Finite Elemente - math.uni-kiel.de · Finite Elemente Malte Braack Mathematisches Seminar...

Finite Elemente

Malte Braack

Mathematisches Seminar

Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel

Vorlesungsskript, 26.01.2015

Alle Rechte bei dem Autor.

Inhaltsverzeichnis

1 Eindimensionale Randwertprobleme 3

1.1 Finite Differenzen Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Funktionalanalytische Grundbegriff 7

2.1 Stetige lineare Operatoren zwischen normierten Raumen . . . . . . . 7

2.2 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Lebesgue integrierbare Funktionen Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Schwache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Definition der Sobolev-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Variationsformulierung 23

3.1 Der Spuroperator in 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Existenz und Eindeutigleit schwacher Losungen . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Satz von Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Finite Elemente in 1D 35

4.1 Galerkin Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Lineare Finite Elemente in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Lastvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3 Massematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Pr-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 A priori Abschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Knoteninterpolierende fur lineare Finite Elemente . . . . . . . . . . . 43

4.6 A priori Abschatzung symmetrischer Bilinearformen . . . . . . . . . . 46

4.7 Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

ii M. Braack INHALTSVERZEICHNIS

5 Elliptische Randwertprobleme in mehreren Dimensionen 51

5.1 Maximum-Prinzip und invers monotone Operatoren . . . . . . . . . . 52

5.2 Spursatz in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Ungleichungen von Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 C0-Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4.1 Polynome auf Dreieckselementen . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4.2 Polynome auf Tetraedern in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.3 Polynome auf Viereckseckselementen . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Konforme Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 Basis-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7 Transformationen und geometrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . 68

5.8 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.8.1 Homogene Dirichletbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.8.2 Inhomogene Dirichletbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.8.3 Neumann-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.9 M-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.9.1 M-Matrix-Eigenschaft fur Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Fehlerabschatzungen und Adaptivitat 77

6.1 Bramble-Hilbert Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Interpolationsabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3 Folgen von Triangulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 A priori Fehlerabschatzung in der H1-Norm . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5 A priori Abschatzung in der L2-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 Clement Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.7 A posteriori Fehlerschatzung in der Energienorm . . . . . . . . . . . . 89

6.8 Gewichtete Residuale Schatzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.8.1 Gewichtete Residuale Schatzer fur lineare Probleme . . . . . . 92

6.8.2 Approximation der Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.8.3 Beispiele von Ausgabe-Funktionalen . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.8.4 Alternativer Zugang uber ein Sattelpunktsproblem . . . . . . 97

6.8.5 Gewichtete Residuale Schatzer fur nicht-lineare Probleme . . . 100

6.9 Strategien zur Gitteradaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.9.1 Fehlerbalanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.9.2 Fixed-Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.10 Adaptivitat mit Viereckselementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

INHALTSVERZEICHNIS iii

7 Nichtkonforme Methoden 105

7.1 Crouzeix-Raviart-Element fur das Poisson Problem . . . . . . . . . . 105

7.2 Lemma von Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 A priori Fehlerananlyse fur das Crouzeix-Raviart Element . . . . . . . 107

8 Petrov-Galerkin Formulierung und inf-sup Bedingung 113

8.1 Satz vom abgeschlossenen Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2 Inf-Sup Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9 Gemischte Formulierung und Sattelpunktprobleme 119

9.1 Gemischte Formulierung des Poisson-Problems . . . . . . . . . . . . . 119

9.2 LBB-Bedingung fur Sattelpunktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3 Losbarkeit des Poisson Problems in gemischter Formulierung . . . . . 124

9.3.1 LBB Bedingung des kontinuierlichen Problems in der primal-

gemischten Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.3.2 Dual-gemischte Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.4 Raviart-Thomas-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10 Parabolische Probleme 133

10.1 Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.2 Implizites Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.2.1 A priori Fehlerabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10.3 Trapez-Regel / Crank-Nicholson-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.4 θ-Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10.5 Unstetige Galerkin-Verfahren in der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11 Stokes-Gleichung 143

11.1 Variationelle Formulierung fur Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11.2 Die diskrete LBB-Bedingung fur Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

11.2.1 Instabile Stokes-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

11.2.2 Nahezu instabile Stokes-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.3 Mini-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.4 Das divergenzfreie Crouzeix-Raviart-Element . . . . . . . . . . . . . . 159

11.5 Das Crouzeix-Raviart-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.6 Taylor-Hood-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.7 Residual-free bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.8 Die PSPG-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.9 Losung des diskreten Stokes-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

iv M. Braack INHALTSVERZEICHNIS

11.9.1 Schurkomplement eines Sattelpunktproblems . . . . . . . . . . 175

11.9.2 Uzawa-Algorithmus mit konstanter Schrittweite . . . . . . . . 176

11.9.3 Uzawa-Algorithmus fur stabilisierte Systeme . . . . . . . . . . 180

11.9.4 Uzawa-Algorithmus mit optimaler Schrittweite . . . . . . . . . 181

11.9.5 CG-Verfahren fur das reduzierte Stokes-System . . . . . . . . 184

11.9.6 Mehrgitter-Loser fur Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.10Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.10.1 Ausstrom-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.10.2 Druckdifferenz Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.11Instationare Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.12Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.13Losungstheorie fur die instationare Stokes Gleichungen . . . . . . . . 193

12 Darcy-Gleichung 197

12.1 Primale Formulierung im Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

12.2 Gemischte Variationsformulierung fur Darcy . . . . . . . . . . . . . . 199

12.3 Allgemeine a priori Abschatzung fur SFEM . . . . . . . . . . . . . . . 200

12.4 Eine spezielle SFEM fur Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

13 Konvektions-Diffusions-Gleichung 205

13.1 Konvektions-Diffusions-Gleichung in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

13.1.1 Zentrale Differenzenquotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.1.2 Upwind-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.1.3 Kunstliche Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.2 Konvektions-Diffusions-Gleichung in mehreren Raumdimensionen . . 211

13.3 Maximum-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

13.4 Variationelle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.5 Konvektions-Reaktions-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

13.6 Galerkin-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.7 Matrix Eigenschaften unstabilisierter FE Diskretisierungen . . . . . . 217

13.7.1 M-Matrix-Eigenschaft des Reaktions-Anteils . . . . . . . . . . 218

13.7.2 M-Matrix-Eigenschaft des Konvektions-Anteils . . . . . . . . . 218

13.8 Stromliniendiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

13.9 Shock capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.9.1 Crosswind Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.9.2 Nichtlineare isotrope Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13.10Galerkin-Least-Squares-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13.10.1 Least-Squares-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

INHALTSVERZEICHNIS v

13.10.2 Galerkin-Least-Squares-Methode (GLS) . . . . . . . . . . . . . 226

13.10.3 Galerkin-Least-Squares-Methode fur Stokes . . . . . . . . . . . 228

13.11DG-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.11.1 dG-Methode fur Konvektions-Diffusions-

Reaktions-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14 Navier-Stokes-Gleichung 239

14.1 Stationare Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14.1.1 Losungstheorie im Stationaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

14.1.2 Naturliche Ausstrombedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

14.1.3 Die Reynoldszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.1.4 Newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

14.2 Instationare Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

14.3 Existenz schwacher Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

14.4 Existenz klassischer Losungen im Fall d = 2 . . . . . . . . . . . . . . 255


14.6 OLD d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


14.8 Stabilitat des Navier-Stokes-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

14.9 Oseen-Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

14.9.1 Residuen-basierte Stabilisierung fur Oseen . . . . . . . . . . . 268

14.10Residuen-basierte Stabilisierung fur Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 272

14.11Lokale Projektions-Stabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

14.12Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Reynolds averaged Navier-Stokes (RANS): . . . . . . . 276

Boussinesq hypothesis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

k − ε–Modell: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Large-Eddy-Simulation (LES): . . . . . . . . . . . . . . 279

Smagorinsky Modell: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.13Druckkorrektur-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.13.1 Chorin (1968) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.13.2 Van Kan Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14.13.3 Chorin-Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

14.14Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 284

14.14.1 Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Warmekapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Temperaturgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

INHALTSVERZEICHNIS 1

Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

14.14.2 Boussinesq-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

14.14.3 Low-Mach-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

2 M. Braack INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Eindimensionale

Randwertprobleme

Wir betrachten das folgende lineare Randwertproblem (RWP) 2. Ordnung:

−(a(x)u′(x))′ = f(x) ∀x ∈ (0, 1) ,

u(0) = g0 ,

u(1) = g1 ,

(1.1)

mit vorgegeben Daten f : (0, 1) → R, a : (0, 1) → R+, und Randwerten g0, g1 ∈ R.

Dies sind sogenannte Dirichletbedingungen. Im Fall g0 = 0 (bzw. g1 = 0) spricht

man von einer homogenen Dirichletbedingung. Wir wollen hier den allgemeinen Fall

von inhomogenen Dirichletbedingungen betrachten.

Hierdurch wird beispielsweise die Temperaturverteilung u in einem Stab der

Lange 1 modeliert, wobei die Temperatur g0, g1 an den beiden Enden fest vorgege-

ben ist. a(x) beschreibt die Warmeleitfahigkeit, die evtl. im Ort variiert. Die rechte

Seite f ist eine außere Warmequelle (oder -Senke).

Wir wollen nun den Losungsbegriff fur u prazesieren. Hierzu ist zunachst zu

klaren, welche Eigenschaften wir fur die Daten fordern. Sinnvoll sind zunachst die

Annahmen

a ∈ C1[0, 1] , f ∈ C[0, 1] .

Dies bedeutet, dass der Koeffizient a in (0, 1) stetig differenzierbar ist und die Ab-

leitungen auf das abgeschlossene Intervall [0, 1] stetig fortsetzbar sind. Dies schließt

beispielsweise a(x) =√x aus. Die Losung soll nun aus nahe liegenden Grunden

u ∈ C2[0, 1]

erfullen.

4 M. Braack Eindimensionale Randwertprobleme

1.1 Finite Differenzen Diskretisierung

Die zunachst einfachste Methode das oben beschriebene Randwertproblem zu losen

ist die Finite Differenzen Diskretisierung. Wir gehen der Einfachheit zunachst davon

aus, dass der Koeffizient a ≡ 1 ist. Wir erhalten also die Gleichung:

−u′′(x) = f(x) ∀x ∈ (0, 1) ,

u(0) = g0 ,

u(1) = g1 ,

Wir diskretisieren das Intervall (0, 1) in n aquidistante Teilintervalle der Lange h =

1/n. Die zweite Ableitung u′′(x) wird in den inneren Gitterpunkten xi := hi, durch

zentrale Differenzenquotienten approximiert:

u′′(xi) ≈1

h2(u(xi+1)− 2u(xi) + u(xi−1)) i = 1, . . . , n− 1 .

An den Randpunkten x0 und xn mussen wir keinen Differenzenquotienten aufbauen,

da hier die Losung aufgrund der Dirichletbedingungen vorgegeben ist.

Wir erhalten insgesamt ein lineares Gleichungssystem folgender Gestalt:

1

h2

h2

−1 2 −1

−1 2 −1. . . . . . . . .

−1 2 −1

h2

U0

U1

...

...

UN

=

g0

f(x1)......

f(xn−1)

g1

.

Hier bezeichnet Ui die Naherung der Losung u am Punkte xi, also

Ui ≈ u(xi) .

Die frei gelassenen Felder in der Matrix entsprechen Nulleintragen. Wir haben es

also mit einer dunn besetzten Matrix zu tun. Im Fall diese ein-dimensionalen RWP

ist es sogar eine Tridiagonalmatrix. Die Randwerte lassen sich direkt ablesen:

U0 = g0 UN = g1 .

Es verbleibt aber dennoch ein lineares Gleichungssystem der Form

1

h2

2 −1

−1 2 −1. . . . . . . . .

−1 2

U1

...

...

UN−1

=

f(x1) + h−2g0

f(x2)...

f(xn−1) + h−2g1

1.2 Variationsformulierung 5

Diese Matrix wird uns spater ein weiteres mal begegnen. Dann werden wir auch die

Frage nach der Losbarkeit diese Systems beschaftigen.

1.2 Variationsformulierung

Wir werden jetzt einen alternativen Zugang entwickeln, der zunachst viel komplizier-

ter (aber auch eleganter) wirkt. Diese Muhe lohnt sich aber, da das Gesamtkonzept

dann auf kompliziertere Gleichungen und auf mehr Raumdimensionen ubertragen

werden kann.

Anstelle des RWP (1.1) fordern wir, dass gilt

−∫ 1

0

(a(x)u′(x))′φ(x) dx =

∫ 1

0

f(x)φ(x) dx ,

fur hinreichend viele sogenannte Testfunktionen φ. Hinzu kommen noch die Dirich-

letwerte u(0) = g0 und u(1) = g1. Nun setzen wir voraus, dass auch φ ∈ C1(0, 1) ist.

Dann erhalten wir durch partielle Integration:

−∫ 1

0

(a(x)u′(x))′φ(x) dx = −a(x)u′(x)φ(x)∣∣∣x=1

x=0+

∫ 1

0

a(x)u′(x)φ(x)′ dx

= −a(1)u′(1)φ(1) + a(0)u′(0)φ(0) +

∫ 1

0

a(x)u′(x)φ(x)′ dx

Setzen wir nun an den Randern voraus, dass die Testfunktion an den Randpunkten

verschwindet, also

φ(0) = φ(1) = 0 ,

so erhalten wir die Gleichungen∫ 1

0

au′φ′ dx =

∫ 1

0

fφ dx , (1.2)

u(0) = g0

u(1) = g1 .

fur alle “zugelassenen” Testfunktionen φ, die an den Randpunkten verschwinden.

Es fallt jetzt auf, dass u ∈ C2[0, 1] gar nicht mehr gefordert werden muß, um

(1.2) zu erfullen, denn die zweite Ableitungen von u tritt nicht mehr auf. Offen-

sichtlich genugt u ∈ C1[0, 1] plus der Voraussetzung, dass das auftretende Integral

wohldefiniert ist. Dies wollen wir im folgenden noch prazesieren.

6 M. Braack Eindimensionale Randwertprobleme

Kapitel 2

Funktionalanalytische

Grundbegriff

2.1 Stetige lineare Operatoren zwischen normier-

ten Raumen

Definition 2.1 Eine Abbildung T : E → F zwischen zwei normierte Raumen (E, ||·||E), (F, || · ||F ) heißt beschrankt, wenn

||T ||E;F := sup0 6=x∈E

||Tx||F||x||E

< ∞ .

Lemma 2.2 Seien (E, || · ||E), (F, || · ||F ) normierte Raume und T : E → F eine

lineare Abbildung. Dann sind aquivalent:

(a) T ist stetig.

(b) T ist stetig im Nullpunkt.

(c) T ist beschrankt.

Beweis. (a)⇒(b) ist offensichtlich. (b)⇒(c): Aufgrund der Stetigkeit existiert zu

ε = 1 ein δ > 0, so dass T (Bδ,E(0)) ⊂ Bε,F (0). Mit der Homogenitat der Norm folgt

nun:

||T ||E;F = sup06=x∈E

||Tx||F||x||E

= supx∈E,||x||=δ

||Tx||Fδ≤ 1

δ.

8 M. Braack Funktionalanalytische Grundbegriff

(c)⇒(a): Sei xn → x eine in E konvergente Folge. Dann folgt fur die Bilder Txn →Tx, denn:

||Txn − Tx||F = ||T (xn − x)||F ≤ ||T ||E;F ||xn − x|| → 0 .

Definition 2.3 Zu zwei normierte Raumen (E, || · ||E), (F, || · ||F ) bezeichnet L(E,F )

den Raum der linearen und stetigen Abbildungen. Im Fall E = F schreibt man auch

kurz L(E).

Lemma 2.4 Auf dem Raum L(E,F ) bildet || · ||E;F eine Norm, so dass ebenfalls

(L(E,F ), || · ||E;F ) ein normierter Vektorraum ist.

Beweis. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass L(E,F ) wieder einen K-

Vektorraum bildet. Die Normeigenschaften von || · ||E;F rechnet man schnell nach.

2.2 Der Dualraum

Definition 2.5 Ist (E, || · ||) ein normierter Raum, so wird der normierte Raum

L(E,K) kurz mit E ′ bezeichnet und heißt Dualraum zu E. Die Norm || · ||E′;Kauf

E ′ wird kurz mit || · ||E′ bezeichnet. Die Elemente von E ′ nennt man stetige lineare

Funktionale. Fur Elemente f ∈ E ′ und x ∈ E schreibt man fur gewohnlich

〈f, x〉 := f(x) .

Die zu || · || duale Norm ist also

||f ||E′ := supx∈E,||x||≤1

|〈f, x〉| .

Im Fall K = R gilt daher sogar

||f ||E′ := supx∈E,||x||≤1

〈f, x〉 .

Korollar 2.6 Sei G ein Unterraum eines normierten Raumes E. Dann existiert zu

jedem g ∈ G′ eine Fortsetzung f ∈ E ′ von g mit ||f ||E′ = ||g||G′.

Beweis. Der Beweis ergibt sich aus dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach. Wir

verweisen auf einschlagige Literatur der Funktionalanalysis.

2.2 Der Dualraum 9

Korollar 2.7 Zu jedem x0 ∈ E in einem normierten Raum E existiert ein f0 ∈ E ′mit ||f0||E′ = ||x0|| und 〈f0, x0〉 = ||x0||2.

Beweis. Wir wenden Korollar 2.6 an auf den Unterraum G := Kx0 und 〈g, tx0〉 :=

t||x0||2. Dies liefert uns ein f0 ∈ E ′ mit 〈f0, x0〉 = 〈g, x0〉 = ||x0||2 und

||f0||E′ = ||g||G′ = supt∈K,||tx0||≤1

|〈g, tx0〉| = supt∈K,||tx0||≤1

|t|||x0||2 = ||x0|| .

Im allgemeinen ist das f0 in diesem Korollar nicht eindeutig.

Korollar 2.8 In jedem normierten Raum E berechnet sich die Norm fur jedes x ∈E aus

||x|| = supf∈E′,||f ||E′≤1

|〈f, x〉| = maxf∈E′,||f ||E′≤1

|〈f, x〉| .

Beweis. Der Fall x = 0 ist trivial. Fur x 6= 0 gilt

supf∈E′,||f ||E′≤1

|〈f, x〉| ≤ ||x|| .

Andererseits existiert nach Korollar 2.7 ein f0 ∈ E ′ mit 〈f0, x〉 = ||x||2 und ||f0||E′ =

||x||. Dann ist auch f1 := ||x||−1f0 ∈ E ′ mit ||f1||E′ = 1 und 〈f1, x〉 = ||x||. Insgesamt

erhalten wir also:

||x|| = 〈f1, x〉 ≤ supf∈E′,||f ||E′≤1

〈f, x〉 ≤ ||x|| .

Hieraus folgt die Behauptung.

Korollar 2.9 Sei G ⊂ E ein Teilraum eines normierten Raumes E. Ferner gelte:

f ∈ E ′ , f |G = 0 =⇒ f |E = 0 .

Dann ist G dicht in E.

Beweis. Dies ist eine Folgerung aus den Trennungssatzen von Hahn-Banach. Wir

verweisen auf Literatur der Funktionalanalysis.


2.3 Lebesgue integrierbare Funktionen Lp(Ω)

Wenn wir im folgenden von einer messbaren Menge A ⊂ Kn sprechen, so meinen wir

stets Lebesgue-messbar, d.h. fur alle E ⊂ Kn gilt:

λ(E) = λ(A ∩ E) + λ((Kn \ A) ∩ E) .

Hierbei ist λ : P(Kn) → [0,∞] das außere Lebesgue-Maß. Die messbaren Mengen

bilden eine σ−Algebra mit jeweiligem Maß λ(A). Eine Menge A heißt Nullmenge,

wenn sie das Maß λ(A) = 0 besitzt. Entsprechend heißt eine Funktion u : Ω → Rmessbar, bzw. Lebesgue-messbar, wenn alle Niveaumengen N>α := x ∈ Ω : u(x) >

α fur α ∈ R messbar sind.

Definition 2.10 Sei Ω ⊂ Rn eine messbare Menge. Eine Funktion u : Ω→ R heißt

Lebesgue-integrierbar uber Ω, wenn∫Ω

u(x) dx < ∞ .

Die Menge L1(Ω) ist die Menge der Aquivalenzklassen (wie oben beschrieben) Lebes-

gue-integrierbaren Funktionen. Zu 1 ≤ p <∞ ist der Raum Lp(Ω) definiert durch:

Lp(Ω) := u : Ω→ R messbar : |u|p ∈ L1(Ω) ,

mit der Norm

||u||Lp(Ω) :=

(∫Ω

|u(x)|pdx)1/p

.

Fur p = ∞ beinhaltet L∞(Ω) alle messbaren Funktionen u : Ω → R fur die eine

Nullmenge N ⊂ Ω existiert, so dass supx∈Ω\N |u(x)| <∞. Die Norm lautet hier

||u||L∞(Ω) := infµ(N)=0

supx∈Ω\N

|u(x)| .

Bei Lebesgue integrierbaren Funktionen lasst man als Wertebereich die Menge K :=

K∪ ±∞ zu. Der Begriff “fast uberall” (f.u.) bedeutet bei einer Aussage, dass die

Aussage punktweise gilt mit moglicher Ausnahme von Punkten aus einer (Lebesgue-)

Nullmenge N ⊂ Ω:

u = v f.u. auf Ω :⇐⇒ u(x) = v(x) ∀x ∈ Ω \N .

2.3 Lebesgue integrierbare Funktionen Lp(Ω) 11

Ferner betrachten wir bei den Lp(Ω)-Raumen Aquivalenzklassen von Funktionen.

Hierbei sind zwei Funktionen u, v : Ω→ R aquivalent, wenn

u = v f.u. auf Ω .

Dass die o.g. Ausdrucke || · ||Lp(Ω) Normen sind (insbesondere die Dreiecksunglei-

chung), ergibt sich aus den nachfolgenden Satzen.

Lemma 2.11 (Young’sche Ungleichung) Fur a, b, p, q ∈ R, a, b ≥ 0, p, q > 1,1p

+ 1q

= 1 gilt:

ab ≤ 1

pap +

1

qbq .

Beweis. Ubungsaufgabe.

Satz 2.12 (Holdersche Ungleichung) Sei Ω ⊂ Rn eine messbaren Menge, 1 ≤p, q ≤ ∞ derart, dass 1

p+ 1

q= 1. Dann gilt fur alle u ∈ Lp(Ω), v ∈ Lq(Ω):∫

Ω

|u(x)v(x)| dx ≤ ||u||Lp(Ω)||v||Lq(Ω) .

Insbesondere ist dann uv ∈ L1(Ω).

Beweis. Fur p = 1 und p = ∞ ist die Behauptung trivial. Man betrachtet fur

1 < p <∞:

a(x) :=|u(x)|||u||Lp(Ω)

, b(x) :=|v(x)|||v||Lq(Ω)

.

Die Young’sche Ungleichung liefert fur fast alle x ∈ Ω:

a(x)b(x) ≤ 1

pa(x)p +

1

qb(x)q .

Integration uber Ω ergibt:∫Ω

a(x)b(x) dx ≤ 1

p||a||pLp(Ω) +

1

q||b||qLq(Ω) =

1

p+

1

q= 1 .


Beispielsweise erhalten wir fur u ∈ Lp(Ω) mit p > 1:

||u||L1(Ω) ≤ µ(Ω)1−1/p||u||Lp(Ω) (2.1)

denn mit 1/p+ 1/q = 1 gilt:

||u||L1(Ω) = ||1u||L1(Ω) ≤ ||1||Lq(Ω) ||u||Lp(Ω)

Wir erhalten die Behauptung aus ||1||Lq(Ω) = µ(Ω)1−1/p.


Satz 2.13 (Minkowskische Ungleichung) Sei Ω ⊂ Rn einer messbaren Menge,

1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt fur alle u, v ∈ Lp(Ω) die Dreiecksungleichung:

||u+ v||Lp(Ω) ≤ ||u||Lp(Ω) + ||v||Lp(Ω) .

Insbesondere ist dann u+ v ∈ Lp(Ω).

Beweis. Fur p = 1 und p = ∞ folgt die Behauptung direkt aus der Dreiecksun-

gleichung in jedem Punkt. Fur 1 < p <∞ zeigt man (Ubungsaufgabe)

|u(x) + v(x)|p ≤ (|u(x)|+ |v(x)|)p ≤ 2p−1(|u(x)|p + |v(x)|p) .

Also folgt zunachst w := u + v ∈ Lp(Ω). Um die Norm nach oben zu beschranken

geht man wie folgt vor:

|w(x)|p ≤ |u(x)| · |w(x)|p−1 + |v(x)| · |w(x)|p−1.

Nun wollen wir dies nutzen, um beide Seiten der Ungleichung zu integrieren:

||w||pLp(Ω) ≤∫

Ω

|u(x)| · |w(x)|p−1dx+

∫Ω

|v(x)| · |w(x)|p−1dx .

Hierzu mussen wir uns aber noch vergewissern, dass die rechte Seite endlich ist. Dies

liefert uns aber die zuvor bewiesene Holdersche Ungleichung, denn:

u, v ∈ Lp(Ω) =⇒ |u|, |v| ∈ Lp(Ω)

|w| ∈ Lp(Ω) =⇒ |w|p−1 ∈ Lp/(p−1)(Ω) = Lq(Ω), 1 =1

p+

1

q.

Die Holdersche Ungleichung zweimal angewendet ergibt also:

||w||pLp(Ω) ≤ ||u||Lp(Ω)|||w|p−1||Lq(Ω) + ||v||Lp(Ω)|||w|p−1||Lq(Ω)

Da ferner |||w|p−1||Lq(Ω) = ||w||p−1

L(p−1)q(Ω)und (p− 1)q = p erhalten wir:

||u+ v||pLp(Ω) ≤ (||u||Lp(Ω) + ||v||Lp(Ω))||u+ v||p−1Lp(Ω) .

Im Fall ||u + v||Lp(Ω) 6= 0 erhalten wir die Behauptung durch Kurzen. Im anderen

Fall ist die Behauptung eh trivial.

Satz 2.14 Fur 1 ≤ p ≤ ∞ und eine messbare Menge Ω ⊂ Rn sind die Raume

(Lp(Ω), || · ||Lp(Ω)) Banach-Raume.


Beweis. Die Minkowskische Ungleichung liefert uns, dass der Raum Lp(Ω) abge-

schlossen ist bzgl. der Addition, so dass wir einen linearen Raum erhalten. Ferner

liefert sie uns die Dreiecksungleichung, so dass wir eine Halbnorm bekommen. Fur

die Definitheit der Norm mussen wir zeigen:

||u||Lp(Ω) = 0 =⇒ u = 0 f.u .

Fur 1 ≤ p <∞ ist u ∈ Lp(Ω) aquivalent zu |u|p ∈ L1(Ω). Damit ergibt sich im Fall

||u||Lp(Ω) = 0:

0 = ||u||1/pLp(Ω) = |||u|p||L1(Ω) .

Da || · ||L1(Ω) eine Norm in L1(Ω) ist, folgt |u|p = 0 f.u., und hieraus die Behauptung.

Fur p = ∞ ergibt sich ebenso u = 0 f.u.. Ferner ist die Vollstandigkeit zu zeigen.

Gegeben sei eine Cauchyfolge (un)n∈N in Lp(Ω). Wir untersuchen die Falle p = ∞und 1 ≤ p <∞ getrennt.

p = ∞: Wir wissen, dass eine Nullmenge N ⊂ Ω existiert, so dass |un(x)| ≤||un||Lp(Ω) ≤ C fur alle x ∈ Ω \N und alle n ∈ N. Wir definieren

u(x) :=

0 wenn x ∈ N ,

limn→∞ un(x) wenn x ∈ Ω \N .

Dieses u ist wohldefiniert, da fur x 6∈ N die Folge (un(x))n∈N Cauchyfolge ist und

somit konvergiert. Also ist u fast uberall Grenzwert von messbaren Funktionen und

daher selbst auch messbar und in ganz Ω beschrankt, also u ∈ L∞(Ω). Ferner gilt

fur alle x ∈ Ω \N :

|u(x)− un(x)| = limm→∞

|um(x)− un(x)| ≤ lim infm→∞

||um − un||L∞(Ω)

= supk≥0

infm≥k||um − un||L∞(Ω) → 0 .

Also folgt limn→∞ ||u− un||L∞(Ω) = 0.

1 ≤ p < ∞: In diesem Fall suchen wir nur eine konvergente Teilfolge. Da eine

Cauchyfolge maximal einen Haufungspunkt hat, folgt dann auch die Konvergenz.

Die Teilfolge wahlen wir so dass,∑k∈N

||unk+1− unk ||Lp(Ω) < ∞. (2.2)

Wahle dann

u :=∑k∈N

(unk+1− unk) .

Zu zeigen ist daher:


(a) Es existiert eine solche Teilfolge, die (2.2) erfullt,

(b) u konvergiert f.u und u ∈ Lp(Ω),

(c) limn→∞ ||u− un||Lp(Ω) = 0.

Zu (a): Dies erreicht man z.B. dadurch, dass man zu k ∈ N das nk ∈ N so wahlt,

dass fur alle n,m ≥ nk gilt: ||un − um||Lp(Ω) ≤ 2−k. Hierbei konnen wir die Folge

(nk)k∈N streng monoton wachsend annehmen.

Zu (b): Nun setzen wir

hn :=n∑k=1

|unk+1− unk | .

Offensichtlich gilt stets hn ∈ Lp(Ω), und damit hpn ∈ L1(Ω) und hpn ≥ 0. Die Folge

(hn)n∈N ist monoton wachsend. Durch das Lemma von Fatou erhalten wir∫Ω

lim infn→∞

hpndx ≤ lim infn→∞

∫Ω

hn(x)pdx = lim infn→∞

||hn||pLp(Ω) .

Der Satz uber die monotone Konvergenz liefert nun hp := lim infn→∞ hpn ∈ L1(Ω).

Hieraus folgt |hp(x)| <∞ bzw. |h(x)| <∞ f.u. in Ω. Daraus folgt (b).

(c) Als letztes vergewissere man sich noch, dass u(x) = limk→∞ unk(x) f.u. und

||u− un||Lp(Ω) → 0.

Lemma 2.15 Sei Ω ⊂ Rn eine messbare Menge mit endlichem Maß µ(Ω) < ∞.

Dann gilt fur 1 ≤ p < p ≤ ∞, dass Lp(Ω) ⊂ Lp(Ω). Insbesondere gilt fur u ∈ Lp(Ω):

||u||Lp(Ω) ≤ µ(Ω)1p− 1p ||u||Lp(Ω) .

Fur p =∞ sei hierbei 1p

= 0 zu verstehen.

Beweis. Im Fall p =∞ ergibt sich die Aussage unmittelbar:

||u||pLp(Ω) =

∫Ω

|u(x)|pdx ≤ µ(Ω) ||u||pL∞(Ω) .

Fur 1 < p < ∞ erhalten wir aus der Holder-Ungleichung fur q := p/(p − p) unter

Ausnutzung von 1q

+ pp

= p−pp

+ pp

= 1:

||u||pLp(Ω) =

∫Ω

1 · |u(x)|pdx = ||1 · |u|p||L1(Ω) ≤ ||1||Lq(Ω)||up||Lp/p(Ω), .


Nun folgt wegen ||1||Lq(Ω) = µ(Ω)1q und ||up||Lp/p(Ω) = ||u||p

Lp(Ω):

||u||pLp(Ω) ≤ µ(Ω)1q ||u||p

Lp(Ω).

Hieraus folgt nun die Behauptung durch ziehen der p−ten Wurzel und Beachtung

von 1/(qp) = 1/p− 1/p.

Insbesondere gilt also fur beschrankte und messbare Ω:

L∞(Ω) ⊂ . . . ⊂ L3(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ L1(Ω) .

Satz 2.16 (Darstellungssatz von Riesz) Sei f ∈ (Lp(Ω))′, 1 < p < ∞. Dann

existiert genau ein u ∈ Lq(Ω), 1 = 1p

+ 1q, so dass

〈f, v〉 =

∫Ω

u(x)v(x) dx ∀v ∈ Lp(Ω) .

Ferner gilt hierfur ||u||Lq(Ω) = ||f ||(Lp(Ω))′.

Beweis. Wir zeigen, dass die Abbildung

T : Lq(Ω)→ Lp(Ω)′,

〈Tu, v〉 =

∫Ω

u(x)v(x) dx

ein isometrischer Isomorphismus ist. Die Beschranktheit von T erhalt man aus der

Holderschen Ungleichung:

|〈Tu, v〉| ≤ ||u||Lq(Ω)||v||Lp(Ω) .

Also ist Tu ∈ Lp(Ω)′ und ||Tu||(Lp(Ω))′ ≤ ||u||Lq(Ω). Fur den Nachweis von

||Tu||(Lp(Ω))′ ≥ ||u||Lq(Ω)

wahlen wir v∗(x) := |u(x)|q−2u(x) bzw. v∗(x) = 0, wenn u(x) = 0. Hiermit gilt:

〈Tu, v∗〉 =

∫Ω

|u(x)|q dx = ||u||qLq(Ω).

Also (wegen p− p/q = 1):

||Tu||(Lp(Ω))′ ≥ 〈Tu, v∗〉||v∗||−1Lp(Ω) = ||u||qLq(Ω)||u||

−q/pLq(Ω) = ||u||Lq(Ω).

Nun ist noch die Surjektivitat zu zeigen: Die Menge E := T (Lq(Ω)) ist ein abge-

schlossener Unterraum. Wir mussen also nur noch zeigen, dass E dicht ist in Lp(Ω)′.


Dies geschieht mit Korollar 2.9. Sei hierzu h ∈ (Lp(Ω)′)′ eine Linearform, die auf E

verschwindet, also fur u ∈ Lq(Ω)

0 = 〈h, Tu〉 =

∫Ω

h(x)u(x) dx

aufgrund der Reflexivitat von Lp(Ω) (Satz 2.17). Nun wahlen wir insbesondere

u∗(x) := |h(x)|p−2h(x), wodurch wir erhalten

0 =

∫Ω

|h(x)|p−2h(x)2 dx =

∫Ω

|h(x)|p dx = ||h||pLp(Ω) .

Also h = 0 in Lp(Ω). Nach dem Korollar 2.9 folgt die Dichtheit von E. Man uber-

zeuge sich noch von u∗ ∈ Lq(Ω):

||u∗||qLq(Ω) =

∫Ω

||h(x)|p−2h(x)|qdx =

∫Ω

|h(x)|pq−qdx

Da pq − q = p, folgt die Beschranktheit, also u∗ ∈ Lq(Ω).

Satz 2.17 Die Raume Lp(Ω) sind fur 1 < p <∞ reflexiv, d.h. Lp(Ω) = Lp(Ω)′′.

Beweis. Den Beweis wollen wir hier nicht fuhren. Wir verweisen auf die Literatur.

Definition 2.18 Sei Ω ⊂ Rn eine messbare Menge und 1 ≤ p ≤ ∞. Dann ist

Lploc(Ω) := f : Ω→ K : f1K ∈ Lp(Ω) ∀K ⊂ Ω kompakt. ,

wobei 1K die charakteristische Funktion auf der Menge K bezeichnet.

Lemma 2.19 Sei Ω ⊂ Rn offen und f ∈ L1loc(Ω) habe die Eigenschaft∫

Ω

fu dx = 0 ∀u ∈ C0(Ω) . (2.3)

Dann ist f = 0 f. u. in Ω.

Beweis. Der Beweis verlauft in zwei Schritten:

(a) Zunachst nimmt man an, dass λ(Ω) beschrankt ist und f ∈ L1(Ω). Fur beliebiges

fε ∈ C0(Ω) gilt aufgrund der Dreiecksungleichung

||f ||L1(Ω) ≤ ||f − fε||L1(Ω) + ||fε||L1(Ω) .


Aufgrund der Dichtheit von C0(Ω) in L1(Ω) existiert zu beliebigen ε > 0 ein fε ∈C0(Ω), so dass

||f − fε||L1(Ω) ≤ ε .

Wir beschranken jetzt noch ||fε||L1(Ω) entsprechend. Fur beliebiges Kompaktum K ⊂Ω gilt

||fε||L1(Ω) = ||fε||L1(K) + ||fε||L1(Ω\K) .

Wahle nun K := K1 ∪K2 mit den kompakten und disjunkten Mengen K1 := x ∈Ω : f1(x) ≥ ε und K2 := x ∈ Ω : f1(x) ≤ −ε. Der Satz von Tietze-Uryson

liefert uns die Existenz einer Funktion u0 ∈ C0(Ω), so dass u0|K1 = 1, u0|K2 = −1

sowie |u0(x)| ≤ 1 fur alle x ∈ Ω. Es gilt

||fε||L1(K) =

∫K

fεu0 dx =

∫Ω

fεu0 dx−∫

Ω\Kfεu0 dx .

Da |u0| ≤ 1 ist, gilt∫Ω\K

fεu0 dx ≤ ||fε||L1(Ω\K) ≤ ελ(Ω \K) .

Also folgt zunachst

||f ||L1(Ω) ≤ ε+

∣∣∣∣∫Ω

fεu0 dx

∣∣∣∣+ 2ελ(Ω) .

Es bleibt, das Integral∫

Ωfεu0 dx zu beschranken. Hierzu verwenden wir die Eigen-

schaft (2.3) sowie die Holdersche Ungleichung:∣∣∣∣∫Ω

fεu0 dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Ω

fu0 dx+

∫Ω

(fε − f)u0 dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫Ω

(fε − f)u0 dx

∣∣∣∣≤ ||f1 − f ||L1(Ω)||u||L∞(Ω) ≤ ε .

Damit erhalten wir insgesamt

||f ||L1(Ω) ≤ 2ε(1 + λ(Ω)) .

Da ε > 0 beliebig war, folgt ||f ||L1(Ω) = 0, also f ≡ 0 f.u. in Ω.

(b) Basierend hierauf wahlt man nun zudem λ(Ω) unbeschrankt. Wir schreiben Ω

in der Form Ω = ∪n∈NΩn mit offenen und beschrankten Mengen Ωn, z.B.

Ωn := x ∈ Ω : dist(x,Kn \ Ω) > 1/n und |x| < n .

Die Anwendung von (a) ergibt nun f |Ωn = 0 fur alle n ∈ N und damit f |Ω = 0.


Satz 2.20 Fur jede offene Menge Ω ⊂ Kn ist der Raum der stetigen Funktionen

mit kompaktem Trager C0(Ω) ist dicht in Lp(Ω), wenn 1 ≤ p <∞.

Beweis. p = 1: Man zeigt hierfur zunachst, dass die Menge der Treppenfunktionen

dicht ist in L1(Ω). Anschließend approximiert man die Treppenfunktionen durch

stetige Funktionen. Letztendlich approximiert man C(Ω) dann durch C0(Ω) beliebig

genau in der L1-Norm.

1 < p < ∞: Aufgrund der Darstellungssatzes von Riesz sind die Funktionale auf

Lp(Ω) gegeben durch den Raum Lq(Ω) mit 1 = 1p

+ 1q. Sei daher h ∈ Lq(Ω) gegeben

derart, dass ∫Ω

h(x)u(x) = 0 ∀u ∈ C0(Ω) .

Aufgrund der Holderschen Ungleichung ist h ∈ L1loc(Ω), denn∫

Ω

h(x)χK(x) dx ≤ ||h||Lq(Ω)||χK ||Lp(Ω) = ||h||Lq(Ω)λ(K)1/p < ∞ .

Mit Lemma 2.19 folgt nun h = 0 in Lq(Ω). Das Korollar 2.9 des Satzes von Hahn-

Banach liefert nun die Dichtheit von C0(Ω).

2.4 Schwache Ableitungen

Wir wollen nun einen erweiterten Ableitungsbegriff einfuhren. Fur obiges Randwert-

problem benotigen wir nur Integrationsgebiete im R1. Dennoch wollen wir dies gleich

allgemeiner im Rn einfuhren, da wir dies spater noch gebrauchen.

Sei Ω ⊂ Rn ein Gebiet, also offen und zusammenhangend und folglich auch

Lebesgue-messbar. Unter dem Trager suppϕ einer Funktion ϕ : Ω → R verstehen

wir die abgeschlossene Menge

suppϕ := x ∈ Ω : ϕ(x) 6= 0 .

Die Menge der C∞-Funktionen mit kompaktem Trager bezeichnen wir im folgenden

mit

D(Ω) := u ∈ C∞(Ω) : supp u kompakt

Die Ableitungen solcher Funktionen zum Multiindex α ∈ Nn0 bezeichen wir mit ∂αu:

∂αu :=∂αn . . . ∂α1u

∂x1 . . . ∂x1

2.4 Schwache Ableitungen 19

Definition 2.21 Sei α ∈ Nn0 ein Multiindex und u ∈ L1

loc(Ω). Eine Funktion wα ∈L1loc(Ω) heißt verallgemeinerte Ableitung vom Grad α von u, wenn∫

Ω

wαϕdx = (−1)|α|∫

Ω

u∂αϕdx ∀ϕ ∈ D(Ω).

Eine solche Funktion wα bezeichnen wir dann mit Dαu.

Lemma 2.22 Fur u ∈ Cm(Ω), m ∈ N, gilt Dαu = ∂αu fur |α| ≤ m.

Beweis. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus partieller Integration.

Die Umkehrung gilt aber nicht: es gibt Funktionen, die sehr wohl eine schwache

Ableitung besitzen, aber keine Ableitungen im klassischen Sinn besitzen. Hierzu be-

trachten wir ein Gebiet Ω ⊆ R2 aufgeteilt in zwei disjunkte Teilgebiete, Ω = Ω1 ∪ Ω2.

Der gemeinsame Rand sei Γ := ∂Ω1∩∂Ω2. Nun betrachten wir eine Funktion, die auf

den beiden Teilgebieten stetig differenzierbar ist, global stetig ist, aber fur Punk-

te auf Γ nicht differenzierbar ist: u|Ωi ∈ C1(Ωi) fur i ∈ 1, 2, u ∈ C(Ω) aber

u 6∈ C1(Ω). Beispielsweise konte dies eine stuckweise polynomiale Funktion sein mit

einer Stetigkeitsbedingung auf Γ. Wir definieren die Funktion

w|Ωi :=∂u

∂x

∣∣Ωi

und w|Γ beliebig.

Es gilt w ∈ L1(Ω) ⊆ L1loc(Ω), sowie fur beliebiges ϕ ∈ D(Ω), da Γ (in Ω) eine

Nullmenge ist:∫Ω

wϕdx =

∫Ω1

wϕdx+

∫Ω2

wϕdx =

∫Ω1

∂u

∂xϕ dx+

∫Ω2

∂u

∂xϕ dx .

Die Verwendung der partiellen Integration liefert mit der Bezeichnung ni = (nix, niy)

fur den Normalenvektor an Γ mit Richtung vom Inneren von Ωi nach außen:∫Ωi

∂u

∂xϕ dx = −

∫Ωi

u∂ϕ

∂xdx+

∫∂Ωi

unixϕds

Da ϕ auf ∂Ω verschwindet, n1 = −n2 und u stetig auf Γ ist, folgt:∫Ω

wϕdx = −2∑i=1

∫Ωi

u∂ϕ

∂xdx = −

∫Ω

u∂ϕ

∂xdx

Somit ist w eine schwache Ableitung von u in Richtung x, d.h. w = Dxu. Die

Ableitung in Richtung y ist entsprechend.


2.5 Definition der Sobolev-Raume

Definition 2.23 Unter dem Sobolev-Raum der Ordnung m ∈ N0 in einem Gebiet

Ω ⊂ Rn und der Potenz 1 ≤ p ≤ ∞ versteht man

Wm,p(Ω) := u ∈ Lp(Ω) : ∃ schwache Ableitung Dαu ∈ Lp(Ω) ∀|α| ≤ m.

Auf diesen Raumen definieren wir die Halbnormen

|u|Wm,p(Ω) :=

∑|α|=m

||Dαu||pLp(Ω)

1/p

,

sowie die Normen

||u||Wm,p(Ω) :=

(m∑i=0

|u|pWm,p(Ω)

)1/p

=

∑|α|≤m

∫Ω

|Dαu|p dx

1/p

.

Alternativ werden auch gelegentlich die folgenden aquivalenten Normen benutzt:

||u||′Wm,p(Ω) :=∑|α|≤m

||Dαu||Lp(Ω) .

Man zeige als Ubung die Aquivalenz dieser beiden Normen.

Satz 2.24 Die Raume Wm,p(Ω) sind fur 1 ≤ p ≤ ∞ Banachraume.

Beweis. (a) Zunachst ist zu uberprufen, ob die Normeigenschaften erfullt sind.

Wahrend die Definitheit und die Homogenitat offensichtlich sind, ist die Dreiecks-

ungleichung jedoch gesondert zu uberprufen. Wir nummerieren alle moglichen Mul-

tiindizes mit |α| ≤ m: α(0), . . . , α(l). Zu u, v ∈ Wm,p(Ω) bezeichnen wir deren

Ableitungen mit

ξi := ||Dα(i)u||Lp(Ω) und ηi := ||Dα(i)v||Lp(Ω) , i = 0, . . . , l .

Fur p = ∞ ist die Dreeicksungleichung trivial. Fur 1 ≤ p < ∞ liefern die Minkow-

skischen Ungleichungen in lp und die Dreiecksungleichungen in Lp(Ω):

||u+ v||Wm,p(Ω) =

(l∑

i=0

||Dα(i)(u+ v)||pLp(Ω)

)1/p

≤

(l∑

i=0

|ξi + ηi|p)1/p

≤

(l∑

i=0

|ξi|p)1/p

+

(l∑

i=0

|ηi|p)1/p

= ||u||Wm,p(Ω) + ||v||Wm,p(Ω)

2.5 Definition der Sobolev-Raume 21

(b) Vollstandigkeit: Wenn (un)n∈N eine Cauchy-Folge in Wm,p(Ω) ist, so ist fur

|α| ≤ m die Folge (Dαun)n∈N auch eine Cauchy-Folge in Lp(Ω). Aufgrund der

Vollstandigkeit von Lp(Ω) existieren Grenzwerte wα ∈ Lp(Ω):

limn→∞

Dαun = wα Konvergenz in in Lp(Ω) .

Fur 1 < p gilt nach Lemma 2.15 fur kompakte Teilmengen ω ⊂ Ω (und folglich mit

endlichem Maß µ(ω) <∞): Dαun, wα ∈ L1(ω), sowie

Dαun → wα Konvergenz in L1(ω) .

Fur p = 1 gilt dies trivialerweise auch. Fur ϕ ∈ D(Ω) folgt aus∫Ω

Dαunϕdx = (−1)|α|∫

Ω

un∂αϕ ,

durch Grenzwertbetrachtung n→∞ auf beiden Seiten der Gleichung:∫Ω

wαϕdx = (−1)|α|∫

Ω

u∂αϕ ,

Also ist wα verallgemeinerte Ableitung von u vom Grad α. Hieraus folgt u ∈Wm,p(Ω).

Satz 2.25 Es gilt fur alle m ∈ N stets Wm,p(Ω) ⊂ Wm−1,p(Ω) mit stetiger Einbet-

tung (Identitat):

id : Wm,p(Ω)→ Wm−1,p(Ω) .

Beweis. Die Aussage Wm,p(Ω) ⊂ Wm−1,p(Ω) ist offensichtlich. Die Stetigkeit der

Einbettung folgt aus

||u||Wm−1,p(Ω) ≤ ||u||Wm,p(Ω) .

Satz 2.26 Die Raume Hm(Ω) := Wm,2(Ω) bilden mit dem Skalarprodukte

(u, v)Hm(Ω) :=∑

0≤|α|≤m

(Dαu,Dαv)L2(Ω)

Hilbertraume.


Beweis. Die Vollstandigkeit wurde schon gezeigt. Der Nachweis, dass die obigen

Skalarprodukte die zugehorigen Normen erzeugen, ist offensichtlich.

Satz 2.27 (Meyers & Serrin) Fur 1 ≤ p < ∞ ist C∞(Ω) ∩ W 1,p(Ω) dicht in

W 1,p(Ω).

Beweis. Der Beweis erfolgt beispielsweise uber Faltung und anschließende Be-

schrankung auf kompakte Trager. Dies wollen wir hier aber nicht explizit ausfuhren.

Fur Aussagen in einer Dimension benotigen wir noch die Tatsache, dass C[a, b] dicht

ist in H1(a, b).

Kapitel 3

Variationsformulierung

Die entgultige variationelle Formulierung des RWP (1.1) benutzt nun die (affinen)

Hilbertraume

V := H1(0, 1)

V0 := H10 (0, 1) = u ∈ H1(0, 1) : u(0) = u(1) = 0

Vg := u ∈ H1(0, 1) : u(0) = g0, u(1) = g1 .

Zu beachten ist, dass zunachst gar nicht klar ist, ob die Punktwerte u(0) und u(1)

uberhaupt existieren. Wir werden im nachsten Abschnitt aber die Legitimation

hierfur erbringen.

Das L2-Skalarprodukt im Intervall (0, 1) bezeichnen wir mit

(u, v) :=

∫ 1

0

uv dx .

Da der L2 identisch ist mit seinem Dualraum, L2(0, 1) = L2(0, 1)′, kann man die

rechte Seite f ∈ L2(0, 1) auch auffassen als Funktional in L2(0, 1)′ ⊂ V ′. Die An-

wendung eines Funktionals f auf eine Funktion φ schreiben wir in der Form 〈f, φ〉.In diesem speziellen Fall gilt also wir

〈f, φ〉 = (f, φ) .

Ferner fuhren wir zur kompakteren Schreibweise die Bilinearform A : V × V → Rein, definiert durch

A(u, φ) :=

∫ 1

0

au′φ′ dx ,

24 M. Braack Variationsformulierung

wobei der Koeffizient a im Integral von x abhangen kann. Nun lautet die variationelle

Formulierung:

u ∈ Vg : A(u, φ) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V0 . (3.1)

Damit die auftretenden Integrale wohldefiniert sind, fordern wir an die Daten

f ∈ L2(0, 1) , a ∈ L∞(0, 1;R+)

Definition 3.1 Eine Losung u ∈ Vg von (3.1) heißt schwache Losung des RWP

(1.1).

Satz 3.2 Fur die Daten gelte a ∈ C1[0, 1], f ∈ C(0, 1). Dann ist jede klassische

Losung u ∈ C2[0, 1] von (1.1) auch schwache Losung von (3.1).

Beweis. Es genugt zu zeigen, dass u ∈ C2[0, 1] ⊂ H1(0, 1). Dies ist aber of-

fensichtlich, da es sich um ein abgeschlossenes Intervall handelt auf dem u′ sein

Maximum annimmt. Die Gleichung (3.1) ergibt sich - wie wir bereits gesehen haben

- durch partielle Integration.

Bemerkung 3.3 Eine klassische Losung u ∈ C2(0, 1) muss nicht notwendigerwei-

se eine schwache Losung sein. Beispielsweise ist u(x) =√

2x− x2 eine klassische

Losung von

−(a(x)u′(x))′ = 1 ∀x ∈ (0, 1)

u(0) = 0

u(1) = 1 ,

mit a(x) =√

2x− x2. Es gilt aber

||u||H1(0,1) = ∞

so dass u 6∈ H1(0, 1).

Bemerkung 3.4 Eine schwache Losung u ∈ Vg von (3.1) ist i.a. keine klassische

Losung, denn ohne die Existenz der zweiten Ableitungen von u in (0, 1) ist (1.1)

nicht erfullbar.

Eine etwas andere Formulierung ist die folgende. Wir nehmen ein beliebiges g ∈ Vgund definieren fg ∈ V ′ mittels

〈fg, φ〉 := 〈f, φ〉 − A(g, φ) .

3.1 Der Spuroperator in 1-D 25

Dannn ist u ∈ Vg genau dann eine Losung von (1.2), wenn u0 := u − g ∈ V0 eine

Losung von

A(u0, φ) = 〈fg, φ〉 ∀φ ∈ V0 .

Dieses Problem ist wieder vom gleichen Typ wie zuvor mit homogenen Dirichletwer-

ten. Eine partielle Differentialgleichung mit inhomogenen Dirichletwerten kann also

durch Modifikation der rechten Seite stets umformuliert werden in eine Gleichung

mit homogenen Dirichletwerten. Daher konnen wir uns im folgenden auf den homo-

genen Fall konzentrieren. Nach Umbenennung (u0 → u, fg → f) erhalten wir also

ein Problem der Form:

u ∈ V0 : A(u, φ) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V0 . (3.2)

3.1 Der Spuroperator in 1-D

Noch wissen wir nicht, ob die Forderung von Dirichletwerten fur H1-Funktionen

sinnvoll ist, denn zunachst sind Lebesgue-integrierbare Funktionen auf Lebesgue-

Nullmengen beliebig abanderbar ohne die Funktion zu verandern. Wir werden jedoch

sehen, dass im Fall von H1-Funktionen dies sehr wohl Sinn macht, indem man eine

stetige Abbildung

γ : H1(0, 1)→ R2, u 7→ (u(0), u(1))

definiert, die in gewisser Hinsicht eindeutig ist.

Satz 3.5 (Spursatz in 1-D) Wir betrachten das Intervall [a, b] der Lange l = b−a > 0. Dann gilt mit der Konstanten Cl =

√2 max(l1/2, l−1/2),

max(|u(a)|, |u(b)|) ≤ Cl||u||H1(a,b) ∀u ∈ H1(a, b) .

Beweis. Wir setzen u zunachst als C1[a, b]-Funktion voraus. Es gilt dann fur

beliebiges x ∈ [a, b]:

u(x) = u(a) +

∫ x

a

u′(y) dy .

Es folgt aus der Bemerkung (2.1):

|u(a)| ≤ |u(x)|+∫ x

a

|u′(y)| dy ≤ |u(x)|+ ||u′||L1(a,b) ≤ |u(x)|+ l1/2||u′||L2(a,b) .


Integration auf beiden Seiten ergibt:

|u(a)| = l−1

∫ b

a

|u(a)| dx ≤ l−1

∫ b

a

|u(x)| dx+ l−1/2||u′||L2(a,b)

∫ b

a

dx

≤ l−1/2||u||L2(a,b) + l1/2||u′||L2(a,b)

≤ Cl(||u||2L2(a,b) + ||u′||2L2(a,b))1/2

= Cl||u||H1(a,b) .

Folglich ist das lineare Funktional

γ0 : C1[a, b]→ R, u 7→ γ0(u) = u(a)

bezuglich der H1(a, b)-Norm beschrankt und damit auch stetig. Da ferner C1[a, b]

in H1(a, b) dicht ist (und γ0 linear), existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung:

γ0 : H1(a, b)→ R, u 7→ γ0(u) ,

mit

||γ0||H1(a,b) = ||γ0||C1[a,b] .

Fur diese Fortsetzung gilt γ0(u) = u(a) fur u ∈ C1[a, b], so dass man auch H1(a, b)-

Funktionen einen Wert u(a) := γ0(u) sinnvoll zuordnen kann. Eine analoge Argu-

mentation liefert u(b) := γ1(u). Insgesamt ist dann auch der Operator γ := γ0× γ1 :

H1(a, b)→ R2 stetig, woraus die Behauptung folgt.

Nun macht es also Sinn den Raum

H10 (0, 1) := u ∈ H1(0, 1) : u(0) = u(1) = 0 = Kern(γ) (3.3)

als Unterraum des H1(0, 1) zu betrachten. Wir werden außerdem zeigen, dass auf

diesem Raum ein anderes Skalarprodukt existiert.

Satz 3.6 (Poincare’sche Ungleichung in 1-D) Zum Intervall [a, b] der Lange

l = b− a > 0 gilt mit der Konstanten Cp = l3/4 die Abschatzung:

||u||L2(a,b) ≤ Cp||u′||L2(a,b) ∀u ∈ H10 (a, b) .

Beweis. Wie im Beweis des Spursatzes 3.5 zeigen wir die Behauptung zunachst

fur C1[a, b]-Funktionen u. Wenn zudem u ∈ H10 (a, b), konnen wir aufgrund des

Spursatzes u(a) = 0 annehmen. Es gilt dann die Darstellung

u(x) =

∫ x

a

u′(y) dy .

3.1 Der Spuroperator in 1-D 27

Hieraus folgt fur l := b− a:

||u||L∞(a,b) = maxx∈[a,b]

|u(x)| ≤∫ b

a

|u′(y)| dy = ||u′||L1(a,b) ≤ l1/2||u′||L2(a,b) .

Die letzte Ungleichung folgt aus der Tatsache, dass C1[a, b] ⊂ L2(a, b), und der

Cauchy-Ungleichung. Es folgt fur die L2-Norm:

||u||2L2(a,b) ≤∫ b

a

||u||2L∞(a,b) dx = l||u||2L∞(a,b) ≤ l3/2||u′||2L2(a,b) .

Damit ist die Behauptung fur C1-Funktionen gezeigt. Die Behauptung fur u ∈H1

0 (a, b) folgt nun wieder aufgrund der Dichtheit von C1[a, b] ∩H10 (a, b) in H1

0 (a, b)

und der Stetigkeit der auftretenden Ausdrucke.

Im Fall des Einheitsintervalls (0, 1) ist die Poincare-Konstante also sogar Cp = 1.

Korollar 3.7 Die Halbnorm | · |H1(0,1) ist eine Norm auf H10 (0, 1), die aquivalent ist

zu || · ||H1(0,1). Ferner ist

(u, v)H10 (0,1) :=

∫ 1

0

u′v′ dx

ein Skalarprodukt auf H10 (0, 1), dass die Norm | · |H1(0,1) induziert. Somit ist H1

0 (0, 1)

in Verbindung mit der Norm | · |H1(Ω) ein Hilbertraum.

Beweis. Aufgrund von der Poincare’schen Ungleichung (Satz 3.6) gilt

||u||2H1(0,1) = ||u||2L2(0,1) + ||u′||2L2(0,1)

≤ (1 + C2p)||u′||2L2(0,1)

≤ (1 + C2p)|u|2H1(0,1) .

Insgesamt folgt ||u′||L2(0,1) ≤ ||u||H1(0,1) ≤ C||u′||L2(0,1) und somit die Aquivalenz der

Normen. Dass (·, ·)H10 (0,1) ein Skalarprodukt darstellt, ist einfach zu uberprufen. Fer-

ner sieht man unmittelbar

(u, u)H10 (0,1) = ||u′||2L2(0,1) .


3.2 Existenz und Eindeutigleit schwacher Losun-

gen

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Losbarkeit des Problems (3.2) beschafti-

gen. Hierbei setzen wir zunachst den Fall konstanter Koeffizienten a ≡ 1 voraus.

Jetzt stellt unsere Bilinearform A : V × V → R aber gerade das H10 -Skalarprodukt

dar:

A(u, v) = (u′, v′) =

∫ 1

0

u′(x)v′(x) dx . (3.4)

Die Losbarkeit ergibt sich nun aus dem Darstellungssatz von Riesz 2.16.

Lemma 3.8 Sei H ein reeller Hilbertraum und f ∈ H ′. Dann sind die folgenden

Probleme aquivalent:

(a) u ∈ H : (u, φ)H = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ H(b) u ∈ H : J(u) = min

v∈HJ(v) ,

zum Funktional J(v) := 12||v||2H − 〈f, v〉.

Beweis. Eine Losung u des Problems (b) ist charakterisiert durch

J(u) ≤ J(u+ tw)

fur alle w ∈ H und alle t ∈ [0, 1]. Nun gilt aber

J(u+ tw) = J(u) +t2

2||w||2H + t(u,w)H − t〈f, w〉 .

Daher ist das Problem (b) aquivalent zu

u ∈ H :t

2||w||2V + (u,w)H − 〈f, w〉 ≤ 0 ∀w ∈ H , ∀t ∈ [0, 1] ,

bzw. zu

u ∈ H : (u,w)H ≤ 〈f, w〉 ∀w ∈ H .

Da mit w ∈ H auch −w ∈ H, ist dies genau dann der Fall, wenn Problem (a) erfullt

ist.

Dieses Lemma laßt sich dahingehend verallgemeinern, dass man fur die Bilinearform

A(·, ·) anstelle von der konkreten Form (3.4) lediglich fordert:

3.2 Existenz und Eindeutigleit schwacher Losungen 29

• A ist symmetrisch, d.h. A(u, v) = A(v, u) fur alle u, v ∈ H, und

• A ist positiv, d.h. A(u, u) ≥ 0 fur alle u ∈ H.

Man kann unter diesen Bedingungen sofort zeigen, dass die Gleichung A(u, v) =

〈f, v〉 fur alle v ∈ H aquivalent ist zur Minimierung von

J(v) =1

2A(v, v)− 〈f, v〉 → Min.

Satz 3.9 (Riesz’scher Darstellungssatz) Sei H ein reeller Hilbertraum und f ∈H ′. Dann besitzt das Problem

u ∈ H : (u, φ)H = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ H (3.5)

eine eindeutige Losung u ∈ H und es gilt ||u||H = ||f ||H′.

Beweis. (a) Existenz: Das Funktional J aus Lemma 3.8 ist nach unten beschrankt:

J(v) ≥ 1

2||v||2H − ||f ||H′ ||v||H =

1

2(||v||H − ||f ||H′)2 − 1

2||f ||2H′ ≥ −

1

2||f ||2H′ .

Daher existiert eine Minimalfolge (uk)k∈N in H mit

limk→∞

J(uk) = infv∈H

J(v) > −∞ .

Ferner bildet diese Folge eine Cauchyfolge, denn die Parallelogrammgleichung liefert

uns

||um − un||2H = 2||um||2 + 2||un||2 − ||um + un||2

= 4J(um) + 4J(un)− 8J((um + un)/2)

≤ 4J(um) + 4J(un)− 8 infv∈H

J(v) .

Der Grenzubergang m,n→∞ ergibt

limm,n→∞

||um − un||2H ≤ 0

und somit die Cauchy-Eigenschaft. Da H als Hilbertraum vollstandig ist, konvergiert

diese Folge gegen ein u = limn→∞ un ∈ H. Aufgrund der Stetigkeit von J folgt

J(u) = limn→∞

J(un) = infv∈H

J(v) .


Nach Lemma 3.8 ist u eine Losung des betrachteten Variationsproblems (3.5).

(b) Eindeutigkeit: Sei nun u eine weitere Losung von (3.5). Dann erfullt die Differenz

u− u die Gleichung

(u− u, φ)H = 0 ∀φ ∈ H .

Setzen wir insbesondere φ = u− u folgt ||u− u||2H = 0, also u = u.

(c) ||u||H = ||f ||H′ :

||f ||H′ = sup06=v∈H

〈f, v〉||v||H

= sup06=v∈H

(u, v)H||v||H

= ||u||H .

Hierbei folgt die letzte Gleichung aus der Cauchy-Ungleichung:

(u, v)H ≤ ||v||H ||u||H

sowie mittels der Wahl v := u:

sup06=v∈H

(u, v)H ≥ ||u||2H .

Hieraus erhalten wir unmittelbar die Folgerung, dass H und H ′ zueinander isomorph

sind. Jedem f ∈ H ′ laßt sich eineindeutig ein Rf ∈ H mittels der Eigenschaft

(Rf, v)H = 〈f, v〉 ∀v ∈ H ,

zuordnen. Dieses Resultat formulieren wir im folgenden Korollar.

Korollar 3.10 In jedem reellen Hilbertraum H ist die Abbildung R : H ′ → H,

f 7→ Rf = u, gemaß des vorherigen Satzes ein Isomorphismus, also H ′ ' H.

Dieser Isomorphismus wird als Riesz-Isomorphismus bezeichnet.

3.3 Satz von Lax-Milgram

Im Riez’schen Darstellungssatz war es wichtig, dass unsere Bilinearform A(·, ·) ge-

rade das Skalarprodukt in H darstellt. Im folgenden wollen wir dies ein wenig ver-

allgemeinern. Wir werden Bilinearform betrachten mit folgenden Eigenschaften:

Definition 3.11 Eine Bilinearform A : H ×H → R auf einem reellen Hilbertraum

H heißt:

(a) H-beschrankt, wenn eine Konstante α1 ≥ 0 existiert, so dass

|A(u, v)| ≤ α1||u||H ||v||H ∀u, v ∈ H ,

3.3 Satz von Lax-Milgram 31

(b) H-elliptisch (oder auch koerziv), wenn eine Konstante α2 > 0 existiert, so dass

A(u, u) ≥ α2||u||2H ∀u ∈ H .

Aus der H-beschranktheit ergibt sich, dass fur festes v ∈ H die Abbildung

Av : H → R , w 7→ 〈Av, w〉 := A(v, w)

eine stetige lineare Abbildung ist, also ist Av ein stetiges lineares Funktional, Av ∈H ′. Als unmittelbare Folgerung hieraus ergibt sich

||Av||H′ = sup0 6=w∈H

〈Av, w〉||w||H

≤ sup06=w∈H

α1||v||H ||w||H||w||H

= α1||v||H . (3.6)

Daher kann man A auffassen als stetige lineare Abbildung

A : H → H ′ .

Ferner sieht man unmittelbar, dass fur eine H-beschrankte und H-elliptische Biline-

arform gelten muss 0 < α2 ≤ α1. Der folgende Satz von den beiden Mathematikern

Lax1 und Milgram2 besagt nun u.a, dass A ein bijektiver Operator ist.

Satz 3.12 (Lax-Milgram) Sei H ein reeller Hilbertraum und A : H×H → R eine

H-beschrankte und H-elliptische Bilinearform mit zugehorigen Konstanten α1, α2 >

0. Dann existiert zu jedem Funktional f ∈ H ′ eine eindeutige Losung u ∈ H des

Variationsproblems

A(u, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ H . (3.7)

Ferner gilt fur diese Losung

1

α1

||f ||H′ ≤ ||u||H ≤ 1

α2

||f ||H′ .

Beweis. (a) Wir schreiben die Gleichung (3.7) als Fixpunktgleichung:

B(u) = u

mit dem Operator

B(u) = u+ τR(f −Au) .

1Peter David Lax, geb. 1926, ungarischer Mathematiker, Trager des Wolf-Preises fur Mathema-

tik von 1987, sowie des Abelpreises 20052Arthur Norton Milgram, 1912-1961, US-amerikanischer Mathematiker.


Hierbei bezeichnet R : H ′ → H wie zuvor den Riesz-Isomorphismus. Der Parameter

τ > 0 ist hierbei noch zu bestimmen. Wir wollen den Banachschen Fixpunktsatz

hierauf anwenden, denn dieser liefert uns einen eindeutige Fixpunkt u. Da R bijektiv

ist, ist dieser Fixpunkt auch eine Losung von (3.7). Wir zeigen nun, dass B eine

Kontraktion ist. Mit der Notation M := I − τRA gilt nun:

||B(u)−B(v)||H = ||M(u− v)||H ≤ ||M ||H;H ||u− v||H

Es genugt daher ||M ||H;H < 1 zu zeigen. Fur v ∈ H gilt

||Mv||2H = ||v||2H − 2τ(RAv, v) + τ 2||RAv||2H .

Aufgrund der H-elliptizitat ergibt sich mit dem Darstellungssatz von Riesz

(RAv, v) = 〈Av, v〉 = A(v, v) ≥ α2||v||2H .

Die H-beschranktheit liefert hingegen gemaß (3.6)

||RAv||2H = ||Av||2H ≤ α21||v||2H .

Zusammengefaßt erhalten wir

||Mv||2H ≤ (1− 2τα2 + τ 2α21)||v||2H ∀v ∈ H ,

bzw.

||M ||H;H ≤√

1− 2τα2 + τ 2α21 < 1

sofern 0 < τ < 2α2/α21.

(b) Die angegebene obere und untere Abschatzung von ||u||H erhalten wir aus

α2||u||2H ≤ A(u, u) = 〈f, u〉 ≤ ||f ||H′ ||u||H ,

also α2||u||H ≤ ||f ||H′ , sowie

||u||H ≥ α−11 ||Au||H′ = α−1

1 ||f ||H′ .

Definition 3.13 Fur einen bijektiven Operator T ∈ L(E,F ) (also T : E → F

linear und stetig) zwischen zwei Banach-Raumen E,F versteht man unter der Kon-

ditionszahl die Große

κ(T ) := ||T ||E;F ||T−1||F ;E .

3.3 Satz von Lax-Milgram 33

Bemerkung: Aufgrund des Satzes der offenen Abbildung wissen wir, dass aus der

Bijektivitat und Stetigkeit von T automatisch die Stetigkeit von T−1 folgt. Daher

ist ||T−1||F ;E <∞.

Lemma 3.14 Seien E,F zwei normierte Raume und T ∈ L(E,F ) bijektiv. Dann

gilt fur alle u, v ∈ E, u 6= 0, und f := Tu, g := Tv ∈ F

||u− v||E||u||E

≤ κ(T )||f − g||F||f ||F

.

Beweis. Einfache Ubungsaufgabe.

Eine kleine Konditionszahl besagt, dass kleine Anderungen in der rechten Seite nur

kleine Anderungen in der Losung hervorrufen. Man spricht in diesem Fall auch von

Datenstabilitat. Im Gegensatz hierzu bedeutet eine große Konditionszahl κ(T ) >> 1,

dass kleine Storungen in gewissen rechten Seiten zu sehr großen Anderungen in der

Losung fuhren konnen. Ubersetzen wir die Definition der Konditionszahl auf unsere

Bilinearform A : H ×H → R, so erhalten wir folgendes Korollar.

Korollar 3.15 Sei H ein reeller Hilbertraum und A : H×H → R eine H-beschrank-

te und H-elliptische Bilinearform mit zugehorigen Konstanten α1 ≥ α2 > 0. Dann

gilt fur den hierdurch induzierten Operator A : H → H ′,

α2/α1 ≤ κ(A) ≤ α1/α2 .

Beweis. Die folgenden Schranken sind einfach zu zeigen:

α2 ≤ ||A||H;H′ ≤ α1 .

Die obere Schranke fur ||A||H;H′ wurde auch bereits gezeigt. Hieraus folgt fur den

inversen Operator:

α−11 ≤ ||A−1||H;H′ ≤ α−1

2 .

Aus diesen Schranke folgt die Behauptung.

Nun wollen wir die Voraussetzungen fur den Satz von Lax-Milgram untersuchen

fur den Fall unseres ursprunglichen Randwertproblems (1.1). Wir werden zudem

voraussetzen, dass

a− := infx∈Ω

ess a(x) > 0 .

Dies bedeutet, dass der Koeffizient a(x) hochstens auf einer Nullmenge von Ω ver-

schwinden darf.


(a) Zunachst sei angemerkt, dass V0 = H10 (0, 1) als Teilraum des H1(0, 1) auch ein

Pra-Hilbertraum ist. Zudem ist V0 abgeschlossen, also vollstandig, denn es ist

der Kern des linearen stetigen Spuroperators γ, vgl. (3.3).

(b) Die Bilinearform A ist V0-beschrankt, denn

|A(u, v)| =

∣∣∣∣∫ 1

0

a(x)u′(x)v′(x) dx

∣∣∣∣≤ ||a||L∞(0,1)||u′||L2(0,1)||v′||L2(0,1) .

(c) Die V0-elliptizitat ist ebenso unmittelbar nachprufbar. Die Poincare’sche Un-

gleichung liefert namlich

A(u, u) =

∫ 1

0

a(x)u′(x)2 dx ≥ a−||u′||2L2(0,1)

≥ (1 + C2p)−1a−||u||2H1(0,1) .

Wir erhalten somit die Elliptizitatskonstante α2 = (1 + C2p)−1a− > 0. Die

Konstante war in diesem speziellen Fall sogar Cp = 1, also α2 = a−/2.

Kapitel 4

Finite Elemente in 1D

4.1 Galerkin Methode

Sei nun V ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum, f ∈ V ′ ein lineares Funktional

und A : V × V → R eine Bilinearform. Die Grundidee einer Galerkin-Methode zur

Losung eines variationellen Problems der Form

u ∈ V : A(u, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ V

besteht darin, dass man den Hilbertraum V ersetzt durch einen endlich-dimensiona-

len Raum Vh ⊂ V . Hierbei bezeichnet h einen Parameter, der die Feinheit der

Diskretisierung beschreibt. Die approximative diskrete Losung bezeichnen wir mit

uh:

uh ∈ Vh : A(uh, vh) = 〈f, vh〉 ∀vh ∈ Vh . (4.1)

Charakteristisch ist fur eine Galerkin-Methode die sogenannte Galerkin-Orthogo-

nalitat

A(u− uh, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh . (4.2)

Man beachte, dass hier als Testfunktionen vh nur Funktionen aus Vh eingesetzt wer-

den durfen. Unter Finiten Elementen versteht man nun eine besondere Klasse von

endlich-dimensionalen Raumen Vh. Zum einen soll eine Basis von Vh existieren, die

einen kleinen Trager besitzt; zum anderen sollen die Funktionen lokal eine einfache

Struktur haben. Dies legt es nahe, stuckweise Polynome zu verwenden. Wir werden

uns nun zunachst Finite Elemente ansehen, die aus stuckweise linearen Funktionen

bestehen. Dies entspricht gewissermaßen der einfachsten Klasse von Finiten Elemen-

ten.

36 M. Braack Finite Elemente in 1D

Definition 4.1 Unter einer Finite Elemente Methode versteht man ein Variati-

onsproblem (4.1) mit einem endlich-dimensionalen Raum Vh, der aus stuckweisen

Polynomen besteht. Man spricht von konformen Finiten Elementen, wenn fur den

Finite Elemente Raum Vh gilt, Vh ⊂ V . Anderenfalls spricht man von einer nicht-

konformen Finiten Elemente Methode.

Existenz und Eindeutigkeit liefert das folgende Korollar:

Korollar 4.2 Das Variationsproblem (4.1) mit einer V -elliptischen Bilinearform A

und mit konformen Finiten Elementen besitzt stets eine eindeutige Losung.

Beweis. Da Vh ⊂ V als endlich-dimensionaler Teilraum immer vollstandig ist,

ist auch Vh ein Hilbertraum. Die V -Elliptizitat und V -Stetigkeit der Bilinearform A

ubertragt sich unmittelbar auch auf Vh. Ferner gilt f ∈ V ′ ⊂ V ′h. Die Existenz und

Eindeutigkeit folgt nun wieder aus dem Satz von Lax-Milgram (Satz 3.12).

4.2 Lineare Finite Elemente in 1D

Wir zerlegen das Intervall [0, 1] in n Teilintervalle Ik = [xk−1, xk] mit hk := xk−xk−1,

0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = 1 .

Wir bezeichnen den Raum der linearen Funktionen auf einem Intervall I mit P1(I).

Unser Finite Elemente Raum wird nun aus stetigen und stuckweisen linearen Funk-

tionen bestehen:

Ph,1 := v ∈ C[0, 1] : v|Ik ∈ P1(Ik) ∀k = 1, . . . , n .

Der diskrete Raum kann also beispielsweise als Vh = Ph,1 gewahlt werden. Diese

Finiten Elemente werden auch Courant-Elemente genannt. Wir hatten bereits gese-

hen, dass Vh ⊂ V = H1(0, 1). Unser Finite Elemente Raum ist im Fall unseres RWP

also konform. Ein v ∈ Vh ist eindeutig definiert durch seine Knotenwerte v(xk),

k = 0, . . . , n. Umgekehrt kann man zu beliebigen n + 1 Knotenwerte genau eine

Finite Elemente Funktion v ∈ Vh finden. Es gilt dimVh = n+ 1.

Entsprechend ist der zugehorige Finite Elemente Raum Vhg mit stuckweisen li-

nearen Polynomen zum affinen Raum Vg = g +H10 (0, 1):

Vhg := Ph,1 ∩ Vg= v ∈ C[0, 1] : v(x0) = g0, v(xn) = g1 , v|Ik ∈ P1(Ik) ∀k = 1, . . . , n .

4.2 Lineare Finite Elemente in 1D 37

Zum Raum Vh existieren verschiedene Basen. Unter der Lagrange1-Basis versteht

man in diesem Fall die “Hutchenfunktionen”, die an den Knoten xj nur die Werte

1 oder 0 annehmen. Die “inneren” Basisfunktionen lauten

φk(xj) = XIk(x)x− xk−1

xk − xk−1

+XIk+1(x)

xk+1 − xxk+1 − xk

k = 1, . . . , n− 1 ,

wahrend die an den Randern durch

φ0(x) = XI1(x)x1 − xx1 − xk

und φn(x) = XIn(x)x− xn−1

xn − xn−1

gegeben sind. Hierbei bezeichnet XJ die charakteristische Funktion zum Intervall J .

Fur den Trager dieser Funktionen gilt

suppφk = Ik ∪ Ik+1 k = 1, . . . , n− 1 ,

sowie suppφ0 = I1 und suppφn = In. Die Losung uh konnen wir nun durch diese

Basis darstellen

uh(x) =n∑k=0

ukφk(x) .

Die Koeffizienten uk sind gerade die Knotenwerte uk = uh(xk). Das diskrete Varia-

tionsproblem (3.2) mit homogenen Dirichletwerten laßt sich nun auch formulieren

in der Form

n−1∑j=1

A(φj, φi)uj = 〈f, φi〉 ∀i = 1, . . . , n− 1 ,

da die Knotenwerte am Anfang und Ende des Intervalls zu Null gesetzt werden

mussen, also u0 = un = 0. Dies entspricht einem linearen Gleichungssystem

AU = b ,

mit dem Knotenvektor U = (u1, . . . , un−1)T , rechter Seite b = (b1, . . . , bn−1)T , bk =

〈f, φk〉 und der Steifigkeitsmatrix A = (aij)i,j=1,...,n−1.

4.2.1 Steifigkeitsmatrix

Die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix sind

aij = A(φj, φi) .

1Joseph-Louis de Lagrange, 1736-1813, italienischer Mathematiker und Astronom.


Da die Trager der Basisfunktionen φk lokal sind, ist die Steifigkeitsmatrix dunn

besetzt. Insbesondere gilt fur |i− j| > 1 im Fall der Bilinearform (3.4):

aij =

∫ 1

0

φ′j(x)φ′i(x) dx = 0 .

Da wir hier stuckweise lineare Finite Elemente betrachten, sind die Ableitungen

ganz besonders einfach, namlich stuckweise konstant:

φ′i|Ii = h−1i , φ′i|Ii+1

= −h−1i+1 .

Fur die Diagonaleintrage 1 ≤ i ≤ n− 1 ergibt sich daher

aii =

∫ 1

0

φ′i(x)φ′i(x) dx =

∫ xi

xi−1

φ′i(x)φ′i(x) dx+

∫ xi+1

xi

φ′i(x)φ′i(x) dx

= hih−2i + hi+1(−hi+1)−2 = h−1

i + h−1i+1 .

Die Nebendiagonaleintrage ergeben sich zu

ai,i+1 =

∫ 1

0

φ′i(x)φ′i+1(x) dx =

∫ xi+1

xi

φ′i(x)φ′i+1(x) dx

= hi+1(−h−1i+1h

−1i+1) = −h−1

i+1 .

Aus Symmetriegrunden gilt in diesem speziellen Fall ai+1,i = ai,i+1 = −hi+1. Insge-

samt erhalten wir daher folgende (n+ 1)× (n+ 1) Matrix

A =

h−1

1 −h−11 0 · · · · · ·

−h−11 h−1

1 + h−12 −h−1

2 0 . . .

0. . . . . . . . .

......

...

0 . . . −h−1n h−1

n

.

Im Fall einer aquidistanten Unterteilung h = h1 = . . . = hn erhalten wir

A =1

h

1 −1 0 · · · 0

−1 2 −1. . .

...

0. . . . . . . . .

... 2 −1

0 · · · · · · −1 1

.

Man beachte, dass in diesen Matrizen noch keine (Dirichlet-) Randbedingungen

enthalten sind. Im Vergleich zur Finiten-Differenzen Matrix erhalten wir also bis

auf die Skalierung mit h dieselbe Matrix,

AFEM = hAFDM .

4.2 Lineare Finite Elemente in 1D 39

4.2.2 Lastvektor

Die rechte Seite b = (b1, . . . , bn−1) besteht aus den Komponenten

bk =

∫ 1

0

f(x)φk(x) dx

= h−1k

∫ xk

xk−1

f(x)(x− xk−1) dx+ h−1k+1

∫ xk+1

xk

f(x)(xk+1 − x) dx .

Diese Integrale lassen sich fur allgemeines f nicht exakt numerisch integrieren. Man

muß sich daher Integrationsformel bedienen. Hierbei ist eine ausreichende Genau-

igkeit zu bedenken. Wir wenden nun einmal exemplarisch die zusammengesetzte

Trapezregel an, die exakt ist, wenn der Integrand eine lineare Funktion ist. Da φkan den Integrationspunkten xk−1 und xk+1 bereits verschwindet und im Punkt xkden Wert 1 annimmt, reduziert sich dann die Approximation fur k = 1, . . . , n − 1

auf

bk ≈ h−1k

1

2hk(0 + f(xk)(xk − xk−1) + h−1

k+1

1

2hk+1(f(xk)(xk+1 − xk) + 0)

=1

2f(xk) (hk + hk+1) .

Im Fall einer aquidistanten Gitterweite h also insbesondere

bk ≈ hf(xk) = hbFDMk .

Auch die rechte Seite entspricht also bis auf Skalierung mit h der Finite-Differenzen

rechte Seite bFDM . Insgesamt sind also die FDM und die FEM Methode mit linearen

Finiten Elementen auf aquidistanten Gittern aquivalent, sofern wir die rechte Seite

mit der Trapezregel integrieren. Wir sind aber hier in der Lage, genauere Integrati-

onsformel zu nehmen, etwa dann, wenn f stark fluktuiert.

4.2.3 Massematrix

Neben der Steifigkeitsmatrix A tritt auch haufiger die sogenannte Massematrix auf.

Diese beschreibt die Steifigkeitsmatrix fur 0. te Ordnungsterme, wie sie beispielsweise

in der Gleichung −u′′ + u = f auftauchen:

M = (mij)i,j=1,...,n , mij = (φj, φi) .


Die Massematrix ist stets symmetrisch. Wie man leicht nachpruft, lautet sie im Fall

von P1-Finiten Elementen:

Mh =1

6

2(h1 + h2) h2

h2 2(h2 + h3) h3

. . . . . . . . .

hn−2 2(hn−2 + hn−1) hnhn−1 2hn

.

Im Fall eines aquidistanten Gitters reduziert sich dies zur Tridiagonalmatrix

Mh =h

6tridiag(1, 4, 1) .

4.3 Pr-Elemente

Wir hatten bislang nur lineare Finite Elemente betrachtet. Es ist naheliegend auch

stuckweise Polynome von hoherem Grad zu verwenden. Dies fuhrt auf die Pr-Elemente,

wobei r ≥ 1 den lokalen Polynomgrad angibt.

Ph,r := v ∈ C[0, 1] : v|Ik ∈ Pr(Ik) ∀k = 1, . . . , n .

Wir wollen fur quadratische Elemente, r = 2, die Lagrangebasis angeben. Normali-

siert auf das Intervall [0, 1] lauten die drei Basisfunktionen (vgl. auch Abb. 4.1):

φ1(x) = 2

(x− 1

2

)(x− 1) ,

φ2(x) = −4x(x− 1) ,

φ3(x) = 2x

(x− 1

2

).

4.4 A priori Abschatzung 41

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

phi_1phi_2phi_3

Abbildung 4.1: Lagrangebasis der quadratischen Finiten Elemente P2 normiert auf

das Einheitsintervall.

4.4 A priori Abschatzung

Zunachst wollen wir den Diskretisierungsfehler zwischen der kontinuierlichen Losung

u ∈ V und der diskreten Losung uh ∈ Vh in Verhaltnis setzen zum sogenannten

Approximationsfehler

infvh∈Vh

||u− vh||V .

Der Approximationsfehler ist also das beste was wir erhoffen konnnen. Wir konnen

in diesem Abschnitt h ≤ 1 voraussetzen, da man i.d.R. an dem Fehlerverhalten fur

kleine Gitterweiten interessiert ist. Das folgende Lemma besagt, dass wir durch eine

Galerkin-Methode diesen Approximationsfehler bis auf eine Konstante erreichen,

sofern die Bilinearform V -beschrankt und V -elliptisch ist.

Lemma 4.3 (Cea’s Lemma) Die Bilinearform A : V × V → R erfulle die Vor-

aussetzungen des Satzes von Lax-Milgram (V -beschrankt mit Konstante α1 > 0 und

V -elliptisch mit Konstante α2 > 0). Ferner sei Vh ⊂ V ein Teilraum. Dann gilt

fur den Diskretisierungsfehler zwischen der kontinuierlichen Losung u ∈ V und der

“diskreten” Losung uh ∈ Vh:

||u− uh||V ≤ α1

α2

infvh∈Vh

||u− vh||V .

In der Regel ist Vh ein endlich dimensionaler Teilraum von V . Daher nennen wir die

Losung uh diskret und sprechen von Diskretisierungsfehler.


Beweis. Aufgrund der Elliptizitat gilt

α2||u− uh||2V ≤ A(u− uh, u− uh) .

Nun verwenden wir die Galerkin-Orthogonalitat (4.2)

A(u− uh, wh) = 0 ∀wh ∈ Vh .

Zu gegebenem aber beliebigem vh ∈ Vh wahlen wir wh := uh− vh ∈ Vh und erhalten

aufgrund der Linearitat von A(·, ·) im zweiten Argument

α2||u− uh||2V ≤ A(u− uh, u− uh) + A(u− uh, uh − vh)= A(u− uh, u− vh) ≤ α1||u− uh||V ||u− vh||V .

Teilen wir nun beide Seiten durch α2||u− uh||V , so erhalten wir die Behauptung.

Der Approximationsfehler ist i.d.R. nur sehr schwer zu bestimmen. Eine obere

Grenze liefert aber der Interpolationsfehler ||u − Phu||V , mit einem Interpolations-

operator

Ph : V → Vh .

Es gilt selbstverstandlich

infvh∈Vh

||u− vh||V ≤ ||u− Phu||V .

Nun kommen verschiedene Interpolationen in Betracht, die wir spater auch dis-

kutieren werden. Mithilfe der sogenannte Knoteninterpolierenden konnen wir aber

folgenden Satz zeigen.

Satz 4.4 Unter den gleichen Voraussetzungen an die Bilinearform A : V × V → Rwie im Cea’s Lemma (4.3) mit V = H1(0, 1) und der zusatzlichen Bedingung an die

kontinuierliche Losung u ∈ H2(0, 1) gilt fur den Diskretisierungsfehler mit linearen

Finiten Elementen

||u− uh||H1(0,1) ≤ Ch||u′′||L2(0,1) . (4.3)

Die Konstante hangt von den Beschranktheits- und Elliptizitatskonstanten in der

Form C ∼ α1/α2 ab.

Beweis. Nach Cea’s Lemma genugt es zu zeigen, dass ein vh existiert mit

||u− vh||H1(0,1) ≤ CIh||u′′||L2(0,1) .

Die Existenz eines solchen vh folgt aus dem Interpolationsfehler der sogenannte

Knoteninterpolierende vh = Ihu, die fur u ∈ H2(0, 1) folgendes erfullt:

||u− Ihu||L2(0,1) + h|u− Ihu|H1(0,1) ≤ CIh2||u′′||L2(0,1) .

Diese Eigenschaft werden wir im nachsten Abschnitt nachweisen.

4.5 Knoteninterpolierende fur lineare Finite Elemente 43

4.5 Knoteninterpolierende fur lineare Finite Ele-

mente

Hier laßt sich beispielsweise die Knoteninterpolierende Ih wahlen. Diese ist fur r = 1

definiert durch die Werte an den Knoten

Ihv(xi) = v(xi) ∀i = 0, . . . , n .

Zwischen den Knoten ist sie einfach (im Fall von r = 1 linear) interpoliert. Damit

dies fur v ∈ V = H1(0, 1) Sinn macht, muss man wieder sicherstellen, dass eine

H1(0, 1)-Funktion Punktwerte v(xi) besitzt. Dies passiert analog zum Beweis des

Spursatzes, indem man

|v(xi)| ≤ C||v||H1(0,1) ∀v ∈ H1(0, 1) ,

mit einer von v und xi unabhangigne Konstante C zeigt. Dieses Ergebnis kann man

auch folgendermaßen ausdrucken:

Satz 4.5 Es gilt H1(0, 1) ⊂ C[0, 1] mit einer stetigen Einbettung.

Beweis. Analog zum Spursatz 3.5.

Als Hilfsresultat benotigen wir die Interpolationsabschatzung auf dem Referenzele-

ment T = [0, 1]. Im Anschluß zeigen wir die Interpolationsabschatzung auf direktem

Weg. Spater werden wir dies allgemeiner und eleganter aus dem Bramble-Hilbert-

Lemma herleiten.

Lemma 4.6 Fur die Knoteninterpolation I : H1(0, 1) → P1(T ) auf das Referenz-

element T = [0, 1] gilt fur alle v ∈ C2[0, 1]:

||v − Iv||L∞(0,1) ≤ ||v′′||L2(0,1) ,

||(v − Iv)′||L∞(0,1) ≤ ||v′′||L2(0,1) .

Beweis. Fur beliebiges x ∈ [0, 1] ist die Knoteninterpolierende gegeben durch

Iv(x) = (1− x)v(0) + xv(1) .


Damit ergibt sich fur den Interpolationsfehler punktweise

v(x)− Iv(x) = v(x)− v(0)− x(v(1)− v(0))

= x

∫ 1

0

v′(xξ) dξ − x∫ 1

0

v′(ξ) dξ

= x

∫ 1

0

(v′(xξ)− v′(ξ)) dξ

= x

∫ 1

0

∫ xξ

ξ

v′′(y) dy dξ

≤∫ 1

0

∫ 1

0

|v′′(y)| dy dξ .

Wir erhalten nun unter Nutzung der Holder’schen Ungleichung

|v(x)− Iv(x)| ≤∫ 1

0

|v′′(y)| dy = ||v′′||L1(0,1) ≤ ||v′′||L2(0,1) .

Dies impliziert die erste Behauptung. Zur Abschatzung der Ableitung geht man

ahnlich vor:

(v − Iv)′(x) = v′(x)− v(1) + v(0)

= v′(x)−∫ 1

0

v′(y) dy

=

∫ 1

0

(v′(x)− v′(y)) dy

=

∫ 1

0

∫ x

y

v′′(ξ) dξ dy

≤∫ 1

0

∫ 1

0

|v′′(ξ)| dξ dy .

Wir erhalten also die gleiche obere Schranke wie im Beweis der ersten Abschatzung.

Satz 4.7 Fur die Knoteninterpolation Ih : H1(0, 1)→ Ph,1 gilt:

||v − Ihv||L2(0,1) ≤ C1h2||v′′||L2(0,1) ∀v ∈ H2(0, 1) ,

|v − Ihv|H1(0,1) ≤ C2h||v′′||L2(0,1) ∀v ∈ H2(0, 1) .

Im Falle des Einheitsintervalls gilt sogar C1 = C2 = 1.

4.5 Knoteninterpolierende fur lineare Finite Elemente 45

Beweis. Fur das Teilintervall K = Ik = [xk−1, xk] bezeichnen wir die Transfor-

mation vom Referenzelement [0, 1] auf das Element K = [xk−1, xk] mit TK ,

TK : [0, 1]→ K , x 7→ TK x = xk−1 + hkx .

Fur deren Ableitung gilt T ′K ≡ hk = xk−xk−1. Wir fuhren folgende Notationen ein:

v := v TK , w := v − Ihv und w := v − I v.

(a) Wir setzen zunachst v ∈ C2[0, 1] voraus und schatzen den Fehler auf einem

Teilintervall [xk, xk+1] ab. Mit der Substitutionsformel und Lemma 4.6 erhalten wir

||w||2L2(xk−1,xk) =

∫ xk

xk−1

w(x)2 dx =

∫ 1

0

w(x)2hk dx = hk||w||2L2(0,1)

≤ hk||w||2L∞(0,1) ≤ hk||v′′||2L2(0,1) .

Nun transformieren wir dies zuruck auf das Element Ik:

||v′′||2L2(0,1) =

∫ 1

0

[(v TK)′′(x)]2 dx

=

∫ 1

0

[(v′ TK)′(x)hk]2 dx =

∫ 1

0

[(v′′ TK)(x)h2k]

2 dx

= h4k

∫ 1

0

[(v′′ TK)(x)]2 dx = h4k

∫ xk

xk−1

h−1k v′′(x)2 dx

= h3k||v′′||2L2(Ik) .

Insgesamt erhalten wir nun mithilfe dieser element-weisen Beitrage

||w||2L2(0,1) =n∑k=1

||w||2L2(xk−1,xk) ≤n∑k=1

h4k||v′′||2L2(Ik) ≤ h4||v′′||2L2(0,1) .

Hieraus ergibt sich die gewunschte Fehlerabschatzung in der L2-Norm unter der Vor-

aussetzung v ∈ C2[0, 1].

(b) Fur v ∈ H2(0, 1) benutzen wir dir Tatsache, dass C2[0, 1] dicht ist in H2(0, 1)

(bzgl. der H2(0, 1)-Norm). Damit folgt fur v ∈ H2(0, 1) und eine hiergegen konver-

gente Folge (vn)n∈N aus C2[0, 1]:

||v − Ihv||2L2(0,1) = limn→∞

||vn − Ihvn||2L2(0,1) ≤ limn→∞

h4||v′′n||2L2(0,1)

= h4||v′′||2L2(0,1) .

Die Vertauschung von Grenzwert- und Normbildung ist hier erlaubt, da die L2-Norm

bzgl. der H2-Topologie stetig ist.

(c) Nun schatzen wir |w|H1(0,1) ab, indem wir

|w|2H1(xk−1,xk) ≤ h−1k ||v

′′||2L2(0,1) . (4.4)


zeigen. Die gewunschte Abschatzung folgt dann analog zu dem unter (a) gezeigten.

Punktweise gilt

w′(x) = (w T−1K )′(x) = w′(T−1

K (x))h−1k .

Damit erhalten wir fur die Halbnorm:

|w|2H1(xk−1,xk) = h−2k

∫ xk

xk−1

w′(T−1K (x))2 dx = h−2

k

∫ 1

0

w′(x)2hk dx

= h−1k ||w

′||2L2(0,1) .

Fur die rechte Seite erhalten wir mit Lemma 4.6:

||w′||2L2(0,1) ≤ ||w′||2L∞(0,1) ≤ ||v′′||2L2(0,1) .

Damit erhalten wir insgesamt (4.4).

Eine andere Projektion ist die L2-Projektion Πh : V → Vh. Diese ist charakteri-

siert durch die Eigenschaft, dass der Fehler u− Πhu senkrecht steht auf Vh, also

(u− Πhu, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh .

Auch dies werden wir spater ausfuhrlicher behandeln.

4.6 A priori Abschatzung symmetrischer Biline-

arformen

Satz 4.8 Die Bilinearform A : V ×V → R und die Losung u erfulle die Vorausset-

zungen aus Satz 4.4 und A sei zusatzlich symmetrisch. Dann gilt fur die Konstante

C in der Abschatzung (4.3) sogar C ∼√α1/α2.

Beweis. Dadurch dass A symmetrisch ist, wird durch A ein (evtl. anderes) Ska-

larprodukt erzeugt

(u, v)A := A(u, v) .

Nun zeigt man, dass Diskretisierungsfehler und Approximationsfehler identisch sind,

also

||u− uh||A = infvh∈Vh

||u− vh||A .

4.7 Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix 47

Diese Gleichheit folgt mit der Galerkin-Orthogonalitat aus folgender Abschatzung:

||u− uh||2A = A(u− uh, u− uh) = A(u− uh, u− vh)≤ ||u− uh||A||u− vh||A ,

und damit fur beliebiges vh ∈ Vh:

||u− uh||A ≤ ||u− vh||A .

Der Ubergang zum Infimum und Ausnutzung der trivialen Schranke in die andere

Richtung liefert die Gleichheit von Diskretisierungsfehler und Approximationsfehler.

Es folgt mit der Beschranktheitskonstante α1 > 0 und der Elliptizitatskonstante

α2 > 0:

α2||u− uh||2V ≤ A(u− uh, u− uh) = ||u− uh||2A = infvh∈Vh

||u− vh||2A

= infvh∈Vh

A(u− vh, u− vh) ≤ α1 infvh∈Vh

||u− vh||2 ,

woraus letztendlich die Behauptung folgt.

4.7 Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix

Wir wissen, dass die Konditionszahl κ(A) einer symmetrischen, positiv definiten

Matrix A ∈ Rn×n gegeben ist durch den Quotienten aus großtem und kleinstem

Eigenwert λmax und λmin:

κ(A) =λmaxλmin

.

Diese Konditionszahl ist wichtig zur Bestimmung der Konvergenzrate von linea-

ren Losern. Beispielsweise ist die lineare Konvergenzrate des Gradientenverfahrens

beschrankt durch

ρgrad =1− 1/κ(A)

1 + 1/κ(A),

wahrend die des cg-Verfahrens sich ergibt zu

ρcg =1− 1/

√κ(A)

1 + 1/√κ(A)

.


Satz 4.9 Fur die Steifigkeitsmatrix Ah zur P1-Finite-Elemente Diskretisierung des

RWPs (3.4) gilt dass sie symmetrisch und positiv definit ist mit Konditionszahl

κ(Ah) ≤ 12C2ph−2min ,

wobei hmin = minhk : k = 1, . . . , n und Cp die Poincare-Konstante ist.

Beweis. (a) Die Symmetrie von Ah = (aij) folgt aus

aij = (φ′j, φ′i)L2(0,1) = aji .

(b) Die extremen Eigenwerte λmax, λmin lassen sich uber die Rayleigh-Quotienten

beschranken:

min06=x∈Rnh

(Ahx, x)l2||x||2l2

≤ λmin ≤ λmax ≤ max06=x∈Rnh

(Ahx, x)l2||x||2l2

.

Die Behauptung folgt daher indem wir zeigen:

min06=x∈Rnh

(Ahx, x)l2||x||2l2

≥ 1

3C2p

hmin ,

max06=x∈Rnh

(Ahx, x)l2||x||2l2

≤ 4h−1min .

Die Abschatzung des maximalen Rayleigh-Quotienten erhalten wir wie folgt (x0 =

xn = 0):

(Ahx)i = −h−1i xi−1 + (h−1

i + h−1i+1)xi − h−1

i+1xi+1 ,

(Ahx, x)l2 =n−1∑i=1

(Ahx)ixi

=n−1∑i=1

(−h−1

i xi−1xi + (h−1i + h−1

i+1)x2i − h−1

i+1xixi+1

)= −2

n∑i=1

h−1i xi−1xi +

n−1∑i=1

(h−1i + h−1

i+1)x2i .

Daher erhalten wir die obere Schranke

|(Ahx, x)l2 | ≤n∑i=1

h−1i (x2

i−1 + x2i ) +

n−1∑i=1

(h−1i + h−1

i+1)x2i

≤ 2n∑i=1

(h−1i + h−1

i+1)x2i

≤ 4h−1min||x||2l2 .

4.7 Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix 49

Die untere Schranke fur den minimalen Rayleigh-Quotienten erhalten wir mit der

Darstellung uh =∑n−1

i=1 xiφi und unter Anwendung der Ungleichung von Poincare-

Friedrichs (Satz 3.5) und der Massematrix Mh:

(Ahx, x)l2 = A(uh, uh) = |uh|2H1(0,1) ≥ C−2p ||uh||2L2(0,1) = C−2

p (Mhx, x)l2 .

Daher genugt es zu zeigen

(Mhx, x)l2 ≥1

3hmin||x||2l2

Mit der Darstellung der Massematrix aus Abschnitt 4.2.3 ergibt sich

(Mhx)i =1

6(hixi−1 + 2(hi + hi+1)xi + hi+1xi+1) ,

(Mhx, x)l2 =1

6

n∑i=1

(hixi−1xi + 2(hi + hi+1)x2

i + hi+1xi+1xi)

≥ 1

6

n∑i=1

(−1

2hix

2i−1 −

1

2hix

2i + 2(hi + hi+1)x2

i −1

2hi+1x

2i+1 −

1

2hi+1x

2i

)=

1

6

n∑i=1

(hi + hi+1)x2i

≥ 1

3hmin||x||2l2

(c) Die positiv-Definitheit ergibt sich aus der Elliptizitat der Bilinearform A(·, ·).

Kapitel 5

Elliptische Randwertprobleme in

mehreren Dimensionen

Wir betrachten nun das mehrdimensionale Poisson Problem

−∆u = f in Ω (5.1)

u = u0 auf ∂Ω (5.2)

Hierbei bezeichnet Ω ⊂ Rd ein Gebiet (also offen und einfach zusammenhangend)

und ∆ den Laplace-Operator

∆u(x) :=d∑i=1

∂2u(x)

∂x2i

Der hierfur naturliche variationelle Raum ist der SobolevraumH1(Ω). Doch zunachst

mussen wir uns auch hier Gedanken machen uber die Spur von H1-Funktionen auf

dem Rand ∂Ω des Gebietes.

Analog zum eindimensionalen Fall lautet die variationelle Formulierung hierzu

wie folgt. Gesucht u ∈ u0 +H10 (Ω), so dass

A(u, v) := (∇u,∇v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ H10 (Ω) (5.3)

Dies ist aquivalent zum quadratischen Minimierungsproblem in H10 (Ω)

J(u) :=1

2||∇u||2L2(Ω) − 〈f, u〉 → min !

52 M. Braack Elliptische Randwertprobleme in mehreren Dimensionen

5.1 Maximum-Prinzip und invers monotone Ope-

ratoren

Eine wichtige Eigenschaft der Losungen der betrachteten Gleichung ist, dass bei ver-

schwindender (oder negativer) rechter Seite f das Maximum am Rand angenommen

wird. Diese Eigenschaft im diskreten zu erhalten ist fur das Poisson-Problem nicht

allzu schwer.

Definition 5.1 Ein Differentialoperator L erfullt das Maximum-Prinzip, wenn klas-

sische Losungen der Gleichung

Lu = f in Ω

mit f ≤ 0 in Ω kein positives Maximum annehmen, also

u(x) ≤ maxy∈∂Ω

(u(y), 0) ∀x ∈ Ω .

Es sei darauf hingewiesen, dass es in der Literatur leicht unterschiedliche Definitio-

nen des Maximum-Prinzips gibt.

Korollar 5.2 Losungen linearer Operatorgleichungen zu gleichen Randdaten, die

dem Maximum-Prinzip genugen, sind eindeutig.

Beweis. Wenn u1, u2 zwei Losungen der gleichen Gleichung sind, so erfullt w :=

u1 − u2 die zugehorige homogene Gleichung. Diese Homogenitat bezieht sich jetzt

sowohl auf die rechte Seite als auch auf die Randwerte, also w|∂Ω = 0. Aufgrund des

Maximum-Prinzips fur w folgt

maxx∈Ω

w(x) ≤ maxy∈∂Ω

(w(y), 0) = 0 .

Mit dem gleichen Argument fur −w folgt −w ≤ 0 und damit insgesamt w ≡ 0.

Definition 5.3 Ein Differentialoperator L heißt invers monoton, wenn fur nicht

negative rechte Seite f ≥ 0 und Randdaten u0 ≥ 0 auch die Losung u der Gleichung

Lu = f in Ω , u|∂Ω = u0 ,

nicht negativ ist, also u ≥ 0.

Korollar 5.4 Lineare Differentialoperatoren, die obigem Maximum-Prinzip genugen,

sind auch invers monoton.

5.2 Spursatz in mehreren Dimensionen 53

Beweis. Wir betrachten die Funktion v := −u. Diese erfullt die Gleichung

Lv = −f ≤ 0 in Ω , v|∂Ω = −u0 ≤ 0 ,

Wegen des Maximum-Prinzips gilt v ≤ maxy∈∂Ω(v(y), 0) = 0 und somit u ≥ 0.

Satz 5.5 (Maximum-Prinzip fur Laplace) Der Differentialoperator

Lu := −∆u+ (b · ∇)u+ cu

mit stetigen Funktionen b, c ∈ C(Ω) mit c ≥ 0 erfullt in beschrankten Gebieten Ω

das Maximum-Prinzip in Definition 5.1 und ist invers monoton.

Beweis. Wir betrachten hier nur den Fall c > 0, da der Beweis im Fall c(x) =

0 sehr technisch ist. Angenommen die obere Schranke ware verletzt, also u(x) >

maxy∈∂Ω(u(y), 0) fur ein x ∈ Ω. Wir konnen ferner annehmen, dass u in x ein lokales

Maximum besitzt. Dann ware dieses Maximum insbesondere positiv. Ferner gilt

notwendigerweise

∇u(x) = 0 ,∂2u(x)

∂x2≤ 0 , und

∂2u(x)

∂y2≤ 0 .

Damit folgt

0 ≥ f(x) = −∆u(x) + (b(x)∇)u(x) + c(x)u(x) ≥ c(x)u(x) .

Also folgt wegen c(x) > 0 auch u(x) ≤ 0. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme

eines positiven Maximums in x. Die inverse Monotonie folgt nun aus dem Maximum-

Prinzip gemaß des vorherigen Lemmas.

5.2 Spursatz in mehreren Dimensionen

Fur Raumdimension d ≥ 2 gilt jetzt nicht mehr, dass H1(Ω) in C(Ω) eingebettet

werden kann. Allerdings sind die Spuren zumindest L2-Funktionen auf dem Rand,

sofern wir eine gewisse Regularitat des Randes voraussetzen.

Beispiel. Im Fall d ≥ 3 sind die Funktionen

u(x) = ||x||−α2

fur 0 < α < d/2 − 1 zwar H1-Funktionen, aber im Nullpunkt nicht mehr stetig,

sondern singular lim||x||→0 u(x) = +∞. Es handelt sich also um unbeschrankte H1-

Funktionen.

Wir werden in diesem Abschnitt Gebiete Ω ⊂ Rd betrachten, die einen stuckweise

glatten Rand ∂Ω besitzen und außerdem einer sogenannten Kegelbedingung genugen,

d.h.


Definition 5.6 Ein Gebiet Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 besitzt einen stuckweise glatten Rand

∂Ω, wenn eine endliche Zerlegung γ1∪. . .∪γm = ∂Ω existiert, so dass jedes Teilstuck

γi eine C1-Kurve darstellt.

Definition 5.7 Ein Gebiet Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 genugt einer inneren Kegelbedingung,

wenn zu jedem Punkt x ∈ ∂Ω ein (nicht-trivialer) Kegel

Kx =x+ y : ||y|| ≤ r, yT ξ(x) ≥ ||y|| cosα

mit Kx ⊂ Ω und einem normierten Vektor ξ(x) existiert. Hierbei durfen 0 < α < π/2

und r > 0 nicht von x abhangen. Das Gebiet erfullt eine außere Kegelbedingung,

wenn jeweils nicht-triviale Kegel Kx existieren, so dass Ω∩Kx = ∅ fur alle x ∈ ∂Ω.

Die innere Kegelbedingung bedeutet also, dass die Innenwinkel an den nicht-differen-

zierbaren Punkten positiv sind. Das Gebiet

Ω1 = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < x5 < 1

erfullt diese innere Kegelbedingung nicht. Die Funktion u(x, y) = x−1 ist in H1(Ω1),

aber ihre Spur γ(u) ist nicht L2-quadrierbar uber ∂Ω. Ein weiteres (Gegen-) Beispiel

ist die gelochte Kreisscheibe, die keine außere Kegelbedingung erfullt:

Ω2 = (x1, x2) ∈ R2 : 0 < ||x||2 < 1 .

Wenn wir auf diesem Gebiet das Poisson-Problem (5.1) losen mochten mit den Rand-

bedingungen

u(0) = 1 (5.4)

u(x) = 0 fur ||x||2 = 1 , (5.5)

so werden wir sehen, dass dies zu Problemen fuhrt. Sei hierzu

w0(r) := ln ln(e/r)

und wn eine Regularisierung hiervon:

wn(r) :=

w0(r) fur r ≥ 1/n

ln ln(en) fur r < 1/n

Dann erfullt

un(x) :=wn(||x||2)

wn(0)

5.2 Spursatz in mehreren Dimensionen 55

die Randbedingungen (5.4). Ferner kann man zeigen, dass un ∈ H1(Ω) und fur

n → ∞ konvergiert un → 0 fast uberall in Ω. Insbesondere gilt limn→∞ J(un) =

limn→∞ ||∇un|| = 0, so dass wir eine Minimalfolge in H1(Ω) erhalten, dessen Limes

Losung des Poisson Problems (5.1) mit f = 0 ist. Dieser Grenzwert ist aber ≡ 0, so

dass der Randwert u(0) = 1 nicht (wirklich) erfullt ist. Wir haben also eine Folge

konstruiert, die in H1(Ω) konvergiert und dessen Grenzwert die Differentialgleichung

erfullt, aber die Randbedingung im Nullpunkt verletzt.

Satz 5.8 Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet dessen Rand Γ := ∂Ω stuckweise glatt

ist und einer inneren Kegelbedingung genugt. Dann ist C1(Ω) dicht in H1(Ω).

Beispiele solcher Gebiete sind polygonal berandete Gebiete mit Innenwinkeln an den

Eckpunkten 0 < ω < 2π.

Lemma 5.9 Fur stetige Funktionen f : [0, ε]→ R gilt:∫ ε

0

∫ t

0

f(s) ds dt =

∫ ε

0

f(t)(ε− t) dt .

Beweis. Sei F die Stammfunktion von f . Per partieller Integration erhalt man:∫ ε

0

∫ t

0

f(s) ds dt =

∫ ε

0

(F (t)− F (0)) dt

=

∫ ε

0

F (t) · 1 dt− εF (0)

= F (ε)ε−∫ ε

0

f(t)t dt− εF (0)

= ε(F (ε)− F (0))−∫ ε

0

f(t)t dt

=

∫ ε

0

f(t)(ε− t) dt .

Satz 5.10 (Spursatz) Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet dessen Rand ∂Ω stuck-

weise glatt ist und einer inneren Kegelbedingung genugt. Dann existiert eine stetige

lineare Abbildung

γ : H1(Ω)→ L2(Γ)

mit

γv = v|Γ ∀v ∈ C(Ω) .


Beweis. Zum Nachweis der Stetigkeit zeigen wir die Beschranktheit

||γ(v)||L2(Γ) ≤ c||v||H1(Ω) ,

mit einer Konstanten c = c(Ω) > 0. Wir beschranken uns auf den zwei-dimensionalen

Fall d = 2.

(a) Zunachst zeigen wir die Abschatzung

||v||L2(Γ) ≤ c||v||H1(Ω) ∀v ∈ C1(Ω) .

Wir teilen Γ in m glatte Teilrandstucke. Fur jedes Teilstuck Γi existiert eine C1-

Parametrisierung, bzw. - nach eventueller Drehung des Koordinatensystems - eine

Darstellung als Graph einer Funktion φi ∈ C1(Ii,R),

Γi := Gφi = (x, φi(x)) |x ∈ Ii .

Aufgrund der Kegelbedingung existiert ein ε > 0, so dass

ωi := (x, y) ∈ Ii × R : φi(x) < y < φi(x) + ε ⊆ Ω .

Hierbei ist wichtig, dass es ein festes ε > 0 fur alle i ist. Das Kurvenintegral auf dem

Randstuck Γi ist gegeben durch:

||v||2L2(Γi)=

∫Γi

v2 ds =

∫Ii

v(x, φi(x))2||(1, φ′(x))||2 dx . (5.6)

Nun werden wir die Punktwerte v(x, y)2 mit y = φi(x) nach oben geeignet be-

schranken. Auf dem Rand Γi haben wir die Darstellung

v(x, y) = v(x, φi(x) + t)−∫ t

0

∂yv(x, φi(x) + s) ds (0 ≤ t ≤ ε) .

Integrieren wir nun beide Seiten uber 0 ≤ t ≤ ε, so erhalten wir

εv(x, y) =

∫ ε

0

v(x, φi(x) + t) dt−∫ ε

0

∫ t

0

∂yv(x, φi(x) + s) ds dt .

Nun verwenden wir das vorherige Lemma und erhalten mit der Notation g1(t) :=

v(x, φi(x) + t) und g2(t) := ∂yv(x, φi(x) + t):

εv(x, y) =

∫ ε

0

g1(t) dt−∫ ε

0

g2(t)(ε− t) dt .

5.3 Ungleichungen von Poincare 57

Durch quadrieren auf beiden Seiten und Anwendung der Holder’sche Ungleichung,

um von der L1-Norm auf die L2-Norm zu kommen, liefert:

ε2v(x, y)2 ≤ 2||g1||2L1(0,ε) + 2||g2(t)(ε− t)||2L1(0,ε)

≤ 2(||1||2L2(0,ε)||g1||2L2(0,ε) + ||t||2L2(0,ε)||g2||2L2(0,ε))

= 2(ε||g1||2L2(0,ε) +1

3ε3||g2||2L2(0,ε)) .

Diese punktweise obere Schranke verwenden wir nun fur das Kurvenintegral (5.6).

Mit ci := max(1 + |φ′(x)|)1/2 : x ∈ Ii erhalten wir:

||v||2L2(Γi)≤ ci

(2ε−1||v||2L2(ωi)

+2

3ε||∂yv||2L2(ωi)

).

Eine nun folgende Summation uber alle Teilrandstucke liefert uns mit c = 2∑m

i=1 ci:

||v||2L2(γ) ≤ c

(ε−1||v||2L2(Ω) +

1

3ε|v|2H1(Ω)

).

Hierbei wurde die Norm ||∂yv||L2(Ω) durch die des vollen Gradienten ersetzt, da man

der eingangs erwahnten lokalen Variablentransformation Rechnung tragen muss.

(b) Der Spursatz folgt dann analog zum Fall d = 1 im Satz 3.5 durch die Dichtheit

von C1(Ω) in H1(Ω).

5.3 Ungleichungen von Poincare

Wir verwenden im folgenden Satz den (minimalen) Durchmesser eines Gebietes:

diam(Ω) := infy − x : Ω ⊂(Rk × [x, y]× Rd−k−1

), 0 ≤ k ≤ n− 1 .

Ein Gebiet heißt in eine Koordinatenrichtung beschrankt, wenn diam(Ω) < ∞. In

diesem Fall liegt Ω zwischen zwei Hyperebenen. Das Gebiet ist beispielsweise in die

erste Richtung beschrankt, wenn ein M > 0 existiert, so dass Ω ⊂ [−M,M ]×Rd−1.

Satz 5.11 (Poincare-Ungleichung) Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet oder zu-

mindest in eine Koordinatenrichtung beschrankt. Dann gilt mit einer von Ω abhangi-

gen Konstante cΩ die Abschatzung

||v||L2(Ω) ≤ cΩ|v|H1(Ω) ∀v ∈ H10 (Ω) ,

mit cΩ :=diam(Ω).


Beweis. Fur den Beweis benutzt man die Tatsache, dass C∞0 (Ω) per Definition

dicht liegt in H10 (Ω). Dadurch genugt es, die Behauptung fur Funktionen v ∈ C∞0 (Ω)

zu zeigen. Wir konnen oBdA annehmen, dass Ω ⊆ [−M,M ] × Rd−1. Wir konnen

ferner u trivial fortsetzen. Wir schreiben jetzt v(x) = v(x1, x′) mit x′ ∈ Rd−1. Die

ein-dimensionale Poincare-Friedrich’sche Ungleichung in Satz 3.6 liefert uns:∫ M

−M|v(x1, x

′)|2 dx1 ≤ c2Ω

∫ M

−M|∂x1v(x1, x

′)|2 dx1 .

Integration uber x′ ergibt

||v||L2(Ω) ≤ cΩ||∂x1v||L2(Ω) ,

und damit die Behauptung.

Das Gebiet muß in der Tat in einer Koordinatenrichtung von beiden Seiten begrenzt

sein. Ein Gegenbeispiel ist das folgende: uk ∈ H10 (0,∞) definiert durch

uk(x) :=

x fur 0 < x < 1

xαk fur x ≥ 1,

mit αk = 12

+ 14k

. Es gilt uk ∈ H10 (0,∞) mit

||∇uk||L2(0,∞) = 1 +1

2αk + 1→ 3

2(k →∞) ,

||uk||L2(0,∞) = 1 +1

2αk − 1→ ∞ (k →∞) .

Eine wichtige Klasse von Gebieten ist die folgende:

Definition 5.12 Ein Gebiet Ω ⊂ Rd heißt Lipschitz-Gebiet, wenn zu jedem x ∈ ∂Ω

eine Umgebung U mit x ∈ U existiert, so dass sich U ∩∂Ω als Graph einer lipschitz-

stetigen Funktion darstellen lasst.

Beispiele von Lipschitz und nicht-Lipschitz Gebieten sind in Abbildung 5.1 gezeigt.

Jedes Lipschitz Gebiet erfullt eine außere Kegelbedingung, siehe Alt [1]. Aus stuck-

weise glattem Rand und einer außeren Kegelbedingung folgt, dass das Gebiet ein

Lipschitz-Gebiet ist.

Korollar 5.13 Sei Ω ⊂ R2 ein beschranktes Gebiet mit Rand ∂Ω. Dann ist H2(Ω)

in C(Ω) kompakt eingebettet, d.h. die abgeschlossene Einheitskugel von H2(Ω) ist in

C(Ω) relativ kompakt. Gilt ferner, dass

• ∂Ω Lipschitz-stetig (d.h. Ω ist ein Lipschitz-Gebiet), oder


Abbildung 5.1: Beispiele eines Lipschitz Gebietes (links) und drei nicht-Lipschitz

Gebieten (rechts).

• Ω polygonal (d.h. der Rand besteht aus einem Polygonzug) und konvex,

so ist H2(Ω) sogar in C(Ω) kompakt eingebettet und es gilt

||u||∞,Ω ≤ CΩ||u||H2(Ω) ∀u ∈ H2(Ω) . (5.7)

Beweis. (a): Wir nehmen zunachst an, dass die angegebenen zusatzlichen Vor-

aussetzungen eines konvexen und polygonalen Gebietes Ω gelten. Dann existieren

ein Winkel α und ein Abstand r > 0, so dass fur alle x, y ∈ Ω mit ||x − y||2 < r

der Kegel K = K(x, y) mit Offnungswinkel α, Spitze in x und y als Randpunkt auf

dem Schenkel S ⊂ ∂K gilt K ⊂ Ω. Sei ferner n = (x− y)/||x− y||2 die Richtung von

x− y. Dann gilt gemaß des Beweises des Spursatzes 5.10:

||v||L2(S) ≤ c1||∂nv||L2(Ω) ∀v ∈ H1(Ω) ,

mit einer Konstanten c1 = c1(r, α). Mit der gleichen Argumentation erhalt man eine

analoge Abschatzung auf dem anderen Schenkeln des Kegels, so dass wir insgesamt

erhalten:

||v||L2(∂K) ≤ c1||v||H1(Ω) ∀v ∈ H1(Ω) .

Ubertragen wir dieses Ergebnis auf u ∈ H2(Ω), so gilt also

|u|H1(∂K) ≤ c1||u||H2(Ω) ∀u ∈ H2(Ω) .

Dies bedeutet, dass u eingeschrankt auf ∂K eine H1-Funktion ist. Nach dem Spur-

satz in 1-D ist u|∂K stetig und

|u(x)− u(y)|||x− y||1/22

≤ c1||u||H2(Ω) ∀u ∈ H2(Ω)∀x, y ∈ ∂K .

Also ist u|∂K holder-stetig mit Exponenten 1/2. Da die rechte Seite aber unabhangig

vom speziellen Kegel K ist, ist u auf ganz Ω Holder-stetig. Folglich folgt fur einen

beliebigen Punkt x0 ∈ Ω und mit einer Konstanten c2 = c2(Ω):

||u||∞ ≤ |u(x0)|+ c2||u||H2(Ω) ∀u ∈ H2(Ω) .


Jetzt benutzen wir zur Abschatzung von |u(x0)| nocheinmal den Spursatz in 1-D auf

einer Kegelseite ∂K mit x0 ∈ ∂K:

|u(x0)|2 ≤ c3||u||2H1(∂K)

= c3(||u||2L2(∂K) + |u|2H1(∂K))

≤ c3c21(||u||2H1(Ω) + ||u||2H2(Ω))

= c3c21||u||2H2(Ω)

Wir erhalten die Behauptung mit CΩ = c2 + c1/23 c1.

(b): Zur kompakten Einbettung. Dies bedeutet, dass die Einheitskugel von H2(Ω)

B1 := u ∈ H2(Ω) : ||u||H2(Ω) ≤ 1

in C(Ω) relativ kompakt ist. Dies folgt aus dem Satz von Arzela-Ascoli, sofern nach-

gewiesen ist, dass B1 gleichmaßig beschrankt und gleichgradig stetig ist. In unserem

Fall folgt die gleichmaßige Beschranktheit direkt aus der Abschatzung (5.7). Ebenso

folgt die gleichgradige Stetigkeit der Menge B1 aus der Holder-Stetigkeit:

||x− y||2 < δ =⇒ |u(x)− u(y)| ≤ c1||x− y||1/22 ≤ ε := c1δ1/2 ∀u ∈ B1 .

(c): Wir wahlen polygonale Gebiete Ωn ⊂ Ω, derart dassx ∈ Ω ∩Bn(0) : diam(x, ∂Ω) >

1

n

⊂ Ωn .

Hierbei ist der Abstand definiert als

diam(x, ∂Ω) := infy∈Ω||x− y||2 .

Man uberlege sich, dass dies stets moglich ist. Aufgrund dieser Konstruktion gilt

Ω =⋃n∈N

Ωn . (5.8)

Jedes dieser Ωn laßt sich durch endlich viele konvexe polygonale Gebiete Ωnk, uber-

decken mit Ωnk ⊂ Ω. Daher konnen wir gleich annehmen dass eine Darstellung (5.8)

existiert mit abzahlbar vielen konvexen und polygonalen Gebieten Ωn. Nun folgt

aus Teil (a), dass H2(Ωn) ⊂ C(Ωn) fur alle n ∈ N. Da die Ωn offen sind, folgt die

Behauptung.

Die Verallgemeinerung dieses Korollars 5.13 fur allgemeine Dimension d ∈ N ist der

folgende Satz.


Satz 5.14 (Sobolevscher Einbettungssatz) Fur Lipschitz-Gebiete Ω ⊂ Rd und

m > d/2 ist die Einbettung Hm(Ω) ⊂ C(Ω) stetig.

Den Beweis hierzu wollen wir hier nicht fuhren. Ebensowenig geben wir an dieser

Stelle einen Beweis fur den folgenden Satz an. Das Resultat werden wir im Anschluss

aber noch benotigen.

Satz 5.15 (Rellichscher Auswahlsatz) Fur Lipschitz-Gebiete Ω ⊂ Rd , die ei-

ner inneren Kegelbedingung genugen, und m ∈ N0 ist die Einbettung Hm+1(Ω) ⊂Hm(Ω) kompakt, d.h. die Einheitskugel

v ∈ Hm+1(Ω) : ||v||Hm+1(Ω) ≤ 1

ist relativ kompakt in der Hm(Ω)-Norm.

Korollar 5.16 (Rellichscher Auswahlsatz) In Lipschitz-Gebieten Ω ⊂ Rd, die

einer inneren Kegelbedingung genugen, sind schwach konvergente Folgen in Hm+1(Ω),

m ∈ N0, stark konvergent in der Hm(Ω)-Norm.

Beweis. Sei (vn)n∈N eine Folge in Hm+1(Ω), die schwach konvergent ist gegen

v ∈ Hm+1(Ω). Schwach konvergente Folgen sind immer beschrankt. Somit bildet

diese Folge eine in Hm(Ω) relativ kompakte Menge, bzw. der Abschluss

vk : k ∈ N (Abschluss bzgl. Hm(Ω)-Norm)

eine in Hm(Ω) kompakte Menge. Daher existiert eine Teilfolge (vnk), die in Hm(Ω)

stark konvergiert gegen ein w ∈ Hm(Ω). Dann gilt aber auch, vnk w in Hm(Ω).

Da nun aber Hm(Ω)′ ⊆ Hm+1(Ω)′ gilt auch vnk w in Hm(Ω). Da auch schwache

Grenzwerte eindeutig sind, folgt v = w. Die gleiche Argumentation gilt fur beliebiege

Teilfolgen von (vn). Somit ist v einziger Haufungspunkt dieser Folge. Hieraus folgt

vn → v in Hm(Ω).

Satz 5.17 (Allgemeine Poincare-Ungleichung) Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes

Gebiet mit Lipschitz-Rand ∂Ω. Sei ferner Γ ⊂ ∂Ω eine in Rd−1 messbare Teilmenge

mit nicht-trivialem Mass. Dann gilt im Raum V0 := u ∈ H1(Ω) : u = 0 f.u. auf Γdie Ungleichung

||u||L2(Ω) ≤ cΩ|u|H1(Ω) ∀u ∈ V0 .


Beweis. Wir nutzen in diesem Beweis die Kurzbezeichnung || · || fur die L2-Norm

in Ω. Ware die Behauptung nicht richtig, so existiert eine Folge (uk)k∈N in V0 mit

||uk|| ≥ k||∇uk|| .

Nun betrachten wir die Funktionen wk := uk/||uk|| ∈ V0. Fur diese gilt ||wk|| = 1

sowie

||∇wk|| = ||∇uk||/||uk|| ≤1

k.

Damit ist die Folge (wk)k∈N in der abgeschlossenen Menge V0 ⊂ H1(Ω) beschrankt.

Sie besitzt daher eine gegen ein w ∈ V0 schwach konvergente Teilfolge, die wir

wieder mit (wk)k∈N bezeichnen, also wk w in H1(Ω). Aufgrund des Rellichschen

Auswahlsatzes (Korollar 5.16) wissen wir, dass wk → w in L2. Andererseits folgt

∇wk → 0 aufgrund obiger Abschatzung; also gilt wk → w in H1 mit ∇w = 0

f.u.. Da Gebiete zusammenhangend sind, folgt, dass w f.u. einer Konstanten w0 ist.

Wegen 1 = limk→∞ 1 = limk→∞ ||wk||L2(Ω) = ||w||L2(Ω) gilt w0 6= 0. Gleichzeitig soll

aber gelten w|Γ = 0. Dies ist unmoglich, denn sonst gabe es zwei Reprasentanten

der gleichen H1-Funktion mit unterschiedlichen Spuren auf Γ, namlich w|Γ = 0 und

w|Γ = w0 6= 0.

5.4 C0-Finite Elemente

Wir werden uns nun mit Triangulierungen eines Gebietes Ω ⊂ Rd beschaftigen. Ein

Gitter (oder auch Triangulierung) T = T1, . . . , Tm von Ω bestehend aus sogenann-

ten Elementen Tk, so dass

Ω =m⋃k=1

Tk .

Die Elemente selbst sind abgeschlossen, so dass die Kanten zu den Elemenetn hin-

zugehoren. Bei zweidimensionalen Gebieten, d = 2, unterscheiden wir Dreiecks- und

Viereckselemente.

Definition 5.18 Ein Gitter (oder auch Triangulierung) T = T1, . . . , Tm eines

Gebiets Ω ⊂ R2 bestehend aus Dreiecken oder Vierecken heißt zulassig oder struktur-

regular, wenn der Schnitt zweier Elemente Tj ∩Tj, mit i 6= j, entweder leer ist, nur

aus einem Eckpunkt von Tj und Ti, oder aus einer gemeinsamen Kante bestehen.

5.4 C0-Finite Elemente 63

Bei Vierecksgittern losst man sich allerdings, um lokale Gitterferveinerung zu-

zulassen, von der Struktur-Regularitat und laßt sogenannte hangende Knoten zu.

Anderenfalls musste man bei lokaler Verfeinerung Dreiecke und Vierecke mischen,

siehe Abb. 5.2.

Abbildung 5.2: Ein hangender Knoten bei einem Vierecksgitter (links) bzw. das

Abfangen solcher Knoten unter Verwendung von Dreiecken und Vierecken (rechts).

5.4.1 Polynome auf Dreieckselementen

Finite Elemente zeichnen sich dadurch aus, dass man die Ansatz- und Testfunktionen

auf einem Element polynomial ansetzt. Auf Dreieckselementen versteht man unter

einem Pr-Element ein Polynom vom Grad ≤ r:

Pr :=

u : R2 → R |u(x, y) =∑

0≤ i+j≤r0≤ i, j

aijxiyj

.

Im Fall r = 1 spricht man wieder von linearen Elementen oder vom Courant-

Element. Man hat in diesem Fall auf jedem Dreieck 3 Freiheitsgrade:

u(x, y) = a0 + a1x+ a2y .

Diese kann man mit den drei Eckpunkten identifizieren. Entsprechend hat man bei

quadratischen Elementen, r = 2, auf jedem Element 6 Freiheitsgrade:

u(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy + a4x2 + a5y

2 .

Die zugehorigen geometrischen Identitaten sind die drei Eckpunkte und die drei

Kanten des Dreieckselements.

Auf einem Dreiecksgittern T lautet dann der Finite-Elemente Raum

Pr(T ) :=u ∈ C(Ω) : u|T ∈ Pr ∀T ∈ T

. (5.9)


5.4.2 Polynome auf Tetraedern in 3D

Die Verallgemeinerung von Dreiecken im Fall d = 3 sind Tetraeder. Die entsprechen-

den Polynomansatze sind hier von der Form

u(x, y, z) =∑

0≤ i+j+k≤ri, j, k ≥ 0

aijkxiyjzk .

5.4.3 Polynome auf Viereckseckselementen

Auf Vierecken benutzt man hingegen haufiger Polynome vom totalen Grad ≤ r.

Dies sind die sogenannten Qr-Elemente

Qr :=

u(x, y) =

∑0≤i,j≤r

aijxiyj

.

Im Fall r = 1 sind dies die bilinearen Elemente mit vier Freiheitsgraden,

u(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy .

entsprechend den vier Ecken des Elementes. Fur r = 2 erhalt man biquadratische

Elemente mit 9 Freiheitsgraden.

u(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy + a4x2 + a5y

2

+a6x2y + a7xy

2 + a8x2y2.

Damit erhalten wir auf einem Vierecks-Gitter T folgenden Finite-Elemente Raum:

Qr(T ) :=u ∈ C(Ω) : u|T ∈ Qr ∀T ∈ T

. (5.10)

Die Verallgemeinerung von Vierecken in 3D sind Hexaeder.

5.5 Konforme Finite Elemente

Definition 5.19 Eine Finite Elemente Methode mit zugehorigem endlich-dimen-

sionalen Ansatzraum Vh fur eine Differentialgleichung formuliert im Hilbertraum V

heißt V -konform, wenn Vh ⊂ V . Andernfalls spricht man von einer nicht-konformen

Finite Elemente Methode.

Lemma 5.20 Auf beschrankten Gebieten Ω ⊂ R2 sind Pr- und Qr-Elemente , r ≥1, auf zulassigen Gittern H1-konform.

5.6 Basis-Darstellungen 65

Beweis. Eine Pr(T )-Funktion (oder Qr(T )) uh ∈ Vh ist auf zulassigen Gittern

per Definition (5.9) bzw. (5.10) eine C(Ω)-Funktion und auf jedem Element T ∈ Tsogar C∞. Wir zeigen, dass uh ∈ H1(Ω). Dass uh ∈ L2(Ω) gilt, ist offensichtlich.

Wir definieren w := ∇uh stuckweise auf jedem Element. Auf den Elementkanten

Γij := Ti∩Tj wahlen wir wi = ∂iuh als einer der beiden Grenzwerte. Die Anwendung

der Green’schen Formel auf jedem Element liefert fur φ ∈ C∞0 (Ω)∫Ω

wiφ dx =∑T∈Th

∫T

∂iuhφ dx

=∑T∈Th

−∫T

uh∂iφ dx+

∫∂T

uhniφ dx

.

Im letzen Integral taucht die i-te Komponente der Einheitsnormalenvektoren n auf.

Diese andern die Richtung in Abhangigkeit vom Element T von dem man uber

den Rand integriert. Da ferner uh und φ uber Elementgrenzen hinweg stetig sind,

verschwinden die Randintegrale uber innere Kanten im letzten Integral. Die Ran-

dintegrale uber Kanten auf ∂Ω fallen ebenso weg, da suppφ ⊂ Ω. Insgesamt folgt

daher ∫Ω

wiφ dx = −∫

Ω

uh∂iφ dx .

Also ist wi schwache Ableitung von uh in die i-te Richtung. Da offensichtlich wi ∈L2(Ω), folgt die Behauptung uh ∈ H1(Ω).

5.6 Basis-Darstellungen

Um die Losung uh ∈ Vh darzustellen und um eine Steifigkeitsmatrix aufzubauen

benotigt man eine Basis von Vh. Eine haufig gebrauchte Darstellung geschieht in

der Lagrange-Basis (oder auch Knotenbasis genannt). Dies geschieht mit Hilfe von

sogenannten Knotenfunktionalen χ ∈ P ′r. Dies sind stetige lineare Funktionale der

Form

〈χ, v〉 = v(N0) ∀v ∈ Pr

mit festem N0 ∈ Rd ist. Die Idee besteht nun darin, zunachst eine geeignete Auswahl

von Knotenfunktionalen zu treffen. Anschließend wird jedem Knotenfunktional eine

Basisfunktion zugeordnet.


Abbildung 5.3: Geeignete Knoten, deren Knotenfunktionale zu unisolventen Poly-

nomen fur P1, P2 und P3 fuhren (von links nach rechts).

Definition 5.21 Ein Polynomraum Pr zusammen mit einer Menge von Knoten-

funktionalen χ1, . . . , χs ⊂ P ′r heißt unisolvent, wenn jedes v ∈ Pr durch seine

Knotenfunktionale 〈χi, v〉, i = 1, . . . , s, eindeutig bestimmt ist.

Lemma 5.22 Auf dem Dreieck T seien auf den r + 1 Linien s = 1 + . . . + (r + 1)

Punkte N1, . . . , Ns angeordnet gemaß Abb. 5.3. Dann ist Pr zusammen mit den s

Knotenfunktionalen 〈χi, v〉 = v(Ni) unisolvent.

Beweis. Wir mussen zeigen, dass zu gegebenen Werten w1, . . . , ws ∈ R genau ein

Polynom v ∈ Pr existiert, dass die Interpolationsaufgabe

v(Ni) = wi fur i = 1, . . . , s ,

lost. Dies zeigen wir nun per vollstandiger Induktion uber r. Fur r = 0 gibt es nur

einen Knoten (s = 1). Polynome vom Grad r = 0 sind konstant, so dass genau ein

Funktionswert das Polynom eindeutig bestimmt. Somit ist die Aussage fur r = 0

trivialerweise erfullt. Sei die Behauptung fur r − 1 bereits gezeigt. Der Induktions-

schritt lautet wie folgt.

(a) Aufgrund der Invarianz unter affin-linearer Transformation konnen wir anneh-

men, dass die Punkte N1, . . . , Nr+1 auf der x-Achse liegen; Nj = (xj, 0). Hierzu

existiert ein eindeutiges eindimensionales Polynom q vom Grad r mit

q1(xi) = wi fur i = 1, . . . , r + 1 .

Nach Induktionsannahme existiert ein eindeutiges Polynom q2 ∈ Pr−1 mit

q2(Nj) = (wj − q1(xj))/yj fur j = r + 2, . . . , s .

Nun setzen wir

v(x, y) = q1(x) + yq2(x, y) .

5.6 Basis-Darstellungen 67

Abbildung 5.4: Lagrange Basisfunktion von P1 Finiten Elementen zum Knoten Ni.

Offensichtlich gilt fur i = 1, . . . , r + 1: v(Ni) = q1(xi) = wi und v(Nj) = q1(xj) +

yjq2(xj, yj) = wj fur j = r + 2, . . . , s.

(b) Zum Nachweis der Eindeutigkeit setzen wir w1 = . . . = ws = 0. Im ersten

Beweisteil folgt dann q1 ≡ 0 und q2 ≡ 0 lt. Induktionsannahme, also v ≡ 0.

Die Lagrange Finite-Elemente Basis besteht aus den Finite-Elemente-Funktionen

φi zu den Knotenfunktionalen χi. Diese sind eindeutig definiert durch die Kronecker-

symbole

φi(Nj) = δij .

Fur P1-Elemente ist eine solche Basisfunktion in Abb. 5.4 gezeigt. Die Eindeutig-

keit ist eine direkte Folgerung der Unisolvenz. Sieht man von Randbedingungen

ab, besteht die Basis fur P1-Elemente auf Dreiecksgittern also aus genauso vielen

Funktionen, wie es Anzahl Knoten im Gitter gibt. Bei zulassigen Vierecksgittern

(ohne hangende Knoten) ist dies fur Q1-Elemente ebenso der Fall. Bei quadrati-

schen Elementen (P2) kommt die Anzahl der Kanten hinzu. Bei bi-quadratischen

Elementen (Q2) korrespondiert die Anzahl von Freiheitsgraden n mit der Summe

aus der Anzahl von Gitterknoten, Kanten und Elementen.

Wir mussen uns aber noch uberlegen, dass die Funktionen der Form

uh(x, y) =n∑i=1

φi(x, y)ui

global stetig sind. Jeder Dreiecks-Kante sind genau r + 1 Knotenfunktionale zu-

geordnet. Die Einschrankung von uh auf eine Kante entspricht nach Koordinaten-

transformation einem eindimensionalen Polynom vom Grad ≤ r (siehe spater) und

ist damit eindeutig. Die r + 1 Knotenfunktionale werden von der Finite Elemente

Funktion von beiden angrenzenden Elementen interpoliert. Somit sind die beiden

Polynome auf der Kante identisch, und damit uh ∈ C(Ω).

Im Fall von bilinearen Elementen auf Vierecksgittern identifiziert man die Basis-

funktionen mit den vier Ecken. Im Fall von biquadratischen Elementen kommen die


vier Kanten und die Elementmittelpunkte hinzu. Bikubische Elemente erhalt man

bei r = 3. Einen noch hoheren Polynomgrad zu nehmen ist nur in Ausnahmefallen

sinnvoll, da dies eine zu hohe Glattheit der Losung voraussetzen wurde, um eine

entsprechend gute Approximationsgute zu erzielen.

5.7 Transformationen und geometrische Eigenschaf-

ten

Um ein Dreieck in einer beliebigen Orientierung, Drehung und Skalierung zu be-

schreiben, bedient man sich einer affin linearen Transformation. Wir bezeichnen die

affin lineare Transformation vom Referenzdreieck T mit den Knoten ξ1 = (0, 0),

ξ2 = (1, 0) und ξ3 = (0, 1) auf ein Element T ∈ T (siehe Abb. 5.5) mit

ΦT : T → T , x 7→ ΦT (x) = x .

Auf Dreiecken genugt eine affin-lineare Transformation, um jedes beliebige Dreieck

aus dem Referenzdreieck zu erhalten. Eine solche Transformation ist also ebenfalls

ein Element in P 21 . Auf Dreiecken ist insbesondere zu bemerken, dass eine solche

Transformation ein Polynom u vom Grad ≤ r wieder auf ein Polynom u = u Φ−1T vom Grad ≤ r abbildet (r ≥ 1). Insofern ist die Forderung u|T ∈ Pr mit

(u ΦT )|T ∈ Pr aquivalent. Man sagt daher auch, dass Pr invariant ist unter affin-

linearer Transformation.

Lemma 5.23 Eine Finite-Elemente Funktion uh ∈ Pr(T ) eingeschrankt auf eine

Kante eines Dreieckselementes T ∈ T laßt sich darstellen als ist ein eindimensio-

nales Polynom.

Beweis. Zunachst vergewissere man sich, dass die sich P1-Lagrange-Basispolynome

auf dem Referenzelement T eingeschrankt auf jeweils eine der drei Kanten von T

Φ Τ

ΤΤ

Abbildung 5.5: Transformation ΦT vom Referenzelement T auf das Element T .

5.7 Transformationen und geometrische Eigenschaften 69

ρT

T

h T

ρT

h T

Abbildung 5.6: Innenkreisradius ρT und Umkreisradius hT eines Dreieckselements

(links) und eines Viereckselements (rechts).

als Polynome in einer Variablen darstellen lassen. Sei nun uh ∈ P1(T ) gegeben. Die

Darstellung auf dem Referenzelement uh := uh ΦT ist ein Polynom vom Grad r.

Sei e = Φ−1T e die entsprechende Kante auf dem Referenzdreieck zur Kante e von T .

Dann ist uh|e ein eindimensionales Polynom vom Grad r, also fur (x, y) ∈ e:

u(x, y) = q(ξ)

mit ξ = ξ(x, y) = αx+ βy. Also ist ξ ∈ P1. Dann gilt fur (x, y) ∈ e:

uh(x, y) = (uh Φ−1T )(x, y) = (q ξ Φ−1

T )(x, y)

= q((ξ Φ−1T )(x, y)) .

Also ist auf der Kante e die Funktion uh ein Polynom vom Grad r in der ein-dimen-

sionalen Variable (ξ Φ−1T )(x, y).

Fur Viereckselemente kann die Transformation vom Referenzelement (hier be-

zeichnet mit K) in verschiedener Art und Weise erfolgen. Lasst man nur lineare

Transformationen zu

ΦK : K → K

also ΦK ∈ P 21 , so erhalt man nur Parallelogramme fur K. Im Fall einer bilinea-

ren Transformationen, also ΦK ∈ Q21 fur r = 1, so erhalt man beliebig verzerrte

Viereckseckselemente mit geraden Kanten. Fur krummlinige Kanten mussen Trans-

formationen ΦK ∈ Qd2 gewahlt werden. Man spricht von isoparametrischen Transfor-

mationen, wenn die Transformationen vom gleichen Typ ist, wie die Finite Elemente

Funktionen.

Bei einem Dreieckselement T bezeichnet man mit hT seinen Umkreisradius, und

%T seinen Innenkreisradius, vgl. Abb 5.6. Das Verhaltnis von Umkreis- und Innen-


kreisradius ist ein Mass fur die Anisotropie eines Elementes

κT =hTρT

.

Bei Dreieckselementen fuhrt eine große Anisotropie κT zu spitzen Winkeln. Dies hat

einen Einfluss im Hinblick auf die Approximationseigenschaften. Bei Vierecksele-

menten muss eine große Anisotropie hingegen nicht auf spitze Winkel fuhren; man

denke z.B. an Rechtecke.

5.8 Randbedingungen

Nun mussen wir uns noch daruber Gedanken machen, wie wir Randbedingungen in

der FE Diskretisierung berucksichtigen.

5.8.1 Homogene Dirichletbedingungen

Im Fall von homogenen Dirichletbedingungen, V0 := H10 (Ω),

u ∈ V0 : (∇u,∇v)L2(Ω) = 〈f, v〉 ∀v ∈ V0 ,

werden alle diskreten Freiheitsgrade, die zu Beitragen auf dem Rand ∂Ω fuhren,

ebenso aus dem diskreten Raum Vh eliminiert. Insofern lautet der P1-Finite Elemente

Raum

Vh := u ∈ C0(Ω) : u|T ∈ Pr ∀T ∈ Th ,

und das diskrete Problem dann

uh ∈ Vh : (∇uh,∇v)L2(Ω) = 〈f, v〉 ∀v ∈ Vh .

5.8.2 Inhomogene Dirichletbedingungen

Damit ein Problem mit inhomogene Dirichletbedingungen wohlgestellt ist, muß man

sich auf eine gewisse Klasse von Randdaten beschranken. In der folgenden Definition

bezeichnet γ : H1(Ω)→ L2(Γ) den stetige Spuroperator aus Satz 5.10.

Definition 5.24 Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit stuckweise stetigem Rand

Γ := ∂Ω, das einer inneren Kegelbedingung genugt. Dann ist H1/2(Γ) := γ(H1(Ω)) ⊂L2(Γ) der Raum, der sich durch die Spur der H1-Funktionen auf den Rand ergibt.

5.8 Randbedingungen 71

Die variationelle Formulierung mit inhomogenen Dirichletbedingungen bedient

sich des Raumes

Vg := v ∈ H1(Ω) : v|∂Ω = g

mit einer gegebenen Funktion g ∈ H1/2(∂Ω) und lautet

u ∈ Vg : (∇u,∇v)L2(Ω) = 〈f, v〉 ∀v ∈ V0 .

Der diskrete Raum Vh ist identisch mit dem fur homogene Dirichletbedingungen

aber die rechte Seite f wird modifiziert zu f ∈ V ′ mittels

〈f , v〉 := 〈f, v〉 − (∇g,∇v)L2(Ω)

mit einer beliebigen Fortsetzung g ∈ Vg. Nun verwenden wir die Losung u ∈ V0 der

variationellen Formulierung mit homogenen Dirichletbedingungen

(∇u,∇v)L2(Ω) = 〈f , v〉 ∀v ∈ V0 ,

um hieraus mittels u := u + g ∈ Vg die Losung des Problems mit inhomogenen

Dirichletbedingungen zu ermitteln.

5.8.3 Neumann-Bedingungen

Im Fall, dass auf einem Teil des Randes ΓN ⊂ ∂Ω homogene Neumann-Bedingungen

gestellt werden und am verbleibenden Teil ΓD = ∂Ω \ ΓN Dirichlet Werte, so lautet

die starke Formulierung

−∆u = f in Ω ,∂u

∂n= gN auf ΓN ,

u = gD auf ΓD ,

mit gegebenen gN ∈ L2(ΓN) und gD ∈ L2(ΓD). Nach partieller Integration gilt nun

fur v ∈ VΓD,0 := v ∈ H1(Ω) : v|ΓD = 0

(−∆u, v)L2(Ω) = (∇u,∇v)L2(Ω) − (∇u · n, v)L2(∂Ω)

= (∇u,∇v)L2(Ω) − (∇u · n, v)L2(ΓN ) .

Somit lautet die variationelle Formulierung nun:

u ∈ VΓD,0 : (∇u,∇v)L2(Ω) = 〈f , v〉 ∀v ∈ VΓD,0 ,


mit

〈f , v〉 := 〈f, v〉 − (∇gD,∇v)L2(Ω) + (gN , v)L2(ΓN ) .

u := u+gD ist nun die gesuchte Losung. Insgesamt ist also zu bemerken, dass man in

der Bilinearform A(·, ·) lediglich die (homogenen) Dirichletbedingungen berucksich-

tigen muss. Inhomogene Dirichletwerte, sowie Neumann-Daten gehen in die rechte

Seite f ein.

5.9 M-Matrizen

Definition 5.25 Eine quadratische Matrix A = (aij) ∈ Rn×n heißt M-Matrix,1

wenn alle Nebendiagonalelemente nicht-positiv sind (also aij ≤ 0 fur i 6= j), sie

regular ist und A−1 ≥ 0 (komponenten-weise),

Lemma 5.26 Sei A = (aij) ∈ Rn×n mit folgenden Eigenschaften:

(a) erweitert diagonal-dominant, d.h.

|aii| ≥∑j 6=i

|aij| ∀i ∈ 1, . . . , n

|aii| >∑j 6=i

|aij| fur mindestens ein i ∈ 1, . . . , n .

(b) irreduzibel, d.h. es existiert keine Permutationsmatrix P , so dass P TAP eine

Block-Dreiecksmatrix der folgenden Gestalt ist(A11 A12

0 A22

),

mit quadratischen Matrizen A11, A22,

(c) vom nicht-negativen Typ, , d.h. alle Nebendiagonalelemente sind nicht-positiv

und die Diagonalelemente sind positiv.

Dann ist A eine M-Matrix.

Bei irreduziblen Matrizen konnen zugehorige Gleichungssysteme nicht auf die suk-

zessive Losung von kleineren Systemen zuruckgefuhrt werden.

1M-Matrix benannt nach dem Anfangsbuchstaben des deutschen Mathematikers Hermann Min-

kowski, 1864-1909.

5.9 M-Matrizen 73

Beweis. Man kann zeigen, dass quadratische Matrix A = (aij) ∈ Rn×n bereits

dann regular sind, wenn sie irreduzibel und erweitert diagonal-dominant sind (siehe

[10]). Also existiert A−1. Wir schreiben die Matrix in der Form A = D + L +

R, mit einer Diagonalmatrix D, einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen

Dreiecksmatrix R. Da A von nicht-negativem Typ ist, gilt D > 0, L,R ≤ 0. Folglich

ist auch J := −D−1(L + R) ≥ 0 und damit auch jede Potenz Jk ≥ 0. Fur die

Zeilensummennorm || · ||∞ gilt aufgrund der erweiterten Diagonal-dominanz zunachst

nur ||J ||∞ = maxi a−1ii

∑j 6=i |aij| ≤ 1. Mit einer gewichteten Zeilensummennorm || · ||′∞

erreicht man aber ||J ||′∞ < 1. Daher konvergiert die Neumann-Reihe von J und es

folgt:

A−1D = (D−1A)−1 = (I +D−1(L+R))−1 = (I − J)−1

=∞∑k=0

Jk ≥ 0 .

Also ist A−1D ≥ 0. Da D > 0, folgt A−1 ≥ 0.

Eine unmittelbare Folgerung aus der M-Matrix Eigenschaft einer Matrix A ist

die diskrete inverse Monotonieeigenschaft der Losung x von Ax = b:

b ≤ 0 ⇒ x ≤ 0 .

5.9.1 M-Matrix-Eigenschaft fur Laplace

Wir wissen bereits, dass fur Indizes i 6= j, die nicht zu einem gemeinsamen Dreieck T

gehoren, der entsprechende Eintrag αij in der Steifigkeitsmatrix verschwindet, da der

Durchschnitt der Trager der Lagrange-Basis-Funktionen ψi und ψj eine Lebesgue-

Nullmenge ist. Daher betrachten wir nun Indizes i 6= j, die zu einem gleichen Dreieck

T der Triangulierung gehoren. Der Winkel αT,i,j sei derjenige, der duch die beiden

Kanten aufgespannt wird, die nicht beide Knoten xi und xj als Endpunkte besitzen,

siehe Abb. 5.7.

Lemma 5.27 Wir betrachten die Lagrange-Basis ψ1, . . . , ψN von P1-Elementen.

Fur Indizes i 6= j, die zu einem gleichen Dreieck T der Triangulierung gehoren, und

dem Winkel αT,i,j zwischen den beiden Seiten gilt:∫T

∇ψj∇ψi dx = −||∇ψi||L2(T )||∇ψj||L2(T ) cosαT,i,j .

Insbesondere ist die linke Seite nicht-positiv, wenn −π/2 ≤ αT,i,j ≤ π/2.


i

j

x

x

αTT,i,j

Abbildung 5.7: Bezeichnungen fur den Beweis der M-Matrix-Eigenschaft.

Beweis. Die Gradienten ∇ψj und ∇ψi sind fur P1-Elemente auf T konstant. Sei

ni die Kantennormale zur Kante von T , die nicht den Punkt xi enthalt. Dann gilt

∇ψi = −||∇ψi||L2(T ) · nTi |T |−1/2 ,

und entsprechend ∇ψj = −||∇ψj||L2(T ) · nTj |T |−1/2. Es folgt∫T

∇ψj∇ψi dx = ||∇ψi||L2(T )||∇ψj||L2(T )〈nj, ni〉 .

Die Behauptung ergibt sich nun aus 〈nj, ni〉 = cos(π − αT,i,j) = cos(αT,i,j − π) =

− cos(αT,i,j).

Aufgrund dieser Ergebnisses werden wir nun Triangulierungen betrachten, bei denen

die auftretenden Winkel spitzwinklig (engl. acute) sind. Die liefert uns dann die

inverse Monotonie auch im Diskreten.

Definition 5.28 Eine Triangulierung Th eines Gebietes Ω ⊂ R2 heißt weakly acute

(schwach spitzwinklig), wenn alle auftretenden Winkel in den Elementen ≤ π/2 sind.

Satz 5.29 Die Diskretisierung von −∆ mit P1-Finite Elementen auf einer Triangu-

lierung Th, die weakly acute ist und bei dem jedes Element mindestens einen Knoten

besitzt, der nicht auf ∂Ω liegt, fuhrt auf eine M-Matrix und somit auf einen diskreten

invers-monotonen Operator.

Beweis. Wir zeigen, dass die Steifigkeitsmatrix A irreduzibel, erweitert diagonal-

dominant und vom nicht-negativen Typ ist. Mit Lemma 5.26 folgt dann die M-

Matrix Eigenschaft.

(a) Die Irreduzibilitat von A ergibt sich aus der Bedingung, dass jedes Element der

Triangulierung einen Knoten besitzt, der einen inneren Punkt darstellt, und dem

5.9 M-Matrizen 75

Zusammenhang von Ω.

(b) Durch das vorherige Lemma ist offensichtlich, dass die Steifigkeitsmatrix vom

nicht-negativen Typ ist.

(c) Es bleibt die erweiterte Diagonal-Dominanz zu zeigen. Hierzu bezeichnen wir mit

ψj : j = 1, . . . , N die Lagrange-Knotenbasis und ω := suppψi. Wir unterscheiden

drei Falle von Knotenindizes:

Fall 1: Sei i ein Knotenindex i zu einem inneren Knoten, derart dass auch alle

Elemente, die diesen Knoten enthalten keinen Randknoten besitzen. Dann gilt fur

ϕ :=∑N

j=1 ψj, ϕ|ω = 1. Damit folgt fur den Vektor e = (1, . . . , 1)T :

N∑j=1

aij = (Ae)i =

(∇

N∑j=1

ψj,∇ψi

)L2(Ω)

= (∇ϕ,∇ψi)L2(ω) = 0 .

Fall 2: Sei nun i ein Knotenindex zu einem Randdreieck. Seien N + 1, . . . , N + r

die Knotenindizes zu den Randknoten, die in ω liegen. Dann gilt fur x ∈ ω unter

Hinzunahme der Testfunktionen zu den Randknoten:

N+r∑j=1

ψj(x) = 1 .

Daher folgt mit dem vorherigen Lemma:

N∑j=1

aij = (Ae)i =

(∇

N∑j=1

ψj,∇ψi

)L2(Ω)

= −

(∇

N+r∑j=N+1

ψj,∇ψi

)L2(Ω)

= −N+r∑j=N+1

(∇ψj,∇ψi)L2(Ω) = −N+r∑j=N+1

aij ≥ 0 .

Fall 3: Nun betrachten wir ein Dreieck T , mit einer Kante auf dem Rand ∂Ω und

einem Eckpunkt xi ∈ Ω. In diesem (wie auch in jedem anderen) Element kann

maximal ein Winkel von π/2 auftreten. Somit folgt hier nicht nur (Ae)i ≥ 0 sondern

sogar (Ae)i > 0 fur ein entsprechendes j.

Aus diesen drei Fallen folgt, dass ist die Matrix A erweitert diagonal dominant ist.

Kapitel 6

Fehlerabschatzungen und

Adaptivitat

6.1 Bramble-Hilbert Lemma

Analog zum 1-dimensionalen Fall erhalten wir im Fall des elliptischen mehrdimen-

sionalen Problems (5.1) durch eine konforme FE Methode eine optimale a priori

Abschatzung in der zugehorigen H10 -Norm (auch “Energie-Norm” genannt).

Korollar 6.1 Auf beschrankten Gebieten Ω liefert eine Diskretisierung mit Pr- oder

Qr-Elemente, r ≥ 1, auf zulassigen Gittern zu gegebenem f ∈ H1(Ω)′ eine eindeutig

definierte Losung des diskreten Problems im Finite Elemente Raum Vh

uh ∈ Vh : (∇uh,∇v)L2(Ω) = 〈f, v〉 ∀v ∈ Vh .

Fur den Diskretisierungsfehler gilt

||u− uh||H1(Ω) = infvh∈Vh

||u− vh||H1(Ω) .

Beweis. Wir erinnern daran, dass die Konstanten fur die Beschranktheit und der

Elliptizitat fur diese Bilinearform gerade 1 sind, α1 = α2 = 1. Die Behauptung folgt

dann aus dem Satz von Riesz 3.9 und Cea’s Lemma 4.3.

Nun mussen wir uns also Gedanken machen, wie groß der Approximationsfehler auf

der rechten Seite tatsachlich ist. Insbesondere fragen wir uns nach der Asymptotik

in Bezug auf die (maximale) Gitterweite h der zugehorigen Triangulierung Th. Dazu

benotigen wir zunachst ein paar Hilfsresultate.

78 M. Braack Fehlerabschatzungen und Adaptivitat

Satz 6.2 (Sobolev’scher Einbettungssatz) Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Ge-

biet, das einer inneren Kegelbedingung genugt, und seien k,m ∈ N0 mit m < k−d/2.

Dann ist die Einbettung Hk(Ω) ⊆ Cm(Ω) stetig. Insbesondere gilt fur Multiindizes

|α| ≤ m:

||Dαu||L∞(Ω) ≤ C||u||Hk(Ω) ∀u ∈ Hk(Ω) .

Die Einbettung ist zu verstehen in dem Sinne, dass es einen entsprechenden Re-

prasentanten gibt.

Beweis. Siehe ...

Lemma 6.3 Sei T ⊂ Rd ein Lipschitz-Gebiet und k > d/2. Jede Funktion v ∈Hk(T ) mit |v|Hk(T ) = 0, ist f.u. identisch mit einem Polynom in Pk−1(T ).

Beweis. Nach der Voraussetzung gilt fur einen beliebigen Multiindex α ∈ Nd0 mit

|α| ≥ k, dass die entsprechende L2(T )-Norm von Dαv verschwindet, ||Dαv||L2(T ) = 0.

Also ist Dαv ∈ L2(T ), bzw.

v ∈∞⋂j=0

Hj(T ) .

Nach dem Sobolev’schen Einbettungssatz 6.2 gilt dann auch v ∈ Cm(T ) fur beliebi-

ges m ∈ N. Alles weitere geschieht per Induktion uber m mittels “klassischer” Argu-

mente. Induktionsverankerung: Im Fall ||∇v||L2(T ) = 0 folgt ∇v ≡ 0, bzw. v ≡ const.

Induktionsschritt: Es gelte Dαv = 0 fur |α| ≤ k. Dann ist nach Induktionsannahme

jede Komponente von ∇v ein Polynom vom Grad k − 2. Folglich ist v ein Polynom

vom Grad k − 1.

Der folgende Hilfsatz beschrankt sich auf den zweidimensionalen Fall.

Lemma 6.4 Sei T ⊂ R2 ein Lipschitz-Gebiet und m ≥ 2. Ferner seien s :=

m(m + 1)/2 paarweise verschiedene Punke z1, . . . , zs ∈ T derart gegeben, dass die

Interpolation auf Polynome vom Grad m − 1 eindeutig definiert ist. Dann ist die

Hm(T )-Norm aquivalent zur Norm

|||v||| := |v|Hm(T ) +s∑j=1

|v(zj)| . (6.1)

Beweis. (a) Die Norm ||| · ||| laßt sich durch die Hm(T )-Norm beschranken: Die

Einbettung Hm(T ) ⊂ C(T ) ist nach dem Sobolev’schen Einbettungssatz 5.14 stetig.

Folglich gilt

|v(z)| ≤ c||v||Hm(T ) ∀z ∈ T ,

6.1 Bramble-Hilbert Lemma 79

also insbesondere fur die z = zj. Hieraus folgt die Behauptung von Teil (a).

(b) Die Hm(T )-Norm laßt sich durch ||| · |||-Norm beschranken:

||v||Hm(T ) ≤ c|||v||| ∀v ∈ Hm(T ) .

Angenommen diese Beschrankung gelte nicht. Dann existiert eine Folge (vn)n∈N in

Hm(T ) mit ||vn||Hm(T ) = 1 und

limn→∞

|||vn||| = 0 .

Da diese Folge in Hm(T ) beschrankt ist und nach dem Relichschen Auswahlsatz 5.15

Hm(T ) in Hm−1(T ) kompakt eingebettet ist, muss diese Folge in Hm−1(T ) eine

konvergente Teilfolge (vnk)k∈N besitzen. Wir bezeichnen ihren Grenzwert mit v∗ ∈Hm−1(T ). Nun ist diese Teilfolge aber auch eine Cauchyfolge in Hm(T ), denn

||vnk − vnl ||2Hm(T ) ≤ ||vnk − vnl ||2Hm−1(T ) + |vnk − vnl |2Hm(T )

≤ ||vnk − vnl ||2Hm−1(T ) + |||vnk − vnl |||2

→ 0 (nk, nl → 0) .

Demzufolge gilt sogar v∗ ∈ Hm(T ) mit Hm-Norm

||v∗||Hm(T ) = limk→∞||vnk ||Hm(T ) = 1 .

Andererseits gilt

|v∗|Hm(T ) ≤ |||v∗||| = limk→∞|||vnk ||| = 0 .

Hierbei nutzen wir die Tatsache, dass ||| · ||| stetig ist bzgl. Hm(T ), was gerade dem

Beweisteil (a) entspricht. Demzufolge muss v∗ in T ein Polynom vom Grad m − 1

sein, also v∗ ∈ Pm−1(T ). Da aber auch v∗(zj) = 0 fur 1 ≤ j ≤ s, folgt v∗ = 0. Dies

ist ein Widerspruch zu ||v∗||Hm(T ) = 1.

Lemma 6.5 Sei T ⊂ R2 ein Lipschitz-Gebiet, m ≥ 2 und Im−1 : Hm(T ) → Pm−1

die Knoteninterpolierende, die durch Interpolation an s := m(m + 1)/2 paarweise

verschiedenen Punken z1, . . . , zs ∈ T wohldefiniert ist. Dann existiert eine Konstante

c = c(T, z1, . . . , zs) mit

||u− Im−1u||Hm(T ) ≤ c|u|Hm(T ) ∀u ∈ Hm(T ) .


Beweis. Nach dem vorherigen Lemma ist die Hm(T )-Norm aquivalent zur ||| · |||-Norm aus (6.1). Wegen der Eigenschaft u(zj) = Iu(zj) fur j = 1, . . . , s folgt nun fur

u ∈ Hm(T )

||u− Im−1u||Hm(T ) ≤ c|||u− Im−1u||| = c|u− Im−1u|Hm(T )

≤ c|u|Hm(T ) + c|Im−1u|Hm(T )

Da Im−1u ∈ Pm−1 gilt, ist |Im−1u|Hm(T ) = 0, wodurch wir die Behauptung erhalten.

Sind E,F zwei normierte Raume und Φ ∈ L(E,F ), so lasst sich die Bilden von Φ in

der F -Norm durch die Norm des Urbildes in E nach oben beschranken. Insbesondere

gilt also fur den Sobolev-Raum E = Hm(T ):

||Φv||F ≤ c||v||Hm(T ) ∀v ∈ Hm(T ) .

Das nachfolgende Lemma verscharft diese Aussage nun dahingehend, dass (unter ge-

wissen Voraussetzungen an Φ) auf der rechten Seite nur die Hm-Halbnorm auftreten

muss.

Lemma 6.6 (Bramble-Hilbert1-Lemma) Sei T ⊂ Rd ein LipschitzGebiet. Fer-

ner sei F ein normierter Raum, m > d/2 und Φ ∈ L(Hm(T ), F ) (also Φ : Hm(T )→F linear und stetig) derart, dass

Pm−1(T ) ⊂ Ker(Φ) .

Dann gilt mit einer Konstanten c = c(T, ||Φ||Hm(T );F )

||Φv||F ≤ c|v|Hm(T ) ∀v ∈ Hm(T ) .

Beweis. Sei v ∈ Hm(T ) und v = Im−1v ∈ Pm−1(T ) die Knoten-Interpolierende

gemaß des vorherigen Lemmas. Dann gilt aufgrund der Voraussetzung Φv = 0. Somit

erhalten wir:

||Φv||F = ||Φ(v − v)||F ≤ ||Φ||Hm(T );F ||v − v||Hm(T ) .

Da außerdem aufgrund des vorherigen Lemmas ||v − v||Hm(T ) ≤ c|v|Hm(T ) gilt, folgt

die Behauptung.

Korollar 6.7 Fur die Knoteninterpolation Ir : C(T )→ Pr(T ) auf dem Referenzele-

ment T mit Polynomen vom Grad r > d/2− 1 gilt mit einer Konstanten c = c(T, r)

||v − Irv||L∞(T ) ≤ c|v|Hr+1(T ) ∀v ∈ Hr+1(T ) .

Beweis. Folgt direkt aus dem Bramble-Hilbert-Lemma mit Φv := v − Irv und

m = r + 1.

6.2 Interpolationsabschatzung 81

6.2 Interpolationsabschatzung

Eine affin-lineare Transformation vom Referenzelement T ⊂ Rd auf T ⊂ Rd, also

ΦT ∈ P1(T )d, laßt sich darstellen in der Form

ΦT x = x0 +BT x .

Wenn diese Transformation nicht entartet ist, so ist B eine regulare Matrix, also

B ∈ GL(d,R).

Bemerkung 6.8 Wie man sich schnell uberlegt gilt fur die Spektralnorm || · ||2 der

Transformations-Matrix

||BT ||2 ≤hTρT

und ||B−1T ||2 ≤

hTρT

.

Lemma 6.9 (Transformationsformel) Sei ΦT : T → T eine affin-lineare Trans-

formation vom Referenzelement T ⊂ Rd auf T ⊂ Rd. Fur v ∈ Hm(T ) ist dann

v = v ΦT ∈ Hm(T ) und es gilt

|v|Hm(T ) ≤ ||BT ||m2 | det(BT )|−1/2|v|Hm(T ) .

Beweis. Fur eine partielle Ableitung gilt an der Stelle x = ΦT x

∂v(x)

∂xi=

∂(v ΦT )(x)

∂xi=

d∑j=1

∂v(x)

∂xj

∂(ΦT )j∂xi

(x) = (BT∇v(x))i

Daher erhalten wir die obere Schranke

||∇v(x)||2 ≤ ||BT ||2||∇v(x)||2 .

Induktiv erhalten wir fur Ableitungen der Ordnung m:∑|α|=m

|∂αv(x)|21/2

≤ ||BT ||m2( ∑|α|=m

|∂αv(x)|2)1/2

.

Somit ergibt sich als obere Schranke fur die Halbnorm:

|v|2Hm(T )

=

∫T

∑|α|=m

|∂αv(x)|2 dx

≤ ||BT ||2m2∫T

∑|α|=m

|∂αv(ΦT x)|2dx .


Mittels Transformationsformel gilt fur das hier auftretende Integral (dx/dx = |detDΦT |)∫T

∑|α|=m

|∂αv(ΦT x)|2dx =

∫T

∑|α|=m

|∂αv(x)|2| detDΦT |−1 dx

= | detBT |−1|v|2Hm(T ) .

Die Behauptung erhalten wir nun indem wir dies in die vorherige Ungleichung ein-

setzen und auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen.

Wir benutzen im Folgenden die gebrochene Hm-Norm:

||v||Hm(Th) :=

(∑T∈Th

||v||2Hm(T )

)1/2

Im Fall von v ∈ Hm(Ω) gilt ||v||Hm(Th) = ||v||Hm(Ω). Daruberhinaus ist diese gebro-

chene Norm aber auch auf Finite Elemente Funktionen anwendbar, was || · ||Hm(Ω)

fur m ≥ 2 i.a. nicht ist.

Satz 6.10 (Interpolationsfehler) Sei T eine zulassige Triangulierung von Ω ⊂Rd durch Simplices. Dann gilt fur die Finite Elemente Knoten-Interpolation mit

Pr-Elementen, r ≥ d/2− 1, und 0 ≤ m ≤ r + 1:

||v − Ihv||2Hm(Th) ≤ c||hr+1−mv||2Hr+1(Th) ∀v ∈ Hr+1(Ω) ,

wobei c = c(r, κ) eine Konstante ist, die insbesondere von der maximalen Element-

Anisotropie κ abhangt aber nicht von der Gitterweite h = maxhT : T ∈ T .

Die rechte Seite in dieser Interpolationsabschatzung lautet ausgeschrieben:∑T∈Th

h2(r+1−m)T |v|2Hr+1(T )

Beweis. Es genugt fur jedes Element T ∈ T die Abschatzung

||v − Ihv||Hm(T ) ≤ chr+1−mT |v|Hr+1(T ) ∀v ∈ Hr+1(T ) (6.2)

zu zeigen. Wir verwenden zunachst fur 0 ≤ l ≤ m die Transformationsformel von

Lemma 6.9 in umgekehrter Richtung und wenden Lemma 6.5 an (c = c(l, r))

|v − Ihv|Hl(T ) ≤ c||B−1T ||

l2| det(BT )|1/2|v − Iv|Hl(T )

≤ c||B−1T ||

l2| det(BT )|1/2|v|Hr+1(T ) .

6.3 Folgen von Triangulierungen 83

Nochmaliges Anwenden der Transformationsformel von Lemma 6.9 ergibt

|v|Hr+1(T ) ≤ c||BT ||r+12 | det(BT )|−1/2|v|Hr+1(T ) .

Setzen wir dies ein, so erhalten wir

|v − Ihv|Hl(T ) ≤ c||B−1T ||

l2||BT ||r+1

2 |v|Hr+1(T ) .

Weiterhin gilt mit Bemerkung 6.8 und einer Konstanten c = c(m)

||B−1T ||

l2||BT ||r+1

2 ≤(hTρT

)l(hTρT

)r+1

≤ cκlThr+1−lT .

Somit ergibt sich insgesamt

|v − Ihv|Hl(T ) ≤ cκlThr+1−lT |v|Hr+1(T ) .

Hieraus erhalten wir nun direkt (6.2).

Bemerkung 6.11 Die gleiche Abschatzung gilt fur Qr-Elemente bei der Verwen-

dung von affin-linearen Transformationen, also auf Parallelogramm-Gittern.

6.3 Folgen von Triangulierungen

In der Praxis verwendet man haufig eine Folge von Gittern, um die Losung sukzessive

besser zu approximieren. Eine solche Folge von Gittern kann beispielsweise aus lokal

verfeinerten Gittern bestehen mit einem großen Unterschied zwischen den kleinsten

und großen Gitterzellen, oder aber aus uniformen Gittern, bei denen alle Elemente

eine vergleichbare Große haben. Aber auch fur theoretische Betrachtungen wie z.B.

Fehlerabschatzungen benotigt man Gitterfolgen.

Definition 6.12 Eine Folge von zulassigen Triangulierungen Th eines Gebiets

Ω ⊂ R2 heißt quasi-uniform (shape regular im Englischen), wenn eine Konstante

κ > 0 existiert, so dass fur jedes Element T ∈ Th einer beliebigen Triangulierung Thfur den Umkreisradius hT und den Innenkreisradius ρT dieser Folge gilt:

hT ≤ κρT .

Eine quasi-uniforme Folge heißt uniform, wenn sogar fur jede Triangulierung Th gilt:

maxK∈Th

hK ≤ κρT ∀T ∈ Th .


Bei einer quasi-uniformen Triangulierung stehen also Um- und Innenradien in einem

gewissen Maximalverhaltnis. Insbesondere ist ausgeschlossen, dass die Zellen auf fei-

neren Gittern entarten. Die Anisotropieverhaltnisse sind also beschrankt, aber die

Gitterzellen konnen sehr wohl vollkommen unterschiedliche Umkreisradien besitzen.

Bei uniformen Gittern muss zudem gewahrleistet sein, dass das Verhaltnis von ma-

ximalen Umkreisradius und minimalem Innenkreisradius beschrankt bleibt:

maxK∈Th hKminK∈Th ρK

≤ κ.

Auf quasi-uniformen Triangulierungen ist κT im Beweis von Satz 6.10 nach oben

unabhangig von der speziellen Triangulierung Th beschrankt. Somit ist die Konstante

in der oberen Schranke vom Satz 6.10 in diesem Fall unabhangig von der speziellen

Triangulierung T ∈ Th.Auf uniformen Gittern erhalten wir unmittelbar.

Korollar 6.13 Sei Th eine Familie uniformer Triangulierungen von Ω ⊂ Rd.

Dann gilt fur die Finite Elemente Interpolation mit Pr-Elementen, r ≥ d/2−1, und

0 ≤ m ≤ r + 1:

||v − Ihv||Hm(Th) ≤ chr+1−m|v|Hr+1(Ω) ∀v ∈ Hr+1(Ω) ,

wobei h = maxT∈Th hT und c = c(r, κ).

Beweis. der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Satz 6.10.

6.4 A priori Fehlerabschatzung in der H1-Norm

Der folgende Satz gilt u.a fur Gebiete Ω mit einem C2-Rand, d.h. es existiert eine

Parameterisierung ϕ ∈ C2([0, 1), ∂Ω). ϕ ist bijektiv.

Satz 6.14 (kontinuierliche Stabilitat) Sei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, ein konvexes Ge-

biet oder ein Gebiet mit C2-Rand. Ferner sei V = H10 (Ω) und A : V × V → R

eine V -beschrankte und V -elliptische Bilinearform mit hinreichend glatten Koeffizi-

entenfunktionen. Dann existiert zu jedem f ∈ L2(Ω) eine Losung u ∈ H2(Ω) zum

zugehorigen Variationsproblem (5.3) mit

||u||H2(Ω) ≤ c||f ||L2(Ω) ,

mit einer Konstanten c = c(Ω, A).

6.5 A priori Abschatzung in der L2-Norm 85

Beweis. Wir geben hier nur die Beweisidee an. Zunachst zeigt man, dass ∆u ∈L2(Ω) und ||∆u||L2(Ω) = ||f ||L2(Ω). Anschliessend folgert man durch die Cauchy-

Schwarz’sche Ungleichung, dass alle zweiten Ableitungen L2-Funktionen sind sowie

||∂x∂yu||L2(Ω) ≤ c||f ||L2(Ω). Hieraus folgt u ∈ H2(Ω) und die gewunschte Abschatzung.

Gebiete mit einspringenden Ecken sind also durch diesen Satz nicht mit abgedeckt.

In der Tat ist die Losung dann i.a. nicht in H2(Ω).

Korollar 6.15 (a priori Abschatzung) Unter den Voraussetzungen von Satz 6.14

und zu Familien Th quasi-uniformer Triangulierungen von Ω ⊂ Rd gilt fur die Fi-

nite Elemente Losung uh des Poisson Problems (5.3) mit P1-Elementen sowie auf

Parallelogrammgittern und Q1-Elementen (c = c(Ω, κ))

||u− uh||H1(Ω) ≤ ch|u|H2(Ω) ≤ ch||f ||L2(Ω) .

Beweis. Nach Korollar 6.1 und unter Verwendung der Knoteninterpolierenden

Ihu und der zugehorigen Interpolationsabschatzung in Satz 6.10 mit m = r = 1

erhalten wir mit c = c(κ)

||u− uh||2H1(Ω) ≤ ||u− Iuh||2H1(Ω)

= ||u− Iuh||2L2(Ω) + |u− Iuh|2H1(Ω)

≤ (c2h4 + c2h2)|u|2H2(Ω) .

Durch das Ziehen der Wurzel erhalten wir demnach mit einer anderen Konstante

c > 0

||u− uh||H1(Ω) ≤ ch|u|H2(Ω) .

Die Stabilitatsabschatzung in Satz 6.14 liefert jetzt die Behauptung.

Nun stellt sich automatisch die Frage, ob die Verwendung von Elementen hoher-

er Ordnung, also etwa P2, auch zu einer besseren Abschatzung fuhrt. Die Ant-

wort ist (leider) nein, denn fur eine Konvergenzordnung O(h2) in der Energienorm

| · |H1(Ω) benotigt man H3-Regularitat der kontinuierlichen Losung u. Dies ist aber

nur bei glatten Randern der Fall, die man aber mit Dreieckselementen und einer

affin-linearen Transformation nicht triangulieren kann. Hierzu sind spezielle Rand-

approximationen notwendig. Dies wollen wir an dieser Stelle aber zuruckstellen.

6.5 A priori Abschatzung in der L2-Norm

Wenn man den Fehler in der L2-Norm schatzen mochte, kann man vermuten, dass die

Konvergenzordnung eine h Potenz besser ist, als in der H1-Norm. Die Begrundung


liegt in der korrespondieren Abschatzung fur den Interpolationsfehler. Dass dies in

der Tat der Fall ist, wollen wir jetzt mithilfe eines sogenannten Dualitatsarguments

beweisen. Hierzu druckt man die Norm aus durch die Norm des Dualraums.

Zu einer rechten Seite g ∈ V ′ sei nun zg die duale Losung des Problems

zg ∈ V : A(v, zg) = 〈g, v〉 ∀v ∈ V . (6.3)

Im Vergleich zum Ausgangsproblem sind hier Test- und Ansatzfunktionen in der

Bilinearform vertauscht. Im Fall des Poisson Problems erhalt man aufgrund der

Selbstadjungiertheit in diesem speziellen Fall ein variationelles Problem mit dersel-

ben Bilinearform.

Satz 6.16 (Aubin-Nitsche) Seien V,W Hilbertraume mit stetiger Einbettung V ⊆W . Ferner sei die Bilinearform A : V × V → R V -beschrankt. Dann gilt fur die

Finite Elemente Losung uh ∈ Vh ⊂ V von (5.3):

||u− uh||W ≤ α1 supg∈W ′,||g||W ′=1

infzh∈Vh

||zg − zh||V||u− uh||V ,

wobei zg die Losung des dualen Problems (6.3) und α1 die Beschranktheitskonstante

von A(·, ·) bzgl. der V -Norm ist.

Beweis. Sei S := g ∈ W ′, ||g||W ′ = 1. Dann gilt

||u− uh||W = supg∈S〈g, u− uh〉 .

Aufgrund der stetigen Einbettung V ⊂ W ist W ′ ⊂ V ′, also gilt insbesondere

fur g ∈ S auch g ∈ V ′, so dass g als rechte Seite im adjungierten Problem (6.3)

eingesetzt werden kann. Aufgrund der Galerkin-Orthogonalitat fur das adjungierte

Problem und der Beschranktheit der Bilinearform gilt ferner fur beliebiges zh ∈ Vh:

〈g, u− uh〉 = A(u− uh, zg) = A(u− uh, zg − zh)≤ α1||u− uh||V ||zg − zh||V .

Daher ergibt sich

||u− uh||W ≤ α1||u− uh||V supg∈B1(W ′)

||zg − zh||V ∀zh ∈ Vh .

Wir erhalten insbesondere fur den Fall des Poisson-Problems:

6.6 Clement Interpolation 87

Korollar 6.17 (A priori Abschatzung in L2) Sei Th eine Familie quasi-uni-

former Triangulierungen eines beschrankten Gebietes Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, das konvex

ist oder einen C2-Rand besitze. Dann gilt fur die P1 (oder Q1) Finite Elemente

Losung uh ∈ Vh ⊂ H10 (Ω) von (5.3):

||u− uh||L2(Ω) ≤ ch2||f ||L2(Ω) .

Beweis. In diesem Fall ist V := H10 (Ω) ⊂ W := L2(Ω) mit stetiger Einbettung.

Die Beschranktheitskonstante ist im Fall des Laplace-Operators gerade α1 = 1. Also

gilt nach Satz 6.16:

||u− uh||L2(Ω) ≤ supg∈L2(Ω),||g||=1

infzh∈Vh

||∇(zg − zh)||L2(Ω)

||∇(u− uh)||L2(Ω).

Das Korollar 6.15 angewendet auf das duale Problem mit rechter Seite g ∈ L2(Ω),

||g||L2(Ω) = 1, liefert die Schranke fur die Losung zg des dualen Problems (6.3):

||∇(zg − zh)||L2(Ω) ≤ ch .

Ein weiters Mal dieses Korollar angewendet auf das (primale) Ausgangsproblem

||∇(u− uh)||L2(Ω) ≤ ch||f ||L2(Ω) ,

liefert dann die Behauptung.

6.6 Clement Interpolation

Die bisher benutzten Projektionen (Knoteninterpolation und L2-Projektion) rei-

chen fur nachfolgende Betrachtungen nicht aus, denn die Knoteninterpolierende Ihu

benotigt zumindest H2(Ω)-Funktionen fur die Approximationsabschatzung und die

L2-Projektion ist ein nicht-lokaler Vorgang, so dass diese fur theoretische Analysen

nur auf uniformen Gittern angewendet werden sollte. Wir behandeln daher nun eine

lokale Interpolation, bei der lediglich H1-Regularitat ausreicht.

Der Operator von Clement bildet H1-Funktionen ab auf stetige P1-Elemente:

Ch : H1(Ω)→ P1(Th) .

Die Konstruktion lautet nun

Chv(x) :=N∑i=1

Π0i v · φi(x) ,


wobei φi die i-te P1 Lagrange-Basisfunktion und Π0i eine lokale L2-Projektion auf

Konstante ist, die folgendermaßen definiert ist: Zu jedem Gitterknoten Ni definieren

wir die Vereingung der angrenzenden Elemente

ωi :=⋃

T∈Th,Ni∈T

T .

Nun ist Π0i : L2(ωi)→ R die L2-Projektion auf die Konstanten. Diese erfullt insbe-

sondere ∫ωi

(v − Π0i v) dx = 0 ∀v ∈ L2(ωi) ,

sowie mit einer Konstanten C

||v − Π0i v||L2(ωi) ≤ Cdiam (ωi)||v||H1(ωi)

Auf quasi-uniformen 2-dimensionalen Gittern gilt mit einer Konstanten C = C(κ)

|ωT | ≤ C|T | ≤ Ch2T .

Satz 6.18 (Approximationseigenschaft des Clement-Operators) Sei Th ei-

ne quasi-uniforme Familie von Triangulierungen eines beschrankten Gebietes Ω ⊂R2. Dann ist der Operator nach Clement Ch wohldefiniert, linear und besitzt fol-

gende Eigenschaft: Es existiert eine Konstante C, so dass fur m ∈ 0, 1 und alle

v ∈ H1(Ω), sowie fur alle Elemente T ∈ Th und dessen Kanten e ∈ ET gilt:

||v − Chv||Hm(T ) ≤ Ch1−mT ||v||H1(ωT ) ,

||v − Chv||L2(e) ≤ Ch1/2T ||v||H1(ωT ) .

In dieser Interpolationsabschatzung tauchen Patche ωT zu dem jeweiligen Element

T ∈ Th auf. Dies ist die Vereingung der Elemente, die mindestens einen Eckpunkt

mit T gemeinsam haben (siehe auch Abb. 6.1):

ωT :=⋃

T ′∈Th,T∩T ′ 6=∅

T ′ =⋃Nj∈T

ωj .

Fur einen Beweis verweisen wir auf [5].

6.7 A posteriori Fehlerschatzung in der Energienorm 89

Abbildung 6.1: Der Patch ωT (gelb und rot) zum Element T (rot).

6.7 A posteriori Fehlerschatzung in der Energie-

norm

Nun wollen wir uns mit der sogenannten a posteriori Fehlerschatzung beschaftigen.

Hierunter versteht man Fehlerschatzer, die sich aufgrund der berechneten Losung

uh ∈ Vh berechnen lassen. Diese werden verwendet um einerseits obere Schranken

fur den aktuellen Diskretisierungsfehler zu erhalten, und andererseits, um lokale In-

formation des Fehlers zu ermitteln. Dies ist notwendig um Gitter lokal zu verfeinern.

Insbesondere bei Losung mit Singularitaten (z.B. einspringende Ecken im Gebiet)

und um Grenzschichten aufzulosen ist lokale Gitterverfeinerung mittels Adaptivitat

eine sehr effiziente Losungsmethode. Wir untersuchen dies wieder exemplarisch fur

das Poisson-Problem.

Unter den Zellresiduen bei dem Poisson-Problem verstehen wir die Große

ρT (uh) := ||∆uh + f ||L2(T ) .

Fur die exakte Losung u verschwinden diese Residuen, ρT (u) = 0. Fur P1 Elemente,

sowie fur Q1-Elemente auf Parallelogrammen sind diese sogar unabhangig von uh,

denn ∆uh|T = 0 also ρT (uh) = ||f ||L2(T ). Ferner verwenden wir die Sprungterme uber

innere Kanten e der Triangulierung, die zwei Elemente T1, T2 gemeinsam besitzen,

ρe(uh) := ||[∂uh/∂n]e||L2(e) ,

wobei

[∂uh∂n

]e

:=∂uh∂n

∣∣∣∣T1

− ∂uh∂n

∣∣∣∣T2

.

Diese verschwinden fur C1-Funktionen. Fur die diskrete Losung uh sind diese aber

i.a. nicht gleich Null. Die Menge der inneren Kanten (also Kanten, die nicht auf ∂Ω

liegen) sei mit Eh bezeichnet und die innerern Kanten eines Elementes T mit ET .


Satz 6.19 Sei Th eine Familie quasi-uniformer Triangulierungen eines Gebietes

Ω ⊂ R2. Dann gilt fur die P1-Losung uh fur das Poisson Problem (5.3) mit einer

Konstante c = c(Ω, κ) die a posteriori Abschatzung

||∇(u− uh)||L2(Ω) ≤ c

(∑T∈Th

h2TρT (uh)

2 +∑e∈Eh

heρe(uh)2

)1/2

.

Beweis. Das Dualitatsargument liefert uns fur B1 := g ∈ H10 (Ω)′ : ||g||H1

0 (Ω)′ = 1wieder

|u− uh|H1(Ω) = supg∈B1

〈g, u− uh〉 .

Nun sei zg ∈ H10 (Ω) die Losung des dualen Problems (6.3). Mit der Galerkin-

Orthogonalitat des primalen Problems erhalten wir nun mit einer beliebigen Funk-

tion ψh ∈ Vh und der Bezeichnung w := zg − ψh:

〈g, u− uh〉 = (∇(u− uh),∇zg)L2(Ω) = (∇(u− uh),∇w)L2(Ω)

= (f, w)L2(Ω) − (∇uh,∇w)L2(Ω)

=∑T∈Th

(f, w)L2(T ) − (∇uh,∇w)L2(T )

.

Auf jedem Element T gilt nun nach partieller Integration:

(f, w)L2(T ) − (∇uh,∇w)L2(T ) = (f + ∆uh, w)L2(T ) −∫∂T

∂nuhw ds .

Die Randintegrale auf der rechten Seite ergeben nach Summation uber alle Elemente

und alle zugehorigen Kanten∑T∈Th

∫∂T

∂nuhw ds =∑e∈Eh

∫e

[∂nuh]w ds ≤∑e∈Eh

||[∂nuh]||e||w||e .

Hierbei wurde beachtet, dass (a) Integrale uber außere Kanten verschwinden, da dort

w verschwindet, und (b) sich die Richtung der Normale umgekehrt, je nachdem von

welchem Element man die Kante aus betrachtet. Setzen wir dies nun oben ein und

wenden die Cauchy-Schwarze Ungleichung an, so erhalten wir als obere Schranke:

〈g, u− uh〉 ≤∑T∈Th

||f + ∆uh||L2(T )||w||L2(T ) +∑e∈Eh

||[∂nuh]||L2(e)||w||L2(e)

=∑T∈Th

||f + ∆uh||L2(T )||w||L2(T ) +

1

2

∑e∈ET

||[∂nuh]||L2(e)||w||L2(e)

=∑T∈Th

ρT (uh)||w||L2(T ) +

1

2

∑e∈ET

ρe(uh)||w||L2(e)

.

6.7 A posteriori Fehlerschatzung in der Energienorm 91

Fur die Interpolationsfehler w = Zg − ψh wollen wir nun nicht die Knoteninterpo-

lierende verwenden, da dies auf die zweiten Ableitungen von zg fuhren wurde. Diese

existieren aber nicht notwendigerweise fur alle Gebiete Ω, sondern nur unter zusatzli-

chen Restriktionen wie zum Beispiel die Konvexitat. Wenn wir nur die |·|H1(Ω)-Norm

verwenden wollen, benotigen wir einen anders konstruierten Interpolationsoperator.

Wie im letzten Abschnitt behandelt, gilt fur den Clement-Operator, ψh := Chzg:

||w||L2(T ) = ||zg − Chzg||L2(T ) ≤ ChT |zg|H1(ω(T )) .

Um den Interpolationsfehler auf den Kanten abzuschatzen verwenden wir die Ap-

proximationseigenschaft des Clement Operators auf Kanten e ∈ ET :

||w||L2(e) = Ch1/2e |zg|H1(ω(T )) .

Setzen wir dies ein, so ergibt sich als obere Schranke fur den Fehler:

〈g, u− uh〉 ≤ C∑T∈Th

ρT (uh)hT |zg|H1(ω(T )) +

1

2|zg|H1(ω(T ))

∑e∈ET

ρe(uh)h1/2e

= C∑T∈Th

ρT (uh)hT +

1

2

∑e∈ET

ρe(uh)h1/2e

|zg|H1(ω(T ))

≤ C

∑T∈Th

ρT (uh)hT +

1

2

∑e∈ET

ρe(uh)h1/2e

21/2(∑

T∈Th

|zg|2H1(ω(T ))

)1/2

.

Da die Triangulierung als quasi-uniform angenommen wurde, enthalten die Mengen

ω(T ) eine maximale Anzahl von Elementen aus Th. Somit gilt∑T∈Th

|zg|2H1(ω(T )) ≤ C|zg|H1(Ω) .

Insgesamt erhalten wir nun mit dem Dualitatsargument

|u− uh|H1(Ω) ≤ C∑T∈Th

h2TρT (uh)

2 +1

2

∑e⊂ET

heρe(uh)2

supg∈B1

|zg|H1(Ω) .

Nun fehlt die Beschrankung der dualen Losung:

|zg|2H1(Ω) = (∇zg,∇zg) = 〈g, zg〉 ≤ ||g||H10 (Ω)′|zg|H1(Ω) = |zg|H1(Ω) .

Also folgt supg∈B1|zg|H1(Ω) ≤ 1 und damit die Behauptung.


6.8 Gewichtete Residuale Schatzer

6.8.1 Gewichtete Residuale Schatzer fur lineare Probleme

Nun wollen wir uns einen Fehlerschatzer herleiten, der uns die Differenz der konti-

nuierlichen und der diskreten Losung in Bezug auf ein lineares Funktional

J : V → R

liefert. Beispiele solcher Funktionale sind

Punktfehler J(u) = u(x0),

oder J(u) = ||∇u(x0)||2 ,

Flusse uber den Rand J(u) =

∫Γ

∂u

∂nds,

fur ein Teilgebiet Ω′ ⊂ Ω und Randstuck Γ ⊂ ∂Ω. Als Verallgemeinerung lassen sich

auch nichtlineare Funktionale betrachen, wie beispielsweise

Energienorm J(u) = ||∇u||L2(Ω′)

L2-Norm J(u) = ||u||L2(Ω′) .

Bei Systemen von partiellen Differentialgleichungen sind auch haufig nur gewisse

Komponenten der Losung von Interesse. Zunachst nehmen wir J aber linear und

stetig an, also J ∈ V ′.Die zugrunde liegende kontinuierliche und die diskrete Gleichung schreiben wir

in abstrakter Form

u ∈ V : A(u, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ V , (6.4)

uh ∈ Vh : A(uh, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ Vh , (6.5)

mit einer stetigen Bilinearform A : V × V → R. Das Residuum der Gleichung

bezeichnen wir mit

%(uh, v) := 〈f, v〉 − A(uh, v) .

Satz 6.20 Sei V ein Hilbertraum, A : V ×V → R eine stetige Bilinearform, J ∈ V ′und Vh ⊂ V . Dann gilt fur den Diskretisierungsfehler der Finite Elemente Losung

der variationellen Probleme (6.4) und (6.5):

J(u)− J(uh) = %(uh, z − ihz) ,

6.8 Gewichtete Residuale Schatzer 93

wobei ih : V → Vh eine beliebige Abbildung ist und z ∈ V die Losung des adjungierten

Problems

z ∈ V : A(v, z) = J(v) ∀v ∈ V .

Beweis. Mittels dieses z laßt sich der Fehler in Bezug auf J ausdrucken:

J(u)− J(uh) = A(u, z)− A(uh, z) = 〈f, z〉 − A(uh, z) = %(uh, z) .

Da uh Losung des diskreten primalen Problems ist, konnen wir auf der rechten Seite

eine beliebige Interpolierende ihz ∈ Vh abziehen (Galerkin-Orthogonalitat), so dass

wir die Behauptung erhalten.

Korollar 6.21 Sei V = H10 (Ω), J ∈ V ′, f ∈ L2(Ω) und A(u, v) = (∇v,∇v)L2(Ω)

die Bilinearform zum Laplace-Operator. Dann gilt fur den Diskretisierungsfehler fur

eine konforme Finite-Elemente Losung uh ∈ Vh:

J(u)− J(uh) =∑T∈Th

(f + ∆uh, z − zh)L2(T ) −

1

2([∂nuh], z − zh)L2(∂T )

.

Beweis. Wir setzen als Abkurzung w := z− ihz, stellen das Residuum als Summe

lokaler Residuen dar und integrieren partiell

%(uh, z − ihz) =∑T∈Th

(f, w)L2(T ) − (∇uh,∇w)L2(T )

=

∑T∈Th

(f + ∆uh, w)L2(T ) − (∂nuh, w)L2(∂T )

.

Indem wir die Randintegrale wieder wie zuvor durch Sprunge der Ableitungen in

Normalenrichtung uber die Kanten darstellen erhalten wir die Behauptung.

Hieraus ergibt sich nun direkt der Fehlerschatzer

|J(u)− J(uh)| ≈ ηJ :=∑T∈Th

ηT (uh) ,

mit lokalen Fehlerindikatoren

ηT (uh) := ||f + ∆uh||L2(T )ωT +1

2||[∂nuh]||L2(∂T )ω∂T ,

und geeigneten numerisch auswertbaren Approximationen ωT ≈ ||z − zh||L2(T ) und

ω∂T ≈ ||z − zh||L2(∂T ). Hier gibt es verschiedene Moglichkeiten, die wir nachfolgend

vorstellen werden.


6.8.2 Approximation der Gewichte

Wir stellen drei Moglichkeiten vor, die Gewichtungsfaktoren ωT , ω∂T im gewichteten

Schatzer zu berechnen.

1.) Berechnung einer Losung hoherer Genauigkeit: Hier ließe sich beispielweise

das adjungierte Problem durch eine Diskretisierung hoherer Ordnung oder einer fei-

neren Gitterweite bestimmen. Wenn Vh = Pr(Th) ist, so konnte man z.B. Vh =

Pr′(Th) mit r′ > r oder Vh = Pr(Th′) mit h′ < h wahlen, und eine Losung zh ∈ Vhberechnen

zh ∈ Vh : A(v, zh) = J(v) ∀v ∈ Vh .

Nun ist eine mogliche Approximation des Interpolationsfehlers:

z − ihz ≈ zh − ihzh ,

wobei jetzt die Interpolation ih : Vh → Vh berechnet werden muss. Hierzu bietet sich

insbesondere r′ = 2r oder h′ = h/2 an. Die Losung zh zu berechnen ist in diesem

Fall aber numerisch aufwandiger als die Berechnung von uh.

2.) Interpolation auf hohere Ordnung: Hier bietet sich die Interpolation auf P2r(T2h)

an:

i2r2h : Pr(Th)→ P2r(T2h) .

Nun lautet die Approximation

z − ihz ≈ i2r2hzh − zh .

Die Auswertung i2r2hzh muss hier auf Patchen T ′ ∈ T2h mehrere Elemente T1, . . . , T2d ∈Th erfolgen. Die Idee hierbei ist, dass man durch die Aufspaltung

||z − zh||L2(T ) ≤ ||z − i2r2hzh||L2(T ) + ||i2r2hzh − zh||L2(T )

zeigen kann, dass der Term ||z−i2r2hzh||L2(T ) von hoherer Genauigkeit sind als ||i2r2hzh−zh||L2(T ). Dies laßt sich unter gewissen Voraussetzungen (Uniformitat) an das Gitter

Th zeigen. Aber auch auf nicht uniformen Gittern zeigt sich diese Methode in der

Praxis als sehr robust und zuverlassig.

3.) Diskrete Differenzenquotienten: Wir schatzen ab und approximieren:

||z − ihz||T ≤ Chr+1T |z|Hr+1(T )

≤ Chr+1+d/2T ||∇r+1z||L∞(T )

≈ Chr+1+d/2T |Dr+1

h zh(xT )|L∞(T ),


wobei Dr+1h einen diskreten Differenzenquotienten r + 1-ter Ordnung gebildet auf

dem Gitter Th bedeutet. Im Fall linearer oder bilinearer Elemente, r = 1, in zwei

Dimensionen hat man also

||z − ihz||T ≈ Ch3T |D2

hzh(xT )| .

Auch hier muss die Auswertung der zweiten Differenzenquotienten auf Patchen von

mehreren Elementen erfolgen, da auf den einzelnen Elementen uh nur (bi-)linear ist

(r = 1).

6.8.3 Beispiele von Ausgabe-Funktionalen

Wir geben nun ein paar Beispiele von Funktionalen an.

(a) Mittelwerte uber ein Teilgebiet Ω′ ⊂ Ω:

J(u) :=

∫Ω′u dx .

Das adjungierte Problem zum Laplace-Operator lautet dann in starker Formulie-

rung:

−∆z = χΩ′ in Ω ,

z = 0 auf ∂Ω .

mit der charakteristischen Funktion χΩ′ : Ω→ 0, 1 bzgl. Ω′.

(b) Punktwert an x0 ∈ Ω:

J(u) := u(x0) .

Das adjungierte Problem zum Laplace-Operator lautet dann in starker Formulie-

rung:

−∆z = δx0 in Ω ,

z = 0 auf ∂Ω ,

mit der Dirac-Distribution δx0 : Ω → 0,∞, also δx0(y) = 0 fur y 6= x0 und∫Ωδx0(x)dx = 1. In diesem Fall muss man das diskrete Problem regularisieren:

zh ∈ Vh : (∇zh,∇v) =

∫Rh

φhv dx ∀v ∈ Vh ,

mit einer Funktion φh, fur die gilt limh→0 φh = δx0 und Trager suppφh = Rh und

|Rh| ∼ hd.


(c) Fehler in der Energienorm: In diesem Fall lautet das Funktional

J(v) := ||∇e||−1L2(Ω)(∇v,∇e)L2(Ω) .

In diesem Fall ist das Funktional also von e abhangig, wenn man es als ein lineares

Funktional definieren mochte. Das adjungierte Problem lautet nun

z ∈ V : (∇v,∇z)L2(Ω) = |e|−1H1(Ω)(∇v,∇e)L2(Ω) .

Setzen wir als Testfunktion v = z erhalten wir

|z|2H1(Ω) = |e|−1H1(Ω)(∇z,∇e)L2(Ω)

≤ |e|−1H1(Ω)|z|H1(Ω)|e|H1(Ω)

= |z|H1(Ω) .

Hieraus ergibt sich also |z|H1(Ω) ≤ 1. Wenden wir nun die Clement Interpolation

an, so erhalten wir als obere Schranke fur den lokalen Approximationsfehler der

adjungierten Losung im Fall von P1-Elementen

||z − Chz||L2(T ) + h1/2T ||z − Chz||L2(∂T ) ≤ ChT ||z||H1(ωT ) .

Dies eingesetzt in die Fehlerabschatzung ergibt die obere Schranke

|u− uh|H1(Ω)

≤ C∑T∈Th

||f + ∆uh||L2(T )||z − Chz||L2(T ) +

1

2||[∂nuh]||L2(∂T )||z − Chz||L2(∂T )

≤ C

∑T∈Th

hTρT (uh) +

1

2h

1/2T ρ∂T (uh)

||z||H1(ωT )

≤ C

(∑T∈Th

h2TρT (uh)

2 +1

4hTρ∂T (uh)

2)1/2(∑

T∈Th

||z||2H1(ωT )

)1/2

≤ C

(∑T∈Th

h2TρT (uh)

2 +1

4hTρ∂T (uh)

2)1/2

||z||H1(Ω)

Unter Ausnutzung der Poincare-Friedrichschen Ungleichung erhalten wir ||z||H1(Ω) ≤C|z|H1(Ω) ≤ C. Dies entspricht dann dem bereits entwickelten Schatzer aus Ab-

schnitt 6.7.

(d): Fehler in der L2-Norm: In diesem Fall lautet das Funktional

J(v) := ||e||−1L2(Ω)(v, e)L2(Ω) .


Wir wahlen jetzt die Knoteninterpolierende Ihz und erhalten durch eine analoge

Abschatzung, sofern z ∈ H2(Ω):

||u− uh||L2(Ω)

≤ C∑T∈Th

||f + ∆uh||L2(T )||z − Ihz||L2(T )

+1

2||[∂nuh]||L2(∂T )||z − Ihz||L2(∂T )

≤ C

(∑T∈Th

h4TρT (uh)

2 +1

4h3Tρ∂T (uh)

2)1/2

|z|H2(Ω) .

Auf konvexen Gebieten Ω oder Gebieten mit C2-Rand gilt nach Satz 6.14 z ∈ H2(Ω)

mit

|z|H2(Ω) ≤ CΩ||J ||L2(Ω) .

Das Funktional J ist also als L2-Funktion zu interpretieren. Hierfur gilt

||J ||L2(Ω) = supv∈L2(Ω)

|J(v)|||v||L2(Ω)

= ||e||−1L2(Ω) sup

v∈L2(Ω)

||v||−1L2(Ω)|(v, e)|

≤ ||e||−1L2(Ω)||e||L2(Ω) = 1 .

Wir erhalten daher insgesamt das folgende Resultat.

Satz 6.22 (a posteriori in L2) Sei Ω ⊂ R2 ein konvexes Gebiet oder ein Gebiet

mit C2-Rand. Dann gilt fur die P1-FE Losung die a posteriori Abschatzung

||u− uh|| ≤ CΩ

(∑T∈Th

h4TρT (uh)

2 +1

4h2Tρ∂T (uh)

2)1/2

.

6.8.4 Alternativer Zugang uber ein Sattelpunktsproblem

Alternativ wollen wir nun einen zunachst aufwandigeren Ansatz prasentieren. Dieser

erlaubt es aber anschließend auch Semilinearformen zu betrachten, die aus nichtli-

nearen Differentialgleichungen resultieren. Zunachst sei A aber weiterhin bilinear.

Hierzu fuhren wir ein weiteres Hilfsfunktional L : V × V → R ein

L(u, z) = J(u)− A(u, z) + 〈f, z〉 .


Dieses affin-lineare L ist gerade so gewahlt, dass man fur die Losungen u und uhunseres Problems gerade den Funktionalwert von J erhalt,

J(u) = L(u, z) ∀z ∈ VJ(uh) = L(uh, zh) ∀zh ∈ Vh .

Die Gateaux2-Ableitungen dieses Funktionals lauten im Falle eines linearen J :

∂zL(u, z)(v) = limh→0

L(u, z + hv)− L(u, z)

|h|= −A(u, v) + 〈f, v〉 ,

∂uL(u, z)(v) = limh→0

L(u+ hv, z)− L(u, z)

|h|= J(v)− A(v, z) .

Es stellt sich in der nun folgenden Darstellung als nutzlich heraus, die Variablen

x = (u, z), xh = (uh, zh) ∈ V ×V zu benutzen. Die Differenz bezeichnen wir mit e =

x− xh. Da L bilinear ist, entspricht die Gateaux-Ableitung der Frechet-Ableitung3.

Es gilt offenbar fur die Losungen u sowie fur die diskrete Losung uhund beliebige

z ∈ V

∂zL(x)(v) = 0 ∀v ∈ V ,∂zL(xh)(v) = 0 ∀v ∈ Vh .

Jetzt konnen wir den Fehler u− uh bezuglich J durch das L darstellen:

J(u)− J(uh) = L(x)− L(xh) =

∫ 1

0

L′(xh + λe)(e) dλ .

Hierbei bezeichnet L′ die Ableitung

L′(x+ λe)(e) = ∂zL(x+ λe)(ez) + ∂uL(x+ λe)(eu) .

Da L affin-linear ist, ist L′ linear. Wir konnen das auftretende Integral daher exakt

integrieren durch Nutzung der Trapezregel:

J(u)− J(uh) =1

2(L′(x)(e) + L′(xh)(e))

Bislang war die Funktion z noch beliebig gewahlt. Jetzt definieren wir z ∈ V und

zh ∈ Vh als Losungen der dualen Probleme:

z ∈ V : A(v, z) = J(v) ∀v ∈ V ,zh ∈ Vh : A(v, zh) = J(v) ∀v ∈ Vh .

2Rene Eugene Gateaux, 1889-1914, franzosischer Mathematiker, Schuler von Hadamard3Maurice Rene Frechet, 1878-1973, franzosischer Mathematiker, ebenfalls Schuler von Hada-

mard


Fur dieses spezielle z gilt nun fur x = (u, z) auch

∂uL(x)(v) = 0 ∀v ∈ V .

Somit verschwindet die gesamte Ableitung, L′(x)(e) = 0 und die Fehlerdarstellung

reduziert sich zu

J(u)− J(uh) =1

2L′(xh)(e)

=1

2(∂zL(xh)(z − zh) + ∂uL(xh)(u− uh))

=1

2%(uh, z − zh) + %∗(zh, u− uh) ,

mit den Residuen

%(uh, v) := ∂zL(xh)(v) = 〈f, v〉 − A(uh, v) ,

%∗(zh, v) := ∂uL(xh)(v) = J(v)− A(v, zh) .

Zunachst scheint es in dieser Darstellung, dass man noch nichts erreicht hat, denn

sowohl in der linken wie in der rechten Seite tritt u − uh auf. Wir konnen aber in

den Residuen % und %∗ aufgrund der Galerkin Orthogonalitat bei konformen Finiten

Elementen Vh ⊂ V beliebige diskrete Testfunktionen addieren, so dass wir folgende

Fehlerdarstellung erhalten.

Satz 6.23 Sei V ein Hilbertraum, A : V × V → R eine stetige Bilinearform und

J ∈ V ′. Dann gilt fur den Diskretisierungsfehler der Finite Elemente Losung der

variationellen Probleme (6.4) und (6.5):

J(u)− J(uh) =1

2%(uh, z − ihz) + %∗(zh, u− ihu) ,

wobei ih : V → Vh eine beliebige Projektion ist.

Korollar 6.24 Unter den Voraussetzungen des vorherigen Satzes gilt

J(u)− J(uh) = %(uh, z − ihz) = %∗(zh, u− ihu) .

Beweis. Folgt direkt aus Satz 6.20 und Satz 6.23.


6.8.5 Gewichtete Residuale Schatzer fur nicht-lineare Pro-

bleme

Nun betrachten wir den Fall einer semi-linear Form A : V × V → R und eines

nichtlinearen Funktionals J : V → R. Hier ist A stets linear im zweiten Argument.

Das zugehorige duale Problem ergibt sich nun indem man A und J an der Stelle uhlinearisiert:

z ∈ V : A′(uh)(v, z) = J ′(uh)(v) ∀v ∈ V .

Eine solche semi-linear Form ergibt sich beispielsweise durch die nichtlineare Glei-

chung:

−ε∆u+ u2 = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω .

Das zugehorige A ist nun

A(u, v) := (ε∇u,∇v)L2(Ω) + (u2, v)L2(Ω) .

Die Frechet-Ableitung zum dualen Problem lautet

A′(u)(v, z) = (ε∇v,∇z)L2(Ω) + (2uv, z)L2(Ω) .

Wir zeigen nun eine Fehlerdarstellung.

Satz 6.25 Sei V ein Hilbertraum, A : V ×V → R eine stetig differenzierbare Semi-

linearform und J : V → R ein stetig differenzierbares Funktional. Dann gilt fur den

Diskretisierungsfehler einer konformen Finite Elemente Losung der variationellen

Probleme (6.4) und (6.5):

J(u)− J(uh) =1

2%(uh, z − ihz) + %∗(zh, u− ihu)+R ,

wobei ih : V → Vh eine beliebige Projektion ist und R der Restterm

R =

∫ 1

0

J ′′′(uh + λeu)(eu, eu, eu)

−∂uuuA(uh + λeu)(eu, eu, eu; zh + λez)p(λ)dλ ,

wobei eu = u− uh.

6.9 Strategien zur Gitteradaption 101

Beweis. Der Beweis erfolgt analog zu dem des Satzes 6.23 mit der folgenden Modi-

fikationen, da die Anwendung der Trapezregel jetzt nicht mehr notwendigerweise

exakt ist:

J(u)− J(uh) =

∫ 1

0

L′(xh + λe)(e) dλ .

Wir nutzen nun das Polynom p(λ) = 12λ(λ − 1). Partielle Integration liefert wegen

p′′ ≡ 1, p′(0) = −12, p′(1) = 1

2und p(0) = p(1) = 0

J(u)− J(uh) =

∫ 1

0

L′(xh + λe)(e)p′′(λ) dλ

= L′(xh + λe)(e)p′(λ)∣∣λ=1

λ=0−∫ 1

0

L′′(xh + λe)(e, e)p′(λ) dλ

=1

2L′(x)(e) + L′(xh)(e) − L′′(xh + λe)(e, e)p(λ)

∣∣λ=1

λ=0+∫ 1

0

L′′′(xh + λe)(e, e, e)p(λ) dλ

=1

2L′(x)(e) + L′(xh)(e)+R ,

mit

R :=

∫ 1

0

L′′′(xh + λe)(e, e, e)p(λ) dλ .

6.9 Strategien zur Gitteradaption

Nun wollen wir auf Basis von lokalen Fehlerindikatoren ηT uberlegen, wie wir eine

Triangulierung Th effizient lokal verfeinern konnen. Gegeben sei also eine Information

der Art

|J(u)− J(uh)| ≤ η(uh) =∑T∈Th

ηT .

Die lokalen Beitrage hangen auch von uh ab, also ηT = ηT (uh). Ziel ist es ein ad-

aptiertes Gitter Th′ zu erzeugen, dass i.d.R. einen kleineren Fehler erzeugt, aber

moglichst wenig Gitterzellen verfeinert. Dieser Prozess kann wiederholt werden bis

eine vorgegebene Genauigkeit TOL erreicht ist, also η(uh) ≤ TOL. Dies ist das


sogenannte Abbruchkriterium. Um dies zu erreichen, wollen wir auf dem Gitter Theine gewisse Anzahl von Zellen auswahlen, die wir verfeinern wollen. Man kann zei-

gen, dass eine besonders effiziente Strategie den Fehler aquilibriert, d.h. alle lokalen

Fehlerbeitrage sind in etwa gleich groß. Ubertragen auf die Fehlerindikatoren, die

hier nun als geeignete Reprasentanten gelten sollen, heißt dies, dass

minT∈Th

ηT ≈ maxT∈Th

ηT .

Im idealen Fall, sind die Fehlerindikatoren exakt aquilibriert.

Bei den nun folgenden Verfeinerungsstrategien werden stets die Zellen mit beson-

ders großen Fehlerindikatoren verfeinert. Daher nehmen wir die Fehlerindikatoren

der Große nach geordnet an:

ηT1 ≤ ηT2 ≤ . . . ≤ ηTN .

Sinnvollerweise wahlt man diejenigen Zellen aus, die den großten Beitrag leisten.

Wir fragen also nach einer Zahl r ∈ N, 0 ≤ r ≤ N . Zur Bestimmung von r wollen

wir drei Strategien vorstellen.

6.9.1 Fehlerbalanzierung

Um die lokalen Fehlerbeitrage zu aquilibrieren, setzt man als Zielgroße

η∗ :=Tol

N,

wobei N die Anzahl der Elemente darstellt und Tol die zu erzielende Toleranz.

Hatten alle Zellen den Beitrag η∗, so ware der Gesamtfehler gerade Tol. Eine Zelle

T wird dann verfeinert, wenn gilt

ηT > αη∗ ,

mit einem “Tuning”-Parameter α > 0. Die Wahl dieses Parameters ist selbst-

verstandlich nicht-trivial. Ein kleiner Wert α fuhrt dazu, dass verhaltnismaßig viele

Zellen in jedem Schritt verfeinert werden. Ein weiterer Nachteil ist, dass die Anzahl

der zu verfeinernden Zellen stark variieren kann. Fur α ≈ 1 hat man aber die prinzi-

pielle Moglichkeit, die Fehlerbeitrage zu aquilibrieren: ein aquilibriertes Gitter, dass

die Toleranz noch nicht erreicht wird global verfeinert. Dies ist in diesem Fall auch

das geeignete Verfahren.

6.10 Adaptivitat mit Viereckselementen 103

6.9.2 Fixed-Fraction

Der Grundgedanke ist, in jedem Adaptionsschritt die Anzahl der zu verfeinerneden

Zellen um (a) eine feste Rate zu erhohen, oder (b) so viele Zellen zu verfeinern,

deren Gesamtindikatoren einen festen Prozentsatz ausmachen. Im Fall (a) lautet

das Verfeinerungskriterium also

(a) Verfeinere T1, . . . , Tr mit r = [αN ] .

Hier bezeichnet [·] den ganzzahligen Anteil und 0 < α < 1 einen freien Parameter.

Der Fall (b) lautet

(b) Verfeinere T1, . . . , Tr mit r ∈ N derart, dassr∑i=1

ηi ≤ αη <

r+1∑i=1

ηi .

Auch hier ist 0 < α < 1 ein freier Parameter. Diese beiden Methoden fuhren sicher-

lich nicht zu aquilibrierten Gittern.

6.10 Adaptivitat mit Viereckselementen

Mochte man Viereckselemente benutzen und lokale Gitterverfeinerung vornehmen,

so gibt es prinzipiell zwei Moglichkeiten.

Die erste ist die Verwendung von Vierecks- und Dreieckselementen, um die auf-

tretenden hangenden Knoten mit Dreiecken “abzufangen”, siehe Abb. 6.2. Hierdurch

erhalt man wieder stetige Elemente. Diese Prozedur ist naturlich mit einem gewis-

sen Aufwand bei der numerischen Umsetzung verbunden. Insbesondere muss man

sowohl P1 sowie Q1 Elemente vorsehen, bzw. hohere Ordnung.

Die zweite Moglichkeit ist das Auftreten von hangenden Knoten zuzulassen aber

dies bei den zugehorigen Finiten Elementen zu berucksichtigen. Dies bedeutet, dass

man zu den hangenden Knoten keine Freiheitgrade vorsieht. Die Losung wird an

diesen Punkten lediglich (linear) interpoliert durch die Werte an den angrenzenden

regularen Knoten. Dies ist in Abb. 6.2 ebenfalls verdeutlicht. Die rot markierten

Punkte stellen hierauf hangenden Knoten dar auf denen die Losung interpoliert

wird durch die Werte an den angrenzenden regularen Punkten (grun). Auf Hexaeder-

Gittern in 3D verfahrt man entsprechend.


Abbildung 6.2: Links: Mischen von Vier- und Dreieckselementen. Rechts: Zulassen

von hangenden Knoten auf reinen Vierecksgittern.

Kapitel 7

Nichtkonforme Methoden

Bisher hatten wir stets den Fall, dass Vh ⊂ V gilt. Diese Eigenschaft nennt man

“konform”. Wir wollen nun ein Beispiel einer nicht-konformen Finiten Elemente

Methode fur das Poisson Problem vorstellen.

7.1 Crouzeix-Raviart-Element fur das Poisson Pro-

blem

Zu einer Triangulierung Th bestehend aus Dreieckselementen sei Mh die Menge aller

Kantenmittelpunkte zu inneren Kanten. Mit Nh sei die Menge aller Kantenmittel-

punkte zu außeren Kanten bezeichnet. Wir untersuchen den Raum der stuckweisen

linearen Polynome, von denen lediglich gefordert sind, dass sie an diesen Kanten-

mittelpunkte stetig sind:

CRh := v ∈ L2(Ω) : v|T ∈ P1 , v|Mhstetig und v|Nh = 0 .

Diese Elemente heißen Crouzeix-Raviart-Elemente. Das diskrete variationelle Pro-

blem lautet nun

uh ∈ CRh : Ah(uh, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ CRh ,

wobei die Bilinearform Ah gegeben ist durch

Ah(u, v) :=∑T∈Th

(∇u,∇v)L2(T ) . (7.1)

Diese Bilinearform ist sowohl auf Elemente in CRh als auch auf die in V := H10 (Ω)

anwendbar, aber es gilt CRh 6⊂ V .

Bevor wir nun eine Fehlerabschatzung fur diese Finite Elemente Methode ange-

ben, werden wir dies durch ein allgemeineres Lemma vorbereiten.

106 M. Braack Nichtkonforme Methoden

Abbildung 7.1: Crouzeix-Raviart Element; an den markierten Kantenmittelpunkten

ist die FE-Funktion stetig.

7.2 Lemma von Strang

Sei neben V auch Wh ein (i.a. endlich-dimensionaler) Hilbertraum mit einer mogli-

cherweisen h-abhangigen Norm || · ||Wh. Wir betrachten allgemein ein diskretes Pro-

blem der Form

uh ∈ Wh : Ah(uh, vh) = 〈fh, vh〉 ∀vh ∈ Wh . (7.2)

Die Bilinearform Ah sowie die rechte Seite fh ∈ W ′h konnen von h abhangen. Ferner

mussen wir voraussetzen, dass Ah(·, ·) auch fur u ∈ V zumindest im ersten Argument

definiert ist. Dies konnen wir auch folgendermaßen formulieren:

Ah ∈ [(Wh ⊕ V )×Wh]′ .

Hierzu sindWh und V als Teilraume eines evtl. großeren linearen Raumes zu betrach-

ten auf dem die Summe ⊕ wohldefiniert ist. Wir fragen nach einer oberen Schranke

fur den Diskretisierungsfehler bezuglich uh und einer kontinuierlichen Losung u ∈ Vvon

u ∈ V : A(u, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ W . (7.3)

Als Voraussetzungen an die diskrete Bilinearform stellen wir die Wh-Beschranktheit

und Wh-Elliptizitat in der Form:

|Ah(u+ uh, vh)| ≤ α1||u+ uh||Wh||vh||Wh

∀uh, vh ∈ Wh ∀u ∈ V ,Ah(uh, uh) ≥ α2||uh||2Wh

∀uh ∈ Wh .

Hierbei sind α1, α2 > 0 Konstanten, die von h unabhangig sein mussen. Das folgende

Lemma von Berger, Scott und Strang1 setzt nun den Diskretisierungsfehler in Wh

in Zusammenhang zum Approximations- und Konsistenzfehler.

1William Gilbert Strang, geb. 1944, US-amerikanischer Mathematiker, tatig am MIT

7.3 A priori Fehlerananlyse fur das Crouzeix-Raviart Element 107

Lemma 7.1 (Berger, Scott und Strang) Die Bilinearform Ah sei Wh-elliptisch

und Wh-beschrankt. Fur den Diskretisierungsfehler zwischen der Losung uh ∈ Wh

von (7.2) und der kontinuierlichen Losung u ∈ V von (7.3) gilt

||u− uh||Wh≤ c

(inf

vh∈Wh

||u− vh||Wh+ sup

vh∈Wh

〈fh, vh〉 − Ah(u, vh)||vh||Wh

).

mit der Konstanten c = 1 + α1/α2.

Beweis. Die Dreiecksungleichung liefert zunachst

||u− uh||Wh≤ inf

vh∈Wh

(||u− vh||Wh+ ||vh − uh||Wh

) .

Wir schatzen daher den zweiten Term getrennt ab. Aufgrund der Wh-Elliptizitat

und Wh-Beschranktheit gilt

α2||uh − vh||2Wh≤ Ah(uh − vh, uh − vh)= Ah(u− vh, uh − vh) + Ah(uh − u, uh − vh)= Ah(u− vh, uh − vh) + 〈fh, uh − vh〉 − Ah(u, uh − vh)≤ α1||u− vh||Wh

||uh − vh||Wh+ 〈fh, uh − vh〉 − Ah(u, uh − vh) .

Wir teilen jetzt durch α2||uh − vh||Whund erhalten

||uh − vh||Wh≤ α1

α2

||u− vh||Wh+〈fh, uh − vh〉 − Ah(u, uh − vh)

α2||uh − vh||Wh

.

Insgesamt erhalten wir somit

||u− uh||Wh≤ inf

vh∈Wh

((1 +

α1

α2

)||u− vh||Wh

+〈fh, uh − vh〉 − Ah(u, uh − vh)

α2||uh − vh||Wh

).


Der erste Term auf der rechten Seite dieser Abschatzung ist der bereits bekannte

Approximationsfehler. Der zweite Term heißt Konsistenzfehler.

7.3 A priori Fehlerananlyse fur das Crouzeix-Ravi-

art Element

In Anlehnung an den vorhergehenden Abschnitt mussen wir eine (diskrete) Norm

fur den Raum Wh = CRh definieren. Diese lautet:

||vh||h :=

(∑T∈Th

|vh|2H1(T )

)1/2


Satz 7.2 Sei Th eine Familie quasi-uniformer Triangulierungen eines Gebietes

Ω ⊂ R2, das konvex oder C2-berandet ist. Dann gilt fur den Diskretisierungsfehler

fur das Poisson Problem mit dem Crouzeix-Raviart Element und rechter Seite f ∈L2(Ω):

||u− uh||L2(Ω) ≤ ch2|u|H2(Ω) ,

||u− uh||h ≤ ch|u|H2(Ω) ,

mit einer Konstanten c = c(Ω, κ).

Beweis. Zunachst zeigen wir die zweite Abschatzung. Die L2-Abschatzung erhal-

ten wir dann wieder wie zuvor uber ein Dualitatsargument.

(a) Die Bilininearform Ah ist beschrankt und elliptisch wie im Lemma von Strang 7.1

gefordert. Durch die Anwendung dieses Lemmas genugt es den Approximations- und

den Konsistenzfehler getrennt zu untersuchen. Fur den ersten stellen wir fest, dass

die stetigen P1 Elemente eine Teilmenge der Crouzeix-Raviart Elemente sind, also

P1,h ⊂ CRh. Daher gilt

infvh∈CRh

||u− vh||h ≤ infvh∈P1,h

||u− vh||h ≤ ch|u|H2(Ω) .

Der Konsistenzfehler verschwindet i.a. nicht, denn die kontinuierliche Losung u ∈V ∩ H2(Ω) erfullt die diskrete Gleichung (7.1) nicht. Fur das Residuum gilt mit

vh ∈ Vh,

ρh(u, vh) := 〈f, vh〉 − Ah(u, vh)= (f, vh)L2(Ω) −

∑T∈Th

(−∆u, vh)L2(T ) + (∂nu, vh)L2(∂T )

=∑T∈Th

(f + ∆u, vh)L2(T ) − (∂nu, vh)L2(∂T )

= −∑T∈Th

(∂nu, vh)L2(∂T ) .

Da ∂nu lediglich das Vorzeichen wechselt, je nachdem von welchem Element man

eine innere Kante betrachtet, gilt fur auf den Kanten stetige Funktionen φ ∈ L2(∂T ),∑T∈Th

(∂nu, φ)L2(∂T ) = 0 .

Wir erhalten fur solche φ also

ρh(u, vh) = −∑T∈Th

(∂nu, vh − φ)L2(∂T ) .


Wir wahlen ein solches φ = φ(vh) eine Funktion, die auf jeder inneren Kante e ∈ Ehkonstant ist, namlich (wenn Me den Mittelpunkt der Kante e bezeichnet):

φ|e =1

2|e|

2∑i=1

∫e

vh|T ei ds = vh(Me)

Hieraus folgt fur i = 1, 2: ∫e

(vh|T ei − φ) ds = 0 .

Nun bezeichnen wir mit Ihu : V → P1,h die Knoteninterpolierende auf die Eckpunkte

der Dreiecke. Dann ist ∂nIhu auf der Kante konstant, so dass auch

2∑i=1

(∂nIhu, vh|T ei − φ)L2(e) = 0 .

Da dies fur alle inneren Kanten gilt, folgern wir

ρh(u, vh) = −∑T∈Th

(∂n(u− Ihu), vh|T − φ)L2(∂T ) .

Die Anwendung der Cauchy-Schwarzen Ungleichung liefert nun

|ρh(u, vh)| ≤∑T∈Th

||∂n(u− Ihu)||L2(∂T )||vh|T − φ||L2(∂T ) .

Die auftretenden Normausdrucken beschranken wir nun separat durch den Spursatz

und den Transformationssatz. Es gilt namlich mit einer von der Element-Anisotropie

abhangigen Konstanten c = c(κ) (Ubungsaufgabe):

||v||L2(∂T ) ≤ ch1/2T ||v||H1(T ) .

Dies ergibt zusammen mit dem Bramble-Hilbert Lemma:

||∂n(u− Ihu)||L2(∂T ) ≤ ||∇(u− Ihu)||L2(∂T )

≤ ch1/2T ||∇(u− Ihu)||H1(T ) ≤ ch

1/2T |u|H2(T ) ,

||vh|T − φ||L2(∂T ) ≤ ch1/2T |vh|H1(T ) .

Setzen wir dies oben ein, so erhalten wir die obere Schranke fur das Residuum:

|ρh(u, vh)| ≤ c∑T∈Th

hT |u|H2(T )|vh|H1(T )

≤ ch

(∑T∈Th

|u|2H2(T )

)1/2(∑T∈Th

|vh|H1(T )

)1/2

= ch|u|H2(Ω)||vh||h .


Hier ist wie zuvor h := maxhT |T ∈ Th. Es gilt daher

supvh∈Wh

ρh(u, vh)

||vh||h≤ ch|u|H2(Ω) .

Insgesamt sind also sowohl Approximations- wie Konsistenzfehler qualitativ glei-

chermaßen beschrankt worden, so dass die zweite Behauptung gezeigt ist.

(b) Hier setzen, wie bereits angekundigt, wieder ein Dualitatsargument ein. Mit

B := g ∈ L2(Ω) : ||g||L2(Ω) = 1 und den dualen Losungen zg ∈ V und zg,h ∈ Wh zu

g gilt

||u− uh|| = supg∈B〈g, u− uh〉 .

Die betrachtete Bilinearform Ah(·, ·) ist auch im zweiten Argument auf Funktionen

in V anwendbar und stetig, also Ah ∈ [(Wh ⊕ V )× [(Wh ⊕ V )]′ , mit

|Ah(u+ uh, v + vh)| ≤ ||u+ uh||h||v + vh||h ∀uh, vh ∈ Wh ∀v, u ∈ V .

Nach der Abschatzung wie im Beweisteil (a) erhalten wir

〈g, u− uh〉= A(u, zg)− Ah(uh, zg,h)= Ah(u, zg)− Ah(uh, zg,h)= Ah(u− uh, zg) + Ah(uh, zg − zg,h)= Ah(u− uh, zg − zg,h) + Ah(uh, zg − zg,h) + Ah(u− uh, zg,h)= Ah(u− uh, zg − zg,h)− Ah(u, zg − zg,h)− Ah(u− uh, zg)

+Ah(uh + u, zg − zg,h) + Ah(u− uh, zg,h + zg)

= Ah(u− uh, zg − zg,h)− Ah(u, zg − zg,h)− Ah(u− uh, zg)+Ah(uh, zg) + Ah(u, zg)− Ah(uh, zg,h)− Ah(u, zg,h)+Ah(u, zg,h)− Ah(uh, zg,h) + Ah(u, zg)− Ah(uh, zg)

= Ah(u− uh, zg − zg,h)− Ah(u, zg − zg,h)− Ah(u− uh, zg)+2Ah(u, zg)− 2Ah(uh, zg,h) .

Der erste Ausdruck auf der rechten Seite laßt sich folgendermaßen beschranken:

Ah(u− uh, zg − zg,h) ≤ ||u− uh||h||zg − zg,h||h≤ ch2||u||H2(Ω)||g||L2(Ω) .


Zur Abschatzung der verbleibenden Term benutzen wir die Identitat

〈g, u− uh〉+ (f, zg − zg,h)= Ah(u, zg)− Ah(uh, zg,h) + Ah(u, zg)− Ah(uh, zg,h)= 2Ah(u, zg)− 2Ah(uh, zg,h) .

Es gilt daher

−Ah(u, zg − zg,h)− Ah(u− uh, zg) + 2Ah(u, zg)− 2Ah(uh, zg,h)

= −[Ah(u, zg − zg,h)− (f, zg − zg,h)]− [Ah(u− uh, zg)− 〈g, u− uh〉]

Diese beiden Residuen-Terme lassen sich, nach dem bereits in Teil (a) gezeigten,

folgendermaßen beschranken (ρ∗h bezeichnen das duale Residuum):

|Ah(u, zg − zg,h)− (f, zg − zg,h)| ≤ |ρh(u, zg − zg,h)|≤ ch|u|H2(Ω)||zg − zg,h||h≤ ch2|u|H2(Ω)|zg|H2(Ω)

≤ ch2|u|H2(Ω)||g||L2(Ω)

|Ah(u− uh, zg)− 〈g, u− uh〉| = |ρ∗h(zg, u− uh)|≤ ch|zg|H2(Ω)||u− uh||h≤ ch2|zg|H2(Ω)|u|H2(Ω)

≤ ch2|u|H2(Ω)||g||L2(Ω) .

Dies liefert uns insgesamt die Behauptung.

Kapitel 8

Petrov-Galerkin Formulierung und

inf-sup Bedingung

8.1 Satz vom abgeschlossenen Bild

Seien E,F zwei Banachraume und T ∈ L(E,F ), also ein stetiger (und damit auch

beschrankter) linearer Operator T : E → F . Der hierzu adjungierte Operator T ∗ :

F ′ → E ′ ist gegeben fur f ∈ F ′ und x ∈ E durch

〈T ∗f, x〉 = 〈f, Tx〉 .

Der zugehorige Kern wird mit N(T ∗) bezeichnet,

N(T ∗) := f ∈ F ′ : T ∗f = 0 .

Der Orthogonalraum ist definiert als

N(T ∗)⊥ = y ∈ F : 〈f, y〉 = 0 ∀f ∈ N(T ∗) .

Im folgenden benotigen wir folgendes zentrales Resultat der Funktionalanalysis.

Einen Beweis wollen wir hier nicht fuhren.

Satz 8.1 (Satz vom abgeschlossenen Bild) Seien E,F zwei Banachraume und

T ∈ L(E,F ). Dann ist T (E) genau dann abgeschlossen in F , wenn T (E) = N(T ∗)⊥.

Als einfache Folgerung erhalten wir folgendes Korollar.

Korollar 8.2 Seien E,F zwei Banachraume und T ∈ L(E,F ) injektiv derart, dass

T−1 auf dem Bild T (E) stetig ist und T ∗ injektiv ist. Dann ist T ein Isomorphismus

von E nach F .

114 M. Braack Petrov-Galerkin Formulierung und inf-sup Bedingung

Beweis. Aufgrund der Stetigkeit von T und der von T−1 auf dem Bild T (E) ist

T (E) abgeschlossen. Nach dem Satz vom abgeschlossenen Bild folgt nun mit der

Injektivitat von T ∗:

T (E) = N(T ∗)⊥ = 0⊥ = F .

Also ist T eine Bijektion und zusammen mit den Stetigkeitseigenschaften von T und

T−1 ein Isomorphismus.

8.2 Inf-Sup Bedingung

Wir werden in diesem Abschnitt eine Verallgemeinerung des Satzes von Lax-Milgram

(Satz 3.12) beweisen. Seien U, V zwei Hilbertraume und

A : U × V → R

eine Bilinearform. Wir fragen bei gegebenem f ∈ V ′ nach der Losbarkeit des Varia-

tionsproblems

u ∈ U : A(u, v) = 〈f, v〉 ∀v ∈ V . (8.1)

Im Fall endlich-dimensionaler Raume U, V spricht man von einer Petrov-Galerkin

Methode.

Definition 8.3 A : U × V → R heißt stetig, wenn eine Konstante α1 > 0 existiert

mit

|A(u, v)| ≤ α1||u||U ||v||V ∀u ∈ U ∀v ∈ V .

A erfullt zudem eine inf-sup Bedingung, wenn ein γ > 0 existiert, so dass:

infu∈U\0

supv∈V \0

A(u, v)

||u||U ||v||V≥ γ .

Im Fall U = V folgt die inf-sup Bedingung aus der Elliptizitat, denn mit einer

Elliptizitatskonstante α2 > 0 folgt:

infu∈U\0

supv∈V \0

A(u, v)

||u||U ||v||V≥ inf

u∈U\0

A(u, u)

||u||2V≥ inf

u∈U\0

α2||u||2V||u||2V

= α2 .

Satz 8.4 Es gelte fur A : U × V → R folgende Bedingungen:

8.2 Inf-Sup Bedingung 115

(a) A ist stetig

(b) A erfullt eine Inf-sup Bedingung.

(c) Zu jedem v ∈ V \ 0 existiert ein u ∈ U mit A(u, v) 6= 0.

Dann besitzt Problem (8.1) zu beliebigem f ∈ V ′ eine eindeutige Losung u ∈ U .

Ferner gilt in diesem Fall fur die Losung die Stabilitatsaussage

||u||U ≤ 1

γ||f ||V ′ .

Beweis. Die Eindeutigkeit einer etwaigen Losung u ∈ U folgt direkt aus der

Inf-sup Bedingung aus (b), denn ware u ∈ U eine weitere Losung, so gilt fur die

Differenz e = u− u aufgrund der Linearitat von A,

A(e, v) = 0 ∀v ∈ V .

Daher gilt auch

supv∈V \0

A(e, v)

||v||V= 0

Wenn nun die Inf-sup Bedingung gilt, so folgt hieraus notwendigerweise e = 0, also

u = u.

Die Stabilitatsaussage folgt ebenso aus der Inf-sup Bedingung, denn

γ||u||U ≤ supv∈V \0

A(u, v)

||v||V= sup

v∈V \0

〈f, v〉||v||V

≤ supv∈V \0

||f ||V ′||v||V||v||V

= ||f ||V ′ .

Es fehlt nun noch die Existenz einer Losung zu zeigen. Wir fuhren den linearen

Operator L : U → V ′ ein, der fur u ∈ U und v ∈ V definiert ist durch

〈Lu, v〉 := A(u, v)

und zeigen, dass L surjektiv ist. Dieser Operator L ist stetig, da A stetig ist, also

L ∈ L(U, V ′). Ebenso ist L−1 auf dem Bild L(U) stetig, denn wie bereits gezeigt ist

γ||u||U ≤ ||Lu||V ′ . Dies bedeutet namlich

||L−1f ||U ≤ γ−1||f ||V ′ ∀f ∈ L(U) .

Folglich ist L(U) abgeschlossen in V ′ (Ubungsaufgabe). Um den Satz vom abschlos-

senen Bild anzuwenden, betrachten wir der zu L adjungierte Operator L∗ : V → U ′,


〈L∗v, u〉 = 〈Lu, v〉. Hier verwenden wir die Reflexivitat von Hilbertraumen, also

V ′′ = V . Nun gilt wegen 〈L∗w, u〉 = 〈Lu,w〉 = A(u,w)

W := N(L∗)

= w ∈ V : 〈L∗w, u〉 = 0 ∀u ∈ U= w ∈ V : A(u,w) = 0 ∀u ∈ U= 0 .

Die letzte Gleicheit folgt aus Bedingung (c). Es gilt daher mit Satz 8.1

L(U) = N(L∗)⊥ = W⊥ = 0⊥ = V ′ .

Dies ist gerade die Surjektivitat von L. Die Losung erhalten wir daher durch u :=

L−1f fur beliebiges f ∈ V ′.Dieser Satz ist also in zweierlei Hinsicht eine Verallgemeinerung des Satzes 3.12 von

Lax-Milgram: (i) Im Fall u 6= V und (ii) im Fall U = V aber einer nicht elliptischen

Bilinearform, die aber zumindest eine inf-sup Bedingung erfullt.

Satz 8.5 Die Bedingungen aus Satz 8.4 sei gleichermaßen fur die Hilbertraume

U, V sowie fur konforme Finite-Elemente Raume Uh ⊂ U, Vh ⊂ V mit Konstanten

α1, γ > 0 erfullt. Dann gilt fur die eindeutig definierte Losung uh ∈ Uh,

||u− uh||U ≤ (1 + α1/γ) infwh∈Uh

||u− wh||U .

Beweis. Zu beliebigem wh ∈ Uh wenden wir die Dreiecksungleichung an,

||u− uh||U ≤ ||u− wh||U + ||uh − wh||U .

Wir mussen offensichtlich den letzten Term beschranken. Dazu definieren das Funk-

tional l ∈ V ′ durch

〈l, v〉 := A(u− wh, v) ∀v ∈ V ,

sowie den linearen Operator L ∈ L(Uh, V′h) durch

〈Luh, vh〉 := A(uh, vh) .

Aufgrund der Galerkin-Orthogonalitat gilt fur vh ∈ Vh

〈l, vh〉 = A(u− wh, vh) = A(uh − wh, vh) = 〈L(uh − wh), vh〉 .

8.2 Inf-Sup Bedingung 117

Mit anderen Worten:

l|Vh = L(uh − wh) bzw. uh − wh = L−1l .

Mit der Beschranktheit von A gilt ||l||V ′ ≤ α1||u−wh||U . Wie im Beweis von Satz 8.4

gezeigt, gilt ||L−1||V ′h;Uh ≤ γ−1. Es folgt nun

||uh − wh||U = ||L−1l||U ≤ γ−1||l||V ′ ≤ γ−1α1||u− wh||U .

Zusammen erhalten wir damit die Behauptung.

Kapitel 9

Gemischte Formulierung und

Sattelpunktprobleme

9.1 Gemischte Formulierung des Poisson-Problems

Wir wollen das Poisson-Problem als ein System 1. Ordnung schreiben und dann das

so erhaltene System mit Finiten Elementen diskretisieren. Es stellt sich aber her-

aus, dass die bislang von uns verwendete Theorie nicht ausreicht. Das resultierende

System hat Sattelpunkt-Charakter. Was dies bedeutet werden wir nun entwickeln.

Zur Ubersetzung in ein System erster Ordnung verwenden wir, dass gilt

∆p = div∇p ,

mit dem Divergenzoperator div : H1(Ω)d → L2(Ω) definiert durch

div v(x) :=d∑i=1

∂vi(x)

∂xi.

Dies motiviert uns, eine neue Variable v = ∇p einzufuhren. Wir erhalten dann das

folgende lineare System 1. Ordnung

−div v = f ,

∇p− v = 0 .

Um hierzu die variationelle Formulierung aufzustellen, werden wir die erste Glei-

chung partiell integrieren:

(v,∇ξ)L2(Ω)d = (f, ξ)L2(Ω) ∀ξ ∈ H10 (Ω)

−(∇p, φ)L2(Ω)d + (v, φ)L2(Ω)d = 0 ∀φ ∈ L2(Ω)d .

120 M. Braack Gemischte Formulierung und Sattelpunktprobleme

Die Bilinearform hierzu lautet

A(v, p;φ, ξ) := (v,∇ξ)L2(Ω)d − (∇p, φ)L2(Ω)d + (v, φ)L2(Ω)d .

Die rechte Seite ist gegeben durch das Funktional

〈l; (φ, ξ)〉 := (f, ξ)L2(Ω) .

Eine geeignete Norm fur den Produktraum X := L2(Ω)d ×H10 (Ω) lautet

||(v, p)||X := ||v||L2(Ω)d + |p|H1(Ω) .

Gesucht ist nun das Paar (v, p) ∈ X, so dass

A(v, p;φ, ξ) = 〈l; (φ, ξ)〉 ∀(φ, ξ) ∈ X . (9.1)

Wir wollen untersuchen, ob die Bilinearform A beschrankt und elliptisch in X ist.

Die Beschranktheit ist in der Tat gegeben, denn

|A(v, p;φ, ξ)| ≤ ||v||L2(Ω)d |ξ|H1(Ω) + |p|H1(Ω)||φ||L2(Ω)d + ||v||L2(Ω)d||φ||L2(Ω)d

≤ (||v||L2(Ω)d + |p|H1(Ω))(||φ||L2(Ω)d + |ξ|H1(Ω))

= ||(v, p)||X ||(φ, ξ)||X .

Die Elliptizitat ist allerdings nicht erfullt, denn

A(v, p; v, p) = (v,∇p)L2(Ω)d − (∇p, v)L2(Ω)d + (v, v)L2(Ω)d

= ||v||2L2(Ω)d 6≥ ||(v, p)||2X .

Es fehlt offensichtlich die “Kontrolle” uber den Anteil |p|H1(Ω). Folglich laßt sich die

bisher verwendete Technik mittels des Satzes von Lax-Milgram nicht verwenden.

Wir benotigen die zuvor behandelte inf-sup Bedingung.

Wir werden dies im folgenden abstrakt formulieren, da viele partielle Differen-

tialgleichungen von einer solchen Form sind. Unsere Bilinearform ist offensichtlich

von der Form

A(v, p;φ, ξ) := a(v, φ) + b(v, ξ)− b(φ, p) ,

mit einer L2(Ω)d-elliptischen Bilinearform a : L2(Ω)d × L2(Ω)d → R und einer

Bilinearform b : L2(Ω)d ×H10 (Ω→ R), die hier definiert sind als

a(v, φ) := (v, φ)L2(Ω)d ,

b(v, ξ) := (v,∇ξ)L2(Ω)d .

9.2 LBB-Bedingung fur Sattelpunktprobleme 121

9.2 LBB-Bedingung fur Sattelpunktprobleme

Wenn wir nun von einem Sattelpunktproblem ausgehen, wie wir es u.a. im Fall des

Poisson Problems als System 1. Ordnung vorliegen haben, so kann man die Inf-sup

Bedingung des vorherigen Kapitels auf eine Inf-sup Bedingung eines Teils der ge-

samten Bilinearform zuruckfuhren. Die hieraus resultierende Inf-sup Bedingung wird

auch als LBB-Bedingung bezeichnet, benannt nach den Mathematikern Ladyshens-

kaja1, Babuska2 und Brezzi3.

Seien V und Q zwei Hilbertraume. Den Produktraum bezeichnen wir zuvor mit

X := V ×Q. Wir betrachten allgemein ein Sattelpunktproblem folgender Gestalt

a(v, φ)− b(φ, p) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V , (9.2)

b(v, ξ) = 〈g, ξ〉 ∀ξ ∈ Q . (9.3)

mit stetigen Bilinearformen

a : V × V → R und b : V ×Q→ R .

Satz 9.1 Fur einer symmetrischen und stetigen Bilinearform a und einer stetigen

Bilinearform b gelte:

(a) Die Bilinearform a ist V0-elliptisch, wobei V0 der Kern von b ist, also

V0 = v ∈ V : b(v, ξ) = 0 ∀ξ ∈ Q .

(b) LBB-Bedingung: Die Bilinearform b erfullt eine inf-sup Bedingung, d.h. es exi-

stiert eine Konstante γ > 0, so dass

infp∈Q\0

supv∈V \0

b(v, p)

||v||V ||p||Q≥ γ . (9.4)

Dann besitzt das Sattelpunktproblem (9.2)-(9.3) fur beliebige f ∈ V ′ und g ∈ Q′

stets eine eindeutige Losung (v, p) ∈ X.

Beweis. Der Beweis erfolgt in drei Schritten:

1. Schritt: Wir nehmen zunachst g = 0 an. Es existiert eine Zerlegung der Form V =

V0⊕V ⊥0 . Die V0-Elliptizitat der Bilinearform a liefert die Existenz einer eindeutigen

Losung v ∈ V0 mit

a(v, φ) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V0 . (9.5)

1Olga Alexandrowna Ladyschenskaja, 1922-2004, russische Mathematikerin und Physikerin.2Ivo Babuska, geb. 1926 in Prag, tschechischer Mathematiker.3Franko Brezzi, geb. 1945 in Vimercate, italienischer Mathematiker.


Nun ist noch ein p ∈ Q zu finden mit

b(φ, p) = 〈l, φ〉 := −〈f, φ〉+ a(v, φ) ∀φ ∈ V. (9.6)

Hier ist die rechte Seite ein Funktional l ∈ V ′, Fur φ ∈ V0 gilt nun aber wegen (9.5)

〈l, φ〉 = 0, also ist l ∈ V ⊥0 . Es gilt auch die inf-sup Bedingung in V ⊥0 ×Q:

infp∈Q\0

supv∈V ⊥0 \0

b(v, p)

||v||V ||p||Q≥ γ . (9.7)

Fur die Anwendung von Satz 8.4 mussen wir noch die Voraussetzung (c) uberprufen:

Diese besagt, dass zu jedem φ ∈ V ⊥0 \ 0 ein q ∈ Q existieren muss mit b(φ, q) 6= 0

gilt. Diese Eigenschaft gilt aber gemaß der Konstruktion von V0. Der Satz 8.4 lie-

fert uns nun eine eindeutige Losung p ∈ Q von (9.6) zunachst fur Testfunktionen

φ ∈ V ⊥0 . Fur φ ∈ V0 ist (9.6) aber trivialerweise erfullt.

2. Schritt: Fur allgemeines g fuhren wir den Beweis indem wir das Problem umfor-

mulieren. Hierzu fragen wir uns nach der Existenz eines eindeutigen vg ∈ V ⊥0 , so

dass

b(vg, ξ) = 〈g, ξ〉 ∀ξ ∈ Q . (9.8)

Hier laßt sich Satz 8.4 nicht unmittelbar anwenden, da die Rollen von vg und ξ

sozusagen vertauscht sind. Allerdings ist nach dem Beweis von Satz 8.4 der Operator

B : Q→ (V ⊥0 )′, definiert durch

〈Bξ, v〉 := b(v, q) ,

ein Isomorphismus. Dann ist aber auch der adjungierte Operator B∗ : V ⊥0 → Q′

ein Isomorphismus. Da 〈B∗v, q〉 = b(v, q) gilt, folgt die Existenz einer eindeutigen

Losung vg ∈ V ⊥0 von (9.8). Nun ist das Sattelpunktproblem aquivalent zur Suche

nach w := v − vg ∈ V und p ∈ Q mit

a(w, φ)− b(φ, p) = 〈f, φ〉 − a(vg, φ) ∀φ ∈ V ,b(w, ξ) = 0 ∀ξ ∈ Q .

Dieses Problem ist vom Typ wie im 1. Schritt und besitzt somit eine eindeutige

Losung.

3. Schritt: Um die Eindeutigkeit der Losung (v, p) zu zeigen, zeigen wir die Stabilitat

der Losung. Satz 8.4 (formuliert fur B∗) liefert uns die Stabilitat von vg:

||vg||V ≤ γ−1||g||Q′ .

9.2 LBB-Bedingung fur Sattelpunktprobleme 123

Mit der V0-Elliptizitat der Bilinearform a folgt

||w||V ≤ α−12 (||f ||V ′ + ||a(vg, ·)||V ′)

≤ α−12 (||f ||V ′ + α1||vg||V )

≤ α−12 (||f ||V ′ +

α1

γ||g||Q′) .

Hierbei sind α1 > 0 die Beschranktheitskonstante und α2 > 0 die Elliptizitats-

konstante von a. Nun folgt die Eindeutigkeit aus der Eindeutigkeit der homogenen

Gleichung, bei denen die rechten Seiten verschwinden.

Korollar 9.2 Es sei Th eine Familie quasi-uniformer Triangulierungen, so dass

die Bedingungen aus Satz 9.1 fur konforme Finite-Elemente Raume Vh ×Qh erfullt

sind mit Konstanten α, γ unabhangig von h. Dann gilt fur die eindeutig definierten

Losungen (vh, ph) mit einer Konstanten C,

||v − vh||V + ||p− ph||Q ≤ C

(inf

wh∈Vh||v − wh||V + inf

qh∈Qh||p− qh||Q

).

Beweis. Folgt unmittelbar aus Satz 8.5.

Satz 9.3 (Fortin Kriterium) Sei b : V × Q → R eine Bilinearform, die die Inf-

sup Bedingung (9.7) erfullt. Sei Vh × Qh ⊂ V × Q eine Familie von Teilraumen

derart, dass lineare Projektionen Πh : V → Vh existieren mit der Eigenschaft

b(v − Πhv, ph) = 0 ∀ph ∈ Qh ∀v ∈ V ,

sowie mit einer von h unabhangigen Konstante

||Πh||V ;Vh ≤ C .

Dann erfullt b auch die Inf-sup Bedingung fur die Raume Vh ×Qh mit einer von h

unabhangigen Konstanten γ′ > 0.

Beweis. Zu ph ∈ Qh sei v ∈ V diejenige Funktion, die

b(v, ph) ≥ γ||v||V ||ph||Q

erfullt. Dieses v existiert aufgrund der Inf-sup Bedingung fur V × Q. Wir setzen

jetzt vh := Πhv. Es folgt mit γ′ := C−1γ und der Stabilitat von Πh:

b(vh, ph) = b(v, ph) + b(Πhv − v, ph) = b(v, ph)

≥ γ||v||V ||ph||Q ≥ C−1γ||Πhv||V ||ph||Q = γ′||vh||V ||ph||Q .


9.3 Losbarkeit des Poisson Problems in gemisch-

ter Formulierung

9.3.1 LBB Bedingung des kontinuierlichen Problems in der

primal-gemischten Formulierung

Wir untersuchen jetzt die sogenannte primal-gemischte Formulierung des Poisson

Problems,

(v, φ)L2(Ω)d − (∇p, φ)L2(Ω)d = 0 ∀φ ∈ L2(Ω)d , (9.9)

(v,∇ξ)L2(Ω)d = 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ H10 (Ω) . (9.10)

Die Existenz von Losungen ergibt sich aus dem Satz 9.1.

Satz 9.4 Bei dem Poisson Problem in der primal-gemischten Formulierung (9.9)-

(9.10) existiert fur jedes f ∈ H1(Ω)′ eine eindeutige Losung (v, p) ∈ L2(Ω)d×H10 (Ω).

Beweis. Die Bilinearformen lauten mit der Bezeichnung V = L2(Ω)d und Q =

H10 (Ω),

a(v, φ) := (v, φ)V ,

b(v, ξ) := (v,∇ξ)Q .

Die Bilinearform a ist V -elliptisch, denn fur v ∈ V gilt a(v, v) = ||v||L2(Ω)d . Somit ist

sie auch auf dem Kern von b elliptisch. Um die Inf-sup Bedingung fur b zu zeigen,

wahlen wir speziell v := ∇p,

infp∈Q\0

supv∈V \0

b(v, p)

||v||V ||p||Q≥ inf

p∈Q\0

b(∇p, p)||∇p||V ||p||Q

= infp∈Q\0

(∇p,∇p)L2(Ω)d

|p|2H1(Ω)

= 1 .

Im Fall v = ∇p = 0 ware p konstant, was zusammen mit den homogenen Dirichlet-

werte von p impliziert, dass p = 0. Somit ist fur p 6= 0, v = ∇p ∈ V \ 0. Damit

sind die Voraussetzungen des Satzes 9.1 erfullt. Es folgt die Behauptung.

9.3.2 Dual-gemischte Formulierung

Wir benutzen in diesem Abschnitt den Hilbert-Raum

Hdiv(Ω) = v ∈ L2(Ω)d : div v ∈ L2(Ω) .

9.3 Losbarkeit des Poisson Problems in gemischter Formulierung 125

Das zugehorige Skalarprodukt und Norm lauten

(u, v)Hdiv(Ω) := (u, v)L2(Ω)d + (div u, div v)L2(Ω)d ,

||v||Hdiv(Ω) :=(||v||2L2(Ω)d + ||div v||2L2(Ω)

)1/2

.

Die alternative gemischte Formulierung, die sogenannte dual-gemische Formulie-

rung, lautet: Gesucht (v, p) ∈ Hdiv(Ω)× L2(Ω), so dass

(v, φ)L2(Ω)d + (p, div φ)L2(Ω) = 0 ∀φ ∈ Hdiv(Ω) , (9.11)

(div v, ξ)L2(Ω) = −〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ L2(Ω) . (9.12)

Hierbei fallt auf, dass die homogene Dirichlet-Bedingung p|∂Ω = 0 hierbei gar nicht

in Erscheinung tritt. Wir konnen dies auch (zunachst) nicht in den Raum Q ein-

bauen, da dies ja nur L2-Funktionen sind, die auf dem Rand nicht stetig zu sein

brauchen. Wir werden aber jetzt sehen, dass diese Randbedingungen sehr wohl be-

reits eingebaut sind:

Satz 9.5 Sei Ω ⊂ Rd beschrankt. Bei dem Poisson Problem in gemischter Formu-

lierung (9.11)-(9.12) existiert fur jedes f ∈ H1(Ω)′ eine eindeutige Losung (v, p) ∈Hdiv(Ω)× L2(Ω). Fur p gilt sogar p ∈ H1

0 (Ω).

Beweis. Das Problem (9.11)-(9.12) ist von Sattelpunktsform (9.2)-(9.3) in den

Hilbertraumen V = Hdiv(Ω) und Q := L2(Ω) und den Bilinearformen

a(v, φ) := (v, φ)L2(Ω)d ,

b(v, ξ) := −(div v, ξ)Q .

Die Bilinearform a ist V -beschrankt. Der Kern von b ist

V0 := v ∈ V : (div v, ξ)L2(Ω) = 0 ∀ξ ∈ L2(Ω) .

Die Bilinearform a ist auch V0-elliptisch, denn fur v ∈ V0 gilt wegen div v ∈ L2(Ω)

auch ||div v||L2(Ω) = 0 und somit

a(v, v) = ||v||2L2(Ω)d = ||v||2L2(Ω)d + ||div v||2L2(Ω) = ||v||2Hdiv(Ω) .

Nun ist noch die Inf-sup Bedingung fur b zu zeigen. Sei hierzu p ∈ L2(Ω) \ 0beliebig. Wir konstruieren uns ein geeignetes v ∈ V \ 0. Da C∞0 (Ω) dicht in L2(Ω)

ist, existiert ein p ∈ C∞0 (Ω) mit

||p− p||2L2(Ω) ≤1

2||p||2L2(Ω) .


Nun setzen wir die erste Komponente von v wie folgt

v1(x1, . . . , xd) := −∫ x1

−∞p(t, x2, . . . , xd) dt .

Dieses Integral ist wohldefiniert, da Ω als beschrankt vorausgesetzt wurde. Alle

ubrigen Komponenten setzten wir zu Null, v2 = . . . = vd := 0. Aufgrund dieser

Konstruktion gilt punktweise

div v =∂v1

∂x1

= p .

Nun gilt aufgrund bekannter Regeln fur Skalarprodukte, der Parallelogrammglei-

chung und der Young’schen Ungleichung,

b(v, p) = −(div v, p)L2(Ω) = (p, p)L2(Ω)

=1

2

(||p||2L2(Ω) + ||p||2L2(Ω) − ||p− p||2L2(Ω)

)≥ 1

2

(||p||2L2(Ω) +

1

2||p||2L2(Ω)

)≥ 1

4

(||p||2L2(Ω) + ||p||2L2(Ω)

)≥ 1

2||p||L2(Ω)||p||L2(Ω) .

Mit der Poincare-Friedrich’schen Ungleichung gilt mit einer Konstanten c = c(Ω),

||v||L2(Ω) ≤ c|v|H1(Ω) = c||div v||L2(Ω) ,

||v||2Hdiv(Ω) = ||v||2L2(Ω) + ||div v||2L2(Ω)

≤ (1 + c2)||div v||2L2(Ω)

= (1 + c2)||p||2L2(Ω) .

Also gilt mit einer anderen Konstanten c′ = (1 + c2)−1/2 > 0

b(v, p)

||v||V ||p||Q=

(p, p)L2(Ω)

||v||Hdiv(Ω)||p||L2(Ω)

≥ c′(p, p)L2(Ω)

||p||L2(Ω)||p||L2(Ω)

≥ c′/2 .

Also ist die LBB-Bedingung erfullt. Mit Satz 9.1 folgt eine eindeutige Losung v ∈Hdiv(Ω) und p ∈ L2(Ω). Es fehlt nun noch der Nachweis p ∈ H1

0 (Ω). Dies sieht man

wie folgt. Da jede C∞0 (Ω)-Funktion auch in Q liegt, gilt fur die Losung p insbesondere

(v, φ)L2(Ω) = −(p, div φ)L2(Ω) ∀φ ∈ C∞0 (Ω) .

9.4 Raviart-Thomas-Element 127

Dies ist aber gerade das Kriterium fur p ∈ H1(Ω) mit schwacher Ableitung ∇p = v.

Dass die Spur von p auf dem Gebietsrand ∂Ω verschwindet, sieht man indem man

mit beliebigen Funktion φ ∈ C∞(Ω) die Gleichung (9.11) testet, was ebenso erlaubt

ist:

0 = (v, φ)L2(Ω) + (p, div φ)L2(Ω)

= (∇p, φ)L2(Ω) + (p, div φ)L2(Ω)

=

∫∂Ω

p(φ · n) ds .

Hieraus folgt, dass die Spur von p auf ∂Ω verschwindet, also p ∈ H10 (Ω).

9.4 Raviart-Thomas-Element

Wir stellen jetzt das Raviart-Thomas-Element zur Diskretisierung der dual-gemischten

Formulierung (9.11)-(9.12) in zwei Dimensionen vor. Als endlich-dimensionalen Teil-

raum von Q = L2(Ω) wahlen wir hierbei stuckweise konstante Funktionen:

Qh = p ∈ L2(Ω) : p|T ∈ P0 ∀T ∈ Th .

Der Raum Vh betrachten wir stuckweise lineare Polynome aus P 21 der speziellen

Gestalt:

vh(x, y)|T =

(aTbT

)+ cT

(x

y

)(9.13)

mit Koeffizienten aT , bT , cT ∈ R. Diese sind aber uber Elementgrenzen hinweg nur

in Normalenrichtung stetig, also:

Vh = RT h:= vh ∈ L2(Ω)2 : vh(x, y)|T gemaß (9.13) mit aT , bT , cT ∈ R ∀T ∈ Th

und [vh · ne] = 0 fur alle inneren Kanten e .

Dies ist das Raviart-Thomas Element niedrigster Ordnung. Bei dem allgemeinen

Raviart-Thomas Element der Ordnung k ∈ N0, wahlt man die elementweisen Koef-

fizienten polynomial der Ordnung k, also aT , bT , cT ∈ Pk. Wir betrachten hier aber

nur den Fall k = 0.

Auf jedem Element T ∈ Th besitzt vh ∈ Vh demnach drei Freiheitsgrade. Die

Normalkomponente einer Raviart-Thomas-Funktion vh ∈ RT h ist auf jeder Drei-

eckskante konstant, denn fur einen Punkt (x, y) auf einer Kante e ∈ Eh mit Normalen


Abbildung 9.1: Raviart-Thomas-Element; vorgegeben werden die Normalenkompo-

nenten vTh ne an den drei Kanten.

ne gilt (x, y)Tne = ce mit Konstanten e. Also ergibt sich fur (x, y) ∈ e die Konstante

vh(x, y)Tne = (aT + cTx, bT + cTy)Tne

= (aT , bT )Tne + cT (x, y)Tne = (aT , bT )Tne + cT ce .

Die drei Freiheitgrade auf jeder Zelle konnen daher reprasentiert werden durch die

drei Normalenkomponenten vTh ne zu den drei Kanten e ∈ ET . Wir wollen nun einmal

erlautern, wie man aus der Vorgabe dieser drei Normalenkomponenten den Ansatz

vh|T ermittelt: Zu jedem Eckpunkt Ni, i = 1, 2, 3, des Dreiecks bestimmt man die

beiden Komponenten von vh(Ni) aus den Normalenkomponenten der jeweiligen bei-

den angrenzenden Kanten. Zu den sechs Werten vh(Ni)1, vh(Ni)2, i = 1, 2, 3, gibt es

nun ein eindeutiges lineares Polynom vh|T ∈ P 21 .

Lemma 9.6 Die Abbildung div : RT h → Qh ist surjektiv und es gilt fur ph ∈ Qh

und das Urbild vh ∈ RT h (also div vh = ph)

||vh||Hdiv(Ω) ≤ C||ph||L2(Ω) ∀vh ∈ RT h . (9.14)

Beweis. Sei ph ∈ Qh gegeben. Wir wahlen ein konvexes Gebiet Ω, mit Ω ⊂ Ω und

setzen ph auf Ω trivial fort. Dann existiert ein u ∈ H2(Ω)∩H10 (Ω) mit ∆u = ph f.u.

auf Ω. Fur v := ∇u ∈ H1(Ω) gilt dann div v = ph f.u. auf Ω. Nun mussen wir dieses v

noch aufRT h geeignet projezieren. Hierzu betrachten wir auf jeder Kante e ∈ Eh die

Mittelwerte der Normalkomponenten von v. Als vh ∈ RT h wahlen wir nun diejenige

Raviart-Thomas Funktion, deren Normalkomponenten an den Kanten genau diesen

Mittelwerten entspricht. Nach Konstruktion gilt fur jedes Element T ∈ Th∫T

ph dx =

∫T

div v dx =

∫∂T

v · n ds =

∫∂T

vh · n ds =

∫T

div vh dx .

Da ph ∈ Qh und div vh auf jeder Zelle T konstant sind folgt div vh(x) = ph(x) fur

alle x ∈⋃T∈Th T . Mittels Transformation auf ein Referenzelement, zeigt man, dass

gilt

||vh||L2(T )d ≤ c||v||H1(T )d ∀T ∈ Th ,


mit einer Konstanten c = c(κ). Hieraus folgt

||vh||2Hdiv(Ω) = ||vh||2L2(Ω)d + ||div vh||2L2(Ω)

=∑T∈Th

||vh||2L2(T )d + ||ph||2L2(Ω)

≤ c||v||2H1(Ω)d + ||ph||2L2(Ω) .

Ferner gilt aufgrund der Konvexitat von Ω und mit Satz 6.14

||v||2H1(Ω)d ≤ ||u||2H2(Ω) ≤ ||u||2H2(Ω)≤ C||ph||2L2(Ω)

.

Wegen der trivialen Fortsetzung von ph auf Ω folgt die gewunschte Abschatzung.

Satz 9.7 Die Raviart-Thomas Finite-Elemente Methode liefert fur das Poisson Pro-

blem zu jeder rechten Seite f ∈ H1(Ω)′ eine eindeutige Losung (vh, ph) ∈ RT h×Qh.

Beweis. Wir hatten bereits gesehen, dass die kontinuierliche Sattelpunktformu-

lierung in den Raumen Hdiv(Ω) × L2(Ω) fur das Poisson-Problem die Bedingungen

von Satz 9.1 erfullt und daher stets eine eindeutige Losung liefert. Wir wollen jetzt

nachprufen, ob die Bedingungen auch fur die diskreten Raume RT h × Qh gelten.

Hierzu werden wir zunachst uberprufen, ob RT h×Qh ⊂ Hdiv(Ω)×L2(Ω) gilt. Hier-

bei ist Qh ⊂ L2(Ω) offensichtlich. Es bleibt zu uberprufen, ob fur jedes vh ∈ RT hgilt div vh ∈ L2(Ω). Da vh element-weise polynomial ist, gilt div vh|T ∈ L2(T )

fur alle T ∈ Th. Hieraus folgt dann auch div vh ∈ L2(Ω). Da die Bilinearform

a(v, φ) = (v, φ)L2(Ω) auf V beschrankt und auf V0 elliptisch ist, ist sie auch auf

RT h beschrankt und auf V0,h := RT h ∩ V0 elliptisch. Es bleibt die Inf-sup Bedin-

gung fur b(vh, ph) zu uberprufen. Dies erfullen wir durch das Kriterium von Fortin

(Satz 9.3). Hierzu mussen wir eine lineare Projektion Πh : Hdiv(Ω) → RT h finden,

deren Operatornorm unabhangig von h ist und mit der Orthogonalitatseigenschaft

(div (v − Πhv), ph)L2(Ω) = 0 ∀ph ∈ Qh ∀v ∈ Hdiv(Ω) .

Der Raum Qh besteht aus elementweise konstanten Funktionen. Daher laßt sich

diese Bedingung auch lokal formulieren:∫T

div Πhv dx =

∫T

div v dx ∀v ∈ Hdiv(Ω) ∀T ∈ Th .

Dass dies moglich ist, folgt nun aus dem vorherigen Lemma indem wir ph ∈ Qh auf

jedem Element T konstant wahlen als pT := ph|T := |T |−1∫T

div v dx. Es folgt dann

namlich ∫T

div Πhv dx =

∫T

ph dx = ph|T |T | =

∫T

div v dx .


Außerdem folgt die h-Unabhangigkeit von ||Πh||V ;Vh aus der Abschatzung (9.14):

||Πhv||V = ||Πhv||Hdiv(Ω) ≤ C||ph||L2(Ω) ,

||ph||2L2(Ω) =∑T∈Th

||ph||2L2(T ) =∑T∈Th

|pT |2|T | ≤∑T∈Th

||div v||2L1(T )|T |−1

≤∑T∈Th

||div v||2L2(T )||1||2L2(T )|T |−1 = ||div v||2L2(Ω)

||Πh||V ;Vh = supv∈V

||Πhv||Hdiv(Ω)

||v||Hdiv(Ω)

≤ C supv∈V

||div v||L2(Ω)

||v||Hdiv(Ω)

≤ C .

Satz 9.8 Wenn fur die Losung gilt v ∈ H1(Ω)d und p ∈ H1(Ω), so gilt auf quasi-

uniformen Triangulierungen fur den Diskretisierungsfehler des Raviart-Thomas Ele-

ments (niedrigster Ordnung)

||v − vh||Hdiv(Ω) + ||p− ph||L2(Ω) ≤ chmax(|v|H1(Ω) + ‖p‖H1(Ω)

)+ inf

fh∈Qh||f − fh||L2(Ω) ,

wobei hmax := maxhT : T ∈ Th.

Beweis. Aufgrund von Korollar 9.2 wissen wir

||v − vh||Hdiv(Ω) + ||p− ph||L2(Ω)

≤ C

(inf

wh∈Vh||v − wh||Hdiv(Ω) + inf

qh∈Qh||p− qh||L2(Ω)

).

Da P0,h = Qh, gilt

infqh∈Qh

||p− qh||L2(Ω) ≤ chmax‖p‖H1(Ω) .

Es fehlt also nur noch eine geeignete Schranke fur die Interpolation von v ∈ H1(Ω)

zu finden. Wie im Beweis von Lemma 9.6 existiert zu einem solchen v ein Πhv ∈ RT hmit

(div (v − Πhv), qh) = 0 ∀qh ∈ Qh .

Im Fall von v ∈ P d0,h, also elementweises konstantes v, ware Πhv = v. Nach Bramble-

Hilbert folgt daher

||v − Πhv||L2(Ω) ≤ Chmax|v|H1(Ω) .


Um nun den Fehler in der Divergenz abzuschatzen, zeigen wir folgende Minimalei-

genschaft:

||div (v − ihv)||L2(Ω) = inffh∈Qh

||div v − fh||L2(Ω) .

Wenn dies gezeigt ist, folgt wegen div v = f die Behauptung. Diese Minimalei-

genschaft erfullt offensichtlich gerade die L2-Projektion von div v. Wir hatten aber

bereits gesehen, dass

(div (v − Πhv), ξh)L2(Ω) = 0 ∀ξh ∈ Qh .

Daher ist div Πhv gerade die L2-Projektion von div v auf Qh.

Kapitel 10

Parabolische Probleme

10.1 Warmeleitungsgleichung

Gegeben sei Ω ⊂ Rd ein Gebiet und ein Zeitintervall I = (0, T ] T > 0. Die Variable

x ∈ Ω stellt einen Ortspunkt und t ∈ I einen Zeitpunkt dar. Gesucht ist eine

Funktion u : Ω× I → R, (x, t) 7→ u(x, t) mit

∂u

∂t−∆u = f in Ω× I ,

u = 0 auf ∂Ω× I ,u(·, 0) = u0 in Ω .

Bezuglich der Zeit stellt dies also ein Anfangswertproblem dar und bezuglich des

Ortes ein Randwertproblem. Diese Gleichung heißt Warmeleitungsgleichung, denn

sie beschreibt die zeitliche und raumliche Ausbreitung von Temperatur. Aber auch

viele andere instationare Diffusionsprozeße werden durch diesen Typ von Gleichung

beschrieben. Im Speziallfall, dass u zeitlich unabhangig ist, also ∂tu = 0, so erhalten

wir unser ursprungliches Poisson-Problem. In diesem Fall ist der Zustand u stationar.

Als Diskretisierung des Zeitintervalls I fuhren wir Zeitpunkte 0 = t0 < t1 <

. . . < tM = T ein. Den jeweiligen Zeitschritt bezeichnen wir mit km := tm − tm−1

und die Teilintervalle mit Im := (tm−1, tm].

10.2 Implizites Euler-Verfahren

Wir nehmen an, um−1 := u(·, tm−1) fur m ≥ 1 bereits zu kennen. Bei dem impliziten

Euler-Verfahren verwenden wir als Approximation der zeitlichen Ableitung einen

134 M. Braack Parabolische Probleme

(ruckwartigen) Differenzenquotienten:

∂u

∂t(tm) ≈ 1

km(u(tm)− u(tm−1))

Ferner verwenden wir als rechte Seite fm := k−1m

∫ tmtm−1

f(·, t) dt. Zum Zeitpunkt tmwird jetzt das stationare lineare Problem

um − um−1

km−∆um = fm in Ω ,

um = 0 auf ∂Ω ,

betrachtet. Also ist um ≈ u(tm). Die schwache Formulierung in V = H10 (Ω) hiervon

lautet nun

um ∈ V : k−1m (um, v)Ω + (∇um,∇v)Ω = k−1

m (um−1, v)Ω + (fm, v)Ω ∀v ∈ V .

Hier verwenden wir die Kurzbezeichnung (·, ·)Ω fur das L2-Skalarprodukt in Ω. Bei

einer Finite Elemente Diskretisierung auf einem Gitter Tm mit Raumen Vm ⊂ V

wird nun ein uh,m ∈ Vm gesucht mit

k−1m (uh,m, v)Ω + (∇uh,m,∇v)Ω = k−1

m (uh,m−1, v)Ω + (fm, v)Ω ∀v ∈ Vm .

Wenn nun φi eine Basis von Vm ist und U die zugehorige Koeffizientendarstellung

von uh,m, so ist das zugehorigen linearen Systeme von der Form

(k−1m M + A)U = b .

Hierbei bezeichnet M = (mij) die Massematrix und A = (aij) die Steifigkeitsmatrix

mit den jeweiligen Eintragen

mij = (φj, φi)Ω ,

aij = (∇φj,∇φi)Ω .

Das resultierende Gleichungssystem ist also wieder symmetrisch. Man beachte, dass

im Fall eines kleinen Zeitschritts, k−1m groß ist, so dass der Anteil der Massenmatrix

uberwiegt, wahrend fur große Zeitschritte der Laplace-Anteil dominiert.

10.2.1 A priori Fehlerabschatzung

Wir benutzen folgende diskrete Seminorm

||u||k,∞ := max1≤m≤M

||u(tm)||L2(Ω)

10.2 Implizites Euler-Verfahren 135

Fur zeitlich diskrete Funktionen uh ∈ Vh ist dies sogar eine Norm. Wir verwenden

im nachfolgenden Satz folgende Bezeichnung:

||u||L2(Im;H10 (Ω)) :=

(∫I

|u(t)|2H1(Ω) dt

)1/2

=

(∫I

∫Ω

(∇u(x, t))2 dx dt

)1/2

.

Satz 10.1 Sei Ω ein konvexes Gebiet oder ein Gebiet mit C2-Rand. Th sei eine

zeitlich konstante Familie quasi-uniformer Gitter mit jeweiliger maximaler Gitter-

weite h := maxT∈Th hT . Fur die kontinuierliche Losung der Warmeleitungsgleichung

gelte u ∈ H1(I,H10 (Ω)) sowie ||u||k,∞ < ∞. Dann gilt fur das Euler Verfahren mit

einer ortlichen P1- oder Q1-Finite-Elemente Diskretisierung die folgende a-priori

Abschatzung:

||u− uh||k,∞ ≤ cmax

(1,

(T

k

)1/2)h2||∇2u||k,∞

+

(M∑m=1

k2m||∂tu||2L2(Im;H1

0 (Ω))

)1/2

.

Diese Abschatzung besagt im Fall eines uniformen Zeitschritts k = km:

||u− uh||h,∞ = O(h2k−1/2 + k) .

Aufgrund des Faktors k−1/2 ist dies nicht befriedigend. Man kann diesen Faktor im

Fall uniformer Zeitschritte aber vermeiden.

Beweis. Mit Rmh u bezeichnen wir die Ritz-Projektion von um := u(tm), d.h

Rmh u ∈ Vh : (∇Rm

h u,∇v)Ω = (∇um,∇v)Ω ∀v ∈ Vh .

Wir spalten den Fehler auf in ξm := um − Rmh u und ηm := uh,m − Rm

h u ∈ Vh.

Nach Korollar 6.17 konnen wir den Fehler ||ξm||L2(Ω) durch die H2-Norm von umausdrucken,

||um −Rmh u||L2(Ω) ≤ ch2|um|H2(Ω)

≤ ch2||∇2u||k,∞ .

Wir starten mit der Teleskopreihe

||ηM ||2 = ||η0||2 +M∑m=1

(||ηm||2 − ||ηm−1||2)


und verwenden fur die auftretenden Summenglieder die folgende Identitat, die fur

beliebige Skalarprodukte (·, ·) mit zugehoriger Norm || · || gilt:

||a||2 − ||b||2 = 2(a− b, a)− ||a− b||2 .

Hierbei setzen wir a := ηm, b := ηm−1, sowie (|| · || := || · ||L2(Ω), (·, ·) = (·, ·)Ω):

||ηm||2 − ||ηm−1||2 = 2(ηm − ηm−1, ηm)− ||ηm − ηm−1||2 .

Der letzte Term tritt spater nocheinmal mit positivem Vorzeichen aus, so dass dieser

kompensiert wird. Fur den ersten Term auf der rechten Seite gilt fur beliebiges v ∈ Vhunter Ausnutzung der Gleichung fur die Ritz-Projektion:

(ηm − ηm−1, v) = km(fm, v)− km(∇uh,m,∇v)− (Rmh u−Rm−1

h u, v)

= km(fm, v)− km(∇(ηm + um),∇v)− (um − um−1, v)

−(Rmh u− um −Rm−1

h u+ um−1, v)

Die ersten drei Terme lassen sich fur v := ηm unter Verwendung der Warmeleitungs-

gleichung und partieller Integration beschranken durch:

km(fm, ηm)− km(∇(ηm + um),∇ηm)− (um − um−1, ηm)

=

∫ tm

tm−1

(f − ∂tu, ηm) dt− km(∇um,∇ηm)− km||∇ηm||2

=

∫ tm

tm−1

(∇(u− um),∇ηm) dt− km||∇ηm||2

=

∫ tm

tm−1

(tm−1 − t)(∇∂tu,∇ηm) dt− km||∇ηm||2

≤∫ tm

tm−1

(1

4k2m||∇∂tu||2 + ||∇ηm||2) dt− km||∇ηm||2

≤ 1

4k2m

∫ tm

tm−1

||∂t∇u||2 dt+ km||∇ηm||2 − km||∇ηm||2

=1

4k2m

∫ tm

tm−1

||∂t∇u||2 dt

Hierbei wurde die Identitat∫ tm

tm−1

(u− um) dt =

∫ tm

tm−1

(tm−1 − t)∂tu dt

10.2 Implizites Euler-Verfahren 137

benutzt. Die Terme mit der Ritz-Projektion lassen sich formulieren als:

(Rmh u− um −Rm−1

h u+ um−1, ηm)

= (Rmh u− um, ηm)− (Rm−1

h u− um−1, ηm−1) + (Rm−1h u− um−1, ηm−1 − ηm) .

Der letzte Term hiervon beschrankt sich durch

|(Rm−1h u− um−1, ηm−1 − ηm)| ≤ 1

2||ηm−1 − ηm||2 + ch4|um−1|2H2(Ω).

Der erste Term wird wie bereits erwahnt kompensiert durch das vorherige Auftreten

dieses Terms mit entgegengesetztem Vorzeichen. Alles zusammen ergibt

||ηm||2 − ||ηm−1||2 ≤ −2(Rmh u− um, ηm) + 2(Rm−1

h u− um−1, ηm−1)

+1

2k2m

∫ tm

tm−1

||∂∇u||2 dt+ ch4|um−1|2H2(Ω).

Summation uber m = 1, . . . ,M und Anwendung der Ungleichungen von Cauchy-

Schwarz und Young ergeben

||ηM ||2 ≤ ||η0||2 − 2(RMh u− uM , ηM) + 2(R0

hu− u0, η0)

+1

2

M∑m=1


0 (Ω)) + ch4

M∑m=1

km−1|k−1/2m−1um−1|2H2(Ω)

≤ 3

2||η0||2 + 2||ξM ||2 +

1

2||ηM ||2 + 2||ξ0||2

+M∑m=1


0 (Ω)) + cTh4||k−1/2∇2u||2h,∞

Wir projezieren die Startlosung u0 ebenfalls durch die Ritz-Projektion, so dass η0 =

0. Insgesamt

||ηM ||2 ≤ 4(||ξM ||2 + ||ξ0||2) +1

2

M∑m=0


0 (Ω)) + cTh4||k−1/2∇2u||2h,∞ .

Da ||u− uh||k,∞ ≤ ||ξ||k,∞ + ||η||k,∞ folgt die Behauptung.

Bemerkung: Die Vermeidung der negativen Potenz k−1/2 im Vorfaktor erhalt

man im Fall konstanter Ortsgitter indem man die Gewichtung bei Anwendung der

Young’schen Ungleichung wie folgt andert:

|(Rm−1h u− um−1, ηm−1 − ηm)| ≤ 1

2k−1m ||ηm−1 − ηm||2 + ckmh

4|um−1|2H2(Ω).

Allerdings muss man nun noch folgende Summe geeignet beschranken:

M∑m=1

k−1m ||ηm−1 − ηm||2 ≤ c

(||∇2u0||2 +

M∑m=0

(km + h2)||∂tu||2L2(Im;H10 (Ω))

).


10.3 Trapez-Regel / Crank-Nicholson-Verfahren

Als Aternative zum impliziten Euler-Verfahren, das hochstens von 1. Ordnung im

Zeitschritt k ist, bietet sich die Trapez-Regel an (auch als Crank1-Nicholson2-Verfahren

bekannt), also

∆u ≈ 1

2∆(um + um−1) .

Der Diskretisierungsfehler ist hier O(k2 + h2), wenn die raumliche Diskretisierung

von 2. Ordnung ist. Bei diesem Verfahren wird der raumliche Differentialoperator

mit der Trapezregel integriert. In raumlich kontinuierlicher Formulierung lautet dies

fur die Warmeleitungsgleichung mit homogenen Dirichletrandbedingungen,

k−1m um − 1

2∆um = k−1

m um−1 + fm − 12∆um−1 in Ω ,

um = 0 auf ∂Ω .

Bei einer Finite Elemente Diskretisierung auf einem Gitter Tm mit Raumen Vm ⊂ V

wird nun ein uh,m ∈ Vm gesucht mit

k−1m (uh,m, v)Ω + 1

2(∇uh,m,∇v)Ω = k−1

m (uh,m−1, v)Ω

+(fm, v)Ω − 12(∇uh,m−1,∇v)Ω ∀v ∈ Vm .

Das zugehorige lineare System mit der Steifigkeitsmatrix A und Massematrix M

lautet

(k−1m M + 1

2A)U = b ,

wobei die rechte Seite b von um−1 abhangt. Daher ist der numerische Aufwand fur

die Berechnung der rechten Seite etwas hoher als beim impliziten Euler-Verfahren.

Der Hauptaufwand ist aber stets der Aufbau der Matrizen A und M sowie vor al-

lem das Losen der linearen Gleichungssysteme. Der numerische Aufwand hierfur ist

identisch zum impliziten Euler. Da das Crank-Nicholson-Verfahren aber wesentlich

genauer ist, ist diese Zeitintegration dem impliziten Euler-Verfahren i.d.R. vorzuzie-

hen. Allerdings sei hier erwahnt, dass das Crank-Nicholson-Verfahren instabiler als

das impliziten Euler-Verfahren ist. Der implizite Euler ist stark A-stabil. Dies bedeu-

tet, dass hochfrequente Anteile in der Losung um exponentiell in der Zeit gedampft

werden. Ebenso werden lokale Storungen in den Daten (also f oder u0) deutlich

1John Crank, 1916-2006, englischer Mathematiker, tatig an der Brunel University.2Phyllis Nicolson, 1917-1968, englische Mathematikerin.

10.4 θ-Einschrittverfahren 139

gedampft. Man hat also eine erhebliche numerische Diffusion in der Zeit, die das

implizite Euler-Verfahren aber sehr robust macht. Das Crank-Nicholson-Verfahren

ist hingegen nicht stark A-stabil. Daher reagiert das Verfahren außerst sensibel auf

beispielsweise nicht glatte Anfangswerte u0.

Fur die mathematisch exakte Definition von stark A-stabil und anderen Stabi-

litatsbegriffen verweisen wir auf einschlagige Literatur uber Numerik fur gewohnliche

Differentialgleichungen.

10.4 θ-Einschrittverfahren

Die beiden vorgestellten Verfahren kann man allgemein ansehen als eines der soge-

nannten θ-Verfahren. Hier ist θ ∈ [0, 1] ein fest gewahlter Parameter. Wir definieren

um+θ := θum+1 + (1− θ)um ,fm+θ := θfm+1 + (1− θ)fm .

Wenn nun A die zum Laplace-Operator zugehorige Bilinearform ist, so lautet das

θ-Einschrittverfahren zur Bestimmung von um+1 ∈ V semi-diskret in der Zeit

k−1m (um+1 − um, v)Ω + A(um+θ, v) = (fm+θ, v)Ω ∀v ∈ V . (10.1)

Die von um+1 abhangigen Teile der linken Seite stellen nun wieder eine V -elliptische

Bilinearform dar:

k−1m (v, v)Ω + θA(v, v) = k−1

m ||v||2L2(Ω) + θ|v|2H1(Ω)

Die Existenz einer Losung folgt fur hinreichend kleines km aus dem Satz von Lax-

Milgram. Der Ubergang zum raumlich diskreten verlauft analog wie bisher. Die

linearen Systeme lauten jetzt aufgrund der Linearitat von A

(k−1m M + θA)Um = (k−1

m M + (θ − 1)A)Um−1 .

Man erhalt fur

• θ = 1: implizites Euler-Verfahren,

• θ = 1/2: Trapez-Regel,

• θ = 0: explizites Euler-Verfahren.


Der nachfolgende Satz liefert nun eine verhaltnismaßig starke Stabilitatsaussage fur

das semi-diskrete Problem. Insbesondere ist die Stabilitat unabhangig von der Wahl

des Zeitschritts km; man spricht daher von unbedingter Stabilitat.

Satz 10.2 Fur die Warmeleitungsgleichung und 12≤ θ ≤ 1 ist das θ-Einschrittverfahren

unbedingt stabil, d.h.

||um||2L2(Ω) +M−1∑l=0

(kl|u2

l+θ|H1(Ω) + (2θ − 1)||ul − ul−1||2L2(Ω)

)≤ ||u0||2L2(Ω) + c

M−1∑l=0

kl||fl+θ||2L2(Ω)

Beweis. Wir setzen in (10.1) v := um+θ

k−1m (um+1 − um, um+θ)Ω + A(um+θ, um+θ) = (fm+θ, um+θ)Ω .

Andererseits gilt

(um+1 − um, um+θ)Ω = (um+1 − um, θum+1 + (1− θ)um)Ω

= (um+1 − um, 12um+1 + 1

2um + (θ − 1

2)(um+1 − um))Ω

= 12||um+1||2 − 1

2||um||2 + (θ − 1

2)||um+1 − um||2 .

Daher folgt mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, der Poincare-Friedrichs Un-

gleichung und der Young’schen Ungleichung

||um+1||2 − ||um||2 + (2θ − 1)||um+1 − um||2 + 2km|um+θ|2H1(Ω)

= 2km(fm+θ, um+θ)Ω

≤ 2kmcΩ||fm+θ|||um+θ|H1(Ω)

≤ kmc2Ω||fm+θ||2 + km|um+θ|2H1(Ω) .

Hieraus folgt nun

||um+1||2 − ||um||2 + (2θ − 1)||um+1 − um||2 + km|um+θ|2H1(Ω) ≤ kmc2Ω||fm+θ||2 .

Summation uber m liefert die Behauptung.

10.5 Unstetige Galerkin-Verfahren in der Zeit

Nun werden wir die Differentialgleichung auch bezuglich der Zeit in variationel-

ler Form formulieren und anschließend diskretisieren. Hierzu seien die Teilintervalle

halboffen gewahlt Im = [tm−1, tm) und

Vk(I) := v ∈ L2(I, V ) : v|Im ∈ C1(Im, V ) , 1 ≤ m ≤M .

10.5 Unstetige Galerkin-Verfahren in der Zeit 141

Diese Funktionen mussen an den Randpunkten der Intervalle nicht stetig sein. Daher

fuhren wir folgende Notation fur v ∈ V (I) ein:

v−m = limttm

v(x) , v+m = lim

ttmv(x) , [v]m = v+

m − v−m .

Wir stellen nun folgende variationelle Formulierung auf: Suche u ∈ Vk(I), so dass

die Anfangsbedingung u−0 = u0 erfullt ist und fur alle v ∈ Vk(I) gilt

M∑m=1

∫Im

[(∂tu, v)L2(V ) + A(u, v)] dt+ ([u]m−1, v+m−1)L2(V )

= (f, v)L2(I,V ) .

Um dies in der Zeit diskret zu formulieren, gehen wir wieder zu (in der Zeit) endlich-

dimensionalen Teilraumen uber

Vr,k(I) := v ∈ Vk(I) : v|Im ∈ Pr(Im, V ) , 1 ≤ m ≤M .

Das unstetige Galerkin Verfahren dG(r) (“discontinuous Galerkin”) lautet nun fol-

gerdermaßen. Finde uk ∈ Vr,k(I) mit

M∑m=1

∫Im

[(∂tuk, v)L2(V ) + A(uk, v)] dt+ ([uk]m−1, v+m−1)L2(V )

= (f, v)L2(I,V ) .

fur alle v ∈ Vr,k(I). Fur die exakte Losung verschwinden die Sprunge, [u]m−1 = 0.

Die Ableitung ∂tu ist in L2(I, V ), so dass wir die Summe zusammenfugen konnen

zu ∫I

[(∂tu, v)L2(V ) + A(u, v)] dt = (f, v)L2(I,V ) .

Dies ist gerade die schwache Formulierung der ursprunglichen Gleichung. Daher ist

das dG(r)-Verfahren konsistent, in dem Sinne, dass die exakte Losung u ∈ H1(I, V )

die diskrete Gleichung immer noch erfullt.

Kapitel 11

Stokes-Gleichung

Die mitunter einfachsten Modellgleichungen zur Beschreibung einer Stromung sind

die sogenannten Stokes-Gleichungen. Durch diese Gleichungen wird ein extrem zahflussi-

ges Fluid, z.B. Honig, beschrieben. Im Gegensatz zu einen weniger viskosen Fluid

treten hier keine kleinskaligen Wirbel auf. Das Gleichungssystem hierzu ist linear

und daher relativ einfach zu analysieren. Dennoch zeigen sich an diesem System

grundsatzliche numerische Schwierigkeiten.

Hierzu betrachtet man in einem beschrankten Gebiet Ω ⊂ Rd im d-dimensionalen

Raum, d ∈ 1, 2, 3, ein Geschwindigkeitsfeld v : Ω→ Rd und ein Druckfeld p : Ω→R. Die Geschwindigkeiten sind vektorwertig v = (v1, . . . , vd). Ferner benotigt man

eine außere Kraft f : Ω→ Rd. Dann lauten die Stokes-Gleichungen:

div v = 0 in Ω , (11.1)

−∆v +∇p = f in Ω , (11.2)

v = v0 auf ∂Ω . (11.3)

Hier haben wir als Randbedingungen zunachst einmal Dirichletbedingungen fur

die Geschwindigkeit angesetzt. Wenn man einen starken Losungsbegriff verwenden

mochte, benotigt man v ∈ C2(Ω)d ∩ C(Ω)d und p ∈ C1(Ω).

Die erste der obigen Gleichungen sichert die sogenannte Divergenz-Freiheit der

Losung. Diese sichert in gewisser Hinsicht die Massenerhaltung, denn verwendet man

den Gauß’schen Integralsatz, so ergibt sich fur ein beliebiges Gebiet ω ⊂ Ω und dem

außeren Normalenvektor n an ∂ω,

0 =

∫ω

div v dx =

∫∂ω

v · n ds .

144 M. Braack Stokes-Gleichung

Nun teilen wir den Rand ∂Ω in einen Einstromrand und einen Ausstromrand,

Γin = x ∈ ∂Ω : v · n < 0 ,Γout = x ∈ ∂Ω : v · n > 0 .

Damit ergibt sich fur eine divergenzfreie Stromung∫Γin

v · n ds = −∫

Γout

v · n ds ,

was soviel besagt wie, dass genauso viel einstromt wie ausstromt. Im Gebiet Ω gibt

es also keine Quellen und Senken. Wenn man (wie oben geschehen) am ganzen

Rand Dirichletbedingungen fur die Geschwindigkeiten ansetzt, so mussen diese die

folgende Kompatibilitatsbedingung erfullen:∫∂ω

v0 · n ds = 0 .

Ferner fallt auf, dass nur der Gradient des Druckes auftritt und nicht der Druck

selbst, weder in der Gleichung noch in den Randbedingungen. Daher kann der Druck

i.a. nicht eindeutig sein. Man benotigt eine weitere Normierungsbedingung fur den

Druck, z.B.: ∫Ω

p dx = 0 . (11.4)

Nun wollen wir die variationelle Formulierung genauer untersuchen.

11.1 Variationelle Formulierung fur Stokes

Wir multiplizieren die Stokes Gleichungen mit Testfunktionen und integrieren uber

Ω. Die zweiten Ableitungen werden wieder partiell integriert. Ebenso wollen wir die

Ableitung auf dem Druck durch partielles Integrieren auf die Testfunktion “abwalzen”:

(−∆v, φ)L2(Ω)d = (∇v,∇φ)L2(Ω)d − (∂nv, φ)L2(∂Ω)d ,

(∇p, φ)L2(Ω)d = −(p, div φ)L2(Ω) + (pn, φ)L2(∂Ω)d .

Dabei fallen die Randintegrale wieder weg, sofern die Testfunktion φ auf dem Rand

verschwindet. Wir erhalten dann insgesamt:

(div v, ξ)L2(Ω) = 0 ∀ξ ∈ Q , (11.5)

(∇v,∇φ)L2(Ω)d − (p, div φ)L2(Ω) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V . (11.6)

11.1 Variationelle Formulierung fur Stokes 145

Die zugehorigen variationellen Raume lauten:

φ ∈ V = H10 (Ω)d ,

ξ ∈ Q = L20(Ω) = q ∈ L2(Ω) : (q, 1)L2(Ω) = 0 .

In Q ist also die Normierungsbedingung (11.4) fur den Druck eingebaut. Es handelt

sich also hier um d+ 1 Gleichungen, die einzeln ausgeschrieben fur d = 2 folgender-

maßen lauten: ∫Ω

(∂xv1 + ∂yv

2)ξ dx = 0 ∀ξ ∈ Q ,∫Ω

(∂xv1∂xφ

1 + ∂yv1∂yφ

1)−∫

Ω

p∂xφ1 dx =

∫Ω

f 1φ1 dx ∀φ1 ∈ H10 (Ω) ,∫

Ω

(∂xv2∂xφ

2 + ∂yv2∂yφ

2)−∫

Ω

p∂yφ2 dx =

∫Ω

f 2φ2 dx ∀φ2 ∈ H10 (Ω) .

Die Komponenten der Funktionen haben wir hierbei mit einem hoch gestellten Index

versehen, v1, v2, φ1 und φ2. Den Produktraum bezeichnen wir mit

X = V ×Q .

Wir bezeichnen nun mit v, p ∈ X Paare von Funktionen im Produktraum X

unter der Nutzung der “geschweiften” Klammern, um keine Verwechslungen mit

dem Skalarprodukt zu erzeugen. Dann lautet die variationelle Formulierung

v, p ∈ X : A(v, p, φ, ξ) = 〈f, φ〉 ∀φ, ξ ∈ X .

mit der Bilinearform A : X ×X → R definiert durch

A(v, p, φ, ξ) := (div v, ξ)L2(Ω) + (∇v,∇φ)L2(Ω)d − (p, div φ)L2(Ω) .

Der folgende Satz liefert aus glatten schwachen Losungen klassische Losungen:

Satz 11.1 Fur rechte Seiten f ∈ L2(Ω)d sind schwache Losungen v, p ∈ X von

(11.5)-(11.6) mit v ∈ C2(Ω)d und p ∈ C1(Ω) klassische Losungen des Stokes-

Problems (11.1)-(11.3).

Beweis. Wir wahlen als Testfunktion ξ := div v ∈ L2(Ω). Dann gilt mit einer

Konstanten c, dass ξ − c ∈ Q. Aufgrund von (11.5) gilt nun

||div v||2L2(Ω) = (div v, ξ)L2(Ω) = (div v, c)L2(Ω) = c

∫Ω

div v dx .


Unter Verwendung des Gauß’schen Integralsatzes und wegen v|∂Ω = 0 f. u. erhalten

wir ∫Ω

div v dx =

∫∂Ω

v · n ds = 0 .

Also ist ||div v||L2(Ω) = 0 und daher div v(x) = 0 f.u. in Ω. Wegen v ∈ C1(Ω) folgt

die Divergenz-Freiheit sogar in jedem Punkt x ∈ Ω.

Die punktweise Gultigkeit der Gleichung (11.2) erhalten wir durch Zuruckfuhren auf

den elliptischen Fall (Poisson-Problem): Fur die schwache Losung v ∈ V gilt

(∇v,∇φ)L2(Ω)d = 〈g, φ〉 ∀φ ∈ V ,

mit 〈g, φ〉 := 〈f, φ〉 + (p, div φ)L2(Ω). Somit ist v klassische Losung des Poisson-

Problems

−∆v = g = f −∇p in Ω ,

und zugehorigen homogenen Dirichlet-Randbedingungen. Dies ist aber gerade die

Gleichung (11.2).

Die Losbarkeit und Eindeutigkeit fur dieses Stokes-Problem laßt sich nicht mit dem

Satz von Lax-Milgram zeigen, da die Bilinearform nicht X−elliptisch ist. Wir finden

namlich kein α > 0, so dass fur alle v, p ∈ X erfullt ist:

A(v, p, v, p) = |v|H1(Ω)d ≥ α||v, p||X = α(|v|H1(Ω)d + ||p||L2(Ω)) .

Ein solches α existiert offensichtlich nicht. Wir sind damit in einer vergleichba-

ren Situation wie bei den gemischten Finiten Elementen fur das Poisson-Problem

aus Kapitel 6. Wir mussen wieder die inf-sup-Bedingung fur Sattelpunktproble-

me uberprufen. Damit ergibt sich allerdings wieder Existenz und Eindeutigkeit von

Losungen. Das System (11.5)-(11.6) ist wieder von der Form (9.2)-(9.3) mit den

Bilinearformen a : V × V → R und b : V ×Q→ R,

a(v, φ) = (∇v,∇φ)L2(Ω)d ,

b(v, ξ) = (div v, ξ)L2(Ω) .

Im folgenden benutzen wir fur den Kern von b die Bezeichnung

V0 := v ∈ H10 (Ω) : (div v, ξ)L2(Ω) = 0 ∀ξ ∈ Q

und fur dessen Polare

V ⊥0 := φ ∈ V ′ : 〈φ, v〉 = 0 ∀v ∈ V0 .


Satz 11.2 Seien E,F,G Banachraume, A ∈ L(E,F ) und B ∈ L(E,G). Ferner sei

B ein kompakter Operator und es gelte folgende Normaquivalenz

||u||E ∼= ||Au||F + ||Bu||G.

Dann ist Ker(A) endlich-dimensional und R(A) abgeschlossen.

Beweis. (a) Wir zeigen zunachst, dass die Einheitskugel in Ker(A) kompakt ist.

Sei S := u ∈ Ker(A) | ||u||E ≤ 1. Fur Elemente in S sind die Normen ||u||E und

||Bu||G aquivalent. Jede Folge (un)n∈N in S ist daher auch bzgl. ||Bun||G beschrankt.

Da B als kompakt angenommen wurde, existiert eine Teilfolge (unk)k∈N, so dass Bunkin G konvergiert. Dann ist die Teilfolge (unk)k∈N aber auch eine Cauchy-Folge in E.

Aufgrund der Vollstandigkeit von E existiert ein Grenzwert u ∈ E. Mit der Stetigkeit

von A gilt wieder u ∈ Ker(A), sowie u ∈ S. Somit ist S abgeschlossen und kompakt.

Nun wissen wir, dass Einheitskugel nur in endlich-dimensionalen Teilraumen (Norm-

) kompakt sind. Es folgt dimKer(A) <∞.

(b) Wir betrachten den Quotientenraum E := E/Ker(A). Dieser Raum wird mit

der Norm

||u||E := infu∈u||u||E

fur u ∈ E zu einem Banachraum. Der Operator A kann nun auch aufgefasst werden

als eine Bijektion

A ∈ L(E, R(A)), (Au = Au).

Nun zeigen wir, dass A ein Isomorphismus ist. Da die Stetigkeit ohnehin klar ist,

muss nur noch gezeigt werden, dass die Inverse stetig ist, d.h. es gilt

||u||E ≤ c||Au||F ∀u ∈ E.

Zu u ∈ E sei u ∈ E ein beliebiger Reprasentant. Dann gilt

||u||E := infe∈Ker(A)

||u+ e||E.

Da nach (a) der Kern endlich-dimensional ist, wird das Infimum angenommen. Somit

existiert ein Reprasentant u ∈ E mit ||u||E = ||u||E. Es genugt daher der Nachweis

von

||u||E ≤ c||Au||F ∀u ∈ E. (11.7)


Angenommen, diese Abschatzung gelte nicht. Dann gabe es eine Folge (un)n∈N mit

||un||E = 1 und limn→∞

||Aun||F = 0.

Diese Folge ist also in E beschrankt, so dass die Bilder (Bun)n∈N aufgrund der Kom-

paktheit von B eine konvergente Teilfolge bilden. Wir bezeichnen diese Teilfolge wie-

der mit (un)n∈N. Es gilt also, dass sowohl (Aun)n∈N als auch (Bun)n∈N konvergieren.

Mit der Normaquivalenz folgt, dass dann auch (un)n∈N eine Cauchy-Folge bildet und

damit un → u in E. Nun gilt zum einen

||u||E = limn→∞

||un||E = 1

und zum anderen

||Au||F = limn→∞

||Aun||F = 0.

Somit ist u ∈ Ker(A). Da u ein Reprasentant von u ist, folgt u = 0 und ||u||E = 0.

Folglich gilt auch ||u||E = 0, was ein Widerspruch ist.

Der Gradientenoperator ∇ : L2(Ω) → V ′ ist definiert fur p ∈ L2(Ω) und φ ∈ V

durch

〈∇p, φ〉 := −(p, divφ).

Lemma 11.3 [Lemma von J.L. Lions] Sei Ω ⊂ R ein beschranktes Lipschitz-

Gebiet. Dann gilt:

L2(Ω) =q ∈ H−1(Ω) | ∇q ∈ H−1(Ω)d

.

Beweis. Die Richtung ⊆ ist hierbei einfach zu sehen. Die andere Richtung, d.h.

dass aus q, ∂iq ∈ H−1(Ω) fur i ∈ 1, . . . , d folgt q ∈ L2(Ω) ist hingegen erstaunlich

schwer. Wir verweisen auf [8].

Lemma 11.4 Sei Ω ⊂ R ein beschranktes Lipschitz-Gebiet. Dann gilt:

||p||L2(Ω)∼= ||p||H−1(Ω) + ||∇p||H−1(Ω)d .

Beweis. Hierbei ist die Abschatzung

||p||H−1(Ω) ≤ c||p||L2(Ω) (11.8)


klar aufgrund der stetigen Einbettung id : L2(Ω) → H−1(Ω). Die entsprechende

Beschranktheit des Gradienten erhalt man ebenfalls einfach, namlich durch:

||∇p||H−1(Ω)d = supv∈H1

0 (Ω)d

(p, div v)L2(Ω)

||∇v||L2(Ω)d×d

≤ supv∈H1

0 (Ω)d

||p||L2(Ω)||div v||L2(Ω)

||∇v||L2(Ω)d×d= c||p||L2(Ω) . (11.9)

Somit ist der Gradientenoperator stetig und ∇L(L2(Ω);H−1(Ω)). Der Beweis der

anderen Richtung

||p||L2(Ω) ≤ c(||p||H−1(Ω) + ||∇p||H−1(Ω)d

). (11.10)

ist unter der Bezeichnung Ungleichung von Necas bekannt. Dies zu zeigen ist auf-

wandig und sehr technisch, siehe [12]. Ein alternativer Zugang zu dieser Ungleichung

ist uber das Lemma 11.3. Die Gleichheit der Raume impliziert, dass die Identitat

id : L2(Ω)→ H := q ∈ H−1(Ω) | ∇q ∈ H−1(Ω)d

eine Bijektion ist. H wird mit einer geeigneten Norm (namlich der durch die rechten

Seite (11.10) gegebenen Norm) zu einem Banachraum. Die Bijektion agiert also

zwischen Banachraumen mit unterschiedlichen Topologien, der L2-Topologie und der

von H. Die Abschatzungen (11.8)-(11.9) besagen zudem, dass diese Identitat stetig

ist. Der Satz der offenen Abbildung impliziert die Stetigkeit der Umkehrabbildung

und damit (11.10).

Der nachfolgenden Satz macht eine Aussage uber das Bild des Gradientenoperators

R(∇) := ∇p ∈ H−1(Ω)d∣∣ p ∈ L2(Ω) .

Satz 11.5 Sei Ω ⊂ R ein beschranktes Lipschitz-Gebiet. Dann gilt:

(a) ∇ ∈ L(L2(Ω);H−1(Ω)) und das Bild R(∇) ist abgeschlossen. Das Bild ist

ebenfalls abgeschlossen, wenn man den Gradienten auf Funktionen aus Q =

L20(Ω) beschrankt.

(b) Zu jedem Φ ∈ V ⊥0 existiert ein p ∈ L2(Ω) mit

−∇p = Φ im H−1(Ω) Sinn.

(c) Das p in (b) ist im Fall eines zusammenhangenden Gebietes bis auf eine Kon-

stante eindeutig definiert.


Die Aussage (b) auch als Satz von de Rham bekannt.

Beweis. (a): Fur den Nachweis der Abgeschlossenheit des Bildes wollen wir Satz

11.2 verwenden. Die Anwendung von Satz 11.2 erfolgt nun mit der Wahl E = L2(Ω),

F = H−1(Ω), G = H−1(Ω)d, A = ∇ und B = id. Die notwendige Normaquivalenz

wurde in Lemma 11.4 gezeigt. Wir erhalten die Abgeschlossenheit des Bildes R(∇).

Im Fall ∇ : Q → H−1(Ω)d kann man analog argumentieren, da Q ebenfalls ein

Banachraum ist.

(b): Wir betrachten den zum Gradienten adjungierten Operator, der Divergenz,

∇∗ = div : V → L2(Ω).

Man beachte V ′′ = V und L2(Ω)′ = L2(Ω). Aufgrund der Eigenschaft (a) konnen wir

den Satz vom abgeschlossenen Bild anwenden. Dieser stellt die Identitat zwischen

dem Bild R(∇) und der Polaren des Kerns des adjungierten Operators dar:

R(∇) = Ker(div )⊥.

Wegen Ker(div ) = V0 folgt die Existenz p ∈ L2(Ω).

(c): Die Eindeutigkeit bis auf Konstanten uberlassen wir als Ubungsaufgabe.

Korollar 11.6 Sei Ω ⊂ R ein beschranktes Lipschitz-Gebiet. Dann ist ∇ als Abbil-

dung ∇ ∈ L(Q,R(∇)) offen, d.h. es gilt insbesondere

||p||L2(Ω) ≤ cΩ||∇p||H−1(Ω)d ∀p ∈ Q . (11.11)

Beweis. ∇ : Q → R(∇) ist per Konstruktion surjektiv. R(∇) ist ein normierter

Raum und aufgrund von Satz 11.5 vollstandig (man beachte, dass der Beweis fur

das Bild bzgl. Q genauso gefuhrt werden kann wie fur L2(Ω)). Damit ist ∇ eine

lineare stetige und surjektive Abbildung zwischen Banachraumen. Der Satz der of-

fenen Abbildung besagt nun, dass diese Abbildung offen ist. Dies bedeutet fur ein

geeignetes ε > 0 die Implikation

||∇p||H−1(Ω)d < ε =⇒ ||p||L2(Ω) < 1 ∀p ∈ Q.

Zusammen mit der Linearitat folgt hieraus die Behauptung mit cΩ = 2/ε.

Satz 11.7 In beschrankten Lipschitz-Gebieten Ω besitzt das Stokes-Problem (11.5)-

(11.6) fur beliebiges f ∈ [H10 (Ω)d]′ eine eindeutige Losung v, p in H1

0 (Ω)d×L20(Ω).


Beweis. Wir wollen Theorem 9.1 anwenden. Hierzu bemerken wir zunachst, dass

die Bilinearform a(·, ·) offensichtlich auf ganz V elliptisch ist. Hier sei darauf hinge-

wiesen, dass man eigentlich nur die Elliptizitat auf V0, dem Kern von b(·, ·), benotigt.

Nun ist noch die inf-sup-Bedingung zu verifizieren, also die Existenz eines γ > 0 der-

art, dass gilt

∀p ∈ L20(Ω) ∃v ∈ H1

0 (Ω)d : (div v, p)L2(Ω) ≥ γ|v|H1(Ω)d ||p||L2(Ω) .

Sei p ∈ L20(Ω) gewahlt. Dann ist ∇p im Dualraum von H1

0 (Ω), also ∇p ∈ H−1(Ω).

Nach Definition der H−1-Norm existiert ein v ∈ H10 (Ω) mit |v|H1(Ω) = 1 und

||∇p||H−1(Ω)d = supu∈H1

0 (Ω)d,|u|H1(Ω)d

=1

(∇p, u)L2(Ω)d

≤ γ−1(∇p, v)L2(Ω)d = γ−1(p, div v)L2(Ω) ,

wobei 0 < γ < 1 beliebig gewahlt werden kann. Es folgt daher

(div v, p)L2(Ω) ≥ γ|v|H1(Ω)d ||∇p||H−1(Ω)d .

Mit (11.11) folgt die Behauptung.

Eine aquivalente Formulierung der inf-sup-Bedingung ist im folgenden Korollar ge-

geben.

Korollar 11.8 In beschrankten Lipschitz-Gebieten Ω existiert eine Konstante cΩ >

0, so dass zu jedem Druck p ∈ L20(Ω) eine Geschwindigkeit v ∈ H1

0 (Ω)d existiert mit

div v = p und |v|H1(Ω)d ≤ cΩ||p||L2(Ω).

Beweis. Hierzu ist zu zeigen, dass die Abbildung

div : V ⊥0 → Q′ , φ 7→ div φ

ein Isomorphismus ist. Aufgrund der Bijektivitat folgt dann, dass zu p ∈ Q ein

u ∈ V ⊥0 existiert mit div u = p. Die Stetigkeit ergibt |u|H1(Ω)d ≤ cΩ||p||L2(Ω). Dass der

obige Operator div tatsachlich ein Isomorphismus ist, ist wiederum gleichbedeutend

damit, dass der adjungierte Operator

∇ : Q→ (V ⊥0 )′ , 〈∇p, v〉 := (div v, p)

ein Isomorphismus ist. Dies ist wiederum die Aussage des Satzes 11.5.

Es gibt auch eine alternative Sichtweise, das Stokes-Problem zu formulieren, indem

man sich unmittelbar auf divergenz-freie Losungen und Testfunktionen beschrankt,

also auf v, φ ∈ V0,

v ∈ V0 : (∇v,∇φ)L2(Ω)d = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ V0 . (11.12)


Man benotigt jetzt also keinen Druck p mehr. Der Druck wird daher auch haufig

als Lagrange-Multiplikator gesehen, um die Divergenz-Freiheit zu gewahrleisten. Im

divergenz-freien Raum V0 ist das Stokes-Problem also nichts anderes als ein Poisson-

Problem. Auch hier folgt aufgrund der V0-Elliptizitat unmittelbar die Existenz und

Eindeutigkeit einer Losung v ∈ V0. Um zu der Geschwindigleit einen Druck zu

erhalten, also

p ∈ Q : (p, divφ) = −〈f, φ〉+ (∇v,∇φ)L2(Ω)d ∀φ ∈ V ,

benotigt man aber wieder die LBB-Bedingung.

11.2 Die diskrete LBB-Bedingung fur Stokes

Die inf-sup-Bedingung fur die diskreten Raume lautet analog:

Korollar 11.9 Das diskrete Stokes Problem besitzt eine eindeutige Losung, wenn

ein γ > 0 existiert, so dass

∀ph ∈ Qh ∃vh ∈ Vh : (div vh, ph)L2(Ω) ≥ γ|vh|H1(Ω)d ||ph||L2(Ω) , (11.13)

Die kontinuierliche inf-sup-Bedingung ubertragt sich aber nicht automatisch auf be-

liebige Teilraume Xh ⊂ X. Es gibt sogar zwei qualitativ verschiedene Moglichkeiten,

dass diese Bedingung im Diskreten verletzt ist.

Zum einen ist es moglich, dass es einen nicht-trivialen Druck ph ∈ Qh gibt, der

im Kern der Bilinearform b(·, ·) liegt, d.h. es gilt

(ph, div vh) = 0 ∀vh ∈ Vh .

In diesem Fall ist die Kombination Xh = Vh ×Qh instabil.

Eine etwas schwachere Form der Instabilitat liegt vor, wenn zwar kein ph ∈ Qh \0 im Kern von b(·, ·) liegt, aber wenn die inf-sup Konstante γ von der Gitterweite

h abhangt. In diesem Fall existiert zwar zu jeder Triangulierung Th eine Konstante

γh > 0, so dass

∀ph ∈ Qh ∃vh ∈ Vh : (div vh, ph)L2(Ω) ≥ γh|vh|H1(Ω)d||ph||L2(Ω) ,

aber es gilt limh→0 γh = 0 (zumindest fur gewisse Nullfolgen von Gitterweiten). In

diesem Fall spricht man von nahezu instabilen Elementen.

Wir wollen in den folgenden Abschnitten Beispiele von beiden Arten von insta-

bilen sowie stabile Elemente kennen lernen.

11.2 Die diskrete LBB-Bedingung fur Stokes 153

(i,j) (i+1,j)

(i+1,j+1)(i,j+1)

p

v v

vv

Abbildung 11.1: Schematische Darstellung des instabilenQ1/P0-Elements fur Stokes.

11.2.1 Instabile Stokes-Elemente

Instabile Elemente sind beispielsweise Kombinationen mit gleichem Polynomgrad,

wie Pr/Pr-Elemente oder Qr/Qr-Elemente fur vh und ph. Diese Instabilitat wollen

wir allerdings der Einfachheit halber am Beispiel von Q1-Elementen fur die Ge-

schwindigkeiten und P0-Elementen (also unstetig, element-weise konstant) fur den

Druck illustrieren:

Vh := Q1(Th)d = vh ∈ C(Ω)d : vh|T ∈ Qd1(T ) ∀T ∈ Th ,

Qh := P0(Th) = ph ∈ L2(Ω) : ph|T ∈ P0(T ) ∀T ∈ Th .

Man spricht hier von der instabilen Kombination Q1/P0. Die Freiheitsgrade konnen

wie in Abbildung 11.1 verteilt werden. Wir betrachten ferner zu Illustrationszwecken

ein aquidistantes Tensorgitter in 2D. Wir werden sehen, dass der folgende Druck phim Kern des Divergenz-Operators liegt. Der Druck zur quadratischen Zelle Tij mit

den Knoten (i, j), (i+ 1, j), (i, j+ 1) und (i+ 1, j+ 1) sei mit p∗i+1/2,j+1/2 bezeichnet

und in folgender Form gewahlt:

p∗i+1/2,j+1/2 =

1 wenn i+ j gerade,

−a wenn i+ j ungerade..

Die Große a sei eine derartig gewahlte positive Konstante, so dass∫Ω

p∗h dx = 0 ,

also p∗h ∈ Qh. Es handelt sich hierbei um eine Druckverteilung in Schachbrett-

Anordnung (checkerboard modes). Wenn xT der Mittelpunkt des Elementes Tij ist,


so berechnet sich jetzt (p∗h, div vh)L2(Tij) wie folgt:∫Tij

p∗hdiv vh dx = p∗i+1/2,j+1/2

∫Tij

(∂xv1h + ∂yv

2h) dx

=1

2hh2p∗i+1/2,j+1/2

(v1i+1,j+1 + v1

i+1,j − v1i,j+1 − v1

i,j+

v2i+1,j+1 + v2

i,j+1 − v2i+1,j − v2

i,j

).

Hierbei haben wir ausgenutzt, dass div vh auf jedem Element linear ist und daher

die Trapezregel exakt integriert. Summation uber alle Elemente und Sortierung nach

v1i,j und v2

i,j ergibt eine Summe uber alle inneren Knoten:∫Ω

p∗hdiv vh dx = h2∑i,j

(v1i,j∇1

ijp∗h + v2

i,j∇2ijp∗h) ,

mit Differenzenquotienten des Drucks:

∇1ijp∗h =

1

2h(pi+1/2,j+1/2 + pi+1/2,j−1/2 − pi−1/2,j+1/2 − pi−1/2,j−1/2) ,

∇2ijp∗h =

1

2h(pi+1/2,j+1/2 + pi−1/2,j+1/2 − pi+1/2,j−1/2 − pi−1/2,j−1/2) .

Diese Differenzenquotienten verschwinden aber gerade fur den oben gewahlten Druck

mit dem Schachbrettmuster. Also folgt (ph, div vh)L2(Ω) = 0 unabhangig vom gewahl-

ten diskreten Geschwindigkeitsfeld vh ∈ Q1(Th)2.

11.2.2 Nahezu instabile Stokes-Elemente

Von nahezu instabilen Stokes-Elementen spricht man, wenn eine inf-sup Bedingung

der Form

∀ph ∈ Qh ∃vh ∈ Vh : (div vh, ph)L2(Ω) ≥ γh|vh|H1(Ω)d||ph||L2(Ω)

erfullt ist, sich die Konstante γh aber nicht nach unten von der Null wegbeschranken

laßt, sondern wenn

limh→0

γh = 0 .

Ein solches Element erhalt man beispielsweise, wenn man das zuvor beschriebene

instabile Q1/P0-Element durch folgende Maßnahme versucht stabil zu bekommen:

Fur Q1-Geschwindigkeiten sind die unstetigen P0-Drucke anscheinend noch zu zahl-

reich. Insbesondere hatten wir gesehen, dass ein Druck p∗h ∈ P0(Th) existiert, der im

11.3 Mini-Element 155

Kern des Divergenz-Operators liegt. Nun kann man versuchen diesen partikularen

Druck herauszufiltern. Man wahlt also den Druckraum:

Qh := p∗h⊥ = ph ∈ P0(Th) : (ph, p∗h)L2(ω) = 0 .

Nun kann man zeigen, dass diese Finite Elemente Kombination Q1/(P0 ∩ p∗h⊥)

nahezu instabil ist.

Im folgenden wollen wir hingegen einige gangige stabile Elemente kennenlernen.

11.3 Mini-Element

Das Mini-Element basiert auf der P1/P1-Diskretisierung, wobei der Geschwindig-

keitsraum allerdings angereichert ist [3]. Diese Anreicherung besteht aus element-

weisen Blasenfunktionen (engl. bubble functions). In zwei Dimensionen betrachten

wir auf jedem Dreiecks-Element T ∈ Th die kubische Funktion

bT (x) := λT,1λT,2λT,3 ∀x ∈ T ,

wobei λT,i die baryzentrischen Koordinaten sind. Auf dem Einheitsdreieck sind dies

λT ,1 = x1, λT ,2 = x2 und λT ,3 = 1 − x1 − x2. Außerhalb von T wird bT (x) = 0

gesetzt. Da bT bereits auf den Elementkanten von T verschwindet, sind diese Bla-

senfunktionen stetig mit Trager supp bT ⊂ T . In Abb. 11.2 ist diese Blasenfunktionen

dargestellt. Der Geschwindigkeitsraum wir nun gewahlt als

Vh :=

(P1(Th)⊕ span

⋃T∈Th

bT

)2

.

Wir bezeichnen diesen Raum auch symbolisch mit P bubble1 . Die Drucke werden in

Qh = P1(Th) ∩Q gesucht.

Satz 11.10 Die Diskretisierung des Stokes-Problems mit dem Mini-Element P bubble1 /P1

liefert fur beliebige rechte Seiten f ∈ L2(Ω)d auf quasi-uniformen Gittern Th eine

eindeutige Losung vh, ph ∈ Vh ×Qh. Diese erfullt die a priori Abschatzung

|v − vh|H1(Ω)d + ||p− ph||L2(Ω) ≤ Ch|v|H2(Ω)d + |p|H1(Ω) ,

mit h := maxhT : T ∈ Th und einer h unabhangigen Konstanten C..

Beweis. (a) Wir weisen die Gultigkeit des Kriteriums von Fortin aus Satz 9.3

nach. Dieses liefert uns dann die diskrete inf-sup Bedingung (11.13) und damit


Abbildung 11.2: Lokale Blasenfunktion bT um die der P1-Raum der Geschwindigkei-

ten bei dem Mini-Element angereichert wird.

Existenz und Eindeutigkeit. Wir haben also die Existenz einer Projektion Πh : V →Vh zu zeigen mit der Orthogonalitats-Eigenschaft

(div (v − Πhv), ph) = 0 ∀ph ∈ Qh ∀v ∈ V ,

sowie die Beschranktheit mit einer von h unabhangigen Konstanten

||Πhv||H1(Ω)d ≤ C||v||H1(Ω)d ∀v ∈ V .

Diese Projektion wird von der Form

Πh = Ch + πh(I − Ch) ,

mit zwei weiteren Projektionen Ch, πh : V → Vh sein. Die erste Projektion Ch wird

gewahlt als Clement-Interpolierende mit den Stabilitats- und Approximationseigen-

schaften fur v ∈ V = H10 (Ω):

||Chv||H1(Ω)d ≤ c||v||H1(Ω)d , (11.14)

||v − Chv||L2(T )d ≤ chT ||v||H1(ωT )d . (11.15)

Hier ist ωT der zugehorige “Clement”-Patch des Elementes T . Die zweite Projektion

wird uns die Orthogonalitats-Eigenschaft sichern. Hierzu definieren wir auf jedem

Element

βi,T :=

∫T

vi dx

(∫T

bT dx

)−1

, i = 1, 2 .

Damit definieren wir uns komponentenweise

(πhv)i :=∑T∈Th

βi,T bT

11.3 Mini-Element 157

Aufgrund dieser Konstruktion erfullt diese Projektion die Eigenschaft, dass der Mit-

telwert erhalten bleibt: ∫T

(πhv − v) dx = 0 ∀T ∈ Th .

Hieraus ergibt sich dann mit partieller Integration und aufgrund von (v−πhv)|∂Ω = 0

die Orthogonalitat

(div (v − πhv), ph)L2(Ω) =∑T∈Th

(div (v − πhv), ph)L2(T )

=∑T∈Th

((πhv − v,∇ph)L2(T )d +

∫∂T

(v − πhv) · nph ds).

Nun ist zu bemerken, dass die inneren Kantenintegrale verschwinden aufgrund des

wechselnden Vorzeichens der Normalen. Die Kantenintegrale entlang der außeren

Kanten verschwinden, da v|∂Ω = 0 f.u. und πhv|∂Ω = 0. Die Druckgradienten ∇phsind element-weise konstant, so dass sich insgesamt ergibt:

(div (v − πhv), ph)L2(Ω) =∑T∈Th

(∇ph)|T∫T

(πhv − v) dx = 0 . (11.16)

Ferner laßt sich einfach zeigen, dass diese Projektion L2-stabil ist, also ||πhv||L2(Ω) ≤c||v||L2(Ω). Nun gilt

v − Πhv = v − (Chv + πh(v − Chv)) = (I − πh)(v − Chv) .

Daher folgern wir insgesamt

(div (v − Πhv), ph)L2(Ω) = (div (I − πh)(v − Chv), ph)L2(Ω) = 0 .

Allerdings ist zu beachten, dass hierzu (v−Πhv)|∂Ω = 0 f.u. erforderlich ist, denn das

wurde fur (11.16) benutzt. Um dies fur den Projektionsanteil zu gewahrleisten ist

die standard Clement-Interpolierende nicht geeignet, da i.a. Chv|∂Ω 6= 0. Man kann

sich aber damit behelfen, eine modifizierte Clement-Interpolierende nach Scott und

Zhang [14] zu benutzen. Diese basiert auf Mittelwertbildung entlang von Kanten,

erfullt ebenso die Stabilitats- und Approximationseigenschaften (11.14) und laßt

eine konstante Spur von v entlang des Randes ∂Ω unverandert.

(b) Die Stabilitat von Πh ergibt sich aus einer inversen Abschatzung. Zunachst

gilt

||Πhv||H1(Ω)d ≤ ||Chv||H1(Ω)d + ||πh(I − Ch)v||H1(Ω)d

≤ ||v||H1(Ω)d +

(∑T∈Th

||πh(I − Ch)v||2H1(T )d

)1/2

.


Auf jedem Element T wenden wir eine inverse Abschatzung (siehe nachfolgender

Satz), die Stabilitat von πh und die Approximationseigenschaft von Ch an:

||πh(I − Ch)v||H1(T )d ≤ ch−1T ||πh(I − Ch)v||L2(T )d

≤ ch−1T ||v − Chv||L2(T )d

≤ c||v||H1(ωT )d .

Damit erhalten wir insgesamt

||Πhv||H1(Ω)d ≤ c||v||H1(Ω)d .

(c) Fur den Nachweis der a priori Abschatzung wenden wir das Korollar 9.2 an. Da

P1(Th)d ⊂ Vh und P1(Th) = Qh gilt

infwh∈Vh

|v − wh|H1(Ω)d ≤ Ch|v|H2(Ω)d ,

infqh∈Qh

||p− qh||L2(Ω) ≤ Ch|p|H1(Ω) .

An dieser Stelle sei bemerkt, dass man anstelle des Clement-Operators auch andere

Projektionen wahlen kann, beispielsweise die Losung der Helmholtz1-Gleichung.

Der nachfolgende Satz erlaubt es uns, starkere Normen duch schwachere Nor-

men abzuschatzen sofern die Funktionen diskret sind. Dabei verlieren wir fur jede

Ableitung eine h-Potenz. Es sei hier nocheinmal ausdrucklich darauf hingewiesen,

dass dies nicht fur beliebige Hm-Funktionen gilt.

Satz 11.11 (Inverse Abschatzung) Sei Th eine Folge uniformer Triangulie-

rungen eines Gebietes Ω ⊂ Rd und Vh seien zugehorige Finite Elemente Raume.

Dann gilt fur k ≥ 1 die inverse Abschatzung

||vh||Hm+k(Ω) ≤ µinvh−k||vh||Hm(Ω) ∀vh ∈ Vh .

Die Konstante µinv hangt dabei vom (lokalen) Polynomgrad von Vh, vom maximalen

aspect ratio κ und von m ab, aber nicht von k und h.

Beweis. (a) Wir zeigen zunachst eine inverse Abschatzung auf dem Referenzele-

ment T bzgl. der Halbnormen:

|v|Hm+k(T ) ≤ c|v|Hm(T ) ,

1Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821-1894, deutscher Physiologe und Physiker,

nach ihm ist die Helmholtz-Gemeinschaft Deutscher Forschungszentren benannt.

11.4 Das divergenzfreie Crouzeix-Raviart-Element 159

fur Polynome vom Grad r > m, also v ∈ Pr. Fur r ≤ m ist diese Aussage trivial. Wir

nehmen daher r > m an. Sei I : C(T )→ Pm−1 die Interpolierende an s = m(m+1)/2

paarweise verschiedenen Punkten z1, . . . , zs ∈ T . Es gilt also Iv(zj) = v(zj) fur

j = 1, . . . , s, sowie |Iv|Hm+k(T ) = |Iv|Hm(T ) = 0. Damit gilt

|v|Hm+k(T ) = |v − Iv|Hm+k(T ) ≤ ||v − Iv||Hm+k(T ) .

Wie in Lemma 6.4 gezeigt, ist die Norm || · ||Hm(T ) aquivalent zur Norm

|||v||| := |v|Hm(T ) +s∑j=1

|v(zj)| .

Da auch || · ||Hm+k(T ) auf dem Raum Pr ⊕ Pm−1 eine Norm ist und dieser Raum

endlich-dimensional ist, ist auch diese Norm aquivalent mit ||| · |||. Dann folgt:

|v|Hm+k(T ) ≤ c|||v − Iv||| = c|v − Iv|Hm(T ) + cs∑j=1

|(v − Iv)(zj)|

= c|v − Iv|Hm(T ) ≤ c|v|Hm(T ) + c|Iv|Hm(T )

= c|v|Hm(T ) .

(b) Durch die Transformationsformel erhalt man aus (a) die inverse Abschatzung

auf einer beliebigen Zelle T ∈ Th:

|vh|Hn+k(T ) ≤ ch−kT |vh|Hn(T ) ∀vh ∈ Pr(T ) .

Summation der quadrierten Ausdrucke uber alle Halbnormen | · |Hn+k(T ) mit n ≤ m

und uber alle Elemente T ∈ Th liefert die Behauptung.

11.4 Das divergenzfreie Crouzeix-Raviart-Element

Das Crouzeix-Raviart-Element kennen wir schon aus Kapitel 7.1 fur das Poisson

Problem. Hier betrachten wir die vektorwertige Version. Eine wichtige Grunduber-

legung ist die folgende: Wenn wir uns im vornherein auf divergenzfreie Funktionen

beschranken, also auf den Raum V0 fur Test- und Ansatzfunktionen, so lautet das

Stokes-Problem wie in Gleichung (11.12). Man versucht daher, auch den Raum Vhdivergenz-frei zu wahlen. Insgesamt besitzen diese Funktionen folgende Eigenschaf-

ten:

• vh ∈ L2(Ω)d,


• vh|T linear ∀T∈Th,

• div vh(x) = 0 fur jedes x, dass im Innern eines Elementes T∈Th liegt,

• vh ist stetig an den Mittelpunkten der inneren Dreiecksseiten,

• vh(x) = 0 fur Mittelpunkte x der außeren Dreiecksseiten.

Dieser Finite-Elemente Raum besteht also aus u.a. unstetigen Funktionen und ist

daher ein nichtkonformer Raum. Wir bezeichnen diesen Finite-Elemente Raum mit

CRdivh . Dessen formale Beschreibung laßt sich durch die Angabe einer Basis am ein-

fachsten durchfuhren. Die Dimension von CRdivh entspricht (bei Dirichletrandbedin-

gungen am gesamten Rand) der Anzahl der inneren Knoten Nnodes plus der Anzahl

innerer Kanten Nedges.

(a) Jedem inneren Knoten xi ordnen wir eine Basisfunktion uni wie folgt zu: Der

Trager von ϕi ist gerade der Patch von Dreieckselementen um diesen Knoten

xi.

uni (xj) · nj = |Ej|−1, fur xi ∈ Ej ∈ Eh(xj) ,uni (xj) · nj = 0 , fur xi ∈ Ei ∈ Eallh \ Eh(xj) ,uni (xj) · tj = 0 fur Ej ∈ Eallh .

Hierbei bezeichnet xj den Mittelpunkt der Kante Ej, und Eh(xj) bezeichnet die

Menge der inneren Kanten von Th, die den Knoten xj als einen Endpunkt be-

sitzen. Eallh sei die Menge aller inneren und außeren Kanten der Triangulierung.

Der normierte Normalenvektor (in math. positiver Richtung) zum Knoten xjwird hierbei mit nj und der normierte Tangentenvektor (in Richtung xj) mit

tj bezeichnet.

(b) Ferner ordnen wir jeder inneren Kante Ej eine Basisfunktion utj zu. Diese

normierte Geschwindigkeit utj besitzt die Richtung der Tangente tj an dieser

Kante:

utj(xj) · tj = 1 ,

utj(xj) · nj = 0 ,

uj|Ei = 0 wenn i 6= j .

Diese Geschwindigkeiten sind in Abb. 11.3 verdeutlicht. Der Finite-Elemente Raum

ist daher

CRdivh := span

⋃1≤i≤Nnodes

uni ∪⋃

1≤j≤Nedges

utj

.

11.4 Das divergenzfreie Crouzeix-Raviart-Element 161

Abbildung 11.3: Basisfunktionen des divergenzfreien Crouzeix-Raviart Elementes.

Die roten Pfeile stellen jeweils eine tangentialen Geschwindigkeiten utj dar, die blauen

Pfeile stehen in ihrer Gesamtheit fur eine Geschwindigkeit uni in Normalerichtung

der Kanten.

Auf einem strukturierten Dreiecksgitter gibt es dreimal so viele Kanten wie Kno-

ten (modulo Randknoten und -kanten). Insofern besteht diese Diskretisierung auf

solchen Gittern aus insgesamt 4Nnodes Freiheitsgraden, also

dim CRdivh ≈ 4Nnodes .

Die zugehorige Finite-Elemente Formulierung fur Stokes lautet also:

vh ∈ CRdivh :

∑T∈Th

(∇vh,∇φ)L2(T )d = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ CRdivh .

Dieses Problem ist elliptisch und nicht-konform, da CRdivh 6⊂ H1

0 (Ω). Die Existenz

und Eindeutigkeit von Losungen ergibt sich wieder sowohl aus dem Darstellungs-

satz von Riesz (Satz 3.9) wie aus dem Satz von Lax-Milgram (Satz 3.12), da die

Bilinearform bspw. gleichgradig elliptisch ist:∑T∈Th

(∇vh,∇vh)L2(T )d =∑T∈Th

|vh|2H1(T ) =: ||vh||2CRdivh ∀vh ∈ CRdivh .

Im Gegensatz zum Crouzeix-Raviart Element fur das Poisson-Problem in Abschnitt 7.1

gilt fur dieses divergenz-freie Element P1(Th)d 6⊂ CRdivh , denn die P1-Geschwindigkeiten

sind nicht notwendigerweise divergenz-frei. Man kann folgende a priori Fehlerabschatzung

zeigen:

Satz 11.12 Fur die Losung vh ∈ CRdivh gilt auf quasi-uniformen Gittern die a priori

Abschatzung

||v − vh||h ≤ Ch(|v|H2(Ω)d + |p|H1(Ω)) ,


sofern v ∈ H2(Ω)d und p ∈ H1(Ω).

Beweis. Den Beweis wollen wir hier nicht fuhren. Wir verweisen auf die Original-

Literatur [6]. Ein wichtiger Schritt hierzu ist die Gultigkeit des sogenannten “Patch-

Tests”, der fur diese Elemente niedriger Ordnung lautet:∫E

[vh]E ds = 0 ∀vh ∈ CRdivh ∀E ∈ Eh .

Hierbei ist [vh]E der Sprung von vh uber die Kante E.

11.5 Das Crouzeix-Raviart-Element

Wenn man die elementweise Divergenzfreiheit nicht fordert, so benotigt man wieder

den Druck. Die Kombination der Finite Elemente Raumen lautet im Fall niedrigster

Ordnung:

CRh := vh ∈ L2(Ω)d : vh|T ∈ P1 ∀T ∈ Th, vh stetig an Kantenmittelpunkten ,Qh := P0(Th) .

Die Anzahl an Druckfreiheitsgraden entspricht in diesem Fall gerade der Anzahl

Elemente, und die Anzahl von Geschwindigkeitsfreiheitsgraden ist Anzahl Kanten

(Flachen in 3D) multipliziert mit der Raumdimension. Da die Geschwindigkeiten

(wie der Druck auch) unstetig ist, handelt es sich hier um ein nicht-konformes Finites

Element. Man kann zeigen, dass dieses Element LBB-stabil ist.

11.6 Taylor-Hood-Element

Das Taylor-Hood Element besteht aus unterschiedlichen Polynomgraden fur Ge-

schwindigkeiten und Drucke. Fur vh konnen beispielsweise quadratische Ansatzfunk-

tionen und fur ph lineare Ansatzfunktionen gewahlt werden:

Vh := (H10 (Ω) ∩ P2(Th))d ,

Qh := L20(Ω) ∩ P1(Th) .

Satz 11.13 Auf quasi-uniformen Dreiecksgittern erfullt das Taylor-Hood Element

die LBB-Bedingung (11.13), so dass stets eine eindeutige Losung existiert.

11.6 Taylor-Hood-Element 163

Beweis. (a) Wir mussen eine geeignete untere Schranke fur

S(qh) := supvh∈Vh

(div vh, qh)

|vh|H1(Ω)d

finden. Wir benutzen die die Clement-Interpolation Ch : H1(Ω)d → Vh. Sei hierzu

v ∈ H1(Ω)d zunachst beliebig. Aufgrund der Stetigkeit gilt ||Chv||H1(Ω)d ≤ c||v||H1(Ω)d

und damit

S(qh) ≥(div Chv, qh)|Chv|H1(Ω)d

≥ c(div Chv, qh)|v|H1(Ω)d

= c(div v, qh)

|v|H1(Ω)d+ c

(div (Chv − v), qh)

|v|H1(Ω)d

= c(div v, qh)

|v|H1(Ω)d− c(Chv − v,∇qh)

|v|H1(Ω)d

≥ c(div v, qh)

|v|H1(Ω)d− c

∑T∈Th

hT ||∇qh||T .

Wir wahlen nun v gemaß der kontinuierliche inf-sup Bedingung, also so dass (div v, qh) ≥γ|v|H1(Ω)d||ph||L2(Ω). Dann folgt mit partieller Integration:

S(qh) ≥ c(γ||ph||L2(Ω) − |qh|h

),

wobei wir die folgende Halbnorm verwenden:

|q|h :=

(∑T∈Pk

h2T |q|2H1(T )

)1/2

.

Wir werden nachfolgend in (b) zeigen, dass

|qh|h ≤ cS(qh). (11.17)

Dann folgt

S(qh) ≥ c(γ||ph||L2(Ω) − S(qh)

)bzw.

S(qh) ≥cγ

1 + c||ph||L2(Ω) ,


was die diskrete inf-sup-Bedingung impliziert.

(b) Fur den Beweis von (11.17) setzen wir voraus, dass sich stets Makro-Patches

– bestehend aus Dreiecken von Th gemaß nachstehender Konstruktion – formen

lassen. Es existieren “Spezial-Punkte” a1, . . . , ar ⊂ x1, . . . , xNnodes, so dass auch

die Patche

Pk :=⋃T ∈ Th : ak ∈ T

eine Partitionierung von Ω ergeben. Zudem besitze jedes Element T ∈ Th genau

eine Kante auf dem Rand eines Patches und einen Eckpunkt, der Spezial-Punkt

ist. Ein solches Gitter ist in Abb. 11.4 exemplarisch dargestellt. Es sei an dieser

Stelle bemerkt, dass man einen (komplizierteren) Beweis fuhren kann, ohne diese

zusatzliche Annahme. Sei nun qh ∈ Qh beliebig gewahlt. Gesucht ist ein wh ∈ Vhmit

(divwh, qh) ≥ |qh|h |wh|H1(Ω)d . (11.18)

Wir wahlen auf den Spezial-Punkten wh(ai) = 0 fur alle i = 1, . . . , r.

Wir betrachten zunachst fur ein k ∈ 1, . . . , r den Druck qk := qh|Pk durch Null au-

ßerhalb von Pk fortgesetzt. Also gilt supp qk ⊂ Pk und wahlen zudem supp vk ⊂ Pk.

Wir setzen den P1-Anteil von vk zu Null. Es bleiben nur quadratische Freiheitsgrade.

Analog zum Beweis von Satz 11.10 gilt

(div wk, qk) = −∑T∈Pk

∇qk|T ·∫T

wk dx .

Da wk|T ein rein quadratisches Polynom ist, gilt (Ubungsaufgabe)∫T

wk dx =1

3|T |(wk(αk,T ) + wk(βk,T )) ,

Abbildung 11.4: Gepatchtes Gitter fur die Beweisfuhrung der LBB-Bedingung fur

das Taylor-Hood Element. Die Spezial-Punkte und Patche sind rot markiert.

11.6 Taylor-Hood-Element 165

wobei αk,T , βk,T die beiden Kantenmittelpunkte des Elementes T sind mit gemein-

samen Endpunkt xk. Die zugehorigen normierten Tangenten zu den Kanten eα und

eβ seien tα und tβ. Nun wahlen wir

wk(αk,T ) = −∂qk∂tα

tα|eα|2 und wk(βk,T ) = −∂qk∂tβ

tβ|eβ|2 .

Hierbei ist wichtig, dass ∂qk/∂tα und ∂qk/∂tβ nicht von der speziellen Wahl des

Dreieecks T , sondern nur von den Kanten abhangen, denn qk ist auf den Kanten

stetig. Es gilt fur diese wk mit der inversen Abschatzung aus Satz 11.11:

|wk|H1(T )d ≤ ch−1T ||wk||L2(T )d ≤ chT |qk|H1(T ) . (11.19)

Mit dieser Wahl folgt

(div wk, qk) =1

3

∑T∈PK

|T |∇qk|T ·(∂qk∂tα

tα|eα|2 +∂qk∂tβ

tβ|eβ|2)

=1

3

∑T∈PK

|T |(∂qk∂tα∇qk|T · tα|eα|2 +

∂qk∂tβ∇qk|T · tβ|eβ|2

)

≥ c

3

∑T∈PK

|T |

((∂qk∂tα

)2

|eα|2 +

(∂qk∂tβ

)2

|eβ|2).

Wenn die Innenwinkel im Dreieck T nach unten von der Null und nach oben von π

wegbeschrankt sind, gilt

c1|qk|2H1(T ) ≤ |T |

((∂qk∂tα

)2

+

(∂qk∂tβ

)2)≤ c2|qk|2H1(T ) .

Damit erhalten wir zusammen mit (11.19):

(div wk, qk) ≥ c|qk|2h .

Fur die zusammengesetzte Funktion wh :=∑r

k=1wk ergibt sich mit |wk|H1(T )d ≤c|qk|h:

(div wh, qh) =r∑

k=1

(div wk, qk) ≥ c|qh|2h

≥ c|wh|H1(Ω)d |qh|h .

Dies impliziert (11.17).


Satz 11.14 Fur die Taylor-Hood Losung vh, ph ∈ (H10 (Ω) ∩ P2(Th)d)× (L2

0(Ω) ∩P1(Th)) gilt auf quasi-uniformen Gittern eines polygonal berandeten und beschrank-

ten Gebietes Ω die a priori Abschatzung

|v − vh|H1(Ω)d + ||p− ph||L2(Ω) ≤ Chk(|v|Hk+1(Ω)d + |p|Hk(Ω)) ,

mit k ∈ 1, 2 sofern v ∈ Hk+1(Ω)d und p ∈ Hk(Ω).

Beweis. Die Behauptung ergibt sich wieder aus Korollar 9.2 und den Approxi-

mationseigenschaften

infwh∈P2(Th)d

|v − wh|H1(Ω)d ≤ Chk|u|Hk+1(Ω)d ,

infqh∈P1(Th)

||p− qh||L2(Ω) ≤ Chk|p|Hk(Ω) .

Fur k = 2 ist aber wichtig, dass kein zusatzlicher Randfehler entsteht durch bei-

spielsweise krummlinige Rander ∂Ω.

Es gibt aber noch weitere Finite-Elemente Kombinationen, die in der Literatur als

Taylor-Hood Elemente bezeichnet werden. Auf Viereck- oder Hexaeddergittern bei-

spielsweise die Kombination

Vh := (H10 (Ω) ∩Q2(Th))d ,

Qh := L20(Ω) ∩Q1(Th) .

Man uberlegt sich schnell, dass auch diese Kombination inf-sup stabil ist (Ubungs-

aufgabe). Eine weitere Moglichkeit ist auch das sogenannte Q1/iso-Q1-Element

Vh := (H10 (Ω) ∩Q1(Th))d ,

Qh := L20(Ω) ∩Q1(T2h) .

Im letzten Fall hat man sowohl fur die Geschwindigkeiten wie fur den Druck stuck-

weise lineare Polynome. Allerdings “lebt” der Druck auf einem groberen Gitter, das

hier mit T2h bezeichnet wird. Der Zusammenhang zwischen Th und T2h besteht dar-

in, dass das feinere Gitter Th eine globale Verfeinerung von T2h ist. Insofern besteht

das Gitter fur die Geschwindigkeiten aus Patchen. In 2D besitzt das feiner Gitter

vier mal mehr Elemente als das grobere. In 3D ist dies sogar ein Faktor acht.

11.7 Residual-free bubbles

In diesem Abschnitt wollen wir eine Motivation fur stabilisierte Finite Elemente

und deren Zusammenhang zum Mini-Element geben. Wir starten wieder bei dem

11.7 Residual-free bubbles 167

Mini-Element, aber mit dem Unterschied, dass wir den Raum der kubischen Blasen-

funktionen span⋃bT : T ∈ Th ersetzen durch

BRF :=⊕T∈Th

H10 (T )d .

Der Geschwindigkeitsraum lautet nun formal Vh := (P1(Th)d)⊕BRF und der Druck-

raum Qh := P1(Th)∩Q. Die Geschwindigkeiten vh ∈ Vh lassen sich eindeutig zerlegen

in vh = vL + vB mit vL ∈ P1(Th)d und vB ∈ BRF . Nun werden wir die Anteile vBaus den Geichungen “herauskondensieren”. Auch die Gleichungen lassen sich jetzt

aufspalten in:

(∇(vL + vB),∇φL)L2(Ω)d − (ph, div φL)L2(Ω) = 〈f, φL〉 ∀φL ∈ P1(Th)d ,(∇(vL + vB),∇φB)L2(Ω)d − (ph, div φB)L2(Ω) = 〈f, φB〉 ∀φB ∈ BRF ,

(div (vL + vB), ξ)L2(Ω) = 0 ∀ξ ∈ Qh .

Einige Terme in der zweiten Gleichung schauen wir uns genauer an indem wir

Basisfunktionen φB,T ∈ BRF als Testfunktionen wahlen mit suppφB,T ⊂ T , also

φB,T ∈ H10 (T )d:

(∇vL,∇φB,T )L2(T )d = (−∆vL, φB,T )L2(T )d +

∫∂T

∇vL φB,T · n ds = 0 ,

da ∆vL|T = 0 und φB,T |∂T = 0. Aus dem gleichen Grund gilt

−(ph, div φB)L2(T ) = (∇ph, φB)L2(T )d = ∇ph|T∫T

φB dx .

Jetzt setzen wir weiterhin voraus, dass die rechte Seite f ∈ L2(Ω) elementweise

konstant ist, also

〈f, φB〉 = f |T∫T

φB dx .

Damit laßt sich die obige Gleichung fur φB formulieren als

(∇vB,∇φB)L2(T )d = (f −∇ph)|T∫T

φB dx ∀φB,T ∈ H10 (T )d .

Diese Gleichung muss fur alle Elemente T ∈ Th gelten. Diese elliptische Gleichung

entspricht in starker Formulierung den partiellen Differentialgleichungen

−∆vB = f −∇ph in T ,

vB = 0 auf ∂T ,


wobei f −∇ph jeweils elementweise konstant angenommen wurde. Wenn wir mit LTden formalen Losungsoperator bezeichnen, gilt also vB|T = LT (f −∇ph).

In der obigen Gleichung fur die Testfunktionen φL gilt ebenso:

(∇vB,∇φL)L2(Ω)d =∑T∈Th

((vB,−∆φL)L2(T )d +

∫∂T

vB · nφL ds)

= 0 ,

da ∆φL|T = 0 und vB|∂T = 0. Somit erhalten wir

(∇vL,∇φ)L2(Ω)d − (ph, div φ)L2(Ω) = 〈f, φ〉 ∀φ ∈ P1(Th)d ,

(div vL, ξ)L2(Ω) −∑T∈Th

(div LT (∇ph − f), ξ)L2(T ) = 0 ∀ξ ∈ Qh .

Wir konnen dies auch in kompakter Form schreiben als die Suche nach vL, ph ∈ Xh,

so dass

A(vL, ph, φ, ξ) + Sh(ph, ξ) = 〈Fh, φ, ξ〉 ∀φ, ξ ∈ Xh , (11.20)

mit Xh := (V ∩ P1(Th)d)×Qh und den Bilinearformen

A(vL, ph, φ, ξ) := (∇vL,∇φ)L2(Ω)d − (ph, div φ)L2(Ω) + (div vL, ξ)L2(Ω) ,

Sh(ph, ξ) := −∑T∈Th

(div LT∇ph, ξ)L2(T ) ,

〈Fh, φ, ξ〉 := 〈fh, φ〉 −∑T∈Th

(div LTf, ξ)L2(T ) .

Hierbei beinhaltet A(·, ·) die reinen Galerkin-Anteile und Sh(·, ·) die zusatzlichen

Anteile aufgrund der statischen Kondensation der Blasenfunktionen. Nun gilt ferner

aufgrund der Annahme, dass ∇ph − f element-weise konstant ist,

LT (∇ph − f)|T := bT (∇ph − f) ,

wobei bT ∈ C20(T ) die Losung ist der partiellen Differentialgleichung

−∆bT = 1 in T ,

bT = 0 auf ∂T .

Da bT homogene Dirichletwerte besitzt, verschwinden bei partieller Integration der

Terme in Sh(·, ·) die Randintegrale, also:

Sh(ph, ξ) :=∑T∈Th

(bT∇ph,∇ξ)L2(T ) =∑T∈Th

αT (∇ph,∇ξ)L2(T ) ,

11.8 Die PSPG-Methode 169

mit dem Parameter

αT := |T |−1

∫T

bT dx .

Hierbei wurde verwendet, dass sowohl ∇ph − f wie auch ∇ξ elementweise konstant

sind, so dass man den Mittelwert von bT aus dem Integral herausziehen kann. Nun

uberlegt man sich noch, dass auf quasi-uniformen Gittern gilt

c1h2T ≤ αT ≤ c2h

2T ,

mit vom maximalen aspect ratio κ abhangigen Konstanten c1, c2 > 0. Damit erhalten

wir insgesamt eine sogenannte stabilisierte Finite-Elemente Methode (11.20). Die

Analyse dessen werden wir im nachsten Abschnitt durchfuhren.

11.8 Die PSPG-Methode

Wir betrachten in diesem Abschnitt die folgende stabilisierte Fassung des Stokes-

Systems

uh ∈ Xh : Ah(uh, ϕ) = 〈Fh, ϕ〉 ∀ϕ = φ, ξ ∈ Xh , (11.21)

mit

Ah(uh, ϕ) := A(uh, ϕ) + Sh(ph, ξ),

Sh(ph, ξ) := c∑T∈Th

h2T (∇ph,∇ξ)L2(T ) ,

〈Fh, φ, ξ〉 := 〈fh, φ〉+ c∑T∈Th

h2T (f,∇ξ)L2(T ) .

Diese Methode wird auch Pressure-Stabilized-Petrov-Galerkin (PSPG) Methode ge-

nannt.

Lemma 11.15 Ein stabilisiertes P1/P1-Stokes-System der Form (11.21), r ≥ 1,

erfullt folgende modifizierte inf-sup Bedingung: Es existiert ein γ > 0, so dass

supvh∈Vh

(div vh, ph)

|vh|H1(Ω)||ph||L2(Ω)

+Sh(ph, ph)

1/2

||ph||L2(Ω)

≥ γ ∀ph ∈ Qh .

Beweis. Wir benutzen die kontinuierliche inf-sup Bedingung. Sei ph ∈ Qh beliebig

aber fest. Wir wissen, dass ein v ∈ V existiert, so dass fur beliebige vh ∈ Vh gilt

γ ≤ (div v, ph)

|v|H1(Ω)||ph||L2(Ω)

=(div vh, ph)

|vh|H1(Ω)||ph||L2(Ω)

|vh|H1(Ω)

|v|H1(Ω)

+(div (v − vh), ph)|v|H1(Ω)||ph||L2(Ω)

.


Wenn wir nun einen speziellen Interpolationsoperator Ch : V → Vh und vh := Chv

wahlen mit folgenden Eigenschaften, so sind wir fertig:

|Chv|H1(Ω) ≤ c|v|H1(Ω) ,

|(div (v − Chv), ph)| ≤ cSh(ph, ph)1/2|v|H1(Ω) .

Wir wahlen hierzu wieder die Scott-Zhang-Variante der Clement-Interpolierende

(siehe Beweis von Satz 11.10 oder [14]). Aufgrund der Eigenschaften (11.14) und

(11.15) folgern wir:

(div (v − Chv), ph) = (v − Chv,∇ph)≤

∑T∈Th

||v − Chv||T ||∇ph||T

≤ c∑T∈Th

hT |v|H1(T )||∇ph||T

≤ c

(∑T∈Th

|v|2H1(T )

)1/2(∑T∈Th

h2T ||∇ph||2T

)1/2

= c|v|H1(Ω)Sh(ph, ph)1/2 .

Satz 11.16 Das stabilisierte P1/P1-Stokes-System (11.20) mit

Sh(ph, ξ) := c∑T∈Th

h2T (∇ph,∇ξ)L2(T ) ,

besitzt fur beliebige f ∈ L2(Ω) und c > 0 eine eindeutige Losung uh = vh, ph ∈ Xh.

Ferner gilt fur die Losung die Stabilitatsabschatzung

|vh|H1(Ω)d + ||ph||L2(Ω) + c∑T∈Th

hT |ph|H1(Ω) ≤ C||f ||L2(Ω)d ,

mit einer Konstanten C = C(Ω, ν)

Beweis. (a) Da es sich um ein endlich-dimensionales Problem handelt mit genauso

vielen Unbekannten (Ansatzfunktionen) wie Gleichungen (Testfunktionen), folgt die

eindeutige Losbarkeit bereits aus der Eindeutigkeit fur das homogene System, also

fur f ≡ 0. Es gilt nach diagonalem Testen:

0 = A(vh, ph, vh, ph) + Sh(ph, ph)

= (∇vh,∇vh)Ω − (ph, div vh)Ω + (div vh, ph)Ω + c∑T∈Th

h2T (∇ph,∇ph)T

= ||∇vh||2Ω + c∑T∈Th

h2T ||∇ph||2T .


Hier und im folgenden bezeichnet || · ||ω jeweils die L2(ω)- bzw. die L2(ω)d-Norm.

Analog ist (·, ·)ω das L2(ω)-Skalarprodukt. Also gilt einerseits ||∇vh||L2(Ω)d = 0 und

daher vh ≡ 0, sowie andererseits ||∇ph||2L2(T ) = 0 fur alle Elemente T . Aus letzterem

folgt wiederum, dass ph konstant ist. Da der Mittelwert des Drucks aus Qh ver-

schwindet, folgt auch p ≡ 0. Die Losung ist also eindeutig. Hier sieht man bereits,

dass man ohne den Stabilisierungsterm nicht auf ||∇ph||2L2(T ) = 0 schließen konnte

und damit auch nicht (zumindest nicht auf diese Weise) auf die Existenz eines zu-

gehorigen Drucks ph schließen konnte.

(b) Zur Stabilitat: Diagonales Testen wie in (a) aber mit nicht notwendigerweise

verschwindender rechter Seite f liefert:

||∇vh||2Ω + c∑T∈Th

h2T (||∇ph||2T − (f,∇ph)T ) = (f, vh)Ω .

Mit der Holder’schen Ungleichung ergibt sich:

||∇vh||2Ω + c∑T∈Th

h2T ||∇ph||2T = (f, vh)Ω + c

∑T∈Th

h2T (f,∇ph)T

≤ ||f ||Ω||vh||Ω + c∑T∈Th

h2T ||f ||T ||∇ph||T .

Mit Hilfe der Ungleichungen von Poincare-Friedrichs ||vh||Ω ≤ cΩ||∇vh||Ω und der von

Young erhalten wir

||∇vh||2Ω + c∑T∈Th

h2T ||∇ph||2T ≤ 1

2c2

Ω||f ||2Ω +1

2||∇vh||2Ω + c

∑T∈Th

h2T

(1

2||f ||2T +

1

2||∇ph||2T

).

Subtraktion von identischen Termen auf beiden Seiten ergibt

1

2||∇vh||2Ω +

c

2

∑T∈Th

h2T ||∇ph||2T ≤ 1

2c2

Ω||f ||2Ω +c

2

∑T∈Th

h2T ||f ||2T .

Die Summe auf der rechten Seite laßt sich ebenfalls uber ||f ||2Ω beschranken. Ziehen

wir noch die Wurzel auf beiden Seiten, so erhalten wir letztendlich

|vh|H1(Ω)d + c∑T∈Th

hT |ph|H1(Ω) ≤ C||f ||Ω . (11.22)

Nun fehlt noch die Abschatzung der L2-Norm des Drucks. Diese erhalten wir uber

die modifizierte inf-sup Bedingung in Lemma 11.15. Denn umgeformt liest sich dies

auch in der Form

γ||ph||L2(Ω) ≤ Sh(ph, ph)1/2 + sup

φh∈Vh

(div φh, ph)

|φh|H1(Ω)

.


Wir nutzen aus, dass ph die Stokes Gleichung erfullt:

(div φh, ph)

|φh|H1(Ω)

=−(f, φh) + (∇vh,∇φh)

|φh|H1(Ω)

≤ ||f ||H−1(Ω) + |vh|H1(Ω) .

Da ferner ||f ||H−1(Ω) ≤ cΩ||f ||L2(Ω) erhalten wir

||ph||L2(Ω) ≤1

γ

(Sh(ph, ph)

1/2 + cΩ||f ||Ω + |vh|H1(Ω)

).

Berucksichtigen wir nun noch das Ergebnis (11.22), so erhalten wir die Behauptung.

Die PSPG Methode ist auch fur Polynomgarde r ≥ 1 moglich. Der Stabilisierungs-

term lautet i.a., d.h. fur Pr/Pr oder Qr/Qr Elemente:

Sh(uh, ξ) := c∑T∈Th

h2T (−∆vh +∇ph,∇ξ)L2(T ) .

Die Stabilisierung ist also nun sowohl vom Druck wie auch von von den Geschwin-

digkeiten abhangig. Im Fall von P1 Elementen, sowie bei Q1-Elementen auf Paralle-

logrammen verschwindet der Geschwindigkeitsanteil aber, da ∂2xxvh|T = ∂2

yyvh|T = 0.

Lemma 11.17 Die PSPG-Methode ist stark konsistent, d.h. die exakte Losung u ∈X erfullt im Falle hinreichender Glattheit auch die diskreten Gleichungen.

Beweis. Ist die exakte Losung u = v, p ∈ X hinreichend glatt, so ist sie auch

eine klassische Losung. Dies bedeutet insbesondere, dass

−∆v +∇p = f in Ω .

Folglich gilt fur ϕ = φ, ξ

Sh(uh, ξ)− 〈Fh, ϕ〉 = −(f, φ) ,

und damit

Ah(u, ϕ) + Sh(u, ξ) = 〈Fh, ϕ〉 .

Die Stabilisierungsterme verschwinden also fur die exakte Losung.

Formulieren wir das stabilisierte System nun in starker Formulierung als partielle

Differentialgleichung, so erhalten wir:

−∆v +∇p = f in Ω ,

div v − h2div (−∆v +∇p− f) = 0 in Ω ,

v = 0 auf ∂Ω

Wir erkennen auch hier, dass die exakte Losung u ∈ X diese Gleichungen erfullen,

denn die Stabilisierungsterme basieren auf dem Residuum einer der Gleichungen.


Satz 11.18 Die a priori Abschatzung der PSPG-Methode lautet fur lineare Elemen-

te

||∇(v − vh)||+ ||p− ph||+∑T

h2T ||∇(p− ph)||2T ≤ ch

(|v|H2(Ω)d + |p|H1(Ω)

),

sofern (v, p) ∈ H2(Ω)d ×H1(Ω).

Beweis. Wir spalten den Fehler ev = v−vh auf in Interpolationsfehler ηv = v−ihvund Projektionsfehler ξv = ihv − vh. Entsprechendes gilt fur die Druckvariable,

p − ph = ep = ηp + ξp. Fur den Interpolationsfehler ist die Abschatzung ein offen-

sichtliches Ergebnis von Bramble-Hilbert:

||∇ηv||+ ||ηp|| ≤ ch(|v|H2(Ω)d + |p|H1(Ω)

).

Nun wollen wir ||∇ξv|| geeignet beschranken. Es gilt mit ξ = (ξv, ξp) und der Galerkin-

Orthogonalitat:

||∇ξv||2 + Sh(ξp, ξp) = Ah(ξ, ξ)

= Ah(ξ, ξ)− Ah(e, ξ)= Ah(η, ξ)

= (∇ηv,∇ξv)− (ηp, div ξv) + (div ηv, ξp) + Sh(ηp, ξp).

Die einzelnen Terme lassen sich wie folgt beschranken:

(∇ηv,∇ξv) ≤ ||∇ηv||2 +1

4||∇ξv||2

−(ηp, div ξv) ≤ c||ηp||2 +1

4||∇ξv||2

(div ηv, ξp) = (ηv,∇ξp) ≤∑T

h−2T ||ηv||ThT ||∇ξp||

≤∑T

h−2T ||ηv||

2T +

1

4Sh(ξp, ξp)

Sh(ηp, ξp) ≤ Sh(ηp, ηp) +1

4Sh(ξp, ξp)

Damit erhalten wir:

||∇ξv||2 + Sh(ξp, ξp) ≤ c

(||∇ηv||2 + ||ηp||2 +

∑T

h−2T ||ηv||

2T + Sh(ηp, ηp)

)≤ ch

(|v|H2(Ω)d + |p|H1(Ω)

).


Zusammen mit der obigen Interpolationsabschatzung erhalten wir die gewunschte

oberer Schranke fur ||∇(v − vh)|| und∑

T h2T ||∇(p− ph)||2T .

Die Schranke fur den L2-Fehler im Druck erhalt man uber die diskrete inf-sup Be-

dingung:

γ||ep|| ≤ supφh∈Vh

(div φh, p− ph)||∇φh||

+ Sh(ep, ep)1/2.

Die Galerkin-Orthogonalitat liefert uns:

(div φh, p− ph) = (∇ev,∇φh) ≤ ||∇ev||||∇φh||.

Also

γ||ep|| ≤ ||∇ev||+ Sh(ep, ep)1/2.

Mit dem bereits Gezeigten folgt die Behauptung.

11.9 Losung des diskreten Stokes-Systems

Nun formulieren wir das diskrete Stokes-Problem als ein lineares Gleichungssystem

indem wir die Losung und die Testfunktionen in einer Basis darstellen. Wir setzen

hierbei voraus, dass der Ansatz inf-sup stabil ist, so dass keine Stabilisierungsterme

notwendig sind. Seien hierzu die Notationen der Lagrange-Basen festgelegt:

Vh = span φi : 1 ≤ i ≤ Nv ,Qh = span ξi : 1 ≤ i ≤ Np .

Nv und Np sind hierbei die Anzahl der Freiheitgrade fur vh bzw. ph. Der Knoten-

vektor bestehend aus Geschwindigkeits- und Druckwerten sei u = v, p, also

vh(x) =Nv∑i=1

φi(x)vi , ph(x) =

Np∑i=1

ξi(x)pi .

Da wir keine Verwechslung befurchten mussen, bezeichnen wir die Vektoren genauso

wie die kontinuierlichen Losungen. Der Vektor fur die rechte Seite sei mit f ∈ RNv+Np

bezeichnet. Das lineare System lautet dann

Au = f .

11.9 Losung des diskreten Stokes-Systems 175

Ordnet man die Freiheitsgrade von vh getrennt von denen von ph, so ist Steifigkeits-

matrix zum Stokes-Problem von Blockgestalt:

A =

(A BT

−B 0

).

Die Unterblocke A = (aij) uns B = (bij) besitzen die Eintrage:

aij :=

∫Ω

∇φj∇φi dx , bij := −∫

Ω

div φj ξi dx .

Das Gleichungssystem lautet also(A BT

−B 0

)(v

p

)=

(f

0

)und ist offensichtlich von Sattelpunktsstruktur, denn ein Diagonalblock verschwin-

det. Insofern stellt diese Steifigkeitsmatrix A keine M-Matrix dar. Sie ist auch nicht

positiv definit, denn

〈Au, u〉 = 〈Av, v〉+ 〈BTp, v〉 − 〈Bv, p〉 = 〈Av, v〉 = ||v||2A .

Insbesondere gilt also fur verschwindende Geschwindigkeitskomponenten 〈Au, u〉 =

0. Folglich sind iterative Standard-Verfahren wie Jacobi, Gauss-Seidel oder das cg-

Verfahren fur die Systemmatrix A nicht ohne weiteres anwendbar.

11.9.1 Schurkomplement eines Sattelpunktproblems

Man kann jedoch ausnutzen, dass die Matrix A ∈ RdNv×dNv positiv definit ist

(Laplace-Matrix). Die Idee besteht darin, A zu invertieren und dies in eine außere

Schleife einzubetten. Wir setzen also die Regularitat von A voraus. Das Gleichungs-

system

Av +BTp = f ,

−Bv = g ,

ist dann aquivalent mit

BA−1BTp = BA−1f −Bv ,−Bv = g .

Hierbei stellt g die (mit−1 multiplizierte) rechte Seite in der Divergenzgleichung dar,

die durch eine mogliche stark konsistente Stabilisierung resultiert. Fur unstabilisierte


Verfahren gilt i.d.R. g = 0. Nun bezeichnen wir das sogenannte Schurkomplement

mit

S := BA−1BT .

Wir erhalten wegen der Bedingung −Bv = g (Divergenz-Freiheit) die folgende re-

duzierte Gleichung fur den Druck:

Sp = BA−1f + g (11.23)

Die Geschwindigkeiten ergeben sich nun aus dem Poisson-Problem

Av = f −BTp .

Lemma 11.19 Fur inf-sup-stabile Diskretisierungen des Stokes-Systems ist die Schur-

komplement Matrix S = BA−1BT symmetrisch positiv definit.

Beweis. Mit A ist auch A−1 positiv definit. Jeder Druckvektor p ∈ RNp \ 0liegt nicht im Kern von BT , da sonst die Diskretisierung nicht inf-sup-stabil ware.

Demzufolge gilt q := BTp 6= 0. Es folgt:

〈p, Sp〉 = 〈p,BA−1BTp〉 = 〈q, A−1q〉 > 0 .

11.9.2 Uzawa-Algorithmus mit konstanter Schrittweite

Die Idee des Uzawa-Algorithmus ist es, die Gleichung (11.23) durch ein Gradien-

tenverfahren iterativ zu losen, denn S ist ja symmetrisch positiv definit. Hierzu

benotigen wir zunachst den Defekt zu einem Druck p(k−1):

d(k) := BA−1f + g − Sp(k−1) .

Dieser Defekt entspricht dem negativen Gradienten des zugehorigen quadratischen

Funktionals

F (p) :=1

2〈Sp, p〉 − 〈BA−1f + g, p〉 .

Die neue Iterierte p(k) ergibt sich dann durch Addition dieses Defektes mit einer

Schrittweite α, p(k) = p(k−1)+αd(k). Allerdings empfiehlt es sich als Vorkonditionierer


Uzawa-Algorithmus (mit konstanter Schrittweite)

(i) Wahle Startwert fur den Druck, z.B. p(0) ≡ 0. Setze k = 0.

(ii) Erhohe k → k + 1 und lose Poisson-Problem

Av(k) = f −BTp(k−1) .

(iii) Bestimme den Defekt d(k) := Bv(k) + g.

(iv) Invertiere die Massematrix: Me(k) = d(k).

(v) Druckkorrektur

p(k) := p(k−1) + αe(k) .

(vi) Falls α||e(k)|| ≥ TOL, gehe zu (ii).

Tabelle 11.1: Uzawa-Algorithmus mit konstanter Schrittweite.

die Massenmatrix M = (mij) fur den Druck zu benutzen, also mij := (ξj, ξi)L2(Ω).

Damit berechnet sich der neue Druck dann aus

p(k) = p(k−1) + αM−1d(k) .

Der Defekt laßt sich auch schreiben als

d(k) = BA−1f + g −BA−1BTp(k−1)

= BA−1(f −BTp(k−1)) + g

= Bv(k) + g ,

sofern v(k) die Gleichung

Av(k) = f −BTp(k−1)

lost. Zusammen mit einem Abbruchkriterium mit eine gewunschte Toleranz TOL >

0 erhalten wir insgesamt den Algorithmus in Tabelle 11.1. Darin bezeichnet || · || eine

Vektornorm im RNp . Fur die Konvergenz des Uzawa-Algorithmuses ist die Wahl des

Schrittweitenparameters α > 0 wichtig. Diese muss klein genug sein, um Konvergenz

zu erzielen. Wir geben hier ein Konvergenzkriterium an:


Satz 11.20 Sei λmax der maximale Eigenwert der Matrix M−1S. Der Uzawa-Algorith-

mus mit konstanter Schrittweite 0 < α < 2/λmax konvergiert fur inf-sup stabile

Finite Elemente gegen die exakte Losung v, p.

Beweis. Das Gradientenverfahren mit konstanter Schrittweite entspricht einer

Richardson-Iteration2. Dieses ist fur symmetrisch positive Matrizen bekanntermaßen

konvergent fur

α <2

λmax.

Die beste Wahl bei konstanter Schrittweite α ist bei Richardson Iterationen

α =2

λmin + λmax,

wobei λmin der minimale Eigenwert von M−1S ist.

Lemma 11.21 Sei A ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit. Dann gilt fur die

Vektornorm

||y||A :=√〈Ay, y〉

folgende Identitat:

||x||A = maxy∈Rn

〈Ax, y〉||y||A

Beweis. Aufgrund der Symmetrie von A = A1/2A1/2 gilt

〈Ax, y〉 = 〈A1/2x,A1/2y〉 ≤ ||A1/2x|| ||A1/2y||

=(〈A1/2x,A1/2x〉〈A1/2y, A1/2y〉

)1/2

= (〈Ax, x〉〈Ay, y〉)1/2 = ||x||A||y||A .

Also folgt

||x||A ≥ maxy∈Rn

〈Ax, y〉||y||A

.

Mit der Wahl y := x folgt die andere Richtung:

maxy∈Rn

〈Ax, y〉||y||A

≥ 〈Ax, x〉||x||A

= ||x||A.

2Lewis Fry Richardson, 11.10.1881-30.09.1953, britischer Mathematiker, Physiker und Friedens-

forscher. Er widmete sich u.a. der Frage nach meteorologische Vorhersagen mit Hilfe mathemati-

scher Modelle.


Lemma 11.22 Fur den maximalen und den minimale Eigenwert von M−1S gilt:

0 < γ2 ≤ λmin ≤ λmax ≤ c .

Hierbei ist γ die diskrete inf-sup Konstante und c eine Konstante, die im Fall kon-

former Finiter Elemente als c = 1 gewahlt werden kann und sonst c = 4.

Beweis. Wir berechnen zunachst eine untere Schranke fur den minimalen Eigen-

wert λmin. Fur jeden Eigenwert λ von M−1S existiert ein Eigenvektor yλ so dass

M−1Syλ = λyλ. Somit gilt

λ =||M−1Syλ||M||yλ||M

=〈Syλ,M−1Syλ〉1/2

||yλ||M= λ1/2 〈Syλ, yλ〉1/2

||yλ||M.

Demnach

λ =〈Syλ, yλ〉||yλ||2M

Fur den Zahler gilt mit der Notation x := A−1BTy ∈ RNv

〈Sy, y〉 = 〈BA−1BTy, y〉 = 〈A−1BTy,BTy〉 = 〈x,Ax〉 = ||x||2A .

Mit Lemma 11.21 gilt ||x||A = maxz(〈Ax, z〉/||z||A). Daher

〈Sy, y〉 = maxz∈RNv

〈Ax, z〉2

||z||2A= max

z∈RNv

〈BTy, z〉2

||z||2A.

Jeder Eigenwert λ lasst sich daher darstellen durch

λ = maxz∈RNv

〈BTyλ, z〉2

||z||2A||yλ||2M.

Dies ergibt fur den kleinsten Eigenwert λmin:

|λmin| ≥ miny∈RNp

maxz∈RNv

〈BTy, z〉2

||z||2A||y||2M=

(miny∈RNp

maxz∈RNv

〈y,Bz〉||z||A||y||M

)2

.

Nun ubersetzen wir dies durch die eineindeutige Zuordnung auf die Finite Elemente

Funktionen y ↔ ph und z ↔ vh. Hierbei gilt

||z||A = ||∇vh||L2(Ω) , ||y||M = ||ph||L2(Ω) , 〈y,Bz〉 = (ph, div vh)L2(Ω) .

Somit erhalten wir insgesamt mit der diskreten inf-sup Konstanten γ:

|λmin| ≥(

minph∈Qh

maxvh∈Vh

(ph, div vh)L2(Ω)

||∇vh||L2(Ω)||ph||L2(Ω)

)2

≥ γ2 .


Analog ergibt sich

|λmax| ≤(

maxph∈Qh

maxvh∈Vh

(ph, div vh)L2(Ω)

||∇vh||L2(Ω)||ph||L2(Ω)

)2

≤(

maxvh∈Vh

||div vh||L2(Ω)

||∇vh||L2(Ω)

)2

.

Es gilt fur Raumdimensionen d ≤ 3, ||div vh|| ≤ c||∇vh||. Im Fall konformer Finite

Elemente kann man dies mit c = 1 zeigen, wahrend dies im allgemein gilt mit c = 2.

Der numerische Aufwand in jeder Uzawa-Iteration belauft sich offensichtlich auf

die Losung eines Poisson-Problems in Schritt (ii), einem Matrix-Vektor-Produkt in

Schritt (iii) zur Bestimmung des Defektes, sowie der Invertierung der Massenma-

trix M in Schritt (iv). Die Losung des Poisson-Problems wird in der Regel ebenfalls

iterativ vorgenommen. Effiziente Loser fur dieses elliptische Problem sind Mehrgit-

terverfahren. Wenn der Schritt (ii) nur approximativ durchgefuhrt wird, so darf man

die Toleranz TOL nicht zu klein wahlen, da das Residuum dann stagnieren wird.

Verbessern laßt sich dies, indem man den Schritt (ii) ebenfalls als eine Defektkor-

rektur schreibt:

Aw(k) = −BTM−1d(k−1) ,

v(k) := v(k−1) + αw(k) .

Eine solche innere Defektkorrektur offnet die Tur fur weitere Einsparungen des nu-

merischen Aufwandes. So laßt sich zum Beispiel anstelle der Invertierung der Matrix

A eine einfachere Matrix C invertieren:

v(k) := v(k−1) − αC−1BTM−1d(k−1) .

11.9.3 Uzawa-Algorithmus fur stabilisierte Systeme

Nun betrachten wir ein System mit Druckstabilisierung, also:

Av +BTp = f ,

−Bv + Cp = g ,

Hinzu kommt hier die symmetrische Matrix C = (cij)1≤i,j≤Np fur die Druck-Druck-

Kopplung. Im Fall der PSPG-Methode und P1-Elementen lauten die Eintragen:

cij := c∑T∈Th

h2T (∇ξj,∇ξi)L2(T ) .


Die zugehorige Faktorisierung ergibt sich zu(A BT

−B C

)=

(A 0

−B S

)(I A−1BT

0 I

).

aber nun mit dem Schurkomplement

S := BA−1BT + C .

Die reduzierte Gleichung lautet nun

(BA−1BT + C)p = BA−1f + g .

Hierdurch ergeben sich nachfolgende Modifikationen im Uzawa-Algorithmus. Der

Schritt (iii) im Algorithmus 11.1 zur Berechnung des Defekts wird ersetzt durch:

(iii’) d(k) := Bv(k) − Cp(k−1) + g .

Anstelle der bloßen Massematrix als Vorkonditionierer ist nun (M+C)−1 geeigneter.

Damit wird Schritt (iv) ersetzt durch

(iv’) (M + C)e(k) := d(k) .

11.9.4 Uzawa-Algorithmus mit optimaler Schrittweite

Die optimale Wahl fur das Gradientenverfahren ist bekanntlich gegeben durch ei-

ne variable Schrittweite mittels Liniensuche. Zur Losung einer Gleichung Ax = b,

der approximativen Losung x(k−1) und Korrekturrichtung e(k) in der k-ten Iteration

lautet die optimale Schrittweite

αk =〈b−Ax(k−1), e(k)〉〈Ae(k), e(k)〉

.

Im vorliegenden Fall fuhrt b = BA−1f − g und A = S in der k-ten Iteration auf die

Schrittweite:

αk =〈d(k), e(k)〉

〈A−1BT e(k), BT e(k)〉. (11.24)

Wenn man die optimale Schrittweite gemaß (11.24) wahlen mochte, so ist dies in

dieser Form mit zusatzlichem Aufwand verbunden, da man einerseits zwei Ska-

larprodukte berechnen muss und andererseits die Berechnung von A−1BT e(k) auf


Uzawa-Algorithmus (mit optimaler Schrittweite)

(i) Setze k = 0. Wahle Startwert fur den Druck, z.B. p(0) ≡ 0.

Lose Av(1) = f −BTp(0) .

(ii) Erhohe k → k + 1 und bestimme den Defekt

d(k) := Bv(k) + g .

(iii) Invertiere die Massenmatrix Me(k) = d(k) .

(iv) Lose Poisson-Problem Aw(k) = −BT e(k) .

(v) Ermittle die Schrittweite

αk :=〈d(k), e(k)〉

〈−w(k), BT e(k)〉.

(vi) Druck- und Geschwindigkeitskorrektur

p(k) := p(k−1) + αke(k) ,

v(k+1) := v(k) + αkw(k) .

(vii) Falls αk||e(k)|| ≥ TOL, gehe zu (ii).

Tabelle 11.2: Uzawa-Algorithmus mit optimaler Schrittweite.

ein zusatzliches Poisson-Problem fuhrt. Man kann den Aufwand fur dieses Poisson-

Problem aber umgehen, indem man die obige Iteration ein wenig umsortiert. Der

zugehorige Pseudo-Code ist in Tabelle 11.2 angegeben.

Aus der Theorie des Gradientenverfahrens wissen wir nun, dass dieses Verfahren

stets linear konvergiert. Die Konvergenzrate hangt ab von der spektralen Kondi-

tionszahl κ = κ(M−1S) des vorkonditionierten Schurkomplementes M−1S. Diese

ist definiert durch den Quotienten des maximalen und minimalen Eigenwertes von

M−1S, κ = λmax/λmin.

Satz 11.23 Der Uzawa-Algorithmus konvergiert fur inf-sup stabile Finite Elemente

gegen die exakte Losung v, p. Diese Konvergenz ist im Druck linear mit Konver-


genzrate r = (κ− 1)/(κ+ 1), d.h

||p− p(k)||S ≤ rk||p− p(0)||S .

Beweis. Die Behauptung folgt direkt aus der bekannten Theorie fur Abstiegsver-

fahren.

Hierbei bezeichnet || · ||S die zu S zugehorige Energienorm

||p||S :=√〈Sp, p〉 .

Die Konvergenzrate r laßt sich auch folgendermaßen ausdrucken:

r =(λmax/λmin)− 1

(λmax/λmin) + 1=

λmax − λminλmax + λmin

.

Wir fragen uns nun, ob diese Konvergenzrate r von der Gitterweite h abhangt ? Nun

werden wir aber sehen, dass κ von h unabhangig ist.

Korollar 11.24 Die spektrale Konditionszahl κ = κ(M−1S) des Schurkomplements

einer inf-sup stabile Finite Elemente Diskretisierung ist auf quasi-uniformen Gittern

unabhangig von h nach oben beschrankt (mit gleicher Notation wie in Lemma 11.22):

κ ≤ c

γ2.

Beweis. Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Lemma 11.22.

Obgleich nun sichergestellt ist, dass die Konditionszahl nicht unter Gitterverfeine-

rung großer wird, so kann sie dennoch groß sein, namlich dann, wenn die inf-sup-

Konstante γ klein ist. Dies ist beispielsweise bei gestreckten Gebieten oder gestreck-

ten Zellen (große Anisotropie) der Fall. Um die Konvergenzrate zu verbessern ist

dann das cg-Verfahren vorzuziehen, denn es liefert eine verbesserte Abhangigkeit

der Konvergenzrate von κ.

Im Fall eines stabilisierten Systems lautet die Iteration abweichend von Algo-

rithmus 11.2:

(iii’) d(k) := Bv(k) − Cp(k−1) + g ,

(v’) αk :=〈d(k), e(k)〉

〈−Bw(k) + Cp(k−1), e(k)〉.


11.9.5 CG-Verfahren fur das reduzierte Stokes-System

Aus der Theorie des cg-Verfahrens wissen wir, dass dieses ebenfalls linear konvergiert

mit einer Konvergenzrate

r =1− κ−1/2

1 + κ−1/2=

√κ− 1√κ+ 1

=λ

1/2max − λ1/2

min

λ1/2max + λ

1/2min

.

Die Abschatzung lautet

||p− p(k)||S ≤ 2rk||p− p(0)||S .

Das cg-Verfahren benotigt zwei weitere Hilfsvektoren, die im nachfolgenden Pseudo-

Code in Tabelle 11.3 mit q(k) und q(k+1) bezeichnet sind.

11.9.6 Mehrgitter-Loser fur Stokes

Mehrgitter-Loser sind mitunter die effizientesten Loser, da der numerische Aufwand

(im besten Fall) linear mit der Anzahl von Unbekannten skaliert. Wir wollen an

dieser Stelle nicht auf die Funktionsweise eingehen, da dies in anderen Vorlesungen

(z.B. Iterative Verfahren) ausfuhrlich geschieht. Wohl aber wollen wir auf die Spezi-

fika bei dem Losen von Sattelpunktsproblemen eingehen. Bei Mehrgitter-Verfahren

wird auf der gesamten Gitterhierachie ein approximativer Loser benotigt, ein soge-

nannter Glatter (engl. smoother). Wir benotigen hierzu eine Iteration

v(k−1), p(k−1) → v(k), p(k) ,

so dass das Residuum

%(k) :=

(f

g

)−A

(v(k)

p(k)

)normmaßig verringert wird, also ||%(k)|| < ||%(k−1)||.

Wir stellen hierzu den sogenannten Vanka-Glatter fur das (nicht divergenz-freie)

Crouzeix-Raviart Element aus Abschnitt 11.5 vor. Die Geschwindigkeiten sind ele-

mentweise linear und an den Kantenmittelpunkten stetig. Die Drucke sind element-

weise konstant. Schematisch sind die Freiheitsgrade fur ein Element in Abb. 11.5

gezeigt. Der Glatter funktioniert nun in Form einer Gebietszerlegung. Wir ordnen

alle Zellen in einer gewissen Reihenfolge. In jeder Zelle Ti gibt es nun einen Druckfrei-

heitsgrad pi und sechs Geschwindigkeiten vij , j = 1, . . . , 6. Wir erhalten hierdurch


Uzawa-CG-Algorithmus

(i) Wahle Startwert fur den Druck, z.B. p(0) ≡ 0, lose Av(1) = f −BTp(0). Setze k = 0. Bestimme Startdefekt q(1) := Bv(1) + g,

d(1) := q(1).

(ii) Erhohe k → k + 1. Invertiere die Massenmatrix Me(k) = d(k) .

(iii) Lose Poisson-Problem Aw(k) = −BT e(k) .

(iv) Ermittle die Schrittweite

αk :=〈q(k), e(k)〉

〈−w(k), BT e(k)〉.

(v) Druck- und Geschwindigkeitskorrektur

p(k) := p(k−1) + αke(k) ,

v(k+1) := v(k) + αkw(k) .

(vi) Bestimme neuen Defekt

q(k+1) := q(k) − αkBw(k)

(vii) Beende die Iteration falls ||q(k+1)|| ≤ TOL.

(viii) Anderenfalls berechne neue Suchrichtung

βk :=〈q(k+1),M−1q(k+1)〉〈q(k),M−1q(k)〉

,

d(k+1) := q(k+1) + βkd(k) .

Gehe zu (ii).

Tabelle 11.3: Uzawa-CG-Algorithmus.

ein lokales 7× 7-System der Form

(Ai BT

i

−Bi T

)vi1...

vi6pi

= %(k)i .


Abbildung 11.5: Crouzeiz-Raviart P dc1 /P0-Element mit unstetigen Drucken (rot) und

Geschwindigkeiten (blau). Die Divergenzfreiheit ist hier nicht eingebaut.

Die Matrix T bezeichnet hier wieder den Einfluß einer moglichen Druck-Stabili-

sierung (im Fall dieser Crouzeix-Raviart-Elemente aber nicht notwendig). Die Re-

siduen %(k)i beziehen sich hierbei nur auf die Integration uber die jeweilige Zelle

Ti, d.h. bezuglich Testfunktionen φ|Ti und χ|Ti . Die Geschwindigkeits-Freiheitsgrade

uberlappen sich hierbei, so dass man bei einer solchen lokalen Iteration ein Block-

Gauss-Seidel-Verfahren entsteht. Bei einem gesamten Durchlauf durch das Gitter

wird jeder Druck genau einmal aktualisiert und die Geschwindigkeiten mehrmals.

Das Invertieren der lokalen Matrizen geht hierbei verhaltnismaßig schnell. Nume-

risch aufwandig ist die standige Neuberechnung der Residuen.

11.10 Randbedingungen

Bislang hatten wir fur die Stokes-Gleichungen lediglich Dirichletbedingungen fur

die Geschwindigkeiten betrachtet, v|∂Ω = v0. In der anschließenden Analyse sind wir

zudem immer von homogenen Dirichletbedingungen ausgegangen, v|∂Ω = 0. Dies

ist aber keine Einschrankung, da wir inhomogene Dirichletbedingungen immer in

ein Problem mit homogenen Dirichletbedingungen umformulieren konnen. Wie dies

geschieht hatten wir in Abschnitt 3 fur das Poisson-Problem gesehen. In diesem

Abschnitt wollen wir uns mit weiteren sinnvollen Randbedingungen fur die Stokes-

Gleichungen beschaftigen.

11.10.1 Ausstrom-Randbedingungen

Ein wichtiger Vertreter ist die sogenannte do-nothing Bedingung zur Modellierung

von Ausstrom-Randbedingungen. Diese koppelt die Normalenableitung der Geschwin-

digkeiten mit dem Druck:

∂v

∂n− p · n = 0 auf ΓN ⊂ ∂Ω . (11.25)


Dirichletbedingungen werden dann gestellt an dem verbleibendem Rand ΓD, so dass

∂Ω = ΓD ∪ ΓN . Diese Ausstrom-Randbedingung wird haufig verwendet in Zusam-

menhang mit einer Einstrom-Randbedingung, z.B. auf ΓD = ΓD,1 ∪ ΓD,0,

v|ΓD,1 = vin und v|ΓD,0 = 0 .

Die zugehorige variationelle Formulierung lautet wieder (11.5)-(11.6). Allerdings lau-

ten die Funktionenraume nun anders: Da der Druck p in die Randbedingung (14.10)

einfließt, die implizit durch partielle Integration in der variationellen Formulierung

eingebaut ist, muss der globale Druckmittelwert nicht mehr vorgegeben werden. Dies

bedeutet insgesamt, dass der Geschwindigkeits- und Druckraum nun gegeben sind

durch

V := v ∈ H1(Ω) : v|ΓD = 0 f.u und Q := L2(Ω) . (11.26)

Zunachst sei hier bemerkt, dass die Poiseuille-Stromung

v(x, y) = (y(H − y), 0)T

in einem rechteckigen Kanal Ω = (0, L) × (0, H) die Randbedingung (14.10) am

rechten Rand x = L erfullt (vgl. Aufg. 1.1).

Lemma 11.25 Wenn die schwache Losung v, p des variationellen Problems (11.5)-

(11.6), formuliert in den variationellen Raumen (11.26), hinreichend regular ist, d.h.

v ∈ H2(Ω) und p ∈ H1(Ω), so impliziert dies, dass der Mittelwert des Drucks auf

geraden Ausstromrandern ΓN verschwindet,∫ΓN

p ds = 0 .

Beweis. Fur eine beliebige Testfunktion φ ∈ V gilt fur die Losung v, p ∈ X,

wenn v ∈ H2(Ω) und p ∈ H1(Ω):

(f, φ) = (∇v,∇φ)− (p, div φ)

= −(∆v +∇p, φ) +

∫ΓN

(∂v

∂n− pn

)φ ds .

Wir wahlen nun eine Folge von Testfunktionen (φk)k∈N, mit gegen Null konvergie-

render L2(Ω)-Norm und deren Trager sich zum Rand ΓN konzentrieren, namlich

limk→∞

φk = χΓN (punktweise) .


Dann werden die obigen Gebietsintegrale beliebig klein, so dass folglich gelten muss∫ΓN

pn ds =

∫ΓN

∂v

∂nds .

Den Vektor der Normalenableitungen drucken wir aus in der Gestalt:

∂v

∂n=

∂

∂n(vnn+ vtt) =

∂vn∂n

n+∂vt∂n

t .

Also folgern wir weiter:∫ΓN

pn ds =

∫ΓN

(∂vn∂n

n+∂vt∂n

t

)ds .

Dies impliziert insbesondere ∫ΓN

p ds =

∫ΓN

∂vn∂n

ds .

Wir stellen die Divergenz dar durch Tangential- und Normalenkomponente,

0 = div v =∂vn∂n

+∂vt∂t

.

Dadurch erhalten wir mit dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung∫ΓN

p ds = −∫

ΓN

∂vt∂t

ds = vt(x1)− vt(x2) ,

wobei x1 und x2 Anfangs- und Endpunkt von ΓN sind. Da diese aber auch auf ΓDliegen folgt die Behauptung.

Gravitationskrafte. Das man durch solche Ausstromrandbedingung den Mittel-

wert des Druckes dort vorgibt muss man insbesondere berucksichtigen, wenn man

Gravitationskrafte in der rechten Seite betrachtet. Dies bedeutet z.B. in 2-D, dass f

von der Form f = (0, g)T mit einer Konstanten g ist. Bei homogenen Dirichletwer-

ten fur die Geschwindigkeiten v = 0 auf ΓD wird die rechte Seite in der Gleichung

−∆v+∇p = f dann durch den Druckgradienten kompensiert. Dies bedeutet fur die

Losung, v ≡ 0 und ∂yp = g, bzw.

p(x, y) = p0 + g · (y − ymax) ,

wobei ymax die maximale y Koordinate in Ω ist und p0 eine beliebige Konstan-

te. Dieser “Ruhedruck” ist also geschichtet. Fur negatives g (z.B. auf der Erde


g = −9.81m/s2) befindet sich das Druckmaximum an der tiefsten Stelle y = ymin.

Zusammen mit der Ausstrombedingung erhalten wir dann fur einen geraden Aus-

stromrand Γout = (x0, y) : ymin ≤ y ≤ ymax:∫ ymax

ymin

(p0 + g · (y − ymax)) dy = 0 .

Solange es nur einen Ausstromrand gibt, fuhrt dies zur Festlegung von p0. Bei mehr

als einem Ausstromrand, kann es aber dazu fuhren, dass eine vertikale Schichtung

nicht moglich ist.

Stabilitat. Testen wir die Bilinearform diagonal, so ergibt sich fur die Losung

|v|2H1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω)||v||L2(Ω). Da nun nicht notwendigerweise v ∈ H10 (Ω) gilt, konnen

wir hier nicht ohne weiteres die Standard-Poincare Ungleichung in Satz 5.11 an-

wenden und die L2-Norm von v durch den Gradienten ∇v nach oben beschranken.

Wir mussen uns auf die allgemeinere Fassung beziehen in Satz 5.17. Hierzu darf der

Dirichletrand ΓD keine Lebesgue-Nullmenge in Rd−1 sein. Dann aber konnen wir

wieder folgern

|v|H1(Ω) ≤ cΩ||f ||L2(Ω) .

Hiermit erhalten wir die Eindeutigkeit von Losungen auch im Fall der Ausstrombe-

dingung:

Satz 11.26 Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Lipschitz-Gebiet und der Dirichletrand

ΓD ⊂ ∂Ω besitze ein nicht verschwindendes Lebesgue-Maß (in Rd−1). Dann existiert

zu jedem f ∈ L2(Ω)d eine eindeutige Losung des Stokes-Problems (11.5)-(11.6),

formuliert in den variationellen Raumen (11.26).

Beweis. (a) Die Existenz von Losungen ergibt sich analog zum Beweis von Satz 11.1.

(b) Aufgrund der Linearitat des zugrundeliegenden Problems erfullt die Differenz

v − w zweier Losungen v, w das homogene Stokes Problem. Wir haben aber oben

gezeigt, dass sich |v − w|H1(Ω) durch die rechte Seite beschranken laßt. Da diese

im homogenen System verschwindet, folgt |v − w|H1(Ω) = 0. Mit der allgemeinen

Poincare-Ungleichung in Satz 5.17 folgt dann aber auch ||v − w||L2(Ω) = 0, also

v = w.

11.10.2 Druckdifferenz Randbedingungen

Gelegentlich mochte (oder kann) man nicht das Einstromprofil vorgeben. In diesem

Fall kann man eine Druckdifferenz zwischen Einstromrand Γin und Ausstromrand


Γout vorgeben. Wenn am verbleibenden Rand ΓD no-slip vorgegeben wird, also

v|ΓD = 0, so lautet die variationelle Formulierung:

(div v, ξ) = 0 ∀ξ ∈ Q ,

(∇v,∇φ)− (p, div φ) = (f, φ)− pin∫

Γin

φ · n ds− pout∫

Γout

φ · n ds ∀φ ∈ V .

Hierbei bezeichnen pin und pout vorgegebene Druckmittelwerte fur die Rander Γinund Γout. Der Raum V ergibt sich in diesem Fall zu:

V := v ∈ H1(Ω) : v = 0 auf ΓD .

11.11 Instationare Stokes-Gleichungen

Bei den instationaren Stokes-Gleichungen sind die Geschwindigkeiten und der Druck

zeitabhangig, v = v(x, t) und p = p(x, t). Ublicherweise wird die raumliche Koor-

dinate mit x und die Zeit mit t bezeichnet. Wir bezeichnen das zeitliche Intervall

mit [0, T ]. Die Dirichletwerte fur die Geschwindigkeiten seien g, die Anfangswerte

fur t = 0 seien v0. Allerdings taucht in den Gleichungen keine zeitliche Ableitung

des Drucks auf. Die Gleichungen lauten nun in starker Formulierung:

∂v

∂t−∆v +∇p = f in Ω ,

div v = 0 in Ω ,

v = g auf ∂Ω ,

v|t=0 = v0 in Ω .

Implizites Euler-Verfahren. Nach Diskretisierung des Zeitintervalls in einzelne

Zeitpunkte, 0 = t0 < . . . < tm = T , fuhrt das implizite Euler Verfahren auf fol-

gende Iteration zur Berechnung der Geschwindigkeiten vn und des Drucks pn zum

Zeitpunkt tn:

1

τnvn −∆vn +∇pn =

1

τnvn−1 + fn in Ω ,

div vn = 0 in Ω ,

vn = g(tn) auf ∂Ω .

Hierbei bezeichnet τn := (tn − tn−1)−1 den Zeitschritt. Insbesondere ist zu beobach-

ten, dass der Druck pn−1 nicht mehr in den neuen Zeitschritt tn hinein koppelt. Zu

11.12 Stabilitat 191

jedem Zeitpunkt ist also ein verallgemeinertes Stokes Problem zu losen mit einem

zusatzlichen Term 0. Ordnung. Dieses Zeitschrittverfahren ist, wie wir bereits bei

der Warmeleitungsgleichung gesehen haben, nur von 1. Ordnung in der Zeit. Ein

Verfahren 2. Ordnung ist das θ-Verfahren fur θ = 12, wie nachfolgend beschrieben.

θ-Einschrittverfahren. Wir verwenden wie in Abschnitt 10.4 fur 0 ≤ θ ≤ 1 die

Bezeichnung vn+θ := θvn + (1 − θ)vn−1 und entsprechend fur die rechte Seite fn+θ.

Beginnend mit den Anfangswerten u0, oder einer Approximation hiervon, wird nun

iterativ berechnet:

1

τn(vn − vn−1)−∆vn+θ +∇pn = fn+θ in Ω ,

div vn = 0 in Ω ,

vn = g(tn) auf ∂Ω .

Auch hier wird die Divergenzbedingung voll implizit behandelt. Die Erhaltung der

Divergenzfreiheit fur vn fuhrt daher auf den Druck pn (und nicht etwa auf pn+θ). Die

Konvergenzordnung ist fur das Crank-Nicholson-Verfahren, θ = 12, und konstanten

Zeitschritt τ gerade O(τ 2), und ansonsten fur θ 6= 12

nur O(τ). Fur θ = 1 erhalt man

wiederum das implizite Euler-Verfahren.

BDF-Schema. Alternativ kann der zeitliche Differenzenquotient 1kn

(vn − vn−1)

durch ein Mehrschritt-Verfahren ersetzt werden. Diese werden backward difference

formula (BDF) genannt. Beispielsweise lautet der Zweischritt-Differenzen-Quotient

3vn − 4vn−1 + vn−2

2τn≈ ∂v

∂t(tn) .

Man muss hierzu offensichtlich einen weiteren Geschwindigkeitsvektor vn−2 abspei-

chern. Auch dieses Verfahren ist von zweiter Ordnung. Allerdings gibt es bei den

Mehrschritt-Verfahren Probleme bei variablem Zeitschritt oder variablem Ortsgitter.

Hier bieten Einschritt-Verfahren einen Vorteil.

11.12 Stabilitat

In diesem Abschnitt wollen wir die Frage verfolgen, inwieweit Losungen der insta-

tionaren Stokes-Gleichungen stabil gegenuber kleinen Anderungen in den Anfangs-

bedingungen sind. Die Losung der zugrunde liegenden Gleichung zur Anfangsbedin-

gung u0 sei u(t) und die zur Anfangsbedingung u0 +δu sei geschrieben in der Gestalt

(u+ w)(t). Im folgenden bezeichnet || · || stets die L2(Ω)-Norm.


Definition 11.27 Eine Losung u heißt unbedingt exponentiell stabil, wenn C, α >

0 existieren, so dass fur die Differenz w zu beliebigen gestorten Anfangsbedingungen

u0 + δu gilt

||w(t)|| ≤ Ce−αt||δu|| ∀t ≥ 0 .

Sie ist bedingt exponentiell stabil, wenn obige Beschrankung zumindest fur alle δu

mit ||δu|| < ε fur ein ε > 0 gilt.

Hierbei bedeutet der Ausdruck “unbedingt” also, dass keine weiteren Vorausset-

zungen an die Kleinheit der Storungen gemacht werden. Wenn die exponentielle

Stabilitat fur die Konstante C > 1 gilt, kann die Storung sogar fur kurze Zeiten

anwachsen bis dann der exponentielle Abfall tatsachlich eintritt.

Im Gegensatz hierzu spricht man von exponentiell instabil, wenn fur ein A,α > 0

gilt:

||w(t)|| ≈ Aeαt||δu|| .

Wir betrachten die instationaren Stokes-Gleichungen mit einem zusatzlichen

Term erster Ordnung in der variationellen Formulierung im Raum J1(Ω):

(∂tv, φ) + (ν∇v,∇φ) + (av, φ) = (f, φ) ∀φ ∈ J1(Ω) .

Mit der Poincare-Konstanten cΩ erhalten wir nun ein Stabilitatkriterium:

Lemma 11.28 Die Losung der obigen Stokes-Gleichung ist fur a > −ν/c2Ω stets

unbedingt exponentiell stabil.

Beweis. Die Differenz w erfullt die Gleichung

(∂tw, φ) + (ν∇w,∇φ) + (aw, φ) = 0 ∀φ ∈ J1(Ω) ,

zusammen mit der Anfangsbedingung w(0) = δu. Diagonales Testen φ = w ergibt

dann

1

2∂t||w(t)||2 + ν||∇w||2 + a||w||2 = 0 .

Wir multiplizieren beide Seiten mit eαt, mit zunachst beliebigem α > 0, und ver-

wenden die Produktregel fur die Ableitung:

1

2∂t(e

αt||w(t)||2) + eαt(ν||∇w||2 +

(a− α

2

)||w||2

)= 0 .

11.13 Losungstheorie fur die instationare Stokes Gleichungen 193

Unter der Voraussetzung (die wir im nachhinein verifizieren)

ν||∇w||2 + (a− α/2) ||w||2 ≥ 0 , (11.27)

folgern wir ∂t(eαt||w(t)||2) ≤ 0 . Nun integrieren wir beide Seiten und erhalten

eαt||w(t)||2 − ||w(0)||2 ≤ 0 ,

bzw.

||w(t)|| ≤ e−αt/2||w(0)|| .

Die Bedingung (11.27) ist bei a > 0 erfullt fur α = 2a. Im allgemeinen (jedoch bei

vorliegen homogener Dirichletrandwerten auf einem Randstuck Γ ⊂ ∂Ω) benotigen

wir die schwachere Bedingung

ν + c2Ω

(a− α

2

)≥ 0 .


Man kann sogar zeigen, dass man α = a+λ1 wahlen kann, wobei λ1 > 0 der kleinsten

Eigenwert des Stokes-Operators ist.

11.13 Losungstheorie fur die instationare Stokes

Gleichungen

Die instationaren Stokes Gleichungen lauten:

∂u

∂t−∆u+∇p = f in Ω ,

div u = 0 in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,

u|t=0 = v0 in Ω .

Wir verwenden die divergenz-freien Raume

V := v ∈ H10 (Ω)d | div v = 0,

H := v ∈ L2(Ω)d | div v = 0.

Die variationelle Form lautet nun: Gesucht u ∈ L2(0, T ;V ) ∩H1(0, T ;H), s.d.

(∂tu(t), φ) + (∇u(t),∇φ) = (f(t), φ) ∀φ ∈ V.


Um die Existenz von Losungen zu zeigen, verwendie wir die sogenannte Faedo-

Galerkin-Methode. Sei hierzu V1 ⊆ V2 ⊆ . . . ⊆ V eine Folge von endlich-dimensionalen

Raumen mit, dim(Vm) = m, s.d. die Vereinigung aller Vm dicht liegt in V . Ferner

konnen wir die Existenz von Basen annehmen, so dass Vm = spanv1, . . . , vm. Die

entsprechenden endlich dimensionalen Probleme lauten nun mit dem Ansatz

um =m∑j=1

gm,jvj

und der Projektion der Anfangsbedingung u0 auf den Span von vj, g0j = Πjv0, wie

folgt:

m∑j=1

∂tgm,j(t)(vj, vi) +m∑j=1

g′m,j(t)(∇vj,∇vi) = (f(t), vi) ∀i = 1, . . . ,m,

gm,j(0) = g0j .

Die Koeffizientenfunktion sei gm = (gm,1, . . . , gm,m). Ferner benutzen wir die Masse-

matrix Mm = ((∇vj,∇vi))1≤i,j≤m, die Steifigkeitsmatrix Am = ((∇vj,∇vi))1≤i,j≤m

und die rechte Seite bm = ((f, vi))1≤i≤m. In Matrixschreibweise erhalten wir somit

das lineare Differential-Gleichungsystem:

Mmg′m(t) + Amgm(t) = bm(t), 0 < t ≤ T,

gm(0) = g0m.

Da die vi linear unabhangig sind, ist Mm invertierbar. Daher erhalten wir:

g′m(t) +M−1m Amgm(t) = M−1

m bm(t), 0 < t ≤ T,

gm(0) = g0m

Aus der Theorie linearer Differentialgleichungen wissen wir, dass stets eine eindeu-

tige Losung gm ∈ C1(0, T ;Rm) existiert. Da gm ∈ L2(0, T ;Rm) folgt

um ∈ L2(0, T ;V ).

Ferner sind die Losungen uniform beschrankt, denn diagonales Testen fuhrt auf:

1

2∂t||u||2 + ||∇u||2 = (f, u) ≤ 1

2||f ||2−1 +

1

2||∇u||2

und damit auf

∂t||um||2 + ||∇um||2 ≤ ||f ||2−1.

11.13 Losungstheorie fur die instationare Stokes Gleichungen 195

Die zeitliche Integration dieser Ungleichung ergibt:

||um(t)||2 + ||um||2L2(0,t;V ) ≤ ||f ||2L2(0,t;H−1(Ω).

Somit ist die gesamte Folge (um)m∈N uniform beschrankt in den Normen L∞(0, T ;H)

und L2(0, T ;V ). Da L2(0, T ;V ) ein reflexiver Raum ist, existiert eine Teilfolge, die

in L2(0, T ;V ) schwach konvergiert. Der Raum L∞(0, T ;H) ist hingegen nicht refle-

xiv. Daher kann man nur die schwach-∗-Konvergenz einer Teilfolge ableiten. Somit

existiert ein

u ∈ L2(0, T ;V ) ∩ L∞(0, T ;H),

mit der Teilfolgenkonvergenz

limm→∞

∫ T

0

(∇(um(t)− u(t)),∇φ(t))dt → 0 ∀φ ∈ L2(0, T ;V ),

limm→∞

∫ T

0

(um(t)− u(t), φ(t))dt → 0 ∀φ ∈ L1(0, T ;H)

Im letzten Limes haben wir verwendet, dass (L1)′ = L∞. Nun ist noch zu zeigen,

dass dieses u die Losung der ursprunglichen Gleichung im distributionellem Sinn ist,

d.h.∫ T

0

(∂tu, φ)ψ dt+

∫ T

0

(∇u,∇φ)ψ dt =

∫ T

0

(f, φ)ψ dt ∀φ ∈ V ∀ψ ∈ D(0, T ),

mit D(0, T ) = ψ ∈ C∞(0, T ) |ψ(T ) = 0. Mit partieller Integration der zeitlichen

Ableitung ist diese Gleichung in Verbindung mit der Anfangsbedingung aquivalent

zu

−∫ T

0

(u, φ)ψ′ dt+

∫ T

0

(∇u,∇φ)ψ dt = (u0, φ)ψ(0) +

∫ T

0

(f, φ)ψ dt.(11.28)

Aufgrund eines Dichtheitsarguments genugt es aber zu zeigen, dass diese Gleichung

fur alle φ = vj, j ∈ N, gilt. Daher verifizieren wir zunachst, dass fur alle j ∈1, . . . ,m gilt:

−∫ T

0

(um, vj)ψ′ dt+

∫ T

0

(∇um,∇vj)ψ dt = (um,0, vj)ψ(0) +

∫ T

0

(f, vj)ψ dt.

Diese Gleichung iat aber eine direkte Folgerung aus

(∂tum, vj) + (∇um,∇vj) = (f, vj)

der Multiplikation mit der Testfunktion ψ, zeitlicher Integration und partieller In-

tegration sowie der Anfangsbedingung um(0) = um,0. Der Grenzubergang m → ∞liefert nun die gewunschte Gleichung (11.28) fur u.

Kapitel 12

Darcy-Gleichung

Die Darcy-Gleichungen1 beschreibt Stromungen durch porose Medien. Hierdurch

wird beispielsweise die Ausbreitung von Grundwasser (und darin geloste Schadstoffe)

beschrieben. Auch in der Petrochemie sind diese Gleichungen von außerordentlicher

Bedeutung, da auch die Stromung von Erdol und die Sattigung des Untergrundes

durch sie beschrieben werden kann.

Eine zentrale Eigenschaft bei der Darcy-Gleichung ist, dass die Stromungsge-

schwindigkeit v proportional zum Druckgradienten ∇p plus außerer Krafte ist. Wir

betrachten die Darcy-Gleichungen mit den ublichen Dirichlet-Randwerten fur die

Normalenkomponenten der Geschwindigkeiten:

K−1v +∇p = ρg in Ω ,

div v = l in Ω ,

v · n = v0 auf ∂Ω .

Die Matrix K beinhaltet die Durchlassigkeitsbeiwerte, ist symmetrisch positiv de-

finit und ist ein Maß fur die Permeabilitat des Materials. In hetereogenen Medien

kann diese Matrix nicht nur raumlich variieren, K = K(x), sondern sogar unstetig

sein, also K ∈ L∞(Ω)d×d. Diese Matrix ist aber haufig nicht bekannt, sondern selbst

Gegenstand der Untersuchung, z.B. in der Geophysik. Da das Medium Flussigkeiten

speichern und wieder freigeben kann, ist das Geschwindigkeitsfeld nicht divergenz-

frei, sondern kann Quellen und Senken l besitzen. Die Dichte des Fluids ist hier mit

ρ bezeichnet und sei hier als konstant angenommen. Ebenso sei die außere Kraft g

(Gravitationskraft) konstant.

1Henry Darcy, 10.06.1803–03.01.1858, franzosischer Ingenieur, der sich u.a. mit der Stromung

in porosen Medien beschaftigte.

198 M. Braack Darcy-Gleichung

Mit dem Gauß’schen Integralsatz erkennt man sofort, die folgende Kompatibi-

litatsbedingung:∫Ω

l dx =

∫Ω

div v dx =

∫∂Ω

v · n ds =

∫∂Ω

v0 ds .

Wir bemerken hier, dass v nicht notwendigerweise H1 sein muss. Allerdings mussen

v und div v in L2(Ω) sein. Die Spur tr (v · n) von v · n auf dem Rand ∂Ω muss

ebenfalls auf dem Rand L2-integrierbar sein. Die naturlichen Hilbertraume fur die

Geschwindigkeiten und den Druck sind daher

V := v ∈ L2(Ω)d : div v ∈ L2(Ω), tr (v · n) = v0 ∈ L2(∂Ω) ⊂ Hdiv(Ω) ,

Q := L20(Ω) .

Wir betrachten im folgenden verschiedene Moglichkeiten fur die numerische Behand-

lung dieser Gleichungen.

12.1 Primale Formulierung im Druck

Wenn wir auf die erste Gleichung die Divergenz anwenden, laßt sich v unmittelbar

aus den Gleichungen heraus eliminieren:

div (K∇p) = div (ρKg)− l in Ω .

Da div∇ gerade der Laplace Operator ist, erhalten wir fur konstantes K > 0 zu-

sammen mit der Randbedingung die Poisson-Gleichung

−∆p = f in Ω ,∂p

∂n= w0 auf ∂Ω ,

mit den rechten Seiten f := K−1l−div (ρg), w0 := ρg ·n−K−1v0. Wie wir dies losen

haben wir bereits ausfuhrlich in Kapitel 5 bearbeitet. Nach der Bestimmung eines

diskreten Drucks ph auf einer Triangulierung Th kann man die Geschwindigkeiten

durch den Zusammenhang v = K(ρg−∇p) im Nachhinein berechnen. Dies geschieht

zum Beispiel durch eine L2-Projektion:

(vh, φ) = (K(ρg −∇ph), φ) ∀φ ∈ Vh .

Dies kann beispielsweise auf dem gleichen Gitter geschehen. In jedem Fall ist hierzu

die Massematrix zu invertieren, was aber i.d.R. aufgrund der kleinen Konditionszahl

kein Problem darstellen sollte. So bietet sich u.a. an p ∈ P1(Th) und Vh = P1(Th)d.

12.2 Gemischte Variationsformulierung fur Darcy 199

Dieser Zugang ist durchaus in vielen Fallen vertretbar; aber eben nicht immer. So

ist man beispielsweise haufiger in erster Linie an den Geschwindigkeiten interessiert

und weniger am Druck. Wenn ph aber lediglich eine C0-Funktion ist, so ist ∇phunstetig. Dies fuhrt zu nicht glatten Geschwindigkeiten. Die Situation wird noch

verscharft, wenn die Durchlassigkeitsbeiwerte K starken Schwankungen unterworfen

ist. In diesen Fallen sollte man vh direkt berechnen und das gekoppelte System fur

ph und vh losen.

12.2 Gemischte Variationsformulierung fur Darcy

Wenn wir das gekoppelte System betrachten, so lautet die Variationsformulierung:

(K−1v, φ)− (p, div φ) +

∫∂Ω

pφ · n ds = (ρg, φ) ∀φ ∈ V,

(div v, ξ)−∫∂Ω

v · nξ ds = (l, ξ)−∫∂Ω

v0ξ ds ∀ξ ∈ Q .

In den auftretenden L2(Ω)-Skalarprodukten wurde wieder der Druckgradient partiell

integriert, um ihn auf die Testfunktion zu ”verlagern”, und die Randbedingung fur

v · n wurde eingebaut. Dies ist wieder ein Sattelpunktproblem bei dem wir wieder

die inf-sup Bedingung erfullt wissen mussen. Wir bemerken hier, das sich dieses

System nur in der rechten Seite von (9.11)-(9.12) unterscheidet. Wir haben bereits in

Kapitel 9.4 ein LBB-stabiles Element kennengelernt, namlich dass Raviart-Thomas-

Element.

Wir schreiben die Variablen und Testfunktionen wieder als Paare u = v, p ∈X := V × Q, ϕ = φ, ξ ∈ X. Nachdem wir durch k teilen, lautet die zugehorige

Bilinearform dann

A(u, ϕ) := (K−1v, φ)L2(Ω) − (p, div φ)L2(Ω) + (div v, ξ)L2(Ω) (12.1)

+

∫∂Ω

(pφ · n− v · nξ) ds .

Die Varationsaufgabe hat die Gestalt

u ∈ X : A(u, ϕ) = F (ϕ) ∀ϕ ∈ X ,

wobei

F (ϕ) := (ρg, φ) + (l, ξ)−∫∂Ω

v0ξ ds .


12.3 Allgemeine a priori Abschatzung fur SFEM

Die gemischten und inf-sup stabilen Elemente sind jeweils speziell konzipiert je nach

Anwendung (Gleichungstyp). Ferner sind sie unterschiedlich fur die verschiedenen

Variablen. Dies ist nicht zuletzt aus Sicht einer Implementierung am Computer un-

vorteilhaft. Der grundsatzliche Vorteil einer stabilisierten Finite Elemente Methode

ist der, dass man mit einem “Standard-Element” arbeiten kann und die Gleichung

durch “kleine” Modifizierungen im Diskreten stabil bekommt. In diesem Abschnitt

untersuchen wir ein allgemeines Konzept zur a priori Abschatzung bei stabilisierten

Finiten Elementen. Im Anschluß werden wir das Resultat auf das Darcy-System

anwenden.

Wir gehen aus von einer kontinuierlichen Gleichung

u ∈ X : A(u, ϕ) = F (ϕ) ∀ϕ ∈ X , (12.2)

sowie einer stabilisierten Fassung

uh ∈ Xh : Ah(uh, ϕ) = Fh(ϕ) ∀ϕ ∈ Xh ,

mit

Ah(u, ϕ) := A(u, ϕ) + Sh(u, ϕ) .

Ebenso tragt die rechte Seite einen Index h, um anzudeuten, dass auch hier eine Sta-

bilisierung eingefuhrt wird, um evtl. eine starke Konsistenz zu erzielen. Wie wollen

den Diskretisierungsfehler in einer Seminorm | · | : X → [0,∞) untersuchen, dessen

bezuglich Ah koerziv ist, also

Ah(u, u) ≥ α1|u|2 ∀u ∈ Xh , (12.3)

mit einer von h unabhangigen Konstanten α2 > 0. Wir setzen voraus, dass die

Methode stark konsistent ist, d.h. die kontinuierlicher Losung ist auch Losung der

diskreten Gleichung:

Ah(u, ϕ) = Fh(ϕ) ∀ϕ ∈ Xh . (12.4)

Hieraus folgt dann die Galerkin-Orthogonalitat fur den Fehler e := u− uh:

Ah(e, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ Xh . (12.5)

Satz 12.1 Gegeben sei ein Hilbertraum X und ein abgeschlossener Unterraum Xh ⊂X, sowie Bilinearformen A,Ah : X ×X → R. Auf X sei eine Seminorm | · | : X →[0,∞) definiert. Außerden gelte:

12.3 Allgemeine a priori Abschatzung fur SFEM 201

1. Ah ist stark konsistent (12.4),

2. Ah ist koerziv bzgl. | · |, d.h (12.3) gilt.

3. Fur die Losung u ∈ X der Gleichung (12.2) gelte eine Interpolationsabschatzung

der Form

|u− Ihu| ≤ Hh(u) , (12.6)

mit einem (gitterabhangigen) Funktional Hh : X → R.

4. Fur ein α2 ≥ 0 gilt:

Ah(w − Ihw,ϕh) ≤ α2Hh(w)|ϕh| ∀ϕh ∈ Xh, ∀w ∈ X .

Dann gilt die a priori Abschatzung

|u− uh| ≤(

1 +α2

α1

)Hh(u) .

Beweis. Wir spalten den Fehler e = u − uh auf in Interpolationsfehler η :=

u − Ihu und Projektionsfehler ξ := Ihu − uh ∈ Xh. Es genugt offensichtlich den

Projektionsfehler wie folgt abzuschatzen:

|ξ| ≤ α2

α1

Hh(u) . (12.7)

Mit der Dreiecksungleichung folgt dann die Behauptung. Zum Nachweis von (12.7)

nutzen wir die Koerzivitat (12.3) und Linearitat von Ah, sowie die Galerkin-Ortho-

gonalitat (12.5):

α1|ξ|2 ≤ Ah(Ihu− uh, ξ)= Ah(u− uh, ξ) + Ah(Ihu− u, ξ)= Ah(u− Ihu,−ξ)≤ α2Hh(u)|ξ| .

Wenn wir nun durch α1|ξ| teilen, folgt hieraus die Schranke (12.7).

Bemerkung: Fur die Konsistenz genugt es, dass (12.4) erfullt ist, sofern die konti-

nuierliche Losung u hinreichend regular ist. Die obige Abschatzung gilt dann auch

nur unter der Bedingung dieser Regularitat an die Losung u.


12.4 Eine spezielle SFEM fur Darcy

Wir wollen hier Ps oder Qs-Elemente fur Druck und Pr oder Qr-Elemente fur die

Geschwindigkeiten betrachten, r, s ≥ 1. Der Stabilisierungsterm, den wir hier unter-

suchen wollen, lautet gemaß Masud und Hughes [11]

Sh(uh, ϕ) =1

2(K−1v +∇p, φ+K∇ξ)L2(Ω) , (12.8)

Fh(ϕ) = F (ϕ) +1

2(ρg, φ+K∇ξ)L2(Ω) .

Um die Stabilitat dieser Methode mit Methoden des letzten Abschnitts zu Untersu-

chen fuhren wir die Norm

|||u||| :=

(||K−1/2v||2L2(Ω) +

1

2||K1/2∇p||2L2(Ω)

)1/2

ein. Wir erhalten dann unmittelbar das folgende Stabilitatsresultat:

Lemma 12.2 Die Bilinearform Ah als Summe von (12.1) und (12.8) erfullt folgen-

de Koerzivitatseigenschaft

Ah(u, u) ≥ 1

2|||u|||2 ∀u ∈ X , (12.9)

und sie ist stark konsistent, d.h. die kontinuierliche Losung u ∈ X erfullt im Falle

hinreichender Regularitat auch die diskrete Gleichung:

Ah(u, ϕ) = Fh(ϕ) ∀ϕ ∈ Xh . (12.10)

Beweis. (a) Offensichtlich gilt beim diagonalen Testen mit Hilfe der Young’schen

Ungleichung:

A(u, u) = (K−1v, v)L2(Ω) = ||K−1/2v||2L2(Ω) ,

2Sh(u, u) = (K−1v +∇p, v +K∇p)= ||K−1/2v||2 + 2(v,∇p) + ||K1/2∇p||2

≥ ||K−1/2v||2 − 2||K−1/2v||||K1/2∇p||+ ||K1/2∇p||2

≥ ||K−1/2v||2 − 2||K−1/2v||2 − 1

2||K1/2∇p||2 + ||K1/2∇p||2

= −||K−1/2v||2 +1

2||K1/2∇p||2 .

Diese beiden Terme zusammen addiert ergibt die Koerzivitat (12.9).

(b) Im Fall hinreichender Regularitat gilt K−1v +∇p = ρg. Folglich gilt

Sh(u, ϕ) =1

2(ρg, φ+K∇ξ) = Fh(ϕ)− F (ϕ) .

12.4 Eine spezielle SFEM fur Darcy 203

Hieraus ergibt sich die starke Konsistenz (12.10).

Um die a priori Analyse durchzufuhren schatzen wir zunachst den Interpolations-

fehler ab.

Lemma 12.3 Fur den Interpolationsfehler u− Ihu mit der Knoteninterpolierenden

Ihu auf Pr (oder Qr) Elemente in v und Ps (oder Qs) Elemente in p gilt auf quasi-

uniformen Gittern

|||u− Ihu||| ≤ c(k−1/2− hr+1|v|Hr+1 + k

1/2+ hs|p|Hs+1) ,

mit der Bezeichnung k− := infx∈Ω 〈Kx, x〉/||x||2, k+ := supx∈Ω 〈Kx, x〉/||x||2 und ei-

ner nur von Ω und der Anisotropie κ der Gitter abhangigen Konstanten c = c(Ω, κ).

Ferner wurde die ubliche Notation h = maxhT : T ∈ Th benutzt.

Beweis. Die Abschatzung ist eine direkte Folgerung aus der Interpolationsab-

schatzung in Satz 6.10.

Satz 12.4 Unter den gleichen Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Lem-

ma 12.3 gilt fur den Diskretisierungsfehler bei dem Darcy-Problem mit der Stabili-

sierung (12.8)

|||u− uh||| ≤ c(k−1/2− hr+1|v|Hr+1 + k

1/2+ hs|p|Hs+1) .

Beweis. Wir wollen den Satz 12.1 anwenden. Hierzu bemerken wir zunachst, dass

durch Lemma 12.3 die Eigenschaft (12.6) erfullt ist fur

Hh(u) := c(k−1/2− hr+1|v|Hr+1 + k

1/2+ hs|p|Hs+1) .

Daher genugt es nun, fur u ∈ X und ϕ ∈ Xh folgende Schranke nachzuweisen:

Ah(u− Ihu, ϕ) ≤ α1(k−1/2− hr+1|v|Hr+1 + k

1/2+ hs|p|Hs+1)|||ϕ||| .

Nun beschranken wir die auftretenden Terme separat. Die Skalarprodukte und Nor-

men sind jeweils in L2(Ω) zu verstehen. Wir benutzen partielle Integration zur Be-

schrankung der Galerkin Terme:

A(η, ϕ) = (K−1ηv, φ) + (∇ηp, φ)− (ηv,∇ξ)≤ ||K−1/2ηv|| ||K−1/2φ||+ ||K1/2∇ηp|| ||K−1/2φ||+ ||K−1/2ηv|| ||K1/2∇ξ||≤ 2

(||K−1/2ηv||+ ||K1/2∇ηp||

)|||ϕ|||

≤ c(k−1/2− hr+1|v|Hr+1(Ω) + k

1/2+ hs|p|Hs+1(Ω)

)|||ϕ||| .


Die Stabilisierungsterme konnen wir entsprechend beschranken:

Sh(η, ϕ) =1

2(K−1ηv +∇ηp, φ+K∇ξ)

≤ 1

2

(||K−1/2ηv|| ||K−1/2φ||+ ||K−1/2ηv|| ||K1/2∇ξ||

+||K1/2∇ηp|| ||K−1/2φ||+ ||K1/2∇ηp|| ||K1/2∇ξ||)

≤(||K−1/2ηv||+ ||K1/2∇ηp||

)|||ϕ|||

≤ c(k−1/2− hr+1|v|Hr+1(Ω) + k

1/2+ hs|p|Hs+1(Ω)

)|||ϕ||| .

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Dass in obiger Abschatzung die rechte Seite in unschoner Form von den Duchlassig-

keitsbeiwerten K(x) abhangt ist nicht weiter verwunderlich, denn die gleiche Ska-

lierung findet sich in der Seminorm ||| · |||.

Kapitel 13

Konvektions-Diffusions-Gleichung

In diesem Abschnitt betrachten wir Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichung fur

eine skalare Grosse u : Ω→ R:

−ε∆u+ (b · ∇)u+ cu = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω .

Hierbei ist der Diffusionsparameter ε > 0 ein (haufig sehr kleiner) Parameter. c =

c(x) ist eine reellwertige Funktion, die eine Reaktion beschreibt, und b = b(x) eine

vektor-wertige Funktion b : Ω→ Rd. Der Konvektionsterm (b ·∇)u ist zu verstehen

als

(b · ∇)u :=d∑i=1

bi(x)∂u(x)

∂xi.

Diese Art von Gleichungen treten sehr haufig in dieser oder leicht abgewandelter

Form auf. Fur kleine Diffusionsparameter ε > 0 zeigen sich hier außerst große nu-

merische Probleme. Wir wollen dies zunachst fur den eindimensionalen Fall d = 1

untersuchen.

13.1 Konvektions-Diffusions-Gleichung in 1D

Wir formulieren die obige Konvektions-Diffusions-Gleichung fur den speziellen Fall

d = 1, b = 1, c = 0 und f = 1. Das Gebiet Ω sei hier das Einheitsintervall I := (0, 1):

−εu′′ + u′ = 1 fur x ∈ I ,u(0) = u(1) = 0 .

(13.1)

206 M. Braack Konvektions-Diffusions-Gleichung

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

epsilon=0.1epsilon=0.05epsilon=0.01

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

epsilon=0.1epsilon=0.05epsilon=0.01

Abbildung 13.1: Losungen der eindimensonalen Konvektions-Diffusions-Gleichungen

−εu′′ + u′ = 1 (links) und −εu′′ + u′ = 0 (rechts) mit entsprechenden Dirichletbe-

dingungen fur ε ∈ 0.1, 0.05, 0.01.

Man verifiziert schnell, dass die Losung lautet

u(x) = x− δ

1− δ(exp(x/ε)− 1) .

mit δ := exp(−1/ε). Abgebildet ist diese Losung fur drei verschiedene Werte von ε in

Abbildung 13.1. Offensichtlich ist die Funktion fur kleine ε in einem weiten Bereich

nahe an der Funktion x 7→ x. Fur x in der Nahe der 1, bilden sich aber sehr starke

Gradienten aus. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer Randschicht. Im

vorliegenden Fall handelt es sich um eine exponentielle Randschicht. Fur x ∈ [0, 1)

gilt limε→0 u(x) = x, und daher fur a ∈ [0, 1)

limx→a

limε→0

u(x) = a = limε→0

limx→a

u(x) .

Hingegen gilt fur a = 1:

1 = limx→1

limε→0

u(x) 6= limε→0

limx→1

u(x) = 0 .

Die Funktion verhalt sich also im Punkt x = 1 qualitativ anders. Man spricht daher

davon, dass das Problem (13.1) singular gestort ist. Spater wird es uns interessieren,

wie die Ableitungen von u mit ε skalieren. Daher berechnen wir:

||u||L∞(I) = 1 ,

||u′||L∞(I) = supx∈(0,1)

∣∣∣∣1− δ

ε(1− δ)exp(x/ε)

∣∣∣∣ ≤ 1 +δ exp(1/ε)

ε(1− δ)≤ 1 +

2

ε,

||u′′||L∞(I) ≤ 1 +2

ε2.

13.1 Konvektions-Diffusions-Gleichung in 1D 207

Fur die hoheren Ableitungen ergibt sich entsprechend die obere Schranke

||u(k)||L∞(I) ≤ Cε−k , k ≥ 2 .

13.1.1 Zentrale Differenzenquotienten

Wir wollen an dieser Stelle das Modell-Problem (13.1) mit Finiten Differenzen losen.

Hierzu benutzen wir ein aquidistantes Gitter der Gitterweite h = 1/N und den

Knoten xi = ih. Die Knotenwerte u(xi) seien wieder mit ui bezeichnet.

Fur die Approximation der ersten Ableitung u′(xi) verwenden wir den zentralen

Differenzenquotienten:

u′(xi) ≈1

2h(ui+1 − ui−1) .

Ebenso die zweite Ableitung wollen wir mit dem zentralen Differenzenquotienten 2.

Ordnung approximieren:

u′′(xi) ≈1

h2(ui+1 − 2ui + ui−1) .

Das approximierende System lautet dann, u0 = uN = 0 und

2ε

h2u1 +

(− ε

h2+

1

2h

)u2 = 1(

− ε

h2− 1

2h

)ui−1 +

2ε

h2ui +

(− ε

h2+

1

2h

)ui+1 = 1 , i ∈ 2, . . . , N − 2(

− ε

h2− 1

2h

)uN−2 +

2ε

h2uN−1 = 1 .

Diese Approximationen sind (formal) von zweiter Ordnung.

Lemma 13.1 Eine Finite-Differenzen-Diskretisierung von (13.1) mit zentralen Dif-

ferenzenquotienten fuhrt im Fall h ≤ 2ε zu einer M-Matrix.

Beweis. Man sieht unmittelbar, dass die Matrix A unter der Voraussetzung h ≤2ε vom nicht-negativen Typ ist, denn fur 1 ≤ i, j ≤ N und j 6= i:

aii =2ε

h2> 0 ,

aij = − ε

h2± 1

2h≤ − ε

h2+

1

2h≤ 0 .


Fur die Zeilensummen der i-ten Zeile, 2 ≤ i ≤ N − 1, ergibt sich

n∑j=1

aij = − ε

h2− 1

2h+

2ε

h2− ε

h2+

1

2h= 0 .

Fur die erste Zeile (i ∈ 1, N − 1) gilt:

n∑j=1

aij =2ε

h2− ε

h2+

1

2h≥ ε

h2+

1

2h> 0 .

Damit ist gezeigt, dass A erweitert diagonal-dominant ist. Ferner ist A irreduzibel,

da jeweils die Eintrage i − 1, i und i + 1 miteinander gekoppelt sind durch von

Null verschiedene Koeffizienten. Insgesamt folgt nun mit Lemma 5.26 die M-Matrix

Eigenschaft.

Durch eine M-Matrix Eigenschaft erreicht man auch Stabilitat des diskreten

Schemas.

Die Einschrankung an die Gitterweite fuhrt zu der Bedingung extrem kleiner

Gitterweiten, die in der Realitat selten erreicht werden konnen. Dies wollen wir an

einem weiteren Beispiel illustrieren, an dem man die diskrete Losung unmittelbar

angeben kann. Wir betrachten eine verschwindende rechte Seite und dafur eine in-

homogene Dirichletbedingung:

−εu′′ + u′ = 0 x ∈ I ,u(0) = 0 , u(1) = 1 .

Die exakte Losung lautet mit δ = exp(−1/ε):

u(x) = (exp(x/ε)− 1)δ

1− δ

Das entsprechende lineare Gleichungssystem besteht aus Gleichungen der Form

riui−1 + siui + tiui+1 = 0 , i ∈ 1, . . . , N − 1 , (13.2)

mit

ri = − ε

h2− 1

2h, si =

2ε

h2, ti = − ε

h2+

1

2h.

Fur sehr kleines ε << 2h hat dieses Gleichungssystem die Gestalt

1

2h(ui+1 − ui−1) = O(ε) , i ∈ 1, . . . , N − 1 .

13.1 Konvektions-Diffusions-Gleichung in 1D 209

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

eps=0.01, N=10

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

eps=0.01, N=20

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

eps=0.01, N=40

Abbildung 13.2: Diskrete Losungen der eindimensonalen Konvektions-Diffusions-

Gleichungen −εu′′ + u′ = 0 (rechts) mit dem zentralen Differenzenquotienten, ε =

0.01 und N = 10 (links), N = 20 (mitte) und N = 40 (rechts).

Aufgrund der Randbedingungen u0 = 0 und uN = 1 fuhrt dies zu u4 ≈ u2 ≈u0 = 0 und uN−4 ≈ uN−2 ≈ uN = 1. Also entwickeln sich fur ungerades N starke

Oszillationen. Die exakte Losung lautet mit der Bezeichnung qh := (2ε+h)/(2ε−h):

ui =qih − 1

qNh − 1. (13.3)

In Abb. 13.2 sind solche Losungen fur verschiedene Gitterweiten h gezeigt. Im Fall

relativ großer Gitterweite h >> 2ε gilt qh ≈ −1. Auch jetzt sieht man, dass die Werte

ui stark oszillieren.

13.1.2 Upwind-Verfahren

Bei dem sogenannten Upwind-Verfahren werden die Ableitungen 1. Ordnung nicht

durch zentrale Differenzenquotienten, sondern durch einen einseitigen Differenzen-

quotienten approximiert. Im Falle des linksseitigen Differenzenquotienten gelangt

man zu

u′(xi) ≈1

h(ui − ui−1) .

Das resultierende lineare Gleichungssystem ist wieder von der Gestalt (13.2); aller-

dings mit den Werten:

ri = − ε

h2− 1

h, si =

2ε

h2+

1

h, ti = − ε

h2.

Wahrend die Diagonale stets positiv ist, sind die Nebendiagonaleintrage stets nega-

tiv, unabhangig von dem Verhaltnis zwischen ε und h. Ferner ist die Matrix diagonal-

domiant.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

eps=0.01, N=10eps=0.01, N=20eps=0.01, N=40


Gleichungen −εu′′ + u′ = 0 (rechts) mit upwinding, ε = 0.01 und N = 10 (rot),

N = 20 (grun) und N = 40 (blau).

Lemma 13.2 Eine Finite-Differenzen-Diskretisierung von (13.1) mit Upwind Dis-

kretisierung fuhrt stets zu einer M-Matrix.

Die Losung ui ergibt sich hieraus wieder zu (13.3), aber nun mit qh := 1+h/ε. Diese

Losung ist dargestellt in Abb. 13.3. Offensichtlich ist sie erheblich besser als die zu

zentralen Differenzenquotienten, obgleich der gerichtete Differenzenquotient nur von

1. Ordnung ist.

Im allgemeinen Fall einer linearen Gleichung der Form

−εu′′ + bu′ + cu = f x ∈ I ,

ist die Frage aber, ob rechter oder linker 1. Differenzenquotient, abhangig davon,

welches Vorzeichen der Koeffizient b(xi) annimmt:

u′(xi) ≈h−1(ui − ui−1) , wenn b(xi) > 0 ,

h−1(ui+1 − ui) , wenn b(xi) < 0 .

Diese Vorgehensweise nennt man Upwind-Verfahren, da sich der Differenzenquoti-

ent stets in die entgegengesetze Richtung der Konvektion b ausrichtet. Dieses Ver-

fahren ist allerdings nur von 1. Ordnung. An dieser Stelle sei angemerkt, dass in

Dimensionen d ≥ 2 ein Upwind-Verfahren nicht mehr so einfach darzustellen ist,

da die Konvektionsrichtung dann genau erfasst werden muss. Hierzu gibt es sehr

wohl Techniken, die insbesondere bei den sogenannten Finite Volumen Verfahren

etabliert sind. Hierauf kann aber an dieser Stelle nicht eingegangen werden.

13.2 Konvektions-Diffusions-Gleichung in mehreren Raumdimensionen 211

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

eps=0.01, N=10eps=0.01, N=20eps=0.01, N=40


Gleichungen −εu′′ + u′ = 0 (rechts) mit kunstlicher Diffusion, ε = 0.01 und N = 10

(rot), N = 20 (grun) und N = 40 (blau).

13.1.3 Kunstliche Diffusion

Um ein Verfahren zu erhalten, dass die Stabilitatseigenschaften des Upwind-Verfahrens

besitzt, aber Aussicht auf eine hohere Ordnung hat, stellen wir hier nur kurz die

sogenannte kunstliche Diffusion vor. Die Grundidee ist hierbei, den Diffusionskoeffi-

zienten falls notig kunstlich großer zu machen. Man rechnet dann mit dem zentralen

Differenzenquotienten, aber anstelle mit ε mit dem Koeffizienten

εh := max(ε, h/2) .

Das Resultat ist fur unser Modellproblem in Abb. 13.4 gezeigt.

13.2 Konvektions-Diffusions-Gleichung in mehre-

ren Raumdimensionen

Wir kommen nun zuruck auf die Konvektions-Diffusions-Gleichung in mehreren

Raumdimensionen mit homogenen Dirichletwerten:

−ε∆u+ (b · ∇)u+ cu = f in Ω , (13.4)

u = 0 auf ∂Ω . (13.5)

Unter einer klassischen Losung verstehen wir wieder Funktionen u ∈ C2(Ω)∩C(Ω).

Ohne Beweis geben wir hier eine Existenzaussage klassischer Losungen an:


Satz 13.3 Seien b, c und f Holder-stetige Funktionen auf Ω. Es gelte c ≥ 0 und

das Gebiet Ω sei ein Lipschitz-Gebiet. Dann hat das Problem(13.4)-(13.5) stets eine

eindeutige klassiche Losung u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).

Eine Funktion f heisst holder-stetig in Ω, also f ∈ C0,λ(Ω), wenn ein λ ∈ (0, 1]

existiert, so dass

||f ||C0,λ(Ω) := ||f ||C(Ω) + supx,y∈Ω, x6=y

|f(x)− f(y)

|x− y|λ< ∞.

Es sei darauf hingewiesen, dass hierbei nicht sichergestellt ist, dass die Ableitungen

von u auf dem Rand ∂Ω existieren. Mochte man, dass die Losung auch auf dem

Rand glatt ist, so sind zusatzliche Kompatibilitatsbedingungen notwendig.

13.3 Maximum-Prinzip

Eine wichtige Eigenschaft der Losungen der betrachteten Gleichung ist, dass bei

verschwindender (oder negativer) rechter Seite f das Maximum am Rand angenom-

men wird. Diese Eigenschaft im diskreten zu erhalten wird sich als recht schwer

herausstellen.

Satz 13.4 (Maximum-Prinzip) Wenn die Koeffizienten der Gleichung (13.4) ste-

tig sind, also b, c ∈ C(Ω) und c ≥ 0, so erfullt der Differentialoperator

Lu := −ε∆u+ (b · ∇)u+ cu

das Maximum-Prinzip in Definition 5.1 und ist invers monoton.

Beweis. Wir betrachten hier nur den Fall c > 0, da der Fall c = 0 technisch sehr

viel aufwandiger ist. Angenommen die obere Schranke ware verletzt, also u(x) >

maxy∈∂Ω(u(y), 0) fur ein x ∈ Ω. Wir konnen ferner annehmen, dass u in x ein lokales

Maximum besitzt. Dann ware dieses Maximum insbesondere positiv. Ferner gilt

notwendigerweise

∇u(x) = 0 ,∂2u(x)

∂x2≤ 0 , und

∂2u(x)

∂y2≤ 0 .

Damit folgt

0 ≥ f(x) = −ε∆u(x) + (b(x) · ∇)u(x) + c(x)u(x) ≥ c(x)u(x) .

13.4 Variationelle Formulierung 213

Also folgt wegen c(x) > 0 auch u(x) ≤ 0. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme

eines positiven Maximums in x. Die inverse Monotonie folgt nun aus dem Maximum-

Prinzip gemaß Korollar 5.4.

Aufgrund dieses Maximum-Prinzip erhalten wir die Eindeutigkeit der Losung un-

abhangig von der speziellen (linearen) Differentialgleichung.

Satz 13.5 Ein Finite-Differenzen-Schema bestehend aus einer M-Matrix ist (dis-

kret) invers monoton. Insbesondere ist die upwind-Diskretisierung in 1D invers mo-

noton.

Beweis. Das Differenzenverfahren schreibt sich in Matrix-Form(I 0

B A

)(u∂Ω

u

)=

(uh,0f

).

Hierbei bezeichnen u∂Ω die Randfreiheitsgrade (die gerade uh,0 entsprechen) und

u die Freiheitsgrade im Innern von Ω. Fur positive Randdaten uh,0 und positivem

Lastvektor f folgt dann mit der M-Matrix-Eigenschaft:(u∂Ω

u

)=

(I 0

B A

)−1(uh,0f

)≥ 0 .

13.4 Variationelle Formulierung

Die variationelle Formulierung lautet fur homogene Dirichletdaten in V := H10 (Ω):

u ∈ V : A(u, φ) = (f, φ) ∀φ ∈ V , (13.6)

mit der Bilinearform A : V × V → R

A(u, φ) := ε(∇u,∇φ) + ((b · ∇)u, φ) + (cu, φ) . (13.7)

Die Koeffizientenfunktionen b und c mussen zunachst nur beschrankt sein, also b ∈L∞(Ω)d und c ∈ L∞(Ω). Ein wichtiges Hilfsresultat fur jetzt und spater betrifft den

konvektiven Term, wenn man ihn diagonal testet. Fur divergenzfreies b verschwindet

((b · ∇)u, u) sogar.

Lemma 13.6 Fur u ∈ H10 (Ω) und b ∈ H1(Ω)d gilt

((b · ∇)u, u) = −1

2((div b)u, u) .

Insbesondere gilt fur divergenzfreies b: ((b · ∇)u, u) = 0.


Beweis. Mit partieller Integration ergibt sich aufgrund verschwindener Randter-

me

((b · ∇)u, u) = (∇u, bu) = −(u, div (bu)) = −(u, (div b)u)− (u, (b · ∇)u) .

Demnach folgt

((b · ∇)u, u) = −1

2(u, (div b)u)) .

Im folgenden Satz benutzen wir den Banach-Raum

W 1,∞(Ω) := v ∈ L∞(Ω) : ∇v ∈ L∞(Ω) .

Satz 13.7 Es gelte c ∈ L∞(Ω), b ∈ W 1,∞(Ω)d, ε > 0 und

infΩ

ess(c− 12div b) ≥ 0 . (13.8)

Dann existiert stets eine eindeutige schwache Losung u ∈ H10 (Ω) von (13.6).

Das hierbei auftretende Infimum ist fur f : Ω → R uber das Lebesgue-Maß µ

definiert als

infΩ

essf := supm ∈ R : µ(x ∈ Ω : f(x) < m) = 0.

Beweis. Wir konnen wieder den Satz von Lax-Milgram 3.12 anwenden. Die Ste-

tigkeit der zugehorigen Bilinearform gemaß (13.7) ergibt sich mit einer Konstanten

C = C(ε, b, c) und der Poincare-Konstante cΩ aus

|A(u, φ)| ≤ ε||∇u||||∇φ||+ ||b||∞||∇u||||φ||+ ||c||∞||u||||φ||≤ C||u||H1(Ω)||φ||H1(Ω)

≤ CcΩ|u|H1(Ω)|φ|H1(Ω) .

Die V -Elliptizitat ergibt sich mit dem vorherigen Lemma:

A(u, u) = ε(∇u,∇u) + ((b · ∇)u, u) + (cu, u)

= ε||∇u||2 − 1

2((div b)u, u) + (cu, u)

= ε||∇u||2 + ((c− 12(div b))u, u)

≥ ε||∇u||2 + d||u||2 ,

wobei d := infx∈Ω ess(c(x)− 1

2div b(x)

)1/2. Nach Voraussetzung ist diese Wurzel

reell, also d ≥ 0. Also ist die Bilinearform elliptisch und es folgen Existenz und

Eindeutigkeit der Losung.

13.5 Konvektions-Reaktions-Gleichung 215

13.5 Konvektions-Reaktions-Gleichung

Im Fall verschwindender Viskositat, ε = 0, lautet die bislang diskutierte Gleichung:

(b · ∇)u+ cu = f in Ω . (13.9)

Wir fragen uns nun, was zulassige Randbedingungen sind. Hierzu teilen wir den

Rand ∂Ω mit punktweise ausserem Normalenvektor n(x) ∈ Rd in folgende Teilrander:

Γ+ := x ∈ ∂Ω : b(x) · n(x) > 0 ,Γ− := x ∈ ∂Ω : b(x) · n(x) < 0 ,Γ0 := x ∈ ∂Ω : b(x) · n(x) = 0 .

Γ+ wird als Ausstromrand, Γ− wird als Einstromrand und Γ0 als Charakteristiken-

Rand bezeichnet.

Wir nehmen b ∈ C(Ω,Rd) an. Wir betrachten ferner zu x0 ∈ Ω das System

gewohnlicher Differentialgleichungen

∂x

∂t= b(x) , 0 < t ≤ tmax(x0) ,

x(0) = x0 .

Hierbei ist tmax(x0) so zu wahlen, dass x(t) nicht den Abschluss des Gebietes Ω

verlasst. Anderenfalls ware b nicht mehr notwendigerweise definiert. Die Losungen

x(t) sind Kurven in Ω, die durch den Startpunkt x0 laufen. Diese Kurven werden

Charakteristiken genannt.

Satz 13.8 Fur die Losung u der Konvektionsgleichung (13.9) gilt:

u(x(t)) = u(x0) +

∫ t

0

[f(x(s))− c(x(s))u(x(s))] ds .

Beweis. Es ergibt sich durch die Kettenregel

du

dt(x(t)) =

d∑i=1

∂u

∂xi(x(t))

∂xi∂t

(t) =d∑i=1

bi(x(t))∂u

∂xi(x(t)) = (b · ∇)u(x(t)) .

Hieraus erhalten wir dann

u(x(t)) = u(x0) +

∫ t

0

du

ds(x(s)) ds

= u(x0) +

∫ t

0

(b · ∇)u(x(s)) ds .


Nun benutzen wir fur den Ausdruck (b · ∇)u(x(s)) die Differentialgleichung (13.9)

und erhalten die Behauptung.

Durch dieses Resultat sehen wir nun, dass es nicht moglich ist, Dirichletwerte an

Punkten x1 ∈ Γ− und x2 ∈ Γ+ vorzugeben, die auf einer gemeinsamen Charakteristik

liegen. Man gibt i.d.R. nur Werte an Γ− vor.

13.6 Galerkin-Formulierung

Wir untersuchen jetzt die Galerkin Formulierung von (13.6). Aufgrund der vorhe-

rigen Untersuchungen der kontinuierlichen Formulierung scheint es sinnvoll wieder

von folgenden Voraussetzungen auszugehen:

• L∞-Koeffizienten b(x), ∇b(x) und c(x),

• nicht-verschwindene Viskositat ε > 0,

• mit einer Konstanten c0 gilt f.u. punktweise c− 12div b ≥ c0 ≥ 0, also (13.8).

Wir haben die Hoffnung, dass dann auch die diskrete Version beschrankt und ellip-

tisch ist. Wir wahlen folgende ε-abhangige Norm

||u||ε :=(ε|u|2H1(Ω) + c0||u||2L2(Ω)

)1/2

.

In dieser Norm erhalten wir folgende a priori Abschatzung fur eine reine Galerkin

Formulierung der Konvektions-Diffusionsgleichung:

Satz 13.9 Es seien fur die Koeffizienten der Konvektions-Diffusionsgleichung (13.6)

die gleichen Bedingungen erfullt wie in Satz 13.7. Dann erhalt man auf quasi-

uniformen Gittern fur die reine Galerkin Diskretisierung mit Pr- oder Qr-Elementen

eine eindeutige diskrete Losung uh und fur diese gilt:

||u− uh||ε ≤ Chr|u|Hr+1(Ω) . (13.10)

Die Konstante hangt ab von den ublichen Parametern sowie von den Koeffizienten-

funktionen b und c, also C = C(ε, b, c, r, κ).

Beweis. Wir hatten gesehen, dass die Bilinearform in (13.7) unter der Bedingung

(13.8) elliptisch ist bzgl. der || · ||ε-Norm:

A(u, u) ≥ ||u||2ε .

13.7 Matrix Eigenschaften unstabilisierter FE Diskretisierungen 217

Die Beschrankung von A ergibt sich allerdings in anderen Normen, namlich:

|A(u, φ)| = |ε(∇u,∇φ) + ((b · ∇)u, φ) + (cu, φ)|≤ ε||∇u||||∇φ||+ | − ((div b)u, φ)− (u, (b · ∇)φ) + (cu, φ)|≤ ε||∇u||||∇φ||+ ||(c− div b)u||||φ||+ ||u||||(b · ∇)φ||≤ ε||∇u||||∇φ||+ ||c− div b||∞||u||||φ||+ ||b||∞||u||||∇φ||≤ α1||u||ε||φ||H1(Ω) ,

mit der von ε, b und c abhangigen Konstanten α1 :=√ε+||b||∞+||c−div b||∞. Im Fall

c0 = 0 wenden wir die Ungleichung von Poincare an. Damit erhalt man bereits die

Existenz einer eindeutigen diskreten Losung. Nun folgern wir analog zum Lemma

von Cea fur beliebiges vh ∈ Vh:

||u− uh||2ε ≤ A(u− uh, u− uh) = A(u− uh, u− vh)≤ α1||u− uh||ε||u− vh||H1(Ω) .

Also

||u− uh||ε ≤ α1 infvh∈Vh

||u− vh||H1(Ω) .

Dies ergibt zusammen mit der Standard-Interpolationsabschatzung von Satz 6.10

die Behauptung.

Allerdings ist der Grenzubergang ε→ 0 alles andere als gutartig, da sich fur ε→ 0

die H2-Norm von u nicht beschranken lasst. Insofern gilt i.a.

limε→0|u|H2(Ω) = ∞ ,

so dass man in (13.10) keine in ε uniforme Konvergenz erhalt.

Wir werden spater FE-Methoden behandeln, deren Konvergenzordnung nicht nur

hr betragt, sondern sogar hr+1/2. Zuvor wollen wir uns aber noch die Frage stellen,

ob eine Galerkin-Formulierung auch auf ein M-Matrix und damit auf die Eigenschaft

der inversen Monotonie fuhrt.

13.7 Matrix Eigenschaften unstabilisierter FE Dis-

kretisierungen

Wir wollen in diesem Abschnitt untersuchen, unter welchen Bedingungen eine FE

Diskretisierung einer Konvektions-Diffusions-Gleichung zu linearen Gleichungssyste-

men mit einer M-Matrix fuhrt, denn wir wissen, dass aus dieser Eigenschaft auch


das diskrete inverse Monotonieprinzip gilt (Satz 13.5). Es ist wunschenswert, dass

jeder einzelne Teil (Konvektions-, Diffusions- und Reaktionsteil) fur sich eine M-

Matrix Eigenschaft besitzt, da dann auch eine beliebige Gewichtung dieser Anteile

durch die Parameter ε, b und c auf eine M-Matrix fuhren wurde. Den elliptischen

Laplace-Anteil hatten wir bereits in Abschnitt 5.9.1 untersucht.

13.7.1 M-Matrix-Eigenschaft des Reaktions-Anteils

Fur c > 0 gilt (cψj, ψi) > 0. Dies produziert zwar positive Eintrage auf der Diago-

nalen der Steifigkeitsmatrix, aber eben auch positive Eintrage auf den Nebendiago-

nalen. Dies fuhrt also i.a. auf keine M-Matrix. Wenn man hingegen diese Terme mit

der Trapezregel approximativ integriert, so folgt mit den Integrationspunkten (bzw.

Eckpunkten von T ) ξk:∫T

cψjψi dx ≈1

3|T |

3∑k=1

c(ξk)ψj(ξk)ψi(ξk).

Daher gilt fur die derart integrierte (und gewichtete) Massematrix, Mij = 0 fur

i 6= j und Mii = 13|T |c(xi) > 0. Diesen Prozeß nennt man mass lumping und fuhrt

fur positive 0. Ordnungs-Terme also zu einer M-Matrix. Diese Integration ist von

2. Ordnung und fuhrt somit zu keinem Verlust an Konvergenzordnung fur lineare

Elemente.

13.7.2 M-Matrix-Eigenschaft des Konvektions-Anteils

Fur den Konvektions-Anteil benutzen wir wieder die Trapezregel:

((b · ∇)ψj, ψi) =∑T

∫T

(b · ∇)ψj · ψi dx ≈1

3b(xi) · ∇ψj(xi)

∑T3xi

|T | .

Allerdings ist der Gradient ∇ψj(xi) hier nicht eindeutig definiert, da ∇ψj i.a. nicht

stetig ist im Gitterpunkt xi. Daher werden wir hierfur nun einen geeigneten Wert

wahlen. Im Hinblick auf das Upwind-Schema in 1D werden wir, basierend auf der

Arbeit von Tabata [15], zum Gitterpunkt xi den Wert des Gradienten im Element

Tk mit k = k(i) so wahlen, dass er stromaufwarts an den Punkt xi liegt. Die genaue

Definition des “upwind-Elementes” Tk lautet: xi ∈ Tk und xi − σb(xi) ∈ Tk fur

hinreichend kleines σ > 0. Also ersetzen wir hier ∇ψj(xi) durch ∇ψj|Tk . Dies fuhrt

dann auf

(b · ∇ψj, ψi) ≈1

3b(xi) · ∇ψj|Tk

∑T3xi

|T | . (13.11)

13.7 Matrix Eigenschaften unstabilisierter FE Diskretisierungen 219

Im Speziallfall b(xi) = 0 kann man ein beliebiges Element Tk wahlen, dass xi als Eck-

punkt enthalt. Im allgemeinen findet man mindestens ein solches “upwind-Element”.

Durch obige Wahl gilt insbesondere

b(xi) · ∇ψi|Tk ≥ 0 .

Fur die Matrix ergibt sich nun fur die Hauptdiagonalelemente:

(b · ∇ψi, ψi) ≈ aii =1

3b(xi) · ∇ψi|Tk

∑T3xi

|T | ≥ 0 ,

mit k = k(i, b(xi)). Mit analoger Bezeichnung wie bei Laplace-Anteil gilt fur inneren

Knoten xi wegen ϕ|Tk =∑

j ψj|Tk ≡ 1 fur die Zeilensumme:

N∑j=1

aij =1

3(b(xi) · ∇)

N∑j=1

ψj|Tk∑T3xi

|T | =1

3(b(xi) · ∇)ϕ

∑T3xi

|T | = 0 .

Wenn hingegen xi ein Knoten zu einem Randdreieck ist, so folgt

N∑j=1

aij = −N+r∑j=N+1

aij = −1

3(b(xi) · ∇)

N+r∑j=N+1

ψj|Tk∑T3xi

|T | ≥ 0 .

Die letzte Ungleichungsbeziehung folgt hierbei aus der Tatsache, dass fur j = N +

1, . . . , N + r:

(b(xi) · ∇)ψj|Tk = −||ψj||2〈b(xi), nj〉 ≤ 0 .

Insgesamt erhalten wir folgendes Ergebnis:

Satz 13.10 Die FE-Diskretisierung des Konvektions-Diffusions-Reaktions-Problems

(13.6)-(13.7) mit P1-Finiten Elementen, fuhrt im Fall c ≥ 0 auf eine M-Matrix und

somit auf einen diskreten invers-monotonen Operator, sofern

• die Reaktionsterme gelumpt werden,

• die Konvektionsterme durch obiges upwinding (13.11) diskretisiert werden und

• das Gitter Th weakly acute ist.

Allerdings muss hierbei erwahnt werden, dass diese Methode auch nur von 1. Ord-

nung ist und auch eine erhebliche numerische Diffusion einfuhrt. Ferner ist die Wahl

der upwind-Richtung im Falle eines nichtlinearen Problems (wenn b beispielsweise

von u abhangt) außerordentlich kompliziert.


13.8 Stromliniendiffusion

Im Gegensatz zur LBB-Problematik bei Sattelpunktproblemen, kann man die Pro-

blematik dominanter Konvektionsterme nicht einfach durch eine geschickte Wahl an-

derer Finite Elemente Ansatzraumen begegnen. Man muss die Galerkin-Formulierung

durch zusatzliche Terme stabilisieren. Die Stromliniendiffusions-Methode (engl.: stre-

amline diffusion) oder auch SUPG (Streamline Upwind Petrov Galerkin) ist solch

eine Stabilisierungsmethode. Hierbei werden folgende Bilinearformen verwendet:

Sh(u, φ) :=∑T∈Th

δT (−ε∆u+ (b · ∇)u+ cu, (b · ∇)φ)L2(T )

Fh(φ) := (f, φ) +∑T∈Th

δT (f, (b · ∇)φ)L2(T ) .

Die elementweise Summation ist hier wieder erforderlich, da der Laplace-Operator

∆ i.d.R. nicht auf diskrete Funktionen uh ∈ Vh anwendbar ist. Dies darf nur auf

jeder einzelnen Zelle, aber nicht uber Zellgrenzen hinweg geschehen. Auf linearen

Elementen verschwindet der elementweise Laplace ohnehin, so dass Sh in diesem

Fall noch ein wenig “schlanker” wird.

Der Parameter δT ist eine elementweise konstante Große, die von der Geometrie

der Zelle abhangt. Es wird sich spater in der a priori Abschatzung herausstellen,

dass die optimale Wahl dieses Parameters wie folgt aussieht:

δT := min

(h2T

ε,

hT||b||L∞(T )

). (13.12)

Diese Wahl von δT laßt sich auch ausdrucken mit der sogenannten lokalen Peclet-

Zahl

PeT :=||b||L∞(T )hT

ε,

namlich mittels δT = hT min(1, P eT )/||b||L∞(T ). Wenn die lokale Peclet-Zahl großer

als 1 ist, so spricht man von einem konvektions-dominanten, anderenfalls von einem

diffusions-dominanten Problem. Aus numerischen Grunden mag es gelegentlich sinn-

voll sein, den Stabilisierungs-Parameter δT differenzierbar zu wahlen, beispielsweise

mittels

δT := hT

(ε

hT+ ||b||L∞(T )

)−1

.

Diese Wahl unterscheidet sich von (13.12) nur um eine kleinen Faktor. Ohnehin kann

man δT ohne weiteres mit einer positiven Konstanten skalieren, ohne die Stabilitat

zu verlieren.

13.8 Stromliniendiffusion 221

Zunachst sieht man schnell, dass diese Methode wieder stark konsistent ist, da es

sich um eine residuen-basierte Methode handelt; fur die exakte Losung verschwin-

det die Stabilisierung. Die meisten der auftretenden Terme sind lediglich fur die

Konsistenz wichtig. Der eigentlich stabilisierende Term ist∑T∈Th

δT ((b · ∇)u, (b · ∇)φ)L2(T ) .

Dieser Ausdruck wirkt wie eine Diffususion in Richtung der Konvektion b. Dies sieht

man, wenn man die Ableitungen schreibt in der Form

∇u =1

||b||L∞(T )

((b · ∇)u+ (b⊥ · ∇)u

).

Hierbei nehmen wir b auf dem Element T als konstant an.

Nun wollen wir sehen, welche Art von Elliptizitat wir erhalten. Hierzu gehen wir

der Einfachheit halber von P1-Elementen aus. Dann gilt fur uh ∈ Vh:

Sh(uh, uh) =∑T∈Th

δT ((b · ∇)uh + cuh, (b · ∇)uh)L2(T )

≥∑T∈Th

δT

(||(b · ∇)uh||2L2(T ) − ||cuh||L2(T )||(b · ∇)uh||L2(T )

)≥

∑T∈Th

δT

(||(b · ∇)uh||2L2(T ) −

1

2||cuh||2L2(T ) −

1

2||(b · ∇)uh||2L2(T )

)=

1

2

∑T∈Th

δT

(||(b · ∇)uh||2L2(T ) − ||cuh||2L2(T )

).

Fur die stabilisierte Bilinearform erhalt man, zusammen mit dem Elliptizitats-Resultat

aus Abschnitt 13.4,

A(uh, uh) + Sh(uh, uh) ≥(ε|uh|2H1(Ω) + c0||uh||2L2(Ω)

)+

1

2

∑T∈Th

δT

(||(b · ∇)uh||2L2(T ) − ||cuh||2L2(T )

)≥ 1

2

(ε|uh|2H1(Ω) + c0||uh||2L2(Ω) +

∑T∈Th

δT ||(b · ∇)uh||2L2(T )

),

fur h hinreichend klein, damit δT c ≤ c0. Damit haben wir bewiesen:

Lemma 13.11 Die Stromliniendiffusion-Methode ist fur die Konvektions-Diffusions-

Gleichung unter den Bedingungen wie in Satz 13.7 koerziv in der Gitter-abhangigen


Norm

|||u|||h :=

(ε|u|2H1(Ω) + c0||u||2L2(Ω) +

∑T∈Th

δT ||(b · ∇)uh||2L2(T )

)1/2

.

Satz 13.12 Die Stromliniendiffusion-Methode liefert fur die Konvektions-Diffusions-

Gleichung unter den Bedingungen wie in Satz 13.7 und der Parameterwahl (13.12)

auf quasi-uniformen Gittern und Pr- bzw. Qr-Elementen die folgende a priori Ab-

schatzung, sofern u ∈ Hr+1(Ω):

|||u− uh|||h ≤ C∑T∈Th

(hT ||b||L∞(T ) + ε)1/2hrT |u|Hr+1(T ) .

Beweis. Wir benutzen wieder den Satz 12.1. Die Koerzivitat der stabilisierten

Bilinearform bzgl. |||·|||h wurde bereits im vorherigen Lemma bewiesen. Ferner wahlen

wir

Hh(u) := C∑T∈Th

(hT ||b||L∞(T ) + ε)1/2hrT |u|Hr+1(T ) .

Daher ist nun lediglich zu zeigen, dass gilt

|||u− Ihu|||h ≤ cHh(u) ∀u ∈ Hr+1 , (13.13)

Ah(u− Ihu, ϕh) ≤ α1Hh(u)|||ϕh|||h ∀ϕh ∈ Xh . (13.14)

Hierzu bemerken wir folgendes:

ε1/2|u− Ihu|H1(Ω) ≤ Cε1/2hr|u|Hr+1(Ω) ,

||u− Ihu||L2(Ω) ≤ Chr+1|u|Hr+1(Ω) ,∑T∈Th

δ1/2T ||(b · ∇)(uh − Ihu)||L2(T ) ≤ C

∑T∈Th

||b||L∞(T )δ1/2T hrT |u|Hr+1(T ) .

Wahrend sich |||u− Ihu|||h durch die Summe der Terme auf den linken Seiten obiger

Ungleichungen beschranken lasst, sind alle rechten Seiten nach oben durch Hh(u)

beschrankbar, sofern δT ≤ hT/||b||L∞(T ) + ε/||b||2L∞(T ). Diese Bedingung ist fur die

Wahl von δT gemaß (13.12) aber offensichtlich erfullt. Fur die Konstante gilt C =

C(b, κ, r). Also ist (13.13) gezeigt.

Fur den Nachweis von (13.14) untersuchen wir zunachst die Galerkin-Terme:

(ε∇(u− Ihu),∇ϕh) ≤ ε1/2Chr|u|Hr+1(Ω)ε1/2||∇ϕh|| ,

((b · ∇)(u− Ihu), ϕh) ≤ −(u− Ihu, (b · ∇)ϕh) + (u− Ihu, (div b)ϕh) ,

(u− Ihu, (b · ∇)ϕh)L2(T ) ≤ δ−1/2T ||u− Ihu||L2(T )δ

1/2T ||(b · ∇)ϕh||L2(T ) ,

≤ δ−1/2T Chr+1|u|Hr+1(T )|||ϕh|||h ,

(u− Ihu, (div b)ϕh) + (c(u− Ihu), ϕh) ≤ Chr+1|u|Hr+1(Ω)|||ϕh|||h .

13.8 Stromliniendiffusion 223

Bis auf den mit δ−1/2T gewichteten Term lassen sich hier alle rechten Seiten durch

H(u)|||ϕ|||h beschranken, und zwar unabhangig von der Wahl von δh. Daher werden

wir diesen Term spater noch weiter berucksichtigen. Es fehlen außerdem noch die

Stabilisierungsterme.

(ε∆(u− Ihu), δT (b · ∇)ϕh)L2(T ) ≤ εδ1/2T ||∆(u− Ihu)|||||ϕh|||h .

Es gilt zudem

r = 1 : ||∆(u− Ihu)|| = ||∆u|| ≤ C|u|Hr+1(Ω) ,

r > 1 : ||∆(u− Ihu)|| ≤ hr−1|u|Hr+1(Ω) .

Die weiteren Stabilisierungsterme schatzen sich analog ab:

((b · ∇)(u− Ihu), δT (b · ∇)ϕh)L2(T ) ≤ C||b||L∞(T )δ1/2T hr|u|Hr+1(Ω)|||ϕh|||h ,

(c(u− Ihu), δT (b · ∇)ϕh)L2(T ) ≤ Cδ1/2T hr+1|u|Hr+1(Ω)|||ϕh|||h .

Summieren wir nun all diese Terme zusammen, so erhalten wir

Sh(u− Ihu, ϕh) ≤ C(ε+ h||b||L∞(T ) + h2)δ1/2T hr−1|u|Hr+1(Ω)|||ϕh|||h .

Unter Berucksichtigung des obigen mit δ−1/2T gewichteten Terms genugt es daher zu

zeigen, dass

δ−1/2T hr+1

T + (ε+ hT ||b||L∞(T ) + h2T )δ

1/2T hr−1

T ≤ C(hT ||b||L∞(T ) + ε)1/2hrT .

Dies ist wiederum erfullt, wenn (hT < 1)

δ−1/2T h2

T + (ε+ hT ||b||L∞(T ))δ1/2T ≤ C(ε+ hT ||b||L∞(T ))

1/2hT .

Dies ist erfullt, wenn

chT ≤ (ε+ hT ||b||L∞(T ))1/2δ

1/2T ≤ ChT .

Die Wahl

δT = δ0h2T

ε+ hT ||b||L∞(T )

mit beliebiger Konstante δ0 > 0 fuhrt zu diesem Ergebnis.

An dieser Stelle sei erwahnt, dass man mit der Stromliniendiffusionsmethode i.a.

keine M-Matrix und damit auch keine inverse Monotonie im Diskreten erhalt.


13.9 Shock capturing

Da die Stromliniendiffusions-Methode nicht zu einem monotonen Schema fuhrt,

d.h. wir erhalten im Diskreten i.a. keinen invers-monotonen Operator, muss man

zusatzliche Terme einfugen, wenn scharfe Fronten in der Losung auftauchen und die

Monotonie erhalten bleiben soll. Unter shock capturing versteht man nicht-lineare

Stabilisierungen. Da lineare monotone Methoden maximal von erster Ordnung sind

(z.B. upwinding oder kunstliche Diffusion), sind nicht-lineare Schemata erforder-

lich,um eine hohere Ordnung zu erhalten. Es gibt hierzu zahlreiche Varianten in der

Literatur. Wir wollen einige darunter kurz vorstellen.

13.9.1 Crosswind Diffusion

Eine Moglichkeit ist es hierzu eine Diffusion in die crosswind Richtung b⊥ zu be-

nutzen. In 2D ist b⊥ := (−b2, b1)/||b||. Es wird nun eine weitere Testfunktion der

Gestalt (b⊥ · ∇)ϕ mit geeigneter Gewichtung hinzugefugt. Im Zusammenhang mit

der Stromliniendiffusion lautet diese Stabilisierung in 2D:

Sh(uh, ϕ) :=∑T∈Th

(−ε∆uh + (b · ∇)uh + cuh, δT [(b · ∇) + γT (b⊥ · ∇)]ϕ)L2(T ) .

Hierbei wird δT gewahlt wie zuvor in (13.12). Der Parameter γT hangt von uh ab:

γT := γ0 tan θT .

Dabei ist θT der Winkel zwischen βT und ∇uh|T . Der Vektor βT ist eine geeignete

elementweise Projektion von b auf eine konstante Richtung. Da es sich um eine

residuen-basierte Stabilisierung handelt, muss auch die rechte Seite entsprechend

modifiziert werden:

Fh(ϕ) :=∑T∈Th

(f, ϕ+ δT [(b · ∇) + γT (b⊥ · ∇)]ϕ)L2(T ) .

Hierbei ist hervorzuheben, dass das Schema nicht mehr linear ist, da der Parameter

γT von der Losung uh abhangt. In [4] wurde folgendes Resultat fur Ah = A + Shgezeigt:

Satz 13.13 Im Fall verschwindener Reaktion, c ≡ 0, und der Wahl

δT ≥ ((d+ 1) sinαT |b|T min(|∇ψK,1|, . . . , |∇ψK,d|))−1 ,

γT :=1 + tanαK(1− | cos θT |)1/2(1 + | cos θT |)−1/2

1 + tanαK | tan θT |tan θT ,

13.10 Galerkin-Least-Squares-Methode 225

ist die resultierende diskrete Semilinear-Form Ah fur P1−Elemente auf Dreiecksgit-

tern Th, die vom Typ strictly acute sind, invers-monoton.

In diesem Satz bezeichnet αT fur jedes Element T folgenden Winkel: Wenn ωK,l alle

auftretenden Innenwinkel in einem Elemente durchlauft, dann wird definiert

0 < αT :=π

2−max(ω1,T , . . . , ωL,T ) .

13.9.2 Nichtlineare isotrope Diffusion

Sh(uh, ϕ) :=∑T∈Th

(−ε∆uh + (b · ∇)uh + cuh, [δT (b · ∇) + γT (b|| · ∇)]ϕ)L2(T ) .

mit der Diffusion in Richtung des Gradienten

b|| :=(b · ∇)uh||uh||2

∇uh ,

sofern ∇uh 6= 0, und anderenfalls b|| := 0.

13.10 Galerkin-Least-Squares-Methode

In diesem Abschnitt wollen wir eine generelle Methode vorstellen, die wir im An-

schluss fur die Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichung formulieren. Wir ge-

hen zunachst aus von einem reellen Hilbertraum V und einem linearen Operator

L : W → V ′, der auf einem Teilraum W ⊂ V definiert ist. Ferner nehmen wir an,

dass V ′ ebenfalls ein Teilraum eines Hilbertraums H ist. Beispielsweise kann L der

Operator

Lu := (b · ∇)u− ε∆u+ cu (13.15)

sein. In diesem Fall ware V = H10 (Ω), W = H2(Ω) ∩ H1

0 (Ω) und H = L2(Ω). Zu

gegebenem f ∈ V ′ betrachten wir die Gleichung

u ∈ W : Lu = f .

Wir hatten zuvor im Fall von (13.15) gesehen, dass die zugehorige diskrete Galerkin-

Formulierung evtl. schlechte Stabilitatseigenschaften besitzt.


13.10.1 Least-Squares-Methode

Die zugehorige Least-Squares-Formulierung mit konformen Finite Elementen Wh ⊂W lautet fur die obige Gleichung in V ′: Suche uh ∈ Wh, so dass:

||Luh − f ||2V ′ = minvh∈Wh

||Lvh − f ||2V ′ .

Dieses Problem ist wiederum aquivalent damit, die Gleichung

uh ∈ Wh : (Luh, φ)H = (f, φ)H ∀φ ∈ L(Wh) .

bzw.

uh ∈ Wh : (Luh, Lv)H = (f, Lv)H ∀v ∈ Wh .

zu betrachten. Dies ist aber haufig extrem kompliziert und aufwandig. Beispielsweise

brauchte man im obigen Fall Wh ⊂ W = H2(Ω) sogar C1-Elemente. Deren Kon-

struktion ist auf allgemeinen Triangulierungen alles andere als leicht. Ein weiterer

Nachteil ist, dass sich die Konditionszahl dieses Problems gerade wie das Quadrat

der ursprunglichen Konditionszahl verhalt, denn condL∗L = (condL)2.

Ein Vorteil des least-squares Ansatzes ist es, dass man stets eine symmetrische,

positiv-definite Steifigkeitsmatrix erhalt. Wir wollen daher diese Methode mit der

Galerkin-Methode verbinden.

13.10.2 Galerkin-Least-Squares-Methode (GLS)

Wir setzen voraus, dass die Bilinearform

A(u, v) := 〈Lu, v〉

koerziv (V -elliptisch) ist bzgl. einer Norm || · ||V , d.h.

A(u, u) ≥ α2||u||2V ∀u ∈ V .

Im Fall (13.15) kann man die Norm

||u||V :=(ε||∇u||2L2(Ω) + d||u||L2(Ω)2

)2

,

mit d = infx∈Ω ess(c(x) − 12div b(x))1/2 mit der Konstnaten α2 = 1 wahlen. Da wir

mit stuckweisen glatten Funktionen arbeiten, konnen wir auf jedem Element Luh

13.10 Galerkin-Least-Squares-Methode 227

auswerten. Hierzu benotigen wir lediglich uh ∈ Vh ⊂ V , anstelle von uh ∈ Wh ⊂ W .

Daher fuhren wir den diskreten (stabilisierten) Operator

Ah(u, v) := A(u, v) + Sh(u, v)

= 〈Lu, v〉+∑T∈Th

δT (Lu, Lv)L2(T )

ein. Hierbei sind δT wieder element-weise konstante Koeffizienten. Das diskrete Pro-

blem mit der GLS-Methode lautet nun:

uh ∈ Vh : Ah(uh, v) = (f, v) +∑T∈Th

δT (f, Lv)L2(T ) ∀v ∈ Vh .

Im Fall der Konvektions-Diffusionsgleichung ergibt sich

Sh(uh, ϕ) =∑T∈Th

δT (−ε∆uh + (b · ∇)uh + cuh,−ε∆ϕ+ (b · ∇)ϕ+ cϕ)L2(T ) ,

und man setzt

δT :=

(||b||L∞(T )

hT+

ε

h2T

)−1

Dies hat im Fall von P1-Elementen große Ahnlichkeit mit der Stromliniendiffusions-

Methode (SUPG), denn dann verschwinden die zweiten Ableitungen und es gilt

Sh(uh, ϕ) =∑T∈Th

δT ((b · ∇)uh + cuh, (b · ∇)ϕ+ cϕ)L2(T ) .

Im Vergleich zu SUPG hat man also den zusatzlichen Anteil δT cϕ als Testfunktion.

Das folgende Lemma liefert das Ergebnis, dass die GLS Formulierung in einem

gewissen Sinne stabiler ist, als die Galerkin-Formulierung:

Lemma 13.14 Die GLS-Methode ist stark konsistent und im Fall einer elliptischen

Bilinearform (mit Elliptizitatskonstante α > 0) gilt fur den diskreten GLS-Operator

die Stabilitatsaussage

Ah(uh, uh) ≥ α||uh||2V +∑T∈Th

δT ||Luh||2L2(T ) ∀uh ∈ Vh .

Beweis. Die starke Konsistenz ergibt sich aus Lu = f fur regulare Losungen. Der

Beweis der Stabilitat ergibt sich durch unmittelbares Einsetzen.


Korollar 13.15 Im Fall des Konvektions-Diffusions-Operators gilt fur 0 < δT <18

min(d/c2T , h

2T/(εµ

2inv)), wobei µinv die Konstante aus der inversen Abschatzung aus

Satz 11.11 ist, gilt fur alle uh ∈ Wh:

Ah(uh, uh) ≥1

2

(||uh||2ε +

∑T∈Th

δT (||(b · ∇)uh||2L2(T ) + ||cuh − ε∆uh||2L2(T ))

).

Beweis. Wir verwenden das vorherige Lemma. Dazu schatzen wir ||Luh|| ab:

||Luh||2L2(T ) = (−ε∆uh + b · ∇uh + cuh,−ε∆uh + b · ∇uh + cuh)L2(T )

= ||cuh − ε∆uh||2L2(T ) + ||(b · ∇)uh||2L2(T ) + 2(cuh − ε∆uh, b · ∇uh)L2(T )

≥ || − ε∆uh + cuh||2L2(T ) + ||(b · ∇)uh||2L2(T )

−2||cuh − ε∆uh||2L2(T ) −1

2||b · ∇uh||2L2(T )

≥ || − ε∆uh + cuh||2L2(T ) +1

2||(b · ∇)uh||2L2(T ) − 2||cuh − ε∆uh||2L2(T )

≥ ||cuh − ε∆uh||2L2(T ) +1

2||(b · ∇)uh||2L2(T ) − 2

µ2inv

h2T

ε2||∇uh||2L2(T ) + ||cuh||2L2(T )

Da ferner fur 0 < δT <14

min(h2T/(εµ

2inv), d/cT ) gilt∑

T∈Th

2δT

(µ2invh

−2T ε2||∇uh||2L2(T ) + ||cuh||2L2(T )

)≤ ε

2||∇uh||2 +

d

2||uh||2L2(T )

≤ 1

2||uh||2ε ,

folgt∑T∈Th

δT ||Luh||2L2(T ) ≥∑T∈Th

δT

(||cuh − ε∆uh||2L2(T ) +

1

2||(b · ∇)uh||2L2(T )

)− 1

2||uh||2ε .

Die Behauptung folgt direkt aus dem vorherigen Lemma und der Tatsache α2 = 1.

13.10.3 Galerkin-Least-Squares-Methode fur Stokes

Nun wollen wir noch kurz die GLS Methode fur das Stokes Problem aufstellen. Wir

betrachten hierzu den Losungsvektor u = (v, p) bestehend aus den Geschwindigkei-

ten v und dem Druck p, sowie den Operator

Lu =

(−∆v +∇p

div v

).

13.11 DG-Methoden 229

Die GLS-Stabilisierung lautet daher fur die vektor-wertige Testfunktion ϕ = (φ, ξ)

und einer Diagonalmatrix als Stabilisierungsparameter δT = diag(δpT , δvT ):

Sh(u, ϕ) =∑T∈Th

(Lu, δTLϕ)L2(T )

=∑T∈Th

((−∆v +∇p,−δvT∆φ+ δpT∇ξ)L2(T ) + (div v, div δvTφ)L2(T )

).

Im Fall von P1-Elementen reduziert sich dies sogar auf

Sh(u, ϕ) =∑T∈Th

(δpT (∇p,∇ξ)L2(T ) + δvT (div v, div φ)L2(T )

).

Man erhalt also ebenso einen element-weisen Laplace fur den Druck. Diesen Stabili-

sierungsanteil kennen wir bereits aus Abschnitt ??. Hinzu kommt aber noch ein wei-

terer Term, die sogenannte Div-Div–Stabilisierung oder auch Grad-div–Stabilisierung

genannt (wegen partieller Integration). Letztere wird uns bei den nichtlinearen

Navier-Stokes-Gleichungen wieder begegnen. Fur Stokes ist diese Stabilisierung nicht

notwendig und liefert auch keinerlei Vorteile. Im Gegenteil: Dieser Term koppelt die

unterschiedlichen Geschwindigkeitskomponenten untereinander und fugt dem Sy-

stem somit zusatzliche Kopplungen hinzu.

13.11 DG-Methoden

Eine weitere haufig genutzte Moglichkeit der FEM-Diskretisierung von Konvektions-

Reaktions-Gleichungen und Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen ist die

unstetige Galerkin-Methode, im Englischen discontinuous Galerkin (dG). Wir wol-

len diese vorstellen fur die Gleichung (13.9) mit Dirichlet-Bedingungen am Ein-

stromrand:

(b · ∇)u+ cu = f in Ω

u|Γ− = u0 .

Die variationelle Formulierung lautet nun mit einer schwachen Implementierung der

Dirichlet-Randwerte:

u ∈ V : A(u, ϕ) = (f, ϕ)L2(Ω) +

∫Γ−

|b · n|u0ϕds ∀ϕ ∈ V .

Hierbei ist die Bilinearform gegeben als

A(u, ϕ) :=∑T∈Th

((b · ∇)u+ cu, ϕ)L2(T ) +

∫Γ−

|b · n|uϕ ds ,


und dem Hilbertraum V := H1(Ω).

Im Diskreten verwenden wir nun als Test- und Ansatzraum stuckweise Polynome,

die an den Elementgrenzen unstetig sein durfen:

Wh := v ∈ L2(Ω) : v|T ∈ Pr(T ) ∀T ∈ Th .

Diese Wahl der diskreten Raume ist nicht-konform, da Wh 6⊂ V . Das Hauptproblem

der dG-Methoden ist allerdings, dass man weitaus mehr Freiheitsgrade zu verwalten

hat, als bei den stetigen Elementen bei gleicher Approximationsgenauigkeit. Auf

diesen Punkt werden wir spater gesondert zu sprechen kommen.

Aufgrund der Unstetigkeit an den Elementgrenzen fuhren wir Notationen fur die

recht- und linksseitigen Grenzwerte ein:

v±(x) := limε→0

v(x± εb(x)) .

Hierbei mussen wir voraussetzen, dass b(x) fur Punkte x auf Kanten der Triangu-

lierung nicht tangential zu den Kanten gerichtet ist. Ferner setzen wir den obigen

Grenzwert auf Null, wenn x ∈ ∂Ω und ±εb(x) nach ausserhalb von Ω gerichtet ist.

Wie bereits in Abschnitt 6.7 verwendet, benutzen wir die Bezeichnung Eh fur die

Menge aller inneren Kanten der Triangulierung Th. Der Sprung uber eine Kante

e ∈ Eh wird wieder mit

[v]e(x) := v+(x)− v−(x) , x ∈ e

bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen lautet die diskrete Bilinearform

Ah(u, ϕ) := A(u, ϕ) +∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u]eϕ+ ds . (13.16)

Die zu losenden diskrete Gleichung lautet:

uh ∈ Wh : Ah(uh, ϕ) = (f, ϕ)L2(Ω) +

∫Γ−

|b · n|u0ϕds ∀ϕ ∈ Wh .

Wir zeigen nun die Koerzivitat in der Norm:

||u||dG,h :=

(d||u||2L2(Ω) +

1

2

∫∂Ω

|b · n|u2 ds+1

2

∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u]2 ds

)1/2

(13.17)

mit der Konstanten d := infx∈Ωess (c(x)− 12div b(x))1/2.


Lemma 13.16 Die oben beschriebene dG-Methode ist stark konsistent und fur die

Bilinearform (13.16) gilt

Ah(u, u) ≥ ||u||2dG,h ∀u ∈ Wh ⊕ V .

Beweis. (a) Zur Konsistenz: Fur die stetige kontinuierliche Losung u ∈ H1(Ω)

verschwinden die Sprunge uber alle inneren Kanten, also [u]e ≡ 0. Daher gilt fur

dieses u:

Ah(u, ϕ) = A(u, ϕ) = (f, ϕ)L2(Ω) +

∫Γ−

|b · n|u0ϕds .

(b) Zur Koerzivitat: Analog zum Beweis von Satz 13.7 erhalt man fur jedes Element

T und beliebiges u ∈ Wh ⊕ V :

((b · ∇)u+ cu, u)L2(T ) ≥ dT ||u||2L2(T ) + (12(b · n)u, u)L2(∂T ) ,

mit dT = infx∈T ess (c(x) − 12div b(x))1/2. Hierbei sind im letzten Randintegral die

Werte von u auszuwerten als Grenzwert vom Inneren von T . Summiert man uber

alle Elemente, so erhalt man∑T∈Th

((b · ∇)u+ cu, u)L2(T ) ≥ d||u||2L2(Ω) +1

2

∑T∈Th

∫∂T

(b · n)u2 ds

= d||u||2L2(Ω) −1

2

∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u2] ds+1

2

∫∂Ω

(b · n)u2 ds .

Die ubrigen Randterme der Bilinearform Ah(·, ·) ergeben bei diagonalem Testen:∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u]eu+ ds =

∑e∈Eh

∫e

|b · n|((u+)2 − u−u+) ds ,∫Γ−

|b · n|u2 ds = −∫

Γ−

(b · n)u2 ds .

Damit erhalten wir insgesamt:

Ah(u, u) ≥ d||u||2L2(Ω) +∑e∈Eh

∫e

|b · n|((u+)2 − u−u+ − 12[u2]) ds

+1

2

∫Γ+

(b · n)u2 ds− 1

2

∫Γ−

(b · n)u2 ds .

Es gilt nun zum einen

(u+)2 − u−u+ − 12[u2] =

1

2[u]2 ,


und zum anderen b ·n > 0 auf Γ+, −b ·n > 0 auf Γ− und b ·n = 0 auf ∂Ω\ (Γ+∪Γ−).

Insgesamt folgt hieraus die Behauptung.

Wir wollen nun eine Fehlerabschatzung fur diese Methode entwickeln. Hierzu bietet

sich das Lemma 7.1 von Strang an. Wir benotigen hierzu weitere (starkere) Normen

auf dem diskreten Raum Wh:

||u||2dG,1 := ||u||2dG,h +∑T∈Th

hT ||b · ∇u||2L2(T ) ,

||u||2dG,2 := ||u||2dG,h +∑T∈Th

h−1T ||u||

2L2(T ) +

∑e∈Eh

|||b · n|u−||2L2(e)

Wir zeigen jetzt die Stabilitat und Stetigkeit von Ah bzgl. dieser Normen:

Lemma 13.17 Fur c ∈ L∞(Ω), ein holder-stetiges Vektorfeld b ∈ C0,1/2(Ω)d, div b ∈L∞(Ω) und (13.8) gilt die diskrete inf-sup Bedingung fur die dG-Methode, d.h. es

existiert ein γ > 0 so dass:

infvh∈Wh

supwh∈Wh

Ah(vh, wh)

||vh||dG,1||wh||dG,1≥ γ .

Beweis. Siehe [9].

Lemma 13.18 Unter den gleichen Bedingungen wie in Lemma 13.17 ist die Bili-

nearform Ah in (13.16) stetig bzgl. der Normen auf Wh, d.h. mit einer Konstanten

c > 0 gilt

Ah(v, wh) ≤ c||v||dG,2||wh||dG,1 ∀v ∈ V ⊕Wh , ∀wh ∈ Wh .

Beweis. Durch partielle Integration auf jedem Element erhalt man auf jedem

Element:

((b · ∇)v + cv, wh)L2(T )

= (v, (c− div b)wh))L2(T ) − (v, b · ∇wh)L2(T ) −∫∂T

v(b · n)wh ds

≤ ||v||L2(T )(d ||wh||L2(T ) + ||b · ∇wh||L2(T ))−∫∂T

v(b · n)wh ds

Fur deren Summe uber alle Elemente ergibt sich daher∑T∈Th

(b · ∇v + cv, wh)L2(T )

≤∑T∈Th

(||v||L2(T )(d ||wh||L2(T ) + ||b · ∇wh||L2(T ))

)−∑e∈Eh

∫e

|b · n|[vwh]e ds


Da [v]w+h − [vwh] = −v−[wh], ergibt sich fur die diskrete Bilinearform durch mehr-

maliges Anwenden von Cauchy-Schwarz:

Ah(v, wh) ≤ ||v||L2(Ω)

d ||wh||L2(Ω) +

(∑T∈Th

||b · ∇wh||2L2(T )

)1/2

−∑e∈Eh

∫e

|b · n|v−[wh]e ds+

∫Γ−

|b · n|vwh ds

≤[||v||L2(Ω) +

(∑e∈Eh

∫e

|b · n||v−|2 ds)1/2

+(∫

Γ−

|b · n|v2 ds)1/2]

d||wh||L2(Ω) +

(∑T∈Th

||b · ∇wh||2L2(T )

)1/2

+(∑e∈Eh

|b · n|||[wh]||2e ds)1/2

+(∫

Γ−

|b · n|w2h ds

)1/2].

Der folgende Satz liefert uns die “Optimalitat” der dG-Methode. Da fur reine

Konvektions-Reaktions-Gleichungen die Losungen i.d.R. nicht glatt sind, ist hier

nur der Fall r = 0 oder r = 1 praktisch relevant.

Satz 13.19 Unter den Voraussetzungen von Lemma 13.17 ist die dG-Methode quasi-

optimal im folgenden Sinne

||u− uh||dG,1 ≤ c infwh∈Wh

||u− wh||dG,2 .

Wenn u ∈ Hk+1(Ω) so folgt insbesondere fur dG(r) mit 0 ≤ k ≤ r:

||u− uh||dG,1 ≤ chk+1/2|u|Hk+1(Ω) .

Beweis. Wir spalten den Diskretisierungsfehler u − uh auf in einen Interpola-

tionsfehler η = u − Ihu und einen Projektionsfehler Ihu − uh. Nun lasst sich η

(wie bei stetiger Approximation) durch die rechte Seite im Satz abschatzen, also

||η||dG,1 ≤ chk+1/2|u|Hk+1(Ω). Es genugt daher (wie ublich) als Ihu die Knoteninterpo-

lierende zu wahlen und dann den Projektionsfehler ξ = Ihu−uh entsprechend zu be-

schranken. Hierzu verwenden wir die inf-sup Bedingung, die Galerkin-Orthogonalitat

und die Stetigkeit von Ah:

γ||ξ||2dG,1 ≤ Ah(ξ, ξ) = −Ah(η, ξ) ≤ ||η||dG,2||ξ||dG,1 .


Wir erhalten also

||ξ||dG,1 ≤ γ−1||u− Ihu||dG,2 .

Wir schatzen nun die auftretenden Terme getrennt ab. Fur die Gebietsterme gilt:

||η||2L2(Ω) ≤ h2(k+1)T |u|2Hk+1(T )

hT ||b · ∇η||2L2(T ) ≤ ch2k+1T |u|2Hk+1(T )

h−1T ||η||

2L2(T ) ≤ h

2(k+1)−1T |u|2Hk+1(T ) ,

mit einer Konstanten c = c(||b||L∞(Ω)). Fur die Randintegrale uber eine (innere oder

Rand-) Kante e eines Elementes K verwenden wir den nachfolgende “multiplikative

Spur-Abschatzung”:∫e

|b · n|η2 ds ≤ C||η||L2(e) ≤ C(||η||L2(T )|η|H1(T ) + h−1T ||η||

2L2(T ))

≤ Ch2k+1T |u|2Hk+1(T )∫

e

|b · n|[η]2 ds = 0 .

Die Konstante C hangt von ||b||L∞(T ) ab. Die letzte Gleichung folgt wegen der Ste-

tigkeit von Ihu und damit [η]e = 0. Addieren wir all diese Terme und ziehen die

Quadratwurzel ergibt sich:

||u− Ihu||dG,2 ≤ C

(∑T∈Th

h2(k+1)T |u|2Hk+1(T )

)1/2

.

Dies liefert uns die Behauptung.

Die nachfolgende Variante des Spursatzes lieferte uns im Beweis des Satzes zuvor

eine halbe h-Potenz mehr als der Spursatz 5.10.

Satz 13.20 (Multiplikative Spur-Abschatzung) Auf quasi-uniformen Gittern

Th gilt mit einer Konstanten c > 0 fur jedes Element T ∈ Th:

||v||2L2(∂T ) ≤ c(||v||L2(T )|v|H1(T ) + h−1T ||v||

2L2(T )) ∀v ∈ H1(T ) .

Beweis. Wir stellen hier den Beweis von [7] dar. OEdA konnen wir annehmen,

dass der Mittelpunkt von T der Ursprung ist. Dann zeigt man zunachst:

||v||2L2(∂T ) ≤ ρ−1T

∫∂T

x · nv2 ds ,


wobei ρT den Innenkreisradius von T und n die Normale an ∂T bezeichnet. Dies ist

eine einfache Konsequenz aus ||x||2 ≥ ρT . Nun wenden wir den Gauss’schen Integral-

satz an:

||v||2L2(∂T ) ≤ ρ−1T

∫T

div (v2x) dx = ρ−1T

∫T

(v2div x+ x · ∇(v2)) dx

= ρ−1T

∫T

(v2d+ 2vx · ∇v) dx

Wegen ||x|| ≤ hT und mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung erhalten wir nun:

||v||2L2(∂T ) ≤ ρ−1T (d||v||2L2(T ) + 2hT ||v · ∇v||L1(T ))

≤ Ch−1T (||v||2L2(T ) + hT ||v||L2(T )||∇v||L2(T )) .

Aber dies ist gerade die Behauptung.

13.11.1 dG-Methode fur Konvektions-Diffusions-

Reaktions-Gleichungen

Fur Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen (13.4) lautet die kontinuierliche

Bilinearform

A(u, ϕ) :=∑T∈Th

(((b · ∇)u+ cu, ϕ)L2(T ) + (ε∇u,∇ϕ)L2(T )

).

Hierbei sind die Randbedingungen nicht enthalten, so dass sie in starker Form im

Raum Wh eingebaut werden mussen.

Die diskrete Bilinearform ist von der Form

Ah(u, ϕ) := A(u, ϕ) +Bh(u, ϕ) .

Hierbei beinhaltet Bh alle Kantenanteile. Zur kompakteren Definition von Bh benoti-

gen wir jetzt noch eine weitere Notation, namlich fur Kantenmittelwerte. Fur Punkte

auf inneren Kanten definieren wir

〈v〉 :=1

2(v+ − v−) .

Auf Randkanten setzen wir einfach 〈v〉 = v. Um die Formulierung ein klein wenig

ubersichtlicher zu machen, setzen wir an den Randkanten e ∈ ∂Eh den Sprung [v] :=

v. Hier kann es zu keinen Verwechslungen kommen, da an Randkanten stets nur ein

Wert vorhanden ist. Mit Eh bezeichnen wir jetzt die Vereinigung aller Kanten, sowohl


innere als auch Randkanten. Grundsatzlich kommen jetzt fur dG Finite Elemente

als diskrete Bilinearform zwei Varianten in Spiel:

Bh(u, ϕ) :=∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u]eϕ+ ds

+∑e∈Eh

∫e

(ε (±[u]〈∇ϕ · n〉 − 〈∇u · n〉[ϕ]) + σe[u][ϕ]) ds .

Die beiden erwahnten Varianten unterscheiden sich in der Wahl des Vorzeichens in

dem Sprungterm ±[u]〈∇ϕ ·n〉. Wenn hier ein negatives Vorzeichen gewahlt wird, so

ist dieser Term symmetrisch zum darauffolgenden Term −∇u ·n[ϕ]. Man spricht da-

her in diesem Fall von der symmetric interior penalties (SIP) Methode. Anderenfalls

(positives Vorzeichen) ergeben diese beiden Terme zusammen eine asymmetrische

Form. Daher spricht man dann von der non-symmetric interior penalties (NIP)

(NIP) Methode. Beide Varianten haben ihre Vor- und Nachteile.

Der Parameter σe ≥ 0 ist ein kantenabhangiger Parameter fur den Strafterm

σe[u][ϕ]. Hiermit werden also Unstetigkeiten uber Zellgrenzen “bestraft”. Dies er-

scheint insofern sinnvoll, als dass wir wissen, dass fur positive Diffusionsparameter

ε > 0 die exakte Losung glatt ist. Man erhalt diesen Term aber auch bei partieller

Integration der Diffusionssterme:

−ε(∆u, ϕ)L2(Ω) = −∑T∈Th

ε(∆u, ϕ)L2(T )

=∑T∈Th

ε(∇u,∇ϕ)L2(T ) − ε∫∂Ω

(∇u · n)ϕds− ε∑e∈Eh

∫e

〈∇u · n〉[ϕ] ds

=∑T∈Th

ε(∇u,∇ϕ)L2(T ) − ε∑e∈Eh

∫e

〈∇u · n〉[ϕ] ds .

Diese Terme sind in Bh(u, ϕ) enthalten und die adjungierten Terme.

Eine hierzu geeignete diskrete Norm ergibt sich aus der bereits in (13.17) ein-

gefuhrten Norm ||u||dG,h plus zusatzliche Kantensprunge, die mit σe gewichtet sind:

||u||2dG,h,ε := ||u||2dG,h +∑e∈Eh

σe||[u]||2e .

Der Stabilisierungs-Parameter σe solllte von der Form

σe = σ0h−1e ε (13.18)

mit σ0 > 0 gewahlt werden. Hierbei bezeichnet he = |e| die Lange der Kante e.


Lemma 13.21 Die unsymmetrische dg-Methode NIP ist auf beliebigen Triangulie-

rungen koerziv im Sinne

Ah(u, u) ≥ c||u||2dG,h ∀u ∈ V ⊕Wh .

Die symmetrische Variante SIP ist auf quasi-uniformen Gittern und der Wahl (13.18)

fur σe mit hinreichend grossem σ0 > 0 koerziv auf Wh.

Beweis. Fur NIP ergibt sich

A(u, u) = d||u||2L2(Ω) −1

2

∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u2]e ds+1

2

∫∂Ω

(b · n)u2 ds ,

Bh(u, u) =

∫Γ−

|b · n|u2 ds+∑e∈Eh

∫e

|b · n|[u]eu+ ds+

∑e∈Eh

σe||[u]||2e .

Mit [u]eu+ − 1

2[u2]e = 1

2[u]2e ergibt sich die Behauptung fur NIP. Fur SIP muss

man die zusatzlich auftretenden (nicht notwendigerweise positiven) Terme geeignet

beschranken. Diese sind∑e∈Eh

ε

∫e

− ([u]〈∇u · n〉 − 〈∇u · n〉[u]) ds = −2ε∑e∈Eh

∫e

[u]〈∇u · n〉 ds

≤∑e∈Eh

(1

2σe||[u]||2e +

ε

σe||〈∇u · n〉||2e

)Fur diskretes uh ∈ Wh gilt dann mit einer inversen Abschatzung

ε

σe||〈∇uh · n〉||2e ≤

εµinvheσe

||uh||2e ≤µinvσ0

||uh||2e .

Fur σ0 hinreichend gross folgt daher die Koerzivitat.

Fur die NIP Methode ist die Koerzivitat offensichtlich einfacher zu zeigen, da bei

diagonalem testen (u = ϕ) sich viele Terme gegenseitig aufheben. Ferner gibt es keine

Bedingung an σ. Fur eine Fehlerabschatzung in der Norm ||u − uh||dG,h ergibt sich

aber letztendlich kein wesentlicher Unterschied. Der Vorteil der symmetrischen SIP

Variante liegt in der Konsistenz der adjungierten Bilinearform A∗h(u, ϕ) = Ah(ϕ, u).

Hierdurch kann durch ein Dualitatsargument eine Fehlerabschatzung in der L2-Norm

gezeigt werden. Fur NIP ist dies so nicht moglich. Insgesamt lasst sich folgendes

zeigen:

Satz 13.22 Die NIP und SIP Methode erfullt auf quasi-uniformen Triangulierun-

gen, bei vorliegen einer Losung u ∈ H2(Ω) und der Wahl σe wie in (13.18) folgende

a priori Abschatzung:

||u− uh||2dG,h ≤ C(ε+ h)h2||u||2H2(Ω) .

Den Beweis hierzu wollen wir nicht fuhren.

Kapitel 14

Navier-Stokes-Gleichung

“Fluid dynamicists were divided into hydraulic engineers who observed things that

could not be explained and mathematicians who explained things that could not be

observed.” 1

Unter den klassischen Navier-Stokes-Gleichung versteht man die Gleichungen zur

Beschreibung eines Fluids mit konstanter Dichte:

∂v

∂t+ (v · ∇)v − ν∆v +∇p = f in Ω , (14.1)

div v = 0 in Ω , (14.2)

v = 0 auf ∂Ω . (14.3)

Hierbei bezeichnet ν > 0 die kinematische Viskositat. Im Vergleich zur vorher behan-

delten Stokes-Gleichung taucht in diesen Gleichungen der zusatzliche Term (v · ∇)v

auf. Um diesen genauer zu verstehen, gehen wir hierauf im nachsten Abschnitt ge-

sondert ein.

Der Konvektionsterm. Der Konvektionsterm (v · ∇)v ist folgendermaßen zu

verstehen. Es handelt sich um einen Vektor mit d Komponenten (v · ∇)vi, welche

sich berechnen aus

(v · ∇)vi =d∑j=1

vj∂vi∂xj

.

Formal gesehen wenden wir den Operator (v · ∇) =∑d

j=1 vj∂∂xj

auf jede einzelne

Geschwindigkeitskomponente an. Das Resultat ist ein nichtlinearer Term, genauer

1Sir Cyril Norman Hinshelwood, Chemiker in Oxford, 1897–1967, Nobelpreis in Chemie 1956

240 M. Braack Navier-Stokes-Gleichung

ein quadratischer Term, in den Navier-Stokes-Gleichungen. Daher sind die Navier-

Stokes-Gleichungen nichtlinear und in ihrer Komplexitat nicht mit den Stokes-

Gleichungen vergleichbar.

Eine aquivalente Formulierung des Konvektionsterms (v ·∇)v ist div (v⊗v), denn

fur divergenz-freies v gilt

div (v ⊗ v) = (div v)v + (v · ∇)v = (v · ∇)v .

Hierbei bezeichnet v ⊗ v das dyadische Produkt mit Koeffizienten (v ⊗ v)ij = vivj.

Um die physikalische Bedeutung den Konvektionsterms zu verstehen, benotigen

wir den Begriff des Impulses.

Impulserhaltung. Der Impuls (engl. momentum) in einem Volumen V ist defi-

niert als

m(V ) =

∫V

ρv dx .

Die Kraft, die auf ein solches Volumen setzt sich zusammen aus Volumenkraften,

wie beispielsweise Gravitationskrafte, Fliehkrafte oder magnetische Krafte, und Rei-

bungskraften,

F (V ) =

∫V

ρf dx−∫∂V

n · σ ds .

Hierbei ist σ ∈ Rd×d der Reibungstensor. Dieser beschreibt die Verzerrung / De-

formationen eines Kontinuums. Relevant sind hier also die Verzerrung in Norma-

lenrichtung zum Volumen. Diese sind in entgegengesetzte Richtung zu den außeren

Kraften gerichtet, daher das negative Vorzeichen. Wenn sich also ein Volumen nicht

bewegt, so sind die Krafte im Gleichgewicht, also F = 0. Unter Verwendung des

Gauß’schen Integralsatzes erhalten wir dann

0 = F (V ) =

∫V

ρf dx−∫V

div σ dx .

Wenn sich das Volumen nun allerdings bewegt, so muss gelten

dm

dt= F (V ) .

241

Hierbei bezeichnet d/dt die totale Ableitung. Unter Berucksichtigung, dass die Dich-

te konstant ist, laßt sich umformen:

dm

dt=

∂m

∂t+

d∑i=1

∂m

∂xi

∂xi∂t

=∂m

∂t+

d∑i=1

vi∂m

∂xi=

∂m

∂t+ (v · ∇)m

=

∫V

(∂(ρv)

∂t+ (v · ∇)(ρv)

)dx

=

∫V

(ρ∂v

∂t+ (ρv · ∇)v

)dx .

Insgesamt erhalten wir also∫V

ρ∂v

∂tdx+

∫V

(ρv · ∇)v dx+

∫V

div σ dx =

∫V

ρf dx .

Da dies fur jedes Volumen V gelten soll, konnen wir ubergehen zur punktweisen

Bedingung

ρ∂v

∂t+ (ρv · ∇)v + div σ = ρf .

Nun teilen wir durch ρ und wahlen als Verzerrungstensor die Form

div σ = div (−µ∇v + pI) ,

mit der Viskositat µ > 0. Wenn wir nun noch den Druck umdefineren, p→ p/ρ, und

ν := µ/ρ setzen, so erhalten wir die Navier-Stokes-Gleichungen (14.1)-(14.3), denn

dann ist1

ρdiv σ = −ν∆ v +∇p .

Lemma 14.1 Fur jede Folge (vn)n∈N aus H1(Ω), die in L2(Ω) stark gegen v ∈H1(Ω) konvergiert, gilt

limn→∞

((vn · ∇)vn, φ) = ((v · ∇)v, φ) ∀φ ∈ C∞0 (Ω) .

Beweis. Da ((v · ∇)v, φ) = −((v · ∇)φ, v) und φ ∈ L∞(Ω) folgern wir mit der

Holder’schen Ungleichung:

|((vn · ∇)vn, φ)− ((v · ∇)v, φ)|= |((v · ∇)φ, v)− ((vn · ∇)φ, vn)|= |(((v − vn) · ∇)φ, v)− ((vn · ∇)φ, (vn − v))|≤ ||((v − vn) · ∇)φ · v||L1(Ω) + ||(vn · ∇)φ · (vn − v)||L1(Ω)

≤(||(v − vn) · v||L1(Ω) + ||vn · (vn − v)||L1(Ω)

)||∇φ||L∞(Ω)

≤(||v||L2(Ω) + ||vn||L2(Ω)

)||v − vn)||L2(Ω)||∇φ||L∞(Ω) .


Da ||vn||L2(Ω) notwendigerweise beschrankt ist und limn→∞ ||v−vn||L2(Ω) = 0 gilt, folgt

die Behauptung.

14.1 Stationare Navier-Stokes Gleichungen

Wir betrachten nun Losungen der stationaren Navier-Stokes Gleichungen

(v · ∇)v − ν∆v +∇p = f in Ω ,

div v = 0 in Ω ,

v = 0 auf ∂Ω ,

im divergenz-freien Raum

J1(Ω) := v ∈ H10 (Ω)d : div v = 0 f.u. .

Die zugehorige variationelle Formulierung lautet

v ∈ J1(Ω) A(v)(φ) = (f, φ) ∀φ ∈ J1(Ω) , (14.4)

mit der Semilinear-Form

A(v)(φ) := ((v · ∇)v, φ) + (ν∇v,∇φ) .

Wir werden im nachfolgenden Lemma verifizieren, dass der Konvektionsterm ((v ·∇)v, φ) wohldefiniert ist. A ist nichtlinear im ersten Argument und linear im zwei-

ten. Eine Galerkin-Losung vh ∈ Vh in einem endlich-dimensionalem Teilraum Vh ⊂J1(Ω) ⊂ H1

0 (Ω) lautet nun:

vh ∈ Vh A(vh)(φ) = (f, φ) ∀φ ∈ Vh . (14.5)

Definition 14.2 (Sobolev-Zahl) Unter der Sobolev-Zahl des Raumes W k,p(Ω),

mit Ω ⊆ Rn, versteht man die Große

γ(k, p) := k − n

p.

Hierbei gilt die Konvention γ(k,∞) = k.

Satz 14.3 (Sobolevsche Einbettung) Sei Ω ⊂ Rn, offen und beschrankt, 1 ≤p, q ≤ ∞. Dann ist die Einbettung

W k,p(Ω) ⊆ Wm,q(Ω)

14.1 Stationare Navier-Stokes Gleichungen 243

stetig, sofern fur die Sobolevzahlen gilt γ(m, q) ≤ γ(k, p). Insbesondere ist fur n ∈2, 3, H1(Ω) stetig in Lp(Ω) eingebettet, also

||u||Lp(Ω) ≤ C||u||H1(Ω) ∀u ∈ H1(Ω) ,

sofern 2 ≤ p <∞ im Fall n = 2 und 2 ≤ p ≤ 6 im Fall n = 3. Es gilt C = C(Ω, p).

Lemma 14.4 In beschrankten Lipschitz-Gebieten Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, gilt fur den

konvektiven Term

|((u · ∇)v, w)L2(Ω)| ≤ ||u||L6(Ω)|v|H1(Ω)||w||L3(Ω) ∀u, v, w ∈ H10 (Ω) ,

sowie mit einer nur von Ω abhangigen Konstanten CΩ,

|((u · ∇)v, w)L2(Ω)| ≤ CΩ|u|H1(Ω)|v|H1(Ω)|w|H1(Ω) . (14.6)

Beweis. Wir verwenden die Holdersche Ungleichung zunachst einmal in der Kom-

bination q = 3/2 und p = 3:

|((u · ∇)v, w)L2(Ω)| ≤ ||(u · ∇)v||L3/2(Ω)||w||L3(Ω)

Auf den ersten Term wenden wir nochmal Holder an, nun aber in der Kombination

q = 4 und p = 4/3:

||(u · ∇)v||L3/2(Ω) = |||(u · ∇)v|3/2||2/3L1(Ω) ≤ |||u|3/2|∇v|3/2||2/3L1(Ω)

≤ ||u3/2||2/3L4(Ω)|||∇v|3/2||2/3

L4/3(Ω)= ||u||L6(Ω)|v|H1(Ω) .

Hierbei haben wir die Identitat |||u|q||1/qLp = ||u||Lpq verwendet. Dies ergibt die erste

Behauptung. Fur die Ungleichung (14.6) verwenden wir die Sobolev’sche Einbettung

in Theorem 14.3:

||u||L6(Ω) ≤ CΩ|u|H1(Ω) .

Ferner gilt in beschrankten Gebieten stets

||w||L3(Ω) ≤ CΩ||w||L6(Ω) ∀w ∈ L6(Ω) .

Mit nochmaliger Anwendung von Theorem 14.3 erhalten wir die Behauptung.

Lemma 14.5 Es gilt fur alle w ∈ H10 (Ω)d:

β ∈ J1(Ω) ⇒ ((β · ∇w), w) = 0 ,

β ∈ H1(Ω) ⇒ ((β · ∇w), w) +1

2((div β)w,w) = 0 .


Beweis. Ubungsaufgabe.

Eine wichtige Folgerung hieraus ist, dass der konvektive Term beim diagonalen Te-

sten verschwindet, wenn v ∈ J1(Ω):

((v · ∇v), v) = 0 . (14.7)

Bei diskreten Approximationen vh, die nicht notwendigerweise divergenz-frei sind,

ist es haufig besser, den sogenannten schief-symmetrischen Term zu benutzen

1

2

(((vh · ∇)vh, φh)− (vh, (vh · ∇)φh)

),

da er beim diagonalen Testen, also φh = vh, verschwindet, unabhangig davon, ob vh(exakt) divergenz-frei ist .

14.1.1 Losungstheorie im Stationaren

Satz 14.6 (Retraktion) Sei D ⊂ Rn eine beliebige offene Menge, die die ab-

geschlossene Einheitskugel B1 enthalt, und g : D → ∂B1 eine Retraktion, d.h.

g|∂B1 = id. Dann ist g nicht zweimal stetig differenzierbar.

Wir benutzen im folgenden den Fixpunktsatz von Brouwer2.

Satz 14.7 (Brouwer’scher Fixpunktsatz) Sei B1 ⊂ E die abgeschlossene Ein-

heitskugel eines endlich-dimensionalen normierten Raums E. Dann besitzt jede ste-

tige Abbildung Φ : B1 → B1 einen Fixpunkt x∗ ∈ B1.

Beweis. Fall (i): Wir nehmen zunachst an, dass Φ eine C2-Funktion ist, die auf

offenen Menge D mit B1 ⊂ D definiert ist. Wir betrachten dann die Funktion

g : D → Rn mittels

g(x) := φ(x) + t(x)(x− Φ(x))

wobei t = t(x) die positive Losung der quadratischen Gleichung at2 + bt+ c = 0 mit

a := |x− Φ(x)|2, b := 2Φ(x)T · (x− Φ(x)) und c := |Φ(x)|2 ist. Wenn x 6= Φ(x) ist,

so ist g(x) gerade der Schnittpunkt der Einheits-Spare (also dem Rand ∂B1) mit

der Strecke, die von x nach Φ(x) verlauft. Somit ist im Fall, dass Φ keinen Fixpunkt

besitzt, g(D) ⊂ ∂B1. Ferner gilt g|∂B1 = id. Aufgrund der Annahme, dass Φ eine

C2-Funktion ist, sind auch die Koeffizienten a, b, c als Funktionen von x zweimal

stetig differenzierbar. Diese Differenzierbarkeitseigenschaft ubertragt sich auch auf

2Luitzen E. J. Brouwer, 1881-1966, niederlandischer Mathematiker.


t(x) und letztendlich auch auf g(x). Insgesamt ist g damit eine C2-Retraktion von B1

auf die Spare. Diese kann aber nach Satz 14.6 nicht existieren. Also ist die Annahme,

dass Φ keinen Fixpunkt besitzt, zum Widerspruch gefuhrt.

Fall (ii): Nun sei Φ lediglich als stetig und ohne Fixpunkt in B1 angenommen. Dann

gilt

ε := infx∈B1

|Φ(x)− x| ≥ 0.

Nach dem Approximationssatz von Weierstrass existiert ein Polynom q : Rn → Rn

mit ||Φ− q||L∞(B1) < δ ≤ ε. Die Reskalierung p := q/(1+ δ) ist ebenfalls ein Polynom

und damit insbesondere eine C2-Funktion. Nun zeigen wir:

(a) p : B1 → B1

(b) p besitzt keinen Fixpunkt.

Somit erfullt p die Voraussetzungen des Falls (i). Dieser Fall war aber bereits wider-

legt. Somit ist mit Nachweis von (a) und (b) ein Widerspruch erzeugt und Fall (ii)

widerlegt. (a) folgt nun aus

||p||L∞(B1) =1

1 + δ||q||L∞(B1)

≤ 1

1 + δ

(||Φ||L∞(B1) + ||Φ− q||L∞(B1)

)<

1

1 + δ(1 + δ) = 1.

Man uberpruft leicht ||q − p||L∞(B1) ≤ δ. (b) folgt aus der Wahl δ = ε/2 und der

Abschatzung fur beliebiges x ∈ B1:

|p(x)− x| = |p(x)− Φ(x) + Φ(x)− x|≥ |Φ(x)− x| − |p(x)− Φ(x)|≥ ε− (|p(x)− q(x)|+ |q(x)− Φ(x)|)> ε− (δ + δ) = 0.

Die Voraussetzung, dass der normierte Raum endlich-dimensional ist, ist essentiell.

In unendlich-dimensionalen Raumen gilt diese Aussage im allgemeinen nicht.

Satz 14.8 Das Navier-Stokes Problem (14.5) in beschrankten Lipschitz-Gebieten

besitzt in endlich-dimensionalen Teilraumen Vh ⊂ J1(Ω) stets eine Losung vh ∈ Vh.

Diese sind gleichmaßig in H10 (Ω) beschrankt:

|vh|H1(Ω) ≤ R , (14.8)


mit einer von f ,ν und Ω abhangigen Konstanten R = R(f,Ω, ν).

Beweis. Wir definieren hierzu die Abbildung Qh : Vh → Vh, v 7→ Qhv gegeben

als Losung des elliptischen Poisson-Problems

(∇Qhv,∇φ) = A(v)(φ)− (f, φ) ∀φ ∈ Vh .

Die Behauptung ist offensichtlich aquivalent zur Existenz einer Nullstelle von Qh in

einer hinreichend großen Kugel BR(0) = vh ∈ Vh : |vh|H1(Ω) ≤ R.(a) Wir zeigen jetzt zunachst die Stetigkeit der nichtlinearen Abbildung Qh. Unter

Verwendung der Holder’schen Ungleichung erhalten wir

|(∇(Qh(v)−Qh(w)),∇φ)| = |A(v)(φ)− A(w)(φ)|≤ |((v · ∇)v, φ)− ((w · ∇)w, φ)|+ |(ν∇(v − w),∇φ)|≤ |((v − w) · ∇)v, φ)|+ |((w · ∇)(v − w), φ)|

+ν||∇(v − w)||||∇φ|| .

Die konvektive Terme konnen mit Lemma 14.4 abgeschatzt werden in der Form

|((v − w) · ∇)v, φ)| ≤ c|v − w|H1(Ω)|v|H1(Ω)|φ|H1(Ω) ,

|((w · ∇)(v − w), φ)| ≤ c|w|H1(Ω)|v − w|H1(Ω)|φ|H1(Ω) .

Hieraus ergibt sich:

|(∇(Qh(v)−Qh(w)),∇φ)| ≤ (ν + c|v|H1(Ω) + c|w|H1(Ω)|)|v − w|H1(Ω) |φ|H1(Ω) .

Wahlen wir nun speziell φ := Qh(v)−Qh(w) so erhalten wir

|Qh(v)−Qh(w)|H1(Ω) ≤ (ν + c|v|H1(Ω) + c|w|H1(Ω)|)|v − w|H1(Ω)

≤ C(v, w, ν)|v − w|H1(Ω) ,

mit einer beschrankten Konstanten C(v, w, ν) fur beschrankte v, w. Dies impliziert

die Stetigkeit von Qh.

(b) Nun zeigen wir die Existenz einer Nullstelle von Qh in einer Kugel BR(0)

per Widerspruch. Wenn es keine solche Nullstelle gabe, so ware dann ebenfalls die

stetige Abbildung

Th : Vh → Vh , wh 7→ Thwh := −R|Qhwh|−1H1(Ω)Qhwh

wohldefiniert. Nach Konstruktion ist Th auf der Kugel eine Selbstabbildung,

Th(BR(0)) ⊂ BR(0) .


Der Brouwersche Fixpunktsatz liefert uns nun in dieser endlich-dimensionalen ab-

geschlossenen Kugel einen Fixpunkt w∗ ∈ BR(0), also

w∗ = −R|Qhw∗|−1H1(Ω)Qhw

∗ ,

und damit |w∗|H1(Ω) = R > 0. Nun gilt aber damit auch

0 < R2 = |w∗|2H1(Ω) = (∇w∗,∇w∗)L2(Ω) = (∇Thw∗,∇w∗)L2(Ω)

= −R|Qhw∗|−1H1(Ω)(∇Qhw

∗,∇w∗)L2(Ω) .

Da die Vorfaktoren positiv sind, gilt also

(∇Qhw∗,∇w∗)L2(Ω) < 0 . (14.9)

Nun gilt aber andererseits wegen (14.7)

(∇Qhw,∇w)L2(Ω) = ((w · ∇)w,w) + (ν∇w,∇w)− (f, w)

= ν|w|2H1(Ω) − (f, w)

≥ |w|H1(Ω)

(ν|w|H1(Ω) − ||f ||H−1(Ω)

).

Im Fall von |w∗|H1(Ω) = R > ν−1||f ||H−1(Ω) (also fur hinreichend großes R) gilt daher

(∇Qhw∗,∇w∗)L2(Ω) ≥ 0. Dies ist aber ein Widerspruch zu (14.9). Dies impliziert

letztendlich die Existenz einer Nullstelle vonQh in BR(0) und damit die Behauptung.

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die homogenen Dirichletbedingungen

von w auf dem gesamten Rand ∂Ω wichtig sind. Ohne diese Eigenschaft verschwin-

det der Term ((w · ∇)w,w) nicht notwendigerweise. Insofern laßt sich das Resultat

dieses Satzes nicht ohne weiteres ubertragen auf Ausstrombedingungen wie in Ab-

schnitt 11.10.1. Im nachfolgenden Satz bezeichnet CΩ die Konstante aus (14.6).

Satz 14.9 Das Navier-Stokes Problem (14.4) besitzt in Lipschitz-Gebieten Ω ⊂ Rd,

d ∈ 2, 3, stets eine schwache Losung. Im Fall von kleinen Daten ||f ||H−1(Ω) ≤ν2/CΩ ist diese eindeutig.

Beweis. (a) Existenz: Wir wahlen eine Folge von endlich-dimensionalen Teilraum-

en (Vm)m∈N, so dass⋃m∈N Vm dicht liegt in J1(Ω) bezuglich der H1

0 (Ω)-Norm. Zu die-

sen Teilraumen betrachten wir die nach Satz 14.8 die beschrankte Folge der diskreten

Losungen (vm)m∈N mit vm ∈ Vm. Da J1(Ω) in J0(Ω) = v ∈ L2(Ω) : div v = 0kompakt eingebettet ist, besitzt diese Folge eine konvergente Teilfolge, die in J1(Ω)

schwach konvergiert. Da nach dem Rellichschen Auswahlsatz 5.15 die Einbettung


H1(Ω) ⊂ L2(Ω) kompakt ist, ist diese Folge in L2(Ω) stark konvergent. Der Einfach-

heit halber bezeichnen wir diese Teilfolge wieder mit (vm)m∈N, so dass gilt

limm→∞

||vm − v||L2(Ω) = 0 ,

limm→∞

(∇(vm − v),∇φ)L2(Ω) = 0 ∀φ ∈ J1(Ω) ,

mit einem Grenzwert v ∈ J1(Ω).

Wir zeigen nun, dass dieser Limes Losung der Gleichung (14.4) ist. Sei hierzu

zunachst φ ∈ V := φ ∈ C∞0 (Ω) : divφ = 0 eine beliebige glatte Testfunktion. Es

gilt sowohl

limm→∞

(∇vm,∇φ) = (∇v,∇φ),

als auch wegen Lemma 14.1:

limm→∞

((vm · ∇)vm, φ) = ((v · ∇)v, φ) .

Da⋃n∈N(Vn∩V) dicht ist in V , wahlen nun noch eine weitere Folge (φn)n∈N ⊆ Vn ⊆ V

mit φn → φ in V . Folglich gilt im Limes die Gultigkeit von (14.4):

((v · ∇)v, φ) + (ν∇v,∇φ) = limm→∞

(((vm · ∇)vm, φ) + (ν∇vm,∇φ))

= limm→∞

limn→∞

(((vm · ∇)vm, φn) + (ν∇vm,∇φn))

= limm→∞

limn→∞

(f, φn)

= limm→∞

(f, φ) = (f, φ) .

Sei nun φ ∈ J1(Ω) beliebig. Aufgrund der Dichtheit von V := φ ∈ C∞0 (Ω) : divφ =

0 in J1(Ω) existiert eine Folge (φm)m∈N mit φm ∈ V und |φ − φm|H1(Ω) → 0. Wir

erhalten mit dem zuvor gezeigtem:

((v · ∇)v, φ) + (ν∇v,∇φ) = limm→∞

[((v · ∇)v, φm) + (ν∇v,∇φm)]

= limm→∞

(f, φm) = (f, φ).

(b) Eindeutigkeit: Wir nehmen an, es gabe zwei Losungen v1, v2 ∈ J1(Ω). Fur die

Differenz e = v1 − v2 gilt dann fur beliebige Testfunktionen φ ∈ J1(Ω)

(ν∇e,∇φ) = ((v1 · ∇)v1 − (v2 · ∇)v2, φ)

= ((e · ∇)v1, φ)− ((e · ∇)e, φ) + ((v1 · ∇)e, φ) .


Fur die spezielle Wahl φ = e ergibt sich mit (14.7)

ν|e|2H1(Ω) = ((e · ∇)v1, e)− ((e · ∇)e, e) + ((v1 · ∇)e, e)

= ((e · ∇)v1, e)

≤ CΩ|e|2H1(Ω)|v1|H1(Ω) .

Also folgt im Fall e 6= 0, dass C−1Ω ν ≤ |v1|H1(Ω). Andererseits gilt fur Losungen der

Navier-Stokes Gleichung aber stets

ν|v1|2H1(Ω) = (f, v1) ≤ ||f ||H−1(Ω)|v1|H1(Ω)

bzw. |v1|H1(Ω) ≤ ν−1||f ||H−1(Ω). Diese beiden Abschatzungen ergeben dann zusammen

C−1Ω ν ≤ ν−1||f ||H−1(Ω) ,

was ein Widerspruch zur Annahme kleiner Daten ist.

Die Existenz eines Drucks p ∈ L20(Ω) bei gegebenem Geschwindigkeitsfeld v ∈ H1

0 (Ω)

ergibt sich nun wie zuvor beim Stokes-Operator durch die kontinuierliche inf-sup-

Bedingung.

14.1.2 Naturliche Ausstrombedingung

Wie bereits kurz im letzten Abschnitt erwahnt, werden Dirichletbedingungen benotigt,

um die Stabilitatsaussage (14.8) zu erhalten. Im Fall der do-nothing Bedingung auf

Γout:

ν∂v

∂n− pn = 0 , (14.10)

gilt fur v ∈ J1(Ω)

((v · ∇v), v) =1

2

∫Γout

(v · n)|v|2 ds .

Dieses Integral kann auch negativ werden, wenn v eine Einstromung durch diesen

Rand darstellt, also wenn v · n < 0. Dies fuhrt dazu, dass der Beweis von (14.8) so

nicht mehr aufrecht zu erhalten ist. Als Konsequenz gilt auch die Eindeutigkeits-

aussage in dieser Allgemeinheit nicht mehr. Insbesondere weiß man nicht, ob die

triviale Losung v ≡ 0 die einzige Losung ist der Gleichung:

(v · ∇)v − ν∆v +∇p = 0 in Ω ,

div v = 0 in Ω ,

v = 0 auf Γ0 ,

ν∂v

∂n− pn = 0 auf Γout .


Bislang kann man nur zeigen, dass es “lokal” keine weitere Losung gibt, d.h. weitere

Losungen mussen “weit entfernt” sein von v ≡ 0.

Auch die Verwendung eines modifizierten Konvektionsterms hilft hier nicht.

Wenn man anstelle von ((v · ∇)v, φ) die “schief-symmetrische” Form verwendet,

1

2((v · ∇)v, φ)− 1

2((v · ∇)φ, v)

lautet die variationelle Formulierung mit dieser schief-symmetrischen Formulierung

des Konvektionsterms und der Ausstrombedingung (14.10) wie folgt:

A(v, p;φ, χ) :=1

2((v · ∇)v, φ)− 1

2((v · ∇)φ, v) + ν(∇v,∇φ)− (p, divφ)

+(div v, χ) +1

2

∫Γout

(v · n)v · φ ds

Diagonales Testen ergibt nun wieder

A(v, p; v, p) = ν||∇v||2 +1

2

∫Γout

(v · n)|v|2ds.

Auch hier ist keine Positivitat gesichert, sofern man eine Einstromung hat, d.h. wenn

v ·n < 0 auf Teilen von Γout gilt. Daher erhalt man keine Stabilitat moglicher Losun-

gen. Da dies aber gebraucht wurde, um Existenz von schwachen Losungen zu zeigen,

kann man im Fall der Ausstrombedingung (14.10) auf diesem Wege keine Existenz

von Losungen zeigen. Es ist bislang nicht geklart, ob man die Existenztheorie in

diesem Fall retten kann.

Man kann allerdings zu einer modifizierten Ausstrombedingung ubergehen, um

weiterhin Stabilitat zu bewahren. Beispielsweise kann man die Bilibearform

A(v, p;φ, χ) := ((v · ∇)v, φ) + ν(∇v,∇φ)− (p, divφ) + (div v, χ)

−β + 1

2

∫Γout

(v · n)−v · φ ds

mit beliebigem β ≥ 0 verwenden. Hierbei bezeichnet (v · n)− := min(v · n, 0) den

negativen Anteil von v ·n. Dies entspricht dem hineinstromendem Anteil. Im Fall rei-

ner Ausstromung auf Γout, also v ·n ≥ 0, verschwindet das zusatzliche Randintegral.

In diesem Fall ist die variationelle Form also identisch mit der fur die Ausstrombe-

dingung (14.10). Die Stabilitat erhalt man nun wieder durch diagonales Testen:

A(v, p; v, p) = ν||∇v||2 +1

2

∫Γout

(v · n)|v|2ds− β − 1

2

∫Γout

(v · n)−|v|2ds

= ν||∇v||2 +1

2

∫Γout

[(v · n)+ − β(v · n)−] |v|2ds ≥ 0.


14.1.3 Die Reynoldszahl

Wir wollen die Navier-Stokes-Gleichungen in diesem Abschnitt dimensionslos formu-

lieren. Dazu verwenden wir charakteristische Großen, wie L fur die Langenskala, V

fur die Geschwindigkeitsskala. Mit x∗ bezeichnen wir die dimensionslose Koordinate,

mit v∗ die dimensionslose Geschwindigkeit. Ferner verwenden wir die dimensionslose

Zeit t∗ und Druck p∗:

x∗ := x/L , v∗ := v/V , t∗ := tV/L , p∗ := p/V 2 .

Der Ausdruck ∇∗ steht nun fur den Gradienten bezuglich x∗, also

∇∗ =∂

∂x∗=

∂

∂x

∂x

∂x∗= L∇ .

Drucken wir nun die Navier-Stokes-Gleichungen in diesen dimensionslosen Variablen

aus und multiplizieren wir die Impulsgleichung mit dem Faktor L/V 2, so erhalten

wir

∂v∗

∂t∗+ (v∗ · ∇∗)v∗ − 1

Re∆v∗ +∇∗p∗ = f ∗ in Ω ,

div v∗ = 0 in Ω ,

v∗ = 0 auf ∂Ω .

Die rechte Seite ist f ∗ = fL/V 2. Hierbei bezeichnet Re die sogenannte Reynoldszahl3

Re :=V L

ν.

Sie wird in der Stromungslehre verwendet und stellt das Verhaltnis von Tragheits- zu

Zahigkeitskraften dar. Fur eine ideale Flussigkeit ohne Viskositat ist das Verhaltnis

unendlich, Re =∞. Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Große. Will man beispiels-

weise ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen,

so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein

ahnliches Stromungsfeld zu erhalten.

Die Reynolds-Zahl hangt offensichtlich von der Wahl von V und L ab. Eine

geeignete Wahl ist von Konfiguration zu Konfiguration unterschiedlich. Im Fall ei-

ner Pouseuille-Stromung wahlt man als V i.d.R. die durchschnittliche Einstromge-

schwindigkeit, und fur L die Breite des Kanals. Die Lange des Kanals fließt hier

nicht ein.

3Osborne Reynolds, 1842-1912, britischer Physiker.


Fur hinreichend kleine Re und zeitlich konstante rechte Seite f sind die Stromun-

gen zunachst stationar (∂tv = 0). Man ist hier sehr nahe am Stokes-Fall. Fur modera-

te Re werden Stromungen instationar, auch wenn die rechte Seite f zeitlich konstant

ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von laminaren Stromungen, solange

keine Turbulenzen (Verwirbelungen/Querstromungen) auftreten. Das Fluid stromt

langsam in Schichten, die sich nicht vermischen. Erhoht man die Reynolds-Zahl

weiter, so wird die Stromung turbulent. Dies bedeutet, dass Wirbel von ganz un-

terschiedlichen Skalen auftreten. Turbulente Stromungen sind in der Realitat stets

instationar und drei-dimensional. Sie zeichnen sich durch eine scheinbar zufallige

Bewegung des Fluides aus.

14.1.4 Newtonsche Fluide

Unter Newtonsche Fluide versteht man Fluide mit einem gewissen Verzerrungstensor

σ, und zwar ist er von der Form

σ = µ(∇v + (∇v)T ) + λdiv vI − pI ,

mit den beiden Arten von Viskositaten, der Scherviskositat µ (shear viscosity) und

der Volumenviskositat λ (volumen viscosity). Ein zentraler Punkt hierbei ist, dass

σ linear von v abhangt. Hierbei gilt stets µ ≥ 0. Im Fall ein-atomiger Gase gilt der

Zusammenhang

3λ+ 2µ = 0 . (14.11)

Bei mehr-atomigen Gasen gilt 3λ+ 2µ ≥ 0. Wenn wir nun von (14.11) ausgehen, so

gilt fur Newtonsche Fluide

σ = µ(∇v + (∇v)T )− 2

3µdiv vI − pI .

Fur inkompressible Fluide kann man die Divergenz von σ auch schreiben in der

Form:

div σ = µ∆v + µdiv (∇v)T − 2

3µdiv (div vI)−∇p

= µ∆v +1

3µ∇div v −∇p .

Wenn man die Divergenzfreiheit voraussetzt erhalt man sogar die zuvor bereits ver-

wendete (einfachere) Variante

div σ = µ∆v −∇p .

14.2 Instationare Navier-Stokes Gleichungen 253

14.2 Instationare Navier-Stokes Gleichungen

Die instationaren Navier-Stokes Gleichungen lauten:

∂v

∂t+ (v · ∇)v − ν∆v +∇p = f in Ω ,

div v = 0 in Ω ,

v = 0 auf ∂Ω ,

v|t=0 = v0 in Ω .

Die variationelle Formulierung im divergenz-freien Raum

V := J1(Ω) := v ∈ H10 (Ω)d : div v = 0 f.u. .

ergibt sich zu allen Zeiten t ∈ (0, T ) zu

(v′(t), φ) + ((v(t) · ∇)v(t), φ) + (ν∇v(t),∇φ) = (f(t), φ) ∀φ ∈ V .

mit der Anfangsbedingung v(0) = v0 ∈ J0 := v ∈ L2(Ω)d : γ(v) = 0 , div v =

0 f.u., wobei γ : Hdiv(Ω)d → L2(∂Ω), v 7→ γ(v) = v · n den Spuroperator fur

Hdiv-Funktionen bezeichnet.

14.3 Existenz schwacher Losungen

Lemma 14.10 Fur die Losung der instationaren Navier-Stookes Gleichung gilt:∫ T

0

||∇v(s)||2ds ≤ K1 ,

sup0<t<T

||v(t)||2 ≤ νK1 ,

mit K1 = K1(ν, v0, f, T ).

Beweis. Setzen wir insbesondere φ := v(t) erhalten wir

(v′(t), v(t)) + ν||∇v(t)||2 = (f(t), v(t))

1

2

∂

∂t||v(t)||2 + ν||∇v(t)||2 ≤ ||f(t)||−1||∇v(t)||

≤ 1

2ν||f(t)||2−1 +

ν

2||∇v(t)||2


Also

∂

∂t||v(t)||2 + ν||∇v(t)||2 ≤ 1

ν||f(t)||2−1 .

Nun integrieren wir beide Seiten von 0 bis t < T und erhalten:

||v(t)||2 + ν

∫ t

0

||∇v(s)||2ds ≤ ||v(0)||2 +1

ν

∫ t

0

||f(s)||2−1ds .

Der folgende Satz liefert die Existenz schwacher Losungen, die aber nicht notwendi-

gerweise eindeutig sind.

Satz 14.11 Fur die Navier-Stokes Gleichungen in Lipschitz-Gebieten Ω ⊂ Rd, d ∈2, 3, existiert stets eine schwache Losung

v ∈ L∞(0, T ; J0(Ω)) ∩ L2(0, T ; J1(Ω)) .

Beweis. Analog zum instationaren Stokes-Fall wahlen wir endlich-dimensionale

Teilraume Vm ⊂ V = J1(Ω), deren abzahlbare Vereinigung dicht liegt in V . Die

Losbarkeit der zugehorigen raumlich diskreten Losungen fuhrt auf ein System gewohn-

licher Differentialgleichungen:

vm(t) ∈ Vm : (v′m, φ) + ((vm · ∇)vm, φ) + (ν∇vm,∇φ) = (f, φ) ∀φ ∈ Vm .

Dies liefert nach dem Satz von Picard-Lindelof die Existenz lokaler Losungen. Die

Schranken aus Lemma 14.10 liefern sogar die globale Existenz sowie die genannte

Beschranktheit der Folge (vm) in

L2(0, T ; J1(Ω)) ∩ L∞(0, T ; J0(Ω)) .

Somit ist diese Folge relativ-kompakt im reflexiven Raum L2(0, T ; J1(Ω)) und besitzt

demzufolge eine schwach konvergente Teilfolge, die wir wieder mit (vm) bezeichnen.

Ihr Grenzwert bezeichnen wir mit v ∈ L2(0, T ; J1(Ω)). Ferner erhalten wir wegen der

kompakten Einbettung J1(Ω) → J0(Ω) und der Beschranktheit in L∞(0, T ; J0(Ω))

die schwach-∗ Konvergenz in L∞(0, T ; J0(Ω)), also:

vm v in L2(0, T ; J1(Ω)) ,

vm∗ v in L∞(0, T ; J0(Ω)) .

Die kompakte Einbettung von V in L2(Ω) liefert uns (ahnlich wie beim instationaren

Stokes-Fall), dass v eine (schwache) Losung der Navier-Stokes Gleichung ist.

Dieses Resultat liefert also die Existenz schwacher Losungen.

14.4 Existenz klassischer Losungen im Fall d = 2 255

14.4 Existenz klassischer Losungen im Fall d = 2

Lemma 14.12 Fur Ω ⊆ R2 gilt:

||u||L4(Ω) ≤ 21/4||u||1/2||∇u||1/2 ∀u ∈ H10 (Ω).

Beweis. (a) Wir nehmen zunachst u ∈ C∞0 (Ω) an und setzen u trivial auf ganz

R2 fort. Es gilt

u(x1, x2)2 =

∫ x1

−∞∂x1(u(ξ, x2)2) dξ

= 2

∫ x1

−∞u(ξ, x2)∂x1u(ξ, x2) dξ

≤ 2v1(x2)

mit

v1(x2) :=

∫R|u(ξ, x2)||∂x1u(ξ, x2)| dξ,

v2(x1) :=

∫R|u(x1, ξ)||∂x2u(x1, ξ)| dξ .

Analog gilt u(x1, x2)2 ≤ 2v2(x1). Daher folgt

||u||4L4(Ω) ≤ 4

∫R2

v1(x2)v2(x1) d(x1, x2)

= 4

∫Rv1(x2)dx2 ·

∫Rv2(x1)dx1

≤ 4

∫R2

|u(x)||∂x1u(x)| dx ·∫R2

|u(x)||∂x2u(x)| dx

= 4||u∂x1u||L1(R2)||u∂x2u||L1(R2)

≤ 4||u||||∂x1u||||u||||∂x2u||≤ 2||u||2||∇u||2.

Dies entspricht der Behauptung im Fall einer glatten Funktion u.

(b) Fur beliebiges u ∈ H10 (Ω) erhalten wir die Behauptung durch Approximation

von u durch glatte Funktionen um und dem Grenzubergang m→∞.

Lemma 14.13 Fur offenes Ω ⊆ R2 gilt fur die schwache Losung der Navier-Stokes

Gleichung aus Satz 14.11:

u ∈ L4((0, T )× Ω).


Beweis. Es gilt mit dem vorherigen Lemma:

||u||L4((0,T )×Ω) ≤∫ T

0

||u(t)||4L4(Ω)dt

≤ 2

∫ T

0

||u(t)||2||∇u(t)||2dt

≤ 2 supt∈[0,T ]

||u(t)||2∫ T

0

||∇u(t)||2dt

= 2||u||L∞(0,T ;H)||u||L2(0,T ;V ).

Aufgrund der bereits bewiesenen Regularitat von u ist die rechte Seite dieser Un-

gleichungskette beschrankt.

Lemma 14.14 Fur Ω ⊆ Rn, n ∈ 2, 3, laßt sich der konvektive Term abschatzen

in der Form:

((u · ∇)v, w) ≤ ||u||L4||∇v||||w||L4 ∀u, v, w ∈ H10 (Ω).

Fur n = 2 gilt daruberhinaus

((u · ∇)v, w) ≤√

2||u||1/2||∇u||1/2||∇v||||w||1/2||∇w||1/2 ∀u, v, w ∈ H10 (Ω).

sowie fur v = u:

((u · ∇)u,w) ≤√

2||u||||∇u||||∇w|| ∀u, v, w ∈ H10 (Ω).

Beweis. (a) Durch mehrfaches Anwenden der Holderschen Ungleichung erhalt

man

((u · ∇)v, w) ≤ ||(u · ∇)v||L4/3(Ω)||w||L4(Ω).

Der erste Term wird weiter abgeschatzt:

||(u · ∇)v||L4/3 ≤ |||u|4/3|∇v|4/3||3/4L1

≤ |||u|4/3||3/4L3 |||∇v|4/3||3/4L3/2

= ||u||L4||∇v||

Da H1(Ω) stetig in L4(Ω) eingebettet ist, folgt die erste Behauptung.

(b) Mit dem vorherigen Lemma, angewendet auf ||u||L4 und ||w||L4 , erhalten wir fur

d = 2 die erste Behauptung.

(c) Die zweite Behauptung erhalten wir durch partielle Integration

((u · ∇)u,w) = −((u · ∇)w, u)

und Anwendung von (b).


Satz 14.15 Seien V,H, V ′ drei Hilbert-Raume mit stetigen und dichten Einbettun-

gen V ⊆ H ⊆ V ′. Es gelte ferner u ∈ L2(0, T ;V ) und u′ ∈ L2(0, T ;V ′). Dann ist

u : (0, T )→ H f.u. stetig.

Satz 14.16 Fur Ω ⊂ R2 offen gilt fur die schwache Losung u der Navier-Stokes-

Gleichung, dass u f.u. stetig ist.

Beweis. Fur die schwache Losung u gilt

u′ = f − Au−Bu

mit den Operatoren A,B : L2(0, T ;V ) ∩H1(0, T ;H)→ V ′ definiert durch

〈Au, φ〉 :=

∫ T

0

(ν∇u(t),∇φ) dt,

〈Bu, φ〉 :=

∫ T

0

((u(t) · ∇u(t)), φ) dt.

Fur den linearen Operator A gilt:

||Au||L2(0,T ;V ′) ≤ µ||u||L2(0,T ;V )

Man kann mit den Lemma 14.14 leicht sehen, dass

|〈Bu, φ〉| ≤√

2||u||L∞(0,T ;H)

∫ T

0

||∇u(t)||||∇φ||dt

≤√

2||u||L∞(0,T ;H)||u||L2(0,T ;V )||∇φ||,

also

||Bu||L2(0,T ;V ′) ≤√

2||u||L∞(0,T ;H)||u||L2(0,T ;V ).

Also ist u′ ∈ L2(0, T ;V ′).

Zunachst formulieren wir ein Lemma.

Lemma 14.17 Sei u ∈ C1([0, T ]) mit folgenden Eigenschaften:

u ≥ 0,

u(0) = 0,

u′(t) ≤ α(t)u(t), 0 ≤ t ≤ T,

mit einer auf [0, T ] integrierbaren, nicht-negativen Funktion α. Dann gilt bereits

u ≡ 0.


Beweis. Aufgrund der Voraussetzungen gilt:

0 ≥ exp

(−∫ t

0

α(τ)dτ

)(u′(t)− α(t)u(t))

=d

dt

[exp

(−∫ t

0

α(τ)dτ

)u(t)

]Somit folgt

exp

(−∫ t

0

α(τ)dτ

)u(t) ≤ e0u(0) = 0.

Da die Werte der Exponentialfunktion stets positiv sind, folgt hieraus die Behaup-

tung.

Satz 14.18 Fur Ω ⊂ R2 offen ist die Losung u der Navier-Stokes-Gleichung aus

Satz 14.11 stets eindeutig.

Beweis. Wir nehmen an es gabe zwei Losungen u1, u2. Nach dem zuvor gezeigtem

sind beide Losungen f.u stetig (in der Zeit), also u1, u2 ∈ C([0, T ], H). Fur die

Differenz e = u2 − u1 und mit den Bezeichnungen A und B fur die Operatoren wie

zuvor gilt:

∂te+ Ae = −Bu2 +Bu1.

Wahlen wir die Testfunktion e erhalten wir insbesondere:

1

2∂t||e||2 + µ||∇e||2 = (u1 · ∇u1 − u2 · ∇u2, e)

= −(e · ∇u1, e)− (u2 · ∇e, e)= −(e · ∇u1, e)

≤ |(e · ∇u1, e)|

Aufgrund von Lemma 14.14 und der Young’schen Ungleichung folgern wir

1

2∂t||e||2 + µ||∇e||2 ≤

√2||e||||∇e||||∇u1||

≤ µ||∇e||2 +1

2µ||e||2||∇u1||2

Dies ergibt wiederum

∂t||e||2 ≤ µ−1||e||2||∇u1||2

Die Anwendung des Lemmas 14.17 ergibt e ≡ 0, bzw. u1 = u2.



Lemma 14.19 Fur Ω ⊆ R3 gilt:

||u||L4(Ω) ≤ 21/2||u||1/4||∇u||3/4 ∀u ∈ H10 (Ω).

Beweis. Wie im 2D-Fall genugt es, die Behauptung fur beliebig glattes u zu

zeigen. Wir benutzen die Notation u(x, y, z) = u(x)(y, z). Man fuhrt dies auf das

entsprechende Lemma in 2D zuruck indem man fur zunachst glattes u schreibt:

||u||4L4(R3) =

∫R||u(x)||4L4(R2)dx

≤ 2

∫R||u(x)||2L2(R2)||∇u(x)||2L2(R2)dx

≤ 2 supx∈R||u(x)||2L2(R2)

∫R||∇u(x)||2L2(R2)dx

Hier bezeichnet ∇ = (∂y, ∂z) den 2-dimensionalen Gradienten. Es gilt ferner:

supx∈R||u(x)||2L2(R2) ≤ 2||u||L2(R3)||∂xu||L2(R3)

≤ 2||u||||∇u||,∫R||∇u(x)||2L2(R2)dx = ||∂yu||2L2(R3) + ||∂zu||2L2(R3)

≤ ||∇u||2

Also

||u||4L4 ≤ 4||u||||∇u||3.

Dies liefert die Behauptung.

Satz 14.20 Fur Ω ⊂ R3 offen hat die Losung u der Navier-Stokes-Gleichung aus

Satz 14.11 stets folgende Regularitat:

u ∈ L8/3(0, T ;L4(Ω)),

u′ ∈ L4/3(0, T ;V ′).


Beweis. Wir verwenden die obere Schranke der L4(Ω)-Norm des vorherigen Lem-

mas:

||u||8/3L8/3(0,T ;L4(Ω))

=

∫ T

0

||u(t)||8/3L4(Ω)dt

≤ 24/3

∫ T

0

(||u(t)||1/4||∇u(t)||3/4

)8/3dt

≤ 24/3||u||8/3L∞(0,T ;L2(Ω))

∫ T

0

||∇u(t)||2dt

= 24/3||u||L∞(0,T ;H)||u||L2(0,T ;V ).

Die rechte Seite ist endlich, da nach Satz 14.11 fur die Losung u gilt:

u ∈ L∞(0, T ;H) ∩ L2(0, T ;V ).

Diese Regularitat reicht aber nicht aus, um die Eindeutigkeit von Losungen zu zei-

gen. Eine hinreichende Bedingung fur die Eindeutigkeit ware die zusatzliche Eigen-

schaft u ∈ L8(0, T ;L4(Ω)).

Satz 14.21 Sei Ω ⊂ R3 offen. Ferner setzen wir voraus, das die Losung u der

Navier-Stokes-Gleichung aus Satz 14.11 die Regularitat

u ∈ L8(0, T ;L4(Ω))

besitze. Dann ist u auf [0, T ] stetig. Es kann auch keine weitere Losung dieser Re-

gularitat geben.

Beweis. Zunachst bemerken wir, dass fur den konvektiven Term gilt:

|(u · ∇u, φ)| = |(u · ∇φ, u)|≤ ||u||2L4(Ω)||∇φ||

Daher gilt fur den Operator B:

|〈Bu, φ〉| =

∣∣∣∣∫ T

0

((u(t) · ∇u(t)), φ) dt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ T

0

||u(t)||2L4||∇φ||dt∣∣∣∣

= ||u(t)||2L2(0,T ;L4)||∇φ||


Also gilt Bu ∈ L2(0, T ;V ′). Da dies auch fur den Diffusionsoperator gilt, folgt

u′ = −Bu− Au ∈ L2(0, T ;V ′).

Also folgt wieder (wie im 2D-Fall), u ∈ C([0, T ], V ). Die Eindeutigkeit erhalt man

ebenfalls wie im 2D-Fall mit der etwas geanderten Abschatzung fur die Differenz

e = u2(t)− u1(t) zweier Losungen:

|(e · ∇u1, e)| = |(e · ∇e, u1)|≤ ||e · ∇e||L4/3||u1||L4

≤ ||e||L4||∇e||||u1||L4

≤√

2||e||1/4||∇e||7/4||u1||L4

Anwendung der Young’schen Ungleichung mit der Paarung p = 8/7 und q = 8 liefert

mit einer µ-abhangigen Konstanten c:

|(e · ∇u1, e)| ≤ µ||∇e||2 + c||e||2||u1||8L4

Wir erhalten mit der gleichen Argumentation wie im 2D-Fall

∂t||e||2 ≤ c||u1||8L4 ||e||2

und dann mit Lemma 14.17: e ≡ 0.


14.6 OLD d = 2

Fur die Eindeutigkeit und die Existenz starker Losungen reicht dies aber noch nicht.

Hierzu benotigen wir weitere Regularitatsaussagen. Hierzu folgt nun ein Resultat der

Stabilitat im Hinblick auf zweite Ableitungen im Ort.

Lemma 14.22 Fur die Losung der instationaren Navier-Stokes Gleichung gilt fur

d = 2 im Fall hinreichender Regularitat, d.h. v ∈ L∞(0, T ;D(∆)) mit D(∆) := v ∈L2(Ω)d : ∆v ∈ L2(Ω)d:

sup0≤t≤T

||∇v(t)||2 + ν

∫ T

0

||∆v(s)||2ds ≤ K2 ,

mit K2 = K2(ν, v0, f, T ).

Beweis. Wir setzen φ := −∆v:

(v′(t),−∆v(t))− ((v · ∇)v,∆v)− ν(∇v(t),∇∆v(t)) = −(f(t),∆v(t))

Nach partieller Integration erhalt man:

1

2

∂

∂t||∇v(t)||2 − ((v · ∇)v,∆v) + ν||∆v(t)||2 ≤ ||f(t)||||∆v(t)||

≤ 2

ν||f(t)||2 +

ν

8||∆v(t)||2.

In zwei Dimensionen konnen wir den Konvektionsterm wie folgt beschranken:

|((v · ∇)v,∆v)| ≤ c||v||1/2||∇v||||∆v||3/2

≤ c||v||2||∇v||4 +ν

2||∆v||2.

Hierbei haben wir im letzen Schritt die allgemeine Young’sche Ungleichung

ab ≤ εap + cεbq

fur p = 4/3 und 1/q = 1 − 1/p = 1/4 verwendet. Wir erhalten somit die obere

Schranke

∂

∂t||∇v(t)||2 +

3

4ν||∆v(t)||2 ≤ 4

ν||f(t)||2 + c||v||2||∇v||4. (14.12)

Nun verwenden wir das Gronwall Lemma. Hierzu formulieren wir diese Ungleichung

in der Form

y′ ≤ a+ by , t ≥ 0 ,

14.6 OLD d = 2 263

mit y(t) := ||∇v(t)||2, b(t) := c||v||2y(t) und a(t) := 4ν||f(t)||2. Das Gronwall-Lemma

besagt nun:

||∇v(t)||2 = y(t) ≤(y(0) +

∫ t

0

a(s) ds

)exp

(∫ t

0

b(s) ds

)Mit dem Ergebnis aus Lemma 14.10 ergibt sich

exp

(∫ t

0

b(s) ds

)≤ c exp

(∫ t

0

||v(s)||2||∇v(s)||2 ds)≤ c exp(νK2

1) .

Also

sup0≤t≤T

||∇v(t)||2 ≤ K2 := c exp(νK21)

(||∇v(0)||2 +

4

ν

∫ T

0

||f(s)||2 ds)

Nun integrieren wir nochmals die beiden Seiten der Ungleichung (14.12) und benut-

zen Lemma 14.10:

3

4ν

∫ t

0

||∆v(s)||2ds ≤ ||∇v(0)||2 +4

ν

∫ t

0

||f(t)||2 + νK21 .

Dies liefert die Behauptung.

Satz 14.23 Sei Ω ⊂ R2 ein Lipschitz-Gebiet und es gelte f ∈ L∞(0, T ; J0(Ω)),

sowie v0 ∈ J1(Ω). Dann besitzt die Navier-Stokes Gleichung eine Losung

v ∈ L2(0, T ;D(∆)) ∩ C1(0, T ; J1(Ω)) , v′ ∈ L2(0, T ; J0(Ω)) ,

mit D(∆) := v ∈ L2(Ω)d : ∆v ∈ L2(Ω)d.

Beweis. Die Regularitat

v ∈ L2(0, T ;D(∆)) ∩ L∞(0, T ; J1(Ω))

erhalt man analog zum Existenzbeweis schwacher Losungen mittels der verscharften

Stabilitatsabschatzung aus Lemma 14.22. Die Regularitat der Ableitung

v′ ∈ L2(0, T ; J0(Ω))

erhalt man wie folgt: Zunachst gilt

(v′, φ) = (f, φ)− ((v · ∇)v, φ)− (ν∇v,∇φ)

= (f − (v · ∇)v + ν∆v, φ) .


Zunachst gelten der Regularitaten f ∈ L2(0, T ; J0(Ω)) und ∆v ∈ L2(0, T ;L2(Ω)d).

Fur den Konvektionsanteil gilt (v · ∇)v ∈ L4(0, T ;L2(Ω)d), denn es gilt punktweise

in der Zeit

|(v(t) · ∇)v(t)| ≤ c||v(t)||1/2||∇v(t)||||∆v(t)||1/2

≤ (1 + ν)K2||∆v(T )||1/2

Dies ergibt sich wegen ||v||L∞ ≤ c||v||1/2||∆v||1/2 fur d = 2. Es folgt

v′ = f − (v · ∇)v + ν∆v ∈ L2(0, T ; J0(Ω)) .


Lemma 14.24 Fur die Losung der instationaren Navier-Stookes Gleichung gilt fur

d = 3 im Fall hinreichender Regularitat v ∈ H3(Ω):

sup0≤t≤T1

||∇v(t)||2 ≤ 1 + 2||∇v(0)||2 ,

fur den Zeitpunkt T1 = min(T, T ′) und T ′ := K3(1 + ||v(0)||2)−2.

Beweis. Wie im Beweis des vorherigen Lemmas erhalt man:

∂

∂t||∇v(t)||2 +

3

4ν||∆v(t)||2 ≤ 4

ν||f(t)||2 + 2|((v · ∇)v,∆v)|.

Im dreidimensional Fall mussen wir den nichtlinearen konvektiven Term anders

abschatzen, namlich:

|((v · ∇)v,∆v)| ≤ c||∇v||3/2||∆v||3/2

≤ c

ν||∇v||6 +

ν

4||∆v||2.

Dies ergibt sich wegen ||v||L∞ ≤ c||∇v||1/2||∆v||1/2 fur d = 3. Dies eingesetzt liefert:

∂

∂t||∇v(t)||2 +

1

2ν||∆v(t)||2 ≤ 4

ν||f(t)||2 +

c

ν||∇v||6

Diese Ungleichung ist von der Gestalt

y′ ≤ by3

14.8 Stabilitat des Navier-Stokes-Systems 265

mit y(t) := 1 + ||∇v(t)||2 und der Konstanten b := ν−1 sup0≤t≤T (4||f(t)||2, c). Das

Lemma von Gronwall besagt nun

y(t) ≤ y(0)(1− 2y(0)2bt

)−1/2

solange der Klammerausdruck wohldefiniert ist, also 1− 2y(0)2bt > 0 bzw.

t <1

2y(0)2b.

Insbesondere folgt fur 0 ≤ t ≤ T ′ := 38(1 + ||v(0)||2)−2b−1.

1 + ||∇v(t)||2 ≤ 2(1 + ||∇v(0)||2)

Dies impliziert die Behauptung.

Satz 14.25 Sei Ω ⊂ R3 ein Gebiet und es gelte f ∈ L∞(0, T ; J0(Ω)), sowie v0 ∈J1(Ω). Dann besitzt die Navier-Stokes Gleichung eine Losung

v ∈ L2(0, T ∗;D(∆)) ∩ C1(0, T ∗; J1(Ω)) , v′ ∈ L2(0, T ∗; J0(Ω)) ,

fur den Endzeitpunkt T ∗ = min(T, T ′) und T ′ := K3(1 + ||v(0)||2)−2.

Beweis. Analog zum zwei-dimensionalen Fall aber mit lediglich lokaler Stabilitat

gemaß Lemma 14.24.

14.8 Stabilitat des Navier-Stokes-Systems

Wir betrachten nun die Variationsformulierung der instationaren Navier-Stokes-

Gleichung im divergenz-freien Raum: Gesucht ist v ∈ J1(Ω), so dass

(∂tv, φ) + (ν∇v,∇φ) + ((v · ∇)v, φ) = (f, φ) ∀φ ∈ J1(Ω) , (14.13)

v(0) = v0 . (14.14)

Die folgende Stabilitatsaussage erhalten wir, wenn wir Dirichletbedingungen auf dem

ganzen Rand ∂Ω fordern. Hierbei ist CΩ wieder die Konstante aus (14.6).

Satz 14.26 Eine Losung v ∈ J1(Ω) der Navier-Stokes-Gleichung (14.13) mit der

Eigenschaft

||∇v|| < ν/CΩ oder ||f ||−1 ≤ ν2/CΩ

ist unbedingt exponentiell stabil.


Beweis. (a) Wir schauen uns zunachst die Differenz bei dem konvektiven Term

an:

((v + w) · ∇)(v + w)− (v · ∇)v = (v · ∇)w + (w · ∇)w + (w · ∇)v .

Bei Testen mit w fallen einige Terme auf der rechten Seite weg, so dass mit einer

von Ω abhangigen Konstanten CΩ erhalten:

(((v + w) · ∇)(v + w)− (v · ∇)v, w) = ((w · ∇)v, w) ≤ CΩ||∇w||2||∇v|| .

Wir verfahren jetzt wie zuvor im Stokes Fall und erhalten mit der oberen Abschatzung

fur den konvektiven Term:

1

2∂t||w(t)||2 + ν||∇w||2 ≤ CΩ||∇w||2||∇v|| .

Analog zum Stokes-Fall erhalten wir unbedingte exponentielle Stabilitat, sofern

(ν − CΩ||∇v||)||∇w||2 − α2||w||2 ≥ 0 ,

Unter Anwendung der Ungleichung von Poincare erhalten wir dies, fur

α = 2c−2Ω (ν − CΩ||∇v||) .

Damit dieses α > 0 ist, wird ||∇v|| < ν/C2Ω benotigt.

(b) Die zweite Bedingung erhalten wir aus (a) zusammen mit der Ungleichung

ν||∇v||2 ≤ 1

2∂t||v||2 + ν||∇v||2 = (f, v) ≤ ||f ||−1||∇v|| ,

bzw. ||∇v|| ≤ ν−1||f ||−1.

Ohne Beweis wollen wir ein Kriterium fur die bedingte exponentielle Stabilitat ange-

ben. Da hierzu nur beliebig kleine Storungen betrachtet werden mussen, kann man

sich auf eine Linearisierung an der aktuellen Losung v beschranken:

Satz 14.27 Eine Losung v ∈ J1(Ω) der Navier-Stokes-Gleichung (14.13) ist bedingt

exponentiell stabil, wenn alle Eigenwerte λ ∈ C des Eigenwertproblems

ν(∇v,∇φ) + ((w · ∇)v, φ) + ((v · ∇)w, φ) = λ(w, φ) ∀φ ∈ J1(Ω) ,

nur positive Realteile besitzen, Reλ > 0.

Beweis. Man kann zeigen, dass fur die Losung w des linearisierte Problems gilt:

||w(t)|| ≤ A(1 + t)me−α0t||δv|| ,

sofern fur alle Eigenwerte Reλ > 0 gilt. Hierbei ist α0, der Realteil des minimalen

Eigenwertes, α0 = Reλmin.

14.9 Oseen-Linearisierung 267

14.9 Oseen-Linearisierung

Offensichtlich sind die Navier-Stokes Gleichungen eine Kombination aus dem Stokes

System und einem System von Konvektions-Diffusions-Gleichungen. Entsprechend

erwarten wir genau die hiermit in Verbindung stehenden Probleme:

• Sattelpunktsstruktur fur die p und v-Kopplung erfordert eine diskrete LBB-

Bedingung oder aber die Verwendung von Stabilisierungstermen wie in Ab-

schnitt 11.8.

• Im Fall großer (oder bereits bei moderater) Reynoldszahl erfordern die kon-

vektiven Terme ein upwinding, kunstliche Diffusion oder Stromliniendiffusion,

bzw. ahnlich wirkende Stabilisierungen.

Eine Moglichkeit ist daher die Wahl von LBB-stabilen Elementen, also z.B. Taylor-

Hood Elemente P2/P1,Q2/Q1, oder unstetige Drucke P2/Pdc0 . Aber dies allein genugt

nicht, um auch fur großere Reynoldszahlen stabil zu sein. Sehr haufig werden diese

Finiten-Elemente Paare aber verwendet und mit der Stromliniendiffusion kombi-

niert.

In diesem Anschnitt befassen wir uns mit der sogenannten Oseen-Linearisierung

der Navier-Stokes Gleichungen. Sie dient als weitere Vorstufe, an der wir auch die

Analyse der Diskretisierung durchfuhren konnen. Anschließend werden wir die Me-

thode 1:1 auf die nicht-linearen Gleichungen ubertragen. Die Oseen Gleichungen

dienen uns also nur als ein Hilfsmittel. Diese lautet in starker Formulierung zu ge-

gebenem Vektorfeld b : Ω→ Rd mit div b = 0:

div v = 0 ,

σv + (b · ∇)v − ν∆v +∇p = f .

Hierbei gilt ν > 0 und σ ≥ 0. Als Randbedingung fordern wir hier der Einfachheit

halber homogene Dirichletwerte, also v = 0, auf dem kompletten Rand ∂Ω. Die

zugehorige Bilinearform in X := V ×Q, V = H10 (Ω), Q := L2

0(Ω), lautet daher:

A(u, ϕ) := σ(v, φ) + ((b · ∇)v, φ) + ν(∇v,∇φ)− (p, div φ) + (div v, ξ) .

Die Variationsformulierung ist fur 〈F, ϕ〉 := (f, φ) also wieder von der Form

u ∈ X : A(u, ϕ) = 〈F, ϕ〉 ∀ϕ ∈ X . (14.15)

Satz 14.28 Die Oseen Gleichungen (14.15) besitzen fur ν > 0 und σ ≥ 0 zu belie-

biger rechter Seite f ∈ V ′ stets eine eindeutige Losung (v, p) ∈ X.


Beweis. Die reduzierte Bilinearform B(v, φ) := σ(v, φ)+((b ·∇)v, φ)+ν(∇v,∇φ)

ist elliptisch in J1(Ω)

B(v, v) = ν||∇v||2L2(Ω) + σ||v||2L2(Ω) .

Damit erhalten wir dem Satz von Lax-Milgramm 3.12 eine eindeutige Losung v in

J1(Ω). Uber die kontinuierliche inf-sup Bedingung erhalt man nun – genauso wie im

Fall von Stokes – den zugehorigen eindeutigen Druck p ∈ Q.

14.9.1 Residuen-basierte Stabilisierung fur Oseen

Wir wollen in diesem Abschnitt eine andere weit verbreitete Moglichkeit prasen-

tieren, namlich die Behandlung obiger beider Probleme durch gleichzeitige Stabi-

lisierungen. Genauer: wir wollen die PSPG-Methode aus Abschnitt 11.8 mit der

Stromliniendiffusion aus Abschnitt 13.8 kombinieren.

Bei den auftretenden Termen handelt es sich stets um L2(Ω)-Skalarprodukte.

Sh(u, ϕ) :=∑T∈Th

αT (σv + (b · ∇)v − ν∆v +∇p− f, (b · ∇)φ+∇ξ)L2(T )

+∑T∈Th

γT (div v, div φ)L2(T ) .

Hierbei treten zwei element-weise konstante Parameter αT und γT auf. Die rechte

Seite muß zur Erfullung der starken Konsistenz ebenfalls modifiziert werden:

〈Fh, ϕ〉 := 〈F, ϕ〉+∑T∈Th

αT (f, (b · ∇)φ)L2(T ) . (14.16)

Damit lautet das diskrete System fur eine konforme Finite Elemente Raum Xh ⊂ X:

uh ∈ Xh : Ah(u, ϕ) = 〈Fh, ϕ〉 ∀ϕ ∈ Xh . (14.17)

Offensichtlich gilt wieder die starke Konsistenz und damit die Galerkin-Orthogonalitat.

Wir zeigen nun die Koerzivitat bezuglich der gitter-abhangigen Norm (fur αT > 0)

|||u|||2h := ν||∇v||2L2(Ω) + σ||v||2L2(Ω) +∑T∈Th

(αT ||(b · ∇)v +∇p||2L2(T ) + γT ||div v||2L2(T )

).

Wir werden eine obere Schranke fur die Stabilisierungsparameter αT voraussetzen:

αT ≤ max

(h2T

µ2invν

,1

σ

), (14.18)

wobei µinv wieder die Konstante aus der inversen Abschatzung (Satz 11.11) ist.


Lemma 14.29 Sofern die αT durch (14.18) beschrankt sind und γT ≥ 0, ist die

stabilisierte Bilinearform Ah auf Xh koerziv:

Ah(uh, uh) ≥1

2|||uh|||2h ∀uh ∈ Xh .

Gilt ferner αT > 0 auf allen Elementen T ∈ Th und gilt Qh ⊂ C(Ω), so besitzt das

diskrete Oseen Problem (14.17) stets eine eindeutige Losung uh ∈ Xh.

Beweis. (a) Auf jedem Element T gilt mit der Young’schen Ungleichung und mit

der inversen Abschatzung:

(σv + (b · ∇)v − ν∆v +∇p, (b · ∇)v +∇p)T≥ ||(b · ∇)v +∇p||2T − (σ||v||+ ν||∆v||T ) ||(b · ∇)v +∇p||T

≥ 12||(b · ∇)v +∇p||2T −

σ2

2||v||2T −

ν2µ2inv

2h2T

||∇v||2T .

Dies ergibt

Sh(u, u) ≥∑T∈Th

(γT ||div v||T +

αT2

(||(b · ∇)v +∇p||2T

))−∑T∈Th

1

2αT

(µ2invν

2

h2T

||∇v||2T + σ2||v||2T)

Sofern

αT max

(µ2invν

h2T

, σ

)≤ 1 ,

folgt die Behauptung. Dies ist aber gerade erfullt, wenn (14.18) gilt.

(b) Fur stetige Drucke und αT > 0 ist ||| · |||h eine Norm auf Xh. Aufgrund der

Normaquivalenz im endlich-dimensionalen Raum Xh ist Ah dann auch koerziv bzgl.

der Norm, die vom naturlichen Skalarprodukt induziert wird. Zwar kann die zu-

gehorige Konstante dann h-abhangig sein, aber Ah ist Xh-elliptisch. Mit dem Satz

von Lax-Milgram folgt die eindeutige Losung.

Der Beweis der anschließenden a priori Abschatzung wird uns folgende ’optimale’

Wahl der Stabilisierungsparameter liefern:

αT = min

(hT

||b||L∞(T )

,h2T

µ2invν

,1

σ

)und γ = σh2

T +h2T

αT+ ν . (14.19)


Satz 14.30 Sei uh ∈ Xh die Losung diskreten Oseen Problems (14.17) mit Pr/Ps-

Elementen (oder Qr/Qs), r, s ∈ N. Die Stabilisierungsparameter seien gemaß (14.19)

gewahlt. Fur die kontinuierliche Losung gelte v ∈ Hr+1(Ω)d und p ∈ Hs+1(Ω). Dann

gilt fur den Diskretisierungsfehler

|||u− uh|||h ≤∑T∈Th

(Cvh

rT |v|Hr+1(T ) + Cph

s+1T |p|Hs+1(T )

).

mit

Cv = σ1/2hT + ||b||∞h1/2T + ν1/2 , Cp = min(ν−1/2, σ−1/2h−1) .

Beweis. Wir wenden Satz 12.1 an. Die Methode ist stark konsistent und aufgrund

des vorherigen Lemmas koerziv bzgl. ||| · |||h. Sei η = (ηv, ηp) = u− Ihu der Interpola-

tionsfehler mit der Knoteninterpolierenden Ih. Dann gilt fur den Galerkinanteil und

ϕ ∈ X:

A(η, ϕ) = (σηv, φ) + ((b · ∇)ηv, φ) + (ν∇ηv,∇φ)− (ηp, div φ) + (div ηv, ξ)

= (σηv, φ)− (ηv, (b · ∇)φ+∇ξ) + (ν∇ηv,∇φ)− (ηp, div φ)

≤ σ||ηv||||φ||+ ||ηv||||(b · ∇)φ+∇ξ||+ ν||∇ηv||||∇φ||+ ||ηp||||div φ||≤

((σ1/2 + α−1/2)||ηv||+ ν1/2||∇ηv||+ γ−1/2||ηp||

)+(σ1/2||φ||+ α1/2||(b · ∇)φ+∇ξ||+ ν1/2||∇φ||+ γ1/2||div φ||

).

Hierbei sind die Parameter α und γ als elementweise konstante Funktionen zu ver-

stehen. Hieraus folgt wiederum:

A(η, ϕ) ≤ Hh(u)|||ϕ|||h ,

mit

Hh(u) :=∑T∈Th

((σ1/2hT + α

−1/2T hT + ν1/2)hrT ||v||Hr+1(T ) + γ

−1/2T hs+1

T ||p||Hs+1(T )

).

Man pruft leicht nach, dass fur die Stabilisierungsterme ebenso Sh(η, ϕ) ≤ Hh(u)|||ϕ|||hgilt, so dass wir

Ah(η, ϕ) ≤ Hh(u)|||ϕ|||h

erhalten. Nun beschranken wir noch |||η|||h durch Hh(u):

σ1/2||ηv||+ ν1/2||∇ηv|| ≤ Hh(u) ,

γ1/2||div ηv|| ≤ γ1/2hr||v||Hr+1 ≤ Hh(u) ,

α1/2||(b · ∇)ηv|| ≤ α1/2||b||∞hr||v||Hr+1 ≤ Hh(u) ,


sofern γ1/2 ≤ σ1/2h+α−1/2h+ν1/2 und α1/2||b||∞ ≤ σ1/2h+α−1/2h+ν1/2. Die zweite

dieser Bedingungen ist fur α ≤ h/||b||∞ stets erfullt und damit auch fur die (14.19).

Die erste ist dann ebenfalls erfullt. Mit dem Satz 12.1 erhalten wir nun:

|||u− uh|||h ≤ cHh(u) .

Um nun noch die Behauptung zu erhalten setzen wir unsere Parameter-Wahl in

Hh(u) ein:

(σ1/2h+ α−1/2h+ ν1/2)hr ≤ c(σ1/2h+ ||b||∞h1/2 + ν1/2)hr ,

γ−1/2 ≤ min(ν−1/2, σ−1/2h−1) .

Satz 14.31 Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Lipschitz-Gebiet und uh ∈ Xh die Losung

diskreten Oseen Problems (14.17) mit Pr/Ps-Elementen (oder Qr/Qs), r, s ∈ N.

Die Stabilisierungsparameter seien gemaß (14.19) gewahlt. Fur die kontinuierliche

Losung gelte v ∈ Hr+1(Ω)d und p ∈ Hs+1(Ω). Dann gilt fur den Diskretisierungs-

fehler im Druck

||p− ph||L2(Ω) ≤ C|||u− uh|||h ,

mit einer Konstanten, die von den Parametern ν, b, σ sowie von Ω abhangt.

Beweis. Wir setzen e := u−uh = ev, ep ∈ X. Im Beweis verwenden wir folgende

Abschatzungen, die wir anschließend zeigen: Es gilt fur alle w = y, q ∈ X und alle

φ ∈ Vh:

B(y, φ) ≤ C1|||w|||h|φ|H1(Ω) , (14.20)

Sh(w, φ, 0) ≤ C2|||w|||h|φ|H1(Ω) . (14.21)

Nun verwenden wir Korollar 11.8. Dieses liefert uns ein vp ∈ V , so dass div vp = epund |vp|H1(Ω) ≤ cΩ||ep||L2(Ω). Daher folgern wir

||ep||2L2(Ω) = (ep, ep)L2(Ω) = (ep, div vp)L2(Ω)

= (ep, div (vp − v))L2(Ω) + (ep, div v)L2(Ω) ,

fur beliebiges v ∈ Vh. Wir wahlen eine H1-stabile Interpolierende, z.B. vom Scott-

Zhang-Typ, v := Chvp. Sodann integrieren wir den ersten Term partiell:

(ep, div (vq − v))L2(Ω) = −(∇ep, vq − v)L2(Ω)

≤∑T∈Th

α1/2T ||∇ep||L2(T )α

−1/2T ||vq − v||L2(T )

≤ C3|||e|||h|vq|H1(Ω)

≤ C3|||e|||h||ep||L2(Ω) ,


mit

C3 := cΩ maxT∈Th

α−1/2T hT = cΩ max

T∈Th

(||b||1/2h1/2

T , µinvν1/2, σhT

).

Fur den zweiter Term nutzen wir aus, dass v diskret ist, und setzen die Gleichungen

ein, die fur p und ph erfullt sind. Ferner benutzen wir (14.20) und (14.21):

(ep, div v)L2(Ω) = B(ev, v)− Sh(uh, v, 0)− 〈Fh − F, v, 0〉= B(ev, v)− Sh(u, v, 0) + Sh(e, v, 0)− 〈Fh − F, v, 0〉= B(ev, v) + Sh(e, v, 0)≤ (C1 + C2)|||e|||h||ep||L2(Ω) .

Insgesamt erhalten wir die ursprungliche Behauptung:

||ep||L2(Ω) ≤ (C1 + C2 + C3)|||u− uh|||h .

Es bleiben (14.20) und (14.21) zu zeigen:

B(y, φ) ≤ (σ||y||+ ||b||∞||∇y||) ||φ||+ ν||∇y||||∇φ||≤ (cΩσ

1/2 + cΩν−1/2||b||∞ + ν1/2)|||w|||h||∇φ|| ,

Sh(w, φ, 0) ≤ |||w|||h +∑T∈Th

αT (σy − ν∆y, (b · ∇)φ)L2(T )

≤(

1 + maxT∈Th

(αT (σ1/2 + µinvh−1T ν1/2)

)|||w|||h||b||∞||∇φ|| .

Zusammengefaßt erhalt man die Konstanten

C1 = cΩσ1/2 + cΩν

−1/2||b||∞ + ν1/2

C2 = 1 + maxT∈Th

(αT (σ1/2 + µinvh−1T ν1/2)

C3 = cΩ maxT∈Th

(||b||1/2h1/2

T , µinvν1/2, σhT

).

Man pruft leicht nach, dass diese Konstanten auch fur h→ 0 beschrankt bleibt.

14.10 Residuen-basierte Stabilisierung fur Navier-

Stokes

Die Galerkin Semilinear-Form lautet fur die Variable u = v, p ∈ X und Testfunk-

tionen ϕ = φ, ξ ∈ X im stationaren Fall:

A(u)(ϕ) := ((v · ∇)v, φ) + ν(∇v,∇φ)− (p, div φ) + (div v, ξ) .

14.11 Lokale Projektions-Stabilisierung 273

Bei den auftretenden Termen handelt es sich stets um L2(Ω)-Skalarprodukte. Die

im vorherigen Abschnitt analysierte PSPG/SUPG-Stabilisierung lautet im Navier-

Stokes Fall

Sh(u)(ϕ) :=∑T∈Th

αT ((v · ∇)v − ν∆v +∇p− f, (v · ∇)φ+∇ξ)L2(T )

Die rechte Seite Fh ist gegeben durch (14.16). Damit lautet das diskrete System:

uh ∈ Xh : Ah(u)(ϕ) := A(u)(ϕ) + Sh(u)(ϕ) = Fh(ϕ) ∀ϕ ∈ Xh .

Offensichtlich gilt wieder die starke Konsistenz und damit die Galerkin-Orthogonalitat.

14.11 Lokale Projektions-Stabilisierung

Eine ganz andere Methode ist die Methode der lokalen Projektion (LPS). Die Grun-

didee besteht darin, nicht etwa das volle Residuum mit geigneten Testfunktionen zu

multiplizieren. Vielmehr werden die instabilen Anteile in der Gleichung – das sind

die, uber die man zusatzliche Kontrolle haben mochte – auf ein groberes Gitter bzw.

auf einen weniger reichen Raum projeziert. Wir stellen die Grundidee zunachst fur

bilineare Q1-Elemente dar.

Wir setzen voraus, dass das Gitter eine Macrostruktur hat. Die Triangulierung

Th resultiert also aus einem groberen Gitter T2h durch eine globale Verfeinerung.

Auf dem Macrogitter T2h betrachten wir die unstetigen dG(0)-Elemente:

D2h = v ∈ L2(Ω) : v|P = const ∀P ∈ T2h .

Mit πP : L2(P )→ P0 bezeichnen wir die lokale L2-Projektion:

πPv =1

|P |

∫P

v dx .

πh : L2(Ω) → D2h ist dann die zusammengesetzte Projektion, also π|P = πP fur

P ∈ T2h. Ferner verwenden wir den Fluktuationsoperator

κh : L2(Ω)→ L2(Ω) , κh := πh − I .

Eine wichtige Eigenschaft dieses Fluktuationsoperators ist die Orthogonalitat auf

D2h:

(κhv, φ)L2(Ω) = 0 ∀φ ∈ D2h .


Nun laßt sich bereits die Stabilisierung formulieren:

Sh(u)(ϕ) := (κh((b · ∇)v), αhκh((b · ∇)φ))L2(Ω) + (κh(∇p), αhκh(∇ξ))L2(Ω)

+(κh(div v), γhκh(div φ))L2(Ω) .

Im Gegensatz zur residuen-basierten Stabilisierung bleibt die rechte Seite der Glei-

chung unverandert, so dass die diskrete Gleichung nun lautet:

uh ∈ Xh : Ah(u)(ϕ) := A(u)(ϕ) + Sh(u)(ϕ) = F (ϕ) ∀ϕ ∈ Xh .

Wir versehen A mit dem zusatzlichen Term (σv, φ) mit σ ≥ 0. Im (stationaren)

Navier-Stokes Fall gilt σ = 0. Fur diese Methode ist die folgende h-abhangige Halb-

norm sehr nutzlich:

|||u|||2lps := ν||∇v||2L2(Ω) + σ||v||2L2(Ω) + ||α1/2h κh(∇p)||2L2(Ω) + ||α1/2

h κh((b · ∇)v)||2L2(Ω)

+||γ1/2h κh(div v)||2L2(Ω) .

Anders als die h-abhangige Norm des vorherigen Abschnitts, ist dies nur eine Halb-

norm auf Xh und X, denn aus |||u|||lps = 0 folgt lediglich, dass ∇ph auf jedem Macro-

element P ∈ T2h konstant ist. Also ist ph auf P linear aber nicht notwendigerweise

gleich Null.

Lemma 14.32 Die Semilinear-Form Ah der LPS-Stabilierung ist koerziv in dieser

Halbnorm

Ah(u)(u) = |||u|||2lps ∀u ∈ X .

Beweis. Die Behauptung ergibt sich aus

Ah(u)(u) = ν||∇v||2L2(Ω) + σ||v||2L2(Ω) + Sh(u)(u) .

Satz 14.33 Die LPS-Methode fur das Oseen Problem liefert stets eine eindeutige

diskrete Losung uh ∈ Xh. Diese erfullt die a priori Abschatzung:

|||u− uh|||lps ≤∑T∈Th

(Cvh

rT |v|Hr+1(T ) + Cph

s+1T |p|Hs+1(T )

),

mit Konstanten Cv, Cp > 0.

14.12 Turbulenzmodellierung 275

Beweis. Die Existenz und Eindeutigkeit ergibt sich aus der Koerzivitat und der

Tatsache, dass |||u|||lps auf Xh eine volle Norm ist. Fur die Abschatzung benutzen wir

das Ergebnis aus Aufgabe 5.2. Wir haben also zu zeigen, dass fur alle w ∈ X und

alle ϕh ∈ Xh gilt:

|||w − Ihw|||lps ≤ Hh(w) ,

A(w − Ihw,ϕh) ≤ αHh(w)|||ϕh|||lps ,Sh(Ihw,ϕh) ≤ αHh(w)|||ϕh|||lps ,

wobei Hh(w) durch eine entsprechende Summe wie auf der rechten Seite der a priori

Abschatzung gegeben ist. Die genaue Ausfuhrung uberlassen wir als Ubungsaufgabe.

14.12 Turbulenzmodellierung

Zeitliche Reynolds-Mittelung

u(x) := limT→∞

1

T

∫ T

0

u(x, t)dt

Wir setzen nun voraus, dass dieser Grenzwert existiert. Fluktuationen u′ := u− u.

u(x, t) = u(x) + u′(x, t)

mit den Eigenschaften

u(x) = u(x) und u′(x, t) = 0. (14.22)

Energiespektrum: Im Inertialbereich verhalt sich die Energie E in Abhangigkeit von

der Wellenzahl k wie E(k) ∼ k−5/4:

Die Langenskala von Kolmogorov, η, hangt von der kinematischen Viskositat ν

und einer sogenannten Dissipationsrate ε ab:

η =

(ν3

ε

)1/4

Hierbei ist ε = 2ν||S||2 und S der Formanderungsgeschwindigkeitstensor (strain rate

tensor), Sij = 12(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi). Wenn man bis zur Kolmogorov-Langenskala

auflosen mochte, so skaliert der arithmetische Aufwand mindestens wie Re3. Man

redet dann von Direkter Numerischer Simulation (DNS). Heutzutage erreicht man

damit Reynoldszahlen von etwa Re = 104. Durch den Technologiefortschritt verdop-

pelt sich die erreichbare Reynoldzahl alle 5-10 Jahre.


Abbildung 14.1: Enegiekaskade nach Kolmogorov mit der integralen Langenskala (a)

, der innerten Subskala (b) und der Kolmogorov Skala (c).

Reynolds averaged Navier-Stokes (RANS): Wir setzen die Reynolds-Zerlegung

u = u+ u′ in die Navier-Stokes Gleichungen ein.

∂t(u+ u′) + ((u+ u′) · ∇)(u+ u′)− ν∆(u+ u′) +∇p = f,

div (u+ u′) = 0,

und mitteln nun die Gleichung. Da diese Mittelung mit der Addition und der raum-

lichen Ableitung kommutiert, erhalten wir:

∂t(u+ u′) + ((u+ u′) · ∇)(u+ u′)− ν∆(u+ u′) +∇p = f,

div (u+ u′) = 0,

Aufgrund der Eigenschaften (14.22) folgt

∂tu+ ((u+ u′) · ∇)(u+ u′)− ν∆u+∇p = f,

divu = 0,

Der nichtlineare Term laßt sich umformen zu

((u+ u′) · ∇)(u+ u′) = (u · ∇)u+ (u · ∇)u′ + (u′ · ∇)u+ (u′ · ∇)u′

Ferner

∂tu = 0 = 0,

∂tu′ = ∂tu′ = ∂t0 = 0.


Da u unabhangig ist von der Zeit t folgt:

(u · ∇)u′ = limT→∞

1

T

∫ T

0

(u · ∇)u′dt

= (u · ∇) limT→∞

1

T

∫ T

0

u′dt

= (u · ∇)u′ = (u · ∇)0 = 0.

Analog gilt (u′ · ∇)u = 0. Aufgrund der Divergenzfreiheit von u und der Vertausch-

barkeit von zeitlicher Mittelwertbildung und raumlicher Ableitung gilt:

(u · ∇)u = div (u⊗ u)

= div (u⊗ u)

= div (u⊗ u)

= (u · ∇)u

Wir erhalten insgesamt die Reynolds gemittelten Navier-Stokes Gleichungen:

(u · ∇)u+ div (u′ ⊗ u′)− ν∆u+∇p = f,

divu = 0.

Hierbei sind nur noch die sogenannten Reynolds Spannungen u′ ⊗ u′ zeitabhangig.

Wurde man deren zeitlichen Mittelwert kennen, so hatte man eine stationare Glei-

chung nur fur u. Da man den 3×3-Tensor u′ ⊗ u′ i.a. aber nicht kennt, enthalt diese

Gleichung mehr Unbekannte als Gleichungen.

Gelegentlich wird an dieser Stelle wieder ”vergessen”, dass u zeitlich konstant

war, so dass man die zeitliche Ableitung ∂tu in der Gleichung belasst. Dies wird

damit gerechtfertigt, dass es mindestens zwei Zeitskalen T1, T2 in den Variablen

gibt, wobei T1 << T2 gilt. Bezuglich einer kurzen Zeitskala T mit T1 ≤ T ≤ T2 wird

gemittelt:

u(x, t) =1

2T

∫ t+T

t−Tu(x, τ) dτ

Die relevante Zeitskala fur u ist nun T2. Die hieraus modellierten Gleichungen lauten:

∂tu+ (u · ∇)u+ div (u′ ⊗ u′)− ν∆u+∇p = f,

divu = 0.

Da man u′ ⊗ u′ nicht aus u bestimmen kann, spricht man von einem Schliessungs-

problem (closure problem).


Boussinesq hypothesis:

u′ ⊗ u′ = −νT∇u.

Diese Hypothese ist physikalisch nicht zu rechtfertigen, wird aber dennoch haufig be-

nutzt. Insbesondere ist bemerkenswert, dass man einen nichtlinearen (Konvektions-)

Ausdruck von Fluktuationen durch einen linearen, diffusiven Ausdruck der Mittel-

werte ersetzt:

div (u′ ⊗ u′)− ν∆u := −(ν + νT )∆u.

Da i.d.R. νT > ν, fuhrt dies selbstverstandlich zu einer deutlichen (numerischen)

Dissipation. Dies ist numerisch sehr angenehm, wenn auch physikalisch zweifelhaft.

Anstelle einer konstanten turbulenten Viskositat werden auch variable Ausdrucke,

z.B. νT ∼ |∇u|, oder d × d-Tensoren verwendet. Aber selbst hier ist die Proportio-

nalitatskonstante abhangig von der spezifische Konfiguration.

k− ε–Modell: Aus einer asymptotischen Analyse erhalt man die Proportionalitat

νT ∼ k2/ε, wobei k die turbulente kinetische Energie

k =1

2|(u′)2|

und ε die turbulente Dissipationsrate bezeichnen. Versehen wir diesen Zusammen-

hang mit einer Proportionalitatskonstanten Cν , so erhalten wir

νT := Cνk2

ε.

Die Konstanten wird standardmaßig gewahlt als Cν = 0.09. Die Werte von k und ε

modelliert man mittels

∂tk + u · ∇k − νk∆k = P (k, ε, u)− ε,∂tε+ u · ∇ε− νε∆ε =

ε

k(Cε1P (k, ε, u)− Cε2ε).

mit νk := ν + νT , νε := ν + νT/1.3, Cε1 = 1.44, Cε2 = 1.92 und der Produktionsrate,

die von dem Formanderungsgeschwindigkeitstensor abhangt:

P (k, ε, u) := νT ||S||2.

An festen Wanden verschwindet die turbulente kinetische Energie. Daher sind homo-

gene Dirichletbedingungen fur k an festen Wanden plausibel. Dies fuhrt aber dazu,


dass der Reaktionsterm in der Gleichung fur ε singular wird. Fur ε werden i.d.R.

homogene Neuman-Randbedingungen gewahlt. Bei Einstromrandern ist es noch er-

heblich unklarer, wie man Werte fur k und ε wahlt. Hier benotigt man statistische

Informationen. Ferner stellt sich heraus, dass die Gleichungen fur k und ε sehr stark

miteinander gekoppelt sind, wahrend die Kopplung zu u sekundar ist. Hieraus re-

sultieren haufig große numerische Probleme bei der Losung der Gleichung fur k und

ε.

Large-Eddy-Simulation (LES): Zerlegung in großskalige Anteile u und fein-

skalige Anteile u′:

u(x, t) = u(x, t) + u′(x, t)

Diese Filerung kann z.B. durch eine Gaußglattung passieren. Im Gegensatz zum

RANS-Modell gilt hier i.a. ˜u 6= u und u′ 6= 0.

Allerdings wird hier ein Filter verwendet fur den weiterhin gilt:

div u = 0.

∂tu+ div (u⊗ u)− ν∆u+∇p = f ,

div u = 0.

mit

u⊗ u = ˜u⊗ u+ ˜u⊗ u′ + u′ ⊗ u+ u′ ⊗ u′

• Leonard stress: L = ˜u⊗ u− u⊗ u

• Cross stresses: C = ˜u⊗ u′ + u′ ⊗ u

• Reynolds stress: R = u′ ⊗ u′

∂tu+ div (u⊗ u) + div τSGS − ν∆u+∇p = f ,

div u = 0.

mit dem LES subgrid scale stress

τSGS := L+ C +R,

der modeliert werden muss.


Smagorinsky Modell:

τSGS = −2(CSH)2|S|S

mit Filterlange H und Smagorinsky Konstante CS ≈ 0.1.

14.13 Druckkorrektur-Verfahren

14.13.1 Chorin (1968)

Chorin und Temam. Zeitschritt k = tm − tm−1.

1. Berechnung eines Geschwindigkeit-Pradiktors um: Man lost die Impulsglei-

chung unter Vernachlassigung des Drucks:

1

k(um − um−1) + (um · ∇)um − ν∆um = f(tm) in Ω

um = u∂Ω auf ∂Ω

Dieses Geschwindigkeitsfeld ist i.a. nicht divergenzfrei.

2. Losen der Poisson-Gleichung fur den Druck:

−∆pm = −k−1div um in Ω,∂pm

∂n= 0 auf ∂Ω

3. Geschwindigkeitskorrektur:

um = um − k∇pm

Fur um gilt:

divum = div um + kdiv∇pm = div um + k∆pm = 0.

Sowie auf dem Rand:

um · n = um · n− k∇pm · n = u∂Ω · n.

Aber i.a.

um · t = um · t− k∇pm · t 6= u∂Ω · t,

da i.a. ∂tpm 6= 0. Insofern wird nur die Normalenkomponente der Geschwindigkeits-

randbedingung erfullt.

Nachteile:

14.13 Druckkorrektur-Verfahren 281

• Keine so erzeugte Geschwindigkeit erfullt sowohl die Divergenzfreiheit noch

die Randbedingung simultan.

• Das Verfahren ist nur von der Ordnung O(√k):

||∇(u(tm)− um)||+ ||p(tm)− pm|| = O(√k)

• Das Verfahren ist ungeeignet zur Bestimmung stationarer Stromungen. Selbst

wenn man mit einer Geschwindigkeit u0 := u startet, die die stationaren

Navier-Stokes Gleichungen erfullt:

(u · ∇)u− ν∆u+∇p = f in Ω

divu = 0 in Ω

so folgt bereits in der ersten Iteration:

1

k(u1 − u) + (u1 · ∇)u1 − ν∆u1 = f

= (u · ∇)u− ν∆u+∇p

Im Fall ∇p 6= 0 kann also u1 = u niemals gelten. Da fur u1 auch keine Diver-

genzfreiheit gefordert ist, wird ∆p1 = k−1divu1 6= 0 gelten. Also auch ∇p1 6= 0

und

k−1u1 = k−1u1 −∇p1

= k−1u+ f − (u1 · ∇)u1 + ν∆u1 −∇p1

Da

(u1 · ∇)u1 − ν∆u1 +∇p1 6= f

folgt auch u1 6= u.

• Die Druckapproximation pm ist gerade am Rand besonders schlecht. Man kann

zeigen

|p(tm, x)− pm(x)| ≤ k +√k exp

(−dist(x, ∂Ω)/

√kν)

Wir ersetzen in der Impulsgleichung um−1 = um−1 + k∇pm−1 und erhalten:

1

k(um − um−1) + (um · ∇)um − ν∆um +∇pm−1 = f(tm) in Ω

div um − k∆pm = 0 in Ω


Demnach erfullt das Paar (um, pm) die genaherten Navier-Stokes Gleichungen mit

einer expliziten Wahl der Drucks (vom alten Zeitschritt) und einer Stabilisierung

der Divergenzgleichung durch den Laplace von pm mit dem Vorfaktor k. Dies ist

der Grund dafur, dass dieses Chorin-Verfahren auch geeignet ist fur nicht inf-sup-

stabile Kombinationen von u und p. Allerdings sollte k ≥ ch2 gewahlt sein, denn die

Stabilitat geht fur k → 0 verloren.

14.13.2 Van Kan Schema

Das Schema von Van Kan (1986) basiert auf einer zeitlichen Diskretisierung 2. Ord-

nung (der Trapezregel). Gestartet wird mit einer Approximation (u0, p0), u0 := u0.

Fur m ≥ 1 iteriert man nun wie folgt:

1. Extrapolation der (divergenzfreien) Geschwindigkeiten fur m ≥ 2:

u∗m :=1

2(3um−1 − um−2)


chung mit einer gegebenen Druckextrapolation und um−1/2 = 12(um + um−1):

1

k(um − um−1) + (u∗m · ∇)um−1/2 − ν∆um−1/2 =

1

2(f(tm) + f(tm−1))−∇pm−1


Dieses Geschwindigkeitsfeld ist i.a. nicht divergenzfrei. Diese d Gleichungen

fur die d Geschwindiglkeitskomponenten von um sind entkoppelt. Es sind also

nur skalare Konvektions-Diffusions-Gleichungen zu losen. Im Fall m = 1 ist

dies aber nicht der Fall, da dann u∗m durch die implizite Wahl um ersetzt wird.


−∆qm = −2

kdiv um in Ω,

∂qm∂n

= 0 auf ∂Ω

und setze

pm := pm−1 + qm

4. Geschwindigkeitskorrektur und Druckupdate:

um = um −k

2∇qm

14.13 Druckkorrektur-Verfahren 283

Unter gewissen Regularitatsvoraussetzungen an die Geschwindigkeiten und den Druck

kann man zeigen, dass sich der Druckfehler nun wie k(1+log(1/k)) und die Geschwin-

digkeitsfehler wie k2(1 + log(1/k)) verhalten. Es gilt

div um −k

2∆(pm − pm−1) = 0

Demnach ist dieses Verfahren ebenfalls fur inf-sup-stabile Kombinationen geeignet.

Allerdings geht nun die Stabilitat verloren, wenn der Druck stationar wird und der

Zeitschritt beschrankt bleibt.

Diese Verfahren fuhrt fur alle m ≥ 0 auf

∂pm∂n

=∂p0

∂n

Auch dies fuhrt verstandlicherweise i.a. nicht zum exakten Druck.

Die Situation wird noch unschoner bei der Betrachtung von Ausstromrandern.

Wenn man beispielsweise die do-nothing Bedingung an einem Randstuck S1 ⊆ ∂Ω

implementieren mochte:

ν∂u

∂n− pn = 0 auf S1,

und Dirichletbedingunegn an S0, so lautet die Randbedingung fur den Druck

∂pm∂n

=∂pm−1

∂nauf S0

pm = pm−1 auf S1.

Modifikation von Timmermans, Minev und Van De Vosse: Anstelle von pm =

pm−1 + qm besser

pm := pm−1 + qm − νdiv um−1/2

Nun gilt im Fall von Stokes:

∂pm∂n

=∂pm−1

∂n− ν∂n(div um−1/2)

= (∇pm−1 − ν∆um−1/2) · n= fm−1 · n


14.13.3 Chorin-Uzawa


chung mit einer gegebenen Druckextrapolation:

1

k(um − um−1) + (um · ∇)um − ν∆um +∇(qm−1 − pm−1) = f(tm) in Ω


Dieses Geschwindigkeitsfeld ist i.a. nicht divergenzfrei.


−∆qm = −k−1div um in Ω,∂qm

∂n= 0 auf ∂Ω

3. Geschwindigkeitskorrektur und Druckupdate:

um = um − k∇qmpm = pm−1 − αdiv um

14.14 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben ein Fluid mit einer nicht

notwendig konstanten Dichte ρ > 0. Die Dichte beschreibt hierbei das Verhaltnis

von Masse und Volumen. Wenn wir zunachst von einer Stromung mit homogenen

Dirichletdaten auf ganz ∂Ω ausgehen, so lauten die Gleichungen

∂(ρv)

∂t+ div (ρv ⊗ v)− div σ = ρf in Ω , (14.23)

∂ρ

∂t+ div (ρv) = 0 in Ω , (14.24)

v = v0 auf ∂Ω . (14.25)

Der Impuls ρv ist eine sogenannte Erhaltungsgroße. Gleichung (14.23) beschreibt die

Impulserhaltung. σ ish hierbei der Verzerrungstensor wie in Abs. 14.1.4 beschrieben.

Die Gleichung (14.24) beschreibt die Masseerhaltung. Die Geschwindigkeiten v hei-

ßen primitive Variablen. Die i-te Komponente des Konvektionsterm lautet

(div (ρv ⊗ v))i = div (ρv ⊗ v)i =d∑j=1

∂j(ρvivj) =d∑j=1

[∂j(vi)ρvj + vi∂j(ρvj)]

= (ρv · ∇)vi + vidiv (ρv)

14.14 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen 285

Unter der Voraussetzung, dass (14.24) gilt, kann man die Impulsgleichung daher

auch schreiben in der Form:

ρ∂v

∂t+ (ρv · ∇)v − div σ = ρf (14.26)

Die Formulierung (14.23) der Impulsgleichung wird auch Erhaltungsform genannt,

wahrend (14.26) die Formulierung in primitiver Form ist.

Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich als Spezialfall kon-

stanter Dichte ρ > 0. Man teilt hierzu die Gleichungen durch ρ, fuhrt die kinemati-

sche Viskositat ν = µ/ρ ein und skaliert den Druck um p→ p/ρ.

In den obigen Gleichungen fehlt noch eine weitere Gleichung, die den Zusam-

menhang zwischen der Dichte ρ und dem Druck p festlegt. Dieser Zusammenhang

ist stets eine algebraische Gleichung, also ohne Ableitungsinformationen. Fur soge-

nannte ideale Gase verwendet man ein lineares Wechselspiel zwischen p und ρ der

Form:

p = Rρθ . (14.27)

Hierbei bezeichnet θ > 0 die absolute Temperatur und R > 0 eine spezifische Gas-

konstante, die von dem jeweiligen Gas abhangt. Ist m das Molekulargewicht des

Gases, bzw. einer Gasmischung, so gilt R = R∗/m mit der universellen Gaskonstan-

te R∗ = 8.3144672 in der Einheit J/(mol ·K).

14.14.1 Energiegleichung

Zur Beschreibung der Energieerhaltung werden verschiedene Formulierungen ver-

wendet, je nachdem ob man sie in der inneren Energiedichte e oder der totalen

Energie E

E = ρ(e+ ekin) .

ausdruckt. Hierbei bezeichnet ekin = 12|v|2 die kinetische Energiedichte. Das Fluid

erhalt eine Energiezufuhr uber die Massenkrafte f ·v, die in der Impulskrafte auftau-

chen, Energieabgang uber die viskosen Effekte σ ·v, sowie durch Energie-Dissipation

bei Auftreten von Temperaturgradienten Q. Diese Terme treten zusammen mit einer

eventuellen externen Energiequelle ρq daher als Quellterme in der Energiegleichung

auf:

dE

dt= ρf · v + div (σ · v +Q) + ρq .


Die Energie-Dissipation ist gegeben durch Q = κ∇θ mit dem Warmeleitfahigkeits-

koeffizienten κ ≥ 0. Die totale Ableitung auf der linken Seite drucken wir nun wieder

aus durch die partielle Zeitableitung:

dE

dt=

∂E

∂t+ div (Ev)

Setzen wir nun die Masseerhaltung (14.24) und Impulserhaltung (14.23) voraus, so

gilt fur die totale Ableitung der kinetischen Energie:

d(ρekin)

dt=

1

2

∂(ρ|v|2)

∂t+

1

2div (ρ|v|2v)

=1

2|v|2∂ρ

∂t+

1

2ρ∂|v|2

∂t+

1

2|v|2div (ρv) +

1

2ρ(v · ∇)|v|2

=1

2ρ∂|v|2

∂t+

1

2ρ(v · ∇)|v|2

= ρ∂v

∂t· v + ρ(v · ∇)v · v

= (div σ + ρf) · v

Setzen wir dies ein in die Energiegleichung und benutzen

div σ · v − div (σ · v) = −σ : ∇v = −d∑

i,j=1

σij∂jvi ,

so erhalten wir die Gleichung fur die innere Energiedichte

∂(ρe)

∂t+ div (ρve)− σ : ∇v − div (κ∇θ) = ρq . (14.28)

In einigen Fallen ist es vorteilhaft, die Energiegleichung in der Temperatur zu for-

mulieren.

Warmekapazitaten

Wir wollen jetzt untersuchen, wie sich eine Warmezufuhr dq auf die innere Energie-

dichte e auswirkt. Der Zusammenhang zwischen der inneren Energiedichte und der

Temperatur ist bei konstanten Volumen einfach

e = e0 + cvθ ,

mit der spezifischen Warmekapazitat cv und einer Energiedichte e0 zu einer Refe-

renztemperatur θ0. Bei der Zufuhr von Temperatur nimmt die Dichte aber ab und


das Volumen normalerweise zu – es sei denn, eine Volumenexpansion ist aufgrund der

Konfiguration ausgeschlossen. Daher geht eine Energiezufuhr dq mit einer Tempera-

turanderung dθ i.d.R. bei konstantem Druck einher, dq = cpdθ. Hierbei bezeichnet cpdie spezifischen Warmekapazitat bei konstanten Druck. Die hierdurch entstehende

Volumenanderung dρ−1 ist aufgrund des idealen Gasgesetzes (14.27) mit konstantem

Druck gerade

dρ−1 = p−1Rdθ = p−1Rc−1p dq .

Die Energiedichteanderung setzt sich daher zusammen aus der Warmezufuhr dq und

der Arbeit aufgrund der Volumenanderung ρ−1:

de = dq − pdρ−1 = dq −Rc−1p dq = cpdθ −Rdθ .

Hieraus folgt der Zusammenhang zwischen cp und cv:

cv = cp −R .

Der Quotient γ = cp/cv > 1 wird Isentropenexponent genannt. Fur trockene Luft

betragt dieser naherungsweise (je nach Temperatur) γ = 1.4.

Temperaturgleichung

Wir wollen die Energiegleichung jetzt in der Temperatur formulieren.

e = cpθ − pρ−1 .

Eingesetzt in die Gleichung (14.28) ergibt:

∂(ρcpθ)

∂t− ∂p

∂t+ div (v(ρcpθ − p))− σ : ∇v − div (κ∇θ) = ρq .

Fur langsame Stromungen konnen hier diverse Teile der Gleichung vernachlassig

werden. Dies sind insbesondere Temperaturanderungen aufgrund der Druckterme

∂tp und div (vp) sowie aufgrund der viskosen Effekte σ : ∇v. Die Naherung lautet

dann:

∂(ρcpθ)

∂t+ div (vρcpθ)− div (κ∇θ) = ρq .

Unter Ausnutzung der Masseerhaltung (14.24) ist dies aquivalent zu:

∂(cpθ)

∂t+ (v · ∇)(cpθ)− ρ−1div (κ∇θ) = q .


Wenn man nun noch eine konstante Warmekapazitat cp und konstante Warme-

leitfahigkeit κ annimmt sowie die Dichteanderung als gering annimmt, so fuhrt dies

auf die Warmeleitungsgleichung

∂θ

∂t+ (v · ∇)θ − λ∆θ =

1

cpq ,

mit λ := κ/(ρcp). Dies ist eine instationare Konvektions-Diffusionsgleichung wie in

Kapitel 13 behandelt.

Mach-Zahl

Eine weitere Kennzahl fur Stromungen ist die Mach4-Zahl. Sie setzt die typische

Stromungsgeschwindigkeit ins Verhaltnis zur Schallgeschwindigkeit c. Die Schallge-

schwindigkeit ist definiert als Quadratwurzel aus der Ableitung des Drucks nach der

Dichte:

c =

√dp

dρ.

Wir wollen diese Schallgeschwindigkeit im Fall eines idealen Gases (14.27) berechnen.

Hierzu berechnen wir zunachst

∂θ

∂ρ=

(∂e

∂θ

)−1∂e

∂θ

∂θ

∂ρ= c−1

v

∂e

∂ρ= c−1

v

∂

∂ρ

(C − p

ρ

)=

p

cvρ2=Rθ

cvρ.

Damit erhalten wir

c2 =∂p

∂ρ+∂p

∂θ

∂θ

∂ρ= Rθ +Rρ

Rθ

cvρ= (1 +R/cv)Rθ = γRθ ,

also c =√γRθ > 0. Fur Luft bei Raumtemperatur gilt c = 343m/s ≈ 1234 km/h.

Die Mach-Zahl ist nun definiert als

Ma :=|v|c.

Diese Große ist raumlich und zeitlich variabel. Mittels der Mach-Zahl lassen sich

Stromungen in verschiedene Bereiche einteilen:

• Ma < 0.8: subsonische Stromung,

• 0.8 ≤Ma ≤ 1.2: transsonische Stromung,

4Ernst Mach, 1838-1916, tschechischer Physiker, Philosoph und Wissenschaftstheoretiker.


• Ma > 1.2: supersonische Stromung,

• Ma > 5: hypersonische Stromung.

Bei dem Ubergang der Mach-Zahl im transsonischen Bereich bei Ma = 1 wechseln

die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen ihren Charakter von parabolisch zu

hyperbolisch.

14.14.2 Boussinesq-Approximation

Die Boussinesq5-Approximation ist eine Vereinfachung der kompressiblen Navier-

Stokes-Gleichungen. Sie modelliert gravitationsabhangige Stromungen, bei denen

Dichtevariationen nur im Zusammenhang mit der Gravitationsbeschleunigung beruck-

sichtigt werden und ansonsten vernachlassigt werden konnen. Dies ist bei relativ klei-

nen Temperaturunterschieden gerechtfertigt, wie beispielsweise bei Meeresstromun-

gen, in vielen industriellen Anwendungen und bei der Luftzirkulation in Gebauden.

Die Naherung ist sehr genau fur viele solcher Stromungen und vereinfacht die Ma-

thematik und Physik des Problems deutlich.

Wir setzen also ρ = ρ0 in den Navier-Stokes Gleichungen (14.23)-(14.24) bis auf

den Quellterm ρf in der Momentengleichung. Hier ubernimmt die Gravitation g die

Rolle von f . Man fuhrt eine Linearisierung im Hinblick auf eine Temperaturanderung

θ = θ0 + θ′ durch:

ρg ≈ ρ0g +∂ρ

∂θθ′g = ρ0g − ρ0θ

−10 θ′g .

Den Druck p spaltet man auf in einen hydrostatischen Druck phs und einen hydro-

dynamischen phd. Der hydrostatischen Druck wird dabei so gewahlt, dass ∇phs = g.

Wenn g nur eine y-Komponente besitzt, so ist der hydrostatische Anteil geschichtet.

Der Druckgradient wird also zu

∇p = ρ0g + ρ0∇phd .

Die Boussinesq-Gleichungen bestehen aus:

div v = 0 ,∂v

∂t+ (v · ∇)v − ν∆v +∇phd = −θ−1

0 gθ′ ,

∂θ′

∂t+ (v · ∇)θ′ − λ∆θ′ = q .

5Valentin Joseph Boussinesq, 1842-1929, franzosischer Mathematiker und Physiker.


14.14.3 Low-Mach-Approximation

Wenn Dichtevariationen aufgrund von Temperaturunterschieden großer werden, ist

die Boussinesq-Approximation nicht mehr gerechtfertigt. Wenn allerdings die Mach-

Zahl Ma klein ist, so treten relevante Kompressionseffekte nur aufgrund von Tem-

peraturunterschieden auf und nicht aufgrund von Druckunterschieden. Wir spalten

den Druck auf in einen raumlich konstanten thermodynamischen Anteil pth(t), einen

zeitlich konstanten hydrostatischen Anteil phs(x) und einen hydrodynamischen An-

teil phyd:

p(x, t) = pth(t) + phs(x) + phyd(x, t) .

Hierbei ist phs(x) definiert wie zuvor in der Boussinesq-Approximation, namlich

∇phs = g mit der Normierung∫

Ωphs dx = 0. Der hydrodynamischen Druck besitzt

ebenfalls den Mittelwert Null:∫

Ωphyd dx = 0. Somit gilt

pth(t) = |Ω|−1

∫Ω

p(x, t) dx .

Charakteristisch fur Stromungen bei geringer Mach-Zahl ist, dass pth >> phyd. Die

Impulsgleichung, Temperaturgleichung und das Gasgesetz lauten nun:

ρ∂v

∂t+ (ρv · ∇)v − div (µ∇v) +∇phyd = 0

∂θ

∂t+ (v · ∇)θ − λ∆θ = q ,

ρ =pthRθ

.

Der Parameter µ ist wie zuvor die Scherviskositat (vgl. Abs. 14.1.4). In der Glei-

chung fur die Masseerhaltung wird die Zeitableitung der Dichte ausgedruckt als

Ableitungen von p und θ:

1

Rθ

∂pth∂t− pthRθ2

∂θ

∂t+ div (ρv) = 0 .

Literaturverzeichnis

[1] H. W. Alt. Lineare Funktionalanalysis. Berlin: Springer. v, 431 p., 2006.

[2] D. Braess. Finite Elemente: Theorie, schnelle Loser und Anwendungen in der

Elastizitatstheorie. Springer, 4.ed., 2007.

[3] F. Brezzi and M. Fortin. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer-

Verlag, Berlin, 1991.

[4] E. Burman and A. Ern. Continuous interior penalty hp-finite element methods

for advection and advection-diffusion equations. Math. Comput., 76(259):1119–

1140, 2007.

[5] P. Clement. Approximation by finite element functions using local regulariza-

tion. R.A.I.R.O. Anal. Numer., 9:77–84, 1975.

[6] M. Crouzeix and P.-A. Raviart. Conforming and nonconforming finite element

methods for solving the stationary Stokes equations. I. Rev. Franc. Automat.

Inform. Rech. Operat., 7(R-3):33–76, 1974.

[7] V. Dolejsi, M. Feistauer, and C. Schwab. A finite volume discontinuous Galerkin

scheme for nonlinear convection-diffusion problems. Calcolo, 39(1), 2002.

[8] G. Duvaut and J. Lions. Inequalities in mechanics and physics. Translated from

the French by C.W. John. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.

Band 219. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. XVI, 397 p., 1976.

[9] A. Ern and J.-L. Guermond. Theory and Practice of Finite Elements. Applied

Mathematical Sciences, 159, Springer, 2004.

[10] W. Hackbusch. Multi-grid methods and applications. Springer Series in Com-

putational Mathematics, 4. Berlin etc.: Springer- Verlag. XIV, 377 p., 1985.

292 M. Braack LITERATURVERZEICHNIS

[11] T. J. Hughes, A. Masud, and J. Wan. A stabilized mixed discontinuous Galerkin

method for Darcy flow. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 195(25-28):3347–

3381, 2006.

[12] J. Necas. L’application de l’egalite de Rellich sur les systemes elliptiques du

deuxieme ordre. J. Math. Pures Appl. (9), 44:133–147, 1965.

[13] R. Rannacher. Numerische Mathematik 2 (Numerik Partieller

Differentialgleichungen). Technical report, Universitat Heidelberg,

http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/~ lehre, 2008.

[14] L. Scott and S. Zhang. Finite element interpolation of nonsmooth functions

satisfying boundary conditions. Math. Comput., 54(190):483–493, 1990.

[15] M. Tabata. A finite element approximation corresponding to the upwind diffe-

rence. Memoirs of Numerical Mathematics, 1:47–63, 1977.

[16] W. Zulehner. Numerische Mathematik, Eine Einfuhrung anhand von Differen-

tialgleichungen, Bd. 1. Birkhauser, 2008.

Finite Elemente - math.uni-kiel.de · Finite Elemente Malte Braack Mathematisches Seminar...

Documents

Transcript of Finite Elemente - math.uni-kiel.de · Finite Elemente Malte Braack Mathematisches Seminar...