Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... ·...
Transcript of Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... ·...
![Page 1: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/1.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (Ι)
![Page 2: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/2.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 2
Μη-‐Σχετικιστική Κβαντομηχανική
• Η μη-‐σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια:
• Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:
καταλήγοντας στη εξίσωση του Schrödinger (για απλότητα V=0)
• Η S είναι πρωτης τάξης σε χρονικές παραγώγους και δεύτερης τάξης σε χωρικές παραγώγους – με συνέπεια να ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ Lorentz invariant.
• Στα επόμενα θα χρησιμοποιήσουμε την πυκνότητα και το ρεύμα πιθανότητας. Για την μη-‐σχετικιστική περίπτωση ορίζονται ως ακολούθως:
(S1)
(S1)* (S2)
η οποία επιδέχεται ως λύσεις, για το ελεύθερο σωμάτιο, το επιπεδο κύμα:
όπου και
![Page 3: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/3.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 3
• Συγκρίνωντας με την εξίσωση συνέχειας
Καταλήγουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για την πυκνότητα και το ρεύμα πιθανότητας
• Για το ελευθερο σωμάτιο and
Ο αριθμός σωματίων ανά μονάδα όγκου είναι!
Για σωματια ανά μ.ο. που κινούνται με ταχύτητα , σωμάτια διέρχονται ανά μονάδα επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου (ροή σωματίων). Συνεπώς είναι διάνυσμα με την διεύθυνση της ταχύτητας και μέτρο ίσο με την ροή.
(S1) (S2)
![Page 4: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/4.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 4
Η εξίσωση Klein-‐Gordon • Εφαρμόζοντας Στην σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια:
καταλήγει στην εξίσωση Klein-‐Gordon :
Η KG εκφράζεται συνοπτικά
• Για το ελεύθερο σωμάτιο, , η η KG εξίσωση δίνει:
(KG1)
(KG3)
(KG2)
Ως αναμένεται (από την KG1), η KG έχει λύσεις αρνητικής ενέργειας
Κλασικά, οι αρνητικές ενεργειακές λύσεις δεν είναι αποδεκτές. Αλλά για την KG υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα με την πυκνότητα πιθανότητας…
• Χρησιμοποιώντας
![Page 5: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/5.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 5
(KG2)*
• Επαναλαμβάνουμε την ίδια μεθοδολογία για να ορίσουμε την πυκνότητα και ρεύμα πιθ.:
(KG4)
• Συγκρίνοντας με την εξίσωση συνέχειας, καταλήγουμε ότι:
• Για επίπεδο κύμα και
Η πυκνότητα σωματίων είναι ανάλογη του E. Αυτό είναι συνέπεια της σχετικιστικής έκφρασης για την ενέργεια (θυμηθείτε ότι δείξαμε πως εάν η πυκνότητα είναι 1/V σωμάτια στο σύστημα κέντρου μάζας, θα εμφανισθεί ως E/V στο σύστημα που
το σωμάτιο έχει ενέργεια E , λόγω της συστολής μήκους).
![Page 6: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/6.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 6
Η Εξίσωση Dirac Ιστορικά, η εξίσωση Klein-‐Gordon αντιμετωπίσθηκε με σκεπτικισμό λόγω δύο σημαντικών προβλημάτων:
Λύσεις με αρνητικη ενέργεια Σε αρνητικές ενέργειες αντιστοιχεί αρνητική πυκνότητα σωματιδίων
Στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου ( Quantum Field Theory) αυτά τα προβλήματα ξεπερνιούνται και η εξίσωση KG χρησιμοποιείται για να εκφράζει spin-‐0 σωμάτια (ως πολυ-‐σωματιδιακές, κβαντικές διεγέρσεις ενός βαθμωτού πεδίου)
Ο Dirac (1928) αναζήτησε νέα έκφραση για την σχετικιστική κβαντομηχανική, η οποία να καταλήγει σε θετικές πυκνότητες σωματιδίων.
Η ομώνυμη κυματική εξίσωση έχει λύσεις οι οποίες, αφενός λύνουν το πρόβλημα τις πυκνότητας, περιγράφουν αντι-‐ σωμάτια και επιπλέουν περιγράφουν το spin και μαγνητική ροπή του e
Ωστόσο:
![Page 7: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/7.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 7
• Schrödinger eqn: 1η τάξη σε 22 τάξη σε
• Ο Dirac αναζήτησε εναλλακτική εξίσωση που να είναι 1η τάξη παντού:
όπου είναι ο Hamiltonian Τελεστής και,
(D1)
και εφαρμόζοντας δύο φορές τους τελεστές
• Αναλύοντας την (D1) :
• Klein-‐Gordon eqn: 2η τάξη παντού
Η Εξίσωση Dirac
![Page 8: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/8.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 8
• Αλλά για να είναι συνεπής με την σχετικότητα, θα πρέπει ένα ελεύθερο σωμάτιο να υπακούει στην , , δηλ. θα πρέπει να ικανοποιεί την Klein-‐Gordon
Προφανώς, τα σύμβολα και δεν μπορεί να είναι αριθμοί. Μας χρειάζονται 4 πίνακες που να μετατίθενται μεταξύ τους Θα δείξουμε πως χρειάζονται 4 πίνακες με (ελάχιστη) διάσταση 4x4
• Προφανώς, για να είναι συμβατή η Dirac με την KG, θα πρέπει: (D2)
(D3)
(D4)
![Page 9: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/9.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 9
Διαστάσεις των Dirac Matrices
Για να είναι το Hermi�an για κάθε θα πρέπει
Επιπλέον, δείξαμε ότι:
Εάν
Εφαρμόζοντας
ομοίως
(χρησιμοποιώντας την μετάθεση)
![Page 10: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/10.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 10
Επειδή οι πίνακες α είναι Hermi�an, οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές
άρα
Καθώς οι είναι Hermi�an πίνακες, με ίχνος ίσον με μηδέν και με ιδιοτιμές , θα πρέπει να έχουν άρτιες διαστάσεις
Για N=2 οι 3 Pauli spin πίνακες ικανοποιούν
Αλλά χρειαζόμαστε 4 μετατιθέμενους πίνακες. Συνεπώς οι της εξίσωσης Dirac πρέπει να έχουν διαστάσεις 4, 6, 8,….. Η απλούστερη επιλογή αντιστοιχεί σε 4x4 πινακες για να εκφράσουμε τα .
Ας εξετάσουμε την σχέση ιδιοτιμών
αλλά
![Page 11: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/11.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 11
• Συνεπώς, η κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να έχει 4 συνιστώσες (Dirac Spinor)
Συνέπεια της επιλογής 1ης τάξης σε χρόνο/χώρο παραγώγων αποτελεί το γεγονός ότι η κυματοσυνάρτηση έχει 4 βαθμούς
ελευθερίας !!! (τι εκφράζουν οι βαθμοί ελευθερίας;;;;)
• Μας συμφέρει να επιλέξουμε «βολική» αναπαράσταση για τους πίνακες . Ωστόσο, επισημαίνουμε πως τα φυσικά αποτελέσματα δεν εξαρτόνται από την αναπαράσταση που θα επιλέξουμε • Η «βολική» αναπαράσταση βασίζεται στις Pauli spin matrices:
with
(D5)
Οι σχέσεις μετάθεσης των 4 Hermi�an 4x4 πινάκων, ορίζει την άλγεβρά τους
• Ασκηση: Δείξετε ότι είναι Hermi�an και έχουν τις σωστές σχέσεις μετάθεσης
Dirac Spinors
![Page 12: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/12.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 12
Εξίσωση Dirac : Πυκνότητα και Ρεύμα Πιθανότητας
(D6)
(D7)
• Ας αρχίσουμε με την εξίσωση Dirac
και την Hermi�an συζηγή της (conjugate)
• Σχηματίστε την
• Επειδή οι πίνακες α έχουν ως στοιχεία αριθμούς, ισχύει:
( είναι Hermi�an)
Σημειώστε ότι:
![Page 13: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/13.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 13
όπου
• Συνεπώς, συγκρίνοντας με την εξίσωση συνέχειας, ταυτοποιούμε:
και
Αρα:
• Εν αντιθέσει με την KG, η εξίσωση Dirac επιδέχεται πυκνότητα πιθανότητας θετική • Ακολούθως, θα δείξουμε πως οι 4 συνιστώσες των Dirac Spinors εμπεριέχουν τις ιδιότητες του spin και περιγράφουν spin ½ φερμιόνια. • Επιπλέον περιγράφουν την μαγνητική ροπή ως:
Καταλήγουμε στην (D8)
![Page 14: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/14.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 14
Spin
• Η γωνιακή στροφορμή , αντιμετατίθεται με την Hamiltonian?
Ας δουλέψουμε με την x συνιστώσα της L:
Οι μη μηδενικοί όροι έρχονται από:
Συνεπώς
Επειδή η γωνιακή στροφορμή δεν αντιμετατίθεται με την Dirac Hamiltonian έπεται πως η γωνιακή στροφορμή δεν είναι σταθερά της κίνησης !!!!
(A.1)
Το φυσικό μέγεθος Ο διατηρείται, εάν:
![Page 15: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/15.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 15
Εισάγουμε ένα νέο 4x4 Τελεστή:
όπου είναι οι Pauli spin matrices: i.e.
Ας υπολογίσουμε τον αντιμεταθέτη
όπου
και επομένως
Ας εξετάσουμε την x συνιστώσα:
![Page 16: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/16.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 16
Taking each of the commutators in turn:
Αρα
x x y
![Page 17: Ηεξίσωση Dirac(Ι)˜έματα - Σημειώσεις/Μαθήματα... · ΣπύροςΕυστ.Τζαμαρίας ’ ΣτοιχειώδηΣωμάτια ’ 2 Μη2Σχετικιστική"Κβαντομηχανική"](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022063010/5fc427a1bc695a13914e8727/html5/thumbnails/17.jpg)
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 17
και τελικά:
• Συνεπώς η φυσική ποσότητα που εκφράζει ο τελεστής ΔΕΝ είναι σταθερά της κίνησης. Αλλά ...
• Επειδή
Οι σχέσεις αντιμετάθεσης για το είναι οι ίδιες με αυτές των
. Επιπλέον, τα S2 και Sz είναι διαγώνια
• Συνεπώς και για ένα σωμάτιο που κινείται παράλληλα με τον z άξονα
S έχει όλες τις κβαντομηχανικές ιδιότητες του spin και συνεπώς η εξίσωση Dirac προσφέρει την περιγραφή σωματίων με S=1/2
(βλπ στα επόμενα λύση της Dirac)