Formalism.pdf

7/27/2019 Formalism.pdf

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C h a p t e r 3

F o r m a l i s m o f Q u a n t u m M e c h a n i c s

3 . 1 Q u a n t u m S y s t e m s

I n t h i s c o u r s e , o n l y n o n - r e l a t i v i s t i c q u a n t u m m e c h a n i c s i s c o n s i d e r e d . C l e a r l y , t h e c a s e o f

p h o t o n s i s e x c l u d e d s i n c e E = pc

. T h u s , b y q u a n t u m s y s t e m , o n e m e a n s o n e o f t h e f o l l o w i n g

c a s e s .

1 . A s i n g l e s t r u c t u r e l e s s p a r t i c l e m o v i n g i n a f o r c e e l d . T h e s o u r c e o f t h e f o r c e e l d i s

n o t i n c l u d e d i n t h e s y s t e m .

2 . A c o l l e c t i o n o f s t r u c t u r e l e s s p a r t i c l e s ( i d e n t i c a l o r o t h e r w i s e , d i s t i n g u i s h a b l e o r o t h e r -

w i s e ) i n t e r a c t i n g w i t h e a c h o t h e r a n d a f o r c e e l d .

3 . A c o l l e c t i o n o f t h e p a r t i c l e s w i t h i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m ( l i k e s p i n ) w h e r e t h e r e i s

n o c l a s s i c a l d i s c r i p t i o n .

C l a s s i c a l m e c h a n i c s t r e a t s t h e r s t t w o c a s e s . I n t h e s e c a s e s , t h e d e s c r i p t i o n o f t h e q u a n t u m

s y s t e m i s b a s e d o n t h e c l a s s i c a l d e s c r i p t i o n . T h e t h i r d c a s e w i l l b e h a n d l e d s e p a r a t e l y , l a t e r .

3 . 2 P o s t u l a t e s o f Q u a n t u m M e c h a n i c s

B e f o r e t h e w o r k i n g p o s t u l a t e s o f t h e q u a n t u m m e c h a n i c s a r e p r e s e n t e d , n o t e t h e f o l l o w i n g :

£ T h e m a t h e m a t i c a l r i g o u r i s n o t f o l l o w e d s t r i c t l y , t h u s m a k i n g t h e p o s t u l a t e s i n c o m p l e t e .

H o w e v e r , i n i n t r o d u c t o r y c o u r s e , t h e s e a r e e n o u g h .

£T h e a i m i s t o p r e s e n t a o p e r a t i o n a l q u a n t u m m e c h a n i c s f o r d e s c r i b i n g o b s e r v e d w o r l d .

T h e f o l l o w i n g t a b l e g i v e s t h e p o s t u l a t e s a s c o m p a r e d t o t h o s e o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s g i v e n f o r

a c a s e o f a s i n g l e p a r t i c l e i n e x t e r n a l f o r c e e l d i n 1 D . G e n e r a l i z a t i o n t o 3 D o r m a n y p a r t i c l e s

i s i m m e d i a t e .

1 7



C l a s s i c a l M e c h a n i c s Q u a n t u m M e c h a n i c s

I A s t a t e o f a c l a s s i c a l s y s t e m i s g i v e n b y a

p a i r o f r e a l n u m b e r s (x, p), w i t h x b e i n g

p o s i t i o n a n d p

b e i n g m o m e n t u m o f t h e

p a r t i c l e .

A s t a t e o f t h e q u a n t u m s y s t e m i s g i v e n

b y a v e c t o r Ψ i n s o m e H i l b e r t s p a c e H .

I I A n o b s e r v a b l e o r a d y n a m i c a l v a r i a b l e Ω

i s a r e a l v a l u e d f u n c t i o n o f x

a n d p

,

d e n o t e d b y ω(x, p)

.

L e t X

a n d P

b e t w o o p e r a t o r s o n H ,

s u c h t h a t X, P

= i .

X i s c a l l e d p o s i t i o n o p e r a t o r a n d

P i s

c a l l e d m o m e n t u m o p e r a t o r .

A n o b s e r v a b l e Ω

i s r e p r e s e n t e d b y a

h e r m i t i a n o p e r a t o r

Ω = ωx→ X, p→ P

o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g t h e o p e r a t o r s i n

p l a c e o f x

a n d p

i n c l a s s i c a l e x p r e s s i o n .

I I I A m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e Ω

i s

ω(x, p). T h e a c t o f m e a s u r e m e n t d o e s

n o t d i s t u r b t h e s t a t e o f t h e s y s t e m .

A m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e Ω

y i e l d s

a v a l u e f r o m t h e s e t o f e i g e n v a l u e s o f Ω

.

I f φ

i s a n e i g e n v e c t o r o f Ω

w i t h

e i g e n v a l u e λ

, t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f

o b t a i n i n g λ

a s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t

o n s y s t e m i n s t a t e

Ψi s g i v e n b y

P Ω(λ) ∝ |φ,Ψ|2 .

A s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t t h e s t a t e o f

t h e s y s t e m s u d d e n l y c h a n g e s f r o m Ψ

t o

φ.

I V T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s t a t e i s g i v e n

b y N e w t o n ' s l a w s .

d

dtx(t) =

p

md

dt p(t) = F (x,p,t)

T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s t a t e o f t h e

s y s t e m i s g i v e n b y S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n :

i d

dtΨ(t) = H Ψ(t).

W h e r e H i s t h e o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g

t o t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n o f t h e

s y s t e m .

1 8



D i s c u s s i o n

£ T h e r s t t h r e e p o s t u l a t e s a r e a b o u t t h e s t a t e o f t h e s y s t e m a n d c o m p u t i n g t h e v a l u e o f

t h e m e a s u r e m e n t o f d y n a m i c a l v a r i a b l e s a t s o m e i n s t a n t .

£P o s t u l a t e I d e n e s t h e s t a t e o f t h e s y s t e m . T o b e g i n w i t h , t h e c h o i c e o f t h e H i l b e r t s p a c e

i s a r b i t r a r y . A n y H i l b e r t s p a c e w i l l d o ! I n t h e t a b l e g i v e n b e l o w , t h e m o s t c o m m o n

c h o i c e i s g i v e n .

£N o t e t h a t s i n c e

Ψi s a n e l e m e n t o f a H i l b e r t s p a c e , s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e i s a u t o m a t i c .

£ P o s t u l a t e I I i s a c o r r e s p o n d a n c e b e t w e e n t h e c l a s s i c a l d y n a m i c a l v a r i a b l e s w i t h t h e

o p e r a t o r s o n H.

A g a i n , c h o i c e o f p o s i t i o n o p e r a t o r a n d m o m e n t u m o p e r a t o r i s a r b i t r a r y ,

e x c e p t t h e c o m m u t a t o r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o .

£ T h e p o s t u l a t e i s f u z z y o n t h e i s s u e o f o r d e r o f o p e r a t i o n , t h a t i s , i t i s u n c l e a r w h e t h e r t h e

c l a s s i c a l v a r i a b l e xp

w i l l b e X P

o r P X

o r

X P + P X

/2

. T h e l a s t c h o i c e i s a p p e a l i n g

s i n c e t h e o p e r a t o r i s h e r m i t i a n .

£P o s t u l a t e I I I c o n t a i n s l o t o f i n f o r m a t i o n . O n e c a n o r g a n i z e t h i s i n f o r m a t i o n i n f o l l o w i n g

s t e p s :

1 . G i v e n Ω

, n d a l l e i g e n v a l u e s ( m u s t b e r e a l s i n c e Ω

i s h e r m i t i a n ) . S u p p o s e t h e

s e t o f e i g e n v a l u e s i s d i s c r e t e a n d i s g i v e n b y ΛΩ = ωi | i = 1, 2, . . .

. L e t BΩ =

φi | i = 1, 2, . . .b e t h e s e t o f c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s .

BΩ i s a n o r t h o n o r m a l

b a s i s o f H.

2 . N o w e x p a n d t h e s t a t e Ψ

o f t h e s y s t e m i n t e r m s o f φi ,

Ψ =i

C iφi

w h e r e

C i = φi,Ψ.

3 . T h e s a m p l e s p a c e o f m e a s u r e m e n t o f Ω

i s ΛΩ . P r o b a b i l i t y o f g e t t i n g

ωi a s a r e s u l t

o f m e a s u r e m e n t i s g i v e n b y

P Ω (ωi) = |φi,Ψ|2 .£

I f t h e e i g e n v a l u e s o f Ω

a r e c o n t i n u o u s , p r o c e d u r e i s s t i l l t h e s a m e :

1 . G i v e n

ˆΩ

, n d a l l e i g e n v a l u e s ( m u s t b e r e a l s i n c e

ˆΩ

i s h e r m i t i a n ) . I n t h i s c a s e , t h e

s e t o f e i g e n v a l u e s i s s o m e s u b s e t o f R s a y ,ΛΩ ⊂ R. L e t

BΩ = φω |ω ∈ ΛΩ b e

t h e s e t o f c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s .BΩ i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f H.

2 . N o w e x p a n d t h e s t a t e Ψ

o f t h e s y s t e m i n t e r m s o f φi ,

Ψ =

ˆ ΛΩ

C (ω)φωdω

w h e r e C (ω) = φω,Ψ

.

1 9



3 . T h e s a m p l e s p a c e o f m e a s u r e m e n t o f Ω

i s ΛΩ . P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r

g e t t i n g ω

a s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t i s g i v e n b y

P Ω (ω) = |φω,Ψ|2

.

£O n e c a n d e n e a p r o j e c t i o n o p e r a t o r a s f o l l o w s : L e t

B = φi | i = 1, 2, . . . b e a n

o r t h o n o r m a l b a s i s o f H.

T h e n a n y s t a t e Ψ

c a n b e e x p a n d e d i n t e r m s o f φi ,

Ψ =i

C iφi

w h e r e C i = φi,Ψ . L e t

P i b e a n o p e r a t o r s u c h t h a t

P iΨ = φi,Ψφi.

N o t e t h i s p r o j e c t i o n o p e r a t o r h a s t h e s a m e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n a s t h a t o f p r o j e c t i o n

o n c o o r d i n a t e a x e s i n p l a n e g e o m e t r y . C l e a r l y ,

Ψ =i

P iΨ =⇒i

P i = I

w h e r e I

i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r .

£N o t e t h a t t h e P o s t u l a t e I I I a l s o m e n t i o n s t h a t a m e a s u r e m e n t w i l l a b r u p t l y c h a n g e t h e

s t a t e o f t h e s y s t e m . S u p p o s e m e a s u r e m e n t i s d o n e a n d y i e l d s a r e s u l t

ωi . T h e n t h e n e w

s t a t e w i l l b e φi . T h i s i s c a l l e d a s t h e c o l l a p s e o f t h e w a v e v e c t o r .

£T h e p r o b a b i l i t i e s g i v e n i n P o s t u l a t e I I I a r e t o b e i n t e r p r e t e d i n f r e q u e n c y o r e n s e m b l e

s e n s e ( S e e M a t h P r i m e r . ) .

3 . 3 W a v e M e c h a n i c s

I n c h a p t e r 2 , t h e Q M w a s i n t r o d u c e d u s i n g w a v e f u n c t i o n s . T h a t i s a f r e e p a r t i c l e w a s a s -

s o c i a t e d w i t h a w a v e f u n c t i o n Ψ(x, t)

, a n d p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f i t s l o c a t i o n w i t h

|Ψ(x, t)|2.W h e n t h e H i l b e r t s p a c e i s c h o s e n t o b e

L2(R), t h e q u a n t u m m e c h n i c s i s m o r e

p o p u l a r l y k n o w n a s w a v e m e c h a n i c s .

2 0



Q u a n t u m M e c h a n i c s W a v e M e c h a n i c s

I A s t a t e o f t h e q u a n t u m s y s t e m i s g i v e n

b y a v e c t o r Ψ

i n s o m e H i l b e r t s p a c e

H.

L e t H = L2(R). T h e s t a t e o f t h e s y s t e m

i s g i v e n b y a s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n

Ψ(x).

I I L e t X

a n d P

b e t w o o p e r a t o r s o n H

,

s u c h t h a t X, P

= i .

X i s c a l l e d p o s i t i o n o p e r a t o r a n d

P i s

c a l l e d m o m e n t u m o p e r a t o r .

A n o b s e r v a b l e

Ωi s r e p r e s e n t e d b y a

h e r m i t i a n o p e r a t o r

Ω = ω x→X, p

→P

o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g t h e o p e r a t o r s i n

p l a c e o f x

a n d p

i n c l a s s i c a l e x p r e s s i o n .

C h o o s e X

a n d P

Xf (x) = xf (x)

P f (x) = −i ddx

f (x).

C h e c k t h a t X, P

= i

h o l d s .

I I I A m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e Ω

y i e l d s

a v a l u e f r o m t h e s e t o f e i g e n v a l u e s o f Ω

.

I f φ

i s a n e i g e n v e c t o r o f Ω

w i t h

e i g e n v a l u e λ

, t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f

o b t a i n i n g

λa s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t

o n s y s t e m i n s t a t e Ψ

i s g i v e n b y

P Ω(λ) ∝ |φ,Ψ|2 .

A s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t t h e s t a t e o f

t h e s y s t e m s u d d e n l y c h a n g e s f r o m Ψ

t o

φ.

I V T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s t a t e o f t h e

s y s t e m i s g i v e n b y S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n :

i d

dtΨ(t) = H Ψ(t).

W h e r e H

i s t h e o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g

t o t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n o f t h e

s y s t e m .

C l a s s i c a l H a m i l t o n i a n i n c a s e o f

c o n s e r v a t i v e f o r c e e l d i s j u s t t h e t o t a l

e n e r g y , t h a t i s

H =P 2

2m+ V (x)

H =

−

2

2m

d2

dx2

+ V X T h e S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n b e c o m e s

i ∂

∂tΨ(x, t) = −

2

2m

d2

dx2Ψ(x, t)+V (x)Ψ(x, t).

H e r e a r e s o m e f e a t u r e s o f w a v e m e c h a n i c s :

2 1



£T h e c h o i c e o f t h e p o s i t i o n o p e r a t o r a n d m o m e n t u m o p e r a t o r a r e n o t u n i q u e . H e r e i s a n

a l t e r n a t e c h o i c e :

Xf ( p) = i d

dpf ( p)

P f ( p) = pf ( p).

T h i s c h o i c e i s a s g o o d s i n c e

X, P

= i

h o l d s . T h i s a s s i g n m e n t i s c a l l e d m o m e n -

t u m s p a c e r e p r e s e n t a t i o n a s o p p o s i t e t o t h e e a r l i e r c h o i c e , w h i c h i s c a l l e d r e a l s p a c e

r e p r e s e n t a t i o n . ( T h e c h o i c e o f p

a s a d u m m y v a r i a b l e i s o n l y d u e t o i t s p o p u l a r i t y . )

£T h e e i g e n v a l u e s o f

X o n

L2(R)a r e c o n t i n u o u s . T h e s e t o f e i g e n v a l u e s i s j u s t

ΛX = R!

T h a t i s e v e r y r e a l n u m b e r i s a n e i g e n v a l u e o f X

. T h e e i g e n v e c t o r φλ c o r r e s p o n d i n g t o

a n e i g e n v a l u e λ

i s φλ(x) = δ (x− λ)

. T h u s t h e s e t o f e i g e n v e c t o r s i s

BX = φλ |λ ∈ R .C h e c k :

BX i s o r t h o n o r m a l , t h a t i s

φλ, φλ = δ (λ− λ).

BX i s c o m p l e t e , t h a t i s e v e r y f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s

f (x) =

ˆ R

f (λ)δ (x− λ)dλ =

ˆ R

f (λ)φλ(x)dλ

P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r n d i n g p a r t i c l e a t λ

a s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t o n a

s y s t e m w h i c h i s i n s t a t e Ψ

a t a n i n s t a n t t

, i s g i v e n b y

P X (λ, t) = |φλ,Ψ|2

=

ˆ ∞

−∞

δ (x− λ)Ψ(x, t)dx

2

= |Ψ(λ, t)|2

£N o w , w h a t a r e t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f t h e m o m e n t u m o p e r a t o r o n

L2(R)?

A g a i n ΛP = R. F o r a n y r e a l n u m b e r

p, l e t

ξ p(x) = exp (ipx/ ) /√

2π . N o w

P ξ p(x) =

−i d

dx

1√ 2π

exp

ipx

= pξ p(x)

T h u s , t h e s e t o f e i g e n v e c t o r s a r e

BP = ξ p(x) | p ∈ R .A g a i n C h e c k :

2 2



BP i s o r t h o n o r m a l , t h a t i s

ξ p, ξ p = δ ( p− p).

( S e e t u t o r i a l p r o b l e m 1 . 4 )

BP i s c o m p l e t e . R e m e m b e r , e v e r y s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n a d m i t s a f o u r i e r

t r a n s f o r m , t h a t i s e v e r y f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s

f (x) =1√ 2π

ˆ ∞

−∞

g( p)exp

ipx

dp

=

ˆ R

g( p)ξ p(x)dp

P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r t h e p a r t i c l e t o h a v e m o m e n t u m p

a s a r e s u l t o f m e a -

s u r e m e n t o n a s y s t e m w h i c h i s i n s t a t e Ψ

a t a n i n s t a n t t

, i s g i v e n b y

P P ( p) = |ξ p,Ψ|2

=

1√ 2π

ˆ ∞

−∞

exp

− ipx

Ψ(x)dx

2

= |(F Ψ) ( p)|2

W h e r e F Ψ

i s t h e f o u r i e r t r a n s f o r m o f Ψ.

T h i s f o r m u l a i s i d e n t i c a l t o t h e o n e g i v e n i n

c a s e o f a f r e e p a r t i c l e i n p r e v i o u s c h a p t e r .

£N e i t h e r t h e e i g e n f u n c t i o n s o f

X n o r t h e e i g e n f u n c t i o n s o f

P b e l o n g t o

L2(R). H o w e v e r ,

t h e s e a r e o r t h o n o r m a l s e t o f f u n c t i o n s t h a t s p a n L2(R)

, t h u s t h e s e w i l l b e u s e d w i t h o u t

w o r r y i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l d i c u l t y .

3 . 4 S c h r ö d i n g e r E q u a t i o n

I n c l a s s i c a l m e c h a n i c s , i f a s i n g l e p a r t i c l e i s m o v i n g i n a c o n s e r v a t i v e f o r c e e l d t h e n t h e t o t a l

e n e r g y i s a c o n s t a n t o f m o t i o n . I n m o s t p a r t s o f t h i s c o u r s e , o n l y c o n s e r v a t i v e f o r c e e l d s a r e

c o n s i d e r e d . T h e h a m i l t o n i a n f u n c t i o n ( t h a t i s t o t a l e n e r g y ) i s t h e n i n d e p e n d e n t o f t i m e .

A s s u m e , t h a t t h e h a m i l t o n i a n o p e r a t o r H

o n h i l b e r t s p a c e H i s i n d e p e n d e n t o f t i m e ( t h a t i s

t h e r e i s n o e x p l i c i t d e p e n d e n c e o n t

) . L e t t h e s e t o f e i g e n v a l u e s o f H

b e g i v e n b y

ΛH = E 1, E 2, . . .

w i t h c o r r e p s o n d i n g s e t o f e i g e n v e c t o r s

BH = ψ1, ψ2, . . ..

T h a t i s , f o r e a c h i

,

Hψi = E iψi.

2 3



T h i s e q u a t i o n i s c a l l e d t i m e i n d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n . A n d t h e e i g e n v e c t o r s ψi a r e

s t a t i o n a r y s t a t e s . T h e e i g e n v a l u e s E i a r e c a l l e d e n e r g y e i g e n v a l u e s . T h e s e t

ΛH i s c a l l e d t h e

e n e r g y s p e c t r u m .

R e m e b e r BH i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f H.

L e t Ψ(t)

b e t h e s t a t e o f t h e s y s t e m a t s o m e t i m e

t. T h e n ,

Ψ(t) =i

ci(t)ψi

P u t t i n g t h i s i n S c h r o d i n g e r e q u a t i o n w e g e t

i

i

d

dtci(t)

ψi =

i

ci(t)Hψi

∴

ii

d

dtci(t)

ψi =

i(E ici(t))ψi

E q u a t i n g t h e c o e c i e n t s o n e i t h e r s i d e

i d

dtci(t) = E ici(t)

S o l v i n g t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n ,

ci(t) = ci(0)e−iE it/

T h u s

1

Ψ(t) = i

ci(0)e−iE it/ψ

i

= e−iHt/i

ci(0)ψi = e−iHt/Ψ(0)

T h e o p e r a t o r U (t) = exp

−iHt/

i s c a l l e d a s t i m e e v o l u t i o n o p e r a t o r . C h e c k

N o w , i f t = 0

, t h e s t a t e o f t h e s y s t e m i s o n e o f t h e s t a t i o n a r y s t a t e s , s a y Ψ(t = 0) = ψi f o r

s o m e i

, t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s t a t e o f t h e s y s t e m i s g i v e n

Ψ(t) = e−iE it/Ψ(0)

1

F o r g i v e n o p e r a t o r

A, d e n e

exp[A] = 1 + A +1

2!A2 + · · · +

1

n!An + · · ·

I f t h e s e r i e s o n r h s c o n v e r g e s , eA

i s a w e l l d e n e d o p e r a t o r . N o w , c h e c k b y b r u t e f o r c e m e t h o d , t h a t i f Au = λu

t h e n

eAu = e

λu

2 4



N o w c o n s i d e r a n o b s e r v a b l e Ω

w i t h e i g e n v e c t o r s φ

w i t h e i g e n v a l u e ω

. T h e p r o b a b i l i t y t h a t

m e a s u r e m e n t o f Ω

w i l l y i e l d ω

, a t a t i m e t

i s

P Ω(ω, t) = |φ,Ψ(t)|2

=e−iE it/ φ,Ψ(0)

2= |φ,Ψ(0)|2= P Ω(ω, 0)

T h u s , i f s y s t e m i s i n a s t a t i o n a r y s t a t e t h e n a l l p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m a r e i n d e p e n d e n t o f

t i m e .

3 . 5 U n c e r t a i n t y P r i n c i p l e

E x p e c t a t i o n V a l u e

T h e o r e m 6 .

A n o b s e r v a b l e Ω

i s r e p r e s e n t e d b y a n o p e r a t o r Ω

. I f t h e q u a n t u m s y s t e m i s i n

s t a t e ( n o r m a l i z e d ) Ψ

, t h e n t h e a v e r a g e ( e x p e c t a t i o n ) v a l u e o f Ω

, d e n o t e d b y Ω

, i s g i v e n b y

ΩΨ

=

Ψ, ΩΨ.

P r o o f . L e t t h e s p e c t r u m o f Ω

b e ΛΩ = ωi | i = 1, 2, . . .

. L e t BΩ = φi | i = 1, 2, . . .

b e t h e

s e t o f c o r r e s p o n d i n g n o r m a l i z e d e i g e n v e c t o r s . L e t

Ψ =i

C iφi

w h e r e

C i = φi,Ψ. I f

Ψi s n o r m a l i z e d . T h e n

Ψ,Ψ =i

j

C ∗i C j φi, φ j

1 =i

j

C ∗i C jδ i,j =i

|C i|2 .

B y p o s t u l a t e I I I , t h e p r o b a b i l i t y o f g e t t i n g ωi a s a r e s u l t o f m e a s u r e m e n t i s g i v e n b y

P Ω

(ωi) = |φi,Ψ|2

= |C i|2

i f Ψ

i s n o r m a l i z e d . C l e a r l y i

P Ω(ωi) = 1.

T h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f t h e o b s e r v a b l e

Ωi s t h e n

ΩΨ

=i

ωiP Ω(ωi) =i

ωi |C i|2

2 5



N o w ,

Ψ, ΩΨ = i j

C ∗i C j φi, Ωφ j=

i

j

C ∗i C jω jδ i,j

=i

ωi |C i|2

D e n i t i o n 7 .

T h e u n c e r t a i n t y i n t h e m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e Ω

i n a s y s t e m t h a t i s i n

s t a t e Ψ

i s d e n e d a s

∆Ω = Ω

− ΩΨ2

Ψ

.

T h e o r e m 8 .

I f A

a n d B

a r e t w o o b s e r v a b l e s o f a s y s t e m w h i c h i s i n s t a t e Ψ

, t h e n

(∆A)2 (∆B)2 ≥

1

2i

A, B

Ψ

2.

P r o o f . L e t

f =A−

A

Ψa n d

g =B −

B

Ψ. ( N o t e t h e s u b s c r i p t i n

Ψ

h a s b e e n

d r o p p e d f o r b r e v i t y . ) N o w (∆A)2 = f, f

a n d (∆B)2 = g, g .

T h e n b y S c h r w a r z i n e q u a l i t y ,

(∆A)2 (∆B)2 = f, f g, g ≥ | f, g|2

A n d ,

f, g =

A−A

Ψ,B −

B

Ψ

=AB

−A

B

S i m i l l a r l y ,

g, f =BA

−A

B.

N o w f o r a n y c o m p l e x n u m b e r z

|z|2

= (R e

z)

2

+ (I m

z)

2

≥ (I m

z)

2

= 1

2i (z − z

∗

)2

.

N o w l e t z = f, g

. T h e n

|f, g|2 ≥

1

2i(f, g − g, f )

2

=

1

2i

AB

−BA

2.

2 6



P u t t i n g e v e r y t h i n g t o g e t h e r

(∆A)2 (∆B)2

≥ 1

2iA, B

2

.

A p p l y t h i s t o X

a n d P

, t h e n

(∆X )2 (∆P )2 ≥

1

2i

X, P

2

=

2

2.

T h i s i s H e i s e n b e r g ' s U n c e r t a i n t y P r i n c i p l e . M i n i m a l I n t e r p r e t a t i o n o f t h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e

i s e n s e m b l e i n t e r p r e t a t i o n . T h a t i s , a l a r g e n u m b e r o f c o p i e s o f t h e s y s t e m a r e m a d e a n d s e t

i n s t a t e Ψ

. M a k e m e a s u r e m e n t o f X

o n h a l f o f t h e m . M a k e m e a s u r e m e n t o f P

o n t h e o t h e r

h a l f . N o w f r o m t h e s a m p l e s c o m p u t e u n c e r t a i n t i e s , t h a t i s s t a n d a r d d e v i a t i o n σX a n d

σP .

U n c e r t a i n t y p r i n c i p l e s a y s t h a t

σX σP ≥

2.

2 7

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