Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones

8/7/2019 Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones

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Cinemtica en Dos Dimensiones

Captulo 04


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Contenido

Posicin

Desplazamiento y distancia recorrida

Velocidad y rapidez media Velocidad y rapidez instantnea

Aceleracin media e instantnea

Movimiento con aceleracin constante

Movimientos Unidimensionales

Cada Libre Movimiento de Proyectiles

Movimiento Circunferencial Uniforme


3/56

Posicin

rx

z

r xi + yj + zk =

2 2 2r = r = x + y + z

Mdulo:


4/56

fr

ir

r

Desplazamiento

vector

desplazamiento

trayectoria

ir r r distancia recorrida

s


5/56

Desplazamiento

f i r = r r

Si: i i i i r = x i y j + z k + f f f f r x i + y j + z k =yEntonces:

( ) ( ) ( ) f i f i f i r x x i + y y j + z z k = ( ) ( ) ( ) r x i + y j + z k =

Magnitud del vector desplazamiento:

( ) ( ) ( )2 2 2 f i f i f i r = x x + y y + z z


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En general:

Magnitud del vectordesplazamiento

distanciarecorrida

Ejemplo:

En un ao la Tierra gira en torno al Sol ...


7/56


8/56

Si:

i i i i r x i + y j + z k =

f f f f r x i + y j + z k =

y

Entonces:

( ) ( ) ( ) f i f i f i f i f i f i

x x y y z z v i + j + k

t t t t t t

< > =

x y z

v i + j + k t t t

< > = x y zv v i+ v j+ v k < > = < > < > < >

Velocidad Media

f i

f i

r rrvt t t

< > = =

Componente y de la velocidad media

= velocidad media en el e e


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Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidadmedia, si el intervalo de tiempo entre las dos

posiciones es

t = 10 s y las posiciones estnmedidas en metros.


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( )0 0

lim limf i

instt t f i

r rrv t v =t t t

=

Velocidad Instantnea

rectatangente

[ ] [ ][ ]d L m

d T s

rv

t= = =


11/56

0( ) lim

t

r drv t

t dt= =

0 ( ) limt

x y z

v t i + j + k t t t

=

0 0 0 ( ) lim lim lim

t t t

x

y

zv t i + j + k

t t t =

( ) dx dy dz v t i + j + k dt dt dt

=

( )x y z

v t v i v j v k = + +

Velocidad Instantnea


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Ejemplo: Considere un automvil movindose en lnea recta ...

En este caso tendremos que: ( ) r x t i =Suponga, adems, que el auto semueve de acuerdo a la siguienteecuacin de itinerario:

( ) 2 3r t t i =con ten segundos y xen metros

Cunto vale la velocidad instantnea cuando t= 3 s?

x

t1 2 3 4

6

12

24

18

30

36

42

0


13/56

x

t1 2 3 4

6

12

24

18

30

36

42

( ) t s ( )r m ( / )< >v m s1,00 21,00 i 21,00 i0,50 9,75 i 19,50 i

0,25 4,69 i 18,80 i

0,10 1,83 i 18,30 i

0,05 0,9075 i 18,15 i

0,01 0,1803 i 18,03 i

0,001 0,018003 i 18,003 i

Desplazamiento y velocidad mediapara diferentes intervalos de tiempo.(los intervalos comienzan en t= 3 s)

2 ( ) 3r t t i =

( ) ( ) 3 0,01 3f ir r r x s + s i x s i = = Por ejemplo, para t= 0,01s:

( ) ( ) ( )2 2 3 3,01 3 3 27,1803 27 0,1803r mi mi m m i mi = = =pendiente de latangente en t=3s

Clculo analtico del lmite


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2 ( ) 3r t t i =Clculo analtico del lmite

Entonces: ( ) ( ) f ir r r r t + t r t = = ( ) 2 2 3 3r t + t i t i = ( )2 2 2 3 2 3r t + t t + t t i =

2 6 3 r t t + t i = Dividiendo por t, se tiene:

[ ] 6 3

r t t it = +

Por lo tanto:

( )0

6limt

rv t t i t= =

R i d i


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( ) 6v t t i =Resumiendo, si: ( ) 2 3r t t i =Entonces:

Ruta corta:

DERIVAR !

( ) ( ) ( )2 23 3 3 2 6d dt t t t dt dt

= = =

Al d i d il


16/56

( )f t d fd t

0nt 1nn t ( )s in t ( )cos t ( )co s t ( )s in t

( ) ( )g t h t + d g d h+d t d t

( ) ( )g t h t ( ) ( )dg dhh t + g t dt dt

( )( )g h t d g d hd h d t

Algunas derivadas tiles


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Rapidez

La rapidez se define como el mdulo del vector velocidad.

2 2 2

x y zv v v + v + v =

Por lo tanto, la rapidez no es un vector,es un escalar.

v v v=

A l i M di


18/56

iv vva

t t

< > = Aceleracin Media

x

y

v i

v f

v i

v f

v

a< >

A l i M di


19/56

Entonces:

( ) ( ) ( ) xf xi yf yi zf zi f i f i f i

v v v v v va = i + j + k

t t t t t t

< >

y zx v vva = i + j + k t t t

< >

x y z

a a i+ a j+ a k < > = < > < > < >

Aceleracin Media

Componente y de la aceleracin media aceleracin media en el eje y

iv vv

a t t

< > = =

Si: i xi yi zi v v i + v j + v k = y f xf yf zf v v i + v j + v k =

Aceleracin Instantnea


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0 0

( ) lim lim

f i

inst t t

v vva t a

t t = =


ri

r f

v i

v f

v i

v fv a< >

A l i I t t


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22/56

0( ) limt

v dv

a t t dt= =

0

( ) limy zx

t

v vva t i + j + k

t

t

t

=

0 0 0

( ) lim lim limy zx

t t t

v vva t i + j + k

t t t =

( )y zx

d v d vd va t i + j + k

d t d t d t

=

( )x y z

a t a i a j a k = + +Como:

( ) d rv td t

= 22

( )d dr d r

a tdt dt dt

=


C ti l M i i t R til


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Caso particular: Movimiento Rectilneo

( )r x t i = ( )xv v t i = ( )xa a t i =

( )x

dxv t =

dt

2

2( ) x

x

dv d xa t

dt dt = =

Movimiento Rectilneo Uniforme


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x x x

vx vx vx

ax

ax

ax

Movimiento Rectilneo Uniforme

Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado


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Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado

v(t) = pendiente de la tangente en t

Ejemplo: 1t s


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Ejemplo: 1t s=( ) 2i mv t + i

s

= ( ) 4f mv t + i s

=2

2x

ma i

s= +

( ) 4i mv t + i s

= ( ) 2f mv t = + i s

22

x

ma i

s=

( ) 2i mv t is

= ( ) 1f mv t is

= 2

1x

ma + i

s=

( ) 2i mv t is

= ( ) 3f mv t is

= 2

1x

ma i

s=


27/56

Clculo del desplazamiento a partir de v(t)


28/56

Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.

vx

t

vx(t) = vx0 = constante

vx0

tfti t

rea "bajo la curva": x0 f i v t = x = x x



29/56

Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General

vx

ti tf

1 2 ...x x + x + =

1 2 ...x1 x2x v t + v t + =1 2

...x A + A + x A =

f ix x x=



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x

ti

ti

t

vx

desplazamientoxentre t

iy t

f

= rea delimitada por grficovx

v/s tentre tiy t

f

Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso General

( ) ( )dtt

t

v=tt

t

v=x

f

it

ii

f

it

it

lim

0



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Clculo del desplazamiento a partir de v(t)Caso M.R.U.A.

Este clculo ya se hizo en el captulo 2 y las leyes obtenidas son:

( ) ( ) ( )2

0 0 02

x

x0

ax t x + v t t + t t =

( ) ( )0x x0 x v t v + a t t = .xa cte=

Adems:

( )2 2 02x x0 x v v + a x x =

Movimiento en 2 3 dimensiones con


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Movimiento en 2 3 dimensiones conaceleracin constante

Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleracin cte.

x y za a i + a j + a k =

Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes:

uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z

( ) ( ) ( )20 0 02

x

x0

ax t x + v t t + t t = Eje x: a

x= cte. ( ) ( )0x x0 x v t v + a t t =

( ) ( ) ( )20 0 02

y

y0

at y + v t t + t t = Eje y: ay= cte. ( ) ( )0y y0 yv t v + a t t =

( ) ( ) ( )20 0 02zz0 az t z + v t t + t t = Eje z: az= cte. ( ) ( )0z z0 z v t v + a t t =

Movimiento en 2 3 dimensiones con


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Movimiento en 2 3 dimensiones conaceleracin constante

( ) ( ) ( )20 0 0 012

r t r + v t t + a t t =

( ) ( )0 0v t v + a t t = .a = cte

Adems:

( ) ( )2 20 02v t v + a r r =

Cada Libre y Movimiento de Proyectil


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y y

.a cte g =

Caida Libre y Movimiento de Proyectil


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Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galileifue matemtico y msico. Estudi medicina en la Univ. de Pisa. 1589:Profesor de matemticas en Pisa. En 1610 publica Sidereus Nunciusen el que presenta observaciones astronmicas efectuadas con sutelescopio. En 1632 publica Dialogo sopra i due massimi sistemi delmondo. En 1638 publica Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delledue nuove scienze (donde describe la cada libre).

Galileo Galilei

pelota


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vy= 0 en elpunto ms alto

durante el ascensoa

y= -g, la rapidez

disminuye y la

velocidad se hacemenos positiva

durante el descensoay = -g, la rapidezaumenta y lavelocidad se hacems negativa

g

( ) ( ) ( )20 0 02

y0

gy t y + v t t t t =

( ) ( )0y y0v t v g t t = 2

9,8m

g g j j s

= =

y(t) (m)altura


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vy(t) (m/s)

t (s)

t (s)

En amboslanzamientos,v

y=0 m/s en el

punto de alturamxima

velocidad

lanzamiento rpido

lanzamiento lento


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Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectilen llegar a tierra, si ste se lanza con una velocidad

de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m


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-3,17 s 6,44 s

Movimiento de Proyectil


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Podemos:

Ignorar el roce con el aire

Ignorar la rotacin de la tierra

Con estas aproximaciones, tenemos que :

Una vez liberado, slo la gravedad acta

sobre el cuerpo, tal como en el movimientode lanzamiento vertical.

Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo,

entonces:

Hay aceleracin vertical hacia abajo.

NOhay aceleracin horizontal. El cuerpo sigue una trayectoria parablica.

Si elegimos un sistema de referencia tal que la direccin y seati l iti h i ib t


41/56

vertical y positiva hacia arriba, entonces:

ya g= 20 m/sxa =

00 mx = 0 0 my =

Supongamos tambin que en t0

= 0 el cuerpo partedel origen de coordenadas, es decir:

( ) 212

y0y t v t gt = ( ) x0x t v t =

( )y y0v t v gt = ( )x x0v t v=2

1

2y0

x0 x0

x xy v g

v v

= 2

2

1

( ) 2

y0

x0 x0

v g

x x xv v

=

g

x

y

2

2

1

y0v g

y x x =


42/56

x

y

0

v 0

x0 y0v v

g

2

2

y 0v

gg

22x0 x0

yv v

2 2

2

2 2

21 1

2 2 2

x0 y0 x0 y0 y0

x0 x0

v v v v vg gy x x x +

v g v g g

= =


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g

Alcance y Altura Mxima


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El proyectil alcanza la altura mxima cuando: vy = 0 m/s

( ) 0 0yv t v sen gt= 0 00 hmv sen gt= 0 0

h m

v s e n

t g= tiempo en que

alcanza la alturamxima

Al sustituir este tiempo en la ley de la posicin vertical, se tiene:

( ) 20 0 12

max hm hmy t h v sen t gt= =

2

0 0 0 0

0 0

1

2max

v sen v sen

h v sen gg g

=

2 2

0 0

2m ax

v sen h g=

Siempre que el punto inicial y final estn a la misma altura:


45/56

Reemplazando en la ley de la posicin horizontal, se tiene:

0 02t

v sent

g=

( ) 0 0co st tx t = v t

( ) 0 00 0cos 2 v senR v g = 2

0 0 02cosv sen

R g=2

0 0(2 )v s en R g=

El tiempo total de vuelo es: tt

= 2thm

Luego, el alcance R es:


46/56

( )0 02

R R =

2

0

m a x

vR

g=

0

Para:4

=

Problema


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Un avin lanza un paquete a un

grupo de exploradores. El avinvuela horizontalmente a una alturade 100 m sobre el suelo, con unarapidez de 40 m/s

Dnde cae el paquete, relativo a laposicin en que fue lanzado?

d

1. Introducimos un sistema de coordenadas

Eje y: dirigido hacia abajo

Eje x: dirigido hacia la derechaOrigen: en la posicin del avin

cuando lanza el paquete

2. Tenemos que: x0

= 0 m y0

= 0 m

vx0= +40 m/s vy0 = 0 m/sa

x= 0 m/s2 a

y= +g= + 9,8 m/s2

( ) ( )2 2 213. 4,9 /2

y t gt = + m s t =( ) ( )40 /x0x t v t = m s t =

2

1004. 100 4,52

4,9 /

my + m t s

m s= = =

( ) ( ) ( )5. 4,52 40 / 4,52 181d x s m s s m= = =

0


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Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.


49/56

ir

f

r

iv

fv

iv

fv v

a< >

La trayectoria del mvil es una circunferencia y

La recorre con rapidez constante: v = cte.

v

iv

Aceleracin Centrpeta.


50/56

ac

iv

v

/ 2

/ 2

v

v

2 2

vsen

v

=

2 2

rsen

r

=

v

v rr

=

v r v

t t r=

va vr

=Si: 0t

Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U.


51/56

2

c

va

r=

Aceleracin

Centrpeta:

VelocidadTangencial:

2rv T=

T= Periodo

Aceleracin Radial (Centrpeta) y Tangencial


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En general: c ta a + a= 2

cvar

= t d vdvadt dt

= =

2 2c ta a + a=

Movimiento Relativo


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.u cte=

K'

r'

ut

r

K

pos. del cpo. c/r al sist. K= pos. del cpo. c/r al sist.

K' + pos. del sist. K' c/r a Kr r' + ut =

v v' + u= a a'=

vel. del cpo. c/r al sist. K= vel. del cpo. c/r alsist. K' + vel. del sist. K' c/r al sist. K

acel. del cpo. c/r al sist. K= acel. del cpo. c/r alsist. K' (si vel. de K' c/r a Kes cte.)

Movimiento Relativo


54/56

Movimiento Relativo


55/56

N

S

EO

vbr

vrt

vbt

Movimiento Relativo


56/56

N

S

EOvbr

vbt

vrt

bt br rt v v v= +

Fisica - Cap 04 - Cinematic A en 2 Dimensiones

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