FAZI RELACIJSKE NEJEDNA CINE I PRIMENE · iii granice skupova" [24]. Danas moz emo rec i da fazi...

Univerzitet u Nisu

Prirodno - Matematicki fakultet

Departman za racunarske nauke

FAZI RELACIJSKE NEJEDNACINE

I PRIMENE

Master rad

Student:

Stefan Stanimirovic

Broj indeksa 43

Mentor:

Prof. dr Jelena Ignjatovic

vanr. prof.

Nis, Oktobar 2013. godine

Uvod

“So far as laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so faras they are certain, they do not refer to reality.”

– Albert Einstein, 1921

Period nakon II svetskog rata obelezen je brojnim socijalnim tenzijama i konfliktima.Osecaj nestabilnosti i nesigurnosti u svim drustvenim krugovima progresivno je rastao nesamo zbog sagledavanja posledica razornosti samog rata i rapidnog napretka tehnologije kojise, kako se cinilo, u neku ruku “otrgao kontroli”, vec i zbog otkrivanja naucnih i umetnickihdela koja su do tada uporno bila zabranjivana pod razlicitim totalitarnim rezimima. Iz tograzloga ustaljene, tradicionalne norme ustupaju mesto individualnim slobodama i filozofi-jama; licni stil dobija primat nad kolektivnim vrednostima.

U jednoj takvoj drustvenoj klimi lisenoj globalnih nacela, u kojoj pojedinac postavljasamom sebi norme i pravila, pojam neizvesnosti postaje glavno obelezje svih intelektual-nih delatnosti. Iako je vec krajem XIX veka pojam neizvesnosti poceo da ulazi u nauku(izucavanjem fizickih procesa na molekularnom nivou) i umetnost (simbolizam i dekadenca,dela Charles Baudelairea, ali i dela Richarda Wagnera i Gustava Mahlera), a u prvoj poloviniXX veka znacajno evoluirao (radovi Alberta Einsteina i Erwin Schrodingera, razvoj teorijeverovatnoce), tek 50-tih i 60-tih godina XX veka pojam neizvesnosti ulazi u sve pore ljud-skog delanja. Zapravo, koncept neizvesnosti toliko se razvio da pocinje da ulazi kao sastavnideo i u one ljudske aktivnosti za koje se do tada mislilo da ne mogu da ga ukljuce u sebe.Primeri koji slede, krajnje zanimljivi i netipicni, sluze da argumentuju ovakvu konstataciju.

Jedan od najzanimljivijih primera svakako je pojava aleatorike u muzici. Aleatorika(od latinskog alea sto znaci kocka) predstavlja muziku u kojoj su neki delovi kompozicijeprepusteni slucajnosti. Najpoznatiji primeri su dela Johna Cagea, Karlheinza Stockhausenai Witolda Lutoslawskog, u kojem se zvuk, trajanje, dinamika, tempo i gustina kompozicijeodreduje slucajnim procesima, na primer bacanjem kocke. Najpoznatije delo Luciana Beria,Sinfonia (1967-69, delo za orkestar i osam glasova), je delo u kojem se glasovi ne koristeu tradicionalnom smislu: cesto solisti uopste i ne pevaju, vec zapravo pricaju, sapucu ivicu, dok su odredene deonice pravi kolaz muzickih i literarnih citata1. Jos jedan zanimljivprimer je roman “Fineganovo bdenje”, autora James Joycea. U “Bdenju” je struktura i

1Citalac se na ovom mestu upucuje da navedene kompozicije i preslusa!

i

ii

forma recenica toliko izmenjena, a nivo aluzivnosti jezika podignut na tako ekstremni nivo,da ne postoje “radnja” i “likovi” romana u uobicajenom smislu. Joyce je ovom neobicnomigrom reci uspeo da ugradi neizvesnost u same osnove jezika.

Sasvim je jasno da je koncept neizvesnosti paralelno prodirao i u matematiku. Nomatematici je posebno tesko da prihvati koncept neizvesnosti i da ga ukljuci u sve svojeaspekte ravnopravno kao i pojmove odredenosti i determinisanosti. Razlog lezi u tome sto sematematika u XX veku razvila kao potpuno aksiomatski izgradena nauka, odnosno kao skupteorija u cijoj osnovi lezi teorija skupova. Na ovaj nacin matematika se pozicionirala u centruprirodnih nauka, po svojoj osnovi racionalna, lisena bilo kakvog misticizma, dvosmislenosti,neodredenosti, koja je svojim preciznim i rigoroznim jezikom u stanju da opise skoro svevrste prirodnih i drustvenih modela. Sam pojam neizvesnosti posmatran je kao nenaucani nepozeljan, a uvodenje takvog pojma u matematiku bio je posmatran kao odreden cinsvetogrda.

Iako je u prvoj polovini XX veka teorija verovatnoce ponudila aparaturu za modelovanjeneizvesnosti, nakon II svetskog rata odredeni broj matematicara (tada jos neuticajnih), uskladu sa prilikama svog vremena, odlucuje da prosiri matematicke kapacitete i da ukljucikoncept neizvesnosti za modelovanje novonastalih problema u primenjenim matematickimteorijama kao sto su racunarske nauke, teorija informacija i kontrola sistema, koje su tadadozivele pravi procvat. Dva kapitalna i veoma uticajna rada, koja uvode pojam neizves-nosti na velika vrata u primenjenu matematiku i racunarske nauke, objavljena su u gotovoisto vreme. Prvi je rad Claude Shannona pod nazivom A Mathematical Theory of Com-munication (1948), a drugi je rad Lotfi A. Zadeha pod nazivom Fuzzy Sets (1965) [23].Medutim, iako se u srzi oba rada nalazi pojam neizvesnosti, oni ga tretiraju na potpunodrugacije nacine. Sa jedne strane Shannon, uvodeci pojam entropije kao meru neizvesnostiu predvidanju vrednosti slucajnog procesa, potpuno se oslanja na teoriju verovatnoce i ko-risti njene kapacitete za opisivanje svojih koncepata. Sa druge strane, Zadeh etablira svojuteoriju kao alternativu teoriji verovatnoce, cime zeli da pokaze da teorija verovatnoce nijejedino i dovoljno sredstvo za izrazavanje nepreciznih i neizvesnih fenomena.

Iako su neke ideje iz Zadehovog rada anticipirane 30 godina ranije od strane americkogfilozofa Max Blacka, on je ipak od izuzetnog znacaja kao prekretnica u razvoju “neizvesne”matematike. U svom radu, Zadeh uvodi nove objekte, takozvane fazi skupove, koji pred-stavljaju skupove cije granice nisu jasno i precizno odredene. Za neki objekat se ne moze recida pripada ili ne pripada odredenom fazi skupu, vec da pripada fazi skupu u odredenom ste-penu. Odmah nakon publikacije Zadehovog rada uvodi se i pojam fazi logike, odnosno vidavisevrednosne logike u kojoj logicne promenljive ne uzimaju jednu od dve moguce vrednosti“tacno” i “netacno”, vec neki stepen tacnosti, najcesce neku vrednost na intervalu [0, 1].

Zbog razloga izlozenih do sada, jasno je da je uvodenje fazi logike i fazi skupova naislo naveliki otpor i neodobravanje. Napadi na fazi matematiku traju i danas, a neki autori su tolikoekstremni u svojim stavovima da tvrde da je fazi logika potpuno nepotrebna [13]. Sam nazivfazi (eng. fuzzy, u bukvalnom prevodu nejasan, pomucen) bio je na meti napada zbog togasto je “pezorativan i nenaucan”. Uprkos tome, prema sopstvenim recima, Zadeh je zadrzaotakav naziv jer je “bolje opisivao od bilo kog drugog pojma tip nepreciznosti vezan za nejasne

iii

granice skupova” [24]. Danas mozemo reci da fazi logika i verovatnoca predstavljaju razlicitenacine za izrazavanje neizvesnosti. Medutim, mnogi statisticari inspirisani su delima Brunade Finettia, koji tvrdi da je samo jedna vrsta matematicke neizvesnosti potrebna, te daje stoga fazi logika nepotrebna. S druge strane, Bart Kosko tvrdi da je verovatnoca samopodteorija fazi logike i da izucava samo jedan vid neizvesnosti. Sam Zadeh tvrdi da jefazi logika razlicita u karakteru od teorije verovatnoce a ne njena zamena. Zadeh je takode“fazifikovao” teoriju verovatnoce, stvorivsi na taj nacin jednu vrstu njene generalizacije kojase danas naziva teorija mogucnosti (eng. possibility theory, videti [19]).

Kao sto se i pojam skupa generalizuje na pojam fazi skupa, tako se i pojam relacije gen-eralizuje na pojam fazi relacije. Dok relacija u matematici modeluje prisustvo ili odsustvointerakcije, asocijacije ili povezanosti elemenata dva ili vise skupa, fazi relacija omogucavamodelovanje razlicitih stepena ili jacine interakcije (asocijacije, povezanosti) elemenata dvaili vise skupa. Ovi stepeni asocijacije mogu se predstaviti stepenima pripadnosti fazi relaciji.U svom cuvenom radu Zadeh uvodi i pojam fazi relacije koji je kasnije razvijao u radu iz1971. godine [25], gde je uveo i pojmove fazi ekvivalencije i fazi uredenja. Nakon toga,u velikom broju radova razmatrani su razni aspekti tih fazi relacija, tako da danas teorijabinarnih fazi relacija predstavlja jednu od najznacajnih oblasti u teoriji fazi skupova.

Fazi relacijske (ne)jednacine predstavljaju (ne)jednacine u kome se kao nepoznate javl-jaju jedna ili vise fazi relacija. Sa izucavanjem sistema fazi relacijskih (ne)jednacina pocelose zbog njihovih prakticnih primena u medicini, a od tada su nasle mnogo siri spektarprimene, izmedu ostalog u diskretnim dinamickim sistemima, inzenjeringu znanja (Knowl-edge engineering), donosenju odluka, fazi prepoznavanju uzoraka, kompresiji slika i takodalje [15]. Fazi relacijske (ne)jednacine nasle su primenu i u teoriji fazi automata.

U ovom master radu izucavaju se sistemi fazi relacijskih nejednacina i jednacina posebnogtipa, koje nazivamo linearni i slabo linearni sistemi fazi relacijskih jednacina i nejednacina.Iako forma ovih sistema proizilazi iz prakticnih problema teorije fazi automata, i oni sunasli daleko siru primenu. Najpre je pokazano pod kojim uslovima dati sistem nejednacina(odnosno, jednacina) ima resenja, a potom su prikazani i metodi za resavanje datih sistema.Na kraju, data je njihova primena u redukciji stanja fazi automata, bisimulaciji i simulacijifazi automata, kao i u analizi socijalnih mreza.

Zahvaljujem se svom mentoru, prof. dr Jeleni Ignjatovic, kao i prof. dr MiroslavuCiricu, koji su me uveli u bogati svet fazi matematike, pruzili neophodnu literaturu, pomoci podrsku u toku izrade ovog rada. Takode, zahvaljujem se i prof. dr Milanu Basicu sakojim sam proveo brojne konstruktivne diskusije koje su poboljsale kvalitet ovog rada.

Sadrzaj

1 Uvod u fazi logiku i fazi skupove 1

1.1. Osnovni pojmovi iz uredenih skupova i mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Fiksne tacke nad kompletnim mrezama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Reziduirane funkcije, poluprstenovi i semimoduli . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Struktura skupa stepena istinitosti u fazi logici . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Kompletne reziduirane mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Osnovna svojstva reziduiranih mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Fazi logika t-normi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Fazi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Fazi relacije 19

2.1. Osobine fazi relacija i kompozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Fazi relacije ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Fazi relacije kvazi-uredenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Uniformne fazi relacije i fazi funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Sistemi fazi relacijskih jednacina i nejednacina 30

3.1. Homogeni linearni sistemi i reziduali fazi relacija . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Heterogeni linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Homogeni slabo linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Racunanje najveceg resenja homogenih slabo linearnih sistema . . . . . . . 42

3.5. Heterogeni slabo linearni sistemi i njihovo najvece resenje . . . . . . . . . . 48

3.6. Kolicnik fazi relacijski sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Primena slabo linearnih sistema fazi relacijskih jednacina i nejednacina 61

4.1. Redukcija stanja fazi automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Simulacije i bisimulacije fazi automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Analiza socijalnih mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Literatura 72

iv

Glava 1

Uvod u fazi logiku i fazi skupove

1.1. Osnovni pojmovi iz uredenih skupova i mreza

Pojam fazi logike uveo je L. Zadeh u svom originalnom radu [23] zajedno sa fazi skupovima.Iako je Zadeh koristio interval [0, 1] za skalu stepena istinitosti fazi tvrdenja (odnosno, zaskalu stepena pripadnosti objekata fazi skupu), Goguen je u svom radu [11] kao skalu stepenaistinitosti (pripadnosti) posmatrao kompletne reziduirane mreze. S obzirom da se u ovomradu pridrzavamo terminologije koju je uveo Goguen, ova sekcija uvodnog je karaktera iu njoj se izlazu rezultati iz uredenih skupova i mreza neophodni za razumevanje izlaganjao fazi skupovima i fazi logici nad kompletnim reziduiranim mrezama. Potrebni pojmovi ioznake iz teorije skupova koriste se onako kako je to uobicajeno u ovim teorijama.

Neka je A neprazan skup. Svaki podskup ξ skupa A2, pri cemu to moze biti i prazanpodskup, jeste binarna relacija (ili samo relacija) na skupu A. Relacija ξ na skupu A jerefleksivna ako je (a, a) ∈ ξ, za svaki a ∈ A. Dalje, relacija ξ je simetricna ako za a, b ∈ A,iz (a, b) ∈ ξ sledi (b, a) ∈ ξ. Relacija ξ je anti-simetricna ako za a, b ∈ A, iz (a, b) ∈ ξi (b, a) ∈ ξ sledi da je a = b. Na kraju, za relaciju ξ kazemo da je tranzitivna, ako zaa, b, c ∈ A, iz (a, b) ∈ ξ i (b, a) ∈ ξ sledi (a, c) ∈ ξ.

Refleksivnu, antisimetricnu i tranzitivnu relaciju nazivamo parcijalnim uredenjem (iliuredenjem, odnosno relacijom poretka). Refleksivnu, simetricnu i tranzitivnu relaciju nazi-vamo relacijom ekvivalencije, ili samo ekvivalencijom.

Ako je 6 parcijalno uredenje na skupu A, tada se uredeni par (A,6) naziva parcijalnouredeni skup (ili samo uredeni skup). Ako se uredenje na skupu A podrazumeva, tada sesamo skup A naziva (parcijano) uredeni skup.

Za preslikavanje φ koje slika ureden skup A u ureden skup B kazemo da je izotono ilirastuce ili da ocuvava uredenje ako za sve a, b ∈ A, iz a 6 b sledi φ(a) 6 φ(b). Slicno, zapreslikavanje φ iz A u B kazemo da je antitono ili da je opadajuce ako za sve a, b ∈ A, iza 6 b sledi φ(b) 6 φ(a). Za φ kazemo da je izomorfizam uredenih skupova A i B, ili uredajniizomorfizam iz A na B, ako je φ bijekcija iz A na B i φ i φ−1 su izotona preslikavanja.

Neka je A ureden skup. Za element a ∈ A kazemo da je minimalan element skupa A,ako u A ne postoji element strogo manji od njega, tj. ako za x ∈ A, iz x 6 a sledi x = a;

1

1.1. OSNOVNI POJMOVI IZ UREDENIH SKUPOVA I MREZA 2

maksimalan element skupa A, ako u A ne postoji element strogo veci od njega, tj. ako zax ∈ A, iz a 6 x sledi a = x. Ako je element a manji od svakog drugog elementa iz A, tj.ako je a 6 x, za svaki x ∈ A, tada je a najmanji element skupa A; ako je element a veci odsvakog drugog elementa iz A, tj. ako je x 6 a, za svaki x ∈ A, tada je a najveci elementskupa A.

Neka je H neprazan podskup uredenog skupa A. Za element a ∈ A kazemo da je gornjagranica skupa H, ako je x 6 a, za svaki x ∈ H; donja granica skupa H, ako je a 6 x, zasvaki x ∈ H; najmanja gornja granica, ili supremum, skupa H, ako je a najmanji elementskupa svih gornjih granica skupa H, tj. ako je a gornja granica skupa H i za svaku gornjugranicu b skupa H vazi a 6 b; najveca donja granica, ili infimum, skupa H, ako je a najvecielement skupa svih donjih granica skupa H, tj. ako je a donja granica skupa H i za svakudonju granicu b skupa H vazi b 6 a.

Supremum skupa H, ako postoji, oznacavamo sa∨H, a infimum, takode ako postoji, sa∧

H. Ukoliko je H = {xi | i ∈ I}, tada umesto∨H i

∧H pisemo redom

∨i∈I xi i

∧i∈I xi.

Najveci element skupa H, ako postoji, oznacava se sa ⊤H, dok se najmanji element odH, ako postoji, oznacava sa ⊥H.

Pod donjim skupom (eng. down-set) podrazumevamo podskup H uredenog skupa A saosobinom da, ako su x ∈ H i y ∈ A takvi da je y 6 x, tada je y ∈ H. Prazan podskup odA takode je donji skup. Pod glavnim donjim skupom (eng. principal down-set) generisanogelementom x ∈ A podrazumevamo donji skup oblika ↓ x = {y ∈ A|y 6 x}. Dualno,definisemo gornji skup (eng. up-set) kao podskup G od A za koji vazi da, ako su x ∈ G,y ∈ A i x 6 y, tada je y ∈ G; i glavni gornji skup (eng. principal up-set) generisanogelementom x ∈ A kao gornji skup oblika ↑x = {y ∈ A|x 6 y}.

Ureden skup (L,6) ciji svaki dvoelementni podskup ima supremum i infimum naziva semreza (ili mrezasto uredeni skup ). Indukcijom se lako dokazuje da i svaki konacan podskupmreze ima supremum i infimum. Za beskonacne podskupove mreze to ne mora da vazi.Ureden skup (L,6) ciji svaki podskup ima supremum i infimum naziva se kompletna mreza(ili kompletno mrezasto uredeni skup ). Lanac je uredeni skup (L,6) za koji je u 6 v iliv 6 u za svaka dva u, v ∈ L. Drugim recima, uredeni skup L je lanac ukoliko su svakadva njegova elementa uporediva. Svaki lanac je mreza u kojoj je inf(u, v) = min(u, v) isup(u, v) = max(u, v).

Alternativno, mreza se moze definisati i kao algebra (L,∧,∨), gde binarne operacije ∧(presek) i ∨ (unija) zadovoljavaju sledece osobine:

• Komutativnost: u ∧ v = v ∧ u, u ∨ v = v ∨ u,

• Asocijativnost: u ∧ (v ∧ w) = (u ∧ v) ∧ w, u ∨ (v ∨ w) = (u ∨ v) ∨ w,

• Apsorbcija: u ∧ (u ∨ v) = u, u ∨ (u ∧ v) = u

za svako u, v, w ∈ L. Ove dve definicije su ekvivalentne. Zaista, ako je (L,6) mrezastouredeni skup, stavimo u ∧ v = inf{u, v} i u ∨ v = sup{u, v}. Tada je struktura (L,∧,∨)mreza. Obratno, ako je (L,∧,∨) mreza, stavimo tada da je u 6 v akko je u ∧ v = u (ili,

1.1. OSNOVNI POJMOVI IZ UREDENIH SKUPOVA I MREZA 3

ekvivalentno, akko u ∨ v = v). Tada je (L,6) mrezasto uredeni skup u kojem su infimum isupremum jednaki, redom, inf{u, v} = u ∧ v i sup{u, v} = u ∨ v.

Ogranicena mreza je algebra (L,∧,∨, 0, 1), pri cemu je (L,∧,∨) mreza, dok elementi0 i 1 zadovoljavaju uslove 0 ∨ u = u i 1 ∧ u = u za svako u ∈ L. Drugim recima, 0 i 1su, redom, najmanji i najveci element u odgovarajucem mrezasto uredenom skupu. Svakakompletna mreza je ogranicena mreza, stoga se kompletna mreza oznacava sa (L,∧,∨, 0, 1),odnosno sa (L,6, 0, 1)

Neprazan podskup X mreze L naziva se ∧-podmreza mreze L ako za svaka dva elementaa, b ∈ X vazi a ∧ b ∈ X. Slicno, neprazan podskup X mreze L je ∨-podmreza mreze L akoza svaka dva elementa a, b ∈ X vazi a ∨ b ∈ X. Na kraju, neprazan podskup X mreze L jepodmreza ukoliko je ∧-podmreza i ∨-podmreza.

Za mrezu L i a ∈ L, podmreze

[a) = {x ∈ L|a 6 x} i (a] = {x ∈ L|x 6 a}

su poluotvoreni intervali mreze L, a za a, b ∈ L takve da je a 6 b, podmreze

(a, b) = {x ∈ L|a < x < b} i [a, b] = {x ∈ L|a 6 x 6 b}

su otvoreni interval i zatvoreni interval, (ili segment) mreze L, respektivno.

Neka je L uredenji skup. Skup L je ∧-polumreza ili donja polumreza ako postoji in-fimum za svaki njegov dvoelementni podskup (a samim tim i za svaki konacni podskup).Dualno, skup L je ∨-polumreza ili gornja polumreza ako postoji supremum za svaki njegovdvoelementni podskup (tj. za svaki konacni podskup). Uredeni skup L je polumreza ako je∧-polumreza i ∨-polumreza. Alternativno, polumreza se moze uvesti i kao algebra (L,∧,∨)u kojoj su operacije ∧,∨ : L2 → L komutativne, asocijativne i idempotentne, pri cemusvaka od operacija indukuje uredenje na skupu L na sledeci nacin: kaze se da je u 6 v akkoje u ∧ v = u (ili, ekvivalentno, akko u ∨ v = v), za svako u, v ∈ L.

Neprazan podskup J mreze (ili ∨-polumreze) L naziva se ideal ako je donji skup i ∨-polumreza od L. Nije tesko pokazati da je J ideal mreze L ako vazi a∨b ∈ J ako i samo akoa ∈ J i b ∈ J . Dualno, neprazan podskup D mreze (ili ∧-polumreze) L je filter (ili dualniideal) ako je gornji skup i ∧-podmreza od L. Neka je element a ∈ L. Tada su poluotvoreniintervali (a] i [a), redom ideal, odnosno filter mreze L i nazivaju se glavni ideal generisan saa i glavni filter generisan sa a. Moze se pokazati da skup svih ideala polumreze sa nulom(mreze) cini kompletnu mrezu.

Neka je (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza. Tada je kvantal (L,∧,∨, ∗, 0, 1) algebra u kojojbinarna operacija ∗ : L2 → L zadovoljava uslove

u ∗ (v ∗ w) = (u ∗ v) ∗ w,

u ∗ (∨i∈I vi) =

∨i∈I(u ∗ vi),

(∨i∈I ui) ∗ v =

∨i∈I(ui ∗ v),

1.2. FIKSNE TACKE NAD KOMPLETNIM MREZAMA 4

za svako u, v, w ∈ L i ui, vi ∈ L za svako i ∈ I. Jedinicni kvantal je algebra (L,∧,∨, ∗, 0, 1, e),pri cemu je (L,∧,∨, ∗, 0, 1) kvantal, a element e zadovoljava uslov u ∗ e = e ∗u = u za svakou ∈ L.

Za vise detalja o mrezama i kompletnim mrezama videti [4, 20].

1.2. Fiksne tacke nad kompletnim mrezama

Definicija 1.1. Neka je U proizvoljan uredeni skup i f : U → U data funkcija. Elementu ∈ U naziva se

(i) fiksna tacka od f , ako je f(u) = u,

(ii) post-fiksna tacka od f , ako je u 6 f(u), i

(iii) pre-fiksna tacka od f , ako je f(u) 6 u.

Skupovi svih fiksnih, post-fiksnih i pre-fiksnih tacaka od f oznacavaju se, redom, sa Fix(f),Post(f) i Pre(f).

Naredna teorema predstavlja poznati rezultat o egzistenciji fiksnih tacaka date funkcijena kompletnoj mrezi.

Teorema 1.2. (Teorema Knaster-Tarski o fiksnoj tacki [20]) Neka je (L,∧,∨, 0, 1) kom-pletna mreza i neka je f : L→ L izotona funkcija. Tada vazi sledece:

(i) Post(f) je ∨-podmreza mreze L,

(ii) Pre(f) je ∧-podmreza mreze L,

(iii) Fix(f) je kompletna mreza i vazi ⊤Fix(f) = ⊤Post(f), kao i ⊥Fix(f) = ⊥Pre(f).

Dakle, prema Teoremi Knaster-Tarskog, skup Fix(f) je kompletna mreza. Kako kom-pletna mreza ne moze biti prazan skup, Teorema garantuje postojanje barem jedne fiksnetacke funckije f . Stavise, ona garantuje i egzistenciju najmanje i najvece fiksne tacke datefunkcije. Medutim, Teorema ne opisuje nikakav postupak za njihovo odredivanje. Vecinametoda kojima se najmanja i naveca fiksna tacka moze odrediti zasniva se na Kleenevojteoremi o fiksoj tacki. Ova teorema tvrdi da se, za

∧-neprekidnu funkciju f1, najveca fiksna

tacka od f moze dobiti kao infimum opadajuceg Kleenevog lanca od f , koji je definisan nasledeci nacin:

a1 = 1, ak+1 = f(ak), (1.1)

za svaki k ∈ N, gde je 1 najveci element kompletne mreze L. Niz dobijen primenom formule(1.1) je nerastuci, jer je funkcija f izotona i f(1) 6 1. Bez zahteva o

∧-neprekidnosti, ako

je f samo izotona funkcija, vazia 6

∧k∈N ak, (1.2)

1Funkcija f je∧-neprekidna ako je f(

∧i∈I ai) =

∧i∈I f(ai), za svako ai ∈ L i svaki indeksni skup I .

1.3. REZIDUIRANE FUNKCIJE, POLUPRSTENOVI I SEMIMODULI 5

gde je a najveca fiksna tacka od f . Kleeneva teorema o fiksnoj tacki pretpostavlja da jefunkcija f

∧-neprekidna da bi se u (1.2) obezbedila jednakost. Ova jednakost omogucava ili

da se efektivno odredi (ako se niz zaustavi u nekom ak) ili da se aproksimira najveca fiksnatacka od f . Ipak, u velikom broju slucajeva jednakost u (1.2) dostize se i bez zahteva dafunkcija f bude

∧-neprekidna, i ovaj zahtev je suvisan ako je funkcija izotona. Na primer,

ako je L konacna mreza, onda niz {ak}k∈N mora biti konacan, i njegov najmanji elementupravo je jednak a. Specijalno, ovaj slucaj imamo kada radimo sa relacijama na konacnimskupovima ili na podskupovima konacnih skupova.

1.3. Reziduirane funkcije, poluprstenovi i semimoduli

Da bi se na prirodan nacin uveo pojam reziduirane funkcije, posmatrajmo sledece poznatotvrdenje, koje daje karakterizaciju izotonih funkcija.

Teorema 1.3. [4] Neka su P i Q uredeni skupovi i neka je f : P → Q. Tada su sledecatvrdenja ekvivalentna:

(i) Funkcija f je izotona,

(ii) Inverzna slika svakog glavnog donjeg skupa u Q je donji skup u P ,

(iii) Inverzna slika svakog glavnog gornjeg skupa u Q je gornji skup u P .

Medutim, inverzna slika od f glavnog donjeg skupa u Q, u opstem slucaju, ne mora bitiglavni donji skup u E. Sve funkcije za koje je inverzna slika glavnog donjeg skupa takodeglavni donji skup cine vaznu klasu funkcija. Ova klasa funkcija okarakterisana je sledecimtvrdenjem.

Teorema 1.4. [4] Neka su P i Q uredeni skupovi, i neka su idP i idQ identicka pres-likavanja na skupovima P i Q, redom. Za svaku funkciju f : P → Q, sledeci uslovi suekvivalentni:

(i) f je izotona, i postoji izotona funkcija g : Q → P takva da je

idP 6 f ◦ g, g ◦ f 6 idQ, (1.3)

(ii) Postoji funkcija g : Q → P takva da je

f(x) 6 y ⇔ x 6 g(y), (1.4)

za svako x ∈ P i y ∈ Q,

(iii) Inverzna slika od f svakog glavnog donjeg skupa od Q je glavni donji skup od P ,

(iv) Skup {x ∈ P |f(x) 6 y} ima najveci element, za svako y ∈ Q.

Ukoliko postoji funkcija g koja zadovoljava (1.3) ili (1.4), tada je ona jedinstvena.


Funkcija f koja zadovoljava bilo koji od ekvivalentnih uslova Teoreme 1.4 naziva sereziduirana funkcija, dok se jedinstvena funkcija g koja zadovoljava (1.3) ili (1.4) nazivarezidual od f , a oznacava se sa f+. Nije tesko pokazati sledeca tvrdenja, a detaljan dokazmoze se pronaci u [4].

Tvrdenje 1.5. Funkcija f : P → Q je reziduirana ako i samo ako je, za svako y ∈ Q:

f+(y) = ⊤{x ∈ P |f(x) 6 y}

Tvrdenje 1.6. Ako je f : P → Q reziduirana, tada je f ◦ f+ ◦ f = f i f+ ◦ f ◦ f+ = f+.

Tvrdenje 1.7. Ako su f : P → Q i g : Q → R reziduirana preslikavanja, tada je if ◦ g : P → R reziduirano preslikavanje, i vazi (f ◦ g)+ = g+ ◦ f+.

Polugrupa (S,⊗) sastoji se od nepraznog skupa S na kojem je definisana asocijativnabinarna operacija ⊗. Ukoliko je S polugrupa sa jedinicnim elementom 1 (koji zadovoljavax ⊗ 1 = 1 ⊗ x = x za svako x ∈ S), tada je (S,⊗, 1) monoid. Uredeni polugrupa jeuredena trojka (S,⊗,6) takva da je (S,⊗) polugrupa, (S,6) je uredeni skup, i uredenje6 je kompatibilno sa operacijom ⊗, odnosno za sve a, b, x, y ∈ S takve da je a 6 b vazix ⊗ a 6 x ⊗ b i a ⊗ y 6 b ⊗ y. Ukoliko se u predasnjoj definiciji umesto polugrupe(S,⊗) posmatra monoid (S,⊗, 1), tada se gore opisana struktura (S,⊗, 1,6) naziva uredenimonoid.

Neka je (S,⊗) polugrupa. Za svako a ∈ S definisimo levu translaciju od S u odnosu naa, kao funkciju λa : S → S definisanu sa

λa(x) = a⊗ x,

za svako x ∈ S. Takode, za svako a ∈ S definisimo i desnu translaciju od S u odnosu na a,kao funkciju a : S → S definisanu sa

a(x) = x⊗ a,

za svako x ∈ S.

Definicija 1.8. Uredena polugrupa (S,⊗,6) naziva se:

(a) desno reziduirana ukoliko je svaka leva translacija na S reziduirana funkcija. U tomslucaju, za proizvoljne elemente a, b ∈ S, element

a\b = λ+a (b) = ⊤{x ∈ S|a⊗ x 6 b}

naziva se desni rezidual b od a,


(b) levo reziduirana ukoliko je svaka desna translacija na S reziduirana funkcija. Tada seza proizvoljne elemente a, b ∈ S element

b/a = +a (b) = ⊤{x ∈ S|x⊗ a 6 b}

naziva levi rezidual b od a,

(c) reziduirana, ukoliko je levo i desno reziduirana.

Analogne definicije vaze ukoliko se “polugrupa” zameni sa “monoid”.

Vazno je napomenuti da se u komutativnoj polugrupi pojmovi levog i desnog rezidualapoklapaju. Takode, za sve elemente a, b, c reziduirane polugrupe vazi

a⊗ b 6 c ⇔ a 6 c/b ⇔ b 6 a\c.

Podsetimo se da je (S,⊕,⊗, 0, 1) poluprsten takva struktura u kojoj je (S,⊕, 0) komu-tativni monoid sa neutralnim elementom 0, (S,⊗, 1) monoid sa neutralnim elementom 1,x ⊗ (y ⊕ z) = x ⊗ y ⊕ x ⊗ z i (x ⊕ y) ⊗ z = x ⊗ z ⊕ y ⊗ z za svako x, y, z ∈ S, kao i0 ⊗ x = x⊗ 0 = 0 za svako x ∈ S.

Definicija 1.9. [12] Neka je S = (S,⊕,⊗, 0, 1) poluprsten sa nulom 0 i jedinicom 1. Ko-mutativni monoid (A,+,~0) je levi S-polumodul ako je na njemu definisano levo skalarnomnozenje · : S ×A→ A, takvo da za sve λ, λ1, λ2 ∈ S i x, x1, x2 ∈ A vazi:

(λ1 ⊗ λ2) · x = λ1 · (λ2 · x), (1.5)

λ · (x1 + x2) = λ · x1 + λ · x2, (1.6)

(λ1 ⊕ λ2) · x = λ1 · x+ λ2 · x, (1.7)

1 · x = x, (1.8)

λ ·~0 = 0 · x = ~0. (1.9)

Analogno, komutativni monoid (A,+,~0) je desni S-semimodul ako je na njemu definisanodesno skalarno mnozenje · : A× S → A, takvo da su ispunjeni dualni uslovi uslovima (1.5)- (1.9). Za dva poluprstena S = (S,⊕,⊗, 0, 1) i T = (T,⊕,⊗, 0, 1), komutativan monoid(A,+,~0) je S − T -bisemimodul ukoliko je levi S-semimodul i desni T -semimodul, i ukolikovazi uslov

(λ · x) · µ = λ · (x · µ),

za svako λ ∈ S, µ ∈ T i x ∈ A. Za S = T , komutativan monoid (A,+,~0) naziva seS-bisemimodul

Definicija 1.10. [10, 14] Neka je A = (A,+,~0,6) komutativni uredeni monoid.

1.4. STRUKTURA SKUPA STEPENA ISTINITOSTI U FAZI LOGICI 8

(a) Levi S-semimodul A je reziduiran ako je za svaki skalar λ ∈ S funkcija x 7→ λ · x (zax ∈ A) reziduirana. U tom slucaju, za λ ∈ S i a ∈ A, element

λ\a = ⊤{x ∈ A|λ · x 6 a} (1.10)

naziva se desni rezidual a od λ,

(b) Desni S-semimodul A je reziduiran ako je za svaki skalar λ ∈ S funkcija x 7→ x ·λ (zax ∈ A) reziduirana. Tada, za λ ∈ S i a ∈ A, element

a/λ = ⊤{x ∈ A|x · λ 6 a} (1.11)

naziva se levi rezidual a od λ,

(c) S − T -bisemimodul A je reziduiran ako je ujedno reziduiran levi S-semimodul ireziduiran desni T -semimodul. U tom slucaju, pojmovi desnog i levog rezidualadefinisu se preko formula (1.10) i (1.11), respektivno.

1.4. Struktura skupa stepena istinitosti u fazi logici

Fazi logika predstavlja vrstu visevrednosne logike. Za razliku od klasicne logike (gde svakotvrdenje moze biti tacno ili netacno, i ne moze uzeti neku drugu vrednost), u fazi logicisvakom tvrdenju dodeljuje se stepen istinitosti (tacnosti) iz nekog skupa vrednosti L. SkupL mora da poseduje odredena svojstva da bi sluzio kao skala stepena istinitosti.

Najpre, L mora biti parcijalno ureden, odnosno skup L mora biti snabdeven parcijalnimuredenjem 6. Razlog je sledeci: Ako se tvrdenjima ϕ i ψ pridruze stepeni istinitosti a i b,sto oznacavamo sa ‖ϕ‖ = a i ‖ψ‖ = b, tada a 6 b znaci da je tvrdenje ϕ manje istinito odtvrdenja ψ.

Dalje, smatramo da su 0 i 1 najmanji i najveci element skupa L, respektivno. Drugimrecima, vazi 0 6 a 6 1 za svako a ∈ L. Ovakav pristup omogucuje da tvrdenja sa stepenomistinitosti 0 smatramo sasvim izvesno netacnim, a da tvrdenja sa stepenom istinitosti 1smatramo sasvim izvesno tacnim. Takode, ukoliko usvojimo da u klasicnoj logici netacnatvrdenja dobijaju stepen istinitosti 0, dok tacna tvrdenja imaju stepen istinitosti 1, jasnoje da je klasicna logika specijalan slucaj fazi logike gde je L = {0, 1}.

Potom, neophodno je da postoje infimum i supremum za svaki (konacan ili beskonacan)podskup skupa L, odnosno da je skup (L,6) kompletna mreza. Infimum (eng. meet, uoznaci

∧) i supremum (eng. join, u oznaci

∨) sluze za modelovanje univerzalnog i egzis-

tencijalnog kvantifikatora, respektivno. Na primer, neka je X kolekcija nekoliko devojaka, ineka ϕx oznacava tvrdenje: Devojka x je lepa (za svako x ∈ X). Stepen istinitosti ovakvogtvrdenja je ‖ϕx‖. Posmatrajmo tvrdenje “Postoji devojka iz skupa X koja je lepa”. Tadatom tvrdenju dodeljujemo onaj stepen istinitosti koji je jednak supremumu skupa {‖ϕx‖|x ∈X}, jer je cilj da takvom tvrdenju ne dodelimo manji stepen istinitosti od svih stepena uskupu {‖ϕx‖|x ∈ X}. Precizno zapisano, ‖“Postoji devojka iz skupa X koja je lepa”‖ =∨x∈X ‖ϕx‖. Dualno, stepen istinitosti tvrdenja “Svaka devojka iz skupa X je lepa” treba

1.4. STRUKTURA SKUPA STEPENA ISTINITOSTI U FAZI LOGICI 9

biti jednak infimumu skupa {‖ϕx‖|x ∈ X}, jer takvom tvrdenju ne treba dodeliti veci stepenistinitosti od svih stepena u skupu {‖ϕx‖|x ∈ X}.

Skup L je potrebno snabdeti logickim veznicima da bi se mogao oceniti stepen istinitostikompozitnih tvrdenja. Binarne operacije ⊗ : L×L→ L i →: L×L→ L zvacemo konjukcijai implikacija, tim redom. Znacenje operacije konjukcije je sledece: Neka su ϕ i ψ tvrdenjasa stepenima istinitosti ‖ϕ‖ i ‖ψ‖ redom. Tada je stepen istinitosti konjukcije tvrdenja ϕ iψ, u oznaci ϕ&ψ, jednak ‖ϕ‖ ⊗ ‖ψ‖. Drugim recima, ‖ϕ&ψ‖ = ‖ϕ‖ ⊗ ‖ψ‖. Analogno, akosa ϕ⇒ ψ oznacimo implikaciju tvrdenja ϕ i ψ, tada je ‖ϕ⇒ ψ‖ = ‖ϕ‖ → ‖ψ‖.

Konjukcija i implikacija moraju da zadovoljavaju odredena svojstva. Najpre pocinjemosa razmatranjem konjunkcije ⊗. Da bi ona izrazavala operaciju koja odgovara klasicnojkonjunkciji zahtevamo da vazi: 1 ⊗ 1 = 1; 1 ⊗ 0 = 0 ⊗ 1 = 0 ⊗ 0 = 0. Da bi stepenistinitosti tvrdenja ϕ&ψ bio isti kao stepen istinitosti tvrdenja ψ&ϕ, potrebno je da ⊗bude komutativna operacija (tada je ||ϕ&ψ|| = ||ϕ|| ⊗ ||ψ|| i ||ψ&ϕ|| = ||ψ|| ⊗ ||ϕ||, pauslov ||ϕ&ψ|| = ||ψ&ϕ|| povlaci ||ϕ|| ⊗ ||ψ|| = ||ψ|| ⊗ ||ϕ||). Na slican nacin, ako su stepeniistinitosti za ϕ&(ψ&χ) i za (ϕ&ψ)&χ jednaki, dolazimo do asocijativnosti operacije ⊗. Takosmo dosli do pretpostavke da je (L,⊗, 1) komutativan monoid. Dalje, intuitivno zahtevamoda ⊗ bude neopadajuca operacija, tj. da iz a1 6 a2 i b1 6 b2 sledi a1 ⊗ b1 6 a2 ⊗ b2,sto znaci da vecim istinitosnim stepenima dva pravila odgovaraju veci istinitosni stepeninjihove konjunkcije.

Predimo sada na implikaciju. U klasicnoj logici konjunkcija i implikacija imaju vaznuulogu u formulaciji pravila zakljucivanja koje se naziva modus ponens. Podsetimo se da ovopravilo kaze da, ako vazi ϕ i vazi ϕ ⇒ ψ, mozemo zakljuciti da vazi ψ. U fazi postavciformulisemo modus ponens na sledeci nacin: Ako je stepen istinitosti za ϕ najmanje a(a 6 ||ϕ||), a stepen istinitosti za ϕ ⇒ ψ najmanje b (b 6 ||ϕ ⇒ ψ||), tada ψ ima stepenistinitosti najmanje a⊗ b (a⊗ b 6 ||ψ||). Drugim recima, modus ponens na osnovu procenedonje granice stepena istinitosti tvrdenja ϕ i ϕ ⇒ ψ daje procenu donje granice istinitostitvrdenja ψ. U posebnom slucaju, za ||ϕ|| = a i ||ψ|| = c dobijamo sledecu implikaciju

b 6 a→ c ⇒ a⊗ b 6 c,

s obzirom da je ||ϕ⇒ ψ|| = a→ c.

Drugi smer ove implikacije je najjaci zakljucak koji izvodimo iz modus ponensa. Nekaje ||ϕ|| = a i ||ψ|| = c. Tada je ||ϕ ⇒ ψ|| = a → c. Iz modus ponensa dobijamo donjugranicu a⊗ ||ϕ ⇒ ψ|| za ||ψ|| = c, tj. a⊗ (a → c) 6 c. Kako je a dato, ova vrednost zavisisamo od a→ c. Posto je ⊗ neopadajuca operacija, veca vrednost za a→ c vodi do vece (ilibar jednake) vrednosti za a ⊗ (a → c) 6 c. S obzirom da zelimo da vrednost a ⊗ (a → c)bude najveca moguca procena za c, tada izraz a→ c ima najveci stepen istinitosti za koji jea⊗(a→ c) 6 c. Drugim recima, ako za neko b vazi a⊗b 6 c, tada sledi b 6 a→ c. Spajajucioba smera implikacije dolazimo do osobine koju nazivamo svojstvo adjungovanosti :

a⊗ b 6 c ⇔ b 6 a→ c.

Algebarska struktura koja zadovoljava sve prethodno navedene uslove naziva se kompletnareziduirana mreza. Uprkos tome sto reziduirane mreze predstavljaju veoma uopstene struk-

1.5. KOMPLETNE REZIDUIRANE MREZE 10

ture, one se mogu usloviti posebnim, dodatnim ogranicenjima. Na taj nacin dobijaju se nove,veoma bogate strukture koje predstavljaju mocno sredstvo za modelovanje najrazlicitijihfazi relacionih sistema. Na primer, mozemo zahtevati da operacija ⊗ bude idempotentna,kada je ||ϕ&ϕ|| = ||ϕ||, tj. x ⊗ x = x i tada dobijamo MV-algebre (algebre Lukasiewiczlogike) kao specijalan slucaj reziduiranih mreza itd.

1.5. Kompletne reziduirane mreze

U daljem radu, kao strukture istinitosnih vrednosti uzimaju se upravo reziduirane mreze.Dacemo sada njihovu algebarsku definiciju.

Definicija 1.11. Reziduirana mreza je algebra L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) takva da:

(L1) (L,∧,∨, 0, 1) je mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim elementom 1,

(L2) (L,⊗, 1) je komutativan monoid sa jedinicom 1,

(L3) operacije ⊗ i → zadovoljavaju svojstvo adjungovanosti , to jest, za sve a, b, c ∈ L,

a⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1.12)

Za algebru L kazemo da je kompletna reziduirana mreza ako zadovoljava (L2), (L3) i

(L1’) (L,∧,∨, 0, 1) je kompletna mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim elementom 1.

Opreacije ⊗ i → nazivamo mnozenje i reziduum (ostatak), resprektivno. Uredeni par(⊗,→) nazivamo adjungovani par . Za dva elementa a, b ∈ L, a → b nazivamo reziduum(ostatak) b od a. Shodno diskusiji u prvoj sekciji, mnozenje i reziduum sluze za modelovanjekonjukcije i implikacije u odgovarajucem logickom racunu.

Ako je data operacija mnozenja ⊗, tada postoji najvise jedna operacija reziduuma →koja zadovoljava svojstvo adjungovanosti (1.12). Zaista, neka je →′: L × L → L funkcijareziduuma koja takode zadovoljava (1.12), i neka su b i c fiksni elementi iz L. Tada, zaproizvoljno a ∈ L imamo da vazi a 6 b → c akko a ⊗ b 6 c akko a 6 b →′ c. Ukoliko bivazilo b→ c 6= b→′ c, tada bi postojalo neko a′ ∈ L za koje bi bilo a′ 6 b→ c i b→′ c 6 a′

ili obrnuto. Time je dakle dokazano b → c = b →′ c za svako b, c ∈ L. Na slican nacindokazuje se da → na jedinstven nacin odreduje ⊗.

S obzirom da je operacija ⊗ komutativna i asocijativna, bilo koji ⊗-proizvod elemenataa1, . . . , an mozemo oznaciti jednostavno sa

⊗ni=1 ai.

Primer 1.12. Neka je L = [0, 1]. Tada je skup (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza sa a ∧ b =min(a, b) i a ∨ b = max(a, b), pri cemu su min i max standardno definisati u odnosu nauobicajeno uredenje 6 na realnim brojevima (a samim tim i na intervalu [0, 1]). Bilo koji


par od sledeca tri para operacija

Lukasiewiczeve operacije:a⊗ b = max(a+ b− 1, 0),a→ b = min(1 − a+ b, 1),

Godelove operacije:

a⊗ b = min(a, b),

a→ b =

{1, a 6 b,

b, inace,

Goguenove (proizvod) operacije:

a⊗ b = a · b,

a→ b =

{1, a 6 b,

b/a, inace,

cini algebru (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) kompletno reziduiranom mrezom. Odgovarajucu kom-pletno reziduiranu mrezu nazivamo, redom, standardna Lukasiewiczeva algebra, standardnaGodelova algebra i standardna Goguenova (proizvod) algebra. △

Primer 1.13. Neka je L = {a0, a1, . . . , an} sa uredenjem 0 < a0 < . . . < an < 1. Neka jeai∧aj = amin(i,j) i ai∨aj = amax(i,j). Tada definisemo Lukasiewiczev i Godelov adjungovanipar na sledeci nacin:

Lukasiewiczeve operacije:ai ⊗ aj = amax(i+j−n,0),

ai → aj = amin(n−i+j,1),

Godelove operacije:

ai ⊗ aj = amin(i,j),

ai → aj =

{1, i 6 j,

aj , inace,

Ukoliko je {a0, . . . , an} ⊆ [0, 1], ai = i/n, a (⊗,→) par Lukasiewiczevih operacija, tadaje ({a0, . . . , an},∧,∨,⊗,→, 0, 1) podalgebra standardne Lukasiewiczeve algebre. Ako jeje {a0, . . . , an} ⊆ [0, 1], a0 = 0 i an = 1, a (⊗,→) par Godelovih operacija, tada je({a0, . . . , an},∧,∨,⊗,→, 0, 1) podalgebra standardne Godelove algebre. △

Napomena 1.14. Za L = {0, 1}, obe strukture iz primera 1.13 svode se na dvoelementnu Bulovualgebru, odnosno strukturu stepena istinitosti u klasicnoj logici. Klasicna konjukcija i implikacijacine jedini adjungovani par.

Definicija 1.15. Na (kompletno) reziduiranoj mrezi L , operacije

a↔ b = (a→ b) ∧ (b→ a),

¬a = a→ 0,

an =

{1, n = 0,

an−1 ⊗ a, n > 0,

definisane za svako a, b ∈ L nazivaju se bireziduum (ili biimplikacija), negacija i n-ti stepenu L , tim redom.


Primer 1.16. U standardnoj Lukasiewiczevoj algebri, operacije bireziduuma, negacije in-tog stepena date su, redom, sa:

a↔ b = 1 − |a− b|,¬a = 1 − a,an = max(0, 1 − n(1 − a)),

dok su u standardnoj Godelovoj algebri definisane na sledeci nacin:

a↔ b =

{1, a = b,

min(a, b), inace,

¬a =

{1, a = 0,

0, a > 0,

an = a.

Na kraju, u standardnoj proizvod algebri imamo da su ove operacije jednake:

a↔ b =

{1, a = b = 0,min(a,b)max(a,b) , inace,

¬a =

{1, a = 0,

0, a > 0,

an = uobicajeni n-ti stepen a.

△

Navescemo jos neke vazne istinitosne strukture, koje jesu reziduirane mreze, ali zado-voljavaju i neke dodatne uslove.

Definicija 1.17.

1. Reziduirana mreza L naziva se Heytingova algebra ako je x⊗y = x∧y, za sve x, y ∈ L.Ako je, pored toga, L i kompletna mreza, onda je ona kompletna Heytingova algebra,a ako je parcijalno uredenje 6 u L linearno, onda je L linearno uredena Heytingovaalgebra.

2. BL-algebra (Basic Logic Algebra) je reziduirana mreza koja zadovoljava uslov a∧ b =a⊗ (a→ b) (deljivost) i (a→ b) ∨ (b→ a) = 1 (prelinearnost).

3. MV-algebra (Multi Valued Algebra) je BL-algebra u kojoj je a = ¬¬a (dozvoljavaduplu negaciju).

4. P-algebra (product algebra) je BL-algebra koja zadovoljava(c→ 0) → 0 6 ((a⊗ c) → (b⊗ c)) → (a→ b) i a ∧ (a→ 0) = 0.

5. G-algebra (Godelova algebra) je BL-algebra koja zadovoljava a⊗ a = a (idempotent-nost).

6. Booleova algebra je reziduirana mreza koja je i Heytingova algebra i MV-algebra.

1.6. OSNOVNA SVOJSTVA REZIDUIRANIH MREZA 13

1.6. Osnovna svojstva reziduiranih mreza

Navescemo neka osnovna svojstva operacija u reziduiranim mrezama. Sva svojstva dokazujuse lako i navedena su bez dokaza, a citalac za vise detalja moze konsultovati [1, 3].

Teorema 1.18. Svaka kompletno reziduirana mreza zadovoljava sledece osobine:

a⊗ (a→ b) 6 b, b 6 a→ (a⊗ b), a 6 (a→ b) → b, (1.13)

a 6 b ⇔ a→ b = 1, (1.14)

a→ a = 1, a→ 1 = 1, 0 → a = 1, (1.15)

1 → a = 1,

a⊗ 0 = 0,

a⊗ b 6 a, a 6 b→ a,

a⊗ b 6 a ∧ b,

(a⊗ b) → c = a→ (b→ c) = b→ (a→ c),

(a→ b) ⊗ (b→ c) 6 a→ c, (1.16)

(a→ b) ⊗ (c→ d) 6 (a⊗ c) → (b⊗ d),

(a→ b)n 6 an → bn,

a→ b je najveci element skupa {c|a⊗ c 6 b}, (1.17)

a⊗ b je najmanji element skupa {c|a 6 b→ c}.

Naredna teorema ukazuje na izotonost operacije ⊗, kao i na izotonost operacije → podrugom i antitonost ove operacije po prvom argumentu.

Teorema 1.19. U svakoj kompletno reziduiranoj mrezi vazi sledece:

a1 6 a2, b1 6 b2 ⇒ a1 ⊗ b1 6 a2 ⊗ b2, (1.18)

b1 6 b2 ⇒ a→ b1 6 a→ b2,

a1 6 a2 ⇒ a2 → b 6 a1 → b.

Navodimo jos neka svojstva operacija u reziduiranoj mrezi:

Teorema 1.20. U svakoj reziduiranoj mrezi zadovoljene su sledece nejednakosti:

a→ b 6 (a ∧ c) → (b ∧ c),

a→ b 6 (a ∨ c) → (b ∨ c),

a→ b 6 (a⊗ c) → (b⊗ c), (1.19)

a→ b 6 (z → a) → (z → b),

a→ b 6 (b→ c) → (a→ c).

1.6. OSNOVNA SVOJSTVA REZIDUIRANIH MREZA 14

Naredna teorema daje odnos izmedu operacija∨

i∧

, za neku familiju elemenatareziduirane mreze, i operacija ⊗ i →.

Teorema 1.21. U svakoj kompletno reziduiranoj mrezi sledeca tvrdenja su tacna, za svakiindeksni skup I:

a⊗∨i∈I bi =

∨i∈I(a⊗ bi), (1.20)

a→∧i∈I bi =

∧i∈I(a→ bi),∨

i∈I ai → b =∧i∈I(ai → b),

a⊗∧i∈I bi 6

∧i∈I(a⊗ bi), (1.21)

∨i∈I(a→ bi) 6 a→

∨i∈I bi,∨

i∈I(ai → b) 6∧i∈I ai → b,

∧i∈I(ai → bi) 6

∧i∈I ai →

∧i∈I bi, (1.22)

∧i∈I(ai → bi) 6

∨i∈I ai →

∨i∈I bi. (1.23)

Sledeca teorema daje svojstva ekvivalentna svojstvu adjungovanosti (1.12).

Teorema 1.22. Neka je L = (L,∧,∨,⊗, 0, 1) struktura koja zadovoljava uslove (L1’) i(L2) iz Definicije 1.11 reziduiranih mreza. Tada su sledeca tvrdenja ekvivalentna:

(i) Postoji → koje zadovoljava svojstvo adjunkcije u odnosu na ⊗.

(ii) Za sve a, b, skup {c | a⊗ c 6 b} ima najveci element.

(iii) U mrezi L vazi a⊗∨i∈I bi =

∨i∈I(a⊗ bi).

(iv) Za a→ b =∨{c | a ⊗ c 6 b}, operacije ⊗ i → cine adjungovani par.

D o k a z . Ocigledno vazi implikacija (iv) ⇒ (i), dok implikacije (i) ⇒ (ii) i (i) ⇒ (iii)slede iz (1.17) i (1.20), tim redom. Ostaje, dakle, da se pokazu implikacije (ii) ⇒ (iv) i(iii) ⇒ (iv).

Pretpostavimo da (ii) vazi, i definisimo operaciju → kao u (iv). Tada je upravo a → bnajveci element skupa {c | a⊗ c 6 b}. Znaci, ako je a⊗ c 6 b, tada je c 6 a→ b. Dokazimoi drugi smer. Neka vazi c 6 a → b. Tada na osnovu osobina (1.18) i (1.13) dobijamo davazi a⊗ c 6 a⊗ (a→ b) 6 b. Dakle, operacije ⊗ i → definisane preko (iv) cine adjungovanipar, cime je dokazana implikacija (ii) ⇒ (iv).

Sada pretpostavimo da vazi (iii) i definisimo operaciju → kao u (iv). Ako je a⊗ c 6 b,tada je c 6 a → b, jer je a → b supremum skupa {c | a ⊗ c 6 b}. Ako je c 6 a → b,tada je a ⊗ c 6 a ⊗ (a → b) = a ⊗

∨{d|a ⊗ d 6 b} =

∨{a ⊗ d|a ⊗ d 6 b} 6 b, gde

prva nejednakost i poslednja jednakost slede na osnovu (1.17) i (iii), respektivno. Time jei implikacija (iii) ⇒ (iv) dokazana.

1.7. FAZI LOGIKA T-NORMI 15

1.7. Fazi logika t-normi

T-norma (skraceno od trougaona norma) predstavlja vrstu binarne operacije koja se koristiu metrickim prostorima verovatnoca i fazi logici. Trougaone norme dobile su naziv zbogspecificnih primena u metrickim prostorima verovatnoce, gde se koriste za generalizacijunejednakosti trougla obicnih metrickih prostora.

Fazi logika t-normi predstavlja familiju visevrednosnih logika u kojima interval [0, 1]predstavlja spektar stepena istinitosti, dok t-norme sluze za modelovanje konjukcije. Da bise na osnovu date t-norme (konjukcije) generisala funkcionalna implikacija, potrebno je dat-norma bude levo-neprekidna. Dokaz ovog tvrdenja je glavni rezultat ove sekcije.

T-norme uvodimo kao binarnu operaciju na intervalu [0, 1] koja na intuitivan nacinmodeluje operaciju konjukcije.

Definicija 1.23. T-norma je binarna operacija ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] koja zadovoljava sledeceosobine:

• Asocijativnost: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), za svako a, b, c ∈ [0, 1],

• Komutativnost: a ∗ b = b ∗ a, za svako a, b ∈ [0, 1],

• Neutralnost jedinice: a ∗ 1 = a, za svako a ∈ [0, 1],

• Monotonost: Iz a1 6 a2 i b1 6 b2 sledi a1 ∗ b1 6 a2 ∗ b2, za svako a1, a2, b1, b2 ∈ [0, 1].

Drugim recima, operacija ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] je t-norma akko je ([0, 1], ∗, 1,6) uredenikomutativni monoid.

Definicija t-norme ne podrazumeva bilo kakvu neprekidnost. Sa druge strane, neprekid-nost t-normi je od teorijskog i prakticnog znacaja.

Definicija 1.24. T-norma je neprekidna ako za sve konvergentne nizove {an}n∈N i {bn}n∈N,sa elementima iz intervala [0, 1], vazi

(limn→∞

an

)∗(

limn→∞

bn

)= lim

n→∞(an ∗ bn).

Struktura neprekidnih t-normi izucavana je u knjizi [17]. U mnogim slucajevima dovoljnoje posmatrati slabiji uslov od neprekidnosti t-normi (tacnije, dovoljno je posmatrati levu ilidesnu neprekidnost).

Definicija 1.25. T-norma je levo-neprekidna ako za svako b ∈ [0, 1] i svaki neopadajuciniz {an}n∈N elemenata iz [0, 1] vazi

(limn→∞

an

)∗ b = lim

n→∞(an ∗ b).

Analogno se definise i desna neprekidnost t-normi. Sledeca teorema daje vezu izmedulevo neprekidnih t-normi i levo neprekidnih funkcija.

1.7. FAZI LOGIKA T-NORMI 16

Tvrdenje 1.26. Za datu t-normu ∗, sledeca tvrdenja su ekvivalentna:

(i) ∗ je levo-neprekidna t-norma,

(ii) Za svako b ∈ [0, 1], funkcija g(x) = x∗b je levo-neprekidna funkcija realne promenljive.

Definicija 1.27. Za datu t-normu ∗, operacija ⊲ : [0, 1]2 → [0, 1] definisana sa

a ⊲ b =∨{c|a ∗ c 6 b}

naziva se rezidualna implikacija (skraceno R-implikacija) za datu t-normu ∗.

Podsetimo da za funkciju f(x, y) : [0, 1]2 → [0, 1] kazemo da je neopadajuca (nerastuca)po x ako za sve a1, a2, b ∈ [0, 1] iz a1 6 a2 sledi f(a1, b) 6 f(a2, b) (f(a1, b) > f(a2, b)).Analogna definicija vazi za funkciju neopadajucu (nerastucu) po y.

R-implikacije imaju poseban znacaj kod levo-neprekidnih t-normi. Da bismo to pokazali,potrebno nam je sledece pomocno tvrdenje.

Lema 1.28. Neka je funkcija f(x, y) : [0, 1]2 → [0, 1] neopadajuca po x. Tada je funkcijaf :

(a) Levo-neprekidna po x akko za sve {aj |j ∈ J} ⊆ [0, 1] i svako b ∈ [0, 1] vazi

f(∨

j∈J aj , b)

=∨j∈J f(aj, b), (1.24)

(b) Desno-neprekidna po x akko za sve {aj |j ∈ J} ⊆ [0, 1] i svako b ∈ [0, 1] vazi

f(∧

j∈J aj , b)

=∧j∈J f(aj, b), (1.25)

(c) Neprekidna akko vazi (1.24) i (1.25).

Sada dokazujemo jedno od glavnih tvrdenja ove sekcije, odnosno da se R-implikacija zalevo-neprekidne t-norme moze uvesti i preko svojstva adjungovanosti.

Teorema 1.29. (Levo-neprekidne t-norme i reziduirane mreze) Binarna operacija ∗ na[0, 1] je levo-neprekidna t-norma akko je ([0, 1],min,max, ∗, ⊲, 0, 1) kompletna reziduiranamreza.

D o k a z . Najpre, primetimo da je ([0, 1],min,max, 0, 1) kompletna mreza. Prema Tvrdenju1.26 i Lemi 1.28, ∗ je levo-neprekidna t-norma akko vazi a ∗

∨i∈I bi =

∨i∈I(a ∗ bi). Prema

Teoremi 1.22 imamo da je a∗∨i∈I bi =

∨i∈I(a∗bi) akko je algebra ([0, 1],min,max, ∗, ⊲, 0, 1)

kompletna reziduirana mreza.

1.8. FAZI SKUPOVI 17

Teorema 1.29 od velikog je znacaja, jer nam omogucuje da levo-neprekidne t-normei operaciju mnozenja na intervalu [0, 1] oznacavamo istom oznakom ⊗ (odnosno, da nepravimo razliku izmedu ove dve operacije), kao i da R-implikacije i reziduum na [0, 1]oznacavamo istom oznakom →, sto cemo ciniti nadalje kroz tekst.

Naredna dva tvrdenja uspostavljaju vezu izmedu neprekidnih t-normi i komplento rezi-duiranih mreza.

Lema 1.30. [3] Levo-neprekidna t-norma ⊗ je neprekidna ako i samo ako je a⊗∧i∈I bi =∧

i∈I(a⊗ bi).

Teorema 1.31. [3] (Neprekidne t-norme i reziduirane mreze) Binarna operacija ⊗ : [0, 1]2 →[0, 1] je neprekidna t-norma akko je ([0, 1],min,max,⊗,→, 0, 1) reziduirana mreza koja zado-voljava uslov deljivosti: min{a, b} = a ⊗ (a → b), pri cemu je → operacija definisana saa→ b =

∨{c|a⊗ c 6 b} za svako a, b ∈ [0, 1].

1.8. Fazi skupovi

Fazi skupovi predstavljaju skupove sa nejasnim, pomucenim granicama. Objekat mozepripadati fazi skupu u nekom stepenu izmedu 0 i 1, pri cemu je stepen uzet iz neke odgo-varajuce skale L. U skladu sa diskusijom iz prethodnih poglavlja, nadalje pretpostavljamoda je skala L nosac skup kompletne reziduirane mreze L .

Definicija 1.32. Neka je U dati skup koji nazivamo univerzum. L -fazi skup nad uni-verzumom U (ili L -fazi podskup univerzuma U) je svako preslikavanje f : U → L.

Primetimo da je {0, 1}-fazi skup zapravo karakteristicna funkcija obicnog skupa. Iz oveperspektive, fazi skupovi predstavljaju uopstenje karakteristicnih funkcija obicnih skupova.

Ukoliko je skala stepena pripadnosti poznata iz konteksta, tada se L -fazi (pod)skupnaziva jednostavno fazi (pod)skup. Skup svih L -fazi poskupova skupa U oznacava se saLU .

Jednakost fazi skupova definise se preko uobicajene jednakosti funkcija, odnosno, dvafazi skupa f, g ∈ LU su jednaka ako i samo ako je f(u) = g(u) za svaki u ∈ U . Takode, zaf, g ∈ LU ,

f 6 g ⇔ f(u) 6 g(u), ∀u ∈ U. (1.26)

Oznaka f 6 g se cita : f je podskup skupa g. Cesto se koristi i oznaka f ⊆ g kao i uobicnim skupovima. Na isti nacin, tj. komponentno, definise se presek dva fazi skupa, unijadva fazi skupa, presek familije fazi skupova, unija familije fazi skupova, odnosno:

(f ∧ g)(u) = f(u) ∧ g(u), (1.27)

(f ∨ g)(u) = f(u) ∨ g(u), (1.28)(∧i∈I fi

)(u) =

∧i∈I fi(u), (1.29)(∨

i∈I fi)

(u) =∨i∈I fi(u). (1.30)

1.8. FAZI SKUPOVI 18

Operacije (1.27) - (1.30) cesto se oznacavaju i sa f ∩ g, f ∪ g,⋂i∈I fi,

⋃i∈I fi, respektivno,

prateci oznake iz standardne teorije skupova.

Prazan L -podskup od U , u oznaci ∅U , je preslikavanje ∅U : U → L definisano sa∅U (u) = 0 za svako u ∈ U . Potpun L -podskup od U , je preslikavanje 1U : U → L datosa 1U (u) = 1 za svako u ∈ U . Ukoliko je univerzum U poznat iz konteksta, tada koristimooznake ∅ i U umesto ∅U i 1U , redom.

Sledece tvrdenje daje uredajne osobine skupa LU .

Teorema 1.33. Neka je L = (L ,∧,∨,⊗,→, , ) kompletna reziduirana mreza, U neprazanskup (univerzum), i neka je L U = (LU ,∧,∨,⊗,→, ∅U , 1U ), pri cemu se operacije ⊗ i → nafazi skupovima definisu komponentno, odnosno, za svaka dva fazi skupa f, g ∈ LU i svakou ∈ U vazi

(f ⊗ g)(u) = f(u) ⊗ g(u), (f → g)(u) = f(u) → g(u).

Tada je L U kompletna reziduirana mreza u kojoj su unfimum i supremum dati sa (1.29) i(1.30) respektivno, dok je odgovarajuce uredenje jednako (1.26). Sve osobine koje su zado-voljene u kompletno reziduiranoj mrezi L zadovoljene su takode i u kompletno reziduiranojmrezi L U .

Napomena 1.34. U formulaciji Teoreme 1.33, operacije ∧,∨,⊗ i → oznacene su istim oznakamau mrezama L i L U , iako su to razlicite operacije na tim mrezama. Uprkos tome, ove operacijeoznacavaju se istim slovom nadalje kroz tekst, bez opasnosti da dode do zabune.

Za fazi skup f ∈ LU definise se nosac skup sa Supp(f) = {u ∈ U |f(u) > 0}. Faziskup f je konacan ukoliko je njegov nosac skup konacan. Ukoliko je to slucaj, odnosnoSupp(f) = {u1, . . . , un}, tada se fazi skup f takode oznacava i sa f = {f(u1)/u1, . . . ,f(un)/un}. Za svaki fazi skup f ∈ LU definisemo skup f [a) = {u ∈ U |f(u) > a}. Skup f [a)

nazivamo a-rez od f .

Za fazi skup f kaze se da je normalizovan ako postoji u ∈ U takvo da je f(u) = 1,odnosno ako je skup f [1) neprazan.

Fazi skup f ∈ LU naziva se krisp (eng. crisp) ukoliko vazi f(u) ∈ {0, 1}, za svaki u ∈ U .Krisp fazi skupovi su ocigledno karakteristicne funkcije obicnih podskupova. Zbog toga, zakrisp fazi skup f , izrazi “f(u) = 1” i “u ∈ f” imaju isto znacenje. 1-rez fazi skupa f poznatje takode i pod nazivom krisp deo fazi skupa f , i umesto oznake f [1) cesto se koristi i f c.

Glava 2

Fazi relacije

2.1. Osobine fazi relacija i kompozicije

Neka je L kompletna reziduirana mreza, a L njen nosac skup.

Definicija 2.1. Neka su U i V neprazni skupovi. L -fazi relacija izmedu skupova (ili naskupovima) U i V predstavlja svako preslikavanje R : U × V → L.

L -fazi relacija izmedju skupova U i V zapravo je L -fazi podskup od U ×V . Ukoliko jeskup istinitosnih vrednosti L poznat iz konteksta, tada se L -fazi relacija naziva jednostavnofazi relacija. n-narna L -fazi relacija na skupu U je svaki L -fazi podskup skupa Un.Posebno, binarna L -fazi relacija na skupu U predstavlja preslikavanje U2 → L. S obziromda se binarne fazi relacije najcesce javljaju u teoriji i praksi, binarne fazi relacije nazivamojednostavno fazi relacije. Skup svih fazi relacija izmedju skupova U i V oznacavamo saLU×V , a skup fazi relacija na skupu U oznacavamo sa LU×U .

Skupovi U i V , u opstem slucaju, ne moraju biti konacni. U tom slucaju skup istinitosnihvrednosti L mora biti kompletna reziduirana mreza. Ukoliko su, u posebnim slucajevima,skupovi U i V konacni, dovoljno je da L bude reziduirana mreza.

Za L -fazi relaciju R ∈ LU×V definisemo njenu inverznu (u nekim izvorima obratnu,transponovanu) relaciju R−1 ∈ LV×U sa R−1(v, u) = R(u, v), za svako u ∈ U, v ∈ V . Krisprelacija je L -fazi relacija izmedu U i V oblika U × V → {0, 1}. Za krisp relaciju R, izrazi“R(u, v) = 1” i “(u, v) ∈ R” (za u ∈ U, i v ∈ V ) imaju isto znacenje.

Neka su date L -fazi relacije R1 ∈ LU×V i R2 ∈ LV×W . Kompozicija L -fazi relacija R1

i R2, u oznaci R1 ◦R2, je L -fazi relacija R1 ◦R2 ∈ LU×W definisana sa

(R1 ◦R2)(u,w) =∨v∈V R1(u, v) ⊗R2(v,w), (2.1)

za svako u ∈ U i svako w ∈ W . Ukoliko su R1 i R2 krisp relacije, tada je R1 ◦ R2 obicnakompozicija krisp relacija, odnosno

R1 ◦R2 = {(u,w) ∈ U ×W |(∃v ∈ V )(u, v) ∈ R1 ∧ (v,w) ∈ R2},

19

2.1. OSOBINE FAZI RELACIJA I KOMPOZICIJE 20

a ukoliko su R1 i R2 funkcije (funkcije su poseban tip relacija), tada je R1 ◦ R2 obicnakompozicija funkcija, odnosno (R1 ◦R2)(u) = R2(R1(u)), za svako u ∈ U .

Neka su dati L -fazi skupovi f ∈ LU i g ∈ LV , kao i L -fazi relacija R ∈ LU×V . Tada sukompozicije f ◦ R i R ◦ g L -fazi podskupovi skupa V i skupa U , respektivno, i definisanesu sa

(f ◦R)(v) =∨u∈U f(u) ⊗R(u, v), (R ◦ g)(u) =

∨v∈V R(u, v) ⊗ g(v), (2.2)

za svako u ∈ U i v ∈ V .

Osnovne osobine kompozicije fazi relacija i fazi skupova navedene su u narednim teore-mama.

Teorema 2.2. Neka su U, V,W i Z neprazni skupovi. Neka su date L -fazi relacije R1 ∈LU×V , R2 ∈ LV×W , R3 ∈ LW×Z, i neka su dati L -fazi skupovi f ∈ LU , g ∈ LV , h ∈ LW .Tada kompozicija (2.1) i (2.2) ispunjava sledeca svojstva:

(R1 ◦R2) ◦R3 = R1 ◦ (R2 ◦R3), (2.3)

(f ◦R1) ◦R2 = f ◦ (R1 ◦R2), (2.4)

(f ◦R1) ◦ g = f ◦ (R1 ◦ g), (2.5)

(R1 ◦R2) ◦ h = R1 ◦ (R2 ◦ h). (2.6)

Do k a z . Osobina (2.3) lako se dokazuje. Naime, na osnovu (2.1), za svako u ∈ U i z ∈ Zvazi ((R1 ◦ R2) ◦ R3)(u, z) =

∨w∈W

(∨v∈V R1(u, v) ⊗R2(v,w)

)⊗ R3(w, z). Zbog osobine

(1.20) potom vazi ((R1 ◦R2) ◦R3)(u, z) =∨v∈V

∨w∈W (R1(u, v) ⊗R2(v,w) ⊗R3(w, z)), to

jest ((R1 ◦ R2) ◦ R3)(u, z) =∨v∈V R1(u, v) ⊗

(∨w∈W R2(v,w) ⊗R3(w, z)

). Odavde (2.3)

odmah sledi.Osobine (2.4) - (2.6) dokazuju se potpuno analogno.

Teorema 2.3. Neka su date L -fazi relacije R0 ∈ LU×V , R1, R2 ∈ LV×W i R3 ∈ LW×Z.Tada vaze sledece implikacije:

R1 6 R2 ⇒ R−11 6 R−1

2 , (2.7)

R1 6 R2 ⇒ R0 ◦R1 6 R0 ◦R2, (2.8)

R1 6 R2 ⇒ R1 ◦R3 6 R2 ◦R3. (2.9)

Do k a z . Osobina (2.7) pokazuje se direktno, dok osobine (2.8) i (2.9) slede zbog izotonostioperacije ⊗ (formula (1.18)).

Teorema 2.4. Neka je dat indeksni skup I i L -fazi relacije R,Ri ∈ LU×V , i ∈ I, S, Si ∈LV×W , i ∈ I. Tada su zadovoljene sledece jednakosti i nejednakosti:

(R ◦ S)−1 = S−1 ◦R−1, (2.10)

R ◦(∨

i∈I Si)

=∨i∈I(R ◦ Si),

(∨i∈I Ri

)◦ S =

∨i∈I(Ri ◦ S), (2.11)

R ◦(∧

i∈I Si)6

∧i∈I(R ◦ Si),

(∧i∈I Ri

)◦ S 6

∧i∈I(Ri ◦ S), (2.12)

(∨i∈I Ri

)−1=

∨i∈I R

−1i . (2.13)

2.1. OSOBINE FAZI RELACIJA I KOMPOZICIJE 21

Dok a z . (2.10): Iz komutativnosti operacije ⊗ sledi (R ◦ S)−1(w, u) =∨v∈V R(u, v) ⊗

S(v,w) =∨v∈V S

−1(w, v) ⊗R−1(v, u) = (S−1 ◦R−1)(w, u), za svako u ∈ U i w ∈W .(2.11) i (2.12): Sledi na osnovu izotonosti operacije ⊗.(2.13): (

∨i∈I Ri)

−1(v, u) =∨i∈I Ri(u, v) =

∨i∈I R

−1i (v, u) = (

∨i∈I R

−1i )(v, u), za svako

u ∈ U i v ∈ V .

Teorema 2.5. U skladu sa uvedenim oznakama, algebra (LU×U ,∧,∨, ◦, ∅,∇U ,∆U ) formirajedinicni kvantal, pri cemu je ∇U univerzalna L -fazi relacija definisana sa

∇U(u1, u2) = 1, za svako u1, u2 ∈ U, (2.14)

dok je ∆U L -fazi relacija jednakosti definisana, za svako u1, u2 ∈ U sa

∆U (u1, u2) =

{1, u1 = u2,

0, u1 6= u2.(2.15)

Ukoliko su U, V i W konacni skupovi kardinalnosti |U | = k, |V | = m i |W | = n, tadase L -fazi relacije R ∈ LU×V i S ∈ LV×W mogu posmatrati kao L -fazi matrice1, dok kom-pozicija R ◦ S koristi iste one elemente koje koristi i obicno matricno mnozenje. Analogno,za L -fazi skupove f ∈ LU i g ∈ LV , kompoziciju f ◦ R posmatramo kao proizvod 1 × kvrste f i k×m matrice R; R ◦ g posmatramo kao proizvod k×m matrice R i m× 1 kolonegT (transponovane vrste g).

Od znacaja je posmatrati odredene L -fazi relacije nad fazi skupovima. Naime, neka jeU neprazan skup i neka su L -fazi relacije S,≈, ◦ : LU × LU → L definisane, za svaka dvaL -fazi skupa f, g ∈ LU , preko:

S(f, g) =∧u∈U (f(u) → g(u)) , (2.16)

f ≈ g =∧u∈U (f(u) ↔ g(u)) , (2.17)

f ◦ g =∨u∈U (f(u) ⊗ g(u)) . (2.18)

Za f, g ∈ LU , S(f, g) naziva se stepen inkluzije f u g; f ≈ g naziva se stepen jednakosti f ig; f ◦ g naziva se stepen preklapanja f i g. Recima opisano, S(f, g) moze se posmatrati kaostepen istinitosti tvrdenja “za svako u ∈ U , ako u pripada f tada u pripada i g”. Slicno,f ≈ g moze se posmatrati kao stepen istinitosti tvrdenja “za svako u ∈ U , u pripada f akoi samo ako u pripada i g”. Na kraju, f ◦ g je stepen istinitosti tvrdenja “postoji u ∈ U kojepripada f i g”.

Iz osobina reziduiranih mreza sledi f ≈ g = S(f, g) ∧ S(g, f). Takode, ima smisla recida je f podskup od g (u oznakama f ⊆ g ili f 6 g) ako je S(f, g) = 1. Posto po definicijiS(f, g) = 1 znaci

∧u∈U (f(u) → g(u)) = 1, dobijamo da je S(f, g) = 1 ekvivalentno sa

f(u) → g(u) = 1 za svako u ∈ U . Primenom osobine (1.14) dobijamo da je S(f, g) = 1ekvivalentno sa f(u) 6 g(u) za svako u ∈ U , sto se poklapa sa definicijom (1.26).

Sledece dve teoreme navode glavne osobine stepena inkluzije i stepena jednakosti.

1L -Fazi matrica je matrica ciji su elementi brojevi iz skupa L.

2.2. FAZI RELACIJE EKVIVALENCIJE 22

Teorema 2.6. [3] Za L -fazi skupove f, g, h ∈ LU vazi sledece:

S(f, f) = 1,

S(f, g) ⊗ S(g, h) 6 S(f, h),

S(f, g) = 1 ⇔ f 6 g,

S(∅, f) = 1, S(f, U) = 1.

Teorema 2.7. [2] Za L -fazi skupove f, g, h ∈ LU vazi sledece:

f ≈ f = 1,

f ≈ g = g ≈ f,

(f ≈ g) ⊗ (g ≈ h) 6 f ≈ h.

2.2. Fazi relacije ekvivalencije

Fazi ekvivalencije uvedene su u radu Zadeha [25], kao uopstenje koncepta obicne relacijeekvivalencije.

Definicija 2.8. Za L -fazi relaciju R ∈ LU×U kaze se da je:

(R) Refleksivna (ili fazi refleksivna) ako je ∆U 6 R, odnosno ako je R(u, u) = 1 za svakou ∈ U ,

(S) Simetricna (ili fazi simetricna) ako je R−1 6 R, odnosno ako je R(u, v) = R(v, u) zasvako u, v ∈ U ,

(T) Tranzitivna (ili fazi tranzitivna) ako je R ◦R 6 R, odnosno ako je R(u, v)⊗R(v,w) 6R(u,w), za svako u, v, w ∈ U .

Za L -fazi relaciju R ∈ LU×U , relacija R∞ =∨n∈NR

n je najmanja L -fazi tranzitivnarelacija na skupu U koja sadrzi R. Relaciju R∞ nazivamo tranzitivno zatvorenje od R.

Definicija 2.9. L -fazi relacija R ∈ LU×U koja zadovoljava uslove refleksivnosti, simetri-cnosti i tranzitivnosti naziva se L -fazi relacija ekvivalencije (ili fazi relacija ekvivalencije,ili fazi ekvivalencija). Svaka L -fazi relacija ekvivalencije R ∈ LU×U koja za svako u, v,∈ Uzadovoljava i uslov

R(u, v) = 1 ⇒ u = v

naziva se L -fazi jednakost (ili samo fazi jednakost).

Ocigledno, uslovi (R), (S) i (T) iz Definicije 2.8 generalizuju odgovarajuce uslove reflek-sivnosti, simetricnosti i tranzitivnosti, respektivno, u bivalentnoj logici.

Fazi relacije ekvivalencije spadaju medu najizucavanije tipove fazi relacija, a razlog tomeje sto se fazi relacije ekvivalencije mogu posmatrati kao nacin za merenje stepena slicnosti

2.2. FAZI RELACIJE EKVIVALENCIJE 23

ili nerazlucivosti izmedu objekata datog univerzuma razmatranja. Zapravo, Zadehov orig-inalni naziv za fazi relacije ekvivalencije bio je fazi relacije slicnosti (ili relacije slicnosti,engl. similarity relations), a poznate su i pod nazivom operatori nerazlucivosti (engl. in-distinguishability operators).

U klasicnoj algebri, na osnovu relacija ekvivalencije uvode se klase ekvivalencije, a skupklasa ekvivalencija odgovara jednoj particiji skupa. U teoriji fazi skupova vazi analognotvrdenje.

Definicija 2.10. Neka je dat neprazan skup U . L -fazi particija skupa U je skup ΠL -fazi skupova na skupu U koji zadovoljava sledece osobine:

(i) Za svako u ∈ U postoji f ∈ Π takvo da je f(u) = 1,

(ii) Za svako f ∈ Π postoji u ∈ U takvo da je f(u) = 1,

(iii) Za svako f, g ∈ Π je f ◦ g 6 f ≈ g, odnosno, za svako f, g ∈ Π i u ∈ U vazif(u) ⊗ g(u) 6 f ≈ g.

Napomena 2.11.

(1) Vidimo da se {0, 1}-fazi particija poklapa sa pojmom particije na datom skupu U . U tomslucaju, uslov (i) obezbeduje da Π pokriva ceo skup U , (ii) obezbeduje da je svaki skup f ∈ Πneprazan, dok (iii) obezbeduje da, ako neki u ∈ U pripada skupovima f i g, tada je f = g.

(2) Ako je, za neke fazi skupove f, g ∈ Π i neko u ∈ U , f(u) = g(u) = 1, odnosno u potpunopripada skupu f i skupu g, tada je na osnovu (iii) f ≈ g = 1, a odavde dalje, na osnovuformule (2.17), sledi f(v) ↔ g(v) = 1 za svako v ∈ U , sto je, prema (1.14), ekvivalentno saf(v) = g(v) za svako v ∈ U . Dakle, iz f(u) = g(u) = 1 sledi f = g.

Definicija 2.12. Za L -fazi relaciju ekvivalencije E, klasa od E u odnosu na u, za nekou ∈ U , u oznaci Eu je L -fazi skup na U definisan sa

Eu(v) = E(u, v),

za svako v ∈ U .

Dakle, stepen u kojem element v pripada klasi Eu jednak je stepenu u kojem su u i vekvivalentni.

Teorema 2.13. [2] Neka je data L -fazi relacija ekvivalencije E ∈ LU×U i neka je ΠL -fazi particija skupa U . Definisimo L -fazi relaciju EΠ ∈ LU×U sa EΠ(u, v) = Eu(v),za svako u, v ∈ U , pri cemu je Eu ∈ Π takva da je Eu(u) = 1. Takode, definisimo skupU/E = {Eu|u ∈ U}. Tada vazi sledece:

(1) U/E je L -fazi particija skupa U ,

(2) EΠ je L -fazi relacija ekvivalencije na U ,

(3) E = EU/E i Π = U/EΠ.

2.3. FAZI RELACIJE KVAZI-UREDENJA 24

Skup U/E iz prethodne teoreme naziva se faktor skup skupa U (po analogiji u bivalentnojalgebri).

Sledeca teorema opravdava zasto su fazi relacije ekvivalencije poznate i pod imenomfazi relacije slicnosti, odnosno zasto mogu posluziti za modelovanje slicnosti objekata datoguniverzuma.

Teorema 2.14. [2] (Leibniz-ova ekvivalencija) Neka je U neprazan skup i neka je datsistem S ⊆ LU (sistem L -fazi podskupova skupa U). Neka je L -fazi relacija ES ∈ LU×U

definisana saES(u, v) =

∧f∈S(f(u) ↔ f(v)),

za svako u, v ∈ U . Tada je ES L -fazi relacija ekvivalencije. Vazi i obrat, t.j. za svakuL -fazi relaciju ekvivalencije E postoji sistem S ⊆ LU takav da je E = ES . Stavise, ES jeL -fazi jednakost ako i samo ako za sve u, v ∈ U za koje je u 6= v postoji f ∈ S takvo da jef(u) 6= f(v).

Skup S iz prethodne teoreme moze se posmatrati kao skup svojstava (atributa). Svakif ∈ S tada predstavlja jedno (fazi) svojstvo, dok f(u) predstavlja stepen u kojem u pose-duje svojstvo f . Tada je ES(u, v) stepen istinitosti tvrdenja: “za svaki atribut f , elementu poseduje svojstvo f ako i samo ako v poseduje isto svojstvo”. Drugim recima, stepenistinitosti tvrdenja “elementi u i v imaju ista svojstva” meri se upravo sa ES(u, v). Ukolikosmatramo da su dva objekta slicnija ukoliko poseduju vise zajednickih svojstava, tada Teo-rema 2.14 pokazuje da su fazi relacije ekvivalencije zapravo fazi relacije koje mere slicnostobjekata nekog univerzuma.

2.3. Fazi relacije kvazi-uredenja

L -fazi relacija R ∈ LU×U koja zadovoljava uslove refleksivnosti (R) i tranzitivnosti (T) (izDefinicije 2.8) naziva se L -fazi kvazi-uredenje (ili fazi kvazi-uredenje). Podsetimo se, reflek-sivna i tranzitivna krisp relacija na skupu U naziva se kvazi-uredenje. U nekim izvorima,kvazi-uredenja i fazi kvazi-uredenja nazivaju se, redom, preuredenja i fazi preuredenja.Primetimo da za refleksivnu fazi relaciju R vazi sledece tvrdenje: Ispunjeno je R ◦ R = Rako i samo ako je R fazi kvazi-uredenje2.

Ukoliko je Q proizvoljno L -fazi kvazi-uredenje na skupu U , tada je Q∧Q−1 najveca L -fazi relacija ekvivalencije koja je sadrzana u Q. Relaciju EQ = Q ∧Q−1 nazivamo prirodnaL -fazi relacija ekvivalencije (ili prirodna L -fazi ekvivalencija) fazi kvazi-uredenja Q.

U odnosu na uredenje L -fazi relacija, skup Q(U) svih L -fazi kvazi-uredenja na U , kaoi skup E(U) svih L -fazi ekvivalencija na U , cini kompletnu mrezu. Dok se infimum u obaskupa Q(U) i E(U) poklapa sa obicnim presekom L -fazi relacija, supremum se, u oba skupa,

2Zaista, neka je R fazi kvazi-uredenje na skupu U . Iz refleksivnosti R sledi ∆U 6 R, a zatim, zbogosobine (2.8), R = R ◦∆U 6 R ◦ R. Druga nejednakost sledi zbog tranzitivnosti R, a odatle je R ◦ R = R.Ovim je dokazan levi smer tvrdenja, dok je desni smer ocigledan.

2.4. UNIFORMNE FAZI RELACIJE I FAZI FUNKCIJE 25

ne mora poklopiti sa obicnom unijom L -fazi relacija. Zapravo, ukoliko je {Ri}i∈I familijaL -fazi kvazi-uredenja (odnosno, L -fazi ekvivalencija), tada je supremum u skupu Q(U)(odnosno, u E(U)) jednak (

∨i∈I Ri)

∞, odnosno tranzitivno zatvorenje unije date familijefazi relacija.

Definicija 2.15. Neka je dato L -fazi kvazi-uredenje Q na skupu U .

• Za svako u ∈ U , L -fazi skup Qu ∈ LU definisan sa Qu(v) = Q(u, v), za svako v ∈ U ,naziva se Q-afterset od u,

• Za svako u ∈ U , L -fazi skup uQ ∈ LU definisan sa uQ(v) = Q(v, u), za svako v ∈ U ,naziva se Q-foreset od u,

• Skup svih Q-afterset-ova skupa U oznacavamo sa U/Q, odnosno U/Q = {Qu|u ∈ U},

• Skup svih Q-foreset-ova skupa U oznacavamo sa U\Q, odnosno U\Q = {uQ|u ∈ U}.

Ukoliko je E fazi relacija ekvivalencije, tada je, za svako u ∈ U , Eu = uE = Eui U/E = U\E. Takode, ukoliko je Q fazi kvazi-uredenje, a EQ njegova prirodna faziekvivalencija, tada je |U/Q| = |U\Q| = |U/EQ|. Kardinalnost ovih skupova, u oznaciind(Q), naziva se indeks skupa Q.

Ukoliko je skup U konacan i |U | = n, tada se L -fazi kvazi-uredenje Q moze posmatratikao L -fazi matrica dimenzija n×n. No, tada su Q-afterset-ovi vrste, a Q-foreset-ovi koloneove matrice.

Neka je dat L -fazi podskup f skupa U . Definisimo, za fazi skup f , L -fazi relacijeQf , Q

f i Ef na sledeci nacin:

Qf (u, v) = f(u) → f(v), Qf (u, v) = f(v) → f(u), Ef (u, v) = f(u) ↔ f(v), (2.19)

za svako u, v ∈ U . Tada su relacije Qf i Qf L -fazi kvazi uredenja, dok je Ef L -faziekvivalencija na U . Stavise, ako je f normalizovan fazi skup, tada je f Qf -afterset, Qf -foreset i klasa ekvivalencije od Ef . [15]

2.4. Uniformne fazi relacije i fazi funkcije

U fazi postavci postoje brojni pristupi uopstenju pojmu funkcije. U literaturi su poznatibrojni tipovi fazi funkcija, baziranih mahom na fazi relacijama ekvivalencije, kao sto suparcijalne fazi funkcije, jake fazi funkcije, perfektne fazi funkcije itd.

Uniformne fazi relacije uvedene su u radu [5] kao osnova za definisanje pojma fazifunkcija. U istom radu pokazano je da uniformne fazi relacije uspostavljaju prirodnu vezuizmedu fazi particija dva skupa U i V . S obzirom da, prema Teoremi 2.13 svakoj fazi particijiskupa odgovara fazi relacija ekvivalencije cije su klase ekvivalentne datoj particiji, dok premaTeoremi 2.14 za svaku fazi relaciju ekvivalencije postoji skup “svojstava” koji meri slicnostelemenata datog skupa, jasno je da tada uniforme fazi relacije modeluju uniformnost izmedufazi particija na skupovima U i V . Drugim recima, uniformna fazi relacija predstavlja vrstufazi ekvivalencije koja povezuje elemente dva (potencijalno) razlicita skupa (po njihovojslicnosti).


Definicija 2.16. Neka su U i V neprazni skupovi, i neka su E ∈ LU×U i F ∈ LV×V dveL -fazi relacije ekvivalencije. Za L -fazi relaciju R ∈ LU×V kazemo da je:

(a) Prosiriva u odnosu na E, ako vazi R−1 ◦E 6 R−1, odnosno3

R(u1, v) ⊗E(u1, u2) 6 R(u2, v), (2.20)

za svako u1, u2 ∈ U i v ∈ V ,

(b) Prosiriva u odnosu na F , ako vazi R ◦ F 6 R, odnosno

R(u, v1) ⊗ F (v1, v2) 6 R(u, v2), (2.21)

za svako u ∈ U i v1, v2 ∈ V .

Ukoliko je R prosiriva u odnosu na E i F , i pritom zadovoljava uslov R−1 ◦R 6 F , odnosno

R(u, v1) ⊗R(u, v2) 6 F (v1, v2),

za svako u ∈ U i v1, v2 ∈ V , tada se R naziva parcijalna fazi funkcija u odnosu na E i F .

Prema svojstvu adjungovanosti i simetricnosti fazi relacija E i F , uslov (2.20) moze sezapisati kao

E(u1, u2) 6 R(u1, v) ↔ R(u2, v), (2.22)

za svako u1, u2 ∈ U i v ∈ V , dok je ekvivalentan uslov uslovu (2.21)

F (v1, v2) 6 R(u, v1) ↔ R(u, v2), (2.23)

za svako u ∈ U i v1, v2 ∈ V .

Definicija 2.17. Za datu L -fazi relaciju R ∈ LU×V , fazi ekvivalencija na U indukovanaod R (ili jezgro relacije R) je ERU ∈ LU×U definisana sa

ERU (u1, u2) =∧v∈V R(u1, v) ↔ R(u2, v), (2.24)

za svako u1, u2 ∈ U , dok fazi ekvivalencija na V indukovana od R (ili ko-jezgro relacije R)jeste ERV ∈ LV×V definisana sa

ERV (v1, v2) =∧u∈U R(u, v1) ↔ R(u, v2), (2.25)

za svako v1, v2 ∈ V .

3Uslov R−1◦E 6 R−1 ekvivalentan je uslovu E ◦R 6 R zbog osobine (2.7) i refleksivnosti relacije E.


Nije tesko utvrditi da su relacije ERU i ERV zaista fazi relacije ekvivalencije, sto opravdavanjihov naziv [5].

Imajuci u vidu uslove (2.22) i (2.23), zakljucujemo da su ERU i ERV najvece fazi relacijeekvivalencije na U i V , respektivno, koje prosiruju fazi relaciju R. Takode, fazi relacijuR◦R−1 ∈ LU×U nazivamo projekcijom fazi relacije R na skup U , dok fazi relaciju R−1◦R ∈LV×V nazivamo projekcijom fazi relacije R na skup V .

Fazi relacija R ∈ LU×V naziva se parcijalna fazi funkcija ukoliko je R parcijalna fazifunkcija u odnosu na ERU i ERV . Naredna teorema navodi karakteristike parcijalnih fazifunkcija.

Teorema 2.18. [5] Neka su U i V neprazni skupovi i neka je data L -fazi relacija R ∈LU×V . Tada su sledeci uslovi ekvivalentni:

(i) R je parcijalna fazi funkcija,

(ii) R−1 je parcijalna fazi funkcija,

(iii) R−1 ◦R 6 ERV ,

(iv) R ◦R−1 6 ERU ,

(v) R ◦R−1 ◦R 6 R.

Vazno je napomenuti da uslov (v) Teoreme 2.18 omogucava proveru da li je data fazirelacija R parcijalna fazi funkcija bez potrebe racunanja jezgra i ko-jezgra relacije R.

Definicija 2.19. Za L -fazi relaciju R ∈ LU×V kaze se da je:

(a) L -funkcija, ukoliko za svako u ∈ U postoji v ∈ V takvo da je R(u, v) = 1,

(b) surjektivna, ako za svako v ∈ V postoji u ∈ U takvo da je R(u, v) = 1, odnosno akoR−1 jeste L -funkcija. U tom slucaju kazemo da je R fazi relacija U na V ,

(c) surjektivna L -funckija, ukoliko je ujedno L -funkcija i surjektivna, odnosno ukolikoobe relacije R i R−1 jesu L -funkcije,

(d) F-funkcija, ako za svako u ∈ U postoji jedinstveno v ∈ V takvo da je R(u, v) = 1.

U radovima [7, 8] Demirici je dokazao sledece: svaka L -fazi relacija R ∈ LU×V je L -funkcija ako i samo ako postoji krisp funkcija ψ : U → V takva da je R(u, ψ(u)) = 1 zasvako u ∈ U . Funkciju ψ iz prethodnog tvrdenja nazivao krisp opis fazi relacije R. Skupsvih krisp opisa fazi relacije R oznacavamo sa CR(R).

Definicija 2.20. [7, 8] Neka su U i V neprazni skupovi, i neka su E ∈ LU×U i F ∈ LV×V

dve L -fazi relacije ekvivalencije. L -funkcija R ∈ LU×V koja je parcijalna fazi funkcija uodnosu na E i F naziva se perfektna fazi funkcija u odnosu na E i F . L -funkcija R ∈ LU×V

koja je parcijalna fazi funkcija u odnosu na ERU i ERV naziva se perfektna fazi funkcija.


Definicija 2.21. [7, 8] Neka su U i V neprazni skupovi i E ∈ E(V ). Krisp funkcijaψ : U → V naziva se E-surjektivna ako za svako v ∈ V postoji u ∈ U takvo da jeE(ψ(u), v) = 1.

Drugim recima, ψ je E-surjektivna ako i samo ako je krisp funkcija ψ ◦ E♯ surjektivnafunkcija U na V/E, gde je krisp funckija E♯ : V → V/E funkcija definisana sa E♯(v) = Evza svako v ∈ V .

Definicija 2.22. [5] Neka su U i V neprazni skupovi i R ∈ LU×V parcijalna fazi funkcija.Ukoliko je R surjektivna L -funkcija, tada je R uniformna fazi relacija. Ekvivalentno,uniformna fazi relacija je surjektivna perfektna fazi funkcija.

Krisp uniformna fazi relacija naziva se uniformna relacija. Naredna teorema daje karak-terizaciju uniformnih fazi relacija.

Teorema 2.23. [5] Neka su U i V neprazni skupovi i R ∈ LU×V . Tada su sledeci usloviekvivalentni:

(i) R je uniformna fazi funkcija,

(ii) R−1 je uniformna fazi funkcija,

(iii) Skup foresetova {vR}v∈V je L -fazi particija skupa U ,

(iv) Skup aftersetova {Ru}u∈U je L -fazi particija skupa V ,

(v) R je surjektivna L -funkcija, i vazi R ◦R−1 ◦R = R,

(vi) R je surjektivna L -funkcija, i vazi R ◦R−1 = ERU ,

(vii) R je surjektivna L -funkcija, i vazi R−1 ◦R = ERV ,

(viii) R je L -funkcija, i za sve ψ ∈ CR(R), u ∈ U i v ∈ V , ψ je ERV -surjektivna krispfunkcija i vazi R(u, v) = ERV (ψ(u), v),

(ix) R je L -funkcija, i za sve ψ ∈ CR(R), u1, u2 ∈ U , ψ je ERV -surjektivna krisp funkcijai vazi R(u1, ψ(u2)) = ERU (u1, u2).

Posledica 2.24. [5] Neka su U i V neprazni skupovi i R ∈ LU×V uniformna fazi relacija.Tada je ERU (u1, u2) = ERV (ψ(u1), ψ(u2)), za sve ψ ∈ CR(R) i sve u1, u2 ∈ U .

Prema uslovima (vi) i (vii) Teoreme 2.23, jezgro relacije R jednako je ko-jezgru relacijeR−1, i obrnuto, odnosno ER

−1

V = ERV i ER−1

U = ERU .

Teorema 2.25. [5] Neka su U i V neprazni skupovi, i neka je R ∈ LU×V uniformna fazirelacija. Oznacimo sa E = ERU i F = ERV . Neka je, dalje, krisp funkcija R : U/E → V/Fdefinisana sa

R(Eu) = Fψ(u), (2.26)

za svako u ∈ U i ψ ∈ CR(R). Tada je R dobro definisana funkcija4. Osim toga, R je

bijekcija i (R)−1 = R−1.

4Odnosno, ne zavisi od izbora u ∈ U i ψ ∈ CR(R).


Funkcija R kao bijekcija uspostavlja jednu vrstu “uniformnosti” medu fazi particijamaskupova U i V koji odgovaraju fazi relacijama ekvivalencije E = ERU i F = ERV . Ovimopravdavamo naziv uniformnih fazi relacija.

Glava 3

Sistemi fazi relacijskih jednacina i

nejednacina

Sistemi fazi relacijskih jednacina i nejednacina javili su se sedamdesetih godina proslogveka u prakticnim istrazivanjima u medicini. Od tada su sistemi fazi relacijskih jednacina inejednacina izucavani u mnogim oblicima, sto je dovelo do toga da ovi sistemi nadu primenuu najrazlicitijim oblastima [14].

Sistemi fazi (ne)jednacina koji se najvise izucavaju spadaju u klasu linearnih sistema,i oni su oblika X ◦ Ai ⊲⊳ Ci, ili dualno Bi ◦X ⊲⊳ Ci, pri cemu i uzima vrednosti iz nekogindeksnog skupa I, X je nepoznata fazi relacija, Ai, Bi i Ci su date fazi relacije (faziskupovi), a ◦ oznacava kompoziciju fazi relacija (fazi relacija i fazi skupova). Takode, ⊲⊳uzima jedan od relacijskih simbola 6, > ili =. Iako su linearni sistemi u pocetku biliizucavani nad manje generalizovanim strukturama, kasnije su izucavani metodi za resavanjesistema fazi relacijskih jednacina i nejednacina nad kompletnim reziduiranim mrezama.

Paznju naucnika u skorije vreme privlace i sistemi kompleksnijih struktura. U radovima[15, 16] uvedeni su slabo linearni sistemi koji su oblika Ai ◦X ⊲⊳ X ◦ Bi, i ∈ I i X 6 M ,pri cemu su Ai, Bi i M date fazi relacije a X nepoznata fazi relacija. Cesto se ovakvimsistemima pridruzuje i skup (ne)jednacina Ai ◦X

−1 ⊲⊳ X−1 ◦Bi i X−1 6M , pri cemu X−1

oznacava inverznu (transponovanu) relaciju fazi relacije X.

Potreba za resavanje slabo linearnih sistema potice iz teorije fazi automata, gde sekoriste za redukciju stanja fazi automata, kao i njihovu simulaciju i bisimulaciju. U ovojglavi prikazani su metodi za resavanje linearnih i slabo linearnih sistema fazi (ne)jednacina,dok su u narednoj glavi prikazane primene fazi relacijskih sistema na konkretne problemeu razlicitim oblastima.

3.1. Homogeni linearni sistemi i reziduali fazi relacija

Neka je U neprazan skup, a {Ai}i∈I i {Bi}i∈I familija fazi relacija na skupu U (indeksniskup I ne mora biti konacan). Neka je X nepoznata fazi relacija na skupu U . Sve jednacine

30

3.1. HOMOGENI LINEARNI SISTEMI I REZIDUALI FAZI RELACIJA 31

i nejednacine koje formiraju bilo koji od sistema

Ai ◦X 6 Bi (i ∈ I), (L1.1)

Bi 6 Ai ◦X (i ∈ I), (L1.2)

Ai ◦X = Bi (i ∈ I), (L1.3)

X ◦ Ai 6 Bi (i ∈ I), (L1.4)

Bi 6 X ◦Ai (i ∈ I), (L1.5)

X ◦ Ai = Bi (i ∈ I), (L1.6)

nazivaju se homogene linearne (ne)jednacine, dok se sistemi (L1.1) - (L1.6) nazivaju ho-mogeni linearni sistemi. Pokazacemo, u Teoremi 3.8, da su sistemi (L1.1) i (L1.4) resivi ida uvek imaju najvece resenje. Ostali sistemi, u opstem slucaju, ne moraju imati resenja.Medutim, ako za sistem (L1.3) postoji resenje, tada je najvece resenje sistema (L1.3) ujednoi najvece resenje sistema (L1.1). Takode, ako za sistem (L1.6) postoji resenje, tada je na-jvece resenje sistema (L1.6) ujedno i najvece resenje sistema (L1.4).

Posmatrajmo homogene linearne sisteme (L1.1) - (L1.6) na skupu U . Jasno je da seoperacija ◦ moze posmatrati kao operacija mnozenja na skupu LU×U , te stoga ima smisladefinisati reziduum na istom skupu, i resenje sistema (L1.1) - (L1.6) izraziti preko rezidu-uma. S obzirom da operacija kompozicije ◦ nije komutativna, postojace levi i desni reziduumoperacije ◦.

Definicija 3.1. Neka su A i B dve L -fazi relacije na nepraznom skupu U . Desni rezidualB od A, u oznaci A\B, predstavlja najvecu fazi relaciju X ∈ LU×U takvu da je A ◦X 6 B,odnosno

A\B = ⊤{X ∈ LU×U |A ◦X 6 B}. (3.1)

Analogno, levi rezidual B od A, u oznaci B/A, predstavlja najvecu fazi relaciju X ∈ LU×U

takvu da je X ◦ A 6 B. Drugim recima,

B/A = ⊤{X ∈ LU×U |X ◦ A 6 B}. (3.2)

S obzirom da skup LU×U cini mrezu, u kojoj su infimum i supremum definisani kao uslucaju fazi skupova, vazi sledece tvrdenje.

Teorema 3.2. [21] Neka su A i B dve L -fazi relacije na skupu U . Tada vazi sledece:

(a) Skupovi S1 = {X ∈ LU×U |A◦X 6 B} i S2 = {X ∈ LU×U |X ◦A 6 B} su ideali mrezeLU×U ,

(b) A\B postoji ako i samo ako je S1 = (A\B]. Za svaku relaciju X ∈ LU×U tada vazi

A ◦X 6 B ⇔ X 6 A\B, (3.3)

(c) B/A postoji ako i samo ako je S2 = (B/A]. Tada za svaku relaciju X ∈ LU×U vazi

X ◦A 6 B ⇔ X 6 B/A. (3.4)


Do k a z . (a): Neka je R ∈ LU×U takvo da je R ∈ S1 i neka je R′ ∈ LU×U takvo da jeR′ 6 R. Tada iz osobine (2.8) sledi A ◦ R′ 6 A ◦ R 6 B, odakle je R′ ∈ S1. Dakle,skup S1 je donji skup. Dalje, neka su R1, R2 ∈ S1. Tada na osnovu osobine (2.11) slediA ◦ (R1 ∨R2) = (A ◦R1)∨ (A ◦R2) 6 B ∨B = B, odatle je R1 ∨R2 ∈ S1. Dakle S1 je idealmreze LU×U . Slicno se dokazuje da je i S2 ideal mreze LU×U .(b) i (c): Slede na osnovu (a) i definicija desnog i levog reziduala (3.1) i (3.2).

Napomena 3.3. Konjukcija uslova (3.3) i (3.4) cini nekomutativni analogon svojstvu adjungo-vanosti (1.12).

Teorema 3.4. Neka je L = (L,∧,∨,⊗, 0, 1) struktura koja zadovoljava uslove (L1’) i (L2)iz Definicije 1.11 reziduiranih mreza, kao i svojstvo (1.18) izotonosti operacije ⊗. Tada susledeci uslovi ekvivalentni:

(i) Postoji operacija →: L× L → L koja cini adjungovani par sa ⊗,

(ii) Za sve a, b ∈ L, skup {c ∈ L | a⊗ c 6 b} ima najveci element,

(iii) Bilo koje dve L -fazi relacije nad istim skupom imaju desni rezidual,

(iv) Bilo koje dve L -fazi relacije nad istim skupom imaju levi rezidual.

D o k a z . (i) ⇔ (ii): Ova ekvivalencija dokazana je u Teoremi 1.22.(i) ⇒ (iii): Neka A,B ∈ LU×U . Definisimo L -fazi relaciju R na U sa

R(u1, u2) =∧u∈U A(u, u1) → B(u, u2),

za svako u1, u2 ∈ U . Tada za proizvoljne u1, u2 ∈ U dobijamo sledeci niz jednakosti inejednakosti:

(A ◦R)(u1, u2) =∨u∈U A(u1, u) ⊗

(∧x∈U A(x, u) → B(x, u2)

)

(1.21)

6∨u∈U

∧x∈U A(u1, u) ⊗ (A(x, u) → B(x, u2))

6∨u∈U A(u1, u) ⊗ (A(u1, u) → B(u1, u2))

(1.13)

6 B(u1, u2).

Odatle je A ◦R 6 B. Dalje, neka je S ∈ LU×U takva da je A ◦ S 6 B. Tada za proizvoljneu1, u2, u3 ∈ U vazi

A(u3, u1) ⊗ S(u1, u2) 6∨u∈U A(u3, u) ⊗ S(u, u2) = (A ◦ S)(u3, u2) 6 B(u3, u2),

a odatle, na osnovu svojstva adjungovanosti, sledi S(u1, u2) 6 A(u3, u1) → B(u3, u2). Ovopotom daje

S(u1, u2) 6∧u∈U A(u, u1) → B(u, u2) = R(u1, u2).

S obzirom da poslenja nejednakost vazi sa svako u1, u2 ∈ U , dobijamo da je S 6 R. Ovimje dokazano da je R najvece resenje nejednacine A ◦X 6 B po nepoznatoj fazi relaciji X.


Dakle, A\B = R.(i) ⇒ (iv): Dokazuje se potpuno analogno kao smer (i) ⇒ (iii).(iii) ⇒ (ii): Neka su a, b ∈ L i neka je dat skup U = {u}. Definisimo na skupu U dveL -fazi relacije A i B sa A(u, u) = a i B(u, u) = b. S obzirom da, po pretpostavci, svake dveL -fazi relacije imaju desni rezidual, tada postoji i A\B. Oznacimo sa R = A\B, i neka jeR(u, u) = r. Tada je

a⊗ r = A(u, u) ⊗R(u, u) = (A ◦R)(u, u) 6 B(u, u) = b.

Dakle, skup {z|a⊗z 6 b} je neprazan (sadrzi element r). Dokazimo da je r ujedno i najvecielement ovog skupa. Neka je s ∈ L takav da je a ⊗ s 6 b. Definisimo L -fazi relacijuS ∈ LU×U sa S(u, u) = s. Tada je A ◦ S = A(u, u) ⊗ S(u, u) = a ⊗ s 6 b = B(u, u) = B.Odatle je S 6 R = A\B, a potom i s 6 r. Znaci, r = ⊤{z|a⊗ z 6 b}.(iv) ⇒ (ii): Analogno kao smer (iii) ⇒ (ii).

Teorema 3.5. Neka je U neprazan skup i neka su date dve L -fazi relacije A,B ∈ LU×U .Tada je za svako u1, u2 ∈ U

(A\B)(u1, u2) =∧u∈U A(u, u1) → B(u, u2), (3.5)

(B/A)(u1, u2) =∧u∈U A(u2, u) → B(u1, u). (3.6)

Dok a z . Sledi odmah iz dokaza Teoreme 3.4.

Na osnovu pojmova iz Sekcije 1.3., kao i osobina (2.8) i (2.9), direktno se pokazuje da jestruktura (LU×U , ◦,6) uredena polugrupa. Odatle, kombinujuci Teoreme 3.4 i 3.5 zajednosa pojmovima uvedenim u Sekciji 1.3., u poziciji smo da formulisemo sledece tvrdenje.

Posledica 3.6. [14] Neka je L = (L,∧,∨,⊗, 0, 1) struktura koja zadovoljava uslove (L1’)i (L2) iz Definicije 1.11 reziduiranih mreza, kao i svojstvo (1.18). Tada su sledeca tvrdenjaekvivalentna:

(i) L je kompletno reziduirana mreza,

(ii) Struktura (LU×U , ◦,6) je desno reziduirana polugrupa, pri cemu je desni rezidual zadatpomocu (3.5),

(iii) Struktura (LU×U , ◦,6) je levo reziduirana polugrupa, pri cemu je levi rezidual zadatpomocu (3.6),

(iv) Struktura (LU×U , ◦,6) je reziduirana polugrupa, pri cemu su desni i levi rezidualzadati jednakostima (3.5) i (3.6), respektivno.

Sledece tvrdenje direktna je posledica Teorema 3.4 i 1.29, kao i Posledice 3.6.

Posledica 3.7. Neka je L = ([0, 1],∧,∨,⊗, 0, 1), gde je ⊗ t-norma. Tada su sledeci usloviekvivalentni:


(i) ⊗ je levo-neprekidna t-norma,

(ii) Struktura (LU×U , ◦,6) je desno reziduirana polugrupa,

(iii) Struktura (LU×U , ◦,6) je levo reziduirana polugrupa,

(iv) Struktura (LU×U , ◦,6) je reziduirana polugrupa.

Na osnovu prethodnih tvrdenja lako se moze pokazati koji linearni sistemi imaju najveceresenje i u kom obliku, o cemu govori naredno tvrdenje.

Teorema 3.8. Neka su {Ai}i∈I i {Bi}i∈I dve familije L -fazi relacija na nepraznom skupu,i neka je X nepoznata L -fazi relacija na istom skupu.

(a) Najvece resenje sistema (L1.1) je presek najvecih resenja svake od nejednacine iz togsistema, i jednako je

∧i∈I Ai\Bi. Skup svih resenja sistema (L1.1) jednak je glavnom

donjem skupu generisanog fazi relacijom∧i∈I Ai\Bi,

(b) Najvece resenje sistema (L1.4) je presek najvecih resenja svake od nejednacine iz togsistema, i jednako je

∧i∈I Bi/Ai. Skup svih resenja sistema (L1.4) jednak je glavnom

donjem skupu generisanog fazi relacijom∧i∈I Bi/Ai,

(c) Ukoliko sistem (L1.2) ima barem jedno resenje, tada je skup svih resenja tog sistemagorni podskup skupa (LU×U ,6). Takode, tada presek ovog gornjeg podskupa i glavnogdonjeg skupa generisanog fazi relacijom

∧i∈I Ai\Bi cini skup resenja sistema (L1.3),

i najvece resenje sistema (L1.1) je najvece resenje i sistema (L1.3),

(d) Analogno, ukoliko sistem (L1.5) ima barem jedno resenje, tada je skup svih resenjatog sistema gorni podskup skupa (LU×U ,6), presek ovog gornjeg podskupa i glavnogdonjeg skupa generisanog fazi relacijom

∧i∈I Bi/Ai cini skup resenja sistema (L1.6),

i najvece resenje sistema (L1.4) je najvece resenje i sistema (L1.6).

Naredna dva tvrdenja navode neke osobine relacija R/R i R\R, gde je R proizvoljnafazi relacija.

Teorema 3.9. Neka je R L -fazi relacija na skupu U . Tada vazi:

(i) Relacije R\R i R/R su fazi kvazi-uredenja,

(ii) R\R je najvece resenje jednacine R ◦X = R po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U ,

(iii) R/R je najvece resenje jednacine X ◦R = R po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U .

D o k a z . (i): Dokazimo najpre tranzitivnost relacije R\R. Fiksirajmo proizvoljno odabraneu1, u2, u3 ∈ U . Prema formuli za racunanje desnog reeziduala (3.5) dobijamo da je

(R\R)(u1, u2)⊗(R\R)(u2, u3) = (∧u′∈U R(u′, u1) → R(u′, u2))⊗(

∧u′∈U R(u′, u2) → R(u′, u3)).

Odatle je za svaki u ∈ U

(R\R)(u1, u2) ⊗ (R\R)(u2, u3) 6 (R(u, u1) → R(u, u2)) ⊗ (R(u, u2) → R(u, u3)),

3.2. HETEROGENI LINEARNI SISTEMI 35

odakle zbog osobine (1.16) sledi

(R\R)(u1, u2) ⊗ (R\R)(u2, u3) 6 R(u, u1) → R(u, u3).

S obzirom da je prethodna formula tacna za svako u ∈ U , odatle dobijamo

(R\R)(u1, u2) ⊗ (R\R)(u2, u3) 6∧u∈U R(u, u1) → R(u, u3) = (R\R)(u1, u3).

Ovo vazi za fiksirane, ali proizvoljno odabrane u1, u2, u3 ∈ U , odakle sledi (R\R)◦ (R\R) 6(R\R), odnosno tranzitivnost relacije R\R. S druge strane, refleksivnost relacije R\Rsledi odmah iz prve jednakosti u (1.15), pa je R\R fazi kvazi-uredenje. Potpuno analognodokazujemo i da je R/R fazi kvazi-uredenje.(ii): Desni reziduali uvedeni su kao najvece resenje nejednacine R ◦ X 6 R po X, odatleje R ◦ (R\R) 6 R. Sa druge strane, zbog refleksivnosti relacije R\R sledi da je, za svakou1, u2 ∈ U ,

R(u1, u2) = R(u1, u2)⊗(R\R)(u2, u2) 6∨u∈U R(u1, u)⊗(R\R)(u, u2) = (R◦(R\R))(u1, u2),

pa odatle dobijamo R 6 R◦(R\R). Znaci, R\R je resenje fazi relacijske jednacine R◦X = Rpo X. S obzirom da je svako resenje jednacine R ◦ X = R ujedno resenje i nejednacineR ◦X 6 R, a R\R najvece resenje prethodne nejednacine, sledi da je R\R najvece resenjei jednacine R ◦X = R po X.(iii): Analogno kao u delu (ii).

Posledica 3.10. Neka je data L -fazi relacija R na nepraznom skupu U . Tada su sledecatvrdenja ekvivalentna:

(i) R je fazi kvazi-uredenje,

(ii) R\R = R,

(iii) R/R = R.

D o k a z . (i) ⇒ (ii): Neka je R fazi kvazi-uredenje. Iz refleksivnosti relacije R i osobine (2.9)sledi R\R = ∆U ◦ (R\R) 6 R ◦ (R\R), a na osnovu Teoreme 3.9 R ◦ (R\R) = R. Odavdesledi R\R 6 R. S druge strane, obe relacije R i R\R su resenja fazi relacijske jednacineR ◦ X 6 R po X, s tim sto je R\R najvece resenje, pa odatle sledi i R 6 R\R, cime jedokazano R = R\R.(ii) ⇒ (i): Ako je R\R = R, tada je R fazi kvazi-uredenje na osnovu Teoreme 3.9.(i) ⇔ (iii): Dokazuje se analogno kao (i) ⇔ (ii).

3.2. Heterogeni linearni sistemi

Heterogeni linearni sistemi fazi relacijskih jednacina i nejednacina predstavljaju uopstenjeodgovarajucih homogenih linearnih sistema. Naime, neka su U i V neprazni skupovi. Dalje,neka su {Ai}i∈I , {Bi}i∈I i {Ci}i∈I familije L -fazi relacija takve da je Ai ∈ LU×U , Bi ∈

3.2. HETEROGENI LINEARNI SISTEMI 36

LV×V i Ci ∈ LU×V za svako i ∈ I. Za nepoznatu L -fazi relaciju X ∈ LU×V , svaki odsledecih sest sistema cini heterogeni linearni sistem:

Ai ◦X 6 Ci (i ∈ I), (L2.1)

Ci 6 Ai ◦X (i ∈ I), (L2.2)

Ai ◦X = Ci (i ∈ I), (L2.3)

X ◦Bi 6 Ci (i ∈ I), (L2.4)

Ci 6 X ◦Bi (i ∈ I), (L2.5)

X ◦Bi = Ci (i ∈ I). (L2.6)

Teoreme 3.2, 3.4 i 3.5 direktno se uopstavaju za heterogeni slucaj, i njihovim sumiranjemdobijamo sledece tvrdenje.

Teorema 3.11. Neka su U i V neprazni skupovi, i A, B i C L -fazi relacije takve da jeA ∈ LU×U , B ∈ LV×V i C ∈ LU×V . Tada postoji elemenat A\C = ⊤{X ∈ LU×V |A ◦X 6

C}, koji se naziva desni rezidual C od A, i jednak je

(A\C)(u, v) =∧u′∈U A(u′, u) → C(u′, v), (3.7)

za svako u ∈ U , v ∈ V . Pored toga, {X ∈ LU×V |A ◦X 6 C} = (A\C]. Takode, postoji ielemenat C/B = ⊤{X ∈ LU×V |X ◦ B 6 C}, koji se naziva levi rezidual C od B, i on jejednak

(C/B)(u, v) =∧v′∈V B(v, v′) → C(u, v′), (3.8)

za svako u ∈ U , v ∈ V . Osim toga, {X ∈ LU×V |X ◦B 6 C} = (C/B].

Nije tesko pokazati, na osnovu Teorema 2.2 - 2.4, da je struktura (LU×U ,∨, ◦, ∅U ,∆U )poluprsten, gde je ∅U (u1, u2) = 0 za svako u1, u2 ∈ U prazna relacija. Isto tako lakopokazuje se i da je struktura (LU×V ,∨, ∅U ,6) komutativni uredeni monoid. Ako se kom-pozicija fazi relacije iz LU×U i fazi relacije iz LU×V posmatra kao levo skalarno mnozenje,a kompozicija fazi relacije iz LU×V i fazi relacije iz LV×V posmatra kao desno skalarnomnozenje, tada je (LU×V ,∨, ∅U×V ,6) zapravo LU×U − LV×V -bisemimodul. Sada smo upoziciji da formulisemo sledece tvrdenje.

Posledica 3.12. [14] Neka je L = (L,∧,∨,⊗, 0, 1) struktura koja zadovoljava uslove (L1’)i (L2) iz Definicije 1.11 reziduiranih mreza, kao i svojstvo (1.18). Tada su sledeca tvrdenjaekvivalentna:

(i) L je kompletna reziduirana mreza,

(ii) Svaki levi LU×U -semimodul (LU×V ,∨, ∅U×V ,6) je reziduiran, pri cemu je levi rezidualzadat jednakoscu (3.8),

(iii) Svaki desni LV×V -semimodul (LU×V ,∨, ∅U×V ,6) je reziduiran, pri cemu je desnirezidual zadat pomocu (3.7),

3.3. HOMOGENI SLABO LINEARNI SISTEMI 37

(iv) Svaki LU×U − LV×V -bisemimodul (LU×V ,∨, ∅U×V ,6) je reziduiran, pri cemu su levii desni rezidual zadati sa (3.8) i (3.7), respektivno.

Posledica 3.13. Neka je L = ([0, 1],∧,∨,⊗, 0, 1) struktura koja zadovoljava uslove (L1’)i (L2) iz Definicije 1.11, gde je ⊗ t-norma. Tada su sledeci uslovi ekvivalentni:

(i) ⊗ je levo-neprekidna t-norma,

(ii) Svaki levi LU×U -semimodul je reziduiran,

(iii) Svaki desni LV×V -semimodul je reziduiran,

(iv) Svaki LU×U − LV×V -bisemimodul je reziduiran.

Sada smo u poziciji da preformulisemo Teoremu 3.8 za heterogene linearne sisteme.

Teorema 3.14. Neka su U i V neprazni skupovi, a {Ai}i∈I , {Bi}i∈I i {Ci}i∈I familijeL -fazi relacija za koje je Ai ∈ LU×U , Bi ∈ LV×V i Ci ∈ LU×V za svako i ∈ I. Neka je Xnepoznata L -fazi relacija X ∈ LU×V .

(a) Najvece resenje sistema (L2.1) je presek najvecih resenja svake od nejednacine iz togsistema, i jednako je

∧i∈I Ai\Ci, pri cemu je desni rezidual Ai\Ci zadat preko (3.7).

Skup svih resenja sistema (L2.1) jednak je glavnom donjem skupu generisanog fazirelacijom

∧i∈I Ai\Ci,

(b) Najvece resenje sistema (L2.4) je presek najvecih resenja svake od nejednacine iz togsistema, i jednako je

∧i∈I Ci/Bi, pri cemu je levi rezidual Ci/Bi zadat preko (3.8).

Skup svih resenja sistema (L2.4) jednak je glavnom donjem skupu generisanog fazirelacijom

∧i∈I Ci/Bi,

(c) Ukoliko sistem (L2.2) ima barem jedno resenje, tada je skup svih resenja tog sistemagorni podskup skupa (LU×V ,6). Takode, tada presek ovog gornjeg podskupa i glavnogdonjeg skupa generisanog fazi relacijom

∧i∈I Ai\Ci cini skup resenja sistema (L2.3),

i najvece resenje sistema (L2.1) je najvece resenje i sistema (L2.3),

(d) Analogno, ukoliko sistem (L2.5) ima barem jedno resenje, tada je skup svih resenjatog sistema gorni podskup skupa (LU×V ,6), presek ovog gornjeg podskupa i glavnogdonjeg skupa generisanog fazi relacijom

∧i∈I Ci/Bi cini skup resenja sistema (L2.6),

i najvece resenje sistema (L2.4) je najvece resenje i sistema (L2.6).

3.3. Homogeni slabo linearni sistemi

U ovoj sekciji izucava se forma i egzistencija resenja slabo linearnih sistema, dok je sledecasekcija posvecena izucavanju metoda za njihovo izracunavanje. Neka je U neprazan skup i{Ai}i∈I familija fazi relacija na skupu U . Neka su M,X ∈ LU×U takve da je M zadata, a Xnepoznata L -fazi relacija. Dva osnovna tipa homogenih slabo linearnih sistema su oblika

X ◦ Ai 6 Ai ◦X (i ∈ I), X 6M, (SL1.1)

Ai ◦X 6 X ◦ Ai (i ∈ I), X 6M, (SL1.2)


dok je treci osnovni tip konjukcija prethodna dva:

X ◦ Ai = Ai ◦X (i ∈ I), X 6M. (SL1.3)

Osim toga, u mnogim situacijama potrebno je da su obe fazi relacije R i R−1 resenja gornjihsistema, pa je od znacaja posmatrati i sledeca tri tipa sistema:

X ◦Ai 6 Ai ◦X, X−1 ◦Ai 6 Ai ◦X−1 (i ∈ I), X 6M, (SL1.4)

Ai ◦X 6 X ◦Ai, Ai ◦X−1

6 X−1 ◦ Ai (i ∈ I), X 6M, (SL1.5)

X ◦Ai = Ai ◦X, X−1 ◦Ai = Ai ◦X−1 (i ∈ I), X 6M. (SL1.6)

Jasno, fazi relacija R je resenje sistema (SL1.4) (respektivno, (SL1.5) odn. (SL1.6))ako i samo ako su fazi relacije R i R−1 resenja sistema (SL1.1) (respektivno, (SL1.2) odn.(SL1.3)). Takode, trivijalno se dokazuje da je simetricna fazi relacija resenje sistema (SL1.4)(respektivno, (SL1.5), (SL1.6)) ako i samo ako je resenje sistema (SL1.1) (respektivno,(SL1.2), (SL1.3)). Ukoliko je M = ∇U , tada nejednacina X 6 M postaje trivijalna imoze se izostaviti. Oznacimo svaki od sistema (SL1.t) sa WL1,t(U, I,Ai,M), za svakot ∈ {1, . . . , 6}. Ukoliko je M = ∇U , tada se svaki sistem (SL1.t) oznacava jednostavno saWL1,t(U, I,Ai), za svako t ∈ {1, . . . , 6}.

Sledece tvrdenje dokazuje se veoma jednostavno.

Propozicija 3.15. (a) Fazi relacija R je resenje sistema WL1,1(U, I,Ai,M) ako i samoako je R−1 resenje sistema WL1,2(U, I,A−1

i ,M−1),

(b) Fazi relacija R je resenje sistema WL1,4(U, I,Ai,M) ako i samo ako je R resenjesistema WL1,5(U, I,A−1

i ,M−1).

Propozicija 3.15 omogucava nam da par sistema (SL1.1) i (SL1.2), odnosno par sistema(SL1.4) i (SL1.5) posmatramo kao dualne parove, u smislu da za svako tvrdenje koje jetacno za jedan sistem u dualnom paru postoji odgovarajuce dualno tvrdenje koje je tacnoza drugi sistem u dualnom paru, i obratno. Iz tog razloga, tvrdenja dokazujemo samo zajedan sistem iz pomenutih dualnih parova.

Svaki homogeni slabo linearni sistem ima barem jedno resenje, ∅U . Ovo resenje nazivamotrivijalno resenje. Takode, ako je fazi relacija M refleksivna, tada je fazi jednakost takoderesenje bilo kog homogenog slabo linearnog sistema.

Naredna teorema navodi osobine resenja homogenih slabo linearnih sistema.

Teorema 3.16. Svaki od homogenih slabo linearnih sistema (SL1.1) - (SL1.6) ima najveceresenje. Ako je M refleksivna fazi relacija, tada su najveca resenja svakog od sistema(SL1.1) - (SL1.6) refleksivne fazi relacije. Dalje, ako je M fazi kvazi-uredenje, tada sunajveca resenja svakog od sistema (SL1.1) - (SL1.3) fazi kvazi-uredenja. Na kraju, akoje M fazi ekvivalencija, tada su najveca resenja svakog od sistema (SL1.4) - (SL1.6) fazirelacije ekvivalencije.


Dok a z . Dokazimo najpre da sistem (SL1.1) ima najvece resenje. Ranije je napomenuto dasistem (SL1.1) ima barem jedno resenje, praznu relaciju ∅U . Neka je {Rj}j∈J familija fazirelacija na skupu U koje su resenja sistema (SL1.1), i neka je Q =

∨j∈J Rj . Primenjujuci

osobinu (2.11) dobijamo da za svako i ∈ I vazi

Q ◦Ai =(∨

j∈J Rj

)◦ Ai =

∨j∈J(Rj ◦Ai) 6

∨j∈J(Ai ◦Rj) = Ai ◦

(∨j∈J Rj

)= Ai ◦Q.

S obzirom da zbog konstrukcije fazi relacije Q vazi i Q 6 M , zakljucujemo da je Q resenjesistema (SL1.1). Takode prema konstrukciji Q, ova relacija je i najvece resenje sistema(SL1.1).Potpuno analogno dokazuje se da sistemi (SL1.2) i (SL1.3) takode imaju najvece resenje.U slucaju sistema (SL1.4) dovoljno je primetiti da, ukoliko je {Rj}j∈J familija fazi relacijana skupu U koje su resenja sistema (SL1.4), a Q =

∨j∈J Rj, tada su obe relacije Q i Q−1

resenje sistema (SL1.1), pa je tada Q resenje i sistema (SL1.4). Na isti nacin dokazujemoda najvece resenje postoji i za sisteme (SL1.5) i (SL1.6).Ako je fazi relacija M refleksivna, tada i Q, kao najvece resenje bilo kog homogenog slabolinearnog sistema mora da sadrzi fazi relaciju ∆U , odakle sledi ∆U 6 Q i refleksivnostrelacje Q. Dalje, neka M , pored refleksivnosti, zadovoljava i uslov tranzitivnosti, odnosnoneka je M fazi kvazi-uredenje. Tada iz (2.8) i (2.9) sledi Q ◦ (Q ◦ Ai) 6 Q ◦ (Ai ◦ Q) i(Q ◦Ai) ◦Q 6 (Ai ◦Q) ◦Q, odnosno

Q ◦Q ◦ Ai 6 Ai ◦Q ◦Q.

Ako je M tranzitivna, tada je i Q ◦ Q 6 M ◦M = M , i u tom slucaju je Q ◦ Q resenjesistema (SL1.1). Analogno dokazujemo da, ako je M fazi kvazi uredenje, tada su i najvecaresenja sistema (SL1.2) i (SL1.3) fazi kvazi uredenja.Na kraju, ako je M fazi relacija ekvivalencije, a Q najvece resenje sistema (SL1.4), tada jei Q−1 resenje sistema (SL1.4), a s obzirom da je Q najvece resenje, odatle sledi Q−1 6 Q,tj. simetricnost relacije Q. Da je Q refleksivna i tranzitivna dokazuje se na isti nacin kao zasistem (SL1.1). Znaci, ako je M fazi relacija ekvivalencije, tada je i najvece resenje sistema(SL1.4) Q fazi relacija ekvivalencije. Ovo tvrdenje dokazuje se identitcno i za sisteme(SL1.5) i (SL1.6).

Dakle, svaki od homogenih slabo linearnih sistema ima najvece resenje. Svaki od ovihsistema poseduje svoju ekvivalentnu formu iz koje je lakse pronaci najvece resenje sistema.

Naime, definisimo funkcije ψ(1,t)Ai

: Q(U) → Q(U), za svako t ∈ {1, 2, 3}, sa:

ψ(1,1)Ai

(R) =∧i∈I(Ai ◦R)/(Ai ◦R),

ψ(1,2)Ai

(R) =∧i∈I(R ◦ Ai)\(R ◦ Ai),

ψ(1,3)Ai

(R) =∧i∈I((Ai ◦R)/(Ai ◦R)) ∧ ((R ◦Ai)\(R ◦Ai)) = ψ

(1,1)Ai

(R) ∧ ψ(1,2)Ai

(R),

za svako R ∈ LU×U . Prema Teoremi 3.9, relacije (Ai ◦ R)/(Ai ◦ R) i (R ◦ Ai)\(R ◦ Ai) su

fazi kvazi-uredenja (cak i kada R nije fazi kvazi-uredenje). Odatle su ψ(1,t)Ai

(R) za svako

t ∈ {1, 2, 3} fazi kvazi-uredenja, pa funkcije ψ(1,t)Ai

zaista slikaju skup Q(U) na samog sebe.


Naredna teorema daje karakterizaciju onih resenja sistema (SL1.1) koja su fazi kvazi-uredenja.

Teorema 3.17. Neka je Q ∈ LU×U fazi kvazi-uredenje. Tada su sledeca tvrdenja ekviva-lentna:

(i) Q je resenje sistema (SL1.1),

(ii) Q je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X ◦ Ai ◦X = Ai ◦X, (i ∈ I), X 6M, (3.9)

(iii) Q je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X 6 ψ(1,1)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M. (3.10)

Do k a z . (i) ⇒ (ii): Neka je Q resenje sistema (SL1.1). Odaberimo proizvoljno i ∈ I. Iztranzitivnosti relacije Q i hipoteze Q ◦Ai 6 Ai ◦Q sledi Q ◦Ai ◦Q 6 Ai ◦Q ◦Q 6 Ai ◦Q,dok iz refleksivnosti relacije Q sledi Ai ◦Q = ∆U ◦ Ai ◦Q 6 Q ◦ Ai ◦Q. Odatle sledi da jeQ resenje sistema (3.9).(ii) ⇒ (i): Neka je Q resenje sistema (3.9). Tada, iz refleksivnosti relacije Q, imamoQ ◦Ai 6 Q ◦ Ai ◦Q = Ai ◦Q, stoga je Q resenje sistema (SL1.1).(ii) ⇒ (iii): Neka je Q resenje sistema (3.9). Tada je, za svako i ∈ I, Q resenje jednacineX ◦ (Ai ◦Q) 6 Ai ◦Q po nepoznatoj fazi relaciji X. Prema Teoremi 3.9, (Ai ◦Q)/(Ai ◦Q)je najvece resenje nejednacine X ◦ (Ai ◦ Q) 6 Ai ◦ Q po nepoznatoj fazi relaciji X, pa je

odatle Q 6 (Ai ◦Q)/(Ai ◦Q), a potom Q 6 ψ(1,1)Ai

(Q). Prethodna konstatacija vazi za svakoi ∈ I, odakle sledi da je Q resenje sistema (3.10).(iii) ⇒ (ii): Neka je Q resenje sistema (3.10). Tada, za svako i ∈ I, Q 6 (Ai ◦R)/(Ai ◦R),sto je prema (3.4), ekvivalentno sa Q ◦Ai ◦Q 6 Ai ◦Q. S obzirom da obrnuta nejednakostsledi iz refleksivnosti relacije Q, dobijamo da je Q resenje sistema (3.9).

Karakterizacija onih resenja sistema (SL1.2) i (SL1.3) koja su fazi kvazi-uredenja odre-duje se analogno. Iz tog razloga naredna dva tvrdenja navedena su bez dokaza.

Teorema 3.18. Neka je Q ∈ LU×U fazi kvazi-uredenje. Tada su sledeci uslovi ekviva-lentni:


(ii) Q je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X ◦ Ai ◦X = X ◦ Ai, (i ∈ I), X 6M, (3.11)

(iii) Q je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X 6 ψ(1,2)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M.


Teorema 3.19. Neka je Q ∈ LU×U fazi kvazi-uredenje. Tada su sledeca tvrdenja ekviva-lentna:


(ii) Q je resenje sistema (SL1.1) i (SL1.2),

(iii) Q je resenje sistema

X 6 ψ(1,3)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M,

gde je X ∈ LU×U nepoznata fazi relacija.

Analogna tvrdenja mogu se izvesti i za sisteme (SL1.4)-(SL1.6). Preciznije, mogu sedati karakterizacije onih resenja sistema (SL1.4)-(SL1.6) koja su fazi relacije ekvivalencije.

U tom cilju uvode se funkcije ψ(1,t)Ai

: E(U) → E(U), za svako t ∈ {4, 5, 6}, definisane sa:

ψ(1,4)Ai

(R) =∧i∈I((Ai ◦R)/(Ai ◦R)) ∧ ((Ai ◦R)/(Ai ◦R))−1,

ψ(1,5)Ai

(R) =∧i∈I((R ◦ Ai)\(R ◦ Ai)) ∧ ((R ◦Ai)\(R ◦ Ai))

−1,

ψ(1,6)Ai

(R) = ψ(1,4)Ai

(R) ∧ ψ(1,5)Ai

(R),

za svako R ∈ LU×U . Lako se uocava da je svaka od relacija ψ(1,t)Ai

(R), t ∈ {4, 5, 6}, fazi

relacija ekvivalencije, cak iako R nije fazi relacija ekvivalencije. Znaci, funkcije ψ(1,t)Ai

zaistaslikaju skup E(U) na samog sebe, za t ∈ {4, 5, 6}.

Teorema 3.20. Neka je E ∈ LU×U fazi ekvivalencija. Tada su sledeca tvrdenja ekviva-lentna:

(i) E je resenje sistema (SL1.4),

(ii) E je resenje sistema (SL1.1),

(iii) E je resenje sistema (3.9),

(iv) E je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X 6 ψ(1,4)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M.

Dok a z . Sledi iz Teoreme 3.17 i cinjenice da je E = E−1.

Tvrdenja za preostale sisteme direktno slede.

Teorema 3.21. Neka je E ∈ LU×U fazi ekvivalencija. Tada su sledeci uslovi ekvivalentni:



(iii) E je resenje sistema (3.11),

3.4. RACUNANJE NAJVECEG RESENJA HOMOGENIH SLABO LINEARNIH SISTEMA 42

(iv) E je resenje sledeceg sistema, po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U :

X 6 ψ(1,5)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M.

Teorema 3.22. Neka je E ∈ LU×U fazi ekvivalencija. Tada su sledeca tvrdenja ekviva-lentna:



(iii) E je resenje sistema (SL1.1) i (SL1.2),

(iv) E je resenje sistema (3.9) i (3.11),

(v) E je resenje sistema

X 6 ψ(1,6)Ai

(X), (i ∈ I), X 6M,

gde je X ∈ LU×U nepoznata fazi relacija.

3.4. Racunanje najveceg resenja homogenih slabo linearnih sistema

Rezultati iz prethodne sekcije govore da je svaki od homogenih slabo linearnih sistema

(SL1.t), za svako t ∈ {1, . . . , 6}, ekvivalentan sistemu X 6 ψ(1,t)Ai

(X), X 6 M , a tonam omogucava da problem racunanja najveceg resenja homogenog slabo linearnog sis-

tema svedemo na racunanje najvece post-fiksne tacke funkcija ψ(1,t)Ai

sadrzane u datoj fazirelaciji M .

U ovoj sekciji, ukoliko nije drugacije naglaseno, pretpostavlja se da je skup U konacan, ida je indeksni skup I konacan, gde je I skup indeksa jednacina i nejednacina u homogenimslabo linearnim sistemima (SL1.1) - (SL1.6).

Neka je ψ : LU×U → LU×U izotona funkcija, pri cemu je U neprazan skup. PremaKnaster-Tarski teoremi navedenoj u Sekciji 1.2., skup svih post-fiksnih tacaka funkcije ψ jekompletna mreza. Stavise, za svaku fazi relaciju H ∈ LU×U , skup svih post-fiksnih tacakafunkcije ψ koje su sadrzane u H je neprazan, jer sadrzi praznu relaciju ∅U . Ovaj skuptakode je kompletna mreza. To znaci da postoji najveca post-fiksna tacka funkcije ψ kojaje sadrzana u H, ali ta tacka ne mora biti fiksna tacka funkcije ψ. Stoga se Kleeneovalgoritam za racunanje fiksne tacke funkcije ψ, opisan u Sekciji 1.2., ne moze primeniti zaracunanje najveceg resenja homogenih slabo linearnih sistema, ali se moze primeniti njegovamodifikacija. Naime, ako formulu (1.1) modifikujemo u sledeci oblik:

R1 = H, Rk+1 = Rk ∧ ψ(Rk), k ∈ N, (3.12)

na taj nacin obezbedujemo da niz {Rk}k∈N bude opadajuci. Lako se pokazuje da vazirelacija

R 6∧k∈NRk,


analogna relaciji (1.2), pri cemu je R najveca post-fiksna tacka od ψ sadrzana u H. U ovojsekciji daje se odgovor na pitanja: Pod kojim uslovima se dostize jednakost u prethodnojformuli, kao i pod kojim uslovima je niz {Rk}k∈N konacan. Drugo pitanje je od velikogznacaja jer, ako je niz {Rk}k∈N konacan, tada postoje indeksi k, l ∈ N za koje je Rk = Rk+l,odnosno Rk = Rk+1 = R. Dakle, u tom slucaju, R se izracunava u konacno mnogo iteracija.

Definicija 3.23. Neka je {Rk}k∈N niz L -fazi funkcija Rk ∈ LU×U . Niz {Rk}k∈N nazivase konacan u slici (image-finite) ako je skup

⋃k∈N Im(R) konacan.

Lema 3.24. [15] Niz {Rk}k∈N definisan preko (3.12) je konacan ako i samo ako je konacanu slici.

Definicija 3.25. Funkcija ψ : LU×U → LU×U naziva se lokalizovana u slici (image-localized) ako postoji konacan skup K ⊆ L tako da je za svaku L -fazi relaciju R ∈ LU×U

ispunjenoIm(ψ(R)) ⊆ 〈K ∪ Im(R)〉,

gde 〈K ∪ Im(R)〉 oznacava podalgebru od L (zatvorenu u odnosu na sve operacije mrezeL ) generisanu skupom K ∪ Im(R).

Teorema 3.26. Neka je funkcija ψ : LU×U → LU×U lokalizovana u slici, H ∈ LU×U , ineka je niz L -fazi relacija {Rk}k∈N na skupu U definisan preko (3.12). Tada je

⋃k∈N Im(Rk) ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉.

Pored toga, ako je 〈K ∪ Im(H)〉 konacna podalgebra od L , tada je i niz {Rk}k∈N konacan.

D o k a z . Indukcijom dokazujemo da je

Im(Rk) ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉 (3.13)

za svako k ∈ N. Ocigledno, tvrdenje je tacno za k = 1. Pretpostavimo da (3.13) vazi zaneko k ∈ N. Tada je K ∪ Im(Rk) ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉, pa je i 〈K ∪ Im(Rk)〉 ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉.Posto je ψ, po uslovu Teoreme, lokalizovana u slici, sledi Im(ψ(R)) ⊆ 〈K ∪ Im(R)〉 ⊆〈K ∪ Im(H)〉. Posto je 〈K ∪ Im(H)〉 podalgebra zatvorena u odnosu na konacne infimume,a Im(Rk), Im(ψ(R)) ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉, odavde sledi i Im(Rk ∧ ψ(R)) ⊆ 〈K ∪ Im(H)〉. Znaci,tvrdenje (3.13) ispunjeno je i za k + 1. Na kraju, ako je 〈K ∪ Im(H)〉 konacna podalgebraod L , tada je i niz {Rk}k∈N konacan prema Lemi 3.24.

Teorema 3.27. Svaka od funkcija ψ(1,t)Ai

, za t ∈ {1, . . . , 6} je izotona i lokalizovana u slici.

D o k a z . Tvrdenje dokazujemo jedino za funkciju ψ(1,1)Ai

, dok se za preostale funkcije tvrdenje

dokazuje analogno. Najpre, dokazimo da je ψ(1,1)Ai

izotona. Neka su P,Q ∈ LU×U fazi kvazi-uredenja takva da je P 6 Q. Tada imamo da je Q = ∆U ◦Q 6 P ◦Q i P ◦Q 6 Q ◦Q 6 Q,


pa je odatle P ◦ Q = Q. Dalje, neka je izabrano proizvoljno i ∈ I i u1, u2 ∈ U . Tada zasvako u3 ∈ U vazi:

((Ai ◦ P )/(Ai ◦ P ))(u1, u2)

(3.6)=

∧u′∈U (Ai ◦ P )(u2, u

′) → (Ai ◦ P )(u1, u′)

(1.19)

6∧u′∈U ((Ai ◦ P )(u2, u

′) ⊗Q(u′, u3)) → ((Ai ◦ P )(u1, u′) ⊗Q(u′, u3))

(1.23)

6(∨

u′∈U (Ai ◦ P )(u2, u′) ⊗Q(u′, u3)

)→

(∨u′∈U (Ai ◦ P )(u1, u

′) ⊗Q(u′, u3))

= (Ai ◦ P ◦Q)(u2, u3) → (Ai ◦ P ◦Q)(u1, u3)

= (Ai ◦Q)(u2, u3) → (Ai ◦Q)(u1, u3).

S obzirom da prethodna nejednakost vazi za svako u3 ∈ U , odavde dobijamo

((Ai ◦ P )/(Ai ◦ P ))(u1, u2) 6∧u3∈U

(Ai ◦Q)(u2, u3) → (Ai ◦Q)(u1, u3)

= ((Ai ◦Q)/(Ai ◦Q))(u1, u2),

a potom

ψ(1,1)Ai

(P ) =∧i∈I(Ai ◦ P )/(Ai ◦ P ) 6

∧i∈I(Ai ◦Q)/(Ai ◦Q) = ψ

(1,1)Ai

(Q),

cime je pokazano da je ψ(1,1)Ai

izotona funkcija. Na kraju, za proizvoljno fazi kvazi-uredenje

Q ∈ LU×U imamo da vazi Im(ψ(1,1)Ai

(Q)) ⊆ 〈K∪Im(Q)〉, gde je K =⋃i∈I Im(Ai). S obzirom

da je indeksni skup I konacan, sledi da je i skup K konacan. Ovim je dokazano da je ψ(1,1)Ai

lokalizovana u slici.

Teorema 3.28. Neka su U i I konacni, neprazni skupovi, i neka je ψ = ψ(1,t)Ai

za nekot ∈ {1, . . . , 6}, H ∈ Q(U) za t ∈ {1, 2, 3}, odnosno H ∈ E(U) za t ∈ {4, 5, 6}. Na kraju, nekaje niz {Rk}k∈N generisan preko formule (3.12). Ako je 〈K ∪ Im(H)〉 konacna podalgebra odL , gde je K =

⋃i∈I Im(Ai), tada:

(a) Niz {Rk}k∈N je konacan i opadajuc,

(b) Postoji najmanji broj k ∈ N takav da je Rk = Rk+1, a Rk je najvece resenje sistemaX 6 ψ(X), X 6 H po nepoznatoj fazi relaciji X ∈ LU×U .

D o k a z . Funkcija ψ je izotona prema Teoremi 3.27 za svako t ∈ {1, . . . , 6}, pa je niz{Rk}k∈N generisan preko (3.12) opadajuc. Po uslovu teoreme je 〈K ∪ Im(H)〉 konacnapodalgebra od L , gde je K =

⋃i∈I Im(Ai), pa iz Teoreme 3.26 sledi i konacnost niza

{Rk}k∈N. Tvrdenje (b) odavde odmah sledi.

Neka je K =⋃i∈I Im(Ai). Ako je L lokalno konacna algebra1, tada je 〈K ∪ Im(H)〉

konacna podalgebra od L , jer je K ∪ Im(H) konacan skup. Tada, prema Teoremi 3.28, za

1Lokalno konacna algebra je algebra u kojoj je svaka podalgebra sa konacno mnogo generatora konacnekardinalnosti.


svaki konacni skup U , konacnu familiju L -fazi relacija {Ai}i∈I , i za svako fazi kvazi-uredenje(fazi ekvivalenciju) H ∈ LU×U mozemo efektivno izracunati najvece fazi kvazi-uredenje kojeje resenje sistema WL(1,t)(U, I,Ai,H) za t ∈ {1, 2, 3}, odnosno najvecu fazi ekvivalencijukoja je resenje sistema WL(1,t)(U, I,Ai,H) za t ∈ {4, 5, 6}.

Medutim, ako L nije lokalno konacna algebra, tada niz {Rk}k∈N generisan primenomformule (3.12) ne mora biti konacan, o cemu svedoci naredni primer.

Primer 3.29. Neka je mreza L snabdevena Goguenovim (proizvod) operacijama. Nekaje |U | = 2, |I| = 1 i A ∈ LU×U fazi relacija zadata sa

A =

[1 00 1/2

].

Potom, neka je H = ∇U i ψ = ψ(1,1)A . Tada su elementi niza {Rk}k∈N generisani primenom

formule (3.12) jednaki

Rk =

[1 1

1/(2k−1) 1

],

za svako k ∈ N. Znaci, niz {Rk}k∈N nije konacan. Medutim, najvece fazi kvazi-uredenjekoje je resenje sistema X 6 ψ(X),X 6 H jednako je

Q =

[1 10 1

],

i ocigledno vazi Q =∧k∈NRk. △

Ovaj primer sugerise sledece: ako L nije lokalno konacna algebra, tada niz {Rk}k∈N nemora biti konacan, i u tom slucaju je najvece resenje homogenog slabo linearnog sistemarazlicito od Rk za svako k ∈ N. Medutim, ako je najvece resenje jednako infimumu niza{Rk}k∈N, tada se najvece resenje homogenog slabo linearnog sistema moze aproksimiratinekim Rk za dovoljno veliko k ∈ N. Iz tog razloga, u nastavku se izucavaju uslovi pod kojimaje najvece resenje homogenog slabo linearnog sistema jednako infimumu niza {Rk}k∈N.

Neka je L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) kompletno reziduirana mreza koja zadovoljava sledecadva uslova:

a ∨ (∧i∈I bi) =

∧i∈I(a ∨ bi), (3.14)

a⊗ (∧i∈I bi) =

∧i∈I(a⊗ bi), (3.15)

za svako a ∈ L i {bi}i∈I ⊆ L. Primetimo da je u strukturi L = ([0, 1],∧,∨,⊗,→, 0, 1), gdeje ⊗ levo-neprekidna t-norma, uslov (3.14) zadovoljen zbog linearnosti intervala [0, 1], dokL ispunjava uslov (3.15) ako i samo ako je ⊗ neprekidna t-norma (videti Teoremu 1.31).Znaci, uslovi (3.14) i (3.15) ispunjeni su za svaku BL-algebru na intervalu [0, 1].


Teorema 3.30. Neka je ψ = ψ(1,t)Ai

za t ∈ {1, . . . , 6}, neka je H ∈ Q(U) za t ∈ {1, 2, 3},odnosno H ∈ E(U) za t ∈ {4, 5, 6}. Neka je niz {Rk}k∈N generisan preko (3.12). Ako je L

kompletno reziduirana mreza koja zadovoljava (3.14) i (3.15), tada je

R =∧k∈NRk,

gde je R najvece resenje sistema X 6 ψ(X), X 6 H po nepoznatoj X ∈ LU×U .

D o k a z . Tvrdenje dokazujemo samo za slucaj t = 1, posto se u ostalim slucajevimatvrdenje dokazuje na slican nacin. Neka je

R =∧k∈NRk. (3.16)

Tada je R fazi kvazi-uredenje, i R 6 R. Da bismo dokazali obrnutu nejednakost, dovoljnoje pokazati da je R resenje sistema X 6 ψ(X). U tom cilju, neka su u1, u2, u

′ ∈ U ,i ∈ I i k ∈ N proizvoljno odabrani. Tada je R(u1, u2) 6 Rk+1(u1, u2) 6 ψ(Rk)(u1, u2) 6

(Ai ◦ Rk)(u2, u′) → (Ai ◦ Rk)(u1, u

′). S obzirom da su u1, u2, u′ izabrani na proizvoljan

nacin, tada na osnovu prethodne nejednakosti i (1.22) sledi

R(u1, u2) 6∧k∈N((Ai ◦Rk)(u2, u

′) → (Ai ◦Rk)(u1, u′))

6(∧

k∈N(Ai ◦Rk)(u2, u′))→

(∧k∈N(Ai ◦Rk)(u1, u

′)). (3.17)

Podsetimo se rezultata iz rada [6] u kojem se tvrdi da, ako je za reziduiranu mrezu L

ispunjen uslov (3.14), tada je za sve opadajuce nizove {xk}k∈N, {yk}k∈N ⊆ L

∧k∈N(xk ∨ yk) =

(∧k∈N xk

)∨(∧

k∈N yk). (3.18)

Sada smo u mogucnosti da izvedemo sledeci niz jednakosti:

∧k∈N(Ai ◦Rk)(u2, u

′) =∧k∈N

(∨u3∈U

Ai(u2, u3) ⊗Rk(u3, u′))

(3.18)=

∨u3∈U

(∧k∈NAi(u2, u3) ⊗Rk(u3, u

′))

(3.15)=

∨u3∈U

(Ai(u2, u3) ⊗ (

∧k∈NRk(u3, u

′)))

(3.16)=

∨u3∈U

(Ai(u2, u3) ⊗R(u3, u′))

= (Ai ◦R)(u2, u′). (3.19)

Napomenimo da smo mogli da primenimo formulu (3.18) zbog toga sto je U konacan skupi {Rk(u3, u

′)}k∈N opadajuci niz, pa je odatle i {Ai(u2, u3) ⊗ Rk(u3, u′)}k∈N opadajuci niz.

Analogno se dokazuje i

∧k∈N(Ai ◦Rk)(u1, u

′) = (Ai ◦R)(u1, u′). (3.20)

Sada na osnovu (3.17), (3.19) i (3.20) dobijamo

R(u1, u2) 6 (Ai ◦R)(u2, u′) → (Ai ◦R)(u1, u

′).


S obzirom da prethodna nejednakost vazi za svako u′ ∈ U i i ∈ I, dalje dobijamo

R(u1, u2) 6∧i∈I

∧u′∈U (Ai ◦R)(u2, u

′) → (Ai ◦R)(u1, u′) =

∧i∈I((Ai ◦R)/(Ai ◦R))(u1, u2).

Konacno je odavde R 6∧i∈I(Ai ◦ R)/(Ai ◦ R) = ψ(R), odakle dobijamo da je R resenje

sistema R 6 ψ(R), cime je dokaz zavrsen.

Teorema 3.30 daje karakterizaciju najveceg resenja sistema WL(1,t)(U, I,Ai,H), ali neobezbeduje algoritam za izracunavanje najveceg resenja, jer je najvece resenje infimumbeskonacno mnogo fazi relacija. Posto je niz {Rk}k∈N opadajuc, mozemo izracunati konacnomnogo clanova niza i naci njihov presek, a takva fazi relacija moze posluziti kao aproksi-macija najveceg resenja sistema WL(1,t)(U, I,Ai,H).

U nekim slucajevima nije potrebno pronaci fazi relaciju koja je resenje nekog homogenoglinearnog sistema, vec ono resenje koje je krisp relacija. Razlog lezi u tome sto krisp relacijemogu posluziti kao aproksimacija resenja homogenog linearnog sistema, i to u slucaju kadaje niz {Rk}k∈N beskonacan. U nastavku se prikazuje metod za racunanje krisp relacije kojaje najvece resenje homogenog linearnog sistema. Ovaj metod zavrsava se u konacnom brojukoraka, nezavisno od lokalne konacnosti mreze. Takode, pokazuje se da najvece krisp resenjenije jednostavno krisp deo najveceg fazi resenja.

Neka je U neprazan konacan skup, neka K(U) oznacava bilo koji od skupova LU×U ,Q(U), E(U), i neka je Kc(U) skup svih krisp relacija iz skupa K(U). Direktno se pokazuje daje Kc(U) kompletna podmreza mreze K(U), odnosno da su infimum i supremum proizvoljnefamilije krisp relacija iz Kc(U) takode krisp relacije. Takode, za svako R ∈ K(U) imamo daje Rc ∈ Kc(U).

Za svaku funkciju ψ : K(U) → K(U), definisimo funkciju ψc : Kc(U) → Kc(U) sa

ψc(Rc) = (ψ(R))c,

za svako Rc ∈ Kc(U). Ako je ψ izotona funkcija, tada je i ψc izotona.

Teorema 3.31. Neka je ψ : K(U) → K(U) izotona funkcija, i neka je H ∈ K(U) datafazi relacija. Krisp relacija Rc ∈ Kc(U) je najvece krisp resenje sistema

X 6 ψ(X), X 6 H (3.21)

u kompletnoj mrezi K(U), a X nepoznata fazi relacija, ako i samo ako je najvece resenjesistema

X 6 ψc(X), X 6 Hc (3.22)

u kompletnoj mrezi Kc(U), gde je X nepoznata krisp relacija. Takode, niz {Rk}k∈N ⊆ K(U),definisan sa

R1 = Hc, Rk+1 = Rk ∧ ψc(Rk), k ∈ N,

je konacan opadajuci niz krisp relacija, a poslednji clan ovog niza je najvece resenje sistema(3.22) u mrezi Kc(U).

3.5. HETEROGENI SLABO LINEARNI SISTEMI I NJIHOVO NAJVECE RESENJE 48

Do k a z . Poznato je da je krisp skup sadrzan u fazi skupu ako i samo ako je sadrzan unjegovom krisp delu. Prema tome, Rc je resenje sistema (3.21) ako i samo ako je resenjesistema (3.22), pa je stoga Rc najvece krisp resenje sistema (3.21) ako i samo ako je najveceresenje sistema (3.22). Dalje, iz izotonosti funkcije ψ sledi i izotonost funkcije ψc, pa je niz{Rk}k∈N ⊆ K(U) opadajuc. Jasno je da ovaj niz cine samo krisp relacije, pa posto je Ukonacan skup, bilo koji skup krisp relacija nad U mora biti konacan. Odatle sledi ostataktvrdenja.

3.5. Heterogeni slabo linearni sistemi i njihovo najvece resenje

Heterogeni slabo linearni sistemi predstavljaju uopstenje homogenih slabo linearnih sistema.Neka su U i V dva neprazna skupa, {Ai}i∈I familija fazi relacija na skupu U , a {Bi}i∈Ifamilija fazi relacija na skupu V . Neka su N,X ∈ LU×V fazi relacije, s tim sto je N data,a X nepoznata fazi relacija. Postoje dva tipa heterogenih slabo linearnih sistema

X−1 ◦Ai 6 Bi ◦X−1 (i ∈ I), X 6 N, (SL2.1)

Ai ◦X 6 X ◦Bi (i ∈ I), X 6 N, (SL2.2)

kao i cetiri tipa koji su dobijeni kombinacijom prethodna dva sistema:

X−1 ◦ Ai 6 Bi ◦X−1, X ◦Bi 6 Ai ◦X

−1 (i ∈ I), X 6 N, (SL2.3)

Ai ◦X 6 X ◦Bi, Bi ◦X−1

6 X−1 ◦Ai (i ∈ I), X 6 N, (SL2.4)

Ai ◦X = X ◦Bi (i ∈ I), X 6 N, (SL2.5)

X−1 ◦ Ai = Bi ◦X−1 (i ∈ I), X 6 N. (SL2.6)

Za svako t ∈ {1, . . . , 6} sistem (SL2.t) oznacava se sa WL(2,t)(U, V, I,Ai, Bi, N). Akoje N = ∇U , tada se svaki sistem (SL2.t) oznacava jednostavno sa WL(2,t)(U, V, I,Ai, Bi).Naredna teorema govori o dualnosti odredenih heterogenih slabo linearnih sistema.

Propozicija 3.32. (a) Fazi relacija R je resenje sistema WL(2,1)(U, V, I,Ai, Bi, N) akoi samo ako je R resenje sistema WL(2,2)(U, V, I,A−1

i , B−1i , N).

(b) Fazi relacija R je resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N) ako i samo ako je Rresenje sistema WL(2,4)(U, V, I,A−1

i , B−1i , N).

(c) Fazi relacija R je resenje sistema WL(2,5)(U, V, I,Ai, Bi, N) ako i samo ako je Rresenje sistema WL(2,6)(U, V, I,A−1

i , B−1i , N).

(d) Fazi relacija R je resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N) ako i samo ako je R−1

resenje sistema WL(2,4)(V,U, I,Bi, Ai, N).

Dakle, sistemi (SL2.1) i (SL2.2) su dualni, kao sto su i par sistema (SL2.3) i (SL2.4),odnosno par sistema (SL2.5) i (SL2.6).


Propozicija 3.33. Neka su R ∈ LU×V i S ∈ LV×W takve da je fazi relacija R resenje sis-temaWL(2,t)(U, V, I,Ai, Bi, N2), a fazi relacija S resenje sistemaWL(2,t)(V,W, I,Bi, Ci, N2).Tada je R ◦ S resenje sistema WL(2,t)(U,W, I,Ai, Ci, N1 ◦N2).

Kao i u homogenom slucaju, svaki heterogeni slabo linearni sistem ima barem jednoresenje, ∅U , koje nazivamo trivijalno resenje. Takode, ako je fazi relacija N refleksivna,tada je fazi jednakost takode resenje bilo kog heterogenog slabo linearnog sistema.

Teorema 3.34. Svaki od heterogenih slabo linearnih sistema (SL2.1) - (SL2.6) ima na-jvece resenje. Ako je N parcijalna fazi funkcija, tada su najveca resenja svakog od sistema(SL2.3) i (SL2.4) takode parcijalne fazi funkcije.

D o k a z . Za svako t ∈ {1, . . . , 6} lako je proveriti da je supremum proizvoljne familijeresenja sistema (SL2.t) takode resenje istog sistema, sto je i najvece resenje doticnog sistema.Dalje, neka je N parcijalna fazi funkcija i R najvece resenje sistema (SL2.3), odnosno(SL2.4). Tada je R ◦ R−1 ◦ R 6 N ◦ N−1 ◦N 6 N , a prema Propoziciji 3.33, fazi relacijaR◦R−1 ◦R je resenje sistema (SL2.3), odnosno (SL2.4). Posto je R najvece resenje sistema,sledi R ◦R−1 ◦R 6 R, odakle sledi da je R parcijalna fazi funkcija.

Definisimo funkcije φ(2,t)Ai,Bi

: LU×V → LU×V , za svako t ∈ {1, . . . , 6}, na sledeci nacin:

φ(2,1)Ai,Bi

(R) =∧i∈I((Bi ◦R

−1)/Ai)−1,

φ(2,2)Ai,Bi

(R) =∧i∈I Ai\(R ◦Bi),

φ(2,3)Ai,Bi

(R) =∧i∈I((Bi ◦R

−1)/Ai)−1 ∧ ((Ai ◦R)/Bi) = φ

(2,1)Ai,Bi

(R) ∧ (φ(2,1)Ai,Bi

(R−1))−1,

φ(2,4)Ai,Bi

(R) =∧i∈I(Ai\(R ◦Bi)) ∧ ((Bi\(R−1 ◦Ai))

−1 = φ(2,2)Ai,Bi

(R) ∧ (φ(2,2)Ai,Bi

(R−1))−1,

φ(2,5)Ai,Bi

(R) =∧i∈I(Ai\(R ◦Bi)) ∧ ((Ai ◦R)/Bi) = φ

(2,2)Ai,Bi

(R) ∧ (φ(2,1)Ai,Bi

(R−1))−1,

φ(2,6)Ai,Bi

(R) =∧i∈I((Bi ◦R

−1)/Ai)−1 ∧ (Bi\(R−1 ◦ Ai))

−1 = φ(2,1)Ai,Bi

(R) ∧ (φ(2,2)Ai,Bi

(R−1))−1,

za svako R ∈ LU×V , pri cemu izrazom “φ(2,t)Ai,Bi

(R−1)”, t ∈ {1, 2} oznacavamo funkciju skupa

LV×U na samog sebe.

Teorema 3.35. Za svako t ∈ {1, . . . , 6}, sistem (SL2.t) ekvivalentan je sistemu

X 6 φ(2,t)Ai,Bi

(X), X 6 N.

Dok a z . Sledi direktnom primenom svojstva adjungovanosti redom na sisteme (SL2.t).

U ostatku ove sekcije rezultati iz Sekcije 3.4. adaptiraju se za heterogeni slucaj.


Teorema 3.36. Neka je funkcija φ : LU×V → LU×V lokalizovana u slici, odnosno Im(φ(R))⊆ 〈K ∪ Im(R)〉. Potom, neka je N ∈ LU×V , i neka je {Rk}k∈N niz generisan preko

R1 = N, Rk+1 = Rk ∧ φ(Rk), k ∈ N. (3.23)

Tada je ⋃k∈N Im(Rk) ⊆ 〈K ∪ Im(N)〉.

Ako je 〈K ∪ Im(N)〉 konacna podalgebra od L , tada je i niz {Rk}k∈N konacan.

D o k a z . Analogno kao u Teoremi 3.26.

Teorema 3.37. Svaka od funkcija φ(2,t)Ai,Bi

, za t ∈ {1, . . . , 6} je izotona. Ako su skupovi U

i V konacni, tada je svaka od funkcija φ(2,t)Ai,Bi

lokalizovana u slici.

D o k a z . Analogno kao u Teoremi 3.27.

Teorema 3.38. Neka su U , V , I konacni neprazni skupovi, i neka je φ = φ(2,t)Ai,Bi

za neko

t ∈ {1, . . . , 6}. Neka je {Rk}k∈N niz fazi relacija takvih da je Rk ∈ LU×V za svaki prirodanbroj k, definisan preko (3.23). Ako je 〈Im(N)∪

⋃i∈I(Im(Ai)∪ Im(Bi))〉 konacna podalgebra

od L , tada je:

(a) Niz {Rk}k∈N konacan i opadajuc,

(b) Postoji najmanji prirodan broj k takav da je Rk = Rk+1, i za takvo k, Rk je najveceresenje sistema (SL2.t).

D o k a z . (a): Sledi iz Teorema 3.36 i 3.37.(b): Neka je k najmanji prirodan broj takav da je Rk = Rk+1. Jasno je da je Rk 6 N .

Potom, Rk = Rk+1 6 φ(2,t)Ai,Bi

(Rk), pa je prema Teoremi 3.35 Rk resenje sistema (SL2.t).Neka je sada R proizvoljno resenje sistema (SL2.t). Najpre imamo da je R < N = R1.

Pretpostavimo da je R < Rm za neko m ∈ N. Tada je R 6 φ(2,t)Ai,Bi

(R) 6 φ(2,t)Ai,Bi

(Rm), odakle

je R 6 Rm ∧ φ(2,t)Ai,Bi

(Rm) = Rm+1. Dakle, indukcijom je pokazano da je R 6 Rm za svakom ∈ N, pa je i R 6 Rk. Ovim je dokazano da je Rk najvece resenje sistema (SL2.t).

Analogno kao u Sekciji 3.4. moze se pokazati da je u kompletno reziduiranoj mrezi kojazadovoljava (3.14) i (3.15), fazi relacija

R =∧k∈NRk

najvece resenje svakog od sistema (SL2.t). Takode, neka je (LU×V )c skup svih krisp relacijaskupova U i V . Ako je φ : LU×V → LU×V izotona funkcija, tada je krisp relacija Rc ∈(LU×V )c najvece krisp resenje sistema

X 6 φ(X), X 6 N

3.6. KOLICNIK FAZI RELACIJSKI SISTEMI 51

u kompletnoj mrezi LU×V , gde je X ∈ LU×V nepoznata fazi relacija, ako i samo ako jenajvece resenje sistema

X 6 φc(X), X 6 N c (3.24)

u kompletnoj mrezi (LU×V )c, gde je nepoznata krisp relacija X ∈ (LU×V )c. Takode, niz{Rk}k∈N ⊆ LU×V , definisan sa

R1 = N c, Rk+1 = Rk ∧ φc(Rk), k ∈ N,

je konacan opadajuci niz krisp relacija, a poslednji clan ovog niza je najvece resenje sistema(3.24) u mrezi (LU×V )c.

Primer 3.39. Neka je L Godel-ova struktura, i skupovi U i V takvi da je |U | = 3 i|V | = 2. Neka su A1, A2 ∈ LU×U , B1, B2 ∈ LV×V , N ∈ LU×V fazi relacije zadate prekosledecih fazi matrica:

N =

1 11 11 1

, A1 =

1 0.3 0.40.5 1 0.30.4 0.6 1

, A2 =

0.5 0.6 0.20.6 0.3 0.40.7 0.7 1

,

B1 =

[1 0.6

0.6 0.7

], B2 =

[0.6 0.60.7 1

].

Primenom algoritma iz Teoreme 3.38 dobijamo da su najveca resenja sistema (SL2.1) -(SL2.6) zadata redom sa

R1 =

1 0.71 0.7

0.6 1

, R2 =

1 0.71 0.7

0.7 1

, R3 =

1 0.61 0.6

0.6 1

,

R4 =

1 0.71 0.7

0.7 1

, R5 =

1 0.61 0.6

0.7 1

, R6 =

1 0.71 0.7

0.6 1

.

Medutim, primenom algoritma za racunanje najvece krisp relacije, dobijamo da ne postojeneprazna krisp resenja sistema (SL2.1) - (SL2.6). △

3.6. Kolicnik fazi relacijski sistemi

Centralno mesto u ovoj sekciji zauzimaju kolicnik fazi relacijski sistemi. Oni omogucujuformalni dokaz rezultata analognih nekim dobro poznatim rezultatima iz univerzalne al-gebre (teoreme o homomorfizmu, izomorfizmu, korespodenciji). Ti rezultati koriste se zauspostavljanje veza izmedu resenja homogenih i heterogenih slabo linearnih sistema.

Relacijski sistem je par (U,R) koji se sastoji od nepraznog skupa U i neprazne familijeR konacnih relacija na U . Sve relacije mogu biti razlicitih arnosti. Za dva relacijska sistema


(U,R1) i (V,R2) kaze se da su istog tipa ukoliko postoji bijekcija izmedu R1 i R2 koja cuvaarnost relacija. U slucaju da su R1 i R2 familije binarnih relacija, tada su sistemi (U,R1)i (V,R2) istog tipa ako je R1 = {Ai}i∈I i R2 = {Bi}i∈I , za neki neprazan indeksni skup I,a bijektivna funkcija izmedu R1 i R2 je funkcija koja slika Ai u Bi za svako i ∈ I.

Fazi relacijski sistem je par (U,R), pri cemu je U neprazan skup, a R neprazna familijafazi relacija na U . Nadalje pretpostavljamo da su sve fazi relacije familije R binarne, papod fazi relacijskim sistemom podrazumevamo par U = (U, {Ai}i∈I), gde je Ai ∈ LU×U zasvako i ∈ I, a I neprazan indeksni skup. Fazi relacijski sistemi su istog tipa ako su oblikaU = (U, {Ai}i∈I) i V = (V, {Bi}i∈I), gde je Ai ∈ LU×U , a Bi ∈ LV×V za svako i ∈ I. Da bise zapis pojednostavo, fazi relacijski sistem U = (U, {Ai}i∈I) oznacava se jednostavnije saU = (U, I,Ai).

U nastavku teksta izucavaju se jedino fazi relacijski sistemi istog tipa, i to je pretpostavkakoja se dalje ne naglasava.

Neka su U = (U, I,Ai) i V = (V, I,Bi) dva fazi relacijska sistema. Funkcija φ : U → Vje izomorfizam izmedu sistema U i V ako je bijekcija i vazi Ai(u1, u2) = Bi(φ(u1), φ(u2)) zasvako u1, u2 ∈ U i i ∈ I.

Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem i E fazi relacija ekvivalencije na skupu U .

Za svako i ∈ I definise se fazi relacija AU/Ei ∈ LU/E×U/E na sledeci nacin:

AU/Ei (Eu1 , Eu2) = (E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2), (3.25)

za svako u1, u2 ∈ U . Desna strana (3.25) moze se zapisati, za svako u1, u2 ∈ U , i kao

(E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2) =∨u′1,u′

2∈U E(u1, u

′1) ⊗Ai(u

′1, u

′2) ⊗ E(u′2, u2).

Fazi relacija AU/Ei je dobro definisana. Zaista, ako su u1, u2, u3, u4 ∈ U takvi da je Eu1 =

Eu3 i Eu2 = Eu4 , tada je (E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2) = (E ◦ Ai ◦ E)(u3, u4). Znaci, mozemo

definisati fazi relacijski sistem U/E = (U/E, I,AU/Ei ) koji se naziva kolicnik (ili faktor) fazi

relacijski sistem od U u odnosu na fazi ekvivalenciju E. Jasno, fazi relacijski sistem U injegov kolicnik fazi relacijski sistem U/E su istog tipa.

Koncept fazi relacijskih sistema potice iz teorije fazi automata, preciznije iz konceptafazi (kolicnik) fazi automata, o cemu ce biti vise reci u Glavi 4.

Naredna teorema uspostavlja korespodenciju izmedu funkcija i relacija ekvivalencija,kao i homomorfizama i kongruencija, u fazi postavci.

Teorema 3.40. Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem, E ∈ LU×U fazi ekvivalencija,

i U/E = (U/E, I,AU/Ei ) kolicnik fazi relacijski sistem od U u odnosu na E. Neka je fazi

relacija E♮ ∈ LU×U/E definisana sa

E♮(u1, Eu2) = E(u1, u2),

za svako u1, u2 ∈ U . Tada vazi:


(a) Relacija E♮ je uniformna fazi relacija koja je L -surjektivna, v cije jezgro je relacijaE, a kojezgro L -fazi jednakost.

(b) E♮ je resenje oba sistemaWL(2,1)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ) iWL(2,2)(U,U/E, I,Ai, A

U/Ei ).

D o k a z . (a): Za svako u ∈ U vazi E♮(u,Eu) = E(u, u) = 1 zbog refleksivnosti E, odaklesledi da je E♮ surjektivna L -funkcija. Takode, za svako u ∈ U imamo da je afterset (E♮)Eufazi skup koji je jednak

((E♮)Eu)(u′) = E(u′, u) = Eu(u′),

za svako u′ ∈ U , odakle sledi jednakost fazi skupova (E♮)Eu iEu. Prema tome, {(E♮)Eu}u∈U ={Eu}u∈U , pa je {(E♮)Eu}u∈U L -fazi particija skupa U koji odgovara fazi ekvivalenciji E.

Prema Teoremi 2.23, to znaci da je E♮ uniformna fazi relacija za koju je EE♮

U = E. Dalje,

neka su R1, R2 ∈ U/E takve da je EE♮

V (R1, R2) = 1. Tada iz (2.25) dobijamo da za svakou ∈ U vazi

R1(u) = E♮(u,R1) = E♮(u,R2) = R2(u),

pa sledi R1 = R2. Znaci, EE♮

V je L -fazi jednakost.(b): Za svako i ∈ I i u1, u2 ∈ U vazi sledece:

((E♮)−1 ◦ Ai)(Eu1 , u2) =∨u3∈U

(E♮)−1(Eu1 , u3) ⊗Ai(u3, u2)

=∨u3∈U

E(u1, u3) ⊗Ai(u3, u2) = (E ◦ Ai)(u1, u2)

6 (E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2) (zbog refleksivnosti E)

6 (E ◦ Ai ◦ E ◦ E)(u1, u2) =∨u4∈U

(E ◦ Ai ◦ E)(u1, u4) ⊗ E(u4, u2)

=∨u4∈U

AU/Ei (Eu1 , Eu4) ⊗ (E♮)−1(Eu4 , u2)

= (AU/Ei ◦ (E♮)−1)(Eu1 , u2).

Znaci, E♮ je resenje sistema WL(2,1)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ). Slicno, posto je

(Ai ◦ E♮)(u1, Eu2) = (Ai ◦ E)(u1, u2) 6 (E ◦E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2)

=∨u4∈U

E(u1, u4) ⊗ (E ◦ Ai ◦ E)(u4, u2)

=∨u4∈U

E♮(u1, Eu4) ⊗AU/Ei (Eu4 , Eu2) = (E♮ ◦ A

U/Ei )(u1, Eu2),

zakljucujemo da je E♮ resenje sistema WL(2,2)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ).

Teorema 3.41. Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem, E ∈ LU×U fazi ekvivalencija,

i U/E = (U/E, I,AU/Ei ) kolicnik fazi relacijski sistem od U u odnosu na E. Tada su sledeca

tvrdenja ekvivalentna:

(i) E je resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai),

(ii) E♮ je resenje sistema WL(2,3)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ),

(iii) E♮ je resenje sistema WL(2,5)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ).


Do k a z . (i) ⇔ (ii): Neka je R = E♮. Prema Teoremi 3.40, R je resenje sistema

WL(2,3)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ) ako i samo ako je R ◦ A

U/Ei 6 Ai ◦ R. Slicno kao u dokazu

Teoreme 3.40, prethodno tvrdenje vazi ako i samo ako je E◦Ai◦E 6 Ai◦E. Sa druge strane,posto zbog refleksivnosti E vazi Ai ◦E 6 E ◦Ai ◦E, a zbog tranzitivnosti i E ◦E = E, uslovE ◦ Ai ◦ E 6 Ai ◦ E ekvivalentan je uslovu E ◦ Ai 6 Ai ◦ E. Na kraju, zbog simetricnostiE, vazi i dodatni uslov E−1 ◦ Ai 6 Ai ◦E

−1, pa je E ◦Ai 6 Ai ◦ E ekvivalentno sa tim daje E resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai).(i) ⇔ (iii): Dokazuje se potpuno analogno.

Naredna teorema predstavlja analogon Drugoj teoremi izomorfizma iz univerzalne alge-bre.

Teorema 3.42. Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem, E,F ∈ LU×U dve fazi ekvi-

valencije takve da je E 6 F , i U/E = (U/E, I,AU/Ei ) kolicnik fazi relacijski sistem od U u

odnosu na E. Tada je fazi relacija F/E : LU/E×U/E, definisana sa

(F/E)(Eu1 , Eu2) = F (u1, u2), (3.26)

za svako u1, u2 ∈ U , fazi ekvivalencija na skupu U/E. Stavise, kolicnik fazi sistem(U/E)/(F/E) i fazi sistem U/F su izomorfni.

D o k a z . Primetimo najpre da je F/E dobro definisana fazi relacija. Zaista, ako su u1, u′1,

u2, u′2 ∈ U takvi da je Eu1 = Eu′

1i Eu2 = Eu′

2, tada je E(u1, u

′1) = 1 = E(u2, u

′2), pa posto

je E 6 F tada je i F (u1, u′1) = 1 = F (u2, u

′2), odakle je konacno (F/E)(Eu1 , Eu2) =

(F/E)(Eu′1, Eu′

2). Takode, direktno se proverava da je F/E fazi relacija ekvivalencije.

Dokazimo sada drugi deo tvrdenja. Zbog pojednostavljenja oznaka, neka je Q = F/E.Definisimo funkciju φ : U/F → (U/E)/Q sa φ(Fu) = QEu za svako u ∈ U . Ponovo, lako jedokazati da je φ dobro definisana funkcija. S obzirom da za svako u1, u2 ∈ U vazi

Fu1 = Fu2 ⇔ F (u1, u2) = 1(3.26)⇔ F/E(Eu1 , Eu2) = 1 ⇔ Q(Eu1 , Eu2) = 1 ⇔ QEu1

= QEu2,

zakljucujemo da je φ injekcija. Ocigledno, φ je i surjekcija, sto znaci da je φ bijektivnopreslikavanje.Slicno kao u Teoremi 3.27 moze se pokazati da iz E 6 F sledi F ◦E = E ◦ F = F . Odatle,za proizvoljne u1, u2 ∈ U i i ∈ I vazi

A(U/E)/Qi (φ(Fu1), φ(Fu2)) = A

(U/E)/Qi (QEu1

, QEu2) = (Q ◦ A

U/Ei ◦Q)(Eu1 , Eu2)

=∨u3,u4∈U

Q(Eu1 , Eu3) ⊗AU/Ei (Eu3 , Eu4) ⊗Q(Eu4 , Eu2)

=∨u3,u4∈U

F (u1, u3) ⊗ (E ◦Ai ◦ E)(u3, u4) ⊗ F (u4, u2)

= (F ◦E ◦ Ai ◦ E ◦ F )(u1, u2) = (F ◦ Ai ◦ F )(u1, u2)

= AU/Fi (Fu1 , Fu2),

sto znaci da je φ izomorfizam izmedu fazi relacijskih sistema (U/E)/(F/E) i U/F .


Naredno tvrdenje predstavlja formulaciju Teoreme o korespodenciji iz univerzalne alge-bre u fazi postavci.

Teorema 3.43. Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem i E ∈ LU×U fazi ekvivalencija.Definisimo skup EE(U) = {F ∈ E(U)|E 6 F}. Funkcija Φ : EE(U) → E(U/E), definisanasa

Φ(F ) = F/E,

za svako F ∈ EE(U), je takozvana order-embedding funkcija iz EE(U) i E(U/E), tj. funkcijakoja zadovoljava uslov

F 6 G ⇔ Φ(F ) 6 Φ(G),

za svako F,G ∈ EE(U).

D o k a z . Sledeci niz ekvivalencija direktno sledi

F 6 G⇔ (∀u1, u2 ∈ U)F (u1, u2) 6 G(u1, u2)

⇔ (∀u1, u2 ∈ U)(Φ(F ))(Eu1 , Eu2) 6 (Φ(G))(Eu1 , Eu2)

⇔ Φ(F ) 6 Φ(G)

za proizvoljne F,G ∈ EE(U).

Vredi napomenuti da u slucaju krisp relacijskih sistema, funkcija Φ je i surjektivna,sto znaci da je i uredajni izomorfizam. Tacnije, Φ je izomorfizam mreza EE(U) i E(U/E).Medutim, u fazi postavci tako jako tvrdenje ipak ne vazi.

Teorema 3.44. Neka je U = (U, I,Ai) fazi relacijski sistem, E,F ∈ LU×U dve fazi ekvi-

valencije takve da je E 6 F , i U/E = (U/E, I,AU/Ei ) kolicnik fazi relacijski sistem od U u

odnosu na E. Fazi relacija FE ∈ LU×U/E, definisana sa

FE(u1, Eu2) = F (u1, u2), (3.27)

za svako u1, u2 ∈ U , je uniformna fazi relacija sa jezgrom F i kojezgrom F/E. Stavise, akoje E resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai,M) za neko M ∈ LU×U , tada vazi sledece:

(a) F je resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai,M) ako i samo ako je F/E resenje sistema

WL(1,4)(U/E, I,AU/Ei ,M/E),

(b) F je najvece resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai,M) ako i samo ako je F/E najvece

resenje sistema WL(1,4)(U/E, I,AU/Ei ,M/E),

(c) F je resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai,M) ako i samo ako je FE resenje sistema

WL(2,3)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei ,ME).

Na kraju ove sekcije navodimo cetiri teoreme koje uspostavljaju vezu izmedu resenjahomogenih i heterogenih slabo linearnih sistema.


Teorema 3.45. Neka je fazi relacija R ∈ LU×V resenje sistemaWL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N).Tada je:

(a) R ◦R−1 resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1),

(b) R−1 ◦R resenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N−1 ◦N).

D o k a z . Za svako i ∈ I, iz R−1 ◦ Ai 6 Bi ◦R−1 i R ◦Bi 6 Ai ◦R sledi

(R ◦R−1) ◦Ai = R ◦ (R−1 ◦ Ai) 6 (R ◦Bi) ◦R−1

6 Ai ◦ (R ◦R−1),

(R−1 ◦R) ◦Bi = R−1 ◦ (R ◦Bi) 6 (R−1 ◦Ai) ◦R 6 Bi ◦ (R−1 ◦R).

Dalje, posto je R 6 N , dobijamo R◦R−1 6 N ◦N−1 i R−1◦R 6 N−1◦N . Na kraju, posto suR◦R−1 i R−1◦R simetricne relacije, sledi da je R◦R−1 resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1), a R−1 ◦R resenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N

−1 ◦N).

U prethodnoj teoremi razmatrana su resenja sistema (SL2.3) koja su obicne fazi relacije.U narednom tvrdenju uspostavlja se veza onih resenja sistema (SL2.3) sa homogenim lin-earnim sistemima, a koja su uniformne fazi relacije.

Teorema 3.46. Neka je R ∈ LU×V uniformna fazi relacija i N ∈ LU×V takva da jeR 6 N . Tada je R resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N) ako i samo ako su ispunjenasledeca tri uslova:

(i) ERU je resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1),

(ii) ERV je resenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N−1 ◦N),

(iii) R je izomorfizam kolicnik fazi relacijskih sistema U/ERU i V/ERV , gde je U = (U, I,Ai)i V = (V, I,Bi).

D o k a z . Radi jednostavnije notacije, neka je E = ERU , F = ERV i R = φ. Posto je R, popretpostavci tvrdenja, uniformna relacija, iz Teoreme 2.23 sledi da vazi

R ◦R−1 ◦R = R, (3.28)

R ◦R−1 = E, (3.29)

R−1 ◦R = F. (3.30)

“=⇒”: Neka je R resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N). Tada uslovi (i) i (ii) direktnoslede iz Teoreme 3.45. Dalje, prema Teoremi 2.25, φ je bijektivna funkcija U/E na V/F .

Dokazimo i da je AU/Ei (Eu1 , Eu2) = B

V/Fi (φ(Eu1), φ(Eu2)). Najpre, primetimo da je

E ◦ Ai ◦E(3.29)

= R ◦R−1 ◦ Ai ◦R ◦R−1(SL2.3)

6 R ◦Bi ◦R−1 ◦R ◦R−1

(3.28)= R ◦Bi ◦R

−1


a potom

R ◦Bi ◦R−1 (3.28)

= R ◦R−1 ◦R ◦Bi ◦R−1

(SL2.3)

6 R ◦R−1 ◦Ai ◦R ◦R−1

(3.29)= E ◦Ai ◦E,

odakle sledi E ◦ Ai ◦ E = R ◦ Bi ◦ R−1. Sada, neka su dati proizvoljni u1, u2 ∈ U , i ∈ I

i ψ ∈ CR(R) (Podestimo se da je R uniforma fazi relacija, pa je i L -funkcija, odnosnopostoji njen krisp opis CR(R)). Tada na osnovu Teoreme 2.23 vazi:

AU/Ei (Eu1 , Eu2) = (E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2) = (R ◦Bi ◦R

−1)(u1, u2)

=∨v1,v2∈V

R(u1, v1) ⊗Bi(v1, v2) ⊗R−1(v2, u2)

=∨v1,v2∈V

F (ψ(u1), v1) ⊗Bi(v1, v2) ⊗ F (v2, ψ(u2))

= (F ◦Bi ◦ F )(ψ(u1), ψ(u2)) = BV/Fi (Fψ(u1), Fψ(u2))

= BV/Fi (φ(Eu1), φ(Eu2)).

Znaci, φ je izomorfizam fazi relacijskih sistema U/E i V/F .“⇐=”: Neka su ispunjeni uslovi (i)-(iii). Izaberimo proizvoljne ϕ ∈ CR(R), ψ ∈ CR(R−1),u1, u2 ∈ U , v1, v2 ∈ V i i ∈ I. Najpre, uocimo da vazi

(E ◦ Ai ◦ E)(u1, u2) = AU/Ei (Eu1 , Eu2)

(iii)= B

V/Ei (φ(Eu1), φ(Eu2))

(2.26)= B

V/Ei (Fϕ(u1), Fϕ(u2))

= (F ◦Bi ◦ F )(ϕ(u1), ϕ(u2)).

Na slican nacin,(F ◦Bi ◦ F )(v1, v2) = (E ◦ Ai ◦ E)(ψ(v1), ψ(v2)).

Sada smo u mogucnosti da dokazemo da je R−1 ◦ Ai 6 Bi ◦ R−1. Naime, za prozivoljne

u ∈ U , v ∈ V , i ∈ I, ϕ ∈ CR(R), ψ ∈ CR(R−1), primenjujuci uslove iz Teoreme 2.23,dobijamo da je:

(R−1 ◦Ai)(v, u) = (R−1 ◦R ◦R−1 ◦ Ai)(v, u) = (R−1 ◦E ◦Ai)(v, u)

6 (R−1 ◦ Ai ◦E)(v, u) (zbog (i))

=∨u1,u2∈U

R−1(v, u1) ⊗Ai(u1, u2) ⊗ E(u2, u)

=∨u1,u2∈U

E(ψ(v), u1) ⊗Ai(u1, u2) ⊗ E(u2, u)

= (E ◦Ai ◦ E)(ψ(v), u) = (F ◦Bi ◦ F )(ϕ(ψ(v)), ϕ(u))

=∨v1,v2∈V

F (ϕ(ψ(v)), v1) ⊗Bi(v1, v2) ⊗ F (v2, ϕ(u)). (3.31)

Primetimo da je, za proizvoljno v′ ∈ V , F (ϕ(ψ(v′)), v′) = R(ψ(v′), v′) = R−1(v′, ψ(v′)) = 1,jer je i R−1 L -funkcija (a to sledi zbog toga sto je R surjektivna L -funkcija). Odatlesledi jednakost fazi skupova Fϕ(ψ(v′)) i Fv′ . A potom sledi i jednakost F (ϕ(ψ(v)), v1) =


Fϕ(ψ(v))(v1) = Fv(v1) = F (v, v1). Nastavljajuci nejednakost (3.31) dobijamo sledeci niznejednakosti:

(R−1 ◦ Ai)(v, u) 6∨v1,v2∈V

F (v, v1) ⊗Bi(v1, v2) ⊗ F (v2, ϕ(u))

= (F ◦Bi ◦ F )(v, ϕ(u))

6 (Bi ◦ F )(v, ϕ(u)) (zbog (ii) i tranzitivnosti F )

=∨v3∈V

Bi(v, v3) ⊗ F (v3, ϕ(u)) =∨v3∈V

Bi(v, v3) ⊗R−1(v3, u)

= (Bi ◦R−1)(v, u).

Stoga, R−1 ◦Ai 6 Bi ◦R−1. Na slican nacin dokazuje se da vazi i R ◦Bi 6 Ai ◦R, cime je

tvrdenje u potpunosti dokazano.

Na ovom mestu prirodno je postaviti pitati se koja je veza izmedu najveceg resenjaheterogenog slabo linearnog sistema i najveceg resenja odgovarajuceg homogenog slabolinearnog resenja. Sledeca teorema uspostavlja upravo ovakvu vezu.

Teorema 3.47. Neka je N ∈ LU×V uniformna fazi relacija i neka sistem WL(2,3)(U, V,I,Ai, Bi, N) ima resenje koje je uniformna fazi relacija. Tada je najvece resenje R sistemaWL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N) uniformna fazi relacija takva da je:

(a) ERU najvece resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1),

(b) ERV najvece resenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N−1 ◦N).

D o k a z . Prema Teoremi 3.34, R je parcijalna fazi funkcija. Po pretpostavci, heterogenislabo linearni sistem WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, N) ima resenje koje je uniformna fazi relacija,i ona je sadrzana u R. Odatle, R je takode uniformna fazi relacija.Oznacimo sa E = ERU , F = ERV , R = φ. Shodno rezultatu Teoreme 3.46, E je resenje

sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦ N−1), F je resenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N−1 ◦ N) i R je

izomorfizam kolicnik fazi relacijskih sistema U/E i V/F .Dalje, oznacimo sa G najvece resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦ N−1), a sa H najveceresenje sistema WL(1,4)(V, I,Bi, N

−1 ◦N). Po pretpostavci, N je uniformna fazi relacija, is obzirom da je, prema Teoremi 2.23, N ◦N−1 jednako jezgru, a N−1 ◦N jednako kojezgrurelacije N , a jezgro i kojezgro uniformne fazi relacije su fazi ekvivalencije, odatle sledi dasu relacije N ◦ N−1 i N−1 ◦ N fazi ekvivalencije. No odatle, iz Teoreme 3.16 sledi da suG i H, kao najveca resenja odgovarajucih homogenih slabo linearnih sistema, takode faziekvivalencije.Tada smo u mogucnosti da uvedemo relacije S = GE i T = HF , pri cemu su GE ∈ LU×U/E

i HF ∈ LV×V/F fazi relacije definisane sa (3.27). Prema Teoremi 3.44, S i T su uniformnefazi relacije i za njih vazi

ESU = G, ESU/E = G/E, ETV = H, ETV/F = H/F.


Teorema 3.44 tvrdi takode da je S resenje sistema WL(2,3)(U,U/E, I,Ai, AU/Ei , PE), a T

resenje sistema WL(2,3)(V, V/F, I,Bi, BV/Fi , QF ), gde je P = N ◦ N−1 i Q = N−1 ◦ N .

Stavise, ako se φ : U/E → V/F posmatra kao fazi relacija φ ∈ L(U/E)×(V/F ), tada se

direktno proverava da je φ resenje sistema WL(2,3)(U/E, V/F, I,AU/Ei , B

V/Fi ).

Definisimo fazi relaciju M ∈ LU×V sa M = S ◦ φ ◦ T−1. Prema Propozicijama 3.32(d)i 3.33, M je resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai, Bi, PE ◦ φ ◦ Q−1

F ). Dokazimo sada da jePE ◦ φ ◦Q−1

F = N . Neka su u ∈ U i v ∈ V . Najpre imamo da je

(PE ◦ φ ◦Q−1F )(u, v) =

∨u′∈U PE(u,Eu′) ⊗ (φ ◦Q−1

F )(u′, v).

Stavise, za proizvoljne u′ ∈ U i ψ ∈ CR(R) dobijamo

(φ ◦Q−1F )(u′, v) =

∨v′∈V φ(Eu′ , Fv′) ⊗Q−1

F (Fv′ , v) = Q−1F (Fψ(u′), v)

= QF (v, Fψ(u′))(3.27)

= Q(v, ψ(u′)),

a posto je N uniformna fazi relacija i Q = N−1◦N = ENV fazi ekvivalencija, tada iz Teoreme2.23 sledi

Q(v, ψ(u′)) = ENV (ψ(u′), v) = N(u′, v).

No tada je

(PE ◦ φ ◦Q−1F )(u, v) =

∨u′∈U PE(u,Eu′) ⊗N(u′, v) =

∨u′∈U P (u, u′) ⊗N(u′, v)

=∨u′∈U (N ◦N−1)(u, u′) ⊗N(u′, v) = (N ◦N−1 ◦N)(u, v) = N(u, v),

a time je dokazano da je PE ◦φ ◦Q−1F = N . Znaci, M je resenje sistema WL(2,3)(U, V, I,Ai,

Bi, N). R je najvece resenje istog sistema, pa je M 6 R.Dokazimo sada da je E najvece resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1). Naime, neka jeu ∈ U i ψ ∈ CR(R). Tada je

M(u, ψ(u)) = (S ◦ φ ◦ T−1)(u, ψ(u)) =∨u′∈U S(u,Eu′) ⊗ (φ ◦ T−1)(Eu′ , ψ(u))

=∨u′∈U S(u,Eu′) ⊗

(∨v∈V φ(Eu′ , Fv) ⊗ T−1(Fv , ψ(u))

)

=∨u′∈U S(u,Eu′) ⊗ T−1(Fψ(u′), ψ(u))

=∨u′∈U G(u, u′) ⊗ F (ψ(u), ψ(u′))

> G(u, u) ⊗ F (ψ(u), ψ(u)) = 1,

jer su G i F fazi ekvivalencije. Odatle je

(M ◦M−1)(u, u) =∨v′∈V M(u, v′) ⊗M−1(v′, u) >M(u, ψ(u)) ⊗M−1(ψ(u), u) = 1.

Dakle, M ◦M−1 je fazi refleksivna. S obzirom da je G = ESU , dobijamo

G ◦M = S ◦ S−1 ◦ S ◦ φ ◦ T−1 = S ◦ φ ◦ T−1 = M,


a posto je M ◦M−1 refleksivna, sledi

G 6 G ◦M ◦M−1 = M ◦M−16 R ◦R−1 = E.

Dakle, posto su G i E resenja sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1), a G najvece resenje tog sis-tema, zakljucujemo da je E = G, odnosno E = ERU najvece resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai,N ◦N−1). Na isti nacin dokazuje se i F = H, odnosno da je F = ERV najvece resenje sistemaWL(1,4)(V, I,Bi, N

−1 ◦N). Ovim je dokaz zavrsen.

Naredna teorema izucava uniformne fazi relacije koje su resenja sistema (SL2.5).

Teorema 3.48. Neka je R ∈ LU×V uniformna fazi relacija i N ∈ LU×V takva da jeR 6 N . Tada je R resenje sistema WL(2,5)(U, V, I,Ai, Bi, N) ako i samo ako je:

(i) ERU je resenje sistema WL(1,4)(U, I,Ai, N ◦N−1),

(ii) ERV je resenje sistema WL(1,5)(V, I,Bi, N−1 ◦N),

(iii) R je izomorfizam kolicnik fazi relacijskih sistema U/ERU i V/ERV , gde je U = (U, I,Ai)i V = (V, I,Bi).

D o k a z . Analogno kao u Teoremi 3.46. Za vise detalja videti [16].

Medutim, nije poznato da li postoji analogon Teoreme 3.47 za sistem (SL2.5). Postupakprimenjen u dokazu Teoreme 3.47 ne daje rezultate kada se primeni na sistem (SL2.5)[14, 16].

Glava 4

Primena slabo linearnih sistema fazi

relacijskih jednacina i nejednacina

4.1. Redukcija stanja fazi automata

Teorija fazi jezika i fazi automata, kao “fazifikacija” obicne teorije jezika i automata, nasla jesvoju primenu u onim oblastima kojima je, sa jedne strane, neophodna preciznost kompju-terskih jezika, a sa druge strane koriste neodredenost i nepreciznost govornog jezika. Danas,nakon visedecenijskog izucavanja, teorija fazi jezika i fazi automata primenjuje se u ra-zlicitim oblastima, kao sto su leksicka analiza, sistemi ucenja, kontrolni sistemi, neuronskemreze, klinicko nadgledanje, prepoznavanje uzoraka, ispravljanje gresaka, baze podataka, aprimenu je nasla i u opisu programskih i govornih jezika [14].

Neka je L kompletna reziduirana mreza. L -fazi automat, ili jednostavno fazi automat,je uredena petorka A = (A,X, δA, σA, τA), gde je A neprazan skup stanja, X neprazan skupulaznih simbola (nazivamo ga jos i ulazni alfabet), δA ∈ LA×X×A je fazi funkcija prelaza,σA ∈ LA fazi skup pocetnih stanja, i τA ∈ LA fazi skup zavrsnih stanja. Za svako a, b ∈ A ix ∈ X, δA(a, x, b) predstavlja stepen u kojem se iz stanja a prelazi u stanje b pod dejstvomulaznog simbola x. Slicno, za svako a ∈ A, σA(a) predstavlja stepen u kojem je stanje apocetno stanje, dok τA(a) predstavlja stepen u kojem je a zavrsno stanje. Sistem bez faziskupova pocetnih i zavrsnih stanja T = (A,X, δA) naziva se fazi tranzicioni sistem.

Skup stanja i ulazni alfabet fazi automata ili fazi tranzicionog sistema teorijski mogubiti beskonacni, ali u praksi su od znacaja jedino konacne fazi apstraktne masine. Fazi au-tomat, odnosno fazi tranzicioni sistem ciji su skup stanja i ulazni alfabet konacni nazivajuse konacni fazi automat, odnosno konacni fazi tranzicioni sistem. Nadalje kroz tekst pret-postavljamo da su skup stanja i ulazni alfabet konacni, pa se konacni fazi automat nazivajednostavno fazi automat, dok se konacni fazi sistem prelaza naziva jednostavno fazi sistemprelaza.

Fazi automat A moze se graficki predstaviti kao oznaceni usmereni graf ciji su cvorovistanja automata A, dok je svaka grana iz cvora a u cvor b (a i b su, dakle, stanja faziautomata) oznacena sa x/δA(a, x, b), za svako x ∈ X za koje je δA(a, x, b) > 0.

61

4.1. REDUKCIJA STANJA FAZI AUTOMATA 62

Ukoliko je δA krisp podskup skupa A×X×A, odnosno δA : A×X×A→ {0, 1}, a σA i τA

krisp podskupovi skupaA, tada je fazi automat A zapravo obican nedeterministicki automat.Drugim recima, nedeterministicki automati su fazi automati nad Boolovom algebrom kaostrukturom istinitosnih vrednosti. U slucaju da je δA : A × X → A, σA jednoelementnipodskup od A u oznaci σA = {a0}, i τA fazi podskup skupa A, tada je A = (A,X, δA, a0, τ

A)deterministicki fazi automat (u nekim izvorima i krisp-deterministicki). Ukoliko je i τA krisppodskup skupa A, tada je A = (A,X, δA, a0, τ

A) obican deterministicki automat.

Neka je X∗ slobodan monoid nad ulaznim alfabetom X, e ∈ X∗ prazna rec, iX+ = X∗\{e}. Tada se fazi funkcija prelaza δA moze prosiriti na funkciju δA∗ ∈ LA×X

∗×A

na sledeci nacin: za sve a, b ∈ A

δA∗ (a, e, b) =

{1, a = b,

0, inace,

dok je za a, b ∈ A, u ∈ X∗ i x ∈ X,

δA∗ (a, ux, b) =∨c∈A δ

A∗ (a, u, c) ⊗ δA(c, x, b).

Za svako a, b ∈ A i u, v ∈ X∗, zbog distributivnosti ⊗ u mrezi L u odnosu na supremumimamo da vazi i

δA∗ (a, uv, b) =∨c∈A δ

A∗ (a, u, c) ⊗ δA∗ (c, v, b). (4.1)

Drugim recima, ako je w ∈ X∗ i w = x1x2 · · · xn, pri cemu su x1, x2, . . . , xn ∈ X, imamo daje

δA∗ (a,w, b) =∨

(c1,...,cn−1)∈An−1 δA(a, x1, c1) ⊗ δA(c1, x2, c2) ⊗ · · · ⊗ δA(cn−1, xn, b).

Zapravo, proizvod δA(a, x1, c1) ⊗ δA(c1, x2, c2) ⊗ · · · ⊗ δA(cn−1, xn, b) moze se posmatratikao stepen pod kojem se iz stanja a prelazi u stanje b preko niza medustanja c1, . . . , cn−1

pod dejstvom reci w, dok δA∗ (a,w, b) predstavlja supremum stepena svih mogucih prelazaiz stanja a u stanje b pod dejstvom reci w.

Za svaku rec u ∈ X∗ definisimo fazi relaciju δAu : LA×A na sledeci nacin:

δAu (a, b) = δA∗ (a, u, b),

za svako a, b ∈ A. Fazi relacija δAu naziva se fazi relacija prelaza u odnosu na u. Sa ovakvomoznakom, jednakost (4.1) postaje

δAuv = δAu ◦ δAv ,

za sve u, v ∈ X∗.

L -fazi jezik u X∗, ili jednostavno fazi jezik, je bilo koji fazi podskup skupa X∗. Fazijezik raspoznat fazi automatom A = (A,X, δA, σA, τA), u oznaci L(A), je fazi jezik u X∗

definisan saL(A)(u) =

∨a,b∈A σ

A(a) ⊗ δA∗ (a, u, b) ⊗ τA(b), (4.2)


za svako u ∈ X∗. Ekvivalentno mozemo zapisati

L(A)(e) = σA ◦ τA,

L(A)(u) = σA ◦ δAu ◦ τA = σA ◦ δAx1 ◦ . . . ◦ δAxn ◦ τA,

za u = x1 · · · xn ∈ X∗, gde su x1, . . . , xn ∈ X. Recima opisano, jednakost (4.2) znacida je stepen u kojem rec u pripada fazi jeziku L(A) jednak stepenu u kojem automat Aprepoznaje ili prihvata rec u. Fazi automati A i B za koje je L(A) = L(B) su ekvivalentni(u nekim izvorima nazivaju se i language-equivalent).

Neka je A = (A,X, δA, σA, τA) fazi automat i E fazi relacija ekvivalencije na skupu A.Tada mozemo definisati fazi funkciju prelaza δA/E : (A/E) ×X × (A/E) → L sa

δA/E(Ea, x,Eb) =∨a′,b′∈AE(a, a′)⊗δA(a′, x, b′)⊗E(b′, b) = (E ◦δAx ◦E)(a, b) = Ea◦δ

Ax ◦Eb,

za sve a, b ∈ A i x ∈ X. Takode, mozemo definisati fazi skupove pocetnih i zavrsnih stanjana faktor skupu A/E, odnosno fazi skup σA/E : A/E → L pocetnih stanja i fazi skupτA/E : A/E → L zavrsnih stanja sa

σA/E(Ea) =∨a′∈A σ

A(a′) ⊗ E(a′, a) = (σA ◦E)(a) = σA ◦ Ea,

τA/E(Ea) =∨a′∈AE(a, a′) ⊗ τA(a′) = (E ◦ τA)(a) = Ea ◦ τ

A,

za svako a ∈ A. Ocigledno, funkcije δA/E , σA/E i τA/E su dobro definisane, i uredena petorkaA/E = (A/E,X, δA/E , σA/E , τA/E) je fazi automat, koji se naziva kolicnik ili faktor faziautomat od A u odnosu na E.

Pojam kolicnik fazi automata moze se uopstiti uzimajuci fazi kvazi-uredenje umesto faziekvivalencije. Neka je A = (A,X, δA, σA, τA) fazi automat i Q fazi kvazi-uredenje na A.Tada definisimo funkciju prelaza δA/Q : (A/Q) ×X × (A/Q) → L sa

δA/Q(aQ, x, bQ) =∨a′,b′∈AQ(a, a′)⊗δA(a′, x, b′)⊗Q(b′, b) = (Q◦δAx ◦Q)(a, b) = aQ◦δAx ◦bQ,

za sve a, b ∈ A i x ∈ X. Dalje, definisimo fazi skup σA/Q : A/Q → L pocetnih stanja i faziskup τA/Q : A/Q → L zavrsnih stanja sa

σA/Q(aQ) =∨a′∈A σ

A(a′) ⊗Q(a′, a) = (σA ◦Q)(a) = σA ◦Qa,

τA/Q(aQ) =∨a′∈AQ(a, a′) ⊗ τA(a′) = (Q ◦ τA)(a) = aQ ◦ τA,

za svako a ∈ A. Ponovo imamo da su funkcije δA/Q, σA/Q i τA/Q dobro definisane, iuredena petorka A/Q = (A/Q,X, δA/Q, σA/Q, τA/Q) je fazi automat, koji se naziva aftersetfazi automat od A u odnosu na Q.

U prakticnim situacijama pocinje se sa obicnim ili fazi regularnim izrazima, koji sekasnije prevode u nedeterministicke ili fazi automate. Medutim, za implementaciju naracunarima neophodno je koristiti deterministicke automate ili deterministicke fazi auto-mate, sto znaci da se dobijeni nedeterministicki automat ili fazi automat mora prevesti u


deterministicki. Nazalost, ovaj proces determinizacije moze dovesti do eksponencijalnograsta broja stanja u automatu. Stavise, u slucaju fazi automata nad odredenim struktu-rama, determinizacija moze kao rezultat proizvesti automat sa beskonacno mnogo stanja.Zbog toga je neophodno proces redukcije stanja fazi automata sprovesti pre njegove deter-minizacije.

Jos jedan primer koji ilustruje potrebu za redukcijom stanja fazi automata je diskretnisistem dogadaja. Diskretni sistem dogadaja (eng. Discrete event system, DES) je di-namicki sistem ciji je skup stanja konacan, a stanja su rezultat asinhronih dogadaja uvremenu. Ovakvi sistemi imaju znacajne primene u razlicitim oblastima racunarskih naukai inzenjerstva, izmedu ostalog u konkurentnim i distribuiranim sistemima softvera, racunar-skim i komunikacijskim mrezama, proizvodnji, transportnim i saobracajnim kontrolamasistema, itd. Stavise, u skorije vreme fazi diskretni sistemi dogadaja nasli su primenuu biomedicinksoj planiranju lecenja HIV/AIDS-a, kontroli robota, inteligentnoj kontrolivozila, problemu otpadnih voda itd.

Najcesce se diskretni sistem dogadaja modelira deterministickim ili nedeterministickimautomatom, ili fazi automatom u kojem su dogadaji modelirani ulaznim simbolima, dokse ponasanje sistema modeluje jezikom ili fazi jezikom koji automat raspoznaje. Diskretnisistem dogadaja ne modelira se celinski po sklopu, vec se primenjuje modularni pristup ukojem se najpre formiraju modeli individualnih komponenti, da bi se potom ove modeli kom-ponovali u veliki model celokupnog sistema. Gledano kroz prizmu teorije automata, ovajproces podrazumeva paralelno konstruisanje skupa automata. Glavni problem u ovakvompristupu jeste sto broj stanja u ovakvoj paralelnoj kompoziciji fazi automata moze ek-sponencijalno porasti. Ovaj problem poznat je pod nazivom prokletstvo dimenzionalnosti(eng. curse of dimensionality) i javlja se u mnogim oblastima, posebno u inteligentnimsistemima i masinskom ucenju. Jedan od nacina da se ublazi ovakav problem jeste da seu modularnom pristupu neke komponente fazi automata zamene manjim, ekvivalentnimautomatima. Ovakvi automati, jasno, dobijaju se redukcijom stanja pocetnih komponenti.

Za razliku od deterministickih automata, za koje postoje mnogi efikasni algoritmi zaminimizaciju broja stanja, problem minimizacije stanja za nedeterministicke i fazi automateje racunarski tezak. Zbog toga se, umesto procesa minimizacije stanja, za ovakve automateposmatra problem redukcije stanja, u kojem je cilj polazni nedeterministicki ili fazi automatzameniti ekvivalentnim automatom koji ima sto moguci manji broj stanja, koji ne mora bitiminimalan ali mora omoguciti mnogo jednostavniju analizu automata.

U determinisitickim automatima, skup stanja smanjuje se tako sto se spajaju ona stanjakoja se ne razlikuju, najcesce preko relacije ekvivalencije na skupu stanja. U nedetermin-istickim i fazi automatima tesko je razluciti koja stanja se mogu spajati, a koja ne. Zbogtoga usvajamo blazi pristup, i cilj postaje pronaci pravilo koje nam omogucava jedino dane spajamo ona stanja koja su definitivno razlicita. Ovo se postize koriscenjem fazi relacijaekvivalencija na skupu stanja automata.

Konstrukcija odgovarajuce fazi relacije ekvivalencije na skupu stanja fazi automata svodise na resavanje sistema fazi relacijskih jednacina i nejednacina. Potrebno je, dakle, kon-


struisati sto manji ekvivalentni kolicnik fazi automat. Iako se kolicnik fazi automat mozekonstruisati na osnovu proizvoljne fazi ekvivalencije nad skupom stanja polaznog fazi au-tomata, fazi ekvivalencija mora da zadovoljava dodatna odredena svojstva da bi fazi automati njegov kolicnik automat bili ekvivalentni.

Neka je A = (A,X, δA, σA, τA) fazi automat i E fazi relacija ekvivalencije na skupu A.Fazi jezik L(A) koji je raspoznat fazi automatom A = (A,X, δA, σA, τA) jednak

L(A)(e) = σA ◦ τA,

L(A)(u) = σA ◦ δAx1 ◦ δAx2 ◦ · · · ◦ δ

Axn ◦ τA,

dok je fazi jezik L(A/E) raspoznat kolicnik fazi automatomA/E = (A/E,X, δA/E , σA/E , τA/E) jednak

L(A/E)(e) = σA ◦E ◦ τA,

L(A/E)(u) = σA ◦E ◦ δAx1 ◦ E ◦ δAx2 ◦ E ◦ · · · ◦E ◦ δAxn ◦ E ◦ τA,

za svako u = x1x2 · · · xn ∈ X∗, gde su x1, x2, . . . , xn ∈ X. Znaci, fazi automati A i A/Eraspoznaju isti jezik ako i samo ako je fazi ekvivalencija E resenje sledeceg sistema fazirelacijskih jednacina:

σA ◦ τA = σA ◦R ◦ τA, (4.3)

σA ◦ E ◦ δAx1 ◦ E ◦ δAx2 ◦ E ◦ · · · ◦ E ◦ δAxn ◦ E ◦ τA = σA ◦ δAx1 ◦ δAx2 ◦ · · · ◦ δ

Axn ◦ τA, (4.4)

za svako n ∈ N i x1, x2, . . . , xn ∈ X, pri cemu je X ∈ LA×A nepoznata fazi relacija. Sistemfazi relacijskih jednacina (4.3)-(4.4) naziva se opsti sistem. U ovom slucaju resenja opstegsistema traze se u skupu E(A) fazi ekvivalencija na A, ali resenja se inace mogu traziti i uskupu Q(A) fazi kvazi-uredenja na A. Zapravo, za Q ∈ Q(A), afterset fazi automat A/Qekvivalentan je automatu A ako i samo ako je Q resenje opsteg sistema.

Generalni sistem ima barem jedno resenje, jedinicnu relaciju ∆A. U radu [22] pokazanoje da skup resenja generalnog sistema u Q(A), odn. E(A) formira ideal mreze Q(A), odn.E(A), ali da ovaj ideal nema najveci element. Osim toga, generalni sistem moze se sastojatiod beskonacno mnogo relacijskih jednacina, pa nalazenje netrivijalnog resenja moze bititezak zadatak. Iz tog razloga pogodnije je posmatrati odredene granice opsteg sistema. Podtim podrazumevamo konstrukciju odredenih fazi relacijskih jednacina na osnovu generalnogsistema, ciji je skup resenja podskup skupa resenja generalnog sistema. Ove granice morajubiti uopstene u najvecoj mogucoj meri, ali do one mere koja omogucava da skup resenjabude lako izracunat.

Iz jednacine (4.3) mozemo izdvojiti dve vazne instance:

σA ◦R = σA, (4.5)

R ◦ τa = τA, (4.6)


po nepoznatoj relaciji R ∈ LA×A. Obe jednacine su linearne i njihovo najvece resenjemoze se jednostavno izracunati. Naime, primenom svojstva adjunkcije na jednacine (4.5),dobijamo da je fazi kvazi-uredenje Q ∈ Q(A) resenje jednacine (4.5) ako i samo ako jeQ 6 Qσ (gde je σ = σA), dok je Q resenje jednacine (4.6) ako i samo ako je Q 6 Qτ (gde jeτ = τA. Podestimo se da su relacije Qσ i Qτ definisane sa (2.19)). Znaci, fazi kvazi-uredenjaQσ i Qτ su najveca resenja jednacina (4.5) i (4.6), respektivno. Odatle, fazi relacija Qσ∧Q

τ

je najvece resenje sistema (4.5)-(4.6) u skupu Q(A).

Slicno, fazi ekvivalencija E ∈ E(A) je resenje jednacine (4.5) ako i samo ako je E 6 Eσ,dok je E resenje jednacine (4.6) ako i samo ako je E 6 Eτ . Odatle zakljucujemo da su faziekvivalencije Eσ i Eτ najveca resenja jednacina (4.5) i (4.6), respektivno, dok je najveceresenje sistema (4.5)-(4.6) u skupu E(A) fazi relacija Eσ ∧Eτ .

Sistem jednacina (4.6) ima dve vazne instance. Prva je sistem

R ◦ δAx 6 δAx ◦R (x ∈ X), (4.7)

sto je zapravo slabo linearni sistem WL(1,1)(A,X, δAx ), a kao instancu celog generalnogsistema (4.5)-(4.6) dobijamo sistem

R ◦ δAx 6 δAx ◦R (x ∈ X), R 6 Qσ ∧Qτ , (4.8)

koji je slabo linearni sistem WL(1,1)(A,X, δAx , Qσ ∧Qτ ). Drugo ogranicenje je sistem

δAx ◦R 6 R ◦ δAx (x ∈ X), (4.9)

sto je zapravo slabo linearni sistem WL(1,2)(A,X, δAx ), a kao granicu celog opsteg sistema(4.5)-(4.6) dobijamo

δAx ◦R 6 R ◦ δAx (x ∈ X), R 6 Qσ ∧Qτ , (4.10)

koji je slabo linearni sistem WL(1,2)(A,X, δAx , Qσ∧Qτ ). Resenja sistema (4.8) u mrezi Q(A)

nazivaju se desno invarijantna fazi kvazi-uredenja, dok se resenja sistema (4.10) u mreziQ(A) nazivaju se levo invarijantna fazi kvazi-uredenja. Ukoliko se resenja traze u mreziE(A), tada je rec o desno i levo invarijantnim fazi ekvivalencijama. Desno, odnosno levoinvarijante fazi ekvivalencije takode su i resenja linearnih sistema WL(1,4)(A,X, δAx , Eσ∧Eτ ),odnosno WL(1,5)(A,X, δAx , Eσ ∧ Eτ ).

Posmatrano iz ugla redukcije stanja fazi automata, desno i levo invarijantne fazi ek-vivalencije daju podjednako dobre rezultate. Preciznije, postoje slucajevi kada desno in-varijantne fazi ekvivalencije daju bolje rezultate u redukciji stanja od levih, ali i obrnutihslucajeva. Stavise, alternativnom primenom desno i levo invarijantnih fazi ekvivalencijamogu se dobiti jos bolji rezultati od pojedinacne primene, ali u nekim slucajevima i losijirezultati [22]. Analogna diskusija vazi i za fazi kvazi-uredenja. Generalno, desno i levoinvarijantna fazi kvazi uredenja daju bolje rezultate u redukciji stanja od desno i levo in-varijantnih fazi ekvivalencija. Ipak, postoje i slucajevi u kojima se samo desno, odnosnosamo levo invarijantne fazi kvazi-uredenja mogu primeniti. Za vise detalja videti [14, 22].

4.2. SIMULACIJE I BISIMULACIJE FAZI AUTOMATA 67

Metodi opisani u Sekciji 3.4. mogu se upotrebiti za racunanje najvecih desno i levo in-varijantnih fazi ekvivalencija i fazi kvazi-uredenja. U slucaju da se opisani metodi ne zaus-tavljaju posle konacnog broja koraka, takav problem mozemo nadomestiti na dva nacina.

Prvi nacin takode je opisan u Sekciji 3.4., i zasniva se na racunanju najvecih desnoi levo invarijantnih krisp ekvivalencija i krisp kvazi-uredenja. Potom se dobijena krispekvivalencija ili krisp kvazi-uredenje moze iskoristiti za redukciju stanja fazi automata.Prednost ovakvog pristupa, kao sto je opisano u Teoremi 3.31, jeste sto je ovakav metoduvek konacan, nezavisno od strukture stepena istinitosti fazi automata. Nedostatak lezi utome sto se obicno na ovaj nacin dobijaju losiji rezultati u redukciji stanja u odnosu naprimenu fazi ekvivalencija i fazi kvazi-uredenja.

Drugi nacin jeste da se pronadu manje generalizovane instance sistema (4.5)-(4.6) cijese najvece resenje moze jednostavno izracunati. Takve instance koje su do sada izucavanesu sistemi

R ◦ δAx 6 δAx (x ∈ X), R 6 Qσ ∧Qτ , (4.11)

δAx ◦R 6 δAx (x ∈ X), R 6 Qσ ∧Qτ . (4.12)

Resenja sistema (4.11) u mrezi Q(A), odn. E(A) nazivaju se jako desno invarijantna fazikvazi-uredenja, odn. jako desno invarijantne fazi ekvivalencije. Slicno, resenja sistema(4.12) u mrezi Q(A), odn. E(A) nazivaju se jako levo invarijantna fazi kvazi-uredenja, odn.jako levo invarijantne fazi ekvivalencije. Nedostatak u ovom pristupu je sto desno i levoinvarijantna fazi kvazi-uredenja i fazi ekvivalencije ipak daju bolje rezultate od jako desno ilevo invarijantnih fazi kvazi-uredenja i fazi ekvivalencija. Osim toga, iako su sistemi (4.11) i(4.12) linearni, postoje slucajevi kada nije lako pronaci njihovo najvece resenje (videti [22]).

4.2. Simulacije i bisimulacije fazi automata

Jedan od vidova merenja “ekvivalencije” automata opisan je u prethodnoj sekciji, i onpodrazumeva da su dva (deterministicka, nedeterministicka, fazi) automata ekvivalentnaukoliko raspoznaju isti jezik. Za (konacne) deterministicke automate problem ekvivalent-nosti automata resiv je u polinomijalnom vremenu, dok je za (konacne) nederministicke ifazi automate on tezak za izracunavanje. Jos jedan vazan problem, koje se posledicno mozepostaviti, sastoji se u opisivanju jezicki ekvivalentnih automata relacijom medu skupovimanjihovih stanja, ukoliko takva relacija postoji. Ovaj problem se moze oslabiti pitanjemnalazenja neke relacije medu stanjima koja bi povlacila jezicku ekvivalentnost.

Za oznacavanje takve relacije medu stanjima automata, u sirokoj upotrebi su terminisimulacije i bisimulacije. Bisimulacije su prvi uveli Milner i Park za potrebe racunarstva,kada su ih koristili za modelovanje ekvivalencije medu razlicitim sistemima, kao i za re-dukciju broja stanja ovih sistema. Takode, u isto vreme one su nezavisno otkrivene udrugim oblastima matematike, na primer, u modalnoj logici i teoriji skupova. One se danasupotrebljavaju u mnogim oblastima racunarstva, kao sto su funkcionalni jezici, objektno-orijentisani jezici, tipovi podataka, domeni, baze podataka, kompajlerska optimizacija,analiza i verifikacija programa, itd.


Bisimulacije definisane na stanjima dva razlicita sistema uvedene su zbog nedostatkaodgovarajuceg koncepta relacije izmedu razlicitih skupova kojom bi se modelovala njihovaekvivalencija. U najvecem broju slucajeva predlozeni koncept simulacija zasnivao se ili narelacijama (sto se ispostavilo kao suvise uopsten koncept) ili na funkcijama (sto se sa drugestrane ispostavilo kao suvise specijalan).

Bisimulacije se najcesce izucavaju na oznacenim tranzicionim sistemima, ali nije zane-marljiva i njihova primena u deterministickim, nedeterministickim, tezinskim, probabili-stickim, hibridnim i fazi automatima. Postoje dva primarna pristupa bisimulaciji faziautomata. U prvom pristupu koriste se krisp relacije i funkcije medu skupovima stanjaautomata. U drugom pristupu koriste se fazi relacije i fazi funkcije, i pokazano je da onedaju bolje rezultate i u modelovanju ekvivalencije fazi automata u odnosu na krisp relacijei funkcije.

U ovom radu posmatramo dva tipa simulacija i cetiri tipa bisimulacija izmedu faziautomata. Neka su A = (A,X, δA, σA, τA) i B = (B,X, δB , σB , τB) fazi automati, i nekaje R ∈ LA×B fazi relacija. Fazi relacija R naziva se direktna simulacija (eng. forwardsimulation) ako zadovoljava:

σA 6 σB ◦R−1, (DS.1)

R−1 ◦ δAx 6 δBx ◦R−1, ∀x ∈ X, (DS.2)

R−1 ◦ τA 6 τB . (DS.3)

Fazi relacija R je povratna simulacija (eng. backward simulation) ako zadovoljava:

τA 6 R ◦ τB , (PS.1)

δAx ◦R 6 R ◦ δBx ◦R, ∀x ∈ X, (PS.2)

σA ◦R 6 σB . (PS.3)

Osim toga, R se naziva direktna bisimulacija (eng. forward bisimulation) ako su R i R−1

direktne simulacije, odnosno ako vazi

σA 6 σB ◦R−1, σB 6 σA ◦R (DB.1)

R−1 ◦ δAx 6 δBx ◦R−1, R ◦ δBx 6 δAx ◦R, ∀x ∈ X, (DB.2)

R−1 ◦ τA 6 τB , R ◦ τB 6 τA, (DB.3)

dok je R povratna bisimulacija (eng. backward bisimulation) ako su R i R−1 povratnesimulacije, odnosno ako je

τA 6 R ◦ τB , τB 6 R−1 ◦ τA, (PB.1)

δAx ◦R 6 R ◦ δBx , δBx ◦R−16 R−1 ◦ δAx , ∀x ∈ X, (PB.2)

σA ◦R 6 σB , σB ◦R−16 σA. (PB.3)


A B

σA σB

τA τB

a0

...

ak

ak+1

...

an

b0

...

bk

bk+1

...

bn

x1

xk

xk+1

xk+2

xn

x1

xk

xk+1

xk+2

xn

R

Slika 4.1. Primer direktne simulacije

Postoje jos dva tipa bisimulacija. Fazi relacija R je direktna-povratna bisimulacija (eng.forward-backward bisimulation) ukoliko je R direktna simulacija, a R−1 povratna simulacija,odnosno

σA 6 σB ◦R−1, τB 6 R−1 ◦ τA, (DPB.1)

R−1 ◦ δAx 6 δBx ◦R−1, ∀x ∈ X, (DPB.2)

R−1 ◦ τA 6 τB , σB ◦R−16 σA, (DPB.3)

i R je povratna-direktna bisimulacija (eng. backward-forward bisimulation) ako jeR povratnasimulacija, a R−1 direktna simulacija:

σB 6 σA ◦R, τA 6 R ◦ τB , (PDB.1)

δAx ◦R 6 R ◦ δBx , ∀x ∈ X, (PDB.2)

R ◦ τB 6 τA, σA ◦R 6 σB . (PDB.3)

Radi krace notacije, fazi relaciju R nazivamo simulacija ukoliko je ona bilo koja oddva tipa simulacija, dok R nazivamo bisimulacija ukoliko je ona bilo koja od cetiri tipabisimulacija. Direktne i povratne bisimulacije zovu se jos i homogene, dok se preostalitipovi bisimulacija nazivaju heterogene.

Motivacija za uvodenje direktnih i povratnih simulacija bice objasnjena u nastavku zanedeterministicke (Bool-ove) automate A i B uz pomoc Slike 4.1. Neka je R direktnasimulacija izmedu A i B, neka je a0, a1, . . . , an niz stanja kroz koje prolazi automat A poddejstvom reci u = x1x2 · · · xn (x1, x2, . . . , xn ∈ X). Tacnije, a0 ∈ σA je pocetno stanje,

4.3. ANALIZA SOCIJALNIH MREZA 70

(ak, ak+1) ∈ δAxk+1, za 0 6 k 6 n − 1, i an ∈ τA. Prema (DS.1), postoji inicijalno stanje

b0 ∈ σB takvo da je (a0, b0) ∈ R. Pretpostavimo da smo za neko k, 0 6 k 6 n − 1konstruisali niz stanja b0, b1, . . . , bk ∈ B takva da je (bi−1, bi) ∈ δBxi i (ai, bi) ∈ R, za svako1 6 i 6 k. Tada je (bk, ak+1) ∈ R−1 ◦ δAxk+1

, pa je prema (DS.2) (bk, ak+1) ∈ δBxk+1◦ R−1,

odatle postoji bk+1 ∈ B takvo da je (bk, bk+1) ∈ δBxk+1i (ak+1, bk+1) ∈ R. Na taj nacin,

indukcijski smo izgradili niz stanja b0, b1, . . . , bn ∈ B takav da je b0 ∈ σB , (bk, bk+1) ∈ δBxk+1

za svako 0 6 k 6 n − 1 i (ak, bk) ∈ R za svako 0 6 k 6 n. Stavise, iz (DS.3) dobijamobn ∈ τB . Znaci, automat B nizom stanja b0, b1, . . . , bn ∈ B simulira prolaz automata A krozstanja a0, a1, . . . , an ∈ A pod dejstvom reci u (u ∈ L(A)).

Za razliku od direktnih simulacija, gde se konstruise niz stanja b0, b1, . . . , bn ∈ B polazeciod stanja b0 a zavrsavajuci stanjem bn, kod povratnih simulacija isti niz konstruise se uobrnutom redosledu, odnosno polazeci od stanja bn koje je zavrsno stanje u automatu B,a zavrsavajuci u pocetnom stanju b0 ∈ σB . Na slican nacin objasnjavaju se simulacije nafazi automatima, gde se uzima u obzir i stepen mogucnosti prelaska i stepen relacije medustanjima fazi automata.

Lako se proverava da se uslov (DS.3) moze zapisati u obliku R 6 τa → τB, gde je zasvaka dva fazi skupa f ∈ LA×A i g ∈ LB×B relacija f → g definisana sa

(f → g)(a, b) = f(a) → g(b)

za svako a ∈ A i b ∈ B. Odatle jasno vidimo da nejednacine (DS.2) i (DS.3) formirajuslabo linearni sistem WL(2,1)(A,B,X, δAx , δ

Bx , τ

A → τB). Na slican nacin vidimo da drugai treca nejednacina iz ostalih tipova simulacija i bisimulacija formiraju heterogene slabolinearne sisteme (SL2.2)-(SL2.6). Prva jednacina u svim tipovima simulacija i bisimulacijasluzi da proveri da li uopste postoji simulacija ili bisimulacija datog tipa izmedu dva faziautomata. Postoje razliciti algoritmi koji odreduju da li postoji odgovarajuca simulacijaili bisimulacija izmedu dva fazi automata, i ako postoji nalazi najvecu. Zapravo, svaki odovih algoritama najpre racuna najvece resenje odgovarajuceg heterogenog slabo linearnogresenja, a potom proverava da li to resenje zadovoljava prvu jednacinu odgovarajuceg tipasimulacije ili bisimulacije. Ako je ovaj uslov ispunjen, onda se nadena relacije proglasavanajvecom simulacijom ili bisimulacijom dva fazi automata, a ukoliko ne zadovoljava prvujednacinu, tada ne postoji odgovarajuca simulacija ili bisimulacija.

Na pocetku ove sekcije naveli smo da je potrebno da nalazenje neke relacije medu stan-jima fazi automata treba da povlaci jezicku ekvivalentnost. Moze se pokazati da ako postojisimulacija izmedu automata A i B, tada je L(A) 6 L(B). Slicno, ako postoji bisimulacijaizmedu automata A i B, tada je L(A) = L(B).

4.3. Analiza socijalnih mreza

Analiza socijalnih mreza predstavlja noviju granu nauke koja spaja aspekte sociologije imatematike, i pruza formalne modele i metode za sistematsko izucavanje socijalnih struk-

4.3. ANALIZA SOCIJALNIH MREZA 71

tura. Socijalne mreze dele mnoge osobine sa ostalim tipovima mreza, s tim sto je u socijal-nim mrezama akcenat na vezama medu ucesnicima mreze, a ne na same atribute ucesnika.Ukoliko usvojimo fazi pristup u analizi socijalnih mreza, u mogucnosti smo da modelujemoneodredenost koja se prirodno javlja u njima.

Fazi socijalna mreza (ili samo fazi mreza) je fazi relacijski sistem U = (U, I,Ai), gdeje U neprazan (obicno konacan) skup ucesnika, individua u mrezi (ili po terminologiji izteorije grafova, cvorova), a {Ai}i∈I familija fazi relacija na skupu U , odnosno fazi relacijana skupu ucesnika. U velikim i kompleksnim sistemima, nemoguce je razumeti i analizirativeze izmedu svaka dva para ucesnika, pa je prakticno izvrsiti odredenu grupaciju, odnosnoklasifikaciju individua u mrezi, i objasnjavati veze na nivou nastalih klasa. U jednoj socijal-noj mrezi, osobe iz iste klase mogu se posmatrati kao osobe na istoj poziciji, ili osobe kojeimaju istu ulogu u mrezi. U tom cilju neki autori posmatraju strukturalnu ekvivalenciju namrezi. Grubo receno, dve osobe u mrezi su strukturalno ekvivalentne ako imaju identicnesusede.

Medutim, ovakav koncept je previse jak, pa se u praksi koristi njegova blaza varijanta,takozvana regularna ekvivalencija. Dve individue smatraju se regularno ekvivalentnim akosu jednako povezane sa ekvivalentnim susedima. U kontekstu fazi relacija, regularne ekviva-lencije odgovaraju fazi ekvivalencijama koje su resenja homogenog slabo linearnog sistema(SL1.6). Takode, resenja hetrogenih slabo linearnih sistema (SL2.1)-(SL2.6) imaju svojuinterpretaciju u kontekstu bipartitnih mreza [16].

Literatura

[1] R. Belohlavek, Fuzzy Relational Systems: Foundations and Principles, Kluwer, NewYork, 2002.

[2] R. Belohlavek, M. Krupka, Grouping fuzzy sets by similarity , Information Sciences 179(2009) 2656–2661.

[3] R. Belohlavek, V. Vychodil, Fuzzy Equational Logic, Springer, Berlin/Heidelberg, 2005.

[4] T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, London, 2005.

[5] M. Ciric, J. Ignjatovic, S. Bogdanovic, Uniform fuzzy relations and fuzzy functions,Fuzzy Sets and Systems, 160 (2009) 1054–1081.

[6] M. Ciric, A. Stamenkovic, J. Ignjatovic, T. Petkovic, Fuzzy relation equations andreduction of fuzzy automata, Journal of Computer and System Sciences 76 (2010) 609–633.

[7] M. Demirci, Foundations of fuzzy functions and vague algebra based on many-valuedequivalence relations, Part I: Fuzzy functions and their applications, International Jour-nal of general Systems 32 (2) (2003) 123–155.

[8] M. Demirci, A theory of vague lattices based on many-valued equivalence relations I:general representation results, Fuzzy Sets and Systems 151 (2005) 437–472.

[9] J. Fodor, Left-continuous t-norms in fuzzy logic: An overview , Acta Polytechnica Hun-garica 1(2), 2004.

[10] N. Galatos, R. Horci, Cayleys and Hollands Theorems for Idempotent Semir-ings and Their Applications to Residuated Lattices, Semigroup Forum (2013), doi:10.1007/s00233-013-9513-8

[11] J. A. Goguen, L-fuzzy sets, Journal of Mathematical Analysis and Application, 18(1967) 145–174.

[12] J. S. Golan, Semirings and their Applications, Springer, 1999.

[13] S. Haack, Deviant Logic Fuzzy Logic - Beyond the Formalism, The University of Chi-gaco Press, Chicago, 1974.

[14] J. Ignjatovic, M. Ciric, Weakly linear systems of fuzzy relation inequalities and theirapplications: A brief survey , Filomat 26:2 (2012) 207–241.

72

LITERATURA 73

[15] J. Ignjatovic, M. Ciric, S. Bogdanovic, On the greatest solutions to weakly linear systemsof fuzzy relation inequalities and equations, Fuzzy Sets and Systems 161 (2010) 3081–3113.

[16] J. Ignjatovic, M. Ciric, N. Damljanovic, I. Jancic, Weakly linear systems of fuzzy rela-tion inequalities: The heterogeneous case, Fuzzy Sets and Systems 199 (2012) 62–91.

[17] E. P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap, Triangular Norms, Kluwer Academic Publishers,Dordrecht, 2000.

[18] G. J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Prentice Hall, 1995.

[19] V. Novak, Are fuzzy sets a reasonable tool for modeling vague phenomena? , Fuzzy Setsand Systems 156 (2005) 341–348.

[20] S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.

[21] E. Sanchez, Resolution of composite fuzzy relation equations, Information and Control30 (1976) 38–48.

[22] A. Stamenkovic, M. Ciric, J. Ignjatovic, Reduction of fuzzy automata by means of fuzzyquasi-orders, submitted to Information Sciences.

[23] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inf. Control 8 (3)(1965), 338–353.

[24] L. A. Zadeh, Is there a need for fuzzy logic? , Information Sciences 178 (2008) 2751–2779.

[25] L. A. Zadeh, Similarity relations and fuzzy orderings, Information Sciences 3 (1971)177–200.

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТНИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографскаТип записа, ТЗ: текстуални / графичкиВрста рада, ВР: мастер радАутор, АУ: Стефан СтанимировићМентор, МН: Јелена ИгњатовићНаслов рада, НР:

ФАЗИ РЕЛАЦИЈСКЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ И ПРИМЕНЕ

Језик публикације, ЈП: српскиЈезик извода, ЈИ: енглескиЗемља публиковања, ЗП: Р. СрбијаУже географско подручје, УГП: Р. СрбијаГодина, ГО: 2013.Издавач, ИЗ: ауторски репринтМесто и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.Физички опис рада, ФО:(поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

77 стр. ; граф. прикази

Научна област, НО: рачунарске наукеНаучна дисциплина, НД: Теорија израчунавањаПредметна одредница/Кључне речи, ПО: фази релације, фази jeдначине, фази аутомати

УДК 512.13 : 512.536.5

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ: У овом раду изучавају се линеарни и слабо линеарни системи фази релацијских једначина и неједначина хомогеног и хетерогеног типа. Показано је под којим условима дати системи имају решење, а приказани су и методи за рачунање њиховог највећег решења. На крају је приказана њихова примена на редукцију стања фази аутомата, симулацију и бисимулацију фази аутомата, као и у анализи социјалних мрежа.

Датум прихватања теме, ДП: 17.9.2013.

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник:

Члан:

Члан, ментор:

Образац Q4.09.13 - Издање 1

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТНИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: university degree thesis (master thesis)

Author, AU: Stefan Stanimirović

Mentor, MN: Jelena Ignjatović

Title, TI:FUZZY RELATIONAL INEQUALITIES AND APPLICATIONS

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2013

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD:(chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

77 p. ; graphic representations

Scientific field, SF: Computer science

Scientific discipline, SD: Theory of computing

Subject/Key words, S/KW: fuzzy relations, fuzzy equations, fuzzy automata

UC 512.13 : 512.536.5

Holding data, HD: library

Note, N:

Abstract, AB: In this thesis, the linear and weakly linear systems of fuzzy relational equations and inequalities of homogeneous and heterogeneous types are studied. The conditions under which these systems have a solution are presented, as well as the methods for solving their greatest solutions. Lastly, their application in state reduction of fuzzy automata, simulationsand bisimulations of fuzzy automata, as well as social network analysis is demonstrated.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: 17. 9. 2013.

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President:

Member:

Member, Mentor:

Образац Q4.09.13 - Издање 1

FAZI RELACIJSKE NEJEDNA CINE I PRIMENE · iii granice skupova" [24]. Danas moz emo rec i da fazi...

Documents

Transcript of FAZI RELACIJSKE NEJEDNA CINE I PRIMENE · iii granice skupova" [24]. Danas moz emo rec i da fazi...