Froehlich Reinsurance-Pricing

8/10/2019 Froehlich Reinsurance-Pricing

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Reinsurance-Pricing

Prof.Dr. Michael Frhlich

Hochschule RegensburgFakultt fr Informatik und Mathematik

Risk Management and Reinsurance, VGH Versicherungen

17.01.2013

Prof.Dr. Michael Frhlich (HS Regensburg) Reinsurance-Pricing 17.01.2013 1 / 23
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1 Introduction

2 Experience Pricing - BC methods and examples

3 Exposure Pricing (Casualty and Property)

4 Probabilistic Methods (Frequency / Severity models)

5 Conclusion

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1. Introduction

http://goforward/http://find/http://goback/


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1. IntroductionIn the following we exclusively considerper risk Excess of Losstreaties (per risk XLs). This is a specialnon-proportional

reinsurance contract: The distribution of each loss betweencedant (insurer)andreinsurerisnt proportional but depends onthe respective loss size.

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Priority (Deductible) = Retention of the cedantandLimit

(Coverage) = maximum excess-loss for the reinsurerare themost important characterizing parameters of an XL.

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Common description of an (per risk) XL:

Limit after / in excess of / xs Priority,

e.g. 3.000.000 EUR xs 1.000.000 EUR.

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Common description of an (per risk) XL:

Limit after / in excess of / xs Priority,

e.g. 3.000.000 EUR xs 1.000.000 EUR.XL Pricing= XL Quotation = Calculation of XL Net Premium =Calculation ofXL Risk Premium=Expected XL-loss amountfor the forthcoming year =(Expected XL severity) * (Expected XL frequency).

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1. Introduction

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1. Introduction

Reinsurance is all about peak risks or risk volatility on:

Severity, Claims frequency or both (Aggregate loss amount)

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1. Introduction



Mathematics and Statistics help:

To decompose information available and to analyze eachcomponent.

To recompose results into a synthesis.

Translate results into economic and business interpretations.

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1. Introduction






Translate results into economic and business interpretations.Pricing Approach needs to be:

Accurate and reproducible (even if little information). Flexible (quantitative and qualitative information) Easy to communicate and to disclose.

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1. Introduction






Translate results into economic and business interpretations.Pricing Approach needs to be:

Accurate and reproducible (even if little information). Flexible (quantitative and qualitative information) Easy to communicate and to disclose.

Ideal World:

Stable portfolio, claims frequency, average loss amount. Stable underwriter / actuary judgement.

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2. One year Burning Cost of accident year i

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LetNibe the number of losses to the treaty per accident yeari.

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LetLi,kbe thekth loss to the treaty in accident yeari.


O B i C f id i
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LetPibe the Volume (e.g. premium, number of policies,

aggregate sum insureds, exposed premium) of accident yeari.


2 O B i C f id i
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LetPibe the Volume (e.g. premium, number of policies,

aggregate sum insureds, exposed premium) of accident yeari.

The Burning Cost BCiof accident yeariis defined as

BCi :=

Nik=1

Li,k

Pi .


2 BC lti l l ti S l d fi iti
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2. BC multi-year calculation: Several definitionsSame estimator over a longer period = weighted average


2 BC lti l l ti S l d fi iti
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Givennaccident years. LetNibe the number of losses to the

treaty per accident yeari.


2 BC m lti ear calc lation Se eral definitions
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treaty per accident yeari.LetLi,kbe thekth loss to the treaty in accident yeari.


2 BC multi year calculation: Several definitions
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LetPibe the Volume (e.g. premium, number of policies,aggregate sum insureds, exposed premium) of accident yeari.


2 BC multi year calculation: Several definitions
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LetPibe the Volume (e.g. premium, number of policies,aggregate sum insureds, exposed premium) of accident yeari.

The Burning Cost BC of the accident years 1 tonis defined as

BC:=n

i=1

Nik=1

Li,k

Pi=

ni=1

Pin

i=1Pi

BCi

.


2 BC: Split between frequency and average cost:
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2. BC: Split between frequency and average cost:

BC=n

i=1

Pin

i=1Pi

NiPi

Ni

k=1Li,k

Ni

.


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BC=n

i=1

Pin

i=1Pi

NiPi

Ni

k=1Li,k

Ni

.

Pin

i=1Pi

are weights to consider portfolio growth development.


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BC=n

i=1

Pin

i=1Pi

NiPi

Ni

k=1Li,k

Ni

.

Pin

i=1Pi


NiPi

represents the claims frequency in the accident yeari.


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BC=n

i=1

Pin

i=1Pi

NiPi

Ni

k=1Li,k

Ni

.

Pin

i=1Pi


NiPi

represents the claims frequency in the accident yeari.N

i

k=1Li,k

Nirepresents the average loss to the treaty in the ayi.


2 Burning Cost improving evaluation


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2. Burning Cost improving evaluation


2 Burning Cost improving evaluation


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2. Burning Cost improving evaluationAccuracy: Portfolio risk volume could be modeled by informationother than premium:

Exposed Premium (i.e.=ratable premium) Number of risks


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Exposed Premium (i.e.=ratable premium) Number of risks Total sum insureds

Weights can be allocated to each accident year to reflect datareliability, portfolio changes etc.


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Trends adjustments on:

Claims Frequency Average Claim Amounts ...and to reflect portfolio specificities.


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Trends adjustments on:

Claims Frequency Average Claim Amounts ...and to reflect portfolio specificities.

As with all BC analysis, prior to applying historic losses to the XL,these must be trended for claims inflation, developed forIBNR/IBNER and adjusted on-level for changes in exposurebetween the loss years.


3. Exposurequotierung in der Sachversicherung
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p q g g


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p q g g

In der Sachversicherung sind Versicherungsvertrge in der Regel

auf PML-Basis gegeben. Ein PML kann als Mass fr die Hheeines Risikos angesehen werden. Die Aufteilung derOriginalprmie erfolgt in diesem Fall anhand sogenannterExposurekurven.




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p q g g



Fr die verschiedenen Geschftssegmente bzw. Risikoartenstehen diverse Exposurekurven zur Verfgung. Die richtigeAuswahl der zu dem Portefeuille passenden Kurven hatwesentlichen Einfluss auf die korrekte Kalkulation der Prmie.




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p q g g



Fr die verschiedenen Geschftssegmente bzw. Risikoartenstehen diverse Exposurekurven zur Verfgung. Die richtigeAuswahl der zu dem Portefeuille passenden Kurven hatwesentlichen Einfluss auf die korrekte Kalkulation der Prmie.

Die in der Praxis am hufigsten verwendeten Exposurekurvenentstehen durch die Auswertung der Schadenhistorie grosserPortefeuilles.


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In der Sachversicherung wird davon ausgegangen, dass Risiken

der gleichen Risikogruppe dieselbe Verteilung

G(w) =P(Yiw) =P( XiPMLi

w)

der SchadengradeYi := XiPMLi besitzen.


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In der Sachversicherung wird davon ausgegangen, dass Risiken

der gleichen Risikogruppe dieselbe Verteilung

G(w) =P(Yiw) =P( XiPMLi

w)

der SchadengradeYi := XiPMLi besitzen.

Es werden oft seit Jahrzehnten die gleichen Exposurekurvenverwendet. So entstanden zum Beispiel die von Peter Gasserentwickelten Swiss Re Kurven aus Schadenstatistiken der Jahre

1959-1967. Das beste Argument fr die fortdauernde Anwendungdieser Kurven ist die Tatsache, dass sie sich in der Praxis seitjeher bewhrt haben - und das sogar weltweit.


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Der RV ermittelt also lediglich einen Anteil an der vom EVkalkulierten Originalprmie. Dies birgt die Gefahr, dass beiunzureichender Originalprmie auch eine nicht ausreichendeRckversicherungsprmie verlangt wird. Um dies zu vermeiden,kann der RV die berechnende Prmie mit dem Faktor SQ

(erwarteteSchadenquote) korrigieren.


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Der RV ermittelt also lediglich einen Anteil an der vom EVkalkulierten Originalprmie. Dies birgt die Gefahr, dass beiunzureichender Originalprmie auch eine nicht ausreichendeRckversicherungsprmie verlangt wird. Um dies zu vermeiden,kann der RV die berechnende Prmie mit dem Faktor SQ

(erwarteteSchadenquote) korrigieren.In der vorstehenden Formel wird anstelle der PMLs der einzelnenRisiken (sind aufgrund der Klassenbildung nicht bekannt) die

jeweilige PML-Bandmitte gewhlt und somit die Annahme

getroffen, dass die PMLs der einzelnen Risiken innerhalb einesBandes einer Gleichverteilung folgen.


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Stetige Darstellung der Exposurekurven nach Bernegger




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Stetige Darstellung der Exposurekurven nach Bernegger

Ursprnglich sind Exposurekurven als diskrete Kurven gegeben,und die Zwischenwerte werden interpoliert. Stefan Berneggergelang es, eine einparametrische, stetige Funktionenschar zufinden, die sich mit den bekannten Exposurekurven erstaunlichgut deckt. Die Funktion ist definiert durch

Gb,g

(x) =

x, g=1 v b=0ln(1+(g1)x)

ln(g) , b=1 , g>1

1

bx

1b, bg=1 , g>1ln( (g1)b+(1gb)b

x

1b )

ln(gb) , b>0 , b=1 , bg=1 , g>1.


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Die beiden Parameterbundglassen sich durch den Parameterceindeutig beschreiben:

bc=b(c) =e3,10,15(1+c)c gc=g(c) =e

(0,78+0,12c)c.


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bc=b(c) =e3,10,15(1+c)c gc=g(c) =e

(0,78+0,12c)c.

Bei der Implementierung kann man sich auf den letzten Ast derFunktion beschrnken, da alle plausiblen Eingabewerte des

Parameterscfr Exposurekurven in diesem Fall abgedecktwerden.


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bc=b(c) =e3,10,15(1+c)c gc=g(c) =e

(0,78+0,12c)c.

Bei der Implementierung kann man sich auf den letzten Ast derFunktion beschrnken, da alle plausiblen Eingabewerte des

Parameterscfr Exposurekurven in diesem Fall abgedecktwerden.

Die vier Kurven, die durch die Parameterc {1.5, 2,3,4}definiertsind, entsprechen nach Bernegger nherungsweise den Swiss Re

Kurven 1-4. Diese Werte sind zwar einfach zu merken, nochbesser im Sinne der kleinsten Abweichungsquadrate werden dievier Kurven allerdings durch die Parameterc {1.64,1.94,2.88,3.88}beschrieben.


3. Exposurequotierung in der Haftpflichtversicherung
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Die Haftpflichtversicherung (Liability, Casualty) gehrt im

Gegensatz zur Sachversicherung der Longtail-Branche an. DieSchadenaufwnde werden, anders als in der Shorttail-Branche,nicht direkt nach Eintritt des Schadens bekannt.

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3. Exposurequotierung in der HaftpflichtversicherungAusgehend von einem Basispolicenlimit v zugehriger
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Ausgehend von einem Basispolicenlimitv0, zugehrigerBasisprmieb(v0) =b0und Zuschlagsfaktorzfr eineVerdopplung der Deckungssumme ergibt sich fr alle Policenlimitsv>0 die berhmteFormel von Riebesell:

b(v) =b0(1 +z)log2(

vv0)

=b0(v

v0)log2(1+z).


3. Exposurequotierung in der HaftpflichtversicherungAusgehend von einem Basispolicenlimit v zugehriger
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Ausgehend von einem Basispolicenlimitv0, zugehrigerBasisprmieb(v0) =b0und Zuschlagsfaktorzfr eineVerdopplung der Deckungssumme ergibt sich fr alle Policenlimitsv>0 die berhmteFormel von Riebesell:

b(v) =b0(1 +z)log2(

vv0)

=b0(v

v0)log2(1+z).

Wre Riebesells Prmienfunktionbals Kollektives Modelldarstellbar, msste fr alle Policenlimitsvdie Gleichung

b(v) =E(N) E(min(X, v))

erfllt sein, und fr den Schadenentlastungskoeffizienten desRisikosigelte dann:

ri(p) = E(min(X,p))E(min(X, vi))

= b(p)

b(vi)= (

p

vi)log2(1+z).


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Die Darstellung von Riebesells Prmienfunktion als Kollektives

Model fhrt jedoch zu Widersprchen. Dennoch wurde die Formelaus Mangel an Alternativen ber Jahrzehnte angewendet.

Die Schadenentlastungskurven, die sich durch RiebesellsPrmienfunktionbergeben, knnen wie die im vorherigen Kapitelvorgestellten Exposurekurven interpretiert werden. Sie besitzendie gleichen Eigenschaften, und die Prmienberechnung erfolgtanschliessend analog.

Mack und Fackler fanden 2003 einen Weg, die Prmienfunktionbim Kollektiven Modell darzustellen, so dass Riebesells Sytem

daher als einfache theoretische fundierte Mglichkeit derHaftpflicht-Exposurequotierung angesehen werden kann.


4. XL-Frequency / XL-Severity - Collective Model
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Definition of theCollective Modelin respect of an XL:


4. XL-Frequency / XL-Severity - Collective Model
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Definition of theCollective Modelin respect of an XL:

LetNbe a discrete random variable modelling the XL-lossfrequency of given XL in a one-year period andX1,X2, ...,Xncontinuous random variables modelling the single XL-lossseverities of given XL in an one-year period, i.i.d and independent

fromN.Then we get for the random variableS:=

Ni=1

Xi

E(S) =E(N) E(Xi).

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4. Severity Modeling, Pareto distribution


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Useful Properties:


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Useful Properties:

Fat tail distribution properties (mean-excess functionf(P) =E(X P |X>P)is linear and increases strictly).


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Useful Properties:


Risk characteristics defined by one real parameter. MaximumLikelihood estimation for the parameteralways possible in caseof given loss history.



U f l P i
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Useful Properties:



Easy to interpret and communicate.



U f l P ti
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Useful Properties:




Graphical assessment:P(X>x) = (x0/x).



U f l P ti
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Useful Properties:




Graphical assessment:P(X>x) = (x0/x).

Benchmark exists per LoB and / or markets (experienced valuesfor), e.g.

Property personal lines: =1.5 1.9 (depending on sum insured). MTPL line of business: = 2.0 2.5 (depending on markets).


4. Severity Modeling, more sophisticated distributions
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Generalized Beta distribution, e.g. applied in the RMS-Model


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Many distributions are special cases of the GB distribution.


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Many distributions are special cases of the GB distribution.Generic: Covers a large family of distribution functions.


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Many distributions are special cases of the GB distribution.Generic: Covers a large family of distribution functions.

Complex: 1+4 parameters, which are not easy to interpret.

P(X x) =B(,, (x x0)

(x x0) + ).

B(,,) = (+ )

()()

0

u1(1 u)1du.


4. Frequency Modeling, Poisson or Negative Binomial?How volatile is the claims frequency?
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Poisson:Easy to parameterise and addtive iro convolution

P(a) +P(b) =P(a+b). But variance equal to the mean - holdonly in fire insurance on a property book (maybe...).

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Neg. Binomial:Generalisation of Poisson, longer tail and greatervariance. When modelling working-XL mono-line liability using NBwith variance of around three times the mean wouldnt be unusual.

If Var(X)E(X) 1: Poisson distribution P().


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If Var(X)E(X) >1: Neg. Binomial = Poisson distribution P() with

(=

E(X)

;=

Var(X)

E(X) 1).



P i E i d dd i i l i
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If Var(X)E(X) >1: Neg. Binomial = Poisson distribution P() with

(=

E(X)

;=

Var(X)

E(X) 1).

Variance and Expected Loss frequency need to be avolume-weighted estimation.


4. Monte Carlo Simulation
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Generalized Quantil-function:
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Generalized Quantil function:

F

1(u) :=inf{xR|F(x)u}, u[0,1].



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F

1(u) :=inf{xR|F(x)u}, u[0,1].

Simulation-Theorem:Let Ube anU(0, 1)-distributed randomvariable andF :RRa distribution function of a randomvariableX. ThenY :=F1(U)is a real random variable with

distribution functionF.





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F

1(u) :=inf{xR|F(x)u}, u[0,1].

Simulation-Theorem:Let Ube anU(0, 1)-distributed randomvariable andF :RRa distribution function of a randomvariableX. ThenY :=F1(U)is a real random variable with

distribution functionF.

Pareto example:

F(x) =u=1 (xmin

x )

x=F1(u) = xmin

(1 u)1


5. ConclusionFind the balance between model complexity and realism
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Long tail business would need

Actuarial and underwriting judgements are complementary to

mathematical approaches.



Main advantages of simple mathematical models: Focus on trends
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a a a ag s s p a a a s s sdetection and calibration; economic interpretation (and control of

assumptions); communication.


Sophisticated mathematical approach for individual IBNR andIBNER.







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g pdetection and calibration; economic interpretation (and control of

assumptions); communication.Mixing simple models ensures accuracy and ease ofinterpretation.



Taking into account superimposed inflation for personal injury.





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g pdetection and calibration; economic interpretation (and control of

assumptions); communication.Mixing simple models ensures accuracy and ease ofinterpretation.



Taking into account superimposed inflation for personal injury.

Risk premium calculation on present value basis (investmentgains).




Insofern sich die Stze der
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Insofern sich die Stze der

Mathematik auf die Wirklichkeitbeziehen, sind sie nicht sicher, undinsofern sie sicher sind, beziehen siesich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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