ENSAYO

Maestría: Enseñanza de las Matemáticas con mención en Educación Primaria

FORMAS Y USOS DEL RAZONAMIENTO

ABDUCTIVO

Curso : Razonamiento y Justificación

Profesora : Estela Vallejo Vargas

Integrantes : Pedro Manuel Vidal Chavarría

Jorge Fernando Cárdenas Canchanya

Artículo elegido : Form and uses of abduction (David A. Reid, 2004)

Año : 2015

RESUMEN DEL ARTÍCULO Form and uses of abduction (David A. Reid, 2004)

Reid (2004) presenta una completa cronología sobre los hitos del razonamiento abductivo en la

educación matemática. Él organiza varias descripciones de razonamiento abductivo encontradas en la

literatura en cuanto a sus formas lógicas, la relación entre los aspectos específicos y generalidades

que se encuentran en ellos y los usos sugeridos para el razonamiento abductivo. Estos ejemplos son

dados en las clases de matemáticas y se describen haciendo uso de la tipología desarrollada.

Según el autor, para que el razonamiento abductivo sea provechoso en la educación matemática, debe

tener una base en la literatura existente sobre el razonamiento, además de ser aplicable al

razonamiento que se observa en las clases de matemáticas. Dice Reid (2004) que los usos actuales de

la palabra "abducción" y "abductiva" (en lógica) se deben a Peirce, quien hizo hincapié en la forma

lógica de la abducción.

Hacia 1867, Peirce se centró en los silogismos y sobre el papel de personajes de casos y clases

específicas. Un caso S ("esta canica") podría ser un miembro de una clase M ("las canicas en esta

bolsa") y tienen un número de caracteres P ', P”, etc. ("blanca", "hecha de vidrio", etc.).

DEDUCCIÓN INDUCCIÓN ABDUCCIÓN

Cualquier M es P S’ S” S’” etc. es tomada al azar como M’s Cualquier M es, por ejemplo, P’ P” P”’, etc.

S es M S’ S” S”’ etc. son P S es P’ P” P”’

S es P Cualquier M es probablemente P S es probablemente M Tabla 1. Clasificación de Peirce en 1867 Fuente: Reid (2004)

S es el sujeto, S’ S” S”’ son una serie de casos concretos, P es el predicado y P’ P” P”’ una serie de caracteres.

Posteriormente, en 1878, Peirce reformulará sus escritos con estas características:

DEDUCCIÓN INDUCCIÓN ABDUCCIÓN

Regla M es P Caso S es M Regla M es P

Caso S es M Resultado S es P Resultado S es P

Resultado S es P Regla M es P Caso S es M Tabla 2. Clasificación de Peirce en 1878 Fuente: Reid (2004) Adaptado

Donde: S es “Estos frijoles” , P es “Son blancos” y M son “Todos los frijoles de esta bolsa”

Finalmente en 1903 Peirce describe la abducción de una manera distinta a las dos veces anteriores,

esta vez con la siguiente fórmula: C A implica C A

Mientras que Eco 1983, (Citado en Reid, 2004) también presenta tres variedades de abducción:

Hipótesis o abducción

sobrecodificada

La clase tiene una característica.(Regla única)

El caso tiene esa característica .(Resultado)

El caso es un miembro de la clase. (Caso)

Abducción bajo el código Resultado: Regla elegida entre varias reglas conocidas : Caso

Abducción creativa Resultado: Nueva regla, Caso. Tabla 3. Clasificación de Eco. Fuente: Reid (2004) Adaptado

Como ejemplos de razonamiento abductivo, Reid (2004) nos presenta dos casos. Uno de ellos es

aquel donde un profesor está trabajando una clase de Geometría con escolares que tienen entre 13 a

14 años, a través del Teorema de Pitágoras, ellos concluyen que la figura ABCD es un rombo porque

tiene cuatro lados iguales; los alumnos van discutiendo y a la vez construyen un conocimiento como

que el rombo tiene cuatro lados iguales y esto también lo convierte en un cuadrado, que también tiene

un ángulo recto y bajo estas características van concluyendo abductivamente así:

Caso – ABCD es un rombo.

Resultado - ABCD es un cuadrado.

Regla: si un rombo tiene un ángulo recto, entonces es un cuadrado.

Caso - ABCD tiene un ángulo recto. Figura 1. Rombo ABCD Fuente: Reid (2004)

Como el autor manifiesta, se hace complicado operar en estas situaciones. En cuanto a la

especificidad o generalidad de las premisas y la conclusión de esta abducción, todo menos la regla

parecen ser específicos de ABCD. Según lo propuesto por Eco esta situación sería la de una

abducción sobrecodificada porque existen muchas reglas que los estudiantes han utilizado.

Un segundo caso sucede con tres estudiantes de 13 y 14 años de edad, quienes resolvían el problema

de determinar el número de apretones de mano que sucede cuando n personas se dan la mano.

Primero debían explicar por qué hay 15 apretones de manos cuando 6 personas se dan la mano,

después se les encomendó la tarea de encontrar la cantidad de apretones que suceden al encontrarse

26 y 300 personas, en la siguiente figura podemos

ver a la izquierda el gráfico que utilizaron los

alumnos para determinar el número de apretones

de mano en 6 personas y a la derecha el diagrama

hecho por una niña para encontrar la cantidad de

apretones de mano en 26 personas.

Figura 2. Esquemas utilizados por los niños Fuente: Reid (2004)

Los niños discutieron si ese mismo razonamiento podía ser utilizado para encontrar la cantidad de

saludos para 300 personas y se percatan que les salen dos cantidades 325 y 338, hasta que uno de

ellos utiliza el razonamiento abductivo para llegar a la regla general n x n/2 – n/2.

Para Eco, este tipo de abducción sería llamado una abducción creativa porque uno de los niños ha

inventado una regla general para el método de la niña.

CRÍTICA DEL ARTÍCULO Form and uses of abduction (David A. Reid, 2004)

El presente artículo nos demandó el esfuerzo de intentar entender y explicar acerca de los procesos de

razonamiento abductivo. Sabemos que el tema es poco usual y bastante complejo. El abductivo es el

tipo de razonamiento menos estudiado en comparación con los razonamientos deductivo e inductivo.

El razonamiento abductivo está presente en nuestra vida diaria, como aquel que usa el médico cuando

hace un diagnóstico al ver los síntomas que está presentando su paciente o el policía que hace

preguntas y conjetura sobre la identidad de un posible delincuente.

Investigamos acerca del razonamiento abductivo y encontramos que cobra importancia en el siglo

XIX, gracias a los aportes de Charles Sanders Peirce (1839-1914) quien manifiesta que “la abducción

es el proceso de formar una hipótesis explicativa. Es la única operación lógica que introduce alguna

idea nueva” (Soler, 2012, p. 3).

En el campo matemático, el investigador David Reid está introduciendo las primeras formas y usos

de razonamiento abductivo en la educación matemática. En su artículo Forms And Uses of

Abduction, Organiza varias descripciones de razonamiento abductivo y nos lo grafica a través de

ejemplos de razonamiento abductivo dados en las clases de matemáticas.

Para Peirce, citado por Reid (2004) la abducción, la deducción y la inducción son los tres modos de

inferencia; sin embargo, la abducción es la única que puede generar ideas nuevas.

Encontramos interesante este tema de la abducción porque es el proceso de formar una hipótesis

explicativa, es la única operación lógica que introduce alguna idea nueva; pues la inducción no hace

más que determinar un valor y la deducción desarrolla solo las consecuencias necesarias de una pura

hipótesis. Así, la deducción prueba que algo debe ser; la inducción muestra que algo es realmente

operativo; y la abducción, tipo de inducción que va de lo particular a lo particular, sólo sugiere que

"algo puede ser".

Consideramos relevante este artículo porque el aporte del razonamiento inductivo a la educación

matemática es algo que Reid trata de demostrar y se ve gráficamente presentado cuando menciona

esos dos casos prácticos desarrollados en clases escolares de matemáticas, estos casos más la base

teórica nos hacen sentir seguridad que el razonamiento abductivo siempre ha estado presente en los

estudiantes y maestros, pero nos faltaba información para saber reconocerlo, comprenderlo y

orientarlo hacia nuestros objetivos matemáticos en clase.

ENUNCIADO DE LOS PROBLEMAS EMPLEADOS PARA LA APLICACIÓN CON

ESTUDIANTES

A los estudiantes se les entregó una ficha fotocopiada por ambas caras, la situación 1 planteada fue:

Figura 3. Situación 1 Fuente: Propia

La situación 2 planteada consistió en:

Figura 4. Situación 2 Fuente: Propia

Los problemas presentados están vinculados con el artículo de Reid (2004) porque mediante ellos

buscamos encontrar el tipo de razonamiento que presentan los estudiantes ante un problema que

podríamos considerar abductivo porque no permite tener una seguridad total de la respuesta. La

situación 1 está centrada específicamente en el contexto matemático, que es lo que el autor trata

de integrar al tema de razonamiento abductivo.

En relación a los contenidos del curso Razonamiento y Justificación, los encontramos en tipos de

razonamientos presentados a través de episodios en clase; también en las fases previas a la

demostración matemática, cuando los estudiantes tienen que justificar o demostrar sus respuestas.

Elegimos cuatro estudiantes de 6to grado de primaria de la Institución Educativa Estatal “Romeo

Luna Victoria”, en el distrito de San Borja. Ellos (3 varones y una niña) tienen entre 11 y 12 años

de edad y fueron elegidos a consecuencia de tener calificaciones aprobatorias en el área de

Matemática.

Para esta aplicación se utilizó los ambientes de la biblioteca del colegio, es decir un ambiente

tranquilo, silencioso y alejado del resto de sus compañeros que se quedaron en el aula de clases.

En el nivel primario de la EBR, específicamente en el 6to grado (V Ciclo) figura entre las

competencias de Número y operaciones lo siguiente: Resuelve y formula, con autonomía y

seguridad, problemas que requieren del establecimiento de relaciones entre números naturales,

decimales y fracciones, y sus operaciones, argumentando los procesos empleados en su solución

e interpretando los resultados obtenidos. Consideramos que en esta competencia está incluida la

situación 1 presentada a los estudiantes.

Tras revisar los documentos del currículo educativo nacional, no encontramos explícitamente al

razonamiento abductivo o a los tipos de razonamiento como conocimiento en algún grado de la

educación primaria, encontramos sí, que en el V ciclo se pide argumentar y demostrar seguridad

para las situaciones problemáticas que desarrolle; este sería el pequeño punto de apoyo donde se

podría apoyar nuestra propuesta de ejercitar a nuestros estudiantes en el razonamiento lógico.

El razonamiento abductivo está presente en nuestra vida diaria pero no lo reconocemos porque

simplemente ignoramos en qué consiste, a través de él podemos llegar a reconocer si nuestros

estudiantes están razonando y justificando con seguridad.

Consideramos importante que los docentes sepamos el tipo de razonamiento que emplean

nuestros estudiantes y que a veces, ante preguntas poco claras, el alumno no nos responde con la

respuesta que esperábamos, porque la situación que le planteamos tampoco les era clara.

A través de la aplicación con estudiantes de 6to grado, observamos con beneplácito que su

razonamiento no se deja llevar por algunos indicios sino que ellos reclaman saber más

información antes de emitir un juicio.

RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES ANTE LA SITUACIÓN 1

Ante esta situación que podríamos llamar del tipo Abducción bajo el código porque si hay un caso,

había varias reglas para seleccionar, la estudiante 1 respondió de esta manera:

Figura 5. Situación 1, estudiante 1 Fuente: Propia

Por su parte, el estudiante 2 respondió:

Figura 6. Situación 1, estudiante 2 Fuente: Propia

El estudiante 3 respondió:

Figura 7. Situación 1, estudiante 3 Fuente: Propia

Finalmente, ante la situación 1, el estudiante 4 respondió de la siguiente manera:

Figura 8. Situación 1, estudiante 4 Fuente: Propia

RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES ANTE LA SITUACIÓN 2

La situación 2 también podría ser clasificada como una del tipo Abducción bajo el código porque hay

un caso, había varias reglas para seleccionar.

La estudiante 1 respondió así:

Figura 9. Situación 2, estudiante 1 Fuente: Propia

En tanto, el estudiante 2 presentó lo siguiente:

Figura 10. Situación 2, estudiante 2 Fuente: Propia

Por su parte, el estudiante 3 emitió lo siguiente:

Figura 11. Situación 2, estudiante 3 Fuente: Propia

Finalmente, el estudiante 4 respondió:

Figura 12. Situación 2, estudiante 4 Fuente: Propia

ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES ANTE LA SITUACIÓN 1

ESTUDIANTE 1

La estudiante 1 considera que Carlitos está respondiendo mal y lo justifica reproduciendo su posible

respuesta en la pirámide. Notamos que la estudiante 1 incurre en un error pues no ha ubicado los

números en la posición adecuada para que sea el 20 el que esté en lo más alto de la pirámide. Esto

nos indica que emitió una decisión abductivamente, ya que ante algunos indicios tomó una decisión.

ESTUDIANTE 2

Por su parte, el estudiante 2 cree que Carlitos sí respondió bien pero luego piensa que no totalmente

porque había otra forma que también cumple la condiciones y la reproduce en la pirámide que tiene

su ficha. Consideramos que este estudiante exploró más allá de los indicios y no decidió solo a partir

de ellos, por lo tanto su razonamiento no fue abductivo.

ESTUDIANTE 3

Mientras tanto, el estudiante 3 identificó primero a todos los números pares mayores que 0 y menores

que 22, luego reconoció que los que Carlitos había mencionado eran de ese conjunto y emitió la

opinión que lo dicho por Carlitos estaba bien aunque menciona que también existían otras

posibilidades. Este estudiante no tuvo un razonamiento abductivo ya que no se conformó con la

información que aparecía y buscó otras posibles soluciones al problema.

ESTUDIANTE 4

Finalmente, el estudiante 4 asume que lo dicho por Carlitos estaba mal y ensaya una pirámide donde

sí es posible llegar a completarla pero quitando el 4 y el 14 y poniendo en su lugar al 8 y al 10.

Concluimos que el estudiante 4 también tomó un razonamiento abductivo, ya que emitió un juicio a

partir de los indicios que le presentaba el problema, aunque a la hora de desarrollar su pirámide

encontró una solución alternativa a la de Carlitos.

ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES ANTE LA SITUACIÓN 2

ESTUDIANTE 1

Frente a la situación 2, la estudiante 1 manifestó un poco más de cautela para no dar una respuesta

tan determinante como en la situación anterior y respondió que no podía tener seguridad de que

Wilder sea el delincuente, que ella lo pondría en calidad de sospechoso, ante esta respuesta

consideramos que la estudiante 1 esta vez no hizo un razonamiento abductivo.

ESTUDIANTE 2

En tanto, el estudiante 2 manifestó no estar tan seguro que Wilder sea uno de los delincuentes porque

piensa que le faltaba conocer más características, esto nos demuestra que el estudiante 2 no razonó

abductivamente frente a esta situación.

ESTUDIANTE 3

El estudiante 3 también coincide con sus dos compañeros anteriores a la hora de emitir su respuesta,

él considera que para estar seguro de la culpabilidad de Wilder, necesita conocer más características

que aquellas dichas por la víctima del asalto. Por lotanto, concluimos que el estudiante 3 no usó un

razonamiento abductivo.

ESTUDIANTE 4

Por su parte, el estudiante 4 a la lectura de la información presentada, considera que Wilder sí es uno

de los delincuentes que huyó luego del asalto a la víctima. Esta manera de responder indica que ha

utilizado un razonamiento abductivo ante esta situación porque se conformó con los indicios

presentados para emitir un juicio determinante.

CRÍTICA DEL GRUPO FRENTE AL TRABAJO CON LOS ESTUDIANTES

El grupo formado para hacer este trabajo considera de suma importancia hacer este tipo de aplicación

de los conocimientos e información adquiridos en la Maestría, porque así “aterrizamos” lo que podría

considerarse ideal ante la realidad que es ponerlo en práctica frente a los estudiantes.

Luego de haber leído el artículo el artículo Forms and Uses of abduction de Reid (2004) revisamos

otras fuentes acerca del tema en RAE (2014), Reid y Knipping (2010) y De Gortari (1965), además

de consultar a la profesora del curso, Estela Vallejo y decidimos presentar dos situaciones

problemáticas diseñadas con la idea de reconocer el tipo de razonamiento que presentaban los

estudiantes ante unas situaciones que eran compatibles con la clasificación de Eco 1983 (citado en

Reid, 2004) quien dice que la abducción es la búsqueda de la regla general y menciona tres clases:

hipótesis o abducción sobre codificada, abducción bajo el código y abducción creativa.

Figura 13. Estudiantes desarrollando la ficha Fuente: Propia

Al finalizar la aplicación escrita, se hizo la unificación de criterios con los investigadores, los

estudiantes salieron a la pizarra a justificar sus respuestas y la estudiante 1 reconoció que no había

probado todas las posiciones con los números dichos por Carlitos y por eso pensó que no era posible

que le salga la respuesta, los otros tres estudiantes confirmaron que habían más situaciones que las

dichas por el propio Carlitos para completar esta pirámide y que por lo tanto la seguridad de Carlitos

no estaba totalmente justificada.

Figura 14. Estudiante 1 demuestra en la pizarra Fuente: Propia

Debemos hacer notar que la unificación de criterios entre investigadores e investigados fue hecha

posterior a la entrega de la ficha desarrollada por los estudiantes, por lo que las respuestas de la

situación 2 no han recibido la influencia de ella, pero creemos que la lectura y el desarrollo de la

primera situación sirvió para que los estudiantes se ejerciten en el contexto.

Es relevante, practicar bastante estos tópicos con los estudiantes porque así aprenderán a razonar y

justificar con lógica, podrán argumentar con seguridad y serán capaces de solucionar problemas

porque contarán con una comprensión justificada de los textos.

Figura 15. Investigadores y estudiantes Fuente: Propia

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

De Gortari, E. (1965). Lógica General. México D.F. Editorial Grijalbo S.A.

Díaz, E. (1996). La ciencia y el imaginario social. Editorial Biblos. Buenos Aires.

Perú, Ministerio de Educación (2009). Diseño curricular nacional de la educación básica regular.

Lima. Recuperado de http://ebr.minedu.gob.pe/pdfs/dcn2009final.pdf

RAE (2014). Diccionario de la lengua española. Recuperado de: http://lema.rae.es/drae/?val=abduccion

Reid, D. (2004). Form and uses of abduction. European Research in Mathematics Education III.

CERME. Recuperado de

http://www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG4/TG4_Reid_cerme3.pdf

Reid, D. y Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics education research, learning and teaching.

Holanda: Sense Publishers.

Soler, F. (2012). Razonamiento abductivo en lógica clásica. Londres: Editorial College publications.

Vallejo, E. (2015). Programa analítico del curso Razonamiento y Justificación. Escuela de Posgrado

Maestría de Enseñanza de las Matemáticas. PUCP. Recuperado de

http://paideia.pucp.edu.pe/cursos/pluginfile.php/258690/mod_resource/content/1/S%C3%ADlab

o.pdf