Formulaciones y técnicas...

CIENCIA UANL / AÑO 16, No. 62, ABRIL JUNIO 2013 45

ROGER Z. RÍOS MERCADO*, MARÍA ANGÉLICA SALAZAR AGUILAR*, MAURICIO CABRERA RÍOS**

Formulaciones ytécnicas exactasde solución para el diseño óptimode territorios comerciales

*Universidad Autónoma de Nuevo León, FIME.**Universidad de Puerto Rico, Mayagüez.Contacto: [email protected]

CIENCIA UANL / AÑO 16, No. 62, ABRIL JUNIO 201346

FORMULACIONES Y TÉCNICAS EXACTAS

En el presente trabajo se aborda un problema de tomade decisiones que surge en el campo de diseño terri-torial como una aplicación de una empresa distri-buidora de bebidas embotelladas. Puede decirse queel problema bajo estudio cae dentro del área de lainvestigación de operaciones, la ciencia que brindasoporte científico a problemas de toma de decisiones.

El problema consiste en determinar una agrupa-ción de manzanas o unidades básicas (UB), dentrode un área geográfica objetivo, en un número fijo deterritorios (dado por p), de tal manera que se cum-pla una serie de requerimientos de planificación im-puestos por la empresa. Denominamos al problemacomo TDP (por sus siglas en inglés, Territory DesignProblem).

El problema que se estudia en este trabajo fueintroducido por Ríos-Mercado y Fernández,1 que de-sarrollaron un procedimiento de solución basado enun procedimiento metaheurístico, denominadoGRASP reactivo (por sus siglas en inglés, GreedyRandomized Adaptive Search Procedure). En su tra-bajo, la compacidad se modeló a través de la funciónobjetivo del problema de p-centro, el cual representa lamáxima dispersión en los territorios. Consideraron res-tricciones de balance en términos de número de clien-tes, volumen de ventas y carga de trabajo.

Los resultados reportados fueron mejores que losgenerados por la compañía, que lo hacía con unmétodo ad hoc. Diferentes versiones del problema seestudiaron en Caballero-Hernández et al.,2 Ríos-Mercado y Salazar-Acosta, 3 Salazar-Aguilar et al.,4

Ríos-Mercado y López-Pérez5 y López-Pérez y Ríos-Mercado.6 En cada uno de ellos se desarrollaron en-foques heurísticos para instancias de tamaño gran-de, las cuales son intratables para propósitos de op-timización exacta.

En efecto, detectamos que en trabajos previos nose había reportado algún esquema de solución exac-ta para estos modelos, sólo procedimientosheurísticos. Sin embargo, instancias de tamaño pe-queño y mediano con frecuencia aparecen en situa-ciones reales y, por ello, sus soluciones exactas seconsideran importantes. Entonces, una de las con-tribuciones importantes de este trabajo es el desa-rrollo de un método de optimización exacta quemaneje de manera efectiva el número exponencialde restricciones de conexidad en instancias peque-ñas y medianas.

Por otro lado, en los problemas de diseño de te-rritorios, los modelos que incorporan restriccionesde conexidad usualmente son estudiados con heurís-ticas, como se analizó en Kalcsics et al.7 Son pocoslos trabajos que realmente proveen soluciones ópti-mas. Dos ejemplos son Garfinkel y Nemhauser 8 yShirabe.9 Los primeros estudiaron un problema dedistritos con 39 UB y siete territorios, mientras queel último propuso un método de solución para unproblema similar, utilizando 48 UB y un númerovariable de territorios. El método propuesto enShirabe9 se probó sólo en un número pequeño deterritorios.

Nuestro trabajo presenta contribuciones en dosdirecciones. La primera consiste en un procedimientode optimización exacta, como se mencionó anterior-mente. El algoritmo propuesto está orientado haciala solución de instancias de tamaño mediano (alre-dedor de 200 UB para formar hasta diez territorios).El algoritmo consiste en la solución iterativa de unproblema de programación lineal entera mixta(MILP), mediante la relajación de las restriccionesde conexidad. Las restricciones no satisfechas se iden-tifican a través de la solución de un problema deseparación simple. Después de esto, tales restriccio-nes se introducen como cortes al modelo. El proce-dimiento continúa hasta que se alcanza optimalidad.


En la segunda dirección, se propone una nuevaformulación de programación cuadrática entera(IQP). Esta formulación realmente reduce el núme-ro de variables binarias, permitiendo la solución deinstancias más grandes que aquellas permitidas porel MILP equivalente. El procedimiento de optimi-zación exacta se prueba con ambas formulaciones(MILP e IQP).

También se presenta un estudio empírico acercade la compacidad de los territorios sobre un rangoamplio de instancias, para explicar qué tipo de me-didas de dispersión tiene el potencial de brindar lasmejores soluciones para el problema de diseño deterritorios comerciales. En el diseño de territorios,en general, no hay una medida estándar de compa-cidad. Se pueden encontrar diferentes tipos de me-didas de dispersión, según la aplicación específica.En el contexto de distritos políticos, por ejemplo,hay algunos estudios en medidas de compacidad enAltman.10 Este criterio también es discutido porKalcsics et al.,9 desde una perspectiva más general.Por tanto, en la ausencia de una medida estándarpara el caso del diseño de territorios comerciales,realizamos el trabajo experimental sobre un ampliorango de instancias, con el fin de analizar el desem-peño de los modelos basados en la medidas del p-centro y p-mediana.

Descripción del problema

Sea G = (V, E) un grafo donde V es el conjunto deUB –manzanas en este caso–, y E el conjunto dearcos que representan adyacencia entre manzanas.Cada nodo j en el conjunto V tiene una serie de pa-rámetros, como coordenadas geográficas, y dos atri-butos o actividades: número de clientes y volumende ventas. Se utiliza también una distancia euclidianadij , que puede calcularse entre cada par de UB i y j.El conjunto de UB debe dividirse en p territorios,

de tal manera que cada nodo pertenezca sólo a unterritorio (asignación exclusiva). Adicionalmente, lacompañía busca territorios balanceados con respec-to al número de clientes y demanda de producto.

Definimos el tamaño de un territorio X, con res-pecto a la actividad a, como la suma de los valoresde actividad a asociados a las unidades básicas queconforman el territorio (=wa(X)). Debido a la estruc-tura discreta del problema y a la restricción de asig-nación exclusiva, es prácticamente imposible tenerterritorios perfectamente balanceados, es decir, te-rritorios con exactamente el mismo tamaño con res-pecto a cada actividad. Entonces, con el fin de mo-delar el balance, se introduce un parámetro detolerancia τa. Este parámetro mide la desviación re-lativa, con respecto al tamaño deseado en la activi-dad a, a ∈A. El valor deseado representa el tamañopromedio de los territorios, y está dado porµa = wa(V)/p . Otra restricción importante es la deconexidad, es decir, por cada i y j asignados al mismoterritorio debe existir una ruta entre ellos, y ésta debeestar totalmente contenida en el territorio. Además, conel fin de lograr compacidad, las UB del mismo territo-rio deben estar tan cerca una de la otra como sea posi-ble. Una forma de cumplir con este requerimiento esminimizando una medida de dispersión. En la biblio-grafía se han utilizado varias medidas, en este trabajoestudiamos dos: una basada en el objetivo del proble-ma de p-centro (pCP), y la otra basada en el objetivodel problema p-mediana (pMP). Esto conduce a dosmodelos diferentes que se describen a continuación.

Modelos de optimización lineal

Para presentar el modelo, definamos primero al con-junto Ni para todo i en V, como el conjunto de todaslas UB adyacentes a la UB i, es decir,

ROGER Z. RÍOS MERCADO, MARÍA ANGÉLICA SALAZAR AGUILAR, MAURICIO CABRERA RÍOS

{ }EijEjiVjN i ∈∨∈∈= ),(),(:



Las variables de decisión se definen como:

Nótese que xii = 1 implica que la UB i es un cen-tro territorial. El modelo matemático MTDP (TDPbasado en p-mediana) se define a continuación.

El objetivo (1) representa una medida de disper-sión basada en el objetivo del pMP. En este sentido,minimizar dispersión es equivalente a maximizarcompacidad. La restricción (2) garantiza la creaciónde exactamente p territorios. Las restricciones (3)representan la asignación exclusiva de las UB. Lasrestricciones (4)-(5) representan el balance con res-pecto a cada actividad y establecen que el tamaño decada territorio debe estar dentro de un rango de va-riación (determinado por τa), con respecto al tama-ño promedio. La conexidad de los territorios estádada por las restricciones (6). Estas últimas son si-milares a las restricciones de eliminación de subrutas(subtours) en el problema del agente viajero.

La cantidad de estas restricciones es un númeroexponencial, por lo cual escribirlas explícitamente

resulta casi imposible. El método de solución pro-puesto genera de manera iterativa las restriccionesde conexidad necesarias para encontrar una soluciónóptima del problema. Este modelo fue utilizado enSalazar-Aguilar, González-Velarde y Ríos-Mercado,4

y puede verse como el problema pMP con múltiplesrestricciones de capacidad y restricciones adiciona-les (4)-(6). Cuando la medida de dispersión utiliza-da es el objetivo del pCP, la función objetivo (1) sereemplaza por la función (8). El modelo resultantese denomina CTDP y fue introducido en R.Z. RíosMercado y E. Fernández.1

(8)

Estos modelos pertenecen a la clase NP-duro.1,4

Pruebas de complejidad para problemas similares enel contexto de distritos políticos pueden encontrar-se en Altman.10,11

Ríos-Mercado y Fernández1 propusieron unGRASP reactivo para el CTDP. Salazar-Aguilar etal.4 propusieron una heurística para el MTDP. Sinembargo, hasta el momento no se han desarrolladométodos exactos para este problema. Cabe señalarque, aunque en teoría, las restricciones de conexidadpudieran ser escritas explícitamente, esto no tendríaningún sentido práctico, debido a su número expo-nencial. En este trabajo se propone un procedimientode solución exacto para resolver el MTDP y el CTDP.En la fase de modelación estas restricciones no seescriben explícitamente, y se generan de maneraiterativa dentro del algoritmo propuesto. Por tanto,el procedimiento se implementa de manera fácil encualquier sistema de modelación algebraico y puedeser resuelto por cualquier optimizador MILP comer-cial. Denominemos como R_MTDP al modelo re-lajado, que se obtiene de relajar las restricciones (6)del MTDP. De manera similar, definimos el mode-lo relajado R_CTDP, como el resultante al eliminar

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

caso otroen 0en centrocon

o territorial asignada es UBla si1j

i

ijXx


(6) en CTDP. En la tabla I se muestra el conjunto derestricciones que se utilizan en cada uno de los mo-delos propuestos.

Adicionalmente, en este trabajo introdujimosnuevas formulaciones matemáticas del problema,utilizando optimización cuadrática entera (IQP). Elnúmero de variables se redujo de n2 a 2np. Las for-mulaciones cuadráticas propuestas en este trabajo sonlas primeras formulaciones propuestas en la biblio-grafía para el problema estudiado. En el modelocuadrático usamos los mismos parámetros que en elmodelo lineal. Se define un conjunto adicional Q ={ 1, 2, …, p } de índices de territorios y un conjuntode variables binarias yiq para identificar los centrosde los territorios, y zjq, para representar la asignaciónde UB a territorios. Las variables de decisión para elmodelo IQP se definen así:

De acuerdo con las definiciones anteriores, laequivalencia entre las variables utilizadas en el mo-delo lineal y las utilizadas en el cuadrático está dadapor:

(9)

El modelo QMTDP (quadratic median-basedterritory design problem) usa una medida de disper-sión equivalente a la utilizada en el modelo MTDP.A continuación se muestra la formulación del mo-delo QMTDP:

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Las restricciones (11) se usan para garantizar laasignación de un centro por cada territorio. La asig-nación exclusiva está dada por las restricciones (12).El balance territorial se establece con las restriccio-nes (14)-(15). Las restricciones (13) indican que unaUB j no puede ser centro del territorio q, si j nopertenece al territorio q. El último conjunto de res-tricciones (16) garantiza la conexidad de los territo-rios. Nuevamente tenemos un número exponencialde estas restricciones.

Bajo esta formulación cuadrática, una medida dedispersión basada en el objetivo pCP está dada por(19). Entonces, el QCTDP (quadratic center-basedterritory design problem) es el modelo resultante alreemplazar la función objetivo (10) por la medidade dispersión (19).

(19)

Cabe recalcar que estas formulaciones IQP sonnuevas en la bibliografía de diseño de territorios.QMTDP es difícil de resolver, debido a que poseeun objetivo cuadrático y un conjunto de restriccio-nes cuadráticas (restricciones de conexidad). Adicio-




nalmente, no es posible escribirlas explícitamente,debido a su número exponencial. Si las restriccionesde conexidad se relajan, el modelo puede resolversecon cualquier optimizador para problemas MINLP.

Similar a la definición de los modelos relajadosR_MTDP y R_CTDP, definimos R_QMTDPcomo la relajación de QMTDP, cuando las restric-ciones (16) son removidas del modelo. Claramente,una solución para R_QMTDP brinda una cota in-ferior para QMTDP.

Hay algunos casos especiales para los cuales elmodelo puede ser reforzado, por ejemplo, cuandono hay soluciones factibles que contengan territo-rios formados por una sola UB. Es decir, cuandocada solución factible tiene territorios con al menosdos unidades básicas asociadas a él, la siguiente esuna desigualdad válida para R_QMTDP.

(20)

Estas desigualdades evitan la creación desubconjuntos no conexos S, tales que |S|=1. Existeun número polinomial de estos subconjuntos, asíque estas desigualdades pueden incorporarse fácil-mente al modelo.

Nótese que, para las formulaciones MILP, lasdesigualdades válidas equivalentes están dadas por:

(21)

En contraste con las desigualdades dadas en (20),que sólo son válidas cuando permanece la condiciónde territorios formados por más de una unidad bási-ca, las restricciones (21) son válidas para cualquierinstacia. Definamos entonces a R1_QMTDP comola relajación conformada por R_QMTDP más lasrestricciones de adicionales (20). De manera simi-lar, definimos modelos relajados para el modeloQCTDP. Nos referimos a éstos como R_QCTDP y

R1_QCTDP, respectivamente. Asimismo, para losmodelos MTDP y CTDP se obtienen nuevos mo-delos relajados agregando (21) en los modelos rela-jados R_MTDP y R_CTDP. Los denominamoscomo R1_MTDP y R1_CTDP, respectivamente.Para una mejor definición de los modelo, véase latabla I.

Procedimiento de solución propuesto

Una de las principales dificultades para obtener so-luciones exactas para cualquiera de los modelos pre-viamente descritos se debe al número exponencialde restricciones de conexidad. Como ya se mencio-nó, resulta prácticamente imposible escribir estasrestricciones de manera explícita. Así que ideamosun procedimiento iterativo que utiliza ramificacióny acotamiento (B&B) y un esquema de generaciónde cortes. La idea es relativamente simple. Al relajarlas restricciones de conexidad, nos quedamos conun problema relajado que se puede resolver median-te B&B.

Después se verifica la conexidad de la soluciónobtenida para este problema relajado. Esta prueba

Tabla I. Modelos relajados asociados a los modelos MILP e IQP,respectivamente.


de conexidad se realiza al resolver un problema deseparación, el cual se resuelve polinomialmente conel algoritmo breadth first search (BFS, véase Cormenet al.12). Las desigualdades válidas correspondientes(restricciones de conexidad no satisfechas) se agre-gan al modelo relajado como cortes, y el procedi-miento continúa hasta que no se encuentran másdesigualdades sin satisfacer. El procedimiento degeneración de cortes iterativo para resolver TDP(ICGP-TDP) se resume en el algoritmo 1 (figura1).

Fig. 1. Procedimiento ICGP-TDP.

Para resolver los modelos relajados MILP, el mé-todo ResolverMILP en ICGP-TDP llama a algúnmétodo de B&B. En contraste, el métodoResolverIQP llama, ya sea a un procedimiento exac-to o a uno aproximado. En nuestro caso, utilizamosun método que garantiza optimalidad local (GAMS/DICOPT). Un tema para ser investigado es precisa-mente el costo-beneficio entre el tiempo de cómpu-

to empleado y la calidad de la solución obtenida.Asumiendo que se utiliza un algoritmo finito pararesolver los modelos relajados enteros (enResolverMILP() o ResolverIQP()), la convergenciade nuestro algoritmo propuesto está garantizada,debido a que el problema de separación se resuelveen tiempo polinomial. Entonces, la convergencia delalgoritmo se garantiza, debido a que hay un conjun-to finito de restricciones de conexidad. Cuando éstese detiene, la última solución es factible, con respec-to a las restricciones de conexidad y, por eso, es unasolución óptima al problema.

RESULRESULRESULRESULRESULTTTTTADOS COMPUTADOS COMPUTADOS COMPUTADOS COMPUTADOS COMPUTAAAAACIONALESCIONALESCIONALESCIONALESCIONALES

El método propuesto ICGP-TDP se codificó enC++, y se compiló con Sun C++ 8.0. Las relajacio-nes MILP se resuelven con CPLEX 11.2, y las rela-jaciones IQP con DICOPT, uno de los métodos máspopulares para resolver programas enteros mixtos nolineales. DICOPT fue desarrollado por Viswanathany Grossmann en el Centro de Investigación de Dise-ño de Ingeniería (EDRC) en la Universidad CarnegieMellon (véase Kocis y Grossmann13 y Viswanathany Grossmann,14 para más detalles). Se utilizaron doscriterios de parada: por intervalo de optimalidad re-lativa (gap < 5 x 10-6) y por tiempo (7200 s).

Se utilizaron instancias generadas aleatoriamen-te, basadas en datos reales provenientes de la com-pañía. La topología de cada instancia se formó conel generador desarrollado por Ríos-Mercado y Fer-nández.1 En este trabajo, los autores emplearon in-formación histórica de la compañía, y obtuvieron ladistribución de los datos asociados al número declientes y volumen de venta. La compañía utilizadistancias euclidianas entre las unidades básicas cal-culadas en su Sistema de Información Geográfica(GIS). Consideramos una tolerancia de τ(a)=0.05, a∈A y, generamos tres conjuntos de instancias dife-




rentes con (n,p) ∈ {(60, 4), (80, 5), (100, 6)}. Paracada uno de estos conjuntos se generaron 20 instan-cias diferentes. Adicionalmente, se generaron diezinstancias diferentes de dos conjuntos más grandescon (n,p) ∈ {(150, 8), (200, 11)}.

En primera instancia, trabajamos con los mode-los lineales, CTDP y MTDP. El procedimientoICGP-TDP se utilizó con los modelos relajadosR_CTDP y R_MTDP, respectivamente.

Las tablas II y III muestran los resultados paraCTDP y MTDP, respectivamente. La primera co-lumna indica el tamaño de la instancia probada. Lasegunda columna muestra el porcentaje de instan-cias que fueron resueltas en la primera iteración (hasta20 excepto para el conjunto (150, 8)), esto es, elporcentaje de instancias para las cuales se encontróuna partición conexa en la primera iteración. La ter-cera columna contiene el promedio y el máximonúmero de iteraciones/instancia requeridas por elalgoritmo. La cuarta columna muestra el porcentajede instancias resueltas dentro del tiempo límite es-pecificado. La quinta columna muestra el promedioy el máximo número de cortes agregados por instan-cia resuelta. Finalmente, la última columna muestrainformación del tiempo de CPU (promedio y máxi-mo) utilizado por instancia.

Para el modelo CTDP, la tabla II indica que unaproporción muy pequeña de las instancias se resol-vieron en la primera iteración. Hasta 26 iteracionesy 82 cortes fueron necesarios en el peor de los casospara resolver problemas de tamaño (60, 4). Al final

Tabla II. Resultados reportados por ICGP-TDP para CTDP bajo larelajación R_CTDP.

Tabla III: Resultados reportados por ICGP-TDP para MTDP bajola relajación R_MTDP.

del procedimiento, todas las instancias de (60, 4) seresolvieron a optimalidad; 90% del conjunto (80,5) se resolvió a optimalidad. Sin embargo, el proce-dimiento tuvo dificultad con los conjuntos más gran-des. Para los dos conjuntos más pequeños se necesi-taron en promedio alrededor de cinco iteraciones ydoce cortes. Nótese que, para una iteración específi-ca, el problema de separación tiene la propiedad deidentificar más de un subconjunto no conexo, y ge-nera todas las restricciones de conexidad no satisfe-chas en la misma iteración. Para el conjunto (150,80), el procedimiento no pudo terminar una solaiteración dentro del límite de tiempo.

Estos estadísticos mejoran significativamente parael modelo MTDP (tabla II). Excepto por muy po-cos casos en los conjuntos más grandes, todas lasdemás instancias se resolvieron a optimalidad. Unagran proporción de éstas se resolvió en la primeraiteración. En promedio, requirió menos de dositeraciones y muy pocos cortes para obtener solu-ciones óptimas. Esto no sólo sugiere que la relaja-ción LP del modelo basado en mediana es más difí-cil que la del modelo basado en centros, sino que lassoluciones para la relajación R_MTDP producensoluciones prácticamente conexas. Esto tiene unimpacto positivo en el tiempo total de solución.

Posteriormente, se analizó el comportamiento delos modelos de optimización IQP. Observamos queel tiempo necesario para resolver los modeloscuadráticos es menor que el tiempo requerido pararesolver los modelos lineales. Sin embargo, resolver


el modelo cuadrático con métodos de optimizaciónlocal no asegura optimalidad global. Por esto, untema importante para analizarse fue precisamente elbalance entre la calidad de la solución y el esfuerzocomputacional. Para ello, aplicamos ICGP-TDP conlos modelos MTDP y QMTDP, usamos 20 instan-cias de los conjuntos {(60, 4), (80, 5), (100, 6)} y 10del conjunto (150, 8).

La tabla IV muestra la calidad de las solucionesencontradas mediante la optimización del modeloQMTDP. En estos conjuntos de instancias, el tiem-po computacional no es un problema; sin embargo,para instancias más grandes (mostradas en la tablaV), el tiempo llega a ser un factor sumamente im-

Tabla IV. Calidad de las soluciones reportadas para el modeloQMTDP.

portante. En la tabla V se muestra cómo el tiempoincrementa significativamente para el modelo MILP.Hay dos instancias en las que se alcanzó el tiempolímite cuando se utilizó el modelo MILP. Cuando seusó el modelo cuadrático, todas las instancias se re-solvieron en un minuto de tiempo de CPU, con in-tervalos de optimalidad de menos de 5% en 90% delas instancias. Por tanto, el modelo cuadrático es unaalternativa rápida y atractiva para encontrar solucio-nes de calidad para instancias grandes del problema.

Adicionalmente se analizó el comportamiento delos modelos basados en la medida de dispersión pCP,observamos que el tiempo computacional en ambasformulaciones, CTDP y QCTDP, es extremadamen-te costoso. La descripción detallada y resultados com-

putacionales completos están ampliamente descri-tos en Salazar Aguilar.15

Tabla V. MTDP vs. QMTDP para instancias (200, 11).

CONCLCONCLCONCLCONCLCONCLUSIONESUSIONESUSIONESUSIONESUSIONES

En este trabajo propusimos nuevos modeloscuadráticos (IQP) para el problema de diseño de te-rritorios comerciales, con restricciones de conexidady múltiples restricciones de balance. Estas formula-ciones IQP utilizan un número más pequeño de va-riables binarias. Además, desarrollamos un procedi-miento de solución exacta (ICGP-TDP) con baseen B&B y una estrategia de generación de cortes. Elmétodo puede aplicarse a ambos modelos, MILP eIQP. Éste es el primer algoritmo exacto desarrolladoa la fecha para tal problema. Los modelos se reforza-ron con la introducción de desigualdades válidas queeliminan los subconjuntos no conexos decardinalidad uno. Observamos, de manera empíri-ca, que la mayoría de los subconjuntos no conexosencontrados en los modelos relajados (relajando lasrestricciones de conexidad) tienen cardinalidad iguala 1, lo cual motivó la introducción de estas desigual-dades válidas. Empíricamente, probamos que en losmodelos MTDP y QMTDP los cortes propuestos




aceleran la convergencia del algoritmo propuesto.Cuando el método de solución se aplicó para resol-ver instancias con los modelos lineales y cuadráticos,los modelos IQP propuestos mostraron un desem-peño balanceado entre calidad y esfuerzo. Para lasinstancias más grandes, los tiempos de ejecución delos modelos cuadráticos fueron significativamentemás bajos que los observados con los modelos linea-les. La calidad de solución de las obtenidas con elmodelo cuadrático sobre todas las instancias estuvoen el rango de 0.0-14.8%, y, en el mejor de los ca-sos, menor que 5%.

Se observó que el objetivo de pMP es más amiga-ble que el objetivo pCP. Durante el proceso de B&B,la relajación lineal para el objetivo pMP mostró me-jor desempeño que la relajación lineal para el objeti-vo pCP. Además, también se observó que las solu-ciones obtenidas de la relajación de los modelosbasados en p-mediana tienen un grado muy alto deconexidad. Esto tuvo un impacto muy bueno en laeficiencia computacional, ya que se necesitaron muypocas iteraciones para encontrar las soluciones co-nexas a diferencia de los modelos basados en p-cen-tro. Por tanto, en la ausencia de una medida de dis-persión estándar, el objetivo pMP podría ser unabuena elección para otro problema de diseño de te-rritorios que tenga la compacidad como medida dedesempeño.

AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS

El trabajo de M. Angélica Salazar Aguilar fue apoya-do por la Universidad Autónoma de Nuevo León(proyecto NL-2006-C09-32652), mediante una becade estudios de doctorado. La infraestructura reque-rida para la elaboración del mismo, así como el fi-nanciamiento para la presentación del trabajo enforos internacionales fue posible gracias a UANL-Paicyt CA1478-07 y UANL-Paicyt CE012-09; SEP-

Conacyt 48499-Y y SEP-Conacyt 61343; y al Tec-nológico de Monterrey (CAT128).

RESUMENRESUMENRESUMENRESUMENRESUMEN

En este trabajo se estudió el problema de diseño deterritorios comerciales. Se propusieron modelos,desigualdades válidas y procedimientos de soluciónpara el diseño óptimo de territorios comerciales parauna situación presente en una empresa distribuido-ra de bebidas embotelladas. Los resultados de estainvestigación contribuyen significativamente al es-tado del arte en el área de diseño de territorios. Losmodelos y métodos propuestos para este problemasuperan el desempeño de los mejores métodos exis-tentes a la fecha.

Palabras clave: Diseño de territorios, Programacióncuadrática no lineal entera, Desigualdades válidas,Ramificación y acotamiento.

ABSABSABSABSABSTRATRATRATRATRACTCTCTCTCT

In this work, we address the problem of computingoptimal territory designs for a beverage distributioncompany. New models, valid inequalities, and solu-tion methods have been proposed in this research.The results contribute significantly to the state ofthe art in the field of territory design. Empirical evi-dence shows the significant impact of the proposedmodels and algorithms which outperformed signifi-cantly the best solution methods known to date.

Keywords: Territory design, Non-linear integer qua-dratic programming, Valid inequalities, Branch andbound.


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Recibido: 16 de octubre de 2012

Aceptado: 18 de enero de 2013


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