SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 1 GEOMETRAYTRIGONOMETRA OBJETIVO: Losestudiantesdesarrollarnlashabilidades necesariasparaaplicarlosconocimientos geomtricosytrigonomtricosatravsde situacionesproblemticas,paracomprenderel mundofsicoquelorodeayresolverlosproblemas relacionados y que como tcnicos enfrentan. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 2 MAPA CONCEPTUAL DEL ESTUDIO DE LA GEOMETRA ESTUDIO DE LA GEOMETRA Geometra Historia de la Geometra Conceptos Bsicos Proposiciones verdaderas Nomenclatura y notacin de rectas Definicin, clasificacin y notacin de ngulos Demostracin de Teoremas Demostracin de teoremas relacionados con situaciones reales Tringulos Definicin, notacin y clasificacin de tringulos Rectas y puntos notablesde un tringulo Demostracin de Teoremas Teorema de Pitgoras Teorema de Pitgoras como medio de solucin de problemas Polgonos Definicin, notacin y clasificacin de polgonos Diagonales y ngulos internos de un polgono Circunferencia Definicin notacin y elementos de una circunferencia Demostracin de Teoremas SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 3 Lee detenidamente la siguiente lectura y descubrirs como es que el estudio de lageometrahaidoevolucionandoatravezdelossiglos,realizaunalneadel tiempo,ubicandoloshechosquedefinitivamentehanhechoqueestapartede las matemticas haya cambiado. Al finalentrega a tu asesor este trabajo. HISTORIADELAGEOMETRA. ANTECEDENTESHISTRICOSDELAGEOMETRA: La historia de la geometra se remota a los albores delahumanidad.Loshombresprimitivos poseandemaneraintuitivalos conceptosderecta,puntoyplano. Adems,lanaturalezalesofreca mltiplesejemplosderepresenta-cionesgeomtricas:elSolylaLunaeran representados por medio de crculos; una estrellade mar para polgono estrellado, y un caracol cualquiera por un espiral. Posteriormente,lanecesidadque surgideconocerymodificarelmundoque lesrodeabalosobligaprofundizaryrelacionarsusideas,surgiendoel personaje de Euclides (matemtico griego) que organiz sus conocimientos de Geometra y sent las bases de lo que hoy en da se conoce como Geometra Clsica.Suobrafuetanexitosaquedesdehace2000aossesigue enseando, desde entonces se le ha llamado Geometra Euclidiana. Sumerios y babilonios:La rueda inventada por los sumerios 3500 aos A.C., marca en la historia el inicio de la civilizacin; inventaron la escritura, crearon la aritmticaylasconstruccionesdesusciudadesrevelanlaaceptacindelas figuras geomtricas. EnlaantiguaMesopotamiaflorecelaculturadelosBabilonios,herederosde lossumerios:adaptaronlaruedaasuscarrosdeguerra,descubriendolas propiedadesdelacircunferencia,deduciendoelvalorde"3"comorelacin entre la circunferencia y el dimetro de un crculo. Deacuerdoasusestudiosastronmicos,conocieronqueelaotiene aproximadamente360das,motivoporelcualdividieronlacircunferenciaen 360 partes iguales, obtenindose as el grado sexagsima. Tambin tenan el conocimiento de como trazar su hexgono regular inscrito en el crculo; conocan una frmula para hallar el rea del trapecio rectngulo. EGIPTO: Los egipcios obligados por las constantes avenidas (CRECIDAS) del Ro Nilo que ao con ao inundaba sus tierras de cultivo, por lo cual tenan que rehacer las divisiones de tierra para calcular los impuestos para cada dueo de lasuperficiecultivada;laaplicacindesusconocimientosgeomtricosse hicieronsobrelamedidadelatierradelocualsededuceelsignificadode GEOMETRA(medidasdelatierra)cuyasracesgriegasson:GEO-TierrayMETRE-Medida. Tambinaplicaronsusconocimientosdegeometraenlaconstruccinde pirmidescomoladeKEOPS,KEFRENyMEKERINOS,queson cuadrangulares y sus caras laterales son triangulares equilteros, la de KEOPS SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 4 es una de las siete maravillas del mundo antiguo donde se ha comprobado que adems de la precisin en sus dimensiones era perfectamente orientada. Los conocimientos de los egipcios estn contenidos en cinco papiros, siendo el demayorinterseldeRHINDdondeseestablecenlasreglasparacalcularel readeltringuloissceles,readelcrculo;determinaronelvalorde3.1604 comorelacinentrelacircunferenciaydimetrodeuncrculo,valormucho ms aproximado que el de los Babilonios para x. Losegipciosempleabanelcordel(TENEDORESDECUERDA)parasus operacionesdeconstruccinydiseo,siendoregla,compsyescuadraal mismo tiempo. GRIEGOS:Losconocimientosegipciossobrelageometraerannetamente empricos, ya que no se cimentaban en una sistematizacin lgicas deducida a partir de axiomas y postulados. EnGreciacomienzalageometracomocienciadeductiva,conlos matemticos,TALESDEMILETO,HERODOTO,PITAGORASDESAMOSy EUCLIDESDEALEJANDRIA;quienesfueronaEgiptoainiciarseenlos conocimientos de la geometra. TALES DE MILETO: (SIGLO VII A.C.) fue uno de los siete sabios y fundador delaescuela"JONICA",seiniciaenlafilosofaylasciencias,especialmente en la geometra. Resolvi algunas dudas como la altura de las pirmides, conociendo la sombra que proyectan; la igualdad de los ngulos de la base en el tringulo issceles; elvalordelnguloinscritoenunsemicrculoesunngulorecto;demostr algunosteoremasrelativosalasproporcionalidadesdesegmento determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelos. TEOREMASDETALESDEMILETO: 1. " Los ngulos en la base de tringulo issceles son iguales." 2. " Todo dimetro biseca a la circunferencia." 3. " Los ngulos inscritos en una semicircunferencia son iguales." PITGORASDESAMOS:(SIGLOVIA.C.)fuediscpulode TalesdeMileto, fund en CROTONA, ITALIA la escuela pitagrica, atribuyndosele el Teorema que lleva su nombre y que se enuncia: "Elcuadradoconstruidosobrelahipotenusadeuntringulorectnguloes igual a la suma de sus cuadrados construidos sobre los catetos ". Otrodesusteoremasexpresa:"Lasumadelosngulosinterioresdeun tringulo cualquiera es igual a dos rectos ". Tambin demostr la construccin del pentgono y poliedros regulares como: tetraedro, hexaedro ,octaedro, dodecaedro e icosaedro. EUCLIDESDEALEJANDRIA:(SIGLOIVA.C.)unode losmsdistinguidos maestrosdelauniversidaddeAlejandrayquinporencargodePTOLOMEO ReydeEgipto,reuniyordenlosteoremasydemsproporciones geomtricasensuobrallamada"ELEMENTOS"quehasobrevividohasta el presente,porloqueseleconsiderael"padredelageometra".SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 5 PREPARA TU AGUDEZA PARA QUE CON CALIDAD ADQUIERAS HABILIDAD! CONCEPTOS BASICOS. PUNTO,RECTA,PLANOYESPACIO. Cmopodrandescribirseunpunto,unarecta,unplanoyelespacio?Estos cuatroconceptossonmuyimportantesenel estudiodelageometra.Aquno sedefinirnelpunto,larectanielplano,sinoqueseobservarnobjetosque los sugieren. Un punto como parte un objeto fsico.Un puntocomola marca ms pequea que se puede dibujarUn punto es una idea o abstraccin. Un punto no puede definirse con trminos ms sencillos es un trmino indefinido.

Una recta como parte de una situacin fsica Una recta como la lnea ms delgada que se pueda dibujarUna recta es una idea o abstraccin. Como no puede definirse con trminos ms sencillos por si sola esta definida.

Hay puntos sobre dentro y fuera del globo.Aunque el globo se destruya el espacio sigue ocupado por los mismos puntos El espacio es una idea o abstraccin El espacio es el conjunto de todos los puntos PUNTO ubicacin, sin longitud, anchura ni altura RECTA Es una sucesin de puntos que tienen una misma direccin. PLANO ilimitado, continuo en todas direcciones, llano, sin grosor. ESPACIO ilimitado, sin longitud,anchura ni altura. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 6 Pon a prueba tu comprensin dede los conceptos anteriores. ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE. 1.Indica si la porcin en color de cada figura sugiere un punto, una recta, un plano o el espacio. 2.Mencionacincoobjetoscuyas formassugieranunplanoen algunadesuspartes.Identificala parte especfica de cada objeto.3.Mencionacincoobjetoscuyas formassugieranunplanoen alguna de sus partes.

4.Mencionatresobjetoso situacionesfsicasqueilustrenla ideaderectaodeunapartede ella5.Mencionatresobjetos,comoel globoquesugieranlaideade espacio

SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 7 A B A AB | recta AB o recta | B RELACIONESENTREPUNTOS,RECTASYPLANOS: Pararepresentarpuntos,sedibujanpequeasmarcasdepapel.Lasletras maysculasalladodecadapuntosonsusnombres;as,sellamanpuntoA, punto B y punto C.

Unarectapuedeconsiderarsecomoconjuntodepuntos.Aldarnombreaun pardeellos,sepuedellamaralarectaenfuncindeesosdospuntos.Por ejemplo,lospuntosAyBestnenlarecta,porellosellamarectaAB;se supone que por puntosAy Bslo pasa una recta. Otra manera de decir esto es:dospuntosdeterminanunarecta.Enocasiones,senombraunarectacon una letra minscula. En este caso, la recta AB tambin podra llamarse recta l. Se escribe: Unplanotambinpuedeconcebirsecomounconjuntodepuntos.Sedesigna conunasola letraodandonombreatresdesuspuntosqueno estnenuna recta. As se le llama plano N o plano ABC. Los puntos A, B y Cestn en el plano N. Se supone que slo un plano contiene estos tres puntos. Se dice entonces que tres puntos que no estn en una misma recta determinan al plano. Alconsiderarlarectalcomounconjuntodepuntos,puededecirsequeel puntoA estenlarectal,y que elpuntoA esunelementodelarectalpara describirlamismasituacin.Tambinpuededecirsequelarectalcontieneal punto A.Si A, B y C son puntos de la recta l como se muestra en la figura siguiente, se dice que el punto B est entre los puntos A y C.SiA,ByCnoestnenlamismarecta,noseusalapalabraentrepara describir su relacin. El punto B est entre el punto A y el punto C El punto B no est entre el punto A y el C. B A C A B C C N B C A SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 8 Algunadelasrelacionesbsicasdelospuntosylasrectasenunplanose describen a continuacin con modelos, smbolos y definiciones. Modelo fsico,figuraDescripcin Smbolo Definicin D A B C A,ByCson colineales.A,dyc sonnocolineales.A, B,CyDestnenel mismoplano,son coplanares.Los puntosquecomo conjuntonoestnen elmismoplano,son no coplanares. Lospuntoscolinealesson puntosqueestnenlamisma recta. Lospuntoscoplanaresson puntos que se encuentran en el mismo plano. l m Lasrectaslymse intersecan en el punto A. Lasrectasintersecantes,son dosrectasconunpuntoen comn. ____________l ____________m Lasrectaslymno tienenunpuntoen comn. I es paralela a m. Lasrectasparalelassonrectas queestnenelmismoplanoy no se intersecan. p q r Lasrectasp,qyr tienenexactamente unpuntoencomn. Sonrectas concurrentes coplanares. Lasrectasconcurrentesson tresomsrectascoplanares que tienen un punto en comn. A BC Beselvrtice.BAy BCsonloslados.El interiordelngulo ABCesla interseccindelos puntosdelladoAde BC con los del lado C de AB. Unnguloeslaunindedos rayosnocolinealesquetienen el mismo extremo. B

CA A, B, y C son vrtices, AB,BC,y ACsonlos lados. Un tringulo es la unin de tres segmentosdeterminadospor tres puntos no colineales. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 9 A

B C D A,B,C,yDson vrtices.AB,BC,CD y AD son lados. Uncuadrilteroeslauninde cuatrosegmentos determinadosporcuatro puntos, entre loscuales no hay tresqueseancolineales.Los segmentosseintersectanslo en sus extremos. A O B LospuntosAyB estnenelcrculo.El puntoOeselcentro delcrculo.ABesel dimetrodelcrculo OBesunradiodel crculo. Uncrculoeselconjuntode todoslospuntosdeunplano queestnaunadistanciafija de un punto dado del plano. Proyecta tu conocimiento ! ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE. 1. Dibujatrespuntosquesean colineales. 2. Utilizaelgrupodepuntosquese muestraacontinuaciny,conuna regla,dibujaunarectaatravsde gruposdetresomspuntos colineales. Los ejercicios 3, 4 y 5 se refieren a la figura de la derecha 3. Localizaconjuntosdetrespuntoscolineales 4. Nombraconjuntodetrespuntosno colineales 5. Nombra cuatro puntos entre los cuales no hayan tres que sean colineales

DE F C B A SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 10 Los ejercicios 6, 7 y 8 se refieren a la figura de la derecha. (Si las rectas parecen paralelas, puede suponerse que lo son). 6.Menciona tres rectas que intersectan a la rectas. ________________________________ 7.Encuentra tres rectas concurrentes________________________________ 8.Menciona todos los pares de rectasparalelas _________________________________ 9.Dibuja cuatro rectas concurrentes. 10. Si tenemos una parcela de forma rectangular, sus linderos son paralelos y perpendiculares: N O E S a)Los linderos sur y norte son______________________ b)Norte y poniente son:___________________________ c)Cuales son paralelos:___________________________ CONOCE ALGUNAS FIGURAS GEOMTRICAS BSICAS: Yaquelasrectas,losplanosylosespaciosseconsideranconjuntosde puntos, resulta til definir las figuras geomtricas como conjuntos y puntos. Una figuraplana esuna figuracontodoslospuntosenunplano,peronotodosen una recta. Una figura espacial no tiene todos sus puntosen un solo plano.

Un tringulo es una figura plana.Una caja es una figura espacial. Contina construyendo tu aprendizaje! AB C q p F D E CBA t sr SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 11 ELPROCESODELRAZONAMIENTOINDUCTIVO. El razonamiento es el procesomediante el cual se sacan conclusiones a partir delainformacin.Enocasiones,lagentesacaconclusionesbasadasensus propiasobservaciones.Alobservarvariasvecesqueunaaccinproduceel mismoresultado,seconcluye,engeneral,queesaaccintendrsiempreel mismoresultado.Aestaclasederazonamientoselellamarazonamiento inductivo. Y a la conclusin que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalizacin. Lostresejemplossiguientesmuestrancmopuedeaplicarseelrazonamiento inductivo en geometra PROPOSICIONES VERDADERAS SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 12 Ejemplo:Supngasequealguiencort,deunahojadepapel,trestringulos diferentes Lasesquinasdecadatringulosecortaronycolocaronjuntastalcomose muestran a continuacin. Quseobservaacerca delasumadelasmedidasdelosngulos?Eseso cierto para todos los tringulos? Completa esta generalizacin: La suma de las medidas de los ngulos de un tringulo es la suma de los tres ... Paracomprendermejorcomosepuedenconstruirconocimientosnuevos,a partirdeconocimientosyaestablecidos,teinvitamosaqueconozcaslos elementos del razonamiento deductivo en la siguiente lectura. DESARROLLODELAGEOMETRAPORMEDIODELRAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Hastaahorasehanbuscadoobjetosdenuestromundoquesugieren conceptosgeomtricos.Sehanelegidolosconceptosbsicospunto,rectay plano y se les ha llamado trminos indefinidos. Apartirdeestostrminos,seobtuvierondefinicionesparadescribirotras figurasgeomtricas,comotringulos,segmentosyngulos.Tambinse definieronrelaciones,comolacongruencia,elparalelismoyla perpendicularidad. Despus,seempleelrazonamientoinductivoparadescubriralgunas generalizacionessobreestasfiguras.Enesteprocesodedescubrimientosse buscaron contraejemplos que invalidaran las generalizaciones. Ahoraeselmomentodedarelsiguientepaso.Serequiereunmtodopara comprobarquelasgeneralizacionesdescubiertassonverdaderasparatodos los casos. El mtodo que se emplear se llama razonamiento deductivo. En las secciones siguientes se estudiar este mtodo. El proceso del razonamiento deductivo requiere la aceptacin de unas cuantas generalizacionesbsicassincomprobarlas.Estasgeneralizacionessellaman postulados. 13 2 31 2 3 2 1 313 2 31 2 1 2 SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 13 BC A Todas las dems generalizaciones que pueden probarse como verdaderas con la ayuda de definiciones, postulados y la lgica del razonamiento deductivo, se llaman teoremas. Finalmente, se usan los teoremasya probadoscomo ayuda parala resolucin de problemas de la vida cotidiana. Enlasseccionesanterioresdeestecaptuloseuselrazonamientoinductivo para descubrir generalizaciones. Ahora se explorara el razonamiento lgico y el deductivo,ysufuncinenlademostracindeteoremas.Elprocesodel razonamiento deductivo consta de tres pasos. En el siguiente teorema se mencionan estos tres pasos: Sidosladosdeun tringulosoncongruentes,entonceslosdos ngulos opuestos son congruentes. Razonamiento deductivo Paso 1.Empieza con las condiciones dadas (la hiptesis). Paso 2.sese la lgica, definiciones, postulados o teoremas previamente probadosparajustificarunaseriedeproposicionesopasosque den el resultado deseado. Paso 3.Afrmese el resultado (la conclusin). Ejemplo: Dado ABC es un triangulo con el lado AB =AC. Las proposiciones que arroja esta conclusin es que por lo tanto, el ngulo B y el ngulo C son congruentes. Despus de usar la lgica para obtener las proposiciones correctas del paso 2 delejemploprobadoenlaslneasanteriores,sehabrdemostradoeste teorema. Sidosladosdeuntringulosoncongruentes (hiptesis)entonceslos dos ngulos opuestos son congruentes (conclusin). Ahora te corresponde aplicar estos razonamientos ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Segn el diccionario, un plano es una superficie llana o lisa. Escribetrespalabrasdeladefinicinquetambindeberentenderseypara las cuales forma una definicin. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 14 2.Defineunodelostrestrminosdelejercicio1.Elaboraunalistadelas palabras de la definicin que tambin puedan definirse. 3.Deberaconsiderarseeltrminoplanoentrelostrminosindefinidos? Explica la respuesta. 4. Da una definicin de espacio que incluya los trminos indefinidos conjunto y punto. 5. Escribe una proposicin que sea un teorema de geometra. Unodelosobjetivosquelosrecursosdegeometraesproporcionarcierta prctica en el razonamiento lgico a situaciones de la vida cotidiana. En la vida diaria, algunas veces se sacan conclusiones con poca o ninguna base. Acpteseestahistoriacomounarepresentacinadecuadadealgoque realmente ocurri. El pequeo Luis Medina se sent en un rincn a comer su pastel de Navidad. Metisudedoentrelamasa,sacunapasaydijo:Qubuenchico soy! 6.Culesdeestasconclusionespuedenaceptarse(quizdemanera inconsciente) al leer la historia? a). Luis coma un pastel de pasas.d).Era el da de Navidad b). Luis comprendi que era un buen chico e).Luis comprendi que era un chico porque estaba castigado.c). Luis era un nio. Ahora,leedenuevolahistoria.Cules deestasconclusionessonacertadas basndose nicamente en la informacin que proporciona la historia? Interesanteverdad ? Continuamos ... POSTULADOS DE GEOMETRIA Lospostuladosdegeometrasonmuyimportantesenelprocesodel razonamiento deductivo. Pueden compararse con las reglas de un juego. En el juego de la geometra se aceptan los postulados como verdad y se usan como ayuda en la demostracin de teoremas. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 15 Tema: Razonamiento deductivo AQUHABRAQUEINVESTIGAR,QUEPASOCONELPUNTO NMERO 1.(Baldor) 2.AXIOMA.Esunaproposicintansencillayevidentequeseadmitesin demostracin. Ejemplo. El todo es mayor que cualquiera de sus partes. 3. POSTULADO. Es una proposicin no tan evidente como un axioma pero que tambin se admite sin demostracin. Ejemplo. Hay infinitos puntos. 4. TEOREMA. Es una proposicin que puede ser demostrada. La demostracin constadeunconjuntoderazonamientosqueconducenalaevidenciadela verdad de la proposicin. En el enunciado de todo teoremase distinguen dos partes: la hiptesis que es lo que se supone, y la tesis que es lo que se quiere demostrar. Ejemplo. La suma de los ngulos interiores de un tringulo vale dos rectos. 5.HIPOTESIS.A, B y C son los ngulos interiores de un tringulo. TESIS. La suma de los ngulos A, B Y C vale dos rectos. Enlademostracinseutilizanlosconocimientosadquiridoshastaaquel momento, enlazadosde una manera lgica. 6.COROLARIO.Esunaproposicinquesededucedeunteoremacomo consecuencia del mismo. Ejemplo.Delteorema:Lasumadelosngulosinterioresdeuntringuloes igualadosrectos,sededuceelsiguientecorolario:Lasumadelosngulos agudos de un tringulo rectngulo vale un recto. Despus de haber realizado la lectura,qu te parece si practicas tu razonamiento. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. Enlosejerciciosdel1al8,completalosenunciadosconlaspalabraspunto, recta, plano y espacio. D qu postulado sugiere la proposicin completa. 1.Silosdospuntos estnenun plano, entoncesla.quelos contiene est en el plano. 2.Un . contiene por lo menos tres puntos no colineales. 3.Dos puntos estn contenidos en una, y slo una, .4.Sidosplanosseintersecan,seintersecanexactamenteenuna ___________ 5.Hay exactamente una. que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado. 6.En un plano separa un. en dos semiespacios 7.En un plano, hay exactamente una. que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta dada 8.Una recta separa un. en dos semiplanos. Conunacuerdayunosclips,construyeunmodeloparaestospostulados. Culeselnmeromnimonecesariodetrozosdecuerdayclipspara satisfacer todos los requisitos de los postulados? SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 16 1.Hay por lo menos un trozo de cuerda 2.Hay exactamente tres clips en cada trozo de cuerda 3.No todos los clips estn en el mismo trozo de cuerda 4.Hay exactamente una cuerda a travs de dos clips cualesquiera 5.Dos cuerdas cualesquiera tienen por lo menos un clip en comn. Identificasisonaxiomas,teoremas,postulados,corolarioslasexpresiones siguientes: 1.Elcuadrado de la hipotenusa es igual alasuma de loscuadrados de cada uno de los catetos. ______________________________ 2.Ladistanciamascercanaentredospuntoseslarectaquelos une.________________________. 3.Lasumadedosngulosquesumannoventagradosson complementarios. _____________________. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 17 RECTA Paraelestudiodelageometraesnecesarioquetefamiliaricesconciertos trminosfrecuentementeempleadosenlosprocesosderazonamientosy solucindeproblemas.Acontinuacinsetemuestranalgunosdelosms empleados. 3.2NOMENCLATURAYNOTACINDERECTAS. BISECTRIZ:Esunsegmentoderectaquedivideendospartesigualesa alguna cosa. Existenfigurasquetienendosomsbisectrices,esdecir,existenfigurasque pueden partirse de varias formas en dos partes iguales o simtricas. Un ngulo slo tieneunabisectrizsiendostalarectaquepasaporsuvrticeyadems lo parte en otros dos ngulos de la misma medida o abertura. El dimetro es una bisectriz del crculo. Existen muchas bisectrices en el crculo. MEDIATRIZ.-Eslarectaperpendicularaunsegmentoquepasaporelpunto medio. Mediatriz PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO Bisectriz vrtice SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 18 Cuandodibujamosdoslneasrectassobreunplano,podemosobservarque esas lneas quedan de la siguiente manera: 1) Se cruzan en algn punto. 2) Dos lneas pueden no cruzarse aunque se prolonguen infinitamente. Enelprimercasoobservemosquealcruzarseformancuatrongulos.Si estos ngulosson de diferente medida entonces las rectas son oblicuas, pero siloscuatrongulosformadosporlasrectassonigualesentoncessellaman rectasperpendiculares.Lasrectasperpendicularestienenlamisma caractersticadeformarcuatrongulosrectos.Unngulorectomide90 grados. En el segundo caso, es decir, cuando las lneas nunca se cruzan por msque seprolonguen,recibenelnombrederectasparalelasyelnguloformado entre ellas es de 0 grados, porque si desplazamos una sobre la otra, lo que se observaesqueseencimanynoexisteaberturaentreambas;ylafiguraque forman es un ngulo de 0 grados. Como ejemplo de lneas paralelas podemos mencionaralasvasdeferrocarrilyloscrucerosdelascallesenunaciudad pueden representar las lneas que se cortan en algn punto.

ap ap Lasrectasaypsonparalelas.Enamboscasossesimbolizadelaforma siguiente:ap . Los segmentos de recta AB y CD son perpendiculares y se expresan como:ABCD porque forman un ngulo recto. C D f AB e f e SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 19 Las rectas m y l son oblicuas q t l 1 r

m2s De las figuras anteriores se observa que las rectas : qr; q y r Son perpendiculares qs; q y sSon perpendiculares rs; r y s Son paralelas syt;Son oblicuas r yt;Son oblicuas Los ngulos 1 y 2 son iguales, etc. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 20 PROBLEMASGRAFICOS:1)Trazarunaperpendicularenelpunto medio de un segmento. Sea el segmento AB (Fig. 41). Con unaaberturadecompsmayorde lamitaddelsegmentoyhaciendo centroenAyenB, sucesivamente,setrazanlosarcos o,m,nyp,quesecortanenCy D,respectivamente.UniendoC conD,tenemoslaperpendicular en el punto medio H, del segmento AB. 2)Trazaruno,perpendicularenun punto cualquiera de una recta, SeaPunpuntocualquieradelarecta AB(figura42).HaciendocentroenPy con una abertura cualquiera del comps, setrazanlosarcosmyn;haciendo centroenlospuntosenqueestosarcos cortanalarectasetrazanlosarcosqy r,quesecortanen elpuntoS.Uniendo SconP,setienePSqueesla perpendicular buscada 3)Trazarunaperpendicularenunextremodeunsegmentosinprolongarlo(Fjg 43) SeaABelsegmento.Paratrazarla perpendicular en un extremo B, se hace centro en B y con una abertura cualquiera de comps, setrazaelarcopgrquecortaaABenC. HaciendocentroenCyconlamisma abertura,sesealaelpuntoD;haciendo centroenDsesealaelpuntoE.Haciendo centroenDyenE,sucesivamentesetrazan los arcos s y t, que se cortan en U. Uniendo U con B, tendremos laperpendicular buscada. 4)PorunpuntoPexterioraunarectaABtrazarastaunaparalela.(fig.44A). SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 21 Por un punto cualquiera C de la recta yconradioCPsetrazaelarcoOPD. HaciendocentroenPyconelmismo radio se traza el arco OCE. ConcentroenCytomandouna aberturadecompsigualaPDse seala el punto M. La recta PM es paralela a la recta AB y pasa por P. 5) Trazar la bisectriz de un ngulo Sea el ngulo ABC (Fig. 44B) Haciendo centro en el vrtice B se traza el arco OMN. Con centro en Mtrazamos el arco ryconcentroenNelarcos. Entonces r y s se cortan en P. LasemirrectaBPeslabisectriz del ngulo ABC. SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 22 CONGRUENCIA Y MEDIDA Intuitivamente decimos que dos figuras geomtricas son congruentes si una de ellaspuedesertrasladadadetalformaquecoincidaconlaotrapuntopor punto. En otras palabras lasfiguras congruentes tienen la misma medida y forma.Suponemos que al trasladar una figura geomtrica no cambia ninguna desuspropiedades,exceptosulocalizacinenelespacio.Estasfigurasson rgidas,estoes,nosedoblannisedeforman.Entonces,simovemosun tringulo de tal manera que coincida con otro, la traslacin no altera la medida de los ngulos ni la longitud de cualquiera de sus lados; podemos observar que las nociones de congruencia y medida estn estrechamente relacionadas. CRITERIOS DE CONGRUENCIA Y MEDIDA a)Medidadesegmentoderecta.Enlamedicindesegmentosderecta, usamosunidadesdelongitud.Antiguamente,lasunidadesdelongituderan tomadas departesdelcuerpo.Uncodo eralalongituddelbrazodelhombre, desde el codo hasta la punta del dedo cordial. La distancia entre las puntas del pulgar y el meique, en mano extendida se llamaba palmo. Un codo meda dos palmos.Labrazaeraladistanciaentrelosextremosdelosdedosconlos brazosextendidos:medaaproximadamente1.83m.yseusatodavaen mediciones ocenicasde profundidad. Lahistoriaconsignaquelayardafuedefinidacomoladistanciaentreel extremodelanarizylapuntadelpulgardeEnriqueI,teniendoelbrazo extendido. Lapulgadafueestablecidacomolalongituddetresgranosdecebada, colocadosuno despus de otro. Estas unidades no fueron usadas demanera uniforme. Una unidad ms moderna de medida es el metro, propuesto en 1791 comounadiezmillonsimapartedeladistanciaentreelPoloNorteyel Ecuador. Un metro equivale a 39.17 pulgadas y es ligeramente mayor que una yarda. Desdeelpuntodevistageomtrico,podemosrepresentarlamedidadeuna forma siguiente: Consideremosahoraunarectalsobreelplano,yescojamosunpunto arbitrarioquedesignaremosO.Escojamosotropuntosobrelarectay denotmoslo con 1. pq l X1 0 1 X2 Conesteprincipiopodemosconstruirunarectanumricaestableciendouna correspondencia uno a uno entre los nmeros reales y los puntos sobre la recta l. Porejemplo,paraencontrarelnmero2tomamosladistanciaUdesdeel punto 0 hasta el punto 1, como nuestra unidad, asignemos el nmero 2 al punto queestsituadounaunidadaladerechadel1;delamismamanera asignemoselpuntolocalizadounaunidadalaizquierdade0,alentero SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 23 negativo 1. Esta correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de l es llamado sistema coordenado. U l -2-10 123 SiqueremosmedirunsegmentoderectaPQ,podemosusarunodelos sistemascoordenadosdelarectal.Elsmboloqueemplearemosparala medida PQ ser m(PQ) . Para efectuar comparaciones entre medidas de diferentes segmentos de recta, usaremoslamismaunidaddelongitudentodosnuestrossistemas coordenados. Si tenemos una recta l, a la cual le hemos asignado algn sistema coordenado entonces, dados dos puntos cualesquiera. P Q X1 01X2 PyQsobrelarecta,definimoslamedidadelsegmentoderectaPQcomola distanciaentreellos.SiX1eselnmeroasignadoaPyX2 eselnmero asignado a Q, esta distancia ser el nmero de unidades de longitud que haya de P a Q.Por ejemplosiP tienecoordenadas-5yQcoordenada 2 entonces m(PQ) =7 queeselnmerodeunidadesquehaydePaQ,lascualessonlasmismas que hay de Q a P. Ejemplo:SiPyQsonnmerosrealesencontrarlamedidam(PQ)del segmento en cada caso. PQm (PQ) a)-13/58/5 b)0-7 7 c)-10-3 7 d)-29 11 PQ a) =1/5 -1 01 8/5 b) Q P =1 -7-6-5 -4 -3 -2-101 2 c) PQ=1 -10 -9-8 -7 -6 -5 -4 -3-2-1 0 d)PQ SAETAGEOMETRA Y TRIGONOMETRA 24 =1 -2 -1 0 123456 7 89 = unidad de medida en cada caso. PROPIEDADES DE LA MEDIDA DEL SEGMENTO DE RECTA 1. La medida de un segmento de recta essiempre un nmero real positivo, es decir: m (PQ)> 0 2.SiPQC AB entonces m (PQ)