e s d e c i r :

AD BD CD 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 A + B + C A + B + C A + B + C

e s e l p u n t o e s t a c i o n a r i o .

EJEMPLO 8 . 1 9

2 2 2 H a l l e l o s p u n t o s e s t a c i o n a r i o s d e f ( x , y , z ) = x + y + z b a j o l a s r e s t r i c c i o n e s :

2 2 2 9 , ( x , y , z ) = x - xy + y - z - 1 = 0

2 2 g 2 ( x , y , z ) = x + y - 1 = 0

F ( x , y f z , X 1 , X 2 J = f ( x , y , z ) + A ^ ( x , y , z ) + A 2 g 2 ( x , y , z )

2 2 2 2 2 2 2 2 F ( x , y , z,x 1 , X 2 ) = x + y + z + A ^ x - x y + y - z - 1 ) + * 2 ( x + y - 1)

= 2x + 2 a ^ x _ A,y + 2 A 2 x = 0 (1)

| | = 2y - A,x + 2 X i y + 2A 2 y = 0 (2)

= 2z - 2A,z = 0 (3) 9z 1

9F 2 2 2 -TT- =x - x y + y - z - 1 = 0 (4) 1 287

f f = X 2 + y 2 - ! = o (5)

De (3) 2 z ( 1 - X ) » O, e n t o n c e s z = 0 o X 1 = 1 S i X, - 1 (1) 4x - y + 2 A 2 x = 0 2 x ( 2 + X 2> - y = 0 ( 1 ' )

(2) - x + 4y + 2 X 2 y = 0 2 y ( 2 + \ ) - x = 0 ( 2 ' )

d e (1») y = 2x (2 + X 2 ) ( 2 ' ) 4 x ( 2 + X 2 ) 2 - x = 0

[ 4 ( 2 + \ 2 ) 2 - i ] = 0

x « 0 de (5) y 2 - i = o y = - 1

d e (4) z 2 = 0 z = O

P 1 = ( 0 , 1 , 0 ) P 2 = ( 0 , - 1 , 0)

4 ( 2 + X 2 ) 2 - 1 = 0 ( 2 + X 2 ) 2 = J = ? > 2 + X 2 = J

~ ~ 2 2 2 2 2

S i X 2 = - j de (1 ' ) y = x

de (5) 2 x 2 - 1 = O x = í

Y = - 1 / V 2

288

3 a b s u r d o , l u e g o ¿ - —

S í X 2 = - J d e (1 •) y = - X d e (5) 2 x 2 - 1 = 0 X = - \ / < f T

y = + i / y r d e ( 4 ) i + i + I - z 2 - 1 = 0 z = í 1 /vT2"

e n t o n c e s : P 3 = ( 1 / N ( T , - 1 / V ? , 1 / V 7 ) P 4 = O / v T , - 1 / V / T , - 1 / / " 2 )

P 5 = ( - 1 / v / T , 1/vT2", 1 / v T ? ) P 6 = ( - i / \ / T , i / y / T , - l / \ / T )

De (2«) X = 2yC2 + X 2 ) ( 1 ' ) 4 y ( 2 + A 2 ) 2 - y = 0

y 14(2 + x 2 ) 2 - 1) = 0

y = 0 d e (5) x 2 - 1 = 0 x = - 1 d e (41 z = 0

e n t o n c e s : P ? = U , 0 , 0) p g = ( - 1 , o , 0)

S i 4 ( 2 + x 2 ) 2 - 1 = 0 X 2 = - 3 / 2 y A 2 = - 5 / 2

Se o b t i e n e n l o s m i s m o s p u n t o s P 3 , v

289

2 2 S i A K 1 y z = O, s e o b t i e n e de (4) x - xy + y - 1 = 0 2 2

e s d e c i r x + y - 1 = x y , i g u a l a n d o con (5) xy = 0 e n t o n c e s x = 0 o y = 0 S i x = 0 de (5) y = - 1 l o s p u n t o s P 1 y P 2

S i y = 0 de (5) x = - 1 l o s p u n t o s P y P 7 8

Luego l o s p u n t o s e s t a c i o n a r i o s s o n : P , P , P , P , P , P , P , P .

290

9 . CALCULO DIFERENCIAL DE CAMPOS VECTORIALES

En e s t a p a r t e , e l p r o p ó s i t o e s " m o s t r a r " a l g u n o s de l o s c o n c e p t o s d a -d o s en l o s c a p í t u l o s a n t e r i o r e s , g e n e r a l i z a d o s a campos v e c t o r i a l e s . E s t a g e n e r a l i z a c i ó n s e h a c e de u n a f o r m a n a t u r a l , y f r e c u e n t e m e n t e en e l m a n e j o d e e s t o s c o n c e p t o s p a r a campos v e c t o r i a l e s , s e r e c u r r e a l o s a n á l o g o s en s u s c o r r e s p o n d i e n t e s campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s . No s e p r e t e n d e s o b r e e s t o s t e m a s h a c e r d e m o s t r a c i o n e s , s i n o u n a s i m p l e p r e -s e n t a c i ó n de e l l o s .

DEFINICION 9 . 1

n m S e a Y = F(X) un campo v e c t o r i a l de R a R ' , con X = (x . , . . . , ; : ) , 1 n Y = ( y 1 , y 2 , . . . , y ^ ) , s e a A = ( a 1 , a 2 , . . . , a^ ) e R n , un p u n t o de

^ m a c u m u l a c i ó n de Don f , s e a L = ( 1 . , 1 ) e R . Decimos que e l l í -1 in m i t e c u a n d o X t i e n d e a A de F(X) e s i g u a l a L, y s e n o t a :

Lím F (X) = L X -* A

291

SÍ y s o l o s í , p a r a t o d o z > 0 , e x i s t e 6 > 0 t a l que

i i F CX) - L ¡ I < e s i e m p r e que | |X — A| [ < <$

Lo mismo que p a r a su a n á l o g o en campos e s c a l a r e s , e s t o s i g n i f i c a q u e c u a n d o X s e a c e r c a a A, F(X) s e a c e r c a a L, con l a d i f e r e n c i a que F(X) y L y a no s o n n ú m e r o s r e a l e s , s i n o p u n t o s de R m . El c á l c u l o de un l í -m i t e d e un campo v e c t o r i a l de R n a R m , s e p u e d e r e d u c i r a c a l c u l a r ra l í m i t e s de campos e s c a l a r e s de R n a R, corno l o a f i r m a e l s i g u i e r t e t e o r e m a .

TEOREMA 9 . 1

S e a Y = F(X) = ( f . (X) , f . ( X l , . . . , f ( X ) ) , con X = ( x , , . . . , x ) , \ ¿ rn i n Y = (y^< • • • i y ^ ) • Sea A = ( a ^ , . . . , a^) p u n t o de a c u m u l a c i ó n de F , s e a L = (1 , 1 , . . . , 1 ) i ¿ m

LÍm F CX) = L X -> A

e q u i v a l e a a f i r m a r q u e

Lím f . (X) = 1. p a r a t o d o i = 1 , 2 , . . . , rn. X -» A 1 1

DEFINICION 9 . 2

En l a d e f i n i c i ó n 9 . 1 s i A t Dom f , y además :

292

Lim F «Xi = F (A) X A

d e c i m o s que F e s c o n t i n u a en A.

De e s t e , d e f i n i c i ó n y e l t e o r e m a 9 . 1 s e c o n c l u y e que s i

Y = F(X) = ( f , (X) , f „ ( X ) , f ( X ) ) , e n t o n c e s F e s c o n t i n u a en A s í 1 2 m

y s o l o s í f . e s c o n t i n u a en A p a r a t o d o i = 1, 2 , . . . , m.

DEFINICION 9 . 3

Sea F : R° •* R m , s e a A un p u n t o en e l i n t e r i o r de Dom F , X c u a l q u i e r v e c t o r en R n . La d e r i v a d a de F r e s p e c t o a X c a l c u l a d a en A, e s t á da -d a p o r :

(A) = Lím P C A + , h X ) - F ' A )

» h + 0 h

c u a n d o e l l í m i t e e x i s t e .

S i en l a d e f i n i c i ó n 9 . 3 e l v e c t o r X e s u n i t a r i o , e n t o n c e ? e l l í m i t e de l a d e f i n i c i ó n 9 . 3 s e l l a m a l a d e r i v a d a d i r e c c i o n a l de F en l a d i -r e c c i ó n de X. Y l o mismo q u e p a r a e l c a s o de campos e s c a l a r e s , s e p u e d e h a b l a r de l a d e r i v a d a d i r e c c i o n a l en l a d i r e c c i ó n de c u a l q u i e r v e c t o r V, t e n i e n d o en c u e n t a que p a r a su c á l c u l o , p r i m e r o debemos v o l -v e r u n i t a r i o d i c h o v e c t o r .

293

FÍA + n v / i ¡vi i ) - FÍA) D FÍA = Lim — U V n h - O

Sea F : R - R , e f d e c i r Y = FÍX) con X = (x , . . . , x ) , Y = (y , . . . , y ) 1 n i m y V = E n = ( 0 , 0 , . . . 0 , 1 , 0 . . . 0 ) e s d e c i r , e l k - e s i m o v e c t o r c o o r d e n a d o k u n i t a r i o de R n ( t o d a s s u s c o m p o n e n t e s s o r c e r o e > c e p t o l a k - é s i m a q u e

e s 1) .

La d e r i v a d a d i r e c c i o n a l d e F en l a d i r e c c i ó n d e E^ , c a l c u l a d a en A = ( a ^ , , • • • / a ^ ) , s e l l a m a d e r i v a d a p a r c i a l de F r e s p e c t o a x t

c a l c u l a d a en A:

F Í A + h E ^ - F(A) — (A) = Lím

X k h - 0 h

F ( a i ' - - " a k - 1 , a k + h ' a k + l " - " a n = Lim : h 0

EJEMPLO 9 . 1

2 2 3 S e a F(X) = F ( x , y ) = ( 2 , xy + 1 , x ) un campo v e c t o r i a l d e R a R S e a A = ( - 2 , 1)

2 1) Lím F (X) = ( Lím 2 , LÍm xy + 1 , LÍm x ) X -»• A X -»• A X ->• A X -> A

= ( 2 , - 1 , 4 ) = F ( - 2 , 1)

Luego F e s c o n t i n u a en A.

294

2) S i X « ( 3 , 4 )

T < F ( ( - 2 , 1) + h (3, 4))- F ( - 2 , 1)) — ( A ) = Lim - « 3 X h 0 h

F(-2 + 3 h , 1 + 4h) - F ( - 2 , 1) Lim 1

h - 0 h

(2, (-2 + 3h) (1 + 4h) + 1 , (-2 + 3 h ) 2 ) - (2, - 1 , 4 ) = Liro . h h -*• 0

(2, 1 2 h 2 - 5h - 1, 9 h 2 - 12b + 4) - (2, - 1 . 4) = Lim — 1 T" h - o h

L Î m j O ^ J j h i - ^ S h , 9 h 2 - 12h) , ( _ 5 f _ 1 2 )

h - 0 h

3) Corno X ¡= ( 3 , 4) !|x|! = 5 y :

n F ( A ) = L Î r n F ( ( - 2 , 1) + h ( 3 / 5 , 4/5)) - F ( - 2 , 1)

X h h -> 0

(2, -1 - h - 12/25 h 2 4 - 12/5 + 4/25 h') - (2, - 1 , 4) — Liim — _ _ _ _ _ —; 1 ——•——— h h ->• 0

- L i m (Q ' - h + 1 2 ^ 2 5 ^ - 1 2 / 5 h + 9 / 2 5 h 2 ) = (0, - 1 , -12/5)

h +û h

4) 3F * F ( ( - 2 , 1) + h Q , 0 ) ) - F ( - 2 , 1) t— (A) = Lim — ;—' 3 x h - 0

295

F ( - 2 + h , 1) - F ( - 2 , 1) Lim ; h - O

( 2 , - 1 + h , 4 - 4h + h ¿ ) - (2 , - 1 , 4) Lrm ; h h O

LÍm 1 ° ' - 4 h + h 2 ) = ( 0 , 1 , - 4 ) h - o h

£ i f , (X) , f _ ( X ) , . . . f (X) son l o s campos e s c a l a r e s c o o r d e r a d o s d e l i ¿ m campo v e c t o r i a l F de R n a. R m , e n t o n c e s l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s j d i -r e c c i o n a l e s de F , s e p u e d e n r e p r e s e n t a r m e d i a n t e l a s a n á l o g a s en s u s c o r r e s p o n d i e n t e s campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s :

D F(A) = (D f . (A) , D f _ (A) , . . . , D f (A)) v v i v ¿ v m

t r ( A ) = ( A )' ir ( A ) ( a )

> k k k k

2

En e l e j e m p l o 9 . 1 , f ^ í x ^ ) = 2 , f 2 ( x , y ) = xy + 1 , f 3 C x , y ) = x son l o s campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s d e l campo v e c t o r i a l Y = F ( x , y ) . Ob-s e r v e q u e l o s r e s u l t a d o s con e s t a r e p r e s e n t a c i ó n son i d é n t i c o s a l o s y a h a l l a d o s m e d i a n t e l a a p l i c a c i ó n d i r e c t a de l a d e f i n i c i ó n .

DEFINICION 9 . 4

Un campo v e c t o r i a l Y = F(Xl de R n en R m s e d i c e d i f e r e n c i a r e e r un pvinto X e r e l i n t e r i o r d e Dom f s i e x i s t e u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l

296

L d e R* a R t a l q u e ; x o

Liiri H 0

F(X + H) - F (X ) o L x 'K> o = 0

donde H = ( h , , t u , — , h ) e R n i ¿ n

A l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l L de. R n a R™, en v a r i a b l e H s e l e l l a m a o

l a d i f e r e n c i a l d e F en X , y s e r o t a (d F) (H) . O o

Supongamos q u e F d e R n a R r "es d i f e r e n c i a b l e en X^, e n t o n c e s n a t u r a l m e n t e e x i s t e l a d i f e r e n c i a ] de F en X , q u e e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e t d d e o R n a R m , l a c u a l , d e l á l g e b r a l i n e a l s abemos s e p u e d e r e p r e s e n t a r me-d i a n t e u n a m a t r i z m x n . ¿ C u á l e s l a f o r m a de e s t a m a t r i z ? .

Reco rdemos q u e p a r a e l c a s o d e un campo e s c a l a r f , s i f e r a d i f e r e n -c i a b l e s e p o d í a r e p r e s e n t a r en l a f c r m a ;

9 f (X ) 9f (X ) 9f (X ) ( d x f ) ( H ) - (Vf (A) ) . H - . ( h j , V . . . h ,

o 1 2 n

9 f (X ) 9 f (X ) 9f (X ) ° "n. + — h „ + . . . + — r - ^ - h 9x, 1 9x„ 2 * * " 9x n 2 n

A h o r a s e a n f . , f . . . . , f l o s campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s de F , s i ¡ 2 ' ir e s p e r a m o s q u e como en e l c a s o de l o s o t r c s c o n c e p t o s d a d o s en e s t e c a -p í t u l o , l a d i f e r e n c i a l d e F s e p u e d a d a r m e d i a n t e l a s d i f e r e n c i a l e s d e

297

d e f , , f , f , e n t o n c e s s e r í a de l a f o r m a : 1 2 m

(d F ) ( H ) = ( ( d y f , ) (H) , ( d x f 2 ) (H) ( d x f m ) (H)) o o o o

3f (X ) 3 f ( X ) 3f (X ) í 1 o , . 1 o , 1 o , ». f h , + r n + . . . + — h , i 1 dx 2 ex n 1 2 n

^ ^ „ , a f 2 ( V h + + ! V V 3 7 " h 1 + — 2 " " " 3 x ~

1 2 n 3f (X ) 5f (X ) 3f (X ) - ° • . . . • - V

„ *T* - U T . . . -f r— ' 9x ' f x „ 2 9x 1 2 n

p e r o p o r un c á l c u l o d i r e c t o s e p u e d e c o m p r o b a r que e s t a e x p r e s i ó n , v i £ t a como un v e c t o r c o l u m n a , e s e l r e s u l t a d o de a p l i c a r u n a m a t r i z q u e

3 f . n o t a r e m o s (T-T^- ) en e l v e c t o r H = (h , h , . . . h ) a s í :

298

* 3 i La m a t r i z ( T — ( X )} s e l l a m a l a M a t r i z J a c o b i a n a de F en X . Y s e 9x. o o i p u e d e d e m o s t r a r q u e en e f e c t o , e s t e , e s l a m a t r i z a s o c i a d a a l a t r a n s -f o r m a c i ó n l i n e a l L (H) = (d F ) (H) q u e hemos l l a m a d o l a d i f e r e n c i a l

A y% o o de F e r X . o

La misma r e l a c i ó n q u e h a y e n t r e l a e x i s t e n c i a d e l a d i f e r e n c i a l d e un campo e s c a l a r en un p u n t o y e l g r a d i e n t e de. l a f u n c i ó n en e s e p u n t o , s e t i e n e t a m b i é n p a r a campos v e c t o r i a l e s : La e x i s t e n c i a d e l a M a t r i z J a c o b i a n a d e F en X q , n o g a r a n t i z a l a d i f e r e n c i a b i l i d a d d e l a f u n c i ó n en d i c h o p u n t o , p e r o s i s abemos q u e P e s d i f e r e n c i a b l e en X , n e c e s a -o r i a m e n t e l a d i f e r e n c i a l en e s t e p u n t o s e r e p r e s e n t a p o r d i c h a m a t r i z . También t e n e m o s q u e l a e x i s t e n c i a de l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e l a s f u n c i o n e s c o o r d e n a d a s en u n a v e c i n d a d de X^, i m p l i c a l a d i f e r e n c i a b i -Ü d a d d e l campo v e c t o r i a l en X^.

EJEMPLO 9 . 2

2 2 2 3 2 S e a F ( x , y , z ) = ( 3 x y + z , x y z ) un campo v e c t o r i a l de R a R .

2 2 2 Los campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s ; f , ( x , y , z ) = 3xy + z , f 2 ( x , y , z ) = x y z son f u n c i o n e s p o l i n ó m i c a s en v a r i a b l e s x , y , z , p o r t a n t c son f u n c i o n e s

3 c o n t i n u a s y t i e n e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u é i s en t c d o R , p o r c o n -s i g u i e n t e son d i f e r e n c i a b l e s en c u a l q u i e r p u n t o d e l e s p a c i o ; en p a r t i -c u l a r l o son en X £ = C1, T2, 3 ) . Veamos c u á l e s l a d i f e r e n c i a l d e F en e s t e p u n t o ;

299

a f 1 9 f 1 L = 3y —i (X ) = -6 dX 3x O

3f 3f -r-J- = 3x ^ (X ) = 3 3y 3y o

3f 3f _ — = 1 _ L ( X ) = 1 0 2. d Z O

3 f 2 2 2 3 f 2 = 2 x y V ^ = ? 2

3 f 2 2 2 3 f 2 — i - = 2x yz ==> ——- (X ) = - 3 6 3 y 3y o

df 2 0 3f 3 — = 2x y * z ^ -5 (X ) = 24 d z 9z O

I.a M a t r i z J a c o b i a n a de F en x , que e s l a m a t r i z a s o c i a d a a l a d i f e r e n c i a l d e F en X f e s t á d a d a p o r :

La d i f e r e n c i a l de F en X e s t á d a d a p o r ; o

30

( d x f ) ( H ) = ( - 6 h 1 + 3 h 2 + h 3 , 7 2 h 1 - 3 6 h 2 + 2 4 h 3 ) o

D e l a l g e b r a l i n e a l r e c o r d e m o s q u e s i f e s u n a f u n c i ó n l i n e a l d e R n

a r I I í » Y 9 e s u n a f u n c i ó n l i n e a l de R m a r \ l a m a t r i z a s o c i a d a a l a c o m p u e s t a de f y g , q u e t a m b i é n e s l i n e a l , (g f)(X) = g [ f ( X ) ] ) , e s t á d a d a p o r : M _ = (M ) . (M.J donde M, y M son l a s m a t r i c e s a s o c i a d a s g Q f g f f g a f y g r e s p e c t i v a m e n t e .

S e a F ; R° -*• R m , Y = F(X) con Y = ( y . , . . . , y 1 X = ( x , , . . . , x ) i m i n un campo v e c t o r i a l d i f e r e n c i a b l e en A = ( a , , . . . , a ) . y

i n s e a G: R r a R k , d i f e r e n c i a b l e en F (A) = ( b , , b , . . . , b ) e n t o n c e s l a

n k f u n c i ó n c o m p u e s t a P ( X ) = CG^F)(x) = G [ F ( X ) J de R a R e s d i f e r e n -c i a b l e en A, y además s i M (A l , M (F ( A ) ) , son l a s M a t r i c e s J a c o b i a n a s F G

a s o c i a d a s a l a s d i f e r e n c i a l e s de F en A, y d e S en F ( A ) , r e s p e c t i v a -m e r t e , e n t o n c e s l a M a t r i z J a c c b i a n a a s o c i a d a a l a d i f e r e n c i a l d e P = G Q F f en A, M g p ( A ) e s t á d a d a p o r : o

M (A) = (M (F (A) 1) . (M (A)) t í Q» r

301

E s t a e s Xa l l a m a d a R e g l a d e l a Cadena p a r a campos v e c t o r i a l e s , q u e e x -p l í c i t a m e n t e l a r e p r e s e n t a m o s :

S i P = ( f , f , . . . , f ) en v a r i a o x e x = (x , , x ) 1 ¿ m ) n

G = ( g , , g 2 , . . . , g k ) en v a r i a b l e Y = (y , , . . . , y^ )

P - ( P 1 » P 2 # • • • , P k ) en v a r i a b l e X = (x , , . . . , x n )

(A)•= ( F i l a í - e s i m a de M^CFÍA)) . (Columne. j - e s i m a de M ^ A ) )

, ? g i 9 f , 3 f , 9f • ( F < A " ' Í P ( W 1 ir m

( F , S 1> • <*>• ^ r - í r l s l

9 9 Í 9 f , 9g 9g . 3f = 977 ( F ( A ) > 9 7 - ( A ) + 9?; ^ ( a ) ) 3 ¡ r ( a ) a r z r ( A )

J 3 2 J m j x m 9g . 3f = T (F (A)) CA]

r - 1 r 3 X j

302

EJEMPLO 9 . 3

S e a F ( x , y , z ) = ( 2 x z , y z) = ( ^ ( x , y , z ) , f 2 ( x , y , z j )

2 2 G ( x , y ) = (x y , 2xy) = (g., ( x , y ) , g 2 ( x , y j )

A = ( 1 , 2 , - 1 1

P(A) = F ( 1 , 2 , - 1 ) = ( - 2 , - 4 )

VA )

Ü 3 3x

3 f , 9x

(A)

( A )

Ü J 9y

d f : 3y"

( A )

(A)

Ü i 3z

3 f , 9z~

W G ( F ( A ) ) =

Ü .1 3x

dg2

3x~

(FÍA))

( F (A) )

Ü 3 ay

3g,

3 7

(F(A))>

( F (A) )

M G F ( A ) o

- 64

- 8 \

- 3 2 - 2 0 0 - 4

\

S i e n c o n t r a m o s G Q F e x p l í c i t a m e n t e , t e n e m o s :

303

2 G F s G ( F ( x , y , z ) = G ( 2 x z , y z ) o

= ( ( 2 x z ) 2 ( y 2 z ) 2 , 2 ( 2 x z ) ( y 2 z ) )

2 4 4 ¿ ¿ = (4x y z , 4xy z ) = ( p , ( x , y , z ) , p 0 ( x , y , z ) ) J c

3 P 1 3P, 9P 1

MG F ( A ) . o

. (A) — (A) t — (A) \ / 1 2 8 128 -256^ 9x 9y 9z

9 P 2 3P-, (A) r — (A) ( A ) / \ 16 16 - 3 2 k9x 9 y

come s e p u e d e a p r e c i a r c o i n c i d e n l o s r e s u l t a d o s a l c a l c u l a r l a d i f e r e n -c i a l p o r p r o d u c t o de m a t r i c e s o u s a n d o l a c o m p u e s t a . S i H = ( h ^ , h 2 , h 3 ) 7 l a d i f e r e n c i a l de F en A e s :

128 128 - 2 5 6

(d G F) H A o 16 16 *32

= C128h 1 + 1 2 8 h 2 r 2 5 6 h 3 , 16b , + 1 6 h 2 - 3 2 h 3 )

S e a C u n a c u r v a en e l e s p a c i o , y s e a V ( t ) = X ( t ) i + Y t t l 3 + Z ( t J k con t e [ a , b ] , una p a r a m e t r i z a c i o n de l a misma . Como l o h a b í a m o s h e c h o n o t a r en l o s e j e m p l o s 2 . 1 4 y 2 , 1 5 , e s t a p a r a m e t r i z a c i o n e s un

304

campo v e c t o r i a l de R a R , y l a c u r v a C r e p r e s e n t a l o s p u n t o s d e l r e c o r r i d o de e s t e campo V, Los campos e s c a l a r e s c o o r d e n a d o s d e VCt) son X ( t ) , Y ( t ) , Z ( t J , y p u e s t o que s o l a m e n t e a p a r e c e u n a v a r i a b l e , no h a b l a r e m o s a q u í d e d e r i v a d a p a r c i a l d e l campo V r e s p e c t o a t , s i n o s i m p l e m e n t e d e l a d e r i v a d a d e V. A s í :

£ . L Í j n V ( t + h l - V ( t ) = x u t ) í + y l ( t ) J + Z , c t l i d t h - 0 h

M Á

E s t e v e c t o r — e s t á r e l a c i o n a d o con l a c u r v a C, d e l a s i g u i e n t e f o r

ma (Ver f i g u r a s 9 . 1 ( a l y 9 . 1 ( b ]

S e a C l a c u r v a r e p r e s e n t a d a en l a f i g u r a 9 . 1 , cor. l a o r i e n t a c i ó n d a d a

-V -> - » • - » • V ( t + h) f V ( t ) r e p r e s e n t a u r v e c t o r que v a de V ( t ) a V ( t + h]

V ( t + h) — v í t ) S i h > 0 , — ^ - e s un v e c t o r p a r a l e l o a V ( t + h) - V ( t ) con -y -v e l mismo s e n t i d o ' F i g u r a 9 . 1 ( a ) ) . S i h • 0 e-1 v e c t o r V ( t + h l - V ( t )

t i e n d e a s e r t a n g e n t e a l a c u r v a en e ] p u n t e V ( t ) , y e l v e c t o r V ( t + h) - V ( t ) . , . . . t , t a m b i é n , p e r o con d i f e r e n t e m a g n i t u d . Observemos q u e e s t e v e c t o r s a l e t a n g e n t e a l a c u r v a s i g u i e n d o l a o r i e n t a c i ó n d e

C,

S i h < 0 , " v ( t ) e s un v e c t o r p a r a l e l o a VCt + h) - y ( t i

p e r o con s e n t i d o o p u e s t o ( F i g u r a 9 , 1 ( b ) . S i h •* 0 e l v e c t o r

305

?

?

306

V ( t + h) - V ( t ) t i e n d e a s e r t a n g e n t e a l a c u r v a en e l p u n t o V ( t ) s i -g u i e n d o l a o r i e n t a c i ó n o p u e s t a a l a de l a c u r v a , y e l v e c t o r

V ( t + h) - V ( t ) t a m b i é n t i e n d e a s e r t a n g e n t e a C, p e r c con s e n t i d o h

o p u e s t o a V ( t + h) - V ( t ) p o r c o n s i g u i e n t e s e g u i r á l a misma o r i e n t a -c i o n d e l a c u r v a C.

De e s t o s d o s a n á l i s i s t e n e m o s q u e ; ^ r e p r e s e n t a un v e c t o r t a n g e n t e a l a c u r v a C, en e i p u n t e VCtl = ( X ( t ) , Y ( y ) , Z ( t L l q u e s a l e s i g u i e n d o l a o r i e n t a c i 6 n n d e l a c u r v a C,

Sea V ( s ) con s e [ a , b j I a p a r a m e t r i z a c i ó n d e u n a c u r y a q u e y a d e un p u n t o P q a un p u n t o Q q , r e s p e c t o a l a l o n g i t u d d e a r c o , e s d e c i r , q u e a c a d a s e [ a , b ] l e h a g o c o r r e s p o n d e r e l p u n t o VCsl = CX(s l , Y ( s l , Z ( s ) s o b r e C, t a l q u e e l t r e z o d e c u r v a q u e v a d e P^ a V ( s ) t e n g a u n a l o n -g i t u d " s " . A s í , c u a n d o h t i e n d e a c e r o l a l o n g i t u d d e l t r o z o d e c u r -v a q u e v a d e V ( s ) a V ( s + h ) , e s d e c i r | h | , t i e n d e a s e r i g u a l a l s e g m e n t o d e r e c t a q u e v a de V t s ) a V ( s + h ) , o s e a a l a norma d e l v e c -t o r V ( s + h) r- V ( s ) , p o r t a n t o ;

1 ^ , 1 = L í m V ( s + h l - V i s ) = i l j ( s | h l ^ ( s ) 1 L

^ . h -+G h h + Q T F Í T

P o r c o n s i g u i e n t e f c u a n d o l a p a r a m e t r i z a c i ó n V(s ) d e l a c u r v a C, s e dV

h a c e r e s p e c t o a l a l o n g i t u d d e a r c o , e l v e c t o r — no s o l o e s t a n g e n -t e a C f en e l p u n t o VCt) s i g u i e n d o l a o r i e n t a c i ó n de C, s i n o q u e además r e s u l t a s e r u n i t a r i o .

307

EJEMPLO 9 . 4

Sea C l a h é l i c e con e c u a c i ó n p a r a m e t r i c a :

r ( t ) = a Cos t í + a Sen t j" + b k con t e j o , 2*]

d r -t -*• — = - a Sen t I + a COK t i + ok d t

y e l v e c t o r t a n g e n t e a d i c h a c u r v a en e l p u n t o t = ir/2 e s :

£ I t = * / 2 ' 0 1

S i e n d o U, V, W, campos v e c t o r i a l e s de R 3 en R, l a s s i g u i e n t e s p r o p i e -d a d e s de l a d e r i v a d a que s e d e f i n i ó , s e p u e d e n d e m o s t r a r u t i l i z a n d o l a s d e f i n i c i o n e s y p r o p i e d a d e s de l a s o p e r a c i o n e s e n t r e v e c t o r e s v i s -t a s en e l C a p i t u l o 1 , p o n i e n d o a t e n c i ó n a l o r d e n en l o s p r o d u c t o s v e £ t o r i a l e s .

1 « d (V + W) ^ dV dW d t " d t d t

2 . dCfV) - dV ^ df „ , , , D ^ D — — — = f + -rr~ V d o n d e f ; R R d t d t d t

3 - dCV , W) _ dW dV d t " V d t d t

30*8

4 . dCVJLVO = y x * t + d v d t d t d t

d [üVWj d t

1 dW J + dT

d (~UX(V X W)) d t = ~ X (V X W) + U X ( f X W) + UX (V X d t d t d t

Demos t r emos a m a n e r a de i l u s t r a c i ó n l a s p r o p i e d a d e s 3) y 6)

3) S i V = V , ! + V 2 Í + V k

W = W i + W„j + W k I ¿ 3

d(V.W) d (V,w, + + v w d t d t 1 1 2 2 3 3

dW dV dW dV dW d V 3

= V + W + V + W„ + V„ + W„ 1 d t d t 1 2 d t d t 2 3 d t d t 3

dW1 dW2 dW 3

CVjí + v 2j + v / ) . ( _ t + _ - j + _ k ) +

d V 1 + d V 2 + d V 3 + (•— i + J + —_ k) . (W , w , w ) d t d t d t 1 2 3

dW dV „ " v * d F + d T w

309

6) D e l C a p í t u l o 1 t e n e m o s q u e :

UX(V X W) = (U.W)V - (U.V)W

d í u x l ! x w )) = ((U.WJV - (U.v)w) d t d t v '

—r (u.w)v - — (u.v)w d t d t

tu.wl % + ií^ííL v - , v f - ^ X L w d t d t d t d t

dV dW dU dW dV dU (U.W) 2 1 + ( U ' 2 - + 2 - .W) v - (uy) — - + a t d t d t d t d t d t

( U . W í f + ( U . f - ) V . ( f - W ) V - (U.V) ( u . ^ ) w d t d t d t d t d t

X(V X W) + UX Í^T X W) + UX (VX clt d t d t

EJEMPLO 9 . 5

S i V = ( t , - t 3 , 11 W = ( t 2 , 2 t , t i

el (V W) "í 0 0 d t = ( t , - t , 11 . ( 2 t , 2 , 1) + (1 , - 3 t , 0 ) . ( t , 2 t , t )

310

2 3 2 3 3 2 C2t - 2 t + 1] + Ct - 6t J - -8t + 3t + 1

o t a m b i é n »

d(V.W) d ( t 3 - 2 t 4 + t ) 2 3 x — —i — . . . . = 3 t - 8 t + 1 a t d t

En e l Capítulo 5 , h a b í a m o s d e f i n i d o un campo v e c t o r i a l construido a

partir de un campo e s c a l a r z •> f ( x 1 f x 2 , x ^ l , el llamado g r a -

diente de f.

7f a H -V f « S T ' 9x ' 9x 1 2 n

Vamos a d e f i n i r un o p e r a d o r q u e l l a m a r e m o s o p e r a d o r n a b l a t en s í m b o l o s 7) q u e a s o c i a a campos e s c a l a r e s f d e R 3 a R un campo e s c a l a r V f , c*sí :

v - ( i _ J L i L ) ox 9y 3z

i ™ t<> 9 9 u ,9f 9f 9f\ l u e g o : Vf = Or—. — , -r—1 f = (r—, ——, '—) 3 x f 3y 9z x ' y f z

T r a t a n d o e s t e o p e r a d o r V f como s i f u e s e un y e c t c r , podemos d e f i n i r d o s campos e s c a l a r e s y d o s campos v e c t o r i a l e s (.además d e l g r a d i e n t e ! de g r a n u t i l i d a d en a p l i c a c i o n e s f í s i c a s :

1) S i F(x , y , z ) = ( f . . ( x , y , z ) f f ( x , y f z ] , f ( x , y , z 5 ) e s un campo v e c t O '

311

r i a l , l l a m a m o s l a d i v e r g e n c i a d e F a l campo e s c a l a r d a d o p o r :

d i v F = y . F - f ^ . C f r f 2 , £3)

3 f l . 3 f 2 + 3 f 3 3x 3y 3z

2) S i F ( x , y , z ) » ( f ( x , y , z ) , f 2 ( x , y , z ) , f , ( x , y , z l ) e s un campo v e c t o -r i a l , l l a m a m o s e l r o t a c i o n a l d e F a l campo v e c t o r i a l d a d o p o r ;

r o t i " F - V X F =

t 1

ib. 3x

•+ 3 9_ 3y

-> k 9_ 9z

t + ü i - + + ! í i . ! í i ) t 3y 3z 1 9z 9x ^ 3x 3y

3) S i f ( x , y , z l e s un campo e s c a l a r , l l a m a m o s e l L a p l a c i a n o de f a l campo e s c a l a r V £ f d a d o p o r ;

V 2 f - V (Vf) = < 1 - l - i ¿ l K ) v f - V . c v f j - i 9 x , 3yf i 3 x , ay, dz>

2 2 2 9 f 3 f ? f 2 2 2 9x 9y 9z

4) S i F ( x , y , z ) = Cf, ( x , y , z ) , f 2 ( x , y , z ) , f 3 ( x , y , z ] ] e s ur campo v e c t o -

312

2 r i a l , l l a m a m o s e l L a p l a c i a n o de F , a l campo v e c t o r i a l V F , dado p o r ;

V 2 F = V 2 f 1 î + V 2 f ^ + v 2 f 3 k

2 2 2 2 2 2 3 f 3 f 3 f 5 f 3 f 3 f 9 f 3 ¿ f 9 ¿ f

= (~T~ + ~T~ + ~ T ~ ] * + + ~ T + ~ T ~ ) i + { ~ T + ~T~ + ~ T " ) * 9x . 9y 3z 9x 3y 3z 3x 3y 3z

EJEMPLO 9 . 6

3 2 4 Sea f ( x , y , z ) = x y + 3xy z

9f , 2 2 _ 4 9f 3 3 3f , 4 _ = 3x y + 3y z - = 2x y + 12xy z - = 3xy

3 2 f * 2 9 2 f o 3 ^ ^ 2 3 2 f —— = 6xy — - = 2x + 36xy z — - - 0 9x 9y 9z

, , 9f 9f 9f ít g r a d f = Vf = - ! + - 3 + - k

= ( 3 x 2 y 2 + 3 y 4 z ) Î + ( 2 x 3 y + 1 2 x y 3 z ) 3 + ( 3 x y 4 ) k

v2f = u = ¿ 1 + ¿ | 9y 3z

3 2 (2x + 36xy z) + Q = (6xy ) +

313

E J E M P L O 9 . 7

r> 3 2 2 ^ z S e a F ( x , y , z ) = x y z i + x y z j + — k X

f 1 ( x , y , z ) = x y z f 2 ( x , y , z ) = x 3 y 2 z ¿ f 3 ( x , y , z ) =

3f 3f 3f r í 2 2 2 2 3 z 33T = = 3 x ^ 2 = ' ~ x

9 f 1 ^ 2 _ 3 2 5 f 3 n — = x z _ - 2x yz 3y~~ =

3 f 1 ? f 2 , 3 2 • 9 f 3 1 - — = x y - r — = 2x y z — = — 3z 3z J oz x

3 f 1 3 f 2 3f

3 2 = (yz) + (2x yz ) + ( 1 / x

3f 3f 3f 3f 3f 3f _ r o t F = VXF = - — • ) i + - -r-=-J j + - v - 1 - ) k 3y 3z 3z 3x 3x 3y

3 2 - t z -*• 2 2 2 =a (Q 2x y z l a + (xy + —y ) j + (3x y z - x z ) k x

C a l c u l a n d o l a s s e g u n d a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s de f ^ , f ^ y f t e n e m o s :

2 2 -»• 2 2 ->• 7 F = V f i i + V f 2 j + V f k

314

2 2 3 2 3 2z = (Q + Q + 0) i + (6xy z + 2x z + 4x y z ] j + ( — + Q + 0] k

x Veamos a c o n t i n u a c i ó n , a l g u n a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s de e s t e o p e r a d o r

n a b l a .

1) E l o p e r a d o r n a b l a e s l i n e a l , e s d e c i r V(f + g) = Vf + Vg y V(Xf) - XVf d o n d e f y g son campos e s c a l a r e s : y X e R. Veamos:

vcf + g , = í + + g) } + it 3x 3y

- ( | * + í + c f + | 2 i J + c f + | f i k 3x 9x 3y 9y v 9z 9z

. « S U • ¿£$a-j • a g ! . t

k = A ( — i + — j + = AVf 9x dy dz dx dy dz

2) V ( f g ) = f ( V g ) + ( V f l g con f y g campos e s c a l a r e s

_ 3 (f g) t + 3 ( £ 9 } t 4 9 ( f g ) £ ~ J i T 9y 3z *

/ J C 9g 3f . , ^ 3g 9f , i- 9g 3f , :> C f 9 ^ + g ) 1 + ( f 9y + F 9 D + C f £ + 3i" g ) k

315

(f £ i + £• k) + ( 3f -t 1 +

3f •t 3f ' + k )

3x 3y J 3z + C-3f 3x

3f t 3f + 3 + k ) g = fCVg) + (Vf l g

3) S i F = ( f , , f _ , f - ) campo v e c t o r i a l y g campo e s c a l a r :

(F , V} g =s F . CVg]

<F { ; * « 2 1 ? * « 3 i » ' - ^ U - ^ l ^ ^ a l f

- « , < V f 3 > • I f ' Ü > •

4) S i F = C f 1 , f - , ) campo v e c t o r i a l , y g campo e s c a l a r ,

(F X V)g =» F X (Vg)

(F X V) a

i

9x

-t i

3y

k

f .

3z

í f i - f i f 3 f 9 f 9 « i r 2 3 z 3 9 y ' 39x " f 1 9 P f 1 "57 ~ 2 9 ? g

( f i l - f ¿ 2 , f i l v 2 3z 3 9y ' 3 9x f i l f i l _ f i l 1 3 z ' 1 3y 2 9x

316

= F X (Yg]

5) Rot (.Vf j « Q P a r a f d e f i n i d a en un a b i e r t o d o n d e l a s s e g u n d a s

d e r i v a d a s p a r c i a l e s son c o n t i n u a s .

r o t ( v f )

i

9*

3*

í

a _ 9Y

9Y

3_ 9 Z

9 Z

( -9Y3$ 3 Z 9Y T + (• 2 2 2 9 f _ 5 f } + + , 3 f 9z9x 3x3z J

2 9 f 9x3y 9y9x ) k = 0

6) d i v í r o t F5 = 0 . P a r a F = C f . , f 2 , f 3 ) campo v e c t o r i a l d e f i n i d o en un c o n j u n t o a b i e r t c donde l a s s e g u n d a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s son con-t i n u a s .

9f 9f 9f 3f ^ 8f 3f ^ r o t F = Or—— - — — — i + {—- - j + ( — • - T - 1 ) k 9y a z 3z 3x 3x 3y

d i v ( r o t F) = a 9 f . 9x 9y • ¿L¿ í l 3z 3y 3z ! í i , + ( ü . ü i , 3x 9z 9x 3y

3 2 f . A , a 2 , , + 2 2 2

5 " 3 + Ü i _ i f i = Q 9x9y 9x9z 3y3z 3y9x 9z9x 3z3y

En l a s a p l i c a c i o n e s f í s i c a s , con a l g u n a f r e c u e n c i a s e r e q u i e r e d e c i e r_ t a s i d e n t i d a d e s en l a s q u e i n t e r v i e n e n e s t a s f u n c i o n e s d e f i n i d a s me -

317

d i a n t e e l o p e r a d o r n a b l a . S u s d e m o s t r a c i o n e s s e p u e d e n h a c e r d i r e c -t a m e n t e u s a n d o l a s d e f i n i c i o n e s ; p e r o como a l g u n a s v e c e s e s t a s r e -s u l t a n muy e l a b o r a d a s , e s n e c e s a r i o r e c u r r i r a c i e r t a s p r o p i e d a d e s d e l o p e r a d o r V p a r a c o n s e g u i r d e m o s t r a c i o n e s mas c o r t a s . E s t a s d e m o s t r a -c i o n e s s e b a s a n en l o s s i g u i e n t e s h e c h o s :

1) E l o p e r a d o r V s e p u e d e " o p e r a r ' ' como u n v e c t o r , t e n i e n d o c u i d a d o q u e a l a p l i c a r l a s p r o p i e d a d e s de l a s d i f e r e n t e s o p e r a c i o n e s no a p a -r e z c a n r e s u l t a d o s c o n t r a d i c t o r i o s . P o r e j e m p l o , s i us^amos l a c o n m u t a t i v i d a d d e l p r o d u c t o i n t e r n o en V y un campo v e c t o r i a l , t e n d r í a m o s q u e CV,F] = ( F . V l y e s t o n o t i e n e s e n t i d o , p u e s V.F es un campo e s c a l a r ,

m i e n t r a s q u e (F .Vl e s un o p e r a d o r ,

2) P o r c á l c u l o s d i r e c t o s , s i m i l a r e s a l o s que s e h i c i e r o n a t r á s , s e p u e d e a p r e c i a r q u e e l c o m p o r t a m i e n t o d e V con c u a l q u i e r a d e l o s p r o d u c t o s e n t r e d o s c a m p o s , e s a n á l o g o a l c o m p o r t a m i e n t o d e l a d e r i v a d a con e l p r o d u c t o de d o s f u n c i o n e s ; en e s t e c a s o , r e c o r d e m o s , d e j a n d o u n a f u n c i ó n como c o n s t a n t e , d e r i v a m o s , l u e g o d e j a n d o l a o t r a como c o n s -t a n t e , d e r i v a m o s y s e sumar, l o s d o s r e s u l t a d o s . Lo mismo h a r e m o s en n u e s t r o c a s o p e r o en l u g a r de d e r i v a r , " a p l i c a m o s " e l o p e r a d o r . Como v a a s e r n e c e s a r i o en un memento d a d o , en c a d a t e r m i n o , d i s t i n g u i r a c u a l d e l a s d o s f u n c i o n e s s e v a a a p l i c a r V, y c u a l s e v a a c o n s i d e -r a r como c o n s t a n t e , vamos a n o t a r V c u a n d o e l o p e r a d o r s e r e q u i e r e

" a p l i c a r " en f . P o r e j e m p l o ; V, (F X Gl = V , (F X Gl + V . (F X G) F G

d o n d e en e l p r i m e r s i m a n d o d e l l a d o d e r e c h o d e l a i g u a l d a d s e d e b e n u s a r p r o p i e d a d e s de v e c t o r e s h a s t a c o n s e g u i r " a p l i c a r " V - e n F . En

318

e s t e c a s o p o d r í a m o s u s a r l a p r o p i e d a d d e l p r o d u c t o m i x t o U, CV X Wl=W, (U X Vi

y t e n d r í a m o s ;

C F X G L - G, ( V X Fl = C , C V X F ) F F

en e l u l t i m e ; - t e r m i n o y a no a p a r e c e V_ s i n o s o l a m e n t e V, p u e s ya h e n o s F

c o n s e g u i d o q u e V s e a p l i q u e en F , a s í V . (F X G) = G . ( r o t F ) . F

En e l s e g u n d o sumando V . ( F X G) s e d e b e t r a n s f o r m a r h a s t a q u e q u e d e a p l i c a d a V en G. Cerno F X G = - G X F , y u s a n d o l a misma p r o p i e d a d d e l p r o d u c t o m i x t o t e n e m o s ;

V_. (F X G) = V . (-G X F) = - (7 . CG X F) ) = - F . CV„ X G) = - F . (V X G) = G G G G

pt *- F . Crc t G]

A s í hemos d e m o s t r a d o un r e s u l t a d o i n t e r e s a n t e ;

V. ( F X G) = V • ( F X G) + V . (F X G) F G V . ( F X G) = G . ( r o t F) - F . ( r o t G) e s d e c i r : ' d i v C F X G) = G, ( r o t F) - F . ( r o t G)

Veamos o t r o e j e m p l o ;

EJEMPLO 9 . 8

r o t C F X G 1 = F d i y G - G d i v F + C G . V L F - C F - V I G

319

r o t C F X G) - ^ Í F X G! = V *CF X G) + V X (F X G) F G

= ( G . V F 1 F R- ( V F . F ) G + ( V G . G ) J F - ( F , V G 1 G ( P r o p i e d a d d e l t r i _ p i e p r o d u c t o v e c t o r i a l )

" (G.VlF r (V.FlG + (V.GlF - (F.V)G

*> (G,VlF - G d i v F + F d i v G r (F.V)G

Aquí (G.VJ s e d e b e e n t e n d e r como;

í g l I r + ^ J y + y ( f 1 ' f 2 ' f 3 1 =

9 f1 8 f1 8 f 2 3 f 2 9 f 2 3 f 3 3 f 3 3 f 3 = ( gl — + g2 à V g3 I T ' gl"3x_ + « 2 & T + g38T-' g1 b T + g 2 à T + 93 IT"1

y aná logamente (F.V)G,

E J E M P L O 9 , 9

V(F,G) = (F .VlG + (G.VlF + F X ( r o t G) + G X U o t F i V(F.G) =V (F,G1 + V CF,G) (*) r Qj

p e r o t e n e m o s q u e ;

F X(V X GÌ = F X( VGX G) = Vg tF .G l - (F . V 1G ( P r o p i e d a d de t r i p l e p r o d u c t o v e c t o r i a l ) ,

320

l u e g o ;

V_ (F.G) = F X (V X Gl + (F.V)G (1) G

Además:

G XfV X G) = G X(V X F l = V (F.G) - (G.V ) F F F F

l u e g o : V ÍF .Gl <= G X (V X F) + (G.V)F (2) F

Remmplazando O I y C2) en (*) t e n e m o s ;

7 (F.G) - G X(V X F) + (G .V^lF + F X (V X Gl + (F,VÍ G F

= G X Crot F l + (G,V)F + F X ( r o t Gl + CF.V1G

EJEMPLO 9 . J O

. -*• S i r = x i + y j + z k d e m o s t r e m o s q u e :

P r i m e r o d e m o s t r e m o s q u e s i F campo v e c t o r i a l y g campo e s c a l a r , V , ( g F l = g ( V , F l + CVg).F

V , ( g F ) = V , CgF) + <7 (gF) g í

321

7. OgF) - F + 9Cyp.*)

= t y g ) . f + g ( y „ F )

A p l i c a n d o e s t e r e s u l t a d o p a r a F = r y g F — - r- t e n e m o s : r V, ( * • ) * C V . r + (9- rl

lííll3 llíll3 ||?||3

1 2 2 2 - 3 / 2 3 ( x ?+ y 3" + z t i p e r o — V ( x + y + z ) — ^ J

| | r | I (x + y + z )

V . r = 7 . ( x t + y ^ + z i c ) = 1 + 1 + 1 = 3

e n t o n c e s :

/ r \ 3 (x i + y i + z k) , -í- 1 V< ( T ^ T T 1 = " . i ^ 2 , 5 / 2 ' (x i + y ] + z k ) + I ¡ r I ¡ (x + y + z ) | [ r | |

- 3 3 = 0 .2 2 2 3 / 2 2 2 2 v 3 / 2 (x + y + z ) (x + y + z )

322

APENDICE Ai FORMAS CUADRATICAS Y SUPERFICIES CUADRICAS

En e s t e A p é n d i c e , e s b o z a r e m o s a l g u n o s r e s u l t a d o s d e l A l g e b r a L i n e a l , s i n d e m o s t r a c i o n e s , q u e n o s c o n d u c e n a u t i l i z a r l a s f o r m a s c u a d r á t i -c a s e n l a i d e n t i f i c a c i ó n d e c ó n i c a s y s u p e r f i c i e s c u á d r i c a s ,

DEFINICION A. 1

Una f o r m a c u á d r | t i c a q d e o r d e n n , e s u n a f u n c i ó n d e R n a R , d e l a f o r m a :

q ( X w x , x L - S - a x x X n J é j > j é n 1 3 1 3

Toda f o r m a c u a d r á t i c a q u e s e p u e d e r e p r e s e n t a r en l a f o r m a

q(Xl = X AX

d o n d e X y X e s l a t r a s p u e s t a d e X, e s d e c i r

323

X « ( X j , x^ì y A es l a matriz simétrica, (b., » b

a. . - a, _ — a 1,1 2 "1,2 2 "l f3' " " 2 a3,n

1 I 2 a!,2 a2,2 2 d2,3 '

1 1 2 d1,3 J a2,3 a3,3'

2 2 , n

1 2 a3,n

I l i 2 a!,n 2 a2,n 2 d3,n' an,n

EJEMPLO A,1

2 2 2 q t x ^ x 2 , x 3 , x 4 ) - 7x^ + 9 X 2 X 3 + x ^ - 5 x ^ 2 + 3 x 3 ~ 2x 4 >

es una forma cuadrática. Ordenémosla y encontremos A:

q(x1,x2,x3,x4) = 7 x 2+ 3 X 3 - 2 X 4 - 5 * ^ + 2 * ^ + Q x ^ - 5x2x

7 -5/2 0 1

X AX = (x^ x2, x3, x4l -5/2 0 9/2 -5/2

0 9/2 3 1/2

J -5/2 1/2 -2/

324

» *2» X 3 '

- 5 / 2X 2 + X4

W 2 x 9 / 2 x 3 - 5 / 2 x 4

9 / 2 x 2 + 3X 3+ 1 / 2X 4

x , - 5 / 2 X 2 + 1 / 2 X 3 - 2X 4

7 X 2 - 5 / 2 x ^ 2 + x , x 4 - 5 / 2 X , X 2 + 9 / 2 x 2 x 3 - 5 / 2 x 2 x 4 + V 2 x 2 x 3 +

2 2 + 3x + 1 / 2 x x + x . x - 5 / 2 x x + 1 / 2 x , x - 2 x . 3 3 4 1 4 2 4 3 4 4

7x*+ 3X 3 - 2 x 4 - 5 X , X 2 + 2 x , x 4 + 9 x 2 x 3 - 5 x . , x 4 + x 3 x 4

q(x,, *2' X3'

O b s e r v e m o s q u e l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e s e g u n d o g r a d o en d o s v a r i a b l e s (que r e p r e s e n t a c ó n i c a « ) o en t r e s v a r i a b l e s ( q u e r e p r e s e n t a s u p e r f i -c i e s c u á d r i c a s ) , t i e n e como una p a r t e d e e l l a , u n a f o r m a c u a d r á t i c a , a s í ;

2 2 Ax + By + Cxy + D x + E y + F = 0 s e e s c r i b e q ( x , y ) + D x + E y + F = 0

2 2 con q ( x , y ) l a f o r m a c u á d r á t i c a Ax + By + Cxy 2 2 2 Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Fyz + Gz + Hy + I z + J = 0 s e e s c r i b e

q ( x , y , z ) + Gx + H y + I z + J = 0 . 2 2 2 con q ( x , y f z ) l a f o r m a c u a d r á t i c a Ax + By + Cz + Dxy + Exz + F y z ,

325

Por tanto «atas ecuaciones se pueden representar en forma matricial:

La d e d o s v a r i a b l e s :

Cx,y} A C/2 C / 2 B

' x\ + ( D , E ) + F = 0 q u e escribiremos;

y / y /

X Q X + S X + F - 0

La de t r e s variables:

A D/2 « M f ' \ f x

D/2 B F / 2 y i •KG,H,I) y + J • 0 q u e e s c r i i i

E / 2 F / 2 c / w ¡

z / b i r e m o s :

x g x + sx + j - o

En l o s d o s c a s o s , s i l a m a t r i z S e s i g u a l a c e r o , l a c ó n i c a o c u á d r i c a q u e r e p r e s e n t a l a e c u a c i ó n , no e s t á t r a s l a d a d a . S i S e s d i f e r e n t e d e c e r o , l a f i g u r a p u e d e e s t a r t r a s l a d a d a , p e r o s a b e m o s q u e con un s e n -c i l i o c a m b i o d e v a r i a b l e , e s t a s e p u e d e i d e n t i f i c a r en su f o r m a c a n ó -n i c a .

La p r e s e n c i a d e t é r m i n o s en xy p a r a l a s c ó n i c a s , o en x y , x z , y z p a r a l a s c u á d r i c a s , i n d i c a q u e l a f i g u r a e s t á r o t a d a , A s í , s i l a m a t r i z Q

326

e s d i a g o n a l ( l o s ú n i c o s e l e m e n t o s q u e p u e d e n s e r d i f e r e n t e s d e c e r o son l o s d e l a f o r m a con i = j ) , l a f i g u r a no e s t á r o t a d a , y como s a b e -mos s u i d e n t i f i c a c i d n no p r e s e n t a p r o b l e m a , P e r o s i Q no e s d i a g o n a l , l a f i g u r a e s t á r o t a d a , y p a r a su i d e n t i f i c a c i ó n s e r e q u i e r e e l i m i n a r l o s t é r m i n o s en x y , x z o yz q u e a p a r e z c a n , con c a m b i o s d e v a r i a b l e s a d e c u a d o s , ( P a r a e l c a s o d e l a s c ó n i c a s s e e s t u d i a un m é t o d o en c u r s o s d e G e o m e t r í a A n a l í t i c a ) , En l a r e p r e s e n t a c i ó n m a t r i c i a l q u e t e n e m o s , e l p r o b l e m a s e r e s u e l v e d i a g o n a l i z a n d o l a m a t r i z , e s d e c i r , e n c o n t r a n -do u n a m a t r i z P i n v e r s i b l e t a l q u e P~ 1 QP s e a d i a g o n a l . E s t o e q u i v a l e a c a m b i a r l a b a s e v t i s u a l , p o r u n a n u e v a b a s e , con r e s p e c t o a l a c u a l , l a m a t r i z a s o c i a d a a l a f o r m a c u a d r á t i c a s e a u n a m a t r i z d i a g o n a l ; P e s p r e c i s a m e n t e l a m a t r i z d e c a m b i o d e b a s e ,

Como l o q u e p r e t e n d e m o s h a c e r e s u n a r o t a c i ó n d e l s i s t e m a u s u a l , y e s t e e s o r t o n o r m a l , e n t o n c e s l a n u e v a b a s e q u e b u s c a m o s t a m b i é n d e b e s e r o r -t o n o r m a l , e s d e c i r , l a d i a g o n a l i z a c i ó n d e b e s e r u n a d i a g o n a l i z a c i ó n o r -t o n o r m a l , o s e a que l a m a t r i z d e d i a g o n a l i z a c i ó n P d e b e s e r o r t o g o n a l

- 1 t (P = P ) , y además e l d e t e r m i n a n t e d e P d e b e s e r i g u a l a 1,

P u e s t o q u e l a m a t r i z Q e s s i m é t r i c a , e n t o n c e s s i e m p r e e s d i a g o n a l i z a -b l e o r t o n o r m a l m e n t e , y además su d i a g o n a l i z a c i ó n s e h a c e a p a r t i r de s u s v a l o r e s p r o p i o s , como v e r e m o s a c o n t i n u a c i ó n ;

DEFINICION A,2

a) Un número X, s e d i c e q u e e s un v a l o r p r o p i o d e u n a m a t r i z c u a d r a d a

327

A s i existen vectores X ¿ 0 t a l e s que AX = Ax,

b) S i X e s un v a l o r p r o p i o d e A, l o s v e c t o r e s X, t a l e s q u e AX « Ax s e l l a m a n v e c t o r e s p r o p i o s c o r r e s p o n d i e n t e s a A,

P a r a d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s p r o p i o s de una m a t r i z A, debemos t e n e r en c u e n t a q u e AX = Ax s e p u e d e e x p r e s a r como:

AX = (Al) X ó (A - Al) X = 0

y e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n t i e n e s o l u c i o n e s d i f e r e n t e s d e c e r o s i y s o l o s i d e t l A - XI) " 0 . R e s o l v i e n d o p a r a A e s t a e x p r e s i ó n e n c o n t r a m o s l o s v a l o r e s p r o p i o s d e A, que a l o más son n , p u e s d e t (A - XI) e s un p o -l i n o m i o en A d e g r a d o n . E s t a s r a í c e s p a r a e l c a s o en que A s e a s i m é t r i c a son t o d a s r e a l e s .

E l c o n j u n t o d e t o d o s l o s v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s a un v a l o r p r o p i o X, e s un s u b e s p a c i o de R n , y su d i m e n s i ó n p a r a e l c a s o d e m a t r i c e s s i -m é t r i c a s e s i g u a l a l a m u l t i p l i c i d a d de X como r a í z d e d e t (A - Al) = 0 , además d o s v e c t o r e s a s o c i a d o s a v a l o r e s p r o p i o s d i f e r e n t e s son o r t o g o -n a l e s , A s i , s i e m p r e e s p o s i b l e , a p a r t i r d e l o s v a l o r e s p r o p i o s d e u n a m a t r i z s i m é t r i c a A, c o n s t r u i r u n a m a t r i z o r t o g o n a l c u y a s c o l u m n a s son v e c t o r e s p r o p i o s i n d e p e n d i e n t e s ? é s t o s s e o b t i e n e n tomando u n a b a -s e o r t o n o r m a l en c a d a s u b e s p a c i o a s o c i a d o a c a d a v a l o r p r o p i o A,

E s t a m a t r i z , a s í c o n s t r u i d a , e s l a m a t r i z d e d i a g o n a l i z a c i ó n d e l a

328

m a t r i z s i m é t r i c a A; y su d e t e r m i n a n t e e s - 1 , como p a r a t e n e r u n a r o -t a c i ó n s e r e q u i e r e q u e e l d e t e r m i n a n t e d e e l l a s e a 1 , e n t o n c e s , en ca> s o q u e n o l o s e a , s i m p l e m e n t e conmutamos d o s c o l u m n a s .

A s í en e l c a s o de l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e s e g u n d o g r a d o en d o s o t r e s

v a r i a b l e s , e l c a m b i o :

X = PX'

con e l P c o n s t r u i d o como s e e s b o z ó a r r i b a , d i a g o n a l i z a l a m a t r i z Q, y r o t a e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s de t a l f o r m a q u e l a e c u a c i ó n s e r e d u c e a o t r a en l a q u e no a p a r e c e n t é r m i n o s de l a f o r m a x y , x z , ó yz y a s í s e f a c i l i t a su i d e n t i f i c a c i ó n ,

EJEMPLO A,2

I d e n t i f i q u e m o s l a c ó n i c a q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i ó n :

21x 2 + 6xy + 13y 2 - 114x + 34y + 73 = 0

2 2 q(x,y) • 21x + 6xy + 13y f o r m a c u a d r á t i c a

C =

21

3 13,

m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a a q ( x , y )

\ d e t e r m i n e m o s l o s v a l o r e s p r o p i o s de Q:

329

d e t (Q - AH = 21 - A

13 - A

= (21 - A) C13 - A ) - 9 A 2 - 34A + 2 6 4

- U - 2 2 1 (A - 12)

Los v a l o r e s p r o p i o s c o r r e s p o n d i e n t e s a Q s o n - ^ l » 22 A » 1 2 , V e c t o r p r o p i o a s o c i a d o a A^: V^ = ( x ^ ) q u e s a t i s f a c e QV^ = Av i

21

22

h 3 W

\ 3 ->¡ \ J

v ° y

W

= 0 q u e e q u i v a l e a ;

0 o s e a x 1 - 3y^ = 0

= , e n t o n c e s l a s s o l u c i o n e s no t r i v i a l e s son d e l a f o r m a ( 3 t , t ) con t e R, e s d e c i r , e l c o n j u n t o d e v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o a A ^ 22 e s t á d a d o p o r :

( t C 3 , n [ t e R ]

330

y e l c o n j u n t o [ t 3 , 1 ) } e s b a s e d e é l . Como | | ( 3 , 1 ) [ | <= </Tff7 e n t o n c e s (—. , } e s b a s e o r t o n o n n a l d e e s t e s u b e s p a c i o . \ño Vio

A n á l o g a m e n t e p a r a e l v a l o r p r o p i o A 0 = 12 h a l l e m o s l o s v e c t o r e s p r o -

p i o s a s o c i a d o s :

\ 3 13 / \ y

9 3 \ / x«

V V \ * ,

= 0 que e q u i v a l e a ;

/ o s e a q u e + — y = 0 , x^

" 3 y i

A s i e l c o n j u n t o j( - y t , t ) | t e R j e s e l c o n j u n t o d e v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o a X 2 = 12 y ( - y , 1 ) J e s b a s e d e é l , l u e g o

( - — , — ) e s b a s e o r t o n o r m a l , Tío" /To~

E n t o n c e s l a m a t r i z de d i a g o n a l i z a c i ó n P c,s:

331

vTô

v T ô

con det P « 1, entonces no permutamos columnas, ese P es la matriz

que diagonaliza ortogonalmente a Q; haciendo los productos podemos ob-

servar que»

PtQP

22 0

0 12

con este P hacemos el cambio;

X = PX'

o s e a

a s i ; 3 . 1 . x = — x ' - —- y 1

\JTô VTo

y = — x ' + — y' vio vTô"

332

R e e m p l a z a n d o en l a e c u a c i f i n t e n e m o s :

2 2 x ' 2 + 1 2 y « 2 - 114 ( — x ' - y ' ) + 3 4 ( J - x« + ~ y ' ) + 73 = 0 Tío" VTo vTÜ" yTÜ"

,2 , 2 308 , 216 . . o s e a 2 2 x ' + 1 2 y ' x ' + y ' + 73 = 0 s i n t é r m i n o s en x y , VTo" v/To

Lo q u e f a l t a e s t r a s l a d a r , p a r a e l l o c o m p l e t a n d o c u a d r a d o s o b s e r v a m o s 7 9 — y " = y ' + —

\fTo V ' T 5 *

7 9 q u e x " = x ' y " = y ' + — c o n v i e r t e l a e c u a c i ó n e n :

2 2 ( x " ) 2 + 12 (y") 2 - 132 =» 0 6

< £ ± 2 + 1 + * ^ 1 q u e c o r r e s p o n d e a u n a e l i p s e .

EJEMPLO A , 3

I d e n t i f i q u e m o s l a s u p e r f i c i e c u á d r i c a q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i ó n : z » x y o s e a q l x , y , z ) - z m 0

d o n d e q ( x , y , z ) e s l a f o r m a c u a d r á t i c a . q ( x , y , z ) = x y cuya m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a e s :

Io 1 / 2 1 / 2 0

\ o 0

0 0

7

333

Busquemos s u s v a l o r e s p r o p i o s : d e t (Q - XI) » 0

1 / 2 0

1 / 2 X 0 = 0

o o -X

<=¿> - X U 2 - 1 / 4 1 = 0 - X(X - 1 / 2 ) (X + 1 / 2 ) = 0

V a l o r e s p r o p i o s : X = 0 , X «= 1 / 2 , X = - 1 / 2

La m a t r i z d e o r d e n t r e s c u y a d i a g o n a l t i e n e e s t o s t r e s v a l o r e s , y c e -r o en e l r e s t o , e s l a q u e s e o b t i e n e a l d i a g o n a l i z a r Q, e s d e c i r , q u e con e l l a e l i m i n a m o s e l t é r m i n o x y , P e r o como a p a r e c e t é r m i n o en s é l o z , e s n e c e s a r i o h a l l a r l a m a t r i z P que d i a g o n a l i z a Q, p a r a e l l o e n c o n -t r e m o s v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s a e s t o s v a l o r e s .

P a r a X = 0

1 / 2

0 0

o o o

A s í : e s b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o (de d i m e n s i o n uno) d e

l o s v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s a c e r o

334

P a r a X « 1 / 2

/ O 1/2

1/2 O

y o O

I g u a l a n d o a c e r o y h a c i e n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s en f i l a s , nemos :

A s í : { ( 1 , 1 , 0 ) } e s b a s e d e l e s p a c i o d e v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s 1 / 2 y p o r t a n t o e s p a c i o .

° \ M T I y

{ ( 1 / >/T, 1 / \JY, 0) j e s b a s e o r t o n o r m a l d e e s t e

P a r a X = - 1 / 2

1 / 2

1 / 2 0 0

V 0

1

^ 0 0 0

\ 0 0 1 / \ o /

y

z

\ / x + y = 0

z = 0 x = - y

335

A s í s , - 1 » 0 ) } e s b a s e d e l e s p a c i o d e v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s

a - 1 / 2 , p o r t a n t o { a / - 1 / \TT, 0 ) ) e s b a s e o r t o n o r i n a l d e d i -cho e s p a c i o .

E n t o n c e s l a m a t r i z

0 1 / N/T 0 1 / / T 1 0

s e r á l a m a t r i z d e r o t a c i ó n , s i su d e t e r m i n a n t e e s 1 , p e r o como é s t e e s - J , e n t o n c e s p e r m u t a n d o d o s c o l u m n a s o b t e n e m o s l a m a t r i z P ,

1/ J T

1 / / T

0

Se p u e d e v e r i f i c a r q u e :

P t Q P =

0 1 / 2

0

0 0 o

e n t o n c e s ;

X = PX'

336

o s e a ;

\ / j / < / r 1 / v T o

W - 1 / ^ T 1 /vfT o

O O 1 ivi e s d e c i r :

x «= — x» + y ' \Í2" \ [ T

1 . 1 . y = - X ' + — y ' \ T T NH"

Z = Z '

c o n v i e r t e l a e c u a c i ó n xy - z = O en l a e c u a c i ó n s i n t é r m i n o s en x y :

1 2 1 2 - j Cx' ) + j Cy') - z< = 0

q u e c o r r e s p o n d e a un p a r a b o l o i d e h i p e r b ó l i c o .

EJEMPLO A.4

I d e n t i f i q u e m o s l a s u p e r f i c i e c u á d r i c a q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i ó n :

2 2 2 4x + 4y + 4z + 4xy + 4xz + 4yz - 9 = 0 , o s e a q ( x , y , z ) - 9 = 0

337

d o n d e q ( x , y , z ) e s l a f o r m a c u a d r á t i c a : 2 2 2 q ( x , y , z ) = 4x + 4y + 4z + 4xy + 4xz + 4yz

c u y a m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a e s :

d e t (Q - XI) = 0

4-X 2

2

2 4-X

2

2 2

4-X = 0

<=P (2 - X) (X - 2) (X - 8) = 0

E n t o n c e s l o s v a l o r e s p r o p i o s de Q son X = 8 y X = 2 (que c o r r e s p o n d e a u n a r a í z con m u l t i p l i c i d a d 2 de d e t (Q - XI) = 0) .

P o r c o n s i g u i e n t e l a m a t r i z Q d i a g o n a l i z a d a e s :

2 0 0 2 0 0

r e e m p l a z a n d o l a f o r m a c u a d r á t i c a q ( x , y , z ) p o r :

338

( x ' , y ' , z<) D

l a e c u a c i ó n s e c o n v i e r t e e n :

2 ( x ' ) 2 + 2 C y ' ) 2 + 8 C z ' ) 2 - 9 = 0

que c o r r e s p o n d e a un e l i p s o i d e .

No f u é n e c e s a r i o e n c o n t r a r a q u í l a m a t r i z d e r o t a c i ó n P , p u e s en l a e c u a c i ó n no a p a r e c í a n t é r m i n o s d e l a f o r m a a x , ay ó a z , que son l o s q u e o b l i g a n a e n c o n t r a r e x p l í c i t a m e n t e x , y , z en t é r m i n o s d e x ' , y ' , z ' , l o q u e s e l o g r a m e d i a n t e l a t r a n s f o r m a c i ó n :

X = PX' con x = ( x , y , z ) x ' = ( x * , y ' , z *)

339

APENDICE B, MATRIZ HESSIANA

En e l c a s o d e f u n c i o n e s d e R en R, l a s e g u n d a d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n en u n p u n t o , n o s p e r m i t i ó e s t a b l e c e r s i l a c u r v a e s t a b a p o r e n c i m a o p o r d e b a j o , en u n a v e c i n d a d d e l p u n t o , d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c u r v a en e l m i smo , s i t u a c i ó n q u e r e s u l t a b a muy ú t i l p a r a d e t e r m i n a r s i en l o s p u n t o s c r í t i c o s , o s e a d o n d e f ' (x) = 0 , s e p r e s e n t a b a n v a l o r e s máximos o m í n i m o s r e l a t i v o s ,

2

P a r a f u n c i o n e s d e R en R e s t a b l e c e r s i l a s u p e r f i c i e , en u n a v e c i n d a d de un p u n t o , s e e n c u e n t r a p o r e n c i m a o p o r d e b a j o d e l p l a n o t a n g e n t e a e l l a en d i c h o p u n t o , e s d e g r a n i m p o r t a n c i a p a r a s a b e r s i en l o s p u n -t o s e s t a c i o n a r i o s s e p r e s e n t a n máximos o m í n i m o s r e l a t i v o s . E s t a r e í a c t ó n e n t r e l a s u p e r f i c i e y e l p l a n o t a n g e n t e l a l o g r a r e m o s d e t e r m i n a r m e d i a n t e e l e m p l e o d e u n a f u n c i ó n q u e e n t r a r e m o s a d e f i n i r m e d i a n t e e l d e s a r r o l l o en p o l i n o m i o s d e T a y l o r p a r a f u n c i o n e s d e v a r i a s v a r i a b l e s , q u e s e l a n a l a S e g u n d a D i f e r e n c i a l de f , q u e , como p o d r e m o s a p r e c i a r , e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a , a l a c u a l Cver A p é n d i c e A) s e l e p u e d e a s o c i a r

340

u n a m a t r i z s i m é t r i c a , l a l l a m a d a M a t r i z H e s s i a n a d e f , d e donde s a c a -r e m o s c o n c l u s i o n e s q u e f a c i l i t a n e s t e t r a b a j o . E s t e t r a t a m i e n t o n o s p e r m i t i r á g e n e r a l i z a r e s t a s i d e a s a f u n c i o n e s de R n a R,

R e c o r d e m o s q u e d a d a u n a f u n c i ó n f : R •+• R, y un p u n t o x ^ e Dom f t a l que e x i s t a f» ( x j , f " ( x ) , . . , , f 0 1 + 1 ] (x) p a r a t o d o x en a l g u n a v e c i n d a d de X Q , e n t o n c e s e x i s t e un p o l i n c m i o p n ( * ) DE g r a d o menor o i g u a l a n , d e l a f o r m a :

2 k P (x) • a + a 1 ( x - x ) + a _ ( x - x ) + , . , + a. (x - x ) + . . . + a (x -n o 1 o 2 o k o n

t a l q u e :

f 0 V " W ' f , { * o ] ' P ^ o ) ' " " f C ^ o ) = P n ( k ) c x o ) ^ ^ o 5 =

(k) La d e t e r m i n a c i ó n d e l o s a, s e h a c e c a l c u l a n d o P (x ) y t e n i e n d o en je n o c u e n t a q u e :

k . k

- x )1 = o s i k > i , (x - x )

k = kj kv » « / — V «9 4. i v r X • ; V A - A

o ^ k o dx dx

d k i — r r ( x - x ) = (x - x L q ( x - x 1 s i i > k . y p o r l o t a n t o d x k ° °

- 4 (X - x J 1 ! - 0 , k o ' x = x dx o

341

A s í :

p < k l (X > - f n o n Ck) e n t o n c e s

\ =

, l u e g o P Cx) e s : n

00 f (k) p (x) - E a Cx - x } k . _ k o con a, k

n

E s t e p o l i n o m i o , s e l l a m a e l P o l i n o m i o d e T a y l o r d e f ( x ) , y en c i e r t a f o r m a " a p r o x i m a a f ( x ) " , e s d e c i r :

f ( x ) = P (x) + R (x) n n

d o n d e R^Cx) e s e l e r r o r , e l c u a l p a r a a l g u n o s v a l o r e s d e x p u e d e s e r p e q u e ñ o y s e o b t e n d r á u n a b u e n a a p r o x i m a c i ó n d e l a f u n c i ó n p o r e l p o -l i n o m i o ,

2 C o n s i d e r e m o s a h o r a u n a f u n c i ó n f : R R, s e a ( x o , y Q ) e Dom f , t a l q u e e x i s t a n t o d a s l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e o r d e n n en u n a v e c i n d a d d e ( x o , y o ) , en f o r m a a n á l o g a a l o h e c h o a t r á s , vamos a c o n s t r u i r un p o l i -

nomio en v a r i a b l e s x r y / d e g r a d o menor o i g u a l a n d e l a f o r m a :

n i a . . (x - x ) Cy - y ) j

342

l 0 , 0 + [ a 0 , l C y - * o l + - V ] + [ a O , 2 C ^ - V 2 + a l r 1 U - X o U y - y c

+ * 2 , 0 U " X o r + — + [ a0,n ( y - + a 1 , ( n - 1 ) X o ) í y " Y o ) n " 1 +

. . . + a (x - x ) n n , 0 o

tal que:

íi+jPn(x,y)

< V y o l

8 1 + j f ( x , y ) i j ax a y J

üt ,y ) o " o

P a r a d e t e r m i n a r l o s c o e f i c i e n t e s de P (xfy) , p r o c e d e m o s a c a l c u l a r

ap s+ t

. s . t 1 (x , y ) 3 x 8 y ofJo n ( X o - y o ) en l a e x p r e s i ó n d e a r r i b a :

3 xS3yt

n gS+t . , i l a — C Cx - x )l (y - y )j)

i + j = 0 1 3 5y ° ° K ' V

t e n i e n d o en c u e n t a q u e ;

. s + t s — t ^ ~ x o ^ x t y ~ Y o ) j = 0 s i s > i o t > j

«s+t Cx - X } S Cy - y ) = S! t!

9x 3y ° °

343

a s + t —-—7- ( x - x I ( y - y l 3 x S 4 y t ° ° o - - o

- ( x - x ) ( y - y ) q ( x , y ) s i i > s y j > t

o sea

3 s + t — t ( x ~ x o ) 1 ( y ~ Yo 1 l = ° S i i > s y j > t

3x 3y ( x o , y o )

De acuerdo a esto tenemos:

n o o 4 x S 3 y t

3 f S + t ( x . y ) • O o

* t 3x 3y a s t s j t j

P o r t a n t o :

s t s i J_ t j

„ - S + t . , 9 f ( v V

S t 3x 3 y

Luego e l p o l i n o m i o P n ( x f y l e s d e l a f o r m a :

n 3 1 + j f ( x . y ) p ( x , y ) = s - p - T j r i i <* - * o > 1 ( y - y 0 >

i+j-0 1

« 3' ax^y

3 ° °

q u e s e l l a m a el Polinomio de T a y l o r d e f ( x , y l , e l c u a l t a m b i é n en c i e r ta forma (que no estudiaremos a h o r a ) " a p r o x i m a a f ( x , y ) en u n a v e c i n d a d de (x0rY0}'\ o sea:

f ( x , y ) - P ( x , y ) + R ( x , y ) n n

344

s i e n d o R ( x . y ) e l e r r o r d e l a a p r o x i m a c i ó n , n

O b s e r v a n d o a l g u n o s t é r m i n o s de P ( x , y ) t e n e m o s :

P n ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + M U . y ) 3 f ( x . y ) o o . o o , , ——5 (x - x ) + 5 (y - y )

3 x o oy o

3 f ( x , y ) o o 3x

2 9 2 f ( X Q , Y ° )

(x - x ) + 3x3y o (x - x ) (y - y ) +

o o

3 £ C W , . 2 — 2 " V 3y

1 » f ( x o ' y o ) , . 3 ^ 6 U " X o 5 +

+ I 3 3 f ( x o , y Q ) 2 1 3 3f(x o,y Q)

(x - x Q ) Cy - y o ) + j — 7 1 ( X " x o ) ( y

3x 3y 3x3y

1 + 6

9 f 3 r ~ ~ 3 — C y - V 3y

+ . . .

A l a d e r e c h a d e P n ( x , y ) a p a r e c e n :

1 . La f u n c i ó n f c a l c u l a d a en (x , y )

2, En e l p r i m e r c o r c h e t e : l a d i f e r e n c i a l d e f en ( X 0 / Y 0 ) c a l c u l a d a en

(X - x o ) , (y - y o ) .

(C7f) CxQfyol) . (x - x Q , y - y Q ) = ( D ( x } f j ( x - X q , y - y Q ) o o

3 , La e x p r e s i ó n q u e a p a r e c e en e l s e g u n d o c o r c h e t e l a l l amamos La

345

Segunda Diferencial d e f en (x , y ) c a l c u l a d a e n ( x - x , y - y ) : o o o o

4 . La e x p r e s i ó n d e l t e r c e r c o r c h e t e , s e l l a m a l a t e r c e r a d i f e r e n c i a l d e f en (x , y ) c a l c u l a d a en (x - x , y - y ) s ( D p 5 , f ) (x - x , y - y ) y o o o ' o (x ,v ) o 1 1 o 1 o o de l a misma f o r m a la e x p r e s i ó n d e l s i g u i e n t e c o r c h e t e , e s d e c i r , l a q u e c o n t i e n e e x p r e s i o n e s d e l a f o r m a u n a c o n s t a n t e p o r (x - x ) 1 (y - y ) 3 o o con i + j = 4 s e l l a m a l a c u a r t a d i f e r e n c i a l d e f en Cx , y ) c a l c u l a d a o o

(4) en (x - x o , y - y < ) ) , ( D ^ f> (x - X q , y - y Q ) . o o

(2) Nos i n t e r e s a p o r a h o r a l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l : (D, , f ) ( x - x , y - y ) : C x o , y o ) o ' y y o

1 * 2 f U o , y o ) 2 8 2 f ( x o ' y o ) 1 5 — - + - S & r * - - x l ( y - y ) + I ( y . y J 2 3 x 2 - - o ' axay - —

e s t a e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a en (x - Xq) f (y - y ) , p u e s l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s q u e a l l í a p a r e c e n e s t á n c a l c u l a d a s en (x , y ) p o r t a n t o son o o c o n s t a n t e s , l u e g o l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a :

q CX f Y) = AX 2 + BXY + CY 2

con A 1 a 2 f ( V y ° ' „ a 2 f l W „ 1 ^ " V V - r r - b - - W - ¡ 7 -

o

X = (x - X ) Y = ( y _ y ) O o

346

P o r c o n s i g u i e n t e (Ver A p é n d i c e A) e x i s t e u n a m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a a q (X, Y) , l l a m é m o s l a Q f t a l q u e :

(X, Y) Q * - q (X,Y)

d o n d e :

9 f ( x 0 ' y 0 )

9 x 2

3 f ( x Q , y o ) 9x9y

9x9y

3 f ( x o , y Q )

= T ( H . ( x , y ) ) 2 f o o

9y

Ma m a t r i z H ^ C x ^ y ^ ) , o s i m p l e m e n t e H f f o r m a d a p o r l a s s e g u n d a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e f en (x , y ) s e l e l l a m a M a t r i z H e s s i a n a d e f en (x , y } . o o o o

NOTA; Es p r e c i s o a c l a r a r q u e e s t a m o s b a j o e l s u p u e s t o q u e

347

De a c u e r d o a e s t o :

( D C x , y ) f ) ^ - y - y Q ) = (x - x o , y - y , i H * " M o o \ 7 " Y o /

La d e f i n i c i ó n d e M a t r i z H e s s i a n a s e p u e d e g e n e r a l i z a r p a r a campos e s c a l « r e ® d e f i n i d o s en e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n s u p e r i o r a d o s :

Sea ü) » f ü t , , x , , , , , , x 1 , A = ( a . , a „ , a ) e Dom f s i J ** n o i ¿ n

e x i s t e n :

3 2 f e n e l P u n t o A q - ( a ^ , a 2 , . a n l p a r a t o d o i = 1 , n j = 1 f . . w n

e n t o n c e s l a M a t r i z H e s s i a n a d e f en A q u e n o t a r e m o s H (A ) . o s i m p l e -o f o ' c

m e n t e H s i no h a y l u g a r a c o n i u s i ó n , e s t á d a d a p o r :

3 f ( * h o 3x?

3 f ( A ) o 3 X t 3 X 2

3 2 f ( A ) o 3x , 3x 1 n

H C ( A ) = H f o 3 f ( A ) 3 f (A ) o _

3x? 3 f (A } o 3x_ 3x 2 n

3 x n 3 X l

3 2 f ( A ) o _ 3x 9x„ ' * * n 2

348

3 2 f ( A ) o 3 x 2

. 3 f (A ) 3 f ( A ) , . . o b s e r v e q u e s i o _ o__ l a m a t r i z e s s i m é t r i c a , 3x . 3x , = 3xu 3x. i j j i

A q u í l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l s e r á u n a f o r m a c u a d r á t i c a con n v a r i a b l e s Cx , , x 2 , . , , , x^ ) y l o mismo q u e p a r a e l c a s o d e d o s v a r i a b l e s , l a Ma-t r i z H e s s i a n a s e r á d o s v e c e s l a m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a a e s t a f o r m a c u a d r á t i c a .

En l o q u e s i g u e s e p r e t e n d e m o t i v a r u n o s r e s u l t a d o s , l e j o s d e c u a l q u i e r 2

r i g o r : s e a f : R •*• R, supongamos q u e f s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r m e d i o É su p o l i n o m i o d e T a y l o r en u n a v e c i n d a d d e l p u n t o ( X Q , Y Q ) t e m a n d o s o -l a m e n t e l o s t é r m i n o s h a s t a de s e g u n d o o r d e n :

f(*,yl f(xo,yoL + CDfe } f ) ( x - V * - D ¡2 ) f) (x - x o,y - y )

o O o o

f (x,y) o o 3x (x - x ) o

3f (x , y ) o o 3y Cy - V

o o (x - X , o y - y c )

E l p l a n o t a n g e n t e a e s t a s u p e r f i c i e en e l p u n t o ( x Q , y o , f ( x o , v q ) ) , z = z ( x , y ) e s t á d a d o p o r :

3 f ( x o , y Q ) 3 f ( x , y ) r Cx - x L + ~ (x - x 1 + f (x , y ) 3x o 3y o o r o

349

Es d e c i r l o q u e a p a r e c e a r r i b a e n t r e c o r c h e t e s , e s l a imagen z = z ( x , y ) , d e l o s p u n t o s ( x , y ) p o r m e d i o d e l a e c u a c i ó n d e l p l a n o .

E n t o n c e s :

f ( x , y ) - * « C D [ 2 ) j f > (x - x Q , y - y Q ) o o

A s í , p a r a p u n t o s ( x , y ) c e r c a n o a ( x 0 > Y 0 ) :

(2) S i (D, . f ) ( x - x , y - y ) > 0 e n t o n c e s f ( x , y ) - z > 0 , e s (x . y ) o "'o o o

d e c i r f ( x , y ) > z , l u e g o l a s u p e r f i c i e e s t á p o r e n c i m a d e l p l a n o t a n -g e n t e .

(2) S i (D. , f ) (x - x , y - y ) < 0 e n t o n c e s f ( x , y ) - z < 0 , e s d e c i r ( x , y ) o o o o

f ( x , y ) < z , l u e g o l a s u p e r f i c i e e s t á d e b a j o d e l p l a n o t a n g e n t e .

A p a r e n t e m e n t e no s e ha o b t e n i d o un r e s u l t a d o muy p r á c t i c o p a r a d e t e r -m i n a r s i l a s u p e r f i c i e en l a v e c i n d a d de un p u n t o e s t á p o r e n c i m a o d e b a j o d e l p l a n o t a n g e n t e en e s e p u n t o , p u e s p a r a e l l o debemos e s t a -b l e c e r s i l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l e s p o s i t i v a o n e g a t i v a , P e r o e s t o s e p u e d e s i m p l i f i c a r c o n o c i e n d o s o l a m e n t e s i l o s v a l o r e s p r o p i o s (Ver A p é n d i c e A) d e l a M a t r i z H e s s i a n a son p o s i t i v o s o n e g a t i v o s , como v e -r e m o s :

350

S e a Q l a m a t r i z s i m é t r i c a a s o c i a d a a l a f o r m a c u a d r á t i c a que d e f i n e l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l en (x , y ) , c a l c u l a d a en (x - x , y - y ) , e n -o o o o t o n c e s Q « ]r H d o n d e H e s l a M a t r i z H e s s i a n a d e f en (x , y ) , Como ¿ o o Q e s u n a m a t r i z s i m é t r i c a , e n t o n c e s e x i s t e u n a m a t r i z o r t o g o n a l P t a l q u e :

Supongamos q u e P / P P \ / P P 1 2 1 „ t / 1 3 e n t o n c e s P =

P P 3 4 P P 2 4 P1 P2 \

Cx - x o , y - y Q ) P = Cx - X q , y - y Q ) P P 3 4 /

= ( ( x - x ) P , + (y - y ) P - , (x - x }P_ + (y O I O J o ¿ = (a,6)

Y ) P J o 4

d o n d e a , 3 d e p e n d e n de x e y

. i x - x . t | o Y - y.

p p 1 3 P P 2 4

/x - x \

y - y / O /

Cx - xQ)P1+ Cy - y^)P o ' 3 (x - x )P_ + (y - y ) P . , o 2 o 4/

a

6

A h o r a : P f c QP = 1

= > Q = P

2

0 \

A p o r s e r P o r t o g o n a l (P 1 = P F C )

351

(x - x , y - y )Q o o X - X \ o y - y.

(x - x o , y - y o ) P

= ( a , g )

x - x

y - y.

, 2 _ 2 X,a + X 2 g

A s í , s i l o s v a l o r e s p r o p i o s X, y X 2 de Q son p o s i t i v o s , e n t o n c e s 2 2

+ X 2 B > 0 p a r a cualquier x , y ( r e c u e r d e q u e dependen d e de x e y ) , p o r t a n t o l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l s e r á p o s i t i v a p a r a t o d o ( x , y ) . R e c í p r o c a m e n t e s i l a s e g u n d a d i f e r e n c i a l en ( x 0 » y 0 ) e s mayor

q u e c e r o p a r a t o d o ( x , y ) , e n t o n c e s en p a r t i c u l a r s e r á mayor q u e c e r o , p a r a x * 0 y y = y + x —-, y a s í a = (x - x ) P , + (y - y ) P , e s d e c i r ^ 2 J 1 o o P o 1 o 3 P 2 a = - x P , + P „ ( y + x 1) - y P , = 0, y s i a = 0 e n t o n c e s X_6 > 0, o 1 3 o o — n ^ ~

3 o 3

l o q u e i m p l i c a q u e X 2 > 0 , En f o r m a s i m i l a r s e p u e d e v e r q u e X.) > 0 , A n á l o g a m e n t e l a d i f e r e n c i a l e s menor q u e c e r o p a r a t o d o x y t o d o "y" s i y s o l i s i l o s v a l o r e s p r o p i o s de Q , ^ y son n e g a t i v o s .

Cano s a b e m o s q u e Q = j H, p o r un c á l c u l o d i r e c t o s e p u e d e c o m p r o b a r q u e l o s v a l o r e s p r o p i o s d e Q son l o s v a l o r e s p r o p i o s de H m u l t i p l i c a -d o s p o r 1 / 2 , l o q u e n o a f e c t a en n a d a s u s s i g n o s , p o r c o n s i g u i e n t e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s a t r á s s e p u e d e n d a r en t é r m i n o s de l a Ma -t r i z H e s s i a n a , A s í t e n e m o s ;

352

Sea z r f(x,y) con d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s d e t e r c e r o r d e n .

S e a (x ,Y ) e Dom f y H l a M a t r i z H e s s i a n a d e f en (x , y ) e n t o n c e s : o o o o

S i los v a l o r e s p r o p i o s d e H son t o d o s p o s i t i v o s e n t o n c e s p a r a ( x , y ) ^ ( x Q , y o } l a g r á f i c a d e f e s t á p o r e n c i m a d e l p l a n o t a n g e n t e a la super-

f i c i e en (x , y , f ( x , y )) en a l g u n a v e c i n d a d de (x ,y ), y si estos

o o o o o o

v a l o r e s p r o p i o s son n e g a t i v o s e s t á p o r d e b a j o de dicho plano.

353

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