Ford W. B. - On the Representation of Arbitrary Functions by Definite Integrals(1915)(5).pdf

7/25/2019 Ford W. B. - On the Representation of Arbitrary Functions by Definite Integrals(1915)(5).pdf

1/5

F e O . . . . . . . . . . . . .

N i O

..............

CoO ............

CaO

.............

B a O . . . . . . . . . . . . . .

M g O . . . . . . . . . . . . .

M n O . . . . . . . . . . . . .

S r O . . . . . . . . . . . . .

.............

c l i

i

..............

H s O ( I g n . )

S

Cu.

C

P S O

...............

C O

SO

...........

N i ,

M n . . . . . . . . . . .

C u , . S n

. . . . . . . . . . . .

MATHEAA

T I C S :

W. B . FORD

I I I ]

1 4 . 5 8 3 . 3 5 1 6

0 . 4 8 6

0 . 0 3

0 . 0 6

2 . 4 2 4 . 8 1

1

n o n e

0 . 1 0

2 2 . 6 7 3 . 7 7

2 2

0 . 2 9 7 0 . 0 9

0

n o n e 0 . 0 4

0 . 8 7 3 . 2 9

0 .

0 . 2 1

3 . 0 2

0

t r a c e

0 . 0 1

0 . 7 5 1 0 2 . 0 5

0 . 2 6

0 . 2 5

1 . 8 0 ( 2

0 . 1 0

1 .

0 . 0 1 4

0 . 1 5 1 4

0 . 0 3

0 . 0 8 1 0 . 0 6

?

0 . 1 0

?

0 . 7 0

0 . 0 2

1 0 0 . 0 4 , 1 0 0 . 0 0

t I I

. 4 3 5

. 7 5 8

. 8 8 4

. 5 5 6

. 9 4 3

. 3 2 8

8 3 9

1 0 0 . 0 0

1

A v e r a g e

o f

4 6

d e t e r m i n a t i o n s

A v e r a g e

o f 4 2

d e t e r m i n a t i o n s .

A v e r a g e

o f

5 0 d e t e r m i n a t i o n s .

4

A v e r a g e

o f

4 1


A v e r a g e

o f 1 9 d e t e r m i n a t i o n a .

6

A v e r a g e

o f

6


7

A v e a g e

o f

3 3 d e t e r m i n a t i o n s

A v e r a g e

o f 4 9


9

A v e r a g e

o f

4 4


i 0

A v e r a g e

o f 1 5 d e t e r m i n a t i o n s .

u

A v e r a g e

o f 4 4


A v e r a g e

o f

5 1


u

A v e r a g e

o f

1 6

d e t e r m i n t i o n s

1 4

A v e r a g e

o f

8


A v e r a g e

o f

5 d e t e r m i n a t i o n s .

T h e

d e t a i l e d

r e s u l t s o f t h e s e

i n v e s t i g a t i o n s

on t h e c h e m i c a l

a n d

m i n e r a l o g i c a l

c o n s t i t u e n t s o f

m e t e o r i t e s

b e g u n

i n

1 9 1 2

u n d e r

a

g r a n t

f r o m

t h e

N a t i o n a l

A c a d e m y

w i l l

b e

p r i n t e d

as

a

M e m o i r

i n

t h e

s e r i e s

o f

M e m o i r s

o f

t h e

N a t i o n a l

A c a d e m y .

ON

THE

REPRESENTATION OF

ARBITRARY

FUNCTIONS

BY

D E F I N I T E

INTEGRALS

B y

W a l t e r

B . F o r d

DEPARTMENT OF

MATHEMATICS.

UNIVERSITY

OF

MICHIGAN

P r e n t e d

t o t h e

A c a d e m y .

M a y

2 7 .

1 9 1 5

L e t f

x )

b e

a n y

f u n c t i o n o f

t h e r e a l

v a r i a b l e

x

d e f i n e d

a n d

w i t h | f

x ) |

i n t e g r a b l e t h r o u g h o u t

t h e i n t e r v a l

a ,

b )

a n d

h a v i n g

l i m i t e d

t o t a l f l u c -

t u a t i o n

i n

t h e

n e i g h b o r h o o d

o f

t h e

p a r t i c u l a r

p o i n t

x

=

a

a

b )

T h e n ,

i f o

n ,

x

a )

b e

a

f u n c t i o n

o f

t h e

p a r a m e t e r

n

a n d

o f

x a

s a t i s f y -

i n g

c e r t a i n w e l l

k n o w n

c o n d i t i o n s t h e

i n t e g r a l

I n

a )

=

f

x )

( ,

x

a )

d x (

4 3 1

I V

1 6 . 1 3

0 . 2 1

2 . 3 1

2 2 . 4 2

0 . 1 8

0 . 8 1

0 . 2 0

0 . 2 0

0 . 0 3

1 . 9 8

0 . 0 6

0 . 0 2

9 9 . 8 2

1 )


2/5

MATHEMA

T I C S : W. B .

FORD

w i l l

h a v e

t h e

p r o p e r t y

t h a t

U

I n

f

a - 0 )

+f

( a + )

2 )

f=

+ a 0 0

2 - - - - - - - -

( 2 )

An

i m p o r t a n t

s p e c i a l

i n s t a n c e o f

an

i n t e g r a l 1 )

h a v i n g

t h e

p r o p e r t y

2 )

i s

p r e s e n t e d

i n

t h e

s t u d y

o f

t h e

c o n v e r g e n c e

o f t h e

F o u r i e r

s e r i e s

f o r f

a ) ,

i n

w h i c h c a s e t h e s u m o f t h e f i r s t n

+

1

t e r m s o f

t h e s e r i e s

c a n

b e

p u t

i n t o t h e

f o r m

1 )

w i t h

a

=

-

r ,

b

= T r

a n d

p

n , x - a )

=

a

c e r -

t a i n

t r i g o n o m e t r i c

e x p r e s s i o n .

W h i l e

t h e c o n d i t i o n s

u p o n

o n ,

x - a )

t h a t

w i l l

i n s u r e

2 )

h a v e b e e n

e x t e n s i v e l y

s t u d i e d ,

e s p e c i a l l y

b y

Du

B o i s

R e y m o n d ,

D i n i ,

H o b s o n

a n d

L e b e s g u e ,

r e l a t i v e l y

l i t t l e

a p p e a r s

t o

h a v e b e e n d o n e

i n

t h e

a c t u a l

d e t e r m i n a t i o n

o f

s u c h

f u n c t i o n s ,

t h e

s o l e d e s i d e r a t u m

b e i n g

t h e

d e -

t e r m i n a t i o n

o f

t h e

c o n d i t i o n s

t h e m s e l v e s .

I n t h i s

c o n n e c t i o n

t h e

p r e s e n t

p a p e r

w o u l d

p o i n t

o u t

a

n o t e w o r t h y

c l a s s

o f

p o s s i b l e

f u n c t i o n s

s p

w i t h

s p e c i a l

e m p h a s i s

u p o n

t h e

c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a l s

1 )

t o

w h i c h

t h e y g i v e

r i s e .

F o u r

t h e o r e m s

a r e

e s t a b l i s h e d ,

t h e s e c o n d

b e i n g

e s p e c i -

a l l y n o t e w o r t h y

i n

t h a t i t s h o w s t h a t

t o

e v e r y

c o n v e r g e n t i m p r o p e r

i n t e g r a l

o f

t h e

f o r m

S p x ) d x

k * 0 ,

o

w h e r e i n

p

x )

s a t i s f i e s

v e r y

s i m p l e

c o n d i t i o n s ,

t h e r e c a n b e m a d e

t o

c o r -

r e s p o n d

a

c e r t a i n

i n t e g r a l

1 )

h a v i n g

t h e

p r o p e r t y

2 ) .

T h e t h e o r e m s

a r e

a s

f o l l o w s :

T h e o r e m

I :

L e t

F

x )

b e

a n y s i n g l e

v a l u e d

f u n c t i o n

o f

t h e

r e a l v a r i a b l e

x

d e f i n e d

f o r a l l

f i n i t e

v a l u e s

o f x

a n d

s a t i s f y i n g

t h e

f o l l o w i n g

t h r e e

c o n d i t i o n s :

a )

x

_

l i

F

x )

e x i s t s

a n d

=

k

=

O

X

=

o o

b )

F

( - x )

=

F

x ) .

c )

T h e d e r i v a t i v e

F x )

e x i s t s

a n d

i s

s u c h t h a t i f

w e e x c l u d e t h e

p o i n t

x=O

b y

an

a r b i t r a r i l y

s m a l l

i n t e r v a l

( - e ,

e ) ,

e > 0 ) ,

w e s h a l l h a v e

f o r a l l

r e m a i n i n g

v a l u e s o f

x ,

I x

F

x )

< A E

=

a n

a s s i g n a b l e

c o n s t a n t

d e p e n d i n g o n l y

o n

e .

T h e n ,

i f

f

x )

b e

a n

a r b i t r a r y

f u n c t i o n

o f t h e

r e a l

v a r i a b l e

x

d e f i n e d

t h r o u g h o u t

t h e

i n t e r v a l

a ,

b ) ,

w e s h a l l

h a v e

f o r

a n y

s p e c i a l

v a l u e

a

a


3/5

MATHEMA T I C S :

W.

B .

FORD

t h o s e

u n d e r w h i c h t h e

F o u r i e r

s e r i e s

f o r

f

a )

c o n v e r g e s )

i n

t h e

n e i g h -

b o r h o o d

o f

t h e

p o i n t

x = a .

T h e o r e m

I I :

G i v e n

a n y

c o n v e r g e n t

i m p r o p e r

i n t e g r a l

o f

t h e

f o r m

J p x )

d x

k :

0

w h e r e i n

a )

t h e

f u n c t i o n

p

x )

i s

e v e n ,

i . e .

p

( - x )

=

p

x ) ,

a n d

b )

t h e

e x -

p r e s s i o n

x

p

x l

f o r a l l v a l u e s

o f

x

l y i n g

o u t s i d e

a n


s t l l

i n t e r v a l

s u r r o u n d i n g

t h e

o r i g i n

r e m a i n s

l e s s t h a n

a

c o n s t a n t

d e : p

o n

t h e

i n t e r v a l . T h e n

i f

f

x )

b e

a n

a r b i t r a r y

f u n c t i o n

o f

t h e

v a r i a b l e

x

d e f i n e d

t h r o u g h o u t

t h e

i n t e r v a l

a ,

b ) ,

w e s h a l l h a v e

f o r

a n y

s p e c i a l

v a l u e

a

a

0 ) ,

w e s h a l l

h a v e

f o r

a l l

r e m a i n i n g

p o s i t i v e

n e g a t i v e )

v a l u e s o f

x ,

I x

F

x )

< A ,

a n

a s s i g n a b l e

c o n s t a n t

d e p e n d i n g

o n l y

o n

e .

T h e n ,

i f

f

x )

b e

a n

a r b i t r a r y

f u n c t i o n

o f

t h e

r e a l

v a r i a b l e

x

d e f i n e d

t h r o u g h o u t


a ,

b ) ,

we s h a l l h a v e f o r

a n y

s p e c i a l

v a l u e

a

( a < a < b )

l n

=

o

f

x )

d

F

[ n

x

-

a )

d x

=f

( a + O )

n=

+

o

f

d x

i - m

k J

f

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[

F

[ n

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= f

( a - )

,

+

c o n

d

x

p r o v i d e d

m e r e l y

t h a t f

x )

s a t i s f i e s s u i t a b l e

c o n d i t i o n s a t t h e

r i g h t

l e f t )

o f t h e

p o i n t

x=a.

4 3 1


4/5

MA

THEA T I C S :

W .

B . FORD

T h e o r e m I V :

G i v e n

a n y

c o n v e r g e n t

i m p r o p e r

i n t e g r a l

o f

t h e

f o r m

p x )

d x

=

k*

0

p ( x )

d x

=k

*C

w h e r e i n

I x

p

x l

f o r a l l

p o s i t i v e n e g a t i v e )

v a l u e s

o f

x

l y i n g

o u t s i d e

a n


s m a l l

i n t e r v a l

t o

t h e

r i g h t

l e f t )

o f

t h e

p o i n t

x

=0

r e m a i n s

l e s s

t h a n

a

c o n s t a n t

d e p e n d i n g

o n

t h e

i n t e r v a l .

T h e n ,

i f

f

x )

b e

a n

a r b i t r a r y

f u n c t i o n o f

t h e

r e a l

v a r i a b l e

x

d e f i n e d

t h r o u g h o u t


a ,

b ) ,

w e s h a l l

h a v e f o r

a n y s p e c i a l

v a l u e a

( a < a < b )

b

f +

k P -

[

x )

P

[ n

x

)

]

d x

= f

a

+

0 )

m

n

f

x )

p [ n ( x - a ) ] d x

= f ( a - O ) ,

p r o v i d e d

m e r e l y

t h a t

f

x )

s a t i s f i e s s u i t a b l e

c o n d i t i o n s i n

t h e

n e i g h b o r -

h o o d a t

t h e

r i g h t

l e f t )

o f

t h e

p o i n t .

T h e

p r o o f

o f

T h e o r e m

I

f o l l o w s

d i r e c t l y

f r o m t h e

f a c t

s e e

f o r

e x a m p l e ,

D i n i s S e r i e

d i

F o u r i e r

P i s a ,

1 8 8 0 ) ,

p p .

1 1 9 - 1 2 1 )

t h a t

i f f

x )

s a t i s f i e s t h e

i n d i c a t e d

c o n d i t i o n s

t h e r e

e x i s t s

t h e

g e n e r a l

r e l a t i o n

t i m

b

_ f ( a

0

+f a

+

0 )

co

f

( x )

( n

x -

)

dx

=

(

,

w h e n e v e r

p n ,

t

i s

a n y

f u n c t i o n

o f

t h e

i n d e p e n d e n t

v a r i a b l e s

n

a n d

t

s a t i s f y i n g

t h e

f o l l o w i n g

t h r e e

c o n d i t i o n s ,

e

a l w a y s d e n o t i n g

a n

a r b i -

t r a r i l y

s m a l l

p o s i t i v e

q u a n t i t y :

l i m

f o

,

when e


5/5

P H Y S I O L O G Y :

MURPHY AND MORTON

u r n

_ m

if

x > p

n ,

x - a )

dx=

i f

( a +

O )

( l i n

f

T h e o r e m

I V

i s

a

c o r o l l a r y

o f T h e o r e m

I I I .

W h i l e

t h e

f o r m s

o f

r e p r e s e n t a t i o n

f o r a n

a r b i t r a r y

f u n c t i o n f

z )

a f f o r d e d

b y

t h e

p r e c e d i n g

t h e o r e m s

d o

n o t ,

s t r i c t l y s p e a k i n g ,

r e p r e s e n t

t h e

f u n c t i o n

i n

t e r m s o f d e f i n i t e

i n t e g r a l s ,

b u t r a t h e r i n t e r m s o f

t h e

l i m i t s

o f s u c h

i n t e g r a l s

a s t h e

p a r a m e t e r

n

i n c r e a s e s t o

o ,

i t

i s t o

b e

o b s e r v e d

t h a t

t h e

f i r s t

m e m b e r

o f

2 )

m a y a l w a y s

b e

e x p r e s s e d

a s

a

c o n -

v e r g e n t

s e r i e s ,

v i z :

I o

( a ) +

[ z

-+

( a ) - . a ) ]

n-O

a n d

t h u s

i t

a p p e a r s

t h a t t o

e v e r y

i n t e g r a l

2 )

o b t a i n e d

b y

a n y

o n e

o f

t h e

p r e c e d i n g

t h e o r e m s t h e r e

c o r r e s p o n d s

a n

a c t u a l

r e p r e s e n t a t i o n

o f

t h e

a r b i t r a r y

f u n c t i o n

i n

s e r i e s

o f

d e f i n i t e

i n t e g r a l s .

THE

LYMPHOCYTE

AS

A FACTOR

I N

NATURAL AND I N -

DUCED

RESISTANCE

TO

TRANSPLANTED

CANCER

B y

J a m e s B .

M u r p h y

a n d J o h n J .

M o r t o n

ROCKEFELLER

I N S T I r U T E

FO R

M E D I C A L

R E S E A R C H .

NEW

YORK

P r s o l e d

t o

t h e

A c a d m y J u n e

2 2 .

1 9 1 5

H i s t o l o g i c a l l y

t h e r e

i s a

s t r i k i n g

r e s e m b l a n c e

b e t w e e n

t h e s e r i e s

o f

p h e n o m e n a

w h i c h t a k e

p l a c e

a b o u t

a

f a i l i n g

t i s s u e

g r a f t

i n

a

h o s t

o f a

f o r e i g n

s p e c i e s ,

a n d an

h o m o l o g o u s

c a n c e r

g r a f t

i n a n a n i m a l

w i t h

a

n a t u r a l

o r

i n d u c e d

i m m u n i t y

t o

t r a n s p l a n t e d

c a n c e r .

A

c o n s t a n t f i n d -

i n g

i n

b o t h c a s e s

i s

a

l o c a l

l y m p h o i d

r e a c t i o n

w h i c h

a p p e a r s e a r l y

i n

t h e

p r o c e s s ,

a n d

l a s t s

t i l l

t h e d e s t r u c t i o n

o f

t h e

t i s s u e

o r

c a n c e r

g r a f t

i s

c o m p l e t e .

W e

h a v e s h o w n

i n

p r e v i o u s

c o m m u n i c a t i o n s

t h a t

t h e

l y m -

p h o i d

t i s s u e i s

a p p a r e n t l y

t h e

i m p o r t a n t

f a c t o r

i n t h e

d e s t r u c t i o n

o f

a

t i s s u e

g r a f t

i n

an

a n i m a l o f

a

f o r e i g n

s p e c i e s .

T h e f a c t s

w h i c h l e a d

u p

t o

t h i s c o n c l u s i o n

a r e ,

t h a t

an

o r g a n i s m

l i k e

t h e c h i c k

e m b r y o ,

w h i c h

n o r m a l l y

h a s

n o

d e f e n s i v e

a g e n t s

a g a i n s t

t h e

c e l l s

o f

a

f o r e i g n s p e c i e s ,

i f

s u p p l i e d

w i t h a d u l t

l y m p h o i d

t i s s u e

b e c o m e s

a s

r e s i s t a n t

a s

t h e

a d u l t

a n i m a l

i n

t h i s

r e s p e c t .

F u r t h e r m o r e w h e n t h e a d u l t a n i m a l

i s

d e p r i v e d

o f

t h e

m a j o r

p o r t i o n

o f

i t s

l y m p h o i d

t i s s u e

b y

r e p e a t e d

s m a l l

d o s e s

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X - r a y ,

i t l o s e s

t h e

a b i l i t y

t o

d e s t r o y

t h e

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f o r e i g n

s p e c i e s

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t h e s e w i l l l i v e a n d

g r o w

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w o u l d

i n a

n a t i v e

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