FUNCIONSDEVARIESVARIABLES2013resolts

Funcions de varies variablesS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

17

89. Determinar la continutat, derivabilitat, continutat de les derivadesparcials i diferenciabilitat en (0,0) de la funci:

Estudiarem primer la continutat de f(x,y) en el punt (0,0):

Y

Y f s contnua en el punt (0,0).

Veurem ara la derivabilitat de f(x,y) en el punt (0,0):

Sigui el vector v = (a,b),

Si a.b 0 Y fv(0,0).

Si a.b = 0 Y fv(0,0) = 0.

Per tant f(x,y) no s diferenciable a (0,0) i les derivades parcials nopoden sser contnues en el punt (0,0).

90. Estudiar la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat en el punt

(0,0), de la funci

Estudiem primer la diferenciabilitat de f(x,y).

.

Per tant, f s diferenciable en (0,0).

I, a ms, f diferenciable en (0,0) Y f derivable i contnua en (0,0).


18

91. Donada la funci

a) Estudiar si s contnua i diferenciable en (0,0).

b) Calcular el pla tangent i la recta normal en el punt (1,0).

a) Estudiem primer la continutat:

y = mx

Aix, no existeix el lmit ja que depn del cam. Per tant, la funcino s contnua en el punt (0,0).

Com que la funci no s contnua en (0,0), no pot ser diferenciable en(0,0).

b) Per calcular el pla tangent en el punt (1,0), hem de calcular elvalor de la funci f(1,0) = 0 i, les derivades parcials en (1,0).

L'equaci del pla tangent s z - 0 = 0 (x - 1) + 0 (y - 0) Y z = 0.

I la recta normal, passa per el punt (1,0,0) i t per vector direcciv = (0,0,-1).

Aix, les seves equacions paramtriques son:

o com intersecci de plans:

92. a) Existeix un valor de k tal que la funci

sigui contnua en (0,0)?

b) Calcular el pla tangent a la superfcie en el punt(1,1,1).

a) Perqu f(x,y) sigui contnua en (0,0) ha d'sser:

Per tant, k = 1.


19

b) Per calcular el pla tangent en el punt (1,1,1), hem de conixerles derivades parcials:

Per tant, el pla tangent s: z - 1 = 1 (x - 1) - 1 (y - 1) Y

x - y - z + 1 = 0.

93. La temperatura en el punt (x,y) d'una placa metlica est donada per.

a) Estudiar la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat de T.

b) Calcular el gradient de T.

c) Trobar la direcci de major creixement de T en el punt (3,4).d) Determinar el pla tangent en el punt (3,4).

a) Tenim que T no existeix en (0,0) i com que

s contnua en

s contnua en

per tant, T s diferenciable, derivable i contnua en .

b) El gradient de T s

c) s mxima si

d) Tenim que , i , aix

el pla tangent s


20

94. Demostrar que l'esfera s tangent al'elipsoide en el punt (2,1,1).

Siguin les funcions implcites:

Com que i , les superfcies es tallen en elpunt (2,1,1).

Ara calcularem el vector normal dels plans tangents en el punt.

Com que el pla tangent s el mateix.

95. Donada la funci

a) Estudiar la diferenciabilitat de f

Com que i sn

contnues , tenim que f s diferenciable .

b) Calcular la derivada direccional en el punt (1,1).

Com que i ;

i la derivada direccional per val

c) Estudiar la derivada direccional mxima en (1,1).

Com que la derivada direccional s mxima en la direcci i sentitdel gradient, ha de ser:

i la derivada mxima val


21

d) Trobar el pla tangent en (1,1)

Per a trobar el pla tangent hem de calcular

i el pla tangent s

96. Demostrar que les segents funcions compleixen l'equaci d'ones

.

a)

I, es compleix l'equaci d'ones .

b) , g diferenciable dues vegades.

I, es compleix l'equaci d'ones .

97. Sigui f(x2 - y2, y2 - z2) = 0. Determinar el valor de l'expressi: y z zx + x z zy .

Sigui f(u,v) = 0, essent , z = z(x,y).

Y

Y .

Y


22

.

98. Determinar els plans tangents a la superfcie que siguin paralels al pla

Com que el vector director del pla s si considerem la

funci , cal que .

Els plans buscats sn

Per a ,

Per a ,

99. Donada la funci .

a) Calcular en (1,1) el pla tangent i la recta normal.

;

;

, i el pla tangent s:

I la recta normal


23

b) Calcular

Aix, tenim

100. Donada la funci

a) Estudiar la continutat f.

La funci s contnua , ja que s el quocient depolinomis.

Aix, la funci tamb s contnua en i, per tant,a tot

b) Calcular les derivades parcials de f.

Primer calculem les derivades parcials per


24

c) Estudiar la diferenciabilitat de f.

Com que les derivades parcials sn contnues , lafunci s diferenciable .

En el punt aplicarem la definici directament.

que no existeix, ja que depn de . Per tant, la funci no sdiferenciable en


a) Estudiar la diferenciabilitat de f.

, les derivades parcials sn continues, per tant,

f s diferenciable, i

b) Trobar la derivada direccional de f en el punt , segonsel vector .

Primer hem de normalitzar el vector

, ,


25

c) Estudiar les direccions en les que la derivada direccional smxima, mnima o nula.

s mxima si ,

s mnima si ,

s nula si , s a dir, si sn ortogonals.

102. a) Determinar la derivada direccional de la funci

en el punt

segons la direcci del vector

Primer cal calcular el gradient en el punt

Aix,

b) En quina direcci la derivada direccional s mxima?

La derivada direccional s mxima en la direcci del gradient,

s a dir,

Quin s aquest valor mxim?

c) Determinar l'equaci del pla tangent a la superfcie

en el punt .

El gradient s el vector director del pla, aix


26

103. Donada la funci .

Estudiar la continutat, derivabilitat i diferenciabilitat de f en .

Primer calculem les derivades parcials on es pugui.

Que sn contnues en

Aix, f s diferenciable, derivable i contnua en

Per tant, la funci s contnua en .

Com que depn de ", el lmit no existeix, per tant la funci no sdiferenciable en .

Per tant, la funci s derivable en en qualsevol direcci

, i la derivada s


27


a) Estudiar la seva continutat i derivabilitat.

Si tenim

que sn contnues i, per tant, f s diferenciable

i, f s contnua i derivable si .

En el punt ho veurem directament

Si , tenim

i, f s derivable en (0,0)

b) Calcular el pla tangent en el punt P(1,1,1).

L'equaci del pla tangent s

i, el pla tangent s


28

c) Calcular el valor de la derivada direccional mxima en el punt P.

La derivada direccional s mxima en la direcci i el sentit

del gradient, per tant, si

105. Trobar els punts on els plans tangents a la superfcie sn paralels als plans coordenats.

Com que el vector gradient en un punt ens dna el vector director delpla tangent a la superfcie en el punt. Primer calculem el gradient:

Ara estudiarem els tres casos possibles:

1. Que el pla tangent sigui paralel al pla YOZ, aleshores el vectordirector ha d'sser de la forma (a,0,0), per tant:

, i substituint en la superfcie tenim:

x2 - 2 x = 0 Y x (x - 2) = 0 Y x = 0, x = 2.

Que ens dna els punts (0,0,0) i (2,0,0).

2. Que el pla tangent sigui paralel al pla XOZ, aleshores el vectordirector ha d'sser de la forma (0,b,0), per tant:


1 + y2 - 2 = 0 Y y2 = 1 Y y = 1, y = - 1.

Que ens dna els punts (1,1,0) i (1,-1,0).

3. Que el pla tangent sigui paralel al pla XOY, aleshores el vectordirector ha d'sser de la forma (0,0,c), per tant:


1 - z2 - 2 = 0 Y z2 = - 1, que no t soluci.


29


a) Calcular la derivada direccional en el punt en ladirecci .

Aix, el gradient s

i, la direcci s

b) Donar el pla tangent en el punt .

L'equaci del pla tangent s

107. Essent a constant no nula, comprovar que els plans tangents a lasuperfcie x y z = a3 formen amb els plans de coordenades tetraedresde volum constant.

Sigui la funci implcita f(x,y,z) = x y z - a3 = 0.

L f = (fx,fy,fz) = (yz,xz,xy), i l'equaci del pla tangent a lasuperfcie en un punt (x0,y0,z0) s:

fx (x - x0) + fy (y - y0) + fz (z - z0) = 0 Y

y0 z0 (x - x0) + x0 z0 (y - y0) + x0 y0 (z - z0) = 0 Y

y0 z0 x - y0 z0 x0 + x0 z0 y - x0 z0 y0 + x0 y0 z - x0 y0 z0 = 0 Y

y0 z0 x + x0 z0 y + x0 y0 z = 3 a3 Y .

Aix el volum s: .


30

108. Calcular els extrems de la funci z = x2 + y2 amb la condici 13x2 - 10 x y + 13y2 = 72.

Considerem la funci de Lagrange:

F(x,y) = x2 + y2 + 8 (13 x2 - 10 x y + 13 y2 - 72)

Y

Si x = y Y 16 x2 = 72 Y , que correspon als punts:

i , i el valor de z en aquests punts

s z = 9.

Si x = - y Y 36 x2 = 72 Y , que correspon als punts:

i , i el valor de z en aquests punts s z = 4.

Aix, el valor mxim s 9 i el mnim s 4.

109. Calcular el valor mxim i mnim de la funci sotala condici .

Considerem la funci de Lagrange:

, i tenim:

Ara substituint en la ltima equaci, tenim:

Que ens dna els punts i

Com que la funci f s diferenciable en el conjunt condici, que s uncompacte, resulta que:

s el mxim.

s el mnim.


31

110. Calcular la distncia del punt a l'esfera .

El problema es redueix a trobar la distncia mnima entre el punt donati un punt qualsevol de l'esfera.

Per tant, s un problema d'extrems condicionats.

Funci que volem fer mnima:

o millor .

Condici: .

Considerem, per tant, la funci de Lagrange:

. Aix, 3 x2 = 1 Y .

Que corresponen als punts i .

I les distncies son:

Per tant, la distncia mnima s


32

Una manera ms rpida de resoldre el problema s considerar una esfera

concntrica amb la que ens donen i que passi pel punt .

Aleshores la distncia mnima s la diferncia dels radis.

Com que el centre de l'esfera donada s (0,0,0) i el seu radi 1, ladistncia s:

111. Un industrial pot fabricar tres productes X, Y i Z en quantitats x, yi z respectivament, i genera un benefici B(x,y,z) = 2 x + 8 y + 24 z.Calcular els valors de x, y, z que fan mxim el benefici, si laproducci est limitada per la restricci .

Hem d'optimitzar la funci B(x,y,z) = 2 x + 8 y + 24 z sotmesa a lacondici .

Per aix, considerem la funci de Lagrange:

I l'extrem buscat, compleix el sistema:

Y

De la primera equaci es dedueix 8 0 i x 0, per tant, dividint lasegona equaci i la tercera per la primera, tenim:

Y Y

Que ens dna dos parells de solucions: i

L'existncia del mxim est garantida ja que la funci s diferenciableen un compacte (La condici correspon a l'equaci d'un elipsoide).

Evidentment el benefici mxim correspon a la primera soluci.


33

112. a) Determinar els punts de la superfcie que estiguinms propers a l'origen.

b) Demostrar que en cadascun d'aquests punts la recta normal a lasuperfcie passa per l'origen.

La distncia d'un punt qualsevol a l'origen s, per els seus extrems coincidiran amb els de la

funci .

Ara considerem la funci de Lagrange:

, i tenim que:

Substituint en la darrera equaci:

Aix, la distncia mnima a l'origen s

Per a demostrar la segona part:

Considerem la funci implcita ,

que defineix la superfcie,

i la funci implcita ,

que defineix l'esfera de centre l'origen i radi .

Aleshores s i .

Per com que ,

i com que totes les rectes normals a una esfera centrada passen perl'origen queda demostrat.


34

113. Trobar la distncia ms curta del punt M(1,2,3) a la recta

Sigui un punt qualsevol de la recta, aleshores la distncia deP a M s .

Ara b com que d s una funci positiva podem fer servir, per a buscar el mnim de d.

Si el punt P est en la recta ha de complir les condicions:

Podem aix considerar la funci de Lagrange

i resoldre el sistema segent per a calcular els extrems

i, la distncia val

114. Calcular la distncia mnima de la superfcie al punt

.

Sigui un punt qualsevol de la superfcie, aleshores la

distncia de P al punt s

Com que la distncia s positiva s equivalent a buscar el mnim de lafunci amb la condici .

Podem utilitzar la funci de Lagrange


35

, no pot ser, per tant,

De , substituint en la primera equaci

i ara substituint en la ltima

,

Per tant, la distncia mnima s

115. Determinar el punt de l'esfera ms proper al punt.

Sigui un punt qualsevol de l'esfera, la distncia al punt P s, i volem que sigui mnima. Per com

que la distncia s positiva, equival a que sigui mnima la distnciaal quadrat .

Per resoldre el problema podem considerar la funci de Lagrange

, que no pot sser.


36

; ;

Els casos:

no pot ser

no pot ser

, ja hem vist que no val.

, ja hem vist que no val.

Aix s el punt ms proper.

116. Tres pasos han concertat la producci d'oli d'oliva en com. Si x, y,z sn les quantitats que han de produir, la relaci entre elles, segonsel concertat s:

Calcular quina s la producci mxima d'oli que poden produir els trespasos junts.Volem que la producci , sigui mxima

amb la condici

Podem fer servir el mtode dels multiplicadors de Lagrange.

I, la producci mxima s


37

117. La temperatura, en graus, d'una placa en un punt qualsevol (x,y) es ta partir de la funci:

.

Una alarma trmica, situada sobre els punts de la circumferncia, es dispara quant la temperatura s superior a o

inferior a .

Es dispara l'alarma?

Es tracta de calcular els extrems de la funci T sobre lacircumferncia.

Per aix, considerem la funci de Lagrange

De la primera equaci, per substituci

Aix tenim

, que no pot ser, doncs no compleix la darrera equaci,

o b

Ara calculem la temperatura en els punts obtinguts

Com que la temperatura es mour de a l'alarma no es dispara.


38

118. Essent x, y i z nmeros reals no negatius.a) Determinar el mxim de u = x y z amb la condici .

b) Com aplicaci, demostrar que .

a) Com que el conjunt {x + y + z = S} 1 {x $ 0} 1 {y $ 0} 1 {z $ 0}s un compacte, considerem la funci de Lagrange:

F(x,y,z) = x.y.z + 8 (x + y + z - S)

x + y + z = S Y 3x = S Y x = y = z = S/3 Y , mxim.

b) Si x + y + z = K, el mxim de x.y.z s'obt quan x = y = z = K/3.

Per tant

119. a) Trobar, si existeixen, els extrems relatius de la funci z = x y.

b) Trobar, si existeixen, els extrems absoluts de la funci z = x yen el recinte x2 + y2 # 1.

a) Condici necessria:

L z = (zx,zy) = (0,0) Y (y,x) = (0,0) Y x = y = 0.

Condici suficient:

zxx = 0, zxy = 1, zyy = 0, .

Per tant, la funci no t extrems relatius.

b) Funci: z = x y, recinte: x2 + y2 # 1.

Ja que la funci z s contnua i el recinte s un compacte de 2,z assoleix extrems absoluts en el recinte.

Com que a l'interior del recinte no hi ha extrems, els extremshauran d'estar a la frontera del recinte.

Aix, considerem la funci de Lagrange: F(x,y) = x y + 8 (x2 + y2 - 1)


39

Y .

Substituint en la condici que dona la frontera del recinte, tenim:

x2 + y2 = 1 Y 2x2 = 1 Y .

,

Per tant, el mxim absolut s 1/2 i el mnim absolut -1/2.

120. Calcular els extrems absoluts de la funci en el compacte.

Primer calculem els punts crtics de la funci z

, aix P(0,0) s un punt estacionari.

Ara cal estudiar la frontera, per aix considerem la funci de Lagrange

I els possibles extrems absoluts complirn

Si

Si


40

121. Calcular els extrems absoluts de la funci en el recinte .

Es tracta de trobar els extrems absoluts d'una funci diferenciable enun recinte compacte.

Primer calcularem els possibles extrems relatius de la funci en elrecinte donat.

Y x = 1, y = 1.

Aix, el punt P(1,1), que pertany al recinte, s un possible extremrelatiu.

Ara per estudiar els extrems de la funci en la frontera, podem procedircom un problema d'extrems condicionats, on la funci a optimitzar s lafunci f i la condici la frontera del recinte.

Sigui la funci de Lagrange

Y Y Y

Ara, substituint a la ltima equaci, tenim:

Que ens dna els punts

Per trobar els extrems absoluts, cal calcular el valor de la funci enels punts P, Q i R.

f(1,1) = 0

Aix, el mnim absolut s 0 i el mxim absolut s

122. Calcular els extrems de la funci en el

conjunt

Primer calculem els punts crtics de la funci en l'interior del recinteC:


41

Estudiem ara la frontera:

y = 0 (0 < x < 1):

x = 1 (0 < y < 1):

y = x (0 < x < 1):

I per ltim hem de considerar els punts frontera dels segments frontera.

f(0,0) = 0, f(1,0) = 4, f(1,1) = 1.

Aix, el mxim absolut s 4 i el mnim absolut s 0.

123. Calcular el mxim i mnim absolut de la funci en elrecinte

Primer estudiem els punts crtics

, . I tenim el punt

Per estudiar la frontera , podem fer servir el mtode delsmultiplicadors de Lagrange

Si

Si

Per tant,

s el mnim absolut

s el mxim absolut


42

124. Calcular els extrems absoluts de la funci enel compacte , .

Primer estudiarem els punts crtics de la funci en el recinte.

per tant, .

Aix, tenim el punt crtic P(1,1) del recinte, essent .

Ara estudiarem les fronteres del recinte:

:

:

que ens dna els punts , encara que aquest ltim nopertany al recinte, .

:

:

Per ltim queda estudiar els extrems dels segments frontera.

Per tant, 0 s el mnim absolut i 14 s el mxim absolut.

125. Calcular els extrems de la funci en el conjunt.

Primer calculem els punts crtics

,tenim el punt O(0,0).

Ara estudiem la frontera

Substituint la condici en la funci, tenim

,

, ,

Aix, el mxim absolut s 27 i el mnim absolut s -5.


43

126. Trobar els extrems absoluts de la funci en el domini triangularS amb vrtexs O(0,0), A(1,0) i B(0,2).

Primer calculem els possibles punts crtics:

Ara estudiem la frontera:

, i tenim el punt

que s el mxim absolut.

El mnim absolut , s'assoleix en els punts de la frontera.

127. Trobar els extrems absoluts de la funci en el recinte

Primer calculem els punts crtics del recinte

, punts .

Ara estudiem la frontera:

, .

Aix, tenim els punts i

Per ltim hem de calcular els punts de tall

,


44

que sn i

, ,

Aix, s el mnim absolut i el mxim absolut.

128. Calcular els extrems absoluts de la funci

en el recinte .

Primer calculem els possibles punts crtics del recinte:

Ara estudiarem la frontera , mitjanant la funci de Lagrange

Per , i tenim els punts (2,2) i (-2,-2).

Per

,

i tenim els punts i

El cas ja est estudiat a l'apartat dels punts crtics.

Per que no s soluci del sistema.

Per ltim si , aleshores .

Ara calculem el valor de la funci en aquests punts:


45

Aix, el mnim absolut s 10 i el mxim absolut s 23.

129. a) Calcular els extrems absoluts de la funci en el recinte

Primer calculem els possibles punts crtics del recinte.

Ara estudiem la frontera , substituint enla funci tenim

Aix, s el mnim absolut

i s el mxim absolut.

b) Calcular la derivada direccional mxima de la funci en el punt

Com que la derivada direccional mxima es t en la direcci delgradient, primer calculem el gradient de f en .

,

La direcci s

i la derivada direccional mxima val


46

130. En una illa, amb forma que es por aproximar per una circumferncia deradi 10 Km, els seus habitants estan sent atacats per un cert virus.

Si escollim un sistema de coordenades amb origen el centre de l'illa,aleshores en el punt de coordenades la quantitat de malalts vedonada per la funci

Determinar la quantitat mxima i mnima de malaltsen un punt de l'illa.

Es tracta de trobar els extrems absoluts de lafunci en el recinte

.

Primer calculem els punts crtics.

El punt s un punt de l'illa.

Ara considerem els punts de la frontera .

Es tracta d'un problema d'extrems condicionats, on la condici s lafrontera. Podem utilitzar el mtode de Lagrange.

I tenim els punts , de la frontera.

s el mnim.

s el mxim.

131. Estudiar els extrems absoluts de la funci:

en el recinte

Hem d'estudiar:

a) Els punts crtics del interior del recinte


47

Aix, tenim el punt .

b) Els punts de la frontera

, vrtex

, vrtex

, no t soluci

, punt

Per tant, hem de considerar els vrtexs, el punt Q i el punt P:

Aix, el mnim absolut s 0 i el mxim absolut s 14.

FUNCIONSDEVARIESVARIABLES2013resolts

Documents

Transcript of FUNCIONSDEVARIESVARIABLES2013resolts