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-1- REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA NUCLEO MERIDA

APUNTES DE FÍSICA III FÍSICA DE LOS SEMICONDUCTORES MSc. José Fernando Pinto Parra

APUNTES DE FÍSICA III

Profesor: José Fernando Pinto Parra

FÍSICA DE LOS SEMICONDUCTORES

MATERIALES CONDUCTORES, AISLANTES Y SEMICONDUCTORES

Cuando un cuerpo neutro es electrizado, sus cargas eléctricas, bajo la acción de las

fuerzas correspondientes, se redistribuyen hasta alcanzar una situación de equilibrio.

Algunos cuerpos, sin embargo, ponen muchas dificultades a este movimiento de las

cargas eléctricas por su interior y sólo permanece cargado el lugar en donde se depositó

la carga neta. Otros, por el contrario, facilitan tal redistribución de modo que la

electricidad afecta finalmente a todo el cuerpo. Los primeros se denominan aislantes y

los segundos conductores.

Para entender este fenómeno es necesario recordar algunos elementos

fundamentales relacionados con la conductividad eléctrica, el primero de ellos es la

Primera Ley de Omh que nos señala que la diferencia de potencial que genera la

circulación de los electrones libres a través de un conductor es igual al producto de

la resistencia del conductor por la intensidad de la corriente generada, es decir:

El segundo elemento lo representa la Resistividad eléctrica, ρ, que es una

propiedad característica de cada material y que depende del tamaño y la geometría del

mismo

El tercer elemento lo representa la Conductividad eléctrica, σ,





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El cuarto elemento lo representa la Potencia eléctrica, P, que establece la relación

producto directo entre la Diferencia de Potencial y la Intensidad de corriente, o el

producto directo del cuadrado de la Intensidad de corriente y la Resistencia

El quinto elemento es la Segunda Ley de Omh que nos señala que la densidad

de corriente (J) que circula a través de un conductor es igual al producto de la

Conductividad eléctrica, σ, por Campo Eléctrico (E) generado, es decir:

Donde:

Otro elemento a recordar es que los electrones son los portadores de carga en los

conductores, semiconductores y muchos de los aislantes, su movilidad depende de los

enlaces atómicos, de las imperfecciones de red, de la microestructura y de las

velocidades de difusión. También se debe señalar, que la conductividad eléctrica es la

propiedad física con el rango de variación más amplio, que se extiende a 27 órdenes de

magnitud.

Todos estos elementos permiten decir que una manera de clasificar a los

materiales sólidos es de acuerdo a la facilidad con que estos conducen la corriente

eléctrica, todo esto basado en la Teoría de Bandas, en la que encontramos dos enfoques,

que permiten entender los fenómenos de conductividad eléctrica y térmica en los

materiales sólidos. Estos enfoques son capaces de explicar, por ejemplo, las diferencias

tan enormes en las resistividades eléctricas de tales materiales.

Uno de ellos es la teoría de F. Bloch, la cual establece que los electrones de

valencia en un metal se encuentran sujetos a un potencial no constante (periódico) y

cuya periodicidad es impuesta por la estructura cristalina. El otro, la teoría de W. Heitler

y F. London, considera los efectos sobre los niveles energéticos de átomos aislados,





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cuando dichos átomos se encuentran agrupados en un cristal (átomos inter-actuantes).

Un tratamiento riguroso de la teoría de bandas, requiere de la aplicación de la mecánica

cuántica, en cualquiera de los dos enfoques. El de Heitler y London, sin embargo,

permite una explicación cualitativa más clara de los fenómenos involucrados en la teoría

de bandas, por lo cual nos centraremos en esta teoría.

Los materiales pueden

clasificarse, de acuerdo con su

resistividad, en conductores,

semiconductores y aislantes.

Los conductores son materiales (generalmente metales), cuya estructura

electrónica les permite conducir la corriente eléctrica a bajas temperaturas o temperatura

ambiente; su resistividad al paso de la corriente eléctrica es muy baja. De acuerdo con la

teoría de bandas, son aquellos materiales cuyas bandas de valencia y de conducción, se

encuentran muy próximas entre sí, al grado de que, en algunos casos, estas bandas se

encuentran sobrepuestas. Los electrones de valencia en un átomo, son los que se

encuentran en el nivel energético más externo y ellos permiten los enlaces entre los

átomos en los compuestos o entre átomos del mismo tipo en una molécula o un cristal.

Por su parte, los electrones de conducción son los que se han promovido a niveles

energéticos vacíos, lo que da lugar a su mayor movilidad y, eventualmente, da origen a

las corrientes eléctricas.

Los semiconductores son elementos que tienen una conductividad eléctrica

inferior a la de un conductor metálico pero superior a la de un buen aislante. El

semiconductor más utilizado es el silicio, que es el elemento más abundante en la

naturaleza, después del oxígeno. Otros semiconductores son el germanio y el selenio.





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Los átomos de silicio tienen su orbital externo incompleto con sólo cuatro

electrones, denominados electrones de valencia. Estos átomos forman una red cristalina,

en la que cada átomo comparte sus cuatro electrones de valencia con los cuatro átomos

vecinos, formando enlaces covalentes. A temperatura ambiente, algunos electrones de

valencia absorben suficiente energía calorífica para librarse del enlace covalente y

moverse a través de la red cristalina, convirtiéndose en electrones libres. Si a estos

electrones, que han roto el enlace covalente, se les somete al potencial eléctrico de una

pila, se dirigen al polo positivo.

Un aislante es una sustancia que no conduce electricidad bajo condiciones

normales, Muchos compuestos no metálicos son aislantes. La principal característica de

los aislantes es Que tienen muy pocos o ningunos electrones libres bajo condiciones

normales. Sin electrones libres no puede haber corriente de electrones. Todos los

electrones de un aislante están unidos a sus átomos mediante fuerzas de gran magnitud.

Los aislantes tienen pocos o ningunos electrones libres.

ELECTRONES Y HUECOS

Para lograr comprender los fenómenos que se producen en un semiconductor,

debemos recordar a los llamados "portadores de carga", que son los encargados

de establecer el flujo de corriente eléctrica, el primero por excelencia es el electrón, el

cual el cual no es exclusivo de los semiconductores, sino que existen también en los

materiales conductores y aisladores. Representa la carga negativa y su valor es de

.





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Pero en el seno de un material sólido, también existe otro elemento responsable de

la conductividad eléctrica, éste surge cuando se transfiere un electrón de la banda de

valencia a la banda de conducción, se crea lo que se conoce como “hueco” que actúa

como un "transportador" de carga positiva, fenómeno que eventualmente puede crear

una “corriente positiva”.

Para entender el movimiento relativo de los

huecos, podemos imaginar a los electrones como

esferas que se mueven por un tubo de la figura

anterior. (a) Cuando un electrón se transfiere, deja

un espacio vacío (hueco positivo), el cual es

ocupado inmediatamente por el electrón adyacente,

(b) y (c). (d), El desplazamiento se repite hasta que

el último electrón se mueve, dejando un último hueco. El movimiento de los electrones

hacia la izquierda, genera un movimiento aparente de los espacios vacíos hacia la

derecha. De la misma manera, puede entenderse el movimiento, en sentidos opuestos,

de los electrones (negativos) y “huecos” positivos, en un semiconductor.

Cuando un electrón es excitado

desde la banda de valencia a la de

conducción, deja en la banda de valencia

un espacio electrónico, es decir, se produce

un electrón faltante en uno de los enlaces

covalentes, si el material es sometido a la

influencia de un campo eléctrico, este espacio parece moverse, debido al movimiento de

electrones de valencia que repetidamente llenan los enlaces incompletos, este proceso es

más fácilmente estudiado tratando al espacio electrónico en la banda de valencia como

una partícula cargada positivamente, a la que se le llama “hueco” y que es de igual

magnitud que el electrón.





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El hecho de que

existan portadores de carga positivos en

la banda de valencia (los huecos)

y portadores de carga negativos en la

banda de conducción (los electrones),

da lugar a dos tipos de corrientes que

tenemos que saber diferenciar. Son las

llamadas "corriente de electrones" y "corriente de huecos". La figura anterior ilustra un

trozo de cristal semiconductor puro conectado a una batería. En la banda de

conducción, los electrones libres viajan hacia el polo positivo de la batería. Esta es

la "corriente de electrones", la cual ya conocíamos porque es la misma que se manifiesta

en los buenos conductores.

Como se puede apreciar, también existe otra corriente distinta a la anterior que en

esta ocasión se produce únicamente en la banda de valencia del semiconductor. Resulta

que muchos electrones de esta banda no tienen la energía suficiente para saltar a la

banda de conducción, sin embargo, sí adquieren la energía necesaria para saltar a un

hueco libre de otro átomo en la misma banda de valencia y como para este último salto

se necesita mucha menos energía que para el primero, ya que el electrón excitado solo

cambia su posición a la órbita de valencia de otro átomo cercano, el cual tenía un hueco

vacante, pero no sube a un nivel de energía superior como ocurre con los electrones

libres.

Aunque esta corriente es producida por electrones en la banda de valencia, se le

llama "corriente de huecos" con la finalidad de distinguirla de la corriente de electrones

"libres" que se produce en la banda de conducción. Al moverse al hueco existente en la

órbita de valencia de un átomo cercano el electrón deja un hueco en su propio átomo,

con lo que puede decirse que el hueco ha cambiado de lugar, se ha movido en sentido

contrario a como lo hacen los electrones.





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Si nos fijamos en la figura, la tensión de la

batería fuerza a los electrones, libres y de

valencia, a moverse hacia la derecha mientras

que los huecos de las órbitas de valencia lo

hacen hacia la izquierda. Cuando un

electrón llega al extremo derecho del cristal,

sale de éste a través de la conexión y se dirige

hacia el polo positivo de la batería.

Los electrones que salen del polo negativo

de la batería entran en el cristal desde la

izquierda. Unos lo harán como electrones

libres y otros ocuparán los huecos vacios de las

órbitas de valencia de aquellos átomos cercanos. Observa que éstos huecos

vacantes dentro del cristal, al ser ocupados por los electrones que acaban de

entrar, simplemente desaparecen.

Es decir, no existe corriente de huecos fuera del cristal semiconductor. Los huecos

se crean y mueren dentro de la estructura cristalina. La corriente de huecos no existe en

los conductores, como por ejemplo el cobre. En estos últimos solo se da la corriente de

electrones libres en la banda de conducción.

CONCEPTO DE BARRERA DE POTENCIAL

Para poder entender cómo funcionan los dispositivos semiconductores, también es

necesario conocer el comportamiento de los niveles de energía y en particular lo

referente al estudio de la barrera de potencial. Para lograrlo, debemos comprender el

hecho de que la función de onda pueda extenderse más allá de los límites clásicos del

movimiento dando lugar a un importante fenómeno llamado penetración de la barrera de

potencial.





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En mecánica cuántica, la barrera de potencial finita es un problema modelo mono-

dimensional que permite demostrar el fenómeno del efecto túnel. Para ello se resuelve

la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula que incide sobre

una barrera de potencial.

La barrera de potencial se opone al flujo de portadores de carga y solo un número

reducido de estos tiene energía suficiente para pasar a través de ella. Este flujo de

portadores de carga mayoritarios produce una corriente de difusión. Por otro lado,

promueve el flujo de portadores de carga minoritarios, lo que genera una reducida

corriente de deriva.

Consideremos el

potencial representado

en la siguiente figura que

consta de dos escalones

y que se denomina

barrera de potencial de

altura E0 y anchura a. El

caso más interesante se

da, cuando la energía de

las partículas sea menor que la de la barrera. La Mecánica Clásica requiere que una

partícula proveniente de la izquierda con E<E0 se refleje en el origen x=0, ya que en la

región (0, a) la energía cinética de la partícula es negativa.

Las partículas que hayan penetrado una distancia mayor o igual que a, tendrían

una energía cinética igual a su energía total (la energía potencial vuelve a ser cero) y por

tanto, se moverán hacia la derecha con igual velocidad que las incidentes. Estas

partículas que han atravesado la barrera se denominan transmitidas y han pasado de la

primera a la tercera región de potencial a través de la región intermedia, clásicamente

prohibida.

El comportamiento cuántico esperado es muy diferente del clásico. De hecho

sucede que cuánticamente hay siempre una probabilidad finita de que la partícula





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"penetre" la barrera y continúe viajando hacia el otro lado, incluso cuando la energía de

la partícula es menor que la de la barrera. La probabilidad de que la partícula pase a

través de la barrera viene dada por el coeficiente de transmisión, mientras que la

probabilidad de que la partícula sea reflejada viene dada por el coeficiente de reflexión.

Analicemos as soluciones a este modelo:

Una partícula libre es aquella que no está sujeta a ninguna fuerza o barrera de

potencial y es libre para moverse en un espacio sin límites. Una partícula libre debe

llevar, desde un punto de vista clásico, un movimiento rectilíneo; movimiento que

haremos coincidir con el eje x. Así, la ecuación de Schrödinger para la partícula libre

será:

Si hacemos la ecuación queda

La solución general de la ecuación diferencial es:

Donde C y D son diferentes de A y B y las funciones exponenciales son

funciones propias del operador momento lineal con valores propios . De

acuerdo con la relación De Broglie y como , la longitud de onda asociada a

una partícula libre será:

Si la partícula del apartado anterior es obligada a permanecer en una región finita

del espacio definida por 0 ≤ x ≤ a (donde a es una longitud finita), entonces el sistema

es conocido como “partícula en la caja”. Este sistema sirve como modelo simple de

algunos sistemas reales de interés físico: movimiento de traslación de moléculas de

gases ideales, electrones en la banda de conducción de los metales y electrones en





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hidrocarburos conjugados y moléculas relacionadas. Puesto que el modelo de la

partícula en la caja es matemáticamente simple, puede ser utilizado para la comprensión

de conceptos mecanocuánticos importantes sin que corramos el peligro de perdernos en

detalles matemáticamente engorrosos.

La ecuación de Schrödinger para la partícula en la caja es la misma que para la

partícula libre si asumimos que el potencial dentro de la caja es el mismo en cualquier

punto (es decir, V = cte.). Así:

Como , se tiene que la ecuación de onda es:

Normalmente tomaremos V = 0 dentro de la caja, pero si no fuera así, no es

ningún problema ya que siempre podemos hacer E' = E −V.

Supongamos que la partícula permanece confinada dentro de la caja, con un

potencial infinito fuera de ella, manteniendo una condiciones ideales que permitan

tomar la ecuación como una solución de la ecuación de

Schrödinger, donde, cuando , obliga a que la constante A de la función de

onda sea cero. Así, la función de onda queda reducida a y si , con

n = 1, 2, 3,...,

Como sustituyendo la condición anterior se obtiene

Pero como ya se ha señalado que V = 0 y sustituyendo y despejando

E, finalmente obtenemos la ecuación de la energía cuantizada de la partícula en la caja:





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Los números enteros n = 1, 2, 3,… son los números cuánticos de la partícula en la

caja, análogos a los números cuánticos que aparecen en el átomo de Borh; con la

diferencia de que aquí tales números cuánticos no deben postularse a priori, sino que

surgen de forma natural como consecuencia de las condiciones de contorno. Es así,

como podemos deducir que esta ecuación, nos permite observar que los niveles de

energía permitidos son inversamente proporcionales al cuadrado de la longitud de la

caja. Por tanto, a medida que a se hace más grande las energías se hacen más pequeñas

(para un mismo valor de n).

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger de la partícula en la caja, que

cumplen con las condiciones de contornos requeridos, son funciones de del tipo:

Donde B se obtiene al normalizar la función, es decir:

De donde se obtiene que la función queda:

Ahora observemos la siguiente figura:





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En ella se nos presentan los cuatros primeros niveles de una partícula, nótese que

la energía del nivel más bajo (n = 1) no es cero, sino . Podemos preguntarnos ¿por

qué el nivel más bajo de energía? Hay dos razones importantes para que no sea así:

− La primera es que si la energía es cero, n debe ser cero y por tanto la función de

onda para n = 0, , resultaría ser cero en cualquier punto de la caja.

Esto sería equivalente a decir que la partícula no existe en el primer estado.

− La segunda razón tiene que ver con el principio de incertidumbre de

Heisenberg. En efecto, si la energía es cero (energía que resulta ser toda ella energía

cinética) la velocidad también será cero, por tanto, el momento lineal resultaría cero.

De esta forma la incertidumbre del momento lineal sería . Por otra parte, la

máxima incertidumbre para el conocimiento de la posición de la partícula es (ya

que sabemos que la partícula está dentro de la caja). El producto de las incertidumbres

de la posición y del momento lineal sería , lo cual contradice el principio de

incertidumbre.

Analicemos físicamente este fenómeno, cuando describimos una partícula

cuántica que se encuentra con una barrera de potencial y resolvemos el problema

encontramos que aunque dicha partícula no tenga la energía suficiente como para

“saltar” la barrera hay una pequeña probabilidad de que pase al otro lado.

El secreto está en que cuando la partícula descrita por la función de onda se

encuentra con la barrera de potencial, la función de onda inicial se parte en dos

contribuciones: Parte reflejada + Parte transmitida, esto se conoce como Efecto Túnel.

De la figura del escalón de potencial se desprenden estas dos consideraciones:

La partícula descrita por la función de onda tiene una energía menor que

la barrera de potencial. Pero es capaz de transmitirse por la barrera.

En la transmisión vemos como la amplitud de la onda disminuye y que la

parte transmitida tiene una amplitud menor. La amplitud está relacionada

con el cuadrado de la función de onda. Y eso es la probabilidad de





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encontrar la partícula en una determinada posición. Por lo tanto, como se

ve en la figura, la probabilidad de encontrar a la partícula que ha superado

la barrera es muy pequeña.

¿De qué factores dependerá que el efecto túnel sea más o menos eficiente?

Parece evidente que la anchura de la barrera es muy importante, a mayor anchura

más tiempo para decrecer en amplitud la onda transmitida y menor probabilidad de estar

al otro lado.

Otra característica menos evidente pero igual de fundamental es la masa de la

partícula que estemos describiendo. A mayor masa menor probabilidad de traspasar la

barrera.

Esas son dos magnífica razones para que podamos decir que nunca viviremos una

experiencia de efecto túnel. Primero porque somos grandes y con mucha masa y

segundo porque las barreras de potencial a las que nos enfrentamos suelen ser grandes y

anchas. Vamos que es mejor dar la vuelta, que esperar atravesar una pared.

El efecto túnel es un importante ingrediente en los mecanismos de reacción

químicos. Permite construir microscopios y es muy relevante en muchos procesos

industriales y tecnológicos, pero el efecto más impresionante que se le puede asignar al

efecto túnel está relacionado con lo que ocurre cuando se empalman dos conductores

eléctricos, al ejecutar tal procedimiento a pensar que el cobre se oxida muy fácilmente y

que el óxido de cobre es un aislante eléctrico de primera categoría, por tanto, es una

barrera de potencial, por lo que electrones deben saltar de un cable a otro en el

empalme, sin embargo los electrones saltan la barrera de óxido por efecto túnel.





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DISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS POR NIVELES DE ENERGÍA.

Como ya se ha

mencionado, las características

físicas que permiten distinguir

entre un aislante, un

semiconductor y un metal,

están determinadas por la

estructura atómica, molecular y

cristalina de las diferentes sustancias, esto responde al primer postulado de Bohr, que

señala, que los electrones que constituyen la corteza de un átomo, solo pueden poseer

determinadas energías discretas de acuerdo a las cuales se ubican en órbitas permitidas

cuyo radio se modifica en el mismo sentido que lo hace la energía del electrón.

Cada nivel de energía,

estado cuántico u órbita solo

puede ser ocupado por un

electrón (Principio de

exclusión de Pauli), y estos

ocupan siempre los estados

más bajos o inferiores de

energía. Los diferentes niveles

posibles de energía se

distribuyen de acuerdo a cuatro

números cuánticos, en capas, subcapas, niveles y subniveles, perfectamente definidos en

un átomo aislado y que los electrones van ocupando conforme se ha dicho.

Esto permite deducir, que la magnitud de la conductividad eléctrica depende del

número de electrones disponibles para participar en el proceso de conducción eléctrica.

No todos los electrones de cada átomo participan. El número de electrones disponibles

depende del arreglo de los estados electrónicos o niveles energéticos y la manera en que

estos son ocupados.





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Cuando varios átomos están muy próximos, se forman bandas de energía de los

electrones, debido a un “desdoblamiento” de los estados electrónicos, principio de

exclusión de Pauli. El grado de desdoblamiento depende de la separación interatómica y

empieza con los niveles electrónicos más exteriores. Dentro de cada banda, los estados

de energía son discretos, aunque la diferencia de energía entre estados adyacentes es

muy pequeña. Para la separación de equilibrio, la formación de bandas no ocurre para

los niveles cercanos al núcleo. Se producen intervalos prohibidos entre bandas de

energía. Bandas de energía prohibida.

El número de estados dentro de cada banda será igual al número total de estados

con que contribuyen los N átomos. Una banda s constará de N estados, y una banda p de

3N estados. Las bandas contendrán a los electrones que residían en los correspondientes

niveles de los átomos aislados; banda 4s en el sólido contendrá electrones 4s de los

átomos aislados. Pueden existir bandas vacías y bandas parcialmente llenas.

Las propiedades eléctricas de un material sólido son una consecuencia de su

estructura de bandas electrónicas, (distribución de las bandas electrónicas más

exteriores) y la manera como son llenada por los electrones. Banda de valencia: banda

que contiene los electrones

con mayor energía, los

electrones de valencia. Banda

de conducción: banda de

energía siguiente a la de

valencia, a menudo está

vacía de electrones.

Solo aquellos electrones que tengan una energía mayor que la energía de Fermi

(Ef) estarán disponibles para ser acelerados en presencia de un campo eléctrico. Estos

electrones se conocen como electrones libres. En semiconductores y aislantes, los

huecos, una entidad con carga eléctrica positiva, que tiene una energía menor que la

energía de Fermi también pueden participar en la conducción eléctrica.





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Partiendo del hecho de los semiconductores se diferencian de los aisladores

solamente en el ancho de banda de energía prohibida (EG), analicemos la representación

de las mismas, como se puede ver en la siguiente figura, en la que se muestra el

diagrama de bandas para el caso del Silicio, se observa el fenómeno de cambio de

estructura de la banda típico de los semiconductores del grupo IV, donde la R0 es

relativamente angosta.

El sólido se clasifica como semiconductor a temperatura ambiente cuando el

número de electrones excitados que cruzan la banda de conducción y valencia es lo

suficientemente grande como para provocar conductividad apreciable.

Para determinar el número de niveles o estados electrónicos posibles por unidad

de volumen y por unidad de energía, conocida como la densidad de estados N (E). En

un metal la ecuación es:





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Puede considerarse como una función continua en E, tal como se muestra en la

gráfica.

Está expresión también es válida para un semiconductor cristalino (electrones

quasi-libres, ligados a un potencial periódico). Para adaptarla, hemos de introducir EC y

Ep, las ecuaciones son:

NIVEL FERMI, IMPUREZAS DONADORAS Y ACEPTADORAS

Hasta el momento se ha tratado el problema como una sola partícula, pero en la

realidad tratamos con sistemas que contienen muchas partículas, por lo que se debe usar

mecánica estadística para describir los sistemas. La mecánica estadística consiste en un

conjunto de leyes que pueden ser usadas para modelar el movimiento de grandes grupos

de partículas sin que se conozca el movimiento de una en particular.

Básicamente nos interesan dos leyes: la función de distribución de Maxwell-

Boltzmann, que se deriva de la mecánica clásica y que se utiliza en la descripción del

comportamiento de gases y de otros sistemas que tienen muchos estados permitidos





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comparados con el número de partículas del sistema y la función de distribución de

Fermi-Dirac, utilizada para describir sistemas densos en el que el número de partículas y

estados es comparable.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se representará con la siguiente función:

Por su parte, la distribución de Fermi-Dirac es una función de la forma siguiente:

En donde Ef es una constante

denominada energía de Fermi y es

usada como energía de referencia en

toda distribución de sólidos. La forma

de esta función de distribución se

muestra en la siguiente figura:

Un estado con energía E>Ef tendrá más posibilidades de ser ocupado cuando la

temperatura es mayor; a una temperatura T, la probabilidad de ocupación disminuye si

aumenta la energía; para cualquier T, la probabilidad de encontrar un electrón con una

energía Ef es ½; para T=0, la probabilidad de encontrar un electrón con E>Ef es 0 y con

E<Ef es 1. Si la probabilidad de encontrar un electrón es f(E), la probabilidad de no

encontrarlo es 1-f(E).

Pero, para entender adecuadamente las propiedades de los semiconductores, el

movimiento de partículas debe considerarse con algún detalle, por ello que en este

análisis es importante considerar los dos grupos de partículas involucrados, el primero

está caracterizado por su libertad de movimiento y está compuesto por fotones, fonones,





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electrones y huecos, el segundo grupo está compuesto por las llamadas

“imperfecciones” que están más o menos fijas en el espacio dentro de la red cristalina y

que consisten en impurezas químicas y defectos de ella.

Como se ha señalado, el electrón presenta propiedades de partículas y de función

de onda, interactúa con la red, con otros electrones y huecos, así como con fonones y

fotones. Esta última interacción se manifiesta por el hecho de que la energía, en forma

de radiación, es entregada o absorbida por un electrón cuando cambia de estado de

energía.

El fotón es una vibración electromagnética, puede considerarse que tiene

propiedades de forma de onda y de partícula. El fotón puede transmitir energía de un

punto a otro del cristal, sufriendo choques con la red y con otras partículas. Se mueve a

la velocidad de la luz y su existencia transcurre entre el tiempo en que es radiado y en el

que es reabsorbido.

En el momento en que el fotón es absorbido, su energía es usada para llevar un

electrón desde la banda de valencia a la de conducción. Este proceso crea un electrón

libre y un hueco libre que contribuyen a la conducción. El proceso inverso también

puede ocurrir: un electrón que salta a la banda de valencia para recombinarse con un

hueco, da origen a un fotón, esta conducción causada por el proceso de excitación se

conoce como fotoconductividad.

Una segunda

partícula que interactúa

con electrones en la red

es el fonón, sí a la red

cristalina la concebimos

como un sistema

mecánico de masas y

resortes, el fonón se

considera como la

vibración mecánica





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cuantizada de la red. El fonón también puede transmitir energía de punto a punto en la

red y puede, como el fotón, liberar su energía y causar una transición, por otro lado, la

frecuencia de la vibración puede ir de la frecuencia del sonido a aquella que

corresponde a radiación infrarroja.

Consideremos como ejemplo de interacción de partículas aquella que ocurre en un

semiconductor, la representad en la siguiente figura.

Como se puede observar, cuando T=0°K, la banda de valencia (BV) está completa

con electrones y la banda de conducción (BC) está vacía, al incrementar la temperatura,

T1>0, ésta es suficiente como para excitar algunos electrones de la BV a la BC, de

forma tal que en la medida que se incrementa la temperatura, T2>T1, los fotones y

fonones tienen la energía suficiente para excitar más electrones hacia la BC. Esta

producción de pares de hueco-electrón se denomina generación de portadores.

En equilibrio, el número de electrones y huecos generados intrínsecamente es

igual. Esto es:

Donde g es la tasa de generación de portadores y r la tasa de recombinación de

pares hueco-electrón.

Como se ha señalado, el segundo grupo de partículas consideradas es el que

constituyen los defectos e impurezas que tienen una fuerte influencia sobre las

características físicas y eléctricas de los semiconductores.

En la figura que se coloca a continuación, se muestra una

parte de la red cristalina del Silicio (Si). Se considera que existe

una vacancia cuando falta un átomo en la red, esto es un ejemplo

de lo que se conoce como impurezas.

Se produce entonces una perturbación de la regularidad de la red. Como los

enlaces entre los átomos se deben a que los electrones de valencia se comparten, la

perturbación produce estiramiento o disminución de dichos enlaces y, por lo tanto, un

cambio en la energía de los mismos cerca del defecto. Ya que cada enlace representa un





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cierto estado en la banda de valencia, la distorsión causada por el defecto desplazara

algunos de los estados de energía de los enlaces a posiciones nuevas. Así, cuando un

electrón libre pase cerca de la región del defecto experimentara fuerzas distintas a las

que encuentra en la red regular. Estos defectos son más importantes cuando el estado de

energía desplazado se encuentra en la banda de energía prohibida. Los electrones usaran

este nivel de energía como punto de cruce hacia la banda de conducción o hacia la

banda de valencia.

En esta revisión de partículas, se tienen que tomar en cuenta los átomos de otros

elementos que entran a la red por sustitución de un átomo o que pertenecen en

posiciones intersticiales en ella. Estas impurezas pueden producir niveles extras de

energía del cristal. En efecto, los estados de energía propios del átomo de impureza y

aquellos de los átomos de la red se perturbaran debido a la proximidad en que se

encuentran. Dependiendo de la posición de los estados de energía introducidos en la

escala de energía del cristal y de la valencia del átomo de impureza, el átomo

introducido puede tener un importante efecto sobre las propiedades eléctricas del cristal.

Como sabemos, cuando un electrón salta de su enlace covalente, deja un hueco

susceptible de ser llenado por otro electrón. Los electrones liberados por energía térmica

a veces también caen en los huecos que han dejado otros electrones. Existe un equilibrio

dinámico entre los electrones que se liberan por energía térmica y los electrones que,

vuelven a caer en los huecos, esto es, el número de electrones libres, que será

exactamente igual que el número de huecos, es constante a temperatura constante. Este

tipo de semiconductores se denomina semiconductores intrínsecos.

Los semiconductores son sustancias cuya conductividad oscila entre 10-3

y 103

Siemen/metro y cuyo valor varia bastante con la temperatura. Los semiconductores más

empleados son, el Germanio y el Silicio. Un átomo de cualquiera de estos elementos

posee cuatro electrones en su última capa y por ello se une a sus átomos vecinos

mediante enlaces covalentes. A temperaturas bajas los cuatro electrones están formando

dichos enlaces, por lo que permanecen ligados a los átomos y no pueden moverse

aunque se aplique un campo eléctrico exterior, lo que hace se comporten como

aislantes.





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Por otro lado, a temperaturas superiores, hay electrones que poseen suficiente

energía térmica como para saltar de su enlace covalente a niveles energéticos superiores

donde no están ligados, éstos sí pueden moverse al aplicarse un campo eléctrico

exterior, y se comportan como conductores, en la medida que se aumenta más la

temperatura, más electrones se desligan de sus enlaces y contribuyen a la corriente

eléctrica, generando una conductividad

Donde p es la densidad de huecos por centímetro cúbico y la movilidad de los

huecos y n es la densidad de electrones por centímetro cúbico y la movilidad de los

huecos. Es importante señalar que siempre es menor que . La densidad de huecos p

y la densidad de electrones vienen dadas por las siguientes expresiones respectivamente:

Donde es una constante que es propia de cada semiconductor intrínseco y kes la

constante de Stefan-Boltzmann.

Un elemento que se desprende de estas ecuaciones el que el número de portadores

intrínsecos dependen fuertemente del ancho de la banda de energía prohibida EG,

además, de que una propiedad interesante e importante de la densidad de portadores se

obtiene tomando el producto de las densidades de huecos y electrones, esto se conoce

como Ley de acción de masas:

Es importante notar que este producto sólo depende del ancho de banda prohibida

y de la temperatura, pero no de la posición del nivel de Fermi y que se denomina

concentración intrínseca de portadores. Por otro lado, la concentración (cantidad por

unidad de volumen) n de electrones libres y p de huecos libres son iguales y llamados

concentración intrínseca del semiconductor.





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Finalmente, en esta revisión de partículas, tenemos que en una red sólida de

semiconductor puro, por ejemplo de silicio, consta de átomos iguales tetravalentes. Si en esta

red sólida introducimos de forma controlada átomos de similar tamaño pero con cinco o tres

electrones en su capa de valencia, es decir, átomos pentavalentes o trivalentes, estaremos

introduciendo “impurezas” que van a producir una variación de los portadores de carga en el

material, sin perder la neutralidad eléctrica del mismo. A este proceso se le denomina “dopado”,

es decir, introducir impurezas, en este caso, la cantidad de impurezas que se introducen en el

semiconductor puro suele ser del orden de millonésimas partes. De esta manera, dependiendo

del dopado podemos controlar la conductividad y cuál será el portador mayoritario de carga del

semiconductor.

En efecto, los estados de energía propios del átomo de impureza y aquellos de los átomos

de la red se perturbaran debido a la proximidad en que se encuentran. Dependiendo de la

posición de los estados de energía introducidos en la escala de energía del cristal y de la

valencia del átomo de impureza, el átomo introducido puede tener un importante efecto sobre

las propiedades eléctricas del cristal.

Estas consideraciones, nos permiten señalar los siguientes elementos, los

semiconductores tienen una banda prohibida de anchura EG < 2eV, esto trae como consecuencia

que su conductividad tienda a tener un valor intermedio entre el valor de la los metales y el

valor de los aislantes, tal como se observa en la tabla siguiente:

Otro elemento a considerar, es que la conductividad crece con la temperatura, mientras

que en los metales el número de portadores es constante, del orden de

, independientemente del valor de la temperatura, en los semiconductores al

crecer la temperatura crece la agitación térmica, se rompen enlaces atómicos, y se crean





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pares de electrón-hueco, el número de portadores de carga aumenta, tal como se expresa

en la siguiente ecuación:

En los semiconductores es importante considerar que las oscilaciones electromagnéticas

de frecuencia f superior a una f0 propia de cada uno de ellos, determina el valor de la energía de

la Banda Prohibida EG respondiendo a la siguiente ecuación:

Los fotones incidentes son más o menos absorbidos rompiendo algunos enlaces y creando

así pares de electrón-hueco de origen óptico que se adicionan a los de origen térmico, agregando

elementos dopantes en la red del semiconductor generando las llamadas impurezas en el

semiconductor, las cuales son de dos tipos:

a) Impurezas DONADORAS, son aquellas en la que

los elementos dopantes agregan electrones en la BC,

generando una concentración Nd en la red cristalina.

En este caso sustituimos en la red cristalina del

elemento semiconductor alguno de sus átomos por

otros de un material que tenga cinco electrones en la

última capa, a los que se llama “átomos donadores”.

En esta situación se encuentra el fósforo, arsénico y el antimonio en una red de

silicio, elementos situados en la columna derecha del Si en la tabla periódica. En este

caso el fenómeno de generación de pares electrón–hueco se sigue produciendo, por lo

que también aparecen huecos en el material, que son los portadores minoritarios,

estos semiconductores con impurezas donadores se denominan extrínsecos tipo n (n

de negativo), ya que en ellos la concentración de electrones es mucho mayor que la

de huecos.

Cuando este material se encuentra en equilibrio térmico, la concentración de

portadores mayoritarios permanece prácticamente constante, mientras que la

concentración de portadores minoritarios depende de la temperatura, de forma tal

que:





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b) Impurezas ACEPTADORAS, son aquellas en

la que los elementos dopantes agregan huecos

en la BV, generando una concentración Na en la

red cristalina. Estos se obtienen sustituyendo

átomos del material semiconductor por átomos

con un electrón menos en la última capa. En

esta situación se encuentra el boro, aluminio,

galio y el indio en una red de silicio, elementos

situados a la izquierda del Si en la tabla periódica. A los elementos con tres electrones

en la capa de valencia se les denomina aceptores y los semiconductores con

impurezas aceptoras se denominan extrínsecos tipo p. En estos casos, la

concentración de huecos es mucho mayor que la de electrones.

Cuando este material se encuentra en equilibrio térmico, la concentración de

portadores mayoritarios permanece prácticamente constante, mientras que la

concentración de portadores minoritarios depende de la temperatura, de forma tal

que:

Si el semiconductor es extrínseco, para determinar la concentración de portadores

necesitamos también una relación entre estas concentraciones y la concentración de impurezas

donadoras y aceptoras. Esta relación se denomina ley de neutralidad eléctrica, y se basa en el

hecho de que, aunque añadamos impurezas en un semiconductor, éste sigue siendo

eléctricamente neutro. Así, las concentraciones de cargas positivas y negativas son iguales:

El número de cargas positivas presentes en el semiconductor viene dado por la suma del

número total de huecos y el número de átomos donadores. El número de cargas negativas es

igual a la suma de los electrones libres y la cantidad de impurezas aceptoras. Dividiendo por el

volumen, esta relación entre cargas se convierte en una relación entre concentraciones:





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MOVILIDAD Y CONDUCTIVIDAD

Como se señaló anteriormente, las corrientes que se producen en los semiconductores

pueden ser debidas tanto a la existencia de electrones libres como a huecos, aparte de esto,

existen dos mecanismos diferentes responsables de las corrientes eléctricas en ellos, el primer

mecanismo ocurre cuando se aplica un campo eléctrico al semiconductor, entonces los

electrones libres o los huecos son desplazados por el campo eléctrico, bajo dos condiciones

inequívocas, los huecos en el sentido del campo eléctrico y los electrones en sentido contrario,

este mecanismo se denomina conducción por desplazamiento.

Esto genera las llamadas corrientes de desplazamiento debidas a la acción del campo

eléctrico en el interior de un semiconductor, que actúa tanto sobre los electrones como sobre los

huecos, generando la velocidad de arrastre, que en el caso de los semiconductores, al existir dos

tipos de portadores, tendremos dos velocidades de arrastre diferentes para huecos y para

electrones, y por tanto movilidades distintas para electrones y para huecos. De este

modo, al aplicar un campo eléctrico E, las velocidades de electrones y huecos serán:

Cuando este material se encuentra en equilibrio térmico, la concentración de portadores

mayoritarios permanece prácticamente constante, mientras que la concentración de

portadores minoritarios depende de la temperatura, de forma tal que:

De este modo, las densidades de corriente de desplazamiento producidas por ambos

portadores serán:

A pesar de moverse electrones y huecos en sentido contrario, sin embargo, tanto

tienen el mismo sentido. La densidad de corriente de desplazamiento total

será la suma de ambas:





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Si admitimos un comportamiento óhmico del semiconductor, podemos aplicar la ley de

Ohm microscópica, y así obtener la conductividad del semiconductor en función de las

concentraciones de portadores:

Si se trata de un semiconductor intrínseco:

En el caso de semiconductores extrínsecos, dado que la concentración de portadores

mayoritarios es mucho mayor que la de portadores minoritarios, se podrá despreciar la

participación de los

portadores minoritarios en la

conductividad, por lo tanto la

conductividad en cada tipo de

semiconductor se señala en la

figura:

El otro mecanismo ocurre cuando la

concentración de portadores de carga en el

semiconductor no es uniforme; en este caso se produce

un desplazamiento de portadores de carga desde las

zonas de mayor concentración hacia las zonas de menor

concentración, con la aparición de unas corrientes

denominadas corrientes de difusión tal como se observa

en la figura.

Para expresar las diferentes concentraciones de portadores, tanto de electrones como de

huecos, utilizaremos el gradiente de concentración, que viene dado tanto para las

concentraciones de electrones y huecos viene dado por:

Para el caso de una única dimensión, por ejemplo la x, estas expresiones se reducen a:





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Suponiendo un gradiente de concentraciones a lo largo

del eje x expresan la mayor o menor diferencia de

concentraciones y el sentido del vector gradiente está dirigido

hacia valores crecientes de la concentración.

La dependencia entre este gradiente de concentraciones y la corriente de difusión que se

produce, viene dada por la ley de Fick, que para la corriente de electrones es:

Donde Dn es el coeficiente de difusión de los electrones y es un parámetro característico

del material y de la temperatura.

De forma análoga, se puede escribir la ley de Fick para la corriente de difusión de huecos:

Donde Dp es el coeficiente de difusión de los huecos.

Puede observarse que la corriente de difusión de los electrones tiene el mismo sentido que

el gradiente de electrones, esto es, hacia valores de concentración mayores, debido a que los

electrones por difusión tienden a moverse de la región de mayor concentración a la de menor

concentración, es decir, en dirección

contraria al gradiente y puesto que los

electrones tienen carga negativa, esto

implica una corriente eléctrica en

sentido contrario a su movimiento, es

decir, en sentido del gradiente de

concentración de electrones, la figura

nos representa esta situación.

En la misma figura se aprecia que la corriente de difusión de los huecos tiene sentido

contrario al del gradiente, debido a que los huecos tienden a moverse de la zona de mayor

concentración a la de menor concentración, es decir en sentido contrario al gradiente, y como se





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trata de cargas positivas, la densidad de corriente tendrá la dirección de movimiento de los

huecos, es decir, sentido contrario al gradiente

Veamos la analogía existente entre la ley de Ohm y la ley de Fick. En el primer caso, la

corriente de desplazamiento es directamente proporcional al gradiente del potencial eléctrico,

con la conductividad como constante de proporcionalidad. En el segundo caso, la corriente de

difusión es directamente proporcional al gradiente de concentración, con la constante de

difusión multiplicada por la carga del portador como constante de proporcionalidad:

La densidad de corriente total es:

Al incluir todas las corrientes que tienen lugar en el semiconductor obtenemos:

y

Y la densidad de corriente total:

EFECTO HALL

El efecto Hall es el resultado de un fenómeno que se aprecia cuando por una lámina

conductora o semiconductora se hace circular una corriente y se coloca en presencia de un

campo magnético. Las cargas que están circulando experimentan una fuerza magnética

y son desplazadas hacia uno de los bordes de la lámina. Esto hace que aparezca

un exceso de carga negativa en uno de los bordes en tanto que en el otro aparece un exceso de

carga positiva, lo que provoca que aparezca un campo eléctrico E, que a su vez ejerce una

fuerza de carácter eléctrico sobre las cargas .





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Esta fuerza eléctrica, actúa en

la misma dirección pero en sentido

contrario a la magnética, tal como

se observa en la figura. La

acumulación de cargas continua

hasta que el campo eléctrico se hace

suficientemente grande como para

que la fuerza eléctrica compense a

la magnética.

Esta situación se caracteriza por la diferencia de potencial que aparece entre los bordes

denominada voltaje Hall, si I es la Intensidad de corriente, B el campo magnético, n la densidad

de portadores, q su carga y del ancho de la lámina, el potencial se puede escribir como:

DENSIDAD DE CARGA Y GRADIENTE DE DIFUSIÓN DENTRO DE UN

SEMICONDUCTOR

Densidad de carga

Como ya se ha señalado es la concentración de átomos donadores, suponiendo todos

ionizados tendríamos una densidad de cargas positivas total de . Del mismo modo, como

es la densidad de átomos aceptadores, la densidad de cargas negativas total, es .

Dado que el semiconductor es neutro, entonces:

Si suponemos un material tipo n con , como .

Esto significa que en un semiconductor extrínseco la concentración de electrones libres es

aproximadamente igual a la de impurezas donadoras. Entonces:

En un material de tipo p con , de donde:





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Gradiente de difusión

Como se explicó, la difusión es un proceso por el cual las partículas tienden a dispersarse

o redistribuirse como resultado de su movimiento térmico, emigrando de forma visible desde

regiones de alta concentración de partículas a regiones de baja concentración de las mismas.

Piénsese en un frasco de perfume abierto y colocado en un rincón del aula. Incluso sin

corrientes de aire, el movimiento errático térmico desparramará las moléculas de perfume por

todo el aula en un tiempo relativamente corto.

En estos procesos de difusión las partículas, cargadas eléctricamente o no, tienden a

dispersarse. La causa de la dispersión es el

movimiento errático térmico y no la repulsión

eléctrica, por eso no necesitan estar cargadas, como se

puede ver en la figura, para los electrones el sentido de

la velocidad de movimiento por difusión y el sentido

de la corriente de difusión es opuesto.

El movimiento del electrón es opuesto al del gradiente que si se considera

monodimensional, OX, la componente del gradiente es . La corriente generada

verifica la ley de Fick, que es proporcional a su gradiente con signo cambiado:

Para electrones , resulta:





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POTENCIAL DE UNA UNIÓN ABRUPTA EN CIRCUITO ABIERTO.

Se dice que en un monocristal semiconductor existe

una unión pn, cuando la concentración neta de impurezas,

, es variable en dicho material de manera

que existe una región tipo n, con , y otra tipo p con

. Evidentemente, existirá una región en la que

y que denominaremos “Unión Metalúrgica”, tal como se observa en la figura. En otras

palabras, en un semiconductor existe una unión pn, cuando hay una región llamada Unión

Metalúrgica que separa una zona tipo n de una zona tipo p”.

Las uniones se clasifican atendiendo a la forma de

la función al pasar de la región p a la región n. Así,

cuando la transición es extremadamente angosta, se dice

que la unión es abrupta. En cambio, la unión gradual es

aquella en que la transición se extiende a una distancia

mayor, en la figura se muestra la representación gráfica de

la unión abrupta, cuya anchura, en la dirección del

gradiente de concentración de impurezas, es muy pequeña

con relación a la anchura de la región de carga de espacio.

Consideremos ahora el caso de una unión abrupta para determinar la diferencia de

potencial que se genera, como la densidad de carga cambia bruscamente en la unión, debido a

que el dopado se representa como un escalón, que genera un potencial de contacto , dada por

la siguiente ecuación:

Como a la concentración de huecos en el equilibrio en el lado p y a la

concentración de huecos en el lado n, con , lo que genera que el valor del potencial de

contacto está determinado por la siguiente ecuación:

0

0

0 lnn

p

Tp

pVV





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Inicialmente sólo hay portadores tipo p en la parte positiva de la unión y portadores tipo n

en la negativa. Debido al gradiente de concentración en la unión, los huecos se difunden hacia la

parte negativa y viceversa. Generando que las ecuaciones que las describen sean:

Para la densidad de carga:

Para el Campo Eléctrico:

Para el Potencial Eléctrico:





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PROPIEDADES ELÉCTRICAS DEL GERMANIO Y DEL SILICIO.

En la tabla siguiente, podemos observar las propiedades más importantes de los

semiconductores intrínsecos más característicos, los átomos donadores y aceptores y su energía

de ionización.

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