Flexural analysis of prestressed concrete structures

7/25/2019 Flexural analysis of prestressed concrete structures

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Volume 1, Number 4 (December, 2008) p. 331 - 364 ISSN 1983-4195

Flexural Analysis of Prestressed Concrete Structures

Modelos de Verifcao Flexo de Estruturas Protendidas

M. B. CAVALCANTI a

[email protected]

B. HOROWITZ b

[email protected]

2008 IBRACON

a Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco, [email protected], Av. Acadmico Hlio Ramos, s/n, 50740-530,

Recife PE Brasil;b Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco, [email protected], Av. Acadmico Hlio Ramos, s/n, 50740-530, Recife PE Brasil.

Abstract

Resumo

In the computation of the strength capacity of prestressed concrete structures prestressing may be viewed as strength or load. Model 1 considersprestressing strands as integral part of the cross section where prestressing operation induces imposed deformations corresponding to prestraining. Al -ternatively, Model 2 considers prestressing as external loading, composed of a self-equilibrating system of forces on the anchorages and transverselyon concrete. After transfer prestressing strands are considered as conventional reinforcement in computations except that the deformation axis is dis-placed to take into account pre-elongation. In spite of Model 1 being the most commonly used in designing of continuous beams and ofcially adoptedby NBR 6118 it has the inconvenience of the mandatory consideration of additional secondary effects known as hyperstatic moments which must betaken into account in ultimate strength analysis. The computation of secondary effects is simple for continuous beams but becomes more involved in

cases of frames and grids and infeasible in cases of plates and shells. In Model 2 there is no need to compute secondary effects but the cross sectionmust be veried for combined axial force and bending moment. In order to compare results from the models two examples are presented: one exampleof a statically indeterminate frame and nally an example of a prestressed bridge deck is presented using grillage analogy.

Keywords:Prestress, Continuous, Secondary Effects.

No clculo da capacidade portante de estruturas protendidas a protenso pode ser considerada tanto como resistncia quanto comocarga. Tem-se, portanto, o Modelo 1 que considera os cabos como parte integrante da seo, onde a operao de protenso induzdeformao imposta correspondente ao pr-alongamento das armaduras ativas. Alternativamente, tem-se o Modelo 2 que consideraa protenso como caso de carregamento externo, composto por sistema auto-equilibrante de foras nas ancoragens e transversais noconcreto. Aps ativao da aderncia os cabos de protenso so considerados no clculo como armadura convencional, apenas deslo-

cando o eixo das deformaes para levar em conta o pr-alongamento. Apesar do Modelo 1 ser mais utilizado no dimensionamento devigas contnuas e estar consagrado na NBR-6118, ele possui o inconveniente do surgimento de esforos adicionais denominados efeitoshiperestticos de protenso, que precisam ser considerados na vericao a ruptura. O clculo dos efeitos hiperestticos de protenso relativamente simples no caso de vigas contnuas, porm torna-se complexo no caso de prticos e grelhas e invivel no caso de lajese cascas. J no Modelo 2 no h necessidade do clculo dos efeitos hiperestticos, porm as sees forosamente tero que servericadas exo composta. Para comparar os resultados dos modelos so apresentados dois exemplos: um prtico e uma de laje detabuleiro de viaduto analisado utilizando-se analogia de grelha.

Palavras-chave:Protenso, Continuidade, Hiperestticos.


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1. Introduo

1.1 Descrio do problema

As normas internacionais procedem vericao de peas protendi-das segundo dois tipos de modelos, onde a protenso pode ser consi -derada tanto como deformao imposta correspondente ao pr-alon-gamento das armaduras ativas, como carregamento externo compostopor sistema auto-equilibrante de foras.A protenso considerada como deformao imposta acarreta para asestruturas hiperestticas o surgimento de esforos externos denomina-dos efeitos hiperestticos, devidos restrio a livre deformao daspeas e que precisam ser levados em considerao na vericao ruptura.

A protenso considerada como carregamento externo consiste desistema auto-equilibrante de foras nas ancoragens e transversais no

concreto. Aps a aderncia, os cabos de protenso so consideradoscomo armao passiva convencional, apenas levando em considera-o o pr-alongamento.As normas europias permitem a utilizao de qualquer das duasconsideraes de protenso. J a norma brasileira e a americana nocomentam explicitamente, porm, como utilizam diretamente o concei-to de momento hiperesttico de protenso h indicao implcita daprotenso considerada como deformao imposta.A vericao de peas protendidas segundo normas internacionais baseada em valores representativos da fora de protenso e valoresde clculo da fora de protenso. O valor de clculo da fora de pro -tenso dado pelo seu coeciente de ponderao, p , multiplicadopelo valor representativo da protenso.

1.2 Objetivos

O principal objetivo deste trabalho expor uma metodologia onde nose faz necessrio o clculo dos efeitos hiperestticos da protenso,tomada como carregamento externo. tambm objetivo compararresultados com a metodologia usual de considerar a protenso comoresistncia, uma vez que as normas modernas fazem com que essaviso dual da protenso: quer como resistncia, quer como carga,

forneam o mesmo resultado, contribuindo dessa forma no processode discusso da norma brasileira quanto ao valor de p .

2. Protenso como carregamento externo

2.1 Modelos de Clculo

Os efeitos da protenso podem ser considerados tanto como aes comoresistncia causada por pr-deformao e pr-curvatura (alnea 5.10.1 doEC2 [1]). Assim tm-se dois possveis modelos de vericao, a saber: Modelo 1:Considera os cabos como parte integrante da seo,

onde a operao de protenso introduz deformao impostacorrespondente ao pr-alongamento das armaduras ativas.

Modelo 2:Considera a protenso como carregamentoexterno composto por sistema auto-equilibrante de forasnas ancoragens e transversais no concreto. Aps ativao

da aderncia, os cabos de protenso so considerados como armao passiva convencional, apenas levando emconsiderao o pr-alongamento.

2.2 Protenso considerada como ao externa

Neste modelo a estrutura encontra-se solicitada por carregamentoexterno calculado atravs de cargas equivalentes de protenso,sendo o ao de protenso aps a aderncia considerado comoarmao passiva convencional, apenas com a origem da sua cur-va tenso-deformao deslocada do pr-alongamento p etenso correspondente p (ver Figura [1]).Na anlise de estruturas hiperestticas protendidas aplicando aprotenso como carregamento externo, no h a necessidade de

se computar os efeitos hiperestticos da protenso. Isto simplicaa vericao, uma vez que os esforos de protenso so direta-mente obtidos das sadas dos programas de anlise.

3. Vericao de sees protendidas

3.1 Introduo

As normas europias permitem a utilizao dos dois modelos de veri-cao mencionados. A NBR 6118 [2] e o ACI 318-02 [3] no comen -tam sobre os modelos, porm, como utilizam o conceito de momentohiperesttico de protenso h indicao implcita do modelo 1.O EC2 e a NBR 6118 indicam trs valores representativos para a fora deprotenso: mdio,

mP, caractersticos superior e inferior,

supkPe

infkP. O ACI somente contempla o valor mdio. Exceto a NBR 6118, as normasso unnimes em especicar mP como o valor a ser utilizado nas veri-caes de capacidade resistente. A NBR 6118 faz ressalvas na alnea9.6.1.3 quando as perdas superam 35% e no caso de obras especiais.O valor de clculo da fora de protenso dado pela expresso:

onde, p = coeciente de ponderao da protenso; kP = valor re-presentativo da protenso de uma dada seo no tempo considerado.

Todas as normas exceto a NBR 6118 especicam 1=p para ve-ricaes globais. De fato, na alnea 11.7.1 da NBR 6118 especi-

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deformaes na seo transversal pertencer a um dos domniosdenidos na Figura [2].As deformaes das bras extremas correspondentes ao estadolimite ltimo podem ser convenientemente expressas em funode um nico parmetro adimensional, D [4]. apresentado abai-xo procedimento ligeiramente modicado de modo a incluir o do-mnio 4a. A deformao correspondente bra mais comprimidade concreto, ( )Ds , e a deformao correspondente ao aomais tracionado, ( )Di , podem ser visualizadas na Tabela [1],onde apresentada a correspondncia entre os domnios 1 a 5(para momento positivo) e 5 a 1 (para momento negativo) comos valores de D.Para a Tabela [1] tem-se que: sy = distncia da bra extremacomprimida ao CG da pea; iy = distncia da bra extrema tra-

cado 9,0=p para aes favorveis e 2,1=p para aesdesfavorveis. O EC2, na alnea 2.4.2.2 especicada 1=p paraaes favorveis e 3,1=p ou 2,1 para aes desfavorveis, noscasos de protenso externa e vericaes locais, respectivamente.Como a protenso , na esmagadora maioria das vezes, efeito favorvelno caso da capacidade resistente a exo, adotando-se 9,0=p osresultados da anlise segundo os dois modelos somente coincidiro se opr-alongamento e as cargas equivalentes de protenso forem compu-

tados com base no mesmo valor de clculo da fora de protenso.

3.2 Caracterizao do estado limite ltimosegundo a NBR 6118

O estado limite ltimo caracterizado quando a distribuio das


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cionada ao CG da pea. Ainda da Tabela [1] tem-se que:

onde a4 (e conseqentemente '4a ) corresponde ao segmento indica-

do na Figura [3 a]. As demais variveis podem ser vistas na Figura [3 b].

Para a Figura [3 b] tem-se que:maxy = distncia da armadura

mais superior ao CG da pea; miny = distncia da armadura maisinferior ao CG da pea.

3.3 Rotinas de clculo para verifcao de sees protendidas

Nesta etapa apresentada uma descrio da seqncia lgicapara as rotinas de clculo desenvolvidas com o software Mathcad2000 Professional [5], acompanhada de uxograma (ver Figura[4]) contendo os principais passos para vericao de sees.


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3.3.1 Rotina 1 clculo do momento ltimo

de projeto pelo modelo 1

Inicialmente so solicitados todos os dados referentes seode concreto, as camadas de armao e fatores de ponderao.De posse desses dados de entrada inicia-se a anlise da seovisando obteno do perl de deformao da mesma. Paraisso, os principais passos so executados: processamento dasrelaes constitutivas para concreto e ao assim como do es-foro normal em relao s deformaes seccionais, conformeexpresso abaixo.

onde, = esforo normal resultante na seo; ( )yb = largurada seo na ordenada y ; cam s, cam p = camadas de armadu-ra passiva e ativa na seo.O perl de deformaes seccionais correspondentes ao estadolimite ltimo encontrado resolvendo a expresso:

onde com o valor de D calcula-se o momento resistente de projeto,, pela expresso:

3.3.2 Rotina 2 clculo do momento ltimo

de projeto pelo modelo 2

Nesta rotina tambm so fornecidos os dados referentes seo deconcreto, as camadas de armao e fatores de ponderao. Comodiferencial em relao rotina 1 tem-se que na denio da relaoconstitutiva para o ao de protenso o mesmo tem sua origem des -locada para o ponto pp , . As demais relaes constitutivasem nada se alteram. O perl de deformaes seccionais no estadolimite ltimo encontrado resolvendo a expresso:

onde corresponde ao esforo normal atuando na seo e calculado pela expresso:

onde,Np= valor de clculo do esforo normal devido protenso(negativo para compresso); f = fator de ponderao dos es-foros solicitantes;Nq = valor do esforo normal adicional. Com ovalor de D calcula-seMr conforme a expresso (3.5).Devido a diferenas na considerao da protenso entre osdois modelos, os momentos resistentes ltimos sempre guar-dam a relao:

onde, e = excentricidade do cabo mdio em relao ao CGda pea.

4. Exemplos de estruturas protendidas

4.1 Introduo

Nesta seo sero apresentados dois exemplos de estruturas hi -

perestticas protendidas: um prtico e um tabuleiro de viaduto. Asestruturas sero abordadas pelos dois modelos de consideraoda protenso. O objetivo mostrar a equivalncia dos modelos noclculo da capacidade resistente de estruturas protendidas.

4.2 Exemplo de prtico hiperesttico

Considere o prtico hiperesttico protendido indicado na Figura[5], onde o traado do cabo de protenso dividido em quatrotrechos parablicos concordantes, como mostrado para metadedo vo da viga. O objetivo determinar a intensidade do carre-gamento uniformemente distribudo ao longo de toda a viga, uq, para que o prtico atinja o estado limite ltimo de exo. A fora

efetiva de protenso 6,3=P MN e com o propsito de simpli-car a discusso do problema adotou-se as seguintes simplica-es: P a fora efetiva de protenso na idade considerada etomada constante ao longo do cabo, o ao de protenso e o aoda armadura passiva so considerados elasto-plsticos com limitede escoamentof

pyef

sy, as armaduras escoam nos estados limites

ltimos, os coecientes de ponderao da resistncia dos mate-riais e das foras externas so tomados iguais a um, adotado odiagrama retangular de tenses para o concreto e o eixo neutrolocaliza-se no interior da mesa superior.Inicialmente vericaremos o prtico pelo modelo 1 como indicadona Figura [6 a], onde a = profundidade do bloco de compressono concreto com tenso constante de 0.85 f

ck; cF = resultante

das tenses de compresso no concreto; pF = resultante da ten-so de trao no ao de protenso; uM = momento resistenteltimo. Em seguida, vericaremos o prtico pelo modelo 2 como


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indicado na Figura [6 b], onde pF = resultante da tenso detrao no ao de protenso considerado como armadura passivaaps aderncia.

4.2.1 Modelo 1

A restr io elstica oferecida pelos pilares do prt ico acarre-ta o surgimento de esforos externos, denominados efeitos

hiperestticos da protenso. No prtico em apreo os efeitoshiperestticos so: momento fletor hiperesttico e esforo nor-mal hiperesttico.

O esforo normal hiperesttico devido ao da protenso cor-responde reao dos pilares do prtico a deformao axial im-posta viga pela protenso, ocasionando assim um esforo nor-mal de trao na pea que leva a diminuio do esforo normalde protenso (ver Figura [7]).


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Para cada seo o procedimento de clculo ser: Calcular o momento etor resistente ltimo, uM . Calcular o momento solicitante em funo do carregamento

externo unitrio,1q

M . Da igualdade dos momentos resistentes e solicitantes calcula-

se o valor de uq para qual a seo em apreo atinja o estadolimite ltimo.

No modelo 1 o momento solicitante em uma dada seo vale:

onde,

2X = momento etor hiperesttico.Podemos simplicar o prtico como na Figura [8], onde cada umdos deslocamentos impedidos corresponde uma reao do vncu-lo, no caso, uma reao de fora e uma reao de momento.

As equaes que exprimem as condies de compatibilidade daFigura [8] podem ser escritas por:

onde d11

, d12

, d21

ed22

correspondem as exibilidades devido aaplicao de uma carga unitria e momento unitrio; 01d e 02d correspondem as deformaes impostas a estrutura pela ao da

protenso. Aplicando o princpio dos trabalhos virtuais, tem-se:

onde, vA = rea da seo transversal da viga; pI = momento de


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inrcia do pilar; vI = momento de inrcia da viga; vL = compri-mento do trecho de viga considerada.

Resolvendo o sistema para os dados em apreo: 7,2191 =X kN e kN-m, correspondentes aos efeitos hipe-


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restticos da protenso. Para a seo em apreo uq vale:

4.2.2 Modelo 2

O procedimento de clculo do momento resistente semelhanteao do modelo 1. No entanto, as sees neste modelo esto sujei-tas ao esforo normal resultante da protenso.O valor do momento solicitante na seo considerada :

onde, = momento etor devido unicamente a protenso.A carga ltima na seo considerada vale:

Na Figura [9 a] tem-se a protenso como carregamento externo

e, na Figura [9 b] tem-se o diagrama de momentos etores devidoa esse carregamento assim como o diagrama de esforo normalresultante e as reaes exercidas nos apoios, onde as unidades

so o kN e m.A Tabela [2] apresenta valores para o concreto e ao, assim comoos resultados obtidos. Pode ser observado da ltima linha da Ta-bela [2] que os valores nais de carga so idnticos para os doismodelos de anlise.

4.3 Exemplo de viaduto hiperesttico

Para o caso de lajes carregadas transversalmente, a vericao exo no estado limite ltimo, assim como no caso de prticos, en-volve um problema de exo composta, para ambos os modelos,pela ao do esforo normal hiperesttico e de protenso.Considere o tabuleiro de um viaduto hiperesttico protendido indi-

cado nas Figuras [10, 11], onde o traado dos cabos de protenso mostrado atravs das coordenadas descritas na Tabela [3]. Oobjetivo determinar a intensidade do mximo carregamento m-vel atravs de um coeciente de majorao da carga mvel, ,para que a primeira seo atinja o estado limite ltimo de exo.A fora efetiva mdia de protenso aplicada aos 16 cabos mos-trados na Figura [11], em cada um dos 16 segmentos, no qual foidividido o vo, tambm mostrada na Tabela [3]. A seo trans-versal da laje do viaduto apresenta clulas circulares ao longo detodo seu comprimento, uma vez que no foi previsto neste casodiafragma sobre os apoios da laje. A discusso do problema adotaos procedimentos de vericao do estado limite ltimo de exosegundo a NBR 6118.


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Neste exemplo aplica-se tcnica bastante utilizada na prtica do dimensio-namento, que consiste em modelar a laje como um conjunto de elementos

de grelha distribuindo a rigidez longitudinal e transversal da laje, respecti-vamente, nos elementos longitudinais e transversais da grelha, atravs desuas inrcias a exo e toro [6], como mostrado na Figura [12]. As peaslongitudinais internas tiveram seus eixos locados a meia distncia entre oscentros de clulas adjacentes e, as longitudinais externas a meia distnciaentre o limite da laje e o centro da clula adjacente.A laje tratada como uma placa ortotrpica e as propriedadesdos elementos longitudinais e transversais so determinadas se-paradamente [7].O clculo da inrcia a exo das pores de sees longitudinaissegue a metodologia clssica. Na determinao da inrcia a exodas pores de sees transversais recomenda-se usar o Mtodode Elliott, representado pela expresso abaixo.

onde, i = momento de inrcia por unidade de largura; vd = di-metro da clula.Conseqentemente, para as pores de sees transversais, omomento de inrcia vale:

onde, tI = momento de inrcia das peas transversais; ls = me-dida do segmento longitudinal do elemento de grelha.

Para a inrcia a toro de lajes vazadas por unidade de altura,recomenda-se usar o Mtodo de Ward e Cassell, onde as constan-tes de toro para as peas longitudinais e transversais da grelha,respectivamente lJ e tJ , valem:

onde, j= constante de toro por unidade de largura; ts = me-dida do segmento transversal do elemento de grelha. A Tabela [4]sintetiza as propriedades geomtricas das peas.

4.3.1 Carregamento

O carregamento aplicado aos ns dos elementos de grelha consis-


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te da composio de cargas distribudas multiplicadas pela rea deinuncia de cada n e cargas concentradas. As cargas distribudasconsistem do peso prprio das sees, pavimentao e carga demultido. As cargas concentradas originam-se das rodas do veculo.

O valor das cargas distribudas pela rea de inuncia de cada n vale:i) para peso prprio:

ii) para pavimentao:

iii) para carga de multido:

onde: extF , intF = carregamento concentrado nos ns da seo

externa e interna devido carregamento distribudo; extA , intA =rea da seo transversal da pea longitudinal externa e interna;a = altura da rea de inuncia; b = base da rea de inuncia;esp = espessura do pavimento = 0,07 m.

A Figura [13] mostra as reas de inuncia para os ns das peaslongitudinais externas e internas.A Figura [14] mostra a carga distribuda de multido e as cargasconcentradas do veculo de classe 45 sobre uma regio da laje doviaduto. A Figura [14] tambm exemplica a simplicao adotadano tratamento das cargas mveis sobre a laje.A carga concentrada das rodas do veculo coincide com os ns dagrelha no sentido longitudinal para as hipteses de carregamento.O mesmo no ocorre no sentido transversal, sendo necessria adistribuio dessa carga. A Tabela [5] resume o valor das cargasaplicadas aos ns dos elementos de grelha.

4.3.2 Hipteses de carregamento

Neste caso, esto sendo analisadas apenas duas sees das pe-as longitudinais, uma na poro externa e uma na poro interna,para a seo 1-1 das Figuras [10, 11].Na determinao de para que uma das duas sees em apre-o atinja o estado limite ltimo de exo, considerou-se duas hip-teses de carregamento: hiptese 1 e hiptese 2.Na hiptese 1 as cargas das rodas centrais do veculo foram po -sicionadas no primeiro vo a 15 m do apoio central, conforme or-denadas da linha de inuncia de momentos etores para a seo


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tico de protenso em cada poro de seo, obtm-se os esforosnormais hiperestticos de protenso. Esses esforos normais hi-perestticos correspondem a foras de trao e compresso, con-

forme parcela da fora efetiva de protenso aplicada poro deseo analisada. Este procedimento mostrado a seguir, tomandopor base as informaes constantes da Tabela [3] e Figura [11].

para ambas vale:

onde, = tenso de compresso na seo considerada da laje;

finalP = fora efetiva de protenso na seo considerada da laje;

totN , isoN e hipN = esforos normais de protenso na porode seo considerada da laje, respectivamente, esforo normal

total, isosttico e hiperesttico. A Tabela [6] resume os valores de

esforos normais.

Para cada poro de seo o procedimento de clculo ser:

Calcular o momento etor resistente ltimo, .

Obter dos programas comerciais de anlise estrutural omomento solicitante em funo do carregamento externo

permanente e mvel, respectivamente, gM e qM . Da igualdade dos momentos resistentes e solicitantes

calcula- se , para o qual uma das sees em apreo atinja

o estado limite ltimo.


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No modelo 1 o momento solicitante em uma dada seo vale:

onde, = coeciente de impacto para obras rodovirias; l =comprimento, em metros, de cada vo terico do elemento carre-gado, segundo a NBR 7187 [8].

O valor do momento hiperesttico de protenso obtido conformea expresso a seguir:

onde, isoM = momento isosttico de protenso; hipM = mo-mento hiperesttico de protenso. O momento total devido a pro -tenso na seo considerada foi obtido dos programas comerciaisde anlise estrutural e o momento isosttico de protenso daequao:

Os valores, em MN-m, dos momentos resistentes ltimos, momen-tos solicitantes em funo do carregamento externo permanentee mvel, momentos hiperestticos devidos a protenso e , naspores externa e interna da seo 1-1 nas hipteses de carre -gamento 1 e 2, so mostrados na Tabela [7], sendo ilustrado naFigura [17] o clculo do momento resistente ltimo para a porointerna da seo 1-1, atravs da rotina 1 de clculo.No resultado das anlises de modelagem por grelha tem-se descon-

tinuidade no diagrama de momentos nas duas direes para as car-gas aplicadas aos ns, resultantes do carregamento externo na reade inuncia de cada n. Para os valores dos momentos etores, em

cada n, tomou-se mdia das duas barras que nele incidem.

4.3.4 Modelo 2

Analogamente ao modelo 1, no modelo 2 o momento solicitanteem uma dada seo vale:

A Tabela [8] mostra os momentos e para o modelo 2. A Figura

[18] d continuidade a Figura [17].Como a vericao do estado limite ltimo de exo envolve pro-blema de exo composta, em ambos os modelos, pela ao doesforo normal hiperesttico e de protenso, as rotinas de clculoforam ligeiramente modicadas, como mostra as Figuras [17, 18].

5. Concluses

Pelo exposto anteriormente, as principais concluses deste tra-balho so:

Para 1p , os resultados da anlise de capacidaderesistente segundo os dois modelos de considerao daprotenso somente coincidiro se o pr-alongamento e ascargas equivalentes de protenso forem computados com

base no mesmo valor de clculo da fora de protenso. A NBR 6118 ao frisar que na vericao a ruptura deve-se levar em conta os efeitos hiperestticos da protenso, leva a utilizao apenas do modelo 1 na vericao de estruturas

protendidas. desejvel que o modelo 2 seja tambmcontemplado, o que simplicaria a vericao uma vez que osesforos so diretamente obtidos das sadas dos programasde anlise estrutural.

Devido equivalncia dos dois modelos a ambigidade na considerao da protenso comumente utilizada, onde os efeitos hiperestticos da protenso so extrados das sadas

dos programas de anlise considerando a protenso comocarregamento externo.


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As normas brasileiras devem acompanhar as

normas internacionais adotando 1=p paraverificao global da capacidade portante de obrasem concreto protendido com cabos internos.

6. Referncias bibliogrcas

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