Fasores

Indice general

1. INTRODUCCION 71.1. Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. CONCEPTOS BASICOS 92.1. Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Representacion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Representacion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. ANALISIS 133.1. Caractersticas de ondas sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1. Senal periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Senal sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3. Desface entre Senales Sinusoidales . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Relacion con los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1. Fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2. Transformacion o Representacion Fasorial . . . . . . . . 22

3.3. Operaciones y Diagramas Fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Multiplicacion y Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3. Derivacion e Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Relaciones Fasoriales para RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.2. Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.3. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5. Respuesta en AC de elementos pasivos . . . . . . . . . . . . . . 313.5.1. Impedancia Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.2. Reactancia X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. APLICACIONES 33

1

2 INDICE GENERAL

Indice de figuras

2.1. Representacion geometrica de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Suma de vectores Z1 y Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Senal periodica de periodo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Evolucion de la amplitud y fase de una senal sinusoidal . . . . . 153.3. Desface o retardo temporal entre dos senales sinusoidales . . . . 163.4. Representacion grafica de las funciones seno y coseno . . . . . . 163.5. Representacion Geometrica de un numero complejo . . . . . . . 173.6. Equivalencia entre funcion coseno y el numero complejo . . . . . 183.7. Equivalencia entre funcion seno y el numero complejo . . . . . . 183.8. Representa la tension con fase en el origen . . . . . . . . . . . . 203.9. Representacion temporal de las f.e.m.s . . . . . . . . . . . . . . 213.10. Diagrama Fasorial: representacion grafica de la suma de dos

fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.11. Multiplicacion de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.12. Relacion Voltaje-Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.13. Red en el Dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.14. Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

4 INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

3.1. Cuadro de Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. Formas de Reactancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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6 INDICE DE CUADROS

Captulo 1

INTRODUCCION

En este trabajo nosotros pretendemos dejar un material claro y entendiblea todas las personas que se intereses por el campo de los fasores. Teniendo encuenta que un fasor es una representacion grafica de un numero complejo, es-te tiene utilidad en los campos de la optica, ingeniera de telecomunicaciones,electronica y acustica. Asimismo para los fasores se usan para resolver circuitoselectricos en el tipo de corriente alterna (CA). En dicho material, veremos lasleyes basicas electricas que se pueden realizar en combinacion con los fasores,como son: (ley de Ohm, leyes de Kirchoff). Definiremos todas las herramientasde los fasores: transformada fasorial, transformada fasorial inversa, aritmeticafasorial, serie de Fourier. Aqu presentamos las formas que se pueden repre-sentar los fasores; polar, binomica, de polar a binomica y viceversa. Tambienpresentaremos las principales operaciones que se pueden realizar con fasores(suma, resta, multiplicacion y division. Todas estas operaciones y herramientascon fasores sirven para resolver los mas complejos circuitos electricos.

7

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.1. Dedicatoria

Dedico este informe a los integrantes de mi grupo que han aportado un pococada uno para el exito de este informe y espero que podamos seguir trabajandoas de bien de ahora en adelante, agradezco sobre todo al miembro del grupoAlexander Portuguez ya que ha sido de mucha ayuda en la elaboracion delpresente informe. Tambien dedico el informe a todo aquel estudiante que deseesaber sobre el tema tratado en este trabajo, al profesor encargado del curso porhacernos indagar sobre este tema tan interesante y amplio. Para todos elloshago esta dedicatoria.

Captulo 2

CONCEPTOS BASICOS

2.1. Trigonometra

Es la rama de la ciencia que estudia las relaciones que existen entre los la-dos y los angulos de un triangulo. De cara al analisis de circuitos, los conceptosque conviene dominar son:

Unidades. Aunque en ocasiones se trabaja con angulos expresados en grados,lo habitual es operar con angulos expresados en radianes. En cualquier caso hade prestarse especial atencion para no mezclar ambas unidades (error habitualal sumar angulos que provienen de velocidades angulares, tpicamente dadasen radianes por segundo, con fases iniciales, frecuentemente dadas en grados).

Funciones trigonometricas. Expresiones del seno, coseno y tangente de losangulos agudos de un triangulo rectangulo en funcion de sus catetos e hipote-nusa.

Circunferencia goniometrica o de radio unidad. Localizacion inmediata deangulos expresados en radianes e identificacion agil de sus senos y cosenos.

9

10 CAPITULO 2. CONCEPTOS BASICOS

2.2. Numeros Complejos

Tanto en la Ingeniera Electrica como en temas mas directamente relacio-nados con la Teora de la Senal, existen multitud de fenomenos cuyo estudioes posible formalizar y abordar con relativa sencillez a partir de la teora devariables complejas. Por ello resulta fundamental saber manejar con solturalas operaciones con numeros complejos, sus diversas representaciones y sus re-laciones con la geometra. El Apendice A de este captulo ofrece un resumende lo que, a efectos de esta asignatura, se considera necesario dominar.

Los numeros complejos pueden expresarse en la forma:

Z = a+ jb (2.1)

(forma binomica) donde a y b son numeros reales y j es la unidad imaginariapura; i.e.,

j =1 y j2 = 1

La parte real de Z se expresa como Re(Z)=a; la parte imaginaria comoIm(Z)=b

Z = Re(Z) + Im(Z) (2.2)

Suma y Resta

Z1 Z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2) = (a1 a2) + j(b1 b2)Multiplicacion

Z1Z2 = (a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 b1b2) + j(a1b2 + a2b1)El complejo conjugado Z del numero Z es:

Z = a jb (2.3)

ZZ = (a+ jb)(a jb) = a2 + b2 (2.4)Modulo del Complejo

|Z| =a2 + b2 (2.5)

2.2. NUMEROS COMPLEJOS 11

2.2.1. Representacion Geometrica

Tomamos como eje real (o polar) el eje x y como eje imaginario el eje y.Entonces, el numero complejo Z = a+ jb viene representado por un segmentoorientado (flecha o aguja) que une el origen de coordenadas con el punto (a, b)del plano complejo. Las proyecciones de Z sobre los respectivos ejes son Re(Z)e Im(Z).(ver Figura 1.1)

Figura 2.1: Representacion geometrica de Z

Tambien podemos mostrarlo de forma Trigonometrica o Polar

Z = Zb = Z(cos+ jsen) (2.6)

Donde llamamos argumento del numero complejo al angulo definido por surepresentacion geometrica y el eje real. Podemos expresar el numero complejoen funcion de su modulo y de su argumento:

{a = Zcosb = Zsen

{Z =

a2 + b2

= arctgb

a

En la representacion grafica, la suma de los numeros complejos obedecela ley del paralelogramo, como se ilustra en la figura. Los numeros complejosposeen algunas de las propiedades de los vectores en el espacio bidimensional,pero no deben confundirse con estos.

12 CAPITULO 2. CONCEPTOS BASICOS

Figura 2.2: Suma de vectores Z1 y Z2

2.2.2. Representacion Exponencial

Recordemos la relacion existente entre las funciones exponencial, sinusoidaly cosinusoidal:

ej = cos+ jsen (2.7)

que se deduce del desarrollo en serie de Taylor de los tres terminos. Podemosescribir

Z = Zb = Zej (2.8)

Esta forma es particularmente adecuada para la representacion de la am-plitud y de la fase de una oscilacion.

En las formas polar y exponencial, la multiplicacion y division de complejoses muy simple y adecuada para calculos numericos:

Captulo 3

ANALISIS

3.1. Caractersticas de ondas sinusoidales

3.1.1. Senal periodica

Es aquella que se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo, T, al que sedenomina periodo de la senal (ver Figura 2.1)

Figura 3.1: Senal periodica de periodo T

Analticamente, una senal f(t) es periodica si se verifica:

T R+/f(t) = f(t+ nT ),n Z (3.1)Al mnimo valor de T que verifica esta relacion (observese que si la verifica unvalor T, tambien lo hara 2T, 3T, etc.) se le denomina periodo fundamental dela senal. Habitualmente, al periodo fundamental se le denomina directamenteperiodo de la senal.

13

14 CAPITULO 3. ANALISIS

3.1.2. Senal sinusoidal

Es una senal periodica cuya expresion habitual viene dada por:

y(t) = Aosen(0t+ 0) (3.2)

donde:A0 es la amplitud maxima que alcanza la senal. Viene dada en las mismasunidades que la senal. Tambien se denomina amplitud de pico, y al doble desu valor amplitud pico-pico (ver Figura. 2.2).0 la velocidad de variacion de fase, o pulsacion. Viene dada en radianes/s.La pulsacion esta directamente relacionada con el periodo de la senal quenormalmente vendra dado en segundos:

y(t) = y(t+ T )

A0 = sen(0t+ 0) = A0 = sen(0(t+ T ) + 0)

0t+ 0 + 2pi = 0(t+ T ) + 0

T = 2pi

0(3.3)

que toma valor mnimo para k=1, de donde:

T =2pi

0(3.4)

A partir del periodo se define la frecuencia de la senal, que se corresponde conel numero de ciclos o periodos por segundo, y se mide en hertzios (Hz):

f =1

T=02pi

(3.5)

0t+0 es la fase de la senal en cada instante, t. Puede venir dada en radianeso en grados, aunque es conveniente expresarla en radianes para evitar mezclarunidades, ya que la pulsacion suele darse en rad/s. Vara linealmente entre 0 y2 (ver Figura. 2.2). Al valor 0 se le denomina fase inicial de la senal, ya quees el valor que toma la fase en el instante t = 0 . Puede venir dada en radianeso en grados, aunque nuevamente es conveniente expresarla en radianes paraevitar complicaciones.

3.1. CARACTERISTICAS DE ONDAS SINUSOIDALES 15

Figura 3.2: Evolucion de la amplitud y fase de una senal sinusoidal

3.1.3. Desface entre Senales Sinusoidales

El desface (O, dicho de otro modo,la diferencia instantanea entre fases)entre dos senales sinusoidales de la misma frecuencia puede intepretarse comoun retardo en el tiempo de una senal respecto de la otra. Dadas dos senalessinusoidales y1(t) e y2(t), podemos interpretar su fase inicial como un tiempoinicial:

y1(t) = A1sen(0t+ 1) = A1sen(0(t+10

)) (3.6)

y2(t) = A2sen(0t+ 2) = A2sen(0(t+20

)) (3.7)

,lo que indica que la fase de la primera senal es nula para t1 = 1/0 yla de la segunda para t2 = 2/0. Si t1 > t2 (es decir 1 > 2),la senaly1(t) presenta fase nula despues que y2(t). Dicho de otro modo, y1(t) decimosque esta retrasada con respecto a y2(t) un tiempo t0 = t1 t2, o bien quey2(t) esta adelantada respecto a y1(t) esa magnitud. Tambien suele decirseque y1(t) presenta un retardo de t0 con respecto a y2(t). La Figura 2.3 ilustragraficamente este concepto suponiendo 1 = 0 y 2 > 1.

A partir del concepto de desface es inmediato relacionar las funcionesSeno y Coseno. Efectivamente, si representamos graficamente la funcionseno tomando una fase inicial de pi/2 radianes (ver Figura. 2.4), podemos com-probar que el resultado es precisamente la funcion coseno. De aqu la identidad


Figura 3.3: Desface o retardo temporal entre dos senales sinusoidales

habitualmente estudiada en los cursos de Trigonometra:

sen(0t+pi

2) = cos(0t) (3.8)

Figura 3.4: Representacion grafica de las funciones seno y coseno

Como veremos a lo largo de este tema, en la resolucion de ciertos problemasno se asigna a las senales un determinado origen de tiempos ya que no interesaconocer la fase absoluta de las senales involucradas sino sus fases relativas (esdecir, los desfases entre ellas). En estas situaciones se habla sin embargo de lafase de una senal, indicando en realidad su desfase con respecto a una senalque se considera o acuerda origen de fases o de fase nula.

3.2. RELACION CON LOS NUMEROS COMPLEJOS 17

3.2. Relacion con los Numeros Complejos

Es posible establecer una relacion directa entre los numeros complejos ylas funciones sinusoidales que nos va a permitir representar cualquier funcionsinusoidal con un numero complejo que gira entorno al origen a una velocidadconstante.Sea un numero complejo

Z = Aoej0 (3.9)

Si lo representamos en el plano complejo (ver Fig. ) sus partes real e imaginariase corresponderan con las proyecciones sobre los ejes coordenados:

Re(Z) = A0cos0 (3.10)

Im(Z) = A0sen0 (3.11)

Figura 3.5: Representacion Geometrica de un numero complejo

Si multiplicamos este numero complejo Z por otro ej lo estaremos rotando radianes respecto al origen. Si ademas vara con el tiempo de la forma(t) = t el producto Z(t) = A0ej0ej0t representa un numero complejo demodulo A0 que gira a razon de 0 radianes por unidad de tiempo en torno alorigen del plano complejo (ver Fig. 2.6).A este numero complejo que gira se le denomina FASOR, y sus partes real eimaginaria son respectivamente:

Re[A0ej0ej0t] = A0cos(0t+ 0) (3.12)

Im[A0ej0ej0t] = A0sen(0t+ 0) (3.13)


Figura 3.6: Equivalencia entre funcion coseno y el numero complejo

Figura 3.7: Equivalencia entre funcion seno y el numero complejo


En conclusion, podemos expresar cualquier senal sinusoidal como la partereal o imaginaria de un fasor de modulo igual a la amplitud maxima de lasenal, de argumento igual a su fase inicial, y que gira a una velocidad angularigual a la pulsacion de la senal.


3.2.1. Fasor

Un fasor es la representacion grafica para un numero complejo, dibujadocomo un vector con un extremo en el centro del diagrama (el modulo es lalongitud del vector), y un angulo medido en grados a partir de una referenciafija, usualmente asociada al eje horizontal. La proyeccion de este vector sobreel eje X se denomina la componente real, mientras que la proyeccion del vectorsobre el eje Y representa la llamada componente imaginaria.

Sus componentes conforman un triangulo rectangulo (las componentes co-mo catetos perpendiculares, junto con el vector mismo como la hipotenusa) deforma tal que al aplicar trigonometra simple podemos realizar el intercambioen la representacion analtica desde la forma Rectangular, utilizando diferen-ciadamente las componentes real e imaginaria, a la forma Polar, empleandoun modulo y un angulo; y viceversa.

Para comprender el concepto de fasor, en la Figura 2.8 se representa unatension v(t) que esta en fase con el origen de tiempos. El fasor correspondientesera un vector con origen fijo en el centro de representacion cartesiana y cuyoextremo (punta de flecha) se situa en el eje horizontal. Este vector gira ensentido antihorario, de modo que la proyeccion del extremo del vector sobre eleje vertical describe todos los puntos que forman la representacion temporalde v(t). La velocidad de giro del vector coincide con la frecuencia angular de generacion de la f.e.m.

Figura 3.8: Representa la tension con fase en el origen

El vector se representa en la posicion correspondiente al valor que tomav(t) en t = 0, este es el punto 1 (v(t) = 0), el vector tiene un angulo de 0o.En el punto 2, cuando ha transcurrido pi/4 de T , el vector forma un angulo de45o y en pi/2 el vector tiene 90o. Observar como el tamano del vector coincidecon el valor maximo. El vector sigue girando hasta completar 360o, habiendodescrito un periodo completo.


Como ejemplo, en la Figura 2.9 tenemos la representacion temporal de lassiguientes tres f.e.m.s, y el diagrama de fasores correspondiente. En el diagramafasorial, la posicion de los fasores, es la correspondiente al valor que toma lasenal que representa cada uno, en el instante t = 0.

Figura 3.9: Representacion temporal de las f.e.m.s

e1(t) = E1msent (3.14)

e2(t) = E1msen(t+ 1) (3.15)

e3(t) = E3msen(t+ 2) (3.16)


3.2.2. Transformacion o Representacion Fasorial

Una vez visto el concepto de fasor, pasamos a su descripcion matematica.Como un fasor consiste en un vector giratorio con el origen fijo en el centrode representacion cartesiana, cualquier fasor quedara definido por su posicion,angulo y su longitud, modulo. En resumen, todo fasor quedara representadopor un numero complejo, teniendo las siguientes formas matematicas:

FORMA TEMPORAL REAL

v(t) = Vmsen(t+ ) (3.17)

Si el vector se proyecta sobre los ejes horizontal y vertical, tenemos lasdos coordenadas que determinan la posicion del vector, coordenada horizontala, resultado de la proyeccion sobre el eje real y la coordenada vertical b,resultado de la proyeccion sobre el eje imaginario. Se utilizara la letra j paraidentificar la coordenada imaginaria, en lugar de la i normalmente utilizadaen numeros complejos, para evitar su confusion con una intensidad. Segun sededuce de la fig. 2.11, la relacion entre las coordenadas a y b, con el modu-lo y angulo, quedan expresadas en la forma binomica compleja. En la formacompleja del fasor se coloca una raya sobre la letra de la funcion en mayusculas

FORMA BINOMICA COMPLEJA

V = a+ jb = Vmcos + jVmsen (3.18)

FORMA POLAR

V = Vmb =a2 + b2barctg b

a(3.19)

FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA

V = Vmej (3.20)

FORMA EXPONENCIAL TEMPORAL COMPLEJA

v(t) = Vmej(t+) = Vme

jtej (3.21)

3.3. OPERACIONES Y DIAGRAMAS FASORIALES 23

3.3. Operaciones y Diagramas Fasoriales

Segun se ha visto en el captulo anterior, la resolucion de circuitos se obtienede la aplicacion conjunta de las Leyes de Kirchhoff y de las caractersticas i-vde los dispositivos involucrados. En nuestro caso, ello supone sumas, escalados,derivaciones e integraciones de senales de tension o corriente. En esta seccionse pretende demostrar que si las senales involucradas son sinusoides de igualpulsacion o frecuencia, es posible efectuar todas las operaciones con fasores envez de con sinusoides, lo que simplifica enormemente la operativa.

3.3.1. Suma

Si dos sinusoides y1t e y2t de la forma:

y1t = A1cos(1t+ 1)y2t = A2cos(2t+ 2) (3.22)

Si definimos ys(t) como la funcion suma de y1(t) e y2(t) y expresamos ambassenales en funcion de sus fasores, podemos escribir:.

y1(t) + y2(t) = Re[A1ej1ej1t] +Re[A2e

j2ej2t]

y1(t) + y2(t) = Re[A1ej1ej1t + A2e

j2ej2t] (3.23)

Si imponemos que las pulsaciones de las dos senales sinusoidales sean iguales0 = 1 = 2 y definimos el numero complejo suma Ase

js=A1ej1+A2ej2 , laultima expresion puede simplificarse:

ys(t) = Re[(A1ej1 +A2e

j2)ej0t] = Re[Asejsej0t] = Ascos(0t+s) (3.24)

De este desarrollo puede concluirse, en primer lugar, que la suma de dos sinu-soides de la misma frecuencia es igual a otra sinusoide de la misma frecuencia.En segundo lugar, que la amplitud maxima y la fase inicial de la senal suma(As, s) pueden obtenerse respectivamente como el modulo y argumento delnumero complejo (Ase

js) resultante de sumar las partes fijas (A1ej1, A2e

j2)de los fasores que representan a las senales que se suman.

Observese que este desarrollo es igualmente valido si las senales que se su-man son ambas sinusoides en forma seno. Tomando la parte imaginaria desus fasores en vez de la parte real llegaramos exactamente a las mismas con-clusiones. Por lo tanto, una tercera conclusiones que la obtencion de amplitudmaxima y fase inicial por este procedimiento asume que las senales que se su-man tienen igual forma (ambas seno o ambas coseno) y que esta misma esla forma que tiene el resultado. Si las senales a sumar tuvieran distinta forma


habra que cambiar la de una de ellas (sumando o restando pi/2 a su fase ini-cial, segun la relacion (2.8)).

Por lo tanto, para sumar senales sinusoidales de igual pulsacion basta conexpresar ambas en la misma forma y a continuacion sumar los numeros com-plejos que representan sus respectivas amplitudes maximas y fases iniciales.Dado que la parte giratoria de los fasores (es decir, el termino e ej0t) no seutiliza para llevar a cabo la suma (ya que se asumen senales de igual pulsa-cion), el termino fasor suele aplicarse solo a la parte fija de este. De este modo,asumiremos de ahora en adelante que los fasores de las senales involucradas(representados siempre en letras mayusculas) son:

y1(t) = A1cos(0t+ 1) Y1 = A1ej1 (3.25)

y2(t) = A2cos(0t+ 2) Y2 = A2ej2 (3.26)

ys(t) = Ascos(0t+ s) Ys = Asejs = Y1 + Y2 (3.27)En conclusion, la suma de senales sinusoidales de igual pulsacion se puede

llevar a cabo sumando sus fasores. Dicho de otro modo, la operacion puederealizarse en el dominio fasorial con mayor facilidad que en el dominio tempo-ral. La Fig. 2.7 muestra graficamente el proceso de obtencion de la senal suma.En ella es inmediato comprobar que para sumar dos senales sinusoidales es im-prescindible tener en cuenta tanto sus amplitudes como sus fases. Esto explicapor que cuando se miden corrientes o tensiones sinusoidales con un multmetro(que lo que mide es solo sus valores eficaces, es decir, un valor proporcionala sus amplitudes) no es posible aplicar directamente las Leyes de Kirchhoffsobre estos valores: tambien es necesario conocer las fases relativas de dichastensiones o corrientes.

Figura 3.10: Diagrama Fasorial: representacion grafica de la suma de dos faso-res

3.3. OPERACIONES Y DIAGRAMAS FASORIALES 25

3.3.2. Multiplicacion y Division

y1(t)y2(t) =

A1b1A2b2 = (A1A2)b1+2

A1ej1A2e

j2 = (A1A2)ej(1+2)

y1(t)

y2(t)=

A1b1A2b2

= (A1A2

)b(12

A1ej1

A2ej2= (

A1A2

)ej(12)

Figura 3.11: Multiplicacion de Fasores

3.3.3. Derivacion e Integracion

Sea una senal sinusoidal y(t) = A0cos(t + 0) La derivada de esta senalcon respecto al tiempo puede expresarse como:

dy(t)

dt= A0sen(t+ 0) = A0sen(t+ 0 + pi)

= A0cos(t+ 0 +pi

2) (3.28)

Si observamos el ultimo paso de este desarrollo (para el que se ha utilizadola relacion j = ejpi/2) se puede concluir que el fasor de la senal derivada sepuede obtener directamente escalando o multiplicando por j el fasor de lasenal original. En conclusion:

y(t) = A0cos(t+ 0) A0ej0 (3.29)

dy(t)

dt= A0sen(t+ 0 + pi

2) jA0ej0 (3.30)


Respecto a la integracion, la integral de la misma senal sinusoidal y(t)puede expresarse como sigue:

y(t)dt =

A0cos(t+ 0)dt =

A0sen(t+ 0)

=A0cos(t+ 0 pi/2) (3.31)

,que se corresponde con otra senal sinusoidal de la misma frecuencia quey(t) , escalada por 1/ y retrasada pi/2 radianes. Si efectuamos esta operacionutilizando el fasor giratorio de la senal:

y(t)dt =

Re[A0e

j0ejt] = Re[

A0e

j0ejt]

= Re[1

jA0e

j0ejt] =A0cos(t+ 0 pi/2) (3.32)

, desarrollo en el que se ha utilizado la relacion 1 j = e j 2 . Analogamenteal caso de la derivacion, se puede concluir que el fasor de la senal integral sepuede obtener directamente escalando o multiplicando por 1 j el fasor de lasenal original. En conclusion:

y(t) = A0cos(t+ 0) A0ej0 (3.33)y(t)dt =

A0cos(t+ 0 pi/2) A0

jej0 (3.34)

3.4. RELACIONES FASORIALES PARA RLC 27

3.4. Relaciones Fasoriales para RLC

Al saber realizar transformaciones hacia y desde el dominio del tiempo dela frecuencia, puede continuarse con la simplificacion del analisis senoidal deestado permanente, dando la relacion entre el voltaje y la corriente fasoria-les para cada uno de los tres elementos pasivos. Se parte de la ecuacion dedefinicion de cada elemento (relacion en el dominio del tiempo) y luego sepermitira que la corriente y el voltaje sean cantidades complejas. Despues deeliminar ejt en la ecuacion, se vera cuales son las relaciones buscadas entre lacorriente fasorial y el voltaje fasorial.

3.4.1. Resistor

Siendo el resistor el caso mas simple, la ecuacion de definicion es:

V (t) = Ri(t) (3.35)

Figura 3.12: Relacion Voltaje-Corriente

Ahora se aplica el voltaje complejo

Vmejt+ = Vm(cos(t+ )) + jVm(sen(t+ )) (3.36)

Y se supone de la corriente su respuesta compleja

Imejt+ = Im(cos(t+ )) + jIm(sen(t+ )) (3.37)

Se obtiene

Vmejt+ = RIme

jt+

Dividiendo todo entre ejt se tiene

Vmej = RIme

j


En forma polarVmb = RImb

Pero Vmb e Imb representa simplemente a los fasores de voltaje y co-rriente V e I. por lo tanto,

V = RI (3.38)

La relacion voltaje-corriente (ver Figura 2.12)en forma fasorial para unresistor tiene la misma forma que la relacion voltaje-corriente en el dominiodel tiempo. La ecuacion de definicion en forma fasorial.

3.4.2. Inductor

Ahora se considera el inductor. La red en el dominio del tiempo se muestraen la figura 2(a), y la ecuacion de definicion, una expresion en el dominio deltiempo, es

v(t) = Ldi(t)

dt(3.39)

Figura 3.13: Red en el Dominio del tiempo

Despues de sustituir la ecuacion (2.36) de la tension compleja la ecuacion(2.37) de la corriente compleja en la ecuacion (2.39), se tiene

Vmej+ = L

d

dtIme

j+

Tomando la derivada indicada

Vmej+ = jLIme

j+

Dividiendo entre ejt

Vmej = jLIme

j

3.4. RELACIONES FASORIALES PARA RLC 29

Luego se obtiene la relacion fasorial deseada

V = jLI (3.40)

La ecuacion diferencial (2.39) en el dominio del tiempo se ha transformadoen una ecuacion algebraica (2.40) en el dominio de la frecuencia. Observese queel angulo del factor es exactamente +90o y que por lo tanto, en un inductor,debe estar atrasada 90o respecto a .

3.4.3. Capacitor

El elemento final por considerar es el capacitor. La relacion corriente-tension en el dominio del tiempo es

v(t) = Cdv(t)

dt(3.41)

Figura 3.14: Representacion

La expresion equivalente en el dominio de la frecuencia se obtiene una vezmas dejando que v(t) e i(t) sean las cantidades complejas de las ecuaciones(3.36) y (3.37), si se toma la derivada indicada, se suprime ejt , y se reconocenlos fasores V e I, se obtiene

I = jCV (3.42)

De tal manera, I adelanta a V en 90o en un capacitor, lo cual, desdeluego, no significa que este presente una respuesta de corriente un cuarto deperiodo antes que la tension que la provoca, se esta estudiando la respuestade estado permanente, y se encuentra que la corriente maxima se debe a latension creciente que ocurre 90o antes que la tension maxima.


Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuenciav(t) = Vmcos(t+ ) V = Vmbv(t) = Vmsen(t+ ) V = Vmb( 90)i(t) = Imcos(t+ ) I = Imbi(t) = Imsen(t+ ) I = Imb( 90)

Cuadro 3.1: Cuadro de Dominios

Ahora que se han obtenido las relaciones V I para los tres elementospasivos cabe mencionar que todas las ecuaciones son algebraicas y lineales, y lasecuaciones para la inductancia y la capacitancia guardan una gran semejanzacon las de la ley de Ohm y por consiguiente se manejan igual que las mismas.Antes de usar de la misma forma estas ecuaciones, es preciso demostrar quelos fasores obedecen las leyes de Kirchhoff. Por ejemplo, la ley de voltajes deKirchhoff, en el dominio del tiempo es

v1(t) + v2(t) + ...+ vn(t) = 0

Ahora se usa la identidad de Euler para sustituir cada voltaje real por unvoltaje complejo que tenga la misma parte real, se elimina

ejt

V1 + V2 + ...+ Vn = 0

Con un argumento similar se demuestra que la ley de corrientes de Kirchhofftambien es valida para corrientes fasoriales.

3.5. RESPUESTA EN AC DE ELEMENTOS PASIVOS 31

3.5. Respuesta en AC de elementos pasivos

Variables Electricas que se Aplican en circuitos serie

3.5.1. Impedancia Z

En corriente alterna la oposicion del paso de la corriente electrica en uncircuito formado por resistencias, bobinas y condensadores, se llama IMPE-DANCIA (Z) dada por:

Z =v(t)

i(t)=VmIm

=VrmaIrms

= cte

La impedancia se expresa tambien en forma fasorial Z = V/I donde tantoV como I son fasores. En consecuencia la impedancia Z es tambien un fasorpor lo que se puede expresar de la siguiente manera Z = R jX donde R esla resistencia del sistema y X es la reactancia del sistema. Tambien debemosrecordar que tanto la impedancia, resistencia o reactancia se miden en ohms.Expresando en forma polar

Z = R + jX =| Z | b

| Z |=R2 +X2

= tg1X

RR = |Z|cos X = |Z|sen

3.5.2. Reactancia X

La cantidad XL XC recibe el nombre de Reactancia del circuito y serepresenta por X

X = XL XCEntonces la impedancia se puede escribir en terminos de la reactancia del

circuito en la forma

Z =R2 +X2

Cuando X es positiva la IMPEDANCIA es INDUCTIVA o de retrasoporque la corriente se atraza respecto a la tension


Z=R+jX

Captulo 4

APLICACIONES

33

Fasores

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