GENIUS INTEGRACIO I 1 - … a good idea in Maths Ximo Beneyto. XB Apuntes ... situaciones en las que...

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6ö Cambio de variableö Método de Hermitteö Binomiasö Cambios trigonométricosö Cambios de Eulerö Método Alemán

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XB

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Tema : Genius I_6 Página nº 2

Ya finalizando el curso de integración, vamos a volver a recordar esta fundamental técnica,

soporte básico de una buena técnica de integración.

Recordemos que la finalidad básica de un cambio de variable es la de cambiar la expresión

del integrando con el objetivo de que la integral sea de un tipo más conocido. Eso sí, hemos planteado

situaciones en las que el cambio de variable resulta necesario y, previamente preparado ( caso de ciertos

tipos de trigonométricas, irracionales, etc..).

Estudiaremos en este apartado algunas situaciones, ahora con una mayor visión global de la

integración.

EXPRESIÓN FORMAL DEL CAMBIO DE VARIABLE.

1. Sea

si x = R(t) Y dx = R’(t) dt, que sustituído queda

2. Si el cambio se efectúa sobre una función g(x) cualquiera :

g(x) =R(t) Y g’(x) dx = R’(t) dt Y

Naturalmente, al sustituir en la integral el cambio propuesto y dx, la expresión de g’(x) debe

simplificarse, quedando en la nueva integral únicamente la nueva variable.

Ejemplo 1.

" Observamos : cos x es la derivada de sen x

" Planteamos : sen x = t, derivando, cos x dx = dt Y ,sustituyendo

" ,cuya resolución efectuaremos aplicando

integración Por Partes.

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Ejemplo 2.

" Observamos : no sabemos qué técnica aplicar ni casi el cambio a utilizar" Intentamos : ex

= t , casi la única opción. Derivando, ex dx = dt, Despejemos dx ,

" Sustituimos todo cuya resolución efectuaremos mediante la

técnica de integración de funciones racionales. [M.D.S.F.S. ]

Ejemplo 3.

" Observamos : aquí, claramente, la derivada de ln x es , que también aparece en el

integrando.

ln x = t, derivando dx = dt .

RACIONAL [ M.D.S.F.S. ]

Ejemplo 4.

" Observamos : Claramente Por Partes, aunque la raíz puede plantear algún conflicto adicional

" Planteamos : x = t2, derivamos, dx = 2t dt

"Sustituimos : cuya resolución por partes no plantea

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Polinomio concoeficientes

indeterminados, ungrado inferior al queresulta de multiplicar

los factores deldenominador

Siendo G factores dedescomposición deQ(x)elevados a un

grado menos del queposeen en la

factorización deQ(x).

Un factor para cadaraíz real que haya (sea

múltiple o simple )

Un factor para cadaf.i.i.(Sea múltiple o

simple )

excesivas dificultades.

En la técnica de resolución de integrales racionales no hemos considerado la posibilidad que el

polinomio del denominador, Q(x), pueda tener raíces complejas múltiples.

Se suelen originar éstas, en un nivel asequible, al aparecer en la factorización de Q(x) un factor

imaginario irreducible (f.i.i.) elevado a una potencia superior o igual a 2.

" (x2 + 2)2, (x2 + x + 1)3, (x2 - x + 3)2, etc.

Dentro de los diferentes enfoques que merece este método, optaremos por el más utilizado.

Así : Aplicaremos el método de Hermitte en la resolución de una integral racional cuando en

la factorización de Q(x) haya una o más raíces complejas múltiples. (Pudiendo haber

también otro tipo de raíces, en cuyo caso cancelaremos la aplicación del método de

descomposición en SUMA de FRACCIONES SIMPLES. M.D.S.F.S.)

¿En qué consiste el método de Hermitte?. Veamos, no es sencillo el asunto :

1º. Resolver Q(x) = 0 ( Obtenemos raíces complejas múltiples y, tal vez, otro tipo de raíces )

2º. Proponer la integral como una suma de la siguiente forma :

3º. Derivar ambos lados de la igualdad

4º .Operar e igualar numeradores

5º. Hallar los coeficientes desconocidos A, B, ..

6º. Resolver las integrales resultantes

7º. Dar la solución

Lógicamente siguen en vigor las recomendaciones estipuladas en las integrales racionales antes

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de empezar

Antes de dar un ejemplo resuelto, veamos algunos ejemplos de las descomposiciones tipo

Hermitte.

[ Recordemos : r.r.s Y raíz real simple ; r.r.m. raíz real múltiple

f.i.i. Y factor imaginario irreducible ( Polinomio de 2º grado con discriminante

negativo)]

Ejemplo 1.

! Análisis de las raíces de Q(x)

x2 + x + 1 es un f.i.i. ( múltiple p=2 )

! Descomposición propuesta

"

Ejemplo 2.


" x = 1 r.r.m. (p =2)

" x2 + 1 f.i.i. (múltiple p = 3 )


Ejemplo 3.


" x = -2 r.r.s.

" x2 + 2 f.i.i. ( múltiple p = 2 )


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¿ Comprendido ?

Antes del ejemplo cinco problemas de familiarización.

Proponer la descomposición de Hermitte en cada una de las integrales siguientes :

1.

2.

3.

4

[ Ayuda : x3 -1 = (x-1) A (x2+1) ]

5.

6. ¿ Alguna de las integrales anteriores se podría haber resuelto mediante la técnica de integración

de funciones racionales sin aplicar en algún momento el método de Hermitte ?.

Bien, si has planteado correctamente las descomposiciones del problema anterior, supongo que

estarás “ansioso” de ver un ejemplo resuelto.

Ahí va .

Ejemplo. Resolver

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Integral del tipo racional

" Raíces de Q(x).

Si ( x-1) A (x2 + 4)2 = 0

Al haber un f.i.i. Múltiple vamos a operar directamente mediante el método de Hermitte.

"Proponemos la descomposición en función de raíces de Q(x)

" Derivando ambos lados

"Operando ... ( m.c.m. de los denominadores )

"Igualando ambos numeradores

Opernado...

5x3 + 14x2 + 8x + 48 = (C+D)x4 + (-A-D+E) x3 + (A-2B + 8C+4D -E) x2 +

( 4A +2B -4D+4E ) x +(-4A + 16C -4E)

Igualando ambos coeficientes paso a paso :

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A = -1; B = -2; C = 3; D = -3; E = 1

Y sustituyendo :

! Resolviendo ahora las integrales que quedan, ambas inmediatas

=

Bueno, el Sistema de Ecuaciones que se origina para obtener las constantes suele ser un poco

conflictivo, pero tampoco se pasa. Por lo demás, las integrales que resultan de la descomposición de

Hermitte son todas logaritmos y arco tangentes. Eso sí, en alguna ocasión tendremos un caso especial

racional como máxima dificultad.

Los problemas, resolver :

1.

2.

3

4

5

Soluciones (Hermitte)

1.

XB

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DESCOMPOSICIÓN PROPUESTA

SOLUCIÓN

2.

DESCOMPOSICIÓN PROPUESTA :

SOLUCIÓN

3.


SOLUCIÓN

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4.


SOLUCIÓN

5.


SOLUCIÓN

XB

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Por lo general cuestan un poco de identificar al tener una estructura un tanto enrevesada, casi

siempre necesitan de una preparación previa para obtener el modelo.

" Modelo de una integral IRRACIONAL BINOMIA

"""" Identificación de exponentes :

NOTA: Z es el conjunto de los números enteros.

"""" Ejemplos :

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" Preparando el integrando para lograr el modelo

B. II

¿ Comprendido ?

Una vez identificada como BINOMIA, la resolución es bastante sencilla reduciéndola al tipo

RACIONAL

" Cambio general para todas las BINOMIAS

B.I. y B.II se reducen al caso IRRACIONAL SENCILLA, y con un cambio de variable adecuado,

se resuelven bien

La B. III precisa de un pequeño artificio para lograrlo.

Ejemplo 1 . Resolver

ý Irracional

ý Binomia ?

m = 3, n = 2, Y BINOMIA Tipo II

= [ Cambio ]

Y

[Irracional Sencilla ] =

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= [ Deshaciendo cambios ] =

[ Observa la idea de tener siempre localizado el tipo de integral ]

Ejemplo 2. Resolver

ý Irracional

ý Binomia ?

= [ Preparando ...]

m = -4 , n = 2, Y BINOMIA Tipo III

[ Cambio ] =

Y

[ Observa ahora la idea aplicada para continuar, válida para todas las Binomias de tipo III ] =

[ Conseguimos una única expresión Irracional ]

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=

[ Inmediata ]

Bueno, pues como Binomias se resuelven las siguientes integrales :

SOLUCIONES BINOMIAS

1.

Binomia tipo II ( m = 5 ; n = 3 ; p = 1/3)

SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : ; 1 + y = z3 ]

2.

Binomia tipo II ( m = ; n = ; p = )

SOLUCIÓN :

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[ Cambios utilizados : x = y3 ; 1 + y = z3 ]

3.

Binomia tipo II ( m = 1 ; n = 1 ; p = )

SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : 2 + 3x = y3 ]

4.

Binomia tipo III ( m = 2 ; n = 2 ; p = )

SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : ; ]

5.

Mediante el cambio x - 2 = t ; dx = dt queda

Binomia tipo III ( m = -2 ; n = 2 ; p = )

XB

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SOLUCIÓN :

[ Cambios utilizados : ; ]

SOLUCIÓN :

XB

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En la resolución de las Integrales del Tipo Irracional, cuando el radicando se

puede expresar como una SUMA o DIFERENCIA de cuadrados y la integral no es

inmediata o semi mediata, podemos reducir ésta a una integral trigonométrica

mediante unos cambios de variable pre establecidos en función de la expresión del

radicando, según la siguiente tabla :

EXPRESIÓN CAMBIO dx

x= A sen t dx = A cos t dt

x = A tg t

Recordemos para operar y simplificar que :

"sen2 t + cos2 t = 1

Lógicamente para manejar con soltura este cambio, necesitaremos conocer bien

las técnicas de las integrales trigonométricas.

Serían integrales irracionales con cambio trigonométrico :

XB

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¡ Observa la del denominador ]

¡ Observa en el denominador !

Veamos ahora un ejemplo de cada cambio anterior apoyándonos en las integrales

TRIGONOMÉTRICAS.

Ejemplo 1.

" Irracional con cambio trigonométrico :

[Trigonométrica. Sustituimos ]=

= ambas inmediatas =

=

= [ Deshaciendo el cambio, si x = 2 A sen t Y ]

XB

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=

Solución

[ ¡¡ Un bonito desarrollo, disfrutamos !! ]

Ejemplo 2.

Y Irracional con cambio trigonométrico ( OTRAS OPCIONES : BINOMIA )

=

[Trigonométrica. Operemos sobre ella ®]=

XB

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CAMBIOS TRIGONOMÉTRICOS

1.

Cambio : x = 2 sen t

dx = 2 cos t dt

SOLUCIÓN

2.

Cambio : x = 3 sen t

dx = 3 cos t dt

SOLUCIÓN

3. R … 0

Cambio : x = R sen t

dx = R cos t dt

XB

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SOLUCIÓN

4. [ o también ]

Cambio : x - 1 = sen t

dx = cos t dt

SOLUCIÓN

5.

Cambio : x = sen t

dx = cos t dt

SOLUCIÓN

6.

Cambio : x = 2 tg t

dx = 2 A ( 1 + tg2 t )

SOLUCIÓN

Operando para dar una solución más “mona” :

XB

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7.

Cambio : x = 2 tg t

dx = 2 A ( 1 + tg2 t )

SOLUCIÓN

8.

Cambio : x = a tg t

dx = a A ( 1 + tg2 t )dt =

SOLUCIÓN

9.

Cambio : x =

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dx =

SOLUCIÓN

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Emplearemos las Cambios de Euler para la resolución de integrales irracionales cuyo radicando

sea un polinomio de segundo grado ax2 + bx + c y no se pueda resolver mediante métodos más

elementales ( Inmediatas, Semi. Mediatas, etc. )

Propondremos las fórmulas de Cambio :

1. Si a > 0 ( Primer cambio )

2. Si a < 0 y c > 0 ( Segundo cambio )

3. Si " es una raíz real de ax2 + bx + c ( Tercer cambio )

En los tres cambios, la operativa a seguir es :

a) Elevar ambos lados de la igualdad al CUADRADO

b) Despejar “x” en función de “t”

c) Derivar la expresión del apartado b)

d) Operar como un cambio de variable cualquiera

¡ Ojo ! Al sustituir debemos operar con cuidado y SIMPLIFICAR lo máximo posible. [ Una de

las claves para aplicar bien los cambios de Euler ]

NOTA : Es muy frecuente el caso en el cual se simplifica la expresión que acompaña a dt

con la del denominador resultante al sustituir el cambio propuesto para la raíz.

Obviamente sobre una misma expresión es posible que se pueda aplicar mas de un cambio de

Euler, en ese caso efectuar el que estimemos más sencillo.

Ejemplos : Algunos cambios de Euler propuestos :

XB

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Ahora resolvamos [ Irracional ] mediante el primer cambio de Euler :

Sustituyendo :

[ Observa la SIMPLIFICACIÓN típica de Euler ]

Y

¡¡ Cuestión de Técnica !!

Ejemplo :Resolver

Y Irracional. “Desracionalizamos” (Vaya palabra)

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Propongamos la descomposición del método Alemán :

Derivamos :

Igualamos numeradores :

Sustituyendo :

Aplicando el método de Euler para resolver la integral que ha quedado ( 1er Cambio )

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Sustituyendo :

¡ Puliendo la técnica !

SOLUCIONES EULER

1.

Cambio :

SOLUCIÓN :

XB

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2.

Cambio :

SOLUCIÓN :

3.

Cambio :

SOLUCIÓN :

4.

Cambio :

[ ó también (x - 3)A t ], [ también resoluble por el primer cambio ]

SOLUCIÓN :

XB

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[ Operando con las propiedades del logaritmo neperiano y con las raíces ]

[ Una vez operado y simplificado el cambio popuesto, queda una sencilla integral de tipo

racional resuelta mediante M.D.S.F.S. ]

5.

Cambio : [ El más sencillo ]

SOLUCIÓN :

[ Una vez operado y simplificado el cambio propuesto, queda una sencilla integral de tipo

racional resuelta mediante M.D.S.F.S. ]

XB

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Dentro del grupo de las integrales IRRACIONALES encontramos un grupo muy numeroso

donde el integrando es una función de la forma :

Siendo Pn(x) un polinomio de grado “n”

Aplicar directamente los cambios de Euler para resolver una integral de este tipo suele originar

verdaderas integrales “montaña”, sin mas que Pn(x) sea de grado mayor o igual a 2.

Eso sí, podemos aplicar la factorización propuesta en el método alemán sea cual sea el grado de

Pn(x).

"Método Alemán

Factorización propuesta :

Siendo Qn-1(x) un polinomio genérico de grado “n-1" con coeficientes desconocidos.

Para hallar dichos coeficientes y 8, derivaremos ambos lados de la igualdad, operaremos e

igualaremos numeradores mediante el método de coeficientes indeterminados.

La única integral resultante la resolveremos mediante la técnica adecuada de integrales

irracionales ( Inmediata, semi.Mediata, Cambios de Euler, etc..)

Ejemplos de factorización del Método Alemán

XB

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" Una alternativa a la resolución de directamente mediante un cambio de

Euler.

Y... un ejemplo de resolución mediante el método Alemán :

Resolver :

Integral Irracional ( podría proceder de ) resolvemos por Alemán.

" Descomposición propuesta :

Derivamos a ambos lados :

Operaremos con cuidado...

[ ¡¡ Ojo !!con el 2 ]

Utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados:

2x2 - 2x + 2 = 4 A x2 + ( -3A + 2B ) x + ( 2A - B + 2 8 )

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Y

Ahora resolvamos [ Irracional ] mediante el primer cambio de Euler :

Sustituyendo :

[ Observa la SIMPLIFICACIÓN típica de Euler ]

Y

¡¡ Cuestión de Técnica !!

Ejemplo :Resolver

Y Irracional. Preparamos la integral para el método Alemán.

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Propongamos la descomposición del método Alemán :

Derivamos :

Igualamos numeradores :

Sustituyendo :

Aplicando el método de Euler

Sustituyendo :

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Ejemplo 2 :

º Como a < 0 y c > 0., apliquemos en este caso el segundo cambio de Euler.

Sustituimos en la integral :

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Ejemplo 3 :

Y a > 0 nos permite utilizar el primer cambio, no obstante al tener la ecuación x2 + x - 2 = 0

raíces reales, vamos a utilizar el 3er cambio.

Y Sustituyendo :

= [ Integral de tipo racional, raíces reales t = 1 y t = -1, simples ] Y [ Aplicamos M.D.S.F.S. ]

Deshaciendo los cambios :

XB

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SOLUCIONES MÉTODO ALEMÁN

1.

Factorización propuesta :

SOLUCIÓN :

[ La segunda integral la hemos resuelto mediante el primer cambio de Euler ]

2.

Preparación propuesta :

Fatorización propuesta :

SOLUCIÓN :

[ Recomiendo intentar aplicar un cambio de Euler directamente y comparar la dificultad de resolución

]

3.

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SOLUCIÓN :

[ La segunda integral mediante el primer cambio de Euler, ha quedado superfácil ]

4.


SOLUCIÓN :

[ ... No comment ... ]

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