Ecole d’Ingenieurs / Centre de RechercheDepartement Mecanique et Comportement des Materiaux941, rue Charles BourseulBP 838 - 59 508 Douai Cedex - FranceTel. (33) 3 27 71 23 18 / Fax (33) 3 27 71 29 18

Formation Continue Diplomantea Distance

Resistance des Materiaux

Traction simpleCompression simple

Cisaillement pur

Said HARIRIhariri@ensm-douai.fr

Utilisation Interne 2003

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Table des matieres

1 Traction simple 41.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Courbe conventionnelle de traction . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Courbe rationnelle de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Relations contraintes / deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Generalisation de l’essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Dimensionnement d’une poutre soumise a une traction simple . . . . . 10

1.5.1 Sollicitations constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1.1 Section constante d’aire S . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1.2 Section variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Sollicitations variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Compression simple 12

3 Cisaillement pur 133.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Essai de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3

Liste des figures

1 Principe de l’essai de traction normalise . . . . . . . . . . . . . . 52 Courbe conventionnelle de traction d’un acier . . . . . . . . . . 63 Courbe rationnelle de traction d’un acier . . . . . . . . . . . . . 74 Generalisation de l’essai de traction - Volume elementaie . . . 95 Coefficients de concentration de contraintes pour des poutres

entaillees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Coefficients de concentration de contraintes pour des trous et

des raccordements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Exemples de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Schema de principe de l’essai de cisaillement . . . . . . . . . . . 159 Courbe de cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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1 Traction simple

1.1 Hypotheses

Hypothese 1 (Hypoheses traction) Les hypotheses classiques de laR.D.M sont supposees verifiees, avec les particularites suivantes :

– La ligne moyenne est une droite de longueur L

– Cette longueur L est superieure a cinq fois la plus grande dimension de lasection droite

– Au centre de gravite de G de la section droite d’abscisse x, les elements dereduction verifient: N 6= 0, T = 0, M = 0, C = 0

– Les charges sont supposees uniformement reparties sur les sections extremesde la poutre.

1.2 Essai de traction

L’essai de traction, normalise, est a la base de la caracterisation des materiaux. Sonprincipe est decrit sur la figure 1.

Par l’intermediaire d’une machine de traction, on soumet une eprouvette normalisee(voir norme d’essai de traction) a un effort longitudinal F croissant. Cette eprouvette estconstituee d’un materiau homogene de type acier doux. La section initiale est constanted’aire S0.

On notera par ∆Li la variation de longueur d’un segment de reference Li (segmentparallele a la force F ).

On verifie que la variation relative de longueur est la meme quel que soit le segmentde reference initial Li prise dans la zone calibree de longueur totale L0.

On notera par ε11 cette variation relative de longueur, soit:

∆L1

L1

=∆L2

L2

= · · · = ∆Li

Li

= ε11 (1)

1.2.1 Courbe conventionnelle de traction

Au cours de l’essai, on enregistre la force et les deformations, et on obtient la courbecaracteristique (pour un acier), sur laquelle on peut distinguer trois zones specifiques(cf.Fig2).

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L0

L1

L2

Li

F

F

Fig. 1 – Principe de l’essai de traction normalise

– Entre O et A (zone limitee par la force Fe), le comportement est lineaire etreversible. Si on applique un effort F = F1 inferieur ou egal a Fe, qu’on diminueprogressivement jusqu’a zero, le point M decrit la droite MO. Lorsque F = 0, lavariation relative de longueur ε11 est nulle, autrement dit a F = 0 l’eprouvettereprend sa forme et ses dimensions initiales. Si on recommence l’essai on decritla droite dans le sens OM (sens de chargement). Cette premiere zone est appeleedomaine elastique lineaire. Il est caracterise, en plus de la linearite et de lareversibilite du phenomene, par le fait que les deformations (ou ∆L/L dans lecas de la traction simple) restent tres petites et negligeables a l’ordre deux.

– Entre A et B, ε11 augmente presque sans variation de la force de traction F. Ils’agit d’un palier ductile qui n’existe pas pour tous les materiaux.

– Le long de ABCD, on enregistre de grandes deformations. Dans cette zone onperd la linearite et la reversibilite du phenomene de deformation. En effet, si onamene la force jusqu’a une valeur F2 ≥ Fe, puis on la diminue progressivementjusqu’a zero, on ne repasse plus par la courbe de chargement mais on decrit unedroite GO’ . Cette droite est parallele a la droite OA, et pour F = 0, il resteune deformation residuelle ou permanente representee par le segment OO’. Acharge nulle, l’eprouvette ne retrouve plus ni sa forme ni ses dimensions initiales.Ce domaine des grandes deformations est aussi appele domaine plastique ou

6

F

εεεε11=∆∆∆∆LL

O

AB

G C

D

MF1

Fmax

F2

Fe

O’

Fig. 2 – Courbe conventionnelle de traction d’un acier

domaine de plasticite.

– Au point C, apparaıt le phenomene de striction: une des sections droitesdiminue enormement et la rupture ne tarde pas a se produire dans cettesection.

Remarque : Apres l’apparition de la striction la deformation se localisedans la section, ou apparaıt cette striction.

– Au point D, on atteint la valeur ultime de l’effort de traction (effort ultimeou effort de rupture).

1.2.2 Courbe rationnelle de traction

En tenant compte des equations d’equilibre et des hypotheses de la traction simple,on montre que la contrainte de traction σ11 verifie:

σ11 =F

S= −N

S(2)

ou S est la section droite de la poutre, N l’effort normal dans cette section.

On peut alors rendre les resultats de l’essai de traction representatifs du comporte-ment du materiau, en eliminant l’incidence de la geometrie. La courbe conventionnellede traction est transformee en courbe rationnelle de traction traduisant l’evolution

7

de la contrainte de traction (et non plus de la force) en fonction de la deformation (cf.Fig.3). On distingue generalement deux domaines distincts:

– Un domaine elastique (entre 0 ≤ σ11 ≤ σe).

C’est le domaine borne par σe la limite elastique du materiau, dans lequel,le comportement du materiau est elastique, lineaire et reversible. Les theories del’elasticite lineaire et de la R.D.M ne concernent que ce domaine elastique. Onnotera par:

– ε11 la variation relative de longueur selon la direction→e1 d’application de

l’effort de traction

– ε22 et ε33 les variations relatives de longueur selon deux directions→e2 et

→e3

appartenant au plan de la section droite et perpendiculaires a la directiond’application de l’effort de traction

– Un domaine plastique (pour σ ≥ σe)

C’est le domaine des grandes deformations. Le phenomene de deformationn’est plus lineaire ni reversible. La theorie qui s’applique dans ce domaine est latheorie de la plasticite.

σσσσ11

εεεε11=∆∆∆∆LL

O

AB

CσσσσR

σσσσe

Fig. 3 – Courbe rationnelle de traction d’un acier

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1.3 Relations contraintes / deformations

Dans le domaine elastique, pour une eprouvette constituee d’un materiau elastiquelineaire soumise a un effort de traction, on verifie :

σ11 = E ε11

ε22 = ε33 = −ν ε11

σ11 = FS

(3)

Avec:

E: module d’young du materiau (ou module d’elasticite longitudinale)

ν: coefficient de Poisson du materiau

N: effort normal (N=-F)

1.4 Generalisation de l’essai de traction

Definition 1 (Materiau homogene) Par definition un materiau est dithomogene si un meme etat de contraintes conduit a un meme etat de deformationquel que soit le point considere a l’interieur du solide

Definition 2 (Materiau isotrope) Un materiau est dit isotrope si aucunedirection n’est privilegiee vis a vis des contraintes ou des deformations. C’est lecas de la plupart des materiaux metalliques, de nombreux materiaux polymeres,...

.

Propriete 1 (Generalisation a 3 dimensions) Pour un materiau elas-tique lineaire, soumis a trois sollicitations de traction σii selon trois directionsperpendiculaires

→ei, les contraintes et les deformations sont liees par les relations

suivantes: ε11 = 1

E[σ11 − ν (σ22 + σ33)]

ε22 = 1E

[σ22 − ν (σ11 + σ33)]

ε33 = 1E

[σ33 − ν (σ11 + σ22)]

(4)

9

O

e1

e2

e3

Fig. 4 – Generalisation de l’essai de traction - Volume elementaie

En effet, considerons le volume elementaire de la figure 4, constitue d’un materiauelastique lineaire homogene et isotrope et dont les facettes sont perpendiculaires auxaxes

→e1,

→e2 et

→e3.

σ11 σ22 σ33 σ11 + σ22 + σ33

ε11σ11

E−ν σ22

E−ν σ33

Eε11 = σ11

E− ν σ22

E− ν σ33

E

ε22 −ν σ11

Eσ22

E−ν σ33

Eε22 = −ν σ11

E+ σ22

E− ν σ33

E

ε33 −ν σ11

E−ν σ22

Eσ33

Eε33 = −ν σ11

E− ν σ22

E+ σ33

E

Tab. 1 – Deformations dues a une sollicitation de traction tridirectionnelle

Par application successive d’un effort de traction respectivement selon les directions→e1,

→e2 et

→e3, on determine les deformations associees. Puis de meme, par application en

meme temps des trois efforts de traction. On notera par σii la contrainte de tractionassociee a l’effort applique selon

→ei. Les resultats sont regroupes dans le tableau1.

10

Remarque : Ces relations sont inversibles, et connaissant les deformations(ε11, ε22, ε33) on peut determiner les contraintes par:

σ11 = E

1+νε11 + ν E

(1+ν)(1−2ν)(ε11 + ε22 + ε33) = 2 µ ε11 + λ (ε11 + ε22 + ε33)

σ22 = E1+ν

ε22 + ν E(1+ν)(1−2ν)

(ε11 + ε22 + ε33) = 2 µ ε22 + λ (ε11 + ε22 + ε33)

σ33 = E1+ν

ε33 + ν E(1+ν)(1−2ν)

(ε11 + ε22 + ε33) = 2 µ ε33 + λ (ε11 + ε22 + ε33)

(5)Ou λ et µ sont les coefficients de Lame du materiau, avec:

µ = E2 (1+ν)

λ = ν E(1+ν)(1−2 ν)

E = µ3 λ+2 µλ+µ

ν = λ2 (λ+µ)

(6)

Remarque : µ est aussi note par G et appele module de Coulomb oumodule d’elasticite transversal

1.5 Dimensionnement d’une poutre soumise a une tractionsimple

Comme nous venons de le voir, en traction simple, seul l’effort normal N est nonnul, et N=-F (F etant l’effort de traction).

En pratique, on determine la contrainte utile ou admissible σu a partir de la limiteelastique σe par une relation du type:

σu =σe

α(7)

ou α est un coefficient de securite (superieur ou egal a un) qui doit tenir compte desdifferentes incertitudes inherentes a un probleme de R.D.M. On peut en general mettrece coefficient α sous la forme d’un produit de coefficients d’incertitude, par exemple :

α = αm . αe . αf · · · (8)

Avec :

αm: coefficient pour couvrir l’incertitude sur l’homogeneite du materiau (1.2 pourun materiau lamine, 1.1 pour un materiau moule, ...)

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αe: coefficient pour couvrir les incertitudes sur les caracteristiques mecaniques dumateriau (1.2 si on a effectue un seul essai de traction, 1 si on a procede selon lesnormes, ...)

αf : coefficient pour couvrir l’incertitude sur les charges appliquees.

Dans tous les cas (sauf en aeronautique) α est superieur ou egal a 1.5.

1.5.1 Sollicitations constantes

Deux cas peuvent se presenter

1.5.1.1 Section constante d’aire S Dans ce cas on verifie que la contrainte detraction en tout point de la poutre reste inferieure ou egale a la contrainte utile, soit:

σ11 = −N

S=

F

S≤ σu (9)

1.5.1.2 Section variable Les contraintes ne sont plus reparties uniformement danstoutes les sections droites et on observe un phenomene de concentration de contraintesau voisinage des discontinuites geometriques. Dans ce cas on verifie simultanement:

{σnom = −N

S≤ σu avec S = section reduite

k σnom ≤ σe avec k coefficient de concentration de contraintes(10)

Les coefficients de concentration de contraintes dependent de la geometrie de lapiece et de la discontinuite ainsi que de la sollicitation. Les figures 5 et 6 presententquelques exemples de coefficients de concentration de contraintes pour des poutressoumises a la traction, de sections rectangulaires ou circulaires.

1.5.2 Sollicitations variables

Lorsque la sollicitation varie dans le temps, les organes soumis a ces efforts variableset repetes peuvent se rompre sans que la contrainte n’ait depasse la limite elastiquedu materiau. Ce phenomene est appele phenomene de fatigue, et lorsqu’il risque de seproduire, en plus des verifications classiques, on doit dimensionner les structures poureviter ce phenomene. (voir cours sur la fatigue )

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Fig. 5 – Coefficients de concentration de contraintes pour des poutres en-taillees

2 Compression simple

Les resultats precedents etablis pour la traction s’appliquent a la compressionsimple, moyennant toutefois certaines adaptations des signes et restrictions sur la formedes pieces:

– Dans les formules, il faut changer de signe pour σ11 et les εij

– Une piece longue risque de flechir et rompre par flambement

– On notera par σe’ la valeur absolue de la limite elastique en compression dumateriau

En pratique, pour le dimensionnement ou la verification en compression

– On se protege d’abord contre le phenomene de flambement en verifiantque l’effort de compression reste inferieur a la charge critique de flambement (Voircours sur le flambement)

– En l’absence de risque de flambement, les relations equivalentes a celles obtenuesen traction restent applicables modulo les changements de signe et en remplacantσu parσu’=σe’/α

′ (contrainte utile ou admissible en compression) avec α′

coefficient de securite

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Fig. 6 – Coefficients de concentration de contraintes pour des trous et desraccordements

3 Cisaillement pur

3.1 Hypotheses

Hypothese 2 (Hypotheses-cisaillement pur) On posera les hypothesessuivantes:

– Au centre de gravite G de la section droite d’abscisse x, les elements de

reduction verifient: N = 0,→T 6=

→0, M = 0, C = 0

– Les charges sont supposees appliquees de sorte que seul l’effort tranchant estdifferent de zero. Ceci suppose que cet effort tranchant est localise dans unesection droite, sans possibilite d’etre accompagne d’un moment de flexion.La notion de cisaillement pur se rapporte non pas a un corps mais a unesection donnee d’un corps.

3.2 Exemples

Le cisaillement pur est tout a fait exceptionnel. Presque toujours, pour unesection donnee, il est combine avec d’autres sollicitations. Le cas le plus frequent estcelui de la flexion simple pour lequel l’effort tranchant est accompagne d’un momentde flexion.

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En pratique, on parle de cisaillement, lorsque les conditions de cisaillement pursont approximativement remplies dans une section et que de ce fait la contrainte decisaillement est la plus importante.

Le meilleur exemple est celui de la cisaille, dont les deux couteaux permettentd’appliquer l’effort de cisaillement dans un plan defini, contenant la section cisaillee. Onpeut citer aussi les exemples de rivet liant deux toles, de clavette, d’axe d’articulation,...(cf. Fig.7, ou les conditions de cisaillement sont remplies pour les sections notees S’)

Articulation

S’

CouteauSup.

CouteauInf.Cisaille

S’

Tôle 1

Tôle 2

Rivet

F

F

FF

S’

2F

FF Arbre

Moyeu

ClavetteS’F

F

Clavette

Fig. 7 – Exemples de cisaillement

3.3 Essai de cisaillement

Lors de l’essai de cisaillement pur, les sections infiniment voisines ab et a’b’ glissenten bloc l’une par rapport a l’autre. Donc on peut admettre que dans cette sectioncisaillee, la condition de cisaillement pur est approximativement remplie. Si on notepar γ l’angle de cisaillement (mam’) , avec m la position initiale du point appartenanta la section cisaillee et m’ sa position finale ou position apres deformation (cf. Fig.8). Sion releve la courbe representant T/S en fonction de l’angle γ, on obtient un diagrammed’allure semblable a celle de la traction pure (cf. Fig.9).

On remarque en particulier que le debut de la courbe est rectiligne, ce qui tra-duit le fait que les efforts et les deformations sont directement proportionnels dans le

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dx

a

a1

b

a’m

m1

m’1

2T

m

m’

aγγγγ

Fig. 8 – Schema de principe de l’essai de cisaillement

domaine elastique. Au dela de τe (limite elastique en cisaillement du materiau), la re-lation contrainte-deformation n’est plus lineaire ni reversible. Pour T/S>τe, lorsqu’onabaisse progressivement la valeur de T jusqu’a zero, on decrit une droite parallele acelle du premier domaine elastique (domaine pour lequel 0 ≤ T/S ≤ τe). A T=0 unedeformation residuelle subsiste. Enfin pour T/S=τR, il y a rupture de l’eprouvette.

Pour que cet essai s’approche le plus des conditions requises pour le cisaillementpur, il faut respecter des conditions geometriques tres strictes. Entre autres, il fautque les bras de leviers (dx sur le dessin) restent tres petits sans generer de contactsparasites dans le montage d’essai. Ces conditions sont tres difficiles a respecter. Cecifait que l’essai de cisaillement pur ne peut etre conduit avec la meme precision et lameme rigueur que l’essai de traction. Il permet neanmoins de remarquer l’analogieentre les deux essais et de definir comme, en traction, des caracteristiques du materiauexplicitant son comportement en cisaillement.

On remarque ainsi deux domaines de comportement:

– Le domaine elastique lineaire defini par 0 ≤ T/S ≤ τe

– Le domine plastique defini par T/S=τe

Dans le domaine elastique, on relie la contrainte de cisaillement τ=T/S a l’angle decisaillement γ par τ = µγ = Gγ avec µ = G = E

2(1+ν)module de Coulomb ou deuxieme

coefficient de Lame.

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T/S

γγγγO

ττττR

ττττe

ββββ

Fig. 9 – Courbe de cisaillement pur

Remarque : Supposons que l’effort de cisaillement est applique selon l’axe→ey, l’angle γ represente la variation de l’angle droit initialement entre

→ex et

→ey.

Si on note par σxy =T/S la contrainte de cisaillement, la relation τ = µ γ = G γs’ecrit σxy = 2µ εxy.

Comme pour la traction, on peut generaliser le cisaillement par application del’effort de cisaillement selon les autres axes du repere. Ainsi la relation generalese met sous la forme σij = 2µ εij pour i different de j.

CONCLUSION: LOI DE COMPORTEMENT GLOBALE

Pour un solide elastique lineaire, la loi de comportement se generalise sous la formesuivante :

σij = 2µ εij + λ(ε11 + ε22 + ε33) δij avec δij = 0 si i 6= j et δij = 1 si i = j

Cette loi est appelee loi de Hooke generalisee.