中期経営計画「『 For The Customer & For The …55億円 収益性の向上 役務取引等利益 105億円以上 103億円 100億円 94億円 93億円 12億円 の追求効率性
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アポロニウスの円錐曲線論
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アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。
circle
ellipse
hyperbola parabola
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アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。
circle
ellipse
hyperbola parabola
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アポロニウスの円錐曲線論
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アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
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アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。
円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。
ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って 一定、となる。
. – p.5/16
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って PF + PF ′= QQ′
=一定、となる。
. – p.5/16
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アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|
が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
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アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|
が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。
円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。
ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って 一定、となる。
. – p.7/16
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って PF − PF ′= QQ′
=一定、となる。
. – p.7/16
![Page 21: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/21.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。
F
P
l Q
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![Page 22: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/22.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。
F
P
l Q
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![Page 23: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/23.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。
円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
![Page 25: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/25.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。
と平行で、円錐に接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
![Page 27: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/27.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明
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円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。
放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
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アポロニウスの円錐曲線論証明
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AAAAAAAAAAAAAA
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AAAA
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AAA
P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。
直線 点 を取る。
. – p.9/16
![Page 29: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/29.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明
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F
QRR'l' l
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HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。 直線 l, l′点O,Q,R,R′を取る。
. – p.9/16
![Page 30: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/30.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 を含む平面上で考える。なので
は二等辺三角形である。と が平行なので
も二等辺三角形。従って、
. – p.10/16
![Page 31: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/31.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。
なのでは二等辺三角形である。
と が平行なのでも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
![Page 32: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/32.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。
と が平行なのでも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
![Page 33: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/33.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
![Page 34: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/34.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。従って、 PF = PR = PQ
. – p.10/16
![Page 35: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/35.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。
F' F
PA
B
. – p.11/16
![Page 36: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/36.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。
F' F
PA
B
. – p.11/16
![Page 37: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/37.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。
F' F
PA
B
F"Q
. – p.12/16
![Page 38: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/38.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。
F' F
PA
B
F"Q
. – p.12/16
![Page 39: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/39.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。
F' F
P
A
B
. – p.13/16
![Page 40: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/40.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。
F' F
P
A
B
. – p.13/16
![Page 41: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/41.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。
F' F
P
A
B
F"
Q
. – p.14/16
![Page 42: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/42.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。
F' F
P
A
B
F"
Q
. – p.14/16
![Page 43: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/43.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。
F
P
A
B
Q
. – p.15/16
![Page 44: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/44.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。
F
P
A
B
Q
. – p.15/16
![Page 45: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/45.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。
F
P
A
B
Q
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R
. – p.16/16
![Page 46: アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論 アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040911/5e84e6f3a8e2e2366440d6f5/html5/thumbnails/46.jpg)
アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。
F
P
A
B
Q
F'l
R
. – p.16/16