Geometria Analitica - Santillana

of 46 /46

Click here to load reader

Transcript of Geometria Analitica - Santillana

Page 1: Geometria Analitica - Santillana

GEO

MET

RÍA

AN

ALÍ

TIC

A GEOMETRÍAANALÍTICA

Esenciales Geometria Analitica c1 1Esenciales Geometria Analitica c1 1 3/26/08 6:48:01 PM3/26/08 6:48:01 PM

Page 2: Geometria Analitica - Santillana
Page 3: Geometria Analitica - Santillana

GEOMETRÍAANALÍTICA

01_GA_Preliminares_i-vii.indd i01_GA_Preliminares_i-vii.indd i 3/27/08 10:33:58 AM3/27/08 10:33:58 AM

Page 4: Geometria Analitica - Santillana

Esenciales de... Geometría analíticaD.R.© 2008 Lápiz Tinta Editores, S.A. de C.V.Cda. de Seminario No. 53 México 01780, D.F.

Teoría y problemas de: Profa. Alma Nora Arana Hernández.

D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V.Av. Universidad #767, 03100, México, D.F.ISBN: 978-970-29-2149-3Primera edición: abril 2008.

Dirección Editorial: Clemente Merodio López.Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar.Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar.Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza.Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.

La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... Geometría analítica, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm.802

Impreso en México.

01_GA_Preliminares_i-vii.indd ii01_GA_Preliminares_i-vii.indd ii 3/27/08 10:34:02 AM3/27/08 10:34:02 AM

Page 5: Geometria Analitica - Santillana

iii

C o n t e n i d o

CONTENIDO

1

35

85

93

109

119

135

145

155

163

169

Relaciones y funciones

Discusión de ecuaciones algebraicas

Análisis y construcción de lugares geométricos

Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos

Función exponencial y logarítmica

Trigonometría

Circunferencia

La parábola

Elipse

La hipérbola

Ecuación general de segundo grado

1Capítulo

56

432

789

1011Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

Capítulo

01_GA_Preliminares_i-vii.indd iii01_GA_Preliminares_i-vii.indd iii 3/27/08 10:34:03 AM3/27/08 10:34:03 AM

Page 6: Geometria Analitica - Santillana

iv

1. Relaciones y funciones 1

1.1. Producto cartesiano 1

1.2. Relaciones 2

• Funciones lineales 6

• Diferencia entre relación y función 7

1.3. Concepto de función 9

• Función real de variable real 10

• Representación de una función 12

• Operaciones con funciones 13

• Composición de funciones 14

1.4. Funciones algebraicas y trascendentes 15

1.5. Funciones pares e impares 16

1.6. Funciones inversas 17

1.7. Función exponencial 20

• Representación gráfi ca de la función exponencial 22

1.8. Función exponencial 23

• Gráfi ca de la función exponencial 23

• Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales 24

1.9. Logaritmos 21

• Consecuencias de la defi nición de logaritmos 26

1.10. Propiedad de los logaritmos 27

• Logaritmo de un producto 27

• Logaritmo de un cociente 27

• Logaritmo de una potencia 27

• Logaritmo de una raíz 28

• Los decimales y los logaritmos naturales 29

• Relación entre logaritmos decimales y neperianos 31

1.11. Función logaritmo 32

• Relación función logaritmo exponencial 33

• Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas 33

2. Trigonometría 35

2.1. Razones trigonométricas 35

2.2. Resolución de triángulos rectángulos 43

2.3. Funciones trigonométricas de dos ángulos 48

• Obtención de las funciones para la suma de dos ángulos 49

• Fórmulas para la suma de dos ángulos 49

• Fórmulas para la mitad de un ángulo 54

2.4. Ley de los senos 56

2.5. Ley de los cosenos 60

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

01_GA_Preliminares_i-vii.indd iv01_GA_Preliminares_i-vii.indd iv 3/27/08 10:34:05 AM3/27/08 10:34:05 AM

Page 7: Geometria Analitica - Santillana

v

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

2.6. Resolución de triángulos oblicuángulos 62

2.7. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante 66

• Círculo unitario 66

• Suplemento de un ángulo 67

• Signos de las funciones fundamentales en cada cuadrante 68

• Ángulos negativos 69

• Fórmulas de reducción 70

• Medida de un ángulo 71

• Círculo trigonométrico 74

2.8. Las funciones trigonométricas de ciertos ángulos 76

• Funciones trigonométricas directas 77

• Dominio 78

• Funciones trigonométricas inversas 81

• La función tangente 82

3. Función exponencial y logarítmica 85

3.1. Función exponencial 85

3.2. Función logarítmica 86

3.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 88

4. Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos 93

4.1. Coordenadas cartesianas 93

4.2. Distancia entre dos puntos 96

4.3. División de un segmento en una razón dada 98

4.4. Área de un polígono 101

• Área de un triángulo 101

4.5. Pendiente de una recta 104

4.6. Relación entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares 107

5. Discusión de ecuaciones algebraicas 109

5.1. Intersecciones con los ejes coordenados 109

5.2. Simetrías con los ejes coordenados y con el origen 110

5.3. Extensión de una curva 112

5.4. Asíntotas 115

• Asíntotas horizontales 115

• Asíntoras verticales 115

5.5. Gráfi cas de ecuaciones 116

01_GA_Preliminares_i-vii.indd v01_GA_Preliminares_i-vii.indd v 3/27/08 10:34:05 AM3/27/08 10:34:05 AM

Page 8: Geometria Analitica - Santillana

vi

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

6. Análisis y construcción de los lugares geométricos 119

6.1. Geometría analítica 119

6.2. Lugar geométrico 119

6.3. Lugares geométricos más comunes 120

6.4. La línea recta como lugar geométrico 122

• Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente

determinada 122

• Forma pendiente ordenada al origen de la ecuación de la recta 125

• Forma simétrica de la ecuación de la recta 126

• Forma general de la ecuación de la recta 127

• Punto de intersección entre dos rectas 128

• Obtención de los elementos de una recta a partir de su ecuación 129

• Forma normal de la ecuación de una recta 130

• Aplicaciones de la forma normal 131

7. Circunferencia 135

7.1. Lugar geométrico 135

7.2. Elementos de la circunferencia 135

• Radio 137

7.3. Obtención de los elementos de una circunferencia conocida con su

ecuación 138

8. La parábola 145

8.1. Lugar geométrico 145

8.2. Eje de simetría o eje focal 145

8.3. Posición de la parábola 146

• Parábola vertical 146

• Parábola horizontal 147

• Inclinada 147

8.4. Formas de la ecuación de la parábola 147

• Vertical 147

• Horizontal 148

9. Elipse 155

9.1. Lugar geométrico 155

9.2. Formas de la ecuación de elipse 156

01_GA_Preliminares_i-vii.indd vi01_GA_Preliminares_i-vii.indd vi 3/27/08 10:34:06 AM3/27/08 10:34:06 AM

Page 9: Geometria Analitica - Santillana

vii

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

10. La hipérbola 163

10.1. Lugar geométrico 163

10.2. Formas de la ecuación de hipérbola 164

11. Ecuación general de segundo grado 169

11.1. Ecuación general completa 169

• Ecuación sin término Bxy 169

• Ecuación con término Bxy 170

11.2. Propiedades de refl exión en las cónicas 170

• Propiedad óptica de la elipse 171

Respuestas 175

01_GA_Preliminares_i-vii.indd vii01_GA_Preliminares_i-vii.indd vii 3/27/08 10:34:06 AM3/27/08 10:34:06 AM

Page 10: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES1

C a p í t u l o 1

1.1. Producto cartesiano

Se defi nirá producto cartesiano de dos conjuntos a todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B y se escribe normalmente A × B.

Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}.

En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

1.1.1. Resuelve:

Sean A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6, 8} dos conjuntos.

1. ¿A cuántos pares ordenados dará origen el producto cartesiano A × B?

2 ¿Cuál sería la regla?

3. ¿Por qué A × B ≠ B × A?

Desarrollo:

A × B = {1, 3, 5, 7} × {2, 4, 6, 8} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8),…

B × A = {2, 4, 6, 8} × {1, 3, 5, 7} = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7),…

Y: (1, 2) ≠ (2, 1), considerando que un par ordenado señala a un punto en el plano cartesiano, éstos dos tendrían diferentes ubicaciones. Por tanto, serían diferentes puntos.

4. Como son pares ordenados, ¿deben tener idéntico número de elementos?

5. Como son pares ordenados, ¿por qué no considerar como puntos de una sola dimensión a las intersecciones de las líneas?

Relaciones y funciones1

02_GA_Cap1_1-34.indd 102_GA_Cap1_1-34.indd 1 3/27/08 10:34:30 AM3/27/08 10:34:30 AM

Page 11: Geometria Analitica - Santillana

2

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

1.1.2. Resuelve:

Sean A = {a, e, i, o, u} y B = {b, c, d}

1. Obtener A × B

2. Obtener B × A

3. Obtener A × Ø

4. Obtén lo indicado:

Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 0}

5. Obtener A × B

1.2. Relaciones

La Teoría de conjuntos defi ne una relación considerando que los elementos de ambos forman pares ordenados. Consideremos a dos conjuntos A y B, donde:

A = {2, 3, 5, 7, 11} y B = {4, 9, 25} (A contiene los primeros 5 números primos y B los primeros 3 elevados al cuadrado).

Observa que ambos conjuntos son independientes uno del otro mientras no se realice alguna operación que las relaciones. Por ejemplo, si realizamos su producto cartesiano:

A × B= {(2, 4), (2, 9), (2, 25), (3, 4), (3, 9), (3, 25), (5, 4), (5, 9), (5, 25), (7, 4), (7, 9), (7, 25), (11, 4), (11, 9), (11, 25)}.

Se ve claramente que existe una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos; por ejemplo, el elemento 2 de A le corresponde o está relacionado con los elementos 4, 9 y 25 de B.

Algunos ejemplos de relación son la estatura de un niño, que depende de su edad; la paga de un obrero, que depende del número de horas que trabaje; los impuestos que cause una empresa, que dependen de las utilidades que obtenga de su ejercicio; el sexo de una persona, que depende de la combinación que obtenga en su concepción de los cromosomas x y y de sus padres, etcétera.

02_GA_Cap1_1-34.indd 202_GA_Cap1_1-34.indd 2 3/27/08 10:34:33 AM3/27/08 10:34:33 AM

Page 12: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES3

C a p í t u l o 1

Relación implícita: Aquella que existe aunque no se haya defi nido en función de solo la variable independiente.

;y x x y x x2 2 2 2+ = + =

Relación explícita: Aquella que existe cuando se despeja la variable dependiente.

; –y x x y x x22 2!= + =

Relación algebraica: Aquella defi nida por una expresión en términos de literales y signos matemáticos, esto es, la defi nida por una ecuación (o igualdad). Por ejemplo, los casos anteriores para defi nir las relaciones implícitas y explícitas.

Relación no algebraica: Aquellas que no poseen las características anteriores (relación algebraica), como son las funciones trigonométricas, el logaritmo, la función exponencial, que no surgen de las algebraicas, a las que se denomina trascendentes.

1.2.1. Expresa algebraicamente la relación implícita de los siguientes enunciados.

1. El doble de la edad de Carlos más la edad de Adela es igual a la edad de Carlos al cuadrado menos 3 veces la de Adela.

2. Un estudio determinó que el volumen de cierto depósito menos el volumen de otro era igual a 3 veces el volumen del otro más la quinta parte del primero.

3. Hace muchos milenios, la humanidad dedujo que existía una relación entre el diámetro de un círculo y su perímetro, así como entre éste y su área. En cierto problema de ingeniería donde se requería obtener una sección circular (corona), se dedujo que dicha área (A

c) era igual a la tercera parte del área del círculo mayor (A) menos el área del menor (a).

4. La resistencia de un concreto está relacionada con el área de la grava utilizada. De manera empírica se sabe que, a medida que dicha área aumenta, la resistencia del concreto también aumenta. ¿Qué hacen los técnicos para aprovechar dicha relación?

5. ¿Cuál sería el límite del área del problema anterior?

6. Pitágoras, hace 2 500 años, realizó una aportación científi ca que ha aportado grandes servicios a la humanidad. Se trata de una herramienta para resolver problemas técnicos de diversas índoles. Su forma general es a2 + b2 = c2 y expresa la conocida relación de que la suma de los catetos al cuadrado de un triángulo equilátero es igual al cuadrado de su hipotenusa.

Pongamos a cada una de estas incógnitas, como ejercicio de relación explícita.

02_GA_Cap1_1-34.indd 302_GA_Cap1_1-34.indd 3 3/27/08 10:34:33 AM3/27/08 10:34:33 AM

Page 13: Geometria Analitica - Santillana

4

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

7. Explicita la expresión en términos de cada incógnita:

y = x2 + x – 2

8. Explicita la expresión en términos de cada incógnita:

y3 + 3 = x3 –5

9. Resuelve la expresión algebraica de la siguiente situación:

Supongamos a 2 cuerpos en el espacio, uno mayor, de masa M, y otro menor, de masa m, con sus centros de masas colocados a una distancia d:

M m

d

10. Halla la expresión algebraica de la siguiente situación:

Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8),…}.

11. Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16),…}.

¿Cuál es su relación algebraica?

12. Halla la expresión algebraica de las siguientes situaciones:

Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, 3, (2, 6), (3, 11), (4, 18),…}.

Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, –2, (2, 1), (3, 8), (4, 15),…}.

02_GA_Cap1_1-34.indd 402_GA_Cap1_1-34.indd 4 3/27/08 10:34:34 AM3/27/08 10:34:34 AM

Page 14: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES5

C a p í t u l o 1

Relación creciente: Aquella que, cuando el valor de la variable independiente crece, hace crecer a la variable dependiente. Por ejemplo:

La talla de una persona está relacionada con su peso.

El peso de una persona está relacionada con su consumo alimenticio.

El impacto que sufre una persona está relacionado con la altura de la cual se desploma.

Relación decreciente: Aquella que, cuando el valor de la variable independiente crece,

hace decrecer a la variable dependiente. Por ejemplo:

El tiempo que tarda una construcción decrece si aumenta el número de trabajadores.

La salud de una persona decrece cuando aumentan el número de sus virus.

Relación continua: Aquella que no tiene interrupciones a lo largo de su relación o, al menos, en cierto intervalo considerado. Por ejemplo:

y = x, es una relación continua en cualquier intervalo considerado.

Esto es, adopte x el valor que adopte, siempre existirá el valor de y correspondiente (de hecho será la misma).

Por supuesto, existen muchas relaciones en las cuales no se puede determinar a simple vista si existen puntos o intervalos en los cuales para un valor (o valores) de la variable independiente no existen valores de la dependiente. La determinación de estos puntos de ruptura ocupa un extenso apartado en el trabajo matemático por su importancia práctica. Otra forma de defi nir una relación continua es que, en ella, su representación gráfi ca (curva) no presenta discontinuidades, esto es, intervalos en los cuales no se puede representar.

Relación discontinua: Aquellas cuyas gráfi cas presentan puntos o intervalos en las cuales no existe manera de representar la curva porque, entonces, los valores que adopta la variable independiente no generan valores representables de la dependiente. Otro enfoque es que las curvas son colecciones de puntos originados por pares ordenados (el lugar geométrico de la expresión); en los puntos de discontinuidades dichos pares ordenados no existen, pues sólo existe uno de los valores de dichos pares.

La verifi cación de que una relación es creciente la obtenemos cuando grafi camos los valores de los pares ordenados que genera la relación. La curva que describe una relación algebraica creciente siempre ascenderá hacia la derecha (abscisas) y arriba (ordenadas).

02_GA_Cap1_1-34.indd 502_GA_Cap1_1-34.indd 5 3/27/08 10:34:34 AM3/27/08 10:34:34 AM

Page 15: Geometria Analitica - Santillana

6

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Tabulación:

Literales Valores

S 48.4 72.6 96.8 157.3 217.8n 4 6 8 10 12n

e0 0 0 2 4

Grafi cación:

La gráfi ca nos muestra una línea que va ascendiendo a medida que se trabajan más horas. Para poder representarse, se dividió al salario entre10.

Sólo se grafi có la porción de 4 a 10 horas.

Al considerar el tramo después de las 8 horas, la curva de la gráfi ca tiene una infl exión con respecto a la línea que llega hasta 8 horas, pero sigue siendo ascendente:

-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9-10-11

horas

1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

salario

1.2.2 La expresión y = x – 5, ¿es una relación creciente?

Funciones lineales

A este tipo de expresión algebraica se le denomina lineal por su representación gráfi ca y nos muestra una expresión de primer grado en x.

y = x – 5

02_GA_Cap1_1-34.indd 602_GA_Cap1_1-34.indd 6 3/27/08 10:34:34 AM3/27/08 10:34:34 AM

Page 16: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES7

C a p í t u l o 1

Diferencia entre relación y función

La diferencia entre una relación y una función es que, en las relaciones, a las primeras componentes de la pareja ordenada le pueden corresponder varios valores; (una función, por su parte, es una relación a la que solo le corresponde un valor).

Otros ejemplos de expresiones lineales o funciones lineales son:

1. Comenzando por x = 0, expresa el conjunto de 10 pares ordenados de la relación:

y = x – 5:

A = {(0, –5), (1, –4), (2, –3), (3, –4), (4, –1), (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)}

2. A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación:

C = {(0, 0), (1, 12 ), (2, 1)}

Analizando a los pares ordenados, se deduce que el valor para la ordenada es igual a la mitad del valor de la abscisa. Por tanto: y x

2=

3. A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación:

B = {(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2)}

Analizando a los pares ordenados, se deduce que el valor para la ordenada es igual al valor negativo la abscisa más cinco, por tanto, y = 5 + − x

2 .

4. Presenta al conjunto D con los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0

D = {(0, 5), (1, 4.5), (2, 4), (3, 3.5), (4, 3)}

5. Uno de los problemas más fascinantes y típicos de la geometría analítica se presenta cuando, de una investigación, se obtiene una serie de valores que sugieren que dos (o más) variables están relacionadas. El reto es hallar dicha relación en términos algebraicos.

A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación:

B = {(2, 5), (3, 10), (4, 17), (5, 26)}

1.2.3 Resuelve:

1. Defi ne la relación decreciente en términos algebraicos:

, , , , ,E 0 1 1 23= ^ ^ ^h h#12 h-

02_GA_Cap1_1-34.indd 702_GA_Cap1_1-34.indd 7 3/27/08 10:34:35 AM3/27/08 10:34:35 AM

Page 17: Geometria Analitica - Santillana

8

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Para esclarecer las características de las relaciones decrecientes conviene tabular la colección de los pares ordenados:

Tabulación:

Literales Valoresx 1 2 3 4y 1 1

213

14

2. Dado el conjunto F, deduce la relación:

Sea F = {(0, α), (1, 4), (2, 3.5), (3, 3.25)}

3. Dada la expresión:

y xb y x

5&= =

Expresa al conjunto G conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0:

4. Dada la expresión:

y xb y x

5&= =

Expresa al conjunto H conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = –8:

5. ¿Es H un relación decreciente?

6. Dada la expresión:

y xb

2=

Expresa al conjunto I conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0.

7. Dada la expresión:

y xb

2=

Expresa al conjunto J conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = –5.

7. Dada la expresión:

y x7 5= +

Tabula los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0.

02_GA_Cap1_1-34.indd 802_GA_Cap1_1-34.indd 8 3/27/08 10:34:35 AM3/27/08 10:34:35 AM

Page 18: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES9

C a p í t u l o 1

1.2.4 Resuelve:

1. Analiza la continuidad de la siguiente relación:

y = 5x + 10

2. Analiza la continuidad de la siguiente relación:

yx = x2 – 5

3. ¿Existen otros puntos de discontinuidad en el ejercicio anterior?

4. Cita los intervalos donde la relación en estudio es continua.

5. Propón una relación que sea continua en (–α, +α).

1.2.5 Resuelve:

1. Investiga el comportamiento gráfi co de la siguiente relación:

–y x 91

2=

2. ¿La relación siguiente es continua o discontinua?

–y x 91=

1.3. Concepto de función

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función defi nida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

Se presenta por: f : D → I

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función y se representa por Dom(f).

Cualquier elemento del conjunto D se puede representar con la letra x y será la variable independiente.

02_GA_Cap1_1-34.indd 902_GA_Cap1_1-34.indd 9 3/27/08 10:34:35 AM3/27/08 10:34:35 AM

Page 19: Geometria Analitica - Santillana

10

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto fi nal y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido de la función (f(D)).

f : D → 1x → f(x) = y

Función real de variable real

Se llama función real de variable real a toda función defi nida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R.

f : D → Rx → f(x) = y

Para que una función quede correctamente defi nida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función.

El conjunto fi nal o imagen de la función.

La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función defi nida por:

f : R → Rx → x2

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o dominio todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

Im ( f) = R+

02_GA_Cap1_1-34.indd 1002_GA_Cap1_1-34.indd 10 3/27/08 10:34:36 AM3/27/08 10:34:36 AM

Page 20: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES11

C a p í t u l o 1

La regla de asignación es ésta: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

Función polinómica de grado n:

f : R → R

x → y = f(x) = a0 + a

1x + a

2x2 + ... + a

nxn

donde , , , ...,a a a an0 1 2 son números reales.

Función constante: Es la defi nida por: y = f(x) = a0 (a

0 una constante); su gráfi ca

corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x,

según el signo de a0.

y

x

y

x

y = a

0

0

y = a0

0a > 0

0

Función lineal: Es la defi nida por: y = f(x) = a0 + a

1x.

Función identidad: Es la defi nida por y = f(x) = x; su gráfi ca corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x.

450

y = –x

y

x

450

y = x

y

x

Función cuadrática: Es la defi nida por: y = f(x) = a0

+ a1

x + a2

x2 se llama función cuadrática.

02_GA_Cap1_1-34.indd 1102_GA_Cap1_1-34.indd 11 3/27/08 10:34:36 AM3/27/08 10:34:36 AM

Page 21: Geometria Analitica - Santillana

12

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Función cúbica: Es la defi nida por: y = f(x) = a0 + a

1x + a

2 x2 + a

3x3. Dentro de estas

se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la funcióny = f(x) = x3, llamada parábola cúbica, cuya gráfi ca es la siguiente:

y = x

y

x

3

1.3.1 Resuelve:

1. Halla el Dominio de la función f defi nida por f(x) = 1/(x – 2).

2. Halla el Dominio de la función –g x x 92=+] g .

3. Halla el Dominio de la función defi nida por – –h x x x 61

2=] g .

4. Dada la función f defi nida por f(x) = x 2

12 +

.

a Halla la imagen de los números –3, 0, 3 y 5.

b. ¿Cuál es su dominio de defi nición?

c. ¿Hay algún número que se transforme en el 0?

Representación de una función

La representación gráfi ca de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Una función f asigna a cada número x del conjunto origen un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, para formar una tabla de valores.

02_GA_Cap1_1-34.indd 1202_GA_Cap1_1-34.indd 12 3/27/08 10:34:37 AM3/27/08 10:34:37 AM

Page 22: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES13

C a p í t u l o 1

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfi ca de la función.

Operaciones con funciones

Suma de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real defi nidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones: Del mismo modo que se ha defi nido la suma de funciones, se defi ne la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función:

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén defi nidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real, defi nidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la que es defi nida por:

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

Cociente de funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, (f,g) y defi nidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función defi nida por:

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

La función f/g está defi nida en todos los puntos en los que la función g no se anula.Producto de un número por una función: Dado un número real a y una función f, el

producto del número por la función es la función defi nida por:

(a . f)(x) = a . f(x)

02_GA_Cap1_1-34.indd 1302_GA_Cap1_1-34.indd 13 3/27/08 10:34:37 AM3/27/08 10:34:37 AM

Page 23: Geometria Analitica - Santillana

14

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

1.3.2. Resuelve:

1. Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x – 4.

a. Defi ne la función f + g y.

b. Calcula las imágenes de los números 2, –3y 1/5.

2. Dadas las funciones f(x) = x² – 3, y g(x) = x + 3.

a. Defi ne la función ( f – g)(x).

b. Calcula las imágenes de 1/3, –2 y 0 mediante la función f – g.

3. Dadas las funciones –f x x y g x x2 3 2 1$= = +] ]g g , defi ne la función f . g.

4. Dadas las funciones f(x) = – x – 1, y g(x) = 2x + 3, defi ne f/g.

Calcula las imágenes de los números –1, 2 y 3/2 mediante f/g.

5. Dada la función f(x) = x² + x – 2, calcula

a. f3 $ y

b. f3

Obtén las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f.

La función (g o f)(x) se lee ‘f compuesto con g aplicado a x’.

x f x g f xR R R

f g

" " $] ]g g7 A

Primero actúa la función f y después la función g, sobre f(x).

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

02_GA_Cap1_1-34.indd 1402_GA_Cap1_1-34.indd 14 3/27/08 10:34:37 AM3/27/08 10:34:37 AM

Page 24: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES15

C a p í t u l o 1

a. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

b. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

1.3.3 Resuelve:

1. Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

Calcula g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y –3.

2. La imagen de dos números 1, 0, –3, mediante la función g o f es:

3. Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x – 2, calcula:

a. (g o f) (x)

b. ( f o g) (x)

c. (g o f) (1) y ( f o g) (–1)

d. El original de 49 para la función g o f.

1.4. Funciones algebraicas y trascendentes

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número fi nito de veces la variable x y constantes número reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

yxx

35

3

3

2=++

^

^

h

h

Se llama función trascendente aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

y = ex + sen xy = 3x

y = log2 x + 5

02_GA_Cap1_1-34.indd 1502_GA_Cap1_1-34.indd 15 3/27/08 10:34:38 AM3/27/08 10:34:38 AM

Page 25: Geometria Analitica - Santillana

16

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

1.5. Funciones pares e impares

Una función f es par si los números x y –x están en su dominio y además:

f(–x) = f(+x).

Una función f es impar si los números x y –x están en su dominio y además:

f(–x) = –f(x).

Es evidente, desde el punto de vista geométrico, que la gráfi ca de una función par es simétrica con respecto al eje y:

y

x

y

x

También es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares , , , ...x x x0 2 4^ h de la variable x es par.

Así, la función –y f x x xx

2 11

4 2

2

= = + +] g es par.

Igualmente, la gráfi ca de una función impar es simétrica con respecto al origen.

y

x

y

x

1.6. Funciones inversas

Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, tomemos la función f que está defi nida por la ecuación

02_GA_Cap1_1-34.indd 1602_GA_Cap1_1-34.indd 16 3/27/08 10:34:38 AM3/27/08 10:34:38 AM

Page 26: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES17

C a p í t u l o 1

y =f(x) = x3 – 1 (1)

y cuyo dominio y rango es el conjunto R de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:

x y 1 23= + ] g

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de R), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos defi ne otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f.

Así, por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso:

y = 23 – 1 = 7

La segunda ecuación efectúa la operación inversa, esto es, al valor y = 7 le asigna el valor de:

x 7 1 23= + = .

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente se intercambia x por y en la ecuación (2) y así se obtiene:

y x 1 33= + ] g

La función defi nida por (2) o (3) que se representa en forma general por f 1- se conoce como la inversa de la función f defi nida por (1). Igualmente, la función defi nida por (1) es la inversa de la función f 1- defi nida por (2).

Es decir:

y = f(x) = x3 – 1 y xf x 131 += =- ] g

Las gráfi cas de f(x) y de f 1- (x) representadas en el mismo plano cartesiano:

y = x

y = x 1

y = x 3–1

Considera ahora la función y = f(x) = x2 + 1

02_GA_Cap1_1-34.indd 1702_GA_Cap1_1-34.indd 17 3/27/08 10:34:39 AM3/27/08 10:34:39 AM

Page 27: Geometria Analitica - Santillana

18

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

El dominio de f lo constituye el conjunto R de los números reales y el rango es el intervalo ,1 3+6 @ .

Al despejar x, se obtiene: x y 1!= - .

Esta última ecuación dice que para cada valor que se le asigne a la variable y le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no defi ne una función.

En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe.

De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1–1.

Sea f: A → B una función inyectiva y suprayectiva.

x f x" ] g

La inversa de f, denotada f 1- , es la función:

:f B A

x f x

1

1

"

7

-

- ] g

tal que: f f x x1 =- ]^ gh para cada xdA (Dominio de f)

f f x x1 =- ]^ gh para cada xdB (Dominio de f –1)

Se debe tener cuidado con el –1 usado en f –1. El –1 no es un exponente, es simplemente un símbolo para denotar la inversa.

Como ejemplo ilustrativo, considera nuevamente la función defi nida por la ecuación: y = f(x) = x3 -1 se tiene:

f : R → Rf

x* x : f(x) = x3 – 1

:f

x f x x

R R

1

1

1 3

"

7 = +

-

- ] g*

f es 1 – 1

f y f –1 son inversas una de la otra. Además,

– – ,

f f x f x x x x i D f

f f x f x x x x i D f

R

R

1 1 1

1 1 1

1 1 3 33

1 3 3 3 1

= = + = =

= + = + = =

- -

- -

]^ ] ] ^

]^ ^ ^ ^

gh g g h

gh h h h

02_GA_Cap1_1-34.indd 1802_GA_Cap1_1-34.indd 18 3/27/08 10:34:39 AM3/27/08 10:34:39 AM

Page 28: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES19

C a p í t u l o 1

Como se mencionó antes, la función f : R [1, + ∞)

x → f(x) = x2 +1

No tiene inversa (pues f no es 1 – 1).

Sin embargo, dicha función genera dos funciones:

f : (–∞, 0] → [1, + ∞) x → f(x) = x2 + 1y

g : (0, + ∞] → [1, + ∞) x → g(x) = x2 + 1

Que son 1 – 1 en sus respectivos dominios (fi g. 16.) y en consecuencia tienen inversa.

y

x

y

x

Para la función f se tiene:

f : (–∞, 0] → [1, + ∞) f –1: [1, + ∞) → (–∞, 0]

x → f(x) = x2 + 1 – –x f x x 117 =- ] g

Las gráfi cas de f y f –1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la siguiente fi gura:

y

x

y = xf

f –1

02_GA_Cap1_1-34.indd 1902_GA_Cap1_1-34.indd 19 3/27/08 10:34:39 AM3/27/08 10:34:39 AM

Page 29: Geometria Analitica - Santillana

20

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Igualmente, para la función g se tiene:

g : [0, + ∞) → [1, + ∞) g –1: [1, + ∞) → (0, + ∞]

x → g(x) = x2 + 1 x → – –g x x 11 =- ] g

Las gráfi cas de g y g–1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la siguiente fi gura:

y = x

g

g

y

x

1

Además:

– –

propiedad del valor absoluto

definición de x

––

f f x f x x

x

xx

x

1 1 11 1 2 2

2

2

= + = +

=

==

=

- -]^ ] ]

^

^

gh g g

h

h

Es decir:

– , .D f03 =^ ^ h@

Igualmente,

para cadaf f x x x1d=- ]^ gh

– – –– –f f x f x x x x1 1 1 1 11 2

= = + = + =- ]^ ^ ^ ]gh h h g

es decir,

para cada ,f f x fx x D11 1d 3= + =- -

^

]^ ^

h

gh h h6

Nota que las gráfi cas de f y f –1 (g y g–1) son simétricas con respecto a la recta y = x.

02_GA_Cap1_1-34.indd 2002_GA_Cap1_1-34.indd 20 3/27/08 10:34:40 AM3/27/08 10:34:40 AM

Page 30: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES21

C a p í t u l o 1

1.7. Función exponencial

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función:

f : R → Rx → f(x) = ax

Esta función se escribe también como f(x) = expax y se lee ‘exponencial en base a

de x’.

Algunas propiedades de las potencias:

1. 1

2.

3.

.

a

a a

a a

aa a

1

4 1 1

nn

mn

mn

0

nm

nm

nm

=

=

=

= =

-

-

La función y 2x= es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f : R → R, son:

f

f

f

f

3 2 21

81

21 2

21

21

1 2 2

23 2 2 8

33

1

3

2

1

2

1

2

3

- = = =

= = =

= =

= = =

-

-

]

b

]

b

g

l

g

l

La función y 21

x= es una función exponencial de base 21 .

Alguno de los valores que toma esta función, f : R → R, son:

02_GA_Cap1_1-34.indd 2102_GA_Cap1_1-34.indd 21 3/27/08 10:34:40 AM3/27/08 10:34:40 AM

Page 31: Geometria Analitica - Santillana

22

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, e = 2.7182818284…., la función exponencial ex se llama función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por exp (x) = ex.

Propiedades de la función exponencial y = ax.

a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1.

b. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a.

c. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) > 0.

Esto es debido a que la base de la potencia (a) es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

d . Si la base de la potencia es mayor que 1, a > 1, la función es creciente.

e. Si la base de la potencia es menor que 1, a < 1, la función es decreciente.

Representación gráfi ca de la función exponencial

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax.

a. a > 1.

En este caso, para x = 0, y = a0 = 1.

para x = 1, y = a1 = a.

para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = 2x.

b. a < 1.

Para x = 0, y = a0 = 1.

1f 0 21 0

= =] bg l

–f 32

21

211 223

3

2

3

2= = =-

b b

b

l l

l

f 4 2 21

1614

4= = =-] g

f 2 21

412

= =] bg l

02_GA_Cap1_1-34.indd 2202_GA_Cap1_1-34.indd 22 3/27/08 10:34:40 AM3/27/08 10:34:40 AM

Page 32: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES23

C a p í t u l o 1

Para x = 1, y = a1 = a.

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función 21y

x

= b l .

En las siguientes fi guras aparecen las gráfi cas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fi g. 1) y de base a < 1 (fi g. 2).

– I x

y = xy

x y = (1/e)x

= ( ) x

e2

y

12

– I I x

e

2

y = exy = 2 x

y

121e

Fig. 1. Fig. 2.

1.8. Función logarítmica

Sea a un real positivo fi jo, a ≠ 0 y sea x cualquier real positivo, entonces:

y = logax ay = x

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a ≠ 0.

Denotada por y = logax se llama función logarítmica de base a, y, el número log

ax se

llama logaritmo de x en la base a.

La defi nición anterior, se expresa diciendo que el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

02_GA_Cap1_1-34.indd 2302_GA_Cap1_1-34.indd 23 3/27/08 10:34:40 AM3/27/08 10:34:40 AM

Page 33: Geometria Analitica - Santillana

24

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Gráfi ca de la función logarítmica

En las fi guras 3 y 4 aparecen las gráfi cas de las funciones ylog logy x y x22

1= =

En la fi gura 5 se han trazado conjuntamente las curvas y = 2x y y = log2 x

Puede notarse que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

Figura 3.

y = f (x) =1 log 2x

y = f (x) =1 log x

y

x

y

x

(1,0)

(1,0)

12

Figura. 4.

y = 2 x

y =1 log 2 x

x

y

Figura. 5.

02_GA_Cap1_1-34.indd 2402_GA_Cap1_1-34.indd 24 3/27/08 10:34:41 AM3/27/08 10:34:41 AM

Page 34: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES25

C a p í t u l o 1

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino se debe tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

a. ax = ay x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

b. a a a

aa a

a a

x y x y

y

xx y

x y x y

$ =

=

= $

+

-

] g

c.

d.

1.8.1 Resuelve:

1. Resuelve 2 81x1 2

=-

2. Resuelve 4 x + 1 + 2 x + 3 = 320

3. Resuelve 5 x + 5 x + 2 + 5 x + 4 = 651

4. Resuelve el sistema:

2x – 42 y = 0 x – y = 15

5. Resuelve el sistema:

22x + 5 y = 2

2−x + y = 8

6. Resuelve el sistema:

2x + 2y = 24 2x ⋅ 2y = 128

02_GA_Cap1_1-34.indd 2502_GA_Cap1_1-34.indd 25 3/27/08 10:34:41 AM3/27/08 10:34:41 AM

Page 35: Geometria Analitica - Santillana

26

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

1.9. Logaritmos

Dado un número real a positivo no nulo y distinto de 1 (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1) y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0) se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:

logaN = x

y se lee ‘logaritmo en base a de N es igual a x’.

Por lo tanto, loga N= x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N(notación

exponencial).

ó í

ólog

loglog

Notaci n logar tmica Notac n exponencial8 34 27 3

2 82 4

7 7

2

73

3

21 2 2

3 3

2

1

===

== =

=

-

Consecuencias de la defi nición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a

0 = 1.

2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logaa = 1, ya que a1 = a.

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: log

aam = m, ya que am = am.

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.

5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, 0 < N < 1, es negativo si la base a del logaritmo es a > 1.

Así, por ejemplo, –log 91 2a = , ya que 3 9

12 =-

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, 0 < N < 1, es positivo si la base a del logaritmo es a < 1.

Por ejemplo, log 91 2

3

1 = , ya que 31

912

=b l

7. El logaritmo de un número N > 1 es positivo si la base es a > 1.

02_GA_Cap1_1-34.indd 2602_GA_Cap1_1-34.indd 26 3/27/08 10:34:41 AM3/27/08 10:34:41 AM

Page 36: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES27

C a p í t u l o 1

Así, log 9 23 = ; ya que 3 92 = .

8. El logaritmo de un número N > 1 es negativo si la base es a < 1.

Así, log 255

1 = –2, ya que 51 25

2

=-

b l

1.10. Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

log log logX Y X Ya a a$ = +] g

Demostración:

Sea ; esto significa que

Sea ; esto significa que

log

log

log log log log log

X x a X

Y y a Y

X Y a a a x y X Y

ax

ay

a ax y

ax y

a a$ $

= =

= =

= + = += = +] ]g g

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si , , , ,X X X Xn1 2 3 f son n números reales, positivos y no nulos,

log log log logX X X X X Xa n a a a n1 2 1 2$ f f= + + +] g

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

–log log logYX X Ya a a=

Sea logaX = x; esto signifi ca que ax =X

Sea logaY = y; esto signifi ca que ax =Y

log log logYX

aa aa a y

x

ax y= = -b b ]l l g = x – y = log

a X –log

a Y

02_GA_Cap1_1-34.indd 2702_GA_Cap1_1-34.indd 27 3/27/08 10:34:41 AM3/27/08 10:34:41 AM

Page 37: Geometria Analitica - Santillana

28

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

logaXn = n log

aX

Demostración:

Sea ; esto significa quelog

log log log log

X x a X

X a a nx n X

ax

an

ax

anx

a

n

= =

= = ==] g

Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

log logX Xn1

an

a=

Demostración:

Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.

log log logX X n X1a

na a

n1

$==

Observa que las propiedades anteriores se refi eren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.

1.10.1. Resuelve:

1. . . , , ,

.

log log log log

log log

Sabiendo que y calcula

y

2 0 301030 3 0 477121 6 8

23 3 6

10 10 10 10

10 103

= =

2. Calcula 64, ,log log log4 71

2 72

1

3. Desarrolla el logaritmo de la expresión:

Bz

xy2 43

3

=

02_GA_Cap1_1-34.indd 2802_GA_Cap1_1-34.indd 28 3/27/08 10:34:42 AM3/27/08 10:34:42 AM

Page 38: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES29

C a p í t u l o 1

4. Desarrolla el logaritmo de la expresión: C 2 2 2=

5. Obtén la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

–log log log logE x y z3 2 21= +

6. Calcula x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

; – ; ; . ; –log log log log logx x x8 21

91 2 3

1 0 01 1x x 27 102

1= = = = =

Los decimales y logaritmos naturales

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especifi car la base:

log logX X10 =

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos son tablas de logaritmos decimales.

Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

log 1 = 0; puesto que 100 = 1log 10 = 1; puesto que 101 = 10log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000log 0.1 = −1; puesto que 10−1 = 0.1

Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

Llog lnX X Xe = =

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

In 1 = 0; puesto que e0 = 1In e2 = 2; puesto que e2 = e2

In e−1 = −1; puesto que 10−1 = e−1

02_GA_Cap1_1-34.indd 2902_GA_Cap1_1-34.indd 29 3/27/08 10:34:42 AM3/27/08 10:34:42 AM

Page 39: Geometria Analitica - Santillana

30

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

El número e tiene gran importancia en las matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión

, es decir, limn n e1 1 1 1 nn

n+ + =

"3a ak k

Su valor, con seis cifras decimales, es

e = 2.718281...

Cambio de base:

Para un mismo número X existen infi nitos logaritmos, dependiendo de la base que se le asigne.

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, –1, 3, –3, 0.903090, 2.079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

log loglog

x bx

ba

a

=

Demostración:

Sea:

loglog

x A a xx B b x

a baA

bB

A B&

&

= == =

=3

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:

log log log loga b A a B baA

aB

a a&= =

Despejando B, y teniendo en cuenta que log a 1a = , se tiene:

logB bA

a=

es decir,

log loglog

x bx

ba

a

=

02_GA_Cap1_1-34.indd 3002_GA_Cap1_1-34.indd 30 3/27/08 10:34:42 AM3/27/08 10:34:42 AM

Page 40: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES31

C a p í t u l o 1

1.10.2 Resuelve:

1. Sabiendo que log28 = 3, calcular log

168

2. Sabiendo que log327 = 3, calcular log

927

3. Sabiendo que log72 = 0.301030 y log 7 = 0.845098. calcular log

7 2.

Relación entre logaritmos decimales y neperianos

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

, donde 0.434294ln loglog

logX eX

e= =

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

, dondeln lnlnX X

10= log e = 0.434294

Relación entre los logaritmos en base a y en base a1 :

– –

loglog

log loglog

log log

Xa

X XX

X X

1 1a

a a

a

a

a

a

1

1

= = =

=

Relación entre logab y log

ba:

loglog

loglogaa

bb1

b

a

aa= =

Los logaritmos logab y log

ba a son inversos.

1.10.3 Resuelve:

1. Dado el log 25 = 1.397940, calcula ln 25.

2. Dado el ln 17 = 2.833213, calcula log 17.

02_GA_Cap1_1-34.indd 3102_GA_Cap1_1-34.indd 31 3/27/08 10:34:43 AM3/27/08 10:34:43 AM

Page 41: Geometria Analitica - Santillana

32

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

3. Calcula log 2166

1 , sabiendo que log 216 36 = .

4. Calcula log 103 , sabiendo que log 3 = 0.477121.

5. Calcula log e5 , sabiendo que ln 5 = 1.609437.

1.11. Función logaritmo

La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a.

Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función logarítmica se defi ne en el conjunto de los números reales positivos excluido el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales.

loga : R+ − { 0 } → R

x → loga x

R+ − { 0 }

Representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero.

R+ − { 0 } = (0, + ∞)

En la representación gráfi ca de la función logarítmica conviene distinguir dos casos:

a. Función logarítmica de base mayor que 1:

a > 1

La representación gráfi ca pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos:

El logaritmo de 1 es cero: loga1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

logaa = 1

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo negativo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo positivo.

La función es creciente.

02_GA_Cap1_1-34.indd 3202_GA_Cap1_1-34.indd 32 3/27/08 10:34:43 AM3/27/08 10:34:43 AM

Page 42: Geometria Analitica - Santillana

1. RELACIONES Y FUNCIONES33

C a p í t u l o 1

b. Función logarítmica de base menor que 1:

a < 1

En la representación gráfi ca se observa que:

El logaritmo de 1 es cero: loga1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

logaa = 1

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo positivo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo.

La función es decreciente.

1.11.1 Resuelve:

1. Representa gráfi camente la función logy x2= .

2. Representa gráfi camente la función logy x2

1= .

Relación función logaritmo exponencial

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:

a. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones.

b. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función.

En este caso:

a. En la función logarítmica y = logax se intercambia x por y,

obteniendo: x = logay.

b. Despejando la variable y en x = logay, se tiene y = ax, es decir, la función

exponencial.

Las gráfi cas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

02_GA_Cap1_1-34.indd 3302_GA_Cap1_1-34.indd 33 3/27/08 10:34:44 AM3/27/08 10:34:44 AM

Page 43: Geometria Analitica - Santillana

34

G e o m e t r í a a n a l í t i c a

Representando en un mismo diagrama las funciones y = logax y y = ax, los resultados

son estas gráfi cas.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella por donde la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así, en la ecuación 2 log x = 1 + log (x – 0.9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

log log

log

x y

yx

5

1

3+ =

=

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

log logA B A B+= =

Deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

1.11.2. Resuelve:

1. Resuelve la ecuación 2 log x = 1 + log (x – 0,9).

2. Resuelve la ecuación 3 log x – log 32 = log x2

3. Resuelve la ecuación 2 57x = .

4. Resuelve la ecuación 5 401x1 2

=-

5. Resuelve 4 8 6x x3 = +$

6. Resuelve el sistema:

log log

log

x y

yx

5

1

3+ =

=

7. Soluciona el sistema:

log x + log y = 2

x – y = 20

02_GA_Cap1_1-34.indd 3402_GA_Cap1_1-34.indd 34 3/27/08 10:34:44 AM3/27/08 10:34:44 AM

Page 44: Geometria Analitica - Santillana
Page 45: Geometria Analitica - Santillana
Page 46: Geometria Analitica - Santillana

GEO

MET

RÍA

AN

ALÍ

TIC

A GEOMETRÍAANALÍTICA

Esenciales Geometria Analitica c1 1Esenciales Geometria Analitica c1 1 3/26/08 6:48:01 PM3/26/08 6:48:01 PM