FİZ 217 TİTREŞİM ve DALGALARyunus.hacettepe.edu.tr/~bayari/FIZ202 Lab/DERS... · And Rankin, P....

FİZ 217TİTREŞİM ve DALGALAR

Hazırlayanlar:

Dr. Mustafa POLATDr. Leyla TATAR YILDIRIM

2017

YARARLANILAN KAYNAKLAR:

Prof. Dr. Hüseyin ÇELİK ve Prof. Dr. Leyla YILDIRIMFİZ 217 Titreşim ve Dalgalar ders notları

French, A.P. (1971). ‘‘Vibrations and Waves’’. The M.I.T.Introductory Physics Series, W.W. Norton & CompanyInc., New York.

King, G.C. (2009). ‘‘Vibrations and Waves’’. ManchesterPhysics Series, John Wileys and Sons Ltd., Hoboken,United States.

Pain, H.J. And Rankin, P. (2015). ‘‘Introduction toVibrations and Waves’’. John Wileys and Sons Ltd.,Hoboken, New Jersey.

TİTREŞİM VE DALGALAR

Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basitbir sinüs eğrisidir. Bu nedenle basit harmonik hareketesinüzoidal hareket denir.

Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir.

Bir eksen boyunca, sabit bir nokta etrafında periyodikhareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Genellikle sinüs veya cosinüs fonksiyonları ile ifade edilenperiyodik hareketlere harmonik hareket denir.

Böyle hareket yapan bir parçacığın hiç bir kuvvetinetkisinde kalmadığı konuma denge konumu ve herhangi birandaki konumunun denge konumuna olan uzaklığınauzanım denir.

Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet,uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonikhareket (BHH) denir.

Maksimum uzanıma genlik denir.

Periyodik Hareketler:

1

Titreşim, bir denge noktası etrafındaki mekanik salınımdır.

Bir ortamın veya uzamış ya da yayılmış bircismin tüm noktalarının kendi denge konumlarıçevresinde yaptıkları titreşim hareketlerinintopluca görünümüne dalga hareketi denir.

Bu salınımlar, kütle-yay sistemi veya bir sarkacın hareketi gibi periyodik olabileceğigibi rastgele de olabilir.

Başka bir tanımla dalga, bir ortamın (katı, sıvı,gaz hatta plazma olabilir) maruz kaldığı etkiyiiletmesidir.

2

http://tr.wikipedia.org/wiki/Dosya:Drum_vibration_mode21.gif

http://tr.wikipedia.org/wiki/Dosya:Drum_vibration_mode21.gif

http://tr.wikipedia.org/wiki/Mekanik

http://tr.wikipedia.org/wiki/Sarka%C3%A7

http://tr.wikipedia.org/wiki/Periyot

Düzgün Dairesel Hareket Konik Sarkaç Fiziksel Sarkaç

Çekirdek etrafında elektronunyörüngesel hareketi Elektronun spin hareketi

Periyodik Bazı Hareketlere Örnekler:

N

S

�⃗�𝜇

𝑆𝑆

e

N

S

�⃗�𝜇

𝑆𝑆e

3.1. Fiziksel Sistemlerin Serbest Salınımları:Basit Harmonik Hareket (BHH)

BÖLÜM 3

Cisimlerin elastik özellikleri ile ilgili olarak kuvvet ve yer-değiştirme ilişkisi RobertHooke tarafından basit bir şekilde ifade edilmiştir:

( ) ( )∗kuvvet = sisteme özgü sabit yer - değiştirme−

ile verilen geri çağırıcı bir kuvvet uygulanır.

Örneğin kütle-yay sistemi için, denge konumuna göre xkadar sıkıştırılmış veya gerilmiş yayın ucuna tutturulmuşcisme yay tarafından, Hooke yasasına göre,

F = kx−

Yer-değiştirme ile orantılı geri çağırıcı bir kuvvetinetkisindeki cisimler BHH yaparlar.

1

3.1.1. Yatayda Kütle-Yay sistemi

Bu denklemin çözümü,

𝑥𝑥 : uzanım ω : açısal frekans𝐴𝐴 : genlik 𝜑𝜑 : faz sabiti

2

2 0d x kF = ma = kx + x =dt m

− ⇒

22 2

2 0k d x + x =m dt

ω ω= ⇒

( )( ) cosx t A tω ϕ= +

22 2 m= f = TT kπω π π⇒ =

f : frekans ve T : periyod , olmak üzere:

Denge noktası

2

∆l

3.1.2. Düşeyde Kütle-Yay sistemi

Yaya asılı kütle denge durumunda iken,

mg = k l∆

olmalıdır.

( )+F = k x+ l mg = kx k l mg− −∆ − ∆ +

2

2 0d x k+ x =dt m

22 2

2 0k d x + x =m dt

ω ω= ⇒ ( )( ) cosx t A tω ϕ= +

Cisim denge konumundan bir miktar uzaklaştırılıpserbest bırakılırsa BHH yapacaktır. Dengenoktasına göre x kadar aşağıda olan cisim için,

m∆l

= kx−

3

ϕ = 0 özel durumu için uzanımın (x), hızın (v) ve ivmenin (a) zamana bağlı değişimleri aşağıdaki grafikte verilmiştir.

4

Paralel Bağlı Yaylar:

Seri Bağlı Yaylar:

Paralel bağlı yaylardaki uzama miktarları birbirine eşittir.Yayların kütleye uyguladığı toplam kuvvet, her iki yayınuyguladığı kuvvetlerin toplamına eşittir.

Yaylar paralel bağlandığında toplam yay sabiti, yayların yay sabitlerinin toplamına eşittir.

Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz. Seri bağlıyaylarda her bir yay üzerinde ortaya çıkan kuvvetler eşittir.

Yaylar seri bağlandığında, toplam uzama her iki yaydaki uzamanın toplamına eşittir.

( )1 2 1 2 net netF F F F = k k x= + ⇒ − +

.net eşF = k x−

1 2F = F F=

1 2. 1 2

eş

F F Fx = x + x =k k k

⇒ +. 1 2

1 1 1

eş

=k k k

+

. 1 2eşk = k k+

5

3.1.3. Basit Harmonik Harekette Enerji

BHH yapan bir kütle-yay sisteminin herhangi bir andaki mekanik enerjisi

2 21 12 2

E = K +U mv + kx=

ifadesi ile verilir.

( ) ( ) ( ) ( )cos ve sinx t = A t v t = A tω ω ω−

2 22 21 x v+ = v = A x

A Aω

ω ⇒ −

olduğundan, cismin herhangi bir konumdaki hızı için,

ifadesi elde edilir.

( ) ( )2 22 2max. max.

1 1 1 2 2 2

k K m v m A = kAm

ω ω= ⇒ = =

BHH yapan bir cismin herhangi bir andaki uzanımı ve hızı,

Cisim denge konumundan geçerken (𝑥𝑥 = 0) en büyük hıza (vmax. = Aω), dolayısıylaen büyük kinetik enerjiye sahip olur:

6

Cisim dönme noktalarından geçerken (v = 0 veya xmax= A) ise en büyük potansiyelenerjiye sahip olur:

( ) ( )2 2 2 2 21 1sin cos2 2

E = K +U mA t + kA tω ω ω=

( ) ( )2 2 2 21 1sin cos2 2

E = kA t t kAω ω + =

( )2 2max. max.

1 12 2

U k x kA= =

Cismin herhangi bir andaki mekanik enerjisi,

ifadesine sahiptir.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1sin veya 2 2 2

K t m v t kA t K x E kxω= = = −

Kinetik ve potansiyel enerjilerin zamana veya konuma bağlılıkları ise aşağıdakigibidir.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1cos veya 2 2 2

U t k x t kA t U x kxω= = = 7

Kinetik ve potansiyel enerjilerin zaman ve uzanımla nasıl değiştikleri aşağıdakigrafiklerde özetlenmiştir.

Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı, maksimumkinetik enerjiye veya maksimum potansiyel enerjiye eşit olacaktır.

( ) ( )2 2 21 1sin2 2

K t kA t E kxω= = − ( ) ( )2 2 21 1cos2 2

U t kA t kxω= =

8

3.2.1. Basit Sarkaç

Sarkaç, denge konumundan küçük bir θ açısı kadaruzaklaştırılıp serbest bırakılırsa mg yerçekimi kuvvetiyleipteki T gerilmesinin etkisi altında düşey bir düzlemdeperiyodik salınımlar yapılır. Böyle bir sarkaç basit sarkaçolarak adlandırılır.

Bir ucu sabit bir noktaya tutturulmuş, kütlesi ihmaledilebilir l uzunluğundaki ipin diğer ucuna m kütlelinoktasal bir cisim bağlanarak oluşturulan sisteme sarkaçdenir.

Yay uzunluğu s = lθ alınır ve küçük açı (θ < 10°) yaklaşımı kullanılırsa, geri çağırıcıkuvvet:

( )sintF mg θ= −Kütleye etki eden geri çağırıcı kuvvet teğetseldir:

( )3 5 7

sin3! 5! 7!θ θ θθ θ θ= − + − + ⋅⋅⋅ ≈ t

mgF mg sl

θ = − = −

Dolayısıyla bu şart altında basit sarkacın hareketi basit harmonik hareket’ tir.9

( )22

2 2t t

d ld sF ma m m mgdt dt

θθ= = = = −

2

2 0d gdt lθ θ+ =

22 2

2 0g dl dt

θω ω θ= ⇒ + =

1 22

g g lf Tl l g

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =

( ) ( )max. cost tθ θ ω ϕ= +

θ : açısal uzanım ω : açısal frekansθmax. : açısal genlik 𝜑𝜑 : faz sabiti

3.2.2. Basit Sarkacın Enerjisi

( ) ( )sin sinx x l ll

θ θ θ= ⇒ = ≈

( )2 2 2 2 2 2 0l y x l y ly x− + = ⇒ − + =

2

2xy l yl

<< ⇒ =

10

( )2 2max.

1( ) ( )2

K E U mglθ θ θ θ= − = −

21 ( )2

x = l U mglθ θ θ⇒ =

( )2 2 2 2max.

1 1( ) sin2 2

K t mv ml tθ ω ϕ= = +

( ) ( )2 2 2 2max.

1( ) cos2 2mgU t mgy l t = ml t

lθ θ ω ϕ= = +

2 2max.

1( ) ( )2

E K t U t ml θ= + =

2 2max. max.

12

K ml θ=

2 2max. max.

12

U ml θ=

( ) ( )max. cost tθ θ ω ϕ= + ( ) ( ) ( )max. sind ldsv t l t

dt dtθ

ωθ ω ϕ= = = − +

( )max. max. max. max.gv l l gll

ωθ θ θ

= = =

11

3.2.3. Burulma Sarkacı

Küçük açılı burulmalar için geri çağırıcı tork: τ κθ= −

Burada κ, telin burulma sabitidir.

2

2

dI Idtθτ α κθ= = = −

2

2 0ddt Iθ κ θ+ =


1 22

If TI Iκ κω π

π κ= ⇒ = ⇒ =

22 2

2 0 dI dtκ θω ω θ= ⇒ + =

Kullanılan katı cisim, M kütleli ve R yarıçaplı bir disk ise:

2

2 2

2 1 2 22 2

MRf TMR MRκ κω π

π κ= ⇒ = ⇒ =

212diskI MR=

12

3.2.4. Fiziksel Sarkaç

( )sinmg h mghτ θ θ= − ≈ −2

2 dI I mghdtθτ α θ= = = −

22 2 21 1

12 2 3kmlI I mh ml m ml = + = + =

2

2 0d mghdt Iθ θ+ =

22 2

2 0mgh dI dt

θω ω θ= ⇒ + =

1 22

mgh mgh If TI I mgh

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =


Katı cisim m kütleli, l uzunluğunda ve bir ucu etrafında serbestçe dönebiliyorsa:

3 1 3 2 22 2 2 3g g lf Tl l g

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =

13

3.2.5. Yüzen Cisimler İçin Basit Harmonik Hareket

Eğer yüzen bir cisim hafifçe bastırılırsa ya da denge konumundan hafifçe yukarıkaldırılırsa, bu cisme yer değiştiren sıvının ağırlığına eşit bir geri çağırıcı kuvvetetki eder. Bu kuvvetin etkisindeki cisim BHH yapar.

Yüzen cisim 𝑦𝑦 kadar bastırılıp serbest bırakıldığında BHH hareketi yapar.

𝐹𝐹

𝑊𝑊𝑠𝑠(Sıvının uyguladığı geri

çağırıcı kuvvet)

( )sF Ay gρ= −

( )s sW Ay gρ=(yer değiştiren sıvının ağırlığı)

𝑚𝑚 : yüzen cismin kütlesi𝐴𝐴 : kesit alanı

: sıvının yoğunluğu𝜌𝜌𝑠𝑠

14

Frekans ve periyodun yüzen cismin kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.

( )2

2 sd yF ma m Ay gdt

ρ= = = −2

2 0s Agd y ydt m

ρ+ =

22 2

2 0s Ag d y ym dt

ρω ω= ⇒ + =

1 22

s s

s

Ag Ag mf Tm m Ag

ρ ρω ππ ρ

= ⇒ = ⇒ =

( ) s smgmg Ah g Agh

ρ ρ= ⇒ =

1 22

g hf Th g

ππ

= ⇒ =

( ) ( )max. cosy t y tω ϕ= +

15

3.2.7. Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar

İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devrede yükün veya akımın değişimi BHHözelliği gösterir.

0q diLC dt− =

2

2

1 0dq d qi qdt dt LC

= − ⇒ + =

22 2

2

1 0d q qLC dt

ω ω= ⇒ + =

( ) ( )max. max. max. max.sin sin ; dqi q t i t i qdt

ω ω ϕ ω ϕ ω= − = + = + =

1 1 1 22

f T LCLC LC

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =

( ) ( )max. cosq t q tω ϕ= +

16

22

2 0d q qdt

ω+ =

LC devresi ile Kütle-Yay sistemi arasındaki benzerlik:

Kütle-yay sistemi: LC devresi:

22

2 0d x xdt

ω+ =

1

x q

kC

m Lv i

→

→

→→

2 21 12 2

km

E mv kx

ω =

= +2

2

1

1 12 2

LCqE LiC

ω =

= +

17

3.3. Serbest Titreşimlerin Bozulması:

3.3.1. Sönümlü Hareket ve Sönümlü Harmonik Hareket

Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin devreye girmesiyle serbesttitreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız.

Harmonik hareket yapan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse salınımıngenliği, sürtünme nedeniyle zamanla küçülerek sıfır olur. Bu tür salınımlara sönümlüharmonik hareket denir.

Sürtünme, genellikle hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır. Sürtünmekuvvetlerinin büyüklüğü de çoğu kez hıza bağlıdır. Pek çok örnekte, sürtünmekuvvetinin büyüklüğü hız ile orantılı olup, hıza zıt olarak yönelmiştir.

Şekilde görüldüğü gibi, yaya asılı olan bir kütlenin sıvıdolu bir kap içinde düşey doğrultuda salınım hareketiyaptığını düşünelim. Bu kütle viskoz sıvı içinde hareketederken enerjisini kaybetmeye başlayacaktır, başka birdeyişle kütle sönümlü harmonik hareket yapacaktır.

18

• Potansiyel enerjinin tümü, kütlesiz ve hiç bir sürtünme kuvvetinin etkimediği idealyayda toplanır.

Kabullenmelerimiz:

Sönümlü hareketin denklemi ikinci Newton yasasından elde edilir. Kütleye etki eden 𝐹𝐹kuvveti, – 𝑘𝑘𝑥𝑥 şeklindeki geri çağırıcı kuvvet ile −𝑏𝑏𝑏𝑏 şeklindeki sürtünme kuvvetlerinintoplamıdır. Burada 𝑏𝑏 bir sabit olup, vizkoz sıvıya özgü bir karakteristiktir.

Bu durumda hareket denklemi:

ma kx bv= − −

• Kinetik enerjinin tümü, salınan m kütlesinde toplanır.

• Isı şeklindeki tüm iç enerji, kabı dolduran vizkoz sıvıda ortaya çıkar.

2

2 0d x b dx k xdt m dt m

+ + =

20 ve b k

m mγ ω= =

2202 0d x dx x

dt dtγ ω+ + =

Bu denklem sabit katsayılı ikinci mertebeden, lineer, homojen bir diferansiyeldenklemdir.

19

Bu denklemin çözümü için rtx e= formunda bir çözüm önerilebilir.

Bu türden denklemlerin çözümü için ‘‘Calculus and Analytic Geometry, GeorgeBrinton Thomas, Jr.’’ kitabına bakabilirsiniz.

2 ; ; rt rt rtx e x re x r e= = = Bu çözüm önerisinden:

( )2 20 0rtr r eγ ω+ + = 2 2

00 ; 0rte r rγ ω≠ + + =

( )( )

2 21 0

2 22 0

1 421 42

r

r

γ γ ω

γ γ ω

= − + − = − − −

2 204γ ω∆ = − niceliği diskriminant olarak bilinir. Diskriminantın değerine göre bu

denklemin çözümünde üç farklı durum söz konusudur:2 2

0) 0 veya 4i γ ω− ∆ > >2 2

0) 0 veya 4ii γ ω− ∆ = =2 2

0) 0 veya 4iii γ ω− ∆ < <

( ) 1 2r t r tx t Ae Be= +

A ve B katsayıları başlangıç koşullarındanbelirlenebilir.

Kritik üstü sönüm

Kritik sönüm

Kritik altı sönüm20

1. Durum: Kritik üstü Sönümlü Hareket (Salınım yok)

Bu koşulda hareket zamanla üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Butip sönüm "Kritik Üstü Sönüm" olarak adlandırılır. Bu durumda hareket salınımlıdeğildir.

( ) ( )1 21 1 ve 2 2

r rγ γ= − + ∆ = − − ∆

( ) 1 2 2 22t ttr t r tx t Ae Be e Ae Be

γ ∆ ∆− −

= + = +

( )2 2

2 20 02 2

2

b bt tb t m mmx t e Ae Be

ω ω − − − −

= +

2 20) 0 veya 4i γ ω− ∆ > >

Her iki kök negatiftir !!!

21

2. Durum: Kritik Sönümlü Hareket (Salınım yok)

Zaman ilerledikçe x’ in değeri sıfıra yaklaşır. Bu tip sönüm "Kritik Sönüm"olarak adlandırılır. Bu durumda hareket salınımlı değildir.

1 212 2

br r rm

γ= = = − = −

( ) ( ) 2b t

rt mx A Bt e A Bt e − = + = +

2 20) 0 veya 4ii γ ω− ∆ = =

3. Durum: Kritik Altı Sönüm (Sönümlü Harmonik Hareket)

2 20) 0 veya 4iii γ ω− ∆ < <

2 20

1 42

ω ω γ= − 1 21 1 ve 2 2

r i r iγ ω γ ω= − + = − −

( ) [ ]1 2 2 2 cos sint tr t r t i t i tx t Ae Be e Ae Be e A t B t

γ γω ω ω ω

− −− = + = + = +

Salınıcı sönümlü harmonik hareket yapar.

22

eşitlikleri ile tanımlı iki yeni 𝐴𝐴0 ve δ sabitlerine geçebiliriz.

Burada 𝐴𝐴0 genlik, δ faz sabitidir. Faz sabitini δ = 0 seçmekte bir sakınca yoktur. Budurumda çözüm için,

bulunur. Bu çözümden, cismin bir titreşim hareketi yaptığı, fakat genliğinin zamaniçinde üstel olarak azaldığı görülmektedir. Sönüm nedeniyle cismin enerjisi korunmaz.

Bu ifadeyi sadece sinüs veya kosinüs cinsinden vermek, hareketi daha kolayyorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,

( ) ( ) ( )2 20 0 0cos ; sin ; ; tan BA A B A A A B

Aδ δ δ= = = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/20 0cos cos sin sintx t e A t A tγ ω δ ω δ−= +

( ) ( ) ( )/20 costx t A e tγ ω δ−= −

( ) ( ) ( ) ( )2

/2 /2 20 0 0cos cos

4t tx t A e t A e tγ γ γω ω− −

= = −

23

Kritik altı sönüm durumunda, salınım hareketi yapan cisim için uzanımın zamanladeğişimi aşağıdaki grafikte verilmiştir.

Ardışık iki maksimum arasında geçen zaman, hareketin periyodunu verir. Uzanımınmaksimum olduğu noktaların birleştirilmesiyle elde edilen eğri (kesikli çizgiler),genliğin zamanla değişimini verir.

24

0 γ2 > 4𝑤𝑤022 200 veya 4γ ω∆ > > 2 2

00 veya 4γ ω∆ = = 2 200 veya 4γ ω∆ < <

( )( )

2 21 0

2 22 0

1 421 42

r

r

γ γ ω

γ γ ω

= − + −

= − − −

1 212

r r r γ= = = −2

2 2 20 0

1 42 4

γω ω γ ω= − = −

1 21 1 ve 2 2

r i r iγ ω γ ω= − + = − −

( ) 1 2r t r tx t Ae Be= +

( ) ( ) 1r tx t A Bt e= +

( ) ( )/2 t i t i tx t e Ae Beγ ω ω− − = +

Kritik Üstü, Kritik ve Kritik Altı sönümler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Kritik Üstü Sönüm(Over-damped)

Denklemin iki reelkökü vardır :

Kritik Sönüm(Critical-damped)

Denklemin eşit iki reelkökü vardır :

Kritik Altı Sönüm(Under-damped)

Denklemin reel kökü yoktur, kompleks iki kökü vardır :

25

Kritik Üstü, Kritik ve Kritik Altı sönüm durumlarında uzanımın zamanla değişimiaşağıdaki grafikte özetlenmiştir.

26

3.3.2. Sönümlü Hareketin Ortalama Ömrü (zaman sabiti) veKalite Faktörü:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )/2 2/0 0cos cos

ttx t A e t A e tγ γω ω

−−= =

Üstel terimde zaman boyutundaki 2/γ sabiti, genliğin zamanla ne kadar çabuk azalaraksıfıra gittiğinin ölçüsüdür. Genliğin başlangıç değerinin 1/e’ sine düşmesi için geçen süre,

2 2mb

τγ

= =

ile verilir ve salınımın ‘‘ortalama ömrü’’ veya ‘‘zaman sabiti’’ olarak adlandırılır.Küçük zaman sabiti durumunda b sabiti büyük olduğundan, salınım kısa bir süredeiçerisinde azalarak yok olacaktır.

222 20 04 2

bm

γω ω ω = − = −

b büyüdükçe, salınımın açısal frekansı küçülür.Bu durumda da, salınımın periyodu artar.

22

0 00

1 12

bm

ω ω ω ζω

= − = −

niceliği, sönüm parametresi denir.ζ

27

parametresine göre sönüm durumları aşağıdaki gibi verilebilir:ζ

1ζ <

Kritik altı sönüm

1ζ = 1ζ >

Kritik sönüm Kritik üstü sönüm

28

02kb mω=Sönüm sabiti b’ nin, salınım frekansını sıfır yaptığı

kb b<


kb b= kb b>


ifadesi ile verilen ve ‘‘kalite faktörü’’ olarak bilinen Qparametresi ile de sönümü ifade etmek mümkündür.

0 0 0

2mQ

bω ω ω τγ

= = =

bir değeri vardır. Buna göre sönüm durumları aşağıdaki gibi verilebilir:ile verilen kritik

Bazı sistemlerin Q değerleri:

Saat sarkacı : 200Mikrodalga kavite osilatörü : 104

Quartz crystal :106

Q’ nun büyük değerleri için, sönüm sabiti b küçükolduğundan, salınım daha yavaş söner. Farklı Qdeğerleri için x(t) değişimleri yanda verilmiştir.

Q=14.4

Q=25.8

29

2 2220 0 0

0

11 14 2 2Qγ γω ω ω ω

ω

= − = − = −

Görüldüğü gibi Q’ nun büyük değerlerindeω ≈ ω0 almaya hakkımız vardır. Örneğin,

02 0,968Q ω ω= ⇒ =

Q büyüdükçe ω, ω0 değerine yaklaşmaktadır. Diğer bir deyişle, b sönüm sabitiazaldıkça Q kalite faktörü büyür ve sönümlü harmonik hareketin frekansı ω, basitharmonik hareketin frekansı olan ω0 değerine yaklaşır.

010 0,999Q ω ω= ⇒ =

30

Sönümlü harmonik hareketin enerjisi, sürtünme veya hareketi engelleyici kuvvetler(korunumsuz kuvvet) nedeniyle azalır. Sistemin toplam mekanik enerjisi,

3.3.3. Sönümlü Harmonik Harekette Enerji Kaybı

2 21 12 2

E K U mv kx= + = +

Burada kritik altı sönüm durumunu, yaklaşımı altında ele alalım:

( ) ( )22

220 0 0

0

cos ; 14 2

tx t A e t

γ γ γω ω ω ωω

− = = − = −

2 2

0 04 γ ω ω ω<< ⇒ ≈

( ) ( )20 0cos

tx t A e t

γ

ω−

≈

( ) ( ) ( )20 0 0 0

0

cos sin2

tv t A e t t

γ γω ω ωω

− ≈ − +

2 204γ ω

31

( ) ( )2

2 20 0 0

0 0

1 1 sin 2 cos2 2 2

tE K U kA e t tγ γ γω ωω ω

− = + = + +

x(t) ve v(t) ifadeleri mekanik enerji bağıntısında yerine konulursa,

( )20 0

0

1 1 sin 2 2 2

tE kA e tγ γ ωω

− = +

sonucu elde edilir. Burada E0 , sistemin t = 0anındaki mekanik enerjisidir.

Enerjinin ilk değerinin 1/e ’ sine düşmesi için geçen zaman, ortalama ömrün yarısı kadardr:

2ττ ′ =

( )/2 20 0 0 0

1 ; 2

ttE E e E e E kAτγ

−−= = =

32

3.3.4. Enerjinin Değişim Hızı

2 21 12 2

dE d dv dxmv kx mv kxdt dt dt dt

= + = +

sonucu elde edilir. Bu bağıntı da enerjinin sürekli azaldığını gösterir. Herhangi bir t1ve t1+T anlarındaki enerji değerleri, sırasıyla,

0 ma bv kx ma kx bv+ + = ⇒ + = −

( )( ) ( )

1

1

1 1 0

2 1 0

t

t T

E E t E e

E E t T E e

γ

γ

−

− +

= =

= + =

( )1

1

02

1 0

t TT

t

E eE eE E e

γγ

γ

− +−

−= =

1 2

1 0

2 2E E TE Q

π πγ γω

−= = =

( )1

1 2

/ 2

E osilatörde depo edilen enerjiQE E radyan başına enerjideki kayıpπ

= =−

( )dE ma kx vdt

= +

2dE bvdt

= −

2

1

1 1ET TE

γ γ<< ⇒ = −

33

3.3.4. Sönümlü Elektriksel Osilasyonlar

Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiş vedevrenin BHH yaptığını görmüştük. Yeni durumda,devreye bir R direnci eklenecektir.

t = 0 anında devredeki S anahtarı kapatılırsa, herhangi biranda devreden geçen akım i ve kapasitör üzerinde kalanyük miktarı q olacaktır. Kirchhoff yasaları gereği,

0q diL iRC dt− − =

yazılabilir.

2

2 0dq d q dq qi L Rdt dt dt C

= − ⇒ + + = ifadesi elde edilir.

2

2 0d x dxm b kxdt dt

+ + =Sönümlü harmonik hareket:

Devreden geçen akım, kapasitör üzerindeki yük cinsinden yazılırsa,

34

220 2

xkmb

b=m

γ

γω ω = −

( ) ( )2

2 20 0

1cos cos2

R Rt tL L Rq t q e t q e t

LC Lω

− −

= = −

Benzerlikleri kullanılarak, kritik altı çözüm için:

yazılabilir.

2 12RL LC

<

2

1/

=

12

qC

LR

RL

RLC L

γ

ω = −

2

2 0d q dq qL Rdt dt C

+ + =

2


+ + =

35

(Kritik altı sönüm)2 1

2RL LC

<<

01LC

ω ω≈ =

( ) ( )20 0cos

R tLq t q e tω

− ≈

2LR

τ =

Kritik üstü sönüm2 1

2RL LC

>

Kritik sönüm2 1

2RL LC

=

Kritik altı sönüm2 1

2RL LC

<

36

Mekanik sistemde tanımladığımız Q kalite faktörünün elektrik sistemde karşılığı ise,

0 1/ 1/LC LQ

R L R Cωγ

= = =

Q kalite faktörünü kullanılarak mekanik ve elektrik sistemlerinde sönümlü harmonikhareketin denklemini yeniden yazalım:

2


+ + =2

2002 0d q dq q

dt Q dtω ω+ + =

2

2 0d x dqm b kxdt dt

+ + =2

2002 0d x dx x

dt Q dtω ω+ + =

Bu benzerliği Fizik Laboratuvarı-IV dersinde yapacağınız deneylerde sık sıkkullanacaksınız.

olarak elde edilir.

37

Örnek-1. a) Kütlesi m olan bir cisim kuvvet sabiti k olan homojenbir yaya asılmıştır (Şekil-a). Yay denge konumundanitibaren hafifçe (y kadar) aşağı doğru çekilip serbestbırakılıyor. Sistemin titreşim periyodu nedir?

b) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-b’deki gibibağlanmıştır. Bu durumda titreşim periyodu nedir?

c) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-c’deki gibibağlanmıştır. Bu durumda titreşim periyodu nedir?

Çözüm-1.2 2

2 2) 0d y d y ka m ky ydt dt m

= − ⇒ + = 02 2k mT

m T kπω π= = ⇒ =

2 2

2 2

2) 0d y d y kb m ky ky ydt dt m

= − − ⇒ + =

02 2 2

2k mT

m T kπω π= = ⇒ =

2 2

2 2) 02 2

d y y d y kc m k ydt dt m

= − ⇒ + =

02 2 2

2k mTm T k

πω π= = ⇒ =

38

Örnek-2. Küçük bir blok platform üzerine konuyor. Platform düşeyyönde saniyede 10/π titreşim ve 5 cm genlikle BHHyapmaya başlamaktadır.

a) Blok hangi noktada platformu terk eder?b) Blok, platformun ulaştığı en üst noktaya göre ne

kadar yukarıya yükselecektir?

Çözüm-2. ( ) ( ) ( )2

2 22) sin sind ya y t A t A t y

dtω ω ω ω= ⇒ = − = −

Platformun ivmesi yer çekim ivmesine eşit olduğunda blok ile platformunteması kesilir. Bu andaki konuma 𝑦𝑦0 diyelim:

20 ya g y gω= ⇒ =

( )0 22

10 0,025 2 10 /

gy mω π π

= ≈ =∗

Blok platformu denge noktasından itibaren y0 = 0,025 myüksekte iken terk etmektedir. Buna göre, bloğunplatformu terk ettiği an ve o andaki hızı:

)b

( )110 10,025 0,05sin 2 sin 0,5 20 120

t t sπππ

− = ∗ ⇒ = =

( ) ( ) 03cos

2v t A t v m / sω ω= ⇒ =

v0

y0

39

20 0

12

y y v t gt− = −

Platformun yaptığı titreşimin genliği A = 0,05 m olduğuna göre, bloğun ulaşabildiği enyüksek nokta platformun ulaşabildiği en yüksek noktadan,

0,0625 0,05 0,0125 h y A m= − = − =

daha yukarıda olacaktır.

00 vv v gt t

g= − ⇒ =

Bloğun platformu terk ettikten sonra, maksimum yüksekliğe çıkma süresi:

Bloğun çıkabildiği maksimum yükseklik:

2 20 0 0

0 0 01 0,0625 2 2

v v vy y v g y mg g g

= + − = + =

40

Örnek-3. Uzunluğu L olan homojen bir çubuk, belli bir amaçiçin uzunluğunun 2/3’ ünden şekildeki gibi asılmışhalde iken küçük açılı salınım hareketi yapmaktadır.Çubuğun küçük titreşimlerinin periyodunu bulunuz.

Çözüm-3.

2 3 6L L Ld = − =

Kütle merkezinin, çubuğun asıldığı noktaya uzaklığı,

( )2

2 sin6

d LI I mg d mgdtθτ α θ θ= = = − = −

2 22

2 2

20 0 6 6

d mgL d mgLdt I dt I Tθ θ πθ ω θ ω+ = ⇒ + = ⇒ = =

2 2 2 21 1 112 36 9kmI I md mL mL mL= + = + =

26 1 22 29 3

LT mLmgL g

π π= ∗ = sonucu elde edilir.

41

Örnek-4. Yarıçapı R ve kütlesi M olan homojen bir disk, uzunluğuL ve kütlesi m olan homojen bir çubuğun ucuna bağlıdır.Çubuğun diğer ucu, sürtünmesiz bir mille duvarayataklanmıştır. Bu sistemin küçük titreşimler yapmasıdurumunda periyodunu bulunuz.

Çözüm-4. ( ) ( )( )2

2 sin sin2

d LI I mg Mg L Rdtθτ α θ θ= = = − − +

Küçük açılarda sin(θ) ≈ θ olduğundan,

( )2 2

22 20 0

2d g mL dM L Rdt I dtθ θθ ω θ + + + = ⇒ + =

( )22 21 13 2ç dI I I mL MR M L R= + = + + +

sonucu elde edilir.( )

( )

22 21 13 22 1

2

mL MR M L RT

mgL Mg L Rπ

+ + +=

+ +

( ) 22

g mL M L RI T

πω = + + = ( )2

2

ITmLg M L R

π= + +

42

Örnek- 5. 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑡𝑡cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) ifadesinin,2

202 0d x dx x

dt dtγ ω+ + =

denkleminin bir çözümü olabilmesi için sağlanması gereken koşullarıbelirleyiniz ve buradan 𝛼𝛼 ve 𝜔𝜔’ yı bulunuz.

Çözüm-5. ( )costx Ae tα ω−=

( ) ( )cos sint tdx Ae t A e tdt

α αα ω ω ω− −= − −

( ) ( ) ( )2

2 22 cos 2 sintd x Ae t t

dtα α ω ω αω ω− = − +

Bunlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazılırsa:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 cos 2 sin 0tAe t tα α ω ω αγ ω αω γω ω− − + − + − =

2 2 20 0

2 0α ω ω αγαω γω

− + − =

− =

220 ve

2 4γ γα ω ω= = −

43

Örnek-6. Kütlesi m olan bir cisim, şekilde görüldüğü gibi,sürtünmesiz yatay bir masa üzerinde aralarında2a mesafesi olan A ve B noktalarına kuvvetsabiti k olan özdeş yaylarla bağlanmıştır.Yayların gerilmemiş haldeki uzunlukları 𝑎𝑎0 ’ dır.mıştır. Sistem sürtünmesiz bir masa üzerindedir.m kütlesinin denge konumunda yatay yerdeğiştirmesi x ile ve düşey yer değiştirmesi y ilegösterilmiştir.

a) 𝑥𝑥 doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketindiferansiyel denklemini yazınız.

b) 𝑦𝑦 doğrultusundaki küçük yer değiştirmelere karşılık gelen hareketindiferansiyel denklemini yazınız (𝑦𝑦 ≪ 𝑎𝑎 kabul ediniz).

c) 𝑎𝑎 ve 𝑎𝑎0 vasıtasıyla 𝑥𝑥 ve 𝑦𝑦 boyunca titreşim periyotlarının oranını hesapediniz.

d) 𝑡𝑡 = 0’ da m kütlesi 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴0 noktasından sıfır hızla harekete başlarsa,herhangi bir t anında cismin 𝑥𝑥 ve 𝑦𝑦 uzanımları nedir?

44

Çözüm-6. a) Denge halinde yayların ikisinin de gerilmiş durumdaki uzunluğu a’ dır.m kütlesini sağa doğru x kadar çektiğimizi düşünelim. Bu durumda mkütlesinin hareket denklemi,

2 22

2 2

22 0 ; x xd x d x km kx xdt dt m

ω ω= − ⇒ + = =

b) Yaylardaki uzama miktarı: 0L L a∆ = −

Yayların kütleye uygulayacağı geri çağırıcı kuvvet:

( )0T k L a= − −

( ) ( )00 ; 2 sin 2x yyF F T k L aL

θ= = − = − −

( )2 2

002 2

22 1 0ad y y d y km k L a ydt L dt m L

= − − ⇒ + − =

20

2 2 2

2 1 0ad y k ydt m a y

+ − = +

y’ nin katsayısı sabit olmadığı için hareket, BHH değildir !!!

45

1/22 20 0 0 0

2 22 2 1 1

2a a a ay yy a

a a a a aa y

−

<< ⇒ = + ≈ − ≈ +

2 220 0

2 2

2 21 0 0 ; 1y ya ad y k d y ky y

dt m a dt m aω ω + − = ⇒ + = = −

Bu denklemin BHH denklemi olduğuna dikkat ediniz.

c) x-doğrultusundaki ve y-doğrultusundaki hareket denklemlerinden,

0

2

2 1

x

y

km

akm a

ω

ω

=

= − 0

22

22 1

x

y

mTk

mTaka

π

π

=

= −

01x

y

T aT a

= −

d) Kütlenin x ve y doğrultusundaki hareketi BHH olduğu için, kütlenin herhangi birandaki uzanımı aşağıdaki gibi olacaktır.

( ) ( ) 00 0

2 2cos ve cos 1 ak kx t A t y t A tm m a

= = − 46

Örnek-7. Kütlesi m olan küçük bir top uzunluğu 𝑙𝑙1 ve 𝑙𝑙2olan iki tel ile şekildeki gibi duvara bağlanmıştır.Denge durumunda her iki teldeki gerilim 𝑇𝑇0’ dır.m kütlesi düşey doğrultuda hafifçe çekilipserbest bırakılıyor. Küçük titreşimlerinperiyodunu bulunuz.

Çözüm-7. Kütle denge durumundan düşey doğrultuda yer değiştirdiği için, 𝑇𝑇1 ve 𝑇𝑇2gerilimlerinin yatay bileşenleri eşit ve zıt yöndedir. Ancak, her ikisinin dedüşey bileşenleri aşağı doğrudur. Bu bileşenlerin toplamı m kütlesine geriçağırıcı kuvvet uygular.

( ) ( )2

1 1 2 22 sin sind ym T Tdt

θ θ= − −

Küçük açılarda sin(θ) ≈ tan(θ) ≈ θ olduğunu biliyoruz. Ayrıca, küçüktitreşimler için: T1 = T2 = T0 alabiliriz.

2 22

1 2 02 21 2 1 2

1 1 0yd y y y d ym T T T y ydt l l l l dt

ω

= − − = − + ⇒ + =

0

1 2

2 1 1y

TT m l lπω

= = +

1 2

0 1 2

2 l lmTT l l

π

= + 47

Örnek-8. 0,2 kg kütleli bir cisim kuvvet sabiti 80 N/m olan bir yaya asılıdır. Bucisim –𝑏𝑏𝑏𝑏 ile verilen bir sürtünme (sönüm) kuvvetine maruz kalırsa(burada 𝑏𝑏 cismin hızıdır),

a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız.b) Eğer sönümlü harmonik hareketin frekansı, sönüm olmadığı zamanki

frekansın 3/2’ si ise b sabitinin değeri nedir?c) Sistemin Q kalite faktörü nedir? 10 salınım sonunda titreşimin genliği

hangi faktör (kaç kat) ile azalır?

Çözüm-8. a) Sistemin hareket denklemi,2 2

2 2 0d x d x b dx km kx bv xdt dt m dt m

= − − ⇒ + + =

2

2 5 400 0d x dxb xdt dt

+ + =

b)2

20 020 ; 5 ve

4k brad / s bm m

γω γ ω ω= = = = = −

2 22

0 0 03 5 4 /

2 4b b Ns mγω ω γ ω

= − ⇒ = = ⇒ =

48

0 20 15

Qb

ωγ

= = =

20

tA A e

γ − =

c) Kalite faktörü:

Sönümlü harmonik hareketin genliği:

t = 0 anındaki genlik A0 ve 10 salınım sonraki genlik A10 olsun;

102

510 0

0 0

T

TA A e eA A

γ

γ

−

−= =

220 0 02

1 31 10 3 4 4 2

rad / sQ

γω ω ω ω= − = − = =

2 5 3

T sπ πω

= =( )5 20

5 1610 5 3

0

1,76 10TA e eA

πγ

−− −= = = ×

Bu oranın çok küçük olması, sistemin çok kısa sürede sönüme gittiğini gösterir.

49

Örnek-9. Bir çok titreşen sistemde, depolanan enerji zamanla 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0𝑒𝑒−𝛾𝛾𝑡𝑡 şeklinde üstelazalır. Böyle bir titreşim hareketi için Q ifadesi 𝑄𝑄 = 𝜔𝜔0/𝛾𝛾 ile verilir. Burada 𝜔𝜔0titreşimlerin doğal frekansıdır.

Çözüm-9. ( ) 1 00 0

1 2a ) ln 2 23202

fE E e s Qγ ω πγγ γ

− −= ⇒ = ⇒ = = ≈

( ) 1 00 0

1 2b ) ln 2 46402


− −= ⇒ = ⇒ = = ≈

4 1 00 0

1 1c ) 0, 25 12kE E e s Qe m

γ ωγγ γ

− −= ⇒ = ⇒ = = =

0,025 b m kg / sγ= =

a) Bir piyanonun orta C’ sine vurulduğu zaman titreşim enerjisi 1 s’ de ilkdeğerinin yarısına düşer. Orta C’ nin frekansı 256 Hz’ dir. Sistemin Q değerinedir?

b) Daha yüksek oktavlı bir notasında ( f = 512 Hz), enerji 1 s’ de ilk değerininyarısına düşüyorsa, sistemin Q değeri nedir?

c) 0,1 kg kütlesindeki bir cisim yay sabiti k = 0,9 N/m olan bir yaya asılıdır.Sönüm sabiti b (𝐹𝐹𝑠𝑠ö𝑛𝑛ü𝑚𝑚 = −𝑏𝑏𝑏𝑏) olan bir akışkan içinde hareket eden sisteminenerjisi 4 s’ de ilk değerinin 1/e’ sine düşüyor. Q ve b değerlerini bulunuz.

50

Örnek-10. Bir LRC devresinde 𝐿𝐿 = 10 𝑚𝑚𝐻𝐻, 𝐶𝐶 = 1,0 𝜇𝜇𝐹𝐹 ve 𝑅𝑅 = 1 Ω’ dur.

a) Yük salınımlarının genliği ne kadar sürede yarıya düşer?b) Bu sürede kaç periyotluk salınım olmuştur?

Çözüm-10. a) Bir LRC devresinde, S anahtarı kapandıktan sonra kondansatörüzerindeki yük harmonik hareket yapar. Bu LRC devresinde salınanyük aşağıdaki ifadeyle verilir.

( ) ( )2

20

1cos ; 2

R tL Rq t q e t

LC Lω ω

− = = −

20

R tLA q e

− =

( ) ( )1/2 1/22ln 2 ln 2 13,86

2R Lt t msL R

= ⇒ = ≈

1/220 0

12

R tLq q e

− =

24 41 2b) 10 2 10

2R rad / s T s

LC Lπω πω

− = − ≈ ⇒ = = ×

31/2

4

13,86 10 222 10

tnT π

−

−

×= = ≈

×51

Örnek-11. Sönümlü salınım yapan bir LRC devresinde bir devirlik sürede enerjikayıp oranı ∆𝑈𝑈

𝑈𝑈’ nun, R << L , C olması durumunda yaklaşık olarak 2𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜔𝜔𝐿𝐿ile verilebileceğini gösteriniz.

Çözüm-11.

( ) ( )2

20

1cos ; 2

R tL Rq t q e t

LC Lω ω

− = = −

Bir LRC devresinde, S anahtarı kapandıktan sonra salınan yük aşağıdakiifadeyle verilir.

( ) ( )20

1, cosR tLR L C q t q e t

LCω ω

− << ⇒ ≈ ⇒ ≈

( ) ( )22

201 1 cos2 2

R tLqqU t e t

C Cω

− = =

( ) ( )2 20 0

0 11 10 ve 2 2

R TLq qU U U U T e

C C

− = = = =

0 1

0

1 1 1R TLU U Re T

U L

− − = − ≈ − +

0

2U R RTU L L

πω

∆ ≈ =

52

Örnek-12. Kütlesi 0,5 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k = 12,5 N/m olan bir yayın ucunabağlı olarak kritik altı (under-dumped) sönümlü hareket yapıyor. Hareketinfrekansının, sönümsüz hareketin frekansından % 0,2 daha az olduğugözlemleniyor.

Çözüm-12.2 2

2 2 2 20 0 02a) 2

4 4b b mm

γω ω ω ω ω= − = − ⇒ = −

( ) ( )22 2 20 0 02 2 0,998 0,004 0,316 /kb m m kg s

mω ω ω ω= − = − = ∗ ≈

0,3162 0,5 0,3162

0 0 0b) b tt

tmA A e A e A e −− ∗ − = = =

a) Hareketin sönüm sabiti b’ nin değerini bulunuz.b) Hareketin genliğinin zamana bağlı değişimini bulunuz.c) Mekanik enerjinin başlangıç değerinin % 1’ ine düşmesi için geçen süreyi

bulunuz.d) Sistemin kritik sönüm durumunda hareket edebilmesi için sönüm sabiti

(𝑏𝑏𝑘𝑘) ne olmalıdır?

53

2

220 0

0

c) 0,01b b bt t tm m mEE A e A e e

E

− − −

∝ = ⇒ = =

( ) ( ) ( )0,5ln 0,01 ln 0,01 ln 0,01 7,287 0,316

b mt t sm b

− = ⇒ = − = − ≈

2 2 22 2 20 0 0 02 2d) 2

4 4 4 kb b b mm m

γω ω ω ω ω= − = − ⇒ = ⇒ =

( )( ) 2 4 4 0,5 12,5 5 kkb m mk kg / sm

= = = =

54

BÖLÜM 2: PERİYODİK HAREKETLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ

2.1. Çizgisel (Lineer) Diferansiyel denklemler

( )1 2

1 2 1 01 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n

n n nn n n

d y d y d y dyC t C t C t C t C t y F tdt dt dt dt

− −

− −− −+ + + ⋅⋅⋅ + + =

biçiminde tanımlanan denkleme n. mertebeden çizgisel diferansiyel denklem, bu formauymayan denklemlere ise çizgisel olmayan diferansiyel denklem denir.

• Bağımlı değişken ve türevlerinin kuvvet dereceleri 1’ dir.

• Tüm katsayılar, bağımsız değişken olan t’ ye bağlı olabildiği gibi sabit de olabilirler.

• En yüksek türev mertebesi, diferansiyel denklemin ‘‘mertebesini’’ gösterir.

Eşitliğin sağ tarafındaki F(t) fonksiyonunun sıfır olması durumunda, diferansiyeldenklem homojen çizgisel denklem adını alır ve aşağıdaki formdadır:

1 2

1 2 1 01 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n

n n nn n n

d y d y d y dyC t C t C t C t C t ydt dt dt dt

− −

− −− −+ + + ⋅⋅⋅ + + =

Çizgisel diferansiyel denklemlerde;

1

Çizgisel homojen diferansiyel denklemlerin çok önemli bir özelliği vardır:

Herhangi iki çözümün toplamı da bir çözümdür.

Oysa çizgisel olmayan bir diferansiyel denklemin ayrı iki çözümünün toplamı bir

çözüm değildir.

Çözümlerinin üst üste gelmesinin yine bir çözüm olması özelliği yalnız çizgiseldenklemlere özgüdür. Böyle denklemlere uyan salınımlar üst üste gelme(süperpozisyon) ilkesine uyuyor denir.

Bir çok fiziksel durum, bir sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı andauygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak üst üste gelmemetodlarından bir kaç özel durumu göz önüne alacağız.

TEMEL KABUL: “İki ya da daha fazla harmonik titreşimin üst üste gelmesi, tektek titreşimlerin basitçe toplamı olarak alınacaktır.”

Şu anda tartışmalarımızda bunu sadece bir matematiksel problem olarak ele alacağız.Sonuçların fiziksel uygulanabilirliğini daha sonra ele alacağız.

2

2.2. Periyodik Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi (süperpozisyon)

Hook yasasının (F = −kx) geçerli olduğu ve sürtünmenin olmadığı kütle-yayproblemlerinde geri çağırıcı kuvvet sadece x ile orantılıdır.

formundadır ve 2. mertebeden sabit katsayılı çizgisel ve homojen bir diferansiyeldenklemdir.

2

2 0d xm kxdt

+ =

2


+ + =

ifadesine sahiptir ve yine 2. mertebeden sabit katsayılı çizgisel ve homojen birdiferansiyel denklemdir.

Bu durumda bloğun hareket denklemi,

Bloğun hareketine zıt yönde ve bloğun hızıyla orantılı bir sürtünme kuvvetinin olmasıdurumunda ise hareket denklemi, b pozitif bir sabit olmak üzere,

3

Karın Noktaları: Düğüm noktalarının tam ortasındakalan ve en hızlı hareket eden noktalara da karınnoktaları denir.

Düğüm Noktaları: Bir ipte ilerleyen dalgalar sabit bir destekten yansıdıklarında gelen veyansıyan dalgalar birbirlerinin üzerine gelirler. Bu durumda bazı noktalar hiç hareketetmez. Bu noktalara düğüm noktaları denir.

Üst Üste Binme İlkesi: Aynı anda iki veya daha fazladalga atmasının etkisi altında kalan bir noktanın yerdeğiştirmesi, bunların bireysel yer değiştirmelerininvektörel toplamına eşit olur.

4

İki BHH’ in aşağıda eşitliklerle tanımlandığını farz edelim.

2.2.1. Eşit Frekanslı Farklı Genlikli Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi

( )( )

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

x A t

ω α

ω α

= +

= +

( ) ( )1 2 1 1 2 2cos cosx x x A t A tω α ω α= + = + + +

Burada A1 ve A2 genlikleri, α1 ve α2 faz sabitlerini ve ω açısal frekansı göstermektedir.

Toplam fonksiyonun tam olarak tanımlanabilmesi için A ve α’ nın bulunması gerekmektedir. Bu ifadeleri elde etmek için iki farklı yöntem kullanacağız.

( )cosx A tω α= +

Bunların cebirsel toplamı üst üste gelmeyi verir:

5

Geometrik yöntem ile Analiz:

Yukarıdaki toplamı elde etmek için BHH’ indönme vektörü ile tanımlanmasını kullanabiliriz.Başka bir deyişle geometriden faydalanırız. x1

ile temsil edilen BHH’ i 𝑂𝑂𝑂𝑂1vektörü ile, x2 iletemsil edilen BHH’ i 𝑂𝑂𝑂𝑂2 vektörü ile temsiledelim.

𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂1 + 𝑂𝑂𝑂𝑂2

( ) ( )

( )

2 221 2 2 1 2 2 1

2 21 2 1 2 2 1

cos sin

2 cos

A A A A

A A A A A

α α α α

α α

= + − + −

= + + −

A

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 12

sin ve sin sin sinPH PH A AA A

β α α β α α= − = ⇒ = −

( ) ( )1/22 21 2 1 2 2 12 cos cosx A A A A tα α ω α = + + − +

( )( )

2 2 111 1 2 2

1 2 1 2 2 1

sinsin

2 cos

A

A A A A

α αα α β α

α α− − = + = + + + −

A2

6

𝑂𝑂𝑂𝑂1

Kompleks Üstel Fonksiyonların Toplanması Yöntemi:

𝑂𝑂𝑂𝑂1 ve 𝑂𝑂𝑂𝑂2 dönme vektörleri aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

( )

( )

1

2

1 1

2 2

vektörüne karşı

vektörüne karşı

i t

i t

z A e

z A e

ω α

ω α

+

+

=

=𝑂𝑂𝑂𝑂2

Bu vektörlerin toplamı bileşke vektörü verecektir,

( ) ( )1 2 1 2

1

2

1 2 1 2 1 2

1 1

2 2

terimi, kompleks vektörünün 0 ' daki değerine karşılık gelir. terimi, kompleks vektörünün 0 ' daki değerine karşılık gelir.

i t i t i ii t

i

i

z z z A e A e e A e A e

A e z tA e z t

ω α ω α α αω

α

α

+ + = + = + = + =

=

( )

1 21 2

i t i t i

i ii

z Ae e Ae

Ae A e A e

ω α ω α

α αα

+= =

= +

( ) ( ) ( ) ( )2 221 1 2 2 1 1 2 2cos cos sin sinA A A A Aα α α α= + + +

( )2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A α α= + + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

cos cos cos

sin sin sin

A A A

A A A

α α α

α α α

= +

= +

7

( ) ( )1/22 21 2 1 2 2 12 cos cosx A A A A tα α ω α = + + − +

2.2.2. Eşit Frekanslı Eşit Genlikli Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi

1 2A A=

A1

ωt+α1

β

α2-α1

β

A1

A

O

P

( ) ( )1 1 1cos cos 2 cos2

A A A A δβ β = + =

2 12β α α δ= − =

( ) ( )1cos cosx A t A tω α β ω α= + + = +α

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

cos cos cos

sin sin sin

A A A

A A A

α α α

α α α

= +

= +

( ) ( )1 2 1 2sin sinA Aα α α α− = −

( )1/ sin α∗

( )1/ cos α∗ −

( )( )

2 2 111 2 2

1 2 1 2 2 1

sinsin

2 cos

A

A A A A

α αα α

α α− − = + + + −

8

İki benzer hoparlörün aynı sinyalüretecinden sinüzoidal olarak sürüldüğüve bunların ses titreşimlerinin şekildegörüldüğü gibi uzakta bir noktadakimikrofondan algılandığı durumda, buçeşit üst üste gelme elde edilebilir.

Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse δ faz farkı, O’ daki sıfır ilkdurumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının dalga boyu, iki hoparlörarasındaki uzaklıktan daha kısa ise, A bileşke vektörünün genliği OB noktaları arasındabir kaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar arasındaki noktalarda da 2A1 genliğine sahipmaksimumlara ulaşır. (Bu gibi durumlar daha ileriki konularda ayrıntılı olarakincelenecektir).

Fizikte uygulaması:

9

ω1 ve ω2 arasında özel bir ilişki olmadıkça, bileşke yer değiştirme zamanın karmaşıkbir fonksiyonu olacaktır.

Genlikleri A1 ve A2, açısal frekansları ω1 ve ω2 olaniki titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim.

2.2.3. Farklı Frekanslı Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi ve Vurular (beats)

( )( )

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

x A t

ω

ω

=

=

Bileşke vektörün OP uzunluğu, A1 ve A2 vektörlerinin toplamı ile farkı arasında birdeğere sahip olacaktır. x-eksenindeki yer değiştirmenin büyüklüğü Ox ise A1+A2 ilesıfır arasında yer alır.

10

Üst üste gelmiş hareketin periyodikliği içingerekli koşul; n1 ve n2 farklı tamsayılarolmak üzere, iki titreşimin periyotlarıarasında,

Periyotları orantılı iki sinüzoidaltitreşimin üst üste gelmesi (n1=9,T1=1/450 s, n2=2, T2=1/100 s, T=1/50 s)

Periyotları orantılı olan iki titreşimin üst üstegelmesi durumunda bileşke titreşimingörünümü önemli derecede üst üste gelentitreşimlerin birbirlerine göre fazlarına bağlıdır.

gibi bir ilişki olmalısıdır. Buradaki T, üst üstegelmiş hareketin periyodudur.

1 1 2 2n T n T T= =

11

Eğer iki BHH’ in frekansları birbirine çok yakın ise, böyle üst üste gelmeler VURU (beat) olarakadlandırılır. Vuru olayında üst üste gelmiş titreşim, üst üste gelen titreşimlerin frekanslarıortalamasına eşit bir frekansa sahip olur, hareketin genliği ise zamanla periyodik olarak değişir.

Bu eşitlik matematiksel olarak ω1 ve ω2’ nin herhangi iki değeri için yazılabilir ancak, bueşitliğin bir vuruyu temsil edebilmesi için,

Eğer eşit genlikli (A1 = A2 = A) iki BHH’ in toplamını göz önüne alırsak vuru olayını anlamak çokkolay olacaktır:

( )( )

1 1 11 2

2 2 2

cos

cos

x A tx x x

x A t

ω

ω

= ⇒ = +=

koşulunun sağlanması gerekmektedir.

( )1 2 1 2<< ω ω ω ω− +

cos cos 2cos cos2 2

A B A BA B − + + =

1 2 1 22 cos cos2 2

A t tω ω ω ω − + =

12

Bileşke titreşimin frekansı, toplamı oluşturan titreşimlerin frekanslarının ortalamasıdır:

1 2. 2ort

ω ωω +=

Bileşke titreşimin genliği de,

1 2mod. 2

ω ωω

−=

ile verilen ve adına modülasyon frekansı denilen birfrekansla değişecektir. Bu olaya genlik modülasyonu adıverilir.

1 2 1 22 cos cos2 2

x A t tω ω ω ω − + =

13

Bileşke titreşimde hızlı salınım

1 2cos2

tω ω +

terimleri tarafından temsil edilir ve şekil üzerinde,sırasıyla, düz ve kesikli çizgilerle gösterilmiştir.

Bileşke titreşimde yavaş salınım

1 2cos2

tω ω −

1 2cos2

tω ω −

fonksiyonu −1 veya +1’ e eşit olursa, bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydanagelmiş olur. Bir saniyedeki vuru sayısı (vuru frekansı), modülasyon frekansının iki katıdır.

mod.2vuruω ω=

1 21 2 1 22 veya

2vuru vuruf f fω ω

ω ω ω −

= = − = −

Genlik değişimini belirleyen

14

Aynı sonuca, bileşke titreşimde genliğin sıfır olması için gerekli koşul kullanılarak da

ulaşılabilir:

1 2 1 2 1cos 0 ( ) ; 0 , 1 , 2 , 2 2 2nt t n nω ω ω ω π − − = ⇒ = + = ⋅⋅⋅

Ardışık iki minimum arasında geçen zaman vuru periyodu olduğundan,

( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 1 2

2 1 1 1 2 1 1 (2 1)2 2n vuru n n

nt T t t n nf f f f f f+

+= ⇒ = − = + + − + = − − −

( ) 1 21 2

1 vuru vuruT f f ff f

= ⇒ = −−

sonucu elde edilir.

15

2.2.4. Aynı Frekans ve Genlikli Birçok Titreşimin Üst Üste Gelmesi

Üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çoksayıda titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir.Aynı frekans, aynı genlikli ve birbirlerini eşit fazfarkı ile takip eden çok sayıda BHH’ in üst üste gelmesi,optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizinde vediğer dalga olaylarının analizinde kullanılacaktır.

Şekilde genlikleri eşit ve A0 olan, birbirini aynı faz farkı(δ) ile takip eden aynı frekanslı N tane dönmevektörünün üst üste gelmesini göstermektedir.

Titreşimlerden birincisini temsil eden 𝑂𝑂𝑂𝑂 vektörünün vebileşke titreşimi temsil eden 𝑂𝑂𝑂𝑂 vektörünün x-bileşenleri, sırasıyla, aşağıdaki ifadelere sahiptir:

( )( )

( )

( )

1 0

2 0

0

cos cos

cos....

cos ( 1)N

x A tx A t

x A t

x A t N

ωω δ

ω α

ω δ

=

= + ⇒ = += + −

16

Eşit büyüklükte N tane vektörün, düzgün bir çokgen(tamamlanmamış) oluşturmak üzere uç-uca getirildiklerinivarsayabiliriz. Böylece çokgen, C merkezli ve R yarıçaplı birçemberin parçası olarak düşünülebilir. Çokgenin köşeleri çemberüzerindedir ve her biri A0 genliğine sahip titreşimleri gösterenvektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit ve δ ’ dır.Böylece, OCP toplam açısı Nδ olacaktır.

Geometrik yöntem ile Analiz:

( ) ( )( )

0 0/ 2sin / 2 2

sin / 2A AR

Rδ

δ= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )( )0

/ 2 sin / 2sin / 2 2 sin / 2

sin / 2A N

N A R N AR

δδ δ

δ= ⇒ = =

( )12 2 2

NNα= =δπ δ π δ −− − −

17

( ) ( )( )

( )0

sin / 2 1cos cos

sin / 2 2N N

x A t A tδ δ

ω α ωδ

− = + = +

Bileşke vektör 𝑂𝑂𝑂𝑂’ nin x-bileşeni için,

ifadesi yazılabilir. Bu ifade çok yarıkta girişim (girişim ızgarası) olayını analiz etmedebir temel oluşturur.

Komleks Gösterim Yöntemi ile Analizi:

Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak analiz edebiliriz. x-ekseni boyuncaeşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri arasındaki faz farkı ( δ ) aynıolan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı,

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0cos cos cos 2 cos 1x A t A t A t A t Nω ω δ ω δ ω δ= + + + + + ⋅⋅⋅+ + −

şeklinde yazılabilir.

18

( )121 e e ei Ni is δδ δ −= + + + ⋅⋅⋅+

2e e e ei i i iNsδ δ δ δ= + + ⋅⋅⋅ +

( ) ( )1 1i iNs e eδ δ− = −( )( )1

1

iN

i

es

e

δ

δ

−=

−

Bu ifadeyi z1 = eiδ kısaltmasını kullanarak kompleks gösterimde yazarsak,

( )120 e 1 e e ei Ni t i iz A δω δ δ − = + + + ⋅⋅⋅+

ifadesini elde ederiz. Köşeli parantez içindeki geometrik seri aşağıdaki gibi belirlenebilir:

Böylece, bileşke harektin kompleks üstel fonksiyonu,

01e1

iNi t

i

ez Ae

δω

δ

−= −

ifadesine sahip olur.

19

( ) ( )( )

12

0

sin / 2e

sin / 2

Ni t N

z Aδ

ω δδ

− +

=

( ) ( )( )

( )0

1 sin / 2 e

2 sin / 2i tN N

z A ω αδ δα

δ+−

= ⇒ =

z’ nin x bileşeni için

( )( ) ( )0

sin / 2cos

sin / 2N

x A tδ

ω αδ

= +

sonucu elde edilmiş olur ve daha önce bulunan sonuçla aynıdır.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

/2 /2 /2 /21/22

0 0/2 /2 /2 /2 /2

/ 2e e

/ 2

i N i N i N i NNi N i ti t

i i i i i

e e e e iez A Ae e e e e i

δ δ δ δδδ ωω

δ δ δ δ δ

− −− +

− −

− −− = =− − −

Bu eşitliği biraz farklı düzenleyerek geometrik yöntemle elde edilen sonucabenzetmeye çalışalım.

20

2.2.5. Birbirine Dik İki Titreşimin Üst Üste Gelmesi

Şimdiye kadar bir boyutta üst üste gelmiş titreşimleri inceledik. Şimdi birbirine dikdoğrultuda titreşen iki harmonik hareketin üst üste gelmesini tartışacağız. Bu durumdaüst üste gelmiş hareket gerçekte iki boyutta harekettir.

Şekilde dört yaya bağlı kütleyi biraz sağave biraz da yukarı çekip bırakırsak, kütledüzlem üzerinde x ve y doğrultularındaiki BHH yapar. Burada kütlenin x ve yeksenindeki yer değiştirme miktarlarını,

ifadeleri ile belirleyebiliriz. Burada ω1 ve ω2 , sırasıyla, x ve y doğrultusundaki açısalfrekanstır.

( )( )

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

y A t

ω α

ω α

= +

= +

x-eksenindeki BHH, –A1 ile +A1 arasında; y-eksenindeki BHH ise –A2 ile +A2 arasındaolacaktır. İki farklı yönde ilerleyen hareketin fazları arasındaki ilişki ne olursa olsun,cismin hareketi her zaman dikdörtgen içinde sınırlıdır.

21

• İlk olarak kenar uzunlukları x-ekseninde 2A1 ve y-ekseninde 2A2 olan birdikdörtgen çizilir.

( )2 2 2cosy A tω α= +

Birleşik titreşim hareketini bulmak için izlenecek yol aşağıda özetlenmiştir:

( )1 1 1cosx A tω α= +

• Merkezi C2 ile verilen ve yarıçapı A2 olan birçember çizilir. Bu çember üzerindeki P2noktasının C2Y yer değiştirmesi tanımlanır.

• x ve y yer değiştirmeleri birlikte O noktasına göre P noktasının herhangi bir andakikonumunu tanımlar. O noktası dikdörtgenin orta noktasıdır.

• Eğer ω1 ve ω2 orantılı değilse (yani ω1/ω2 oranı 1, 2, 3,… veya 1/2, 1/3, 1/4,… gibideğilse), birleşik hareketin frekansı ve fazı hakkında net birşey söylenemez. Böylebir durumda P ’ nin konumu kendini tekrarlamaz.

• Merkezi C1 ile verilen ve yarıçapı A1 olan birçember çizilir. Bu çember üzerindeki P1 noktasınınC1X yer değiştirmesi tanımlanır. 2A2

2A1

O

P

x

y

C2

P2

2 2tω α+

Y

x

y

C1

P1

1 1tω α+

X

22

Eşit Frekanslı Dik Titreşimler

( )( )

1 1

2 2

sin

sin

x A t

y A t

ω α

ω α

= +

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos sin cosA B A B B A= ifadesi kullanılırsa,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11

2 22

sin cos sin cos 1

sin cos sin cos 2

x t tAy t tA

ω α α ω

ω α α ω

= +

= +

(1) eşitliğini sin(α2) ve (2) eşitliğini sin(α1) ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 11 2

sin sin sin cos sin cos sinx y tA A

α α ω α α α α− = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 2

sin sin sin sin 3x y tA A

α α ω α α− = −

veya

23

Benzer şekilde, (1) eşitliğini cos(α2) ve (2) eşitliğini cos(α1) ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 21 2

cos cos cos cos sin cos sinx y tA A

α α ω α α α α− = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 2

cos cos cos sin 4x y tA A

α α ω α α− = − −

veya

(3) ve (4) nolu eşitliklerin kareleri alınıp toplanırsa,

( ) ( )2 2

22 1 2 1

1 2 1 2

2 cos sinx y xyA A A A

α α α α

+ − − = −

sonucu elde edilir. Bu ifade elipsin genel denklemidir.

24

Faz farkının özel bazı değerleri için analiz yapalım:

2 1 0, 2 , 4 ,δ α α π π= − = ⋅⋅⋅

( ) ( )2 2

22 1 2 1

1 2 1 2


α α α α

+ − − = −

( )( )

2 1

2 1

cos 1

sin 0

α α

α α

− =

− =

2 2

1 2 1 2

2 0x y xyA A A A

+ − =

2

1

Ay xA

= bulunur.

Bu durumda hareket doğrusal olup, x ve y’ ninher ikisi de pozitif ya da her ikisi de negatifolmak kaydıyla, şekildeki gibi dikdörtgenin BDköşegeni boyunca BHH yapar. (Optikte lineerpolarize olmuş titreşimlere karşılık gelir).

y

A 1O x

A 2

D

BA

C

25

2 1 ,3 ,δ α α π π= − = ⋅⋅⋅( )( )

2 1

2 1

cos 1

sin 0

α α

α α

− = −

− =

2 2

1 2 1 2

2 0x y xyA A A A

+ + =

2

1

Ay xA

= − bulunur.

Bu durumda hareket yine doğrusal olup, x’ in pozitifdeğerlerinde y negatif, x’ in negatif değerlerinde ypozitif olmak kaydıyla, şekildeki gibi dikdörtgeninAC köşegeni boyunca BHH yapar.

y

A 1O

x

A 2

D

BA

C

( ) ( )2 2

22 1 2 1

1 2 1 2


α α α α

+ − − = −

26

2 13, ,

2 2π πδ α α= − = ⋅⋅⋅

( )( )

2 1

2 1

cos 0

sin 1

α α

α α

− =

− =

2 2

1 2

1x yA A

+ =

Bu ifade, temel eksenleri x ve y eksenleriboyunca olan bir elipsin denklemidir.A1=A2=A olması durumunda A yarıçaplıçembere dönüşür.

xA1

A2y

2 17, ,

4 4π πδ α α= − = ⋅⋅⋅

( )( )

2 1

2 1

cos 2 / 2

sin 2 / 2

α α

α α

− =

− =

2 2

1 2 1 2

122

x y xyA A A A

+ − =

2 13 5, ,4 4π πδ α α= − = ⋅⋅⋅

( )( )

2 1

2 1

cos 2 / 2

sin 2 / 2

α α

α α

− = −

− = 2 2

1 2 1 2

122

x y xyA A A A

+ + =

xA1

A2y

x

A1

A2 y

27

Farklı Frekanslı Dik Titreşimler (Lissajous Eğrileri):

Farklı frekanslı dik BHH yapan bir cismin çizmiş olduğu yörüngelere "Lissajous"eğrileri denir. Bu ders kapsamında bu olayın ayrıntılarına girmeyeceğiz.

Şimdi frekansları farklı iki dik hareketi aşağıdaki gibi yazabiliriz:

• Bu iki denklemden 𝑡𝑡 elimine edilerek 𝑥𝑥 ve 𝑦𝑦 arasında elde edilen ilişki yörüngeyibelirler.

• Açısal frekans oranına (ω1/ω2) ve iki titreşim arasındaki faz farkına (δ) bağlı olarakçeşitli yörünge şekilleri (Lissajous eğrileri) elde edilir.

• Bu eğrilerden faydalanılarak, akustik ölçümlerde bilinmeyen frekanslar tayinedilebilmektedir.

( )( )

1 1 1

2 2 2

sin

sin

x A t

y A t

ω α

ω α

= +

= +

28

x

y

x

y

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

Örnek: x=sin(3t)y=sin(2t)

30

( )( )

1 1

2 2

sin

sin

x A t

y A t

ω α

ω α

= +

= +

( )( )

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

y A t

ω α

ω α

= +

= +

31

( ) ( )1 1 2 2 1 2cos ve cos ; x A t y A t A Aω δ ω= + = =

2 1/ω ω

1:1

1: 3

1: 2

2 : 3

0δ = / 4δ π= δ π=3 / 4δ π=/ 2δ π=

32

( ) ( )1 1 2 2 1 2sin ve sin ; x A t y A t A Aω δ ω= + = =

2 1/ω ω

1:1

1: 3

1: 2

2 : 3

http://www.artbylogic.com/parametricart/lissajous/lissajous.htm

http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Lissajous_curves

0δ = / 4δ π= δ π=3 / 4δ π=/ 2δ π=

https://www.desmos.com/calculator/tti5dasmc4 33

Lissajous eğrisini çizerken aşağıdaki işlem sırası takip edilebilir:

İki titreşim aynı trigonometrik fonksiyon ile ifade edilecek şekilde düzenlenir.

İki titreşimin faz sabitleri arasındaki fark belirlenir:

( ) ( )1 1 2 2sin ve sinx yx A t y A tω α ω α= + = +

1 2δ α α= −

Frekansı büyük olan titreşimin çemberi 2π/δ tane parçaya bölünür. Örneğin ωx > ωydurumunda, Nx = 2π/δ olamalıdır.

ωxNx= ωyNy eşitliğinden, diğer titreşim çemberinin kaç eşit parçaya bölüneceğibelirlenir.

Nx ve Ny sayıları kesirli sayılar ise, her ikisini de tamsayı yapacak en küçük sayıile çarpılırlar.

34

Her iki titreşimi temsil eden çemberler, kendi faz sabitlerine göre 0. noktalarıbelirlenerek, saat ibrelerinin tersi yönünde gidilecek şekilde numaralandırılırlar.

Dik eksenlerdeki karşılıklı noktalar birleştirilerek Lissojous eğrisi çizilir.

İşaretlenecek nokta sayısına göre, her bir çemberin kaç radyanlık dilimlere bölüneceği belirlenir ve bu açı değerleri için 𝑥𝑥 ve 𝑦𝑦 değerleri hesaplanarak tablo hazırlanır.

Son olarak da, aynı 𝑡𝑡 değerine karşı gelen 𝑥𝑥 ve 𝑦𝑦 verileri çemberler üzerindendikdörtgene aktarılarak Lissajous eğrisi çizilir.

Nokta sırası 𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1sin 𝜔𝜔𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝛼𝛼1 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴2sin 𝜔𝜔𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝛼𝛼21234...

35

Nokta sırası 𝜔𝜔0𝑡𝑡 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 ∗ y = 𝑎𝑎2 ∗

1 0,0 0,0 -0,7072 1*(2π/16) 0,383 03 2*(2π/16) 0,707 0,7074 3*(2π/16) 0,924 15 4*(2π/16) 1 0,7076 5*(2π/16) 0,924 07 6*(2π/16) 0,707 -0,7078 7*(2π/16) 0,383 -19 8*(2π/16) 0 -707

10 9*(2π/16) -0,383 011 10*(2π/16) -0,707 0,70712 11*(2π/16) -0,924 113 12*(2π/16) -1 0,70714 13*(2π/16) -0,924 015 14*(2π/16) -0,707 -0.70716 15*(2π/16) -0,383 -1

Örnek: ( )( )

1 0

2 0

sin

sin 2 / 4

x a t

y a t

ω

ω π

=

= −

2 8 16yx y

x

N Nωω

= = ∗ =

( )2 2 8

/ 4yN π πδ π

= = =

0 0 ; 2 ve / 4x yω ω ω ω δ π= = =

36

( )( )

1 0

2 0

sin

sin 2 / 4

x a t

y a t

ω

ω π

=

= −

II. Yol:

( )2 2

21 1 1

12 12

x x xy x aa a a

= + − −

III. Yol:

−1 < (x/a1) < +1 aralığında bu fonksiyonungrafiği çizilirse, Lissajous eğrisi eldeedilmiş olur.

2 8 16yx y

x

N Nωω

= = ∗ =

( )2 2 8

/ 4yN π πδ π

= = =

37

Örnek: Birbirine dik iki titreşim,

( )( )

sin

cos 3

x t

y t

=

= −

ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkanLissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz. Lissajous eğrisinin şekliniçiziniz.

Çözüm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos cos 2 sin sin 2y t t t t t= − = − −

−1 < x < +1 aralığında bu fonksiyonungrafiği çizilirse, Lissajous eğrisi eldeedilmiş olur.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2cos cos sin 2cos siny t t t t t = − − +

( ) ( ) ( )2 2 2cos 1 4sin 1 1 4y t t x x = − − = − − ∗ − x

y

38

Nokta sırası t

𝑥𝑥 = sin(𝑡𝑡)𝑥𝑥’in fazı

𝑦𝑦 = sin 3𝑡𝑡 −𝜋𝜋2

𝑦𝑦’nin fazı

1 0,0 0,0 −π/2

2 π/6 π/6 0

3 2π/6 2π/6 π/2

4 3π/6 3π/6 π

5 4π/6 4π/6 3π/2

6 5π/6 5π/6 2π

7 6π/6 6π/6 5π/2

8 7π/6 7π/6 3π

9 8π/6 8π/6 7π/2

10 9π/6 9π/6 4π

11 10π/6 10π/6 9π/2

12 11π/6 11π/6 5π

( )( ) ( )

sin

cos 3 sin 3 / 2

x t

y t t π

=

= − = −

x

y

II. Yol:

( )2 4/ 2yN π

π= =

3 4 12yx y

x

N Nωω

= = ∗ =

1 ; 3 ve / 2x yω ω δ π= = =

39

III. Yol:

( )2 4/ 2yN π

π= =

yx y

x

N Nωω

=

3 4 12xN = ∗ =

( )( ) ( )

sin

cos 3 sin 3 / 2

x t

y t t π

=

= − = −

40

Örnek-1. Aşağıdaki ifadeleri 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑖𝑖 𝜔𝜔𝜔𝜔+𝛼𝛼 formunda yazınız.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

) sin cos

) cos cos3

) 2sin 3cos

) sin 2cos cos4

a z t t

b z t t

c z t t

d z t t t

ω ω

πω ω

ω ω

πω ω ω

= +

= − −

= +

= − − +

Çözüm-1. ( ) ( ) ( ) ( )) sin cos 1 sin 1 cosa z t t t tω ω ω ω= + = ∗ + ∗

1

12

π/41sin 1 2 sin

4 421cos 1 2 cos

4 42

π π

π π

= ⇒ = = ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin sin cos cos4 4

z t t t tπ πω ω ω ω = + = +

42 cos 24

i tz t Re e

πωπω −

= − =

41

( )) cos cos3

b z t tπω ω = − −

( )( )

( ) ( )cos cos cos sin sin

cos cos 2sin sincos cos cos sin sin

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

− = + ⇒ − − + =+ = −

; 36 6

a b ta t b

a b t

πω π πωω

− = − ⇒ = − =+ =

( )cos cos 2sin sin sin3 6 6 6

z t t t tπ π π πω ω ω ω = − − = − = −

( )232sin cos sin cos

2 6 3i t

z t t Re eπωπ π πθ θ ω ω

−

= − ⇒ = − = − =

( ) ( )) 2sin 3cosc z t tω ω= +

( )cos cos cos sin sinR x R x R xθ θ θ− = +cos 3sin 2

RR

θθ==

3

2 13

θ( ) ( ) ( ) ( )13 cos cos sin sinz t tθ ω θ ω= + ( )1tan 2 / 3θ −=

( ) ( )13 cos Re 13 i tz t e ω θω θ − = − = 42

( ) ( )) sin 2cos cos4

d z t t tπω ω ω = − − +

( ) ( )sin cos 2 cos4

t t t πω ω ω + = −

(a) şıkkında elde edilen sonuç

( )2 cos 2cos 2 2 cos4 4 4

z t t tπ π πω ω ω = − − − = − − −

( ) ( )3

4 42 2 2 2i t i t

iz Re e Re e Re eπ πω ω

π − +

= − = −

Örnek-2. Bir parçacık aynı frekanslı ve x-ekseni doğrultusunda üç BHH’ e aynı zamandamaruz kalmaktadır. Eğer BHH’ lerin genlikleri sırasıyla 0,25 ; 0,20 ve 0,15mm ve birinci ile ikinci BHH arasındaki faz farkı 45°, ikinci ile üçüncü BHHarasındaki faz farkı 30° ise, bileşke hareketin yer değiştirmesinin genliğini vebirinci BHH’ e göre (genliği 0,25 mm olan) faz farkını bulunuz.

Çözüm-2. BHH’ lerin bileşkesi yandaki vektördiyagramı kullanılarak incelenebilir.

43

OPR üçgeninde kosinüs teorimini kullanırsak:

2 2 21 2 1 22 cos 0,173

4B A + A + A A π = ≅

Buradan B = 0,416 mm bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoremi kullanırsak,

( )2 2 2

2 2 2 1 2 11 2 2

2

2 cos cos 0,441 2

A + B AA A + B A B radA B

θ θ − −= − ⇒ = =

Benzer şekilde ORQ üçgeninden:

2 2 23 32 cos 0,267

6A B + A + BA πθ = + ≅

Buradan A = 0,516 mm bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoremi kullanılarak,

( )2 2 2

2 2 2 1 33 2 cos cos 0,237

2A + B AA A + B AB rad

ABγ γ − −

= − ⇒ = =

A ile A1 arasındaki açıya δ dersek,

0, 441 0,237 0,581 4 4

radπ πδ α γ θ γ= + = − + = − + ≅ bulunur.

44

Örnek-3. Aynı doğrultuda iki titreşim hareketi,

eşitlikleri ile tanımlıdır. Vuru periyodunu bulunuz ve bir vuru periyodu içinbileşke hareketin yer değiştirmesinin grafiğini çiziniz.

( ) ( )1 2cos 10 ve cos 12y A t y A tπ π= =

Çözüm-3. Bileşke hareket için,

( ) ( )1 2 cos 10 cos 12y y y A t tπ π= + = +

( )( )

( ) ( )cos cos cos sin sin

cos cos 2cos coscos cos cos sin sin

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

− = + ⇒ − + + =+ = −

10 11 ;

12a b t

a t b ta b t

ππ π

π− =

⇒ = =+ =

( ) ( ) ( ) ( )cos 10 cos 12 2 cos 11 cosy A t t A t tπ π π π= + =

1 21 2. mod. mod. 1 2 ; ve 2

2 2ort vuru

ω ωω ωω ω ω ω ω ω−+

= = = = − Hatırlayınız.

1 2210 ve 12 2 1 vuru vuruvuru

T sTπω π ω π ω π= = ⇒ = = ⇒ =

45

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

y(t)

t

Bileşke hareketin yer değiştirmesi aşağıdaki şekilde verilmiştir

46

Örnek-4. Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde eşit frekanslıtitreşim hareketi yapıyor. Bu titreşim hareketleri,

( )1 2cos ve cos4

x A t y A t πω ω = = +

eşitlikleri ile tanımlıdır. Lissajous eğrisini geometrik yöntemle çiziniz.

Çözüm-4. Yatay hareketi temsil için yarıçapı A1 ve düşeyhareketi temsil için ise A2 yarıçaplı çemberleriçizeriz. İki hareket arasında δ = π/4 kadarlık fazfarkı olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle çember-2,Ny = 2π/(π/4) = 8 eşit parçaya bölünür. Her ikititreşimin frekansı aynı olduğu için, çember-1 de,Nx = Ny = 8 eşit parçaya bölünmelidir.

Noktalara karşılıklı aynı numaralar verilmelidir. Aynı numaraları noktalardanx-eksenine ve y-eksenine dikmeler çizilir. Bu dikmelerin kesiştiği noktalarada aynı numaraları veririz. Daha sonra da, kesişen noktalar numara sırasınagöre birleştirilerek Lissajous eğrisi elde edilmiş olur.

+x-ekseninden itibaren π/4 aralıklarla saat ibrelerinin tersi yönünde dönerekçember-1 üzerindeki noktaları 1' den başlayarak numaralandırırız. Benzerişlem, çember-2 içinde yapılır.

47

Örnek-5. Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde titreşim hareketiyapıyor. Bu titreşim hareketleri

eşitlikleri ile tanımlıdır.

a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisininanalitik ifadesini türetiniz.

b) a = b = 2 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini geometrikyöntemle çiziniz.

( ) ( )cos ve sin 2x a t y b tω ω= =

Çözüm-5. ( ) ( ) ( )2

) sin 2 2 cos sin = 2 1x xa y b t b t t ba a

ω ω ω = = −

b) 2 a b= = ⇒

( )2 4/ 2yN π

π= =

2 4 81

yx y

x

N Nωω

= = =

( )

( )

2cos

2sin 2 cos 22

x t

y t t

ω

πω ω

=

= = −

48

Örnek-6. Birbirlerine dik iki titreşim,

ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkanLissajous eğrisinin grafiğini geometrik yöntemle çiziniz.

( )cos ve cos 23

x a t y a t πω ω = = +

Çözüm-6. ( )

2 6/ 3yN π

π= =

2 6 121

yx y

x

N Nωω

= = =

2

34

1

5

6

11

8

10

7

9

12

2,8

3,9

4,10

1,7 5,11

6,12

1

2

3

4,10

5

6

7

8

9

11

12

( )cosx a tω=

cos 23

y a t πω = +

49

3.1. Fiziksel Sistemlerin Serbest Salınımları:Basit Harmonik Hareket (BHH)

BÖLÜM 3

Cisimlerin elastik özellikleri ile ilgili olarak kuvvet ve yer-değiştirme ilişkisi RobertHooke tarafından basit bir şekilde ifade edilmiştir:

( ) ( )∗kuvvet = sisteme özgü sabit yer - değiştirme−

ile verilen geri çağırıcı bir kuvvet uygulanır.

Örneğin kütle-yay sistemi için, denge konumuna göre xkadar sıkıştırılmış veya gerilmiş yayın ucuna tutturulmuşcisme yay tarafından, Hooke yasasına göre,

F = kx−

Yer-değiştirme ile orantılı geri çağırıcı bir kuvvetinetkisindeki cisimler BHH yaparlar.

1

3.1.1. Yatayda Kütle-Yay sistemi

Bu denklemin çözümü,

𝑥𝑥 : uzanım ω : açısal frekans𝐴𝐴 : genlik 𝜑𝜑 : faz sabiti

2

2 0d x kF = ma = kx + x =dt m

− ⇒

22 2

2 0k d x + x =m dt

ω ω= ⇒

( )( ) cosx t A tω ϕ= +

22 2 m= f = TT kπω π π⇒ =

f : frekans ve T : periyod , olmak üzere:

Denge noktası

2

∆l

3.1.2. Düşeyde Kütle-Yay sistemi

Yaya asılı kütle denge durumunda iken,

mg = k l∆

olmalıdır.

( )+F = k x+ l mg = kx k l mg− −∆ − ∆ +

2

2 0d x k+ x =dt m

22 2

2 0k d x + x =m dt

ω ω= ⇒ ( )( ) cosx t A tω ϕ= +

Cisim denge konumundan bir miktar uzaklaştırılıpserbest bırakılırsa BHH yapacaktır. Dengenoktasına göre x kadar aşağıda olan cisim için,

m∆l

= kx−

3

ϕ = 0 özel durumu için uzanımın (x), hızın (v) ve ivmenin (a) zamana bağlı değişimleri aşağıdaki grafikte verilmiştir.

4

Paralel Bağlı Yaylar:

Seri Bağlı Yaylar:

Paralel bağlı yaylardaki uzama miktarları birbirine eşittir.Yayların kütleye uyguladığı toplam kuvvet, her iki yayınuyguladığı kuvvetlerin toplamına eşittir.

Yaylar paralel bağlandığında toplam yay sabiti, yayların yay sabitlerinin toplamına eşittir.

Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz. Seri bağlıyaylarda her bir yay üzerinde ortaya çıkan kuvvetler eşittir.

Yaylar seri bağlandığında, toplam uzama her iki yaydaki uzamanın toplamına eşittir.

( )1 2 1 2 net netF F F F = k k x= + ⇒ − +

.net eşF = k x−

1 2F = F F=

1 2. 1 2

eş

F F Fx = x + x =k k k

⇒ +. 1 2

1 1 1

eş

=k k k

+

. 1 2eşk = k k+

5

3.1.3. Basit Harmonik Harekette Enerji

BHH yapan bir kütle-yay sisteminin herhangi bir andaki mekanik enerjisi

2 21 12 2

E = K +U mv + kx=


( ) ( ) ( ) ( )cos ve sinx t = A t v t = A tω ω ω−

2 22 21 x v+ = v = A x

A Aω

ω ⇒ −

olduğundan, cismin herhangi bir konumdaki hızı için,

ifadesi elde edilir.

( ) ( )2 22 2max. max.

1 1 1 2 2 2

k K m v m A = kAm

ω ω= ⇒ = =

BHH yapan bir cismin herhangi bir andaki uzanımı ve hızı,

Cisim denge konumundan geçerken (𝑥𝑥 = 0) en büyük hıza (vmax. = Aω), dolayısıylaen büyük kinetik enerjiye sahip olur:

6

Cisim dönme noktalarından geçerken (v = 0 veya xmax= A) ise en büyük potansiyelenerjiye sahip olur:

( ) ( )2 2 2 2 21 1sin cos2 2

E = K +U mA t + kA tω ω ω=

( ) ( )2 2 2 21 1sin cos2 2

E = kA t t kAω ω + =

( )2 2max. max.

1 12 2

U k x kA= =

Cismin herhangi bir andaki mekanik enerjisi,

ifadesine sahiptir.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1sin veya 2 2 2

K t m v t kA t K x E kxω= = = −

Kinetik ve potansiyel enerjilerin zamana veya konuma bağlılıkları ise aşağıdakigibidir.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1cos veya 2 2 2

U t k x t kA t U x kxω= = = 7

Kinetik ve potansiyel enerjilerin zaman ve uzanımla nasıl değiştikleri aşağıdakigrafiklerde özetlenmiştir.

Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı, maksimumkinetik enerjiye veya maksimum potansiyel enerjiye eşit olacaktır.

( ) ( )2 2 21 1sin2 2

K t kA t E kxω= = − ( ) ( )2 2 21 1cos2 2

U t kA t kxω= =

8

3.2.1. Basit Sarkaç

Sarkaç, denge konumundan küçük bir θ açısı kadaruzaklaştırılıp serbest bırakılırsa mg yerçekimi kuvvetiyleipteki T gerilmesinin etkisi altında düşey bir düzlemdeperiyodik salınımlar yapılır. Böyle bir sarkaç basit sarkaçolarak adlandırılır.

Bir ucu sabit bir noktaya tutturulmuş, kütlesi ihmaledilebilir l uzunluğundaki ipin diğer ucuna m kütlelinoktasal bir cisim bağlanarak oluşturulan sisteme sarkaçdenir.

Yay uzunluğu s = lθ alınır ve küçük açı (θ < 10°) yaklaşımı kullanılırsa, geri çağırıcıkuvvet:

( )sintF mg θ= −Kütleye etki eden geri çağırıcı kuvvet teğetseldir:

( )3 5 7

sin3! 5! 7!θ θ θθ θ θ= − + − + ⋅⋅⋅ ≈ t

mgF mg sl

θ = − = −

Dolayısıyla bu şart altında basit sarkacın hareketi basit harmonik hareket’ tir.9

( )22

2 2t t

d ld sF ma m m mgdt dt

θθ= = = = −

2

2 0d gdt lθ θ+ =

22 2

2 0g dl dt

θω ω θ= ⇒ + =

1 22

g g lf Tl l g

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =


θ : açısal uzanım ω : açısal frekansθmax. : açısal genlik 𝜑𝜑 : faz sabiti

3.2.2. Basit Sarkacın Enerjisi

( ) ( )sin sinx x l ll

θ θ θ= ⇒ = ≈

( )2 2 2 2 2 2 0l y x l y ly x− + = ⇒ − + =

2

2xy l yl

<< ⇒ =

10

( )2 2max.

1( ) ( )2

K E U mglθ θ θ θ= − = −

21 ( )2

x = l U mglθ θ θ⇒ =

( )2 2 2max.

1 1( ) sin2 2

K t mv mgl tθ ω ϕ= = +

( ) ( )2 2 2max.

1( ) cos2 2mgU t mgy l t = mgl t

lθ θ ω ϕ= = +

2max.

1( ) ( )2

E K t U t mglθ= + =

2max. max.

12

K mglθ=

2max. max.

12

U mglθ=

( ) ( )max. cost tθ θ ω ϕ= + ( ) ( ) ( )max. sind ldsv t l t

dt dtθ

ωθ ω ϕ= = = − +

( )max. max. max. max.gv l l gll

ωθ θ θ

= = =

11

3.2.3. Burulma Sarkacı

Küçük açılı burulmalar için geri çağırıcı tork: τ κθ= −

Burada κ, telin burulma sabitidir.

2

2

dI Idtθτ α κθ= = = −

2

2 0ddt Iθ κ θ+ =


1 22

If TI Iκ κω π

π κ= ⇒ = ⇒ =

22 2

2 0 dI dtκ θω ω θ= ⇒ + =

Kullanılan katı cisim, M kütleli ve R yarıçaplı bir disk ise:

2

2 2

2 1 2 22 2

MRf TMR MRκ κω π

π κ= ⇒ = ⇒ =

212diskI MR=

12

3.2.4. Fiziksel Sarkaç

( )sinmg h mghτ θ θ= − ≈ −2

2 dI I mghdtθτ α θ= = = −

22 2 21 1

12 2 3kmlI I mh ml m ml = + = + =

2

2 0d mghdt Iθ θ+ =

22 2

2 0mgh dI dt

θω ω θ= ⇒ + =

1 22

mgh mgh If TI I mgh

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =


Katı cisim m kütleli, l uzunluğunda ve bir ucu etrafında serbestçe dönebiliyorsa:

3 1 3 2 22 2 2 3g g lf Tl l g

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =

13

3.2.5. Yüzen Cisimler İçin Basit Harmonik Hareket

Eğer yüzen bir cisim hafifçe bastırılırsa ya da denge konumundan hafifçe yukarıkaldırılırsa, bu cisme yer değiştiren sıvının ağırlığına eşit bir geri çağırıcı kuvvetetki eder. Bu kuvvetin etkisindeki cisim BHH yapar.

Yüzen cisim 𝑦𝑦 kadar bastırılıp serbest bırakıldığında BHH hareketi yapar.

𝐹𝐹

𝑊𝑊𝑠𝑠(Sıvının uyguladığı geri

çağırıcı kuvvet)

( )sF Ay gρ= −

( )s sW Ay gρ=(yer değiştiren sıvının ağırlığı)

𝑚𝑚 : yüzen cismin kütlesi𝐴𝐴 : kesit alanı

: sıvının yoğunluğu𝜌𝜌𝑠𝑠

14

Frekans ve periyodun yüzen cismin kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.

( )2

2 sd yF ma m Ay gdt

ρ= = = −2

2 0s Agd y ydt m

ρ+ =

22 2

2 0s Ag d y ym dt

ρω ω= ⇒ + =

1 22

s s

s

Ag Ag mf Tm m Ag

ρ ρω ππ ρ

= ⇒ = ⇒ =

( ) s smgmg Ah g Agh

ρ ρ= ⇒ =

1 22

g hf Th g

ππ

= ⇒ =

( ) ( )max. cosy t y tω ϕ= +

15

3.2.7. Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar

İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devrede yükün veya akımın değişimi BHHözelliği gösterir.

0q diLC dt− =

2

2

1 0dq d qi qdt dt LC

= − ⇒ + =

22 2

2

1 0d q qLC dt

ω ω= ⇒ + =

( ) ( )max. max. max. max.sin sin ; dqi q t i t i qdt

ω ω ϕ ω ϕ ω= − = + = + =

1 1 1 22

f T LCLC LC

ω ππ

= ⇒ = ⇒ =

( ) ( )max. cosq t q tω ϕ= +

16

22

2 0d q qdt

ω+ =

LC devresi ile Kütle-Yay sistemi arasındaki benzerlik:

Kütle-yay sistemi: LC devresi:

22

2 0d x xdt

ω+ =

1

x q

kC

m Lv i

→

→

→→

2 21 12 2

km

E mv kx

ω =

= +2

2

1

1 12 2

LCqE LiC

ω =

= +

17

3.3. Serbest Titreşimlerin Bozulması:

3.3.1. Sönümlü Hareket ve Sönümlü Harmonik Hareket

Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin devreye girmesiyle serbesttitreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız.

Harmonik hareket yapan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse salınımıngenliği, sürtünme nedeniyle zamanla küçülerek sıfır olur. Bu tür salınımlara sönümlüharmonik hareket denir.

Sürtünme, genellikle hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır. Sürtünmekuvvetlerinin büyüklüğü de çoğu kez hıza bağlıdır. Pek çok örnekte, sürtünmekuvvetinin büyüklüğü hız ile orantılı olup, hıza zıt olarak yönelmiştir.

Şekilde görüldüğü gibi, yaya asılı olan bir kütlenin sıvıdolu bir kap içinde düşey doğrultuda salınım hareketiyaptığını düşünelim. Bu kütle viskoz sıvı içinde hareketederken enerjisini kaybetmeye başlayacaktır, başka birdeyişle kütle sönümlü harmonik hareket yapacaktır.

18

• Potansiyel enerjinin tümü, kütlesiz ve hiçbir sürtünme kuvvetinin etkimediği idealyayda toplanır.

Kabullenmelerimiz:

Sönümlü hareketin denklemi ikinci Newton yasasından elde edilir. Kütleye etki eden 𝐹𝐹kuvveti, – 𝑘𝑘𝑥𝑥 şeklindeki geri çağırıcı kuvvet ile −𝑏𝑏𝑏𝑏 şeklindeki sürtünme kuvvetinintoplamıdır. Burada 𝑏𝑏 pozitif bir sabit olup, vizkoz sıvıya özgü bir karakteristiktir.

Bu durumda hareket denklemi:

ma kx bv= − −

• Kinetik enerjinin tümü, salınan m kütlesinde toplanır.

• Isı şeklindeki tüm iç enerji, kabı dolduran vizkoz sıvıda ortaya çıkar.

2

2 0d x b dx k xdt m dt m

+ + =

20 ve b k

m mγ ω= =

2202 0d x dx x

dt dtγ ω+ + =

Bu denklem sabit katsayılı ikinci mertebeden, lineer, homojen bir diferansiyeldenklemdir.

19

Bu denklemin çözümü için rtx e= formunda bir çözüm önerilebilir.

Bu türden denklemlerin çözümü için ‘‘Calculus and Analytic Geometry, GeorgeBrinton Thomas, Jr.’’ kitabına bakabilirsiniz.

2 ; ; rt rt rtx e x re x r e= = = Bu çözüm önerisinden:

( )2 20 0rtr r eγ ω+ + = 2 2

00 ; 0rte r rγ ω≠ + + =

( )( )

2 21 0

2 22 0

1 421 42

r

r

γ γ ω

γ γ ω

= − + − = − − −

2 204γ ω∆ = − niceliği diskriminant olarak bilinir. Diskriminantın değerine göre bu

denklemin çözümünde üç farklı durum söz konusudur:2 2

0) 0 veya 4i γ ω− ∆ > >2 2

0) 0 veya 4ii γ ω− ∆ = =2 2

0) 0 veya 4iii γ ω− ∆ < <

( ) 1 2r t r tx t Ae Be= +

A ve B katsayıları, hareketin başlangıçkoşullarından belirlenebilir.

Kritik üstü sönüm

Kritik sönüm

Kritik altı sönüm20

1. Durum: Kritik üstü Sönümlü Hareket (Salınım yok)

Bu koşulda hareket zamanla üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Butip sönüm "Kritik Üstü Sönüm" olarak adlandırılır. Bu durumda hareket salınımlıdeğildir.

( ) ( )1 21 1 ve 2 2

r rγ γ= − + ∆ = − − ∆

( ) ( ) ( )1 2

1 12 2

t tr t r tx t Ae Be Ae Beγ γ− + ∆ − − ∆

= + = +

( )2 2

2 20 02 2

2

b bt tb t m mmx t e Ae Be

ω ω − − − −

= +

2 20) 0 veya 4i γ ω− ∆ > >

Her iki kök negatiftir !!!

21

2. Durum: Kritik Sönümlü Hareket (Salınım yok)

Zaman ilerledikçe x’ in değeri sıfıra yaklaşır. Bu tip sönüm "Kritik Sönüm"olarak adlandırılır. Bu durumda hareket salınımlı değildir.

1 212 2

br r rm

γ= = = − = −

( ) ( ) ( ) 2b t

rt mx t A Bt e A Bt e − = + = +

2 20) 0 veya 4ii γ ω− ∆ = =

3. Durum: Kritik Altı Sönüm (Sönümlü Harmonik Hareket)

2 20) 0 veya 4iii γ ω− ∆ < <

2 20

1 42

ω ω γ= − 1 21 1 ve 2 2

r i r iγ ω γ ω= − + = − −

( ) [ ]1 2 2 2 cos sint tr t r t i t i tx t Ae Be e Ae Be e A t B t

γ γω ω ω ω

− −− = + = + = +

Salınıcı sönümlü harmonik hareket yapar.

22

eşitlikleri ile tanımlı iki yeni 𝐴𝐴0 ve δ sabitlerine geçebiliriz.

Burada 𝐴𝐴0 , t = 0 anındaki genlik ve δ ise faz sabitidir. Faz sabitini δ = 0 seçmektebir sakınca yoktur. Bu durumda çözüm için,

bulunur. Bu çözümden, cismin bir titreşim hareketi yaptığı, fakat genliğinin zamaniçinde üstel olarak azaldığı görülmektedir. Sönüm nedeniyle cismin enerjisi korunmaz.

Bu ifadeyi sadece sinüs veya kosinüs cinsinden vermek, hareketi daha kolayyorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,

( ) ( ) ( )2 20 0 0cos ; sin ; ; tan BA A B A A A B

Aδ δ δ= = = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/20 0cos cos sin sintx t e A t A tγ ω δ ω δ−= +

( ) ( ) ( )/20 costx t A e tγ ω δ−= −

( ) ( ) ( ) ( )2

/2 /2 20 0 0cos cos

4t tx t A e t A e tγ γ γω ω− −

= = −

23

Kritik altı sönüm durumunda, salınım hareketi yapan cisim için uzanımın zamanladeğişimi aşağıdaki grafikte verilmiştir.

Ardışık iki maksimum arasında geçen zaman, hareketin periyodunu verir. Uzanımınmaksimum olduğu noktaların birleştirilmesiyle elde edilen eğri (kesikli çizgiler),genliğin zamanla değişimini verir.

24

0 γ2 > 4𝑤𝑤022 200 veya 4γ ω∆ > > 2 2

00 veya 4γ ω∆ = = 2 200 veya 4γ ω∆ < <

( )( )

2 21 0

2 22 0

1 421 42

r

r

γ γ ω

γ γ ω

= − + −

= − − −

1 212

r r r γ= = = −2

2 2 20 0

1 42 4

γω ω γ ω= − = −

1 21 1 ve 2 2

r i r iγ ω γ ω= − + = − −

( ) 1 2r t r tx t Ae Be= +

( ) ( ) 1r tx t A Bt e= +

( ) ( )/2 t i t i tx t e Ae Beγ ω ω− − = +

Kritik Üstü, Kritik ve Kritik Altı sönümler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Kritik Üstü Sönüm(Over-damped)

Denklemin iki reelkökü vardır :

Kritik Sönüm(Critical-damped)

Denklemin eşit iki reelkökü vardır :

Kritik Altı Sönüm(Under-damped)

Denklemin reel kökü yoktur, kompleks iki kökü vardır :

25

Kritik Üstü, Kritik ve Kritik Altı sönüm durumlarında uzanımın zamanla değişimiaşağıdaki grafikte özetlenmiştir.

26

3.3.2. Sönümlü Hareketin Ortalama Ömrü (zaman sabiti) veKalite Faktörü:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )/2 2/0 0cos cos

ttx t A e t A e tγ γω ω

−−= =

Üstel terimde zaman boyutundaki 2/γ sabiti, genliğin zamanla ne kadar çabuk azalaraksıfıra gittiğinin ölçüsüdür. Genliğin başlangıç değerinin 1/e’ sine düşmesi için geçen süre,

2 2mb

τγ

= =

ile verilir ve salınımın ‘‘ortalama ömrü’’ veya ‘‘zaman sabiti’’ olarak adlandırılır.Küçük zaman sabiti durumunda b sabiti büyük olduğundan, salınım kısa bir süredeiçerisinde azalarak yok olacaktır.

222 20 04 2

bm

γω ω ω = − = −

b büyüdükçe, salınımın açısal frekansı küçülür.Bu durumda da, salınımın periyodu artar.

22

0 00

1 12

bm

ω ω ω ζω

= − = −

niceliği, sönüm parametresi denir.ζ

27

parametresine göre sönüm durumları aşağıdaki gibi verilebilir:ζ

1ζ <


1ζ = 1ζ >


28

02kb mω=Sönüm sabiti b’ nin, salınım frekansını sıfır yaptığı

kb b<


kb b= kb b>


ifadesi ile verilen ve ‘‘kalite faktörü’’ olarak bilinen Qparametresi ile de sönümü ifade etmek mümkündür.

0 0 0

2mQ

bω ω ω τγ

= = =

bir değeri vardır. Buna göre sönüm durumları aşağıdaki gibi verilebilir:ile verilen kritik

Bazı sistemlerin Q değerleri:

Saat sarkacı : 200Mikrodalga kavite osilatörü : 104

Quartz crystal :106

Q’ nun büyük değerleri için, sönüm sabiti b küçükolduğundan, salınım daha yavaş söner. Farklı Qdeğerleri için x(t) değişimleri yanda verilmiştir.

Q=14.4

Q=25.8

29

2 2220 0 0

0

11 14 2 2Qγ γω ω ω ω

ω

= − = − = −

Görüldüğü gibi Q’ nun büyük değerlerindeω ≈ ω0 almaya hakkımız vardır. Örneğin,

02 0,968Q ω ω= ⇒ =

Q büyüdükçe ω, ω0 değerine yaklaşmaktadır. Diğer bir deyişle, b sönüm sabitiazaldıkça Q kalite faktörü büyür ve sönümlü harmonik hareketin frekansı ω, basitharmonik hareketin frekansı olan ω0 değerine yaklaşır.

010 0,999Q ω ω= ⇒ =

30

Sönümlü harmonik hareketin enerjisi, sürtünme veya hareketi engelleyici kuvvetler(korunumsuz kuvvet) nedeniyle azalır. Herhangi bir anda sistemin toplam mekanikenerjisi;

3.3.3. Sönümlü Harmonik Harekette Enerji Kaybı

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 2

E t K t U t m v t k x t= + = +

Burada kritik altı sönüm durumunu, yaklaşımı altında ele alalım:

( ) ( )22

220 0 0

0

cos ; 14 2

tx t A e t

γ γ γω ω ω ωω

− = = − = −

2 2

0 04 γ ω ω ω<< ⇒ ≈

( ) ( )20 0cos

tx t A e t

γ

ω−

≈

( ) ( ) ( )20 0 0 0

0

cos sin2

tv t A e t t

γ γω ω ωω

− ≈ − +

2 204γ ω

31

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 20 0 0

0 0

1 1 sin 2 cos2 2 2

tE t K t U t kA e t tγ γ γω ωω ω

− = + = + +

x(t) ve v(t) ifadeleri mekanik enerji bağıntısında yerine konulursa,

( ) ( )20 0

0

1 1 sin 2 2 2

tE t kA e tγ γ ωω

− = +

sonucu elde edilir. Burada E0 , sistemin t = 0anındaki mekanik enerjisidir.

Enerjinin ilk değerinin 1/e ’ sine düşmesi için geçen zaman, ortalama ömrün yarısı kadardr:

2ττ ′ =

( ) ( )/2 20 0 0 0

1 ; 2

ttE t E e E e E kAτγ

−−= = =

32

3.3.4. Enerjinin Değişim Hızı

2 21 12 2

dE d dv dxmv kx mv kxdt dt dt dt

= + = +

sonucu elde edilir. Bu bağıntı enerjinin sürekli azaldığını gösterir. Herhangi bir t1 vet1+T anlarındaki enerji değerleri, sırasıyla;

0 ma bv kx ma kx bv+ + = ⇒ + = −

( )( ) ( )

1

1

1 1 0

2 1 0

t

t T

E E t E e

E E t T E e

γ

γ

−

− +

= =

= + =

( )1

1

02

1 0

t TT

t

E eE eE E e

γγ

γ

− +−

−= =

1 2

1 0

2 2E E TE Q

π πγ γω

−= = =

( )1

1 2

2 2

E osilatörde depo edilen enerjiQE E bir periyotluk süreçte enerjideki kayıp

π π

= = −

( )dE ma kx vdt

= +

2dE bvdt

= −

2

1

1 1ET TE

γ γ<< ⇒ = −

33

3.3.4. Sönümlü Elektriksel Osilasyonlar

Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiş vedevrenin BHH yaptığını görmüştük. Yeni durumda,devreye bir R direnci eklenecektir.

t = 0 anında devredeki S anahtarı kapatılırsa, herhangi biranda devreden geçen akım i ve kapasitör üzerinde kalanyük miktarı q olacaktır. Kirchhoff yasaları gereği,

0q diL iRC dt− − =

yazılabilir.

2

2 0dq d q dq qi L Rdt dt dt C

= − ⇒ + + = ifadesi elde edilir.

2


+ + =Sönümlü harmonik hareket:

Devreden geçen akım, kapasitör üzerindeki yük cinsinden yazılırsa,

34

220 2

xkmb

b=m

γ

γω ω = −

( ) ( )2

2 20 0

1cos cos2

R Rt tL L Rq t q e t q e t

LC Lω

− −

= = −

Benzerlikleri kullanılarak, kritik altı çözüm için:

yazılabilir.

2 12RL LC

<

2

1/

=

12

qC

LR

RL

RLC L

γ

ω = −

2


+ + =

2


+ + =

35