FLUID MECHANICS II - homepages.ucl.ac.ukuceseug/Fluids2/Slides_1.pdf · FORCES IN FLUIDS 2 Forces...

16
FLUID MECHANICS II 1. Forces in Fluids http://www.homepages.ucl.ac.uk/ uceseug/Fluids2/ Newton’s laws Formulation for a system of material points: 2 nd Newton’s Law: d −→ I dt = i d I i dt = i j −→ F ij ; −→ I i = m i −→ v i 3 rd Newton’s Law: F 21 F 12 −→ F 12 = −→ F 21 How to apply them to fluid??? 1. FORCES IN FLUIDS 1

Transcript of FLUID MECHANICS II - homepages.ucl.ac.ukuceseug/Fluids2/Slides_1.pdf · FORCES IN FLUIDS 2 Forces...

FLUID MECHANICS II

1. Forces in Fluids

http://www.homepages.ucl.ac.uk/ uceseug/Fluids2/

Newton’s laws

• Formulation for a system of material points:

• 2nd Newton’s Law:

d−→I

dt=

i

d−→I i

d t=

i

j

−→F ij;

−→I i = mi

−→v i

• 3rd Newton’s Law:

F21F12−→F 12 =

−→F 21

• How to apply them to fluid???

1. FORCES IN FLUIDS 1

Continuous Fluid

Continuous FluidReal Fluid

• Continuous fluid is an approximation or model

• Molecular properties are averaged over a volume

• Molecular structure is not recognisable at any magnifications

• Conglomerations of molecules are replaced by fluid particles

1. FORCES IN FLUIDS 2

Forces on Fluid Particles

II

nFFτ

nF II

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

I

G=mg

I

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Volume forces: G; Surface forces: Fn, Fτ

Note: The concept of continuous fluid replaces molecular

interaction and molecular interchange by equivalent

forces.

1. FORCES IN FLUIDS 3

Shear stress

τ

ττ

Fτ F

Fτ = τ A τ ⇔ shear stress

1. FORCES IN FLUIDS 4

Viscosity

• The property to resist the growth of shear deformation

Newtonian fluid: shear stress ∼ rate of shear strain τ = µdγ

dt

Deformation after a small time ∆ t:

∆ xa’

c’d’

b

cd

b’

u(y)

u(y+dy)

τ

a

y

γτ

γ =∆x

δy=

( u(y + δy) − u(y) )

δy∆t ⇒

dt=

du

dy⇒

τ = µdu

dy; µ — coefficient of viscosity

1. FORCES IN FLUIDS 5

Pressure

P P

Fn Fn Fn = P A

Pressure ⇔ normal stress

PPascal’s Law: Pressure at a point

does not depend on the direction

1. FORCES IN FLUIDS 6

Pressure distribution in a static fluid

z

mg

z

P( z )

z + dz

P( z + dz )

A

ρ

A

G = mg = ρ A dz g

B = A ( P (z)− P (z + dz) )

A ρ g dz = A ( P (z) − P (z + dz) )

P (z + dz) − P (z)

dz= −ρ g

dP

dz= −ρ g

1. FORCES IN FLUIDS 7

Pressure distribution in a static fluid

g z

P

g hρP =

z = 0

z = −h

P = 0

h

= −

ρ

zdP

dz= −ρ g

P (z) = −ρ g z + C

Pz=0 = 0; ⇒ C = 0

Pz=−h = ρ g h

P (h) = ρ g h

1. FORCES IN FLUIDS 8

Pressure change across streamlines

Fcr

dr ρ

α

VP( r )

P( r + dr )

��������

����������

����������

������������������������

������������������������

������������������

������������������

��������������

��������������

���������������������

���������������������

������������������

������������������

������������������

������������������

������������

������������

���������������������

���������������������

Gravity is neglected

Centripetal force:

Fc =m V 2

r

Fc is created by pressure:

Fc = ( P (r + dr) − P (r) )α r b

Mass of the particle:

m = ρ bα r dr

Substituting and dividing by α b rdr:

P (r + dr) − P (r)

dr= ρ

V 2

r

Limit dr → 0:

dP

dr= ρ

V 2

r

1. FORCES IN FLUIDS 9

Pressure change across streamlines

y

���������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

Parallel flow:

Infinite radius ⇒dP

dy= 0

Pressure does not change across parallel

streamlines (gravity is neglected)

rΚV =

P

Pcore

Vortex:

dP

dr= ρ

K2

r3⇒ P = P∞ − ρ

K2

2 r2

Pressure decreasing towards the vortex

core.

1. FORCES IN FLUIDS 10

Bernoulli’s Equation

• In a steady, inviscid, incompressible flow the value a total pressure

is constant along a streamline:

P +ρ U2

2+ ρ g Z = const

P— static pressure;ρ U2

2— dynamic pressure

ρ g Z— hydrostatic pressure

The equation represents conservation of energy per unit volume.

1. FORCES IN FLUIDS 11

Neglecting viscosity

• The relative importance of viscosity is described by the non-dimensional

Reynolds number:

Re =ρ U L

µ=

U L

ν

U– characteristic velocity, L– characteristic size.

• For small Re the viscosity is important for the entire flow.

• For large Re the viscosity is still important in boundary layers near

solid surfaces and in viscous wakes downstream of bodies. In other

areas the flow can be considered as inviscid.

• In areas of inviscid flow Bernoulli’s equation can be applied.

1. FORCES IN FLUIDS 12

Flows with large Reynolds number

Streamlined body: Re =ρ L U∞

µ>> 1

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

L

U3

1

2

Inviscid region Viscous regions

◦1 External flow ◦2 Boundary layer ◦3 Wake

Bernoulli’s equation can be applied in◦1

1. FORCES IN FLUIDS 13

Flows with large Reynolds number

Bluff body: Re =ρ D U∞

µ>> 1

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

U

2

1

34D

Inviscid region:

◦1 External flow

Viscous regions:

◦2 Boundary layer

◦3 Wake

◦4 Separation region

Bernoulli’s equation can be applied in◦1

1. FORCES IN FLUIDS 14

Pressure coefficient

Cp

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

U

P

OA P0

Bernoulli’s equation along AO:

P∞ +ρ U2

2= P0 .

At stagnation point O the value

P0 − P∞

ρ U2∞

/2= 1

does not depend on flow parame-

ters.

Pressure coefficient: Cp =P − P∞

ρ U2∞

/2

Cp is the universal way of representing pressure distribution, it depends on a

flow pattern (shape of a body and Reynolds number), but not directly on

flow velocity and body size.

1. FORCES IN FLUIDS 15

Friction coefficient

τw

y u(y)

U

Wall shear stress: τw = µdu

dy

y=0

Friction coefficient: fw =τw

ρ U2∞

/2

fw is the universal way of representing distribution of wall shear stress

(friction) over a body surface. It depends on a shape of a body and a

Reynolds number.

1. FORCES IN FLUIDS 16

Drag force

P

Uαd

αddl = r

r

αD

τ

Form drag:

DP = b

π∫

−π

P cos αr dα

Friction drag:

Dτ = b

π∫

−π

τ sin α r dα

1. FORCES IN FLUIDS 17

Drag contribution

1. FORCES IN FLUIDS 18

Importance of Reynolds number

1. FORCES IN FLUIDS 19

Importance of Reynolds number

1. FORCES IN FLUIDS 20

Cylinder Drag

Drag coefficient:

CD =D

A ρ U2∞

/2

Pressure coefficient:

CP =P − P∞

ρ U2∞

/2

1. FORCES IN FLUIDS 21

Sphere Drag

1. FORCES IN FLUIDS 22

Cylinder drag experiment

1. FORCES IN FLUIDS 23

Cylinder drag experiment

First year results: Re = 5.26 × 104 Classical results:

1. FORCES IN FLUIDS 24

Cylinder drag experiment

Dimensional: Nondimensional

1. FORCES IN FLUIDS 25

Lift Force

• Lift — the force perpendicular to the direction of velocity

Lift coefficient: CL =L

Aρ U2∞

/2.

For a cylinder: CL = −

1

2

πZ

−π

Cp(θ) sin(θ) dθ .

a

U θ

Flow is symmetric ⇒ No Lift: L = 0; CL = 0

1. FORCES IN FLUIDS 26

Cylinder lift: Magnus effectL

U

θa

Γ < 0

1. FORCES IN FLUIDS 27

Lift and Circulation

Circulation of velocity Γ along a contour can be used as a measure of

fluids rotation:

s

sV

0

S

Γ =

S

Vs ds

s

1s

V1

V4 4sV3

3s

V22

Γ = V1 s1 + V2 s2 +

V3 s3 + V4 s4

r

Γ = 2 π Vτ r

Lift per unit span satisfies...

Kutta-Joukowski theorem: L = −ρU∞ Γ

1. FORCES IN FLUIDS 28

Lift of a thin airfoil

For a thin body ( Uu,l ≈ U∞ ):

l

UUu

Ul

From Bernoulli:

Pl − Pu =ρ

2(U2

u − U2

l ) =ρ

2(Uu + Ul) (Uu − Ul) ≈ ρU∞ (Uu − Ul)

Lift per unit span:

L = l (Pl − Pu) = ρU∞ (Uu l − Ul l) = −ρU∞ Γ

1. FORCES IN FLUIDS 29

Properties of Airfoils

1. FORCES IN FLUIDS 30