Gaugetheories Parker

7/28/2019 Gaugetheories Parker

1/40

C o m m n n . M a t h . P h y s . 8 5 , 5 6 3 - 6 0 2 ( 19 8 2)C o m m u n i c a t i o n s inMathemaUcPhysics Spr i nge r -V er l ag 1982

G a u g e T h e o r ie s o n F o u r D i m e n s i o n a lR i e m a n n i a n M a n i fo l d sT h o m a s H . P a r k e r*D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t ic s , H a r v a r d U n i v e r si ty , C a m b r i d g e , M A 0 21 38 , U S A

Abstract . T h i s p a p e r d e v e l o p s th e R i e m a n n i a n g e o m e t r y o f c l as s ic a l g a u g et h e o r ie s - Y a n g - M i l ls fi el ds c o u p l e d w i t h s c a la r a n d s p i n o r f i el d s - o n c o m p a c tf o u r - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d s . S o m e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f t h e s e f i e l d s a r ed e r i v e d f r o m e l li p ti c th e o r y : r e g u l a r it y , a n " e n e r g y g a p t h e o r e m " , t h e m a n i f o l ds t r u c t u r e o f th e c o n f i g u r a t i o n s p a c e, a n d a b o u n d f o r t h e s u p r e m u m o f t h e fi el di n t e r m s o f th e e n e r g y . It i s t h e n s h o w n t h a t f in i te e n e rg y s o l u t i o n s o f t h ec o u p l e d f i e l d e q u a t i o n s c a n n o t h a v e i s o l a t e d s i n g u l a r i t i e s ( t h i s e x t e n d s at h e o r e m o f K . U h le n b e ck ) .Introduct ionO n e o f th e m a j o r d i s co v e r ie s o f p h y s i c s i n t h i s c e n t u r y i s t h e r e c o g n i t i o n t h a tn o n - a b e l i a n L i e g r o u p s p l a y a r o l e i n p a r t i c l e p h y s i c s . F o r m a n y y e a r s t h i s w a sr e g a r d e d a s a p e c u l i ar a s p e c t o f q u a n t u m m e c h a n i c s h a v i n g n o c l a s s ic a l a n a l o g u e .T h e n i n 1 95 4 C . N . Y a n g a n d R . M i l l s p r o p o s e d a c l a ss i ca l f ie ld t h e o r y i n c o r p o r a t -i n g t h e s e g r o u p s . R e c e n t l y th e i r t h e o r y h a s r e c ei v e d c o n s i d e r ab l e a t t e n t i o n f r o mb o t h m a t h e m a t i c i a n s a n d p h y s ic is ts .

Y a n g - M i l l s t h e o r y i s e a s il y d e s c r ib e d i n t e r m s o f m o d e r n d i f fe r e n ti a l g e o m e t r y .O n e b e g i n s w i t h a p r i n c i p a l b u n d l e P w i t h c o m p a c t L i e s t r u c t u r e g r o u p G o v e r am a n i f o l d M . T h e Y a n g - M i l ls f i el d is t h e n t h e c u r v a t u r e f 2 o f a c o n n e c t i o n V o n Pwh ich i s a c r i t i c a l po in t o f t he ac t ionA ( V ) = j" I O l z .M

When G i s t he c i r c l e g r oup the Yang- M i l l s f i e ld sa t i s f i e s M axwe l l ' s equa t ions .P h y s i c a l l y , Y a n g - M i l l s f i e l d s r e p r e s e n t f o r c e s . A s s u c h t h e y i n t e r a c t w i t h aseco nd typ e o f f ie ld - t he f ie ld o f a p a r t ic l e . T h i s i s i n t e r p r e t ed a s a sec t ion ~b o f av e c t o r b u n d l e a s s o c i a t e d t o P a n d t h e a c t i o n f o r t h e s y s t e m is e s se n t ia l ly

A(V , qS) = ~ If212+ { V q ~ 1 2 - m 2 k b l2 ,M

* T h e a u t h o r h o l d s a n A .M . S. P o s t d o c t o r a l F e ll o w s h i p

0010-3616/82/0085/0563/$08.00


2/40

5 6 4 T . H . P a r k e r

w h e r e m i s a c o n s t a n t ( t h e m a s s o f th e p a r ti c le ) . T h e c r it ic a l p o i n t s o f t h is a c t i o n a r es o l u t i o n s t o a p a i r o f c o u p l e d n o n - l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n s - t h e" c o u p l e d Y a n g - M i l l s e q u a t i o n s . " T h e s e a r e i n v a r i a n t u n d e r t h e i n f i n i t e d i m e n -s i o n al " g a u g e g r o u p " o f a ll f ib r e p re s e rv i n g a u t o m o r p h i s m s o f P. T h i s s e t u pconst i tutes a (classical) gauge theory a n d is t h e s u b j e c t o f t h is p a p e r .

F o u r - d i m e n s i o n a l c o m p a c t R i e m a n n i a n m a n i fo l d s a re t he n a t u r a l c o n t e x t f orY a n g - M i l t s t h e o r y f o r s e v e r a l r e a s o n s . F i r s t , t h e f o u r - d i m e n s i o n a l Y a n g - M i l l sa c t i o n is b o u n d e d b e l o w b y t h e c h a r a c t e r is t ic n u m b e r o f th e b u n d l e , s o t h e f ie ld isc o n s t r a i n e d b y t h e topology. T h i s is l i n k e d b y i n v a r i a n t t h e o r y t o t h e c o n f o r m a li n v a r i a n c e o f t h e a c t io n . T h i s c o n f o r m a l i n v a r i a n c e o c c u r s o n l y in d i m e n s i o n f o u r ;i t m e a n s t h a t t h e r e l e v a n t geometry l i e s i n t h e c o n f o r m a l s t r u c t u r e o f t h e b a s em a n i f o l d . T h e c u r v a t u r e i s e x p r e s s e d in t e r m s o f t h e c o n n e c t i o n f o r m c o b yg2 = dco + 1[co, co] an d th e Y an g- M il ls ac t io n is, essen t ial ly , S [dcor2 + ]co[4. T h is is th es u m o f a g r a d i e n t t e r m Idcol2 an d a no n- l i n ea r ( " se l f - i n t e rac t i on" ) t e rm jcoj4 . By t heS o b o l e v i n e q u a l i t ie s t h e se t e r m s a r e o f c o m p a t i b l e s t r e n g t h o n l y in d i m e n s i o n f o u r .T h u s c o n f o r m a l i n v a r i a n c e - w h i c h d i c t a t e s th e S o b o l e v i n e q u a l i ti e s - i s r e f le c t e din t he analytic aspec t s o f Yang-Mi l l s f i e l d s .

T o d a t e , t h e m a i n a n a l y t i c r e s u l t f o r Y a n g - M i l l s f i e l d s i s U h l e n b e c k ' s p r o o f[ 1 9 ] t h a t a Y a n g - M i l ls fi e ld o n a f o u r - d i m e n s i o n a l s p a c e w i t h f in i te e n e r g y c a n n o thave i so l a t ed s i ngu l a r i t i e s . As a consequence , a f i e l d on IR4 wi th f i n i t e ene rgye x t e n d s v i a s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n t o a f ie l d i n a n o n - t r i v i a l b u n d l e o v e r S 4. T h i st h e o r e m is s tr i k i n g b e c a u s e i t s h o w s t h a t t h e t o p o l o g y i s i n h e r e n t in t h e f i e l d ; f o r

1ex am pl e the q u an t i t y ~-225_2S f~ /x f2 i s a l w a y s a n i n t e g e r t h e c h a r a c t e r i s ti c n u m b e r1 ~ Mo f t h e b u n d l e . I n t h i s s e n se U h l e n b e c k ' s t h e o r e m c o m p l e t e s t h e c i rc le : t h e a n a l y t i c

p r o p e r t i e s o f t h e Y a n g - M i l ls f ie l d i m p l y th e t o p o l o g y .I t is n a t u r a l t o a s k i f i s o l a t e d s i n g u l a ri ti e s c a n e x is t fo r c o u p l e d Y a n g - M i l ls

f ie ld s . O u r m a i n r e s u l t ( T h e o r e m 8 . 1 ) s h o w s t h a t s u c h i s o l a t e d s i n g u la r i ti e s a r ei n d e e d r e m o v a b l e . T h e p r o o f d e p e n d s c r u c i a ll y o n t h e c o n f o r m a l i n v a r ia n c e o f th ec o u p l e d f i e ld e q u a t i o n s .

I n t h e f i r s t t h r e e s e c t i o n s w e d e v e l o p Y a n g - M i l l s t h e o r i e s o n c o m p a c tR i e m a n n i a n f o u r -m a n i f o ld s . S e c t io n o n e is a n o v e r v ie w o f f o u r - d im e n s i o n a lR i e m a n n i a n g e o m e t r y a n d i s p r i m a r i l y i n t e n d e d t o i n t r o d u c e t h e ( c o n s i d e r a b l e )n o t a t i o n u s e d i n s u b s e q u e n t s e c t io n s . W e b e g i n b y d i s c u s s in g th e s p e c i a l f e a t u r e so f t h e l i n e a r a l g e b r a o f I R4 w h i c h s t e m f r o m t h e i s o m o r p h i s mS p i n ( 4 ) = S U ( 2 ) x S U (2 ). T h i s a l g e b r a i c s t r u c t u r e c a r r ie s o v e r t o v e c t o r b u n d l e so v e r f o u r - m a n i f o l d s a n d , w h e n c o n n e c t i o n s a r e i n t r o d u c e d , l ea d s t o r e l at io n s h i p sb e t w e e n t h e c u r v a t u r e , t o p o l o g y a n d d i ff e r en t ia l o p e r a t o r s o n t h e se b u n d l e s.

I n S ec t. 2 w e in t r o d u c e t h e c o u p l e d Y a n g - M i ll s e q u a t i o n s a n d s h o w t h a t t h ea c t i o n i s n a t u r a l l y a s s o c i a te d t o c o n f o r m a l s t r u c tu r e s o n o r i e n t e d f o u r -m a n i f o l d s .A s i n p h y s ic s , w e c o n s i d e r t w o t y p e s o f e q u a t i o n s : t h e " f e r m i o n " e q u a t i o n s b a s e do n t h e D i r a c o p e r a t o r f o r b u n d l e - v a l u e d s p i no r s , a n d t h e " b o s o n " e q u a t i o n s b a s e do n t h e b u n d l e L a p t a c ia n . T h e k e y p r o p e r ti e s o f th e Y a n g - M i tl s e q u a t i o n s - t h e irg a u g e a n d c o n f o r m a l in v a r i a n c e - e x t e n d t o t h e se c o u p l e d e q u a t io n s .

T h e Y a n g - M i t ls e q u a t i o n s a r e n o t e l li p ti c b e c a u s e o f g a u g e i n v a r i a n c e .S e c t i o n 4 c o n t a i n s a l o c a l sl ic e t h e o r e m - s i m i l a r t o t h o s e o f [ 4 , 12 , 2 0 ] - f o r t h ea c t i o n o f t h e g a u g e g r o u p o n t h e p r o d u c t o f t h e s p a c e o f c o n n e c t i o n s a n d t h e s p a c e


3/40

Gaug e Theories on Four-Manifolds 565o f f ie l ds . I n S e c t . 5 t h i s sl ic e t h e o r e m i s u s e d t o c o n s t r u c t l o c a l " g a u g e s " ( s e c t i o n s o ft h e p ri n c i p a l b u n d l e ) . T h i s b r e a k s t h e g a u g e i n v a r i a n c e o f t h e e q u a t i o n s , w h i c h a r et h e n e l li p ti c a n d p o s s e s s th e e x p e c t e d r e g u l a r i t y ; f o r. e x a m p l e a b o u n d e d w e a ks o l u t i o n i s C ~ .T h e l a st t h r e e s e c t io n s a r e d e v o t e d t o t h e p r o o f o f t h e r e m o v a b i l i t y o f i s o la t e ds i n g u la r it i es f o r fi n it e e n e r g y s o l u t i o n s o f t h e c o u p l e d f ie l d e q u a t i o n s . T h i s b u i l d so n t h e w o r k o f U h l e n b e c k [ t 9 , 2 0 ] . T h e p r o o f i n v o lv e s t h r ee s t e p s : ( i) g a u g ei n d e p e n d e n t e s ti m a t e s , (ii) a c h o i c e o f g a u g e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g g a u g ed e p e n d e n t e s t im a t e s , a n d ( iii) a n e x a m i n a t i o n o f h o w t h e s e e s ti m a t e s d e p e n d o nt h e m e t r i c w i t h i n t h e c o n f o r m a l c l a ss . T o g e t h e r , t h e s e y i e ld a n e n e r g y g r o w t h r a t e ,f r o m w h i c h t h e t h e o r e m f o l l o w s .T h e g a u g e i n d e p e n d e n t e s t i m a t e o f S ec t. 6 i s p e r h a p s o f i n t e r e s t i n o t h e rc o n t e x t s : i t s h o w s t h a t t h e s u p r e m u m o f th e t o t a l f i e ld F = f2 + IVq5+ q~ i s b o u n d e db y t h e L 2 n o r m ( th e e n e r g y ) o f F . O n e c o n s e q u e n c e o f th i s is th e f a c t t h a t a s o l u t i o nt o t h e c o u p l e d Y a n g - M i l ls e q u a t i o n s is 0 ( 1 ) a r o u n d a n i s o l a t e d s i n g u l a r i t y . T h i s

\ /g r o w t h r a t e is e n o u g h t o e s ta b l i s h t h e e x i s te n c e o f a p a r t i c u l a r l y n i c e g a u g e a r o u n dt h e s in g u l a r i t y u s i n g a t h e o r e m o f U h l e n b e c k . E s t i m a t e s i n th i s g a u g e a r e c a r r i e do u t in S e ct. 7. T h e s e e s t im a t e s g o c o n s i d e r a b l y b e y o n d t h o s e o f U h l e n b e c k [ 1 9 ] b ys h o w i n g t h a t t h e p a r t i c l e f ie l d ~b s a t is f ie s a n i n e q u a l i t y ( T h e o r e m 7 .6 ) a n a l o g o u s t oU h l e n b e c k ' s i n e q u a l i t y o n t h e c u r v a t u r e ( T h e o r e m 7 . 7 ) .

T h e r e m o v a b i l i t y o f s i n g u la r it ie s i s p r o v e d i n t h e l a s t se c t io n . N o t e t h a t t h ism e a n s t h a t b o t h t h e bundle a n d t h e f i e ld e x t e n d a c r o s s t h e s i n g u l a r i t y . F i n a l l y , a sa n a p p l i c a t io n , w e p r o v e a n e x t e n s i o n t h e o r e m : s o l u t io n s o f t h e c o u p l e d f ie lde q u a t i o n s I R4 w h i c h d e c r e a s e a t i n f i n it y a t a c e r t a i n s p e c i fi e d r a te e x t e n d b ys t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n t o s o l u t i o n s o v e r S 4.1. Four Dimensional Riemannian GeometryR i e m a n n i a n g e o m e t r y i n d i m e n s i o n 4 is d i s ti n g u i sh e d b y t h e f a c t th a t t h eu n i v e r s a l c o v e r S p in ( 4 ) o f t h e ro t a t i o n g r o u p S O ( 4 ) is n o t a s i m p l e g r o u p , b u td e c o m p o s e s a s

S p i n (4 ) = S U ( 2 ) x S U ( 2 ) .O n t h e g r o u p l ev e l t h i s is se e n b y i d e n t i f y i n g N 4 a n d C 2 a n d w i t h t h e q u a t e r n i o n sH . W e m a y r e g a r d S U ( 2 ) a s t h e g r o u p o f u n i t q u a t e rn i o n s . F o r u n i t q u a t e r n i o n s 9a n d h, t h e m a p x - ~ 9 - 1 x h is a n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n o f H = N ~ w i t hd e t e r m i n a n t 1, a n d h e n c e g iv e s a h o m o m o r p h i s m ~ : S U ( 2 ) x S U ( 2 ) - > S O ( 4 ) . T h i sm a p h a s k e r n e l ( - 1 , - 1 ) , s o d i s p la y s S U ( 2 ) x S U ( 2 ) a s t h e 2 - fo l d u n i v e rs a lc o v e r i n g g r o u p o f S O (4 ).

O n t h e a l g e b r a l ev e l t h e i s o m o r p h i s m s o ( 4 ) = s u ( 2 ) x s u (2 ) is a c o n s e q u e n c e o ft h e H o d g e s t a r o p e r a t i o n : *:A2(IR4)~AZ(IR 4) w i t h * 2 = I d e n t i t y , a n d t h e m e t r i cg i v e s a n i d e n t i f i c a ti o n s o ( n ) = A g ( V ) . T h u s A z(IR4 ) d e c o m p o s e s i n t o _+ 1 e i g en -s p a c e s : s o ( 4 )= A i + G A Z _ . T h e s p a c es A ~ a r e 3 - d i m e n s i o n a l s p a c es o f s k e w -s y m m e t r ic m a t r i c e s w h i c h a r e i s o m o r p h i c a s L i e a l g e b r a s t o s o ( 3 ) - - su ( 2 ) .

W e w i ll d i s t in g u i s h t h e t w o c o p i e s o f S U ( 2 ) i n S p i n ( 4 ) b y w r i t in g S p i n ( 4 )= S U + ( 2 ) x S U _ ( 2) ( th i s l a b e l i n g i s d e t e r m i n e d b y o r i e n t a t i o n s i n ce a c h a n g e i n


4/40

566 T.H. ParkerA 2 A 2o r i e n t a t i o n s w i tc h e s * t o - * ) . T h e el e m e n t s o f + ( _ ) a r e c a ll ed sel f-dual (antiself-dual) 2- fo rms .T h e r e p r e s e n t a ti o n s o f S p in (4 ) c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g t h e i s o m o r p h i s m

S pin (4 ) = S U + (2 ) x S U _ (2 ). F i r s t , r eca l l t he s t r uc tu re o f t he r ep rese n t a t i o n r i ngs o fS U ( 2 ) . T h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n D t / 2 is SU(2) act ing on 1[ ;2 i n t h e u s u a lm a n n e r a n d a ll o t h e r ir r e d u ci b le r e p r e s e n t a t io n s a r e s y m m e t r i c p o w e r sDk/2 = S ym kDt /2 wi th k~ 2~+ . T e n s o r p r o d u c t s o f t h e se r e p r e s e n t a ti o n s d e c o m p o s ea c c o r d in g t o t h e C l e b s c h - G o r d a n f o r m u l a

D k / 2 @ D l /2 = D k + l / 2 @ D k + l - 2/ 2@ . .. @ D l k - l [ /2 .T h e r e p r e s e n t a t i o n r i n g o f S p in ( 4 ) i s g e n e r a t e d b y t h e t w o f u n d a m e n t a l r e p re -s e n t a t i o n s - t h e spin r e p r e s e n t a t i o n s - D ~ / 2 o b t a i n e d b y p r o j e c t i n g S p i n (4 ) o n t oS U + ( 2 ) a n d a p p l y i n g D 1 / 2 . T h e r e p r e s e n t a t io n Dk+/2@Dt/-2 h a s d i m e n s i o n( k + 1 ) ( l + t ) a n d f a c to r s t h r o u g h S O ( 4) i f a n d o n l y i f k + l i s even ; t hese a re t heo r t h o g o n a l ir r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f S p i n (4 ) a n d a l l o t h e r s a r e s y m p l e c ti c .

I t is o f te n c o n v e n i e n t t o v i e w t h e s p i n r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e c o n t e x t o f C l i f f o r da lgeb ras . F o r de t a i l s we re fe r t o At iyah e t a l . [3 ] .L e t E = I R . 2k w i t h t h e p o s i ti v e d e f i n i te in n e r p r o d u c t 9 a n d l e t { e i } b e a n

o r t h o n o r m a l b a s is o f E . T h e C l i ff o r d a l g e b r a C(E) o f E a n d 9 is th e g r a d e d a l g e b r aC(E) = T(E ) / I , w h e r e T( E) i s t h e t e n s o r a l g e b r a o n E a n d I i s t h e t w o - s i d e d i d e a lg e n e r a t e d b y t h e e l e m e n t s x x + 9 ( x , x ) . l fo r x ~ E . T h u s C(E) i s g e n e r a t e d b y{ e i l . . . e J i l < i z < . . . < i r , r < 2 k } w i t h r e l a t i o n s e i e ~ + e i e ~ = - 2 6 ~ j . T h e m a p% a . .. A % ~ % . .. % f r o m e x t e r i o r a l g e b r a o n E g i v es a ( n o n - c a n o n i c a l ) i s o m o r -p h i s m A*(E)~_C(E) o f g r a d e d v e c t o r s p a ce s . F u r t h e r m o r e , t h e c o m p l e x if ie dC l i f f o r d a l g e b r a C c ( E is algebra i s o m o r p h ic t o t h e e n d o m o r p h i s m s o f a2 k - d i m e n s i o n a l c o m p l e x v e c t o r s p a c e V : A* (E) ~- Cc(E) ~-E n d ( V ) .

T h e g r o u p S O (2 k) a c t s o n E a n d t h i s a c t i o n e x t e n d s , s h o w i n g t h a t A * ( E ) ~ - C ( E )as S O(2k) mo du les . In f ac t , S O(2k) ac t s on C(E) b y i n n er a u t o m o r p h i s m s a n d t hisg i v es a n e m b e d d i n g o f S p i n (2 k ) i n CeVn(E) w i t h g r o u p m u l t i p l i c a t i o n g i v e n b ymul t ip l ica t ion in the Cl i f ford a lgebra . On the a lgebra l evel s__oo(2k)=A2(E)~-C2(E)e m b e d s a s t h e t a n g e n t s p a c e t o S p i n (2 k ) a t t h e i d e n t i t y a n d t h e r e s t ri c t io n o fC l i f f o r d m u l t i p l ic a t i o n A 2 ( E ) A 2 ( E ) ~ C ( E ) c o i n c id e s w i t h t h e L i e b r a c k e t u n d e rt h e i d e n t i f i c a t io n A Z ( E ) = s o (2 k ) b y (e i ej - e~ el)~- ,-e . e .

T h e i n c l u s i o n S p i n( 2 k ) C C~(E) ~ E n d ( V ) m a k e s V a S p i n ( 2k ) r e p r e s e n t a t i o n .S ince 2k i s even t h i s i s a r educ ib l e r e p re sen t a t i on " e = e~e 2 . .. e2k i s i n v a r i a n t , e2 = 1 ,an d henc e V = V+ V_ dec om pose s i n to t he _+ 1 e igenspaces o f e . Th e evene l e m e n t s o f C(E) c o m m u t e w i t h e, s o C ~ e"(V )= E n d ( V + ) @ E n d ( V _ ) a s S p i n (2 k ) -m o d u l e s . T h e o d d e l e m e n t s o f C(E) i n t e r c h a n g e V + a n d V _ . I n p a r t i c u l a r , e a c hx e E m a p s V + ~ V _ a n d V_-- ,V+, g i v i n g t h e Clifford multiplication m a pE V+ _ ~ V w h i c h w e d e n o t e b y x O ~ x . c ~ .

I n f o u r d i m e n s i o n s t h e r e p r e s e n t a t i o n s l/~ a r e t h e 2 - d i m e n s i o n a l c o m p l e x s p i nr e p r e s e n t a ti o n s D ~, 2 m e n t i o n e d a b o v e . I n t h e i s o m o r p h i s mA*(IR4) ~- C~(IR ) ~- E n d (V), A 1 -~ H o m (V+, I ,L) ~- H o rn (V_, V+) -~ A~ w ith the rea lp a r t s e m b e d d e d i n H o m ( ~ , V ) H o m ( V _ , V + ) a s A ~ = { (A , - A * ) } . A l so , A~A 2 m A 2 w i t h A ~ = [ H o m ( V + , V + ) ] , w h e re o d e n o t e s t hee c o m p o s e s a s + c , ~ - cc o m p o n e n t c o n s i s t in g o f t ra c e l es s m a t r i c e s . T h e r e a l p a r t s A 2 c o n s i s t o f tr a c e le s ss k e w h e r m i t i a n e n d o m o r p h i s m s o f V + .


5/40

Gaug e Theories on Four-Manifolds 567T h e s e a l g e b r a i c f a ct s c a r r y o v e r t o v e c t o r b u n d l e s o n o r i e n t e d f o u r - m a n i f o l d s

e x c e p t f o r o n e t o p o l o g i c a l o b s t r u c t i o n . B y s t u d y i n g t h e f i b r a t i o n o f cl a ss if y in gs pa ce s c o r r es p o n d i n g to t h e s e qu e n ce 0 ~ 2 g 2 - ~ S p i n ( 4 ) ~ S O ( 4 ) ~ 0 a n d n o t in g t h a tB ;g 2 = K ( ~ 2, 1 ), o n e s e es t h a t a n o r i e n t e d m a n i f o l d M 4 h a s a s p i n s t r u c t u r e i f a n do n l y i f i ts s e c o n d S t i e fe l - W h i t n e y c la ss c % M v a n is h e s, a n d t h a t w h e n co 2M = 0 t h es p i n s t r u c t u r e s a r e c la ss if ie d b y H I ( M ; ~ 2 ) .

W h e n M h a s a s p in s t ru c t u r e t h e f r a m e b u n d l e F o f T * M l i f t s to a Spin(4)b u n d l e a n d t h e r e is a n a s s o c i a t e d v e c t o r b u n d l e

+Ek, z= F x (k,o(Dk/2@Dt/2)f o r e a c h i r re d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f S p i n (4 ) . I n p a r t i c u l a r , t h e sp in bund lesV+ = E l , o a n d V _ = E o , t a n d t h e t o t a l s p i n b u n d l e V = V+ V _ a r e d e f i n e d . O n e c a na l s o f o r m t h e C l i f fo r d a l g e b r a b u n d l e C ( T * M ) o n t h e c o t a n g e n t s p a c e a n d o b t a i n ag l o b a l C l if f o rd m u l t i p l i c a t io n m a p

r ( r * M ) r ( ~ ) - . r ( v ~ ) . ( 1 . 1 )S e c t ions o f v a r e c a l l e d sp ino r f i e ld s , o r s imp ly spinors.

W h e n c o 2M # : O t h e o n l y b u n d l e s Ek, l w h i c h a r e g l o b a l l y d e f i n e d a r e t h o s ea s s o c i a t e d t o a r e p r e s e n t a t i o n w h i c h f a c t o r s t h r o u g h S O (4 ) - t h o s e w i t h k + l e v e n .Co n n ec t i o n s, Cu r va t u r e , a n d O p er a t o rsN o w a s s u m e t h a t M is a R i e m a n n i a n m a n i f o ld . T h e m e t r ic d e te r m i n e s t h e L e v i -C i v i t a c o v a r i a n t d e r i v a t i v e

V :F ( T * M ) - ~ F ( T * M T ' M ) (1.2)o n t h e c o t a n g e n t s p a c e. C h o o s i n g a l o c a l b a si s o f s e c t i o n s { e } o f T * M w e c a nw r i t e V e ~ = ~ o ) ~ e k, w h e r e {o ~} a r e t h e c o n n e c t i o n 1 - fo rm s . T h e n a t u r e o f t h e s ec o n n e c t i o n f o r m s is b es t s ee n i n t h e c o n t e x t o f c o n n e c t i o n s o n a n a r b i t r a r y b u n d l e .

L e t G b e a c o m p a c t s e m i s im p l e L i e g r o u p w i t h L i e a lg e b r a ~ a n d l e t n : P ~ Mb e a p ri n c i p a l G - b u n d l e o v e r m a n i f o l d M . A connec t ion o n P is a c h o i c e o f a ne q u i v a r i a n t h o r i z o n t a l s u b s p a c e o n T , P , o r d u a l l y a y - v a l u e d 1 - f o rm o n P w h i c h( i ) h a s h o r i z o n t a l k e r n e l : o ( i , A ) = A f or A ~ , w h e re i , : ~ T , P is t he n a t u ra li n c l u s i o n i n t o t h e v e r t i c a l s u b s p a c e , a n d (ii) i s e q u i v a r i a n t : g * o ( X ) = ( A d g - 1 ) c o ( X )fo r x ~ F ( T , P ) a n d g ~ G .

L e t ~ d e n o t e t h e a f f in e sp a c e o f C c o n n e c t i o n s o f P ; ~g b e c o m e s a v e c t o rs p a c e w h e n a " b a s e " c o n n e c t i o n coo is fi xe d . T h e e q u i v a r i a n c e p r o p e r t y s h o w s t h a tt h e d i f f e r e n c e ~ /= o 3 - c o o p u ll s d o w n t o M a s a 1 - f o r m w i t h v a l u e s in t h e a d j o i n tb u n d l e P x n ~ , w h i c h w e s h al l a l s o d e n o t e b y ~ . A s s u ch , i t d e t e r m i n e s a c o v a r i a n td e r iv a t iv e m a p V : F ( f ) ~ F ( f T * M ) (1.3)by q~-,Vo +_[t/,4~ , wh e r e V i s t he c ov a r i a n t de r iv a t ive c o r r e sp on d i ng to c oo. If

: G ~ A u t ( E ) is a r e p r e s e n t a t i o n a n d E = P x 0/~ t h e a s s o c i a t e d v e c t o r b u n d l e , t h e nco i n d u c e s a c o v a r i a n t d e r i v a t i v e

VE : F ( E ) ~ F (E T ' M ) (1.4)o n E b y a p p l y i n g t h e L i e a l g e b r a r e p r e s e n t a t i o n ~ : y ~ E n d ( / ~ ) t o (1 .3 ).


6/40

568 T.H . Parker

F o r e x a m p l e , i f P is t h e f l a m e b u n d l e o f T * M t h e R i e m a n n i a n c o n n e c t i o n c a nb e d e s c r i b e d e i t h e r i n t e r m s o f th e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e (1 .2 ) o r i n t e r m s o f t h ec o r r e s p o n d i n g s o ( n ) - v a l u e d c o n n e c t i o n f o r co. I n a l o c a l f r a m e c o = {co~} a r e t h ef o r m s d e s c r i b e d a b o v e .

G i v e n a c o n n e c t i o n VE o n a v e c t o r b u n d l e E w e c a n f o r m s e v er a l n a t u r a lo p e r a t o r s f r o m V~ a n d a s y m b o l m a p . E x t e n d i n g Vg t o t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v eIV= V 1 + 1 VE o n A * E ( w h e r e V i s t h e R i e m a n n i a n c o n n e c t i o n o n A * ) a n dt a k i n g e x t e r i o r m u l t i p l ic a t i o n o r i ts a d j o i n t ( c o n t r a c t i o n ) as t h e s y m b o l , w e o b t a i na n e x t e r i o r d i f f e r e n t i a t io n D : F ( A * E ) ~ F ( A *+ 1 G E ) a n d i t s f o r m a l a d j o i n t D * .I n a l o c a l o r t h o n o r m a l f r a m e { e }

{ D 4 ) = ~ e i A 4 ) eF ( A * E ) . (1.5)vy4)0 * 4 ) = - E 2 1 v 4 )

T h e r e a r e al s o t w o s e c o n d o r d e r o p e r a t o r s o f i n t e r e s t: t h e t r a c e L a p l a c i a n( : ) * : = - Z

o n F ( E ) a n d t h e b u n d l e L a p l a c e - B e l t r a m i o p e r a t o r [ ] ] = ( D D * + D * D ) o nF ( A * E ) . W e w i l l d i s c u s s t h e s e l a t e r i n r e l a t i o n t o t h e W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a e .T h e c o v a r i a n t d e r iv a t i v e V = Ve o f ( 1.3 ) no w e x te n ds v i a (1 .5 ) t o a n e x t e r io r

d i f fe r e n t ia t i o n D o n t h e s p a c e o f s e c ti o n s A * = Y ( A * y )

r(~ )= A O v___V_~A 0 , A 2 O ,. .. (1.6)by 4)~-+V + It /, 4 )], w he r e V is t he c ov a r i a n t de r iv a t ive c o r r e s po nd ing to c oo . Th e nA * is a g r a d e d L i e a l g e b r a w i t h o p e r a t i o n s

(i) T h e b r a c k e t o n y a n d e x t e r i o r m u l t i p l i c a ti o n g iv e a m a p AP QA q--)A p+qw hic h we d en ot e by coq~-~[co , t /] .

(ii) T h e K i l li n g f o r m g i v e s a p o s i t i v e d e f i n i te m e t r i c o n y a n d a m u l t i p l i c a t i o nAP A q ~ F (A P+q(T* M))b y

(~ A)Q ( f i Q B)~+(A, B )~ A f if o r aEF (AP) , f ie F(Aq) , a n d A, BEFQT). W e de no te th is b y cotl~-~co/', ~7. T he seo p e r a t i o n s s a t i s f y (cf, A t i y a h a n d B o t t [ 1 ] )

(a) [coP,coq] = ( - t) pq+ 1 coq,o: ] ,(b) cop A coq = ( - - 1)Pqco A cop,( c) ( - 1 : ' [ o : , [ co ", c o q ] + ( - [ co ', c o ]] + ( - 1:[co', [ co , c o q ] = 0

( J a c o b i I d e n t i t y ) ,(d) [ co , t / ] : , ~ = co A [ t/ , ~] ( In va r ia nc e o f th e K i l l ing form ) ,(e) D[cop, t/] = [Dcop, ~/] + ( - 1)P[co , D r/] ,(f) d(cop A t/) = Dcop A ~ + ( - 1 ) P ~ : A DO.T h e curvature o f a c o n n e c t i o n co o n t h e p r i n c i p a l b u n d l e P is t h e y - v a l u e d

2 - f o r m f2(X , Y)=dco(hX, hY) , w h e r e h i s t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e h o r i z o n t a lsub spa c e o f co. I n f a c t, D = doh is a d e r i v a t i o n o n e q u i v a r i a n t y - v a l u e d 1 - f o r m s o nP g i v e n b y D 4 ) = d 4 ) + [ c o , q~] f o r l - f o r m s w i t h v e r t i c a l k e r n e l a n d D4)=d4)+ [ c o , 4 )] f o r c o n n e c t i o n f o r m s 4 ) ( K o b a y a s h i a n d N o m i z u , S e ct . 2 .5 ). I n p a r t i c u l a r~2 = dc o + c o, c o] on P . N o w f ix a c on ne c t io n c oo . F o r a n y o th e r c o nn e c t io n co, t he


7/40

G auge Theo ries on Four-M anifolds 569d i ff e re n c e t / = c o - c % d e s c e n d s t o M a s a n e l e m e n t o f A 1 a n d t h e d if fe r en c e o f th ec u r v a t u r e s i s

~ - o 0 = & + [ co , c o ] - ~ [ c o o , O ~ o ] = & + D , t / ] + [ co , t / ] ,+ ~ [ ~ , t / ] .= O o + D o t 1 (1.7)

T h e r e i s a s e c o n d w a y t o d e s c r i b e (2 i n A * . A n y q ) ~ A li ft s t o a n e q u i v a r i a n ty - v a l u e d f u n c t i o n o n P a n d D ~b h a s v e r t ic a l k e r n el . H e n c e

D oD ( (o ) = d (D O ) + [co, D O ] = d (d (a + [co, qS]) + [co, D ~ ]= [ D e ) , 4 ) ] - [ c o , D ( o ] + [ c o , D # ) ] = [ f 2 , 4 ] .

T h i s f o r m u l a d e s c e nd s t o t h e b a s e :Do V(qS)= [O, qS] for ~b 6A , (1.8)

i . e . , t h e c u r v a t u r e e n d o m o r p h i s m ~ o n A i s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e f i rs t t w oo p e r a t o r s o f (1 . 6 ). S i m i la r ly , t h e c u r v a t u r e o f a n a s s o c i a t e d b u n d l e E isO E E F ( A 2 E n d ( E ) ) d e f i n e d e i th e r b y ~2~ = 0 ((2 ) w h e r e q : ~ E n d ( E ) is t h e d e fi n in gr e p r e s e n t a t i o n , o r a s t h e c o m p o s i t i o n ( 2~ = D ~ o VE in t he s equenc e

EF ( E ) v , F ( A ' E ) D~ D~..... , F ( A 2 E ) , . . .c o r r e s p o n d i n g t o (1 .6 ). I n t e r m s o f a l o c a l b a s is o f v e c t o r f ie ld s { ei} a n d d u a l f o r m s{e } O ( 4 ) = D o V ~b = D (~ , V / ae i t = ~ (FiqSek/x V k ei + V y / ~ e k A e i) ,/ i , ka n d n o t i n g t h a t Viey - V j = [ e , ey] f o r th e R i e m a n n i a n c o n n e c t i o n ,

O , j= V f j - VjV~- g te ,,,, 1 (1.9)a n d s i m i l a r l y f o r f f f .

A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f th e J a c o b i i d e n t i t y is t h e B i a n c h i id e n t i t y D O = 0 .W h e n P is t h e f r a m e b u n d l e o f M i t h a s a m e t r i c c o n n e c t i o n a n d w e w ill d e n o t e

t h e R i e m a n n i a n c u r v a t u re o f M b y R ~ F ( A 2 s o (n)).I n f o u r d i m e n s i o n s t h e R i e m a n n i a n c u r v a t u r e R e A 2 s o ( 4 ) = A 2 @ A 2 d e c o m -p o s e s u n d e r t h e s p l i t t i n g A 2 - A- +,,~mA2_ . In f ac t , because o f t he symmet ryRiyk~ = R kt o , R is a n e l e m e n t o f t h e s y m m e t r i c t e n s o r p r o d u c t S y m 2 (A2+ A 2_). A s aS p i n ( 4 ) = S U + (2 ) x S U _ (2 ) m o d u l e t h i s b r e a k s i n t o 5 i r r e d u c ib l e p ie c e s a c c o r d i n gt o th e C l e b s h - G o r d o n f o r m u l a

(S ym 2 A 2)o 1 G [A2+ A 2-] (Sy m 2 A 2_)o@ 1, (1.10)w h e r e o d e n o t e s t h e t ra c e le s s e le m e n t s i n t h e s y m m e t r ic p r o d u c t . T h e c o m p o n e n t s

( W + , f i _ , 2 B , W _ s )f R un de r t h i s de co m po s i t i on a re R = \ 12 , ~ wh ere s is t he s ca l a rcu rv a tu re , B is the t r ace l es s R i cc i tenso r , a nd W e a re t he s e l f -dua l an d an t i - s e l f-d u a l c o m p o n e n t s o f t h e c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t W e y l t e n s o r ( cf . S i ng e r a n d T h o r p e ) .T h i s d e c o m p o s i t i o n d i s ti n g u i s h e s se v e r a l i m p o r t a n t c la s se s o f f o u r - m a n i f o l d s : M 4is E i n s t e i n i f B = - O , c o n f o r m a t l y f l a t i f W - O , a n d s e l f - d u a l ( a n t i - s e l f - d u a l ) i fW - - 0 ( W + = 0 ).


8/40


9/40

Gauge Theories on Four-Manifolds 571

W e i t z e n b S c k F o r m u l a eL e t M b e a s p in f o u r - m a n i f o l d w i t h R i e m a n n i a n c o n n e c t i o n V a n d c u r v a t u r e R a n dl et E b e a v e c t o r b u n d l e o v e r M w i t h c o n n e c t i o n VE a n d c u r v a t u r e f2~ . T h e n t h eD i r a c o p e r a t o r 9 : F ( V E ) - + F ( V E )i s de f ine d f o r E - va lue d sp ino r s by 9 = ~ e i - IV/, wh e r e IV = V 1 + 1 V~ is t he t o t a lc o v a r i a n t d e r i v a t i v e o n V E . T h e s q u a r e o f t h is o p e r a t o r h a s a n a l g e b r a i cd e c o m p o s i t i o n in t o L a p l a c i an a n d c u r v a t u r e t e r m s ; s u c h a d e c o m p o s i t i o n isc a l l e d a W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a .

T o c o m p u t e 9 2 i t is c o n v e n i e n t to c h o o s e a n o r t h o n o r m a l l o ca l f ra m e {e }a r o u n d a p o i n t x ~ M a n d v e c t o r fi el d s {ei} du a l t o { e } w i th (Ve~eJ)x=O f o r a l l i , j .S i n c e V h a s n o t o r s i o n i t fo l l o w s t h a t [ e ~ ,e ~ ] ~ = 0 a n d t h a t t h e t o t a l c u r v a t u r e 2 = R 1 + 1 2~ o f V E is f2i~= ]VIlV - IV f,:. S q u a r i n g 9 a n d s e p a r a t i n g t h es y m m e t r ic a n d s k e w - s y m m e t r i c p a r t s :

o r

9 2 = ( Y 'd . I V 3 ( ~ e J . l V ) = ~ , e i . d .l V~ lV j= - 2 IV2tV+ ~ e ~"eJ , (tVIIVj - I V j t V j )

Z,J

9z = I V* iV+ ~ e i . d . R f ~ l + ~ e / ' d ' ( 1 f 2/~ ).i . j i . j (1.13)

T h e p r i n c i p a l t e r m IV *IV i s t h e p o s i t i v e t r a c e L a p l a c i a n o f IV. T h e e n d o m o r p h i s mN = ~ e i . # . R i ~ o f V i n v o lv e s o n l y t h e R i e m a n n i a n c u r v a t u r e o f V a n d c a n b ee x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e i r r e d u c i b l e c o m p o n e n t s {s, B , W -+} o f R a s f o l lows .

R a c t s o n s p i n o r s v i a t h e s p i n r e p r e s e n t a t i o n e k A e ~ - - e k . e z. a n d t h e im a g ec (R ) = - - l ~ R i ~ u e i . e J . e k . e ~ is a n e v e n e l e m e n t o f C ( A 1 ) , s o h a s t h r e e c o m p o n e n t sA A 2 A 4 a c c o r d i n g t o w h e t h e r 2 p a i r / 1 p a i r / n o n e o f t h e i n d ic e s o f e i . e J . e k . e la r e t h e s a m e . B u t t h e A 2 c o m p o n e n t v a n i s h e s b e c a u s e R : A 2 - ~ A 2 i s s y m m e t r i c , t h eA 4 c o m p o n e n t v a n i sh e s b y t h e B i a n c h i i d en t i ty , a n d t h e A c o m p o n e n t i s

s- ~ ( R i j i j e i. d . e i. d + R i jj ie i. d . e j . d ) = ~ .T h u s w e a r ri v e a t o u r f ir st W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a : t h e s q u a r e o f t h e D i r a c o p e r a t o ro n E - v a l u e d s p i n o r s i s

S + ~ e i " e j" Q ~ . (1.14)2 = I v * I v +B y r e p la c in g E b y V * E w e g e t a D i r a c o p e r a t o r o n V V * E ~ A * E , i.e.

o n E - v a l u e d f o r m s . F o r t h i s 92 _ _ * 1 i l ~ A * 4 1 _ V i j . ~ ' 2 E9 - t V t V + - ~ e . d . (1.15)' i j - - 2 _ , e " e i j

a n d 9 2 is c lo s e ly r e la t e d t o t h e b u n d l e L a p t a c e - B e l t r a m i o p e r a t o r D = D D *+ D * D . I n de ed , 9 = D + D * o n A * E a n d 9 2 = [ ] + D 2 + ( D * ) 2. A l t h o u g h D 2 a n d( D *) 2 a r e n o t z e r o , w e c a n i g n o r e t h e m b y f o c u s i n g o n l y o n t h a t c o m p o n e n t o f 9 2w h i c h p r e s e r v e s d e g r e e a n d t h e n (1 .1 5) d e c o m p o s e s [ ~.


10/40

5 7 2 T . H . P a r k e r

(1.16). Thusexpl ic i t ly ,

U n d e r t h e i s o m o r p h i s m V V * = A * , e .e ~. c o r r e s p o n d s t o- ( e i_ 3 e J / " , . + e i A e j J - ) , so t he m idd l e t e rm o f (1.15 ) i s

1 A * j "= - 2 ~ R i j (e ~.J e A + e ' A e j . J . ) .A l t e r n a t i v e ly , w e c a n w r i t e R A * = R V I + I R v* a n d

~ = - ~ 2 R o k I e i ' e 3 " e k ' e t " @ 1 + 2 R i jk t e i ' e j ' e k ' e t ' ,i j k l i < j , k < l

Sw h e r e t h e f i r s t t e r m i s ~ a s a b o v e . I n t h e s e c o n d t e r m R i s a c t i n g t h r o u g h t h eC l i ff o r d m u l t i p l ic a t i o n m a p

R e A 2 ( A 2 ) * , E n d ( V ) g n d ( V * ) ~ g n d ( A * ) (1.16)c cw h i c h c a n b e c o m p u t e d o n e a c h c o m p o n e n t o f A * u s i n g t h e d e c o m p o s i t i o n (1 .t 0)o f th e c u r v a t u r e .

1 . S c a l a r s e m b e d i n A * = V V* a s m u l t ip l e s o f th e i d e n t i ty a n d o n t h e m( e i l e ~ A + e i A e~ 5 . ) = 3 u .

H e n c e t h e W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a f o r E - v a lu e d s c al a rs i s s i m p l y[ ] = IV*IV. (1.17)

2 . O n e - f o r m s e m b e d i n V V * a s s k e w a d j o i n t e l e m e n t s o f(V+ V_*)@ (V_ V*) an d t he on ly t r ace l es s R i cc i t ens o r ca n ac t on t he m th r ou gh

s~ = ~ + B ( ) = R i c ( ) is c o n t ra c t io n w it h th e R ic ci t en s or ( m o re

= - - ~ R i j u ( e i_ J e i A . + e i A e j J . ) ( e k @ e t - - e ~ @ e k )k < l

app l i ed t o a t - f o r m e" i s ~ (e "~) = ~ R ~ m e i ) . T h e W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a f o r 1 - fo r m s is1 e i[ ] - - I V * I V + R i c ( ) + 2 ~ .e J .f 2~ . (1.1S)

3 . S e l f - d u a l 2 - f o r m s e m b e d i n V V * as t r ace l es s s e l f - ad jo in t e l emen t s ando n l y t h e s c a l a r a n d s e l f - d u a l W e y l c u r v a t u r e s c a n a c t o n t h e m . I n f a c t , ( 1 . 1 6 )

S Sr e s t r i c t ed t o End(A2+) is tw ice t he i de n t i t y an d , by (1 .10) , ~ = ~ + ~ + W +( ) . Asn o t e d e a r li e r, C l i f fo r d m u l t i p l i c a t i o n c o i n c i d e s w i t h b r a c k e t s i n s o ( 4 ) = A 2, s o f o r

= ~ 4 ~ k l e k A e Z ~ r ( A 2 + E),-':~Ve ~ d - ~ 2 ~ (~ ) = - [ ( ~ ' ) + , 4 ) ] = E O j ~ ( , j) - - Q d ~ k ) ]

T h e W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a i sS[ ] = I V * I V + -3~ + w * ( ) - I[(f2 ~) * , . ] .

e i A e k .

(1.19)


11/40


T h e s a m e f o r m u l a h o l d s f o r a n t i- s e l f- d u a l 2 - f o rm s w h e n W + a n d (f2 ~)+ arer e p la c e d b y W - a n d ( ~ E )- .4 . S i n c e [ ] c o m m u t e s w i t h t h e s t a r o p e r a t o r , t h e W e i t z e n b 6 c k f o r m u l a o nE-va lued 4 - fo rms i s g iven by (1 . 17 ) and on E-va lued 3 - fo rms by (1 . 18 ) wi th t hec u r v a t u r e t e rm s r e p la c e d b y t h e i r . - a d j o i n t s .S o b o l e v S p a c e sF o r f u n c t i o n s o n a b o u n d e d d o m a i n D i n lit" t h e S o b o l e v s p a c e L k , p ( D ) i s thec o m p l e t i o n o f t h e s p a c e o f Coo f u n c t i o n s i n t h e n o r m

k \ l i pi l f E l ~ , p - - ! Z t O J l ' ) .T h e s e s p a c e s a re r e l a t e d b y t h e S o b o l ev e m b e d d i n g t h e o r e m s : f o r p , q > 1, t h ei n c l u s i o n L k , p ( D ) -+ L ~ , q ( D ) is c o n t i n u o u s f o r k - n > l - _n a n d c o m p a c t f o r k - _nP q P> l - _ n , a n d th e i nc lu s io n C ~ ( D ) - - + L k ,p ( D ) is c o m p a c t f o r k - n > l . T h i s s e tu pq Pc a r ri e s o v e r t o v e c t o r b u n d l e s o n c o m p a c t R i e m a n n i a n m a n i f o l d s M ~ a l a i s ) . I nf a c t , g i v e n a C OOv e c t o r b u n d l e E w i t h m e t r i c o v e r M , w e c a n c o m p l e t e t h e s p a c eF o o ( E ) of C ~ s ec t i ons o f E by e i t he r

(i) c h o o s i n g a c o o r d i n a t e c o v e r i n g {V~} a n d a s u b o r d i n a t e p a r t i t i o n o f u n i t y{4)i} a n d de f in in g L k , p ( E ) b y t h e i n c l u s i o n { 4 ) i } : F f f ( E ) - - + O i F v ~ ( E ) ;( ii) c h o o s i n g a c o n n e c t i o n V o n E c o m p a t i b l e w i t h t h e m e t r i c a n d d e f i n in g t h en o r m TI t l k ,p ,V b y t h e a b o v e f o r m u l a w i t h ~ r e p l a c e d b y 1 7 .

T h e s e p r o c e d u r e s y i e l d e q u i v a l e n t B a n a c h s p a c e s, W e w i ll u s e t h e s e c o n dd e f i n i ti o n , a n d , a f t e r f i x in g a c o n n e c t i o n , w r i t e [ t k , , V as llk,p.I n d i m e n s i o n 4 t h e r e l e v a n t S o b o l e v i n e q u a l i t y f o r f u n c t i o n s i sc [S + r 1Br } B.o n t h e b a l l B , o f r a d i u s r , o r

o n M . H e r e c is a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n M . I f f h a s c o m p a c t s u p p o r t o n B , t h e nw e h a v e t h e P o in c a r 6 - S o b o l e v i n e q u a l i t yc . , . s l l l .T h e s e i n e q u a l i ti e s e x t e n d t o s e c t i o n s o f v e c t o r b u n d l e s b y K a t o ' s i n e q u a l i t yl a l 4 ) l l _ - < I V 4 ) l for 4)6 F o o ( E ) (we ha ve 1 2 i 4 ) l . d i 4 ) l l = l d l 4 ) i l = 2 I R e ( 4 ) , 1 7 4 ) ) 1 < 2 1 4)1 " I V 4 ) l soI d 1 4 ) l l _ _ _ _ l V 4 ) l n t he s e t wh ere 4)=1=0 o r d l4 ) l=0 and , by co n t i n u i t y , eve rywhe re ) .T h u s , f o r e x a m p l e , t h e r e i s a c o n s t a n t c = c ( M , V ) s u c h t h a t f o r a n y 4 ) eL ~ , 2

S uch i nequa l i t i e s wi l l be u sed f r equen t l y i n S ec t s . 6 -8 .


12/40

574 T.H. Parker

F o u r d i m e n s i o n al R i e m a n n i a n g e o m e t r y p r o v i d e s th e b a c k g r o u n d f o r t h e fie ldt h e o r i e s w e sh a ll b e c o n c e r n e d w i t h. W e n o w t u r n t o t h e d y n a m i c a l a s p e c t s o ft h e s e t h e o r ie s , i n t r o d u c i n g t h e a c t i o n a n d t h e fi e ld e q u a t i o n s t h e m s e l v e s .2. Coup led Yan g-M ills EquationsA n i m p o r t a n t g u i d i n g p r i n c i p l e i n g e o m e t r y i s t h e r e q u i r e m e n t o f n a t u r a l i t y . W eb e g i n t h i s s e c t io n b y d e s c r i b i n g t h e g e o m e t r i c a l d a t a n e c e s s a r y fo r a g a u g e t h e o r ya n d i n d i c a t in g h o w n a t u r a l i t y d e t e r m i n e s t h e t h e o r y o n c e t hi s g e o m e t r i c c o n t e x t isf ixed .

L e t ~ : P - - , M b e a p r i n c ip a l b u n d l e o v e r a n o r i e n t e d f o u r - d i m e n s i o n a l m a n i f o l dM w i t h c o m p a c t s i m p l e s tr u c t u r e g r o u p G . L e t ~ o : G -~ A u t( /~ ) b e a u n i t a r yr e p r e s e n t a ti o n o f G , E = p x f12 b e t h e a s s o c i a t e d v e c t o r b u n d l e , a n d l e t W b e a n yb u n d l e a s s o c i a t e d t o t h e f r a m e b u n d l e o f M . T h e f ie ld e q u a t i o n s w e s e ek w ills p e ci fy a m e t r i c g f ro m t h e s p a c e J d o f R i e m a n n i a n m e t r i c s o n M , a c o n n e c t i o n I7f r o m t h e s p a c e ( g o f c o n n e c t i o n s o n P , a n d a s e c t i o n ~b f r o m t h e s p a c e g = F ( E W )o f s e c ti o n s o f E . W e s h a ll a s s u m e t h a t t h e y a r e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s , t h a t is , t h e ya r is e a s t h e s t a t i o n a r y p o i n t s o n ~ d x (g x g o f a n a c t i o n i n t e g r a l

A(g , V ,~ )= ~/1(g , co ,0) , (2.1)M

w h e r e t h e L a g r a n g i a n / t is a 4 - f o r m c o n s t r u c t e d f r o m g , 17, a n d qS.N o w P i s a m a n i f o l d w i t h a c e r t a i n g e o m e t r i c s t r u c t u r e - a f re e r i g h t a c t i o n o f

G. An a u t o m o r p h i s m o f P is a m a p f : P ~ P w h i c h p r e s e r v e s t h is s t r u c t u r e : f ( x g - 1 )= f ( x ) g - 1 f o r a l l x E P a n d g e G . L e t A u t ( P ) d e n o t e t h e g r o u p o f a ll b u n d l ea u t o m o r p h i s m s f s u c h t h a t t h e i n d u c e d m a p r c o f : M - - - , M p r e s e r v e s o r i e n t a t i o n ,a n d l et A u t o ( P ) d e n o t e t h e s u b g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s w h i c h i n d u ce t h e i d e n ti t yt r a n s f o r m a t i o n o n M . T h e r e i s a n e x a c t s e q u e n c e

0 - ~ A u t o ( P )- ~ A u t ( P ) - - , D i f f ( m ) ,w h e r e D i f f( M ) is th e g r o u p o f o r i e n t a t i o n p r e s e r v i n g d i f f e o m o r p h i s m s o f M . T h eg r o u p A u t o ( P ) c a n b e i d e n ti fi e d w i t h t h e s p a c e o f s ec t io n s o f t h e b u n d l e o f g r o u p sP x A d G -I n t h e t e r m i n o l o g y o f p h y s i c s, a s e c t i o n s : M ~ U ~ P i s ca l led a loca l c h o i c e o fg a u g e , a n a u t o m o r p h i sm f E A u t o ( P ) is a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n , a n d t h e g r o u pN = A u t 0 ( P ) is t h e g a u g e g r o u p o f t h e b u n d l e .

N o t e t h a t t h e K i l l in g f o r m p r o v i d e s a n i n v a r i a n t m e t r i c h o n t h e a d j o i n t b u n d l eg a n d h e n c e a h e r m i t i a n m e t r i c o n E .

W e sha l l r e q u i r e 3 t h ings o f t he L a g r a n g i a n f o r m /1 ( 9 , 17, q~)(i) r e g u l a r i t y - i n a l o ca l c o o r d i n a t e s y s t e m a n d l o c a l c h o i c e o f g a u g e , 2

s h o u l d b e g i v e n a s a u n i v e r s a l p o l y n o m i a l i n g , h , F , q~, ( d e t g ) - z / z , ( d e t h ) - 1 / z a n dt h e i r d e r i v a ti v e s , w h e r e F a r e t h e C h r i s t o f f e l s y m b o l s o f 17;(ii) n a t u r a t i t y - t h e m a p 2 : ~ x cg x N - ~ A % ~ / ) s h o u l d b e a n a t u r a l t r a n s f o r -m a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e b u n d l e a u t o m o r p h i s m J ; i . e . ,

2 ( ( ~ o f ) * g , f ' V , e ( f * ) O ) = f * /1 ( g , 17, 0 ) ;(iii) c o n f o r m a l i n v a r i a n c e - f o r a n y f u n c t i o n a o n M , 2 s at is fi es

2( e2~g, [7, ~ ) = 2 (g, V, ~ ) .


13/40

G a u g e T h e o r i e s o n F o u r - M a n i f o l d s 5 75R e m a r k . I f t h e r e i s n o b u n d l e P p r e s e n t t h e n t h e n a t u r a l i t y p r o p e r t y (ii) i s E i n s t e i n ' s" p r in c i p l e o f g e n e r a l c o v a r i a n c e " a s s e r t i n g t h a t t h e e q u a t i o n s o f p h y si c s a rec o v a r i a n t u n d e r a r b i t r a r y c o o r d i n a t e c h a n g e s . N a t u r a l i t y w i t h r es p e c t t o A u t o ( P)m e a n s t h a t 2 ( g , f * V , Q ( f * ) O ) = ) ~ ( g , V, 0 ) : t h i s i s W ey l ' s p r i nc ip l e o f ga ug e i n -v a r i a n c e .

W e c a n n o w u s e in v a r i a n t t h e o r y t o d e t e r m i n e t h e p o s s ib i li ti e s f o r 2 . F o r t h ec a s e 2 = 2 ( { / , V) i f w e r e q u i r e n a t u r a t i t y u n d e r o r i e n t a t i o n p r e s e r v i n g d i f f e o -m o r p h i s m s o f P t h e n S O ( 4 ) i n v a r i a n t t h e o r y ( S t r ed d e r [ 1 8 ]) i m p l ie s th a t

2 = a l[ s[ 2 + a zJ B J2 + a 3 lW + [ 2 + a 4 l W - 1 2 + a s f 2 A Q + a 6 f 2 A . f 2 ,w he re {s, B, W -+} a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e R i e m a n n i a n c u r v a t u r e o f g , f2 is th ec u r v a t u r e o f co a n d t h e a i a r e r e a l n u m b e r s . T h e a c t i o n s ~)~ f o r v a r i o u s v a l u e s o f t h ea i i n c l u d e t h e t o p o l o g i c a l i n v a r i a n t s p l ( M) , z ( M) , an d P l ( f ) f ro m (1.11 ) an d (1.12 ).O f th e r e m a i n i n g t h re e i n d e p e n d e n t p o s si bi li ti es t w o d e p e n d o n t h e c u r v a t u r e o f g ;f o r r e m a r k s o n t h e s e s e e ( B o u r g u i g n o n a n d L a w s o n [ 6 ] ) . H e r e w e w i l l b ec o n c e r n e d w i t h t h e a c t i o n w h i c h d e p e n d s o n t h e b u n d l e c u r v a t u r e : t h e Yang-Millsaction

A(g, V )= 5 F2A *~2= 5 t f 2 [ 2 V - ~ g d x* A . .. A d x 4 . (2.2)M MT h i s a c t i o n i s e v i d e n t l y r e g u l a r a n d D i f f ( M ) c o v a r i a n t . I t is c o n f o r m a l l y i n v a r i a n tb e c a u s e t h e o p e r a t o r o n 2 - f o r m s i s , o r m o r e e x p l i c i t l y

A(e2~g, V )= ~ e-4 " g~Ok'(f2ik, f2~,)(det(e2~g))*/adx 1/x . . . /~ d x # = A(g , oo).M

A s fo r g a u g e i n v a r i a n c e , a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n g e l # c a r r ie s V t o g o V o g - 1 a n dY 2 = D o V to g f 2 g - 1 ; t h e L a g r a n g i a n I O t2 is t h e n u n c h a n g e d b e c a u s e t h e K i ll i n gf o r m i s i n v a r i a n t .Since tf2J2 = If2 + 12 + jO -t 2, E q. (1. t2) sh ow s th at A (g , co) >=8rt2k w i t h e q u a l i ty i fa n d o n l y if f 2 - - 0 . T h u s s e l f - d u a l c o n n e c t i o n s a re a b s o l u t e m i n i m a o f t h e Y a n g -Mi l l s ac t i on .I t w o u l d b e i n te r e s ti n g t o c o n t i n u e w i t h th e i n v a r i a n t t h e o r y , in c o r p o r a t i n g t h ef i e ld 0 an d f i nd ing a l l L ag ran g i a ns s a t i s fy ing ( i ), ( i i) , an d ( ii i) . In s t ea d we wi lls i m p l y w r i t e d o w n t h e t w o a c t i o n i n t e g r a l s c o n s i d e r e d b y p h y s i c i s t s a n d v e r i f yn a t u r a l i t y . F o l l o w i n g t h e t e r m i n o l o g y o f p h y s i c s w e w i ll c a l l t h e s e t h e " f e rmion"a n d " b o s o n " a c t i o n s .Definition. T h e f ermion ac t ion i s d e f i n e d o n E - v a l u e d s p i n o r s O e F ( V E ) b y

a ( g , V, 0 ) = 5 If212+ (~b,@ o ) d v ( g ) , (2.3)Mw h e r e ~ is t h e D i r a c o p e r a t o r a n d ( , ) is t h e i n n e r p r o d u c t o n V E a n d

d r ( 9 ) = 1 / ~ t g d x ~ / , d x 2 / , d x 3 A d x ~is t h e v o l u m e f o r m o f g .Definition. S imi l a r l y , t he boson act ion i s d e f i n e d o n E - v a l u e d s c a l a r s O e F ( E ) b y

A (g , V , 0 ) = . [ [j~ ,~[2_~_ IIV 01 2 + 6 1012 - P(O)dv(g) , (2.4)M


14/40

5 7 6 T . H . P a r k e r

w h e r e t h e p o t e n t i a l P : E ~ I R i s a g a u g e i n v a r i a n t p o l y n o m i a l o n t h e f ib e r o fd e g r e e < 4 .B o t h L a g r a n g i a n s a r e r e g u l a r, D i f f (M ) c o v a r i a n t , a n d g a u g e i n v a r i a n t. T h ec o n f o r m a l p r o p e r t i e s o f t h e s e a c t i o n i n t e g ra l s w i l t b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e ct io n .R e m a r k s . 1. F o r o u r p u r p o s e s t h e r e q u i r e m e n t d e g P < 4 a ri se s a s f o ll o w s. W e w i s ht o v a r y t h e a c t i o n o v e r t h e S o b o l e v s p a c e cg x,2 X g l , 2 " B y t h e S o b o l e v i n e q u a l i t y( 1. 20 ) a n y p o l y n o m i a l i n o f d e g r e e < 4 i s t h e n i n t e g r a b l e , w h i le h ig h e r d e g r e ep o l y n o m i a l s n e e d n o t b e .2 . T h e t e rm ~ < , N > i n th e f e rm i o n L a g r a n g i a n is n o t p o s i t iv e d e fi ni te .I n d e e d , s u p p o s e 4 ) = + + _ e F ( V + G V ) s a t is f ie s ~ q 5 = ) @ f o r s o m e e i g e n v a l u e 2 .T h e n ~ = ~ b + - q 5 s at is fie s ~ = - 2 ~ . T h u s t h e s p e c t ru m o f N is s y m m e t ri ca b o u t z e r o .

V a r i a t i o n o f t h e a c t i o n s (2 .3 ) a n d (2 .4 ) y i e ld s a c o m p l i c a t e d s y s t e m o f n o n l i n e a re q u a t i o n s f o r g , co, a n d ; w h e n t h e L a g r a n g i a n ~ s o f g e n e r a l r e la t iv e l y is i n c l u d e dt h e s e a r e c o m p l e t e c l a ss i ca l e q u a t i o n s o f a Y a n g - M i l l s p a r t ic l e c o u p l e d t o g r a v i t y( H a w k i n g a n d E l li s, S t e r n b e rg ) . W e s h a l l si m p l i f y t h i s s y s t e m b y d i s r e g a r d i n gt h e d e p e n d e n c e o n g ( a n d f ix i n g h ). B e c a u s e o f c o n f o r m a l i n v a r i a n c e t h is a m o u n t st o f i x i n g t h e c o n f o r m a l s t r u c t u r e o f M .W i t h t h i s a g r e e d , th e n e x t s te p i s t o c a l c u l a te t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s o ft h e f e r m i o n a n d b o s o n a c t i o n s .

T h e F i e l d E q u a t i o n sF o r a s p i n o r f i e l d ( o e F ( V E ) t h e f i rs t v a r i a t i o n o f t h e a c t i o n (2 .3 ) is c o m p u t e d a sf o ll o w s. C h o o s e a 1 - p a r a m e t e r f a m i ly o f c o n n e c t i o n s g s = V o + s q + . .. ,rt e F (A 1 ~ ) a n d a 1 - p a r a m e t e r f a m i l y o f s p i n o r s q~t = ~bo + t~ v + . . . , ~p~ F ( V E ).T h e c u r v a t u r e a n d t o t a l c o v a r i a n t d e r i v a t i v e o n V E are [ c f . ( 1 .3 ) and (1 .7) ]

H e n c e

Sf2 s = f2 o + sDotl + ~ [rh 11]IV~=lVo+ s e@ .

A(V~, q ~ t) = j f o o l 2 + 2 S ( O o , D d / > + t ( l p , ~ 5 + t ( qS , N q S )M

+ s(q S , ~ e ' . 0 ( rh ) 5 + . . . .w h e r e { e~} i s a lo c a l o r t h o n o r m a l f r a m e a n d w e h a v e r e t a i n e d o n l y t h e t e r m s l i n e a ri n s a n d t. T h e f i rs t v a r i a t i o n e q u a t i o n s a r e

0 = ~ 2 ( D * f L t l ) + ( 4 ) , Z e ' . e ( t l , ) > v ~ e r ( A l ] )M

o = S < ~, ~ > + < , ~ > v t e r~ ( V E )M

o r ( n o t i n g t h a t @ i s s e l f - a d j o i n t )1 e i~D *a= J ( )= -~Y ~< ,~ , .~o(~ ~>~e~

t ~ = o ,


15/40

G a u g e T h e o r i e s o n F o u r - M a n i f o l d s 5 7 7

wh ere {o-~} i s a l oc a l o r t ho go na l bas i s o f s ec t i ons o f~ , {~r~} the du al b as i s in F(y*) .H ere J (qS) i s th e cu r r en t du e to the f ield ~b; i t i s re al- va lue d s ince (qS, e i . ~(ql)q~>= - (e ~ '0 , Q(qi)4> = ( ei'~(th)qS,~ b ) a n d i s t h u s a n e l e m e n t o f (A1) * . I t s h o u l d b ei n t e r p r e t e d a s a 1 - f o rm o n t h e s p a c e o f c o n n e c t i o n s cg.T h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i rs t v a r i a t i o n o f t h e b o s o n a c t i o n (2 .4 ) i s s i m i la r .M o r e g e n e r a l l y w e s h a ll r e p l a c e th e s e c o n d f ie l d e q u a t i o n b y t h e c o r r e s p o n d i n ge igen va lue eq ua t i o n . In t he f e rm ion case t h i s is @ ~b=mqS, wh ere m i s a r ea lc o n s t a n t ( 9 i s s e l f - a d j o i n t ) . I n t h e b o s o n c a s e t h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s : t h e

Se i g e n v a l u e e q u a t i o n I V * I V y - ~ b = m 2 4 or t he equa t i on wi th po t en t i a l [V*IV~bS

- g q~ = P (4 )) ; t he l a t t e r eq ua t i on i s pa r t i cu l a r l y i m po r t a n t w he n P i s t he H i g g sp o t en t i a l P(qS) = 14~l - l~bl2. W e s h a l l d e a l w i t h b o t h p o s s ib i li ti e s s i m u l t a n e o u s l y b yt a k i n g P ' o f t h e f o r m P ' = a 1 4 4 2 ~ + m 2 c ) , w h e r e a a n d m 2 a r e r e al w i t h a = 0 a n dm 2 < 0 a l lo w a b l e .

T h u s t h e e q u a t i o n s w h i c h w e sh a l l s t u d y a r e t h e coupled f ermion equa t ionsD ' f 2 = J = i V / ~ e i~ b = m q ~ , - 5 ~ \ ~ " e(a~)4> ~e, (2.5)

a n d t h e coupled boson equa t ions{ D * f 2 = J = - R e ~ f [ ~ b , 0(o '~)4) a ~ e i (2.6)

[ v * f v 4 ~ = 6 4~ + a l 4 ' 1 2 ~ + m ~ .In phys ics , ~ i s a 9auge f i e ld , oo i t s po ten t ia l , ~b i s the f i e ld of a par t i c le

i n t e r a c t i n g w i t h O a n d m is t h e m a s s o f t h e p a r ti c le . F o r e x a m p l e , w h e n t h es t r u c t u r e g r o u p is S ~ ( 2 . 5 ) d e s c r ib e s a n e l e c t r o n i n t e r a c t i n g w i t h a n e le c -t r o m a g n e t i c f ie ld .

W h e n ~ - - 0 t h e f e r m i o n a n d b o s o n a c t i o n s r e d u c e to t h e Y a n g - M i l ls a c t i o na n d t h e fi el d e q u a t i o n s b e c o m e th e Y a n g - M i l l s e q u a t i o n D * O = 0 . S e lf -d u a lc o n n e c t i o n s s a ti sf y t hi s e q u a t i o n b e c a u s e t h e y a r e a b s o l u t e m i n i m a o f th e a c t i o n .T h i s a l s o fo l lo w s f r o m t h e B i a n c h i i d e n t i t y : if ~ is s e lf - d u a l ~ = * O a n d D * (2= * D f ~ = 0 .

T h e c u r r en t J 6 A ~* w h i c h a p p e a r s i n t h e f ie l d e q u a t i o n s i s a D - c o c l o s e d f o r m .T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f a g a u g e i n v a r i a n c e . I n f a c t , e v a l u a t i n g D * J o n X ~ F ( y )gives D * J - X = J ( I F X ) . B u t IV X is a n i n f i n i t e s i m a l g a u g e t r a n s f o r m a t i o n [ s ee ( 4.1 )b e l o w ] a n d J is c o n s t a n t o n g a u g e o r b i t s ; h e n ce ~ J ( I V X ) = 0 a n d D * J = O.T h e e q u a t i o n D J = 0 a l so f o ll o w s f r o m d i r e c t c a l c u l a t io n . F o r e x a m p l e , i n th efe rm io n ca se J = qS, e ~ Q(a~)q~>a ~ e i a n d , i n a n o r t h o n o r m a l f r a m e { e } w i t hV~ei= ~ c ~ = 0 a t a p o i n t x c M , t h e f i e ld e q u a t i o n s g i v e

D * J = - R e (IV~q~, i " ~ ( 6 ~ ) c p ) 6 ~ = R e ( e i" ]~qS, ~(o-~)~b>a~= R e (m~b, ~(a~)~b)a~ = 0

s ince (q~,Q(a~)~b) i s pu re im ag ina ry . A l tern at ive ly , we c an use th e f i r s t f i e lde q u a t i o n : f o r O =~ 2~ o-~ c A 2 ~ w e h a v e

D , J = D~, ~ = [~, ,~] =, ~ - [~, ~] = 0.e, /~


16/40

578 T.H. Park er

W h e n t h e s t ru c t u re g r o u p G is a b e l i a n th e e q u a t i o n D ' J = 0 b e c o m e s d ' J = 0 .T h i s i s t h e e q u a t i o n o f ( in f in i te s im a l ) c o n s e r v a t i o n o f c h a r g e i n e l e c tr o m a g n e t i s m .G a p T h e o r e m sT h e f ie ld e q u a t i o n s ( 2.5 ) a n d (2 .6 ) a r e s i m p l e s t w h e n a = m = 0 . T h e n 4> s a ti sf ie s

Se i t h e r ~ b = 0 (4> on E - va l ue d s p i no r ) o r {V*IV~b gq~ (~b a n E - va l ue d s c a l a r ) .P r o p o s i t i o n 2 . 1 . L e t E be a v e c to r bund le ov e r a man i fo ld M and l e t (q~, (2) be a

Sso lu t ion to the c oup le d boson e qua t ions D*(2= J , IWIVq~= ~ qS. I f M is c o m p a c t w i t hpos i t ive sca lar cu rvature , or i f M = 1Ra and c~ vanishes at inf ini ty , then ~ = 0 a nd ~2 isa Y a n g - M i l I s f i e l d .P r o o f W h e n M is c o m p a c t a n d s > 0 i n te g r a ti o n b y p a r ts g iv e s

o = ~ {{v4,{ + 6 { q ~ ?M

s o q ~ - 0 a n d Y -= 0 . O n IR+ , w e c a n c o nv e r t t he e qu a t i on {V*lPq~= 0 i n t o a d i f f e r e n t i a li ne qu a l i t y f o r [q~[ by

(a ) d*dl(a l2= Zd*( (o , lV(o)= - 2{{Vqb{2+ 2 ( ~ , IPl[7q b) = -- 2{{V~bl ,(b ) d* d {~ { = 2d*({dld?) = - 21d[112+ 21{. d*d{~].These give Iq~ld*dl~bl= Idkbll 2 - I[Vq~{ _0. I f Iq~l va ni sh es a t inf i ni t y

t h e m a x i m u m p r i n c i p a l ( M o r r e y , p . 6 1 ) i m p l i es t h a t ~ b = 0 ; h e n c e t h e c u r r e n tJ = ( I V ~ , o ( ' ) ~ ) v a n i s h e s , a n d (2 i s a Y a n g - M i l l s fi el d. [ ]

F o r t h e p u r e Y a n g - M i ll s e q u a t i o n s a n d f o r t h e c o u p l e d f e rm i o n e q u a t i o n s , w eh a v e t h e f o l l o w i n g L 2 " g a p t h e o r e m " ( p a r t (a ) i s e s s e n t i a ll y d u e t o B o u r g u i g n o na n d L a w s o n [ 6 ] ) .

SP r o p o s i t i o n 2 . 2 . L e t M be a c ompac t R ie m ann ian 4 - man iJ b ld w i th ~ - IW - t >- e > O .Th en there i s a con s tant c o such tha t

(a) An) , Y ang- M i t t s ( 2 w i th t{ (2- {o 2


17/40


(b) If q5 = (q~+, q5 -) ~ V+ G V_ sa t isfies @q5 = 0, th en (~b, ~2 ~b - ) = 0. U sin g (1. t4 )o n V - a n d r e p e a t i n g t h e a b o v e a r g u m e n t s h o w s t h a t qS- ----0 w h e n e v e r 1 [O -I[o .2 i ssu f f i c i en t ly smal l . Bu t t h en

- 2 D * f 2 = - 2 J = ( 4 - , e ~ . ~ ( ) q S + ) + ( q ~ + , e ~ - Q ( ) ~ b ' ) - 0a n d f2 - - 0 b y p a r t (a ). [ ]

T h i s a r g u m e n t a n d t h e f a c t t h a t ]t tl o , ,


18/40

5 8 0 T . H . P a r k e r

T h i s c o n c l u s i o n a l s o f o ll o w s b y e x a m i n i n g t h e s p i n o r L a g r a n g i a n( 4 ) , ~ 4 9 5 d l/ / -d -~ dx 1 A d x 2 A d x 3 A d x 4 4 ) ~ F ( V ~ E ) . (3.2)

M- I - + e 2 ' r - ~ 7@ ]R , w h e nh i s i n t e g r a l is i n v a r i a n t u n d e r c o n s t a n t c o n f o r m a l c h a n g e s u y ,t h e i n t e g r a n d h a s w e i g h t 4 . B u t qSsF(VWE) h a s w e i g h t w ( a s s u m i n g E i sw e i g h t l e s s ) a n d ~ e F ( V ~ ' E L ) h a s w e i g h t w + 1. T h u s t h e L a g r a n g i a n , a n d t h ec o r r e s p o n d i n g f ie ld e q u a t i o n s , a r e s c a le i n v a r i a n t o n s p i n o r s o f w e i g h t w, w h e n

2 w + 1 = 4 , i.e ., w = 3 . I n v a r i a n c e u n d e r a r b i t r a r y c o n f o r m a l c h a n g e s f o l lo w s f r o m(3.1).T h e e q u a t i o n 9 ~ b = mq~ i s c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t i f w e i n t e r p r e t m a s a s e c t i o nof L :@q5 = 4~rn~ Va/2L. T h e n b o t h ~ b a n d rn~b h a v e w e i g h t ~.

T h e b o s o n e q u a t i o n s f o r s c a la r f ie ld s c a n l i k ew i s e b e m a d e c o n f o r m a l l yi n v a r i a n t . I n t h i s c a s e t h e L a g r a n g i a n i s b a s i c a l l y [ c f. (2 .4 )3

S ( l ~ ,] V ~ ) ] / /~ t g d x l A d x z A d x 3 A d x 4 ~ E F ( E L ). (3.3)MI f q5 h a s w e i g h t w , IVq~ h a s w e i g h t w + 1 a n d t h i s L a g r a n g i a n i s i n v a r i a n t u n d e rc o n s t a n t s c a le c h a n g e s w h e n 2 w + 2 = 4 a n d w = 1. T h u s w e t a k e ~b t o b e a s e c t i o no f E L .W h i l e t h i s L a g r a n g i a n ( 3 . 3 ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g L a p l a c i a n a r e n o t i n v a r i a n tu n d e r a r b i t r a r y s c a le c h a n g e s , t h e r e d o e s e x is t a m o d i f i e d L a p l a c i a n w h i c h isc o n f o r m a l l y i n v a r i a n t. T o f in d i t w e r e t u r n t o t h e v i e w p o i n t t a k e n i n S e ct . 2 a n ds e e k a s e c o n d o r d e r w e i g h t 2 o p e r a t o r A o n F(EL) c o n s t r u c t e d n a t u r a l l y f r o mt h e m e t r ic o n M , th e c o n n e c t i o n o n E , a n d t h e i r d e r i v a ti v e s . B y i n v a r i a n t t h e o r y( A t i y a h , B o t t , a n d P a t o d i a n d S t r e d d e r ) A = I ~ [V + p(R , f2~). w h e r e I P [ V i s t h e t r a c eL a p l a c i a n o n E L a n d p(R , 0 E) i s a p o l y n o m i a l i n t h e c u r v a t u r e t e n s o r s R o f Ma n d f ~ o f E . B u t p(R,O~)eEnd(EL) m u s t h a v e w e i g h t 2 ; th e i n v a r ia n t t h e o r yt h e n s h o w s t h a t A = IV * V + a . s f o r s o m e c o n s t a n t a . A d i r e c t c a l c u l a t i o n ( se e H i t c h e n[ 1 0 ] ) s h o w s t h a t t h is is i n d e e d c o n f o r m a l l y in v a r i a n t w h e n a = l / 6 , t h a t is,so lu t ions of ( I I7*]V+ 6 ) ~b = 0 r e m a i n s o l u t i o n s a f t e r a c o n f o r m a l c h a n g e o f m e t r ic .

S 2I n t h e c o r r e s p o n d i n g f ie l d e q u a t i o n s w i t h m a s s , I~lV ~b= g q~ + m qS, m is a g ai ni n t e r p r e t e d a s a s e c t i o n o f L . L i k e w i s e , i n t h e p o t e n t i a l P ( q S )= a kb l~ + m Z k bl2, a hasc o n f o r m a l w e i g h t z e r o a n d reeF(L).T h e a b o v e a r g u m e n t a ls o s h o w s th a t t h e L a g r a n g i a n

S.[ IIV~bt + g I~btgdvg (3 .4)M

i s s c a l e i n v a r i a n t . T o g e t h e r w i t h t h e c o n f o r m a l i n v a r i a n c e o f (2 .2 ) a n d ( 3 .2 ), t h i sc o m p l e t e s t h e v e r i f i c a t i o n t h a t t h e f e r m i o n a n d b o s o n L a g r a n g i a n s ( 2 . 5 ) a n d ( 2 . 6 )m e e t t h e r e q u i r e m e n t s o f S e c t. 2 : t h e y a r e r e g u l a r, n a t u r a l , a n d c o n f o r m a l l yi n v a r i a n t .W e c o n c l u d e t h is s e c t i o n b y d e s c r i b i n g s e v e r a l u s e f u l d e v i c es , r e l a t e d t oc o n f o r m a l i n v a r i an c e , w h i c h w i ll b e i m p o r t a n t l a te r .


19/40


T h e f i r st o f t h e s e is t h e t o t a l f ie l d F . T o d e f i n e it , f ix a m e t r i c 9 o o n M a n d l e tz E F ( L 1 /2 ) b e t h e f u n c t i o n o f w e i g h t } w i t h z -- -1 i n t h e t r i v i a l i z a t i o n o f L 1/zd e t e r m i n e d b y g o-Defini t ion 3. t . T h e t o ta l f i e ld F i s t h e s e c t io n o f a w e i g h t 2 b u n d l e ~ d e f i n e d a sf o l lows .

(i) W he n (qS, O) i s a so lu t ion o f t he f e r m ion e q ua t io ns (2 .5 ),F = f2 + ~ - l e k t V k ~ + ~ ({ek} is a n o r t h o n o r m a l c o f r a m e ) is a s e c t i o n o f= (A 2 r ~ 7 L 2) @ ( T L 1/2 V 3/2 E ) (~ (L 1/2 V 3/2 E ) .

(i i) W h e n (qS, f2 ) i s a so lu t io n o f t he bo so n e q ua t io ns (2 .6 ),F = f 2 + e k ] V k 4 + z 2 ~ i s a s e c t ion o f= ( A 2 T y L Z ) @ ( T L @ E @ L ) @ ( L E L ) .W h e n ~ is g i v e n t h e d i r e c t s u m m e t ri c , [FI2d% is a c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t

e ne r gy de ns i ty f o r t he f i e ld ( qS , 2 ) . F ix a po in t p 6 M a n d l e t B(z , r ) b e t h e b a l l o fr a d i u s r i n t h e m e t r i c 9 = z - g g o . T h e l o c a l energy integral of (qS , f2) a r o u n d p i s

E ( z , r ) = ~ [ F lZ= j' [ O[ 2+[ z -l lVqb lZ+[ ~b[ 2 ,B~,,) B(~,~) ( 3 . 5 )g ( z , r ) = f f I F I 2 = j" I O I 2 + I IV 4 ~ I 2 + I~ 2 0 5 1 2B(~ , r ) B (~ , r )

i n t h e f e r m i o n a n d b o s o n c a s es r e s p e c ti v e l y . E(z, r) t h u s d e p e n d s o n b o t h t h e s c al ea n d t h e r a d i u s r ; w e w i l l a b b r e v i a t e i t t o E ( r ) w h e n t h e s c a l e h a s b e e n f i x e d . T h ec o n f o r m a l i n v a ri a n c e o f IFl2.dvg imp l i e s t ha t E (~ , r ) = E ( 1 , r Zr ).

S u p p o s e t h a t IFI 2 is i n te g r a b l e o n s o m e n e i g h b o r h o o d U o f p e M . T h e n , g i v ene > 0 , w e c a n f in d a n R s u c h t h a t B ( 1 , 2 R ) C U a n d E ( t , 2 R ) < e . N o w c h a n g e t h em e t r i c t o 9 = R - 2 9 o . U n d e r t h is r e s ca l in g s o l u t i o n s o f c o n f o r m a l l y i n v a r i a n te q u a t i o n s r e m a i n s o l u t i o n s , w h i l e B (1 , 2 R ) b e c o m e s B (2 ) a n d t h e e n e r g y i n th e n e wm e t r i c s a ti sf ie s E ( 2 ) = E ( R 1/2, 2 ) = E (1 , 2 R ) < e . T h u s w e h a v e t h e

Rescating PrincipleG i v e n e > 0 a n d a s o l u t i o n (~b, f2 ) t o c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t f ie l d e q u a t i o n s d e f i n e di n a n e i g h b o r h o o d o f p 6 M w i t h l o c a l ly fi n it e e n e r g y , w e m a y a s s u m e - b y ac o n s t a n t c o n f o r m a l c h a n g e o f m e t r i c - t h a t ( qS,f2 ) i s a so lu t io n o n B ( 2 ) t o t he f i e lde q u a t i o n s ( w i th r e s c at e d m a n d s) a n d t h a t E ( 2 ) < e.

4 . A S l ic e T h e o r e m a n d t h e O r b i t S p a c eI n t h i s s e c t io n w e p r o v e a l o c a l s li ce t h e o r e m f o r t h e a c t i o n o f t h e g a u g e g r o u p o nc~ & T h i s e x t e n d s s i m i l a r t h e o r e m s w h i c h a p p e a r i n A t i y a h e t al . [ 41 a n dU h l e n b e c k [ 2 0 ] .

T h e c e n t e r o f t h e g a u g e g r o u p - t h e s e c t i o n s o f t h e t r iv i a l b u n d l e P A dZ ,w h e r e Z i s t h e c e n t e r o f G - a c t s t ri v i a l l y o n t h e s p a c e o f c o n n e c t i o n s . T h u s w e w i lld e a l w i t h t h e g r o u p f g e = F ( P X A d G / Z ) o f ef fe c ti v e g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s . T ot o p o l o g i z e f qe , n o t e t h a t t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n is a f a i th f u l r e p r e s e n t a t i o nA d : G / Z ~ E n d ( p ) a n d h e n c e d e f i n e s a n e m b e d d i n g f q e ~ F ( P x AdEnd(~)) . This


20/40

582 T.H. Park er

l a t t e r b u n d l e i n h er i ts a c o n n e c t i o n f r o m a n y g i v en V e ~ a n d t h e S o b o l e vc o m p l e t i o n ~ f k ,p o f t h e ef fe c ti v e g a u g e g r o u p - w i t h n o r m d e t e r m i n e d b y V -a p p e a r s a s a c lo s e d s u b s p a c e o f Lk, p(P x a a E n d ( ~ )) . F o r pk > 4, fgk ,p is a s m o o t h L i eg r o u p , a n y g ~ N k , p i s c o n t i n u o u s , a n d t h e m a p X ~ -+ ex p(X ) i n d u c e s a s m o o t h ( n o n -l in e ar ) m a p f r o m a n e i g h b o r h o o d o f 0 i n A p i n t o ffk, v" T h i s i s a s t a n d a r d r e s u l t .M i t t e r a n d V i a l le t [ 1 2 ] , f o r e x a m p l e , g iv e a p r o o f fo r p - - 2 , a n d t h e i r p r o o f is v a li df o r p k > 4 b e c a u s e m u l t i p l i c a t i o n i n d u c e s a c o n t i n u o u s m a p L k, p X L k , p ~ L k , p( P a l a is , S e c t . 9 ). T he e f f ec t ive ga ug e g r ou p (9e a l so a c t s on g = F ( P x oE) i f Z ke r 0 ;t h i s o c c u r s i f t he h ighe s t we igh t o f ~o l ie s on the r o o t l a t t i c e o f :7* . I n t h i s s e c t io n w ew i ll a s s u m e t h a t ~ is s u c h a r e p r e s e n t a t i o n .

W e f i rs t d e t e r m i n e t h e e q u a t i o n f o r t h e o r b i t o f (qe i n a n e i g h b o r h o o d o f a C ~f ie ld ([7 , 4 ,) ~ c# x d . This co nn ec t io n Vpr ov id es an ide nt i f ica t io n c~ = A 1 by V + ~ ~--~t/.C h o o s e a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n 9 c lo s e to t h e i d e n t i t y a n d w r i te g = e x p ( X ), X s A .T h e n 9 t r a n s f o r m s t h e c o n n e c t i o n V + r / t o

g . ( g + t / )= V + g V g - 1 + ( a d g ) t /o r

e x p (X ) ( V + 11) - V = e x p ( X ) V e x p ( - X ) + A d [ e x p ( X ) ] q .T h i s e x p r e s s i o n i s n o n - l i n e a r i n X ; w e c a n w r i te i t a s i ts l i n e a r i z a t i o n p l u s ar e m a i n d e r : e xp (X) ( V+ t/ ) - V = t /+ V X + R ( X , t l). (4.1)R ( X , tl) is a p o w e r s e r ie s o f b r a c k e t s o f X , V X , a n d q , a n d R ( t X , t t / ) = O( t2).

N o w s u p p o s e t h a t t h e r e i s a f i e l d 4 , s g = F ( W E ) p r e s e n t ( W is a n y b u n d l ea s s o c i a t e d t o t h e f r a m e b u n d l e o f M ) . W r i t e n e a r b y f ie ld s a s 4 , + ~ w h e r e ~ E d issm al l . T h en g = ex p (X ) t r a ns fo rm s 4 , + ~p to ~(g)(4, + ~c,), o r

ex p (X)(4, + ~P )- 4 ' = ~ + o(X ) (4, + ~P)+ S (X , 4' + ~P) (4.2)w h e r e S( tX , 4) + 9) = O( t2)

I t fo l lo w s f r o m t h e s e tr a n s f o r m a t i o n f o r m u l a e t h a t t h e a c t io n o f t h e g a u g eg r o u p i n d u c e s a s m o o t h m a p% + i .~ x (%~ x g )~ ,v- - , (~ x g )k , .f o r ( k + 1 ) p > 4 ( c f . U h l e n b e c k [ 2 0 ] ) .

I t is a l s o a p p a r e n t f r o m E q . (4 .1 ) a n d ( 4.2 ) t h a t t h e t a n g e n t s p a c e t o t h e o r b i t o ft h e g a u g e g r o u p t h r o u g h (g, 4 , ) ~ g is t h e i m a g e o f

K : A - - * A ~ x E b y X ~ ( V X , o ( X ) 4 , ) . (4.3)T h e L 2 o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f th e i m a g e - w h i c h is th e k e r n e l o f t h e a d j o i n to p e r a t o r K * - p r o v i d e s a n a t u r a l s li ce f o r t h e g a u g e o r b i t . T h i s a d j o i n t i sK * : ( q , ~ ) ~ V * t / + ( l p , 0 ( ) 4 ' ) , w h e r e t h is l a st t e r m s p ec if ie s a n e l e m e n t o f A = ( A ) *v i a th e K i ll in g m e t r i c a n d e v a l u a t io n . M o r e g e n e ra l ly , f o r e a c h 0 < 2 s l R w e c a nc o n s i d e r t h e s u b s p a c e k e r K ~ w h e r e

K * : (q , w ) ~ v * ~ + ; < ~ , ~( ) 4 , > .F r o m ( 4 . 1 ) , ( 4 . 2 ) , a n d ( 4 . 3 ) w e s e e t h a t 0 = K * [ g . V + t / ) - 17,g . 4 ' - 4 ,] i f a n d o n l y i f

O = V * V X + V * r l+ V * R ( X , rl)+ 2 +2 < 0( X )(4 , + V2),~o( )4'>+ 2 (S (X , 4 ' + ~P),O ( ) 4 ' ) . (4.4)


21/40

G a u g e T h e o r ie s o n F o u r - M a n i f o l d s 5 83

T h i s i s a n e l l ip t i c e q u a t i o n f o r X , a n d i f X is a s o l u t i o n t h e n g = e x p ( X ) is a g a u g et r a n s f o r m a t i o n w h i c h c a r r i e s ( V + r / , ~b + tp ) o n t o t h e s li c e k e r K * t h r o u g h (V , ~b).

T h e s li ce t h e o r e m w i ll a p p l y a t t h e regular poin ts o f c~ g _ t h e o p e n d e n s e s e to f p o i n t s (17, 4)) w h e r e k e r K a = {X ~ A+ 2 ,p /VX = 0 a n d 0 ( X ) 4 ) = 0 } i s z e r o ( i.e . w h e r et h e a c t i o n o f t h e g a u g e a l g e b r a is f re e ).T h e o r e m 4 .1 . L e t M be a com pact Riema nnian 4-mani fo ld , poss ib ly wi th boundary .F ix a r egu lar fi e ld (17, c~ ~ (c6 x g)k + 1 p w ith k >=O, 2 < p < 4 . T hen there i s a cons tan t c osuch tha t fo r eve ry f ie ld (rl , ~p)e(A 1 x E)k + 1,v with ]l(t/, ~P)llk+ ,v < Co the re is a ga ug etran sfor m ation g E CKa+2, p, unique in a neighbo rhood o f the iden t i ty, w i th

K ~ ( g - ( V + ~ ) - V , g .( 4 ) + ~ ) - ~ ) = 0we ak ly. U" V, ~, rh and ~ are C ~ then g i s C ~.P r o o f T h e p r o o f is a n a p p l i c a t i o n o f t h e B a n a c h s p a c e im p l ic i t f u n c t i o n t h e o r e m .

0 w h i c h v a n i sh o n 3 M 0e t T C A + 2 , p b e t h e s u b s p a c e o f X Ak+2 , p (T = Ak+ 2, p i f3 M = ~b). L e t F b e t h e m a p

T ( A 1 g ) ~ + i , p - ~ A k pd e f i n e d b y F ( X , ( th ~ p ) ) = r i g h t - h a n d s i d e o f ( 4.4 ). S i n c e m u l t i p l i c a t i o n is a c o n -t i n u o u s m a p

L k + l , p X L k + l , p - " ~ L k , p a n d L k + 2 , p X L k + l , p - - r L k + l , p( P a l a i s , S e c t . 9 ) w e h a v e

]l F (X , (t/, ~))[[k,p < C(1]X]lk+2 ,; + I1~[]k+ I , p + IIR(X, t/)ljk+ 1,p-~ " '~ '] ]IP l lk + , p l l 4 ) lJ k + l , p - l - 2 l l X [ l k + 2 , p " l l~ J l k + l , p ' l l ~ - ~ - l ] ) l [ k + l , p+ , ~ l l~ I lk + 1 . , " I l s ( x . 4 ) + t ;) ll k + 1 . , ) .

W h e n t h e n o r m s o f X , rl, a n d ~p a r e s m a l l , t h e c o n t i n u i t y o f . ox p . A g + 2 , p -- ~ ~ k + 2 , pi m p l i e s t h a t]IS(X, 4) + ~)l[k + t ,p = I[exp (X ) (4~ + ~P) - (4) + W ) - o(X)(4) + ~)11~+ i ,p

< c l l 0 + ~ l [ k + ~ , v " I lX l lk 2 , p ,a n d s i m i l a r l y t l R ( X , r / ) I I ~ + l v < c ( l l X i l k 2 p + l l ~ t l k l , . ) . T h u s t h e r e a r e n e i g h -b o r h o o d s U o f z e r o i n T a n d ' V o f z e r o i n i'~ i 1 x g) k + 1, p s u c h t h a t F i s a c o n t i n u o u s0m a p F : U x V---~Ak, p. S i m i l a r e s t i m a t e s s h o w t h a t F is C ~.

T h e d i f f e re n t i a l o f F a t z e r o i s DIE(O, 0 ) X = K * K X = V * V X + 2 ( o ( X ) 4 ) , O ( ) 4 ) ) .F o r k > 1 m u l t i p l ic a t i o n is a c o n t i n u o u s m a p L k + l , p L k + l , p L k , p ~ L g , v ( s e e[ 1 4 ] ) s o 1 1 1 / * g x I I k , p - - I I V * V X l l k , v l < c l t t411g+ ~ . p l l X l lk , p ,w h i l e f o r k = 0 t h i s d i f f e r en c e is b o u n d e d b y ] l c ~ l l ~ , p . t l X l l ~ < C N I l X l l 2 , . ; i n b o t hc a s e s ][K*KXI[k,p


22/40

5 84 T . H . P a r k e r

f o r a n y e > 0 ; c h o o s i n g e su f fi ci en t ly s m a l l a n d s u b t r a c t in g y ie l dsl I X l l o , 2 < c s [ I K * K X I E o , p . A l s o , u s i n g K a t o ' s i n e q u a l i t y a s i n t h e p r o o f o fP r o p o s i t i o n 2 . 1 ,

I X Id * dlX l < < X , V * V X > = 0T h e m a p g ~ ( Q ( g ) - 1 ) 4 )1 i n d u c es a c o n t i n u o u s m a p

#k+ 2 , p ~ F o ( V 1 ) ~ L 2 ( E )


23/40

Gau ge Theories on Four-M anifolds 585w h o s e i m a g e i s c o m p a c t a n d - s i n c e (1 71 ,0 50 is r e g u l a r - d o e s n o t c o n t a i n t h e z e r os e c t i o n . H e n c e I T ( ~ ( g ) - 1)051]T2 , 2 > c l a n d

11911 2 2 ~ l ] g [ l ~ , 2 < = c - ~ l c o . V o l M . l ] ( ~ ( g ) _ i ) 0 5 1 2 2f o r a l l g E ~ k + 2 , p ~ f f o ( V l ) . S i n c e t h e e l e m e n t s o f F ~(V 1) 2 > 0 s a t is f y t h e P o i n c a r 6i n e q u a l i t y w e o b t a i n

}tgl 2 . (4 .5)1 t o , 2 < = c 2 ( i l g V ~ g - l i ~ , 2 + ' ~1(~(g)- I)051 Io ,2) Vg@~k+2,pI n t e r p o l a t i n g a s a b o v e a n d n o t i n g t h e e q u i v a l e n c e o f ]]k,p, Vo a n d t]k,p,v,, t h i se x t e n d s t o

I lg ll lk + 2 ,p , V o < = C 3 ( l lg V l g - l H k + l , p ,~ o + l l ( ~ ( g ) - I ) 0 5 1 1 [ k + l , p , v o ). (4 .6 )N o w i f ([7 2,0 5 2 ) = ( g V I g - 1 , 0 ( g ) 0 5 1 ) ~ N is g a u g e e q u i v a l e n t t o (V1 , 051) t h e n

H(V2 - V1,052 - 05 1)Ilk+ 1, , , vo > c f 1Hg 1 I lk+2, , , Vof r o m (4 ,6 ). B y t h e S o b o l e v e m b e d d i n g t h is i m p l i e s ( w i th N p o s s i b l y s m a l l e r) t h a t g 1is s m a l l in t h e s u p n o r m . D e c o m p o s e f f i n t o s i m p le f a c t o rs ff i s o ~ e C Z ~ E n d ( j )= Z ~ ~ , w h e r e e a c h ~ is o n e - d i m e n s i o n a l . W e th e n h a v e

]g ~ - I1 = 1 - [ g ~ l = 1 - ] / 1 - [ g ~ l 2 < I g ] la n d ]g - i ] 2 _ Igo - I i a + ]91[ 2 = c4 ]] g - I I l k ~2,p, Vo. (4 .7 )A g a i n m a k i n g N p o s s i b l y s m a l l e r , ( 4.7 ) i n s u r e s t h a t I I g - I l I k + z , p i s s m a l l e n o u g hf o r T h e o r e m 4 .1 t o a p p l y a n d w e c o n c l u d e t h a t g i s t h e i d e n ti ty . T h u s t h e s li ce isg l o b a l l y e f f e c t i v e .

T h e p r o o f is c o m p l e t e d b y a s t r a ig h t f o r w a r d a r g u m e n t ; s e e M i t te r a n d V i a ll e t[ 1 2 ] . [ ]

5 . G a ug e s a nd R eg ula r i t yI n t h is s e c t io n w e sh o w t h a t s o l u t i o n s t o t h e c o u p l e d f ie ld e q u a t i o n s h a v e t h er e g u l a r i t y p r o p e r t i e s e x p e c t e d f o r e l l i p t i c e q u a t i o n s , s p e c if i ca l ly , t h a t f o r p > 2 a nL 1 , p w e a k s o l u t i o n i s C a . T h i s is b a s i c a l l y e l l i p t ic r e g u l a r i t y ; t h e s u b t l e t y i s t h a tt h e c o u p l e d e q u a t i o n s a r e e l li p ti c o n l y a f te r a c h o i c e o f g a u g e . W e f i rs t r e i n t e r p r e tt h e S l ic e T h e o r e m . R a t h e r t h a n u s i n g a c o n n e c t i o n t o i d e n t i f y cg = A 1, w e s h a l lc h o o s e a p o i n t x ~ M a n d a b a l l B = B ( x ; r ) a r o u n d x a n d u s e a f ix e d g a u g e -c o n s i d e r e d a s a se c t i o n o f t h e f ra m e b u n d l e o f E - t o p u l l d o w n c o n n e c t i o n s . T h i si d e n t i f i e s t h e s p a c e c gB o f c o n n e c t i o n s o v e r B w i t h A I[B . L e t V b e t h e c o n n e c t i o nc o r r e s p o n d i n g t o O ~ A I I B u n d e r t h is i d e n t if i c a ti o n . T h e n , i n t e rm s o f e o v a r i a n td e r i v a t i v e s , t h e o r i g i n a l c o n n e c t i o n i s V = d + o , a n d V i s s i m p l y e x t e r i o rd i f f e r e n t i a t io n d . T h e S l i ce T h e o r e m 4 .1 ( w i t h 0 5 - 0 ) y i e ld s :P ro po s i t i o n 5 . 1 . L e t V b e a n L k + 1 . p , k > O , 2 < p < 4 c o n n e c t i o n o n a b u n d l e E o v e r a4 - m a n i fo l d M a n d le t a : M ~ F r a m e ( E ) b e a C a g a u g e f o r E , T h e n t he re ex i s t s ac o n s t a n t 7 > 0 d e p e n d i n g o n l y o n M s u c h t h a t i f V = d + o3 a n d l l o 3 ] l k + l , p < ? i n t h e


24/40

586 T. H, Parker

g a u g e ~ t h e n t h e re is a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n g ~ N k + a , ; s u c h t h a t d ' c o = 0 i n t h eg a u g e g ' c r . I f V i s C ~ t h e n g i s C ~ . [ ]

W e n o w h a v e a t w o s t e p p r o g r a m f o r o b t a i n i n g n a t u r a l g a u g e s : (i) C h o o s e aC ~ g a u g e a r o u n d a g i v e n p o i n t X o, a n d ( ii) m o d i f y th i s t o a g a u g e i n w h i c h d ' c o = 0u s i n g t h e a b o v e p r o p o s i t i o n . T o a c c o m p l i s h (ii) i t is n e c e s s a r y t o m a k e t h e L k . pno r m o f t he f i e ld s sma l l . F o r t h i s we sha l l u se the r e sc a l ing p r inc ip l e .T h e o r e m 5 .2 . L e t V b e a n L 1 , p p < 2 < 4 c o n n e c t i o n o n a d o m a i n D C M 4. T h e n t h e r ei s a C ~ g a u g e rr a n d a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n g E f 2 , p s u c h t h a t , a f t e r a c o n s t a n tc o n f o r m a l c h a n g e o f m e t r i c , d ' c o = 0 i n a n e i g h b o r h o o d o f O e D i n th e g a u g e g . cr a n dt h e n e w m e t r i c .P r o o f G i v e n e > 0 c h o o s e a C ~ g a u g e i n a n e i g h b o r h o o d o f 0 e D a n d a s m a l l b al lB (1, z2), -c > 1, a r o u n d 0 w it h [11709110,p< e in t he o r ig in a l s c a le . En la r g e B ( 1 , r 2 ) t ot h e u n i t d i s k B ( z , 1) by a c o n f o r m a l c h a n ge o f me t r i c . S inc e I co l p a n d IlTc of= t ~ e k Vkco[ h a v e c o n f o r m a l w e i g h t 2 p r e s c a l i n g g i v e s

2p a n dlcoll~,2p, B (~ , l )= ~z P -4t tco l lo ,2 p;m ,~2 ) ]]Vcol lg , ,;B(~,x~=z2p-41lVo) l lg ,p;B


25/40

G a u g e T h e o r i es o n F o u r - M a n i f o l d s 5 87

6. Gauge Invariant Est imatesW e n o w b e g i n th e c a l c u l a ti o n s l e a d in g t o o u r f i rs t m a i n e s t i m a t e o n s o l u t i o n s t ot h e c o u p l e d f ie ld e q u a t i o n s : t h e s u p r e m u m o f IF[ i n a b a l l is b o u n d e d b y t h e e n e r g y~1F12 i n a l a r g e r b a l l ( T h e o r e m 6 .3 ). F o r t h is w e u s e t h e D e G e o r g i - N a s h i t e r a t i o ns c h e m e , f o l l o w i n g ( M o r r e y , S e c t . 5 .3 ). T h e r e a r e , h o w e v e r , t w o c o m p l i c a t i o n s .F i r s t, b e c a u s e d i f fe r e n t ia l e q u a t i o n s f o r v e c t o r - v a l u e d fu n c t i o n s a r e n o t d i r e c t l ya m e n a b l e t o t h is a p p r o a c h w e m u s t c o n v e r t th e c o u p l e d d i ff e re n t ia l e q u a t i o n s f o r4 a nd O in to a d i f f e r e n t i a l i nequal i t y f o r t h e f u n c t i o n ] f J . S e c o n d , i n o r d e r t om a n a g e t h e n o n - l i n e a r i t y o f t h e r es u l t in g i n e q u a l i t y w e n e e d a g r o w t h c o n d i t i o no n t h e L 2 n o r m o f t h e c o e ff ic i e nt s . T h i s i s e a si l y v e r i fi e d i f w e a s s u m e s u f fi c ie n tr e g u l a r i t y f o r t h e f i e l d s , a s w e s h a l l . ( I n t h e n e x t s e c t i o n , w h e n w e t a k e u p t h ep r o b l e m o f t h e r e m o v a b i l i t y o f s i n g u la r it ie s t h e n e e d f o r t h is g r o w t h c o n d i t i o n w i llbe t he c h i e f d i ff i c u lty . )A l l e s t im a te s i n t h i s s e c t ion w i l l be a p riori, t h a t is, w e w il l a s s u m e ( b y T h e o r e m5 .3 ) t h a t t h e f i el d s a r e C a w a y f r o m a n i s o l a t e d s i n g u l a r it y . W e w i ll a ls o t r e a t m a sa f u n c t i o n r a t h e r t h a n a c o n s t a n t ; t h i s w i l l b e i m p o r t a n t l a t e r , i n S e c t . 8 , w h e n w ee x a m i n e h o w s o l u t i o n s o n IR c a n e x t e n d t o S 4.

T h e c o m p u t a t i o n s a r e g r e a t l y f a c i l i t a t e d b y c h o o s i n g a n a p p r o p r i a t e c o o r -d i n a t e s y s t e m . F i x a p o i n t x ~ M a n d l e t { el } b e a n o r t h o n o r m a l b a s is o

Gaugetheories Parker

Documents

Transcript of Gaugetheories Parker