Filsafat Matematika NEW

8/18/2019 Filsafat Matematika NEW

1/5

Filsafat Matematika

Telah dikatakan cukup serius bahwa matematikawan, orang-orang yang menemukan atau

menciptakan matematika, tidak tahu apakah mereka matematika objek ada dan tidak tahu apakah

teorema mereka terbukti benar. Untuk memasukkan seperti pernyataan pesimis tentang sifatmatematika dalam sebuah buku tentang matematika dan matematika agak berisiko. Saya

berharap bahwa guru matematika atau calon guru tidak akan diminta untuk mempertimbangkan

profesi bidang lain, seperti sejarah, dimana keadaan lebih tepat dan pasti. Atau apakah itu?arena kebenaran sejarah dilihat secara berbeda oleh berbagai sejarawan dan tidak diketahui

pasti bahwa semua terkenal dan lebih terkenal. Tokoh dalam sejarah sebenarnya memang ada,

dugaan lemah ini dapat diterapkan untuk sejarawan serta untuk matematikawan.!eskipun matematika telah disebut ratu ilmu pengetahuan dan terkenal sulit baik dalam

metode, "aliditas, dan logika nya, memiliki masalah dalam dasar-dasar logikanya, hanya

sebagian dikembangkan, dan terus mengalami perubahan dalam metode dan kontennya.

Sementara matematika mungkin lebih tepat daripada ilmu-ilmu sosial dan agak lebih tepatdaripada ilmu fisika, hal ini tidak tepat dalam segala hal yang mutlak. Untuk orang yang telah

diajarkan dalam kebenaran mutlak dan kesempurnaan matematika, sebuah studi matematikawan

dan sejarah matematika dapat mengecilkan hati dan mencerahkan. #engembangan matematikatelah terdisorganisasi, berulang-ulang dan benar-benar berantakan. !ungkin akti"itas terpenting

kedua $yang pertama memproduksi matematika baru% matematikawan adalah membersihkan

$menghapus ketidakkonsistenan dalam menyelesaikan pengembangan% matematika yang dibuatoleh para pendahulu mereka. !eskipun proses pengembangan matematika telah bergejolak,

produk akhirnya cukup baik& matematika berisi beberapa ketidakkonsekuenan dan paradoks yang

logis. Terlepas dari kenyataan bahwa logika masih menyulitkan dalam dasar-dasar matematika,

terutama dalam matematika set terbatas, matematika telah menjadi alat yang akurat dan sangatdiperlukan dalam pengembangan sosial, ekonomi dan teknologi.

ebenaran pernyataan 'matematikawan tidak tahu jika ciptaan mereka ada' yang

digambarkan dalam fakta bahwa sistem matematika didasarkan pada definisi yang mana

menganggap keberadaan dari wujud matematika. Sebagai contoh, seperti intuitif yang menarik sebagai himpunan bilangan $angka perhitungan% didefinisikan sebagai satu set yang

keberadaannya dinyatakan dalam dalil-dalil berikut $pernyataan diasumsikan benar %. (alil-dalilini pertama dirumuskan oleh seorang ahli logika )talia yaitu *iuseppe #eano $+-+/0%.

$a% !atemaika adalah bilangan asli.

$b% #engganti dari setiap bilangan asli adalah bilangan asli.$c% Tidak ada dua bilangan asli memiliki pengganti sama.

$d% !atematika bukanlah pengganti dari setiap bilangan asli.

$e% Setiap bagian dari matematika, dan juga pengganti dari setiap bilangan asli yang

memiliki bagian itu, adalah milik semua bilangan asli.1ang terakhir dari asumsi ini disebut prinsip induksi matematika. 2ika pengganti kata berarti

menambahkan satu, kemudian kelima dalil ini menentukan bilangan asli .

3agaimanapun, sejak penggantinya adalah istilah tak terdefinisi, jika kita memutuskan bahwa ituakan berarti membagi dengan tiga, maka dalil-dalil menghasilkan himpunan bilangan.


2/5

2adi, bahkan setelah penjelasan bilangan asli, tampak bahwa kita tidak tahu persis apa yang

sedang kita bicarakan.

!enggunakan dalil $e% dan dengan asumsi aturan penambahan dan perkalian bilangan asli,teoremanya.

3ernilai benar, karena .

2uga, jika diasumsikan bahwa

kemudian dikatakan bahwa

!aka dalil $e% teorema itu benar. Artinya, teorema benar jika dalil $e% benar. arena dalil $e%

menganggap benar tanpa bukti, kita tidak benar-benar tahu bahwa teorema benar. Apa yang dapatdikatakan adalah logika dan prosedur matematika menyiratkan kebenaran teorema, dengan

asumsi dalil $e% benar.

(apat disimpulkan, #eano mendefinisikan bilangan asli, yang tidak ada, dan kitamembuktikan teorema, yang mungkin tidak benar, tentang angka-angka ini. Sementara semua

cara ini tampak seperti sebuah argumen oleh !ad 4atter dari Alice in Wonderland , hal ini

menggambarkan isu-isu penting di dasar matematika yang dipelajari dan diperdebatkan oleh

matematikawan, ahli logika dan filsuf. 5ewis 6arroll, pada kenyataannya, matematikawan6harles (ogson $+/0-+%--- yang juga bisa disebut seorang filsuf.

)denya, diawal bab ini, matematikawan adalah orang yang menemukan atau menciptakan

matematika menggambarkan masalah filosofis mendalam, matematikawan membagi pendapatnya yang prihatin dengan isu-isu tersebut ke dalam dua aliran pemikiran. Satu sekolah

percaya bahwa matematika ada di alam, seperti hukum fisika yang ada di alam, dan bahwa

matematika menemukan unsur-unsur dan hukum matematika. Sekolah lain merasa bahwa

matematika lebih seperti sebuah karya seni, lukisan yang tidak berwujud hingga seniman, dalamkasus ini matematikawan, menciptakan itu. !asih ada orang lain yang percaya, seperti halnya

matematikawan 2erman 5eopold ronecker $+0/-++%, bahwa 'Tuhan membuat bilangan

bulat& Semua sisanya adalah pekerjaan manusia.'3aru-baru ini telah ditunjukkan, meskipun itu telah lama menduga, bahwa semua matematika

tradisional bisa berasal dari bilangan asli. !atematikawan 1unani #ythagoras, yang hidup pada

abad keenam 3. 6., percaya bahwa tidak hanya matematika, tetapi segala sesuatu yang lain bisadisimpulkan dari angka. #ythagorean mungkin telah menemukan hambatan paling serius untuk


3/5

impian mereka ahli hitung matematika. (iperkirakan bahwa salah satu #ythagorean mungkin

menemukan angka irasional, yang disebut bilangan yang tidak dapat dibandingkan, tidak ada

yang dapat diukur menggunakan setiap unit yang rasional, tidak peduli seberapa kecil. Sebagaicontoh, pembandingnya +.7+7 dapat diukur menggunakan panjang kecil 8.88+ unit& 9amun ada

unit tidak rasional yang dapat digunakan untuk mengukur , sebuah temuan yang sangat

membingungkan #ythagorean. 3ilangan sebanding, yang digambarkan sebagai hasil bagi dua

bilangan bulat, disebut rational dan bilangan yang tidak dapat dibandingkan disebut irrational .

Akar kuadrat dari 0 dapat disebut sebagai irasional& artinya, tidak ditemukan sebagai hasil bagi

bilangan bulat. 2ika rasional, kemudian yang mana dan adalah bilangan bulat

yang relatif prima& adalah adalah pecahan yang telah dikurangi menjadi nilai terendah.

emudian

and

Sejak di sebelah kanan tanda sama dengan adalah bilangan genap, juga harus menjadi

bilangan genap. 2ika adalah sebuah bilangan genap, maka juga bilangan genap. Akibatnya,

dapat ditulis sebagai , dan

(engan penalaran yang digunakan di atas, dan harus menjadi bilangan genap. Sejak

keduanya dan adalah bilangan genap, dan tidak relatif prima. )ni bertentangan dengan fakta

bahwa dan dipilih untuk menjadi relatif prima. :leh karena itu asumsi adalah rasional

yang mengarah pada kontradiksi, yang berarti itu adalah irasional.

!etode yang digunakan dalam argumen di atas disebut metode langsung bukti atau bukti

yang bertentangan, yang dihindari di masa lalu oleh beberapa matematikawan terkenal yang

menganggap itu sebagai metode yang tidak logis. Sebagai ilustrasi dari kesulitan logis mungkin

metode langsung bukti, kita kira telah diasumsikan irasional, yang mana ini tidak rasional?

Ada beberapa proposisi $mungkin teorema yang mungkin benar atau tidak mungkin benar%

dalam matematika yang seimbang . #roposisi seimbang jika itu tidak dapat dibuktikan ataudibantah. 4al ini bukan untuk mengatakan bahwa tidak ada yang belum cukup pintar untuk

membuktikan atau tidak membuktikan dalil; bukan berarti bahwa seseorang telah membuktikan

kemustahilan baik membuktikan atau tidak membuktikan proposisi tersebut.


4/5

#ada tahun +0+ matematikawan #olandia 2an 5ukasiewic< menerbitkan sebuah makalah

penelitian tentang logika bernilai tiga, dan #os Amerika =mil menyiapkan sebuah artikel pada

sistem logis nilai- umum. (alam sistem logis nilai-dua, salah satu sekolah yang siswanya

paling akrab dengan matematika, pernyataannya adalah benar $T% atau salah $>%. !enggunakan

bagian dari kalkulus, beberapa pernyataan dapat digabungkan dalam sebuah pernyataan baru

yang kebenarannya atau kesalahannya tergantung pada kebenaran atau kesalahan pernyataan

indi"idu. Sebagai contoh, tabel kebenaran bernilai-dua untuk konjungsi, dan , dari dua

pernyataan dan ditampilkan di bawah. Tabel ini memiliki semua nilai-nilai kebenaran yang

mungkin untuk dan dan nilai-nilai kebenaran dihasilkan untuk konjungsi dan .

and

T T T

T F F

F T F

F F F

2ika kedua pernyataan dan benar, maka pernyataan dan benar. 2ika atau salah, maka

pernyataan dan salah. Sementara sistem logis yang bernilai-dua seperti ini cukup untuk

banyak sistem matematika formal, hal ini tidak memuaskan untuk menggambarkan logika yangdiperlukan untuk fungsi dalam dunia yang didominasi oleh keputusan politik praktis.

ebanyakan kursus alternatif tindakan dalam urusan internasional, politik, ekonomi dan

perubahan sosial tidak memiliki nilai-nilai yang benar atau salah. Sayangnya jawaban untuk

kebanyakan pernyataan lebih baik daripada telah diputuskan. Tabel kebenaran untuk semua

nilai kebenaran yang mungkin dari dan serta nilai-nilai kebenaran yang dihasilkan untuk

konjungsi dan diberikan di bawah ini. (alam sistem logis nilai-tiga ini, nilai ketiga adalah

seimbang $U%.

and

T T T

T F F

F T F

F F F

T U U

U T U

F U F

U F F

U U U

(ari penjelasan ini situasinya di mana adalah pernyataan undecidable dan adalah

pernyataan yang salah, dan pernyataan yang salah& karena baik pernyataannya benar atau

salah dalam konjungsi dengan pernyataan salah akan dihasilkan dalam sebuah pernyataan yang

salah.


5/5

Sementara sistem logis nilai-dua harus diajarkan di sekolah matematika untuk membantu

siswa yang berhubungan dengan aplikasi non-kelas logika, sama pentingnya untuk

menggambarkan dan menggunakan sistem logis nilai-tiga untuk alasan yang sama.

Filsafat Matematika NEW

Documents

Transcript of Filsafat Matematika NEW