8/8/2019 Fractal Geometry of Music

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P r o c . N a t i . A c a d . S c i . USAV o l . 8 7 , p p . 9 3 8 - 9 4 1 , F e b r u a r y 1 9 9 0P h y s i c s

F r a c t a l g e o m e t r y o f m u s i c( p h y s i c s o f m e l o d y )

KENNETH J . Hsu* AND ANDREAS J . H s u t* E i d g e n o s s i s c h e T e c h n i s c h e H o ch s c h ul e , Z u r i c h , S w i t z e r l a n d ; a n d t K o n s e r v a t o r i u m u n d M u s i k h o c h s c h u l e , Z u r i c h , S w i t z e r l a n dC o n t r i b u t e d b y K e n n e t h J . H s u , O c t o b e r 3 1 , 1 9 8 9ABSTRACT M u s i c c r i t i c s h a v e c o m p a r e d B a c h ' s m u s i c t ot h e p r e c i s i o n o f m a t h e m a t i c s . W h a t " m a t h e m a t i c s " a n d w h a t" p r e c i s i o n " a r e t h e q u e s t i o n s f o r a c u r i o u s s c i e n t i s t . T h ep u r p o s e o f t h i s s h o r t n o t e i s t o s u g g e s t t h a t t h e m a t h e m a t i c s i s ,a t l e a s t i n p a r t , M a n d e l b r o t ' s f r a c t a l g e o m e t r y a n d t h e p r e c i -s i o n i s t h e d e v i a t i o n f r o m a l o g - o g l i n e a r p l o t .M u s i c u n t i l t h e 1 7 t h c e n t u r y w a s o n e o f t h e f o u r m a t h e m a t i c a ld i s c i p l i n e s o f t h e q u a d r i v i u m b e s i d e a r i t h m e t i c , g e o m e t r y ,a n d a s t r o n o m y . T h e c a u s e o f c o n s o n a n c e , i n t e r m s o f A r i s -t o t e l i a n a n a l y s i s , w a s s t a t e d t o b e n u m e r o u s s o n o r u s , o rh a r m o n i c n u m b e r . T h a t t h e r a t i o 2 : 1 p r o d u c e s t h e o c t a v e ,a n d 3 : 2 p r o d u c e s t h e f i f t h , w a s k n o w n s i n c e t h e t i m e o fP y t h a g o r a s . N u m e r o l o g i s t s o f t h e M i d d l e A g e s s p e c u l a t e d o nt h e m y t h i c a l s i g n i f i c a n c e o f n u m b e r s i n m u s i c . V i n c e n z oG a l i l e i , f a t h e r o f G a l i l e o , w a s t h e f i r s t t o m a k e a n a t t e m p t t od e m y t h i f y t h e n u m e r o l o g y o f m u s i c ( 1 ) . He p o i n t e d o u t t h a tt h e o c t a v e c a n b e o b t a i n e d t h r o u g h d i f f e r e n t r a t i o s o f 2 " : 1 . I ti s 2 : 1 i n t e r m s o f s t r i n g l e n g t h , 4 : 1 i n t e r m s o f w e i g h t sa t t a c h e d t o t h e s t r i n g s , w h i c h i s i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h ec r o s s - s e c t i o n o f t h e s t r i n g , a n d 8 : 1 i n t e r m s o f v o l u m e o fs o u n d - p r o d u c i n g b o d i e s , s u c h a s o r g a n p i p e s .S c i e n t i f i c e x p e r i m e n t s h a v e r e v e a l e d t h e r e l a t i o n b e t w e e nn o t e - i n t e r v a l a n d v i b r a t i o n a l f r e q u e n c y p r o d u c e d b y a n i n -s t r u m e n t . We o b t a i n a n o c t a v e - h i g h e r n o t e b y d o u b l i n g t h es o u n d f r e q u e n c y , w h i c h c a n b e a c h i e v e d b y h a l v i n g t h el e n g t h o f a s t r i n g . T h e r e a r e 1 2 n o t e s i n a n o c t a v e i n o u rd i a t o n i c m u s i c ; i . e . , t h e f r e q u e n c y d i f f e r e n c e i s d i v i d e d b y 1 2e q u a l i n t e r v a l s ( i ) s o t h a t

f / f = ( 2 . 0 ) 1 / 1 2 = 1 . 0 5 9 4 6 = ( 1 5 . 9 / 1 5 ) .T h i s r e l a t i o n i s w e l l k n o w n a m o n g m u s i c i a n s , t h a t t h e r a t i oo f a c o u s t i c f r e q u e n c i e s b e t w e e n s u c c e s s i v e n o t e s , f ' a n d f f ,i s a p p r o x i m a t e l y 1 6 / 1 5 . T h e r a t i o o f a c o u s t i c f r e q u e n c i e sI b e t w e e n a n y t w o s u c c e s s i v e m u s i c n o t e s o f a n i n t e r v a l ii s

I i = 2 ' / 1 2 = ( 1 5 9 / 1 5 ) i , [ 1 ]w h e r e i i n a n i n t e g e r , - r a n g i n g f r o m 1 t o 1 2 , i n t h e d i a t o n i cm u s i c . A s e m i t o n e i s r e p r e s e n t e d b y i = 1 , a t o n e b y i = 2 ,a s m a l l t h i r d b y i = 3 , e t c . T h e n u m e r i c a l v a l u e o f I i i sa p p r o x i m a t e l y a r a t i o o f i n t e g e r s . S o m e n o t e s h a v e a r a t i o o fs m a l l i n t e g e r s . A f o u r t h ( i = 5 ) , f o r e x a m p l e , h a s a n I 5 v a l u eo f 1 . 3 3 8 2 , o r a r a t i o o f a b o u t 4 / 3 ; a f i f t h ( i = 7 ) h a s a v a l u eo f 1 . 5 0 3 6 , o r a r a t i o o f a b o u t 3 / 2 . T h o s e u s e d t o b e c o n s i d e r e dc o n s o n a n t t o n e s ( 1 ) . O t h e r s a r e r e p r e s e n t e d b y a r a t i o o fl a r g e r i n t e g e r s . A d i m i n i s h e d f i f t h ( i = 6 ) , f o r e x a m p l e , h a s ar a t i o o f 1 . 4 1 8 5 ( = 1 0 / 7 . 0 5 ) . T h i s i s n o t a r a t i o o f s m a l li n t e g e r s ; i t i s n o t e v e n a n a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n o f 1 0 / 7 , a n dt h i s n o t e h a s b e e n t r a d i t i o n a l l y c o n s i d e r e d d i s s o n a n t ( 1 ) .M u s i c c a n b e d e f i n e d a s a n o r d e r e d a r r a n g e m e n t o f s i n g l es o u n d s o f d i f f e r e n t f r e q u e n c y i n s u c c e s s i o n ( m e l o d y ) , o f

s o u n d s i n c o m b i n a t i o n ( h a r m o n y ) , a n d o f s o u n d s s p a c e d i n at e m p o r a l s u c c e s s i o n ( r h y t h m ) . M e l o d y i s s u p p o s e d l y " as e r i e s o f s i n g l e n o t e s d e l i b e r a t e l y a r r a n g e d i n a p a t t e r n a n dc h o s e n f r o m a p r e e x i s t i n g s e r i e s t h a t h a s b e e n h a n d e d d o w nb y t r a d i t i o n o r i s a c c e p t e d a s a c o n v e n t i o n . " T h e o r y o fh a r m o n y h a s t a u g h t u s t h a t t h e s u c c e s s i o n s o f s o u n d s a r e n o tr a n d o m , o r t h a t t h e f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f i i s n o t c h a o t i c .W h a t i s t h e m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n o f t h i s o r d e r ?F r a c t a l G e o m e t r yS t u d y i n g t h e f r e q u e n c y o f n a t u r a l c a t a s t r o p h e s , o n e o f u s( K . J . H . ) c a m e t o r e a l i z e a n i n v e r s e l o g - l o g l i n e a r r e l a t i o nb e t w e e n t h e f r e q u e n c y ( F ) a n d a p a r a m e t e r e x p r e s s i n g t h ei n t e n s i t y o f t h e e v e n t s ( M ) , b e t h e y e a r t h q u a k e s , l a n d s l i d e s ,f l o o d s , o r m e t e o r i t e i m p a c t s ( 2 ) , a n d t h e r e l a t i o n c a n b e s t a t e db y t h e s i m p l e e q u a t i o n

F= c / M D . [ 2 ]O n l y l a t e r d i d we r e a l i z e t h a t t h i s r e l a t i o n h a s b e e n c a l l e df r a c t a l b y M a n d e l b r o t ( 3 ) , w h e r e c i s a c o n s t a n t o f p r o p o r -t i o n a l i t y a n d D i s t h e f r a c t a l d i m e n s i o n . F r a c t a l r e l a t i o n s h a v ec o m m o n l y a l o w e r a n d a n u p p e r l i m i t . I n t h e c a s e o f e a r t h -q u a k e s , f o r e x a m p l e , E q . 2 h o l d s o n l y f o r t h e i n t e r v a l 3 - AMc 9 , b e c a u s e t h e s m a l l e s t e a r t h q u a k e s a r e n o t r e p r e s e n t e d b ys i g n i f i c a n t s t a t i s t i c s , n o r i s t h e e n e r g y r e l e a s e o f l a r g e e a r t h -q u a k e s i n f i n i t e .M a n d e l b r o t ( 3 ) p u t t o g e t h e r c e r t a i n g e o me t r i c s h a p e sw h o s e " m o n s t r o u s " f o r m s w e r e v e r y i r r e g u l a r a n d f r a g -m e n t e d ; h e c o i n e d t h e t e r m f r a c t a l t o d e n o t e t h e m . T h o s e" m o n s t e r s " w e r e c o n s i d e r e d i r r e l e v a n t t o n a t u r e , a k i n t om o d e r n a t o n a l m u s i c ( 4 ) , u n t i l M a n d e l b r o t s u g g e s t e d t h a t t h ef r a c t a l r e l a t i o n c o u l d b e t h e c e n t r a l c o n c e p t u a l t o o l t o u n -d e r s t a n d t h e h a r m o n y o f n a t u r e .We h a v e b e e n s e a r c h i n g f o r a m e a n i n g o f m e l o d y . I s i tt r a d i t i o n o r c o n v e n t i o n , o r i s i t a n i n s t i n c t i v e e x p r e s s i o n o f an a t u r a l l a w ? C o u l d we f i n d a m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n t o d e -s c r i b e a m e l o d y ? C o u l d t h e m u s i c o f B a c h b e m a t h e m a t i c a l l yd i s t i n g u i s h e d f r o m t h a t o f S t o c k h a u s e n ? C o u l d we u s e m a t h -e m a t i c s t o d e s c r i b e t h e e v o l u t i o n o f m u s i c f r o m t h e p r i m i t i v ef o l k ' s m u s i c t o t h e a t o n a l m u s i c o f t o d a y ? I f m u s i c i s a ne x p r e s s i o n o f n a t u r e ' s h a r m o n y , c o u l d m u s i c h a v e a f r a c t a lg e o m e t r y ? W h i c h , t h e a t o n a l o r t h e c l a s s i c a l ?F r a c t a l G e o m e t r y o f F r e q u e n c y ( M e l o d y ) i n C l a s s i c a l M u s i cT h e r e l a t i v e a b u n d a n c e , o r t h e i n c i d e n c e f r e q u e n c y F , o fn o t e s o f d i f f e r e n t a c o u s t i c f r e q u e n c y f i n a m u s i c a l c o m p o -s i t i o n i s n o t f r a c t a l ( 5 ) . S t r i k i n g k e y s o n a p i a n o d o e s n o tp r o d u c e m u s i c ; m e l o d y c o n s i s t s o f o r d e r e d s u c c e s s i o n s o fn o t e s . A r e t h e s u c c e s s i o n s f r a c t a l ? T h e r e l a t i o n i s f r a c t a l i ft h e i n c i d e n c e f r e q u e n c y ( F ) o f t h e i n t e r v a l ( i ) b e t w e e ns u c c e s s i v e n o t e s i n a m u s i c a l c o m p o s i t i o n c a n b e d e f i n e d b yt h e r e l a t i o n

F= c / i D , [ 3 a ]9 3 8

T h e p u b l i c a t i o n c o s t s o f t h i s a r t i c l e w e r e d e f r a y e d i n p a r t b y p a g e c h a r g ep a y m e n t . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r e b e h e r e b y m a r k e d " a d v e r t i s e m e n t "i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t e t h i s f a c t .

8/8/2019 Fractal Geometry of Music

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 8 7 ( 1 9 9 0 ) 9 3 9w h e r e D i s t h e f r a c t a l d i m e n s i o n o f t h i s r e l a t i o n , or

l o g F = c -D l o g i . [ 3 b ]We c h o s e f o r ou r f i r s t s t u d y a c o m p o s i t i o n b y J . S . B a c h , t h ef i r s t movement o f I n v e n t i o n n o . 1 i n C M a j o r , BWV 7 7 2 . T h e

p e r c e n t a g e i n c i d e n c e f r e q u e n c y F o f t h e i n t e r v a l i b e t w e e ns u c c e s s i v e n o t e s , w h e t h e r i t b e a s e m i t o n e ( i = 1 ) , a t o n e ( i =2 ) , a s m a l l t h i r d , . .., or an o c t a v e , h a s b e e n c o u n t e d . Toa n a l y z e t h e p o s s i b l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e score f o r t h e r i g h th a n d , a n d t h e score f o r t h e l e f t h a n d , b o t h h a v e b e e n a n a l y z e da n d t h e r e s u l t s ar e s h o w n b y T a b l e 1 . T h e r e i s no s i g n i f i c a n td i f f e r e n c e i n t h e d i s t r i b u t i o n p a t t e r n i n t h e r e l a t i o n b e t w e e n Fa n d i i n t h e two p a r t s c o r e s . We h a v e , t h e r e f o r e , c o m b i n e db o t h s e t s o f d a t a t o e v a l u a t e t h e i n c i d e n c e f r e q u e n c y o f t h ev a r i o u s i i n t h i s c o m p o s i t i o n . T h e r e s u l t , as s h o w n b y F i g . 1 A ,i n d i c a t e s t h a t a f r a c t a l r e l a t i o n i s e s t a b l i s h e d f o r 2 c i c 1 0 ,w i t h a f r a c t a l d i m e n s i o n D = 2 . 4 1 8 4 :

F=2 . 1 5 / i 2 . 4 1 8 4 .T h e n o t a b l e d e v i a t i o n s f r o m t h e p l o t ar e t h e d e f i c i e n c y o fi = 6 a n d t h e excess o f i = 7 . A l t h o u g h t h e d e v i a t i o n s ar es m a l l , t h e y ar e s i g n i f i c a n t t o a m u s i c i a n . T h e d i m i n i s h e d f i f t h ,

as i n d i c a t e d p r e v i o u s l y , i s an i n t e r v a l n o t r e p r e s e n t e d b y ar a t i o o f s m a l l i n t e g e r s . T h e n o t e i s t h u s d i f f i c u l t t o b e sung orp l a y e d a c c u r a t e l y o n a s t r i n g i n s t r u m e n t , a n d i t u s e d t o b ec a l l e d a " d e v i l ' s n o t e . " C o m p o s e r s o f c l a s s i c a l m u s i c h a v et h u s c o n s c i o u s l y a v o i d e d t h i s n o t e . T h e excess o f i = 7 i s a l s on o t s u r p r i s i n g ; t h e f i f t h w i t h i t s 3 / 2 f r e q u e n c y r a t i o i sc o n s i d e r e d s o n o r o u s a n d p l e a s i n g .We a n a l y z e d t h e n t h e f i r s t movement o f B a c h ' s I n v e n t i o nno . 1 3 i n A M i n o r , BWV 7 8 4 . T h i s was c h o s e n b e c a u s e B a c ht r i e d t o i m p a r t t o e a c h o f h i s 1 5 i n v e n t i o n s a d i f f e r e n tc h a r a c t e r , a n d we w a n t e d t o e x p l o r e t h e e x p r e s s i o n o f t h ed i f f e r e n c e . T h e f r a c t a l r e l a t i o n ( F i g . 1 B ) i s

F = 3 . 0 / i l . 8 8 2 .T h i s r e l a t i o n i s v a l i d o n l y f o r t h e range i - 3 a n d i s t h u sd i f f e r e n t f r o m t h e p a t t e r n s o f t h e o t h e r c o m p o s i t i o n s e v a l u -a t e d , w h i c h h a v e f r a c t a l r e l a t i o n s v a l i d f o r i 2 1 or i - 2 . T h eu n u s u a l d e f i c i e n c y o f t h e f u l l - t o n e i n t e r v a l ( i = 2 ) i s n o t ac h a n c e n e g l e c t , b u t a d e l i b e r a t e me as u re b y B a c h t o a c h i e v ea s p e c i a l e f f e c t t h r o u g h t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e s m a l l t h i r das t h e most f r e q u e n t n o t e i n t e r v a l . T h e excess o f t h e sono-rous f i f t h ( i = 7 ) , a n o t h e r s i g n i f i c a n t d e v i a t i o n f r o m t h e f r a c t a lr e l a t i o n , i s a l s o no a c c i d e n t .T h e t h i r d c o m p o s i t i o n c h o s e n was t h e a d a g i o movement

o f B a c h ' s T o c c a t a i n F - s h a r p M i n o r , BWV 9 1 0 . A l o g - l o gl i n e a r p l o t g i v e s t h e r e l a t i o n ( F i g . 1 C )F = 0 . 3 7 6 / i l ' 3 4 0 3

f o r 1 s i c 7 . T h e f r a c t a l r e l a t i o n i s l e s s p e r f e c t , p r o b a b l yb e c a u s e t h i s i s t h e most "modem" o f t h e c o m p o s i t i o n s o fB a c h a n a l y z e d . T h e F / i p l o t h a s a p a t t e r n i n t e r m e d i a t eb e t w e e n c l a s s i c a l m u s i c a n d modem a t o n a l m u s i c . B a c h t r i e dt o s e a r c h f o r s o m e t h i n g new w i t h t h i s c o m p o s i t i o n . T h ea d a g i o movement i s p a r t i c u l a r l y m o d e r n , i n t h e sense t h a t i ts e e m s t o pose t h e q u e s t i o n , t o i n c r e a s e t e n s i o n b e f o r e t h ep r o b l e m i s r e s o l v e d , a n d t h i s i s a p p a r e n t l y a c h i e v e d t h r o u g ht h e n o t a b l e d e v i a t i o n s f r o m t h e f r a c t a l r e l a t i o n . T h e r e i s anu n u s u a l l y l a r g e excess o f i = 0 ( n o t e - r e p e t i t i o n ) , a n d t h ee x c e s s i v e r e p e t i t i o n s r e p r e s e n t a m u s i c t e c h n i q u e t o e x c i t e ,a n d t o p e r s i s t . T h e r e i s a d e f i c i e n c y o f i = 4 , a n d t h ei n t e n t i o n a l o m i s s i o n o f t h e h a r m o n i o u s g r e a t t h i r d m a k e s t h et o c c a t a s o u n d h a r s h a n d d i f f e r e n t .L e a v i n g B a c h , we t u r n e d t o M o z a r t a n d a n a l y z e d t h e f i r s tmovement o f a s o n a t a i n F M a j o r b y W. A . M o z a r t , KV 5 3 3 ,a n d t h e r e s u l t s ar e s h o w n b y F i g . 1 D . A f r a c t a l r e l a t i o n , w e l le s t a b l i s h e d f o r t h e i n t e r v a l 2 c i c 4 , i s

F = 1 / i 1 7 3 2 2 .T h e n o t a b l e d e v i a t i o n i s t h e excess o f t h e n o t e i = 5 , t h esonorous f o u r t h . T h e d e f i c i e n c y o f t h e d i m i n i s h e d f i f t h ( i =6 ) i s common t o a l l t h e c o m p o s i t i o n s a n a l y z e d .T h e c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y i s u n i t y i n t h e f r a c t a lg e o m e t r y o f t h i s c o m p o s i t i o n , s o t h a t

Fi D = 1 . [ 4 ]I n t h i s case, D i s a s i m i l a r i t y d i m e n s i o n ( 4 ) . T h i s d i m e n s i o n ,

logFD= log F= 1 . 7 3 2 2 ,l o g ( 1 / i )i s n o t an i n t e g e r a n d c o r r e s p o n d s t o n o t h i n g i n s t a n d a r dg e o m e t r y . M a n d e l b r o t s u g g e s t e d t h a t a g e o m e t r i c a l f i g u r ec o u l d b e g e n e r a t e d b y t h i s s i m i l a r i t y d i m e n s i o n ( 3 ) . I f s o ,M o z a r t ' s m u s i c c o u l d b e c o n s i d e r e d p i c t o r i a l , w h e r e a sB a c h ' s i s p r e c i s i o n i n m a t h e m a t i c s .To e x p l o r e t h e s t r u c t u r i n g o f s i m p l e m u s i c , we a n a l y z e d s i xS w i s s c h i l d r e n ' s songs a n d g r o u p e d t h e r e s u l t s t o g e t h e r i no r d e r t o o b t a i n s i g n i f i c a n t s t a t i s t i c s . T h e r e s u l t s ar e s h o w n b yT a b l e 2 a n d F i g . 1 E . A most n o t a b l e f e a t u r e i s t h e excess o fn o t e r e p e t i t i o n ( i = 0 ) . I s t h i s a m a n i f e s t a t i o n t h a t c h i l d r e n ' sm u s i c t e n d s t o b e m o n o t o n o u s ?T h e t h e m e o f f o l k songs o f t e n f o r m s t h e b a s i s o f c l a s s i c a l

T a b l e 1 . F r e q u e n c y o f i n c i d e n c e o f n o t e - i n t e r v a l s i n B a c h ' s I n v e n t i o n i n C M a j o rN o t e - R i g h t h a n d L e f t h a n d T o t a l s c o r ei n t e r v a l I n c i d e n c e % i n c i d e n c e I n c i d e n c e % i n c i d e n c e I n c i d e n c e % i n c i d e n c e

0 4 1 . 7 0 0 0 . 0 0 4 0 . 9 01 5 0 2 1 . 2 0 5 1 2 3 . 4 0 1 0 1 2 2 . 2 02 1 0 0 4 2 . 4 0 8 4 3 8 . 5 0 1 8 4 4 0 . 5 03 3 9 1 6 . 5 0 3 5 1 6 . 0 5 7 4 1 6 . 3 04 2 0 8 . 5 0 1 1 5 . 0 5 3 1 6 . 9 05 7 3 . 0 0 1 1 5 . 0 5 1 8 4 . 0 06 2 0 . 8 5 0 0 . 0 0 2 0 . 4 47 5 2 . 1 0 9 4 . 1 0 1 4 3 . 1 08 4 1 . 7 0 3 1 . 4 0 7 1 . 5 49 2 0 . 8 5 2 0 . 9 0 4 0 . 8 81 0 2 0 . 8 5 3 1 . 4 0 5 1 . 1 01 1 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 01 2 1 0 . 4 0 7 3 . 2 0 8 1 . 7 6

1 4 0 0 . 0 0 1 0 . 4 6 1 0 . 2 21 9 0 0 . 0 0 1 0 . 4 6 1 0 . 2 2

T o t a l 2 3 6 1 0 0 . 0 0 2 1 8 1 0 0 . 0 0 4 5 4 1 0 0 . 0 0

P h y s i c s : H s f i a n d H s d

8/8/2019 Fractal Geometry of Music

3/4

9 4 0 P h y s i c s : H s U a n d H s U P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 8 7 ( 1 9 9 0 )22BA ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 1

1 4 L 7 '22~~~~~~~~~~ A~~~~

i i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~G

A~AA~~~~~~~~~~~~~

A A

F I G . 1 . F r a c t a l g e o m e t r y o f s o u n d f r e q u e n c y . F i s t h e p e r c e n t a g ef r e q u e n c y o f i n c i d e n c e o f n o t e i n t e r v a l i . T h e a p p r o x i m a t e l y l i n e a rl o g - l o g p l o t s s u g g e s t a f r a c t a l g e o m e t r y f o r t h e c l a s s i c a l m u s i c . NoA s u c h r e l a t i o n i s a p p a r e n t i n t h e m u s i c b y S t o c k h a u s e n . ( A ) B a c hA. BWV 7 7 2 . ( B ) B a c h BWV 7 8 4 . ( C ) B a c h BWV 9 1 0 . ( D ) M o z a r t KV2 3 4 5 6 789 5 3 3 . ( E ) S i x S w i s s c h i l d r e n ' s s o n g s . ( F ) M o z a r t KV 3 3 1 . ( G )i S t o c k h a u s e n C a p r i c o r n .

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4/4

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 8 7 ( 1 9 9 0 ) 9 4 1T a b l e 2 . F r e q u e n c y o f i n c i d e n c e o f n o t e - i n t e r v a l s o f m u s i cN o t e - B a c h ' s T o c c a t a S w i s s c h i l d r e n ' s s o n g s M o z a r t ' s S o n at ai n t e r v a l I n c i d e n c e % i n c i d e n c e I n c i d e n c e % i n c i d e n c e I n c i d e n c e % i n c i d e n c e

0 1 5 8 . 2 6 3 2 4 . 9 1 1 6 2 7 . 01 6 9 3 7 . 7 2 8 1 1 . 1 7 6 1 7 . 72 5 6 3 0 . 6 8 2 3 2 . 4 1 1 4 2 6 . 63 1 6 8 . 7 3 1 1 2 . 3 3 4 7 . 94 4 2 . 2 2 5 1 0 . 0 2 4 5 . 65 8 4 . 4 8 3 . 1 3 8 8 . 96 4 2 . 2 0 0 0 07 5 2 . 7 4 1 . 6 1 6 3 . 78 1 0 . 5 5 0 0 0 09 0 0 6 2 . 3 4 0 . 91 0 0 0 4 1 . 6 0 01 1 0 0 0 0 0 01 2 5 2 . 7 2 0 . 8 7 1 . 6T o t a l 1 8 3 1 0 0 . 0 2 5 3 1 0 0 . 1 4 2 9 9 9 . 9

T a b l e 3 . F r e q u e n c y o f n o t e s b e i n g p l a y e d o r s t r u c ks i m ul t a n e o us l y ( B a c h ' s T o c c a t a i n F - s h a r p M i n o r )

P l a y e d s i m u l t a n e o u s l y S t r u c k s i m u l t a n e o u s l yn * I n c i d e n c e % i n c i d e n c e I n c i d e n c e % i n c i d e n c e1 1 1 . 1 7 2 4 5 . 92 2 2 . 3 3 8 2 4 . 23 3 6 4 0 . 9 3 1 1 9 . 74 4 7 5 3 . 4 1 6 1 0 . 25 2 2 . 3 0 0

T o t a l 8 8 1 0 0 . 0 1 5 7 1 0 0 . 0* N u m b e r o f n o t e s p l a y e d o r s t r u c k s i m u l t a n e o u s l y .m u s i c , s u c h a s t h e f i r s t m o v e m e n t o f M o z a r t ' s S o n a t a i n AM a j o r , KV 3 3 1 . We a n a l y z e d t h e f i r s t p a r t o f t h i s m o v e m e n t .T h i s c o m p o s i t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e s a m e e x c e s s o f n o t er e p e t i t i o n ( i = 0 ) a s t h e c h i l d r e n ' s s o n g s ( T a b l e 2 ) , a n d t h ef r a c t a l r e l a t i o n s o f t h e t w o a r e a m a z i n g l y s i m i l a r ( c f . F i g . 1 Ea n d F ) . N o t s u r p r i s i n g i s t h e t o t a l a b s e n c e o f t h e " d e v i l ' sn o t e , " t h e d i m i n i s h e d f i f t h .T h e f r a c t a l r e l a t i o n o f M o z a r t ' s s o n a t a , i m p e r f e c t a s i t i s ,c o u l d a l s o b e d e f i n e d b y a s i m i l a r i t y d i m e n s i o n : F i D = 1 . I s t h a ta c o i n c i d e n c e o r i s b e i n g p i c t o r i a l a c h a r a c t e r i s t i c o f M o z a r t ?To i l l u s t r a t e t h e o b v i o u s d i f f e r e n c e b e t w e e n c l a s s i c a l a n dmodem m u s i c , we p r e s e n t i n F i g . 1G o u r a n a l y s i s o f S t o c k -h a u s e n ' s C a p r i c o r n . T h e r e i s n o r e s e m b l a n c e t o f r a c t a l

I X

F I G . 2 . F r a c t a l g e o m e t r y o fs o u n d a m p l i t u d e . F i s t h e p e r -c e n t a g e o f i n c i d e n c e o f n n o t e sb e i n g s t r u c k s i m u l t a n e o u s l y o nk e y b o a r d . M u s i c i s B a c h ' s T o c -c a t a , BWV 9 1 0 .

g e o m e t r y i n t h i s w o r k . T h e n o t a b l e d e f i c i e n c y o f t h e g r e a tt h i r d ( i = 4 ) a n d t h e e x t r e m e e x c e s s o f t h e d i m i n i s h e d f i f t h ( i= 6 ) a r e w h a t m a k e m o d e r n m u s i c a t o n a l .F r a c t a l G e o m e t r y o f A m p l i t u d e i n B a c h ' s M u s i cE i n s t e i n o n c e c o m m e n t e d t h a t m u s i c c o n s i s t s o f a c o u s t i cw a v e s , w h i c h a r e d e f i n a b l e b y t h e i r f r e q u e n c y a n d a m p l i t u d e .T h e i n t e r v a l s b e t w e e n s u c c e s s i v e a c o u s t i c f r e q u e n c i e s i nc l a s s i c a l m u s i c h a v e a f r a c t a l d i s t r i b u t i o n . I s t h e r e a s i m i l a rf r a c t a l g e o m e t r y o f t h e s o u n d a s r e p r e s e n t e d b y i t s a m p l i t u d e ?V o s s a n d C l a r k e ( 5 ) a n a l y z e d t h e l o u d n e s s o f t h e m u s i c a n df o u n d a n a p p r o x i m a t e f r a c t a l d i s t r i b u t i o n o f l o u d n e s s i nB a c h ' s f i r s t B r a n d e n b u r g C o n c e r t o . T h e y h a v e , h o w e v e r ,w o r k e d o n l y w i t h a n i n t e r p r e t a t i o n o f B a c h b y a p e r f o r m e r .Was t h a t i n t e n d e d b y B a c h ?O n e p o s s i b l e w a y t o e v a l u a t e t h e a m p l i t u d e i s t o a n a l y z et h e n u m b e r o f n o t e s t h a t a r e p l a y e d s i m u l t a n e o u s l y , b e c a u s em o r e n o t e s s o u n d i n g t o g e t h e r s h o u l d m a k e t h e s o u n d l o u d e r .We c h o s e a g a i n t h e a d a g i o m o v e m e n t o f B a c h ' s T o c c a t a ,b e c a u s e f o u r m e l o d i e s a r e p l a y e d s i m u l t a n e o u s l y i n t h a tf u g u e . We f o u n d t h a t t h r e e o r f o u r n o t e s f r o m t h e m e l o d i e sw e r e s o u n d i n g s i m u l t a n e o u s l y o n 9 4 . 3 % o f t h e o c c a s i o n s( T a b l e 3 ) . T h i s i s n o t a f r a c t a l d i s t r i b u t i o n , n o r i s t h i s a ne f f e c t i v e w a y o f e v a l u a t i n g v o l u m e .R e c o g n i z i n g t h a t t h e i n t e n s i t y o f t h e s o u n d i s g r e a t e s t w h e na n o t e i s f i r s t s t r u c k o n a k e y b o a r d , we a n a l y z e d t h e n u m b e ro f n o t e s t h a t a r e s t r u c k s i m u l t a n e o u s l y , a n d t h e r e s u l t s o f t h et o c c a t a s t u d y a r e s h o w n b y F i g . 2 a n d T a b l e 3 . A l t h o u g h t h ea n a l y s i s i s b a s e d u p o n o n l y 1 5 7 d a t a p o i n t s , t h e f r a c t a ld i s t r i b u t i o n o f a m p l i t u d e i s a p p a r e n t . T h e p e r f o r m e r s o f B a c ha n a l y z e d b y V o s s a n d C l a r k e p r o b a b l y d i d n o t d i s t o r t B a c h ' so r i g i n a l i n t e n t i o n .S u m m a r yT h i s p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f a f e w c o m p o s i t i o n s b y B a c h a n do t h e r s i n d i c a t e s t h e p o t e n t i a l o f m a k i n g n u m e r i c a l a n a l y s i s o fm u s i c . T h i s p a p e r o n l y s u g g e s t s a m e t h o d o l o g y , a n d we h a v ef o u n d t h a t t h e m u s i c a l e f f e c t s o f a c o m p o s i t i o n c a n b ee x p r e s s e d a s d e v i a t i o n s f r o m f r a c t a l g e o m e t r y . N e v e r t h e l e s s ,m a n y a d d i t i o n a l r a n d o m o b s e r v a t i o n s w o u l d h a v e t o b e m a d eb e f o r e o n e c o u l d a t t e m p t a p r o f o u n d g e n e r a l i z a t i o n . O n e o fu s ( A . J . H . ) i s now p r o g r a m m i n g s o f t w a r e t o a n a l y z e n o t o n l yt h e m e l o d y a n d r h y t h m b u t a l s o t h e h a r m o n y o f m u s i c .

1 . P a l i s c a , C . V . ( 1 9 8 5 ) Humanism i n I t a l i a n R e n a i s s a n c e M u s i c a l T h o u g h t( Y a l e U n i v . P r e s s , Ne w H a v e n , C T ) , p . 2 7 6 .2 . H s u , K . J . ( 1 9 8 3 ) S e d i m e n t o l o g y 3 0 , 3 - 9 .3 . D y s o n , F . ( 1 9 7 8 ) S c i e n c e 2 0 0 , 6 7 7 .4 . M a n d e l b r o t , B . B . ( 1 9 7 7 ) T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e ( F r e e m a n ,Ne w Y o r k ) .5 . V o s s , R . F . & C l a r k e , J . ( 1 9 7 5 ) N a t u r e ( L o n d o n ) 2 5 8 , 3 1 7 .

L i .0

n

P h y s i c s : H s O a n d H s f i