混相流体工学 その2マイクロ混相流編

千葉大学大学院融合理工学府機械工学コース応用熱流体工学担当者 武居昌宏●参考図書姚佳烽, 武居昌宏, 『細胞の特性計測・操作と応用』第4章:浮遊細胞の電気的特徴量の計測, コロナ社, ISBN：978-4-339-07261-7(2016年)●参考Webページ 資料浅見耕司先生 http://www003.upp.so-net.ne.jp/asami/DS.pdf小林幹佳・杉本卓也ら,日本土壌肥料学雑誌,85,3,pp.251~258（2014）Encyclopedia of Microfluidics and Nanofluidics, 2015,Springer

A.R. MINERICK, DC Dielectrophoresis in Lab-on-a-ChipDevicesH.MORGAN, N. GREEN, Dielectrophoresis

※順次 加筆修正しています。まだかなり不完全です。ご了承ください。

任天堂ファミコンソニーウォークマン

1985年発売3kg8時間充電で40分通話

携帯電話1984年に発売

初代Macintosh

この30年で微量・細かいものへの関心

この30年で小さくなった製品・技術

昭和時代の脱臭剤20%2Fmasya19xx%2Ffolder%2F1363587%2F01

ブラウン管テレビ

http://ichiba.geocities.jp/seiyaa_desk/seiyaajapan/minica-seiyaasugeta.html

http://yojimbonoyoieiga.at.webry.info/201402/img2_5.139210410661644136228.html

マイクロ流路と微粒子分散系を扱う産業●マイクロ流路の用途例・μポンプ送液 ・濃縮、分離・抗原抗体反応・細胞培養、コンタクトプリント・細胞の濃縮・分離・分級・燃料電池・透析用中空糸

I-Fang Cheng et al. Microfluid Nanofluid (2011)

・(CMPスラリー・リチウムイオンバッテリーの電極・化粧品，医薬品，食品

●微粒子固液混相の例

CMP slurry

CMP apparatus

Electrode

Electrolyte

Activematerial

Conductiveassistant

Structure of LiB

Agglomeration Dispersion

Cosmetics

●微粒子分散系エマルション（乳濁液）牛乳、バタークリーム状の薬品化粧品磁性流体

http://www.meysey.com/pg202.html

http://www.toray-medical.com/business/touseki/tou_001.html

フローサイトメトリー

iPS細胞等による再生医療の研究が発展→特異細胞形成の懸念

特異細胞をセンシング・分離する技術が求められている．

●ラべリングを施した細胞にレーザ光線を照射して細胞の性質をセンシング●静電気力による分離

改善

●ラべリングにより細胞にダメージ

電圧板

レーザ照射

+-+

+

+

-

-

-

シース液

誘電スペクトロサイトメーター

●電気特性センシング●誘電泳動力FDEPを利用した細胞分離

図 誘電スペクトロサイトメーター

図．フローサイトメトリー

電極

DE

P

図 フローサイトメトリー問題点

S.Omori et al, Prototyping of Dielectric Spectro-Cytometer (2010)

J. Voldman, Electrical Forces For Microscale Cell Manipulation(2006)

マイクロ流路と微粒子分散系を扱う産業#2

マイクロ流路と微粒子分散系の未来予想図例

http://bio-asm.jp/outline.html本研究室も参画していました

マイクロ流路内の混相流体力学の注意点 体積力面積力

BassetVMSEBLCGD FFFFFFFFFv

dt

dmp

[N]

Ψ

0

ufv

y

x

粒子が流体から受ける力の例(その1参照)

注意点1) FE 電荷による電気力が無視できない

2) 圧力駆動の流れだけではなく、電気力で流体を駆動する場合が多い

3) 流体力学だけではなく、微粒子周囲の電荷など電気化学における力学の知識も必要

流体の動き

粒子の動き

●固液系微粒子に働く電気運動力(Electrokinetics)

電気二重層

静電相互作用(浸透圧による斥力)ファンデルワールス相互作用DLVO理論電気泳動力Electrophoresis (EP)誘電泳動力Dielectrophoresis(DEP)

電気浸透力Electroosmosis (EO)熱浮力Thermal Buoyancy (TB)電気熱力Electrothermal (ET)

●ファンデルワールス力

分子・原子間引力 電気双極子（双極子モーメント）に起因

無極性 電子雲の揺らぎにより瞬間的な電荷の偏り有極性の微粒子 電荷の偏り●電気二重層による静電相互作用反発力

電荷の反発エネルギ

全体のエネルギ

粒子の表面距離

分子間引力のエネルギ

反発

吸着

エネルギ

●電場印加 静電気力に起因する流れ 電気浸透力 電気泳動力誘起双極子に起因する流れ 誘電泳動力など

Dtd 22 p

B

d

TkD

3

p

B

d

Ttkd

3

2

B：移動度[m/kg]D：拡散係数[m2/s]t：時間[s], T：温度[K]kB：ボルツマン定数[J/K]=R/NA

(R:気体定数NA:アボガドロ数)T:温度[K]μ：媒質の粘度[Pa・s]dp：粒子直径[m]|Δd2|:平均二乗変位

●ブラウン運動

ストークス・アインシュタインの式

TBkD B

マイクロ混相流に関する静電気力

牛乳 酸性pH4.2⇒分散している微粒子カゼインが凝集沈殿⇒カッテージチーズ

ミルクからチーズの作り方

カゼイン・タンパク

遠心分離機コロイド

疎水性成分が外側

食塩を入れて脂肪を分離固化

酵素や乳酸菌を加えて発酵

(ホエイ・タンパク)

脂肪を分離

PLGA（乳酸・グリコール酸共重合体）ナノ粒子

化粧品ナノ粒子技術●PLGA ナノ粒子を用いた毛根への育毛成分送達システム

http://www.suntory-kenko.com/http://www.nanoimpact.jp/cp/sp/

●「アスタキサンチン」のナノ微粒子化

http://shop-healthcare.fujifilm.jp/sp/astaliftbrand/technology/

新ナノ微粒子化技術

従来技術

https://www.teijindupontfilms.jp/product/

微粒子製造技術:

http://www.asuzac-ceramics.jp/process/

乾式粉砕機:高速噴流の粒子衝突により微粒化

高速ミキサ:「薄膜旋回」によりナノ粒子微粒化

http://www.primix.jp/

スプレードライヤ:原液をノズルにより微粒化し、熱風を接触させることにより乾燥・造粒

http://www.oc-sd.co.jp/product/

対向気流

http://www.sugino.com/

ナノ粒子を作る機械固相法: 機械的エネルギーで粉砕液相法: 共沈法、ゾルゲル法、

液相還元法、水熱合成法気相法: 電気炉法、化学炎法、

レーザー法、熱プラズマ法

https://www.nisshineng.co.jp/knowledge/words/nano/index.html

熱プラズマ法

空気清浄機・ろ過器

PM0.1(0.1μm) 微粒子を99.95%除去活性炭フィルター、HEPA (High Efficiency Particulate Air)フィルタ •静電気力によ

る繊維への吸着

Dyson Pure Hot+Cool Link™https://ja.wikipedia.org/wiki/HEPA

http://www.dyson.co.jp/

③活性炭フィルター ④膜分離 中空糸フィルター

●ろ過器 砂ろ過の例

●ろ過器 膜ろ過の例ライフセーバー高機能浄水タンク jerrycan 20000

http://www.lifesaversystems.com/

ウィルス 20nmMF（精密ろ過）膜 50nm～10μmUF（限外ろ過）膜(中空糸膜)～10nmRO(逆浸透)膜 2nm以下

http://www.wellthy.co.jp/product/seoale/

220

2

1

enz

TkBr

1/κ :拡散電気二重層厚さ(デバイ長)[m]εr:溶液の比誘電率[-]ε0:真空の誘電率[F/m]kB:ボルツマン定数(=1.38×10-23[J/K])

(=気体定数R/アボガドロ定数NA)T:溶液の温度[K]n:イオン濃度(数密度)[m-3]z:イオンの価数[-]e:単位電荷(=1.60×10-19[C])

σ0:表面電荷面密度[C/m2]ρe:界面近傍の溶液の電荷密度[C/m3]ζ:ゼータ電位(すべり面の電位) [V]Ψ0:表面電位[V]Ψd:拡散層電位[V]σs:固定層の電荷面密度[C/m2]σd:拡散層の電荷面密度[C/m2]

電荷ゼロ点（PZC）シリカで（pH=4付近）アルミナ（pH=9～10）

表面水酸基の解離

EDL

Cat

ion

An

ion

拡散層

固定層

σ0

酸性側

塩基性側

すべり面(固定層のちょっと外側)流体速度が0 の位置

Ψ0

ufv

y

x

EDL

イオン濃度nの電解質溶液が表面電荷面密度 σ0の帯電面に接すると電気二重層が形成

固体表面の帯電と電気二重層

3/2

3/10

22220 2

1

2

1

n

n

ez

Tk

enz

Tk

r

BBr

デバイ長の意味

イオン濃度n低 ⇒ 1/κ :長イオン濃度n高 ⇒ 1/κ :短

霧の兵庫県三田市

https://ja.wikipedia.org/wiki/

1/κr

qqV

1

42

[J]

イオン1個の熱運動エネルギ

クーロン相互作用エネルギ×イオン間平均距離

11/2

電荷q(電場Eのソース)

クーロン相互作用ポテンシャル・エネルギ V[J]

[m]

離れようとするエネルギ

近づこうとするエネルギ

n:イオン濃度(数密度)[m-3]n-1/3 :イオン間の平均距離[m]1/κ :拡散電気二重層厚さ(デバイ長)[m]εr:溶液の比誘電率[-], ε0:真空の誘電率[F/m]kB:ボルツマン定数(=1.38×10-23[J/K])

(=気体定数R/アボガドロ定数NA)T:溶液の温度[K]z:イオンの価数[-]e:単位電荷(=1.60×10-19[C])

拡散電気二重層内の電位分布

ノイマン型境界条件0

0

0d

d

ryy

イオン濃度のボルツマン分布仮定

拡散層内の電荷密度ρ(y)

Tk

yze

Tk

yzezen

y BBr

expexp

d

d

02

2

σ0小、Ψ小(25mV以下が目安) 1

Tk

yze

B

220

2

1

enz

TkBr

2

2

2

d

d

y

0

00

r

yy exp0 Ψ0はy=0における表面電位

※拡散電気二重層: 電位差Ψ0、誘電率εrε0、極板間距離1/κのコンデンサと等価

拡散層内Ψにポアソン方程式を仮定

Ψ(y)

拡散電気二重層内の電位分布

y

Ψ0

02

2

d

d

r

y

y

yzenyzeny

⇓V=Q/C と同じ

ここはマイナス

理由は次ページ

ポアソンボルツマン式:拡散電気二重層内の電位分布の式

[m]

Ψ0/e

Ψ:拡散電気二重層内の電位分布[V]ρ:拡散電気二重層内の電荷密度[C/m3 ]kB:ボルツマン定数(=1.38×10-23[J/K])T:絶対温度[K], z :イオン価数[-]n+(y):陽イオン濃度[個/m3]e:電気素量(=1.60×10-19[C])σ0:表面電荷面密度[C/m2],rp:粒子半径[m]

p

p

r r

r

10

00

⇓球粒子の場合

電場のガウスの法則:

Tk

yze

n

yn

B

exp

Tk

yze

n

yn

B

exp

拡散電気二重層内の電位分布 補足

0

r

Eガウスの法則

E:電場[V/m]Ψ:電位[V]ρ:電荷密度[C/m3 ]εr:溶液の比誘電率[-]ε0:真空の誘電率[F/m]kB:ボルツマン定数[J/K]T:絶対温度[K]n+(y):陽イオン濃度[個/m3 ]z :イオン価数[-]e:電気素量[C]

ΨE電場と電位の関係

Ψのポアソン方程式

ボルツマン分布

ここはマイナス

静電的位置エネルギ zeΨ

存在確率

P

1.0

T上昇

0.0

電位 Ψ=基準点から測ったその点の単位正電荷(+1C)あたりの静電的位置エネルギ[V]=[J/C]静電的位置エネルギは zeΨ [J] ze[C]

y

n0

n

ynP

帯電面からの距離

y[m

]

界面近傍における陽イオン、陰イオン、全イオン濃度分布

n

ynP

この差が相互作用に起因

0

2

2

d

d

r

y

y

Tk

ze

n

ynP

B

exp

エネルギ5Jを1つの分子に分配⇒5通り4Jを1つの分子､1Jを1つの分子に分配⇒5×4=20通り

2Jを2つの分子に、1Jを1つの分子に分配⇒30通り1Jを5つの分子に平等に分配⇒1通り

T:温度, kB:ボルツマン定数 kBT:分子1個あたりのエネルギ平均値, n:分子総数

ボルツマン分布の直観的な意味

分子の持つエネルギは平等ではないあるエネルギEiを持つ分子の数niは､エネルギが大きくなるにつれて指数的に減少。

ボルツマン分布

Tk

E

n

n

B

ii exp

全エネルギ5Jを5つの分子に分配する

3Jを1つの分子に、1Jを2つ

の分子に分配⇒5×3×2=30通り

エネルギをもらう分子数 組合?/126

確率%5J 4J 3J 2J 1J 0J

1 0 0 0 0 4 5 4.00 1 0 0 1 3 20 15.90 0 1 1 0 3 20 15.90 0 1 0 2 2 30 23.80 0 0 2 1 2 30 23.80 0 0 1 3 1 20 15.90 0 0 0 5 0 1 0.81 1 2 4 12 15 合計分子数

純金融資産保有額の階層別世帯数

https://www.nri.com/jp/news/2014/141118.aspx

「分子のエネルギ分布」=「お金持ちの分布」

エネルギの分子への分配⇒人にお金をランダムにばらまくとどんな分布か?

富の分布はボルツマン分布?ボルツマン分布

Tk

E

n

n

B

ii exp

①最初6人がお金を1ドルずつ持っている。②6人は1〜6までの番号を割り当てる。③サイコロを2回振り、最初に出た目の人が、次に出た目の人にお金を1ドル渡す。ただし、最初の人がお金を持っていない場合はそのまま。④これを繰り返した時、お金を持っている数の分布はどうなるか?

https://qiita.com/kaityo256/items/69668bf5a92d538c24ae

●ポアソンボルツマン式の厳密解

Tk

ze

B4tanh 0

Tknze

Tk

Br

B

0

010

8sinh

2

y

y

ze

Tky B

exp1

exp1ln

2

ポアソンボルツマン式の厳密解

y=0でσ0,Ψ0(0)=Ψ0より

Tk

yze

Tk

yzezen

y BBr

expexp

d

d

02

2

220

2

1

enz

TkBr

Tk

ze

e

Tk

B

Br

2sinh

2 000

を用いると

2cosh

ee

2sinh

ee

x

y

)sinh,(cosh

122 yx

2cosh

ee

cosh

sinhtanh

xy

2sinh

ee

ee

eetanh

https://ja.wikipedia.org/wiki/

Ψ:拡散電気二重層内の電位分布[V]Ψ0 :y=0における表面電位[V]ρ:拡散電気二重層内の電荷密度[C/m3 ]kB:ボルツマン定数(=1.38×10-23[J/K])

T:絶対温度[K], z :イオン価数[-] , n:イオン濃度[個/m3]

e:電気素量(=1.60×10-19[C])σ0:表面電荷面密度[C/m2],rp:粒子半径[m]

●ファントホッフの式

http://www.aquatec.jp/infomation/ro.htm

浸透圧(濃度)の高い方に水が移動

浸透圧(osmotic pressure)

拡散:溶質が高濃度から低濃度

へ移動 血液透析では血液側の尿毒素は透析液側に移動。逆にカルシウムなどは透析液から血液側に移動

限外濾過:半透膜の一方から圧を掛けて反対側への水の移動。

透析液側から除水ポンプ（陰圧）で血液中の水を引く

http://www.fuso-pharm.co.jp/cnt/toseki/09.html

水分欠乏性脱水(細胞外液が高浸透圧):運動での脱水(高張)⇒血漿浸透圧上昇し喉の渇き⇒細胞へ水分補給⇒ Na+やK+低濃度(高糖質濃度)等浸透圧(アイソトニック)飲料⇒ゆっくり浸透Na欠乏性脱水: 下痢・嘔吐時では胃液腸液の細胞外液のNa+やK+が喪失⇒Na+やK+高濃度(低糖質濃度)低浸透圧(ハイポトニック)飲料⇒経口補水液OS-1 ⇒速やかに浸透

●透析

TnkP BO n:分子(イオン)濃度[1/m3], kB：ボルツマン定数[J/K]

[Pa]

https://ja.wikipedia.org/wiki/

高張液:細胞内液よりも外液の方が高浸透圧

低張液:細胞外液の方が低浸透圧

DLVO理論

●微粒子分散・凝集特性

静電相互作用による斥力

xが大きいとき tanh(X)≈1 表面電位Ψ0が高いとき γ=1xが小さいとき tanh(X)≈X Ψ0が低いとき 分子にν4が出てncは価数2乗に反比例

2球状粒子間相互作用(実線):静電相互作用(点線)とファンデルワールス相互作用(破線)

H

AaH

TnkaHV B

12exp

642

2

662

3

0

54221

2exp2

384

eA

Tkn rB

c

Tk

ze

B4tanh 0

(Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek)

nc: Vmax=0のときの塩濃度⇒臨界凝集塩濃度

[J]

H

a a

a:粒子半径n:平板中の分子数密度[m-3],A : ハマカー定数[J]1/κ :拡散電気二重層厚さ(デバイ長)[m]

Tk

ze

B4tanh 0

二粒子間相互作用V(H)

ファンデルワールス相互作用による引力

高濃度

臨界凝集塩濃度

溶液:低濃度

高濃度臨界凝集塩濃度

溶液:低濃度

マクスウェル張力(TM):帯電面近傍の対イオンにより帯電面を引張る静電力

浸透圧(PO):イオンが帯電面近傍に集まることにより帯電面を押す力

MOMO TPhThPhP 22中点の電場(電位勾配)E=0⇒ TM=0

OO PhPhP 2

ファントホッフ式に各イオン濃度nを代入

…(A)

…(B) TnkTknnP BBO 2

平板間静電相互作用(浸透圧による斥力)

2つの同種帯電平板を無限大⇒hまで近づける⇒中点における圧力変化P(h)は

理由次ページ

[Pa]

…(C)

Tk

Tk

hze

Tk

hzenhP B

BB

2

2exp

2exp

[Pa]

Tk

Tk

hze

Tk

hzenTkhnhnhP B

BB

BO

2exp

2exp222

イオン濃度のボルツマン分布仮定

●平板間静電相互作用V

h

yyPhV d

平板間hの単位面積あたりの静電相互作用V…(D)

…(E)

hTnkhP B exp64 2

Tk

ze

B4tanh 0

hTnk

hV B

exp

64 2

右式が成立するので

2

2exp

2exp

AA

2exp

2exp2expexp

AAAA

2expexp AA

参照:ポアソンボルツマン式厳密解

220

2

1

enz

TkBr

1/κ :拡散電気二重層

厚さ(デバイ長)[m]

…(C)

TkTk

hze

Tk

hzenhP B

BB

2

2exp

2exp

[Pa]

[J/m2]

[Nm/m2]=[J/m2]

Ψ(h/2)= Ψ0/2を仮定

Tk

Tk

hze

Tk

hzenhP B

BB

2

2

2exp

2

2exp

[Pa]

微粒子間の静電相互作用(浸透圧による斥力)

a :微粒子半径[m]r : hにおける微粒子半径[m]H: 微粒子間距離[m]n:平板中の分子数密度[m-3]

●デリャーギン近似:平板間相互作用⇒球状粒子間相互作用H<<aの場合

a

rH

a

raHrh

2

2

2

112

ra

rh d

2d

hにおける円環間の静電相互作用V(r):

a

rrhVrV0

d2)(

V(h):2平板間の単位面積あたりの相互作用(前ページ参照)

式(F)を式(G)に代入して座標変換hの積分区間はHからH+aまであるがH<<aなので無限遠まで積分

H

dhhVaHV ●微粒子間の静電相互作用V(H) [J]

h方向に垂直な円筒極座標r

h(r)をrで微分

円環面積2πrdr

HTnka

HV B

exp

642

2

hTnk

hV B

exp

64 2

…(F)

…(G)

ha

rr d2

d

[J][J/m2]

Tk

ze

B4tanh 0

ファンデルワールス相互作用●1分子と無限大無限厚平板とのファンデルワールス相互作用V(h)

3

1

6 h

nhV

●無限大無限厚2平板間の単位面積あたりのファンデルワールス相互作用V(h)

22

2

12

1

12 h

A

h

nhV

●2微粒子間ファンデルワールス相互作用

H

AaHV

12

hにおける円環間の相互作用V(r):

a

rrhVrV0

d2)(

H

dhhVaHV

hr

ar d

2d

[Nm/m2]=[J/m2]

[J]

デリャーギン近似:平板間相互作用⇒球状粒子間相互作用

[Nm/m2]=[J/m2]

λ:定数r :微粒子距離n:平板中の分子数密度[m-3]h:距離[m]A=π2n2λ : ハマカー定数[J]

CB: A=2.5×10-19 [J]NMP: A=8.2×10-20 [J]

h

a

H

a a

h

表面電荷のモデル

pH の増加⇒脱プロトン化解離基の増加

SHOOH

Ψ0 :表面電位 [V], aSH+:界面プロトン活量

[-O-]:脱プロトン解離基の表面濃度[m-2],[-OH] :プロトン解離基の表面濃度[m-2],酸解離定数K＝10-pK プロトン解離程度σ0:表面電荷密度[C/m2], e:電気素量,kB:ボルツマン定数，T: 絶対温度εrε0 :誘電率，1/κ: Debye長

pK

S

H KOH

Oa

10

表面プロトン活量aSH+とバルクのプロト

ン活量aH+がボルツマン分布則に従う

Tk

eaa

BH

S

H

0exp

Ψ0 とσ0 の関係 Gouy-Chapman理論

Tk

e

e

Tk

B

Br

2sinh

2 000

Oe0

OHOΓT ΓT : プロトン化解離基と脱プロトン化解離基の濃度

負電荷量とpH の関係は酸解離定数に依存⇒質量作用の法則

1 pK-GCモデル変数5個式5個の非線型連立方程式⇒任意のpH、電解質濃度n において、 σ0 とΨ0が求まる

電気泳動力・電気浸透力・流動電位を使った機器

http://www.beckmancoulter.co.jp/product/product01/cap_gel.html

キャピラリー電気泳動

●電気泳動分析装置

アガロースゲル電気泳動、キャピラリー電気泳動⇒タンパク質やDNAの分析

●熱浮力Thermal Buoyancy (TB)

●電気熱力Electrothermal(ET)

●流動電位

http://www.sei.co.jp/news/press/14/prs034_s.html

レドックス・フロー電池

アガロースゲル電気泳動

http://www.atto.co.jp/technical_info/electrophoresis めっき

http://www.jfe-steel.co.jp/products/usuita/c30.html

●誘電泳動力(DielectroPhoresis)

●電気浸透力ポンプ(EOポンプ)微量の液体を流せる⇒燃料電池、μTAS

10(μL/min) DC24V印加時

微粒子周囲の電気泳動基礎式

v+:カチオン粒子速度 [m/s]v-:アニオン粒子速度 [m/s]f± :カチオンとアニオン抵抗係数[kg/s]φ(r):拡散電気二重層内の電場[V/m]δΨ(r): 外部電場[V/m]

0u Ψp e 2拡散電気二重層内のつりあい式:

( ) ( ) ( ) ( )Ψ Ψ r r r r E r

q-E

拡散電気二重層内に働く力:遅延効果

q+E

拡散二重層が粒子に追従できない: 緩和効果

dp v

dp/2>>1/κ⇒ Smoluchowski式

q-E

-3πμdpv拡散電気二重層内に働く力:遅延効果

q+E

緩和効果

dp v

dp/2<<1/κ⇒Huckel式

2

2

d

d

y

u

n

nTkΨze

fB

1uv

電場による力拡散項

Ψ0

f

uρeEe

y

x

vμ

qEe

※原点はすべり面

粒子周囲の電場Ψ(r):

粒子速度v±:

v

Smoluchowski式 (dp/2>>1/κのときの電気泳動力)

ρp

2 2

02 2

d d

d dr

uE

y y

●ρeとΨとの関係

y→∞ : du/dy→0,dΨ/dy→0,さらに積分y→∞ : u→0,Ψ→0

0r E y

u y

00

r Ev

すべり面y = 0としてu(0) = v0

Ψ=ζ(ゼータ電位)と定義

ρeを消去

(グイチャップマンモデル)拡散層内Ψにポアソン方程式を仮定

ρe:粒子周囲の電荷密度 [C/m3], E:電場 [N/C] =[V/m], μ:粘度[Pa·s], u:流体速度[m/s], v0:粒子速度[m/s] Ψ:電気二重層内電位 [V], εr:比誘電率[-], ε0:真空誘電率[F/m],

02

2

d

d

r

e

y

0 0rm

vB

E

q:微粒子の電荷量[C], Bm:電気泳動移動度(EPM) [m2/(V·s)]=[(C·s) /kg], dp:粒子直径[m], κ-1:デバイ長[m]

●微粒子静電気力と流体粘性力とのつり合い

20 pr d

q

dp>>κ-1のとき

2

2

d

de

uE

y [N/m3]

Ψ(0)=ζ

境界層の流体速度u

μ, ρe(y),εr

y

v0

u(y)

Edp

定常v0

O

ρeEe[V/m2]

Smoluchowski式

3m

p

v qB

E d

静電気力とストークス抗力とのつり合い

pr d

q

02

Huckel の式 EPMとζ電位の関係

0

3

2 r

e

mE

vB

dp<<κ-1

μ :粘度[Pa·s]v :粒子の相対速度[m/s]dp:粒子直径[m]q:微粒子の表面電荷量[C]Bm :電気泳動移動度(EPM) [m2/(V·s)]=[(C·s) /kg]E:電場[N/C]=[V/m], dp:微粒子の直径[m]

Huckel 式(dp/2<<1/κのときの電気泳動力)

20

( )4 r

qE r

r

3 pq dE v [N]

電気二重層のζ電位は同心球面との電位差Vで近似

qをζで表記

EqE

μv0

dp

κ-1+q

-q

εrε0

r

ガウスの法則

1/2

/2

10

( )d

1 1

4 / 2 / 2

dp

dp

r p p

V E r r

q

d d

http://mechatronics.meijo-u.ac.jp/labs/rrr004/inoue/em1_18/em1_mat18-09.pdf

直径dp球面と距離1/κの同心球面との電位差V

壁近傍に電気二重層が形成⇒電圧印加により液体移動⇒液体pH やイオン強度に依存

http://www.sciex.jp/products/standards-and-reagents/x77527.xml

ζはCの-1/2乗に比例ueoはσの関数

0reoB

2/1

1 500sinh

2)exp(

RCTe

kTx

Cz

ke

4

電気浸透流(electro-osmosis)

※原点はすべり面

Ψ0

f

eou

ρeE [N/m3]

y

x

u μ:粘度[Pa·s], O

電極

A

ueo:電気浸透流速度, Beo:電気浸透流移動度[m2/(V·s)]=[(C·s) /kg] , μ :粘度[Pa·s]、E:電場[N/C]=[V/m], ε:溶液の誘電率[F/m]、 ζ :ゼータ電位[V] , σ:細管表面電荷[C/m2]、κ-1:デバイ長さ[m] , x:細管表面のカウンタイオンの厚さ, C :溶液の電解質濃度[M]、e:素電荷[C]T :温度、R :気体定数

酸性側（およそpH 3

ほとんど観察されない

http://kccn.konan-u.ac.jp/chemistry/ia/contents_06/02.html

電気浸透流での液体イオンの移動

中性

陽イオン

陰イオン

電気浸透流電気泳動移動度

実際の電気泳動移動度

陽イオンの電気泳動移動度が加速陰イオンは電気泳動度と電気浸透流のバランスにより移動方向が決まる

iu r

eo0

オームの法則E=i/σ

Smoluchowski式

0r E yu y

u(0) = ueo , Ψ(0)=ζ

ueo = BeoE

圧力差Δpによる電荷ρe (r)の流動電流If [A]流動電位

yL

pRrR

L

pRrR

L

pru

22422

R :円管半径[m]L :流路長さ[m]r :半径位置[m]Δp:圧力差 [Pa]

Ic:電位差Vf による電流[A]σ:液体の導電率[S/m]u(r):流体の速度[m/s]ρe (r) :液体の電荷密度[C/m3]ζ :ζ電位[V]

If:κ-1程度の壁近傍⇒Hagen─Poiseuille流で線形近似

f

u

r

xvμ

Δp

R

Vf

水色部分の面積

電荷流束密度 [C/(m2s)] R

ef rrrruI0

d2

2

c f

RI V

L

Ic + If = 0

02

dR

ef yyyL

pRI

020

2

20

2

dd

d r

R

rf

L

pRy

yy

L

pRI

)()( rru e

r

dr

R0y =R-r

Poisson方程式を仮定、壁電位をζ[V]、管中心の電位0[V] として積分

Δpによる電荷の流れ⇒流動電位差

0rf

p

V

流動電位とゼータ電位の関係

2

2

0d

d)(

yy re

L

WTkTcρt

Tcρ ffff

2u

●エネルギ保存

2 / 2 /2 2

0

0 0

1d d

2 2 2

ω ω

f f

ω ωW W t σ E t σ E

●ジュール熱W

熱浮力Thermal Buoyancy (TB)

[W/m3]

T:温度[K], t:時間[s]g:重力加速度[kg·m/s2]cf:比熱[J/(kg·K)]ρf:流体密度[kg/m3]

μ:粘度[Pa·s]W:ジュール熱[W/m3]k:熱伝導率[W/(m·K)]uB:熱浮力による流体速度[m/s]σf:流体の導電率[S/m]E:電場[V/m]β:熱膨張係数 [1/K]r:電極からの距離[m]

●運動量保存式

guuk

rEσβ f

2)(

220

guuuu

Tβυpρt

21)(

r

u2

~)( uu Tρ

ρβ

f

f

|E| = Φ/πrk

grβσΦu f

2B

Electrode

02

1 20

2 EσTk f

k

rEσT f

2~

220

uB導電性流体に電流を流すと熱浮力により流体が動く

[W/m3]

σf

r

[m/s]

m

2

emET2

1ερ EEF

2

2

2

ET2

1

)(1E

EF m

m

m

m

m

m εωτ

ε

ε

ε

σ

σ

流体のクーロン力 流体の誘電泳動力

電気熱力Electrothermal(ET)

T：温度[K]ρem：流体の電荷密度[C/m3]ε:誘電率[F/m] =[C/Vm]σ:導電率[S/m] τ:電荷の緩和時間[s]fc：緩和周波数[Hz]E: 電場[V/m]u :流体の速度[m/s]μ:粘度[Pa·s]r:電極からの距離[m]Φ:電位[V]

高周波時の粘性項とのつりあい式

ETm με uE 22

2

1

高周波数⇒無視

2

2 ~r

uETu

μr

Φεu m

2

2

ET2

|E| = Φ/πr

局所的なジュール熱⇒誘電率と導電率の勾配

EmF

[N/m3]E

+

+

mε

mσ

E

EF emρ)(em Emερ

0)(em

Emσ

t

ρ

∂/∂t = jw

TT

εε m

m

TT

σσ m

m

t = /σ

電気熱力の導出#1 ρem：流体の電荷密度[C/m3], ε:誘電率[F/m] σ:導電率[S/m], fc：緩和周波数[Hz], E:全電場 [V/m], E0: 印加電場[V/m]E1 :電場の擾乱成分[V/m]

EEE mmmρ em

0tem

Em

ρ 連続の式

0 EEEE mmmmj w

01010

1010

EEEE

EEEE

mmmm

mmmmj

w

wj

t)exp()exp( tjjtj

twww

10 EEE とおくと

00 E より

0 1

0 1 0

m m

m m

jw

E E

E E

mm

0mm1

εj

εj

w

w

EE

0 1 1 0 1 1 0m m m m m mjw E E E E E E

連続の式から電場の擾乱成分E1

を印加電場E0で表記できる

011

EzyxE

zyxmmm

m

01111

z

E

y

E

x

E zyxmm E

01 EE であるので

2

02

2

0ET

2

1

)(1E

EF m

m

m

m

m

m εωτ

ε

ε

ε

σ

σ

m

2

0

2

02

m22

m

mmmm

2

mET

2

1ε

ε

εε

EEF

w

m

2

00

mm

0mm0ET

2

1ε

εj

εjmm

EE

EEF

w

w

mm t

実部のみを考えると

m

2

0010ET2

1εmm EEEEF

m

2

emET2

1ερ EEF

EE

E

mm

mρ

em

mm

0mm1

εj

εj

w

w

EE

10 EEE

011

EzyxE

zyxmmm

m

01111

z

E

y

E

x

E zyxmm E

m

2

0010ET2

1εmm EEEEF

T

Tfc

t 2

12

電気熱力の導出#2

誘電分極

●電子分極:電場印加により原子核は電場の－方向に、電子は＋方向へ変位⇒原子核の位置と電子雲の中心位置がずれる⇒誘起双極子モーメントm

が発生

●配向分極:誘電体分子が有極性⇒電場E印加により永久双極子モーメントμが配向

●イオン分極:NaClなどのイオン結晶の

電場印加により、＋－イオンは－＋方向へ変位⇒電荷の偏りができ誘起双極子モーメントmが発生

●液晶パネル:

http://www.rs.noda.tus.ac.jp/~furuelab/introduction/bunkyoku.html

液晶分子が電場方向に配向⇒偏光フィルタで遮光

配向膜細溝に液晶分子が整列⇒直行配向膜により液晶分子のねじれ状態⇒ねじれた液晶分子隙間が光路

μ永久双極子モーメント

⇐E⇐

⇒E⇒

⇐E⇐

液晶分子

偏光フィルタ 偏光フィルタ配向膜

光

http://www.tdk.co.jp/techmag/knowledge/200702/

電圧

1.85D

化学的視点の分極Phttp://www1.jiu.ac.jp/~nimura/as1_2007/as1_4.pdf

油(低極性)は水(高極性)と混ざらない⇒高極性:大きな双極子モーメント

水可溶性:電離型(解離型)有機溶媒可溶性: 遊離型(非解離型)

分極P :電場内の物質が正負電荷の分離誘電率ε[F/m]:分極の程度を表す定数

●誘電率と屈折率•誘電率 = 永久双極子μ + 誘起双極子mの寄与•永久双極子の寄与がない場合⇒ε=n2（n:屈折率）•液体中でのμの分子回転エネルギは10-11秒オーダ⇒1010 Hz（赤外マイクロ波）以上の電磁波ではμの影響なし

effNN EμmμP

油水

[Cm/m3]

http://topicmaps.ugakugei.ac.jp/physdb/atom/InterMolecularForce.pdf

-2q

+q +q

1.60D1.85D

電子

分極P :電気陰性度の違いに起因

電気陰性度: 電子を引き寄せる力、電子軌道K、L殻などの電子の空きに依存

O: 高い電気陰性度H: 低い電気陰性度μ: 永久双極子モーメント –から+の→ 1D=3.3×10−30C·m

Cl-

Na+

P:分極、μ:永久双極子モーメント[C·m]、m:誘起双極子モーメント[C·m]、N：体積あたりの粒子数[個/m3]、α :分極率[Fm2/m3]

油は有機溶媒

溶けるとは?

配向分極(極性分子）Debye式:

Mw：分子量,NA：Avogadro数,kB：Boltzmann定数,T：絶対温度，ρ：密度, αe :電子分極率[F/m]

誘電スペクトル●電束密度Dと分極P

032

1

AW

r

r NM

Tk

NM

B

eAW

r

r

332

1 2

0

比誘電率と分極率との関係Clausius-Mossotti式:

D:電束密度[C/m2],ε0 :真空の誘電率[F/m] ,E:電場[V/m], P:分極[C/m2],N:単位体積当たり分子数[m-3],m:誘起双極子モーメント[C·m],Eeff:有効電場[V/m], εr:比誘電率[-], α:分極率(単位電場体積あたりの双極子モーメント) [C·m/((V/m)m3))]=[F/m]μ:永久双極子モーメント [C·m]水分子μ=6.17×10-30[C·m]

effNN EμmμP

0 0 0 (1 ) r D E P E E

0

*

w

j

⇐ 配向分極 ⇒⇒電子分極

印加周波数logf[Hz]

誘電率の実部

ε 0ε r

[F/m

]

日本の電子レンジf=2.45GHz USAは900MHz

http://www003.upp.so-net.ne.jp/asami/DS.pdf

⇒イオン分極

誘電率の虚部

ε”[F

/m]

Cellのε” 水のε”

水ε”=10GHz

複素誘電率ε*

EP 01 r

分極

effNN EmP

Eeff:微粒子内部の有効電場[N/C]=[V/m], Ep:微粒子表面の分極による微粒子中心の電場[V/m],m :誘起双極子モーメント[Cm/m3]負から正電荷へのベクトル量,α: 分極率[Cm/((V/m)m3)]=[F/m], χ：電気感受率[-]

εr σP/σvacuum

真空 1 0H2O 80 0.987金属 ∞ 1

[C/m2]ED 0

σvacuum：電荷面密度[C/m2]

傾き-E

x

E

xEeff = 0

●金属粒子の場合●真空の場合

E

E

PED

0

0

0

)(1

r

比誘電率：εr = 1 + χ

D=ε0E=3ε0E=3, P=2, D=5

E：印加した電場[V/m]

ε0：真空の誘電率[F/m]

E

D:電束密度[C/m2]

ε0E

E

Eeffα >0

Ep

σPEEp=-E

ED 0

σP

P = ε0χEP=0, D=ε0E=3

傾き-E

●誘電粒子の場合

x

Eeff = E + Ep

032

1

N

r

r

00

20

2

3d

4

cos

PPEP S

r

EP 01 r

032

1

AW

r

rM

NMP

PEEE eff Pcosθ：分極により表面に

現れた電荷面密度[C/m2]

●Lorentz局所電場

Clausius-Mossotti式モル分極：

effNN EmP

W

AM

NN

dsin2d rrS 帯の部分の面積

●分極Pの二つの表し方

pEEP N

N：体積あたりの粒子数[個/m3]Eeff:微粒子内部の有効電場[N/C]=[V/m]Ep:微粒子表面の分極による微粒子中心の電場[V/m]m :誘起双極子モーメント[Cm/m3]負から正電荷へのベクトル量α:分極率[Cm/((V/m)m3)]=[F/m]

（外部電場と同方向成分）

誘電体内部の電場は弱くなるεr=2のEeffはEの2/3

[C/m2]

03

PEP N

O

Eeff

cosθEeffE

dθθ

P

cosθP

Clausius-Mossotti式

※μは無視

分極と誘電泳動力

粒子右側の有効電場左側の有効電場

AC or DC電場の非一様性⇒粒子両側のクーロン力の差⇒DEP力

)(rEdF effq drErEdrE effeffeff

)(** rEmF eff ** ( )k effm E r

q+dをm*で定義

実数のみをとってFの時間平均

)()(** rErEF effeffkpV

[N]

[N/m3]

effkNN EmP ***

N：体積あたりの粒子数[-]Eeff: 有効(局所)電場[N/C]=[V/m]Ep:分極した粒子からの電場[N/C]m* :誘起双極子モーメント [Cm/m3]αk*: k軸方向の複素分極率

[Cm/((V/m)m3)]=[F/m]Lk：k軸(=x,y,z軸)方向の脱分極率[-]Vp: 粒子1個の体積[m3]

P*：分極[C/m2] 電場印加により出現した粒子表面上の電荷面密度

2* )(Re4

1rEFDEP effkpV

*m

粒子1個の体積Vpで考えると

[N]

[N]

[F/m]

PEEE eff

EEp=0

εp*=εm*

m*=0

Eeff

α*=0

Ep

E

m*

εp*<εm*

Eeff

α*<0E

εp*>εm*のとき

m*

Eeff

α*>0

Ep誘電体dr

E

O導電体dr

E

O

)()( rEdrEF effeff qq

*2*

***3*

mp

mp

m

3/1kL

のとき

q：電荷[C]d：電荷間距離[m]m:誘起双極子モーメント[Cm/m3]Vp:粒子体積[m3], α*:複素分極率[F/m], ε0：真空の誘電率[F/m]εm*：媒質の複素誘電率[F/m]εp*：粒子の複素誘電率[F/m]σ:導電率[S/m]ω:角周波数=2πf[Hz]f:印加周波数[Hz]Erms:交流電場の実効値[N/C]Eeff: 有効(局所)電場 [V/m]=[N/C]Ek：k軸方向の誘起電場[V/m]E：印加した電場[V/m]Lk：k軸(=x,y,z軸)方向の脱分極率[-]r：粒子半径[m]K(ω)：Clausius-Mossotti関数

Eeffの大きさをとると

21

Re *4

p effV DEPF E

誘電泳動(DEP)力

** 3 mK w

3 *

2Re ( )

8

p m

eff

dK

w DEPF E

●直流誘電泳動(DC-DEP)DEPは不均一電場勾配で発生⇒直流電場⇒印加周波数ω→0

mp

mpK

w

w 2lim

0

直流誘電泳動力:

6

3p

p

dV

23 *2 Re ( )p mr K w DEP RMSF E

詳細次ページ

2eff RMSE E pp rd 2

[N]

[N]

23

28EFDEP

mp

mpmpd

[N]

*2*

**

mp

mpK

wClausius-Mossotti関数:

複素分極率の導出

*)*(*

**

*

mpkm

effm

L

EE

***

****

mpkm

mpm

L

*2*

***3*

mp

mp

m

*2*

**

mp

mpK

w

** 3 mK w

Hasted, Aqueous Dielectrics, 1973

http://epubs.surrey.ac.uk/808510/10/An%20Asynchronous%20AC%20electric%20nanomotor.pdf

w

p

pp j

w

m

mm j

effE02

3/1kL

'

***

**x

mpxm

mp

effxm

effx LL

Ex

E

**** effkNN EmP

***

*

mpxm

effxmp

L

E

x

**** EP mp

*

*

p

m

Eに対して電場小

*

**

p

mp

Eに対して電場大

03

PEE EE p eff

ローレンツ局所電場

傾き-E

m*

Eeff

x

Eeff = E + Ep

pp E

mm E

εp*>εm*のとき

α*>0

Ep

外部電場と誘起電場の向き逆

粒子内部の電場弱

kjiE tEtEtE zyx

304 rtmtmtm mzyx kjim

Em )(4 03 w Kr

kjiF tFtFtFt zyx

xxrx

x tKtKra

tEtm wwww

sinImcosRe4 3

0

aEK

a

EEKr

a

tEtm x

xx

xmx

x

ww 2

00

03

0 ImRe2

zzyyxxm EEEKKr ww 20

20

20

230 ImRe2 EF

EmEdEd

Ed

Γ

qqq22

Γ:トルク[N・m]q:電荷[C]d:電荷間距離[m]E:電場[V/m]

kji 0000003

0 90sin0sin0sinIm4 xyzxyzr EEEEEEKr w

q- q+Γ

E

d

0°

270°

180°

90°

K(ω)の虚数部の意味(電気力による回転)

xx

xx

x tEa

ta

Ew

w sincos 0

0

k003

0 Im4 xyr EEKr w 230 Im4 Ew Krr

coseffEU

d

Tk

UAN

B

cos)(

exp)cos()(

d

)(xpe)(

Tk

UAN

B

)(

cos)(

N

Nav

cosav

Tk

Ex

B

eff

帯dΩ内の双極子数：

双極子数の総計：

電場方向双極子モーメント：

平均双極子モーメントμav:

配向角の分布はBoltzmann分布と仮定

分子ポテンシャルエネルギU（θ）

配向分極Debye式#1

N:分子数[m-3], A:比例定数[-], μ:永久双極子モーメント[Cm], Eeff :有効電場[V/m], θ :配向角(Eeffとμ間の角度), U（θ）:分子ポテンシャルエネルギ[J]

μθ

電場による双極子の配向⇔熱運動によるランダム化

分極⇐分子の平均配向速度

d)(

exp

dcos)(

exp

Tk

U

Tk

U

B

Bav

d

)(exp)(

Tk

UAN

B

dΩ =2πsinθdθ

)(1

coth

1

)exp()exp(

)exp()exp(

xLx

x

xxx

xx

TkB

etotal3

2

032

1

total

r

r N

Tk

N

B

e

r

r

332

1 2

0

極性分子の分極率＝電子分極の分極率+配向分極の分極率Debye式

xxxL

1)coth()(

effd

B

eff

av ETk

Ex

33

2

TkBd

3

2

Langevin関数配向分極Debye式#2

CM式

電気素量±eが0.1nm離れているときのμ=1.6×10-29[Cm]kB=1.38×10-23[J/K], 有効電場Eeff=105 [V/m]配向分極αd=0.386×10-4[F/m]<<1

453

)(3xx

xL

Langevin関数(赤線)tanh(x/3) (青線)

x = μEeff/kBT << 1のとき

Tk

Ex

B

eff)(xLav

図 電場分布

壁面条件 : ●細胞は静止する ●絶縁 ●すべりなし壁

●連続の式

Fuuuu

mmmm

21νp

t

0)( mu

●Navier-Stokes式

VE

●電場E [V/m]●誘電泳動力FDEP[N]

23 Re2 EFDEP w kr mc

流体速度

電場微粒子に働く力

印加電圧Vap=10V

接地Vgr=0V

Vap

x

y

z

●ストークス抵抗FD[N]

)(6 cmD uuF cr

x

yz

x

yz

Vgr

流体力と誘電泳動力とのカップリングの計算例

図 速度分布

図 微粒子の流れ場の挙動

Uin=0.5mm/s

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

1.E+06 1.E+07

Re

[k(ω

)] [

-]

Frequency f [Hz]

Living cell

Dead cell

f = 4MHz

Clausius-Mossotti関数

の周波数依存性

2

3

Re2

2 EFDEP

w k

dm

p

印加周波数f=4MHz付近Re[k(ω)]の正負が逆転

図 εp*>εm* (生きている細胞)

x

y

z

Vap

Vgr

図 εp*<εm*(生きている細胞)

x

y

z

Vap

x

y

z

Vgr

誘電泳動力の計算例

dragDEP FF

μ

Kεd

12

)](Re[2

m2p

DEP

Eu

w

49

「見えない」を「視える」にTakei Laboratory

Laboratory on Multiphase Flow and Visualization