Formula of Unity Olympiad

2016- 2017. Round 2 Language: Persian (Farsi)

Translated by: Amir Reza Arab

5931ماه هشتم اسفند: مرحله ی دومتاریخ برگزاری

پنجم ابتدایی تا یازدهم متوسطه تحصیلی: پایه های

ی تحصیلی در هر پایه مساله تعداد مسائل: پنج

ساعت 4مدت پاسخ گویی:

امتیاز دارد. 7هر مساله

است. رایگانرکت در این المپیاد ش

Email: formulo.iran@yahoo.com

Website: WWW.MathSymbol.ir

mailto:formulo.iran@yahoo.com

م ابتداییپایه ی پنج -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

کاغذی شطرنجی ل در حال رسم نقاطی در محل های تقاطع خطوط پا -1در شکل و تشکیل می شود که از چهار نقطه« کایت»او به طرح . است

به دقیقا یک کایت بایستیسمت چپ نشان داده شده عالقه مند است). برای ، اما ممکن است دوران داده شود(همین شکل و اندازه باشد

نقطه در شکل سمت راست، فقط تشکیل دو کایت 11مثال، که تشکیل پنج کایت دهند.را چنان رسم کنید نقطه 11 می دهند.

ثابت آن ها های شکل زیر(. سرعتهستند) 8در طول جاده ای به شکل در یک جهت در حال دویدن تام و جری -2پایین دقیقه پس از این، جری دقیقا 21در جری دقیقا باالی تام بود. ، کردندشروع به دویدن آن ها وقتی . ندسته

شروعش بازگشت. تام به نقطه ی دقیقه ی دیگر، 11پس از جاده را ندویده بود. آن ها تمامی و هیچ یک از تام بود تام، جری را بگیرد؟کشید تا طول خواهد )از هنگام شروع( چه مدتی

که مجموعبدون رقم صفر رقمی اعداد سه ،با این قوانین هستند: آن ها به نوبتبازی دو نفر در حال انجام -3

با آخرین رقم عدد قبلی شروع بایستی عدد بعدیهر ضمنا را اعالم می کنند. بخش پذیر است، 9رقم های شان بر که نتواند عددی را بازیکنی هم چنین تکرار اعداد، غیر مجاز است. . 351 -189 -936 -621 -، برای مثال ...شود

صرف نظر از این که دیگری چگونه بازی خواهد کرد، می تواند ببرد، فردی که بازی را کسی کند، می بازد. چهاعالم رقیبش؟شروع می کند یا

و این کیسه ها را بریزد درون چند کیسه سکه ها را او می خواهد سکه ی طال دارد. 61و کاپیتان فلینت پنج ملوان -4 ها ملوان تا از چنداما او نمی داند برسد. سکهتعداد یکسانی ملوان، هر به طوری که به بین ملوانان اش تقسیم کند

بین دو، سه، چهار یا به طور مساوی او می خواهد تقسیم سکه هابنابراین ند ماند.خواهزنده لحظه ی تقسیم، تا برای انجام این کار کافی است؟کیسه 9آیا پنج نفر ممکن باشد.

یک هیچ ، می توانند قرار داده شوند( متشکل از دو خانه دومینویی)مستطیل های، چند کاشی ای 8×8روی تخته ی -5چیدمان های را تعداد Tدومینو و 32را تعداد چیدمان های ممکن Nاز کاشی ها روی کاشی های دیگر نمی افتد.

که از دوران یا تقارن بزرگ تر است؟ چیدمان هایی Tیا Nکدام یک از اعداد در نظر بگیرید. دومینو 24ممکن یکدیگر به دست می آیند، مختلف در نظر گرفته می شوند.

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

پایه ی ششم ابتدایی -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

کاغذی شطرنجی ل در حال رسم نقاطی در محل های تقاطع خطوط پا -1در شکل و تشکیل می شود که از چهار نقطه« کایت»او به طرح . است

به دقیقا یک کایت بایستیسمت چپ نشان داده شده عالقه مند است). برای ، اما ممکن است دوران داده شود(همین شکل و اندازه باشد

نقطه در شکل سمت راست، فقط تشکیل دو کایت 11مثال، تر از کایت ها بیشطوری که تعداد به آیا رسم چند نقطه می دهند.

تعداد نقاط شوند، ممکن است؟

ثابت آن ها های شکل زیر(. سرعتهستند) 8در طول جاده ای به شکل در یک جهت در حال دویدن تام و جری -2پایین دقیقه پس از این، جری دقیقا 21در جری دقیقا باالی تام بود. ، کردندشروع به دویدن آن ها وقتی . ندسته

شروعش بازگشت. تام به نقطه ی دقیقه ی دیگر، 11پس از جاده را ندویده بود. آن ها تمامی و هیچ یک از تام بود تام، جری را بگیرد؟کشید تا طول خواهد )از هنگام شروع( چه مدتی

که مجموع بدون رقم صفر اعداد چهار رقمی ،با این قوانین هستند: آن ها به نوبتبازی دو نفر در حال انجام -3

با آخرین رقم عدد قبلی شروع بایستی عدد بعدیهر ضمنا را اعالم می کنند. بخش پذیر است، 9رقم های شان بر که نتواند بازیکنی هم چنین تکرار اعداد، غیر مجاز است. . 3231 -1139 -9515 -5151 -، برای مثال ...شود

صرف نظر از این که دیگری چگونه بازی خواهد کرد، می تواند ببرد، فردی کسی کند، می بازد. چهعددی را اعالم رقیبش؟که بازی را شروع می کند یا

و این کیسه ها را بریزد درون چند کیسه سکه ها را او می خواهد سکه ی طال دارد. 51و کاپیتان فلینت پنج ملوان -4 ها ملوان تا از چنداما او نمی داند برسد. سکهتعداد یکسانی ملوان، هر به طوری که به بین ملوانان اش تقسیم کند

بین دو، سه، چهار یا به طور مساوی او می خواهد تقسیم سکه هابنابراین ند ماند.خواهزنده لحظه ی تقسیم، تا که جواب شماثابت کنید کم ترین تعداد کیسه های مورد نیاز برای انجام این کار چقدر است؟پنج نفر ممکن باشد.

است. مقدار ممکن کم ترینیک هیچ ، می توانند قرار داده شوند( متشکل از دو خانه دومینویی)مستطیل های، چند کاشی ای 8×8روی تخته ی -1

چیدمان های را تعداد Tدومینو و 32را تعداد چیدمان های ممکن Nاز کاشی ها روی کاشی های دیگر نمی افتد. که از دوران یا تقارن بزرگ تر است؟ چیدمان هایی Tیا Nکدام یک از اعداد در نظر بگیرید. دومینو 24ممکن

یکدیگر به دست می آیند، مختلف در نظر گرفته می شوند.

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

پایه ی هفتم متوسطه -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

شکل زیر(. هستند) 8در طول جاده ای به شکل در یک جهت در حال دویدن تام و جری -1در جری دقیقا باالی تام بود. ، کردندشروع به دویدن آن ها وقتی . ندستثابت هآن ها های سرعت

پس جاده را ندویده بود. آن ها تمامی و هیچ یک از دقیقه پس از این، جری دقیقا پایین تام بود 02طول خواهد )از هنگام شروع( شروعش بازگشت. چه مدتی تام به نقطه ی دقیقه ی دیگر، 11از

تام، جری را بگیرد؟کشید تا

عدد صحیح مثبتی را پیدا مقسوم علیه های مثبت تمامی مکعبات مجموع کیت تصمیم گرفت -0

که یک مقسوم علیه را . سپس کیت متوجه شد را به دست آورد MATH او نتیجه ی کند. را به دست آورد. کم ترین MASSاو نتیجه ی درست ، مکعب آن با افزودن. فراموش کرده است

که در آن ها ،اعداد چهار رقمی هستند MASSو MATHرا پیدا کنید.) MATHمقدار ممکن (.یکسان با حروف یکسانرقم های است و جایگزین شدههر رقم با حرفی

:. ثابت کنید BD+AC < BCطوری است که ABCمثلث درون Dنقطه ی -3˚182˃ DAC+∠ADB∠.

قمی بدون رقم صفر ر اعداد هشت ،دو نفر در حال انجام بازی با این قوانین هستند: آن ها به نوبت -4عدد بعدی بایستی با هر بخش پذیر است، را اعالم می کنند. ضمنا 9رقم های شان بر که مجموع

آخرین رقم عدد قبلی شروع شود. هم چنین تکرار اعداد، غیر مجاز است. بازیکنی که نتواند عددی صرف نظر از این که دیگری چگونه بازی خواهد کرد، می تواند چه کسیرا اعالم کند، می بازد.

ببرد، فردی که بازی را شروع می کند یا رقیبش؟می توانند قرار ( مستطیل های متشکل از دو خانهدومینویی)د کاشی ، چنای 8×8روی تخته ی -1

را تعداد چیدمان های ممکن Nیک از کاشی ها روی کاشی های دیگر نمی افتد. هیچ ، داده شونددر یک )شما می توانید فقط یک مهره را مهره 11چیدمان های ممکنرا تعداد Fدومینو و 30

که از بزرگ تر است؟ چیدمان هایی Fیا Nکدام یک از اعداد در نظر بگیرید. مربع قرار دهید( دوران یا تقارن یکدیگر به دست می آیند، مختلف در نظر گرفته می شوند.

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

پایه ی هشتم متوسطه -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

در هر ده رقم متوالی این عدد، است. 7112برابر عدد صحیح مثبتی ی رقم هایمجموع همه -1می تواند داشته باشد؟ تمامی جواب های چنین عددی چند رقم تمامی رقم ها متفاوت هستند. جواب های دیگری وجود ندارند.ممکن را بیابید و ثابت کنید که

با آن ها یک مربع ساخت.تکه برش زد و 2را به 1×11یک مستطیل ثابت کنید می توان -7

. ثابت کنید: BD+AC < BCطوری است که ABCدرون مثلث Dنقطه ی -3˚181˃ DAC+∠ADB∠.

بریزد درون چند کیسه سکه ها را او می خواهد سکه ی طال دارد. 01و کاپیتان فلینت پنج ملوان -4برسد. سکهتعداد یکسانی ملوان، هر به طوری که به و این کیسه ها را بین ملوانان اش تقسیم کند

او می خواهد بنابراین ند ماند.خواهزنده لحظه ی تقسیم، تا ها ملوان تا از چنداما او نمی داند کم ترین تعداد کیسه های بین دو، سه، چهار یا پنج نفر ممکن باشد. به طور مساوی تقسیم سکه ها

است. مقدار ممکن کم ترین که جواب شماثابت کنید مورد نیاز برای انجام این کار چقدر است؟

می توانند قرار ( مستطیل های متشکل از دو خانهدومینویی)، چند کاشی ای 8×8روی تخته ی -5را تعداد چیدمان های ممکن Nیک از کاشی ها روی کاشی های دیگر نمی افتد. هیچ ، داده شوند

Sیا Nکدام یک از اعداد در نظر بگیرید. دومینو 10چیدمان های ممکن را تعداد Sدومینو و 37که از دوران یا تقارن یکدیگر به دست می آیند، مختلف در نظر بزرگ تر است؟ چیدمان هایی

گرفته می شوند.

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

متوسطه پایه ی نهم -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

شکل زیر(. هستند) 8در طول جاده ای به شکل در یک جهت در حال دویدن تام و جری -1در جری دقیقا باالی تام بود. ، کردندشروع به دویدن آن ها وقتی . هستندثابت آن ها های سرعت

جاده را ندویده بود. در آن ها تمامی و هیچ یک از دقیقه پس از این، جری دقیقا پایین تام بود 02طول ه مدتیچ را گرفت. بازگشت، تام آن شروعبه نقطه ی برای اولین بار لحظه ای که جری

؟جری را بگیرد تام،کشید تا

قمی بدون رقم صفر دو نفر در حال انجام بازی با این قوانین هستند: آن ها به نوبت، اعداد چهار ر -0

بخش پذیر است، را اعالم می کنند. ضمنا هر عدد بعدی بایستی با 9رقم های شان بر که مجموع . هم چنین تکرار 5051 -1659 -9565 -5651 -آخرین رقم عدد قبلی شروع شود، برای مثال ...

اعداد، غیر مجاز است. بازیکنی که نتواند عددی را اعالم کند، می بازد. چه کسی صرف نظر از این که دیگری چگونه بازی خواهد کرد، می تواند ببرد، فردی که بازی را شروع می کند یا رقیبش؟

تکه برش زد و با آن ها یک مربع ساخت. 6را به 1×12ثابت کنید می توان یک مستطیل -54- 1n+0 واقع روی صفحه مشخص شده اند که هیچ سه تایی از آن ها بر یک خط راستنقطه

از سه ثابت کنید دایره ای وجود دارد که ها بر یک دایره قرار ندارند. چهار تایی از آن هیچنیستند و بیرون آن هستند. نقطه -1nنقطه درون آن و -1n ،تا از این نقاط می گذرد

می توانند قرار ( مستطیل های متشکل از دو خانهدومینویی)، چند کاشی ای 8×8روی تخته ی -6را تعداد چیدمان های ممکن Nیک از کاشی ها روی کاشی های دیگر نمی افتد. هیچ ، داده شوند

Sیا Nکدام یک از اعداد در نظر بگیرید. دومینو 15 چیدمان های ممکنرا تعداد Sدومینو و 50که از دوران یا تقارن یکدیگر به دست می آیند، مختلف در نظر بزرگ تر است؟ چیدمان هایی

گرفته می شوند.

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

متوسطه پایه ی دهم -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

در هر ده رقم متوالی این عدد، است. 7112برابر عدد صحیح مثبتی ی رقم هایمجموع همه -1 این چنینی را بیابید.ترین و کوچک ترین عدد قم اول بزرگر 11تمامی رقم ها متفاوت هستند.

را ثابت کنید. جواب تان

از اعداد حقیقی را بیابید که و تمامی زوج های -7

72

4 2

72

4 2

7

√2

دارد. او می خواهد سکه ها را درون چند کیسه بریزد و سکه ی طال 01فلینت پنج ملوان و کاپیتان -3به طوری که به هر ملوان، تعداد یکسانی سکه برسد. اما این کیسه ها را بین ملوانان اش تقسیم کند

او نمی داند چند تا از ملوان ها تا لحظه ی تقسیم، زنده خواهند ماند. بنابراین او می خواهد تقسیم بین دو، سه، چهار یا پنج نفر ممکن باشد. کم ترین تعداد کیسه های مورد سکه ها به طور مساوی

نیاز برای انجام این کار چقدر است؟ ثابت کنید که جواب شما کم ترین مقدار ممکن است.

تکه 21را به n×1 مستطیل یک می توان n ≤ 7112برای هر عدد صحیح مثبت ثابت کنید -4 ساخت.و با آن ها یک مربع برش زد

ثابت است. 01˚برابر چهار ضلعی با دقیقا یک زوج ضلع موازی() زاویه ی بین قطرهای یک ذوزنقه -2 نیست. کم تر از طول قاعده ی بزرگ ،مجموع طول های دو ساقکنید

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir

متوسطه همپایه ی یازد -7102/7102 المپیاد ریاضی فرمول وحدت مسائل مرحله ی دوم

که در حال انجام بازی با این قوانین هستند: آن ها به نوبت، اعداد چهار رقمی بدون رقم صفر دو نفر -1بخش پذیر است، را اعالم می کنند. ضمنا هر عدد بعدی بایستی با 9رقم های شان بر مجموع

. هم چنین تکرار 5351 -1659 -9565 -5651 -آخرین رقم عدد قبلی شروع شود، برای مثال ... اعداد، غیر مجاز است. بازیکنی که نتواند عددی را اعالم کند، می بازد. چه کسی صرف نظر از این

که دیگری چگونه بازی خواهد کرد، می تواند ببرد، فردی که بازی را شروع می کند یا رقیبش؟ هستند)شکل زیر(. 8و جری در حال دویدن در یک جهت در طول جاده ای به شکل تام -3

سرعت های آن ها ثابت هستند. وقتی آن ها شروع به دویدن کردند، جری دقیقا باالی تام بود. در دقیقه پس از این، جری دقیقا پایین تام بود و هیچ یک از آن ها تمامی جاده را ندویده بود. در 32

آن ها به پس از این، لحظه ای که جری برای اولین بار به نقطه ی شروع بازگشت، تام آن را گرفت.ی خواهد دوباره در لحظه ای باالی دیگر کدام یک از آن ها در یک جهت ادامه دادند.دویدن خود

با پهنای صفر است.جاده یک منحنی جری نقطه هستند و فرض کنید تام و بود؟

5- 1n+3 نقطه روی صفحه مشخص شده اند که هیچ سه تایی از آن ها بر یک خط راست واقع

نیستند و هیچ چهار تایی از آن ها بر یک دایره قرار ندارند. ثابت کنید دایره ای وجود دارد که از سه نقطه بیرون آن هستند. -1nنقطه درون آن و -1nاین نقاط می گذرد، تا از

است. ثابت 52˚زاویه ی بین قطرهای یک ذوزنقه )چهار ضلعی با دقیقا یک زوج ضلع موازی( برابر -4 کنید مجموع طول های دو ساق، کم تر از طول قاعده ی بزرگ نیست.

از هر ، و شما می توانید دنآن ها وجود دارشهر و چند خط مستقیم هوایی بین 122در کشوری -6تعداد برای هر زوجی از شهرها، کم ترین شهری به دیگر شهرها بروید )احتماال با تغییر هواپیما(.

تمامی مجموع مربعات است، را حساب می کنیم. برای رسیدن از یکی به دیگری الزمپروازها که حمل نقص بیش ترین مقدار ممکن برای این کشور می نامیم. نقص حمل و نقل عدد را 4962این

باشد. )اعشاری( یک عددبایستی چند است؟ جواب و نقل

Translated by: Amir Reza Arab

Formula of Unity Olympiad Secretariat in Iran

WWW.MathSymbol.ir