3. Demostrar que para una carta de Clairaut las ecuaciones geodesi-cas se reducen a

u′′ +EvEu′v′ = 0

v′′− Ev2G

u′2

+Gv

2Gv′

2= 0

Solucion: Basta sustituir los valores encontrados de los sımbolos deChristoffel en la ecuacion de la geodesicas.a

4.4. Sea σ : R→ S una geodesica en una superficie S y supongamosque tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t)), para un valordel parametro t supongamos que en σ(t) el angulo que forma el vectortangente y ∂

∂ues θ. Probar que a lo largo de la geodesica se verifica que√

E cos θ = Eu′ =constante.Solucion: Notemos que

√E cos θ = 〈 ∂

∂u, u′

∂

∂u+ v′

∂

∂v〉 = u′E

Por otra parte

d(Eu′)

dt= (Euu

′ + Evv′)u′ + Eu′′ = Eu′′ + Evu

′v′ = 0

4.5. Sea σ : R→ S una curva en una superficie S y supongamos quetenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t) . Entonces (u(t), v(t)representa una geodesica si y solo si existe una constante c tal que severifican las ecuaciones de primer orden:

u′ =c

E

v′ =

√E − c2

√EG

.

Solucion: La primera se ha obtenido en el ejecicio anterior. Por otrolado sabemos que

1 = 〈σ, σ〉 = E(u′)2 +G(v′)2 =c2

E+G(v′)2

de aquı se obtiene que

v′ =

√E − c2

√EG

Recıprocamente si suponemos que se satisfacen las ecuaciones anterio-res derivando se obtienen las ecuaciones de las geodesicas.

5. CURVATURA 109

4.6. Sea σ : R → S una curva en una superficie S y supongamosque tenemos una carta de Clairaut, xσ(u) = (u, v(u)) . Entonces, salvoparametrizacion correcta, la curva v = v(u) representa una geodesicasi y solo si existe una constante c para la cual se verifiva la ecuacion:

dv

du=

√E√E − c2

c√G

4.7. Probar que en el semiplano superior con la metrica de PoincareE = G = 1

v2 , salvo parametrizaciones, la ecuacion de las geodesicas noverticales es

dv

du=

√1v2 − c2

c

Calcular las geodesicas del plano hiperbolico.

4.8. Dada una superficie de revolucion

(φ(v) cosu, φ(v) senu, ψ(v))|u, v ∈ R

Probar que la metrica viene determinada por E = φ(v)2 , F = 0 ,G = φ′(v)2 +ψ′(v)2 y que la ecuacion de las geodesicas viene dada por

dv

du=

φ√φ2 − c2

c√φ′2 + ψ′2

.

5. Curvatura

Definicion 5.1. El tensor curvatura R de una variedad riemannia-na M es una correspondencia que a cada par de campos X, Y le asociaun operador R(X, Y ) que transforma cada campo Z en un campo de-notado por R(X, Y )Z definido por la expresion:

R(X, Y )Z = OYOXZ − OYOXZ + O[X,Y ]Z

donde O es la conexion riemanniana de M .

Proposicion 5.1. Sean X, Y, Z,W campos tangentes y f, g fun-ciones diferenciables con valores reales, entonces

R(fX + gY, Z) = fR(X,Z) + gR(Y, Z)

R(X, fY + gZ) = fR(X, Y ) + gR(X,Z)

R(X, Y )(fZ + gW ) = fR(X, Y )Z + gR(X, Y )W


Demostracion. Es facil ver que son lineales respecto escalaresreales. Para funciones se tiene:

R(fX, Y )Z = OYOfXZ − OfXOYZ + O[fX,Y ]Z

= OY fOXZ − OfXOYZ + Of [X,Y ]−Y fXZ

= Y fOXZ + fOYOXZ − fOXOY Z + Of [X,Y ]Z + O−Y fXZ= fOYOXZ − fOYOXZ + fO[X,Y ]Z

= fR(X, Y )Z

Para la variable Y se sigue facilmente R(X, fY ) = −R(fY,X) =−fR(Y,X) = fR(X, Y ) . Para la variable Z se tiene:

R(X, Y )fZ = OYOXfZ − OXOY fZ + O[X,Y ]fZ

Los terminos de la derecha verifican

OYOXfZ = OY (XfZ + fOXZ)

= Y XfZ +XfOY Z + Y fOXZ + fOYOXZ−OXOY fZ = −OX(Y fZ + fOYZ)

= −XY fZ − Y fOXZ −XfOY Z − fOXOYZO[X,Y ]fZ = [X, Y ]fZ + fO[X,Y ]Z

Sumando se tiene que R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z .

Lema 5.1. Si uno de los campos X, Y, Z se anula en un punto p ,entonces R(X, Y )Z tambien se anula en p .

Demostracion. Como en algunas demostraciones anteriores, delhecho de que R(X, Y )Z sea lineal en cada variable se sigue como esusual que si U es un abierto de la variedad entonces (R(X, Y )Z)|U =R(X|U , Y )Z = R(X, Y |U)Z = R(X, Y )(Z|U) . En el dominio U de una

carta x se tiene que si por ejemplo X|U =∑

i fi(

∂∂xi

), entonces

(R(X, Y )Z)|U =R(X|U , Y )Z = R(∑i

fi

(∂

∂xi

), Y )Z

=∑i

fiR(

(∂

∂xi

), Y )Z .

Si p ∈ U ∩DomX ∩DomY ∩DomZ y Xp = 0 , se tiene que fi(p) = 0para i ∈ 1, · · · , m . Por lo tanto (R(X, Y )Z)p = ((R(X, Y )Z)|U)p =

(R(X|U , Y )Z)p =∑

i fi(p)(

(R((

∂∂xi

), Y )Z

)p

= 0 .

Como consecuencia del lema anterior si u, v, w son vectores tangen-tes en el punto p , podemos definir el vector tangente R(u, v)w toman-do campos U, V,W tales que Up = u , Vp = v , Wp = w y definiendoR(u, v)w = (R(U, V )W )p .

El tensor curvatura verifica las propiedades siguientes:

5. CURVATURA 111

Proposicion 5.2. (Identidad de Bianchi) Sean X, Y, Z campostangentes, entonces

R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = 0.

Demostracion. De la definicion del tensor curvatura se tiene que

R(X, Y )Z = OYOXZ − OXOY Z + O[X,Y ]Z

R(Y, Z)X = OZOYX − OYOZX + O[Y,Z]X

R(Z,X)Y = OXOZY − OZOXY + O[Z,X ]Y

Sumando se obtiene

R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = OY [X,Z] + OX[Z, Y ] + OZ [Y,X]

− O[Y,X ]Z − O[Z,Y ]X −O[X,Z]Y

= [Y [X,Z]] + [X, [Z, Y ]] + [Z[Y,X]]

= 0

Proposicion 5.3. Sean X, Y, Z, T campos tangentes, entonces(i) 〈R(X, Y )Z, T 〉+ 〈R(Y, Z)X, T 〉 + 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 0 ,(ii) 〈R(X, Y )Z, T 〉 = −〈R(Y,X)Z, T 〉 ,(iii) 〈R(X, Y )Z, T 〉 = −〈R(X, Y )T, Z〉 ,(iv) 〈R(X, Y )Z, T 〉 = 〈R(Z, T )X, Y 〉 .

Demostracion. La propiedad (i) se sigue de la identidad de Bian-chi y la (ii) es consecuencia inmediata de la definicion. La propiedad(iii) es equivalente a ver que 〈R(X, Y )Z,Z〉 = 0 . Entonces

〈R(X, Y )Z,Z〉 = 〈OYOXZ − OXOYZ + 〈O[X,Y ]Z,Z〉= 〈OYOXZ,Z〉 − 〈OXOYZ,Z〉+ 〈O[X,Y ]Z,Z〉= Y 〈OXZ,Z〉 − 〈OXZ,OY Z〉 −X〈OY Z,Z〉

+ 〈OY Z,OXZ〉+1

2[X, Y ]〈Z,Z〉

=1

2Y (X〈Z,Z〉) − 1

2X(Y 〈Z,Z〉) +

1

2[X, Y ]〈Z,Z〉

= −1

2[X, Y ]〈Z,Z〉 +

1

2[X, Y ]〈Z,Z〉

= 0

Para probar (iv), tenemos que de la (i) se sigue que

〈R(X, Y )Z, T 〉+ 〈R(Y, Z)X, T 〉 + 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 0

〈R(Y, Z)T,X〉 + 〈R(Z, T )Y,X〉 + 〈R(T, Y )Z,X〉 = 0

〈R(Z, T )X, Y 〉+ 〈R(T,X)Z, Y 〉+ 〈R(X,Z)T, Y 〉 = 0

〈R(T,X)Y, Z〉 + 〈R(X, Y )T, Z〉+ 〈R(Y, T )X,Z〉 = 0


Sumando se obtiene que 2〈R(Z,X)Y, T 〉+ 2〈R(Y, T )X,Z〉 = 0 . Por lotanto 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 〈R(Y, T )Z,X〉 . De donde se deduce la propie-dad (iv) .

Denotemos por |u|2 = 〈u, u〉 y por |u ∧ v| =√|u|2|v|2 − 〈u, v〉2 .

Proposicion 5.4. Sea σ un subespacio bidimensional real, u, vuna base de σ y supongamos que tenemos un producto interno y unoperador R satisfaciendo las propiedades anteriores, entonces

〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

es independiente de la base elegida.

Demostracion. Realicemos un cambio de base u′ = au + bv ,v′ = cu+dv . De los 16 terminos que se generan al aplicar que 〈R(au+bv, cu+ dv)au+ bv, cu+ dv〉 si se tienen en cuenta las propiedades deltensor quedan los cuatro terminos siguientes:

〈R(u′, v′)u′, v′〉 =adad〈R(u, v)u, v〉+ adbc〈R(u, v)v, u〉+ bcad〈R(v, u)u, v〉+ bcbc〈R(v, u)v, u〉

=〈R(u, v)u, v〉(a2d2 − 2adbc+ b2c2)

=(ab− cd)2〈R(v, u)u, v〉Por otra parte |(au + bv) ∧ (cu + dc)|2 = (ad − bc)2|u ∧ v|2 . De

aquı teniendo en cuenta que en el cambio de base se verifica que ad −bc 6= 0 se tiene que

(5.1)〈R(u′, v′)u′, v′〉|u′ ∧ v′|2 =

(ad− bc)2〈R(u, v)u, v〉(ad− bc)2|u ∧ v|2 =

〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

Definicion 5.2. Sea M una variedad riemanniana y σ un subespa-cio bidimensional de TpM , llamaremos curvatura seccional o curvaturade Riemann de σ a numero real

K(σ) =〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

donde u, v es una base del subsepacio σ de TpM .

Dada una carta x de una variedad riemanniana, utilizaremos lassiguientes funciones que determinan el tensor curvatura

R

(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk=∑l

Rlijk

∂

∂xl

Rijks = 〈R(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk,∂

∂xs〉

6. MISCELaNEA 113

No es difıcil comprobar que

Rlijk =

∑s

ΓsikΓljs −

∑s

ΓsjkΓlis +

∂Γlik∂xj

−∂Γljk∂xi

.

Rijks =∑l

Rlijk gls .

Senalaremos tambien que en el caso de 2-variedades riemannianas,en el dominio de una carta x la curvatura seccional se puede calcularcon la formula

K =R1212

g11g22 − g212

.

PROBLEMAS

5.1. Sea U = (x, y)|x2 + y2 < 1 el disco unidad y considerarla metrica cuyos coeficientes son g11 = 4

(1−(x2+y2))2 , g12 = g21 = 0 y

g22 = 4(1−(x2+y2))2 .

i) Calcular los coeficientes de Christoffel.ii) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.iii) Calcular la curvatura seccional.

5.2. Sea M el paraboloide de ecuacion z = x2 +y2 y sea j : M → R3

la inclusion canonica.

i) Calcular los coeficientes de la metrica inducida por j en el lavariedad M .

ii) Calcular los coeficientes de Christoffel.iii) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.iv) Calcular la curvatura seccional.

6. Miscelanea

6.1. Considerar la subvariedad E de R2 de ecuacion (xa)2 + (y

a)2 +

( zc)2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es (x, y, z) ∈ E|y =

0 x ≤ 0 y es tal que x = a cos θ cosφ y = a cos θ senφ z = c sen θy su codominio es (−π, π)× (−π

2, π

2) .

a) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son:g11 = a2 cos2 θ, g12 = 0 = g21, g22 = a2 cos2 θ + c2 cos2 θ .

b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por

Γ111 = 0 Γ1

12 = − tan θ = Γ121 Γ1

22 = 0

Γ211 =

a2 sen 2θ

2(a2 sen2 θ + c2 cos2 θ)

Γ212 = 0 = Γ2

21

Γ222 =

(a2 − c2) sen 2θ

2(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ)


c) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.d) Probar que la curvatura seccional en los puntos de la carta vienedada por

K =c2

(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ)2

6.2. Considerar la subvariedad H de R2 de ecuacion x2+y2−z2 = 1Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es (x, y, z) ∈ H|y = 0 x ≤0 y es tal que x = cosh θ cosφ y = cosh θ sen φ z = senh θ y sucodominio es (−π, π)× (1,+∞) .

a) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son:g11 = cosh2 θ, g12 = 0 = g21, g22 = cosh2 θ + senh2 θ .


Γ111 = 0

Γ112 = tanh θ = Γ1

21

Γ122 = 0

Γ211 = −1

2tanh 2θ

Γ212 = 0 = Γ2

21

Γ222 = tanh 2θ

c) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.d) Calcular la curvatura seccional en los puntos de la carta.

Solucion: Se trata de calculos rutinarios. En los apartados a) y b)ya se ha incluido la solucion.

c) Las ecuaciones de las geodesicas es la siguiente

d2φ

dt2+ 2

dφ

dt

dθ

dttanh θ = 0

d2θ

dt2− 1

2

(dφ

dt

)2

tanh 2θ +

(dθ

dt

)2

tanh 2θ = 0

d)Se obtiene que

R2121 = −1

2(tanh 2θ)2 +

1

2tanh(θ) tanh(2θ)− 1

(cosh 2θ)2= − (cosh θ)2

(cosh 2θ)2

K =R1212

g11g22 − g212

=R2

121g22

g11g22=R2

121

g11= − 1

(cosh 2θ)2

6.3. Sea la superficie deR3 que tiene ecuacion a ez cos(a x)−cos(a y) =0 . Consideremos la carta (u, v) : M → R2 tal que

Dom(u, v) = (x, y, z)|a ez cos(a x)− cos(a y) = 0, cos a x 6= 0y tal que u = x, v = y

6. MISCELaNEA 115

a) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son lossiguientes:

g11 = 1 + a2 tan2(a u), g12 = −a2(tan a u)(tan a v) = g21, g22 =1 + a2 tan2(a v) .b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por

Γ111 =

a3 sec2(a u) tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

Γ112 = 0 = Γ1

21

Γ122 = −

(a3 sec2(a v) tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

11 = −(

a3 sec2(a u) tan(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

12 = 0 = Γ221

Γ222 =

a3 sec2(a v) tan(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)


K = −(

a4 sec2(a u) sec2(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)Solucion: a) Ya hemos visto en el ejercio anterior que puesto que

x in = u ,y in = v y z in = log cos(av)a cos(au)

se tiene que

in∗p

(∂

∂u

)p

=

(∂

∂x

)p

+ (a tan au)p

(∂

∂z

)p

in∗p

(∂

∂v

)p

=

(∂

∂y

)p

− (a tan av)p

(∂

∂z

)p

de donde se obtiene queg11 = 1 + a2 tan2(a u) g12 = g21 = −a2(tan a u)(tan a v) g22 =

1 + a2 tan2(a v)b) La matrız inversa tiene como coeficientes

g11 =1 + a2 tan2(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

g12 =a2 tan(a u) tan(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= g21


g22 =1 + a2 tan2(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

Notemos que se tiene que

∂g11

∂u= 2a3 sec2(a u) tan(a u)

∂g22

∂v= 2a3 sec2(a u) tan(a v)

∂g11

∂v= 0 =

∂g22

∂u

∂g12

∂u= −

(a3 sec2(a u) tan(a v)

)=∂g21

∂u

∂g12

∂v= −


)=∂g21

∂vaplicando las formulas se obtienen

Γ111 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

Γ112 = 0 = Γ1

21

Γ122 = −


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

11 = −(


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

12 = 0 = Γ221

Γ222 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

c) Llamando u y v a las coordenadas de los puntos de la curva seobtiene

∂2u

∂t2+

((∂u

∂t

)2

sec2(a u)−(∂v

∂t

)2

sec2(a v)

)a3 tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= 0

∂2v

∂t2−((

∂u

∂t

)2

sec2(a u) +

(∂v

∂t

)2

sec2(a v)

)a3 tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= 0

d) Para calcular la curvatura necesitamos los coeficientes R1121 y

R2121 para su computo realizamos previamente los siguientes calculos:

R1121 = Γ2

11Γ122 +

∂Γ111

∂v

6. MISCELaNEA 117

R2121 = Γ2

11Γ222 +

∂Γ211

∂v

∂Γ111

∂v=−2a6 sec2(a u) sec2(a v) tan(a u) tan(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

∂Γ211

∂v=

2a6 sec2(a u) sec2(a v) tan2(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2−


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

de donde se obtiene

R1121 = −

(a6 sec2(a u) sec2(a v) tan(a u) tan(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)

R2121 = −

(a4 sec2(a u) sec2(a v) (1 + a2 tan2(a u))

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)De aqui se sigue que

R1212 = −(


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Finalmente

K = −(


(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)

CAPıTULO 6

Apendice

1. Preliminares topologicos

2. Aplicaciones informaticas para la geometrıa

Una de las aplicaciones que se adapta bien a los contenidos de estecurso se halla situada en

Enlace 2.1. Dibuja superficies en implıcitas y parametricas. Enellas se puede considerar la metrica inducida por el abiente que puedeser euclıdio o minkowskiano. Tambien trabaja con metricas pseudo-riemannianas en un abierto del plano. Calcula la curvatura en cadapunto, dibuja geodesicas, realiza transporte paralelo. En mi opinion esuna herramiente docente muy motivadora e interesante.ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_Mac_folder

o en

ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_W32_folder

Enlace 2.2. Aquı se puede localizar la aplicacion 3D-Filmstripque es una herramienta para la visulizacion de objetos matematicos,que incluyes superficies, curvas y polidros. Esta aplicacion funciona conMacOS y requiere PowerPC.http://rsp.math.brandeis.edu/public_html/3D-Filmstrip_html/3D-FilmstripHomePage.html

Las ultimas versiones beta pueden obtenerse mediante ftp anonimo(anonymous) enftp://rsp.math.brandeis.edu/

Enlace 2.3. Contiene informacion sobre un libro de A. Gray queademas geometrıa diferencial ensena a utilizar Mathematica para re-presentar graficamente curvas y superficies, calcular curvaturas, y otroscalculos de interes en geometrıa diferencial.

http://www.wargaming.net/Programming/151/ Modern Differential Geometry Curves Surfaces With Mathematica.htm

3. Enlaces interesantes

Enlace 3.1. Este enlace contiene Apuntes de Geometrıa Diferen-cial y sobre el Grupo Fundamental, examenes y sus soluciones, proble-mas resueltos y otros materiales didacticos.

119

ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_Mac_folder


http://rsp.math.brandeis.edu/public_html/3D-Filmstrip_html/3D-FilmstripHomePage.html

ftp://rsp.math.brandeis.edu/

120 6. APENDICE

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/index.html

Enlace 3.2. Contiene apuntes de Geometrıa Diferencial realizadospor Yaakov Bustin Faculty of Mathematics and Computer Science TheWeizmann Institute of Science Rehovot 76100, Israelhttp://www.wisdom.weizmann.ac.il/users/yakov/public_html/Geometry/

Enlace 3.3. Se trata de un estudio de visualizacion de sistemasdinamicos realizado en la tesis de HelwigLoffelmann “VisualizingLocal-Properties andCharacteristicStructures ofDynamicalSystems”

http://www.cg.tuwien.ac.at/~helwig/diss/diss.htm

Enlace 3.4. Contiene publicaciones on line, videos, imagenes desuperficies, etc

http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/

http://www.wisdom.weizmann.ac.il/users/yakov/public_html/Geometry/



Indice alfabetico

orbita, 58

1-forma, 71

accion de un grupo, 58accion discontinua, 58accion eficiente, 58accion libre, 58aplicacion exponencial, 96atlas compatibles, 11atlas diferenciable m-dimensional, 11

campo de vectores, 71campo paralelo, 94campo tangente a una variedad a lo

largo de una curva, 92carta m-dimensional, 11coeficientes de la metrica, 99conexion compatible con la metrica,

104conexion lineal en un punto, 91conexion lineal en una variedad, 91conexion riemmanniana, 104conexion simetrica, 104conjunto soporte de la variedad, 12curvatura seccional o de Riemann, 112

derivacion o vector tangente en un pun-to, 35

derivada covariante, 93derivada parcial de f con respecto la

i-esima coordenada, 33difeomorfa, 13difeomorfismo, 13difeomorfismo local, 39difeomorfismo local en el punto, 39diferencial de una forma, 74dominio fundamental, 59dominio fundamental normal, 59

espacio de Minkovski, 99espacio hiperbolico, 98

espacio tangente de la variedad en elpunto, 36

estructura diferenciable, 12

fibrado cotangente, 69fibrado tangente, 69funcion diferenciable, 13funcion diferenciable en un punto, 13

geodesica, 95germen, 35

inmersion isometrica, 98isometrıa local, 98isometrica, 98

la aplicacion tangente en el punto, 37

matriz jacobiana de φ en el punto p,38

metrica pseudoriemanniana, 97metrica riemanniana, 97

operador derivacion, 71operador lineal, 35

producto interno, 97

r-forma, 74rango de una aplicacion diferenciable,

38rango de una aplicacion lineal, 38

sımbolos de Christoffel, 94

tensor curvatura, 109transformacion, 57

variedad diferencialm-dimensional, 12variedad pseudoriemanniana, 97variedad riemanniana, 97vector cotangente, 69

121

Bibliografıa

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New York, 1979.3. Boothby, W.M. Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian

Geometry, Academic Press, New York, 1975.4. Brickell, F., Clark, R.S. Differentiable manifolds. An Introduction, Van Nos-

trand Reinhold Company, London, 1970.5. Chevalley, C. Theory of Lie Groups, Pinceton Univ. Press, Princeton, N.J.

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metry, North Holland/ American Elsevier, 1975.9. Carmo, M. P. do. Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston, 1993.

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Press (Study 51), 1974.23. Mishchenko, A. and Fomenko, A. A Course of Differential Geometry and

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1985.25. Okubo, T. Differential Geometry, Marcel Dekker, Inc. New York and Basel,

1987.

123

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1936.37. Eves, H. Estudio de las Geometrıas, Tomos I y II, UTEHA, Mejico, 1969.38. Rıbnikov, K. Historia de las Matematicas, Editorial Mir, Moscu, 1987.39. Bonola, R. Non-euclidean Geometry, Dover Publications, Inc., New York,

1955.

Luis Javier Hernández Paricio

Luis Javier HERNÁNDEZ PARICIO

Address: University of La Rioja , Department of Mathematics and Computer Science ,Building VIVES, Luis de Ulloa St., 26004 Logroño, Spain

Dirección: Universidad de La Rioja , Departamento de Matemáticas y Computación ,Edificio VIVES, C/ Luis de Ulloa s/n, 26004 Logroño, España

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Apuntes de clases por Luis Javier Hernandez Paricio

Apuntes, soluciones de exámenes y programas de Mathematica para Geometría diferencial y Teoría de

Homotopía (por Luis Javier HERNÁNDEZ PARICIO)

Teoría de Homotopía:

1. Grupoide fundamental y aplicaciones recubridoras (Spanish), 98 pp. (pdf, 2002).

2. Exámenes y soluciones en versión pdf: 2001, Junio , 2001, Septiembre, 2002, Junio , 2002, Septiembre (sólo el examen) 2003, Junio (sólo el examen) 2003, Septiembre (sólo el examen)

3. Programa en Mathematica que aproxima un fichero de datos por un complejo cúbico puro y calcula la homología de un complejo cúbico finito. EDH

Geometría Diferencial:

1. Introducción a la Geometría Diferencial, 150 pp. (pdf, 2003).

2. Examenes y soluciones en versión pdf:2001, Julio , 2001, Septiembre , 2002, Febrero , 2003, Febrero .

3. Windows Macintosh Paquete RimannnianGeometry que hemos elaborado para la aplicación Mathematica que realiza los siguientes procesos:

1) Calcula la pseudométrica inducida en una variedad M por una inmersión de la variedad M en una variedad pseudoriemanniana N,

2) A partir de los coeficientes pseudométricos calcula los símbolos de Christoffel, el sistema de ecuaciones diferenciales de las geodésicas (no las integra), los coeficientes de tensor de curvatura y la curvatura seccional.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/lnes.html02/05/2006 20:16:56

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http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/hfolder/SolSepHom01.pdf

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/hfolder/SolExhom02junio.pdf

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/hfolder/SolExhom02junio.pdf

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/hfolder/Exhom02Sep.pdf

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/hfolder/Exhom03junio.pdf



http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/dataminig/index.html

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INTRODUCCION A LA

GEOMETRIA DIFERENCIAL

Dispone de un paquete de Mathematica para calcular metricas,sımbolos de Christoffel, geodesicas y curvatura seccional

Luis Javier HERNANDEZ PARICIO

ii

Apuntes de Geometrıa Diferencial

Indice general

INTRODUCCION 11. Breves comentarios historicos 12. Objetivos didacticos 53. Requisitos 6

Capıtulo 1. PRELIMINARES 91. Nociones previas y notaciones 92. Topologıa 102.1. Espacios topologicos y funciones continuas 102.2. Base de una topologıa 112.3. Propiedades topologicas 122.4. Construcciones 122.5. Algunos espacios 133. Algebra lineal 144. Analisis 16Problemas 20

Capıtulo 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 231. La nocion de variedad diferenciable 23Problemas 262. La topologıa de una variedad diferenciable 29Problemas 313. Ejemplos de variedades diferenciables 32Problemas 364. Propiedades basicas de la topologıa de una variedad 42Problemas 445. Miscelanea 45

Capıtulo 3. ESPACIO TANGENTE 471. Notaciones previas 47Problemas 482. Derivadas parciales. Propiedades 48Problemas 493. Vectores tangentes 50Problemas 524. Aplicacion tangente 53Problemas 56

iii

iv INDICE GENERAL

Capıtulo 4. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE 591. Inmersiones 59Problemas 612. Submersiones 66Problemas 683. Las fibras de una submersion 68Problemas 69

Capıtulo 5. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 811. Grupos discontinuos y variedades recubridoras 81Problemas 842. Grupos de Lie 86Problemas 903. Miscelanea 90

Capıtulo 6. CAMPOS Y FORMAS 931. Fibrado tangente y cotangente 93Problemas 942. Campos y formas 95Problemas 1003. Variedades paralelizables 102Problemas 1034. Variedades orientables 103Problemas 1075. Curvas integrales 108Problemas 1096. Miscelanea 110

Capıtulo 7. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS1151. Conexiones y derivada covariante 115Problemas 1202. Variedades riemannianas 121Problemas 1233. Longitudes de curvas y volumenes 127Problemas 1284. Conexiones riemannianas 128Problemas 1315. Curvatura 136Problemas 1416. Miscelanea 142

Capıtulo 8. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY 1471. El paquete RiemannianGeometry 1471.1. Introduccion 1471.2. Algunas pseudometricas mas frecuentes 1481.3. Pseudo-metrica inducida por una inmersion 1481.4. Sımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geodesicas 149

INDICE GENERAL v

1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional 1501.6. Coeficientes geometricos inducidos por una inmersion 1511.7. Ejemplos 1532. Aplicaciones informaticas para la geometrıa 1563. Enlaces interesantes 157

Indice alfabetico 159

Bibliografıa 161

INTRODUCCION

Estos son unos apuntes sobre nociones y tecnicas basicas de Geo-metrıa Diferencial. Unicamente se incluyen las nociones mas impor-tantes acompanadas de algunos ejemplos que creemos que facilitan lacomprension de las mismas y resaltan aquellos aspectos mas interesan-tes. Solo se consideran algunos resultados elementales y no se pruebanmuchos de los teoremas considerados como basicos e importantes, noobstante sı se hace referencia a ellos y se recomienda bibliografıa ade-cuada para su estudio. La razon de presentar estos apuntes de estemodo es doble, por una parte, queremos que el lector asimile las prime-ras nociones y propiedades y por otra, se ha intentado seleccionar unoscontenidos que puedan presentarse en el poco tiempo que los programasactuales de la Licenciatura de Matematicas dejan en las universidadesespanolas para impartir la Geometrıa Diferencial.

La Geometrıa Diferencial es una tecnica que mediante metodos di-ferenciales da respuesta a numerosos problemas matematicos y ademases una teorıa que unifica la geometrıa euclidiana, la llamada geometrıaanalıtica, la geometrıa proyectiva y la geometrıa hiperbolica. En estaintroduccion hacemos unos breves comentarios historicos, senalamoslos objetivos que deseamos que el alumno alcance con estos apuntes ycomentamos los requisitos que a nuestro juicio debe reunir este paraleer sin dificultad estas notas sobre Geometrıa Diferencial.

1. Breves comentarios historicos

La geometrıa de las culturas griega y egipcia quedo recogida demodo magistral en los Elementos de Euclides. Esta excepcional obra sefecha aproximadamente hacia el 300 a.C. y en ella se establecen fun-damentos de geometrıa y algebra griega que van a tener una influenciadecisiva a lo largo de los dos milenios siguientes.

Los Elementos se construyen a partir de unos postulados basicosque describen las propiedades elementales de los puntos y las rectas delplano. Senalaremos que con este tratado se plantea uno de los proble-mas que mas polemica ha causado y para cuya resolucion completa sehan necesitado mas de dos milenios. Se trata simplemente de averiguarsi los postulados son independientes y si uno de ellos, frecuentementedenominado quinto postulado y tambien postulado de las paralelas, de-pende de los demas. En geometrıa euclidiana se verifica que por punto

1

2 INTRODUCCION

exterior a una recta pasa una unica recta paralela y va a ser esta pro-piedad la que hace que la resolucion del problema anterior se conozcatambien como la ciencia de las paralelas.

Por brevedad y para centrarnos rapidamente en los aspectos dife-renciales de la geometrıa vamos a dar un gran salto en el tiempo parasituarnos en el siglo XVII. Con ello no queremos que se desprenda queen el periodo intermedio no se dieran importantes avances geometricos.Empezamos esta nueva etapa mencionando a Rene Descartes (1586-1650), eminente cientıfico frances, que en su obra “Geometrıa”, aso-ciaba a cada punto del plano dos coordenadas x, y que le permitieronformular analıticamente numerosos problemas geometricos. Tambienel matematico frances P. Fermat (1601-1665) utilizaba en esta epocacoordenadas rectangulares en dimension dos en su obra “Introducciona la teorıa de lugares planos y espaciales”.

Las tecnicas de la perspectiva eran conocidas desde epocas remo-tas y especialmente fueron desarrolladas por artistas y arquitectos enla epoca del Renacimiento. Gerard Desargues (1593-1662) utilizaba en1636 coordenadas para la construccion de perpectividades. A el se debesu celebre teorema de los triangulos coaxiales y copolares que juega unpapel importante en la descripciones axiomaticas y algebraicas de lasgeometrıas. Mencionaremos tambien a Blaise Pascal (1623-1662) y suteorema del hexagrama mıstico. El uso de perspectividades necesitabade puntos infinitamente alejados que poco a poco dieron lugar a la geo-metrıa proyectiva y sus transformaciones denominadas frecuentementecomo proyectividades. Destacaremos que dos siglos mas tarde la geo-metrıa proyectiva ya se habıa desarrollado como se pone de manifiestoen la obra de Jean-Victor Poncelet (1788-1867) “Tratado de las pro-piedades proyectivas de las figuras” que fue publicada en Paris en 1822si bien fue planificada siendo este prisionero en Moscu a causa de lasguerras napoleonicas.

En el siglo XVII se produce un hito matematico importante: el na-cimiento del calculo diferencial, impulsado principalmente por IsaacNewton (1642-1727) en Inglaterra, e independientemente, por Gott-fried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania. Poco a poco el usode tecnicas diferenciales para la resolucion de problemas geometricosiba determinando la disciplina matematica que hoy denominamos comoGeometrıa Diferencial.

A comienzos del siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) en su obrade 1704 “Enumeracion de las curvas de tercer orden” clasifica curvassegun el grado de su ecuacion y encuentra su interpretacion geometricacomo el maximo numero posible de puntos de interseccion de la curvacon una recta.

1. BREVES COMENTARIOS HISTORICOS 3

El uso sistematico de coordenadas en dimension tres puede verse yaen 1731 en el libro de Alexis Claude Clairaut (1713-1765) “Investiga-ciones sobre curvas de doble curvatura”. Clairaut interpretaba correc-tamente una superficie como las soluciones de una ecuacion unica y lacurvas en el espacio las consideraba como interseccion de dos superfi-cies; es decir, mediante dos ecuaciones. Son muy conocidos sus resulta-dos sobre las propiedades que tienen las geodesicas de una superficie derevolucion (veanse los problemas del capıtulo V de estos apuntes). Afinales del siglo XVII Sylvestre Francois Lacroix (1765-1843) acuno ladenominacion de Geometrıa Analıtica.

Leonard Euler (1707-1783) continua con la investigacion de geodesi-cas sobre superficies, dando la ecuacion diferencial de una geodesica enuna superficie (vease seccion 1 del capıtulo 5 de estos apuntes). Ana-lizo tambien la curvatura de las secciones planas de una superficie, dan-do expresiones para el calculo de las curvaturas principales. En 1771,en un artıculo sobre cuerpos cuyas superficies se pueden superponer enun plano, Euler introdujo el concepto de superficie desarrollable.

Gaspard Monge (1746-1818), en los anos 80 publica dos obras, enlas que estudia propiedades de curvas en el espacio y de las superficies.Introduce nociones y terminologıa todavıa utilizadas en la actualidad,como las de superficies desarrollable y rectificable, arista de retroce-so, lugar geometrico de los centros de curvatura, etc. La traduccion dehechos geometricos en terminos de ecuaciones en derivadas parcialesy ecuaciones diferenciales ordinarias condujo a la geometrıa diferen-cial a una nueva fase en la que se interrelacionaban algunos aspectosgeometricos con la teorıa de ecuaciones diferenciales.

Una nueva etapa de la Geometrıa Diferencial se pone de manifiestocon las investigaciones de Karl Friedrich Gauss (1777-1855) sobre lageometrıa intrınseca de las superficies, es decir, aquellas que son inva-riantes por transformaciones que preservan las longitudes y los angulosque forman las curvas contenidas en las superficie. Citaremos el lla-mado teorema egregio de Gauss que asegura que la curvatura de unasuperficie es intrınseca.

A finales de siglo XVIII y principios del XIX aparecen los tres prin-cipales artıfices en la historia de la geometrıa no euclidiana: Gauss(Grunswick, 1777-Gotinga, 1855), Nikolai Ivanovich Lobachevski (Ba-jo Novgorod, actual Gorki, 1792-1856), Janos Bolyai (Kolozsvar, ac-tual Cluj-Napoca, Rumania, 1802-1860). Aunque la correspondenciade Gauss prueba los grandes avances realizados por este en la cienciasde las paralelas el merito de su descubrimiento se atribuye de modoindependiente a Lobachevki y a Bolyai. Es sus publicaciones ellos de-sarrollan una nueva geometrıa suponiendo que a contrario de lo quesucede en la geometrıa euclidea por un punto exterior a una recta pasamas de una paralela. Esta nueva geometrıa se denomina geometrıa noeuclidiana o hiperbolica.

4 INTRODUCCION

A mediados del siglo XIX aparece un nuevo principio general deque es lo que se puede entender por una geometrıa. Esta idea fue ex-puesta por Bernhard Riemann (1826-1886, alumno de Gauss) en el ano1854 en una conferencia titulada “Sobre las hipotesis que yacen en losfundamentos de la Geometrıa”; posteriormente, esta conferencia, quese publica en 1887, ha sido frecuentemente citada. Segun Riemann,para la construccion de una Geometrıa es necesario dar: una variedadde elementos, las coordenadas de estos elementos y la ley que mide ladistancia entre elementos de la variedad infinitamente proximos. Paraello se supone que las partes infinitesimales de la variedad se mideneuclidianamente. Esto significa que hay que expresar en su forma masgeneral el elemento de arco en funcion de las coordenadas. Para ellose da el elemento generico de arco para cada punto a traves de unaforma cuadratica definida positiva de la forma ds2 =

∑i,j gijdxidxj .

Eliminado la condicion de ser definida positiva, este modelo tambiense utiliza para formular la teorıa de la relatividad, tanto en su versionrestringida como en la generalizada mediante el uso de variedades dedimension cuatro, tres coordenadas espaciales y una temporal. En es-tos modelos se consideran como transformaciones aquellas aplicacionesque dejan invariante el elemento de arco.

Esta forma de concebir el espacio ha evolucionado con el tratamien-to dado a comienzos del siglo XX en los trabajos de los matematicositalianos M. M. G. Ricci (1853-1925) y T. Levi-Civita (1873-1941) has-ta la nocion que hoy denominamos como variedad riemanniana. Ladefinicion que actualmente utilizamos de variedad diferenciable (o di-ferencial) se atribuye a Hassler Whitney [37] que en 1936 presentabauna variedad como una serie de piezas euclidianas pegadas con funcio-nes diferenciables.

Aquellos lectores que deseen conocer otros aspectos historicos deldesarrollo de la geometrıa pueden consultar los libros [39] , [40]. Paraaquellos aspectos relacionados con geometrıas euclidianas y no eucli-dianas consideramos interesante el libro de Bonola [41] y la pagina web3.1.

En una variedad riemanniana se dispone de una forma bilineal en elespacio tangente de cada punto de la variedad que permite medir longi-tudes de vectores tangentes y el angulo determinado por dos vectores.Utilizando las tecnicas usuales de integracion se pueden determinar laslongitudes de las curvas que se consideren en dicha variedad y se puedecalcular el volumen de adecuadas “regiones medibles” de la variedad.Por otra parte, dados dos puntos de una componente conexa se pue-den considerar todas las curvas que existan en la variedad entre esosdos puntos. Si los dos puntos estan “suficientemente proximos.entoncesexiste una curva especial que es la que realiza el recorrido entre elloscon la menor longitud posible. Estas curvas se denominan geodesicas.

2. OBJETIVOS DIDACTICOS 5

Tambien se introducen la nocion de curvatura riemanniana que aso-cia un escalar a cada plano tangente a cada punto de la variedad y quepara el caso de superficies coincide con la nocion de curvatura de Gauss.En los casos en que la curvatura sea cero la variedad riemanniana sedice que es parabolica, si es constante y mayor que cero se dice quees elıptica y si es constante y negativa se dice que es una variedad hi-perbolica. Este modelo matematico denominado variedad riemannianacontiene la mayor parte de los modelos geometricos estudiados hastael siglo XX. Por una parte, los espacios euclıdeos se pueden conside-rar como variedades riemannianas con curvatura de Riemann nula, lasesferas y espacios proyectivos tienen estructura de variedades rieman-nianas elıpticas y los espacios no euclidianos son casos particulares devariedades riemannianas hiperbolicas. Ademas, las superficies e hiper-superficies de los espacios euclidianos admiten tambien de modo naturalestructura de variedad riemanniana.

Estas propiedades hacen que la geometrıa riemanniana sea un mar-co adecuado para el estudio de la geometrıa. No obstante, existen otrasformas de abordar el estudio de la geometrıa; por ejemplo, el estudio degrupos discontinuos de transformaciones da una forma de presentar lageometrıa como el estudio de propiedades de grupos de transformacio-nes tal y como la presento Klein en su famoso programa de Erlangen.Hemos de decir que existen modelos mas generales que generalizan si-multaneamente la geometrıa riemanniana y el enfoque de geometrıacomo estudio de las propiedades de los grupos de transformaciones.

2. Objetivos didacticos

Los objetivos mas importantes que se pretenden alcanzar con elprograma de Geometrıa Diferencial son los siguientes:

1) Que se comprenda la nocion de variedad diferenciable ası comola importancia de sus aplicaciones en otras ciencias.

2) Que se adquieran las herramientas basicas de trabajo, aprendien-do nociones fundamentales tales como inmersion, submersion, campos,formas, etc.

3) Que se conozcan variedades importantes tales como esferas, es-pacios proyectivos, variedades de Grassmann, grupos de Lie, hipersu-perficies de espacios euclıdeos, etc.

4) Que se adquieran los procedimientos basicos para construir nue-vas variedades: productos, espacios de orbitas de grupos de transfor-maciones discontinuos, cubiertas, fibrados, etc.

5) Que se comprenda que existen otras estructuras analogas o“proximas” a la nocion de variedad diferenciable, y que muchas delas tecnicas desarrolladas se pueden trasladar a otros contextos. Porejemplo, variedades de clase Cr, variedades analıticas, variedades consingularidades, variedades con borde, etc.

6 INTRODUCCION

6) Que se compruebe que la nocion de variedad riemanniana propor-ciona un buen marco para el estudio de muchos aspectos geometricos.

7) Que se valore positivamente el efecto unificador de la geometrıariemanniana al contener como casos particulares, por un lado, las geo-metrıas elıpticas, parabolicas e hiperbolicas y, por otro, la geometrıade curvas y superficies.

8) Que se conozca la tecnica de conexiones y conexiones riemannia-nas y su utilizacion en el estudio de geodesicas y curvaturas.

9) Que el alumno conozca los hitos historicos mas importantes quehan determinado la aportaciones mutuas y enriquecedoras de la geo-metrıa y el calculo diferencial dando lugar a una disciplina matematicaconsolidada y llamada Geometrıa Diferencial.

Con este programa, ademas de intentar dar una formacion muybasica sobre algunos aspectos geometricos, se ha intentado seleccionarlos temas mas motivadores. Se ha preferido renunciar a enfoques muygenerales, escogiendo aquellos metodos que ilustran mejor las propie-dades geometricas de las variedades.

3. Requisitos

Se supone que el alumno ha realizado cursos de analisis en los quese han introducido la derivada lineal de funciones de varias variables,derivadas direccionales, derivadas parciales, teorema de la funcion in-versa y teorema de la funcion implıcita. Es tambien conveniente que elalumno conozca las tecnicas de integracion de funciones de una y variasvariables tanto es sus aspectos teoricos como en los mas practicos.

Tambien supondemos que el alumno esta familiarizado con la reso-lucion de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, especialmentede las de primer y segundo orden y los sistemas de ecuaciones diferen-ciales lineales. En estas notas aplicaremos principalmente estas tecnicasal estudio de geodesicas en una variedad riemanniana y al calculo decurvas integrales de un campo.

Son fundamentales el conocimiento de las nociones y propiedadesbasicas topologicas asi como las tecnicas usuales de construccion deespacios topologicos. Respecto a las nociones, senalaremos principal-mente un buen conocimiento de las propiedades de primero y segundonumerable, conexion y conexion por caminos y las correspondientes co-nexiones locales y tambien la propiedad de compacidad. En cuanto ametodos de construccion senalaremos el uso continuo de subespacios,productos y topologıas cocientes. Estas notas contienen alguna cons-truccion en la que se utiliza la nocion y propiedades de los espaciosrecubridores y particularmente del recubridor universal. Si bien no esnecesario para la lectura de estas notas, sı consideramos recomendableel conocimiento de las propiedades de los espacios recubridores y surelacion con el grupo fundamental.

3. REQUISITOS 7

Finalmente, aunque tampoco es estrictamente necesario, recomen-damos tambien adquirir una formacion elemental sobre la nocion degrupo, aquı utilizamos algunos grupos de transformaciones unas ve-ces se trata de grupos continuos de Lie y otras grupos discontinuos detransformaciones que se utilizan para expresar una variedad como co-ciente de otra mas conocida. Es tambien de interes el conocimiento dela nocion de modulo que utilizamos para el estudio de todos los campostangentes y formas globales de una variedad sobre el anillo de las fun-ciones globales reales. Tambien mencionamos los espacios vectorialesreales y sus corresponcientes aplicaciones lineales con las nociones aso-ciadas dimension y rango que son herramienas basicas para el analisisde funciones diferenciables.

CAPıTULO 1

PRELIMINARES

En este capıtulo hacemos un breve recorrido a traves de nocionestopologicas, algebraicas y de analisis introduciendo notacion y presen-tado algunas propiedades basicas.

1. Nociones previas y notaciones

Recordamos a continuacion el concepto de funcion, de funcion con-tinua y funcion de clase C∞ . El lector que desee una informacion mascompleta puede consultar los apendices situados en el capıtulo ?? .

Definicion 1.1. Una funcion ϕ : X → Y condominio Dom ϕ ⊂ Xes una correspondencia que asocia a cada p ∈ Dom ϕ un unico elementoϕ(p) ∈ Y . El conjunto ϕ(p)|p ∈ Dom ϕ lo llamaremos conjuntoimagen, Im ϕ , tambien se denomina rango de la funcion o codominiode la funcion, Codom ϕ . Diremos que X es el conjunto inicial y queY es el conjunto final de ϕ .

Dada una funcion ϕ : X → Y si A es un subconjunto de X deno-taremos por ϕ|A : X → Y la funcion cuyo dominio es el subconjuntoDom (ϕ|A) = A∩Dom ϕ y para cada p ∈ A ∩Dom ϕ , ϕ|A(p) = ϕ(p) .Notemos que Codom (ϕ|A) = ϕ(p)|p ∈ A ∩ Domϕ . Diremos queϕ|A : X → Y es la restriccion de ϕ a A .

Para una funcion ϕ : X → Y y un subconjunto A deX denotaremospor ϕ/A : A → Y la funcion cuyo dominio es Dom (ϕ/A) = A∩Domϕ y para cada p ∈ A ∩ Dom ϕ , ϕ/A(p) = ϕ(p) . Notemos queCodom (ϕ/A) = ϕ(p)|p ∈ A∩Domϕ . A diferencia de ϕ|A la funcionϕ/A tiene como conjunto inicial A . Diremos que ϕ/A : A → Y es larestriccion inicial de ϕ a A

Si ϕ : X → Y es una funcion y A es un subconjunto de X llamare-mos imagen de A al subconjunto ϕ(p)|p ∈ A∩Domϕ . Cuando B esun subconjunto de Y , denotaremos por ϕ−1B = p ∈ X|ϕ(p) ∈ B y lollamaremos imagen inversa de B . En el caso particular que B = b laimagen inversa de b la llamaremos fibra de b , con frecuencia en vez deϕ−1b utilizaremos la notacion ϕ−1(b) . Dadas dos funciones ϕ : X →Y , ψ : Y → Z se define la funcion composicion ψϕ : X → Z comoaquella que tiene como dominio Dom (ψϕ) = ϕ−1( Dom ψ) y esta de-finida por ψϕ(p) = ψ(ϕ(p)) . Notese que Codom(ψϕ) = ψ(Codomϕ) .

Sea ϕ : X → Y una funcion. Se dice que ϕ : X → Y es inyectivacuando se verifica que si ϕ(p) = ϕ(q) , entonces p = q . Dada una

9

10 1. PRELIMINARES

funcion inyectiva ϕ : X → Y , entonces podemos considerar la funcioninversa ϕ−1 : Y → X que tiene por dominio Dom (ϕ−1) = Codom ϕ .Una funcion ϕ : X → Y es suprayectiva o sobreyectiva si Codomϕ = Y .En este caso tambien se dice que ϕ es una funcion de X sobre Y .Diremos que una funcion ϕ : X → Y es global si Domϕ = X .

2. Topologıa

En esta seccion se introducen algunos conceptos basicos de topo-logıa, no obstante, es conveniente que el lector conozca previamente lasnociones basicas de Topologıa para poder seguir sin dificultades estasnotas.

2.1. Espacios topologicos y funciones continuas.

Definicion 2.1. Sea X un conjunto y sea τ una familia no vaciade subconjuntos de X . Se dice que es una topologıa si τ es cerradapor uniones de subfamilias arbitrarias (la union de la subfamilia vaciaes el subconjunto vacio) y por interseccion de subfamilias finitas (lainterseccion de la subfamilia vacia es el conjunto total X). Llamare-mos espacio topologico a un par (X, τ) donde τ es una topologıa en elconjunto X . Normalmente acortaremos la notacion de modo que X de-notara tanto al par (X, τ) como al conjunto subyacente. Los miembrosde la topologıa τ diremos que son los abiertos del espacio X .

Notemos que dado un espacio topologico el propio X y el subcon-junto vacio ∅ son abiertos.

Ejemplo 2.1. Dado un conjuntoX se puede considerar la topologıatrivial τtri = X, ∅ y la topologıa discreta τdis formada por todos lossubconjuntos de X .

Definicion 2.2. Sean X, Y espacios topologicos. Se dice que unaaplicacion f : X → Y es continua si para todo abierto V de Y setiene que f−1V es abierto en X . Diremos que X, Y son homeomorfossi existen aplicaciones continuas ϕ : X → Y y ψ : X → Y tales queψϕ = idX , ϕψ = idY , donde idX , idY son las aplicaciones identidad.

Ejemplo 2.2. Sea (X, τ) un espacio topologico y A ⊂ X un sub-conjunto de X . La familia τ/A = A∩U |U ∈ τ es un topologıa sobreel conjunto A que se llama la topologıa relativa de X en A . Es facilcomprobar que la inclusion in : A→ X es una aplicacion continua.

Recordemos que si f : X → Y es una funcion y A ⊂ X , denotamospor f/A : A → Y a la funcion que tiene como dominio A ∩ Dom f yesta definida por f/A(p) = f(p) para cada p ∈ A ∩Dom f .

Definicion 2.3. Sean X, Y espacios topologicos. Diremos que unafuncion f : X → Y es continua si la aplicacion f/Dom f : Dom f → Yes continua, donde en Dom f se considera la topologıa relativa de X enDom f .

2. TOPOLOGIA 11

Proposicion 2.1. Sea f : X → Y una funcion entre espacios to-pologicos. Supongamos que ademas tenemos que Dom f es un abiertode X. Entonces la funcion f es continua si y solo si para todo abiertoV de Y se tiene que f−1(V ) es un abierto de X .

Definicion 2.4. Sea X un espacio topologico. Diremos que F esun cerrado si X \ F es un abierto de X . Sea N un subconjunto de Xy p ∈ N . Se dice que N es un entorno de p si existe un abierto U talque p ∈ U ⊂ N . Dado un subconjunto A de X llamaremos interior deA a la reunion de los abiertos contenidos en A . Llamaremos clausurade A que denotaremos por clA a la interseccion de los cerrados quecontienen a A .

2.2. Base de una topologıa.

Definicion 2.5. Sea τ la topologıa de un espacio topologico X .Se dice que una subfamilia B ⊂ τ es una base de la topologıa τ si paracada abierto U existe una subfamilia BU ⊂ B tal que U = ∪B∈BU

B .

Proposicion 2.2. Sea X un conjunto y sea B una familia de sub-conjuntos de X . Si la familia de subconjuntos B verifica las siguientespropiedades

(i) X = ∪B∈BB ,(ii) Si p ∈ B ∩ B′ , B,B′ ∈ B , entonces existe B” ∈ B tal que

p ∈ B” ⊂ B ∩B′

Entonces existe una unica topologıa τ tal que B es una base de τ .

Definicion 2.6. SeaX un espacio topologico y p ∈ X . Una familiade entornos Bp es una base de entornos de p si para cada entorno N dep existe B ∈ Bp tal que p ∈ B ⊂ N .

En estos apuntes diremos que un conjunto es contable si su cardi-nalidad es finita o es la del conjunto de los numeros naturales.

Definicion 2.7. Sea X un espacio topologico. Diremos que X esprimero contable si para cada punto p ∈ X existe una base de entornoscontable. Se dice que X es segundo contable la topologıa tiene una basecontable.

Ejemplo 2.3. Denotemos por R el conjunto ordenado de los nume-ros reales y consideremos la familia de los intervalos abiertos acotadosB = (a, b)|a, b ∈ R a < b , donde (a, b) = r ∈ R|a < r < b .Entonces B satisface las propiedades (i) y(ii) de la proposicion anteriory determina una unica topologıa en R , que diremos que es la topologıahabitual o usual. Consideraremos tambien con frecuencia el subespa-cio que llamaremos intervalo unidad I = r ∈ R|0 ≤ r ≤ 1 con latopologıa relativa inducida por la topologıa usual de R .

Ejemplo 2.4. Denotemos por C el conjunto de los numeros com-plejos. Dado un numero complejo z su conjugado se denota por z

12 1. PRELIMINARES

y su modulo por |z| = (zz)12 . Consideremos la familia bolas B =

B(a, r)|a ∈ C , r ∈ R , r > 0 , donde B(a, r) = z ∈ C||z − a| < r .Entonces B satisface las propiedades (i) y(ii) de la proposicion anteriory determina una unica topologıa en C .

2.3. Propiedades topologicas. Ademas de las propiedades deprimero contable y segundo contable es muy frecuente el uso de lassiguientes propiedades topologicas.

Definicion 2.8. Se dice que un espacio topologico X es T0 si paracada pareja de puntos p, q ∈ X , p 6= q existe U entorno de p tal queq 6∈ U o existe V entorno de q tal que p 6∈ V . Diremos que X es T1

si para cada pareja de puntos p, q ∈ X , p 6= q existe U entorno de ptal que q 6∈ U .Se dice que un espacio topologico X es T2 o Hausdorffsi para cada pareja de puntos p, q ∈ X , p 6= q existe U entorno de p yexiste existe V entorno de q tal que U ∩ V = ∅ .

Es facil ver que si X es T2 entonces es T1 y que si X es T1 entonceses T0 .

Definicion 2.9. Se dice que espacio topologico X es conexo sisiempre que X = U ∪ V con U ∩ V = ∅ , entonces U = ∅ o V = ∅ .Diremos que un espacio topologico X es localmente conexo si cadapunto del espacio tiene una base entornos conexos.

Definicion 2.10. Se dice que espacio topologico X es conexo porcaminos si siempre que x, y ∈ X , entonces existe una aplicacion con-tinua f : I → X tal que f(0) = x y f(1) = y . Diremos que un espaciotopologico X es localmente conexo por caminos si cada punto del espa-cio tiene una base entornos conexos por caminos.

Es bien conocido que la conectividad por caminos implica conecti-vidad.

2.4. Construcciones. Dada una familia de espacios Xα , α ∈ Aconsideraremos la suma disjunta (coproducto)

∑α∈AXα al conjunto⋃

α∈AXα × α con la topologıa inducida por la base

B = U × α|U es abierto en Xα , α ∈ A

En el caso que la familia verifique que estos espacios son disjuntos dosa dos en vez de tomar la reunion anterior, para tener una mayor facili-dad en la notacion, se suele tomar directamente la reunion

⋃α∈AXα y

consecuentemente la base B = U |U es abierto en Xα , α ∈ A . Enel caso de familias finitas, por ejemplo dados dos espacios X1 , X2 , esfrecuente usar las notaciones

⊔i∈1,2Xi o tambien X1

⊔X2 .

Otra construccion frecuente asociada a una familia de espacios Xα

α ∈ A es el producto∏

α∈AXα que tiene como soporte el producto

2. TOPOLOGIA 13

cartesiano y si prα denota las proyecciones canonicas se considera latopologıa producto inducida por la base

B = ∩i∈1,··· ,n pr−1αi

(Uαi)|Uαi

es abierto en Xαiα1, · · · , αn ∈ A

En el caso de familias finitas, por ejemplo dados dos espacios X1 , X2 ,es frecuente usar la notacion X1 ×X2 .

Finalizamos el proceso de construccion de nuevos espacios topologi-cos a partir de otros dados con la topologıa cociente. Sea X un espaciotopologico y sea f : X → Y una aplicacion exhaustiva de X en unconjunto Y . La topologıa cociente en el conjunto Y es la formada poraquellos subconjuntos V de Y tales que f−1V es un abierto de X . Esinteresante recordar que si en Y se considera la topologıa cociente yg : Y → Z es una aplicacion entre espacios topologicos, entonces g escontinua si y solo si gf es continua. Notese que ademas del termino “ex-haustiva” se utilizan para el mismo concepto las palabras: suprayectivay sobreyectiva. A veces se utiliza “sobre” en expresiones del tipo, “seaf una aplicacion de X sobre Y ”; equivale a decir que f es exhaustiva.

2.5. Algunos espacios. Los siguientes espacios seran utilizadoscon frecuencia en estos apuntes.

Ejemplo 2.5. Denotemos por Rn el conjunto de n-tuplas de nume-ros reales (r1, · · · , rn) . Se considera en Rn la topologıa producto quetiene las siguientes propiedades: Es segundo contable, Hausdorff, cone-xa por caminos y localmente conexa por caminos.

Ejemplo 2.6. Para n ≥ 0 , la n-esfera unidad Sn se define comoel subespacio

Sn = x ∈ Rn+1|x21 + · · ·+ x2

n+1 = 1donde hemos considerado la topologıa relativa.

Ejemplo 2.7. Para n ≥ 0 , el n-disco unidad Dn se define como elsubespacio

Dn = x ∈ Rn|x21 + · · ·+ x2

n ≤ 1con la topologıa relativa. La bola unidad la denotaremos por

Bn = x ∈ Rn|x21 + · · ·+ x2

n < 1

Ejemplo 2.8. Para n ≥ 0 , el n-espacio proyectivo real P n(R) sedefine como el cociente obtenido de la n-esfera Sn identificando puntosantıpodas y considerando la topologıa cociente.

Ejemplo 2.9. Una metrica en un conjunto X es una aplicaciond : X ×X → R tal que safisface las siguientes propiedades:

(M1) Para x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0 , ademas d(x, y) = 0 si y solo six = y .

(M2) Si x, y ∈ X , se tiene que d(x, y) = d(y, x) .(M3) Sean x, y, z ∈ X . Entonces d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) .

14 1. PRELIMINARES

La bola de centro a ∈ X y radio r > 0 se define como el subconjunto

Bd(a, r) = x ∈ X|d(a, x) < ry el disco

Dd(a, r) = x ∈ X|d(a, x) ≤ rUn espacio metrico consiste en un conjuntoX junto con una metrica

d . En un espacio metrico (X, d) se puede considerar la siguiente familiade subconjuntos:

τ = U ⊂ X|Six ∈ U, existe ε > 0 tal queB(x, ε) ⊂ USe prueba que τ es una topologıa, que diremos que esta inducida

por la metrica d . Un espacio topologico X se dice metrizable si sutopologıa τX esta inducida por una metrica.

Ejemplo 2.10. En Rn se pueden considerar la metrica euclidia-na, de modo que si x, y ∈ Rn, x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) laaplicacion d viene dada por

d(x, y) =( n∑i=1

(xi − yi)2) 1

2

La topologıa inducida por la metrica euclidiana, es precisamente lahemos considerado en el ejemplo 2.5 . Por ser la metrica mas usual enla notacion suprimiremos el subındice

B(a, r) = x ∈ Rn|( n∑i=1

(xi − ai)2) 1

2 < r

y el disco

D(a, r) = x ∈ Rn|( n∑i=1

(xi − ai)2) 1

2 ≤ r

Tambien es frecuente la metrica cartesiana, ρ , dada por

ρ(x, y) = max|xi − yi|i ∈ 1, · · · , nLa topologıa inducida es tambien la del ejemplo 2.5 . Las bolas y

discos se denotaran por Bρ(a, r), Dρ(a, r) .

3. Algebra lineal

Introducimos a continuacion la nocion de grupo abeliano y la deespacio vectorial

Definicion 3.1. Sea V un conjunto y una aplicacion +: V ×V →V , que denotamos por +(a, b) = a+ b . Diremos que la pareja anteriores un grupo abeliano si se verifican las siguientes propiedades:

(i) Asociatividad de la suma: (a+ b) + c = a+ (b+ c).(ii) Conmutatividad de la suma: a+ b = b+ a.

3. ALGEBRA LINEAL 15

(iii) Existencia de neutro aditivo: Existe 0 ∈ V tal que a + 0 = apara todo a ∈ V .

iv) Existencia de opuesto aditivo: Para cada a ∈ V existe un a′ ∈V tal que a+ a′ = 0.

Definicion 3.2. Un espacio vectorial real es un grupo abeliano Vprovisto con la operacion de suma (a, b) 7→ a+ b, de V × V en V , y deuna accion (λ, a) 7→ λ ·b, de R×V en V , con las siguientes propiedades:

(i) Accion trivial de 1: Para todo a ∈ V , 1 · a = a .(ii) Asociatividad de la accion: λ · (µ · a) = (λµ) · a.(iii) Distributividad de la accion respecto a la suma:

λ · (a+ b) = λ · a+ λ · b.(iv) Distributividad de la suma respecto a la accion:

(λ+ µ) · a = λ · a+ µ · a.

Ejemplo 3.1. El mas importante para nosotros es Rm donde lasuma y la accion se definen para cada coordenada y estan inducidos porla suma y el producto del anillo de division de los numeros reales. Otroejemplo basico lo constituyen el espacio Rn×m de matrices de n filas ym columnas con la suma y la accion definidas tambien coordenada acoordenada.

Una sucesion ordenada de vectores B = (v1, . . . , vn), es decir, deelementos en un espacio vectorial V , es una base si cada vector v de Vpuede expresarse de una unica manera como

v =n∑i=1

λivi.

Si este es el caso, decimos que los escalares λ1, . . . , λn son las coorde-nadas de v en la base B.

Definicion 3.3. Una aplicacion lineal de un espacio vectorial Ven otro W es una aplicacion L : V → W que verifica:

L(λa+ µb) = λL(a) + µL(b) .

Si A es una matriz de n×m, la aplicacion

LA : Rm → Rn , LA(r) = A tr

donde tr es el vector columna que se obtiene transponiendo r, es unaaplicacion lineal. Recıprocamente, si L : Rm → Rn es una aplicacionlineal, podemos formar la matriz AL cuya i-esima columna es el vectorcolumna tL(ei), es decir, la imagen por L del iesimo vector canonicode Rn en forma de columna.

En la definicion de LA estamos usando el producto de matrices, enel caso particular de una matriz de n × m por un vector columna dem× 1. En general si A es una matriz de n×m y B otra de m× l, se

16 1. PRELIMINARES

define el producto C = AB como la matriz de n × l cuya coordenadaen la fila i columna j es:

cij =m∑h=1

aihbhj.

En particular el producto A tr es un vector columna cuya coordendai-esima es

m∑h=1

aihrh,

es decir, coincide con el producto de la i-esima fila de A con tr.

Proposicion 3.1. Sea una aplicacion lineal L de un espacio vec-torial real V en otro W

(i) Existe un isomorfismo lineal canonico V/Ker(L) ∼= Im(L)(ii) Si V y W son de dimension finita se tiene que

dimV = dim(Ker(L)) + dim(Im(L)).

(iii) Si V y W son de dimension finita se tiene que

dim(Im(L)) ≤ maxdimV, dimW.

Definicion 3.4. Sea una aplicacion lineal L de un espacio vectorialreal V en otro W . Llamaremos rango de L a dim(Im(L)) .

Proposicion 3.2. Sea una aplicacion lineal L de un espacio vec-torial real V en W .

(i) Si el rango de L es igual a dim(V ), entonces L es un mono-morfismo.

(ii) Si el rango de L es igual a dim(W ), entonces L es un epimor-fismo.

4. Analisis

En esta seccion recordamos algunas de las nociones basicas de anali-sis que se han utilizado en estas notas. En primer lugar analizamosaquellas funciones que se pueden aproximar en un punto de su dominiopor una aplicacion lineal.

En estas notas de geometrıa diferencial hemos utlizado la palabradiferenciable para denominar a la funciones de clase C∞ , sin embargoes tambien muy frecuente el uso de la misma palabra “diferenciable”para designar a las funciones que se pueden aproximar en cada pun-to de su dominio por una aplicacion lineal. Para evitar confusiones eneste apendice se utilizara el termino derivable para designar el ulti-mo concepto; es decir, para denominar a las funciones que se puedenaproximar en cada punto por una aplicacion lineal.

4. ANALISIS 17

Definicion 4.1. Una funcion f de Rm en Rn es derivable en r0si existe un entorno abierto U de r0 tal que U ⊂ Dom f y existe unatransformacion lineal L : Rm → Rn tales que

lıms→0

(f(r0 + s)− f(r0)− L(s)

‖s‖

)= 0

Ademas, cuando este sea el caso, la transformacion lineal L sera laderivada Dfr0 . Si una funcion f es derivable en todos los puntos de sudominio diremos que es derivable.

Proposicion 4.1. Supongamos que f es derivable en r0, entoncesf es continua en r0 .

Observacion 4.1. Toda transformacion lineal L : Rm → Rn esderivable en cada punto r0 ∈ Rm y ademas DLr0 = L.

Teorema 4.1. (Regla de la cadena) Supongamos que f es unaaplicacion derivable en un punto r0 ∈ Rm y que g es derivable ens0 = f(r0). Entonces h = g f es diferenciable en r0 y ademas

Dhr0 = Dgs0 Dfr0Si f : Rm → Rn es una funcion, entonces f es de la forma (f1, . . . , fn),

donde la funcion fi : Rm → R es la i-esima coordenada de f , es decir,fi = ri f , donde ri : Rm → R es la i-esima proyeccion canonica. Conestas notaciones podemos enunciar la siguiente

Proposicion 4.2. Para que una funcion f : Rm → Rn sea derivableen un punto r0 ∈ Rm es necesario y suficiente que cada una de suscoordenadas fi sea derivable en el mismo punto. Ademas, si este es elcaso, se tiene que

(Df)r0 = ((Df1)r0 , . . . , (Dfn)r0)

o seari(Df)r0 = D(rif)r0 .

Dadas las funciones f : Rk → Rm y g : Rl → Rn , la funcion pro-ducto f × g se define del siguiente modo (f × g)(r, s) = (f(r), g(s) .

Proposicion 4.3. Si dos funciones f y g son derivables respecti-vamente en r0 y s0, entonces su producto f × g resulta derivable en(r0, s0) y ademas

D(f × g)(r0,s0) = Dfr0 ×Dgs0 .

Es decir, la derivada del producto es el producto de las derivadas.

La derivada de una funcion f de m variables da una aproximacionlineal en un punto r0 del dominio de f . Esta aproximacion lineal tomaen cuenta los valores de f en las proximidades de r0 . En el caso dedimension superior a 1, puede aproximarse a un punto por caminos to-talmente diferentes. Por ejemplo, en el caso de dos variables, podemos

18 1. PRELIMINARES

aproximarnos al punto (a, b) por las rectas paralelas a los ejes coorde-nados, es decir, por puntos de la forma (a + ξ, b) con ξ → 0 o de laforma (a, b+ ξ) con ξ → 0. Pero tambien puede acercarse siguiendo ladireccion de otro vector (u, v) por puntos de la forma (a + ξu, b + ξv)donde ξ → 0 . Incluso estas formas de acercarse a (a, b) no agotantodas las posiblidades porque es posible seguir la trayectoria de unacurva cualquiera que termine en (a, b) . Ese estudio nos va a conducira la nocion de las derivadas parciales y direccionales y su relacion conla derivada.

Definicion 4.2. Supongamos que f : Rn → R es una funcion defi-nida en un entorno de r0 ∈ Rm . Dado un vector u , decimos que f esderivable en r0 en la direccion de u si existe el lımite

lımξ→0

(r0 + ξu)− f(r0)

ξ= u(f)

En tal caso escribiremos (Duf)r0 = u(f) y diremos que es la derivadadireccional de f en la direccion u y en el punto r0 .

Proposicion 4.4. Si f : Rn → R es derivable en r0, entonces esderivable en cuaquier direccion u y ademas (Duf)r0 = Dfr0(u)

Sea ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) es i-esimo vector de la base canonicade Rm , definimos la derivada parcial de una funcion en r0 del siguientemodo:

Definicion 4.3. Si f : Rm → R es una funcion definida en unentorno de un punto r0 ∈ Rm, decimos que f es derivable en r0 conrespecto a la i-esima variable si es derivable en r0 en la direccion de eli-esimo vector canonico ei. En ese caso escribimos

(Deif)r0 =

(∂f

∂ri

)r0

y se llama i-esima derivada parcial de f en r0.

Proposicion 4.5. Sea f : Rm → Rn es derivable en r0 , y conside-ramos (f1, . . . , fn) sus componentes fi = rif . Si tomamos las derivadasparciales (

∂fi∂rj

)r0

= (Dfi)r0(ej)

se tiene

ri(Df)r0(u) =m∑

1=1

(∂fi∂rj

)r0

uj

donde u = (u1, . . . , um) .

La proposicion anterior dice como estan relacionadas las derivadasparciales con la derivada direccionales cuando la funcion es derivable. Elsiguiente resultado permite determinar la derivabilidad de una funciona partir de la existencia y continuidad de las derivadas parciales.

4. ANALISIS 19

Teorema 4.2. Supongamos que f : Rm → R es una funcion defini-da en un conjunto abierto A ⊆ Rn. Una condicion suficiente para quef sea derivable en cada punto de A es que todas las derivadas parciales∂f/∂ri esten definidas en A y que al menos n−1 de ellas sean continuasen A .

Teorema 4.3. Sea r un punto del dominio de una funcion C∞ ,h : Rm → Rm . Entonces la derivada Dhr de h en r es un isomorfis-mo si y solo si existe un entorno abierto V de r tal que h|V es undifeomorfismo.

Definicion 4.4. Se dice que una funcion f : Rn → R es de claseC∞ en un punto r0 ∈ Dom f si existe un entorno abierto V de r0 talque V ⊂Dom f y f tiene en V y en todos los ordenes posibles todaslas derivadas parciales y estas son continuas en V . Se dice que f es declase C∞ si f es de clase C∞ en todos los puntos r0 de Dom f .

Definicion 4.5. Dado el espacio Rm la proyecciones canonicas sedefinen como las aplicaciones ri : Rm → R , 1 ≥ i ≥ m ,

ri(a1, · · · , ai, · · · , am) = ai .

Dada una funcion f : Rn → Rm sus componentes son las funcionesf1 = r1f , . . . ,fm = rmf .

Definicion 4.6. Se dice que una funcion f : Rn → Rm es de claseC∞ en un punto r0 ∈ Dom f si lo son cada una de sus componentesf1, . . . , fm : Rn → R . Se dice que f es de clase C∞ si f es de clase C∞

en todos los puntos r0 de Dom f .

Si f : Rn → R es una funcion C∞ su i-esima derivada parcial la de-

notaremos por ∂f∂ri

, observemos que Dom(∂f∂ri

)= Dom f . El valor de

la i-esima derivada parcial de f en un punto p ∈ Dom f lo denotaremos

por(∂f∂ri

)p

.

Observacion 4.2. Son tambien de interes las funciones de claseCk . Se dice que una funcion f : Rn → R es de clase Ck en un puntor0 ∈ Dom f si existe un entorno abierto V de r0 tal que V ⊂Dom f yf tiene en V y en todos los ordenes menores o iguales que k todas lasderivadas parciales

∂i1+···+inf

(∂r1)i1· · ·(∂rn)in(ik ≥ 0, i1 + · · ·+ in ≤ k)

y estas son continuas en V . Se dice que f es de clase Ck si f es de claseCk en todos los puntos r0 de Dom f . Notese que f es de clase C0 siy solo si es continua y tiene dominio abierto. Una funcion f : Rn → Rde clase C∞ se dice que es analıtica en un punto r0 ∈ Dom f si existeun entorno abierto V de r0 tal que V ⊂ Dom f y f |V coincide con su

20 1. PRELIMINARES

desarrollo de Taylor que converge en V . Se dice que f es analıtica silo es en cada punto de su dominio.

Utilizaremos con frecuencia las siguientes propiedades de las fun-ciones C∞ .

Proposicion 4.6. (i) Si f : Rn → Rm es una funcion C∞ enun punto r0 ∈Dom f , entonces f es continua en r0 .

(ii) Sea f : Rn → Rm una funcion C∞ en un punto r0 ∈Dom f ysea g : Rm → Rl otra funcion C∞ en el punto f(r0) . Entoncesgf es C∞ en el punto r0 .

(iii) Sean f, g : Rn → Rm funciones tales que Dom f ⊂ Dom g yg|Dom f = f . Si r0 ∈ Dom f y f es C∞ en r0 , entonces g esC∞ en r0 .

(iv) Sea f : Rn → Rm una funcion C∞ y supongamos que un abier-to U ⊂ Dom f . Entonces f |U es C∞ .

(v) Si f : Rn → Rm es una funcion C∞ , entonces Dom f es unabierto de Rn .

Problemas

4.1. Sean f, g : Rn → R funciones. Demostrar que si f y g son C∞ ,entonces f + g , f · g son C∞ . La funciones f + g, f · g : Rn → Rtienen como dominio Dom f ∩Dom g y vienen dadas por (f + g)(r) =f(r) + g(r) , (f · g)(r) = f(r)g(r) , para r ∈ Dom f ∩ Dom g . Si elcontexto no da lugar a equıvocos el punto que denota el producto defunciones se suele suprimir.

4.2. Sea g : Rn → R funcion tal que g(r) 6= 0 para r ∈ Dom g.Demostrar que si g es C∞ , entonces 1

ges C∞ . Probar que si ademas

f : Rn → R es C∞ , entonces fg

es una funcion C∞ (Nota: La funcionfg

tiene por dominio Dom f ∩ Dom g y viene dada por (fg)(r) = f(r)

g(r),

para r ∈ Dom f ∩Dom g).

4.3. Demostrar que una funcion polinomica

P =m∑k=0

∑i1+···+in=k

ai1···inri11 · · · rinn

es una funcion C∞ . Sean P,Q aplicaciones polinomicas, probar que lafuncion racional P

Q: Rn −→ R es una funcion C∞.

Solucion: Es conocido que las proyecciones ri : Rn → R , parai ∈ 1, · · · , n , y las aplicaciones constantes a : Rm → R son C∞ .Aplicando el problema 4.1 se obtiene que las aplicaciones polinomicasson C∞ . Como consecuencia del problema 4.2 se sigue que las funcionesracionales son C∞ .

4.4. Demostrar que la funcion f : R −→ R tal que f(r) = r12 no es

C∞ en el 0 . Probar que f |(0,∞) es una funcion C∞.

NOCIONES PREVIAS Y NOTACIONES 21

4.5. Comprobar que las funciones f, g : R −→ R dadas por f(r) =

r13 y g(r) = r3 sirven de ejemplo para demostrar la falsedad de la

siguiente afirmacion: “Dadas dos funciones f y g, tales que gf y g sonde clase C∞ en r y f(r) respectivamente, entonces f es de clase C∞ enr”.

Solucion: Notemos que f no es de clase C1 en el punto r = 0 .En efecto df

dr= 1

3r−23 ni esta definida ni admite una extension continua

para r = 0 . En este caso se tiene que gf = idR y g es una aplicacionpolinomica, por lo que ambas son de clase C∞ . Luego gf es de claseC∞ en 0 y g es de clase C∞ en f(0) = 0 . Sin embargo f no es de claseC∞ en 0 .

CAPıTULO 2

VARIEDADES DIFERENCIABLES

En este capıtulo, introducimos la nocion de variedad diferenciable yfuncion diferenciable, tambien vemos que una variedad determina unatopologıa en el correspondiente conjunto subyacente y estudiamos laspropiedades basicas de las estructuras diferenciable y topologica de unavariedad.

1. La nocion de variedad diferenciable

Segun Riemann para dar una geometrıa necesitamos un conjuntode puntos y una correspondencia que asocie a cada punto unas coor-denadas. Esta idea se puede modelar a traves de la nocion de carta:

Definicion 1.1. Sea M un conjunto cualquiera, una funcionx : M → Rm inyectiva con rango abierto se llama carta m-dimensional.Si tomamos las proyecciones canonicas ri : Rm → R , a la composicionxi = rix : M → R se le llama la i-esima coordenada de la carta.

Observese que en el estudio de curvas y superficies en R3 se utilizanfunciones con valores vectoriales cuyo dominio son abiertos de R paralas curvas y abiertos de R2 para las superficies. Estas funciones se suelenllamar parametrizaciones y corresponden a las funciones inversas de lascartas consideradas en la definicion anterior.

Definicion 1.2. Sea M un conjunto cualquiera. Una coleccionA = xα|xα carta m-dimensional sobre el conjunto M es denominadaatlas diferenciable m-dimensional de M si se satisfacen las siguientescondiciones:

(i) La reunion de los dominios de las cartas es M .(ii) Para cada pareja de cartas xα, xβ de A la funcion xβx

−1α es de

clase C∞ .

Definicion 1.3. Sea M un conjunto cualquiera. Dos atlas A , Bdiferenciables y m-dimensionales de M son compatibles si A∪ B es unatlas diferenciable m-dimensional de M .

Proposicion 1.1. La relacion de compatibilidad en la familia de losaltas diferenciables m-dimensionales de un conjunto M es una relacionde equivalencia.

Demostracion. La propiedades reflexiva y simetrica se verificanfacilmente. Para comprobar la transitividad supongamos que A,B, C

23

24 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES

son atlas diferenciables de M de modo que A,B son compatibles y B, Ctambien lo son. Puesto que tanto A como C son atlas se verifica quela reunion de los dominios de A ∪ C es M . Para ver que se verifica lapropiedad (ii), sean xα carta de A y xγ carta de C . Veamos que xγx

−1α

es C∞ en cada uno de los puntos de su dominio. Sea r0 = xα(p0) conp0 ∈ Dom xγ , tomemos una carta xβ en el punto p0 . Notemos que(xγx

−1β )(xβx

−1α ) es C∞ y su dominio U es un abierto tal que r0 ∈ U ⊂

Dom(xγx−1α ) . Entonces (xγx

−1α )|U = (xγx

−1β )(xβx

−1α ) que es C∞ por

ser composicion de funciones C∞ ; Vease (ii) de la proposicioon 4.6 .Aplicando ahora (iii) de la proposicion 4.6 se tiene que xγx

−1α es C∞ en

r0 , esto para cada r0 de su dominio por lo tanto xγx−1α es C∞ . De modo

analogo se ve que un cambio de la forma xαx−1γ es C∞ . En consecuencia

A es compatible con C y la relacion es de equivalencia.

Definicion 1.4. Una variedad diferenciable m-dimensional1 (enalgunos textos tambien se denomina variedad diferencial) consiste enun conjunto M y en una clase de equivalencia [A] del conjunto de atlasdiferenciables m-dimensionales modulo la relacion de compatibilidad.Llamaremos a M el conjunto subyacente de la variedad y la clase [A]diremos que es la estructura diferenciable dada sobre el conjunto M .

Notemos que una variedad queda determinada por una pareja (M,A)donde A es una atlas diferenciable m-dimensional de M . Dos parejas(M,A) , (M,B) determinan las misma variedad si A es compatible conB . Cuando el contexto no de lugar a confusion, diremos que A es laestructura diferenciable de la variedad en vez de su clase de equivalen-cia. Tambien sera frecuente que denotemos directamente por M a unavariedad diferenciable de modo que unas veces M denota el conjuntosubyacente y otras la pareja formada por el conjunto subyacente y laestructura diferenciable.

En la familia de los atlas diferenciables m-dimensionales de un con-juntoM , se puede considerar la relacion de contenido⊆ . Los elementosmaximales verifican la siguiente propiedad:

Proposicion 1.2. Las estructuras diferenciables m-dimensionalessobre el conjunto M estan en correspondencia biunıvoca con los ele-mentos maximales del conjunto ordenado de los atlas diferenciablesm-dimensionales de M .

Demostracion. Sea c una clase de equivalencia, y consideremosMc = ∪C∈cC . En primer lugar, comprobaremos que Mc es un atlas.Supongamos que xα ∈ A ∈ c y xβ ∈ B ∈ c . Puesto que A ∪ B es unatlas se tiene que x−1

β xα es C∞ . Ademas es obvio que la reunion delos miembros de Mc es M . Por lo tanto Mc es un atlas y tambien setiene que Mc ∈ c . En segundo lugar veremos que Mc es maximal. Si

1La definicion moderna de variedad diferenciable se atribuye a Hassler Whitney[37]

1. LA NOCION DE VARIEDAD DIFERENCIABLE 25

Mc ⊂ D , entonces Mc∪D = D es un atlas luego D ∈ c y por lo tantoD ⊂Mc. Por lo que Mc es maximal.

Ahora a cada atlas maximal M le podemos asociar la clase cM =[M] . Sea c = [A] , entonces A ⊂Mc y en consecuencia [Mc] = [A] =c . Por otra parte, si C es maximal, se tiene que C ⊂ M[C] . EntoncesC = M[C] .

Ejemplo 1.1. Consideremos el conjunto de los numeros reales R ,tomemos la carta identidad idR : R → R . Entonces el atlas A = iddetermina una estructura diferenciable 1-dimensional en el conjunto R .En algunos de los ejemplos posteriores la variable que representa a unnumero real se puede interpretar como la variable tiempo, es por ello,que en este caso, tambien denotaremos la carta identidad por t = idR .

Ejemplo 1.2. Sea U un abierto de Rn , consideremos la inclusionx = in: U → Rn que es inyectiva y tiene codominio abierto. Entonces elatlas A = x da una estructura diferenciable n-dimensional al abiertoU . En particular la identidad de Rn induce una estructura canonicade variedad en Rn .

Proposicion 1.3. Sean M y N variedades diferenciables y seaf : M → N una funcion. Sean un punto p ∈M , cartas x , x de M enp e y , y de N en fp . Entonces yfx−1 es de clase C∞ en x(p) si y solosi yf x−1 es de clase C∞ en x(p) .

Demostracion. Supongamos que yfx−1 es de clase C∞ en x(p) .Como xx−1 es C∞ en x(p) y yy−1 es C∞ en yf(p) si aplicamos (ii) dela proposicion 4.6 se tiene que (yy−1)(yfx−1)(xx−1) es C∞ en x(p) .Ademas Dom(yy−1yfx−1xx−1) ⊂ Dom(yf x−1) . Por lo tanto comoconsecuencia del apartado (iii) de la proposicion 4.6 obtenemos queyf x−1 es de clase C∞ en x(p) .

Definicion 1.5. Sean M y N variedades diferenciables y sea-f : M → N una funcion. Se dice que f es diferenciable en un puntop ∈ M si existen cartas x de M en p e y de N en fp tal que yfx−1 esde clase C∞ en x(p) . Se dice que f es diferenciable si f es diferenciableen cada punto de su dominio. Diremos que f es un difeomorfismo si fes inyectiva y f , f−1 son diferenciables. Se dice que una variedad Mes difeomorfa a una variedad N si existe un difeomorfismo global de Msobre N . El conjunto de funciones diferenciables de M en N se deno-tara por C∞(M,N) . Si p y q son puntos de M y N respectivamente,utilizaremos las siguientes notaciones:

C∞((M, p), N) = f ∈ C∞(M,N)|p ∈ Dom f ,

C∞((M, p), (N, q)) = f ∈ C∞(M,N)|p ∈ Dom f, f(p) = q .Para U abierto de M utilizaremos:

C∞U (M,N) = f ∈ C∞(M,N)|Dom f = U .


En el caso mas frecuente que N = R las notaciones anteriores se redu-cen del modo siguiente:

C∞(M,R) = C∞(M) ,

C∞((M, p),R) = C∞(M, p) ,

C∞U (M,R) = C∞

U (M) .

Proposicion 1.4. Una funcion F : Rm → Rn es diferenciable si ysolo si F : Rm → Rn es de clase C∞ .

Demostracion. Sea x = idRm e y = idRn , entonces yFx−1 = F .De la definicion de funcion diferenciable se tiene que F es diferenciablesi y solo si F es C∞ .

Notemos que para dar la definicion de variedad diferenciable y fun-cion diferenciable hemos utilizado los espacios Rm y las funciones C∞

entre ellos. Si en vez de utilizar estas funciones utilizamos, por ejemplo,funciones de clase Ck , se obtiene la nocion de variedad de clase Ck m-dimensional. En particular, para k = 0 tenemos la nocion de variedadtopologica. Otra familia interesante es la de las variedades analıticasreales, para definir esta nocion se utilizan funciones analıticas reales. Estambien frecuente utilizar el semiespacio Rm

+ = (r1, · · · , rm)|rm ≥ 0para introducir la nocion de variedad con borde. Para definir las varie-dades complejas se usa el espacio Cm . Tambien se consideran espaciosde Banach para introducir variedades de dimension infinita.

Problemas

1.1. Demostrar que la funcion β : R −→ R definida por β(x) = x3

es una carta que determina una estructura diferenciable en R diferentede la estructura estandar.

Solucion: Supondremos conocido que la funcion β(x) = x3 es globaly biyectiva. Entonces β es un atlas para el conjunto M . Notemosque id−1 β = β es de clase C∞ . Sin embargo id β−1 = β−1 no esde clase C1 ya que no es derivable en el punto x = 0 . Por lo tanto(R, [id]) 6= (R, [β]) .

1.2. Consideramos en R las dos siguientes estructuras de varie-dad diferencial: a) la estructura estandar, b) la que le dota la funcionβ : R −→ R definida por β(x) = x3 . Demostrar que estas dos varieda-des diferenciales son difeomorfas.

Solucion: Consideremos la funcion β−1 : (R, [id]) → (R, [β]) .Puesto que β es una biyeccion solo es necesario comprobar que β, β−1

son diferenciables. Notemos que ββ−1 id−1 = id es de clase C∞ . Tam-bien id ββ−1 = id es de clase C∞ . Esto implica que β es un difeomorfis-mo global y suprayectivo. Luego la variedades (R, [id]) , (R, [β]) ,que ya hemos visto que son distintas, son difeomorfas.

LA NOCION DE VARIEDAD DIFERENCIABLE 27

1.3. Considerar el conjunto de puntos O = (sen 2s, sen s)|s ∈R , vease figura 2 . Probar que la funcion x : O → R definida porx(sen 2s, sen s) = s si 0 < s < 2π , es una funcion inyectiva con co-dominio abierto y dominio O . Notese que esta carta determina unaestructura diferenciable enO . Probar tambien que la funcion y : O → Rdefinida por y(sen 2t, sen t) = t si −π < s < π , es una funcion inyecti-va con codominio abierto y dominio O . Probar que estas estructurasdiferenciables aunque son distintas son difeomorfas.

Solucion: Estudiemos el cambio de cartas xy−1 . Se tiene queDom(xy−1) = (−π, π) y su codiminio es Codom(xy−1) = (0, 2π) . Elcambio viene dado por la funcion

xy−1(t) =

t+ 2π si −π < t < 0,

π si t = 0,

t si 0 < t < π

que no es continua. Luego las estructuras [x] ,[y] son distintas.Sin embargo, si consideramos el difeomorfismo, φ : (−π, π) → (0, 2π)definido por φ(t) = t + π , se tiene que x−1φy es un difeomorfismoglobal y suprayectivo de (O, [y]) en (O, [x]) .

1.4. Sea f : A −→ M una biyeccion definida en un conjunto A yque toma valores en una variedad diferenciable M . Demostrar que:

a) Si α es una carta de M , αf es una carta para A.b) La coleccion de todas las cartas definidas en el anterior apartado

es un atlas diferenciable para A.c)f es un difeomorfismo entre las variedades A y M .

Solucion: a) Puesto que la composicion de funciones inyectivas eninyectiva, se tiene que αf es inyectiva. Por ser f una biyeccion se ob-tiene que Codom(αf) = Codom(α) es un abierto. Entonces cada αfes una carta diferenciable de la misma dimension que la de M . b) Lareunion de los dominios es la siguiente: ∪Dom(αf) = ∪f−1(Domα) =f−1(∪Domα) = f−1M = A . Para α, β cartas de M , el cambio decartas viene dado por (αf)(βf)−1 = αff−1β−1 = αβ−1 que es unafuncion de clase C∞ . c) Para cada carta α se tiene que αf(αf)−1 = idy (αf)f−1(α)−1 = id son de clase C∞ . Entonces f es un difeomorfismoglobal y sobre de A en M .

1.5. Sea A un conjunto con cardinalidad del continuo y n un enterono negativo. Probar que A admite al menos una estructura de variedaddiferenciable n-dimensional.

Solucion: Para n = 0 , para cada elemento a ∈ A se puede consideraruna carta a : A→ R0 tal que Dom a = a y definida por a(a) = 0 . Elatlas a|a ∈ A dota a A de una estructura de variedad diferenciable


0-dimensional. Para cada n > 0 , puesto que cada Rn tambien tiene lacardinalidad del continuo, existen una biyeccion x : A → Rn de modoque (A, [x]) es una variedad diferenciable de dimension n .

1.6. Sea ∅ el conjunto vacio y n un entero no negativo. Probarque ∅ admite exactamente una estructura de variedad diferenciable n-dimensional para cada n .

1.7. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo3.2 y el atlas determimado al tomar argumentos en el ejemplo 3.3 paraS1 son equivalentes.

1.8. Probar que el atlas determinado por las proyeciones del ejemplo3.2 y el atlas estereografico del ejemplo 3.4 para Sn−1 son equivalentes.

1.9. Sea M una variedad diferenciable de dimension m. Demostrarque:

a) Toda carta de M es un difeomorfismo.b) Todo difeomorfismo f : M −→ Rm es una carta de M .

Solucion: a) Hemos de probar que si x : M → Rm es una carta deM , entonces x, x−1 son diferenciables en cada punto de su dominio.Para cada p ∈ Dom x tomemos las cartas x en p e idRm en x(p) .Notemos que idRm xx−1 = id |Codomx y xx−1 id−1

Rm = id |Codomx son declase C∞ . Por lo tanto x, x−1 son diferenciables.

Para probar b) supongamos que f es un difeomorfismo. Para probarque f es una carta hemos de ver que es compatible con todas las cartasde un atlas de M . Si x es una carta de M , entonces aplicando a)se tiene que fx−1 y xf−1 son diferenciables. Puesto que ademas sonfunciones de Rm en Rm se tiene que fx−1 y xf−1 son de clase C∞ .Por lo tanto f es compatible con todas las cartas de un atlas, luego fes una carta de M .

1.10. Sean M y M ′ dos variedades de la misma dimension sobreel mismo conjunto soporte. Demostrar que si la aplicacion identidadid : M −→ M ′ es un difeomorfismo, M y M ′ tienen el mismo atlasmaximal y por lo tanto M = M ′.

1.11. Sea f : M −→ N una funcion entre variedades diferenciables.Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:

a) f es diferenciable en un punto p de su dominio.b) ψf es diferenciable en p para toda funcion ψ : N −→ R que es

diferenciable en f(p).c) Existe una carta y de N en f(p) tal que yif es diferenciable

en p para i ∈ 1, · · · , n.

Solucion: Si f es diferenciable en p , aplicando las propiedades decomposicion de funciones diferenciables, se obtiene que ψf es diferen-ciable en p . Si se verifica b), en particular se obtiene que para una carta

2. LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD DIFERENCIABLE 29

y deN en f(p), yif es diferenciable en p para i ∈ 1, · · · , n . Finalmen-te, suponiendo que se verifica c), si x es una carta en p y sea y una cartaen f(p) con componentes yi : N → R tales que y1f, · · · , ynf son diferen-ciables en p . Entonces se tiene que yfx−1 = (y1fx

−1, · · · , ynfx−1) esC∞ en p ; es decir , f es diferenciable en p .

2. La topologıa de una variedad diferenciable

En esta seccion veremos que la estructura diferenciable de una va-riedad siempre induce una topologıa en el conjunto subyacente de esta.

Proposicion 2.1. Sea A una atlas diferenciable m-dimensionalsobre un conjunto M . Sea x una carta de A y supongamos que W ⊂Dom x verifica que x(W ) es un abierto de Rn , entonces A ∪ x|W esun atlas diferenciable m-dimensional compatible con A .

Demostracion. Sea y una carta de A . Entonces

y(x|W )−1 = yx−1|x(W )∩Dom(yx−1)

(x|W )y−1 = (xy−1)|(xy−1)−1xW .

Aplicando la proposicion 4.6 se obtiene que estas funciones son C∞ .El primer cambio es la restriccion de una funcion C∞ a un abierto .El segundo cambio tiene como dominio y(W ) = (xy−1)−1xW que es laimagen inversa por una funcion continua de un abierto, y por lo tantoes abierto, ası que tambien es la restriccion de una funcion C∞ a unabierto. Ademas la reunion de los dominios de A∪x|W contiene a lareunion de los dominios de A que es M .

Una forma de topologizar un conjunto consiste en probar que unafamilia de subconjuntos verifica las propiedades de la proposicion 2.2del capıtulo ??, como vemos a continuacion:

Proposicion 2.2. Los dominios de las cartas del atlas maximalde una variedad diferenciable M verifican las condiciones necesariaspara ser la base de una topologıa en el conjunto M . Esta topologıa lallamaremos topologıa inducida por la estructura diferenciable.

Demostracion. En primer lugar, notese que la reunion de losdominios de las cartas de un atlas maximal M es el conjunto M . Ensegundo lugar, si x, y son cartas de M entonces x(Dom x ∩ Dom y) =Dom(yx−1) que es un abierto por ser dominio de una funcion C∞ .Aplicando la proposicion 2.1 se obtiene que x|Domx∩Dom y es tambien unacarta del atlas maximal. Consecuentemente Domx∩Dom y es tambienel dominio de una carta del atlas maximal.

Definition 2.1. A la topologıa inducida por los dominios de lascartas del atlas maximal de una variedad diferenciableM la llamaremostopologıa inducida por la estructrura diferenciable (a veces abreviamosdiciendo topologıa inducida).


Proposicion 2.3. Sea una variedad diferenciable M con su topo-logıa inducida. Si x es una carta de M , entonces la funcion x es unhomeomorfismo.

Demostracion. Puesto que Domx es un abierto para ver que xes una funcion abierta es suficiente ver que las imagenes de los abiertosbasicos son abiertos euclıdeos. Sea W ⊂ Dom x un abierto basico quesera el dominio de una carta y . Teniendo en cuenta que el dominiode yx−1 es abierto y que Dom(yx−1) = x(W ) se deduce que x(W ) esabierto. Para ver que x es continua, sea U abierto de Rm, si W =x−1(U) se tiene que x(W ) = Codom x ∩ U es un abierto. Aplicando laproposicion 2.1 obtenemos que x|W es tambien una carta y su dominioW es un abierto basico y por lo tanto abierto. Luego la funcion x escontinua y, en consecuencia, la funcion x es un homeomorfismo.

Observacion 2.2. Se pueden dar ejemplos de estructuras diferen-ciables C∞ que no son difeomorfas y que tienen el mismo espacio to-pologico subyacente vease el problema 4.10 del capıtulo 2 . El problemade encontrar estructuras diferenciables no difeomorfas es mas difıcil enel caso que el espacio topologico subyacente sea Hausdorff. Sin embargoJ. W. Milnor [21] en 1956 probo que la esfera S7 tiene varias estructru-ras que no son difeomorfas. Es conocido que el numero de estructurasno difeomorfas de una esfera es finito. Se sabe que la esfera S7 tiene 28estructuras; la esfera S11, 992; la esfera S15, 16256 y la esfera S31 masde dos millones. Para mas informacion ver el trabajo de Milnor [21] .

Proposicion 2.4. Sean M y N variedades diferenciables y seaf : M → N una funcion. Si f es diferenciable en un punto p de M ,entonces la funcion f es continua en p .

Demostracion. Sean x e y cartas de M y N en los puntos py f(p) , respectivamente. Entonces yfx−1 es C∞ en el punto x(p) .Por lo tanto existe un abierto U de Rm tal que U ⊂ Dom(yfx−1) yF = yfx−1|U es C∞ . Ademas se tiene que U ⊂ Codomx . Aplicandola proposicion 4.6 tenemos que F es continua en U . Por ser la funcionx continua se tiene que x−1U es un abierto. Teniendo en cuenta que yes un homeomorfismo se concluye que y−1Fx es continua en el abiertox−1U ⊂ Dom f . Por otra parte f |x−1U = y−1Fx . Por lo tanto f escontinua en x−1U y en consecuencia en el punto p .

Proposicion 2.5. Sean M y N variedades diferenciables, f : M →N una funcion y U un abierto de M . Si f es diferenciable, entoncesla funcion f |U es diferenciable. Si f es un difeomorfismo, entonces lafuncion f |U es un difeomorfismo.

Demostracion. Sea p ∈ Dom(f |U) = Dom f ∩ U . Sean x e ycartas de M y N en los puntos p y f(p) , respectivamente. Notemosque y(f |U)x−1 = yfx−1|x(f−1(Dom y)∩U) . Por ser f diferenciable, apli-cando la proposicion 2.4, obtenemos que f es continua y por lo tanto

LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD DIFERENCIABLE 31

f−1(Dom y) es un abierto de M . Por la proposicion 2.3 se tiene quex es un homeomorfismo y en consecuencia x(f−1(Dom y) ∩ U) es unabierto. Por ser f diferenciable en el punto p , entonces yfx−1 es C∞ enel punto x(p) ∈ x(f−1(Dom y)∩U) ⊂ x(f−1(Dom y)) = Dom(yfx−1) .Aplicando la proposicion 4.6 se obtiene que y(f |U)x−1 es C∞ en el pun-to x(p) . Luego f |U es diferenciable en cada punto de su dominio, y porlo tanto f |U es diferenciable.

Supongamos ahora que f es un difeomorfismo. Entonces f |U estambien inyectiva y diferenciable por el argumento anterior. Por serf−1 continua se tiene que f(U) = (f−1)−1(U) es abierto. Notemos que(f |U)−1 = f−1|f(U) tambien es diferenciable. Entonces tenemos que f |Ues un difeomorfismo.

Proposicion 2.6. Sean P ,Q ,R variedades diferenciables, f : P →Q , g : Q→ R funciones diferenciables. Si f , g son diferenciables, en-tonces gf es diferenciable.

Demostracion. Sea a ∈ Dom(gf) y tomemos cartas x, y, z en a ,f(a) y gf(a) , respectivamente. Notemos que Dom((zgy−1)(yfx−1)) ⊂Dom(zgfx−1) . Ademas zgfx−1|Dom((zgy−1)(yfx−1)) = (zgy−1)(yfx−1) .Sabemos que yfx−1 es C∞ en x(a) y que zgy−1 es C∞ en yf(a) .Aplicando la proposicion 4.6 se obtiene que (zgy−1)(yfx−1) es C∞ enx(a) . Por lo tanto zgfx−1 es C∞ en x(a) . De aquı se obtiene que gf esdiferenciable en cada a de su dominio. Luego gf es diferenciable.

Problemas

2.1. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea x unacarta en un punto p de M sea Bε(x(p)) una bola de centro x(p) con-tenida en Codomx . Probar que x−1Bδ(x(p))|δ < ε es una base deentornos de p en la topologıa inducida por la variedad M .

Solucion: Por un resultado obtenido en un ejercio anterior sabemosque la carta x : M → Rm es un homeormorfismo. Sea G un entorno dep en M , entonces existe un abierto U tal que p ∈ U ⊂ G . Notemosque V = U ∩ Dom x es tambien un entorno abierto de p en Dom x .Aplicando que x es un homeomorfismo se tiene que x(V ) es un entornoabierto de x(p) en Codomx , Puesto que Bδ(x(p))|δ < ε es unabase de entornos de x(p) en Codomx , tenemos que existe δ tal quex(p) ∈ Bδ(x(p)) ⊂ x(V ) . Entonces p ∈ x−1Bδ(x(p)) ⊂ V ⊂ U ⊂ G .Por lo tanto se deduce que x−1Bδ(x(p))|δ < ε es una base de entornosde p en la topologıa inducida por la variedad M .

2.2. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea A unatlas de la variedad. Probar que si U ⊂ M , entonces U es un abiertode la topologıa inducida si y solo si U ∩ Dom x es abierto en Domxpara todo x ∈ A .


2.3. Encontrar un espacio topologico que no admita estructura devariedad. Es decir que las estructuras diferenciables que admita el con-junto que subyacente a dicho espacio tengan topologıas inducidas dis-tinta de la dada.

2.4. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmacion:Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables dis-tintas.

2.5. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmacion:Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables nodifeomorfas.

2.6. Encontrar una funcion continua entre variedades que no seadiferenciable.

3. Ejemplos de variedades diferenciables

En primer lugar veamos que todo espacio vectorial real de dimen-sion n admite una estructrua estandar de variedad diferenciable n-dimensional.

Ejemplo 3.1. Espacios vectoriales reales de dimension finita. Seae1, e2, · · · , en una base de un espacio vectorial real E. Notemos que elisomorfismo f : E −→ Rn que asocia a cada vector de E sus coordena-das en la base anterior, es una carta que define una estructura diferen-ciable en el conjunto E. Tenemos que probar que la estructura diferen-ciqable es independiente de la base elegida. Sea e′1, e

′2, · · · , e′n otra base

de E y sea f ′ : E → R es la correspondiente aplicacion coordenada. Siel cambio de base viene dado por ei =

∑aije

′j , i, j ∈ 1, · · · , n , en-

tonces el cambio de cartas estara determinado por f ′f−1(r1, · · · , rn) =(∑riai1, · · · ,

∑riain) . Puesto que cada componente de f ′f−1 es de

clase C∞ , se tiene que los atlas f y f ′ son compatibles. (Es-ta estructura se llama estructura diferenciable estandar de un espaciovectorial real.)

La siguiente notacion facilitara la descripcion de algunos ejem-plos de esta seccion, dada una n-tupla (r1, · · · , ri, · · · , rn) y un i ∈1, · · · , n , la (n−1)-tupla obtenida al suprimir la componente i-esima,(r1, · · · , ri−1, ri+i · · · , rn) la denotaremos a veces por (r1, · · · , ri, · · · , rn) .

Ejemplo 3.2. Sea Sn−1 = r ∈ Rn|r21 + · · · + r2

n − 1 = 0 . Paracada i ∈ 1, · · · , n sean xi+ , xi− funciones de Sn−1 en Rn−1 condominios Dom xi+ = r ∈ Sn−1|ri > 0 , Dom xi− = r ∈ Sn−1|ri < 0y definidas por

xi+(r1, · · · , ri, · · · , rn) = (r1, · · · , ri, · · · , rn),xi−(r1, · · · , ri, · · · , rn) = (r1, · · · , ri, · · · , rn) .

Entonces el atlas x1+, x1−, x2+, x2−, · · · , xn+, xn− dota a Sn−1 de unaestructura de variedad diferenciable (n− 1)-dimensional.

3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES 33

Ejemplo 3.3. Sea S1 = (cos r, sen r) ∈ R2|r ∈ R . ConsideremosU = (cos s, sen s) ∈ R2| − π < s < π y V = (cos t, sen t) ∈ R2|0 <t < 2π . Sean x, y dos funciones de S1 en R con dominios Dom x = U ,Dom y = V y definidas por x(cos s, sen s) = s , y(cos t, sen t) = t . Elcambio de cartas viene dado por

yx−1(s) =

2π + s si −π ≤ s ≤ 0,

s si 0 ≤ s ≤ π,

que es una funcion C∞ . Entonces el atlas x, y dota a S1 de unaestructura de variedad diferenciable 1-dimensional.

Ejemplo 3.4. El atlas estereografico de la esfera Sn−1 = r ∈Rn|r2

1 + · · · + r2n − 1 = 0 . Sean x , y funciones de Sn−1 en Rn−1

con dominios Domx = Sn−1 \ N (donde N = (0, · · · , 0, 1) es el“polo Norte”) y Dom y = Sn−1 \ −N definidas por x(r1, · · · , rn)= ( r1

1−rn , · · · ,rn−1

1−rn ) , y(r1, · · · , rn) = ( r11+rn

, · · · , rn−1

1+rn) . Notemos que

tenemos

xi =ri

1− rn, yi =

ri1 + rn

La sumas de cuadrados verifican

y21 + · · ·+ y2

n−1 =r21 + · · ·+ r2

n−1

(1 + rn)2=

1− r2n

(1 + rn)2=

1− rn(1 + rn)

x21 + · · ·+ x2

n−1 =r21 + · · ·+ r2

n−1

(1− rn)2=

1− r2n

(1− rn)2=

1− rn(1 + rn)

De donde se sigue que el cambio de cartas viene dado por

xi =ri

1− rn=

ri(1 + rn)

(1 + rn)(1− rn)=

yiy2

1 + · · ·+ y2n−1

yi =ri

1 + rn=

ri(1− rn)

(1− rn)(1 + rn)=

xix2

1 + · · ·+ x2n−1

que son funciones C∞ .Entonces el atlas x, y , que llamaremos estereografico, dota a Sn−1

de una estructura de variedad diferenciable (n− 1)-dimensional.

Ejemplo 3.5. En Rn+1\0 definimos la siguiente relacion de equi-valencia (r0, · · · , rn) ∼ (s0, · · · , sn) si existe t 6= 0 tal que (r0, · · · , rn) =(ts0, · · · , tsn) . Denotemos la clase de equivalencia de (r0, · · · , rn) por[r0, · · · , rn] y al conjunto cociente por P n(R) y lo llamaremos espacioproyectivo real de dimension n . Para cada i ∈ 0, · · · , n sea xi la fun-cion de P n(R) en Rn con dominio Domxi = [r0, · · · , rn] ∈ P n(R)|ri 6=0 , y definida por xi[r0, · · · , ri, · · · , rn] = (r0/ri, · · · , ri, · · · , rn/ri) .Entonces el atlas x0, · · · , xn dota a P n(R) de una estructura de va-riedad diferenciable n-dimensional.


Ejemplo 3.6. Sea U un abierto de una variedad diferenciable m-dimensional M . Entonces U admite una estructura de variedad dife-renciable m-dimensional de tal modo que la inclusion in : U → M esun difeomorfismo. En efecto supongamos que A es un atlas para M ,entonces consideremos la familia AU = x/U |x ∈ A de cartas del con-junto U son un atlas diferenciable m-dimensional que da estructura dem-variedad a U . Es claro que la reunion de los dominios es U . Loscambios de cartas vienen dados por (y/U)(x/U)−1 = yx−1|x(U) que sonfunciones C∞ . Por otra parte la inclusion in : U → M es inyectiva ytanto ella como su inversa son diferenciables. En efecto para cada cartax de M se tiene que x in(x/U)−1 = id |x(U) = (x/U) in−1 x−1 .

Ejemplo 3.7. M(n × p,R) matrices reales de orden n × p . Tie-ne estructura de variedad diferenciable np-dimensional ya que es unespacio vectorial real de dimension np , vease el ejemplo 3.1. Denote-mos por Eij la matrız que es nula salvo en el lugar (i, j) que tiene ununo. Se puede tomar como atlas el formado por la funcion coordenadaasociada a la base E11, · · · , E1p, · · · , En1, · · · , Enp que en esencia aso-cia a una matrız la tupla obtenida al colocar cada fila a continuacionde anterior. Un caso particular es la variedad de matrices cuadradasM(n,R) = M(n× n,R) que tiene dimension n2 .

Ejemplo 3.8. GL(n,R) matrices cuadradas reales y no singulares,tambien se llama el grupo lineal real n-dimensional. Tiene estructu-ra de variedal diferenciable n2-dimensional ya que es un abierto deM(n,R) que tiene dimension n2 . Para ver que es un abierto se pue-de considerar la aplicacion determinante det : M(n,R) → R , que porser una funcion polinomica es continua, vease el problema 4.3 de estecapıtulo.

Recordamos a continuacion el siguiente resultado que se suele deno-minar como el teorema de la funcion implıcita. Aquı utilizaremos unaversion enunciada en terminos de funciones C∞ .

Teorema 3.1. (Funcion implıcita) Sea (a, b) un punto del do-minio de una funcion C∞ f : Rp × Rq → Rp tal que f(a, b) = 0 y

det

((∂fi

∂rj

)(a,b)

)6= 0 , i, j = 1, · · · , p . Entonces existen entornos abier-

tos V de a en Rp y W de b en Rq tal que para todo w ∈ W existe un uni-co ϕ(w) ∈ V tal que f(ϕ(w), w) = 0 . Ademas la funcion ϕ : Rq → Rp

es de clase C∞ .

Este resultado facilita la demostracion de que, bajo ciertas condi-ciones, los ceros de una funcion de varias variables con valores realestiene estructura de variedad.

Teorema 3.2. Sea f : Rn → R una funcion C∞ y sea S = f−10 .Supongamos que para cada z ∈ S existe un i ∈ 1, . . . , n tal que

3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES 35(∂f∂ri

)z6= 0 . Entonces f induce una estructura de variedad diferenciable

(n− 1)-dimensional tal que la topologıa de la variedad S coincide conla topologıa de S como subespacio de Rn .

Demostracion. Sea s ∈ S y sea i = i(s) un entero tal que(∂f∂ri

)s6= 0 . Como consecuencia del teorema de la funcion implıci-

ta, existen entornos abiertos W de (s1, · · · , si, · · · , sn) y V de si talque para cada w = (z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈ W existe un unicoϕi(w) ∈ V tal que

f(z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn), zi+1, · · · , zn) = 0

Ademas la funcion ϕi : W → V es C∞ . Sea ahora

Pi(W,V ) = (z1, · · · , zi, · · · , zn)|(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈ W , zi ∈ V que es un abierto de Rn . Sea θi la funcion de Rn en Rn−1 que tiene comodominio Pi(W,V ) y que aplica (z1, · · · , zi, · · · , zn) en (z1, · · · , zi, · · · , zn) ,es decir es la restriccion de una proyeccion a un abierto. Considere-mos la funcion x : S → Rn−1 definida por la composicion x = θiin ,siendo in : S → Rn la inclusion canonica. Notese que Codomx =θi(S ∩ Pi(W,V )) ⊂ W . Por el teorema de la funcion implıcita da-do w = (z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn) ∈ W existe un unico ϕi(w) ∈ Vtal que u = (z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi−1, zi+1, · · · , zn), zi+1, · · · , zn) ∈f−1(0) = S . Luego u ∈ (S ∩ Pi(W,V )) = Domx es tal que x(u) = w .De donde se obtiene que Codomx = W es un abierto de Rn−1 .Sean ahora u = (z1, · · · , zi, · · · , zn) y u′ = (z′1, · · · , z′i, · · · , z′n) pun-tos de Domx tales que x(u) = x(u′) . Entonces (z1, · · · , zi, · · · , zn) =

(z′1, · · · , z′i, · · · , z′n) aplicando la unicidad del teorema de la funcion im-plıcita se obtiene que zi = z′i . Por lo tanto u = u′ y se tiene que x esinyectiva. Luego x es una carta.

Sea ahora otra carta de la forma y = θjin . El dominio de yx−1 esθi(S ∩ Dom θi ∩ Dom θj) = θi(S ∩ Dom θi) ∩ θi(Dom θj) = Codomx ∩θi(Dom θj) que es un abierto por ser x una carta y θi una aplicacionabierta. Ademas si j > i , se tiene que

yx−1(z1, · · · , zi, · · · , zn) = y(z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), · · · , zn)= (z1, · · · , zi−1, ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), zi+1, · · · , zj, · · · , zn) es una fun-cion C∞ . Analogamente se procede para j < i y en el caso i = j ,yx−1 es la identidad de un abierto. Por lo tanto los cambios de cartasson C∞ . Notemos que para cada s ∈ S hemos construido una carta ens , ası que facilmente se deduce que la reunion de los dominios de lascartas es el propio S .

Para ver que la topologıa de la variedad S es precisamente la to-pologıa traza, veamos por una parte que la inclusion in : S → Rn esdiferenciable. En efecto sea x una carta de S, entonces

idRn inx−1(z1, · · · , zi, · · · , zn) = (z1, · · · , ϕi(z1, · · · , zi, · · · , zn), · · · , zn)


que es una funcion C∞ . Por otra parte si U es un entorno abierto de scontenido en el dominio de una carta x se tiene que U = S∩Pi(x(U), V )y por lo tanto tambien es un entorno abierto de s en la topologıarelativa.

Ejemplo 3.9. Variedades de Grassmann 2 . Sea G(n, p,R) el es-pacio de todos los p-planos de Rn . Una base de un p-plano se puederepresentar por una matriz A de dimension n × p que tenga rango p .Notemos que dos matrices A y B representan el mismo p-plano si y solosi existe una matriz T no singular p×p tal que B = AT . De este modorepresentaremos un p-plano como la clase de equivalencia [A] inducidapor la relacion de equivalencia anterior.

Supongamos que α : 1, · · · , p → 1, · · · , n es una aplicacion cre-ciente e inyectiva. Para cada matriz A denotemos por Aα la submatrizformada por las filas α(1), · · · , α(p) y por Aα la submatriz formada porel resto de las filas de A . Notemos que si B = AT con T no singular, setiene que las filas α de B tienen rango maximo si y solo si se verifica lomismo para las de A . Definamos una carta xα : G(n, p,R) → R(n−p)p detal modo que Domxα = [A]|Aα es no singular y que viene dada porla formula xα([A]) = (AA−1

α )α . En primer lugar veamos que esta biendefinida. Si B = AT con T matriz regular, se tiene que (BB−1

α )α =(AT (AT )−1

α )α = (AT (AαT )−1)α = (ATT−1A−1α )α = (AA−1

α )α .Las funciones xα son inyectivas. En efecto si xα([A]) = (AA−1

α )α =(BB−1

α )α = xα([B]) Entonces AA−1α = BB−1

α . Por lo tanto, B =AA−1

α Bα . En consecuencia, [A] = [B] . Por otra parte dado Z ∈R(n−p)p , podemos suponer que Z es una matriz (n−p)×p para despuescontruir una unica matriz αZ de dimensidones n× p tal que al extraerlas filas α-esimas se obtenga la matriz identidad, (αZ)α = I y el restode las filas sean precisamente sea la matriz Z , (αZ)α = Z . Entoncesxα([αZ]) = Z . Es decir que las funciones xα son suprayectivas, o dichode otro modo Codomxα = R(n−p)p .

Puesto que la reunion de los dominios es precisamente G(n, p,R) ylos cambios de cartas son funciones racionales, que son C∞ , entoncesA = xα|α es inyectiva y creciente es un atlas diferenciable (n− p)p-dimensional.

Problemas

3.1. Probar que C y cualquier espacio vectorial complejo de dimen-sion finita n tiene una estructura de variedad diferenciable (real) dedimension 2n .

2Las variedades de Grassmann juegan un papel importante en la categorıade las variedades diferenciables. Se ulilizan para el estudio de transversalidad avariedades inmersas en variedades riemannianas. Ademas sus grupos de homotopıay de homotopıa estable determinan las clases de cobordismo

EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES 37

3.2. Probar que H , vease el problema 5.1 , y cualquier espaciovectorial cuaternionico de dimension finita n tiene una estructura devariedad diferenciable (real) de dimension 4n.

3.3. Definir el espacio proyectivo complejo P n(C) y demostrar quetiene una estructura diferenciable de dimension 2n determinada por unatlas de n+ 1 cartas.

3.4. Demostrar que la recta proyectiva compleja P 1(C) es difeomor-fa a la esfera S2.

3.5. Sea H el algebra de division de los cuaterniones de Hamilton.Definir el espacio proyectivo P n(H) y demostrar que tiene una estruc-tura diferenciable de dimension 4n determinada por un atlas de n+ 1cartas.

3.6. Demostrar que la recta proyectiva cuaternionica P 1(H) es di-feomorfa a la esfera S4.

3.7. El conjunto M(n,C) de las matrices complejas n×n, tiene unaestructura C∞ estandar de dimension 2n2. Tal estructura esta definidapor una carta global:

α : M(n,C) −→ R2n2

dada por α(a+ bi) = (u(a), u(b)), siendo (a) y (b) las correspondientesmatrices reales (parte real y parte imaginaria) y u la carta que definela estructura C∞ de M(n,R). Demostrar que el conjunto GL(n,C) delas matrices regulares complejas es un abierto de M(n,C) que puedeser dotado de estructura de variedad.

3.8. El conjunto M(n,H) de las matrices cuaternionicas n×n, tieneuna estructura C∞ estandar de dimension 4n2. Demostrar que el con-junto GL(n,H) de las matrices regulares cuatenionicas es un abiertode M(n,H) que puede ser dotado de estructura de variedad.

3.9. Demostrar que el conjunto Mp(n× p,R) de las matrices n× preales de rango p es un subconjunto abierto de la variedad M(n×p,R)y tiene por lo tanto una estructura estandar de variedad. Probar losresultados analogos para C y para H .

3.10. Dar una estructura de variedad diferenciable a los conjuntosde p-planos (variedades de Grassmann) complejos y cuaternionicos.

3.11. Demostrar que la funcion f : R3 −→ R dada por

f(r1, r2, r3) = (r21 + r2

2 + r23)

2 − 16(r22 + r2

3)

determina en f−1(0) la estructura de una variedad diferenciable. Veasela figura 1.


Figura 1. f(r1, r2, r3) = (r21 + r2

2 + r23)

2 − 16(r22 + r2

3)

3.12. Considerar la funcion f : R2 −→ R dada por

f(r1, r2) = r42 − r2

2 +1

4r21

Comprobar que f y sus derivadas parciales se anulan simultaneamenteen algun punto. Demostrar que f−1(0) es la figura Ocho estudiada enel problema 1.3 . Vease figura 2 .

Solucion: Notemos que ∂f∂r1

= r12

y ∂f∂r2

= 4r32 − 2r2 . Entonces si

0 = r12

y 0 = 4r32−2r2 . Tiene como soluciones (0, 0) , (0, 1√

2) , (0,− 1√

2) .

La primera es tambien solucion de f pero las dos ultimas no son zerosde f .

Es facil comprobar que r1 = sen 2s y r2 = sen s satisface la ecuacionf(r1, r2) = 0 . Reciprocamente, sea (r1, r2) una pareja tal que r2

2(r22 −

1) = −(r12

)2. Entonces r2

2 ≤ 1 , por lo tanto existe t ∈ R tal quer2 = sen t = sen(π− t) . En consecuencia r2

2(r22 − 1) = −(sen t cos t)2 =

−(

sen 2t2

)2= −

(r12

)2. De aqui se tiene que r1 = sen 2t o r1 = − sen 2t =

sen 2(π−t) . En cualquier de los casos se tiene que (r1, r2) es de la forma(sen 2s, sen s) para algun s .

3.13. Sea F : Rn −→ R un funcion de clase C∞ homogenea degrado distinto de cero y con al menos un valor positivo. Demostrar quela funcion f : Rn −→ R dada por f(r) = F (r)− 1 determina en f−1(0)una estructura de variedad diferenciable.

Solucion: Si F es homogenea de grado k significa que para cada n-tupla r = (r1, · · · , rn) y cada escalar λ se verifica que F (λr) = λkF (r) .Esta funciones verifican que r1

∂F∂r1

+· · ·+rn ∂F∂rn = kF . En efecto, denote-

mos por s = (s1, · · · , sn) , derivando la expresion F (λs) = λkF (s) res-

pecto λ se tiene que s1

(∂F∂r1

)λs

+· · ·+sn(∂F∂rn

)λs

= kλk−1F (s) . Tenien-

do en cuenta que r = λs , obtenemos que r1λ

(∂F∂r1

)r+ · · ·+ rn

λ

(∂F∂rn

)r

=


Figura 2. Ocho: r42 − r2

2 + 14r21 = 0

kλk−1F ( rλ) = k

λF (s) . Multiplicando por λ se obitene la expresion

deseeada. Sea ahora un r tal que f(r) = F (r) − 1 = 0 . Entonces∂f∂ri

= ∂F∂ri

. Si suponemos que en el punto r es tal que ∂f∂ri

= 0 para

i ∈ 1, · · · , n . Entonces kF (r) = r1

(∂F∂r1

)r+ · · · + rn

(∂F∂rn

)r

= 0 .

Pero como F (r) = 1 se tendrıa que k = 0 . Esta contradiccion vienede suponer que todas las derivadas parciales se anulan en el punto r .Entonces siempre existe alguna derivada parcial que no anula en cadapunto r con f(r) = 0 . En consecuencia r|f(r) = 0 es un variedaddiferenciable (n − 1)-dimensional. Es interesante observar si para un

r0 , F (r0) 6= 0 , F

(r0

(F (r0)1k

)= 1 . Por lo tanto la fibra r|f(r) = 0 es

no vacia.

3.14. Demostrar que las funciones f, g : R3 −→ R dadas por

f(r1, r2, r3) = r21 + r2

2 − r23 − 1

g(r1, r2, r3) = r21 − r2

2 − r23 − 1

determinan en f−1(0) y en g−1(0) una estructura de variedad diferen-ciable (notar que en el primer caso se trata del hiperboloide de unahoja y en el segundo del de dos hojas,vease figura 3). Dar en cada casoun atlas finito que defina su estructura diferenciable.

3.15. Sea F : Rn−1 −→ R una funcion cualquiera que es diferencia-ble en Rn−1.

a) Demostrar que la funcion f : Rn −→ R dada por

f(r1, · · · , rn) = F (r1, · · · , rn−1)− rn

determina en f−1(0) , que es el grafo de F , una estructura de variedaddiferenciable.

b) Demostrar que esta variedad de difeomorfa a Rn−1.c) Considerar como ejemplo las variedades diferenciables en R3 de-

terminadas por las funciones f, g : R3 −→ R , vease 4 , dadas por:


Figura 3. Hiperboloides de una, r21 + r2

2 − r23 − 1 = 0 ,

y de dos hojas, r21 − r2

2 − r23 − 1 = 0 .

(i) f(r1, r2, r3) = r21 + r2

2 − r3(ii) g(r1, r2, r3) = r2

1 − r22 − r3.

Figura 4. Paraboloide r21 + r2

2 − r3 = 0 , y silla demontar, r2

1 − r22 − r3 = 0 .

3.16. Sea f : Rn −→ R una funcion C∞ y sea S = f−1(0) de mo-

do que para cada p ∈ S la matrız jacobiana

((∂f∂r1

)p, · · · ,

(∂f∂rn

)p

)es

no nula, por lo sabemos S es una hipersuperficie ((n − 1)−variedaddiferenciable) . Definimos la funcion g : Rn × R −→ R por la formulag(r1, . . . , rn+1) = f(r1, . . . , rn) . Demostrar que g−1(0) es una hipersu-perficie en Rn+1 (Esta nueva variedad se llama cilindro sobre S . Veasefigura 5)


Figura 5. Cilindro

3.17. Sea f : R2 −→ R una funcion C∞ y sea C = f−1(0) de modo

que para cada p ∈ C la matrız jacobiana

((∂f∂r1

)p,(∂f∂r2

)p

)es no nula,

por lo sabemos C es una hipersuperficie (curva en el plano) que ademassupondremos que esta situada en el semiplano r2 > 0. Sea S = g−1(0)donde g : R3 −→ R es la funcion definida de la siguiente manera:

g(r1, r2, r3) = f(r1, (r22 + r2

3)1/2)

Demostrar que S = g−1(0) es una 2-variedad (superficie de revolucionobtenida por rotacion de la curva C alrededor del eje r1 .)

Solucion: Sea la curva de ecuacion f(s1, s2) = 0 de tal modo ques2 > 0 y ademas una de las derivadas paerciales ∂f

∂s1, ∂f∂s2

es no nula.Entonces, se tiene que

∂g

∂r1=∂f

∂s1

∂g

∂r2=∂f

∂s2

r2

(r22 + r2

3)12

∂g

∂r3=∂f

∂s2

r3

(r22 + r2

3)12

De donde se obtiene que(∂g

∂r2

)2

+

(∂g

∂r3

)2

=

(∂f

∂s2

)2

De las igualdades anteriores se sigue que no se pueden anular si-multaneamente las tres derivadas parciales de la g .


3.18. Aplicar el ejercicio anterior para encontrar la ecuacion en im-pliıcitas del toro generado al girar alrededor del primer eje una circun-ferencia de radio uno.

3.19. Consideremos un pendulo, que podemos representar por unsegmento de longitud fija situado en un plano y en el que uno de susextremos pasa por un punto fijo. Dar estructura de 1-variedad a lavariedad de todas las posiciones posibles de dicho pendulo.

3.20. Encontrar una variedad que modele todas posiciones posiblesde un solido rıgido.

3.21. ¿ Es adecuada la nocion de variedad (sin borde), para mode-lizar matematicamente todas las posiciones posibles de un oscilador?

3.22. Consideremos un brazo articulado de un robot formado pordos segmentos articulados en el que uno de los extremos esta fijo en unpunto del espacio. ¿Que variedad podemos utilizar para realizar unaprogramacion de todos los movimientos posibles de este brazo?

4. Propiedades basicas de la topologıa de una variedad

En esta seccion estudiamos algunas propiedades topologicas quetienen las topologıas inducidas por las estructuras diferenciales. Con-cretamente vemos que son T1, vease la definicion 2.8, primero contable,definicion 2.7, y localmente conexa, definicion 2.9 ; todas del capıtulo??.

Proposicion 4.1. Sea M una variedad diferenciable. Entonces elespacio topologico subyacente verifica:

(i) M es un espacio T1 ,(ii) M es primero contable,(iii) M es localmente conexa.

Demostracion. Sea p un punto de una variedad diferenciable M ,consideremos una carta x de M en p . Si q es otro punto de M distintode p pueden ocurrir dos casos, que q 6∈ Dom x o que q ∈ Dom x . En elprimero, Domx es un entorno abierto de p al cual no pertenece q . Enel segundo, por ser Domx homeomorfo a un abierto euclıdeo, se tieneque Domx es T1 , luego existe U abierto de Domx tal que p ∈ U yq 6∈ U , ademas puesto que Domx es abierto en M se tiene que U esabierto en M luego U es un entorno abierto de p en M .

Para probar (ii) y (iii), tomemos p ∈ M y una carta x en el puntop . Puesto que Dom x es homeomorfo a un abierto euclıdeo se tieneque existe una base contable de entornos conexos de p en Dom x .Ademas por ser Dom x abierto en M se concluye que tambien es unabase de entornos de p enM . LuegoM es primero contable y localmenteconexa.

4. PROPIEDADES BASICAS DE LA TOPOLOGIA DE UNA VARIEDAD 43

Un espacio topologico X se dice que es localmente compacto sipara p ∈ X y cada entorno N , entonces existe un entorno V tal quep ∈ V ⊂ V ⊂ N tal que V es compacto.

Proposicion 4.2. SeaM una variedad diferenciable. SiM es Haus-dorff, entonces M es locamente compacta.

Demostracion. Sea N un entorno de un punto p de una variedadM . Tomemos una carta x de M en p tal que Dom x ⊂ N . Sea B unentorno de x(p) en Codomx tal que clB sea compacto, donde cl denotael operador clausura, y clB ⊂ Codomx . Por ser x−1 continua se tieneque x−1B ⊂ x−1(clB) ⊂clDomx(x

−1B) ⊂clM(x−1B) . Por otra partex−1(clB) es un compacto en el espacio Hausdorff M luego es cerradoen M . Entonces clM(x−1B) ⊂ x−1(clB) . En consecuencia x−1B esun entorno abierto de p en M cuya clausura x−1(clB) es un entornocompacto de p contenido en N .

Para recordar la nocion de segundo contable, vease la definicion2.7 del capıtulo ??. En general las variedades diferenciables no sonsegundo contables como podemos ver en el ejemplo 4.1 .

Proposicion 4.3. Sea M una variedad diferenciable. Entonces Mtiene un atlas contable si y solo si M es segundo contable.

Demostracion. SeaA un atlas contable, para cada carta x ∈ A setiene que Dom x es homeomorfo a un abierto euclıdeo que es segundocontable. Si Bx

i |i ∈ N es una base contable de Domx , entoncesBx

i |x ∈ A , i ∈ N es una base contable de M . Recıprocamente, siM es segundo contable y B es una base contable y A un atlas, entoncesla familia B′ = B ∈ B| existe una carta xB ∈ A tal que B ⊂ Dom xBes contable y xB|B ∈ B′ es un atlas de M .

Observacion 4.1. Si M es una variedad diferenciable, entoncespor ser localmente conexa, cada componente conexa C de M es cerraday abierta en variedad. Por ser abierta C hereda de modo natural unaestructrura diferenciable de la variedadM . Si Ci, i ∈ I es el conjunto decomponentes de M se tiene que M =

⊔i∈I Ci . Ademas cada inclusion

ini : Ci → M es una aplicacion diferenciable. Tambien es facil de verque f : M → N es una funcion entonces f es diferenciable si y solo sicada f ini es diferenciable.

Es tambien de interes la suma disjunta de variedades. Sea Mi ,i ∈ I una familia de variedades m-dimensionales. Si consideramos lareunion disjunta M =

⊔i∈IMi = ∪i∈IMi × i , entonces M admite el

siguiente atlas si x es una carta deMi entonces xi : M → Rm tiene comodominio Domx×i y esta definida por xi(p, i) = x(p) . Se compruebacon facilidad que es un atlas diferenciable para M de manera que las“inclusiones” ini : Mi → M , ini(p) = (p, i), p ∈ Mi, son diferenciables.Notemos que las funciones fi : Mi → N son diferenciables si y solo sila unica funcion f : M → N tal que f ini = fi es diferenciable.


Ejemplo 4.1. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional ysea I in conjunto de ındices de cardinalidad no contable y tomemosMi = M . Entonces

⊔i∈IMi es una variedad que no es segundo conta-

ble.

Problemas

4.1. Demostrar que un espacio topologico discreto no vacio no puedeser dotado de una estructura diferenciable de dimension ≥ 1 .

4.2. Sea L el subconjunto de R2 que es union de los conjuntosU = (r, 0) | r ∈ R y V = (r, 1) | r ∈ R, r ≥ 0. Sea U1 el subcon-junto obtenido de U reemplazando los puntos (r, 0) por (r, 1) ∀r ≥ 0.Definimos dos cartas α y α1 con dominios U y U1 respectivamentedadas por

α(r, 0) = r

α1(r, 0) = r (r < 0); α1(r, 1) = r (r ≥ 0)

a) Demostrar que estas cartas forman un atlas diferenciable de Len R. Demostrar que la topologıa inducida no es Hausdorff.

b) Definimos otra carta α2 con dominio U2 = U1 dada por

α2(r, 0) = r3 (r < 0); α2(r, 1) = r3 (r ≥ 0)

Demostrar que las cartas α y α2 forman un atlas diferenciable de L enR.

c) Demostrar que los dos atlas anteriores determinan dos estructu-ras diferenciables diferentes sobre el mismo espacio topologico.

4.3. Sea F : Rn −→ R, n > 1, una funcion homogenea de gradok ≥ 1 que toma al menos un valor positivo. Sabemos que la funcionf : Rn −→ R definida por f(r) = F (r)−1 determina en f−1(0) una es-tructura de variedad diferenciable. Demostrar que f−1(0) es compactasi y solo si F (r) > 0 ∀r 6= 0.

Solucion: Sea r1 6= 0 un punto tal que F (r1) > 0 . Supongamos queexiste un punto r0 6= 0 tal que F (r0) ≤ 0 . Puesto que Rn \ 0 esconexo por caminos, ya que n > 1 , se tiene que existe un camino β enRn\0 tal que β(0) = r0 y β(1) = r1 . La funcion fβ verifica que existeun t0 tal que 0 ≤ t0 < 1 de modo que F (β(t0)) = 0 y para t tal que

t0 < t ≤ 1 se tiene que Fβ(t) > 0 . Entonces F

(β(t)

(Fβ(t))1k

)= 1 . Pero sin

embargo lımt−>t0 ‖β(t)

(Fβ(t))1k‖ = ∞ . Esto implica que la variedad no es

acotada. Puesto que su topologıa es la de subespacio de Rn se tiene quesi fuera compacta tambien serıa acotada. Por lo tanto no es compacta.Reciprocamente, si F (r) = 1 , entonces r 6= 0 . Si Z = F−1(1) , entoncesla aplicacion φ : Z → Sn−1 dada por φ(r) = r

‖r‖ esta bien definida y es

continua. Por otro lado, sea r tal que ‖r‖ = 1 , entonces F (r) > 0 y

5. MISCELANEA 45

se tiene que r

(F (r))1k∈ Z, luego ψ : Sn−1 → Z dada por ψ(r) = r

(F (r))1k

esta bien definida y es continua. Por lo tanto el espacio subyancentede Z es homoeomorfo a un espacio compacto, luego Z es una variedadcompacta.

4.4. Demostrar que el hiperboloide de dos hojas no es conexo.

4.5. Demostrar que P n(R) es conexo y compacto.

4.6. Demostrar que P n(C) y P n(H) son conexas y compactas.

4.7. Sean a, b y c tres nuneros reales no todos nulos. Demostrar quela funcion f : R3 −→ R dada por

f(r1, r2, r3) = ar2r3 + br3r1 + cr1r2 − 1

determina en f−1(0) una estructura de variedad diferenciable no com-pacta.

4.8. Demostrar que GL(n,R) no es conexo.

4.9. ¿Admite la 2-esfera un atlas con una sola carta? ¿Y el espacioproyectivo?

5. Miscelanea

Un interesante papel en geometrıa diferencial es el de los cuaternio-nes y los octoniones. El cuerpo de los numeros complejos pacere que sele quedo “chico” al matematico irlandes Willian Rowan Hamilton comomaximo exponente de lo que debiera ser un conjunto de numeros. Buenconocedor del teorema final de la aritmetica, Hamilton sabıa que paraagrandar los complejos como conjunto de numeros habıa que renunciara la conmutatividad del producto. Ası durante largos anos intento sinexito la construccion de un algebra real asociativa 3-dimensional de di-vision. Parece ser que Hamilton se quedo sin saber si tal construccionera posible. Hoy estamos seguros de que el intento de Hamilton estabadestinado al fracaso . No obstante, el exito acompano a Hamilton el16 de Octubre de 1843 cuando su hoy famosa algebra real asociativade division 4-dimensional aparecio en su mente mientras paseaba placi-damente con su senora por Dublın. Se conoce esta anecdota, ası comootras circunstancias mas o menos interesantes acerca del nacimiento delos cuaterniones (aunque con menos frecuencia tambien son llamadoscuaternios), gracias a un escrito del propio Hamilton con ocasion deldecimo-quinto aniversario de su descubrimiento.

Mencionaremos tambien a los octoniones que parece ser fueron des-cubiertos por John T. Graves en Diciembre de 1843, solo dos mesesdespues del nacimiento de los cuaterniones, comunicando su resultadoa Hamilton en carta de fecha 4 de Enero de 1844, y posponiendo supublicacion hasta 1848. Mientras tanto Arthur Cayley redescubrio losoctoniones en 1845 y publico su descubrimiento ese mismo ano.


5.1. Probar que H = a+ bi+ cj + dk|a, b, c, d ∈ R es un algebrade division, donde el producto esta determinado por los productos ij =k = −ji , jk = i = −kj ,ki = j = −ik .

5.2. Sea N el subconjunto de R2 que es union de los siguientesconjuntos de puntos: N1 = (x1, x2)|x1

2 +x22 = 1 y N2 = (0, x2)|1 <

x2 < 2 . Demostrar que las funciones α, β : N −→ R definidas de lasiguiente manera: α(0, t) = 1− t si 1 < t < 2 y α(sen 2πt, cos 2πt) = tsi 0 ≤ t < 1 y β(0, t) = 1− t si 1 < t < 2 y β(sen 2πt, cos 2πt) = 1− tsi 0 < t ≤ 1, determinan estructuras diferenciables en N .

a) ¿Son compatibles estas estructuras?b) Probar que estas estructuras son difeomorfas.

5.3. Sea f : R3 −→ R3 dadas por:

f(r1, r2, r3) = (r1 cos r3 − r2 sen r3, r1 sen r3 + r2 cos r3, r3)

Demostrar que f |S2 toma valores en S2. Demostrar que la aplicacioninducida de S2 en S2 es un difeomorfismo.

5.4. Consideramos G(3, 1,R) y G(3, 2,R). A cada 1-plano en R3

con matrız A = (a1, a2, a3)t le hacemos corresponder el 2-plano en R3

que es solucion del sistema homogeneo Atr = 0. Demostrar que estabiyeccion es un difeomorfismo.

El estudio de las conicas en el plano euclıdeo se puede abordar comoel estudio del conjunto de ceros de algunas funciones.

5.5. Estudiar el conjunto de ceros de las siguientes funciones. Paracada caso analizar si el conjunto de ceros admite de modo naturaluna estructura de variedad, dar su dimension y averiguar el numerode componentes conexas y si cada una de estas componentes es o nocompacta.

a) f33 : R2 −→ R la aplicacion definida por f33(x, y) = x2+y2+1 .b) f31a : R2 −→ R definida por f31a(x, y) = x2 − y2 + 1 .c) f31b : R2 −→ R definida por f31b(x, y) = x2 + y2 − 1 .d) f22a : R2 −→ R definida por f22a(x, y) = x2 + y2 .e) f22b : R2 −→ R definida por f22b(x, y) = x2 + 1 .f) f21a : R2 −→ R definida por f21a(x, y) = x2 − y2 .g) f21b : R2 −→ R definida por f21b(x, y) = x2 − 1 .h) f11a : R2 −→ R definida por f11a(x, y) = x2 .i) f11b : R2 −→ R definida por f11b(x, y) = 1 .j) f00 : R2 −→ R definida por f00(x, y) = 0 .

CAPıTULO 3

ESPACIO TANGENTE

1. Notaciones previas

Sea f : Rn → Rl una funcion C∞ , podemos asociar a cada puntor ∈Dom f la derivada (diferencial) de la funcion en r , que sera deno-tada por Dfr : Rn → Rl . La matriz de esta aplicacion lineal calculadarespecto las bases canonicas se denotara por Jf (r) y se denomina ma-triz jacobiana de f en el punto r . Si g : Rn → R es una funcion C∞ ,denotamos sus derivadas parciales por ∂g

∂ri: Rn → R y su valor en un

punto r ∈Dom g se denotara por(∂g∂ri

)r

y algunas veces por ∂g∂ri

(r) .

Si las componentes de f : Rn → Rl funcion C∞ , son f1, . . . , fl : Rn →R entonces la matriz jacobiana en el punto r se puede expresar en fun-cion de las derivadas parciales de sus componentes:

Jf (r) =

(∂f1∂r1

)r. . .

(∂f1∂rn

)r

.... . .

...(∂fl

∂r1

)r. . .

(∂fl

∂rn

)r

La estructura afın de Rn permite interpretar un vector u ∈ Rn como

un “vector tangente” en cada punto r ∈ Dom f . Recordemos que laderivada direccional de f segun u se define como u(f) = Dfr(u) , parauna funcion f que tenga derivada en el punto r . Ello permite asociara cada “vector tangente” u una aplicacion u que asocia a cada funcionreal g de clase C∞ el valor u(g) = Dgr(u) .

Si g, g′ funciones reales de clase C∞ definidas en r y α, α′ ∈ R ,entonces la aplicacion u verifica las siguientes propiedades:

Linealidad:

u(αg + α′g′) = D(αg + α′g′)r(u) = αDgr(u) + α′Dg′r(u)= αu(g) + α′u(g′)

Regla de Leibniz:

u(g · g′) = D(g · g′)r(u) = Dgr(u) · g′(r) + g(r) ·Dg′r(u)= u(g) · g′(r) + u(g′) · g(r)

De este modo podemos interpretar cada vector tangente como unaaplicacion que asocia a cada funcion real de clase C∞ definida en r unvalor real y que ademas verifica las propiedades anteriores. Notemosque hemos utilizado la suma, el producto de funciones y tambien el

47


producto de un escalar por una funcion. Estas operaciones son un casoparticular de la siguiente situacion mas general.

Sea X un conjunto, en la familia de funciones de X en R podemosconsiderar la suma de funciones, el producto de funciones y el productode una funcion por un escalar definidos del modo siguiente: Dadasf, g : X → R definimos f + g como la funcion cuyo dominio Dom(f +g) = Dom f∩Dom g y definida por (f+g)p = fp+gp , p ∈ Dom(f+g) .Similarmente, Dom(f ·g) = Dom f∩Dom g y (f ·g)p = (fp)·(gp) . Paraα ∈ R se define αf como la funcion cuyo dominio es Dom(αf) = Dom fy (αf)p = α(fp) , p ∈ Dom(αf) . El conjunto de todas las funcionesde X en R dispone para cada subconjunto S de X de un operadorrestriccion de modo que si f es una funcion con valores reales, entoncesf |S es una funcion que tiene por dominio Dom (f |S) = S ∩ Dom f yviene dada por f |S(s) = f(s) .

Es interesante observar que el subconjunto de funciones con dominioS tiene estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Si S esel vacıo (el uno coincide con el cero). Tambien se verifica que si T ⊂ Sla restriccion a T induce un homomorfismo de anillos con unidad. Esdecir, que el conjunto de las funciones reales puede ser expresado comola reunion disjunta de una familia de anillos conmutativos con unidad,este tipo se estructura se suele denominar como un haz de anillos.

Problemas

1.1. Sea X un conjunto no vacio. Probar que el conjunto de aplica-ciones de X en R tiene una estructura natural de anillo conmutativocon unidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo alanillo de los numeros reales.

1.2. Sea X un conjunto. Probar que el conjunto de funciones de Xen R con dominio S ⊂ X , S 6= ∅ , tiene una estructura natural de anilloconmutativo con unidad. Probar que este anillo contiene a un subanilloisomorfo al anillo de los numeros reales. Probar que si ∅ 6= T ⊂ S , larestriccion induce un homomorfismo de anillos con unidad que preservalos elementos del subanillo de los reales. Analizar el caso T = ∅ .

1.3. Sea M una variedad diferenciable. Probar que el conjunto defunciones diferenciables C∞

V (M) de X en R con dominio un abiertoV ⊂ X , V 6= ∅ , tiene una estructura natural de anillo conmutativo conunidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillode los numeros reales. Probar que si ∅ 6= U ⊂ V , la restriccion induceun homomorfismo de anillos con unidad que preserva los elementos delsubanillo de los reales. ¿Que sucede en el caso U = ∅ ?

2. Derivadas parciales. Propiedades

Veamos como se traslada la nocion de derivada parcial al caso defunciones diferenciables de una variedad diferenciable. En este caso

DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDADES 49

cada carta determina un sistema de derivadas parciales asociadado asus coordenadas.

Definicion 2.1. Sea x : M → Rm una carta y f : M → R unafuncion C∞ . Entonces la derivada parcial de f con respecto la i-esima

coordenada xi se define como la composicion ∂f∂xi

= ∂(fx−1)∂ri

x . Notemos

que su dominio es Dom(∂f∂xi

)= Dom f∩Dom x . El valor de la derivada

parcial en un punto p ∈ Dom(∂f∂xi

)se denotara por

(∂f∂xi

)p

y tambien

por(∂f∂xi

)(p).

Proposicion 2.1. Supongamos que f, g : M → R son funcionesC∞ y α, β ∈ R , entonces

(i) ∂(αf+βg)∂xi

= α ∂f∂xi

+ β ∂g∂xi

,

(ii) ∂(f ·g)∂xi

= ∂f∂xi

· g + f · ∂g∂xi

.

Demostracion. Para probar (i), consideremos las igualdades:

∂(αf+βg)∂xi

= ∂((αf+βg)x−1)∂ri

x = α∂(fx−1)∂ri

x+ β ∂(gx−1)∂ri

x = α ∂f∂xi

+ β ∂g∂xi

.

Para (ii), tenemos las siguientes:

∂(f ·g)∂xi

= ∂((f ·g)x−1)∂ri

x = ∂(fx−1)∂ri

x · (gx−1)x+ (fx−1)x · ∂(gx−1)∂ri

x

= ∂f∂xi

· g + f · ∂g∂xi

Problemas

2.1. Si x es una carta en una variedad diferenciable demostrar que∂xi

∂xjes una funcion constante de valor δij (delta de Kroneker).

Solucion: Aplicando la definicion de derivada parcial se tiene

∂xi∂xj

=∂xix

−1

∂rjx =

∂ri∂rj

x = δji |Domx

2.2. Si x es una carta en una varidad M y f : M −→ R es unafuncion definida por f = senx1 + cos x2, demostrar que ∂f

∂x1= cos x1 y

∂f∂x2

= − sen x2.

Solucion: Utilizaremos la notacion ri para denotar la i-esima coorde-nada de una m-tupla (r1, · · · , rm) y tambien para la i-esima proyecciondel producto ri : Rm → R . Entonces tenemos

f = senx1 + cosx2 = sen r1x+ cos r2x = (sen r1 + cos r2)x


Por lo tanto∂f∂x1

= ∂fx−1

∂r1x = ∂(sen r1+cos r2)xx−1

∂r1x


x = (cos r1)x = cos x1

∂f∂x2

= ∂fx−1

∂r2x = ∂(sen r1+cos r2)xx−1

∂r2x


x = (− sen r2)x = − sen x2

2.3. Sean x = (x1, · · · , xm) : M → Rm una carta en una varie-dad diferenciable M , F : Rm −→ R una funcion C∞ y f = Fx =F (x1, · · · , xm) . Probar que ∂f

∂xi= ∂F

∂rix = ∂F

∂ri(x1, · · · , xm) .

3. Vectores tangentes

SeaM una variedad diferenciable y p ∈M . Recordemos la notacionC∞(M, p) = f : M → R|f es diferenciable y p ∈ Dom f . Notemosque si α ∈ R , f, g ∈ C∞(M, p) , entonces αf ∈ C∞(M, p) , f + g ∈C∞(M, p) y f · g ∈ C∞(M, p) .

Definicion 3.1. Una aplicacion Λ: C∞(M, p) → R se dice quees lineal si verifica que Λ(αf + βg) = αΛf + βΛg para α, β ∈ R yf, g ∈ C∞(M, p) .

Proposicion 3.1. Sea Λ: C∞(M, p) → R una aplicacion lineal. Sif, g ∈ C∞(M, p) coinciden en un entorno de p , entonces Λf = Λg .

Demostracion. Supongamos que existe un entorno abierto U dep en M tal que U ⊂ Dom f ∩Dom g y f |U = g|U . Notese que Dom(f−f |U) = U y que f − f |U = 0|U = 0(0|U) . Entonces Λ(f − f |U) =Λ(0|U) = Λ(0(0|U)) = 0Λ(0|U) = 0 . Por lo tanto Λ(f) = Λ(f |U) .Analogamente se obtiene que Λ(g) = Λ(g|U) . Entonces Λ(f) = Λ(g) .

En C∞(M, p) podemos definir la siguiente relacion. Dadas f, g ∈C∞(M, p) , diremos que f tiene el mismo germen que g en p si existe unentorno abierto U de p en M tal que U ⊂ Dom f ∩Dom g y f |U = g|U .El cociente con las operaciones inducidas tiene una estructura naturalde R-algebra y sera denotado por C∞

p (M) , donde llamamos R-algebraA a un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad R → A .Notese que un operador lineal Λ: C∞(M, p) → R factoriza de modonatural del modo siguiente: Λ: C∞(M, p) → C∞

p (M) → R .

Definicion 3.2. Sea M una variedad. Una derivacion o vector tan-gente en un punto p ∈ M es una aplicacion lineal Λ: C∞(M, p) →R que ademas verifica la regla de Leibniz; es decir, que si f, g ∈C∞(M, p) , entonces Λ(fg) = f(p)Λ(g) + Λ(f)g(p) .

Ejemplo 3.1. Sea x una carta de una variedad M y p ∈ Dom x un

punto. Entonces podemos definir(

∂∂xi

)p

: C∞(M, p) → R mediante la

3. VECTORES TANGENTES 51

formula(

∂∂xi

)pf =

(∂f∂xi

)p

. Es inmediato comprobar que(

∂∂xi

)p

es un

vector tangente en el punto p de M .

Proposicion 3.2. Sea Λ: C∞(M, p) → R un vector tangente a Men el punto p . Si f ∈ C∞(M, p) es constante en un entorno de p ,entonces Λf = 0 .

Demostracion. Supongamos que existe un entorno abierto U dep en M tal que U ⊂ Dom f y f |U = c|U , donde c denota la funcionconstante con valor c . Aplicando la proposicion 3.1 se tiene que Λ(f) =Λ(c) = Λ(c · 1) = c · Λ(1) . Por ser Λ una derivacion tenemos lasigualdades Λ(1) = Λ(1 · 1) = 1 · Λ(1) + Λ(1) · 1 = 2Λ(1) . Esto implicaque Λ(1) = 0 . Entonces Λ(f) = c · Λ(1) = 0 .

Si Λ y Λ′ son vectores tangentes en un punto p de una variedadM , entonces la suma Λ + Λ′ definida por la formula (Λ + Λ′)(f) =Λ(f) + Λ′(f) es tambien un vector tangente en el punto p . Tambiense tiene que si α ∈ R podemos definir αΛ por (αΛ)(f) = α(Λ(f)) . Demodo rutinario de comprueba que αΛ es de nuevo un vector tangenteen el punto p . El conjunto de los vectores tangentes en un punto pde una variedad M con las operaciones anteriores tiene estructura deespacio vectorial real.

Definicion 3.3. Denotaremos por TpM al espacio vectorial real delos vectores tangentes en el punto p de una variedad M . Diremos queTpM es el espacio tangente de la variedad en el punto p de M .

Para estudiar la dimension de este espacio tangente utilizaremos elresultado siguiente:

Lema 3.1. Sea x una carta de una variedad M diferenciable m-dimensional y p ∈ Dom x un punto tal que x(p) = a . Si f ∈ C∞(M, p)entonces existen h1, . . . , hm ∈ C∞(M, p) tal que f tiene el mismo ger-men que la funcion

f(p) +m∑i

(xi − ai)hi

Demostracion. Tomemos la nueva carta y = x − a que verificaque y(p) = 0 . Sea B una bola contenida en Dom(fy−1) y de centroy(p) = 0 y sea F = (fy−1)|B . Para r = (r1, · · · , rm) ∈ B aplicando laregla de Barrow se tiene

F (r1, · · · , rm)− F (0, · · · , 0) =∫ 1

0dF (sr1,··· ,srm)

dsds =∫ 1

0

∑mi ri

(∂F∂ri

)(sr1,··· ,srm)

ds =∑m

i riHi(r1, · · · , rm)

donde Hi(r1, · · · , rm) =∫ 1

0

(∂F∂ri

)(sr1,··· ,srm)

ds para (r1, · · · , rm) ∈ B .

Tomemos hi = Hiy . Para cada q ∈ y−1B se tiene que


f(q)− f(p) = fy−1(r)− fy−1(0) = F (r)− F (0) =∑riHi(r)

=∑m

i yi(q)Hiy(q) = (∑m

i yihi)(q) = (∑m

i (xi − ai)hi)(q) .

De donde se obtiene el resultado deseado.

Proposicion 3.3. Sea x una carta de una variedad M y p ∈Dom x . Entonces los vectores

(∂∂xi

)p

para i = 1, . . .m forman una

base de TpM . Un vector tangente v ∈ TpM admite en dicha base laexpresion

v =∑i

v(xi)

(∂

∂xi

)p

.

Demostracion. Sea Λ una derivacion en el punto p deM . Supon-gamos que f es una funcion real definida en el punto p . Por el lema 3.1 ylas proposiciones 3.1 , 3.2 se tiene que Λ(f) = Λ(f(p)+

∑i(xi−ai)hi) =∑

i Λ(xi)hi(p) . En particular para el vector tangente(

∂∂xi

)p

la formula

anterior determina que(∂f∂xi

)p

=∑(

∂xj

∂xi

)phj(p) = hi(p) . Sustituyen-

do en la primera formula obtenemos que Λ(f) =∑

i Λ(xi)(∂f∂xi

)p

=∑i Λ(xi)

(∂∂xi

)p(f) . Por lo tanto Λ =

∑i Λ(xi)

(∂∂xi

)p

. Es decir, las

derivadas parciales en el punto p constituyen un sistema generador.

Para ver que son independientes supongamos que 0 =∑λi

(∂∂xi

)p

.

Entonces 0 = 0(xj) =∑λi

(∂xj

∂xi

)p

= λj para cada j . Luego el sistema

de vectores es independiente.

Notemos que si x e y son dos cartas en el punto p , entonces elcambio de bases viene dado por(

∂∂xi

)p

=∑

j

(∂yj

∂xi

)p

(∂∂yj

)p.

Puesto que (∂yj

∂xi

)p

=(∂rjyx

−1

∂ri

)x(p)

la matriz del cambio de base es precisamente la matriz jacobiana Jyx−1(x(p)) .

Problemas

3.1. Consideramos el subconjunto C∞s (M, p) de C∞(M, p) dado por

las funciones f : M −→ R que en algun entorno de p sean de la forma

f = c+∑α

fαgα

donde c es una funcion constante y el segundo termino es una suma fini-ta de funciones fα, gα de C∞(M, p) que verifican que fα(p) = gα(p) = 0.


Demostrar que la aplicacion lineal Λ: C∞(M, p) −→ R es una deriva-cion si y solo si es cero sobre C∞

s (M, p).

Solucion: Supongamos que Λ: C∞(M, p) −→ R se anula sobre lasfunciones de la forma indicada. En particular se tiene que la funcion−f(p)g(p)+(f−f(p))(g−g(p)) = fg−f(p)g−g(p)f esta en C∞

s (M, p) .Por lo tanto se tiene que Λ(fg−f(p)g−g(p)f) = 0 . EquivalentementeΛ(fg) = −f(p)Λ(g) + Λ(f)g(p) .

4. Aplicacion tangente

Sea p un punto de una variedad diferenciable M que esta en eldominio de una funcion diferenciable φ : M → N . Entonces φ induceuna aplicacion lineal Tpφ : TpM → Tφ(p)N del modo siguiente: Si v esun vector tangente en p a M y f : M → R una funcion diferenciabledefinida en p , entonces Tpφ(v)(f) = v(fφ) .

Definicion 4.1. Sea p un punto de una variedad diferenciableM que esta en el dominio de una funcion diferenciable φ : M → N .Llamaremos a Tpφ : TpM → Tφ(p)N la aplicacion tangente a φ en elpunto p y a veces diremos que es la derivada lineal de φ en el punto p .Ademas de la notacion anterior tambien se utilizara Tpφ = φ∗p .

Notese que si x es una carta en p e y es un carta en φ(p) , entoncesTpφ(v) =

∑j Tpφ (v)(yj)(

∂∂yj

)φ(p)

=∑

j v(yjφ)(∂∂yj

)φ(p)

. En particular

para v =(∂∂xi

)p

se obtiene

Tpφ(

∂∂xi

)p

=∑

j

(∂(yjφ)

∂xi

)p

(∂∂yj

)φ(p)

Teniendo en cuenta que (∂(yjφ)

∂xi

)p

=(∂(yjφx

−1)

∂ri

)x(p)

se tiene que la matriz

lineal de Tpφ respecto a las bases asociadas a las cartas x e y , quellamaremos matriz jacobiana de φ en el punto p y denotaremos porJy,xφ (p) , es la siguiente

Jy,xφ (p) =

((∂(yjφ)

∂xi

)p

)=

((∂(yjφx

−1)

∂ri

)x(p)

)= Jyφx−1(x(p))

que coincide con la matriz jacobiana de yφx−1 en el punto x(p) .Recordemos que si F : Rn → Rm es diferenciable y r esta en su

dominio, entonces la matriz jacobiana de F en el punto r respecto lascoordenadas canonicas es precisamente la matriz de la aplicacion linealDFr .

Proposicion 4.1. La aplicacion tangente verifica las siguientespropiedades:

(i) Si φ : M → N y ψ : N → Q son funciones diferenciables y pesta en el dominio de ψφ , entonces Tp(ψφ) = Tφ(p)ψ Tpφ .

(ii) Sea U un abierto de una variedad M y sea p ∈ U . EntoncesTp(id |U) = idTpM .


Demostracion. Sea v una derivacion en el punto p y f una fun-cion diferenciable real definida en el punto p . Entonces Tp(ψφ) (v)(f) =v(fψφ) = Tpφ (v)(fψ) = (Tφ(p)ψ Tpφ) (v)(f) . De aquı se concluye queTp(ψφ) = Tφ(p)ψ Tpφ . Para la segunda parte se tiene que Tp(id |U)(v)(f)= v(f id |U) = v(f |U) = v(f) = idTpM(v)(f) .

Ejemplo 4.1. Sea σ : R → M una funcion diferenciable. Si s ∈Domσ , se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vectortangente en σ(s) a M dado por Tsσ

(ddt

)s

.Si A es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismo

canonico θa : A→ TaA del modo siguiente para cada v ∈ A considere-mos la curva σv(t) = a+ tv , entonces se toma θa(v) = (T0σ

v)(ddt

)0

.

Recordemos que si Tpφ : TpM → TφpN es una aplicacion lineal,llamamos rango de Tpφ a la dimension de la imagen de la aplicacionlineal (Vease definicion 3.4 del capıtulo ??).

Definicion 4.2. Sea φ : M → N una aplicacion diferenciable y pun punto de su dominio. Llamaremos rango de φ en p precisamente alrango de Tpφ .

Es conveniente tener en cuenta que para la aplicacion linealTpφ : TpM → TφpN la suma de su rango y la dimension de su nucleo esigual a la dimension del espacio vectorial TpM (Vease poposicion 3.1del capıtulo ??).

Utilizaremos el siguiente teorema de la funcion inversa para probaruna version similar para variedades.

Teorema 4.1. Sea r un punto del dominio de una funcion C∞ ,h : Rm → Rm . Entonces la diferencial Dhr de h en r es un isomor-fismo si y solo si existe un entorno abierto V de r tal que h|V es undifeomorfismo.

Para variedades diferenciables se tiene la siguiente version:

Teorema 4.2. (Funcion inversa) Sea p un punto del dominio deuna funcion diferenciable φ : M → N . La aplicacion tangente Tpφ esun isomorfismo si y solo si existe un entorno abierto U de p tal que φ|Ues un difeomorfismo.

Demostracion. Supongamos que φ|U es un difeomorfismo. En-tonces Tp(φ|U) es un isomorfismo. Ahora bien en facil comprobar queTp(φ|U) = Tpφ , por lo que Tpφ es un isomorfismo.

Recıprocamente si Tpφ es un isomorfismo, entonces m =dimM =dimN = n . Sean x e y cartas en p y en φ(p) , respectivamente. Lamatriz jacobiana de φ en el punto p , que es la matriz jacobiana deyφx−1 en x(p) , es inversible. Entonces existe un entorno abierto Vde x(p) contenido en el dominio de yφx−1 tal que (yφx−1)|V es undifeomorfismo. Sea U = x−1V y consideremos φ|U . Notese que φ|U =y−1((yφx−1)|V )x , por lo que φ|U es un difeomorfismo.


Definicion 4.3. Sea φ : M → N una aplicacion diferenciable yp un punto de su dominio. Se dice que φ es un difeomorfismo localen el punto p si existe un entorno abierto U de p tal que φ|U es undifeomorfismo. Si φ es un difeomorfismo local en todos los puntos desu dominio diremos que φ es un difeomorfismo local.

Dadas dos variedades M y N de dimensiones m y n , en el productocartesiano M × N se puede dar una estructura de variedad (m + n)-dimensional tomando como atlas la familia de cartas x × y| donde xes carta de M e y es carta de N . Notese que el cambio de cartas vienedado por (x′ × y′)(x × y)−1 = x′x−1 × y′y−1 , que claramente es unafuncion C∞ .

Proposicion 4.2. Sean M y N variedades, φ : M × N → M yψ : M × N → N las proyecciones canonicas. Sea (p, q) un punto deM × N y denotemos por φ∗ = T(p,q)φ y ψ∗ = T(p,q)ψ . Entonces la apli-cacion lineal (φ∗, ψ∗) : T(p,q)(M ×N) → TpM ⊕TqN es un isomorfismo.

Demostracion. Sean iq : M → M × N , ip : N → M × N lasinclusiones definidas por iq(p

′) = (p′, q) , ip(q′) = (p, q′) . Sea la apli-

cacion ξ : TpM ⊕ TqN → T(p,q)(M × N) dada por ξ(u, v) = (iq)∗u +(ip)∗v , donde (iq)∗ = Tpiq , (ip)∗ = Tqip. Notese que (φ∗, ψ∗)ξ(u, v) =(φ∗, ψ∗)((iq)∗u + (ip)∗v) = (φ∗((iq)∗u + (ip)∗v), ψ∗((iq)∗u + (ip)∗v)) =(φ∗(iq)∗u+φ∗(ip)∗v, ψ∗(iq)∗u+ψ∗(ip)∗v) = ((φiq)∗u+(φip)∗v, (ψiq)∗u+(ψip)∗v) = (u, v) , donde hemos utilizado la proposicion 4.1 y el hechode que la aplicacion tangente en un punto de una aplicacion constantees nula. Consecuentemente, la aplicacion lineal (φ∗, ψ∗) entre espaciosvectoriales de la misma dimension es suprayectiva, lo que implica quees un isomorfismo.

Proposicion 4.3. Sea (p, q) un punto del producto M ×N y seanφ : M × N → M y ψ : M × N → N las proyecciones canonicas eiq : M → M × N , ip : N → M × N las inclusiones definidas poriq(p

′) = (p′, q) , ip(q′) = (p, q′) . Si (p, q) esta en el dominio de una

funcion diferenciable f : M×N → L , entonces para w ∈ T(p,q)(M×N)se tiene que

T(p,q)f(w) = Tp(fiq)T(p,q)φ(w) + Tq(fip)T(p,q)ψ(w)

Demostracion. Aplicando la proposicion anterior se tiene quew = (iq)∗φ∗(w) + (ip)∗ψ∗(w) . Entonces f∗(p,q)(w) = (fiq)∗φ∗(w) +(fip)∗ψ∗(w) .


Problemas

4.1. Sean φ, ψ : M −→ N funciones diferenciables que coinciden enalgun entorno de p . Demostrar que Tp(φ) = Tp(ψ).

Solucion: Sabemos que existe un entorno abierto U del punto ptal que f |U = g|U . Entonces, Tp(f |U) = Tp(f id |U) = Tp(f)Tp(id |U) =Tp(f) idTpM = Tp(f) y analogamente Tp(g|U) = Tp(g) . Entonces Tp(f) =Tp(g) .

4.2. Si φ : M −→ N es una aplicacion constante en algun entornode un punto p ∈M , demostrar que Tp(φ) es la aplicacion nula.

4.3. Sean A y B dos espacios vectoriales reales de dimension finitay φ : A −→ B una aplicacion lineal. Dado un vector a ∈ A, demostarque para todo v ∈ A se verifica

φ∗(θav) = θφ(a)(φ(v))

Es decir, que salvo isomorfismos canonicos la aplicacion tangente deuna aplicacion lineal es ella misma.

Solucion: Sea σ : R →M una funcion diferenciable. Si s ∈ Domσ ,se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vector tangenteen σ(s) a M dado por σ∗s

(ddt

)s

.Si A es un espacio vectorial y a ∈ A , se puede definir un isomorfismo

canonico θa : A→ TaA del modo siguiente para cada v ∈ A considere-mos la curva σv(t) = a + tv , entonces se toma θa(v) = (σv)∗0

(ddt

)0

.Notemos que

φσv(t) = φ(a) + tφ(v) = σφ(v)(t)φ∗(θav) = φ∗(σ

v)∗0(ddt

)0

= (φσv)∗0(ddt

)0

= (σφ(v))∗0(ddt

)0

= θφ(a)(φ(v))

Por lo tanto φ∗θa = θφ(a)φ .

4.4. SiM es el hiperboloide de dos hojas, demostrar que la inyeccionnatural j : M −→ R3 tiene rango dos en todo punto.

Solucion: El hiperboloide de dos hojas tiene por ecuacion. r21 −

r22 − r2

3 − 1 = 0 . Consideremos el atlas dado por x+, x− de modo queDom x+ = (r1, r2, r3) ∈ M |r1 > 0 , Dom x− = (r1, r2, r3) ∈ M |r1 <0 y estan definidas por x+(r1, r2, r3) = (r2, r3) y x−(r1, r2, r3) =(r2, r3) .

Entonces idR2 jx−1+ (a, b) = ((1+a2 + b2)

12 , a, b) que tiene por matrız

jacobiana

J(a, b) =

a

(1+a2+b2)12

b

(1+a2+b2)12

1 00 1

APLICACION TANGENTE 57

que evidentemente tiene rango dos. Para la otra carta se obtiene lamisma matriz salvo que hay que considerar signo negativo en las raicescuadradas.

Nota. Admitiendo probados los resultados del capıtulo 3, la soluciones inmediata. La fibras de una submersion son subvariedades regulares.

4.5. Si f ∈ C∞(M, p) y v ∈ Tp(M), demostrar que Tp(f)(v) =a(∂∂t

)f(p)

, siendo a = v(f).

4.6. Demostrar que dos variedades difeomorfas tienen la misma di-mension.

4.7. Demostrar que la funcion f : S2 −→ P 2(R) que asocia a cadapunto z ∈ S2 el 1-plano (la recta) de R3 determinada por z, es undifeomorfismo local.

Solucion: Utilizando resultados del capıtulo 3 se pueden dar so-lucines mas elaboradas utilizando tecnicas de secciones locales o degrupos de transformaciones. Sin embargo aquı vamos a calcular di-rectamene la matriz jacobiana y su rango. Lo haremos respecto unapareja de cartas y de modo analogo se procede en el resto de los ca-sos. Sea p = (r1, r2, r3) ∈ S2 con r1 > 0 y tomemos la carta x en ptal que x(r1, r2, r3) = (r2, r3) y la carta y en [(r1, r2, r3)] definida pory[(r1, r2, r3)] = ( r2

r1, r3r1

) . Entonces si a2 + b2 < 1 se tiene

yfx−1(a, b) = yf((1− a2 − b2)12 , a, b) = y[((1− a2 − b2)

12 , a, b)] =

(a

(1− a2 − b2)12

,b

(1− a2 − b2)12

)

Por tanto la matriz jacobiana sera

J(a, b) =

1−b2

(1−a2−b2)32

ab

(1−a2−b2)32

ab

(1−a2−b2)32

1−a2

(1−a2−b2)32

cuyo determinante es no nulo:

det(J(a, b)) =1

(1− a2 − b2)2

Por lo que f es un difeomorfismo local.

4.8. Demostrar que la funcion f : R −→ S1 definida por f(s) =(sen 2πs, cos 2πs) es un difeomorfismo local.

4.9. Sea a un numero real mayor que cero. Consideramos el difeo-morfismo

λa : Rn+1 \ 0 −→ Rn+1 \ 0definida por λa(z) = az, que satisface la condicion σλa = σ, siendo

σ : Rn+1 \ 0 −→ Sn


la aplicacion dada por σ(z) = z|z| .

Deducir que σ tiene en todos los puntos rango n.

4.10. Sabemos que las variedades M1 y M2 definidas sobre el su-bespacio H de R2 que consiste de los puntos (x, 0) (x ∈ R), juntocon el punto (0, 1) que vienen definidas por los siguientes atlas: SeanU = (x, 0)|x ∈ R y U1 = (x, 0)|x 6= 0

⋃(0, 1) . El atlas de M1

esta formado por las cartas, α : U −→ R definida de la siguiente mane-ra, α(x, 0) = x y α1 : U1 −→ R dada por α1((x, 0)) = x , α1(0, 1) = 0 .El atlas de M2 por las cartas: α : U −→ R definida por α(x, 0) = xy α2 : U1 −→ R dada por α2((x, 0)) = x3 , α2(0, 1) = 0 . Demostrarque estas dos variedades no son difeomorfas pero inducen la mismatopologıa en el conjunto H .

Solucion: Considerar la funcion f : M1 → R dada por f(x, 0) = x ,F (0, 1) = 0 . Es facil ver que f es diferenciable y tiene rango 1.

Veamos que si g : M2 → R es una funcion global y diferenciable,entonces g tiene rango 0 en el punto (0, 0) .

Sea G = gα−1 , G2 = gα−12 . En R \ 0 se tiene que

G = gα−1 = Ggα−12 α2α

−1 .

Entonces se verifica que G(x) = G2(x3) . Las derivadas satisfacen la

relacion G′(x) = 3x2G′2(x

3) para x 6= 0 . Puesto que son continuas seobtiene que G′(0) = lımx→0G

′(x) = 0 . De aquı se sigue que g tienerango cero en (0, 0) .

Supongamos que existe un difeomorfismo global φ : M2 → M1 . Setiene que φ tiene rango 1, por lo que la composicion fφ : M2 → R tienerango 1. Esto contradice el hecho de que toda g : M2 → R tiene rangocero en (0, 0) . Por lo tanto M1 y M2 no son difeomorfas.

CAPıTULO 4

SUBVARIEDADES Y VARIEDADESCOCIENTE

El rango de una funcion diferenciable tiene especial interes si coin-cide con la dimension de la variedad inicial o de la variedad final. Enel caso que el rango coincida con ambas se trata de un difeomorfismolocal.

1. Inmersiones

Definicion 1.1. Una funcion f : M → N se dice que es una in-mersion en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincidecon la dimension de M . Si f es inmersion en todos los puntos de sudominio diremos que f es una inmersion. Cuando el dominio de f esM se dice que f es una inmersion global. Si f es una inmersion glo-bal inyectiva se dice que f es un encaje. Si f : M → f(M) es tambienun homeomorfismo, diremos que f es un encaje regular. En este ulti-mo caso si ademas f es una inclusion se dice que M es subvariedad yrespectivamente subvariedad regular de N .

Ejemplo 1.1. Para cada m ≥ n tenemos la descomposicion canoni-ca Rm = Rm × Rn−m y la inclusion inducida in : Rm → Rm × Rn−m

definida por in(r) = (r, 0) . La matriz jacobiana de la inclusion es dela forma

Jid(r) =

(id0

)que tiene rango m . Por lo que in es una inmersion.

Lema 1.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Si gtiene rango m en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rn → Rn demodo que la funcion hg coincide con r → (r, 0) en un entorno abiertode a .

Demostracion. Si g tiene rango m en a , entonces existen 1 ≤σ1 < σ2 < · · · < σm ≤ n tal que det

((∂gσi

∂rj

)a

)6= 0 , i ∈ 1, · · · ,m .

Podemos extender σ : 1, · · · ,m → 1, · · · , n a una permutacionσ : 1, · · · , n → 1, · · · , n y definir θ : Rn → Rn mediante la formula

θ(r1, · · · , rn) = (rσ1 , · · · , rσn) . Notemos que det((∂(θg)i

∂rj

)a

)=

det((∂gσi

∂rj

)a

)6= 0 .

59


Consideremos la funcion ϕ : Rm × Rn−m → Rn dada por ϕ(r, s) =

θg(r) + (0, s) . Entonces se tiene que det((

∂ϕi

∂rj

)(a,0)

)6= 0 . Aplican-

do el teorema de la funcion inversa podemos asegurar que existe unaf : Rn → Rm × Rn−m tal que Codom f = U × V con U entorno abier-to de a contenido en Dom(θg) y V entorno abierto de 0 y ademasϕ|U×V = f−1 . Tomemos h = fθ . Para r ∈ U tenemos hg(r) =fθg(r) = f(θg(r) + (0, 0)) = fϕ(r, 0) = (r, 0) .

Proposicion 1.1. Si f : M → N es una inmersion en un punto p ,entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente,tal que yfx−1(r) = (r, 0) para r ∈ Dom(yfx−1) .

Demostracion. Sea x una carta de M en p y sea y una cartade N en f(p) , entonces yf x−1 es una inmersion en el punto x(p) .El lema 1.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn talque para cada r ∈ Dom(hyfx−1) se tiene que hyfx−1(r) = (r, 0) .Tomemos y = hy y x = x . Entonces si r ∈ Dom(yfx−1) se obtieneque yfx−1(r) = (r, 0) .

Corolario 1.1. Supongamos que p esta en el dominio de unafuncion diferenciable f : M → N . Entonces f es una inmersion en p siy solo si existe un entorno abierto U de p y una funcion diferenciableπ : N →M tal que π(f |U) =id|U .

Demostracion. Supongamos que f es una inmersion en p . En-tonces por la proposicion anterior, existen cartas x en p e y en f(p)tal que yfx−1(r) = (r, 0) . Consideremos la descomposicion Rn =Rm × Rn−m y sea pr : Rn → Rm la proyeccion natural. Sea U =Dom x ∩ f−1(Dom y) y π = x−1 pr y . Entonces π(f |U) = x−1 pr y(f |U)= x−1 pr y(f |U)x−1x = x−1 id |x(f−1(Dom y))x = id |U .

Recıprocamente, si π(f |U) =id|U , entonces (Tf(p)π)Tp(f |U) =idTpM .Luego Tp(f |U) es un monomorfismo. Por lo tanto f es una inmersionen p .

Proposicion 1.2. Sea f : M → N una inmersion global y seag : L → M una funcion continua. Entonces si fg es diferenciable setiene que g es diferenciable.

Demostracion. Sea p ∈ Dom g . Por ser f una inmersion eng(p) , aplicando corolario 1.1, existe V entorno abierto de g(p) y existeπ : M → N tal que π(f |V ) =id|V . Por ser g continua U = g−1V esun entorno abierto de p . Entonces g|U =(id|V )(g|U) = π(f |V )(g|U) =π(fg|U) . Por ser (fg|U) diferenciable se obtiene que g|U es diferencia-ble. Luego g es diferenciable en cada punto de su dominio. Por lo tantog es diferenciable.

Proposicion 1.3. Sea f : M → N un encaje regular y sea g : L→M una funcion. Entonces si fg es diferenciable se tiene que g es dife-renciable.

INMERSIONES 61

Demostracion. Notemos que g = f−1(fg) . Entonces fg es con-tinua por ser diferenciable y puesto que f es un encaje se tiene quef−1 es continua considerandola como una aplicacion de f(M) , con latopologıa traza, en M con la topologıa inducida por su estructura devariedad. Puesto que la composicion de aplicaciones continuas es con-tinua, se tiene que g es continua. Aplicando la proposicion anterior seconcluye que g es diferenciable.

Observese que un encaje de una variedad compacta en una Haus-dorff es un encaje regular.

Observacion 1.1. Existe un notable teorema que asegura que da-da una variedad compacta Hausdorff de dimension m se puede encajarregularmente en R2m . Una version del teorema anterior puede verseen la seccion 6 del capıtulo 5 del [4] . Whitney[37] probo una versionmas general para variedades Hausdorff y segundo contables probandoque existıa un encaje regular en R2m+1 . Despues en [38] demostro quese podıa cambiar R2m+1 por R2m .

Problemas

1.1. Determinar si las funciones globales c1, c2 : R −→ R2 defini-das por c1(s) = (sen 2s, sen s) y c2(s) = (cos 2s, cos s) son inmersiones.Calcular el rango de cada una de ellas en los puntos de sus dominios.Representar graficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones an-teriores.

1.2. Determinar los puntos en los que la funcion ψ : R2 −→ R3

definida por: ψ(r1, r2) = (r2 cos r1, r2 sen r1, r2) es una inmersion. Re-presentar graficamente el conjunto imagen de la aplicacion anterior.Vease figura 1

Figura 1. Cono


Solucion: La matriz jacobiana −r2 sen r1 cos r1r2 cos r1 sen r1

0 1

tiene rango dos para r2 6= 0 y rango uno para r2 = 0 . Por lo tanto laaplicacion es una inmersion en (r1, r2)|r2 6= 0 .

1.3. Determinar los puntos en los que la funcion ψ : R2 −→ R3 defi-nida por: ψ(r1, r2) = (0, cos r1, sen r1)+r2(cos r1

2, sen r1

2cos r1

2, sen r1

2sen r1

2)

es una inmersion. Probar que ψ no es una aplicacion inyectiva. Repre-sentar graficamente el conjunto imagen de la aplicacion anterior. Veasefigura 2

Figura 2. Banda de Mobious

1.4. Demostrar que la funcion f : R −→ R3 dada por

f(t) = (cos 2πt, sen 2πt, t)

es una inmersion. Representar graficamente el conjunto imagen de laaplicacion anterior.Vease figura 3

Solucion: La matriz jacobiana −2π sen 2πt2π cos 2πt

1

tiene rango uno en todos los puntos . Por lo tanto la aplicacion es unainmersion. Tambien es global e inyectiva; es decir, es un encaje.

INMERSIONES 63

-1-0.5 0 0.5 1

-1-0.5

00.5

1

-2

-1

0

1

2-1-0.5

00.5

1

Figura 3. Helice

1.5. Demostrar que las funciones f, g : (1,∞) −→ R2 definidas por:f(t) = ((1

t) cos 2πt, (1

t) sen 2πt) y g(t) = ( t+1

2tcos 2πt, ( t+1

2t) sen 2πt)

son inmersiones. Representar graficamente los conjuntos imagen de lasaplicaciones anteriores.

Solucion: La matriz jacobiana de f es la siguiente

1

t2

(− cos 2πt− 2πt sen 2πt− sen 2πt+ 2πt cos 2πt

)tiene rango uno en todos los puntos . Notemos que la norma del vector

anterior es 1+(2πt)2

t2, que es mayor que cero. Por lo tanto la aplicacion

es una inmersion global e inyectiva; es decir, es un encaje.Denotemos por A(t) = t+1

2tLa matriz jacobiana de g es la siguiente

dA(t)

dt

(cos 2πtsen 2πt

)+ 2πA(t)

(− sen 2πtcos 2πt

)El rango sera uno salvo en los puntos tales que A(t) = 0 y dA(t)

dt= 0 .

Puesto que t 6= 1 el sistema anterior no tiene solucion se obtiene que laaplicacion g es una inmersion global e inyectiva; es decir, es un encaje.

1.6. Si ψ : M −→ N es una inmersion y ψ′ : M −→ N ′ es unafuncion diferenciable, demostrar que (ψ, ψ′) : M −→ N × N ′ es unainmersion.

1.7. Si ψ : M −→ N y φ : M ′ −→ N ′ son inmersiones, demostrarque ψ × φ : M ×M ′ −→ N ×N ′ es tambien una inmersion.

1.8. Sea M el siguiente subconjunto de R2: M = (R× 0)⋃

(R×1). Consideramos el atlas sobre M formado por las siguientes cartas:x : M −→ R dada por x(s, 0) = s y x1 : M −→ R dada por x1(s, 1) = s.Sean ahora φ : R −→ M definida por φ(s) = (s, 1) si s 6= 0 y φ(0) =(0, 0) y ψ : M −→ R definida por ψ(s, 1) = ψ(s, 0) = s.

Demostrar que ψ es una inmersion, ψφ es diferenciable pero φ noes diferenciable.


1.9. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de varie-dad diferenciable que definimos en el problema 5.2 del capıtulo 1, elconjunto N no es una subvariedad de R2

1.10. Definir una estructura C∞ sobre el conjunto de las matricessimetricas de tal forma que sea una subvariedad regular de M(n,R).¿Forman las matrices simetricas un conjunto abierto de M(n,R)?

Solucion: Denotemos por S(n,R) el conjunto de matrices simetricasque es un subconjunto deM(n,R) . Con el objetivo de dar una estructu-ra de variedad diferenciable a S(n,R) notemos que para cada entero s ≥1 existen un unico i ≥ 1 y j ≥ 1 tales que s = 1+2+3+· · ·+(i−1)+j .De modo analogo, para cada entero t ≥ 1 existen unicos enteros k ≥ 1y l ≥ 1 tales que t = (k − 1)n + l . Recordemos que la biyeccion

x : M(n,R) → Rn2definida por xs((aαβ)) = akl .

Definamos ahora la biyeccion y : S(n,R) → Rn(n+1)

2 definida porys((aαβ)) = aij . Denotemos por in : S(n,R) → M(n,R) la inclusioncanonica, entonces se tiene que para t = (k − 1)n+ l

xt in =

y1+···+(l−1)+k si k ≤ l

y1+···+(k−1)+l si l ≤ k

Por lo tanto x in es diferenciable y tambien lo sera in = x−1x in .De modo analogo se ve que la aplicacion τ : M(n,R) → S(n,R) ,

definida por τ(A) = A+At

2, es diferenciable, donde At denota la matriz

transpuesta. De la igualdad τ in = id se desprende que S(n,R) es unasubvariedad regular. Excepto para n = 1 la dimension de S(n,R) esestrictamente menor que la de M(n,R) , entonces para n > 1 no puedeser un abierto.

1.11. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de varie-dad diferenciable de que se ha dotado a la figura Ocho, ver problema1.3 , es una subvariedad de R2

1.12. Sea M ′′ una subvariedad de M ′ y M ′ una subvariedad de M .Demostrar que M ′′ es subvariedad de M .

1.13. Recordemos que una inyeccion φ : M −→ N induce una es-tructura C∞ en su rango φ(M). Si φ es una inmersion, demostrar queφ(M) es una subvariedad de N difeomorfa a M .

1.14. Encontrar un encaje regular del toro S1 × S1 en R3 . Veasefigura 4

Solucion: Definamos la aplicacion E : R2 → R3 definida porE(φ, ψ) = (2 cos 2πφ, 2 sen 2πφ, 0)

+ (cos 2πψ cos 2πφ, cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ) == (2 cos 2πφ+cos 2πψ cos 2πφ, 2 sen 2πφ+cos 2πψ sen 2πφ, sen 2πψ)

Esta es diferenciable y su matriz jacobiana se comprueba que tiene

INMERSIONES 65

Figura 4. Toro

rango dos. Por lo tanto la aplicacion es una inmersion. Si consideramosel difeomorfismo local pr : R2 → (S1)2 se tiene que E factoriza a travesde dicho cociente para determinar el encaje buscado. Notemos que elencaje es regular ya que la aplicacion inducida es una inyeccion continuade una variedad compacta en una variedad Hausdorff.

1.15. La funcion f : R3 −→ R definida por: f(r1, r2, r3) = (r21 +

r22 − 1) determina en f−1(0) una estructura de subvariedad regular S

(cilindro circular).Si t es la funcion identidad en R y si j : S1 −→ R2 es la inclusion

natural, demostrar que j×t es una inmersion cuya imagen es S. Deducirque S1 × R es difeomorfa al cilindro circular.

1.16. Sea M1 una subvariedad de M que esta contenida en unasubvariedad regular M ′ de M . Demostar que M1 es una subvariedadde M ′.

1.17. W es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensionfinita. Cuando se dan en ambas sus estructuras C∞ estandar, demostrarque W es una subvariedad regular de V .

1.18. Demostrar que una subvariedad conexa de M es necesaria-mente un subconjunto conexo de M .

Encontrar una subvariedad de R2 que no sea conexa y que sin em-bargo sea un subconjunto conexo de R2.

1.19. Demostrar que una subvariedad compacta de M es necesaria-mente un subconjunto compacto de M .

Usar la figura Ocho, ver problema 1.3 , para dar un ejemplo deuna subvariedad de R2 que no es compacto aunque es un subconjuntocompacto de R2.

1.20. Demostrar que una componente de una variedad M es unasubvariedad conexa de M .


1.21. Sea f : R2 −→ R3 la aplicacion definida por

f(θ, φ) = (cosφ cos θ, cosφ sen θ, φ)

Encontrar los puntos en los que f es una inmersion.

1.22. Considerar la aplicacion g : S1tR → R2 de la reunion disjuntade una circunferencia y una recta en el plano, definida por g|S1 =inclusiony g(t) = (1 + et)(cos t, sen t). Contestar razonadamente si g es o no esun encaje regular.

2. Submersiones

Definicion 2.1. Una funcion f : M → N se dice que es una sub-mersion en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincidecon la dimension de N . Si f es una submersion en todos los puntos desu dominio diremos que f es una submersion. Cuando el dominio de fes M diremos que f es una submersion global. Si f es una submersionglobal sobreyectiva diremos que N es un cociente de M .

Ejemplo 2.1. Para cada m ≥ n tenemos la descomposicion canoni-ca Rm = Rn × Rm−n y la proyeccion canonica inducida pr1 : Rn ×Rm−n → Rn definida por pr1(r1, r2) = r1 . La matriz jacobiana de laproyeccion es de la forma

Jpr1(r1, r2) =(id 0

)que tiene rango n . Por lo que pr1 es una submersion.

Lema 2.1. Sea a ∈ Dom g donde g : Rm → Rn es diferenciable. Sig tiene rango n en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rm → Rm

de modo que la funcion gh coincide con la proyeccion (r1, r2) → r1 enun entorno abierto de h−1(a) .

Demostracion. Si g tiene rango n en a , entonces existen 1 ≤σ1 < σ2 < · · · < σn ≤ m tal que det

((∂gi

∂rσj

)a

)6= 0 . Podemos exten-

der σ : 1, · · · , n → 1, · · · ,m a una permutacion σ : 1, · · · ,m →1, · · · ,m y definir θ : Rm → Rm mediante la formula θ(r1, · · · , rm) =(rσ1 , · · · , rσm) .

Notese que det((∂(gθ)i

∂rj

)θ−1a

)= det

((∂gi

∂rσj

)a

)6= 0 , i, j ∈ 1, · · · , n .

Consideremos la funcion ϕ : Rm → Rn × Rm−n dada por ϕ(r) =

(gθ(r), pr2(r)) . Entonces se tiene que det((

∂ϕi

∂rj

)θ−1a

)6= 0 , i, j ∈

1, · · · ,m . Aplicando el teorema de la funcion inversa podemos ase-gurar que existe una f : Rn × Rm−n → Rm tal que Codom f es unentorno abierto de θ−1a contenido en Dom(gθ) y ademas ϕ|Codom f =f−1 . Tomemos h = θf . Para (r1, r2) ∈ Dom f tenemos gh(r1, r2) =gθf(r1, r2) = pr1 ϕf(r1, r2) = r1 .

2. SUBMERSIONES 67

Proposicion 2.1. Si f : M → N es una submersion en un puntop , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente,tal que yfx−1(r1, r2) = r1 para (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) ⊂ Rn × Rm−n .

Demostracion. Sea x una carta de M en p y sea y una carta deN en f(p) . Entonces yf x−1 es una submersion en el punto x(p) . Ellema 2.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rm tal quepara cada (r1, r2) ∈ Dom(yf x−1h) se tiene que yf x−1h(r1, r2) = r1 .Tomemos y = y y x = h−1x . Entonces si (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) seobtiene que yfx−1(r1, r2) = yf x−1h(r1, r2) = r1 .

Corolario 2.1. Supongamos que p esta en el dominio de unafuncion diferenciable f : M → N . Entonces f es una submersion en psi y solo si existe una funcion diferenciable s : N →M definida en f(p)tal que fs =id|Dom s y sf(p) = p .

Demostracion. Si f es una submersion en p , entonces exis-ten cartas x, y de M y N en p y f(p) , respectivamente, tal queyfx−1(r1, r2) = r1 para (r1, r2) ∈ Dom(yfx−1) ⊂ Rn × Rm−n . Supon-gamos que x(p) = (a, b) y sea pr : Rn × Rm−n → Rn la proyeccioncanonica, denotemos por ib : Rn → Rm la aplicacion ib(r1) = (r1, b) .Sea el entorno abierto de yf(p) = a dado por W = i−1

b (x(Dom f)) ∩Codom y y sea S = ib|W Tomemos como s = x−1Sy . Es facil ver quesf(p) = p . Notese tambien que Codom(fx−1Sy) ⊂ Dom y . Entoncesfs = fx−1Sy = y−1yfx−1Sy = y−1 pr(ib|W )y = y−1id|Wy =id|y−1W =id|Dom s .

Recıprocamente, supongamos que existe dicha seccion local s . En-tonces TpfTf(p)s = Tf(p)(id |Dom s) = Tf(p) id = idTf(p)N . De la formulaanterior se deduce que Tpf es un epimorfismo. Luego f es una submer-sion en p .

Proposicion 2.2. Si f : M → N es una submersion, entonces f esuna funcion abierta.

Demostracion. Si U un abierto de M , se tiene que f |U es tam-bien una submersion. Ademas Im(f |U) = f(U) . Entonces sera sufi-ciente que veamos que la imagen de una submersion es un abierto.Supongamos que f(p) ∈Imf . Por ser f una submersion en el puntop , sabemos por el corolario 2.1 que existe una funcion diferenciables : N → M tal que sf(p) = p y fs =id|Dom s . De aquı se concluye queDom s ⊂Imf . Ademas Dom s es un abierto por ser el dominio de unafuncion diferenciable. Luego Imf es entorno de cada uno de sus puntos.Esto implica que Imf es abierto.

Proposicion 2.3. Sea f : M → N una submersion sobreyectiva ysea g : N → L una funcion. Entonces si gf es diferenciable se tiene queg es diferenciable.


Demostracion. Sea q ∈ N . Puesto que f es sobreyectiva existep ∈ M tal que f(p) = q . Por el corolario 2.1 existe s diferenciable talque fs =id|Dom s . Entonces g|Dom s = (gf)s que es diferenciable por sercomposicion de diferenciables. Por lo tanto g es diferenciable en q paracada q ∈ N . Luego g es diferenciable.

Problemas

2.1. Demostrar que la funcion ξ : C2 −→ P 1(C) definida en C2 \(0, 0) por ξ(z) = 1 - plano de C2 que contiene a z es una submersion.

2.2. Sea M la variedad que hemos definido en el problema 1.8 sobreel conjunto (R × 0)

⋃(R × 1). Sea M1 la variedad definida en el

problema 4.10 del Capıtulo 2 por medio de las cartas α y α1 (defini-das en el problema referido). Consideramos la funcion φ : M −→ M1

definida porφ(s, 0) = (s, 0) s ∈ R

φ(s, 1) = (s, 0) s ∈ R \ 0 ;φ(0, 1) = (0, 1).

Demostrar que φ es una submersion de M sobre M1.

2.3. ¿Es Hausdorff una variedad cociente de una variedad Haus-dorff?

2.4. Si φ : M −→ M ′ y ψ : N −→ N ′ son submersiones, demostrarque

φ× ψ : M ×N −→M ′ ×N ′

es una submersion.

3. Las fibras de una submersion

Proposicion 3.1. Si f : M → N es una submersion y q ∈ Codom f ,entonces S = f−1(q) es una subvariedad regular de dimension m− n .

Demostracion. En primer lugar, supongamos que dim(M) =m = n =dim(N) . Entonces para cada p ∈ f−1(q) , por el teorema1.1 , existe un entorno abierto U de p tal que f |U es un difeomorfismo.En consecuencia U ∩ f−1(q) = p . Es decir, f−1(q) es un espaciodiscreto que admite de modo natural estructura de variedad diferen-ciable 0-dimensional. Es tambien inmediato comprobar que S es unasubvariedad regular de dimension m− n = 0 .

En segundo lugar, supongamos que m > n . Consideremos la des-composicion canonica Rm = Rn × Rm−n . Sea pr2 : Rm → Rm−n lasegunda proyeccion canonica e in2 : Rm−n → Rm la inclusion definidapor in2(r2) = (0, r2) . Notemos que ambas son aplicaciones diferencia-bles.

Para cada p ∈ S = f−1(q) existen cartas u en p y v en f(p) ta-les que Domu ⊂ Dom(fv) , v(q) = 0 y vfu−1 = pr1 |Dom(vfu−1) .Sea p′ ∈ Domu ∩ S , y supongamos que u(p′) = (r′1, r

′2) , entonces

LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSION 69

r′1 = pr1 u(p′) = vf(p′) = v(q) = 0 . Por lo tanto u(p′) ∈ Codomu ∩

(0×Rm−n) . Sea ahora (0, r′2) ∈ Codomu∩ (0×Rm−n) , entoncesu−1(0, r′2) ∈ Domu∩S . Luego u(Domu∩S) = Codom u∩(0×Rm−n) .

Denotemos por in : S → M la inclusion canonica. Para cada p ∈ Spodemos considerar la carta x = pr2 u in que es inyectiva y tienepor codominio el abierto in−1

2 (Codomu) . Supongamos que tenemosdos cartas del tipo anterior x = pr2 u in , x = pr2 u in . Estudie-mos la composicion xx−1 . Puesto que x−1 = in−1 u−1 in2 , entoncesxx−1 = pr2 u in in−1 u−1 in2 = pr2 uu

−1 in2 que es una funcion diferen-ciable. Ademas es claro que la reunion de los dominios de las cartasası definidas es S . Entonces S admite estructura de variedad (m−n)-dimensional.

Ahora vamos a ver que la inclusion in : S → M es una inmer-sion. Para p ∈ S consideremos las cartas x y u . Entonces u inx−1 =u in in−1 u−1 in2 = uu−1 in2 = in2 que es una inmersion. Luego in esuna inmersion en p para cada p ∈ S . Es decir que in es una inmersion.Para ver que es regular, queda por ver que la topologıa de S es masfina que la topologıa traza. Sea U un entorno abierto de p contenidoen el dominio de una carta x , entonces x(U) = in−1

2 W con W abiertode Rm contenido en codominio de u . Entonces U = S ∩ u−1W . LuegoU es un abierto de la topologıa traza.

Proposicion 3.2. Sea f : M → N diferenciable, q ∈ Codom f yf es submersion en todo punto p ∈ f−1(q) , entonces f−1(q) es unasubvariedad regular de dimension m− n .

Demostracion. Para cada p ∈ f−1(q) se tiene que si tomamoscartas x, y en p, f(p) , respectivamente, entonces detJy,xf es diferenciabley como su valor en p es no nulo tambien lo sera en un entorno abierto Upde p en M . En consecuencia si U =

⋃p Up , p ∈ f−1(q) , entonces f |U

es una submersion luego f−1(q) es una subvariedad regular de M .

Proposicion 3.3. Sea f : M → N una submersion, q ∈ Codom f ,p ∈ f−1(q) = S y j : S → M la inclusion canonica, entonces TpjTpS =KerTpf .

Demostracion. Notese que fj es una funcion constante. Enton-ces Tpf Tpj = 0 , de donde se tiene que Tpj (TpS) ⊂ KerTpf . Teniendoen cuenta que los espacios vectoriales anteriores tienen la misma di-mension se sigue que Tpj (TpS) = KerTpf .

Problemas

3.1. Demostrar que la funcion f : R3 −→ R2 definida por:

f1(r1, r2, r3) = r21 − r2

2 + 2r1r3 + 2r2r3 − 1 ,f2(r1, r2, r3) = 2r1 + r2 − r3

determina en f−1(0) una estructura de variedad diferenciable.


3.2. Considerar las funciones f : R3 −→ R y g : R3 −→ R definidasen R3 por:

f(r1, r2, r3) = r21 + r2

2 − r23 − 1 ,

g(r1, r2, r3) = r1 + r2 − r3 − 1 .

a) Demostrar que f, g determinan una estructura de variedad dife-renciable en f−1(0) y en g−1(0).

b) Demostrar que la funcion

(f, g) : R3 −→ R2

no verifica las condiciones usuales de la proposicion 3.2 para que (f, g)−1(0)tenga estructura de subvariedad.

3.3. Sea f : R3 −→ R la aplicacion definida por

f(x, y, z) = x2y2 + y2z2 + z2x2 .

a) Encontrar los puntos en los que f es una submersion.b) Probar que el subconjunto (d > 0)

M = (x, y, z)|x2y2 + y2z2 + z2x2 = 3d4es una subvariedad regular de R3 .

c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Hausdorffque existen son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentesconexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano z = c enfuncion de los valores de c . Probar que M no es compacta.

d) Probar que cada recta que pasa por el origen y no es un eje cortaa M exactamente en dos puntos. Deducir que M es difeomorfa a la2-esfera menos seis puntos. Vease figura 5

Figura 5. Esfera con seis agujeros

Solucion: a) La matriz jacobiana de f es la siguiente

(2x(y2 + z2), 2y(x2 + z2), 2z(x2 + y2))


Es facil comprobar que el conjunto de soluciones de las expresionesanteriores igualadas a cero son exactamente los puntos de los ejes coor-denados. Entonces f es submersion en R3 menos los ejes coordenados.

b) Notemos que puesto que d > 0 la interseccion de M con los ejescoordenados es vacia. Entonces se tiene que f es una submersion entodos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular.

c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (f, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano z = c es la fibra de (3d4, c) .Comprobemos que (f, z) es una submersion, su matriz jacobiana es lasiguiente: (

2x(y2 + z2) 2y(x2 + z2) 2z(x2 + y2)0 0 1

)que tiene en todos los puntos de M rango 2. Entonces la interseccionde M con el plano z = c es una 1-variedad. Para c 6= 0 se tiene quex2 + y2 + c2 < 3d4

c2+ c2 por los que la interseccion es una variedad

compacta. En este caso se comprueba que solo tiene una componenteconexa.

Para c = 0 se tiene que x2y2 = 3d4 . En este caso no es compacta ytiene cuatro componentes cada una de las cuales es homeomorfa a R.Puesto que las subvariedades son regulares y son subconjuntos cerrados,si M fuera compacta entonces toda subvariedad cerrada tambien loserıa. La subvariedad obtenida para c = 0 no es compacta, luego M noes compacta.


F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 .



c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Hausdorffque existen son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentes co-nexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano π de de ecuacionz = c en funcion de los valores de c . Probar que M no es compacta.Probar que M es homeomorfa a R2 .

d) Probar que cada recta que pasa por el origen o no corta a M ola corta exactamente en un punto. Vease figura 6

Solucion: a) La matriz jacobiana de F es la siguiente

(3x2, 3y2, 3z2)


3x2 = 0 , 3y2 = 0 , 3z2 = 0

esta formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .



b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈M . Entonces se tiene que F es una sub-mersion en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedadregular.

c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (F, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano π de ecuacion z = c es la fibrade (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersion, su matriz jacobiana esla siguiente: (

3x2 3y2 3z2

0 0 1

)que para c 6= 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0y y = 0 , entonces c3 = 1 pero esto es imposible ya que c 6= 1 . Por lotanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2. Entonces lainterseccion de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para z = 1 setiene que x3 + y3 = 0 . Equivalentemente x + y = 0 . En este caso lainterseccion es una recta.

Notemos que puesto que M contiene a una recta, entonces M noes compacta con la topologıa relativa. Aplicando que M es una subva-riedad regular tambiEn se tiene que M con su topologıa subyacente esno compacta.

Para ver que M es homeomorfa a R2 consideremos la aplicacionφ : M → R2 definida por φ(x, y, z) = (x, y) que es continua por serla restriccion de una continua. Su inversa ψR2 → M se define comoψ(x, y) = (x, y, (1− x3 − y3)

13 ) . Notemos que

φψ(x, y) = φ(x, y, (1− x3 − y3)13 ) = (x, y)


Si un punto (x, y, z) ∈M entonces z = (1−x3− y3)13 , por lo tanto

ψφ(x, y, z) = ψ(x, y) = (x, y, (1− x3 − y3)13 ) = (x, y, z)

Luego M es homoeomorfa a R2 .d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector di-

reccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si ademas esta en M se tieneque λ3(a3 + b3 + c3) = 1 cuya unica solucion es λ = 1

(a3+b3+c3)13

en el

caso que (a3 + b3 + c3) 6= 0 . Si (a3 + b3 + c3) = 0 la ecuacion no tienesolucion. Por lo tanto la correspondiente recta no corta a M .

3.5. Considerar la relacion de equivalencia ρ en R2 dada por (z, w) ∈ρ⇐⇒ |z| = |w|.

a) Demostrar que el conjunto cociente no admite la estructura devariedad cociente.

b) Demostrar que cuando la relacion de equivalencia se restringe aR2 \ 0 el conjunto cociente admite tal estructura.

3.6. Sea M una variedad diferenciable y ρ una relacion de equi-valencia en M . Denotamos por M ′ la estructura de variedad cocientedada al conjunto M/ρ (se supone que admite esta estructura). Seaf : M −→M1 una aplicacion invariante por la relacion.

a) Demostrar que si f es inmersion tambien es inmersion la aplica-cion f ′ : M ′ −→M1 inducida por f .

b) Demostrar que si f es submersion tambien es submersion laaplicacion f ′ : M ′ −→M1 inducida por f .

3.7. Sea S(2,R) la variedad de las matrices simetricas reales 2× 2 .a) Demostrar que el conjunto M de todas las matrices simetricas

reales 2× 2 con valores propios distintos es un subconjunto abierto deS(2,R) .

b) Consideramos la siguiente relacion de equivalencia ρ en M :

AρB ⇐⇒ B = T−1AT ;∃T ∈ GL(2,R).

Demostrar que si a M se le dota de estructura de subvariedad abiertade S(2,R) entonces el conjunto cociente admite la estructura de unavariedad cociente M ′.

c) Observad que las funciones con valores reales traza y determinan-te son invariantes diferenciables sobreM . Obtener las correspondientesfunciones inducidas en M ′.

3.8. Sea F : R → R una funcion C∞ y sea q un entero mayor quecero. Definamos la funcion f : R2 → R mediante la formula f(r, s) =F (r) − sq . Consideremos el conjunto de ceros de esta funcion S =(r, s)|f(r, s) = 0 .

a) Probar que si en conjunto de soluciones de sistema de ecuacionesF = 0 , dF

dr= 0 es vacio, entonces S es una subvariedad regular de

R2 de dimension uno. Es decir una curva sin singularidades.


b) Probar que si F es un polinomio sin raices multiples, entonces Ses una subvariedad regular.

c) Estudiar si S es o no es subvariedad regular en los siguientescasos

1) Tomar F (r) = r2 y q = 2 .2) Tomar F (r) = r3 y q = 3 .


F (x, y, z) = x4 + y4 + z4 .



c) Teniendo en cuenta que las unicas 1-variedades conexas Haus-dorff que existen son difeomorfas a S1 o a R . Describir las componentesconexas de la interseccion obtenida a cortar M con el plano π de deecuacion z = c en funcion de los valores de c . Probar que M es com-pacta.

d) Probar que cada recta que pasa por el origen corta a M exacta-mente en dos puntos. Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera. Veasefigura 7


Solucion: a) La matriz jacobiana de F es la siguiente

(4x3, 4y3, 4z3)


4x3 = 0 , 4y3 = 0 , 4z3 = 0


esta formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .b) Notemos que (0, 0, 0) 6∈M . Entonces se tiene que F es una sub-


c) Si consideramos la aplicacion diferenciable (F, z) : R3 → R2 setiene que la interseccion de M y el plano π de ecuacion z = c es la fibrade (1, c) . Veamos si (F, z) es una submersion, su matriz jacobiana esla siguiente: (

4x3 4y3 4z3

0 0 1

)que para −1 < c < 1 se tiene que si suponemos que simultaneamentex = 0 y y = 0 , entonces c4 = 1 pero esto es imposible ya que −1 <c < 1 . Por lo tanto (F, z) tiene en todos los puntos de M ∩ π rango 2.Entonces la interseccion de M con el plano z = c es una 1-variedad. Eneste caso se tiene que y = (1− c4 − x4)

14 o bien y = −(1− c4 − x4)

14 .

Se trata de una variedad conexa y compacta. Luego es difeomorfa a la1-esfera.

Para c = 1 se tiene que x4 + y4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 .En este caso la interseccion es el punto (0, 0, 1) .

Para c = −1 se tiene que x4+y4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 .En este caso la interseccion es el punto (0, 0,−1) .

Para |c| > 1 la intersecion es el conjunto vacio.Para ver que M es compacta, notemos que si x4 ≤ 1 , entonces x2 ≤

1 . De la condicion x4+y4+z4 = 1 se sigue que x2+y2+z2 ≤ 3 , luegoMes un conjunto acotado. Puesto que que M es una subvariedad regularsu topologıa es la euclidiana. Ademas es un subconjunto cerrado, luegoM es una variedad compacta.

d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector di-reccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si ademas esta en M se tie-ne que λ4(a4 + b4 + c4) = 1 cuyas soluciones son λ = 1

(a4+b4+c4)14

y

λ = − 1

(a4+b4+c4)14

.

Para cada punto de la esfera (x, y, z) le asociamos el punto de Mdeterminado por 1

(x4+y4+c4)14(x, y, z) . Recıprocamente, a cada punto

(x, y, z) de M le corresponde el punto 1

(x2+y2+z2)12(x, y, z) de la esfe-

ra. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C∞ de R3 en R3 .Ademas adecuadas restricciones a subvariedades regulales son diferen-ciables.

3.10. Para a 6= 0 sea F : R3 −→ R la aplicacion definida por

F (x, y, z) = a ez cos(a x)− cos(a y) .

a) Encontrar los puntos en los que F es una submersion.b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad

regular de R3 . Vease figura 8 . Estudiar la compacidad de M .


c) Tomemos a = π/2 y supongamos que en el punto p = (0, 0,− log a)de la superficie, sea in : M → R3 la inclusion canonica y considermos lacarta (u, v) : M → R2 dada por u = x y v = y . Notemos que

(∂∂u

)p

y(∂∂v

)p

es una base de TpM y(∂∂x

)p,(∂∂y

)p,(∂∂z

)p

es una base de TpR3 .

Calcular in∗p

(∂∂u

)p

y in∗p

(∂∂u

)p

en terminos de la base del espacio vec-

torial tangente a R3 . Calcular la ecuacion del espacio tangente a Men el punto p .

d) Estudiar la interseccion de la superficie M con el plano y = mx , conm 6= 0 . Estudiar el numero de componentes conexas de la interseccion.



(−(a2 ez sen(a x)

), a sen(a y), a ez cos(a x))

Es facil comprobar que(∂F∂x

)2+(a∂F∂z

)2> 0 , entonces se tiene que

o(∂F∂x

)6= 0 o

(∂F∂z

)6= 0 . Por lo tanto es rango de la matrız jacobiana

es uno y F es submersion en todos los puntos de R3 .b) Por lo que aplicando el teorema 4.2 del capıtulo 1 o la pro-

posicion 3.2 del capıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de laecuacion a ez cos(a x)− cos(a y) = 0 es una subvariedad regular de R3

de dimension dos.Notemos que para cualquier valor de z se tiene que el punto ( π

a2, πa2, z)

esta en la variedad M , en consecuencia el subconjunto M no es acota-do. Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topologıa de Mcomo variedad coincide con la topologıa de M como subespacio de R3 .Entonces puesto que M no es acotado y los subconjuntos compactos deR3 son cerrados y acotados se sigue que la superficie M no es acotada.


c) Se tiene que

x in = u , y in = v y z in = log cos(a v)a cos(a u)

Ademas

∂ log cos(a v)a cos(a u)

∂u= a tan au

∂ log cos(a v)a cos(a u)

∂v= −a tan av

in∗p

(∂∂u

)p

= in∗p

(∂∂u

)px(∂∂x

)p+ in∗p

(∂∂u

)py(∂∂y

)p+ in∗p

(∂∂u

)pz(∂∂z

)p

=(∂x in∂u

)p

(∂∂x

)p+(∂y in∂u

)p

(∂∂y

)p+(∂z in∂u

)p

(∂∂z

)p

=(∂∂x

)p+ (a tan au)p

(∂∂z

)p

=(∂∂x

)p

y similarmente se tiene que

in∗p

(∂∂v

)p

= in∗p

(∂∂v

)px(∂∂x

)p+ in∗p

(∂∂v

)py(∂∂y

)p+ in∗p

(∂∂v

)pz(∂∂z

)p

=(∂x in∂v

)p

(∂∂x

)p+(∂y in∂v

)p

(∂∂y

)p+(∂z in∂v

)p

(∂∂z

)p

=(∂∂y

)p− (a tan av)p

(∂∂z

)p

=(∂∂y

)p

donde en las ultimas igualdades hemos particularizado la expresioncorrespondiente en el punto (0, 0,− log a)

La ecuacion del plano tangente a M en el punto p sera

z = − log a

notemos que por los calculos anteriores se trata de un plano perpendi-cular al eje de las zetas.

d) Consideremos la funcion (F,mx − y) : R3 → R2 cuya matrızjacobiana es la siguiente:(

− (a2 ez sen(a x)) a sen(a y) aez cos(a x)m −1 0

)En los puntos que cos ax 6= 0 la matrız tiene rango dos, sin embargo

si cos ax = 0 y suponemos que (x, y, z) esta en la interseccion, entoncescos amx = 0 . De aquı se desprende que ax = π

2+kπ y max = π

2+lπ =

m(π2

+ kπ) . Lo que implica que m debe ser cociente de impares. En

este caso la interseccion contine a una recta de ecuacion x = π+2kπ2a

,

y = m(π+2kπ)2a

. Dependiendo de si k y l tienen o no la misma paridad setiene que existe un punto en la recta anterior tal que la matrız jacobiana


tiene rango uno. Notemos que si m no es cociente de impares la rectaanterior no corta a la superficie.

En el caso que cos ax 6= 0 , y suponiendo que a > 0, cada inter-valo ( π

2a+ kπ

a, π

2a+ kπ

a+ π

a) contiene al abierto (posiblemente vacio)

x| cos amxa cos ax

> 0 que es una reunion finita de intervalos de la forma

(max π2a

+ kπa, π

2am+ lπ

ma,mın π

2a+ kπ

a+ π

a, π

2ma+ lπ

ma+ π

ma)

Cada uno de estos intervalos abiertos es difeomorfo a una compo-nente conexa de la interseccion, que sera no compacta. En definitiva lainterseccion siempre tiene un numero contable de componentes conexasno compactas.


F (x, y, z) = x2y2z2 − 4

a) Encontrar los puntos en los que F es una submersion.b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad

regular de R3 . Vease figura 9 . ¿Es M una variedad compacta? .c) Estudiar la interseccion de la superficie M con el plano z = a .

Analizar el numero de componentes conexas de la interseccion.d) Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera menos su intersec-

cion con los planos coordenados. ¿Cuantas componetes conexas tienela variedad M? Argumentar la respuesta.



(2xy2z2, 2x2yz2, 2x2y2z)

Notemos que 2xy2z2 = 0 si y solo si 2x2yz2 si y solo si 2x2y2z = 0si y solo si xyz = 0 . Es decir si y solo si el punto esta en la reunion de


los planos coordenados que tienes por ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 .Es decir F es submersion en (x, y, z)|x 6= 0 e y 6= 0 y z 6= 0

b) Notemos que si en un punto (x, y, z) la funcion F no es submer-sion entonces xyz = 0 y se tiene que F (x, y, z) = −4 por lo que noes un cero de la funcion F . Entonces F es submersion en cada unode sus ceros y aplicando el teorema 4.2 del capıtulo 1 o la proposicion3.2 del capıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de la ecuacionx2y2z2 − 4 = 0 es una subvariedad regular de R3 de dimension dos.

Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topologıa de Mcomo variedad coincide con la topologıa de M como subespacio de R3 .Entonces si vemos que M no es acotado puesto que los subconjuntoscompactos de R3 son cerrados y acotados, obtendremos que la superficieM no es compacta.

Si tomamos z = 1 , entonces x = ± 2y

con y 6= 0 . Cuando y → 0

se tiene que x → ∞ . De donde se concluye que la variedad M no esacotada.

c) En el caso que a = 0 se tiene que F (x, y, 0) = −4 . Luego elplano z = 0 no corta a la superficie. Si a 6= 0 se tiene que x2y2 = 4

a2 o

equivalentemente (xy − 2a)(xy + 2

a) = 0 . Este conjunto es la reunion

disjunta de las hiperbolas xy − 2a

= 0 , xy + 2a

= 0 . Cada una de ellastiene dos componentes conexas. Por lo que la interseccion tiene un totalde cuatro componentes conexas. Ello puede verse geometricamente enla parte superior de la figura 9 .

d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector di-reccional (a, b, c) es de la forma λ(a, b, c) si ademas esta en M se tie-

ne que λ6(a2b2c2) = 4 cuyas soluciones son λ =(

4(a2b2c2)

) 16

y λ =

−(

4(a2b2c2)

) 16

.

Para cada punto de la esfera (a, b, c) tal que abc 6= 0 le asociamos

el punto de M determinado por(

4(a2b2c2)

) 16(a, b, c) . Recıprocamente,

a cada punto (x, y, z) de M le corresponde el punto 1

(x2+y2+z2)12(x, y, z)

de la esfera. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C∞ deR3 en R3 . Ademas adecuadas restricciones a subvariedades regularesson diferenciables.

Es facil ver que la 2-esfera menos su interseccion con los planoscoordenados tiene ocho componentes conexas. Tambien se puede probarque cada una de ellas es difeomorfa a R2 . Puesto que la variedadM es difeomorfa a la 2-esfera menos su interseccion con los planoscoordenados se concluye que tiene ocho componentes conexas.

CAPıTULO 5

GRUPOS DE TRANSFORMACIONES

1. Grupos discontinuos y variedades recubridoras

En esta seccion llamaremos transformacion de una variedad M aun difeomorfismo global y sobreyectivo de M en M . Denotaremos porDif(M) el grupo de todas las transformaciones de M .

Definicion 1.1. Una accion de un grupo G en una variedad M esuna aplicacion φ : G ×M → M tal que φ(1, p) = p , φ(g, φ(h, p)) =φ(gh, p) y ademas φ(g) : M → M , definida por φ(g)(p) = φ(g, p) , esdiferenciable. Si no hay lugar a confusion denotaremos φ(g, p) = g · p ya la transformacion φ(g) por φg . Se dice que la accion es eficiente sig · p = p para todo p implica que g = 1 . Diremos que es libre cuandoverifica que si para un p ∈ M se tiene que g · p = p , entonces g = 1 .Se dice que una accion es discontinua si para cada p ∈ M existe unentorno abierto U tal que si g · U ∩ U 6= ∅ entonces g = 1 .

En el caso que utilicemos notacion aditiva en el grupo G las pro-piedades anteriores se escriben equivalentemente del modo siguiente:φ(0, p) = p , φ(g, φ(h, p)) = φ(g+h, p) , esta notacion sera utilizada enalgunos ejemplos.

Observese que una accion discontinua es libre y una libre es efi-ciente. Una accion si no es eficiente se le puede asociar una eficientedividiendo el grupo por el subgrupo normal formado por los elemen-tos no eficientes. Si en G se considera una estructura de variedad 0-dimensional entonces φ : G × M → M es diferenciable. Una accionφ : G × M → M determina un homomorfismo φ : G → Dif(M) yrecıprocamente. Si la accion es eficiente entonces φ es monomorfismo yse puede considerar que G es un subgrupo de Dif(M) . Para las accio-nes eficientes tambien se dice que G es un grupo de transformaciones,y en su caso, que es un grupo de transformaciones discontinuo.

Si un grupo G actua en una variedad M , entonces diremos quep, p′ ∈ M estan en la misma orbita si existe un g ∈ G tal que g · p =p′ . Denotaremos por G\M el espacio de todas las orbitas de M y laproyeccion canonica se denotara por pr : M → G\M . La orbita de pse denotara por pr(p) y tambien por G · p .

Proposicion 1.1. Si G actua discontınuamente en una variedadM , entonces G\M admite una unica estructura de variedad tal que

81

82 5. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES

pr : M → G\M es un difeomorfismo local. Ademas la proyeccion canoni-ca es una aplicacion recubridora regular.

Demostracion. Por ser G discontinuo, podemos encontrar un at-lasA tal que si x ∈ A y g ∈ G , g 6= 1 , entonces g(Dom x)∩Dom x = ∅ .Notese que pr |Domx es inyectiva, continua y abierta. Consideremos enG\M la siguiente familia de cartas x(pr |Domx)

−1|x ∈ A que verificaque la reunion de sus dominios es G\M .

Ahora supongamos que x, y ∈ A y veamos si el cambio

y(pr |Dom y)−1(x(pr |Domx)

−1)−1 = y(pr |Dom y)−1(pr |Domx)x

−1

es diferenciable. Sea p ∈ (Dom x) ∩ (∪g∈Gg · Dom y) , entonces existeun unico g ∈ G tal que g · p = (pr |Dom y)

−1 pr(p) . Entonces Dom x ∩φ−1g Dom y es un entorno abierto de p tal que

(pr |Dom y)−1(pr |Domx)|Domx∩φ−1

g Dom y = φg|Domx∩φ−1g Dom y .

De aquı se obtiene que (pr |Dom y)−1(pr |Domx) es diferenciable. Luego el

cambio de cartas es diferenciable.Dado p ∈ M , sea x una carta de A tal que p ∈ Dom x . En-

tonces se tiene que x(pr |Domx)−1(pr |Domx)x

−1 = id |Codomx . Luegopr : M → G\M es un difeomorfismo local. La unicidad de tal estructuradiferenciable se deduce de modo inmediato del hecho que la proyeccionsea una submersion.

La ultima parte en un resultado bien conocido en la teorıa de espa-cios recubridores.

Proposicion 1.2. Si la aplicacion f : X →M es un homeomorfis-mo local de un espacio topologico X en una variedad M , entonces Xadmite una unica estructura diferenciable de modo que f : X → M esun difeomorfismo local. Si X es una cubierta conexa regular de Mentonces M se obtiene de X como el espacio de orbitas de la acciondiscontinua del grupo de transformaciones de la aplicacion recubridora.

Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de X tal que f(U)es abierto para cada U ∈ U , f(U) = Dom(xU) , donde xU es una cartade M , y la funcion f |U es un homeomorfismo. La familia de cartasxU(f |U)|U ∈ U verifica que la reunion de sus dominios es X .

Notese que

yV (f |V )(xU(f |U))−1 = yV (f |V )(f |U)−1x−1U

= yV (id |f(U∩V ))x−1U = (yV xU

−1)

es diferenciable. Luego el cambio de cartas es diferenciable.La unicidad se deduce de modo inmediato del hecho que la proyec-

cion sea una inmersion global.La ultima parte en un resultado bien conocido en la teorıa de espa-

cios recubridores.


Proposicion 1.3. Si G actua discontınuamente en una variedadM y dados p, p′ en orbitas distintas existen entornos abiertos U,U ′ dep y p′ tal que para todo g ∈ G , g · U ∩ U ′ = ∅ , entonces M y G\Mson variedades Hausdorff.

Demostracion. Notemos que si para todo g ∈ G , g ·U ∩U ′ = ∅ ,entonces tambien se tiene que para todo g, g′ ∈ G , g · U ∩ g′ · U ′ = ∅ .Dados dos orbitas distintas G · p 6= G · p′ . Entonces (∪g∈Gg · U) ∩(∪g′∈Gg′ ·U) = ∅ . Ello implica que G · p,G · p′ tienen entornos abiertoscon interseccion vacıa. Luego G\M es Hausdorff.

Para ver que M es Hausdorff tomemos p, p′ ∈ M p 6= p′ . Si p y p′

estan en distinta orbitas basta tomar los entornos U,U ′ cuya existenciaasegura la hipotesis. Si estan en la misma orbita, entonces aplicandola definicion de accion discontinua se encuentra un entorno U de p talque para cierto g ∈ G se tiene que g · U es un entorno de p′ y ademasU ∩ g · U = ∅ .

Definicion 1.2. Un subconjunto S = F se llama dominio funda-mental si es la clausura de un subconjunto F que tenga exactamenteun representante de cada orbita. Un dominio fundamental F se diceque es normal si cada punto p ∈ M tiene un entorno abierto V talque solo existen un numero finito de elementos g ∈ G de modo queg · V ∩ F 6= ∅ .

Proposicion 1.4. Sea∼ \F el cociente inducido en F por la acciondiscontinua de un grupo G en una variedad M . Entonces la biyeccion∼ \F → G\M es continua. Si ademas F es normal, entonces dichabiyeccion es un homeomorfismo.

Demostracion. De la propiedad universal del cociente se deduceinmediatamente que la biyeccion ∼ \F → G\M es continua. Veamosque tambien es abierta. Sea p ∈ F y sea V un entorno abierto de p enM tal que F ∩ V es saturado respecto la relacion inducida ∼ . Por serel dominio fundamental normal existe un entorno abierto W tal queg ·W ∩ F = ∅ para todo g salvo un conjunto finito. Ello implica queexiste un conjunto finito g1, · · · , gr tal que g1 · p, · · · , gr · p ∈ F y sig 6∈ g1, · · · , gr entonces g · p 6∈ F . Puesto que p esta en el saturadoF ∩ V , se tiene que g1 · p, · · · , gr · p ∈ V . Teniendo en cuenta queφg1 , · · · , φgr son continuas y que F es normal se deduce que existe unentorno abierto U de p en M tal que g1 · U ⊂ V, · · · , gr · U ⊂ V y sig 6∈ g1, · · · , gr entonces g ·U∩F = ∅ . Entonces p ∈ F ∩(∪g∈Gg ·U) =(F ∩ g1 · U) ∪ · · · ∪ (F ∩ gr · U) ⊂ F ∩ V . Luego ∼ \F → G\M esabierta.

Ejemplo 1.1. El grupo aditivo de los enteros Z actua libre y dis-contınuamente como un grupo de transformaciones en R si su accion


esta determinada por la funcion:

Φ: Z× R −→ Rdefinida por Φ(n, s) = n + s . En este caso se puede tomar comodominio fundamental el subconjunto compacto [0, 1] , que es la clausurade [0, 1) , subconjunto con un representante de cada orbita.

Problemas

1.1. Sea G un grupo de transformaciones sobre una variedad M .Si φ(g) denota la transformacion correspondiente al elemento g ∈ G,demostrar que φ(g−1) = (φ(g))−1.

1.2. La funcion Φ: G×M −→M determina la accion de un grupoG en una variedad M como grupo de transformaciones. Demostrarque G puede considerarse tambien como un grupo de transformacionesque actua a la derecha por la funcion Φ′ : M × G −→ M definida porΦ′(m, g) = Φ(g−1,m).

1.3. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z actua librey discontinuamente como un grupo de transformaciones en R2 si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: Z× R2 −→ R2

definida por Φ(n, (z1, z2)) = (n+ z1, (−1)nz2).

Solucion: Para cada (a, b) punto de R2 consideremos el entornoabierto B × R , donde B es la bola de centro a y radio 1

2. Su-

pongamos que existe un elemento en la interseccion de B × R y deΦ(n, (B×R)) . Entonces existen b, b′ ∈ B tales que b = b′ + n . Enton-ces |n| ≤ |b− b′| < 1 y n entero implica que n = 0 . Por lo tanto Φ esuna accion discontinua.

1.4. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z×Z actua librey discontinuamente como un grupo de transformaciones en R×R si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: (Z× Z)× R2 −→ R2

definida por Φ((n1, n2), (r1, r2)) = (n1 + r1, n2 + r2) .

1.5. Demostrar que el grupo G = 〈a, b|ab = ba−1〉 actua libre ydiscontinuamente como un grupo de transformaciones en R × R si suaccion esta determinada por la funcion:

Φ: G× R2 −→ R2

definida sobre los generadores por

Φ(a, (r1, r2)) = (r1 + 1, r2) ,

Φ(b, (r1, r2)) = (−r1, r2 + 1).

GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS 85

1.6. Sea Z el grupo aditivo de los numeros enteros, demostrar quela funcion:

Φ: Z× Z× R −→ Rdefinida por Φ(m,n, s) = s + αm + βn, siendo α y β numeros realesno nulos cuya razon es irracional, determina una accion de Z × Z enR como grupo de transformaciones. Demostrar que esta accion es librepero no discontinua.

1.7. Demostrar que un grupo finito que actua libremente como gru-po de transformaciones en una variedad Hausdorff M , actua tambiendiscontinuamente. Probar que en este caso la variedad cociente es Haus-dorff.

Solucion: Supongamos que G = g1, · · · gn con g1 = 1 . Sea ahoraun punto p de M . Puesto que la accion es libre se tiene que parai, j ∈ 1, · · · , n ,i 6= j , gip 6= gjp . Aplicando que M es Hausdroff porinduccion se obtiene que existen entornos abiertos Ui de gip tal que parai 6= j , Ui∩Uj = ∅ . Teniendo en cuenta que cada Φgi

es continua se tieneque existe un entorno U de p tal que para i ∈ 1, · · · , n ,giU ⊂ Ui .Entonces U ∩ giU ⊂ U1 ∩ Ui = ∅ para i ∈ 2, · · · , n . Por lo tanto laaccion es discontinua.

Si tenemos dos puntos distintos p 6= p′ de modo que p′ no esta en laorbita de p sabemos que existe un entorno U de p tal que U ∩ gU = ∅para g 6= 1. Puesto que p′ 6= gip y la orbita de p es finita se puedereducir el tamano de U y encontrar U ′ tal que U ′∩giU = ∅ . Aplicandola proposicion 1.3 se obtiene que la variedad cociente es Hausdorff.

1.8. Sea M1 la variedad sobre el subespacio H de R2, que consistede los puntos (x, 0) (x ∈ R), junto con el punto (0, 1), definida por lascartas α y α1 cuyos dominios respectivos son U = (x, 0)|x ∈ R yU1 = (x, 0)|x 6= 0

⋃(0, 1)

α : U −→ R ; α(x, 0) = x

α1 : U1 −→ R ;α1((x, 0)) = x; α1(0, 1) = 0.

a) Demostrar que la funcion: Φ: M1 −→M1 definida por:

Φ(s, 0) = (−s, 0) s 6= 0 ; Φ(0, 0) = (0, 1) ;φ(0, 1) = (0, 0)

es una transformacion en M1

b) Demostrar que el grupo G, que consta de la transformacion iden-tidad y de Φ, actua sobre M1 como grupo de transformaciones. Com-probar que este grupo finito actua libremente pero no discontinuamentesobre M1.

Notar que este ejemplo demuestra que un grupo de transformacionesfinito que actua libremente en una variedad que no es Hausdorff, no esnecesariamente discontinuo.


1.9. Demostrar que el conjunto (r1, r2) ∈ R|0 ≤ r1 ≤ 1 es undominio fundamental normal para la relacion de equivalencia en R2

inducida por el grupo de transformaciones del problema 1.3 .

Solucion: Denotemos por E(a) la parte entera de un numero real.Entonces la orbita de (a, b) tiene un unico representante enF = (r1, r2) ∈ B × R|0 ≤ r1 ≤ 1 que es (a − E(a), (−1)E(a)b) .Vea-mos que F es normal. Sea (a,b) y tomemos como entorno abiertouno de la forma B × R , donde B es la bola de centro a y de ra-dio 1. Entonces si (r, s) ∈ B × R se tiene que a − 1 < r < a + 1 .Si para un entero n se verifica que 0 ≤ r + n ≤ 1 , se deduce que−a − 1 < −r ≤ n ≤ −r + 1 ≤ −a + 2 . Por lo tanto solo un numerofinito de enteros n satisface la desigualdad anterior. Ello implica que eldominio fundamental es normal.

1.10. Demostrar que el cuadrado unidad [0, 1]× [0, 1] es un dominiofundamental normal para la relacion de equivalencia en R2 inducidapor el grupo de transformaciones del problema 1.4.

1.11. Demostrar que el cuadrado unidad [−12, 1

2] × [−1

2, 1

2] es un

dominio fundamental normal para la relacion de equivalencia en R2

inducida por el grupo de transformaciones del problema 1.5.

1.12. Considerar las acciones discontinuas:

φ : Z× R2 → R2, φ(z, (a, b)) = (2z + a, b)

ψ : Z× R2 → R2, ψ(z, (a, b)) = (z + a, (−1)zb)

Denotemos por φ\R2 , ψ\R2 los espacios de orbitas de dichos grupos.a) Probar que existe f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q donde

p : R2 → φ\R2 y q : R2 → ψ\R2 son las proyecciones canonicas.b) Probar que f es un difeomorfismo local y que cada fibra de f

tiene dos puntos.

Solucion: De la ecuacion

φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) = ψ(2z, (a, b))

se deduce que la q id : R2 → R2 factoriza a travEs de φ\R2 de modoque existe una unica f : φ\R2 → ψ\R2 tal que pf = q id . Puesto que pes una submersion se tiene que f es diferenciable. Ademas de que p, qsean difeomorfismos se obtiene que f tambien lo es.

2. Grupos de Lie

Empezamos esta seccion incluyendo un parrafo de motivacion ex-tractado de la siguiente pagina web:

www.df.uba.ar/∼jakubi/simetrias/motivacion.html

La resolucion de ecuaciones diferenciales es uno de los problemasmas importantes de la matematica aplicada y de la fısica matematica.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/gdfolder/www.df.uba.ar/~jakubi/simetrias/motivacion.html

2. GRUPOS DE LIE 87

En el curso del tiempo se fueron desarrollando diversos metodos ad hocde integracion para resolver clases especiales de ecuaciones diferencialesque ocurren en la descripcion de fenomenos fısicos. La teorıa de gruposnos permite entender las conexiones entre estos diversos metodos deintegracion, generalizarlos y desarrollar nuevos metodos.

El matematico Sophus Lie (1849-1899) inicio el estudio de gruposde transformaciones continuas que llevan su nombre al descubrir quemuchos de estos metodos especiales son casos especiales de un procedi-miento general de integracion basado en la invariancia de los sistemasde ecuaciones diferenciales ante un grupo continuo de simetrıas.

El metodo de Lie de la transformacion infinitesimal proporciona unatecnica ampliamente aplicable para hallar soluciones en forma analıticaa ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, los metodos conoci-dos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden o lineales sepueden caracterizar por medio de simetrıas. Usando la clasificacion delas ecuaciones diferenciales ordinarias proporcionada por la teorıa degrupos, Lie pudo identificar todas las ecuaciones que se pueden reducira una de orden inferior o integrar completamente.

Aplicados a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, el meto-do de Lie proporciona soluciones invariantes y leyes de conservacion.Explotando las simetrıas de las ecuaciones se pueden obtener nuevassoluciones a partir de las ya conocidas, y las ecuaciones se pueden cla-sificar en clases de equivalencia.

Por otro lado hemos de resaltar el importante papel que jueganlos grupos de Lie en mecanica cuantica en el estudio de las diferentespartıculas y sus interacciones.

Definicion 2.1. Un grupo de Lie G es un grupo cuyo conjuntosubyacente tiene una estructura de variedad diferenciable, de tal formaque a aplicacion producto p : G × G → G, (g, h) → gh y la que asociael inverso ι : G→ G, ι(g) = g−1 son diferenciables.

Proposicion 2.1. Sea G un grupo cuyo conjunto subyacente tieneuna estructura de variedad diferenciable y sea ψ : G×G → G la apli-cacion ψ(g, h) = gh−1 . Entonces p, ι son diferencables si y solo si ψ esdiferenciable.

Demostracion. Si p, ι son diferenciables, entonces claramente ψ =p(id×ι) es diferenciable. Recıprocamente si ψ es diferenciable, se tieneque ι = ψ(1, id) es diferenciable y por tanto p = ψ(id×ι) tambien loes.

Observacion 2.1. Tanto la estructura de variedad diferenciablede G, como la diferenciablidad de p, presuponen un grado de diferen-ciabilidad Ck , 1 ≤ k ≤ ω . Para desarrollar buena parte de la teoria,es solo necesario tomar derivadas de primer orden en G y en el fibradotangente TG , por lo tanto es nesesario suponer que G y p son de clase


C2 . Sin embargo, no existe perdida de generalidad en suponer queG y p son analıticas Cω , pues es posible probar que si p es clase C1

entonces p es analıtica en relacion a la estructura de variedad analıticacontenida en la estructura Ck , 1 ≤ k ≤ 1 .

Dado g ∈ G , las traslaciones a irquierda y a derecha Lg : G →G y Rg : G → G , estan definidas respectivamente por Lg(h) =gh y Rg(h) = hg . Esas aplicaciones son diferenciables pues Lg =p(g, id) , Rg = p(id, g) . En realidad, ambas traslaciones, a irquierday a derecha, son difeomorfismos globales y sobres ya que LgLg−1 = id ,RgRg−1 = id .

En la definicion de grupo de Lie no es necesario exigir que la inver-sion ι : G → G see diferenciable. Esto hecho es una consecuencia delteorema de la funcion implicita.

Proposicion 2.2. Sea G un grupo cuyo conjunto subyacente tieneuna estructura de variedad diferenciable, de tal forma que a aplica-cion producto p : G × G → G, (g, h) → gh es diferenciable, enton-ces ι : G → G es diferenciable. Ademas la aplicacion tangente Tιg =−(TLg−1)1(TRg−1)g . En particular Tιg = − id .

Ejemplo 2.1. El espacio Rn es un grupo de Lie abeliano con lasuma habitual de vectores.

Ejemplo 2.2. El espacio R∗ de los reales no nulos es un grupode Lie abeliano no conexo con el producto. Tambien los complejos nonulos R∗ con el producto es un grupo de Lie abeliano no conexo.

Ejemplo 2.3. El grupo discreto G es un grupo de Lie, es este casose considera una estructrura diferenciable 0-dimensional.

Ejemplo 2.4. Sea GL(n,R) el grupo de las transformaciones li-neales de Rn que es un abierto de la variedad de las matrices rea-les M(n,R) , veanse los ejemplos 3.7 y 3.8. El producto de matricesA = (aik) , B = (bkj) es la matriz C = (cij) , donde cij =

∑k aikbkj .

Es decir que es una funcion polinomica de grado dos en las varia-bles aik, bkj . Por lo que es una funcion diferenciable. Por esta razonGL(n,R) es un grupo de Lie.

Ejemplo 2.5. Analogamente GL(n,C) el grupo de las transforma-ciones lineales de Cn tiene estructrua de grupo de Lie.

Ejemplo 2.6. Sean G,H grupos de Lie, el producto cartesiano conlas estructuras diferenciables y de grupo producto, es tambien un grupode Lie. Por ejemplo se puede ver facilmente que Z/2×R es isomorfo aR∗ .

Proposicion 2.3. Sea G un grupo de Lie y sea H un subgrupoque que ademas es subvariedad regular de G . Entonces H es un grupode Lie.

2. GRUPOS DE LIE 89

Demostracion. Sea in : H → G la inclusion canonica. Conside-remos el diagrama conmutativo

G×GψG

// G

H ×HψH

//

in× in

OO

H

in

OO

Puesto que ψG es diferenciable y inH : G es un encaje regular se tieneque por la proposicion 1.3 que ψH es diferenciable. Por lo tanto H esun grupo de Lie.

Definicion 2.2. Sean G,H grupos de Lie y supongamos que Hes un subgrupo de G . Diremos que H es un subgrupo de Lie G si lainclusion es un encaje y si ademas es un encaje regular diremos que Hes un subgrupo de Lie regular de G .

Ejemplo 2.7. La 1-esfera S1 = z ∈ C∗||z| = 1 consideradacomo los complejos de modulo 1, es un subrupo de C∗ y ademas es unasubvariedad regular. Entonces S1 es un grupo de Lie 1-dimensional,abeliano, conexo y compacto.

Ejemplo 2.8. Sea SL(n,R) = A ∈ GL(n,R)|det(A) = 1 el gru-po especial lineal. Para ver que es una subvariedad regular de GL(n,R)veamos que det : GL(n,R) → R es una submersion en los puntos deSL(n,R) . Para ello vamos a utilizar la caracterizacion de submersionesdada en la proposicion 2.1 . Sea entonces una A ∈ det−1(1) = SL(n,R),sea Ar la matriz obtenida multiplicando por r la primera fila. Notemosque s : R∗ → GL(n,R) , s(r) = Ar es diferenciable. Ademas s(1) = Ay dets = id por lo tanto det es una submersion en A para cada A .Entonces por la proposicion ?? se tiene que det−1(1) = SL(n,R) es unasubvariedad regular de dimension n2 − 1 y por la proposicion anteriorse sigue que SL(n,R) es un grupo de Lie .

Ejemplo 2.9. Sea O(n,R) = A ∈ GL(n,R)|AAT = id el grupoortogonal que es un subgrupo del GL(n,R , donde AT denota la matriztraspuesta de A . Para ver que es una subvariedad regular de GL(n,R)veamos que sim: GL(n,R) → S(n,R) es una submersion en los puntosde O(n,R) , donde S(n,R denota la subvariedad de matrices simetricasy sim(A)) = AAT asocia a A la matriz simetrica AAT . Para ello vamosa utilizar la caracterizacion de submersiones dada en la proposicion 2.1 .Sea entonces una A ∈ sim−1(1) = O(n,R), sea Ar la matriz obtenidamultiplicando por r la primera fila. Notemos que s : R∗ → GL(n,R) ,s(r) = Ar es diferenciable. Ademas s(1) = A y dets = id por lo tantodet es una submersion en A para cada A . Entonces por la proposicion?? se tiene que det−1(1) = SL(n,R) es una subvariedad regular dedimension n2 − 1 y por la proposicion anterior se sigue que SL(n,R)es un grupo de Lie .


Problemas

2.1. Probar que todo grupo de Lie es Hausdorff.

2.2. Probar que el grupo ortogonal O(n,R) y el grupos GL(n,R)tienen dos componentes conexas.

2.3. Probar que el grupo ortogonal O(n,C) y el grupos GL(n,C)tienen una componente conexa.

2.4. Probar que el grupo ortogonal O(n,H) y el grupos GL(n,H)tienen una componente conexa.

2.5. Probar que el grupo ortogonal O(n,R) es compacto.

2.6. Probar que el grupo SL(n,R) no es compacto.

2.7. Sea O(2,R) el grupo ortogonal real.a) Probar que O(2,R) tiene una estructura de 1-variedad compacta

con dos componentes conexas.b) Si M(2,R) denota las matrices 2×2, probar que la inclusion de

i : O(2,R) →M(2,R) es una subvariedad regular.c) Si I denota la matrız identidad, probar que (TIi)TIO(2) se puede

identificar con el espacio de matrices antisimetricas 2×2.

3. Miscelanea

3.1. Sea la aplicacion ψ : 〈a, b|bab = a〉×(R×R) → (R×R) definidapor

ψ(a, (r, s)) = (r + 2π, (−1)s) ,

ψ(b, (r, s)) = (r, s+ 2π) ,

a) Probar que ψ es una accion discontinua que tiene por dominiofundamental [−π, π]× [−π, π] . La correspondiente variedad de orbitasK = 〈a, b|bab = a〉\(R× R) la denominaremos como botella de Klein.Considerar la aplicacion F : R2 → R4 definida por

F (x, y) = ((cos y + 1) cosx, (cos y + 1) sen x, sen y cosx

2, sen y sen

x

2)

b) Comprobar que F (ψ(a, (x, y))) = F (x, y) , F (ψ(b, (x, y))) =F (x, y) y que por lo tanto existe una aplicacion inducida F : K → R4 .Probar que F es diferenciable.

c)Probar que F es un encaje de la botella de Klein en R4 .

3.2. Sea P 2(R) es cociente obtenido al identificar puntos antıpodasde la esfera unidad.

a) Probar que existe un grupo de transformaciones finito y discon-tinuo de la 2-esfera unidad cuyo espacio de orbitas es P 2(R) .

Sea F : R3 → R4 dada por

F (x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, yz), x, y, z ∈ R .

3. MISCELANEA 91

Sea S2 ⊂ R3 la esfera unidad y considerar la restriccion φ = F |S2 : S2 →R3 donde S2 es la esfera unidad centrada en el origen.

b)Probar que φ es diferenciable y una inmersion. Comprobar queφ(p) = φ(−p) .

c) Sea φ : P 2(R) → R4 la inducida por la formula φ[p] = φ(p) .Probar que φ es un encaje del plano proyectivo real en R4 .

CAPıTULO 6

CAMPOS Y FORMAS

1. Fibrado tangente y cotangente

Sea M una variedad diferenciable m-dimensional, consideremos elconjunto de todos los vectores tangentes TM = tp∈MTpM . Denotemospor π : TM → M la proyeccion que aplica un vector tangente en elpunto de tangencia, π(vp) = p . Para cada carta x de M, consideramosuna nueva carta x : TM → R2m definida por xi(vp) = xi(p) , xm+i(vp) =vp(xi) , 1 ≤ i ≤ m . Notemos que Dom x = π−1(Dom x) y Codom x =Codomx×Rm . Si y es otra carta de M el cambio de cartas viene dadopor

yx−1 (a, r) = y(∑

ri

(∂∂xi

)x−1a

)= (y1x

−1a, · · · , ymx−1a,∑ri

(∂y1∂xi

)x−1a

, · · · ,∑ri

(∂ym

∂xi

)x−1a

)

= (yx−1a, rJTyx−1(a)),

donde JTyx−1 denota traspuesta de la matriz jacobiana del cambio decartas. La mencionada proyeccion se denomina fibrado tangente, sinembargo, tambien es frecuente llamar fibrado tangente a la variedadTM .

Recordemos que C∞(M) denota el espacio de todas las funcionesdiferenciables de M en R y el subespacio de las funciones globales porC∞M (M) . Si p ∈ Dom f , f ∈ C∞(M) podemos definir la aplicacion

lineal dfp : TpM → R mediante la expresion dfp(v) = v(f) para cadav ∈ TpM . Una aplicacion lineal de la forma TpM → R diremos quees un vector cotangente en p a M . El espacio vectorial de los vectorescotangentes en p a M se denotara por T ∗pM .

Lema 1.1. Sea p un punto del dominio de una carta x de unavariedadM , entonces (dx1)p, · · · , (dxm)p es una base del espacio T ∗pM .

Demostracion. Sabemos que(

∂∂x1

)p, · · · ,

(∂

∂xm

)pes una base de

TpM . Los vectores cotangentes anteriores verifican que (dxi)p

(∂∂xj

)p

=(∂xi

∂xj

)p

. Lo que prueba que precisamente se trata de la base dual.

Sea M una variedad diferenciable, consideremos el conjunto detodos los vectores cotangentes T ∗M =

⊔p∈M T ∗pM . Denotemos por

93


∗π : T ∗M → M la proyeccion ∗π(wp) = p se llamara fibrado cotan-gente, si bien como antes se utiliza tambien este nombre para la va-riedad T ∗M . Si para cada carta x de M, consideramos una nuevacarta ∗x : T ∗M → R2m definida por ∗xi(wp) = xi(p) , ∗xm+i(wp) =

wp

(∂∂xi

)p

, 1 ≤ i ≤ m . Notemos que Dom ∗x = ∗π−1(Dom x) y

Codom ∗x = Codomx × Rm . Si y es otra carta de M el cambio decartas viene dado por

∗y∗x−1(a, r) = ∗y (∑

i ri(dxi)x−1a)

= (yx−1a,(∑

i ri

(∂xi

∂y1

)x−1a

), · · · ,

(∑i ri

(∂xi

∂ym

)x−1a

))

= (yx−1a, r((Jyx−1(a))−1)).

Problemas

1.1. Demostrar que al espacio tangente TpM en cualquier puntop de M puede dotarsele de la estructura de subvariedad regular deTM . Demostrar tambien que esta estructura coincide con su estructuraestandar como espacio vectorial real.

Solucion: En primer lugar veamos que la proyeccion π : TM → Mes una submersion. Para ello sea vp un vector tangente en el punto pde M . Tomemos una carta x de M en p y sea x la carta inducidaen TM . Entonces la representacion coordenada de π viene dada porxπx−1(r, s) = r . La matriz jacobiana de π respecto las cartas mencio-nadas es de la forma (id, 0) y su rango sera maximo. En consecuenciaπ es una submersion.

Recordemos ahora el teorema que aseguraba que las fibras de unasubmersion eran subvariedades regulares de dimension 2m −m = m .Es de destacar que las cartas x, x inducen una carta y en el punto

vp de TpM = π−1(p) . De modo que y(vp) = y

(∑m1 si

(∂∂xi

)p

)=

(s1, · · · , sm) que es presisamente la carta asociada a la base(

∂∂x1

)p,

· · · ,(

∂∂xm

)p

en la estructura estandar del espacio vectorial TpM .

1.2. Demostrar que si una variedad diferenciable M admite unabase contable para su topologıa (es segundo numerable) el fibrado tan-gente TM tambien admite una base de esas caracterısticas (es tambiensegundo numerable).

Solucion: Sabemos que si una variedad tiene un atlas contable siy solo si es segundo numerable. Entonces puesto que M es segundonumerable se tiene que M tiene un atlas contable A que induce el atlasA = x|x ∈ A de TM que al tener como conjunto de ındices unconjunto contable es tambien contable. Por lo tanto TM es segundocontable.


1.3. Si pr : M ×M ′ −→ M y pr′ : M ×M ′ −→ M ′ son las proyec-ciones canonicas, demostrar que

(pr?, pr′?) : T (M ×M ′) −→ TM × TM ′

es un difeomorfismo.

2. Campos y formas

Un operador lineal sobre un abierto U de M es una aplicacionξ : C∞(M) → C∞(M) tal que Dom ξf = U ∩ Dom f y que verificala propiedad de linealidad siguiente: ξ(αf + βg) = αξf + βξg . Siademas se tiene que ξ(f · g) = (ξf) · g + f · (ξg) , diremos que es unoperador derivacion con dominio U .

Definicion 2.1. Un campo X de vectores tangentes a una variedadM es una seccion diferenciable del fibrado tangente π : TM → M ;es decir, πX = id |DomX . Una 1-forma w de vectores cotangentes auna variedad M es una seccion diferenciable del fibrado cotangente∗π : T ∗M →M ; es decir, πw = id |Domw .

Lema 2.1. Sea M una variedad diferenciable y sea x una carta dela variedad.

(i) Si X : M → TM es una seccion del fibrado tangente yX|Domx =

∑mi=1Ai

∂∂xi

, entonces X|Domx es diferenciable siy solo si A1, · · · , Am son diferenciables.

(ii) Si w : M → T ∗M es una seccion del fibrado cotangente yw|Domx =

∑mi=1B

idxi , entonces w|Domx es diferenciable siy solo si B1, · · · , Bm son diferenciables,

(iii) Sean X, Y campos tangentes a M y f, g ∈ C∞(M) entoncesla seccion del fibrado tangente fX + gY definida por (fX +gY )p = f(p)Xp + g(p)Yp es tambien diferenciable, por lo quefX + gY es un campo tangente a M con dominio Dom f ∩DomX ∩Dom g ∩DomY .

(iv) Sean u, v 1-formas cotangentes a M y f, g ∈ C∞(M) entoncesla seccion del fibrado cotangente fu + gv definida por (fu +gv)p = f(p)up + g(p)vp es tambien diferenciable; por lo quefu+ gv es una 1-forma cotangente a M con dominio Dom f ∩Domu ∩Dom g ∩Dom v .

Demostracion. Notese que xXp = (x(p), A1(p), · · · , Am(p)) . En-tonces por el ejercicio 1.11 del capıtulo 2, se tiene que X|Domx es dife-renciable si y solo si A1, · · · , Am son diferenciables.

Analogamente para las 1-formas. La verificacion de (iii) y (iv) esuna comprobacion rutinaria.

Dado X un campo tangente a M , podemos definir el siguienteoperador inducido ξ que aplica una funcion diferenciable f de M en Ren la funcion ξf cuyo dominio es DomX ∩ Dom f y esta definida por


ξf(p) = Xp(f) . Recıprocamente, dado un operador derivacion ξ sobreun abierto U , podemos asociarle la seccion X del fibrado tangentecuyo dominio es U y esta definida por Xp(f) = ξf(p) .

Proposicion 2.1. Si X es un campo tangente a una variedad M ,entonces el operador inducido ξ es un operador derivacion. Recıproca-mente, si ξ es un operador derivacion, entonces la seccion asociada Xes un campo tangente.

Demostracion. SeaX un campo y supongamos que ξ es el corres-pondiente operador. En primer lugar probaremos que si f es diferen-ciable entonces ξf tambien lo es. Sea x una carta y supongamos queX|Domx =

∑mi=1Ai

∂∂xi

. Entonces para p ∈ DomX ∩ Dom x se tie-

ne que ξf(p) = Xp(f) =(∑m

i=1Ai∂∂xi

)p(f) =

∑mi=1Ai(p)

(∂f∂xi

)p

=(∑mi=1Ai

∂f∂xi

)(p) . Entonces ξf |Domx =

∑mi=1Ai

∂f∂xi

, para cada carta

x . Por lo tanto ξf es diferenciable. Ahora veamos que es lineal. Enefecto, (ξ(αf +βg))(p) = Xp(αf +βg) = αXp(f)+βXp(g) = αξf(p)+βξg(p) = (αξf + βξg)(p) para cada p ∈ DomX ∩ Dom f ∩ Dom g ,escalares α, β ∈ R y f, g ∈ C∞(M) . Para ver que ξ es una de-rivacion, sean f, g ∈ C∞(M) , entonces ξ(f · g)(p) = Xp(f · g) =f(p)Xp(g) +Xp(f)g(p) = f(p)ξg(p) + ξf(p)g(p) = (f(ξg) + (ξf)g)(p) .

Recıprocamente, supongamos que ξ es un operador derivacion condominio el abierto U . Para cada p ∈ U , se tiene que Xp es lineal,en efecto, Xp(αf + βg) = (ξ(αf + βg))(p) = αξf(p) + βξg(p) =αXp(f) + βXp(g) . Ademas cada Xp es una derivacion en el puntop . Sean f, g ∈ C∞(p) , entonces Xp(f · g) = ξ(f · g)(p) = (f(ξg) +(ξf)g)(p) = f(p)Xp(g) +Xp(f)g(p) . Finalmente queda probar que Xes diferenciable. Sea p ∈ U = DomX y sea x una carta de M en p talque Domx ⊂ U . Entonces X =

∑m1 X(xi)

∂∂xi

=∑m

1 ξ(xi)∂∂xi

. Puesto

que ξ(xi) es difierenciable para 1 ≤ i ≤ m , aplicando el lema 2.1 sededuce que X es diferenciable en el punto p . Por lo tanto X es unaseccion diferenciable.

Notacion: Dada la correspondencia biunıvoca entre campos tangen-tes y operadores derivacion, utilizaremos la misma letraX para denotarel campo y el operador derivacion inducido. El conjunto de todos loscampos tangentes a una variedad M se denotara por Ξ(M) y los cam-pos tangentes con dominio un abierto U por ΞU(M) . En particularΞM(M) denota los campos globales tangentes a la variedad M .

Un espacio vectorial real V provisto de una aplicacion bilineal an-tisimetrica [−,−] : V × V → V que satisfaga la identidad de Jacobi

[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0

se denomina algebra de Lie .


Definicion 2.2. Dados dos campos tangentes X, Y a una variedadM se llama corchete de Lie al campo tangente definido como el opera-dor lineal que aplica la funcion f ∈ C∞(M) en la funcion [X, Y ]f =X(Y f)− Y (Xf) . Notemos que Dom[X, Y ] = DomX ∩DomY .

Proposicion 2.2. El corchete de Lie dota al espacio vectorialΞU(M) de los campos tangentes a una variedad M con dominio unabierto U de estructura de algebra de Lie. En particular el espacio vec-torial ΞU(M) de los campos globales tiene una estructura de algebrade Lie.

Demostracion. No es difıcil comprobar que efectivamente loscampos tangentes globales de una variedad tiene estructura de espaciovectorial real. La identidad de Jacobi se desprende de las siguientesigualdades

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] =

(XY − Y X)Z − Z(XY − Y X) + (Y Z − ZY )X −X(Y Z − ZY )

+(ZX −XZ)Y − Y (ZX −XZ) = 0.

Dada w una 1-forma de M , podemos definir el siguiente operadorlineal inducido ω que aplica un campo X tangente a M en la funcionωX cuyo dominio es Domw ∩ DomX y esta definida por ωX(p) =wp(Xp) .

Una aplicacion ω : Ξ(M) → C∞(M) diremos que es un operadorlineal sobre un abierto U si satisface que Dom(ωX) = U ∩ DomX yω(fX + gY ) = fωX + gωY donde f, g ∈ C∞(M) y X,Y ∈ Ξ(M) . Demodo recıproco, dado un operador lineal ω : Ξ(M) → C∞(M) sobre unabierto U , podemos asociarle la 1-forma w tal que si v ∈ TpM y Ves un campo tal que Vp = v , entonces wp(v) = ωV (p) . Notemos queel lema siguiente prueba la existencia del campo V y la independenciadel campo V elegido.

Lema 2.2. Sea M una variedad diferenciable.

(i) Si ω : Ξ(M) → C∞(M) es un operador lineal y X un campotangente a M y W un abierto de M , entonces

(ωX)|W = ω(X|W ) ,

(ii) Si v es un vector tangente en un punto p ∈M , entonces existeun campo tangente V definido en p tal que Vp = v ,

(iii) Sea ω : Ξ(M) → C∞(M) es un operador lineal sobre un abiertoU y sean V, V ′ son dos campos tangentes definidos en un puntop ∈ U , si Vp = V ′

p , entonces ωV (p) = ωV ′(p) .

Demostracion. Para ver (i), notemos que X − X|W = 0(X −X|W ) , entonces 0 = 0ω(X−X|W ) = ω(0(X−X|W )) = ω(X−X|W ) =ω(X)− ω(X|W )) . De aquı se obtiene que (ωX)|W = ω(X|W ) .


Para (ii), sea x una carta en el punto p, entonces v = λ1

(∂∂x1

)p+

· · ·+λm(

∂∂xm

)p. Entonces el campo V = λ1

(∂∂x1

)+· · ·+λm

(∂

∂xm

)ve-

rifica que Vp = v .(iii) Sea X un campo definido en p tal que Xp = 0 y sea x una carta

en p . Supongamos que X|DomX =∑

i fi

(∂∂xi

). Entonces aplicando (i)

r se tiene que

(ωX)(p) = (ω(X|Domx))(p) = ω(∑

i fi

(∂∂xi

))(p) =

∑i fi(p)ω

(∂∂xi

)(p) .

De la condicion Xp = 0 se desprende que f1(p) = 0, · · · , fm(p) = 0,luego (ωX)(p) = 0 .

Tomemos ahora X = V − V ′ , notese que Xp = 0 . Entonces0 = (ω(V − V ′))(p) = (ωV )(p)− (ωV ′)(p) .

Proposicion 2.3. Existe una correspondencia biunıvoca entre ope-radores lineales respecto funciones de la forma ω : Ξ(M) → C∞(M) y1-formas w : M → T ∗M de una variedad M .

Demostracion. En primer lugar, veamos que si w es una 1-forma,el correspondiente operador es ω y X un campo diferenciable, en-tonces ωX es diferenciable. En el dominio de una carta x se tieneque ω|Domx =

∑Aidxi y para el campo X|Domx =

∑Bj

∂∂xj

. En-

tonces (ωX)|Domx =∑AiBi que es diferenciable, para cada carta

x . Por lo tanto ωX es diferenciable. Veamos ahora que ω es lineal.En efecto, (ω(fX + gY ))(p) = wp(f(p)Xp + g(p)Yp) = f(p)wp(Xp) +g(p)wp(Yp) = f(p)ωX(p) + g(p)ωY (p) = (fωX + gωY )(p) para cadap ∈ Domw ∩DomX ∩DomY , f, g ∈ C∞(M) y X, Y ∈ Ξ(M) .

Recıprocamente, supongamos que ω es un operador lineal con domi-nio el abierto U . Para cada p ∈ U , se tiene que wp es lineal, para verlosupongamos que u, v ∈ TpM y que U, V son campos que extienden u yv , entonces wp(αu + βv) = (ω(αU + βV ))(p) = αωU(p) + βωY (p) =αwp(u)+βwp(v) . Finalmente queda probar que w es diferenciable. Seap ∈ U = Domw y sea x una carta de M en p tal que Domx ⊂ U .

Entonces w =∑m

1 ω(

∂∂xi

)dxi . Puesto que para i ∈ 1, · · · ,m se

tiene que ω(

∂∂xi

)es diferenciable, aplicando lema 2.1 se obtiene que w

es diferenciable en p para cada p ∈ Domw . Entonces w es una secciondiferenciable.

Como consecuencia del resultado anterior utilizaremos la mismaletra, digamos ω , para denotar el operador lineal y la seccion.

Definicion 2.3. Una r-forma con dominio un abierto Domω deuna variedad M es una aplicacion multilineal (respecto funciones) yalternada de la forma ω : Ξ(M)× . . .(r × Ξ(M) → C∞(M) verificando


que Dom(ω(X1, · · · , Xr)) = Domω ∩DomX1 ∩ · · · ,∩DomXr . Se to-man como 0-formas la funciones diferenciables f : M → R . Denotemospor Ωr(M) el espacio de las r-formas de M y por Ωr

U(M) el espaciode las r-formas con dominio un abierto U . En particular Ωr

M(M) es elespacio de las r-formas globales de M .

Dada una r-forma ω de una variedad M se define su diferencialcomo la (r + 1)-forma dω definida por

dω(X0, · · · , Xr) =1

r + 1

r∑0

(−1)iXiω(X0, · · · , Xi, · · · , Xr)

+1

r + 1

∑0≤i<j≤r

(−1)i+jω( [Xi, Xj], · · · , Xi, · · · , Xj, · · · , Xr)

Dada una r-forma θ con dominio Dom θ y un abierto U de la va-riedad se tiene que la restriccion θ|U se define a traves de la siguienteformula

θ|U(X1, · · · , Xr) = θ(X1, · · · , Xr)|UEs facil ver que la restriccion de r-formas verifica las siguientes

propiedades:

Proposicion 2.4. Sea M una variedad y ω una r-forma,

(i) Si X1, · · · , Xr son campos tangentes a M , entoncesθ|U(X1, · · · , Xr) = θ(X1|U , · · · , Xr|U) .

(ii) Si ω|U = 0 para cada abierto U de un cubrimiento de la varie-dad, entonces ω = 0 ,

(iii) Si U es un abierto, entonces (dω)|U = d(ω|U) .

Proposicion 2.5. El operador d verifica para cualquier r-forma laecuacion ddω = 0 .

Demostracion. Veamos que ddω|Domx = 0 para cada dominio de

carta. Esto implica que ddω = 0 . Notese que si X0 =(

∂∂xi0

), . . . ,

Xr+1 =(

∂∂xir+1

), son los campos coordenados se tiene que el corchete

de Lie de dos de ellos es nulo, entonces

ddω(X0, · · · , Xr+1) = 1r+2

∑r+10 (−1)iXidω(X0, · · · , Xi, · · · , Xr+1) =

1r+1

1r+2

∑r+1i<j (−1)i(−1)j(XjXi−XiXj)ω(X0, · · · , Xi, · · · , Xj, · · ·Xr+1)

= 0

Definicion 2.4. Una r-forma ω se dice que es cerrada si dω = 0 .Una r-forma ε se dice que es exacta si existe una (r − 1)-forma θ talque dθ = ε . Sea Zr

U(M) = ω|ω r-forma cerrada con dominio U yBrU(M) = ε|ε r-forma exacta con dominio U . El r-esimo grupo de


cohomologıa de De Rham de un abierto U de la variedad M se definecomo:

HrDR(U) = Zr

U(M)/BrU(M) .

En particular se obtienen los grupos de cohomologıa de De Rham dela viariedad M .

Para cualquier r-forma ω con dominio U se tiene que ddω = 0 porlo que se obtiene el complejo de cocadenas siguiente:

0 → Ω0U(M) → Ω1

U(M) → · · ·ΩrU(M) → · · ·

donde ΩrU(M) denota las r-formas de M con dominio U , el r-esimo

grupo de cohomologıa de De Rham de un abierto U de la variedad Mes el r-esimo grupo de cohomologıa del complejo de cocadenas anterior.

Problemas

2.1. Demostrar que la funcion que aplica cada punto de una va-riedad diferenciable M en el vector tangente nulo en ese punto es uncampo vectorial en M .

2.2. Sean x, y las cartas del atlas estereografico de S2 ver el ejemplo3.4 del capıtulo 2 . Si a, b ∈ R, demostrar que los campos vectoriales:

X1 = (ax1 − bx2)∂∂x1

+ (bx1 + ax2)∂∂x2

X2 = X2 = (−ay1 − by2)∂∂y1

+ (by1 − ay2)∂∂y2

definen un campo vectorial sobre S2.

Solucion: Recordemos que el cambio de cartas viene dado por

y1 = x1

(x1)2+(x2)2y2 = x2

(x1)2+(x2)2

x1 = y1(y1)2+(y2)2

x2 = y2(y1)2+(y2)2

Entonces la matriz del cambio viene dada por los siguientes coeficientes

∂y1∂x1

= −(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2∂y1∂x2

= −2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

∂y2∂x1

= −2x1x2

((x1)2+(x2)2)2∂y2∂x2

= (x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

CAMPOS Y FORMAS 101

X1|Dom y = (ax1 − bx2)∂∂x1

+ (bx1 + ax2)∂∂x2

= (ax1 − bx2)((

−(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+(

−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

))+ (bx1 + ax2)

((−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+(

(x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

))=

((ax1 − bx2)

(−(x1)2+(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)+ (bx1 + ax2)

(−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

))(∂∂y1

)+

((ax1 − bx2)

(−2x1x2

((x1)2+(x2)2)2

)+ (bx1 + ax2)

((x1)2−(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

))(∂∂y2

)=

(−ax1(x1)2+ax1(x2)2+bx2(x1)2−bx2(x2)2−2bx2(x1)2−2ax1(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+

(bx1(x1)2−bx1(x2)2+ax2(x1)2−ax2(x2)2−2ax2(x1)2+2bx1(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

)=

((−ax1−bx2)(x1)2+(−ax1−bx2)(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y1

)+

((bx1−ax2)(x1)2+(bx1−ax2)(x2)2

((x1)2+(x2)2)2

)(∂∂y2

)=

((−ax1−bx2)

((x1)2+(x2)2)

)(∂∂y1

)+(

(bx1−ax2)((x1)2+(x2)2)

)(∂∂y2

)= (−ay1 − by2)

(∂∂y1

)+ (by1 − ay2)

(∂∂y2

)= X2|Domx

Puesto que ambos coinciden en la interseccion de los dominios setiene que efectivamente definen un campo en la esfera.

2.3. Sean w = x0, x = x1, y = x2 las cartas del atlas de P 2(R) dadasen el ejemplo 3.5 del capıtulo 2 . Demostrar que los campos vectoriales:

X1 = (w1)∂∂w1

− (w2)∂∂w2

X2 = (−x1)∂∂x1

− (2x2)∂∂x2

X3 = (y1)∂∂y1

+ (2y2)∂∂y2

definen un campo vectorial sobre P 2(R) .

2.4. Si X, Y son campos vectoriales y f, g funciones diferenciablesdefinidas en una variedad diferenciable M con valores en R, demostrarque:

[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X

2.5. Si x es una carta de una variedad diferenciable M con dominioU y X, Y son campos vectoriales en M , demostrar que:

[X, Y ]|U =∑

(X(Y xj)− Y (Xxj))∂

∂xj

2.6. Demostrar que el espacio vectorial de las matrices reales n×ntiene estructura de algebra de Lie cuando se define la siguiente opera-cion:

[A,B] = AB −BA

2.7. Demostrar que si φ : M → N es un difeomorfismo local e Y esun campo tangente a N , entonces existe un unico campo X tangente aM tal que para cada p ∈ Dom f∩f−1 DomY se tiene que φ∗pXp = Yφp .


2.8. Demostrar que si φ : M → N es diferenciable y ω es una 1-forma de N , entonces existe una unica 1-forma φ∗w cotangente a M talque para cada p ∈ Dom f ∩ f−1 Domw se tiene que φ∗p(ωφp) = (φ∗ω)p .

2.9. En la 1-esfera S1 consideramos la aplicacion recubridoraf(t) = (cos 2πt, sen 2πt) que induce el campo Xp = f∗p

ddt s

si p =(cos 2πs, sen 2πs) y la 1-forma w tal que w(X) = 1. Probar que pa-ra cualquier funcion global h de S1 en R se tiene que dh 6= w y deducirque el primer grupo de cohomologıa de De Rham de S1 es no nulo.

Solucion: Supongamos que w = dh, entonces f ∗w = f ∗(dh) =d(hf) . Puesto que hf es una funcion acotada en algun punto s tieneun maximo en el que se anulara la primera derivada. Entonces

d(hf)s

(d

dt

)s

=

(d(hf)

dt

)s

= 0

Sin embargo en el mismo punto se verifica que

(f ∗w)s

(d

dt

)s

= wf(s)f∗s

(d

dt

)s

= wf(s)Xf(s) = 1

Lo que lleva a una contradiccion que viene de suponer que existe htal que dh = w . Por lo tanto el primer grupo de cohomologıa de DeRham de la S1 es no trivial.

3. Variedades paralelizables

Recordemos que asociado a una variedad M podemos considerar elespacio ΞM(M) de todos los campos globales tangentes a M que tieneuna estructura natural de C∞

M (M)-modulo.

Definicion 3.1. Dados X1, · · · , Xr campos globales tangentes aM , diremos que son linealmente independientes si X1

p , · · · , Xrp son in-

dependientes en TpM para cada p ∈M . Una variedad M de dimensionm se dice paralelizable si existen X1, · · · , Xm campos globales e inde-pendientes.

Proposicion 3.1. Sea M una variedad, entonces son equivalentes:(i) M es paralelizable,(ii) Existe un difeomorfismo de TM con M ×Rm que conmuta con

las proyecciones y es lineal en las fibras.

Demostracion. (i) implica (ii): Supongamos que X1, · · · , Xm esuna paralelizacion de M . Entonces podemos considerar lar biyeccionΘ: M × Rm → TM definida por Θ(p, (λ1, · · · , λm)) = λ1X

1p + · · · +

λmXmp , que ademas conmuta con las proyecciones y es lineal en las

fibras. Si x es una carta de M y Xj =∑Xjxi

(∂∂xi

), la representacion

coordenada de Θ es la siguiente:

xΘ(x−1×idRm)(r, λ) = (r, (∑

λi(Xjx1)x

−1(r), · · · ,∑

λi(Xjxm)x−1(r)))


De aquı se deduce que detJx,(x×id)Θ (p, λ) 6= 0 . Por lo tanto la biyeccion

Θ es un difeomorfismo local, ello implica que Θ es un difeomorfismoglobal de M × Rm en TM .

(ii) implica (i): Es facil ver que el fibrado M×Rm tiene m seccionesdiferenciables independientes, basta considerar Si(p) = (p, (0, · · · , 1(i,· · · , 0)) . Entonces si Θ es el difeomorfismo dado, podemos tomar comoparalelizacion ΘS1, · · · ,ΘSm .

Notese que si el fibrado TM y M × Rm son difeomorfos, entoncesΞM(M) es isomorfo al modulo de las secciones diferenciables de M ×Rm . Una seccion M×Rm es de la forma S(p) = (p, (f1(p), · · · , fm(p)))con f1, · · · , fm : M → R diferenciables. Esto implica que la correspon-dencia S → (f1, · · · , fm) es un isomorfismo de ΞM(M) en el C∞

M (M)-modulo libre de rango m , C∞

M (M)m .

Problemas

3.1. Probar que los abiertos de Rm y la 1-esfera son variedadesparalelizables.

Solucion: Si U es un abierto en Rm entonces si x es la carta inclusionse tiene que

(∂∂x1, . . . , ∂

∂xm

)es una paralelizacion de U .

En el caso de la 1-esfera S1 podemos considerar sobre R el campoddt

. Este campo es invariante por traslaciones. Supongamos que tene-

mos una traslacion f(s) = s+ z . Entonces f∗s(ddt

)s

=(dfdt

)s

(ddt

)s+z

=(d(s+z)dt

)s

(ddt

)s+z

=(ddt

)s+z

Puesto que el grupo discontinuo de trans-

formaciones generado por la traslacion unidad, preserva este campo.Entonces se induce un campo en la variedad obtenida al dividir por elgrupo de trasformaciones que la 1-esfera. Ademas el campo inducidoes no nulo si tenemos en cuenta que la proyeccion es un difeomorfismolocal.

3.2. Probar que una variedad paralelizable es orientable.

3.3. Demostrar que el producto de variedades paralelizables es pa-ralelizable. Probar que los toros y cilindros de la forma S1 × · · · × S1 ,S1 × · · · × S1 × R · · · × R son paralelizables.

3.4. Probar que un grupo de Lie es paralelizable.

4. Variedades orientables

Dadas dos bases de un espacio vectorial de dimension mayor que unoe = (e1, . . . , em) , e′ = (e′1, . . . , e

′m) tal que el cambio de bases viene dado

por la matriz e′j =∑aijei . Diremos que e′ ∼ e si det(aij) > 0 . Se llama

orientacion del espacio vectorial real a cada una de las dos clases deequivalencia de la relacion anterior θ(e1, e2, . . . , em) , θ(−e1, e2 . . . , em) .


Definicion 4.1. Una orientacion de una variedadM es una seccionque asigna a cada p ∈M una orientacion θp del espacio vectorial TpMde tal modo que para cada p ∈ M existen m campos independientesX1, · · · , Xm definidos en un entorno abierto U de p de modo que θq =θ(X1

q , · · · , Xmq ) para cada q ∈ U . Una variedad se dice orientable si

admite una orientacion. Una variedad provista de una orientacion sedice que es una variedad orientada.

Proposicion 4.1. Sea θ una orientacion en una variedad M y θ′

una orientacion en un abierto conexo U . Entonces θ′ = θ|U o θ′ =−θ|U .

Demostracion. Sean los subconjuntos U+ = p ∈ U |θp = θ′p yU− = p ∈ U |θp = −θ′p . Si p ∈ U+, entonces existen paralelizaciones

X1, · · · , Xm y X ′1, · · · , X ′m que determinan las orientaciones θ y θ′ enun entorno abierto V del punto p contenido en U . Para cada q ∈ V setiene que X i

q =∑aji (q)X

′jq de modo que cada aji es un funcion diferen-

ciable con dominio V . Notese que det(aji (p)) > 0 , y por ser det(aji )una funcion continua, existe un entorno abierto W de p contenido enV tal que det(aji (q)) > 0 para cada q ∈ W . Entonces p ∈ W ⊂ U+ ,esto sucede para cada punto de U+ . Por lo que U+ es un abierto deM . Similarmente se prueba que U− es abierto. Aplicado que U es co-nexo se tiene que U = U+ o U = U− . Consecuentemente θ′ = θ|U oθ′ = −θ|U .

Corolario 4.1. Una variedad orientable y conexa admite dosorientaciones.

Proposicion 4.2. Sean x, y un atlas de una variedad orientable

M con dominios conexos, entonces det(∂xi

∂yj

)tiene signo constante en

Dom x ∩Dom y .

Demostracion. Teniendo en cuenta que Dom x es conexo y queM es orientable se puede aplicar la proposicion 4.1 para afirmar queexiste una orientacion θ en M compatible con la parametrizacion ∂

∂x1,

· · · , ∂∂xm

. Por otro lado la parametrizacion ∂∂y1, · · · , ∂

∂yminduce una

orientacion θ′ en el dominio de la carta y . Al ser este conexo, dela proposicion 4.1 se infiere que θ′ = θ|Dom y o θ′ = −θ|Dom y , en el

primer caso det(∂xi

∂yj

)es positivo en Domx ∩ Dom y y en el otro caso

negativo.

Corolario 4.2. La banda de Moebius no es orientable.

Demostracion. Consideremos la banda de Moebius como el es-pacio cociente M = R2/(r, s) ∼ (r + z, (−1)zs) con z entero. Seap : R2 → M la proyeccion canonica. Tomemos el atlas de dos cartasx = (p|(0,1)×R)−1 , y = (p|(1/2,3/2)×R)−1 que tienen dominio conexo. El


cambio de cartas viene dado por

yx−1(r, s) = (r + 1,−s) si 0 < r < 1/2 ,

yx−1(r, s) = (r, s) si 1/2 < r < 1 .

Entonces det(∂yi

∂xj

)(r,s)

vale 1 para 0 < r < 1/2 y vale −1 para 1/2 <

r < 1 . Si suponemos que M es orientable, entonces la proposicion

anterior implica que el signo de det(∂yi

∂xj

)(r,s)

debe ser constante. En

consecuencia M no es orientable.

Proposicion 4.3. Sea φ : M → N un difeomorfismo local condominio M . Si θ es una orientacion en N , entonces φ induce de modonatural una orientacion φ∗θ en M .

Demostracion. Sea l : V → W un isomorfismo de espacios vec-toriales. Si una orientacion θ de W esta determinada por una base(b1, · · · , bm) , entonces (l−1b1, · · · , l−1bm) es una base de V que deter-mina una orientacion l∗θ en V . Ahora puesto que φ es un difeomorfis-mo local se tiene que para p ∈M , Tpφ determina una una orientacion(Tpφ)∗θφp en TpM . Sea U un entorno abierto de p tal que φ|U es undifeomorfismo. Si Y 1, · · · , Y m es una paralelizacion de θ en φU , en-tonces (Tφ|U)−1Y 1φ|U , · · · , (Tφ|U)−1Y mφ|U es una paralelizacion para(Tpφ)∗θφp con p ∈ U . Luego (φ∗θ)p = (Tpφ)∗θφp , p ∈ M define unaorientacion en M .

Proposicion 4.4. Sean φ : M → N ψ : N → P difeomorfismolocal con dominios M y N , respectivamente. Si θ es una orientacion enP , entonces φ∗ψ∗θ = (ψφ)∗θ .

Demostracion. Para cada punto a ∈ M se tiene que Ta(ψφ) =(Tφ(a)ψ)(Taφ) . Ademas por ser difeomorfismo locales, si w ∈ Tψφ(a)Pentonces obtenemos que (Taφ)−1(Tφ(a)ψ)−1(w) = (Ta(ψφ))−1(w) . Dela definicion de orientacion inducida por un difeomorfismo local inme-diatamente se sigue que φ∗ψ∗θ = (ψφ)∗θ .

Proposicion 4.5. Sea G un grupo discontinuo de transformacionesde M . Entonces G\M es orientable si y solo si existe una orientacionθ en M que es preservada por cada transformacion del grupo.

Demostracion. Sea η : M → G\M la proyeccion canonica que esun difeomorfismo local. Denotaremos por φg la transformacion aso-ciada al elemento g ∈ G . Supongamos que G\M es orientable ysea θ una orientacion. Tomemos en M la orientacion η∗θ . Para ca-da g ∈ G la transformacion φg verifica que ηφg = η . Aplicando laproposicion anterior se tiene que φ∗gη

∗θ = η∗θ . Luego la orientacioninducida es preservada por las transformaciones del grupo. Recıproca-mente, supongamos que en M disponemos de una orientacion ε . Seab ∈ G\M , tomemos a ∈ M tal que η(a) = b . Si la orientacion εa


esta determinada por la base (e1, · · · , em) y Taη es la aplicacion tan-gente, que es un isomorfismo, entonces (Taη(e1), · · · , Taη(em)) es unabase que determina una orientacion en Tb(G\M) . Si hubieramos to-mado otro a′ ∈ M verificando η(a′) = b , entonces existirıa un g ∈ Gtal que φg(a) = a′ . Supongamos que εa′ esta determinada por la ba-se (e′1, · · · , e′m) , puesto que φ∗gε = ε , si (Taφg)

−1(e′j) =∑αijei con

det(αij) > 0 . Entonces se tiene que (Ta′η(e′j) =

∑αijTaη(ei) . En con-

secuencia (Taη(e1), · · · , Taη(em)) y (Ta′η(e′1), · · · , Taη(e′m)) determinan

la misma orientacion en b . Finalmente observemos que existe un entor-no abierto U de a y una paralelizacion X1, · · · , Xm definida en U talque ε es compatible con X1, · · · , Xm , η|U es un difeomorfismo. Enton-ces (η|U)−1X1(T (η|U)), · · · , (η|U)−1Xm(T (η|U)) es un paralelizacion deθ en ηU entorno abierto de b .

Ejemplo 4.1. La 1-esfera S1 se puede obtener como la variedadde las orbitas del grupo de traslaciones enteras φ : Z×R → R definidopor la accion φ(z, r) = z + r . Notese que la orientacion inducida porla paralelizacion canonica d

dtes invariante por traslaciones. Entonces,

la proposicion anterior implica que S1 es orientable.

Para ver que las demas esferas Sn , n ≥ 2 son orientables, es sufi-ciente aplicar el siguiente resultado al atlas estereografico.

Proposicion 4.6. Si una variedad M admite un atlas de dos cartasx, y de modo que Domx∩Dom y es conexo, entonces M es orientable.

Demostracion. La carta x induce una orientacion θ en su do-minio, y respectivamente una orientacion τ es inducida por y . En lainterseccion conexa Dom x ∩ DomY se tiene que θ|Dom y = τ |Domx oθ|Domx = −τ |Dom y . En el primer caso, θ ∪ τ define una orientacion enM y en el segundo θ ∪ −τ .

Corolario 4.3. La espacio proyectivo P n(R) es orientable si ysolo si n es impar.

Demostracion. El espacio proyectivo P n(R) es el espacio de orbi-tas de la accion del cıclico de orden dos generado por la aplicacionantıpoda a de Sn+1 . Si θ es una de las dos orientaciones de Sn+1 ,entonces por la proposicion 4.1 , se tiene que a∗θ = θ o a∗θ = −θ .Para determinar se se verifica una u otra bastara ver que ocurre enun punto. Si tomamos la carta x de la proyeccion estereografica sucedeque el punto E = (1, 0, · · · , 0) y −E estan en Domx , entonces

x1 =s1

1− sn+1

, · · · , xn =sn

1− sn+1

xa(s1, · · · , sn+1) = x(−s1, · · · ,−sn+1) = (−s1

1 + sn+1

, · · · , −sn1 + sn+1

) .

VARIEDADES ORIENTABLES 107

Notemos que

(x1)2 + · · ·+ (xn)

2 =1− s2

n+1

(1− sn+1)2=

1 + sn+1

(1− sn+1)=−xiaxi

.

De donde se tiene que

xia =−xi

(x1)2 + · · ·+ (xn)

2 .

Calculando las derivadas parciales se obtiene:

∂(xia)

∂xj=−δij((x1)

2 + · · ·+ (xn)2) + 2xixj

((x1)2 + · · ·+ (xn)

2)2

De donde

(∂(xia)

∂xj

)E

=

1 if i = j = 1,

−1 if i = j > 1,

0 en otro caso

En consecuencia se tiene que a∗θ = (−1)n−1θ . Luego a preserva laorientacion si y solo si n es impar. Aplicando la proposicion anterior setiene que RP n es orientable si y solo si n es impar.

Proposicion 4.7. Si θ es una orientacion en M , entonces existeun atlas compatible con θ .

Demostracion. Tomemos un atlas con dominios conexos y encaso que una carta no sea compatible se le cambia una coordenada designo.

Problemas

4.1. Demostrar que la botella de Klein son variedades no orienta-bles.

4.2. Considerar el toro como el espacio de orbitas de R2 bajo laaccion del grupo discontinuo de traslaciones enteras. Probar que existeuna orientacion en R2 que es preservada por estas traslaciones y deducirque el toro es orientable.

4.3. Demostrar que la variedad producto M ×M ′ es orientable si ysolo si las variedades M y M ′ lo son.

4.4. Demostrar que el fibrado tangente TM de cualquier variedadM es una variedad orientable.


5. Curvas integrales

Una curva es una funcion diferenciable σ : R → M . Sea X uncampo de vectores tangentes. Se dice que σ es una curva integral de Xsi para cada s ∈ σ−1 DomX se tiene que Tsσ

(ddt

)s= Xσ(s) .

Sea x : M → Rm una carta y sea c = xσ . Si σ es una curva integralde X en el dominio de la carta, entonces para cada s ∈ σ−1 DomX ∩Dom x se tiene que por un lado

σ∗(ddt

)=(σ∗

ddt

)x1

∂∂x1

+ · · ·+(σ∗

ddt

)xm

∂∂xm

=(d(x1σ)dt

)∂∂x1

+ · · ·+(d(xmσ)dt

)∂

∂xm

=(dc1dt

)∂∂x1

+ · · ·+(dcmdt

)∂

∂xm

y por otro si suponemos que X =∑m

i fi∂∂xi

. Para cada punto de lacurva se tiene que

Xσ = f1σ∂∂x1

+ · · ·+ fmσ∂

∂xm= f1x

−1xσ ∂∂x1

+ · · ·+ fmx−1xσ ∂

∂xm

Entonces σ es curva integral en el dominio de la carta si y solo sic = xσ y fi = fix

−1 satisfacen las ecuaciones diferenciales:dc1dt

= f1(c1, . . . , cm)...

dcmdt

= fm(c1, . . . , cm)

Es decir si y solo si c : R → Rm es una solucion de la del sistema deecuaciones diferenciales de primer grado anterior.

Recordemos que

Proposicion 5.1. Sea f : Rm → Rm una funcion C∞ , a ∈ Dom f .Entonces existe un entorno abierto V de a en Dom f y un ε > 0 talesque para cada t0 en R y cada r ∈ V existe una unica curva cr tal queDom cr = (t0 − ε, t0 + ε) , cr(t0) = r y

dcr1dt

= f1(cr1, . . . , c

rm)

...dcrmdt

= fm(cr1, . . . , crm)

Ademas la funcion (t0 − ε, t0 + ε)× V → Rm , (s, r) → cr(s) es C∞ .

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad anteriorse obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 5.2. Sea X un campo de vectores tangentes a unavariedad M , p ∈ DomX . Entonces existe un entorno abierto U de pen DomX y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada q ∈ U existeuna unica curva σq tal que Domσq = (t0 − ε, t0 + ε) , σq(t0) = q yσ∗s(ddt

)s= Xσ(s) . Es decir que σq es una curva integral de X . Ademas

la funcion (t0 − ε, t0 + ε)× U →M , (s, q) → σq(s) es diferenciable.

CURVAS INTEGRALES 109

Definicion 5.1. Una curva integral σ se dice completa si Domσ =R . Un campo se dice completo si todas sus curvas integrales son com-pletas.

Problemas


X = 2x( ∂∂x

) + 2y( ∂∂y

)


dxdt

= 2x dydt

= 2y

equivalentemente:dxx

= 2dt dyy

= 2dt


x = ae2t y = be2t


X = −2x( ∂∂x

)− 2y( ∂∂y

)


dxdt

= −2x dydt

= −2y


= −2dt dyy

= −2dt


x = ae−2t y = be−2t

5.3. Si x, y son las cartas del atlas estereografico de S2 . Probar quelos campos

X = 2x1(∂∂x1

) + 2x2(∂∂x2

)

Y = −2y1(∂∂y1

)− 2y2(∂∂y

)

determinan un campo sobre la 2-esfera. Representar graficamente lascurvas integrales de dicho campo.

5.4. Encontrar las curvas integrales de los siguiente campos defini-dos en R2 :

x( ∂∂x

)

y( ∂∂x

)− x( ∂∂y

)

y( ∂∂x

)− y3( ∂∂y2

)


5.5. Considerar los siguientes campos vectoriales de R2

X = −y ∂∂x

+ y ∂∂y

Y = x ∂∂x

+ y ∂∂y

a) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] en la base ∂∂x

, ∂∂y

.

b) Encontrar las curvas integrales de X y de Y .

Solucion: a) Calculemos [X, Y ]x y [X, Y ]y

XY x− Y Xx = Xx− Y (−y) = −y − (−y) = 0

XY y − Y Xy = Xy − Y y = −y − y = 0

Si tenemos en cuenta que [X, Y ] = [X, Y ]x ∂∂x

+ [X, Y ]y ∂∂y

se tiene que

[X, Y ] = 0 .b) El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo X es el

siguiente:

dxdt

= −y dydt

= y

equivalentemente:dxdt

= −y dyy

= dt


x = −bet + b+ a y = bet

El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo Y es el si-guiente:

dxdt

= x dydt

= y


= dt dyy

= dt


x = aet y = bet

6. Miscelanea


X = x∂

∂x− y

∂

∂y

Y = x∂

∂x+ y

∂

∂y

a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizacion de R2 .b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] .c) Calcular las curvas integrales de los campos X e Y .d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereografico de la 2-

esfera.

6. MISCELANEA 111

u(r1, r2, r3) = (r1

1− r3,

r21− r3

)

v(r1, r2, r3) = (r1

1 + r3,

r21 + r3

)


u1∂

∂u1

− u2∂

∂u2

v1∂

∂v1

+ v2∂

∂v2



X = y∂

∂x

Y =x2

2

∂

∂y

a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizacion de R2 .b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] .c) Calcular las curvas integrales de los campos X , Y y [X, Y ] .

Decir si son o no completos.d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereografico de la 2-

esfera.

u(r1, r2, r3) = (r1

1− r3,

r21− r3

)

v(r1, r2, r3) = (r1

1 + r3,

r21 + r3

)


K = u2∂

∂u1

L =(v1)

2

2

∂

∂v2


Solucion: a) Notemos que si x = 0 o y = 0 se tiene respectivamenteque en los puntos de la foma p = (0, y) el campo X se anula Xp = 0 oen los de la forma p = (x, 0) el campo Y se anula Yp = 0 . Entoncesse tiene que (Xp, Yp) no son linealmente independientes sobre puntosde los ejes coordenados. Por lo tato (X, Y ) no es una paralelizacion deR2 .

b) Notemos que

(6.1) Xx = y∂

∂xx = y


(6.2) Y y =x2

2

∂

∂yy =

x2

2

(6.3) Y x = 0

(6.4) Xy = 0

De la ecuaciones anteriores se tiene que

(6.5) (XY − Y X)x = −x2

2

(6.6) (XY − Y X)y = Xx2

2= yx

Por lo tanto

[X, Y ] = −x2

2

∂

∂x+ yx

∂

∂y

c) Al campo X le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y ,

dy

dt= 0

que obviamente tiene por solucion x = bt + a, y = b. Notemos quecada curva integral esta definida para todo t de donde se concluye queel campo X es completo.

Al campo Y le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= 0 ,

dy

dt=x2

2

que tiene por solucion x = a, y = a2

2t + b. Como antes cada curva

integral esta definida para todo t de donde se concluye que el campoY es completo.

Para el campo [X.Y ] se obtiene el sistema

dx

dt= −x

2

2,

dy

dt= yx

que notemos que la primera ecuacion es equivalente a −dxx2 = dt

2de

donde se obtiene que 1x

= t+C2

; es decir , x = 2t+C

. Si para t = 0

imponemos que x = a la solucion toma la siguiente forma x = 2t+ 2

a

. De

la segunda ecuacion se tiene que dyy

= 2dtt+ 2

a

. Que implica que log y =

2 log(t + 2a) +D o equivalentemente y = eD(t + 2

a)2 . Imponiendo que

para t = 0 , y = b la solucion toma la siguiente forma y = ba2

4(t+ 2

a)2 .

Por lo tanto la curva integral que para t = 0 pasa por el punto (a, b)viene dada por

x =2

t+ 2a

, y =ba2

4(t+

2

a)2

6. MISCELANEA 113

Notemos que para t = − 2a

la curva integral no esta definida. Por lotanto el campo [X, Y ] no es completo.

d) Para el punto p = (1, 0,0) se tiene que u1(p) = 1 , u2(p) = 0 ,v1(p) = 1 , v2(p) = 0 . Entonces Kp = 0 y Lp = 1

2∂∂v2

. Ello implica queKp = 0 y Lp 6= 0 . Por lo tanto K,L no coinciden en la interseccion.


A = −y ∂∂x

+ x∂

∂y

B = x(1− x2 − y2)∂

∂x+ y(1− x2 − y2)

∂

∂y

a) Encontrar el conjunto de puntos de R2 en los que los camposA,B son independientes.

b) Calcular el corchete de Lie [A,B] .c) Calcular las curvas integrales del campo A . ¿Son sus curvas

integrales completas? ¿Es A un campo completo?

Solucion:a) Puesto que conocemos las funciones que determinan los campos

A,B en funcion de los campos coordenados ∂∂x, ∂∂y

y estos ultimos son

independientes. Entonces A,B seran independientes en aquellos puntosen los que sea no nulo el determinante de la matriz:(

−y xx(1− x2 − y2) y(1− x2 − y2)

)Este se anula en los puntos que satisfacen la ecuacion:

−(x2 + y2)(1− x2 − y2) = 0

que corresponden a la reunion del origen con la circunferencia unidad:

(0, 0) ∪ (x, y)|(1− x2 − y2) = 0Entonces seran independientes en el complementario

R2 \ ((0, 0) ∪ (x, y)|(1− x2 − y2) = 0)b) Un campo siempre se puede expresar en relacion a los campos

coordenados mediante la formula:

[A.B] = [A,B]x∂

∂x+ [A,B]y

∂

∂y

Teniendo en cuenta que

Ax = −y Ay = xBx = x(1− x2 − y2) By = y(1− x2 − y2)

se obtiene que

[A,B]x = ABx−BAx = A(x(1− x2 − y2))−B(−y)= −y(1− 3x2 − y2)− x(x2y) + y(1− x2 − y2) = 0


[A,B]y = ABy −BAy = A(y(1− x2 − y2))−B(x)= −(−y)2xy + x(1− x2 − 3y2)− x(1− x2 − y2) = 0

Por lo que el corchete se anula [A,B] = 0 .c) Las curvas integrales del campo A se obtienen como solucion del

siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dx

dt= −y ,

dy

dt= x

que tiene por solucion

x = A cos t−B sen t , y = B cos t+ A sen t

notemos que para t = 0 pasa por (A,B) .Las curvas integrales estan definidas para todo t . Entonces todas

las curvas integrales son completas y en consecuencia el campo es com-pleto.

CAPıTULO 7

VARIEDADES Y CONEXIONESRIEMANNIANAS

1. Conexiones y derivada covariante

Sea Ξ(M, p) el conjunto de todos los campos tangentes de una va-riedad M definidos en el punto p ∈ M . Una conexion lineal en unpunto p es un operador lineal que asocia a cada vector tangente v en py a cada campo tangente X definido en p un vector tangente en p quese denotara por OvX y que verifica las siguientes propiedades:

(C1) Ov(αX + βY ) = αOvX + βOvYα, β ∈ R, v ∈ TpM, X, Y ∈ Ξ(M, p),

(C2) Oau+bvX = aOuX + bOvXa, b ∈ R, u, v ∈ TpM, X ∈ Ξ(M, p),

(C3) OvfX = v(f)Xp + f(p)OvX f ∈ C∞p (M, p), X ∈ Ξ(M, p).

Proposicion 1.1. Si v ∈ TpM y X, Y ∈ Ξ(M, p) tal que en unentorno abierto U de p se tiene que X|U = Y |U , entonces OvX = OvY .

Demostracion. Notese que Dom(X−X|U) = U y que X−X|U =0|U = 0(0|U) . Entonces Ov(X − X|U) = Ov(0|U) = Ov(0(0|U)) =0Ov(0|U) = 0 . Por lo tanto Ov(X) = Ov(X|U) . Analogamente seobtiene que OvY = Ov(Y |U) . Entonces OvX = OvY .

Si tenemos una conexion lineal para cada punto p ∈ M y V,Xson campos tangentes a una variedad M se puede definir la seccion delfibrado tangente OVX cuyo dominio es DomV ∩DomX y esta definidapor (OVX)p = OVpX .

Definicion 1.1. Llamaremos una conexion lineal sobre una varie-dad M a una familia determinada al considerar una conexion lineal encada punto p de M , de tal modo que si V,X son campos tangentes aM , entonces la seccion del fibrado tangente OVX es diferenciable.

Definicion 1.2. Sea x la carta identidad de Rm. Dados p ∈ Rm ,v ∈ TpRm y un campo X =

∑i fi

∂∂xi

definido en p . Entonces se define

OvX = v(f1)(

∂∂x1

)p

+ · · · + v(fm)(

∂∂xm

)p

. Notese que si tenemos

campos V y X =∑

i fi∂∂xi

, entonces OVX = V f1∂∂x1

+ · · ·+V fm∂

∂xm.

Proposicion 1.2. El operador O definido en Rm es una conexionlineal.

115


Demostracion. Dados p ∈ Rm , v ∈ TpRm , camposX =∑

i fi∂∂xi

,

Y =∑

i gi∂∂xi

definidos en p y escalares α, β ∈ R . Entonces Ov(αX +

βY ) = v(αf1+βg1)(

∂∂x1

)p+· · ·+v(αfm+βgm)

(∂

∂xm

)p

= αv(f1)(

∂∂x1

)p+

· · ·+αv(fm)(

∂∂xm

)p+βv(g1)

(∂∂x1

)p+· · ·+βv(gm)

(∂

∂xm

)p

= αOv(X)+

βOv(Y ) . Con esto queda verificada la propiedad C1 . El resto de laspropiedades se comprueba rutinariamente del mismo modo.

Proposicion 1.3. El operador O que asocia a dos campos tangen-tes V y X el campo tangente OVX , verifica las siguientes propiedades:

(C1) OV (αX + βY ) = αOVX + βOV Yα, β ∈ R, V,X, Y ∈ Ξ(M),

(C2) OaU+bVX = aOUX + bOVXa, b ∈ R, U, V,X ∈ Ξ(M),

(C3) OV fX = V fX + fOVX f ∈ C∞(M), V,X ∈ Ξ(M).

Demostracion. C1) Para un punto p ∈ M que este en el domi-nio se tiene (OV (αX + βY ))p = OVp(αX + βY ) = αOVpX + βOVpY =(αOVX+βOV Y )p . Por lo tanto OV (αX+βY ) = αOVX+βOV Y α, β ∈R, V,X, Y ∈ Ξ(M) .

C2) Para cada p en el dominio de definicion se tiene que (OaU+bVX)p =OaUp+bVpX = aOUpX + bOVpX = (aOUX + bOVX)p . Por lo tantoOaU+bVX = aOUX + bOVX a, b ∈ R, U, V,X ∈ Ξ(M) .

C3) Para cada p en el dominio de definicion se tiene que (OV fX)p= OVpfX = (Vpf)Xp + f(p)OVpX = (V fX + fOVX)p . Por lo tantoOV fX = V fX + fOVX f ∈ C∞(M), V,X ∈ Ξ(M).

Sea σ : R → M una curva (diferenciable). Un campo tangente aM a lo largo de σ es una funcion diferenciable X : R → TM tal queπX = σ . Uno de estos campos es precisamente el campo velocidadde la curva σ que se define del modo siguiente: σ(s) = Tsσ

(ddt

)s

.Notese que los campos tangentes a M a lo largo de σ tienen estructuranatural de espacio vectorial real y de modulo sobre el anillo de funcionesC∞

Domσ(R) .Si M tiene una conexion O entonces para cada s ∈ Domσ se puede

definir un operador lineal Dσ(s) que a cada campo X tangente a Ma lo largo de σ le asocia un vector tangente a M en el punto σ(s) .Supongamos que X1, . . . , Xm es una paralelizacion definida en un en-torno abierto de σ(s) . El campo X en ese entorno de puede expresarde modo unico como X(t) =

∑iAi(t)X

iσ(t) Entonces definimos

Dσ(s)X =∑i

((dAidt

)s

X iσ(s) + Ai(s)Oσ(s)X

i

)Lema 1.1. El operador Dσ(s) es independiente de la paralelizacion

elegida.


Demostracion. Supongamos que X1, . . . , Xm e Y 1, . . . , Y m sonparalelizaciones definidas en un entorno abierto de σ(s) . El campo Xdentro de ese entorno de puede expresar como X(t) =

∑iAi(t)X

iσ(t) o

bien X(t) =∑

iBi(t)Yiσ(t) . Supongamos que X i =

∑aijY

j . Entonces

X =∑

iAiXiσ =

∑iAi

∑j(a

ijσ)Yσj =

∑j(∑

iAi(aijσ))Yσj . De aquı se

deduce que Bj =∑

iAi(aijσ) . Entonces se tiene∑

j

((dBj

dt

)sY jσ(s) +Bj(s)Oσ(s)Y

j)

=∑

j

((d(

Pi Ai(a

ijσ))

dt

)sY jσ(s) +

∑iAi(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j)

=∑

j

(∑i(dAi

dt(aijσ) + Ai

d(aijσ)

dt

)sY jσ(s) +

∑j

∑iAi(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j

=∑

i

∑j

[(dAi

dt

)saij(σ(s))Y j

σ(s) + Ai(s)(d(ai

jσ)

dt

)sY jσ(s)

]+∑

i

∑j

[Ai(s)a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j]

=∑

i

[(dAi

dt

)s

∑j a

ij(σ(s))Y j

σ(s) + Ai(s)∑

j

(d(ai

jσ)

dt

)sY jσ(s)

]+∑

i

[Ai(s)

∑j a

ij(σ(s))Oσ(s)Y

j]

=∑

i

(dAi

dt

)sX iσ(s) +

∑iAi(s)Oσ(s)

∑j a

ijY

j

=∑

i

((dAi

dt

)sX iσ(s) + Ai(s)Oσ(s)X

i)

Notese que si X es un campo tangente a M a lo largo de σ , eloperador anterior permite definir un nuevo campo DσX tangente a Ma lo largo de σ , mediante la formula (DσX)(s) = Dσ(s)X .

Definicion 1.3. Si V e Y son campos tangentes a una variedad Mcon una conexion lineal O diremos que OV Y es la derivada covariantede Y segun el campo V . Si X es un campo tangente a M a lo largo deuna curva σ diremos que DσX es la derivada covariante de X .

Sea x es una carta en σ(s) y consideremos la paralelizacion ∂∂x1,

· · · , ∂∂xm

, entonces si el campo X tangente a M a lo largo de σ se

expresa como X =∑

iAi

(∂∂xi

)σ

se tiene que en el dominio de la carta

DσX =∑i

(dAidt

(∂

∂xi

)σ

+ AiOσ∂

∂xi

)Lema 1.2. Sea σ : R → M una curva y sea Y un campo tangente

a M que induce una campo X = Y σ tangente a M a lo largo de M .Entonces DσX = OσY .

Demostracion. Supongamos que Y 1, . . . , Y m es una paraleliza-cion definida en un entorno abierto U de σ(s) . Si el campo Y verificaque Y |U =

∑iAiY

i . El campo X dentro de ese entorno de puedeexpresar como X(t) =

∑iAiσ(t)Y i

σ(t) . Entonces se tiene


Dσ(s)X =∑

i

((d(Aiσ)dt

)sY iσ(s) + Aiσ(s)Oσ(s)Y

i)

=∑

i

((σ(s)(Ai))Y

iσ(s) + Ai(σ(s))Oσ(s)Y

i)

= Oσ(s) (∑

iAiYi)

= Oσ(s)Y

Corolario 1.1. Sea v un vector tangente a M en un punto p ysean X,X ′ campos definidos en p . Si existe una curva σ que pase porp a velocidad v de modo que Xσ = X ′σ , entonces OvX = OvX

′ .

Demostracion. Por la proposicion anterior se tiene que OvX =Oσ(s)X = Dσ(s)(Xσ) = Dσ(s)(X

′σ) = Oσ(s)X′ = OvX

′ .

Dada x una carta de M , si consideramos la paralelizacion local∂∂x1, . . . , ∂

∂xm, entonces la conexion O determina la funciones Γkij : M →

R mediante la expresion:

O ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkij∂

∂xk

Si denotaremos por Γkij = Γkijx−1 la representacion coordenada de Γkij en

la carta x, entonces las derivadas covariantes de los campos coordenatostambien se puede expresar como

O ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkijx∂

∂xk=∑k

Γkij(x1, · · · , xm)∂

∂xk

Ambos tipos de funciones se denominaran como los sımbolos de Chris-toffel de la conexion respecto de la carta x .

Dada una curva σ y una carta x denotemos por c = xσ la repre-sentacion coordenada de la curva. Si X es una campo tangente a Ma lo largo de la curva σ, supongamos que en el dominio de la carta

x se tiene que X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

. Notemos que σ =∑

dcidt

(∂∂xi

)σ

.


Sustituyendo σ se obtiene

OσX =∑j

(dAjdt

(∂

∂xj

)σ

+ AjOP dcidt

( ∂∂xi

)σ

∂

∂xj

)

=∑j

(dAjdt

(∂

∂xj

)σ

+ Aj∑i

dcidt

(O ∂

∂xi

∂

∂xj

)σ

)

=∑k

dAkdt

(∂

∂xk

)σ

+∑i,j

Ajdcidt

(O ∂

∂xi

∂

∂xj

)σ

=∑k

dAkdt

(∂

∂xk

)σ

+∑i,j

Ajdcidt

(∑k

Γkij∂

∂xk

)σ

=∑k

dAkdt

(∂

∂xk

)σ

+∑k

∑i,j

dcidt

ΓkijσAj

(∂

∂xk

)σ

=∑k

(dAkdt

+∑i,j

dcidt

Γkij(c)Aj

)(∂

∂xk

)σ

Definicion 1.4. Se dice que un campo X tangente a una variedadM a lo largo de una curva σ es paralelo si DσX = 0 .

Teniendo en cuenta los calculos anteriores se tiene el resultado si-guiente.

Proposicion 1.4. Sea X un campo tangente a una variedad Ma lo largo de una curva σ y sea x una carta cuyo dominio corte a

la curva y tal que X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

en σ−1(Dom x) y denotemos

c = xσ . Entonces X es paralelo en σ−1(Dom x) si y solo si se verificanlas ecuaciones

dAkdt

+∑i,j

dcidt

Γkij(c)Aj = 0 , k = 1 · · ·m.

que se llaman el sistema de ecuaciones diferenciales de los campos pa-ralelos a lo largo de la curva σ en el dominio de la carta x .

Proposicion 1.5. Sea una variedad M con una conexion linealO , una curva σ con dominio conexo y t0 ∈ Domσ . Entonces dadoX0 ∈ Tσ(t0)M existe unico campo X tangente a M a lo largo de σ quees paralelo y tal que X(t0) = X0 .

Demostracion. Si la curva σ esta dada, entonces una carta x enσ(t0) determina funciones c = xσ y sus componentes ci = xiσ de talmodo que el sistema anterior es un sistema de ecuaciones diferencia-les de primer orden en las variables A1, · · · , Am . Ademas existe unentorno V (t0) = (t0 − ε, t0 + ε) ⊂ σ−1(Dom x) tal que para cada valo-res iniciales de las variables A1, · · · , Am existen unas unicas funciones


definidas en V (t0) , que sean solucion del sistema y que tengan los va-lores iniciales dados. Ahora para cada t ∈ Domσ , si t > t0 se tieneque [t0, t] ⊂ Domσ por ser el dominio de la curva conexo. Ademasal ser [t0, t] compacto existe una particion t0 < t1 < · · · < tk = tde modo que en cada subintervalo verifica condiciones de existencia yunicidad del correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales. Cada

X0 ∈ Tσ(t0)M determina valores iniciales X0 =∑

j Aj(t0)(

∂∂xj

)σ(t0)

de

funciones A1, · · · , Am definidas en V (t0) y que son unicas verificandoel sistema de ecuaciones y con los valores iniciales dados. Tomemos

entonces el campo X =∑

j Aj

(∂∂xj

)σ

. Ahora procedemos de modo

inductivo tomando X1 ∈ Tσ(t1)M hasta obtener el campo X definidoen un entorno de [t0, t] . Analogamente se procede en el caso t < t0 .La unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales anteriores ga-rantizan que el campo X es el unico campo paralelo definido en Domσcon valores iniciales X0 .

Definicion 1.5. Se dice que una curva σ de una variedad M esuna geodesica respecto O si σ es paralelo; es decir, si Dσσ = 0 .

Proposicion 1.6. Sea una variedad M con una conexion lineal O .Dado un v ∈ TpM , entonces existe una unica geodesica γ que pasa porp a velocidad v. Denotaremos esta geodesica por γ(t, p, v) .

Demostracion. Sea x una carta en el punto p , de manera que

σ =∑ dck

dt

(∂∂xk

)σ

, entonces σ es paralelo a lo largo de σ y en el

dominio de la carta si y solo si se verifica la ecuacion diferencial desegundo orden siguiente:

d2ckdt

+∑i,j

dcidt

Γkij(c)dcjdt

= 0 , k = 1, · · · ,m.

Esta tiene solucion unica bajo las condiciones iniciales correspondien-tes; en este caso que pase por el punto p a velocidad v .

Definicion 1.6. La funcion expp : TpM →M definida por expp(v) =γ(1, p, v) se llama exponencial.

Problemas

1.1. Sea σ una curva en una variedad M y sea Dσ el operadorderivada covariante que actua sobre los campos X tangentes a M a lolargo de σ . Probar que este operador verifica las siguientes propiedades:

D1: Dσ(αX + βY ) = αDσX + βDσY α, β ∈ R, X, Y tan-gentes a M a lo largo de σ ,

D2: DσφX = dφdtX+φDσX φ ∈ C∞

Domσ(R), X tangente a Ma lo largo de σ .


Solucion: D1) Sea (Z1, · · · , Zm) una paralelizacion en un punto dela curva. Supongamos que respecto dicha paralizacion se tiene que X =∑m

i fiZi , Y =

∑mi giZ

i . Entonces

Dσ(αX + βY ) = Dσ(∑m

i (αfi + βgi)Zi)

=∑m

i

(d(αfi+βg

i)dt

Zi + (αfi + βgi)OσZi)

= α∑m

i

(dfi

dtZi + fiOσZ

i)

+ β∑m

i

(dgi

dtZi + giOσZ

i)

= αDσX + βDσY

D2) Con la misma notacion:

DσφX = Dσ(∑m

i φfiZi)

=∑m

i

(d(φfi)dt

Zi + φfiOσZi)

=∑m

idφdtfiZ

i +∑m

i

(φdfi

dtZi + φfiOσZ

i)

= dφdtX + φDσX

1.2. Sea σ una curva en R3 y sea Dσ el operador derivada cova-riante que actua sobre los campos X tangentes a R3 a lo largo de

σ . Sea r : R3 → R3 la carta identidad. Sean(

∂∂r1

)σ,(

∂∂r2

)σ,(

∂∂r1

)σ

la restriccion de los campos coodenados sobre la curva. Supongamosque un campo X tangente a R3 a lo largo de σ es tal que X =

f1

(∂∂r1

)σ

+ f2

(∂∂r2

)σ

+ f3

(∂∂r1

)σ

. Probar que la derivada covariante

de X coincide con la derivada normal; es decir:

DσX =df1

dt

(∂

∂r1

)σ

+df2

dt

(∂

∂r2

)σ

+df3

dt

(∂

∂r1

)σ

.

1.3. O la conexion riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3 esuna subvariedad. Notese que para cada p ∈ Σ se tiene la desomposicioncanonica TpR3 ∼= TpΣ⊕norTpΣ . Por lo que cada v ∈ TpR3 descomponede modo canonico como v = tanv + norv . Definamos el operador Opara la variedad Σ por la formula OuX = tanOuX donde X es unaextension local de X a R3 . Probar que O es la conexion riemannianade Σ .

1.4. O la conexion riemanniana de R3 . Supongamos que Σ ⊂ R3

es una subvariedad con la conexion inducida O . Sea σ : R → Σ unacurva y sea X un campo tangente a Σ a lo largo de σ . Probar que Xes paralelo (OσX = 0) si y solo si OσX es normal a Σ .

1.5. Utilizar los problemas anteriores para probar que el unico pa-ralelo de la 2-esfera que es geodesica es el ecuador.

2. Variedades riemannianas

Definicion 2.1. LLamaremos producto interno de un espacio vec-torial real a una aplicacion 〈−,−〉 : V × V → R bilineal simetrica ydefinida positiva. Una metrica riemanniana asocia a cada p de M


un producto interno 〈−,−〉p : TpM × TpM → R de forma diferen-ciable; es decir, si X, Y son campos tangentes entonces la funcion〈X,Y 〉(p) = 〈Xp, Yp〉 , definida para p ∈ DomX ∩ DomY , es dife-renciable. Un variedad M provista de un metrica riemanniana diremosque es una variedad riemanniana. Con las mismas condiciones de dife-renciabilidad anteriores si cada producto 〈−,−〉p : TpM ×TpM → R esbilineal simetrico y no singular se dice que es una metrica pseudorie-manniana y que (M, 〈−,−〉) es una variedad pseudoriemanniana.

Ejemplo 2.1. En Rn podemos considerar la siguiente metrica: Para

cada p ∈ Rn si u =∑

k uk

(∂∂rk

)p

y v =∑

k vk

(∂∂rk

)p

, entonces se

define la metrica mediante la formula 〈u, v〉p =∑

k ukvk .

Proposicion 2.1. Sea N una variedad con una metrica 〈−,−〉 .Si f : M → N es un inmersion global, entonces f induce una metricariemanniana en M definida por la formula

〈u, v〉p = 〈f∗pu, f∗pv〉fp.

Demostracion. Del hecho de que para cada p ∈ M el productointerno 〈−,−〉f(p) sea bilineal, simetrico y definido positivo, y teniendoen cuenta que Tpf es monomorfismo, se tiene de modo rutinario que〈−,−〉p es un producto interno. Si f : M → N es un inmersion global,entonces por la proposicion 1.1 para cada p ∈M existen cartas x de Men p e y de N en f(p) tal que Domx ⊂ Dom(yf) , yif |Domx = xi para1 ≤ i ≤ m y ademas yif |Domx = 0 para m ≤ i ≤ n . De aquı se deduce

que f |Domx es inyectiva y ademas Tpf(

∂∂xi

)p

=(

∂∂yi

)f(p)

para 1 ≤

i ≤ m . Por lo que la funcion 〈 ∂∂xi, ∂∂xj〉 = 〈 ∂

∂yi, ∂∂yj〉f es diferenciable.

Ahora dados dos campos X, Y definidos en un punto p si tomamoscartas x e y como las anteriores se tiene que si X|Domx =

∑iAi

∂∂xi

,

Y |Domx =∑

j Bj∂∂xj

, entonces 〈X, Y 〉|Domx =∑

i,j AiBj〈 ∂∂xi, ∂∂xj〉 que

es diferenciable. Por lo tanto se tiene que 〈X, Y 〉 es diferenciable.

Definicion 2.2. Se dice que f : M → N es una inmersion isometri-ca si para p ∈ Dom f y u, v ∈ TpM se tiene que 〈u, v〉p = 〈f∗pu, f∗pv〉fp .Si ademas f es un difeomorfismo local diremos que f es una isometrıalocal y si f es un difeomorfismo global de M sobre N diremos que Mes isometrica a N .

Ejemplo 2.2. Si Σk es una subvariedad de Rn entonces la inclusioni : Σk → Rn es una inmersion que induce la siguiente metrica: Para cadap ∈ Σk si u, v ∈ TpΣk , entonces 〈u, v〉p = 〈i∗pu, i∗pv〉ip . Por ejemplo, laesfera unidad Sn−1 tiene estructura natural de variedad riemannianainducida por la inclusion natural Sn−1 → Rn .

Ejemplo 2.3. En Rn+ = (r1, . . . , rn)|rn > 0 podemos conside-

rar la siguiente metrica: Para cada p = (r1, . . . , rn) ∈ Rn+ si u =

VARIEDADES RIEMANNIANAS 123∑k uk

(∂∂rk

)py v =

∑k vk

(∂∂rk

)p, entonces se define 〈u, v〉p = 1

r2n

∑k ukvk .

Esta variedad riemanniana se denomina espacio hiperbolico n-dimensionaly se denota por Hn .

Ejemplo 2.4. En Rn podemos considerar la siguiente metrica: Pa-

ra cada p = (r1, . . . , rn) ∈ Rn si u =∑

k uk

(∂∂rk

)py v =

∑k vk

(∂∂rk

)p,

entonces se define 〈u, v〉p = −u1v1 +∑n

k=2 ukvk . Esta variedad pseu-doriemanniana se denomina espacio de Minkovski n-dimensional y lodenotaremos por Mn .

Recordemos que una producto interno en un espacio vectorial Vcon una base (e1, . . . en) queda determinado por la matriz simetrica(〈ei, ej〉) . De modo similar una metrica riemanniana en el dominiode una carta x queda determinado por las funciones definidas porgij = 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj〉 que llamaremos coeficientes de la metrica respecto de

la carta x . A las representaciones coordenadas las denotaremos porgij = gijx

−1 .

Problemas

2.1. Geometrıa del catenoide y helicoide. Veanse las Figuras 1 2 .a) Probar que el subconjunto

H = (u cos v, u sen v, v)|u, v ∈ Res una subvariedad regular de dimension dos de R3 . A la subvarie-dad regular H la llamaremos Helicoide, demostrar que el Helicoide esdifeomorfo a R2 .

b) Probar que la aplicacion f : R2 → R3 ,

f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z)

es una inmersion no inyectiva y que C =Imf tiene estructura de sub-variedad regular de R3 de dimesion dos. A la subvariedad regular C lallamaremos Catenoide, demostrar que el Cateniode es difeomorfo a uncilindro S1 × R .

c) Probar que la aplicacion del Helicoide en el Catenoide g : H → Cdefinida por

g(u cos v, u sen v, v) = (√

1 + u2 cos v,√


es un difeomorfismo local. ¿Es tambien una aplicacion recubridora?d) Sea φ la carta del Helicoide definida por φ(u cos v, u sen v, v) =

(u, v) . Calcular los coeficientes de la metrica gHij (u, v) del Helicoide.e) Sea ψ la carta del Catenoide cuyo dominio es el subconjunto

(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z)|0 < θ < 2πy esta definida por ψ(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (θ, z) . Calcular loscoeficientes de la metrica gCij(θ, z) del Catenoide.


f) Probar que la aplicacion del Helicoide en el Catenoide g : H → Cdefinida por


1 + u2 cos v,√


es una isometrıa local.

Figura 1. Helicoide

Solucion: a) Definamos la funcion ϕ : R3 → R mediante la formulaϕ(x, y, z) = x sen z − y cos z . Notemos que un punto del helicoideverifica que

x sen z − y cos z = u cos v sen v − u sen v cos v = 0

y recıprocamente si se verifica que x sen z − y cos z = 0 , entonces sihacemos que v = z y suponemos que cos v 6= 0, se tiene que podemostomar u = x

cos v. Entonces

(u cos v, u sen v, v) = (x,x

cos vsen v, z) = (x, y, z)

y de modo similar se procede si sen v 6= 0 . Por lo tanto el heliciode esla fibra del cero de la funcion ϕ .

Si calculamos las derivadas parciales se tiene ∂ϕ∂x

= sen z , ∂ϕ∂y

=

cos z , ∂ϕ∂z

= x cos z + y sen z . Puesto que el seno y el coseno no se

VARIEDADES RIEMANNIANAS 125

Figura 2. Catenoide

anular simultaneamente se tiene que efectivamente el rango es uno yel Helicoide H es una subvariedad regular de R3 . Para lo cual hemosaplicado el teorema 3.2 del capıtulo 2 .

Para ver que es difeomorfo a R2 consideremos la aplicacion h : R2 →H dada por h(u, v) = (u cos v, u sen v, v) . Notemos que inh : R2 → R3

es inyectiva y su matrız jacobiana : cos v −u sen vsen v u cos v

0 1

tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion h es un homeomorfismolocal. Entonces h es un difeomorfismo.

b) Definamos la funcion ψ : R3 → R mediante la formula ψ(x, y, z) =x2 + y2 − cosh2 z . Notemos que un punto del catenoide verifica que

x2 + y2 − cosh2 z = cos2 θ cosh2 z + sen2 θ cosh2 z − cosh2 z = 0

y recıprocamente si se verifica que 0 = x2 + y2 − cosh2 z , entonces(x

cosh z

)2+(

ycosh z

)2= 1 . Por lo tanto existe θ tal que cos θ = x

cosh zy

sen θ = ycosh z

. Entonces

(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) = (x, y, z)


Si calculamos las derivadas parciales se tiene ∂ψ∂x

= 2x , ∂ψ∂y

= 2y ,∂ϕ∂z

= −2 cosh z senh z .Puesto para ningun punto del catenide se anulan todas las derivadas

parciales se sigue que efectivamente el rango es uno y el Catenoide Ces una subvariedad regular de R3 .

Para ver que es difeomorfo a S1 × R consideremos la aplicacionh : R2 → C dada por f(θ, z) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z) . Notemosque in f : R2 → R3 es pediodica en θ y su matrız jacobiana : − sen θ cosh z cos θ senh z

cos θ cosh z sen θ senh z0 1

tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion f es un homeomorfismolocal que factoriza a un difeomorfismo f : S1 ×R → C . Entonces f esun difeomorfismo.

c) Definamos la aplicacion g : H → C por la formula

g(u cos v, y sen v, v) = (√

1 + u2 cos v,√

1 + u2 sen v, arcsenhu) .

La representacion coordenada de este cambio viene dado por θ = v yz = arcsenhu . Por lo que g es diferenciable. La matrız jacobiana(

0 1√1+u2

1 0

)tiene rango dos . Por lo tanto la aplicacion g es un homeomorfismolocal.

En este caso efectivamente se trata de una aplicacion recubridora.Un abierto del catenoide de la forma p ∈ C|θ0 < θ(p) < θ0 + 2πtiene como preimagen la reunion disjunta de abiertos de la forma p ∈H|θ0 + 2(k − 1)π < v(p) < θ0 + 2kπ donde k es un entero ademas larestriccion de g a cada uno de estos abiertos es un homeomorfismo.

d) Sea φ = (u, v) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 .Denotemos por in : H → R3 la inclusion del helicoide en R3 , entoncesse verifica que x in = u cos v y in = u sen v y z in = v . entonces setiene que in∗

∂∂u

= in∗∂∂u

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂u

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂u

(x) ∂∂z

= ∂x in∂u

∂∂x

+∂y in∂u

∂∂y

+ ∂z in∂u

∂∂z

= cos v ∂∂x

+sen v ∂∂x

. Similarmente se tiene que in∗∂∂v

=

in∗∂∂v

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂v

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂v

(x) ∂∂z

= ∂x in∂v

∂∂x

+ ∂y in∂v

∂∂y

+ ∂z in∂v

∂∂z

=

−u sen v ∂∂x

+ u cos v ∂∂x

+ ∂∂z

.Por lo tanto los coeficientes metricos en la carta son los siguientes

gH11(u, v) = 1 gH12(u, v) = 0 gH22(u, v) = 1 + u2

e) Sea ψ = (θ, z) del heliciode y (x, y, z) la carta identidad de R3 .Denotemos por in : C → R3 la inclusion del catenoide en R3 , entoncesse verifica que x in = cos θ cosh z y in = u sen θ cosh z y z in = z . en-tonces se tiene que in∗

∂∂θ

= in∗∂∂θ

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂θ

(y) ∂∂y

+ in∗∂∂θ

(x) ∂∂z

=

3. LONGITUDES DE CURVAS Y VOLUMENES 127

∂x in∂θ

∂∂x

+ ∂y in∂θ

∂∂y

+ ∂z in∂θ

∂∂z

= − sen θ cosh z ∂∂x

+ cos θ cosh z ∂∂x

+ . Simi-

larmente se sigue que in∗∂∂z

= in∗∂∂z

(x) ∂∂x

+ in∗∂∂z

(y) ∂∂y

in∗∂∂z

(x) ∂∂z

=∂x in∂z

∂∂x

+ ∂y in∂z

∂∂y

+ ∂z in∂z

∂∂z

= cos θ senh z ∂∂x

+ sen θ senh z ∂∂x

+ ∂∂z

.

Por lo tanto los coeficientes metricos en la carta son los siguientes

gC11(θ, z) = cosh2 z gC12(θ, z) = 0 gC22(θ, z) = 1 + senh2 z

f) Para ver que g : H → C definida por


1 + u2 cos v,√


es una isometrıa local. Teniendo en cuenta el apartado c) se tieneg∗

∂∂u

= g∗∂∂u

(θ) ∂∂θ

+ g∗∂∂u

(z) ∂∂z

= ∂θg∂u

∂∂θ

+ ∂zg∂u

∂∂z

= 1√1+u2

∂∂z

g∗∂∂v

= g∗∂∂v

(θ) ∂∂θ

+ g∗∂∂v

(z) ∂∂z

= ∂θg∂v

∂∂θ

+ ∂zg∂v

∂∂z

= ∂∂θ

Ahora facilmente se comprueba que〈g∗ ∂

∂u, g∗

∂∂u〉 = 〈 1√

1+u2

∂∂z, 1√

1+u2

∂∂z〉 = 1

1+u2 〈 ∂∂z ,∂∂z〉

= 11+u2 (1 + senh2 z) = 1

〈g∗ ∂∂v , g∗∂∂v〉 = 〈 ∂

∂θ, ∂∂θ〉 = cosh2 z = 1 + u2

En los demas casos los coeficientes metricos son iguales a cero.

3. Longitudes de curvas y volumenes

Definicion 3.1. Sea σ : R → M una curva en una variedad rie-manniana. Sea un intervalo [a, b] ⊂ Domσ . La longitud de la curvaentre a y b se define como la integral

lba =

∫ b

a

〈σ, σ〉12dt.

Sea V un espacio vectorial con un producto interno. Si (e1, . . . , em)es una base ortonormal de V , entonces el volumen del paralepıpe-do expandido por v1 =

∑a1jej, . . . , vm =

∑amjej viene dado por

vol(v1, . . . , vm) = det(aij) . Notemos que

gij = 〈vi, vj〉 = 〈∑k

aikek,∑l

ajlel〉 =∑

aikajlδkl =∑k

aikajk

De donde deducimos que vol(v1, . . . , vm) =√

det(gij) donde el signo delvolumen se puede tomar positivo si det(aij) > 0 o negativo si det(aij) <0 .

Recordemos tambien que si respecto una base v1, . . . , vm tenemoslos coeficientes gij = 〈vi, vj〉 y respecto a otra base w1, . . . , wm losnuevos coeficientes hij = 〈wi, wj〉 . Si ws =

∑l cslvl entonces hij =

〈∑

k cikvk,∑

l cjlvl〉 =∑

kl cikgklcjl .Sea R una“region” contenida en el dominio de una carta x donde

los coeficientes metricos son gij = gijx−1 , entonces el volumen de esta

region se define como

vol(R) =

∫xR

√det(gij(r)) dr1 . . . drm .


El volumen es independiente de la carta elegida supongamos que Resta contenido en el dominio de una carta y con coeficientes metricoshij = hijy

−1 y con misma orientacion que x ; es decir, det(∂xi

∂yj) > 0 .

Al realizar el cambio r = xy−1(s) se tiene que∫xR

√det(gkl(r)) dr1 . . . drm

=

∫yR

|det(∂ri∂sj

)|√

det(gkl(xy−1(s))) ds1 . . . dsm

=

∫yR

√det

(∂xi∂yk

)y−1(s)

det(gkl(y−1(s)))det

(∂xl∂yj

)y−1(s)

ds1 . . . dsm

=

∫yR

√det(hij(s)) ds1 . . . dsm .

Problemas

3.1. Calcular el area de la 2-esfera de radio r > 0 .

3.2. Calcular el area del plano proyectivo obtenido a partir de la2-esfera de radio r > 0 .

4. Conexiones riemannianas

Definicion 4.1. Se dice que una conexion lineal O sobre una va-riedad M es simetrica si para X, Y campos tangentes a M se verificaque

OXY − OYX = [X, Y ].

Se dice que una conexion lineal O sobre una variedad riemanniana(M, 〈−,−〉) es compatible con la metrica si para X, Y, Z campos tan-gentes a M se verifica que

X〈Y, Z〉 = 〈OXY, Z〉+ 〈X,OXZ〉.

En una variedad riemanniana una conexion riemanniana es una cone-xion simetrica y compatible con la metrica.

Proposicion 4.1. Una conexion O es simetrica si y solo si paracada carta los sımbolos de Christoffel satisfacen que Γkij = Γkji .

Demostracion. Supongamos que

O ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkij∂

∂xk

O ∂∂xj

∂

∂xi=∑k

Γkji∂

∂xk


Entonces por ser la conexion simetrica

O ∂∂xi

∂

∂xj− O ∂

∂xj

∂

∂xi=

[∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

Se donde se concluye que Γkji = Γkij . El recıproco se prueba sin dificul-tad.

Proposicion 4.2. La metrica de una variedad riemanniana induceun isomorfismo canonico entre el fibrado tangente y el cotangente.

Demostracion. Supongamos que u ∈ TpM Entonces considere-mos la aplicacion lineal θ(u) : T ∗pM → R definida por θ(u)(v) = 〈u, v〉p .Por ser el producto interno no singular, se tiene que θ : TM → T ∗Mes una biyeccion que preserva fibras y es lineal en cada una de ellas.Ademas para x carta de M se tiene que gij = 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj〉 son funcio-

nes diferenciables. Entonces el cambio de cartas ∗xθx−1((r1, · · · , rm),(s1, · · · .sm)) = ((r1, · · · , rm), (

∑sigi1(r), · · · .

∑sigim(r))) es un difeo-

morfismo. Por lo tanto θ es un difeomorfismo global y sobreyectivo.

Como consecuencia del resultado anterior en una variedad rieman-niana una 1-forma determina un unico campo y recıprocamente.

Teorema 4.1. (Levi-Civita) Dada una variedad riemanniana Mentonces existe una unica conexion simetrica compatible con su metricadeterminada por la siguiente expresion:

〈Z,OYX〉 = 12(X〈Y, Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉−〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)

Demostracion. Una conexion compatible con la metrica paracampos X, Y, Z debe verificar las formulas:

X〈Y, Z〉 = 〈OXY, Z〉+ 〈Y,OXZ〉(4.1)

Y 〈Z,X〉 = 〈OYZ,X〉+ 〈Z,OYX〉Z〈X,Y 〉 = 〈OZX, Y 〉+ 〈X,OZY 〉

De estas, aplicando que O es simetrica, se infiere queX〈Y, Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉 = 〈[X,Z], Y 〉+ 〈[Y, Z], X〉+ 〈[X, Y ], Z〉

+2〈Z,OYX〉de donde se obtiene que

〈Z,OYX〉 =1

2(X〈Y, Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉(4.2)

− 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)Entonces cualquier conexion riemanniana debe verificar la formula an-terior. Es importante observar que para cada par de campos X, Y eloperador

ω(Z) = 12(X〈Y, Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉−〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X,Y ], Z〉)


es lineal respecto funciones diferenciables con valores reales, en efecto:

ω(fZ) =1

2(X〈Y, fZ〉+ Y 〈fZ,X〉 − fZ〈X, Y 〉

− 〈[X, fZ], Y 〉 − 〈[Y, fZ], X〉 − 〈[X,Y ], fZ〉)

=1

2(fX〈Y, Z〉+ fY 〈Z,X〉 − fZ〈X, Y 〉+Xf〈Y, Z〉+ Y f〈Z,X〉

− f〈[X,Z], Y 〉 − f〈[Y, Z], X〉 − f〈[X, Y ], Z〉− 〈XfZ, Y 〉 − 〈Y fZ,X〉)= fω(Z)

donde hemos aplicado la formula dada en el ejercicio 2.4 del capıtulo6. Tambien se comprueba facilmente que ω(Z + Z ′) = ω(Z) + ω(Z ′) .

Si suponemos que O,O′ son conexiones riemannianas, para X, Ycampos tangentes se tiene que 〈−,OYX〉 = ω = 〈−,O′

YX〉 . De lasproposiciones 2.3 (capıtulo 6) y 4.2 , se sigue que OYX = O′

YX .Para probar la existencia, notemos que cada dos campos X, Y de-

terminan una 1-forma ω . Teniendo en cuenta la proposicion 2.3 delcapıtulo 6 y la anterior proposicion 4.2 , se obtiene que los camposX, Y determinan un unico nuevo campo OYX verificando la formula4.2 .

Es inmediato que se verifican la propiedades lineales C1, C2 . Paraprobar C3 consideremos

〈Z,OY fX〉 =1

2(fX〈Y, Z〉+ Y 〈Z, fX〉 − Z〈fX, Y 〉

− 〈[fX,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], fX〉 − 〈[fX, Y ], Z〉)Teniendo en cuenta que

Y 〈Z, fX〉 = Y f〈Z,X〉+ fY 〈Z,X〉−Z〈fX, Y 〉 = −Zf〈X, Y 〉 − fZ〈X, Y 〉

−〈[fX,Z], Y 〉 = Zf〈X, Y 〉+ f〈[Z,X], Y 〉−〈[fX, Y ], Z〉 = Y f〈X,Z〉+ f〈[Y,X], Z〉

se tiene que

〈Z,OY fX〉 = f〈Z,OYX〉+1

2(2Y f〈Z,X〉)

= 〈Z, fOYX + Y fX〉Por lo tanto OY fX = fOYX + Y fX y se verifica la propiedad C3 .

La comprobacion de que esta conexion es simetrica se obtiene res-tando terminos en las siguientes formulas:

〈Z,OYX〉 = 12(X〈Y, Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z〈X, Y 〉−〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉)

〈Z,OXY 〉 = 12(Y 〈X,Z〉+X〈Z, Y 〉 − Z〈Y,X〉−〈[Y, Z], X〉 − 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y,X], Z〉)

CONEXIONES RIEMANNIANAS 131

lo que implica que

〈Z,OYX − OXY 〉 = 〈[Y,X], Z〉 = 〈Z, [Y,X]〉para todo Z . Por lo tanto OYX − OXY = [Y,X] .

Ahora sumando

〈OXY, Z〉 = 12(Y 〈X,Z〉+X〈Z, Y 〉 − Z〈Y,X〉−〈[Y, Z], X〉 − 〈[X,Z], Y 〉 − 〈[Y,X], Z〉)

〈Z,OXY 〉 = 12(Z〈X, Y 〉+X〈Y, Z〉 − Y 〈Z,X〉−〈[Z, Y ], X〉 − 〈[X, Y ], Z〉 − 〈[Z,X], Y 〉)

se sigue que la conexion es riemanniana

〈OXY, Z〉+ 〈Z,OXY 〉 = X〈Y, Z〉

Si en la expresion anterior tomamos Z = ∂∂xl

, Y = ∂∂xj

y X = ∂∂xi

se obtiene que ∑k

Γkjiglk =1

2

(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj

− ∂gij∂xl

)Si denotamos por (glm) la matriz inversa de la matriz (glm) se obtieneque ∑

k,l

Γljigklglm =

1

2

∑l

glm(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj

− ∂gij∂xl

)y por lo tanto:

Γmji =1

2

∑l

glm(∂gjl∂xi

+∂gli∂xj

− ∂gij∂xl

)Problemas

4.1. Considerar en R2 \ (0, 0) la carta inclusion que tiene comocoordenadas x, y . Supongamos que la metrica viene dada por

(gij) =

( 1x2+y2

0

0 1x2+y2

)a) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por

Γ111 = − x

x2 + y2

Γ112 = − y

x2 + y2= Γ1

21

Γ122 =

x

x2 + y2

Γ211 =

y

x2 + y2

Γ212 = − x

x2 + y2= Γ2

21


Γ222 = − y

x2 + y2

y que el sistema de ecuaciones diferenciales de las de las geodesicas esel siguiente:

− x x′2

x2 + y2− 2 y x′ y′

x2 + y2+

x y′2

x2 + y2+ x′′ = 0

y x′2

x2 + y2− 2x x′ y′

x2 + y2− y y′2

x2 + y2+ y′′ = 0

donde x′ = dxdt

, x′′ = d2x(dt)2

y analogamente para y .

b) Estudiar si la curvas α : R → R2\(0, 0) dada por α(t) = et(cos t, sen t) ,β : R → R2 \ (0, 0) dada por β(t) = (cos t, sen t) y γ(t) = (et, 0) songeodesicas de la variedad.

Solucion: a) La matrız inversa (gij) tiene como coeficientes

g11 = x2 + y2 = g22

g12 = 0 = g21


∂g11

∂x= − 2x

(x2 + y2)2=∂g22

∂x∂g11

∂y= − 2y

(x2 + y2)2=∂g22

∂yaplicando las formulas se obtienen

Γ111 =

1

2g11∂g11

∂x= − x

x2 + y2

Γ112 =

1

2g11∂g11

∂y= − y

x2 + y2= Γ1

21

Γ122 = −1

2g11∂g22

∂x=

x

x2 + y2

Γ211 = −1

2g22∂g11

∂y=

y

x2 + y2

Γ212 =

1

2g22∂g22

∂x= − x

x2 + y2= Γ2

21

Γ222 =

1

2g22∂g22

∂y= − y

x2 + y2

Llamando x e y a las coordenadas de los puntos de la curva seobtiene

a =d2x

dt2+

(dx

dt

)2(− x

x2 + y2

)+2

dx

dt

dy

dt

(− y

x2 + y2

)+

(dy

dt

)2(x

x2 + y2

)= 0


b =d2y

dt2+

(dx

dt

)2(y

x2 + y2

)+2

dx

dt

dy

dt

(− x

x2 + y2

)+

(dy

dt

)2(− y

x2 + y2

)= 0

b)Para la curva α tenemosx = et cos t y = et sen tx′ = et cos t− et sen t y′ = et sen t+ et cos tx′′ = −2et sen t y′′ = 2et cos t(x′)2 = e2t(cos t− sen t)2 (y′)2 = e2t(sen t+ cos t)2

x2 + y2 = e2t x′y′ = e2t(cos2 t− sen2 t)De donde se tiene quea = 2et sen t− et cos t(cos2 t+ sen2 t− 2 sen t cos t)−2et sen t(cos2 t− sen2 t) + et cos t(cos2 t+ sen2 t+ 2 sen t cos t)= −2et sen t+ 2et sen3 t+ 2et sen t cos2 t= 2et sen t(−1 + cos2 t+ sen2 t) = 0

b = 2et cos t+ et sen t(cos2 t+ sen2 t− 2 sen t cos t)−2et cos t(cos2 t− sen2 t) + et sen t(cos2 t+ sen2 t+ 2 sen t cos t)= 2et cos t− 2et cos3 t− 2et sen2 t cos t= 2et cos t(1− cos2 t− sen2 t) = 0

Por lo tanto α es una geodesica.Para la curva β tenemosx = cos t y = sen tx′ = − sen t y′ = cos tx′′ = − cos t y′′ = − sen t(x′)2 = sen2 t (y′)2 = cos2 tx2 + y2 = 1 x′y′ = − sen t cos t

De donde se tiene quea = − cos t− cos t sen2 t+ 2 sen2 t cos t+ cos3 t

= cos t(−1 + cos2 t+ sen2t) = 0b = − sen t+ sen3 t+ 2 sen t cos2 t− sen t cos2 t

= sen t(−1 + cos2 t+ sen2 t) = 0Por lo tanto β es tambien una geodesica.Finalmente y de modo casi obvio se comprueba que γ es una geodesi-

ca.

Cartas de Clairaut de una superficie. Sea x una carta deuna superficie con una metrica riemannianna que sera denotada porE = g1 1x

−1 , F = g1 2x−1 = g2 1x

−1 , G = g2 2x−1 . Utilizaremos las

notaciones Γkij = Γkijx−1 para los sımbolos de Christoffel. Denotaremos

las coordenadas por u = pr1x , v = pr2x. Una carta se dira que es deClairaut si se tiene que Eu = Gu = F = 0 .

4.2. Comprobar que para una superficie las geodesicas estan deter-minadas por las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

u′′ + Γ111u

′2 + 2Γ112u

′v′ + Γ122v

′2 = 0


v′′ + Γ111u

′2 + 2Γ212u

′v′ + Γ222v

′2 = 0

4.3. Demostrar que para una carta de Clairaut los sımbolos de ch-ristoffel verifican:

Γ111 = 0, Γ2

11 =−Ev2G

,

Γ112 =

Ev2E

, Γ212 = 0,

Γ122 = 0, Γ2

22 =Gv

2G.

Demostracion: Recordemos que los sımbolos de Christoffel vienendados por

Γmij =1

2

∑k

(∂gjk∂xi

+∂gki∂xj

− ∂gij∂xk

)gkm

En este caso se tiene que

g11 =1

Eg12 = g21 = 0 g22 =

1

G

de donde se deduce que:

Γ111 =

1

2

(∂g11

∂u

)g11 =

1

2Eug

11 = 0

Γ211 =

1

2

(− ∂g11

∂v

)g22 =

−Ev2G

Γ112 =

1

2

(∂g11

∂v

)g11 =

Ev2G

Γ212 =

1

2

(∂g22

∂u

)g22 =

1

2Gug

22 = 0

Γ122 =

1

2

(− ∂g22

∂u

)g11 = −1

2Gug

22 = 0

Γ222 =

1

2

(∂g22

∂v

)g22 =

Gv

2G

4.4. Demostrar que para una carta de Clairaut las ecuaciones geodesi-cas se reducen a

u′′ +EvEu′v′ = 0

v′′ − Ev2G

u′2+Gv

2Gv′

2= 0

Solucion: Basta sustituir los valores encontrados de los sımbolos deChristoffel en la ecuacion de la geodesicas.a


4.5. Sea σ : R → S una geodesica en una superficie S y supongamosque tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t)), para un valordel parametro t supongamos que en σ(t) el angulo que forma el vectortangente y ∂

∂ues θ. Probar que a lo largo de la geodesica se verifica que√

E cos θ = Eu′ =constante.Solucion: Notemos que

√E cos θ = 〈 ∂

∂u, u′

∂

∂u+ v′

∂

∂v〉 = u′E

Por otra parte

d(Eu′)

dt= (Euu

′ + Evv′)u′ + Eu′′ = Eu′′ + Evu

′v′ = 0

4.6. Sea σ : R → S una curva en una superficie S y supongamos quetenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t) . Entonces (u(t), v(t)representa una geodesica si y solo si existe una constante c tal que severifican las ecuaciones de primer orden:

u′ =c

E

v′ =

√E − c2√EG

.

Solucion: La primera se ha obtenido en el ejecicio anterior. Por otrolado sabemos que

1 = 〈σ, σ〉 = E(u′)2 +G(v′)2 =c2

E+G(v′)2

de aquı se obtiene que

v′ =

√E − c2√EG

Recıprocamente si suponemos que se satisfacen las ecuaciones anterio-res derivando se obtienen las ecuaciones de las geodesicas.

4.7. Sea σ : R → S una curva en una superficie S y supongamosque tenemos una carta de Clairaut, xσ(u) = (u, v(u)) . Entonces, salvoparametrizacion correcta, la curva v = v(u) representa una geodesicasi y solo si existe una constante c para la cual se verifiva la ecuacion:

dv

du=

√E√E − c2

c√G

4.8. Probar que en el semiplano superior con la metrica de PoincareE = G = 1

v2, salvo parametrizaciones, la ecuacion de las geodesicas no

verticales es

dv

du=

√1v2− c2

cCalcular las geodesicas del plano hiperbolico.


4.9. Dada una superficie de revolucion

(φ(v) cosu, φ(v) senu, ψ(v))|u, v ∈ RProbar que la metrica viene determinada por E = φ(v)2 , F = 0 ,

G = φ′(v)2 +ψ′(v)2 y que la ecuacion de las geodesicas viene dada por

dv

du=φ√φ2 − c2

c√φ′2 + ψ′2

.

5. Curvatura

Definicion 5.1. El tensor curvatura R de una variedad riemannia-na M es una correspondencia que a cada par de campos X,Y le asociaun operador R(X, Y ) que transforma cada campo Z en un campo de-notado por R(X, Y )Z definido por la expresion:

R(X,Y )Z = OY OXZ − OXOYZ + O[X,Y ]Z

donde O es la conexion riemanniana de M .

Proposicion 5.1. Sean X,Y, Z,W campos tangentes y f, g fun-ciones diferenciables con valores reales, entonces

R(fX + gY, Z) = fR(X,Z) + gR(Y, Z)

R(X, fY + gZ) = fR(X, Y ) + gR(X,Z)

R(X, Y )(fZ + gW ) = fR(X, Y )Z + gR(X, Y )W

Demostracion. Es facil ver que son lineales respecto escalaresreales. Para funciones se tiene:

R(fX, Y )Z = OY OfXZ − OfXOYZ + O[fX,Y ]Z

= OY fOXZ − OfXOYZ + Of [X,Y ]−Y fXZ

= Y fOXZ + fOY OXZ − fOXOYZ + Of [X,Y ]Z + O−Y fXZ

= fOY OXZ − fOY OXZ + fO[X,Y ]Z

= fR(X, Y )Z

Para la variable Y se sigue facilmente R(X, fY ) = −R(fY,X) =−fR(Y,X) = fR(X, Y ) . Para la variable Z se tiene:

R(X, Y )fZ = OY OXfZ − OXOY fZ + O[X,Y ]fZ

Los terminos de la derecha verifican

OY OXfZ = OY (XfZ + fOXZ)

= Y XfZ +XfOYZ + Y fOXZ + fOY OXZ

−OXOY fZ = −OX(Y fZ + fOYZ)

= −XY fZ − Y fOXZ −XfOYZ − fOXOYZ

O[X,Y ]fZ = [X, Y ]fZ + fO[X,Y ]Z

Sumando se tiene que R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z .

5. CURVATURA 137

Lema 5.1. Si uno de los campos X, Y, Z se anula en un punto p ,entonces R(X, Y )Z tambien se anula en p .

Demostracion. Como en algunas demostraciones anteriores, delhecho de que R(X, Y )Z sea lineal en cada variable se sigue como esusual que si U es un abierto de la variedad entonces (R(X, Y )Z)|U =R(X|U , Y )Z = R(X, Y |U)Z = R(X, Y )(Z|U) . En el dominio U de una

carta x se tiene que si por ejemplo X|U =∑

i fi

(∂∂xi

), entonces

(R(X, Y )Z)|U =R(X|U , Y )Z = R(∑i

fi

(∂

∂xi

), Y )Z

=∑i

fiR(

(∂

∂xi

), Y )Z .

Si p ∈ U ∩DomX ∩DomY ∩DomZ y Xp = 0 , se tiene que fi(p) = 0para i ∈ 1, · · · ,m . Por lo tanto (R(X, Y )Z)p = ((R(X, Y )Z)|U)p =

(R(X|U , Y )Z)p =∑

i fi(p)((R((

∂∂xi

), Y )Z

)p

= 0 .

Como consecuencia del lema anterior si u, v, w son vectores tangen-tes en el punto p , podemos definir el vector tangente R(u, v)w toman-do campos U, V,W tales que Up = u , Vp = v , Wp = w y definiendoR(u, v)w = (R(U, V )W )p .

El tensor curvatura verifica las propiedades siguientes:

Proposicion 5.2. (Identidad de Bianchi) Sean X, Y, Z campostangentes, entonces

R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = 0.

Demostracion. De la definicion del tensor curvatura se tiene que

R(X, Y )Z = OY OXZ − OXOYZ + O[X,Y ]Z

R(Y, Z)X = OZOYX − OY OZX + O[Y,Z]X

R(Z,X)Y = OXOZY − OZOXY + O[Z,X]Y

Sumando se obtiene

R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = OY [X,Z] + OX [Z, Y ] + OZ [Y,X]

− O[Y,X]Z − O[Z,Y ]X − O[X,Z]Y

= [Y [X,Z]] + [X, [Z, Y ]] + [Z[Y,X]]

= 0

Proposicion 5.3. Sean X, Y, Z, T campos tangentes, entonces(i) 〈R(X, Y )Z, T 〉+ 〈R(Y, Z)X,T 〉+ 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 0 ,(ii) 〈R(X, Y )Z, T 〉 = −〈R(Y,X)Z, T 〉 ,(iii) 〈R(X,Y )Z, T 〉 = −〈R(X,Y )T, Z〉 ,(iv) 〈R(X, Y )Z, T 〉 = 〈R(Z, T )X, Y 〉 .


Demostracion. La propiedad (i) se sigue de la identidad de Bian-chi y la (ii) es consecuencia inmediata de la definicion. La propiedad(iii) es equivalente a ver que 〈R(X, Y )Z,Z〉 = 0 . Entonces

〈R(X,Y )Z,Z〉 = 〈OY OXZ − OXOYZ + O[X,Y ]Z,Z〉= 〈OY OXZ,Z〉 − 〈OXOYZ,Z〉+ 〈O[X,Y ]Z,Z〉= Y 〈OXZ,Z〉 − 〈OXZ,OYZ〉 −X〈OYZ,Z〉

+ 〈OYZ,OXZ〉+1

2[X, Y ]〈Z,Z〉

=1

2Y (X〈Z,Z〉)− 1

2X(Y 〈Z,Z〉) +

1

2[X, Y ]〈Z,Z〉

= −1

2[X, Y ]〈Z,Z〉+

1

2[X,Y ]〈Z,Z〉

= 0

Para probar (iv), tenemos que de la (i) se sigue que

〈R(X, Y )Z, T 〉+ 〈R(Y, Z)X,T 〉+ 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 0

〈R(Y, Z)T,X〉+ 〈R(Z, T )Y,X〉+ 〈R(T, Y )Z,X〉 = 0

〈R(Z, T )X, Y 〉+ 〈R(T,X)Z, Y 〉+ 〈R(X,Z)T, Y 〉 = 0

〈R(T,X)Y, Z〉+ 〈R(X, Y )T, Z〉+ 〈R(Y, T )X,Z〉 = 0

Sumando se obtiene que 2〈R(Z,X)Y, T 〉+2〈R(Y, T )X,Z〉 = 0 . Por lotanto 〈R(Z,X)Y, T 〉 = 〈R(Y, T )Z,X〉 . De donde se deduce la propie-dad (iv) .

Denotemos por |u|2 = 〈u, u〉 y por |u ∧ v| =√|u|2|v|2 − 〈u, v〉2 .

Proposicion 5.4. Sea σ un subespacio bidimensional real, u, vuna base de σ y supongamos que tenemos un producto interno y unoperador R satisfaciendo las propiedades anteriores, entonces

〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

es independiente de la base elegida.

Demostracion. Realicemos un cambio de base u′ = au + bv ,v′ = cu+dv . De los 16 terminos que se generan al aplicar que 〈R(au+bv, cu+ dv)au+ bv, cu+ dv〉 si se tienen en cuenta las propiedades deltensor quedan los cuatro terminos siguientes:

〈R(u′, v′)u′, v′〉 =adad〈R(u, v)u, v〉+ adbc〈R(u, v)v, u〉+ bcad〈R(v, u)u, v〉+ bcbc〈R(v, u)v, u〉

=〈R(u, v)u, v〉(a2d2 − 2adbc+ b2c2)

=(ab− cd)2〈R(v, u)u, v〉

5. CURVATURA 139

Por otra parte |(au + bv) ∧ (cu + dc)|2 = (ad − bc)2|u ∧ v|2 . Deaquı teniendo en cuenta que en el cambio de base se verifica que ad−bc 6= 0 se tiene que

(5.1)〈R(u′, v′)u′, v′〉|u′ ∧ v′|2

=(ad− bc)2〈R(u, v)u, v〉

(ad− bc)2|u ∧ v|2=〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

Definicion 5.2. Sea M una variedad riemanniana y σ un subespa-cio bidimensional de TpM , llamaremos curvatura seccional o curvaturade Riemann de σ a numero real

K(σ) =〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2

donde u, v es una base del subsepacio σ de TpM .

Dada una carta x de una variedad riemanniana, utilizaremos lassiguientes funciones que determinan el tensor curvatura

R

(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk=∑l

Rlijk

∂

∂xl

Rijks = 〈R(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk,∂

∂xs〉

No es difıcil comprobar que

Rlijk =

∑s

ΓsikΓljs −

∑s

ΓsjkΓlis +

∂Γlik∂xj

−∂Γljk∂xi

.

Rijks =∑l

Rlijkgls .

Senalaremos tambien que en el caso de 2-variedades riemannianas,en el dominio de una carta x la curvatura seccional se puede calcularcon la formula

K =R1212

g11g22 − g212

.

Es frecuente utilizar ciertas combinaciones de la curvatura seccio-nal. Por ejemplo, si u es un vector unitario u consideramos una baseortonormal u1, · · ·um−1 del hiperplano ortogonal de u en TpM si seconsideran los promedios

Ric(u) =1

m− 1

m−1∑i=1

〈R(u, ui, )u, ui)〉

KE =1

m

m∑j=1

Ric(uj) =1

m(m− 1)

∑i j

R(ui, uj, )ui, uj)〉


se obtiene la curvatura de Ricci en la direccion u en el punto p y la lacurvatura escalar en el punto p . Notemos que en principio las curva-turas anteriores no estan bien definidas ya que dependen de como secomplete la base ortonormal. La siguiente proposicion da una definicionintrınseca que prueba que estan bien definidas.

Si V es un espacio vectorial de dimension finita. Una aplicacion li-neal h : V → V tiene asociada el invariante denomiado traza y que de-notaremos por Tr(h) que se define mediante la formula Tr(h) =

∑mi=1 aii

si (aij) es la matriz de h respecto una base v1, · · · , vm del espacio vec-torial.

Sean ahora u, v ∈ TpM de una variedad riemanniana M . Con-sideremos la aplicacion lineal R(u,−)v : TpM → TpM definida porR(u,−)v(w) = R(u,w)v donde R es el tensor curvatura.

Lema 5.2. Sea M una variedad riemanniana con tensor de curva-tura R .

(i) La aplicacion Q : TpM × TpM → R dada por

Q(u, v) = Tr(R(u−)v)

es bilineal y simetrica.(ii) Para u ∈ TpM de norma uno, se tiene que

Ric(u) =1

(m− 1)Q(u, u) .

(iii) Sea E es la aplicacion lineal autoadjunta de la forma bilinealQ ; esto es 〈E(u), v〉 = Q(u, v) . Entonces la curvatura escalarviene dada por

KE = Tr(E) .

Demostracion. El hecho que Q sea bilineal es una comprobacionrutinaria. Para ver que es simetrica sea u1, · · · , un una base ortonormalde TpM , entonces

Q(u, v) =∑i

〈R(u, ui)v, ui〉 =∑i

〈R(v, ui)u, ui〉 = Q(v, u) .

Notemos ademas si u = um se tiene que Q(u, u) = (m− 1) Ric(u) .Por otra parte se tiene que

Tr(E) =∑

i〈E(ui), ui〉 =∑

iQ(ui, ui)

= (m− 1)∑

i Ric(ui) = m(m− 1)KE

Nosotros llamaremos tensor de Ricci a la forma bilineal simetrica Q

y los diremos que las funciones Qi k = Q(

∂∂xi, ∂∂xj

)son los coeficientes

del tensor de Ricci .

CURVATURA 141

Una carta x de la variedad riemanniana M induce los campos coor-denados usuales. La forma bilineal Q queda deteminada por los valores

Qi k = Q

(∂

∂xi,∂

∂xj

)=∑j

Rji j k

Sea u un vector unitario tangente en el punto p; es decir si u =∑i ai

(∂∂xi

)y∑

ij aigijaj = 1 , entonces la curvatura de Ricci viene

dada por

Ric(u) =1

m− 1

∑i k

aiQi kak

Observemos que puesto que la aplicacion bilineal autoadjuntaE : TpM →TpM verifica que Q(u, v) = 〈E(u), v〉 . De donde se obtiene que la cur-vatura escalar viene dada por

KE =1

m(m− 1)

∑i k

Qi kgi k

Problemas

5.1. Considerar en R2 \ (0, 0) la carta inclusion que tiene comocoordenadas x, y . La metrica viene dada por

(gij) =

( 1x2+y2

0

0 1x2+y2

)Los coeficientes de Christoffel vienen dados por

Γ111 = − x

x2 + y2

Γ112 = − y

x2 + y2= Γ1

21

Γ122 =

x

x2 + y2

Γ211 =

y

x2 + y2

Γ212 = − x

x2 + y2= Γ2

21

Γ222 = − y

x2 + y2

Probar que la curvatura seccional es nula.

Solucion:La curvatura seccional en dimension dos viene dada por la formula

K =R1212

g11g22 − g212

=R1212

g11g22


Ademas el coeficiente del numerador viene dado por

R1212 = R1121g12 +R2

121g22 = R2121g22

Para calcular la curvatura necesitamos el coeficiente R2121 .

R2121 = Γ1

11Γ221 + Γ2

11Γ222 − (Γ1

21Γ211 + Γ2

21Γ212) +

∂Γ211

∂y− ∂Γ2

21

∂x

Teniendo en cuenta que

Γ111 = Γ2

21 = Γ212,

Γ211 = −Γ2

22 = −Γ112 = Γ2

11 ,

∂Γ211

∂y=∂Γ2

21

∂x

se obtiene R2121 = 0 . De aqui se sigue que K = 0 .

5.2. Sea U = (x, y)|x2 + y2 < 1 el disco unidad y considerarla metrica cuyos coeficientes son g11 = 4

(1−(x2+y2))2, g12 = g21 = 0 y

g22 = 4(1−(x2+y2))2

.

i) Calcular los coeficientes de Christoffel.ii) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.iii) Calcular la curvatura seccional.

5.3. Sea M el paraboloide de ecuacion z = x2+y2 y sea j : M → R3

la inclusion canonica.

i) Calcular los coeficientes de la metrica inducida por j en el lavariedad M .

ii) Calcular los coeficientes de Christoffel.iii) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.iv) Calcular la curvatura seccional.

6. Miscelanea

6.1. Considerar la subvariedad E de R2 de ecuacion (xa)2 + (y

a)2 +

( zc)2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es el elipsoide E

menos el subconjunto (x, y, z) ∈ E|y = 0 x ≤ 0 y es tal quex = a cos θ cosφ y = a cos θ senφ z = c sen θ y su codominio es(−π, π)× (−π

2, π

2) .

a) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son:g11 = a2 cos2 θ, g12 = 0 = g21, g22 = a2 cos2 θ + c2 cos2 θ .


Γ111 = 0 Γ1

12 = − tan θ = Γ121 Γ1

22 = 0

Γ211 =

a2 sen 2θ

2(a2 sen2 θ + c2 cos2 θ)

6. MISCELaNEA 143

Γ212 = 0 = Γ2

21

Γ222 =

(a2 − c2) sen 2θ

2(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ)


K =c2

(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ)2

6.2. Considerar la subvariedad H de R2 de ecuacion x2 + y2− z2 =1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es H menos el subconjunto(x, y, z) ∈ H|y = 0 x ≤ 0 y es tal que x = cosh θ cosφ y =cosh θ senφ z = senh θ y su codominio es (−π, π)× (1,+∞) .

a) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son:g11 = cosh2 θ, g12 = 0 = g21, g22 = cosh2 θ + senh2 θ .


Γ111 = 0

Γ112 = tanh θ = Γ1

21

Γ122 = 0

Γ211 = −1

2tanh 2θ

Γ212 = 0 = Γ2

21

Γ222 = tanh 2θ

c) Encontrar la ecuacion diferencial de las geodesicas.d) Calcular la curvatura seccional en los puntos de la carta.

Solucion: Se trata de calculos rutinarios. En los apartados a) y b)ya se ha incluido la solucion.

c) Las ecuaciones de las geodesicas es la siguiente

d2φ

dt2+ 2

dφ

dt

dθ

dttanh θ = 0

d2θ

dt2− 1

2

(dφ

dt

)2

tanh 2θ +

(dθ

dt

)2

tanh 2θ = 0

d)Se obtiene que

R2121 = −1

2(tanh 2θ)2 +

1

2tanh(θ) tanh(2θ)− 1

(cosh 2θ)2= − (cosh θ)2

(cosh 2θ)2

K =R1212

g11g22 − g212

=R2

121g22

g11g22

=R2

121

g11

= − 1

(cosh 2θ)2


6.3. Sea la superficie de R3 que tiene ecuacion a ez cos(a x)−cos(a y) =0 . Consideremos la carta (u, v) : M → R2 tal que

Dom(u, v) = (x, y, z)|a ez cos(a x)− cos(a y) = 0, cos a x 6= 0

y tal que u = x, v = ya) Probar que los coeficientes metricos en la carta anterior son lossiguientes:

g11 = 1 + a2 tan2(a u), g12 = −a2(tan a u)(tan a v) = g21, g22 =1 + a2 tan2(a v) .b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por

Γ111 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

Γ112 = 0 = Γ1

21

Γ122 = −


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

11 = −(


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

12 = 0 = Γ221

Γ222 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)


K = −

(a4 sec2(a u) sec2(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)Solucion: a) Ya hemos visto en el ejercio anterior que puesto que

x in = u ,y in = v y z in = log cos(a v)a cos(a u)

se tiene que

in∗p

(∂

∂u

)p

=

(∂

∂x

)p

+ (a tan au)p

(∂

∂z

)p

in∗p

(∂

∂v

)p

=

(∂

∂y

)p

− (a tan av)p

(∂

∂z

)p

de donde se obtiene queg11 = 1 + a2 tan2(a u) g12 = g21 = −a2(tan a u)(tan a v) g22 =

1 + a2 tan2(a v)b) La matriz inversa tiene como coeficientes

6. MISCELaNEA 145

g11 =1 + a2 tan2(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

g12 =a2 tan(a u) tan(a v)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= g21

g22 =1 + a2 tan2(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)


∂g11

∂u= 2 a3 sec2(a u) tan(a u)

∂g22

∂v= 2 a3 sec2(a u) tan(a v)

∂g11

∂v= 0 =

∂g22

∂u

∂g12

∂u= −

(a3 sec2(a u) tan(a v)

)=∂g21

∂u

∂g12

∂v= −


)=∂g21

∂vaplicando las formulas se obtienen

Γ111 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

Γ112 = 0 = Γ1

21

Γ122 = −


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

11 = −(


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Γ2

12 = 0 = Γ221

Γ222 =


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

c) Llamando u y v a las coordenadas de los puntos de la curva seobtiene

∂2u

∂t2+

((∂u

∂t

)2

sec2(a u)−(∂v

∂t

)2

sec2(a v)

)a3 tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= 0

∂2v

∂t2−

((∂u

∂t

)2

sec2(a u) +

(∂v

∂t

)2

sec2(a v)

)a3 tan(a u)

1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)= 0


d) Para calcular la curvatura necesitamos los coeficientes R1121 y

R2121 para su computo realizamos previamente los siguientes calculos:

R1121 = Γ2

11Γ122 +

∂Γ111

∂v

R2121 = Γ2

11Γ222 +

∂Γ211

∂v

∂Γ111

∂v=−2 a6 sec2(a u) sec2(a v) tan(a u) tan(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

∂Γ211

∂v=

2 a6 sec2(a u) sec2(a v) tan2(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2−


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

de donde se obtiene

R1121 = −

(a6 sec2(a u) sec2(a v) tan(a u) tan(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)

R2121 = −

(a4 sec2(a u) sec2(a v) (1 + a2 tan2(a u))

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)De aqui se sigue que

R1212 = −(


1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v)

)Finalmente

K = −

(a4 sec2(a u) sec2(a v)

(1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2(a v))2

)

CAPıTULO 8

EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY

1. El paquete RiemannianGeometry

1.1. Introduccion. En este paquete se definen una familia depequenos programas que denominaremos funciones que calculan di-versos coeficientes pseudo-metricos en un abierto coordenado de unavariedad pseudo-riemanniana. La construccion de las funciones y laestructura de las funciones esta basada en el libro “Introducion a laGeometrıa Diferencial”que esta disponible en la pagina web:

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/lnes.html

Versiones comprimidas del paquete junto con documentacion y ejem-plos se hallan tambien disponibles en

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/lnes.html

Para instalar el paquete y la informacion de ayuda seguir las ins-trucciones que estan en documento leame.

Este paquete se carga mediante el comando:<<RiemannianGeometry`Podemos ver las funciones que contiene, ordenadas alfabeticamente,

mediante:?RiemannianGeometry`*

RiemannianGeometry`Christoffel HiperbolicBallCurvatureTensor InducedPseudoMetriceu InmersionGeometricCoefficients2DGeodesicLines JacobianMGeometricCoefficients miGeometricCoefficients2D SectionalCurvature2D

Para ver la informacion que existe sobre cada funcion del paquete,se teclea el interrogante de cierre y el nombre de la funcion:?Christoffel

Christoffel[pseudometrica,variables] Calcula los sımbolos deChristoffel de una variedad pseudo-riemanniana a partir de los coe-ficientes de la metrica. Tiene como entrada la matriz m × m de unapseudo-metrica de un abierto coordenado de una variedad M cuyos ele-mentos son funciones que dependen de las variables que aparecen en lasegunda entrada, estas variables denotan las coordenadas de una cartade la variedad M . La salida es un tensor de dimensiones m×m×m ,formado por las funciones denominadas como sımbolos de Christoffel,

147

148 8. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY

cada una de estas depende de las mismas variables de las que dependıanlos coeficientes pseudo-metricos. Los sımbolos de Chistofell determinanla conexion pseudo-riemannniana en el abierto coordenado, se utilizanpara calcular las geodesicas y la curvatura seccional”

1.2. Algunas pseudometricas mas frecuentes. Sea x unauna carta de una variedad M . Respecto dicha carta la pseudometricaviene determinada por una matriz cuyos elementos son funciones deM en R . Estas funciones se suelen expresar de modo que dependande las coordenadas de la carta elegida x . Veamos algunas de las masfrecuentes:

eu[n] Construye la matriz identidad. Se puede utilizar para dar lametrica euclıdia en el espacio usual Rn .

mi[n] Construye la matriz diagonal con todo unos salvo el lugar(n, n) que es menos uno. En particular tenemos la pseudo-metrica deMinkovski en Rn .

HiperbolicBall[n, variables] Calcula la metrica riemanniana hi-perbolica en la bola unidad. Tiene como entrada la dimension del es-pacio y las variables que se deseen utilizar (exactamente n variables),la salida es la metrica hiperbolica en la bola unidad. En la esfera uni-dad no hay definada ninguna matriz, fuera del disco unidad apareceinducida una pseudo-metrica.eu[3]1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

mi[4]1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,−1

HiperbolicBall[2, u,v]4

(1−u2−v2)2, 0,

0, 4(1−u2−v2)2

1.3. Pseudo-metrica inducida por una inmersion. Dada una

inmersion f : M → N , en la que se supone que disponemos de una cartax en la variedad M y tambien de una carta y en la variedad N . Su-pondremos que la variedad N es pseudo-riemanniana y que conocemosla matriz de la pseudo-metrica respecto de la carta y, cuyos coeficien-tes dependen de las coordenadas de la carta y. En una proposicion delcapıtulo “Variedades y Conexiones Riemannianas”se prueba que ba-jo estas condiciones queda inducida una nueva pseudo-metrica en lavariedad M . Con los siguientes miniprogramas se calcula la pseudo-metrica inducida en la variedad M . Se puede utlilizar para estudiar laspseudo-metricas inducidas en subvariedades de los espacios euclıdeos,hiperbolicos o de Minkovski. Tambien puede ser utilizado con homeo-morfismos locales y aplicaciones recubridoras.

JacobianM[componentes,variables] Obtiene la matriz jacobia-na de una funcion dependiente de varias variables y que tiene valores

1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY 149

vectoriales. Tiene como entrada componentes que es una lista de fun-ciones que dependen de las variables que estan en la segunda entrada.La salida es la matriz jacobiana obtenida al calcular las derivadas par-ciales de las componentes repecto de las variables. Las filas contienenlas derivadas parciales respecto las diferentes variables.

InducedPseudoMetric[componentes, pseudometrica, variables1,variables2] Calcula la pseudo-metrica inducida por una inmer-sion. Dada una funcion de una variedad M en otra N y supongamosque respecto dos cartas de M y N la funcion viene dada por las funcio-nes que forman la lista componentes que es la primera entrada, estasfunciones dependen de las variables1 que forman la tercera entrada yson las coordenadas de la carta que tenemos en la variedad M . La en-trada pseudometrica es la pseudo-metrica de la variedad N en terminosde la carta considerada en la variedad N , cada coeficiente es una expre-sion que depende de variables2 que es la ultima entrada. Tiene comosalida la pseudo-metrica inducida en la variedad M que dependera delas coordenadas de M contenidas en la lista variables1.

paraboloide= u, v, u2 + v2 ;ParametricPlot3D[paraboloide,u,-1,1,v,-1,1]

-1-0.5 00.51

-1-0.5

00.51

00.51

1.52

-1-0.5 00.51

-1-0.5

00.51

JacobianM[paraboloide, u,v]1, 0, 0, 1, 2u, 2 vInducedPseudoMetric[paraboloide, eu[3],u,v,x,y,z]

1 + 4u2, 4u v,4u v, 1 + 4 v2

1.4. Sımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geodesi-

cas. Dada una variedad M y una carta x las dos funciones siguientescalculan los sımbolos de Christoffel que dependen de las coordenadasde la carta. A partir de los sımbolos de Christoffel tambien se puedecalcular el sistema de ecuaciones diferenciales de las geodesicas de lavariedad M . El programa no integra estas ecuaciones por lo que nose calculan explıcitamente las geodesicas. No obstante se pueden uti-lizar las funciones basicas de Mathematica para intentar encontrar lassoluciones de dicho sistema de ecuaciones diferenciales.

Christoffel[pseudometrica,variables] Calcula los sımbolos deChristoffel de una variedad pseudo-riemanniana a partir de los coe-ficientes de la pseudo-metrica. Tiene como entrada la matriz m×m deuna pseudo-metrica de un abierto coordenado de una variedad M cuyos


elementos son funciones que dependen de las variables que aparecen enla segunda entrada, estas variables denotan las coordenadas de una car-ta de la variedad M . La salida es un tensor de dimensiones m×m×m ,formado por las funciones denominadas como sımbolos de Christoffel,cada una de estas depende de las mismas variables de las que dependıanlos coeficientes pseudo-metricos. Los sımbolos de Chistofell determinanla conexion pseudo-riemannniana en el abierto coordenado, se utilizanpara calcular las geodesicas y la curvatura seccional.

GeodesicLines[chris,variables,nombretiempo] Obtiene el sis-tema de ecuaciones diferenciales de las geodesicas de una variedadpseudo-riemanniana. Tiene como entrada los sımbolos de Christoffel,las variables de las que dependen y nombretiempo que es el nombre dela variable ‘tiempo’. La salida es una lista que contiene el sistema deecuaciones diferenciales de las geodesicas de la variedad en la carta.paraboloidepsm = 1 + 4u2, 4uv, 4uv, 1 + 4v2 ;Christoffel[paraboloidepsm,u,v]

4 u1+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 u1+4 u2+4 v2

,

4 v1+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 v1+4 u2+4 v2

paraboloidechris=

4 u1+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 u1+4 u2+4 v2

,

41+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 v1+4 u2+4 v2

;

GeodesicLines[paraboloidechris,u,v,t]4 u u′[t]2

1+4 u2+4 v2 + 4 u v′[t]2

1+4 u2+4 v2 + u′′[t], 4 v u′[t]2

1+4 u2+4 v2 + 4 v v′[t]2

1+4 u2+4 v2 + v′′[t]

1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional. Dada unavariedad M y una carta x las dos funciones siguientes calculan loscoeficientes del tensor de curvatura que dependen de las coordenadasde la carta y para el caso de variedades de dimension dos obtiene lacurvatura seccional.

CurvatureTensor[simboloschristoffel, pseudometrica, variables] Calcula todos los coeficientes del tensor de curvatura de unavariedad riemanniana a partir de los sımbolos de Christoffel y de loscoeficientes de la pseudo-metrica. Tiene como como primera entradael tensor de los sımbolos de Christoffel que seguramente se habra cal-culado con la funcion del paquete Christoffel, estos sımbolos dependende las variables que aparecen en la tercera entrada, la segunda entradaes la matriz m ×m de una pseudo-metrica de un abierto coordenadode una variedad M cuyos elementos tambien son funciones que depen-den de las variables que aparecen en la tercera y ultima entrada, estasvariables denotan las coordenadas de una carta de la variedad M . Lasalida es un tensor de dimensiones m×m×m×m , formado por lasfunciones del tensor de curvatura, cada una de estas depende de lasmismas variables de las que dependıan los coeficientes pseudometricos.El tensor de curvatura se utiliza para calcular la curvatura seccional yotras curvaturas.


SectionalCurvature2D[tensordecurvatura, pseudometrica]Calcula la curvatura seccional, que coincide con la de Gauss, a par-tir de los coeficientes del tensor de curvatura y de la metrica. Tienecomo como primera entrada el tensor de curvatura 2x2x2x2 que segu-ramente se habra calculado con la funcion CurvatureTensor del paqueteRiemannianGeometry, como segunda entrada la matriz 2x2 de la pseu-dometrica de un abierto coordenado de la superficie M . La salida esun una funcion que da la curvatura seccional de la superfice que es unavariedad de dimension dos.

CurvatureTensor[paraboloidechris, paraboloidepsm,u,v]0, 0, 0, 0,

0, 4

1+4u2+4 v2

,− 4

1+4u2+4 v2, 0

,0,− 4

1+4u2+4 v2

,

41+4u2+4 v2

, 0

, 0, 0, 0, 0

paraboloidecur=0, 0, 0, 0,

0, 4

1+4u2+4 v2

,− 4

1+4u2+4 v2, 0

,0,− 4

1+4u2+4 v2

,

41+4u2+4 v2

, 0

, 0, 0, 0, 0

;

SectionalCurvature2D[paraboloidecur, paraboloidepsm]4

(1+4u2+4 v2)2

1.6. Coeficientes geometricos inducidos por una inmer-sion. El miniprograma siguiente calcula la pseudo-metrica, los sımbo-los de Christoffel, las ecuaciones diferenciales de las geodesicas, los co-eficientes del tensor de curvatura y la curvatura seccional de la geo-metrıa inducida en una superficie por una inmersion de esta en unavariedad pseudo-riemanniana. El siguiente miniprograma para una su-perficie pseudo-riemanniana calcula los sımbolos de Christoffel, el sis-tema de ecuaciones diferenciales de las geodesicas, los coeficientes deltensor de curvatura y la curvatura seccional. El tercer programa paraun variedad pseudo-riemanniana calcula todos los elementos anterioressalvo la curvatura seccional.

InmersionGeometricCoefficients2D[componentes, inductora, variables1, variables2, nombretiempo] Dada una inmersion deuna variedad M en una variedad N que tiene una pseudo-metrica cono-cida esta funcion calcula la pseudo-metrica inducida en la variedad My tambien obtiene los sımbolos de Christoffel, el sistema de ecuacionesdiferenciales de las geodesicas, los coeficientes del tensor de curvaturay la curvatura seccional la variedad M . Tiene como primera entradacomponentes que son n funciones con valores reales que dependen delas m variables que componen, variables1, que son precisamente lasexplicitadas en la tercera entrada. Estas funciones se supone que sehan obtenido al considerar una inmersion f : M → N entre varieda-des y tomar sistemas coordenados x e y respectivamente, se tiene que


componentes= yfx−1 . La segunda entrada es la matriz de la pseudo-metrica de la variedad N respecto la carta y , los coeficientes pseudo-metricos dependen de la cuarta entrada, variables2. Las mas usual enlos ejemplos que acompanan este paquete es eu[3], que es la matrizidentidad de dimension 3x3. La variable nombretiempo, que es el nom-bre que asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferencialesque verifican las geodesicas. La salida consiste en varias lıneas que vanexplicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una listade los resultados anteriores basta introducir como imput %. Tomandoelementos de esta se pueden extraer cada resultado que interese parapoderlo ulilizar de nuevo.

GeometricCoefficients2D[pseudometrica,variables,nombretiempo] Obtiene los sımbolos de Christoffel, el sistema de ecuacionesdiferenciales de las geodesicas, los coeficientes del tensor de curvaturade una pseudo- metrica riemanniana y la curvatura seccional de unapseudo-metrica riemanniana. Tiene como primera entrada pseudome-trica, que es la matriz de la pseudo-metrica de la variedad M respectola carta x, los coeficientes pseudo-metricos dependen de la segunda en-trada, variables. La tercera entrada, nombretiempo, que es el nombreque asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales queverifican las geodesicas. La salida consiste en varias lıneas que van ex-plicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una listade los resultados anteriores basta introducir como imput%. Tomandoelementos de esta se pueden extraer cada resultado que interese parapoderlo ulilizar de nuevo.

GeometricCoefficients[pseudometrica,variables,nombretiempo]Obtiene los sımbolos de Christoffel, el sistema de ecuacionesdiferenciales de las geodesicas y los coeficientes del tensor de curvatu-ra de una pseudo-metrica riemanniana. Tiene como primera entradapesudometrica, que es la matriz de la pseudo-metrica de la variedadM respecto la carta x, los coeficientes pseudo-metricos dependen de laentrada variables. La tercera entrada, nombretiempo, que es el nombreque asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales queverifican las geodesicas. La salida consiste en varias lıneas que van ex-plicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una listade los resultados anteriores basta introducir como imput%. Tomandoelementos de esta se pueden extraer cada resultado que interese parapoderlo ulilizar de nuevo. A diferencia de la funcion GeometricCoeffi-cients2D funciona en cuarquier dimension, pero no calcula la curvaturaseccional.

InmersionGeometricCoefficients2D[paraboloide,eu[3],u,v,x,y,z,t]

La matriz de la pseudometrica es la siguiente:= 1 + 4u2, 4uv, 4uv, 1 + 4v2 ;Los sımbolos de Christofell son los siguientes:

1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY 1534 u

1+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 u1+4 u2+4 v2

,

4 v1+4 u2+4 v2 , 0

,

0, 4 v1+4 u2+4 v2

Las ecuaciones de las geodesicas son las siguientes:4 u u′[t]2

1+4 u2+4 v2 + 4 u v′[t]2

1+4 u2+4 v2 + u′′[t], 4 v u′[t]2

1+4 u2+4 v2 + 4 v v′[t]2

1+4 u2+4 v2 + v′′[t]

Los coeficientes del tensor de curvatura son:0, 0, 0, 0,

0, 4

1+4u2+4 v2

,− 4

1+4u2+4 v2, 0

,0,− 4

1+4u2+4 v2

,

41+4u2+4 v2

, 0

, 0, 0, 0, 0

La curvatura seccional viene dada por4

(1+4u2+4 v2)2

Para obtener los resultados anteriores introduce despues de la eje-cucion ‘ %’ como un input

1.7. Ejemplos. La superficies inmersas en el 3-espacio euclıdioheredan una metrica riemanniana. Si disponemos de una carta de lasuperficie y las funciones que nos dan las coordenadas cartesianas eu-clıdias en funcion de las de la superficie, entonces podemos calcular losdiversos coeficientes geometricos.hiperboloide =Cosh[θ ] Cos[ϕ], Cosh[θ] Sin[ϕ], Sinh[θ] ;ParametricPlot3D[hiperboloide,ϕ,-4,4,θ,-1,1]

-10

1

-101

-1-0.5

00.51

-10

1

-101

InmersionGeometricCoefficients2D[hiperboloide, eu[3], ϕ,θ,x,y,z,t]

La matriz de la pseudometrica es la siguiente:cosh(θ)2, 0, 0, cosh(2 θ)Los sımbolos de Christofell son los siguientes:

0, tanh(θ), tanh(θ), 0, − tanh(2 θ)2

, 0, 0, tanh(2 θ)Las ecuaciones de las geodesicas son las siguientes:

2 tanh(θ) θ′(t)ϕ′(t) + ϕ′′(t), tanh(2 θ) θ′(t)2 − tanh(2 θ)ϕ′(t)2

2+ θ′′(t)

Los coeficientes del tensor de curvatura son:0, 0, 0, 0, 0,−

(cosh(θ)2 Sech(2 θ)

), cosh(θ)2 Sech(2 θ), 0,

0, cosh(θ)2 Sech(2 θ), −(cosh(θ)2 Sech(2 θ)

), 0, 0, 0, 0, 0

La curvatura seccional viene dada por−Sech(2 θ)2

Para obtener los resultados anteriores introduce despues de la eje-cucion ‘ %’ como un imput

elipsoide=a Cos[θ] Cos[ϕ], a Cos[θ] Sin[ϕ], c Sin[θ] ;


eli=elipsoide//.a->1,c->2 ;ParametricPlot3D[eli,ϕ,-2 Pi,2 Pi,θ,-Pi/2,Pi/2]

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.500.5

1

-2

-1

0

1

2-1

-0.500.5

InmersionGeometricCoefficients2D[elipsoide, eu[3], ϕ,θ,x,y,z,t]

La matriz de la pseudometrica es la siguiente:

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ)

2, 0, 0, a2 cos(θ)2

Los sımbolos de Christofell son los siguientes:

−(

(−a2+c2) sin(2 θ)

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ)

), 0, 0, 2 a2 cos(θ) sin(θ)

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ),

0,− tan(θ), − tan(θ), 0Las ecuaciones de las geodesicas son las siguientes:

−(

(−a2+c2) sin(2 θ) θ′(t)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ)

)+ 2 a2 cos(θ) sin(θ)ϕ′(t)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ)+ θ′′(t),

− 2 tan(θ) θ′(t)ϕ′(t) + ϕ′′(t)Los coeficientes del tensor de curvatura son:0, 0, 0, 0, 0, 2 a2 c2 cos(θ)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ),

−2 a2 c2 cos(θ)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ), 0, 0, −2 a2 c2 cos(θ)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ),

2 a2 c2 cos(θ)2

a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ), 0, 0, 0, 0, 0

La curvatura seccional viene dada por4 c2

(a2+c2+(−a2+c2) cos(2 θ))2


Para obtener los resultados anteriores introduce despues de la eje-cucion ‘ %’ como un imput

Una variedad pseudo-riemanniana viene determinada en cada cartapor una matriz simetrica que depende de las coordenadas. A partirde sus coeficientes se pueden calcular, los sımbolos de Chrsitoffel, lasgeodesicas, el tensor de curvatura y en el caso de dimension dos lacurvatura seccional. Estudiamos a continuacion las bolas hiperbolicasde dimensiones tres y dos.GeometricCoefficients[HiperbolicBall[3,u,v,w],u,v,w,t]

La matriz de la pseudometrica es la siguiente: 9

(1−u2−v2−w2)2, 0, 0, 0, 9

(1−u2−v2−w2)2, 0, 0, 0, 9

(1−u2−v2−w2)2

Los sımbolos de Christofell son los siguientes: −2u

−1+u2+v2+w2 ,−2 v

−1+u2+v2+w2 ,−2w

−1+u2+v2+w2, −2 v−1+u2+v2+w2 ,

2u−1+u2+v2+w2 , 0,

−2w−1+u2+v2+w2 , 0,

2u−1+u2+v2+w2,

2 v−1+u2+v2+w2 ,

−2u−1+u2+v2+w2 , 0,

−2u−1+u2+v2+w2 ,

−2 v−1+u2+v2+w2 ,

−2w−1+u2+v2+w2,

0, −2w−1+u2+v2+w2 ,

2 v−1+u2+v2+w2,

2w−1+u2+v2+w2 , 0,

−2u−1+u2+v2+w2,

0, 2w−1+u2+v2+w2 ,

−2 v−1+u2+v2+w2,

−2u−1+u2+v2+w2 ,

−2 v−1+u2+v2+w2 ,

−2w−1+u2+v2+w2

Las ecuaciones de las geodesicas son las siguientes:

−2uu′(t)2

−1+u2+v2+w2− 4 v u′(t) v′(t)−1+u2+v2+w2 +

2u v′(t)2

−1+u2+v2+w2− 4wu′(t)w′(t)−1+u2+v2+w2 +

2uw′(t)2

−1+u2+v2+w2 +u′′(t),

2 v u′(t)2

−1+u2+v2+w2− 4uu′(t) v′(t)−1+u2+v2+w2− 2 v v′(t)2

−1+u2+v2+w2− 4w v′(t)w′(t)−1+u2+v2+w2 + 2 v w′(t)2

−1+u2+v2+w2 +v′′(t),

2wu′(t)2

−1+u2+v2+w2 + 2w v′(t)2

−1+u2+v2+w2− 4uu′(t)w′(t)−1+u2+v2+w2− 4 v v′(t)w′(t)

−1+u2+v2+w2− 2ww′(t)2

−1+u2+v2+w2 +w′′(t)

Los coeficientes del tensor de curvatura son:0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −36

(−1+u2+v2+w2)4, 0,

36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, 0, 0, 36

(−1+u2+v2+w2)4, 0, 0,

0, 36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, −36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, −36

(−1+u2+v2+w2)4, 0, 36

(−1+u2+v2+w2)4, 0,

0, 0, 36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, 0, 0, −36(−1+u2+v2+w2)4

, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 36

(−1+u2+v2+w2)4, 0, −36

(−1+u2+v2+w2)4, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0Para obtener los resultados anteriores introduce despues de la eje-

cucion ‘ %’ como un imput


2. Aplicaciones informaticas para la geometrıa

Algunas de las aplicaciones de los siguientes enlaces se adapta bien alos contenidos de este curso. Tengase en cuenta que los muchos enlacesfuncionan durante un tiempo limitado. No obstante en el caso que nofuncionen realizando alguna busqueda en la red se suelen encontrar losnuevos lugares donde han sido alojadas las paginas o aplicaciones quese mencionan a continuacion.

Enlace 2.1. Dibuja superficies en implıcitas y parametricas. Enellas se puede considerar la metrica inducida por el abiente que puedeser euclıdio o minkowskiano. Tambien trabaja con metricas pseudo-riemannianas en un abierto del plano. Calcula la curvatura en cadapunto, dibuja geodesicas, realiza transporte paralelo. En mi opinion esuna herramiente docente muy motivadora e interesante.ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies Mac folder

o en

ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies W32 folder

En el momento de escribir estas notas el programa anterior no seha actualizado para que pueda funcionar con el sistema X (10.x) delMacOS.

Enlace 2.2. Aquı se puede localizar la aplicacion 3D-Filmstripque es una herramienta para la visulizacion de objetos matematicos,que incluyes superficies, curvas y polidros. Esta aplicacion funciona conMacOS y requiere PowerPC.http://rsp.math.brandeis.edu/public html/3D-Filmstrip html/3D-FilmstripHomePage.html

Las ultimas versiones beta pueden obtenerse mediante ftp anonimo(anonymous) enftp://rsp.math.brandeis.edu/

Actualmente (2004), han elaborado una nueva version para el sis-tema X de MacOSX que se denomina 3D-XplorMath.

Enlace 2.3. Contiene informacion sobre un libro de A. Gray queademas geometrıa diferencial ensena a utilizar Mathematica para re-presentar graficamente curvas y superficies, calcular curvaturas, y otroscalculos de interes en geometrıa diferencial.

http://www.wargaming.net/Programming/151/ Modern Differential Geometry Curves Surfaces With Mathematica.htm

Enlace 2.4. Visualization ToolKit (VTK) es un codigo fuenteabierto, se trata de software libre para graficas de ordenador en 3D,procesamiento de imagen y visualizacion, utilizado por miles de inves-tigadores en el mundo. VTK consiste en una librerıa de clase C++ y va-rios modos de interfaces que incluyen Tcl/Tk, Java, and Python. VTKdispone de una amplia variedad de algoritmos que incluyen metodos

ftp://topologia.geomet.uv.es/pub/montesin/Superficies_Mac_folder


http://rsp.math.brandeis.edu/public_html/3D-Filmstrip_html/3D-FilmstripHomePage.html

ftp://rsp.math.brandeis.edu/

3. ENLACES INTERESANTES 157

escalares, vectoriales, tensoriales y volumetricos. Tiene tecnicas avan-zadas y numerosos algoritmos para mezclar imagenes 2D y 3D. Ha sidoinstalado y comprobado en plataformas basadas en Unix, Windows 98y Mac OSX.

http://public.kitware.com/VTK/

3. Enlaces interesantes

Enlace 3.1. Este enlace contiene Apuntes de Geometrıa Diferen-cial y sobre el Grupo Fundamental, examenes y sus soluciones, proble-mas resueltos y otros materiales didacticos.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/index.html

Enlace 3.2. Contiene apuntes de Geometrıa Diferencial realizadospor Yaakov Bustin Faculty of Mathematics and Computer Science TheWeizmann Institute of Science Rehovot 76100, Israelhttp://www.wisdom.weizmann.ac.il/users/yakov/public html/Geometry/

Enlace 3.3. Se trata de un estudio de visualizacion de sistemasdinamicos realizado en la tesis de Helwig Loffelmann “Visualizing Lo-cal Properties and Characteristic Structures of Dynamical Systems”

http://www.cg.tuwien.ac.at/∼helwig/diss/diss.htm

Enlace 3.4. Contiene publicaciones on line, videos, imagenes desuperficies, etc


Enlace 3.5. Contiene informacion sobre esferas exoticashttp://mathworld.pdox.net/math/e/e393.htm

http://public.kitware.com/VTK/

http://www.wisdom.weizmann.ac.il/users/yakov/public_html/Geometry/



http://mathworld.pdox.net/math/e/e393.htm

Indice alfabetico

1-forma, 95

abiertos, 10accion de un grupo, 81accion discontinua, 81accion eficiente, 81accion libre, 81algebra de Lie, 96aplicacion exponencial, 120aplicacion lineal, 50atlas compatibles, 23atlas diferenciable m-dimensional, 23

base de entornos, 11base de una topologıa, 11

campo completo, 109campo de vectores, 95campo paralelo, 119campo tangente a una variedad a lo

largo de una curva, 116campos linealmente independientes,

102carta m-dimensional, 23cerrado, 11clausura, 11cociente, 13codominio de una funcion, 9coeficientes de la metrica, 123coeficientes del tensor de Ricci, 140cohomologıa de DE Rham, 100comosicion de funciones, 9conexion compatible con la metrica,

128conexion lineal en un punto, 115conexion lineal en una variedad, 115conexion riemmanniana, 128conexion simetrica, 128conexo, 12conexo por caminos, 12conjunto final, 9

conjunto imagen, 9conjunto inicial, 9conjunto subyacente de la variedad,

24continua, 10corchete de Lie, 97curva integral, 108curva integral completa, 109curvatura de Ricci, 140curvatura escalar, 140curvatura seccional o de Riemann,

139

derivacion o vector tangente en unpunto, 50

derivada covariante, 117derivada direccional, 47derivada parcial de f con respecto la

i-esima coordenada, 49difeomorfa, 25difeomorfismo, 25difeomorfismo local, 55difeomorfismo local en el punto, 55diferencial de una forma, 99direccionales, 18dominio, 9dominio fundamental, 83dominio fundamental normal, 83

encaje, 59encaje regular, 59entorno de un punto, 11espacio de Minkovski, 123espacio hiperbolico, 123espacio metrico, 14espacio tangente de la variedad en el

punto, 51espacio topologico, 10espacio vectorial real, 15estructura diferenciable, 24

159

160 INDICE ALFABETICO

fibra de una funcion, 9fibrado cotangente, 94fibrado tangente, 93forma cerra, 99forma exacta, 99funcon de clase Ck, 19funcion analıtic, 20funcion analıtica en un punto, 19funcion de clase Ck en un punto, 19funcion de clase C∞, 19funcion de clase C∞ en un punto, 19funcion diferenciable, 25funcion diferenciable en un punto, 25funcion inyectiva, 9funcion sobre, 10funcion suprayectiva, 10funcion, 9funcion continua, 10

geodesica, 120germen, 50

homeomorfos, 10

imagen de una funcion, 9imagen inversa de un subconjunto, 9inmersion, 59inmersion en un punto, 59inmersion glogal, 59inmersion isometrica, 122interior, 11isometrica, 122isometrıa local, 122

la aplicacion tangente en el punto, 53localmente conexo, 12localmente conexo por caminos, 12

metrica pseudoriemanniana, 122metrica riemanniana, 121matriz jacobiana, 47matriz jacobiana de φ en el punto p,

53metrizable, 14metrica, 13metrica cartesinana, 14metrica euclidiana, 14

operador derivacion, 95operador lineal, 97orbita, 81orientacion de un espacio vectorial

real, 103orientacion de una variedad, 104

paralelizable, 102parciales, 18primero contable, 11producto, 12producto interno, 121

r-forma, 98rango de una aplicacion

diferenciable, 54rango de una aplicacion lineal, 54restricion, 9retriccion inicial de una funcion, 9

sımbolos de Christoffel, 118segundo contable, 11submersion, 66submersion en un punto, 66submersion global, 66subvariedad, 59subvariedad regular, 59suma disjunta, 12

tensor curvatura, 136tensor de Ricci, 140topologıa, 10topologıa inducida por la estructrura

diferenciable, 29transformacion, 81

variedad cociente, 66variedad diferenciable

m-dimensional, 24variedad orientada, 104variedad orietable, 104variedad pseudoriemanniana, 122variedad riemanniana, 122vector cotangente, 93vectores, 15velocidad, 116

Bibliografıa

1. Bishop, R.L. Geometry of Manifolds, Academic Press, New York, 1964.2. Bredon, G.E. An Introduction to Transformation Groups, Academic Press,

New York, 1979.3. Boothby, W.M. Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian

Geometry, Academic Press, New York, 1975.4. Brickell, F., Clark, R.S. Differentiable manifolds. An Introduction, Van Nos-

trand Reinhold Company, London, 1970.5. Chevalley, C. Theory of Lie Groups, Pinceton Univ. Press, Princeton, N.J.

, 1946.6. Conner, P.E. Differentiable Periodic Maps (second edition) , Springer, 1979.7. Cordero, L. A., Fernandez, M. and Gray, A. Geometrıa diferencial de curvas

y superficies (con Mathematica), Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.8. Cheeger, J. and Ebin, D.G. Comparison Theorems in Riemannian Geo-

metry, North Holland/ American Elsevier, 1975.9. Carmo, M. P. do. Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston, 1993.

10. Carmo, M. P. do. Geometrıa diferencial de curvas y superficies, AlianzaUniversidad Textos, 1994.

11. Brocker, T. and Janich, K. Introduccion a la Topologıa Diferencial, Edito-rial AC, 1977.

12. Dubrovin, B. A., Fomenko, A.T. and Novikov S. P. Modern Geometry-Methods. Part II. The Geometry and Topology of Manifolds, Springer-Verlag, New York, 1990.

13. Guillemin , V. and Pollack, A. Differential Topology, Prentice Hall, 1974.14. Hicks, N. J. Notas sobre Geometrıa Diferencial, Editorial Hispano Europea,

1974.15. Hirsch, M.W. Differential Topology, Springer-Verlag, 1976.16. Kobayashi, S. and Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry. Vo-

lume I and II, John Wiley and Sons, Inc., 1963.17. Lang, S. Differential and Riemannian Manifolds, Springer (GTM 160),

1995.18. Madsen, I. and Tornehave, J. From Calculus to Cohomology, Cambridge

Univ. Press, 1997.19. Margalef J. y Outerelo, E. Topologıa Diferencial, C.S.I.C, 1988.20. Matsushima, Y. Differentiable Manifold, Marcel Decker, New York, 1972.21. Milnor, J. W. On manifods homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math. 64

(1956), 399-405.22. Milnor, J. W. Morse Theory, Princeton University Press (Study 51), 1963.23. Milnor, J. and Stasheff, J.D. Characteristic classes, Princeton University

Press (Study 51), 1974.24. Mishchenko, A. and Fomenko, A. A Course of Differential Geometry and

Topology, Mir Publishers Moscow, 1988.25. Montesinos, J. M. Classical Tessellations and Threee-Manifolds, Springer,

1985.

161

162 BIBLIOGRAFIA

26. Okubo, T. Differential Geometry, Marcel Dekker, Inc. New York and Basel,1987.

27. O’Neill, B. Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity,Academic Press,1983.

28. Outerelo, E. y Ruiz J. M. Topologıa Diferencial. Variedades con borde.Transversalidad. Aproximacion, Addison-Weley, 1998.

29. Poor, W. L. Differential Geometric Structure, McGraw-Hill, New York,1981.

30. Sharpe, R. W. Differential Geometry. Cartan’s Generalization of Klein’sErlangen Program, Springer (GTM 166), 1997.

31. Singer, I.M. and Thorpe, J.A. Lecture notes on elementary topology andgeometry, Springer-Verlag, 1967.

32. Thorpe, J.A. Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag,1979.

33. Thurston, W.P. Three-Dimensional Geometry and Topology. Volume 1,Princeton Univ. Press, New Jersey, 1997.

34. Vinberg, E. B. (Ed) Geometry II. Spaces of constant Curvature, Encyclo-paedia of Mathematical Sicences, vol. 29, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

35. Warner, F.W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups,Scoot, Foresman and Company, 1971.

36. Willmore, T.J. Riemannian Geometry, Clarendon Press, Oxford, 1993.37. Whitney, H. Differentiable Manifolds, Ann. Maths. 37, no. 3, (1936) 645-

680.38. Whitney, H. Self intersections of a smooth n-manifold in 2n-space, Ann.

Maths. 45 (1944) 220-246.39. Eves, H. Estudio de las Geometrıas, Tomos I y II, UTEHA, Mejico, 1969.40. Rıbnikov, K. Historia de las Matematicas, Editorial Mir, Moscu, 1987.41. Bonola, R. Non-euclidean Geometry, Dover Publications, Inc., New York,

1955.

CURRICULUM VITAE de LUIS JAVIER

HERNANDEZ PARICIO

SECCIONES

1 DATOS PERSONALES 1

2 PUESTOS ACADEMICOS 2

3 PROYECTOS DE INVESTIGACION 2

3.1 Investigador principal en los siguientes proyectos: . . . . . . . 23.2 Investigador en los siguientes proyectos: . . . . . . . . . . . . . 3

4 CONGRESOS NACIONALES E INTERNACIONALES 4

5 CONFERENCIAS Y SEMINARIOS IMPARTIDOS 9

6 PUBLICACIONES 12

7 TRAMOS DE DOCENCIA E INVESTIGACION 18

1 DATOS PERSONALES

NOMBRE Luis Javier Hernandez ParicioFECHA DE NACIMIENTO 1 Abril 1955LUGAR Ojos Negros, Teruel, Espa~naDIRECCION Departamento de Matematicas y Computacion, Universidadde La Rioja, Edicio Vives, Luis de Ulloa. s/n, 26004 Logro~no (La Rioja),Espa~naFAMILIA Casado, una hijaGRADUACION ACADEMICA Licenciado en Ciencias Matematicas,Universidad de Zaragoza, 1977. Doctor en Ciencias Matematicas, Universi-dad de Zaragoza, 1980.

1

2 PUESTOS ACADEMICOS

Ayudante, Universidad de Zaragoza, 1977-1982.Adjunto, Universidad de Barcelona, 1982-1983.Profesor Titular, Universidad de Zaragoza, 1983-1997.Profesor Titular, Universidad de La Rioja, 1997-1998.Catedratico, Universidad de La Rioja, 1998-HOY.

3 PROYECTOS DE INVESTIGACION

3.1 Investigador principal en los siguientes proyectos:

TITULO: Homotopa propia y aplicacionesINSTITUCION: D.G.I.C.Y.T. (PS87-0062)A~NOS: 1988-1990

TITULO: Extension y clasicacion de aplicaciones propiasINSTITUCION: Instituto de Estudios Riojanos y Universidad de ZaragozaA~NOS: 1986-1989

TITULO: Iniciacion del proyecto pro-n-tipos propiosINSTITUCION: Programa Europa CAI-CONAIA~NOS: 1988-1988

TITULO: Pro-n-tipos y n-tipos propiosINSTITUCION: Accion Integrada Hispano-Britanica 51/18A~NOS: 1988-1989

TITULO: Proalgebras y algebras propiasINSTITUCION: CAI-CONAIA~NOS: 1992-1992

TITULO: Algebra prohomotopicaINSTITUCION: DGICYT y Universidad de ZaragozaA~NOS: 1992-1994

TITULO: Modelos para las nociones de n-tipo propio y de la formaINSTITUCION: DGICYT

2

A~NOS: 1994-1997

TITULO: Modelos homotopicosINSTITUCION: Direccion General de Ense~nanza Superior y Universidad deLa RiojaA~NOS: Junio de 1997-Junio 2000

TITULO: Categoras homotopicosINSTITUCION: Direccion General de Ense~nanza Superior y Universidad deLa RiojaA~NOS: 2001-2003

3.2 Investigador en los siguientes proyectos:

TITULO: Invariantes geometricos de tipo propio para foliacionesINSTITUCION: CAICYTA~NOS: 1982-1985INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Jose Luis Viviente Mateu

TITULO: Invariantes propios de espacios no compactos: fundamentacionINSTITUCION: CAICYTA~NOS: 1985-1987INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Eladio Domnguez Murillo

TITULO: Proespacios y modelos de QuillenINSTITUCION: Instituto de Estudios RiojanosA~NOS: 1990-1991INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Jose Ignacio Extremiana Aldana

TITULO: Estudio combinatorio de la homotopa propiaINSTITUCION: Accion Integrada Hispano-Alemana 1991-127AA~NOS: 1991-1994INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Antonio Quintero

TITULO: Modelos de n-tipos y algebra prohomotopicaINSTITUCION: Universidad de la RiojaA~NOS: 1993-1994INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dra. Mara Teresa Rivas Rodrguez

3

TITULO: Estructuras adicionales en sistemas inversos asociados a espaciosno compactosINSTITUCION: Instituto de Estudios RiojanosA~NOS: 1993-1994INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dra. Mara Teresa Rivas Rodrguez

TITULO: N-tipos y N-cotipos de homotopaINSTITUCION: Universidad de la RiojaA~NOS: 1995-1996INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Jose Ignacio Extremiana Aldana

TITULO: Homotopa axiomatica y sus aplicaciones al estudio del innitoINSTITUCION: Universidad de La LagunaA~NOS: 1995-1998INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dr. Sergio Rodrguez Machn

TITULO: Estructuras homotopicas para espacios [n,m]-conexosINSTITUCION: Universidad de La RiojaA~NOS: 1996-1997INVESTIGADOR PRINCIPAL: Dra. Mara Teresa Rivas Rodrguez

4 CONGRESOS NACIONALES E INTER-

NACIONALES

4.1 AUTORES: L. J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Un ejemplo de teora de homotopa enla categora de los grupos abelianosCONGRESO INTERNACIONAL: VI Jornadas de Matematicas Hispano-LusasINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de SantanderA~NO: 1979PUBLICACION: 6.1

4.2 AUTORES: L. J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Extensiones cobracion-bracionCONGRESO INTERNACIONAL: VII Jornadas de Matematicas Hispano-Lusas

4

INSTITUCION Y LUGAR: Universidad Autonoma de Barcelona, Sant Feliude GuixolsA~NO: Mayo, 1980PUBLICACION: 6.2

4.3 AUTORES: E. Domnguez and L. J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Notes on proper homotopy theoriesassociated with compact PL-manifoldsCONGRESO INTERNACIONAL: Workshop on Algebraic TopologyINSTITUCION Y LUGAR: Universidad Autonoma de BarcelonaA~NO: Mayo, 1982PUBLICACION: 6.6

4.4 AUTORES: E. Domnguez and L. J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: A note on proper endsCONGRESO INTERNACIONAL: International Congress of Mathematicians(ICM 82)INSTITUCION Y LUGAR: Polish Academy of Sciences, VarsoviaA~NO: Agosto, 1983

4.5 AUTORES: E. Domnguez and L. J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: About proper invariantsCONGRESO INTERNACIONAL: Seminar on foliationsINSTITUCION Y LUGAR: Jagellonian University, KrakovA~NO: Agosto, 1983

4.6 AUTORES:J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasTITULO DE LA COMUNICACION: Una (co)homologa propiaCONGRESO INTERNACIONAL:X Jornadas de Matematicas Hispano-LusasINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de MurciaA~NO: Enero, 1985PUBLICACION: 6.10

5

4.7 AUTORES: E. Domnguez and L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Elementos descomponibles den

n(X)

CONGRESO INTERNACIONAL:X Jornadas de Matematicas Hispano-LusasINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de MurciaA~NO: Enero, 1985PUBLICACION: 6.11

4.8 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA PONENCIA: Teora de homotopa de proespacios y su apli-cacion a homotopa propiaCONGRESO NACIONAL: I Reunion del Grupo de Geometra y Topologade Zaragoza, Sevilla y Logro~noINSTITUCION Y LUGAR: Colegio Universitario de La RiojaA~NO: Mayo, 1985PUBLICACION: 6.13

4.9 AUTORES: J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasTITULO DE LA COMUNICACION: Unas notas sobre las equivalencia dehomotopa propiaCONGRESO INTERNACIONAL: VII Congresso do Grupo de Matematicosde Expressao LatinaINSTITUCION Y LUGAR: University of CoimbraA~NO: Septiembre, 1985PUBLICACION: 6.12

4.10 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: A note on the classication problemfor proper mapsCONGRESO INTERNACIONAL: Conference on Topology and its Applica-tionsINSTITUCION Y LUGAR: Inter-Universitary Centre of Postgraduate Stud-ies, DubrocnickA~NO: Octubre, 1985

4.11 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Proper cohomologies and the properclassication problem

6

CONGRESO INTERNACIONAL: Conference on Algebraic TopologyINSTITUCION Y LUGAR: Institut d'Estudis Catalans, BarcelonaA~NO: Abril, 1986PUBLICACION: 6.16

4.12 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION:Clases de homotopa propia de una su-percie no compacta en el plano euclideoNATIONALCONFERENCE: II Reunion del Grupo de Geometra y Topologade Zaragoza, Sevilla y Logro~noINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de ZaragozaA~NO: Junio 1986PUBLICACION: 6.14

4.13 AUTORES: J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasTITULO DE LA COMUNICACION: Una teora de (co) homologa propiapara espacios con varios nalesCONGRESO NACIONAL: III Seminario de TopologaINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de Zaragoza, JacaA~NO: 27 Octubre, 2 Noviembre, 1987PUBLICACION: 6.17

4.14 AUTORES: J. Cabeza, M.C. Elvira and L.J. HernandezTITULO DE LA PONENCIA: Modulos cruzados en teora de homotopaCONGRESO NACIONAL: IV Seminario de TopologaINSTITUCION Y LUGAR: Universidad del Pais Vasco, LeioaA~NO: Septiembre, , 1988PUBLICACION: 6.18

4.15 AUTORES: J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasTITULO DE LA COMUNICACION: CW-complejos propios: Aplicacionescelulares y cilindrosCONGRESO NACIONAL: IV Seminario de TopologaINSTITUCION Y LUGAR: Universidad del Pais Vasco, LeioaA~NO: Septiembre, , 1988PUBLICACION: 6.19

7

4.16 AUTORES: J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasTITULO DE LA COMUNICACION: Cellular homologies of nite properCW-complexesCONGRESO INTERNACIONAL: IV Convegno Nazionale di TopologiaINSTITUCION Y LUGAR: SorrentoA~NO: Septiembre, , 1988PUBLICACION: 6.29

4.17 AUTORES: J. Cabeza, M.C. Elvira and L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Una categora cobrada para las apli-caciones propiasCONGRESO INTERNACIONAL: XII Jornadas de Matematicas Hispano-LusasINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de La LagunaA~NO: Junio 1989PUBLICACION: 6.26

4.18 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Categories of fractions and the BrownconstructionCONGRESO INTERNACIONAL: Workshop on proper homotopy theoryINSTITUCION Y LUGAR: Colegio Universitario de La Rioja, Logro~noA~NO: Noviembre 1991

4.19 AUTORES: Cabeza, Elvira, Extremiana, Hernandez and RivasTITULO DE LA COMUNICACION: N-homotopy categoriesCONGRESO INTERNACIONAL: XI Congreso International on TopologyINSTITUCION Y LUGAR: TriesteA~NO: 1993

4.20 AUTORES: L.J. HernandezINVITED LECTURE: Tecnicas simpliciales en homotopa propia y teorade la forma fuerteCONGRESO NACIONAL: I Encuentro de TopologaINSTITUCIONY LUGAR: Universidad Autonoma de Barcelona, BellaterraA~NO: 1993

8

4.21 AUTORES: M.C. Elvira and L.J. HernandezPANEL TITULO : A spectral sequence for n-homotopyCONGRESO INTERNACIONAL: 1994 Barcelona Conference on AlgebraicTopologyINSTITUCION Y LUGAR: Universidad Autonoma de Barcelona, Sant Feliude GuixolsA~NO: Junio 1994

4.22 AUTORES: L.J. HernandezTITULO DE LA COMUNICACION: Covering projection and fundamentalprogroupsCONGRESO INTERNACIONAL: European Colloquium of Category The-oryINSTITUCION Y LUGAR: University of ToursA~NO: Julio 1994

4.23 AUTORES: J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. RivasPANEL TITULO: Categoras de modelos para espacios con un numero nitode grupos de homotopa no trivialesCONGRESO NACIONAL: III Encuentro de TopologaINSTITUCION Y LUGAR: Universidad de Malaga, FuengirolaA~NO: Diciembre 1995

5 CONFERENCIAS Y SEMINARIOS IM-

PARTIDOS

5.1 TITULO: Los grupos nn(X) para n 2

DEPARTAMENTO: Departamento de MatematicasINSTITUCION: Universidad de BarcelonaNUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Enero, 1983

5.2 TITULO: Finales propiosDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas

INSTITUCION: Universidad Autonoma de Barcelona

NUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Enero, 1983

9

5.3 TITULO: Estructura de los grupos 11(X) y 21(X)DEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas

INSTITUCION: Universidad de Barcelona

NUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Febrero, 1983

5.4 TITULO: Finales de FreudenthalLUGAR: Colegio Universitario de La Rioja

INSTITUCION: Universidad de Zaragoza


5.5 TITULO: Finales de tipo propioLUGAR: Colegio Universitario de La Rioja



5.6 TITULO: Elementos de homotopa propiaLUGAR4: Colegio Universitario de La Rioja


NUMERO DE CONFERENCIAS: 3FECHA: 1984

5.7 TITULO: Consistencia del plano hiperbolico y de los numeros realesDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas



5.8 TITULO: Proper homotopy groups associated with a bordism theoryDEPARTAMENTO: Department of Mathematics

INSTITUCION: University of Zagreb

NUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Octubre, 1985

10

5.9 TITULO: The extension problem for proper mapsDEPARTAMENTO: Department of Mathematics

INSTITUCION: University of Zagreb

NUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Octubre, 1985

5.10 TITULO: Historia del quinto postulado de EuclidesLUGAR: Colegio Universitario de La Rioja


NUMERO DE CONFERENCIAS: 1FECHA: Mayo, 1986

5.11 TITULO: Sobre invariantes de homotopa propiaDEPARTAMENTO: Departamento de Algebra

INSTITUCION: Universidad de Granada


5.12 TITULO: Aplicaciones de M -conjuntos simpliciales a las teoras de homo-topa y de la forma fuerteDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas Fundamentales

INSTITUCION: Universidad de La Laguna

NUMERO DE CONFERENCIAS: 3FECHA: Septiembre, 1994

5.13 TITULO: Algunos ejemplos de categoras de modelos de QuillenDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas Fundamentales



5.14 TITULO: Funtores de localizacion y colocalizacionDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas Fundamentales



11

5.15 TITULO: Introduccion a los grupos de cobordismoDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas y Computacion

INSTITUCION: Universidad de La Rioja


5.16 TITULO: Sobre la homologa de SteenrodDEPARTAMENTO: Departamento de Matematicas Fundamentales



6 PUBLICACIONES

6.1 L.J. Hernandez,Un ejemplo de teora de homotopa en la categora de los grupos ablelianos ,Actas del las VI Jorn. Mat. Hispano-Lusas.Rev. de la Univ. de Santander, no. 2, Parte I (1979), 533-535.

6.2 L.J. Hernandez,Extensiones cobracion-bracion ,Actas del las VII Jorn. Mat. Hispano-Lusas.Publ. Mat. Univ. Aut. Barcelona, no. 21 (1980), 99-102.

6.3 L.J. Hernandez,Un ejemplo de teora de homotopa en los grupos abelianos,Tesis doctoral. Publ. Depto. Geo. y Top., Univ. de Zaragoza, 1980, 200 pp

6.4 L.J. Hernandez,Resoluciones (co)bradas,Rev. Acad. Ciencias de Zaragoza, 36 (1981), 35-42.

6.5 L.J. Hernandez,Un ejemplo de teora de homotopa en los grupos abelianos,Coll. Math., vol 33 (1982), 161-176.

6.6 E. Domnguez and L.J. Hernandez,Notes on proper homotopy theories associated with compact PL-manifolds,Publ. Mat Univ. Aut. Barcelona, vol. 26 (1982), 31-35.

12

6.7 E. Domnguez and L.J. Hernandez,Groupes d'homotopie propre associes a une categorie de prebordisme,(Presentado por Henri Cartan)C. R. Acad. Sc. Paris, 295 (1982), 143-146.

6.8 L.J. Hernandez,Grupos duales de homotopa de grupos abelianos,Acad. Ciencias de Madrid, 77 (1983), 115-127.

6.9 E. Domnguez and L.J. Hernandez,Sobre la clasicacion de las supercies abiertas.Captulo del libro: Contribuciones Matematicas en honor de Luis Vigil.Publ. de la Univ. de Zaragoza, 1984, 133-153.

6.10 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Una (co)homologa propia ,Actas del las X Jorn. Mat. Hispano-Lusas, seccion Topologa, 43-54.Universidad de Murcia, 1985.

6.11 E. Domnguez and L.J. Hernandez,Elementos descomponibles de n

n(X) ,

Actas del las X Jorn. Mat. Hispano-Lusas, seccion Topologa , 81-94.Universidad de Murcia, 1985.

6.12 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Unas notas sobre las equivalencia de homotopa propia ,Actas del VII Congreso do Grupo de Matematicos de Expressao Latina, vol I,479-483. Universidad de Coimbra, 1985.

6.13 L.J. Hernandez,Homotopy theory of pro-spaces and its applications to proper homotopy theory ,Actas de la I Reunion del Grupo de Geometra y Topologa de Zaragoza, Sevilla yLogro~no, 47-70.Ser. Publ. Col. Univ. de La Rioja, 1985.

6.14 L.J. Hernandez,Clases de homotopa propia de una supercie no compacta en el plano eucldeo ,Actas de la II Reunion del Grupo de Geometra y Topologa de Zaragoza, Sevillay Logro~no, 78-92.Ser. Publ. Univ. de Zaragoza, 1987.

13

6.15 L.J. Hernandez,About the extension problem for proper maps,Top. and its Appl., 25 (1987), 51-64.

6.16 L.J. Hernandez,Proper cohomologies and the proper classication problem,Proceedings of the Conference on Algebraic Topology,Lecture Notes in Math., no. 1298 (1987), 171-191.

6.17 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Una teora de (co) homologa propia para espacios con varios nales ,Actas del III Seminario de Topologa, 53-67.Ser. Pub. Univ. de Zaragoza, 1988.

6.18 J. Cabeza, M.C. Elvira and L.J. Hernandez,Crossed modules in Homotopy Theory ,Actas IV Seminario de Topologa, 11-26.Univ. del Pais Vasco, Leioa, 1988.

6.19 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,CW-complejos propios: Aplicaciones celulares y cilindros ,Actas del IV Seminario de Topologa, 37-52.Univ. del Pais Vasco, Leioa, 1988.

6.20 L.J. Hernandez and T. Porter,Proper pointed maps from R

n+1 to a -compact space,Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 103 (1988), 457-462.

6.21 L.J. Hernandez and T. Porter,Global analogues of the Brown-Grossman proper homotopy groups,Math. Proc. Camb. Phil. Soc., vol 104 (1988), 483-496.

6.22 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Proper CW-Complexes: A category for the study of proper homotopy,Coll. Math., 39 (1988), 149-179.

14

6.23 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Obstrucciones propias de tipo compacto-nocompacto I,Acad. de Ciencias de Zaragoza, 43 (1988), 47-63.

6.24 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Obstrucciones propias de tipo compacto-nocompacto II,Acad. de Ciencias de Zaragoza, 43 (1988), 64-75.

6.25 L.J. Hernandez (Editor),Actas del III Seminario de TopologaPubl. de la Universidad de Zaragoza, (1988). ISBN:84-77230022-6

6.26 J. Cabeza, M.C. Elvira and L.J. Hernandez,Una categora cobrada para las aplicaciones propias ,Actas del las XIV Jorn. Mat. Hispano-Lusas, vol II, seccion Geometra y Topologa,558-580.Secr. Publ. Univ. de La Laguna, 1989.

6.27 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,An isomorphism theorem of the Hurewicz Type in the proper homotopy category,Fund. Math., 132 (1989), 195-214.

6.28 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,About the classication of proper maps in the category of the nite cubic complexes,Glasnik Matematicki, vol 24 (44) (1989), 427-448.

6.29 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Cellular homologies of nite proper CW-complexes,Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, serie II, 24 (1990), 351-364.

6.30 E. Domnguez and L.J. Hernandez, Remarks about proper ends,Rev. Roumaine de Math. Pures et Appl., 35 , 5 (1990), 405-416.

6.31 L.J. Hernandez and T. Porter,An embedding theorem for proper n-types,Top and its Appl., 48 (1992), 215-235.

15

6.32 L.J. Hernandez and T. Porter,Categorical models for the n-types of pro-crossed complexes and Jn-prospaces,Algebraic Topology. Homotopy and Group Cohomology,Lecture Notes in Math., no. 1509 (1992), 146-186.

6.33 L.J. Hernandez, Mathematical Reviews: 93j:55007Massey, William S.SuÆcient conditions for a local homeomorphism to be injective.Topology Appl. 47 (1992), no. 2, 133148.

6.34 L.J. Hernandez, Mathematical Reviews: 93m:55004Dabbour, Abd El-Sattar A.; Abd El-Halim, Fayza; Sayed, NawalCanonical homology of partitions.Kyungpook Math. J. 32 (1992), no. 2, 247256.

6.35 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Sobre el innito de los espacios ,Proceedings of the Workshop on Proper Homotopy Theory, 23-69.Ser. Publ. Univ. de La Rioja. 1993.

6.36 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas (editores),Proceedings of the workshop on proper homotopy theory,Publ. de la Universidad de la Rioja (1993). ISBN:84-88713-00-2

6.37 LJ. Hernandez, Mathematical Reviews: 96f:55004Das, M. K.; Adhikari, M. R.Local homology and homological local connectedness.Bull. Calcutta Math. Soc. 86 (1994), no. 4, 327333.

6.38 L.J. Hernandez,Application of simplicial M -sets to proper homotopy and strong shape theories,Transactions of the AMS, 347, no. 2 (1995), 363-409.

6.39 L.J. Hernandez,Functorial and algebraic properties of Brown's P functor,Theory and Appl. of Categories, vol 1, No. 2 (1995), 10-53.

16

6.40 C. Elvira and L.J. Hernandez,Closed model categories for the n-type of spaces and simplicial sets,Math. Proc. of Camb. Phi. Soc., 118 (1995), 93-103.

6.41 L.J. Hernandez, Mathematical Reviews: 96k:55008Ayala, R.; Cardenas, M. and Quintero A.Homology decomposition in proper homotopy.Math. Japon. 42 (1995) no. 3, 443-457.

6.42 L.J. Hernandez, Mathematical Reviews:J. MilnorOn the Steenrod homology theoryNovikov conjectures, index theorems and rigidity, vol 1 (Oberwolfach, 1993), 79-96.London Math. Soc. Lecture Note Ser., 227, Cambrigde Univ. Press, Cambridge,1995.

6.43 L.J. Hernandez, Mathematical Reviews:S.C. FerryRemarks on Steenrod homologyNovikov conjectures, index theorems and rigidity, vol 2 (Oberwolfach, 1993), 148-166. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 227, Cambrigde Univ. Press, Cam-bridge, 1995.

6.44 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,A closed model category for (n 1)-connected spaces,Math. Proc. of the A.M.S., 124, no. 11 (1996), 3545-3553.

6.45 J.I. Extremiana, L.J. Hernandez and M.T. Rivas,Closed model categories for [n,m]-types,Theory Appl. Categ., 3 , No. 10 (1997), 250-268.

6.46 L.J. Hernandez,Fundamental pro-groupoid and covering projections,Fund. Math., 156 (1998), 1-31.

6.47 J.M. Garca-Calcines, M. Graca-Pinillos and L.J. Hernandez,A closed model category for proper homotopy and shape theories,Bull. Aus. Math. Soc., 57, no. 2 (1998) 221-242.

17

6.48 C. Casacuberta, L.J. Hernandez and J.L. Rodrguez,Models for torsion spaces,Israel J. of Math, 107 (1998), 301-318.

6.49 S. Ardanza and L.J. Hernandez,Fundamental pro-groupoid and bundles with a structural category,Top. and its Appl. 90 (1998), 1-15.

6.50 J.M. Garca-Calcines, and L.J. Hernandez,Sequential homology,Top. and its Appl. (2000),

Prepublicaciones

6.51 L.J. Hernandez,Homotopy categories for torsion spaces ,Prepublicacion, 1998.

6.52 L.J. Hernandez,Closed model categories for uniquely S-divisible spaces ,Prepublicacion, 1998.

7 TRAMOS DE DOCENCIA E INVESTI-

GACION

DOCENCIA: CuatroINVESTIGACION: Tres

18

Publications

ARTÍCULOS DE DIVULGACIÓN

1. L.J. Hernández, Sobre los principios fundamentales de la Geometría, Prepublicación, 2001.

2. J.I. Extremiana, L.J. Hernández y M.T. Rivas, Poliedros (Versión html Versión pdf) , Prepublicación, 2001.

3. J.I. Extremiana, L.J. Hernández y M.T. Rivas, Galería de imágenes poliedrales

4. J.I. Extremiana, L.J. Hernández y M.T. Rivas, La divina razón de la belleza (Versión pdf) , Prepublicación, 2005.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/div.html02/05/2006 20:19:36

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/POLIEDROS/Poliedros.html

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/ladivinarazon.pdf

Lección Inaugural del curso 2000-2001


Sobre los principios fundamentales de la Geometría

por

Luis Javier Hernández Paricio

Catedrático de Geometría y Topología

Departamento de Matemáticas y Computación

Universidad de La Rioja

Presentación.

Excmo. Sr. Presidente del Gobierno de la Comunidad Autónoma.

Excmo. Sr. Rector Magnífico de la Universidad de La Rioja.

Excmas. e Ilmas. Autoridades Civiles, Eclesiásticas y Militares.

Compañeros universitarios: Profesores, Alumnos y Personal de

Administración y Servicios.

Señoras y Señores.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/CI/COI.html (1 de 37)02/05/2006 20:19:46


Amigos todos.

El pasado curso, se me comunicó que por las razones reglamentarias que marcan el protocolo de las lecciones inaugurales de la Universidad de La Rioja, me correspondía pronunciar la lección inaugural del curso que hoy iniciamos.

La ocasión era importante y enseguida acepté el honor que suponía dirigirme a mis compañeros universitarios, a la sociedad riojana y a sus representantes que han impulsado la creación de esta institución universitaria.

Nuestra Universidad surgió a partir de las antiguas Escuelas Universitarias y del Colegio Universitario de la Rioja que dependían de la Universidad de Zaragoza, la cual fue fundada en 1583 por Pedro Cerbuna. En aquella lejana ocasión, la lección de apertura la realizó fray Jerónimo Xavierre y versó, entre otras materias, sobre la "Encarnación del Verbo Divino".

La Universidad de La Rioja tiene una corta historia y frente a la solera y raigambre de otras Universidades exhibe un gran entusiasmo y la ventaja de su juventud que, en mi opinión, la hace más moldeable y adaptable a los tiempos actuales.

Varias circunstancias concurren en este momento. El curso que hoy inauguramos, el 2000-2001, es un curso puente, entre dos milenios y entre dos siglos. Una situación anecdótica en nuestro sistema de medir el tiempo, pero que invita por una parte a la reflexión sobre los principales hechos y objetivos alcanzados en el milenio que se consume y por otra a esbozar algunas hipótesis de cómo va a transcurrir el tiempo futuro.

Las matemáticas, disciplina en la que imparto mi docencia, no han quedado fuera de este espíritu de análisis y reflexión y ello queda patente en las numerosas celebraciones y múltiples congresos que se están realizando durante este año 2000. Señalemos que la UNESCO ha patrocinado el 2000 como Año Mundial de las Matemáticas, apoyando una iniciativa de la Unión Matemática Internacional. Con ello se reconocen las aportaciones que la Matemática en su papel de lenguaje de la ciencia y portadora del pensamiento racional ha realizado al progreso de la humanidad.

El Comité Riojano del Año Mundial de las Matemáticas también ha participado en este evento organizando exposiciones, conferencias y la Semana de la Matemáticas que se celebró del 8 al 12 de Mayo y en la que se analizó el papel de las Matemáticas y los matemáticos en la sociedad actual y se realizaron algunas hipótesis sobre su posible futuro.

Examinando las posibles materias a las que podía dedicar mi lección inaugural y teniendo en cuenta que mi especialización se desenvuelve en temas geométricos y topológicos, he creído conveniente dedicarla al desarrollo histórico de los principios fundamentales de la geometría, particularmente al principio denominado "Axioma de las Paralelas" cuya clarificación necesitó que durante más de dos mil años numerosos escolares dedicaran muchos años de meditación, críticas de todo tipo y grandes esfuerzos, y que culminó finalmente con el nacimiento de las geometrías no euclidianas en el siglo



XIX. Varias son las razones que finalmente me han llevado a esta elección:

La primera es que, desde mi punto de vista, el descubrimiento de la geometría no euclidiana es uno de los avances más espectaculares que se ha realizado durante el segundo milenio en el mundo del pensamiento matemático.

La segunda trataría de compensar la poca repercusión y reconocimiento que este descubrimiento ha tenido en la sociedad científica española.

La tercera es la de afianzar una de las misiones la universidad, que además de ser una institución dedicada a la formación e investigación, origen fundamental de nuestra sociedad del bienestar, tiene también la sagrada misión de preservar y cultivar los avances importantes de la ciencia. En el caso del descubrimiento de las geometrías no euclidianas, se ha necesitado que numerosos estudiosos de diversas razas y culturas hayan dedicado su esfuerzo y tiempo a desentrañar el misterio el quinto postulado de Euclides.

La cuarta es poder celebrar este año mundial de las matemáticas con el recuerdo gratificante de que en el caso que nos ocupa el hombre con su inteligencia fue capaz de desvelar el misterio. Éste se reveló de forma magnífica, no se destruyó el pensamiento geométrico anterior, sino todo lo contrario, se fortaleció su consistencia y rigor. Se abrió un resquicio por el que surgió un mundo nuevo y extraño pero tan verdadero como el antiguo. Ambos mundos son igualmente consistentes y cada cual explica distintas facetas de una realidad compleja. La existencia de mundos no euclidianos no implica la destrucción de la geometría euclidiana clásica. La convivencia entre estas geometrías opuestas es sin embargo lógica y armónica.

Finalmente, aunque sea de soslayo, esta historia permite reflejar la naturaleza deductiva de las matemáticas. Una vez encontrados los principios fundamentales de una teoría, el resto de las propiedades de ésta se establecen y prueban por el método deductivo. Esta forma de trabajo que contrasta con el carácter empírico de otras ciencias, ha maravillado a muchos científicos, entre ellos a Einsten, que admiraba el hecho de que una ciencia deductiva pudiera explicar tan magníficamente muchas de las observaciones empíricas de otras ciencias más experimentales.

Es nuestro caso, la teoría a la que nos vamos a referir es la Geometría y los principios de la Geometría que vamos a analizar son los postulados euclidianos.

Euclides

Empezaremos mencionando las siete artes liberales del curriculum medieval. El trivium, que consistía en la gramática, la lógica y la retórica, se añadió al quadrivium que estaba integrado por las "mathemata" o temas de estudio que procedían de los tiempos de los últimos pitagóricos. Antiguamente las matemáticas era una terminología utilizada para designar todo el conocimiento que necesitaba de estudio riguroso para su comprensión. En la antigua Grecia, las cuatro materias del quadrivium se denominaron: Aritmética, Armónica, Geometría y Astrología. Hoy en día se llamarían:



Aritmética, Música, Geometría y Astronomía.

Uno de los más ilustres personajes griegos que escribió sobre todos los temas de estudio del quadrivium fue Euclides (abajo, Euclides según un grabado italiano). Sus Elementos de Música se han perdido completamente, pero se conserva su obra "Fenómenos" que versa sobre geometría esférica para la Astronomía. Y no es necesario decir que Euclides escribió un tratado sobre Aritmética y Geometría que se llama los Elementos. Los Elementos de Euclides y la Biblia están entre los libros más editados, más estudiados y más divulgados en la historia de la humanidad. Desde su primera impresión en 1482 se han realizado más de mil ediciones.

Señalemos algunos aspectos de este tratado:

Primero. Este tratado funda una disciplina científica: La Geometría.

Segundo. Durante más de veinte siglos ha representado el rigor y la norma de esta disciplina y de otras afines.

Y tercero. Introduce el método deductivo en las Matemáticas.

La fortuna institucional del tratado hizo que se perdieran los rastros de otros "Elementos" anteriores sobre los que seguramente se elaboró. También hizo que se velara el rostro del autor y que su nombre se transformara en un nombre para la geometría.

Euclides es un oscuro autor e incierto personaje. Parece haber dos referencias relativamente dignas de crédito. La primera, que fue posterior que los discípulos de Platón (muerto en el 347 a. C.), anterior a Arquímedes (nacido hacia el 287 a.C.) y coetáneo de Tolomeo Sóter (367-283 a. C.) instaurador de la



dinastía de los tolomeos (en otras transcripciones aparece como Tolemeo). Y la segunda, que enseñó y formó escuela en Alejandría.

La fuente principal de información relacionada con la geometría griega muy antigua es el llamado Sumario de Eudemo, de Proclo (Constantinopla 412-Atenas 485). Éste es un resumen muy breve de la geometría griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides basado en una historia anterior realizada por Eudemo. Además disponemos de unos cuantos comentarios que Proclo escribió sobre los Elementos de Euclides en su "Libro I, Comentarios sobre Euclides".

Proclo introduce a Euclides con los siguientes términos:

"No mucho más joven que Hermótimo de Colofon y Filipo de Medma (discípulos de Platon) es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en orden varios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados de Teeteto y dando asimismo pruebas incontestables de aquello que sus predecesores sólo habían probado con escaso rigor."

La segunda referencia procede de Pappo (siglo IV d. C.) que en su Colección cuenta que Apolonio de Perge habría frecuentado durante algún tiempo (en torno al 250 a. C.) a los discípulos de Euclides.

Teniendo en cuenta los datos anteriores y otras informaciones adicionales, se puede estimar que Euclides alcanzó la madurez hacia el 300 a. C.. Es hacia entonces cuando por convención se suele fechar los Elementos.

Euclides, con el transcurrir del tiempo, devino en un personaje de historias y leyendas.

Según Estobeo, en cierta ocasión uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración del primer teorema, se habría apresurado a preguntar la ganancia que podía obtener con cosas de ese género; Euclides, volviéndose hacia un sirviente, habría ordenado: "Dale 3 óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende".

También se cuenta que el rey Tolomeo Sóter se habría interesado, seguramente por cortesía, por una vía de acceso al conocimiento geométrico menos fatigosa, más rápida y llana que la de los Elementos; la respuesta atribuida a Euclides habría sido algo seca y cortante, se dice que le contestó: "Mi señor, no hay caminos de reyes en geometría".

Los polígrafos árabes imaginaron leyendas más audaces: Euclides habría sido hijo de Naucrates, nieto de Zenarco (y tal vez de Berenice); habría nacido en Tiro y residido en Damasco, pero sin renegar de su linaje y sus hábitos griegos, por lo demás no había hecho sino refundir el trabajo anterior de un tal Apolonio, que por más señas, era carpintero (Casiri, Biblioteca Arabico-Hispana Esculiarensis I 339).

Pero dejemos estas leyendas y pasemos a comentar cómo sus famosos Elementos se han transmitido a través de manuscritos, traducciones y ediciones desde tiempos de Euclides hasta nuestra época:



Transmisión de Los Elementos de Euclides

No se ha hallado ninguna copia de los Elementos de Euclides que date realmente de la época del autor. Las ediciones modernas de los Elementos se basan en una revisión preparada por Teón de Alejandría casi después de 700 años de que se realizara el trabajo original. Además, a principios del siglo XIX se encontró un manuscrito en la biblioteca del Vaticano que corresponde a un arquetipo anterior a la versión de Teón de la que muestra diferencias menores. Un estudio cuidadoso de las citas y comentarios de escritores antiguos indica que las definiciones, los axiomas y postulados iniciales del tratado original difieren algo de las revisiones, pero las proposiciones y sus demostraciones han permanecido en gran parte tal y como Euclides las escribió.

La forma principal de transmisión de los Elementos se aviene a la pauta que parecen seguir los textos científicos más afortunados del legado griego: versiones griegas manuscritas; traducciones del griego al árabe en el siglo IX; traducciones latinas de las versiones árabes en el siglo XII; impresión de versiones y exposiciones en latín a finales del siglo XV; poco después, edición de versiones latinas a partir del griego y aparición de la "editio princeps" del propio texto griego; más tarde, versiones en lenguas vernáculas y, por fin, edición crítica del texto griego en las últimas décadas del siglo XIX.

También La Rioja tiene su lugar en la transmisión de Los Elementos desde la época de Euclides hasta nuestros días como vamos a relatar a continuación:

En la primera mitad del siglo XV Gutenberg (1394-1468) introdujo la imprenta y uno de los primeros impresores fue Erhard Ratdolt, que perteneció a una familia de artistas de Augsburgo, donde nació hacia 1443. Habiendo aprendido el oficio de impresor en su propia familia y posiblemente habiendo sido discípulo directo o indirecto de Gutenberg, se trasladó a Venecia en 1475, donde fundó la que sería una famosa imprenta que regentó durante 11 años.

En 1482, durante su etapa veneciana, Erhard Ratdolt realizó la primera impresión latina de los elementos de Euclides. Un ejemplar de esta primera edición impresa de los Elementos de Euclides se guarda en el Monasterio de Yuso de San Millán de la Cogolla. Este ejemplar presenta dos curiosidades: El encabezamiento del texto del autor hecho con tinta roja (el resto del libro esta hecho con tinta negra) y las admirables figuras geométricas que aparecen en sus márgenes. En el ejemplar del Monasterio de Yuso aparecen algunos comentarios manuscritos en latín en los márgenes de los cinco primeros libros. Por las consultas realizadas se sabe que en España existen otros seis como el de Yuso. Algunos de estos ejemplares no están tan bien conservados como el de San Millán de la Cogolla e incluso algunos de ellos tienen los márgenes, donde se encuentran las figuras, guillotinados.

Un hecho que refuerza la importancia de este incunable es el de que el ilustre matemático francés Laurent Siebenmann, que participó en el "Workshop on proper homotopy" organizado por el Colegio Universitario de La Rioja en el año 1989, prolongó su visita una semana más exclusivamente para estudiar las características del ejemplar del Monasterio de Yuso.

En el prefacio, dedicado al Príncipe Mocenigo de Venecia, el impresor comenta que frecuentemente



se había preguntado por qué en una ciudad tan poderosa como Venecia, en la que en sus numerosas imprentas se publicaban cada día volúmenes de autores antiguos y modernos, no se había publicado nada sobre matemáticas, la más noble de las disciplinas. También dice que cuando indagó sobre el tema encontró que la razón de esta ausencia de publicaciones se debía a la dificultad de imprimir las figuras geométricas que aparecen en los volúmenes matemáticos y sin las cuales son difícilmente inteligibles. Sin embargo, él, después de mucho trabajo encontró la forma de poder imprimir figuras geométricas con la misma facilidad que los caracteres de las letras. También dice que gracias a su invención, pronto se podrán ilustrar muchos volúmenes de matemáticas y otras ciencias.

Teniendo en cuenta que estamos en el año mundial de las matemáticas no me he podido resistir a seguir incluyendo algún comentario más que el impresor Ratdolt realiza en el prefacio de este incunable de gran valor. Dice que tanto los Dialécticos como los Filósofos admiten que sus libros contienen muchas cosas que difícilmente se entenderían sin el razonamiento matemático. También comenta que hasta el divino Platón en su búsqueda de los secretos de la verdad se embarco parar visitar a Teodoro de Cirene, uno de los grandes matemáticos de su tiempo. Asegura que sin esta facultad de las matemáticas el modo de vida de su época estaría imperfectamente constituido. Se pregunta si sin la aritmética y la geometría que nos enseñan números y otras medidas podría ser nuestra vida tan civilizada y cómoda. Finaliza el prefacio asegurando que Euclides de Megara completó consumadamente todo el conocimiento geométrico en quince libros y que él, con mucho cuidado y diligencia, lo ha llevado a su imprenta ya que no existe un modelo anterior.

Es un reconocido error histórico el atribuir a Euclides de Megara la autoría de los Elementos. Éste fue un filósofo que vivió un siglo antes que el verdadero Euclides autor de los elementos. Esta versión incluye dos libros más que los compuestos por Euclides, el XIV y el XV. El libro XIV continúa con la comparación hecha por Euclides de los sólidos regulares inscritos en la esfera y es atribuido a Hipsicles (segunda mitad del siglo II a. C.) que fue discípulo de Euclides en Alejandría. El libro XV se considera obra (al menos en parte) de Isidoro de Mileto (532 d. C.), el arquitecto de la catedral de la Santa Sabiduría en Constantinopla.

Esta primera edición impresa de los "Elementos" de Euclides reproduce una versión latina compuesta en el año 1260 por el eminente matemático Campano de Novara capellán del papa Urbano IV, y para la cual utilizó diversas fuentes árabes y una de las versiones latinas de Adelhard of Bath (Adelardo de Bath). La versión adelardiana utilizada por Campano pacere que debió ser compuesta antes del periodo 1142-1146 en el que Adelhard of Bath redactó su obra sobre el astrolabio. El inglés Adelhard of Bath viajó para aprender árabe a través de Asia Menor, Egipto y finalmente estuvo en Córdoba alrededor de 1120, donde obtuvo una copia de un texto morisco de los Elementos de Euclides. La traducción del árabe al latín se realizó por lo tanto entre 1120 y 1142.

Señalaremos que además de la traducción de Adelardo existen numerosos manuscritos latinos con traducciones de textos árabes de Los Elementos. Uno de ellos es una traducción de Gerardo de Cremona (1114-1187), el más prolífico de los traductores de Toledo, asistido en esta ocasión por un ayudante mozárabe ("Gallipus mixtarabus"). Esta versión es considerada como la más acorde con la tradición griega de entre las versiones arábigo-latinas y no tuvo el influjo de las versiones adelardianas. Además de los Elementos, Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo al latín más de noventa trabajos árabes, entre los que se encuentra el Almagesto de Tolomeo.



La recuperación del Euclides pristino es, hoy en día, una ilusión excesiva. El texto de los Elementos que hoy cabe considerar como el más aproximado al original es el establecido por la edición crítica de J.L. Heiberg y H. Menge (véase [12]). Esta edición se realizó, cotejando siete manuscritos principales y el uso adicional de un palimpsesto del British Museum que contiene varios fragmentos del libro X y alguno del libro XIII. También toma en cuenta noticias existentes en comentarios y referencias de Pappo, Sexto Empírico, Proclo y Simplicio.

Existen también numerosas ediciones en lenguas vernáculas, citaremos brevemente la edición monumental en inglés de T. S. Herth, véase [14]. Por su detallada introducción, sus copiosas notas y referencias a lo largo del texto es una versión frecuentemente citada por historiadores de matemáticas y de la ciencia en general.

Un importante estudio de las ediciones castellanas de los Elementos es el elaborado por Luis Vega en el prólogo de la última edición de los Elementos de Euclides realizada en España que es una traducción realizada por María Luisa Puertas Castaños, véase [7], del texto griego fijado por la edición de J.L. Heiberg y H. Menge. Luis Vega menciona al menos quince ediciones anteriores al siglo XX y cuatro más que corresponden al siglo XX.

Tras analizar brevemente alguna de las curiosidades de cómo se han transmitido los Elementos desde Euclides a nuestra época y resaltar la importancia del incunable de Yuso, pasaremos a examinar brevemente el contenido de los Elementos, especialmente el del Libro I.

Comentarios sobre los Elementos

Se llamaban "elementos" las proposiciones que desempeñaban un cometido capital en la organización deductiva de otros resultados. De este modo, los "Elementos", con mayúscula, venían a ser un tratado donde se exponían con más o menos acierto los "elementos" de algún campo científico. También se distinguía entre una significación más amplia en la que todo lo que sirve para establecer un resultado es uno de sus elementos y, otra significación más restringida, en la que se denomina "elementos" a un grupo selecto de asunciones y proposiciones: Las que tienen el estatuto de principios dentro de una disciplina y son la base de partida sobre la que se teje la trama deductiva de las demás proposiciones y el cuerpo de sus conocimientos.

En una descripción somera de los "Elementos" se puede empezar diciendo que este tratado se compone de trece libros que contienen 465 proposiciones que, contrariamente a la impresión popular, además de geometría tratan de aritmética y álgebra geométrica griega. Más concretamente tenemos que:

Los cuatro primeros Libros desarrollan la teoría elemental de la geometría plana.

Los Libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción.

La Teoría de la Aritmética corresponde a los Libros VII, VIII y IX.



El Libro X, denominado por algunos como "La cruz de los matemáticos", se dedica al estudio de segmentos rectilíneos que son inconmensurables respecto a un segmento rectilíneo dado; esto es, al estudio de los irracionales.

Los últimos Libros (XI, XII y XIII) se dedican a la Geometría del espacio.

El Libro I de los Elementos empieza con 23 definiciones que introducen términos tales como punto, línea, línea recta, superficie, superficie plana, ángulo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo agudo, círculo y circunferencia, centro, diámetro, semicírculo, triláteros, cuadriláteros y multiláteros.

Entre los triláteros, introduce el triángulo equilátero, el isósceles y el escaleno. De entre las figuras cuadriláteras, define cuadrado como la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llama trapecios a las demás figuras cuadriláteras.

La definición 23 dice que "Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a la otra en ninguno de ellos."

Tras las definiciones y pese a su simpleza gramatical viene uno de los textos científicos más notables que jamás se haya escrito, se trata de los Postulados y Nociones Comunes, que expondremos a continuación siguiendo una traducción literal de la versión de Heiberg y Menge.

POSTULADOS

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.

3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.

4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que los ángulos internos del mismo lado (sean) menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.

NOCIONES COMUNES



1. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.

2. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.

3. Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

4. Y las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.

5. Y el todo es mayor que la parte.

El método utilizado por Euclides se basa en la utilización de cadenas deductivas que obtienen nuevos elementos a partir de otros anteriores. Puesto que no se puede retroceder infinitamente en la búsqueda de elementos anteriores, en un momento determinado hay que establecer unos que serán los principios fundamentales de la teoría y que en Los Elementos de Euclides se denominaron: Postulados y Nociones Comunes. Los primeros son propios del campo científico considerado y los segundos, también llamados axiomas, son comunes para todas las ciencias.

Las nociones comunes y los postulados fueron ampliamente criticados y completados por comentadores y copistas. En los diferentes manuscritos y versiones impresas aparecen en formas diferentes. Por ejemplo, en la primera versión impresa en ingles por J. Willianson, el que hemos denominado quinto postulado aparece entre las nociones comunes como la número once y es bien conocido que János Bolyai se refiere al quinto postulado como el Axioma XI de Euclides.

Poco a poco se fueron descubriendo las lagunas del sistema de postulados y axiomas de Euclides; señalemos por ejemplo: La sobrecarga lógica de las definiciones, la falta de recursos para realizar las superposiciones y la ausencia de criterios para asegurar la existencia de intersecciones en ciertas figuras formadas por rectas y circunferencias.

Habría que esperar hasta finales del siglo XIX para que en los trabajos de Pasch (Vorlesungen über nuere Geometrie, 1882), Peano (I principii di geometria, logicamente esposti, 1889) y Pieri (Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo, 1899) se desarrollara una axiomatización de la geometría más acorde con la exigencia creciente del rigor matemático. No obstante, el sistema axiomático más difundido y aceptado es el que Hilbert [13] publicó en el año 1899 en su obra "Fundamentos de la Geometría". El tratamiento axiomático de la Geometría en nuestra época necesita de tres objetos primitivos, que no necesitan ser definidos: punto, recta y plano. Y para expresar las relaciones tres palabras primitivas: pertenece, entre y congruente. El sistema axiomático de Hilbert completado y perfeccionado se suele presentar en cinco grupos de axiomas: (a) ocho axiomas de enlace o pertenencia; (b) cuatro axiomas de orden; (c) cinco axiomas de congruencia; (d) axioma de paralelismo; (e) dos axiomas de continuidad, el de Arquímedes y el de completitud lineal.

El sistema actual no diferencia entre nociones comunes y postulados y no incluye definiciones. Es interesante observar que este sistema axiomático contiene al llamado axioma del paralelismo o axioma de las paralelas. El axioma de las paralelas, que fue popularizado por John Playfair (1748-



1819), es equivalente al quinto postulado y su enunciado es el siguiente:

Axioma de las paralelas. Por un punto dado que no esté en una recta dada sólo se puede trazar una única línea recta paralela.

Señalaremos que sin cambiar los objetos y palabras primitivos es posible encontrar otros grupos de axiomas básicos a partir de los cuales de pueden encontrar los mismos teoremas y proposiciones. Notemos que en la misma teoría un axioma se puede considerar una proposición con respecto a otro grupo distinto de axiomas.

También se pueden cambiar los objetos y palabras primitivos y elaborar teorías diferentes. En el caso en el que las teorías sean equivalentes se pueden encontrar descripciones de los objetos y palabras primitivos de una teoría en función de la otra.

Volviendo a Los Elementos de Euclides, se observa que una vez concluida la redacción de los postulados y nociones comunes, sin más preámbulos vienen las 48 proposiciones del Libro I. Una proposición prueba que se verifica una determinada propiedad o que se puede realizar cierta construcción utilizando únicamente los postulados, nociones comunes y proposiciones anteriores.

Para satisfacer nuestra curiosidad y para ver cómo se utiliza el modo deductivo, tomemos la primera proposición:

Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Sea AB la recta finita dada.

Así pues, hay que construir sobre la recta dada un triángulo equilátero.

Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo BΓ∆ [Post. 3], y con el centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo AΓE [Post. 3], y a partir del punto Γ donde los círculos se cortan entre sí, trácense las rectas ΓA , ΓB hasta los puntos A , B [Post. 1].



Y puesto que el punto A es el centro del círculo Γ∆B, AΓ es igual a AB [Def. 15]; puesto que B es a su vez el centro del círculo ΓAE, BΓ es igual a BA [Def. 15]; pero se ha demostrado que ΓA es igual a AB; por tanto, cada una de las (rectas) ΓA, ΓB es igual a AB. Ahora las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, ΓA, AB, BΓ son iguales entre sí.

Por consiguiente, el triángulo ABΓ es equilátero y ha sido construido sobre una recta finita dada AB. Que es lo que había que hacer.

Señalaremos que las proposiciones de los Elementos suelen discurrir por los siguientes pasos canónicos: Enunciado; exposición, en la que se utilizan letras para designar los puntos, las rectas y los datos dados; determinación, en la que se recuerda lo que hay que hacer o lo que hay que probar; demostración propiamente dicha y conclusión. No siempre siguen esta pauta pero lo que nunca falta es la proposición o enunciado, la demostración y la conclusión.

En la demostración anterior se hace uso de las definiciones, postulados y nociones comunes anteriores como se indica en los corchetes. Naturalmente, al tratarse de la primera proposición no se hace uso de otras proposiciones anteriores.

Citemos también como ejemplo la siguiente propiedad:

Proposición 5. En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajos la base serán iguales entre sí.

Una diferencia entre las dos proposiciones citadas es que en la primera se trata de resolver el problema de cómo hay que realizar una construcción, en la siguiente, se trata de describir una propiedad de una figura dada. El primer tipo de proposiciones se llamaban problemas, y las del



segundo tipo, teoremas.

El nombre popular de este último teorema es el de "pons asinorum"; es decir, el puente de los asnos. Probablemente provenga de la apariencia de puente que tiene la figura de la demostración de Euclides, por cierto bastante complicada, y de la idea de que cualquiera que no lo cruce ha de ser un borrico. Afortunadamente, Pappo de Alejandría dio hacia el 340 d. C. una demostración más sencilla.

Con permiso de los asnos, mencionaremos otra anécdota que relaciona a éstos con el contenido de la siguiente:

Proposición 20. En todo triángulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.

Proclo dice que los epicúreos acostumbraban a ridiculizar este teorema porque "era evidente incluso para un asno y no requería prueba". La afirmación de que el teorema era comprensible incluso para un asno, se basaba en que si se colocaba forraje en un vértice y el asno en el otro, el hambriento animal no iría en busca de su pitanza a través de dos lados de un triángulo, sino sencillamente a través de aquél que le separaba de la comida. También se dice que al escuchar esta historia, Saville exclamó que los autores de estos argumentos eran dignos de compartir el heno con el asno.

El mismo Proclo replica estos comentarios aclarando que la percepción de la verdad de un teorema es algo diferente de la prueba científica del mismo. No obstante, los epicúreos no andaban muy desencaminados; esta propiedad actualmente se denomina como la desigualdad triangular y es tomada como un axioma en la teoría de espacios métricos que tiene una gran repercusión en la matemática actual. Éste es un ejemplo más de una afirmación que en una teoría matemática es una proposición y sin embargo en otra es simplemente un axioma.

Una proposición particularmente importante es la Proposición 29, pues es en esta proposición en la que por primera vez se utiliza el quinto postulado de Euclides. Ello significa que cualquier geometría que verifique los cuatro primeros postulados junto con las nociones comunes satisface las primeras 28 proposiciones de Euclides. Por lo tanto los criterios que determinan la congruencia de triángulos, la existencia de perpendiculares y de bisectrices de ángulos y puntos medios de segmentos son también válidos en las geometrías que no asuman el quinto postulado. Esta proposición tiene el enunciado siguiente:

Proposición 29. La recta que incide sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales entre sí, y el (ángulo) externo igual al interno y opuesto, y los (ángulos) internos del mismo lado iguales a dos rectos.



La familia de proposiciones que se pueden probar sin utilizar el quinto postulado se suele denominar actualmente como geometría absoluta. En los Elementos de Euclides, además de las primeras 28 proposiciones, existen otros resultados que forman parte de la geometría absoluta, para ello bastaría extractar aquellas proposiciones que no utilizan el quinto postulado en ningún punto de la correspondiente cadena deductiva.

De gran interés en esta historia de los fundamentos de la geometría es la proposición siguiente que no utiliza el quinto postulado.

Proposición 31. Por un punto dado trazar una línea recta paralela a una recta dada.

Nótense los dos matices en los que difieren la proposición 31 y el axioma de las paralelas: el primero es que en el axioma de las paralelas se exige que el punto no esté en la recta dada y el segundo matiz consiste en que además de la existencia se requiere la unicidad de la paralela trazada. Recordemos que el quinto postulado es equivalente al axioma de las paralelas; sin embargo la proposición anterior no necesita del quinto postulado para su demostración. Debido a la equivalencia del quinto postulado y el axioma de las paralelas, y a la influencia de los trabajos de Playfair, en muchos libros de texto de geometría el quinto postulado de Euclides se sustituyó por el axioma de las paralelas.

Destacaremos a continuación resultados de los Elementos que sí utilizan el quinto postulado con el objetivo de una posterior comparación con los resultados análogos de otras geometrías que no lo utilizan:

Proposición 32. En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual a los dos ángulos internos y opuestos, y los tres ángulos internos del triángulo son iguales a dos rectos.

La demostración de esta proposición utiliza la proposición 29 que a su vez utiliza el postulado quinto.

La siguiente nos da el área de un triángulo:

Proposición 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.



La penúltima proposición del Libro I contiene el célebre teorema de Pitágoras y la última es precisamente su recíproco.

Proposición 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Un comentario de Proclo dice que

"Si escuchamos a quienes gustan de narrar cosas antiguas, hallaremos que atribuyen este teorema a Pitágoras y dicen que sacrificó un buey por su descubrimiento. Por mi parte, aunque admiro a los que conocieron primero este teorema, más me maravilla el autor de los Elementos, no sólo por establecerlo mediante una clara demostración, sino por haber sentado en el libro sexto (VI, 31) una proposición aún más general con las pruebas incontestables de la ciencia.."

No obstante, aclararemos que se conoce un uso más antiguo de triángulos pitagóricos por culturas como la antigua egipcia, la babilonia, la india y la china.

Finalizamos estos comentarios del primer libro de Euclides con algunas observaciones: La primera es la redacción compleja e intrincada del quinto postulado de Euclides que le da un carácter un poco distinto de los demás que aparecen más simples y en los que su sencillez hace que su carácter de principio fundamental sea fácilmente aceptado. En segundo lugar, los Elementos de Euclides contienen un subconjunto de proposiciones que no requieren del quinto postulado, es decir que no se alude a éste en la cadena deductiva de su demostración. Esta geometría que no depende del quinto postulado se llama geometría absoluta. Señalemos también que los Elementos contienen importantes proposiciones que sí que dependen del quinto postulado.

Parece ser que el mismo Euclides no estaba de si su quinto postulado era o no demostrable a partir de los demás, ya que pospuso su utilización todo lo posible. Así que podemos iniciar con el mismo Euclides una historia que iba a durar mas de dos mil años y cuyo objetivo consistía en probar que el quinto postulado no era un principio fundamental de la geometría sino un teorema de la geometría absoluta. De los muchísimos intentos de demostración del quinto postulado vamos a seleccionar algunos de ellos, realizados a lo largo de más de dos mil años.

Intentos de demostración del quinto postulado

En el siglo V, Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo:



"Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación de que puesto que cuando las rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados"

El mismo Proclo dio la siguiente demostración del quinto postulado:

"Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde P a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m. Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se desliza hasta el final de n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en algún momento deberá cruzar l."

Destaquemos dos claros errores en el argumento anterior: En primer lugar, una magnitud puede crecer indefinidamente sin rebasar un tope prefijado. Y en segundo lugar, no podemos presuponer que la distancia entre m y l es constante. Si se dice que son paralelas, son paralelas (no se cortan) y nada más.

La huida de Mahoma de la Meca a Medina en el 622 d. C. inició la época de dominación árabe. En un siglo su influencia se había extendido desde la India hasta Persia, Mesopotamia, Norte de África y España. En el 641 Alejandría cayo bajo el imperio árabe y con el paso del tiempo Bagdad se convirtió en la "nueva Alejandría". Los Califas de Bagdad no sólo gobernaron sabia y correctamente sino que muchos fueron protectores de la cultura invitando a escolares de prestigio a sus cortes. Numerosos trabajos hindúes y griegos en astronomía, medicina y matemáticas fueron diligentemente traducidos al árabe y así se salvaron hasta que posteriormente traductores realizaran versiones en latín y otras lenguas vernáculas. Un ejemplo importante de este proceso de transmisión lo constituye el Codex Vigilamus, que se escribió en Albelda el año 957, y que es el primer manuscrito occidental en el que aparecen las cifras indo-arábigas de nuestro sistema decimal de numeración. Actualmente este manuscrito está depositado en la Biblioteca de San Lorenzo del Escorial.

Uno de los primeros centros de enseñanza occidentales fue el creado por Gerberto (940-1003) en la



ciudad francesa de Reims. En su escuela Gerberto enseñaba numerosos métodos de cálculo con la importante novedad de que también empleo los guarismos indo-árabes. Entre los libros escritos por Gerberto citamos su "Geometría" en la que podemos encontrar la siguiente descripción:

"Dos líneas rectas distintas continuamente una de la otra por el mismo espacio y que cuando se prolongan indefinidamente nunca se cortan se denominan paralelas; es decir, equidistantes."

Esta definición de rectas paralelas recoge dos aspectos: El primero, es que no tengan puntos comunes y el segundo que la distancia entre estas sea constante. Hacemos notar que la segunda propiedad no es obvia y su demostración depende del quinto postulado. Desde el 999 hasta el 1003 en el que murió, Gerberto fue el papa romano Silvestre II.

Las matemáticas de los árabes fueron excelentes en álgebra aritmética y trigonometría. La teoría de las paralelas fue también estudiada aunque sin grandes resultados. Ibn-al-Haitham (en torno a 965-1039), conocido como Alhazen en Occidente, dio una demostración del quinto postulado argumentando que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también es recto el cuarto. En su demostración supuso que el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta dada era de nuevo una recta. Cayó en la trampa de la línea equidistante. La simple afirmación de que existan dos rectas equidistantes es equivalente al quinto postulado. Por otro lado, la propiedad que afirma que en un cuadrilátero si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto, es también equivalente al quinto postulado.

Para los árabes el nombre de Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) es conocido por sus contribuciones en astronomía y álgebra. Los esfuerzos de Omar en la teoría de las paralelas se pueden encontrar en "La Verdad de las Paralelas y Discusión sobre la famosa duda" que es la parte I de su Discusión sobre las dificultades de Euclides. Omar Khayyam estudió, 600 años antes que Saccheri, cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con CD y los ángulos en A y en D son rectos.

Probó que los ángulos superiores del cuadrilátero eran congruentes. También demostró que la perpendicular por el punto medio de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el cuadrilátero anterior la longitud del BC es mayor que la de AD si y sólo si el ángulo en B es agudo; BC es congruente a AD si y sólo si el ángulo en B es recto y BC es mayor que AC si y sólo si el ángulo en B es obtuso. La posibilidad de que este ángulo fuera agudo o obtuso fue negada a partir del argumento de que "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es por lo menos lo que en verdad los filósofos



piensan."

Mencionaremos también al astrónomo árabe Nasir Eddin (1201-1274) que trabajó para Hulagu Khan, hermano de Kublai Khan y nieto de Genghis Khan. Realizó una versión de los Elementos de Euclides y entre las proposiciones 28 y 29 dio una demostración del quinto postulado. Supuso incorrectamente que si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso. De nuevo encontramos una propiedad que se verifica en geometría euclidiana y que en geometría absoluta es equivalente al quinto postulado.

Probablemente el primer occidental que analizó el postulado de las paralelas fuera el rabí de Aviñon conocido por Gersónides(1288-1344) que trabajó con cuadriláteros equiláteros y equiángulos. Aquí tenemos que la proposición que afirma que los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos es también equivalente al quinto postulado.

Posteriormente, ya a través de una imprenta, Clavio realizó una edición comentada de los Elementos de Euclides en la ciudad de Roma en 1584. En esta edición a las 468 proposiciones de Euclides se añadieron 671 más de su propia invención creando un universo de 1234 proposiciones. Se realizó incluso una edición china (1603-1607) de la primera parte de esta versión comentada de Clavio. Mencionaremos que posteriormente tanto Saccheri como Descartes aprendieron geometría de la edición de Clavio. En su versión monumental, Clavio, llamado por algunos el Euclides del siglo XVI, también incluyó una demostración del quinto postulado en la que otra vez se utilizaba el argumento erróneo de que una línea equidistante a una línea recta es una recta.

John Wallis (1616-1703) siendo profesor de la Universidad de Oxford se interesó en el trabajo de Nasir Eddin, y tradujo al latín los comentarios del astrónomo persa sobre las paralelas. Como consecuencia de este interés, John Wallis dio una nueva demostración en el año 1663. Para ello Wallis presuponía que dado un triángulo siempre existían triángulos similares a éste y no congruentes. Sin embargo, esta afirmación es equivalente al quinto postulado.

Mención especial requiere el italiano Girolamo Saccheri (1667-1733). Éste ingresó en los Jesuitas a los 23 años, fue profesor de Teología en un Colegio Jesuita de Milán, posteriormente enseño filosofía en Turín. Más tarde fue profesor de Matemáticas en la Universidad de Pavía. En este periodo aplicó su método favorito "la reducción al absurdo" para probar el quinto postulado. Saccheri estudió cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con DC y los ángulos en A y D son rectos,



exactamente iguales que los que había estudiado Omar Khayyam.

En los cuadriláteros que denominaremos de Saccheri existen tres casos posibles:

1º) Los ángulos en B y C son rectos.

2º) Estos ángulos son obtusos.

3º) Dichos ángulos son agudos.

En las condiciones habituales de la geometría absoluta, se puede probar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero de Saccheri es menor o igual que dos llanos. Así que el segundo caso queda descartado. Sin embargo, por mucho que lo intentó, no consiguió llegar a una contracción suponiendo que se verificara el tercer caso. Por esta razón la llamo la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Saccheri probó numerosos resultados de la geometría no euclidiana. En particular citemos el siguiente resultado:

Proposicón IX. Bajo las hipótesis del Ángulo Recto, Ángulo Obtuso o Ángulo Agudo, respectivamente se tiene que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, mayor que dos rectos o menor que dos rectos.

También probó que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, dada una recta y un punto exterior, en el haz de rectas que pasan por el punto exterior existen dos rectas asintóticas que dividen al haz en dos partes, en una parte están las rectas que cortan a la recta dada y la otra, las rectas que no la cortan. El



ángulo π(AB) formado por la recta AB y una de las semirectas asintóticas se llama ángulo de paralelismo asociado a la distancia AB.

Observemos que la geometría resultante cuando consideramos la hipótesis el Ángulo Agudo no es compatible con el quinto postulado y aparecen proposiciones diferentes a las de la geometría euclidiana. Recordemos que la Proposición 29 de los Elementos asegura que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos.

No obstante, la conclusión final de su trabajo se basa más en la intuición y en su creencia en la validez del quinto postulado que en la lógica. Su argumento final se apoya en la afirmación de que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo se pueden construir dos rectas paralelas distintas que tendrían una perpendicular común en el punto del infinito, lo que es contrario a la naturaleza de la línea recta. Es decir que la hipótesis del Ángulo Agudo es falsa porque repugna la naturaleza de la línea recta.

Ciertamente, Saccheri había probado muchos teoremas de la geometría no euclidiana pero no fue capaz de valorar el tesoro que había encontrado. Lo desechó a causa de su fe ciega en la validez del quinto postulado.

El fruto de sus investigaciones fue recogido en su libro "Euclides ab omni naevo vindicatus". Saccheri murió el 25 de Octubre de 1733; poco antes, había recibido el permiso, para imprimir el citado libro, de la Inquisición con fecha 13 de Julio y del Provincial de los Jesuitas con fecha 16 de Agosto. El libro de Saccheri atrajo una considerable atención en el tiempo de su publicación. En las historias de matemáticas realizadas en Alemania y Francia durante el siglo XVIII se menciona dicho libro. Sin embargo, en Francia e Italia pronto se olvidó esta obra aunque no ocurrió lo mismo en Alemania.

Posteriormente, el suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777) escribió la obra "Die Theorie der Parallellinien" (La teoría de las Paralelas) que se publicó después de su muerte. En su trabajo Lambert se preguntó si el quinto postulado se podría deducir a partir de los demás o si sería necesaria alguna hipótesis adicional. Después dio diferentes afirmaciones que necesitaban ser probadas pero que implicaban el quinto postulado. En la parte final consideró cuadriláteros pero con tres ángulos rectos. De nuevo tenía las tres hipótesis posibles respecto al cuarto ángulo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Lambert probó que el área de un triángulo es proporcional a su defecto, que es la diferencia entre un llano y la suma de sus ángulos interiores.



Observemos aquí la diferencia del área de un triángulo establecida en la Proposición 41 de los Elementos como la mitad de un rectángulo con la misma base que el triángulo y su misma altura. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo existe una cota superior constante de modo que el área de cualquier triángulo es siempre más pequeña que esa cota superior. En la geometría euclidiana esa área se puede hacer tan grande como queramos. En la geometría no euclidiana los triángulos con área pequeña tienen ángulos interiores cuya suma es próxima a dos rectos y en los triángulos de área grande la suma de los ángulos será tan pequeña como deseemos.

También conjeturó que la hipótesis del Ángulo Agudo se podría verificar en una esfera de radio imaginario puro. Quizás llegó a esta conclusión al analizar la fórmula (A+B+C-π)r2 que determina el área de un triángulo esférico de ángulos A, B y C en una esfera de radio r. Si se toma como radio r=si, donde i es el imaginario puro, se obtiene que el área sería s2 (π -A-B-C) es decir el área sería proporcional al defecto.

Adrian Marie Legendre (1752-1833) fue un eminente y quizás el más infatigable en la búsqueda de la demostración del quinto postulado. Sus varios intentos aparecieron en las doce ediciones de sus "Élements de géométrie" desde 1794 hasta 1823. Su monografía "Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle" apareció en 1833, véase [15], cien años después de la publicación del libro de Saccheri. Aunque la publicación del libro de Saccheri produjo curiosidad, sus contenidos no eran muy conocidos, de modo que en sus trabajos aparece de nuevo el resultado de que en geometría absoluta la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual que dos rectos; también prueba que si existe un triángulo cuyos ángulos suman dos rectos, entonces todos los triángulos tienen esa propiedad. Estos resultados ya habían sido probados en el libro de Saccheri que a su vez contenía resultados ya probados por Omar Khayyam. Después de sus variadas demostraciones e investigaciones, Legendre pensó que finalmente había removido las dificultades de la fundamentación de la geometría. En sustancia, sin embargo, no aportó nada a los resultados obtenidos por sus predecesores en la teoría de las paralelas.

Del análisis basado en comentarios de historiadores antiguos, manuscritos y libros impresos antiguos se desprende:

Que son muy numerosos los intentos que desde el siglo III a. C. hasta el siglo XIX se realizaron para probar el quinto postulado de Euclides. Estos estudios los realizaron personas de distintas religiones y culturas. Recordemos al rabí Gersónides con sus cuadriláteros equiláteros y equiángulos, al musulmán Omar Khayyam o al jesuita Girolamo Saccheri.

Que todas las demostraciones contenían algún fallo que normalmente consistía en una afirmación que es correcta en geometría euclidiana y que en cierto sentido parece que sea algo evidente que no sea preciso demostrar. Algunas de estas "verdades evidentes" que de modo erróneo se utilizaron para purificar los fundamentos de la geometría son las siguientes:

"existen dos rectas equidistantes"

"la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae"



"una línea equidistante a una línea recta es una recta"

"en un cuadrilátero, si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto"

"si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D y AB es congruente con DC, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso"

"los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos"

"existen dos triángulos similares pero no congruentes"

"dado un triángulo siempre existen triángulos similares a éste y no congruentes"

"por un punto que no esté en una recta dada pasa una única paralela"

"por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia"

"la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos"

Todas estas afirmaciones y otras muchas más en la geometría absoluta son equivalentes al quinto postulado. Es decir, que se puede sustituir el quinto postulado por una cualquiera de ellas. En este caso la afirmación elegida adquiere el carácter de postulado, el quinto postulado abandona su carácter axiomático para convertirse en una proposición que necesita demostración y también serán proposiciones o teoremas el resto de las afirmaciones.

Especial mención requieren los resultados obtenidos por Saccheri, que indudablemente son los primeros resultados de importancia en la geometría no euclidiana. El método de trabajo de Saccheri de que negando el quinto postulado se acabaría encontrado una contradicción abrió la puerta al descubrimiento de la geometría no euclidiana. Realmente Saccheri había descubierto la geometría no euclidiana pero su fe ciega de que la verdad del quinto postulado lo llevó a recurrir a falacias más o menos elaboradas para que la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo se destruyera a sí misma.

No sabemos si Saccheri o Lambert hicieron experimentos realizando mediciones de los ángulos interiores de un triángulo. No obstante, el margen de error de los instrumentos de medición angular de la época les dejaba un margen suficientemente grande para poder haber asegurado que también existía una geometría en la que la suma de los ángulos de un triángulo era menor que dos rectos. No lo afirmaron porque pensaban que no podía existir más que una geometría correcta para describir el espacio, la euclidiana.

Fundadores de la geometría no euclidiana.

A finales de siglo XVIII y principios del XIX aparecieron los tres principales artífices en la historia



de la geometría no euclidiana: Karl Friedrich Gauss (Grunswick, 1777-Gotinga, 1855), Nikolai Ivanovich Lobachevski (Bajo Novgorod, actual Gorki, 1792-1856), János Bolyai (Kolozsvár, actual Cluj-Napoca, Rumania, 1802-1860). Gauss fue reconocido en su tiempo como un gran matemático. Muchos de los sucesos que precedieron a la publicación de la existencia de geometrías no euclidianas aparecen reflejados en la correspondencia de Gauss (véase el siguiente grabado).

Incluimos también imagenes, desafortunadamente de baja calidad, de Nikolai Lobachevsky y de János Bolyai



Hay evidencias de que efectivamente Gauss se ocupó de la teoría de las paralelas a finales del siglo XVIII. El 16 de Noviembre de 1799, escribió una carta a Farkas Bolyai (padre de János Bolyai) en la que, además de pedir excusas por no haber discutido en sus tiempos de estudiantes la teoría de las paralelas, le decía:

"... en verdad que la mayor parte de los argumentos que se aceptarían como una demostración, a mis ojos, prueban tanto como nada; por ejemplo, si existe un triángulo cuya área fuese mayor que la de una superficie dada, entonces yo mismo podría establecer rigurosamente toda la geometría."

Farkas Bolyai, el padre de János Bolyai, que era según Gauss el más raro de los espíritus que había conocido, también había dedicado gran parte de su tiempo a la investigación de la ciencia de las paralelas; por ejemplo, había probado que el quinto postulado de Euclides era equivalente a la afirmación de que tres puntos no colineales determinan una única circunferencia.

El resultado mencionado por Gauss en su carta a Farkas es obvio si se tiene en cuenta las conclusiones de Lambert; es decir, que el defecto de un triángulo es menor que un llano. Se sabe que Gauss conocía los trabajos de Saccheri y Lambert, así lo prueban las anotaciones realizadas por Gauss en los márgenes de los trabajos de éstos y la constancia de que los trabajos de Lambert fueron consultados por Gauss en 1795 y de nuevo en 1799.

En 1816 escribía a su colaborador, el astrónomo C.L. Gerling:

"Es fácil de probar que si la geometría euclidiana no es la verdadera, entonces no existen figuras similares... Incluso sería deseable que la geometría euclidiana fuera falsa, porque entonces tendríamos una unidad de longitud universal..."



Friedrick Ludwing Wachter (1792-1817), fue un estudiante de Gauss que se dedicó a la teoría de las paralelas; a la geometría resultante de la negación del postulado de Euclides la denominó Geometría Anti-euclidiana. En una carta que escribió a Gauss en Diciembre de 1816, Wachter probaba que la superficie a la que tiende una esfera cuando su radio tiende al infinito no es un plano en la Geometría Anti-euclidiana sino que la geometría de esta superficie es idéntica a la del plano euclidiano. Wachter había profundizado enormemente en la teoría de las paralelas y pudo haber influido mucho en Gauss. El 3 de Abril de 1817 Wachter se fue a dar su habitual paseo nocturno y ya jamás regresó. El misterio de la desaparición del que podría haber sido el inventor de la geometría no euclidiana nunca se esclareció.

En el año 1816, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) había avanzado más que Gauss en 1817. Este profesor de leyes, resumió su trabajo en un Memorandum de una página y en Diciembre de 1818, le pidió a su compañero Gerling en Marburg que lo enviara a Gauss para pedirle su opinión sobre sus trabajos. Dicho Memorandum empieza diciendo:

"Existe una geometría de dos hojas, -una geometría en sentido estricto- la geometría euclidiana; y la geometría astral. "

Aunque el resto del Memorandum es consecuencia de los resultados de Saccheri, con los que estaba familiarizado, es el primer pronunciamiento sobre la existencia de una geometría no euclidiana. El nombre de astral vendría de que la unidad de longitud que corresponde a la mitad de un recto tendría dimensiones astronómicas. Gauss contestó a Gerling:

"El Memorandum del Profesor Schweikart me ha sido muy grato y te pido que le trasmitas mis felicitaciones. Para mí es como si hubiera escrito mis más profundos pensamientos."

Schweikart no publicó ninguno de sus resultados sobre geometría astral.

Otra evidencia de que Gauss se había ocupado de la geometría no euclidiana se percibe claramente en una carta fechada el 8 de Noviembre de 1824 en la que contesta a Taurinos, quién investigaba la geometría de la esfera de radio imaginario, y le decía:

"El supuesto de que la suma de los triángulos es menor que 180º conduce a una curiosa geometría, completamente diferente de la nuestra, pero totalmente consistente, y que he desarrollado para mi satisfacción, de modo que he podido resolver en ella cada problema con la excepción de una constante que no puede ser designada a priori. Cuanto más grande se toma esta constante más próximo se está de la geometría euclidiana, y si se toma infinitamente grande las dos coinciden. Los teoremas de esta geometría parecen paradójicos, y al no iniciado absurdos; pero calma, una firme reflexión revela que no contienen nada imposible. Por ejemplo, los tres ángulos de un triángulo pueden llegar a ser tan pequeños como deseemos, para ello basta tomar los lados suficientemente grandes. El área de un triángulo no excede de un límite definitivo... . Todos mis esfuerzos en encontrar una contradicción en esta geometría no euclidiana han sido infructuosos... en cualquier caso, por favor, mira esto como una comunicación privada, de la que no sea haga uso público o se le dé publicidad. Si alguna vez estuviera menos ocupado que ahora podría poner en orden y publicar mis investigaciones."



Franz Adolf Taurinos (1794-1874) estudio Derecho, no obstante, debido a las influencias de su tío Ferdinand Karl Schweikart y la influencia de Gauss se interesó por los temas de la geometría y la ciencia de las paralelas. Siempre estuvo convencido de la absoluta verdad del postulado de las paralelas de Euclides. En 1826 publicó, su "Geometriae Prima Elementa" en el que descarta la hipótesis del Ángulo Agudo argumentando que la existencia de una unidad de longitud absoluta es algo imposible. Es este trabajo desarrolló completamente la idea de Lambert de estudiar la trigonometría en la esfera imaginaria. Como utilizó logaritmos con frecuencia en sus cálculos, la llamo geometría esférico-logarítmica. Con una mirada retrospectiva, podemos decir que la geometría esférico-logarítmica de Taurinos da una prueba de la consistencia relativa de la geometría hiperbólica. El libro de Taurinos tuvo poco éxito y Taurinos disgustado quemó las copias que sobraron.

Un mes antes de que János Bolyai enviara en 1831 por primera vez su trabajo a Gauss, que por cierto parece que no llegó a su destino, éste último había escrito una carta a su amigo H. C. Schumacher en la que decía:

"En las pasadas semanas he empezado a escribir mis propias meditaciones (sobre la teoría de las paralelas), algunas de las cuales me ocupan desde hace 40 años. No las he puesto nunca por escrito, así que las he repasado tres o cuatro veces para tenerlas frescas en mi mente. También desearía que no perecieran conmigo."

En esta misma carta Gauss daba la longitud de la circunferencia de radio r en la forma

donde k es la constante no determinada a priori a la que se refería Gauss. Esta fórmula con funciones hiperbólicas se expresa como 2πk senh (r/k).

Notemos que esta fórmula nos sugiere un posible procedimiento para determinar si la geometría del espacio que nos rodea es o no es euclidiana. Para ello habría que buscar circunferencias perfectas en la naturaleza y medir su longitud y su radio. Por ejemplo la circunferencia de radio uno tiene en el plano euclídeo la longitud de 2π y tomando k=106 la circunferencia de radio uno tiene una longitud un poco mayor que la euclidiana. Se empiezan a diferenciar en la cifra decimal duodécima. Naturalmente si tomamos como k=101000, la diferencia se empezara a notar a partir de la cifra decimal situada en el lugar dos mil. Además de los problemas que se plantean a la hora de buscar una circunferencia perfecta en la naturaleza y los sistemas de medida que se van a emplear, la cuestión planteada no va a tener una respuesta, ya que, aunque los errores de medida sean muy pequeños, basta tomar la constante k suficientemente grande, para que la posible diferencia que se produzca entre la longitud no euclidiana y la euclidiana no sepamos si se debe a los límites de exactitud de la medida experimental realizada o al hecho de que el ambiente que nos rodea sea de naturaleza no euclidiana.

El segundo de los personajes citados, János Bolyai fue un oficial húngaro en el ejercito de Austria que iba a compartir con Lobachevski el honor del descubrimiento de las geometrías no euclidianas.



En su juventud demostró una gran capacidad para las matemáticas, materia en la que fue instruido por su padre Farkas Bolyai. Las enseñanzas de su padre hicieron que enseguida pusiera su atención el postulado de las paralelas. Así la teoría de las paralelas fue la ocupación favorita de János durante su estancia en el Colegio Real de Ingenieros Militares en Viena. Estos estudios fueron compartidos con Carl Szász. En sus conversaciones utilizaron los conceptos de línea equidistante a una línea recta y la importante idea de paraciclo. Ellos observaron que el Axioma XI de Euclides (postulado quinto) se obtendría si se probara que un paraciclo es una recta. Hasta 1820 estuvo obsesionado con la idea de encontrar una demostración del Axioma XI, e incluso pensó que había logrado su objetivo.

Su padre intentó disuaduirle y le aconsejó que cesará en sus intentos. Farkas escribió a su hijo:

"No debes intentar el problema de las paralelas. Conozco este camino hasta el final. Yo atravesé esa noche profunda, y extinguió la luz y la alegría de mi vida. Te suplico que dejes en paz la ciencia de las paralelas... . Pensé que me sacrificaría por descubrir la verdad. Estaba preparado para llegar a ser un mártir que removiera los fallos de la geometría y así retornarla purificada a la humanidad. Realicé trabajos enormemente monstruosos, mis creaciones son mejores que las de otros y todavía no he logrado una satisfacción completa... . Lo abandoné cuando vi que nadie puede alcanzar la profundidad de la noche. Volví desconsolado, apenado de mí mismo y de la humanidad.

Confieso que desconfío que desvíes tu línea. Me parece que he estado en estas regiones, que he viajado por los arrecifes de este infernal mar profundo y siempre he vuelto con el mástil roto y las velas desgarradas. Arriesgué sin pensarlo mi vida y mi felicidad."

Pero el joven Bolyai no oyó los consejos de su padre. Examinó y reconoció los errores que había cometido y se encaminó hacía nuevos descubrimientos por un nuevo camino. Se puso él mismo a construir el espacio absoluto, utilizando el método deductivo de los griegos, pero sin decidir a priori la certera o falsedad del Axioma XI (quinto postulado).

En 1823 ya había descubierto la verdadera naturaleza del problema e incluso había encontrado la fórmula del ángulo de paralelismo en función de la distancia

que es la clave de la trigonometría no euclidiana. Los descubrimientos que en esta época había realizado János quedan reflejados en el siguiente extracto de una carta que el 3 de Noviembre de 1823 escribió a su padre:

"Ahora he decidido publicar un trabajo sobre las paralelas, en cuanto tenga puesto el material en orden, y mis circunstancias lo permitan. Todavía no he completado este trabajo, pero el camino que he seguido da una positiva evidencia de que la meta puede ser alcanzada, si es que ello es posible; no la he alcanzado completamente, pero he descubierto tales maravillas que estoy asombrado, sería causa de un gran pesar si éstas se perdieran.

Cuando tú, mi querido padre, las veas, las entenderás; de momento no puedo decir sino esto: que de



la nada he creado un nuevo y extraño universo. Lo que te he enviado antes es como una casa de naipes en comparación con una torre. Estoy completamente convencido de que esto me traerá honores, como si ya hubiera completado el descubrimiento "

Algunas veces, una nueva idea se les ocurre, más o menos simultáneamente, a varias personas. Cuando el joven Bolyai anunció privadamente sus descubrimientos en geometría no euclidiana, su padre le contestó:

"Me parece aconsejable, si ya tienes la solución del problema, que su publicación debe ser acelerada, por dos razones: la primera, porque las ideas pasan fácilmente de unos a otros, y en este caso se pueden anticipar en su publicación; la segunda, porque parece cierto, como ya ha sucedido, que muchas cosas tienen una época en las que son descubiertas en varios lugares simultáneamente, exactamente como las violetas que en primavera aparecen en todos los lados. También una batalla científica es una guerra seria, en la que no se sabe cuando llegará la paz. De este modo debemos conquistar cuanto podamos, puesto que la ventaja es siempre la primera conquista."

No sospechaba Farkas que su presentimiento era el fiel reflejo de la realidad: El descubrimiento simultáneo de la Geometría no euclidiana en los trabajos de Gauss, Taurinus y Lobachesvki.

János Bolyai publicó su trabajo como un en un apéndice del primer volumen del libro de su padre titulado "Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos" cuyo primer volumen fue publicado en 1832. El título de este famoso apéndice es

"Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei, a priori haud unquanm decidenta, independentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica."

Es decir, este apéndice versa sobre: La ciencia del espacio absoluto con una demostración de la independencia del axioma XI, que no se puede decidir a priori, y en adición la cuadratura del círculo en caso de falsedad.

Señalemos el hecho anecdótico de que János Bolyai, por sus 36 páginas de gloria eterna, tuvo que contribuir con un poco más de 104 florines para que su trabajo fuera publicado.

Este apéndice fue enviado a Gauss en Junio de 1831, pero no llegó a su destino; fue enviado por segunda vez en 1832, y, después de siete semanas (6 de marzo de 1832) Gauss contestaba a Farkas del siguiente modo:

"Si empiezo manifestando que soy incapaz de elogiar este trabajo, de momento te sobresaltarás. Pero no puedo hacer otra cosa. Elogiarlo supondría elogiarme a mí mismo. En verdad, la totalidad del trabajo, el camino que ha tomado tu hijo y los resultados a los que ha llegado, coinciden casi completamente con mis meditaciones que han ocupado parte de mi pensamiento en los últimos treinta o treinta y cinco años. Por eso me encuentro sorprendido en extremo. En referencia a mis trabajos, de los cuales hasta ahora poco ha sido publicado, mi intención era que no fueran publicados en vida. La mayor parte de la gente no tiene la mentalidad necesaria para entender



nuestras conclusiones y sólo algunos podrían mirar con especial interés lo que les he comunicado sobre este tema. Para entender estas cosas, se debe tener una percepción muy fina de lo que se necesita y sobre este punto la mayoría esta muy confusa. Por otro lado, mi intención era escribir todo esto más tarde o más temprano para que al menos no pereciera conmigo. Así que estoy muy sorprendido de que se me haya resuelto este problema y estoy muy contento de que sea el hijo de un viejo amigo quien me aventaje de tan notable manera."

Farkas comunicó el contenido de la carta de Gauss a su hijo añadiendo:

"La respuesta de Gauss con relación a tu trabajo es muy satisfactoria y redundará en el honor de nuestro país y nuestra nación"

Diferente efecto produjo la carta de Gauss en János. Era incapaz de convencerse a sí mismo de que otros y de modo independiente hubieran llegado antes que él a la Geometría no euclidiana. János siempre miró a Gauss, el príncipe de los geómetras, con una injustificable aversión.

Quizás es cierto que, como dicen algunos comentaristas, János Bolyai tuviera un carácter difícil y altanero, como lo prueba el hecho de que se involucrara en un duelo contra trece oficiales de caballería con la condición de poder tocar un poco el violín después de cada duelo. János salió victorioso de los trece duelos, pero a causa de este incidente fue retirado de la carrera militar.

Al margen de cómo fuera el carácter de János, lo que sí que es cierto es que un pequeño comentario público de Gauss en favor de János le hubiera proporcionado un lugar de honor entre los científicos de la época.

János Bolyai, en su Ciencia del Espacio Absoluto, tuvo el acierto de desarrollar todos los resultados que pudo sin utilizar el Axioma XI (quinto postulado) de Euclides. Después analizó las dos geometrías posibles según se admitiera como cierto el Axioma XI o su negación. Además de calcular el ángulo de paralelismo en función de la distancia, podemos resumir sus resultados en el siguiente comentario:

Bajo hipótesis no euclidianas existen tres clases de superficies uniformes que son regidas por la trigonometría no euclidiana, trigonometría ordinaria y trigonometría esférica. La primera clase es la de las hiperesferas, que son aquellas superficies equidistantes a un plano, y que en particular contiene a los planos; esta clase de superficies es regulada por la trigonometría no euclidiana. La segunda clase es la de las paraesferas, o esferas de radio infinito, en la que se aplica la trigonometría ordinaria, y finalmente, la clase de las esferas, en las que se aplica la trigonometría esférica y cuya geometría es independiente del Axioma XI.

El tercer personaje que hemos mencionado, Nikolai Ivanovich Lobachevski, también iba a ser uno de los cofundadores de la Geometría no euclidiana, nació en el Bajo Novgorod (actualmente ciudad de Gorki) en la familia de un humilde funcionario. Terminó sus estudios en la Universidad de Kazán (sur de Rusia) en 1811. Tuvo como profesor al alemán J.M.C. Bartels (1769-1836), que fue amigo de Gauss y que posiblemente lo introdujo en el estudio de los problemas geométricos de la época. Lobachevski fue profesor de esta universidad en 1816, donde impartió diferentes materias



matemáticas, física y astronomía. Posteriormente, desde 1827 hasta 1846, fue rector de dicha universidad.

El 11 (12 según otras fuentes) de febrero del año 1826, en una reunión de la sección de ciencias físico-matemáticas de la Universidad de Kazán, Lobachevski informó sobre su obra "Exposición breve de los fundamentos de la geometría no euclidiana con una demostración lógica del teorema de las paralelas". Parece ser que se realizó un manuscrito sobre los contenidos de esta exposición, pero desafortunadamente se ha perdido y no hay constancia alguna sobre éste. En su conferencia, Lobachevski aseguraba la existencia de una geometría basada en el principio de que a través de un punto exterior a una recta se podían trazar dos paralelas distintas y en la que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos.

Después de tres años, en 1829, editó las partes esenciales de su exposición, completada con algunas aplicaciones de la nueva teoría al análisis, bajo la denominación: "Sobre los principios de la geometría", véase [16], este resumen, escrito en ruso, consta de sesenta y seis páginas. Posteriormente desarrolló más esta geometría publicando una serie de trabajos: "Geometría imaginaria", "Aplicaciones de la geometría imaginaria a algunas integrales" , y "Nuevos principios de la geometría con una teoría completa de las paralelas", véanse [17,18,19]. En un intento de propagar sus resultados, en 1837 publicó en francés, Géométrie imaginaire", véase [20], y un pequeño libro en alemán "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien", véase [21].

Mirando el trabajo de Lobachevski de 1840, vemos que Lobachesvki introduce la noción de horoesfera y horociclo que se corresponden con las nociones de paraesfera y paraciclo de Bolyai. Lobachevski obtuvo el siguiente notable resultado: "La geometría Euclidiana y, en particular, la trigonometría plana ordinaria, se verifican en la horoesfera."

Utilizando esta propiedad y otra que relaciona horociclos coaxiales; es decir, circunferencias concéntricas de radio infinito, Lobachevski obtuvo las fórmulas para la trigonometría del plano no euclidiano y para la trigonometría esférica. La formula del ángulo de paralelismo es obtenida por Lobachevski en la forma:

Describiremos brevemente los resultados de Lobachevski del modo siguiente: En los triángulos cuyos lados son muy pequeños podemos utilizar geometría euclidiana ordinaria si despreciamos infinitésimos de orden superior. Si en la trigonometría no euclidiana se sustituyen las magnitudes que corresponden a los lados del triángulo por las magnitudes imaginarias puras, se obtienen las fórmulas de la trigonometría esférica. También observó que si se introducen sistemas de coordenadas de modo similar a las coordenadas cartesianas se pueden calcular longitudes, áreas y volúmenes por los métodos de la geometría analítica.

La acogida proporcionada a la geometría de Lobachevski fue más que desalentadora. Los académicos, entre ellos Ostrogradski (1801-1861), daban valoraciones negativas sobre sus obras y se editaban libelos contra Lobachevski. Se requería valor, fe en su verdad científica y en el significado de sus investigaciones para hacer frente a estos hechos. Lobachevski tuvo las cualidades necesarias,



luchó insistentemente, pese a ello, en 1856 murió incomprendido y no reconocido.

Lobachevski, bajo la forma de un aparente ascenso y en contra de su voluntad, fue retirado de su cargo de rector. En 1855, estando ciego dictó en ruso y en francés su obra "Pangeometría", véase [22], donde se precisa la geometría fundada sobre la teoría general y rigurosa de las paralelas y se extienden los métodos analíticos a la geometría no euclidiana. Esta falta de reconocimiento de la grandeza de su obra tiene una notable excepción, Gauss consiguió que Lobachevski fuera elegido miembro de la Sociedad Científica de Gotinga en 1842.

A pesar de las diferencias entre los trabajos de Bolyai y Lobachevski, son notorias las analogías: Ambos empiezan con el ángulo de paralelismo; ambos notan la naturaleza euclidiana de la geometría de la paraesfera (horoesfera); ambos comparan longitudes en paresferas concéntricas; ambos encuentran la relación con la trigonometría esférica y observan la independencia de la geometría esférica del axioma de las paralelas.

Lobachevski tuvo como profesor al alemán J.M.C. Bartels que, como ya hemos mencionado, fue amigo de Gauss. Incluso estuvieron juntos durante dos años en Brunswick, precisamente los dos anteriores al desplazamiento de Bartels a Kazán en 1807. Este hecho da lugar a numerosas conjeturas e hipótesis. El hecho de que Gauss estuviera pensando en esta geometría durante 30 o 35 años anteriores a 1832, que fuera amigo común de Farkas, padre de János Bolyai, y de Bartels, profesor de Lobachevski, da lugar a la pregunta siguiente: ¿Fue realmente Gauss el medio de transmisión, quizás de modo involuntario, entre ambos investigadores?

Antes de 1807, parece que Gauss habría intentado, sin conseguirlo, probar el quinto postulado. También parece que Gauss no tuvo contacto con Bartels después de 1807, así que se ha admitido que Lobachevski desarrolló de modo independiente la geometría no euclidiana.

El siguiente extracto de "Nuevos principios de la geometría, con una teoría completa de las paralelas" explica las razones que llevaron a Lobachevski a formular su geometría:

"La falta de éxito de los intentos realizados, desde tiempos de Euclides, por el espacio de 2000 años, hizo surgir en mí la sospecha de que la verdad que se quería probar no estaba en los datos mismos; que para establecerla se necesitaba la ayuda de un experimento, por ejemplo, de observaciones astronómicas para el caso de otras leyes de la naturaleza. Cuando finalmente me convencí a mí mismo de la justicia de mi conjetura y creí que había resuelto esta difícil cuestión, escribí en 1826, una memoria sobre este tema."

La pregunta: ¿A quienes debemos atribuir el honor del descubrimiento de la geometría no euclidiana?, se puede contestar del siguiente modo:

Se podría decir que Saccheri encontró la geometría hiperbólica y que Gauss la descubrió. No obstante, tanto Bolyai como Lobachevski afirmaron, de modo independiente, su consistencia en sendas publicaciones. Así que los honores del descubrimiento de la geometría de Saccheri, Lambert, Wachter, Schweikart, Gauss, Taurinos, Bolyai y Lobachesvski se podrían adjudicar a Bolyai y a Lobachevski si se utiliza como criterio la existencia de una publicación no privada en la que se afirme



de modo razonado que tal geometría es posible. No obstante, un cambio de criterio puede hacer que los honores sean adjudicados a alguno de los otros matemáticos mencionados.

Algunos aspectos sobre la evolución posterior de la geometría

A mediados del siglo XIX apareció un nuevo principio general de qué es lo que se puede entender por una Geometría. Esta idea fue expuesta por Riemann en el año 1854 en una conferencia titulada "Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la Geometría"; posteriormente, esta conferencia que ha sido frecuentemente citada. Se publicó en 1867.

Según Riemann, para la construcción de una Geometría es necesario dar: una variedad de elementos, las coordenadas de estos elementos y la ley que mide la distancia entre elementos de la variedad infinitamente próximos. Para ello se supone que las partes infinitesimales de la variedad se miden euclidiamente. Esto significa que hay que dar en su forma más general el elemento de arco en función de las coordenadas:

Se definen como transformaciones aquellas aplicaciones que dejan invariante el elemento de arco. Esta forma de concebir el espacio evolucionó con el tratamiento dado a comienzos del siglo XX en los trabajos de los matemáticos italianos R. Ricci-Curbastro y T. Levi-Civita hasta la noción que hoy denominamos como variedad riemanniana.

En una variedad riemanniana se dispone de una forma en el espacio tangente de cada punto de la variedad que nos permite medir longitudes de vectores tangentes y el ángulo determinado por dos vectores. Ello permite determinar longitudes de las curvas que se consideren en dicha variedad, también se pueden calcular el volumen de adecuadas partes de la variedad. Dados dos puntos "suficientemente próximos" se pueden considerar todas las curvas que existan en la variedad entre esos dos puntos. Existe una curva especial que es la que realiza el recorrido con menos longitud entre esos dos puntos. Estas curvas se denominan geodésicas.

También se introducen la noción de curvatura riemanniana que asocia un escalar a cada plano tangente a cada punto de la variedad y que para el caso de superficies coincide con la noción de curvatura de Gauss. En los casos en que la curvatura sea cero la variedad riemanniana se dice que es parabólica, si es constante y mayor que cero se dice que es elíptica y si es constante y negativa se dice que es una variedad hiperbólica.

Este modelo matemático denominado variedad riemanniana contiene la mayor parte de los modelos geométricos estudiados hasta el siglo XX. Por una parte, los espacios euclídeos se pueden considerar como variedades riemannianas con curvatura de Riemann nula, las esferas y espacios proyectivos, de los que a pesar de su importancia nada hemos mencionado, tienen estructura de variedades riemannianas elípticas y los espacios no euclidianos son casos particulares de variedades riemannianas hiperbólicas. Además, las superficies e hipersuperficies de los espacios euclidianos admiten también de modo natural estructura de variedad riemanniana.



Estas propiedades hacen que la geometría riemanniana sea un marco adecuado para el estudio de la geometría. No obstante, existen otras formas de abordar el estudio de la geometría; por ejemplo, el estudio de grupos discontinuos de transformaciones da una forma de presentar la geometría como el estudio de propiedades de grupos de transformaciones tal y como la presentó Klein en su famoso programa de Erlangen. Hemos de decir que existen modelos más amplios que generalizan simultáneamente la geometría riemanniana y el enfoque de geometría como estudio de las propiedades de los grupos de transformaciones.

Señalaremos que la consistencia (relativa) de la geometría hiperbólica quedó confirmada a través de los modelos de Klein y Poincaré.

La figura anterior muestra el plano de Poincaré ilustrado por Escher mediante peces de colores obtenidos por simetrías que cubren todo el plano hiperbólico. En este modelo, se toman como puntos aquellos que están en la bola (círculo) abierta de radio uno y como rectas los arcos de circunferencias ortogonales a la circunferencia exterior y que están contenidos en su interior y también los diámetros de dicha circunferencia.

Por otra parte, Beltrami probó que el plano hiperbólico es localmente isométrico a la Pseudoesfera.



En este caso, el "interior" de un horociclo recubre de modo isométrico la parte superior de la Pseudoesfera. Es decir, que un sector de horociclo es isométrico a la parte superior de la Peudoesfera menos una de sus generatrices.

Actualmente, Thurston, medallista Field de Matemáticas, y sus discípulos han estudiado las variedades hiperbólicas de dimensión tres y su relación con la Conjetura de Poincaré. Ésta asegura que una variedad de dimensión tres que sea homotópicamente equivalente a la 3-esfera es homeoforma a la 3-esfera. A pesar de los miles de intentos, la Conjetura de Poincaré, no ha podido ser probada en el presente siglo y es una de las cuestiones pendientes que más ha llamado la atención a geómetras y topólogos, siendo su resolución uno de los retos pendientes para el siglo XXI.

Mencionaremos también la repercusión que las geometrías no euclidianas han tenido sobre las ideas filosóficas del espacio. La consistencia de la geometría no euclidiana es contraria a las ideas manifestadas por Kant [9] en "La crítica de la razón pura" (1781). Según Kant, "el espacio y las propiedades geométricas son intuiciones que tienen que hallarse en nosotros a priori , es decir, previamente a toda percepción de objetos, y consiguientemente, han de ser intuiciones puras, no empíricas". Sin embargo, la capacidad deductiva de Bolyai y Lobachevski llevó a dejar abierta la posibilidad de que el espacio físico que nos rodea pudiera ser explicado de modo consistente por dos geometrías diferentes, la euclidiana y la hiperbólica.

Finalmente, señalaremos que la teoría de relatividad generalizada se modela sobre variedades de



dimensión cuatro con curvatura constante. Ello deja abierta tres posibilidades: Una de tipo elíptico, en la que el universo es finito y cerrado, y dos formas de espacio no cerradas una parabólica o pseudo-euclidiana y otra hiperbólica. De este modo, los modelos hiperbólicos seguirán formando parte de las futuras teorías cósmicas del próximo siglo.

Con esta breve mención de la relación de las variedades hiperbólicas con la conjetura de Poincaré, las ideas filosóficas del espacio y las teorías cósmicas terminó esta lección. También quiero agradecer su atención y manifestar mis mejores deseos, tanto para el curso que iniciamos, como para el próximo siglo XXI. Muchas gracias.

Nota: Quiero agradecer las sugerencias realizadas por la Dra. María Teresa Rivas Rodríguez y el Dr. José Ignacio Extremiana Aldana que han completado y orientado esta panorámica sobre la evolución de la teoría de las paralelas. Quiero aclarar que se han omitido muchos datos de interés ya que en ningún caso he pretendido realizar un estudio exhaustivo sobre este tema.

Referencias

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[5] H.S. M. Coxeter, "Fundamentos de Geometría ", De Limusa-Wiley, Mexico, 1971.

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[9] I. Kant, "Crítica de la razón pura". (Prólogo, Traducción, Notas e Índices de Pedro Ribas), Alfaguaras, Madrid, 1988.

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[11] M.J. Greenberg, "Euclidean and non-euclidean geometries", Freeman, San Francisco, 1980.

[12] J.L. Heiberg y H. Menge, "Euclidis opera omnia ", Leipzip, 1883-1916, vols. VI-VIII.

[13] D. Hilbert, "Grundlagen der Geometrie " (1899). "Foundations of Geometry ", 2nd English de, Open Court, La Salle, 1971.

[14] T. S. Herth, "The Thirteen Book of Euclid´s Elementes", Cambridge, (1909, edición revisada 1926), Nueva York (1956).

[15] A.M. Legendre, "Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle", Mém. Ac. Sc. Paris, T. XIII, 1833.

[16] N.I. Lobachesvki, "Sobre los principios de la geometría", Kasan Bulletin, (1829-1830). Trabajos geométricos de Lobachesvki (primera parte obras publicadas en ruso, segunda parte, obras publicadas en frances y alemán). Kazán (1883-1886), Vol. I, p. I-67.

[17] N.I. Lobachesvki, "Geometría imaginaria", Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 71-120.

[18] N.I. Lobachesvki, "Aplicaciones de la geometría imaginaria a algunas integrales", Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 121-218.

[19] N.I. Lobachesvki, "Nuevos principios de la geometría, con una teoría completa de las paralelas", Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 219-486.

[20] N.I. Lobachesvki, "Géométrie Imaginaire", Crelle ´s Journal, Bd. XVII, 295-320.

[21] N.I. Lobachesvki, "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien", Berlin, (1840). Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1840). Obras geométricas, Vol. II, 553-558.



[22] N.I. Lobachesvki, "Pangeometría donde se precisa la geometría fundada sobre la teoría general y rigurosa de las paralelas", Colleción de Memorias de Profesores de la Universidad de Kazán en el cincuenta aniversario de su fundación, Vol. I, (1855) 279-340.

[23] A. Logunov and M. Mestvirishvili, "The Relativistic Theory of Gravitation", Mir Publisers Moscow, 1989.

[24] J.M. Montesinos "Las geometrías no euclídeas: Gauss, Lobatcheswsky y Bolyai", Historia de la matemática en el siglo XIX, Real Academía de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Madrid 65-105 (1992).

[25] G.E. Martin, "The foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane", Springer, UTM, 1998.

[26] K. Ríbnikov, "Historia de las Matemáticas", Editorial Mir, Moscú, 1987.

[27] A.S. Smogorzhevski, "Acerca de la Geometría de Lobachevski", Lecciones populares de matemáticas, Editorial MIR, Moscú, 1978.


POLIEDROS

J. IGNACIO EXTREMIANA ALDANA, L. JAVIER HERNANDEZ PARICIOY M. TERESA RIVAS RODRIGUEZ

Abstract. In this paper we have tried to explore the presence ofpolyhedra in some areas of the human activity. Taking as startedpoint a reflection about the platonic association of regular polyhe-dra to different cosmic elements we have a look at the study and theuse of polyhedra in art, science and technology. We emphasise somerecent applications of polyhedral techniques to biological, chemi-cal and physical processes. The symmetries, topological invariantsand geometrical properties play an important role in phenomenasuch that the virus replication, the study of molecular structuresand different properties of the substances.

Indice

1. Introduccion 12. Cuerpos e ideas platonicas 23. Poliedros, Ciencia y Tecnologıa 124. Enlaces con paginas web 28Referencias 29

1. Introduccion

En este artıculo intentamos poner de manifiesto la importancia de losPoliedros y la manera en la que aparecen en diversos campos que hantenido interes para el ser humano a lo largo de la historia. Hemos elegi-do este tema, en cierto modo ligado a nuestro campo de investigacion,porque sabemos que le gustaba a Chicho. Precisamente, el fue quiensugirio el tema de los Cuerpos Platonicos para una sesion del Semina-rio de Actualizacion Permanente de Matematicas “Jose Luis Rubio deFrancia”, que durante tantos anos condujo.

Con el trabajo que aquı presentamos, version reducida de otro masextenso que estamos preparando, nos gustarıa contribuir, en la medida

2000 Mathematics Subject Classification. 51M20, 52B99, 57M25, 57N60, 57Q05.Key words and phrases. Polyhedron, cellular complexes, platonic solids, sym-

metry, virus, capsid, nucleic acid, molecular structure, perovskite, fullerene, knotsand links.

Los autores agradecen el apoyo financiero del DGI, proyecto BFM2000-0961, yde la University de La Rioja, proyecto API00/B15.

1

2 J. I. EXTREMIANA, L. J. HERNANDEZ Y M. T. RIVAS

de nuestras posibilidades, a “acercar las Matematicas a la sociedad”,uno de los objetivos del Ano Mundial de las Matematicas y una idea enla que Chicho siempre insistıa. Lamentamos que no haya podido leerel borrador que con toda seguridad le hubiesemos pasado para que locriticara.

Por ultimo, queremos manifestar nuestra gran admiracion a su laboren la Universidad y nuestro inmenso carino a quien fue uno de nuestrosmejores amigos.

2. Cuerpos e ideas platonicas

En el lenguaje cotidiano se entiende que un polıgono es una region delplano determinada por un numero finito de segmentos. Estos segmentosse denominan lados o aristas y sus extremos vertices del polıgono. Elpolıgono se llama regular si todos sus lados son iguales y todos losangulos determinados por las aristas en los vertices tambien son iguales.Se dice que el polıgono es convexo si es una region convexa; es decir, queel segmento que une dos puntos cualesquiera de la region esta contenidoen ella. De modo analogo, pensando en el espacio tridimensional, sedice que un poliedro es un cuerpo solido limitado por una superficieque consta de un numero finito de polıgonos no coplanarios a los que sedenomina caras del poliedro. Se llama regular si sus caras son polıgonosregulares iguales y se dice que es convexo si es una region convexa. Deforma parecida puede pensarse en dimensiones sucesivamente mayorespara obtener lo que comunmente se llaman politopos, y en particularlos politopos regulares y convexos, cuya existencia y numero estan biendeterminados [5].

En este trabajo muchas veces la palabra poliedro o estructura po-liedral se utilizara en un sentido mas general para nombrar espaciosconstruidos con piezas sencillas, de diversas dimensiones, llamadas cel-das (copias topologicas de discos de la correspondiente dimension). Seforman a partir de un espacio discreto de puntos (0-celdas), al que sele va pegando sucesivamente una coleccion (quizas vacıa) de celdas,de dimension cada vez mayor, por los bordes de estas. Estas estruc-turas poliedrales o poliedros generales pueden tener un numero finitoo infinito de piezas y en este ultimo caso ser su dimension finita oinfinita. Muchos de los objetos matematicos que se estudian en Geo-metrıa, Topologıa y otras areas tienen esta estructura. Entre los massencillos se encuentran los polıgonos y poliedros geometricos descritosal inicio de esta seccion, que han sido utilizados y estudiados desdela antiguedad. Hace aproximadamente dos mil cuatrocientos anos yase conocıa que unicamente existen cinco poliedros regulares convexos:el tetraedro (cuatro caras triangulares), el cubo o hexaedro (seis carascuadradas), el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (docecaras pentagonales) y el icosaedro (veinte caras triangulares). Vease laFigura 2 .

POLIEDROS 3

Los restos arqueologicos mas antiguos en los que aparecen figuraspoliedrales, de los que tenemos noticia, son unas piedras talladas delneolıtico (aproximadamente 2000 a. C.) encontradas en Escocia, veasela Figura 1. Tambien se conservan un par de dados icosaedricos de laepoca de la dinastıa de Tolomeo en el Brithish Museum de Londres.Parece que este tipo de figuras geometricas ya tenıan una utilidad ludicacomo ocurre en la actualidad. Pensemos por ejemplo en los dados quese utilizan en juegos tan populares como el parchıs o la oca que no sonsino cubos; el dado del Scatergories es un icosaedro y en los juegos derol se utilizan todo tipo de poliedros regulares.

Figura 1. Piedras del Neolıtico

En el libro XIII de los “Elementos”, [12], de Euclides (300 a. C.)aparece la construccion de los cinco poliedros regulares; hay quien in-cluso sostiene que los Elementos no son sino una narracion excelentede estos. Se atribuye a Teeteto (417–369 a. C.), personaje que apareceen los Dialogos de Platon (400 a. C.) como sımbolo de la inteligencia,la teorıa de los cinco poliedros regulares.

A los cinco solidos regulares se les llama Cuerpos Platonicos porquePlaton en uno de sus dialogos mas significativos, el “Timeo”, en el quese explica la construccion del universo, establece una asociacion entreellos y los elementos fundamentales de los que este esta compuesto,que segun sostenıan los griegos estaba hecho con atomos de agua, aire,tierra y fuego.

Segun lo que allı se expone, el mundo real es una copia imperfectadel mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y buenoal que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea enprimer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dandoleforma esferica, la mas perfecta) en cuyo centro esta la Tierra. Despuesse ocupa de la materia con la que esta hecho el mundo; se componede cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua, que han de tener lapropiedad de ser “solidos” (pues las cosas no solamente son planas sinoque tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unosen otros. Puesto que han de ser solidos, esto es, limitados por planos yun plano esta compuesto por piezas sencillas (triangulos), el Demiurgoelige de estos los mas bellos: el triangulo rectangulo isosceles (con dospiernas —catetos— iguales) y el triangulo rectangulo escaleno (cojo)


que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que unode sus catetos. A partir de seis de estos ultimos triangulos construyeel triangulo equilatero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro yel icosaedro. Con cuatro triangulos rectangulos isosceles construye elcuadrado y con seis de estos el cubo.

Incluimos a continuacion extractos literales del “Timeo” segun latraduccion castellana [23]:

“. . .Antes de la creacion, por cierto, todo esto carecıa de proporcion ymedida. Cuando dios se puso a ordenar el universo, primero dio formay numero al fuego, agua, tierra y aire, de los que, si bien habıa algunashuellas, se encontraban en el estado en que probablemente se halle todocuando dios esta ausente. Sea siempre esto lo que afirmamos en todaocasion: que dios los compuso tan bellos y excelsos como era posible deaquello que no era ası. Ahora, en verdad, debo intentar demostrarosel orden y origen de cada uno de los elementos con un discurso pocohabitual. . . En primer lugar, creo que para cualquiera esta mas alla detoda duda que fuego, tierra, agua y aire son cuerpos. Ahora bien, todaforma corporal tiene tambien profundidad. Y, ademas, es de toda nece-sidad que la superficie rodee la profundidad. La superficie de una caraplana esta compuesta de triangulos. Todos los triangulos se desarro-llan a partir de dos, cada uno con un angulo recto y los otros agudos.Uno tiene a ambos lados una fraccion de angulo recto dividido por la-dos iguales, el otro partes desiguales de un angulo recto atribuida alados desiguales. . . suponemos que este es el principio del fuego y de losotros cuerpos. . .Ciertamente, debemos explicar cuales serıan los cua-tro cuerpos mas perfectos, que, aunque disımiles entre sı, podrıan nacerunos de otros cuando se desintegran. En efecto, si lo logramos, tendre-mos la verdad acerca del origen de la tierra y el fuego y de sus mediosproporcionales. Pues no coincidiremos con nadie en que hay cuerposvisibles mas bellos que estos, de los que cada uno representa un generoparticular. Debemos, entonces, esforzarnos por componer estos cuatrogeneros de cuerpos de extraordinaria belleza y decir que hemos captadosu naturaleza suficientemente. . . ”

Debe haber cuatro elementos por el siguiente razonamiento: las cosasdeben tener fuego, puesto que se ven, y tierra, puesto que son mate-riales; dos cosas necesitan de una tercera para poder ser unidas. Si eluniverso fuese plano bastarıa con un tercer elemento, pero, como tieneprofundidad, necesita de otro mas para poder hacer esta union. Ası,para unir el fuego y la tierra se precisan otros dos: el aire y el agua.Analizando las propiedades de los elementos y la proporcion en la quedeben estar en la naturaleza, llega a la conclusion de que los atomosde fuego son tetraedros, los de tierra son cubos, los de aire octaedros ylos de agua icosaedros. Queda una unica combinacion, el dodecaedro,que lo reserva para el universo. En la Figura 2 mostramos los dibujosde Kepler basados en esa asociacion.

POLIEDROS 5

Figura 2. Elementos y cuerpos platonicos

En esencia, los integrantes mas elementales son los triangulos rectangu-los isosceles y los escalenos. Puesto que el fuego, el agua y el aire estanintegrados por escalenos, se pueden romper en sus escalenos y recombi-narse entre sı de modo que se genera un ciclo de reacciones circular alno poderse crear una situacion de equilibrio. De nuevo citamos palabrastextuales de la traduccion del “Timeo”:

“. . .Debemos pensar que todas estas cosas son en verdad tan pe-quenas que los elementos individuales de cada clase nos son invisiblespor su pequenez, pero cuando muchos se aglutinan, se pueden obser-var sus masas y, tambien, que en todas partes dios adecuo la cantidad,movimientos y otras caracterısticas de manera proporcional y que todolo hizo con la exactitud que permitio de buen grado y obediente la ne-cesidad. A partir de todo aquello cuyos generos hemos descrito antes,muy probablemente se darıa lo siguiente. Cuando el fuego choca con latierra y con su agudeza la disuelve, esta se trasladarıa, ya sea que sehubiera diluido en el mismo fuego o en una masa de aire o de agua,hasta que sus partes se reencontraran en algun lugar, se volvieran aunir unas con otras y se convirtieran en tierra —pues nunca pasarıana otra especie—, pero si el agua es partida por el fuego, o tambien por elaire, es posible que surjan un cuerpo de fuego y dos de aire. Cuando sedisuelve una porcion de aire, sus fragmentos darıan lugar a dos cuerposde fuego. A la inversa, cuando el fuego, rodeado por el aire o el agua oalguna tierra, poco entre muchos, se mueve entre sus portadores, luchay, vencido, se quiebra; dos cuerpos de fuego se combinan en una figurade aire; mas cuando el aire es vencido y fragmentado, de dos partes ymedia se forjara una figura entera de agua.”


Una mirada rapida sobre estas ideas platonicas quizas nos haga son-reır, pero una reflexion algo mas profunda sobre ellas nos hace pensarcomo han influido a lo largo de la historia y hasta que punto estanvigentes en la actualidad. En nuestra opinion, contienen tres princi-pios que han tenido y tienen gran importancia en el desarrollo de laciencia: Union entre ciencia y belleza, aplicacion de objetos y reglas ma-tematicas conocidas a entidades o procesos desconocidos (asociacion delos poliedros a entidades cosmicas) y construccion de la complejidad apartir de elementos simples.

En relacion con el primer principio recogemos la frase de G.H. Hardy[16] referida a las matematicas: “Los disenos del matematico, como losdel pintor o el poeta, han de ser bellos; las ideas, como los coloreso las palabras, deben relacionarse de manera armoniosa. La bellezaes la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para lasmatematicas feas”.

La union de ciencia y belleza, simbolizada en polıgonos y poliedros,ha sido una constante en la obra de muchos cientıficos y artistas. Unamuestra la tenemos en la construccion que Euclides hace del pentagonoregular, en el que la diagonal y el lado estan en proporcion aurea τ : 1,

siendo τ = 1+√

5

2el numero aureo o la divina proporcion, llamado ası por

la belleza que genera en los objetos que lo contienen. Por ejemplo,aparece este numero en el dodecaedro, en el icosaedro y en la sucesivadivision de un rectangulo cuyos lados estan en proporcion aurea, queda lugar a un cuadrado y a otro rectangulo aureo. Uniendo mediantetrozos de circunferencia los vertices opuestos de los cuadrados que sevan obteniendo, aparece la espiral aurea, que es la caracterıstica dealgunas de las mas bellas caracolas.

Tanto en la pintura como en la escultura y en la arquitectura estaproporcion se ha mantenido a lo largo de la historia como canon de be-lleza. Citaremos solo algunos edificios enormemente singulares como elPartenon de la Acropolis ateniense o la iglesia de Notre Dame de Parısen los que casi cualquier rectangulo que se puede distinguir en ellos esun rectangulo aureo. La fachada de la sede de las Naciones Unidas enNueva York esta formada por tres grandes rectangulos, cada uno de loscuales es aureo. Otros objetos de uso comun, como las tarjetas postaleso de credito, tambien son rectangulos aureos.

En 1202, Leonardo da Pisa (apodado Fibonacci) encontro su celebresucesion de enteros, fn : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . , en un estudio querealizaba sobre la crıa de conejos. Esta sucesion esta ıntimamente ligadaal numero aureo, de tal forma que este es el lımite de la sucesion cuyosterminos son los cocientes fn+1

fn. Los numeros de Fibonacci aparecen

en estudios botanicos ligados a la filotaxia (disposicion de las hojas)que presentan muchos arboles y frutos como la pina comun, donde uncociente fn

fmmarca la rotacion que interviene en el paso de una hoja a

otra o de una lamina a otra. Ası, la naturaleza, al igual que muchos

POLIEDROS 7

artistas, parece servirse en algunas de sus creaciones de proporciones enlas que interviene el numero aureo ligado al pentagono regular. No esde extranar que la figura formada por las diagonales de un pentagonoregular (pentagrama) fuese elegida por los pitagoricos como el sımbolode su secta.

Una muestra de la inclusion de figuras poliedrales en el arte podemosencontrarla en la obra del pintor y mosaicista florentino Paolo Ucello(1397–1475). En la Figura 3 puede verse un detalle del fresco titulado“El Diluvio”, pintado por este artista en 1448, en el que aparece un jo-ven luciendo un sombrero que es un toro poliedral. Esta misma figuradel toro poliedral, junto con otras inspiradas en dibujos de Leonardoda Vinci de los que hablaremos enseguida, tambien aparecera poste-riormente en algunas de las bellısimas obras realizadas hacia el 1520por Fra Giovanni da Verona. Se trata de unos maravillosos trabajos demarqueterıa obtenidos al unir pequenos trozos de madera de diferentestonalidades (artesanıa que aun se realiza en Italia). Vease la Figura 3.

Figura 3. Obras de P. Ucello y Fra Giovanni da Verona

Mencion especial merece el pintor y matematico Piero della Fran-cesca (1416–1492), considerado actualmente como uno de los primerosartistas del renacimiento cuya fascinacion por los poliedros les condujoa estudiar y desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros.Uno de sus libros, “Libellus de quinque corpibus regularibus”(1480),conservado en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura mas antiguaque conozcamos de un poliedro cuyas sesenta caras son pentagonos yhexagonos en la misma distribucion que ahora se utiliza para construirbalones de futbol, vease la Figura 4. Mas adelante resaltaremos la im-portancia de este poliedro concreto (uno de los denominados solidosarquimedianos, al que Kepler [20] llamarıa mucho mas tarde icosaedro


truncado porque puede obtenerse truncando un icosaedro en cada unode sus vertices). Vease la Figura 5.

Figura 4. Dibujos de Piero della Francesca

Figura 5. Trucando un icosaedro. Balon de futbol

Parece que no solo influido por los trabajos de Piero della Francesca,sino plagiandolos en parte, Fra Luca Pacioli (1445–1509) escribio unlibro acerca de las maravillosas propiedades del numero aureo titula-do “De divina proportione”, [22]. En este libro aparecen numerosasilustraciones de poliedros con dibujos hechos por su amigo el gran ar-tista Leonardo da Vinci (1452–1519). Es notable la atraccion que sentıaLeonardo por los poliedros, para los que construyo modelos de sus es-queletos, con tiras de madera como aristas, que dejaban huecos todo elinterior del poliedro y las caras del mismo. Cuando un modelo ası seobserva en perspectiva con el ojo del observador muy pegado a unade las caras huecas, esta aparece como un polıgono grande que en suinterior contiene el resto de las caras. Pintada esta configuracion sobreun plano, es una buena representacion en dos dimensiones del poliedroen cuestion, que se denomina diagrama de Schlegel del mismo. Los di-bujos de Leonardo han sido una referencia y fuente de inspiracion paranumerosos artistas y cientıficos tanto de su epoca como posteriores. Enla ilustracion de la Figura 6 podemos contemplar el diseno de Leonardode dos poliedros, uno de ellos el icosaedro truncado.

Muchas de las obras artısticas mas importantes del renacimientoson tratados de perspectiva, de geometrıa proyectiva, importante partede la Geometrıa a cuyo desarrollo contribuyeron de manera notablegrandes artistas. En algunas de estas obras aparecen especialmentedibujados o esculpidos algunos poliedros; como ejemplo hemos elegido

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Figura 6. Dibujos de Leonardo da Vinci

el grabado “Melancolıa” de Durero (1471–1528), una de las obras quea nuestro entender simboliza mejor la union de belleza y ciencia, veasela Figura 7.

Figura 7. Melancolıa de Durero y Modelo Cosmico de Kepler

Otra admirable muestra del desarrollo de ciencia y arte se encuentraen la esplendida Alhambra de Granada. En las paredes de este mo-numento arabe del siglo XIII pueden apreciarse disenos de fascinantebelleza que presentan cada uno de los diecisiete grupos de simetrıaplanos. Su influencia en otras obras artısticas es notable y como ejem-plo pueden verse los trabajos del holandes M. C. Escher (1898–1972),donde, a diferencia de los anteriores, aparecen dibujos de animales ode humanos pero subyace el mismo espıritu de creacion a traves de la


simetrıa. En [11] puede verse obras de este artista, muy vinculado a lageometrıa, en las que se observa tanto la influencia senalada como lade Leonardo para sus numerosas creaciones poliedrales, y la utilizaciontambien en su ultima etapa de modelos hiperbolicos.

Es bien conocida la utilizacion basica de figuras y estructuras po-liedrales en obras de grandes artistas del siglo XX pertenecientes adiferentes movimientos artısticos, muchos de ellos enmarcados en el ar-te abstracto. Sugerimos al lector que observe algunas de las obras dePicaso, Dalı, Oteiza, etc. Hoy en dıa hay una corriente, muy ligada almundo cientıfico, cuyas obras representan figuras de poliedros o de susdeformaciones hasta conseguir creaciones bellas; numerosas referenciase ilustraciones de ellas pueden encontrarse en la pagina web de GeorgeHart.

Otra de las ideas platonicas, la asociacion de solidos a entidadescosmicas, sigue presente en investigadores posteriores al ocuparse de laestructura del universo. Ası, por ejemplo, la encontramos en los traba-jos del gran astronomo J. Kepler (1571–1630), quien, ademas de enun-ciar las tres leyes del movimiento planetario, sistematizo matematica-mente y desarrollo todo lo que se conocıa en su epoca sobre poliedros.En un folleto de 1596 titulado “El misterio Cosmico”, Kepler, hom-bre profundamente religioso a pesar de que llego a ser excomulgado en1612, escribe:

“. . .Antes de ser creado el universo, no existıan los numeros exceptola Trinidad que es Dios mismo. . .Dado que la lınea y el plano no im-plican ningun numero, entonces reina la infinidad. Consideremos porlo tanto a los solidos. Primero debemos eliminar a los solidos irregula-res dado que solo estamos interesados en la creacion ordenada; quedanpor lo tanto seis cuerpos: la esfera y los cinco poliedros regulares. A laesfera corresponde el cielo exterior, mientras que el mundo dinamicoesta representado por los solidos de cara plana, de los cuales existencinco, los cuales a la vez (cuando son vistos como lımite) determinan

seis cosas diferentes: los seis planetas que giran alrededor del sol. Estees el motivo por el cual solo hay seis planetas . . . ”

Mas adelante asigna cada cuerpo platonico a un planeta con el si-guiente argumento:

“. . . los solidos regulares se dividen en dos grupos: tres en uno y dosen otro. Al grupo mayor pertenecen primero el cubo, segundo la pirami-de, y finalmente el dodecaedro. Al segundo grupo pertenecen primero eloctaedro y segundo el icosaedro. Lo mencionado explica porque la par-te mas importante del universo, que es la Tierra —donde la imagende Dios se refleja en el hombre—, separa a los dos grupos. Por consi-guiente, como posteriormente procedo a demostrar, los solidos del pri-mer grupo deben hallarse fuera de la orbita de la Tierra, mientras que

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los del segundo grupo deben encontrarse dentro. . . por lo tanto, asig-no el cubo a Saturno, el tetraedro a Jupiter, el dodecaedro a Marte, elicosaedro a Venus y el octaedro a Mercurio”.

Para reforzar su teorıa, Kepler creo un modelo impresionante deluniverso, inspirado en los modelos vaciados de Leonardo, que mues-tra un cubo con un tetraedro inscrito en el, un dodecaedro inscritoen el tetraedro, un icosaedro inscrito en el dodecaedro, y finalmenteun octaedro inscrito en el icosaedro; todos ellos separados por esferas.Este modelo ilustrado en la Figura 7 explicaba matematicamente suteorıa cosmologica, que inicialmente procedıa de la teorıa copernicanade orbitas circulares.

Cabe preguntarse como habrıa modificado Kepler su vision del uni-verso de haber sido descubiertos durante su vida el resto de planetasque hoy conocemos, pero lo que sı es cierto es que basandose en las nu-merosas observaciones de T. Brahe (del que fue ayudante), ampliando-las, construyendo nuevos modelos cosmicos poliedrales, estudiando sis-tematicamente propiedades de los poliedros conocidos y descubriendonuevos y trabajando duramente en lo que el denomino su “guerra conMarte” (determinacion de la orbita), Kepler descubrio las tres leyesfundamentales del movimiento de los planetas. I. Newton (1642–1727)mostrarıa un siglo mas tarde en sus “Principia Matematica” que estastres leyes pueden ser deducidas matematicamente, mediante metodosexclusivamente geometricos, de la ley de la gravitacion.

Si en los trabajos de Kepler la idea basica es utilizar la ciencia parauna mejor comprension del universo, convencido de que Dios lo ha crea-do de acuerdo con un plan matematico, el propio Newton considerabasu obra como una explicacion de las profecıas del profeta Daniel. Conimpulsos religiosos similares o diferentes, o sin ellos, lo cierto es que loscientıficos, siguiendo la pauta marcada por la asociacion de poliedros aentidades cosmicas, continuan intentando explicar la forma del univer-so utilizando modelos, conceptos y teorıas previamente desarrolladosen Matematicas.

La tercera idea que deseamos resaltar a partir de la asociacion platoni-ca, y que quizas sea la que mas profundamente ha influido en el desa-rrollo de la ciencia es el pensamiento de que, sin entrar en otras consi-deraciones eticas, espirituales o morales, la materia, los seres organicoso vivos o los que son producto de nuestra imaginacion estan hechosde piezas elementales basicas que especialmente combinadas producenentes de una complejidad mucho mayor.

Este proceso es el que parece seguirse no solo en la fabricacion in-dustrial o en la construccion de edificios, sino tambien en la creacioncelular de los seres vivos y a un nivel mas profundo en la composicionmolecular y atomica, hasta el punto de que hoy en dıa muchos cientıfi-cos sostienen que el universo esta construido a partir de doce partıculaselementales sobre las que actuan cuatro fuerzas fundamentales.


Por otra parte, este proceso de construccion a partir de elementossimples se aplica en ocasiones al analisis de la estructura del lenguaje odel pensamiento o en tecnicas de aprendizaje y se encuentra en la basedel desarrollo actual de la inteligencia artificial.

No es extrano, por tanto, que en la aproximacion al estudio de la“realidad” conocida o desconocida, infinita o infinitesimal, en su posi-ble diseno o modificacion, las “estructuras poliedrales” aparezcan nosolo en campos meramente cientıficos o tecnicos, sino tambien cuan-do se desean aplicar herramientas tecnologicas a otros ambitos. En lasiguiente seccion, aunque solo sea una pequena muestra, exponemosalgunos ejemplos de esta presencia poliedral en diversos campos.

3. Poliedros, Ciencia y Tecnologıa

Es evidente que las estructuras poliedrales estan presentes en la na-turaleza. Todos estamos familiarizados con la forma poligonal de lastelaranas, con la estructura hexagonal de los paneles de abejas o laestructura poligonal que conforma la superficie de las alas y ojos dealgunos insectos. Tambien los granos de polen y las semillas de cier-tas plantas tienen formas poliedrales basadas fundamentalmente enpentagonos y hexagonos, y llama la atencion la belleza de seres comolos radiolarios (cuyo esqueleto contribuye a la formacion de sedimentosmarinos) proporcionada por sus formas poliedrales, en algunos casosestrelladas, que en muchas ocasiones van encajandose para formar co-lonias de gran estabilidad.

Quizas no tan explıcitamente, pero sı de un modo muy fuerte, dondeaparece una conexion con los poliedros es en el campo de la virologıa,objeto de estudio de numerosos grupos de investigacion en la actualidady en el que vamos a centrarnos a continuacion.

Los virus son microorganismos formados por asociaciones organiza-das de macromoleculas, solo visibles con microscopio electronico debidoa su pequeno tamano (entre 10 y 300 nanometros), que se caracterizanpor poseer solamente un tipo de acido nucleico, ADN o ARN, perono ambos como ocurre en formas superiores de vida. El acido nucleicoque contiene el material genetico esta protegido por una capa proteicaque se llama capside, la cual esta compuesta de numerosas subunida-des proteicas sujetas a ciertas simetrıas que determinan que la capsideadquiera una estructura poliedral, que varıa de unos virus a otros, losuficientemente eficaz como para formar un sello capaz de envolver alacido. Esta es la composicion esencial de todos los virus, aunque algu-nos mas complejos poseen otra envoltura exterior que contiene lıpidosy azucares ligados a las proteınas de la capside (virus envueltos). LaFigura 8 muestra a la izquierda la imagen de un virus envuelto (her-pesvirus), en la que puede apreciarse difusamente la forma poliedral dela capside que vemos con mayor detalle en la imagen de la derecha.

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Figura 8. Virus Herpes

Por sı mismo, un virus (o mas precisamente una partıcula viral com-pleta: capside conteniendo al acido —virion—) puede considerarse co-mo un complejo bioquımico inerte. Depende enteramente de factoresexternos para poder moverse y no puede replicarse fuera de una celulaviva. Cuando ha invadido una celula, el acido nucleico del virus, queporta la informacion genetica (genoma), dirige la maquinaria de la celu-la para sintetizar completamente nuevas partıculas virales identicas ala progenitora.

El estudio de los virus como ciencia es relativamente joven, con avan-ces muy rapidos a partir de los anos cincuenta en paralelo con los de labiogenetica y biologıa molecular. Hoy en dıa la clasificacion de los virusse hace atendiendo esencialmente a estos dos aspectos: la naturaleza desu material genetico y la simetrıa y composicion de su capside.

Las complejas uniones de macromoleculas en el sello de un virusson maravillosas miniaturas de arquitectura molecular y los requeri-mientos especıficos de cada virus dan como resultado una fascinantediversidad de organizacion y diseno geometrico en la estructura polie-dral asociada. La teorıa sobre la construccion de la estructura poliedralde los virus fue iniciada en 1956 por Crick y Watson y estaba basadaen algunas consideraciones teoricas y un numero no muy grande deevidencias experimentales posibles en aquella epoca; posteriormente suteorıa, en terminos generales, serıa ampliamente confirmada y univer-salmente aceptada. Esencialmente, consistıa en senalar que la capsidedel virus adquiere una estructura poliedral que esta determinada porel propio virus y que la forma mas economica y “razonable” de que elgenoma codifique la construccion de la capside es que para ello utiliceel mismo tipo de moleculas una y otra vez (teorıa de las subunidadesidenticas). Ademas, estas subunidades deberıan empaquetarse siguien-do unas reglas de simetrıa geometrica de manera que conformaran unsello estable.

En principio pensaron que siempre se empaquetaban siguiendo unasimetrıa icosaedral 5:3:2 (recordemos que el icosaedro esta compuestopor veinte triangulos equilateros y tiene seis ejes de simetrıa rotacionalde 5 hojas que pasan por los vertices, diez ejes de 3 hojas en el centro


de los triangulos y quince ejes de 2 hojas en el centro de las aristas)y senalaron que el numero de subunidades deberıa ser un multiplo desesenta y que ninguna deberıa coincidir con un eje.

Con la introduccion de las tecnicas de coloreado en el microscopioelectronico (Brenner y Horne, 1959) se descubrio la forma de muchaspartıculas virales y se acordaron los nombres de “capside”, “capsome-ro” y “virion” (propuestos por Lwoff, Anderson y Jacob, 1959) paradenominar respectivamente al sello proteico, a las unidades morfologi-cas comprendidas en el y a la partıcula viral completa. Casi todas laspartıculas virales analizadas presentaban simetrıa icosaedral, pero elnumero de las unidades morfologicas (abultamientos que presenta lacapside) no era en general un multiplo de sesenta y ademas estabanlocalizadas en los ejes de simetrıa. La aparente paradoja estructuralque se presento, (los capsomeros no eran las subunidades estructura-les de las que hablaban Crick y Watson), desaparecio posteriormentey se fundamento en trabajos de Horne y Wildy (1961) y de Caspar yKlug (1962), que en terminos generales ratificaban la primitiva teorıade Crick y Watson, a partir de los cuales se unifico la terminologıa y elanalisis de la estructura poliedral de los virus. Ası, las “unidades de es-tructura” son las mas pequenas unidades de construccion de la capsidefuncionalmente equivalentes y los “capsomeros” son las unidades mor-fologicas que pueden apreciarse en la superficie de la partıcula viral yestan formadas por distintas agrupaciones de unidades de estructura.El hecho de que las subunidades proteicas no se distribuyan aleatoria-mente sino que se adhieran formando capsomeros es debido a que semaximizan las interacciones moleculares que estabilizan la partıcula.La union entre las subunidades adheridas en cada capsomero es masfuerte que la que se da entre unos capsomeros y otros (esto hace quepuedan aislarse mas facilmente los capsomeros para posibles estudiosfuncionales o estructurales).

Aunque algunos presentan una estructura algo mas compleja, la ma-yor parte de los virus corresponden a dos grupos morfologicos diferen-ciados: Los de simetrıa helicoidal y los de simetrıa icosaedral.

En los que presentan simetrıa helicoidal se observa que tienen unaforma tubular hueca y en el hueco es donde se situa el acido. Pero ladisposicion de las subunidades proteicas en la pared tubular (a excep-cion de los extremos) no es cilındrica sino que van conformando unahelice (espiral) que puede ser levogira o dextrogira, cuyos radios circu-lares y numero de unidades por giro de la helice varıa de unos virus aotros.

Los virus con simetrıa icosaedral (por lo que se conoce hasta lafecha, la preferida por la mayorıa) tienen forma esferica y presentansiempre 60T subunidades de estructura formando la capside. Se diceque T es el numero de la triangulacion, y toma valores de la serie

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1,3,4,7,9,12,13,. . . , obtenida a partir de la formula T = Pf 2, don-de f es cualquier entero positivo y P cualquier numero de la serie1,3,7,13,19,21,. . . (= h2 + hk + k2, para enteros positivos h y k co-primos). La morfologıa de la capside pueden presentarse como 60Tmonomeros o presentarse como 30T dımeros, 20T trımeros o confor-mando 10(T − 1) hexameros y exactamente 12 pentameros.

Actualmente existen tecnicas de simulacion que permiten reconstruiren un ordenador la forma de muchos virus. Estas imagenes virtualesfacilitan el estudio geometrico de su estructura y con ello el analisis dediferentes propiedades del virus investigado. En algunas de las direc-ciones electronicas que incluimos al final del trabajo existe una buenacoleccion de imagenes de virus donde pueden observarse diferentes es-tructuras poliedrales, todas ellas de una enorme belleza. En la Figura 9aparecen imagenes de dos partıculas que corresponden a unas de lasprimeras enfermedades virales estudiadas; a la izquierda la del virus dela fiebre aftosa —Loffler, 1898— (que presenta simetrıa icosaedral) ya la derecha la del virus del mosaico del tabaco —A. Mayer, 1886—(que presenta simetrıa helicoidal). Como curiosidad, incluimos en laFigura 10 la imagen de un virus icosaedral T = 1 (satellite tobacconecrosis virus) cuya forma es similar a la de una de las piedras talladasdel neolıtico de las que se presentaba una imagen en la seccion 2.

Figura 9. Fiebre Aftosa y Mosaico del Tabaco

Para evaluar la importancia que tiene la determinacion de la estruc-tura poliedral de los virus hay que tener en cuenta que estos, debido asu proceso de reproduccion, estan obligados a ser parasitos intracelula-res; necesitan una celula hospedadora donde replicar su acido nucleicoy tomar la maquinaria sintetica para reproducirse completamente ytransmitirse a otras celulas. En este proceso, donde el metabolismo delorganismo afectado se perturba, la capside o poliedro proteico del vi-rus protege a este del exterior, pero a la vez es una parte fundamentalque el organismo invadido reconoce para crear anticuerpos. Ademas, lamorfologıa de la capside con protuberancias y hendiduras, que se co-rresponden con la estructura poliedral, determina las zonas de mayor omenor accesibilidad para los anticuerpos que el sistema inmunologicodel receptor puede crear.

En la Figura 10 aparece a la derecha la imagen de un virus de-nominado con las siglas CCMV (Cowpea Chlorotic Mottle Virus) al


Figura 10. Virus: STNV, CCMV

que corresponden las imagenes que mostraremos a continuacion. Lohemos elegido porque su estructura poliedral es exactamente un ico-saedro truncado y puede apreciarse bien en la mencionada figura, quemuestra la forma global de la partıcula viral. Comentaremos muy es-quematicamente como se genera la estructura de este virus concretocomo ejemplo que puede ilustrar lo que ocurre en general. La capsidedel CCVM consta de 180 subunidades proteicas que tienen una com-posicion quımica identica pero la proteına que las forma no adopta lamisma conformacion geometrica. Se distinguen de tres tipos: A, B yC. Precisamente la diferente conformacion de estos tipos de subuni-dades determina la manera en la que se van a enlazar unas con otraspara formar el sello protector del acido. Matematicamente, la unidadgeneradora de la estructura poliedral serıa el trımero ABC, que se es-quematiza como un triangulo dividido en tres regiones equivalentes A,B y C, coloreadas en gris oscuro o azul, gris o rojo y gris claro o verderespectivamente. Vease la Figura 11.

Figura 11. Trımero

A partir de esta unidad geometrica triangular puede obtenerse laestructura poliedral mas basica del virus, que presenta simetrıa ico-saedral, como se observa en la Figura 12. Ahora bien, si tenemos encuenta la disposicion de las diferentes subunidades A, B, C en estatriangulacion basica, podemos notar que se forman doce pentameros,cada uno con cinco subunidades A, y veinte hexameros, cada uno contres subunidades B alternandose con tres subunidades C. Veanse lasFiguras 12, 13.

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Figura 12. Estructura geometrica basica

Figura 13. Pentameros y Hexameros

Aparece de este modo una estructura poliedral mas fina, en el sentidode que describe mas exactamente la conformacion final de la capsideviral a partir de las subunidades elementales. En la Figura 14 se ve ala izquierda el esquema del poliedro final (icosaedro truncado) y a laderecha la silueta de este sobre la imagen del virus.

Figura 14. Pentameros y Hexameros

Muchos de los trabajos sobre virus que hemos analizado contienen,cuando es posible, la representacion de la unidad geometrica estructu-ral y el tipo de simetrıa que experimenta para formar el sello (mapatopografico); esto determina la disposicion de las subunidades protei-cas y con ello la forma poliedral final del virus. Por otra parte, el acidoenvuelto por la capside de los virus, que se presenta como una ma-deja filamentosa de una o mas hebras, es susceptible de ser estudiadocon tecnicas topologico-geometricas, fundamentalmente teorıa de nu-dos. Vease la Figura 15. Existen actualmente trabajos en este sentidoencaminados al analisis de los anudamientos o enlaces topologicos quepresenta un acido viral (u otro tipo de acido genetico) y sus posibles


modificaciones en fenomenos de replicacion o en experimentos de mani-pulacion genetica. Ası, en el estudio matematico de los virus se suelenconsiderar dos estructuras poliedrales: la externa (poliedro de la capsi-de) y la interna (grafo del acido) que pueden ser analizadas geometricay topologicamente.

Figura 15. Anudamientos del ADN

La difusion de los virus en la naturaleza es enorme. Si tenemosen cuenta que numerosas enfermedades del hombre (desde el resfria-do comun y la gripe hasta ciertas meningitis, hepatitis, sida, algunoscanceres, etc) son causados por virus y que lo mismo ocurre con losanimales y las plantas, no es extrano que Peter B. Medawar, PremioNobel de Medicina en 1960, definiera de modo rapido a los virus ası:“Una mala noticia envuelta en proteınas”. Esta definicion, avalada adiario en cualquier consulta medica o en los medios de comunicacion,recoge el aspecto negativo que en general tienen los virus y motiva elinteres por su conocimiento completo con vistas al control y curacionde enfermedades causadas por ellos; pero no aborda sin embargo elaspecto positivo que en ciertos ambitos tienen. Por ejemplo, la grancantidad de colorido que desde el siglo XVI ofrecieron los tulipanes ho-landeses se debio a una enfermedad vırica; y, en otro sentido, el hechode que numerosas enfermedades virales afecten a insectos (un numerogrande de ellas se recoge precisamente bajo el nombre generico de “po-liedrosis”) de forma muy selectiva, o, que para algunas actuen comovector de transmision, esta abriendo el campo para su utilizacion co-mo agentes naturales de control biologico. Es tan amplia la influenciade los virus que justifica que este campo de investigacion sea uno delos mas interesantes y pujantes en la actualidad y que en el aparezcanestudios relativos a la estructura poliedral asociada a los virus anali-zados, pieza importante para su conocimiento. Ademas estos trabajosinvolucran a disciplinas tan diversas como matematicas, informatica,biologıa, quımica, medicina, veterinaria, ecologıa, ciencias agrıcolas yforestales o economıa.

En la naturaleza aparecen tambien estructuras poliedrales (algunasde las cuales son poliedros regulares) como cristales de diversas sus-tancias. Por ejemplo, el cubo aparece en los cristales de sal comun, eltetraedro en los del sodio sulfantimoniato, el octaedro en los del alum-bre de cromo, y el dodecaedro (no del todo regular) en los de la pirita.

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Figura 16. Fullereno C60 y Perovskita ABX3

Es por ello que los poliedros se han utilizado siempre en temas crista-lograficos relacionados fundamentalmente con la geologıa y la quımica.

Hoy en dıa, ademas de lo senalado anteriormente en el caso de losvirus, muchas investigaciones abordan el estudio de estructuras polie-drales que aparecen en los campos de la biologıa y quımica molecularesy de la fısica nuclear. Las propiedades de estas estructuras poliedralesestan relacionadas con las de los materiales analizados. Por ejemplo,la dureza y las propiedades magneticas, aislantes o conductoras estandirectamente relacionadas con la estructura poliedral de las moleculasy substancias consideradas. Y en el analisis de las posibles estructu-ras poliedrales asociadas a los materiales, los invariantes algebraicos ygeometricos pueden clarificar algunas propiedades quımicas o fısicas deestos.

Empezaremos analizando, en el campo de la quımica, las estructuraspoliedrales mas sencillas. Una de las mas simples es la de grafo, es decir,un poliedro o complejo celular unidimensional. Su uso es frecuente enel estudio del fenomenos moleculares; por ejemplo, se puede asociar unvertice con cada atomo y una arista con cada enlace (no importando laclase de enlace considerado). Con esta estructura, cada molecula esta-ble determina un grafo conexo. Es facil comprender la estrecha relacionque existe entre la familia de los grafos finitos y conexos, modulo iso-morfismo, y las posibles estructuras moleculares. En el caso en el que laestabilidad se alcance con un gran numero de atomos, el uso de grafosinfinitos puede modelar mejor la estructura poliedral de la substanciaanalizada.

Sin embargo, es posible asociar a cada molecula o substancia estruc-turas poliedrales mas complejas. Por ejemplo, cada elemento quımicodetermina un subconjunto de vertices; o bien un tipo de enlaces, diga-mos enlaces covalentes dobles, determina unas aristas que definen unsubpoliedro. Por otro lado, a algunos ciclos generados por sucesionesalternadas de atomos y enlaces que finalicen en el atomo inicial de lasucesion, se les pueden asociar caras de dimension dos. Tambien se pue-den asociar caras mediante otros criterios; por ejemplo, considerandoatomos de un mismo elemento proximos entre sı que sean coplanarios y


que determinen un polıgono convexo. Del mismo modo, existen partesde una molecula o de una substancia que tienen una estructura fija, lacual determina un grupo funcional al que a su vez se le puede asociarun subpoliedro.

Una vez establecidos los criterios para asociar una estructura polie-dral a una molecula o a una substancia, se tiene que algunas de laspropiedades quedan reflejadas en la estructura poliedral asociada y,en general, esta puede ser mas compleja que un solo poliedro y con-tener subpoliedros asociados con grupos funcionales determinados. Enmuchas ocasiones la estructura poliedral correspondiente esta inmersaen el espacio euclıdeo, lo que permite, estudiando sus grupos de si-metrıa, analizar diversas cuestiones como por ejemplo la estructura delos empaquetados de los atomos y moleculas. La disposicion ordenadade cationes y aniones esta relacionada con las propiedades magneticasde la substancia considerada. La disposicion de los enlaces en varias ca-pas planas o en redes espaciales tiene que ver con la dureza del materialconsiderado.

Otro aspecto interesante es el de la isomerıa, es decir, aquellos fenome-nos asociados con substancias que tienen esencialmente los mismoscomponentes pero estos admiten distintas disposiciones geometricas,lo que puede originar diferentes propiedades. Por ejemplo, dos nucleoscon igual masa y numero atomico pueden presentar distintas propieda-des, a causa de una estructuracion diferente de sus componentes.

Actualmente existen herramientas que permiten desvelar la estruc-tura poliedral de muchas substancias. Se dispone de diferentes tiposde rayos, aceleradores, microscopios electronicos, reactores nucleares yotras tecnicas de tipo fısico o quımico.

De modo general senalaremos que en la estructura poliedral intervie-nen decisivamente el tamano de los atomos y de los cationes y anionesy el tipo y capacidad de enlace que tengan los elementos que forman lasubstancia a analizar. Ademas, a veces es interesante tener en cuentaque el tamano y tipo de enlaces puede ser modificado por la tempera-tura, presion u otros factores que afecten al material considerado.

Por ejemplo, el grupo de las perovskitas tiene formula general ABX3,donde A y B son cationes y X es un anion (generalmente oxıgeno),vease la Figura 16. Los cationes de tipo A ocupan los vertices de unateselacion cubica del 3-espacio euclıdeo. Los baricentros de estos cubosestan ocupados por cationes de tipo B. Observese que cuando el numeroN de cationes B es muy elevado, puesto que cada vertice es compartidopor ocho cubos, se tiene que el numero de cationes de tipo A es N8

8.

Considerando que el cubo tiene seis caras y cada cara es compartidapor dos cubos, el numero de caras sera de N6

2. Esta disposicion de los

vertices y caras de la teselacion cubica es totalmente coherente con laformula general de la perovskita N(A8

8BX6

2). Cuando los radios de los

cationes y los aniones lo permiten, los aniones X se situan en los centros

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de las caras; de este modo, en cada cubo estos expanden un octaedrocuyos vertices son de tipo X, de modo que en su interior esta contenidoun cation B.

Son muy interesantes los siguientes fenomenos determinados por lasleyes naturales de los empaquetamientos. Si los cationes de tipo A sonde radio grande, no es posible que los planos que contienen cationes deeste tipo contengan simultaneamente aniones de tipo X; se producenentonces traslaciones horizontales y verticales que desplazan los anionesde los centros de las caras, generandose planos alternados de cationesy aniones que determinan una polarizacion magnetica de la perovski-ta analizada. Una substancia magneticamente estable sometida a uncambio de temperatura puede cambiar sus propiedades magneticas sise producen estos desplazamientos de los aniones que abandonan loscentros de las caras. En cambio, cuando los cationes de tipo A sonpequenos, el octaedro interno puede girar un poco, lo que permite al-canzar un equilibrio magnetico.

Figura 17. Fullerenos

Una reciente rama de la quımica, especialmente rica en investigaciony en la que el uso de tecnicas poliedrales es muy amplio, es la de losfullerenos. Este campo se inicio con el descubrimiento en 1985 de lamolecula C60, que fue bautizada con el nombre de buckminsterfulle-reno, y abreviadamente se le llama fullereno, en honor del arquitectoR. B. Fuller. Vease la Figura 16. Esta molecula consiste en 60 atomosde carbono unidos mediante doce pentagonos y veinte hexagonos. Suforma es la misma que la de un balon de futbol y aproximadamente sutamano es al del balon como el de este es al de la Tierra; en este casola estructura poliedral es muy simple, en el sentido de que consta deun solo poliedro que es un icosaedro truncado.

La molecula C60, llamada por muchos “la mas bella molecula”,fue descubierta por los investigadores H. W. Kroto, R. E. Smalley yR. F. Curl en 1985 cuando hacıan estudios sobre la composicion quımi-ca de las estrellas. Al analizar las imagenes obtenidas por los telescopiosde los observatorios astronomicos, ellos sospechaban, al igual que otroscientıficos, que tal composicion tenıa que ver con largas cadenas de


moleculas de carbono. En lugar de obtenerlas por simulacion medianteexperimentos con tecnicas convencionales, los investigadores senaladosdecidieron pasar un haz de laser sobre el vapor de carbono; al hacerlo,no solo aparecieron las cadenas de moleculas que esperaban, sino queobservaron que estas tenıan una forma poliedrica totalmente inespe-rada, como la de un balon de futbol. Ası se descubrio el C60. Estasmoleculas de C60 se condensan en una forma nueva de carbono soli-do, una forma cristalina de carbono puro diferente de los conocidosdiamante o grafito.

Aunque inicialmente el C60 solo podıa producirse en muy pequenascantidades, lo cual restringıa su uso para otros experimentos, W. Krats-chen, L. Lamb, K. Fostiropoulos y D. Huffman descubrieron en 1990el modo de producirlo en mucha mayor cantidad, lo que abrio nuevasposibilidades para las investigaciones experimentales.

El descubrimiento del C60, hecho por el cual sus descubridores reci-bieron el Premio Nobel de Quımica en 1996, ha sido el inicio de unperiodo de gran actividad en la quımica de los llamados fullerenos(compuestos de moleculas de carbono formadas con diferente nume-ro de atomos que generan estructuras poliedrales con caras pentago-nales, hexagonales o incluso heptagonales). Posteriormente tambien sehan sintetizado otros muchos fullerenos: C70, C76, C78, C82, C84, etc.Muchos trabajos se centran en los fullerenos debido a que al anadir-les ciertos atomos alcalinos se obtienen compuestos superconductoreselectricos.

Actualmente hay abierto un nuevo campo de investigacion que per-mite el estudio de los posibles fullerenos a traves de herramientas ma-tematicas tales como la teorıa de grafos, poliedros, topologıa algebrai-ca, teorıa de grupos y geometrıa diferencial; en este sentido, existe unaimportante relacion entre la clase de superficies orientadas y conexasregulares con caras pentagonales, hexagonales y heptagonales, moduloisomorfismos poliedrales, y los posibles compuestos de carbono purodel tipo anterior.

Figura 18. Posibles enlaces del Carbono

Del caracter tetravalente del carbono C resultan cuatro posibles si-tuaciones de un vertice que denotaremos por 31, 22, 211 y 1111 (Figu-ra 18). Es habitual asociar a cada compuesto puro de carbono un grafode modo que los carbonos se corresponden con los vertices y los enlaces

POLIEDROS 23

con las aristas. La situacion 31 se puede obtener considerando grafos li-neales o en forma de circunferencia en los que se van alternado el enlacetriple y el enlace sencillo. El enlace 22 tambien genera cadenas linealeso circulares en las que alternan atomo y doble enlace. En la mayorıa delos fullerenos todos los enlaces son del tipo 211; en consecuencia, susgrafos asociados tienen la propiedad de que cada vertice incide con tresaristas (grafos 3-regulares). No obstante, a cada fullereno se le puedenasociar estructuras poliedrales mas complejas; es frecuente anadir unacara por cada grupo de vertices y aristas que determinan un polıgonoplano convexo. De este modo, cada compuesto del carbono con enlacesde tipo 211 tiene asociada una superficie. Estas superficies se puedenagrupar por capas o a traves de empaquetamientos.

En los grafos 3-regulares se pueden distinguir los enlaces dobles colo-reando la familia de aristas que se corresponden con los mismos. Tam-bien es frecuente utilizar la relacion que existe entre grafos 3-regularesy grafos 4-regulares. Notese que si en un grafo 3-regular con aristascoloreadas, se deforma cada arista coloreada a un punto, se obtiene ungrafo 4-regular. Recıprocamente, si a un grafo 4-regular le aplicamos unproceso de bifurcacion en cada vertice como se senala en la Figura 18se obtiene un grafo 3-regular con aristas coloreadas.

Es interesante senalar que a cada grafo 3-regular se le puede asociarsu grupo de isometrıas y, si se tienen aristas coloreadas (enlaces dobles),tomar entonces el subgrupo de aquellas que las preservan. De este mo-do a cada grafo con aristas coloreadas le hemos asociado una pareja degrupos. Observemos que si en el mismo grafo 3-regular cambiamos defamilia de aristas coloreadas (es decir, consideramos dos isomeros) pue-de suceder que el subgrupo asociado sea distinto. Sin embargo, existenejemplos de grafos 3-regulares con aristas coloreadas que son distintosy tienen asociada la misma pareja de grupos de simetrıa; en este caso,se puede disenar una herramienta matematica mas fina capaz de dis-tinguir estos isomeros. Se procede del modo siguiente: cambiando cadaenlace doble por un cruce elevado de caminos, podemos asociar a cadafullereno con enlaces quımicos dobles un enlace o nudo topologico sus-ceptible de ser estudiado con tecnicas homotopicas. Vease la Figura 19.Las diferentes posibles posiciones de los dobles enlaces quımicos deter-minan enlaces topologicos distintos y la clasificacion de estos isomerosse aborda a traves de los invariantes homotopicos del enlace o nudotopologico asociado. Utilizando el grupo fundamental del complemen-to del enlace o sus invariantes de tipo polinomico se pueden distinguirisomeros con grupos de simetrıa iguales.

En el caso en el que las moleculas estables adquieran forma de su-perficie, es tambien importante la disposicion que puedan presentarestos enlaces. En algunos casos las caras se unen entre sı para formarsuperficies con curvatura gaussiana de diferentes signos; en el caso delos grafitos se suelen presentar superficies planas. Se ha observado que


Figura 19. Enlace topologico de un fullereno

por lo general las caras pentagonales corresponden a zonas de curva-tura positiva, las hexagonales se relacionan con curvatura cero, y lasheptagonales con curvatura negativa.

En la Figura 20 puede verse a la izquierda la superficie de un fullerenocontenida en el plano hiperbolico y a la derecha la de un fullerenocontenido en un toro en la que se observa claramente como las caraspentagonales, hexagonales y heptagonales se distribuyen en zonas concurvatura gaussiana positiva, nula o negativa respectivamente.

Figura 20. Fullerenos: heptagonal y torico

Los ejemplos mencionados son una muestra de los cada dıa masabundantes trabajos de investigacion en los que se emplean tecnicasmatematicas relacionadas con las estructuras poliedrales asociadas alas moleculas y substancias, tanto para descubrir propiedades de las yasintetizadas, como para la prediccion de otras nuevas.

Si lo expuesto anteriormente muestra de alguna forma como los po-liedros estan muy presentes, aunque de un modo oculto a veces, en lasciencias mencionadas, es evidente su presencia e importancia en otroscampos mas proximos a la mayorıa de las personas. Por ejemplo, enel diseno industrial las propiedades de estructuras poliedrales han detenerse en cuenta tanto para la fabricacion, empaquetado, almacenajeo economıa. Quizas aun es mas evidente esto en el diseno arquitectoni-co, desde los edificios y poblados mas sencillos hasta las edificaciones

POLIEDROS 25

Figura 21. Fuller en su laboratorio y Pabellon USA

y ciudades mas sofisticados, y no es una simple anecdota el hecho deque la molecula C60, cuyo descubrimiento ha supuesto un verdaderoavance en campos cientıficos importantes, recibiera el nombre de fulle-reno precisamente en honor del arquitecto Richard Buckminster Fuller(1895–1983). Vease la Figura 21.

La belleza poliedral del C60 les recordaba a sus descubridores la delas famosas “cupulas geodesicas” disenadas por Fuller. Siguiendo lapauta de que una esfera es realmente eficiente pues encierra el mayorvolumen con la menor superficie y que las geodesicas en una superficieson las curvas de menor longitud entre dos puntos, las edificacionesgeodesicas que disena Fuller adquieren su estructura poliedral a par-tir de piezas basicas que van encajandose de modo que se obtenga lamaxima ventaja estructural y ambiental con un coste reducido. Unamuestra de esto es el Pabellon de los Estados Unidos en la Expo 67de Montreal, que puede verse en la Figura 21. Fuller no solo ha sidoun famoso arquitecto del siglo XX, sino un hombre de espıritu rena-centista con obras de ingenierıa y diseno en campos tan diversos comoel industrial, espacial, automovilıstico o cartografico. Procuro difundirlas ideas humanısticas y ecologicas que impregnan su obra a traves demultiples conferencias por todo el mundo, por lo que llego a ser unpersonaje controvertido, idolatrado por muchos y denostado por otros,pero con una influencia incuestionable.

Figura 22. Disenos de Fuller

Por ultimo vamos a referirnos, aunque sea muy brevemente, a lapresencia de los poliedros en el ambito de las Matematicas, donde, sibien su estudio se ha hecho inicialmente, como el de la mayorıa delos temas antiguos, dentro del campo de la Geometrıa, estos objetosaparecen hoy en dıa en diversas areas, abordando su analisis con las


diferentes herramientas que ellas ofrecen o utilizandolos como soportepara la resolucion de otros problemas especıficos.

Como hemos senalado al inicio de este trabajo, desde muy antiguohan llamado la atencion las figuras poligonales o poliedrales que presen-taban algun tipo de regularidad y los matematicos han intentado darrespuesta a diferentes cuestiones tales como la existencia y construccionde estos objetos.

Cualquier polıgono regular puede imaginarse como el resultado dedividir una circunferencia en n partes iguales (n ≥ 3) y tomar alterna-tivamente los puntos de division obtenidos de p en p, siendo p cualquierprimo con n menor que n

2(se dice que n es el genero y p la especie del

polıgono). En el que caso en el que p = 1 se obtiene un polıgono conve-xo y en otro caso uno estrellado. El numero total de polıgonos regularesde genero n es N

2donde N es indicador de n. Respecto a la posibilidad

de construir con regla y compas los polıgonos regulares, Euclides, ensus Elementos, dio la del triangulo equilatero en el Libro I (Prop. 1)y la del cuadrado, pentagono, hexagono y uno de quince lados en elLibro IV (Prop. 6, 11, 15 y 16 respectivamente); y la Proposicion 9del Libro I garantiza la duplicacion sucesiva del numero de lados porbiseccion. El problema abierto de la construccion con regla y compasdel resto de polıgonos regulares fue parcialmente resuelto por Gauss(quien construyo a los diecinueve anos uno de diecisiete lados) afir-mando que es condicion suficiente que los factores primos impares de n

sean primos de Fermat diferentes entre sı (un numero de Fermat tiene

la forma Fk = 22k

+1). En 1837, Wantzel probo que tambien la anteriorcondicion es necesaria.

En el caso de los poliedros el grado de regularidad viene dado por laforma, numero y disposicion de caras y vertices. Se dice que dos verti-ces de un poliedro son identicos si ambos estan rodeados por el mismonumero y tipo de caras y en el mismo orden. Si todos los vertices sonidenticos y ademas todas las caras son polıgonos regulares iguales sedice que el poliedro es regular. Desde muy antiguo se conocıa que exis-ten solamente cinco poliedros regulares convexos, los famosos SolidosPlatonicos. Respecto a la existencia de poliedros regulares no convexos,Kepler [20] describio dos: el pequeno y el gran dodecaedro estrellados; yLouis Poinsot en 1809 redescubrio los anteriores y descubrio otros dos:el gran dodecaedro y el gran icosaedro. Cauchy, en 1813, demostro quelos cuatro anteriores son todos los posibles poliedros regulares estrella-dos.

Rebajando la exigencia de regularidad, dentro de los poliedros con-vexos, reciben el nombre de Solidos Arquimedianos o Semiregularesaquellos cuyos vertices son identicos y las caras son polıgonos regularesde dos o mas tipos diferentes, excluyendo las familias infinitas de losprismas y los antiprismas. Kepler se ocupo especialmente de este tipo depoliedros, entre los que se encuentra el notable icosaedro truncado. En

POLIEDROS 27

1619 dio la lista, demostrando que era completa, de los 13 solidos de es-te tipo que existen, aunque 12 de ellos ya habıan sido redescubierto pordistintos artistas del Renacimiento. Se les llama Arquimedianos porquese sabe que fueron estudiados por Arquımedes, aunque sus trabajos ori-ginales estan perdidos. Se llama dual de un poliedro dado a un nuevopoliedro en el que las caras y vertices corresponden respectivamente avertices y caras del original. Los poliedros duales de los Arquimedianosse llaman Solidos de Catalan [2], que fue quien los descubrio en 1865;obviamente hay 13 y sus caras no son polıgonos regulares.

Continuando con la idea de caras regulares y vertices identicos, peroadmitiendo la posibilidad de caras que sean polıgonos no convexos,se obtienen los Poliedros Uniformes. En 1954 Coxeter [7] conjeturo, yfue posteriormente probado por Skilling [24], que hay 75 (sin contarprismas ni antiprismas).

Si nos restringimos a poliedros convexos y nos preguntamos cuantoshay que tengan las caras regulares, ademas de los Solidos Platonicos,los Arquimedianos, y las familias infinitas de prismas y antiprismas, larespuesta es que hay 92 mas, los cuales reciben el nombre de Solidosde Johnson [18], quien en 1966 dio la lista y ademas conjeturo que eracompleta, lo que fue probado en 1969 por Zalgaller [28].

Los ejemplos anteriores determinan diferentes triangulaciones en unaesfera topologica. En la seccion 2 aparecıa la figura de una superficietorica descompuesta en polıgonos; del mismo modo, numerosos espa-cios (algunas variedades, variedades con singularidades, etc.) admitendescomposiciones (triangulaciones) en piezas mas sencillas de dimen-siones adecuadas. La generalizacion de estas ideas da lugar a diver-sas nociones geometricas, topologicas y algebraicas, que genericamentepueden denominarse “estructuras poliedrales” o “poliedros”, como sonlos complejos simpliciales, complejos de celdas, conjuntos simpliciales,etc.

Dentro del area de la Topologıa Algebraica, en la que concretamen-te se enmarca nuestra actividad, las estructuras poliedrales juegan unimportante papel. Desde las mas rıgidamente geometricas, han sido lafuente de inspiracion para la creacion de teorıas de homotopıa y homo-logıa que despues han sido diversificadas, generalizadas o sintetizadascon el objetivo de obtener mecanismos para poder estudiar espaciossusceptibles o no de admitir estructuras poliedrales generales mas omenos rıgidas, como hemos visto que ocurre por ejemplo con el caso delos fullerenos mencionados anteriormente.

Senalemos que si esta estructura poliedral solo contiene un numerofinito de piezas basicas, el espacio descrito por ella es compacto; ası quesi se desea estudiar espacios no compactos, en los que uno puede ima-ginar escapes hacia el infinito de una o muchas maneras, entonces lasestructuras poliedrales llamadas clasicas deben estar hechas de infinitas


piezas, lo cual puede ser un obstaculo a la hora de aplicar tecnicas com-putacionales. Dentro de este ultimo marco, estudio de los espacios nocompactos, concretamente en el de la Teorıa de Homotopıa Propia (delque una vision panoramica puede encontrarse en [17]), se halla parte denuestra labor de investigacion, y en particular algunos trabajos dondeproponemos nuevas estructuras poliedrales que incluyen piezas basicasdiferentes a las habituales con el fin de obtener posibles descripcionesde espacios no compactos con un numero finito de piezas.

Por otra parte, tambien han tenido un fuerte desarrollo los traba-jos de programacion encaminados a la representacion de espacios y alcalculo de invariantes topologicos asociados a estructuras poliedralesque los describen o aproximan. Es un hecho cada vez mas frecuentetrabajar con tecnicas de simulacion sobre diferentes fenomenos fısicoscelulares o moleculares, donde se utilizan formas geometricas inicia-les muy sencillas que van adquiriendo mayor complejidad estructural amedida que se avanza en la aproximacion al fenomeno real simulado.

Nos gustarıa que lo expuesto anteriormente, aunque solo sea una pe-quena muestra, pueda servir para ilustrar hasta que punto los poliedrosestan proximos a nosotros y siguen siendo unos objetos matematicosfascinantes sobre los que merece la pena seguir avanzando en su estudioy utilizacion.

Terminamos recordando las palabras de Galileo Galilei:“. . . La filosofıa (naturaleza) esta escrita en ese gran libro que siem-

pre esta ante nuestros ojos —el universo— pero no lo podemos entendersi no aprendemos primero el lenguaje y comprendemos los sımbolos enlos que esta escrito. El libro esta escrito en lenguaje matematico y sussımbolos son triangulos, cırculos y otras figuras geometricas, sin cuyaayuda es imposible comprender una sola palabra; sin ello uno vaga sinesperanza en un oscuro laberinto . . . ”

4. Enlaces con paginas web

Requiere una adecuada configuracion de Internet y tener instaladaslas correspondientes aplicaciones de ayuda.http://www.georgehart.com/ Una de las mejores paginas de polie-dros, elaborada por George W. Hart, ademas contiene muchos enlacesinteresantes.http://archives.math.utk.edu/topics/geometry.html Contiene mu-cha informacion sobre diversos topicos de geometrıa y numerosos enla-ces.http://www.bocklabs.wisc.edu/cgi-bin/WebCatalog.cgi Institutefor Molecular Virology. Madison, Wisconsin.http://www.bocklabs.wisc.edu/virusviztop.html Otra pagina delInstituto anterior que contiene visualizaciones de virus e interesantesenlaces.http://www.uct.ac.za/depts/mmi/stannard/linda.htmlPagina de

http://www.georgehart.com/

http://archives.math.utk.edu/topics/geometry.html

http://www.bocklabs.wisc.edu/cgi-bin/WebCatalog.cgi

http://www.bocklabs.wisc.edu/virusviztop.html

http://www.uct.ac.za/depts/mmi/stannard/linda.html

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la Universidad de Cape Town, Division de Microbiologıa Medica y Vi-rologıa, dedicada a la arquitectura de los virus.http://www.tulane.edu/ dmsander/garryfavweb.htmlAll the viro-logy on the WWW. Pagina de la Universidad de Tulane, Nueva Orleans,sobre virologıa en internet.http://www.tulane.edu/ dmsander/WWW/335/335Structure.html Es-tudio de la estructura de los virus.http://phage.bocklabs.wisc.edu/ Pagina del Instituto de VirologıaMolecular de la U. Wisconsin que contiene imagenes de DNA de virus.http://www.tiem.utk.edu/ gross/bioed/webmodules/DNAknot.html

Pagina dedicada al DNA y la teorıa de nudos.http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html

Pagina de nudos y enlaces topologicos.http://www.ill.fr/dif/3D-crystall/index.html Pagina dedicadaa la estructura atomica de los materiales.http://www.members.tripod.com/ modularity/ Artıculo de S. Ja-blan sobre la geometrıa de los fullerenos.http://www.mpi-stuttgart.mpg.de/andersen/fullerene/intro.html

Pagina del “Max-Planck-Institute Stuttgart”, que dedica parte de suinvestigacion el estudio de fullerenos.http://neon.mems.cmu.edu/bucky/other-refs.html Contine nume-rosos enlaces y referencias sobre fullerenoshttp://www.univie.ac.at/spectroscopy/forschung.html Paginade la Universidad de Viena que contiene abundante informacion sobefullerenos y enlaces interesantes.http://www.susx.ac.uk/Users/kroto/ Pagina del grupo de inves-tigacion en fullerenos del Profesor H. Kroto de la Universidad de Sussex.http://www.ornl.gov/ORNLReview/rev26-2/text/rndmain1.html In-formacion y pelıculas cortas sobre fullerenos.http://cnst.rice.edu/reshome.html Pagina del Prof. R.E. Sma-lley (Rice University)http://www.pa.msu.edu/cmp/csc/nanotube.html Sitio de nanotu-boshttp://www.bfi.org/ Pagina del Buckminster Fuller Institute.http://www.thirteen.org/cgi-bin/bucky-bin/bucky.cgiPagina quecontiene numerosa informacion sobre Fuller e imagenes de sus obras.

Referencias

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Aiton, A. M. Duncan y J. V. Field, 1997, American Philosophical Society).[21] C. R. F. Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand, 1970.[22] L. Pacioli, De Divine Proportione, 1509.[23] Platon, Dialogos, v. 6, Biblioteca Basica Gredos, Madrid, 1982.[24] J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. of the Royal

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El artıculo Poliedros esta situado, en version pdf, enhttp://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/index.html

Departamento de Matematicas y Computacion, Universidad de La Rio-ja, 26004 LogronoE-mail address: [email protected],[email protected], [email protected]

Galería de imágenes

Galería de imágenes poliedrales

12/10/2001

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Número áureo: Concha interna de una espírula

Número áureo: Caracol acuático de la familia de los planorbis

Toro poliedral diseñado por Paolo Ucello para el gorro toroidal del mozo del fresco denominado `El diluvio'

Estructuras poliedrales: Marquetería realizada por Fra Giovanni da Verona

Estructuras poliedrales: Marquetería realizada por Fra Giovanni da Verona

Dalí: La separación del átomo (Dematerialization near the Nose of Nero) 1947. Periodo de las visionews científicas místicas

Complejo cúbico: Obra de Dalí titulada `Cruz nuclear', 1952

Dalí desnudo, en contemplación ante cinco cuerpos regulares metamorfoseados en corpusculos en los que aparece repentinamente la Leda de Leonardo cromosomatizada por el rostro de Gala, 1954.

Teselación hexagonal: Panel de abejas

Teselación: Alas de un (insecto) ascálago

Ommatidias piramidales con faceta hexagonal que componen el ojo compuesto de un insecto

Teselación: Boca ventral de una raya

Teselación hexagonal: Myripristis Murdjan, pez tropical

Pentagrama, plano hiperbólico finito: `Astropecten', estrella de mar

Dibujos poliedrales representando radiolarios

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http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/POLIEDROS/Imagenespoliedrales/sld001.htm


http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/POLIEDROS/Imagenespoliedrales/sld001b.htm
















Galería de imágenes

Replicación del virus de la Rabia. Virus estudiado por Pasteur en 1880

Dodecaedros:Piedras del neolítico y virus STNV

Poliedros duales, icosaedro y dodecaedro, icosaedro truncado: Pentámeros y hexámeros del virus CCMV

Enlace toroidal: Enlace entre subunidades protéicas

Red tridimensional de tetraedros coloreados: Zeolita ZLA compuesto de tetraedros verdes con baricentro de Silicio y púrpuras con baricentro de Aluminio

Red tridimensional de la zeolita con aristas que unen Silicio y Aluminio

Dodecaedros con aristas marcadas: Isómeros del C20

Superficie esférica teselada por grafos 3-regulares y 4-regulares: Isómeros del C70

Teselación heptagonal del plano hiperbólico: Grafito hiperbólico

Suma conexa de esferas: Suma de Fullerenos

Politopos: Teselaciones inducidas en la 3-esfera

Politopo: Teselación inducida en la 3-esfera

Icosaedro truncado: Moda

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Razón áurea

Caracoles acuáticos de la familia de los planorbis

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My Mathematical Ancestors

Antecesores Matemáticos

Mi director de tesis fue el Profesor José Luis Viviente Mateu, su tesis doctoral "El invariante de Zeuhten-Segre", fue dirigida en 1960 por el Profesor Pedro Abellanas Cebollero (1914-1999). El título de la tesis presentada en 1941 por Pedro Abellanas fue "El problema de la curvatura íntegra en el caso de una variedad geométrica diferencial, de Hopf-Rinow, de dimensión par, completa y admitiendo una descomposición poliédrica que sea una pseudo-variedad cerrada" que a su vez fue dirigida por el Profesor Tomas Rodríguez Bachiller.

<FONT SIZE="+1> Tabién fui influenciado por los Profesores Antonio Plans y José María Montesinos.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/aes.html02/05/2006 20:21:31

Geometria Diferencial - Luis Javier Aparicio

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