1

Faktorisasi Pada Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

(Factorization on totally positive sign equivalent matrices)

Oleh : Aleksander Hutauruk

( Di bawah bimbingan Muhafzan, Ph.D dan Jenizon, M.Si )

ABSTRACS

Factorization of matrices is the multiply of matrices which is suitable with

where A is as input matrix and , is as factorial matrices that is

matrices suitable with in a certain condition. The number of k represents the number of

factorial matrix F.

Factorization on totally positive sign equivalent matrices that the matrices being able to

be D1QD2, with Q is totally positive matrix, D1 and D1 are diagonal matrices with main

diagonal elements equal to .

Theorem in factorization on totally positive sign equivalent matrices that every square

real matrix n x n, n ≥ 2 is result of multiplical totally positive sign equivalent matrices,

indicated and stated based on facts in Lowner-Neville factorization, the concept about

matrix and facorization matrix. One of them is facorization : Cholesky, LU, and QR.

Keywords:Totally positive matrix, Totally positive sign equivalent matrix, Factorization

on totally positive sign equivalent matrix, Lowner-Neville factorization.

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks

sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri adalah suatu

susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya, terdapat berbagai

macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun karakteristik dari entri

matriks tersebut.

Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai macam

cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai: faktorisasi

Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan faktorisasi Loewner-

Neville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini tergantung pada tipe matriks yang

difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor pada perkalian.

Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang

dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara memfaktorkan

suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda

positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu sendiri adalah suatu matriks

yang dapat dinyatakan sebagai 21

QDD , dimana Q adalah matriks positif total, 1D dan

2D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .

Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil persegi

merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai gagasan pokok

yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006) dalam artikel On

Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrtices pada suatu

teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian dari matriks-matriks

ekuivalen bertanda positif total.

Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks ekuivalen

bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan menunjukkan bahwa setiap

2

matriks riil berukuran nn , 2n dapat difaktorkan menjadi perkalian matriks-matriks

ekuivalen bertanda positif total.

1.2. Perumusan Masalah

Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan ,2n bagaimana memfaktorkan

matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian dari matriks – matriks

ekuivalen bertanda positif total.

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi riil

merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dengan

membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut.

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

- Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi riil

khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total.

- Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan dan

memperluas cakupan penelitian ini.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Teori Dasar Matriks

Definisi 2.1.1 (Anton, 1988)

Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris dan

kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n disimbolkan

dengan Amxn dan dapat ditulis:A = ,

aaa

aaa

aaa

mnmm

n

n

21

22221

11211

aij entri baris ke-i dan kolom

ke-j, i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.

Definisi 2.1.2. (Leon, 2001)

Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri 0ij

d untuk

ji .

Definisi 2.1.3. (Leon, 2001)

Matriks identitas adalah matriks I = ji

a berorde n x n, dimana jijika

jijikaaij

0

1

ija adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j.

Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003)

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal

utama adalah nol.

Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996)

Suatu matriks persegi ij

dD merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri yang

mungkin tak nol adalah ii

d dengan ni ...,,1 , dan 1, jj

d (atau jj

d,1

), dengan j=

1,2,........n – 1. Khususnya jika entri 1iid , untuk ni ,,1 dinamakan matriks

bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices).

Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001).

Suatu matriks A berukuran n x n disebut simetris jika AT = A.

3

Matriks simetris berukuran n x n disajikan sebagai:

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

12111

Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003).

Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan TA adalah suatu

matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian sehingga

komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris ke-j kolom ke-i

dari matriks TA dan .)()(

ijijji

TaAA

Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003).

Misalkan ijaA merupakan matriks berukuran m x n dan

jkbB matriks

berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B

), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks ijcC dengan elemen

pada baris ke-i kolom ke-j ditentukan oleh rumus:

njinjiji

n

k

kjikijbabababac

2211

1

dengan mi ,...,1 dan pj ,...,1 .

Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003).

Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika terdapat

suatu matriks B sedemikian sehingga: BAIABn

Setiap matriks B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis 1A .

Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular.

Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai: )det(

)(1

A

AAdjA , dengan )(AAdj adalah

adjoin dari matriks A sedangkan )det( A merupakan determinan matriks A.

Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003)

Adjoin suatu matriks ijaA berukuran nn ditulis )(AAdj adalah matriks

berukuran nn yang disajikan sebagai:

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

21

22212

12111

)( , dimana

merupakan kofaktor .

Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988)

Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu TA

adalah matriks identitas atau IAAAATT dengan I matriks identitas.

Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990)

Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut pada

matriks:

(i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol.

(ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya.

(iii). Mempertukarkan dua baris.

Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990)

Matriks elementer nn adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks identitas

nn dengan menggunakan operasi baris elementer tunggal.

ijA

ija

4

2.2. Minor dan Determinan Matriks

Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001).

Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis ij

M ) adalah determinan matriks berukuran

)1()1( nn dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri

kolom ke-j.

Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003)

Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi ijaA berukuran nn ditulis

ijA

adalah hasil kali ij

jiM1 dimana

ijM merupakan determinan dar matriks A dengan

menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j (ij

M biasa disebut minor dari ij

a )

.Definisi 2.2.3. (Strang, 1988).

Determinan dari matriks persegi ij

aA berukuran n x n biasa ditulis A atau det(A)

dapat dibedakan oleh formula berikut:

a. Matriks persegi berukuran 2 x 2: 2221

1211

aa

aaA , maka deteminan dari A adalah:

det(A) = 21122211

aaaa ..... (1.1)

b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2)

Misalkan A merupakan matriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis ij

aA

dimana ij

a adalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk ni ,,1 dan nj ,,1

maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor dari salah satu baris atau

salah satu kolom. Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atau ekspansi kofaktor kolom ke-

j, maka determinan matriks A adalah:

ininiiii

n

j

ijijAaAaAaAaA

2211

1

)det( ..... (1.2)

atau njnjjjjj

n

i

ijijAaAaAaAaA

2211

1

)det( ..... (1.3)

2.3. Faktorisasi dalam matriks

Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) .

Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan sebagai

bentuk perkalian matriks TKKH dengan K adalah matriks segitiga bawah yang

disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle). Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H

sebagai berikut:

nnnn

n

n

hhh

hhh

hhh

H

21

22221

11211

dengan jiij

hh (i = 1,...,n dan j = 1,...,n).

Ambil

nnnn

ii

kkk

kk

k

K

21

22210

00

maka

nn

n

nii

T

k

kk

kkk

K

00

0222

121

Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran nn adalah:

5

nnnn

n

n

hhh

hhh

hhh

21

22221

11211

nnnn

ii

kkk

kk

k

21

22210

00

nn

n

nii

k

kk

kkk

00

0222

121

..... (2.1)

Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh: i

1p

2

ipiikh ..... (2.2)

ji

p

jpipijkkh

,min

1

, dengan ji ..... (2.3)

Definisi 2.3.2. (Hager, 1988).

Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang dinyatakan

sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U merupakan

matriks segitiga atas. Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

2221

11

0

00

lll

ll

l

33

2322

131211

00

0

u

uu

uuu

..... ( 2.4)

dimana

333231

2221

11

0

00

lll

ll

l

L , dan

33

2322

131211

00

0

u

uu

uuu

U . Persamaan (2.4) berakibat:

111111ula ,

121112ula dan

131113ula atau

13

13

12

12

11

11

11u

a

u

a

u

al

112121ula ,

2222122122ulula dan

2322132123ulula

113131ula ,

2232123132ulula dan

33332332133133ululula

Sebagai contoh pehatikan matriks

22186

774

222

A . Dengan operasi baris elementer

faktorisasi ditulis sebagai:

400

330

222

123

012

001

22186

774

222

Definisi 2.3.3. (Hager, 1988).

Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk

perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks

ortogonal dan R matriks segitiga atas.

Sebagai contoh, perhatikan matriks:

330

440

7012

2609

A

.

6

Dengan MATLAB diperoleh

330

440

7012

2609

A

05/30

05/40

5/305/4

5/405/3

QR

2500

550

10015

Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997)

Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi Loewner-

Neville jika A dapat dinyatakan sebagai: A = BDC .....

(2.6)

dimana D adalah matriks diagonal, B dan C masing-masing adalah hasilkali dari

matriks-matriks bidiagonal yaitu: 121 n

BBBB ..... (2.7)

dan 121CCCC

nn ..... (2.8)

dengan iB dan

iC untuk 11 ni ,, disajikan sebagai:

1

1

10

10

1

11

ni

in

i

b

b

B

,

..... (2.9)

dan

1

1

1

0

1

01

11

in

ini

c

cC

,

..... (2.10)

Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 33 :

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal:

3

2

1

00

00

00

d

d

d

D ,

Sesuai (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal:

10

010

001

31

1

b

B ,

10

01

001

32

212

b

bB ,

dan

100

10

001

131cC ,

100

10

01

23

12

2c

c

C . Dengan menyelesaikan persamaan (2.7)

dan (2.8) diperoleh:

1

01

001

32313121

21

bbbb

bB dan

100

10

1

2313

131212

cc

ccc

C

7

Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1

01

001

32313121

21

bbbb

b

3

2

1

00

00

00

d

d

d

100

10

01

23

12

c

c

333231

232221

131211

..... (2.11)

dimana: 111d ,

12112cd ,

1312113ccd ,

21121bd ,

12211222cbdd ,

)(23132131221123ccdccbd ,

3121131bbd , )(

32312123121132bbdcbbd ,

323133231213123121133))(( dccbbdccbbd ..... (2.12)

III. METODOLOGI PENILITIAN

3.1. Tempat dan Waktu

Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas

Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika sesuai

dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember 2007 sampai

April 2008.

3.2. Metode

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang menggunakan

analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan berlandaskan pada studi

kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis memulai dengan meninjau

permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat sebagai penunjang untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir menarik kesimpulan dari

permasalahan yang telah dibahas.

Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah:

1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks

2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks.

3. Meninjau tentang matriks positif total dan matriks ekuivalen bertanda positif total .

4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total dengan

teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan masalah tersebut.

5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Matriks Positif Total

Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)

Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A adalah

nonnegatif. Secara khusus, jika A berukuran 2 x 2, yakni:2221

1211

aa

aaA maka A

merupakan matriks positif total jika: 0)det(21122211aaaaA .... (3.1)

dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A maka A adalah

matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif atau 11

M

032233322

3332

2322

11aaaa

aa

aaM , 0

31233321

3331

2321

12aaaa

aa

aaM ,

8

031223221

3231

2221

13aaaa

aa

aaM , 0

32133312

3332

1312

21aaaa

aa

aaM ,

031133311

3331

1311

22aaaa

aa

aaM , 0

31123211

3231

1211

23aaaa

aa

aaM ,

022132312

2322

132`1

31aaaa

aa

aaM , 0

21132311

2321

1311

32aaaa

aa

aaM , dan

021122211

2221

1211

33aaaa

aa

aaM ..... (3.2)

Sebagai contoh diberikan 41

52A , akan diselidiki apakah A adalah matriks positif

total. Karena 03)det( A maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.

Contoh lainnya misalkan

421

232

011

A , akan diselidiki apakah A adalah matriks

positif total. Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu:

842

23

11M , 6

41

22

12M , 1

21

32

13M , 4

42

01

21M ,

441

01

22M , 1

21

11

23M , 2

23

01

31M , 2

22

01

32M ,

132

11

33M .

Karena 0ij

M untuk 3,2,1i dan 3,2,1j , maka sesuai (3.2) jelas A adalah matriks

positif total.

Beberapa tipe matriks khusus yang memenuhi matriks positif total berdasarkan

definisi (4.1.1), diantaranya :

1). Matriks Identitas

a. Ukuran 22 : 10

01I , 01)det( I berarti matriks ini adalah matriks

positif total.

b. Ukuran nn dengan 2n

Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j )(ij

M dari suatu matriks, maka

minor matriks identitas berukuran nn tersebut adalah:0

1

ijM

untuk

untuk

ji

ji

Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas berukuran

nn adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks identitas

termasuk matriks positif total.

2). Matriks diagonal

Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai:

9

nd

d

d

D

00

00

00

2

1

dengan mengambil entri diagonal 0di

dimana ni ,...,1 maka semua minor matriks

D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut merupakan

matriks positif total.

3). Matriks Bidiagonal

Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal )(ijdD berukuran n x n

adalah:

a). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan

)1( jjd , 1,...,1 nj adalah nol

dapat disajikan sebagai:

nn

nnnn

d

dd

dd

dd

D

000

000

00

00

)1()1)(1(

2322

1211

Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0

)1( jjd , 1,...,1 nj ,

jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka

matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.

b). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan

jjd

)1(, 1,...,1 nj adalah nol

dapat disajikan sebagai:

nnnn

nnnn

dd

dd

dd

d

D

)1(

)1)(1()2)(1(

2221

11

000

000

00

000

Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0

)1( jjd , 1,...,1 nj

jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka

matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.

4). Matriks segitiga

a). Matriks segitiga bawah

Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran nn dapat

disajikan sebagai:

nnnnlll

ll

l

L

21

2221

11

0

00

10

Dengan mengambil kondisi entri 0ijl , ji jelas bahwa semua nilai minor

ijl

adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah dengan kondisi

tersebut adalah matriks positif total.

b). Matriks segitiga atas

Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran nn dapat disajikan

sebagai:

nn

n

n

u

uu

uuu

U

00

0222

11211

Dengan mengambil konidisi 0iju untuk ji jelas semua nilai minor

iju adalah

nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan kondisi tersebut

merupakan matriks positif total.

4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)

Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A dapat

dinyatakan sebagai: 21

QDDA (4.1) dimana Q adalah matriks positif total, 1

D dan

2D merupakan matriks-matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 .

Karena 1D dan

2D merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1 maka

1D dan

2D merupakan matriks nonsingular yakni 1

1D dan 1

2D ada.

Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan 1

1D dan dari kanan dengan 1

2D

diperoleh: 1

2

1

1ADDQ ..... (4.2)

Kasus 1: Matriks riil A berukuran 22 , yaitu: 2221

1211

aa

aaA

Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dapat

dipilih 2

1

10

0

d

dD , dan

2

1

20

0D dengan 1,1,,,

2121dd .

Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih 2221

1211

qq

qqQ matriks positif total maka A

merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan

(4.1), yaitu:

2221

1211

aa

aa

2

1

0

0

d

d

2221

1211

qq

qq

2

1

0

0

Perhatikan 2

1

10

0

d

dD dan

2

1

20

0D adalah matriks-matriks nonsingular

maka : 2

1

1

2

21

1

1/10

0/1

0

01

d

d

d

d

ddD dan

2

1

1

2

21

1

2/10

0/1

0

01D

11

Karena 1,1,,,2121

dd jelas 1

1

1d

d,

2

2

1d

d ,

1

1

1, dan

2

2

1 akibatnya

,

1

2

1

2

11

10

0

/10

0/1D

d

d

d

dD dan

2

2

1

2

11

20

0

/10

0/1DD

Sehingga dengan persamaan (4.2) diperoleh:21

ADDQ ..... (4.3)

atau 2221

1211

qq

qq

2

1

0

0

d

d

2221

1211

aa

aa

2

1

0

0

22222122

12211111

adad

adad ..... (4.4)

Dari hubungan (4.4), diperoleh: 111111adq ,

122112adq ,

211221adq dan

222222adq

Karena 1,1,,,2121

dd , maka 11

d 1, 21

d 1, 12

d 1 dan 22

d 1.

Karena 21

ADDQ maka )det()det(21

ADDQ ,

atau )(21122211212121122211aaaaddqqqq ..... (4.5)

Perhatikan bahwa 2221

1211

qq

qqQ merupakan matriks positif total berarti:

0)(21122211212121122211aaaaddqqqq

Karena ,,21dd 1,1,

21, maka

2121dd 1.

Untuk menentukan apakah 2221

1211

aa

aaA merupakan matriks ekuivalen bertanda

positif total dilakukan dengan memilih Q , 1

D dan 2

D sebagai berikut:

(1). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka ,,

21dd

21, memenuhi

2121dd 1.

(2). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka

2121,,, dd memenuhi

2121dd 1.

Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan

menggunakan hubungan (4.3).

Dengan demikian jika A adalah matriks riil berukuran 22 maka ada 3 matriks

disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai 1

D dan 2

D untuk memeriksa

A matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu: 10

01 ,

10

01 , dan

10

01 .

Contoh: Akan diperiksa apakah matriks 23

65A adalah matriks ekuivalen bertanda

positif total.

Karena 083.62.5)det( A maka 12121

dd dengan 1,1,21dd dan

1,1,21

, Pilih : 10

01

1D dan

10

01

2D . Dalam hal ini : 1

1d ,

12d , 1

1 dan 1

2. Akibatnya , 5

11q , 6

12q , 3

21q dan 2

22q .

Dengan hubungan (4.3) diperoleh: 23

65Q yaitu matriks yang memenuhi

definisi (4.1.1).

12

Jadi, 23

65A

10

01

23

65

2110

01QDD

Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 33 , yaitu:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda

positif total dipilih

3

2

1

1

00

00

00

d

d

d

D , dan

3

2

1

2

00

00

00

D , dimana ,,,321ddd

1,1,,321

.

Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih

333231

232221

131211

qqq

qqq

qqq

Q yang memenuhi definisi (4.1.1)

sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen bertanda positif

total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3

2

1

00

00

00

d

d

d

333231

232221

131211

qqq

qqq

qqq

3

2

1

00

00

00

Perhatikan bahwa

3

2

1

1

00

00

00

d

d

d

D dan

3

2

1

2

00

00

00

D adalah matriks-matriks

nonsingular yaitu 1

11D dan 1

2D ada. Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka

)()det(

11

1

1

1Dadj

DD dan )(

)det(

12

2

1

2Dadj

DD

Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan 1D dan

2D yaitu:

321

2

33

2

1100

0)0(

0

00)0(

0

0)det( ddd

d

dd

ddD

dan 321

2

33

2

1200

0)0(

0

00)0(

0

0)det( D .

sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:

21

31

32

2

112

1

3

1

3

233

2

1

00

00

00

0

0

00

0

00

0

00

0

0

0

0

00

0

00

0

00

0

0

)(

dd

dd

dd

d

ddd

d

d

d

d

ddd

d

DAdj

dan

13

21

31

32

2

112

1

3

1

3

233

2

2

00

00

00

0

0

00

0

00

0

00

0

0

0

0

00

0

00

0

00

0

0

)(DAdj .

Akibatnya ,

3

2

1

1

1

/100

0/10

00/1

d

d

d

D dan

3

2

1

1

2

/100

0/10

00/1

D

Karena ,,,321ddd 1,1,,

321, maka

1

1

1d

d,

2

2

1d

d,

3

3

1d

d,

1

1

1,

2

2

1dan

3

3

1.

Akibatnya , 1

1

1DD dan

2

1

2DD

Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:

333231

232221

131211

qqq

qqq

qqq

3

2

1

00

00

00

d

d

d

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3

2

1

00

00

00

333332233113

233222222112

133112211111

adadad

adadad

adadad

..... (4.6)

Dari hubungan (4.6) diperoleh:ijjiij

adq , dengan }1,1{,ji

d ..... (4.7)

dimana 3,2,1i dan 3,2,1j . Perhatikan

333231

232221

131211

qqq

qqq

qqq

Q merupakan matriks

positif total, karena ,,,321ddd 1,1,,

321 maka hasilkali diantara ,d,d,d

321

321,, adalah 1 .

Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil ijaA berukuran nn

adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan memeriksa

setiap kemungkinan matriks ijqQ berdasarkan (4.3) yaitu matriks yang memenuhi

definisi (4.1.1).

4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang sebagai

kFFFA ......

21 ..... (5.1) dengan matriks

iF , ki ,,1 memenuhi kondisi-kondisi

tertentu.

Sesuai dengan definisi faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi QR dan

faktorisasi Loewner-Neville maupun faktorisasi-faktorisasi lainnya maka secara umum

dapat dikatakan bahwa faktorisasi matriks merupakan hubungan suatu matriks sebagai

perkalian dari matriks-matriks lain sesuai dengan karakteristik matriks yang diberikan

maupun karakteristik matriks yang dilibatkan pada perkalian.

14

Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi riil A

sebagai perkalian dari 1

D dan 2

D yakni matriks diagonal dengan entri diagonal utama

1 , serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai minornya adalah

nonnegatif memenuhi 21

QDDA dapat disebut sebagai faktorisasi matriks A.

Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2007) dalam artikelnya

disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini telah diuraikan

pada bagian pembahasan sebelumnya.

Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan ini

yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan 2n , maka A dapat

difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda

positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu teorema.

Teorema 4.3.1.

Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks

ekuivalen bertanda positif total.

Bukti :

Misalkan )(ijaA matriks berukuran nn akan ditunjukan bahwa A dapat

dinyatakan sebagai: kAAAA ......

21 ..... (5.2)

dimana iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Karena iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total berarti:

21DQDAii

, dimana:i

Q , ki ,,2,1 masing-masing adalah matriks positif total,1D ,

2D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .

Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks

persegi merupakan hasilkali matriks-matriks bidiagonal, yaitu untuk )(ijaA

berukuran nn yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni: BDCA

dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan

(2.10).

Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai

hubungan: A ........121DBBB

n 121...... CCC

nn ..... (5.3)

Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai berikut:

Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai:

nd

d

d

D

00

00

00

2

1

Kasus 1: Jika 0id , ni ,,2,1 maka D merupakan matriks positif total karena

semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan matriks ekuivalen

bertanda positif total.

Kasus 2: Jika terdapat 0id maka D dinyatakan sebagai:

2

2

1

1

2

1

00

0

00

00

00

00

00

D

d

d

d

D

d

d

d

D

nn

..... (5.4)

15

Dalam hal ini dan 2

D adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal utama

1 dan 01d , yang berarti bahwa:

nd

d

d

00

0

00

00

2

1

adalah matriks positif total.

Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.

Karena iB dan

iC matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai:

i) ijibB , dengan 1

iib , ni ,...,1 ; 0

,1 jjb , 1,...,1 nj ; dan entri

ijb lainnya

adalah nol.

ii). ijicC , dengan 1

iic , ni ,,2,1 ; 0

1, jjc , 1,,2,1 nj ; dan entri

ijc

lainnya adalah nol.

Kasus 1: 0,1 jj

b , 1,,2,1 nj dan 01, jj

c , 1,,2,1 nj .

Dalam hal ini minor-minor dari matriks ijibB dan

ijicC adalah nonnegatif.

Sehingga menurut definisi (4.1.1) ijibB dan

ijicC adalah matriks positif total

dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.

Kasus 2: Ada 0,1 jj

b , 1,,2,1 nj atau 01, jj

c , 1,,2,1 nj .

Dalam hal ini, matriks-matriks ijibB dan

ijicC masing-masing dapat

dinyatakan sebagai:

21DBDbB

iiji, dengan

ijibB dan 0

,1 jjb untuk 1,,2,1 nj

21DCDcC

iiji, dengan

ijicC dan 0

1, jjc untuk 1,,2,1 nj .

Dalam hal ini dan2

D merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama

adalah 1 .

Dari kasus 1) dan 2) tentang ijibB dan

ijicC maka B dan C masing-masing

merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 12n dari

matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k matriks-

matriks ekuivalen bertanda positif total.

Dengan mengambil 12nk diperoleh bahwa persamaan (5.2) dan persamaan (5.3)

adalah analog, yaitu:

faktork

k

faktorn

nnnAAACCDCBBBA

21

12

121121 .....(5.5)

Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran nn , 2n merupakan hasilkali dari

matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya matriks

sebagai faktor dalam faktorisasi.

Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor minimal pada

faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula halnya pada faktorisasi

matriks ekuivalen bertanda positif total.

1). Faktorisasi Cholesky

Untuk kasus matriks berukuran 22 Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan :

22

2111

2221

11

2221

1211

0

0

k

kk

kk

k

hh

hh

1D

1D

16

Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga

Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti 0kii

, 0ki2

dan 0k22

.

Akibatnya , 00

0

2211

22

2111

2221

11kk

k

kk

kk

k. Ambil

2

1

10

0

d

dD dan

2

1

20

0D dengan ,,

21dd 1,1,

21 . Matriks sisi kanan sesuai hubungan pada

faktorisasi Cholesky dengan hubungan (4.4) yakni :2221

1211

qq

qq

2

1

0

0

d

d

2221

110

kk

k

2

1

0

0

22222212

11110

kdkd

kd

diperoleh: 111111

kdq ; 0q12

; 211221

kdq ;222222

kdq .

Sesuai definisi (4.2.1), bahwa 2221

1211

qq

qq merupakan matriks positif total, maka

02211212121122211kkddqqqq yang berarti 1

2121dd .

Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama 1

D dan 2

D adalah 1 dan entri

diagonal utama lainnya adalah 1.

Dengan mengambil Q = 2221

110

kk

k merupakan matriks positif total maka

21

2221

11

2221

11

10

010

10

010QDD

kk

k

kk

k

Menurut definisi (4.2.1), maka 2221

110

kk

k adalah matriks ekuivalen bertanda positif

total. Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa 22

2111

0 k

kk juga

merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.

2). Faktorisasi LU

Untuk kasus matriks A berukuran 22 dengan faktorisasi LU dinyatakan sebagai:

22

2111

2221

11

2221

1211

0

0

u

uu

ll

l

aa

aa ….. (5.12)

Ambil 2

1

10

0

d

dD dan

2

1

20

0D dengan 1,1,

21dd dan 1,1,

21

Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni:

2

1

2221

1211

2

1

2221

11

0

0

0

00

qq

qq

d

d

ll

l ..... (5.12a)

dengan ,,21dd 1,1,

21.

17

Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh:

22222112

1111

2

1

2221

11

2

1

2221

12110

0

00

0

0

ldld

ld

ll

l

d

d

qq

qq .....(5.12b)

dimana 02211212121122211llddqqqq .

a. Untuk 02211ll berarti untuk matriks

1D dan

2D dapat diambil 2 diantara entri

diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1.

Satu pasangan matriks 1

D dan 2

D yang dapat dipilih adalah 10

01 dan

10

01.

Dengan mengambil matriks Q = 2221

110

ll

l yang merupakan matriks positif total,

maka

21

2221

11

2221

11

10

010

10

010QDD

ll

l

ll

l …..(5.12c)

b. Untuk 02211ll berarti untuk matriks

1D dan

2D dapat diambil 3 diantara elemen

bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1.

Diantara kemungkina 1

D dan 2

D yang dapat dipilih adalah: 10

01 dan

10

01

dengan mengambil Q = 2221

110

ll

l yang merupakan matriks positif total maka:

21

2221

11

2221

11

10

010

10

010QDD

ll

l

ll

l ….. (5.12d)

Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka 2221

110

ll

l adalah matriks

ekuivalen bertanda positif total.

Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas 22

2111

0 u

uu dapat dikonstruksi

sedemikian sehingga 21

22

2111

0QDD

u

uu dengan Q matriks positif total,

1D dan

2D

matriks diagonal dengan elemen diagonal 1.Sesuai definisi maka 22

2111

0 u

uu adalah

matriks ekuivalen bertanda positif total.

3). Faktorisasi QR

Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada faktorisasi

QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan hasilkali matriks

ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk matriks persegi dapat

dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Dalam kasus matriks berukuran 22 pada faktorisasi QR dengan memeriksa

determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sedemikian sehingga

hubungan QRA sebagai faktorisasi QR juga merupakan faktorisasi matriks ekuivalen

bertanda positif total.

18

Contoh sederhana menunjukkan berlakunya teorema (4.3.1) sebagai berikut:

Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka untuk

setiap matriks riil ijaA berukuran nn , 2n difaktorkan menjadi:

kAAAA ...

21

dengan iA , ki ,,1 merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Untuk memeriksa apakah matriks - matriks iA , ki ,,1 merupakan matriks -

matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks i

Q ,

ki ,...,1 sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber - dasarkan

persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni: 21

DADQii

, ki ,...,2,1 ... (6.2)

dimana 1D dan

2D adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .

V. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

1). Suatu matriks riil )(ijaA berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks

positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif.

a). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika 0)det( A .

b). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap minor ij

a

ditulis ij

M dengan ni ,...,1 dan n,...,1j adalah nonnegatif.

2). Suatu matriks riil )a(Aij

berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks

ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai 21

QDDA , dengan

Q adalah matriks positif total, 1

D dan 2

D merupakan matriks diagonal dengan entri

diagonal utama ± 1. Disajikansebagai:

nnnnn

n

n

nnnnn

n

n

qqq

qqq

qqq

d

d

d

aaa

aaa

aaa

00

00

00

00

00

00

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

dengan 1,1,kk

d untuk nk ,...,1 atau :

nnnnn

n

n

nnnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

d

d

d

qqq

qqq

qqq

00

00

00

00

00

00

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

dengan ijjiijadq , ni ,...,1 ; nj ,...,1 dan }1,1{,

jid .

3). Matriks-matriks 1

D dan 2

D yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu matriks

berukuran nn sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total sebanyak: 12n

kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni matriks-matriks diambil

dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:

100

010

001

19

4). Faktorisasi dari matriks A merupakan hubungan kesamaan matriks A dengan

perkalian matriks-matriks lain yakni: kFFFA .....

21, dengan matriks

iF , ki ,...,1

memenuhi kondisi-kondisi tertentu.

5). Setiap matriks riil A berukuran nn , dengan 2n dapat difaktorkan menjadi

hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai:

kAAAA ......

21 , dengan

iA , ki ,...,1 matriks-matriks ekuivalen bertanda positif

total.

Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville

bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal.

B. Saran

Penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks yang lebih umum dan cara

pembuktian yang lain. Berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda

positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky, LU

dan QR, selanjutnya dapat dilakukan pada faktorisasi matriks lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta

Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of Matrices

and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its Applications, 266:

243 – 259. Elsevier Science Inc. New York.

Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices, Total

Positivity and Its Applications, pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher. Dordrecht.

Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The John

Hopkins University Press. Baltimore London.

Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff, New

Jersey.

Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-Verleg.

Inc. New York.

Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar

Factorizations of Matrices. Electronics Journal of Linear Algebra (ELA). ISSN

1081-3810. Volume 16. pp. 162-170.

Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press.

Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York.

Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal

Factorizations, Linear Algebra and Its Applications, 292:233-234. Elsevier

Science Inc. New York.

Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta.

Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and Scientists.

Chapman & Hall. New York.

Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics and

Engineering. Cambridge University Press.

Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich.

Sandiego.

Zwilinger, D. 2003. Standard Mathematical Tables and Formulae. Chapman & Hall

/CRC Press Company. New York.