Final

Solucionario del libro de Algebra linealUniversidad del Valle

Departamento de Matemáticas. Profesor: Leonel Monroy Estudiantes: Ana Cristina Quintero y Carolina Urrego.

Facultad de Ingeniería.Enero de 2009.

SOLUCIONARIO DEL PRIMER CAPITULO DE LAS GUIAS DE ALGEBRA LINEAL

TRABAJO PRESENTADO EN EL CURSO DE: ALGEBRA LINEALAL DOCENTE: LEONEL MONROY

ESTUDIANTES: ANA CRISTINA QUINTERO – CODIGO: 0826536 CAROLINA URREGO RUBIO – CODIGO:083371

UNIVERSIDAD DEL VALLE DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ENERO DE 2009

2

TABLA DE CONTENIDO

Página

1. Solucionario del primer capitulo…………………………………………………………4

2. Solucionario del segundo capitulo……………………………………………………….14

3

SOLUCIONARIO DEL PRIMER CAPITULO DE ALGEBRA LINEAL

1.

a) Ecuaciones lineales:

4x1+2x2+x3-2=0;

4x1-3x2-1=x3+5x5;

x1sinπ3

+X4

-3=0;

√3 x+π y−12 z−723 w=0.

Estas ecuaciones son lineales porque conservan la forma a1x1+a2x2+…+anxn=b

b) Ecuación lineal homogénea: √3 x+π y−12 z−723 w=0. Es una ecuación lineal homogénea

por que el tèrmino independiente b=0.

c) - 4x1+2x2+x3-2=0 coeficientes: 4,2,1. Términos independientes=2.

- 4x1-3x2-1=x3+5x5 coeficientes: 4,-3,-1,-5. Términos independientes: 1

- x1sinπ3

+X4

-3=0 coeficientes: sinπ3

,14

. Término independiente:3.

d) La terna que es solución de la ecuación: 4x1+2x2+x3-2=0 es: {−122 } porque al reemplazar la

terna en la ecuación se cumple con la igualdad 0=0.

e) Las 4-uplas que son solución de la ecuación:√3 x+π y−12 z−723 w=0. son {√3

0140

}y {120√30

} Porque al reemplazarlas se cumple con la igualdad 0=0.

f) Si es posible encontrar otra solución de la ecuación 4x1+2x2+x3-2=0, como por ejemplo las

ternas: { 3−62 }, {−2

42 } y { 1

1−4 } cumpliendo las tres con la igualdad 0=0.

4

g) Si es posible encontrar otra solución de la ecuación √3 x+π y−12 z−723 w=0. como por

ejemplo la 4-upla: {4 √3010

} porque 4 √3×√3+π ×0−12×1−723×0=0

h) Ecuaciones homogéneas asociadas:

- 4x1+2x2+x3-2=04x1+2x2+x3=0

- 4x1-3x2-1=x3+5x54x1-3x2-x3-5x5=0

- x1sinπ3

+X4

-3=0 x1sinπ3

+X4

-3=0

- √3 x+π y−12 z−723 w=0√3 x+π y−12 z−7

23 w=0

3.

a) ax=b es una ecuación lineal porque tiene la forma: a1x1+a2x2+…+anxn=b

b) No siempre es posible hallar el valor de x en la ecuación ax=b ya que en caso de que a =0 no se puede.

Si es posible encontrar una ecuación lineal que no tenga solución, por ejemplo cuando al despejarla se tiene un real sobre cero que es inconsistente.

No es posible encontrar una ecuación lineal homogénea que no tenga solución ya que estas tienen al menos la solución trivial.

5.

a) Este es el único sistema homogéneo x-2y=0 , 3x-y=0, porque no tienen variables libres.

b)

i) x-2y=2 Coeficientes: 1,-2 Término independiente:-2

2x+3y=-3, Coeficientes: 2,3 Término independiente:3

ii) x-2y=-1 Coeficientes:1,-2 Término independiente:1

-2x+4y=2, Coeficientes: 2,4 Término independiente:-2

iii) x-2y=-1 Coeficientes:1,-2, Término independiente:1

5

2x+4y=0, Coeficientes:2,3 No tiene término independiente.

iv) x-2y=0 Coeficientes: 1,-2 No tiene término independiente.

2x+3y=0, Coeficientes: 2,3 No tiene término independiente.

c) Ninguna de las tres duplas son soluciones del sistema x-2y=2 , 2x+3y=-3

ya que no cumplen con la igualdad las dos ecuaciones lineales simultáneamente.

d) Las duplas solución del sistema x-2y=-1 , -2x+4y=2 son (1,1),(3,2), ya que las dos ecuaciones lineales del sistema cumplen simultáneamente con la igualdad.

e) Ninguna de las tres duplas son soluciones del sistema x-2y=-1 , 2x+4y=0 ya que no cumplen con la igualdad las dos ecuaciones lineales simultáneamente.

f) No, no es posible hallar otra solución, porque el sistema tiene solución única.

g) No, no es posible hallar otra solución, porque el sistema es inconsistente.

h) x-2y=2 , 2x+3y=-3, es consistente

x-2y=-1 , -2x+4y=2, es inconsistente

x-2y=-1 2x+4y=0, es inconsistente

x-2y=0 y 2x+3y=0, es consistente

i) x-2y=2 , 2x+3y=-3, x-2y=0 , 2x+3y=0

x-2y=-1 , -2x+4y=2 x-2y=0 , -2x+4y=0

x-2y=-1 2x+4y=0, x-2y=0, 2x+4y=0,

x-2y=0 y 2x+3y=0, x-2y=0, 2x+3y=0

7. Ninguno de los tres sistemas son equivalentes ya que al aplicarles las operaciones algebraicas del uno no se puede llegar al otro.

9.

a) La terna (2,4,-1) si es solución de ambos sistemas de ecuaciones lineales.

b) Otra solución del sistema de ecuaciones lineales es la terna (0,0,1) la cual funciona tanto para el sistema i como para el ii.

c) Cualquier solución del sitema ii también será solución del sistema i porque ambos sistemas son equivalentes, ya que el ii se produjo cuando al i se le aplicó una operación elemental.

d) El resultado obtenido en la demostración del punto c nos permite concluir que ambos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes.

6

e) Matrices aumentadas asociadas:

{1 −1 −13 −1 1 |−1

1 } Cuya matriz aumentada asociada es {1 −1 −13 −1 1 |00}

{1 −1 −10 2 4 |−1

4 } Cuya matriz aumentada asociada es {1 −1 −10 2 4 |00}

f) Si, cuando dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes sus matrices asociadas también lo son.

11. Solución geométrica de cada sistema de ecuaciones lineales:

i) x-2y=1 y 3x+y=-4

El sistema de ecuaciones tiene solución única, con corte en (-1,-1).

7

Comprobación algebraica:

Si a la matriz le aplicamos las operaciones -1/3 F2F2, F2+F1F2 para escalonarla, despejando las variables obtendríamos que x=-1 y y=-1.

ii) x-2y=-1 y -3x+6y=3

El sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.


Al aplicarle a la matriz las siguientes operaciones 13f 2→f 2 ; f 2+f 1→f 2

Se obtiene que: {1 −20 0 |−1

0 } Hay una variable libre lo que implica que hay infinitas soluciones.

iii) x-2y=1 y -3x+6y=0.

8

El sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.


Al aplicarle a la matriz las siguientes operaciones 13f 2→f 2 ; f 2+f 1→f 2

Se obtiene la matriz equivalente:

{1 −20 0 |11} Siendo por tanto un sistema inconsistente.

13. Solución de los sistemas lineales de ecuaciones:

i) { 32

−2}ii) { 4−t

−1+2tt }

iii) {−1292

}15.

i) Si se sustituye a=1x

y b=1y

, tendríamos la ecuación lineal:

(3 24 3|01), que escalonándolo obtendríamos:

Que a=3, por lo tanto x=13

; y que b=-2, por lo tanto y=12

ii) Si se sustituye x=2a y y=3b tendríamos nuestra ecuación lineal:

(−1 23 −4|11), que escalonándolo obtendríamos:

9

Que x=3, por lo tanto 2a=3 ln2a =ln3 a=ln 3ln 2

y que y=2, por lo tanto 3b=2 ln3b =ln3 b=

ln 2ln 3

iii) Si se sustituye c=x2 y d=y2 tendríamos nuestra ecuación lineal:

(1 −11 2 |36), que escalonándolo obtendríamos:

Que c=4, por lo tanto x2=4 x =±2 y que d=1, por lo tanto y2=1y=.±1.

17. Ninguna de las matrices i y ii son equivalentes.

19.

i) operaciones: f 2→f 1 , f 3+f 1→f 3 , f 3−10 f 2→f 3. Con lo cual la matriz quedaría:

(−1 30 20 0)

ii) Operaciones: f 2+2 f 1→f 2 , f 2→f 4 , f 2−f 1→f 2 , f 2→f 3 , f 4−8 f 3→f 4. Con lo cual la matriz quedaría:

(2 −1 40 3 −10 0 10 0 0

) iii) operaciones: F1F2, F3-2F1F3, F4-F1F4, F3+F2F3, F4+F2F4, F3-5F4F3, F3F4. Con lo cual la matriz quedaría:

(5 2 −1 20 −1 3 −10 1 0 00 0 0 0

) 21.

a)

i) Número de ecuaciones:4 Número de variables:3.

ii) Número de ecuaciones:3 Número de variables:4.

iii) Número de ecuaciones:3 Número de variables:5.

b) Variables pivotales del sistema:

10

i) variables pivotales: x,y (2,1).

ii) variables pivotales: x (1).

iii) variables pivotales: x,y (2,1)

c) variables libres del sistema:

i) variable libre: z

ii) variable libre: y.

iii) variables libres: z y w.

d) Los sistemas i) y iii) son inconsistentes, mientras que el sistema ii) tiene infinitas soluciones ya que tiene 1 variable libre.

e) Conjunto solución de los sistemas consistentes: ii) Siendo la variable t la que nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

{−3 t−2t00

}23.

Un sistema de ecuaciones (3x4) con 3 variables pivotales presenta infinitas soluciones ya que se genera una variable libre.

Un sistema de ecuaciones (3x4) con 4 variables pivotales porque a cada variable pivotal le corresponde una y solo una columna.

Un sistema de ecuaciones (3x4) con 2 variables pivotales presenta infinitas soluciones ya que se tienen 2 variables libres.

Un sistema de ecuaciones (4x3) con 3 variables pivotales presenta solución única.

Un sistema de ecuaciones (4x3) con 4 variables pivotales no se puede presentar porque a cada variable pivotal le corresponde una y solo una columna.

Un sistema de ecuaciones (4x3) con 2 variables pivotales presenta infinitas soluciones, ya que se genera una variable libre.

Un sistema de ecuaciones (5x5) con 2 variables pivotales presenta infinitas soluciones ya que se tienen 3 variables libres

Un sistema de ecuaciones (5x5) con 3 variables pivotales presenta infinitas soluciones ya que se tienen 2 variables libres.

11

Un sistema de ecuaciones (5x5) con 4 variables pivotales presenta infinitas soluciones ya que se genera una variable libre

Un sistema de ecuaciones (5x5) con 5 variables pivotales podria tener una solución única para todos los R≠0..

Un sistema de ecuaciones (8x5) con 5 variables pivotales presenta una solución única.

Un sistema de ecuaciones (8x5) con 4 variables pivotales presenta infinitas soluciones, ya que se genera una variable libre.

Un sistema de ecuaciones (5x8) con 6 variables pivotales no se puede presentar porque a cada variable pivotal le corresponde una y solo una columna.

Un sistema de ecuaciones (5x8) con 4 variables pivotales tendría infinitas soluciones, ya que se generan 4 variables libres.

Conclusión: En general si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones, n variables (mxn) y k variables pivotales, se cumple que:

Para matrices con m<n y m>n:

Pa ra una matriz m<n si k=m el sistema tendrá infinitas soluciones, pero no se puede dar que k=n porque a cada variable pivotal le corresponde una y solo una columna, pero es claro que si m<k<n el sistema podría llegar a presentar solución única o sino tener infinitas soluciones; sin embargo algo similar ocurre cuando m>n porque análogamente no se puede dar que k=m, de igual forma si k=n tendrá solución única y si k<n<m el sistema tendrá infinitas soluciones.

Para matrices cuadradas con m=n:

Para una matriz cuadrada con m=n se cumple que si k<m que es equivalente a que k<n el sistema tiene infinitas soluciones, mientras que si k=m=n el sistema presenta una solución única, pero si k>m y por tanto k>n el sistema no podría presentarse porque a cada variable pivotal le corresponde una y solo una columna.

25.

a) Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene que una de sus ecuaciones es:0=0 el tipo de conjunto solución es infinito ya que sería linealmente dependiente.

b) Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene que una de sus ecuaciones es:0=5 el sistema es inconsistente.

12

c) Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene que una de sus ecuaciones es:3=3 el sistema tiene única solución.

27. Solución a los sistemas de ecuaciones lineales:a) El sistema se puede solucionar simultáneamente si se considera a la matriz:

(x y z w2 0 −4 01 1 0 −10 1 1 −2

|−1 0 6 31 2 0 −10 4 −2 2 )

Si la escalonamos aplicandole las siguientes operaciones: F3+(-1)F2F3; F2+(-1/2)F1F2; F3+F2F3

Se obtendrían las siguientes soluciones:

Solución del primer sistema:

{7656

5 t6t

}Solución del segundo sistema:

{16+8 t

62−t

34+2 t

3t

}Solución del tercer sistema:

{28−8 t

61−t

3−5+2t

3t

}13

Solución del cuarto sistema: {19 t

618−5 t

125

6 tt

}b) El sistema se puede solucionar simultáneamente si se considera a la matriz:

( x y z1 −2 12 −1 −1

−3 0 3 |1 076

0 356

1 2 0)

14

2. SOLUCIONARIO DEL SEGUNDO CAPITULO1).a). escalares,{5,3 ,7 ,2 }

b). vectores( 50

−2) ,(950) ,(500)c). vectores libres, PQ, AC ,CD.3).

A=( 1−2) y B=(32)

a). 12a−3

2a→

12 ( 1

−2)−32 (32)=( 1

2−1)−( 9

23 )=(−4

−4)b). b−3a−b→(32)−3( 1

−2)−(32)=(32)−( 3−6)−(32)=(−3

6 )

c). 34a+ 3

4b→

34 ( 1

−2)+ 34 (3

2)=(34

−32

)+(9432)

(−36 )→es paralelo a ( 1

−2)=a 5).

Futbol m⃗ujeres (4 )

4mujeres7hombres

11 personas →

2 primiparos

h⃗ ombres (7 ) H⃗

M⃗ M⃗+H

Baloncesto m⃗ujeres (2 )

2mujeres3hombres5 personas

→

2 primiparos

h⃗ ombres (3 )

H⃗

15

M⃗ M⃗+H

7) a¿ A=(1

−402

) -3x=(−20.5−15

)→(1

1.513

−1)

1−3 x=−2 −4−3 x=0.5 0−3 x=−1

1+2=3 −4−0.5=3 x 13=x

33=x

−4.53

=x

b¿ A=x+ 23 ( 3

−93 ) = (−2

5−1)→(−12

11−3 )

x+63=2 x−

183

=5 x+ 63=−1

x=−12 x=5+ 183x=−1−6

3

x=333→11 x=−3

9) 3. Ley conmutativa:U + V = V + U

Sean ui y v ilas i-esimas componentes del vector U y V respectivamente. Entonces ui+v i es la i-esima componente del vector U + V , como ui+v i es igual a v i+u i por la propiedad conmutativa de los números reales, las componentes respectivas de U + V y V + U son iguales, entonces concluimos que U + V = V + U .

Por ejemplo:

Sea U=( t2 t) y V=( s2 s)U + V=( t2 t)+( s2 s)=( t+s2 t+2 s)≡( s2 s)+( t2 t)=( t+s2 t+2 s )=V+ U

Comprobemos que:

16

( t+s=s+t2 t+2 s=2 s+2t) siendo t=1 y s=3 ( 1+3=3+1

2(1)+2(3)=2(3)+2 (1 ))=(4=48=8 ) , con lo cual

se concluye que U + V = V + U

4. Existe un único vector Z∈Rn tal que U + Z = Z+ U =U leymodulativa parala suma .Sea Z∈Rn cuyas componentes son nulas o carecen de elementos (Z=0¿. Por lo tanto al sumar un vector U con Z las componentes del vector suma U + Z = Z+ U serán las de U dada la existencia del modulo en los reales.

Por ejemplo:

Sean U=( t2 t) y Z=(00)U + V=( t2 t)+(00)=( t2t )=U

5. Para cada U , existe un único vector P ∈Rn tal que U + P = P+ U=0 Existencia del opuesto para la suma.

Sean Z y V∈ Rn de igual magnitud pero sentidos opuestos, de tal forma que al sumar ui y p i se genere el vector nulo o vector Z mencionado en la propiedad anterior.

Por ejemplo:

Sean U=( t2 t) y P=( −t−2t )

U + P=( t2 t)+( −t−2t )=( t−t2t−2 t)=(0

0)=Z

6. αU∈ Rn Ley clausurativa para el producto por escalarSiendo U∈Rn y α un escalar ∈R❑, se cumple que al multiplicar α u i el vector resultante pertenecerá a Rn.

Por ejemplo:

Sean U=( t2 t) y α=4

αU=4( t2 t)=(4×t8×t )=(4 t

8 t ) el cual es múltiplo de U y al igual que este ∈Rn.

17

7. α (U+V )=α (U )+α (V ) Ley distributiva del producto por escalar respecto a la suma de vectores:

Sean ui y v ilas i-esimas componentes del vector U y V respectivamente. Entonces ui+v i= v i+u i es la suma de las i-esimas componentes de U y V y siendo α un escalar ∈R❑, por la existencia de la propiedad distributiva en los reales se cumple que α (ui+v i )=α (ui )+α (v i).

Por ejemplo.

α (U+V )=α (U )+α (V )

Sea U=( t2 t) y V=( s2 s)α (U+V )=α [( t2t)+( s2 s )]=( α ( t+s)α (2 t+2 s ))=( αt+αs

α 2t+α 2 s)=α ( t2 t)+α ( s2 s )=α (U )+α (V )

(α+β¿U=αU+β USean α y β dos escalares reales y U∈Rn, por la existencia de la ley distributiva del producto por escalar respecto a la suma de escalares en los reales se cumple que α+β¿U=αU+β U .

Por ejemplo:

Sea U=( t2 t) (α+β )( t2 t) = (α+β )t+(α+ β )2 t

=αt+βt+α 2 t+ β2 t

=α (t+2 t )+β (t+2 t) =αU+ βU

(α+β¿U=α (β U )= β (αU )

Sean α y β dos escalares reales y U∈Rn, por la asociatividad y conmutatividad del producto de los reales se cumple que (α+β¿U=α (β U )= β (αU ).

Por ejemplo:

18

Sean: α=4 , β=2 yU=( t2t)

4.2 .( t2 t)=4.(2t4 t)=2(4 t8 t )

=8.( t2t)=( 8t16 t )=( 8 t

16 t)=( 8 t

16 t) Las propiedades 10-13 se cumplen dada la existencia de los escalares α=1 y β=0 en los números reales.

11)

Grafica del vector PQ:

PQ=(−12 )−( 1

−3)=(−25 )

Gráfica del vector PQ:

19

PQ=(325)−(2

01)=(1

24)

13)

a). b=(−9−42 ) y (−1 3

250−1)

(−1 30110−1|

−9−22

2 ) f 2+2 f 1→f 2 (−1 325

0−1|−9−4

2 ) f 3 +111f 2→f 3 (−1 3

01100 |−9

−220 )

el vector bes combinacionlineal

b). b=( −2ba+5b) y (−1−2

3 5 )

(−1−23 5 |−2

5 ) f 2+3 f 1→f 2(−1−20 1 |−2

1 )el vector bes combinacionlineal

20

15) Sea U=(236

−3) y V=(

548

−4)

(2 53 46 8

−3 −4| 3

0−30

1−230

)→ f 2+f 4→f 2f 4+ f 2→f 4f 3−2 f 2→f 3

→(2 50 00 00 0

| 30

−30

1−27

−2)con lo cual al ser el sistema

inconsistente se prueba que esos vectores no generan ni a U ni a V .

17) Para α=0 se obtiene que Gen={(010)(

100)(001)}=R3

Gen= {e1 , e2 , e3 }=R3

18)

a=( 0−21 )b=( 1

−20 )c=( 0

1224)2a−b+ 1

4c

2( 0−21 )−( 1

−20 )+ 1

4 ( 01224 )=(−1

18 )

b¿ . 12a+2b−c

12 ( 0

−21 )+2( 1

−20 )−( 0

1224 )=( 2

−1724.5)

c ¿ .Existen infinitas combinaciones lineales.d ¿ . a+b

( 0−21 )+( 1

−20 )=(−1

−41 )→f 1→f 3( 1 0 24

−2 −2 120 1 0 | 1

−41 ) f 2+2 f 1→f 2, f 3+ 1

2f 2→f 3 (1 0 24

0 −2 600 0 6 | 1

−21 )

Es combinación lineal.

21

e ¿ .( 1 0 24−2 −2 120 1 0 |000) (1 0 24

0 −2 600 0 6 |000) Como el sistema es inconsistente, no es combinación

lineal.

f ¿ . u=2a−3b+ 23c

2( 0−21 )−3( 1

−20 )+2

3 ( 01224 )=(−3

1018 )

( 1 0 24−2 −2 120 1 0 |−3

1018 ) (1 0 24

0 −2 600 0 6 |−3

423 )Como el sistema es consistente, si es una combinación

lineal.

g¿ .(111)( 1 0 24−2 −2 120 1 0 |111) (1 0 24

0 −2 600 0 6 | 1

32.5)Es combinación lineal

h) El problema que se plantea para contestar la pregunta anterior es si efectivamente los vectores dados en este caso (1, 1,1) T, son combinación lineal, para esto hacemos una matriz, y si al escalonarla esta es consistente, el vector, o los vectores son combinación lineal, y si por lo contrario el sistema es inconsistente, los vectores no son combinación lineal.j). El vector A+B , si pertenece Gen {a ,b , c }, pueses unacombinacon linealde este.

21.u=(−103 ) , v=( 0

3−5) ,w=(−2

21 ) ,h={u , v }

a¿ .Verdadera.b). Falsa.c ¿ . Verdadera

(−103 )=∝(−1

03 )+β ( 0

2−5)→(−1 0

0 23 −5|−1

03 )3 f 1+ f 3→ 2

5f 2+ f 3→f 3(−1 0

0 20 0|−1

00 )

Como el sistema tiene solución podemos asegurar que el vector V esta en H.d ¿ . Falsa

(−221 )=α(−1

03 )+β ( 0

2−5)→(−1 0

0 23 −5|−2

21 ) f 3+3 f 1→f 3 ,

25f 2+ f 3→f 3(−1 0

0 20 0|−2

2−7)

Como el sistema es inconsistente (0≠7), el vector W no está en el Gen {H }e ¿ . Falsa

22

2u−v→Gen {H }2(−103 )=(−2

06 )−( 0

2−5)=(−2

−21 )→(−2

−21 )=α(−1

03 )+β ( 0

2−5)

(−1 00 23 −5|−2

−21 )3 f 1+ f 3→f 3 , f 3+ 2

5f 2→f 3 (−1 0

0 20 0|−2

−215

)Como el sistema es inconsistente (0≠

15

), el vector 2u-v no está en el Gen {H }

f ¿ . Falsa

u+3w→Gen {H }→(−103 )+3(−2

21 )=(−7

66 ) →α(−1

03 )+β (−2

21 )

(−1 −20 −23 1 |−7

66 ) f 3+3 f 1→f 3 , f 2→f 3 , f 3−f 1→f 3(−1 −2

0 −50 0 |−7

−1513 )

Como el sistema es inconsistente (0≠13), el vector u+3w no está en el Gen {H }23) Si U un vector de R2 el Gen= {u , v } y elGen={u ,2u } son el conjunto de combinaciones lineales del vector U ,lo cual geométricamente se vería como puntos con coordenadas x , y que al unirlas forman una recta en el plano cartesiano.

25). (⃗u ) ¿¿ El Gen {u , v },=Gen {u , v , u+v }ya que estos conjuntos son geométricamente una

misma recta en r3.{u+v } Es una combinación lineal de {u , v } .27). conjunto Generador Gen {u ,2u , v ,2u+v } ,La única forma en que el Gen {u , v }, se puedaescribir comounconjunto generador conmenos cantidadde elementos, es si el uno es múltiplo del otro.

29).Gen {u , v }, u2u3u 4u5u6u v2v 3v 4 v

Gen {u+v ,u−v }, u+v|2u+2v|3u+3vu⃗−v 2u⃗−2v 3⃗u−3 v⃗ 4u−4 v⃗5u−5 v⃗6u−6 v⃗7u−7v

En efecto si u y v forman toda la recta, geométricamente ambas llenara la recta y serán idénticas pero importante tener atención.

33).a¿ . Verdaderob¿ . Verdaderoc ¿ . Falso, por que de ser así el sistema no tendría infinitas soluciones.

23

d ¿ . Falso, porque como el sistema tiene infinitas soluciones debe haber una variable libre.e ¿ . Falso, para que tuviera n pivotes tendría que tener solución únicaf ¿ .Falso, no necesariamenteg¿ . Verdadero.h¿ .Podemos decir que no tiene n pivotes.

35).

a¿ . 0(−120

−2)+2(

35

−10

)+3(−5−11

−41)=z

(2113−5123

)=z b¿ .

-1(−1202

)+0(35

−10

)+1(−5−11

41)=(

−4−31

−43) El vector a no pertenece al espacio nulo de A.

Al mismo tiempo tampoco pertenece al espacio columna, ya que es n vector de R3 y Aes un vector de R4

c ¿ .

0(−1202

)+0(35

−10

)+0 (−5−11

41)=(

0000)El vector (0,0,0) si pertenece al espacio nulo de A

Pero este mismo vector n pertenece al espacio columna de A, ya que al resolver la matriz nos da que es inconsistente. d ¿.

0(−1202

)+2(35

−10

)+3(−5−11

41)=(

2113−5123

)≠(0000) Entonces el vector b n pertenece al espacio nulo de A, pero

en cambio si pertenece al espacio columna de A, ya que al escalonar la matriz nos da consistente.

24

37).

a¿ .(−33−525−11−865 24

) f 4+2 f 1→f 4 , f 2− f 1→f 2 , f 2+ f 3→f 2 , f 3+ f 4→f 3 , f 4+ f 3→f 4 (−33−50−6 10

00 000 0

)Para esta matriz la última columna no es Li, lo deducimos al ver no tiene pivote, por lo tanto el sistema es Ld.b¿ . Para saber si las columnas de una matriz son Ld o Li debemos escalonar la matriz, y dependiendo de las variables libres y el número de pivotes que obtengamos podemos afirmar sobre sus columnas, y sobre la solución del sistema en general, (única solución si sus columnas todas tienen pivotes, infinitas soluciones si al menos tiene una columna Ld).c ¿ .Si es necesario, al menos que la matriz que nos den ya este escalonada, en este caso solo tendríamos que fijarnos en sus columnas.

39)

a¿ . {u , v ,0 }b¿ . {u , v ,2u }c¿ . {u , v ,u−v }d ¿ . {u , v ,tales queu . v=0 }a¿ . Al ser el ultimo vector cero, eso nos dice que o va tener variable pivotal, entonces, tiene infinitas soluciones (Ld).b¿ . c ¿ .d ¿ .

41) Expresiones bien definidas:a¿ . (u . v ) .wb¿ .(u . v)wc ¿ .(u . v )(u .w)d ¿ . (u+v ) .we ¿ .(u . v)+w

45).

a¿ . u=(−125 )v=( 4

−32 )Son ortogonales, porque sin ser vectores nulos su producto es cero.

u=(−70 )v=( 0

−3) Son ortogonales, porque sin ser vectores nulos su producto es cero.

25

u=(4626)v=(

−125

−3) Son ortogonales, porque sin ser vectores nulos su producto es cero.

47).

i ¿u=(−52 ) v=( 3

−1)w=(03)

a¿ . u . v=¿ (−52 ) .( 3

−1)=(−17 )

12u .

72v=1

2 (−52 ) . 72 ( 3

−1)=( 914 )

u . v−u .w=(−52 ).( 3

−1)−(−52 ) .(03)= (−23 )

0.36 v−0.36=0.36(−52 )−0.36( 3

−1)= (−1.8 )

b¿ .Norma

u=¿ (−52 ) ,∥u∥=√25+4=√29

3u=3 (−52 )=,∥3u∥=√225+36=√261

2u+v=2(−52 )+( 3

−1)=(−73 )=,∥2u+v∥=√49+9=√58

u−v=(−52 )−( 3

−1)=(−83 )=,∥u−v ∥=√65−9=√73

c ¿ .Angulo

Entre u y v

u . v=(−52 ) .( 3

−1)=(−17 )∥u∥2

=(−52 ) .(−5

2 )=29 y ∥v ∥2( 3−1). ( 3

−1)=10

cosθ= u . v∥u∥∥ v∥

= −17

√29 .√10→θ=176.6 °

Entre u y 2v

26

u .2v=(−52 ).2( 3

−1)=(−34 )∥u∥2

=(−52 ) .(−5

2 )=29 y ∥2v∥2( 6−2) .( 6

−2)=40


= −34

√29 .√40→θ=0.54 °

Entrev y −3v

v .−3v=( 3−1).−3( 3

−1)=(−30 )∥ v∥2

=( 3−1) .( 3

−1)=10 y ∥−3 v∥2(−93 ).(−9

3 )=90


= −30

√10 .√90→θ=0.54 °

Entre u y w

u .w=(−52 ) .(03)=6∥v ∥

2

=(−52 ).(−5

2 )=29 y∥w ∥2(03) .(03)=9


= 6

√29 .√9→θ=0.93 °

Entre u y v+w

u y v+w=(−52 ).( 3

−1)+(03)=−14∥u∥2

=(−52 ) .(−5

2 )29 y∥ v+w ∥2( 0−3) .( 0

−3)=−9


= −14

√29 .√9→θ=0.64 °

d ¿ . vunitario= v∥v ∥

→u=(−52 )∥v ∥=√29u=v . 1

∥ v∥→v

1

√29

u=(−52 ) . 1

√29=(

−5

√292

√29)→Vector unitario su norma es =1

f ¿ .w=(03)3w=(09) por−1(sentido contrario )

→

( 0−9) ,Si puede existir otro vector

27

j ¿ . u=(−52 )v=( 3

−1) proy V u=( u . v∥v ∥2 ) . v

u .v=(−52 ) .( 3

−1)=(−17 )∥ v∥2

=10→−1710.( 3−1)=(

−51101710

)Vc=¿ V u¿Vc=( 3

−1)−¿ (−51101710

)=(8110

−2710

)k ¿ . proy U v=( u. v∥u∥2 ) . u

u . v=(−52 ) .( 3

−1)=(−17 )∥ v∥2

=29→−1729.(−5

2 )=(8529

−3429

)Vc=¿ U v¿Vc=(−5

2 )−¿ (8529

−3429

)=(−230

29−6829

)l ¿ . proy 2v u=( u . v∥u∥2 ) .u

2v=( 6−2)u. v=−34∥ v∥

2

=40→−3440.(−5

2 )=(17040

−6840

)m ¿ .Vc=¿ 2v u¿Vc=(−5

2 )−¿ (17040

−6840

)=(−370

401240

)49).

28

a¿ . Recta

b¿ . Recta

c ¿ . Hiperplano

d ¿ . Recta

e ¿ . Hiperplano

f ¿ . Plano

51). PQ→Q−P=(−4−5−4

0)→Vector director de la recta

(x1

x2

x3

x4

)=(3

−502

)+t (−4−5−40

)

29

Final

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